Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Задачи и упражнения Методические указания Электронное издание
Красноярск СФУ 2011
1
УДК 519.6 (07) ББК 22.19я73 В94 Составитель С. В. Кириллова В 94 Вычислительная математика. Задачи и упражнения: метод. указания [Электронный ресурс]: для студентов направлений 220100.62 – «Системный анализ и управление», 220200.62 – «Автоматизация и управление», 220400.62 – «Управление в технических системах», 220700.62 – «Автоматизация технологических процессов и производств», 230100.62 – «Информатика и вычислительная техника», 230200.62 – «Информационные системы», 230400.62 – «Информационно-управляющие системы», а также специальностей 120201.65 – «Исследование природных ресурсов аэрокосмическими средствами», 220201.65 – «Управление и информатика в технических системах», 220301.65 – «Автоматизация технологических процессов и производств», 230101.65 – «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети», 230102.65 – «Автоматизированные системы обработки информации и управления», 230104.65 – «Система автоматизированного проектирования», 230105.65 – «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», 230201.65 – «Информационные системы и технологии», 261202.65 – «Технология полиграфического производства» / сост. С. В. Кириллова. – Электрон. дан. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2011. – 1 диск. – Систем. требования: PC не ниже класса Pentium I; 128 Mb RAM; Windows 98/XP/7; Microsoft Word 97-2003/2007. – Загл. с экрана. Приведены задачи и упражнения по курсу вычислительной математики для аудиторной и самостоятельной работы. Представленные задания разбиты по основным темам курса. Подбор этих заданий призван способствовать активному изучению теоретического материала. УДК 519.6 (07) ББК 22.19я73 © Сибирский федеральный университет, 2011 Учебное издание Редактор С. В. Хазаржан Подписано в свет 27.10.2011 г. Заказ 5208 Уч.-изд. л. 0,6, 944 Кб. Тиражируется на машиночитаемых носителях. Редакционно-издательский отдел Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79 Тел/факс (391) 244-82-31. E-mail
[email protected] http://rio.sfu-kras.ru
2
Содержание 1. Элементы теории погрешностей ....................................................................... 4 2. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений 6 3. Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений. 14 4. Приближение функций и производных .......................................................... 16 5. Численное интегрирование .............................................................................. 21 6. Численные методы решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений ............................................................................................................... 25 Библиографический список.................................................................................. 28
3
1. Элементы теории погрешностей 1.1. Округляя следующие числа до трех значащих цифр, определить абсолютную Δ и относительную δ погрешности полученных приближенных чисел: а) 1,3514; б) 0,01204; в) 1,225; г) –0,0015621; д) –456,85; е) 0,1545; ж) 0,003922; з) 785,55. 1.2. Определить абсолютную погрешность следующих приближенных чисел по их относительным погрешностям: а) а=15 265, δ = 0,1%; б) а = 7,32, δ = 0,7%; в) а = 35,32, δ =1%; г) а = 0,496, δ =10%. 1.3. Определить количество верных цифр в числе х, если известна его абсолютная погрешность: а) х = 0,5911, Δx = 0,25·10–2; б) х = 0,1132, Δx = 0,1·10–3; в) x = 38,2543, Δx = 0,27·10–2; г) x = 293,481, Δx = 0,1; –4 д) х = 0,00325, Δx = 0,1·10 ; е) х = –0,3125, Δx = 0,1·10–2. 1.4. Определить количество верных цифр в числе, если известна его относительная погрешность: а) а = 2,1931, δа = 0,1·10–2; б) а = 0,4218, δа = 0,2·10–1; в) а = 12,451, δа = 0,1; г) а = 0,12452, δа = 10%; д) а = 356,7, δа = 2%; е) а = 42331, δа = 1%. 1.5. Найти суммы приближенных чисел и указать их погрешности, (считать в исходных данных все знаки верными): а) 1,675 + 173 – 5,2; б) 1,501 + 193,1 + 21,58; в) 498,5 – 72,18 + 0,45567; г) 0,145 + 321+78,2. 1.6. Найти произведение приближенных чисел и указать его погрешности (считать в исходных данных все знаки верными): а) 2,39 · 1,6; б) 67,1 · 3,723; в) 0,02 · 16,5; г) 0,253 · 654 · 83,6; д) 1,78 · 9,1 · 1,183; е) 381,56 · 7686 · 0,0052. 1.7. Найти частное приближенных чисел и указать его погрешности (считать в исходных данных все знаки верными): а) 1,944 : 5,022; б) 0,564 : 7,2; в) 723 : 4,2; г) 526,676 : 639; д) 154,9367 : 56,5; е) 8,6 : 3421.
4
1.8. При измерении радиуса R круга с точностью до 0,5 см получилось 12 см. Найти абсолютную и относительную погрешности при вычислении площади круга. 1.9. Каждое ребро куба, измеренное с точностью до 0,02 см, оказалось равным 8 см. Найти абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема куба. 1.10. Вычислить значения функций при указанных значениях аргумента х. Определить абсолютную и относительную погрешности результатов: а) f ( x) = x 3 sin x при x = 2 , полагая 2 ≈ 1,414 ; б) f ( x) = x ln x при x = π , полагая π ≈ 3,142 .
1.11. Вычислить значения функций при указанных значениях переменных. Определить абсолютную и относительную погрешности результатов, считая все знаки исходных данных верными: а) y = ln( x1 + x22 ), x1 = 0,97, x2 = 1,132 ; б) y = x1 x2 + x1 x3 , x1 = 2,104, x2 = 1,935, x3 = 0,845 . 1.12. С какой точностью следует взять приближенные числа х, чтобы значения sin x могли быть найдены с указанным числом т верных знаков: а) x = 1°, m = 3; б) x = 25°, m = 4; в) x = 30,75°, m = 3; г) x = 0,075, m = 2. 1.13. С какой точностью следует определить радиус основания R и высоту Н цилиндрической банки, чтобы ее вместимость можно было определить с точностью до 1%? 1.14. Найти допустимую абсолютную погрешность приближенных величин x = 15,2, у = 57°, для которых возможно найти значение функции z = 6 x 2 (lg x − sin( 2 y )) с точностью до двух десятичных знаков после запятой.
5
2. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
2.1. Является ли выражение min(| x1 | +2 | x2 |, 2 | x1 | + | x2 |) нормой вектора хвR ? 2
n
2.2. Является ли выражение max ∑ xk t k −1 нормой вектора х в Rn ? t∈[ 0,1]
k =1
2.3. Пусть числа dk > 0, k = 1,…, п. Доказать, что max(d k | xk |) есть норма k
вектора x. 2.4. Пусть числа dk > 0, k = 1,…, п. Доказать, что
n
∑ d k | xk |
есть норма
k =1
вектора х. 2.5. Пусть числа dk > 0, k = 1,…, п. Доказать, что
n
∑ dk x2 k =1
k
есть норма
вектора х. ⎛ i 2.6. Доказать, что max⎜⎜ ∑ xk 1≤i ≤ n ⎝ k =1
⎞ ⎟⎟ есть норма вектора х. ⎠
2.7. Найти константы эквивалентности, связывающие нормы x ∞ , x 1 , x 2 , а также векторы, на которых они достигаются. Здесь и далее:
x
∞
= max | xi | , 1≤i ≤ n
n
x 1 = ∑ | xi | , i =1
x2=
n
∑ xi2 =
( x, x ) .
i =1
2.8. Показать, что модуль любого собственного значения матрицы не больше любой ее нормы. 2.9. Пусть задана функция от элементов матрицы ζ ( А) = max | aij | . 1≤ i , j ≤ n
Показать, что ζ ( А) не может быть нормой в пространстве матриц, хотя и является нормой вектора в R n×n .
