Гершкович Ю.Б., Мартынова А.Ю. Преобразование случайных процессов в линейных системах автоматического регулирования

Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) имени И. М. ГУБКИНА Кафедра сварки и мониторинга нефтегазовых сооружений

Ю. Б. Гершкович А. Ю. Мартынова

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ Методические указания к практическим и лабораторным занятиям по дисциплинам «Теория автоматического управления» и «Оптимизация и оптимальное управление»

Москва 2016

УДК 681.515

Р еценз ент: Д. Н. Великанов – к.т.н., доцент кафедры АТП РГУ нефти и газа (НИУ) имени И. М. Губкина

Гершкович Ю. Б., Мартынова А. Ю. Преобразование случайных процессов в линейных системах автоматического регулирования: Методические указания. – М.: Издательский центр РГУ нефти и газа (НИУ) имени И. М. Губкина, 2016. – 42 с. Рассматриваются статистические характеристики типовых стационарных случайных процессов и их зависимости от численных значений параметров. Исследована зависимость оптимального значения коэффициента усиления, минимизирующего среднеквадратичную ошибку, от изменения параметров спектральной плотности входного задающего случайного стационарного процесса и помехи, поступивших на вход сумматора обратной связи замкнутой системы. Методические указания предназначены для бакалавров, обучающихся по направлению 27.03.04 «Управление в технических системах» и магистрантов, обучающихся по направлению 27.04.04 – «Управление в технических системах».

Гершкович Ю. Б., Мартынова А. Ю., 2016 РГУ нефти и газа (НИУ) имени И. М. Губкина, 2016

Введение Автоматическое управление требует детерминированного поведения системы при большом числе внешних воздействий – как по воле принимающего решения, так и возмущений. Некоторые сигналы возмущения можно измерить, но нельзя на них повлиять, например, на дебит нефтесодержащего продукта при входе в сепаратор. Некоторые сигналы возмущения являются случайными помехами, например, состав топлива на входе в нагревательную печь или изменение режима в ректификационной колонне из-за старения катализатора. Выделяют три основных элемента системы, которые подвергаются воздействию внешних случайных сигналов – объект управления, элемент сравнения и измеритель регулируемой величины. Поэтому в реальных системах управления в обратной связи всегда полезная информация о состоянии объекта смешивается со случайной помехой. Для того, чтобы проанализировать реакцию линейной системы на случайный сигнал, необходимо аналитически исследовать статистические характеристики входного и выходного случайных процессов. Для инерционных процессов нефтехимической и газовой промышленности характерны стационарные случайные процессы. По заданной базе данных методом статистических испытаний (МонтеКарло) определяются аналитические выражения спектральной плотности и автокорреляционной функции, которые потом аппроксимируются типовыми выражениями. В работе приведен алгоритм вычисления спектральной плотности по входным статистическим данным. Расчеты выполнены магистранткой 2014 года А. Лоскутовой. По известным известным статистическим характеристикам входного полезного сигнала и помехи в замкнутой системе с единичной обратной связью можно вычислить оптимальное значение коэффициента усиления, минимизирующего среднеквадратичную ошибку. Приведены зависимости оптимального коэффициента от параметров спектральной плотности входных стационарных случайных процессов.

3

1. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВХОДНОГО СИГНАЛА КАК СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Задачей любой системы автоматического управления в реальных условиях является поддержание заданного режима. В идеале ошибка  отклонение от этого режима  должна быть нулевой. Если же на систему действуют случайные возмущения, то даже в установившемся режиме нельзя обеспечить нулевую ошибку, поскольку эти возмущения все время будут выводить систему из состояния равновесия. Таким образом, ошибка тоже будет случайным процессом. Пусть на систему действуют случайные процессы  сигнал задания g(t) и помеха f(t). Случайный процесс (рис. 1) представляет собой случайную величину, изменяющуюся во времени, и задается он множеством величин. Протекание во времени типовых случайных процессов на входе технологических объектов приблизительно однородно и имеет вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, при этом ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не претерпевают существенных изменений.

Рис. 1. Стационарный случайный процесс 4

Такие случайные процессы называются стационарными. В данной работе будем исследовать реакцию линейной системы автоматического управления на стационарный случайный процесс. Совокупность значений реализаций в фиксированный момент времени (выборка случайных значений) называется сечением случайного процесса, а в любом сечении случайный процесс есть величина случайная, математическое ожидание которой есть функция времени: x1 ( t1 )  M x1 ( t1 ) ,

(1)

x 2 ( t 2 )  M x 2 ( t 2 ).

(2)

Случайный процесс можно охарактеризовать с помощью корреляционного момента второго порядка: M x1 ( t1 )  x2 ( t 2 ) 



  x (t )  x (t )w( x (t )  x (t ))dx dx , 1

1

2

2

1

1

2

2

1

(3)

2



где w(x) – плотность вероятности. Для стационарного случайного процесса справедливо: x (t )  M  x (t )  const.

