Une brève introduction à la combinatoire algébrique

Une brève introduction à la combinatoire algébrique Olivier Fouquet

312 213 (x8) Kid Koala (8 bit blues)

 √ 2n 1 n = 1− 1−4x x n+1 n 2x n=0 ∞ P



2

Table des matières I

Compter

7

1 Fondations 1.1

1.2

1.3

1.4

9

Les bases du dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1

Comment définit-on une définition ? . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2

Injection, surjection, cardinalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.3

Les fonctions élémentaires du dénombrement . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.4

Quelques applications ingénieuses du principe des tiroirs . . . . . . .

15

Preuves bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.1

Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.2

L’identité de Pascal et ses généralisations . . . . . . . . . . . . . . .

20

L’algèbre affleure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3.1

Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3.2

Coefficients binomiaux généralisés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Le groupe Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.4.1

Transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.4.2

Orbites, décomposition en cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.4.3

Type cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2 Séries génératrices 2.1

2.2

2.3

31

Séries formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.1.1

L’anneau des séries formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.1.2

Exemples et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.1.3

Composition, dérivation et formule du binôme généralisée . . . . . .

37

2.1.4

Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Séries exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2.1

Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2.2

Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Séries de Dirichlet formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.3.1

Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.3.2

Produits formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.3.3

Formule d’inversion de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.3.4

Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3

II

Dessiner

63

3 Introduction à la théorie des graphes 3.1

3.2

3.3 3.4

3.5

Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.1.1

Définitions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.1.2

Cycles, arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.1.3

Induction structurelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.1.4

Quelques propriétés élémentaires des graphes . . . . . . . . . . . . .

76

Bestiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3.2.1

Graphes de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3.2.2

Graphes bipartis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.2.3

Graphe des arêtes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3.2.4

Graphe des arêtes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Graphes élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3.3.1

Chemins élémentaires, cycles élémentaires . . . . . . . . . . . . . . .

80

Graphes moins élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3.4.1

Graphes circulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3.4.2

Graphes de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

3.4.3

Graphes de Mycielski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

Bêtes curieuses et remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3.5.1

Graphes bipartis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3.5.2

Graphe de Petersen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4 Isomorphismes 4.1

4.2

65

85

Isomorphismes et groupe des automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.1.1

Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.1.2

Action de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

4.2.1

Graphes complets, isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

4.2.2

Chemins élémentaires, cycles élémentaires . . . . . . . . . . . . . . .

87

4.2.3

Arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

4.2.4

Graphes circulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

4.2.5

Graphes de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

4.2.6

Graphe de Petersen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

4.2.7

Graphe asymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

5 Connectivité

91

5.1

Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

5.2

Théorème de Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

6 Algèbre linéaire 6.1

95

Endomorphisme associé à un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

95

6.2

6.3

6.1.1

Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

6.1.2

Théorème de Sachs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

Spectre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

6.2.1

Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

6.2.2

Entrelacement

6.2.3

Bipartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Parcours sur les graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.3.1

Parcours fermés sur les graphes sommets-transitifs . . . . . . . . . . 101

6.3.2

Parcours sur les chemins et nombre de Catalan . . . . . . . . . . . . 102

7 Graphes hamiltoniens

107

7.1

Cycles hamiltoniens

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.2

Deux classes de graphes hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8 Coloration

111

8.1

Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.2

Perfection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9 Morphismes

117

9.1

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.2

Lien avec la coloration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

10 Planarité

121

10.1 Dessins, multigraphes, planarités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.2 Pré-requis de topologie de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.3 Graphes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 11 Exercices

125

11.1 Notions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 11.2 Automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 11.3 Connectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 11.4 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 11.5 Graphes hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 11.6 Coloration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 12 Annexes

135

12.1 Annexe I : Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 12.2 Annexe II : Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5

6

Première partie

Compter

7

Chapitre 1

Fondations Combinations like melodies! You know, I can simply hear the moves. (Vladimir Nabokov).

1.1 1.1.1

Les bases du dénombrement Comment définit-on une définition ?

Le titre de cette sous-section introductive est emprunté à la contribution proposée par Giuseppe Peano1 lors de la séance jointe du premier Congrès International de Philosophie et de second Congrès International de Mathématiques de 1900. Parce qu’il nous faut bien commencer quelque part, commençons par les entiers naturels. N = {0, 1, 2, 3 . . .} L’ensemble des entiers naturels est infini et, comme nous le verrons, dénombrable par définition. Il vérifie la propriété suivante, qui est à la base de la théorie axiomatique de l’arithmétique. Proposition 1.1.1.1 (Axiome n◦ 5 de Peano). Tout sous-ensemble non-vide de N admet un plus petit élément. L’étrange dénomination de cette proposition n’aura pas échappé au lecteur attentif. L’axiome 1.1.1.1 vient en effet s’insérer dans la liste suivante ; dite des axiomes de Peano. A isomorphisme près (en un sens qu’il faudrait préciser), il existe une unique structure vérifiant les axiomes suivants. Axiome 1.1.1.2.

1. 0 est un entier naturel : 0 ∈ N.

2. Tout entier naturel n ∈ N admet un unique successeur s(n) ∈ N qui est un entier naturel. 3. Aucun entier naturel n’a 0 pour successeur ; de manière équivalente l’image de s ne contient pas 0. 1

Giuseppe Peano ( 1858–1932) fut un logicien italien. Son oeuvre majeur, Arithmetices principia, nova methodo exposita (Les principes de l’arithmétique, exposés de manière nouvelle), introduisit en 1889 une des premières axiomatisations de l’arithmétique ainsi que les symboles ∪, ∩ et ∈. C’est aussi une des dernières oeuvres scientifiques majeures écrites en Latin.

9

4. Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux ; de manière équivalente l’application s : N −→ N est injective. 5. Si un sous-ensemble de N contient 0 et le successeur de chacun de ses éléments, alors il est égal à N ; de manière équivalente, si E ⊂ N (0 ∈ E et n ∈ E =⇒ s(n) ∈ E) ⇐⇒ E = N. Remarquons que l’axiome 5 énonce également que N est l’ensemble des successeurs itérés de 0 et muni donc N et tous ses sous-ensembles non-vides d’une relation d’ordre totale telle que 0 soit le plus petit élément de N. La proposition 1.1.1.1 se déduit alors des axiomes de Peano de la manière suivante. Soit E ( N un ensemble et F = N − E son complémentaire qui est donc non vide. Si 0 ∈ / E, alors 0 ∈ F et F admet donc un plus petit élément par l’axiome 3. Supposons maintenant que 0 appartienne pas à E. Par hypothèse, l’ensemble F est non-vide donc E 6= N donc l’assertion n ∈ E =⇒ s(n) ∈ E n’est pas vraie par l’axiome 5 et il existe donc un ensemble {0, s(0), s(s(0)), · · · , n} inclus dans E tel que le successeur s(n) de n ne soit pas dans E. L’élément s(n) est dans F et est par construction le plus petit élément de F . En utilisant les axiomes de Peano, il est parfois long mais toujours instructif de démontrer que N est muni d’une addition, c’est-à-dire d’une loi de composition interne + d’élément neutre 0, associative et commutative telle que s(n) soit n + s(0) ainsi que d’une multiplicadef

tion, c’est-à-dire d’une loi de composition interne · d’élément neutre 1 = s(0), associative, commutative et distributive sur l’addition. Si n ∈ N est un entier, on note N≥n le sous-ensemble des entiers supérieurs à n, N>n le sous-ensemble des entiers strictement supérieurs à n, N≤n le sous-ensemble des entiers inférieurs à n et N0 et Ja, bK le sous-ensemble N≥a ∩ N≤b .

1.1.2

Injection, surjection, cardinalité

La connaissance de N nous permet de donner un sens à la notion d’ensemble de cardinal fini, d’ensemble de cardinal infini et d’ensemble dénombrable. Rappelons à cet effet quelques définition de bases de théorie des ensembles. La donnée d’une application f : X −→ Y entre deux ensembles X et Y est la donnée d’un sous-ensemble de G(f ) ⊂ X × Y vérifiant la propriété ∀ x ∈ X, ∃! y ∈ Y (x, y) ∈ G(f ). (1.1.2.1) On appelle graphe de f l’ensemble G(f ) et pour x ∈ X, on note f (x) l’unique élément de Y tel que (x, f (x)) appartienne à G(f ). On dit que deux applications f, g sont égales si G(f ) = G(g). L’ensemble des applications de l’ensemble X vers l’ensemble Y est noté Y X . Soit Y un ensemble. L’ensemble vide ∅ vu comme sous-ensemble de ∅ × Y vérifie pour des raisons tautologiques la condition (1.1.2.1), si bien qu’il définit une application du ∅ vers Y . De plus, cette application est unique. En revanche, il n’existe pas d’application d’un ensemble X non-vide vers le vide. Si X est un ensemble (vide ou non), le sous-ensemble des paires {(x, x)|x ∈ X} ⊂ X × X 10

de X × X définit une application de X vers lui-même que l’on appelle l’identité sur X et que l’on note IdX . Une application f : X −→ Y est une injection (ou est injective) si et seulement si elle vérifie l’assertion suivante : ∀ (x, x0 ) ∈ X 2 , x 6= x0 =⇒ f (x) 6= f (x0 ). L’unique application de ∅ vers Y et l’identité IdX pour tout ensemble X sont des injections. Une application f : X −→ Y est une surjection si et seulement si elle vérifie l’assertion suivante : ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X f (x) = y. L’identité IdX pour tout ensemble X (y compris l’ensemble vide) est une surjection. Une application f : X −→ Y est une bijection si c’est une injection et une surjection. Lorsque f est une bijection, pour tout y ∈ Y , il existe un unique x ∈ X tel que f (x) = y. L’identité IdX pour tout ensemble X (y compris l’ensemble vide) est une bijection. Lemme 1.1.2.1. Une application f : X −→ Y est une bijection si et seulement s’il existe une application g : Y −→ X telle que f ◦ g = IdY et g ◦ f = IdX . Démonstration. Supposons que f soit une bijection. Soit y ∈ Y . Notons g(y) l’unique antécédent de y par f . Ceci définit une application g vérifiant par construction f ◦ g = IdY et g ◦ f = IdX . Supposons maintenant qu’une application g comme dans l’énoncé du lemme existe. Alors g(y) est l’unique antécédent de y par f donc f est une bijection. Pour démontrer qu’une application est une bijection, il suffit donc de construire une application inverse. Nous utiliserons à plusieurs reprises ce principe. Lemme 1.1.2.2. La composée de deux injections (resp. surjections resp. bijections) f, g est une injection (resp. surjection resp. bijection). Démonstration. Supposons que f, g soient des injections. Soit x, y deux éléments distincts. Alors f (x) 6= f (y) donc g ◦ f (x) 6= g ◦ f (y). Supposons que f, g soient des surjections. Soit z dans le but de g. Alors il existe y dans le but de f tel que g(y) = z et donc il existe x dans la source de f tel que g ◦ f (x) = z. On dit qu’un ensemble E est de cardinal fini (ou plus brièvement qu’il est fini) si et seulement s’il existe n ∈ N et une bijection de E vers {0, · · · , n − 1}. Le choix de n = 0 dans la définition précédente permet de s’assurer que le vide est bien un ensemble fini. Lemme 1.1.2.3. Soit E un ensemble non-vide et x ∈ E. Alors E est fini si et seulement si E − {x} est fini. Démonstration. Soit n ∈ N un entier. La donnée d’une application bijective f : E −→ {0, · · · , n − 1} est équivalente à la donnée du couple (x, f (x)) et d’une application bijective g : E − {x} −→ {0, · · · , n − 1} − {f (x)}. Il suffit donc de démontrer que si m est un élément de {0, · · · , n − 1}, alors {0, · · · , n − 1} − {m} est en bijection avec {0, · · · , n − 2}. L’application qui envoie x sur x si x < m et x sur x − 1 si x > m convient. Proposition 1.1.2.4. Soit E un ensemble fini. Il existe alors un unique n ∈ N tel que E soit en bijection avec {0, · · · , n − 1}. Il est important de noter que la démonstration de cette proposition n’est pas évidente. 11

