Прикладная газовая динамика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

Ф.А. Слободкина «Прикладная газовая динамика», часть 1. «Критерии отрыва пограничного слоя»

Допущено УМО вузов Российской Федерации по нефтегазовому образованию в качестве учебного пособия для подготовки бакалавров и магистров по направлению 553600 «Нефтегазовое дело» и для подготовки дипломированных специалистов по направлению 650700 «Нефтегазовое дело» специальности 090600 «Разработка и эксплуатация месторождений».

Москва 2003

Удк 533. 6

Слободкина Ф.А. Прикладная газовая динамика, часть 1. Критерии отрыва пограничного слоя. – М.: РГУ нефти и газа, 2003.- 23с.

В учебном пособии представлены методы математического исследования течения вязкой жидкости для случаев больших чисел Рейнольдса, то есть течений в пограничном слое. Рассматриваются особенности пограничного слоя при появлении отрыва от обтекаемой стенки. Приводится вывод уравнений пограничного слоя из уравнений Навье –Стокса для плоской задачи, основанный на физическом представлении о существовании такого слоя вблизи обтекаемой поверхности, и формулируются границы применимости такой математической модели. Обсуждаются обстоятельства, при которых заторможенный в пограничном слое поток отклоняется от контура обтекаемого тела, то есть происходит отрыв пограничного слоя. Анализируются особенности профиля скорости при торможении потока за счет отрицательного градиента давления в направлении течения. Дается вывод метода определения потерь и критериев отрыва пограничного слоя в канале, по которому движется газ или несжимаемая жидкость малой вязкости. Простые уравнения, позволяющие определить место отрыва пограничного слоя, чрезвычайно полезны при анализе течений вязкой среды вблизи обтекаемых поверхностей. Учебное пособие содержит некоторые научные результаты, не публиковавшиеся ранее в монографиях и учебниках, которые важны при изучении курсов механики сплошной среды и прикладной газовой динамики. Пособие предназначено для магистров и будет полезна при самостоятельных научных исследованиях. Издание подготовлено на кафедре нефтегазовой и подземной гидромеханики.

Рецензенты – проф. Колесниченко А.В., проф. Эглит М.Э.

© Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина, 2003.

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ………………………..………………………………………………..3 § 1. Составление уравнений пограничного слоя ………………………………5 § 2. Отрыв пограничного слоя ………………………………………………...10 § 3. Интегральный метод определения потерь в канале ……………………..13 § 4. Критерий отрыва пограничного слоя в канале …………………………..17 Литература ……………………………………………………………………....21

2

Введение Течение сплошных сред, обладающих вязкостью, в каналах различных устройств сопровождается некоторыми физическими особенностями, которые учитываются уравнениями Навье-Стокса в широком диапазоне изменения определяющих параметров – чисел Маха (М) и чисел Рейнольдса (Re). В настоящее время разработаны численные методы интегрирования уравнений Навье-Стокса, однако, эти методы требуют высокопроизводительных вычислительных машин и больших затрат времени. Указанное обстоятельство оставляет актуальными упрощенные модели, которые позволяют проводить оценки параметров вязких течений достаточно быстро и эффективно. К таким упрощённым моделям относится разработанная Л. Прандтлем в 1904 году модель пограничного слоя, который образуется на твёрдых стенках при обтекании их вязкой жидкостью при больших числах Re. Большие числа Re характеризуют течения с большими скоростями при малой вязкости. Однако, пограничный слой, образующийся на криволинейных стенках, или, точнее, в потоках с большими градиентами давления, способен отрываться от стенок [1-4]. В местах отрыва появляются вихревые зоны со сложными линиями тока, которые не описываются упрощёнными уравнениями. На рис. 1 и 2 приведены примеры линий тока при отрыве пограничного слоя на стенках канала сложной геометрии, полученные путём численного интегрирования уравнений Навье-Стокса. Но, несмотря на то, что упрощённая модель Л. Прандтля не даёт детальной картины поведения течения при отрыве, можно, пользуясь методами подобия и размерности, получить «критерии отрыва пограничного слоя». Это означает, что можно на основе простых формул предсказать возникновение отрыва пограничного слоя, указать область стенки, где произойдёт отрыв и посчитать потери полного давления в потоке за счёт вязкого трения на стенках канала. Этим вопросам посвящено данное учебное пособие. Первые два параграфа, посвящённые получению уравнений Л. Прандтля и понятию отрыва пограничного слоя, написаны в соответствии с [3], следующие параграфы написаны на основе оригинальных исследований д.ф.-м.н. Г.М. Бам-Зеликовича, научного сотрудника Центрального института авиационного моторостроения (ЦИАМ им. П.И. Баранова).

