Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет Магистратура
ПРИКЛАДНОЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Учебно-методическое пособие для практических занятий Электронное издание
Красноярск СФУ 2013
УДК 622.24.001.57(07) ББК 33.361-021я73 П759 Составитель: Панфилов Илья Александрович П759 Прикладной анализ случайных величин: учеб.-метод. пособие для практических занятий [Электронный ресурс] / сост. И.А. Панфилов. – Электрон. дан. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2013. – Систем. требования: PC не ниже класса Pentium I; 128 Mb RAM; Windows 98/XP/7; Adobe Reader V8.0 и выше. – Загл. с экрана. Учебно-методическое пособие является частью электронного учебно-методического комплекса по дисциплине «Прикладной анализ случайных величин», включающего учебную программу дисциплины, учебно-методическое пособие, учебно-методическое пособие для самостоятельной работы, лабораторный практикум, контрольно-измерительные материалы. Предназначено для студентов направления подготовки магистров 151000.68 «Технологические машины и оборудование» укрупненной группы 151000 «Технологические машины и оборудование».
УДК 622.24.001.57(07) ББК 33.361-021я73 © Сибирский федеральный университет, 2013
Учебное издание Подготовлено к публикации Издательским центром БИК СФУ Подписано в свет 23.08.2013 г. Заказ 1154. Тиражируется на машиночитаемых носителях. Издательский центр Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79 Тел/факс (391)206-21-49. E-mail
[email protected] http://rio.sfu-kras.ru
2
Практическое занятие №1 (2 часа, самостоятельная работа 4 часа) Тема: распределения вероятностей случайных величин: нормальное, Пирсона, Стьюдента, экспоненциальное, равномерное, биномиальное, Пуассона. Содержание занятия: 1. Законы распределения случайных величин: равномерное, нормальное, экспоненциальное, Пирсона, Стьюдента, биномиальное, Пуассона; 2. Аппроксимации распределений и асимптотики, области применения распределений при решении практических задач математической статистики; 3. Вычисление вероятностей попадания случайных величин с заданными законами распределения в данный интервал Pa X b , использование асимптотических форму, таблиц, пакета Mathcad; Практическое занятие №2 (2 часа, самостоятельная работа 4 часа) Тема: Реализация алгоритмов численного моделирования случайных величин с заданным законом распределения Содержание занятия: 1. Метод обратных функций для моделирования случайных величин с заданным законом распределения, реализация метода для заданного закона распределения; 2. Изучение возможностей пакета Mathcad для моделирования случайных величин с типовыми законами распределений (нормальное, экспоненциальное, Стьюдента, равномерное); Практическое занятие №3 (2 часа, самостоятельная работа 5 часа) Тема: Предварительная обработка выборочных данных: порядковые статистики, гистограммы, выборочные моменты, эмпирическая функция распределения. Содержание занятия: 1. Изучение возможностей пакета Mathcad для предварительной обработки выборочных данных. Формирование порядковых статистик, гистограмм, вычисление выборочных моментов, построение эмпирических функций распределения; 2. Получение выборочных данных с заданным законом распределения и их предварительная обработка в среде Mathcad. Практическое занятие №4 (2 часа, самостоятельная работа 8 часов) Тема: Реализация алгоритмов моделирования гауссовских случайных процессов. 3
Содержание занятия: 1. Обсуждение и реализация в среде Mathcad алгоритмов моделирования стационарных случайных процессов: гауссовского с экспоненциальной корреляционной функцией, процесса с экспоненциальным распределением, процесса с распределением Релея; Практическое занятие №5 (2 часа, самостоятельная работа 9 часов) Тема: Точечные и интервальные оценки. Содержание занятия: 1. Обсуждение теоретического материала; 2. Обсуждение темы, предложенной для самостоятельного изучения «Оценка параметров биномиального распределения»; 3. Реализация точечных и интервальных оценок параметров нормального распределения в среде Mathcad: Реализовать одну из точечных оценок среднего (оценка максимального правдоподобия, оценка с помощью медианы, оценка с помощью порядковых статистик). Сформировать выборку и найти для нее оценку среднего. Сравнить полученный результат с точным значением. Реализовать одну из точечных и интервальных оценок стандартного отклонения. Сформировать выборку и найти для нее оценки. Сравнить полученный результат с точным значением; Примечание: Основная часть практического задания (п.3) выполняется самостоятельно. Практическое занятие №6 (2 часа, самостоятельная работа 9 часов) Тема: Критерии согласия. Содержание занятия: 1. Обсуждение теоретического материала; 2. Обсуждение темы, предложенной для самостоятельного изучения «Критерий числа пустых интервалов, квартильный критерий Баректта-Эйсена» 3. Получить выборку с заданным законом распределения и проверить с помощью критерия Колмогорова-Смирнова гипотезу о том, что закон распределения выборки не противоречит исходному распределению. Изменить гипотетическое распределение или его параметры и проверить гипотезу о соответствии исходной выборки этому распределению; 4. Получить две выборки с разными законами распределения. Проверить с помощью двухвыборочного критерия Колмогорова-Смирнова гипотезу о согласии эмпирических распределений полученным по этим выборкам. Примечание: Основная часть практического задания (п.3) выполняется самостоятельно. 4
Практическое занятие №7 (2 часа, самостоятельная работа 13 часов) Тема: Проверка гипотез о параметрах нормального и экспоненциального распределений. Содержание занятия: 1. Обсуждение теоретического материала; 2. Обсуждение темы, предложенной для самостоятельного изучения «Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с неизвестными, но равными дисперсиями» 3. Сформировать две выборки независимых нормальных случайных величин. На основе выборочных данных установить наличие значимой разницы в средних двух совокупностей, из которых извлечены выборки, т.е. проверить нулевую гипотезу H 0 : 1 2 против одной из альтернатив H 1 : 1 2 ,
H1 : 1 2 , H1 : 1 2 .