(4)

Таким образом, связь между двумя сечениями определяется не их статистическими характеристиками в различные моменты времени t1 и t2, а корреляционным моментом, зависящим от разности τ между этими моментами времени: τ = t1  t2. M x( t )  x( t   ) 



  x(t )  x(t  )w( x(t )  x(t  ))dx(t )dx(t  )  R () , x

(5)



Rx(τ) – автокорреляционная функция стационарного случайного процесса (временная характеристика стационарного случайного процесса). 5

Для стационарных случайных процессов справедлива эргодическая гипотеза, суть которой в следующем: с вероятностью, приближенной к единице, среднее значение по множеству реализаций стационарного случайного процесса совпадает со средним значением по времени для одной реализации1. Аналитическая запись этой гипотезы представлена формулами (6)(8): 

1 ~ x  w ( x )dx  lim 1) x  M x  T   2T 



2) M x



2

 

1  x  w ( x )dx  lim T   2T  2

T

 xdt  x

(6)

T

T

 x dt  x 2

2

(7)

T

где (7) – средняя мощность случайного процесса. 3) Rx (  )  M x ( t )  x ( t   )  

(8) T

1  x(t )  x(t  )w( x(t )  x(t  ))dx(t )dx(t  )  lim x(t )  x(t  )dt . T  2T  T





Автокорреляционная функция (8) характеризует связь сечений одного и того же случайного процесса, расположенных друг от друга на расстоянии τ во времени. Чем сильнее связь, тем сильнее эта функция будет отлична от нуля для любых больших значений τ. 1 Важно отметить, что R x ( 0 )  Tlim   2T

T

 x dt 2

есть средняя мощ-

T

ность случайного процесса, а для t→∞, получим: M x1 , x 2   M x1  M x 2   x 2  D  R x ( 0 )  R x (  ) ,

(9)

где среднеквадратичное отклонение   D . 1

Воронов А.А. Основы теории автоматического регулирования и управления, 1977.

6

В дальнейшем нам потребуются следующие свойства автокорреляционной функции: Четность R x (  )  R x ( ) (10) 1 R x (  )  lim T   2T

T

1 x ( t ) x ( t   ) dt  lim T   2T T



tu t  u

Делаем замену:

T 

 x ( u   ) x ( u )du  R

x

( )

(11)

T  

 T  T   T T 

dt  du

Автокорреляционная функция есть убывающая функция τ: R x (0)  R x ( ) для любого τ, отличного от нуля. Рассмотрим:  x ( t )  x ( t   ) 2  0 .

Рис. 2. График автокорреляционных функций двух различных процессов

Раскроем скобки: x 2 ( t )  x 2 ( t   )  2 x ( t )  x ( t   ) . Возьмем среднее и вынесем константы:









M x 2 ( t )  M x 2 ( t  )  2 M x ( t )  x ( t  ). Так как M { x 2 ( t )  M { x 2 ( t   ), то 2 M { x 2 ( t )}  2 M { x ( t )  x ( t   ).

Откуда R x (0)  R x ( ) . Заметим что случайный процесс, соответствующий автокорреляционной функции (1), намного лучше такового, соответ7

ствующего автокорреляционной функции (2), т.к. чем «шире» автокорреляционная функция, тем более «гладким» будет процесс. Это связано с тем, что у более «гладкого» процесса статистическая связь между двумя сечениями существует для бόльших интервалов времени τ. Схематичные графики процессов представлены на рис. 3а, б.

а

б

Рис. 3. Графики случайных процессов: а  одна реализация стационарного случайного процесса, соответствующая кривой (1) на рис. 2; б  одна реализация стационарного случайного процесса, соответствующая кривой (2) на рис. 2

Наряду с временной характеристикой, стационарный случайный процесс характеризуется и частотной характеристикой, которая называется спектральной плотностью. Спектральная плотность случайного процесса – это величина, характеризующая распределение средней мощности по гармоникам случайного процесса. Происхождение функции связано с энергетической формой преобразования Фурье. Преобразование Фурье функции x(t) на интервале времени Т задается формулой (12), а обратное преобразование  формулой (13): 8



xT ( j ) 

 x (t )  e

 j t

T

dt ,

(12)





1 xT ( t )  x T ( j  )  e j t d  . 2  



(13)

Ранее было отмечено, что средняя мощность процесса 1 lim T   2T

T



xT2 dt равна автокорреляционной функции при τ = 0, по-

T

этому, заменив в выражении 1 Rx (0)  lim T   2T

T

 x (t )  x (t )dt T

T

T

(14)

одну из функций xT (t ) формулой (13) и поменяв порядок интегрирования, получим энергетическую форму преобразования Фурье (15): 1 R x ( 0 )  lim T   2T 

T

1 x T ( t )  x T ( t )dt  lim T   2T T



 1   x T ( j )  e j t d  x T ( t )dt    T   2   T







1 1  lim x T ( j )d x T ( t )  e j t dt  T   2  2T 









1 1 1  lim x T ( j ) x T (  j  )d   S x (  )d  , 2   T   2T 2  





(15)



где

x

T

( t )  e jt dt  x T (  j ) .



