Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет
МАТЕМАТИКА Часть 5
Числовые и функциональные ряды Учебно-методическое пособие
Электронное издание
Красноярск СФУ 2012 1
УДК 51(07) ББК 22.1я73 М34
Составитель: И. В. Мельникова
М34 Математика. Ч. 5: Числовые и функциональные ряды: учебнометодическое пособие [Электронный ресурс] / сост. И. В. Мельникова. – Электрон. дан. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2012. – Систем. требования: PC не ниже класса Pentium I; 128 Mb RAM; Windows 98/XP/7; Adobe Reader V8.0 и выше. – Загл. с экрана.
Пособие содержит варианты контрольных заданий для самостоятельной работы студентов и образец выполнения домашних заданий. Предназначено для самостоятельной работы студентов 2-го курса направления подготовки 2708000.62 «Строительство», бакалавриат.
УДК 51(07) ББК 22.1я73 © Сибирский федеральный университет, 2012
Учебное издание Подготовлено к публикации редакционно-издательским отделом БИК СФУ Подписано в свет 05.05.2012 г. Заказ 7523. Тиражируется на машиночитаемых носителях. Редакционно-издательский отдел Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79 Тел/факс (391)206-21-49. E-mail
[email protected] http://rio.sfu-kras.ru
2
Введение Пятая контрольная работа «Числовые и функциональные ряды» включает разделы «Числовые ряды», и «Функциональные ряды». В результате выполнения четвертой работы студент должен: • Знать: Задачи, приводящие к числовым и функциональным рядам. Определение числового ряда, его сходимость, суммирование числового ряда. Основные свойства сходящихся рядов. Признаки сходимости числовых рядов Определение степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Интервал сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях. • Уметь: Решать основные задачи на суммирование рядов, Находить интервал сходимости степенного ряда, применять разложения в степенной ряд при решении дифференциальных уравнений и интегрировании некоторых функций. Владеть Навыками применения степенных рядов в приближенных вычислениях. Оформление индивидуального задания. В соответствии с номером по списку группы из каждого раздела выбирается задача. Решение задач оформляется грамотно, понятно, с подробными пояснениями. Приводятся все необходимые определения и теоремы. В тексте должны быть указаны точные ссылки на используемые утверждения. В приложении приведена таблица интегралов и формулы, необходимые для выполнения заданий.
3
ЗАДАНИЕ 1. Найти сумму ряда: ∞
4 − 5n
∞
1 ; 2 n + n − 2 n =2
1. а) ∑
б)
∑ n(n − 1)(n − 2) n =3
∞
n+6
∞
