Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет
Т. П. Мартынова, В. Г. Герстенбергер СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Расчет балок на прочность и жесткость Практикум
Красноярск СФУ 2011
1
УДК 539.31.6 (076.5) ББК 30.121я73 М 29 Мартынова, Т. П. М 29 Сопротивление материалов. Расчет балок на прочность и жесткость: практикум [Электронный ресурс] / Т. П. Мартынова, В. Г. Герстенбергер. − Красноярск: Сиб. федер.ун-т, 2011. − 73 с. Содержит краткие сведения по теории геометрических характеристик, теории изгиба балок и расчета на прочность; условия задач, расчетные схемы, таблицы данных, а также примеры расчетов и контрольные вопросы; необходимые справочные данные. Предназначен для студентов, обучающихся по направлению «Строительство», при организации самостоятельной работы.
УДК 539.31.6 (076.5) ББК 30.121я73 © Сибирский федеральный университет, 2011 Учебное издание Герстенбергер Виктор Эдгарович, Мартынова Тамара Петровна Сопротивление материалов Расчет балок на прочность и жесткость Редактор С. В. Хазаржан Подписано в свет 28.09.2011 г. Заказ 4789. Уч.-изд. л. 1,7. Тиражируется на машиночитаемых носителях. Редакционно-издательский отдел Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79 Тел/факс (391) 244-82-31. E-mail
[email protected] http://rio.sfu-kras.ru
2
ОГЛАВЛЕНИЕ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ........................................................................................4 1. СОДЕРЖАНИЕ РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОГО....................................5 ЗАДАНИЯ...................................................................................................................5 Задача 1. Геометрические характеристики плоских сечений. ................................5 Задача 2. Расчет консольной балки на прочность и жесткость ..............................6 Задача 3. Расчет двухопорной балки на прочность и жесткость........................... 7 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ...............................................................................................8 2.1. Контрольные вопросы по теории моментов инерции ....................................11 2.2. Пример решения задачи №1 ............................................................................12 3. ПРЯМОЙ ИЗГИБ ................................................................................................16 3.1. Основные понятия.............................................................................................16 3.2. Напряжения при изгибе ..................................................................................18 3.3. Расчеты на прочность ......................................................................................23 3.4. Расчеты на жесткость........................................................................................25 3.5. Контрольные вопросы по теории изгиба.........................................................31 3.6. Пример решения задачи №2 .............................................................................32 3.7. Пример решения задачи №3 .............................................................................37 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК................................................................45 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Расчетные схемы к задачам № 1-3 .........................................46 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Двутавры стальные горячекатанные (по ГОСТ 8240-89) 63 ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Швеллеры стальные горячекатаные (по ГОСТ 8239-89).65 ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Уголки стальные горячекатаные равнополочные (по ГОСТ 8509-86).........................................................................................................67 ПРИЛОЖЕНИЕ 5 Уголки стальные горячекатаные неравнополочные ( по ГОСТ 8509-86)..........................................................................................................72
3
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ В соответствии с программой, в курсе «Сопротивление материалов» выделено шесть разделов (модулей), в которых сосредоточен материал с близкой методикой и характером рассуждений. Для каждого раздела подготовлен практикум, в котором кратко излагается теоретический материал, приводятся варианты заданий на проектирование и примеры расчетов, вопросы для самопроверки. Настоящий практикум имеет целью оказать помощь студентам в освоении теоретических основ и практических методов расчета и проектирования балок, в приобретении навыков анализа работы балок под нагрузкой и способов рационального проектирования. Рекомендуется использовать при подготовке и учебное пособие «Сопротивление материалов». Ч.1, изданное в 2008 г. (авторы – Т.П. Мартынова, В.В. Москвичев, И.В. Богомаз). Раздел расчетно-проектировочного задания по расчету балок содержит три задачи. Каждая задача представлена тридцатью вариантами расчетных схем и поперечных сечений балок, десятью вариантами исходных данных. По теме каждой задачи приведены примеры с подробными объяснениями, на основе которых формируются алгоритмы практических расчетов. Перед решением задачи надо записать полностью ее условие с числовыми данными, составить аккуратный эскиз в масштабе и указать на нем необходимые для расчета величины. Эпюры располагаются непосредственно под схемой балки. Решение должно сопровождаться краткими объяснениями и чертежами. Выполненное расчетное задание на страницах формата А4 представляет собой пояснительную записку, включающую текст, расчетные схемы и выводы. Практикум можно успешно использовать при организации самостоятельной работы студентов, для контрольных работ и расчетнопроектировочных заданий.
4
1. СОДЕРЖАНИЕ РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОГО ЗАДАНИЯ Задача 1. Геометрические характеристики плоских сечений Для заданного несимметричного сечения (приложение 1) требуется: 1. Определить положение центра тяжести сечения, значения центральных моментов и центробежного момента инерции сечения; 2. Найти положение главных центральных осей инерции; 3. Вычислить значения главных центральных моментов инерции сечения; 4. Указать положение плоскости наибольшей жесткости и рациональное расположение плоскости действия нагрузки на балке данного сечения. Исходные данные приведены в таблице 1. Таблица 1 Номер профиля Номер Уголок Уголок варианта Двутавр Швеллер равнонеравнополочный полочный 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 30 33 36 20 20 24 30 27 27а
10 30 33 36 20 20 24 30 27 27
40×40×4 140×140×10 160×160×10 160×160×12 70×70×6 70×70×8 80×80×6 125×125×12 80×80×6 100×100×12
5
63×40×4 160×100×12 200×125×12 200×125×16 110×70×6,5 110×70×6,5 140×90×10 160×100×12 140×90×8 160×100×12
Полоса, мм 10×120 16×300 18×300 10×320 12×220 12×220 14×260 18×300 16×300 18×300
Задача 2. Расчет консольной балки на прочность и жесткость Для заданной консольной балки (приложение 1) требуется: 1. По заданным нормативным нагрузкам определить их расчетные значения, приняв следующие коэффициенты надежности по нагрузке: γ f = 1,1 – для постоянной Fn и mn , γ f = 1,4 – для временной qn . 2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и определить их расчетные (максимальные) значения; из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать три типа поперечных сечения балки (приложение 1), приняв расчетное сопротивление материала изгибу R =210 МПа, коэффициент условий работы W W уд = x A 3. Найти характеристики рациональности полученных сечений и сделать соответствующие выводы. 4. Определить наибольшие касательные напряжения для тонкостенного сечения и произвести проверку на прочность, приняв расчетное сопротивление материала сдвигу Rs = 130 МПа. 5. Найти прогиб сечения T и угол поворота сечения K. Показать пунктиром упругую линию балки; , где 6. Проверить жесткость балки, если допускаемый прогиб ℓ – длина консоли. Расчетные данные взять из табл. 2. Таблица 2 Номер варианта Расчетные данные 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 qn , кН/м 14 16 18 19 20 17 16 20 25 27 Fn , кН 46 45 43 46 47 40 50 40 42 50 mn , кНм 23 24 25 26 27 23 25 30 35 40 а, м 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
6
Задача 3. Расчет двухопорной балки на прочность и жесткость Для шарнирно-опертой балки с заданным типом поперечного сечения (приложение 1) требуется определить несущую способность и перемещения в заданных сечениях. Для нагрузок принять соотношения m = qα2; F=β⋅ qα. Порядок расчета 1. Используя данные из табл.1, определить положение центра тяжести заданного сечения; вычислить момент инерции, моменты сопротивления, статический момент половины сечения относительно главной центральной оси х; 2. С учетом значений коэффициентов α и β выразить нагрузки в долях qa и проставить их значения на расчетной схеме. Определить реакции опор. 3. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и найти их наибольшие значения в буквенном виде. 4. Исходя из условия прочности по нормальным напряжениям, определить расчетную нагрузку q (несущую способность балки). Принять расчетное сопротивление материала изгибу R = 210 MПа, коэффициент условий работы γс=0,9. 5. Исходя из найденной нагрузки q, выполнить проверку прочности балки по касательным напряжениям. Принять расчетное сопротивление материала сдвигу Rs =130 МПа, γс=0,9. 6. Определить прогиб в сечении T и угол поворота в сечении K. Показать упругую линию балки. Расчетные данные приведены в таблице 3. Таблица 3 Номер варианта Расчетные данные 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 а, м 1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 1 2 2,5 1,5 3 1,0 2,0 3,0 1,5 2,5 α β 0,5 0,6 0,8 1,0 2 3 2,5 2,4 3 1
7
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ В расчетах на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций используются следующие геометрические характеристики сечений: площадь А, статические моменты площади Sx , Sy , осевые моменты инерции Jx, Jy, полярный момент инерции Jp, центробежный момент инерции Jxy и др. Особенно важную роль играют главные центральные моменты инерции сечения. Оси называются главными, если центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю. Осевые моменты инерции относительно главных осей достигают экстремальных значений. Статические моменты площади, осевые моменты инерции и центробежный момент инерции выражаются следующими интегралами: (2.1) S x = ∫ y dA, S y = ∫ xdA; A
A
2
J y = ∫ x 2 dA;
J x = ∫ y dA, A
(2.2)
A
J xy = ∫ xydA.
(2.3)
A
В формулах (2.1–2.3), через х и у обозначены координаты элементарной площадки dА в системе координат хОу (рис.1) . Интегрирование ведется по всей площади сечения А.
Рис. 1 Координаты хс и ус центра тяжести сечения С определяют по формулам: Sy S ( 2.4) yc = x . , xc = A A Для сложного (составного) сечения, состоящего из нескольких простых фигур, площади и координаты центров тяжести которых известны, статические моменты равны алгебраической сумме статических моментов составляющих фигур относительно той же оси:
8
n
n
i =1
i =1
S x = ∑ S xi = ∑ yci Ai ,
n
n
i =1
i =1
S y = ∑ S yi = ∑ xci Ai .
(2.5)
Здесь yci , xci – координаты центра тяжести простых фигур; Ai – площади простых фигур. Координаты центра тяжести составного сечения находят по формулам: n
yc ==
∑ S xi i =1 n
n
, xc ==
∑Sy i =1 n
i
. (2.6)
∑ Ai ∑ Ai i =1 i =1 Моменты инерции сечения относительно оси х1 и у1, параллельных центральным осям х и у, определяют по формулам: J x1 = J x + a 2 A,
J y1 = J y + b 2 A, (2.7)
J x1 y1 = J xy + abA. Где a и b – расстояния между соответствующими осями.
Рис. 2 Моменты инерции сечения относительно осей x1 , y1 , повернутых на некоторый угол α по отношению к первоначальным х и у (рис.3), вычисляют по формулам: J x1 = J x cos 2 α + J y sin 2 α − J xy sin 2α, J y1 = J x sin 2 α + J y cos 2 α + J xy sin 2α,
J x1 y1 =
Jx − Jy 2
sin 2α + J xy cos 2α.