6
2.10. Доказать, что выражение M ( A) = n max | aij | является матричной 1≤i , j ≤ n
нормой. 1/ 2
⎛ n ⎞ 2.11. Доказать, что выражение N ( A) = ⎜⎜ ∑ | aij |2 ⎟⎟ ⎝ i , j =1 ⎠ нормой.
является матричной
2.12. Доказать, что а) норма || A ||∞ подчинена норме x ∞ ; б) норма || A ||1 подчинена норме x 1 ; в) норма || A ||2 подчинена норме x 2 . Здесь и далее: n
|| A ||∞ = max ∑ | aij | , 1≤i ≤ n
j =1
n
|| A ||1 = max ∑ | aij | , 1≤ j ≤n
i =1
|| A ||2 = ρ ( AT A) ,
ρ ( AT A) = max | λi | – максимальное по модулю собственное значение или
спектральный радиус симметрической матрицы АТА, для которой, как известно, все собственные значения являются действительными. 2.13. Доказать следующие неравенства для норм матриц: 1 1 б) M ( A) ≤ || A ||1 ≤ M ( A) ; а) M ( A) ≤ || A ||∞ ≤ M ( A) ; n n 1 1 в) M ( A) ≤ || A ||2 ≤ M ( A) ; г) M ( A) ≤ N ( A) ≤ M ( A) ; n n 1 1 N ( A) ≤ || A ||∞ ≤ n N ( A) ; д) N ( A) ≤ || A ||2 ≤ N ( A) ; е) n n 1 1 N ( A) ≤ || A ||1 ≤ n N ( A) ; з) || A ||2 ≤ || A ||∞ ≤ n || A ||2 ; ж) n n 1 1 || A ||2 ≤ || A ||1 ≤ n || A ||2 ; к) || A ||∞ ≤ || A ||1 ≤ n || A ||∞ . и) n n
2.14. Доказать, что если (Ах, х) > 0 для всех х, то существует постоянная δ > 0, не зависящая от х и такая, что (Ах, х) ≥ δ(х, х) для всех х. 2.15. Доказать, что если А, В – перестановочные симметрические положительно определенные матрицы, то матрица ВА также положительно определена.
7
2.16. Используя факт, о том, что модуль любого собственного значения матрицы не больше любой ее нормы, показать справедливость неравенства || A ||12 ≤ || A ||1|| A ||∞ . 2.17. Показать, что cond(A) ≥ 1 для любой матрицы А и cond2(Q) = 1 для ортогональной матрицы Q. Здесь и далее cond(A) = ||A|| ||A–1|| – число обусловленности матрицы А. Указание. Использовать то, что умножение матрицы на ортогональную не меняет ее спектральную норму. 2.18. Доказать, что число обусловленности матрицы А не изменяется, если в матрице А поменять местами строки или столбцы. 2.19. Доказать, что cond (A) = cond(AТ). 2.20. Показать, что число обусловленности матрицы А не изменяется при умножении матрицы на произвольное отличное от нуля вещественное число k. 2.21. Существуют ли несимметричные справедливо неравенство: cond2(A) = cond(A2) > 1? 2.22. Доказать неравенство
матрицы,
для
1 cond1 ( A) ≤ ≤ n. n cond 2 ( A)
Указание. Воспользоваться неравенством для векторных норм: x2≤ x1≤ n x2 2.23. Пусть А и А-1 имеют следующий вид: 13 − 17 ⎞ ⎛ 6 ⎛ 6 ⎜ ⎟ ⎜ А = ⎜ 13 29 − 38 ⎟ , А = ⎜− 4 ⎜ − 17 − 38 50 ⎟ ⎜ −1 ⎝ ⎠ ⎝ Собственные значения λi ( А) : λ1 ≈ 0,0588 , λ2 Найти || A ||2 , || A −1 ||2 , cond 2 ( A) .
8
− 4 − 1⎞ ⎟ 11 7 ⎟ . 7 5 ⎟⎠ ≈ 0,2007 , λ3 ≈ 84,74 .
которых
2.24. Даны две системы с близкими коэффициентами: ⎧ x1 + 3 x2 = 4, ⎧ x1 + 3 x2 = 4, ⎨ ⎨ ⎩ x1 + 3,00001x2 = 4,00001; ⎩ x1 + 2,99999 x2 = 4,00001. Найти их решения и объяснить результат. 2.25. Пусть А – квадратная матрица порядка п с элементам ⎧ p для i = j , ⎪ аij = ⎨ q для i = j − 1, ⎪ 0 для остальных i. ⎩ Вычислить матрицу А–1 и показать, что при |q| < |р| матрица А хорошо обусловлена, а при |q| > |р| и больших значениях п – плохо обусловлена. 2.26. Пусть матрица А определена как в предыдущей задаче. Выразить явно решение системы Ах = b через правую часть. 2.27. Доказать, что для любой заданной нормы в определении числа обусловленности и для любых квадратных матриц справедливо неравенство: cond(AB) ≤ cond(A) cond(B). 2.28. Следующие системы решить методом Гаусса с выбором главного элемента и обычным методом Гаусса, проведя все вычисления с пятью значащими цифрами. Сравнить полученные значения с указанными точными значениями: ⎛ 2 0 − 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ а) A = ⎜ 1 − 3 1 ⎟ , b = ⎜ 2⎟ , x = ⎜0⎟ ; ⎜1 1 ⎜ 4⎟ ⎜1⎟ 3 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0,15 2,11 30,75 ⎞ ⎜ ⎟ б) A = ⎜ 0,64 1,21 2,05 ⎟ , ⎜ 3,21 1,53 1,04 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ − 26,38 ⎞ ⎜ ⎟ b = ⎜ 1,01 ⎟ , ⎜ 5,23 ⎟ ⎝ ⎠
⎛1⎞ ⎜ ⎟ x = ⎜ 2 ⎟; ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠
⎛ 0,15 0,42 100,71⎞ ⎜ ⎟ в) A = ⎜ 1,19 0,55 0,32 ⎟ , ⎜ 1,00 0,35 3,00 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ − 198,70 ⎞ ⎜ ⎟ b = ⎜ 2,29 ⎟ , ⎜ − 0,65 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ x =⎜ 1 ⎟. ⎜ − 2⎟ ⎝ ⎠
2.29. Методом Гаусса вычислить определители матриц и обратить матрицы А из предыдущего задания.