Рассмотреть один из случаев: Сравнение при известных дисперсиях; Сравнение при неизвестных равных дисперсиях; Сравнение при неизвестных неравных дисперсиях. Критерии Сатервайта и Уэлча. 4. Сформировать две выборки независимых нормальных случайных величин. На основе выборочных данных проверить гипотезу равенства дисперсий, опираясь на их выборочные дисперсии. Рассмотреть критерий Фишера или критерий отношения размахов. Примечание: Основная часть практического задания (п.3) выполняется самостоятельно. Практическое занятие №8 (2 часа, самостоятельная работа 11 часов) Тема: Дисперсионный и корреляционный анализ. Содержание занятия: 1. Обсуждение теоретического материала; 2. Обсуждение темы, предложенной для самостоятельного изучения «Регрессионный анализ»; 3. Вычисление коэффициентов корреляции, коэффициентов частной и множественной корреляции. Практическое занятие №9 (2 часа, самостоятельная работа 10 часов) Тема: Спектральный анализ случайных процессов: оценка вероятностных и спектральных характеристик случайного процесса, получаемых по дискретным данным.
5
Содержание занятия: 1. Обсуждение темы, предложенной для самостоятельного изучения «Алгоритмы вычисления оценок спектральной плотности мощности»; 2. Спектральный анализ и быстрое преобразование Фурье (БПФ); 3. Алгоритмы ПБФ, их реализация, использование окон при спектральном анализе. 4. Спектральный анализ случайных процессов, полученных методом численного моделирования. Примечание: Основная часть практического задания (п.3) выполняется самостоятельно. Самостоятельная работа (72 часов) Наименование работы Количество Форма часов контроля 1. Проработка лекционного материала 18 Опрос на занятиях (устно) 2. Подготовка к практическим занятиям 9 Отчеты 3. Самостоятельное изучение тем 9 Опрос на теоретической части занятиях (устно) 4. Подготовка к экзамену 36 Оценка за экзамен Список тем, предлагаемых для самостоятельного изучения (20 час.) 1. Оценка параметров биномиального распределения (практическое занятие №5). 2. Критерий числа пустых интервалов, квартильный критерий Баректта-Эйсена (практическое занятие №6). 3. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с неизвестными, но равными дисперсиями (практическое занятие №7). 4. Регрессионный анализ (практическое занятие №8). 5. Алгоритмы вычисления оценок спектральной плотности мощности (практическое занятие №9). Проработка лекционного материала (38 часов) Самостоятельная работа с материалами лекций и литературой для более глубокого и детального изучения разделов дисциплины, подготовка к их обсуждению на практических занятиях.
