Механика

Механика

Представлены лабораторные работы по курсу общей физики. В первых девяти лабораторных работах акцент сделан на знакомство с методами обработки экспериментальных данных, а в последующих –  на анализ моделей изучаемых физических явлений и экспериментальную проверку приближений предлагаемого методa.

ISBN 978-5-7638-2445-2

9 785763 824452

Лабораторный практикум

Институт фундаментальной подготовки

Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет

МЕХАНИКА Лабораторный практикум

Красноярск СФУ 2012 1

УДК 531(07) ББК 22.2я73 М550

Р е ц е н з е н т ы: В. В. Вальков, д-р физ.-мат. наук, проф. ИФ СО РАН; Ю. В. Захаров, д-р физ.-мат. наук, проф. СибГТУ

С о с т а в и т е л и: В. К. Баранова – лаб. раб. 2, 3, 6, 8, 9, 11–17, 21, 22; Е. Г. Горячев – лаб. раб. 18, 23; В. И. Гурков – лаб. раб. 5, 7; В. В. Данилов –лаб. раб. 1; Н. С. Зимницкая – лаб. раб. 4; О. А. Золотов – лаб. раб. 4; В. П. Казанцев – лаб. раб. 3, 10, 20; В. К. Меркулов – лаб. раб. 1; В. Г. Плеханов – лаб. раб. 19; И. К. Саламахо – лаб. раб. 18, 23.

М550 Механика : лаб. практикум / сост. В. К. Баранова, В. И. Гурков, О. А. Золотов [и др.] ; отв. ред. В. К. Баранова. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2012. – 168 с. ISBN 978-5-7638-2445-2 Представлены лабораторные работы по курсу общей физики. В первых девяти лабораторных работах акцент сделан на знакомство с методами обработки экспериментальных данных, а в последующих – на анализ моделей изучаемых физических явлений и экспериментальную проверку приближений предлагаемого методa. Предназначен для студентов укрупненных групп специальностей 010000 «Физико-математические науки», 020000 «Естественные науки», 140000 «Энергетика, энергетическое машиностроение и электротехника», 210000 «Электронная техника, радиотехника и связь», 220000 «Автоматика и управление». УДК 531(07) ББК 22.2я73 ISBN 978-5-7638-2445-2

© Сибирский федеральный университет, 2012 2

ВВЕДЕНИЕ Цель лабораторного практикума – повышение качества знаний студентов и подготовка их к активному восприятию курса общей физики. По своей сути практикум решает две большие задачи: дает понятие об измерениях как основном инструменте физических исследований и на примерах измерения конкретных физических величин знакомит с методами получения и обработки экспериментальных данных. К каждой поставленной в лаборатории задаче студент должен относиться как к научному исследованию и выполнять работу с ясным пониманием сущности изучаемого явления. Для этого необходимо внимательно прочитать не только описание к лабораторной работе, но и соответствующие главы учебника, четко уяснить суть работы, разобраться в том, что и как следует измерять, в каком виде (и почему именно так) должны быть представлены полученные результаты. До начала занятия в лаборатории студент готовит вводную теоретическую часть работы, анализирует приближения, которыми воспользуется при выводе расчетных формул, и продумывает условия проведения эксперимента. Работа в лаборатории начинается с допуска, во время которого преподаватель уточняет задачи эксперимента и условия его проведения, после чего студент приступает непосредственно к измерениям. Экспериментальные результаты представляются в виде таблиц и графиков, обязательны также анализ и оценка их достоверности, сравнение с табличными, если таковые имеются.

3

1. ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ ПРАКТИКУМ Кратко о теории погрешности измерений Измерение – это сравнение с эталоном. Искусство экспериментатора состоит в таком выборе эталона и способа сравнения, который можно реализовать в условиях физической лаборатории и который давал бы максимальную или хотя бы удовлетворительную точность. Результат измерения – это интервал, которому принадлежит измеряемая величина. Результат измерения записывается в виде x ± ∆x, где х – значение измеряемой величины, а ∆x – её погрешность. Эксперимент не выполнен, если неизвестна его погрешность! Погрешность каждого отдельного измерения определяется погрешностью прибора. Обычно в качестве такой погрешности берется половина цены наименьшего деления прибора. Например, для линейки с миллиметровыми делениями (цена деления – 1 мм) погрешность отдельного измерения составит 0,5 мм. Если же на линейке нет миллиметровых делений, а есть, например, только сантиметровые (такими линейками отмеряют ткань в магазинах), то получить результат точнее 0,5 см нельзя! Отдельные случаи, когда такое возможно, приведены в [1]. Далее, если имеется цифровой прибор, например, секундомер, который показывает, предположим, значение 1,23, то это означает, что 1,23 с уже прошло, а 1,24 с – ещё нет, и результат измерения необходимо записать так: (1, 235 ± 0, 005) с. Если погрешность не приводится, то она равна половине последней цифры. Например, если указано, что масса груза равна 20 г, то, значит, масса груза (20,0 ± 0,5) г, а если указано, что она 20,0 г, то, значит, она (20,00 ± 0,05) г. Как видно, 20 и 20,0 не равны друг другу!

Типы погрешностей Предположим, необходимо измерить длину крышки стола (рис. 1). Поскольку крышка стола не идеальный прямоугольник, то в разных местах наш прибор, если он достаточно точный, покажет разные значения длины. Под длиной стола тогда естественно понимать среднее значение нескольких результатов измерений, а погрешностью может служить 4

средняя величина разброса измерений. Если при многократных измерениях результаты отличаются друг от друга, то имеет место случайная погрешность. Источниками таких погрешностей могут служить как природа самой величины, так и многочисленные случайные факторы (изменения влажности, температуры, напряжения в сети и т. д.), которые влияют на результат измерения. Уменьшают такую погрешность проведением многократных измерений. Формулы для расчёта измеряемой величины с учётом случайной погрешности приведены в лабораторной работе 1. До какой степени можно уменьшить случайную погрешность? Очевидно, что случайную погрешность не имеет смысла пытаться Рис. 1 сделать меньше приборной! Другой вид погрешностей – грубый промах. Если при проведении многократных измерений малое количество результатов очень сильно отличается от остальных, то такие результаты в большинстве случаев можно считать грубыми промахами и не учитывать при дальнейших расчетах. Следует отметить, что при проведении эксперимента записываются все результаты! Грубые промахи отмечаются потóм. Причины грубых промахов – невнимательность экспериментатора (неправильно считаны показания приборов из-за того, что его отвлекли), резкие скачки напряжения в сети, сотрясение установки и т. д. «Самая страшная» погрешность при проведении эксперимента – это систематическая погрешность. Систематической называется погрешность, которая остается постоянной по знаку на протяжении серии измерений. Причиной систематической погрешности может быть как неисправный прибор, так и неправильная теоретическая модель явления, например экспериментатор может необоснованно считать, что трение мало влияет на результаты. Учесть систематическую ошибку можно проведением дополнительных измерений (например, величины силы трения), изменением методики проведения эксперимента, заменой приборов.

Виды измерений Измерения бывают прямые и косвенные. Если при проведении измерения прибор показывает непосредственно измеряемую величину (например, длина измеряется с помощью линейки), то такое измере5

ние называется прямым. Если же показания приборов требуется подставить в формулу, чтобы получить измеряемую величину, то такое измерение называется косвенным. Примеры косвенных измерений: высоты по времени падения, сопротивления с помощью вольтметра и амперметра. При вычислении погрешности косвенных измерений поступают следующим образом: пусть непосредственно измеряется, например, величина времени падения t, а необходимая экспериментатору высота h есть некоторая функция от t: h = h(t). Тогда можно не вычислять h для каждого измеренного значения t! Достаточно с помощью метода, приведенного в лабораторной работе 1, вычислить среднее значение t и погрешность Δt. Среднее значение h будет связано со средним значением t той же зависимостью h = h(t), a погрешность Δh = h(t ) , где h(t ) – производная от h по t.

Правила записи результатов измерений Предположим, в результате многократных измерений длины стола у экспериментатора получились среднее значение l = 1,00572397184 м и погрешность l = 0,003825392 м. Если повторно провести такой же эксперимент, то, очевидно, будет получен другой результат как для длины, так и для её погрешности, но если оба эксперимента проведены правильно, то соответствующие величины будут близки. Насколько? Это определяется погрешностью. Поэтому последние цифры длины (например, 84) называются незначащими и их писать нельзя! В окончательном результате пишутся только значащие цифры! Количество значащих цифр определяется таким образом, что последняя значащая цифра среднего значения по месту после запятой совпадает с первой цифрой погрешности. Погрешность же округляется до одной значащей цифры, причем всегда в большую сторону. Только если у погрешности первая значащая цифра равна 1, то округление производится до двух значащих цифр. Среднее округляется по стандартным правилам. Таким образом, правильная запись результата должна выглядеть так: (1,006 ± 0,004) м.

Предлагаемая методика проведения измерений 1. Проанализировать, по возможности устранить или измерить возможные источники систематической погрешности. 6

2. Произвести 3–5 измерений при разных параметрах (в разных местах). 3. Если измерения с учетом приборной погрешности не различаются, то дальнейшие измерения проводить не надо, погрешность результата равна приборной. 4. В противном случае с помощью формул, приведенных в лабораторной работе 1, оценить количество измерений, при которых приборная погрешность станет в 3 раза меньше статистической, 5. Провести необходимое количество измерений и обработать их. 6. При записи окончательных результатов указывать только значащие цифры. В промежуточных вычислениях тоже рекомендуется округлять результаты, оставляя ещё две незначащие цифры, чтобы ошибки округления не повлияли на окончательный результат.

Список литературы Лабораторные занятия по физике / под ред. Л. Л. Гольдина. – М. : Наука, 1983.

Лабораторная работа 1 ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ РЕАКЦИИ ЧЕЛОВЕКА Цель работы: определить время собственной реакции студента; ознакомиться с методами статистической обработки результатов измерения. Оборудование: миллиметровая линейка. Краткие теоретические сведения Описание эксперимента. Существует множество методов определения человеческой реакции. В данной работе предложен метод, требующий простого оборудования. Измерения производятся вдвоём. Испытуемый студент кладёт руку на край стола так, чтобы кисть свешивалась над полом и 7

расстояние между большим и указательным пальцами было 3–4 см. Второй студент помещает нулевое деление линейки между пальцами и отпускает её. Испытуемый должен как можно скорее поймать линейку. По расстоянию, которое пролетит линейка, несложно определить время реакции из формулы

gt 2 h= , 2 где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Отсюда 2h . g

t=

(1.1)

Для того чтобы получить более точный результат и определить погрешность измерений, нужно повторить эксперимент 20 – 30 раз. Обработка и анализ результатов измерений. Обработку результатов измерений произвести по следующей методике: 1. Расчёты и результаты измерений записать в таблицу. Число измерений

Значение hi

1 2 n

h

Результаты расчётов hi  h

( hi  h ) 2

2 Σ ( hi  h)

2. Определить среднюю длину (h) участка, вдоль которого пролетела линейка, по формуле 1 h= N

N

hi ,

(1.2)

i =1

где N – число измерений. 3. Заполнить графы 3 и 4 таблицы и вычислить дисперсию

1 N DN = (hi  h)2 .  N 1 i = 1

(1.3)

4. Вычислить среднеквадратичное отклонение среднего арифметического:

8

N

h =

DN = N

(hi  h)2 i =1

N ( N  1)

.

(1.4)

Из формулы (1.3) видно, что чем больше число измерений, тем 

меньше h и, следовательно, выше точность измерений. 5. Использовав таблицу коэффициентов Стьюдента tN , найти абсолютную погрешность h = tN  h для трёх значений коэффициента надёжности α – 0,7; 0,9 и 0,99. Объяснить физический смысл различия полученных результатов. 6. Вычислить среднеквадратичное отклонение среднего арифметического по формуле 2 h  t   t =   (h ) 2 = .  h   2 gh

(1.5)

7. Аналогично п. 5 найти абсолютные погрешности t для различных значений коэффициента надежности α. 8. Вычислить относительные погрешности h =

h ; h

t =

t

t

.

(1.6)

9. Записать окончательный результат измерения времени реакции, указав eё среднее значение, абсолютную погрешность, коэффициент надёжности и относительную погрешность. Такую же методику рекомендуется применять при обработке результатов измерений в других лабораторных работах физического практикума. Контрольные вопросы и задания 1. Предложите другие способы определения времени реакции человека. Укажите положительные и отрицательные стороны метода, использованного в этой работе и в ваших методах. 2. Укажите систематические погрешности, присутствующие в этой работе. 9

3. Использовав формулы (1.1), (1.4) и (1.5), выведите соотношение между t и  h . 4. Как выполняется расчет погрешности прямых и косвенных измерений. Можно ли вычислить t по следующей схеме: для каждого hi вычислить ti и определить t и t по формулам (1.2) и (1.3)? 5. Вычислите, на каком минимально безопасном расстоянии нужно вести машину от впереди идущей. Конечная формула должна указывать зависимость этого расстояния от скорости. Список литературы 1. Лабораторные занятия по физике / под ред. Л. Л. Гольдина. – М. : Наука, 1983. – С. 53–66. 2. Лабораторный практикум по физике / под ред. К. А. Барсукова, Ю. И. Уханова. – М. : Высш. шк., 1988.

Лабораторная работа 2 ИЗМЕРЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ВЕЛИЧИН МЕТОДОМ НОНИУСА Цель работы: ознакомитьcя с различными методами измерения линейных размеров предметов, оценить точность этих измерений и определить погрешность. Оборудование: штангенциркуль, микрометр. Краткие теоретические сведения Для определения длин и расстояний используют различные приборы, выбор которых определяется необходимой степенью точности и условиями эксперимента. В зависимости от рода задачи (какова природа длины, которую мы хотим измерить, какова примерно эта длина и какая точность измерения требуется) выбирают наиболее точный и не слишком громоздкий для данного случая метод измерений и соответствующие ему приборы. Простейшим из таких 10

приборов является измерительная линейка с наименьшим делением, или, как принято говорить, с ценой одного деления 1 мм. Погрешность измерения при использовании линейки не превышает половины цены деления шкалы, то есть 0,5 мм. Если необходимо произвести измерения с точностью до 0,1 мм или 0,01 мм, то используют приборы, снабженные линейными нониусами, например штангенциркуль или катетометр. Для измерения малых предметов используют приборы, имеющие микрометрический винт. Так, диаметр проволоки или толщину пластинки удобно измерять микрометром; радиусы сферических поверхностей определяются при помощи сферометра. Точность измерения тел приборами с микрометрическим винтом 0,01–0,005 мм. Измерение еще более мелких тел производится оптическим методом, суть которого состоит в увеличении видимых размеров измеряемых тел. Если микроскоп снабжен микрометрическим винтом и окулярным микрометром, то им можно производить измерение как по вертикали, так и по горизонтали. Точность этих измерений не менее 0,001 мм. Еще более точными являются интерференционные методы, при использовании которых может быть достигнута точность до 10 6  10 8 мм. В настоящей работе студенты знакомятся с некоторыми методами измерений линейных размеров тел. Метод линейного нониуса. Нониусом называется дополнительная шкала к обычному масштабу, служащая для отсчета дробных делений основной шкалы, позволяющая увеличить точность измерений в 10–20 раз. Линейный нониус – это небольшая линейка со шкалой, m делений которой совпадает с некоторым числом делений основной шкалы. В данном случае m делений нониуса совпадает с (2m  1) делениями основной шкалы. Если a – цена деления нониуса, b – цена деления масштабной линейки, то связь между делениями линейки и нониуса следующая: a m = b (2m  1).

(2.1)

Из уравнения (2.1) можно найти соотношение между длинами одного деления масштаба основной шкалы и нониуса: 2b  a = 11

b . m

(2.2)

Правая часть выражения (2.2) позволяет определить точность нониуса штангенциркуля (рис. 2.1). B данном случае точность 1 нониуса   мм = 0,1 мм.  10  Если нониус содержит 10 делений, общая длина которых 19 мм, то соотношение (2.2) запишется как 2, 0  1,9 = 0,1.

Рис. 2.1

Измерения штангенциркулем с помощью нониуса производят следующим образом: при измерении детали (длины L тела) подвижная рамка с нониусом смещается так, чтобы деталь была зажата в штангенциркуле. При этом один конец детали прикладывается к нулевому делению основной шкалы, а к другому подводят ноль нониуса (рис. 2.1). Так как цена деления масштаба b и цена деления нониуса a различны, то на некотором расстоянии от начала нониуса одно из его делений совпадает с некоторым делением масштаба, пусть это будет l делений нониуса. Искомая длина тела L = nb  L, (2.3) где ∆L – отрезок длины, представляющий собой доли миллиметра, L = l (2b  a ) = l

b ,; m

(2.4)

тогда искомая длина L = nb  l

b . m

(2.5)

Длина измеряемого тела равна целому числу n, мм, масштабной линейки плюс l десятых долей милиметра ( l определяется номером деления нониуса, совпадающего с некоторым делением масштабной 12

линейки), или измеряемая длина L равна целому числу делений масштаба, содержащихся в ней (nb), сложенному с точностью нониуса, которая умножена на номер l того деления нониуса, который совпадает с каким-то делением масштабной линейки. Обычно точность нониуса записана на самом штангенциркуле и измерение сводится к тщательному определению целого числа делений основной шкалы и номера совпадающего деления нониуса. Правила пользования линейным нониусом описаны в любом из практикумов, ссылки на которые приведены в конце работы. Существует несколько типов штангенциркулей. Они отличаются видом и количеством измерительных губок, длиной основной шкалы, типом нониусов. При наличии у штангенциркуля верхних и нижних измерительных губок его можно применять для внутренних и внешних измерений. Часто штангенциркуль снабжается дополнительной линеечкой, укрепленной на рамке и служащей для измерения глубины. Метод микрометрического винта. Микрометрический винт – винт с малым и точно выдержанным шагом – применяется в точных измерительных приборах (микрометрах, микроскопах) и позволяет производить измерения с точностью до сотых долей миллиметра. Микрометр имеет вид миниатюрных тисков, в которых измеряемый объект зажимается с помощью винта. Винт следует перемещать, используя выступающую на трубке головку, до щелчка. С помощью головки барабан вращается до тех пор, пока усилие, оказываемое на деталь, не достигнет определенной величины. Когда эта величина достигнута, вращение происходит вхолостую и не изменяет показаний микрометра. Таким образом, окончательный результат измерения всегда соответствует постоянному давлению винта на деталь, что устраняет некий произвол, который возникал бы в величине приложенного усилия. Микрометр имеет две шкалы: линейную и круговую (участок шкалы микрометра показан на рис. 2.2). На круговой шкале нанесено 50 делений. Один полный поворот барабана соответствует смещению винта на 0,5 мм, то есть цена деления барабана – 0,01 мм. Отсчёт целых миллиметров и их половинок производится по неподвижной линейной шкале, которая имеет два вида делений, смещенных друг относительно друга на 0,5 мм. Для измерения микрометром предмет помещают между упором и микрометрическим винтом и вращают винт за головку, снабженную 13

трещоткой, что обеспечивает постоянство нажатия на деталь при всех измерениях. Численное значение L находят по формуле L = kb  n

b , m

(2.6)

где k – число наименьших делений шкалы; b – цена наименьшего деления (0,5 мм); m – число делений на шкале барабана; n – номер того деления барабана, который в момент отсчета совпадает с осью шкалы.

