Модели формирования вариантов размещения скважин на залежах нефти и газа

К 80-летию РГУ нефти и газа

имени И.М. Губкина

А. 1.

Ermolaev

MODELS OF WELL PLACEMENT VARIANTS IN OIL AND GAS FIELDS А

Textbook

--·----

MOSCOW- 2010

Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М. ГУБКИНА

Кафедра разработки и эксплуатации газовых и газоконденсатных месторождений

А.И. Ермолаев

МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ВАРИАНТОВ РАЗМЕЩЕНИЯ СКВАЖИН НА ЗАЛЕЖАХ НЕФТИ И ГАЗА (учебное пособие)

Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по нефтегазовому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки магистратуры «Нефтегазовое дело» по представлению Ученого совета ГОУ ВПО «Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина»

Москва 2010

1

УДК 622.279.342

Реценз енты: д.т.н., проф. М.К. Рогачев, д.т.н., проф. В.М. Максимов

Ермолаев А.И. Модели формирования вариантов размещения скважин на залежах нефти и газа − РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2010. − 95 с. ISBN 978-5-91961-003-8 Предметом исследования (изучения) в данном пособии являются математические аспекты проблем рационального размещения скважин и кустовых площадок на нефтяной, газовой (газоконденсатной) залежи. Предлагается подход, основанный на формулировке задач в виде моделей дискретного программирования. Это позволяет для их решения применить хорошо изученные алгоритмы целочисленной оптимизации, реализованные в доступных для широкого круга пользователей программных пакетах. В качестве критериев рационального размещения скважин используются эвристические правила, испытанные многолетней практикой разработки месторождений углеводородов. Рассматриваются различные способы формализации этих правил. Пособие предназначено для студентов и магистрантов, изучающих дисциплины «Модели оптимальной разработки нефтяных и газовых месторождений» и «Компьютерное моделирование разработки нефтяных и газовых месторождений».

 Ермолаев А.И., 2010

ISBN 978-5-91961-003-8

 РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2010

2

Введение Целью проектирования процессов освоения нефтяных и газовых месторождений являются формирование и выбор вариантов их разработки, обеспечивающих приемлемые значения технико-экономических показателей эффективности эксплуатации залежей. Одним из направлений, ориентированных на достижение этой цели, является использование при проектировании компьютерных технологий, позволяющих имитировать поведение сложных пластовых систем при различных управляющих воздействиях. В свою очередь, компьютерные технологии основаны на применении математических методов, реализованных в виде программных комплексов, помогающих проектировщику сформировать наиболее приемлемые решения, в частности, связанные с размещением скважин и кустовых площадок. Именно разработке и изучению моделей и методов рационального размещения скважин, кустовых площадок (технологических платформ), распределения скважин по кустам посвящено основное содержание данного пособия. Поиск рационального размещения скважин относится к числу основных задач проектирования разработки месторождений нефти и газа. Решение этой проблемы вызывает необходимость в учете значительного числа природных и технологических параметров. Поэтому возможны ситуации, когда в помощь специалистам требуется привлечение формализованных алгоритмов формирования и выбора рационального размещения скважин, которые позволяют учесть и экспертную информацию (опыт и интуицию специалистов), и информацию, содержащуюся в геолого-математических моделях продуктивных пластов. В современных программных комплексах по моделированию процессов разработки залежей углеводородов реализовано два подхода к решению задачи рационального размещения скважин. Первый подход 3

характеризуется тем, что решение этой задачи сводят к поиску оптимальной плотности сетки скважин, когда наилучшая схема выбирается из заранее заданных «вариантов-шаблонов», отличающихся расстояниями между скважинами. Очевидно, что такая трактовка рационального размещения скважин не является всеобъемлющей. Например, при существенной изменчивости фильтрационно-емкостных свойств пласта, а также сложной геометрической форме продуктивной площади приходится использовать неравномерные (нерегулярные) сетки, в большей степени учитывающие неоднородность пласта и его геометрию. В этом случае поиск оптимальной плотности сетки скважин (расстояния между скважинами) во многом обесценивается. Второй подход основан на включении фильтрационных моделей в процедуры оптимизации. Такой подход требует многократного обращения к симулятору, осуществляющему гидродинамические расчеты, что существенно ограничивает возможности такого подхода при проектировании разработки реальных объектов добычи нефти и газа. Обсуждаемые в данном пособии модели и алгоритмы формирования схем размещения скважин в значительной мере позволяют обойти указанные затруднения. Это достигается за счет того, что определяются решения, оптимальные по критериям, не требующим ни заранее заданного перечня вариантов, ни многократного обращения к симуляторам. Однако эти критерии связаны с критериями максимизации коэффициентов извлечения нефти и газа (КИН и КИГ). Конечно, нельзя утверждать, что решения, сформированные с помощью предлагаемых критериев, будут оптимальны по значениям КИН или КИГ. Можно лишь говорить о получении рациональных решений с точки зрения КИН или КИГ. Процедура формирования реализуется в нескольких этапов. На первом этапе залежь разбивается (возможно, с помощью экспертов) на блоки одинаковой площади (объема). Если предполагается применение горизонтальных скважин, то размеры каждого блока должны 4

быть такими, чтобы стало возможным размещение в нем горизонтального участка скважины в любом направлении. На втором этапе с помощью пакетов по геологическому и гидродинамическому моделированию оцениваются геологические (если возможно, извлекаемые) запасы углеводородных ресурсов каждого блока либо с привлечением экспертной информации определяются другие характеристики, влияющие на расстановку скважин. На третьем этапе с использованием оценок, полученных на предыдущей стадии, рассчитывается показатель «полезности» каждого блока с точки зрения размещения в этом блоке забоя скважины. На четвертом этапе определяется вариант размещения скважин, т.е. набор блоков, содержащих забои скважин. Рассмотрена также задача перевода части добывающих скважин в фонд нагнетательных скважин. Описание предлагаемого подхода к поиску рациональной расстановки скважин приведено во втором, третьем и четвертом разделах пособия (см., также работы [1, 2]). В пятом разделе пособия рассмотрены модели оптимального размещения кустовых площадок и распределении скважин по кустам (модели кустования). Рассмотрен случай, когда поставленную задачу можно свести к классической транспортной модели с правильным балансом, что позволяет для ее решения использовать методы линейного программирования (предлагается использовать модификацию метода потенциалов). Это приводит к возможности эффективного решения задач большой размерности, что важно при практическом применении изучаемых моделей оптимизации. В шестом разделе пособия дано краткое описание процедур формирования вариантов размещения скважин, а также предлагаются алгоритмы выбора рационального числа скважин для газовой залежи. Формирование множества вариантов заключается в многократном решении оптимизационных задач, отличающихся друг от друга наборами исходных параметров и эвристических правил, на основе которых строятся критерии оптимальности. Например, можно изменять экспертные оценки важности того или иного показателя эффективно5

сти, можно корректировать или дополнять набор эвристических правил. Множество оптимальных решений, каждое из которых получено при определенном наборе исходных данных и правил, становится множеством исходных вариантов. Каждый из таких оптимальных вариантов является лучшим с точки зрения одних показателей, но не лучшим с точки зрения других. В качестве варианта, подлежащего реализации, выбирается один из оптимальных вариантов, представляющий собой компромиссное решение, наиболее приемлемое с точки зрения всех показателей эффективности. Таким образом, оптимизация является инструментом для осуществления начальной стадии – стадии формирования исходных вариантов. В пособии основное внимание уделяется именно изучению моделей и алгоритмов оптимизации как средств, направленных на повышение качества проектов разработки нефтяных и газовых залежей. В зависимости от исходных данных, имеющихся в распоряжении проектировщиков, и выходных параметров, выбранных ими в качестве показателей эффективности, задачи расстановки скважин и кустовых площадок, распределения скважин по кустам могут иметь различную математическую интерпретацию. Любая разумная интерпретация, обладая достоинствами, к сожалению, не лишена недостатков. Поэтому рассмотренные в данном пособии модели и алгоритмы не являются единственно возможными математическими средствами поддержки принимаемых проектных решений. Именно умение в конкретных условиях выбирать средства, использовать в наибольшей степени свои достоинства для достижения целей и определяет профессиональный уровень исследователя и специалиста. Повысить вероятность достижения целей можно расширением перечня средств. Поэтому автор надеется, что знакомство будущих специалистов с данным пособием позволит увеличить число доступных им методов оптимального проектирования и, тем самым, будет способствовать повышению их профессионального уровня. 1. КРАТКИЙ ОБЗОР ОСНОВНЫХ ПОДХОДОВ 6

К ФОРМИРОВАНИЮ СХЕМ РАЗМЕЩЕНИЯ СКВАЖИН

При проектировании разработки месторождений природных углеводородов одним из основных этапов является формирование рационального варианта размещения эксплуатационных скважин на продуктивной площади. К настоящему времени имеется огромное количество работ, посвященных этой проблеме. В соответствии с общепринятыми правилами разработки неоднородных залежей скважины размещаются в зонах с благоприятной проницаемостью и значительной толщиной продуктивного пласта [3]. В качестве показателя эффективности размещения скважин часто используются коэффициенты извлечения газа и нефти (КИГ и КИН). Схемы размещения скважин можно разделить на две основные группы [4] регулярные (равномерные) и нерегулярные (неравномерные). При регулярном размещении скважин сетку скважин можно разбить на множество однотипных элементов разработки, одинаковых по расположению и числу скважин. Нефтяные пласты разрабатываются, в основном, системой эксплуатационных скважин, расположенных, чаще всего, или рядами, или в виде регулярной (равномерной) треугольной или квадратной сетки. Размещение скважин рядами применяется при разработке нефтяных пластов с высокой продуктивностью и хорошей проницаемостью, а также в условиях, когда залежь нефти подчинена стратиграфической ловушке. В других случаях целесообразнее размещать скважины по геометрической сетке. По сравнению с другими регулярными схемами расстановки скважин треугольная сетка обеспечивает бóльший охват пласта дренированием и поэтому получила наибольшее распространение. Разработка газовых месторождений характеризуется меньшим числом скважин и, соответственно, бóльшими расстояниями между 7

ними по сравнению с разработкой нефтяных месторождений. Газовые скважины стремятся разместить в купольной части структуры, чтобы удлинить период безводной добычи. Число газовых скважин определяется проектируемой годовой добычей газа, продуктивными возможностями всего месторождения или его отдельных горизонтов. Не менее важным соображением при размещении скважин является максимально возможное сокращение длины промыслового коллектора для минимизации потерь давления при движении газа по трубам. Поэтому скважины стремятся разместить ближе к магистральному газопроводу. Регулярное размещение скважин предпочтительно использовать, если залежь можно представить однородным продуктивным пластом, когда его емкостные и фильтрационные параметры можно считать одинаковыми для всех участков пласта. Регулярное размещение скважин определяется видом элемента разработки (взаимным расположением скважин внутри элемента) и двумя параметрами: числом скважин и общей продуктивной площадью (отношение второго к первому называется плотностью сетки скважин). Равномерное размещение не является эффективным, когда разрабатывается коллектор с неоднородными и сложными фильтрационно-емкостными свойствами. В таких случаях использование неравномерных схем размещения скважин является более обоснованным, так как позволяет в большей степени приспособиться к особенностям конкретного месторождения. Задачу выбора рационального размещения скважин можно свести к выбору наилучшего варианта среди различных, заранее заданных вариантов регулярных и нерегулярных расстановок скважин. Выбор производиться по различным технико-экономическим показателям. Подобный подход широко распространен в практике проектирования разработки месторождений. Эффективность такого подхода зависит от того, насколько эффективны варианты, включенные в исходный 8

перечень. Очевидно, что при «неудачном» формировании исходного перечня даже лучший вариант может обладать неприемлемыми показателями эффективности. В работе [5] предложен алгоритм поиска оптимального размещения эксплутационных скважин на газовых залежах, не требующий заранее заданных вариантов размещения. На первом этапе метода рассчитываются удельные текущие запасы газа для элементов сеточной области, в виде которой представлена газовая залежь. Затем выделяется область допустимого размещения скважин, исходя из ограничений на минимальную величину удельных запасов газа. После этого элементы ранжируются в порядке убывания удельных текущих запасов. Новые скважины (кусты скважин) размещаются в первом элементе полученного массива. Следующей скважине присваиваются координаты следующего по порядку элемента и т.д. Однако, как следует из практики разработки нефтяных и газовых месторождений, удельные текущие запасы нельзя считать единственно верными исходными параметрами размещения. Например, очень важными характеристиками являются взаимное расположение скважин и расстояния между ними, что в упомянутой работе не учитывается. Многие исследователи (см., например, [6]) при формировании оптимальных схем размещения скважин предлагают использовать различные алгоритмы случайного поиска. Для сокращения числа запусков гидродинамической модели пласта применяются нейронные сети и крайкинг. Это, однако, не дает существенного сокращения числа обращений к пакету гидродинамического моделирования для расчета показателей эффективности варианта размещения. Примером такого подхода является работа [7], посвященная созданию комплекса моделей и алгоритмов для нахождения оптимального размещения скважин и определения их конфигурации. Методика основывается на сеточной модели пласта и включает оптимизационную программу, основанную на одной из версий алгоритма случайно9

го поиска. Формируемое размещение добывающих и нагнетательных скважин подчиняется определенным правилам, которые заранее формулируются специалистами. В оптимизационную задачу включается оценка стоимостных показателей строительства скважин и учитываются текущие цены на добываемую продукцию. Однако следует отметить, что реализация методики сопряжена со значительными временными затратами, связанными с большим числом обращений к симулятору при поиске оптимального расположения скважин. Предлагаемые в статье [8] алгоритмы определяют зоны перфорации и схему размещения скважин на основе статической модели коллектора. В качестве исходной информации необходимо иметь набор вариантов размещения скважин, формирование которого является самостоятельной и трудоемкой задачей. Расстановка заданного числа скважин осуществляется на модели коллектора, разбитого на блоки, размеры которых определяются ограничением на межскважинное расстояние. Следует отметить, что для реализации изложенного подхода также требуются значительные временные ресурсы и объемы компьютерной памяти, которые могут оказаться недосягаемыми даже для современных вычислительных средств. В работе [9] для сокращения времени на формирование рациональных вариантов размещения скважин предлагается использовать упрощенные модели пласта (Proxy-model). Однако это может привести к тому, что факторы, имеющие решающее значение для размещения скважин, могут оказаться невостребованными. В работе [10] вводится понятие «карты качества» пласта, которая представляется двумерным массивом. Использование предварительно построенной карты качества пласта позволяет оценить продуктивность участков залежи без запуска симулятора в процессе оптимизации. Принцип создания карты качества пласта состоит в следующем. В начале модель пласта разделяется на блоки. Фильтрационноемкостные свойства блоков отличаются друг от друга, так как отли10

чаются параметры ячеек, составляющих блоки. В одном из блоков размещается скважина и запускается гидродинамический симулятор для расчета показателей разработки, в том числе КИГ или КИН. Переставляя скважину из блока в блок и запуская после каждой перестановки симулятор, формируют массив из показателей добычи, что и будет являться двумерной картой качества. Из этого описания следует, что требуется многократный запуск симулятора на стадии формирования карты качества. Основная идея работы [11] заключается в построении зависимости функции цели от координат мест размещения скважин. Имея непрерывную зависимость и используя, например, градиентные методы, можно найти оптимальные координаты размещения скважин. Однако остается непреодолимой проблема, связанная с большим объемом вычислений, необходимых для построения функции цели. В статье [12] предложена методика размещения морских платформ, основанная на алгоритме ветвей и границ. В качестве практического применения приводится пример разработки шельфового месторождения. При решении задачи необходимо задать различные сценарии освоения, которые значительно сокращают время вычислений. В работе [13] поиск места расположения скважин в пласте сводится к решению задачи коммивояжера на графе, который заменяет сеточную модель пласта. При этом роль «пунктов назначения» играют скважины, а график очередности ввода скважин в эксплуатацию совпадает с графиком обхода коммивояжером «пунктов назначения». С помощью методов дискретного программирования и численных расчетов с использованием геолого-математической модели залежи оптимизируется последовательность ввода. По сути дела, под поиском оптимального размещения скважин понималась процедура отбора скважин из заранее заданного множества. 11

Остановимся подробнее на анализе применяемых программных средствах, позволяющих в автоматическом режиме формировать и выбирать наилучшие, в некотором смысле, схемы размещения скважин. В настоящее время существует множество программных пакетов, с помощью которых инженеры-разработчики создают проекты разработки месторождений углеводородов. Среди таких пакетов можно выделить программный продукт PlanOpt, являющийся одним из модулей известного гидродинамического симулятора Eclipse компании Schlumberger. Этот пакет относится к числу наиболее используемых программных средств при моделировании пластовых систем. Модуль PlanOpt основан на генетическом алгоритме [14]. Процесс оптимизации представляет собой итерационную процедуру. На начальной стадии исключаются все скважины, которые не удовлетворяют заданным критериям. Основной целью этой стадии является уменьшение времени решения задачи и используемой памяти компьютера. На этапе оптимизации участвуют «выжившие» на первой стадии скважины. На этом этапе программа запускает серию гидродинамических расчетов. В конце каждого расчета скважины ранжируются в соответствии со значением целевой функции, которое после каждой итерации пересчитывается. В качестве целевой функции используется КИН или КИГ [14]. За один просчет фиксированный процент скважин исключается из списка «кандидатов». Цикл расчетов производиться до тех пор, пока не будет определено требуемое (заданное) количество скважин. В работе [15] были представлены 2 примера по автоматическому процессу размещения скважин. В первом из них рассматривалось крупное нефтяное месторождение Ekofisk в Норвежском секторе Северного моря. С помощью процедуры PlanOpt производилось автоматическое размещение 32 скважин. Во втором примере рассматривалось размещение скважин на нефтегазоконденсатном месторождении Smorbukk, представленном сложным песчанистым коллектором. Мо12