9
1 −|k − j| ⋅3 . Доказать, что 2 система х = Вх + с имеет единственное решение и метод простой итерации сходится при любом начальном приближении.
2.30. Пусть элементы матрицы В имеют вид bkj =
2.31. При каких α и β сходится метод простой итерации хk+1 = Вхk + с, где ⎛α β 0 ⎞ ⎛α 0 β ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ а) В = ⎜ β α β ⎟ ; б) В = ⎜ 0 α 0 ⎟ . ⎜0 β α⎟ ⎜β 0 α ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 2.32. Сходится ли метод простой итерации хk+1 = Вхk + с, если 1 1 1 1 ⎞ ⎛ 0 ... ⎜ n +1 ⎟ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 4 8 16 2 ⎟ ⎜ ... ⎜ n ⎟ 1 1 1 1 4 16 64 4 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ... n ⎟ 1 1 1 1 ⎜ 4 4 8 2 ⎟ ⎜ ... ⎜ 1 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎜ 16 64 256 4 0 ... ⎟ а) В = ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ ; б) В = ⎜ 8 4 4 2 n−1 ⎟ ; ⎜ ⎜ 1 1 1 1 ⎟ ... ⎜ ... ... ... ... ... ... ⎟ ⎜ n−1 n n−2 ⎟ 1 ⎟ 1 1 4 4 4 ⎟ ⎜ 1 ... 0 ⎜4 n 1 1 1 ⎟ ⎜ 2 4 ⎟ 8 4 ⎜⎜ 1 ... n n −1 ⎟ ⎟ ⎜ 1 1 1 1 4 16 ⎝ 4 4 ⎠ 0 ⎟ ⎜ n+1 ... 16 8 4 ⎠ ⎝2 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 ... ⎟ ⎜ 3⋅ 4 2⋅3 n(n + 1) ⎟ ⎜ 1⋅ 2 1 1 1 ⎟ ⎜ 1 ... ⎟ ⎜ 2⋅3 3⋅ 4 4⋅5 1⋅ 2 ⎟; ⎜ с) В = ... ... ... ... ... ⎟ ⎜ 1 1 1 1 ... ⎟ ⎜ (n − 2)(n − 1) ⎟ ⎜ (n − 1)n n(n + 1) 1 ⋅ 2 1 1 1 ⎟ ⎜ 1 ... ⎜ n(n + 1) 1⋅ 2 2⋅3 (n − 1)n ⎟⎠ ⎝
10
1 ⎛ 0 ⎜ 1⋅ 3 ⎜ 1 ⎜ 0 ⎜ 1⋅ 3 ⎜ 1 1 ⎜ д) В = ⎜ 3⋅5 1⋅ 3 ⎜ ... ... ⎜ 1 ... ⎜ n n ( 2 3 )( 2 1 ) − − ⎜ 1 ⎜ ⎜ (2n − 1)(2n + 1) ... ⎝
1 3⋅5 1 1⋅ 3 0 ... 1 3⋅5 1 5⋅7
1 ... 5⋅7 1 ... 3⋅5 1 ... 1⋅ 3 ... ... 1 0 1⋅ 3 1 1 3 ⋅ 5 1⋅ 3
1 ⎞ ⎟ (2n − 1)(2n + 1) ⎟ 1 ⎟ (2n − 3)(2n − 1) ⎟ ⎟ 1 ⎟ (2n − 5)(2n − 3) ⎟ . ⎟ ... ⎟ 1 ⎟ 1⋅ 3 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
2.33. Пусть метод простой итерации сходится в некоторой норме. Будет ли иметь место сходимость в другой норме? 2.34. Методом простой итерации решить систему линейных уравнений х = Вх + с с точностью до 10–3, предварительно оценив число необходимых для этого шагов: ⎛ 0,18 − 0,34 − 0,12 0,15 ⎞ ⎛ − 1,33 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0,11 0,23 − 0,15 0,32 ⎟ ⎜ 0 ,84 ⎟ , с=⎜ ; а) В = ⎜ 0,05 − 0,12 0,14 − 0,18 ⎟ − 1,16 ⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ 0 , 12 0 , 08 0 , 06 0 , 0 57 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 ⎞ ⎛ 0,42 − 0,32 0,03 ⎟ ⎜ 0 , 11 0 , 26 0 , 36 0 − − ⎟ ⎜ б) В = ⎜ , 0,12 0,08 − 0,14 − 0,24 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0 ⎠ ⎝ 0,15 − 0,35 − 0,18
⎛ 0 ,44 ⎞ ⎟ ⎜ 1 , 42 ⎟ ⎜ с=⎜ ; − 0 ,83 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ − 1,42 ⎠
⎛ 0,23 − 0,04 0,21 − 0,18 ⎞ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0,45 − 0,23 0,06 , в) В = ⎜ 0,26 0,34 − 0,11 0 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0 , 05 0 , 26 0 , 34 0 , 12 − − ⎠ ⎝
⎛ 1,24 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ − 0,88 ⎟ с=⎜ ; 0,62 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 1,17 − ⎠ ⎝
⎛ 0,13 0,23 − 0,44 − 0,05 ⎞ ⎟ ⎜ 0 − 0,31 0,15 ⎟ ⎜ 0,24 г) В = ⎜ , 0,06 0,15 0 − 0,23 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0 , 72 0 , 08 0 , 05 0 − − ⎝ ⎠
⎛ 2 ,13 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ − 0 ,18 ⎟ с=⎜ ; 1,44 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 2 , 42 ⎝ ⎠
11
0 0,31 ⎞ ⎛ 0,22 − 0,11 ⎟ ⎜ 0 − 0,12 0,22 ⎟ ⎜ 0,38 , д) В = ⎜ 0,11 0,23 0 − 0,51⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0 , 17 0 , 21 0 , 31 0 − ⎝ ⎠
⎛ 2 ,7 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ − 1,5 ⎟ ; с=⎜ 1,2 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ , 0 17 − ⎝ ⎠
⎛ 0,21 0,12 − 0,34 − 0,16 ⎞ ⎟ ⎜ − − 0 , 34 0 , 08 0 , 17 0 , 18 ⎟ ⎜ е) В = ⎜ , 0,16 0,34 0,15 − 0,31⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 0,12 − 0,26 − 0,08 0,25 ⎠
⎛ − 0,64 ⎞ ⎟ ⎜ 1,42 ⎟ ⎜ с=⎜ ; − 0,42 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 0,83 ⎠
⎛ 0,05 − 0,06 − 0,12 0,14 ⎞ ⎟ ⎜ 0 , 04 0 , 12 0 , 08 0 , 11 − ⎟ ⎜ ж) В = ⎜ , 0,34 0,08 − 0,06 0,14 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0 , 11 0 , 12 0 0 , 03 − ⎠ ⎝
⎛ − 2 ,17 ⎞ ⎟ ⎜ 1 , 14 ⎟ ⎜ с=⎜ ; − 2 ,1 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0 , 8 − ⎠ ⎝
⎛ 0,07 − 0,08 0,11 − 0,18 ⎞ ⎟ ⎜ 0 0,21 ⎟ ⎜ 0,18 0,52 з) В = ⎜ , 0,13 0,31 0 − 0,21⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0 , 08 0 0 , 33 0 , 28 − ⎝ ⎠
⎛ − 0 ,51 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 1,17 ⎟ с=⎜ ; − 1,02 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0 , 28 − ⎝ ⎠