Рис. 2.2

Или по основной шкале считывают показания с точностью до 1 мм, причем число целых миллиметров указано на основной шкале микрометра, к ним добавляется 0,5 мм, если вышло следующее деление верхней шкалы, а затем уже десятые и сотые доли миллиметра, которые считываются со шкалы барабана. На рис. 2.2 отсчет по микрометру показывает, что искомая длина детали, мм:

L = 1·8 + 0,5 + 0,30 = 8,80.

(2.7)

Порядок выполнения работы Задание 1 1. С помощью штангенциркуля и микрометра найти линейные размеры предложенного тела. Фиксирование каждого параметра необходимо повторить несколько раз, определив предварительно точность результата, учитывая приборную ошибку используемого измерительного прибора. 2. Обработать результаты измерений линейных размеров, вычислив для каждого параметра доверительный интервал и относительную погрешность (если погрешности случайного происхождения) или абсолютную и относительную погрешности, если они инструментального (приборного) происхождения. 14

3. Вычислить объём тела. 4. Вывести формулу для вычисления погрешности объёма (погрешность косвенных измерений [1]). 5. Записать результаты вычисления объема с учётом погрешности:

V = V  ΔV

ΔV и ε = 100 % . v V

(2.8)

Задание 2 1. С помощью микрометра измерить диаметр проволоки. Измерения производить несколько раз (в разных местах проволоки). 2. Обработать результат измерения диаметра, вычислив доверительный интервал, относительную погрешность. 3. Вычислить площадь поперечного сечения проволоки. 4. Вывести формулу для подсчёта погрешности в определении площади [1]. 5. Записать окончательный результат в виде

S = S  S и  s =

S 100 %. S

(2.9)

Контрольные вопросы и задания

1. Что такое нониус, микрометрический винт? 2. Как определить цену деления нониуса? 3. Как считываются показания микрометра? 4. Каковы погрешности штангенциркуля, микрометра? 5. Какие систематические погрешности возникают при измерениях линейкой, штангенциркулем, микрометром? Список литературы

1. Гольдин, Л. Л. Лабораторные занятия по физике / Л. Л. Гольдин. – М. : Наука, 1983. 2. Руководство к лабораторным занятиям по физике / под ред. Л. Л. Гольдина. – М. : Наука, 1973. 3. Сивухин, Д. В. Общий курс физики / Д. В. Сивухин. – М : Наука, 1989. – Т. 1. 4. Физический практикум / под ред. В. И. Ивероновой. – М. : Наука, 1968. – Ч. 1. 15

Лаботаторная работа 3 ИЗМЕРЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ВЕЛИЧИН ОПТИЧЕСКИМ И ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫМ МЕТОДАМИ Цель работы: измерить линейные размеры предметов оптическим и интерференционным методами, оценить их точность измерений и определить погрешности. Оборудование: лазер, микроскоп. Краткие теоретические сведения Оптический метод. Измерения c помощью микроскопа. Микроскоп – это оптический прибор, предназначенный для получения увеличенных изображений как объёмных предметов, так и тонких пленочных и прозрачных. Подробное описание устройства МБС–10 (микроскоп стереоскопический) и порядок работы даны в его паспорте. Здесь же мы остановимся на принципе действия любого микроскопа и его основных характеристиках. Оптическая схема стандартного микроскопа показана на рис. 3.1.

Рис. 3.1

Короткофокусный объектив 1 (с фокусным расстоянием F1 ) даёт перевёрнутое увеличенное изображение h1 предмета h. Вторая линза (окуляр с фокусным расстоянием F2) – это длиннофокусная линза. Она используется в микроскопе как лупа. С помощью линзы 2 получают уже прямое увеличенное мнимое изображение h2 от h1. 16

Основными характеристиками микроскопа являются увеличение и разрешающая способность. Увеличением М называется отношение тангенса угла φ, под которым предмет виден через микроскоп, к тангенсу φ0 , под которым этот предмет виден невооруженным глазом с расстояния N наилучшего зрения ( N = 25 см): tg  . tg 

М=

(3.1)

0

Полное увеличение микроскопа определяется произведением увеличений объектива и окуляра. Изображение h1, создаваемое объективом, в M0 раз больше самого объекта: М0 =

h1 h

=

d1 d0

=

(l  F2 ) d0

,

(3.2)

где l – расстояние между линзами (равное длине тубуса); d0 и d1 – расстояние до предмета и до его изображения от линзы объектива. Окуляр микроскопа действует как простая лупа. Угловое увеличение (или просто увеличение лупы) определяется отношением размеров изображения и предмета. Использовав рис. 3.1, это можно записать так: Мl =

h2 N = , h1 F2

(3.3)

где h = F tg ,; h = N tg  при условии, что сам объект расположен в 1

2

2

фокусе, а его изображение оказывается бесконечно удаленным (мышцы глаза расслаблены). Несколько большего увеличения удаётся достичь, когда глаз аккомодируется в точку на расстоянии наилучшего зрения, чем когда он аккомодируется на бесконечность. В этом случае увеличение лупы определяется выражением Me = 1

N . F

(3.4)

Используя соотношения (3.2) и (3.3) для полного увеличения микроскопа, будем иметь M = M 0Ml =

N (l  F2 ) Nl .  d 0 F2 F1 F2 17

(3.5)

Формула (3.5) обеспечивает достаточно высокую точность, если F1 и F2 малы по сравнению с l, так что l – F2~l и d0~F1. Это приближение верно при больших увеличениях, так как они достижимы только при малых F1 и F2 . Отметим, что эти условия F1=  68

С проявлением закономерностей в случайном знакомятся в школе на примере распределения молекул газа по скоростям. Один из важнейших выводов кинетической теории идеального газа – связь между средней кинетической энергией поступательного движения молекул (которая определяется их средней квадратичной скоростью) и абсолютной температурой. Смысл средней квадратичной скорости заключается в том, что это та скорость, которой должны были бы обладать все молекулы, если бы величины их скоростей были бы одинаковы, а направления равновероятны, чтобы давление газа было тем, каким оно в действительности является.

Рис. 9.1

Рис. 9.2

Однако скорости молекул неодинаковы, на что указывают опытные факты. Изучая распределение частиц по скоростям, определяем с помощью функции распределения Максвелла число частиц, скорости которых (или компоненты скорости) лежат в определённом интервале (наиболее вероятную, среднюю и среднюю квадратичную) значений. Некие закономерности этого распределения и смысл характерных параметров легче понять, рассмотрев аналогию с другим процессом, где главную роль играют законы случайности. Описание модели, с помощью которой изучается распределение Максвелла. Предлагаемая работа посвящена одному из часто встречающихся видов случайных событий, когда в результате испытаний появляется некий набор цифр, на первый взгляд не имеющий абсолютно никаких закономерностей. Выстрелив из лазерного пистолета по мишени, получите ряд числовых значений, характеризующих точность попадания двумя параметрами: расстояние от центра мишени (через номер кольца) и распределение на плоскости мишени (через угловую характеристику). Если сделано всего несколько выстрелов, то никакой закономерности, конечно, не 69

обнаружится. Но если число выстрелов достаточно большое (более 100), то параметры, характеризующие точность попадания в цель в разных сериях опыта, подчиняются определенному закону. Стрельба по центру мишени подобна процессу, в котором, как и в случае с распределением молекул по скоростям и по компонентам скоростей, главную роль играют законы вероятности распределения Максвелла. Закон распределения, описывающий точность попадания, аналогичен этому закону. Как бы ни был хорош стрелок и совершенно оружие, точно в центр попасть очень трудно. Результаты стрельбы будут распределяться вблизи цели, но на различных расстояниях от центра и под разными углами, например к горизонтальной прямой, проходящей через центр мишени. Объясняется это многими факторами, которые нельзя учесть или исключить. Записывая результаты выстрелов, характеризующие каждый раз оба этих параметра, можно оценить распределение двояким образом. Разделяя площадь мишени на кольца равной толщины (как это делается на соревнованиях по стрельбе) и определяя число ∆n1 попаданий в интервал от r1 до (r1  r ) , построим гистограмму числа попаданий в зависимости от номера кольца. Число колец в мишени уже задано, их 6, и попадание в любое из них высвечивается цифрами: 10 (центр), 9, 8, 7, 6, 5. С увеличением расстояния от центра мишени значение n будет сначала расти, а затем убывать. Такая зависимость объясняется тем, что, с одной стороны, площадь кольца возрастает с ростом радиуса, а значит, и растёт вероятность попадания в него, с другой – целью стрелка всё же является центр, что и приводит в конечном счёте к асимметричной гистограмме. Можно поступить иначе. Разбивая мишень, например вертикальными прямыми, отстоящими друг от друга на таком же расстоянии ∆r, и подсчитывая ∆n1 число попаданий в каждую из полос, строим второе распределение. В этом случае ∆n1 убывает в обе стороны по мере удаления от центральной полосы к периферии. Для построения этой гистограммы необходимо записать угловое распределение результатов выстрелов и, если загорается несколько угловых значений (вся мишень разбита на 12 секторов), из них выбирать среднее. Первый из предложенных способов описания распределения в какой-то мере соответствует определению функций f (V ) , а второй – 70

f (Vx ) , функциям плотности распределения Максвелла по величине и по компоненте скорости. Стоит отметить, что общий вид распределения f (V ) зависит от природы газа (в формулу входит масса молекулы) и от его температуры. Распределение попаданий по мишени будет зависеть от того, кто стрелял. Поэтому у каждого студента гистограмма будет индивидуальная.

Порядок выполнения работы

1. Включите мишень и лазерный пистолет через блок питания в сеть. 2. Произведите серию выстрелов (не менее 150–200) по мишени, записав результаты парой чисел: одно характеризует расстояние от центра мишени, а второе – угловое положение точки попадания выстрела. 3. По результатам выстрелов постройте гистограммы. Одна гистограмма будет характеризовать плотность попадания в мишень в зависимости от кольцевого промежутка, принимая центральный (под номером 10) за первый и т. д. По оси OY откладывают число попаданий в соответствующий промежуток расстояний от центральной точки мишени. Второе числовое значение учитывает угловое распределение точек попадания в мишень в зависимости от расстояния до центральной полосы, включающей центральную точку. 4. Определите номер кольца, куда чаще всего попадали «выстрелы». Это наиболее вероятный результат испытания, и функция плотности вероятности имеет здесь максимальное значение. 5. Проверьте, пользуясь своими экспериментальными данными, подчиняется ли распределение числа попаданий в мишень закону распределения Максвелла по величине скорости или по компоненте скорости. Список литературы

1. Матвеев, А. Н. Молекулярная физика / А. Н Матвеев. – М. : Высш. шк., 1987. 2. Рейф, Ф. Статистическая физика. Берклеевcкий курс физики / Ф. Рейф. – М. : Наука, 1986. – Т. 5. 3. Руководство к лабораторным работам по физике / под ред. Л. Л. Гольдина. – М. : Наука, 1973. 71

2. МЕХАНИКА Лабораторная работа 10 ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ Цель работы: экспериментальная проверка приложимости уравнений механики к описанию движения электронов в электрическом и магнитном полях. Оборудование: осциллограф, блоки питания, электроннолучевая трубка, электроизмерительные приборы, соленоиды. Краткие теоретические сведения Согласно современным представлениям на движущуюся заряженную частицу, в частности на электрон, в присутствии электрического и магнитного полей действует сила Лоренца ,                                           10.1 где q − заряд частицы (для электрона q = −1,602·10–19 КЛ);   − напря− векторное произведение скоженность электрического поля; рости частицы на вектор магнитной индукции  . Действие силы   на частицу массы т (для электрона m = 9,11·10-31 кг) приводит к изменению её скорости в соответствии c уравнением движения ,                                     10.2 выражающим содержание второго закона Ньютона. С помощью введения декартовой прямоугольной системы координат векторное уравнение (10.2) может быть представлено в виде трех скалярных уравнений для проекций на оси координат радиус-вектора частицы, а именно: ; ;                                     (10.3) . 72

Из этой системы И ы уравнен ний зависсимости от времеени комп понент радиууса-вектора x(t), y(t), y z(t) могут м бы ыть найдены, еслли известтны зависим мости от времени в и коорди инат вектторов и , а таккже скор рость и полож жение часстицы в начальны н ый момен нт времен ни t0:  

;

;

,   

;

;

.                          10.4  

Система уравнен С ний (10.3)) вместе с начальными услловиями и (10.4) представляет собой маатематич ческую формулир ф ровку основной задачи з механ ники для движени ия заряж женной чаастицы в электри ическом и магнитноом полях.. Д эксп Для перименттальной проверки п и следстввий ураавнений 10. 3) будет исполььзована электронн э но-лучеввая трубкка – ши ироко извести ный электронный пррибор. Бллок-схемаа электроонно-луччевой тру убки с сущесственным ми для рааботы детталями изображ жена на рис. 10.1 1, где 1 − си истема электродо э ов и ди иафрагм, форми ирующихх электтронный пучок, 2 – эллектронн ный пучок, 3 − отклоняющ щие пласстины, 4− флууоресцирующ щий экран н. В этой й блок-сххеме отсутстввует изображение второой пары Рис. 10.1 отклоняющих пластин н, посккольку в дальнейших эксперим э ментах эти э пластины ы не будуут играть никакой й роли. В Важная х характер ристика электрон э нного пуч чка − этоо скороссти составляяющих его е электтронов. Все В элекктроны ускоряют у тся электтрическим полем п од динаковы ым образом и поэтому прроходят одну и ту же разноссть потен нциалов V междуу катодо ом и посследним анодом м. Скорости электроонов на выходе из форм мирователя электтронного пучка можноо определить с поомощью закона сохранени ия энерги ии ,                                           10.5 2 2 где − значеение скоррости элеектрона на н катод де, а υ − зза анодом. Так как ки инетичесская энерргия на каатоде опр ределяеттся теплоовым дви ижением эллектроновв, то об бычно он на оказы ывается значитель з ьно меньше м потенциальной й энерггии электтрона на аноде | |. По ээтой при ичине, не доопуская существвенной погрешно п ости, левуую частьь соотнош шения 10.5)) можно принятьь равной й нулю. Тогда длля величчины ско орости электрронов в пучке п буд дем иметть 73

2

 .                                             10.6

То естть пучокк электроонов мож жно считаать монооскоростн ным, а раазброс скоростей в эттом пучкке определяется разбросо р ом тепловых скор ростей электрронов наа катоде и будет весьма в маалым. Д элекктронно--лучевыхх трубок различн Для ного тип па велич чина V 3 имеетт значени ие порядкка 10 В, и, следо овательноо, скороссти электтронов в пучкках будуут сущесттвенно меньше м сккорости света, чтто, в свою ю очередь, оправды ывает исп пользован ние нереелятивистского ууравненияя движенияя (10.2) в настоящ щей работте. Д Движени ие электтронов в электрическом м поле. Е Если на отклоо няющ щие пласттины (ри ис. 10.1) подать постоянн ное напрряжение U, то междуу пласти инами воозникает электрич ческое поле, п откклоняющее пучок эллектроноов от нап правлени ия их пер рвоначалльного дввижения. Найдём величину отклонеения светтящегосяя пятна на н экранее от его положенияя при оттсутствии и разности потен нциалов между м плластинам ми, для чего введём в си истему координа к ат так, как это покказано наа рис. 10..2.

Рис. 10.2

Допустим Д м также,, что элекктрическкое поле имеется лишь в области меж жду пласстинами,, длина которых к равна l (рис. ( 10.22), причеем оно однорродно в этой э облаасти. Тоггда в сисстеме уравнений (10.3) сл ледует полож жить 0,,   

 0 0, , 0 ,

где  п поле в об бласти меежду плаастинами и (d − рассстояние между ним ми) и Ε = 0 вне её. е Систем ма уравн нений 10 0.3) прим мет вид  

0 0,

0

, 0 74

,      ,

0,            10.7

при наачальныхх условиях 0

0,0 0,0 ,    0

, 0,0 0 .                           10.8

Здесь принятоо T0= 0. Н Нетрудн о найти x(t), y(t) и z(t), уд довлетвооряющиее системее уравнений й (10.7) и начальн ным условиям фор рмулы (110.8): ;   

,

 

0 ,

; ;

0.     10.9

В моментт времен ни / , где г L − расстояни р ие от плаастины до экррана, элекктроны, находящи н иеся в мо омент вреемени t = 0 в начаале координ нат, дости игнут экррана, смесстившисьь по оси у на рассттояние 2

2 U

.                          10.10 1 2 4 И форм Из мулы вид дно, чтоо наблюд даемое смещени с е светящ щегося пятна по экран ну прямоо пропорциональн но напряяжению, поданному на отклоняющие пластин ны, и обрратно про опорцион нально уускоряющ щему в промеежутке между катодом к и послеедним ан нодом напряжен нию V. Этот факт ф какк следстввие систеемы ураввнений 10.3) − п предмет эксперимен нтальной й проверкки. П Предпол ложение, позвоолившее провести п и вычислление см мещения светящег с ося пятн на, об одноо родноости элеектрическкого полля в областти междуу пласттинами и его отсутсствии вн не этой области и не вполн не верно, тем боллее что обычРисс. 10.3 но отклоняющ щие пласстины им меют формуу, показаанную наа рис. 10.3. Т же показана Там п и картин на силовы ых линий й электри ического о поля. Однакко общий й вид заввисимостти смещения свеетящегосся пятна от ускоряю ющего и отклоняю о ющего наапряжени ий будет таким ж же, а имен нно:  .                                                  10.11 1 Теперь постоянн Т п ный коэф ффициентт а будеет опред деляться через геометрически ие харакктеристикки болеее сложны ым обраазом. Дей йствительноо, как ви идно из картины ы силовых х линий (рис. 10 0.3), измеенение 75

скорости электронов вдоль оси x будет малым по сравнению с величиной самой скорости, во-первых, из-за малости проекции электрического поля на ось х, а во-вторых, из-за малости отклоняющего напряжения по сравнению с ускоряющим. Таким образом, зависимость координаты x от времени будет по-прежнему определяться соотношением x = υ t. Что касается зависимости y (t), то она может быть найдена из уравнения ,                           10.12 в котором  − это значение проекции напряженности электрического поля на ось y в той же точке пространства, но при разности потенциалов между пластинами равной 1 В. Зависимостью правой части уравнения (10.12) от координаты y здесь пренебрегли, поскольку электронный пучок в области между пластинами мало отклоняется от оси х, поэтому в правую часть формулы (10.12) входит значение при y = 0. Заменяя независимую переменную t в уравнении (10.12) согласно формуле x = t, получим .