9
(2.8)
Рис.3
Угол α считается положительным при отсчете против хода часовой стрелки и отрицательным – по ходу часовой стрелки. Практический интерес представляет поворот осей вокруг центра тяжести. При этом значения осевых моментов инерции относительно этих осей изменяются. Можно найти такое положение центральных осей (угол α0), при котором относительно одной оси момент инерции будет наибольшим (Jmax), а относительно другой наименьшим (Jmin). 2 J xy (2.9) tg 2α 0 = − . Jx − Jy Такие оси называются главными центральными и обозначают U и V, а соответствующие им экстремальные осевые моменты инерции – главными моментами инерции, вычисление которых производят по формуле max J x + J y 1 2 = ± ( J x − J y )2 + 4 J xy J min . (2.10) 2 2 Знак «+» перед вторым слагаемым в (2.10) относится к Jmax , знак «-» - к Jmin. Определение главных центральных моментов инерции сложных сечений ведется в следующем порядке: 1. Проводят произвольную систему координат xOy . 2. Разбивают сечение на простые фигуры и по формулам (2.6) определяют положение центра тяжести С. 3. Находят моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей, используя сортамент или по формулам. 4. Через точку С проводят центральные оси x, y параллельно осям простых фигур. 5. Определяют моменты инерции простых фигур относительно центральных осей сечения, используя формулы параллельного переноса (2.7). 6. Определяют центральные моменты инерции всего сечения как сумму соответствующих моментов простых фигур, найденных в пункте 5. 7. Вычисляют угол α 0 по формуле (2.9) и, поворачивая оси x , y на угол 10
α 0 , изображают главные оси U и V. 8. По формулам (2.10) вычисляют J max и J min . 9. Делают проверку: J x + J y = J max + J min ; а) б)
J max > J x > J y > J min , если J x > J y ; J uv =
Jx − Jy
⋅ sin 2α 0 + J x y ⋅ cos 2α 0 = 0 . 2 Полезно иметь в виду частные случаи: 1. Если фигура имеет две оси симметрии, то эти оси являются главными центральными осями. 2. Для правильных фигур – равносторонний треугольник, квадрат, круг и т.п., имеющих более двух осей симметрии, все центральные оси являются главными, а моменты инерции относительно них равны между собой. Умение находить положение главных центральных осей и вычислять J max и J min необходимо при расчетах на изгиб для определения плоскости наибольшей жесткости сечения (след которой совпадает с осью J min ). в)
2.1. Контрольные вопросы по теории моментов инерции
1. Что называется статическим, осевым, полярным и центробежным моментом инерции сечения? 2. Какую размерность имеют статический, осевой, полярный и центробежный моменты инерции? 3. Какая зависимость существует между статическими, осевыми и центробежными моментами инерции относительно двух параллельных осей? 4. Чему равен статический момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения? 5. Как определяют координаты центра тяжести простого и сложного сечения? 6. Чему равна сумма осевых моментов инерции относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей? 7. Как отражается на знаке центробежного момента инерции сечения изменения направления одной или обеих координатных осей? 8. Чему равен осевой момент инерции треугольника относительно оси, проходящей по основанию, и относительно центральной оси, параллельной основанию? 9. Чему равны моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей, параллельных его сторонам? 10. Чему равны моменты инерции круга и кольца относительно центральных осей? 11
11. Чему равны полярные моменты инерции круга и кольца относительно их центров? 12. Относительно, какой из параллельных осей осевой момент инерции имеет наименьшее значение? 13. Как изменяются осевые и центробежные моменты инерции при повороте осей? 14. Какие оси называются центральными, какие главными центральными осями? 15. В каких случаях без вычисления можно установить положение главных осей? 16. По каким формулам определяются положение главных осей инерции и величины главных моментов инерции? 17. Какие центральные оси являются главными у сечений, имеющих более двух осей симметрии? 18. С какой главной осью совпадает плоскость наибольшей жесткости? 19. Что называется радиусом инерции сечения? 2.2. Пример решения задачи №1
Условие задачи. Для заданного несимметричного сечения (рис.4), состоящего из прокатного уголка 80× 60× 6 и швеллера №16, требуется: 1. Найти положение центра тяжести сечения; 2. Определить значения центральных моментов и центробежного момента инерции сечения; 3. Определить положение главных центральных осей инерции; 4. Определить величину главных центральных моментов инерции; 5. Указать положение плоскости наибольшей жесткости и рациональное расположение плоскости действия нагрузки на балке данного сечения (рис. 4). Решение: 1. Разобьем сечение (рис. 4) на две фигуры – уголок и швеллер. По таблицам сортамента находим необходимые геометрические характеристики для каждой фигуры: Швеллер №16 (приложение 3) • Площадь Aшв = 18,1 см2 , координата центра тяжести z 0шв = 1,8 см. =742 см4 , • Моменты инерции J xшв 1
J yшв =63,3см4 , J xшв =0. 1 1 y1
Неравнополочный уголок 80 ×60× 6 (приложение 5) =8,15 см2 ,
• Площадь
• Моменты инерции J xуг2 =25,18 см4, J yуг2 =52,6 см4, x0уг =2,47
см,
y0уг =1,49
см.
12
J xуг2 y = - 20,98 см4, 2
2. Определим положение центра тяжести сечения (рис. 4).
Рис.4 В качестве вспомогательных осей выбираем центральные оси х1 и у1 швеллера. Относительно этих осей статические моменты швеллера равны нулю и вычисление координат центра тяжести сечения упрощается. Площадь составного сечения ∑ А = Ашв + А уг =18,1+8,15=26,25 см2. Координаты центра тяжести С2 уголка относительно вспомогательных осей х1 и у1 равны хс2 = 8 − 2,47 − 1,8 = 3,79 см, ус2 = −(8 + 1,49) = −9,49 см. Статические моменты уголка относительно осей х1 и у1 : S xуг1 = A уг ⋅ yc2 = 8,15 ⋅ (−9,49) = −77,34 см3, S ууг1 = A уг ⋅ хc2 = 8,15 ⋅ 3,79 = 30,88 см 3 .
По формулам (2,6) определяем координаты центра тяжести составного сечения относительно осей х1 и у1
хс = ус =
+ S yуг1 S yшв 1
∑A
+ S xуг1 S xшв 1
∑А
= =
0 + 30,88 = 1,17 см, 26,25
0 − 77,34 = −2,95 см. 26.25
3. Определяем осевые и центробежный моменты инерции составного сечения относительно центральных осей х и у, проведенных через точку С. Находим
13
расстояния между собственными осями каждой фигуры и центральными осями х и у с учетом знаков в системе координат хСу: − для швеллера: а1= уc = 2,95см; b1= xc= - 1,17см; − для уголка: a2= - (yc2 - yc) = - (9,42-2,95) = - 6,54 см; b2= xc2 - xc = 3,79-1,17 = 2,62 см. Осевые моменты инерции относительно оси x по формулам (2.7): 2 4 2 шв - для швеллера: J xшв = J xшв + а ⋅ А 742+2,95 ·18,1 = 899 см ; 1 1 - для уголка:
J xуг = J xуг2 + a 22 ⋅ A уг = 25,18 + (-6,54)2 · 8,15 = 374 см4;
- для всего сечения: J x = J xшв + J xуг = 899+374 = 1273 cм4. Осевые моменты инерции относительно оси у: - для швеллера: J yшв = J yшв + b12 ⋅ Aшв = 63,3 + (-1,16)2 ·18,1 = 88см4; 1 - для уголка:
J yуг = J yуг2 + b22 ⋅ A уг = 52,06 + 2,622 · 8,15 = 108 см4;
J y = J yшв + J yуг = 88 + 108 = 196см4. - для всего сечения: Вычисления центробежного момента инерции относительно осей х и у. Центробежный момент инерции швеллера равен нулю J xшв = 0 , т. к. ось x1 1 y1 является осью симметрии. Для уголка оси x2 и y2, параллельные его полкам, не являются осями симметрии. Численное значение центробежного момента находим в сортаменте, а его знак установим визуально по рис. 5.
Рис.5
В данном случае очевидно, что центробежный момент меньше нуля, т. е. - 20,98 см4. Действительно, большая часть сечения находится во II и IV
J xуг2 y2 =
квадрантах и для площадок, находящихся там, произведения координат (х2 ⋅ у2) отрицательны. Таким образом, при суммировании величин ( х2⋅ у2⋅ dA) по всей площади сечения, отрицательные слагаемые в сумме дают большую по модулю величину, чем положительные (для квадрантов I и III). шв - для швеллера: J xy = J xшв + a1b1 Aшв = 0+2,95·(-1,17)·18,1= - 62см4; 1 y1 14
- для уголка: J xyуг = J xуг2 y + a2 b 2 A уг = - 20,98 + (-6,54)·2,63·8,15 = - 161см4; 2
шв - для всего сечения: J xy = J xy + J xyуг = - 62 - 161 = -223см4. 3. Находим положение главных центральных осей инерции составного сечения по формуле (2.9): 2 J xy 2 ⋅ ( −223) tg 2α = =− = 0,414, Jx − Jy 1273 − 196
2α=22,4°, α=11,2°. Поворачивая центральные оси х и у против часовой стрелки на угол α0 получаем главные центральные оси U и V. 4. Вычисляем главные центральные моменты инерции по формуле (2.10): Jx + Jy 1 max 2 J min = ± ( J x − J y ) 2 + 4 J xy = 2 2 1273 + 196 1 = ± (1273 − 196) 2 + 4(−223) 2 = 734,5 ± 582,64. 2 2 J v = J max = 734,5 + 582,64 = 1317,14 см4, J u = J min = 734,5 − 582,64 = 151,86 см4. 5. Проверка решения. а) центр тяжести сечения, состоящего из 2-х элементов, должен лежать на прямой, соединяющей центры тяжести элементов, и делить эту прямую на отрезки, обратно пропорциональные площадям элементов: СС2 А1 18,1 = = = 2,2. СС1 А2 8,15 б) между величинами осевых моментов инерции относительно центральных осей (х, у) и главных центральных осей (U, V) должно соблюдаться следующее соотношение: Jmax > Jx > Jy > Jmin , ; в) Сумма осевых моментов инерции относительно центральных осей должна быть равна сумме главных центральных моментов инерции, т. е. Jx + Jy = Jmax + Jmin , 1273 + 196 = 1317,14 + 151,86, 1469 = 1469. г) Центробежный момент относительно главных центральных осей (формула 2.8 ) должен быть равен нулю:
15
Jx − Jy
sin 2α 0 + J xy cos 2α 0 = 0, 2 1273 − 196 ⋅ 0,382 + (−223) ⋅ 0,923 = 0, 2 205,7 − 205,8 = 0. 4. Плоскость наибольшей жесткости проходит через ось U с моментом инерции Jmin. Для балки данного поперечного сечения рациональное расположение плоскости действия нагрузки совпадает с плоскостью наибольшей жесткости, т.к. в этой плоскости прогиб балки будет наименьшим, а сопротивляемость балки изгибу будет наивысшей. J uv =
3. ПРЯМОЙ ИЗГИБ 3.1. Основные понятия
Изгибом называется такой вид нагружения бруса, при котором в поперечных сечениях возникает внутренний силовой фактор – изгибающий момент. Если в сечениях действует только изгибающий момент, а остальные внутренние силовые факторы равны нулю, то такой изгиб называется чистым (рис.6, а, б).
Рис.6 На участках чистого изгиба нагибающий момент остается постоянным по длине участка.
16
Если в результате нагружения бруса в сечениях возникают изгибающий момент и поперечная сила, то такой изгиб называется поперечным. Это наиболее часто встречающийся в расчетной практике тип изгиба. Брус, испытывающий деформацию изгиба, принято называть балкой. В инженерной практике балками являются элементы перекрытий в сооружениях, подкрановые пути в промышленных зданиях, валы механизмов и т.п. Если плоскость действия внешних сил совпадает с одной из главных плоскостей инерции сечения, то такой изгиб называется прямым или простым (рис.7). В случае прямого поперечном изгиба в сечениях балки возникают поперечная сила Qy (или Qx) и изгибающий момент Mx (или My). При этом балка деформируется и ее продольная ось искривляется в плоскости действия сил, т. е. остается в главной плоскости инерции yOz.