дуль PlanOpt определил места для расстановки 18 скважин, которые присоединялись к 6 технологическим платформам. В обоих случаях было достигнуто повышение КИН, КИГ и экономических показателей. Итак, основными достоинствами известных методик по рациональному размещению скважин являются: 1) привлечение знаний экспертов и использование симуляторов (пакетов по гидродинамическому моделированию пластовых систем), что позволяет учесть неоднородность пласта и другие важные характеристики, участвующие в формировании допустимых вариантов размещения скважин; 2) использование алгоритмов оптимизации для выбора наилучших вариантов размещения скважин. Основными недостатками известных методик по рациональному размещению скважин являются: 1) выбор наилучшей схемы размещения часто сводится к перебору заранее заданных схем, среди которых не гарантируется присутствие варианта размещения, обладающего высокими (приемлемыми) технико-экономическими показателями эффективности, что может привести к выбору «лучшей» схемы из «худших»; 2) используемые модели и алгоритмы оптимизации требуют многократного обращения к симулятору для проведения гидродинамических расчетов (число таких обращений пропорционально числу итераций, необходимых алгоритму оптимизации для поиска окончательного решения, что может вызвать неоправданно большие временные затраты на поиск рациональной схемы размещения). Предлагаемый ниже подход, используя достоинства известных методов поиска рационального размещения скважин, позволяет, тем самым, в значительной мере обойти затруднения, сопровождающие их применение. 13

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ДОБЫВАЮЩИХ СКВАЖИН И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛИРОВКИ В данном разделе основное внимание уделено разработке и исследованию модели рациональной расстановки скважин на залежи. Под рациональным размещением забоев добывающих скважин понимается их расположение, которое обеспечивает: А) как можно меньшее расстояние скважин до любой точки пласта и примерное равенство областей дренирования скважин, что направлено на максимально возможный охват пласта заданным количеством скважин; Б) максимально возможное приближение скважин к участкам пласта, имеющим бόльшие значения продуктивности (эффективности). Введенное понятие рациональности соответствует эвристическим правилам размещения скважин, принятым в практике разработки нефтяных и газовых месторождений. Эти правила направлены на обеспечение максимального извлечения газа или нефти из пласта. Приведенный набор может быть дополнен или изменен. Ниже приводятся способы получения количественной оценки эффективности. Результаты решения задачи размещения скважин являются исходной информацией для поиска рационального размещения кустовых площадок и распределения скважин по кустам (раздел 5). Так как при разработке газовой залежи нагнетательные скважины практически не используются, то решение поставленной ниже задачи в большей степени относится к размещению скважин на газовой залежи. Поэтому при постановке задачи будем ориентироваться на проблемы размещения газовых скважин. Рассмотрим, прежде всего, модель размещения, которая применяется в случае, когда залежь может быть представлена двумерной областью. Следует уточнить, что в этом случае расстановка скважин 14

равносильна лишь выбору участка залежи, в котором целесообразно расположить скважину. При этом не выбирается зона перфорации для вертикальной скважины или положение горизонтального участка скважины относительно кровли и подошвы пласта. В этом состоит ограниченность предлагаемых моделей. Однако после выбора участков (блоков), содержащих скважины, можно перейти к поиску наилучшего размещения скважины внутри участка. Другим ограничением модели является то, что определяется размещение для заданного числа скважин. Это ограничение можно обойти, решая задачу несколько раз для нескольких значений числа скважин. На содержательном уровне задача рационального размещения скважин ставится следующим образом [2]: пусть залежь разбита на участки, в каждом из которых возможно размещение забоя скважины; число размещаемых скважин задано; требуется определить набор участков, содержащих забои скважин, таким образом, чтобы в максимальной степени обеспечить выполнение введенного понятия рациональности (см. пункты А и Б). Перейдем к математической формулировке задачи размещения добывающих скважин. Пусть залежь разбита на блоки (участки). Каждый блок представляет собой прямоугольную призму. Основания призмы − квадраты, одинаковые для всех блоков, а высота равняется газонасыщенной толщине, которую имеет пласт на этом участке. Таким образом, залежь покрыта совокупностью одинаковых квадратов. Предварительно считается, что при размещении скважины в каком-либо квадрате координаты забоя скважины совпадают с центром этого квадрата. Максимальное количество блоков и, соответственно, минимальную площадь блока, можно найти, исходя из минимально допустимого расстояния между скважинами. Минимально допустимая длина стороны квадрата будет совпадать с этим расстоянием. Минимальное коли15

чество блоков, по крайней мере, должно быть в два раза больше числа скважин, чтобы были возможны не только тривиальные решения. Следует отметить, что в первоначальное множество блоков, составляющих залежь, включаются блоки, для которых геологические запасы (нефте- или газонасыщенная толщина) имеют значения, не меньшие заданной допустимой величины. Введем исходные параметры. Пусть s − число добывающих скважин, n − число блоков, n ≥ s ≥ 1. Будем считать, что п делится без остатка на s. Введем вспомогательный параметр k : k ≡ (n/s) – 1. Пусть λj − параметр, характеризующий продуктивность («важность», «полезность») j-го блока или потенциальную эффективность скважины, размещенной в этом блоке. Оценку λj можно получить, привлекая геолого-промысловую информацию о залежи или используя мнения экспертов, которые могут, например, учесть «степень опасности» блока с точки зрения его близости к водоносным горизонтам, расположение геологических разломов или трассы магистрального газопровода. Можно использовать «карту качества» [10] для расчета λj. В этом случае становится необходимым многократный запуск симулятора (количество запусков будет равняться числу блоков), а λj становится газоотдачей (нефтеотдачей), которая обеспечивается разработкой залежи одной скважиной, размещенной в j-м блоке. Рассмотрим наиболее простой способ оценки λj. Пусть, например, Vj − геологические запасы j-го блока, Vj ≥ 0, а V ≡ max{Vj} > 0, j = = 1,…, n. Тогда формула для оценки λj будет иметь вид:

λj ≡

Vj V

,

j = 1, n.

(1)

Если для j-го блока известны начальная и конечная водонасыщенности, соответственно, w0j, wKj, а также его поровый объем − Uj, то в 16

качестве Vj можно использовать оценку сверху для извлекаемых запасов: Vj = Uj ⋅ (wKj − w0j ). Кроме запасов блока можно также учесть его проницаемость. Тогда, используя «идеологию» метода анализа иерархий [16], для оценки λj можно предложить формулу:

 n  λ j = ξV j  ∑ Vm   m =1 

−1

 n  + (1 − ξ) K j  ∑ K m   m =1 

−1

ξ ∈ [0, 1], j = 1, n,

где Kj – абсолютная проницаемость j-го блока; ξ − экспертная оценка важности показателя «запасы» по отношению к показателю «проницаемость», а (1−ξ), соответственно, экспертная оценка относительной важности показателя «проницаемость». Отметим также возможность применения предлагаемых ниже моделей для размещения поисковых скважин. В этом случае в качестве λj – полезности j-го блока − можно использовать вероятность того, что в этом блоке имеются запасы газа (нефти) в промышленных масштабах. Итак, повторим еще раз, λj отражает степень приемлемости блока для размещения в нем забоя скважины (горизонтального участка скважины). Параметр λj назовем «весом» j-го блока. Пусть Rij − расстояние между центрами i-го и j-го блоков, Rij ≥ 0, Rii = 0, R ≡ max{Rij} > 0, i = 1,…, n, j = 1,…, n. Определим параметр сij – «взвешенное расстояние» между i-м и j-м блоками: γ

 1−γ  Rij   (λ j ) ⋅   сij ≡  R   , i ≠ j, 0 ≤ γ ≤ 1,  0, i = j. 17

(2)

где γ − экспертная оценка важности показателя «расстояние» по отношению к показателю «вес». Если γ = 1, то считается, что при размещении скважин следует учитывать только расстояния между блоками. Такая ситуация соответствует случаю, когда рассматриваемую залежь можно представить однородным пластом, имеющим одинаковые значения фильтрационно-емкостных свойств на всех участках. Если γ = 0, то считается, что размещение скважин устанавливается, только исходя из «веса» блоков. Параметр cij можно трактовать как штраф (или потери) за удаленность скважины, расположенной в i-м блоке, от j-го блока, входящего в область влияния этой скважины, а набор {cij} – как матрицу потерь от размещения скважин не во всех блоках. Такая трактовка cij имеет право на существование, так как при удалении скважины от некоторого участка пласта возрастает вероятность возникновения «застойных» зон в этом участке, в которых пластовые флюиды остаются неподвижными. Введем искомые переменные xij : xij = 1, если j-й блок входит в область влияния (питания) скважины, находящейся в i-м блоке, и xij = 0 в ином случае. Из определения xij следует: если в i-м блоке находится скважина, то xii = 1, в ином случае xii = 0. С учетом сформулированного выше понятия рациональности (пункты А и Б) формирование наилучшей схемы размещения скважин сводится к поиску таких xij, что

cij xij → min, i = 1, n, j = 1, n,

(3)

n

∑ xii = s,

i =1

(4)

n

∑ xij = 1, j = 1, n,

i =1

18

(5)

n

∑ xij = (k + 1) xii , i = 1, n,

(6)

xij ∈ {0, 1}, i = 1, n, j = 1, n.

(7)

j =1

Если все блоки равноценны по другим характеристикам, не участвующим в расчете cij, то многокритериальную задачу (3)−(7) можно свести к однокритериальной модели различными способами [17]. Например, можно использовать свертку критериев: n n

∑ ∑ cij xij → min

i =1 j =1

(8)

x

или минимаксный обобщенный критерий:

n  max  ∑ cij xij  → min. x i , j i =1 

(9)

Используя известный прием [17], нелинейную задачу (9), (4)−(7) можно свести к линейной модели, если к ограничениям (4)−(7) добавить критерий x → min

(10)

и дополнительные ограничения: n

x ≥ ∑ cij xij , j = 1, n, i =1

(11)

где х − новая дополнительная искомая переменная. В моделях (8), (4)−(7) и (9),(4)−(7): − критерий (8) представляет собой минимизацию суммарного штрафа за размещение скважин не во всех блоках (за удаленность скважин от некоторых участков пласта); − критерий (9) представляет собой минимизацию максимального штрафа; 19

− ограничение (4) − ограничение на число скважин; − ограничение (5) эквивалентно условию: любой блок может входить только в одну область влияния; − ограничение (6) − условие: область влияния каждой скважины содержит одинаковое количество блоков. Приведенные модели размещения (задачи (8), (4)−(7) и (10), (11), (4)−(7)) можно дополнить условиями: а) в некоторых блоках уже находятся скважины; б) в некоторых блоках нельзя размещать скважины. Пусть М1 – множество блоков, уже содержащих скважины, а М2 – множество блоков, где нельзя размещать скважины. Чтобы учесть и формализовать условия пунктов а) и б) достаточно модель (8), (4) − (7) или (10),(11),(4)–(7) дополнить ограничениями-равенствами: xii = = 1, i ∈ M1; xii = 0, i ∈ M2. Оптимальные решения задач (8), (4)−(7) и (10), (11), (4)−(7), т.е. решения, лучшие с точки зрения критериев (8) или (10), не гарантируют формирования вариантов расстановки скважин, соответствующих максимальным значениям КИГ или КИН, или прибыли от разработки. Однако критерии (8) и (10) являются количественным выражением правил рациональной расстановки скважин (пункты А и Б), выполнение которых направлено на достижение максимальных КИГ (КИН). Поэтому можно ожидать, что варианты, полученные с помощью модели (8), (4)−(7) ((10), (11), (4)−(7)), будут обеспечивать величину КИГ (КИН), близкую к максимально возможному значению.

20

3. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ РАЗМЕЩЕНИЯ СКВАЖИН

3.1. Исследование системы ограничений Прежде чем перейти к обсуждению методов решения полностью целочисленной задачи (8), (4)−(7) или частично-целочисленной задачи (10), (11), (4)−(7), докажем Утверждение 1. Пусть n > s, а набор {xij} удовлетворяет следующим соотношениям:

∑ ( xij + kx ji ) = k , i = 1, n , n

j =1 j ≠i

(12)

xij ∈ {0, 1, 2,...}, i = 1, n, j = 1, n, j ≠ i ,

(13)

1 n xii = ∑ xij , i = 1, n. k j =1

(14)

j ≠i

Тогда набор {xij} удовлетворяет ограничениям (4)−(7). Доказательство. Прежде всего, заметим, что равенство (14) ведет к выполнению ограничения (6). Далее, из формул (12) следует, что

    ∑ xij = k 1 − ∑ x ji  , i = 1, n. j =1  jj =≠1i  j ≠i   n

Так как для набора {xij} выполняются условия (13), то сумма, стоящая в скобках правой части последнего равенства, может принимать только два значения − 0 или 1. 21

Рассмотрим первый возможный случай: n

∑ x ji = 0, i ∈ {1, 2,..., n}.

j =1 j ≠i

Тогда n

∑ xij = k , i ∈ {1, 2,..., n}.

j =1 j ≠i

Откуда с учетом (14) xij = 1. Поэтому, во-первых, n

∑ x ji + xii = 1, i ∈ {1, 2,..., п},

j =1 j ≠i

(15)

что равносильно выполнению (5). Во-вторых, с учетом (13) и (15) выполняется (7). Рассмотрим второй возможный случай: n

∑ x ji = 1, i ∈ {1, 2,..., n}.

j =1 j ≠i

Тогда n

∑ xij = 0, i ∈ {1, 2,..., n}.

j =1 j ≠i

Откуда с учетом (14) xij = 0. Поэтому опять выполняется (15), а, следовательно, и (5). Кроме этого, с учетом (13) и (15) выполняется (7). Итак, выполнение (12) − (14) влечет выполнение (5)−(7). Наконец, из выполнения ограничений (5) и (6) следует, соответственно, n n

∑ ∑ xij = n,

j =1 i =1

22

n n

n

i =1 j =1

i =1

∑ ∑ xij = (k + 1) ∑ xii .

Так как по условию k = n/s − 1, то из выполнения двух последних равенств следует выполнение ограничения (4), что заканчивает доказательство утверждения 1. Таким образом, набор искомых переменных, удовлетворяющий условиям (12)−(14), является допустимым решением задач (8), (4)−(7) и (9), (4)−(7). Учитывая формулу (2) для расчета «штрафа» cij, можно, вопервых, упростить критерий (8), используя эквивалентный ему критерий следующего вида: n n

∑ ∑ cij xij → min,

i =1 j =1 j ≠i

(16)

x

и, во-вторых, упростить вид ограничения (11): n

x ≥ ∑ cij xij , j = 1, n. i =1 i≠ j

(17)

Поэтому решение задач (8), (4)−(7) и (10), (11), (4)−(7) можно заменить, соответственно, решением задач (16), (12), (13) и (10), (17), (12), (13), имеющих более простую структуру ограничений. Переход от оптимальных решений задач (16), (12), (13) и (10), (17), (12), (13) к оптимальным решениям задач (8), (4)−(7) и (10),(11),(4)−(7) осуществляется следующим образом. Пусть { x1ij } − оптимальное решение задачи (16),(12),(13), а { xij2 } − оптимальное решение задачи (10), (17), (12), (13). Зная наборы { x1ij } и { xij2 }, можно сформировать оптимальные решения задач (8), (4)−(7) и (10), (11), (4)−(7), которые обозначим, соответственно, наборами { xij∗ } и { xij∗∗ }. 23

Для получения наборов { xij∗ } и { xij∗∗ } достаточно в наборы { x1ij } и { xij2 } добавить значения xii, вычисленные по формуле (14). То есть

xij∗ = x1ij , j ≠ i, xii*

=

1 n

∑ x1ij , i = 1, n;

k j =1 j ≠i

xij∗∗ − xij2 , j ≠ i, xii**

1 n 2 = ∑ xij , i = 1, n. k j =1 j ≠i

Множество номеров блоков, содержащих скважины, будут составлять номера блоков, для которых xii* = 1 (для задачи (8), (4)−(7)) и

xii** = 1 (для задачи (10), (11), (4)−(7)). Следует отметить, что включение каких-либо дополнительных условий на размещение скважин, т.е. введение дополнительных ограничений в исходные задачи размещения (8), (4)−(7) и (10), (11), (4)−(7) может привести к тому, что уже станет невозможной замена ограничений (4)−(7) ограничениями (12), (13). Теперь остановимся на случае, когда п/s не является целым числом. Чтобы свести этот случай к рассмотренному выше, когда п/s ∈ {1, 2, 3,…}, можно добавить к уже имеющимся блокам фиктивные блоки, «вес» которых равняется нулю, а пф − число таких блоков; оно должно быть таким, чтобы выполнялось условие: (пф + п)/s ∈ {1, 2, 3,…}. После чего решается задача (8), (4)−(7) (или (10), (11), (4)−(7)), в которой количество блоков, составляющих залежь, равняется (пф +

24

+ п). Недостатком такого способа является то, что не ясно, к каким участкам залежи должны примыкать фиктивные блоки. Другой способ связан с видоизменением ограничений (6), которые принимают вид: n

∑ xij ≥ ]n / s[ xii , i = 1, n, j =1

где ]n/s[ – целая часть числа n/s. Конечно, в этом случае уже неправомерно заменять ограничения (4)−(7) условиями (12) и (13).

