Idea Transcript
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И Г АЗА им. И. М. ГУБКИНА
О.Н.ХАРИН
ЛЕКЦИИ по
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ЧАСТЪI
Рекомендовано Министерством обра30Вания Российской Федерации в качестве учебноrо nособия дпя студентов высwих технических у-18бных заведений
Москва
2004
УДК
531.8 20
х
Харин
О.Н.
Лекции
по
теоретической
механике.
Часть
1:
Учебное пособие.- М.: ФГУП Изд-во «Нефть и газ>> РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина,
ISBN
2004, 148 с.,
ил.
5-7246-0308-Х
Пособие представляет собой лекции по статике и кинематике, прочитанные автором на различных факультетах РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина. Содержание соответствует полной программе курса тео ретической механики.
Для студентов вузов обучающихся по направлениям
-
оборудо
вание и агрегаты нефтегазового производства и нефтегазовое дело.
Рецензенты:
Кафедра теореrичсской механики Уфимекого государсrвенного нефтяного технического университета (УГН1У) (зав. кафедрой, д-р техн. наук, проф. М.Ф. Каримов);
Д-р техн. наук, проф. Е. В. Семенов.
ISBN 5-7246-Q308-X
© О.Н. Харин, 2004 © РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 2004 © Федеральное государственное унитарное предприятие Издательство «Нефть и газ>> РГУ
нефти н газа им. И.М. Губкина,
2004
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное пособие представляет собой курс лекций, читаемых ав тором на различных факультетах Российского государственного универ ситета нефти и газа им. И.М. Губкина. Пособие состоит из двух разделов
-
статики и кинематики и соответствует полной программе по теорети
ческой механике для высших технических учебных заведений. Студен ты, желающие изучить отдельные разделы механики более углубленно, могут обратиться к дополнительной учебной литературе, список кото рой приведен в конце книги. При изложении материала автор старался следовать сложив
шимся в РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина традициям преподавания теоретической механики н идеям профессора В.Н. Щелкачева, лекции которого автор слушал в
1958-1963 rr.
Теоретическая механика представляет собой один из разделов естествознания и играет важную роль в подготовке инженерных кадров.
Она является фундаментом для изучения таких дисциплин, как сопро тивление материалов, теория машин и механизмов, теория колебаний, гидравлика, теория автоматического управления роботов-манипуляторов
и т.д. Именно с этих позиций изложен настоящий курс. В книгу включено небольшое число иллюстративных примеров,
которые разъясняют методику решения некоторых задач механики. Для
приобретения навыков в решении задач необходимо обратиться к соот ветствующим известным руководствам.
Автор выражает искреннюю благодарность рецензентам за по лезные предложения, которые позволили улучшить содержание работы. Автор также благодарит своих студентов за высказанные замечания и пожелания, которые по возможности были учтены при подготовке дан ного издания.
з
ПРИПЯТЫЕОБОЗНАЧЕНИЯ
F, Q, S, Р- векторы сил F, Q, S, Р- модуль сил (F1, F 2 ,••• FN) -система N сил (F1, F 2 , ... FN)- (Р 1 , Р2 , ... Рм)- эквивалентные системы сил F.., - nроекции силы F на ось х декартовой системы координат я· равнодействующая системы сил
-
- уравновешивающая системы сил
я••
mcJ...F) - момент силы F относительно точки О mcJ...F) - вектор-момент СЮIЫ .F относительно точки О mz(F) - момент силы F относительно оси z m(F1, F 2) -алгебраическая величина момента nары сил {F1, F 2) m(F1, Fz) -вектор-момент nары сил (F1, Fz) Я - главный вектор системы сил Мо- главный момент системы сил / 1 - nервый инвариант nроизвольной системы сил
второй инвариант nроизвольной системы сил
/2 -
f- коэффициент трения скольжения /) -
t
коэффициент трения качения
-время
r(t) х, у,
s-
радиус-вектор рассматриваемой точки М
z- координаты рассматриваемой точки М
дуговая координата рассматриваемой точки М
v, а - векторы скорости и ускорения точки v, а -модуль скорости и ускорения точки v.., - nроекция скорости на ось х v, - проеКЦИJI скорости на касательную р
-
радиус кривизны траектории точки
а,, а.