Подынтегральная функция выражения (15) называется спектральной плотностью случайного процесса. Спектральная плотность – действительная и четная функция частоты : 1 1 2 xT ( j)xT (  j)  lim x T ( j ) . T   2T T   2T

S x ()  lim

9

(16)

Окончательно из выражений (15) и (16) с учетом четности функции S x () имеем: 1 Rx (0)  lim T   2T

T

T

1 x ( t )dt  S x ()d .  T T





2 T

(17)

График функции S x () для стационарного случайного процесса приведен на рис. 4 (       ). Площадь заштрихованного прямоугольника соответствует доле мощности, которую несет в себе i-я гармоника при i  0 . Соответственно, вся площадь под кривой спектральной плотности S x () пропорциональна значению автокорреляционной функции Rx(0), где коэффициент пропорциональности равен

1 2 .

Другими словами, пло-

щадь под кривой спектральной плотности пропорциональна средней мощности случайного процесса. Связь между спектральной плотностью и автокорреляционной функцией устанавливается с помощью прямого и обратного преобразований Фурье (формулы (12) и (13)). Так как спектральная плотность Sx(ω) и автокорреляционная функция Rx(τ)  действительные четные функции своих аргуменS x  

Si 

i

 i   i

Рис. 4. Спектр по мощностям 10

тов, а e  j  cos( )  j  sin(  ) , то интеграл, соответствующий мнимой части, равен нулю. Поэтому расчетные формулы для спектральной плотности и автокорреляционной функции имеют вид: 



S x ()  2 Rx (  ) cos( )d 0



1 Rx (  )  S x () cos( )d . 0



(18)

Опишем некоторые стационарные случайные процессы с помощью вышеприведенных формул: 1) типовой стационарный случайный процесс с автокорреляционной функцией

a 02

R x (  )  a 02  e   .

Найдем для него спектральную Рис. 5. Корреляционная фун- плотность, подставив Rx(τ) в форкция типового случайного мулу обратного преобразования процесса Фурье (18): 



S x ( )  2 a  e 0

2 0



2  a 02   cos()d  2   2 .

(19)

2) стационарный хаотичный случайный процесс или «белый» шум со спектральной плотностью Sx(ω) = N. Его автокорреляционная функция равна 1 R x ( )  





N cos()d 

0

1 N    ( t )  N  ( t ) . 

(20)

Данный случайный процесс физически нереализуем и это 11

видно из рис. 6, т.к. средняя мощность случайного процесса стремится к ∞. S x ()



Рис. 6. Частотная и временная характеристики «белого» шума

Статистическая связь между двумя стационарными случайными процессами определяется взаимной спектральной плотностью и взаимной корреляционной функцией. Для их определения пользуются следующими формулами: 

S xy ( ) 

K

xy

(  )  e  j d ,

(21)





1 K xy (  )  S xy (  )  e j d . 2  



(22)

Перепишем формулы (21) - (22) 1 K yx (  )  lim T   2T

T

 x (t )  y(t   )dt ,

(23)

1 x T ( j )  y T (  j ) . T   2T

(24)

S xy ( )  lim

T

Заметим, чем «шире» график автокорреляционной функции, тем более «гладким» будет процесс и меньше гармоник в нем намешано, а значит график спектральной плотности будет «ýже».

12

2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЕАКЦИИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ НА ВХОДНОЙ СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ СИГНАЛ Реакция линейной системы с передаточной функцией W(p) на стационарный случайный процесс является также стационарным случайным сигналом, статистическая характеристика которого зависит от статистических характеристик входного сигнала и передаточной функции.

Рис. 7. Схема линейной системы с передаточной функцией W(p)

Пусть на вход системы поступает стационарный случайный процесс с заданной корреляционной функцией Rf(τ) и спектральной плотностью Sf(ω). Из рисунка 7 видно, что X ( p)  F ( p)  W ( p) .

(25)

Тогда, по теореме свёртки: t

x(t )  L X ( p)  L F ( p)  W ( p)  w()  f (t  )d , 1



1

(26)

0

где w ( )  функция веса системы. Верхний предел можно расширить до бесконечности, т.к. при λ>t, f(t-λ) = 0, т.е. 

xT ( t ) 

 w( )  f (t   )d при t →∞. 0

13

(26’)

Выведем формулы корреляционной функции Rx(τ), Rfx(τ) и спектральной плотности Sx(ω), Sfx(ω) для получения статистических характеристик реакций линейной системы на входной стационарный случайный процесс. 1) Взаимно-корреляционная функция входного и выходного сигналов: 1 R fx (  )  lim T  2T 

T

1 y(t )  x( t   )dt  lim T  2T T



T

t

T

0

 y(t )dt  y(t     )w( )d 



T

1 y( t ) y( t     )dt  w( )Ry (   )d T  2T T     0



 w( )d lim 0





(27)

Ry (  )

Эта формула используется для идентификации линейного объекта. Если на черный ящик, представляющий модель линейного объекта, подать стационарный случайный процесс белый шум, автокорреляционная функция которого R y ( )  N  (  ) , то взаимно-корреляционная функция «белого шума» и реакции на него линейного объекта в соответствии с формулой (27) будет: 



R fx (  )  w( ) N  (    )d .