Démonstration. Soit E un ensemble en bijection avec {0, · · · , n − 1} et {0, · · · , m − 1}. En composant ces deux bjections, on obtient d’après le lemme 1.1.2.2 une bijection entre {0, · · · , n − 1} et {0, · · · , m − 1} et il suffit donc de montrer que cela n’est possible que si n = m. Quitte à échanger leurs rôles, on peut supposer que n ≤ m. Supposons tout d’abord que n = 0. Alors {0, · · · , n − 1} = ∅. La seule bijection ayant ∅ pour source est Id∅ , donc m = 0. Supposons maintenant que la propriété soit vraie pour tous les entiers inférieurs à n ∈ N et considérons une bijection f entre {0, · · · , n} et {0, · · · , m} avec n ≤ m. Notons y = f (n). Par restriction, on obtient une application g : {0, · · · , n − 1} −→ {0, · · · , m} − {y}. Le but de g est en bijection avec {0, · · · , m − 1} en envoyant x ∈ {0, · · · , m} − {y} sur luimême si x < y et x ∈ {0, · · · , m} − {y} sur x − 1 si x > y. On obtient donc par composition une bijection h : {0, · · · , n − 1} −→ {0, · · · , m − 1}. Ceci implique que n − 1 = m − 1 par notre hypothèse de récurrence, et donc que n = m. Lorsque E est fini, on dit que l’unique n du lemme précédent est son cardinal et on le note |E|. Corollaire 1.1.2.5. Soient X, Y deux ensembles finis. Il existe une injection de X vers Y si et seulement si |X| ≤ |Y |. Il existe une surjection de X vers Y seulement si |X| ≥ |Y |. Il existe une bijection entre ensembles finis X, Y si et seulement si |X| = |Y |. Démonstration. En composant par les bijections avec {0, · · · , |Z| − 1} pour Z = X, Y et en utilisant le lemme 1.1.2.2, on se ramène au cas où X = {0, · · · , n−1} et Y = {0, · · · , m−1}. Supposons qu’il existe une injection f de X vers Y et montrons qu’alors |X| ≤ |Y |. C’est vrai si X = ∅. Supposons que la proposition soit vraie pour les ensembles sources de cardinal au plus n et considérons X = {0, · · · , n}. Soit y ∈ Y l’image de n par f . Alors f définit par restriction une application de X − {n} vers Y − {y} qui est une injection par construction. Donc |X| − 1 = |X − {n}| ≤ |Y − {y}| = |Y | − 1 et donc |X| ≤ |Y |. Réciproquement, si n ≤ m, alors X ⊂ Y et l’application qui à x associe x est une injection de X vers Y , y compris lorsque X = ∅. Si maintenant il existe une surjection f de X vers Y , alors ou bien X = Y = ∅ et l’assertion souhaitée est bien vraie ou bien l’application g qui à y ∈ Y associe l’un des antécédents de y par f est une application bien définie qui est une injection par construction. Donc |Y | ≤ |X| d’après la première partie de la démonstration. En combinant ces deux résultats, on obtient qu’il existe une bijection entre ensembles finis seulement s’ils sont de même cardinaux. La réciproque découle directement de la proposition 1.1.2.4 et du lemme 1.1.2.2. Le fait qu’il n’existe pas d’injection d’un ensemble de cardinal fini n vers un ensemble de cardinal m < n est d’usage constant en combinatoire. Il est parfois prénommé principe des tiroirs, en référence au fait que si l’on range n paires de chaussettes dans m < n tiroirs, il existe nécessairement un tiroir contenant au moins deux paires de chaussettes (l’application de l’ensemble des paires de chaussettes vers l’ensemble des tiroirs ne peut pas être une injection). Les anglophones le baptisent souvent pigeonhole principle (principe des trous à pigeons) en référence au fait que si n pigeons veulent entrer dans un pigeonnier avec m < n trous, il existe nécessairement un trou contenant plusieurs pigeons (à l’Université 12

d’Austin, Texas, on justifie plutôt ce nom par le fait que si on tire n balles dans m < n pigeons, il existe nécessairement un pigeon troué par plusieurs balles). Bien qu’évident en un sens, il est important de noter d’une part que sa démonstration utilise la pleine puissance du principe de récurrence, d’autre part que ses conséquences peuvent être contre-intuitives. Par exemple, il implique directement qu’il existe deux étudiants de l’Université Paris-Sud qui ont le même code de carte bancaire ou deux bacheliers de la session 2017 qui ont exactement le même nombre de cheveux. Proposition 1.1.2.6. Soit E un ensemble. Les assertions suivantes sont équivalentes. 1. L’ensemble E n’est pas fini. 2. L’ensemble E est non-vide et pour tout x ∈ E, E contient un sous-ensemble en bijection avec N contenant x. 3. L’ensemble E est non-vide et pour tout x ∈ E, il existe une bijection de E vers E − {x}. 4. Pour tout x ∈ / E, il existe une bijection de E vers E ∪ {x}. Démonstration. Supposons que E vérifie 1). Alors E n’est pas vide. Posons E0 = E et soit x0 ∈ E0 . Supposons maintenant que pour n ∈ N, on ait défini un ensemble En ⊂ E infini. Choisissons xn ∈ En et posons En+1 = En − {xn }. L’ensemble En+1 n’est alors pas fini d’après le lemme 1.1.2.3. L’ensemble {xn |n ∈ N} est alors un sous-ensemble de E contenant x0 et de xn ∈ En − En+1 , il découle que xn 6= xm si n 6= m. L’application n 7→ xn est donc une bijection de N vers {xn |n ∈ N}. Donc E vérifie 2). Supposons que E vérifie 2). Soit x ∈ E et soit f : N −→ F une bijection vers un sousensemble de E telle que f (0) = x. Soit g l’application égale à IdE sur E − im(f ) et qui envoie f (n) sur f (n + 1). Alors g est une bijection de E sur E − {x}. Donc E vérifie 3). Supposons que E vérifie 3) et soit f : E − {x} −→ E une bijection. Soit y ∈ / E. Soit g : E −→ E ∪ {y} l’application égale à IdE sur E − {x} et qui envoie x sur y. Alors g est une bijection de E vers E − {x} ∪ {y}. En composant avec l’application égale à f sur E − {x} et à Id{y} sinon, on obtient une bijection de E vers E ∪ {y}. Supposons enfin que E soit fini (c’est-à-dire la négation de 1)). En composant avec une bijection vers {0, · · · , n − 1}, on peut alors supposer sans perte de généralité que c’est l’ensemble {0, · · · , n − 1}. Cet ensemble n’est pas en bijection avec {0, · · · , n}. Donc E ne vérifie pas 4) et 4) implique bien donc 1). Lorsque les assertions de cette proposition sont vérifiées, on dit que E est infini. En particulier, les ensembles N, Z, Q, R et C sont infinis. D’après la proposition 1.1.2.6, le corollaire 1.1.2.5 caractérise les ensembles finis : il existe une injection d’un ensemble X vers un de ses sous-ensembles stricts si et seulement si X est infini. Lemme 1.1.2.7. Soit X, Y deux ensembles de cardinaux finis. Le produit cartésien de X × Y est un ensemble fini de cardinal |X| × |Y |. Démonstration. Il suffit de le démontrer pour les ensembles X = {0, · · · , n − 1} et Y = {0 · · · , m − 1}. L’application qui envoie (a, b) ∈ X × Y sur a|Y | + b est une bijection de X × Y sur {0, · · · , |X| × |Y | − 1}. Corollaire 1.1.2.8. Soit X, Y deux ensembles finis et f : X −→ Y . Deux des trois assertions suivantes entrainent la troisième. 13

1. f est une injection. 2. f est une surjection. 3. X et Y ont même cardinal. Démonstration. Que les deux premières assertions entrainent la troisième est l’énoncé de la proposition 1.1.2.4. En utilisant cette proposition, on peut de plus se ramener au cas où X = {0, · · · , n − 1} et Y = {0, · · · , m − 1}. Supposons alors que f soit une injection et que f ne soit pas une surjection. Il existe donc y ∈ Y qui ne soit pas dans l’image de f . L’application f induit donc une application de X vers Y − {y} injective par construction et donc |X| ≤ |Y − {y}| = m − 1. Donc |X| < |Y |. Supposons maintenant que f soit une surjection et que f ne soit pas une injection. Il existe donc y ∈ Y et un couple (x, x0 ) ∈ X 2 d’éléments distincts tel que f (x) = f (x0 ) = y. L’application f induit donc une application de X − {x0 } vers Y surjective par construction et donc |X| > |X − {x0 }| ≥ |Y |.

1.1.3

Les fonctions élémentaires du dénombrement

Proposition 1.1.3.1. Soit X, Y deux ensembles finis. L’ensemble Y X des applications de X vers Y est fini de cardinal |Y ||X| . Noter que la formule de la proposition donne la bonne valeur y compris lorsque |X| ou |Y | est nul, à condition bien sûr de respecter la convention usuelle que n0 = 1 pour tout n ∈ N et 0n = 0 pour tout n ∈ N − {0}. Démonstration. On peut à nouveau se ramener au cas où X = {0, · · · , n − 1} et Y = {0, · · · , m − 1}. La proposition est vraie si |X| = 0. Supposons qu’elle soit vraie pour tous les ensembles de la forme {0, · · · , p − 1} de cardinal au plus n ∈ N. La donnée d’une application de {0, · · · , n} vers Y est équivalente à la donnée d’une application de X − {n} vers Y et de l’image de n. Il existe donc une bijection de Y X vers Y X−{n} × Y . Donc |Y X | = |Y X−{n} × Y | = |Y X−{n} ||Y | = |Y ||X| . Corollaire 1.1.3.2. Soit X un ensemble fini. Alors l’ensemble P(X) des parties de X est fini de cardinal 2|X| . Démonstration. L’ensemble des sous-ensembles de X est en bijection avec l’ensemble des application de X vers {0, 1} par l’application qui envoie un sous-ensemble E de X vers l’application qui à x ∈ X associe 1 si x ∈ E et 0 sinon. Soit X, Y deux ensembles finis. On note S(X, Y ) l’ensemble des bijections de X vers Y , S(X) l’ensemble S(X, X) et Sn l’ensemble S({0, · · · , n − 1}). Proposition 1.1.3.3. Soit X, Y deux ensembles finis. L’ensemble S(X, Y ) des bijections entre X et Y est un ensemble fini de cardinal n! si |X| = |Y | = n et 0 sinon. De plus, 0! = 1 et pour tout n ∈ N, (n + 1)! = (n + 1)n! soit encore n! =

n Y

i.

i=1

Démonstration. Si |X| = 6 |Y |, alors S(X, Y ) = ∅ d’après la proposition 1.1.2.4. 14

Supposons donc que |X| = |Y | = n. Quitte à composer avec des bijections vers {0, · · · , n− 1}, nous pouvons de plus supposer que X = Y = {0, · · · , n − 1}. Si n = 0, alors l’unique élément de S0 est Id∅ donc Sn est bien fini et de cardinal 0! =

0 Y i = 1. i=1

Supposons maintenant que la propriété soit vraie pour tout les entiers inférieurs à n. La donnée d’une bijection de {0, · · · , n} vers lui-même est équivalente à la donnée de l’image x de n et d’une bijection de {0, · · · , n − 1} vers {0, · · · , n} − {x}. Donc Sn+1 est fini de cardinal (n + 1)! = n!(n + 1) d’après la dernière assertion du corollaire 1.1.2.5. Soit X, Y deux ensembles finis. On note A(X, Y ) l’ensemble des injections de X vers Y et A(n, p) l’ensemble A({0, . . . , p − 1}, {0, · · · , n − 1}). Proposition 1.1.3.4. Soit X, Y deux ensembles finis de cardinaux p et n respectivement. L’ensemble des injections de X vers Y est un ensemble fini de cardinal Apn . De plus Apn =

n Y

i.

(1.1.3.1)

i=n−p+1

Noter que la formule (1.1.3.1) est valable pour tout (n, p) ∈ N2 , et donc que A0n = 1 pour tout n ∈ N et Apn = 0 si n < p. Démonstration. On se ramène au cas du calcul de |A(n, p)|. A une injection f : X −→ Y et à une bijection σ de Y − X vers Y − im f , on associe g ∈ S(Y ) en posant g(x) = f (x) si x ∈ X et g(x) = σ(x) si x ∈ / X. L’application A(X, Y ) × S(Y − X, Y − im f ) −→ S(Y ) ainsi définie admet comme inverse σ 7→ (σX , σY −X ) donc est une bijection. Donc |Sn | = |A(X, Y )||S(Y − X, Y − im f )|. Cette assertion est équivalente à (1.1.3.1).   n le nombre de sous-ensembles de cardinal p d’un ensemble Proposition 1.1.3.5. Soit p fini de cardinal n. Alors   Apn n(n − 1) · · · (n − p + 1) n! n = = = . p p! p! p!(n − p)!

(1.1.3.2)

Démonstration. L’ensemble des injections de {0, · · · , p − 1} vers {0, · · · , n − 1} est en bijection avec le produit cartésien de l’ensemble des sous-ensemble de cardinal p de {0, · · · , n−1} et de l’ensemble Sp . Donc   n p! = Apn . p

1.1.4

Quelques applications ingénieuses du principe des tiroirs

Les énoncés suivants illustrent l’efficacité du principe selon lequel il ne peut exister une injection d’un ensemble de cardinal vers un ensemble de cardinal m < n. 15

1.1.4.1

Des points dans le plan, sur un carré et sur une sphère

Supposons que tous les points de R2 soient colorés en rouge et bleu et soit d > 0 une distance. Alors il existe des points x, y à distance d l’un de l’autre et de la même couleur. En effet, parmi les trois somments d’un triangle équilatéral de côté de longueur d, deux sont nécessairement de la même couleur (le même démonstration montre qu’il existe une infinité de tels points, et même une infinité de tels points dans une région bornée du plan suffisamment grande). Supposons maintenant que 5 points distincts soient√dessinés sur un carré de côté 1. Alors deux sont nécessairement à une distance d’au plus 2/3. En effet, si l’on divise le carré en quatre en coupant par les médiatrices des côtés, deux points au moins se trouvent dans la même subdivision, qui est de côté 1/2. Ces √ deux points sont au maximum sur les deux sommets opposés du carré, donc à distance 2/2 (et la démonstration montre que la somme des distances est donc maximisée lorsque quatre points sont sur les sommets du carré initial et le dernier au centre). Supposons enfin que cinq points distincts soient choisis sur une sphère de R3 (par exemple cinq villes sur la Terre). Alors quatre d’entre eux sont dans le même hémisphère. En effet, la donnée de deux points définit un grand cercle (un cercle coupant la sphère en deux hémisphères). Parmi les trois points restants, deux sont nécessairement dans le même hémisphère.