3.2. Поясняющие примеры Чтобы сделать более понятными модель размещения и формирование с ее помощью оптимальной расстановки скважин, рассмотрим тривиальные примеры решения задачи (8), (4)−(7) или ей эквивалентной задачи (16), (12), (13). Пример 3.2.1. Пусть залежь состоит из трех последовательно соединенных блоков. Расстояние между центрами соседних блоков равняется 1. «Веса» блоков одинаковы. В центре любого блока можно расположить скважину. Необходимо разместить одну скважину, используя в качестве элементов матрицы «потерь» только расстояния между скважинами (γ = 1):

0 1 2  {cij } = 1 0 1  .  2 1 0   Ответ очевиден: скважину необходимо разместить в среднем (втором) блоке. Найдем оптимальное размещение скважины, решая задачу (16), (12), (13), эквивалентную задаче (8), (4)−(7). Эта задача при п = 3, s = = 1, k = n/s − 1 = 2 имеет вид: 25

f(X) ≡ x12 + 2х13 + х21 + х23 + 2х31 + х32 → min; х12 + 2х21 + х13 + 2х31 = 2; х21 + 2х12 + х23 + 2х32 = 2; х31 + 2х13 + х32 + 2х23 = 2. Решим задачу полным перебором, располагая скважину или в 1-м, или во 2-м, или в 3-м блоке. 1. Скважина размещается в 1-м блоке: х12 = х13 = 1, хij = 0 (i ≠ j, i ≠ 1, j ≠ 2, j ≠ 3) ⇒ f(X) = 3; х11 = (1/2)(x12 + x13) = (1/2)(1+1) = 1; х22 = (1/2)(x21 + x23) = (1/2)(0 + 0); х33 = (1/2)(x31 + x32) = (1/2)(0 + 0). 2. Скважина размещается во 2-м блоке: x21 = х23 = 1, хij = 0 (i ≠ j, i ≠ 2, j ≠ 1, j ≠ 3) ⇒ f(X) = 2; х11 = (1/2)(x12 + x13) = (1/2)(0 + 0) = 0; x22 = (1/2)(x21 + x23) = (1/2)(1 + 1) = 1; x33 = (1/2)(x31 + x32) = (1/2)(0 + 0) = 0. 3. Скважина размещается в 3-м блоке: х32 = х31 = 1, хij = 0 (i ≠ j, i ≠ 3, j ≠ 2, j ≠ 1) ⇒ f(X) = 3; х11 = (1/2)(x12 + x13) = (1/2)(0 + 0) = 0; x22=(1/2)(x21+x23) = (1/2)(0 + 0) = 0; x33 = (1/2)(x31 + x32) = (1/2)(1 + 1) = 1. Все остальные размещения нарушают ограничения задачи.

26

Сравнивая полученные решения по значению функции цели, которую требуется минимизировать, можно убедиться в том, что модель оптимизации дает тот же ответ. Решим теперь ту же задачу симплекс-методом [18], заменяя для всех i и j условия хij ∈ {0, 1, 2,…} на менее жесткие ограничения хij ≥ 0. Для этого перенумеруем искомые переменные: х12 ≡ х1, х13 ≡ х2, х21 ≡ х3, х23 ≡ х4, х31 ≡ х5, х32 ≡ х6. Теперь задача принимает вид: x1 + 2х2 + х3 + х4 + 2х5 + х6 →min; х1 + 2х3 + х2 + 2х5 = 2; х3 + 2х1 + х4 + 2х6 = 2; х5 + 2х2 + х6 + 2х4 = 2; хij ≥ 0, j = 1, 2,…, 6. В этой задаче всего 6 неизвестных и 3 линейно-независимых уравнения. Так как число базисных переменных равняется числу уравнений, то есть трем, то число свободных (небазисных) неизвестных равняется также трем. Пусть х1, х2, х6 – свободные переменные, а х3, х4, х5 – базисные. Выразим базисные переменные через свободные неизвестные: х3 = 1 − 1,5х1 + 0,5х2 − х6; х4 = 1 − 0,5х1 − 0,5х2 − х6; х5 = 0 + х1 − х2 + х6. Выразим функцию цели через свободные переменные: f(X) = 2 + x1 + 0−х2 + x6. В функции цели, которую требуется минимизировать, коэффициенты при свободных переменных не меньше нуля. Это означает, что оптимальное решение соответствует набору неизвестных, в котором 27

все свободные переменные равняются нулю [18]: х1 = х2 = х6 = 0. Тогда базисные переменные, выраженные через свободные, принимают значения: х3 = х4 = 1, х5 = 0. Полученное решение, во-первых, удовлетворяет условию целочисленности и, во-вторых, совпадает с оптимальным решением, сформированным с помощью полного перебора всех допустимых расположений скважины. Пример 3.2.2. Рассмотрим тривиальный случай, когда число скважин равняется числу блоков: s = n. Тогда оптимальное размещение скважин очевидно: каждый блок содержит скважину (правило I). Проверим, будет ли в этом случае оптимальное решение задачи (8), (4)−(7) удовлетворять правилу I? Если в каждом блоке находится скважина, то такое размещение эквивалентно решению задачи (8), (4)−(7) следующего вида (обозначим это решение через набор { xij∗∗ }):

0, j ≠ i xij* =  1, j = i. Покажем, что набор { xij∗ } является оптимальным решением задачи (8), (4)−(7). Во-первых, подставляя набор { xij∗ } в ограничения (4)−(7) и учитывая, что xij∗ = 1, а k = 0 при s = n, получим: n

n

i =1

i =1

∑ xii* = ∑ 1 = n = s,

n

∑ xij* i =1

n

=1 + ∑ 0 = 1, j = 1, n, i =1 i≠ j

n

∑ xij* = 1 + 0 = 1 = (k + 1) xii* , i = 1, n, j =1 j ≠i

28

xii* + xij* ∈ {0,1}, i = 1, n, j = 1, n, т.е. { xij∗ } – допустимое решение задачи (8), (4)−(7). Во-вторых, сравнивая по значению функции цели (8), эквивалентной функции цели (16), набор { xij∗∗ } с любым допустимым решением { xijд } и учитывая, что эту функцию необходимо минимизировать, а, кроме этого, cij ≥ 0, cii = 0 и xijд ≥ 0, получим: n n

n n

n n

n n

i =1 j =1 j ≠i

i =1 j =1 j ≠i

i =1 j =1 j ≠i

i =1 j =1

∑ ∑ cij xij* = ∑ ∑ cij ⋅ 0 = 0 ≤ ∑ ∑ cij xijд = ∑ ∑ cij xijд ,

т.е. { xij∗ } – оптимальное решение задачи (8), (4)−(7). Рассмотренный частный случай подчеркивает смысл критерия (16) и эквивалентного ему критерия (8). А именно, при количестве скважин, меньшем числа блоков, минимизируются потери, связанные с тем, что не во всех блоках удается расположить скважины. Если же число скважин равняется числу блоков, то потери отсутствуют. Пример 3.2.3. Рассмотрим другой тривиальный случай. Пусть при расчете сij − коэффициентов целевой функции (8), i, j = 1,2,…, n, учитываются только λj − «веса» блоков, т.е. в формуле (2) γ = 0. Поэтому сij = 0, i = j, сij = λj, i ≠ j. Тогда оптимальное размещение скважин очевидно: необходимо выбрать s блоков с наибольшими «весами» и в них расположить забои скважин (правило II). Если «вес» блока рассчитывается по формуле (1), то правило 2 означает: скважины должны быть размещены в блоках с наибольшими запасами. Проверим, будет ли в этом случае оптимальное решение задачи (8), (4)−(7) удовлетворять правилу II? 29

Пусть { xijд } − любое допустимое решение задачи (8), (4)−(7). Из ограничения (4) следует, что количество элементов квадратной матрицы { xijд }, стоящих на главной диагонали и равных единице, должно быть равно s. Кроме этого, из ограничения (5) следует, что n

∑ xijд =1 − x дjj , j = 1, n.

i =1 i≠ j

Откуда критерий (8) принимает вид: n n

n

n

n

n

n

j =1

i =1 i≠ j

j =1

∑ ∑ cij xijд = ∑ ∑ λ j xijд = ∑ λ j ∑ xijд = ∑ λ j (1 − x дjj ) → min,

i =1 j =1

j =1 i =1 i≠ j

x

т.е. n

∑ λ j x дjj → max. j =1

x

Пусть блоки занумерованы по следующему закону: λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ ≥ λt ≥ λt+1≥ … Выберем одно из допустимых решений, которое обозначим через набор { xij∗ }. Пусть { xij∗∗ } подчиняется правилу 2, то есть

1, 1 ≤ i ≤ s xii* =  0, i > s. Покажем, что набор { xij∗ } является оптимальным решением задачи (8), (4)−(7). Для этого сравним набор { xij∗ } по значению функции цели (8) (или (16)) с другим допустимым решением − { xij0 } таким, что

1, 1 ≤ i ≤ s, i ≠ k , i = l , xii0 =  0, i > s, i = k , i ≠ l ,

30

где k ∈ {1, 2, …, s}, l ∉ {1, 2, …, s}, т.е. λk ≥ λl. Иначе говоря, набор { xij0 } не подчиняется правилу 1. Тогда n

n

j =1

j =1

∑ λ j x*jj − ∑ λ j x 0jj = λ k − λl ≥ 0, что доказывает оптимальность набора { xij∗ }.

3.3. Модификация модели размещения при представлении залежи трехмерной областью Рассмотрим изменения, которые следует внести в модель размещения добывающих скважин, когда продуктивный пласт представлен трехмерной областью. В этом случае залежь разбивается вертикальными и горизонтальными сечениями на одинаковые по форме и объему блоки, например, кубы. Теперь, одновременно с размещением забоя скважины определяется и вскрываемый скважиной интервал. Расстояние между i-м и j-м блоками (Rij) будет рассчитываться по известной формуле: Rij = ( xi − x j ) 2 + ( yi − y j ) 2 + ( zi − z j ) 2 , где xi, yi, zi – координаты центра i-го блока, а xj, yj, zj – координаты центра j-го блока. Очевидно, что при представлении залежи трехмерной областью целесообразно включить в формулу для расчета λj – «веса» j-го блока − параметр, характеризующий близость к газоводяному контакту (ГВК) при расстановке газовых скважин или водонефтяному контакту (ВНК) при расстановке нефтяных скважин. Пусть Lj – расстояние по вертикали от центра j-го блока до ГВК (ВНК). Учтем, что чем ближе блок к контакту, тем меньше оснований размещать в этом блоке забой скважины. Можно учесть также анизотропию пласта. Пусть Кгj – 31

проницаемость по горизонтали j-го блока, Квj – средняя проницаемость по вертикали всех блоков, находящихся между j-м блоком и ГВК (ВНК). Учтем, что чем выше проницаемость Квj, тем меньше оснований размещать в этом блоке забой скважины. Тогда в качестве λj можно выбрать, например, оценку, которая будет вычисляться по формуле:  n  λ j = ξ1V j ⋅  ∑ Vm   m=1 

−1

 n  + ξ 2 К гj ⋅  ∑ К гm   m=1 

−1

 n  + ξ 3 ⋅ (1/ К вj ) ⋅  ∑ (1/ К вm )   m =1 

−1

+

−1

 n  + ξ 4 ⋅ (1/ L j ) ⋅  ∑ (1/ Lm  ,  m =1 

j = 1, n,

ξ1 + ξ 2 + ξ 3 + ξ 4 = 1, ξ i ≥ 0, i = 1, 4, где ξ1, ξ2, ξ3, ξ4 – соответственно, экспертные оценки важности показателей «запасы», «проницаемость по горизонтали», «проницаемость по вертикали», «близость к контакту». С одной стороны, представление залежи трехмерной областью является более адекватным описанием реальных продуктивных пластов. Более того, возникает возможность построения модели размещения скважин на многопластовом месторождении. Однако, с другой стороны, такое представление вызывает увеличение размерности задачи и, соответственно, увеличение времени ее решения.

3.4. Краткая характеристика алгоритмов решения задач размещения скважин Для решения задачи (8), (4)−(7) или (16), (12), (13) можно применить любой стандартный алгоритм линейного дискретного программирования [19]. Решение частично-целочисленной задачи (10), (11), (4)−(7) можно получить, используя модификацию метода ветвей и 32

границ (см. ниже), учитывающую «непрерывный» характер переменной х. К настоящему времени известно множество разнообразных подходов к решению задач дискретной оптимизации (целочисленного программирования): методы отсечения, ветвей и границ, динамического программирования, случайного поиска и др. [19]. На их основе разработаны точные и приближенные алгоритмы. Среди точных методов решения задач целочисленного программирования можно выделить два основных класса: методы, использующие аппарат непрерывной оптимизации, и комбинаторные ме-тоды. Многие методы, относящиеся к первому классу, базируются на включении в задачу дополнительных линейных ограничений − отсекающих гиперплоскостей. Идея метода отсечения состоит в том, что область допустимых решений дискретной задачи «погружается» в некоторое выпуклое множество, от которого с помощью вводимых линейных ограничений последовательно «отсекаются» области до получения «непрерывной» задачи с необходимыми свойствами (выполнение условий целочисленности искомых переменных) [19]. При использовании методов отсечения могут возникать определенные трудности, обусловленные ростом числа отсечений, что приводит к значительным затратам компьютерной памяти. Другим классом методов дискретной оптимизации является комбинаторные методы. Общая черта этих методов − использование конечности множества допустимых решений и осуществление их неполного перебора путем отбрасывания «явно» неоптимальных допустимых решений. Из комбинаторных методов наибольшее распространение получил метод ветвей и границ. В работе [20] впервые, по-видимому, предложен метод такого типа для решения задач линейного булева программирования. Метод ветвей и границ осуществляет направленный перебор допустимых решений и включает выполнение нескольких основных шагов, позволяющих для 33

большого числа задач значительно сократить число просматриваемых решений. При максимизации целевой функции на множестве допустимых решений D метод может быть представлен следующими стадиями: 1) получение верхней оценки целевой функции на расширении множества D, при котором условия целочисленности заменяются, чаще всего, условиями неотрицательности искомых переменных; 2) разбиение (ветвление) полученного множества на непересекающиеся подмножества; 3) получение верхней оценки целевой функции на каждом из полученных подмножеств; 4) получение допустимых решений; 5) проверка выполнения условия оптимальности. Алгоритмы типа «ветвей и границ» отличаются друг от друга, главным образом, способом ветвления, который диктуется спецификой задачи. Их «удачный» выбор в значительной мере определяет эффективность алгоритма при решении задачи. Генетические алгоритмы [21] относятся к приближенным эвристическим методам целочисленной оптимизации. Эти алгоритмы имитируют процессы эволюции в живой природе. Алгоритмы этой группы используют функцию «пригодности», которая определяет качество решения, полученного на некоторой итерации. Алгоритм сохраняет всю информацию о решении. На каждой итерации формируются новые решения, замещающие менее «пригодные». Для построения нового решения выбираются предыдущие решения − («родители») с помощью вероятностного оператора селекции. Далее к этим решениям применяются операторы скрещивания и мутации. Эти процедуры позволяют генерировать новые решения. Достоинством генетических алгоритмов является то, что на их эффективность не влияет сложный характер функции цели и ограничений. Основным недо34

статком всех эволюционных методов, если их применять для решения задач размещения скважин, является необходимость обращения на каждой итерации к гидродинамическому симулятору для пересчета значений функции цели, что может привести к практически неограниченному времени решения. Основное отличие предлагаемого подхода от предшествующих методик автоматизированного размещения скважин заключается в том, что при поиске оптимального размещения скважин расчеты по геолого-математическим и гидродинамическим моделям проводятся один раз (!) на стадии получения исходных параметров моделей оптимизации. Учитывая продолжительность таких расчетов при проектировании разработки реальных объектов добычи нефти и газа, а также значительные затраты времени, сопутствующие решению задач оптимизации большой размерности, указанное отличие становится важным преимуществом изучаемого подхода при его практическом использовании для автоматизированного формирования вариантов размещения скважин. Остановимся на применении предлагаемых моделей при большой размерности задач размещения скважин (при большом числе блоков и скважин). Это является важным, так как увеличение размерности задач дискретной оптимизации вызывает резкое увеличение затрат компьютерной памяти и, соответственно, времени при их решении классическими методами целочисленной оптимизации. Чтобы снизить негативное влияние большой размерности задачи, можно воспользоваться приведенными в работе [22] методами, ориентированными на решение задач дискретного программирования большой размерности. Можно предложить дополнительную процедуру разбиения залежи на зоны меньшей площади. После такого разбиения решается задача размещения скважин для каждой из полученных зон. Для формализованного описания процедуры введем обозначения. Пусть n – заданное 35

число блоков, на которые разбита залежь; п0 – допустимое при расчетах число блоков, которое определяется, исходя из возможностей метода оптимизации, п0 < п; s – заданное число добывающих скважин; s0 − допустимое при расчетах число скважин, которое определяется, исходя из возможностей метода оптимизации, s0 < s. Введем вспомогательный параметр N0: N0 ≡ ]п/п0[+1, где через ]п/п0[ обозначена целая часть числа п/п0. Пусть N – количество зон, на которые необходимо разбить залежь. Параметр N подлежит определению. Теперь процедура сводится к следующим действиям: 1) положить N = N0; 2) разбить продуктивную площадь залежи на N зон одинаковой площади; 3) с использованием данных геологической модели залежи определить Vl – геологические запасы газа (нефти) l-й зоны, l = 1, …, N; 4) определить sl − количество скважин в l-й зоне по формуле: −1  N   sl =  sVl ⋅  ∑ Vt   + 1, l = 1, N ;   t =1  

5) проверить выполнение правила остановки: если выполняется sl ≤ s0, l = 1, …, N, то процедура разбиения на зоны заканчивается; в ином случае следует положить N ≡ N + 1 и вернуться к пункту 2). После разбиения залежи на меньшие по площади зоны решается задача размещения для каждой зоны в отдельности, причем число скважин в l-й зоне равняется sl, l = 1, …, N.