3

Рис. 1. Линии тока.

Рис. 2. Линии тока в зоне рециркуляции – в верхнем канале над разделителем (в изометрии). 4

§1. Составление уравнений пограничного слоя. Рассмотрим течение жидкости при очень малой вязкости или, в более общем виде, для случая очень большого числа Рейнольдса. Успех в исследовании движений жидкости при больших числах Рейнольдса был достигнут в 1904 г. Л. Прандтлем, показавшим, каким образом проявляет себя вязкость при больших числах Рейнольдса и каким путем можно упростить дифференциальные уравнения Навье — Стокса для того, чтобы получить их приближенные решения в предельном случае очень малой вязкости. С целью наглядного пояснения способа, позволяющего упростить уравнения Навье — Стокса для случая очень малой вязкости, остановимся на простом примере плоского течения около тонкого цилиндрического тела (рис. 1.1). На некотором расстоянии от поверхности тела внутри жидкости преобладают, вследствие малой вязкости, силы инерции, действие же вязкости там почти не проявляется. Скорость течения почти до самой поверхности тела имеет порядок скорости V вдали от тела. Картина линий тока, а также распределение скоростей внутри жидкости практически имеют такой же вид, как и при потенциальном течении жидкости без трения. Однако более точные наблюдения показывают, что жидкость не скользит по поверхности тела, как при потенциальном течении, а прилипает к ней. Переход от нулевой скорости на стенке к полной скорости, существующей на некотором расстоянии от стенки, совершается в очень тонком слое, называемом пограничным слоем или слоем трения. Следовательно, мы должны различать в рассматриваемом течении две области, между которыми, правда, нельзя провести резкой границы:

Рис. 1.1. Пограничный слой на стенке. 1. Первая область — очень тонкий слой в непосредственной близости от тела. В этой области градиент скорости ∂и/∂у в направлении, перпендикулярном к стенке, очень велик (пограничный слой), а вязкость μ, как бы она ни была мала, оказывает существенное влияние на течение, поскольку здесь касательное напряжение τ = μ∂и/∂у, вызванное трением, может принимать большие значения. 5

2. Вторая область — все остальное течение вне пограничного слоя. В этой области градиент скорости не достигает таких больших значений, как в пограничном слое, поэтому действие вязкости здесь не играет роли и можно считать, что течение здесь потенциальное. Как правило, пограничный слой тем тоньше, чем меньше вязкость или, в более общей формулировке, чем больше число Рейнольдса. На основании некоторых точных решений уравнений Навье — Стокса известно, что толщина пограничного слоя пропорциональна корню квадратному из кинематической вязкости, т.е. δ~ ν

Далее, при упрощениях, которые несколько ниже будут сделаны в уравнениях Навье — Стокса с целью получения из них уравнений пограничного слоя, принимается, что толщина пограничного слоя очень мала по сравнению с некоторым характерным линейным размером L тела, т.е. δ 0, т.е. для течений с торможением во внешнем потоке. Для течений с ускорением во внешнем потоке можно увидеть из экспериментов, что f1Rez1/4 = const, т.е. f1 =

b при ξ < 0, b = const (Rez подсчитан по δ***). 1/ 4 Re z

Таким образом, для вычисления z = δ*** в случае ускоренного течения во внешнем потоке получается dz 1 = ( a + bξ ) dx (Re z )1 4

(при ξ < 0)

(II)

a = 0,026, b = const определяется из какого-нибудь эксперимента. Уравнение (II) обладает особенностью «саморегулирования», т.к. ξ < 0 (если z оказалась завышенной, то ξ снизит ее значение за счет занижения производной и наоборот). Для течений с ξ > 0 это не так. Наоборот, начальная ошибка может нарастать, поэтому (если показать, как нарастает ошибка вычислений) лучше принять в формуле (I) степень ξ не 1, а чуть меньше 1, например 0,95 - 0,97. Можно записать общую формулу для всех случаев