 

Учитывая также начальные условия 10.8), будем иметь ′

′

,

где ′

′

.

Нижний предел интегрирования в этой формуле следует отнести к точке выхода пучка электронов из формирующей пучок системы электродов, Напомним ещё раз, что соотношение (10.11) – это следствие системы уравнений (10.3) и именно соотношение (10.11) подвергается экспериментальной проверке в этой работе. Задание 1 1. Включить осциллограф. С помощью ручек регулировки яркости и фокусировки добейтесь минимальности размеров светящегося пятна. 76

22. Подкллючить источник постояянного напряжен н ния непосредственн но к пласстинам, отклоняю о ющим элеектронны ый пучокк по верти икали. 3 Снятьь зависим 3. мости смеещения светового с о пятна оот подавааемого на откклоняющ щие пласттины нап пряженияя U. 4 Пострройть граафики заввисимостти δ от U. 4. U 5 Вычи 5. ислить кооэффици иент α, наайдите ускоряющ у щий потеенциал V и срравните его е значение с U. Конттрольны ые вопросы и зад дания 1. Обосн нуйте перреход от векторн ного уравнения (10.2) к си истеме уравнений (100.3). 2 Постаавьте осн 2. новную задачу з механики для движ жения материальной точки под п дейсствием си илы, зави исящей тоолько от времени и. 3 Почеему при описани 3. ии движеения элекктронногго пучкаа здесь его прринимаю ют за матеериальнуую точку?? 4 Как усстроена электрон 4. э нно-лучеввая трубкка? 5 Переч 5. числите основны ые принци ипы рабооты осци иллограф фа. 6 На каакую макксимальн 6. ную вели ичину моожет изм мениться кинетическкая энерггия электрронов при пролетте их череез областть между отклоняющими пласстинами, на которы ые подан но постоян нное напрряжение U? Движени Д ие электтронов в магнитном пол ле. Для ррешения основной заадачи мехханики о движени ии электр ронов в магнитном м поле исспользуем м систем му ураввнений (10.3), полаагая в неей 0.. Рассмоттрим с помо ощью эттой систеемы ураввнений откл лонение электроонного пучка магн нитным полем (ррис. 10.4 4), где 1 − системаа электрродов, формиф рующих элеектронны ый пучо ок, 2− элекктронный й пучок, 3 − об бласть магн нитного поля, 4 − флуор ресциР 10.4 Рис. рующий экраан. Систем му коорди инат выб берем так, как к показзано на рис. р 10.44. Учиты ывая, что вектор м магнитно ой индукци ии имееет толькко одну отличную о ю от нулля состтавляющу ую, то есть 0,0, В , систеему уравнений (1 10.3) запи ишем в виде 77

,

0.                   10.13

,

Проследим за движением тех электронов, которые в момент времени t = 0 находились в начале координат. Для них начальные условия (10.4) примут форму    0

0; 0; 0 ,   

; 0; 0 .                     10.14

Допустим, что В отлично от нуля при 0 ≤ х ≤ l и однородно в этой области. Можно проверить прямой подстановкой в систему уравнений (10.13), что соотношения sin cos

,                             10.15

1 0

при 0

arcsin

и 1

,              10.16

1

  

1

0 при t ≥ τ определяют решение этой системы уравнений, удовлетворяющее начальным условиям (10.14). Выражая из первой формулы (10.16) (t − τ) и подставляя это значение во вторую формулу (10.16), найдём для величины смещения светящегося пятна на экране

1

 

1

 . 1

78

  

П вып При полнении и условияя 1               1                               10.17 1   выраж жение дляя δ упрощ щается, а именно о: δ

2

.                                    10.18 1

В общем случае неоднород н дного пол ля, зависяящего от x, при уссловии 1                                  10.19 1 вполн не аналоггичном условию у 10.17), значение отклон нения свеетящегося пятна п раввно .                             10.20 1

δ

Эта форм Э мула поллучена таак же, как и форм мула (10.11), дляя величины смещени ия при отклонен о нии электтронногоо пучка ээлектрич ческим полем м. Н Нетрудн о убедитться прям мым выч числениеем, что изз соотнош шения 10.200) следуеет формуула (10.118). Исто очником м магнитн ного пол ля, отклоняяющего электронн э ный пуч чок, служ жит ток, протекаю ющий в одном направвлении по п обмотккам катуш шек (рис. 10.5), гд де К − каатушки, ЭЛТ Э − электрронно-луучевая тррубка, ИП П − источ чник посттоянногоо напряж жения.

Рис. 10.5

Между катушкам М к ми помещ щается электрон э нно-лучеввая трубка. Её прони изывают силовыее линии магнитно м ого поля параллелльно оси и кату79

шек и перпендикулярно направлению электронного пучка. Магнитная индукция В будет прямо пропорциональна величине силы тока I, протекающего по обмоткам катушек. Согласно соотношению (10.20) будем иметь δ

α

√

,                                                10.21

где V − ускоряющий потенциал, через который скорость электронов в пучке вычисляется по формуле (10.6); α − коэффициент, зависящий от геометрических характеристик катушек, электронно-лучевой трубки и их взаимного расположения, а также от удельного заряда электрона. Проверка справедливости соотношения (10.21) и будет служить обоснованием применимости системы уравнений (10.3) к расчёту траекторий электронов в электронно-лучевой трубке при взаимодействии их с магнитным полем. Задание 2 1. Включить осциллограф и с помощью ручек настройки добиться минимальности размеров светящегося пятна на экране электронно-лучевой трубки. 2. Подключить катушки к источнику постоянного напряжения так, как это показано на рис. 10.5. 3. Измерить зависимости отклонения δ от величины силы тока I, протекающего через обмотки катушек. 4. Постройть графики зависимости δ от I. 5. Вычислить значение α в формуле (10.21) методом наименьших квадратов. Движение электронов по винтовой линии. Если направление электронного пучка совпадает с направлением магнитного поля и оси координат выбраны так, как показано на рис. 10.6, то система уравнений для этого случая примет форму           

,

,

0.                         10.22

Когда на отклоняющие пластины напряжение не подается, то начальными условиями для электронов пучка, находившихся в момент времени t = 0 в начале координат, являются    0 0,0,0 ,    0 0,0, . При таких начальных условиях решением системы уравнений (10.22) будут служить функции 80

0,

0,,

,

описы ывающиее равномеерное дви ижение электрон э ов по оси и z. Э Электрон ны при подаче п н напряжен ния на оттклоняющ щие пласстины, пролеетая межд ду ними и, приобрретают составля с ющую сскорости вдоль оси у, почти не н отклон няясь от оси z. По оэтому теперь т наачальныее условия буудут    0

0,0 ,    0 0,0

где ω для раззличных участкоов электрронного пучка будет б разной, если е на пластины п ы подаетсся перем менное напряжеение, наапримеер измен няющеесяя по гаррмонич ческому закону:  з cos

0, 0,0

,                       10.23 1

Рис. 10.6

.

Нетруудно убед диться неепосредсственно, что ч форм мулы  

1

cos c  

sin n

; 1                          10.24

опред деляют реешение системы с уравнен ний (10.22) с начаальными и условиями и (10.23). С Соотнош шения (110.24) представл п ляют сообой парраметрич ческие уравнения вин нтовой ли инии с оссью, парааллельноой оси z, смещенн ной по оси x на велич чину mω ω ⁄qB, моодуль ко оторой раавен ради иусу вин нтовой линии и, а значеение 2 − шаггу. Таки им образзом, в рассматри р иваемом случае траекто ориями электрронов пуучка будуут винтоввые лини ии. Е Если бы все элекктроны приобрет п али, проходя меж жду откл лоняющими ися пласттинами, одинаков о вую скор рость ω вдоль в оси и у, то ко оординатам ми светящ щегося пяятна на эккране осц циллограафа были и бы 81

     

 

1

cos

 

;

sin

.         10.25

Поскольку же скорость ω изменяется, то её можно рассматривать как параметр, а уравнения (10.25) как параметрические уравнения светящейся линии, наблюдаемой на экране электроннолучевой трубки. Очевидно, что эта линия прямая и тангенс угла наклона её к оси Y равен tgβ

1

cos

 tg

sin

.                   10.26

Из этой формулы видно, что угол, образованный светящейся прямой и осью у, прямо пропорционален значению магнитной индукции .                                              10.27 2 Измеренное вдоль отрезка наблюдаемой прямой максимальное отклонение светящегося пятна от его первоначального положения определяется максимальным значением величины X2 +Y2, для которой из соотношений 10.25) найдём β

4

ω

sin

2

,               10.28

где (ω2)max − максимальное значение квадрата проекции скорости электронов на ось у, приобретаемой ими при пролёте в области между пластинами. Из формулы (10.28) следует, что максимальное отклонение светящейся точки от первоначального положения равно нулю, когда ,                                             10.29

2π

где k − целое число. В этих случаях светящаяся прямая вырождается в точку. Иначе говорят, что электронный пучок фокусируется магнитным полем. Эффекта фокусировки всегда можно добиться, как видно из формулы (10.29), увеличивая магнитное поле. Сравнивая соотношение (10.29) с формулой, определяющей шаг винтовой линии (траектории электронов), убеждаемся, что фокусировка пучка на экране происходит, ко82

гда шаг ш винтоовой лин нии h составляе с ет доли от рассстояния отклоо няющ щих пласттин до экрана, э а именно о h = L ⁄ k. Цельью выполлнения этой части лаборат л торной работы р будет проверка пр соотно ошения (10.277) и исслеедование эффект та фокуси ировки. П Продоль ьное по отношени о ию к элеектронном му пучкку магн нитное поле создаетсся током м, протеекающим м по обмоотке солееноида, внутри в которого пом мещаетсяя электроонно-луч чевая труубка (рисс. 10.7), где г 1 − об бмотка соленоидаа; 2 − эллектронн но-лучеваая трубкка; 3 − кабель, по котторому подводиттся электрропитани ие к электронн э нолучевой трубкке; 4 − оссциллогрраф Рис. 10.77 С1−5. Схема соединен с ния обмоттки соленоида с регулируемым источни иком посстоянногоо напряж жения приведен п а на рисс. 10.8. ВеВ личин на магни итной ин ндукции В, очевидно, буд дет прям мо пропорционаальна си иле токаа I, проотекающего по обмотке о соленои ида. Рис. 10.88 Прибллизителььное её значен ние можноо вычисллить по формуле ф B = μonI, (10.30) ( –7 –1 где μ0 = 4π ·10 Гн ·м м . Эта формулаа вполне точно оп пределяеет магнитнуую индуккцию в бесконечн б но длинн ном солен ноиде. Зд десь n – число витков провод да, прихоодящихсяя на един ницу длин ны солен ноида. Задание 3 З 1. Собраать схемуу, привед денную на н рис. 100.8. 2 При показани 2. п ях амперрметра I = 0 вклю ючить оссциллогр раф и с помощ щью ручек настрройки доб биться минималь м ьности раазмеров светящегосся пятна на н экран не электрронно-луч чевой труубки. 3 Податть на откклоняющие электр 3. ронный пучок п поо оси Υ пластины пееременноое напряж жение от встроенного в оссциллогрраф генер ратора калиб бровки, при п этом м светящеееся пятн но разверрнется в отрезок вертикальной прямоой. 4 Посттепенно увеличив 4. у в силу тока I, оп пределитть зависи имость угла поворота п отрезка прямой от о силы тока. т 83

5. Найти значения силы тока, при которых происходит фокусировка электронного пучка. 6. Проверить справедливость формулы (10.27). 7. Найти зависимость В (1), приняв L = 13,5 см и использовав табличное значение для удельного заряда электрона . Какой поправочный коэффициент следует внести в формулу (10.30) согласно проведенным измерениям? Контрольные вопросы и задания 1. Покажите, что формулы (10.15) и (10.16) действительно определяют решение системы уравнений (10.13) с начальными условиями (10.14). 2. Как обосновать переход от предшествующего выражения для δ к формуле (10.18)? 3. Как изменится отклонение светящегося пятна при изменении направления тока в катушках? 4. Какая траектория движения соответствует формулам (10.15)? 5. Покажите, что формулы (10.24) определяют решение системы уравнений (10.22) с начальными условиями (10.23). 6. Нарисуйте траектории электронов в электронно-лучевой трубке, соответствующие различным значениям ω в формулах (10.24). Какими будут проекции этих траекторий на экран электроннолучевой трубки? 7. Какой физический смысл имеет в рассмотренных задачах величина qB / т? Список литературы 1. Киттель, Ч. Механика. Берклеевский курс физики / Ч. Киттель, У. Найт, М. Рудерман. – М. : Наука, 1971. – Т. 1. 2. Ольховский, И. И. Курс теоретической механики для физиков И. И. Ольховский. – М. : Наука, 1970. 3. Портис, А. Физическая лаборатория / А. Портис. – М. : Наука, 1978.

84

Лабораторная работа 11 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРОСТОГО МАЯТНИКА (БЕССЕЛЯ) Цель работы: определить ускорение свободного падения с помощью простого маятника, оценить погрешность измерения. Оборудование: маятник Бесселя, секундомер, линейка. Краткие теоретические сведения Существует несколько способов измерения ускорения свободного падения . Можно найти величину | | из опытов по свободному падению тел. Более точно определить её можно, измеряя период колебаний оборотного маятника. Одним из наиболее простых и распространенных методов определения ускорения свободного падения является метод маятника. В физике под маятником понимают твёрдое тело, совершающее под действием некоторой силы (например, силы тяжести) колебания относительно неподвижной точки. Принято различать математический и физический маятники. Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. В данной работе предлагается определить ускорение свободного падения, используя зависимость периода колебаний для математического маятника от длины нити l, по формуле T = 2π

.                                                    (11.1)

Величина ускорения свободного падения определяется как  , где М3 − масса Земли; R − радиус Земли; γ − гравитационная постоянная. Ускорение свободного падения только приблизительно постоянно на поверхности Земли. На величину g оказывает влияние несколько факторов. 85

Во-первы В ых, это суточное с вращени ие Земли и относи ительно неподн вижны ых звезд.. Полный й оборот на 360° происхоодит за врремя Т, равное р 861644 секундаам, следоовательноо, угловаяя скоростть вращеения Земл ли 2 1 ω 7,3 · 10 . c Благод даря этоому вращ щению на все телаа на Зем мле действует сил ла ин нерции ((центроб бежная сил ла), напрравленнаая от осси NS, воккруг котоорой онаа вращаеется. Пустьь тело нааходится в точке А на географичееской широте ш φ (рис. ( 11.11). Тогда r = R· co os φ − рад диус сооответствуующего круга Р 11.1 Рис. широты. В этом случае центбежное ускорениее, м/с2: роб ω

ω

cos φ

0,03 cos c φ.

Вдоль раадиуса R от центрра Земли (в сторону, проти В ивополож жную ускорению, вы ызванном му тяготеением) нааправлен на составлляющая этого э 2 нно: ускорения, м/сс , а имен co os φ

0,,03 cos φ. φ

На вращ Н щающейсся Землее ускореение на широтее φ нескколько меньш ше, чем было б бы ы на непоодвижной й Земле,, и зависсит от широты ш места, т. е. 0,03 cos φ, где 

− велич чина ускоорения наа «неподвижной»» Земле. В Во-вторы ых, Землля на сам мом деле несколькко припллюснута у полюсовв, т. к. прри вращеении не только на н тела, находящ н щиеся на ее поверхности, ноо и на сааму Земллю, на кааждую ее частиччку, дейсствуют центробежныее силы. Совокупн С ность вссех этих сил созздает уп пругую дефоррмацию. Вследстввие спллюснутоссти Землли зависсимость ускоренияя свобод дного пад дения отт географ фической й широты ы еще бо ольше. Поляррная ось короче экватори э иальной на н 1/300 ее длин ны. Наб блюдения прривели к уравнен нию 0,018 8 86

φ.

На уровне моря и широте 45° = 9,806 м/с2. Поправочный член достигает наибольшего значения при φ= 0° (на экваторе), но при многих расчетах и измерениях им можно пренебречь из-за его малости. Хотя часы с маятником на экваторе все же отстают от точно таких же часов на полюсе примерно на 3,5 минуты за сутки. Первая из перечисленных причин приводит к изменению значения на 0,34 %, а вторая − на 0,18 % по сравнению со значением на полюсе. Все остальные факторы оказывают еще меньшее влияние. При экспериментальном определении непосредственно формулу (11.1) не используют. Это связано с тем, что в неё входит l − длина маятника, которую на практике трудно измерить точно, если эта величина большая. Чтобы избежать измерения l, поступают следующим образом: предполагают, что маятник с начальной длиной (l + h) колеблется с периодом T1 = 2π

,

(11.2)

затем его длина уменьшается на h и новый период колебания будет T2 = 2π

.

(11.3)

Решая совместно уравнения (11.2) и (11.3), исключая l, получим для окончательно ,                                               (11.4) что позволяет определить ускорение силы тяжести. Экспериментальная часть Установка «Маятник Бесселя» состоит из блока питания, электромотора, пересчетного устройства, линейки и самого маятника (на длинном шнуре закреплен тяжелый металлический шар). С помощью электромотора длину шнура маятника можно менять, замеряя линейкой изменения h. Электронная схема пересчетного устройства состоит из миллисекундомера и фотоэлектрического датчика. При нажатии клавиши «Сеть» на всех индикаторах приборов высвечивается цифра «0» и включается лампочка фотоэлемента вверху прибора. Нажатие 87

клавиши «Сброс» вызывает включение фотоэлемента и секундомера в работу. Клавиша «Стоп» прекращает измерения, высвечивая число полных колебаний и время, за которое они были совершены. Измерения начинаются с определения периода маятника Т1, длина (l + h) которого выбирается произвольным образом. Для этого измеряют промежуток времени 70−90 полных колебаний. Затем поднимают шар маятника на некоторую произвольную высоту h и повторяют измерения, определяя Т2 для маятника, длина которого l. Соотношение (11.4) показывает, что лучше брать для h значения не меньше 30 см, чтобы периоды Т1 и Т2 отличались друг от друга. Вам необходимо это проверить, сравнив погрешности при определении для разных h. Задания 1. Ознакомиться с конструкцией маятника. 2. Определить рабочий диапазон амплитуд, в пределах которого период колебаний маятника Τ можно считать не зависящим от амплитуды. 3. Провести измерения времени 70−90 полных колебаний для маятника длиной l и (l + h) с учётом рекомендаций, данных в экспериментальной части. 4. Проверьть и теоретически обосновать точность полученных результатов в зависимости от величины h. С этой целью провести все измерения для различных величин h. Контрольные вопросы и задания 1. Что такое ускорение свободного падения и от чего оно зависит на Земле? 2. Что такое невесомость? 3. Когда наступает невесомость для тела, брошенного под углом к горизонту? 4. Чему равно ускорение свободного падения на Луне? 5. Какой из двух прыгунов при одинаковой скорости отрыва и одинаковом угле прыжка прыгнет дальше, если вес одного в 1,5 раза больше веса другого? Приведите математическое обоснование. 6. Какова величина  φ на широте Красноярска? 88

Список литературы 1. Киттель, Ч. Механика: Берклеевский курс физики / Ч. Киттель, У. Найт, М. Рудерман. – М. : Наука, 1971. – Т. 1. 2. Практикум по курсу общей физики / под ред. Н. Н. Майсова. – М. : Высш. шк., 1970.