Рис.7 Изгиб балки сопровождается растяжением одних частиц (волокон) и сжатием других (рис.8 а, б). При этом деформация растяжения и сжатия распределяется по высоте неравномерно. Слой частиц, разделяющий растянутую и сжатую зону балки, называется нейтральным слоем. Линия, образуемая в результате пересечения нейтрального слоя и плоскости поперечного сечения, называется нейтральной линией сечения. Можно показать, что нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.
Рис.8 По нейтральному слою нет растяжения, сжатия, нормальные напряжения здесь равны нулю.
17
следовательно,
Расчетную схему балки обычно изображают в виде прямой, представляющей ось балки, закрепленную схематизированными опорными устройствами и загруженную нагрузками в плоскости чертежа (рис.9). Расстояние между опорами балки AB называю пролетом, часть балки BC, нависающую над опорой, называют консолью.
Рис.9 Расчет балки обычно начинается с определения внутренних силовых факторов QY и MX и построения их эпюр. При поперечном изгибе в сечениях балки возникают нормальные и касательные напряжения. 3.2. Напряжения при изгибе
Нормальные напряжения в поперечном сечении балки определяются по формуле M ⋅y σ= x , (3.1) Jx где Mx – нагибающий момент в сечении; у – расстояние от нейтральной линии сечения до тех частиц (точек), где находят напряжения; Jx – момент инерции сечения балки относительно главной центральной оси. Таким образом, нормальные напряжения в рассматриваемой точке сечения балки прямо пропорциональны изгибающему моменту M x , расстоянию y от нейтральной оси до этой точки и обратно пропорциональны моменту инерции сечения относительно главной центральной оси х. Эпюры нормальных напряжений для симметрического и несимметрического сечений представлены на рис.10.
18
Рис.10 Из формулы (3.1) следует, что максимальные нормальные напряжения при изгибе возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. M ⋅y Mx σ max = x max = . (3.2) Jx J x y max Отношение Jx/ymax называют осевым моментом сопротивления сечения балки и обозначают Wx : J (3.3) Wx = x . y max Таким образом, максимальные нормальные напряжения в балке определяются по формуле M σ max = x . (3.4 ) Wx Формулы моментов сопротивления для простых сечений (прямоугольник, круг) определяются по формуле (3.3). Для прямоугольника J bh 3 h bh 2 Wx = x = : = . (3.5) y max 12 2 6 Для круга πd 4 d πd 3 Wx = : = ≈ 0,1d 3 . (3.6) 64 2 32 Из формулы (3.1) и соответствующих ей эпюр (рис.10) следует, что наиболее нагруженными в сечении являются крайние, более удаленные от центра тяжести, частицы материала. И, следовательно, материал сечения желательно скомпоновать так, чтобы основная его часть была расположена от центральной оси, как можно дальше. Инженерная мысль создала такие рациональные для балок типы сечений. Это двутавры, швеллеры, коробчатые профили (рис. 11 а, б, в).
19
Рис.11 Для прокатных профилей (двутавры, швеллеры, уголки) моменты инерции, моменты сопротивления и другие геометрические характеристики вычислены и приводятся в таблицах сортамента прокатной стали (приложения 2-5). Нормальные напряжения при изгибе приводятся к изгибающему моменту в сечении. Следовательно, при чистом изгибе в сечении действуют только нормальные напряжения. В случае поперечного изгиба в сечении балки наряду с нормальными возникают и касательные напряжения. Равнодействующая этих касательных напряжений и представляет из себя поперечную силу Qy. Касательные напряжения при поперечном изгибе определяются по формуле Журавского: Q y ⋅ S xотс . τ zy = (3.7) J x ⋅ by Здесь Qy – поперечная сила в направлении оси y ; – статический момент относительно оси x отсеченной части сечения, лежащей ниже (или выше) уровня тех волокон, где определяется напряжение; Jx – момент инерции всего сечения; by – ширина сечения на уровне определяемых напряжений. Если формулу (3.7) конкретизировать для прямоугольного сечения (рис.12), то получим bh 3 b ⎛ h2 отс 2⎞ ⎜ ⎟ Jx = ; b y = b, Sx = ⎜ − y ⎟ ; 2⎝ 4 12 ⎠ и, следовательно, 6 Qy ⎛ h2 2⎞ ⎜ ⎟⎟ . (3.8) τ zy = ⋅ − y bh 3 ⎜⎝ 4 ⎠
20
Рис.12 меняются по Из выражения (3.8) видно, что касательные напряжения высоте по закону квадратичной параболы, в крайних точках сечения они равны нулю, а максимума достигают на нейтральной линии. В прямоугольном сечении 3 Q τ max = ⋅ ; (3.9) 2 bh для круглого сечения Q 4 τ max = ⋅ 2 . (3.10) 3 πd 4 На основании исследований можно сделать следующие выводы: I. Зона максимальных касательных напряжений находится в средней части высоты (рис. 12) и для сплошных сечений есть величина порядка Q/А. Как правило, значительно меньше и представляют меньшую опасность, чем нормальные напряжения. Исключения из этого правила представляют тонкостенные, деревянные, клееные балки. в сплошных не тонкостенных балках есть величина Отношение порядка , где l – длина балки, h – высота сечения. Исследование напряженного состояния в балке при поперечном изгибе показывает, что различные точки по высоте сечения находятся в различном напряженном состоянии (рис.13).
Рис.13 21
Выделим в окрестности точек 1–5 элементарные площадки, на гранях которых покажем напряжения. В точке I (крайние волокна верхней части сечения) действуют только нормальные сжимающие напряжения (рис.14, а), следовательно, напряженное состояние будет линейным. Аналогично в точке 5 (крайние волокна нижней части сечения) действуют только нормальные растягивающие напряжения (рис.I4, д) - линейное напряженное состояние.
Рис.14
В точках 2, 4 напряженное состояние будет плоским (рис.14 б, г). В точке 3, по нейтральному слою, нормальные напряжения равны нулю, а касательные достигают максимальных значений, следовательно, волокна балки по нейтральному слою находятся в состоянии чистого сдвига (плоское напряженное состояние рис.14, в). Для оценки прочности балки необходимо знать положение так называемой опасной точки. В балке при поперечном изгибе опасной будет одна из следующих точек: а) крайние точки сечения балки, где нормальные напряжения достигают максимума; б) точки, где касательные напряжения достигают наибольшей величины; в) точки, где достигают наибольшего значения главные нормальные напряжения, хотя и в этих точках могут быть не максимальны (например, граница стенки и полки двутавра). Поэтому в балках возникает необходимость проверки на прочность по нормальным и касательным напряжениям, а в некоторых случаях производят
22
так называемую полную проверку на прочность с использованием гипотез предельных напряженных состояний. 3.3. Расчеты на прочность
На основании формулы (3.4) условие прочности по нормальным напряжениям по методу расчетных предельных состояний имеет вид M x расч (3.11) σ max = ≤ R ⋅ γc , Wx здесь σmax – расчетные, т.е. наибольшие нормальные напряжения в опасных точках опасного поперечного сечения балки; M x расч – наибольший по абсолютному значению изгибающий момент в опасном сечении от расчетных нагрузок; – осевой момент сопротивления сечения; – коэффициент условий работы. На основании формулы (3.11) можно производить три типа расчета: а) проектировочный расчет, т.е. подбор необходимого сечения балки M x расч (3.12) Wx ≥ . R ⋅ γc б) проверочный расчет, т.е. проверку прочности заданного сечения M x расч (3.13) σ max = ≤ R ⋅ γc , Wx в) определение несущей способности балки M x расч ≤ Wx ⋅ R ⋅ γ c . (3.14) Если балка из пластичного материала имеет несимметричное относительно нейтральной оси сечение (рис.10,б), то расчет ведется по напряжениям в опасных точках, наиболее удаленных от нейтральной линии, независимо растягивающие или сжимающие там напряжения. Для балок несимметричного сечения (рис. 10,б) из хрупких материалов проверка прочности производится как по наибольшим растягивающим, так по наибольшим сжимающим напряжениям: M x расч (3.15) σ tmax = ≤ Rt ⋅ γ c , W xt M x расч σ cmax = ≤ Rc ⋅ γ c . (3.16) Wxc Здесь σ tmax – наибольшие нормальные растягивающие напряжения в опасном сечении ( t – растяжение, от англ. tension); W xt – осевой момент сопротивления 23
сечения, соответствующий волокнам, наиболее удаленным от нейтральной линии в растянутой зоне балки; Rt – расчетное сопротивление материала балки растяжению; σ cmax – наибольшие нормальные сжимающие напряжения в опасном сечении ( с – сжатие, от англ. compressin); W xc – осевой момент сопротивления сечения, соответствующий волокнам, наиболее удаленным от нейтральной линии в сжатой зоне балки; Rс – расчетное сопротивление материала балки сжатию. Определив по неравенству (3.12) необходимый момент сопротивления, находят размеры сечения балки по формулам (3.5), (3.6). Если сечение представляет из себя прокатный профиль, то размеры балки подбираются с помощью таблиц сортамента (приложения 2-5), размеры сложных составных сечений подбираются путем проб. Для определения несущей способности балки, т.е. допустимой по условию прочности нагрузки, необходимо по формуле (3.14) определить значения расчетного изгибающего момента, затем в соответствии с эпюрой моментов, выразив Mрасч. через действующие на балку нагрузки, определить эти нагрузки. Из формулы (3.14) следует, что несущая способность балки прямо пропорциональна осевому моменту сопротивления сечения. Наиболее экономичными являются сечения, для которых с наименьшей затратой материала получается наибольшая величина момента сопротивления. Отношение Wx /A, называемое удельным моментом сопротивления, принимают за критерий рациональности сечения балки. W (3.18) W уд = x . A Оценим рациональность ряда типовых сечений: − прямоугольное сечение Wx bh 2 h W уд = = = = 0,17h; (3.19) A 6bh 6 − круглое сечение Wx πd 3 ⋅ 4 d = W уд = = = 0,125d ; (3.20) A 6 ⋅ πd 2 8 − прокатные двутавровые балки W W уд = x ≅ 0,32h. (3.21) A Условие прочности по касательным напряжениям Q у расч ⋅ S xmax τ max = ≤ Rs γ c . (3.22) by J x Здесь τmax – наибольшее расчетное касательное напряжение в сечении с максимальной поперечной силой; Q y расч – наибольшая расчетная поперечная
24
сила; S xmax – статический момент половины сечения относительно нейтральной линии; by – ширина сечения на уровне нейтральной линии;Jx – момент инерции всего сечения; – расчетное сопротивление материала балки сдвигу. Для прямоугольных и круглых сечений при проверке прочности по касательным напряжениям можно использовать формулы (3.9), (3.10). Для балок сплошного сечения с учетом вышесказанного основным расчетом на прочность является расчет по нормальным напряжениям, расчет по касательным напряжениям носит вспомогательный характер. Для тонкостенных профилей, деревянных и клееных балок обязательно делается проверка по касательным напряжениям. Если условие (3.22) не удовлетворяется, то подбирают другое сечение. 3.4. Расчеты на жесткость
Любая балочная система наряду с расчетом на прочность должна быть рассчитана на жесткость. Под жесткостью балки подразумевается ее способность сопротивляться перемещениям. Балка с малыми перемещениями при действии внешних сил обладает большой жесткостью и малой податливостью. И наоборот, балка, получающая при нагружении большие перемещения, обладает малой жесткостью и большой податливостью. Расчет балок на жесткость предполагает определение максимальных перемещений и их сравнение с нормативными перемещениями или подбор таких сечений, при которых максимальные перемещения не будут превышать нормативных величин. Итак, для расчета балок на жесткость необходимо научиться определять перемещения различных ее сечений. Деформация изгиба характерна искривлением оси балки и двумя видами перемещений, прогибом и углом поворота сечений (рис.15). Деформированную ось балки называют упругой линией. Прогибом называется перемещение центра тяжести сечения балки по направлению, перпендикулярному к недеформированной оси балки (yc , yk ). Углом поворота сечения называется угол, на который поворачивается сечение в результате деформации по отношению к своему первоначальному недеформированному положению (θА ,θК). И прогиб и угол поворота сечения меняются по длине балки и следовательно, есть функции продольной координаты z.