1.1.4.2

Des amis et des inconnus

Soit un groupe de six personnes. On suppose que deux personnes données se connaissent ou sont inconnues l’une pour l’autre et que cette relation est réciproque. Alors il existe nécessairement trois personnes qui se connaissent toutes mutuellement ou trois personnes qui sont toutes mutuellement inconnues. Considérons en effet les relations de personnes P2 , P3 , · · · , P6 avec P1 . Parmi ces cinq personnes, trois appartiennent nécessairement à la même catégorie (personne connue ou inconnue). Sans perte de généralité, on peut supposer qu’il s’agit de P2 , P3 et P4 et que P1 connait ces personnes. Si les trois relations (P2 , P3 ), (P2 , P4 ) et (P3 , P4 ) sont entre personnes inconnues, alors notre assertion est vraie. Sinon, on peut supposer sans perte de généralité que P2 et P3 se connaissent. Les personnes P1 , P2 et P3 se connaissent, donc notre assertion est vraie. Dans les années 1950, le sociologue hongrois S.Szalai étudia les relations d’amitié entre enfants dans les classes d’école primaire et découvrit que dès que la classe contenait plus de vingt élèves, il y avait toujours un groupe de quatre enfants mutuellement amis ou un groupe de quatre enfants tel qu’aucune des six paires possibles de deux enfants ne soit une paire d’ami. Avant de conclure qu’il avait identifié un phénomène social, il demanda à P.Erdös, P.Turán et V.Sós qui lui confirmèrent que le résultat énoncé ci-dessus se généralise effectivement : n’importe quel groupe de 18 personnes ou plus contient quatre amis mutuels ou quatre non-amis mutuels. On sait montrer que pour tout entier strictement positif n ∈ N, il existe un entier R(n, n) tel que tout groupe de R(n, n) personnes contienne au moins n personnes se connaissant mutuellement ou n personnes ne se connaissant pas mutuellement. Les énoncés ci-dessus se reformulent deviennent alors les inégalités R(3, 3) ≤ 6 et R(4, 4) ≤ 18. Il est trivial de montrer réciproquement que R(3, 3) > 5 (dans le langage de la seconde partie de ce livre, cela résulte du fait que K5 est l’union disjointe de deux 5-cycles). Il est déjà considérablement plus difficile de montrer que R(4, 4) > 17 et donc de conclure que les inégalités ci-dessus sont en fait des égalités (mais le lecteur intéressé pourra vérifier que c’est le cas du graphe de Payley à 17 sommets). On ne connaît pas la valeur de R(5, 5) 16

mais on sait qu’elle est comprise entre 43 et 48 (la borne supérieure 48 n’ayant été obtenue qu’en 2017). Erdös a dit que si une civilisation extra-terrestre belliqueuse nous sommait de calculer R(5, 5) en moins d’un an sous peine d’annihilation, il faudrait conjuguer toutes nos capacités de calculs pour le faire. Si, dans les mêmes conditions, ils nous imposaient de calculer R(6, 6) (dont on sait qu’il est compris entre 102 et 165), alors il nous recommande d’unir plutôt nos forces contre les extra-terrestres. 1.1.4.3

Algorithme de compression

Un algorithme de compression est un procédé qui prend une suite finie de symboles de l’ensemble {0, 1} et qui rend une suite strictement plus courte. Un algorithme de compression est fidèle lorsque l’application de l’algorithme définit une application injective. Il résulte immédiatement de l’absence d’injection vers un ensemble de cardinal plus petit qu’un algorithme fidèle ne peut pas être défini sur l’ensemble des suites de longueur donnée. 1.1.4.4

Multiples contraints

Soit n ∈ N un entier non-nul. Alors n admet un multiple non-nul dont tous les chiffres décimaux sont 0 ou 1. En effet, parmi l’infinité de nombres s’écrivant uniquement avec des 1, deux sont congruents modulo n et leur différence est donc un multiple de n. La différence de deux nombres dont tous les chiffres sont égaux à 1 et un nombre dont les chiffres sont 0 ou 1. 1.1.4.5

Une inégalité étrange

Soit x1 < · · · < x7 six nombres réels distincts rangés par ordre croissant.. Alors il existe 1 ≤ j < i ≤ 7 tels que √ xi − xj 3 0< ≤ . 1 + xi xj 3 Soit en effet θ1 < · · · < θ7 sept réels de ] − π/2, π/2[√tels que tan θi = xi . Il suffit de montrer qu’il existe 1 ≤ j < i ≤ 7 tel que 0 < tan(θi −θj ) ≤ 3/3 soit encore qu’il existe 1 ≤ j < i ≤ 7 tel que 0 < θi −θj ≤ π/6. Il y a 6 intervalles de la forme ]−π/2+kπ/6, −π/2+(k +1)π/6] dans ] − π/2, π/2[ (correspondant à k = 0, 1, · · · , 5). Deux des 7 nombres θs au moins appartiennent donc au même intervalle.

1.2

Preuves bijectives

1.2.1

Exemples

La proposition 1.1.2.4 contient en particulier l’idée que deux ensembles finis ont même cardinal si et seulement s’il existe une bijection entre eux. Dans cette sous-section, nous donnons quelques exemples de cette idée. On note C(n, p) l’ensemble des sous-ensembles de {0, · · · , n − 1} de cardinal p. 1.

    n n = n−p p Il suffit de construire une bijection f : C(n, p) −→ C(n, n − p). 17

(1.2.1.1)

¯ convient. L’application U 7→ U 2.

n   X n s=0

s

= 2n

(1.2.1.2)

Il suffit de construire une bijection f:

n a

C(n, p) −→ P({0, · · · , n − 1}).

p=0

L’identité convient. 3. Soit n > 0.

n X s=0

  n =0 (−1) s s

(1.2.1.3)

Il suffit de montrer que l’ensemble des sous-ensembles de {0, · · · , n − 1} de cardinal pair est de cardinal 2n−1 et donc de construire une bijection [n/2]

f:

a

C(n, 2p) −→ P({0, · · · , n − 2}).

p=0

L’application qui à X dans le membre de gauche associe X − {n − 1} si n − 1 ∈ X et X si n − 1 ∈ / X est une bijection vers l’ensemble des parties de {0, · · · , n − 2} d’application réciproque associant à Y ∈ P ({0, · · · , n − 2}) l’ensemble Y si Y est de cardinal pair et Y ∪ {n − 1} si Y est de cardinal impair. 4.       n+1 n n = + p+1 p+1 p

(1.2.1.4)

Il suffit de construire une bijection f : C(n, p)

a

C(n, p + 1) −→ C(n + 1, p + 1).

L’application qui à X ∈ C(n, p) associe X ∪ {n} et à X ∈ C(n, p + 1) associe X est une bijection d’application réciproque Y 7→ Y si n ∈ / Y et Y 7→ Y − {n} sinon. 5.

  n X n s = n2n−1 s

(1.2.1.5)

s=0

Le membre de gauche est le cardinal de l’ensemble F des paires formées d’un sousensemble de {1, · · · , n − 1} et d’un élément de {1, · · · , n}. A une telle paire (x, V ), on peut associer (x, U ∪ {x}) où U = {y < x|y ∈ V } ∪ {y + 1|y ≥ x, y ∈ V }. L’application ainsi définie vers l’ensemble des paires (x, U ) où U est un sous-ensemble de {1, · · · , n} et x ∈ U est une bijection d’inverse (x, U ) 7→ (x, V ) où V = {y ∈ U |y < x} ∪ {y − 1|y ∈ U, y > x}. 18

6.

    n n−1 p =n p p−1

(1.2.1.6)

Soit U (n, p) = {U ⊂ {1, · · · , n||U | = p}}. Si U ∈ U (n, p) et a ∈ {1, · · · , p}, on considère que a appartient à U par la bijection entre {1, · · · , p} et U donnée par l’ordre croissant des termes. Si U appartient à U (n − 1, p − 1) et a appartient à {1, · · · , n}, on considère que U ∪ {a} appartient à U (n, p) par l’injection qui envoie i sur i si i ≤ a et i sur i + 1 sinon. De même, si U appartient à U (n, p) et a ∈ U , alors on considère que U − {a} appartient à U (n − 1, p − 1) par la bijection induite par l’ordre croissant des termes. Les applications φ : {1, · · · , p} × U (n, p) −→ {1, · · · , n} × U (n − 1, p − 1) 7−→ (a, U − {a})

(a, U ) et

ψ : {1, · · · , n} × U (n − 1, p − 1) −→ {1, · · · , p} × U (n, p) 7−→ (a, U ∪ {a})

(a, U )

sont alors inverses l’une de l’autre donc sont des bijections. 7.

  n X n+1 s= 2

(1.2.1.7)

s=1

En effet, l’ensemble des sous-ensembles de cardinal 2 de {1, · · · , n+1} est en bijection avec l’union (disjointe) sur i des ensembles {1, · · · , i} pour 1 ≤ i ≤ n en envoyant {a, b} sur a ∈ {1, · · · , b − 1}. 8. Soit (n, m) ∈ N2 .

n   X s s=0

m

 =

n+1 m+1

 (1.2.1.8)

Pour 0 ≤ s ≤ n, soit Ms (m)l’ensemble des sous-ensembles de cardinal  m + 1 de s et C(n + {1, · · · , n + 1} dont le plus grand élément est s + 1. Alors |Ms (m)| = m 1, m + 1) est l’union disjointe des Ms (m). 9. Le nombre d’ensembles de cardinal k formés avec des   éléments de {0, · · · , n − 1} n+k−1 (donc éventuellement avec répétition) est . Soit en effet S l’ensemble des k ensembles de cardinal k formés avec des éléments de {0, · · · , n − 1}. L’ensemble S est en bijection avec l’ensemble X des applications de {0, · · · , n − 1} vers les n-uplets d’entiers dont la somme est k en envoyant s ∈ S sur f qui envoie i ∈ {0, · · · , n−1} vers la multiplicité de i dans s. L’ensemble X est lui-même en bijection avec l’ensemble Z des suites de longueur n + k − 1 de x, y et comportant exactement k symboles x en envoyant f sur la suite (ui ) telle que ui = x si et seulement s’il existe k tel que k−1 X

k−1 X (f (j) + 1) < i ≤ f (k) + (f (j) + 1).

j=0

j=0

La bijection inverse est en effet celle qui à (ui ) associe l’application f  telle que f (i)  n+k−1 soit le nombre de x entre le i-ème et le i + 1-ème y. Le cardinal de Z est . k 19

10. Le nombre de partitions d’un ensemble de 2n éléments en ensemble de cardinal 2 est (2n)!/2n n!. Soit en effet E l’ensemble de telles partitions. Il suffit de construire une bijection entre S2n et E × Sn × F où F est de cardinal 2n . Soit F l’ensemble des suites de longueur n de + et de -. La bijection qui à (e, σ, f ) ∈ E × Sn × F associe i (efσ(i) )1≤i≤n où (a, b)− = (b, a)+ convient. Son inverse associe à τ le triplet (e, σ, f ) défini par e = {{τ (i), τ (i+1)}}, σ(i) = τ (2i−1) et fi = + si et seulement si ei,1 < ei,2 . 11. Soit (n, k) ∈ N2 une paire d’entier strictement positif. Soit X l’ensemble des n-uplets (X1 , · · · , Xn ) avec Xi ( {1, · · · , k}. Alors |X| = (2k − 1)n . Soit Y l’ensemble des k-uplets (Y1 , · · · , Yk ) avec Yi ⊂ {1, · · · , n} et Y1 ∩ · · · ∩ Yk = ∅. Soit f l’application de X vers Y définie de la façon suivante : f ((X1 , · · · , Xn )) = ({i|1 ∈ Xi }, · · · , {i|j ∈ Xi }, · · · , {i|k ∈ Xi }) Alors f ((X1 , · · · , Xn ))j est un k-uplet de sous-ensembles de {1, · · · , n}. De plus, si i appartient à f ((X1 , · · · , Xn ))j , alors j ∈ Xi , donc l’intersection des f ((X1 , · · · , Xn ))j est l’ensemble des i tels que Xi = {0, · · · , k − 1}, donc l’ensemble vide. Donc f est une application bien définie de X vers Y . Soit g l’application définie par : g(Y1 , · · · , Yk ) = ({i|1 ∈ Yi }, · · · , {i|j ∈ Yi }, · · · , {i|n ∈ Yi }) Alors l’image de g est incluse dans X et un calcul direct montre que f ◦ g = IdY et g ◦ f = IdX . Donc f est une bijection. Donc |X| = |Y | = (2k − 1)n . 12.

X n m n + m = p t s

(1.2.1.9)

s+t=p

La donnée d’un sous-ensemble à p éléments de {0, · · · , n + m − 1} est équivalente au choix de s et t = p−s et à la donnée d’un sous-ensemble à s éléments de {0, · · · , n−1} et d’un sous-ensemble à t éléments de {n, · · · , n + m − 1} qui est en bijection avec {0, · · · , m − 1}. 13.

 t      P nt n1 n = i=1 i  ··· s1 st s1 +···+st =p p X

La démonstration est identique à celle de l’assertion précédente.