5 ; 2 n =1 25n + 5n − 6
2. а) ∑
б)
∑ n(n + 3)(n + 2) n =1
∞
5n + 3
∞
2 ; 3. а) ∑ 2 n = 0 4 n + 8n + 3
б)
∑ n(n + 1)(n + 3) n =1
∞
∞
14 ; 4. а) ∑ 2 n =1 49n − 84n − 13
б)
∑ (n n =3
∞
2
4n − 2 − 1)(n − 2)
∞
7 ; 5. а) ∑ 2 n =1 49n + 21n − 10
б)
1
∑ n(n + 1)(n + 3) n =1
∞
∞
7 ; 2 n − n − 49 7 12 n =1
6. а) ∑
б)
n =3
∞
3n − 5 2 − 1)
∑ n( n ∞
4 ; 2 n + n − 4 4 3 n =1
7. а) ∑
б)
1
∑ n(n + 2)(n + 3) n =1
∞
∞
14 ; 2 n =1 49n − 14n − 48
8. а) ∑
б)
∑ n( n n =3
∞
∞
6 ; 9. а) ∑ 2 n =1 9n + 12n − 5
б)
1 − 4)
2
3n − 2
∑ n(n + 1)(n + 2) n =1
∞
∞
6 ; 10. а) ∑ 2 n =1 9n + 6n − 8
б)
n+2
∑ n(n − 1)(n − 2) n =3
∞
∞
7 ; 11. а) ∑ 2 n =1 49n − 35n − 6
б)
n =3
4
5n − 2
∑ n(n − 1)(n + 2)
∞
∞
6 ; 2 n − n − 36 24 5 n =1
12. а) ∑
б)
2
∑ n(n + 1)(n + 2) n =1
∞
3n + 2
∞
5 ; 2 n + n n =1
13. а) ∑
б)
∑ n(n + 1)(n + 2) n =1
∞
n+5
∞
3 ; 2 n =1 9n + 3n − 2
14. а) ∑
б)
∑ (n + 2)(n n =3
∞
б)
− 1)
8n − 10
∞
9 ; 15. а) ∑ 2 n =1 9n + 21n − 8
2
∑ (n − 1)(n + 1)(n − 2) n =3
∞
∞
10 ; 16. а) ∑ 2 n =1 n + 9n + 20
б)
n =3
∞
∞
7 ; 17. а) ∑ 2 n =1 49n + 35n − 6
б)
3n − 1 2 − 1)
∑ n( n
n−4
∑ n(n − 1)(n − 2) n =3
∞
∞
9 ; 2 9 3 20 n + n − n =1
18. а) ∑
б)
5n + 9
∑ n(n + 1)(n + 3) n =1
∞
∞
6 ; 2 n − 4 9 n =1
19. а) ∑
б)
5n − 2
∑ n(n − 1)(n + 2) n=2
∞
∞
3 ; 2 n =1 9n − 3n − 2
20. а) ∑
б)
n −1
∑ n(n + 1)(n + 2) n =1
∞
∞
6 ; 21. а) ∑ 2 n =1 9n + 12n − 5
б)
3n + 4
∑ n(n + 1)(n + 2) n =1
∞
∞
8 ; 22. а) ∑ 2 n =1 16n − 8n − 15
б)
2−n
∑ n(n + 1)(n + 2) n =1
∞
∞
7 ; 23. а) ∑ 2 n =1 49n − 21n − 10
б)
n =1
5
n+6
∑ n(n + 1)(n + 2)
∞
n−2
∞
7 ; 2 n + n − 2 n =1
24. а) ∑
б)
∑ n(n + 1)(n − 1) n =3
∞
∞
3 ; 2 n + n + 3 2 n =1
25. а) ∑
б)
∑ n( n n=2
∞
б)
− 1) 1− n
∞
3 ; 2 n =1 9n + 3n − 2
26. а) ∑
1 2
∑ n(n + 1)(n + 3) n =1
∞
3n + 1
∞
2 ; 27. а) ∑ 2 n =0 4n + 8n + 3
б)
∑ n(n + 1)(n − 1) n =3
4−n n =1 n( n + 1)( n + 2)
∞
∞
12 ; 28. а) ∑ 2 n =0 36n − 12n − 35
б) ∑
∞
∞
14 ; 29. а) ∑ 2 n =1 49n − 1
б)
4
∑ n(n − 1)(n − 2) n =3
∞
14 30. а) ∑ 2 ; n=1 49n − 42n − 40
3−n n =1 n( n + 1)( n + 3) ∞
б) ∑
ЗАДАНИЕ 2. Исследовать ряды на сходимость: ∞
7 2n ; 1. a )∑ n =1 ( 2 n − 1)!
∞
n! ; 2. a )∑ n =1 (3n )!
∞
10 n ; 3. a)∑ n =1 ( 2 n )!
n2
⎛ n+2 ⎞ b )∑ ⎜ ⎟ ; n =1 ⎝ 3n − 1 ⎠
∞
∞
n2
∞
1 c )∑ ; n =1 n ⋅ ( n + 3)
n2
⎛ 2n + 1 ⎞ b )∑ ⎜ ⎟ ; n =1 ⎝ 3n − 2 ⎠ n
∞
c )∑ n =1
∞ 5n ⎛ n −1 ⎞ 1 a b ) ; ) ⎜ ⎟ ⋅ n; 4. ∑ ∑ 5 n =1 ( n + 1)! n =1 ⎝ n ⎠ ∞
1 c)∑ ; n n =1 ( 2 n + 1) ⋅ 2
∞
⎛ 3n ⎞ b )∑ ⎜ ⎟ ; n =1 ⎝ n − 1 ⎠
∞
∞
e
n
n
;
d )∑ n =1
5
n −1
n −1 ; n =1 n + 1 ∞
d )∑
2 ; ⋅ ( n − 1)
∞
1 ; 2 n =1 n + sin 2 n
d )∑
∞
2
1 ; 2 n = 2 n ⋅ (lg n)
c)∑
6
2n − 1 ; 2 n =1 n ∞
d )∑
n2
∞