36

4. МОДЕЛИ РАЗМЕЩЕНИЯ НАГНЕТАТЕЛЬНЫХ СКВАЖИН НА НЕФТЯНОЙ ЗАЛЕЖИ

4.1. Модель расстановки нагнетательных скважин Рассмотрим процедуру размещения нагнетательных скважин, когда добывающие и нагнетательные скважины вводятся с начала разработки залежи. Пусть размещение добывающих скважин уже задано (см. раздел 2). Требуется найти размещение нагнетательных скважин среди добывающих (задача I). Следуя работе [1], введем критерии рациональной расстановки нагнетательных скважин. Под рациональной расстановкой нагнетательных скважин будем понимать их размещение, которое обеспечивает: В) как можно меньшее расстояние нагнетательной скважин до любой добывающей скважины; Г) примерное равенство количества добывающих скважин, взаимодействующих с ближайшей нагнетательной скважиной. Выполнение правил В и Г направлено на максимальный охват продуктивного пласта заводнением (воздействием). Приступим к математической формулировке задачи. Залежь представляется двумерной областью, покрытой одинаковыми квадратами. В каждом квадрате либо уже содержится добывающая скважина, либо он свободен от скважин и в нем можно поместить нагнетательную скважину. 37

Пусть Wрr – множество номеров квадратов, содержащих добывающие скважины, а s – их число. Пусть Win – множество номеров квадратов, в которых, по мнению экспертов, можно расположить нагнетательные скважины, Win I W pr = ∅ . Задано m – количество нагнетательных скважин, подлежащих размещению. Эксперты могут запретить размещение в некоторых квадратах, например, из-за слишком близкого расположения нагнетательной и добывающей скважин. Будем считать, что s делится без остатка на т (s > m). Отношение k = = s/m представляет собой число добывающих скважин, приходящееся на одну нагнетательную скважину. Предполагаем, что забой нагнетательной скважины будет располагаться в центре квадрата. Максимальное количество квадратов и, соответственно, минимальную площадь квадрата, можно найти, исходя из минимально допустимого расстояния между скважинами. По крайней мере, количество квадратов, должно быть больше (s + m) − числа добывающих и нагнетательных скважин. Введем обозначения для остальных исходных параметров: Rij – расстояние между центром i-го квадрата и забоем добывающей скважины, находящейся в j-м квадрате, i ∈Win, j ∈ Wрr; d – минимально допустимое расстояние между квадратами, в которых могут быть размещены нагнетательные скважины; dit – расстояние между i-м и t-м квадратами, в которых могут быть размещены нагнетательные скважины, т.е. i, t ∈ Win. Введем искомые переменные yi и xij, где yi = 1, если в i-м квадрате располагается нагнетательная скважина, и yi = 0 в ином случае; xij = 1, если добывающая скважина, находящаяся в j-м квадрате, включается в область воздействия нагнетательной скважины, находящейся в i-м квадрате, и xij = 0 в ином случае. 38

Решение задачи I сводится к поиску yi и xij (i ∈ Win, j ∈Wрr), которые удовлетворяют следующим соотношениям:

∑

∑ Rij xij → min,

(18)

∑ yi = т,

(19)

i∈Win j∈W pr

x, y

i∈Win

∑ yi xij = 1,

j ∈ W pr ,

(20)

∑ xij = kyi , i ∈ Win ,

(21)

i∈Win

j∈W pr

(dit − d ) yi yt ≥ 0, i, t ∈ Win ,

(22)

yi ∈ {0, 1}, i ∈ Win ,

(23)

xij ∈ {0, 1}, i ∈ Win , j ∈ W pr .

(24)

Критерий оптимальности (18) является формализацией правила В. Ограничение (19) – требование к числу нагнетательных скважин. Ограничение (20) – условие: каждая добывающая скважина должна входить в область воздействия какой-либо одной нагнетательной скважины. Ограничение (21) – условие: область воздействия любой нагнетательной скважины содержит одинаковое число добывающих скважин. Выполнение ограничений (20) и (21) эквивалентно выполнению правила Г. Ограничение (22) – условие: расстояние между нагнетательными скважинами не должно быть меньше заданного значения. Задача (18) – (24) в силу ограничений (20) и (22) является моделью нелинейного дискретного программирования. Для ее решения стандартными методами линейного дискретного программирования необходимо нелинейные ограничения заменить эквивалентными линейными ограничениями. Это можно сделать, используя известный при-

39

ем [23]. Для этого введем дополнительные искомые переменные zij и дополнительные ограничения на zij, yi и xij:

zij ∈ {0,1}, i ∈ Win ,

j ∈ W pr .

1 2

( yi + xij ) − 1 ≤ zij ≤ ( yi + xij ), i ∈ Win ,

(25)

j ∈ W pr .

(26)

Выполнение ограничений (25) и (26) эквивалентно выполнению равенств zij = yi ⋅ xij. Поэтому нелинейные ограничения (20) можно заменить линейными ограничениями

∑ zij = 1,

i∈Win

j ∈ W pr .

(27)

Введем дополнительные искомые переменные uit и дополнительные линейные ограничения на yi, yt и uit: uit ∈ {0, 1},

i, t ∈ Win,

1 2

( yi + yt ) − 1 ≤ uit ≤ ( yi + yt ), i, t ∈ Win .

(28) (29)

Выполнение ограничений (12),(13) эквивалентно выполнению равенств uit = yi ⋅ yt. Поэтому нелинейные ограничения (5) можно заменить линейными ограничениями (dit − d)uit ≥ 0, i, t ∈ Win.

(30)

Таким образом, нелинейная задача (18)−(24) заменяется линейной дискретной задачей (18), (19), (21), (23)−(30), которую можно решить стандартными алгоритмами целочисленного программирования [19]. Рассмотрим случай, когда наряду с добывающими скважинами уже имеется некоторое число нагнетательных скважин. Требуется разместить дополнительные нагнетательные скважины. Для решения этой задачи можно использовать модель (18), (19), (21), (23)−(30), если в эту модель ввести дополнительное ограничение:

yi = 1, i ∈ Win 0 , 40

где Win0 – множество номеров квадратов, в которых уже находятся нагнетательные скважины, Win0 ⊂ Win.

4.2. Модель перевода добывающих скважин под нагнетание Перейдем к исследованию ситуации, когда в течение некоторого периода эксплуатация залежи ведется п добывающими скважинами, а затем т добывающих скважин переводится под нагнетание (m < n). Требуется определить добывающие скважины, которые целесообразно перевести в фонд нагнетательных скважин (задача II). Ниже предлагается один из возможных способов решения задачи II, который также основан на идеях работ [1, 2]. Под оптимальным решением задачи понимается решение, которое удовлетворяет правилам В и Г (см. выше). Пусть Rij – расстояние между забоями i-й и j-й скважин. Как и при решении задачи (18)−(24), считается, что п делится без остатка на т. Отношение k = п/m представляет собой число добывающих скважин, приходящееся на одну нагнетательную скважину. Введем искомые переменные хij, где хij = 1, если j-я добывающая скважина включается в область воздействия i-й скважины, ставшей нагнетательной, и xij = 0 в ином случае. Из определения хij следует: если хii = 1, то i-я скважина переводится в фонд нагнетательных скважин; если хii = 0, то i-я скважина остается в фонде добывающих скважин. Решение задачи II сводится к поиску xij (i = п, j = п), которые удовлетворяют следующим соотношениям: n n

∑ ∑ Rij xij → min,

i =1 j =1

x

41

(31)

n

∑ xii = m,

i =1

(32)

n

∑ xij = 1, j = 1, n,

(33)

∑ xij = kxii , i = 1, n,

(34)

i =1 n

j =1

xij ∈ {0, 1}, i = 1, n, j = 1, n.

(35)

Функцию цели (31) можно интерпретировать как суммарный штраф (суммарные потери) за удалённость нагнетательных скважин от добывающих скважин. Ограничения (32)−(34) аналогичны, соответственно, ограничениям (19)−(21). Задача (31)−(35) является копией модели (8),(4)−(7) из раздела 2. Эксперты могут выделить скважины, которые запрещено переводить в фонд нагнетательных скважин. Это реализуется с помощью дополнительных ограничений: xii = 0, i ∈ Wpr0, где Wpr0 – множество номеров добывающих скважин, которых запрещено переводить в фонд нагнетательных скважин.

4.3. Модификация алгоритма расчета исходных параметров моделей За счет расширения перечня исходных данных и, соответственно, увеличения объема предварительных вычислений можно повысить адекватность рассмотренных моделей (18)−(24) и (31)−(35) реальным ситуациям. Один из возможных способов рассмотрим на примере решения задачи I (модель (18)−(24)). Корректировке подлежит алгоритм расчета коэффициентов целевой функции (18). 42

В упрощенном варианте (для большей ясности) способ состоит в следующем. Каждый квадрат двумерной области, которой заменяется залежь, снабжается значением ξ – гидропроводности: ξ = kh/µ, где k – проницаемость, h – нефтенасыщенная толщина, µ – вязкость флюида. Это значение гидропроводности можно получить с помощью укрупнения (upscaling) ячеек гидродинамической модели залежи, которые покрываются квадратом. Для каждого квадрата вычисляется ω = 1/ξ, т.е. ω характеризует фильтрационное сопротивление части области, покрываемой квадратом. После этого область заменяется графом. Вершинами в этом графе являются центры квадратов, а дугами – отрезки, соединяющие соседние вершины. Под соседними вершинами понимаются центры соседних квадратов, т.е. квадратов, имеющих общую сторону или точку. Если квадрат находится внутри двумерной области, то число соседних квадратов равняется 8. Длина каждой дуги рассчитывается как средний коэффициент фильтрационного сопротивления двух соседних квадратов, в которых расположены вершины, соединенные рассматриваемой дугой. Например, рассматриваются два соседних квадрата. Фильтрационное сопротивление первого квадрата равняется ω1, а второго – ω2. Тогда длина дуги, соединяющей первую и вторую вершины, равняется (ω1 + ω2)/2. После этого рассматривается пара вершин, например, i и j. В этой паре i-я вершина является центром квадрата, в котором можно расположить нагнетательную скважину, i ∈ Win. Вершина j является центром квадрата, в котором находится j-я добывающая скважина, j ∈ Wрr. Теперь между отмеченной парой вершин решается известная задача о кратчайшем пути [19]. В качестве Rij – «расстояния» между забоями i-й и j-й скважин принимается суммарная длина дуг, составляющих кратчайший путь из i-й вершины в j-ю вершину, т.е. Rij – минимальная суммарная длина дуг, соединяющих i-ю и j-ю вершины. Решая задачу 43

для каждой пары {i, j}, где i ∈ Win, j ∈ Wрr, можно сформировать матрицу коэффициентов целевой функции (18). Предложенную процедуру можно модифицировать для трехмерной области и применить для формирования матрицы коэффициентов целевой функции (31) в модели (31)−(35) (задача II) или оценки параметров cij (формула (2)) в задаче размещения добывающих скважин (модель (3)−(7)).

5. МОДЕЛИ РАЗМЕЩЕНИЯ КУСТОВЫХ ПЛОЩАДОК И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКВАЖИН ПО КУСТАМ

5.1. Постановка и математическая формулировка общей задачи Разбуривание продуктивной площади кустами скважин относится к числу основных стратегий освоения месторождений нефти и газа. Куст представляет собой группу скважин, устья которых сконцентрированы на общей ограниченной (кустовой) площадке, а забои вскрывают продуктивный пласт в точках, соответствующих решению задачи размещения забоев скважин (см. раздел 2). Если рассматривается разработка морского месторождения, то под кустовой площадкой можно понимать технологическую платформу. Кустовой метод, предусматривающий концентрированное ведение буровых работ на территории месторождения, позволяет упростить организацию производства и сэкономить значительные средства и время.

44

Сооружение скважин в кусте получило в практике нефтяной и газовой промышленности название кустового бурения или кустования. Широкому развитию кустового бурения способствовали следующие факторы: − освоение техники бурения наклонных скважин, не имеющих географической связи устьев с забоем; у таких скважин можно смещать забой относительно вертикали в любом требуемом азимуте, а их устья группировать и располагать на местности соответственно экономической целесообразности; − существование многопластовых месторождений, на которых можно создавать куст из нескольких вертикальных скважин, число которых равно числу продуктивных горизонтов. При эксплуатации скважин, устья которых сконцентрированы на небольшой площадке, резко сокращается расход материала в связи с уменьшением выкидных линий, уменьшается потребность в наземном оборудовании (мерниках, промысловых резервуарах, насосном хозяйстве и т.д.) Число скважин в кусте зависит от многих условий, в том числе, технико-экономических. На практике количество скважин в кусте изменяется от 2 до 32 [24]. Известен случай, когда в Калифорнийском заливе были пробурены 68 скважин с насыпного острова размером 60×60 м [25]. Однако технически не всегда возможно осуществить отклонение забоя от вертикали на то или иное расстояние. Обычно отклонение составляет от 100 до 2000 м [24] и зависит от глубины по вертикали до продуктивного пласта, от геологического разреза, применяемого оборудования и инструмента, от профиля скважины, возможностей эксплуатации, условий выполнения подземного ремонта и ряда других условий. Наиболее благоприятные условия для применения кустового метода создаются при «сплошной» системе разработки, когда вся за45

лежь разбуривается одновременно и также одновременно вводится в эксплуатацию [25]. При постепенном темпе ввода скважин в эксплуатацию, когда предусмотрено постепенное сгущение сетки скважин, кустовой метод теряет некоторые свои преимущества. А именно, возможны случаи, когда после окончания строительства двух-трех скважин бывает необходимо прекратить проходку остальных скважин в кусте и перебросить буровую установку на новую кустовую площадку. После сдачи нескольких скважин в эксплуатацию ту же буровую установку вновь монтируют на прежней кустовой площадке, где ранее были закончены бурением две-три скважины. Повторный монтаж и демонтаж буровых установок приводит к увеличению времени ввода скважин в эксплуатацию. Однако затраты времени будут все же ниже, чем при бурении индивидуальных скважин. Куст скважин можно представить в виде прямого конуса, у которого вершиной является площадка с расположенными на ней устьями скважин и основанием, ограниченным окружностью, радиус которой определяется возможными смещениями (отклонениями) забоев от вертикали при бурении наклонных скважин. Иногда основание такого конуса (плоскость середины продуктового пласта) может быть смещено на некоторое расстояние относительно платформы. Положение основания также определяется возможными отклонениями забоя от вертикали. Схематичное представление куста скважин позволяет сравнительно легко располагать основания конусов на карте разработки месторождения так, чтобы охватывать кустованием максимальное число скважин [25]. После того, как определены места размещения забоев скважин, можно перейти к поиску рационального размещения кустовых площадок и распределения скважин по кустам. Одной из возможных (упрощенных) постановок этой общей задачи является следующая ее формулировка: 46

заданы координаты забоев скважин и количество кустов; известны места возможного размещения кустовых площадок; требуется распределить все скважины по кустам и найти размещение кустовых площадок, которые обеспечат минимальные суммарные затраты на бурение скважин, строительство кустовых площадок и их обустройство. Так как минимизация затрат на строительство скважин вынуждает минимизировать длину их стволов, то выполнение введенного критерия будет также способствовать и уменьшению потерь давления при движении добываемой продукции по стволу скважины. Очевидно, что приведенная формулировка задачи является упрощенной, поскольку при такой постановке не учитываются затраты на строительство внутрипромысловых коммуникаций. Поэтому ее решение можно рассматривать в качестве первоначального, которое в дальнейшем должно быть скорректировано. Перейдем к математической формулировке задачи. Пусть на дневной поверхности выделена область, в пределах которой можно разместить кустовые площадки. Эту область можно считать проекцией залежи на горизонтальную плоскость. Плоскость «покрыта» координатной сеткой. Число узлов сетки, расположенных внутри области, равняется n. В каждом узле можно разместить кустовую площадку. Пусть m − число кустов, а s – число скважин (забоев), n > m, s > m. Будем считать, что s делится без остатка на m. Отношение (s/m) представляет собой число скважин, подключаемых к одному кусту, пусть k = s/m. Известны координаты забоев всех s скважин. Пусть Rij − расстояние между i-м узлом и j-м забоем, i = 1,…, n, j = 1, …, s, Rij > 0. Пусть aij – стоимость одного метра проходки при бурении скважины от i-го узла до j-го забоя, aij > 0. Пусть сij – затраты на бурение сква-

47

жины от i-го узла до j-го забоя: сij = aij Rij. Пусть bi – стоимость строительства и обустройства кустовой площадки в i-м узле, bi > 0. Введем искомые переменные: yi и xij, где yi = 1, если в i-м узле располагается куст, и yi = 0 в ином случае; xij = 1, если скважина с j-м забоем подключается к кустовой площадке, находящейся в i-м узле, и xij = 0 в ином случае. Теперь решение задачи кустования сводится к поиску таких yi и xij, (i = 1, …, n, j = 1, …, s), что n

s

n

∑ ∑ cij xij + ∑ bi yi → min ,

i =1 j =1

i =1

(36)

x, y

n

∑ yi = т,

(37)

∑ yi xij = 1, j = 1, s,

(38)

i =1 n

i =1 s

∑ xij = kyi , i = 1, n,

(39)

j =1

yi ∈ {0, 1}, xij ∈ {0, 1}, i = 1, n,

j = 1, s.