1.2.2

L’identité de Pascal et ses généralisations

Proposition 1.2.2.1 (Identité de Pascal). Soit (n, p) ∈ N2 . Alors       n n n+1 + = p p+1 p+1

(1.2.2.1)

Démonstration. Nous avons déjà donné une preuve bijective de cette égalité dans la preuve de l’égalité (2.2.2.1). Celle que nous donnons ici est légèrement différente. Soit f : C(n + 1, p + 1) −→

p+1 a

C(n, s) × C(1, p + 1 − s)

s=0

X

7−→ (X ∩ {1, · · · , n}, X ∩ {n + 1}). 20

Alors f est une bijection d’inverse (U, V ) 7→ U ∪ V . Donc          X p+1    n 1 n 1 n 1 n+1 = + . = s p+1−s p 1 p+1 0 p+1 s=0

Associée à l’égalité   0 = 1, 0 l’égalité 1.2.2.1 peut être interprétée  comme une relation de récurrence permettant de caln culer les coefficients binomiaux pour tout (n, m) ∈ N2 . Il est d’usage de représenter m ce procédé de calcul sous la forme du triangle suivant (dans lequel on a représenté les douze premières lignes) 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 ou, si l’on souhaite rendre plus apparent la relation de récurrence, sous la forme suivante. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

11

9

36

35

126

126

1 7

28 84

210 462

1 6

21 56

252 462

1 5

15

70

210 330

10

35

84

1 4

20

56

120 165

10

21

1 3

6

15

28

45 55

5

7 8

10

4

6

1 2

3

36 120

330

1 8

1 9

45 165

1 10

55

1 11

1

Ce triangle a été redécouvert de nombreuses fois par les mathématiciens du monde entier. Il était apparemment connu du théoricien de la prosodie Sanskrit Pingala au deuxième siècle avant l’ère commune, puis apparait dans les travaux des mathématiciens indiens, arabo-persans, chinois et européens. On l’appelle souvent triangle de Pascal en mémoire de l’ouvrage que Blaise Pascal lui a consacré (publié de manière posthume en 1665). Un examen du triangle de Pascal permet de découvrir ou de redécouvrir certaines des propriétés des coefficients binomiaux, par exemple les égalités (1.2.1.2), (1.2.1.3) ou (1.2.1.8). Un examen attentif suggère aussi quantité d’énoncé plus ou moins faciles à démontrer. Par exemple :   p • p| pour tout 1 ≤ s ≤ p − 1 lorsque p est un nombre premier. s 21

  n • Pour 0 ≤ p ≤ n, le nombre de coefficients binomiaux impair est égal 2b(n) où p b(n) est le nombre de 1 nécessaire pour écrire n en binaire.   n • Si l’on trace deux triangles obliques autour du coefficient binomial , alors les m produits des coefficients binomiaux situés aux sommets des triangles sont égaux. Plus précisément 

n−1 m−1

       n+1 n n−1 n n+1 = . m m−1 m+1 m m−1

On appelle parfois cette égalité l’égalité de l’étoile de David pour des raisons que le lecteur est invité à investiguer.   n • Si l’on trace deux triangles verticaux autour du coefficient binomial , alors les m plus grands diviseurs communs des coefficients binomiaux situés aux sommets des triangles sont égaux. Plus précisément             n+1 n n−1 n+1 n n−1 . , , = pgcd , , pgcd m m+1 m−1 m+1 m−1 m On appelle parfois cette assertion le théorème de l’étoile de David pour des raisons similaires à celles du point précédent. • Le produit de convolution des termes de la ligne centrale est une puissance de 2 et plus précisément X 2s 2t = 22n . t s s+t=n

La proposition suivante est une généralisation de l’identité de Pascal et admet la même preuve. Proposition 1.2.2.2 (Convolution de Vandermonde). Soit (n, m) ∈ N2 . u    X n m s=0

s

u

 =

 n+m . u

Démonstration. Soit f : C(n + m, u) −→

u a

C(n, s) × C(m, u − s)

s=0

X

7−→ (X ∩ {1, · · · , n}, X ∩ {n + 1, · · · , m}).

Alors f est une bijection d’inverse (U, V ) 7→ U ∪ V . Donc u    X n m s=0

s

u

 =

22

 n+m . u

1.3

L’algèbre affleure

1.3.1

Binôme de Newton

Proposition 1.3.1.1. Soit A un anneau commutatif et soit n ∈ N. Alors n   X n n−s s n (a + b) = a b s s=0

Démonstration. Écrivons : (a + b)n =

n Y (a + b) i=1

an−s bs

L’application qui associe à un terme le sous-ensemble de {1, · · · , n} donné par le choix des indices tels que ce soit l’élément b qui a été choisi dans le développement de (a + b)n est une bijection de l’ensemble des sous-ensembles de cardinal s vers l’ensemble des termes en an−s ns . Il est instructif d’écrire les relations sur les coefficients binomiaux que l’on obtient en développant de cette façon les identités formelles (1 + 1)n = 2n , (1 − 1)n = 0 si n 6= 0, (X + Y )a (X + Y )b = (X + Y )a+b . Corollaire 1.3.1.2.

1.

n   X n

s

s=0

2.

  n X s n (−1) = s s=0

3.

n X

(−1)n−s 2s

s=0

= 2n .

( 1 0

si n = 0 sinon.

  n = 1. s

4. X n m n + m . = u u s

s+t=u

5.

  n X n s = n2n−1 . s s=0

Démonstration.

1. Cela résulte de (1 + 1)n = 2n .

2. Cela résulte de (1 − 1)n = 1 si n = 0 et 0 sinon. 3. Cela résulte de (2 − 1)n = 1. 4. Le terme devant le coefficient xn−u y u dans (x + y)n+m est le coefficient xn−u y u dans (x + y)n (x + y)m est  u   X n m . s u−s s=0

23

  n+m . Le terme devant u

5. Posons P = (x + 1)n . Le membre de gauche comme le membre de droite sont alors égaux à P 0 (1).

1.3.2

Coefficients binomiaux généralisés

  a Soit A un anneau contenant Q et n ∈ N. Le coefficient binomial généralisé est l’élément n de A défini par la formule suivante n−1 Q   (a − s) a s=0 = . n n!   a Remarquons en particulier que = 1 pour tout a ∈ A et que la définition précédente 0 coïncide avec la définition usuelle du coefficient binomial si a appartient à A ∩ N.

1.3.2.1

Exemples

Calculons quelques coefficients binomiaux généralisés.   −1 = n



−2 n

n−1 Q

n−1 Q

s=0

= (−1)n s=0

(−1 − s) n!

n−1 Q

n−1 Q

s=0

= (−1)n s=0

(−2 − s)

 =

(s + 1)

n!

= (−1)n

n!

(s + 2) = (−1)n

n!

n! = (−1)n . n!

(n + 1)! = (−1)n (n + 1). n!

Plus généralement, si m ∈ N (y compris si m = 0), on a   −m = n

  1/2 = n

n−1 Q

n−1 Q

s=0

n s=0

(−m − s)

(s + m)

= (−1)

n!

n!

n−1 Q

n−1 Q

n−2 Q

s=0

n s=0

n+1 s=0

(1/2 − s)

(2s − 1)

= (−1)

n! n−2 Q

(2s + 1)

=

  m+n−1 . = (−1) n n

(−1)n+1 s=0 2n 2n−2 (n

  −1/2 = n

(2s + 1)

= (−1)

2n n!

n−2 Q

2s

s=1

− 2)!n!

= (−1)n+1

n−1 Q

n−1 Q

s=0

n s=0

(−1/2 − s) n! n−1 Q

(2n − 3)! . − 2)!n!

22n−2 (n

(2s + 1)

= (−1) (2s + 1)

n s=0

= (−1)

2n n!

n Q

2s

s=1

2n 2n n!n! 24

2n n! = (−1)n

2n! 22n (n!)2

.

  a Dans les exemples précédents, a appartenait à Q. Notons que la définition de a tout à n fait un sens même pour des anneaux qui contiennent strictement Q, ou même C. Les calculs suivants illustrent le cas où A est l’anneau de fonctions polynomiales Q[x].      

x(x − 1) 1 2 1 3 x x x x −x , = x − 3x2 + 2x . = 1, = = 3 1 2 2 2 6 Lemme 1.3.2.1. Soit P ∈ C[X, Y ] un polynôme en deux variables tel que P (n, m) = 0 pour tout (n, m) ∈ N2 . Alors P = 0. Démonstration. Le polynôme P s’écrit P =

∞ X

cn X n

n=0

où cn ∈ C[Y ] est le coefficient devant obtenu en évaluant P en Y = y. Donc

X n.

Py =

Fixons y ∈ N et notons Py ∈ C[X] le polynôme

∞ X

cn (y)X n .

n=0

Le polynôme Py est nul en tout n ∈ N donc est le polynôme nul. Donc cn (y) = 0 pour tout n ∈ N. Les polynômes cn s’annulent donc pour tout y ∈ N. Ils sont donc tous nuls. Les coefficients binomiaux généralisés vérifient une version généralisée de l’identité de Pascal et de la convolution de Vandermonde (les propositions 1.2.2.1 et 1.2.2.2). Proposition 1.3.2.2. Soit A un anneau contenant Q. Alors    u   X a+b b a = u u−s s s=0

pour tout (a, b) ∈

A2

et tout u ∈ N. En particulier       a a+1 a . = + n+1 n+1 n

(1.3.2.1)

Démonstration. Soit u ∈ N. Considérons le polynôme    u   X X Y X +Y P = − ∈ Q[X, Y ]. s u−s u s=0

Alors P (n, m) = 0 pour tout (n, m) ∈ N2 d’après la proposition 1.2.2.2. D’après le lemme 1.3.2.1, le polynôme P est donc le polynôme nul. Par hypothèse, l’anneau contient Q donc P peut-être vu comme un polynôme de A[X, Y ]. En particulier, si (a, b) ∈ A2 , alors l’élément P (a, b) de A a un sens et est nul. Ceci montre que    u   X a b a+b = . s u−s u s=0

Si on applique cette identité au couple (a, 1) et à l’entier n + 1, on trouve l’assertion       a a a+1 + = . n n+1 n+1

25

Notons que cette proposition admet l’amusant corollaire suivant.   x Corollaire 1.3.2.3. Soit n ∈ N. La fonction polynomiale ∈ Q[x] induit une fonction n de Z dans Z. Ce corollaire montre en particulier qu’il existe des polynômes prenant des valeurs entières en tous les entiers dont tous les coefficients ne sont pas entiers. Démonstration. C’est vrai si n = 0. Supposons maintenant que la fonction polynomiale   x restreinte à Z soit à valeurs entières pour tout 0 ≤ m ≤ n. Soit f la fonction m   x polynomiale . L’égalité (1.3.2.1) dans l’anneau Q[x] implique alors que n+1   x f (x + 1) − f (x) = n La fonction x 7→ f (x + 1) − f (x) restreinte à Z est donc à valeurs entières par notre hypothèse. Soit m ∈ Z un entier. Si f (m + 1) est entier, alors il en est donc de même pour m. Lorsque m est positif, f (m + 1) est un coefficient binomial usuel donc est entier. Donc f (m) est un entier  pour tout m ∈ Z. Par récurrence, nous en déduisons que la fonction x restreinte à Z est à valeurs dans Z pour tout n ∈ Z. polynomiale n

1.4 1.4.1

Le groupe Sn Transpositions

Le groupe Sn est le groupe des bijections d’un ensemble de n éléments. On considère usuellement que cet ensemble est l’ensemble {0, · · · , n − 1} ou {1, · · · , n} mais d’autres choix sont possibles et parfois utiles. Une transposition est une permutation qui laisse fixe tous les éléments sauf exactement 2 (et qui échange ces deux éléments). La transposition τ tel que τ (a) = b est notée (ab). Si m est un entier supérieur à 2, un cycle de longueur m est une permutation qui laisse fixe tous les éléments sauf exactement m et qui agit par σ(i) = i + 1 sur l’ensemble des m éléments non fixes identifié avec le groupe additif Z/mZ. Une transposition est donc un cycle de longueur 2. Un cycle de longueur m est noté (a1 · · · am ). Proposition 1.4.1.1. Le groupe Sn est engendré par les transpositions (autrement dit le plus petit sous-groupe de Sn contenant toutes les transpositions est Sn ). Démonstration. Montrons cette assertion par récurrence descendante sur le nombre de points fixes de σ ∈ Sn . Si σ a n points fixes, σ est l’identité, qui appartient bien au groupe engendré par les transpositions. Supposons maintenant que σ a au plus m < n points fixes. Il existe donc un élément i tel que σ(i) = j 6= i. La permutation σ est une bijection donc σ(j) 6= σ(i). Donc σ(j) 6= j et j n’est pas non plus un point fixe de σ. Soit τ la transposition (ij) et σ 0 la permutation τ σ. Soit k un point fixe de σ, donc un élément distinct de i et j. Alors σ(k) = k et τ (k) = k donc σ 0 (k) = k. Donc les points fixes de σ sont des points fixes de σ 0 . De plus, i est un point fixe de σ 0 . Donc σ 0 a au moins m + 1 point fixe. Donc τ σ appartient au groupe engendré par les transpositions. Il en est donc de même pour σ. 26

Corollaire 1.4.1.2. Une application φ de Sn dans un groupe G respectant l’identité est un morphisme de groupes si et seulement si φ(τ σ) = φ(τ )φ(σ) pour toute transposition τ et toute permutation σ. Un morphisme de groupes de Sn dans un groupe G est déterminé par l’image des transpositions. Démonstration. Soit (σ, σ 0 ) ∈ S2n . De σ = τ1 · · · τi et σ 0 = τ10 · · · τj0 , on déduit : φ(σσ 0 ) = φ(τ1 · · · τi τ10 · · · τj0 ) = φ(τ1 ) · · · φ(τi )φ(τ10 ) · · · φ(τj0 ) = φ(σ)φ(σ 0 ) L’application φ est donc bien un morphisme de groupes. Soit ψ un morphisme de groupes de Sn vers G. Alors ψ(σ) = ψ(τ1 ) · · · ψ(τi ) donc ψ est déterminé par la donnée des ψ(τ ) pour les transpositions τ .

1.4.2

Orbites, décomposition en cycles

L’orbite d’un élément i ∈ {1, · · · , n} sous l’action de σ ∈ Sn est le sous-ensemble de {1, · · · , n} formé par les σ n (i) pour n ∈ Z. Lemme 1.4.2.1. jointes.