(а)

0

Применив теорему свертки к выражению (а) и заметив, что L (t )  1 , получим:    L R fx ( t )  L w( ) N  (    )d   N  Lw ( t ) L( t )  N  W ( p)   0







(верхний предел «∞» в интеграле свертки можно заменить на «τ», т.к. δ(τλ) равна нулю, если λ>τ). Здесь W(p) – искомая передаточная функция объекта, весовая характеристика которого совпадает с взаимно-корреляционной функцией R fx () с точностью до коэффициента пропорциональности N. 14

2) Автокорреляционная функция выходного сигнала 1 Rx (  )  lim T  2T 

T

1 x( t )x( t   )dt  lim T  2T T



1  w ( )d lim T  2T 0





T

0

 dt x(t ) w( ) y(t     )d 



T



T

x( t ) y( t     )dt 

T

1 т.к. R yx (    )  Tlim   2T



w ( )  R yx (    )d

(28)

0

T

 x(t )y(t     )dt

T

3) Спектральная плотность выходного сигнала 1 1 x( j)  x( j)  lim F ( j)  W ( j)  F ( j)  W ( j)  T  2T T  2T

S x ()  lim

1 2 2 F ( j)  F ( j)  W ( j)  S f ()  W ( j) T  2

 lim

(29)

4) Взаимная спектральная плотность по определению равна 1 F ( j)  F ( j)  W ( j)  S f ()  W ( j) . T  2T

S fx ()  lim

15

(30)

3. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВХОДНОГО СИГНАЛА КАК СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В рубрике 2 было показано (формулы (26) (29)) как статистические характеристики выхода зависят от статистических характеристик входа. Теперь постараемся определить статистические характеристики входного сигнала по известному стационарному случайному процессу во времени. f(t)

K(p)

x(t)

Рис. 8 Линейная система с передаточной функцией K(p)

Важной статистической характеристикой входного сигнала является его спектральная плотность. Рассмотрим один из методов её вычисления. Напомним, что спектральная плотность  это частотная функция, характеризующая распределение средней мощности сигнала по частотам спектра. Спектральную плотность можно получить непосредственно по случайному процессу X(t), предварительного вычислив корреляционную функцию данного нам входного сигнала. Пусть имеется одна реализация стационарного случайного процесса X(t) на интервале времени T. Так как для стационарного случайного сигнала справедлива эргодическая гипотеза, будем считать, что одна реализация эквивалентна их множеству той же продолжительности. Соответственно, характеристики случайного процесса могут быть определены не как среднее по множеству наблюдений, а как среднее по времени t для одной реализации. Тогда получится, что при достаточно большом T математическое ожидание нашей реализации будет определяться по формуле: 16

1 mx  T

T

 x(t )dt .

(31)

0

Чтобы определить корреляционную функцию Kx(τ), необходимо знать, что она является центральным моментом второго порядка и определяется по формуле:    K x (  )  M  X ( t ) X( t   )  .  

(32)

Фиксируя некоторое значение τ, вычисляем корреляционную функцию по формуле (32). Для этого предварительно центрируем реализацию случайного процесса x(t) по формуле 

x( t )  x( t )  m x .

(33)

Вычисляем математическое ожидание случайного процесса по формуле (32), учитывая при этом не весь интервал времени T, 

а меньший участок, так как X( t   ) известен нам не для всех t, а только для t+τ

T.

Пользуясь формулами (31)(33), получим корреляционную функцию: 1 K x ( )  T 

T 







X( t ) X( t  )dt .

(34)

0

Корреляционная функция и спектральная плотность связаны между собой прямым преобразованием Фурье: 1 S x ()  2



K

x

(  )d  .

(35)



На практике удобно заменять интегралы конечными суммами. Для этого разобьем интервал T случайного процесса X(t) на n равных частей длиной ∆t и обозначим середины полученных участков t1, t2, … , tn (рис. 9). 17

Рис. 9. Случайный процесс x(t), разбитый на n равных интервалов

Представим интеграл (31) как сумму интегралов по элементарным участкам ∆t, на каждом из них заменим функцию x(t) ее средним значением x(ti), соответствующим центру интервала, и вынесем его за знак интеграла. Получим: 1 T mx   T n

n

 x( t ) i

1 mx  Tn

или

i 1

n

 x( t ) i

i 1

(36)

Аналогично вычисляем корреляционную функцию для значений τ, равных 0, ∆t, 2∆t и так далее. Пусть   m  t  вычислим T T 

интеграл

mT n  m  T n n

(34),

деля

интервал

mT ; n

интегрирования

на (nm) равных участков длиной ∆t . За



менив на каждом интервале функцию X ( t ) X ( t   ) средним значением, вынесем ее за знак интеграла. Получим: n T  mT  Kx   n  ( n  m )T n

n







X( t i ) X ( t i  m )

i 1

или 1  mT  Kx   n  ( n  m )T

18

n m 

 i 1



X(t i ) X(t i  m )

.