(40)

Нелинейная задача (36)−(40) может быть сведена к модели линейного дискретного программирования способом, аналогичным рассмотренному выше для задачи (18)−(24), то есть с помощью введения дополнительных искомых переменных zij, подчиняющихся ограничениям (25)−(27). Это означает, что вместо исходной нелинейной задачи (36)−(40) можно решить линейную задачу (36), (37), (25)−(27), (39), (40). Пример 5.1.1. Рассмотрим упрощенный пример применения модели (36)−(40), когда размещению подлежит одна кустовая площадка, к которой подключаются 4 скважины (риc. 1). Пример составлен таким 48

образом, чтобы было возможным найти наилучшее размещение кустовой площадки и без применения алгоритмов оптимизации. В качестве исходной информации будем использовать три варианта размещения одной кустовой площадки на фрагменте некоторого месторождения. Узлы координатной сетки, в которых можно расположить кустовую площадку обозначим через 1, 2, 3 (рис. 1). Расположение забоев четырех скважин задано и на рисунке обозначено индексами 1, 2, 3 и 4 (проекция на горизонтальную плоскость). Таким образом, п = = 3, s = 4, m = 1, k = 4. В таблице 1 указаны расстояния Rij. В последнем столбце этой таблицы приведены Ri − суммы элементов строк, то есть s

Ri = ∑ Rij , i = 1, n. j =1

1

3

2

2

4

1

3

Рис. 1. Заданное расположение забоев скважин (••), возможные места размещения кустовой площадки (O), наилучшее размещение кустовой площадки (O)

Пусть j − номер узла координатной сетки, в котором расположен забой скважин, то есть j = 1, 2, 3, 4, а i − номер узла координатной 49

сетки, в котором может быть размещена кустовая площадка, т.е. i = 1, 2, 3. Таблица 1 Значения расстояний Rij j

1

2

3

4

Ri

6 3 2

6 3 2

2 3 6

2 3 6

2 6+2 2 4 3 2 6+2 2

i

1 2 3

Будем считать, что расстояния между соседними узлами координатной сетки по вертикали и горизонтали равняются единице. Расстояние от любого забоя до поверхности (по вертикали) также равняется единице. В табл. 1 указано Rij − расстояние между i-м узлом и j-м забоем. В качестве примера приведем расчет R11 − расстояния между первым возможным местом размещения кустовой площадки (i = 1) и забоем первой скважины (j = 1). Из теоремы Пифагора следует:

R11 = 12 + 22 + 12 = 6. Пусть все aij = a > 0, все bi = b > 0. Тогда с учетом (37) критерий (36) можно заменить эквивалентным критерием: n

s

∑ ∑ Rij xij → min.

i =1 j =1

(41)

x

При такой замене оптимальное решение исходной задачи (36)−(40) не изменится. Итак, необходимо решить задачу (41), (37)−(40), в которой п = 3, s = 4, m = 1, k = 4. Для решения задачи (41),(37)−(40) достаточно отдельно для каждой возможной точки размещения кустовой площадки (1, 2, 3) рассчитать суммарное расстояние от этой точки до всех скважин, то есть 50

рассчитать Ri, i = 1, 2, 3. После чего в качестве оптимального размещения кустовой площадки выбрать узел координатной сетки, для которого суммарное расстояние окажется минимальным. В данном случае таким узлом является узел № 2, тaк как R2 < R1 = R3. Это следует из следующих преобразований: R22 − R12 48 − 24 − 16 3 − 8 16(1 − 3) R2 − R1 = = = < 0. R2 + R1 R2 + R1 R2 + R1

Получим тот же результат с помощью модели (41), (37)−(40), в которой п = 3, s = 4, m = 1, k = 4: 3 4

∑ ∑ Rij xij → min,

i =1 j =1

(42)

x

3

∑ yi = 1,

(43)

i =1

3

∑ yi xij = 1,

j = 1, 4,

(44)

∑ xij = 4 yi , i = 1, 3,

(45)

i =1

4

j =1

xij ∈ {0, 1},

yi ∈ {0, 1}, i = 1, 3,

j = 1, 4.

(46)

Ограничение (43) и условие (46) сводят решение задачи (42)−(46) к расчету значения целевой функции (42) для каждого допустимого набора искомых переменных yi (i = 1, 2, 3) и выбору наименьшего значения из полученных таким образом. Количество допустимых наборов искомых переменных yi равняется 3. С учетом (43) каждый допустимый набор {y1, y2, y3} содержит 3 переменные, из которых две переменные должны равняться нулю, а одна − единице. Рассмотрим каждое допустимое решение задачи (42)−(46). 51

1. Пусть y1 = 1, тогда y2 = y3 = 0. Следовательно, из ограничений (45) получим: х11 + х12 + х13 + х14 = 4⋅1, х21 + х22 + х23 + х24 = 4⋅0, х31 + х32 + х33 + х34 = 4⋅0, 1⋅ х11 + 0⋅ х21 + 0⋅ х31 = 1, 1⋅ х12 + 0⋅ х22 + 0⋅ х32 = 1, 1⋅ х13 + 0⋅ х23 + 0⋅ х33 = 1, 1⋅ х14 + 0⋅ х24 + 0⋅ х34 = 1. Откуда х11 = х12 = х13 = х14 = 1, а остальные xij = 0. Следовательно, в этом решении функция цели равняется сумме: R11⋅х11 + R12⋅х12 + R13⋅х13 + R14⋅х14 = R11 + R12 + R13 + R14 = R1. 2. Пусть y2 = 1, тогда y1 = y3 = 0. Следовательно, из ограничений (45) получим: х11 + х12 + х13 + х14 = 4⋅0, х21 + х22 + х23 + х24 = 4⋅1, х31 + х32 + х33 + х34 = 4⋅0, 0⋅х11 + 1⋅х21 + 0⋅х31 = 1, 0⋅х12 + 1⋅х22 + 0⋅х32 = 1, 0⋅х13 + 1⋅х23 + 0⋅х33 = 1, 0⋅х14 + 1⋅х24 + 0⋅х34 = 1. Откуда х21 = х22 = х23 = х24 = 1, а остальные xij = 0. Следовательно, в этом решении функция цели равняется сумме: 52

R21⋅х21 + R22⋅х22 + R23⋅х23 + R24⋅х24 = R21 + R22 + R23 + R24 = R2. 3. Пусть y3 = 1, тогда y1 = y2 = 0. Следовательно, из ограничений (45) получим: х11 + х12 + х13 + х14 = 4⋅0, х21 + х22 + х23 + х24 = 4⋅0, х31 + х32 + х33 + х34 = 4⋅1, 0⋅х11 + 0⋅х21 + 1⋅х31 = 1, 0⋅х12 + 0⋅х22 + 1⋅х32 = 1, 0⋅х13 + 0⋅х23 + 1⋅х33 = 1, 0⋅х14 + 0⋅х24 + 1⋅х34 = 1. Откуда х31 = х32 = х33 = х34 = 1, а остальные xij = 0. Следовательно, в этом решении функция цели равняется сумме: R31⋅х31 + R32⋅х32 + R33⋅х33 + R34⋅х34 = R31 + R32 + R33 + R34 = R3. Следовательно, как и выше, в качестве оптимального узла координатной сетки, в котором размещается кустовая площадка, выбирается узел № 2, обладающий наименьшим значением Ri (см. табл. 1): R2 = min{R1, R2, R3} = 4 3.

5.2. Модель распределения скважин по кустам при заданном размещении кустовых площадок 5.2.1. Постановка задачи и алгоритм ее решения Рассмотрим упрощенную модель распределения скважин основного фонда по кустам. Для использования этой модели необходимо заранее из каких-либо соображений задать расположение кустовых 53

площадок. Параметром, определяющим принадлежность скважины к тому или иному кусту, в данной модели является расстояние между забоем скважины и кустовой площадкой. Это означает, что минимизируется суммарная длина всех скважин, что ведет к минимизации стоимости их строительства и уменьшению потерь давления при движении добываемой продукции по стволу скважины. Такой критерий удобно применять, если существует большая неопределенность в стоимости проходки одного метра при бурении скважин. Модель удобно применять, если забои скважин размещены по площади равномерно. Первоначальным этапом формирования модели является разбиение всей залежи на приблизительно одинаковые по площади зоны. В каждой зоне необходимо задать координаты кустовой площадки, то есть координаты расположения устьевого оборудования куста скважин. В качестве места расположения площадки удобно выбирать координаты центра зоны, хотя это не является обязательным. Более того, если рассматривается проектирование разработки газового месторождения и уже задано размещение установок комплексной подготовки газа (УКПГ), то при размещении кустовых площадок необходимо исходить из известного размещения УКПГ. Обозначим количество кустов через т. Пусть количество скважин в любом кусте равняется n. Общее число скважин обозначим через s, т.е. s = m⋅n. Пусть rij − расстояние между i-й кустовой площадкой и забоем j-й скважины, i = 1,…, m, j = 1, …, s. Задача состоит в поиске такого распределения скважин по кустам, при котором будет обеспечен минимум суммарного расстояния между кустами и забоями скважин. Очевидно, что критерий задачи, в первом приближении, равносилен минимизации затрат на строительство скважин и ориентирован на снижение потерь давления при движении добываемой продукции по стволу скважин.

54

Для математической формулировки задачи введем искомые переменные − zij : zij = 1, если j-я скважина подключается к i-й кустовой площадке (входит в состав i-го куста), и zij = 0 в ином случае. Теперь задача в упрощенной постановке сводится к поиску таких zij, что m s

∑ ∑ rij zij → min ,

i =1 j =1 m

∑ zij = 1,

(47)

z

j = 1, s ,

(48)

∑ zij = n, i = 1, m ,

(49)

zij ∈ {0, 1}, i = 1, m, j = 1, s.

(50)

i =1 s

j =1

Правые части ограничений-равенств (48) и (49) являются целыми положительными числами. Причем из ограничений (48), требующих, чтобы каждая скважина принадлежала только одному кусту, следует, что zij ≤ 1 для любых i и j. Поэтому ограничения (50) можно заменить менее жесткими условиями неотрицательности искомых переменных [26]: zij ≥ 0, i = 1,…, m, j = 1,…, s.

(51)

После такой замены модель (47)−(49),(51) становится классической транспортной задачей по критерию стоимости с правильным балансом, так как s = m⋅n. Для ее решения можно воспользоваться известным методом потенциалов [18], эффективное применение которого возможно и при большой размерности задачи. Приведем описание этого метода, ориентируясь на терминологию работы [18] и учитывая, что замена ограничений (50) на ограничения (51) требует некоторого отклонения от его классического варианта. 55

Для описания процесса решения задачи (47)−(49),(51) методом потенциалов удобно пользоваться таблицами, в которых приводятся все исходные данные и результаты промежуточных расчетов. Учитывая вид критерия (47), назовем параметры rij «стоимостями». В каждой клетке такой таблицы, например, стоящей на пересечении i-й строки и j-го столбца, указываются значение стоимости rij, где i = 1,…, m; j = = 1,…, s. Любая клетка таблицы, например, с координатами (i, j), может быть либо заполненной (базисной), либо пустой (свободной). В заполненной клетке содержится базисная (зависимая) переменная, значение которой из-за условия (51) должно быть не меньше нуля. В пустой клетке находится свободная (независимая) переменная, равная нулю. Чтобы отличить базисную клетку, заполненную нулем, от свободной клетки, содержащей нуль, введем вспомогательный параметр ε, где ε → 0. Теперь, если в базисной клетке содержится нуль, то этот нуль заменяется на ε. Число базисных переменных должно быть равно числу линейнонезависимых уравнений в системе (48), (49), то есть s + m − 1. Количество линейно-независимых уравнений в этой системе на единицу меньше общего количества ограничений-равенств из-за дополнительного исходного условия s = m⋅n. Поэтому число заполненных клеток и, соответственно, число базисных переменных должно равняться s + m − 1. Число свободных переменных равняется разности между общим количеством переменных и числом базисных переменных, то есть s⋅m − (s + m−1) = (s − 1)⋅(т − 1). Поэтому число пустых клеток равняется (s − 1)⋅(т − 1). Сумма всех переменных j-го столбца должна равняться правой части ограничения (48), то есть единице. Сумма всех переменных i-й строки должна равняться правой части ограничения (49), то есть п. Из ограничений (48) следует, что в каждом столбце может быть только одна клетка, заполненная единицей. 56

Из ограничений (49) следует, что в каждой строке число клеток, заполненных единицами, должно быть равно п. Так как s= m⋅n, то при выполнении ограничений (48) и (49) число клеток, заполненных единицами, окажется равным s. Решение начинается с построения начального допустимого варианта распределения скважин по кустам, то есть варианта заполнения клеток, удовлетворяющего всем ограничениям задачи. Это означает, что необходимо заполнить s клеток единицами, а (т−1) клеток бесконечно малыми величинами ε. Один из возможных алгоритмов формирования начального допустимого решения равносилен следующему правилу заполнения клеток: 1) ставятся единицы в клетках с координатами (i, j), где i ∈{1,…, m}, а j вычисляется по формуле j = (k−1)m + i,

k = 1,…, n;

(52)

2) среди оставшихся клеток таблицы выбираются (т−1) клеток с наибольшими стоимостями и в каждую из таких клеток вносится бесконечно малая величина ε. Заполнение клеток единицами в соответствии с формулой (52) и бесконечно малая величина параметра ε позволяют заполнить необходимое число клеток, не нарушая ограничений (48) и (49). После этого начальное допустимое решение необходимо проверить на оптимальность. С этой целью для каждой строки и каждого столбца вводятся, соответственно, «потенциалы» αi и βj. Чтобы найти значения потенциалов, необходимо рассмотреть только заполненные клетки. Пусть клетка с координатами (k, l) является заполненной. Тогда составляется уравнение относительно αk и βl: αk + βl = rkl,

57

(53)

где rkl – заданное значение «стоимости» (в исходной постановке задачи – это значение расстояния между забоем l-й скважины и k-й кустовой площадкой). Число уравнений в такой системе равняется числу заполненных клеток, то есть s + m−1. Число неизвестных в этой системе − количество αi и βj − равняется числу строк и столбцов, то есть s + m. Поэтому для нахождения потенциалов из полученной системы уравнений можно одному из них придать любое значение. После этого можно найти значения остальных неизвестных, решая систему, в которой уже количество уравнений равняется числу неизвестных. Теперь для каждой пустой клетки составляется сумма из соответствующих потенциалов. Это значит, если клетка с координатами (m, t) − пустая, то определяется сумма smt: smt = αm + βt. Для всех i и j проверяется условие оптимальности [18]: sij ≤ rij.

(54)

При выполнении неравенств (54) значения искомых переменных, содержащиеся в клетках таблицы, определяют оптимальное решение задачи (47)−(49), (51), а следовательно, и оптимальное распределение скважин по кустам. После этого все вычисления прекращаются. Если же хотя бы одно из неравенств (54) не выполняется, то необходима еще одна итерация, на которой осуществляется переход к другому допустимому решению (см. табл. 2). Переход к другому допустимому решению равносилен перемещению единиц или ε в другие клетки. Для этого необходимо построить так называемый «цикл пересчета» и провести операцию «сдвиг по циклу» [18].

58

Таблица 2 Пример начальной итерации для решения задачи (47)−(49), (51) j

1

i 1

… r11

…

ri1

… …

j ε …

1 … i

…

−

… r1j

…

rij

… …

1 … m

… rm1

… ε

rmj +

… …

•

s ε …

r1s

rin + ε … rms − 1*

Циклом называется любая ломаная замкнутая линия с вершинами в клетках и ребрами (звеньями), лежащими вдоль строк и столбцов табл. 2. Цикл должен удовлетворять следующим свойствам [18]: а) цикл должен быть связным в том смысле, что из любой его вершины можно попасть в любую другую его вершину; б) в каждой вершине цикла встречаются ровно два звена, причем одно из них располагается вдоль строки, а другое вдоль столбца (таким образом, в вершине происходит «поворот» ломаной на ± 90°). Отметим, что ребра цикла могут пересекаться. Однако точки пересечения не могут оказаться его вершинами в силу требования б). Можно показать [18], что число вершин в любом цикле четно. В любом цикле каждой вершине можно присвоить знак «+» или «−» по следующему правилу: выбирается любая вершина, которая называется начальной; ей присваивается знак «+»; затем, обходя цикл в каком-либо направлении, присваивают вершинам поочередно знаки «−» или «+». Поскольку число вершин четно, то, выходя из начальной «положительной» вершины, всегда можно в нее вернуться, не изменив при 59

этом ее знака. Цикл с указанной расстановкой знаков около вершин назовем «означенным циклом». Можно также показать [18], что в каждой строке и в каждом столбце число «положительных» вершин означенного цикла равно числу его «отрицательных» вершин. На этом свойстве основана операция, которая называется «сдвигом по циклу». Операция «сдвиг по циклу» заключается в следующем. Выделим в табл. 2 некоторый означенный цикл. Так как вершины цикла расположены в клетках таблицы, в которых содержатся значения искомых переменных, то каждой вершине, находящейся в клетке с координатами (i, j), соответствует определенное значение переменной zij. Увеличим значения искомых переменных, стоящих в клетках с «положительными» вершинами, на величину δ и уменьшим значения искомых переменных, стоящих в клетках с «отрицательными» вершинами, на ту же величину δ. Такая операция будет называться «сдвигом по циклу на величину δ». Операция сдвиг по циклу обладает важным свойством: сдвиг по любому означенному циклу на любое число δ преобразует любое решение системы (48), (49) в другое решение этой же системы. Это означает, что сдвиг по циклу можно применять для перехода от одного допустимого решения задачи к другому допустимому. «Циклом пересчета» назовем означенный цикл, одна вершина которого лежит в пустой (свободной) клетке, а все остальные вершины − в заполненных (базисных) клетках (но не обязательно во всех!!!). Для каждой свободной клетки существует единственный цикл пересчета [18]. Итак, чтобы построить новое допустимое решение вместо начального решения, указанного в табл. 2, необходимо построить цикл пересчета относительно свободной клетки, в которой нарушается условие (54). Если таких клеток несколько, то выбирается одна из них, ко60

торая соответствует, например, наибольшей разности (sij − rij). Пусть такой клеткой будет клетка с координатами (т, j), отмеченная символом «•» (см. табл. 2). Построим цикл пересчета относительно этой клетки и расставим знаки около его вершин (см. табл. 2). Рассмотрим только базисные клетки с отрицательными вершинами: (i, j), (m, s). Рассмотрим первый случай из двух возможных: наименьшим элементом, который содержится в этих клетках, является 1. Выберем в качестве δ ту единицу, которая стоит в клетке с большей стоимостью. Если rij < rms, то в качестве δ нужно выбрать единицу, стоящую в клетке (m, s). Отметим эту единицу символом «*», то есть 1* (см. табл. 2). Проведем сдвиг по циклу на эту величину. При сдвиге по циклу на 1* необходимо соблюдать следующие правила: 1−1* ≡ ε, 1*−1* ≡ 0, ε + 1* ≡ 1, 0 + 1* ≡ 1.