-
касательное и нормальное ускорения
vA, а А- скорость и ускорение точки, указанной в индексе F,)
zA
точки приложенИJI силы
на оси этой системы координат.
В этом случае сила определяется следующими выраженИJiми (рис.
z
~~ ~IA·
1
1
в·
lв·
Рис.\.\
у
1.1): ( 1)
F = Fx i + Fyj + Fz k ,
F~~F:+F:+F:,
cosa=
F" F'
Совокупность
(2)
n FY F, cos,....= F' cosy= .(3)
7
сил,
одновременно
дейст
вующих на какое-нибудь твердое тело или
систему тел, будем называть системой сил. Систему сил, приложеиных к
данному твердому телу, обозначим так:
(F1, Fъ ... FN)· Две системы сил называют эквивалентными, если каждаJI из
них, действуя отдельно, может сообщить покоящемуся свободному телу одно и то же движение.
Эквивалентность систем сил обозначается так:
(4) Система сил, под действием которой свободное твердое тело не измеИJiет своего движенИJI или продолжает оставаться в покое, называ
ется уравновешенной или эквивалентной нулю, т.е.
(5) Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила
называется равнодействующей данной системы сил, а силы, совмест ное действие которых может быть заменено равнодействующей, назы
ваются составляющими. Равнодействующую системы
значим R", тогда
(F1, F 2••. FN)
обо (б)
Силой, уравновешивающей систему сил
(F 1, F2, ... FN),
называют
такую силу, которая, будучи присоединенной к данной системе сил,
составит вместе с ней новую систему сил, эквивалентную нулю. Урав
новешивающую силу обозначим R"", тогда
(7) б
Сила, приложеиная к телу в какой-либо одной его точке, назы ваетси сосредоточенной. Силы, действующие на все точки данного объ ема или данной части поверхности тела, называютси распределенными. В статике рассматриваютси две основные задачи: упрощение данной системы сил, т.е. приведение ее к простейшему виду, и вывод
необходимых и достаточных условий равновесИJI действующих на абсо лютно твердое тело различных систем сил.
1.2. Аксиомы статики. Связи
н их реакции
Все теоремы и выводы статики устанавливаются с помощью не
скольких исходных положений, примимаемых без доказательства и на зываемых аксиомами статики.
Первая аксиома. Если на свободное абсолютно твердое тело
действуют две силы, то эти силы эквивалентны нулю тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю и направлены вдоль одной пря мой в противоположные стороны (рис.
F1= - F2
Рис.
и
1.2
1.2):
(F1 , F2)-0.
Рис.
1.3
Вторая аксиома. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней присоединить или от нее от нять систему, эквивалентную нулю.
Из первых двух аксиом выводятся следующие следствИJI.
1.
Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится при
переносе силы вдоль линии ее действИJI в любую другую точку тела. В самом деле, пусть на тело действует приложеиная в точке А
сила
FA.
Возьмем на линии ее действИJI произвольную точку В и прило·
жим к ней систему двух сил, эквивалентную нулю, (Fв,
FA =F8 = F; лы
(рис.
F; )-0, причем 1.3). При этом, согласно второй аксиоме, действие си
FA на твердое тело не изменится, т.е. FA- (FA, F 8, Но СИЛЬI FA и F;, согласно первой аксиоме,
F; ). образуют систему,
эквивалентную нулю, которая на основании второй аксиомы может быть
отброшена. В результате на тело будет действовать только одна сила
F8, 7
равная
FA,
но приложеиная в точке В. В силу произвольности выбора
точки В доказанное следствие справедливо для любой точки тела, ле
жащей на линии действия данной силы. Т. е. сила, приложеиная к абсо лютно твердому телу, предстаВЛJiет собой скользищий вектор.
2.
Только такая система сил имеет уравновешивающую силу,
которая приводкrси к равнодействующей силе. Тогда уравновешиваю щая сила равна равнодействующей по модулю, действует вдоль той же
примой и направлена в противоположную сторону, т.е. R•• = - R*. Третья аксиома. Всякому действию одного материального тела на другое всегда соответствует равное по величине, но противо положно направленное противодействие:
F1.2 = Силы
F 1.1
и
F 2, 1
-F2,1.
