Вопросы надежности электроснабжения

Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет

ВОПРОСЫ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ Учебно-методическое пособие Электронное издание

Красноярск СФУ 2012

УДК 621.31.004.1(07) ББК 31.279.13я73 В748 Составители: Танкович Татьяна Ивановна Коваленко Игорь Владимирович Шевченко Вадим Валерьевич В748 Вопросы надежности электроснабжения: учеб.-метод. пособие [Электронный ресурс] / сост. Т.И. Танкович, И.В. Коваленко, В.В. Шевченко. – Электрон. дан. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2012. – Систем. требования: PC не ниже Pentium II; 128 Мб RAM; Windows 98/XP/7; Adobe Reader V8.0 и выше – загл. с экрана. В учебно-методическом пособии изложены теоретические и прикладные вопросы теории надежности в соответствии с Правилами эксплуатации электроустановок потребителей, являющимися основополагающим документом в области энергетики. Проведен анализ моделей отказов, используемых при оценке надежности в электроэнергетике. Показаны методики и примеры решения основных технических и технико-экономических задач надежности электроснабжения. С этой целью в приложении помещены необходимые материалы, позволяющие решать очерченный круг задач практически без привлечения дополнительной литературы. Каждая глава пособия дополнена контрольными вопросами и задачами. Предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки специалистов 140000 «Энергетика, энергетическое машиностроение и электротехника».

УДК 621.31.004.1(07) ББК 31.279.13я73 © Сибирский федеральный университет, 2012 Учебное издание Подготовлено к публикации редакционно-издательским отделом БИК СФУ Подписано в свет 16.11.2012 г. Заказ 9422. Тиражируется на машиночитаемых носителях. Редакционно-издательский отдел Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79 Тел/факс (391) 206-21-49. E-mail [email protected] http://rio.sfu-kras.ru

2

ОГЛАВЛЕНИЕ 1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СИСТЕМ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ ....................................................................................... 5 1.1 Краткая история возникновения и развития теории надежности ......................... 5 1.2 Основные особенности ЭС с точки зрения теории надежности ........................... 7 1.3 Задачи надежности при проектировании и эксплуатации ЭС ............................ 12 1.4 Общие сведения, понятия, термины и определения теории надежности в технике и энергетике.......................................................................................................... 14 1.5 Причины и физические основы возникновения и развития аварий в системах электроснабжения .............................................................................................................. 21 1.5.1 Причины отказов энергетических блоков ..................................................... 21 1.5.2 Причины отказов синхронных генераторов .................................................. 22 1.5.3 Причины отказов силовых трансформаторов ............................................... 24 1.5.4 Причины отказов высоковольтной аппаратуры ............................................ 25 1.5.5 Кабельные линии электропередачи ................................................................ 27 1.5.6 Причины отказов релейной защиты и автоматики ....................................... 28 1.6 Классификация отказов. Виды и типы отказов .................................................... 28 1.7 Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 32 2 КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ОБЪЕКТОВ ..................... 34 2.1 Показатели безотказности ...................................................................................... 35 2.1.1 Вероятность безотказной работы ................................................................... 35 2.1.2 Частота отказов. Средняя частота отказов .................................................... 38 2.1.3 Плотность распределения отказов.................................................................. 41 2.1.4 Интенсивность отказов .................................................................................... 43 2.1.5 Наработка до отказа ......................................................................................... 46 2.1.6 Связь между показателями безотказности .................................................... 48 2.2 Показатели долговечности ..................................................................................... 48 2.2.1 Средний ресурс ................................................................................................. 49 2.2.2 Гамма-процентный ресурс .............................................................................. 49 2.2.3 Назначенный ресурс ........................................................................................ 51 2.2.4 Средний срок службы ...................................................................................... 51 2.2.5 Гамма-процентный срок службы .................................................................... 51 2.2.6 Назначенный срок службы .............................................................................. 51 2.2.7 Срок сохраняемости ......................................................................................... 52 2.3 Показатели ремонтопригодности........................................................................... 52 2.3.1 Параметр потока отказов ................................................................................. 52 2.3.2 Вероятность восстановления работоспособного состояния ........................ 54 2.3.3 Частота восстановления................................................................................... 55 2.3.4 Интенсивность восстановления ...................................................................... 56 2.3.5 Среднее время восстановления работоспособного состояния .................... 57 2.3.6 Связь между показателями восстановления .................................................. 57 2.4 Показатели сохраняемости ..................................................................................... 58 2.4.1 Средний срок сохраняемости .......................................................................... 58 2.4.2 Гамма-процентный срок сохраняемости ....................................................... 58 2.4.3 Назначенный срок хранения ........................................................................... 59 2.4.4 Установленный срок хранения ....................................................................... 59 2.5 Комплексные показатели надежности................................................................... 59 2.5.1 Коэффициент готовности ................................................................................ 59 2.5.2 Коэффициент оперативной готовности ......................................................... 60 2.5.3 Коэффициент вынужденного простоя ........................................................... 61

3 2.5.4 Коэффициент технического использования .................................................. 62 2.6 Связь показателей надежности .............................................................................. 62 2.7 Задачи ....................................................................................................................... 63 2.8 Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 65 3 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .......................................... 66 3.1 Основные понятия. События. Вероятность события ........................................... 66 3.2 Теорема сложения вероятностей ............................................................................ 67 3.3 Теорема умножения вероятностей ......................................................................... 67 3.4 Случайные величины .............................................................................................. 69 3.5 Законы распределения случайных величин .......................................................... 74 3.6 Основные законы распределения случайных величин, используемые в теории надежности.......................................................................................................................... 77 3.7 Задачи ....................................................................................................................... 86 3.8 Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 86 4 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СЭС ................................................................................................................ 88 4.1 Математические модели отказов и восстановления элементов СЭС на основе метода Марковских случайных процессов ...................................................................... 88 4.2 Задачи ....................................................................................................................... 95 4.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 98 5 НАДЕЖНОСТЬ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.......................................... 99 5.1 Надежность систем с последовательно- параллельным соединением элементов 99 5.2 Надежность систем с параллельным соединением элементов ......................... 101 5.3 Мостиковая структура с приближенным методом преобразования звезды в треугольник и обратно ..................................................................................................... 104 5.4 Методы повышения надежности ......................................................................... 106 5.4.1 Классификация методов резервирования СЭС ........................................... 108 5.4.2 Критерий качества резервирования .............................................................. 109 5.4.3 Расчет надежности систем при наличии резервирования .......................... 110 5.4.4 Расчет надежности систем при наличии резервирования методом Марковских процессов ................................................................................................ 117 5.4.5 Способы и методы функционального резервирования .............................. 124 5.5 Задачи ..................................................................................................................... 129 5.6 Вопросы для самоконтроля .................................................................................. 131 6 МЕТОДЫ НАДЕЖНОСТИ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ ...................................................................................................... 132 6.1 Математические модели надежности СЭС на основе метода минимальных путей и сечений ................................................................................................................ 132 6.2 Математические модели СЭС на основе метода «Дерево отказов» ................. 137 6.2.1 Общие сведения.............................................................................................. 137 6.2.2 Принцип использования ................................................................................ 140 6.2.3 Построение дерева отказов ........................................................................... 141 6.2.4 Качественный и количественный анализ дерева отказов .......................... 153 6.3 Задачи ..................................................................................................................... 157 6.4 Вопросы для самоконтроля .................................................................................. 158 7 УЩЕРБ ПРЕДПРИЯТИЯ ОТ СНИЖЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ ..................................................................................................... 160 7.1 Ущербы в энергосистеме ...................................................................................... 163 7.2 Ущербы потребителей........................................................................................... 164

4

7.3 Удельные ущербы.................................................................................................. 166 7.4 Экономический эффект от повышения надежности .......................................... 167 7.5 Задачи ..................................................................................................................... 168 7.6 Вопросы для самоконтроля .................................................................................. 170 8 НАДЕЖНОСТЬ ОБЪЕКТОВ ПРИ ИСПЫТАНИЯХ И ЭКСПЛУАТАЦИИ ......... 171 8.1 Критерии согласования при статистических исследованиях в надежности СЭС. Общая постановка задачи ................................................................................................ 173 8.2 Критерий хи-квадрат К. Пирсона......................................................................... 177 8.3 Критерий А.Н. Колмогорова ................................................................................ 177 8.4 Задачи ..................................................................................................................... 178 8.5 Вопросы для самоконтроля .................................................................................. 181 9 НОВЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ ......................................... 182 9.1 Применение теории нечетких множеств в задачах анализа надежности технического решения ..................................................................................................... 182 9.1.1 Элементы теории нечетких множеств.......................................................... 182 9.1.2 Задача сравнения вариантов технического решения в нечеткой постановке 187 9.2 Применение искусственных нейронных сетей в задачах надежности ............. 190 9.2.1 Общие сведения об ИНС ............................................................................... 190 9.2.2 Типы ИНС ....................................................................................................... 193 9.2.3 Применение ИНС для решения задач .......................................................... 199 9.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................. 201 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................ Ошибка! Закладка не определена. ПРИЛОЖЕНИЕ А ................................................................................................................ 204 ПРИЛОЖЕНИЕ Б ................................................................................................................. 211 ПРИЛОЖЕНИЕ В ................................................................................................................ 216

5

1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СИСТЕМ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ 1.1 Краткая история возникновения и развития теории надежности Наука о надежности – сравнительно молодая наука. Она занимается изучением причин, вызывающих отказы, определением закономерностей, которым они подчиняются, разработкой способов измерения надежности, методов расчета и испытаний, а также поиском средств по повышению надежности. Первые работы в этой области относятся к теории надежности механических систем и принадлежат Н.Ф.Хоциалов (СССР) и Г.Майера (Германия), которые появились в 1929– 1931 гг. и были посвящены применению теоретико-вероятностным методам расчета прочности объектов. В развитии теории надежности можно выделить три этапа. Первый этап ‒ это становление (40 ‒ 60-е годы), которые характеризуются оценкой надежности по числу зафиксированных отказов. Расчет надежности производился по интенсивностям отказов, входящих в систему элементов, полученных по статистике отказов. Начиная с начала 60- годов стали интенсивно развиваться математические вопросы теории надежности авторами, которых были советские ученые Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляев, А.Д. Соловьев, а также зарубежные Дж. Нейман, К. Шеннон, А. Пирс. Второй этап ‒ этот этап развития теории надежности (60- годы) характеризуется тем, что при оценке надежности объектов стали учитываться влияния функциональных связей между элементами системы, влияние режимов работ и факторов окружающей среды. Первые два этапа характеризовались накоплением статической информации, ее обобщением и анализом, попытками выявить закономерности, устойчивые причинно-следственные связи. До 70-х годов не существовало даже надежных приборов, могущих регистрировать происходящие в материалах изменения во время их эксплуатации. Не существовало и необходимых инженерных методов. Ученые ограничивались количественными параметрами, исследованиям проводились на макроуровне. На третьем этапе (70-е годы) накопленных знаний уже хватало, чтобы с высокой степенью вероятности рассчитывать надежные и долговечные конструкции. Чтобы продлить сроков службы оборудования

6

не только за счет конструктивных решений, но и за счет правильного режима эксплуатации, повышения ремонтопригодности, а также оптимальных сроков проведения технического обслуживания. К настоящему времени появилась возможность разрабатывать конструкции объектов на перспективу, прогнозировать будущие пути совершенствования техники, находить новые способы повышения долговечности и надежности промышленного оборудования. Как наука теория надежности начала развиваться после второй мировой войны, когда остро встала проблема обеспечения безотказности и ремонтопригодности технических средств. Уже в 1949 г. около 70% всей морской радиоэлектронной аппаратуры США находилось в состоянии ремонта. В конце второй мировой войны около 60% самолетного оборудования, переброшенного на Дальний Восток, оказалось неисправным, при этом около 50% запасных комплектов и элементов вышли из строя в результате хранения. В тот период радиосвязное оборудование находилось в неработоспособном состоянии 1/7 часть всего времени эксплуатации, радиолокационное – 5/6, гидроакустическое – около 1/2 времени. Прошло чуть более четверти века, и мир заговорил о научнотехнической революции. Начали создаваться сверхсложные системы в информатике, энергетике, транспорте и в других отраслях народного хозяйства. Причем это были системы, которые характеризовались большим числом входящих в их состав элементов, сложными структурой и алгоритмами функционирования. Это были системы, которым необходимо было предъявлять повышенные требования к надежности, живучести и безопасности функционирования. Этот период характеризуется бурным развитием методов обеспечения высокой надежности систем на всех этапах: при проектировании, производстве, испытаниях и эксплуатации. Проектирование и реализация сложных технических систем, на создание которых в течение многих лет затрачивались огромные людские и материальные ресурсы, уже невозможно было осуществлять “на глазок”. Требовался строгий математический расчет всех технических параметров, включая различные показатели надежности, нужны были обоснованные технико-экономические решения. Это привело специалистов всех уровне к необходимости создания строгой математической теории, обоснования расчетов всех технических

7

параметров по отношению к эффективности функционирования данного устройства в заданных условиях. Основные направления развития теории надежности: 1. Развитие математических основ теории надежности. Обобщение статистических материалов об отказах и разработка рекомендаций по повышению надежности изделий вызвали необходимость определять математические закономерности, которым подчиняются отказы, а также разрабатывать методы количественного измерения надежности и инженерные расчеты ее показателей. В результате формировалась математическая теория надежности. Ее возникновение – исходный пункт создания науки о надежности. 2. Развитие методов сбора и обработки статистических данных о надежности. Обработка статистических материалов в области надежности потребовала развития существующих статистических методов и привела к накоплению большой статистической информации о надежности. Возникли статистические характеристики надежности и закономерности отказов. Работы в этом направлении послужили основой формирования статистической теории надежности. 3. Развитие физической теории надежности. Наука о надежности не могла и не может развиваться без исследования физико-химических процессов. Поэтому большое внимание уделяется изучению физических причин отказов, влиянию старения и прочности материалов на надежность, разнообразных внешних и внутренних воздействий на работоспособность изделий (совокупность работ в области исследования физико-химических процессов, обусловливающих надежность изделий, послужила основой физической теории надежности). В конкретных областях техники разрабатывались и продолжают разрабатываться прикладные вопросы надежности, вопросы обеспечения надежности данной конкретной техники (полупроводниковые приборы, судовые установки, транспортные машины, вычислительная техника, авиация и т. д.). При этом решается вопрос о наиболее рациональном использовании общей теории надежности в конкретной области техники и ведется разработка таких новых положений, методов и приемов, которые отражают специфику данного вида техники. 1.2 Основные особенности ЭС с точки зрения теории надежности На современном этапе развития электроэнергетики всё большую актуальность приобретают вопросы управления надёжностью

8

электроснабжения потребителей энергии, обосновании мер, направленных на обеспечение промышленной безопасности энергообъектов и предотвращение возникновения аварийных ситуаций в условиях рыночных отношений и конкуренции.

Рис. 1.1 Основные подсистемы единой электроэнергетической системы

Понятие «Единая национальная (общероссийская) электрическая сеть» (ЕНЭС) введено в Федеральном законе от 26 марта 2003г. № 35-ФЗ «Об электроэнергетике» и представляет собой «комплекс электрических сетей и иных объектов электросетевого хозяйства, принадлежащих на праве собственности или на ином предусмотренном федеральными законами основании субъектам электроэнергетики и обеспечивающих устойчивое снабжение электрической энергией потребителей, функционирование оптового рынка, а также параллельную работу российской электроэнергетической системы и электроэнергетических систем иностранных государств». С позиций системного подхода, широко используемого при исследовании сложных систем, ЕНЭС представляет собой одну из подсистем электроэнергетической системы (ЭЭС), предназначением которой является обеспечение надёжной технологической связи между производителями и потребителями электрической энергии (рис. 1.1). В этой связи успешное выполнение задачи устойчивого снабжения электрической энергией потребителей и других задач во многом

9

определяется надёжным функционированием всех составляющих ЕНЭС. При этом предполагается обеспечение надёжности работы других подсистем ЭЭС. Электрическая сеть представляет собой комплекс устройств электроустановок, которые предназначены для передачи и распределения электрической энергии. Современные электрические сети по своей структуре, организации эксплуатации и принципам управления относятся к сложным техническим комплексам (системам). При принятии решений на управление такой системой важными являются оценки качества её функционирования. Под качеством (эффективностью) сложной системы понимается совокупность свойств, определяющих способность системы выполнить поставленные при её создании задачи. К определяющим качество свойствам технической системы наиболее часто относят надёжность, экономичность и безопасность, а при определённых требованиях к системе – также живучесть (рис. 1.2).

Рис. 1.2 Свойства, определяющие эффективность (качество) электрической сети

Основной задачей электрической сети является обеспечение устойчивого снабжения электрической энергией потребителей, подсоединённых к этой сети. Поэтому качество работы электрической сети, прежде всего, следует оценивать надежностью электроснабжения потребителей, например, вероятностью того, что будет обеспечено непрерывное снабжение потребителей энергией требуемого качества. Общей характеристикой показателей надёжности является то, что они имеют вероятностную природу и характеризуют вероятность наступления определённого события или выполнения заданных требований. Возможны оценки надёжности средним значением контролируемой случайной величины, дополненным доверительными границами.

10

В практике получило применение задание пороговых значений показателей надёжности, выполняющих роль нормативных требований. Нормативные требования принимаются соглашением с соответствующими обоснованиями и зависят от достигнутого в данный момент времени технического прогресса в области используемых технологий и оборудования, уровня организации эксплуатации и других факторов, и с течением времени должны пересматриваться. Другим важным свойством, определяющим качество функционирования технического комплекса, является экономичность, которая характеризуется показателями использования средств, вкладываемых в электрическую сеть. Такими показателями экономичности могут быть себестоимость оказываемых услуг по передаче единицы энергии, прибыль, рентабельность и другие, а для оценки решений по развитию электрической сети – чистый дисконтированный доход, индекс доходности, внутренняя норма доходности и другие. В последнее время всё большую значимость приобретает свойство безопасности технических систем. В проблеме безопасности сложных технических комплексов следует выделить два направления. Первое из них относится к их нормальной повседневной эксплуатации. Неизбежные техногенные воздействия на человека и природную среду, а также отходы производства выдвигают ряд практических задач по охране труда и экологичности используемых технологий. Второе направление связано с технологическими нарушениями и получило название промышленная безопасность. Под промышленной безопасностью технического объекта (системы) понимается его способность обеспечить защиту человека, природной среды и собственности от опасных воздействий, возникающих при авариях и инцидентах на этом объекте. Если при анализе надёжности основное внимание уделяется изменению состояния исследуемого объекта, например, нарушению способности выполнять свои функции из-за произошедшего технологического нарушения, то при изучении промышленной безопасности выявляются причинно-следственные связи возникновения аварий и других нарушений с их последствиями (социальными, экологическими, экономическими). Показателями промышленной безопасности являются риски последствий от аварий и инцидентов, которые показывают меру опасности неблагоприятных последствий от

11

нарушений за определённый период времени и включают в себя частоту событий и последствия от них. Оценки надёжности, экономичности и безопасности дают достаточно полное представление о качестве (эффективности) функционирования технического объекта (системы) в определённых условиях эксплуатации – нормальных условиях. Однако, при эксплуатации электрической сети, хотя и редко, возможны опасные воздействия на элементы сети, не предусмотренные условиями нормальной эксплуатации и приводящие к чрезвычайным ситуациям. В качестве примера можно привести известные случаи массового повреждения воздушных линий электропередачи на обширной территории из-за воздействий гололёдно-ветровых нагрузок на провода и конструкции опор, превосходящих проектные. Вероятность террористических актов и случаев вандализма на объектах электроэнергетики, также нельзя исключать из рассмотрения военные конфликты и действия при анализе надежности электроэнергетических объектов. Во всех указанных случаях речь идёт о живучести технического объекта (системы) в «широком» смысле – способности объекта полностью или в ограниченном объёме выполнять свои функции при воздействиях, не предусмотренных условиями нормальной эксплуатации. А, при полной или частичной потере работоспособности восстанавливать её за допустимое нормативами время. Показатели живучести имеют вероятностный характер и отражают риск возникновения чрезвычайной ситуации, оценки времени восстановления и другие. В электроэнергетике имеет место понятие живучести объекта в «узком» смысле – свойство объекта противостоять возмущениям, не допуская их каскадного развития с массовым нарушением питания потребителей на длительное время. Все перечисленные свойства сложных технических комплексов, определяющие качество их функционирования, должны учитываться при принятии решения на управляющие воздействия в задачах управления. Концентрация внимания, например, только на показателях экономичности, не гарантирует соблюдения допустимых уровней социальной и экологической безопасности или выполнения договорных обязательств по надёжности энергоснабжения потребителей. В свою очередь, надёжная электрическая сеть в части выполнения требуемых функций может быть не экономичной и не соответствовать требованиям безопасности.

12

1.3 Задачи надежности при проектировании и эксплуатации ЭС Электрическая сеть, как сложный технический комплекс, относится к многоуровневым иерархическим системам. При оценке надёжности функционирования электрической сети важно различать следующие иерархические уровни рассмотрения (Рис. 1.3):

Рис. 1.3 Иерархические уровни электрической сети

Нижний уровень – оборудование, аппаратура и конструкции – включает в себя электросетевое силовое оборудование, коммутационную аппаратуру, элементы и конструкции линий электропередачи и электроподстанций, аппаратуру систем автоматики, релейной защиты и управления. Всё перечисленное относится к заводским изделиям, как правило, серийного выпуска. К числу возможных задач, решаемых на данном иерархическом уровне рассмотрения, в которых требуется учитывать оценки по надёжности, следует отнести:  составление технических требований и рекламаций к предприятиям-поставщикам на выпускаемую ими продукцию в части надёжности;  разработка регламентов по обслуживанию основного оборудования, графиков профилактических и ремонтных работ;  разработка нормативной базы по эксплуатации элементов электрической сети;  оптимизация резервов оборудования и материалов;  составление графиков замены основного оборудования в планах развития электрических сетей на перспективу;  анализ и прогноз аварийности основного оборудования электрических сетей.

13

Средний уровень – электросетевые объекты, фрагменты и узлы электрической сети – к данному уровню относится большинство типовых технических решений, которые могут повторяться при проектировании линий электропередачи, узлов электроподстанций (сборных шин, систем собственных нужд, трансформаторного блока и другого), внешнего электроснабжения выделенного узла нагрузки, комплекса релейной защиты и автоматики и другого. На данном иерархическом уровне рассматриваются объекты, содержащие в своей структуре несколько единиц оборудования, аппаратуры и конструкций (элементов предыдущего иерархического уровня), которые соединены некоторым целесообразным образом (последовательное, параллельное или смешанное соединение). Полученные, таким образом, технические образования (объекты) нередко выступают в качестве типовых технических решений. К таким объектам можно отнести, например, линию электропередачи, блоки электроподстанций (сборные шины, система собственных нужд, трансформаторный блок, отдельные присоединения и другие), выделенный узел нагрузки, комплекс релейной защиты объекта, систему противоаварийной автоматики на объекте и другие. К числу возможных задач, решаемых на данном иерархическом уровне рассмотрения, в которых необходимо использовать оценки по надёжности, следует отнести:  оценка по надёжности вариантов технических решений и выбор наиболее рационального решения;  обоснование резервов электросетевого оборудования;  обоснование мероприятий для обеспечения надёжности электроснабжения выделенного узла нагрузки;  планирование и обеспечение выполнения ремонтных и профилактических работ на электросетевых объектах;  страхование ответственности от нарушений в электроснабжении потребителей;  планирование развития энергообъектов с учётом надёжности. Верхний уровень – электрическая сеть в целом – представляет собой уникальный объект рассмотрения. К числу задач, решаемых на уровне проектирования и эксплуатации электрической сети на верхнем уровне рассмотрения, относится:

14

обеспечение требуемого уровня надёжности электроснабжения при перспективном планировании развитии электрической сети;  экономические аспекты надёжности электроснабжения потребителей;  составление графика проведения профилактических работ на электросетевых объектах с учётом обеспечения надёжности электроснабжения;  разработка политики по страхованию ответственности за нарушение договорных обязательств по надёжности электроснабжения;  создание централизованного аварийного запаса материалов в электрической сети для аварийного ремонта на воздушных линиях электропередачи;  разработка требований к поставщикам электрической энергии с позиций обеспечения надёжности электроснабжения;  разработка взаимодействия органов управления электрической сетью и оперативно-диспетчерским управлением системой;  использование регулировочных возможностей потребителей энергии;  выявление “узких” мест в электрической сети и обоснование мероприятий для обеспечения надёжности электроснабжения;  разработка нормативной базы для надёжности электроснабжения потребителей;  выявление территориальных зон повышенной опасности для работы электрической сети. Согласно теории иерархических многоуровневых систем [1] для каждого уровня существует ряд своих особенностей, закономерностей и принципов, критериев и показателей, характеризующих поведение системы. В общем случае критерии и показатели, используемые для характеристики системы на одном уровне, не всегда применимы для других уровней рассмотрения. Поэтому оценки надёжного функционирования электрической сети, подходы и способы их получения могут различаться в зависимости от иерархического уровня. 

1.4 Общие сведения, понятия, термины и определения теории надежности в технике и энергетике Основные понятия и определения теории надежности технических устройств, сформулированы в ГОСТ 27.002-2009 «Надежность в технике. Основные понятия, термины и определения».

15

Надежность – свойство объекта выполнять заданные функции, сохраняя во времени и в заданных пределах значения установленных эксплуатационных показателей. Объект – техническое изделие определенного целевого назначения, рассматриваемое в периоды проектирования, производства, испытаний и эксплуатации. Все объекты, изделия, о надежности которых идет речь, можно разделить на системы и элементы, причем это деление зависит от уровня рассмотрения. Элементом называют часть системы, не имеющую самостоятельного эксплуатационного назначения и выполняющую в системе ограниченные функции. Элемент простейшая составная часть изделия, в задачах надежности может состоять из многих деталей. Система – совокупность совместно действующих элементов, предназначенная для самостоятельного выполнения заданных функций. В зависимости от постановки задач принято один и тот же узел рассматривать как элемент или как систему. Например, при оценке надежности электровоза постоянного тока его рассматривают как систему, состоящую из основных элементов: токоприемника, быстродействующего выключателя, пусковых резисторов, тяговых двигателей и т.п. Когда же определяют надежность, например, тягового двигателя, который по отношению к электровозу в целом является элементом, его рассматривают уже как систему, состоящую из основных элементов: якоря, остова, щеточного аппарата, полюсов и т.д. При оценке надежности якоря тягового двигателя его рассматривают тоже как систему, состоящую из вала, якорной втулки, сердечника, коллектора, секции обмотки и т.д. Аналогичным образом принято рассматривать, например, коллектор как систему, образованную комплектом элементов, включающим в себя набор пластин, коробку, межламельную изоляцию, ряд изоляционных деталей, нажимную шайбу, стяжные болты и т.п. Например, изолятор в гирлянде изоляторов играет роль элемента, а гирлянда изоляторов − это система. Из приведенного примера видно, что в зависимости от уровня решаемой задачи определенный объект может в одном случае быть системой, а в другом − элементом. Система электроснабжения (СЭС) – объединенная общим производственным процессом совокупность элементов электрической системы: электрические сети, источники питания, электроприемники, а также соответствующие аппараты управления и резервирования.

16

Система электроснабжения сельскохозяйственного района − (СЭС с/х), предназначенная для питания потребителей сельскохозяйственного назначения, расположенных в сельской местности.

Рис. 1.4 Основные характеристики ТС

Надежность объекта характеризуется следующими основными состояниями и событиями. 1. Свойство объекта выполнять заданные функции, сохраняя свои параметры в установленных пределах в течение заданного времени, является его надежностью. Надежность является комплексным свойством, включающим в себя в зависимости от назначения объекта или условий его эксплуатации ряд простых свойств: a. безотказность; b. долговечность; c. ремонтопригодность; d. сохраняемость. Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторой наработки или в течение некоторого времени без вынужденных перерывов на ремонт. Наработка – продолжительность или объем работы объекта, измеряемая в любых неубывающих величинах (единица времени, число циклов нагружения, километры пробега и т. п.). Отказы устраняются в процессе ремонта, восстанавливая работоспособность. Следовательно, только свойство безотказности не

17

полностью характеризует надежность восстанавливаемых систем или узлов. Поэтому вводят свойство ремонтопригодности. Ремонтопригодность – свойство объекта, заключающееся в его приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, поддержанию и восстановлению работоспособности путем проведения ремонтов и технического обслуживания. Однако свойство ремонтопригодности не определяет процесса восстановления работоспособности, так как сам процесс ремонта идет по своим законам. Для описания этих законов вводят понятие восстанавливаемости. Долговечность – свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонтов. Долговечность определяется двумя условиями: физическим либо моральным износом. Физический износ наступает в том случае, когда дальнейший ремонт и эксплуатация становятся уже невыгодными, так как затраты превышают доход в эксплуатации; моральный износ означает несоответствие параметров объекта современным условиям их эксплуатации. Сохраняемость – свойство объекта непрерывно сохранять требуемые эксплуатационные показатели в течение (и после) срока хранения и транспортирования. Живучестью – называют свойство объекта продолжать нормальное функционирование с допустимыми показателями эффективности при непрогнозируемых или преднамеренных воздействиях. В зависимости от объекта надежность может определяться всеми перечисленными свойствами или частью их. Например, надежность колеса зубчатой передачи, подшипников определяется их долговечностью, а станка – долговечностью, безотказностью и ремонтопригодностью. 2. Состояние объекта может быть работоспособным, неработоспособным, исправным, работоспособным и неисправным, неисправным и неработоспособным. Исправность – состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям, установленным нормативно-технической документацией (НТД).

18

Работоспособность – состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения основных параметров, установленных НТД. Понятие исправность шире, чем понятие работоспособность. Работоспособный объект обязан удовлетворять лишь тем требования НТД, выполнение которых обеспечивает нормальное применение объекта по назначению. Таким образом, если объект неработоспособен, то это свидетельствует о его неисправности. С другой стороны, если объект неисправен, то это не означает, что он неработоспособен. При исправном состоянии объект соответствует всем требованиям Правил технической эксплуатации (ПТЭ). Состояние объекта считают неисправным, если он не соответствует хотя бы одному из требований ПТЭ. Предельное состояние – состояние объекта, при котором его применение по назначению недопустимо или нецелесообразно. Применение (использование) объекта по назначению прекращается в следующих случаях:  при неустранимом нарушении безопасности;  при неустранимом отклонении величин заданных параметров;  при недопустимом увеличении эксплуатационных расходов. Для некоторых объектов предельное состояние является последним в его функционировании, т.е. объект снимается с эксплуатации, для других – определенной фазой в эксплуатационном графике, требующей проведения ремонтно-восстановительных работ. В связи с этим, объекты могут быть:  невосстанавливаемые, для которых работоспособность в случае возникновения отказа, не подлежит восстановлению;  восстанавливаемые, работоспособность которых может быть восстановлена, в том числе и путем замены. К числу невосстанавливаемых объектов можно отнести, например: подшипники качения, полупроводниковые изделия, зубчатые колеса и т.п. Объекты, состоящие из многих элементов, например, станок, автомобиль, электронная аппаратура, являются восстанавливаемыми, поскольку их отказы связаны с повреждениями одного или немногих элементов, которые могут быть заменены.

19

В ряде случаев один и тот же объект в зависимости от особенностей, этапов эксплуатации или назначения может считаться восстанавливаемым или невосстанавливаемым. 3. Событие - переход объекта из одного возможного состояния в другое. Примером события является отказ, а также повреждение. Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта. Критерий отказа – отличительный признак или совокупность признаков, согласно которым устанавливается факт возникновения отказа. В связи с изменениями, произошедшими в последнее время в электроэнергетике, а также развитием теории надежности требуются обновления в терминологии, что было отмечено в решении 69-го заседания Всероссийского научного семинара «Методические вопросы исследования надежности больших систем энергетики». Поэтому немаловажное значение приобретают вопросы, связанные с развитием и совершенствованием не только методов оценки надежности, но и терминологии [2Фед]. Для потребителей: Надежность энергоснабжения − свойство потребителя бесперебойно, без ограничений и безопасно получать оплачиваемую энергию в соответствии с условиями договора с поставщиком. Устойчивость энергоснабжения − свойство потребителя, заключающееся в соблюдении требуемой надежности энергоснабжения на длительном интервале времени (в пределе – в течение срока «жизни» потребителя). Гарантированность энергоснабжения − свойство потребителя, заключающееся в реализации права на получение оплачиваемой энергии от поставщика в нужном объеме и в нужные сроки. Для объектов энергетики: Надежность (эксплуатационная готовность) − свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, хранения и транспортирования (ГОСТ 27.002-89). Надежность функционирования (надежность работы) − свойство объекта выполнять заданные функции в заданном объеме при определенных условиях функционирования. Применительно к системам

20

энергетики их основными заданными функциями являются снабжение потребителей соответствующей продукцией (энергоресурсом) требуемого качества и недопущение ситуаций, опасных для людей и окружающей среды. По моделям расчета надежности (для технических объектов): Схемная надежность − надежность объекта, когда расчетная модель определяется схемой электрических соединений. Структурная надежность − надежность объекта, когда расчетная модель определяется его структурой. Балансовая надежность − надежность объекта, когда расчетная модель определяется балансом производства и потребления продукции без учета ограничений по ее передаче. Режимная надежность − надежность объекта, когда расчетная модель учитывает режимы функционирования (загрузку) элементов объекта. Режимная надежность может быть статической (в установившихся нормальных и длительных послеаварийных режимах) и динамической (при внезапных возмущениях в переходных и кратковременных послеаварийных режимах). По времени оценки надежности: Ретроспективная надежность − фактическая надежность объекта за некоторый прошедший период (обычно от суток до пяти лет). Оперативная надежность − надежность объекта для заданного момента (мгновенная) или периода (усредненная) функционирования в цикле оперативного управления. Оперативная надежность может определяться для текущего времени (в момент оценки), ближайших (с опережением от нескольких минут до нескольких часов) и перспективных (с опережением от суток до недели) режимов. Эксплуатационная надежность − надежность объекта для заданного предстоящего периода эксплуатации (обычно на месяц, квартал, год). Перспективная надежность − надежность объекта в цикле перспективного развития (обычно от нескольких до десяти-пятнадцати лет). Перспективная надежность может определяться на 2−3 ближайших года (краткосрочная), от 3 до 5 лет (многолетняя), от 5 до 10 лет (стратегическая или среднесрочная), от 10 до 15 лет (долгосрочная). Прогнозная надежность − надежность объекта на перспективу в 15−20 лет.

21

По причинам отказов (для человеко-машинных объектов): Аппаратная надежность − надежность объекта, обусловленная отказами оборудования (аппаратуры). Надежность персонала − надежность объекта, обусловленная ошибками персонала при оперативном управлении и эксплуатации. Информационная надежность − надежность объекта, обусловленная использованием при оперативном и автоматическом управлении недостоверной или недостаточной информации. Техническое совершенство − степень выполнения объектом заданных функций, характеризующая его. По последствиям отказов: Бесперебойность − свойство объекта непрерывно обеспечивать своей продукцией потребителя (покупателя). Бездефицитность − свойство объекта не ограничивать объемы оплачиваемой продукции потребителю (покупателю). Безопасность − свойство объекта не допускать ситуации, опасные для людей и окружающей среды. Безаварийность − свойство объекта не допускать аварий при возмущениях. 1.5 Причины и физические основы возникновения и развития аварий в системах электроснабжения 1.5.1 Причины отказов энергетических блоков Отказы энергоблоков электростанций определяются в основном отказами теплосилового, гидромеханического оборудования и генераторов. Период приработки мощных энергоблоков зависит от номинальной мощности, от степени освоения в производстве. Головные блоки имеют период приработки от пяти до десяти лет, серийные – от двух до пяти лет. В процессе приработки коэффициент простоя блоков снижается с 20–40 до 5–8. Значительную роль в обеспечении надежности генерации энергии играет надежность оборудования и механизмов собственных нужд, которая, в свою очередь, зависит в основном от степени резервирования механизмов топливоподачи и топливоснабжения, циркуляционного водоснабжения, питательных насосов и вентиляторов, а также от условий успешного включения и самозапуска электродвигателей механизмов при работе АВР.