0,21 ⎞ ⎛ 0,32 − 0,18 0,02 ⎟ ⎜ ⎜ 0,16 0,12 − 0,14 0,27 ⎟ и) В = ⎜ , 0,37 0,27 − 0,02 − 0,24 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0 , 12 0 , 21 0 , 08 0 , 25 − ⎠ ⎝
⎛ 1,83 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ − 0 ,65 ⎟ с=⎜ ; 2 ,23 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 1 13 , − ⎠ ⎝
0 − 0,04 ⎞ ⎛ 0,08 − 0,03 ⎟ ⎜ 0,31 0,27 − 0,08 ⎟ ⎜ 0 , к) В = ⎜ 0,33 0 − 0,07 0,21 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0 , 11 0 0 , 03 0 , 58 ⎠ ⎝
⎛ − 1,2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ,81 ⎟ с=⎜ ; − 0,92 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0 , 17 ⎠ ⎝
⎛ 0,12 − 0,23 0,25 − 0,16 ⎞ ⎟ ⎜ 0 , 14 0 , 34 0 , 18 0 , 24 − ⎟ ⎜ л) В = ⎜ , 0,33 0,03 0,16 − 0,32 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0 0,15 ⎠ ⎝ 0,12 − 0,05
⎛ 1,24 ⎞ ⎟ ⎜ 0 , 89 − ⎟ ⎜ с=⎜ ; 1,15 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ − 0 ,57 ⎠
12
⎛ 0,03 − 0,05 0,22 − 0,33 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0,22 0,55 − 0,08 0,07 ⎟ м) В = ⎜ , 0,33 0,13 − 0,08 − 0,05 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0 , 08 0 , 17 0 , 29 0 , 33 ⎝ ⎠
⎛ 0 ,43 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ − 1,8 ⎟ с=⎜ . − 0,8 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 1 , 7 ⎝ ⎠
2.35. Методом Зейделя решить с точностью ε = 10–3 системы линейных уравнений Ах = b, приведя их к виду, удобному для итераций. В заданиях приведены расширенные матрицы А = ( А b ) , соответствующие системам линейных уравнений: ⎛ 3,1 2,8 1,9 0,2 ⎞ ⎟ ⎜ а) А = ⎜ 1,9 3,1 2,1 2,1 ⎟ ; ⎜ 7,5 3,8 4,8 5,6 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 9,1 5,6 7,8 9,8 ⎞ ⎟ ⎜ б) А = ⎜ 3,8 5,1 2,8 6,7 ⎟ ; ⎜ 4,1 5,7 1,2 5,8 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 4,5 − 3,5 7,4 2,5 ⎞ ⎜ ⎟ в) А = ⎜ 3,1 − 0,6 − 2,3 − 1,5 ⎟ ; ⎜ 0,8 7,4 − 0,5 6,4 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 3,6 1,8 − 4,7 3,8 ⎞ ⎜ ⎟ г) А = ⎜ 2,7 − 3,6 1,9 0,4 ⎟ ; ⎜ 1,5 4,5 3,3 − 1,6 ⎟⎠ ⎝
⎛ 3,2 − 2,5 3,7 6,5 ⎞ ⎜ ⎟ д) А = ⎜ 0,5 0,34 1,7 − 0,24 ⎟ ; ⎜ 1,6 2,3 − 1,5 4,3 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 5,4 − 2,3 3,4 − 3,5 ⎞ ⎜ ⎟ е) А = ⎜ 4,2 1,7 − 2,3 2,7 ⎟ ; ⎜ 3,4 2,4 7,4 1,9 ⎟⎠ ⎝
⎛ 7,1 6,8 6,1 7,0 ⎞ ⎜ ⎟ ж) А = ⎜ 5,0 4,8 5,3 6,1 ⎟ ; ⎜ 8,2 7,8 7,1 5,8 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 5,6 2,7 − 1,7 1,9 ⎞ ⎜ ⎟ з) А = ⎜ 3,4 − 3,6 − 6,7 − 2,4 ⎟ ; ⎜ 0,8 1,3 3,7 1,2 ⎟⎠ ⎝
⎛ 2,7 0,9 − 1,5 3,5 ⎞ ⎜ ⎟ и) А = ⎜ 4,5 − 2,8 6,7 2,6 ⎟ ; ⎜ 5,1 3,7 − 1,4 − 0,14 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 3,3 3,7 4,2 5,8 ⎞ ⎜ ⎟ к) А = ⎜ 2,7 2,3 − 2,9 6,1 ⎟ ; ⎜ 4,1 4,8 − 5,0 7,0 ⎟ ⎝ ⎠
3,1 4,0 5,0 ⎞ ⎛ 3,7 ⎜ ⎟ 4,5 − 4,8 4,9 ⎟ ; л) А = ⎜ 4,1 ⎜ − 2,1 − 3,7 1,8 2,7 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 4,1 5,2 − 5,8 7,0 ⎞ ⎜ ⎟ м) А = ⎜ 3,8 − 3,1 4,0 5,3 ⎟ . ⎜ 7,8 5,3 − 6,3 5,8 ⎟ ⎝ ⎠
13
3. Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений 3.1. Отделить и вычислить корни уравнений с точностью ε = 0,1 методом деления отрезка пополам: а) x 3 − 3 x 2 + 12 x 2 − 9 = 0 ;
б) x 3 − 2,5 x 2 − x + 2 = 0
в) x 3 − 0,1x 2 + 0,4 x 2 − 1,5 = 0 ;
г) 0,1 e x − sin 2 x + 0,5 = 0, x ∈ [−5π,5π ] ;
д) 2 x 4 − 8 x 3 + 8 x 2 − 1 = 0 ; ж) x 5 + 11x 4 + 101x 2 + 11x + 10 = 0 ; и) 3 x + 2 x − 2 = 0 ; л) arctg( x − 1) + 2 x = 0 ;
е) x 4 − 4 x 3 − 8 x 2 + 1 = 0 ; з) e −2 x − 2 x + 1 = 0 ; к) 2 e x + 3 x + 1 = 0 ; м) 2 arctg x − x + 3 = 0 .
3.2. Пусть уравнение f(x) = 0 имеет на отрезке [а, b] единственный корень z и для его вычисления используется метод простой итерации. Показать, что если ϕ (x) имеет непрерывную производную на [а, b] и ϕ ′( x) ≤ q < 1 на этом отрезке, то для любого начального приближения х0 ∈ [а, b] последовательность {хn} сходится к корню z. 3.3. Пусть уравнение f(x) = 0 имеет корень на отрезке [а, b], причем f(x) дифференцируема, а f′(x) знакопостоянна на этом отрезке. Требуется построить равносильное уравнение вида x = ϕ (x), для которого на [а, b] выполнено достаточное условие сходимости метода простой итерации ϕ ′( x) ≤ q < 1 . 3.4. Построить итерационный процесс вычисления всех корней уравнения x + 3 x 2 − 1 = 0 методом простой итерации. 3
1 x + sin x + a = 0 имеет единственный 2 корень при любом а. Найти его значение с точностью ε = 10–3 для а = ±1, ±2, ±3. 3.5. Доказать, что уравнение
3.6. Доказать, что метод простой итерации для решения уравнения x = ϕ (x) , где ϕ ( x) = a sin 2 x + b cos 2 x + c , | a − b |< 1 , сходится при любом начальном приближении. 3.7. Дан итерационный процесс xn +1 = xn + 2 . Доказать, что lim xn = 2 n →∞
для любого x0 ≥ 2 .