1. Les orbites de deux éléments i et j sous σ sont confondus ou dis-

2. Soit O une orbite de σ cardinal a. Quitte à indexer O par {1, · · · , a}, l’action de σ sur O est donnée par l’action du cycle (12 · · · a). 3. Une permutation s’écrit de manière unique comme produit de cycles disjoints. Démonstration. 1. Supposons qu’il existe un élément k commun dans l’orbite sous σ de i et j. Alors il existe (n, m) ∈ Z2 tel que σ n (i) = σ m (j) donc σ n−m (i) = j donc j appartient à l’orbite de i. De même i appartient à l’orbite de j et ces deux orbites sont donc égales. 2. Cette assertion découle directement de la première. 3. Il suffit de prendre les cycles induits par σ sur chacune de ses orbites.

Soit m(σ) l’entier égal à n moins le nombre d’orbites disjointes de σ. La signature (σ) de σ est l’élément de {±1} égal à = (−1)m(σ) . Proposition 1.4.2.2. La signature est l’unique morphisme de groupes de Sn dans {±1} tel que (τ ) = −1 pour toute transposition. Démonstration. D’après la proposition 1.4.1.1, il suffit de vérifier que (τ ) = −1 et que (τ σ) = −(σ) pour toute transposition τ et toute permutation σ. Soit τ la transposition (ij). Alors τ a n − 1 orbites donc (τ ) = (−1)n−n+1 = −1. Soit σ une permutation. Si i et j appartiennent à la même orbite sous σ, alors il existe un entier n > 0 minimal tel que σ n (i) = j. Si n = 1, alors l’orbite de i sous τ σ est réduite à i donc ne contient pas j. Sinon, pour tout 0 < m ≤ n − 1, σ m (i) 6= i, j donc τ σ m (i) = σ m (i) donc (τ σ)m (i) = σ m (i) 6= j. Donc (τ σ)n (i) = τ σ n (j) = i et j n’appartient pas à l’orbite de i. Si au contraire i et j n’appartiennent pas à la même orbite sous σ, alors il existe un entier n > 1 minimal tel que σ n (i) = i. Pour les mêmes raisons que plus haut, (τ σ)n (i) = τ σ n (i) = j. 27

Donc i et j appartiennent à la même orbite sous τ σ. Enfin, si k distinct de i, j n’appartient ni à l’orbite de i ni à celle de j sous σ, alors τ σ(k) = σ(k) donc l’orbite de k sous τ σ est égale à l’orbite de k sous σ. Finalement, τ σ a exactement une orbite de plus ou de moins que σ : celle de j. Donc (τ σ) = −(σ). Remarque : Le fait que  soit l’unique morphisme de groupes vérifiant ces propriétés permet de reconnaître  sous diverses incarnations. En identifiant par exemple {1, · · · , n} avec une base de l’espace vectoriel Rn , on peut identifier Sn avec un sous-groupe de GLn (R). Le morphisme qui à σ ∈ Sn associe le signe de det σ est un morphisme de groupes à valeurs dans {±1} et qui vaut −1 sur chaque transposition. Ce morphisme est donc égal à la signature. Corollaire 1.4.2.3. La signature d’une permutation est le produit des signatures des cycles de sa décomposition en cycles. Il s’agit donc de la parité du nombre de ses cycles de longueur impaire. Démonstration. Un cycle de longueur m à 1 orbite de taille m + 1 et n − m − 1 orbites de taille 1 donc n − m orbites. Sa signature est donc m. La signature étant un morphisme de groupes, la signature d’une permutation est le produit des signatures des cycles de sa décomposition en cycles et donc la parité du nombre de ses cycles de longueur impaire.

1.4.3

Type cyclique

Lemme 1.4.3.1. L’application φ qui à σ ∈ Sn associe le n-uplet (a1 a2 · · · an ) comportant chaque élément de {1, · · · , n} une fois et une seule donné par la liste des cycles de σ ordonnée dans l’ordre croissant des éléments maximaux de chaque cycle et commençant par l’élément maximal est une bijection de Sn vers lui-même dont l’inverse ψ est l’application qui à (a1 · · · an ) associe la permutation dont la décomposition en cycle est donnée par (a1 · · · as1 ), (as1 +1 · · · as2 ),· · · , (ast +1 · · · an ) où les asi vérifient ai < asj pour tout i < sj . Par exemple φ((14)(2)(375)(6)) = 2416753 et ψ(4315726) = (431)(5)(726). Démonstration. On vérifie directement que φ ◦ ψ = ψ ◦ φ = Id On dit que σ ∈ Sn est de type cyclique (c1 , · · · , cn ) ∈ {0, · · · , n}n si la décomposition en cycles de σ contient ci cycles de longueur i. Soit Sc l’ensemble des permutations de type cyclique c = (c1 , · · · , cn ). Il résulte de la définition que Sc ⊂ Sn est non-vide seulement si l’égalité n X ici = n (1.4.3.1) i=1

est vérifiée. Réciproquement, si (1.4.3.1) est vérifiée, alors on peut écrire {1, · · · , n} comme une union disjointe d’ensembles telle que ci ensembles soient de cardinal i. Une telle partition définit la décomposition en cycles d’une permutation de type cyclique c donc Sc ⊂ Sn est non-vide. Proposition 1.4.3.2. Le cardinal de l’ensemble Sc est n! n Q

ici ci !

i=1

28

.

Démonstration. Soit c un type cyclique. L’application qui à σ ∈ Sn écrit sous la forme (σ(1), · · · , σ(n)) associe la décomposition en cycles (σ(1), · · · , σ(n)) = C1,1 ∪ C1,2 ∪ · · · ∪ C1,ci ∪ · · · ∪ Cn,cn où chaque Ci,j est le cycle de longueur i est une application de Sn dans Sc . C’est une surjection car une permutation σ ∈ Sc ayant pour décomposition en cycles C1,1 ∪ C1,2 ∪ · · · ∪ C1,ci ∪ · · · ∪ Cn,cn a pour antécédent la permutation (τ (1), · · · , τ (n)) = C1,1 ∪ C1,2 ∪ · · · ∪ C1,ci ∪ · · · ∪ Cn,cn . De plus, les 1c1 c1 !2c2 c2 ! · · · ncn cn ! permutations correspondant au choix d’un ordre sur les ci cycles de longueur i et d’un élément initial sur chaque cycle de longueur i sont des antécédents. Enfin, un antécédent de σ s’écrit nécessairement sous la forme 0 0 0 0 (τ (1), · · · , τ (n)) = C1,φ ∪ C1,2 ∪ · · · ∪ C1,φ ∪ · · · ∪ Cn,φ . n (cn ) 1 (1) 1 (ci )

où φi est une permutation des ci cycles de longueur i et C 0 est le cycle correspondant au choix d’un élément initial parmi les i. L’application est donc une bijection entre Sn et le produit de Sc avec n Y (Sci × {1, · · · , i}ci ) i=1

et l’égalité n! = |Sc |

n Y ici ci ! i=1

est donc vraie.

29

30

Chapitre 2

Séries génératrices . . .eine Vermittlerin, erst zwischen unendlichen und endlichen Natur, dann zwischen einem und dem andern Individuum.1 (Wilhelm von Humboldt)

2.1 2.1.1

Séries formelles L’anneau des séries formelles

Soit A un anneau commutatif. L’ensemble AN est l’ensemble des fonctions de N vers A, donc l’ensemble des suites (an )n∈N avec an ∈ A. Cet ensemble est muni d’une structure de groupe commutatif en prenant comme loi de composition interne l’addition composante à composante, c’est-à-dire (an )n∈N + (bn )n∈N = (an + bn )n∈N .

(2.1.1.1)

La série formelle nulle pour cette loi est la suite (0)n∈N . Le groupe (AN , +) est muni de la loi de composition interne ! X as bt (an )n∈N (bn )n∈N = . s+t=n

(2.1.1.2)

n∈N

On vérifie sans peine que (2.1.1.2) est associative, commutative et distributive sur (2.1.1.1). De plus, l’élément (1, 0, 0, · · · ) = (δn,0 )n∈N est neutre pour (2.1.1.2). Une remarque importante est que le calcul du terme de degré n de (an )n∈N (bn )n∈N ne fait intervenir qu’un nombre fini de termes de (an )n∈N et (bn )n∈N . Les deux lois + et · font de (AN , +, ·) un anneau commutatif que l’on note A[[X]]. Supposons que A soit inclus dans C. L’observation suivante est fondamentale : si on représente les éléments (an )n∈N et (bn )n∈N de A[[X]] par les séries infinies ∞ X

n

an X et

n=0

∞ X

bn X n

n=0

et si ces séries vues comme des séries de fonctions ont toutes les deux un rayon de convergence non-nul, alors les lois + et · coïncident avec celles définies sur l’anneau des fonctions 1 . . .une médiation, d’abord entre ce qui est de nature finie et ce qui est de nature infinie, ensuite entre un individu et un autre.

31

de C dans C. Pour cette raison, on se permet de représenter une série formelle (an )n∈N par la série ∞ X an X n n=0

même lorsque A n’est pas un sous-anneau de C ou si A ⊂ C mais la série de fonctions ∞ X

an xn

n=0

a un rayon de convergence nul. Il n’y a par exemple pas de problème à considérer la série formelle ∞ X (n!)n∈N = n!X n n=0

qui est pourtant de rayon de convergence nul. En conformité avec l’analogie entre séries de fonctions et séries formelles, si S = (an )n∈N ∈ A[[X]] est une série formelle, on notera S(0) le terme a0 . L’anneau A[[X]] contient le sous-ensemble, noté A[X], des suites (an )n∈N ∈ AN dont tous les termes sont nuls à partir d’un certain rang. Lemme 2.1.1.1. Le sous-ensemble A[X] des suites (an )n∈N ∈ AN dont tous les termes sont nuls à partir d’un certain rang est un sous-anneau de A[[X]]. Démonstration.

1. La série formelle nulle appartient bien à A[X].

Soit ((an )n∈N , (bn )n∈N ) ∈ A[X]2 un couple de séries formelles de A[X]. Notons N et M des entiers tels que an (resp. bn ) soit nul pour tout n ≥ N (resp. n ≥ M ). Soit enfin n ≥ N + M. 2. Le terme de degré n de la série (an )n∈N − (bn )n∈N est an − bn , qui est donc nul. 3. Le terme de degré n de la série (an )n∈N (bn )n∈N est n X

as bn−s .

s=0

Si s < N , alors n − s > M donc bn−s est nul et le terme as bn−s de la somme ci-dessus est nul. Si s ≥ N , alors as est nul donc bn−s est nul et le terme as bn−s de la somme ci-dessus est nul. Le terme de degré n de la série (an )n∈N (bn )n∈N est donc nul.

L’anneau A[X] s’identifie avec l’anneau des polynômes à coefficients dans A. De la même façon, l’anneau A lui-même s’identifie avec le sous-anneau des séries formelles dont tous les coefficients sont nuls sauf éventuellement celui de degré 0. On se permettra donc d’appeler une série formelle dont tous les termes sont nuls sauf éventuellement le premier une série formelle constante et une série formelle dont tous les terms sont nuls sauf un nombre fini un polynôme. 32

2.1.2

Exemples et premières propriétés

Écrivons quelques séries formelles simples à coefficients dans C (ou plus généralement à coefficients dans A ⊃ Q). 1. (1, 0, 0, · · · ) = 1 2. (0, 1, 0, · · · ) = X 3.

  n   X n n = X s = (1 + X)n s s s∈N s=0

4. (1, 1, 1, · · · ) =

∞ X

Xn =

n=0

5. (1, 1, 1/2, 1/6, · · · , 1/n!, · · · ) =

1 1−X ∞ X Xn n=0

n!

= eX

  n avec (1+X)n a lieu dans l’anneau des Si l’identification de (δ1,n )n∈N avec X et de s s∈N polynômes et n’est donc pas particulièrement problématique, le lecteur pourra légitimement se demander quel est le sens des égalités ∞ X

∞ X 1 Xn X = , = eX . 1−X n! n

n=0

n=0

Une partie de la réponse à ces questions est donnée par les propositions suivante. Proposition 2.1.2.1. Le groupe des unités de A[[X]] est {S ∈ A[[X]]|S(0) ∈ A× }. En particulier, la série formelle (1, −1, 0, · · · ) = 1 − X est inversible dans A[[X]] (pour tout anneau A) d’inverse (1)n∈N . Démonstration. Soit S = (an )n∈N ∈ A[[X]]× . Alors il existe T tel que ST = 1. Or, ST (0) = S(0)T (0) donc S(0)T (0) = 1 et S(0) ∈ A est donc inversible. Donc A[[X]]× est inclus dans {S ∈ A[[X]]|S(0) ∈ A× }. Réciproquement, supposons S(0) ∈ A× . Soit T = (bn )n∈N ∈ A[[X]] dont les coefficients sont définis par récurrence de la manière suivante. 1. b0 = a−1 0 . 2. Supposons (b0 , · · · , bn ) connu. Alors bn+1 = −a−1 0

n X bs an+1−s . s=0

33

Pour tout n ∈ N, on a alors ( 1 si n = 0, as bt = 0 sinon. s+t=n X

et donc T est bien l’inverse de S. Donc {S ∈ A[[X]]|S(0) ∈ A× } est inclus dans A[[X]]× . Finalement, le groupe multiplicatif des séries formelles inversibles est donc bien le groupe des séries formelles dont le coefficient de degré 0 est inversible. Calculons maintenant l’inverse de 1 − X, qui est bien inversible car 1 est inversible dans A. La formule ci-dessus donne b0 = 1, b1 = 1 et bn+1

n X = − bs an+1−s = −bn a1 = bn s=0

pour tout n ≥ 1. Donc l’inverse de 1 − X est bien la série (1)n∈N . En utilisant cette proposition, on démontre par exemple facilement les identités suivantes dans A[[X]]. ∞ ∞ X X 1 1 = (−1)n X n , = (−1)n X 2n 1+X 1 + X2 n=0

n=0

La proposition suivante munit l’anneau des séries formelles d’une dérivation pour laquelle les séries formelles vérifient la formule de Taylor. Proposition 2.1.2.2. Soit A un anneau contenant Z. L’application D:

−→ A[[X]]

A[[X]]

(an )n∈N 7−→ ((n + 1)an+1 )n∈N est un morphisme de groupes vérifiant D(ST ) = SD(T ) + T D(S). Le noyau de D est le sous-anneau des séries formelles constantes. De plus, le coefficient an d’une série formelle S vérifie an =

Dn (S)(0) ∈A n!

pour tout n ∈ N. De manière équivalente ∞ X D(n) (S)(0)

S=

n!

n=0

Xn

pour tout S ∈ A[[X]]. Démonstration. Soit (S, T ) ∈ A[[X]]2 deux séries formelles S=

∞ X

an X n , T =

n=0

∞ X

bn X n .

n=0

Alors SD(T ) + T D(S) est la série formelle (cn )n∈N avec cn =

n+1 X

n+1 X

s=0

s=0

as (n + 1 − s)bn+1−s + 34

(s + 1)as+1 bn−s .