Лабораторная работа 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА Цель работы: определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника, оценка погрешности измерения. Оборудование: оборотный маятник. Краткие теоретические сведения Каждое тело, подвешенное в точке, лежащей выше его центра тяжести, представляет собой физический маятник. При отклонении его от положения равновесия возникает периодическое движение − колебание. Большинство косвенных методов измерения ускорения свободного падения g основаны на использовании хорошо известного соотношения для периода малых колебаний Τ физического маятника: 2

.

(12.1)

где I − момент инерции относительно оси качаний, проходящей через точку подвеса; т − масса тела; l − расстояние от оси качаний до центра масс. Вспомним формулу для периода колебаний математического маятника T = 2π 89

  .

(12.2)

Очевидно из сравнения (12.1) и (12.2), что период колебаний физического маятника такой же, как у математического маятника длиной .

(12.3)

Эта длина называется приведённой длиной физического маятника. Точка, лежащая на луче, проведённом из точки подвеса через центр масс на расстоянии L от начала луча, называется центром качаний. У эквивалентного по периоду математического маятника в этой точке сосредоточена вся масса m. Поскольку L определяется моментом инерции I и расстоянием l, которое трудно точно как рассчитать, так и измерить, то для использования следующей из соотношения (12.2) формулы определения ускорения свободного падения  

(12.4) 

необходимо предложить такое устройство маятника, которое позволяло бы простое измерение L с высокой точностью. Эту задачу решил Т. Катер в 1818 г. на основе теоремы Гюйгенса. Его маятник представлял собой тело с двумя опорными призмами (точками подвеса), расположенными несимметрично относительно центра масс так, что период колебаний относительно первой точки подвеса равен периоду колебаний относительно второй точки. Такой маятник называют оборотным, для него L = d, где d − расстояние между точками подвеса. Чтобы убедиться в этом, сформулируем и докажем теорему Гюйгенса. Точка подвеса и центр качаний взаимосопряжены: если подвесить маятник за центр качаний, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса будет новым центром качаний. По теореме Гюйгенса − Штейнера момент инерции относительно оси качаний можно представить как , где I0 − момент инерции относительно оси, параллельной оси качаний и проходящей через центр тяжести. Подставив это выражение в формулу (12.3), получим .

90

(12.5)

Из соотн И ношения (12.5) слледует, что ч центрр тяжести и лежит между м точкам ми подвееса и центром каачаний. Допусти Д м, что м маятник подвеп шен заа центр качаний, к тогда его привед дённая дллина равн на   Т как Так

′

′

′

′

.

(12.6)

, то из сооотношен ния (12.55) следует ′

П Подстави ив значен ние

′

.

формулу (12.6), ( поолучим ,′

что и доказываает теореему. П Применя яемый в работе маятник м показан н на рис. 12.1. На Н сталььном стеержне жеестко за-крепллены опорные призмы В1 и В2. ПоложеП ние гррузов С и D можн но измен нить (в лаборато-рии использую и ют два ти ипа устан новок: с двумя и тремяя грузами и). При некоторо н ом иском мом рас-полож жении гррузов, кооторое требуется т я найти,, периооды колебаний оттносителльно приззм В1 и В2 буудут совп падать (маятник ( к станет оборот-ным). К Конечно , в реальном оп пыте точн ное сов-паден ние пери иодов неввозможноо. Возниккают во-просы ы: какое значениее период да подставлять в формуулу (12.44) и какоова будет погр решностьь опред деления . В при иложени ии показзано, чтоо Рис. 12.1 погреш шность определе о ения ускоорения сввободно-го паадения заависит от о распооложенияя центраа тяжессти маятн ника меж жду при измами и макси-′ мальн на при   рис. 12.1). П Приемле емые резуультаты для д g пол лучаютсяя, если зн начение отноо ′ шенияя / леежит в ин нтервалее 1,5 5

′

/

3.

(12.7)

Поясним П м правое неравенсство в соотношен нии (12.7)). Уменьшение ампли итуды коолебаний маятникка происх ходит в основном м из-за наличия сил с трени ия межд ду опорноой призм мой и поодушкой.. Количеествен91

ное затухание колебаний можно характеризовать отношением работы, совершаемой силами трения за период, к энергии, запасённой в маятнике, ∆ ⁄ : чем больше это соотношение, тем сильнее затухание колебаний. При малом расстоянии ′   энергия, запасённая в маятнике, невелика и равна максимуму потенциальной энергии  

′  

1

cos φ ≈ 

′

φ ,

(12.8)

где φ − угол отклонения от положения равновесия, определяющий амплитуду колебаний. Работа же сил трения от ′ не зависит, поэтому при малых  ′ затухание колебаний велико и формула (12.1) неприменима. Экспериментальная часть Схема устройства оборотного маятника показана на рис. 12.1. Расстояние L между опорными призмами не меняется. Для определения l и ′ маятник снимают с консоли и располагают на одном из закрепляющих его уголков, который кладут на стол. Перемещая маятник по ребру уголка, нетрудно найти положение центра тяжести. Расстояния от него до опорных призм и есть искомые l и ′ , которые надо измерить как можно точнее. Задания 1. Ознакомиться с конструкцией оборотного маятника. 2. Определить рабочий диапазон амплитуд, в пределах которого период колебаний Τ маятника можно считать не зависящим от амплитуды. Для этого измерить время 100 полных колебаний (для маятника из польского лабораторного комплекса время 10 полных колебаний) при начальном отклонении на угол φ1 (примерно 10° − 15°) и найти Т1. Повторить опыт, уменьшив начальное отклонение в 1,5–2 раза, и определите Т2. Если в пределах погрешности измерений окажется, что Т1 = Т2 , то для дальнейших опытов можно выбрать любую амплитуду, не превосходящую φ . Если же Т1 ≠ Т2, то следует выбрать угол φ1, меньший из использованных углов, и повторить измерения. 3. Установить, каким образом T и ′ (при опорах на призме В1 и В2 соответственно) зависят от положения грузов С и D. При этом достаточно измерить время 10 − 15 полных колебаний для польского маятника. В результате этих опытов необходимо выяснить: 92

а) какой из грузов оказывает большее влияние на Τ и ′ , а какой – меньшее; б) какой из грузов существеннее влияет на разность периодов ′ ; изменяет ли перемещение грузов периоды T и ′ в одну или в разные стороны (опыты проделать для всех грузов). 4. Перемещая груз, оказывающий большее влияние на величину ′ разности (обычно это груз С), добиться грубого совпадения периодов. Определить T и ′ по 10 − 15 полным колебаниям. Сняв маятник с консоли, определить положение его центра масс и оцените величины l и l′. Как указывалось выше, они должны удовлетворять неравенству (12.7). 5. Меняя положение груза, менее заметно влияющего на периоды, добиться совпадения Т и ′   точностью до нескольких процентов. Проверить, удовлетворяют ли неравенству (12.7) соответствующие значения l и l′. Окончательное измерение величины T и  ′ провести по 200−300 полным колебаниям маятника (для польского маятника необходимо провести 20–30 полных колебаний). Попутно убедиться, во сколько раз изменится амплитуда колебаний за время наблюдений и оказывает ли сила трения влияние на колебания. 6. По результатам измерений вычислить ускорение свободного падения (12.9) и оцените погрешность. Приложение ′

Пусть периоды колебаний Τ и дают. Тогда 2

 ;  

около призм В1 и В2 не совпа-

′

′

2π

m

′

 .                    12.9

Из этих равенств имеем ′  

′

′

4

.                         12.10

Откуда находим ′ ′  

.                                       

(12.11)

Использовав очевидные равенства ′

2

′

2

  и    93

′

′

2

′

2

,    12.12

соотношение (12.11) можно представить как ′

4

2

′

′

2

 .                       12.13

′

Погрешность в определении складывается из погрешностей обоих слагаемых. Здесь необходимо учесть тот факт, что если их погрешности и одного порядка, но второе слагаемое много меньше первого и в формуле (12.13) играет роль небольшой поправки (при этом разность (l+l′) может быть значительной). Поэтому вклад второго слагаемого в погрешность можно не принимать во внимание и определять её, используя только первое в формуле (12.13): 4

,

где σT − погрешность в определении периодов, σ1 − погрешность в определении l; L= l+l′. Контрольные вопросы и задания 1. При каком расстоянии от опорной призмы до центра масс период колебаний маятника минимален? 2. Покажите, что точка опоры маятника и его центр качания лежат по разные стороны от центра масс. 3. Сформулируйте и докажите теорему Гюйгенса − Штейнера. 4. Покажите, что при перемещении оси качаний в центры качаний период колебаний маятника не должен изменяться. Список литературы 1. Савельев, И. В. Курс общей физики / И. В. Савельев. – М. : Наука, 1998. – Т. 1. 2. Сивухин, Д. В. Общий курс физики / Д. В. Сивухин. – М. : Наука, 1989. – Т. 1. 3. Стрелков, С. П. Курс общей физики / С. П. Стрелков. – М. : Наука, 1965. – Т. 1.

94

Л Лаборат торная ра абота 133 ОПР РЕДЕЛЕ ЕНИЕ УСКОРЕН НИЯ СВОБО ОДНОГО О ПАДЕ ЕНИЯ НА Н ПРИБ БОРЕ А АТВУДА А Цель рааботы: оп Ц пределитть ускореение своободного паденияя с помощью ю маятни ика Атвууда; оценить погр решностьь измерен ний. О Оборудо ование: прибор п А Атвуда, набор н перрегрузковв. Кратткие теоретическ кие свед дения Прибор Атвуда П А п предназн начен дляя проверрки закон нов равно оускоренноого и равн номерногго движеения. В частности ч и, можноо измеритть значение ускорен ния свобоодного паадения в данном географи г ическом месте. м Ч Чтобы уп проститьь теорети ическое описао ние работы р п прибора А Атвуда, все выккладки будем м делать в предположени ии, что трение т в блокке и массса нити пренебреежимо маалы, а нить нерастяж жима. В приборе Атвуда нить m с двум мя одинааковыми грузами массой Μ перекин нута через блок (ррис.13.1).. При раввенстМ ве массс систем ма находи ится в раавновеси ии. ЕсSу ли на н один из и грузовв добави ить переггрузок S массой m, то вся в систеема начн нет движеение с м . некотоорым усккорением М У Уравнени ия движеения для каждого о груза и блокка можноо записатть в виде системы ы:  ω; ;

(13.1)

,

Р Рис. 13.1

где r − радиус блока; I − момеент инерции; − результтирующи ий момент сил, с дейсствующи их на блокк; − угловое у у ускорени ие блока. Д сил Для и (силы наатяженияя по однуу и по дрругую стторону блока) справед дливо соотношен ние (объяясните, отткуда этоо получен но)  

95

.

(13.2)

Ускорение груза с перегрузком будет направлено вниз, а его величина определяется по формуле  

то 

(13.3)

Если предположить, что момент инерции блока очень мал, ≈ и ускорение системы грузов можно записать как                                                   13.4

2 и 2

  ,                                             13.5

Для расчёта величины ускорения свободного падения определим ускорение груза с перегрузком а. Измерение времени t движения груза на пути S позволяет определить скорость Vt, приобретенную благодаря движению по пути c ускорением a. Таким образом, .                                             13.6 2 2 Подставляя найденное значение a в выражение (13.5), определим 2 · .                                       13.7 2 Следует помнить, что соотношение (13.7) получено при условии ≈ . Если этого условия нет, то ускорение свободного падения находим по формуле 2

·

2

 ,                             13.8

которая позволяет получить более точное значение. Экспериментальная часть При нажатии клавиши «Сеть» происходит включение прибора и автоматический сброс показаний (все индикаторы показывают ноль). Прибор готов к работе. Перед каждым измерением не забывайте нажимать клавишу «Сброс». 96

Клавиша «Пуск» управляет электромагнитом. Нажатие этой клавиши отключает электромагнит и освобождает блок, через который перекинута нить. Секундомером измеряют время прохождения t грузом пути S, когда система движется без перегрузка. Задания 1. На правый грузик Μ положите перегрузок m, согласовав нижнюю грань грузика с чертой на верхнем кронштейне. Измерьте при помощи шкалы на колонке заданные пути равноускоренного и равномерного движений груза (соответственно  и S). Нажмите клавишу «Пуск». Запишите показания значения времени движения грузика на пути S. Измерения повторите не менее 5 раз и определите среднее время движения грузика на пути S. Рассчитайте , пользуясь соотношением (13.7) или (13.8), в зависимости от используемой установки и сделанных приближений. На польской установке применяют формулу (13.7), на российской − формулу (13.8). Объясните, почему. Оцените наименьшую величину перегрузка, при которой имеет смысл делать опыт. Для этого оцените величину силы трения в оси блока, отметив наибольшую величину перегрузка m, не вызывающего движения системы. Ясно, что получить хорошие результаты опыта можно только при условии, что вес перегрузка (сила, вызывающая движение) во много раз больше силы трения. Сила трения определяется в основном весом грузов, закрепленных на нити, а увеличение веса перегрузка улучшает условия опыта. Но чем больше вес перегрузка, тем быстрее движется вся система, а потому точность измерения времени может оказаться недостаточной для расчетов. 2. Проведите эксперимент, подтверждающий закон скоростей равноускоренного движения. Он проверяется с помощью составления отношений скоростей к интервалам времени, в течение которых груз движется: const,

1, 2, 3, …,

где

− время движения по разным с одним перегрузком. 3. Проделайте опыт 4−7 раз для различных перегрузков. Произведите измерения промежутков времени , в течение которых груз пройдет различные пути (для каждого перегрузка 5−10 значений). 97

Проверьте равноускоренный характер движения (закон пути), используя соотношение const, i = 1, 2, 3,....

(13.9)

Полученные результаты изобразите графически в координатах S (ось ординат) и t2 (ось абсцисс) при данной величине перегрузка. Через точки, полученные экспериментально, следует провести «наилучшую прямую», проходящую на наименьшем расстоянии от большинства точек (для построения воспользуйтесь методом наименьших квадратов). Определив угол наклона полученной прямой, вычислите ускорение a = 2 tg α.

(13.10)

Получите аналитическую зависимость (13.10) самостоятельно. Используйте найденное значение а для определения экстраполированного значения . Для этого постройте график в координатах 1  (ось ординат). Проводя через эксперимен (ось абсцисс) и тальные 1

точки кривую, нужно экстраполировать её к большим 0 . Найденное экстраполированное значение 

сравните

с табличным и с , полученным в п.1. Оцените погрешность полученного вами результата для ускорения свободного падения . 4. Проверьте второй закон динамики. Пользуясь добавочными грузиками и составляя из них различные комбинации, можно, не меняя массы системы в целом (два грузика массой Μ и все используемые перегрузки массой mi каждый), изменять результирующую силу, вызывающую движение системы. Запишем уравнение для каждого из грузиков в предположении, что момент инерции блока очень мал, т. е. силы натяжения по обе стороны блока одинаковы: .                         13.11 В проекции на вертикальную ось для каждого из грузиков уравнение примет вид ; ; (13.12) | | | | , 98

где m1, m2 − перегрузки на первом и втором грузике соответственно, при этом m2,> m1.Тогда для ускорения системы получим ∆ 2

.                              13.13

Если теперь часть перегрузка m2 переложить на первый грузик, ′ оставляя ′     , получим ′

′

∆ ′ ′

′

                                    (13.14)

или ∆

′

. ∆ ′

′

(13.15)

Однако известно, что при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливы соотношения ; ,

,

.

(13.16)

Отсюда | | | | или ′

′

  

                                     13.17

Это равенство и подлежит проверке (табл. 13.1). 5. Следует отметить, что нельзя ожидать большой точности результатов в подобных опытах. В какой-то мере можно оценить и объяснить полученные опытные данные, проводя такой эксперимент. Использовав все имеющиеся перегрузки, можно получить зависимость между скоростью системы Vc и её общей массой mc, когда разность масс перегрузов остается неизменной, а именно: ~

1

                                                13.18

Докажите приведённое соотношение. 99

Если построить график зависимости (13.18), то можно оценить влияние момента инерции I блока в единицах массы m на результаты, полученные в эксперименте. Таблица 13.1 Технические параметры приборов Наименование

Параметры

Максимальный путь больших грузиков

490 мм

Масса больших грузиков

60,00±0,01 г

Масса дополнительных грузиков

1. 7,50±0,01 г 2. 6,20±0,01 г 3. 9,80±0,01 г

Контрольные вопросы и задания 1. Вывести соотношения (13.4) и (13.5) с помощью закона сохранения энергии. 2. Как влияет величина перегрузка на точность производимых измерений? 3. Дайте определение скорости, ускорения и перемещения. 4. Как повлияет учет момента инерции блока на расчет величины ускорения свободного падения? Список литературы 1. Сивухин, Д. В. Общий курс физики / Д. В. Сивухин. – М. : Наука, 1989. – Т. 1. 2. Савельев, И. В. Курс общей физики / И. В. Савельев. – М. : Наука, 1998. – Т. 1. 3. Физический практикум / под ред. В. И. Ивероновой. – М.: Наука, 1968. 4. Хайкин, С. Э. Физические основы механики / С. Э. Хайкин. – М. : Наука, 1971.