(

1 dδ *** = a − bξ 14 dx 2(Re z )

0.95

)(1 − signξ ) + 12 ⎛⎜⎜ (Rea ) ⎝

14

z

+ cξ

0.95

⎞ ⎟(1 + signξ ) ⎟ ⎠

(III)

при ξ = 0 формула (III) переходит в известную формулу для обтекания пластины. Из экспериментов получено 16

a = 0,026, b = 20, c = 2,75 для δ*** = z. §4. Критерии отрыва пограничного слоя в канале Многие работы используют уравнение движения в пограничном слое в интегральной форме [3]. d ** U x' ** ⎛ δ * ⎞ τ0 ⎜ δ + δ ⎜ 2 + ** ⎟⎟ = dx U δ ⎠ ρU 2 ⎝

( )

Здесь δ

U

–

ρ

скорость,

-

плотность

вне

(4.1) пограничного

слоя,

δ

⎛ 1 ⎞ u ⎟ = ∫ ⎛⎜1 − ⎞⎟dy - толщина вытеснения, − ( ρ U ρ u ) dy ∫ ⎟ ⎝ ρU 0 ⎠ 0⎝ U ⎠

δ * = ⎜⎜

δ

u⎛ u⎞ ⎜1 − ⎟dy - толщина потери импульса, U ⎝ U⎠ 0

δ ** = ∫

⎛

τ0 – напряжение трения на стенке ⎜⎜τ = μ ⎝

∂u ⎞ ⎟. ∂y ⎟⎠

В уравнение (4.1) входят три неизвестные величины δ*, δ**, τ0, которые предполагаются зависящими от форм параметра 14

U x' ** ⎛ Uδ ** ⎞ Uδ ** ⎟⎟ , Γ = − δ ⎜⎜ = Re δ ** U ν ⎝ ν ⎠

Тогда τ(Г) и Н = δ*/δ**(Г) берут из эксперимента, а δ** находят из уравнения (4.1). Точка отрыва погранслоя определяется значением Гкр., которое есть некоторое статистическое значение, полученное по экспериментальным данным. Этот путь плох тем, что надо знать все эмпирические функции, которые даже в простых случаях не универсальны [3]. Наконец, в областях близких к отрыву (велики Рх′ > 0) зависимости от форм параметра, а также теории турбулентных погранслоёв с представлением о ламинарном подслое несправедливы. Кроме того, работы с уравнением (4.1) и теорией турбулентности дают большие ошибки и требуют громоздких вычислений. Попытки обобщить их на сжимаемый случай принципиально несостоятельны. Здесь приведем метод расчета отрыва погранслоя без использования конкретной теории турбулентности, профиля скоростей и т.д. Метод БамЗеликовича [4] основан на общих соображениях теории размерности и подобия и на использовании минимального числа эмпирических постоянных. Рассмотрим пограничный слой на теле.

17

Поверхность тела будем считать нетеплопроводной. Чем определяется течение в произвольном сечении погранслоя? Течение в пограничном слое определено, если известны: 1. Профиль скорости в начальном сечении, 2. Р(х) – на границе погранслоя (движение вне слоя известно), 3. U(x0), ρ(x0) – во внешнем потоке, 4. Характерный линейный размер – (l = х-х0). Гипотеза (подтвержденная экспериментами): течение в пограничном слое в сечении х зависит от Р(х), U(x), ρ(х) в малой окрестности этого сечения. Универсальность «отрывного профиля скорости» на разных телах говорит в пользу этой гипотезы. Таким образом, влиянием профиля скорости в начальном сечении можно пренебречь. Характерным линейным размером может быть δ, δ*, δ** и др. Р(х) = Р(х*) + Рх′(х*)Δх + …. Если х* - не особая точка во внешнем потоке, томожно учитывать Р(х*) и Рх′(х*), а остальным пренебречь. Параметры, определяющие течение: U – скорость, ρ - плотность, р – давление внешнего потока в сечении х*, Рх′(х*), z – характерный размер погран. слоя, μ - характерная const вязкости, λ const теплопроводности, γ - отношение теплоемкостей. По теореме размерностей все безразмерные величины есть функции только безразмерных комбинаций определяющих параметров. ⎛ Px' z ρUz ⎞ ⎜ ⎟ = Φ M , , ⎜ ρU 2 ρU 2 μ ⎟⎠ ⎝ ⎛ Px' z ρUz ⎞ ' ⎟ z x = F ⎜⎜ M , , ρU 2 μ ⎟⎠ ⎝