22

Знание причин отказов электрических машин необходимо для построения системы профилактических мероприятий, контроля, испытаний, диагностики, планово-предупредительных и капитальных ремонтов, обеспечивающей высокий уровень безотказности. 1.5.2 Причины отказов синхронных генераторов Отказы синхронных машин происходят из-за:  повреждений активной стали;  повреждений обмотки ротора;  повреждения системы возбуждения;  повреждений подшипников, подпятников;  повреждения системы охлаждения;  повреждений обмотки статора. Повреждение обмотки статора происходит, как правило, вследствие электрического пробоя изоляции. Участки с пониженной прочностью изоляции появляются из-за дефектов изготовления и монтажа и развития их в процессе эксплуатации, ремонтов. Изоляция разрушается в пазах за счет вибрации активной стали при её слабой запрессовке. Недостаточное крепление лобовых частей приводит к их деформации и трещинам в изоляции. Лобовые части обмоток подвергаются дополнительным динамическим воздействиям при коротких замыканиях, несинхронных включениях и вибрациях. Перемещение обмотки при ослаблении крепления приводит к истиранию изоляции и усталостным повреждениям меди. Электрическая прочность изоляции существенно снижается в результате тепловых перегрузок, которые могут быть вызваны местными замыканиями сегментов активной стали, витковыми замыканиями и ухудшением условий охлаждения. Повреждение изоляции обмотки статора может быть вызвано также появлением течи в воздухо- или газоохладителях и попаданием воды или масла на обмотку. Наиболее частая причина повреждений активной стали – ослабление ее запрессовки. В процессе работы усилия от магнитного тяжения, вращающего момента, массы сердечника и вибрации приводят к расшатыванию цилиндра активной стали, износу брусков несущих ребер, контактной коррозии и дальнейшему ослаблению крепления стали. Из-за местных нарушений целости изоляционной пленки на поверхности листов возникают контуры циркуляционных токов, что приводит к местному

23

разогреву, выгоранию пленки на соседних местах, выплавлению стали и разрушению корпусной изоляции. Значительное число повреждений в турбогенераторах приходится на бандажный узел ротора, где развиваются усталостные трещины и коррозия. Заклинивание ротора при разрыве бандажа, а также температурные напряжения в теле ротора могут привести к тяжелым авариям с поломкой вала Одна из главных причин повреждений обмотки ротора турбогенератора – смещение ее при изменении температуры и как следствие – витковые замыкания и перекрытие каналов непосредственного охлаждения. До 40 % причин отказов роторов приходится на повреждение токоподводов и токоприёмного узла, особенно у гидрогенераторов, где при длительных и частых форсировках возбуждения наблюдаются разрывы и расплавление паек междуполюсных соединений. Так же как и обмотка статора, обмотка ротора подвержена действию влаги, частиц металла и ржавчины. Замыкание обмотки ротора на корпус само по себе не представляет опасности для машин и не приводит к отказу. Однако второе замыкание может вызвать прохождение через тело ротора больших токов и сильную вибрацию вследствие магнитной асимметрии, а значит, аварийное отключение. Основные неисправности и повреждения подшипников и подпятников, приводящие к отказу генераторов: выплавление баббита, повреждение вкладышей и цапф подшипниковыми токами, вытекание масла. Чаще всего подшипниковые токи вызваны асимметрией магнитной системы машины: неравномерным зазором, несимметричным размещением сегментов активной стали и наличием осевых вентиляционных каналов. Пульсирующий магнитный поток, пронизывающий контур с весьма малым активным сопротивлением (из вала, подшипников и фундаментной плиты), вызывает ЭДС от 3 до 15 В и соответствующий ток в цепи этого контура. Токи в подшипниках возникают также в результате продольного намагничивания вала при витковых замыканиях в обмотке ротора и коротких замыканиях в обмотке статора, при замыкании на корпус в цепи возбуждения в сочетании с замыканием на землю во внешней цепи ротора. Длительное протекание даже небольших подшипниковых токов приводит к разложению масла и электрокорозии вкладышей. В целях борьбы с этим явлением обычно подшипник генератора изолируется со

24

стороны возбудителя с помощью слоя гетинакса или текстолита толщиной 2–5 мм. Маслопроводы снабжаются изолирующими вставками. На гидрогенераторах изолируются верхний и нижний направляющие подшипники, подпятник, подшипники регуляторного генератора и маслоприемник турбины. Сопротивление изоляции должно быть не меньше 1 МОм и непрерывно контролироваться специальным прибором. Наиболее распространены отказы подшипников вследствие вытекания масла и отказы подпятников гидрогенераторов вследствие износа сегментов. Приработочные отказы подпятников и подшипников прекращаются через полгода после пуска агрегата, а износовые отказы начинаются после 4– 5 лет эксплуатации. Надежность работы машины в значительной степени зависит от уровня вибрации. Внезапное увеличение вибрации почти всегда свидетельствует о повреждении. Допустимая амплитуда вибрации подшипников для турбогенераторов не более 40 мкм, для гидрогенераторов не более 100 – 180 мкм. 1.5.3 Причины отказов силовых трансформаторов Частота отказов трансформаторов в значительной степени зависит от габаритов, класса напряжения и условий эксплуатации. И для трансформаторов класса 330-500кВ не превышает 0,03-0,05. Распределение числа отказов (в %) между элементами конструкции трансформаторов с различным высшим напряжением: < 100кВ ≥ 100кВ Витковая и продольная изоляция 60 25 Вводы 1 13 Переключатели 27 Баки, прокладки, система охлаждения 1 2 Главная изоляция 19 16 Отводы контакты 16 Магнитопроводы 16 11 Повреждение продольной изоляции происходит из-за нарушения электродинамической устойчивости обмоток и недостаточной электрической прочности витковой изоляции в начальной части обмоток, а также из-за дефектов, допущенных при изготовлении. В процессе эксплуатации вследствие усадки картона опресовка ослабевает.

25

При прохождении сквозного тока КЗ обмотка под действием электромагнитных сил смешается, появляются трещины в витковой изоляции, вследствие чего уменьшается электрическая прочность изоляции. Пробой изоляции происходит чаше всего во время грозы из-за неэффективной защиты от пренапряжений. Кроме механических и усталостных процессов в обмотке происходит и тепловое старение изоляции как результат повышения температуры окружающей среды при плановых и аварийных перегрузках. Отказы высоковольтных вводов трансформаторов в основном вызваны загрязнением от химических уносов, а отказы переключателей механическим износом. 1.5.4 Причины отказов высоковольтной аппаратуры Данные о приблизительном распределении причин отказов в процентах. 1.5.4.1 Для масляных выключателей   

Отказы привода 33%. Перекрытие изоляции 23%. Разрушение дугогасительной камеры из-за не погасания ду-

ги 20%.   

Перегрев и сваривания контактов 10%. Поломка тяг 8%. Прочие 6%.

В настоящие время значительная часть (17-33%) часть отказов масляных выключателей происходит при отключении токов КЗ и в подавляющем большинстве случаев(66-100%) отказ сопровождается КЗ в ячейке. У воздушных выключателей (14-25%) и (20-100%). 1.5.4.2 Для воздушных выключателей Поломка изоляторов 27%.  Разрушение дугогасительной камеры из-за не погасания дуги (при отключении КЗ и малых токов) 20%.  Отказы привода и цепей управления 20%.  Перекрытие опорных изоляторов и воздуховодных труб 10%. 

26   

Повреждение контактной системы 9%. Дефекты резиновых уплотнений 4%. Прочие 9%. 1.5.4.3 Отказы разъединителей

     

Обледенение или разрегулировка 40%. Пробой или повреждение изоляции 20%. Отказ привода 20%. Неисправность механизма 10%. Дефекты контактных соединений 5%. Ошибки персонала 5%.

Отказы разъединителей проявляются как Электрическими и механическими повреждениями;

КЗ

вызванные

1.5.4.4 Отказы короткозамыкателей       

Повреждение изоляции 60%. Отказ привода 10%. Отказ РЗ 9%. Низкое качество ремонта 8%. Деформация включающей пружины 5%. Замерзание смазки 4%. Гололед 4%.

Отказы короткозамыкателей Электрическими и механическими повреждениями самопроизвольное включение и отказ во включении. 1.5.4.5 Для отделителей       

Отказ привода 27%. Деформация включающей пружины 20%. Повреждение изоляции 10%. Замерзание смазки 10%. Гололед 10%. Низкое качество ремонта 8%. Отказ РЗ 7%.

27  

Низкое качество изготовления 5%. Ошибки персонала 3%.

Выше перечисленные отказы отделителей происходят в момент отключения в без токовую паузу. 1.5.4.6 Причины отказов ЛЭП Самым ненадежным элементом СЭС являются ЛЭП из-за их большой протяженности и влияния на них большого числа различных внешних воздействий. В городских сетях на долю ЛЭП приходятся ‒ 85% отключений, а в сельских сетях - 90-95%. Основными причинами повреждения ВЛ являются:  грозовые перекрытия изоляции;  гололедно -изморозевые отложения; ветровые нагрузки;  вибрация и пляска проводов;  возгорание деревянных опор;  ослабление прочности деталей опор;  повреждение опор и проводов автотранспортом и др;  к перекрытию изоляции, разрушению изоляторов, обрыву проводов, падению опор;  превышения фактических электрических нагрузок расчетных значений;  дефектов, возникших при изготовлении опор, проводов, изоляторов;  неправильного применения типов проводов, опор, изоляторов по природно-климатическим зонам;  нарушения правил монтажа и сооружения ВЛ;  недостатков эксплуатации (несоблюдения сроков и объемов проверок, текущих и капитальных ремонтов). 1.5.5 Кабельные линии электропередачи Основной причиной повреждений КЛ является: • нарушение их механической прочности строительными машинами и механизмами при земляных работах; • старение межфазной и поясной изоляции, электрическая и химическая коррозия покрытия, перегрузка кабеля, попадание влаги в кабель, нарушение изоляции грызунами.

28

Повреждаемость КЛ зависит от способа прокладки КЛ (в земле, блоках, трубах, тоннелях), разности горизонтальных уровней участка КЛ (при больших перепадах происходит стекание масла и осушение изоляции), агрессивности окружающей среды, величины блуждающих токов и наличия защиты от них, интенсивности ведения строительных работ в зоне прокладки КЛ, срока эксплуатации, режима работы. Электрические пробои чаще происходят не на целом кабеле, а в местах установки соединительных муфт, на концевых воронках, вертикальных участках кабеля. 1.5.6 Причины отказов релейной защиты и автоматики Причиной отказов РЗА являются повреждения элементов, из которых состоит схема ‒это резисторы, диоды, транзисторы, конденсаторы, реле и т.д. Отказами устройств релейной защиты и автоматики (РЗА) являются:  отказы в срабатывании при наличии требования (команды) на срабатывание;  ложные срабатывания при отсутствии требования (команды) на срабатывание;  срабатывания при несоответствии командного импульса, т.е. неселективные срабатывания;  отказ типа «обрыв» для резисторов в полупроводниковых приборах;  отказ типа «короткое замыкание» ‒ для конденсаторов. 1.6 Классификация отказов. Виды и типы отказов Наиболее полная классификация отказов и последствий отказа приведена в РД 50-699-90 «Методические указания. Надежность в технике. Общие правила классификации отказов и предельных состояний». По типу отказы подразделяются:  отказы функционирования (выполнение основных функций объектом прекращается, например, поломка зубьев шестерни);  отказы параметрические (некоторые параметры объекта изменяются в недопустимых пределах, например, потеря точности станка). По своей природе отказы могут быть:

29

 случайные, обусловленные непредусмотренными перегрузками, дефектами материала, ошибками персонала или сбоями системы управления и т. п.;  систематические, обусловленные закономерными и неизбежными явлениями, вызывающими постепенное накопление повреждений: усталость, износ, старение, коррозия и т. п. Основные признаки классификации отказов: 1. характер возникновения; 2. причина возникновения; 3. характер устранения; 4. последствия отказов; 5. дальнейшее использование объекта; 6. легкость обнаружения; 7. время возникновения. Таблица 1.1 Классификация видов отказов

Вид отказа Внезапный Постепенный Сбой Перемежающийся Устойчивый Явный Скрытый Ресурсный Нересурсный Зависимый Независимый Одиночный Повторяющийся

Классификационный признак Характер изменения параметров во времени до отказа Характер существования отказа во времени

Возможность обнаружения

Наличие предельного состояния после отказа Обусловленность другими отказами

Повторяемость однотипных отказов (ПС)

30

Вид отказа Неустранимый

Классификационный признак Возможность восстановления работоспособности изделия после отказа (достижеУстранимый на месте эксплуа- ния ПС) тации Устранимый на специализированном ремонтном предприятии Критические Угроза для жизни и здоровья людей, для окружающей среды, значительные экономические потери или невыполнение ответственного задания Некритические Другие виды последствий Рассмотрим подробнее каждый из классификационных признаков: характер возникновения:  внезапный отказ – отказ, проявляющийся в резком (мгновенном) изменении характеристик объекта;  постепенный отказ – отказ, происходящий в результате медленного, постепенного ухудшения качества объекта. Постепенные отказы - связаны с износом деталей и старением материалов. причина возникновения:  конструкционный отказ , вызванный недостатками и неудачной конструкцией объекта;  производственный отказ, связанный с ошибками при изготовлении объекта по причине несовершенства или нарушения технологии;  эксплуатационный отказ, вызванный нарушением правил эксплуатации. характер устранения:  устойчивый отказ;  перемежающийся отказ (возникающий/исчезающий). последствия отказа:  легкий отказ (легкоустранимый);  средний отказ (не вызывающий отказы смежных узлов – вторичные отказы);

31

тяжелый отказ (вызывающий вторичные отказы или приводящий к угрозе жизни и здоровью человека). дальнейшее использование объекта:  полные отказы, исключающие возможность работы объекта до их устранения;  частичные отказы, при которых объект может частично использоваться. a. легкость обнаружения:  очевидные (явные) отказы;  скрытые (неявные) отказы. время возникновения:  приработочные отказы, возникающие в начальный период эксплуатации; отказы при нормальной эксплуатации;  износовые отказы, вызванные необратимыми процессами износа деталей, старения материалов и пр. Наряду с отказом различают также повреждения. Несущественное повреждение не нарушает работоспособность (например, перегорела сигнальная лампа). Существенное же повреждение есть отказ. В таблице 1.2 приведена классификация внешних проявлений отказов деталей и узлов изделий в соответствии с РД 50-699-90. 

Таблица 1.2 Классификация внешних проявлений отказов деталей и узлов изделий

Внешние проявления отказов

Виды процессов разрушения

1. Изменение геометрических размеров Остаточная деформация, истираи формы ние металлических пар, ползучесть 2. Вырывы

Изнашивание при заедании

3. Сколы, выкрашивания

Усталостное выкрашивание

4. Излом

Вязкий, хрупкий и усталостный излом

5. Риски, царапины, вспучивания, вы- Газовая эрозия рывы 6. Пятна, полосы, рубцы, зубчатые ра- Жидкостная эрозия ковины, пустоты, вымоины, кратеры 7. Питтинги на поверхности материала, Кавитационное изнашивание сквозные отверстия

32

Внешние проявления отказов 8. Точечные углубления, раковины, шелушения

Виды процессов разрушения Коррозия атмосферная и в электролитах

9. Плотный хрупкий слой окислов ме- Газовая коррозия таллов на поверхности 10. Сетки трещин

Коррозионное растрескивание

11. Пятна или полосы небольшой глу- Коррозионно-механическое изнабины на поверхности по границе кон- шивание такта 12. Потеря упругости

Старение материалов

Последствиями отказа являются: 1. невыполнение заданных показателей производительности; 2. внеплановый ремонт; 3. досрочная замена узла; 4. завышенный объем работ при плановом ремонте. Способы восстановления изделия после отказа (ПС) в зависимости от вида возможных работ, проводимых при восстановлении изделия, подразделяются: 1. замена составной части; 2. замена сборочной единицы; 3. ремонт сборочной единицы заменой детали (ЭРИ); 4. ремонт сборочной единицы восстановлением детали; 5. регулировка и т.д. 1.7 Вопросы для самоконтроля 1. Термины и определения в теории надежности. 2. Что понимается под определением «надежность»? 3. Что такое объект, система, элемент? 4. Основные понятия: свойства, состояния, события. 5. По каким признакам классифицируются отказы? 6. Чем отличаются друг от друга внезапный и постепенный отказы? 7. Назовите характерные нормальные и аварийные режимы работы технической системы? 8. Что является критерием отказа технической системы? 9. Как можно классифицировать отказы?

33

10. Что является критерием восстановления? 11. Какие системы являются восстанавливаемыми? 12. Приведите примеры восстанавливаемых и невосстанавливаемых технических изделий? 13. Дайте определение критического отказа и критичного элемента системы. 14. Раскройте смысл понятий устойчивости, режимной управляемости и живучести технической системы. 15. Какие специфические свойства описывают надежность энергетических объектов?

34

2

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ОБЪЕКТОВ

В соответствии с ГОСТ 27.002-2009 «Надежность в технике. Основные понятия, термины и определения» [3] обозначает надежность, как «свойство объекта сохранять во времени в заданных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных пределах». Для оценки надежности применяются количественные показатели отдельных ее свойств. Эти показатели позволяют проводить расчетноаналитическую оценку количественных характеристик отдельных свойств, при выборе различных схемных и конструктивных вариантов оборудования (объектов) при проектировании, испытаниях и в условиях эксплуатации. Показатели надежности – это количественная характеристика одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта.

Рис. 2.1 Свойства объекта

Единичный показатель надежности характеризует одно из свойств надежности, а комплексный – несколько свойств (2.1). Одни показатели надежности (например, технический ресурс, срок службы) могут иметь размерность, ряд других (например, вероятность безотказной работы, коэффициент готовности) являются безразмерными.

35

Выбор параметра для количественной оценки надежности определяется назначением, режимами работы изделия, удобством применения в расчетах на стадии проектирования. В основе большинства показателей надежности лежат оценки наработки, т.е. продолжительности объема работы, выполненной объектом. Когда система работает с перерывами, то учитывается суммарная наработка. Если объект эксплуатируется в различных режимах, влияющих на показатели надежности, то наработки могут суммироваться для каждого режима отдельно. С точки зрения ремонтопригодности все элементы системы электроснабжения можно условно разделить на: восстанавливаемые и невосстанавливаемые. При этом восстанавливаемым считают объект, работоспособность которого при возникновении отказа подлежит восстановлению (ремонту). Однако в ряде случаев надежность отремонтированных (восстановленных) элементов значительно отличается от надежности новых, а затраты на восстановление элемента приближаются к стоимости нового. В таких случаях, когда восстановление работоспособность элемента в данных условиях невозможно или считается нецелесообразным – он признается невосстанавливаемым. Большинство элементов системы электроснабжения являются восстанавливаемыми. К невосстанавливаемым можно отнести: плавкие вставки предохранителей, электрические лампы, простейшие электромагнитные и полупроводниковые реле, конденсаторы, резисторы и т.д. 2.1 Показатели безотказности К показателям безотказности отнесены следующие показатели надежности  вероятность безотказной работы P(t);  средняя наработка до отказа Tср;  средняя наработка на отказ Tо;  гамма-процентная наработка до отказа Tγ;  интенсивность отказов λ(t);  параметр потока отказов ω(t); 2.1.1 Вероятность безотказной работы Вероятностью безотказной работы объекта называется вероятность того, что она будет сохранять свои характеристики (параметры) в

36

заданных пределах в течении определенного промежутка времени при определенных условиях эксплуатации. Или вероятность безотказной работы объекта называется вероятность того что в определенных условиях эксплуатации в пределах заданной продолжительности работы отказ не произойдет [4]. В дальнейшем эта характеристика обозначается P(t). Пусть t - время, в течении которого определить вероятность безотказной работы, а Т - время работы объекта от её включения до первого отказа. Тогда согласно определению вероятности безотказной работы, справедливо выражение [5]: ()

(

)

2.1

т. е. время безотказной работы Т (от включения объекта до её отказа) будет больше или равно некоторого заданного времени t (в течении которого определяется вероятность безотказной работы). На основании условия (2.1) нельзя заранее сказать, сколько времени объект проработает безотказно, но можно определить вероятность Р(t) того, что он не откажет за заданное время t. Из определения вероятности безотказной работы видно, что эта функция является функцией времени. Она имеет следующие очевидные свойства: 1. P(t) является убывающей функцией времени. Типичная зависимость приведена на рисунке 2.2; 2. 0 ≤ P(t) ≤ 1; 3. P(0)=1, P(∞)=0.

37

Рис. 2.2 Зависимость вероятности безотказной работы и вероятности отказа от времени

На практике для определения P(t) из статистических данных об отказах аппаратуры обычно используется метод непосредственного подсчета вероятностей. Вероятность безотказной работы определяется как: ( ) ( ) 2.2 отношение числа N(t) объектов, безотказно проработавших до момента наработки t, к числу объектов, исправных к началу испытаний (t = 0) - к общему числу объектов N. [6] При увеличении числа образцов статистическая оценка P *(t) вероятности обнаруживает устойчивость, т.е. P *(t) слабо отличается от вероятности безотказной работы: ( ) ( ) ( ) 2.3 Количественной мерой нарушения безотказности является вероятность отказа [7]: ( ) ( ) 2.4 т. е. время безотказной работы Т не больше заданного времени t. Исправная работа и отказ являются событиями несовместными и противоположными. Поэтому вероятность безотказной работы и вероятность отказа связана зависимостью: ( ) ( ) 2.5 Или на основании (2.1)

38

( )

(

)

2.6

Из выражения (2.6) видно, что вероятность отказа является интегральной функцией распределения времени работы T до отказа т.е. ( ) ( ) 2.7 Производная от интегральной функции есть дифференциальный закон (плотность) распределения ( )

2.8

Тогда на основании (2.7) и (2.8) получаем ( ) ( ) ( )

2.9

т.е. производная от вероятности отказа есть дифференциальный закон распределения времени работ T аппаратуры до её отказа. Статистическое определение вероятности отказа: ( ) ( ) ( ) 2.10 Нетрудно убедиться, что вероятность безотказной работы является убывающей, а вероятность отказа - возрастающей функцией наработки. Действительно:  в момент начала испытаний t = 0 число работоспособных объектов равно общему их числу N(t) = N(0) = N, а число отказавших n(t) = n(0) = 0, поэтому P(t) = P(0) = 1, а Q(t) = Q(0) = 0;  при наработке t → ∞ все объекты, поставленные на испытания, откажут, т. е. N(∞) = 0, а n(∞) = N, поэтому P(t) = P(∞) = 0, а Q(t) = Q(∞) = 1. Графики вероятности безотказной работы и вероятности отказа приведены на рис. 2.2 2.1.2 Частота отказов. Средняя частота отказов Частотой отказов - отношение числа отказавших образцов аппаратуры в единицу времени к числу образцов, первоначально установленных на испытание при условии, что отказавшие образцы не восстанавливаются и не заменяются исправными. [4] частоту отказов узлов (деталей) f(t) - число отказов в единицу времени, отнесенное к начальному числу узлов (деталей). [7] Т.к. число отказавших образцов в интервале времени ∆t может зависеть, от расположения этого промежутка по оси времени, то частота

39

отказов является функцией времени. Эта характеристика в дальнейшем обозначается f(t). Согласно определению ( ) ( ) 2.11 где n(t) – число отказавших образцов в интервале времени от t−[(∆t)/2] до t+[(∆t)/2], ∆t – интервал времени, N0 – число образцов аппаратуры, первоначально установленных на испытание. Типичная кривая изменения частоты отказов объектов во времени приведена на рисунке 2.3. Эта кривая характерна для объектов автоматических систем с применением элементов радиоэлектроники. При этом рассматриваются лишь случаи мгновенных отказов процессе работы аппаратуры. Из кривой видно, что в работе объектов можно выделить три характерных участка. На участке от 0 до t1 частота отказов резко уменьшается. Высокая частота на начальном участке объясняется наличием большого числа отказов объектов вначале эксплуатации из-за элементов, имеющих внутренние дефекты, ошибок производства неопытности обслуживающего персонала и т.п. этот участок называется периодом приработки элементов. Участок приработки в процессе эксплуатации объектов может отсутствовать. Это имеет место в том случае, когда на заводе-изготовителе произведена отбраковка элементов с внутренними дефектами и осуществлена приработка объектов в процессе её испытания. На участке от t1 до t2 частота отказов уменьшается по экспоненциальной кривой. Этот участок характеризует нормальную эксплуатацию объектов и является несоизмеримо более длинным, чем период приработки. Уменьшение частоты отказов с течением времени не означает, что надежность объектов повышается. Уменьшение частоты отказов после времени t3 объясняется не повышением надежности объектов, а незначительным количеством исправно работающих к этому времени образков, в результате чего число отказавших образцов n(t) за интервал времени ∆t становиться небольшим.

40

Рис. 2.3 Зависимость частоты отказов от времени

Обычно объект не эксплуатируют до состояния износа. Её ремонтируют, износившиеся элементы заменяют новыми, после чего частота отказов объектов вновь соответствует участку времени от t1 до t2. поэтому изучение поведения кривой на участке времени t > t3 не является предметом надежности. Выражение (2.11) является статистическим определением частоты отказов. Дадим вероятностное определение этой количественной характеристике. Вычислим из выражения 2.11 n(t) т.е. число образцов отказавших на интервале времени ∆t. ( ) ( ) ( ) 2.12 где N(t) – число образцов, исправно работающих к моменту времени t; N(t+∆t) – число образцов, исправно работающих к моменту времени t+∆t. При достаточно большом числе N0 справедливы соотношения: ( ) ( ) ( ) ( ) 2.13 Подставляя (2.12) в (2.11) и учитывая (2.13) получим ( ) ( ) ( ) 2.14

( )

Устремляя ∆t к нулю и переходя к пределу, получим ( ) ( )

2.15

41

С учетом Q(t)=1−P (t) ( ) ( ) 2.16 Из этого выражения видно, что частота отказов есть плотность распределения времени работы аппаратуры до её отказа. Численно она равна взятой с обратным знаком производной от вероятности безотказной работы. Выражение является вероятностным определением частоты отказов. Таким образом, между частотой отказов, вероятностью безотказной работы и вероятностью отказов при любом законе распределения времени возникновения отказов существуют однозначные зависимости. Эти зависимости на основании (2.16) и (2.5) имеют вид: ( )

( )

∫ ( )

2.17

∫ ( )

2.18

2.1.3 Плотность распределения отказов Статистическая оценка плотности распределения отказов ( ), отказавших в определяется отношением числа объектов ) к произведению общего числа объектов N интервале наработки ( на длительность интервала наработки ∆t. ( ) ( ) 2.19 ( ) ( ) Поскольку ( ), где ( ) – число объектов, отказавших к моменту наработки , то оценку плотности распределения отказов можно представить: ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( 2.20 где Q (t,t+∆t) - оценка вероятности отказа в интервале наработки, т.е. приращение вероятности отказа за ∆t. Оценка плотности распределения отказов представляет «частоту» отказов, т.е. число отказов за единицу наработки, отнесенное к первоначальному числу объектов.

42

Вероятностное определение плотности распределения отказов следует из (2.20) при стремлении интервала наработки ∆t → 0 и увеличения объема выборки N→ ∞. [ ( )] ( ) ( ) ( ) 2.21 Плотность распределения отказов по существу является плотностью распределения (плотностью вероятности) случайной величины T наработки объекта до отказа. Поскольку Q(t) является неубывающей функцией своего аргумента, то f(t) ≥ 0. Один из возможных видов графика f(t) приведен на рис. 2.4. Как видно из рис. 2.4, плотность распределения отказов f(t) характеризует частоту отказов (или приведенную вероятность отказа), с которой распределяются конкретные значения наработок всех N объектов ( ), составляющие случайную величину наработки T до отказа объекта данного типа. Допустим, в результате испытаний установлено, что значение наработки ti присуще наибольшему числу объектов. О чем свидетельствует максимальная величина f(ti). Напротив, большая наработка tj была зафиксирована только у нескольких объектов, поэтому и частота f(tj) появления такой наработки на общем фоне будет малой.

Рис. 2.4 Плотность распределения отказов

Отложим на оси абсцисс некоторую наработку t и бесконечно малый интервал наработки шириной dt, примыкающий к t.

43

Тогда вероятность попадания случайной величины наработки T на элементарный участок шириной dt (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна: { { } ( ) ( )} 2.22 ) где f(t)dt – элемент вероятность отказа объекта в интервале ( (геометрически это площадь заштрихованного прямоугольника, опирающегося на отрезок dt). ] Аналогично вероятность попадания наработки T в интервал [ равна: {

(

)}

( )

∑ (

∫ ( )

2.23

)

что геометрически интерпретируется площадью под кривой f(t), ]. опирающейся на участок [ Вероятность отказа и вероятность безотказной работы можно выразить в функции плотности распределения отказов. Поскольку ( ) ( ), то используя выражение (2.23), получим ( )

{

}

{

(

)}

∫ ( )

2.24

расширение интервала слева до нуля вызвано тем, что T не может быть отрицательной. Т. к. ( ) ( ), то ( )

{

}

∫ ( )

2.25

Очевидно, что Q(t) представляет собой площадь под кривой f(t) слева от t, а P(t) – площадь под f(t) справа от t. Поскольку все, полученные при испытаниях значения наработок лежат под кривой f(t), то ∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

( )

( )

2.26

2.1.4 Интенсивность отказов Интенсивность отказов λ (t), скорость наступления в данный момент времени отказов узлов, проработавших исправно до этого момента. Иными словами, λ(t) есть число отказов в единицу времени, отнесенное к

44

числу узлов, безотказно проработавших до этого времени. При этом отказавшие узлы не заменяют новыми. [7] Согласно определению ( ) ( ) 2.27 где n(t) – число отказавших образцов в интервале времени от до

t+[(∆t)/2], ∆t – интервал времени,

[

(

)

] – среднее число

исправно работающих образцов в интервале ∆t, рисунок 2.5, Ni – число исправно работающих образцов в начале интервала ∆t, Ni+1 – число исправно работающих образцов в конце интервала ∆t. Ni

N(Δti)

Ni+1

Nср

0

t

Δti

Рис. 2.5 Схема для определения Nср

Сравнивая (2.19) и (2.27) можно отметить, что интенсивность отказа несколько полнее характеризует надежность объекта на момент наработки t, т. к. показывает частоту отказов, отнесенную к фактически работоспособному числу объектов на момент наработки t. Вероятностное определение интенсивности отказов получим, умножив и поделив правую часть выражения (2.27) на N ( ) ( ) ( ) 2.28 С учетом (2.20),оценку интенсивности отказов (t) можно представить ( ) ( ) 2.29 ( ) откуда при стремлении t→ 0 и N→ ∞ получаем ( ) ( ) 2.30 ( )

45

Рис. 2.6 Графики зависимости интенсивности отказов от наработки

Возможные виды изменения интенсивности отказов λ(t) приведены на рис. 2.6. Интенсивностью отказов называют условную плотность вероятности возникновения отказа изделия при условии, что к моменту t отказ не возник: ( ) ( ) ( ) 2.31 ( ) ( ) Интегрируя (2.31), легко получить: ( )

( ∫ ( ) )

2.32

Это выражение, называемое основным законом надежности, позволяет установить временное изменение вероятности безотказной работы при любом характере изменения интенсивности отказов во времени. В частном случае постоянства интенсивности отказов λ(t) = λ = const (2.32) переходит в известное в теории вероятностей экспоненциальное распределение: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.33 Поток отказов при λ(t)=const называется простейшим и именно он реализуется для большинства объектов в течении периода нормальной эксплуатации от окончания приработки до начала старения и износа.

46

λ(t)

I

II λ(t) ≈ λ ≈ const

III

t

Рис. 2.7 График функции интенсивности отказов во времени

Типичная функция интенсивности отказов во времени (в течение срока службы объекта) имеет U-образный характер (рис. 2.7). В начальный период I преобладают приработочные отказы, так как объект имеет повышенную интенсивность отказов, из-за производственных дефектов, монтажа и т.д. После него наступает наиболее продолжительный период нормальной эксплуатации II, в котором на объект воздействуют случайные факторы. Возрастание интенсивности относится к Ш периоду, вызванному старением, износом оборудования при длительной эксплуатации. 2.1.5 Наработка до отказа Наработка есть продолжительность или объем работы объекта. Для РЭС естественно исчисление наработки в единицах времени, тогда как для других технических средств могут быть удобнее иные средства измерения (например, наработка автомобиля - в километрах пробега). Для не восстанавливаемых и восстанавливаемых изделий понятие наработки различается: в первом случае подразумевается наработка до первого отказа (он же является и последним отказом), во втором - между двумя соседними во времени отказами (после каждого отказа производится восстановление работоспособного состояния). Математическое ожидание случайной наработки Т ( )

∫

( )

2.34

47

наработка до отказа То – среднее время работы узла (детали), определенное для всей совокупности не восстанавливаемых узлов (деталей) данного типа [имеется в виду наработка до первого и единственно возможного отказа каждой детали (узла) данного типа]. Наработка до отказа ∫ ( )

2.35

Подставив выражение плотности вероятности f(t) экспоненциального распределения (2.33) в (2.34), получим: 2.36 т.е. при простейшем потоке отказов средняя наработка Т0 обратно пропорциональна интенсивности отказов. Для статической оценки величины Т 1 применяется формула: N0

T

 ti i 1

N0

,

2.37

где N0 − число работоспособных однотипных невосстанавливаемых образцов, ti − время безотказной работы i-го элемента. На рис. 2.8 представлены в графической форме зависимости основных показателей надежности от времени при экспоненциальном законе. Площадь заштрихованной области и осями координат численно характеризует среднюю наработку до отказа Т1. P, Q

1 Q

P T1

t

48 Рис. 2.8. Графики вероятности безотказной работы Р(t), вероятности отказа Q(t) и среднего времени безотказной работы Т 1

Рассмотренные количественные характеристики надежности имеют такие достоинства как наглядность; простота вычислений по статистическим данным; учет тех факторов, которые влияют на надежность; способность отслеживать изменение надежности во времени. Как недостаток, можно отметить ‒ ограниченность применения, т.е. достаточно полно характеризуют только невосстанавливаемые системы. 2.1.6 Связь между показателями безотказности Таблица 2.1 Связь между показателями безотказности

Показатели

P (t)

Q (t)

f (t)

P (t)

–

( )

∫ ( )

Q (t)

( )

–

f (t) λ(t)

( ) ( ) ( )

[ ∫ ( )

∫ ( )

( ) ( ) ( )

λ(t)

– ( ) ∫

( )

( )

]

[ ∫ ( )

]

[ ∫ ( )

]

–

2.2 Показатели долговечности К показателям долговечности отнесены следующие показатели надежности  средний ресурс;  гамма-процентный ресурс;  назначенный ресурс;  средний срок службы;  гамма-процентный срок службы;  назначенный срок службы Технический ресурс представляет запас возможной наработки объекта. Для не ремонтируемых объектов он совпадает с продолжительностью пребывания в работоспособном состоянии в режиме применения по назначению. Поскольку средний и капитальный ремонты

49

позволяют частично или полностью восстанавливать ресурс объекта, то отсчет наработки, образующей ресурс, возобновляют по окончанию этого ремонта. В связи с этим различают до ремонтный, послеремонтный, межремонтный и полный (до списания) ресурсы. До ремонтный исчисляется до первого среднего (капитального) ремонта. После ремонтный отсчитывается от последнего (капитального) ремонта. Полный ресурс отсчитывается от начала эксплуатации объекта до его перехода в предельное состояние, соответствующее окончательному прекращению эксплуатации. Аналогичным способом выделяют виды срока службы. При этом срок службы измеряют в единицах времени. 2.2.1 Средний ресурс Средний ресурс – математическое ожидание ресурса. ∑

2.38

где Tрi – ресурс i-го объекта; N – число объектов, поставленных на испытания или в эксплуатацию. Ресурсом ТС называют наработку системы до предельного состояния, при достижении которого дальнейшая эксплуатация прекращается. При этом долговечность ТС обычно характеризуют наработкой системы, в течение которой он не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью . Эту наработку называют гамма-процентным ресурсом. Для определения этого ресурса необходимо задать функцию распределения ресурса. 2.2.2 Гамма-процентный ресурс Гамма-процентный ресурс – наработка, в течении, которой объект не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью, выраженной в процентах. Значение гамма-процентного ресурса определяют с помощью кривых распределения ресурса см рис. 2.9.

50

Рис. 2.9 Определение значения гамма-процентного ресурса: a и б – кривые убыли и распределения ресурса

Вероятность обеспечения ресурса Tpγ, соответствующую значению γ/100, определяют по формуле: (

)

∫

(

)

2.39

где Tрγ – наработка до предельного состояния (ресурса). Гамма-процентный ресурс является основным показателем для подшипников и ряда других элементов. Существенное достоинство этого показателя - возможность его определения до завершения испытания всех образцов. В большинстве случаев для различных элементов используют 90% ресурс. Если отказ влияет на безопасность, то ресурс приближается к 100%.

51

2.2.3 Назначенный ресурс Назначенный ресурс – суммарная наработка объекта, при достижении которой применение по назначению должно быть прекращено. 2.2.4 Средний срок службы Средний срок службы – математическое ожидание срока службы. Календарная продолжительность от начала эксплуатации ТС до перехода в предельное состояние, называется сроком службы ТС. Если срок службы ТС – случайная величина (обозначим ее Tсс), то показатель долговечности может определяться как средний срок службы (математическое ожидание Tс): [ ] 2.40 статистическую оценку среднего срока службы определяют по формуле: ∑ 2.41 где Tслi – срок службы i-го объекта. 2.2.5 Гамма-процентный срок службы Гамма-процентный срок службы или гамма-процентная наработка календарная продолжительность от начала эксплуатации объекта, в течении которой он не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью, выраженной в процентах. гамма-процентную наработку Тγ, в течение которой объект проработает безотказно с вероятностью, равной γ процентов: ( )

( )

2.42

Для не восстанавливаемых узлов γ %-ная наработка тождественна γ %-ному ресурсу (γ %-ному сроку службы); 2.2.6 Назначенный срок службы Назначенный срок службы – календарная продолжительность эксплуатации объекта, при достижении которой применение по назначению должно быть прекращено. Цель установления назначенного ресурса и назначенного срока службы – обеспечение принудительного заблаговременного прекращения применения объекта по назначению, исходя из требований безопасности или экономического анализа. Для объектов, подлежащих длительному

52

хранению, может быть установлен назначенный срок хранения, по истечении которого дальнейшее хранение не допустимо. При достижении объектом назначенного ресурса (назначенного срока службы), в зависимости от его назначения, особенности эксплуатации, технического состояния и других факторов объект может быть:  списан;  направлен на средний или капитальный ремонт;  передан для применения не по назначению;  переконсервирован (при хранении);  или может быть принято решение о дальнейшей эксплуатации. 2.2.7 Срок сохраняемости Сроком сохраняемости называется продолжительность хранения системы в определенных условиях, в течение которой сохраняются установочные показатели ее качества. Иногда сохраняемость характеризуют продолжительностью хранения, в течение которой ТС сохраняет установленные показатели с заданной вероятностью γ. Эта продолжительность хранения называется гамма-процентным сроком сохраняемости. Для ее определения необходимо знать функцию распределения срока сохраняемости. Более простым показателем сохраняемости является средний срок сохраняемости. 2.3 Показатели ремонтопригодности   

Вероятность восстановления работоспособного состояния; Среднее время восстановления работоспособного состояния; Интенсивность восстановления. 2.3.1 Параметр потока отказов

Большинство сложных технических систем с длительными сроками службы являются восстанавливаемыми, т.е. возникающие в процессе эксплуатации отказы систем устраняют при ремонте. Технически исправное состояние объекта в процессе эксплуатации поддерживается путем проведения профилактических и восстановительных работ. Особенностью восстанавливаемых объектов является циклический характер работы, когда за работоспособным состоянием следует отказ,

53

затем восстановление и повторный ввод в эксплуатацию. Таким образом, весь период жизни элемента является непрерывным потоком отказов и восстановлений. Поток восстановлений Отказ простой

Работа

Поток отказов

Рис. 2.10 График функционирования восстанавливаемого объекта: t1…tn − интервалы работоспособности; Δt1…Δtn − интервалы восстановления

Восстанавливаемые объекты – это такие объекты, при эксплуатации которых допускаются многократно повторяющиеся отказы. Их эксплуатация может быть описана следующим образом: в начальный момент времени объект начинает работу и продолжает работу до первого отказа; после отказа происходит восстановление работоспособности, и объект вновь работает до отказа и т.д. На оси времени ‒моменты отказов, которые образуют поток отказов, а моменты восстановлений − поток восстановлений (рис. 2.10). Процесс функционирования восстанавливаемого объекта можно представить как последовательность чередующихся интервалов работоспособности и восстановления (простоя). Если пренебречь временем восстановления, то моменты возникновения отказов формируют непрерывный поток, т.е. поток отказов. При этом считают поток отказов простейшим, так как предполагают, что при эксплуатации имеют место следующие условия: а) поток отказов является стационарным, если вероятность возникновения n отказов на любом промежутке времени Δti зависит только от Δti , но не зависит от сдвига Δti по оси времени; б) поток называется ординарным, если появление в один и тот же момент времени нескольких отказов электрооборудования невозможно; в) поток отказов называется потоком без последствий, при котором будущее развитие процесса появления событий не зависит от того, как этот процесс протекал в прошлом.