(37)

Вычисляют корреляционную функцию по формуле (37) для значений m = 0, 1, 2, … вплоть до таких значений m, при которых корреляционная функция становиться практически равной нулю или начинает колебаться в окрестностях нуля. Наконец, спектральную плотность можно получить по формуле: m 1

S x () 

K

i 1 m

x

 mT   jTm  e  n 

или, с учетом того, что корреляционная функция является четной, перепишем: m 1

S x ()  2

 i 0

 mT  Kx   cos(  Tm ) .  n 

(38)

Чтобы определить корреляционную функцию и спектральную плотность с необходимой точностью, необходимо чтобы количество точек n было достаточно велико, порядка сотни. Выбор длины элементарного участка ∆t определяется характером изменения случайного процесса. Если процесс изменяется плавно, то участок ∆t можно выбирать сравнительно большим, нежели когда процесс совершает частые и резкие колебания. Составим алгоритм вычисления спектральной плотности случайного стационарного процесса по входным статистическим данным – рис. 10. Определим спектральную плотность стационарного случайного процесса на входе системы с помощью математического пакета MathCAD на основе метода статистических испытаний  простого в использовании и позволяющего быстро получить искомые параметры теоретической зависимости с хорошим приближением. На рисунке 10 представлен алгоритм подготовки данных 19

для анализа случайного процесса, график которого изображен на рис. 11. Из графика видно, что стационарность начинается с точки N1:=1000 и заканчивается N:=4900.

m

1  Tn

x

n



x(ti )

i 1

  m t 

1  mT  Kx    n  (n  m)T

m 1

S x () 



o

x(ti ) xti  m 

T  T 

i 1

mT n  m  T n n

 mT   j Tm e n 

 K  x

i 1 m

m1

S x ()  2

n o

mT n

 mT 

 K  n   cos(Tm) x

i 1 m

Рис. 10. Алгоритм нахождения спектральной плотности S(ω)

20

Рис. 11. Случайный процесс

Здесь N1 – начало выборки; N – конец выборки; y – массив данных (от 0 до 4899); n – текущий отсчет случайного процесса. В соответствии с этим алгоритмом по выбранной выборке, используя значения случайного процесса, можно построить графики корреляционной функции и спектральной плотности (рис.12 и 13), а затем аппроксимировать их аналитическими выражениями (рис. 14): 2 

Rx (  )  a e

2a 2 S x ( )  2   2

,

Рис. 12. Корреляционная функция случайного процесса 21

Рис. 13. Спектральная плотность случайного процесса

Рис. 14. Графики аппроксимации корреляционной функция и спектральной плотности случайного процесса

22

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВХОДНОГО СИГНАЛА ПО ИЗВЕСТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Рассмотрим влияние экспериментальных параметров a и β на статистические характеристики входного сигнала. Спектральная плотность типового полезного сигнала представлена в виде: 2a 2  S gl ( )  2   2 .

Спектральная плотность помехи задана в виде «белого шума»: S f ()  N

.

Средняя мощность входных сигналов определяется их спектральными плотностями: 1 x ( t )  lim T   2T 2



T

1 x ( t )dt  S x ()d .  T 0



2



В этой рубрике изучается зависимость средней мощности входного сигнала от параметров спектральной плотности, когда базовыми являются параметры: a2 = 0.005, β = 0.1. В дальнейшем параметры будем менять в соответствии с таблицей 1. Таблица 1 Порядок изменения параметров входного стационарного случайного процесса 1 2 3

a 0.005 0.001 0.01 0.1 0.005

β 0.1

базовый случай

0.1

меняем параметр a

0.5 0.05

меняем параметр β

23

Вначале рассмотрим академический пример. Построим спектральную плотность и автокорреляционную функцию для базового случая. Как уже говорилось, спектральная плотность есть величина случайная, характеризующая распределение средней мощности В  по гармоникам. Она имеет размерность мощности Вт   Ом  и ее 2





легко получить из построенных графиков, считая площадь под кривой с помощью интеграла. Для базового случая средняя мощность сигнала равна S = 0.0317 [Вт]. Входной сигнал  типовой случайный процесс с корреляционной функцией 2 

Rx (  )  a e

2a 2 S x ( )  2 .   2

,

.

Базовый случай: .