∞ n2 ⎛ n ⎞ ) ; b ) a ⎜ ⎟ ; 5. ∑ ∑ n =1 ( n + 2)! n =1 ⎝ 10n + 5 ⎠
∞
1 ; 2 n=2 n − n
c)∑
∞
1 ; 2 n =1 n + cos nλ
d )∑
2
∞ n3 2 n+1 ; 6. a)∑ 4 ; b)∑ n + 1 ( n + 1 )! n =1 n =1
∞ sin nλ n2 ; d )∑ c)∑ ; n n n =1 n =1 (3n)!
∞ n! 2 n+1 7. a)∑ n+2 ; b)∑ n ; n =1 3 n =1 n
∞
∞
∞
∞
∞ n 2n c)∑ 2 ; d )∑ 2 ; n =1 n + 5 n =1 ( n + 1)
n
∞
n ⋅ 3n+ 2 ; c)∑ 5n n =1
∞ cos n ⎛ 2n ⎞ ⎟ ; 8. a)∑ 2 ; b)∑ ⎜ n =1 n n =1 ⎝ 4n + 3 ⎠
∞
n2
∞ 2 n ⋅ n! ⎛ 2n + 3 ⎞ ) ; ) b a ⎜ ⎟ ; 9. ∑ n ∑ n n ⎠ n =1 n =1 ⎝ ∞
∞
1 ; 2 ( 1 ) n + n =1
c)∑
n2
⎛ 2n 2 + 1 ⎞ 2 ⎟⎟ ; ; b)∑ ⎜⎜ 2 10. a )∑ + ( n 1 )! + n 1 n =1 n =1 ⎝ ⎠ ∞
n +1
∞
n
∞ (n + 1)! ⎛ 3n + 2 ⎞ ; b)∑ ⎜ ⎟ ; 11. a )∑ n =1 ( 2 n )! n =1 ⎝ 4n − 1 ⎠ ∞
∞
2 n +1 d )∑ n ; n =1 n ∞
2n + 1 ; n n =1 3 ∞
d )∑
∞
1 ; n+5
c)∑ 3 n =1
4 ; n =1 n + 5
d )∑
2
n+3 ; 3 n =1 n + 2
∞
∞
1 c)∑ ; n =1 2n − 1
d )∑
∞ (2n − 1)! π ; b)∑ arcsin n ; 12. a)∑ n 4n n =1 3 ⋅ ( n + 1)! n =1
∞ 2n 2 − 1 1 c)∑ 2 ; d )∑ n ; n =1 2n + 1 n =1 ( n + 1) ⋅ 4
∞ 3n ⋅ (n 2 − 1) ; b)∑ 2 n−1 ⋅ e −n ; 13. a)∑ n! n =1 n =1
∞
∞
∞
3n + 5 ; 14. a )∑ 2n n =1 ∞
∞
n
⎛ 3n ⎞ b )∑ ⎜ ⎟ ; n =1 ⎝ 2 n + 5 ⎠
∞
n c)∑ 2 ; n=2 n − 1 ∞
c )∑ n ; 3
n =1
7
∞
1 ; 2 n =1 n − sin 4n
d )∑ ∞
n
1 ⎛2⎞ d )∑ ⋅ ⎜ ⎟ ; n =1 n ⎝ 5 ⎠
( n + 1)! ; 15. a )∑ 7n n =1 ∞
n
⎛ 3n + 2 ⎞ b)∑ ⎜ ⎟ ; n =1 ⎝ n − 1 ⎠ ∞
∞
∞ n +1 1 ⎛ n ⎞ ; b)∑ n ⋅ ⎜ ⎟ 16. a)∑ n ⎝ n +1⎠ n =1 2 ( n − 1)! n =1 3
3n a ) ; 17. ∑ n n =1 ( n + 2)!⋅4
∞
n =1
n =1
n2
∞ n ⎛ n +1⎞ ) ; ) a b ⎜ ⎟ ; 21. ∑ n ∑ 2 n ⎝ ⎠ n =1 n =1 ∞
2 n ( n + 1)! ; 22. a )∑ n n =1 ∞
∞
n =1
n
2n
∞ 4 n −1 ⎛ 2n − 1 ⎞ a ) ; b ) ⎜ ⎟ ; 23. ∑ ∑ ( n − 1 )! 3 n + 1 ⎝ ⎠ n =1 n =1
n 2
6 ⎛ 5n + 1 ⎞ ⎟ ; 24. a)∑ ; b)∑ ⎜ − n n ! 4 3 ⎝ ⎠ n =1 n =1 ∞
n
∞
2n d )∑ n +3 ; n =1 ( n + 2) ⋅ 5 ∞
1 ; 2 n − 1 n =1
1 ; n n =1 n − cos 6n
d )∑
∞
1 c)∑ ; ( 2 n + 1 ) n n=2
∞
1 ; n =1 n + 1
d )∑
∞ 1 (2n − 1) ⋅ 3 n +1 ; d )∑ ; 2n n n =1
∞
ln 3 n c )∑ ; n n =1
⎛ 2n ⎞ b )∑ ⎜ ⎟ ; n =1 ⎝ n + 3 ⎠
∞
∞
2 ; n+2 ∞
c)∑
∞
2n − 1 ; 2 n =1 2 n + 1
d )∑
c)∑
∞ (n!) 2 1 ⎛ 1⎞ 20. a)∑ n ; b)∑ ⎜1 + ⎟ ⋅ n ; n⎠ 4 n=1 2 n=1 ⎝
1 ; n =1 ln(n + 1)
d )∑
∞
1 ; n =1 3n − 1
c)∑ 3
∞
1 c)∑ ; 2 n = 2 n ln n ∞
n2
∞
2 n ; n =1 n ⋅ 4
c )∑
∞
∞ 2n! 3n ; b)∑ ; n ( 2 n + 1 ) 2n + 3 n =1
∞
d )∑
∞
;
n
∞ (n + 1)! 3n + 2 ; b)∑ n ; 18. a)∑ n n =1 10 n =1 5
19. a )∑
− n2
⎛ n +1 ⎞ b )∑ ⎜ ⎟ ; n =1 ⎝ 2 n − 3 ⎠ ∞
∞
n ; n +1
n =1
∞
∞
3
c)∑
∞
3n ; 2 2 n + 3 n =1
c)∑ ∞
3 c)∑ ; n n ln n=2
8
3 n +1 d )∑ n ; n =1 n ⋅ 4 ∞
n+3 3 2 ; n =1 ( n − 1) ∞
d )∑
7 n ( 2 + n) d )∑ ; 2n n =1 ∞
2
∞ 3n + 2 ⎛ n ⎞ ⎟ 25. a )∑ n 2 ; b)∑ ⎜ n =1 10 ⋅ n n =1 ⎝ 3n + 1 ⎠ ∞
∞
∞ 3n 1 ; b)∑ ; 26. a )∑ 4 ( 2 n )! n ⋅ ln n n =1 n=2
n −1
;
;