τ

Число Прандтля и γ опущены, т.к.они const. Рассмотрим теперь, что может быть в точке отрыва τ = 0, т.е. Φ = 0. Считая Rez – большим, разложим Φ = 0 в ряд по 1/Rez, выразив сначала ξ = (Px′z)/ρU2 ξ = ϕ 0 ( M ) + ϕ1 ( M )

μ + ... ρUz

(4.2)

Совершим теперь предельный переход μ → 0. В ламинарном пограничном слое при μ → 0, Re → ∞, z → 0. Известно z/L ∼(Re)-1/2 (Re = ρUL/μ) 18

Px' z -1/2 → 0 как (Re) , т.к. 2 ρU μ μ L 1 L = ⋅ = ⋅ ρUz ρUL z Re z

Следовательно,

Т.к. ϕ0(М) не стремится к 0 при μ → 0, то для ламинарного пограничного слоя ϕ0(М) ≡ 0. Умножая обе части равенства (4.2) на ρUz/μ и переходя к пределу при Re → ∞, получим, что в точке отрыва ламинарного пограничного слоя справедливо соотношение Px' z 2 = ϕ1 ( M ) μU

(4.3)

В случае турбулентного пограничного слоя при μ → 0 характерный размер пограничного слоя z не стремится к 0 (т.к. толщина пограничного слоя определяется турбулентным перемешиванием). Следовательно, не стремится к 0 и Рх′z/ρU2. Поэтому в случае турбулентного пограничного слоя ϕ0(М) ≠ 0. Все остальные члены в (4.2) содержат Re-1. Устремляя μ → 0 (Re → ∞), получим для турбулентного пограничного слоя над точкой отрыва соотношение Px' z = ϕ0 (M ) ρU 2

(4.4)

Функции ϕ0(М) и ϕ1(М) должны быть определены экспериментально. Их значения зависят от того, какой параметр принимается за характерный размер пограничного слоя. Для турбулентного пограничного слоя в несжимаемой жидкости (М = 0), если за характерный размер z взять δ*, то ϕ0(0) ≅ 0.015, если z = δ**, то ϕ0(0) ≅ 0,005. Эти значения вычислены на основании экспериментальных работ (NACA Report, № 1030, 51г. и работ Стенфордской конференции). В работах NACA приведены таблицы, а не только графики, поэтому ϕ0 получено с большой точностью. Для вычисления этих величин приходится находить производную скорости по данным в конечном числе точек, а в области отрыва производная скорости сильно меняется, и разброс в экспериментальных точках особенно велик. Различными авторами получались эти критерии отрыва, но здесь (4.3) и (4.4) получены вне зависимости от предположений о том или ином профиле скорости или напряжения трения в пограничном слое, вне зависимости от теории турбулентности, вне зависимости от метода расчета пограничного слоя. Поэтому (4.3) и (4.4) – представляют собой связь между параметрами потока и характерным размером пограничного слоя, справедливую во всех случаях, когда выполняется одно предположение: на течение в пограничном слое влияет внешний поток только в малой окрестности этого сечения. Соотношения (4.3) и (4.4) справедливы и в случае сжимаемого газа и позволяют делать выводы о влиянии различных параметров на отрыв пограничного слоя.

19

Для точного определения положения точки отрыва необходимо кроме функции ϕ0(М) и ϕ1(М) знать еще и распределение характерного размера z вдоль контура тела. Для определения z воспользуемся формулой (4.2). Разложим функцию Fв ряд по степеням Рх′z/ρU2 = ξ и учтем члены первой степени (т.к. параметр Рх′z/ρU2 – мал, он ~10-2; 10-3) ⎛ ⎛ μ ⎞ μ ⎞ Px' z ⎟ + f1 ⎜⎜ M , z ≅ f 0 ⎜⎜ M , ⎟ ρUz ⎟⎠ ρUz ⎟⎠ ρU 2 ⎝ ⎝ ' x