не образуют уравновешенной системы, так как прило
жены к разным телам (рис
Рис.
.1.4).
1.4
Рис.
1.5
Чет•ертая аксиома.. Две силы, приложенные к одной точке
твердого тела, имеют равнодействующую, приложенную к той же точке и изображаемую диагональю парши~елограмма, построенного на данньи силш как на сторонш.
Вектор
R,
определяемый диагональю параллелограмма, постро
енного на векторах
F 1 и F 2 , называется геометрической суммой этих векторов и обозначается так: R=Fa +Fz. Величину вектора
ника АВС (рис.
R
можно определить как сторону треуголь
1.5) по теореме
косинусов или аналитически.
Пятая аксиома (аксиома связей). Ранее были введены понятия
свободного и неевободного тела. Подчеркнем еще раз, что неевободное тело может перемещатьси лишь в определенных направлениях или не nеремешаться совсем.
Все то, что ограничивает свободу перемещения данного твер дого тела в пространстве, называется связью. Таким образом, твердое
тело является несвободным, если на :это тело наложены связи.
8
Тело, стремясь под действием приложениых сил осуществить перемещение, которому препятствует связь, действует на нее с некото рой силой давленИJI. Одновременно, согласно третьей аксиоме, связь действует на тело с такой же по модулю, но противоположно направ
ленной силой.
CWJa,
с которой данная связь действует на тело, пре
пятствуя тем Wlи иным его перемещениям, называется CWJoй реакции
связи, или просто реакцией связи. Направлена реакцИJI свизи в сторону, противоположную той, куда связь не дает персмещаться телу.
Иногда силы реакций связей называют пассивными силами, в отличие от активных (или заданных) сил, которые от наличИJI свизей не зависят.
В статике равновесие неевободных тел изучаетси на основании следующей аксиомы связи или принцила освобождаемости от связей.
Всякое неевободное тело можно рассматривать как свобод
ное, если отбросить связи и заменить их действие силами реакций этих связей. Для того чтобы пользоваться этой аксиомой, необходимо нау читьси находить направление сил реакций основных типов связей.
1.
Гладкая поверхность или опора. РеакцИJI
N
гладкой по
верхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкосновенИJI
(рис.
1.6,
тел в точке их касанИJI
и приложена к этой точке
а). Если одна из соприкасающихся поверхностей является точ
кой, то реакция направлена по нормали к другой поверхности (рис.
а)
N
Рис.
2.
1.6, 6).
\.6
Цилиндрический шарнир (подшипник) (рис.1.7). Если два
тела соединены болтом, проходящим через отверстие в этих телах, то такое соединение шарнирное.
РеакцИJI
R
этого шарнира, называемого цилиндрическим, может
иметь любое направление в плоскости, перпеидикулярной к оси шарни ра. В этом случае ЛИНИJI действИJI реакции связи шарнира, но ее модуль
R
R
проходит через центр
и направление этой реакции, т. е. угол а, неиз-
9
вестны. Поэтому в решеНЮIХ задач, при освобождении тела от шарнир ной свизи, уеловились неизвестную реакцию лиющие
- R_.
и
Ry·
R
разлагать на две состав
Эrи составлиющие направЛJiют по положительному
направлению осей координат. Если в результате решения задачи значе
R_.
ния состаВЛJiющих
и
Ry
окажуrси отрицательными, то это означает,
что в действительности состаВЛJПОщие реакции
R
направлены в стороны,
противополоЖНh!е положительному направлению осей координат. у
в
х
Рис.
3.
1.7
Рис.
1.8
Нить. Свизь, осуществлиемаи в виде гибкой нерастижимой
нити, не да~ подвешенному телу удалятьси от точки подвеса нити. По этому peaiЩИJI Т нити направлена по нити к точке ее подвеса (рис.
4.
1.8).