100

Л Лаборат торная ра абота 144 ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩ ЩАТЕЛЬН НОГО ДВИЖЕ Д НИЯ С ПОМОЩ П ЩЬЮ КРЕС СТООБР РАЗНОГ ГО МАЯ ЯТНИКА А ОБЕРБ БЕКА Цель рааботы: проверка Ц п а основн ного ураввнения ввращател льного движеения на крестообр к разном маятнике м Обербекка. О Оборудо ование: маятник Обербекка, набор грузовв, линейкка, секундоомер, штаангенцирркуль. Кр раткие теоретич т ческие св ведения Рассмотррим движ Р жение си истемы, состояще с ей из маяятника Обербека и грруза (рисс. 14.1). П дейсствием силы Под с тяж жести гру уз Р, подвешенный на нити и, навитоой на шкив, ш начин нает опуускаться, привод дя шкив во вращеение. При П эттом поотенциалььная энерги ия груза переход дит в ки инетичесскую h энерги ию посттупательн ного дви ижения груР за   нергию вра2 и кинетичеескую эн щателльного дввижения маятникка ω /2,, где I − моомент ин нерции маятника м . На осн новании закона з с сохранени ия энерггии (сил лами тренияя пренеб брегаем) для люб бого момеента времени можн но записатть   

Ри ис. 14.1

.

(14.1)

В этом выражени в ии υ, ω и h необ бходимо измерятьь в один н и тот же момент м в времени. . Продиф фференцируем правую п и левую части уравнения (144.1) по врремени t и учтём,, что прооскальзыввание ни ити относиттельно шккива отсуутствуетт, тогда ω r = υ. Уравнен У ние (14.1)) перепишем м в виде (14.2)

101

или после приведения подобных ω,

(14.3)

где – линейное, ε ω угловое ускорения. Левая часть уравнения (14.3) это момент силы относительно оси вращения маятника, приводящей шкив во вращательное движение. С учётом этого уравнения (14.3) можно представить как ω  .                                                      (14.4) Уравнение (14.4) является прямым следствием второго закона Ньютона для вращательного движения. Поэтому его экспериментальная проверка будет в то же время проверкой основных положений механики. Так как поступательное движение груза равноускоренное, то ускорение груза определим по формуле 2 ,                                                     14.5   где h высота, на которую опустился груз с начала движения за время t. Оно связано с угловым ускорением соотношением ω

.

(14.6)

Из уравнений (14.3), (14.5) и (14.6) для момента инерции получим выражение 2  .                                  14.7 2 Согласно уравнению (14.4) угловое ускорение должно быть пропорционально приложенному моменту силы. Проверка этого соотношения и составляет первую часть работы. Уравнением (14.4) можно воспользоваться и для определения момента инерции I, если момент сил известен, а угловое ускорение может быть измерено. Напомним, что моментом инерции I материальной точки массой т относительно оси вращения называется произведение массы на квадрат расстояния до оси вращения .                                                   14.8 102

Для системы, состоящей из n материальных точек массой ∆mi, момент инерции ∑

∆

,                                         14.9

где Ri расстояние i-й материальной точки до оси вращения. Для однородного твёрдого тела момент инерции определяют через интеграл ρ

.

(14.10)

Интегрирование производится по всему объему, где распределена масса. Во второй части работы необходимо проверить соотношение (14.9), проводя соответствующие измерения. Порядок выполнения работы 1. Со спиц крестообразного маятника снимают грузы и проводят два опыта (каждый не менее трех раз). В одном случае нить наматывают на шкив радиуса r1, а в другом радиуса r2. Измеряя высоту h и время движения груза, находят, используя формулы (14.5) и (14.6), ускорения a1 и a2, ε1 и ε2. Подсчитывают моменты сил М1 и М2, это левая часть уравнения (14.3), и проверяют соотношение  

 

.

(14.11)

Результаты измерений и вычислений заносят в таблицу. В обоих случаях находят момент инерции шкивов со спицами из соотношений ,      

 .

(14.12)

Среднее из этих двух значений и будет моментом инерции шкивов и спиц I0. Значения I´0 и I´´0 должны совпадать с учетом погрешности измерений. Радиусы шкивов r1 и r2 измеряют штангенциркулем, время движения груза t секундомером, а высоту падения h линейкой. Оцените погрешность определения I0. Все данные занесите в таблицу. 2. Съёмные грузы закрепляют на одинаковом расстоянии R1 от оси вращения. Нить наматывают на шкив большего радиуса. Проведя опыт, получат момент инерции , который будет представлять сумму моментов инерции шкивов со спицами I0 и момента инерции четырех грузов I1 относительно оси вращения: 103

I´1 = I0 + I1.

(14.13)

Помещая грузы на расстоянии R2, точно так же находят I´2 = I0 + I2.

(14.14)

Используя значение I0 , измеренное в первой части работы, определяют I1 и I2, оценивают их погрешность и проверяют соотношение I1 R11  . I 2 R22

(14.15)

Взвесив съёмные грузы и измерив расстояние от центра грузов до оси вращения, рассчитывают величины I1 и I2 , затем сравнивают с полученными на опыте значениями этих величин. Заметим, что здесь не принимались в расчёт силы трения. В действительности момент, создаваемый силами трения, может исказить результаты эксперимента. Оцените влияние сил трения на результаты измерений. Контрольные вопросы и задания 1. В каких единицах измеряются угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение, момент силы и момент инерции тела? 2. Как можно определить момент инерции тела неправильной формы? 3. Сформулируйте теорему Штейнера. 4. Почему нельзя допускать раскручивания груза, подвешенного на нити, при его движении вниз? Список литературы 1. Савельев, И. В. Курс общей физики / И. В. Савельев.  Наука, 1998. – Т. 1. 2. Стрелков, С. П. Курс общей физики / С. П. Стрелков. Наука, 1965. – Т. 1. 3. Физический практикум / под ред. В. И. Ивероновой. Наука, 1968.

104

М. : М. : М. :

Л Лаборат торная ра абота 155 ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩ ЩАТЕЛЬН НОГО ДВИЖЕ Д НИЯ С ПОМОЩ П ЩЬЮ МАЯТНИ М ИКА МА АКСВЕЛ ЛЛА Цель рааботы: поознакоми Ц иться со сложным движением твеердого тела на н примеере маяттника Мааксвелла. Опредеелить моомент ин нерции металлическихх колец. О Оборудо ование: маятник м Максвел лла, штангенцирккуль, метталлические кольцаа. Кратткие теоретическ кие свед дения Маятникк Максвеелла пред М дставляетт собой диск D, наглухо о насаженны ый на валлик V (ри ис. 15.1). В Валик и диск сд деланы из и одного о материала. К валикку прикрреплены две нити и одинаковоой длины, при помощи п которых х прибор подвешив п вается к стойке. Нити си имметричноо наматы ываются на валикк в один н ряд, благод даря чем му систем ма «диск––валик» поднип маетсяя и закреепляется в верхней точкее. Е Если маяятник Максвелла М а предосттавить самом му себе, то т он наачнет опуускаться.. Нить во вреемя движ жения раазматываается до о конца, а затем рааскрутивш шийся маятник м начнет н обратн ное движ жение, вн новь намаатывая нить н на валик. Движен ние маяттника ввеерх замеедляетР Рис. 15.1 ся, он н останаавливаетсся, сноваа начинаается движеение вниз и так далее. д Таакой колеебательн ный харакктер дви ижения вверх--вниз наапоминаеет движение маяттника, пооэтому уустройство называеттся маятн ником Максвелла М а. Теория движени ия маятн ника Мааксвеллаа В систем ме коорд динат, оссь ОХ ко оторой нааправлен на вертиккально вниз (рис. 155.1), а оссь ОУ совпадает с т с осью ю симмеетрии си истемы «дискк – валикк», уравн нения, оп писываю ющие дви ижение м маятникаа Максвеллаа (без учёта сил трения), т и имеют ви ид 105

2 ; 2

(15.1)

,

где а и ε ли инейное и угловоее ускорения систтемы; Т результтирующая сила с натяяжения;    ради иус нити и; внешний радиус валика в (рис. 15.2). Считаем, С что точкка прилож жения реезультирующей силы с Τ наход дится на расстоян р ии ( . Учтя, что цен нтр тяж жести си истемы опуускается настолькко, наскколько раскручивается ни ить, можн но записаать кинеематическкую связзь междуу линейн ным и угл ловым ускоорением: .

(15.2)

Линей йное ускоорение ссистемы определи им, знаяя время,, за котторое мааятник опуускается с высоты ы h: . Рис. 15.2

  

(15.3)

й (15.1) с учёИз сисстемы урравнений том м (15.2) и (15.3) поолучим 1

  

 

2

1 .        15.4

Ускорение дискаа постоянно и всегда нап У правлено вниз. Егго численноое значен ние тем меньше, м ч болььше центтральный чем й моментт инерции I.. При доостаточноо большоом моменте инеррции дисск будет иметь очень малое усскорениее. В предееле при I  ∞ ускорение у е диска а  0, а силаа натяжен ния 2Т → mg, оч чевидно, так т и доллжно быть, потом му что диск просто п в висит на нити без движен ния. Ураавнения ссистемы (15.1) не опи исываютт поведен ние маятн ника в нижней н « «мёртвой й» точке, когда происсходит пеереброс нити с одной о наа другую ю сторонуу цилинд дрического валика. Диск Д проодолжаетт вращатться в преежнем нааправлен нии, но теперьь нить уже у наматываетсяя на вали ик. При движени д ии вверх также справеедливы уравнени у ия (15.1): кинетич ческая эн нергия прревращаеется в потенциальную ю, а скоррость под дъема ум меньшаеттся. Во ввремя пер реброса нитти в ниж жней «мёёртвой» точке т пр роисходитт изменеение направле106

ния скорости с на обраттное. В это э времяя центр масс м диска испыттывает больш шое ускоррение, чтто приводит к большому натяжен нию нити и. Если нить недостато н очно проочна, то она о можеет порватться в ниж жней точ чке. В уравнеениях (15.1) (155.4) под m подраазумеваеттся массаа всей систем мы (напрример, суумма массс валикаа, диска и кольцаа). Под моменм том инерции и с системы понимаю ют сумм му момен нтов инеррции всеех тел, входящих в системуу, напри имер е     , где момен нты инеррции вали ика, дискка и кольц ца соответственн но. О Описани ие устан новки. Общий О ви ид маятн ника Макксвелла привеп дён на рис. 155.3. Осноование 1 оснащеено регуллируемыми винтаами 2, которые позвооляют прроизвести и выравн нивание прибораа. В осно овании укреп плена коллонка 3, к котороой прикр реплены неподви ижный веерхний кронш штейн 4 и подвиж жный крронштей йн 5. Наа верхнеем кронш штейне наход дятся элекктромагн нит 6, фотоэлект ф трически ий датчикк 7 и вор ротник 8 для закреплеения и реегулироваания биф филярной й подвесски маятн ника.

Рис. 15.3

Нижний кроншттейн вмеесте с пр Н рикреплеенным к нему фотоэлектррическим м датчикком 9 мож жно переемещать вдоль колонки и фиксировать в произволь п ьно выбрранном положени п ии. Маяттник 10 это металлический й диск, наглухо н н насаженн ный на валик. в Ваалик под двешиваетсяя к верхн нему кронштейнуу при пом мощи ни ити. На д диск мож жно на107

девать металлическое кольцо 11. В комплект установки входят три металлических кольца массой 257,0, 386,0 и 524,0 г соответственно. Надевая на диск кольца различной массы, можно изменять момент инерции системы. Маятник с наложенным кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом 6. Длина маятника h определяется по миллиметровой шкале на колонке прибора. С целью облегчения измерения величины h нижний кронштейн оснащен указателем, помещенным на высоте оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика 9. Электронная схема маятника Максвелла 12 состоит из миллисекундомера, фотоэлектрических датчиков и электромагнита. На катушку электромагнита с разъёма фотоэлектрического датчика подаётся напряжение 14 В. Миллисекундомер состоит из кварцевого генератора, генерирующего импульсы частотой 10 кГц, и счётчика времени, подсчитывающего импульсы, приходящие с кварцевого генератора. Нажатие кнопки «Пуск» вызывает отключение электромагнита, включение в работу фотоэлемента. Когда маятник опускается до фотоэлемента 9, счетчик времени отключается. Подготовка к измерению 1. Включить сетевой шнур прибора в сеть. 2. Нажать клавишу «Сеть». Проверить, все ли индикаторы высвечивают цифру «ноль» и засветились ли лампочки фотоэлектрических датчиков вверху и внизу прибора. Прибор готов к работе непосредственно после включения в сеть и не нуждается в прогреве. Измерения 1. На диск маятника надеть металлическое кольцо и прижать до упора. 2. Нижний кронштейн 5 передвинуть и зафиксировать в таком положении, чтобы край кольца находился чуть ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. 3. Откорректировать установку маятника, обращая внимание на то, чтобы его ось симметрии была параллельна основанию прибора. 108

4. Намотать нить подвеса равномерно и плотно, виток к витку, на валик маятника. Измерить расстояние, на котором эти витки располагаются на валике, с максимально возможной точностью, подсчитать количество витков и найти диаметр нити Dn. 5. Зафиксировать маятник с помощью магнита в верхнем положении. 6. Нажать кнопку «Сброс». 7. Нажать клавишу «Пуск». 8. Отметить по индикатору прибора значение времени t спуска маятника. 9. Провести замер времени несколько раз. Данные занести в таблицу. 10. Определить среднее значение времени спуска маятника по формуле 1

.                                           15.5

11. По шкале на вертикальной колонке прибора определить длину маятника h. 12. Из соотношения 1                             15.6 определить экспериментальное значение момента инерции маятника для различных систем: I0 (система «валик – диск»); Iok (система «валик – диск – кольцо»). Например, 1 · 1 ,   4 2 где массы валика, диска, кольца соответственно. Оценить погрешность полученных результатов. 13. Вычислить теоретическое значение момента инерции маятника Максвелла по формуле   ,                            

15.7

где  теоретическое значение момента инерции валика, представляющего собой полый цилиндр. 1 ,                                   15.8 8 где  и внутренний и внешний диаметры валика. 109

1 ,                                  15.9 8 где и внутренний и внешний диаметры диска, представляющего собой цилиндр с отверстием в центре. 1 ,                                   15.10 8 где    теоретическое значение момента инерции кольца; и внутренний и внешний диаметры кольца. 14. Вычислить погрешность ξ, характеризующую отличие измеренных значений I от теоретически рассчитанных It, по формуле (I  I t )  100 % (15.11) It Оценку  ξ провести для каждого значения I, вычисленного по формуле (15.7), на основании этого сделайте вывод о качестве проведённых экспериментов. 15. Найти экспериментальные значения моментов инерции колец Ik по формуле , (15.12) оценить погрешность и сравнить с теоретическими значениями моментов инерции колец, полученными из соотношения (15.10). Некоторые параметры маятника тk

Масса валика тv = 32 г, масса диска тd= 124 г, масса колец 257, 386, 524 г. Контрольные вопросы и задания

1. Какое движение твёрдого тела называют сложным? 2. Что представляет собой маятник Максвелла? 3. Дайте определение момента инерции материальной точки и твёрдого тела. 4. Какие приближения были сделаны при выводе расчётных формул? 5. Что такое момент инерции тела относительно выбранной оси? 6. Чему равен момент инерции однородного сплошного цилиндра? 7. Чему равен момент инерции полого цилиндра? 110

Список литературы 1. Стрелков, С. П. Механика / С. П. Стрелков. − М. : Наука, 1975. 2. Хайкин, С. Г. Физические основы механики / С. Г. Хайкин. − М. : Наука, 1973.

Лабораторная работа 16 ИЗУЧЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА Цель работы: ознакомиться с методом определения момента инерции твердого тела с помощью трифилярного подвеса, определить моменты инерции тел различной формы. Оборудование: трифилярный подвес, секундомер, набор тел. Краткие теоретические сведения Момент инерции тела относительно какой-либо оси определяется выражением   

ρ

,

(16.1)

где r расстояние от элемента массы dm до оси вращения, ρ − плотность тела. Интегрирование распространяется на весь объём тела. Таким образом, определение момента инерции тела сводится к вычислению интеграла по формуле (16.1). Для тел правильной геометрической формы и однородных по плотности эти расчеты довольно просты. Если же тела неправильной формы или неоднородны по плотности, то вычисление момента инерции усложняется. В этом случае момент инерции определяют экспериментально. Рассматриваемый в данной работе экспериментальный метод определения момента инерции с помощью трифилярного подвеса является одним из наиболее удобных. Трифилярный подвес схематически изображен на рис. 16.1. 111

Точки поодвеса А,, С и Н располож Т р жены сим мметричн но на окр ружности с радиусом м а, точкки B, D, N на окружнос о сти с рад диусом b.. Нижний диск д мож жет соверршать кррутильны ые колеебания ввокруг верти' кальной оси ОО . Наайдём пеериод маалых коллебаний трифиляярного подвеса. Если нижний й диск поверп ' нутть вокругг оси ОО О и отпу устить, то он начнет соверршать кру утильныее колеб бания. Трифил лярный под двес расссматриваеется как система с одной степенью ю свобо оды. В кач честве координ наты, определяю ющей еёё мгновеенное по оложениее, удобноо взять угол повворота ниж жнего ди иска В, D, N вокру уг оси, отссчитывая этот угол от по оложенияя равноввесия. П При закру учивании и нити плоскость п ь диска поднип Р 16.1 Рис. маеется на высоту в h и потенц циальнаяя энергияя, которуую приоб бретает дисск, равна П . К Кинетич еская энеергия враащения определя о яется вырражением м φ , где I – моментт инерции и диска относите о ельно оси и ОО′; φ – угловаая скорость.. П Пусть l означаетт длину в положени п ии равноовесия. Введём В прямооугольнуую систем му коорд динат с началом н в точке О О, ось X напран вим вдоль пряямой ОА,, ось Z вниз вд доль пряямой ОО′, ось Y перпенди икулярна к ним. Координа К аты точкки А всё время осстаются постоп янным ми: ХА = а, YA = 0, ZA = 0. Коорд динаты тоочки В при п равноовесии: ,

0,   

.

П повоороте системы наа угол φ координ При наты той же само ой точки В: c cos

,    

sin n ,     112

.

Условие постоянства длины нити можно записать в виде

или cos φ

 

sin φ

+

.

= 

После простых преобразований отсюда находим 2

1 cos φ 4 φ sin . 2 2 2 При малых колебаниях можно считать sin . Кроме того, величина h 2l и ею в знаменателе можно пренебречь. В этом приближении получим φ ;   П φ . 2 2 Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энергии для колеблющейся платформы можно записать следующее уравнение: α β φ φ const.                                   16.2 2 2 Продифференцировав последнее выражение по времени и сократив на φ, получим уравнение движения системы βφ

αφ

0,    α

, β

.

(16.3)

 ,                    

(16.4)

Решение этого уравнения имеет вид   φ 

φ sin

 

где амплитуда φ и фаза  колебаний определяются начальными условиями. Следовательно, колебания системы будут гармоническими с периодом 2π

.

