Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Часть 2 Расчет плоских статически неопределимых стержневых систем Основы теории и примеры расчетов
Учебно-методическое пособие
Электронное издание
Красноярск СФУ 2017
УДК 624.041.1(07) ББК 38.112.01я73 С863 Составители:
С863
Марчук Николай Иванович Максимов Александр Владимирович Палагушкин Владимир Иванович Максимова Ольга Михайловна
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. Часть 2. Расчет плоских статически неопределимых стержневых систем. Основы теории и примеры расчетов : учебно-методическое пособие [Электронный ресурс] / сост. Н.И. Марчук, А.В. Максимов, В.И. Палагушкин, О.М. Максимова. – Электрон. дан. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2017. – 154 с. – Систем. требования: PC не ниже класса Pentium I; 128 Mb RAM; Windows 98/XP/7/8/10; Adobe Reader V8.0 и выше. – Загл. с экрана. Ориентировано на освоение фундаментальных основ строительной механики и современных тенденций еѐ развития. Представленные разделы курса базируются на изучении механики плоских статически неопределимых стержневых систем. Отдельный раздел посвящен примерам расчета стержневых систем на ПЭВМ по программе “SCAD”. Предназначено для студентов высших учебных заведений строительных специальностей, обучающихся по направлениям 8.03.01 «Строительство»; (все направления дневная и заочная форма обучения); 8.05.01 «Уникальные здания и сооружения». УДК 624.041.1(07) ББК 38.112.01я73 © Сибирский федеральный университет, 2017
Электронное учебное издание Подготовлено к публикации издательством Библиотечно-издательского комплекса Подписано в свет 26.04.2017. Заказ № 1041 Тиражируется на машиночитаемых носителях Библиотечно-издательский комплекс Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел. (391) 206-26-67; http://bik.sfu-kras.ru E-mail:
[email protected]
СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................ 7 1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ..................................................... 8 1.1. Понятие о статически неопределимых системах ....................................... 8 1.2. Расчет плоских рам методом сил............................................................... 11 1.2.1. Выбор основной системы и основных неизвестных параметров ......................................................................................... 11 1.2.2. Система разрешающих канонических уравнений ......................... 14 1.2.3. Формулы для вычисления коэффициентов .................................... 16 1.2.4. Построение действительных эпюр внутренних усилий ............... 16 1.2.5. Проверки расчетов ............................................................................ 17 1.3. Упрощения при расчете симметричных рам методом сил ..................... 19 1.4. Особенности расчета статически неопределимых стержневых систем на температурные воздействия и смещение опор ................................... 22 1.5. Расчет неразрезных балок методом сил.................................................... 25 1.5.1. Уравнение трех моментов ................................................................ 26 1.5.2. Метод моментных фокусов .............................................................. 30 1.5.3. Построение огибающих эпюр .......................................................... 34 1.6. Расчет статически неопределимых арок ................................................... 35 1.7. Расчет статически неопределимых ферм.................................................. 36 1.8. Примеры расчета плоских статически неопределимых рам методом сил ................................................................................................................. 38 1.8.1. Задача 1. Расчет простой статически неопределимой рамы ....... 38 1.8.2. Задача 2. Расчет симметричной составной статически неопределимой рамы ...................................................................... 44 1.8.3. Задача 3. Расчет неразрезной балки с помощью уравнения трех моментов.................................................................................. 52 1.8.4. Задача 4. Расчет неразрезной балки с построением огибающей эпюры моментов ............................................................................. 54 3
1.8.5. Задача 5. Расчет статически неопределимой арки ....................... 61 1.8.6. Задача 6. Расчет бесшарнирной арки ............................................. 65 1.8.7. Задача 7. Расчет статически неопределимой фермы .................... 68 2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, СМЕШАННЫМ И КОМБИНИРОВАННЫМ МЕТОДАМИ ........................................................... 73 2.1. Расчет статически неопределимых систем методом перемещений........ 74 2.1.1. Выбор неизвестных параметров и основной системы .................. 74 2.1.2. Система разрешающих уравнений в канонической форме .......... 79 2.1.3. Вычисление коэффициентов системы канонических уравнений ........................................................................................... 82 2.1.4. Построение действительных эпюр внутренних усилий ............... 82 2.1.5. Проверки расчетов ............................................................................ 83 2.2. Особенности расчета симметричных рам.................................................. 85 2.3. Особенности расчета статически неопределимых рам с наклонными стойками ....................................................................................................... 89 2.4. Учет упругой податливости опор при расчете стержневых систем ....... 92 2.5. Смешанный и комбинированный методы расчета статически неопределимых систем ............................................................................... 95 2.6. Примеры расчета плоских статически неопределимых рам методами перемещений, смешанным и комбинированным..................................... 98 2.6.1. Задача 1. Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений ..................................................................................... 98 2.6.2. Задача 2. Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений ................................................................................... 104 2.6.3. Задача 3. Расчет симметричной статически неопределимой рамы методом перемещений.......................................................... 112 2.6.4. Задача 4. Расчет статически неопределимой рамы смешанным методом ............................................................................................ 119
4
2.6.5. Задача 5. Расчет статически неопределимой рамы комбинированным методом ........................................................... 123 3. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ НА ПЭВМ ПО ПРОГРАММНОМУ КОМПЛЕКСУ «SCAD» ................................................ 128 3.1. Общие положения по применению программных комплексов ............ 128 3.2. Пример расчета многопролетной неразрезной балки на ПЭВМ по программе SCAD ....................................................................................... 129 3.3. Примеры расчета статически неопределимой рамы на ПЭВМ по программе SCAD ....................................................................................... 135 3.4. Пример расчета статически неопределимой фермы на ПЭВМ по программе SCAD ....................................................................................... 146 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .................................................................. 154
5
ВВЕДЕНИЕ Строительная механика является одной из базовых дисциплин для студентов строительных специальностей. Задача строительной механики вооружить будущего инженера знаниями, необходимыми для проектирования сооружений. Статически неопределимые стержневые системы изучаются во второй части курса строительной механики - статике сооружений. Следует отметить, что подавляющее большинство несущих современных строительных конструкций следует рассматривать как статически неопределимые системы. Поэтому изучение теории и методов расчета статически неопределимых систем играет особую роль в формировании профессиональных качеств инженерастроителя. Статически неопределимые системы можно рассчитывать различными методами. Выбор самого рационального из них, т.е. требующего наименьших трудозатрат, является важным этапом для выполнения «ручного» счета. Поэтому в первых двух главах данного учебного пособия рассматриваются основные положения и краткие теоретические основы расчета основных типов плоских статически неопределимых систем на действие статической нагрузки классическими методами строительной механики - перемещений, смешанным и комбинированным. Приводятся многочисленные примеры расчета различного типа плоских стержневых систем, иллюстрирующих рациональное применение методов расчета. В третьей главе учебного пособия после изучения классических методов расчета статически неопределимых систем рассматривается решение задач строительной механики для линейно-деформируемых стержневых систем с использованием персональных компьютеров и современных вычислительных комплексов (на примере ПК SCAD). При этом для освоения расчетов и проверки получаемых результатов на ПК SCAD, а также понимания работы различного типа строительных 6
конструкций
рассмотрены
простейшие
примеры
расчетов
различных
стержневых систем. Пособие
предназначено
студентам
строительных
и
дорожно-
строительных специальностей очной и заочной формы обучения. Оно может быть также использована как руководство к практическим занятиям и расчетнопроектировочным заданиям по курсу «Строительная механика» для студентов очной формы обучения.
7
1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ
1.1. Понятие о статически неопределимых системах Статически неопределимыми стержневыми системами называются такие системы, в которых при действии произвольной нагрузки не все реакции связей и (или) внутренние усилия могут быть определены только из уравнений равновесия и для их определения необходимо составлять дополнительные уравнения, характеризующие деформацию данной системы. В статически неопределимых системах имеются так называемые «лишние» связи. Под «лишними» подразумеваются такие связи, удаление которых не нарушает геометрической неизменяемости системы. Статически неопределимые системы, как и статически определимые, являются геометрически неизменяемыми. Количество лишних связей в статически неопределимой системе является важной характеристикой, т. к. показывает число дополнительных условий к уравнениям
статики,
которые
необходимо
составить
для
определения
внутренних усилий. Поэтому число лишних связей показывает степень статической неопределимости (степень статической неопределимости системы равна числу ее лишних связей). Степень статической неопределимости плоской стержневой системы, каждый диск которой представляет собой статически определимую систему, можно определить по формуле
Л=-W=2 Ш+С0 3 Д ,
(1.1)
где Л ‒ число лишних связей; W ‒ степень свободы; Ш ‒ число простых шарниров; С0 ‒ количество опорных связей; Д‒ количество дисков. По
этой
формуле
можно
определить
степень
статической
неопределимости стержневых систем без замкнутых контуров и затяжек. Определение степени статической неопределимости стержневых систем, имеющих замкнутые контуры и затяжки, производится по формуле
Л=3 К Ш ,
(1.2) 8
где К ‒ число замкнутых контуров, образованных стержнями системы или стержнями и землей;
Ш
- количество простых шарниров. Шарнир,
соединяющий n стержней, называется сложным или кратным; он эквивалентен
n 1 простым шарнирам, т. е. в этом случае Ш n 1 , а шарнирно подвижная опора рассматривается как два простых шарнира. Напомним, что система, представляющая собой один бесшарнирный замкнутый контур, трижды статически неопределима. Очевидно, что для стержневой системы, состоящей из К бесшарнирных контуров, степень статической неопределимости равна 3 К . Включение шарнира в жесткий узел, в котором сходятся два стержня, или же постановка его в любое место оси стержня эквивалентны устранению одной связи (снижает степень статической неопределимости на единицу) - в результате получаем формулу (1.2). В
статически
неопределимых
системах
различают
безусловно
необходимые и условно необходимые связи [1]. Безусловно необходимыми называются такие связи, отбрасывание любой из которых превращает заданную статически неопределимую систему в геометрически изменяемую или мгновенно изменяемую. Связи, удаление которых не превращает заданную систему в геометрически изменяемую, являются условно необходимыми. Они и принимаются в качестве лишних связей. Например, для рамы, изображенной на рис. 1.1 а, безусловно необходимыми являются вертикальные связи в опорах A и B . Устранение любой из них приводит к образованию статически определимой мгновенно изменяемой системы (рис. 1.1 в). При этом горизонтальные опорные связи являются условно необходимыми (любую из них можно принять в качестве лишней), т. е. ее удаление не превращает раму в геометрически изменяемую (рис. 1.1 б). Статически неопределимые системы обладают следующими свойствами. 1. Внутренние усилия в статически неопределимых системах зависят от количества лишних связей, от формы и размеров поперечных сечений отдельных стержней системы, а также от модуля упругости материала, из которого изготовлены стержни. Другими словами, если в рассматриваемой 9
системе число неизвестных усилий (реакций в опорных связях или внутренних усилий M , Q, N ) в элементах системы превышает число уравнений равновесия, которые могут быть составлены для этой системы, то система является статически неопределимой.
а
б
в
Рис. 1.1 – Вариант основной системы метода сил 2. Статически неопределимые системы благодаря наличию лишних связей являются более жесткими по сравнению со статически определимыми системами, полученными из статически неопределимых систем устранением лишних связей, то есть перемещения в них, как правило, меньше, чем в статически определимых системах. 3. За счет наличия лишних связей эти системы обладают большим сопротивлением разрушению, чем статически определимые. 4. В статически неопределимых системах возникают дополнительные внутренние усилия от температурных воздействий, смещения опор, неточности сборки или монтажа. Отметим, что в статически неопределимых системах с внешней статической определимостью не возникают дополнительные усилия от осадки опор, температурных воздействий и т.п., т. к. каждая из них перемещается от соответствующих воздействий как жесткий диск. 5. Поскольку в статически неопределимых системах число неизвестных усилий больше числа уравнений статики на число «лишних» неизвестных усилий, то, принимая последние в качестве различных внешних нагрузок, можно
получить
бесконечное
множество 10
вариантов
внешних
усилий,
удовлетворяющих
уравнениям
статики.
Таким
образом,
статически
неопределимая стержневая система допускает бесчисленное множество вариантов внутренних усилий, удовлетворяющих составленным для нее уравнениям статики. К статически неопределимым стержневым системам могут относиться: многопролетные неразрезные балки, однопролетные балки с одной или двумя заделками, рамы и рамные системы, двухшарнирные и бесшарнирные арки, фермы с лишними опорными связями и лишними стержнями решетки, комбинированные системы (шпренгельные и вантовые конструкции). Метод
сил
(МС)
является
одним
из
основных
и
наиболее
распространенных для расчета статически неопределимых стержневых систем. Название метода связано с тем, что в окончательную систему уравнений в качестве неизвестных входят усилия - реакции внешних и внутренних связей стержневой системы. Важное
достоинство
метода
сил
заключается
в
возможности
последовательной трактовки всех этапов расчета, что делает его удобным при выполнении
расчетных
операций.
Однако
он
неудобен
для
полной
автоматизации расчетов на ЭВМ. Поэтому при использовании ЭВМ он уступает другим методам, например, методу перемещений. 1.2. Расчет плоских рам методом сил 1.2.1. Выбор основной системы и основных неизвестных параметров Основная система метода сил получается из заданной путем удаления всех или части лишних связей. Когда устраняются все лишние связи (чаще всего так и поступают), основная система оказывается статически определимой и должна быть обязательно геометрически неизменяемой. С целью обеспечения эквивалентности основной и заданной систем к основной системе, кроме заданной нагрузки, должны быть приложены вместо отброшенных
связей
соответствующие
основными неизвестными параметрами МС. 11
им
усилия,
которые
являются
После
определения
неизвестных
параметров
задача
становится
статически определимой. При удалении лишних связей в системах с внешней статической неопределимостью (здесь лишними являются опорные связи) в качестве неизвестных параметров принимаются усилия (реакции) в опорных связях (рис. 1.1, б). При устранении лишних связей в стержневых системах с внутренней статической неопределимостью (лишними являются внутренние связи между частями системы) необходимо знать, что любой плоский стержень или его часть можно мысленно представить состоящим из набора элементов (дисков) меньших
размеров,
соединенных
между
собой
тремя
связями,
не
пересекающимися в одной точке (рис. 1.2, а). а
б
в
г
д
е
Рис. 1.2 – Фрагменты стержневых систем с внутренней статической неопределенностью
Подобное представление соединения каждой пары элементов при помощи трех связей условно соответствует трем внутренним усилиям M , Q , 12
N , возникающим в месте соединения при рассечении или удалении этих связей (рис. 1.2, б). Данные усилия и являются основными неизвестными параметрами, определяемыми при расчете стержневых систем. Рассмотрим некоторые случаи отбрасывания внутренних связей: - удаление (рассечением) всех трех внутренних связей соответствует приложению в месте рассечения трех неизвестных усилий M ,
Q,
N
(рис. 1.2, б), действующих на каждую из частей и равных по величине, но противоположных по направлению; - включение (постановка) цилиндрического шарнира в тело стержня равносильно
устранению
одной
продольной
связи,
что
эквивалентно
соединению элементов шарниром; неизвестным внутренним усилием при этом является изгибающий момент M (рис. 1.2, в); - удаление только диагональной связи (постановка в тело стержня скользящей заделки) соответствует приложению в этом месте неизвестной поперечной силы
Q (рис. 1.2, г);
- удаление одной продольной и диагональной (рис. 1.2, д) или двух продольных связей (рис. 1.2, е) эквивалентно приложению в этом месте, соответственно, неизвестных внутренних усилий M ,
Q или M ,
N.
Вариантов основной системы может быть несколько (рис. 1.3), а точнее, бесчисленное множество. Необходимо выбрать рациональный, например, с точки зрения простоты построения эпюр от внешней нагрузки и от неизвестных усилий X i 1 . Выбор основной системы - один из важнейших вопросов, т. к. от того, насколько удачно будет выбрана основная система, будет зависеть весь дальнейший ход ее расчета. На рис. 1.3, б-д показаны варианты основной системы для плоской рамы с тремя лишними связями (рис. 1.3, а).
13
а
б
г
в
д
Рис. 1.3 – Варианты выбора основной системы для плоской рамы
1.2.2. Система разрешающих уравнений После выбора основной системы переходят к определению значений неизвестных параметров метода сил. Условием для этого являются уравнения совместности деформаций (перемещений). Для понимания идеи метода сил рассмотрим дважды статически неопределимую стержневую систему (рис. 1.4, а) и ее основную систему, находящуюся под действием заданной нагрузки и неизвестных сил X 1 , X 2 , являющихся реакциями устраненных связей (рис.1.4, б). а
б
Рис. 1.4 – Основная система для неопределенной рамы 14
Заданная статически неопределимая и основная статически определимая системы должны быть эквивалентны по распределению в них усилий (реакций, внутренних усилий M , Q , N ) и перемещений. Заметим, что перемещения в заданной системе по направлению отброшенных связей равны нулю ( 1 0 и 2 0 ) ввиду наличия связей. Эти перемещения и в основной системе также должны быть равны нулю вследствие эквивалентности основной и заданной систем. Это и является условием для составления
разрешающих
уравнений
метода
сил
неразрывность
-
перемещений (деформаций) в месте устранения лишних связей. На
основе
принципа
независимости
действия
сил
обобщенное
перемещение по направлению i -й отброшенной связи ( i 1, 2, ..., n ) можно записать в виде
i i 1 i 2 ...+ in iP 0 ,
(1.3)
где i1 , i2 , ... , in ‒ перемещения по направлению отброшенных связей соответственно от сил X 1 , X 2 , ... , X n ; iP ‒ перемещение по направлению отброшенной связи от заданной нагрузки. Для системы с двумя лишними связями имеем два разрешающих уравнения:
1 11 12 1 P 0, 2 21 22 2 P 0.
(1.4)
Представив ik ik X k , получим систему разрешающих уравнений метода сил, где
ik - перемещение от X k 1 .
Для системы с n лишними связями канонические уравнения метода сил принимают вид 11 X 1 12 X 2 ... 1n X n 1P 0 X X ... X 0 21 1 22 2 2n n 2P ..................... n1 X 1 n 2 X 2 ... nn X n nP 0.
15
(1.5)
Эта система уравнений выражает условие эквивалентности заданной и основной систем. Каждое уравнение системы представляет собой перемещение по направлению одной из лишних связей, которое должно быть равно нулю. 1.2.3. Формулы для вычисления коэффициентов Каждый из коэффициентов представляет
собой
ik ( i, k 1, 2, 3,...) системы уравнений (1.5)
обобщенное
перемещение
в
основной
системе,
соответственно в точке приложения X i и по направлению X i , вызванное силой X k 1 (единичные коэффициенты); iP - перемещения по направлению связи i от действия заданной нагрузки (грузовые коэффициенты). Для определения таких перемещений используется формула МаксвеллаМора
с
применением
правила
Верещагина
или
метода
численного
интегрирования по способу Симпсона. Для систем, выполненных из относительно тонких стержней в виде рам, работающих на изгиб, балок и непологих арок, перемещения (коэффициенты и свободные члены) можно определять с учетом только деформаций изгиба, пренебрегая продольными деформациями и деформациями сдвига: ik
iP
Mi M k 1 dx i y k , EJ EJ
Mi M p EJ
dx
1 p yk . EJ
Согласно теореме о взаимности перемещений ik ki , следовательно, матрица коэффициентов [ ik ] системы канонических уравнений всегда симметрична. Главные коэффициенты всегда положительны, т. е. ik 0 . 1.2.4. Построение действительных эпюр внутренних усилий Решение системы канонических уравнений значения усилий в лишних связях X 1 , X 2 , ... , X n .
16
позволяет определить
Действительные (окончательные) эпюры внутренних усилий M , Q , N получают способом суперпозиции (наложения) - суммированием единичных эпюр
моментов,
поперечных
и
продольных
сил,
умноженных
на
соответствующие им значения X 1 , X 2 , ... , X n (с учетом их знаков), с соответствующими эпюрами в грузовом состоянии:
M M 1 X 1 M 2 X 2 ... M n X n M P ;
Q Q1 X 1 Q 2 X 2 ... Q n X n QP ; N N 1 X 1 N 2 X 2 ... N n X n N P . В некоторых случаях способом наложения эпюр строится только действительная эпюра моментов. Эпюру поперечных сил Q получают по эпюре M , используя дифференциальную зависимость поперечных сил от изгибающих моментов, применительно к каждому из Х участков: Q x
dM x dx
.
(1.6)
Продольные силы N в стержнях рамы определяют в этом случае по эпюре Q из условий равновесия узлов рамы. К рассматриваемым узлам рамы прикладываются действующие на них внешние нагрузки, поперечные силы, найденные ранее, и неизвестные продольные усилия. Затем составляются для этих узлов уравнения равновесия, из которых и определяются продольные силы в стержнях рамы. Равновесие узлов следует рассматривать в такой последовательности, чтобы в каждом узле было не более двух неизвестных продольных сил. Действительные (окончательные) эпюры усилий M , Q , N могут быть получены и из рассмотрения основной системы под действием заданной нагрузки и найденных усилий X 1 , X 2 , ... , X n . 1.2.5. Проверки расчетов Особенно тщательно должны быть проверены единичные и грузовая эпюры моментов, построенные в основной системе метода сил, т. к. ошибки в 17
них не обнаруживаются в следующей части расчета и могут быть выявлены только при построении окончательных эпюр
M , Q , N . При этом
применяются способы, используемые в расчетах статически определимых систем (проверяется равновесие узлов и фрагментов системы). Правильность вычисления единичных коэффициентов
ik и свободных
членов iP системы канонических уравнений может быть проверена с помощью
эпюры
MS
(единичная
суммарная
эпюра),
получаемой
алгебраическим суммированием всех единичных эпюр:
M S M 1 M 2 ... M n . Для проверки необходимо вычислить: S
n Mi M S dx i1 i 2 ... in ik EJ k 1
(построчная проверка); n M S M S SS dx 1S 2 S ... nS iS EJ i 1
(универсальная проверка);
SP
n M S MP dx 1 P 2 P ... nP iP EJ i 1
(постолбцовая проверка). Первый интеграл представляет собой сумму коэффициентов при неизвестных i -го уравнения, второй - сумму всех коэффициентов системы, третий - сумму всех свободных членов. Эти проверки касаются только вычислительной части расчета и не могут выявить ошибки, допущенные на предыдущих этапах. Проверка решений системы уравнений осуществляется подстановкой найденных значений X 1 , X 2 , ... , X n во все канонические уравнения.