Невесомый стержень, между двумя шарнирами
Невесамым называют стержень, весом которого, по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой, можно пренебречь. Пусть дли находищеrоси в равновесии тела стержень, шарнирно закрепленный концами А и В, явлиетси связью. Тогда на стержень будуr действовать только две силы, приложеиные в этих точках. При равновесии эти силы, согласно
первой аксиоме, должны быть равны по модулю, направлены вдоль од ной прямой в противоположные стороны, т.е. вдоль АВ. Но тогда, со гласно третьей аксиоме, стержень будет действовать на тело с силой, тоже направленной по АВ. Следовательно, peaiЩИII невесомого шарнир
но
прикрепленного
примолинейного
стерЖЮI направлена
вдоль оси
стержНJI. При этом сам стержень может быть либо растянут, и тогда
pe-
aкUНJI направлена по стержню внутрь него, либо сжат, и тогда peaiЩНJI направлена по стержню от него.
ШecтiiJl аксиома (принцил отвердеваемости). Если uз.меняемое (деформируемое) тело находится под дейст вием некоторой системы CWI в равновесии, то равновесие не нарушит ся и в том случае, если это тело отвердеет (т. е. станет абсолютно
твердым).
10
1.3. Теорема о трех уравновешенных силах Если под действием трех сил тело находится в равновесии, и линии действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их лин11и действия пересекаются в одной точке.
R
Рис.
1.9
Пусть данное тело (рис.
1.9) находится в равновесии под дейст - F 1 , F 2 , F 3, т.е. эта система эквивалентна нулю: (F1, F2, Fз)-0. (1) дано, что линии действия сил F 1 и F 2 пересекаются в точке В. следствию из первых двух аксиом, силы F 1 и F 2 можно пере
вием системы трех сил
При этом Согласно
нести вдоль линии действия в точку В, а согласно четвертой аксиоме,
эти силы можно заменить одной равнодействующей силой
R1.2,
R1,2 = F1 + F2.
т.е.
(2)
Таким образом, данная система сил приведена к двум уравновешенным силам, т.е.
(F1 , F2, Fз}-(R 1. 2 Fз)-G.
(3)
Если же тело находится в равновесии под действием только
двух сил, то, согласно первой аксиоме, эти силы Rц и
F3
должны быть
направлены вдоль одной прямой, т.е. вдоль АзВ. Следовательно, линия
действия силы
F3
проходит через точку В и линию действия Rц. Это и
доказывает рассматриваемую теорему.
1.4. Система
сходищихси сил. Приведение к равнодействующей.
Формулы дли вычислении равнодействующей
F 2,
•••
Пусть к абсолютно твердому телу приложена система N сил (F1, FN), расположенных в пространстве так, что их линии действия
nересекаются в одной точке О (рис.
1.10).
Такую систему сил называют
системой сходящихся сил. Упростим систему сходящихся сил, т.е. ре шим первую задачу статики.
11
Докажем, что данная система сил эквивалентна одной силе, т.е. приводитем к равнодействующей силе.
Fr.
Рис.
1.10
В самом деле, так как сила есть вектор скольэмщий, то все силы
данной системы можно перенести вдоль линий их действия в точку О. Далее, по четвертой аксиоме, силы действующей
R 1,2
(см. рис.
1.1 0),
F1
и
F2
можно заменить их равно
которая опредеЛJJетсм диагональю па
раллелоrрамма, пое1роенного на этих силах как ка сторонах, и направ
ленной по этой диагонали, т.е.
(F1, F 2 )- Rц, Rц=F 1 +Fz.
где
Далее можно записать аналогичные соотношения ДЛJ1 получек
ной равнодействуюшей силы R\2 и силы F 3, тогда
(R1,2 где
Fз)-
(Ft, F 2,
Fз)- Rц.з,
R 1•2,3=F1+F2+F3
Дм системы
N сил
и т.д.
окончательно будем иметь
(F1 Fz ... FN)-R·, N
R·=Ft+F2 + ... +Fr_LFk.
(1)
k:l
На рис.
1.11,
а показако построекие равнодействующей указан
ным способом на примере системы, состомщей из четырех сил. Однако процесс определения равнодействующей удобнее вести иным путем, с помощью построекия так называемого силового многоугольника. Из
конца вектора силы равный силе
F 2• Из
F1
(точки В) проводим вектор ВС, геометрически
конца этого вектора (точки С) проводим вектор
CD, F 3• Из конца этого вектора (точки D) проводим вектор DE, силе F 4 • Полученный многоугольник ABCDE называетсм сило
равный силе равный
вым многоугольником. Процесс его построения хорошо виден на рис.