54

Параметр потока отказов (t ) − математическое ожидание числа отказов, происшедших за единицу времени, начиная с момента t при условии, что все элементы, вышедшие из строя, заменяются работоспособными, т. е. число наблюдаемых элементов сохраняется одинаковым в процессе эксплуатации. Статистически параметр потока отказов можно определить, как отношение числа отказавших элементов в единицу времени к общему числу испытываемых объектов при условии, что все вышедшие из строя элементы восстанавливаются:  (t ) 

n(t , t  t i ) , N 0  t i

2.43

где n(t , t  t i ) − количество отказавших элементов за интервал времени

t , t  ti  ; N0 − количество однотипных элементов, первоначально поставленных на испытание. Для экспоненциального закона надежности интенсивность параметр потока отказов не зависят от времени и совпадают, т. е. (t )  (t )      const .

и

2.3.2 Вероятность восстановления работоспособного состояния Вероятность восстановления работоспособного состояния – вероятность того, что время восстановления объекта не превышает заданного. Вероятность восстановления работоспособного состояния – вероятность того, что объект будет восстановлен за заданное время τ. Для большинства изделий машиностроения вероятность восстановления подчиняется закону Пуассона: ( ) ( ) 2.44 Очевидно то, что 0  S (t )  1, Для определения статистическая оценка: S (t ) 

NB , N B 0

S (0)  0,

величины

S(t)

S ()  1.

используется

следующая

2.45

где NB(0) − число элементов, поставленных на восстановление в начальный момент времени t = 0; NB − число элементов, время восстановления которых

55

оказалось меньше заданного времени t, т. е. восстановленных на интервале (0, t). Вероятность невосстановления (несвоевременного завершения ремонта) G(t) − вероятность того, что отказавший элемент не будет восстановлен в течение заданного времени t. Статистическая оценка величины G(t): G (t ) 

N B (0)  N B . N B (0)

2.46

Рис. 2.11 Графики изменения S(t) и G(t) во времени

Сумма противоположных событий определяется: S (t )  G(t )  1 .

2.47

2.3.3 Частота восстановления Частота восстановления aB (t ) 

восстановления

−

производная

от

вероятности

dS (t ) dG(t ) .  dt dt

Для численного статистическая оценка: a B (t ) 

а В t 

n B (t , t  t ) , N B (0)  t

2.48 определения

величины

а(t)

используется 2.49

где nB (t , t  t ) − число восстановленных элементов на интервале времени от t до t  t .

56

2.3.4 Интенсивность восстановления Используя рассуждения, аналогичные проведенным для интенсивности отказов, определим условную вероятность ( ⁄ ), т.е. вероятность того, что восстановление произойдет на интервале t, следующем за интервалом времени τ, на котором еще не произошло восстановление работоспособности устройства: Интенсивность восстановления μ(t) − условная вероятность восстановления после момента t за единицу времени t при условии, что до момента t восстановления элемента не произошло. Интенсивность восстановления связана с частотой восстановления:  t  

a B t  . G t 

Статистически следующим образом:  (t ) 

2.50 интенсивность

восстановления

определяется

n B (t , t  t ) , N B 0  N B  t

2.51

N ср  N В (0)  N В . где Nср – среднее количество элементов, находящихся в невосстановленом состоянии на интервале времени ∆t. При определении частоты и интенсивности восстановления сравнение формул показывает, что они отличаются числом элементов в знаменателе. В отличие от процесса отказов, который развивается во времени естественным образом, процесс восстановления является целиком искусственным (ремонт элемента) и, тем самым, полностью определяется организационно-технической деятельностью эксплуатационного персонала. Так как установлены обоснованные нормативы времени на проведение ремонтных работ, то принимают интенсивность восстановления независимой от времени: (t )    const . Численные значения интенсивности восстановления сведены в справочные таблицы по видам оборудования и ремонтов [8]. Для экспоненциального распределения времени восстановления при постоянной интенсивности восстановления имеем следующие зависимости: S (t )  1  exp(t ) ,

G(t )  exp(t ) .

2.52

57

2.3.5 Среднее время восстановления работоспособного состояния Среднее время восстановления работоспособного состояния математическое ожидание времени восстановления объекта, численно соответствует площади под кривой вероятности невосстановления: ∫ ( )

2.53

Статистическую оценку этого параметра определяют по формуле: ∑ 2.54 где Tвk – время восстановления k-го отказа объекта; m – число отказов объекта за заданный срок испытаний или эксплуатации. При экспоненциальном распределении времени восстановления, когда интенсивность восстановления μ  const , имеем соотношение ⁄

2.55

т. е. среднее время восстановления численно равно средней по множеству однотипных элементов (объектов) продолжительности восстановления, приходящейся на один объект. Поскольку   const , то и TB  const . 2.3.6 Связь между показателями восстановления Однако необходимо заметить, что вероятностные характеристики безотказности и восстанавливаемости независимы. Одно и то же устройство может обладать высокими показателями безотказности, но быть плохо восстанавливаемым, или наоборот. В таблице 1.5 приведены основные соотношения, устанавливающие функциональную связь между показателями восстановления. Таблица 2.2 Связь между показателями восстановления

Показател и

Pв (t)

Pв (t)

–

ωв (t)

Qв (t) ( )

( )

μв (t) ( ) ( )

58

( )

Qв (t)

ωв (t)

∫

( )

–

( )

∫

( )

–

( ) ( ) ( ) ( )

∫

( )

μв (t)

( ∫ ( ) )

( ∫ ( )

)

( ∫ ( ) )

–

2.4 Показатели сохраняемости  

Средний срок сохраняемости; Гамма-процентный срок сохраняемости. 2.4.1 Средний срок сохраняемости

Средний срок сохраняемости – математическое ожидание срока сохраняемости – Тс. В статистической трактовке этот показатель определяют по формуле: ∑ 2.56 где Tсi – срок сохраняемости i-го объекта 2.4.2 Гамма-процентный срок сохраняемости Гамма-процентный срок сохраняемости – календарная продолжительность хранения и(или) транспортировки объекта, в течении и после которой показатели безотказности, долговечности и ремонтопригодности не выйдут за установленные пределы с заданной вероятностью γ, выраженной в %. Как и гамма-процентный ресурс, значение гамма-процентного срока сохраняемости определяют, используя выражение (

)

∫ ( )

2.57

59

2.4.3 Назначенный срок хранения Назначенный срок хранения – календарная продолжительность хранения в заданных условиях, по истечении которой применение объекта по назначению не допускается независимо от его технического состояния. 2.4.4 Установленный срок хранения Под установленным сроком хранения понимают техникоэкономический обоснованный (или заданный) срок хранения, обеспечиваемый конструкцией и эксплуатацией, в пределах которого показатели безотказности, долговечности и ремонтопригодности объекта сохраняются теми же, какими были у объекта до начала его хранения и(или) транспортировки. 2.5 Комплексные показатели надежности Единичный показатель количественно характеризует только одно свойство надежности объекта. Примеры единичных показателей надежности:  наработка на отказ, характеризующая безотказность объекта;  гамма-процентный ресурс до капитального ремонта, характеризующий долговечность объекта;  назначенный срок хранения, характеризующий сохраняемость объекта. Комплексный показатель надежности количественно характеризует не менее двух составляющих, например безотказность и ремонтопригодность. Примерами комплексного показателя надежности могут быть:  коэффициент готовности – Кг  коэффициент оперативной готовности – Копер  коэффициент технического использования – Кти  коэффициент планируемого применения – Кп  коэффициент сохранения эффективности – Кэф 2.5.1 Коэффициент готовности Коэффициент готовности – вероятность того что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается.

60

Он представляет собой отношение времени исправной работы к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев объекта, взятых за один и тот же календарный срок. Эта характеристика обозначается Кг. [9] Согласно данному определению ,

2.58

где tр – суммарное время исправной работы объекта; tп – суммарное время вынужденного простоя. Времена tр и tп вычисляются по формулам ∑

∑

2.59

где tpi – время работы объекта между (i-1)-м и i-м отказом; tпi – время вынужденного простоя после i-го отказа; n – число отказов (ремонтов) объекта. Выражение (2.58) является статистическим определением коэффициента готовности. Для перехода к вероятностной трактовке величины tр и tп заменяются математическими ожиданиями времени между соседними отказами и временем восстановления соответственно. Тогда 2.60 где tср – наработка на отказ; tв – среднее время восстановления. 2.5.2 Коэффициент оперативной готовности Коэффициент оперативной готовности Копер(t, τ) – это вероятность того, что аппаратура будет работоспособна в произвольный момент времени t и безотказно проработает заданное время r. ( ) ( ) ( ) 2.61 Для определения Копер имеется статистическая оценка: ( ) ( ) 2.62 Коэффициент оперативной готовности характеризует надежность объектов, необходимость применения которых возникает в произвольный момент времени, после которого требуется определенная безотказная работа. До этого момента такие объекты могут находиться как в режиме дежурства, так и в режиме применения – для выполнения других рабочих

61

функций. В обоих режимах возможно восстановление работоспособности объекта.

возникновение отказов и

2.5.3 Коэффициент вынужденного простоя Коэффициент вынужденного простоя – определяется отношением времени вынужденного простоя к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок. [9] Согласно определению 2.63 или, переходя к средним значениям величин, 2.64 Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя связаны между собой зависимостью. 2.65 При анализе надежности восстанавливаемых систем коэффициент готовности обычно вычисляют по формуле. 2.66 Формула (2.66) справедлива только в том случае, если поток отказов простейший, и тогда tср = Тср. Часто Кг, вычисленный по формуле (2.66), отождествляют с вероятностью того, что в любой момент времени восстанавливаемая система исправна. На самом деле указанные характеристики неравноценны и могут быть отождествлены при определенных допущениях. В самом деле, вероятность возникновения отказа ремонтируемой системы в начале эксплуатации (исключая период приработки) мала. С ростом времени эксплуатации вероятность застать систему в исправном состоянии в начале эксплуатации будет выше, чем по истечении некоторого времени. Тогда как на основании формулы (2.66) коэффициент готовности не зависит от времени работы. Практически коэффициент готовности имеет смысл вероятности застать объект в исправном ). состоянии при установившемся процессе эксплуатации (

62

2.5.4 Коэффициент технического использования Этот показатель характеризует те же свойства, что и коэффициент готовности, но учитывает дополнительно предупредительные ремонты. Представляет собой отношение математического ожидания времени пребывания объекта в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к сумме математических ожиданий времени пребывания объекта в работоспособном состоянии, времени простоев, обусловленных техническим обслуживанием, и времени ремонтов за тот же период эксплуатации, т. е. [9]. 2.67 где τ – математическое ожидание времени нахождения объекта в отключенном состоянии для производства профилактических работ. 2.6 Связь показателей надежности Выше приведенные выражения, определяющие вероятность безотказной работы и вероятность отказов в функции плотности распределения отказов f(t). Поскольку интенсивность отказов λ(t) является более полной характеристикой надежности, представляет интерес выразить вероятность безотказной работы P(t) через интенсивность. Используя выражение для интенсивности отказов ( ) ( ) 2.68 ( ) Запишем ( ) ( ) ( ) 2.69 Разделяя переменные (умножив обе части на ( ) ( )

( )

⁄ ( )), получим 2.70

Интегрируя от 0 до t и принимая во внимание, что при t = 0 вероятность безотказной работы объекта P(0) = 1, получаем ∫

( )

( )|

( )

∫ ( )

2.71

откуда уравнение связи основных показателей надежности имеет вид:

63

( )

{ ∫ ( ) }

2.72

Величина λ(t) dt – есть вероятность того, что элемент, безотказно проработавший в интервале наработки [0, t], откажет в интервале [t, t + dt]. Уравнение связи показывает, что все показатели надежности P(t), Q(t), f(t) и λ(t) равноправны в том смысле, что зная один из них, можно определить другие. 2.7 Задачи Пример 1: Пусть асинхронные электродвигатели серии 4 А имеют вероятность безотказной работы Р(t) = 0,9 за 10000 часов наработки. Необходимо определить интенсивность отказов и наработку на отказ. Решение. При экспоненциальном распределении отказов основной закон надежности имеет вид: P(t )  exp(t ) . Отсюда находим (1/ч, ч)

ln P(t ) ln 0,9   1,05  10 5 ; t 10000 1 1 T1    95238 .  1,05  10 5 Пример 2: Определить вероятность того, что за время t = 100 ч произойдет 0; 1;2 отказа, если λ = 0,025. a n a Решение: Воспользуемся формулой Пуассона Pn (t )  e , где n! a   t . 1. Определим среднее число отказов за 100 часов: t  ln P(t ) ;  

a    t  0,025  100  0,25.

2. Вероятность отсутствия отказов: P0 100  e 2,5  0,082.

3. Вероятность одного отказа: 1  2,5 2,5 P1 100  e  0,205.

1

4. Вероятность двух отказов: 2  2,5 2,5 P2 100  e  0,256.

2

Пример 3: На испытании находилось Nо = 1000 однотипных ламп, отказы которых фиксировались через каждые 100 часов. Необходимо вычислить показатели надежности: Pt  ;  t  ; Qt  . Число отказов nt  на

64

соответствующем

интервале t i приведены

в

табл.

2.3

Построить

зависимости P(t) и λ (t). Таблица 2.3 Исходные данные и результаты расчетов

Номер i-го интервала

Интервал, t i ,ч

Число отказавших образцов nt , t  t  шт.

Pt 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 -100 100 -200 200 -300 300 - 400 400 - 500 500 - 600 600 -700 700 - 800 800 - 900 900 -1000

5 4 3 2 2 1 1 2 2 3

0,995 0,991 0,988 0,986 0,984 0,983 0,982 0,980 0,978 0,975

 t   10 5 , час 1 5,01 4,01 3,01 2,01 2,01 1 1 2,02 2,02 3,03

Решение: 1.Согласно (1.2) вероятность безотказной работы будет определяться: P1 (t ) 

P2 (t )  P3 (t ) 

N 0  nt  1000  5   0,995. N0 1000

N 0  nt  1000  9   0,991. N0 1000

N 0  nt  1000  12   0,988. N0 1000

2. Для вычисления  t  воспользуемся формулами (1.9; 1.10), считая, что на первом интервале произошел отказ 5 образцов. Тогда λ1 t  

nt , t  t i  5   5,01  10 5 час 1 . N срi  t i 997,5  100

N ср1 

N i  N i 1 1000  995   997,5. 2 2

Значения интенсивностей отказов λ(t) приведены в табл. 2.3 Вычисление значения Q(t) выполним по формуле (1.5): P(t )  Q(t )  1 ,

Q(t )  1  Рt .

,

65

Пример 4: Определить коэффициенты готовности, простоя и коэффициент технического использования для трансформатора с высшим напряжением 110 кВ. Исходные показатели надежности:   0,03 год-1; Т В  30 ч; Т 0  11 ч. Решение: Согласно расчетным формулам (1.24; 1.27;1.29) получим следующие результаты: Т

КГ 

1





1  33,33 года 0,03

8760  33,3  0,999897 ; К П  1  0,999897  0,000103 ; 8760  33,3  30

КТИ 

8760  33,3  0,999859 . 8760  33,3  11

2.8 Вопросы для самоконтроля Термины и определения в теории надежности. Что понимается под определением «надежность»? Что такое объект, система, элемент? Основные понятия: свойства, состояния, события. Какие законы распределения случайных величин применяются в теории надежности? 6. По каким признакам классифицируются отказы? 7. Какие числовые характеристики случайных величин применяются в теории надежности? 8. Какие существуют единичные показатели надежности? 9. Какие существуют комплексные показатели надежности? 10.В чем отличие частоты отказов от интенсивности отказов? 11.Чем отличаются друг от друга внезапный и постепенный отказы? 12.Что такое интенсивность отказов и интенсивность восстановления? 13.Какова сущность критерия «параметр потока отказов»? 14.Объясните разницу между единичными и комплексными показателями надежности объектов. 1. 2. 3. 4. 5.

66

3

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 3.1 Основные понятия. События. Вероятность события

В теории надежности широкое применение находят методы теории вероятностей и математической статистики. Основным назначением этих методов является отыскание закона распределения случайной величины, который отражает соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими этим значениям вероятностями. В теории вероятностей всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти называется событием. Достоверным называется событие, которое обязательно должно произойти в результате опыта. Невозможным называется событие, которое в результате опыта произойти не может. Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно. Полную группу событий образуют несколько событий, если в результате опыта непременно должно появиться, хотя бы одно из них. Каждому случайному событию поставлено в соответствие неотрицательное число, называемое вероятностью, которое представляет собой численную меру степени объективной возможности появления этого события. Сравнивая между собой различные события по степени их возможности, примем некоторую единицу измерения. В качестве такой единицы измерения устанавливается вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта должно произойти [10]. События обладают некоторыми свойствами. Если появление событий А и В вместе исключено, то такие события называются несовместными. Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В или обоих вместе. Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В. Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении события А и события В. Множество всех попарно несовместных событий составляют полную группу. Расчеты надежности систем основаны на использовании основных теорем теории вероятностей.

67

3.2 Теорема сложения вероятностей Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р( А  В)  Р( А)  Р( В) . 3.1 Для п событий: 3.2 Р(С )  Р( А1 )  Р( А2 )  ...  Р( Аn ) . Из теории вероятностей следует: что если события А1, А2,…, Ап образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: n

 P Ai   1.

3.3

i 1

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу событий. Событие, противоположное событию А, обозначим Ā. сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р( А)  Р( А )  1. 3.4 На практике часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события, чем вероятность прямого события А. В этих случаях P(Ā) и находят как Р( А )  1  Р( А) . 3.5 В случае, когда события А и В совместны, вероятность суммы этих событий выражаются формулой: Р( А  В)  Р( А)  Р( В)  Р( АВ) . 3.6 3.3 Теорема умножения вероятностей Предварительно введем понятие о зависимых и независимых событиях. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

68

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р( А / В) . Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом: вероятность произведения двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место, т. е. Р( АВ)  Р( А) Р( В / А)  Р( В) Р( А / В) . 3.7 Из теоремы умножения вероятностей следует, что если событие А не зависит от события В, то событие В не зависит от события А, т.е. если Р( А)  Р( А / В) , то Р( В)  Р( В / А) . Поэтому, зависимость или независимость событий всегда взаимны. В связи с этим можно дать следующее новое определение независимых событий: два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Понятие независимости события может быть распространено на случаи произвольного числа событий. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий: Р( АВ)  Р( А)  Р( В) . 3.8 Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий и будет сформулирована следующим образом. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место: Р( А1 А2 ...Аn )  Р( А1 )  Р( А2 / А1 )  Р( А3 / А1 А2 )...Р( Аn / А1 А2 ...Аn1 ) . 3.9 Для независимых событий теорема принимает вид: Р( А1 А2 ...Аn )  Р( А1 )  Р( А2 )...Р( Аn ) ,

3.10

т.е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Эту теорему можно записать в виде [11]:

 n  n Р  Ai    P Ai .  i 1  i 1

3.11

69

3.4 Случайные величины Каждая случайная величина имеет ряд значений, которые возникают с определенной вероятностью. В этом случае распределение случайной величины представляет собой перечисление ее возможных значений с указанием их вероятностей. Случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта или испытания может принять одно из возможных значений и для которой можно узнать в той или иной форме закон распределения вероятностей этих возможных значений. Случайные величины могут носить прерывный (или дискретный) и непрерывный характер. Дискретная случайная величина может принимать лишь определенные значения, которые отделены друг от друга конечными интервалами. Случайная величина, принимающая все значения из некоторого интервала, называется непрерывной. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Как правило, закон распределения выражается функцией распределения или плотностью распределения случайной величины. Для характеристики случайной величины необходимо знать не только ее возможные значения, но и насколько часто появляются различные значения этой величины. Частоту появления случайной величины лучше всего характеризовать вероятностью отдельных ее значений, то есть для случайной величины Х следует указывать не только ее значения х1 , х 2 , но и вероятность событий Х=хi: рi  P( X  xi ) ,

3.12

где i = 1, 2, 3…. Если перечислены все возможные значения Х, то события X  xi не только несовместны, но и единственно возможны, то сумма заданных вероятностей pi должна равняться единице. Закон распределения дискретной случайной величины чаще всего имеет табличную форму изложения, где перечисляются все возможные значения случайной величины и вероятности, с которыми они возникают. Для наглядности ряд распределения изображают графически, т.е. в прямоугольной системе координат откладывают по оси абсцисс возможные значения случайной переменной, а по оси ординат их

70

вероятности. При графическом изображении образуется эмпирическая кривая распределения, которая служит одной из форм закона распределения. Непрерывная случайная величина имеет бесконечное множество значений, перечислить которые невозможно. Поэтому рассматриваются вероятности Р событий случайной величины, когда X  x , где х − некоторая текущая переменная (реализация случайной величины Х). Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x: 3.13 F ( x )  P( X  x ) . Эта функция служит одной из форм выражения закона распределения случайной величины. Данная универсальная характеристика может применяться как для прерывных, так и для непрерывных случайных величин, F (x) называется также интегральным законом распределения, который имеет ряд свойств (рис. 3.1): 1. F (x) всегда неотрицательная функция, т.е. F ( x)  0 . 2. Поскольку вероятность не может принимать значения больше 1, то 0  F ( x)  1 . 3. Так как F (x) − неубывающая функция, то при

x2  x1 и

F ( x2 )  F ( x1 ) .

4. Предельное значение функции распределения при x   равно 0, а при x   равно 1.

71 Рис. 3.1 Интегральное распределение случайной непрерывной величины

Вероятность F (x) дискретной случайной величины увеличивается скачком при прохождении x через каждое возможное значение xi величины X. Между двумя соседними значениями функция F (x) неизменна, поэтому графически она изображается в виде ступенчатой кривой (рис. 3.2).

Рис. 3.2 Распределение случайной дискретной величины

Плотностью распределения (плотностью вероятности) f(x) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения F ( x  x)  F  x   F x  . 3.14 lim x x0 Плотность распределения обладает двумя основными свойствами: 1) функция плотности распределения не может принимать отрицательные значения, т.е. f ( x)  0 ; 2) площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, 

равна 1, то есть:

 f ( x)dx  1 .



Выражение (1.11) является производной от функции распределения случайной величины, характеризующей плотность, с которой распределяется значения случайной переменной в данной точке. Эта

72

функция называется плотностью распределения и часто обозначается f (x) . Ее называют еще дифференциальной функцией, или дифференциальным законом распределения. Вероятность того, что случайная величина X примет значения, лежащие в интервале от a до b, равна определенному интегралу от плотности вероятности в тех же пределах, т.е. b

P(a  X  b)   f ( x)dx .

3.15

а

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины называется дифференциальной кривой распределения (рис. 3.3). Если на оси абсцисс выделить отрезок а b, то площадь под кривой закона распределения на этом участке определит вероятность того, что случайная величина окажется в указанных пределах.

Рис. 3.3 Дифференциальное распределение случайной величины

В каждом отдельном случае эмпирическую кривую распределения, полученную в результате наблюдений или измерений, можно рассматривать как некоторое приближение к соответствующей кривой распределения случайной величины, а характеристики ряда распределения, как приближение к аналогичным характеристикам кривой распределения. Степень приближения будет возрастать по мере увеличения числа наблюдений или измерений. Конечной целью исследования эмпирических кривых распределения является установление теоретической кривой, которая наиболее близко описывала бы данный эмпирический материал.

73

Математическим ожиданием случайной величины X называется n

среднее значение m X   xi pi  для дискретной случайной величины; i 1



m X   xf X ( x)dx  для непрерывной случайной величины. Здесь pi – 

вероятность значения xi случайной величины X. Дисперсия случайной величины X есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е. характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания:  для дискретной случайной величины n

D X   ( xi  m X ) 2 pi ;

3.16

i 1

 для непрерывной случайной величины 

D X   ( x  m X ) 2 f ( x)dx .

3.17



Среднеквадратическое отклонение случайной величины X есть корень квадратный из дисперсии  X  DX . Величины, определяющие характер распределения случайной величины (смещения центра группирования, рассеяние относительно центра группирования и др.), называется параметрами закона распределения. Математическое выражение для среднего значения случайной величины

M ( x) 



 xf ( x)dx .

3.18



Статистическое величины:

определение

среднего

значения

случайной

n

M ( x) 

 xi i 1

, 3.19 n где хi – опытное значение случайной величины; n − число измерений. Математическое выражение дисперсии:

D( x) 



 x  M ( x)



2

f ( x)dx .

3.20

74

Статистическое определение дисперсии n

D( x) 

 xi  M ( x)

2

i 1

. 3.21 n 1 Статистическое определение дисперсии среднего значения: D( x) DM ( x)  n . 3.22 3.5 Законы распределения случайных величин Типовые законы распределения случайных величин: биноминальный; Пуассона; экспоненциальный; Гаусса; Вейбулла; 2 − распределение. Биноминальный закон. Дискретная случайная величина (СВ) X имеет биномиальное распределение, если она принимает значения 0, 1, … , n со следующими вероятностями: n! 3.23 p  X  i   pi  pi q ni , i ! n  i ! где n, p – параметры распределения  0  p  1 , q  1  p. Числовые характеристики биномиального распределения – математическое ожидание и дисперсия: mx  np, Dx  npq.

3.24

Закон Пуассона. Если дискретная СВ Х имеет распределение Пуассона, то она принимает значения 0, 1, … , ∞ со следующими вероятностями:

ai  a p  X  i   pi  e , 3.25 i! где a – параметр распределения (a  0) . Если появление значения n случайной величины, распределенной по закону Пуассона происходит за время t, то эта вероятность будет определяться по формуле: pt (n)  (λt)n et / n! , 3.26 где − интенсивность появления случайного события. Числовые характеристики пуассоновской СВ: mx  a, Dx  a.

3.27

Характерный признак распределения Пуассона – равенство математического ожидания и дисперсии. Распределение Пуассона

75

получается из биноминального распределения, если число испытаний n неограниченно возрастает, а математическое ожидание числа событий остается постоянным. Экспоненциальный закон. Если непрерывная СВ, принимающая только положительные значения, имеет экспоненциальное распределение, то этот закон в общем случае записывается так: F ( x)  1  exp(x) , 3.28 где λ − параметр распределения (  0) , 3.29 Px   ex , где P x  − вероятность того, что случайная величина Х имеет значение больше х, е – основание натурального логарифма ( е =2,718…).Таблица значений е  t даются в прил. А. Числовые характеристики дисперсии и математического ожидания экспоненциально распределенной СВ: 1 1 mT  , DT  2 . 3.30





Нормальное распределение случайной величины (Гаусса). Нормальное распределение случайной величины Х возникает всякий раз, когда Х зависит от большого числа однородных по своему влиянию случайных факторов, причем влияние каждого из этих факторов по сравнению с совокупностью всех остальных незначительно. Если непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение, то ее плотность вероятности и функция распределения равны: f ( x) 

где

mx ,  x

1  x 2

−

e

 ( x  mx ) 2    2  2x  

dx ,

соответственно

3.31 математическое

ожидание

среднеквадратическое отклонение случайной величины х.  xm F  x   0,5  Ф  ,   

3.32 x

2

t 1 e где m,  – параметры распределения( σ >0), Ф  x    2 dt –функция 2 0

Лапласа. При использовании значений функции Лапласа следует учитывать, что Φ(–x) = –Φ(x), Ф  0  0, Ф     0,5 . Числовые характеристики нормального распределения СВ:

и

76

mx  m, Dx   2

3.33

Нормальный закон − это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать mx и σx. Распределение Вейбулла. Распределение данной случайной величины обладает большой универсальностью благодаря возможности варьирования параметров, которые содержит. Плотность вероятности времени до отказа по этому распределению: 3.34 f (t )  0 (0t ) 1 e( t ) , 

0

где 0,− параметры закона распределения. Вероятность отсутствия отказа за время t: P(t )  e(  t ) . Интенсивность отказов: 

3.35

0

 (t ) 

f (t ) , P(t )

 (t )  0 (0t ) 1 .

3.36

Если =1, то f (t )   0 e  0t , то распределение Вейбулла совпадает с экспоненциальным, у которого =0. Если  1, интенсивность отказов – монотонно возрастающая функция. Это обстоятельство дает возможность подбирать для опыта наиболее подходящие параметры 0 и , с тем, чтобы уравнение функции распределения наилучшим образом совпадало с опытными данными. Распределение хи-квадрат ( χ 2 − распределение) с k степенями свободы

соответствует

распределению

суммы

квадратов

k

k

стандартизованных независимых случайных величин ui  2   ui2 , каждая t 1

из которых распределена по нормальному закону. Функция плотности распределения хи-квадрат с k степенями свободы



f ( x)  2 k / 2 Г(k/2)



1

( x) k / 21 , x  0 ,

3.37

где x   2 , Г(k / 2) – гамма-функция. Число степеней свободы k определяет количество независимых слагаемых в выражении для  2 . Функция плотности при k, равном одному или двумонотонная, а при k >2 – унимодальная, несимметричная.

77

Математическое ожидание и дисперсия величины  2 равны соответственно k и 2k. Распределение хи-квадрат является частным случаем более общего гамма-распределения, а величина, равная корню квадратному из хи-квадрат с двумя степенями свободы, подчиняется распределению Рэлея. С увеличением числа степеней свободы (k  30) распределение хиквадрат приближается к нормальному распределению с математическим ожиданием k и дисперсией 2k. В таких случаях критическое значение  2 (k ; )  u1 (k ,2k ) , где u1 (k ,2k ) – квантиль нормального распределе-

ния. Погрешность аппроксимации не превышает нескольких процентов.

3.6 Основные законы распределения случайных величин, используемые в теории надежности События и величины, используемые в теории надежности, носят случайный характер. Отказы объектов вызываются большим числом причин, связь между которыми установить невозможно, поэтому отказы изделий принадлежат к категории случайных событий. Время до возникновения отказа может принимать различные значения в пределах некоторой области возможных значений и принадлежит к категории случайных величин. Каждый тип отказов описывается собственной математической моделью, где в качестве основных характеристик является функция распределения времени безотказной работы объекта. Все остальные показатели надежности можно определить по функциям распределения. Исчерпывающее представление о случайной величине дает закон распределения случайной величины – соотношение между значениями случайной величины и их вероятностями. Для электротехнических изделий, находящихся в эксплуатации, наиболее часто применяются следующие законы: - для дискретных случайных величин – биноминальный закон; закон Пуассона; - для непрерывных случайных величин – экспоненциальный закон; закон нормального распределения (Гаусса); закон Вейбулла; χ2распределение. Биноминальный закон. В системах электроснабжения для нормальной эксплуатации используется однотипное оборудование (выключатели, трансформаторы, разъединители и т. п.). Это оборудование

78

может находиться в двух состояниях: работоспособном и неработоспособном. Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появится с вероятностью р, то вероятность того, что событие А появиться ровно m раз, может быть выражено формулой: 3.38 Pnm  p m q nm  ...  p m q n m  Cnm pm qn m , где Cnm – число слагаемых вида p m q nm , которое равно числу сочетаний. Вероятность каждой такой комбинации, по теореме умножения для независимых событий, будет равна p m q nm . Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появится с вероятностью p, то вероятность того, что событие А появится ровно m раз, выражается формулой Pnm  Cnm p m q n m 

n! p m q n m , m! n  m !

3.39

где q  1  p . Формула (3.39) является аналитическим выражением искомого закона распределения и носит название формулы Бернулли. В этом выражении коэффициент Cnm 

n! есть коэффициент разложения m ! n  m !

бинома  p  q n , который по форме представляет собой вероятность Pnm . Поэтому такое распределение вероятностей называется биномальным распределением [9]. Свойства данного распределения следующие: 1) число независимых опытов n− целое положительное число; 2) математическое ожидание биноминального распределения mx  np ; 3) центральный момент второго порядка, т.е. дисперсия D  npq , где

q 1  p . Закон Пуассона. Если случайная величина Х, которая может принимать только целые, неотрицательные значения 0, 1, 2, … и распределена по закону Пуассона, то вероятность того, что на интервале времени t произойдет n случайных событий (отказов) определяется формулой: a n a Pn (t )  e , 3.40 n!

79

где а  t − некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона, т.е. среднее число отказов на интервале времени t; е – основание натурального логарифма (е = 2,718...). Основные числовые характеристики случайной величины Х, наиболее часто используемые и распределенные по закону Пуассона: –математическое ожидание 



n0

n0

mx  M [ X ]   nPn   n

a n a e  a, n!

3.41

где а - параметр, который представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х; – дисперсия, другая числовая характеристика тоже равна параметру а, т. е. Dx  a . Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, будет равна ее математическому ожиданию а. mx  Dx  a 3.42 Закон Пуассона используется тогда, когда необходимо определить вероятность того, что в системе за данное время произойдет один, два, три и т.д. отказов. Экспоненциальный закон. Функция распределения случайной величины: F (t )  1  e  λt  Q(t ) ,

3.43

где λ − интенсивность отказа; t − время возникновения отказа. Если непрерывная случайная величина Т распределена показательному закону, то

по

3.44 а математическое ожидание будет mt  M T  

Таким

1



3.45

.

образом,

математическое

ожидание

показательного

распределения равно обратной величине параметра λ, а дисперсия D T  

1

2

–

.

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Т, которое описывается плотностью:

80 f (t ) 

d d dP(t ) F (t )  1  P(t )    λe  λt , dt dt dt

3.46

где P(t )  e  λt - это вероятность того, что за время t отказ не возникнет. Интенсивность отказов λ(t) изменяется во времени следующим образом: f (t ) λe  λt 3.47 λ(t )    λ  const . P(t ) e λt Среднее время безотказной работы при экспоненциальном законе распределения интервала безотказной работы выражается формулой: 

1 T1   e λt dt  . λ 0

3.48

Таким образом, признаком экспоненциального закона распределения времени до отказа служит постоянство интенсивности отказов, что характерно для внезапных отказов на интервале времени, когда период приработки объекта закончился, а период износа и старения еще не наступил. Также постоянной становится λ(t) системы, если отказы вызываются отказами большого числа комплектующих элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу объекта. Этими факторами, а также тем, что экспоненциальное распределение случайной величины существенно упрощает расчеты надежности, не вызывая значительных погрешностей, обусловлено широкое применение экспоненциального закона в инженерной практике. Типичная функция интенсивности отказов во времени (в течение срока службы объекта) имеет U-образный характер (см. рис. 3.4). В начальный период I преобладают приработочные отказы. После него наступает наиболее продолжительный период нормальной эксплуатации II, в котором на объект воздействуют случайные факторы. Последние вызывают внезапные отказы, интенсивность которых в период нормальной эксплуатации практически не зависит от времени.

81

λ(t)

I

II λ(t) ≈ λ ≈ const

III

t

Рис. 3.4 График функции интенсивности отказов во времени

Учитывая, что для объектов СЭС интенсивность отказов в период нормальной эксплуатации практически неизменна, т. е. (t )    const , соотношения между основными показателями надежности можно представить с учетом этого условия в более простой форме: P(t )  exp(t ) ; 3.49

Q(t )  1  exp(t ) ;

3.50

a(t )   exp(t ) .

3.51

Площадь заштрихованной области и осями координат численно характеризует среднюю наработку до отказа Т. Закон нормального распределения (Гаусса) получил наибольшее распространение при оценке надежности СЭС, т.к. он достаточно полно описывает случайные величины массовых явлений. Значения этих величин зависят от большого числа равно влияющих факторов и обычно равномерно распределяются вокруг среднего значения. Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида: f (t ) 

1 e  2



( t T ) 2 2 2

,

3.52

где  и Т – параметры закона распределения ( − среднеквадратическое отклонение t относительно Т, Т – среднее значение t).

82

Рис. 3.5 Кривая распределения нормального закона

При анализе надежности электроустановок в виде случайной величины, кроме времени, часто выступают значения тока, электрического напряжения и других аргументов. P, Q

1 Q

P t

T

Рис. 3.6 Графики вероятности безотказной работы Р(t)и вероятности отказа Q(t) при экспоненциальном законе

Вероятность безотказной работы для распределения будет определяться по формуле:

P(t )  1 

t

1 e 2   t 0

 ( t mt ) 2    2 t2  

dt ,

а интенсивность отказов − по формуле: f t  (t )  . Pt 

нормального

закона

3.53

3.54

83

Нормальное распределение часто применяется при оценке надежности объектов, подверженных действию старения и износа. Этот закон наблюдается при постепенных отказах как электрических, так и механических объектов. Он широко используется при анализе безотказности сложных систем с учетом ухода параметров за допустимые пределы (рис. 3.7). P(t) λ(t)

f(t)

σt

Mt

σt

t

Рис. 3.7 Кривые нормального закона распределения

Распределение Вейбулла. Модель распределения случайной величины, предложенная шведским ученым Вейбуллом, находит широкое применение ввиду своей простоты и гибкости, так как в зависимости от значений параметров, характер модели видоизменяется. Это распределение чаще всего используется при исследовании интенсивности отказов для периодов приработки и старения, а также при отказах системы, состоящей из последовательно соединенных дублированных элементов. Она удобна для выбора наиболее подходящего аналитического выражения при определении показателей надежности объекта на основе опытных данных. Вероятность безотказной работы за время t: 3.55 P(t )  e( λ t ) , где λ 0 , α − параметры закона распределения. 