(55)

Ситуация (ε − 1*) невозможна, так как, это означало бы, что ε находится в клетке с отрицательной вершиной. Тогда единица не могла бы стать минимальным элементом, так как ε < 1*. Также невозможна ситуация (1 + 1*). Последнее утверждение базируется на следующих соображениях. По определению цикл пересчета проходит через некоторые базисные клетки и одну свободную клетку. Сдвиг на единицу (δ = 1) означает, что нет базисной клетки, содержащей отрицательную вершину и заполненной параметром ε, но есть базисная клетка, содержащая отрицательную вершину и заполненная единицей (1*). Пусть, как и выше, такая клетка имеет индексы (m,s). Напомним, что для выполнения ограничения (43) в каждом столбце содержится только по одной единице. Поэтому в s-м столбце, содержащем эту базисную клетку с единицей (1*) и отрицательной вершиной, может находиться только пустая клетка, относи61

тельно которой и строится цикл пересчета. Поэтому в s-м столбце ситуация (1 + 1*) невозможна. Допустим теперь возможность ситуации (1 + 1*) для других столбцов и строк. Это означает, что в m-й строке, содержащей базисную клетку с единицей (1*) и отрицательной вершиной, еще есть клетка, заполненная единицей (1) и положительной вершиной. Пусть эта клетка имеет индексы (m, k). Это приведет к тому, что в k-м столбце должна существовать клетка, заполненная параметром ε и отрицательной вершиной. Но ε < 1*, следовательно, единица не могла оказаться наименьшим элементом, подлежащим сдвигу. Таким образом, предположение о возможности ситуации (1 + 1*) приводит к противоречию, которое доказывает утверждение. В результате сдвига по циклу возникает новое разбиение клеток на свободные (пустые) и базисные (заполненные). А именно, клетка с координатами (т, j) превращается в заполненную, а клетка с координатами (т, s) − наоборот, в пустую клетку. В таблице 3 это перемещение отмечено пунктирной стрелкой. Тем самым получено новое допустимое решение. Теперь для нового набора заполненных клеток опять составляются уравнения относительно потенциалов αi и βj. После определения новых значений αi и βj для нового набора свободных клеток составляются суммы sij, которые сравниваются с rij. После чего опять проверяется выполнение условия оптимальности (выполнение неравенств (54)) и т.д. Теперь рассмотрим второй случай из двух возможных. Пусть бесТаблица 3 Построение нового допустимого решения j

1

i 1

… r11

…

…

… r 1j

ε

1 …

j

…

…

62

s

…

r 1s

ε …

…

i

r i1 …

… т

… rт1

rij …

ε

ris

1

… ε

rтj

… …

… rms

1

конечно малый параметр ε является наименьшим из чисел, содержащихся в клетках с отрицательными вершинами. Обозначим через ε* тот параметр ε, который выбран в качестве минимального элемента. При сдвиге по циклу на ε* необходимо соблюдать следующие правила: 1 ± ε* ≡ 1, ε ± ε* ≡ ε, ε*− ε* ≡ 0, 0 + ε* ≡ ε.

(56)

Таким образом, схема решения задачи (47)−(49),(51) методом потенциалов сводится к выполнению следующих операций: 1) таблица исходных данных заполняется начальным допустимым решением (единицами и ε); 2) для заполненных (базисных) клеток составляются уравнения, решая которые находят потенциалы строк и столбцов; 3) для пустых (свободных) клеток составляются суммы потенциалов; 4) проверяется условие оптимальности: если для указанного в таблице решения в каждой клетке сумма потенциалов не превосходит «стоимость» этой клетки, то данное решение является оптимальным, и на этом все операции заканчиваются; в противном случае с помощью цикла пересчета определяется новое допустимое решение, после чего все операции повторяются. Область применения модели (47)−(49),(51) можно расширить, если вместо неравенство

ограничения-равенства

(49)

ввести

ограничение-

s

∑ zij ≤ n, i = 1, m.

j =1

63

(57)

Ограничение (57) означает, что количество скважин в кусте не должно превышать п − заданную максимально допустимую величину. При этом должно выполняться условия s ≤ n⋅m. Чтобы свести задачу (47), (48), (51), (57) к задаче с правильным балансом, достаточно ввести фиктивные скважины. Их число sф должно быть таким, чтобы выполнялось равенство s + sф = n⋅m. Кроме того, для фиктивных скважин следует положить rij ≡ 0, где I = 1,…, m, а j – номер фиктивной скважины, то есть j ∈{s+1, s + 2,…, s + sф}. 5.2.2. Пример решения задачи Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение метода потенциалов для решения задачи (47)−(49), (51). Данные в примере подобраны так, чтобы было возможно определить оптимальное решение задачи и без применения метода потенциалов. Пример 5.2.1. Пусть необходимо распределить шесть скважин (s = = 6) между двумя кустами (m = 2). Каждый куст состоит из трех скважин (n = 3). Расстояния – rij (в условной размерности) приведены в табл. 4. Из этих данных следует, что оптимальным распределением скважин по кустам является вариант, при котором устья трех скважин с номерами 1, 2 и 3 оборудуются на первой кустовой площадке, а остальные три скважины (4, 5 и 6) подключаются ко второй площад∗ ке. Это решение в обозначениях модели (47)−(49), (51) имеет вид: z11 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = = z12 = z13 = z24 = z25 = z26 = 1. Остальные искомые переменные

Таблица 4 Исходные данные для первой итерации j i

1

1

2 1,5 +

2,0

1

3

1

4 2,0

1,2 •

1

64

5

6 4,0 −

n 6,0

ε

3

2

5,5

5,0

−

1,9

1 (41)

1

1

1

1,8 +

1,5 1

2,0

1

1

1

1

3 6

равняются нулю. Функция цели (47) в оптимальном решении равняется 10. В углах клеток табл. 4 курсивом указаны «стоимости» (rij − расстояния между i-й кустовой площадкой и забоем j-й скважины). В последней строке приведены правые части ограничения (48), то есть единицы. Жирным шрифтом в клетках указаны начальные значения искомых переменных, образующих допустимое решение, которое специально выбрано не совпадающим с оптимальным решением. В обозначениях модели (47)−(49),(51) начальное допустимое решение (табл. 4), имеет вид: z11 = z12 = z14 = z23 = z25 = z26 = 1. Остальные искомые переменные в этом начальном решении равняются нулю. Функция цели (47) в начальном решении равняется 11,2. Количество заполненных (базисных) клеток должно равняться s + m−1 = 6 + 2−1 = 7. Поэтому клетка с координатами (1,6), обладающая максимальной «стоимостью», заполнена бесконечно малым параметром ε. Соответственно число пустых (свободных) клеток равняется s⋅m − (s + m−1) = = 6⋅2−7 = 5. Средствами метода потенциалов проверим на оптимальность начальное решение. С этой целью для базисных клеток составим уравнения типа (53), из которых определим потенциалы αi и βj (i = 1, 2; j = 1÷6): α1 + β1 = 2,0, α1 + β2 = 1,5, α1 + β4 = 2,0, α1 + β6 = 6,0, 65

α2 + β3 = 1,9, α2 + β5 = 1,8, α2 + β6 = 2,0. Чтобы решить приведенную выше систему, в которой 7 уравнений и 8 неизвестных, зададим α1 = 0. Тогда β1 = 2,0; β2 = 1,5; β4 = 2,0; β6 = = 6,0; α2 = −4,0; β3 = 5,9; β5 = 5,8. Теперь составим суммы найденных потенциалов для свободных клеток: α1 + β3 = 5,9 >1,2, α1 + β5 = 5,8 > 4,0, α2 + β1 = −2,0, α2 + β2 = −2,5, α2 + β4 = 0. Две первые суммы больше соответствующих заданных «стоимостей». Это означает, что условие оптимальности (54) нарушено и требуется перейти к новому допустимому решению. Для этого построим цикл пересчета относительно клетки (1,3), так как для этой клетки разность между суммой потенциалов и заданной «стоимостью» наибольшая. Клетка (1,3) помечена символом «•». Стрелками в табл. 4 показан цикл пересчета. В клетках, через которые проходит цикл, отмечены знаки вершин цикла (+ или −). В соответствии с этими знаками наименьшим элементом, стоящим при отрицательной вершине является ε. Осуществляя сдвиг по циклу на величину ε, получим новое допустимое решение. Это решение построено в соответствии с правилами (55) и (56) и приведено в табл. 5. Для полученного решения (нового набора заполненных клеток) опять найдем потенциалы: α1 + β1 = 2,0, 66

α1 + β2 = 1,5, α1 + β4 = 2,0, α1 + β3 = 1,2, α2 + β3 = 1,9, α2 + β5 = 1,8, α2 + β6 = 2,0.

Таблица 5 Исходные данные для второй итерации j i

1

1

2 2,0

2

(41)

1,5 1

1

+ ε

5,0 −

5,5

1

3

1

4 1,2

−

1

5

6

n

2,0

4,0

6,0

3

1,5

1,8

2,0

3

*

1,9

1

•

1

1

+

1

1

1

1

6

Полагая α1=0, найдем из полученной системы значения остальных потенциалов: β1 = 2,0; β2 = 1,5; β4 = 2,0; β3 = 1,2; α2 = 0,7; β5 = 1,1; β6 = = 1,3. Теперь составим суммы найденных потенциалов для свободных клеток: α1 + β6 = 1,3, α1 + β5 = 1,1, α2 + β1 = 2,7, α2 + β2 = 2,2, α2 + β4 = 2,7 > 1,5.

67

В клетке (2,4) нарушается условие (54). Это означает, что полученное допустимое решение не оптимально и требуется еще одна итерация. Относительно клетки (2,4), отмеченной символом «•», построим цикл пересчета (табл. 5). В этом цикле при отрицательных вершинах стоят единицы. Выберем в качестве минимального элемента единицу в клетке (1,4) и отметим ее символом «*». Осуществляя сдвиг по циклу на величину 1*, получим новое допустимое решение. Это решение построено в соответствии с правилами (55) и (56) и приведено в табл. 6.

Таблица 6 Исходные данные для третьей итерации j i

1

1

2 2,0

1 2 (43)

1,5

1

1

4

5

6

n

1,2

2,0

4,0

6,0

3

1,9

1,5

1,8

2,0

3

1 5,0

5,5 1

3

ε

1

1

1

1

1

1

1

6

Для полученного решения (нового набора заполненных клеток) найдем потенциалы: α1 + β1 = 2,0, α1 + β2 = 1,5, α1 + β3 = 1,2, α2 + β3 = 1,9, α2 + β4 = 1,5, α2 + β5 = 1,8, α2 + β6 = 2,0. 68

Полагая α1 = 0, найдем из полученной системы значения остальных потенциалов: β1 = 2,0; β2 = 1,5; β3 = 1,2; β4 = 0,8; α2 = 0,7; β5 = 1,1; β6 = 1,3. Теперь для свободных клеток составим суммы найденных потенциалов: α1 + β4 = 0,8 < 2,0, α1 + β5 = 1,1 < 4,0, α1 + β6 = 1,3 < 6,0, α2 + β1 = 2,7 < 5,5, α2 + β2 = 2,2 < 5,0. Сравнение полученных сумм с соответствующими заданными «стоимостями» убеждает в том, что условие оптимальности (54) выполнено. Следовательно, указанное в табл. 6 решение является оптимальным. Учитывая, что по определению ε → 0, получим окончательные ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ значения искомых переменных: z11 = z12 = z13 = z24 = z25 = z26 = 1.

Остальные искомые переменные равняются нулю. Таким образом, 1, 2 и 3 скважины образуют куст № 1, а 4, 5 и 6 скважины – куст № 2.

6. ВЫБОР РАЦИОНАЛЬНОГО КОЛИЧЕСТВА СКВАЖИН НА ГАЗОВОЙ ЗАЛЕЖИ

69

6.1. Постановка задачи выбора числа скважин на газовой залежи Основным назначением рассмотренных выше моделей является автоматизированное формирование исходного множества вариантов размещения скважин, кустовых площадок и распределение скважин по кустам. Формирование одного варианта заключается в последовательном решении нескольких задач: задачи размещения скважин (для нефтяных залежей сначала решается задача размещения добывающих скважин, а затем нагнетательных), после этого решается задача размещения кустовых площадок и распределения скважин по кустам. Изменяя значения исходных данных, например, величину γ в формуле (2) или рассчитывая λj и cij по различным формулам, можно получать в качестве оптимальных решений различные варианты размещения скважин, а следовательно, и различные варианты размещения кустовых площадок и распределения скважин по кустам. Главное состоит в том, что каждый из таких вариантов является лучшим (наиболее эффективным), исходя из определенного критерия оптимальности. Если каждый критерий является разумным, с точки зрения специалистов, и хорошо обоснован, то и вариант, оптимальный с точки зрения этого критерия, также имеет хорошее обоснование. Таким образом, исходное множество будет состоять не из «случайных» вариантов, а вариантов, обладающих определенными важными качествами. Очевидно, что рассмотренные процедуры формирования, основанные на многократных расчетах по моделям размещения и кустования, позволяют также выявить рациональное число скважин и наиболее приемлемое количество кустов. Предположим, что имеются несколько вариантов, отличающихся количеством скважин и, соответственно, числом кустов. Для каждого количества скважин и соответствующего числа кустов определяется оптимальное размещение 70

скважин, а затем расположение кустовых площадок и распределение скважин по кустам. Дополняя полученные решения значениями других технологических параметров, можно рассчитать (например, с помощью пакетов по гидродинамическому моделированию) объемы добычи газа (нефти) и их изменение во времени. На основе информации о технологических параметрах и объемах добычи рассчитываются показатели экономической эффективности вариантов (чистый дисконтированный доход, внутренняя норма рентабельности и т.п.). После этого на основе многокритериального анализа [16] выбирается вариант, обладающий лучшими значениями показателей эффективности. Каждому варианту соответствуют определенные схемы размещения скважин и кустовых площадок, а также определенное количество скважин и кустов. Поэтому одновременно с выбором лучшего варианта осуществляется и выбор лучших схем размещения скважин и кустовых площадок, и распределение скважин по кустам, и выбор наиболее целесообразного числа скважин и кустов. Для реализации указанной стратегии желательно иметь оценку первоначального числа скважин, которое затем может изменяться. Ниже приведены алгоритмы поиска такого первоначального числа скважин для залежей природного газа, представляющие собой модификацию процедуры, предложенной в работе [27]. Под рациональными значениями числа скважин будем понимать такие значения, которые обеспечивают максимальную величину прибыли от разработки залежи при выполнении технологических ограничений. Одним из путей достижения поставленной цели является создание комплекса алгоритмов оптимизации, включающих в качестве основных своих элементов агрегированные модели разработки газовых залежей. Под моделями разработки в данном случае подразумеваются зависимости (уравнения, алгоритмы), которые дают возможность ко71

личественно оценить влияние основных технологических и природных параметров процессов освоения залежей на газоотдачу пластов (на объемы добычи газа). Под агрегированными моделями разработки понимаются модели, которые содержат агрегированные (осредненные, интегральные) технологические и природные характеристики. Такие модели разработки, с одной стороны, должны достаточно точно (с практической точки зрения) учитывать основные закономерности в поведении пласта и насыщающих его флюидов, а с другой стороны, должны быть достаточно просты с вычислительной точки зрения. Использование для проектирования моделей первого рода допускается, если они включаются в качестве отдельных блоков в общий пакет компьютерных технологий проектирования. Модели первого рода предназначены для изучения последствий различных управляющих воздействий на процесс разработки газовых месторождений. Именно агрегированный характер моделей позволяет использовать их при решении задач оптимального планирования и прогнозирования добычи газа, а также проектирования систем разработки залежей, то есть включать такие модели в процедуры оптимизации. С учетом поставленных целей и задач за рамками данного раздела остаются подробные гидродинамические трехмерные модели многофазной фильтрации, положенные, например, в основу таких мощных пакетов как «Eclipse» [28, 29]. Эти модели формулируются в виде систем дифференциальных уравнений в частных производных. Вычислительная сложность таких моделей и большой объем входной информации, необходимый для их оснащения, существенно усложняют и без того непростые алгоритмы оптимизации. Поэтому формирование и выбор с их помощью рациональных вариантов разработки газовых залежей, содержащих рациональные значения конструктивных параметров скважин, крайне затруднены. Это затруднение, чаще всего, пытаются обойти, просматривая лишь небольшое, явно недостаточное количество вариантов, из которых выбирается наилучший, что 72

обесценивает процесс оптимизации разработки залежей. Попытка увеличения числа просматриваемых вариантов ведет к необходимости выделения таких вычислительных ресурсов, которые не могут быть предоставлены даже наиболее мощными современными вычислительными средствами. Проблема выбора оптимальной конструкции скважин и их числа (рациональных диаметров НКТ и длины горизонтальных участков скважин) имеет экономический и технологический характер и заключается в следующем. С одной стороны, применение скважин большего радиуса (соответственно, больших диаметров НКТ) с бóльшими длинами горизонтальных участков ведет к увеличению дебита скважин и возможному сокращению их числа, но, одновременно, ведет и к большей стоимости скважин. С другой стороны, применение скважин меньшего радиуса (меньших диаметров НКТ) с меньшими длинами горизонтальных участков позволяет снизить стоимость скважин и обеспечить условия выноса с забоя скважин твердых частиц и жидкости в более широком диапазоне значений дебита скважин. Однако при этом скважины эксплуатируются с меньшими дебитами, что может вызвать увеличение их числа. Применение процедур оптимизации для конкретных геологопромысловых условий добычи позволит ответить на вопрос, какие из отмеченных тенденций будут доминировать − положительные или негативные? Исходной информацией для выбора оптимальной конструкции скважин и их числа являются следующие данные: − осредненные по пласту значения коэффициентов фильтрационных сопротивлений; − начальное пластовое давление и температура; − предельные значения депрессии и устьевого давления;

73

− параметры твердых частиц и капель жидкости, выносимых с забоя; − глубина залегания продуктивных пластов; − срок разработки залежи и ее балансовые запасы; − цена газа, стоимость строительства и обслуживания одной скважины различного радиуса и различной длины горизонтального участка. Предлагаемые алгоритмы включают: 1) расчет максимально возможной конечной газоотдачи; 2) расчет экономически обоснованной конечной газоотдачи; 3) расчет рациональных значений основных технологических параметров разработки, конструктивных параметров скважин и технико-экономических показателей разработки. Алгоритмы расчета предельной, с точки зрения технологии добычи, конечной газоотдачи основаны на том, что в процессе эксплуатации залежи дебит падает, следовательно, существует момент времени, когда дебит сравняется с минимально допустимым дебитом, при котором еще обеспечиваются условия выноса с забоя скважин твердых частиц и жидкости. После чего эксплуатация скважин становится невозможной. Именно этим моментом времени, который становится сроком разработки, будет определяться предельная газоотдача. Алгоритмы первой группы, оценивая максимально возможную величину конечной газоотдачи, позволяют построить зависимость максимально и минимально допустимых дебитов от текущей газоотдачи, а также определить проектное число скважин, обеспечивающее максимальную величину газоотдачи. Алгоритмы второй и третьей групп являются алгоритмам решения задачи: найти такие значения конечной газоотдачи и числа скважин и выбрать такой диаметр НКТ и длину горизонтального участка скважины, которые обеспечат максимум прибыли от разработки залежи при 74

выполнении технологических ограничений. Таким образом, предлагаемые модели и алгоритмы могут быть использованы в качестве вспомогательных математических средств оптимизации конструкции скважин и вариантов разработки.