1.11,
б. Стороны силового многоугольника называются составляющими
сwами. Вектор АЕ, соединяющий начало А первой силы с концом Е последней силы и направленный навстречу составЛJJющим силам, казы-
12
вается замыкающей стороной силового многоугольника. Следовательно, равнодействующая системы сходищихся сил изображается в выбранном масштабе замыкающей силового многоугольника, посчюенного на со ставляющих силах. Нахождение равнодействующей системы сходищих ся сил по nравилу силового многоугольника называется векторным, или геометрическим сложением сил.
Таким образом, мы доказали, что система сходящихся сил в общем случае эквивалентна одной силе, т.е. равнодействующей, кото рая приложена в точке пересечения линий действия всех сил и равна их геометрической сумме.
Рис.
1.11
Для аналитического определении равнодействующей найдем ее проекции R_.,
Ry, R, на оси декартовой системы координат. Имеем R., = LFь, Ry = l:F.,_ , R, = LFu . N
N
N
k~l
k•l
t~l
(2)
Тогда величина равнодействующей оnределится следующей формулой:
R·=~R;+Я~+R;, N
или
N
(3) N
R·= (l:Fь) 2 +(l:F.J 2 +(LFп) 2 ·~
·~
(4)
·~
ДЛII оnределении направлении равнодействующей R• восnользуемся обычными выражениями ДJ1JI направЛJiющих косинусов:
cos а= Здесь а,
!},
у
-
R
----Jl,
cos f} =
R,. R,
cos у=
R
----Ji·
(5)
углы между положительным наnравлением осей коорди
нат и равнодействующей. Равенства
(2)-{5)
позвоЛJiют оnределить модуль и наnравление
равнодействующей по заданным проекциям составляющих сил. В случае плоской системы сходящихся сил оси координат можно взять в плоскости действии сил, и тогда формулы
(2)-{5) упрощаются. 13
l.S. УСJJовим
равновесим снетемы схоДIIщихсм сил
Пусrь на свободное твердое тело действует система схоДJПЦИХся сил
(F1, F 2, ••• Fн).
Сложив по правилу силового многоугольника
N-1
этих
сил, приведем данную систему сходящихся сил к системе двух сил (В 1 , Fн). Но, по первой аксиоме, две силы В 1 и Fн, приложеиные к твердому телу, эJСВивалеiПНЫ нулю, т.е. находятся в равновесии только в том слу
чае, когда они имеют равные модули и направлены по одной прямой в
противоположные стороны, т.е. если их равнодействующая в· =В 1 +Fн равна нулю. Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этой системы сил paвНJIJUJcь нулю, т.е.
N
в·=LFt =о.
(1)
t~l
Эrо векторное условие равновесия системы сходящихся сил.
Так как равнодействующая в· изображается вектором, замы кающим силовой многоугольник, то геометрически условие равновесия
системы сходящихся сил означает, что силовой многоугольник, по строенный на векторах слагаемых сил данной системы, замкнут.
Выразим теперь это условие аналитически. Из предыдущего параграфа известно, что модуль равнодействующей системы сходящих ся сил определяется по формуле
(2) Но при равновесии я·= О, а следовательно, равно нулю и подкоренное выражение формулы
(2).
Поскольку под знаком кория стоит сумма по
ложительных чисел, то я· может равняться нулю только в случае, если каждое из этих слагаемых равно нулю в отдельности, т.е.
(3) Таким образом, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические сум мы проекций всех сил на ка:ждую из трех выбранных любым образом координатных осей равнялись нулю.
Имея плоскую систему сходящихся сил, всегда можно плос кость, в которой расположены силы, прИИJIТЪ за координатную плос-
14
кость хОу. Тогда 1реТЬе условие в формулах венно,
и
условия
равновесия,
в
(3)
выnоЛНJiется тождест
рассматриваемом
случае,
сведуrся
к
двум следующим условиям:
N
LF'>' =0. k=l
(4)
k·l
Т .е. для равновесия плоской системы сходящихся сил необходи мо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из двух выбранных любым образом координатных осей, лежа щих в плоскости действия сил данной системы, равНJV/uсь нулю. Пример
1.1. Тяжелый
шар весом Р подвешен на ниrи в точке А и
удерживается в отклоненном на угол а от вертикали положении rоризон
талъной ниrью привязанной к точке В (рис.