14
3.8. Найти область сходимости метода простой итерации для уравнений: а) x = e 2 x − 1; 1 б) x = − ln x . 2 3.9. Пусть уравнение f(x) = 0 имеет на отрезке [а, b] простой корень, причем f(x) трижды дифференцируемая функция. Показать, что при этих условиях метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости. 3.10. Пусть уравнение f(x) = 0 имеет на отрезке [а, b] корень z кратности p, причем f(x) – дважды дифференцируемая функция. Показать, что при этих условиях метод Ньютона сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем (p – 1)/p. 3.11. Построить итерационный процесс Ньютона для вычисления a > 0 , m – вещественное число.
m
a , где
3.12. Построить метод Ньютона для вычисления числа 1/а так, чтобы расчетные формулы не содержали операций деления. Определить область сходимости метода при а > 0. Указание. Использовать то, что искомое число является корнем 1 уравнения −1 = 0 . аx 3.13. Выяснить, к какому из корней 0, ±1 уравнения x 3 − x = 0 сходится метод Ньютона, если начинать с произвольного х0. Какие х0 дают расходимость метода? 3.14. Методом простой итерации с точностью ε = 10–2 уточнить корни следующих уравнений: а) x 3 + 0,2 x 2 + 0,5 x − 1,2 = 0 ; б) 0,17 x 3 − 0,57 x 2 − 1,6 x + 3,7 = 0 ; г) tg (2,2 x) − 3,2 x = 0 ; в) x 3 + sin x − 12 x + 1 = 0 ; д) ln(4,6 x) = 5,2 x − 1,5 ;
е) sin(0,5 x) + 1 = x 2 ;
ж) 3 x − e x = 0 ;
з) 0,8 e −0,6 x − x = 0 ; 1 к) x + 1 = ; x 1 м) ( x − 1) 2 = e x . 2
и) lg(2 + x) + 2 x = 3 ; л) 2 − x = ln x ;
15
3.15. Методом Ньютона и методом хорд с точностью ε = 10-3 уточнить корни следующих уравнений: а) x 3 − 3x 2 + 6 x + 3 = 0 ; б) x 3 + 0,2 x 2 + 0,5 x − 1,2 = 0 ; г) x 5 − 3 x 2 + 1 = 0 ; в) 5 x 3 + 2 x 2 − 15 x − 6 = 0 ; д) x 6 − 3 x 2 + x − 1 = 0 ; е) tg (0,5 x + 0,1) = x 2 ; x ж) 1,8 x 2 − sin 10 x = 0 ; з) ctg x = ; 3 и) ln(3,66) = 4,12 x − 1,5 ; к) 0,7e −0,59 x − x = 0 ; м) x 2 − cos 2 (πx) = 0 .
л) 2,33 sin( 2,86 x) = 2 x ;
4. Приближение функций и производных 4.1. Построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона для следующих сеточных функций: а)
–1 3
xi yi
0 2
1 5
б)
xi yi
1 3
2 4
4 6
4.2. Построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, совпадающие с функцией f ( x) = 2 x , x ∈ [−1, 1] , в точках x0 = −1 , x1 = 0 , x2 = 1 . Оценить погрешность многочленной интерполяции в точке x* = 0,5 . 4.3. Построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, совпадающие с функцией f ( x) = cos x , x ∈ [0, 2π 3] , в точках x0 = 0 , x1 = π 6 , x2 = π 3 , x3 = π 2 , x4 = 2π 3 . Оценить погрешность многочленной интерполяции в точке x* = 1 . 4.4. Выписать интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона для узловых значений yi, заданных функций y = f ( x) в точках xi: а) y = tg x , x0 = − π 3 , x1 = − π 6 , x2 = 0 , x3 = π 6 , x4 = π 3 ; 2
б) y = e x , x0 = 1 , x1 = 1,1 , x2 = 1,2 , x3 = 1,3 , x4 = 1,4 ; 1 в) y = , x0 = 1 , x1 = 2 , x2 = 3 , x3 = 4 , x4 = 5 . x 4.5. Выписать интерполяционные многочлены Ньютона для узловых значений yi, заданных функций y = f ( x) в точках xi: а) y = tg x , x0 = 0 , x1 = π 6 , x2 = π 4 , x3 = π 3 ;
16
б) y = e − x , x0 = 0 , x1 = 0,5 , x2 = 0,8 , x3 = 1,5 ; в) y = sin x , x0 = 0 , x1 = π 6 , x2 = π 4 , x3 = π 2 . 4.6. Выписать интерполяционные кубические сплайны дефекта один на каждом отрезке x ∈ [ xi −1 , xi ] , i = 1, K , 4 : а) y = tg x ; x0 = 0 , x1 = π 6 , x2 = π 4 , x3 = π 3 ; б) y = e − x ; x0 = 0 , x1 = 0,5 , x2 = 0,8 , x3 = 1,5 ; в) y = cos x ; x0 = 0 , x1 = π 6 , x2 = π 4 , x3 = π 2 . 4.7. Пусть x j = jh ( j = 0, ± 1, ± 2,K ) – узлы расположенные с шагом h. Проверить равенство для разностного отношения: f ( xi +1 ) − 2 f ( xi ) + f ( xi −1 ) f ( xi −1 , xi , xi +1 ) = . 2!h 2 n
∑ xip li ( x) ≡ x p
4.8. Доказать, что
i =0
при p=0, 1,…, n – 1, где li ( x) –
многочлены степени n – 1, удовлетворяющие условию li ( xi ) = 1 , li ( x j ) = 0 при j n
≠ i. В явном виде li ( x) = ∏
(x − x j )
j =1 ( xi − x j )
.
j ≠i
4.9. Пусть xi = a +
b−a (i − 1) , i = 1, 2,K, n – равноотстоящие узлы на n −1 n
[a, b]. Вычислить ω n при n = 2 и n = 3. Здесь, ω n ( x) = ∏ ( x − xi ) . i =1
Указание. Для каждого n выписать ω n (x) и сделать замену переменной a+b b−a x= + , где y ∈ [−1, 1] . 2 2 4.10. Число ln 15,2 вычислено следующим образом. Найдены точные значения ln 15 и ln 16 и проведена линейная интерполяция между этими числами. Показать, что если х и у – соответственно точное и приближенное значения ln 15,2, то справедлива оценка 0 < x − y < 4 ⋅ 10 −4 . 4.11. Пусть даны три узла: х0 = а, х2 = b, x1 ∈ (a, b) . Вычислить значение константы Лебега λ , если x1 = (a + b) 2 .