(16.5)

Отсюда видно, что трифилярный подвес даёт удобный метод измерения моментов инерции тел. Сначала измеряется период колебаний Т0 ненагруженного трифиляра массой m0. По этому периоду вычисляется его момент инерции 113

.                                         16.6 4π З Затем наа нижний й диск тррифиляраа кладут тело масссы m, момент м инерц ции которрого IT трребуетсяя определ лить. П Пусть Т   периоод крутильных ко олебаний й нагруж женного трифит ляра. Тогда Т моомент ин нерции си истемы относителльно OO′′: .                                      16.7 4 В Вычитая я отсюда I0, получ ченное из и формуллы (16.6)), находи им искомый й моментт инерции  .            16.8 4 С Соотнош шение (166.8) спрааведливо при отсуутствии ощутимы ых потерь на н трениее, учёт кооторых весьма в заатрудниттелен. Этти потер ри достаточн но малы, если эн нергия заа перио од уменьш шается н незначиттельно. Убеди иться в эттом мож жно, измееряя врем мя τ, в течение кооторого амплиа туда существе с енно умен ньшаетсяя (наприм мер, в 2 раза), р и ссравниваяя его с периоодом колеебаний Т. Т Е Если τ  T , то точностьь резулььтата, поллученногго с пом мощью уравнения (166.8), хоррошо соггласуетсяя с расч чётами, ккоторые легко продеелать дляя тел праввильной геометри ической формы. ф Поорядок вы ыполнен ния рабооты 1. Опред делить Т0. Для этого э выввести тррифиляр из поло ожения равновесия. Измерить И время нескольки их полны ых колебааний (8− −10 колебаний) и вы ычислить период колебани к ия. Измеррения прроделать не менее 5 раз. р 2 Опред 2. делить моомент ин нерции двух д тел из и имеющегося набора н сначалла пороззнь, а поотом вмеесте. Пом мещать грузы г нееобходим мо так, чтобы ы центр тяжести т к каждого из них лежал л наа оси враащения системы Оцен нить поггрешностть экспер рименталльных знаачений моменм тов ин нерции. 3 Получ 3. ченные значения з моменто ов инерц ции сравнить с расчётр ными (по форм мулам длля момен нтов инер рции телл правилььной геом метрической й формы ы). 114

4. Поместите в центр платформы два одинаковых диска или полудиска. Снимите зависимость момента инерции I такой системы от расстояния d каждого из дисков до оси платформы. Раздвигать диски следует так, чтобы их общий центр тяжести все время оставался на оси вращения платформы. Изобразите эту зависимость в виде графика, где по оси абсцисс откладывается расстояние d, а по оси ординат величина , где I0 − момент инерции системы при d = 0. 5. Используйте результаты предыдущего опыта для проверки теоремы Гюйгенса  Штейнера. 6. Проанализируйте точность полученных результатов. Какие из предложенных вам тел следует выбрать, чтобы получить хорошее согласие с расчетами? Почему? Список литературы 1. Лабораторный практикум по физике / под ред. А. С. Ахматова. М. : Высш, шк., 1980. 2. Лабораторные занятия по физике / под ред. Л. Л. Гольдина. М. : Наука, 1983. 3. Сивухин, Д. В. Общий курс физики / Д. В. Сивухин. – М. : Наука, 1989. – Т. 1.

Лабораторная работа 17 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ Цель работы: определить тензор моментов инерции прямоугольного параллелепипеда. Оборудование: крутильный маятник, куб, прямоугольный параллелепипед. Краткие теоретические сведения При координатном описании вращательного движения твёрдого тела вводится понятие тензора моментов инерции рассматриваемого 115

тела. Объясни О им смыслл тензораа инерции и на прим мере круутильных х колебаний й относиттельно раазличныхх осей. Р Рассмотр рим жёстткое телоо, подвеш шенное на проволлоке за то очку А (рис. 17.1). 1 Пустьь матери иал и разм меры про оволоки и таковы, что верртикальн ные колеебания телла беско онечно малы, м а п при закру учивани ии нити на малы ый угол φ возн никает → rII моомент уп пругих сил с φ, гд де f моодуль кру учения. В нашем м случаее уравнение мом ментов, сп проецироованное на ось вращения, имеет ви ид  

Рис. 17.1

φ,

где I момен нт инерц ции тела относитеельно оси и АО (точка О тяжессти тела):: .

(17.1) центр (17.2)

Интегралл берётсяя по всем И му объём му тела,   − модууль векто ора  , показаанного на н рис. 177.1. Решеение ураввнения (17.1) опи исывает малые крутильные коолебанияя с периодом 2

  

.

(17.3)

Если под Е двесить тело т за тоочку  (р рис. 17.1)), то пери иод колеебаний будет другим, так как момент инерции и тела отн носителььно оси А'О А отличен н от преж жнего моомента ин нерции относител о льно оси и АО. В общем о случаее может быть таак, что для всех точек поодвеса, н не лежащ щих на одной й вертикаальной пррямой, проходящ п щей черезз точку О О, период ды колебаний будутт различн ными. З Зададимс ся вопроосом: моожно ли определить пери иод колеебаний (момеент инерц ции) относительн но произвольной оси, знаая период ды колебаний относсительноо некоторрых одно означно располож женных в теле осей? Если этоо возмож жно, то кааково чиссло такихх осей и из каких х соображен ний можн но опредеелить их ориентаацию в тввёрдом тееле? Ч Чтобы оттветить на эти вопросы, рассмоттрим кооррдинатну ую запись интеграл и ла (17.2). Направлление оси и ОА относительн но жёстко о связанной й с телом м систем мы коорди инат (X;Y Y;Z) зададим ед диничным м век116

тором  = (ex; eY; ez), где cos α ;  cos β , cos γ ; углы α, β,  γ − это углы между направлением вектора и осями координат ox, oy, oz; (ex; eY; ez) называются направляющими косинусами (рис. 17.1). Тогда  

 

  

        

    

2

(17.4) 2

2

,

где ,         ,                       

,        

;   ;              (17.5) .        

Таким образом, для вычисления момента инерции необходимо вычислить шесть интегралов по объёму. Запись (17.4) можно представить более компактно в матричной форме:         ; ; ;     , (17.6)     где   − тензор второго ранга (матрица), носящий название тензора моментов инерции твёрдого тела. Диагональные элементы   , ,   , по определению (17.5), являются моментами инерции тела относительно осей Χ, Υ, Ζ соответственно. В силу соотношений (17.5) тензор   симметричен, а следовательно, по известной теореме линейной алгебры существует система координат  , , , в которой тензор   имеет диагональный вид, т. е. отличны от нуля только компоненты, расположенные на главной диагонали. Иными словами, существуют такие три взаимно ортогональные оси, называемые главными осями тензора инерции (или просто главными осями тела), что по измеренным периодам колебаний (моментам инерции) относительно этих осей можно найти период колебаний относительно произвольной оси. В системе координат (x', y', z') для момента инерции будет справедливо соотношение 117

.

(17.7)

Здесь в обозначении осевых моментов инерции оставлен один индекс, так как в системе главных осей второй индекс излишен. Таким образом, I момент инерции относительно любой оси, направление которой определяется вектором угловой скорости ω (или вектором ; он выражается через моменты инерции относительно главных осей и направляющие косинусы. Уравнение (17.7) каноническое уравнение эллипсоида: в роли переменных выступают ,   , . Величины ,

 

,

имеют смысл длин полуосей эллипсоида. Эллипсоидом инерции твёрдого объекта следует называть однородное тело равной с ним массы и с поверхностью, подобной задаваемой уравнением (17.7). Или, иначе, воображаемая поверхность, описываемая уравнением (17.7), характеризует распределение моментов инерции тела относительно пучка осей, проходящих через фиксированную точку О, и называется эллипсоидом инерции относительно этой точки. Пересечение любой из этих осей с поверхностью эллипсоида дает конкретное значение момента инерции тела относительно данной оси. Такой эллипсоид можно построить для любой точки тела. Если точка является центром масс, как в нашем случае, то это будет центральный эллипсоид инерции. Для однородных симметричных тел главные оси инерции оси симметрии тела. Именно такие тела используются в данной работе для проверки справедливости теоретических соотношений. Тело, у которого все три главных момента инерции различны, называют асимметричным волчком. Если два главных момента инерции равны друг другу, например , то твёрдое тело называют симметричным волчком, а выбор направления главных осей в плоскости XY произволен. К таким телам относятся тела вращения: цилиндр, конус и т. д. Если же совпадают все три главных момента инерции, то тело называют шаровым волчком. В этом случае произволен выбор всех трех главных осей инерции, т. е. это могут быть любые три взаимно перпендикулярные оси. 118

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением (аналитическим) или определить экспериментально. В данной работе предлагается сделать и то, и другое. На установке «Крутильный маятник», используемой в работе, можно определить моменты инерции и эллипсоид инерции твёрдого тела через измерение периодов крутильных колебаний относительно некоторой оси. Конструкция экспериментальной установки позволяет закреплять исследуемое твёрдое тело в рамку, последняя может совершать крутильные колебания, число и продолжительность которых фиксируются универсальным миллисекундомером. Амплитуда крутильных колебаний φ0 задаётся и регулируется с помощью электромагнита. Одна из задач данной работы проверка соотношения (17.7) для простого случая, когда исследуемое тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Пусть длина рёбер параллелепипеда а, b и с. Для исследования предлагаются два образца: куб (а = b = с) и параллелепипед, у которого длина всех трёх рёбер различна   . Очевидно, что для куба все три момента инерции относительно главных осей OX, OY и ОΖ одинаковы: . Из (17.7) с учётом того, что cos α cos β cos γ 1, находим const cos α cos β cos γ и получаем, что момент инерции однородного куба относительно любой проходящей через его центр оси один и тот же, а значит, и соответствующие периоды крутильных колебаний одинаковы. Это легко проверить, закрепив кубик в рамке в различных положениях, при которых ось вращения проходит через центр куба. Период колебаний системы «рамка − тело» определяется формулой (17.3), в которой I = I0+It, где I0, It − моменты инерции рамки и тела соответственно. С учётом последнего соотношения и формулы (17.3) для экспериментального определения момента It получаем следующее выражение: ,

(17.8)

где T0 − период колебаний пустой рамки. Используя формулу (17.8), соотношение (17.7) можно переписать в виде 119

,

(17.9)

где  тело» от, , , − периоды колебаний системы «рамка носительно главных осей. Проверка соотношения (17.9) является одной из задач, предлагаемых в работе. Выражение (17.9), так же, как и формула (17.3) для периода свободных колебаний, справедливо, если затухание мало. Практически для этого достаточно, чтобы амплитуда уменьшалась в 2 раза не раньше чем за 10–15 колебаний, что выполняется в довольно широком диапазоне начальных амплитуд. Если параллелепипед закреплен в рамке так, что ось вращения совпадает с одной из его диагоналей, проходящих через центр, то направляющие косинусы легко найти. Пусть размер параллелепипеда по оси ОХ равен а, по оси OY b, по оси OZ с. Тогда cos

; cos

; cos

.

Экспериментальная часть 1. Проверьте по уровню горизонтальность установки прибора. 2. Подключите прибор к питающей сети и нажмите на клавишу «Сеть», убедитесь, что все индикаторы высвечивают цифру 0. 3. Проверьте надежность крепления грузика в рамке. 4. Увеличьте натяжение подвески рамки, если она во время оборота имеет боковые отклонения, 5. Перед измерением периода колебаний необходимо нажать клавишу «Сброс» и отклонить рамку таким образом, чтобы с помощью электромагнита она могла удерживаться в заданном положении. 6. Для измерения периодов колебаний нажмите кнопку «Пуск». На цифровых индикаторах высвечивается число периодов колебаний и их продолжительность. Нажатие клавиши «Стоп» приводит к остановке секундомера после накопления в счетчике числа периодов ближайшего сверху целого числа. Задания 1. Определить период колебаний T0 пустой рамки. Для этого сначала необходимо выяснить, зависит ли Т0 от начальной амплитуды, и если зависит, то выделить тот рабочий участок, где этой зависимости нет (где и предстоит работать). 120

2. Найти для каждого из предложенных тел положение главных осей инерции. 3. Определить аналитически (рассчитать) момент инерции куба относительно главной оси. Считать т = 965 г, а сторону куба а = 5 см. 4. Измерить период колебаний системы «куб   рамка» относительно той же оси, что и в п. 3. 5. Используя измерения пп. 1 и 3, а также соотношение (17.8), определить модуль кручения проволоки f. 6. Измерить периоды колебаний системы «параллелепипед рамка» относительно главных осей и оси, предложенной преподавателем. 7. Проверить соотношение (17.9), предварительно измерив геометрические размеры тела и рассчитав   , , . 8. Вычислить тензор инерции прямоугольного параллелепипеда относительно главных осей, оценить погрешность и сравнить с результатами, полученными по аналитическим формулам. Масса параллелепипеда Μ = 1825 г. Приложение Кинетическая энергия вращения тела Соотношения (17.5) для компонент тензора инерции можно получить при координатной записи кинетической энергии вращения рассматриваемого тела. Линейная скорость частицы тела dm есть угловая скорость тела, направленная вдоль оси   ω  , где ω вращения ОА: ω  ω   φ ,   радиус-вектор, проведенный от закрепленной точки тела до частицы dm. В данном случае в качестве закрепленной точки может быть любая на оси вращения. Возьмём за такую точку О центр масс. Следовательно, для кинетической энергии вращения справедливо соотношение 1 1 1 ω  ω   Квр 2 2 2 1     2 ω ω . (П1) Рассмотрим вывод уравнения (П.1) из закона сохранения энергии. Потенциальная энергия, запасенная в закрученной на малый угол φ проволоке, равна U = φ . Запишем закон сохранения энергии 121

 

φ

 

φ

 

const.

(П2)

Здесь E0 полная энергия системы. В данной работе φ , где φ0   начальный угол закручивания (амплитуда колебаний). Дифференцируем левую и правую части соотношения (П.2) по времени, имеем уравнение φφ

  φ φ

0,

(П3)

которое после сокращения на φ идентично уравнению малых колебаний. Контрольные вопросы и задания 1. Можно ли экспериментально определить недиагональные элементы тензора инерции? 2. Сформулируйте теорему Гюйгенса  Штейнера. 3. Как найти момент инерции твёрдого тела относительно произвольной оси, не проходящей через центр масс? 4. Вычислите след (шпур) тензора инерции однородного шара. Следом матрицы называется сумма диагональных элементов. Список литературы 1. Сивухин, Д. В. Общий курс физики / Д. В. Сивухин. – М. : Наука, 1989. – Т. 1. 2. Матвеев, А. Н. Механика и теория относительности / А. Н. Матвеев. – М. : Высш.шк., 1986.

Лабораторная работа 18 ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ Цель работы: изучение наиболее распространённых методов измерения скорости вращения; исследование некоторых особенностей вращательного движения. 122

Оборудование: установка для исследования вращательного движения, электронный блок для регулировки числа оборотов, осциллограф, частотомер, стробоскоп, набор дисков. Краткие теоретические сведения Вращательным движением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется движение, при котором все его точки, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, которая называется осью вращения. В частности, при вращательном движении диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости, одна точка остается неподвижной, а все остальные движутся по окружностям, центр которых совпадает с этой точкой. Если при движении твёрдого тела меняется положение оси в твёрдом теле и в пространстве, то говорят о мгновенной оси вращения, служащей для описания мгновенного распределения скоростей. В данной работе предлагается несколько методов определения угловой скорости диска, как прямых, так и косвенных. Прямыми методами определяется полное число оборотов в течение соответствующего промежутка времени или сравнивается число оборотов диска с известной частотой устойчивого и независимого периодического процесса (генератор сигнала, стробоскоп и другие). В косвенных методах используются различные преобразователи механических величин в электрические. Современные технические устройства охватывают широкий диапазон измерений скорости вращения твёрдого тела от 410-2 до 4105 об /мин. Угловая скорость вращения является аналогом линейной скорости при поступательном движении. Обычно угловую скорость вращения обозначают греческой буквой . При вращении точки вокруг мгновенной оси угловая скорость  связана с линейной скоростью точки V соотношением V = R, где R – расстояние от точки до оси вращения. При равномерном движении по окружности величина  называется циклической (или круговой) частотой:  = 2f, 123

где f – частота, измеряемая числом оборотов в секунду (с-1);    частота, измеряемая числом радиан в секунду. Электрические приборы измерения угловых скоростей можно разделить на две основных группы:  приборы, которые измеряют электрическое напряжение сигнала датчика, пропорциональное измеряемым угловым скоростям u~ k ();  приборы, которые измеряют частоту переменного тока в датчике, пропорциональную измеряемой угловой скорости вращения f~ k (). Особый интерес представляют приборы и методы, основанные на измерении частоты электрических сигналов датчика (частотомеры). Различают частотомеры с электроизмерительными механизмами и с электронно-аналоговыми (цифровыми) устройствами. Наибольшая точность измерения (до 0,001 %) достигается при использовании быстродействующих электронно-счётных схем. Применяемый в этих приборах частотный метод измерения исключает возможность внесения дополнительных погрешностей датчиком и линией передачи, так как частота сигнала определяется лишь угловой скоростью вращения и конструкцией датчика. При этом датчики числа оборотов могут быть основаны на различных физических принципах (индукционные, ёмкостные, фотоэлектрические, индуктивные, радиоактивные и другие). Рассмотрим более подробно некоторые методы измерения скорости вращения. Фотоэлектрический метод. Фотоэлектрический датчик с прерывателем снабжен фотосопротивлением, освещённость рабочей поверхности которого прерывается вращающимся диском с калиброванными отверстиями (рис. 18.1). Фотосопротивление подключено последовательно с сопротивлением нагрузки к источнику постоянного тока. При неосвещённом фотосопротивлении через него течёт «темновой» ток  IТ 

E , RТ  RН

где RT – темновое сопротивление фотоэлемента; RН – сопротивление нагрузки. При освещённом фотосопротивлении световой ток IC 

E , RC  RН

где RС – световое сопротивление фотоэлемента.