0

Функция плотности распределения времени до отказа:

84 f (t )  

 dP(t )  0 (0t ) 1 e ( 0 t ) . dt

3.56

Интенсивность отказов:  (t ) 

f (t )  0 (0t ) 1 . P(t )

3.57 Если то распределение Вейбулла совпадает с   1, экспоненциальным, у которого λ=const. Если   1, интенсивность отказов – монотонно убывающая функция; при   1 интенсивность отказов − монотонно возрастающая функция (рис. 3.8).

λ(t)

α> 1 α=1

α< 1 t

Рис. 3.8 Зависимость λ = f(t) в модели надежности Вейбулла

Математическое ожидание или среднее время безотказной работы и дисперсия при распределении по закону Вейбулла: 1 1  M  T  Г 1   ;    0

3.58

  2 1  1  D(T )   Г 1    Г 2 1   2 ,    0   

3.59

где Г(х) – гамма-функция. χ2-распределение. Возникает при некоторых условиях формирования случайной величины. Если случайная величина t распределена по n

нормальному закону с параметрами T=0, =1, то х   ti2 будет случайной 1

величиной распределенной по закону  – распределение, с параметром распределения k  n . Параметр k в данном случае равен числу слагаемых. 2

85

Отношение удвоенного значения наработке по отказу к средней наработке, т. е. удвоенное число отказов также подчиняется закону 2 – распределения. Для практического использования 2 – распределения даны в Приложении А. Из рисунка 3.9 видно, что форма кривых зависит от значения параметра k− числа свободы. Чем меньше k, тем больше 2 – распределение становится несимметричным; чем больше k, тем больше оно приближается к нормальному распределению. При k = 30 его можно считать практически совпадающим с нормальным.

Рис. 3.9 Плотность распределения χ-квадрат

Чтобы определить значение 2, пользуясь таблицей 2распределения, необходимо знать число степеней свободы k и P– вероятность того, что 2 будет больше найденного значения. Например, при k=3 и P=0,9 значение 2=0,584. Значения k определяются по определенным правилам. Например, если в качестве 2 используется сумма квадратов

n

 ti2 ,

тогда для

1

плотности распределения  числом степеней свободы k будет число слагаемых. 2

86

Если в качестве 2 используется

2t p T0

 2n (где Т – суммарная

наработка изделия; n – суммарное число отказов), тогда числом степеней свободы для f(2)будет удвоенное число отказов (k=2n). Значение P также выбирается по определенным правилам в каждом конкретном случае использования таблиц прил. А. 3.7 Задачи Пример 1. В коробку положили а желтых яблок и b красных яблок. Из коробки вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти яблоки будут разных сортов. Решение. Введем следующие обозначения: событие A – желтое яблоко, событие B – красное яблоко, событие С – яблоки разных сортов. Событие С может появиться в двух несовместных вариантах: (Б, Ч) или (Ч, Б). По правилу умножения вероятностей: a b p( AB)  p( A)  p( B / A)   , a  b a  b 1 p( BA)  p( B)  p( A / B) 

b a .  a  b a  b 1

По правилу сложения вероятностей несовместных событий: p(C )  p( AB)  p( BA) 

2ab . (a  b)(a  b  1)

3.8 Вопросы для самоконтроля Что такое случайная величина? Что представляют собой законы распределения: а) интегральный; б) дифференциальный. 3. Что представляют собой параметры законов распределения: а) среднее значение; б) интенсивность; в) дисперсия; г) среднеквадратическое отклонение. 4. Что представляет собой биномиальный закон распределения? 5. Каковы свойства биномиального закона распределения? 6. Что представляет собой закон Пуассона? 7. Каковы свойства распределения Пуассона? 8. Что представляет собой экспоненциальный закон распределения? 9. Какой характерный признак экспоненциального закона? 1. 2.

87

10. 11. 12. 13.

Что представляет собой нормальный закон распределения? Что представляет собой -распределение случайной величины? Что представляет собой 2-распределение? Что представляет собой распределение Вейбулла?

88

4

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СЭС

4.1 Математические модели отказов и восстановления элементов СЭС на основе метода Марковских случайных процессов Если между многочисленными видами отказов, восстановления, ремонтов и технического обслуживания существует значительная статистическая зависимость, то для построения моделей используется метод пространства состояний (Марковские процессы). Марковские случайные процессы названы по имени выдающегося русского математика А. А. Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать «динамикой вероятностей». Марковские процессы играют важную роль для решения задач прогнозирования характеристик СЭС. Наиболее часто для описания смены состояний системы, состоящей из отдельных элементов, используется Марковский случайный процесс. В практике исследования надежности имеют место случайные процессы, т.е. процессы перехода системы из одного состояния в другое, в случайные моменты времени. Случайный процесс называется Марковским, если для каждого момента времени вероятность любого состояния объекта в будущем зависит только от состояния объекта в данный момент и не зависит от того, каким образом объект пришел в это состояние [9]. При этом методе функционирование объекта рассматривается как случайный процесс перехода из одного состояния в другое, обусловленного отказами и восстановлениями элементов, составляющих эту систему. При анализе надежности объектов наибольшее распространение получили дискретные Марковские процессы с непрерывным временем и конечным числом состояний. Процесс перехода из одного состояния в другое считается однородным Марковским процессом. Необходимым условием для этого процесса является экспоненциальное распределение времени работы до отказа и времени восстановления работоспособности. Важнейшая числовая характеристика такого процесса – вероятность перехода объекта в то или иное состояние за заданный промежуток времени. Смены состояний системы, на которые влияют случайные отказы элементов, описываются с использованием пуассоновских случайных процессов. Поток событий называется

89

простейшим пуассоновским, если он обладает сразу тремя свойствами: стационарностью, ординарностью и не имеет последствия. Зная это, можно определить вероятности каждого из возможных состояний объекта. Этот метод может применяться для расчета надежности, как восстанавливаемых, так и невосстанавливаемых систем. При использовании этого метода необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы, в которых она может находиться при отказах и восстановлениях. В качестве показателей используются следующие параметры: λ(t) – интенсивность отказов; μ(t) – интенсивность восстановления; P(t) − вероятность безотказной работы; Q(t) − вероятность отказа; Kг (t) − коэффициент готовности; Kп (t) − коэффициент вынужденного простоя системы. При анализе случайных процессов с дискретными состояниями очень удобно пользоваться геометрической схемой – так называемым графом состояний, где вершинами графа будут возможные состояния системы при отказах ее элементов, а ребрами – возможные переходов системы из одного состояния в другое. Около стрелок указывается интенсивность переходов (например, λ, μ). Пусть имеется одноэлементная невосстанавливаемая система, где возможен только внезапный отказ. Соответственно, он может находиться только в двух состояниях – работоспособном ‒ 0 и неработоспособном ‒ 1. Переход из работоспособного состояния в неработоспособное характеризуется интенсивностью отказов λ, а обратный переход не возможен. Граф состояний и переходов такой системы показан на рисунке 4.1 P00

P11 P01

0

1

Рис. 4.1 Граф переходов одноэлементной невосстанавливаемой системы

Расчетная схема надежности восстанавливаемой одноэлементной системы представлена на рис. 4.2. Эта система с интенсивностью λ

90

стремиться принять состояние отказа, с интенсивностью μ – перейти в работоспособное состояние. Обозначим устойчивые состояния системы индексами: 1 – отказ, когда система находится в состоянии восстановления с параметром интенсивности μ = const; 0 – работоспособное состояние с параметром потока отказа λ= const.

Рис. 4.2 Расчетная схема одноэлементной восстанавливаемой системы t

Δt

t + Δt

0

0 − пребывание в работоспособном состоянии

0 1

1 − переход из состояния «0» в состояние «1» − отказ 1 − пребывание в состоянии «1» − продолжение восстановления

1

0 − переход из состояния «1» в состояние «0» − восстановление работоспособности

Рис. 4.3 Четыре вида переходов из состояния в момент времени t в состояние момента времени (t + Δt)

Граф переходов может быть представлен либо матрицей переходов, либо системой уравнений. Матрица перехода для графа, изображенного на рис.4.2, имеет следующий вид: P00 t  P01 t  . P10 t  P11 t 

Из теории вероятностей известно, что вектор Р t  t  состояний системы в момент времени t  t  , т.е. в последующий момент времени,

91

будет равен вектору Р t  состояний этой системы в предыдущий момент, умноженному на матрицу вероятностей переходов: 4.1 P t  t   P t   Pt , где Pt  – матрица вероятностей переходов, которая является квадратной матрицей с неотрицательными элементами, причем сумма элементов в каждой строке равна единице. Если обозначить вектор пребывания в состоянии 0 через ‒ P0 t  , а в состоянии 1 – через P1 t  , то тогда на основании уравнения (4.1) вероятность пребывания системы в последующий момент времени t  t  в состоянии 0, как проекция вектора, P0 t  t   P0 t   1  t   P1 t   t , 4.2 и в состоянии 1

P1 t  t   P0 t   t  P1 t   1  t .

4.3

Так как возможны только два состояния, то P0 t   P1 t   1 или P1 t   1 P0 t  .

4.4

Для уравнения (4.2), раскроем скобки в правой части и перенесем P0 (t) в левую часть, то получим: P0 t  t   P0 t    P0 t   t  P1 t   t. 4.5 Разделим левую и правую части уравнения (4.5) на t и перейдем к пределу P0 t  t   P0 t    P0 t     P1  . t 0 t

4.6

lim

Отсюда

dP0 t    P0 t     P1 t   . dt

4.7

Аналогично проделав ту же операцию с уравнением (4.3), dP1 t   P0 t     P1 t   . dt

4.8

Получим систему двух дифференциальных уравнений относительно вероятностей пребывания системы в состояниях «0» и «1, [7]. В практике расчетов надежности систему уравнений Колмогорова можно получить непосредственно по направленному графу состояний объекта, пользуясь следующим правилом: в левой части каждого уравнения записывается производная вероятности i-го состояния

dPk  t  , а в правой d t 

части‒ столько составляющих, сколько ребер связано с данным

92

состоянием. Если ребро направлено в данное состояние, то ставится плюс, а если из данного состояния – минус. Каждая составляющая равна произведению интенсивности соответствующего потока событий (λ или µ), переводящего систему по данному ребру в другое состояние, на вероятность того состояния, из которого начинается ребро. На основании данного графа можно определить вероятности состояний работоспособности P0(t) и неработоспособности P1(t) для одноэлементной системы. Используя данное правило, получим следующую систему дифференциальных уравнений:  dP0 (t )  dt  λ  P0 (t )  μP1 (t );    dP (t )  1  λ  P0 (t )  μP1 (t ).  dt

4.9

Для стационарного состояния (t→∞), когда восстановления происходят, вероятности P0(t) и P1(t) становятся постоянными величинами, а их первые производные равными нулю. Рассматривая граф состояний с точки зрения входа (знак +) и выхода (знак –) учтем также, что P0 + P1 = l. Тогда мы переходим от системы дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений:  λP0  μP1  0;    P  P  1. 1  0

4.10

Обозначив вероятности этих состояний через P0(t) и P1(t), описывающих состояние одного элемента при начальных условиях Р0(0)=1; Р1(0)=1, получим: P0 (t )  e 

 (μ  λ) t

μ (μ  λ)е (μ  λ)t  μ  μe (μ  λ) t 0t  (μ  λ) t  (e  e )  μλ μλ

μ λ  (μ  λ)t  e ; μλ μλ

P1 (t ) 

λ λ λ  (μ  λ)t . (e0t  e (μ  λ)t )   e μλ μλ μλ

Если при t = 0 система находилась в неработоспособном состоянии, т.е. Р0(t)=0, Р1(t)=1, то

93

μ λ  (μ  λ) t  ;  P0 (t )  μ  λ  μ  λ e    λ λ  (μ  λ) t  P1 (t )   e . μλ μλ 

4.11

При длительной эксплуатации, для стационарного состояния (t→∞) вероятность работы системы будет равна стационарному коэффициенту готовности, а вероятность отказа – коэффициенту простоя, то получим: К Г  P0 

Тв μ Т λ  ; К П  P1   , μ  λ Т  Тв μ  λ Т  Тв

4.12

где Тв – среднее время восстановления; Т – среднее время между отказами. Коэффициент готовности характеризует долю времени, в течение которого система работоспособна, а коэффициент простоя − долю времени, в течение которого она восстанавливается (ремонтируется). P(t) 1 2

KГ

1

0

t

Рис. 4.4 Графики вероятностей работоспособности и отказа, коэффициента готовности

Если система состоит из n последовательно соединенных элементов, то отказ наступает тогда, когда отказывает, хотя бы один из элементов. Система уравнений будет иметь вид:  dP0 (t )  dt  nλ  P0 (t )  μP1 (t );    dP (t )  1  nλ  P0 (t )  μP1 (t ).  dt

4.13

Система, состоящая из двух параллельно соединенных элементов, будет работать при отказе одного из элементов (рис. 4.5).

94

Р11

Р00

1

λ01 0

μ10

Р22 λ12

1

2

μ21

2 а)

б)

Рис. 4.5 Система из двух параллельно соединенных элементов (а) и граф его состояний (б)

Для определения вероятностей каждого из состояний составим систему уравнений:  dP0  dt  λ 01 P0 (t )  μ10 P1 (t );    dP 1  01 Р0  t   (λ12  μ10 ) P1 (t )  μ 21 P2 (t );  dt     dP2  μ 21 P2 (t )  λ12 P1 (t ).  dt

4.14

Решение системы можно получить по известным правилам решения системы дифференциальных уравнений. Его можно существенно упростить, если учесть, что рассматривается стационарный Марковский процесс, для которого dPi (t )  0 . Тогда будем иметь: 0  λ 01P0  μ10 P1 ;   0  λ 01P0  (λ12  μ10 ) P1  μ 21P2 ;   0  μ P  λ P ; 21 2 12 1     P0  P1  P2  1,

где последнее уравнение

2

 Pi  1

4.15

называется нормировочным условием,

i 0

которое обусловлено тем, что первые три уравнения сводятся к двум (при трех неизвестных).

95

4.2 Задачи Пример 1. Физическая система включает в себя приемный и передающий блоки, интенсивности отказов, которых одинаковы и равны   10 2 час 1 , а интенсивность восстановления   2час 1 . Система обслуживает одна ремонтная бригада, причем при неработоспособности любого из блоков система будет неработоспособной; работоспособный блок не выключается, и в нем могут происходить отказы. Требуется определить значения коэффициентов готовности и простоя системы. Решение: Данная система в любой момент времени может находиться в одной из трех состояний: S 0 - оба блока работоспособны; S1 - один блок работоспособен;

S 2 - оба блока неработоспособны.

Система работоспособна только в состоянии 0 и неработоспособна в состояниях: 1 и 2. Схема состояний с соответствующими интенсивностями переходов представлена на рис 4.5. Составляем систему дифференциальных уравнений, описывающих связь между вероятностями пребывания системы в каждом из возможных состояний:  dP0 t   dt  2P0 t   P1 t 1 ;   dP1 t   2P t      P t   P t ;  0 1 2  dt    dP2 t   P t   P t ; 1 2  dt

Для стационарного состояния при (t→∞) и Pi t   0 , когда происходит

восстановление, вероятности P0(t), P1(t), Р2 (t), становятся постоянными величинами, а их первые производные будут равны нулю.

96

0  2 P0   P1 ;   0  2 P0  (   ) P1   Р2 ;   0   P   P ; 1 2     P0  P1  P2  1,

В результате решения системы уравнений получим: 2 ;  2  2   22 2  P1  2 ;   2   22 P0 

P2 

2 2 .  2  2   22

Коэффициент готовности будет равен К Г  Р0 

2 .  2  2  22

Коэффициент простоя будет равен 2  22 К П  Р1  Р2  2 .   2  22

Подставляя числовые значения, получаем: К П  1  10 2 ; К Г  1  К П  0,99.

Пример 2. Физическая система имеет возможные состояния: S1 , S 2 , S 3 , S 4 , которая имеет размеченный граф, представленный на рисунке 4.6. Определить предельные вероятности состояний: р1 , р2 , р3 , р4 . Решение: Запишем систему вероятностей состояний:  dp1  dt   dp 2  dt   dp3  dt  dp  4  dt

 5 p1  p3 ,   p 2  2 p1  2 p3 ,  3 p3  3 p1  2 p 4 ,  2 p 4  p 2 .

дифференциальных

уравнений

для

97

Для стационарного Марковского процесса, у которого

dpi  0 , получим dt

систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний: 0  5 p1  p3 ;  0   p 2  2 p1  2 p3 ,  0  3 p3  3 p1  2 p 4 , 0  2 p  p 4 2. 

Нормировочное условие: p1  p2  p3  p4  1.

S1

1

2 3 S2

S3 2 1

2 S4

Рис. 4.6 Граф состояний физической системы

Имея систему уравнений можно найти все неизвестные вероятности: 1) из первого уравнения находим: p3  5 p1 . 2) подставив его во второе уравнение, получим: p2  2 p1  2 p3  2 p1  10 p1  12 p1 . 1 2

3) для определения p 4 используем четвертое уравнение: p4  p 2  6 p1 . 4) если подставить все значения в нормировочное, то получим: p1  12 p1  5 p1  6 p1  1.

5) тогда: 24 p1  1, p1 

1 . 24

98

1  0,5; 24 1 6) отсюда: p3  5   0,208; 24 1 p4  6   0,25. 24 p 2  12 

4.3 Вопросы для самоконтроля 1. Что такое случайные процессы? 2. Дайте определение Марковскому случайному процессу. 3. Что позволяет определить метод, основанный на использовании Марковских процессов, и какие допущения он предполагает? 4. Что такое случайный процесс с дискретным временем? 5. Что такое случайный процесс с непрерывным временем? 6. Как Вы понимаете вероятность перехода Марковского процесса из одного состояния в другое? 7. Правила составления дифференциальных уравнений Колмогорова. 8. Что такое простейший пуассоновский поток? 9. Какими свойствами должен обладать поток событий? 10. Что такое граф состояний и как он строится?

99

5

НАДЕЖНОСТЬ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

5.1 Надежность систем с последовательно- параллельным соединением элементов Реальные объекты системы электроснабжения в большинстве случаев состоят из совокупностей взаимосвязанных элементов, которые представляют собой сложную параллельно-последовательную структуру. Последовательным (основным) соединением элементов в смысле надежности называется такое соединение, при котором выход из строя бы одного из них приводит к отказу всю систему. Из определения системы с последовательным соединением элементов следует, что система может находиться в одном из двух состояний: работоспособном, когда все элементы работают исправно, и неработоспособном, если хотя бы один элемент находится в неисправном состоянии. В производственной системе элементы физически могут быть соединены параллельно, однако с позиций надежности они могут быть соединяться как параллельно, так и последовательно. Схема замещения (по надежности) системы с последовательной структурой представлена на рис. 5.1 .

Рис. 5.1 Схема замещения системы с последовательной структурой

Отказы элементов этой модели являются независимыми и несовместными событиями, которые приводят к полной потере работоспособности всю систему. Вероятность безотказной работы последовательной структуры будет определяться по теореме умножения вероятностей: вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий n

Pc t   p1 t   p 2 t   p3 t ... p n   pi t , i 1

где рi(t) – вероятность работы i-го элемента, п – число элементов.

5.1

100

Вероятность отказа последовательной структуры n

n

i 1

i 1

QC (t )  1  Pс (t )  1   рi (t )  1  [1  qi (t )]

5.2

,

где qi – вероятность отказа i-го элемента. Если все элементы структуры равнонадежны, т.е.

pi (t )  p(t ) ,

qi (t )  q(t ) , то формулы (5.1) и (5.2) принимают вид: PC (t )  [ p(t )]n ,

5.3

QC (t )  1  [1  q(t )]n .

5.4

Вероятность безотказной работы, для экспоненциального закона распределения времени, при постоянной во времени интенсивности отказов каждого элемента, будет определяться по формуле: n

n

PC (t )   exp( i t )  exp( t  i )

5.5 Интенсивность отказов системы с последовательной структурой в целом можно определить по формуле: i 1

i 1

,

n

С   i  1  2  ...  n i 1

5.6

.

Среднее время безотказной работы системы: TC 

1

С



1 n

T i 1

1

i

5.7

.

где Тi – среднее время безотказной работы i-го элемента. Среднее время восстановления системы n

n

i 1

i 1

TBC  C1  iTBi  TC  iTBi

,

5.8

101

где ТBi – время восстановления i-го элемента, является математическим ожиданием времени восстановления, взвешенным по интенсивности отказов п последовательно соединенных элементов. При расчете надежности систем с последовательным соединением элементов и учетом внезапных отказов принимают допущения о простейшем характере отказов. Считая поток отказов стационарным, вероятность безотказной работы будет определяться как Рi t   e it ,

5.9

а плотность распределения времени безотказной работы n  n  f t    i exp  t  i . i 1  i 1 

5.10 При этом методе расчета имеются некоторые недостатки: а) элементы системы работают в различных условиях, таких как температура, давление, коэффициент нагрузки и т.д.; б) при проектировании сложных систем трудно установить режим работы элементов. Поэтому использовать данный метод целесообразно при окончательном расчете надежности системы. [5] 5.2 Надежность систем с параллельным соединением элементов Отказы элементов в такой модели можно рассматривать как независимые и совместные события, приводящие к частичной или полной потере работоспособности объекта. Параллельным соединением элементов в смысле надежности называется структура, отказ которой наступает при отказе всех элементов, входящих в нее. Параллельную структуру называют также избыточной или резервированной, поскольку она содержит элементов больше, чем это необходимо для ее нормальной работы. При отказе одного или нескольких элементов функция структуры выполняется оставшимися в работе элементами, если последние удовлетворительно выполняют функции отказавших. Схема замещения (по надежности) системы с параллельной структурой представлена на рис. 5.2.

102

Рис. 5.2. Схема замещения системы с параллельной структурой

В общем случае отказ параллельной структуры предполагает, что все т элементов находятся в состоянии простоя, т. е. m

QC (t )   qi (t )  q1 (t )q 2 (t )...q m (t ) i 1

5.11

.

Вероятность безотказной работы системы m

m

PC (t )  1   qi (t )  1   1  pi (t )

5.12 При равнонадежных элементах [ pi (t )  p(t ) , qi (t )  q(t )] имеем i 1

i 1

QC (t )  q(t ) ,

.

m

PC (t )  1  [1  p(t )]m

5.13

5.14 Как и для систем с последовательным соединением элементов, здесь предполагается независимость отказов всех элементов. Кроме того, пропускная способность элементов не ограничивается. .

103

Число параллельно соединенных элементов в СЭС редко бывает больше трех. Вероятность того, что будут работать один или два элемента (при m  2 ), будет в соответствии с формулой (5.1) равна PC (t )  p1 (t )  p2 (t )  p1 (t )  p2 (t ) .

5.15

Вероятность отказа обоих элементов QC (t )  q1 (t )  q2 (t )  [1  p1 (t )][1  p2 (t )]  1  PC (t ) .

5.16 Интенсивность отказа системы, состоящей из двух параллельно соединенных элементов, будет определяться по формуле [12]:  C  1   2 (T1  T2 )  8760 1 ,

5.17

а среднее время безотказной работы: TC  T1T2 (T1  T2 ) 1  T1T2 / T1  T2 .

5.18 Кроме последовательного и параллельного соединения элементов, в теории надежности используют понятие смешанного соединения элементов, которое представляет одну или несколько комбинаций логического последовательного и параллельного соединения элементов. Определение показателей надежности таких структур производится методом свертки, т.е. поэтапным эквивалентированием элементов по формулам для последовательного и параллельного соединений. Более сложной по структуре является соединение элементов, при котором нарушение функционирования объекта наступает только при определенных сочетаниях одновременных отказов ее элементов. Такая структура в теории надежности получила название мостиковой. Мостиковая структура не сводится к параллельному или последовательному типу соединения элементов, а представляет собой параллельное соединение последовательных цепочек элементов с диагональными [7].

104

1

2 А

3

4

5

Рис. 5.3 Система с элементами, соединенными по мостиковой схеме

Вероятность безотказной работы такой системы определяется по формуле: PС  2 P1 P2 P3 P4 P5  P2 P3 P4 P5  P1 P3 P4 P5  P1 P2 P4 P5  P1 P2 P3 P5   P1 P2 P3 P4  P1 P3 P5  P2 P3 P4  P1 P4  P2 P5 .

5.19 В случае одинаковых элементов эта формула принимает вид PС  2P 5  5P 4  2P 3  2P 2 .

5.20 Подставляя в формулу вероятность безотказной работы элемента P(t )  exp(t ) , получаем, что в случае  i (t )   i  const . PC  2e 5t  5e 4t  2e 3t  2e t .

5.21

5.3 Мостиковая структура с приближенным методом преобразования звезды в треугольник и обратно Мостиковые схемы, которые содержат элементы треугольника или звезды, на практике встречаются очень часто. Например, в схемах электрических соединений подстанций и распределительных устройств. Существуют методы для расчета надежности таких схем, как преобразования треугольника в звезду и обратно, хотя этот метод и является приближенным. Значение возникающей погрешности при оценке надежности системы зависит от вероятностей характеризующих надежность элементов. В качестве показателей надежности используются вероятности отказов элементов. Так как обычно вероятности безотказной

105

работы элементов близки к единице, то целесообразно использовать вероятности появления отказов. Исходя из предположения, что характеристики надежности цепей, соединяющих одноименные точки в схемах, должны быть равны между собой, найдем зависимости между вероятностями отказов элементов при преобразовании. Рассмотрим точки 1 и 2 ( рис. 5.4), вероятности отказов для цепей при условии, что точка 3 присоединена к точке 2, будут равны: для звезды, q1  q 2 q3  q1 q 2 q3 , а для треугольника q12 q31. Аналогично можно записать равенства и для двух других возможных вариантов соединения точек.

Рис. 5.4 Преобразование звезды в треугольник

Можно составить следующую систему уравнений: q1  q2 q3  q1q2 q3  q12 q31 ; q2  q3q1  q1q2 q3  q23q12

;

5.22

q3  q1q2  q1q2 q3  q31q23

Пренебрегая, произведениями qiqj и qiqjql , как вероятностями более высокого порядка малости получим: q1  q12 q31 ; q2  q23q12 ; q3  q31q23.

5.23

106

Перемножив, соответственно левые и правые части двух первых равенств системы (3.18) и разделив на третье равенство, получим q1q2 q12 q31q 23 q12  , q3 q31q23

5.24

после сокращения одинаковых сомножителей будем иметь

q12 

q1q2 . q3

5.25

аналогично получаем

q23 

q2 q3 q1

q31 

q3q1 . q2

5.26 Следовательно, формулы (5.23; 5.25; 5.26) могут быть использованы в процессе преобразования схемы треугольник в звезду и обратно [8]. ;

5.4 Методы повышения надежности Расчетные зависимости для определения основных характеристик надежности СЭС показывают, что надежность системы зависит от ее структуры (структурно-логической схемы) и надежности элементов. Поэтому для сложных систем возможны два пути повышения надежности: повышение надежности элементов и изменение структурной схемы. Повышение надежности элементов на первый взгляд представляется наиболее простым приемом повышения надежности системы. Действительно, теоретически всегда можно указать такие характеристики надежности элементов, чтобы вероятность безотказной работы системы удовлетворяла заданным требованиям. Однако практическая реализация такой высокой надежности элементов может оказаться невозможной. Рассмотрение методов обеспечения надежности элементов СЭС является предметом специальных технологических и физико-химических дисциплин и выходит за рамки теории надежности. Однако, в любом случае, высоконадежные элементы, как правило, имеют большие габариты, массу и стоимость. Исключение составляет использование более совершенной элементной базы, реализуемой на принципиально новых физических и технологических принципах (например, в РЭС - переход от дискретных элементов на интегральные схемы).

107

Изменение структуры системы с целью повышения надежности подразумевает два аспекта. С одной стороны, это означает перестройку конструктивной или функциональной схемы СЭС (структуры связей между составными элементами), изменение принципов функционирования отдельных частей системы (например, переход от аналоговой обработки сигналов к цифровой). Такого рода преобразования ТС возможны исключительно редко, так что этот прием, в общем, не решает проблемы надежности. С другой стороны, изменение структуры понимается как введение в СЭС дополнительных, избыточных элементов, включающихся в работу при отказе основных. Применение дополнительных средств и возможностей с целью сохранения работоспособного состояния объекта при отказе одного или нескольких его элементов называется резервированием. Резервирование – метод повышения надёжности технических устройств или поддержания их на требуемом уровне посредством введения аппаратной избыточности путём введения в их состав (структуру) дополнительных элементов (узлов, связей) по сравнению с минимально необходимыми для выполнения заданных функций в данных условиях работы. Элементы устройства, необходимые и достаточные для обеспечения его работоспособности, называются основными; дополнительные элементы, предназначенные для обеспечения работоспособности устройства при отказе основных, называются резервными. Резервирование может быть общим, при котором резерв предусматривается на случай отказа устройства в целом, и раздельным, при котором резервируются отдельные части устройства; нередко применяют смешанное резервирование. В зависимости от сложности устройства и требуемой его надёжности число резервных элементов может быть от одного до трёх; однократное резервирование называется дублированием. От того, в каком состоянии находились резервные элементы к моменту включения их в работу, различают резерв нагруженный (или горячий), облегчённый и ненагруженный. Отключение отказавших основных элементов и подключение резервных осуществляется вручную или автоматически. Применение резервирования часто ограничивается допустимыми значениями массы, объёма, стоимости или иных параметров

108

резервируемого устройства по условиям эксплуатации или по экономическим соображениям. Поэтому, как правило, резервируют устройства, отказ которых может привести к большим материальным или информационным потерям, аварии, человеческим жертвам. 5.4.1 Классификация методов резервирования СЭС Методы резервирования

Вид резервирования

Способ соединения

Способ включения резерва

Кратность резервирования

Режим работы резерва

Восстанавливаемость резерва

Структурное

Общее

Постоянный

Целая

Нагруженный

Восстанавливаемый

Временное

Раздельное

Динамический

Дробная

Облегченный

Невосстанавливаемый

Информационное

Смешанное

Замещением

Функциональное

Скользящее

Нагрузочное

Мажоритарное

Ненагруженный

Рис. 5.5 – Классификация методов резервирования

Классификация различных способов структурного резервирования осуществляется по следующим признакам: 1) по схеме включения резерва: - общее резервирование, при котором резервируется объект в целом; - раздельное резервирование, при котором резервируются отдельные элементы или их группы; - смешанное резервирование, при котором различные виды резервирования сочетаются в одном объекте; 2) по способу включения резерва: - постоянное резервирование, без перестройки структуры объекта при возникновении отказа его элемента;

109

- динамическое резервирование, при котором при отказе элемента происходит перестройка структуры схемы. В свою очередь подразделяется на: а) резервирование замещением, при котором функции основного элемента передаются резервному только после отказа основного; б) скользящее резервирование, при котором несколько основных элементов резервируется одним или несколькими резервными, каждый из которых может заменить любой основной (т.е. группы основных и резервных элементов идентичны). 3) по состоянию резерва: - нагруженное резервирование, при котором резервные элементы (как минимум, один из них) находятся в режиме основного элемента; - облегченное резервирование, при котором резервные элементы (по крайней мере один из них) находятся в менее нагруженном режиме по сравнению с основными; - ненагруженное резервирование, при котором резервные элементы до начала выполнения ими функций находятся в ненагруженном режиме. 5.4.2 Критерий качества резервирования Основной характеристикой структурного резервирования является кратность резервирования – отношение числа резервных элементов к числу резервируемых ими основных элементов, выраженное несокращаемой дробью (типа 2:3; 4:2 и т.д.). Резервирование одного основного элемента одним резервным (т.е. с кратностью 1:1) называется дублированием. Количественно повышение надежности системы в результате резервирования или применения высоконадежных элементов можно оценить по коэффициенту выигрыша надежности, определяемому как отношение показателя надежности до и после преобразования системы. Например, для системы из n последовательно соединенных элементов после резервирования одного из элементов (k-го) аналогичным по надежности элементом коэффициент выигрыша надежности по вероятности безотказной работы составит

110





p1 p2 ... pk 1 1  (1  pk )2 pk 1... pn 1  (1  pk )2 P' Gp     2  pk . P p1 p2 ... pk 1 pk pk 1... pn pk 5.27

Из формулы (5.27) следует, что эффективность резервирования (или другого приема повышения надежности) тем больше, чем меньше . , при pk  0.5 надежность резервируемого элемента (при pk  0.9 G p  11 G p  15 . ). Следовательно, при структурном резервировании максимального

эффекта можно добиться при резервировании самых ненадежных элементов (или групп элементов). Выигрыш надежности – отношение количественной характеристики надежности резервированного устройства к той же количественной характеристике нерезервированного устройства или устройства с другим видом резервирования. Критерии качества резервированных устройств: Gq (t ) 

Qc (t ) Qo (t )

– выигрыш надежности в течение времени t по

вероятности отказов; G p (t ) 

Pc (t ) Po (t )

– выигрыш надежности в течение времени t по

вероятности безотказной работы; GT (t ) 

Tc – выигрыш надежности по среднему времени безотказной To

работы. Pc (t ) 1  (1  e  0t ) m 1    Po (t ) e  0t   Q (t ) GQ  c  (1  e  0t ) m  Qo (t )  m  Tcp 1  GTcp  c   Tcpo j 0 j  1  Gp 

5.4.3 Расчет надежности систем при наличии резервирования Расчет количественных характеристик надежности систем с резервированием отдельных элементов или групп элементов во многом определяется видом резервирования. Расчет систем с нагруженным резервированием осуществляется по формулам последовательного и параллельного соединения элементов аналогично расчету комбинированных систем. При этом считается, что

111

резервные элементы работают в режиме основных как до, так и после их отказа. Поэтому надежность резервных элементов не зависит от момента их перехода из резервного состояния в основное и равна надежности основных элементов. Для системы с последовательным соединением n элементов (рис. 5.6) при общем резервировании с кратностью l (рис. 5.6, а)

Ро б  1  (1  Р )

l 1

n

 1  (1   pi ) l1. i 1

5.28 Вероятность отказа системы с общим резервированием составит m

m 1

j 1

j 1

Q0 (t )  Q0 (t ) Qрез (t )   Q j (t )

5.29

В случае равенства вероятностей отказа основной и резервных систем Qc (t )  Qm1 (t )

Pc (t )  1  Q

m 1

N   (t )  1  1   Pi (t )   i 1 

m 1

В частности, при дублировании (l=1) Ро б  1  (1  Р )2  Р (2  Р ).

5.30

Для экспоненциального закона надежности Pi (t )  e  it N

 P (t )  e 

 0t

i 1

i

5.31

N

где

0   i i 1

- интенсивность отказов любой из m+1 систем;

Qc (t )  (1  e 0t ) m1 Pc (t )  1  (1  e 0t ) m1

5.32

Средняя наработка до отказа 

Tcpc   Pc (t )dt  0

1

0

m

1

1 1 1 1  1    ...   2 3 m 1  0 

 j 1   j 1

Плотность вероятности

5.33

112 fc (t )  0 (m  1)e0t (1  e0t )m

5.34

Интенсивность отказов с (t ) 

0 (m  1)e  t (1  e  t )m 0

0

1  (1  e 0t )m1

При раздельном резервом (рис. 5.6,б) m 1

m 1

i 1

i 1

резервировании

с

постоянно

5.35 включенным

Qгр (t )   Qi (t )   1  Pi (t )  m 1

Pгр (t )  1   1  Pi (t )  i 1

Т.к. обычно основные и резервные элементы равно надежны, то Pгр (t )  1  1  Pi (t )

m 1

Функциональные группы соединены в системе последовательно, отказы их принимаем независимыми, поэтому m 1    m1  Pc (t )   Pгр (t )   1   1  Pi (t )  i 1 i 1   i 1   N

N

n



pр аз   1  1  pi  i 1

l 1

,

5.36

а при раздельном дублировании (l=1) n



pр аз   1  1  pi  i 1

2



n

n

i 1

i 1

  pi 2  pi   p 2  pi .

5.37 n

n б)

а) Р11(t)

Р1n(t)

Р1i(t)

Рin(t)

Р1l(t)

Рnl(t)

l

Р11(t)

Р12(t)

Р1n(t)

Р1i(t)

Р2i(t)

Р2n(t)

Р1l (t)

Р2l (t)

Рln (t)

l

113 Рис. 5.6 Общее и раздельное нагруженное резервирование

Предположим, что все элементы системы равно надёжны, тогда Pc  1  (1  e it )m1 

N

5.38

где интенсивность отказов λ представляет собой средневзвешенное значение интенсивности отказов всех элементов, из которых состоит сложная система N

N    i или   i 1

1 N

N

 i 1

5.39

i

Выражения для вычисления Тсрс, fc(t) и λc(t) в предположении о равно надёжности элементов системы имеют вид Tcpc 

( N  1)! m 1   (m  1) j 0 j  1  j  1   j  1   1 ...  N  m 1 m 1   m 1 

f c (t )  N (m  1) e  t (1  e  t ) m 1  (1  e  t ) m 1 

c (t ) 

5.40

N (m  1) e  t (1  e  t ) m 1  (1  e t ) m 1

Тогда коэффициенты выигрыша безотказной работы при дублировании

Gоб

N 1

P  об  2  P, P

Gр аз

надежности

по

вероятности

n Pоб     2  pi , P i 1

5.41 Отсюда следует, что раздельное резервирование эффективнее, чем общее. Например, для системы из трех одинаковых элементов при p  0.9 Goб  127 . , GpaЌ  1.33 . Расчет кратностью

надежности

при

1

резервировании

2

1

систем

N

К

Резервирование с дробной кратностью при нагруженном резерве

с

дробной

114 Рис. 5.7 – Резервирование с дробной кратностью при нагруженном резерве

Кратность резервирования определяется из соотношения m  (Z  N ) N

где Z – общее число элементов расчета резервированного соединения; N – число элементов, необходимое для нормальной работы соединения; Z-N – число резервных элементов Пусть резервированная система состоит из N основных и K резервных элементов (N>K). При отказе одного из основных элементов на его место без перерыва в работе включается один из резервных (резервные элементы также могут отказывать). Средняя наработка до отказа такой резервированной системы в предположении абсолютно надежных переключающих устройств и равнонадежных элементов, с интенсивностью отказов каждого λ, равна T

cpc



1 1 1 1   ...       N N 1 NK 

Безотказная работа системы в течение времени t будет иметь место, если за это время осуществится хотя бы одна из гипотез: Н0 – все элементы исправны; Н1 – один элемент отказал, (K+N-1) элементов исправны; Нi – i элементов отказали, (K+N-i) элементов исправны; Нk – K элементов отказали, N элементов исправны. Число различных вариантов равно CNi  K 

( N  K )! i !( N  K  i )!