6
Подготовка к практическим занятиям (73 часа) Самостоятельная работа с материалами лекций и литературой по темам практических занятий, выполнение практических заданий. Подготовка к экзамену (36 часов) Список вопросов к экзамену по курсу «Прикладная математическая статистика» 1. Математическая статистика. Что это за дисциплина, с решением каких задач она связана? 2. Понятие выборки и формы ее записи. Группированный статистический ряд, полигон частот, гистограмма. 3. Эмпирическая функция распределения. 4. Понятие сходимости по вероятности последовательности случайных величин. Терема Чебышева и следствия из нее. 5. Оценка неизвестных параметров закона распределения. 6. Понятие состоятельности, несмещенности и эффективности оценки. 7. Метод моментов. Оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины. Их свойства. 8. Функция правдоподобия и оценка максимального правдоподобия. Приближенное решение уравнения правдоподобия. 9. Оценки параметров нормального распределения: 10. Метод наименьших квадратов оценки неизвестных параметров распределения. 11. Оценки параметров нормального распределения, оценки: максимального правдоподобия, с помощью медианы, с помощью порядковых статистик. 12. Оценки параметров нормального распределения: оценки Диксона, Огавы, Пирсона-Тьюки, быстрые оценки Кенуя, устойчивая оценка ХоджесаЛемана по средним Уолша, упрощенная оценка по шаблону. 13. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал. 14. Оценки среднего при известной и неизвестной дисперсии, оценка по выборочному размаху, по интерквартильной широте, 50%-го доверительного интервала по вероятному отклонению. 15. Оценки дисперсии и стандартного отклонения нормального распределения. Точечные оценки: максимального правдоподобия, по выборочной дисперсии, по среднему абсолютному отклонению, по выборочному размаху, упрощенная оценка по шаблону. 16. Оценки дисперсии и стандартного отклонения нормального распределения. Оценки с помощью порядковых статистик: оптимальная линейная оценка, оценка Огавы, линейная оценка Даутона, оценка по сумме подразмахов, оценка Джини, оптимальные комплексные оценки использующие общий набор порядковых статистик. 7
17. Оценки дисперсии и стандартного отклонения нормального распределения. Интервальные оценки: оценка по размаху, по среднему абсолютному отклонению, интервальная оценка основанная на точечной оценке. 18. Оценка параметров экспоненциального распределения. 19. Оценка параметров биномиального распределения. 20. Задачи статистической проверки гипотез. Понятие гипотезы. Простые и сложные гипотезы. 21. Проверка простой гипотезы против простой альтернативы. Ошибки первого и второго рода. 22. Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания нормального распределения при известной и неизвестной дисперсии (случаи равных и неравных дисперсий). 23. Модифицированный критерий Стьюдента, парный t-критерий сравнения средних, критерий Уолша, основанный на порядковых статистиках. 24. Сравнение нескольких средних: модифицированный критерий Стьюдента, критерий стьюдентизированного размаха, дисперсионный критерий. 25. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий нормальных распределений: критерии Фишера и Романовского. 26. Сравнение нескольких дисперсий: критерии Бартлетта, Кохрана и Неймана Пирсона. 27. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности события. 28. Понятие критерия согласия. Распределение Пирсона. Критерий согласия Пирсона, основанный на сравнении теоретической плотности распределения и гистограммы. 29. Критерий числа пустых интервалах и квартильный критерий Барнетта-Эйсена. 30. Критерии, основанные на сравнении теоретической и эмпирической функции распределения−постановка задачи. 31. Критерии Колмогорова-Смиронова и Смирнова-Крамера-фон Мизеса. 32. Двухвыборочный критерий Колмогорова-Смирнова и критерий Катценбайссера-Хакля. 33. Критерии нормальности распределения (модифицированный 2 критерий , критерий типа Колмогорова-Смирнова) и специальные критерии нормальности (критерий Шапиро-Уилка). 34. Критерии согласия для равномерного распределения (критерии Шермона и Морана). 35. Линейный корреляционный анализ. Оценка коэффициентов регрессии и оценка корреляционного отношения.
8
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Основная литература 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие, 11и 12 издания. ─ М.: Высшее образование, 2008, М.: Юрайт, 2010. (2 экз) 2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов. − М.: Юрайт, 2007. (5 экз). 3. Белов А.А., Баллод Б.А., Елизарова Н.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов. − Ростов н/Д: Феникс, 2008. (2 экз) Дополнительная литература 4.
Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. ─ М.: Физматлит,
2006. 5. Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. Пер. с англ. / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, Тюрина Ю.Н. ─ М.: Финансы и статистика, 1989. 6. Бендат Л., Пирсол Л. Прикладной анализ случайных данных. ─ М.: Мир, 1989. 7. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. ─ М.: Наука, 1973. 8. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Ч.2. ─ М.: Советское радио, 1971. 9. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. ─ М.: Наука, 1976. 10. Грибанов Ю.И., Мальков В.А. Спектральный анализ случайных процессов. ─ М.: Энергия, 1974. 11. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов/ 10-е изд., стереотип. ─ М.: Высшая школа, 2005 (2002, 1999, 1969). 12. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. ─ М.: Физматгиз, 1960. 13. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. ─ М.: Айрис-Пресс, 2008. 14. Поляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. ─ М.: Советское радио, 1971. 15. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. ─ М.: Советское радио, 1971. 16. Астафуров В.Г. Исследование операций: методические указания по выполнению лабораторных работ. − Томск: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, 2007.
9