6.2. Оценка предельного значения конечной газоотдачи Будем рассматривать газовый режим работы залежи как наиболее вероятный режим. Поэтому в основу соотношений, на которых базируются предлагаемые модели и алгоритмы, положены следующие принципы, гипотезы и зависимости, принятые в теории и практике разработки однородных продуктивных пластов при газовом режиме. 1. Приток газа к забою скважины приближенно подчиняется закону [30]:

( P п(t )) 2 − ( P з (t ))2 = Aq (t ) + B (q (t ))2 ,

(58)

где Pп(t) и Pз(t) – соответственно, пластовое и забойное давление в момент времени t; q(t) – дебит скважины в тот же момент времени; A и B – коэффициенты фильтрационных сопротивлений. Связь между P3(t) − забойным и Py (t) − устьевым давлениями в момент времени t можно описать зависимостью [30]:

P3 (t ) =

( Py (t ) )

2 β

e + C ( q (t ) ) , 2

(59)

где β и C – параметры, значения которых характеризуют потери давления при движении газового потока по стволу скважины [30]:

β

2

2 gl 8λ  Z T P  = , C = (eβ − 1) 5  с с *  , Z сTс R gD  Z*T*π 

где 75

(60)

Zc ≡ 0,5 (Z∗ + Zз), Тc ≡ 0,5 (Т∗ + Тз), g – ускорение свободного падения, l – длина насосно-компрессорных труб (НКТ), R – газовая постоянная, λ − коэффициент гидравлического сопротивления в НКТ, D – внутренний диаметр НКТ, Р∗ − давление в стандартных условиях, Z∗, Т∗ , Zз, Тз − соответственно, коэффициент сверхсжимаемости и температура в стандартных условиях и на забое. 2. Для значений давления и температуры, характерных при эксплуатации газоносных пластов, расчет коэффициента сверхсжимаемости можно, например, осуществлять по приближенной формуле [31]: о

Z(P, Т ) = 1−0,0241(P/Ркр)⋅[1−1,68(Тo/Ткр) + 3 −1

o

0,78(Т /Ткр)2 + 0,0107(Тo/Ткр) ] ,

(61)

o

где Ркр = 4,6 МПа, Ткр = 190,5 К (для метана), P, T − соответственно, давление (МПа) и температура (К), под воздействием которых находится газ. Можно воспользоваться более сложной (но и более точной) зависимостью [32] (Тпр = Т/Ткр, Рпр= P/Ркр): 1) при Тпр= 0 и Рпр ≤ 0,2 Z = 1; 2) Тпр ≠ 0 и 0,2 < Рпр ≤ 2 Z = (0,974+0,017963Тпр − 0,00337(Тпр)2) + 2

+(−0,741181 + 0,659635Тпр − 0,150287(Тпр) )Рпр; 3) Тпр ≠ 0 и 2 < Рпр ≤ 5 Z = (1,040245−0,009676Тпр) + ( −1,016432 + 0,869453Тпр − 2

2

0,19257(Тпр) )Рпр + (0,163021−0,145936Рпр + 0,033936(Тпр) )Рпр; 76

4) Тпр ≠ 0 и 5 < Рпр ≤ 8 2

Z = (−1,99986 + 2,457507Тпр − 0,533217(Тпр) ) + 2

+ (0,340529−0,281075Тпр + 0,063898(Тпр) )Рпр; 5) Тпр ≠ 0 и Рпр > 8 Z = −1,175239(Тпр)2 + 1,089419Тпр − 0,81925 + 2

+ (0,219522−0,132676Тпр + 0,023039(Тпр) )Рпр. Не будет существенной ошибкой, если рассчитать Zз по формуле (61) или по другой формуле, выражающей зависимость коэффициента сверхсжимаемости от давления и температуры, при известной пластовой температуре – Tп и давлении, равном гидростатическому давлению на уровне ГВК − Ргс, т.е. Zз = Z(Ргс, Tп). После определения Zз можно вычислить оценки параметров β и C, используя формулы (60). 3. Введем в рассмотрение η(t) − текущую газоотдачу пласта при разработке месторождения. Пусть τ − момент окончания разработки залежи. При t = τ текущая «газоотдача» превращается в конечную «газоотдачу»: ηк ≡ η(τ). Зависимость пластового давления от газоотдачи при газовом режиме разработки залежи подчиняется соотношению [30]: Z ( Pn (t ), T o (t )) Pn (t ) = Pn (0) (1 − η (t )), Z0

(62)

o

где Z0 ≡ Z(Pn(0), T (0)), Pn(0) − начальное значение пластового давлеo

ния, а T (0) − значение пластовой температуры. Будем считать, что

77

o

температура пласта за период разработки остается неизменной: T (0) o

= T (t) = Тп. Если задано Ру − минимально допустимое устьевое давление, то Рзmin − минимально возможное значение пластового давления можно найти из формулы (54) при q(t) = 0: β

Рзmin = Ру е . Формулу (57) можно упростить, если учесть, что, во-первых, o

функция Z(P, T ) является убывающей по переменной Р (см. формулу (61)), и, во-вторых, Рзmin ≤ Pn(t) ≤ Pn(0). Тогда

Pn (0)(1 − η (t )) ≤ Pn (t ) ≤ Pn (0) Пусть Zк ≡ Z(Pзmin,

Tп),

Z ( Pз min , Tп ) Z0

(1 − η (t )).

а параметр Р0 является средним между

Pn(0) и (Pn(0)Zк)/Z0, т.е.

 Z  1 P0 ≡ Pn (0) 1 + к  . 2  Z0 

(63)

C учетом последнего двустороннего неравенства, формулу (62) можно заменить приближенной формулой, выражающей зависимость пластового давления от «газоотдачи»: Pn(t) ≈ P0(1−η(t)).

(64)

Если можно считать, что Zк ≈ Z0, то P0 ≈ Pn(0). 4. Существует максимально допустимый дебит скважины, превышение которого приводит либо к разрушению ее призабойной зоны, либо к падению устьевого давления ниже допустимого. Это означает, что: 1) депрессия на пласт не должна превышать ∆Р − заданное предельное значение депрессии: 78

Pп(t) – Pз(t) ≤ ∆P ;

(65)

2) устьевое давление не должно быть меньше заданной величины – Py: Py(t) ≥ Py.

(66)

С падением пластового давления предельно допустимая депрессия обычно также уменьшается прямо пропорционально пластовому давлению [33], т.е. в первом приближении можно считать, что

∆P = γ P n(t ) ,

(67)

где γ − заданный параметр, 0 < γ < 1. Объем затрат, связанных с эксплуатацией залежи, является возрастающей функцией числа действующих скважин. Поэтому для обеспечения конечного значения газоотдачи минимально возможным числом скважин необходимо вести отборы газа при максимально допустимом дебите, который становится рабочим дебитом. Обозначим этот дебит через q(t). Для определения q(t) можно воспользоваться формулами (58),(59) и неравенствами (65) и (66). Тогда с учетом (67) можно получить q(t) = min{q1(t), q2(t)},

q1(t ) = q 2(t ) =

 A  4B 2  1 + 2 γ Рп (t )(2 − γ ) − 1 , 2B  A 

  A 4( B + С ) 2 2 β 1 + ( Р ( t ) − Р е ) − 1  , п у 2 2( B + С )  A 

где q1(t) определяется из условия (см. неравенство (65)): Рn(t) – Рз(t) = ∆Р, q2(t) – из условия (см. неравенство (66)): Рy(t) = Ру, а Рn(t) − по формулам (63) и (64). 79

(68) (69)

(70)

Из формул (68)−(70) следует, что дебит является функцией пластового давления и не зависит явно от времени, т.е. q(t) = q(Pn(t)). Так как пластовое давление в процессе отбора газа падает, то ∆Р − максимально допустимая депрессия в формуле (64) представлена в виде формулы (67). 5. Существует qmin(t) − минимально допустимый дебит скважины, снижение которого приводит к прекращению выноса газовым потоком твердых частиц и капель жидкости с забоя скважины:

q min (t ) = α P 3(t ) ,

(71)

где α − параметр, величина которого определена ниже. Формула (71) может быть получена следующим образом. Известно, что v1 – минимальная скорость газового потока (м/с), обеспечивающая вынос твердых частиц, равна [30]:

v1 ≈ 5, 44 d ρ / ρ3 , где d и ρ − диаметр (м) и плотность частиц (кг/м3), ρ3 − плотность газа на забое (кг/м3). Минимальная скорость газового потока, обеспечивающая вынос с забоя капель жидкости – v2 (м/с) рассчитывается по формуле [30]: v2 ≈ 25,9 (P3(t))−0,5, где Рз(t) выражено в ат. Если теперь ввести параметр v: v = max{v1, v2}, то qmin(t) − минимально допустимый дебит, еще обеспечивающий вынос с забоя твердых частиц и капель жидкости, рассчитанный для стандартных условий, может быть представлен в виде: πD 2ρ3v qmin (t ) = . 4ρ*

80

Так как

ρ3 Z3T3R = P3 , ρ∗ Z∗T∗R = P∗ , где ρ∗ − плотность газа в стандартных условиях, а R – газовая постоянная, то qmin (t ) можно рассчитать по формуле (71), в которой α = max{α1, α2}, тыс. м3/сут (МПа)0,5,

α1 = 0,369 D 2

Z*T* d ρR ZT 1 , α 2 = 559,425D 2 ∗ ∗ , P* Z3T3 P∗ Z3T3

(72) (73)

где размерность параметров D, d, Tз, T*, R, ρ соответствует системе единиц СИ, а Р* выражается в МПа. Так как забойное давление выражается через дебит и пластовое давление (см. формулу (58)), а рабочий дебит является функцией пластового давления (см. формулы (68)−(70)), то минимально допустимый дебит также является функцией пластового давления, то есть qmin(t) = qmin(Pn(t)). 6. В процессе разработки должно выполняться условие: q(Pn(t)) ≥ qmin(Pn(t)). По мере увеличения объема накопленной добычи при газовом режиме максимальный и минимальный дебиты падают из-за снижения пластового давления. Однако темпы падения рабочего (максимально допустимого) дебита выше темпов падения минимально допустимого дебита. Следовательно, существует Pmin − значение пластового давления, при котором максимальный и минимальный дебиты сравняются. Дальнейшее снижение пластового давления приведет к нарушению условий нормальной эксплуатации скважин, при которой должны одновременно обеспечиваться и сохранение призабойной зоны от разрушений, и вынос твердых частиц и капель жидкости с забоя скважин. Следовательно, должно выполняться условие: 81

Рп(τ) ≥ Pmin,

(74)

где Рп(τ) – значение пластового давления в момент окончания разработки (см. формулу (64)). Оценку Pmin можно получить из условия: q(Pn(t)) = qmin(Pn(t)). Следовательно, с учетом (51) и (64) Pmin является корнем уравнения:

q( P) = α 4 ( P) 2 − Aq ( P ) − Bq 2 ( P ),

(75)

где q(P) подчиняется соотношениям (68)−(70). Нелинейное уравнение (75) можно решить одним из стандартных численных методов. Можно также в качестве «пробных» решений выбрать значения пластового давления: Рi = Pзmin + (i − 1)∆, i = 1, 2, 3,…,

(76)

где величина параметра ∆ выбирается, исходя из требуемой точности (∆ > 0). Пусть δ(Pi) − разность между левой и правой частями уравнения (75) при P = Рi. В формуле (76) параметр i увеличивается на единицу до тех пор, пока δ(Pi) уменьшается. В качестве корня уравнения (75) выбирается такое Pj, для которого выполняется неравенство δ(Pj−1) > δ(Pj) ≤ δ(Pj+1),

j∈{1, 2, 3,…},

то есть Pmin = Рj. Зная Pmin, можно по формуле (64) оценить предельную величину конечной газоотдачи − ηп: ηп = 1 − Pmin/Р0.

(77)

Теперь рассмотрим изменения приведенных выше формул при применении горизонтальных скважин. Одной из формул, определя82

ющих приток газа к забою горизонтальной скважины, является формула С.Д. Джоши [34]:

q=

kh( Pп2 − Pз2 ) ,    2 2  a + a − ( L / 2)  hI  hI   + ln  131µZT ln   + Dq + S  ( L / 2)  L  rc ( I + 1)     

(78)

где

a≡

L k 0,5 + 0,25 + (2 Rк / L) 4 , I ≡ x . 2 kz

В приведенных формулах: q − дебит скважины, тыс. м3/сут; L − длина горизонтального ствола, м; Pп, Pз − пластовое и забойное давления, кг/см2; о

T − пластовая температура, К; µ − вязкость газа, сП; k − проницаемость, мД; h – толщина пласта, м; Rк, rс − радиусы контура питания и ствола скважины, м; Z − коэффициент сверхсжимаемости, д.е.; kx, kz − коэффициенты проницаемости вдоль и перпендикулярно напластованию; S − скин-эффект, зависящий от проницаемости, д.е.; D − скин-эффект, зависящий от дебита, (тыс. м3/сут)−1. Введем обозначения:     131µZT   a + a 2 − ( L / 2)2  hI  hI   A( L) ≡ + ln  ln  + S , kh   ( L / 2)  L  rc ( I + 1)     

Bг ≡

131µZT D. kh

83

(79)

(80)

Тогда уравнение притока газа к забою горизонтальной скважины принимает знакомый вид:

Pn2 − Pз2 = А(L)q + Bг q2.

(81)

Рассмотрим корректировку параметров β и С формулы (59), связывающую забойное и устьевое давления для горизонтальной скважины [33]:

βв = C ( L) = 0,01414 ⋅10

−10

λв

Z c2Tc2 Dв5

2 glв , Z cTc R

(eβ − 1) + 0,0965 ⋅10−12 λ г

(82) Z cTcρот Dг5

L, (83)

где: lв – длина НКТ на вертикальном участке скважины, м; λв – коэффициент гидравлического сопротивления в НКТ на вертикальном участке скважины; λг – коэффициент гидравлического сопротивления в НКТ на горизонтальном участке скважины; ρот – относительная плотность газа; Dв – внутренний диаметр НКТ на вертикальном участке скважины, м; Dг – внутренний диаметр НКТ на горизонтальном участке скважины, м. Используя в формулах (68)–(70) параметры А(L), Вг, С(L), βв вместо А, В, С, β, получим зависимость рабочего дебита горизонтальной скважины от диаметра НКТ и длины горизонтального участка. Обозначим эту зависимость функцией q(D, L). Другой также приближенный подход к определению дебита горизонтальной скважины предложен в работе [33]: 84

q(L) = ξ⋅L, где ξ – коэффициент пропорциональности между дебитом и длиной горизонтального участка, учитывающий геолого-физические параметры и физико-химические свойства газа:

ξ≡

2  2 A* + 2 B* ( Pп2 − Рз2 ) − А*  ,  B∗  

2 r  R −h  A* = A*   h1+ rc ln c + к 1  , rc + h1  R к + h1   h1      R к − h1  + h1 2 h r * 1 с , B* = B   ln −  + 2  h1  h + rс r с 1  (rc + h1 )  

где h1 ≡ h/2 – rc, А* и В* – коэффициенты фильтрационных сопротивлений, соответствующие притоку газа к забою вертикальной скважины. Приведенная формула используется в случае, когда горизонтальный участок скважины располагается на одинаковом расстоянии от кровли и подошвы пласта [33]. 6.3. Поиск рационального числа скважин Дебит скважины по газу является функцией пластового давления (см. формулы (68)−(70), (79)−(83)), а пластовое давление, в свою очередь, является функцией газоотдачи (см. формулу (64)). Поэтому дебит становится функцией не только D − диаметра НКТ и L − длины горизонтальной части, но и «газоотдачи» − q(η(t), D, L), и не зависит явно от времени. Поэтому предлагаемая ниже агрегированная модель разработки принимает вид балансового уравнения [27]:

V

d η(t ) = N (t )q(η(t ), D, L), 0 ≤ t ≤ τ, dt

85

(84)

η(0) = 0, η(τ) ≤ ηп.