Le coefficient de au bn+1−u dans la somme précédente est (n + 1 − u) + u donc cn = (n + 1)

n+1 X

as bn+1−s .

s=0

La série formelle (cn )n∈N est donc bien la série formelle D(ST ). Supposons maintenant que S soit une série formelle dont la dérivée D(S) est nulle et soit n ∈ N. Alors (n + 1)an+1 est nul donc an+1 est nul. Donc S est une série formelle constante. Enfin, il suffit pour montrer la dernière assertion de vérifier que D(n) (S)(0) = n!an pour tout n ∈ N. Ceci résulte directement de D(n) (X m ) = Anm X m−n . Pour identifier une série formelle, il suffit de connaître tous ses coefficients. Il résulte donc de la proposition 2.1.2.2 que l’on peut identifier une série formelle si l’on connaît la premier coefficients de toutes ses dérivées, et donc si l’on connaît par exemple une équation différentielle que la série formelle satisfait. Par exemple, il résulte de la définition que D((1/n!))n∈N = (1/n!)n∈N ou encore que la série (1/n!)n∈N est l’unique série formelle de C[[X]] de terme constant 1 vérifiant D(S) = S. Ceci justifie la notation ∞ X Xn eX = . n! n=0

Une autre justification plus intéressante vient de ce que la série formelle eX vérifie l’identité eX+Y = eX eY . Toutefois, donner un sens à cette identité requiert de considérer l’anneau des séries formelles en plusieurs variables. C’est ce à quoi nous nous employons maintenant. Soit A un anneau commutatif. Alors A[[X]] est lui-même un anneau commutatif. Donc l’anneau A[[X]][[Y ]] des séries formelles à coefficients dans A[[X]] et dans la variable Y est bien défini. On note également cette anneau A[[X, Y ]]. Il est encore commutatif. Si A contient de plus Z (resp. Q), alors A[[X]] et A[[X, Y ]] contiennent également Z (resp. Q). En répétant cette construction, on peut construire l’anneau A[[X1 , · · · , Xn ]] des séries formelles en un nombre quelconque d’indéterminées. Le lemme suivant justifie le fait que dans les notations A[[X, Y ]] ou A[[X1 , · · · , Xn ]], les variables X et Y ne sont pas distinguées. Lemme 2.1.2.3. Il existe un isomorphisme d’anneaux entre A[[X]][[Y ]] et A[[Y ]][[X]]. Démonstration. Soit S = (an )n∈N ∈ A[[X]][[Y ]]. Donc S s’écrit S=

∞ X

an Y n

n=0

avec an ∈ A[[X]]. Pour n ∈ N, an s’écrit donc an =

∞ X

cn,m X m .

m=0

On inverse l’ordre de sommations. ! ∞ ∞ ∞ X X X m S= cn,m X Yn = n=0

m=0

m=0

∞ X

! cn,m Y

n=0

35

n

X m = (bm )m∈N ∈ A[[Y ]][[X]]

avec bm =

∞ X

cn,m Y n .

n=0

L’isomorphisme cherché est celui qui envoie (an )n∈N ∈ A[[X]][[Y ]] sur (bm )m∈N ∈ A[[Y ]][[X]]. Proposition 2.1.2.4. Soit A un anneau commutatif contenant Q. Dans A[[X, Y ]], les deux séries formelles ! ∞ ! ∞ ∞ X XYm X Xn (X + Y )s et n! m! s! n=0

m=0

s=0

coïncident. Démonstration. ∞ X Xn n=0

∞ X Ym

!

n!

m=0

! =

m!

∞ X ∞ X 1 X nY m. n!m!

n=0m=0

Rangeons les termes dans la série formelle de droite par degré global croissant, c’est-à-dire de sorte que la somme s = n + m soit croissante. ! ∞ ! ∞ ∞ X s X XYm X Xn 1 = X n Y s−n n! m! n!(s − n)! n=0

m=0

s=0 n=0

∞ X s X

s! X n Y s−n n!(s − n)! s! s=0 n=0 ∞ X s   X s X n Y s−n = n s! =

s=0 n=0

∞ X (X + Y )s = s! s=0

Si A est un anneau commutatif contenant Q, la série formelle (1/n!)n∈N est donc égale à sa propre dérivée, est de terme constant 1 et vérifie la relation  n    n a b (a + b)n = n! n∈N n! n∈N n! n∈N pour tout (a, b) ∈ A2 . Il est donc raisonnable de la noter eX , même lorsque e ∈ / A. Plus généralement, on pourra noter cos X = sin X =

∞ X (−1)n n=0 ∞ X n=0

(2n)!

X 2n

(−1)n (2n + 1)!

ch X =

X 2n+1

sh X =

∞ X 1 X 2n (2n)!

n=0 ∞ X

n=0

1 X 2n+1 (2n + 1)!

et ces séries formelles auront le même comportement par rapport à la dérivation que les fonctions analytiques correspondantes. 36

2.1.3

Composition, dérivation et formule du binôme généralisée

Nous avons plus haut que la série formelle ∞ X Xn

n!

n=0

satisfait à deux des propriétés fondamentales de l’exponentielle ; à savoir que c’est un morphisme de groupes et qu’elle est égale à sa propre dérivée. Mais qu’en est-il de la troisième propriété fondamentale, à savoir que eX est la fonction réciproque de ln X, elle-même définie comme l’unique primitive de 1/X ? Soit S = (an )n∈N ∈ A[[X]] une série formelle non-nulle. L’ensemble des n ∈ N tel que an 6= 0 est alors non-vide et contient donc un plus petit élément. La valuation v d’une série formelle S sera par définition cet entier si S est non-nulle et −∞ si S = 0. Il est immédiat que v (ST ) = v (S) v (T ) , v(S + T ) ≥ max{v(S), v(T )} pour tout (S, T ) ∈ A[[X]]2 . Lemme 2.1.3.1. Soit (Fn )n∈N une suite de séries formelles. L’expression ∞ X

Fn

n=0

est alors une série formelle de A[[X]] si et seulement si lim v(Fn ) = +∞. En particulier, la composition !n ∞ ∞ X X an bm X m (2.1.3.1) n=0

m=0

est bien définie si b0 = 0. Démonstration. Supposons que lim v(Fn ) = +∞ et soit n ∈ N. Il existe alors N ∈ N tel que v (Fm ) > n pour tout m > N et donc tel que an (Fm ) = 0 pour tout m ≥ N . Le terme an de ∞ N P P Fm est donc un élément de A bien défini, à savoir an (Fs ). Réciproquement, supposons m=0 s=0  ∞  ∞ ∞ P P P que Fm soit un élément de A[[X]] et soit n ∈ N. Alors an Fm = an (Fm ) est m=0

m=0

m=0

un élément de A bien défini. Cette dernière somme est donc finie, ce qui signifie exactement que an (Fm ) est nul à partir d’un certain rang. Donc lim v (Fn ) = +∞. ∞ P Si b0 = 0 dans (2.1.3.1), alors la série formelle bm X m est de valuation au moins 1 m=0  ∞ n P m donc an bm X est de valuation au moins n et tend donc vers +∞. m=0

On pourra remarquer que si l’on connait l’inverse de la série 1 − X, alors ce lemme donne une nouvelle preuve du fait qu’une série formelle dont le terme constant est inversible est inversible. En effet 1 ∞ P

an X n

n=0

=


1   = a−1 1 + F + F2 + F3 + ··· 0 ∞ P n a0 1 − an a−1 0 X n=1

37

pour F la série formelle F =

∞ X

n an a−1 0 X

n=1

qui est bien de valuation strictement positive. Proposition 2.1.3.2. Soit (Fn )n∈N ∈ A[[X]]N une suite de séries formelles dont les valuations tendent vers +∞. Alors (D(Fn ))n∈N est une suite de séries formelles dont les valuations tendent vers +∞ et dont la somme définit donc une série formelle. De plus ! ∞ ∞ X X D Fn = D(Fn ). (2.1.3.2) n=0

n=0

En particulier, si la composition des séries formelles S ◦ T est définie, alors D(S ◦ T ) = D(T ) (D(S) ◦ T ) . Démonstration. Si F n’est pas une constante, la valuation de D(F ) est au moins v(F ) − 1. La suite v (D(Fn )) tend donc vers +∞. L’égalité (2.1.3.2) est une égalité coefficients à coefficients. Pour le terme de degré n, les deux membres de cette égalité sont des sommes finies et elle découle donc du fait que D est un morphisme de groupes. Soit enfin (S, T ) ∈ A[[X]]2 deux séries formelles dont la composition est définie (donc telles que T (0) = 0). Alors S◦T =

∞ X

an

n=0

∞ X

!n bm X

m

m=0

est une somme de séries formelles dont la valuation tend vers +∞. Donc D (S ◦ T ) =

∞ X

an n

n=0

∞ X

!n−1 bm X

m

D(T ) = D(T )

∞ X

(n + 1)an+1

n=0

m=0

∞ X

!n bm X

m

m=0

= D(T ) (D(S) ◦ T )

Corollaire 2.1.3.3. Soit ln(1 + X) =

∞ X (−1)n+1 n=1

n

Xn

l’unique série formelle de terme constant nul telle que D(ln(1 + X)) = (1 + X)−1 . Alors
ln(1 + X) ◦ (eX − 1) = eX − 1 ◦ ln(1 + X) = X. Démonstration. La série formelle eX − 1 est de terme constant nul donc les compositions ln(1 + X) ◦ (eX − 1) et (eX − 1) ◦ ln(1 + X) sont bien définies et sont de terme constant nul. D’après la proposition 2.1.3.2 X



D ln(1 + X) ◦ (e − 1) = D eX − 1

38



1 1 + eX − 1

 = 1.

Donc ln(1 + X) ◦ (eX − 1) est la série formelle X. Soit maintenant S =
formelle eX − 1 ◦ ln(1 + X). Alors D(S) =

∞ P

an X n la série

n=0

1 (1 + S) . 1+X

Les coefficients (an )n∈N vérifient donc a0 = 0 et (n + 1)an+1 =

n X (−1)s (δ0,n−s + an−s ). s=0

La suite (δn,1 )n∈N = X est la seule suite vérifiant ces propriétés. Le corollaire précédent montre que la série formelle eX − 1 est bien la réciproque de la ∞ P primitive de (1 + X)−1 et termine donc notre vérification que la série formelle X n /n! n=0

vérifie les propriétés fondamentales de la fonction ex pour des raisons purement formelles et algébriques.   a le coefficient binomial généralisé défini par Proposition 2.1.3.4. Soit a ∈ C et soit n la formule n−1 Q   (a − s) a s=0 = . n n! Soit Sa la série formelle Sa =

  ∞   X a a X n ∈ C[[X]]. = n n n∈N n=0

Alors Sa (0) = 1, D(Sa ) = aSa−1 et Sa Sb = Sa+b pour tout (a, b) ∈ C2 . En particulier, l’égalité !q  ∞  X p/q (2.1.3.3) (1 + X)p = Xn n n=0

entre séries formelles de Q[[X]] est valable pour tout p/q ∈ Q. Démonstration. Par définition ∞   X a

!

Xn n n=0 n=0 ! ∞ n   X X a b = Xn s n−s n=0 s=0  ∞  X a+b = Xn n

Sa Sb =

n

Xn

∞   X b

n=0

et donc Sa Sb = Sa+b . 39

!

  a L’égalité (2.1.3.3) s’en déduit immédiatement. Enfin, Sa (0) = = 1 et 0   ∞ X a D(Sa ) = n X n−1 n n=0   n−1 Q (a − 1 − s)  ∞  X  n−1  s=0 =a X  (n − 1)!   n=1 =a

 ∞  X a−1

n=0

2.1.4

n

= aSa−1 .