17
Показать, что при x1 → a или x1 → b константа Лебега неограниченно возрастает. 4.12. Пусть а ≤ х ≤ b и –1 ≤ у ≤ 1, и, соответственно, узлы интерполяции xi a+b b−a и yi, i = 1,... , n, связаны линейным соотношением xi = x( yi ) = + yi . 2 2 1,1] Доказать, что константы Лебега интерполяционного процесса λ[na , b ] и λ[− , n соответствующие этим отрезкам, совпадают. 4.13. Доказать, что если f (x) – многочлен (n – 1)-й степени, а x0 , x1 ,K, xn – узлы интерполирования, то разностное отношение f ( x0 , x1 ,K, xn ) = 0 . 4.14. Доказать, что разностное отношение f ( x0 , x1 ,K, xn ) не изменяется при произвольной перестановке его аргументов x0 , x1 ,K, xn между собой. f ( n ) (ζ ) ( ζ ∈ [ x0 , x n ] ) 4.15. Доказать формулу f ( x0 , x1 ,K, xn ) = n! для функций f (x) , имеющих непрерывные производные до порядка n. 4.16. С какой точностью можно вычислить значение ln 100,5, если использовать многочленную интерполяцию по известным значениям ln 100, ln 101, ln 102, ln 103, ln 104? 4.17. Дана таблица натуральных логарифмов чисел от 1000 до 10 000. Какова наибольшая погрешность линейной интерполяции, если шаг равен 1? 4.18. Дана таблица значений функции f ( x) = 3 x , x ∈ [1, 1000] . Какова наибольшая погрешность линейной интерполяции, если шаг равен 1? 4.19. Пусть требуется составить четырехзначную таблицу функции f ( x) = sin x для x ∈ [0, π 2] . Какой должен быть шаг таблицы h, чтобы при а) линейной, б) квадратичной интерполяции полностью использовать точность таблицы, т.е. чтобы погрешность интерполяции была меньше, чем 5 ⋅ 10 −4 ? 4.20. Оценить число узлов интерполяции на отрезке [0, π/4], обеспечивающее точность ε ≤ 10–2 приближения функции f ( x) = sin x .
18
4.21. Определить степень многочлена Лагранжа на равномерной сетке, обеспечивающую точность приближения функции f ( x) = sin x на отрезке [0, π/2] не хуже 10-3. 4.22. Пусть функция f ( x) = sin x задана на отрезке [0, b]. При каком b многочлен Лагранжа второй степени, построенный на равномерной сетке, приближает эту функцию с погрешностью ε ≤ 10–3? 4.23. Построить интерполяционный 2 3 P3 ( x) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x удовлетворяющий условиям: а) P3 (−1) = 0 , P3 (1) = 1 , P3 (2) = 2 , а3=1; б) P3 (0) = P3 (−1) = P3 (1) = 0 , а2=1; в) P3 (−1) = 0 , P3 (1) = 1 , P3 (2) = 2 , а1=1; г) P3 (0) = P3 (−2) = P3 (1) = 0 , а3=1.
многочлен
4.24. Построить интерполяционный 2 3 4 P4 ( x) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + a4 x удовлетворяющий условиям:
многочлен
4
∑ ai = 0 ;
а) P4 (0) = 0 , P4 (−1) = 1 , P4 (2) = 2 , P4 (3) = 3 ,
i =0
б) P4 (1) = P4 (−1) = P4′ (0) = P4′′(0) = 0 , P4 (0) = 1 ; в) P4 (0) = 0 , P4 (1) = 1 , P4 (2) = 2 , P4 (3) = 3 ,
4
∑ ai = 0 . i =0
4.25. Точечным методом наименьших квадратов аппроксимировать линейным и квадратичным многочленами следующие дискретно заданные функции и определить максимальную по модулю погрешность аппроксимации: а)
xi yi
0 3,2
1 7,8
2 3 4 5 15,3 23,6 35,5 47,5
б)
xi yi
0 1,9
1 5,2
2 9,8
3 4 5 17,3 25,7 37,5
4.26. Интегральным методом наименьших квадратов аппроксимировать линейным, квадратичным и кубичным многочленами следующие функции, заданные на отрезках x∈[а, b], и определить относительную погрешность: а) y = sin x , x ∈ [−π / 4, π / 4] ; б) y = tg x , x ∈ [−π / 4, π / 4] ; г) y = cos x , x ∈ [−π / 4, π / 4] ;
19
д) y = ln x , x ∈ [0,5, 2] ; е) y = e x , x ∈ [−1, 1] ; ж) y = e − x , x ∈ [−1, 1] . 4.27. Изучается зависимость между электродвижущей силой Е и температурой нагревания Т термопары. Данные измерений приведены в следующей таблице: T, °C Е, мВ
500 3,23
750 4,52
1000 5,71
1250 10,17
1500 18,49
Найти приближенную зависимость Е(Т) в виде квадратного трехчлена. 4.28. Найти значения первой и второй производных функции Бесселя нулевого индекса y = J 0 в точке х = 1, заданной таблицей 0,96 0,7825361
x y
0,98 0,7739332
1,00 0,7651977
1,02 0,7563321
1,04 0,7473390
4.29. Найти значения первой и второй производных функции Струве нулевого индекса y = H 0 в точке х = 7,5, заданной таблицей 7,50 7,52 7,54 7,56 7,58 7,60 7,62 7,64 7,66 0,2009 0,2058 0,2107 0,2155 0,2202 0,2249 0,2295 0,2341 0,2385
x y
4.30. Известна таблица значений функции y = f (x) : x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
y 1,2661 1,3262 1,3937 1,4693 1,5534 1,6467 1,7500
x 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3
y 1,8640 1,9896 2,1277 2,2796 2,4463 2,6291 2,8296
x 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0
y 3,0493 3,2898 3,5533 3,8417 4,1573 4,5027 4,8808
а) составить таблицу значений производной у' в точках x = 1,2 + 0,1k , k = 0,1,K,16 ; б) составить таблицу значений производной у" в точках x = 1,2 + 0,1k , k = 0,1,K,16 ;
20
в) найти значения у' в точках х= 1,0; 1,1; 2,9; 3,0 и оценить погрешности; г) найти значения у" в точках х =1,0; 3,0. Оценить погрешности округления. 4.31. Известна таблица значений функции y = f (x) : x 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
y 0,4000 1,4848 2,6811 3,9983 5,4465 7,0371
x 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6
y 8,7826 10,6967 12,7945 15,0926 17,6093 20,3647
x 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8
y 23,3808 26,6819 30,2945 34,2479 38,5741 43,3084
а) составить таблицу значений производной у' в точках x = 0,8 + 0,2k , k = 0,1,K,13 ; б) составить таблицу значений производной у" в точках x = 0,8 + 0,2k , k = 0,1,K,13 ; в) найти значения у' и у" в точках х = 0,4; 0,6; 3,6; 3,8. Оценить погрешности округления.