25
Рис.15 Упругая линия балки является непрерывной и гладкой кривой, т.е. на протяжении всей оси балки функции прогибов и углов поворота непрерывные функции. у = ƒ1(z), (3.23) θ = ƒ2(z). Между прогибом и углом поворота существует следующая дифференциальная зависимость - угол поворота равен первой производной от прогиба: dy θ= . (3.24) dz Основой для определения прогибов и углов поворота сечений балки, загруженной заданной нагрузкой, является приближенное дифференциальное уравнение упругой линии d2y Mx = . (3.25) dz 2 EJ x Для вывода этого уравнения использовано приближенное значение кривизны оси бруса 1 d2y (3.26) = . ρ dz 2 Применение приближенных выражений (3.25), (3.26) допустимо для жестких балок, у которых прогибы малы по сравнению с поперечными размерами самой балки. Уравнение (3.25) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка и его можно решать точно. 1 θ= ∫ M x dz + C , EJ x (3.27) 1 y= ∫ dz ∫ M x dz + Cz + D . EJ x Здесь C и D – постоянные интегрирования, которые находят из граничных условий, зависящих от способов опирания и закрепления балки.
[
]
[
]
26
Определение перемещений с помощью уравнений (3.27) называют методом непосредственного интегрирования. Число произвольных постоянных интегрирования равно удвоенному числу участков балки. Поэтому определение произвольных постоянных для балки с двумя, тремя участками представляют уже довольно громоздкую задачу. Ввиду этого метод непосредственного интегрирования для практического определения перемещений в балках неэффективен и в настоящее время используется только для теоретического анализа. Решение подобных задач можно значительно упростить, если применять специальный метод интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки – метод начальных параметров. Этот метод получил широкое распространение при решении разнообразных задач механики твердого деформируемого тела. Применительно к задаче определения перемещений в балках метод начальных параметров сводится к использованию специальных универсальных уравнений прогибов и углов поворотов сечений, куда входят два кинематических начальных параметра: угол поворота и прогиб начала координат. Эти начальные параметры, единые для всех участков балки, определяются исходя из опорных условий балки. Запишем универсальное уравнение прогибов для произвольно нагруженной балки, имеющей пять грузовых участков (рис.16).
Рис. 16
27
m( z − a ) 2 F ( z − b) 3 EJy z = EJyo + EJθ o z + ∑ +∑ + 2! 3! q ( z − c) 4 q( z − d ) 4 +∑ −∑ , 4! 4!
(3.28) где EJ – жесткость сечения балки; yz – прогиб в произвольном сечении балки; y o , θ o – прогиб и угол поворота в начале координат О, называемые начальными параметрами; m - момент внешних пар сил; F – внешние силы, включая реактивные; q – интенсивность распределенной нагрузки; a,b,c,d – абсциссы точек приложения соответствующих нагрузок. Слагаемые в уравнении (3.28) имеют знаки изгибающих моментов, вызванных соответствующими нагрузками. Дифференцируя уравнение прогибов (3.28), получаем уравнение углов поворота сечений балки: m( z − a )1 F ( z − b) 2 q( z − c) 3 q( z − d ) 4 . EJθ z = EJθ o + ∑ +∑ +∑ −∑ 1! 2! 3! 4! (3.29) Целесообразно записывать только одно уравнение прогибов (3.28) для произвольного сечения последнего участка, включая нагрузки в той последовательности, в которой они расположены от начала координат. Это уравнение пригодно для определения прогибов и углов поворота (после дифференцирования) на любом участке балки, при этом следует учитывать силы расположенные левее рассматриваемого сечения. Начальные параметры уо и θ o зависят от способа закрепления левого конца балки, где находится начало координат, а их значение определяют из граничных условий (рис.17):
Рис.17 а) левый конец балки жестко защемлен, следовательно, прогиб и угол поворота этого сечения равны нулю: уо=0, θ о=0. б) левый конец шарнирно оперт: уо=0, θ o ≠ 0. Граничное условие для определения θ о заключается в том, что прогиб на правой опоре В равен нулю, т.е. при z = l , уВ = 0. 28
в) левый конец балки свободен, следовательно, и прогиб и угол поворота в начале координат не равны нулю: у о ≠ 0 , θ о ≠ 0. Граничные условия для определения начальных параметров состоят в том, что на опорах А и В прогибы равны нулю: при z=a, yA=0, при z = a + l, y B = 0. При использовании уравнений (3.28) и (3.29) для нахождения прогиба и углов поворота сечений в балках следует придерживаться следующего порядка расчета: 1. Определить все внешние силы, действующие на балку, включая и опорные реакции, и проставить их на расчетной схеме. 2. Выбрать единое начало координат в крайнем левом сечении балки, ось z направить слева направо вдоль оси балки, ось y направить вверх. 3. На основе универсальных уравнений (3.28 и 3.29) записать выражение прогиба (или угла поворота) для того сечения, где требуется определить перемещение. 4. Из опорных условий балки определить кинематические начальные параметры и . Их варианты приведены на рис. 17. В случае ненулевых значений начальных параметров и записать выражение прогиба (или угла поворота) для того опорного сечения, где он заранее известен (обычно для жесткой опоры прогиб в опорном сечении равен нулю) и из этого уравнения найти искомые параметры. 5. Определив и окончательно найти искомые перемещения. При решении задач необходимо всегда помнить, что распределенная нагрузка слева на право должна быть непрерывной. Если этого нет, то нагрузку надо продолжить и уравновесить компенсирующей нагрузкой (на рис. 16 эта нагрузка показана пунктирными линиями). В найденных перемещениях знак (+) показывает, что центр тяжести сечения переместился вверх и сечение повернулось против хода часовой стрелки, знак (-) показывает, что центр тяжести сечения переместился вниз, а само сечение повернулось по ходу часовой стрелки. Определив наибольший прогиб уmax= f в балке, производим проверку на жесткость по формуле: , (3.30) где [f] – допускаемый прогиб в балке, который задается СНИПом, а устанавливается на основе инженерного опыта и зависит от типа и назначения конструкции. Из условия жесткости (3.30) можно решить три типа задач: 1. Проверка жесткости балки. 2. Подбор поперечного сечения балки. 3. Определение несущей способности балки.
29
Рассмотрим некоторые рекомендации по определению максимального прогиба в балке. Если балка консольного типа (рис.18) загружена нагрузкой, направленной в одну сторону, то максимальный прогиб f будет всегда на конце консоли.
Рис.18 Если балка шарнирно оперта по концам (рис.19) и на нее действует нагрузка, направленная в одну сторону, то, с достаточной для практики точностью, можно считать максимальным прогиб посредине пролета.
Рис.19 Если балка нагружена нагрузкой различного направления (и по своему устройству имеет дополнительные консоли), то определение максимального прогиба требует, как правило, специального исследования (рис.20).
Рис.20 Если обратиться к балке, показанной на рис.20, то видно, что характер упругой линии может быть самым различным в зависимости от соотношения величин действующих нагрузок. Один из вариантов показан пунктирной линией. У данной балки может быть целый ряд максимальных прогибов: f1, f2, f3, f4. При расчете на жесткость надо брать наибольший из них. Определение прогиба на концах консолей принципиальных трудностей не представляет. Чтобы определить положение сечения из пролета с максимальным прогибом f2, f3, необходимо установить участок, на границах которого угол поворота меняет знак, а затем составить уравнение углов 30
поворота данного участка для произвольного z сечения, приравнять его к нулю, и из этого уравнения найти абсциссу сечения z0 , где угол поворота равен нулю, а прогиб достигает экстремального значения. Подставив найденное значение z0 в выражение прогиба для данного участка, найдем необходимый экстремальный прогиб (f2 или f3) на участке.
3.5. Контрольные вопросы по теории изгиба
1. Какой вид нагружения бруса называется изгибом? 2. В чем отличие чистого и поперечного изгибов? 3. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечном сечении балки? Как определить эти факторы? 4. Какие деформации испытывают «волокна» балки при изгибе? 5. Что представляют собой нейтральный слой и нейтральная линия балки? Как проходит нейтральная линия в поперечном сечении? 6. Какие напряжения действуют в поперечном сечении балки при чистом изгибе? По какой формуле определяются эти напряжения, и как они распределяются по высоте сечения? 7. Что такое осевой момент сопротивления? Как определить осевой момент сопротивления сложного сечения? 8. Какие типы сечений балок из пластичных материалов являются наиболее рациональными и почему? 9. Как определить степень рациональности сечения? 10. Какие напряжения действуют в сечении при поперечном изгибе? 11. По какой формуле определяются касательные напряжения при изгибе, и как она распределяется по высоте сечения? 12. В каком напряженном состоянии находятся различные точки по высоте сечения балки? Где находятся опасные точки? 13. Напишите условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе. Объясните содержание этой формулы. 14. Напишите условие прочности по касательным напряжениям при изгибе. Объясните содержание этой формулы. Напишите три 15. Какие бывают три вида расчета на прочность? интерпретации условия прочности, соответствующие этим видам расчета. 16. Как определить из условия прочности несущую способность балки? 17. Как определить из условия прочности поперечные размеры сечения балки? 18. По какому критерию определяется жесткость или податливость балки? 19. Какие перемещения возникают в балке при прямом изгибе? 20. Что называется упругой линией балки? 21. Что называется прогибом и углом поворота сечения балки?
31
22. Напишите приближенное дифференциальное уравнение упругой линии. 23. Как определяются перемещения в балке методом непосредственного интегрирования? 24. Напишите универсальные уравнения (уравнения метода начальных параметров) для углов поворота и прогибов балки. и ) при 25. Как определить кинетические начальные параметры ( определении перемещений в балках методом начальных параметров? 26. Какой порядок определения прогибов и углов поворота сечений методом начальных параметров? 27. Как определить максимальный прогиб в балке? 28. Что называется жесткостью сечения при изгибе? 29. Напишите условие жесткости балки и объясните содержание этого неравенства. 30. Какие типы задач можно решить из условия жесткости балки? 3.6. Пример решения задачи №2
Условие задачи. Для консольной балки (рис.21, а) требуется: 1) По заданным нормативным нагрузкам определить их расчетные значения; ; 2) Построить эпюры Qy и 3) Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать поперечные сечения балки трех типов (рис.22, б, в, г); 4) Определить характеристики рациональности полученных сечений Wуд и сделать соответствующие выводы; 5) Определить наибольшие касательные напряжения для тонкостенного сечения и произвести проверку на прочность; 6) Определить прогиб сечения Т и проверить жесткость балки при допускаемом прогибе [ f ] = l 600 , где l – длина консоли; 7) Определить угол поворота сечения К; 8) Показать пунктиром упругую линию балки.