n ; 4 n =1 n + 2
d )∑
sin nλ ; n! n =1 ∞
d )∑
∞ n n+1 n3 c)∑ ; d )∑ n ; n =1 (n + 2)! n =1 e ∞
2n
∞
∞
⎛ n ⎞ b )∑ ⎜ ⎟ ; n =1 ⎝ 3n − 1 ⎠ n
∞ 2n + 5 ⎛ 2n + 2 ⎞ ⎟ ; 29. a )∑ n ; b)∑ ⎜ 3 n =1 n =1 ⎝ n + 1 ⎠ ∞
c )∑ e ; −n
n =1
( n + 4) ⋅ 8 n d )∑ ; 3 n −1 n =1
∞
n c)∑ 2 ; n =1 n + 9
n2
∞ n2 + 5 1 ⎛ n +1⎞ a b ) ln ; ) ⎜ ⎟ ⋅ n; 30. ∑ ∑ 2 n +4 2 n =1 n=2 ⎝ n ⎠ ∞
∞
n2 c)∑ 3 ; n =1 n + 1
1 c)∑ ; 2 ( 2 n + 1 ) − 1 n =1
∞ n+3 1 ; 27. a)∑ 3 ; b)∑ 3 n =1 n − 2 n =2 n ln n
⎛1⎞ 28. a )∑ n ⋅ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ n =1
∞
∞
∞
∞
2 n +1
∞
c)∑ n =1
∞
∞
2n d )∑ n ; n =1 ( n + 1) ⋅ 5
1 1 ⋅ sin ; n n
n n+2
∞
d )∑ n =1
(2n + 1) 2
n 2
;
ЗАДАНИЕ 3. Исследовать ряды на условную и абсолютную сходимость: ∞ (−1) n (4n3 + 2) n n ; b ) ( − 1) ; ∑ n 2 (2 n + 1) ⋅ 2 3 + n n =1 n =1 ∞
1. a) ∑
∞
c)∑ (−1) n+1 n =1
2n + 1 n(n + 1)
∞ (−1) n n + 2 (−1) n+1 (n + 1)3 ; b) ∑ ; 2. a) ∑ 2n−1 n =1 ( n + 3) ⋅ n n =1
⎛ n ⎞n c)∑ (−1) n+1 ⎜ ⎟ ⎝ 2n + 1 ⎠ n =1
( −1) n ⋅ 2 n ⋅ 3n +1 3. a ) ∑ ; n! n =1
( −1) n+1 c )∑ n = 2 ln ( n + 1)
∞
∞
∞
b) ∑ ( −1) n =1
n
⎛ 2n 2 + 1 ⎞ 4. a ) ∑ (−1) ⎜ 2 ⎟ ; n =1 ⎝ 3n − 1 ⎠ ∞
n
n +1
n +1 ; ( n + 5)3
n3 + n ; b) ∑ (−1) 4 n + 2n − 1 n =1 ∞
n
9
∞
∞
( −1) n c)∑ n =3 n ⋅ (ln ln n ) ⋅ ln n ∞
n +1
5. a) ∑ ∞
6. a ) ∑ n =1
(−1) n n2 + 4
;
1 n; 2
sin
(−1) ; b) ∑ (−1)n n n n =1 ln (1 + n) n =1 ∞
∞
( −1) n ⋅ 2n 2 4 2 n =1 n − n + 1 ∞
c)∑ n
⎛ 1− n ⎞ ; b) ∑ ( −1) ⎜ 2 ⎟ ⎝1+ n ⎠ n =1 ∞
( −1) n c)∑ n =3 ( n + 1) ⋅ ln n ∞
n
n2
∞ (−1)n ⋅ n 2 ⎛ 1⎞ ; b) ∑ (−1)n−1 ⋅ ⎜1 − ⎟ ; 7. a) ∑ 3 n +1 ⎝ n⎠ n =1 n =1 ∞
2
∞ (−1) n ⎛ n+2 ⎞ 8. a) ∑ 2 ; b) ∑ (−1)n ⎜ 2 ⎟ ; ⎝ 3n − 1 ⎠ n =2 n − 1 n =1 ∞
( −1) ⋅ n ; n =1 ( n + 1)! ∞
∞
n
9. a ) ∑
b) ∑ ( −1) n n =1
( −1) n +1 c)∑ 4 n =1 n ⋅ 2 n + 3 ∞
∞
2 ⋅5 ; n! n
n
c)∑
∞ (−1) n 1 n 10. a)∑ n ; b)∑ (−1) ; n⋅ n + 2 n =1 2 n =1
n2
(−1) n +1 ⎛ n ⎞ ⋅⎜ ⎟ ; 11. a )∑ 2n ⎝ n + 1⎠ n =1
(−1) n ⋅ n 5 ; n n −1 2 ⋅ 3 n =1 ∞
12. a)∑
(−1) n
∞
13. a )∑ n =1
2
n
3n − 1
( −1) n +1 ; ln( 1 ) + n n =1 ∞
;
∞
b )∑ n =1
∞
b)∑ (−1) n n =1
(−1) n (1 + n)
1 n
n −1 ; n3 − 3
b)∑ ( −1) n
(−1) n ⋅ π ; 15. a)∑ 3n n =1
(n + 1) 2 b)∑ (−1) ; n2 n =1
∞
∞
n =1
6n
∞
sin n n =1 n !
c)∑
( −1) n n =3 n ⋅ ln(2 n )
n5 ⋅ 7n ; 2 n ⋅ 11n
14. a )∑
n =1
π
∞
n
∞
∞
c)∑
;
∞
c)∑ (−1)n tg n =1
1 n
∞
cos n 2 n =1 n
c )∑
( −1) n −1 2n n =1 ( n + 1) ⋅ 2 ∞
c)∑
n
10
π
2 n 3n + 1
c)∑ (−1) n cos
( n − 1) n b)∑ (−1) ; ( n 2 + 1) n n =1 ∞
(−1) n ⋅ sin
n =1
∞
∞
( −1) n n =3 n ⋅ ln( n + 1) ∞
c)∑
∞ (−1) n ⋅ n ; b)∑ (−1) n 16. a)∑ 3 n =1 n + 2 n =1 ∞
(−1) n ⋅ n! ; n 3 n =1 2 ⋅ n ∞
17. a )∑
(−1) n n ; n+2 n =1
21. a)∑ n =1
(−1) ⋅ 2 n!