(85)

В приведенных соотношениях: N(t) − число эксплуатационных скважин на залежи в момент времени t; q(η(t), D, L) - рабочий дебит скважины в момент времени t; η(t) – газоотдача к моменту времени t; V – балансовые запасы газа; ηп − значение предельной конечной газоотдачи (см.уравнение (77)); τ − период разработки. Соотношения (84), (85) связывают основные технологические параметры разработки с газоотдачей и позволяют учесть изменение этих параметров во времени. В силу введенного предположения об однородности газонасыщенного пласта и идентичности всех скважин по производительности приведенная модель имеет упрощенный характер. Агрегированная модель разработки залежи газа позволяет перейти к постановке и решению задач оптимизации технологических параметров разработки и конструкции скважин. В зависимости от того, какой критерий оптимальности используется, какие предположения о поведении продуктивных пластов можно считать выполнимыми и какая исходная информация является доступной, задачи оптимизации технологических параметров будут иметь различную математическую интерпретацию и, соответственно, различные способы решения. Ниже предлагается постановка задачи выбора рациональных значений технологических параметров, в которой в качестве показателя эффективности используется упрощенный вид прибыли от разработки залежи. Ограничениями в задаче являются предельные значения параметров и показателей разработки, алгоритмы расчета которых были предложены в разделе 6.2. 86

Рассмотрим возможности оптимизации технологических параметров разработки газовой залежи на основе агрегированной модели (84), (85). Будем использовать в качестве показателя эффективности прибыль от разработки, то есть критерий оптимальности имеет вид: ay - b( D, L )x ® max ,

(86)

y, x, D, L

где а − цена объемной единицы газа, а b(D, L) является суммой затрат на строительство и обслуживание скважины: b(D, L) = bc(D, L) + cc(D, L)τ, τ – срок разработки, bc(D, L) − стоимость строительства одной скважины, cс(D, L) − стоимость обслуживания скважины в единицу времени, y = Vη – объем накопленной добычи за весь срок разработки залежи, где η − значение конечной газоотдачи, x – проектное число скважин. Формула (86) означает, что в данной модели рассматривается мгновенный ввод скважин, дисконтирование экономических характеристик не учитывается, кроме этого, не учитываются затраты, не зависящие от объема добычи газа и числа скважин. Задача ставится следующим образом: требуется найти число скважин х, длину их горизонтального участка, диаметр НКТ и значение конечной газоотдачи η, которые обеспечат максимум прибыли от эксплуатации залежи при выполнении ограничений на предельные значения газоотдачи и дебита скважин. С учетом (84)−(86) поставленная задача имеет вид следующей модели оптимального управления: aV h - b( D, L) x ® max ,

(87)

h , x, D, L

V

d η(t ) = q (η(t ), D, L) x, 0 ≤ t ≤ τ, η( τ) = η , dt

87

(88)

0 Ј η Ј ηп ,

(89)

x ≥ 0,

(90)

0 ≤ L ≤ Lmax,

(91)

D ∈ {D1,…, Dk}.

(92)

В модели (87)−(92): Lmax – максимально допустимая длина горизонтального участка скважин, {D1,…, Dk} − множество допустимых значений диаметра НКТ. Целочисленностью переменной х пренебрегаем. Смысл и обозначения остальных исходных параметров и зависимостей оставляем прежними. Предлагается следующий алгоритм приближенного решения задачи (87)−(92), учитывающий специфику её ограничений. 1. Учитывая формулы (84), (85), получим: η

V dη x= ∫ . τ 0 q ( η, D, L )

(93)

Теперь задача принимает вид: b ( D, L ) aη t

η

т 0

dη ® max q ( η, D, L ) η, D, L

(94)

0 Ј η Ј ηп ,

(95)

0 ≤ L ≤ Lmax,

(96)

D ∈ {D1, …, Dk}.

(97)

2. Разобьем отрезок [0, Lmax] точками Lj, где j = 1,.., m, Lj ∈ [0, Lmax]. Решение задачи (94)−(97) будем искать для каждого возможного значения диаметра НКТ и каждого фиксированного значения длины горизонтального участка, т.е. при D = Di и L = Lj, где i =1,…, k, а j = 1,.., m. Таким образом, решение задачи распадается на k⋅m итераций. 88

3. На каждой итерации (при фиксированных значениях диаметра НКТ и длины горизонтального участка: D = Di и L = Lj, где i = 1,…, k, а j = 1,.., m) решается задача (94), (95). Для этого определяется ηij стационарная точка функции цели в критерии (94), т.е. ηij – корень уравнения относительно η:

a −

b( Di , L j )

(

τq η, Di , L j

)

= 0.

(98)

Как обычно под стационарной точкой функции понимается значение её аргумента, при котором производная этой функции равняется нулю. Учитывая, что дебит скважины является убывающей функцией газоотдачи, нетрудно показать, что ηij является точкой максимума. Решение уравнения (98) можно получить одним из численных алгоритмов, например, методом половинного деления отрезка [35]. 1. Определяется η*ij − оптимальное решение задачи (94), (95) при D = Di и L = Lj:

м 0, ηij < 0, п п п η*ij = н ηij , ηη 0 Ј ηij Ј ηп , п п ηij > ηп . п п о ηn ,

(99)

2. С помощью методов численного интегрирования [35] с учетом округления до целых чисел находится Nij* − оптимальное число скважин при D = Di и L = Lj:

Nij* = [Nij] + 1,

Nij =

V τ

η*ij

∫

(

dη

0 q η, Di , L j

где [Nij] целая часть числа Nij. 89

(100)

)

,

3. После получения по формулам (99),(100) всех η*ij и Nij* рассчитывается Fij − значение функции цели (87):

Fij = a Vη*ij − b( Di , L j ) N ij* . 4. В качестве окончательного решения задачи (94)−(97) выбирает*

*

ся набор {DI, LJ, ηIJ , NIJ }, I ∈{1,…, k}, J ∈ {1,.., m}, обладающий наибольшим значением функции цели (85): FIJ = max{Fij}, i = 1,…, k, j = 1,.., m. Итак, предлагаемая методика выбора оптимальных технологических параметров и конструкции скважин состоит из следующих основных этапов: 1) строятся зависимости максимально и минимально допустимых дебитов скважин от текущего значения газоотдачи, диаметра НКТ, длины горизонтального участка скважины; 2) определяется предельное значение конечной газоотдачи; 3) решается задача оптимизации, которая сводится к перебору возможных значений диаметра НКТ и длины горизонтальной части скважин, поиску экономически обоснованного значения конечной газоотдачи и числа скважин, обеспечивающего это значение газоотдачи. Полученное число скважин принимается за оценку первоначального числа скважин. Рассмотренная экономико-математическая модель оптимальной разработки использует понятие однородного пласта, предполагает мгновенный ввод скважин в эксплуатацию и упрощенный вид прибыли, что, несомненно, является идеализацией реальных ситуаций. Поэтому полученные с её помощью значения технологических параметров разработки залежи и конструктивных параметров скважины следует рассматривать в качестве начальных приближений, которые подлежат уточнению в процессе проектирования. Однако достоин90

ством предлагаемого подхода, по сравнению с существующими методиками, применяемыми в аналогичных целях, является то, что выбор конструкции скважин согласован с выбором технологических параметров разработки и «завязан» на конечные техникоэкономические показатели эффективности разработки газовой залежи. Поэтому полученные с помощью данной методики значения технологических и конструктивных параметров могут оказаться близкими к оптимальным значениям с точки зрения величины техникоэкономических показателей и обеспечения технологических требований к режимам эксплуатации скважин. Итак, полученное значение числа скважин представляет собой первоначальную оценку, которая служит «ориентиром» при решении задачи рационального размещения заданного числа скважин.

91

Заключение Рассмотренные модели и методы позволяют сократить время на формирование схем размещения скважин на месторождении, учитывают его геолого-физические, фильтрационно-емкостные и геометрические характеристики, а также экспертные оценки перспективности размещения скважин на различных участках месторождения. Сокращение времени на формирование варианта размещения скважин дает возможность специалистам проанализировать большее число вариантов, не увеличивая общее время на проектирование. Это, в свою очередь, позволяет повысить обоснованность принимаемых проектных решений. В зависимости от размеров месторождения число скважин может достигать нескольких сотен, что приводит к большой размерности задач размещения. Учитывая негативное влияние размерности задачи на эффективность методов целочисленного программирования, следует признать, что предпочтительной областью применения предлагаемых моделей и алгоритмов является проектирование разработки небольших залежей сложного геологического строения. Количество таких залежей достаточно велико, что позволяет считать их рациональное освоение актуальной для нефтегазодобывающей отрасли задачей. Именно при разработке малых месторождений целесообразно применять нерегулярные (неравномерные) сетки скважин. Это связано с тем, что нерегулярные сетки скважин в большей степени способны адаптироваться к неоднородности продуктивного пласта. Кроме того, при небольшом числе скважин возрастает ущерб от «неудачного» размещения отдельной скважины. Тем не менее, предлагаемые алгоритмы могут быть применены и для поиска рационального размещения большого числа скважин. В этом случае необходимо предварительно разбить всю продуктив92

ную площадь на зоны, равносильные небольшим залежам. После чего можно перейти к поиску рационального размещения скважин для каждой зоны. Предложенные модели размещения кустовых площадок и распределения скважин по кустам могут быть применены для размещения технологических платформ при разработке морских месторождений углеводородов. При заданном размещении кустовых площадок модель распределения скважин по кустам сводится к классической транспортной задаче по критерию стоимости. Это позволяет применить алгоритмы, способные найти точное решение даже при большой размерности задачи. Решая задачи для различного количества скважин и кустов и рассчитывая для сформированных вариантов технико-экономические показатели разработки, можно определить не только рациональное размещение, но и наиболее целесообразное количество скважин и кустовых площадок. Приведенный подход целесообразно использовать для формирования удовлетворительных первоначальных вариантов размещения скважин и кустовых площадок (платформ) на залежах сложного геологического строения. Изменяя оценки важности показателей эффективности или формулы для их расчета, или перечень эвристических правил, можно сформировать исходное множество вариантов размещения скважин и кустовых площадок, из которого впоследствии, с учетом дополнительной расчетной или экспертной информации, может быть выбран окончательный вариант.

93

Литература 1. Ермолаев А.И., Абдикадыров Б.А. Оптимизация размещения скважин на нефтяных залежах на основе алгоритмов целочисленного программирования // Проблемы управления. − 2007. − № 6. 2. Ермолаев А.И., Абдикадыров Б.А. Формирование рациональных вариантов размещения скважин на газовой залежи // Газовая промышленность. – 2008. − № 5. 3. Зотов Г.А., Коротаев Ю.П., Кичиев К.Д. Приближенный метод расчета работы неравномерной системы скважин в изолированном газовом пласте. − М.: Недра, 1965. 4. Закиров С.Н. Разработка газовых, газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений. − М.: Струна, 1998. 5. Колбиков С.В., Губанова Е.Б. О приближенном подходе к решению задачи размещения эксплуатационных скважин по площади залежи. Сб. тез. докл. научно-практической конференции «Проблемы разработки газовых и газоконденсатных месторождений». Москва, 12−15 ноября, 1998. 6. Guyaguler B. Optimization of well placement and assessment of uncertainty. A dissertation for the degree of doctor of philosophy. Stanford University. 2002. 7. Bangerth W., Klie H. Matossian V. An automatic reservoir framework for the stochastic optimization of well placement // Center for Subsurface Modeling, The University of Texas at Austin, 2006. 8. Cullik A.S., Navayanan K., Gorell S. Optimal field development planning of well locations with reservoir uncertainty // paper SPE 96986 presented at the SPE Annual Technical Conference and Exhibition, Dallas, U.S.A., 9−12 October 2005. 9. Pan Y., Home R.N. Improved methods for multivariate optimization of field development scheduling and well placement design. In SPE Annual Technical Conference and Exhibition, New Orleans, Louisiana, 27−30, September 1998. SPE 49055. 10. Da Cruz P. S., Home R.N., and Deutsch С V. The Quality Map: A Tool for Reservoir Uncertainty Quantification and Decision Making // paper SPE 56578, Houston, U.S.A., 3−6 October, 1999. 11. Wen H. Chen, Pallav Sarma. Efficient well placement optimization with gradient-based algorithms and adjoint models // Intelligent energy conference and exhibition, Amsterdam, 25−27 February 2008. 12. Garcia-Diaz J.C., Startzman R., Hogg G.L. A New methodology for minimizing investment in the development of offshore fields. SPE Production and Facilities, 29, 1996. 13. Beckner B.L., and Song X. Field development using simulated annealing – Optimal economical well scheduling and placement, paper SPE 30650 presented at the SPE Annual technical conference and exhibition, Dallas, TX, October 20−25, 1995. 14. PlanOpt User Guide (Schlumberger). Руководство пользователя, 2004.

94

15. Santellani G., Hansen B. Survival of the Fittest an optimized well location algorithm for reservoir simulation SPE, 1998. 16. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. – М.: Радио и связь, 1993. 17. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. − М.: Наука, 1971. 18. Карпелевич Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. – М.: Наука, 1967. 19. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. − М.: Наука, 1990. 20. Land A.H., Doig A.G. An automatic method of solving discrete programming problems // Econometrica, 1960. 21. Горячев Ю.В. Генетические алгоритмы многокритериальной конфликтной оптимизации. – М.: Изд-во НИИ ПМТ, 2001. 22. Хачатуров В.Р., Веселовский В.Е., Злотов А.В. и др. Комбинаторные методы и алгоритмы решения задач дискретной оптимизации большой размерности. – М.: Наука, 2000. 23. Мамиконов А.Г., Цвиркун А.Д., Кульба В.В. Автоматизация проектирования АСУ. – М.: Энергоиздат, 1981. 24. Вдовыкин Г.П. Кустовое бурение горизонтальных скважин при освоении нетрадиционных залежей углеводородов. – М.: Недра, 1987. 25. Бронзов А.С. Кустовое строительство скважин на нефтяных и газовых промыслах. – М: Гостоптехиздат, 1962. 26. Триус Е.Б. Задачи математического программирования транспортного типа. − М.: Советское радио, 1967. 27. Ермолаев А.И. Системный анализ и модели формирования вариантов разработки группы залежей нефти и газа: Дисс. док. тех. наук: 05.13.01 М. 2001. 28. Дмитриевский С.А., Юфин П.А., Зайцев И.Ю. и др. Постоянно действующие геолого-математические модели месторождений природных углеводородов: Сб. «Фундаментальный базис новых технологий нефтяной и газовой промышленности». – М.: Наука, 2000. 29. Eclipse. Schlumberger GeoGuest. Справочное руководство. – М., 2006. 30. Ермилов О.М., Ремизов В.В., Ширковский А.И., Чугунов Л.С. Физика пласта, добыча и подземное хранение газа. – М.: Наука, 1996. 31. Лурье М.В, Дидковская А.С., Варчев Д.В., Яковлева Н.В. Подземное хранение газа. – М.: ФГУП Изд-во «Нефть и газ», 2004. 32. Аксютин О.Е., Варягов С.А., Хан С.А., Беленко С.В., Хандзель А.В. Расчет объема активной зоны ПХГ // Газовая промышленность.– 2009. − № 7. 33. Мирзаджанзаде А.Х., Кузнецов О.Л., Басниев К.С., Алиев З.С. Основы технологии добычи газа. – М.: Недра, 2003. 34. Джоши С.Д. Основы технологии горизонтальной скважины. – Краснодар: Сов. Кубань, 2003. 35. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966.

95

Содержание Введение ................................................................................................................. 1. Краткий обзор основных подходов к формированию схем размещения скважин..........................................................................................................

7

2. Постановка задачи размещения добывающих скважин и ее математические формулировки ....................................................................................

14

3

3. Исследование моделей размещения скважин ............................................ 3.1. Исследование системы ограничений ................................................. 3.2. Поясняющие примеры ......................................................................... 3.3. Модификация модели размещения при представлении залежи трехмерной областью .......................................................................... 3.4. Краткая характеристика алгоритмов решения задач размещения скважин.................................................................................................

32

4. Модели размещения нагнетательных скважин на нефтяной залежи 4.1. Модель расстановки нагнетательных скважин ................................. 4.2. Модель перевода добывающих скважин под нагнетание ............... 4.3. Модификация алгоритма расчета исходных параметров моделей

37 37 40 42

5. Модели размещения кустовых площадок и распределения скважин по кустам ............................................................................................................... 5.1. Постановка и математическая формулировка общей задачи .......... 5.2. Модель распределения скважин по кустам при заданном размещении кустовых площадок................................................................. 5.2.1. Постановка задачи и алгоритм ее решения ............................ 5.2.2. Пример решения задачи ...........................................................

21 21 25 31

44 44 53 53 63

6. Выбор рационального количества скважин на газовой залежи ........... 6.1. Постановка задачи выбора числа скважин на газовой залежи........ 6.2. Оценка предельного значения конечной газоотдачи ....................... 6.3. Поиск рационального числа скважин ................................................

69 69 74 84

Заключение.............................................................................................................

91

Литература ................................................................................................

93

96

Учебное пособие

А.И. Ермолаев

МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ВАРИАНТОВ РАЗМЕЩЕНИЯ СКВАЖИН НА ЗАЛЕЖАХ НЕФТИ И ГАЗА

Редактор Л.А. Суаридзе Компьютерная верстка И.В. Севалкина

Подписано в печать 07.10.2010. Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс. Усл. п.л. 6,0. Тираж 100 экз. Заказ № 335

Издательский центр РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина Ленинский просп., 65 Тел./Факс: 8(499)233-95-44

97