Рис.21
32
Расчетные данные. Нормативные значения нагрузок Fn=20кН, Mn=24 кНм, qn=18 кН/м; коэффициенты перегрузки для (F и M) , для (q) , a=1,2 м, расчетное сопротивление материала балки изгибу R = 210 , модуль МПа, сдвигу - Rs =130 МПа, коэффициент условий работы упругости материала Е=2⋅105 МПа. Решение 1. Вычислим расчетную нагрузку: F = Fn ⋅ =20 ⋅1,1 = 22 кН; M = Mn ⋅
=24 ⋅1,1 = 26,4 кНм;
q = qn ⋅ =18⋅1,4 = 25,2 кН/м. 2. Построим эпюры Qy и Mx. Мысленно разобьем балку на три силовых участка KT, BK, AB и рассматривая отсеченные части от свободного конца, запишем аналитические выражения для Qy и Mx (рис.22).
Рис.22
Подставив значения расчетной нагрузки в аналитические выражения, определим расчетные значения Qy и Mx на границах участков (характерные значения). Построение эпюры Qy : , Qу = F = 22кН (постоянное значение); участок KT: 0 , Qу = F+qz (линейный закон), участок ВК : 0 z=0, Q=22кН, z=a, Qу =22+26,4⋅1,2=52,2 кН; , Qу = F+q(a+z) (линейный закон), участок АВ: 0 z=0, Q=22+26,4⋅1,2=52,2 кН, 33
z=a, Q=22+2⋅26,4⋅1,2=82,5 кН; Построение эпюры Мx : участок KT: 0 , Mх = F⋅z (линейный закон), z=a, Mх = - 22⋅1,2= - 26,4 кНм; z=0, Mх =0, qz 2 , Mх = F(a+z) (квадратичная участок ВК: 0 2 парабола), z=0, Mх = - 22⋅1,2=-26,4 кНм, 25,2 ⋅ 1,2 2 z=a, M х = −22 ⋅ 2 ⋅ 1,2 − = −71 кНм; 2 q(a + z ) 2 , M х = − F ( 2a + z ) − участок АВ: 0 − M (парабола), 2 25,2 ⋅ 1,2 2 z = 0, M х = −22 ⋅ 2 ⋅ 1,2 − − 26,4 = −97,3 кНм, 2 25,2 ⋅ (2 ⋅ 1,2) 2 z = a, M х = −22 ⋅ 3 ⋅ 1,2 − − 26,4 = −178 кНм. 2 По найденным значениям Qy и Mx на каждом участке балки строим эпюры (рис.22, б,в). Опасное сечение находится возле заделки. Наибольшие расчетные значения поперечной силы и изгибающего момента соответственно Q y расч = 82,5 кН , M x расч = 178,2 кНм. 3.Определение размеров поперечных сечений балки. Найдем размеры сечений для трех вариантов (рис.21,б-г). Требуемый момент сопротивления балки согласно неравенству (3.12) M x расч 178,2 ⋅ 10 3 Wx ≥ = = 942 см3. 6 К 210 ⋅ 10 ⋅ 0,9 Двутавровое сечение: из сортамента (приложение 2) выбираем двутавр №40 с Wx = 953см3, Jx = 19062 см4, статическим моментом полусечения Sx=540см3, A=71,4см2, толщиной стенки s=0,83 см. Сечение из двух швеллеров: требуемый момент сопротивления одного швеллера W 942 = 471 см3. Wxшв ≥ x = 2 2 Из сортамента (приложение3) выбираем швеллер №33 (ГОСТ 8240 – 72 швеллеры с уклоном внутренних граней полок) с Wx= 484 см3, А=46,5 см3. Сечение, имеющее форму треугольника (рис.23):
34
Рис. 23
момент сопротивления треугольника определяется по формуле Jx bh 3 36 b 3 Wx = = = . 2 h y max 24 3 Приравняв его к требуемому моменту сопротивления балки, определим размер b: b3 942 = , b = 3 942 ⋅ 248 = 28,28 см. 24 Выбираем сечение с размерами b =28,28 см, h =28,28 см, площадью и моментом сопротивления соответственно 1 1 A = b 2 = ⋅ 28,282 = 400 см2, Wx = 942 см3. 2 2 4. Определим характеристики рациональности полученных сечений по W формуле W уд = x : A 953 W уд = = 13,1; - двутавр 72,6 2 ⋅ 484 W уд = = 10,4 ; - швеллеры 2 ⋅ 46,5 942 - треугольник W уд = = 2,35. 400 Наиболее рациональным является двутавровое сечение: при меньшей площади сечения такая балка может выдержать больший изгибающий момент. 5. Проверим прочность балки двутаврового поперечного сечения по касательным напряжениям. Q у расч ⋅ S xmax 82,5 ⋅ 10 3 ⋅ 545 ⋅ 10 −6 τ max = = = 28,4 МПа, by ⋅ J x 0,83 ⋅ 10 −2 ⋅ 19062 ⋅ 10 −8 где by = s = 0,83см, т.е. прочность балки по касательным напряжениям обеспечена. 35
6. Определим прогиб сечения Т и угол поворота сечения К балки двутаврового поперечного сечения №40. Заметим, что перемещения вычисляются от нормативной нагрузки. Расчет ведем методом начальных параметров.
Рис. 24 Возьмем начало координат в точке А (рис.24). Определим реакции в заделке: VA=Fn + 2qn a=20+2⋅18⋅1,2 = 63 кН; МА=3Fn a+2qn a2+Mn=3⋅20⋅1,2+26⋅1,22+24 =148 кНм. Начальные параметры y0 = 0, θ 0 = 0. Продолжим пунктиром распределенную нагрузку до конца балки и покажем компенсирующую нагрузку. Запишем универсальное уравнение прогибов для данной балки, учитывая нагрузки. расположенные левее сечения z:
(3.31) Продифференцируем уравнение (3.31) и получим уравнение углов поворота:
(3.32) Полагая в уравнении (3.31) z=3a, найдем прогиб в точке Т.
3
,
524 524 ⋅ 103 ; yТ = − = −0,0137 м. EJ x 2 ⋅ 1011 ⋅ 19062 ⋅ 10 −8 Знак «минус» означает, что сечение Т переместится вниз. 7. Проверим балку на жесткость. Наибольший прогиб балки ymax = yТ =0,0137м, а допускаемый прогиб [ f ]= = l 600 = 3,6/600=0,006 м. Подставим в условие жесткости , ymax yТ =
36
0,0138м > 0,006м, следовательно, жесткость балки не обеспечена. Поэтому подбираем новое сечение из условия жесткости. 524 y max = yТ = ≤ [ f ], EJ x отсюда необходимый момент инерции 524 524 ⋅ 10 3 4 Jx ≥ = = 43700 см . 11 E [ f ] 2 ⋅ 10 ⋅ 0,006 Принимаем двутавр №55 с Wx=2035 см3, Jx=55962 см4, тогда прогиб сечения Т 524 ⋅ 103 yТ = − = −0,00468 м < [ f ] = 0,006 м. 2 ⋅ 1011 ⋅ 55962 ⋅ 10 −8 8. Определим угол поворота сечения К. Подставляя в уравнение (3.32) z=a и учитывая слагаемые, соответствующие нагрузкам от начала координат до точки К, получим V А a 2 qa 3 ⎤ 1 ⎡ 1 ⎡ 63 ⋅ 1,2 3 18 ⋅ 1,2 3 ⎤ 137 θК = − + − = − ⋅ + − кН M a 148 1 , 2 ⎢ ⎥ А ⎢ ⎥=− EJ x ⎣ 2 6 ⎦ EJ x ⎣ 2 6 ⎦ EJ x м2, 137 137 ⋅ 103 θК = = = −0,00122 рад = - 0,069°. 11 −8 EJ x 2 ⋅ 10 ⋅ 55962 ⋅ 10 Знак « - » означает, что сечение К повернется по часовой стрелке. Покажем упругую линию балки пунктиром (рис.25), ориентируясь на эпюру Mx (рис.22, в) и полученные перемещения yT и
Рис.25
3.7. Пример решения задачи №3
Условие задачи. Для шарнирно – опертой балки с заданным типом и размерами поперечного сечения (рис.26 а,б) требуется: 1) Определить расчетную нагрузку q (несущую способность балки) из условия прочности по нормальным напряжениям.
37
2) По найденной нагрузке проверить прочность сечения по касательным напряжениям. 3) Определить прогиб в сечениях T и К и угол поворота в сечении К. Показать пунктиром упругую линию балки.
Рис.26 Расчетные данные: а =2м, F = qa, M = qa2, МПа, R=210 МПа, RS = 150 МПа, Решение 1. Определение геометрические характеристики заданного составного сечения. а) Разобъем сечение (рис. 26) на две фигуры: два швеллера и прямоугольник. Находим необходимые геометрические характеристики для каждой из них. Швеллер №20 ( ГОСТ 8240-72 швеллер с параллельными гранями полок [3] ): 4 = 1530 см , статический момент полусечения Ашв = 23,4 см2, J xшв 1 3 S xшв = см , толщина стенки s = 0,52 см. 88 1
Прямоугольник 24×1,6 см bh 3 24 ⋅ 1,6 3 Апр = 38,4 см2, J xпр = = = 8,19 см4. 12 12 б) Определим положение центра тяжести данного составного сечения (рис. 27). Сечение симметрично относительно вертикальной оси у, следовательно, центр тяжести С лежит на этой оси и координата хс = 0. Остается найти координату ус. В качестве вспомогательной оси примем центральную ось швеллеров х1, тогда статический момент швеллеров будет равен нулю, т. е. S xшв = 0. Статический момент прямоугольника относительно оси х1 равен: 1 S xпр1 = A пр ⋅ y c2 = 24 ⋅ 1,6 ⋅ 10,8 = 414,7 см3.
Координата центра тяжести составного сечения + S xпр1 S xшв S xi ∑ 0 + 414,7 414,7 1 = = yc = = = 4,86 см. ∑ Ai 2 Aшв + Aпр 2 ⋅ 23,4 + 24 ⋅ 1,6 85,2
38
На рис. 27 показан центр тяжести С заданного сечения. Через точку С проводим главные центральные оси х и у. в) Вычислим момент инерции всего сечения относительно оси х. Расстояния между собственными осями частей сечения х1 и х2 и центральной осью сечения х: для швеллеров а1 = - 4.86 см, для прямоугольника а2 = 10,8 – 4,86 = 5,94 см. С учетом формулы параллельного переноса (2.7) момент инерции относительно оси х равен J x = J xшв + J xпр = 2( J xшв + a12 Aпр ) + ( J xшв + a22 Aпр ) = 1 2
= 2(1530 + (−4,86) 2 ⋅ 23,4) + (8,19 + 5,94 2 ⋅ 38,4) = 5528 см 4 .
Рис. 27
г) Определим моменты сопротивления для крайних верхних и крайних нижних волокон сечения J 5528 Wxверх = x = = 820 см3, yверх 6,74 Jx 5528 = = 372 см3. y ниж 14,86 Здесь расстояния от оси х до крайних верхних и нижних волокон (рис. 27) соответственно равны: Wxниж =
39
уверх = 10 + 1,6 - 4,86 = 6,74 см, униж = 10 + 4,86 = 14,86 см. д) Найдем статический момент части сечения, лежащей ниже уровня центральной оси х сечения ⎡⎛ ⎞ yc ⎤ Aшв ⎟ + ⋅ S xmax = 2 ⎢⎜⎜ S xшв y s y + ⋅ ⎥= c c 1 ⎟ 2 2 ⎠ ⎣⎝ ⎦ 4,86 ⎤ 23,4 ⎡⎛ ⎞ = 2 ⎢⎜ 88 + ⋅ 4,86 ⎟ + 0.52 ⋅ 4,86 ⋅ = 302 см 3 . ⎥ 2 ⎦ 2 ⎠ ⎣⎝ 2. Расчет на прочность. а) Вычислим опорные реакции и построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов от заданной нагрузки, выраженной через интенсивность q с учетом заданных коэффициентов α и β (рис. 28), и определим их расчетные значения. Запишем уравнения равновесия:
40
Рис.28 Произведем проверку правильности найденных реакций. , 2,01 qa – 2 qa =0. Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по характерным ординатам в сечениях (рис.28,б,в).