n =1
7 n +1 n + 1
n
;
b)∑ (−1) n n =1
∞
b )∑ n =1
n2 n
n2
∞
n =1
1 ⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟ ⎝ n⎠
; n
(−1) n ⋅ n ; 26. a)∑ 2 + 2 n n =1 ∞
c ) ∑ ( −1) n
n +1 n3
n =1
π
(−1) n ⋅ tg
4 n 5n − 1
( −1) n 2 n +1 n = 0 (2 n + 1) ⋅ 2 ∞
c)∑
∞
n =1
π
∞
5n
n +1 n3
∞
;
;
c)∑ (−1)n n =1
∞
c)∑ n =1
sin 3 n b)∑ (−1) ; 3n n =1 n
b)∑ (−1) n arctg n n =1
∞
;
b)∑ (−1) n
∞
n
2n − 1 3n
n =1
n =1
n =1
(−1) n ⋅ (4n 3 + 2) ; 25. a)∑ n 4 + 2n − 1 n =1
⎛3⎞ (n + 1) ⋅ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
∞
c )∑
b)∑ (−1) n cos
∞
3n + ln n
(−1) n−1
c)∑ (−1) n
∞
∞
2⎞ n⎛ 23. a )∑ (−1) ⎜1 + ⎟ ; ⎝ n⎠ n =1
3 n
( −1) n ⋅ ( n + 3) ln( n + 4) n =1
2n + 1 ; n(n + 1)
cos n
3
∞
1 ; 2 n + sin 2 λ
∞
c )∑
π
(−1) n
c)∑
n
n =1
cos
∞
n =1
⎛ 1⎞ b)∑ (−1) n ln⎜1 + ⎟ ; ⎝ n⎠ n =1
∞
(−1) n ⋅ n ; 22. a )∑ 2n n =1
∞
;
∞
b)∑ (−1) n
∞
n 24. a)∑ (−1)
n =1
n3 b)∑ (−1) 5 ; n +n+2 n =1
∞
n
c)∑
;
8n
∞
20. a)∑
∞
∞
∞
(−1) n ⋅ (2n 2 + 1) ; 18. a)∑ n(n + 2) n =1 (−1) n ; 19. a)∑ 2 n = 2 n ln n
2n + 1
b)∑ (−1) n +1
∞
∞
1
2 ; n 11
sin(n n ) n n
(−1) n n + cos ∞
2 n+4
c)∑ (−1)n sin n =1
π 2n
( −1) n c)∑ 2 2 n =1 n + sin n ∞
(−1) n ⋅ n ; 27. a)∑ n+2 n =1 ∞
7n + 3 b)∑ (−1) n ; 9 −1 n =1
(−1) n ⋅ n ; 28. a)∑ n = 2 ( n − 1)(n + 2) ∞
∞
∞
b)∑ (−1) n
(−1) n (n 7 + 5n 3 − 1) ; 2 9 n n 10 3 − + n=2 ∞
29. a)∑
∞
sin 3n c )∑ ( −1) 3n n =1
n
n =1
∞ 1 1 c ) (−1)n ln(1 + 2 ) ; 2 n +1 ∑ (2n + 1)2 n n =1
∞ 1 ⎞ ⎛ b)∑ (−1) n ln⎜1 + 2 ⎟ ; ⎝ n ⎠ n =1
∞
1 1 c)∑ (−1)n sin ⋅ tg n n n =1
4 3 ∞ (−1) n 3n n n + 1 − 2n ; b)∑ (−1) ; 30. a)∑ 3 n + 10 n8 + 1 n =1 n =1 ∞
∞
c ) ∑ ( −1) n n =1
ЗАДАНИЕ 4. Найти интервал сходимости ряда, исследовать его границы : ( x − 2) n 1. a ) ∑ ; 2 n 3 n − 1 n =1 ∞
( −1) x ; n =1 (2 n − 1)( n − 1)! ∞
2. a ) ∑
n
3. a ) ∑
б)
б)
б)
x3n+2 5. a ) ∑ n ; 3 n = 2 8 ( n − 1)
б)
(2 x + 3) ; n 3 n =1 3 ( n + 1)
6. a ) ∑
− n2 ( x −1)3
∑
x +1 n x−e
ln n
∞
2
∑ (1 + n )
n
⋅5
− n2 ( x +1)2
n =1
б)
∞
x − 2 ⋅e
2
n =1
( −1) n +1 ( x + 2) n 4. a ) ∑ ; 2 (2 n + 1) n =1 ∞
∑ 2n ∞
n
∞
∞
n =1
n
(3 x − 1) ; n =1 ( n + 1) n ∞
n
∞
∑n
2
x −1 ⋅ e
−n x
n =1
∞
∑
e− (1− x
n )2
n =1
n
б)
∞
1
∑ (1 + n ) n =1
12
n
⋅3
n ( x −1)
n3 ( n + 1)!