Действительные
(окончательные)
эпюры
равновесие узлов, отдельных фрагментов и системы в целом.
18
проверяются
на
X 0, Y 0, M z 0. Следует отметить, что положительный результат статической проверки еще не гарантирует правильности решения задачи, поскольку окончательная эпюра
M будет удовлетворять условиям равновесия и при неправильных
значениях X 1 , X 2 , ... , X n . Более
действенной
является
так
называемая
деформационная
(кинематическая) проверка построения окончательной эпюры моментов. Она выполняется путем вычисления перемещений в действительном состоянии статически неопределимой системы по направлению связей, устраняемых при образовании основной системы, поскольку эти перемещения заведомо известны (равны нулю). Для проверки необходимо вычислить: i
Mi M dx , EJ
( i 1, 2, ..., n ).
(1.7)
Вместо нескольких таких проверок можно выполнить одну, перемножив окончательную эпюру M и суммарную единичную эпюру S
MS:
MS M dx. EJ
При расчете рам на заданную нагрузку эти величины должны быть равны нулю. Если из-за неточности вычислений и ошибок округления при расчете эти величины отличны от нуля, то разность между положительными и отрицательными слагаемыми не должна превышать 1% от величины большего из них. Деформационная проверка приобретает больший смысл, если перемещение определять по направлению тех связей, которые не удалялись при образовании основной системы, использованной в расчете, т.е. при выполнении проверки с использованием другой статически определимой основной системы. 1.3. Упрощения при расчете симметричных рам методом сил Для симметричных по геометрическому очертанию и распределению жесткостных характеристик стержневых систем можно добиться значительного 19
сокращения трудоемкости расчета за счет обращения в нуль ряда побочных коэффициентов при неизвестных параметрах в канонических уравнениях. Система канонических уравнений высокого порядка распадается при этом на подсистемы более низкого порядка (в одной из них сосредоточены симметричные неизвестные, в другой - кососимметричные). Коэффициенты ik будут равны нулю, если при их определении перемножаются между собой симметричные и кососимметричные эпюры единичных эпюр изгибающих моментов, т. е. с
M i M ik EJ
к. с k
dx 0 .
Эта формула выражает свойство ортогональности эпюр. Такие эпюры получаются
в
симметричной
основной
системе
от
симметричных
(кососимметричных) внешних воздействий ( X i ). Рассмотрим некоторые случаи учета симметрии. Если
заданная
статически
неопределимая
система
является
симметричной, то и основную систему метода сил следует выбирать симметричной. При этом целесообразно: - устранять максимально возможное число лишних связей на оси симметрии; - оставшиеся лишние связи необходимо устранять симметрично, и неизвестные усилия, заменяющие эти связи, группировать (данный прием называется способом группировки лишних неизвестных). Единичные эпюры в таком случае получаются только симметричные и кососимметричные. В первом случае неизвестные параметры метода сил будут расположены на оси симметрии (рис. 1.5). Преимущества учета симметрии (обнуление побочных коэффициентов и т.д.) здесь проявляются автоматически (см. пример 1.8.2). Во втором случае неизвестные усилия будут расположены по обеим сторонам от оси симметрии. Здесь необходим искусственный прием 20
группировка неизвестных: не изменяя основную систему, посредством линейной комбинации усилий
X i , X k перейдем к новым "лишним"
X i , но так, чтобы одному из них соответствовало симметричное
неизвестным
состояние, а другому - асимметричное (кососимметричное). Полученные при умножении приводит к обнулению единичных коэффициентов. а
б
Рис. 1.5 – Основная система метода сил: а – заданная рама; б – основная система
На рис. 1.6, б показан вариант выбора основной системы для симметричной рамы (рис. 1.6 а) с использованием группировки неизвестных. Окончательные
значения
реакций
в
"лишних"
связях
определяются
суммированием: X 1 X 1 X 2 ; X 2 X 1 X 2 (рис. 1.6 в). а
б
в
Рис. 1.6 – Основная система для симметричной рамы: а – заданная рама; б-в – варианты основной системы
При действии на симметричное сооружение только симметричной или только кососимметричной нагрузки (рис. 1.7) задача еще больше упрощается, т.к. в этом случае можно выбрать такую основную систему, что не только все единичные эпюры, но и грузовые будут симметричны или кососимметричны. 21
Вследствие этого не только многие единичные коэффициенты, но и некоторые из грузовых коэффициентов окажутся равными нулю. Если на симметричную систему действует несимметричная нагрузка (рис.1.7, а), то ее можно разложить на составляющие симметричного (рис. 1.7, б) и кососимметричного (рис. 1.7, в) вида. а
г
б
в
д
Рис. 1.7 – Учет симметрии в нагружении рамы: а – заданной рамы; б – симметричный вариант загружения; в – кососимметричный вариант загружения; г-д – варианты основной системы Если внешняя нагрузка, действующая на симметричную основную систему, симметрична, то все кососимметричные неизвестные будут равны нулю (рис. 1.7 г). В случае действия кососимметричной нагрузки нулевыми будут все симметричные “лишние” неизвестные (рис. 1.7 д). 1.4. Особенности расчета статически неопределимых стержневых систем на температурные воздействия и смещение опор При расчете статически неопределимых систем на действие температуры или смещения опор в грузовом состоянии внутренние усилия в основной системе метода сил не возникают ( M P 0 , QP 0 , N P 0 ). Эти воздействия вызывают только перемещения стержней основной системы. 22
Система
канонических
уравнений
метода
сил
при
воздействии
температуры имеет вид
11 X 1 12 X 2 ... 1n X n 1t 0, X X ... X 0, 21 1 22 2 2n n 2t ................. n1 X 1 n 2 X 2 ... nn X n nt 0. Здесь 1t , 2t , ..., nt представляют собой перемещения в основной системе по направлениям «лишних» неизвестных усилий X 1 , X 2 , ... , X n от действия температуры, определяемые по формуле it
где
t Н t В b
Mi
t Н t В 2
Ni
( i 1, 2, ..., n ),
(1.8)
‒ коэффициент линейного расширения материала; t Н , t В ‒ температуры
соответственно нижних и верхних волокон стержня ( t Н t В , распределение температуры по высоте поперечного сечения принято по линейному закону); b ‒ высота сечения стержня (поперечное сечение стержня симметрично относительно нейтральной оси); Mi i , Ni ‒ площади i -х единичных эпюр моментов и продольных сил соответственно. Суммирование слагаемых в формуле (1.8) выполняется по тем стержням, температурный режим которых изменился. Произведения
t Н t В b
и
Mi ,
t Н t В 2
и
Ni
являются
положительными, если деформации, соответственно, изгиба и растяжениясжатия стержня, вызванные температурой и единичной силой, одинаковы. При этом берется абсолютное значение суммы и разности температур t Н t В и
t Н t В (такие же знаки для первого и второго слагаемых формулы (1.8) получаются, если температуру t Н назначать со стороны растянутого волокна эпюры
M i , а площадь эпюры N i брать с ее знаком, при этом значение
суммы и разности температур t Н t В и t Н t В берется со своим знаком). 23
В случае равномерного нагрева стержней рамы ( t Н t В t ) слагаемые в (1.8), зависящие от изгибающих моментов, выпадают, и вычисление
it ( i 1, 2, ..., n ) упрощается: it
t н t е 2
. Ni
Очевидно, что единичные коэффициенты
11 , 12 , ..., nn не зависят от
характера воздействия, т. е. имеют те же значения, что и при расчете на действие внешней нагрузки. Таким образом, особенность расчета на температурные воздействия заключается в определении свободных членов канонических уравнений метода сил. Смысл канонических уравнений при этом остается тем же, т. е. суммарные перемещения в направлении устраненных связей при совместном действии температуры и лишних неизвестных должны быть равны нулю. Эпюра
моментов
Mt
после
определения
неизвестных
усилий
представляется в виде суммы исправленных единичных эпюр:
M t M 1 X 1 M 2 X 2 ... M n X n . Эпюру Qt строим по эпюре M t , используя зависимость (1.6), N t определен из рассмотрения равновесия узлов. При расчете рам на неравномерную осадку опор канонические уравнения отличаются от (1.5) только свободными членами и принимают вид
11 X 1 12 X 2 ... 1n X n 1 0
21 X 1 22 X 2 ... 2n X n 2 0 . . . . . . . . . . .
n1 X 1 n2 X 2 ... nn X n n 0 , где 1 , 2 , ..., n ‒ перемещения в направлении отброшенных связей, вызванные неравномерной осадкой опор. Они определяются по формуле s
i R ji c j ( i 1, 2, ..., n ).
(1.9)
K 1
24
Здесь s ‒ количество опорных связей основной системы; R j i ‒ опорная реакция в j -й связи от единичного i -го воздействия; c j ‒ смещение j -й опоры. Произведения R ji c j являются положительными, если реакция и перемещение имеют одинаковые направления. Окончательная эпюра моментов строится способом суперпозиции по формуле
M M 1 X 1 M 2 X 2 ... M n X n . Эпюры Q и N строятся так же, как и при расчете на силовые и температурные воздействия. Проверки правильности построения действительных эпюр M t и M от температуры или смещения опор выполняются по формулам
Mt M i dx it , EJ
M M i dx i , EJ
где M i - эпюра моментов в основной системе метода сил от действия
X i 1 ; it , i ( i 1, 2, ..., n ) - свободные члены канонических уравнений, полученные по формулам (1.8), (1.9). 1.5. Расчет неразрезных балок методом сил Многопролетную сплошную статически неопределимую балку, не прерываемую
шарнирами,
принято
называть
неразрезной.
Степень
ее
статической неопределимости удобно определять по формуле
Л С 3, где С ‒ число опорных стержней (жесткая заделка эквивалентна трем опорным стержням, шарнирно-неподвижная опора - двум и шарнирно-подвижная одному). Для определения степени статической неопределимости можно использовать и формулу (1.1). Расчет неразрезной балки состоит в определении внутренних усилий и опорных реакций. Наиболее ответственной и трудоемкой частью расчета является определение изгибающих моментов над опорами балки (опорных 25
моментов). Для этого используют уравнение трех моментов или метод моментных фокусов. 1.5.1. Уравнение трех моментов К уравнениям такого типа сводится система канонических уравнений при расчете неразрезной балки по методу сил. Рассмотрим многопролетную неразрезную балку произвольной длины при
действии
произвольных
внешних
воздействий.
Выделим
из
рассматриваемой балки два пролета, примыкающие к произвольной опоре n (рис. 1.8 а). Будем нумеровать опоры балки слева направо, начиная с номера 0 . При этом каждый пролет li и его жесткость EiJi являющаяся постоянной в пределах каждого пролета, получают индекс i , соответствующий номеру правой опоры. а
б
в
г
д
е
Рис. 1.8 – Многопролетная неразрезная балка: а – фрагмент; б – основная система; в-д – единичные эпюры; е – грузовая эпюра
26
Для расчета балки основную систему метода сил образуем путем врезания (постановки) в сечениях над всеми промежуточными опорами шарниров (рис. 1.8 б). Вместо устраненных связей приложим неизвестные опорные моменты
X 1 , X 2 , ..., X n . Таким образом, основная система будет представлять собой ряд простых независимых однопролетных статически определимых балок. Единичные эпюры
M i и грузовая M P , которые получаются при рассмотрении
каждого пролета как статически определимой балки, показаны на рис. 1.8 в-е. Условие неразрывности балки в местах устраненных связей, т. е. углов расхождения смежных сечений (углов перелома) над промежуточными опорами, записывается в виде системы обычных канонических уравнений метода сил (1.5). Вычисляя коэффициенты nk и nP способом Верещагина с учетом только изгибных деформаций и учитывая локальность единичных эпюр
M i в пределах двух смежных пролетов, получим nn
где
l ln l l a b n 1 , n ,n1 n , n ,n 1 n 1 , nP n n n 1 n1 , 6 EJ n 3 EJ n 3 EJ n 1 6 EJ n 1 ln EJ n ln 1 EJ n 1
n и n1 ‒ площади эпюр изгибающих моментов, построенные от
заданной нагрузки на примыкающем к опоре n левом и правом пролетах соответственно; a n ‒ расстояние от левой опоры примыкающего к опоре n левого пролета до центра тяжести площади эпюры изгибающих моментов
n ;
bn1 ‒ расстояние от правой опоры примыкающего к опоре n правого пролета до центра тяжести площади эпюры изгибающих моментов n1 . При этом каноническое уравнение метода сил для n -й опоры примет вид
n,n1 X n1 nn X n n,n1 X n1 nP 0 . Как видно, n -е уравнение системы канонических уравнений содержит только три неизвестных опорных момента и поэтому называется уравнением трех моментов. Подставив в это уравнение значения соответствующих коэффициентов, приведя подобные слагаемые и обозначив неизвестные
27
опорные моменты X n1 , X n и X n1 через M n1 , M n и M n1 , соответственно, получим уравнение трех моментов в развернутом виде
M n 1
l a b ln l l 2 M n n n1 M n1 n1 6 n n n1 n1 Jn J n 1 J n J n 1 ln J n l n 1 J n 1
Или
J J M n1 l n 2 M n l n l n1 M n1 l n1 6 BnФ 0 AnФ1 0 , Jn J n 1
(1.10)
где M n1 , M n , M n1 ‒ величины изгибающих моментов над опорами n 1 ,
n,
n 1 (моменты считаются положительными, если вызывают растяжение в нижних волокнах балки);
ln ,
ln1
‒ приведенные длины пролетов,
вычисленные по формулам ln ln
J J0 , l n 1 l n 1 0 J n 1 Jn
(величину J 0 обычно принимают равной моменту инерции одного из пролетов балки); BnФ ,
n
AnФ1 ‒ фиктивные опорные реакции в опоре
от загружения
соответствующих пролетов фиктивной нагрузкой, представляющей собой эпюру M P (рис. 1.8 е). Значения фиктивных реакций для некоторых наиболее распространенных видов нагрузки приведены в табл. 1. В случае балки постоянного сечения и одного и того же материала (при
J n1 J n J n1 ) уравнение трех моментов примет вид
M n1 ln 2 M n ln ln 1 M n 1 ln 1 6 BnФ AnФ1 .
(1.11)
Это уравнение устанавливает связь между величинами опорных моментов в трех соседних опорах неразрезной балки. Если неразрезная балка имеет консоли, то они отбрасываются, а нагрузки с консолей переносятся на опоры в виде силы и момента (рис. 1.9, а). При наличии жестких заделок они заменяются фиктивными пролетами нулевой длины (рис. 1.9, б), которые 28
добавляются к балке со стороны заделки. Например, для балки (рис. 1.10, а) расчетная схема (основная система) показана на рис. 1.10, б. Таблица 1.1 Схема нагрузки
Aф
Bф
Pl 2 uv 1 v 6
Pl 2 uv 1 u 6
Pl 2 16
Pl 2 16
Pc l c 2
Pc l c 2
ql 3 24
ql 3 24
Ml 24
Ml 24
а
б Рис.1.9 – Вариант опорного закрепления: а – консоль; б – жесткая заделка 29
а
б
Рис.1.10 – Неразрезная многопролетная балка: а – исходная схема; б – основная система Уравнение трех моментов записывается для каждой промежуточной опоры. Решение полученной таким образом системы уравнений определяет величины изгибающих моментов на всех промежуточных опорах неразрезной балки. Определение внутренних усилий и опорных реакций. Внутренние усилия в сечении любого пролета неразрезной балки выражаются через опорные моменты по концам пролета: M M P M n 1
M M n1 M n M n 1 , x , Q QP n ln ln
где M n1 , M n ‒ опорные моменты на левом и правом концах n -го пролета, M P ;
Q P ‒ изгибающий момент и поперечная сила в сечении х однопролетной балки от внешней нагрузки в n -м пролете. Опорные реакции вычисляются по формуле
Rn Qп р Qлев , где Qпр , Qлев ‒ поперечные силы справа и слева от опоры n соответственно. 1.5.2. Метод моментных фокусов Если (рис.
1.11,
в
неразрезной а),
то
эпюра
балке
загружен
моментов
только
аналогична
один
пролет
представленной
n на
рис. 1.11, б. Как видно из эпюры, в каждом незагруженном пролете (при 30
положении груза справа (или слева) от него) эпюра моментов имеет нулевую ординату (точку), причем местоположение этой точки постоянно и не зависит от величины, вида нагрузки и места приложения ее в пролете. Эти точки называются моментными фокусами. Различают левые и правые моментные фокусы. а
б
Рис. 1.11 – Неразрезная балка: а – фрагмент; б – эпюра моментов
Левым (правым) моментным фокусом называется нулевая точка эпюры моментов данного пролета при загружении одного или нескольких пролетов, расположенных правее (левее) рассматриваемого. Поскольку фокусные точки в каждом пролете имеют постоянное местоположение, то и отношение моментов (большего опорного к меньшему) незагруженного пролета является постоянным и называется моментным фокусным отношением, или фокусным отношением. Различают соответственно левое k n и правое k n фокусные отношения. Формула для их определения может быть получена из уравнения трех моментов, составленного при незагруженных пролетах балки (рис. 1.12). При расположении нагрузки справа от рассматриваемого n -го пролета левые фокусные отношения определяются (рис. 1.12, а) так:
kn
Mn l c n n ; k n1 M n1 . M n1 cn M n2
31
а
б
Рис. 1.12 – К определению фокусных отношений: а-б – эпюры изгибающих моментов При расположении нагрузки слева находим (рис. 1.12 б) правые фокусные отношения: k n
M n1 l n d n M ; k n 1 n . Mn dn M n1
Формулы, связывающие левые и правые фокусные отношения соседних пролетов, имеют вид
kn 2
l n 1 l 1 1 2 ; k n 2 n1 2 . l n k n1 l n k n 1
(1.12)
Для применения метода фокусов, прежде всего, подсчитывают фокусные отношения всех пролетов по формулам (1.12). Зная фокусное отношение предыдущего пролета, определяют фокусное отношение последующего, а расчет начинают с определения фокусных отношений крайних пролетов. Так, при шарнирном опирании крайнего пролета нулевая точка находится в его шарнире (рис.1.13, а), поэтому фокусное отношение равно бесконечности: k1
M1 . M0
Для пролета с защемляющей крайней опорой, что равносильно
введению дополнительного пролета длиной l0 0 отношение равно 2:
k1 2
l0 l1
1 0 1 2 2 2 2 . k0 l1
32
(рис. 1.13 б), фокусное
а
б
Рис.1.13 – Варианты опирания крайних пролетов нерахрезной балки: а – шарнирное опирание; б – жесткая заделка
Для построения эпюры изгибающих моментов в неразрезной балке методом фокусов при загружении одного из пролетов необходимо знать величины опорных моментов в сечениях по его концам. Так как загружен только один пролет
n , то опорные моменты могут быть получены в результате
совместного решения двух уравнений трех моментов, составленных для опор
n 1 и
n
(рис.1.11 а). Их величины будут таковы:
для левого конца пролета
M n1
AnФ k n BnФ 6 , l n k n k n 1
(1.13)
для правого конца
BnФ k n AnФ M n 6 , l n k n k n 1
(1.14)
где A nф , B nф ‒ фиктивные реакции на левом и правом концах пролета n; k n , k n ‒ левое и правое фокусные отношения. Если крайняя левая опора шарнирная, то M n1 M 0 0 , k n , поэтому раскрываем неопределенность, разделив каждый член числителя и знаменателя на k n , после чего при k n получаем:
BnФ M n 6 . l n k n
(1.15)
Аналогичную формулу можно вывести для крайнего правого пролета с шарнирной опорой на правом конце.
33
Зная моменты на концах загруженного пролета и эпюру от нагрузки в основной системе, находим эпюру моментов в этом пролете. Моменты в сечениях над опорами соседних пролетов определяются через фокусные отношения последовательно вправо или влево от загруженного пролета: M n2
M n1 ; M n3 M n2 ; M n1 M n ; M n 2 M n1 . k n1 k n2 k n 1 k n 2
(1.16)
1.5.3. Построение огибающих эпюр Огибающими (объемлющими) эпюрами называют эпюры, ординатами которых являются наибольшие положительные или отрицательные значения (или наибольшие абсолютные значения) рассматриваемых параметров. Для построения огибающих эпюр по длине балки или другого сооружения намечается несколько сечений и в каждом из них с помощью эпюр или как-то иначе вычисляются наибольшие и наименьшие значения исследуемого параметра. Вычисленные ординаты соединяются между собой кривыми плавными линиями, и в результате получаются огибающие эпюры max S и
min S : max S = S п о с т S в р , min S = S п о с т S в р , где
постоянной нагрузки;
S в р
и
S в р
S пост ‒ усилие от
‒ соответственно все положительные и
все отрицательные усилия от временной нагрузки. Часть эпюры, заключенная между этими двумя кривыми линиями представляет собой область возможных значений параметра S при всех возможных положениях заданной подвижной нагрузки. Огибающие эпюры особенно полезны при расчете железобетонных балок - для подсчета количества верхней и нижней арматуры. Например, огибающая эпюра моментов дает полную картину изменения максимальных max M и минимальных min M изгибающих моментов для всех сечений неразрезной балки от действия расчетной нагрузки: временной и постоянной.
34
1.6. Расчет статически неопределимых арок Статически
неопределимые
арки
бывают
двухшарнирные
(рис. 1.14 а, б) и бесшарнирные (рис. 1.14 в). Наиболее распространенными являются арки симметричного или кругового очертания с опорами в одном уровне. Арки могут иметь постоянное поперечное сечение, но чаще переменное. Расчет статически неопределимых арок выполняют методом сил. а
б
в
Рис. 1.14- Статически неопределимые арки: а-б – двухшарнирные; в бесшарнирные Наиболее удачной основной системой для двухшарнирной арки следует считать кривой брус, приняв за неизвестное горизонтальную реакцию в одной из опор (распор); для арки с затяжкой за неизвестное обычно принимают усилие в затяжке, которое определяют из канонического уравнения
11 X 1 1P 0 .
(1.17)
Для бесшарнирной арки, являющейся трижды статически неопределимой системой, составляют три канонических уравнения. Для упрощения расчета основную систему выбирают так, чтобы каждое уравнение содержало только одно неизвестное. Коэффициенты канонических уравнений определяются по формуле Максвелла-Мора
ik
Q Qk Mi Mk Ni Nk ds i ds ds . EJ GF EF
При этом интегрирование выполняется по длине оси арки. Влиянием поперечных и продольных сил, возникающих в арке, обычно пренебрегают.