Основные характеристики стационарного случайного процесса На рисунке16 представлены графики автокорреляционной функции при a 2  0.005 и разных значениях β: 0.05; 0.1; 0.2; 1. Из графиков видно, что чем больше β, тем круче экспонента, т.е. тем хаотичнее случайный стационарный процесс, т.к. связь между сечениями x(t) и x(t+τ) резко падает при увеличении τ. На рисунке 17 представлены графики спектральной плотности. Здесь бόльшим значениям β соответствуют более пологие характеристики, т.к. чем хаотичней процесс, тем больше гармоник в нем намешано. Рисунки 18 и 19  это графики автокорреляционной функции 24

и спектральной плотности при фиксированном значении β и раз2 ных значениях a 2 . Так как величина R x ( 0)  a есть значение

средней мощности случайного процесса, то при уменьшении a 2 площадь под кривой спектральной плотности уменьшается, и сужается диапазон «значимых» частот.

 Связь автокорреляционной функции и спектральной плотности, их зависимость от а и β. 1) R(a ,  ,  )

  0 . 05

  0. 1

  0.2

  1



Рис. 16

S (a , , ) 0.2

  0.05

0.15

0.1   0.1

0.05

  0.2

1

 1

0.5

0

0.5



Рис. 17 25



1



R(a ,  ,  )

0.08

a 2  0.1 0.06

0.04

a 2  0.01



0.02

a 2  0.05 0

10

20

30

40

50



Рис. 18 S (a , ,  ) 2

a 2  0.1

1.5

1

0.5

a2  0.01

a  0 .05 2

1

0.5

0

Рис. 19

26

0.5

1



5. АНАЛИЗ ЗАМКНУТОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Здесь мы будем исследовать динамику линейной системы по минимуму среднеквадратичной ошибки. Рассмотрим схему, представленную на рис. 20. ef

eg

Рис. 20. Структурная схема замкнутой линейной системы

На вход сумматора обратной связи подается два сигнала – полезный g(t), для которого известна спектральная плотность ско2a 2 рости изменения полезного сигнала S g ()  2 , и помеха   2

f(t) – «белый шум» со спектральной плотностью S f ()  N . Динамическая ошибка складывается из двух составляющих – ошибки от отработанного полезного сигнала eg(t), которая формируется на выходе сумматора, и ошибки от помехи ef(t), которая формируется на выходе системы. Определение оптимального значения коэффициента усиления, минимизирующего среднеквадратичную ошибку Для того чтобы определить оптимальное значение коэффициента усиления замкнутой системы, минимизирующего среднеквадратичную ошибку, будем менять параметры входных случайных стационарных сигналов a2, β, Т и N в соответствии с таблицей 2. Здесь a и β – параметры спектральной плотности сигнала задания, Т – постоянная времени апериодического звена, N – значение спектральной плотности сигнала помехи. 27

Таблица 2 а2



N2

T

Алгоритм

0.005

0.1

106

0.1

базовый случай

0.01

0.1

106

0.1

меняем параметр a

106

0.1

меняем параметр β

0.1

меняем параметр N

0.05 0.005

0.1 0.2 1

0.005

0.1

0.005

0.1

105 107

0.05

106

0.5

меняем параметр T

Сначала рассмотрим академический пример и базовый случай, где параметры входного стационарного случайного процесса равны a2 = 0.005, N = 106 , β = 0.1, а система представляет собой последовательное соединение апериодического звена с постоянной времени T = 0.1 и астатического регулятора с коэффициентом усиления К, который будем рассчитывать по критерию минимума среднеквадратичной ошибки: W ( p) 

K p(Tp  1) .

(39)

Заметим, что в детерминированной системе помеха «белый шум» отсутствует, а ошибка реакции системы на полезный сигнал g ( t )  1( t ) характеризуется коэффициентами ошибок C0, C1, определяемыми из передаточной функции замкнутой системы относительно ошибки. K E ( p) 

E ( p) p(Tp  1) 1   2 G ( p ) 1  W ( p ) Tp  p  k ,

28

(40)





E( p)  K E ( p)  G( p)  C0  C1 p  C2 p2    G( p) ,

L1E( p)  e(t )  C0 1(t )  C1

d 1(t ) , dt

(41) (42)

остальные слагаемые, как производные от константы, равны нулю. С 0  K E ( 0)  0

Здесь С1  dK E ( p) dp

 p0

1. k

Замкнутая система является астатической, а динамическая ошибка стремится к нулю с ростом коэффициента усиления. Все изменяется, если входами замкнутой системы являются стационарные случайные сигналы – полезный сигнал g(t) и помеха f(t) – «белый шум». В замкнутой системе с единичной обратной связью, на вход которой подается полезный сигнал g(t) и помеха f(t), ошибка e(t) представляет собой сумму двух слагаемых: e( t )  e g ( t )  e f ( t )

(43)