( x + 1) ; n n =1 ∞
n
7. a ) ∑
б)
∞
(2 x + 1) n 8. a ) ∑ ; n n =1 (2 n + 1) ⋅ 3
б)
б)
б)
n
n
б)
n
5
∑ (1 + n )
∑ ln ∞
xn 13. a ) ∑ n−1 ; n =1 2
б)
n
⋅3
−n x2
∑
e
n
1 ( x + e)
n 2 ⋅sin
x 2 +1 n
n =1
n!⋅ x n 14. a ) ∑ ; n = 0 (2 n )! ∞
б)
∞
∑ (−1)
n +1
⋅e
−n cos x
n =1
∞
xn 15. a ) ∑ 2 ; n=2 n
б)
∞
∑
1 (ln(1 + ) + ln ln x ) n n
n =1
(4n + 3) x n+1 (4n + 1)5n
n2 + 1
nx
1 ( x + 2)
∞
n =1
∞
n =1
∑ ln
∞
б)
n =1
9n (2 x − 1)n
x 7 ( x − 1)
arctg
n =1
∞
12. a) ∑ n3 (2 x + 1) n ;
∞
∑5
n =1
( −1) ( x − 3) ; 2n + 3 n =1
17. a) ∑
nx
∞
( nx ) n 10. a ) ∑ ; n =1 2 n + 1
n =1
n
n =1
∞
16. a) ∑
1
∞
( x − 2) 2 n 9. a ) ∑ ; 2 n n =1
∞
x 2 +1 n
∑ ln ( x − 1) n =1
∞
11. a ) ∑
∑5
− n3 ⋅sin
n =1
∞
∞
∞
;
;
x−e
( −1) n +1 б) ∑ ln x n =1 n ∞
б)
∞
1
n =1
1 ln n ( x + ) e
∑
13
1 e
∞
18. a ) ∑ n =1
∞
xnn2 ; n!
б)
( −1) n +1 б) ∑ n sin x n =1 e
( x + 5) n −1 19. a ) ∑ ; n n =1 (2 n + 1)4
∞
( n + 1)5 x n +1 20. a ) ∑ ; 3n + 2 n =1 ∞
б)
( x − 2) 2 n +1 ; 2 n +1 n =1 ( n + 2) ⋅ 2 ∞
б)
б)
∞
∑ (−1)
∑
⋅5
1 nx
− n 2 arctg
x − n 2 ln(1+ ) n
⋅3
б)
n x −1
en
∞
( x − 1) 2 n 23. a ) ∑ ; n ⋅ 9n n =1
n
cos
n =1
∞
∑n
x
⋅ arcsin
x
n =1
∞
( x − 5) 2 n +1 24. a ) ∑ ; 3n + 8 n =1 ∞
б)
∑n
⋅ arc tg
2x
n =1 ∞
3n( x − 2)3n 25. a ) ∑ ; 3 (5 n − 8) n=2 ∞
б)
∑ (−1)
n −1
⋅2
x 3nx
x nx
3
− n 2 ln
n x 2 +1
n =1
( x + 3)n ⋅ n + 1 ; 26. a) ∑ 3n n =1 ∞
( x − 2) 2 n (1 + n3 ) ; n 5 n =1 ∞
27. a ) ∑
28. a) ∑ (−1) ( x + 2) ; n
( x + 4)3 n ⋅ 4 n 29. a ) ∑ ; n3 + 2 n =1
n
∞
1 б) ∑ n ⋅ ln( x − ) ⋅ e ln x 2 n =1 ∞
б)
1
∑ ln n =1
n
∞
б)
x
∑ (−1)
n
− n⋅ln
⋅3
n x2
n =1
n =1 ∞
n
n =1
n
n
∑ (−1)
∞
( n + 1) x ; n n +1 n =1 2 ⋅ 3
∞
∞
n =1
21. a ) ∑
22. a ) ∑
x ln n x−n
n
n =1
∞
∞
∑ sin
∞
б)
∑e n =1
14
− n4
⋅ sin
1 n2 x2
( x + 11) n−1 . 30. a)∑ 2 n = 2 n ⋅ ln n ∞
б)
∞
( −1) n +1
∑n n =1
ln(1+ x 2 )
ЗАДАНИЕ 5. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001: 1 2
0,1
1) ∫ cos x dx
2) ∫ e −6 x dx
3
0
1 2
0
0,1
3) ∫ e dx 2 x2
∫ sin(100 x
4)
0
1 2
−
6) ∫ cos x 2 dx
0
∫
0
0,1
dx 4
0
8)
1 + x4
x ln(1 + ) 5 dx 10) ∫ x 0
arctgx dx x 0
9) ∫
1 2
1 2
sin x dx x 0
11) ∫
13)
∫ 0
1 2
15) ∫ 0
12) ∫
0,2
14)
27 + x 3
1 1 + x2
∫e
x −3 x 2
x 2 dx
dx
0
1 4
sin x dx 3 x 0
16) ∫
dx
0,2
17)
arctg
0
dx 3
1 − e −2 x ∫0 x dx 1
1
1,5
) dx
1
5) ∫ e dx
7)
2
0
x 2
0,5
2
1
∫ sin(25 x )dx
18) ∫ 3 x cos xdx
2
0
0
15
1 2
1 2
cos x dx x 0
19) ∫
20) ∫ x 2 arcsin xdx 0
0,2
e− x dx 3 x 0,1
0,5
21) ∫
22)
1 5
24) ∫ e−3 x dx
23) ∫ cos x 2 dx
25)
∫ 0
4
1 + x4
0,3
2
0
0
1
2
0
1
0,5
∫ cos(4 x )dx
1
26) ∫ sin x 2 dx
dx
0
1 2
28) ∫
27) ∫ e −2 x dx 2
0
0
1 3
1+ x
2,5
0,4
1 − e− x / 2 29) ∫ dx x 0
30)
∫
0,5
3
dx
1 4
625 + x 4
dx
ЗАДАНИЕ 6.
Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y : 1) y' = cos x + y 2 ; y(0) = 1
2) у' = ex + y2 ; y(0) = 0
3) y' = y + y2 ; y(0) = 3
4) y' = 2e y − xy; y(0) = 0
5) y' = sin x + y 2 ; y(0) = 1
6 ) y ' = e x + y; y ( 0 ) = 4
7) y' = x 2 + y 2 ; y(0) = 2
8) y' = sin x + 0,5 y 2 ; y(0) = 1
9) y ' = 2e y + xy; y (0) = 0
10)y' = x + x2 + y2; y(0) = 5
11) y' = y + e y ; y(0) = 0
12) y' = ln y + e x ; y(0) = 1
16
2 + y + x; y ( 0 ) = 1 y2
13) y' = e y + y 2 ; y(0) = 0
14 ) y ' =
15) y ' = x 3 + y 3 ; y (0) = 1
16) y' = e x + e y −1 ; y(0) = 1
17) y ' = y +
2
1 ; y ( 0) = 1 y3
18) y' = e
y −2
+ 2 x; y(0) = 4
19) y' = cos x + e y ; y(0) = 0
20) y ' = e y −1 + ln y + 1; y (0) = 1
21) y' = x 2 + y 3 ; y(0) = 2
22) y' = x 2 + 2 x + e y ; y(0) = 0
23)y' = sinx + e y + x; y(0) = 1
24) y' = e x + e y ; y(0) = 0
25) y ' =
3 + e − x + x; y (0) = 1 3 y
26) y' = sin x + e
3
y −2
; y(0) = 8
27) y' = 3e y + 2 xy; y(0) = 0
28)y' = ln y + x2 + 2x; y(0) =1
29) y ' = e − x + ( x + 1) y; y(0) = 0
30 ) y ' =
1 + e 2 x ; y (0) = 1 y
Образцы решения и оформления задач Вариант 0 ЗАДАНИЕ 1. Найти сумму ряда: ∞ 1 а) ∑ 2 ; n =1 9n − 3n − 2
б)
∞
1
∑ n(n + 1)(n + 2) n =1
Решение. ∞
1 ; n − n − 9 3 2 n =1 1. Разложим на множители знаменатель дроби: 3±9 2 = ( ;− 1 ) 9 x 2 − 3x − 2 = 0; D = 9 − 4 ⋅ 9 ⋅ (−2) = 81; x = 3 3 18 9n 2 − 3n − 2 = 9(n − 2 )(n + 1 ) = (3n − 2)(3n + 1) 3 3 а) ∑
2
17
1 на сумму двух простых дробей: (3n − 2)(3n + 1) 1 A B A(3n + 1) + B(3n − 2) = + = (3n − 2)(3n + 1) (3n − 2) (3n + 1) (3n − 2)(3n + 1) A(3n + 1) + B(3n − 2) = 1;
2. Разложим дробь
⎧3 A + 3B = 0; 1 1 A= ; B=− ⎨ 3 3 ⎩ A − 2 B = 1; 3. Найдем сумму n первых членов ряда: 1 1 1 1 1 1 1 3 3 = Sn = ∑ = + + +K+ =∑ − 1 ⋅ 4 4 ⋅ 7 7 ⋅11 (3n − 2)(3n + 1) n (3n − 2) (3n + 1) n (3n − 2)(3n + 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 )+( )= = ( − ) + ( − ) + ( − ) +K+ ( − − − 3 1 4 4 7 7 11 3n − 5 3n − 2 3n − 2 3n + 1 1 3n + 1
4. Предел частичной суммы при n→∞ существует 1 1 1 lim Sn = lim (1 − )= n→∞ n→∞ 3 3n + 1 3 и равен сумме ряда Ответ: S=1/3 ∞
б)
1
∑ n(n + 1)(n + 2) n =1
Решение.
1. Разложим дробь на сумму трех дробей
1 A B C = + + n(n + 1)(n + 2) n n + 1 n + 2 A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1) = 1; Отсюда A=1/2, В=-1, С=1/2 2. Найдем сумму n первых членов ряда
18
1 1 1 1 1 1 1 1 = + + +K+ =∑ 2 − + 2 = n(n + 1)(n + 2) n n n + 1 n + 2 1⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 ⋅ 5 n n(n + 1)(n + 2) 1 1 1 1 1 12 2 12 1 12 1 12 2 2 2 2 = ( − + ) + ( − + ) + ( − + ) + ( − + ) +K 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 2 2 2 − + − + )+( − + + 2 )= K( )+( )+( − n − 3 n − 2 n −1 n − 2 n −1 n n −1 n n + 1 n n +1 n + 2 1 1 1 1 1 1 = 2− + 2+ 2 − + 2 1 2 2 n +1 n +1 n + 2 Sn = ∑
Предел частичной суммы при n→∞ существует
3.
1 1 1 1 1 1 2 lim S n = lim( − + − + 2 )= n →∞ n →∞ 2 2 4 n +1 n + 2 4 и равен сумме ряда
Ответ S=1/4 ЗАДАНИЕ 2. Исследовать ряды на сходимость:
2n − 1 ; ∑ 3 n + 2 n =0 ∞
а)
∞
∞
1 ; b) ∑ 3 ln n n n=2
n! c) ∑ n ; n=1 5
∞
d)
1 . ∑ n n n=1
Решение. ∞
а)
2n − 1
∑ 3n + 2 ; n =0
Найдем предел общего члена данного ряда an при неограниченном возрастании его номера n
1 2n − 1 n = 2. lim = lim n→∞ 3n + 2 n→∞ 2 3 3+ n 2−
Необходимый признак сходимости
lim an = 0 n→∞
для этого ряда не выпол-
няется. Поэтому данный ряд расходится Ответ: ряд расходится по необходимому признаку
19
∞
b)
1 ; ∑ 3 ln n n n=2
Решение.