5. Численное интегрирование 5.1. Показать, что формула трапеций точна, если f(x) – многочлен степени не выше первой. 5.2. Показать, что интерполяционная квадратурная формула с п узлами точна для всех полиномов степени не выше п – 1. 5.3. Пусть весовая функция р(х) = 1, п = 2, х1 = а, х2 = b. Какая получится интерполяционная квадратурная формула? 5.4. Пусть весовая функция р(х) = 1, п = 3, х1 = а, х2 = (а+b)/2, х3 = b. Какова соответствующая интерполяционная квадратурная формула? 5.5. Показать, что квадратурная формула Симпсона точна не только для многочленов второй степени, но и для всех многочленов третьей степени. 5.6. Указать случаи, когда квадратурная формула трапеций дает значение интеграла с недостатком, а когда – с избытком.
21
5.7. Пусть для кубируемого тела площадь S = S(х) его поперечного сечения, перпендикулярного к оси Ох, изменится по закону S(х) = Ах2+ Вх + С (а ≤х ≤ b, А, В и С – постоянные). Показать, что объем этого тела выражается формулой Симпсона: b−a⎡ ⎤ ⎛a +b⎞ V= S (a) + 4S ⎜ ⎟ + S (b)⎥ . ⎢ 6 ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦
5.8. Показать, что в случае переменного шага сетки, удовлетворяющего xi +1 − xi < h = const, использование кусочно-квадратической условию интерполяции приведет к обобщению формулы Симпсона, порядок погрешности которой возрастает и будет О(М3/h3), где М3 = max|f (3)(x)|. 5.9. Вычислить интегралы по формулам прямоугольников и трапеций. Оценить погрешности: 2 9 dx а) ∫ , n = 10 ; б) ∫ 6 x − 5 dx, n = 8 ; x 1 1 1
3,5
dx в) ∫ , n = 10 ; 2 1 + x 0 2
д)
dx
∫1 + x ,
г)
0,5 1,3
n = 4;
е)
1 2
ж)
dx ∫ 1 + x 3 , n = 12 ; 1
1, 2
з)
2
n = 4;
2 x + 0,3
∫ ln(1 + x
2
, n = 17 ;
) dx, n = 6 ;
м) ∫ exp(− x 2 ) dx, n = 10 ; 0 1
н) ∫ sin( x 2 ) dx, n = 10 ;
о) ∫ cos( x 2 ) dx, n = 10 ;
0
∫
2
0 1
0 1
п)
dx
к) ∫ exp( x 2 ) dx, n = 10 ;
π 2
π 2
2 x 2 + 3 dx, n = 9 ;
0 1
и) ∫ lg(3,5 + x 2 ) dx, n = 8 ;
∫ sin( x) dx,
∫
0, 7
6
л)
∫
0
π 2
1 + sin 2 ( x) dx, n = 10 ;
р)
0
∫ 0
22
1 + cos 2 ( x) dx, n = 10 .
5.10. Вычислить интегралы по формуле Симпсона. Оценить погрешности: 3 1, 2 dx б) ∫ ln(1 + x 2 ) dx, n = 6 ; , n = 4; а) ∫ 1+ x 1 0 π 2
1
∫ sin( x) dx,
в)
г) ∫ exp( x 2 ) dx, n = 10 ;
n = 4;
0 1
0 1
е) ∫ exp(− x 2 ) dx, n = 10 ;
д) ∫ sin( x 2 ) dx, n = 10 ;
0 1
0
π 2
∫
ж)
0
0 5, 2
∫ ln x dx,
и)
з) ∫ cos( x 2 ) dx, n = 10 ;
1 + sin 2 ( x) dx, n = 10 ;
π 2
n = 6;
к)
∫
1 + cos 2 ( x) dx, n = 10 .
0
4
5.11. Вычислить интегралы по формулам трапеций и Симпсона с заданной точностью, определяя шаг интегрирования h по оценке остаточного члена: 1 dx с точностью до 0,5 ⋅ 10 −4 и до 0,5 ⋅ 10 −7 соответственно; а) ∫ 1+ x 0 1
dx
с точностью до 0,5 ⋅ 10 −4 и до 0,5 ⋅ 10 −7 соответственно;
в) ∫ exp( x 2 ) dx
с точностью до 0,5 ⋅ 10 −2 и до 0,5 ⋅ 10 −6 соответственно;
г) ∫ exp(− x 2 ) dx
с точностью до 0,5 ⋅ 10 −4 и до 0,5 ⋅ 10 −6 соответственно;
б)
∫ 1 + x3
0 1
0 1
0 1
д)
∫
с точностью до 0,5 ⋅ 10 −2 и до 0,5 ⋅ 10 −6 соответственно;
x dx
0
π 4
∫ sin( x
) dx
с точностью до 0,5 ⋅ 10 −3 и до 0,5 ⋅ 10 −6 соответственно;
ж) ∫ cos( x 2 ) dx
с точностью до 0,5 ⋅ 10 −3 и до 0,5 ⋅ 10 −6 соответственно;
⎛1⎞ з) ∫ exp⎜ ⎟ dx ⎝ x⎠ 2
с точностью до 0,5 ⋅ 10 −2 и до 0,5 ⋅ 10 −5 соответственно;
е)
2
0 1
0 4
2
и)
sin( x) ∫ x dx 0
с точностью до 0,5 ⋅ 10 −3 и до 0,5 ⋅ 10 −6 соответственно;
23
π 2
к)
∫ 0
π
л)
∫
sin( x) dx x
с точностью до 0,5 ⋅ 10 −4 и до 0,5 ⋅ 10 −7 соответственно;
3 + cos( x) dx с точностью до 0,5 ⋅ 10 −4 и до 0,5 ⋅ 10 −7 соответственно;
0
π 2
м)
∫
1 + sin 2 ( x) dx
с
точностью
до
0,5 ⋅ 10 −2
и
до
0,5 ⋅ 10 −5
с
точностью
до
0,5 ⋅ 10 −2
и
до
0,5 ⋅ 10 −5
0
соответственно; π 2
н)
∫
1 + cos 2 ( x) dx
0
соответственно. 5.12. Найти с точностью до 10–2 длину дуги одной полуволны синусоиды y = sin x ( 0 ≤ x ≤ π ). 5.13. Провод, подвешенный на двух столбах, расстояние между которыми равно 20 м, имеет форму параболы. Вычислить с точностью до 1 см длину провода, если стрела прогиба равна 40 см. 5.14. Найти с точностью до 0,5 ⋅ 10 −5 длину кривой Вивиани x = sin 2 t , y = sin t cos t z = cos t . 5.15. Определить с точностью до 10–6 площадь фигуры, заключенной между двумя конгруэнтными y 2 = 2 x и x 2 = 2 y .