Тогда вероятность безотказной работы системы можно определить из выражения K

Pc (t )   CNi  K 1  P(t )  P(t ) i

N  K i

i 0

где P(t) – вероятность безотказной работы элемента при условии, что все элементы равнонадежны. Пример: Для мажоритарного резервирования по схеме «2 из 3» вероятность безотказной работы системы можно подсчитать по формуле Pc (t )  PM (t ) 3P 2 (t )  2 P3 (t ) 

где P(t) – вероятность безотказной работы одного канала (элемента, подсистемы); PM(t) – вероятность безотказной работы мажоритарного органа

115

При ненагруженном резервировании резервные элементы последовательно включаются в работу при отказе основного, затем первого резервного и т.д. (рис. 5.8), поэтому надежность резервных элементов зависит от момента их перехода в основное состояние. Такое резервирование в различных ТС встречается наиболее часто, т.к. оно по сути аналогично замене отказавших элементов и узлов на запасные.

Рис. 5.8 Ненагруженное и скользящее резервирование

Если резервные элементы до их включения абсолютно надежны, то для системы с ненагруженным резервированием кратности l (всего элементов l+1)

Q

1 l 1 q ; ( l  1)! i 1 i

P  1

1 l 1  (1  pi ), ( l  1)! i 1

5.42 т.е. вероятность отказа в (l+1)! раз меньше, чем при нагруженном. Для идентичных по надежности основного и резервного элементов

P 1

1 (1  p) l1. ( l  1)!

5.43 При экспоненциальном распределении наработки в случае  t  1 можно воспользоваться приближенной формулой (  t )l 1 P  1 . ( l  1)!

5.44 При ненагруженном резервировании средняя наработка на отказ l 1

T   T0i , i 1

5.45

116

а для идентичных элементов T0  nT0i . Облегченное резервирование используется при большой инерционности переходных процессов, происходящих в элементе при его переходе из резервного в основной режим. Нецелесообразность применения нагруженного резервирования возникает из-за недостаточного выигрыша в надежности последнего, что характерно в РЭС для устройств на электровакуумных приборах. Очевидно, облегченный резерв занимает промежуточное положение между нагруженным и ненагруженным. Точные выражения для расчета надежности систем при облегченном резервировании весьма громоздки и неоднозначны, однако при экспоненциальном распределении наработки справедлива приближенная формула

P

1  (   0 )(  2 0 )....  l (l  1)!

l 1  0  t

l t l 1  (  i 0 ), (l  1)! i 0

5.46

где  0 – интенсивность отказов элементов в облегченном режиме, l – кратность резервирования. Скользящее резервирование используется для резервирования нескольких одинаковых элементов системы одним или несколькими одинаковыми резервными (рис. 5.8,б здесь все элементы идентичны, а элемент 4 – избыточный). Очевидно, отказ системы произойдет, если из общего количества идентичных элементов (основных и резервных) число отказавших превышает число резервных. Расчет вероятности безотказной работы систем со скользящим резервированием аналогичен расчету систем типа “m из n”. При экспоненциальном законе надежности и надежности состояний резерва (0t ) j j! j 0 m

Pc (t )  exp(t ) Tcpc  T0 (m  1)

где λ0, Т0 – интенсивность отказов и средняя наработка до первого отказа основного (нерезервированного) устройства. При экспоненциальном законе и недогруженном (облегченном) состоянии резерва

117 m a   Pc (t )  exp(0t ) 1   j (1  exp(  j t )) j   j 0 j !  m 1 1 Tcpc    0 j 0 1  jk

где

N 1    aj   j  0 ; 1  j 0 

k

1 ; 1 0

–

интенсивность

отказов

резервного

устройства до замещения. 5.4.4 Расчет надежности систем при наличии резервирования методом Марковских процессов 5.4.4.1 Система с нагруженным резервом 1 2 3 Рис. 5.9 – Расчетно-логическая схема

Считается, что для работы системы достаточно наличие хотя бы одного работающего элемента. В качестве состояния системы выберем количество неисправных элементов. Граф состояний системы имеет вид: 0

1

2

3

Рис. 5.10 – Граф состояний системы

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3. Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид:

118  dP0 (t )  dt  3P0 (t )   dP1 (t )  3P (t )  2P (t ) 0 1  dt   dP2 (t )  2P (t )  P (t ) 1 2  dt  dP (t )  3  P2 (t )  dt

5.47 3

 P (t )  1 i

Нормировочное условие: i 0 Начальные условия для системы дифференциальных уравнений: P0(0)=1; P1(0)=0; P2(0)=0; P3(0)=0 При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:  P0 (t )t  3 P0 (t )  1  P (t )t  3 P (t )  2 P (t )  1 0 1   P2 (t )t  2 P1 (t )   P2 (t )  P3 (t )t   P2 (t )

5.48

Из этой системы получим Рi(t): 1   P0 (t )  t  3  3  P(t )  1  (t  3 )(t  2 )   6 2  P2 (t )  (t  3 )(t  2 )(t   )   6 3  P (t )   2 (t  3 )(t  2 )(t   )t

5.49

После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:  P0 (t )  e 3t  3t  3e  2 t  P1 (t )  3e  3t  6e  2 t  3e t  P2 (t )  3e  P (t )  e 3t  3e  2t  3e t  1  3

5.50

119

Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом: Pсист  P0 (t )  P1 (t )  P2 (t )  1  P3 (t )

5.51 Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле: 

mt ( )   Pсист (t ,  )dt

5.52 Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени. При увеличении интенсивности отказов λ вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается. При увеличении интенсивности отказов λ время безотказной работы уменьшается. 0

5.4.4.2 Система с частично нагруженным резервом 1 2 3 Рис. 5.11 – Расчетно-логическая схема системы

Считается, что для работы системы необходим один работающий элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в теплом резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние. 0

1

2

Рис. 5.12 – Граф состояний системы

3

120

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3. Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид:  dP0 (t )  dt  (  20 ) P0 (t )   dP1 (t )  (  2 ) P (t )  (   ) P (t ) 0 0 0 1  dt   dP2 (t )  (   ) P (t )  P (t ) 0 1 2  dt  dP (t )  3  P3 (t )  dt

5.53

3

 P (t )  1 i

Нормировочное условие: i 0 Начальные условия для системы дифференциальных уравнений: P0(0)=1; P1(0)=0; P2(0)=0; P3(0)=0 При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:  P0 (t )t  (  20 ) P0 (t )  1   P1 (t )t  (  20 ) P0 (t )  (  0 ) P1 (t )   P2 (t )t  (  0 ) P1 (t )   P2 (t )  P (t )t   P (t ) 2  3

5.54

Из этой системы получим Рi(t): 1   P0 (t )  (t    2 ) 0    20   P1 (t )  (t    2 )(t     )  0 0  (  20 )(  0 )  P (t )  2  (t    20 )(t    0 )(t   )  (  20 )(  0 )  P (t )  3  (t    20 )(t    0 )(t   )

5.55

После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:

121

P0 (t )  e ( 0 )t  P (t )  (  2 )( 1 e ( 20 )t  1 e ( 0 )t ) 0 1 0 0  1 ( 20 )t 1 ( 0 )t 1 t   2e  2e ) P2 (t )  (  20 )(  0 )( 22 e 0 20 0   1 1 1 1 (   2 0 ) t  2 e ( 0 )t  2 e t  ) P3 (t )  (  20 )(  0 ) ( 22 (  2 ) e (  20 )(  0 ) 0 (   0 ) 20  0 0 

5.56 Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом: Pсист = P0(t)+P1(t)+P2(t) = 1 – P3(t)

5.57 Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы для разных значений интенсивности отказа резервных элементов λ0 представлена на графике:

Рис. 5.13 – Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле: 

mt ( , 0 )   Pсист (t ,  , 0 )dt 0

5.58

122

5.4.4.3 Система с ненагруженным резервом 1 2 3 Рис. 5.14 – Расчетно-логическая схема системы

Считается, что для работы системы необходим один работающий элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в холодном резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние. 0

1

2

3

Рис. 5.15 – Граф состояний системы

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3. Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид:  dP0 (t )  dt  P0 (t )   dP1 (t )  P (t )  P (t ) 0 1  dt   dP2 (t )  P (t )  P (t ) 1 2  dt  dP (t )  3  P3 (t )  dt

5.59 3

 P (t )  1 i

Нормировочное условие: i 0 Начальные условия для системы дифференциальных уравнений: P0(0)=1; P1(0)=0; P2(0)=0; P3(0)=0

123

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:  P0 (t )t   P0 (t )  1  P (t )t   P (t )   P (t )  1 0 1  P ( t ) t   P ( t )   P 1 2 (t )  2  P3 (t )t   P2 (t )

5.60

Из этой системы получим Рi(t): 1   P0 (t )  (t   )     P1 (t )  (t   ) 2   2  P (t )    2 (t   )3  3  P (t )    3 (t   )3 t

5.61

После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:  P0 (t )  e  t   t  P1 (t )  te  2 2  P2 (t )   t e t  2  1 1 1 2 t 1  P3 (t )  3 ( 3 e t  2 te t  t e  3) 2    

5.62 Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом: Pсист = P0(t)+P1(t)+P2(t) = 1 – P3(t)

5.63

Для заданных значений t = 4 ч и  = 0.8 1/ч Pсист = 0.380. Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы для разных значений интенсивности отказа элементов λ представлена на графике:

124

Рис. 5.16 – Среднее время безотказной работы

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле: 

mt ( )   Pсист (t )dt 0

Рис. 5.17 – Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности отказов элементов λ

Зависимость среднего времени безотказной работы интенсивности отказов элементов λ приведена на графике.

mt

от

5.4.5 Способы и методы функционального резервирования Функциональное резервирование – это резервирование с применением функциональных резервов. При функциональном резервировании типично наличие в объекте многофункциональных элементов таких, что частичный отказ каждого из них исключает его использование по основному назначению с выполнением основной функции, но позволяет применять по другому назначению. Другой типичный случай имеет место тогда, когда при отказе одного элемента его функции берет на себя другой, многофункциональный элемент.

125

При анализе возможностей проявления эффекта функционального резервирования необходимо различать две ситуации. 1. При отказах отдельных элементов за счет функционального резервирования обеспечивается неизменность функциональных возможностей объекта. 2. При отказах элементов функциональное резервирование не восстанавливает полностью свойства объекта и его функциональные возможности оказываются суженными. В технических системах чаще встречается вторая ситуация. Функциональное резервирование может относиться к элементу, тогда оно будет следствием его многофункциональности, но может относиться и к объекту, включающему подобные элементы. Во втором случае функциональное резервирование обычно сочетается с другими видами резервирования и становится комбинированным, например, структурнофункциональным, нагрузочно-функциональным и т.д. Известно несколько типовых схем резервирования. В одной из них элементы системы обладают следующими свойствами: они взаимозаменяемы несмотря на различные их функции на конкретных местах, и между ними по желанию могут устанавливаться любые связи, которые представляются целесообразными или необходимыми. При отказе одного из элементов осуществляется такое соединение оставшихся, чтобы оно давало возможность удовлетворить всем предъявляемым к системе требованиям. Этот порядок взаимодействия и перестройки элементов можно рассматривать как некоторую формальную модель, соответствующую реальному поведению систем. Подобные модели пригодны для описания свойств надежности биологических объектов или коллективов работников, владеющих многими специальностями. Аналогичная модель строится для технических систем, состоящих из блоков, составленных из множества, элементов. При отказах отдельных элементов может производиться обмен оставшимися элементами между блоками, чтобы обеспечить функционирование системы. При этом число блоков сохраняется или уменьшается. В последнем случае отказавшие блоки выводятся из системы, а их элементы разбираются на элементы, передаваемые другим блокам. При реализации подобных систем необходимо решить ряд сопутствующих задач, связанных с диагностикой состояний, изменениями в соединении элементов, перемещениями элементов в пространстве, установкой и закреплением их на новых местах.

126

В большинстве технических систем при функциональном резервировании отказы элементов вызывают сужение функциональных возможностей. Отказ элемента переводит объект или систему в неисправное состояние, в котором работа допускается в течение ограниченного времени, поскольку оставшиеся элементы работают с перегрузкой, что ухудшает их надежностные и другие показатели. Потери функциональных возможностей, вызванные переходом в неисправное состояние, обычно не регламентируются. Другой подход состоит в том, что в исходном состоянии при отсутствии отказавших элементов система реализует расширенные функциональные возможности, которые могут и не регламентироваться, а при отказах гарантируются вполне определенные возможности, соответствующие нормативно-технической документации, в течение установленного времени. Сужение функциональных возможностей при отказах элементов может происходить по следующим группам показателей. 1. По показателям назначения. Отказы элементов в многофункциональном (многоцелевом) объекте приводят к невозможности выполнения некоторых функций. 2. По показателям качества. При отказах элементов могут снижаться точность, быстродействие, производительность. 3. По диапазонам изменения входных параметров: геометрических областей, электрических параметров и т.п. 4. По диапазонам изменения влияющих факторов: температуры окружающей среды, уровня электромагнитных помех, колебаний напряжения питания. 5. По уровню автоматизации. При отказах элементов может существенно возрастать нагрузка на оперативный и обслуживающий персонал. Имея в виду эти направления изменения функциональных возможностей, можно выделить следующие наиболее распространенные варианты функционального резервирования. 1. Функциональное резервирование в машинах, системах и комплексах, построенных по агрегатно-модульному или блочномодульному принципу. По такому принципу строится технологическое оборудование, например агрегатные станки, вспомогательное оборудование производственных систем; промышленные роботы, в

127

которых модули могут собираться в различных сочетаниях, так что получающиеся модификации различаются геометрическими характеристиками рабочей зоны и числом степеней подвижности; транспортные средства, в частности, автомашины с различными прицепами; сельскохозяйственные машины (тракторы с навесными орудиями или агрегатами); вычислительные машины с несколькими блоками памяти и различными устройствами ввода-вывода; измерительновычислительные комплексы с набором измерительных преобразователей и т.д. Отказ одного модуля или агрегата означает, что некоторые модификации оборудования не могут быть собраны, этим сужаются функциональные возможности, но машина, система или комплекс попрежнему могут быть использованы по основному назначению. 2. Машины, системы или комплексы помимо основных составных частей, обеспечивающих выполнение основных функций, имеют различные вспомогательные подсистемы или устройства, облегчающие наладку и настройку, выбор режимов работы, диагностику состояний, замену или ремонт отказавших элементов. К их числу относятся подсистемы автоматизации, встроенные системы автоматического поиска неисправностей, контроля режимов работы устройств, оптимизаторы режимов, поисковые подсистемы и пр. При новой разработке бывает так, что прототип машины, системы или комплекса не имеет таких подсистем, но в целом соответствует своему назначению. Усложнения преследуют цель разгрузить оператора или дать ему возможность обслужить большее количество оборудования. Тогда отказ подсистемы приводит новую систему по функциональным возможностям к прототипу, лишая ее преимуществ, характерных для новой разработки. 3. Производственные единицы высокого уровня (например, цехи) при хорошей организации производства обладают функциональной избыточностью и в них реализуется функциональное резервирование. Это выражается в том, что имеется технологическое оборудование, которое используется лишь периодически и может быть дополнительно загружено. Часто оно более старое, с меньшими функциональными возможностями, например, обычные универсальные станки по сравнению со станками с ЧПУ. Или, скажем, примитивные транспортные средства, к примеру, тележки в противоположность конвейерам или транспортным роботам. Возможна ситуация, когда у станка вместо отказавшего робота становится рабочий. Во всех приведенных примерах нормальное

128

функционирование при отказах оборудования обеспечивается за счет многофункциональности человека, который берет на себя функции управления, обслуживания или прямые производственные функции. 4. Большую гибкость при отказах элементов центральной части внешнего оборудования могут проявлять вычислительные системы. Так, при отказах графопостроителей вывод графической информации осуществляется на алфавитно-цифровом печатающем устройстве выбранными значками с большим шагом дискретности. Эти изображения заменяют графики в самом грубом приближении, но нередко обеспечивают требуемую наглядность. Информацию можно выводить при отказе графопостроителя и в числовой форме, но с существенной потерей качества. В вычислительном процессе функциональное резервирование реализуется за счет алгоритмической избыточности с помощью дополнительных ветвей алгоритмов и дополнительных связей между ними, путем коррекции некоторых типов ошибок, алгоритмических методов восстановления утраченной информации. Приведенные примеры использования функционального резервирования в конкретных классах технических систем позволяют проследить некоторые общие тенденции. Возможности функционального резервирования обычно выше в системах и комплексах высокого уровня, большой сложности. Например, в производственных системах функциональнее резервирование чаще используется на уровне цехов, чем на уровне линий или участков. Вторая особенность заключается в том, что функциональное резервирование осуществляется проще в тех системах, в которых при отказах не требуются физические перемещения элементов, а изменения структуры осуществляются исключительно за счет коммутации на уровне сигналов. Наиболее типичные случаи функционального резервирования связаны с наличием в системе человека - наиболее гибкого функционально элемента любой технической системы. Типичным последствием отказов элементов является сужение функциональных возможностей системы. Количественный учет этого фактора составляет специфику построения математических моделей надежности систем с функциональной избыточностью. При этом возникают две в значительной степени самостоятельные задачи. Первая задача состоит в вероятностном описании совокупности состояний системы. При ее решении вводятся состояния: S0 – полностью работоспособное состояние, когда ни один элемент не отказал; Si –

129

состояние, когда отказал i-й элемент, ; Slj – состояния, в которых отказали l-й и j-й элементы. Целью решения первой задачи является определение вероятностей введенных состояний: P0(t), Pi(t), Plj(t). Вторая задача состоит в том, чтобы определить, в каких из введенных состояний объект остается работоспособным из-за наличия функционального резерва. Сведения об этом задаются исходным неформализованным описанием возможностей функционального резервирования или получаются путем решения соответствующих функциональных уравнений, позволяющих установить значения выходных параметров системы и с их помощью определить уровень её работоспособности. Модели процесса функционирования после отказа элементов являются, как правило, детерминированными и не содержат вероятностных характеристик. Определение вероятностей состояний может быть выполнено любыми известными методами: перебора гипотез, решением уравнений теории массового обслуживания, аппроксимацией эмпирических данных и пр. Для восстановления систем особый интерес представляет распределение стационарных вероятностей состояний рi. Их можно вычислить любыми методами, используемыми при анализе структурнорезервированных систем. Совокупность вероятностей рассматриваем как самостоятельные характеристики, которые в дальнейшем могут быть использованы для расчета показателей эффективности. 5.5 Задачи Пример 1. Пусть состоит система из n=6 последовательно соединенных элементов (рис.5.18) со следующими показателями надежности: 0,55 0,33 0,33 0,65 0,45 0,43 i , г од1 Т Вi , час

16

8

8

13

15

12

Определить интенсивность отказов, среднее время восстановления, среднее время безотказной работы и вероятность безотказной работы в течение 1 года.

130

Рис. 5.18 – Система последовательно соединённых элементов

Решение: 1. Определим интенсивность отказов системы 6

С   i  0,55  0,33  0,33  0,65  0,45  0,43  2,74г од1 . i 1

2. Среднее время восстановления будет равно: 6

Т В  С1  i  TBi  2,74 1 0,55  16  0,33  8  0,33  8  0,65  13  0,45  15  0,43  12  12,57ч. i 1

3.Среднее время безотказной работы: Т С  С1 

1  0,365г од  3197ч. 2,74

4.Вероятность безотказной работы за t=1 год РС (1)  exp   t   exp(2,74  1)  0,0646. Пример 2. Имеется система, которая состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента t ср.  1000ч. Основная и резервная системы равнонадежны. Определить среднее время безотказной работы системы TC и интенсивность отказов C в момент времени t=50 час., когда система: а) нерезервированная; б) дублированная, при постоянно включенном резерве. Решение: а) нерезервированная: 1. Интенсивность отказа всей системы будет определяться как n

С   i , i 1

где i - интенсивность отказа i-го элемента. i 

1 1   0,001; t ср 1000

С  i  n  0,001  10  0,01

1 . час

2. Среднее время безотказной работы системы:

131 ТС 

1

С



1  100час. 0,01

б) дублированная система, при постоянно включенном резерве 1. Среднее время безотказной работы системы: ТС 

n

1

С

1

1



1

 1  j  0,01  1  2   150час, j 0

где j=2. 2. Вероятность безотказной работы дублированной системы:



РС t   1  1  e 0t



m1



 1  1  e 0t



2

 2e  0t  e 20t . , где 0  C .

3. Интенсивность отказа дублированной системы: С t  





20 1  e 0t 1   50  5,7  10 3 . 0t час 2e

5.6 Вопросы для самоконтроля 1. Какое соединение с позиций надежности называется последовательным? 2. Недостатки метода расчета при последовательном соединении элементов? 3. Как определяется вероятность безотказной работы последовательной структуры? 4. Как определяется интенсивность отказов системы с последовательной структурой? 5. Какое соединение с позиций надежности называется параллельным? 6. Что такое мостиковое соединение элементов? 7. Что представляет собой приближенный метод преобразования звезды в треугольник и обратно? 8. Что такое резервирование? 9. Какие существуют виды резервирования? 10. Что такое кратность резервирования? 11. Достоинства и недостатки резервирования постоянного и замещением. 12. Какие различают резервы в зависимости от режима работы резервных элементов? 13. Достоинства и недостатки нагруженного, ненагруженного и облегченного резервов.

132

6

МЕТОДЫ НАДЕЖНОСТИ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ

6.1 Математические модели надежности СЭС на основе метода минимальных путей и сечений Сложные технические системы должны безотказно работать длительное время. Для этого необходимо обеспечить высокой их эффективностью, безопасностью, живучестью, готовностью и другими показателями качества. При анализе надежности сложных систем с большим количеством элементов, какими являются системы электроснабжения, большое распространение получил метод минимальных путей и сечений. Рассчитать надежность сложной системы электроснабжения ‒ это значит определить ее показатели надежности по известным показателям надежности элементов, из которых она состоит. Построение математической модели основывается на применении теории графов. Родоначальником теории графов считается известный швейцарский математик Леонард Эйлер, первая работа которого появилась в 1736 году. Он формулирует и предлагает решение задачи о семи Кёнигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов. Толчок к развитию, теория графов получила на рубеже ХIX и ХХ столетий, когда резко возросло число работ в области топологии и комбинаторики. Графы стали использоваться при анализе схем электрических цепей и молекулярных схем. В последнее время графы и связанные с ними методы исследований органически пронизывают на разных уровнях едва ли не всю современную математику. Теория графов рассматривается как одна из ветвей топологии; непосредственное отношение она имеет также к алгебре и к теории чисел. Графы эффективно используются в теории планирования и управления, теории расписаний, социологии, математической лингвистике, экономике, биологии, медицине, географии. Широкое применение находят графы в таких областях, как программирование, энергетика, электроника, в решении вероятностных и комбинаторных задач, нахождении максимального потока в сети, кратчайшего расстояния, максимального паросочетания, проверки планарности графа и др. В настоящее время существует множество проблем, где требуется построить некоторые сложные системы с помощью определенного упоря-

133

дочения их элементов. Сюда относятся календарное планирование промышленного производства, задачи теории сетевого планирования и управления, проблемы построения систем связи и исследования процессов передачи информации, выбор оптимальных маршрутов и потоков в сетях, методы построения электрических сетей. Таким образом, можно сказать, что теория графов является одним из простейших и наиболее элегантных разделов современной математики с широкой областью применения. Имея в своей основе простейшие идеи и элементы: точки, соединенные линиями, теория графов строит из них богатое многообразие форм, наделяет эти формы интересными свойствами и в результате становится полезным инструментом при исследовании самых разнообразных систем, например, таких, как энергетических. Анализируемая система отображается графом с элементами – вершинами графа являются пункты присоединения (сборные шины, трехобмоточные трансформаторы и т.д.), а ребрами графа − его элементы схемы. В графе сети есть еще одна особая вершина ‒ это источник питания Условием ориентирования графа сети является расположение базисных узлов, относительно которых производится оценка надежности системы. Представление электрической схемы графом дает возможность упростить расчеты и применить матрицу путей, по которым возможно осуществить связь между источником и нагрузкой. Графом называются два любых множества А и В, в которых каждому элементу из множества А соответствуют два элемента из множества В, которые будут ребрами и вершинами графа. Ребро называется ориентированным, если один из его концов рассматривать как начало, а другой как окончание. Граф, у которого все ребра ориентированы, называется ориентированным, а если в графе имеются отдельно ориентированные ребра ‒ частично‒ ориентированным. Граф, не имеющий ориентации ребер, называется неориентированным, транзитным. Замкнутым называется граф, который не содержит элементы, связывающий вход графа с выходом, а ребрами такого графа служат элементы, надежность которых известна. Путь графа – это такая последовательность ребер, в котором конец каждого предыдущего ребра совпадает с началом последующего. Однореберный путь называется непосредственным, а многореберный ‒ транзитным.

134

Минимальный путь - это минимальный набор элементов, который обеспечивает нормальное функционирование схемы от источника питания до узла нагрузки. Минимальное сечение − это отказ того минимального набора элементов, отказ которого в любом из наборов приводит к отказу систему относительно рассматриваемого узла. При этом предполагается неограниченная пропускная способность элементов схемы относительно каждого рассматриваемого узла нагрузки. Для структурной схемы мостиковой системы, приведенной на рис. 4.1, минимальными путями будут относительно узла IV:{1,3}; {2,4}; {1,5,4}; {2,5,3}, а минимальными сечениями − {1,2}; {3,4}; {1,5,4}; {2,5,3}. Нормальное функционирование системы обеспечивается при работоспособном состоянии элементов, а неработоспособность какоголибо рассматриваемого узла можно определить в результате структурного анализа.

Рис. 6.1 Структурная схема мостиковой системы

Расчет надежности заключается в нахождении и оценки путей между его вершинами, т.е. источником питания и узлами нагрузки.

135

а)

б) Рис. 6.2 Минимальные пути ‒ (а) и минимальные сечения ‒ (б) для мостиковой схемы

В результате структурного анализа можно определить выход неработоспособность рассматриваемого узла. Нормальное функционирование системы обеспечивается при работоспособном состоянии элементов. Для определения показателей надежности составляется алгоритм поиска минимальных путей и сечений на графе. При этом необходимо преобразовать электрическую схему в расчетную схему надежности, а последовательно и параллельно соединенные элементы между двумя узлами проэквивалентировать. Затем составляется массив минимальных путей и сечений и по известным формулам определяются показатели надежности. Для определения вероятности безотказной работы схемы относительно некоторого узла n используется формула:

136

 k  k Рс  Р  П i    PП i    PП i П j    PП i П j П l   ....  i, j i, j, l  i 1  i 1





  1k 1 PП 1 П 2 ....П k ,

где k – число путей; Пi – событие работы i- го пути; Р(Пi) – вероятность безотказной работы i-го пути: mi

PП i    Pi , j , j 1

где Рi,j – вероятность безотказной работы j- го элемента в i-ом пути; mi – число элементов в i-ом пути: P(1 2 ...  k )  P(1 ) P( 2 / 1 )... P( k / 1 2 ...  k 1 ) , где Р(П1П2…Пk) – вероятность безотказной работы k путей; Р(Пk/П1П2…Пk1) – условная вероятность безотказной работы k путей; Р(П1) – вероятность безотказной работы первого пути. При определении каждой последующей условной вероятности следует учитывать вероятность безотказной работы тех элементов, которые еще не входили в предыдущие пути. Вероятность безотказной работы элементов, входивших в предыдущие пути, будет равна 1. При определении вероятности отказа схемы относительно узла нагрузки, когда она заменяется эквивалентной параллельнопоследовательной (минимальные сечения), также используется формула суммы вероятностей совместимых событий – отказов сечений. Вероятность отказа схемы относительно некоторого узла нагрузки

k  k Qc  Q  Ci    Q(Ci )   Q(Ci C j )   Q(Ci C j Ce )  ...(1) k 1 Q(C1C2 ...Ck ) i, j i, j, e  i 1  i 1 где Сi – событие отказа i-го сечения; k – количество сечений; Q(Ci) – вероятность отказа i-го сечения: mi

Q(Ci )   qi , j ; j 1

здесь qi,j – вероятность отказа j-го элемента i-го сечения; mi – число элементов в i-м сечении; Q(C1C2 ...Ck )  Q(C1 )Q(C2 / C1 )...Q(Ck / C1C2 ...Ck 1 ) , где Q(C1C2 ...Ck ) – вероятность отказа k сечений; Q(C2 / C1 ) ) – условная вероятность отказа второго сечения при отказе первого сечения. При определении каждой последующей условной вероятности следует учитывать вероятность отказа только тех элементов, которые

137

еще не входили в предыдущие сечения. Вероятность отказа элементов, входивших в предыдущие сечения, равна 1; например вероятность отказа сечений С1 и С3 будет равна: r

Q(C1C2 ... Ck )   qi . i 1

где r – число элементов, входящих в k сечений, т. е. эта вероятность равна произведению вероятностей отказов всех элементов, входящих в эти сечения, причем каждый элемент учитывается, в произведении, только один раз. С помощью этого метода можно учесть преднамеренные отключения элементов для сложных схем электроснабжения, а также позволяет учитывать поперечные связи в схемах электрических соединений [9]. 6.2 Математические модели СЭС на основе метода «Дерево отказов» 6.2.1 Общие сведения Метод дерева отказов (FTA) является инструментом для анализа, визуального отображения и оценки путей отказа системы, тем самым обеспечивая механизм для эффективной оценки рисков. Метод дерева отказов (FTA) был первоначально разработан H.A.,Watson в 1962 г. компанией Bell Laboratories, для ВВС США Ballistics Systems Division при выполнении контракта на оценку системы управления запуском межконтинентальной баллистической ракеты Минитмен (МБР). В 1963-1964 гг. широко использовался Boeing и AVCO для оценки систем Minuteman II. Широкое освещение FTA получил в 1965 на симпозиуме по системам безопасности (System Safety Symposium) в Сиэтл при поддержке Boeing и Университета Вашингтона. С 1966 года Boeing начала использовать FTA для проектирования гражданских самолетов. В 1970 году американское Федеральное управление гражданской авиации опубликовало изменения в правила летной годности транспортных самолетов. Это изменение принятых критериев отказа для самолетных систем и оборудования, привело к широкому использованию метода дерева отказов в области гражданской авиации. В ядерной энергетике, США Комиссия по ядерному регулированию начали использовать методы вероятностной оценки риска, включая FTA в 1975 году, и значительно расширила исследования после инцидента 1979 г в Three Mile Island. В конечном итоге это привело к публикации в 1981

138

NRC Fault Tree Handbook NUREG–0492, и требование обязательного использования методов вероятностной оценки риска регулирующими органами NRC. В настоящий момент этот метод является частью национальных стандартов таких, как стандарты США MIL-HDBK-217 и MIL-HDBK-338 для военных систем, NRC NUREG–0492 для атомной энергетики, NUREG0492 аэрокосмически-ориентированный используемый NASA, SAE ARP4761 для гражданской аэрокосмической авиации, IEC 61025 для промышленности в Европе, а в России – № РД 03-418-01 «Методические указания по проведению анализа риска опасных производственных объектов». С момента своего создания метод дерева отказов FTA использовался для анализа различных типов систем таких как: 1. Авиапромышленность – коммерческие самолеты, истребители, бомбардировщики, танкеры, БПЛА, системы АВАКС, вертолеты. 2. Энергетика – атомная, солнечная, тепловые станции, электрические системы. 3. Транспортные системы – Железнодорожные поезда, MPRT (Morgantown Personal Rapid Transit), BART (Bay Area Rapid Transit). 4. Космические программы – Apollo, космический корабль Shuttle, спутники, ракеты носители, космические станции. 5. Робототехнические системы. 6. Автоматизирование или автоматические системы. 7. Ракетные комплексы – «Минитмен», SRAM, ALCM, Томагавк. 8. Нефтяные платформы. 9. и многие другие. Метод дерева отказов, как правило, используется в системах с высокой степенью риска. Однако, метод дерева отказов доказал свою ценность, как для количественного так и для качественного анализа. Некоторые из наиболее типичных причин применения метода дерево отказов: 1. Численный анализ риска. 2. Определение безопасности критических компонентов. 3. Сертификация продукции. 4. Оценка рисков. 5. Анализ происшествий/инцидентов. 6. Оценка изменения конструкции.

139

7. Визуальные диаграммы причинно-следственных связей. 8. Общий анализ причин отказов. В методе дерева отказов реализован дедуктивный метод (причина – следствие), что наделяет метод самыми серьезными возможностями по поиску корневых причин событий отказов для статичных систем, так как позволяет дать наглядную и подробную схему взаимосвязей элементов инфраструктуры и событий, влияющих на их надежность. Ценность дерева отказов заключается в следующем:  анализ ориентируется на нахождение отказов;  позволяет показать в явном виде ненадежные места;  обеспечивается графикой и представляет наглядный материал для той части IT-специалистов, которые принимают участие в обслуживании системы;  дает возможность выполнять качественный или количественный анализ надежности системы;  метод позволяет специалистам поочередно сосредотачиваться на отдельных конкретных отказах системы;  обеспечивает глубокое представление о поведении системы и проникновение в процесс ее работы;  являются средством общения специалистов, поскольку они представлены в четкой наглядной форме;  дает конструкторам, пользователям и руководителям возможность наглядного обоснования конструктивных изменений или установления степени соответствия конструкции системы заданным требованиям и анализа компромиссных решений;  облегчает анализ надежности сложных систем. Главное преимущество дерева отказов (по сравнению с другими методами) заключается в том, что анализ ограничивается выявлением только тех элементов системы и событий, которые приводят к данному конкретному отказу системы или аварии. Недостатки дерева отказов состоят в следующем:  реализация метода требует значительных затрат средств и времени, так как увеличение детальности рассматриваемой инфраструктуры приводит к геометрическому увеличению числа влияющих событий;  дерево отказов представляет собой схему булевой логики, на которой показывают только два состояния: рабочее и отказавшее;

140

трудно учесть состояние частичного отказа элементов, поскольку при использовании метода, как правило, считают, что система находится либо в исправном состоянии, либо в состоянии отказа;  трудности в общем случае аналитического решения для деревьев, содержащие резервные узлы и восстанавливаемые узлы с приоритетами, не говоря уже о тех значительных усилиях, которые требуются для охвата всех видов множественных отказов;  требует от специалистов по надежности глубокого понимания системы и конкретного рассмотрения каждый раз только одного определенного отказа;  дерево отказов описывает систему в определенный момент времени (обычно в установившемся режиме), и последовательности событий могут быть показаны с большим трудом, иногда это оказывается невозможным. Это справедливо для систем, имеющих сложные контуры регулирования, в таких случаях, как правило, обращаются к методам, основанным на стохастических (случайных) процессах. 

6.2.2 Принцип использования Дерево используется для анализа одного и только одного события отказа. «Отказы» для различных систем могут значительно варьироваться, однако методика построения дерева отказов может использоваться всегда одна и та же, как при отказе электроснабжения на 0,25 мс, так и при анализе случайного или непреднамеренного запуска МБР. Существует множество различных подходов для построения дерева отказов, но наиболее распространенным и популярным способом является способ, заключающийся в нескольких этапах: 1. Определение нежелательного события. Определение или формулирование нежелательного события может быть сильно затрудненно, хотя некоторые из событий очень просты и очевидны. При формулировании нежелательного события требуется инженер с широкими знаниями в проектировании системы или системный аналитик с инженерным образованием. Затем нежелательные события используются для построения дерева отказов, при необходимости, возможно, сформулировать несколько нежелательных событий, однако для каждого из них придется построить своё дерево отказов. 2. Получение представления о системе.

141

После того как нежелательное событие выбрано и сформулировано, производится анализ системы и выявление причин появления нежелательного события. Для выбранного события все причины, необходимо пронумеровать и упорядочить в порядке появления, а затем использовать в следующем шаге, который заключается в построении дерева отказов. Получение точных вероятностей появления причин ведущих к нежелательному событию, как правило, невозможно т.к. это очень дорогостоящая и трудоемкая операция. 3. Построение дерева отказов. После выбора нежелательного события и анализа системы, когда выявлены все причины возникновения отказа, и если возможно их вероятности, то осуществляется построение дерева отказов. Построение дерева отказов основывается на логических знаках (например «И» и «ИЛИ»), которые определяют основные характеристики дерева отказов. 4. Оценка дерева отказов. После построения дерева отказов, которое оценивается и анализируется для любого возможного улучшения или другими словами, осуществляется управление рисками, и находятся пути его улучшения. Этот этап, предваряет последующий этап, на котором осуществляется контроль выявленных рисков. Короче говоря, на этом этапе мы определяем все возможные опасности, влияющие прямо или косвенно на систему. 5. Управление риском. Этот шаг является очень специфическим и будет отличаться для различных систем, но главным будет, то, что после выявления рисков и опасностей используются все возможные методы для уменьшения вероятности возникновения нежелательного события. 6.2.3 Построение дерева отказов Чтобы отыскать и наглядно представить причинную взаимосвязь с помощью дерева отказов, необходимы элементарные блоки, подразделяющие и связывающие большое число событий. Имеется два типа блоков: логические символы (знаки) и символы событий. Логические символы – связывают события в соответствии с их причинными взаимосвязями. Обозначения логических знаков и символов событий приведены в таблицах 6.1-6.2.

142

Логический символ дерева отказов может иметь один или несколько входов, но только один выход, или выходное событие. Символы событий – предназначены для обозначения элементарных событий (отказов элементов системы), обозначения нежелательного события, а также для пояснения результатов полученных на выходе логического знака. Таблица 6.1 Символы событий и их значения

Символ события

Название логического знака Основное событие – не требует дальнейшего развития, представляет собой отказ элемента, обеспеченный информацией о надежности. Улучшенное событие – особые условия или ограничения, которые применяются к любому логическому знаку (используется в основном со знаками «Приоритетное И» и «Запрет»). Неразработанное событие – событие, которое не получило дальнейшего развития по причине недостаточной или недоступной информации. Внешнее событие – событие, которое, как правило, ожидается например, изменение фазы в динамической системе. Символ отображает события, которые не появляются сами по себе. Промежуточное событие – событие, которое происходит из-за одной или нескольких предшествующих причин, действующих через логические знаки, ставится на выходе логического знака. Конечное событие – обозначает отказ установки (нежелательное событие).