Определим z0 из условия . Экстремальное значение изгибающего момента
41
По эпюрам поперечных сил и изгибающих моментов устанавливаем наибольшие расчетные значения внутренних силовых факторов Mрасч.=0,53qa2. Qрасч.=1,03qa; в) Из условия прочности по нормальным напряжениям определим расчетную нагрузку q (несущую способность балки). Балка изготовлена из стали, материала пластичного, одинаково работающего на растяжение и сжатие. Расчет ведем по минимальному моменту сопротивления. M расч 0.53qa 2 σ max = ниж ≤ R ⋅ γ c , или σ max = ≤ R ⋅ γc , Wx Wxниж откуда R ⋅ γ c ⋅ Wxниж 210 ⋅ 10 6 ⋅ 1 ⋅ 372 ⋅ 10 6 = = 36,8 кН/ м. q≤ 0,53 a 2 0,53 ⋅ 2 2 г) Проверим прочность заданного сечения по касательным напряжениям. Q у расч ⋅ S xmax τ max = ≤ Rs γ c . by J x 1,03 ⋅ 36,8 ⋅ 10 3 ⋅ 2 ⋅ 302 ⋅ 10 −6 τ max = = 19,9 МПа < Rs ⋅γc= 150МПа. 2 ⋅ 0,52 ⋅ 10 −2 ⋅ 5528 ⋅ 10 −8 Следовательно, заданное сечение при расчетной нагрузке удовлетворяет прочности по касательным напряжениям. 3. Находим прогиб в сечении Т и угол поворота в сечении К. Для определения перемещений воспользуемся методом начальных параметров. В этом случае начало координат выбирается в крайнем левом сечении балки (сечение К в нашем примере). Но в сечении К (рис.28) оба кинематических начальных параметра θ0 и y0 не равны нулю. Условия для их определения состоят в том, что на опорах А и В прогибы равны нулю: при z = a, yA = 0, при z = 4a, yB = 0. Чтобы избежать решения системы уравнений, можно применить следующий прием. Перенести начало координат на левую опору А, заменив действие консоли соответствующими внутренними силовыми факторами. Затем рассмотреть пролетную часть балки и если необходимо, то вернуться к консоли, рассмотрев ее как консольную балку с начальным углом поворота θ0. При этом консоль следует развернуть (заделка слева) и поменять знак угла поворота . Поступим в нашем примере именно так (рис.29).
42
Рис. 29 Примем начало координат в левом опорном сечении А, ось y направим вверх, ось z – слева направо. Заменим действие отброшенной консоли внутренними силовыми факторами Qy = F, Mx= -Fa. В этом случае начальные параметры y0 = 0, а θ 0 0. Используя уравнение (3.28), запишем выражение прогиба для сечения Т.
Для определения
используем уравнение yB = 0.
откуда
Находим прогиб в сечении Т.
Определим прогиб сечения К на конце консоли (рис.28). Для этого рассмотрим консоль отдельно, предварительно развернуть ее на 180 (рис.30).
43
Рис.30 Находим угол поворота и прогиб в сечении К.
показывает, что сечение К (рис.30) Знак (-) для угла поворота повернулось по ходу часовой стрелки. Но с учетом поворота консоли на 180 на самом деле сечение К повернулось против хода часовой стрелки (рис.28).
Знак (+) показывает, что сечение К перемещается вверх. На рис. 28 пунктирной линией показана упругая линия балки. Ответ: q ≤ 36,8 кН/м; у Т = -1,87 см; у К = 0,167 см; θК = - 0,72°.
44
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Александров, А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. – М.: Высш. шк., 2000. – 560 с. 2. Дарков, А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. – М.: Высш. шк., 1989. – 629 с. 3. Писаренко, Г. С. Справочник по сопротивлению материалов / Г. С. Писаренко, А. П. Яковлев, В. В. Матвеев. – Киев: Наук. думка, 1988. – 736 с. 4. Мартынова, Т. П. Сопротивление материалов Ч.1.: учеб. пособие / Т. П. Мартынова, В. В. Москвичев, И. В. Богомаз. – М.: Ассоциации строительных вузов, 2008. – 176с. 5. Мартынова, Т. П. Сопротивление материалов в примерах и задачах Ч.1.: учеб. пособие / Т. П. Мартынова, Н. В. Новикова. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2011. – 178с. 6. Справочные материалы к лабораторно-практическим занятиям по сопротивлению материалов / Т. П. Мартынова – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2011. – 31 с. 7. Сборник задач по сопротивлению материалов / под ред. В. К. Качурина. – М.: Наука, 1972. – 429 с.
45
Приложение 1 Вариант №1
Вариант №2
46
Вариант №3
Вариант №4
47
Вариант №5
В ариант №6
48
49
Вариант №7
Вариант №8
50
Вариант №9
Вариант №10
51
Вариант №11
Вариант №12
52
Вариант №13
Вариант №14
53
Вариант №15
Вариант №16
54
Вариант №17
Вариант №18
55
Вариант №19
Вариант №20
56
Вариант №21
Вариант №22
57
Вариант №23
Вариант №24
58
Вариант №25
Вариант №26
59
Вариант №27
Вариант №28
60
Вариант № 29
Вари ант № 30
61
62
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Двутавры стальные горячекатанные (по ГОСТ 8240-89)
Номер Масса двутавра 1 м, кг 10 9,46 12 11,5 14 13,7 16 15,9 18 18,4 18а 19,9 20 21 20а 22,7 22 24 22а 25,8 24 27,3
h – высота двутавра;
J – момент инерции;
b – ширина полки;
W – момент сопротивления;
s – толщина стенки; t – средняя толщина полки;
S – статический момент полусечения;
A – площадь поперечного сечения;
i – радиус инерции.
Размеры, мм
h
b
s
t
100 120 140 160 180 180 200 200 220 220 240
55 64 73 81 90 100 100 110 110 120 115
4,5 4,8 4,9 5 5,1 5,1 5,2 5,2 5,4 5,4 5,6
7,2 7,3 7,5 7,8 8,1 8,3 8,4 8,6 8,7 8,9 9,5
A , см2
J x , см4
Wx , см3
i x , см
S x , см3
J y , см4
W y , см3
i y , см
12 14,7 17,4 20,2 23,4 25,4 26,8 28,9 30,6 32,8 34,8
198 350 572 873 1290 1430 1840 2030 2550 2790 3460
39,7 58,4 81,7 109 143 159 184 203 232 254 289
4,06 4,88 5,73 6,57 7,42 7,51 8,28 8,37 9,13 9,22 9,97
23 33,7 46,8 62,3 81,4 89,8 104 114 131 143 163
17,9 27,9 41,9 58,6 82,6 114 115 155 157 206 198
6,49 8,72 11,5 14,5 18,4 22,8 23,1 28,2 28,6 34,3 34,5
1,22 1,38 1,55 1,7 1,88 2,12 2,07 2,32 2,27 2,50 2,37
63
Номер Масса двутавра 1 м, кг 24а 29,4 27 31,5 27а 33,9 30 36,5 30а 39,2 33 42,2 36 48,6 40 57 45 66,5 50 78,5 55 92,6 60 108
Размеры, мм
h
b
s
t
240 270 270 300 300 330 360 400 450 500 550 600
125 125 135 135 145 140 145 155 160 170 180 190
5,6 6 6,0 6,5 6,5 7 7,5 8,3 9 10 11 12
9,8 9,8 10,2 10,2 10,7 11,2 12,3 13 14,2 15,2 16,5 17
A , см2
J x , см4
Wx , см3
i x , см
S x , см3
J y , см4
W y , см3
i y , см
37,5 40,2 43,2 46,5 49,9 53,8 61,9 72,6 84,7 100 118 138
3800 5010 5500 7080 7780 9840 13380 19062 27696 39727 55962 76806
317 371 407 472 518 597 743 953 1231 1589 2035 2560
10,1 11,2 11,3 12,3 12,5 13,5 14,7 16,2 18,1 19,9 21,8 23,6
178 210 229 268 292 339 423 545 708 919 1181 1491
260 260 337 337 436 419 516 667 808 1043 1356 1725
41,6 41,5 50,0 49,9 60,1 59,9 71,1 86,1 101 123 151 182
2,63 2,54 2,80 2,69 2,95 2,79 2,89 3,03 3,09 3,23 3,39 3,54
64
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Швеллеры стальные горячекатаные (по ГОСТ 8239-89)
J – момент инерции;
Номер Масса швеллера 1 м, кг 5 4,84 6,5 5,9 8 7,05 10 8,59 12 10,4 14 12,3 14а 13,3 16 14,2 16а 15,3 18 16,3 18а 17,4
h – высота швеллера;
W – момент сопротивления;
b – ширина полки; s – толщина стенки;
S – статический момент полусечения;
t – средняя толщина полки;
i – радиус инерции;
A – площадь поперечного сечения;
z0
Размеры, мм
h
b
s
50 65 80 100 120 140 140 160 160 180 180
32 36 40 46 52 58 62 64 68 70 74
4,4 4,4 4,5 4,5 4,8 4,9 4,9 5 5 5,1 5,1
t 7 7,2 7,4 7,6 7,8 8,1 8,7 8,4 9 8,7 9,3
A , см2 6,16 7,51 8,98 10,9 13,3 15,6 17,00 18,1 19,5 20,7 22,2