где e g (t )  ошибка от отработки полезного сигнала; e f (t )  ошибка, представляющая собой реакцию замкнутой системы на помеху (рис. 20). Входные сигналы являются стационарными случайными процессами, спектральная плотность которых известна. Для вычисления среднеквадратичной ошибки e 2 (t ) требуется определить спектральные плотности сигналов ошибки e g (t ) и e f (t ) . Рассмотрим отдельно вычисление средней мощности ошибки e g2 (t ), возникшей от погрешности отработки полезного сигнала, и e 2f (t )  как реакции системы на помеху. 29

В замкнутой системе с единичной обратной связью ошибка e g ( t )  g ( t )  x ( t ) формируется на выходе сумматора обратной связи, а ошибка e f (t ) формируется на выходе системы (рис. 21). e g (t )

x(t)

e f (t )

Рис. 21. Структурная схема замкнутой линейной системы x(t )  x g (t )  x f (t ) ,

(44)

e g (t )  g(t )  x(t ) ,

(45)

 

где K E ( p ) 

1 1  W ( p)

 

L eg (t)  Lg(t)  L eg (t) W( p) ,

(46)

e g ( p )  g ( p)  K E ( p ),

(47)

.

Тогда спектральная плотность сигнала e g (t ) равна 1 e g ( j )  e g (  j )  T   2T

S e g ()  lim

1 2 G ( j )  K E ( j )  G (  j )  K E (  j )  S g (  )  K E ( j ) . T   2T

 lim

(48)

Ошибка от реакции на помеху есть реакция замкнутой системы на помеху:

 

L e f (t)  L f (t) K( p)  L f (t)

W( p) 1W( p) .

(49)

По определению спектральная плотность ошибки от отработки полезного сигнала 1 Se ()  lim Eg ( j)  Eg ( j), (50) T  2T g

30

где E g ( j)  E g ( p )

p  j

, а Eg ( p )  g ( p )  K E ( p ).

Здесь K E ( p)  передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки. Действительно,

  Le ( t )  E





L eg (t)  Lg(t)  Lx(t)  Lg(t)  L Eg (t) W( p),

( p )   E g ( p )  1  W ( p)  g( p) Lg( t )  G ( p )  (51) g

E g ( p) 

g

1  G ( p)  K E ( p)  G ( p) . 1  W ( p)

Поэтому 1 2 g( j)  K E ( j)  g(  j)  K E (  j)  S g ()  K E ( j) . T  2T

S eg ()  lim

Спектральная плотность ошибки от помехи определяется с учетом того, что сигналом ошибки от помехи является реакция замкнутой системы на помеху:

E f ( p)  F ( p)  K ( p)  F ( p) 

W ( p) , 1  W ( p)

(52)

Поэтому аналогично предыдущим выкладкам получим:

Se f ()  S f ()  K ( j)

2

.

(53)

Суммарная среднеквадратичная ошибка

1 e 2 (t )  



 0

1 S e g ()d  



S

ef

()d .

(54)

0

представляет собой среднюю мощность сигнала ошибки. Она зависит от коэффициента усиления замкнутой системы. При этом составляющая ошибки от отработки полезного сигнала с ростом 31

коэффициента усиления падает, а реакция системы на сигнал помехи с ростом коэффициента усиления растет. Поэтому существует оптимальное значение коэффициента усиления, при котором суммарная ошибка принимает минимальное значение. В рассматриваемом примере входной полезный сигнал задан спектральной плотностью скорости изменения этого сигнала: 2a 2 S g ()  2   2 .

(55)

Перейдем от функции S g ( ) к функции S g () , используя определение спектральной плотности и соотношения  g ( t )  Lg ( t )  G ( p )   dg  dg   g t L  ( )   )  p  G ( p )  dt  dt  

(56)

Тогда

1 g ( j )  g (  j)  T   2T

S g ( )  lim

1 ( j )  G ( j)(  j)  G (  j)  S g ()   2 T   2T

(57)

S g ()

(58)

 lim и

S g ( ) 



2

2a 2  .  2 2 2   





Для вычисления спектральных плотностей S e g () и S e f ( ) требуется определить передаточные функции замкнутой системы K E ( p) для сигнала e g (t ) и K ( p ) для сигнала e f (t ) :

K E ( p) 

p(Tp  1) 1  1  W ( p ) Tp 2  p  k ,

(59)

K ( p) 

W ( p) k  2 1  W ( p) Tp  p  k .

(60)

32

Отсюда: 2

K E ( j ) 

2

K ( j) 

 2 (1  T 2  2 )

k  T 

 2 ,

2 2

(61)

k2

k  T 

2 2

 2 .

(62)

Окончательно вычисление оптимального значения коэффициента усиления, минимизирующего среднеквадратичную ошибку, будет выглядеть так:  1   1 Seg ()d  Se f ()d , min e ( t )  min  k k    0  0 2





(63)

где S eg ( ) 

2 a  (1  T 2  2 )  2

k  T 

S e f ( )  N 



2 2



(64)

 2 .

(65)

 2 2

k2

k  T 

2 2

Получив численные значения, построим график зависимости суммарной среднеквадратичной ошибки от коэффициента усиления и найдем его оптимальное значение, при котором суммарная среднеквадратичная ошибка будет минимальной. Из графика видно, что оптимальный коэффициент усиления kопт = 27,5. Зависимость оптимального значения коэффициента усиления астатического регулятора от статистических характеристик входных стационарных случайных процессов (рис. 2232) сведена в таблицу 3.

33

e  10  6

k Рис. 22. Зависимость суммарной среднеквадратичной ошибки от коэффициента усиления (базовый случай)

e  10  6

k Рис. 23.

34

e  10  6 60

27.75

40

20

0

10

20

30

40

50

40

50

k

Рис. 24.

e  10  6 60

29.6

50 40 30 20 10

0

10

20

30

Рис.25.

35

k

e  10  6 60

34.63

45

30

15

0

14.5

29

43.5

58

k

Рис. 26.

e  10  6 140

70.14

105

70

35

0

20

40

60

80

Рис. 27.

36

100

120

140

k

e  10  6 350

164.75

280

210

140

70

0

50

100

150

200

250

Рис. 28.

e  10  6 80

27.2

60

40

20

0

0

10

20

30

Рис. 29. T=0.05

37

40

50

k

k

e  10  6 300

60.58

225

150

75

k 45

50

55

60

65

70

75

80

Рис. 30. T=0. 5 k опт  60.68

e  10  6 200

10.27

150

100

50

0

8

16

24

5 Рис. 31. N  10

38

32

40

k опт  10.27

48

k

e  10  6 80

42.14

60

40

20

0

10

20

30

40

Рис. 32. N  107

50

60

70

k

kопт  42.14

Из таблицы видно, что изменение параметра β при постоянных параметрах a2 , T и N мало влияет на оптимальное значение коэффициента усиления и среднюю мощность суммарной ошибки. Повышение средней мощности скорости изменения входного полезного сигнала резку увеличивает оптимальное значение коэффициента усиления и минимальное значение средней мощности суммарной ошибки. Увеличение постоянной времени объекта и спектральной плотности сигнала помехи делает больше и минимальное значение средней мощности суммарной ошибки. Полученные результаты могут служить рекомендациями оператору при выборе настройки астатического регулятора при известных характеристиках входных стационарных случайных процессов и постоянной времени объекта. 39

Таблица 3

Оптимальное значение коэффициента усиления

Минимальная среднеквадратичная ошибка

β=0.05

27.3

20.05·10-6

β=0.1

27.5

20.1·10-6

β=0.2

27.75

21·10-6

β=1

29.6

22·10-6

a2=0.01

34.63

26·10-6

a2=0.1

70.14

59.5·10-6

a2=1

164.75

111.6·10-6

β=0.1 a =0.005 N=10-6

T=0.05

27.2

20·10-6

T=0.5

60.68

161.47·10-6

β=0.1 a =0.005 T=0.1 с

N=10-5

10.27

149.27·10-6

N=10-7

42.14

53.778·10-6

Параметр

a2=0.005 T=0.1 с N=10-6

β=0.1 T=0.1 с N=10-6

2

2

40

Литература 1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления.  СПб.: Профессия, 2003. 2. Власов К.П. Теория автоматического управления.  Харьков: Гуманитарный центр, 2006. 3. Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления.  М.: Высшая школа, 1977. 4. Гроп Д. Методы идентификации систем.  М.: Мир, 1979. 5. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Том 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы.  М.: Физмалит, 2004. 6. Прохоров С.А., Иващенко А.В., Графкин А.В. Автоматизированная система корреляционно-спектрального анализа случайных процессов.  Самара: СНЦ РАН, 2002. 7. Электронный научный журнал Нефтегазовое дело.  2012.  №3.

41

Содержание Введение ........................................................................................................

3

1. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВХОДНОГО СИГНАЛА КАК СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ...........................................................................................

4

2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЕАКЦИИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ НА ВХОДНОЙ СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ СИГНАЛ ...................................................................................

13

3. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВХОДНОГО СИГНАЛА КАК СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ...........................................................................................

16

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВХОДНОГО СИГНАЛА ПО ИЗВЕСТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ..........................................

23

5. АНАЛИЗ ЗАМКНУТОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ .............................................

27

Литература....................................................................................................

41

42

для заметок

43

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ГЕРШКОВИЧ Юлия Борисовна МАРТЫНОВА Анна Юрьевна

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ Редактор Л. А. Суаридзе Компьютерная верстка: И. В. Севалкина

Подписано в печать 30.12.2016. Формат 60×841/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Таймс». Усл. п. л. 2,75. Тираж 50 экз. Заказ № 655

Издательский центр РГУ нефти и газа (НИУ) имени И. М. Губкина 119991, Москва, Ленинский проспект, дом 65 тел./факс: (499) 507 82 12