Исследуем по интегральному признаку сходимость этого ряда Заменим в заданном выражении общего члена ряда an = 1 номер n непреn ln3 n
рывной переменной x и убедимся, что полученная функция f ( x) =
1 являx ln3 x
ется непрерывной и убывающей во всем интервале изменения x. Затем находим несобственный интеграл от f(x) с бесконечным верхним пределом +∞
∫ 2
∞
b
1 1 −3 lim (ln ) (ln ) lim( ) = dx = x d x = − 2 b→∞ ∫ b→∞ 2ln x ln3 x x 2 2
= lim( b→∞
1 1 1 ) − = 2ln2 2 2ln2 b 2ln2 2
Несобственный интеграл сходится, поэтому согласно интегральному признаку и ряд сходится. Ответ: ряд сходится по интегральному признаку ∞
c)
n!
∑5 n=1
n
;
Решение.
Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера. Зная n-й член ряда an, an =
n! находим следующий за ним (n+1)-й член, заме5n
няя в выражении n-го члена n через n+1 : an+1 = (n +n+1)! . 5 1 Затем ищем предел отношения последующего члена an+1 к предыдущему an при неограниченном возрастании n:
a n +1 ( n + 1)!5 n n +1 ρ = lim = lim = lim = +∞ n + 1 n→ ∞ a n→ ∞ n→ ∞ 5 ! 5 n n Так как ρ>1, то согласно признаку Даламбера ряд расходится. Ответ: ряд расходится по признаку Даламбера ∞
d)
1 . ∑ n n n=1
20
Решение.
Исследуем сходимость этого ряда по признаку сравнения . Сравним данный ряд с эталонным рядом. Каждый член данного ряда an =
1 , n n
начиная с третьего, меньше соответствующего члена бесконечной геометриче∞
1
∑2
ской прогрессии,
n=1
n
1 1 1 = + 2 + 3 + K, 2 2 2
которая представляет сходящийся ряд, ибо ее знаменатель q=1/2 > > > K; lim n→∞ 2n −1 3 5 7
Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Чтобы установить, сходится ли он абсолютно или условно (неабсолютно), исследуем ряд с положительными членами , составленный из абсолютных значе∞
ний членов данного ряда:
1 ∑ n=1 2n −1
Применим интегральный признак: ∞
b
b
1 1 d (2x −1) 1 1 dx = lim = limln(2 x − 1) = limln(2b −1) = +∞. ∫1 2x −1 2 b→∞ ∫1 2x −1 2 b→∞ b→∞ 2 1
Несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд с положительными членами. А данный знакочередующийся ряд сходится условно. Ответ: ряд сходится условно.
21
∞
b)
cos na 2n n=0
∑
Решение.
Заменим члены данного знакопеременного ряда , где -любое число, их абсолютными значениями и исследуем полученный ряд с положительными члена∞
∑
ми:
cos na n
2
n=0
. ∞
1 Сравним его с геометрической бесконечно убывающей прогрессией ∑ n n=0 2
,
которая есть ряд сходящийся. Каждый член полученного ряда не превосходит соответствующего члена прогрессии:
cos na 2n
≤
1 . 2n
Поэтому согласно признаку сравнения ряд с положительными членами также сходится, а заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно. Ответ: ряд сходится абсолютно ∞
c)
nπ
∑sin 3 n=1
Решение.
Для данного знакопеременного ряда не выполняется необходимое условие сходимости: дится.
lim an = limsin n→∞
n→∞
nπ 3
не существует. Вследствие этого он расхоОтвет: ряд расходится
ЗАДАНИЕ 4. Найти интервал сходимости ряда, исследовать его границы : ∞ ∞ 1 (− x)n . б) ∑ a ) ∑ n −1 ; n n n =1 n( x + 2) n =1 3 Решение. (− x)n ; n −1 n 3 n =1 По известному члену ряда un заменяя в нем n через n+1, находим следующий за ним член un+1 ∞
a) ∑
22
(− x)n ( − x ) n +1 un = n −1 ; un +1 = n . 3 n 3 n +1 Далее, используя признак Даламбера, ищем предел x x un+1 n (− x)n+1 3n−1 n = lim n = lim = ρ = lim n n→∞ u n →∞ 3 n +1 3 3 n + 1 (− x) n n→∞
И определяем, при каких значениях x этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство x < 1; 3
x < 3; − 3 < x < 3.
Согласно признаку Даламбера, при любом значении x из найденного интервала данный ряд сходится ( абсолютно), а при x > 3 расходится. Граничные точки x= 3 этого интервала, для которых ρ=1 и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо. При x=-3 получим числовой ряд с положительными членами
∞
∑ n =1
3 , который n
расходится, что следует из сравнения его с расходящимся гармоническим ря∞ 1 дом ∑ . (Каждый член исследуемого ряда больше соответствующего члена n=1 n гармонического ряда.) ∞ 3 , который При x=3 получим числовой знакочередующийся ряд ∑ (−1)n n n =1 сходится согласно признаку Лейбница.( Члены этого ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю.) Следовательно, интервалом сходимости данного степенного ряда является полуоткрытый интервал -31 ⎢ −1 < x < +∞. ⎣ ⎣
Границы двух найденных интервалов исследуем особо. При x=-3 получим знакочередующийся числовой ряд с общим членом 1 un = , который сходится согласно признаку Лейбница. n(−1) n ∞ 1 При x=-1 получим гармонический расходящийся ряд ∑ . n =1 n Следовательно, область сходимости данного ряда состоит из двух бесконечных интервалов -∞ x ‐3, ‐1 x ∞.
Ответ: -∞