Таблица 6.2 Логические символы и их значение

Символ события

Название логического знака

Причинная взаимосвязь

143

И

ИЛИ

Запрет

Выходное событие происходит, если все входные события случаются одновременно. Выходное событие происходит, если случается любое из входных событий. Наличие входа вызывает наличие выхода тогда, когда происходит условное событие.

Приоритетное И

Выходное событие случается, если все входные события происходят в нужном порядке слева направо. Исключающее Выходное событие случается, если ИЛИ случается одно (но только одно) из выходных событий. «m из n» (голо- Выходное событие случается, если сования или вы- случается m из n входных событий. борки) Передача внутрь

Передача наружу

Позволяет избежать повторения отдельных участков дерева, означает переход внутрь соответствующей ветви Позволяет избежать повторения отдельных участков дерева, означает переход к другой ветви

6.2.3.1 Логический знак «ИЛИ» Логический знак «ИЛИ» используется, чтобы показать, что выходное событие происходит только тогда, когда происходит одно или несколько входных событий. На рисунке 6.3 показан пример использования логического знака

144

«ИЛИ», который имеет три входа, логический знак, объединяющий входные события, выходное событие. Выходное событие происходит, если происходит, происходит любое из входных.

Рис. 6.3. Пример использования логического знака «ИЛИ»

События, входные по отношению к операции «ИЛИ», должны формулироваться так, чтобы они вместе исчерпывали все возможные пути появления выходного события. Кроме того, любое из входных событий должно приводить к появлению выходного события, т.е. должны отвечать на вопрос: "Какие события достаточны для появления выходного события?". Важно понимать, что причина появления выходного события никогда не переходит через схему «ИЛИ» и не влияет на выходное событие, на рисунке 6.4 показано как это работает.

Рис. 6.4 Пример использования логического знака «ИЛИ»

Обратите внимание, что промежуточные события на рисунке гут получить дальнейшее развитие, например, см. рис 6.5.

6.4

мо-

145

Рис. 6.5 Пример использования логического знака «ИЛИ»

Однако, событие «Клапан по неосторожности закрыт во время обслуживания» будет последним уровнем дерева отказов по данной ветви после него необходимо поставить знак – основное событие. Один из способов обнаружить неправильное построение дерева отказов состоит в поиске тех случаев, когда причинная связь проходит через схему «ИЛИ», это является признаком использования ненадлежащей логики в проведении анализа. 6.2.3.2 Логический знак «И» Выходное событие логического знака «И» наступает в том случае, если все входные события появляются одновременно.

Рис. 6.6 Пример использования логического знака «И»

События, входные по отношению к операции «И», должны формулироваться так, чтобы второе было условным по отношению к первому, третье условным по отношению к первому и второму, а последнее –

146

условным ко всем предыдущим. Кроме того, по крайней мере, одно из событий должно быть связано с появлением выходного события. Полная характеристика событий не требуется. Иногда она даже мешает графической ясности диаграммы. Требуется лишь упорядочить события так, чтобы событие стоящее справа зависело от появления стоящего слева. Таким образом, появление выходного события будет определяться появлением последнего события в ряду N – событий. Входы операции должны отвечать на вопрос: "Что необходимо для появления выходного события?". Порядок применения логических знаков «И» и «ИЛИ». Для любого события, подлежащего дальнейшему анализу, вначале рассматриваются все возможные события, являющиеся входами операций «ИЛИ», затем входы операций «И». Это справедливо как для головного события, так и для любого события, анализ которого целесообразно продолжить.

Рис. 6.7 Пример использования логического знака «ИЛИ»

В отличие от знака «ИЛИ» при использовании знака «И» необходимо учитывать, что выход знака «И» будет совокупностью входных событий. Таким образом, знак «И» устанавливает взаимосвязь между входными и выходным событием. Пример использования знака «И» показан на рисунке 6.7. Отказ обоих дизель-генераторов и батарей приведет отказу питания шины постоянного тока. При описании событий входящих в «И» знак, все зависимости должны быть включены в том случае, если зависимости затрагивают системную логику. Зависимости существуют, когда отказ "изменяет" систему. Например, когда первый отказ происходит (например, рисунок 6.6), система может автоматически переключиться на резервное питание. При этом отказ

147

резервного источника подразумевает, что отказ основного уже произошёл. Возможные варианты одной и той же ситуации с применением знака «И», показаны на рисунке 6.8, и применяются в случае анализа схем, для которых возникновение одного из отказов изменяет рабочие режимы и/или уровни напряжения в системе, затрагивая механизмы возникновения другого отказа.

Рис. 6.8 Пример использования логического знака «И»

Таким образом, ветвь, описывающая механизмы или предшествующие причины случая «А происходит и В происходит» будет отличаться от ветви описывающей механизмы для случая «В происходит и А происходит». Знаки, которые описаны выше, наиболее часто используются при построении и анализе дерева отказов. Однако существуют другие специальные логические знаки, которые можно использовать при анализе дерева отказов. 6.2.3.3 Логический знак «Запрет» Логический знак «Запрет» является частным случаем знака «И». Выход обусловлен одним входом, но при этом должно произойти дополнительное условие. Условие, которое должно осуществиться является условным входом. Описание этого условного входа записывается в эллипс, и помещаются справа от знака. На рисунке 6.9 показана типичная ситуация применения знака «Запрет». Событие Q происходит только тогда, когда входящее событие A происходит в условиях, указанных в условии входа.

148

Рис. 6.9 Пример использования логического знака «Запрет»

Пояснить применение знака «Запрет» можно на очень простом примере (рис. 6.10). Многие химические реакции успешно происходят только в присутствии катализатора, хотя сам катализатор не принимает участия в реакции, но его присутствие необходимо.

Рис. 6.10 Пример использования логического знака «Запрет»

6.2.3.4 Логический знак «Исключающие ИЛИ» Логический знак «Исключающие ИЛИ» частный случай логического знака «ИЛИ». В большинстве случаев моделирования дерева отказов, логический знак «Исключающие ИЛИ» имеет с два входа, а выходное событие происходит только тогда, когда один происходит только одно из входных событий, а не два или более (см. рис. 6.11).

149

Рис. 6.11 Пример использования логического знака «Исключающие ИЛИ»

Логический знак «Исключающие ИЛИ» отличается от обычного «ИЛИ» в том, что ситуация, когда одновременно случаются оба входных события, исключается. Таким образом, выход Q событие происходит, если происходит или B происходит, но не в случае если А и Б происходят одновременно. Количественная разница между знаком «ИЛИ» и знаком «Исключающие ИЛИ», как правило, настолько незначительна, что обычно нет необходимости в его применении. В тех особых случаях, когда различия значительные, эта разница может быть показана при количественном анализе. 6.2.3.5 Логический знак «Приоритетное И» Логический знак «Приоритетное И» частный случай логического знака «И», в которых выходное событие происходит только тогда, когда все входные события происходят в указанной упорядоченной последовательности. Последовательность обычно записывается внутри эллипса и показывается справа от знака. Рисунок 6.11 показывает два альтернативных способа изображением типичного знак «Приоритетное И».

150

Рис. 6.12 Пример использования логического знака «Приоритетное И»

На рисунке 6.11, выходной события Q происходит только тогда, когда оба входных событий А и В происходят с происшедших до B. 6.2.3.6 Логический знак «m из n» Логический знак голосования «m из n» имеет n событий на входе, а событие на выходе происходит, если, происходят, по меньшей мере m из n событий на входе. Рассмотрим отказ системы, которая сохраняет работоспособность до отключения двух из трех источников питания. Предположим, что выключение системы происходит тогда и только тогда, когда два из трех источников питания вышли из строя. Таким образом, ненужное выключение системы происходит, если два или большее число контрольных приборов подадут ложный сигнал на выключение, в то время как система находится в нормальном состоянии. Эту ситуацию можно представить с помощью логического элемента «два из трех» как показано на рис. 6.13.

151 Рис. 6.13 Пример применения логического знака .два из трех.

Элемент голосования (выбора) эквивалентен комбинации из логических элементов «И» и «ИЛИ». 6.2.3.7 Основные правила построения дерева отказов Дерево отказов – это топологическая модель системы, которая отражает логико-вероятностные взаимосвязи между отдельными случайными исходными событиями в виде первичных отказов или результирующих отказов, совокупность которых приводит к главному анализируемому событию. Таким образом, дерево отказов – это ориентировочный граф в виде дерева. Основной целью построения дерева неисправностей является символическое представление существующих в системе условий, способных вызвать ее отказ. Кроме того, построенное дерево позволяет показать в явном виде слабые места системы и является наглядным средством представления и обоснования принимаемых решений, а также средством исследования компромиссных соотношений или установления степени соответствия конструкции системы заданным требованиям. Методики построения дерева отказов развивались более 15 лет. В самом начале построение дерева отказов можно было считать искусством, но по мере развития теории надежности был разработан ряд основных правил. Соблюдение этих правил может гарантировать успешное построение дерева отказов. Структура «дерева отказа» включает одно конечное событие (аварию, инцидент), которое соединяется с набором соответствующих нижестоящих событии (ошибок, отказов, неблагоприятных внешний воздействий), образующих причинные цепи (сценарии аварий). Для связи между событиями в узлах «деревьев» используются знаки «И» и «ИЛИ». Построение дерева отказов начинается с формулировки конечного события об отказе установки. Конечное событие первого уровня определяется промежуточными событиями второго уровня. Затем для событий второго уровня находятся события третьего уровня и их логические связи в том же порядке, что и для событий второго и первого уровней. Процесс записи событий и логических связей продолжается до тех пор, пока на всех уровнях не останутся одни события отказов отдельных элементов установки.

152

Основные правила, которые используются при построении дерева отказов можно сформулировать следующим образом. 1. Необходимо выявить и записать все возможные события, которые могут привести к отказу. Данное правило требует точного описания отказа и условия его возникновения. При этом нет необходимости в сокращении формулировок, не стоит сокращать описание события отказа ради удобства оформления дерева отказов. Допустимо сокращать слова, но сопротивляйтесь искушению сократить фразу, при этом исказив идею, заложенную в ней.  Нормально замкнутые контакты не размыкаются при подаче напряжения на катушку реле.  Двигатель не запускается при подаче напряжения. Второе правило, которое следует соблюдать в процедуре анализа системы и построения дерево отказов относиться к этапу анализа событий отказа. 2. Если ответ на вопрос: Это событие является отказом элемента? положительный, то данное событие можно отнести к отказу элементов системы если ответ отрицательный, то данное событие приводит к отказу системы. Если событие отказа классифицировано как событие отказа элемента то следует ниже поставить знак «ИЛИ» и приступить к анализу отказа основного, вторичного или неправильных управляющих воздействий. Если случай событие отказа классифицирован как событие отказа системы элементов, то осуществляется дальнейший анализ причин возникновения отказа. В данном случае могут потребоваться логические знаки «И», «ИЛИ» или другие. 3. Третье правило можно сформулировать следующей фразой: Чудес не существует, т.е. если нормальная работа элемента приводит к развитию аварии, то предполагается, что элемент работает. Это означает, что если в случае анализа системы мы могли бы найти такую ситуацию, при которой развитие аварии может быть прекращено удивительным и полностью неожиданным отказом некоторого элемента. При анализе таких элементов следует предполагать, что данный элемент будет работать и приведет к развитию аварии. Однако, если существует обратная ситуация и нормальная работа элемента препятствует развитию аварии, то следует предположить что его функционирование будет сопровождаться отказами.

153

Следующее правила относится к опасности сокращения дерева отказов и упрощению аналитического процесса 4. Все входы знаков должны быть полностью определены прежде, чем будет произведен анализ любого из них. Выход знака определяет состояние системы, и дерево отказов должно полностью описывать данное состояние, прежде чем произойдет дальнейший анализ следующих уровней дерева отказов. 5. Все входы знаков должны быть определены как события отказов и знаки не должны быть непосредственно связаны с друг с другом. Возможна ситуация когда для упрощения процедуры построения дерева отказов аналитик идет на сокращение дерева отказов «знак-знак» отказываясь от записи событий отказа на выходе или входе логического знака. Данное сокращение желательно осуществлять на этапе количественного анализа, а при построении дерева отказов сокращение может привести к хаосу и продемонстрировать, что у аналитика отсутствует понимания или существует неполное понимание анализируемой системы. 6.2.4 Качественный и количественный анализ дерева отказов Один и распространённых способов анализа дерева отказов заключается в анализе так называемых минимальных сечений дерева отказов. Отказ установки может произойти различными путями, каждый из которых включает сочетания из отказов одного или нескольких элементов. Для конкретного дерева отказов виды отказов установки четко определяются с помощью понятий сечения отказов и минимального сечения отказов. Сечение отказов – это совокупность (набор) исходных событий отказов элементов, осуществление которых вызывает наступление конечного события. Минимальное сечение отказов – это такая совокупность исходных событий, в котором при удалении любого события оставшиеся события все вместе больше не являются сечением отказа. Сечения отказов можно получить, выводя из существующего дерева отказов функцию отказа. Функцию отказов для каждого конкретного дерева отказов получают, продвигаясь снизу вверх по дереву отказов от исходных событий отказов элементов и связывая их логическими знаками (ИЛИ/И) на каждом из уровней.

154

В дальнейшем воспользовавшись правилами булевой алгебры производиться анализ функции отказов и входящих в неё сечений для выявления минимальных сечений отказов.  ABCD + AC = AC;  AF + AF + AF = AF;  AAAD = AD.  AB + ASFD + TRP = AB + TRP. Качественный анализ дерева отказов на основе полученной совокупности МСО позволяет определить «узкие» места в установке. При этом информация о надежности отдельных элементов может отсутствовать или быть неполной. В качестве примера рассмотрим получение минимальных сечений для дерева отказов, показанного на рис. 3.5. T0

T2

T1

T3

А

T4

В

C

T6

T5

T8

D

E

T9

G

I

T10

K

I

K

T7

T12

T11

L

M

L

М E

T13

G

Рис. 6.14 – Дерево отказов СЭС

Условие отказа системы электроснабжения записывается в виде дизъюнкций и конъюнкций исходных событий отказов элементов:

155

Y   A  B   C  D   E  G   I  K   I  K   L  M   L  M   E  G    AC  AD  BC  BD  EI  EK  GI  GK  IL  IM  KL  KM  LE   LG  ME  MG. Все полученные двойные комбинации элементов являются двухмерными МСО для рассматриваемой системы электроснабжения. Количественная оценка производится на основании информации о таких количественных показателях надежности для завершающего события, как вероятность отказа, интенсивность отказов или интенсивность восстановлений. И заключается в нескольких этапах: вначале вычисляются показатели надежности элемента, затем находят вероятность возникновения минимальных сечений отказа или критического пути и наконец, оценивают завершающее событие. Считаем, что исходные события отказа статистически независимы и (t) =  = const и (t) =  = const т.е. рассматриваем период нормальной эксплуатации. Коэффициент простоя для невосстанавливаемого j-го элемента равен 6.1 q j  t   1  exp   j t    j t . Если равенство q j t  

элемент j

является

восстанавливаемым,

1  exp   j   j  t  . 

 j   j  

то

справедливо 6.2

C увеличением t , т. е. t  , и при j/j  1 получаем q j t  



j j

 j 



j . j

6.3

Эти приближенные равенства в общем случае позволяют оценить величину qj. Наступление конечного события по пути минимального сечения отказов осуществляется, если все случаются все исходные события А1 . . . Аn входящие в минимально сечение отказов. Вероятность возникновения минимального сечения отказов момент времени t получается при пересечении всех исходных событий: n 6.4 qi*  t   P  A1 A2 ... An    j 1 q j  t  , где n – число членов сечения, а qj (t) – вероятность наступления j-го исходного события в момент t. Показатель i*(t) – ожидаемое число появлений минимального сечения отказов в единицу времени в момент t  определяется выражением

156 n

n

j 1

l 1 l 1

i*  t     j  t   ql  t  ,

6.5

где j(t) – параметр потока j-го исходного события в i-м МСО. Объединив равенства (6.5) и j (t) = j(t) [1 – qj (t)], получим следующую формулу: n

i  t     j  t  1  q j  t   ql  t  .

6.6

l 1 l j

Подставляя (3.12) и принимая, что приближенно 1 – qj (t)  1, получаем n

i*  t   qi*  t   j 1

 j t  q j t 

Показатель i *(t) – интенсивность определяется через показатели i* (t) и qi*(t):  t   * i

i*  t 

1  qi*  t  

.

6.7

.

появления

i-го

МСО,

6.8

Коэффициент простоя системы qс(t) или Кпс – вероятность того, что конечное событие существует в момент t, т. е. вероятность отказа системы определяется по выражению qc  t  

N мсо

 q t  . i 1

* i

6.9

где Nмсо  общее число МСО. Справедливо следующее равенство: Kгс (t) + Кпс(t) = 1. Интенсивность отказа системы с (t) , или вероятность того, что конечное событие произойдет в единицу времени в момент времени t при условии, что оно не существует в момент t : Nc

 c  t    i*  t  .

6.10

i 1

Параметр потока отказов системы  с (t), или вероятность того, что конечное событие происходит в единицу времени в момент t определяется как Nc

c  t    i*  t  .

6.11

i 1

Вероятность отказа системы Qс(t) – вероятность того, что конечное событие случится до момента t. Этот показатель является дополнением

157

Pс(t), т. е. Pс(t) + Qс(t) = 1. Величина Qс(t) больше коэффициента простоя системы или равна ему: 6.12 Qc t   qc t . Вероятность безотказной работы системы Pс(t) – вероятность того, что конечное событие не произойдет на интервале [0; t]. Этот показатель отли-чается от коэффициента готовности системы Kгс (t). Справедливо неравенство 6.13 Pc t   K гс t . 6.3 Задачи Пример 1. Пусть имеется система, представленная на рис. 6.15, элементы этой схемы характеризуются следующими показателями: р1  0,91; р2  0,96; р3  0,96 р4  0,94; р5  0,94.

Необходимо, используя метод минимальных путей и сечений, рассчитать следующие показатели надёжности невосстанавливаемой системы: - вероятность безотказной работы PC (t ) ; -

вероятность отказа QC t  .

Рис. 6.15 Схема структурной надежности

Решение. Расчет надежности заключается в нахождении и оценки путей между источником питания и узлами нагрузки. Для данной схемы, приведенной на рис.6.15, минимальными путями будут: {1,2,4}; {1,3,5}; {1,3,4}; {1,2,5,}, а минимальными сечениями − {1}; {2,3};{4,5}; {1,3,4}; {1,2,5};{1,3,4}. 1. Построим граф минимальных путей:

158

2. Вычислим вероятность безотказной работы системы:







РС  р1 1  1  р 2 р 4   1  р3 р5   1  р3 р 4 1  р 2 р5

 

0.911  1  0,902  1  0,902  1  0,902  1  0,902  0,9009.

3. Построим граф минимальных сечений:

4. Вероятность отказа системы: QC  1  PC  1  0,9009  0,0991.

6.4 Вопросы для самоконтроля 1.Что такое математическая модель? 2. Какие наиболее распространенные математические модели применяются в теории надежности? 3. Охарактеризуйте метод минимальных путей и сечений? 4. Что представляет собой граф переходов и состояний? 5. Что такое граф, вершины и ребра графа? 6. В чем различие ориентированного графа, частичноориентированного и неориентированного? 7. Какие бывают пути графа?

159

8. Что такое минимальный путь? 9. Что такое минимальное сечение? 10. Где можно использовать этот метод расчета? 11. В чем заключается качественный анализ дерева отказов? 12. Достоинства и недостатки метода дерева отказов? 13. Какие символы используются при построении дерева отказов?

160

7 УЩЕРБ ПРЕДПРИЯТИЯ ОТ СНИЖЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ

В настоящее время уделяется большое внимание выбору оптимального уровня надежности на этапах проектирования, сооружения и в процессе эксплуатации СЭС. Так как отказы в электроснабжении снижают эффективность работы промышленных предприятий, то определение требуемого уровня надежности СЭС основано на технико-экономических расчетах. Под нормативом надежности понимается численное значение показателя надежности, являющегося критерием достаточности или недостаточности уровня надёжности электроснабжения рассматриваемого объекта. Н  НН ,

7.1

где Н‒ уровень надежности; НН ‒ нормированный уровень.

Рис. 7.1 Зависимость затрат от уровня надежности: З(Н) – затраты на обеспечение надежности; У(Н)- ущерб от ненадежности; Нн – нормированный уровень надежности объекта

Конечная цель любого норматива ‒ обеспечение требуемой надежности питания потребителей, которую можно достигнуть путем принятия различных технических и организационных решений в СЭС.

161

Для надежного электроснабжения используются такие мероприятия, как: - повышение надежности элементов системы; - недогрузка работающего оборудования; - резервирование систем; - проведение планово-предупредительных ремонтов. Каждое из этих мероприятий требует дополнительных затрат в систему электроснабжения, но позволяет снизить ущерб от перерывов в электроснабжении. При этом затраты на сооружение и проектирование возрастают быстрее, чем увеличивается надежность, но в то же время такая СЭС будет дешевле в эксплуатации. Оптимальная степень надежности будет соответствовать минимуму приведенных затрат с учетом ущерба Зi  Ен Кi  Иi  М (У )  min 7.2 где Ен − нормативный коэффициента эффективности капиталовложений, который равен 0,12, а для новой техники Ен = 0,15; Кi − капиталовложения по i-му варианту; Иi – текущие затраты по тому же варианту; М(У) – математическое ожидание ущерба, связанное с нарушением электроснабжения на стадии нормальной эксплуатации СЭС. Применительно к проблеме надежности в электроэнергетике сравниваться должны варианты, обеспечивающие одинаковую надежность электроснабжения потребителей и равенство потребительского эффекта. Однако на практике степень надежности сравниваемых вариантов различна. Поэтому при их сравнении требуется введение в расчетные формулы элемента, учитывающего возможный ущерб из-за нарушения электроснабжения потребителей. Перерывы в электроснабжении приводят к нарушению технологического процесса, простою рабочих и поломки оборудования, браку, непроизводительному расходу или уничтожению сырья, снижению качества продукции. Таким образом, под ущербом понимаются отрицательные экономические последствия в целом по системе хозяйствования в результате нарушения электроснабжения. [13] Факторы, определяющие величину ущерба: ‒ величина недоотпущенной электроэнергии Энд  ; ‒ средняя потребляемая мощность Рср  ;

‒ нормативное время работы потребителя, ( t раб ); ‒ время нарушения электроснабжения t нар.эл ;

162

‒ наличие технологических и других резервов. Недостаточная надежность СЭС при эксплуатации приводит к большому материальному ущербу. От прекращения работы потребителей различают четыре степени последствий. Первая степень последствий ‒ максимальная, когда прекращение работы потребителей создает угрозу жизни людей, приводит к возникновению глубоких нарушений окружающей среды, повреждению уникального и дорогостоящего оборудования. Оценить экономический ущерб для таких потребителей практически невозможно. Вторая степень ‒ высокая, когда отказ в электроснабжении приводит к значительным экономическим потерям вследствие повреждения сложного оборудования, массовой порче сырья, браку продукции и требуют больших средств и времени на возобновление производственного процесса, а также вызывают нарушение нормальной работы связанных с ним других производств. Третья степень последствий ‒ нормальная. В этом случае отказы потребителей вызывают экономические потери намного меньшего масштаба, чем при второй степени последствий. Четвертая степень – незначительная, когда отказы питания потребителей незначительно увеличивают производственные потери, которые можно перекрыть без особых затрат труда и средств. При этом имеются в виду также отказы, происходящие в период простоя оборудования [8].

163 Рис. 7.2 Зависимость степени тяжести ущерба от времени нарушения

Современные СЭС представляют собой сложные и многократно резервируемые сети, получающие питание от нескольких источников. Они оснащены большим количеством устройств релейной защиты, автоматики и телемеханики. Но, в тоже время отказ в электроснабжении хотя бы одного потребителя, приводит к недовыполнению системой основной задачи – это снабжение потребителей электроэнергией в нужном количестве и должного качества. Проблема определения величины ущерба от нарушений электроснабжения очень сложная задача. Разработаны различные методики оценки ущерба, но единой методологии, годящейся для повсеместного применения, до настоящего времени не разработаны. Известны только некоторые общие принципы по определению величины ущерба. В настоящее время критерием оптимальности суммарных экономических дополнительные затраты на нарушения электроснабжения:

наиболее универсальным экономическим уровня надежности считается минимум расходов, которые включают в себя повышение надежности СЭС и ущерб от

над над Знад.  Ен  К инв   а   эксп   К инв  У пот  У ээс  min ,

7.3

где Е н - нормативный коэффициент доходности инвестиций в надежность; над К инв - инвестиции в повышение надежности электроснабжения;  а ,  эксп -

коэффициенты амортизационных отчислений и эксплуатационных расходов; У пот ,У ээс - среднегодовые значения ущерба от нарушений электроснабжения потребителей и ущерба ЭЭС от внезапных ремонтов поврежденного оборудования, неоптимальных режимов работы электростанций (перерасход топлива) и ЭС (увеличение потерь электроэнергии). [14] При нарушении электроснабжения возникает ущерб, как у потребителя У пот , так и в энергосистеме У ээс , т. е. У  У пот  У ээс .

7.4

Как потребительский Упот, так и системный Уээс ущербы можно разделить на прямой и дополнительный. 7.1 Ущербы в энергосистеме Аварийные и внеплановые ремонты энергетического оборудования в ЭЭС наносят определенный ущерб, связанный с расходами на

164

производство и содержание ремонтного персонала. Величину прямого ущерба можно определить как n

У прям   И АРi  K Bi ,

7.5

i 1

где И АРi ‒ издержки на аварийный ремонт i ‒ ой единицы оборудования; K Bi ‒

коэффициент

вынужденного

простоя

i

‒ой

единицы

оборудования [13]. Изменение режима работы энергосистемы при отказах оборудования приводит к потерям электроэнергии в питающей сети, перерасходу сырья для включения резервных источников, что также надо учитывать при расчетах. Таким образом, это все приводит к дополнительному ущербу, где необходимо учитывать удельные расходы и цену топлива на электростанциях, выработку электроэнергии и коэффициент вынужденного простоя оборудования на базовых и резервных электростанциях. Косвенный ущерб народному хозяйству приносит не использование отказавшего оборудования и персонала простаивающих установок по прямому назначению, что приводит к недоиспользованию основных и оборотных фондов ЭЭС: n

У КОС   И ЗПi  И АМi  eН К i K Bi ,

7.6

i 1

где

И ЗПi , И АМi , K i , K Bi ‒

часть

годовой

фонд

заработной

платы

эксплуатационного персонала, не использующего i-ю единицу оборудования по прямому назначению, амортизационные отчисления на iю единицу оборудования, часть недоиспользованных основных и оборотных фондов i- ой единицы оборудования, коэффициент вынужденного простоя i- ой единицы оборудования соответственно; e Н ‒ коэффициент для пересчета основных фондов i- ой единицы оборудования в годовом разрезе [13]. Таким образом, величина ущерба в энергосистеме будет иметь три составляющих: У ЭЭС  У прям  У доп  У кос . 7.7 7.2 Ущербы потребителей Для потребителя электроэнергии важно оценить реальные затраты, которые он будет иметь из-за перерывов в электроснабжении. Перерыв в

165

электроснабжении может быть как планово-предупредительный, так и внезапный. Любой перерыв всегда связан с нарушением электроснабжения и предполагает проведение ряда мер с целью устранения и уменьшения ущерба для производства. Прямой ущерб (Упр), связанный с самим фактом перерыва электроснабже- ния, т.е. ущерб, возникающий при выходе из строя оборудования и инструмента, брака продукции, расстройства технологического процесса, ухудшением технико-экономических показателей технологического процесса и т.п. Прямой ущерб определяется по формуле: 7.8 У прям  У прям(0)  У прям(1) (t э )  У прям(2) (t ВЭТ ), где У прям0  – постоянная составляющая прямого ущерба, определяемая фактом отказа в электроснабжении; У прям1 t э  − составляющая прямого ущерба за время восстановления электроснабжения tэ; У прям2  t ВЭТ  – составляющего прямого ущерба от момента восстановления электроснабжения до доведения технологического процесса установки до нормального режима [8]. Дополнительный ущерб (Удоп), связанный с длительностью перерыва электроснабжения и недовыработкой продукции, который можно представить как У д  f t П  . 7.9 Дополнительный ущерб отсутствует, если перерыв электроснабжения не приводит к уменьшению выпуска продукции или имеется возможность восполнения её недовыпуска за счёт имеющихся резервов без дополнительных затрат. Полный экономический ущерб потребителя можно определить, используя удельные ущербы, отнесенные к полной установленной мощности для рассматриваемого потребителя и удельного ущерба на единицу продукции, по формулам: 7.10 У    у0  уt  Т В. расч   расч  П ,   W расч  Wфакт У     у 0  у t  TВ. расч     расч , 8760 W  

7.11

где у 0 – составляющая удельного ущерба, связанная с фактом потери питания электроэнергии, руб. / (перерыв × ед.прод.); γ – коэффициент, учитывающий степень ограничения производства при перерывах электроснабжения; Т В. расч. – расчетное время ликвидации аварии, час; П –

166

средняя производительность предприятия, ед.прод./ час;  расч. расчетная интенсивность аварийных перерывов электроснабжения (параметр потока отказов системы), год-1; у t ‒ величина удельного ущерба на единицу продукции , руб. / ед.прод.; у t ‒ величина удельного ущерба на единицу W

потребляемой

электроэнергии,

руб.

/

кВт·ч;

W расч. –

расчетное

электропотребление предприятия в нормальном режиме, кВт·ч / год; Wфакт – фактическое электропотребление электроснабжения, кВт·ч / год. [15].

предприятия

при

нарушении

7.3 Удельные ущербы При определении величины ущерба на практике обычно пользуются понятием удельного ущерба, т. е. величиной ущерба от недоотпуска электроэнергии. Величина удельного ущерба определяется как отношение ущерба системы и потребителей к средней величине недоотпущенной электроэнергии из-за перерывов, как в энергосистеме, так и у потребителей: у0 

У ЭЭС  У потр n

Э i 1

7.12

.

ндi

Ожидаемое количество электроэнергии, недоотпущенное потребителям за рассматриваемый период времени (обычно за год), определяется как суммарный ожидаемый недоотпуск электроэнергии всем М потребителям, присоединенным к данной СЭС т. е. M

Эндi   Эi ,

7.13

i 1

где Эi ‒ ожидаемый недоотпуск i-му потребителю. Величина удельного ущерба от недоотпуска электроэнергии может быть также определена как уэ 

1000 , Нэ

7.14

где Н Э ‒ норма электропотребления на 1000 руб. выпускаемой продукции данного предприятия [13]. Для расчета на основе удельного ущерба пользуются упрощенным методом: 7.15 у ум  уОВ  q B  уОП  q П  Эндi ,  





где уов, уоп – удельные ущербы от внезапных перерывов и перерывов планово-предупредительных в зависимости от длительности перерыва,

167

руб./кВт∙ч; qΣв – вероятность отказа технической системы; qΣп – средняя вероятность планово-предупредительного отключения; Эндi ‒ количество недоотпущенной электроэнергии потребителю, кВт∙ч. 7.4 Экономический эффект от повышения надежности В настоящее время в России отсутствует рекомендованная регулирующими органами удельная стоимость компенсации ущерба от аварийных ограничений потребителей электроэнергии. Удельная величина ущерба от внезапных ограничений, в зарубежной практике, принимается в диапазоне от 2 до 4,5 долл./кВт∙ч. При расчете экономической эффективности стоимость ущерба от аварийных ограничений до ее официального установления Правительством России рекомендуется оценивать исходя из зарубежного опыта компенсации ущерба потребителям в размере 1,5‒4 долл./кВт  час. Эти данные являются усредненными и могут быть использованы для ориентировочной оценки ущерба на случай аварийных перерывов электроснабжения в сети общего пользования с разным составом потребителей. Ущерб от возможных внезапных перерывов электроснабжения рекомендуется учитывать при технико-экономическом сравнении вариантов [10]. Экономический эффект от повышения надежности представляется в виде снижения затрат на обслуживание; сокращение потребности в электроэнергии, сырье; увеличение времени использования. Технико-экономические расчеты позволяют определить экономический эффект от каждого мероприятия, улучшающего основное производство и энергетику предприятия. Наиболее эффективным мероприятием является замена старого оборудования на новое, прогрессивное и экономичное. Замена изношенного электрооборудования не требует обоснования, поскольку оно снижает надежность работы, требует повышенных затрат на ремонтное обслуживание, а также имеет низкие эксплуатационные характеристики. Повышение надежности должно предотвратить экономический ущерб от аварийных перерывов электроснабжения, а особенно таких, где перерыв недопустим (металлургия, химическая и нефтеперекачивающая промышленности). Экономический эффект от повышения надежности электроснабжения (Ээ) определяется сопоставлением дополнительных

168

капиталовложений, требующихся для этого (Кн), дополнительных расходов при эксплуатации устройств, повышающих надежность (Ин), с величиной, которая предотвращает средний экономический ущерб от перерывов электроснабжения (У, руб./год), умноженного на параметр интенсивности отказов в системе электроснабжения (руб./год): Ээ  У    Е Н  К Н  И Н  . 7.16 Энергосберегающая политика должна стать экономическим рычагом для конкурентоспособной деятельности промышленных предприятий на рынке, где с ее помощью можно получить дополнительную прибыль /15/.

7.5 Задачи Пример 1. Определить показатели надежности электроснабжения и экономическую целесообразность резервирования сети для электроснабжения потребителей подстанции (схема на рис. 7.3).

а)

б)

Рис. 7.3 Нерезервированная (а) и резервированная (б) радиальная сеть

Показатели надежности :Рр=60 МВт; Tн - число часов использования максимума; 1 а) выключателя: интенсивность отказа ‒ В  0,1год ; среднее время 3 восстановления и планово-предупредительных ремонтов ‒ TВ  2,6  10 лет/отказ;

169

б) воздушной линии:

0 L  0,09

г од1 ; км

L  170 км; среднее время

ав 3 восстановления после отказа Т L  1 10 , лет / отказ;

в) трансформатора: Т  0,02отказ / год; Т В  2,5 10 лет / отказ. г) у0 – удельный ущерб, 0,8 тыс.руб./год недоотпущенной электроэнергии; д) Ц – стоимость потерь электроэнергии‒ 1.10-2тыс.руб./МВт.ч Решение: Вариант 1. На рис. 7.3(а) представлена одноцепная линия, перерывы в электроснабжении которой для потребителей П категории возникают как при аварийном, так и при планово-предупредительном ремонтах. Схема представляет последовательно включенные элементы электропередачи (выключатель, линия, трансформатор). 1. Определяем вероятность аварийного простоя для схемы (а): ‒ выключателя 3

qв  λ В  Т В в  0,1  2,6  10 3  0,26  10 3 ;

‒ воздушной линии qL  λ 0L  L  Т Lав  0,09  170  1  10 3  1,5  10 3 ;

‒ трансформатора qТ  λ Т  Т В Т  0,02  2,5  10 3  0,05  10 3 ;

‒ блок линия-трансформатор

q L Т  λ Т  Т В Т  0,26  1,53  0,05  10 3.  1,84  10 3.

2. Ожидаемый недоотпуск электроэнергии (без резервирования) Энд  1,84  10 3  60  7000  772,8МВт  ч

3. Ущерб от недоотпуска электроэнергии У1  0,8  772,8  618,3тыс. руб .

Вариант 2. Рис. 7.3(б). При резервировании сети с параллельным включением элементов, цепи имеют одинаковые элементы. 4. Для второго варианта с учетом резервирования вероятность аварийного простоя обеих линий: q  q B  q L   qT  0,26  1,53  10 6  0,05  10 3  0,053  10 3 ; 2

2

5.Ожидаемый недоотпуск электроэнергии для второго варианта: Энд  0,053  10 3  60  7000  22,26МВт  ч.

6.Ущерб от недоотпуска электроэнергии для второго варианта:

170 У 2  0,8  22,26  17,81тыс. руб

Из рассмотренных вариантов видно, что электроснабжение по двухцепной схеме более экономично. 7.6 Вопросы для самоконтроля 1. Что такое норматив надежности? 2. Какие мероприятия используются для надежного электроснабжения? 3. Как определяется оптимальная степень надежности? 4. Что такое «ущерб»? 5. Какие факторы определяют величину ущерба? 6. Какие различают степени последствий при перерывах электроснабжения? 7. Какие возникают ущербы при нарушениях электроснабжения? 8. Чем вызваны прямой и дополнительный ущербы? 9. Когда используется удельный ущерб? 10. Как определяется экономический эффект?

171

8

НАДЕЖНОСТЬ ОБЪЕКТОВ ПРИ ИСПЫТАНИЯХ И ЭКСПЛУАТАЦИИ

Создание сложных систем, обладающих высокими показателями эффективности и надежности возможны лишь при условии получения исходных данных о параметрах элементов, узлов и частей этих систем. Между тем, надежность закладывается при проектировании, обеспечивается при изготовлении и поддерживается в эксплуатации. На каждом из этапов необходимо оценивать фактическую надежность, для этого требуются экспериментальные данные, которые можно получить при испытаниях на надежность. Испытания на надежность − это определение показателей надежности объекта на основании непрерывного наблюдения за состоянием его работоспособности в условиях, предписанных методикой испытаний. Они являются обязательным видом испытаний при изготовлении изделий и при приемке их от заводов-изготовителей. Методики проведения таких испытаний регламентируются Государственными и отраслевыми стандартами. Испытания на надежность могут дать объективную информацию о надежности объекта с учетом влияющих при его работе факторов. Вместе с тем испытания на надежность имеют и отрицательные стороны: они требуют больших затрат времени, средств, а также в процессе испытаний расходуется значительная часть ресурса. Чтобы испытания на надежность были менее трудоемкими и менее дорогостоящими, применяют специальные приемы: 1) использование таких режимов, которые приводят к ускорению процесса возникновения отказов; 2) прогнозирование отказов по изменению тех или иных параметров объекта; 3) использование предварительной информации о надежности испытуемого изделия, а также принципа накопления информации, полученной из разных источников [16]. Исходными данными, которые подвергаются обработке, являются время наработки на отказ, время наработки на восстановление и число отказов однотипных элементов. После того, как такой материал собран, его обработка позволяет установить законы распределения показателей надежности: вероятность безотказной работы, интенсивность отказов, среднее время наработки на отказ и др.