124

Поскольку RТ >> RС, то ток, проходящий через фотосопротивление, является функцией светового потока и питающего напряжения. Rф Y

пластины

RН

Рис. 18.1

При вращении диска освещённость фотосопротивления модулируется и в цепи течёт ток IФ = IС In, частота пульсаций которого определяется скоростью вращения диска и числом отверстий: f дв 

 n, 60

где  – угловая частота вращения (об/мин); n – число отверстий в диске. Для получения формы кривой напряжения на фотосопротивлении, близкой к синусоидальной, необходимо, чтобы диаметр отверстий был равен расстоянию между отверстиями. Угловая скорость диска определяется сравнением частоты фотоэлектрического датчика с эталонной частотой генератора путём получения фигур Лиссажу на экране осциллографа. Для этого пульсирующее напряжение на фотосопротивлении подключают к Y   пластинам осциллографа, а на X пластины подаётся напряжение эталонной частоты от генератора. Измеренное значение скорости вращения электродвигателя определяется по формуле 

60 f э , n

где fЭ – эталонная частота генератора. Стробоскопический метод. Этот метод основан на освещении вращающегося или колеблющегося тела короткими, повторяющимися с известной частотой импульсами света и наблюдении при этом освещении специально нанесённых на вращающееся тело меток. Благодаря способности клеток сетчатки глаза сохранять раздражение в течение   0,1 с, отраженный от метки свет, попадая в глаз с частотой 125

более 10 с-1, создает с н непрерыв вное разд дражениее сетчаткки, а меттка кажетсяя неподви ижной, если е часстота всп пышек совпадает с т или кратна к частотте вращ щения метки. Знаяя частотту вспыш шек, мож жно опред делить частотту вращеения дискка. Такиее прибор ры назывваются ст тробоско опами. В современны ых стробооскопах освещен ние осущ ществляеттся с пом мощью импулльсных ламп л с регулирууемой чаастотой вспышек в к. Ими удобно у пользооваться для дисстанцион нного иззмеренияя угловых скоросстей и частотт колебаательныхх процесссов. Расссмотрим случай,, когда диск д с меткоой (рис. 18.2), враащающий йся с часттотой f, освещает о тся вспыш шками света,, частота которыхх f1 не раавна, но близка б чаастоте f.

Рис. 18.2

Если f  f1, тогдаа метка успеваетт сделатьь полный Е й оборот и ещё повернуться на н неболььшой угол (рис. 18.2, а). При П кажд дой следу ующей шке меткка будет наблюда н аться нем много сдввинутой в направвлении вспыш вращеения дискка последователььно в пол ложении 1, 2, 3 и т. д., по оэтому диск будет б каззаться меедленно вращающ щимся в том же направлеении с частоттой ( f   f1). При f  f1 каждая по оследующ щая вспы ышка буд дет освещатть метку,, не сделавшую полного п оборота, о последоовательно о в положен нии 1, 2, 3 и т. д. д (рис.18.2, б). При П этом м движен нии диск будет казатьься медленно враащающим мся в пр ротивоположную сторону у. Очевидноо, при f = f1 меттка освещ щается в одном и том жее положеении и диск кажется неподви ижным. Э Электро омагнитн ный меетод. Иззмерениее скороссти вращ щения электрромагниттными датчиками и основаано на явлении ввозникно овения ЭДС в катушкках в перременныхх магниттных поллях. Если и к вращающемуся диску д пррикрепитть неболььшой посстоянный й магнитт и прибл лизить катуш шку индукктивностти, то в ней н будетт наводитться перееменная ЭДС с 126

частотой, равной частоте вращения. Для измерения частоты получаемых сигналов используют различные методы, в том числе описанный для фотоэлектрического датчика с прерывателем. Частота вращения равна f 

 n, где n – число магнитов на диске. 60

Тахометры. При непосредственном измерении частоты вращения применяют тахометры различного типа (механические, магнитоиндукционные и другие). Тахометр соединяют с вращающимся диском с помощью гибкого шланга или муфты Гука. При измерении угловых скоростей механическим тахометром вал тахометра кратковременно присоединяют к вращающемуся диску. За время измерения стрелка прибора перемещается на угол, пропорциональный скорости вращения, и задерживается в этом положении до конца измерения. Преимущество механического тахометра состоит в простоте конструкции, равномерности шкалы и относительно высокой точности измерения, к его недостаткам относятся трудности непрерывного измерения угловой скорости. Применение магнитоиндукционных тахометров позволяет в течение всего времени вращения осуществлять измерение частоты вращения (угловой скорости). Магнитоиндукционный тахометр состоит из трёхфазного генератора тока, жёстко соединённого с вращающимся диском. Величина тока генератора прямо пропорциональна угловой скорости, её значение отображено на шкале прибора в угловых единицах измерения и соответствует эффективному значению тока генератора. Точность измерения магнитоиндукционных тахометров достигает 0,01 %. Основные физические понятия вращательного движения:  вращательное движение;  угловая скорость;  единицы измерения угловой скорости;  методы измерения угловой скорости;  связь линейной и угловой скоростей. Порядок выполнения работы Задание 1 1. Подключить выход с фотоэлектронного датчика к Y-пластинам осциллографа. 127

2. Подключить выход с эталонного генератора к Х-пластинам осциллографа. 3. Включить осциллограф в режиме двулучевого исследования сигнала. 4. Включить электродвигатель и установить заданную частоту. 5. Получить на экране осциллографа фигуру Лиссажу при отношении частоты вращения диска и частоты генератора 1:1 (эллипс). 6. Зафиксировать частоту генератора, соответствующую частоте вращения диска для нескольких значений частоты вращения диска. 7. Повторить измерения для оценки случайной ошибки. 8. Выключить генератор. Задание 2 1. Включить осциллограф в режиме временной развёртки сигнала. 2. Получить на экране осциллографа устойчивую картину синусоидального сигнала от фотоэлектрического датчика. 3. Измерить частоту сигнала с помощью осциллографической шкалы. 4. Выключить осциллограф. Задание 3 1. Включить стробоскоп и осветить диск с меткой. 2. Изменяя частоту вспышек света, добиться «неподвижного состояния» диска. 3. Измерить частоту вспышек стробоскопа, соответствующую частоте вращения диска с меткой. 4. Выключить стробоскоп и электродвигатель. 5. Результаты измерения частоты вращения диска с меткой, полученные в заданиях 1, 2 и 3, сравнить и оценить случайную и систематическую ошибки. Задание 4 1. Установить на вал электродвигателя диск Ньютона. 2. Включить электродвигатель и, плавно увеличивая обороты диска, установить частоту, при которой наблюдается сливание цветов на диске в белый цвет. 3. Измерить частоту вращения диска наиболее точным методом, используемым в заданиях 1 3. 4. Повторить опыт несколько раз, при этом необходимо давать глазам возможность адаптироваться.

128

Задание 5 1. Установить на вал электродвигателя диск с точками, нанесёнными по окружностям с разными радиусами. 2. Включить электродвигатель и плавно (от нуля) увеличить обороты диска до момента, когда тёмные точки большой окружности сольются. 3. Измерить частоту вращения диска. 4. Измерить частоту вращения для моментов, когда точки на средней и малой окружностях сольются. 5. Результаты, полученные в опытах 3 и 4, сравнить с результатами, полученными другими студентами. Список литературы 1. Сивухин, Д. В. Общий курс физики / Д. В. Сивухин. – М. : Наука, 1989. – Т. 1. 2. Методы физических измерений / под ред. Р. И. Солоухина. – М. : Наука, 1975. 3. Стрелков, С. П. Механика / С. П. Стрелков. – М. : Наука, 1975. 4. Тиль, Р. Электрические измерения неэлектрических величин / Р. Тиль. – М. : Энергоиздат, 1987. 5. Хайкин, С. Г. Физические основы механики / С. Г. Хайкин. – М. : Наука, 1974.

Лабораторная работа 19 ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ СНАРЯДА НА НАЧАЛЬНОМ УЧАСТКЕ ТРАЕКТОРИИ С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА Цель работы: определение начальной скорости снаряда, оценка погрешности измерений. Оборудование: баллистический крутильный маятник, снаряд.

129

Краткие теоретические сведения Измерение скорости движения тела. Для определения средней скорости движущегося тела используют соотношение S V  ,  s где S − путь, пройденный телом за время τ (или V = − в случае рав номерного движения). Чем хорош такой способ измерения скорости V? Очевидно, своей простотой: ведь достаточно иметь обычную линейку и часы, чтобы достичь положительного результата. В ряде случаев оказывается, что указанным способом измерить скорость довольно сложно. Например, начальная скорость (под начальной скоростью здесь и далее подразумевается скорость на начальном участке траектории) снаряда при выстреле настолько велика, что с помощью секундомера невозможно определить время пролета достаточно малого начального расстояния. Здесь необходимо прецизионное хронометрическое устройство, коррелированное с пространственными метками. А если под рукой имеется лишь бытовая техника? Неужели в этом случае задача становится невыполнимой? Механика, однако, даёт множество косвенных и достаточно простых с экспериментальной точки зрения способов, позволяющих без больших затрат и с хорошей точностью достичь желаемого результата. В данной лабораторной работе ознакомимся с одним из таких способов, а именно: определим начальную скорость вылетающего снаряда с помощью баллистического крутильного маятника. Баллистический крутильный маятник. Баллистический крутильный маятник представляет собой твёрдое тело, подвешенное на стальной проволоке так, что оно может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью проволоки. При повороте  тела на угол φ проволока закручивается и возникает момент сил М , стремящийся вернуть тело висходное положение. В до вольно широких пределах этот момент М пропорционален углу φ, на  который произведено закручивание, то есть М = –fφ , где f − постоянная величина для данной проволоки, называемая её модулем кручения. 130

движения (кручения) тела, получаемое из общего  Уравнение  dL / dt  М , в нашем случае имеет вид    f  , (19.1) I где I − момент инерции тела относительно оси кручения. Дифференциальное уравнение (19.1) – это уравнение осциллятора, совершающего гармонические колебания. Решение уравнения записывается в виде φ = A sin 2 πγt + B cos 2 πγt.

(19.2)

Подставив уравнение (19.2) в уравнение (19.1), найдём, что 2 

f , I

(19.3)

где 2πγ есть круговая частота крутильных колебаний. Как видно, она является функцией только модуля кручения и момента инерции. Зная круговую частоту, легко найти период колебаний крутильного баллистического маятника Т   1  2 

I . f

(19.4)

Обычно легко измеряемую в эксперименте величину Τ используют для определения модуля f кручения проволоки (если известен момент инерции тела I относительно оси кручения) или I (если известен f). Предлагаемый способ определения начальной скорости снаряда. Рассмотрим крутильный баллистический маятник, который является основной частью экспериментальной установки, схематично изображенный на рис. 19.1, где Μ – массы каждого из грузиков, Ri – расстояние от центра масс грузика до оси вращения крутильного маятника; f – модуль кручения проволоки. Это металлический стержень, котоРис. 19.1 рый подвешен на стальной проволоке так, что ось вращения совпадает с осью проволоки, проходит перпендикулярно стержню и делит его на две равные части. По стержню, изменяя его момент инерции, могут перемещать131

ся два грузика с одинаковыми массами М. На концах стержня (на расстоянии r от оси вращения) расположены пластилиновые мишени. Выпущенный из стреляющего устройства снаряд массой т (m  M), нормально ударяясь в одну из мишеней, залипает в ней и вызывает отклонение маятника на угол φ0 от положения равновесия. По закону сохранения момента импульса относительно оси вращения при этом M Vc r = Iiω, где ωi −начальная угловая скорость вращения баллистического крутильного маятника с моментом инерции Ii . Из этого уравнения можно определить скорость снаряда

I i i . (19.5) mr Однако сразу этого сделать не получится, так как неизвестны ни ωi, ни момент инерции маятника относительно оси кручения Ii. Определение момента инерции маятника Ii. Момент инерции крутильного баллистического маятника Ii есть сумма момента инерции незагруженного подвеса I0 , а также слагаемых, обусловленных наличием грузиков с одинаковыми массами М, расположенных на расстояниях Ri от оси вращения, и налипшего снаряда массой m, отстоящего от оси на расстоянии r, т. е. Vc 

Ii = I0 + mr2 + 2 МRi2.

(19.6)

С другой стороны, из уравнения (19.4) видно, что

Ii 

f 4 2

С учетом того, что Ri ~ r, а m

I 0  2МRi2 

Т i2 .

(19.7)

M, можно записать

f 4

2

Т i2 .

(19.8)

Уравнение (19.8) содержит две неизвестные и неизмеряемые непосредственно величины: f и I0. Для их нахождения необходима система из двух независимых уравнений типа (19.8). Такая система получается при изменении момента инерции маятника от I1 до I2 путём раздвижения грузиков массой Μ от радиусов R1 до радиусов R2, т. е. 132

f  2 2 I  МR  Т12 i 0  2  4 .  f  I  2 МR 2  Т 22 i 0 2  4 При решении уравнений (19.9) получаем, что

I 0  2М

R12Т 22  R22Т 22

Т12  Т 22 2 2 2 R1  R2 f  8 М . Т12  Т 22

(19.9)

,

Следовательно, момент инерции крутильного маятника при нахождении грузов массой Μ на произвольном расстоянии R1 от оси вращения будет определяться как 2 2 2 R1  R2 I 2  2 МТ1 2 (19.10) Т1  Т 22 . Определение начальной угловой скорости вращения маятника ωi.. Начальная угловая скорость находится следующим образом. По закону сохранения вся энергия вращательного движения маятника должна перейти в потенциальную энергию закрученной проволоки: 1 1 (19.11) I i i2  fi0 , 2 2 где φ0i – максимальный угол отклонения маятника с моментом инерции Ii после попадания снаряда в мишень. Из уравнения (19.11) с учётом формулы (19.7) легко определить, что 2 i  i0 . (19.12) Тi Нахождение скорости снаряда. После определения Ii и ωi подстановками их в уравнение (19.5) находим искомую скорость снаряда на начальном участке траектории: Vc 

4i0Т i М ( R12  R22 )

 .                            19.13   mr (Т12  Т 22 ) Как видно из формулы (19.13), определение достаточно большой по величине Vc сводится к простым манипуляциям по измерению максимального угла φ0i отклонения крутильного баллистического маятника от положения равновесия после выстрела и периодов колебаний маятника с различными моментами инерции. 133

Экспериментальная часть Общий вид лабораторной установки изображен на рис. 19.2, где 1 – стреляющее устройство; 2 – снаряд; 3 – мишень из пластилина; 4 – груз передвижной массы М; 5 – угловая шкала. Для определения скорости полета снаряда на начальном участке траектории необходимо: 1. Развести на крутильном баллистическом маятнике грузики массой Μ каждый на равные расстояния R1 относительно оси вращения и с помощью миллисекундомера измерить период малых колебаний Т1. 2. Развести на крутильном баллистическом маятнике грузики массой Μ Рис. 19.2 каждый на равные расстояния R2 (отличные от R1) относительно оси вращения и миллисекундомером измерить период малых колебаний T2. 3. По полученным данным рассчитать момент инерции незагруженного маятника I0. 4. Выставить грузики массой Μ каждый на равные расстояния Ri относительно оси вращения и определить период малых колебаний Ti . 5. Зарядить снаряд в стреляющее устройство, выставить маятник в исходное положение (черта 0° угловой шкалы). 6. Произвести выстрел и определить максимальный угол отклонения маятника от положения равновесия φ0i по делениям угловой шкалы. 7. Численное значение угла φ0i выразить в радианах. 8. Измерить расстояние от оси вращения маятника до места попадания снаряда в мишень, 9. По результатам эксперимента с помощью формулы (19.13) вычислить начальную скорость снаряда Vc. 10. Определить погрешность полученного результата. Контрольные вопросы и задания 1. Какое количество теплоты выделится при ударе снаряда в мишень? 2. На сколько градусов нагрелась мишень после попадания в нее снаряда? 134

3. Как оценить момент инерции незагруженного подвеса, пользуясь определением момента инерции относительно оси вращения? 4. Как учесть затухание в уравнении, описывающем крутильные колебания? Каким в этом случае будет решение уравнения колебаний? Список литературы 1. Киттель, Ч. Берклеевский курс физики. Механика / Ч. Киттель, У. Найт, М. Рудерман. – М. : Наука, 1971. – Т. 1. 2. Сивухин, Д. В. Общий курс физики / Д. В. Сивухин. – М. : Наука, 1989. – Т. 1. 3. Стрелков, С. П. Механика / С. П. Стрелков. – М. : Наука, 1975.

Лабораторная работа 20 ГИРОСКОП Цель работы: познакомиться с простыми закономерностями движения гироскопа. Оборудование: гироскоп. Краткие теоретические сведения Гироскоп в переводе на русский язык – это волчок, обыкновенный, знакомый нам с детства волчок, за движением которого каждый наблюдал с интересом, вызванным необычным, противоречащим сложившимся представлениям характером его движения. Действительно, как может устоять тело, опираясь на острое основание, да ещё наклонившись? Да никак! Однако волчок своим красивым движением опровергает это сформировавшееся при обращении с твердыми телами в повседневной практике убеждение. Объяснение движения волчка на основании законов механики представляет в общем случае очень сложную задачу; недаром она привлекала внимание известных ученых д'Аламбера, Эйлера, Лагранжа, 135

Пуассона, Якоби, Ковалевской. В настоящее время имеется математически строгое решение задачи о волчке, хорошо описывающее большое число случаев, встречающихся на практике. Однако для того чтобы использовать это решение, нужно владеть достаточно сложным математическим аппаратом. Поэтому здесь для объяснения движения гироскопа воспользуемся приближенной, но зато простой теорией, практическую пригодность которой проверим экспериментально, проводя необходимые измерения на установке, схематично представленной на рис. 20.1, где 1 − быстро вращающийся диск; 2 − закрепленный на горизонтальной оси 3 рычаг; 4 – платформа, свободно вращающаяся вокруг вертикальной оси; 5 – осноРис. 20.1 вание; 6 − перемещаемый груз. Разумеется, волчок здесь выбран как наиболее яркий и известный пример гироскопа, но этот пример далеко не единственный. Так, велосипедное колесо, Земля и другие вращающиеся вокруг своей оси планеты, артиллерийский снаряд, пуля, пущенная из нарезного ствола, роторы турбин − все это примеры гироскопов. В механике под гироскопом (от греческого gyros − круг, gyreau − кружусь, вращаюсь, skopeo − смотрю, наблюдаю) понимают быстро вращающееся, симметричное твердое тело, ось вращения которого (ось симметрии) может изменять своё направление в пространстве [1]. Приближенная теория гироскопа. Ось симметрии гироскопа в экспериментальной установке совпадает по направлению с рычагом 2. На ней имеется одна неподвижная точка, соответствующая пересечению направления рычага 2, горизонтальной оси 3 и вертикальной оси 5. Вокруг этих осей рычаг может свободно поворачиваться. В основе любых теорий гироскопа, в том числе и приближенной, лежит уравнение моментов [2]:  dL  (20.1) = M, dt 

в котором и момент импульса механической системы L , и момент  действующих на нее внешних сил M рассматриваются относительно 136

одной и той же точки, в нашем случае – относительно неподвижной  точки. Как видно из уравнения (20.1), момент импульса L в течение некоторого промежутка  времени будет оставаться постоянным, коль скоро момент сил M в это же время будет равен нулю. В нашей  задаче M = O , если неподвижная точка и центр тяжести системы, жестко связанной с рычагом (рис. 20.1), будут лежать на одной вертикали (добиться этого можно перемещением груза 6). Когда момент импульса  будет полностью обусловлен вращением диска 1, то направление L будет совпадать с направлением рычага 2, который  должен быть неподвижен при неизменности M = 0. Если диск 1 вращается быстро и обладает достаточно большим  моментом инерции, то момент импульса L будет мало отклоняться от направления рычага при медленном движении самого рычага относительно осей 3 и 5. Пренебрежение таким отклонением и лежит в основании приближенной теории гироскопа. Для вычисления относительно неподвижной точки момента сил, действующих на гироскоп, заметим, что из-за симметрии системы все силы тяжести, действующие на отдельные симметричные детали гироскопа, можно считать приложенными к рычагу. Поэтому центр тяжести системы будет находиться в одной из точек рычага, направление которого, по предположению, совпадает с направлением момента импульса, тогда   L  M = a  mg , L

(20.2)

где m − масса всей системы, смонтированной на рычаге; a − смещение  центра тяжести относительно неподвижной точки;

L − направленный L

вдоль рычага вектор единичной длины. Когда груз расположен так, что центр тяжести и неподвижная точка рычага совпадают, a = 0. Если груз сместить из этого положения на расстояние b в направлении момента импульса, то a=

m1 b. m

(20.3)

где m1− масса груза. При справедливости соотношения (20.2) для правой части  уравнения (20.1) можно показать, что величина момента импульса | L | будет оставаться постоянной при движении гироскопа. Действительно, 137



умножая скалярно на L обе части уравнения (20.1) и учитывая, что  M представляется формулой (20.2), получаем    dL d L 2 = ( ) = 0. L dt dt 2

Откуда находим

 | L |= const.