1.12). НЗЙ"IИ наТ.IIЖение ниrей. у
___
](
р
С~·
а)
б)
р
р~В)
D Рис.
Решение. Здесь шар
-
'12
Е
1.12.
тело, равновесие котороrо будем рас
сматривать. Эrо тело несвободное. Связи, наложенные на него, осуще ствляются нитями. Оrбросим связи и заменим их действие силами реак ций. Теnерь шар можно рассматривать как свободное тело, находящееся в равновесии nод действием плоской системы сил: активной Р и реакций
Т1 и Т2 , которые по теореме о трех силах nересекаются в одной точке О. Реакции Т1 и Т2 по модулю равны искомым натяжениям нити. Рассмотрим три метода решения данной задачи. Графический метод решении
Так как силы Р, Т 1 , Т2 находятся в равновесии, то силовой мно гоугольник (в нашем случае треугольник) должен замыкаться. Строим
ero
в определенном масштабе. Стороны
DE и ЕС полученного треуrоль15
кика, измеренные в прИЮ1том масштабе, дают искомые модули натяже НЮI нитей. Геометрический метод решении Искомые стороны nостроенного силового треугольника можно
вычислить геометрически, не nрибегая к измерению. Из силового тре угольника (рис.
1.12, в)
видно, что р
т,
=- - .
т2
cosa
= Ptga .
Геометрический метод решенИJI неудобен, если число сил больше трех. Аналитический метод решении Выбираем систему координат и составляем аналитические ус ловЮI равновесЮI:
N
L Fь = т2 - т, sin а = О; Azl
N
LF." = r, cos а-Р= о.
·-·
Реша11 эти уравненИJI,
приходим
к полученному ранее резуль-
тату.
1.6. Момент силы Пусть даны сила
F,
относительно точки
приложеиная в точке А.. тела, и некоторый
центр О. Вращательный эффект силы
F
относительно точки О зависит
от модули силы F и кратчайшего расстоянИJI ствЮI силы. Это кратчайшее расстояние
h
h от точки
О до линии дей
называется nлечом силы от
носительно данной точки (рис.
1.13 ).
Кро
ме того, вращательный эффект силы зави сит от положенИJI в пространстве плоско
сти nоворота треугольника ОАВ, проходи щей через моментную точку О и линию действИII силы
F,
и от направленИII пово
рота в этой плоскости. Для количественно го измеренЮI вращательного эффекта силы
F, Рис.
1.13
относительно заданной точки, введем
понятие момента силы.
Моментом силы относительно точки называется Ш/гебраиче ская величина, равная произведению модум силы на кратчайшее рас стояние от точки до линии действия силы.
16
Численное значение момента силы дем обозначать
mo(F).
F
относиrельно точки О бу
Тогда
mo(F)
= ± F h.
(1)
Уеловились считать момент силы относительно точки положи тельным,
если
сила стремится
вращать тело
вокруг заданиого
центра
против хода часовой стрелки, и отрицательным
стрелке (рис. ления
величиНЪI
относительно
что
- по 1.14). Из
он
не
часовой
опреде
момента силы
точки
зависит
от
следует,
nереноса
силы вдоль линии ее действия и
равен нyJUO, если линия действия силы nроходит через моментную точку.
Геометрически численное значение момента СИJIЫ
F
относи
тельно точки О выражается удвоенной ruющадью треугольника ОАВ, вершиной которого является данная точка О, а основанием
\ mo(F) 1= 2пл.АОАВ.
-
сила
F:
(2)
Момент силы относительно точки О можно принимать за ал
гебраическую величину лишь в случае плоской системы сил. Для про странетвенной системы сил определение момента необходимо обобщить
так, чтобы в определение этого понятия входило задание положения в пространстве плоскости, проходящей через линию силы и моменткую
точку. Это можно сделать, если момент силы относительно точки счи тать вектором, приложеиным в этой точке и равным по модулю произ
ведекию величины силы на ее плечо. При этом вектор-момент силы
должен быть направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила и моментмая точка, в ту сторону, откуда вращение тела силой пред став.:tяется происходящим против хода часовой стрелки.