35
Особенностью расчета арок методом сил является невозможность применения способа Верещагина для определения единичных и грузовых перемещений, входящих в канонические уравнения. Прямое интегрирование формулы Мора, как правило, оказывается более сложным из-за сложности закона изменения сечения арки по длине. Поэтому интегрирование приходится заменять суммированием по участкам со средними значениями величин, входящих в формулу Мора:
ik
M i M P s M i M k s , iP , EJ EJ
(1.18)
где s ‒ длина элементарного участка оси арки. Подсчет коэффициентов и свободных членов удобнее проводить в табличной форме. После вычисления 11 и 1P из канонического уравнения (1.17) находят X1
1P
11
и вычисляют внутренние усилия в сечениях заданной арки M M 0 y X 1 , Q Q0 cos sin X 1 , N Q0 sin cos X 1
(1.19)
1.7. Расчет статически неопределимых ферм Статически неопределимой называется ферма, усилия в стержнях которой не могут быть найдены из одних только условий равновесия. Степень статической неопределимости соответствует количеству “лишних” стержней и определяется по формуле:
Л С 2 У ,
(1.20)
где С ‒ полное число стержней фермы, включая опорные; У ‒ число узлов фермы (сквозных шарниров). Статически
неопределимые
фермы
рассчитываются
методом
сил.
Основная система образуется из заданной фермы либо при отбрасывании лишних опорных связей, либо при рассечении лишних стержней решетки. Во всех случаях основная система должна быть геометрически неизменяемой.
36
Система разрешающих канонических уравнений метода сил имеет вид (1.5). Коэффициенты представляют собой перемещения в основной системе по направлению отброшенных связей и определяются по формуле МаксвеллаМора:
Ni N j l 1 C ij N i N j l . EF EF k 1 0 k 1 C
Здесь
(1.21)
N i , N j ‒ продольные силы в стержнях основной системы от
действия неизвестных X i 1 и X j 1 соответственно, l ‒ длины, F ‒ площади поперечных сечений, l l F0 F ‒ приведенные длины стержней фермы. Для выполнения расчета необходимо задать значения F , выражая их через некоторую приведенную площадь F0
(в качестве последней можно
принять площадь любого стержня). Суммирование ( 1 k C ) ведется по числу стержней в ферме. Аналогично определяются свободные члены уравнений
Ni NP l 1 C iP N i N P l , EF EF0 k 1 k 1 C
(1.22)
где N P ‒ усилия в стержнях основной системы от заданной внешней нагрузки. Решение системы уравнений (1.5) с учетом (1.22) определяет величины усилий в «лишних» стержнях ферм X 1 , X 2 , ..., X n . Действительные усилия во всех стержнях заданной фермы определяются сложением найденных ранее усилий в основной системе от единичных неизвестных и от внешней нагрузки по формуле
37
1.8. Примеры расчета плоских статически неопределимых рам методом сил 1.8.1. Задача 1. Расчет простой статически неопределимой рамы Требуется выполнить расчет простой статически неопределимой рамы (построить эпюры M , Q , N ), изображенной на рис. 1.15 а, и проверить правильность выполненных расчетов. Решение. Определим степень статической неопределимости рамы (число лишних связей):
Л=2 Ш+С0 3 Д 3 1 5 2 . Для выбора основной системы метода сил необходимо в раме (рис. 1.15, а) устранить две лишние связи. Сделать это можно следующим образом: 1) удалить из системы две опорные связи (рис. 1.15, б-г); 2) устранить из рамы одну опорную связь и ввести в заданную систему дополнительный врезной шарнир (рис. 1.15, д). Все основные системы, приведенные на рис. 1.15, б-д, являются статически определимыми и геометрически неизменяемыми и могут быть приняты для расчета. Заметим, что можно было бы продолжить выбор основных систем метода сил, т. к. их может быть бесчисленное множество. а
в
б
г
д
Рис. 1.15 – Выбор основной системы: а – исходная задача, б, в, г, д – варианты выбора основной системы 38
Отдадим предпочтение основной системе в виде консольной рамы (рис. 1.15, б), при построении эпюр моментов в которой нет необходимости предварительно определять величины опорных реакций. Следовательно, основную систему выберем, отбросив вертикальный и горизонтальный опорные стержни в точках a и b, приложив взамен отброшенных связей неизвестные силы (реакции связей) X 1 и X 2 (рис.1.15 б). Запишем систему канонических уравнений метода сил:
11 X 1 12 X 2 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0 .
(1.23)
Эти уравнения составлены из условия равенства нулю, соответственно, вертикального перемещения точки a и горизонтального перемещения точки b в основной системе от совместного действия неизвестных X 1 и X 2 и внешней нагрузки, поскольку в заданной системе имеются опорные стержни, препятствующие этим перемещениям. Построим единичные и грузовые эпюры. Загружая основную систему последовательно силами X 1 1 , X 2 1 и внешней нагрузкой, построим единичные
M 1 , M 2 и грузовую M P эпюры (рис.1.16, а-в). Для выполнения
проверок вычисления коэффициентов канонических уравнений построим также суммарную единичную эпюру Вычислим
единичные
M S (рис.1.16, г). и
грузовые
коэффициенты
канонических
уравнений. Так как оси всех стержней рамы прямолинейны и жесткости в пределах каждого стержня постоянны, то для вычисления перемещений ij , iP по общей формуле Максвелла-Мора воспользуемся способом Верещагина. 11
M1 M1 1 1 4 4 2 42,67 ; dx 4 4 2 4 EJ EJ 2 2 3 EJ
12 21 22
M1 M2 1 dx EJ EJ
M2 M2 1 dx EJ EJ
24 32 1 44 ; 2 2 2 2 2 4 EJ
1 2 2 2 2 29,34 ; 2 2 4 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 6 EJ 2 3
39
M1 Mp
1P
EJ
2P
M2 Mp EJ
dx
1 EJ
2 1 44 144 4 4 24 16 4 2 16 4 24 4 ; 6 2 2 EJ
dx
1 EJ
2 106,67 1 2 4 4 2 24 4 16 2 2 16 4 2 4 . 6 EJ 2
аа
бб
в
г
в
г
Рис. 1.16 – Построение единичных и грузовой эпюр: а, б – единичные эпюры, в – грузовая эпюра, г – суммарная эпюра
Выполним проверки правильности определения единичных и грузовых коэффициентов. Для этого используем суммарную единичную эпюру
M S (рис.
1.16, г).
SS 11 12 21 22 SS
M S M S 1 dx EJ EJ
1 8 ,01 42,67 32 32 29 ,34 ; EJ EJ
22 2 1 22 2 2 2 2 8,00 . 2 2 2 2 2 3 2 2 3 EJ 2 3
Результаты совпали. Следовательно, коэффициенты при неизвестных вычислены верно. Постолбцовая проверка свободных членов (грузовых коэффициентов): SP 1 P 2 P SP
1 37 ,33 144 106 ,67 ; EJ EJ
M S MP 1 1 2 2 1 22 2 37,33 dx 4 4 2 24 2 2 16 . EJ EJ 2 2 2 2 6 EJ
40
Свободные члены вычислены верно. В результате получили каноническую систему уравнений вида
42,67 X 1 32 X 2 144 32 X 1 29 ,34 X 2 106 ,67 . Решив систему, имеем X 1 3,56 кН , X 2 0,25 кН . Для проверки правильности решения подставим найденные значения "лишних" неизвестных X 1 и X 2 в каждое уравнение: 42,67 3,56 32 0,25 144 ; 32 3,56 29,34 0,25 106,67
143,91 144 . 106,58 106,67
Полученные решения удовлетворяют уравнениям. Построим действительную эпюру изгибающих моментов
M M P M 1 X1 M 2 X2 ,
(1.24)
используя принцип суперпозиции как алгебраическую сумму эпюры от заданной нагрузки в основной системе M P и единичных эпюр
M 1, M 2 ,
умноженных на найденные значения сил X 1 и X 2 . Эпюры приведены на рис. 1.17 а-г. а а
б
б +
в
г
Рис. 1.17 – Построение окончательной эпюры М (г) сложением эпюр: а – грузовая эпюра, б, в – исправленные единичные эпюры
41
+
Выполним статическую и кинематическую проверки построенной эпюры. Статическая
проверка,
представленная
на
рис.
1.18
а,
б,
удовлетворяется, т. к. узлы находятся в равновесии.
а а
б
б
M 0
M 0
0 ,5 3,5 4 0
17 ,74 2,26 20 0
0 0
0 0
Рис. 1.18 – Проверка равновесия узлов
Кинематическая проверка. Вычислим перемещения в опорах a и b (рис. 1.18, а) по горизонтальному и вертикальному направлениям путем умножения M на
MS:
M MS 1 0 ,5 2 2 2 dx 2 2 10 ,76 2 2 2,26 EJ EJ 2 3 6
1 4 1 2 17,74 3,5 2 2 2 3,5 2 17,74 0,67 10,19 9,49 2 6 EJ 1 0,03 10,16 10,19 . EJ EJ
Погрешность
0,03 100% 0,3 % . 10,19
Построим окончательную эпюру поперечных сил Q : Q
dM tg M . dx
(1.25)
На участках с прямолинейными эпюрами моментов значение постоянно: Qcb
0 ,5 0 ,25 кН ; 2
Qdf
42
10,76 2,26 4,25 кН ; 2
Q
Qcd
3,5 17 ,74 3,56 кН ; 4
Qde
20 10 кН . 2
На участке ac: Qac q z ( 0 z 2 ). При z 0 Qac 0 , при z 2 Qac 4 кН . Эпюра Q представлена на рис. 1.19, а. а а
бб
Рис. 1.19 – Построение окончательных эпюр Q (а) и N (б)
N
Для построения эпюры продольных сил
вырежем узлы
(рис. 1.20, а) и c (рис. 1.20, б). Эпюра N приведена на рис.1.19 б.
X 0: N
а
2
4,25 0 ;
N 2 4,25 кН .
Y 0 : N
1
3,56 10 0 ;
N 1 13,56 кН .
бб
X 0 : 0 ,25 4 4,25 0 ;
0 0.
Y 0 : N
3
N 3 3,56 кН .
Рис. 1.20 – Проверка равновесия рамы
43
3,56 0 ;
d
Для окончательной проверки построенных эпюр M , Q , N рассечем раму на уровне опор (рис. 1.20) и рассмотрим равновесие отсеченной части:
X 0 : 0,25 2 2 4,25 0 ; 0 0 . Y 0 : 3,56 10 13,56 0 ; 0 0 . M a 0 : 0,25 4 10 6 2 2 1 10,76 13,56 4 0 ; 0 0 . 1.8.2. Задача 2. Расчет симметричной составной статически неопределимой рамы Требуется построить эпюры M, Q, N для симметричной статически неопределимой рамы, приведенной на рис. 1.21, а, при соотношении жесткостей EJ 2 / EJ1 2 . Выполнить проверки правильности построенных эпюр. Решение. Определим степень статической неопределимости: Л С0 2 Ш 3 Д 6 2 1 3 2 2 .
Следовательно, рама два раза статически неопределима. Используя симметрию заданной рамы, выберем симметричную основную систему, разделив заданную систему путем разреза по шарниру F на две отдельные рамы 1 4 F и 7 10 F , и групповые неизвестные X 1 и X 2 (рис. 1.21, б). а
б
Рис. 1.21 – Выбор основной системы а – исходная задача, б – основная система 44
Запишем в общем виде систему канонических уравнений для неизвестных X1 и X 2 : 11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0.
(1.26)
Для принятой основной системы в единичных и грузовом состояниях определяем опорные реакции и строим эпюры изгибающих моментов. Единичные и грузовое состояния и соответствующие им эпюры моментов в этих состояниях приведены на рис. 1.22, а-в.
f а
, б
в
Рис. 1.22 – Построение единичных и грузовой эпюр: а, б – единичные эпюры, в – грузовая эпюра
Вычисляем, пользуясь правилом Верещагина, коэффициенты при неизвестных ij
( i, j = 1, 2 ) и свободные члены iP ( i = 1, 2 ) системы
канонических уравнений:
45
M1 M1 1 86 2 1 88 2 dx 8 2 8 2 EJ EJ1 2 3 EJ 2 2 3
11
1 1 1024 1280 ; 256 EJ 1 2 EJ 1 3 3EJ 1 –
12 21
ђ. –
M1 M 2 1 86 2 86 2 dx 6 6 0; EJ EJ 1 2 3 2 3
22
M 2 M 2 1 66 2 288 dx 6 4 ; EJ EJ 1 2 3 EJ 1
1P
M1 MP 1 64 6 2 6 dx 8 2 8 40 20 8 EJ EJ1 2 3 6
1 2 5 40 8 2 1 64 8 8 8 1024 800 EJ 2 3 8 2 3 EJ1
1 5120 2560 1952 ; 2 EJ1 3 3 3 EJ1
2P
M 2 MP 1 64 6 2 6 dx 6 2 6 40 20 6 EJ EJ1 2 3 6
1 1368 768 600 . EJ 1 EJ 1
Рис. 1.23 – Построение суммарной единичной эпюры
Чтобы проверить коэффициенты системы уравнений, строим суммарную единичную эпюру M S (рис. 1.23) и вычисляем коэффициенты - суммарные перемещения в единичных и грузовом состояниях:
46
SS
MS MS 1 14 6 2 66 2 26 2 dx 14 62 2 EJ EJ1 2 3 2 3 2 3
1 88 2 1 1 1024 2144 8 2 392 144 8 ; EJ 2 2 3 EJ 1 2 EJ 1 3 3EJ 1
11 22
SP
1280 288 2144 2144 2144 . ; 3EJ1 EJ1 3EJ1 3EJ1 3EJ1
M S MP 1 64 6 2 6 dx 14 2 40 2 20 2 EJ EJ1 2 3 6
1 2 8 64 5 40 8 2 1 5376 8 8 200 EJ 2 3 8 2 3 EJ1 3
1 5120 2560 1 4776 1280 6056 ; 2 EJ 1 3 3 EJ 1 3 3 3EJ 1
1P 2 P
1952 1368 6056 6056 6056 . ; 3EJ1 EJ1 3EJ1 3EJ 1 3EJ 1
Проверка выполняется. Подставив найденные значения единичных и грузовых коэффициентов в систему канонических уравнений и решив ее, определим X 1 и X 2 : 1952 1280 3EJ X 1 3EJ 0 1 ; 2881 1368 X 0 EJ1 2 EJ1
X 1 1,525 кН , X 2 4,75 кН . Для получения действительной эпюры моментов M
алгебраически
сложим ординаты эпюры M P с соответствующими ординатами эпюры M 1 , умноженными на
X 1 , и ординатами эпюры M 2 , умноженными на
X2
(рис. 1.24):
M M P M 1 X1 M 2 X2 .
(1.27)
47
б
а +
+
в г +
=
Рис. 1.24 – Построение окончательной эпюры М (г) сложением эпюр: а, б – исправленные единичные эпюры, в – грузовая эпюра
Статическая проверка показана на рис. 1.25, а, б. аа
бб
Рис. 1.25 – Статическая проверка равновесия узлов Кинематическая проверка: S
M MS 1 23,3 6 2 28,5 6 2 28,5 6 2 dx 14 6 6 EJ EJ1 2 3 2 3 2 3
6 52,2 8 2 1 8 2 2 23,7 2 20 51,8 8 4 41,9 4 8 6 2 3 EJ 2 6
1 1 4339,2 3340,8 652,4 342 342 134,8 EJ1 2 EJ1 3 3
1 1 652,4 342 342 134,8 166,4 818,8 818,8 0 . EJ1 EJ1
Для построения действительной эпюры Q (рис. 1.26, а) определим значения поперечных сил на отдельных участках рамы по эпюре M : 48
Q12 0 ;
Q2 3
23,3 3,88 кН ; 6 28 ,5 4,75 кН ; 6
Q3 5
28 ,5 4,75 кН ; 6
Q56
Q6 7
52,2 6 ,525 кН ; 8
Q6 8
Q8 9
20 5 кН ; 4
Q9 10 0 .
23,7 20 0 ,62 кН ; 6
а
б
Рис. 1.26 – Построение окончательных эпюр Q (а) и N (б)
Для построения эпюры Q на участке 3-4 рассмотрим его как отдельную статически определимую балку, загруженную равномерно-распределенной нагрузкой с интенсивностью q и опорным моментом в узле 3 M оп 51,8 кН м (рис. 1.27, а). Эпюру Q34 (рис. 1.27, г) получим путем сложения эпюры перерезывающих сил от распределенной нагрузки Q3q 4 (рис. 1.27, б) и эпюры перерезывающих сил от опорного момента Q3M 4 (рис. 1.27, в).
49
а
б в
г
Рис. 1.27 – Построение эпюры Q на участке 3-4 Для построения действительной эпюры N (рис. 1.26, б) определим значения продольных сил во всех элементах рамы из условия равновесия ее узлов (рис. 1.28). По эпюрам Q и N определяем опорные реакции и проверяем условия равновесия для всей рамы (рис. 1.29).
X 0: 2 8 5 14,475 6 ,525 0 ; 21 21 0 .
Y 0 : 3,88 0,87 0,62 4,14 0 ; 4,75 4,76 0 . M5 0 :
3,88 12 2 8 4 0 ,86 6 0 ,62 12 4,14 6 5 4
14,475 8 6 ,521 8 0 ; 46 ,56 64 5,16 7 ,44 24,84 20 115,8 52,168 0 ;
50
167 ,96 167 ,968 0 .
а а
X 0:
N 2 3 0 ;
Y 0 :
N 12 3,88 кН .
X 0:
N 3 5 1,525 кН ;
Y 0 :
N 34 4,75 3,88 0 ,87 кН .
X 0:
N 6 8 5 кН ;
Y 0 :
N 10 8 0 ,62 кН .
X 0:
N 56 6 ,525 5 1,525 кН ;
Y 0 :
N 6 7 4,75 0 ,62 4,13 кН .
а б
а в
а г
Рис. 1.28 – Вспомогательные вычисления для построения эпюры N
Рис. 1.29 – Проверка равновесия рамы
51
1.8.3. Задача 3. Расчет неразрезной балки с помощью уравнения трех моментов
M
Задача 3. Построить эпюры
и
для неразрезной балки
Q
(рис. 1.45, а). Моменты инерции балки в разных пролетах постоянны. Решение. Балка дважды статически неопределима: Л С 3 5 3 2 . Расчетная схема (основная система) балки с нумерацией опор и пролетов показана на рис. 1.30, б. Для вычисления правых частей уравнений трех моментов строим эпюру изгибающих моментов, рассматривая каждый пролет как простую однопролетную балку (рис. 1.45, в). Неизвестными являются опорные моменты M 1 и M 2 (рис. 1.45, б). Составим для 1-й и 2-й промежуточных опор уравнения трех моментов:
l1 M 0 2 l1 l2 M 1 l2 M 2 6 B1Ф A2Ф Ф Ф l1 M 1 2 l2 l3 M 2 l3 M 3 6 B2 A3 ,
(1.28)
где M 0 M 3 0 ; l1 4 м ; l2 4 м ; l3 4 м . Определяем фиктивные опорные реакции: P l12 6 4 2 q l23 4 43 Ф Ф B 6 ; A2 B2 10,7 ; 16 16 24 24 Ф 1
A3Ф
M l3 24 4 4 . 4 24
Подставим известные величины в уравнения трех моментов: 16M 1 4 M 2 100,2 4M 1 16M 2 40,2.
Решив эти уравнения, найдем
M 1 6 ,01 кН м , M 2 1,01 кН м Построим эпюру опорных моментов (рис. 1.30, г). Окончательную эпюру изгибающих моментов построим путем алгебраического сложения грузовой эпюры (рис. 1.30, в) и эпюры опорных моментов (рис. 1.30, г). Окончательная эпюра моментов приведена на рис. 1.30, д.
52
а
б
в
г
д
е
ж
Рис. 1.30
Эпюру Q построим по эпюре зависимости при изгибе: 53
M , используя дифференциальные
Q2c
12,5 1,01 5,75 кН ;
Qc3
2
Для построения эпюры
11,5 5,75 кН . 2
Q на участке 1-2 рассмотрим его как
однопролетную балку (рис. 1.36 а), загруженную распределенной нагрузкой q и опорными моментами M 1 6 ,01 кН м , M 2 1 кН м . Эпюру Q12 (рис. 1.31, г) можно построить иначе, путем сложения эпюры Q q от равномерно распределенной нагрузки (рис. 1.31, б) и эпюры QM от
опорных моментов (рис. 1.31, в). Окончательная эпюра перерезывающих сил приведена на рис. 1.30, е. а
б в + г =
Рис. 1.31 Выполним проверку равновесия отсеченной от опор балки, заменив опоры реакциями связей, найденных по эпюре (рис. 1.30, ж):
Y 0 : 1,5 13,75 1,0 6 4,4 5,75 0 , 22 22 0 ; 0 0 . 1.8.4. Задача 4. Расчет неразрезной балки с построением огибающей эпюры моментов. Для
балки
(рис.
1.32,
а),
загруженной
постоянной
нагрузкой
(собственный вес балки q = 1,2 кН/м) и временной нагрузкой: распределенной 54
нагрузкой
q1 = 3 кН/м и q 2 2 кН/м , действующими в первом пролете и на
консоли, сосредоточенной силой P 10 кН
построить огибающую эпюру
моментов. а
б
Рис. 1.32 Решение. Расчет на действие постоянной и временной нагрузки произведем с помощью уравнения трех моментов (1.28). Вместо левого защемленного конца добавляем в балке пролет с нулевой длиной, правую консоль отбрасываем и заменяем ее действием момента (рис. 1.32, б). Получим неразрезную балку с шарнирными опорами, для которой составим систему уравнений трех моментов (1.29): J0 Ф J0 Ф M 1 l0 2 M 0 l0 l1 M 1 l1 6 B0 A1 ; J1 J0 M l 2 M l l M l 6 J 0 B Ф J 0 AФ . 1 1 2 2 2 1 2 J 0 1 J2 1
(1.29)
Подставляя в уравнения трех моментов все известные величины, получим A1Ф 2 4 M 0 4 M 1 6 ; 2 . B1Ф Ф 4 M 0 2 4 9 M 1 9 M 2 6 A2 . 2
Отметим, что в случае одинаковой жесткости всех пролетов балки, т.е. при J 1 J 2 приведенные длины пролетов будут равны их геометрическим
55
J J длинам: l1 l1 8 м , l2 l2 9 м , а 0 J 1 , 0 J 1 . Система уравнений трех 1 2
моментов при этом примет вид 2 8 M 0 8 M 1 6 A1Ф ; Ф Ф 8 M 0 2 8 9 M 1 9 M 2 6 B1 A2 .
Дальнейшие расчеты зависят от того, какую нагрузку мы рассматриваем. Расчет 1: на балку действует постоянная нагрузка. Тогда величина момента, заменяющего действие нагрузки на консольную часть балки, равна M 2 q
a2 22 1,2 2 ,4 . 2 2
Определяем значения фиктивных реакций A1Ф B1Ф
q l13 1,2 8 3 q l23 1,2 9 3 25,6 ; A2Ф 36 ,45 . 24 24 24 24
Подставим известные величины в уравнения трех моментов: 25,6 8 M 4 M 6 ; 0 1 2 25,6 4M 0 26M 1 9 2,4 6 36,45 , 2
или 8M 0 4M 1 76,8; 4M 0 26M 1 273,9.
После решения системы уравнений получим
M 0 4,694 кН м , M 1 9,8125 кН м . Окончательную эпюру моментов получим в результате алгебраического сложения эпюр изгибающих моментов для простых балок от заданной нагрузки (рис. 1.33 а) и от действия опорных моментов (рис. 1.33 б). Окончательная эпюра от постоянной нагрузки показана на рис. 1.33, в. Результаты всех расчетов сведем в табл. 1.2. Расчет 2: на балку действует временная нагрузка q1 , расположенная в 1-м пролете. В этом случае M 2 0 ; A1Ф B1Ф систему
уравнений
трех
моментов, 56
q1 l13 3 8 3 Ф 64 ; A2 0 . Решая 24 24
получим
M2 0 ,
M 1 4 кН м .
Окончательная эпюра от загружения 1-го пролета балки равномерно распределенной
временной
нагрузкой
q1 (рис. 1.33 в) получается
q1 алгебраическим сложением эпюр M Pq1 (рис. 1.33 г) и M ОП (см. рис. 1.33 д).
Расчет 3: на балку действует временная нагрузка в виде сосредоточенной силы P , расположенной во 2-м пролете. В этом случае M 2 0 ; A1Ф B1Ф 0 ; A2Ф
P l 22 10 9 2 50,625 . 16 16
получим
Решая систему уравнений трех моментов,
M 0 6 ,328 кН м , M 1 12,656 кН м . Эпюра для этого расчета
P (рис. 1.33, и) получена сложением эпюр M PP (рис. 1.33 ж) M ОП (рис. 1.33 з).
Расчет 4: равномерно распределенная нагрузка q 2 на консоли. Поскольку нагрузка в пролетах отсутствует, т.е. эпюра
M Pq2
нулевая, то M 2
A1Ф B1Ф A2Ф 0 . Решая систему уравнений, получим
q2 a 2 4; 2
M 0 0 ,75 кН м ,
M 1 1,5 кН м . Окончательная эпюра моментов данного загружения совпадает q2 с эпюрой M ОП (рис. 1.33, к).
Как известно, при загружении в неразрезной балке только одного пролета для ее расчета рационально использовать метод моментных фокусов. Проиллюстрируем его применение для расчета балки на временную нагрузку. Для этого находим левые и правые фокусные отношения по формулам (1.12). Поскольку левая крайняя опора балки имеет защемление, а правая – шарнирное опирание, то k1 2 , k 2 .
57
а б в г д
е
ж
з и
к л
Рис. 1.33
58
Таблица 1.2 Изгибающие моменты, кН м Координа та
Mq
сечения
M q1
MP
M q2
max M
min M
Первый пролет 0
-4,694
-22
6,398
-0,75
1,704
-27,444
0,2l1
0,427
-3,04
2,531
-0,3
2,958
-2,913
0,4l1
2,475
8,24
-1,266
0,15
10,865
1,209
0,5l1
2,347
11
-3,164
0,375
13,722
-0,817
0,6l1
1,451
11,84
-5,062
0,6
13,891
-3,611
0,8l1
-2,645
7,76
-8,859
1,05
6,165
-11,504
l1
-9,813
-4
-12,656
1,5
-8,313
-26,469
Второй пролет 0
-9,813
-4
-12,656
1,5
-8,313
-26,469
0,2l2
-0,554
-3,2
-1,125
0,4
-0,154
-4,879
0,4l2
4,817
-2,4
10,406
-0,7
15,223
1,717
0,5l2
6,044
-2
16,172
-1,25
22,216
2,794
0,6l2
6,299
-1,6
12,938
-1,8
19,237
2,899
0,8l2
3,894
-0,8
6,469
-2,9
10,363
0,194
l2
-2,4
0
0
-4
-2,4
-6,4
Консоль 0
-2,4
0
0
-4
-2,4
-6,4
0,5a
-0,6
0
0
-1
-0,6
-1,6
a
0
0
0
0
0
0
Другие фокусные отношения: k2 2
l1 1 4 1 2 2 2 2,6667 ; l2 k1 9 2
59
(1.30)
k1 2
l2 1 9 1 2 2 2 6,5 . l1 k 2 4
(1.31)
Выполним расчет балки при загружении, например, 2-го пролета и консольной части. Фиктивные реакции во 2-м загруженном пролете A2Ф B2Ф 50,625 . Так как правая опора шарнирная, то M 2 0 , k 2 , и поэтому для определения M 1 используем формулу
A2Ф 50,625 M 1 6 6 12,66 кН м ; l 2 k 2 9 2,6667 Вычисляем опорный момент M 0 : M0
M 1 12,66 6 ,33 кН м . k1 2
Эпюра моментов, построенная по значениям M 0 и M 1 , совпадает с эпюрой
M P (рис. 1.33, з), полученной с помощью уравнений трех моментов. При загружении консольной части балки имеем:
M 2 4 кН м ; остальные опорные моменты найдем по формулам (1.16) M1
M2 M 4 1,5 1,5 кН м ; M 0 1 0,75 кН м . k2 2,6667 k1 2
Соответствующая эпюра M q2 приведена на рис. 1.33, к. Объемлющая эпюра - это эпюра из расчетных ординат максимальных и минимальных значений моментов в сечениях. Для определения наибольшего момента в данном сечении к моменту от постоянной нагрузки, взятому со своим знаком, прибавляют все положительные моменты от временной нагрузки. Для определения наименьшего момента в данном сечении прибавляют все отрицательные моменты от временной нагрузки. Результаты
вычисления
ординат
объемлющей
эпюры
моментов
приведены в табл. 1.2, сама эпюра показана на рис. 1.33, л. Зная величины
60
наибольших и наименьших изгибающих моментов, можно подобрать сечение неразрезной балки и проверить ее на прочность. 1.8.5. Задача 5. Расчет статически неопределимой арки Выполнить
расчет
двухшарнирной
арки
с
затяжкой
(рис. 1.34, а). Ось арки очерчена по дуге окружности радиуса R 15 м , а моменты инерции сечений связаны зависимостью
J0 J
cos 2
. Отношение
жесткостей сечений арки и затяжки EJ 0 E F 0,4 . З З Решение. Арка имеет одну лишнюю неизвестную, один раз статически неопределима. Основную систему (рис. 1.34, б) выбираем в виде кривого бруса, разрезав затяжку.
q=2 кН/м
а
P=4 кН
y
f=6 м 14 м
x
6м
l=24 м б
y
в
s
y
x
R-f x
x R
l/2-x
г
Рис. 1.34 Составляем каноническое уравнение: 61
l/2
11 X 1 1P 0 ,
(1.32)
где X 1 – усилие в затяжке. При действии силы X 1 1 в сечениях кривого бруса (рис. 1.34, б) возникает изгибающий момент, который определяют по формуле M1 y .
Соответствующая эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 1.34, г. Эпюра моментов от внешней нагрузки равна балочной эпюре моментов (рис. 1.35):
M P M0 . а
б
Рис. 1.35 Для определения коэффициентов 11 воспользуемся формулой (1.33). При этом влиянием продольной силы, возникающей в затяжке, пренебрегать нельзя. Поэтому единичный коэффициент определим по формуле 11
M 1 M 1s X 1 X 1 l . EJ EЗ FЗ
(1.33)
Разобьем пролет арки на восемь равных частей длиной x 3 м . Из рис. 1.44, в, находим: s
l 2x y x ; cos ; sin . R R cos
Выражение для определения y как функции от окружности: 62
(1.34)
x находим из уравнения
2
l y R x R f . 2 2
(1.35)
Формулы для определения коэффициентов 11 и 1P примут вид EJ 0 11 y 2
J0 EJ l y2 s 0 x 3 0,4 l ; J E З FЗ cos
EJ 0 1P y M P
J0 MP s x y J cos3
(1.36)
.
(1.37)
Вычисления по данным формулам сведем в табл. 1.3. Таблица 1.3 №
Координаты
x
y
sin
cos
1
2
3
4
0
0
0
1
3
2
y2 cos 3
MP
MP cos 3
M
yM cos 3
5
6
7
8
9
10
0,8
0,6
0
0
0
0
0
3
0,6
0,8
17,6
52,5
308
5,5
32,2
6
4,75
0,4
0,917
29,3
87
536
12,5
77
3
9
5,7
0,2
0,98
34,5
103,5
627
14,1
85,5
4
12
6
0
1
36
102
612
7,9
47,4
5
15
5,7
-0,2
0,98
34,5
83,5
506
-5,9
-35,8
6
18
4,75
-0,4
0,917
29,3
61
376
-13,9
-83.2
7
21
3
-0,6
0,8
17,6
34,5
202
-12,5
-73.3
8
24
0
-0,8
0,6
0
0
0
0
0
сечен ия
198,8 9
20
3,69
-0,522
3167
49,8
0,846
Колонка 7 табл. 1.3 заполняется значениями моментов, возникающих в
x (рис. 1.35). Суммы значений столбцов 6 и 8 таблицы 1.3 позволяют найти величины 11 и 1P : соответствующих сечениях простой балки с координатами
y2 EJ 0 11 x 3 0,4 l 3 198,8 0,4 24 606 ; cos 63
EJ 0 1P x y
MP 3 3167 9500. cos 3
Решение канонического уравнения дает усилие в затяжке: X1
1P
11
Вычислив
9500 15,7 кН . 606
X 1 , легко найти изгибающие моменты, поперечные и
продольные силы, возникающие в произвольном сечении арки по формулам: M M P X 1 y ; Q Q0 cos X 1 sin ; N Q0 sin X 1 cos .
(1.38)
Для удобства вычисленные значения усилий записываются в табл. 1.4.
Таблица 1.4 № сечения
MP
X1 y
M
sin
cos
1
2
3
4
5
0
0
0
0
1
52,5
47
2
87
3
Q0
Q
N
6
7
8
9
0,8
0,6
20,5
-0,24
-25,8
5,5
0,6
0,8
14,5
2.19
-21,1
74,5
12,5
0,4
0,917
8,5
1,52
-17,8
103,5
89,4
14,1
0,2
0,98
2,5
-0,69
-15,9
4
102
94,1
7,9
0
1
-3,5
-3,5
-15,7
5
83,5
89,4
-5,9
-0,2
0,98
-7,5
-4,21
-16,9
6
61
74,5
-13,9
-0,4
0,917
-7,5
-0,61
-17,4
7
34,5
47
-12,5
-0,6
0,8
-11,5
0,21
-19,5
8
0
0
0
-0,8
0,6
-11,5
5,64
-18,6
9
46
57,9
-11,9
-0,522
0,846
-7,5
2,01
-17,3
-11,5
-1,37
-19,4
Ординаты окончательной эпюры моментов
M
проверяем путем
выполнения кинематической проверки. Для этого заполняем колонку 10 табл. 1.3 и складываем все значения с учетом знаков. Таким образом, суммируя те перемещения, которые вызваны изгибающими моментами, с моментами, вызванными растяжением затяжки, получим 64
x y
EJ 0 M N З l З 3 49,8 0,4 15,7 24 726,3 727,6 0 . 3 cos E З FЗ
Видим, что окончательная эпюра моментов (рис. 1.36, а) построена верно. По данным столбцов 8 и 9 табл. 1.4 построены эпюры поперечных (рис. 1.36, б) и продольных (рис. 1.36, в) сил. а
а
б
б
в
в
Рис. 1.36
Рис. 1.37
Эпюры M, Q, N построены на горизонтальной оси. Можно построить данные эпюры и на криволинейной оси арки (рис. 1.37), что позволит более наглядно показать статическую работу арки. 1.8.6. Задача 6. Расчет бесшарнирной арки Для бесшарнирной арки (рис. 1.38 а) параболического очертания y
4f x l x переменного поперечного сечения J x J 0 построить эпюру 2 l cos
изгибающих моментов. Решение. Определяем число лишних неизвестных и выбираем основную систему. Бесшарнирная арка является трижды статически неопределимой 65
системой. Для упрощения расчета основную систему выбираем симметричной (рис. 1.53, б), разрезав арку в среднем сечении и введя абсолютно жесткие консоли, к которым прикладываем неизвестные усилия X 1 , X 2 , X 3 . а
б
Рис. 1.37
Составляем систему канонических уравнений. Если выбрать длину жестких консолей, равную l/2
yC
f y J
J0
ds
0
l/2
0
J0 ds J
,
(1.39)
то добьемся полного разделения переменных, т. е. система канонических уравнений будет иметь вид 11 X 1 1P 0; 22 X 2 2 P 0; X 0. 3P 33 3
(1.40)
Учитывая, что J 0 J cos , то l/2
yC
0
4f f dx 2 l
l/2
l/2
x l x dx 0
dx
f 4 1,333 м . 3 3
0
66
В основной системе строим единичные эпюры M 1 , M 2 , M 3 , а также грузовую эпюру (рис. 1.38, а-г). Для определения коэффициентов
а и
свободных
канонических
членов
системы
уравнений
запишем
выражения для изгибающих моментов б
в основной системе отдельно для левой и правой частей арки от сил X 1 1,
X 2 1,
X3 1
и
заданной
нагрузки, приняв начало координат,
в
совпадающим с опорами и :
лев
пр
M1 M1
г
2 f y; 3
l лев пр M 2 M 2 x ; 2 лев
M3
Рис. 1.38 – Единичные (а-в) и
пр
M 3 1;
лев
M P 10 x 32 ; M пр P 5 x 24
грузовая (г) эпюры моментов
Вычислим коэффициенты
iP , пренебрегая влиянием поперечных и продольных сил: 11
M 1 M 1 ds 2 EJ x EJ 0
22
M 2 M 2 ds 2 EJ x EJ 0
l/2
0
4 f 2 l 22,755 2 ; f y dx 45 EJ 0 EJ 0 3 2
2
l3 341,333 l ; x dx 0 2 12 EJ 0 EJ 0
l/2
M 3 M 3 ds 2 l 16 33 dx ; EJ x EJ 0 0 EJ 0 EJ 0 l/2
1P
M 1 M P ds 1 EJ x EJ 0
4 ,8 3, 2 лев пр M 1 M Pлев dx M 1 M Pпр dx 0 0
67
ij ,
1 EJ 0
4 ,8 3, 2 2 2 10 x 32 f y dx 5 x 24 f y dx 3 3 0 0
162,645 ; EJ 0
2P 1 EJ 0 3P
M 2 M P ds 1 EJ x EJ 0
4,8 3, 2 лев пр M 2 M Pлев dx M 2 M Pпр dx 0 0
4 ,8 3 , 2 13,653 l l ; 10 x 32 x dx 5 x 24 x dx 2 2 EJ 0 0 0
M 3 M P ds 1 EJ x EJ 0
4 ,8 3, 2 лев пр лев M 3 M P dx M 3 M Pпр dx 0 0
3, 2 4,8 1 108,6 . 10 x 32dx 5 x 24dx EJ 0 0 EJ 0 0
Решив систему канонических уравнений, находим значения неизвестных усилий: X1 X3
1P
162,645 13,653 7 ,147 кН ; X 2 2 P 0,04 кН ; 22,755 22 341,333
3P
108,6 6 ,787 кН . 16
11
33
Умножив эпюры M 1 , M 2 , M 3 на соответствующие значения неизвестных усилий и сложив их с эпюрой от нагрузки, получим окончательную эпюру изгибающих моментов для арки (рис. 1.39).
Рис. 1.39 – Окончательная эпюра изгибающих моментов 1.8.7. Задача 7. Расчет статически неопределимой фермы Рассчитать статически неопределимую ферму (рис. 1.40, а) на действие заданной нагрузки. Площади сечения всех стержней фермы одинаковы и равны F . 68
Решение. Степень статической неопределимости:
Л С 2 У 25 2 12 1 . Заданная система один раз статически неопределима. Все дальнейшие расчеты будем заносить в табл. 1.5. Основную систему получим, разрезав горизонтальный стержень подвески 2-7 (рис. 1.40, б). Лишним неизвестным, следовательно, будет продольное усилие в этом стержне. а
P y
P 4
P=10 кН
6
9
h=1 м
1
10 3
5
x
8
h
2
7
l=8 м
б
RA
в
X1 11,18 24,5
X1 10 24,5
RB
16,2
16,2 7,7
17,3
0,96 0,96 7,7
7,7
17,3
15,5
Рис. 1.40 – Расчетная схема фермы (а); основная система (б); эпюра N фермы (в) Каноническое
уравнение
метода
сил
для
один
раз
статически
неопределимой фермы имеет вид
11 X 1 1 P 0 .
(1.41)
Следует подчеркнуть, что это уравнение выражает условие отсутствия расхождения точек в месте фиктивного разреза стержня 2-7. 69
Определим
усилия в стержнях основной
системы
от действия
неизвестного X 1 1 (при этом использовались аналитические методы s
сквозных сечений, вырезания узлов). Результаты вычислений (усилия N 1 ) записаны в табл. 1.5 в столбце 4. Вычислим усилия N P s
в основной системе от заданной внешней
нагрузки. Результаты записаны в табл. 1.5 в столбце 5. Таблица 1.5 Номера стержней
Элементы 1
s
N1
2 4-6 6-9 1-3 3-5 5-8 8-10 3-4 5-6 8-9 1-4 4-5 5-9 9-10 1-2 2-3 2-7 7-8 7-10
Верхний пояс
Нижний пояс
Стойки
Раскосы
Шпренгели
Вычислим
3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2,236 2,236 2,236 2,236 2,236 1 4 1 2,236
коэффициенты
4 1 1 -2 -2 -2 -2 -0,5 0 -0,5 1,118 0 0 1,118 1,118 -0,5 1 -0,5 1,118
5 -40 -40 30 30 30 30 0 -10 0 -33,541 11,18 11,18 -33,541 0 0 0 0 0
канонического
уравнения
6 -24,521 -24,521 -0,958 -0,958 -0,958 -0,958 -7,74 -10 -7,74 -16,235 11,18 11,18 -16,235 17,306 -7,74 15,479 -7,74 17,306
по
формуле
Максвелла-Мора:
N k N k l 1 2 2 2 12 2 4 2 2 2 0,5 1 0 2 1 EF EF k 1 c
11
2 1,1182 2,236 2 0 2 2,236 2 1,1182 2,236 2 0,5 1
12 4
52,18 . EF 70
2
N k NP l 1 2 1 40 2 4 2 30 2 EF EF k 1 c
1P
2 0,5 0 1 0 10 2 1,118 33,541 2,236 2 0 1,118 2,236 2 1,118 0 2,236 2 0,5 0 1 1 0 4
807,69 . EF
Решив каноническое уравнение метода сил, получим X1
1P
11
807,69 15,479 . 52,18
Определим действительные усилия в стержнях фермы по формуле
N N 1 X1 NP . Значения усилий показаны в табл. 1.5 в столбце 6. Эпюра показана на рис. 1.40, в. Выполним кинематическую проверку, используя табл. 1.5.
1 c 1 N N 1 l 2 24,521 1 2 4 0,958 2 2 EF0 k 1 EF
2 7,74 0,5 1 10 0 1 2 16,235 1,118 2,236 2 11,18 0 2,236 2 17,306 1,118 2,236 2 7,74 0,5 1 15,479 1 4
1 98,084 15,328 7 ,74 81,17 156,18 EF
179,254 179,248 0,006 . EF EF
Погрешность расчетов:
0,006 100% 0,003% . Вывод: ферма рассчитана 179,254
верно. Контрольные вопросы: 1. Что называется степенью статической неопределимости? Как она определяется? 2. В чем преимущества и недостатки статически неопределимых систем?
71
3. Что называется основной системой метода сил? Каким необходимым требованиям она должна отвечать? 4. Что принимается за неизвестное в методе сил? 5. Каков физический смысл коэффициентов и свободных членов канонических уравнений метода сил? 6. Каков физический смысл канонических уравнений метода сил? 7. Каковы признаки рациональной основной системы? 8. Почему при расчете рам методом сил коэффициенты канонических уравнений подсчитывают по общей формуле с учетом только одного слагаемого, учитывающего деформацию изгиба, и пренебрегают другими? Всегда ли это возможно? 9. Какие существуют промежуточные и окончательные проверки при расчете рам методом сил: сущность постолбцовой, построчной и универсальной проверок? 10. Возможные виды проверок окончательных эпюр? 11. Почему в пределах замкнутого контура рамы не может быть растяжения только внутренних (внешних) волокон?
72
2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, СМЕШАННЫМ И КОМБИНИРОВАННЫМ МЕТОДАМИ Как известно, для определения усилий в статически определимых системах
недостаточно
одних
уравнений
статики,
их
необходимо
рассматривать вместе с физическими и геометрическими уравнениями, выражающими условия деформации системы. Чтобы не решать совместно полную систему уравнений расчет, например, методом сил основывался на выделении из заданной системы статически определимой основной системы, расчет которой являлся достаточно простым. В этом случае, решение полной системы
уравнений
являющимися
расчленялось
условиями
на
решении
совместности
отдельно
деформаций
уравнений,
с
основными
неизвестными – усилиями в лишних связях, и дальнейшим решением уравнений равновесия в статически определимой основной системе, из которых определялись остальные неизвестные (опорные реакции и внутренние усилия). Расчет статически неопределимых систем в ряде случаев значительно упрощается, если за неизвестные принимать не усилия в лишних связях, а характерные перемещения – угловые и линейные перемещения узлов системы. Статически неопределимые системы можно рассчитывать различными методами. Выбор самого рационального из них, т.е. требующего наименьших трудозатрат, является важным этапом для выполнения «ручного» счета. В этих методических указаниях кратко излагаются теоретические основы расчета на действие статической нагрузки методами перемещений, смешанным и комбинированным. Приводятся примеры расчета плоских стержневых систем. Работа
предназначена
для
студентов
строительных
и
дорожно-
строительных специальностей очной и заочной форм обучения. Она может быть также использована как руководство к практическим занятиям и расчетнографическим заданиям по курсу «Строительная механика». 73
Метод перемещений является одним из наиболее распространенных методов
расчета
статически
неопределимых
систем
и
имеет
свои
преимущества. Во многих случаях его применение приводит к снижению трудоемкости вычислительных работ. В логическом отношении данный метод проще метода сил, хорошо алгоритмизируется и поэтому является более предпочтительным и эффективным при использовании ЭВМ. Трудоемкость метода перемещений (в частности, число его неизвестных) зависит от допущений. Обычно в целях упрощения, особенно при «ручном» счете, пренебрегают продольными деформациями стержней и деформациями сдвига, а также сближением концов стержней при изгибе. 2.1. Расчет статически неопределимых систем методом перемещений 2.1.1. Выбор неизвестных и основной системы При расчете рам в качестве неизвестных параметров принимаются перемещения узлов рамы, которые подразделяются на угловые и линейные. Узлами рамы следует считать места жесткого или шарнирного соединения стержней, точки излома оси стержня, места скачкообразного изменения жесткости стержня. Общее число неизвестных n складывается из угловых перемещений n у (поворотов жестких узлов) и линейных перемещений nл как жестких, так и шарнирных узлов. Число угловых неизвестных n у равно числу жестких узлов. Для подсчета числа линейных неизвестных nл необходимо заданную раму путем введения сквозных шарниров во все узлы, включая опорные, преобразовать в шарнирно-стержневую систему, степень подвижности которой определяется по формуле
W 2У С С0 ,
(2.1)
74
где У - число шарнирных узлов (в шарнирно-стержневой схеме все узлы шарнирные); С - число стержней, соединяющих узлы; С0 - число опорных связей. В расчетах можно использовать и формулу
W Л 3 Д 2 Ш С0 . Число
линейных
(2.2)
перемещений
узлов
определяется
количеством
дополнительных стержней, которые нужно ввести в шарнирную схему рамы, для того чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую. При соответствующем опыте это легко можно выяснить при визуальном анализе возможных перемещений элементов шарнирной схемы. Количество неизвестных параметров метода перемещений называют степенью кинематической неопределимости рамы. Найдем
число
неизвестных
метода
перемещений
(рис. 2.1 а). а
б
в
г
Рис. 2.1 – Схема построения основной системы
75
для
рамы
Число n у неизвестных угловых перемещений равно трем (углы поворота жестких узлов B , D , G ). Для определения числа линейных перемещений узлов nл образуем шарнирную схему, т.е. поставим шарниры во все узлы рамы (рис. 2.1 б). При этом У 7 , С 6 , С0 5 и n л W 2 7 6 5 3 . В случае использования формулы (2.2) Д 6 , Ш 5 (в узле D шарнир двойной,
а
остальные
одинарные),
С0 5 . Поэтому
nл W Л
3 Д 2 Ш С0 3 6 2 5 5 3 . Все шесть неизвестных показаны на рис. 2.1 в
штриховыми линиями.
Анализируя возможные перемещения узлов рамы, видим, что узлы A , C , G могут перемещаться только по горизонтали, а вертикальные перемещения узлов
B , C , D , G невозможны вследствие принятого допущения о нерастяжимости стержней и закрепления в узлах A , E , F . Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений, как и методом сил, выполняется в основной системе, образуемой из заданной (однако не путем устранения, а путем наложения дополнительных связей, которые бы полностью исключили возможность перемещений всех узлов рамы, рис. 2.1 г). Основную идею метода перемещений поясним на примере рамы, приведенной на рис. 2.2 а. От действия на раму заданной нагрузки q она деформируется. При этом узел 1 повернется на угол Z 1 и сместится вправо на величину Z 2 . Ввиду малости деформаций расстояние между узлами 1 и 2 после деформирования можно считать таким же, как и до него, поэтому узел 2 сместится вправо на ту же величину Z 2 , что и узел 1. Основная система метода перемещений (рис. 2.2 б) получена из заданной добавлением двух связей: заделки в узле 1 и дополнительного опорного стержня в узле 2. В результате рама превратилась в набор
однопролетных
статически
неопределимых
неподвижными узлами. 76
балок
(стержней)
с
а
б
Z1
Z2
q
в
г 4EJ/l2
Z1
l1
Z1 l2
3EJ/l1 2EJ/l2
д
е
ж
Z2
Z2
ql22/12
q
3EJ/l22 ql22/12 Рис. 2.2 – Построение эпюр метода перемещений для отдельных стержней рамы
Следует отметить, что дополнительную связь, введенную в узел 1, называют подвижной заделкой: она препятствует повороту узла, но не мешает его линейному смещению. Рассмотрим деформацию каждого из стержней в основной системе рамы.
77
От поворота узла 1 на угол Z 1 левая стойка и ригель деформируются независимо друг от друга, как показано на рис. 2.2 в, г. Левая стойка (балка с защемленными концами) изогнется при повороте левого сечения на угол Z 1 ; ригель (балка, защемленная слева и шарнирно опертая справа) при повороте первого сечения повернется на тот же угол Z 1 . При смещении узлов 1 и 2 на величину Z 2 левая и правая стойки изогнутся так, как показано на рис. 2.2 д, ж, соответственно. Кроме того, левая стойка деформируется также и от действия внешней нагрузки q (рис. 2.2 е). Если найти угол поворота Z 1 и линейное перемещение Z 2 , то можно построить эпюры изгибающих моментов от этих воздействий и, сложив их с эпюрой от внешней нагрузки на основе принципа независимости действия сил, получить суммарную (действительную) эпюру, соответствующую деформации заданной системы. Для определения Z 1 и Z 2 составляются разрешающие уравнения, суть которых в следующем. Стержень рамы, деформируясь в основной системе, «стремится» повернуть дополнительную связь (заделку), в результате чего в ней возникают соответствующие реакции (реактивные моменты) R1 R11 R12 R1P . За положительное направление для реактивных моментов примем направление по часовой стрелке. Аналогично при деформации стержней рамы от перемещения узлов 1 и 2 в дополнительной опорной связи 2 возникает противодействующая линейная реакция R2 R21 R22 R2 P . В этих выражениях первый индекс означает номер дополнительной связи, в которой возникает реакция, второй - причину возникновения реакции. Например, R12 - это реакция (реактивный момент) в заделке 1 от линейного смещения рамы Z 2 ; R2 P - линейная реакция в дополнительной связи 2 от заданной нагрузки. Поскольку в заданной системе этих дополнительных связей нет, суммарные реакции, возникающие в них, должны быть равны нулю, то есть R1 0 и R2 0 . Используя принцип 78
суперпозиции, выразим слагаемые реакций R1 и R 2 через реакции от единичных перемещений:
r11 Z 1 r12 Z 2 R1P 0; r21 Z 1 r22 Z 2 R2 P 0,
(2.3)
где r11 - реакция в первой дополнительной связи от ее поворота на угол Z 1 1 ;
r12 - реакция в этой же связи от смещения в направлении второй связи Z 2 1 и т.д. Полученные уравнения составляют систему разрешающих уравнений метода перемещений. В общем случае число дополнительных связей в основной системе равно n. При этом в узлы рамы вводятся два типа связей: упругие защемления (заделки), которые препятствуют повороту жестких узлов и не лишают их линейной подвижности; дополнительные стержни, препятствующие только линейным смещениям. В первых возникают только реактивные моменты, а вовторых - реактивные силы, направленные вдоль стержней. Дополнительные связи должны быть введены таким образом, чтобы лишить узлы рамы возможности перемещаться. Поэтому упругие защемления устанавливаются во всех жестких узлах, а дополнительные стержни
- по направлениям
предполагаемых линейных смещений узлов, что превращает шарнирную схему рамы в геометрически неизменяемую. Таким образом, основная система метода перемещений представляет собой набор статически неопределимых балок (см., например, рис. 2.1 г). 2.1.2. Система разрешающих уравнений в канонической форме Как видно из рассмотренного примера, основная система метода перемещений
эквивалентна
заданной
схеме
рамы
по
распределению
внутренних усилий, деформаций и перемещений при условии равенства нулю реакций в дополнительно введенных связях, так как в заданной системе эти связи отсутствуют. Это обстоятельство используется для составления системы разрешающих уравнений: 79
r11 Z 1 r12 Z 2 ... r1n Z n R1P 0; r Z r Z ... r Z R 0; 21 1 22 2 2n n 2P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rn1 Z 1 rn 2 Z 2 ... rnn Z n RnP 0,
(2.4)
где rik - реакция (реактивный момент или реактивная сила) в i -й ( i 1, ..., n ) дополнительной связи основной системы, вызванная единичным перемещением
k -й связи Z k 1 ( k 1, ..., n ); RiP - реакция в i -й дополнительной связи в результате действия внешней нагрузки. Для определения коэффициентов при неизвестных rik и свободных членов
RiP системы канонических уравнений необходимо предварительно построить в основной системе метода перемещений эпюры изгибающих моментов от единичных значений неизвестных перемещений Z 1 , Z 2 , ..., Z n и от внешней нагрузки. При этом используются табличные решения (табл. 2.1). Поскольку
основная
система
представляет
собой
совокупность
отделенных друг от друга защемлениями или шарнирами элементов (однопролетных статически неопределимых балок), то построение единичных и грузовой эпюр
M 1 , M 2 , ..., M n , M P не вызывает затруднений. Единичное
состояние любого элемента связано только с единичными перемещениями его концов и не зависит от состояния остальных элементов Таблица 2.1 Эпюра моментов и реакции 1
Эпюра моментов и реакции 2
80
Окончание таблицы 2.1. 1
Эпюры
2
M 1 , M 2 , ..., M n могут быть построены с помощью решений,
приведенных в табл. 2.1, от действия единичного угла поворота заделки 1 81
и единичного смещения опор 1 . Для составления таблиц (построения эпюр моментов и определения реакций) в статически неопределимых стержнях использовался метод сил. Грузовые эпюры от действия различных внешних нагрузок в основной системе строятся столь же просто, с применением решений, приведенных в табл. 2.1. Для балки с шарнирными опорами на концах решения легко находятся при любом загружении с помощью только уравнений равновесия и поэтому в таблицах не приводятся. В силу принятых допущений решения, данные в табл. 2.1, справедливы и для балок, имеющих в шарнирной опоре горизонтальную связь. 2.1.3. Вычисление коэффициентов системы канонических уравнений Единичные и грузовые коэффициенты (реакции в дополнительных связях) rik , RiP определяются статическим способом. При этом реактивные моменты в упругих защемлениях находятся из условий равновесия узлов рамы, а реакции в дополнительных опорных стержнях – из условия равновесия частей рамы, отсеченных от опорных закреплений. Направление реактивного усилия считается положительным, если оно совпадает с направлением перемещения, заданного при построении единичной эпюры. В ходе решения системы канонических уравнений определяют величины углов поворота и линейных смещений узлов заданной рамы, что позволяет построить
действительные
эпюры
внутренних
усилий
в
статически
неопределимой раме. 2.1.4. Построение действительных эпюр внутренних усилий Действительная (окончательная) эпюра изгибающих моментов строится способом суперпозиции (наложения эпюр) в соответствии с формулой
M M 1 Z1 M 2 Z 2 ... M n Z n M P , 82
(2.5)
где
M 1 , M 2 , ..., M n - эпюры изгибающих моментов в основной системе от
единичных значений неизвестных перемещений Z1 1 , Z 2 1 , ..., Z n 1 ; M P - эпюра изгибающих моментов в основной системе от действия внешней нагрузки. При построении эпюры поперечных сил используется дифференциальная зависимость поперечных сил от изгибающих моментов: Q
dM tg . dz
(2.6)
На участке, где эпюра изгибающих моментов прямолинейна, численное значение поперечной силы определяется как тангенс угла наклона эпюры к оси стержня. Поперечная сила положительна, если для совмещения оси стержня с касательной к эпюре M необходимо вращать стержень по часовой стрелке (при этом угол поворота должен быть меньше 900). На участке с криволинейным очертанием эпюр поперечная сила может быть вычислена как алгебраическая сумма двух поперечных сил Q оп и Q бал . При этом Q оп определяется как поперечная сила в шарнирно опертой на концах балке с прямолинейной эпюрой
M
(опорных моментов), полученной
соединением с помощью прямой ординат изгибающего момента на концах участка; Q бал - поперечная сила в сечении простой однопролетной шарнирной балки, загруженной внешней распределенной нагрузкой. Продольные силы N определяются из условий равновесия узлов рамы. При этом к узлам прикладываются действующие на них внешние силы, а также ранее найденные продольные силы. Узлы следует рассматривать в такой последовательности, чтобы в каждом из них было не более двух неизвестных продольных сил. 2.1.5. Проверки расчетов Проверки в методе перемещений во многом сходны с проверками в методе сил. 83
Выбирая основную систему, нужно быть особо внимательным при определении числа линейных перемещений nл и постановке соответствующих связей, поскольку ошибки выявляются лишь при проверке окончательных результатов расчета. Нужно быть также внимательным при построении единичных и грузовой эпюр в основной системе метода перемещений (они должны быть расположены строго на растянутых волокнах стержня). Избежать таких ошибок позволяет предварительное построение изогнутой оси стержня. Значения коэффициентов и свободных членов могут быть проверены так же, как и при использовании метода сил:
где
r1S
n Mi MS dx ri 1 ri 2 ...rin rik ; EJ k 1
(2.7)
rSS
n MS MS dx r1S r2 S ... rnS riS ; EJ k 1
(2.8)
rSP
n M S M P dx R1 P R2 P ... RnP RiP , EJ i 1
(2.9)
M S M 1 M 2 ... M n - суммарная единичная эпюра; M P - эпюра
изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная в преобразованной основной системе. В качестве последней может быть принята любая геометрически неизменяемая, статически определимая система, образуемая после удаления лишних связей, т.е. основная система метода сил. Первый интеграл представляет собой сумму коэффициентов i -го канонического уравнения, второй - сумму всех коэффициентов системы, третий - сумму всех свободных членов. Проверки
требуют
построения
дополнительных
эпюр,
немалых
вычислительных затрат, а также внимательности. Кроме того, как и в методе сил, они не обнаруживают ошибок, допускаемых при образовании основной системы или построении единичных и грузовой эпюр. Поэтому такие проверки не всегда применяют. 84
Следует напомнить о том, что матрица коэффициентов системы канонических уравнений метода перемещений симметрична ( rik rki ); на главной диагонали расположены только положительные коэффициенты(rii 0), а сумма элементов матрицы всегда положительна. Решение системы канонических уравнений проверяется подстановкой значений Z 1 , Z 2 , ..., Z n во все разрешающие уравнения. Полученное решение, представляющее собой перемещения узлов рамы, можно оценить визуально (направление перемещений должно соответствовать направлению действия внешней нагрузки). Для проверки окончательной эпюры M , как и в случае метода сил, используется деформационная (кинематическая) проверка. Кроме того, в отличие от метода сил, открывается дополнительная возможность найти неизвестные перемещения Z 1 , Z 2 , ..., Z n , отличные от нуля по формуле
где
*
Mi M dx Zi , EJ
*
Mi
-
эпюра
(2.10)
изгибающих
моментов
от
i -й единичной силы,
соответствующей Z i по месту и направлению и приложенной к любой статически
определимой
системе,
образованной
из
заданной;
M
-
окончательная эпюра изгибающих моментов. После
деформационной
проверки
выполняют
статическую,
т.е.
оценивают равновесие узлов, фрагментов и рамы в целом. 2.2. Особенности расчета симметричных рам При расчете симметричных рам (имеются в виду рамы, симметричные геометрически, по типу опирания и распределению жесткости) методом перемещений также, как и при расчете методом сил, можно использовать прием, называемый группировкой неизвестных. Он заключается в том, что при образовании основной системы метода перемещений дополнительные связи размещают симметрично, а их неизвестные перемещения группируют. 85
Например, для рамы (рис. 2.3, а) основная система с групповыми неизвестными ( Z 1 - симметричное, Z 2 - кососимметричное) приведена на рис. 2.3 б. а
б
Рис. 2.3 – Симметричная рама (а) и ее основная система с групповыми неизвестными (б) Данный прием позволяет обнулить ряд побочных коэффициентов, что приводит к разделению канонических уравнений на две отдельные группы. Одна из них будет содержать симметричные, а другая - кососимметричные неизвестные (рис. 2.4, 2.5). В симметричной раме, находящейся под действием симметричной нагрузки,
возникают
только
симметричные
усилия
и
деформации,
рис. 2.4 а. В связи с этим при расчете следует искать симметричные неизвестные перемещения, рис. 2.4 б. При этом перемещения, приводящие к кососимметричным деформациям рамы (кососимметричные неизвестные), заведомо равны нулю. Отметим, что без учета симметрии рама трижды кинематически неопределима. Единичная и грузовая эпюры с учетом симметрии рамы показаны на рис. 2.4 в, г. Эквивалентность основной и заданной систем выражается одним уравнением:
r11 Z 1 R1P 0 .
(2.11)
Обозначим реакции, возникающие в левой дополнительной связи (заделке), пометкой „, в правой – пометкой “. Тогда полные реакции в заделках будут определяться как суммы соответствующих компонентов:
rik rik rik , или rik rik 2 ; RiP RiP RiP . 86
(2.12)
а
б
в
г
д
е
Рис. 2.4 – Расчет симметричной рамы на симметричную нагрузку В случае действия симметричной нагрузки реакции r11 и R1 P можно определить, рассматривая равновесие только одного узла рамы, например левого (рис. 2.4 д, е): ql12 2EJ1 4EJ 2 ; . R r11 1P 12 l1 l2
При действии на симметричную раму кососимметричной нагрузки в ней возникают только кососимметричные неизвестные перемещения. При этом перемещения, приводящие к симметричным деформациям (симметричные неизвестные), заведомо равны нулю. Например, для рамы (рис. 2.5 а) при действии кососимметричной нагрузки основная система имеет вид, показанный на рис. 2.5 б. При этом система канонических уравнений запишется так:
r22 Z 2 r23Z3 R2 P 0; r32 Z 2 r33Z3 R3 P 0.
(2.14) 87
а
б
в
г
д
е
ж
з
и
к
Рис. 2.5 - Расчет рамы на кососимметричную нагрузку
88
Вырезая узлы рамы, например, левый, и рассекая стойки замкнутым сечением в единичном и грузовом состояниях (рис. 2.5 в-д), определим единичные и грузовые коэффициенты канонических уравнений (рис. 2.5 е-к):
6 EJ 1 4 EJ 2 2; l1 l2
M 2 0 : r22 r22 2 r23
ql22 6 EJ 2 r23 2 2 2 ; R2 P 2; 12 l2
X 0:
r33
12 EJ 2 12 EJ 2 24 EJ 2 ql2 ql2 R ql2 . ; 3P 2 2 l22 l22 l22
Если на симметричную раму действует произвольная нагрузка, то ее можно разложить на симметричную и кососимметричную составляющие с последующим решением двух отдельных задач либо с использованием приема группировки неизвестных. 2.3. Особенности расчета статически неопределимых рам с наклонными стойками Наличие в статически неопределимых рамах наклонных (неортогонально соединенных) элементов приводит к заметному усложнению их расчета методом перемещений. Покажем это на примере рамы, изображенной на рис. 2.6 а. Выберем для нее основную систему метода перемещений, построим единичные и грузовую эпюры и определим коэффициенты канонических уравнений. а
б
в
Рис. 2.6 – Рама с наклонными стержнями (а) и ее основные системы (б,в) 89
Примем основную систему метода перемещений, показанную на рис. 2.6 б, в. При этом дополнительную линейную связь можно поставить по-разному: либо перпендикулярно наклонному стержню (рис. 2.6 б), либо вдоль горизонтального элемента (рис. 2.6 в). В обоих случаях будут устранены линейные перемещения узлов рамы. Единичная
M 1 (рис. 2.7 а) и грузовая M P (рис. 2.7 д) эпюры строятся без
каких-либо осложнений с использованием табличных решений. При этом из равновесия узла 2 определяются коэффициенты r11 , R1 P (рис. 2.8 а, д): r11
ql 2 4 EJ 1 3 EJ 2 ; R1 P 1 . 12 l1 l2
а
б
г
в
д
Рис. 2.7
Сложности появляются при построении эпюры
M 2 от линейного
единичного смещения узла 3 Z 2 1 (при этом возникает эпюра моментов в горизонтальном элементе 2-3). Предварительно нужно построить план перемещений
шарнирно-стержневой
схемы 90
рамы
(рис.
2.7
б).
Все
составляющие перемещений узлов, необходимые для построения эпюры
M2,
приведены на рис. 2.7 в. При этом возникает взаимное поперечное смещение концов наклонного элемента и ригеля 1 и 2 . По данной эпюре (рис. 2.7 г) из условия равновесия узла 1 (рис. 2.8 б) определим коэффициент r12 :
r12
3 EJ 2 6 EJ 1 1 . 2 l 22 l12
а
б
в
г
д
е
ж
з
и
Рис. 2.8 – Определение коэффициентов системы канонических уравнений
Отметим еще одну особенность, которая возникает при определении реакций в дополнительной линейной связи в узле 3 (коэффициентов r21 , r22 и
R2 P ), исходя из условия
X 0 . В это уравнение, кроме значений известных
поперечных сил и искомой реакции, входят значения продольных сил в наклонном элементе. Для их определения вырежем левый узел рамы, а затем из условий равновесия правого узла найдем искомые коэффициенты (рис. 2.8 г-и):
91
X1
6 EJ 1 3 EJ 2 2 sin N 23 cos 0 : l12 l2
6 EJ 3 EJ 1 N 2 3 2 1 2 2 tg ; l1 cos l2 6 EJ 1 1 3 EJ 2 2 tg ; 2 l cos l 1 2
X 0 ; r21 N 23 X1
3 EJ 2 12EJ 1 sin N 23 cos 0 : 1 2 l3 l13 2
12EJ 1 3 EJ N 23 3 1 1 3 2 2 tg ; l1 cos l 2 12EJ 1
X 0 ; r22 N 23
X1
l13
1 3 EJ 1 3 2 2 tg ; cos l 2
ql1 1 ql1 N 2 3 cos 0 : N 2 3 ; 2 cos 2
1 ql . R2 P N 2 3 1 2 cos
2.4. Учет упругой податливости опор при расчете стержневых систем Опорные устройства реальных сооружений и конструкций обладают определенной податливостью, которую нередко приходится учитывать при составлении их расчетных схем. Упруго-податливой связью (упруго смещающейся опорой) считают такую связь, перемещение которой пропорционально действующей на нее нагрузке (реакции). Упругими характеристиками таких опор являются коэффициенты податливости или жесткости, которые должны быть заданы заранее. Под коэффициентом податливости понимается перемещение опоры, вызванное единичной силой. Например, коэффициентом податливости такой опоры, которую можно представить в виде стержня (рис. 2.9 а) длиной l и с 92
поперечным сечением A (укорочение u P l Коэффициентом жесткости k
EA
), является число
l . EA
(жесткостью опоры) называется величина,
обратная податливости, то есть k
1
EA (рис. 2.9 б). l
а
б
P
R u
u
l
k EA
Рис. 2.9 – Определение коэффициента податливости опоры в виде стержня
При этом P R , а величины l и EA подбирают так, чтобы
1 l . k EA
Коэффициент жесткости представляет собой величину силы, необходимой для единичного смещения опоры. В
качестве
примера
системы,
в
которой
учитывается
упругая
податливость опорных связей, рассмотрим неразрезную балку (рис. 2.10 а). Ее левая опора представляет собой заделку, упруго сопротивляющуюся повороту (упругая моментная связь), а промежуточная опора - сосредоточенную упругую опору в виде пружины. Коэффициенты жесткости опор k1 , k 2 считаем заданными. Основная
система,
используемая
при
расчете
балки
методом
перемещений, показана на рис. 2.10 б. Неизвестными являются углы поворота поперечных сечений балки в точках 1 и 2, а также линейное вертикальное перемещение опоры 2. Единичные и грузовая эпюры приведены на рис. 2.10 в-е. 93
При вычислении коэффициентов r11 и r33 в их выражения войдут коэффициенты
жесткости
k1
заделки
и
промежуточной
опоры
k2
соответственно как реакции, возникающие в упругих моментной и линейной связях от Z1 1 и Z 3 1 : r11
12EJ 3 EJ 4 EJ k1 ; r33 3 3 k 2 . l1 l2 l1
а
б
в
г
д
е
Рис. 2.10 – Расчетная схема (а), основная система (б), эпюры для расчета балки методом перемещений (в-е) В дальнейшем расчет балки идет согласно обычному алгоритму метода перемещений. 94
2.5. Смешанный и комбинированный методы расчета статически неопределимых систем При
расчете
многих
рам
(рис.
2.11
а),
а
также
различных
комбинированных систем, например в виде рам с элементами арочного типа (рис. 2.11 б), использование какого-либо одного из классических методов (сил или перемещений) оказывается выгодным для одной части системы и невыгодным для другой. В этом случае рациональнее прибегать к методу сил для расчета одной части и методу перемещений для другой. А
б
Рис. 2.11 – Примеры стержневых систем Метод расчета, при котором одна часть неизвестных представляет собой силы, а другая - перемещения, получил название смешанного метода. Он является результатом синтеза методов сил и перемещений, используется для расчета стержневых систем, имеющих в одной части большое количество лишних связей и низкую степень кинематической подвижности, а в другой, наоборот,
-
небольшое
число
лишних
связей
и
высокую
степень
кинематической подвижности. Возникновение смешанного метода связано главным образом со стремлением уменьшить число основных неизвестных, а значит, и количество разрешающих алгебраических уравнений. В условиях ручного счета это обстоятельство было основным при определении трудоемкости расчета. В настоящий период при современном развитии ПЭВМ и наличии огромного числа всевозможных стандартных и универсальных программ решения систем линейных алгебраических уравнений и расчета различных стержневых систем оно потеряло свою актуальность. Тем не менее смешанный метод, как и методы сил и перемещений, используется для «ручного» расчета стержневых систем, имеющих сравнительно невысокую степень статической неопределимости. 95
Как было отмечено выше, основная система смешанного метода содержит элементы методов сил и перемещений одновременно. При расчете некоторых стержневых систем удобно комбинировать вышеназванные методы (без их объединения в одной основной системе). Подобный способ называют комбинированным способом расчета. Он предназначен для расчета симметричных стержневых систем и заключается в разложении произвольной нагрузки на симметричную и кососимметричную составляющие, с последующим расчетом системы на действие каждой из них методами перемещений и сил соответственно. При этом рассматриваемая задача представляется в виде суммы двух более простых задач. В заключение рассмотрим примеры выбора рационального метода расчета
для
схем
статически
неопределимых
стержневых
систем
(рис. 2.12). Для выбора рационального метода расчета найдем общее число неизвестных по методам сил и перемещений. а
б
в
г
д
е
ж
Рис. 2.12 - Варианты стержневых систем
96
Для
расчета
системы
(рис.
2.12
а)
по
методу
сил
о W C0 2 Ш 3 Д 7 2 4 3 4 3 ; по методу перемещений n n у nл 2 2 4 . В случае действия на раму произвольной нагрузки наиболее рациональным будет комбинированный метод (рис. 2.13 а). При этом на симметричную составляющую нагрузки производится расчет методом перемещений ( n 1), а на кососимметричную - методом сил с использованием групповых неизвестных. а
б
в
г
д
е
ж
Рис. 2.13 – Варианты основных систем для конструкций рис. 2.12
97
2.6. Примеры расчета плоских статически неопределимых рам методом перемещений, смешанным комбинированным 2.6.1. Задача 1. Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений Для рамы (рис. 2.14 а) построить эпюры
M , Q , N методом
перемещений и выполнить необходимые проверки. Решение. Найдем число неизвестных метода перемещений. Число неизвестных углов поворота n у 1 , так как заданная рама имеет один жесткий узел. Для определения числа независимых линейных смещений nл врезаем во все жесткие узлы рамы (рис. 2.14 а), включая опорные, шарниры, превращая ее в шарнирно-стержневую систему (рис. 2.14 б). а
б
в
Рис. 2.14 – Расчетная схема (а) и основная система (в) рамы
Для того чтобы преобразовать шарнирную схему в геометрически неизменяемую
систему,
достаточно
ввести
один
опорный
стержень,
препятствующий горизонтальному смещению узлов 4, 5, 6. Таким образом, рама имеет одно независимое линейное перемещение: n л 2 У С С0 98
2 7 6 7 1 . Общее число неизвестных
n n у n л 1 1 2 , т.е. рама
дважды кинематически неопределима. Образуем основную систему метода перемещений. Для этого введем в жесткий узел 5 дополнительную упругую заделку, препятствующую его повороту, а по направлению линейного смещения (вдоль ригеля рамы) линейную горизонтальную связь, препятствующую линейному смещению ригеля (рис. 2.14 в). Обозначим неизвестные: угол поворота упругой заделки -
Z 1 , линейное перемещение - Z 2 (рис. 2.14 в). Запишем систему канонических уравнений метода перемещений.
r11 Z 1 r12 Z 2 R1P 0; r21 Z 1 r22 Z 2 R2 P 0. Для определения ее коэффициентов строим единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов в основной системе. Для единичных эпюр
M1 и
M 2 используем табл. 2.1, задавая заделке единичный угол поворота Z1 1 по ходу часовой стрелки (рис. 2.15 а), а по направлению введенной линейной связи - перемещение Z 2 1 (рис. 2.15 б). Грузовая эпюра M P имеется только на тех стержнях, к которым приложена внешняя нагрузка (рис. 2.15 в). а
б
в
Рис. 2.15 – Единичные (а, б) и грузовая (в) эпюры моментов 99
Определим коэффициенты и свободные члены системы канонических уравнений, рассмотрев равновесие жесткого узла и отсеченной горизонтальной части рамы. Результаты сведем в табл. 2.2. Таблица 2.2 Схема
Уравнения равновесия
1
2
Состояние 1 (эпюра
M 1)
Величина коэффициента 3
M5 0: r11 3EJ 0 ,75EJ
r11 8 ,5EJ
4 EJ 0 ,75 EJ 0
Состояние 2 (эпюра
M2)
M5 0: r12 3 EJ 1,5 EJ 0
Состояние 1 (эпюра
M 1)
X 0: r21 3EJ 1,5 EJ 0
Состояние 2 (эпюра
r12 1,5 EJ
r21 1,5 EJ
X 0:
M2)
r22 0,75EJ 0,75EJ
r22 4,5 EJ
3 EJ 0
Грузовое состояние (эпюра M P )
M5 0: R1 P 2 1 2 0
Грузовое состояние (эпюра M P )
X 0: 100
R2 P 2 2 0
R1 P 1
R2 P 4
Побочные коэффициенты r12 и r21 равны между собой, а главные коэффициенты r11 и r22 положительны. Подставим их величины в систему уравнений:
8,5 EJ Z 1 1,5 EJ Z 2 1 0; 1,5 EJ Z 1 4,5 EJ Z 2 4 0. В результате решения находим значения неизвестных: Z1
0 ,042 0 ,903 ; Z2 . EJ EJ
Проверим правильность значений Z 1 и Z 2 , подставив их в систему уравнений:
8,5 0,042 1,5 0,903 1 0; 1,5 0,042 4,5 0,903 4 0;
0,357 1,355 1 0; 0,063 4,063 4 0.
Строим исправленные единичные эпюры. Для этого умножаем ординаты эпюры
M 1 на найденное значение Z 1 (рис. 2.16 а), а ординаты M 2 - на значение
Z 2 (рис. 2.16 б). а
б
Рис. 2.16- Исправленные эпюры моментов
Действительную (окончательную) эпюру M строим сложением грузовой
M P и исправленных эпюр (рис. 2.17 а). Проверяем эпюру M статически и кинематически (деформационно). В первом случае вырежем узел 5 на эпюре M (рис. 2.18) и рассмотрим его равновесие:
M 5 1,968 1,541 2,0 1,48 0,031 0 . 101
а
б
в
Рис. 2.17 – Окончательные эпюры *
Во втором случае строим эпюру M 1 от силы X 1 1 в выбранной по методу сил основной системе (рис. 2.19). Умножив ее на эпюру M , определим перемещение по направлению X 1 :
M1 M 1 1 2 1 1 1 dx 2 1,541 2 2 0,958 3 2 1,48 2 EJ 2 EJ 2 3 2 EJ 6 *
1,541 3 0,958 2
1 2 0,958 3 2 3,625 4 0,958 4 3,625 3 6
1 0,01 0,986 1,522 2,524 . EJ EJ
Погрешность равна
0 ,01 100 % 0 ,6 % . 1,52
Рис. 2.18 – Проверка
Рис. 2.19 – Единичная эпюра
равновесия узла
102
Построим эпюры Q и N . На участках 1-4, 4-5, 5-7, 2-5 определим поперечные силы, используя дифференциальные зависимости Q от M : 1,355 0 ,677 кН ; 2 1,481 0 ,74 кН ; 2
0 ,031 0 ,008 кН ; 4 3,625 0,958 4,583 кН ; 1
Q14
Q4 5
Q5 7
Q28
Q5 8
1,541 0 ,958 0 ,583 кН . 1
Рис. 2.20 – Участок рамы с нелинейной эпюрой момента На участке 5-6 величину поперечных сил определим как алгебраическую сумму поперечных сил Q M и Q бал . При этом данный участок представляется в виде простой однопролетной балки (рис. 2.20):
Q56 Q5M6 Q5бал 6
M 56 ql l 2
1,968 1 4 2,492 кН ; 4 2
Q6 5
M 56 ql 1,968 1 4 1,508 кН . l 2 4 2
Продольные силы определим по найденным величинам поперечных сил, исходя из условий равновесия узлов рамы (рис. 2.21). Эпюры Q и N показаны на рис. 2.17 б, в. Выполним окончательные проверки эпюр
M , Q , N , рассмотрев
равновесие рамы в целом. Для этого рассечем раму на уровне опор замкнутым сечением и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 2.22). 103
а
б
в
Рис. 2.21 – Определение продольных сил и равновесия узлов
Рис. 2.22 – Проверка равновесия рамы в целом Составим три уравнения равновесия:
X 0 : 0,677 4,583 2 0,74 4 6 6 0 ; Y 0 : 0,008 2,5 1,508 1 4 4,008 4,008 0 ; M 5 0 : 0,008 4 0,667 2 1,355 4,583 2 3,625 1,508 4 2 4 1 1 4 2 0 ,74 2 0 ,032 1,334 1,355 9 ,166 3,625 6 ,032 2 4 8 1,48 18 ,52 18 ,5 0 .
2.6.2. Задача 2. Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений Для рамы (рис. 2.23) построить эпюры M ,
Q,
N методом перемещений
и выполнить необходимые проверки. Решение. Определим число неизвестных метода перемещений. Число неизвестных углов поворота n у 2 , так как заданная рама имеет два жестких узла. Для определения числа независимых линейных смещений nл врезаем во
104
все жесткие узлы рамы (рис. 2.23 а), включая опорные, шарниры. В итоге рама превращается в шарнирно-стержневую систему (рис. 2.23 б). а
б
в
Рис. 2.23 – Расчетная схема (а) и основная система (в) рамы Для того чтобы преобразовать шарнирную схему в геометрически неизменяемую
систему,
достаточно
ввести
один
опорный
стержень,
препятствующий горизонтальному смещению узлов 3, 4. Таким образом, заданная
рама
n л 2 У С С0
имеет
одно
независимое
25 4 5 1.
Общее
линейное
перемещение:
число
неизвестных
n n у n л 2 1 3 , т.е. рама трижды кинематически неопределима. Образуем основную систему метода перемещений. Для этого введем в жесткие узлы 2, 3 дополнительные упругие заделки, препятствующие повороту узлов, а по направлению линейного смещения (вдоль ригеля рамы) горизонтальную связь, препятствующую ему (рис. 2.23 в). Обозначим неизвестные: углы поворота упругих заделок - Z 1 , Z 2 , линейное смещение -
Z 3 (рис. 2.23 в). Запишем систему канонических уравнений метода перемещений: 105
r11 Z 1 r12 Z 2 r13 Z 3 R1P 0; r21 Z 1 r22 Z 2 r23 Z 3 R2 P 0; r Z r Z r Z R 0. 3P 31 1 32 2 33 3 Для определения ее коэффициентов строим единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов в основной системе. Для единичных эпюр
M2,
M 1,
M 3 используем табл. 1, задавая упругим заделкам единичные углы
поворота Z1 1 , Z 2 1 по ходу часовой стрелки (рис. 2.24 а), а по направлению введенной линейной связи - перемещение Z 3 1 (рис. 2.24 б). Грузовая эпюра M P имеется только на тех стержнях, к которым приложена внешняя нагрузка (рис. 2.24 в). а
б
в
г
Рис. 2.24 – Единичные (а-в) и грузовая (г) эпюры моментов Найдем единичные и грузовые коэффициенты первого ( r11 , r12 , r13 , R1P ), второго ( r21 , r22 , r23 , R2 P ) и третьего ( r31 , r32 , r33 , R3 P ) уравнений, рассматривая соответственно равновесие узлов 2, 3 и горизонтальной отсеченной части рамы. Результаты сведем в табл. 2.3. 106
Таблица 2.3 Схема
Уравнения равновесия
1
2
Состояние 1 (эпюра
M 1)
M2 0: r11 0,25EJ 1,2 EJ 0
Состояние 2 (эпюра
Величина коэффициента 3
r11 1,45EJ
M2)
M 2 0 : r12 0,6 EJ 0
r12 0,6 EJ
M 2 0 : r13 0,36 EJ 0
r13 0,36 EJ
M 3 0 : r21 0,6 EJ 0
r21 0,6 EJ
Состояние 3 (эпюра M 3 )
Состояние 1 (эпюра
Состояние 2 (эпюра
M 1)
M2)
M3 0: r22 1,2 EJ 0,667 EJ 1,5 EJ 0
107
r22 3,367 EJ
Продолжение таблицы 2.3 1 Состояние 3 (эпюра M 3 )
2
3
M3 0:
r23 0,2489EJ
r23 0,36 EJ 0,1111EJ 0 Состояние 1 (эпюра
Состояние 2 (эпюра
M 1)
X 0 : r31 0,36 EJ 0
r31 0,36 EJ
X 0:
r32 0,2489EJ
M2) r32 0,36 EJ 0,1111EJ 0
Состояние 3 (эпюра M 3 )
X 0: r33 0,144EJ
r33 0,1687EJ
0,0247EJ 0
Грузовое состояние (эпюра M P )
M 1 0 : R1P 11,25 0
R1P 11,25
M 2 0 : R2 P 0
R2 P 0
X 0 : R3 P 0
R3 P 0
Грузовое состояние (эпюра M P )
Грузовое состояние (эпюра M P )
108
Подставим значения коэффициентов в систему уравнений:
1,45EJ Z 1 0,6 Z 2 0,36 Z 3 11,25 0; 0,6 Z 1 3,3667 Z 2 0,2489 Z 3 0; 0,36 Z 0,2489 Z 0,1687 Z 0. 1 2 3 Решим систему уравнений, используя ПЭВМ: Z1
16,5388 0,3798 34,7327 ; Z2 ; Z3 . EJ EJ EJ
Проверим правильность решения, подставив его значения в систему уравнений:
1,45 16 ,5388 0,6 0,3798 0,36 34,7327 11,25 0; 0,6 16 ,5388 3,3667 0,3798 0,2489 34,7327 0; 0,36 16 ,5388 0,2489 0,3798 0,1687 34,7327 0. 11,25 11,25 0; 9,9232 9,241 0; 5,954 5,954 0. Действительную (окончательную) эпюру M строим сложением грузовой эпюры M P (рис. 2.24 г) и исправленных эпюр (рис. 2.25 а-в). Выполним статическую проверку окончательной эпюры моментов M . Для этого вырежем узлы 2, 3 (рис. 2.26 а, б) и рассмотрим их равновесие. *
Для кинематической (деформационной) проверки строим эпюру M 1 от силы X 1 1 в выбранной по методу сил основной системе (рис. 3.19). «Умножив» ее на окончательную эпюру M , определим перемещение по направлению X 1 :
M1 M 1 1 2 1 3,6054 3,7321 1 dx 2 2 0,5698 29 EJ EJ 2 3 2 1,5 EJ 1 0,0005 0,7597 0,7602 . EJ EJ *
Погрешность равна
0,0005 100 % 0,07 % . 0,7602
109
а
б
в
г
Рис. 2.25 – Исправленные (а-в) и окончательная (г) эпюры моментов а
б
Рис. 2.26
Рис. 2.27 Построим эпюры Q и N . Определим поперечные силы, используя дифференциальные зависимости Q от M :
110
Q
dM tg . dz
Тогда: 11,4424 7 ,1153 3,0920 кН ; 6
Q16
11,4421 1,9071 кН ; 6
Q2 3
7 ,1149 3,0364 3,7321 3,6054 0,8157 кН ; Q35 0,8153 кН ; 5 9
Q34
Q6 2
0,5698 0,2849 кН . 2
Продольные силы найдем по известным величинам поперечных сил, исходя из условий равновесия узлов рамы (рис. 2.28 а, б).
а
б
Рис. 2.28 – Определение продольных сил из равновесия узлов
Эпюры Q и N показаны на рис. 2.29 а, б. а
б
Рис. 2.29 – Окончательные эпюры поперечных и продольных сил 111
Рис. 2.30 – Проверка равновесия рамы в целом
Выполним окончательные проверки эпюр M , Q , N (равновесие рамы в целом). Для этого рассечем раму замкнутым сечением на уровне опор и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 2.30). Составим три уравнения равновесия:
X 0 : 0,8157 0,8153 0 ; Y 0 : 1,9071 5 2,8081 0,2849 5,0001 5 0 ;
M 3 0 : 1,9071 12 5 6 0,8157 5 0,2849 2 3,7321 0,8153 9 22,8852 30 4,0785 0,5698 3,7321 7 ,3377 34,3014 34,3019 0 .
2.6.3. Задача 3. Расчет симметричной статически неопределимой рамы методом перемещений Для симметричной рамы (рис. 2.31 а) методом перемещений построить эпюру изгибающих моментов M . Решение. Определим число неизвестных метода перемещений. Число неизвестных углов поворота n у 2 , так как заданная рама имеет два жестких узла. Число независимых линейных смещений n л 1 , так как соответствующей шарнирной системе недостает одной горизонтальной связи, чтобы стать неизменяемой. Общее число неизвестных n n у n л 2 1 3 .
112
а
б
в
Рис. 2.31 – Расчетная схема рамы (а) и выбор основной системы (б,в)
Образуем основную систему метода перемещений. Для этого введем в жесткие узлы дополнительные упругие заделки, препятствующие их повороту, а по направлению линейного смещения (вдоль верхнего ригеля рамы) линейную горизонтальную связь, препятствующую линейному смещению ригеля (рис. 2.31 б). Поскольку рама симметрична, сгруппируем угловые неизвестные (рис. 2.31 в). Запишем систему канонических уравнений метода перемещений.
r11 Z 1 r12 Z 2 r13 Z 3 R1P 0; r21 Z 1 r22 Z 2 r23 Z 3 R2 P 0; r Z r Z r Z R 0. 3P 31 1 32 2 33 3 Для определения ее коэффициентов построим единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов в основной системе. Для единичных эпюр
M1 и
M 2 от одновременного поворота левого и правого узлов рамы на величину Z1 1 и Z 2 1 (рис. 2.33 а, б) используем табл. 1, задавая последовательно 113
заделкам рамы единичные углы поворота Z1 1 , Z 2 1 и складывая
M 3 строим от перемещения
соответствующие эпюры (рис. 2.32 а, б). Эпюру
Z 3 1 (рис. 2.33 в). Грузовая эпюра имеется только на тех стержнях, к которым приложена внешняя нагрузка (рис. 2.33 г). а
б Z=1
2EJ/l
Z=1
4EJ/l
4EJ/l
+
+ Z=1
2EJ/l
Z=1 2EJ/l
4EJ/l
=
2EJ/l
Z=1
Z=1
=
Z=1
2EJ/l 6EJ/l
4EJ/l
Z=1 6EJ/l
Рис. 2.32 – Построение единичных эпюр при симметричном и кососимметричном воздействии Определим коэффициенты и свободные члены системы канонических уравнений. Результаты сведем в табл. 2.4. Подставив значения коэффициентов в систему канонических уравнений, получим одно уравнение с симметричным неизвестным и систему двух уравнений с кососимметричными неизвестными, независимых друг от друга:
8 EJ Z1 2 0 ; 2 12 EJ Z EJ Z 3 3 0 2 3 2 2 EJ Z 2 EJ Z 3 3,5 0 . 9 3 114
а
б
в
г
Рис. 2.33 – Единичные (а-в) и групповая (г) эпюры
Таблица 2.4 Схема
Уравнения равновесия
1
2 M4 0 :
Состояние 1 (эпюра
M 1)
r11 EJ EJ EJ EJ 0 ;
M5 0 : r11 EJ EJ EJ EJ 0 Состояние 2 (эпюра
M2)
Величина коэффициента 3
r11 r11 r11 4 EJ 4 EJ
8 EJ
M4 0 : r12 EJ EJ EJ 3EJ 0 ;
r12 r12 r12
M5 0 :
6 EJ 6 EJ 0
r12 EJ EJ EJ 3EJ 0 115
Продолжение таблицы 2.4 1 Состояние 3 (эпюра
Состояние 1 (эпюра
2
M3)
M 1)
3
M 4 0 : r13
EJ 0; 3
M 5 0 : r13
EJ 0 3
r13 r13 r13 0
M4 0 : r21 EJ EJ EJ EJ 0 ;
M5 0 :
r21 r21 r21 0
r21 EJ EJ EJ EJ 0 Состояние 2 (эпюра
M2)
M4 0 : r22 EJ EJ EJ 3 EJ 0 ;
M5 0 :
r22 r22 r22 6 EJ 6 EJ
12EJ
r22 EJ EJ EJ 3EJ 0 Состояние 3 (эпюра
M3)
EJ r 0; : M 0 23 4 3
M 5 0 : r23 Состояние 1 (эпюра
Состояние 2 (эпюра
M 1)
EJ 0 3
X 0 : r31
EJ EJ 0 3 3
X 0 : r32
EJ EJ 0 3 3
M2)
116
r23 r23 r23
EJ EJ 3 3
2 EJ 3
r31 0
r32
2EJ 3
Окончание таблицы 2.4 1 Состояние 3 (эпюра
2
M3)
X 0 : r33
3
EJ EJ 0 9 9
r33
2 EJ 9
Грузовое состояние (эпюра M P )
M 4 0 : R1P 1 1,5 0 ; M 5 0 : R1P 1 1,5 0
R1 P R1P R1P 0 ,5 2,5 2
Грузовое состояние (эпюра M P )
M4 0 : R2 P 1 1,5 0 ;
M5 0 :
R2P 1 1,5 0
R2 P R2 P R2P 0 ,5 2,5 3
Грузовое состояние (эпюра M P )
X 0 : R 3P 3,5 0
R 3P 3,5
В результате решения находим значения неизвестных:
Z1
0 ,25 0 ,75 18 , Z2 , Z3 . EJ EJ EJ
Действительную (окончательную) эпюру способом наложения, складывая грузовую (рис. 2.34 а-в). 117
M (рис. 2.34 г) строим
M P и исправленные эпюры
а
б
в
г
Рис. 2.34 – Исправленные (а-в) и окончательная (г) эпюры моментов
Выполняем статическую проверку эпюры M . Для этого вырезаем узлы 4 и 5 на эпюре M (рис. 2.35) и рассматриваем их равновесие. а
б 5
5,5
4
5
1,5
1
0,5
3
2,5
2
Рис. 2.35 – Проверка равновесия узлов
118
2.6.4. Задача 4. Расчет статически неопределимой рамы смешанным методом Требуется рассчитать статически неопределимую раму постоянной жесткости (рис. 2.36 а). Решение. Для выбора рационального метода расчета вначале найдем общее число неизвестных по методам сил и перемещений. Степень статической неопределимости:
Л С0 2 Ш 3 Д 7 2 0 3 1 4 . Степень кинематической неопределимости:
n n у n‘л 2 1 3 . Таким образом, рама четыре раза статически и три раза кинематически неопределима. Основные системы для методов сил и перемещений показаны на рис. 2.36 б, в соответственно. а
б
X4
X1 X3
в
X2
г
Рис. 2.36 – Расчетная схема (а) и основные системы (б-г) рамы
Определение общего числа неизвестных по смешанному методу. Для удобства подсчета мысленно проведем сечение 1 (рис. 2.36 г), «разделяющее» раму на две части, одна из которой обладает высокой статической, а другая высокой кинематической неопределимостью. В данном случае это будут 119
нижняя и верхняя части соответственно. Результаты подсчета представим в табл. 2.5. Таблица 2.5 Метод сил 4 1 3
Метод перемещений 3 2 1
Смешанный метод 2 Верхняя часть Нижняя часть
Как видно из данной таблицы, для верхней части более выгодным является метод сил, а для нижней - метод перемещений. Таким образом, рациональным является смешанный метод расчета. Окончательно имеем два неизвестных по смешанному методу: одно (по методу сил) в верхней части рамы и одно (по методу перемещений) в нижней ее части. Если применять только метод сил или только метод перемещений, то число неизвестных будет большим. Основную систему смешанного метода получим из заданной следующим образом: одновременно «отбросим» лишнюю связь (вертикальный опорный стержень) в верхней части рамы и введем дополнительную связь (упругую заделку) в узел 3 ее нижней части (рис. 2.36 г). Неизвестными приняты реакция
X 1 в связи 6 и угол поворота Z 2 узла 3. Составление
канонических
уравнений.
Эквивалентность
основной
системы (рис. 2.36 г) заданной (рис. 2.36 а) выражается системой уравнений
Z 2 1P 0; 11 X 1 12 X 1 r22 Z 2 R2 P 0. r21 Первое
уравнение
отрицает
перемещение
по
направлению
«отброшенной» связи, а второе - полную реакцию в дополнительной связи (заделке) от совместного действия X 1 , Z 2 и заданной нагрузки.
, r21 называются смешанными. Коэффициент r21 Коэффициенты 12 - из определяется из условия равновесия узла 3 с дополнительной связью, а 12 120
r21 . теоремы о совместности реакций и перемещений, согласно которой 12 Смешанные коэффициенты метода сил ik могут быть определены также и методом векторной алгебры. Для этого искомое перемещение ik представляем в виде единичного вектора, величина которого равна его моменту относительно точки вращения. Построение единичных и грузовых эпюр в основной системе. В нижней части рамы, состоящей из статически неопределимых балок, единичные и грузовая эпюры строятся с использованием табличных решений, в верхней части (статически определимой) - методом сечений, рис. 2.37. Коэффициенты канонических уравнений
rik
находим из условия
равновесия узлов с дополнительными связями (рис. 2.38):
r22 3 EJ ; r21' 3 ; R2 P 2 . а
б
в
Рис. 2.37 – Единичные (а, б) и грузовая (в) эпюры моментов а
б
в
Рис. 2.38 – Определение коэффициентов канонических уравнений Коэффициенты метода сил ik
определяем перемножением эпюр,
используя интеграл Мора и правило Верещагина. Исключение составляют 121
, которые удобнее находить из смешанные коэффициенты метода сил 12 r21 : зависимости 12 11
1 P
M1 M1 1 dx EJ EJ
M1 M p EJ
dx
2 1 36 ; 2 3 3 3 3 3 3 3 EJ
1 1,5 65,25 6 3 3 2 6 3 1,5 6 ; EJ 6 EJ
' 12 r21 3 .
Система канонических уравнений решается любым из методов линейной алгебры (определителей, подстановки, Гаусса и др.)
65,25 36 X1 3 Z2 0; EJ EJ 3 X 1 3 EJ Z 2 2 0. Окончательно имеем
X 1 1,622 кН , Z 2 2,289 кН . EJ
Действительную эпюру моментов строим в соответствии с принципом независимости действия сил (рис. 2.39):
M M 1 X 1 M 2 Z2 M P . а
б
в
Рис. 2.39 – Исправленные (а, б) и грузовая (в) эпюры моментов Для проверки правильности эпюры M вырежем узлы 3 и 5 (рис. 2.40). Эпюры Q и N строятся так же, как и в методе перемещений ( Q - по значениям Q из равновесия узлов рамы). 122
dM ,N dx
а
б
Рис. 2.40 – Проверка равновесия узлов 2.6.5.
Задача
5.
Расчет
статически
неопределимой
рамы
комбинированным методом Рассчитать
статически
неопределимую
раму
(рис.
2.41
а)
комбинированным методом. а
б M=2 кН·м
3м
q=6 кН/м
4м 2м
в
Рис. 2.41 – Разложение нагрузки на симметричную и кососимметричную составляющие Решение. Разложим нагрузку на симметричную и кососимметричную составляющие (рис. 2.41 б, в). Число неизвестных для методов сил и перемещений показано в табл. 2.6 и на рис. 2.42 а, б. На симметричную составляющую нагрузки раму рассчитаем методом перемещений
и
определим
только
симметричные
неизвестные,
т.к.
кососимметричные равны нулю. На рис. 2.43 а, б, в показаны соответственно основная система метода перемещений с учетом симметрии, единичная и грузовая эпюры в ней. 123
Таблица 2.6 Метод расчета Метод сил Метод перемещений Комбинированный метод
Количество неизвестных симметричных кососимметричных 3 1 1 3 1 1
а
Всего 4 4 2
б
Рис. 2.42 – Основные систем метода перемещений (а) и метода сил (б)
а
б
в
Рис. 2.43 – Построение единичной (б) и грузовой (в) эпюр метода перемещений
124
а
б
Рис. 2.44 – Определение коэффициентов канонических уравнений метода перемещений Каноническое уравнение записываем в виде
r11 Z 1 R1P 0 . Коэффициенты вычисляем из условия равновесия узлов (рис. 2.44 а, б):
r11 r11 2 3 EJ 2 6 EJ ; R1 P R1P 2 3 2 6 . Решив уравнение
6 EJ Z 1 6 0 , найдем перемещение Z 1
1 . EJ
Действительную эпюру изгибающих моментов от симметричной составляющей
нагрузки
построим,
используя
принцип
наложения
(рис. 2.45 а, б): M с. M 1 Z 1 M P .
а
б
Рис. 2.45 – Исправленная (а) и окончательная (б) эпюры метода перемещений 125
На кососимметричную составляющую нагрузки раму рассчитаем методом
сил,
определяя
только
кососимметричное
неизвестное,
т.к.
симметричные неизвестные обращаются в нуль. Основная система, единичная и грузовая эпюры для расчета методом сил с учетом симметрии показаны на рис. 2.46 а-в. Уравнение метода сил примет вид
11 X 1 1P 0 . Коэффициенты уравнения вычислим по правилу Верещагина и правилу Симпсона:
11 1 P
M1 M1 1 1 2 26 dx 1 1 1 2 1 4 1 2 3 EJ ; EJ EJ 2 3 M1 M p EJ
dx
а
1 4 72 . 2 1 1 4 1 7 1 25 EJ 6 EJ
б
в
Рис. 2.46 – Основная система (а) и эпюры (б, в) моментов метода сил Усилие в лишней связи найдем из уравнения 26 72 X1 0 ; X 1 8 ,308 кН . 3 EJ EJ
Действительную эпюру изгибающих моментов от кососимметричной составляющей
нагрузки
построим
с
(рис. 2.47 а, б): M к.с M 1 X 1 M P .
126
помощью
принципа
наложения
а
б
Рис. 2.47 – Исправленная (а) и окончательная (б) эпюры моментов метода сил
Действительную эпюру от заданной нагрузки построим сложением эпюр, полученных от симметричной и кососимметричной составляющих (рис. 2.48):
M M с. M к.–с .
Рис. 2.48 – Окончательная эпюра моментов комбинированного метода Проверка эпюры моментов для узлов рамы показана на рис. 2.49 а, б. а
б
Рис. 2.49 – Проверка равновесия узлов Эпюра Q строится по эпюре M , а эпюра N - по эпюре Q .
127
3. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ НА ПЭВМ ПО ПРОГРАММНОМУ КОМПЛЕКСУ «SCAD» 3.1. Общие положения по применению программных комплексов В проектных организациях и конструкторских бюро большая часть расчетов строительных конструкций выполняется с использованием различных программно-вычислительных комплексов (ПК). Не сопоставляя между собой различные ПК. следует отметить, что одним из наиболее распространенных и применяемых для расчета и проектирования строительных конструкций является вычислительный комплекс Structure CAD (ПК SCAD), представляющий собой универсальную расчетную систему конечно - элементного анализа конструкций. Система SCAD представляет собой набор программ, предназначенных для выполнения задач прочностного расчета, анализа и проектирования различного типа строительных конструкций, зданий и сооружений достаточно сложной структуры [ ] и подтвердил свою высокую состоятельность и эффективность. Поэтому
подготовка
‚бакалавров
и
специалистов
строительных
специальностей должна учитывать это обстоятельство и включать в себя обучение работе на подобных ПК, доступных для внедрения в учебный процесс. На кафедре строительные конструкции и управляемые системы ИСИ СФУ ПК SCAD имеется многолетний опыт применения в учебном процессе и широко используется для расчета и проектирования в большинстве дисциплин кафедры и является наиболее простым для обучения. В данной главе рассмотрены примеры расчета строительных конструкций на ПК SCAD, которые будут полезными и помогут студентам освоить подобные расчеты, как для подобных, так и для более сложных конструкций.
128
3.2. Пример расчета многопролетной неразрезной балки на ПЭВМ по программе SCAD При рассмотрении этой и других задач предполагается, что студенты уже ознакомлены с основами расчета простейших стержневых систем по ПК SCAD. Задана
многопролетная
железобетонная
балка
постоянного
прямоугольного сечения (29х40см); материал бетон тяжелый класса В30.
Z
Р=2т
М=8тм
q=1т/м
X
1 3
2 6м
3м
4 4м
5 4м
6
4м
Рис. 3.1 – Исходная задача Алгоритм создания исходных данных приведен в таблице 3.1. Таблица 3.1 ‒ Инструкция пользователю ПК SCAD при расчете многопролетных балок № Действие п/п 1 2 1 Создаем новый проект
Алгоритм действия 3 Уточнение единицы измерения, типа схемы (схема тип2 плоская рама) .Подтверждение готовности «ОК». Создание папки (или открываем существующую) ; задание папке имени
(номер группы),
. Задание
имени файла
(тема
лабораторной, фамилия студента),
2
Задаем геометрию балки
Ввод узлов : узла X №1 ( Z=0, Y=0)
;
.
; ; Задание координат ; затем узла №2 и т.д. Ввод
стержней: элементы ; добавление стержней Отметка локатором начала и конца стержня №1, затем стержня №2 и т.д.
129
Продолжение таблицы 3.1 1 3
2 Задаем жесткость стержней и проверяем с помощью фильтров отображения
3 ; назначение жесткости стержней ;
Назначения
; параметрические сечения ; параметрические сечения ; ;выбор материала (бетон тяжелый класса В30) ; назначаем размеры поперечных сечений ( например , 29 х 40 см) ; «ОК» ; работа правой клавишей мыши ; выбор элементов; «ОК».; подтверждение
4
Задаем опорные связи проверяем с помощью фильтров отображения
5
Вводим шарниры проверяем с помощью фильтров отображения
6
Загружаем схему нагрузками проверяем с помощью фильтров отображения
; установка связей в узлах ; пометка того, какие связи необходимо поставить (жестка заделка – установить все связи; шарнирно неподвижная опора – связи по Х и Z; шарнирно подвижная – только по Z); «ОК»; пометка узла, где устанавливаются данные связи; подтверждение
; установка шарниров (шарнир устанавливается на стержень: в начало или конец ); ликвидация моментной связи относительно оси Y (Uy); подтверждение «ОК»; отметка стержня к которому «привязан» шарнир ; подтверждение
7 8 9
; Сохраняем загружение Решаем задачу Просматриваем результаты расчета
, узловое или распределенное : указание направления нагрузки и величины ; подтверждение «ОК»; пометка узла (стержня) , к которому приложена нагрузка; подтверждение
Сохранение /добавление загружения
;
«ОК»
Управление ; управление проектом линейный расчет; выполнение расчета; «ОК» ; , указать по какой форме:
:
деформации
. Указать величину
перемещений: направление перемещения
;
величину перемещений . Эпюры усилий : указать какую эпюру какой форме
. Оцифровать результаты 130
;
; по .
Окончание таблицы 3.1 1 10
2 Печатаем результаты расчета
3 Сворачивание SCAD. Создание папки в WORD‟е , присвоение имени папке (номер группы),
, файлу
(номер лабораторной, фамилию студента), . Возвращение в SCAD: высвечиваем нужный график, меняем цвет экрана (файл, предварительный просмотр, книжный), сохраняем рисунок в буфере обмена (PRINT SCRN), вставляем рисунок в WORD-файл , обрезаем . Содержание отчета: - расчетная схема (в комментариях указываем единицы измерения), -деформированная схема, -эпюры усилий M, Q (с указанием единиц измерения и оцифровкой результатов), - определение опорных реакций (из условия равновесия узлов), - проверка равновесия всей системы
Таблица 3.2 ‒ Документ 01: Элементы Номер Тип Тип элемента элемента жесткости 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1
Узлы 12 23 34 45
Таблица 3.3 ‒ Документ 03: Жесткости Тип жесткости
1
Жесткости Вычисл. жесткостн. хаpакт.: EF=3766647.49 EIY=50221.9661 EIZ=26397.92 GKR=24398.71 GFY=1255549.18 GFZ=1255549.18 Pазмеpы ядpа сечения : y1=.048333 y2=.048333 z1=.066666 z2=.066666 плотность: ro=24.525 Пpямоугольник: b=28.99999 h=39.99999
Таблица 3.4 ‒ Документ 04: Координаты и связи, м Номер узла 1 2 3 4 5
Координаты X 0 6 9 13 17
X #
131
Связи Z # #
Uy
Таблица 3.5 ‒ Документ 07: Нагрузки Номер загружения
Номер строки
1
1 2 3
Обработка элементной
результатов
модели
и
с
Содержание Вид: 16, Направление: 3. Значения: Список элементов: 3 Вид: 15, Направление: 3. Значения: Список элементов: 1 Вид: 0, Направление: 5. Значения: Список узлов: 5
графическим
отображением
представлением
результатов
расчета
10. 20. 80.
конечнов
виде
деформированной схемы, эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил приведены на рис. 3.2, 3.3. Статическая проверка в виде оценки равновесия отдельных узлов и всей рамы с учетом действия внешних нагрузок и опорных реакций приведена на рис. 3.4. Таблица 3.6 ‒ Перемещения, мм Номер узла
Номер загружения
2 3 4 5
1 1 1 1
Значения X 0 0 0 0
Z 0 -11,155 -20,234 -9,821
Uy 2,297 4,167 -0,296 -4,516
Таблица 3.7 ‒ Выборка перемещений, мм Наименование
X Z Uy
Максимальные значения Номер Номер Значение узла загружения 0 2 1 0 2 1 4,167 3 1
Минимальные значения Номер Номер Значение узла загружения 0 2 1 -20,234 4 1 -4,516 5 1
Таблица 3.8 ‒ Усилия и напряжения, Т, м Номер эл-та 1 1 1 2 2 2 3
Номер Номер сечен. загруж. 1 2 3 1 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1
Значения N 0 0 0 0 0 0 0
M 7,243e-016 -1,028 -8,173 -8,173 -3,192 1,789 1,789 132
Q -0,343 -2,381 -2,381 3,321 3,321 3,321 3,321
Номер эл-та 3 3 4 4 4 5 5 5
Номер Номер сечен. загруж. 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1
Значения N 0 0 0 0 0 0 0 0
M 6,391 6,916 6,916 5,402 3,888 -4,267 -5,78 -7,294
Q 1,282 -0,757 -0,757 -0,757 -0,757 -0,757 -0,757 -0,757
Таблица 3.9 ‒ Выборка усилий и напряжений, Т, м Наименование
N M Q
Максимальные значения Номер Номер Номер Значение эл-та сечен. загруж. 0 1 1 1 6,916 4 1 1 3,321 2 1 1
Минимальные значения Номер Номер Номер Значение эл-та сечен. загруж. 0 1 1 1 -8,173 1 3 1 -2,381 1 2 1
Расчетная схема для программы SCAD
а
Конечно элементная модель
б
Рис. 3.2 – Графическая интерпретация постановки задачи: а, б – исходные данные
133
Деформированная схема
а
Величина перемещений (мм)
б
Эпюра изгибающих моментов М (кН м)
в
Эпюра поперечных сил Q(кН)
- -
е Рис. Графическая интерпретация результатов расчета: г
Опорные реакции (определяем по эпюре Q) R1=3,36 кН Q=3,36 кН
Q=23,36 кН
Q=32,57 кН R2=55,93 кН
Q=7,43 кН
R3=7,43 кН
д
Рис. 3.3 – Графическая интерпретация результатов расчета: а-г – результаты расчета; д – вычисление опорных реакций
134
R1=3,36 кН
R2=55,93 кН
q=10кН/м М=80кНм
Р=20 кН
R6=7,43 кН
Z R
1
R2 R6 P q 4 3,36 55,93 7,43 2 10 4 0
Рис. 3.4 – Статическая проверка
Вывод: расчет выполнен правильно. Анализ полученных результатов: 1. На эпюрах М и Q (рис. 3.3 в, г) соблюдаются все закономерности распределения усилий в соответствии с типом приложенной нагрузки (правила контроля) - от действия распределенной нагрузки
на эпюре М парабола
(конечный элемент №3); на эпюре Q - переменные величины. - на эпюре М скачок на величину моментной
нагрузки (80 кН м)
(граница участков 4 и 5); - на эпюре Q скачок на величину сосредоточенной силы и реакции опорного закрепления. 2. Статическая проверка на равновесие всей системы под действием заданной нагрузки и опорных реакций выполняется. 3.
Деформированная
схема
соответствует
заданной
нагрузке
и
закреплениям опор. Максимальный прогиб составляет 20,23мм (узел №4). 3.3. Примеры расчета статически неопределимой рамы на ПЭВМ по программе SCAD Рассчитать плоскую статически-неопределимую раму, см. данную ниже расчетную схему.
135
Пример 1.
q=30кН/м
3м
3м
2,5м
P=10кН
2,5м
M=20кН∙м
Рис. 3.5 – Расчетная схема Решение: Подготовим конечно-элементную модель: 1. Нумеруем узлы (точки приложения Р, М, границы q, перегиба оси, шарниры, опоры ) слева направо, снизу вверх. 2. Нумеруем элементы (стержни): вначале - стойки, затем - ригели (горизонтальные стержни). Таблица 3.10 ‒ Инструкция пользователю ПК SCAD при расчете рам № п/п 1
1
Действие 2 Создаем новый проект
Алгоритм действия 3 Уточняем единицы измерения, тип схемы (схема тип 2 «Плоская рама»). Подтверждаем готовность «ОК». Создаем папку (или открываем существующую); задаем имя папке (номер группы), . Задаем имя файла (тема лабораторной, фамилия),
Задаем геометрию 2
3
4
Узлы:
. ; (X и Z, Y=0) узла № 1
и т.д.
Элементы , ; локатор ведем от узла с меньшим номером к узлу с большим номером. Задаем жесткость Задаем количество сечений
; ; EF=32e5 , EJ = 43e3 (e – английская ); «ОК»; отмечаем стержни с такой жесткостью; ; ; 2; отмечаем все стержни инвертированием; (три сечения назначаем только на стержне с распределенной нагрузкой) .
136
Окончание таблицы 3.10 1 5
2 Задаем опорные связи Вводим шарниры;
6 Загружаем; 7
8 9
10
; установка шарниров (шарнир устанавливается на стержень: в начало или конец ); убираем моментную связь относительно оси Y (Uy); подтверждаем «ОК»; отмечаем стержень, к которому привязан шарнир ;подтверждаем , узловая или распределенная : указываем направление нагрузки и величину; подтверждаем «ОК»; помечаем узел (стержень), к которому приложена нагрузка ;подтверждаем
Сохраняем
Сохранить /добавить загружение
Решаем
управление ;управление проектом ; линейный расчет ; выполнить расчет; «ОК» ; : деформации . Указать, по какой форме: . Величина перемещений: направление перемещения ; величина перемещений . Эпюры усилий : указать, какую эпюру ; по какой форме ; оцифровка результатов Сворачиваем SCAD. Создаем свою папку в WORD`е , даем имя папке (номер группы), ,имя файла (№ лабораторной работы, фамилия студента), . Возвращаемся в SCAD: ∙высвечиваем нужный график; ∙меняем цвет экрана (файл, предварительный просмотр, книжный); ∙сохраняем рисунок в буфере обмена (PRINT SCRN), вставляем его в WORD-файл , обрезаем . Содержание отчета: ∙ расчетная схема (в комментариях указываем единицы измерения), ∙деформированная схема, ∙эпюры усилий M, Q, N ( с указанием единиц измерения; и оцифровкой результатов); ∙ определение опорных реакций (исходя из условия равновесия узлов); ∙ проверка равновесия всей системы.
Просматриваем результаты
Печатаем результаты
11
3 ; ; помечаем вводимые связи (жесткая заделка – установить все связи; шарнирно-неподвижная опора – связи по Х и Z; шарнирно-подвижная – только по Z); «ОК»; помечаем узел;
; «ОК»
Результаты расчета на ПЭВМ даны в таблице 3.12. Таблица 3.11 ‒ Документ 03: ЖЕСТКОСТИ Заданные жесткостные характеристики: тип 1 3200000 43000 137
Таблица 3.12 ‒ Усилия и напряжения в элементах типа 2, Т, м Номер эл-та 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8
Номер Номер сечен. загруж. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
N 0,849 0,849 0,849 -1,827 -1,827 -1,827 -1,443 -1,443 -1,443 -1,443 -1,443 -1,443 2,222 2,222 2,222 2,222 2,222 2,222 0,594 0,594 0,594 0,594 0,594 0,594
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Обработка элементной
Значения
результатов
модели
и
с
M -6,525 -0,969 4,586 -4,33 -2,165 0 -7,354 -3,796 -0,238 -0,238 2,046 4,33 0 0,637 1,274 3,312 3,949 4,586 -8,423 -3,928 0,567 0,567 2,672 4,346e-015
графическим
отображением
Q 2,222 2,222 2,222 1,443 1,443 1,443 2,846 2,846 2,846 1,827 1,827 1,827 0,849 0,849 0,849 0,849 0,849 0,849 3,596 3,596 3,596 3,596 -0,227 -4,049
представлением
результатов
расчета
конечнов
виде
деформированной схемы, эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил приведены на рис. 3.6. Статическая проверка в виде оценки равновесия отдельных узлов и всей рамы с учетом действия внешних нагрузок и опорных реакций приведена на рис. 3.7 и рис. 3.8.
138
Расчетная схема
Конечно-элементная модель
б
а Деформированная схема
Эпюра моментов M (кН м)
Максимальное перемещение по оси x 8,07мм (узел 5)
г
в Эпюра продольных сил N (кН)
Эпюра поперечных сил Q (кН)
д
е
Рис. 3.6 – Графическая интерпретация результатов расчета: а-е – исходные данные и результаты расчет 139
4,33 кН∙м
1,44 кН 1,83 кН
1,44 кН
0,85 кН
1,83 кН
4,59 кН∙м
2,22 кН 4,05 кН
1,83 кН
4,59 кН∙м
4,33 кН∙м
0,59 кН
1,44 кН
Узел 4
Узел 5
Узел 6
Рис. 3.7 – Статическая проверка 1 (равновесие узлов) M=20кН∙м
q=30кН/м
P=10кН
M1=72,14кН∙м
M2=82,63кН∙м Q1=27,92 кН
N1=14,16 кН
X Q Q 1
Y N
1
M
4
2
M3=64,01кН∙ м Q2=35,28 кН
N2=5,83 кН
Q3=21,8 кН N3=8,33 кН
Q3 P q 2,5 27,92 35,28 21,8 10 30 2,5 0
N2 N3 14,16 5,83 8,33 0
M 1 M 2 M 3 Q1 5 Q2 5 Q3 5 P 2,5 q 2,5 1,25 0
Рис. 3.8 – Статическая проверка 2 (равновесие всей системы)
Анализ полученных результатов: 1. На эпюрах M и Q соблюдаются все закономерности распределения усилий в соответствии с типом приложенной нагрузки (правила контроля); - от действия распределенной нагрузки на эпюре M – парабола (конечные элементы № 8; на эпюре Q – переменные величины; - на эпюре Q – скачки на величину сосредоточенной силы (в нашем случае – узел № 7 и реакции опорного закрепления). 140
2. Статические проверки (равновесие узлов 4, 5, 6 и всей системы) выполняются. 3.
Деформированная
схема
соответствует
заданной
нагрузке
и
закреплениям опор. Максимальное перемещение узлов по горизонтали составляет 8,07 мм (узел № 5). Вывод: полученный результат соответствует истинному распределению усилий в раме от заданной нагрузки. Пример 2. Расчетная схема: Исходные данные: пролет L = 6 м, высота этажа h = 4 м, колонны и ригели рамы железобетонные (Е = 3.25х105 кг/см2, =0.2) с поперечным сечением 0,4х0,4 м, нагрузка
q 5 кН / м - собственный вес
ригелей. Решение Подготовим конечно-элементную модель: 1. Нумеруем узлы (точки приложения Р, М, границы q, перегиба оси, шарниры, опоры ) слева направо, снизу вверх. 2. Нумеруем элементы (стержни): вначале - стойки, затем - ригели (горизонтальные стержни).
4м
q=5кН/м
4м
q=5кН/м
6м
6м
Рис. 3.9 – Постановка задачи 141
Инструкцию пользователю программы SCAD см. в примере 1. Таблица 3.12 ‒ Документ 03: Жесткости Заданные жесткостные характеристики: тип 1 3200000 43000
Таблица 3.13 – Элементы Номер Тип Тип элемента элемента жесткости 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2 1 11 2 1 12 2 1 13 2 1 14 2 1 15 2 1 16 2 1 17 2 1
Узлы 14 47 25 58 36 69 4 10 10 5 5 11 11 6 7 12 12 8 8 13
Таблица 3.14 ‒ Координаты и связи, м Номер узла
Координаты
Связи
X 0 6 12 0 6 12 0 6 12 3 9 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Обработка элементной
Z 0 0 0 4 4 4 8 8 8 4 4 8
результатов
модели
и
с
X # # #
графическим
отображением
Z # # #
представлением
результатов
расчета
Uy # # #
конечнов
виде
деформированной схемы, эпюр изгибающих моментов, поперечных и 142
продольных сил приведены на рис. 3.10. Статическая проверка в виде оценки равновесия отдельных узлов и всей рамы с учетом действия внешних нагрузок и опорных реакций приведена на рис. 3.11. Расчетная схема
Конечно-элементная модель
а
б
Деформированная схема
Эпюра моментов M (кН м)
Максимальный прогиб 0,38 мм (узлы 12, 13)
в
г
Эпюра продольных сил N (кН)
Эпюра поперечных сил Q (кН)
е
д
Рис. 3.10 – Графическая интерпретация результатов расчета: а-е – исходные данные и результаты расчета 143
Таблица 3.15 ‒ Перемещения, мм Номер узла
Номер загружения
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Значения X -0,003 2,79e-017 0,003 0,005 4,673e-017 -0,005 -0,002 0,002 0,003 -0,003
Z -0,022 -0,049 -0,022 -0,032 -0,074 -0,032 -0,325 -0,325 -0,385 -0,385
Uy 0,062 3,322e-018 -0,062 0,118 -5,144e-018 -0,118 -0,009 0,009 -0,019 0,019
Таблица 3.16 ‒ Выборка перемещений, мм Наименование
X Z Uy
Максимальные значения Номер Номер Значение узла загружения 0,005 7 2 -0,022 6 2 0,118 7 2
Минимальные значения Номер Номер Значение узла загружения -0,005 9 2 -0,385 12 2 -0,118 9 2
\
Таблица 3.17 ‒ Усилия и напряжения, Т, м Номер эл-та 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 11 11 11 12
Номер Номер сечен. загруж. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Значения N -2,874 -2,874 -2,874 -1,407 -1,407 -1,407 -6,484 -6,484 -6,484 -3,302 -3,302 -3,302 -2,874 -2,874 -2,874 -1,407 -1,407 -1,407 0,295 0,295 0,295 0,295
M -0,226 0,109 0,444 -0,827 0,099 1,025 6,215e-017 5,864e-018 -5,042e-017 4,458e-017 -1,494e-017 -7,447e-017 0,226 -0,109 -0,444 0,827 -0,099 -1,025 -1,271 0,356 0,837 0,837 144
Q 0,168 0,168 0,168 0,463 0,463 0,463 -2,814e-017 -2,814e-017 -2,814e-017 -2,976e-017 -2,976e-017 -2,976e-017 -0,168 -0,168 -0,168 -0,463 -0,463 -0,463 1,467 0,703 -0,062 -0,062
Номер эл-та 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 16 16 17 17 17 18 18 18
Номер Номер сечен. загруж. 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Значения N 0,295 0,295 0,295 0,295 0,295 0,295 0,295 0,295 -0,463 -0,463 -0,463 -0,463 -0,463 -0,463 -0,463 -0,463 -0,463 -0,463 -0,463 -0,463
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
M 0,171 -1,642 -1,642 0,171 0,837 0,837 0,356 -1,271 -1,025 0,512 0,903 0,903 0,146 -1,757 -1,757 0,146 0,903 0,903 0,512 -1,025
Q -0,826 -1,591 1,591 0,826 0,062 0,062 -0,703 -1,467 1,407 0,643 -0,122 -0,122 -0,887 -1,651 1,651 0,887 0,122 0,122 -0,643 -1,407
Таблица 3.18 – Выборка усилий и напряжений, Т, м Наименование
N M Q
Максимальные значения Номер Номер Номер Значение эл-та сечен. загруж. 0,295 11 1 2 1,025 2 3 2 1,651 17 1 2
Минимальные значения Номер Номер Номер Значение эл-та сечен. загруж. -6,484 3 1 2 -1,757 16 3 2 -1,651 16 3 2
q=5кН/м
q=5кН/м
M1=2,26кН∙м
M3=2,26кН∙м Q3=1,64 кН
Q1=1,64 кН N2=63,61 кН
N1=28,2 кН
Рис. 3.11 – Проверка равновесия рамы 145
N3=28,2 кН
X = 1,64 -1,64 =0; Y =-5∙6∙4+28,2∙2+63,61 0 Анализ исходной задачи. 1. На эпюрах M и Q соблюдаются все закономерности распределения усилий в соответствии с типом приложенной нагрузки (правила контроля); - от действия распределенной нагрузки на эпюре M – парабола (конечные элементы № 11-18); на эпюре Q – переменные величины; 2. Статическая проверка равновесия системы выполняется. 3.
Деформированная
схема
соответствует
заданной
нагрузке
и
закреплениям опор. Максимальный прогиб узлов составляет 0,38 мм (узлы № 12, 13), наибольший момент 17,23 кН∙м возникает (в узле 8). Вывод: полученный результат соответствует истинному распределению усилий в раме от заданной нагрузки. 3.4. Пример расчета статически неопределимой фермы на ПЭВМ по программе SCAD Расчетная схема: плоская металлическая ферма (материал-сталь обыкновенная; поперечное сечение стержней составлено из равнополочных уголков 100х100х8), см раздел 1.8.9.
P y
P 4
P=10 кН
6
9
h=1 м
1
10 3
5
x
8
h
2
7
l=8 м
Рис. 3.12 – Постановка задачи 146
Содержание отчета: расчетная схема, деформированная схема с указанием максимальных перемещений, эпюры усилий N, таблица усилий, проверка правильности полученных результатов (равновесие отдельных частей и всей системы в целом). Решение Подготовим
конечно-элементную
модель.
Алгоритм
создания
исходных данных приведен в таблице 3.19. Таблица 3.19 – Инструкция пользователю ПК SCAD. Расчет ферм № п/п 1
1
2
3
4
5
Действие
Алгоритм действия
2 3 Создаем новый Уточняем единицы измерения, тип схемы или открываем (схема тип 1 «Шарнирно- стержневые системы»). Подтверждаем существующий готовность «ОК». Создаем папку (или открываем существующую); проект задаем имя папке (номер группы), . Задаем имя файла (тема лабораторной, фамилия студента), . Задаем Вводим узлы: ; ; ; (X и Z, Y=0) узла № 1 ; геомет-рию затем узла № 2 и т. д. Вводим стержни: элементы ; добавление фермы стержней Локатором отмечаем начало и конец стержня № 1 затем стержня № 2 и т.д. Задаем жест- Назначения ; ; Профили металлопроката; материал; кость , ,.зазор , № профиля ; «ОК»; щелкаем правой клавишей мыши ; ; ОК ; . Задаем ; ; помечаем вводимые связи (шарнирно- неподвижная опорные связи опора – связи по Х и Z; шарнирно- подвижная – только по Z; «ОК»; помечаем узел; Загружа-ем узловая ; направление нагрузки и величина; «ОК»; узел, где приложена нагрузка ; подтверждаем
6 7
Сохраня-ем Решаем Просматриваем результа-ты
8
Сохранить /добавить загружение
; «ОК».
линейный расчет ; выполнить расчет ; «ОК».
; ;
:
деформации
, указать, по
какой форме: . Величина перемещений: направление перемещения ; величина перемещений . Эпюры усилий : указать, какую эпюру ; по какой форме ; оцифровка результатов
147
.
Окончание таблицы 3.19 1
2 Печата-ем результаты
9
Обработка элементной
3 Сворачиваем SCAD. Создаем свою папку (или открываем существующую) в WORD`е имя папке (номер группы) , имя файла (номер лабораторной, фамилия студента), . Возвращаемся в SCAD: ∙высвечиваем нужный график; ∙меняем цвет экрана (файл, предварительный просмотр, книжный); ∙сохраняем рисунок в буфере обмена (PRINT SCRN), вставляем его в WORD-файл , обрезаем .
результатов
модели
и
с
графическим
отображением
представлением
результатов
расчета
конечнов
виде
деформированной схемы, эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил приведены на рис. 3.13. Статическая проверка в виде оценки равновесия отдельного узла фермы приведена также на рис. 3.14. Результаты расчета в табличной форме представлены в виде таблицы перемещений и внутренних усилий (таблицы 3.21 и 3.23), возникающих в сечениях стержневых элементов с указанием единиц измерения. Для нашего примера информация выдается в следующем виде: Таблица 3.20 – Документ 03: Жесткости Тип жесткости
1
Жесткости ЖECTKOCTИ СОРТАМЕНТА: EF=642751.2017 EIY=606.452269 EIZ=1285.35821 GKR=5.13646631 GFY=126775.39 GFZ=126775.39 Pазмеpы ядpа сечения: y1=.019045 y2=.019045 z1=.03431 z2=.013014 Коэффициент Пуассона: nu=0.3 плотность: ro=77.0085 Соединение уголков полками вниз с зазором .01 СОРТАМЕНТ: "C:\Program Files\SCAD Soft\SCAD Office 11\RUSSIAN.prf" Шифр - "Уголок равнополочный по ГОСТ 8509-93", Имя раздела: "Уголок равнополочный по ГОСТ 8509-93" Имя профиля: "L100x8"
148
Таблица 3.21 – Перемещения, мм Номер узла
Номер загружения
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Значения X -0,003 -0,006 -0,009 -0,012 0,07 -0,006 -0,082 -0,054 -0,006 0,042
Z -0,255 -0,507 -0,255 0 -0,267 -0,522 -0,267 -0,243 0 -0,243
Uy 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Таблица 3.22 – Выборка перемещений, мм Наименование
X Z Uy
Максимальные значения Номер Номер Значение узла загружения 0,07 6 1 0 5 1 0 2 1
Минимальные значения Номер Номер Значение узла загружения -0,082 8 1 -0,522 7 1 0 2 1
Таблица 3.23 – Усилия и напряжения, Т, м Номер эл-та 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8
Номер Номер сечен. загруж. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Значения N -0,098 -0,098 -0,098 -0,098 -0,098 -0,098 -0,098 -0,098 -0,098 -0,098 -0,098 -0,098 -2,5 -2,5 -2,5 -2,5 -2,5 -2,5 1,578 1,578 1,578 1,578
M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 149
Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Номер эл-та 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 16 16 17 17 17 18 18 18 19 19 19
Номер Номер сечен. загруж. 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Значения N 1,578 1,578 -1,655 -1,655 -1,655 1,14 1,14 1,14 -1,019 -1,019 -1,019 1,14 1,14 1,14 -1,655 -1,655 -1,655 -0,789 -0,789 -0,789 -0,789 -0,789 -0,789 1,764 1,764 1,764 1,764 1,764 1,764 -0,789 -0,789 -0,789 -0,789 -0,789 -0,789
M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Таблица 3.24 – Выборка усилий и напряжений, Т, м Наименование
N M Q
Максимальные значения Номер Номер Номер Значение эл-та сечен. загруж. 1,764 17 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
150
Минимальные значения Номер Номер Номер Значение эл-та сечен. загруж. -2,5 6 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
Анализ полученных результатов 1. На эпюре N соблюдаются все закономерности распределения усилий в соответствии с типом приложенной нагрузки (правила контроля): - под действием вертикальной нагрузки на эпюре N – стержни нижнего пояса фермы растянуты, а стержни верхнего пояса и стойки сжаты; 2. Статическая проверка (равновесие узла 7) выполняется. 3.
Деформированная
схема
соответствует
заданной
нагрузке
закреплениям опор. Максимальный прогиб составляет 0,52 мм (узел № 7). Результаты расчета в графической форме показаны на рис. 3.13. Расчетная схема для программы SCAD
а Конечно-элементная модель
б
151
и
Деформированная схема (Максимальный прогиб в узле № 7 - 0.52 мм)
в Эпюра продольных сил N(кН)
г Рис. 3.13 – Результаты расчета на ПЭВМ: а – расчетная схема, б - конечноэлементная модель, в - деформированная схема, г – эпюра продольных сил N
Z P=10 кН N5=24,52 кН
N6=24,52 кН
7
Х
Z = 10-10 =0; Х = 24,52-24,52 =0.
N11=10 кН
Рис. 3.14 – Статическая проверка (равновесие узла) 152
Анализ полученных результатов 1. На эпюре N соблюдаются все закономерности распределения усилий в соответствии с типом приложенной нагрузки (правила контроля): - под действием вертикальной нагрузки на эпюре N – стержни нижнего пояса фермы растянуты, а стержни верхнего пояса и стойки сжаты; 2. Статическая проверка (равновесие узла 7) выполняется. 3.
Деформированная
схема
соответствует
заданной
нагрузке
и
закреплениям опор. Максимальный прогиб составляет 0,52 мм (узел № 7). Вывод: полученный результат соответствует истинному распределению усилий в раме от заданной нагрузки.
153
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Основная литература 1. Современные аспекты активного обучения. Строительная механика. Теория упругости. Управление строительными конструкциями: учеб. пособие с грифом УМО Минобрнауки РФ / Н. П. Абовский, Л. В. Енджиевский, В. И. Савченков и др. - 2 изд. перераб. и доп. Красноярск: СФУ; 2007 – 472 с. 2. Саргсян, А. Е. Строительная механика. Механика инженерных сооружений и конструкций / А. Е. Саргсян. - М.: Высш. школа, 2004. – 204 с. 3. Константинов, И. А.Строительная механика. Применение программы SCAD
для
решения
задач
теории
упругости:
учеб.
пособие
/ И. А. Константинов, И. И. Лалина. - СПб: изд-во СПбГПУ, 2011. 4.
Пат.
55493
пространственных
Российская
ферм
/
Федерация.
Абовский
Н.
Учебный
П.,
конструктор
Палагушкин
В.
И.,
Сапкалов В. И. Заявл. 20.04.06, опубл. 10.08.06. 2006; Бюл. № 22. 5.
Пат. 53342 Российская Федерация. Вертикальный железобетонный
сборный резервуар / Абовский Н. П., Сапкалов В. И. Заявл. 30.11.05, опубл. 10.05.06. 2005. БИ № 13. Дополнительная литература: 1.
Расчет
статически
определимых
стержневых
конструкций
с
элементами регулирования их напряженно- деформированного состояния: учеб. пособие сост. Н.И. Марчук. – Красноярск: КрасГАСА, - 1996. 2. Расчет статически неопределимых стержневых конструкций с элементами регулирования их напряженно- деформированного состояния: учеб. пособие / Н.И. Марчук, А.В. Максимов, В.И. Палагушкин, Г.А. Стерехова, Т.В. Белобородова.- Красноярск: КрасГаса, 1998. 3. Устойчивость и динамика сооружений с элементами регулирования: учеб. пособие / Н.И. Марчук, В.И. Савченков, Т.В. Белобородова,В.И. Палагушкин, Г.А. Стерехова. – Красноярск: КрасГАСА, - 1999. 154