172

До решения основных задач на основе опытных данных для анализа надежности целесообразно сначала проверить, с помощью статистического критерия согласия, на соответствие выбранного теоретического распределения эмпирическому распределению, построенному на основании проведенных испытаний. В математической статистике близость эмпирических и теоретических распределений оценивают с помощью критериев согласия, которые разработаны такими учеными, как Пирсон, Колмогоров, Романовский и др. При проведении планов испытаний, в соответствии с ГОСТом 27.002-89, предусматривается ряд предварительных условий. Вводятся условные обозначения различных планов в виде совокупности символов: N – число одновременно испытываемых объектов; R – невосстанавливаемые, но заменяемые при испытаниях в случае отказов объекты; U – невосстанавливаемые и незаменяемые при испытаниях в случае отказов объекты; r – число отказавших объектов; М – восстанавливаемые при испытаниях в случае отказа объекты; Т – длительность испытаний. Таким образом, при испытании невосстанавливаемых объектов и восстанавливаемых объектов, будем иметь следующие планы: [N U M]; [N U Т]; [N U r]; [N U N]; [N R Т] и др. Для невосстанавливаемых объектов можно использовать, например, такой план испытаний [N U M], при котором на испытания ставятся N объектов (табл. 8.1). Испытания проводятся до отказа всех объектов с фиксированным временем ti . Таблица 8.1 Суммарная наработка для соответствующих планов испытаний План испытаний

(NUr)

Суммарная наработка Т r , ч r

t j

Т r 

j 1

 ( N  r )t r

r

(NUT)

Т r   t j  ( N  r )T

NU(r, T)

при t r  T Т r   t j  ( N  r )t r

j 1

r

j 1

173 r

при t r  T Т r   t j  ( N  r )T j 1

Т r  Nt r Т r  NT (NRT) при t r  T Т r  Nt r NR(r, T) при t r  T Т r  NT Средняя наработка на отказ 1 N Т 0   ti . 8.1 N i 1 Среднеквадратическое отклонение σ(Т 0 ) относительно его среднего значения (NRr)

N

 (ti  T0 )

σ(t ) . 8.2 ( N  1) N N Для экспоненциального закона σ(t )  Т 0 . Из формулы (6.2) следует σ(Т 0 ) 

i 1



2

 T  8.3 N  0  .  σ(T )  Для восстанавливаемых объектов при испытаниях по плану [NRr], средняя наработка на отказ, до r отказов tp T0  , 8.4 (r  1) где tp – суммарная наработка испытываемых объектов [5].

8.1 Критерии согласования при статистических исследованиях в надежности СЭС. Общая постановка задачи В математической статистике часто выделяют особый раздел, в котором рассматривается проверка гипотез. В теории надежности наиболее часто используются критерии согласия − критерий  2 или критерий Колмогорова. Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины, формулируемое на основе выборки. Она применяется для того, чтобы использовать, полученную при выборке информацию, для суждения о законе распределения случайной величины. Обычно статистическая гипотеза проверяется с помощью критериев согласия, которые позволяют

174

оценить соответствие того или иного теоретического закона распределения некоторому эмпирическому ряду распределения. Критерием согласия называется случайная величина 8.5 U  ( xi , K , xn ) , где хi – значение выборки, которая позволяет принять или отклонить гипотезу о предполагаемом законе распределения. Гипотезу, которая утверждает, что различие между сравниваемыми характеристиками отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями в выборках, то на их основании производится сравнение, которое называют основной гипотезой и обозначают Н0. Наряду с основной гипотезой рассматривают и альтернативную (конкурирующую, противоречащую) ей гипотезу Н1. Если нулевая гипотеза будет отвергнута, то будет иметь место альтернативная гипотеза. Различают простые и сложные гипотезы. Гипотезу называют простой, если она однозначно характеризует параметр распределения случайной величины. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез. Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой случайной величины – критерия, точное или приближенное распределение которого известно. Обозначим эту величину через z, ее значение является функцией от элементов выборки z = z(x1, x2, …, xn). Процедура проверки гипотезы предписывает каждому значению критерия одно из двух решений – принять или отвергнуть гипотезу. Тем самым все выборочное пространство и соответственно множество значений критерия делятся на два непересекающихся подмножества S0 и S1. Если значение критерия z попадает в область S0, то гипотеза принимается, а если в область S1, – гипотеза отклоняется. Множество S0 называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S1 – областью отклонения гипотезы или критической областью. Таблица 8.2 Проверка гипотез Гипотеза Н0 Верна

Решение Принимается

Вероятность 1–α

Отвергается

α

Примечание Доверительная вероятность Вероятность ошибки первого рода

175

Неверна

Принимается

β

Отвергается

1–β

Вероятность ошибки второго рода Мощность критерия

Принятие или отклонение гипотезы Н0 по случайной выборке соответствует истине с некоторой вероятностью, но возможны два рода ошибок. Ошибка первого рода возникает с вероятностью α тогда, когда отвергается верная гипотеза Н0 и принимается конкурирующая гипотеза Н1. Ошибка второго рода возникает с вероятностью β в том случае, когда принимается неверная гипотеза Н0, в то время как справедлива конкурирующая гипотеза Н1. Доверительная вероятность – это вероятность не совершить ошибку первого рода и принять верную гипотезу Н0. Вероятность отвергнуть ложную гипотезу Н0 называется мощностью критерия. Следовательно, при проверке гипотезы возможны четыре варианта исходов, табл. 8.2. Например, когда некоторая несмещенная оценка параметра q вычислена по выборке объема n, то эта оценка будет иметь плотность распределения f(q ), а Т – истинное значение оцениваемого параметра, рис. 8.1. Область принятия Площадь равна 1 − θ

f(θ)

Область отклонения Площадь равна α/2

Область отклонения Площадь равна α/2

θ θ1−α/2

Т

θα/2

Рис. 8.1 Области и отклонения гипотезы

Если рассматривать гипотезу Н0 о равенстве q = Т, то чтобы эту гипотезу отвергнуть, надо знать различие между q и Т и насколько оно велико. Целесообразно полагать одинаковыми значения вероятности выхода параметра θ за нижний и верхний пределы интервала. Такое допущение позволяет минимизировать доверительный интервал, т.е. повысить мощность критерия проверки. Суммарная вероятность того, что параметр θ

176

выйдет за пределы интервала с границами θ 1–α /2 и θα/2, составляет величину α. Надо выбрать эту величину настолько малой, чтобы выход ее за пределы интервала был маловероятен. Если оценка параметра попала в заданный интервал, то нет оснований подвергать сомнению проверяемую гипотезу, следовательно, гипотезу равенства q =Т можно принять. Но если после получения выборки окажется, что оценка выходит за установленные пределы, то в этом случае есть основания отвергнуть гипотезу Н0. Отсюда следует, что вероятность допустить ошибку первого рода равна α (равна уровню значимости критерия). Если предположить, что истинное значение параметра в действительности равно Т + d, то согласно гипотезе Н0 о равенстве q =Т – вероятность того, что оценка параметра q попадет в область принятия гипотезы, составит b, рис. 8.2. f(θ) Площадь = β

Критическая область

Критическая область

Площадь = 1 − β

θ θ1−α/2

Т

θα/2

T+d

Рис. 8.2 Область принятия гипотезы

Аналогичные рассуждения можно провести для случая, когда истинное значение параметра равно Т – d. Единственный способ уменьшить эти вероятности, состоит в увеличении объема выборки. При выборе критической области руководствуются правилом Неймана–Пирсона: следует так выбирать критическую область, чтобы вероятность α была мала, если гипотеза верна, и велика в противном случае. На практике, если P < 0,1, то рекомендуется подыскать другой закон распределения. Рассмотрим применение названных критериев в надежности электроснабжения.

177

8.2 Критерий хи-квадрат К. Пирсона Известный английский статистик К. Пирсон в 1900 году предложил для оценки расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами критерий, который основан на определении величины хи-квадрат (χ2). Алгоритм проверки гипотезы при помощи критерия согласия χ2: 1. Построить интервальный статистический ряд вероятностей и гистограмму. 2. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу H 0 : f  x   f 0  x  , F  x   F0  x  ; H1 : f  x   f 0 , F  x   F0  x  , 8.6 где f0(x), F0(x) – плотность и функция гипотетического закона распределения. 3. Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров Qˆ1 , ..., Qˆ m гипотетического закона распределения. 4. Вычислить значение критерия по формуле M ( p  p ) 2 M (v  np ) 2 j j j j ,  2  n  p np j 1 j 1 j j

8.7

где pj – теоретическая вероятность попадания случайной величины в j-й интервал при условии, что гипотеза H0 верна: pi  p( A j  X  B j ) 

Bj

 f 0 ( x)dx  F0 ( B j )  F0 ( A j ) .

8.8

Aj

После вычисления всех вероятностей pi проверить, выполняется ли М

контрольное соотношение 1   pi  0,01 . j 1

2

5. Из таблицы χ (см. приложение А) выбирается значение χ 2 , k , где α − заданный уровень значимости (α = 0,05 или 0,01), а k − число степеней свободы, определяемое по формуле 8.9 k  M 1 s , где s – число параметров гипотетического закона распределения. 6. Если χ 2  χ 2 , k , то гипотеза Н0 отклоняется, в противном случае принимается. 8.3 Критерий А.Н. Колмогорова Последовательность действий при проверке гипотезы о законе распределения при помощи критерия согласия Колмогорова следующая.

178

1. Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения F*(x), где эмпирическая функция распределения определяется формулой x  x1 ;  0, i  F  ( x)   , xi  x  xi 1 ; n x  xn .  1,

8.10

2. По виду графика F*(x) выдвинуть гипотезу: 8.11 H 0 : F ( x)  F0 ( x) , H1 : F ( x)  F0 ( x) , где F0(x) – функция гипотетического закона распределения. 3. Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров Qˆ1 , ..., Qˆ m гипотетического закона распределения. 4. Рассчитать 10−20 значений функции F0(x) и построить ее график в одной системе координат с функцией F*(x). 5. По графику определить максимальное отклонение по модулю между функциями F*(x) и F0(x). n

Z  max F  ( xi )  F0 ( xi ) .

8.12

i 1

6. Вычислить значение критерия Колмогорова

λ nZ. 8.13 7. Из таблицы распределения Колмогорова (см. приложение А) выбрать критическое значение λ γ , γ  1  α , здесь α – заданный уровень значимости (α = 0,05 или 0,01). 8. Если λ > λγ , то нулевая гипотеза H0 отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить. 8.4 Задачи Пример 1. Пусть дан вариационный ряд случайной величины X. Уровень значимости α равен 0,05. Проверить с помощью критерия χ2. Вариационный ряд случайной величины x имеет вид: –6,237 –6,229 –5,779 –5,139 –4,950 –4,919 –4,636 –4,560 –4,530 –4,526 –4,523 –4,511 –4,409 –4,336 –4,259 –4,055 –4,044 –4,006 –3,972 –3,944 –3,829 –3,794 –3,716 –3,542 –3,541 –3,431 –3,406 –3,384 –3,307 –3,181 –3,148 –3,124 –3,116 –2,892 –2,785 –2,734 –2,711 –2,637 –2,633 –2,428 –2,381 –2,339 –2,276 –2,222 –2,167 –2,111 –2,034 –1,958 –1,854 –1,803 –1,774 –1,755 –1,745 –1,713 –1,709

179

–1,566 –1,548 –1,480 –1,448 –1,353 –1,266 –1,229 –1,179 –1,130 –1,102 –1,060 –1,046 –1,035 –0,969 –0,960 –0,903 –0,885 –0,866 –0,865 –0,774 –0,721 –0,688 –0,673 –0,662 –0,626 –0,543 –0,445 –0,241 –0,174 –0,131 0,115 0,205 0,355 0,577 0,591 0,795 0,986 1,068 1,099 1,195 1,540 2,008 2,160 2,534 2,848.

Решение. Выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону. 1  ( x  a) 2   x  m H 0 : f 0 ( x)  exp  F ( x )  0 , 5  Φ ,  ; 0  2σ 2  σ 2π  σ   H1 : f ( x)  N (m, σ) .

Определим оценки неизвестных параметров m и нормального закона распределения: m  x  1,7 , σ  S0  1,98 . Значение критерия вычисляем по формуле (6.5): 10 ( p  p  ) 2 j j 2 . χ  100 pj j 1 При проверке гипотезы используем равновероятностную гистограмму. В этом случае получим v j 10 p xj    0,1. n 100 Теоретические вероятности pi рассчитываем по формуле (6.6)  Bj  x   Aj  x  p j  F0 ( B j )  F0 ( A j )  Φ    :  S0   S0  p1  ((4,5245  1,7) /1,98)  ((  1,7) /1,98)  (1,427)  ()  0,078 ; p2  ((3,8865  1,7) /1,98)  ((4,5245  1,7) /1,98)  (1,104)  0,845  0,058; p3  0,094 ; p4  0,135 ; p5  0,118 ; p6  0,097 ; p7  0,073 ; p8  0,059 ; p9  0,174 ; p10  ((  1,7) /1,98)  ((0,6932  1,7) /1,98)  0,114 .

После этого проверяем выполнение контрольного соотношения: М

1   pi  0,01 , j 1

тогда

(0,114  0,1) 2   (0,078  0,1) 2 (0,064  0,1) 2 χ 2  100    L  0,078 0,064 0,114    100  (0,0062  0,0304  0,0004  0,0091  0,0028  0,0001  0,0100   0,0285  0,0315  0,0017)  100  0,1207  12,07.

180

После этого из таблицы распределения χ2 (приложение А) выбираем критическое значение χ 2  χ α2,k  χ 02,05; 7  14,07 . Так как χ2 < 14,07, то гипотеза Н0 принимается. Пример 2. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о равномерном законе распределения R(0,5; 5,25) случайной величины по выборке объема 10: 2,68 1,83 2,90 1,03 0,90 4,07 5,05 0,94 0,71 1,16, уровень значимости α = 0,05. Решение. Вариационный ряд данной выборки имеет вид: 0,71 0,90 0,94 1,03 1,16 1,83 2,68 2,90 4,07 5,05. После этого строим график эмпирической функции распределения F*(x) (рис. 8.3). F*(x)

F0(x) 0,36 x 1

2

3

4

5

Рис. 8.3 График эмпирической функции распределения F*(x)

Теоретическая функция распределения F0(x) равномерного закона R(0,5;5,25) равна 0, x  0,5;   F ( x)  ( x  0,5) /(5, 25  0,5), 0,5  x  5, 25;  1, x  5, 25.  

Максимальная разность по модулю между графиками F*(x) и F0 ( x)  Z  0,36 при х = 1,16. Вычислим

значение

критерия

Колмогорова

  n  Z  10  0,36  1,14 . Из Приложения А выбираем критическое значение    1   0,95  1,36 . Так как λ < 1,36, гипотеза о равномерном законе распределения принимается.

181

8.5 Вопросы для самоконтроля 1. Что представляет математическая модель, и для каких целей она используется в задачах надежности? 2. Из каких условий выбирается закон распределения наработки до отказа объекта? 3. Что такое критерий согласия? 4. В чем заключается постановка задачи при испытаниях объектов на надежность? 5. Что представляет собой процедура формирования статистического ряда по результатам испытаний? 6. Что такое статистическая гипотеза? 7. Какие эмпирические функции рассчитываются при обработке результатов испытаний? 8. В чем заключается выбор закона распределения наработки до отказа по результатам испытаний? 9. По каким признакам классифицируются испытания на надежность? 10. Какие задачи ставятся перед определительными испытаниями на надежность? 11. Что такое « план испытаний»? 12. Какова процедура проведения испытаний на надежность?

182

9

НОВЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

9.1 Применение теории нечетких множеств в задачах анализа надежности технического решения 9.1.1 Элементы теории нечетких множеств В настоящее время при выборе вариантов реконструкции главных схем выдачи мощности применяются такие подходы как метод приведенных затрат, комплексный критерий эффективности и метод экспертных оценок и др. Основные недостатки этих методов являются: методы требуют четко определенных исходных данных, невозможность формализации процесса принятия решения, а также наличие человека в процессе расчетов. Аппарат теории нечетких множеств позволяет формализовать процесс принятия решений и исключить из процесса расчета влияние человека. Развитие теории нечетких множеств (ТНМ) [17, 18, 19, 20] позволило развить теорию принятия решений в нечетких условиях [21, 22, 23, 24]. Такие понятия, как множество “больших” или “малых” величин, уже не являются множествами в классическом смысле, так как не определены границы их степеней малости, которые позволили бы провести процедуру классификации и четко отнести каждый объект к определенному классу. Большинство классов реальных объектов и процессов относятся именно к такому нечетко определенному типу. Поэтому возникла необходимость введения понятия о нечетком подмножестве как о классе с непрерывной градацией степеней принадлежности [18]. Для нечеткого подмножества, являющегося расширением понятия множества в классическом смысле, на пространстве объектов Х={x} вводится уже не функционал вида (рис 9.1.): 1, если x  A I A ( x)   0, если x  A

,

а характеристическая функция (рис 9.2), задающая для всех элементов степень наличия у них некоторого свойства, по которому они относятся к подмножеству А. Эта характеристическая функция для нечеткого множества традиционно носит название функции принадлежности [18]. Нечеткое подмножество А множества Х характеризуется функцией принадлежности :Х[0,1] ставит в соответствие каждому элементу х  X число А(х) из интервала [0,1], характеризующее степень принадлежности элемента х подмножеству А. Причем 0 и 1 представляют собой

183

соответственно низшую и высшую степень принадлежности элемента к определенному подмножеству.

Рис. 9.1  Пример четкого множества.

Можно интерпретировать элементы, которым поставлена в соответствие 1, как элементы, находящиеся во множестве A, а элементы, которым поставлен в соответствие 0, как элементы, не находящиеся во множестве A

Рис. 9.2  Пример нечеткого множества. Пусть A нечеткий интервал от 5 до 8 и B нечеткое число около 4.

Вопрос о построении функций принадлежности (F-функций) является одним из самых важных вопросов в теории нечетких множеств [25], [26], [27]. Если в классической теории множеств понятие характеристического функционала играет второстепенную роль, то для нечетких множеств функция принадлежности становится единственно возможным средством их описания. С формальной точки зрения нет необходимости различать нечеткое множество и его функцию принадлежности. В этом смысле ТНМ можно рассматривать как теорию функций специального вида обобщенных характеристических функций. Численное значение функции принадлежности характеризует степень принадлежности элемента некоторому нечеткому множеству,

184

являющемуся в выражении естественного языка некоторой, как правило, элементарной характеристикой явления (малое, большое, старый, молодой и т.п.). Л.Заде ввел понятие лингвистической переменной [18], значениями которой являются слова или предложения естественного языка, которые описываются нечеткими значениями. Например, лингвистическая переменная ВОЗРАСТ принимает нечеткие значения молодой, не молодой, старый, не очень старый и т.д. Существуют достаточно четкие области, где классификация, а соответственно и решения, которые будут достаточно однозначными – область, близкая к идеальному состоянию электрооборудования, и область, близкая к полному износу электрооборудования. Наиболее сложно принимать решение, когда состояние системы приходится на переходный режим между этими двумя крайними состояниями, и когда этот переход не скачкообразен, а непрерывен. Такая ситуация очень типична для реальных систем, и многие понятия естественного языка не могут быть формализованы с помощью классических математических понятий, так как граница между двумя классифицируемыми состояниями (например, “новый” - “старый”) является нечеткой, размытой. Таким образом, основное предположение состоит в том, что нечеткое множество, несмотря на расплывчатость его границ, может быть точно определено путем сопоставления каждому элементу х числа, лежащего между 0 и 1, которое представляет степень его принадлежности к А. Над нечеткими множествами можно рассмотреть различные теоретикомножественные операции: ~ ~ ~ B пересечения A дополнения A  A~ x    A x   A~  ~B x    A x & B x  ~ \~ ~ ~ разность нечетких множеств A B B объединения A  A~ \ ~B  x   A  x & B  x  A~  ~B x    A x    B x  Основные свойства операций. ~ A  A  ~ (инволюция)

(ассоциативность) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Знак ‘’  означает нечеткое ра- A  B  C   A  B  C  A  B  C ~ ~ венство множеств. A  B  C~   A~  ~B  C~  A~  ~B  C~ ~ A ~ A ~ A (дистрибутивность) (идемпотентность) ~ ~ ~ AA  A

185

~ ~ ~ A B ~ B A (коммутативность) ~ ~ ~ ~ A  B  B A

 ~B  C~   A~  ~B A~  C~  и т.д.  ~B  C~   A~  ~B A~  C~ 

~ A ~ A

Графически теоретико-множественные операции отображаются в следующем виде рис 9.3-9.5.

Рис. 9.3  Пример нечеткого множества. Иллюстрирует нечеткое множество между 5 и 8 И (AND) около 4 (жирная линия).

Рис. 9.4  Нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR) около 4 показано на следующем рисунке (жирная линия).

Рис. 9.5  Рисунок иллюстрирует операцию отрицания. Жирная линия - это ОТРИЦАНИЕ нечеткого множества A.

Во многих практических ситуациях функция принадлежности должна быть оценена исходя из частичной информации о ней, скажем такой, как значения, принимаемые ею на конечном множестве опорных точек х1,...,хn. В этом случае говорят, что она частично определена с помощью "поясняющего примера". В таблице 9.1 приведены несколько основных видов функций принадлежности, применяемых в теории нечетких множеств. Таблица 9.1  Виды функций принадлежности (х)

186

1 ( x , a , b)  xa 0, если 2  2( x  a ) ab  , если a  x  2  (b  a ) 2  2 1  2( x  a ) , если a  b  x  b  2 (b  a ) 2 1, если xb 

Функцию принадлежностей (х) выбирают так, чтобы она для конкретного критерия отражала наиболее оптимальное значение, а это может быть: функция минимума, максимума, принадлежности к определенному диапазону или числу. В результате вычислений по

187

конкретному критерию (х) становится равной 1 для наиболее оптимального варианта и равной 0 для наименее оптимального варианта. Конкретный вид функций принадлежности определяется на основе различных дополнительных предположений о свойствах этих функций (симметричность, монотонность, непрерывность первой производной и т.д.) с учетом специфики имеющейся неопределенности, реальной ситуации на объекте и числа степеней свободы в функциональной зависимости. В работе [28] рассмотрены и исследованы различные способы получения функций принадлежности. Введена единая математическая форма представления различных способов определения функций принадлежности. 9.1.2 Задача сравнения вариантов технического решения в нечеткой постановке а) Пусть X- универсальное множество альтернатив, т.е. совокупность всевозможных выборов лица, принимающего решения. Нечеткой целью в X называется нечеткое подмножество G множества X. Описывается нечеткая цель функцией принадлежности G:X[0;1]. Допустим, X – числовая ось, тогда нечеткой целью может быть нечеткое множество типа "величина х должна быть примерно равна 5" или "желательно, чтобы величина x была значительно меньше 10" и т.п. Чем больше G (x), тем больше степень достижения этой цели при выборе альтернативы x в качестве решения. Нечеткие ограничения или множества допустимых альтернатив также описываются нечеткими подмножествами множества X. Например, «x должно быть не слишком большим», «x должно быть не слишком большим», «x не должно быть гораздо большим 30». б) Более общей является постановка задачи, в которой нечеткие цели и ограничения представляют собой подмножества различных универсальных множеств. Пусть X - универсальное множество альтернатив и пусть задано однозначное отображение : X Y, значение которого можно понимать, как реакции некоторой системы на входные воздействия x  X. Нечеткая цель при этом задается в виде нечеткого подмножества нечеткого множества Y, т.е. в виде функции G:Y[0;1]. Определим множество альтернатив G, обеспечивающих достижение заданной цели G. Это

188

множество представляет собой прообраз нечеткого множества G при отображении , т.е.  G ( x)   G ( ( x)) . При этом задача рассматривается как задача достижения нечеткой цели G при нечетких ограничениях. Решить эту задачу означает достигнуть цели и удовлетворить ограничениям, причем в заданной нечеткой постановке следует говорить не просто о достижении цели, а о её достижении с той или иной степенью, причем следует учесть и степень достижения ограничений. Пусть, например, некоторая альтернатива x обеспечит достижения цели со степенью G (x), удовлетворяет ограничениям со степенью c (x). Тогда положим, что степень принадлежности этой альтернативы решения задачи равна минимальному из этих чисел. Таким образом, нечетким решением задачи достижения нечеткой цели называется пересечение нечетких множеств цели и ограничений, т.е. функция принадлежности решению имеет вид:

 D ( x)  min  G ( x),  c ( x).

9.1 При наличии нечетких целей и нечетких ограничений нечеткое решение описывается функцией принадлежности

 D ( x)  min G1 ( x),..., Gn ( x),  C1 ( x),..., Cn ( x).

9.2 Если различные цели и ограничения различаются по важности и заданы соответствующие коэффициенты важности целей iи ограничений Yi, то

 D ( x)  min1  G1 ( x),...,n  Gn ( x),  1  C1 ( x),..., n  Cn ( x).

9.3

Решение задачи с нечеткими целями и ограничениями x должно быть X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 близко к ... цель G (x) 0 0.1 0.4 0.8 1 0.7 0.4 0.2 0 0 5 ограничение C1 (x) 0.3 0.6 0.9 1 0.8 0.7 0.5 0.3 0.2 0 4 ограничение C2 (x) 0.2 0.4 0.6 0.7 0.9 1 0.8 0.6 0.4 0.2 6 D (x) 0 0.1 0.4 0.7 0.8 0.7 0.4 0.2 0 0 5

189

Теория нечетких множеств позволяет сравнить варианты реконструкции схем выдачи мощности электростанций по различным критериям: вычисляемым (показатели надежности, ущерб от недоотпуска электроэнергии, капитальные вложения, приведенные затраты и т. п.) и не вычисляемым (удобство обслуживания, наглядность, ремонтопригодность и т.п.). Для вычисляемых критериев при определении наилучшего варианта можно использовать функции принадлежности, для не вычисляемых критериев с помощью экспертов составляется таблица принадлежностей. Для решения многокритериальных задач используются различные методы построения обобщенного показателя, причем одним из наиболее удобных способов в теории нечетких множеств является обобщенная функция желательности Харрингтона. Функция желательности может быть использована как функция принадлежности, т.к. d [0,1]. Она возникла в результате наблюдений за реальными решениями экспериментаторов и обладает такими полезными свойствами как непрерывность, монотонность и гладкость. Кроме того эта кривая хорошо передает тот факт , что в областях желательностей, близких к 0 и 1, "чувствительность" ее существенно ниже, чем в средней зоне [29]. В этом случае функция принадлежности может быть задана уравнением в(х)=[-exp(-x)]. Стандартные отметки на шкале желательности приведены в таблице 9.2 Значение в(х)=0,37обычно соответствует границе допустимых значений. Таблица 9.2 Границы допустимых значений

Желательность Очень хорошо Хорошо Удовлетворительно Плохо Очень плохо

Отметки на шкале желательности 1.00 - 0.80 0.80 - 0.63 0.63 - 0.37 0.37 - 0.20 0.20 - 0.00

В этом случае операция принятия решений для нечетких множеств по существу сводится к синтезу глобального критерия (x)=[I1(x),…., Ik(x)] как функции k исходных критериев Ij(x), отражающих эффективность и допустимость режимов работы системы с экономической,

190

технологической, надежностной и других точек зрения. Причем максимум этого критерия будет соответствовать четкому решению многокритериальной задачи. Тогда "решение задачи" будет сводиться к обычной оптимизации

 ( x)  max  ( x) (x)

9.4 Согласно [ [25]], эта функция должна быть инвариантна по отношению к преобразованию сдвига и к изменению масштаба любого критерия. Это требование может быть удовлетворено за счет правильного выбора частных критериев эффективности, которые должны быть инвариантны по отношению к преобразованию x

j(x)=ljIj(x)+Cj

9.5 где Cj- любое постоянное число; Ij- любое положительное число, т.е. должно выполняться условие [I1(x),…., Ik(x)]=[1(x),…, k(x)]

9.6 Все эти требования можно удовлетворить, используя функцию вида

 j ( x) 

I j ( x)  I j Ij Ij

9.7

где I j - максимальное значение критерия j; I j - минимальное значение j-го критерия, причем оно может выбираться с позиций предельного режима xmax, при котором работа системы недопустима или совсем неэффективна с позиций данного критерия - в этом случае отпадает необходимость в ранжировании частных критериев j(x).

9.2 Применение искусственных нейронных сетей в задачах надежности 9.2.1 Общие сведения об ИНС Искусственные нейронные сети (ИНС) представляют собой математические модели, описывающие процессы передачи сигналов в нервной ткани биологических объектов. Нервная ткань состоит из клеток,

191

называемых нейронами, соединенными между собой отростками двух типов – аксонами и дендритами. Аксон – это единичный утолщенный отросток нейрона, по которому нервный сигнал передается другим нейронам. Дендриты являются существенно более мелкими отростками, по которым нервные сигналы поступают в нейрон. Величина сигнала передаваемого в нейрон зависит от величины синаптической связи между данным и нейроном, от которого сигнал приходит. Биологически синаптическая связь или, кратко, синапс является местом соединения двух нейронов, через которое проходит сигнал. В зависимости от состояния этого соединения проходящий сигнал может усиливаться или ослабляться. Нейрон выдает сигнал, если находится в возбужденном состоянии. Величина выходящего сигнала зависит от степени возбуждения нейрона, на которое влияет суммарный сигнал, приходящий от других нейронов и от состояния самого нейрона. Головной мозг человека содержит около ста миллиардов нейронов. Каждый нейрон имеет до нескольких тысяч соединений с другими нейронами. Поэтому с точки зрения моделирования головной мозг человека представляет собой сложнейшую сеть передачи сигналов. В настоящее время невозможно создать его полную модель, даже используя самые простейшие модели нейронов. Тем не менее, попытки моделирования некоторых видов деятельности нервной системы живых организмов, привели к прогрессу в различных областях науки и техники. ИНС, моделирующая определенную функциональность, является сетью, состоящей из простейших, обычно нелинейных элементов, нейронов, имеющих один вход и один выход. Функциональная зависимость, связывающая величины сигналов входа и выхода нейрона, называется функцией активации нейрона. На вход каждого нейрона поступает взвешенная сумма сигналов от входов и/или выходов других нейронов. В качестве весовых коэффициентов используются величины, характеризующие силу синоптической связи. Часть входов нейронов является входами всей сети, и, аналогично, часть выходов нейронов являются выходами всей сети. Возможны предельные случаи, когда входы всех нейронов являются входами всей сети, и, когда выходы всех нейронов являются выходами всей сети. Кроме этого существуют типы ИНС, в которых в качестве выходов используются значения синапсов. Появление и развитие теории ИНС было обусловлено стремлением понять, как работает восприятие, память, способность к обучению у

192

человека и других живых существ, и создать на этой основе более быстродействующие, более надежные и интеллектуальные устройства. В качестве примера быстродействия можно привести распознавание образов у человека и компьютера. Несмотря на то, что у кремниевых логических элементов время срабатывания в миллионы раз быстрее, чем у биологических логических элементов, нейронов, современные системы распознавания не могут также надежно и быстро отличать собаку от кошки, как человек. Такое повышенное быстродействие биологических систем, состоящих из менее быстродействующих элементов, в сравнении с компьютерными кремниевыми системами, состоящими из более быстродействующих элементов, обусловлено огромным параллелизмом функционирования составных элементов живых нейронных сетей. Также благодаря параллелизму и однородности живых нейронных сетей существенно повышается надежность их функционирования. Если по каким-то причинам один из нейронов сети перестает работать, то его влияние на работу сети будет тем меньше, чем больше останется работоспособных нейронов. Таким образом, можно утверждать, что реализация вышеописанных свойств живых нейронных сетей в технических устройствах позволит добиться высокого быстродействия, надежности и универсальности. Перечислим некоторые полезные свойства систем, использующих ИНС.  Нелинейность. Сети, состоящие из нелинейных элементов, сами являются нелинейными. Поэтому при моделировании системы, у которой отклик нелинейно зависит от воздействия, это свойство ИНС является необходимым.  Аппроксимация. Многослойные ИНС способны с заданной точностью выразить любую функциональную зависимость между сигналами входов и выходов.  Адаптивность. ИНС способна изменять свои параметры сообразно изменениям окружающей среды. Сеть, настроенную для работы в одних условиях, можно перенастроить для работы в других.  Отказоустойчивость. ИНС, реализованные в электронных устройствах, потенциально отказоустойчивы. Поскольку информация в сети хранится в распределенной форме, то выход из строя одного или нескольких нейронов, не сможет существенно ухудшить качество информации.

193

 Масштабируемость. Благодаря своей параллельной структуре ИНС ускоряют решение некоторых задач и обеспечивают масштабируемость при создании электронных устройств. Первые ИНС были представлены в 1943 году в работах У.Маккалока и У.Питца. В качестве модели нейрона использовалась пороговая функция, принимавшая два значения – 0 и 1. На выходе такого нейрона либо нет сигнала, либо его величина всегда равна 1. Было показано, что сеть, составленная из большого числа подобных простейших элементов, способна производить любые вычисления. В 1958 году Ф.Розенблатт представил модель однослойного перцептрона. Данная ИНС была способна обучаться с учителем для распознавания образов. Однослойный перцептрон – это совокупность линейных нейронов, на вход каждого из которых поступает взвешенная сумма сигналов со всех входов сети, а выходами сети являются выходы всех нейронов. Ф.Розенблатт и Б.Уидроу в 60-е годы показали убедительные теоретические и практические результаты, получаемые с помощью таких перцептронов. Но позже оказалось, что подобные ИНС могут решать далеко не все задачи, а иногда даже самые простые. Например, с помощью однослойного перцептрона невозможно создать функцию «исключающего или». В 1969 году М.Минским и С.Пейпертом были строго обоснованы ограничения на задачи, решаемые с помощью однослойного перцептрона. И это привело в упадок исследование ИНС. С 80-х годов прошлого века, когда были открыты способы обучения многослойных сетей и существенно увеличились вычислительные мощности, к ИНС стал возрастать интерес. Это привело к лавинообразному увеличению научных работ в данной области, что, в свою очередь, позволило создать разнообразные технологические системы для распознавания образов, обработки речи, управления сложными устройствами. В настоящее время теория ИНС является высокоразвитой междисциплинарной областью исследований, прогресс в которой оказывает существенное влияние на смежные науки [30, 31, 32]. 9.2.2 Типы ИНС по

В настоящее время разработано и исследовано несколько различных архитектуре и способу функционирования ИНС. Наиболее

194

распространенными являются три варианта нейросетей: многослойный перцептрон, самоорганизующиеся карты Кохонена и сети Хопфилда. Многослойный перцептрона (МП), по сути, выражает некоторое отображение N-мерного пространства действительных чисел в K-мерное пространство выражением

действительных

чисел:

RN  RK ,

записываемое

 y  ( y1 ( x1 ,..., x N ),..., y K ( x1 ,..., x N ))

9.8 Состоит он из упорядоченных слоев нейронов. Слои связаны таким образом, что выход каждого нейрона одного слоя связан с входом нейрона последующего слоя (рисунок 9.6). В теории ИНС обычно принято называть последний слой МП выходным слоем, а все предыдущие – скрытыми слоями. Все нейроны, за исключением нейронов последнего слоя, являются одинаковыми, т.е. имеют одинаковую функцию активации. Обычно в ее качестве берут гладкую функцию, которая сильно изменяется в небольшой окрестности нуля, а на бесконечности асимптотически стремится к постоянной величине. Таким образом, моделируется отклик биологического нейрона. Функция активации нейронов последнего слоя часто выбирается линейной. В этом случае выход МП будет являться линейной комбинацией выходов нейронов предпоследнего слоя. Входы x1 x2 …

Слой 1 1 2 …

Слой 2

w112 w122

1 2 …

Слой 3 Выходы 1

y1

w223 wM 2 23 2

y2

w123

…

…

w1M 2 2

xN M1

M2

M3

yK

Рисунок 1 - Трехслойный персептрон Рис. 9.6 Трехслойный пресептрон

Одной из наиболее распространенных функций активации является сигмоида:

195

y

1 1  ex

9.9 Пусть yi m1 является выходом i-ого нейрона m-1-го слоя, тогда выход j-го нейрона m-го слоя будет выражаться следующим образом:

yjm 

1  yi m 1w jim b jm

1 e i , 9.10 где wijm – вес связи j–го нейрона m-го слоя с i-ым нейроном m-1-го

слоя, b jm – порог срабатывания j-го нейрона m-го слоя. Если сигмоиду (9.9) обозначить, как y  f (x) , то МП с тремя слоями можно представить в виде:

yi   f ( f ( x j0 w j0 j11  b j1 )  w j1 j2 2  b j2 )  w j2 j3 3  b j3 j2

j1

j0

9.11 где yi и x j – входы и выходы данной ИНС. Обучение МП состоит в ,

изменении значений b jm и wijm . Из выражения (9.11) видно, что на первых двух слоях МП (суммирование ведется по j0 и j1) происходит нелинейное преобразование сигналов соответствующих входов, а на третьем (суммирование ведется по j2) – линейное преобразование. МП являются хорошим средством аппроксимации функций, решения алгебраических и дифференциальных уравнений, классификации. Самоорганизующаяся карта Кохонена – ИНС с топологией, предложенной Т. Кохоненом, представляет собой однослойную сеть (рисунок 9.7 ), основными характеристиками которой кроме весов wij N

являются две функции: r1 ( x1 ,...,x N , w1 j ,...,wN j )   ( xi  wi j ) 2 – функция i 1

расстояния между входным сигналом x и j-ым нейроном

wj

и

r2  r2 (w1 j ,...,wN j , w1k ,...,wN k ) – функция силы связи между j-ым и k-ым нейронами (рисунок 9.8).

196

слой нейронов входы

Y1

X1

Y2

X2 Y3

. . . .