Разложим f1 в ряд по μ/ρUz, отбросим все члены кроме нулевого и получим формулу, справедливую для ламинарного и турбулентного пограничного слоя. ⎛ P' z μ ⎞ z x' = f 0 ⎜⎜ M , ⎟⎟ + f (M ) x 2 ρUz ⎠ ρU ⎝

(4.5)

Вид функций f0 и f1 различен в случае ламинарного и турбулентного пограничного слоя. Если Рх′ = 0, то ⎛ μ ⎞ z ' = f 0 ⎜⎜ M , ⎟ ρUz ⎟⎠ ⎝

Следовательно, f0 есть скорость нарастания характерного размера пограничного слоя на плоской пластине и определяется из теоретического решения или из экспериментальных данных для плоской пластины. Определив f0, можно по экспериментальным данным течения с градиентом давления определить f(М). Уравнение (4.5) легко интегрируется как для ламинарного, так и для турбулентного пограничного слоя. Для турбулентного пограничного слоя на плоской пластине в потоке несжимаемой жидкости, как известно, справедливо соотношение ⎛ Uz ⎞ z = A⎜ ⎟ ⎝υ ⎠

−1 4

' x

А = 0,230, если z = δ A = 0,017, если z = δ* А = 0,013, если z = δ** Тогда для турбулентного пограничного слоя в несжимаемой жидкости получаем: ⎛ Uz ⎞ z = A⎜ ⎟ ⎝υ ⎠ ' x

−1 4

+C

Px' z ρU 2

(4.6)

С = 5,7 при z = δ*, С = 4,8 при z = δ** (постоянные посчитаны по данным экспериментальных работ). Общий интеграл уравнения (4.6) равен уравнению Бернулли: z5 4

⎛U ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝U0 ⎠

5 − C 4

5 1 C ⎫ ⎧ − x ⎛ ⎞ U 4 ⎛U ⎞ 4 ⎪ ⎪ 54 5 ⎟⎟ ⎜ ⎟ dx ⎬ ⎨ z 0 + A ∫ ⎜⎜ U 4 ⎝υ ⎠ 0 ⎠ x0 ⎝ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

(4.7)

20

Здесь z0, U0 – значения z и U при х = х0. При вычислении (4.7) принято во внимание уравнение

Px' U x' = − , справедливое во внешнем потоке. ρU 2 U

Таким образом, вычисление z сводится к квадратуре. Однако можно указать упрощенный способ вычисления z и параметра отрыва соответственно. Если Rez ∼ 105, то в области больших Рх′ в уравнении (4.6) второй член в 1520 раз больше первого. Тогда U'z z ⎛U ⎞ ⎟ z = −C x → = ⎜⎜ U z 0 ⎝ U 0 ⎟⎠ ' x

−C

при

Uz

υ

≥ 105

В частности δ* ⎛ U ⎞ ⎟ =⎜ δ 0* ⎜⎝ U 0 ⎟⎠

−5.7

δ ** ⎛ U ⎞ ⎟ =⎜ δ 0** ⎜⎝ U 0 ⎟⎠

при z = δ*

(4.8)

при z = δ**

(4.9)

−4.8

Литература 1. Head M.R. Entrainment in the Turbulent Boundary Layer. ARC Reports and Memoranda, 1960, № 3152. 2. Секундов А.Н., Лебедев А.Н., Смирнова И.П. Интегральный метод расчёта двумерного пограничного слоя с замкнутыми зонами отрыва в переходной области чисел Рейнольдса. Тр. ЦИАМ, №1152, 1986, вып. 3 «Пограничный слой». 3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М: ИЛ, 1956, 528 с. 4. Бам-Зеликович Г.М. Расчёт отрыва пограничного слоя. Изв. АН СССР, ОТН, 1954, № 12, с.68-85.

21

Франческа Александровна Слободкина

Прикладная газовая динамика, часть 1. Критерии отрыва пограничного слоя.

Учебное пособие

Сводный тем. План 2003г. Подписано в печать Объем 1,44 уч.-изд.л.

Формат 60 90/16 Тираж 100 экз. Заказ№ 119991, Москва,гсп – 1, Ленинский проспект,65 Отдел оперативной полиграфии РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина