Idea Transcript
Министерство общего и профессионального Российской
образования
Федераши
Красноярская государственная архитектурноетроительная академия
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ IV,КXАНИКА ДИНАУИКА Методические указания к расчетно-графическому заданию
для студентов специальностей
290000, 2 9 0 7 0 0 , 290800,
291000
Красноярск 1998
290300,
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Красноярская государственная архитектурно-строительная академия
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ДИНАМИКА Методические указания к расчетно-графическому заданию Ш
для студентов специальностей 290300,
290600, 290700, 290800, 291000
Красноярск I9W8
УДК
531.3(076.8)
ББК
22.213 Теоретическая механика. Динамика: Методические указания к
расчетно-графическому заданию №3 для студентов специальностей 290300, 290600, 290700, 290800, 291000. - Красноярск: КрасГАСА, 1998. 33 с. Составители: Ольга Владленовна Воротынова. Валентина Петровна Жуйкова
Печатается по решению редакционно-издательского совета академии
(с) Красноярская государственная архитектурно-строительная академия, 1998
Редактор В.Р. Наумова Подписано в печать 7.Q4.9&.
Формат 60x84/16,
Печать офсетная. Бумага тип. №1. Усл.печ.л. Z,0. Учгизд.л.2.0. Тираж S.00
экз. Заказ
Отпечатано на ризографе КрасГАСА 660041, Красноярск, пр. Свободный, 82
478
- 3 -
ВВЕДЕНИЕ Настоящие методические указания предназначены для студен тов, изучающих теоретическую механику по двухсеместровой програм ме, и включают условия, расчетные схемы, таблицы. Для выполнения задания необходимо усвоить согласно учебной программе следующие темы: 1. Теорема об изменении кинетической энергии Кинетическая энергия механической системы. Формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела при поступатель ном движении, вращении вокруг неподвижной оси и в общем случае движения (в частности при плоскопаоаллельном движении). Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в диф ференциальной и конечной формах. Равенство нулю суммы работ внутренних сил в твердом теле. Работа и мощность сил, приложен ных к, твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. 2. Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики Связи, налагаемые на механическую систему. Возможные (или виртуальные) перемещения материальной точки и механической системы. Число степеней свободы системы. Идеальные связи. Прин цип возможных перемещений. Общее уравнение динамики. 3. Уравнения движения системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа) Обобщенные координаты системы; обобщенные скорости. Выра жение элементарной работы в обобщенных координатах. Обобщенные силы и их вычисление; случай сил, имеющих потенциал. Дифферен циальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, или уравнение Лагранжа 2-го рода. Уравнение Лагранжа в случае потенциальных сил.
ЗАДАНИЯ: СОДЕРЖАНИЕ, ВЫБОР ВАРИАНТОВ, ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ Задание выполняется на листах формата А4, страницы нуме руются. На обложке указывается название задания, номер работы, фамилия и инициалы студента, фамилия и инициалы преподавателя, курирующего работу, факультет, специальность, номер группы, кафедра. Чертежи аккуратные и наглядные, должны быть ясно показаны направления всех сил, векторов скорости и ускорения и координат ных осей, а также указать единицы получаемых величин. При выполнении задания все преобразования и числовые расче ты последовательно осуществляются с необходимыми пояснениями, в конце должны быть даны ответы. Расчетная схема составляется из двух полусхем, одна из которых берется из табл.1, а другая - из табл.2. Комбинация полусхем составляется в соответствии с приложением или по указа нию преподавателя. В результате, каждый студент формирует меха ническую систему, состоящую из тела " I " , катка \"2", неподвиж ного блока "3" и подвижного блока "4". Данные к задачам берутся из табл.3 (номер строки соответствует номеру группы или по ука занию преподавателя). В начальный момент времени заданная система находится в покое и приходит в движение под действием внешней силы F и вращающего момента Mgp, . Принимаются следующие допущения: 1) гибкие связи - нерастяжимые, невесомые и не проскальзываю щие по блокам.; участки гибких связей параллельны друг другу (см. нити подвеса блока "4") и соответствующим плоскостям; 2) трение в шарнирах отсутствует; 3) каток "2" движется по плоскости без скольжения; 4) в системе действуют силы трения скольжения и качения; 5) простые блоки - сплошные однородные цилиндры радиуса 6) значения радиусов ступенчатых блоков, шкивов и катков для всех вариантов одни и те же:
&4
- а
о о о о о о о о о о в '—t
— I t
>—I, OJ
КЧ
OJ
t—I
C\J
o o o t o o o o o o o
Ф
Е-< го Ф X
X о. ф э- X в о Е-> о сб X Л
I.
-
2
о
о u:
CO
C\J (X
о ю о ю ю о о со «
сч ^
m
о о о о о о о о о о с \ го о о t—< о c\2
к :
1 — 1 1 - Ч ь Ч Ы Н Н Ы И Н 1 — t i — i
ч а- (1) о ч о ч сб сб а о.сб S
ы
ч
чэ
сб Ен
О о о о о о о о о о о ^
Ю
СО
СО W
Ч< W
1Л
со
СО * СО
2
Ф • ^ C O W - ^ C O l D W C q L D V
«
S
m о ч о
>, со S
о
X
X о
о
S
« ч -я" г
ю с ч с ц т н и т и г а г а
с
Сб
О ч
со СО
к о ч
чэ
чэ
щ S
1Л
-vj
со
W
м со ^
со со 03 X
х Ю ф
О !
Ч »«:
I — С С М С О ^ Т Ю С О О - С О О Т О
2 О. К
in -
- радиус инерции ступенчатого блока, катка* шкива ( Л =2,3,4); ?) к катку"2" приложен вращающий момент (Mgp.), а к телу " I " - движущая сила ( F ); 8) механическую систему считать неизменяемой связями.
с идеальными
Задачи: 1) используя теорему об изменении кинетической энергии механической системы, найти скорость и ускорение тела " I " в момент времени, когда оно пройдет путь Si ; 2) применив общее уравнение динамики, вычислить ускорение тела " I " ; 3) используя уравнение Лагранжа второго рода, определить ускорение тела " I " и сравнить его со значениями ускорений, полу ченными другими методами; 4) с помощью принципа возможных перемещений найти силу F которую необходимо приложить к центру масс блока "4", чтобы уравновесить данную систему в начальный момент времени. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ЗАДАНИЯ Задача I Применим .теорему об изменении кинетической энергии к изу чению движения механической системы, представленной на рис. I . Теорема об изменении кинетической энергии для произвольной механической системы имеет вид:
кинетическая энергия механической системы в конеч ном положении;
То- кинетическая
энергия системы в начальном положении;
сумма работ внешних сил; сумма работ внутренних сил.
- II Для неизменяемой системы сумма работ внутренних сил равна нулю, т.е.
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех точек (тел) системы. Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении -
где /77 - масса тела; - скорость; при вращательном движении вокруг неподвижной оси -
г. где
*SB - момент инерции тела относительно оси вращения; Ш
- его угловая скорость;
, при плоскопараллельном движении -
где
/77 - масса тела',
- скорость центра масс,
Усг
-
момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс;
СО - угловая скорость тела. Работа силы
, действующей на твердое тело, при посту
пательном движении определяется по формуле
й(р)-^F'df-у*F cos Ads, 0
где
о
$ - путь, пройденный телом;
лением силы и перемещением
clT
точки.
d - угол между направ
Работа момента, действующего на вращающееся тело:
¥
о где
Мер.- момент, действующий на вращающееся тело; 9"- угол поворота тела. Из этих формул получаем; следующие выражения: работа силы упругости пружины (купр. )"-
Аупр. ~ £
где
(Л
о -Л
*)
С - жесткость пружины; Лд- величина ее начальной деформации; Л - величина ее конечной деформации; работа силы тяжести ( Д ( Р )
где
Pzmfy
)
-
- сила тяжести тела;
- величина вертикального перемещения центра масс тела, . Работа силы трения скольжения ( Я(^тр)) -
где
£ - коэффициент трения; /V- нормальная реакция шероховатой опоры; S - перемещение теларабота сил сопротивления качению (й(Мтр-*) )
- 13 где
4 - коэффициент трения качения; А' - нормальная реакция опоры; Ф - угол поворота тела при качении. Учитывая все сказанное выше, перейдем непосредственно к
вычислению скорости и ускорения тела " I " в момент времени, когда оно пройдет путь
Рис. I Проведем расчет механической системы (рис. I ) , состоящей из груза " I " , катка "2", шкива " 3 " и блока "4" массами /77/ , Л1г , /Пз и /774- соответственно. В начальный момент времени система находи лась в состоянии покоя.
- 14 -
Согласно варианта приводятся исходные данные задачи. Дано: /7/=6 кг; Найти: скорость ( }и
Л1£=8
кг;
ускорение (
ГПъ =6 кг; /#£=4 кг;
тела I
оно совершит перемеще-
MSp. =30 Н-м; F
СИ )
в момент времени, когда ние 5 / .
=20 н.
=20 см - перемещение тела I за время движения системы /=0,2; / =0,3 см. Переведем эти величины в систему СИ и занесем в табл.4: Таблица
тз
/77/
кг
6
3
р St / & Н
Яг и
t 4 #4
м
м
м
4
lit
A?
*щ
6
«!» «5
щ
IV ч
"4-
Mi
•v.
и 6у
определены с учетом примечаний
к
табл. 3. Применим теорему изменения кинетической энергии системы: Л
в
/
7е я
f
т "
1
I)
щд
й /
- кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях соответственно; 1.Яft - сумма работ всех внешних сил, приложенных к системе. Данная система неизменяемая,,значит, сумма работ всех ее внутренних сил равна нулю ( Z Я £• =0). Так как вначале система находилась в покое, то Тогда уравнение ( I ) имеет вид
т--
j / ? ; .
То =0-
(2)
- 15 -
Т
Найдем кинетическую энергию системы
в конечном
положении:
шла вша где
где
«и»
еш
яш
m
*р
Ч»
«у™
1 1 , 1 2 . ,
IS
,
/4
- кинетическая энергия 1-го? 2-го> 3-го; 4-го тел соот ветственно. Тело " I " совершает поступательное движение: т / &
tfl - его скорость. Тело "2" совершает плоское движение:
где
Vc- скорость центра масс катка " 2 " ; Jcgs/ngLf - момент инерции катка относительно оси, прохо дящей через его центр масс. Тело "3" совершает вращательное движение:
T3-J-73 cos, где
s
Ji V7?i С§
-момент инерции шкива "3" относительно оси вращения.
Тело "4" находится в плоском движении:
- 16 где
t/c4 - скорость центра масс блока "4"; - момент инерции блока относительно оси, проходящей через его центр масс. Поскольку кинетическая энергия каждого тела определяется
скоростями его точек, то проведем кинематический анализ систе мы и выразим все интересующие нас скорости через скорость тела для тела "2"- ' точка
Л и -МЦС (мгновенный центр
скоростей), тогда угловая скорость катка "2"
^S-^TTTV
т.е.
•'
для тела "3" - ось вращения проходит через точку Оз
,
угловая скорость шкива
для тела "4" - тело совершает плоскопараллельное движение, тогда угловую скорость можно определить как
О),
где
-
- ^
„
Ш
Л ^ - МЦС блока "4", положение которого пока неизвестно. Пусть =Л?. , тогда с учетом того, что
Ь%4*п=и)з1$ , а сОз 13 X т.к. по условию
_ СО3Я3 ' (#4 + t«)-x
#3 - 2.1з
2
х
t/e*-&ез - и)з/?$
,
___
зг« - а?
, имеем
. #4 - 2t4
;
откуда
, то
- I? Тогда
т.е. Се4* ffas «)4 ti вниз, а - вверх. В результате ^
=
J^Ul til
, но вектор
-
Подставляя выражение получим: С
)
U 3
/
ZBSt4>)
/7?Jfi
оОз
через
t^t
направлен
.
, для
/Из (Яг * U)
Используя итоговые выражения и данные из табл. 4, для кинетических энергий тел имеем следующие выражения:
—г,
у/'+-о-щц
-т,
-jtf%o,$f
уммируя, найдем кинетическую энергию всей систем Т-
(3 i-2,53+0,S9+0,6*7) t/f^z 6, 707
'У? . 2