Y4

XM YN

Рисунок 2 – Самоорганизующаяся карта Кохоненакарта Кохонена Рис. 9.7 Самоорганизующаяся Выход карты Кохонена определяется как скалярное произведение N

входного сигнала и нейрона: yi   wi j  x j . i 1

Смысл ее работы состоит в кластеризации множества входных сигналов x. Обучение и работа данной ИНС происходит одновременно и состоит из двух последовательных шагов, применяемых ко всему множеству входных сигналов и повторяемых до тех пор, пока веса нейронов не перестанут меняться. Первый шаг состоит в подаче на вход сигнала из кластеризуемого множества и выявлении нейрона с максимальным значением выхода: y s  max r1 ( x, w j ) . j

Второй шаг изменение весов по формуле wi j  wi j    r2 (ws , w j )  ( x  wi j ) , где α – коэффициент, стремящийся к нулю по мере обучения. После обучения входные сигналы из одного кластера будут давать на выходе близкие сигналы. Размерность входа сети равна размерности входного сигнала. Число нейронов зависит от степени подробности, с которой нужно провести кластеризацию. По сути, сеть Кохонена отображает многомерный сигнал на двумерную плоскость с сохранением непрерывности отображаемого пространства сигналов. Рисунок 9.8 представляет общий вид функции расстояния между нейронами, которая имеет шляпообразный вид. Форма кривой функции расстояния между нейронами определяет величину кластеров и резкость границы между ними. Сеть Кохонена является

197

хорошим классификатором, особенно когда заранее не определены признаки, по которым необходимо производить разделение на классы.  Величина связи между нейронами

+ -

+

Расстояние между нейронами

-

Рисунок 3 – Функция расстояния между нейронами

Рис. 9.8 Функция расстояния между нейронами

Сеть Хопфилда представляет собой ИНС, в которой выходы всех нейронов связаны с входами всех нейронов (рисунок 9.9). Обучение сети состоит в определенной настройке весов согласно условиям решаемой задачи. Результатом решения задачи являются значения выходов нейронов после того, как они приняли постоянные значения, перестав изменяться. Работа этой сети происходит циклически. Первый цикл состоит в подаче первоначального сигнала на входы всех нейронов. Последующие циклы состоят в очередной подаче выходных сигналов всех нейронов на их входы. Сеть заканчивает свою работу, когда достигается стационарное состояние - выходные сигналы нейронов перестают изменяться. В общем случае стационарное состояние может и не достигаться. Для обеспечения достижения стационарного состояния при настройке весов используется правило Хебба: wij  w ji , если i  j и wii  0 .

198

x1

x2

x3

y1

y2

y3

Рисунок 4 – Сеть Хопфилда из трех нейронов Рис. 9.9 Сеть Хопфилда из трех нейронов

Для заданных значений весов wi j сети Хопфилда можно поставить в соответствие функцию Ляпунова E ( x)  a  wi j xi x j  b ci xi , где a, b и ci i, j

i

определяются решаемой задачей. Учет правила Хебба гарантирует, что при любом начальном входном сигнале x будет достигнут локальный минимум функции E (x) . Таким образом, смысл работы сети Хопфилда состоит в нахождении такого x, при котором функция E (x) достигает минимума. Чем больше нейронов содержит сеть, тем более сложной является поверхность, представляющая функцию E (x) . Эта поверхность имеет множество локальных минимумов, положения которых можно рассматривать как образы, хранящиеся в памяти, а саму сеть как реализацию ассоциативной памяти. Начальный сигнал при таком использовании сети Хопфилда – это предъявление примерного образа для последующего восстановления оригинального образа. Задавая коэффициенты функции E (x) необходимым образом, в качестве результата функционирования сети можно находить решения различных уравнений и комбинаторных задач. При решении алгебраических или дифференциальных уравнений целесообразно получить ответ в аналитической форме. Для выполнения данного условия при использовании ИНС наиболее подходящим является МП. Хорошим примером использования ИНС является нахождение решения функционального уравнения, так как подобные уравнения не

199

имеют общего решения. Функциональные уравнения представляют выражения, в которые наряду с известными функциями входят неизвестные функции путем образования сложной функции. Например, g ( g ( x))  sin( x) , где g (x) – неизвестная функция. Решением функционального уравнения является такая функция, при подстановке которой вместо неизвестной функции получается тождество. Поскольку решение с помощью ИНС является приближенным, то тождества при подстановке обученной нейросети вместо неизвестной функции в общем случае не будет. Возникнет некоторая невязка. И если ее абсолютная величина будет меньше заданной величины невязки, то будет считаться, что такая ИНС является решением функционального уравнения. Преимущество использования ИНС для решения подобных задач перед обычными численными методами заключается в том, что решение получается не виде дискретного набора значений искомой зависимости, а в аналитической форме. Поэтому отпадает потребность в хранении больших массивов данных ранее вычисленных значений искомой зависимости, и нет необходимости в интерполяции, при нахождении значений искомой зависимости для точек, которые не использовались при численном решении. Возможность аппроксимации любой функции многих переменных с помощью МП обосновывается аппроксимационной теоремой Стоуна. 9.2.3 Применение ИНС для решения задач Для обучения МП необходимо иметь набор обучающих данных, представляющих собой множество пар значений аргументов и значений аппроксимируемого отображения:

(ui , vi ) | i  1,...,L,

9.12   где ui  (ui 1 ,...,ui N ) , vi  (vi 1,..., vi K ) , L – число точек, для которых известно значение, N – число аргументов, и K – размерность аппроксимируемого отображения. Пусть МП выражается таким образом:

  y  F (W , x ) ,

9.13

200

  где x  ( x1 ,...,x N ) , y  ( y1,..., yK ) , W представляет совокупность всех

весов wijm и порогов b jm .   ( y1,..., yK )  ( F1 (W , x ),..., FK (W , x ))

9.14 Обучение МП – это процесс изменения W, при котором достигаются   такие значения W, при которых значения yi  F (W , ui ) отображения (9.13) на множестве значений аргументов обучающих данных (9.12) отличаются  от известных значений vi аппроксимируемого отображения на заданную малую величину ε:   | yi  vi |   .

9.15 Оценка (9.15) степени обученности МП характеризуется функцией ошибки сети H, зависящей от параметров W сети и набора обучающих данных (9.12). Существуют различные варианты функции ошибки. Наиболее распространенной функцией ошибки является суммарный  квадрат разности между значениями vi обучающих данных и выходами   F (W , ui ) сети на аргументах u i обучающих данных.

  H (W )   | F (W , ui )  vi |2 L

i 1

9.16 Запишем функцию (9.16) для нахождения решения уравнения

g ( g ( x))  sin( x) с

 

помощью ИНС на отрезке [ ; ] . Решение будем искать в 3 3

виде двухслойного перцептрона: g ( x)  

wi 2  b2 1  e x wi1  bi1 .

9.17 В качестве обучающего набора данных будем использовать множество пар чисел вида: i

 

{( xi , sin( xi )) | xi  [ ; ]} 3 3 .

9.18 Тогда функция ошибки (9.16) для заданных условий будет выглядеть так:

201 L

H (W )  | g ( g ( xi ))  sin( xi ) |2 i 1

9.19

.

Учитывая выражение g ( g ( x))   i

w

1 e

i2  g ( x )  wi1  bi 1

 b2

9.20

,

функцию (9.19) можно записать в следующем виде: L

H ( w11,..., wn1 , w12 ,..., wn 2 , b11,..., bn1 , b2 )  |  j 1

где

1 e

 b2  sin( x j ) |2

нейронов на внутреннем слое. w11,..., wn1 , w12 ,..., wn 2 , b11,..., bn1 , b2 , при которых функция (9.21) n

–

i

w

i2  g ( x j )  wi1  bi1

число

,

9.21

Значения достигает

минимума, определят искомую функцию (9.17). 9.3 Вопросы для самоконтроля 1.Что такое искусственная нейронная сеть? 2.Каковы основные элементы нейросети, и в чем их назначение? 3.Как соотносятся между собой искусственная и живая нейронные сети? 4.Что такое синапс? 5.Что представляет собой функция активации нейрона? 6.Каковы основные типы функций активации нейрона? 7.Какими свойствами могут обладать технические системы воплощающие возможности нейросетей? 8.Какого рода задачи могут решать нейросети? 9.Каковы причины возникновения периода стагнации в исследовании нейросетей? 10.В чем состоит основной принцип работы нейросетей? 12.Что такое перцептрон? 13.Что такое обучающий набор данных? 14.Что представляет собой функция ошибки? 15.Каковы основные типы нейросетей?

202

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Месарович, М., Мако, Д., Тахакара. Теория иерархичесих многоуровневых систем.‒ М.: Мир, 1973. 2. Федеральный закон «Об электроэнергетике» №35-ФЗ от 26 марта 2003 г. ‒ с. 36. 3. Издательство стандартов. ГОСТ 27.002-89 «Надёжность в технике. Основные понятия, термины, и определения».‒ М.: Издательство стандартов, 1990. 4. Половко, А.М. Основы теории надежности. ‒ М.: Наука, 1964. 5. Острейковский, В. А. Теория надежности: Учеб. для вузов / В.А.Острейковский. ‒ М.: Высш. шк., 2003. ‒ с. 463. 6. Колобов, А.Б. Надежность технических систем. ‒ Иваново: ИГЭУ, 2006. 7. Тремясов, В.А. Надежность электроснабжения: учеб. пособие / В.А.Тремясов. ‒ Красноярск : ИПЦ КГТУ, 2006. ‒ с. 163. 8. Анищенко, В. А. Надежность систем электроснабжения: учеб. пособие/ В.А.Анищенко. ‒ Минск : УП «Технопринт», 2001. ‒с. 160. 9. Волков, Н.Г. Надежность электроснабжения: учеб. пособие / Н.Г.Волков. ‒ Томск : ТПУ, 2003. 10. Файбисович, Д.Л. Справочник по проектированию электрических сетей.‒ М.: НЦ ЭНАС, 2005. ‒ с. 320. 11. Венцель, Е.С. Теория вероятностей. ‒ М.: Наука, 1969. ‒ с. 576. 12. Зорин, В.А., Тисленко, В.В., Клеппель, Ф., Адлер, Г. Надежность систем электроснабжения. ‒ Киев : Вища школа, 1984. 13. Секретарев, Ю.А. Надежность электроснабжения: учебн. пособие / Ю.А.Секретарев. ‒ Новосибирск : НГТУ, 2010. 14. Непомнящий, В., Овсейчук, В. Учет надежности электроснабжения при расчете тарифов. ‒ М. : Информационно-справочное изд./ /Новости электротехники, 2012. ‒ с. 74. 15. Шеметов, А.Н. Надежность электроснабжения: учеб. пособие /А.Н.Шеметов. ‒ Магнитогорск : ГОУ ВПО «МГТУ им. Г.И. Носова», 2006. ‒ с. 141. 16. Коваленко, И.В. Программа расчета надежности главных схем распределительных устройств: // межвуз. Сб. науч.трудов «Оптимизация режимов работы систем электроприводов» отв. ред. С.Р. Залялеев. ‒ Красноярск : ИПЦ КГТУ, 2002. 17. Непомнящий, Е.Г. Методические указания по выполнению курсового проекта «Технико-экономическое обоснование предпринимательского проекта». ‒Таганрог : ТРГУ, 1998. ‒ с. 85. 18. Нечаев, В.В. ЕЭЭС России, современное состояние и проблемы дальнейшего развития и управления. ‒ Новосибирск : Наука, 1996. ‒ с. 168176. 19. Окороков, В.Р. Управление электроэнергетическими системами. ‒

203

Л.: ЛПИ, 1976. ‒с. 224. 20. Беллман, Р., Заде, Л.А. Вопросы принятия решений в расплывчатых условиях. ‒ М.: Мир, 1976. ‒ с. 172-215. 21. Борисов, А.Н., Крумберг, О.А., Федоров, И.П. Принятие решения на основе нечетких моделей: примеры использования ‒. Рига : Знание, 1990. ‒ с. 184. 22. Малышев, Н.Г., Берштейн, Л.С., Боженюк, А.В. Нечеткие модели для экспертных систем в САПР. ‒М. : Энергоатомиздат, 1991. ‒ с. 136. 23. Норвич, А.М., Турксен, И.Б. Фундаментальное измерение нечеткости. ‒ М.: Радио и связь, 1986. ‒с. 54-56 24. Заде, Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений.‒ М.: Мир, 1976. ‒ с. 165. 25. Алтунин, А.Е., Востров, Н.Н. Оптимизация многоуровневых иерархических систем на основе теории размытых множеств и методов самоорганизации // Проблемы нефти и газа Тюмени. вып. 42. ‒ Тюмень: 1979. ‒ с. 68-72. 26. Борщевич В.И., Ботнарь В.И. Нечеткое моделирование и проблемы его интерпретации. ‒ Кишинев : КПИ, 1984. ‒ с. 13. 27. Крутовой, Г.П. О программе реструктизации электроэнергетики России на 1997 - 2000 г. //. Энерг. политика. вып. 1-2.‒ М.: Наука, 1997.‒ с. 35-39. 28. Борисов, А.Н. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной. ‒ Рига: Знание, 1982.‒ с. 256. 29. Адлер, Ю.П., Маркова, Е.В., Грановский, Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. ‒ М. : Наука, 1976. ‒ с. 280. 30. Горбань, A.Н. Обучение нейронных сетей. ‒ М. : СП параграф, 1990. ‒ с. 160. 31. Галушкин, А.И. Нейронные сети. Основы теории. ‒М. : Горячая Линия - Телеком, 2010. ‒ с. 496. 32. Медведев, В.С., Потемкин, В.Г. Нейронные сети. МаtLab6 ‒ М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2002. ‒с. 496.

204

ПРИЛОЖЕНИЕ А Формулы и числовые таблицы Константы 1. 2. 3. Постоянная Эйлера (∑

)

Элементарные формулы комбинаторики 1. формула Стирлинга ( ) 2.

(

3. ∑ 4. ∑ 5. Значения

( ⁄ ) √ ( ( ⁄ )

⁄

)

)

и ⁄ .

;

⁄ 1 2 3 4 5 6

1 2 6 24 120 720

⁄

1 0,5 0,167 0,042

7 8 9 10 11 12

5040 40320 362880 3628800 39916800 479001600

Конечные суммы 1. арифметическая прогрессия ∑(

)

[

(

) ]

где l – последний член; 2. геометрическая прогрессия (

∑ 3. ∑ 4. ∑

(

)

)

(

)

(

)

205

Ряды 1. ряд Тейлора (для функции одной переменной) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

или ( 2. ( где | |

)

( )

( )

( )

)

(

(

)

∑

3. 4.

∑

(

(

( )

)

(

) (

)

)

Интегралы ∫ ∫ ∫

(

) ∑(

[

∫

(

∫

[

(

∑ (

( )

)

]

)

)

(

∫ ∫

)

)

(

)]

( ) )

206

Функция 0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1, 2, 3, 4, 5, 6,

0 1,000 1,000 0,905 0,819 0,741 0,670 0,606 0,540 0,497 0,449 0,407 0,358 0,135 0,050 0,018 0,0037 0,0025

l 0,999 0,990 0,896 0,811 0,733 0,664 0,600 0,543 0,492 0,445 0,403 0,333 0,122 0,045 0,017 0,0031 0,0022

2 6 8 3 4 5 7 9 0,998 0,997 : 0,996 0,995 0,994 0,993 ' 0,992 0,991 0,980 0,970 0,951 0,951 0,942 0,932 0,923 0,914 0,887 0,878 0,839 0,851 0,852 0,844 0,835 0,827 0,802 0,795 0,787 0,779 0,771 0,763 0,756 0,748 0,726 0,719 0,712 0,705 0,698 0,691 0,684 0,677 0,657 0,651 0,Б44 0,633 0,631 0,625 0,619 0,613 0,584 0,539 0,583 0,577 0,571 0,566 0,560 0,554 0,533 0,533 0,527 0,522 0,517 0,512 0,507 0,502 0,487 0,4S2 0,477 0,472 0,468 0,463 0,458 0,454 0,440 0,435 0,432 0,427 0,423 0,419 0,415 0,411 0,398 0,395 0,391 0,337 0,333 0,379 0,375 0,372 0,301 0,273 0,247 0,223 0,232 0,183 0,165 0,150 0,111 0,100 0,091 0,032 0,074 0,057 0,061 0,055 0,041 0,037 0,033 0,033 0,027 0,025 0,022 0,020 0,015 0,014 0,012 0,011 0,010 0,009 0,003 0,007 0,0355 0,0053 0,0045 0,0041 0,0037 0,0033 0,0030 0,0027 0,0320 0,0018 0,0017 0,0015 0,0014 0,0012 0,0011 0,0010

Значение функции х 1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1

0 2 0,398 9 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179

( )

(

)

√

1 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 8 3989 3989 3988 3986 3984 3982

7 9 3980

8 9 10 11 3987 3973

3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155

3932 3847 3726 3572 3391 3187 2066 2732 2492 2251 2010

3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989

3961 3894 3790 3653 3485 3292 3079 2950 2613 2371 2131

3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107

3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2323 2083

3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541 2299 2059

3939 3857 3739 3589 3410 3209 2089 2756 2516 2275 2036

3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965

207

1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 3,1 0033 0032 0031 0030 0029 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 3,5 0009 0008 0008 0008 0007 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 3,9 0002 0002 0002 0002 0002

1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 1488 0396 0317 0252 0198 0154 6119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002

1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0038 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002

1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002

1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001

1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001

208

Биномиальные коэффициенты N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

2

3

4

5

m 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 171 190

1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 286 364 455 560 680 816 969 1140

1 5 15 35 70 126 210 330 495 715 1001 1365 1820 2380 3060 3876 4845

1 6 21 56 126 252 462 792 1287 2002 3003 4368 6188 8568 11628 15504

1 7 28 84 210 462 924 1716 3003 5005 8008 12376 18564 27132 38760

m

Сn



n! m!(n  m)!

7

8

9

10

1 8 36 120 330 792 1716 3432 6435 11440 19448 31824 50388 77520

1 9 45 165 495 1287 3003 6435 12870 24310 43758 75582 125970

1 10 55 220 715 2002 5005 11440 24310 48620 92378 167960

1 11 66 286 1001 3003 8008 19448 43758 92378 184756

Примечание: Для m>10 можно воспользоваться свойством симметрии:

С nm  С nn m

209

k 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 32 34 36 38 40 42 44

  0,99  2  ; k  2 6,635 9,21 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,09 21,666 23,209 24,725 26,217 27,688 29,141 30,578 32 33,409 34,805 36,191 37,566 38,932 40,289 41,638 42098 44,314 45,642 46,963 48,278 49,588 50,892 53,486 56,061 58,619 61,162 63,691 66,206 68,709

Квантили распределения хи-квадрат

  0,95

 2 1   ; k  3 0,00016 0,0201 0,115 0,297 0,554 0,82 1,239 1,646 2,088 2,558 3,053 3,571 4,107 4,66 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,26 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,878 13,565 14,256 14,953 16,362 17,789 19,233 20,691 22,164 23,65 25,148

 2  ; k  4 3,841 5,991 7,815 9,488 11,07 12,592 14,067 15,507 16,019 18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 26,296 27,587 28,869 30,144 31,41 32,671 33,924 35,172 36,415 37,652 38,885 40,113 41,337 42,557 43,743 46,194 48,602 50,998 53,984 55,758 58,124 60,481

 2 1   ; k  5 0,000393 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,94 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 7,962 8,672 9,39 10,117 10,851 11,591 12,338 13,091 13,848 14,611 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 20,072 21,664 23,269 24,884 26,509 28,144 29,787

  0,9  2  ; k  6 2,706 4,605 6,251 7,779 9,236 10,645 12,017 13,362 14,684 15,987 17,275 18,549 19,812 21,064 22,307 23,542 24,769 25,989 27,204 28,412 29,615 30,813 32,007 33,196 34,382 35,563 36,741 37,916 39,087 40,256 42,585 44,903 47,212 49,513 51,805 54,09 56,369

 2 1   ; k  7 0,0158 0,211 0,584 1,064 1,61 2,204 2,833 3,49 4,168 4,865 5,578 6,304 7,042 7,79 8,547 9,312 10,085 10,0865 11,651 12,443 13,24 14,041 14,848 15,659 16,473 17,292 18,114 18,939 19,768 20,599 22,271 23,952 25,643 27,343 29,051 30,765 32,487

210

46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 90 100 150 200 300

71,201 73,683 76,154 78,386 81,069 83,513 85,95 88,379 90,802 93,217 95,626 98,028 100,425 102,816 105,202 107,582 109,958 112,329 124 136 190 246 357

26,657 28,177 29,707 31,475 32,793 34,35 35,913 37,485 39,063 40,649 42,24 43,838 45,442 47,051 48,666 50,286 51,91 53,54 62 70 110 154 243

62,83 65,171 67,505 69,832 72,153 74,468 76,778 79,082 81,381 83,675 85,965 88,25 90,531 92,808 95,081 97,351 99,484 101,879 113 124 178 233 340

31,439 33,098 34,764 36,437 38,116 39,801 41,492 43,188 44,889 46,595 48,305 50,02 51,739 53,462 55,189 56,92 58,654 60,391 69 78 122 167 260

58,641 60,907 63,167 65,422 67,673 69,918 72,16 74,397 76,63 78,86 81,086 83,308 85,527 87,743 89,956 92,166 94,374 96,578 108 118 172 226 331

34,215 35,949 37,689 39,433 41,183 42,937 44,696 46,459 48,226 49,996 51,77 53,548 55,329 57,113 58,9 60,69 62,483 64,278 73 82 128 174 269

211

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Распределения Нормальное распределение ( )

∫

√

X 0. 1, 2, 3, X 0, 2 ,00 0,500 0,841 0,9773 0,9 865 ,50 0,692 ,05 520 853 798 866 ,55 709 3 ,10 540 864 821 0,9 032 ,60 726 ,15 560 975 842 184 ,65 742 ,20 573 885 861 313 .70 758 ,25 599 894 878 423 .75’ 773 ,30 618 0.9032 893 517 ,80 788 ,35 637 115 906 596 .85 802 2 ,40 655 192 0.9 180 663 ,90 816 ,45 674 265 286 720 ,95 829 k k Примечание . 0,0 или 0,9 означают цифры ⏟

1. 2. 3. 0,332 0,379 0,767 394 461 807 452 534 841 505 598 860 554 653 802 599 702 912 4 641 745 0,9 277 678 781 409 713 813 519 744 841 609 или ⏟

соответственно, например 0,94227=0,9999227 Плотность нормального распределения ( ) X .00 .05 ,10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45

0. 0,399 398 397 395 391 387 381 375 308 301

l, 0,242 230 218 206 194 183 171 160 150 140

X

0.0540 488 440 396 355 317 283 252 224 198

.50 ,55 .60 .65 .70 .75 ,75 .80 .90 .95

√ 0. 352 343 333 323 312 301 301 290 266 254

i, 130 120 111 102 0,0941 863 863 790 656 596

2, 175 155 136 119 104 0,02910 792 687 595 514

212



Распределение Колмогорова p(0  λ  λ γ )  γ λγ 0,50 0,54 0,58 0,62 0,66 0,70 0,74 0,78 0,82 0,86 0,90 0,94 0,98 1,02 1,06 1,10 1,14 1,18 1,22

γ 0,0361 0,0675 0,1104 0,1632 0,2236 0,2888 0,3560 0,4230 0,4880 0,5497 0,6073 0,6601 0,7079 0,7500 0,7889 0,8223 0,8514 0,8765 0,8981

λγ 1,26 1,30 1,34 1,38 1,42 1,46 1,50 1,54 1,58 1,62 1,66 1,70 1,74 1,78 1,82 1,86 1,90 1,94 1,98

 γ 0,9164 0,9319 0,9449 0,9557 0,9646 0,9718 0,9778 0,9826 0,9864 0,9895 0,9918 0,9938 0,9953 0.9965 0,9973 0,9980 0,9985 0,9989 0,9992

213

Таблица распределения Стьюдента γ 

t γ, k

 f t ( x)dx

t γ, k

K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24 30 40 60 120 ∞

Γ 0,90 6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,782 1,761 1,746 1,734 1,752 1,717 1,711 1,697 1,684 1,671 1,658 1,645

0,95 12,71 4,30 3,18 2,77 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,18 2,14 2,12 2,10 2,09 2,07 2,06 2,04 2,02 2,00 1,980 1,960

0,98 31,8 6,96 4,54 3,75 3,36 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,68 2,62 2,58 2,55 2,53 2,51 2,49 2,46 2,42 2,39 2,36 2,33

0,99 63,7 9,92 5,84 4,60 4,03 4,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,06 2,98 2,92 2,88 2,84 2,82 2,80 2,75 2,70 2,66 2,62 2,58

214

Значения функции Лапласса 0 x  x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0160 0557 0948 1331 1700 2054 2389 2704 2996 3264 3508 3729 3925 4099 4251 4382 4495 4591 4671 4738 4793 4838 4874 4903 4927 4945 4958 4969 4977 4984 4997

0199 0596 0987 1368 1736 2088 2422 2734 2923 3282 3531 3749 3944 4115 4265 4394 4505 4599 4678 4744 4798 4842 4878 4906 4929 4946 4960 4970 4978 4984

0239 0636 1026 1406 1772 2123 2454 2764 3051 3315 3554 3770 3962 4131 4279 4406 4515 4608 4686 4750 4803 4846 4881 4960 4930 4948 4961 4971 4979 4935

0279 0675 1064 1443 1808 2157 2486 2794 3078 3340 3577 3790 3980 4147 4292 4418 4525 4616 4693 4757 4808 4850 4884 4911 4932 4949 4962 4972 4980 4985

0319 0714 1103 1480 1844 2190 2518 2823 3106 3364 3599 3810 3997 4162 4306 4430 4535 4625 4700 4762 4812 4854 4887 4913 4934 4950 4963 4973 4980 4986

0359 0535 1141 1517 1880 2224 2549 2852 3233 3389 3621 3830 4015 4177 4319 4441 4545 4633 4706 4767 4817 4857 4900 4916 4936 4952 4964 4974 4981 4986

0,0 0,0000 0040 0080 0120 0,1 0398 0438 0478 0517 0,2 0792 0832 0871 0910 0,3 1179 1217 1255 1293 0,4 1554 1591 1628 1664 0,5 1915 1950 1985 2019 0,6 2258 2291 2324 2356 0,7 2580 2612 2642 2673 0,8 2881 2910 2940 2967 0,9 3159 3186 3212 3238 1,0 3413 3438 3461 3485 1,1 3643 3665 3686 3708 1,2 3849 3869 3888 3906 1,3 4032 4049 4066 4082 1,4 4192 4207 4222 4236 1,5 4332 4345 4357 4370 1,6 4452 4463 4474 4484 1,7 4554 4564 4573 4582 1,8 4641 4648 4656 4664 1,9 4713 4719 4726 4732 2,0 4772 4778 4783 4788 2,1 4821 4826 4830 4834 2,2 4861 4864 4868 4871 2,3 4893 4896 4898 4901 2,4 4918 4920 4922 4924 2,5 4938 4940 4941 4943 2,6 4953 4955 4956 4957 2,7 4965 4966 4967 4968 2,8 4974 4975 4976 4977 2,9 4981 4982 4982 4983 3,0 4986 4990 4993 4995 3,5 0,4997674 4,0 4999683 4,5 4999966 5,0 499997

0  x    0 x 

215

Таблица распределения k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

( (

))

α 0,01 6,64 9,21 11,34 13,28 15,09 16,82 18,48 20,10 21,07 23,20 26,2 29,1 32,0 34,8 37,6 40,3 43,0 45,6 48,3 50,9

0,02 5,41 7,82 9,84 11,67 13,39 15,03 16,62 18,17 19,68 21,2 24,1 26,9 29,6 32,3 35,0 37,7 40,3 42,9 45,4 48,0

0,05 3,84 5,99 7,82 9,49 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 21,0 23,7 26,3 28,9 31,4 33,9 36,4 38,9 41,3 43,8

0,95 0,004 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,17 2,73 3,32 3,94 5,23 6,57 7,96 9,39 10,85 12,34 13,85 15,38 16,93 18,49

0,98 0,001 0,040 0,185 0,429 0,752 1,134 1,564 2,03 2,53 3,06 4,18 5,37 6,61 7,91 9,24 10,60 11,99 13,41 14,85 16,31

0,99 0,000 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,646 2,09 2,56 3,57 4,66 5,81 7,02 8,26 9,54 10,86 12,20 13,56 14,95

216

ПРИЛОЖЕНИЕ В Показатели надежности электрооборудования Влияние кратности резервирования на вероятность безотказной работы параллельной группы в зависимости от параметра потока отказов Кратность резервирования 0/1 1/3 1/2 1/1 2/2 2/1 3/1

0,1 0,9048 0,9523 0,9735 0,9909 0,9947 0,9999 1,0000

0,5 0,6065 0,4862 0,6575 0,8431 0,8228 0,9389 0,9757

λt 1 0,3679 0,1443 0,3063 0,6005 0,4683 0,7476 0,8407

2 0,1353 0,0090 0,0499 0,2523 0,0908 0,3535 0,4511

4 0,0183 0,0004 0,0008 0,0363 0,0019 0,0540 0,0716

Таблица 1 Показатели надежности трансформаторов Sт ном МВ·А До 2,5 2,5-7,5

10-80 Более 80

Uвн ном кВ 6-20 35 6-20 35 110 35 и ниже 110-150 220 110-150 220 330 500-750

 1/год 0,016 0,01 0,008 0,007 0,018 0,012 0,014 0,035 0,075 0,025 0,053 0,024** 0,05***

* На один трансформатор. ** Для однофазных трансформаторов. *** Для трехфазных трансформаторов.

Тв ч 50 40 120 65 40 70 70 60 95 60 45

т 1/год 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,75 1,0 1,0 1,0

Трт* ч 6 6 8 26 28 26 28 28 30 30 30

220

1,0

50

217

Таблица 2 Вид выключателей Автоматические Электромагнитные

Uном кВ До 1 6-10

Маломасляные

Масляные баковые Воздушные

10 20 35 110-150 35 110 220 15-20 35 110 220 330***

 1/год 0,05 ВЭМ-6, ВЭМ- 0,022 10, ВЭ-10 ВМП-10 0,009 Прочие 0,009 0,01 0,02 0,06 0,01 0,016 0,055 0,04 0,02 0,02 ВВБ 0,02 Прочие 0,02 ВВБ 0,03 Прочие 0,03 ВВБ 0,15 Прочие 0,15 0,25 Тип

Тв ч 4 11

к 1/год 0,33 0,2

Трк* ч 10 24

20 20 26 25 20 30 40 50 20 40 20 55 25 48 60 60 60 75

0,14 0,14 0,14 0,14 0,14 0,14 0,14 0,14 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

8 10 ** 9 30 12 23 43 40 29 45 122 98 161 113 ** 133 271

500*** 750*** * На один выключатель. ** Отсутствует представительная выборка данных. *** Показатели надежности выключателей на напряжение 330-750 кВ приведены без учета отказов выключателей ВНВ.

218

Таблица 3 Показатели надежности разъединителей, отделителей и короткозамыкателей Аппарат Разъединители

Отделители Короткозамыкатели

Uном кВ 6-10 35 110 150 220 330 500 750 35 110 220 35 110 220

 1/год 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,015 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

Тв ч 7 6 11 15 7 10 14 14 3 3,5 3,5 4 6 6

к 1/год 0,166 0,166 0,166 0,166 0,166 0,166 0,166 0,166 0,33 0,33 0,33 0,33 0,33 0,33

Трк* ч 4 6 8 11 13 18 31 81 7 10 16 8 6 8

* На один аппарат. Таблица 4 Значение относительной частоты отказов (аоп) выключателей Вид выключателя Электромагнитные Маломасляные Масляные баковые

Воздушные

Uном кВ 6-10 20 и выше 35 110 20 и выше 35 110-154 220 35 110-154 220 330 500 и выше

аоп 0,0022 0,003 0,005 0,006 0,001 0,006 0,004 0,011 0,013 0,004 0,004 0,002 0,007

219

Таблица 5 Значение относительной частоты отказов выключателей (акз) при КЗ Вид выключателя Электромагнитные Маломасляные

Масляные баковые

Uном кВ 6-10 20 кВ и ниже 35 110 20 и ниже 35 110-150 220

Воздушные

35 110-150 220 330 500 и выше

Тип выключателя ВМП Прочие У Прочие У Прочие ВВБ Прочие ВВБ Прочие ВВБ Прочие ВВБ Прочие

акз 0,027 0,005 0,002 0,005 0,013 0,003 0,006 0,006 0,004 0,009 0,009 0,012 0,004 0,003 0,006 0,003 0,006 0,002 0,003 0,02

Таблица 6 Показатели надежности сборных шин Uном Тв Трк*  1/год на к* кВ ч Ч присоединение 1/год 6 0,03 5 0,166 5 10 0,03 7 0,166 5 20-35 0,02 7 0,166 4 110-150 0,016 5 0,166 4 220 0,013 5 0,166 3 330 0,013 5 0,166 3 500 0,013 5 0,166 5 750 0,01 6 0,166 5 * На присоединение. При обесточении одновременно двух систем шин параметр потока отказов определяется умножением данных, приведенных в табл.6, на коэффициент 0,6 для шин напряжением 110-220 кВ и на коэффициент 0,25 для шин напряжением 330-500 кВ.

220

Таблица 7 Показатели надежности линий электропередачи Тип линии

Uно м

Материал опор

кВ Воздушна До я 1 610 35 Металлические

-

* 1/го д 25

1,7

** 1/го д 0,17

-

7,64

5,0

0,17 ***

Одноцепные

0,90

9,0

2,1 16, 0 4,0 13, 0

Число цепей

Тв ч

Тр* * Ч ***

Двухцепны Отключен 1,06 6,0 е а одна цепь Отключен 0,22 8,0 0,3 9,0 ы две цепи Железобетонн Одноцепные 0,72 10,0 1,2 15, ые 0 Двухцепны Отключен 0,81 9,5 1,3 14, е а одна 0 цепь Отключен 0,05 12,4 0,15 13, ы две цепи 0 Деревянные 1,46 13,0 2,5 16, 0 110 Металлические Одноцепные 1,28 8,8 2,1 14, 5 Двухцепны Отключен 1,68 6,9 3,8 14, е а одна 8 цепь Отключен 0,17 10,3 0,4 19, ы две цепи 0 Железобетонн Одноцепные 0,66 11,0 1,6 15, ые 5 Двухцепны Отключен 1,01 8,4 2,4 12, е а одна 0 цепь Отключен 0,13 14,8 0,4 13, ы две цепи 0 Деревянные 1,44 10,2 3,6 14, 0 220 Металлические Одноцепные 0,5 14,3 2,8 17,

221

.

Двухцепны Отключен 0,63 11,2 е а одна цепь Отключен 0,04 14,9 ы две цепи Железобетонн Одноцепные 0,36 9,3 ые Двухцепны Отключен 0,47 8,6 е а одна цепь Отключен 0,03 7,6 ы две цепи Деревянные 0,57 10,6 330 Металлические

Одноцепные

0,55 10,8

Двухцепны Отключен 0,90 9,4 е а одна цепь Отключен 0,09 4,9 ы две цепи Железобетонн Одноцепные 0,3 15,3 ые 500 Металлические Одноцепные 0,21 14,3 Железобетонн Одноцепные 0,15 ые 750 0,2 Кабельна 67,5 я 15 203,2 35 До 10,0 1 * Ha 100 км. ** На одну линию. *** Отсутствует представительная выборка данных. **** Указана продолжительность ремонта.

0 3,3 17, 4 0,5 24, 0 1,8 24, 0 1,1 17, 0 0,3 9,4

5,4 17, 9 3,0 21, 0 7,3 15, 0 0,3 14, 1

2,9 20, 0 3,1 18, 0 13,0 3,5 23, 0 20,0 0,17 *** 16*** 1,0 2,0 * 16*** 1,0 2,0 * 24*** 1,0 *** *

222

Таблица 8 Коэффициент учета неустойчивых отказов ВЛ 35-750 кВ  Uном  кВ 35 0,34 110-154 0,24 220-330 0,25 500-750 0,36 Таблица 9 Показатели надежности асинхронных электродвигателей Uном Рном Тв Трк к*  кВ кВт ч Ч 1/год 1/год До 1 До 320 0,1 50 0,25 50 Выше 1 200-800 0,1 50 0,25 96 1000-2000 0,1 90 0,25 164 Выше 2000 0,2 140 0,25 384 * По экспертным оценкам. Таблица 10 Показатели работы энергоблоков с паротурбинными установками n Т пл * Рном Тв * Оборудование 1/агрегатоМВт ч 1/год Ч год Энергоблок 150-165 5,68 48,8 19 1559 180-210 8,67 45 16 1139 250-300 8,26 45 15 1007 500 21,36 70 24 911 800 12,08 74 16 1086 * На один агрегат. Таблица 11 Показатели работы основного оборудования энергоблоков с паротурбинными установками Рном Тв '* Оборудование МВт ч 1/год Котлоагрегат 150-165 4,02 44 180-210 6,14 47 250-300 5,75 38 500 6,59 56 800 9,08 50 Турбина 150-165 0,97 43 180-210 1,45 45 250-300 2,21 68 500 4,22 85 800 2,66 99

223

Турбогенератор

150-165 0,55 91 180-210 0,87 58 250-300 0,59 83 500** 4,48 136 800 0,89 179 * На единицу оборудования. ** Для турбогенераторов ТГВ-500 и ТВН-500. Блочные трансформаторы связи и оборудование распределительных устройств в состав энергоблока не включены. Расчетной единицей времени является агрегато-год. В число остановов блока включены все плановые и неплановые остановы, в среднее время плановых простоев включено время плановых ремонтов, нахождения в резерве, проведения испытаний и др. Для приближенного перехода к показателям надежности рекомендуется использовать выражения (1), (2), (3):  пл   n   

8760 Т агрегато  год

,

(1)

где пл - частота плановых остановов, 1/год (единицей времени является календарный год); n - удельное число остановов блока за агрегато-год; ' - параметр потока отказов 1/агрегато-год. Продолжительность агрегато-года вычисляется по выражению Т агрегато  год  8760  Т пл  Т в .

Параметр

потока

отказов,

приведенный

к

календарному

году,

определяется по выражению   

8760 Т агрегато  год

.

(2)

Продолжительность планового простоя, приведенная к календарному году, определяется по выражению Т пл 

Т пл . n  

(3)