J x , см4 Wx , см3 22,8 48,6 89,4 174 304 491 545 747 823 1090 1190
9,1 15 22,4 34,8 50,6 70,2 77,8 93,4 10 121 132 65
i x , см 1,92 2,54 3,16 3,99 4,78 5,6 5,66 6,42 6,49 7,24 7,32
− расстояние от оси y наружной грани стенки. 4 3 S x , см3 J y , см W y , см
5,5 9 13,3 20,4 29,6 40,8 45,1 54,1 59,4 69,8 76,1
5,61 8,7 12,8 20,4 31,2 45,4 57,5 63,3 78,8 86 105
2,75 3,68 4,75 6,46 8,52 11 13,3 13,8 16,4 17 20
до
i y , см
z0 , см
0,95 1,08 1,19 1,37 1,53 1,7 1,84 1,87 2,01 2,04 2,18
1,16 1,24 1,31 1,44 1,54 1,67 1,87 1,8 2 1,94 2,13
Номер Масса швеллера 1 м, кг 20 18,4 20а 19,8 22 21 22а 22,6 24 24 24а 25,8 27 27,7 30 31,8 33 36,5 36 41,9 40 48,3
Размеры, мм
h
b
s
t
200 200 220 220 240 240 270 300 330 360 400
76 80 82 87 90 95 95 100 105 110 115
5,2 5,2 5,4 5,4 5,6 5,6 6 6,5 7 7,5 8
9 9,7 9,5 10,2 10 10,7 10,5 11 11,7 12,6 13,5
A , см2 23,4 25,2 26,7 28,8 30,6 32,9 35,2 40,5 46,5 53,4 61,5
J x , см4 Wx , см3 1520 1670 2110 2330 2900 3180 4160 5810 7980 10820 15220
152 167 192 212 242 265 308 387 484 601 761
66
i x , см 8,07 8,15 8,89 8,99 9,73 9,84 10,9 12 13,1 14,2 15,7
4 3 S x , см3 J y , см W y , см
87,8 95,9 110 121 139 151 178 224 281 350 444
113 139 151 187 208 254 262 327 410 513 642
20,5 24,2 25,1 30,6 31,6 37,2 37,3 43,6 51,8 61,7 73,4
i y , см
z0 , см
2,2 2,35 2,37 2,6 2,6 2,78 2,73 2,84 2,97 3,1 3,23
2,07 2,28 2,21 2,42 2,42 2,67 2,47 2,52 2,59 2,68 2,75
ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Уголки стальные горячекатаные равнополочные (по ГОСТ 8509-86)
b – ширина полки; t – толщина полки; A – площадь поперечного сечения; J – момент инерции; i – радиус инерции; J xy – центробежный момент инерции; z0 − расстояние от оси y до наружной грани полки. Номер Масса Размеры, мм уголка 1 м, кг t b 2 2,5 2,8 3 3,2 3,5
0,89 1,15 1,12 1,46 1,78 1,27 1,36 1,78 2,18 1,46 1,91 1,60
20 25 28 30 32 35
3 4 3 4 5 3 3 4 5 3 4 3
A , см2
J x , см4
i x , см
1,13 1,46 1,43 1,86 2,27 1,62 1,74 2,27 2,78 1,86 2,43 2,04
0,40 0,50 0,81 1,03 1,22 1,16 1,45 1,84 2,20 1,77 2,26 2,35
0,59 0,58 0,75 0,74 0,73 0,85 0,91 0,90 0,89 0,97 0,96 1,07
Jx ( max) , ix ( max) , 0
см 0,63 0,78 1,29 1,62 1,91 1,84 2,30 2,92 3,47 2,80 3,58 3,72 67
4
0
см 0,75 0,73 0,95 0,93 0,92 1,07 1,15 1,13 1,12 1,23 1,21 1,35
Jy ( max) , iy ( max) , 0
4
см 0,17 0,22 0,34 0,44 0,53 0,48 0,60 0,77 0,94 0,74 0,94 0,97
0
см 0,39 0,38 0,49 0,48 0,48 0,55 0,59 0,58 0,58 0,63 0,62 0,69
J xy , см4
z0 , см
0,23 0,28 0,47 0,59 0,69 0,68 0,85 1,08 1,27 1,03 1,32 1,37
0,6 0,64 0,73 0,76 0,80 0,80 0,85 0,89 0,93 0,89 0,94 0,97
2,10 2,58
4 5 Номер Масса Размеры, мм уголка 1 м, кг t b 4
4,5
5
5,6
6
6,3 6,5
1,85 2,42 2,98 3,52 2,08 2,73 3,37 3,90 2,32 3,05 3,77 4,47 5,15 5,82 3,44 4,25 3,71 4,58 5,43 7,10 8,70 3,9 4,81 5,72 5,91 7,73
40
45
50
56
60
63 65
3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 7 8 4 5 4 5 6 8 10 4 5 6 6 8
2,17 3,28
3,01 3,61
1,06 1,05
A , см2
J x , см4
i x , см
2,35 3,08 3,79 4,48 2,65 3,48 4,29 5,08 2,96 3,89 4,80 5,69 6,56 7,41 4,38 5,41 4,72 5,33 6,92 9,04 11,08 4,96 6,13 7,28 7,52 9,84
3,55 4,58 5,53 6,41 5,13 6,63 8,03 9,35 7,11 9,21 11,20 13,07 14,84 16,51 13,10 15,97 16,21 19,79 23,21 29,55 35,32 18,86 23,10 27,06 29,85 38,13
1,23 1,22 1,21 1,20 1,39 1,38 1,37 1,36 1,55 1,54 1,53 1,52 1,50 1,49 1,73 1,72 1,85 1,84 1,83 1,81 1,79 1,95 1,94 1,93 1,99 1,97
4,76 5,71 Jx ( max) , 0
см 5,63 7,26 8,75 10,13 8,13 10,52 12,74 14,80 11,27 14,63 17,77 20,72 23,47 26,03 20,79 25,36 25,69 31,40 36,81 46,77 55,64 29,90 36,80 42,91 47,38 60,42 68
4
1,33 1,32 ix ( max) , 0 см 1,55 1,53 1,52 1,50 1,75 1,74 1,72 1,71 1,95 1,94 1,92 1,91 1,89 1,87 2,18 2,16 2,33 2,32 2,31 2,27 2,24 2,45 2,44 2,43 2,51 2,48
1,25 1,52 Jy ( max) ,
0,68 0,68 iy ( max) ,
см4 1,47 1,90 2,30 2,70 2,12 2,74 3,33 3,90 2,95 3,80 4,63 5,43 6,21 6,98 5,41 6,59 6,72 8,18 9,60 12,34 15,00 7,81 9,52 11,18 12,32 15,85
см 0,79 0,78 0,78 0,78 0,89 0,89 0,88 0,88 1,00 0,99 0,98 0,98 0,97 0,97 1,11 1,10 1,19 1,18 1,18 1,17 1,16 1,25 1,25 1,24 1,28 2,48
0
0
1,75 2,10
1,01 1,05
J xy , см4
z0 , см
2,08 2,68 3,22 3,72 3,00 3,89 4,71 5,45 4,16 5,42 6,57 7,65 8,63 9,52 7,69 9,41 9,48 11,61 13,60 17,22 20,32 11,00 13,70 15,90 17,53 22,29
1,09 1,13 1,17 1,21 1,21 1,26 1,30 1,34 1,33 1,38 1,42 1,46 1,50 1,53 1,52 1,57 1,62 1,66 1,70 1,78 1,85 1,69 1,74 1,78 1,83 1,90
7
4,87
70
4,5
6,20
29,04
2,16
A , см2
J x , см4
i x , см
6,86 8,15 9,42 10,67 13,11 7,39 8,78 10,15 11,50 12,83 8,63 9,38 10,85 12,30 15,14 17,90 10,61 12,28 13,93 15,60 17,17 20,33 12,82 13,75 15,60 19,24
31,94 37,58 42,98 48,16 57,90 39,53 46,57 53,34 59,84 66,10 52,63 56,97 65,31 73,36 88,58 102,74 82,10 94,30 106,11 118,00 128,60 149,67 122,10 130,59 147,19 178,95
2,16 2,15 2,14 2,12 2,10 2,31 2,36 2,29 2,28 2,27 2,47 2,47 2,45 2,44 2,42 2,40 2,78 2,77 2,76 2,75 2,74 2,71 3,09 3,08 3,07 3,05
46,03
2,72
12,04
1,39
17,00
1,88
Номер Масса Размеры, мм уголка 1 м, кг t b
7
7,5
8
9
10
5,38 6,39 7,39 8,37 10,29 5,8 6,89 7,96 9,02 10,07 6,78 7,36 8,51 9,65 11,88 14,05 8,33 9,64 10,93 12,20 13,48 15,96 10,06 10,79 12,25 15,10
70
75
80
90
100
5 6 7 8 10 5 6 7 8 9 5,5 6 7 8 10 12 6 7 8 9 10 12 6,5 7 8 10
Jx ( max) , ix ( max) , 0
см 50,67 59,64 68,19 76,35 91,52 62,65 73,87 84,61 94,89 107,72 83,56 90,40 103,66 116,39 140,31 162,39 130,00 149,67 168,42 186,00 203,93 235,88 193,46 207,01 233,46 283,83 69
4
0
см 2,72 2,71 2,69 2,68 2,64 2,91 2,90 2,89 2,87 2,86 3,11 3,11 3,09 3,08 3,04 3,01 3,50 3,49 3,48 3,46 3,45 3,41 3,89 3,88 3,87 3,84
Jy ( max) , iy ( max) , 0
4
см 13,22 15,52 17,77 19,97 24,27 16,41 19,28 22,07 24,80 27,48 21,80 23,54 26,97 30,32 36,85 43,21 33,97 38,94 43,80 48,60 53,27 62,40 50,73 54,16 60,92 74,08
0
см 1,39 1,38 1,37 1,37 1,36 1,49 1,48 1,48 1,47 1,46 1,59 1,58 1,58 1,57 1,56 1,55 1,79 1,78 1,77 1,77 1,76 1,75 1,99 1,98 1,98 1,96
J xy , см4
z0 , см
18,70 22,10 25,20 28,20 33,60 23,10 27,30 31,20 35,00 38,00 30,90 33,40 38,30 43,00 56,70 59,50 48,10 55,40 62,30 68,00 75,30 86,20 71,40 76,40 86,30 110
1,90 1,94 1,99 2,02 2,10 2,02 2,06 2,10 2,15 2,18 2,17 2,19 2,23 2,27 2,35 2,42 2,43 2,47 2,51 2,55 2,59 2,67 2,68 2,71 2,75 2,83
17,90
12 Размеры, мм Номер Масса уголка 1 м, кг t b 10 11 12
12,5
14
15
16
20,63 21,97 23,30 11,89 13,50 14,76 18,24 21,67 26,68 15,46 17,30 19,10 22,68 26,20 29,55 19,41 21,45 25,50 23,02 27,39 33,82 40,11 24,67 27,02 29,35 33,97 38,52
100 110 120
125
140
150
160
14 15 16 7 8 8 10 12 15 8 9 10 12 14 16 9 10 12 10 12 15 18 10 11 12 14 16
22,80
208,90
3,03
A , см2
J x , см4
i x , см
26,28 27,99 29,68 15,15 17,20 18,80 23,24 27,60 33,99 19,69 22,00 24,33 28,89 33,37 37,77 24,72 27,33 32,49 29,33 34,89 43,08 51,09 31,43 34,42 37,39 43,57 49,07
237,15 250,68 263,82 175,61 198,17 259,75 317,16 371,80 448,90 294,36 327,48 359,82 422,23 481,76 538,56 465,72 512,29 602,49 634,76 747,48 908,38 1060,1 774,2 844,2 912,9 1046,5 1175,2
2,99 2,98 3,40 3,40 3,39 3,72 3,69 3,67 3,63 3,87 3,86 3,85 3,82 3,80 3,78 4,34 4,33 4,31 4,65 4,63 4,59 4,56 4,96 4,95 4,94 4,92 4,89
330,95 Jx ( max) , 0