Applications

2.1.4.1

Identités combinatoires

Donnons quelques exemples d’identités combinatoires qui admettent une preuve aisée en utilisant les séries formelles. Proposition 2.1.4.1. Soit m > 0 un entier. Alors    m X 2m − s − 1 s m =0 (−1) m−1 s s=0

et plus généralement    n X s+m−1 m n−s = (−1) s n−s s=0

( 1 0

si n = 0, sinon.

  m Démonstration. La série formelle ) est (1 − X)m d’inverse n n∈N !m !  m ∞ ∞ X X X 1 n = X = 1 X n. 1−X s +···+s =n ((−1)n

n=0

n=0

1

m

Or )   m X n+m−1 1 = | f : {1, · · · , m} −→ {1, · · · , n}| f (i) = n | = n (

X

s1 +···+sm =n

donc (1 − X)−m

i=1

  n+m−1 est la série formelle ( )n∈N . La formule du produit donne alors n    ( n X 1 si n = 0. m s+m−1 n−s (−1) = (2.1.4.1) n−s s 0 sinon. s=0

Si on applique (2.1.4.1) à n = m en échangeant les rôles de s et n − s, on obtient    X    m m X m−s+m−1 2m − s − 1 s m s m (−1) = (−1) =1 s m−s s m−1 s=0

s=0

40

Proposition 2.1.4.2. Pour (n, r) ∈ N2 ,      n 0 X r s r = (−1) m s n−s  (−1) s=0 Démonstration. Soit

si n est impair, !

r m

si n = 2m est pair.

   n X r s r . S(n, r) = (−1) s n−s s=0

Dans l’anneau des séries formelles C[[X]] (ou même des polynômes C[X]), les égalités   r r   X X r r n r n r (1 − X) = (−1) X , (1 + X) = X n. n n n=0

n=0

montrent que S(n, r) est le terme de degré n de (1 − X)r (1 + X)r = (1 − X 2 )r . Donc   0 ! si n est impair, S(n, r) = r m  si n = 2m est pair. (−1) m

Proposition 2.1.4.3. Soit n ∈ N. 2n

2

X 2s 2t . = t s s+t=n

Démonstration. Il résulte de la proposition 2.1.3.4 que la série formelle  ∞  X −1/2 (−4n ) X n n n=0

est égale à la série formelle (1 − 4X)−1/2 . Or   (−1/2)(−1/2 − 1) · · · (−1/2 − n + 1) n −1/2 = (−1)n 22n (−4) n n! (−1)(−3) · · · (1 − 2n) 1 · 3 · · · (2n − 1) = 2n = (−1)n 2n n!  n! 1 · 3 · · · (2n − 1) · 2 · 4 · · · 2n (2n)! 2n = = = n n!n! n!n! donc

 ∞  X 2n n=0

n

Xn = √

1 . 1 − 4X

Il s’en suit que  ∞  X 2n n=0

n

!2 X

n

∞

X 1 = = 22n X n 1 − 4X n=0

et donc que X 2s 2t = 22n . s t

s+t=n

41

2.1.4.2

Suite définie par récurrence linéaire

Le théorème suivant offre un traitement systématique unifié des fonctions définies par récurrence linéaire (outre son intérêt purement mathématique, par exemple pour identifier les fractions rationnelles). Théorème 2.1.4.1. Soit d ≥ 1. Soit (αi )0≤i≤d ∈ Cd un (d + 1)-uplet de nombres complexes tel que α0 = 1 et αd 6= 0. Soit Q le polynôme (αi )0≤i≤d = 1 + α1 X + · · · + αd X d ∈ C[X]. Le polynôme Q n’a pas 0 comme racine donc admet sur C une factorisation de la forme Q=

k Y (1 − γi X)ki i=1

où les γi sont non-nuls et distincts. Les conditions suivantes sur (f (n))n∈N ∈ CN sont équivalentes. 1. Il existe P ∈ C[X] de degré strictement inférieur à d tel que (f (n))n∈N =

∞ X

f (n)X n =

n=0

P . Q

Autrement dit, la série formelle (f (n))n∈N est une fraction rationnelle. 2.

d X

∀ n ∈ N,

αs f (n + d − s) = 0

s=0

En particulier, f (n) est définie pour tout n ∈ N par la relation de recurrence suivante   si n < d, f (n) d f (n) = P  − αs f (n − s) si n ≥ d. s=1

3. Il existe k polynômes Pi ∈ C[X] de degré strictement inférieur à di tels que ∀ n ∈ N, f (n) =

k X

Pi (n)γin .

i=1

4. Il existe (βij )1≤i,j≤k ∈ Mk (C) tel que (f (n))n∈N =

∞ X

f (n)X n =

n=0

di k X X i=1 j=1

βij . (1 − γi X)j

Démonstration. Montrons que l’ensemble Vi des fonctions vérifiant la condition i est un espace vectoriel complexe de dimension d. C’est vrai pour i = 1, 2 de manière évidente. Le choix des coefficients des Pi montre que dim V3 ≤ d. Enfin, les (1 − γi X)−j forment une base de V4 donc dim V4 = d. Mais  ∞  X 1 n+j−1 n n = γ X j−1 (1 − γi X)j n=0

donc V4 ⊂ V3 . Donc V4 = V3 et dim V3 = d. L’égalité de séries formelles Q(f (n)) = P vraie pour f ∈ V1 montre que V1 ⊂ V2 et donc que V1 = V2 . Enfin, mettre au même dénominateur (f (n))n∈N pour f ∈ V4 montre que V4 ⊂ V1 et donc que V3 = V4 = V1 = V2 . 42

Corollaire 2.1.4.4. Soit (an )n∈N ∈ CN une suite vérifiant la relation de récurrence linéaire d d P P an = αi an−i . Supposons que toutes les racines complexes du polynôme 1 − αi X i soient i=1

i=1

simples et soient des racines de l’unité. Alors il existe p ∈ N non-nul tel que an+p = an pour tout n. Démonstration. D’après le théorème 2.1.4.1, la série formelle (an )n∈N s’écrit ∞ X

P

an X n =

n=0

d P

1−

. αi

Xi

i=1

D’après le théorème de décomposition en éléments simples et l’hypothèse sur les αi , il existe donc des nombres complexes βi et des racines de l’unité ζi tels que (an )n∈N s’écrive ! ∞ ∞ X βi X X X an X n = = βi ζin X n . 1 − ζi X n=0

n=0

i

i

La suite X

βi ζin

i

est manifestement périodique de période le plus petit multiple commun de l’ordre des ζi . Par exemple, la suite définie par an = 2an−1 − 2an−2 + an−3 est associée par la procédure du corollaire précédent au polynôme ¯ 1 − 2X + 2X 2 − X 3 = (1 − X)(1 − ζX)(1 − ζX) où

√ −1 ± i 3 ζ= 2 est une racine primitive sixième de l’unité. Donc an+6 = an pour tout n ∈ N.

2.2 2.2.1

Séries exponentielles Définition et exemples

On suppose que A ⊃ Q. On munit AN de la loi de composition interne suivante. ! n   X n (an )n∈N (bn )n∈N = a b (2.2.1.1) s s n−s s=0

n∈N

L’application qui envoie (an )∈N ∈ AN sur (an /n!)n∈N ∈ AN est un isomorphisme d’anneaux pour la loi de composition interne (2.2.1.1) sur l’ensemble source et la loi de composition interne (2.1.1.2) sur l’ensemble but. Donc (2.2.1.1) est associative, commutative et distributive sur (2.1.1.1). De plus, l’élément (1, 0, 0, · · · ) est neutre pour (2.1.1.2). Ces deux lois font donc de AN un anneau commutatif que l’on note Ae [[X]] et qui s’identifie par l’isomorphisme (an )n∈N 7−→ (an /n!) avec l’ensemble des séries formelles de la forme ∞ X an n=0

n! 43

Xn

(2.2.1.2)

muni de la structure d’anneaux des séries formelles usuelles. Si S ∈ A est une série formelle exponentielle, on note S(0) = a0 (S). Écrivons quelques séries formelles exponentielles simples. 1. (1, 0, 0, · · · ) = 1 2. (0, 1, 0, · · · ) = X 3. (1, 1, 1, · · · ) =

∞ X Xn n=0

n!

= eX

4. (1, −1, 1, −1, · · · ) =

∞ X

(−1)n

n=0

Xn = e−X n!

5. (n!) =

∞ X

Xn =

n=0

1 1−X

6. (1, 0, −1, 0, 1, · · · )n∈N =

∞ X

(−1)n

n=0

X 2n = cos X (2n)!

Proposition 2.2.1.1. Soit (a, b) ∈ A2 . Dans l’anneau des séries formelles exponentielles (an )n∈N (bn )n∈N = ((a + b)n )n∈N

(2.2.1.3)

Démonstration. n

n

(a )n∈N (b )n∈N =

n   X n s=0

s

! a

n−s s

= ((a + b)n )n∈N

b

n∈N

Une série formelle exponentielle étant associée de manière unique à une série formelle usuelle, toutes les propriétés des séries formelles usuelles que nous avons montrées dans la sous-section précédente s’étendent aux séries formelles exponentielles. Par exemple, l’anneau des séries formelles exponentielles est muni d’une dérivation D : (an )n∈N 7→ (an+1 )n∈N qui est un morphisme de groupes vérifiant la formule du produit et la proposition 2.1.3.2 lorsque la composition de deux séries formelles est définie et Ae [[X]]× est l’ensemble des séries formelles exponentielles de terme constant non-nul. 44

2.2.2 2.2.2.1

Applications Permutations sans point fixe

Soit Dn l’ensemble des permutations de n éléments sans point fixe et Dn = |Dn |. L’application de Sn vers l’union disjointe sur s des produits cartésiens d’un ensemble S de cardinal s de {1, · · · , n} avec une permutation sans point fixe sur {1, · · · , n} − S est une bijection. Donc n   X n n! = Dn−s s s=0

Soit S la série génératrice exponentielles des Dn . Alors (n!)n∈N = eX S donc S=

e−X . 1−X

Autrement dit ∞ X

! ! ∞ n   ∞ n n s X X X Xn (−1) Xn X X n (−1)s (n − s)! n! = = Dn s n! n! s! n! n=0

n=0

s=0

n=0

soit encore

s=0

n

Dn X (−1)s = . n! s! s=0

En particulier la proportion de permutation sans cycle dans l’ensemble des permutations tend très vite vers e−1 . 2.2.2.2

Séries génératrices des types cycliques

Soit In le sous-ensemble de Sn des permutations vérifiant σ 2 = Id, donc le sous-ensemble formé de l’identité et des permutations d’ordre exactement 2. Notons In le cardinal de In . Par exemple, I0 = I1 = 1 et I2 = 2. Soit n ∈ N un entier strictement positif et soit σ ∈ In+1 . L’orbite de n + 1 sous σ est le singleton {n + 1} ou l’ensemble {n + 1, σ(n + 1)}. La donnée d’une permutation σ ∈ In+1 est donc équivalente à la donnée d’une permutation de In ou bien d’une permutation de In+1 ainsi que d’une image de n + 1. La suite des In vérifie donc la relation de récurrence In+1 = In + nIn−1 . La série formelle exponentielle ∞ X

In

n=0

Xn ∈ Ce [[X]] n!

est donc de terme constant égal à 1 et vérifie l’équation différentielle formelle ! ! ∞ ∞ X X Xn Xn D In = (1 + X) In . n! n! n=0

n=0

Elle est donc égale à la série eX+X ∞ X

Xn In = n!

n=0

2 /2

∞ X Xn n=0

!

n!

qui est bien définie d’après le lemme 2.1.3.1. Donc ! ! ∞ ! ∞ ∞ X X X Xn X 2n Xn = an 2n n! n! n! n=0

n=0

pour ( an =

(2m)! m!2m

0

si n = 2m est pair, sinon. 45

n=0

Finalement In =

bn/2c 

n   X n

as =

s

s=0

X s=0

n 2s



bn/2c X n! (2s)! = . s s!2 s!(n − 2s)!2s s=0

Ce calcul se généralise de la manière suivante. Soit n ∈ N. Posons n XY

Zn (X1 , · · · , Xn ) =

c (σ)

Xi i

=

σ∈Sn i=1

X

c (σ)

X11

· · · Xncn (σ) ∈ C[X1 , · · · , Xn ]

σ∈Sn

où c(σ) = (c1 (σ), · · · , cn (σ)) est le type cyclique de σ. Proposition 2.2.2.1. La série génératrice formelle exponentielle des Zn est la série ∞ X

Tn Zn =e n!

∞ P

i

Xi Ti



=e

i=1

  2 3 X1 T +X2 T2 +X3 T3 +···

∈ C[X1 , · · · , Xn ][[T ]].

n=0

Démonstration. exp

∞ X i=1

Ti Xi i

! = =

∞ Y

Ti exp Xi i

i=1 ∞X ∞ Y i=1 j=0

=





Xij

T ij ij j!

∞ X

X

n=0

i1 c1 +···+in cn =n

n! X c1 · · · Xncn c 2 c1 !2 c2 ! · · · ncn cn ! 1

!

Tn n!

La proposition résulte donc de la proposition 1.4.3.2. Corollaire 2.2.2.2. Soit an le nombre de permutations σ ∈ Sn vérifiant σ 6 = 1. La série génératrice formelle exponentielle des an est : ∞ X

  Tn T2 T3 T6 an = exp T + + + n! 2 3 6

n=0

Démonstration. Une permutation σ vérifie σ 6 = 1 si et seulement si les cycles intervenants dans sa décomposition en cycles sont de cardinaux 1,2,3 ou 6 ou autrement dit si les seuls termes non nuls de son type cyclique sont c1 , c2 , c3 et c6 . Donc an est égal à l’évaluation de Zn en X1 = 1, X2 = 1, X3 = 1,X6 = 1 et Xn = 0 si n - 6. D’où le résultat. 2.2.2.3

Formule d’inversion de Pascal et dénombrement des surjections

Proposition 2.2.2.3. Soit (bn )n∈N ∈ CN et (an )n∈N ∈ CN deux suites de nombres complexes vérifiant l’identité n   X n bn = a . (2.2.2.1) s s s=0

Alors n

an = (−1)

n X s=0

  n (−1) b . s s

46

s

(2.2.2.2)

Démonstration. En effet, (2.2.2.1) est équivalente à l’identité ! ∞ ! ! ∞ ∞ ∞ n X X Xn X X Xn X Xn bn = eX an = an n! n! n! n! n=0

n=0

n=0

n=0

entre séries exponentielles formelles et donc à l’identité ! ∞ ∞ n X X X Xn e−X bn = an n! n! n=0

soit encore an =

∞   X n s=0

s

n=0

n−s

(−1)

n

bs = (−1)

∞   X n s=0

s

(−1)s bs .