(20.4)

Умножая скалярно правую и левую части уравнения (20.1) на единичный вектор, направленный вдоль вертикали (обозначим его k ), будем иметь d   (k  L ) = 0. dt

На основании этого соотношения приходим к выводу, что  вертикальная составляющая вектора момента импульса k  L, так же как  и | L | , не изменяется в процессе движения гироскопа. Если систему координат выбрать так, что ось Z будет направлена вертикально вверх,   то условие постоянства k  L можно записать в виде Lz = const.

(20.5)

Соотношения (20.4) и (20.5) без каких-либо дальнейших вычислений позволяют представить общий характер движения гироскопа. В самом деле, из формул (20.4) и (20.5) следует, что вектор  L , а вместе с ним и рычаг 2 будут двигаться так, что угол между направлением и осью Z окажется постоянным, то есть будут вращаться вокруг оси Z (рис. 20.2). Таким образом, следует ожидать, что наблюдаемым движением гироскопа будет вращение его оси вокруг вертикали. Вспомним, что такое движение имеет место и у волчка. Чтобы более детально исследовать движение гироскопа, представим векторное уравнение (20.1) в его проекциях на оси координат: dL x mga = Ly ; dt L

dL y dt

=

mga Lx ; L

dL z = 0. dt

(20.6)

Из этой системы уравнений как очевидный факт следует утверждение о постоянстве L z . Вместе с L2 и L z будет сохраняться при движении гироскопа и величина 138

L = L2x  L2y ,

(20.7)

равная модулю проекции момента импульса на горизонтальную плоскость.

Рис. 20.2

Рис. 20.3

Если обратиться к рис. 20.3, то соотношения Lx = L cos ; Ly = L sin 

(20.8)

станут очевидными, где Lx , L y и α − функции времени; L − постоянная. Дифференцируя первое из этих соотношений по времени и используя второе, получим L x =  L sin =  Ly . (20.9) Точно так же L y =  L cos =  Lx .

(20.10)

Сравнивая формулы (20.9) и (20.10) с первыми двумя уравнениями системы 6, находим  =

mga L

(20.11)

и приходим к выводу, что ось гироскопа (рычаг 2) будет вращаться вокруг вертикальной оси 5 с постоянной угловой скоростью. Величина этой скорости будет зависеть от смещения грузика от положения, при котором центр тяжести совпадает с неподвижной точкой, по закону m g |b| |  |= 1 . L 139

(20.12)

Экспериментальная проверка формулы (20.12) и будет основной задачей настоящей лабораторной работы. Экспериментальная часть Прежде чем приступить к работе с прибором, проверьте его заземление. 1. Проверьте по уровню горизонтальность установки прибора. При необходимости добейтесь горизонтальности основания прибора с помощью измерения высоты его опор. 2. Подключите прибор к питающей сети. 3. Нажмите клавишу «Сеть» и убедитесь, что все индикаторы высвечивают цифру 0. 4. Включите питание электродвигателя, плавно вращая воротком потенциометра «Рег. скорости», проверьте, работает ли двигатель и отклоняется ли стрелка показателя скорости оборотов. Порядок измерений 1. При помощи перемещаемого груза 6 установите рычаг гироскопа в горизонтальное положение. 2. Включите питание электродвигателя. Отрегулируйте скорость его движения в пределах 6000 об/мин. 3. Переместите груз на расстояние 2 см от его прежнего положения. 4. Нажмите кнопку «Сброс». 5. Предоставьте гироскоп самому себе. После поворота рычага 2 (оси гироскопа) на угол, не меньший чем 30°, нажмите кнопку «Стоп». 6. Снимите показания приборов, помня, что производите измерение угловой скорости оси гироскопа, которая будет находиться как отношение угла поворота оси к соответствующему промежутку времени. 7. Проведите измерение угловой скорости оси гироскопа несколько раз для одного и того же значения смещения груза. 8. Проведите измерение угловой скорости оси гироскопа для нескольких различных значений смещения груза. 140

Указания по обработке результатов измерений 1. Для каждого значения смещения груза вычислите угловую скорость и оцените соответствующую погрешность. 2. Постройте график зависимости угловой скорости от смещения груза. 3. Методом наименьших квадратов найдите коэффициент пропор-циональности между угловой скоростью и смещением груза. 4. Из формулы (20.12) найдите момент импульса гироскопа. 5. По значению момента импульса гироскопа определите момент инерции вращающегося диска. 6. Оцените момент импульса гироскопа, связанный с медленным вращением его оси, и сравните полученное значение с моментом импульса диска. Каким должно быть соотношение этих величин, чтобы использование приближенной теории гироскопа было оправдано? Контрольные вопросы и задания 1. Сколько степеней свободы имеет используемый в работе гироскоп? 2. Дайте определение момента импульса системы материальных точек. 3. В каком случае момент действующих на гироскоп внешних сил будет равен нулю и почему?   4. Докажите, что из соотношения (20.2) следует, что L  M = 0. 5. Как определить значение постоянных в правых частях формул (20.4) и (20.5)? 6. Покажите справедливость координатного представления (20.6) для векторного уравнения (20.1). 7. Как связано значение модуля момента импульса гироскопа с угловой скоростью диска? 8. Известно, что момент импульса атома и его магнитный  m находятся в прямой пропорциональной зависимости момент    m = L. На магнитный момент в магнитном поле B действует момент  сил M = m B [3]. Найдите, как будет изменяться со временем момент импульса атома [4].

141

Список литературы 1. Киттель, Ч. Механика / Ч. Киттель, У. Найт, М. М. Рудерман. – М. : Наука, 1975. 2. Сивухин, Д. В. Механика / Д. В. Сивухин. – М. : Наука, 1974. 3. Сивухин, Д. В. Электричество / Д. В. Сивухин. – М. : Наука, 1977. 4. Физический энциклопедический словарь. – М. : Сов. энцикл., 1984.

Лабораторная работа 21 КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ Цель работы: изучение особенностей и основных характеристик колебаний систем с двумя степенями свободы. Оборудование: лабораторная установка, секундомер. Краткие теоретические сведения Между колебательными системами может быть установлена «связь», приводящая колебания систем к некоторому согласованию друг с другом. Свойства любой связанной системы находятся в зависимости от свойств исходных систем. Суть явлений, происходящих в связанных системах, можно уяснить на следующем примере. На рис. 21.1 изображена система с двумя степенями свободы, образованная двумя математическими маятниками с разными массами m1 , m 2 и длинами l1, l 2 , соединенными нитью с подвешенным на ней грузиком массой m0 . Маятники совершают колебания в одной плоскости. «Связь» (пружинка или нагруженная нить) находится на расстоянии d от точек подвеса, расположенных на одной горизонтальной прямой. Очевидно, что чем больше d при неизменной длине маятника, тем сильнее связь. При движении маятников в одной вертикальной плоскости состояние системы полностью описывается двумя независимыми 142

параметрами – углами φ1 и φ2 отклонения маятников от вертикали. Уравнение движения маятника можно получить из общего уравнения динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси подвеса  , M =I

(21.1)

где I – момент инерции тела относительно этой оси; φ – угол поворота;  М – момент действующих на тело сил  – угловое относительно этой же оси;  ускорение. Применительно к каждому из маятников, связанных нагруженной нитью, уравнение 21.1 для малых колебаний примет вид  m1l 12 1  m1g l11 = m0 gd (1  2 ),  2  2  m2 g l22 = m0 gd (2  1 ). m2l 2

Рис. 21.1

(21.2)

Предполагается, что опущенные в уравнениях моменты сил трения, действующие на каждый маятник, много меньше М. В случае, когда m1 = m2 , l1 = l 2 , система уравнений (21.2) может быть преобразована путем почленного сложения и вычитания с последующим делением на ml 2 к виду    g Q = 0, Q 1 1  l    ( g  2m0 gd )  Q = 0., Q 2 2 l ml 2 

(21.3)

где через Q1 = 1   2 и Q2 = 1   2 обозначены новые переменные. Система уравнений (21.2) в результате этого преобразования распалась на два независимых уравнения (21.3), каждое из которых есть уравнение колебаний для гармонического осциллятора с собственными частотами соответственно  12 =

g ; l

 22 =

g 2m0 gd .  l ml 2

Общие решения уравнений (21.3) имеют вид Q1 = 2 A cos (1t  1 ); Q2 = 2 B cos (2t   2 ). 143

(21.4)

Амплитуды для удобства обозначены 2A и 2B, а начальные фазы 1 и  2 .

Обратный переход к углам отклонения маятников 1 и  2 даёт

   1=   2 = 

1 (Q1  Q2 ) = A cos ( 1t  1 )  B cos ( 2 t   2) 2 1 (Q1  Q2 ) = A cos ( 1t  1 )  B cos ( 2 t   2). 2

(21.5)

Таким образом, колебания грузов могут быть представлены как наложение двух гармонических колебаний с разными частотами. Можно задать системе такие начальные условия, что оба груза будут колебаться с одной из упомянутых частот. Для системы с двумя степенями свободы это можно сделать двумя способами и, следовательно, наблюдать порознь те два гармонических колебания, из которых образуются колебания всей системы. Эти два колебания Q1 и Q2 носят название нормальных колебаний, а их частоты – нормальных частот системы. Как видно из уравнений (21.5), возможны случаи, когда маятники одновременно колеблются лишь с одной из нормальных частот (т. е. при В = 0 или А = 0). Проанализируем начальные условия. Так как начальные отклонения и скорости маятников в общем случае могут быть записаны как 1 |t = 0 = A cos 1  B cos  2 ,

2 |t = 0 = A cos 1  B cos  2 ,  1 |t = 0 =  A 1sin 1  B 2sin  2 ,  2 |t = 0 =  A 1sin 1  B 2sin  2 ,

(21.6)

то видно, что случай В = 0 означает, что в начальный момент оба маятника были отклонены на один и тот же угол 10 =  20 = Acos 1 и имели одинаковые скорости  10 =  20 =  A1sin 1. Этот случай соответствует так называемым синфазным колебаниям, оба маятника колеблются с меньшей из нормальных частот. Случай А = 0 означает, что в начальный момент маятники были отклонены на одинаковые углы в противоположные стороны ( 10 =  20 = Bcos 2 ) и имели одинаковые по величине и противоположно направленные скорости (  10 =  20 =  B2 sin  2 .). При таком способе возбуждения оба маятника осуществляют антифазные колебания с большей из нормальных частот  2 . 144

Отклонение только одного маятника (любого) приводит к колебаниям другого, ранее покоящегося. В случае слабой связи ( m0 gd V2 и тела двигаются в одну сторону, тогда m1V1x  m2V2 x  (m1  m2 )V x .

(23.14)

Потери кинетической энергии E можно выразить в виде ΔE 

m1V12 m2V22 (m1  m2 )V 2   . 2 2 2

(23.15)

После преобразования получим ΔE 

m 1m 2 (V1  V2 ) 2 . 2(m 1 m 2 )

(23.16)

Для учёта потерь кинетической энергии после неупругого соударения вводится так называемый коэффициент восстановления K, который считается зависящим только от физических свойств материалов тел и определяется как отношение разности скоростей до и после соударения: K

V1*  V2* V1  V2 161

.

(23.17)

Значение К определяется экспериментально. По данным опытов, при соударении тел из дерева К= 0,5, из стали – К = 0,55, из слоновой кости − К=0,89, из стекла − К=0,94. В предельных случаях К = 1 (при абсолютно упругом ударе) или К = 0 (при абсолютно неупругом ударе). Экспериментальная установка. Установка для исследования упругих столкновений (рис. 23.2) состоит из комплекта стальных шаров с различными массами и устройства для изготовления шаров из пластилина. Шары укрепляются на гибких токопроводящих подвесах длиной l. Электромагнитное устройство ЭМ позволяет удерживать шар под углом φ к положению равновесия. Измерение углов отклонения шаров до и после столкновения производится Рис. 23.2 с помощью масштабных линеек L. Цифровой электронный секундомер в автоматическом режиме фиксирует время соударения τ, измеренное в мкс. Порядок выполнения работы Задание 1. Определение коэффициента восстановления для упругого и неупругого столкновения 1. Установить основание прибора в строго горизонтальное положение. 2. Закрепить шары и произведите их центровку. 3. Произвести серию ударов правым шаром по покоящемуся левому шару, измерения углов отклонения обоих шаров после столкновения φ1 и φ2 при известном начальном угле правого шара φ0. 4. Повторить измерения углов отклонения при различных углах отклонения правого шара φ0i. 5. Полученные данные занести в таблицу измерений. 6. Прикрепить к левому стальному шару маленький кусочек пластилина и произвести такие же измерения, что и со стальным шаром. 162

7. Измерьть

длину

l

подвеса

шаров

и

по

формуле

 V  2 gl sin   рассчитайть экспериментальные значения скоростей 2 V1 , V1* , V2* .

8. По формуле (23.17) рассчитайть коэффициент восстановления k для упругого и неупругого столкновения. 9. Вычислить погрешность измерения коэффициента восстановления. Задание 2. Проверка закона сохранения импульса для упругого столкновения 1. Вычислить теоретические значения скоростей V1* и V2*, используя формулы (23.12) и (23.14) для упругого и неупругого столкновения. 2. Вычислить скорости V2*и V по углу отклонения шаров для упругого и неупругого столкновения шаров. 3. Сравните теоретические и экспериментальные значения скоростей V2* и V. 4. Посчитав удар абсолютно упругим, использовав законы сохранения импульса и энергии, рассчитайте значения скоростей V1* и V2* . Сравнить их с экспериментально полученными. Задание 3. Определение средней силы удара 1. Измерить время соударения для нескольких столкновений между шарами с различной массой.  

2. По формуле Fср 

Δ(mV ) рассчитать среднюю силу удара для τ

различных углов отклонения правого шара.  3. Графически изобразить зависимость Fср  f  y .

 

Приложение Масса шаров и подвесов Номер и масса шара, г 1–105,6

2–174,8

3–105,6

4–175,0

7–112,7

8–191,6

1–105,8

2–174,4

3–105,5

5–15,1

7–113,7

8–189,5

163

Подвесы

А – 19,8 г;

В – 19,8 г.

Список литературы 1. Орир, Дж. Физика / Дж. Орир ; пер. с англ. − М. : Мир,1981. 2. Сивухин, Д. В. Общий курс физики. Механика / Д. В. Сивухин. − М. : Наука, 1979. 3. Стрелков, С. П. Механика / С. П. Стрелков − М. : Наука, 1975. 4. Физический энциклопедический словарь. – М. : Сов. энцикл., 1984.

164

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………

3

1. ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ ПРАКТИКУМ……………………………. Лабораторная работа 1. Измерение времени реакции человека Лабораторная работа 2. Измерение линейных величин методом нониуса…………………………………………………… Лабораторная работа 3. Измерение линейных величин оптическим и интерференционным методами………………….. Лабораторная работа 4. Измерение фона радиоактивного излучения. Изучение статистических величин …………………. Лабораторная работа 5. Измерение удельного электрического сопротивления провода…………………………. Лабораторная работа 6. Изучение электроизмерительных приборов……………………………………………………………. Лабораторная работа 7. Изучение электронного осциллографа Лабораторная работа 8. Определение размеров молекул олеиновой кислоты………………………………………………… Лабораторная работа 9. Изучение статистических закономерностей на примере стрельбы из лазерного пистолета

4 7

2. МЕХАНИКА…………………………………………………….. Лабораторная работа 10. Изучение движения электронов в электрическом и магнитном полях……………………………… Лабораторная работа 11. Определение ускорения свободного падения с помощью простого маятника (Бесселя)… Лабораторная работа 12. Определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника…………. Лабораторная работа 13. Определение ускорения свободного падения на приборе Атвуда………………………….. Лабораторная работа 14. Изучение вращательного движения с помощью крестообразного маятника Обербека……. Лабораторная работа 15. Изучение вращательного движения с помощью маятника Максвелла…………………………………. Лабораторная работа 16. Изучение момента инерции твёрдых тел с помощью трифилярного подвеса………………… 165

10 16 25 37 43 53 63 66 72 72 85 89 95 101 105 111

Лабораторная работа 17. Определение тензора момента инерции твёрдых тел……………………………………………. Лабораторная работа 18. Измерение угловой скорости…….. Лабораторная работа 19. Измерение скорости снаряда на начальном участке траектории с помощью баллистического крутильного маятника…………. Лабораторная работа 20. Гироскоп………………………….. Лабораторная работа 21. Колебания связанных систем……. Лабораторная работа 22. Определение модуля Юнга по изгибу стержня……………………………………………….. Лабораторная работа 23. Изучение законов сохранения импульса и энергии при упругих и неупругих столкновениях

166

115 122 129 135 142 148 157

Учебное издание

МЕХАНИКА Учебное пособие Составители: Баранова Валентина Константиновна Гурков Виктор Иванович Золотов Олег Александрович и др. Ответственный редактор В. К. Баранова

Редактор Т. И. Тайгина Корректор В. Р. Наумова Компьютерная верстка Н. Г. Дербенёвой

167

Подписано в печать 09.11.2012. Печать плоская. Формат 60×84/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 10,5. Тираж 100 экз. Заказ № 5122 Издательский центр Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79 Тел/факс (391) 206-21-49, e-mail: [email protected] Отпечатано Полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел/факс (391) 206-26-58, 206-26-49 E-mail: [email protected]; http://lib.sfu-kras.ru

168