см 374,98 395,87 416,04 278,54 314,51 412,45 503,79 590,28 711,32 466,76 520,00 571,04 670,02 763,90 852,84 739,42 813,62 956,98 1008,56 1187,86 1442,60 1680,92 1229,10 1340,66 1450,00 1662,13 1865,73 70
4
3,81 ix ( max) , 0 см 3,78 3,76 3,74 4,29 4,28 4,68 4,66 4,62 4,57 4,87 4,86 4,84 4,82 4,78 4,75 5,47 5,46 5,43 5,86 5,83 5,79 5,74 6,25 6,24 6,23 6,2 6,17
86,84 Jy ( max) , 0
4
см 99,32 105,48 111,61 72,68 81,83 107,04 130,54 153,33 186,48 121,96 135,88 148,59 174,43 199,62 224,29 192,03 210,96 248,01 260,97 307,09 374,17 439,24 319,38 317,77 375,78 430,81 484,64
1,95 iy ( max) , 0
см 1,94 1,94 1,94 2,19 2,18 2,39 2,37 2,36 2,34 2,49 2,48 2,47 2,46 2,45 2,44 2,79 2,78 2,76 2,98 2,97 2,95 2,93 3,19 3,18 3,17 3,16 3,14
122
2,91
J xy , см4
z0 , см
138 145 152 106 116 153 187 218 262 172 192 211 248 282 315 274 301 354 374 440 534 621 455 496 537 615 690
2,99 3,03 3,06 2,96 3,00 3,25 3,33 3,44 3,53 3,36 3,40 3,45 3,53 3,61 3,68 3,78 3,82 3,90 4,07 4,15 4,27 4,38 4,30 4,35 4,39 4,47 4,55
Номер Масса Размеры, мм уголка 1 м, кг t b 16
18
20
22
25
43,01 47,44 30,47 33,12 40,96 48,66 53,72 36,97 39,92 42,80 48,65 54,40 60,08 71,26 74,20 87,56 47,40 53,83 61,55 68,56 76,11 83,31 93,97 104,5 111,4 128,5
160
180
200
220
250
18 20 11 12 15 18 20 12 13 14 16 18 20 24 25 30 14 16 16 18 20 22 25 28 30 35
A , см2
J x , см4
i x , см
54,79 60,40 38,80 42,19 52,18 61,99 68,43 47,10 50,85 54,60 61,98 69,30 76,54 90,78 94,29 111,5 60,38 68,58 78,40 87,72 96,96 106,1 119,7 133,1 142,0 163,7
1290,2 1418,8 1216,4 1316,6 1607,4 1884,1 2061,1 1822,8 1960,8 2097,0 2362,6 2620,6 2871,5 3350,7 3466,2 4019,6 2814,4 3175,4 4717,1 5247,2 5764,9 6270,3 7006,4 7716,9 8176,5 9281,0
4,87 4,85 5,60 5,59 5,55 5,51 5,49 6,22 6,21 6,20 6,17 6,15 6,12 6,08 6,06 6,00 6,83 6,80 7,76 7,73 7,71 7,69 7,65 7,61 7,59 7,53
Jx ( max) , ix ( max) , 0
см 2061,03 2248,26 1933,10 2092,78 2554,99 2992,69 3271,31 2806,16 3116,18 3333,00 3755,39 4164,54 4560,42 5313,59 5494,04 6351,05 4470,15 5045,37 7492,10 8336,69 9159,73 9961,60 11125,5 12243,8 12964,7 14682,7 71
4
0
см 3,16 6,10 7,06 7,04 7,00 6,95 6,91 7,84 7,83 7,81 7,78 7,75 7,72 7,65 7,63 7,55 8,60 8,58 9,78 9,75 9,72 6,69 9,64 9,59 9,56 9,47
Jy ( max) , iy ( max) , 0
4
см 537,46 589,43 499,78 540,45 659,73 775,44 850,92 749,40 805,35 861,60 969,74 1076,74 1181,92 1387,73 1438,38 1698,16 1158,56 1305,02 1942,09 2157,78 2370,01 2579,04 2887,26 3189,89 3388,98 3879,37
0
см 3,13 3,12 3,59 3,58 3,56 3,54 3,53 3,99 3,98 3,97 3,96 3,94 3,93 3,91 3,91 3,89 4,38 4,36 4,98 4,96 4,94 4,93 4,91 4,90 4,89 4,87
J xy , см4
z0 , см
771 830 716 776 948 1108 1210 1073 1156 1236 1393 1544 1689 1963 2028 2332 1655 1862 2775 3089 33,95 3691 4119 4527 4788 5402
4,63 4,70 4,85 4,89 5,01 5,13 5,20 5,37 5,42 5,46 5,54 5,62 5,70 5,85 5,89 6,07 5,91 6,02 6,75 6,83 6,91 7,00 7,11 7,23 7,31 7,49
ПРИЛОЖЕНИЕ 5 Уголки стальные горячекатаные неравнополочные ( по ГОСТ 8509-86) B – ширина большей Jxy – центробежный полки; момент инерции; b - ширина меньшей W – осевой момент полки; сопротивления; t – толщина полки; x0, y0 – расстояние от центра тяжести до J – момент инерции; наружных граней полок i – радиус инерции;
Но ме р про ‐ фи ля 1 2,5 /1, 6 3,2 /2
Размеры, мм y0, см
14 0,34
15 0,42
16 0,8 6
17 0,2 2
18 0,392
0,43 0,43
0,49 0,53
1,0 8
0,4 7
0,382 0,274
Wx , см3
ix, см
Jy, см4
Wy, см3
Jy, см4
Ju min, см4
Wu, см3
iu min,
B
b
t
2 25
3 16
4 3
5 1,16
6 0,70
7 0,43
8 0,78
9 0,22
10 0,19
11 0,44
12 0,13
13 0,16
32
20
34
1,49 1,94
1,52 1,93
0,72 0,93
1,01 1,00
0,46 0,57
0,30 0,39
0,55 0,54
0,28 0,35
0,25 0,33
72
x0 , см
Угол Jxy, накло н оси, см4 tgα
Пло‐ Jx, щадь сечения см4 А, см2
см
4/3 40
30
4 5
2,67 3,28
4,18 5,04
1,54 1,88
1,25 1,24
2,01 2,41
0,91 1,11
0,87 0,86
1,09 1,33
0,75 0,91
0,64 0,84
0,78 0,82
5/3 ,2
50
32
3 4
2,42 3,17
6,18 7,98
1,82 2,38
1,60 1,59
1,99 2,56
0,81 1,05
0,91 0,90
1,18 1,52
0,68 0,88
0,70 0,69
0,72 0,76
5,6 /3, 6
56
36
4 5
3,58 4,41
11,37 13,82
3,01 3,70
1,78 1,77
3,70 4,48
1,34 1,65
1,02 1,01
2,19 2,55
1,13 1,37
0,78 0,78
0,84 0,88
1,1 2 1,2 8 1,2 2 1,6 0 1,6 5 1,8 2 1,8 7
0,5 9 1,6 8 2,0 0 2,0 1 2,5 9 3,7 4 4,5 0
0,544 0,539
0,403 0,401
0,406 0,404
Продолжение приложения 5 1 6,3 /4, 0
2 63
3 40
7/4 ,5 7,5 /5
70
45
75
50
4 4 5 6 8 5
5 4,04 4,98 5,90 7,68 5,59
6 16,33 19,91 23,31 29,60 27,76
7 3,83 4,72 5,58 7,22 5,88
8 2,01 2,00 1,99 1,96 2,23
9 5,16 6,26 7,29 9,15 9,05
10 1,67 2,05 2,42 3,12 2,62
11 1,13 1,12 1,11 1,09 1,27
12 3,07 3,73 4,36 5,58 5,34
13 1,41 1,72 2,07 2,60 2,20
14 0,87 0,86 0,86 0,85 0,98
15 0,91 0,95 0,99 1,07 1,05
16 2,03 2,08 2,12 2,20 2,28
17 5,25 6,41 7,44 9,27 9,12
18 0,397 0,396 0,393 0,386 0,406
5 6 7 8
6,11 7,25 8,37 9,47
34,81 40,92 46,77 52,38
6,81 8,08 9,31 10,52
2,39 2,38 2,36 2,35
12,42 14,60 16,61 18,52
3,25 3,85 4,43 4,88
1,43 1,42 1,41 1,40
7,24 8,48 9,69 10,8 7
2,73 3,21 3,69 4,14
1,09 1,08 1,08 1,07
1,17 1,21 1,25 1,29
2,39 2,44 2,48 2,52
12,0 0 14,1 0 16,1 8
0,436 0,425 0,435 0,430
73
8/5 80
50
5 6
6,36 7,55
41,64 48,98
7,71 9,15
2,56 2,55
12,68 14,85
3,28 3,88
1,41 1,40
7,57 8,88
2,75 3,24
1,09 1,08
1,13 1,17
2,60 2,65
11,7 7 12,7 0 16,2 9 22,7 7 25,2 4 30,6 0 36,9 4 43,4 0 48,8 2 59,3 3 70,2 7 85,5
3,81 4,12 5,32
1,22 1,22 1,21
1,26 1,28 1,36
2,92 2,95 3,01
6,43 7,26 8,83
1,41 1,41 1,40
1,52 1,56 1,64
3,24 3,28 3,37
7,05
1,51
1,58
3,55
9,96 11,2 5 16,7 4
1,76 1,75 1,74
1,80 1,84 1,82
4,01 4,04 4,14
14,3 9 17,5
1,98 1,96
2,03 2,12
4,49 4,58
9/5 ,6
90
56
5,5 6 8
7,86 8,54 11,18
65,28 70,58 90,87
10,74 11,66 15,24
2,88 2,80 2,85
19,67 21,22 27,08
4,53 4,91 6,39
1,58 1,58 1,56
10/ 6,5
10 0
65
7 8 10
11,23 12,73 15,67
114,05 38,31 155,52
16,87 19,11 23,45
3,19 3,18 3,15
38,32 42,96 51,68
7,70 8,70 10,64
1,85 1,84 1,82
11/ 7 12/ 5,8
11 0 12 5
70
6,5
11,45
142,42
19,11
3,53
45,61
8,42
2,00
80
7 8 10
14,06 15,98 19,70
226,53 255,62 311,61
26,67 30,27 37,27
4,01 4,00 3,98
73,73 80,95 100,47
11,89 13,47 16,52
2,29 2,28 2,26
14/ 9
14 0
90
8 10
18,00 22,24
363,68 414,45
38,25 47,19
4,49 4,47
119,79 145,54
17,19 21,14
2,58 2,56
74
17,8 0 13,2 0 15,5 0 20,5 4 22,2 3 28,3 3 38,0 0 42,6 4 51,1 8 46,8 0 74,7 0 84,1 0 102, 00 121, 00 147,
0,387 0,386
0,384 0,384 0,380
0,415 0,414 0,410
0,402 0,407 0,406 0,414
0,411 0,409
16/ 10
16 0
100 9 10 12 14
22,87 25,28 30,04 34,72
605,97 666,59 734,22 897,19
56,04 61,91 73,42 84,65
5,15 5,13 5,11 5,08
186,03 204,09 238,75 271,60
23,96 26,42 31,23 35,89
2,85 2,84 2,82 2,80
1 110, 40 121, 16 142, 14 162, 49
8 20,0 1 22,0 2 25,9 3 29,7 5
2,20 2,19 2,18 2,16
2,24 2,28 2,36 2,43
5,19 5,23 5,32 5,40
00 194, 00 213, 00 249, 00 282, 00
0,391 0,390 0,388 0,385
18/ 11 20/ 12, 5
180 200
110 10 12 125 11 12 14 16
28,33 33,69 34,87 37,89 43,87 49,77
952,28 1122,56 1449,02 1568,19 1800,83 2026,08
78,59 93,33 107,31 116,51 134,64 152,41
5,80 5,77 6,45 6,43 6,41 6,38
276,37 324,09 446,36 481,93 550,77 616,66
32,27 38,20 45,98 49,85 57,43 64,83
75
3,12 3,10 3,58 3,57 3,54 3,52
165,44 194,28 263,84 285,04 326,54 366,99
26,96 31,83 38,27 41,45 47,57 53,56
2,42 2,40 2,75 2,74 2,73 2,72
2,44 2,52 2,79 2,83 2,91 2,99
5,88 5,97 6,50 6,54 6,62 6,71
295,00 348,00 465,00 503,00 575,00 643,00
0,376 0,376 0,392 0,392 0,390 0,388