Обозначим вектор-момент СИJIЫ волом лами
mo(F). ( 1)--(2),
F
относительно точки О сим
Тогда, рассматривая его величину, определяемую форму и принимая во внимание направление вектор-момента,
приходим к заключению, что вектор-момент
mo(F)
можно определить с
помощью следующего векторного произведения:
mo(F)
=
r
х
F.
(3)
Итак, момент силы относительно некоторого центра равен векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы.
17
Рассмотрим теперь пространствеиную систему сходящихся сил и вычис;;лим сумму моментов ·них сил относительно некоторого цеН1ра
!i
:Lm
N
0
(F.)
= :Lrx F•
N
rx LF•.
=
k=J
k=l
(4)
ks1
N
Вспомнив, что LF•
= R •. приходим к следующей теореме (рис. 1.15).
k=l
Момент равнодействующей странетвенной относительно
системы
сходящихся
произвольной
про сил
точки равен
гео.метрический сумме люментов сил дан
ной системы относительно той же точки. N
m (R') = :Lm 0
Равенство
(5)
0
(F.).
применительно
(5) к
сходящейся системе сил выражает теоре Рис.
му Вариньона.
1.15
1.7. Момент
силы относительно оси 11
Рассмотрим тело, которое может вращаться вокруг неподвиж ной оси
z (рис. \.16).
Пусть на это тело действует сила
F,
приложеиная к
точке А тела. Проведем через точку приложекия силы перпенднкулярно оси
z плоскость, которая пересекается с осью z в точке О. z
Разножим данную ему на две составляющие: составШiющую
F,,
nараллельную оси
z,
и составляющую
и являющуюся проекцией смы ставляющая
18
F,.
параллельная оси
F
z,
F ry.
лежащую в nлоскости хОу
на эrу плоскость. Очевидно, что со не может повернуть тело вокруг оси
z;
эта сила стремится только сдвинуть тело вдоль оси
вращательный эффект силы
F
относительно оси
z
тельным эффектом, создаваемым ее составляющей
силы F на плоскость перпендикулярную оси
z.
Это значит, что
одинаков с враща
Fxy
(т.е. проекцией
z), относительно точки О.
Отсюда следует определение момента силь1 относительно оси,
который будем обозначать символом
mz(F).
Моментом CWIЫ относительно оси называется алгебраическая величина момента проекции этой CWIЫ на плоскость, перпендикуляр
ную к данной оси, относительно точки пересечения этой плоскости с осью. Момент силы
F
относительно оси считается положительным, если
наблюдатель, смотрящий с положительного направления оси, видит по
ворот, совершаемый составляющей
F.'=roodt+tt dt ,
Из начального условия
- скользящий аксиальный вектор.
Перепишем теперь формулу
(4)
с учетом
(5),
тогда
V = (J)XF.
(6)
Вектор скорости любой точки тела, вращающегося во
круг неподвижной оси, равен векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки, проведен ный из произвольнога центра, взятого 11а оси вращения.
Формула
(6)
называется формулой Эйлера.
Прнмечанне. Так как v =~,то из (6) следует, что если веJПор
r изменяется со
временем только по направлению, то
dr dt
-= где
ro
roxr
(а)
'
-угловая скорость поворота вектора
r.
Формула (а) опре
деляет правWiо дифференцирования вектора, постоянного по модулю. Аналогично из равенств
90
(3)
и
(5)
получаем:
di dt
.
-=(J)XI
dj dt
'
dk
.
(б)
-=(J)xk.
=(J)Xj'
dt
Модуль скорости точки М
lvl = lюl·lrlsin(m, л r) =l)l1z1
закрепленную
тело имеет одну
точку
2.54).
системе
А,
z,
следова
тельно, в этой системе тело участ-
вует
в
сферическом
движении.
Для того, чтобы задать положение тела
в
этой
координат
подвижной
Ax:>)l2z 2 ,
системе
можно, как и
ранее, ввести три угла Эйлера \jf,