5.16. Определить с точностью до 10–8 площадь декартова листа x 2 + y 3 − 3xy = 0 . 5.17. Найти с точностью до 10–6 площадь поверхности эллипсоида вращения, полученного вращением вокруг оси х эллипса x 2 / 4 + 4 y 2 = 1 . 5.18. Определить с точностью до 10–6 объем тела, полученного 1 вращением вокруг оси х криволинейной трапеции y = x 2 3 ( 0 ≤ x ≤ 1 ). 2 5.19. Найти с точностью до 10–4 длину дуги параболы у = х2, 0 ≤ x ≤ 1 . 5.20. Найти с точностью до 10–2 длину эллипса, полуоси которого а) а = 10, b = 6;
24
б) а = 1, b = 1/2. 6. Численные методы решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
6.1. Применяя метод Эйлера, численно решить следующие дифференциальные уравнения с данными начальными условиями на отрезке [а, b] с шагом h при указанных значениях параметров: xy а) y′ = − , y (0) = e, a = 0, b = 0,5, h = 0,05 ; 2 1− x 6 − x2 y2 ′ б) y = , y (1) = 2, a = 1, b = 1,5, h = 0,05 ; − x2 1 y sin x в) y′ = − , y (0) = 0, a = 0, b = 1, h = 0,1; cos x cos x 3 y 3 xy1 / 3 + , y (1) = 0, a = 1, b = 2, h = 0,1 ; г) y′ = 2x 2 x+ y д) y′ = , y (0) = 1, a = 0, b = 1, h = 0,1; y−x 2 xy 3 е) y′ = , y (2) = 1, a = 2, b = 2,5, h = 0,05 ; 1 − x2 y2 y 2 ln x − y ж) y′ = , y (1) = 1, a = 1, b = 2, h = 0,1 ; x y з) y′ = + xy 2 , y (0) = 1, a = 0, b = 1, h = 0,1; x +1 y и) y′ = x + , y (1) = 0, a = 1, b = 1,5, h = 0,05 ; x x− y к) y′ = , y (0) = 1, a = 0, b = 0,5, h = 0,05 ; x − 2y
1+ y2 / x −1 л) y′ = , y (1) = 2, a = 1, b = 0,5, h = 0,05 ; 2y м) y′ = 9 x 2 y + ( x 5 + x 2 ) y 2 / 3 , y (0) = 0, a = 0, b = 1, h = 0,1 . 6.2. Методом Эйлера – Коши и методом Рунге – Кутта с шагом h = 0,1 решить следующие задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, сделав три шага: x(4 + ( x 2 − y 2 ) −1 ) 2y ′ ′ , y (0) = 1 ; + x, y (1) = 0 ; б) y = а) y = x y (4 − ( x 2 − y 2 ) −1 )
25
y ⎛ y⎞ ln⎜ ⎟, y (1) = 1; x ⎝ x⎠ ( xy − 2) 2 д) y′ = − , y (1) = 4 ; x2 в) y′ =
ж) y′ = e x + y − 1,
y (0) = 0 ;
и) y′ = 2 x + cos y, л) y′ =
2y + x, x
y (0) = 0 ;
y (1) = 0 ;
г) y′ = y / x + x x 2 − y 2 , y ( π ) = π ; y 1 + , y (1) = 0 ; x x2 y + x2 + y2 ′ з) y = , y (1) = 0 ; x 1 + ex / y , y (0) = 1 ; к) y′ = x / y e ( x / y − 1) y м) y′ = − + y 2 ln x, y (1) = −2 . x е) y′ = y 2 +
6.3. Методами Эйлера, Эйлера – Коши и Рунге – Кутта с шагом h = 0,1 до хk = 1 решить следующие задачи Коши для нормальных систем: ⎧ y1 + y2 , ⎪ y1′ = ln x y y + 1 2 ⎪⎪ а) ⎨ y2′ = 2 x + y1 − 2 y2 , ⎪ y (0) = 1, ⎪ 1 ⎪⎩ y2 (0) = 1;
⎧ x 2 + y12 , ⎪ y1′ = 2 y 2 ⎪⎪ б) ⎨ y′2 = x + y1 + y2 , ⎪ y (0) = 1, ⎪ 1 ⎪⎩ y2 (0) = 1;
⎧ y ′ = y e − x2 + xy , 1 2 ⎪ 1 ⎪ y ′ = 3 x + y1 + 2 y2 , в) ⎨ 2 ⎪ y1 (0) = 1, ⎪ y (0) = 1. ⎩ 2
6.4. Методами Эйлера, Эйлера – Коши и Рунге – Кутта с шагом h = 0,1 до хk = 1 решить следующие задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка: y′ ⎧ ′′ 2 y xy = + , ⎧ y′′ = e − y′ + xy, ⎧ y′′ = xy′2 − y 2 , ⎪ x +1 ⎪ ⎪ ⎪ б) ⎨ y (0) = 1, в) ⎨ y (0) = 1, а) ⎨ y (0) = 1, ⎪ y′(0) = 0. ⎪ y ′(0) = 1; ⎪ y′(0) = 1; ⎩ ⎩ ⎪⎩ 6.5. Радиоактивность пропорциональна количеству остающегося радиоактивного вещества. Соответствующее дифференциальное уравнение dy записывается в виде = −ky (t – время). Приняв k = 0,01 с–1, t0 = 0, y0 = 100 г, dt определить, сколько вещества останется в момент t = 100 с. Решение найти методом Эйлера с шагами h1 = 25, h2 = 10, h3 = 5 Результаты сравнить со значением точного решения.
26
6.6. Количество вещества х, участвующего в некоторой химической dx = − x (t – время). Найти количество реакции, определяется уравнением dt вещества при t = 10 с, если в начальный момент оно равно 0,4 моль. Решение провести численным методом, результат сравнить с точным аналитическим решением.
27
Библиографический список
1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. – М.: изд-во «Наука», 1987. – 630 с. 2. Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Б. В. Численные методы в задачах и упражнениях: учеб. пособие / под ред. В. А. Садовничего. – М.: изд-во «Высшая школа», 2000. – 190 с. 3. Волков Е. А. Численные методы: учеб. пособие для вузов. – М.: изд-во «Наука». 1987. – 248 с. Данилова Л. Н. Практикум по вычислительной 4. Воробьева Г. Н., математике: учеб. пособие. – М.: изд-во «Высшая школа», 1990. – 208 с. 5. Копченова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах: учеб. пособие. – СПб.: изд-во «Лань», 2008. – 368 с. 6. Рябенький B. C. Введение в вычислительную математику: учеб. пособие. – М.: изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2000. – 296 с. 7. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: учеб. пособие для вузов. – М.: изд-во «Наука», 1989. – 432 с. 8. Сборник задач по методам вычислений: учеб. пособие / под ред. П. И. Монастырного. – М.: изд-во «Университетское», 2000. – 311 с. 9. Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов: учеб. пособие. – М.: изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с. 10. Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. – М.: изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 400 с.
28
Учебное издание
Кириллова Светлана Владимировна Вычислительная математика Задачи и упражнения
Редактор С. В. Хазаржан Подписано в печать 27.10.2011 г. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Усл. печ. л. 1,8. Уч.-изд. л. 0,6. Тираж 100 экз. Заказ 5208.
Редакционно-издательский отдел Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79 Тел/факс (391) 244-82-31. E-mail
[email protected] http://rio.sfu-kras.ru
Отпечатано Полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а
29