Outre redonner une démonstration rapide de la formule ci-dessus calculant les Dn , cette formule admet l’application suivante. Proposition 2.2.2.4. Soit s(n, p) le nombre de surjections d’un ensemble de cardinal p vers un ensemble de cardinal n. Alors n   X n n s(n, p) = (−1) (−1)s sp . s s=0

Remarquons que cette formule implique s(0, 0) = 1, s(n, 0) = 0 si n > 0 et s(0, p) = 0 si p > 0 et donc qu’elle demeure correcte lorsque n ou p est nul. Démonstration. D’après la proposition 2.2.2.3, il suffit de montrer que p

n =

n   X n s=0

s

s(n, p).

(2.2.2.3)

Soit X de cardinal n et Y de cardinal p. La donnée d’une application de Y vers X est équivalente à la donnée d’un sous-ensemble de cardinal 0 ≤ s ≤ p de X et d’une surjection de Y vers cet ensemble. La flèche X Y −→

p a

{im(f ), f : Y  Z, |Z| = s}

s=0

est donc une bijection. Remarquons que cette bijection est bien définie même lorsque np = 0. 2.2.2.4

Nombres de Bernoulli et sommes des puissances

L’observation que la donnée d’un sous-ensemble de cardinal 2 de {1, · · · , n} est équivalente à la donnée de son plus grand élément x et d’un choix d’un élément de {1, · · · , x − 1} donne une preuve bijective de l’équation   (n − 1)n 1 2 n 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) = = (n − n) = . (2.2.2.4) 2 2 2 47

Au moins une fois que l’on connaît les formules, il est à peine plus difficile de démontrer par récurrence la formule calculant la somme des carrés   3 2 1 (n − 1)n(2n − 1) 1 3 2 2 2 2 n − n + (2.2.2.5) 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) = = 6 3 2 2 et celle calculant la somme des cubes 13 + 23 + 33 + · · · + (n − 1)3 = (1 + 2 + · · · + (n − 1))2 =


1 4 n − 2n3 + n2 . 4

(2.2.2.6)

L’expérience de ces formules suggère que pour tout r ∈ N, il pourrait existes un polynôme Sr ∈ Q[x] tel que x−1 X 1 ∀ x ∈ N∗ , nr−1 = Sr (x) (2.2.2.7) r n=1

et une observation attentive suggère même que Sr pourrait être unitaire et de degré r. On peut aussi se convaincre du fait que si l’on parvient à deviner Sr , la formule (2.2.2.7) se démontrera facilement par récurrence. Reste donc à déterminer les polynômes Sr . Ceci a été fait par Jakob Bernoulli, probablement vers 1680. Soit D l’endomorphisme de C[x] qui envoie un polynôme P sur sa dérivée et ∆ l’endomorphisme de C[x] qui envoie un polynôme P sur P (x + 1) − P (x). Ces deux endomorphismes envoie un polynôme de degré n sur un polynôme de degré strictement inférieur à n. Pour tout P ∈ C[x], il existe donc un entier n0 (resp. m0 ) tel que Dn (P ) = 0 pour tout n ≥ n0 (resp. tel que ∆n (P ) = 0 pour tout n ≥ m0 ). En particulier, si F = (an )n∈N ∈ Ce [[t]] est une série formelle exponentielle, alors la série F (D) =

∞ X

an

n=0

Dn n!

définit un endomorphisme de C[x]. Déterminons cet endomorphisme lorsque F = et , auquel cas ∞ X Dn eD (P ) = (P ). n! n=0

Par linéarité, il suffit de calculer

eD (P )

eD (xm ) =

pour P = xm pour tout m ∈ N. Dans ce cas

m   X m s=0

s

xs = (x + 1)m .

Il s’en suit que plus généralement eD (P )(x) = P (x + 1) et donc l’égalité ∆ = eD − 1 entre endomorphismes de C[x]. Considérons maintenant les séries formelles exponentielles et − 1 et − 1 ∈ Ce [[t]], ∈ (C[x])e [[t]]. t text Le terme constant de la série (et − 1)/text est égal à 1 donc est inversible dans C. La série formelle exponentielle (et − 1)/text est donc inversible dans C[x]e [[t]] (et même dans 48

Q[x]e [[t]]). En prenant x = 0, on obtient de même que la série formelle exponentielle (et − 1)/t est inversible dans Ce [[t]]. Notons ∞ X

Bn

n=0

∞ tn X tn , Bn (x) n! n! n=0

les inverses des séries formelles (et − 1)/t et (et − 1)/tetx . Autrement dit ∞

∞

n=0

n=0

X tn X t text tn = , = . B B (x) n n et − 1 n! et − 1 n! En particulier B0 = 1 et Bn (0) = Bn pour tout n ∈ N. Si l’on veut calculer explicitement les Bn et les Bn (x), on peut commencer par observer que l’égalité formelle text t xt e = et − 1 et − 1 dans l’anneau C[x]e [[t]] implique que Bn (x) =

n   X n

s

s=0

Bn xn−s .

Il suffit donc de calculer les Bn . Or, il résulte de leur définition que ! ! ∞ ! ∞ ∞ n n X X X tn t t t = (et − 1) Bn = Bn . n! n! n! n=0

n=1

n=0

ou encore que (   n  X 1 si n = 0, n+1 n+1 Bs = Bs (1 − δn+1−s,0 ) = s s 0 sinon. s=0

n+1 X s=0

Donc B0 = 1 et n−1 X

(n + 1)Bn = −

s=0

 n+1 Bs s

si n > 0. Proposition 2.2.2.5. Soit (n, r) ∈ N2 . Alors r X un = u=1

1 (Bn+1 (r + 1) − Bn+1 ) . n+1

Démonstration. La formule Bn (x) =

n   X n s=0

s

Bs xn−s

se réécrit Bn (x) =

n X s=0

n

n

s=0

s=0

X 1 X Ds n! n! Bs xn−s = Bs xn−s = Bs (xn ). s!(n − s)! s! (n − s)! s! 49

Pour s > n, le terme Ds (xn ) s’annule donc Bn (x) =

∞ X

Bs

s=0

Ds n (x ). s!

Par définition des Bn , l’endomorphisme de C[x] défini par φ : P 7→

∞ X Ds (P ) Bs s! s=0

vérifie
eD − 1 φ = D. Donc

∞ X Ds Bs s

Bn (x) =

! (xn ) =

s=0

D (xn ) −1

eD

vérifie (eD − 1)Bn (x) = D(xn ) = nxn−1 ou encore xn−1 =


1 D e − 1 Bn (x). n

Mais nous avons déjà observé que (eD − 1)Bn (x) = ∆(Bn (x)). Finalement xn−1 = Donc

r−1 X u=0

1 1 ∆(Bn (x)) = (Bn (x + 1) − Bn (x)) . n n

un−1 =

1 1 (Bn (r) − Bn (0)) = (Bn (r) − Bn ) . n n

En remplaçant n par n + 1 et r par r par r + 1, on trouve la formule de la proposition. Vers la fonction ζ

Maintenant que nous avons résolu le problème du calcul de x−1 X

nr−1 =

n=0

1 (Br (x) − Br ) , r

nous pourrions vouloir trouver une formule comparable pour la somme des inverses des puissances des entiers, c’est-à-dire calculer la somme x−1 X

n−s .

n=1

Comme souvent en mathématique, nous pouvons déclarer que nous avons résolu le problème en posant ∞ X ζ(s) = n−s n=1

et, pour x > 0, ζ(s, x) =

∞ X

(x + n)−s .

n=0

50

En particulier ζ(s, 1) = ζ(s). Alors x−1 X

n−s = −ζ(s, x) + ζ(s).

n=1

Imaginons maintenant que nous soyons Euler, en 1744. Alors nous remarquerions que nous avons maintenant deux formules pour la sommes des puissances positives, à savoir la formule correcte x−1 X 1 nr−1 = (Br (x) − Br ) r n=0

et l’absurde

x−1 X

nr−1 = −ζ(1 − r, x) + ζ(1 − r).

n=0

La similitude entre ces deux formules nous amènerait alors à conjecturer ζ(1 − r, x) = −

Br (x) r

et donc (en posant x = 1) ζ(1 − r) = −

Br (1) . r

L’identité télescopique (Br (x + 1) − Br (x)) = rxr−1 montre que Br (1) = Br (0) = Br si r > 1 tandis que B1 (1) = 1/2. On aurait donc par exemple ∞ X 1 ζ(0) = n0 = 1 + 1 + 1 + · · · = − 2 n=1

et ζ(−1) =

∞ X

n = 1 + 2 + 3 + ··· = −

n=1

1 . 12

Mais quel sens donner à ces identités ? Une partie de la réponse est dans la section suivante.

2.3 2.3.1

Séries de Dirichlet formelles Définition et exemples ∗

Soit A un anneau commutatif. On munit AN (noter l’exclusion de n = 0) de la loi de composition interne   X (an )n∈N∗ (bn )n∈N∗ =  ad bn/d  (2.3.1.1) d|n

n∈N∗

que l’on appelle la convolution de Dirichlet. Bien que cela soit moins évident que pour les lois (2.1.1.2) et (2.2.1.1), la proposition suivante montre que la convolution de Dirichlet ∗ fait de AN un anneau commutatif unitaire que l’on appelle l’anneau des séries de Dirichlet formelles.
∗ Proposition 2.3.1.1. Les lois + et · font de AN , +, · un anneau commutatif unitaire. 51


∗ Démonstration. La loi + fait de AN , + un groupe commutatif. Il suffit donc de montrer que la loi de composition interne   X (an )n∈N∗ (bn )n∈N∗ =  ad bn/d  d|n

n∈N∗

est associative, commutative, distributive sur + et admet un élément neutre. Soit donc ∗ (a, b, c) ∈ AN . Les égalités suivantes sont alors vraies. ((ab)c)n =

X

(ab)d cn/d =

XX d|n

d|n

(ab)n =

X

d0 |d

X

X

ad bn/d =

Soit enfin

1:

ad1 bd2 = (ba)n .

d1 d2 =n

ad (bn/d + cn/d ) =

d|n

N∗

ad1 bd2 cd3 = (a(bc))n .

d1 d2 d3 =n

d|n

(a(b + c))n =

X

ad0 bd/d0 cn/d =

X X ad bn/d + ad cn/d = (ab)n + (ac)n . d|n

d|n

−→ C définie par ( 1 si n = 1, 1(n) = 0 sinon.

Alors (a · 1)n =

X

ad 1(n/d) = an

d|n

donc la suite (1(n))n∈N∗ est l’élément neutre de ·. Une façon simple de se souvenir de la forme de la loi de multiplication · et l’énoncé de la proposition 2.3.1.1 est de représenter la suite (an )n∈N∗ par la série formelle (an )n∈N∗ =

∞ X

an n−s .

n=1

En effet, le produit usuel ∞ X

! an n

−s

n=1

∞ X

! bn n

−s

n=1

est une suite infinie de termes indexés par n−s et le coefficient devant le terme n−s provient −s des produits am1 m−s 1 bm2 m2 pour m1 m2 = n si bien que   ! ∞ ! ∞ ∞ ∞ X X X X X  ad bn/d  n−s = an n−s bn n−s = (ab)n n−s . n=1

n=1

Lorsque les séries de fonctions s 7→

n=1 ∞ P

an n−s et s 7→

n=1

n=1

d|n ∞ P

bn n−s sont des séries de fonctions

n=1

à valeurs dans A absolument convergentes sur le demi-plan ouvert de C défini par s0 , l’associativité, la commutativité et la distributivité sur + du produit · s’identifie alors avec 52

les mêmes propriétés pour la multiplication usuelle de fonctions. Même lorsque les séries ∞ ∞ P P de fonctions s 7→ an n−s et s 7→ bn n−s ne sont pas absolument convergentes, il n’y n=1

n=1

en fait pas de perte de généralité à le supposer. En effet, le calcul du coefficient cn du produit (an )n∈N∗ (bn )n∈N∗ ne fait intervenir qu’un nombre fini de coefficients de (an )n∈N∗ et de (bn )n∈N∗ . Plus précisément, cn est égal au coefficient c0n du produit de séries de fonctions absolument convergentes ! ! n n X X −s −s am m bm m . m=1

Ce coefficient

c0n ,

m=1

et donc le coefficient cn , vérifie bien c0n =

X ad bn/d . d|n

2.3.1.1

Exemples

Contrairement au cas des séries formelles usuelles et exponentielles, on ne reconnaît pas de fonctions simples lorsque l’on écrit des séries de Dirichlet formelles dont les coefficients suivent une loi simple. Néanmoins, la série de Dirichlet formelle (1)n∈N est la fonction ζ que nous avons déjà rencontré lors de notre étude des nombres de Bernoulli. 1. (1, 0, 0, · · · ) = 1 2. (1, 1, · · · ) =

∞ X

n−s = ζ(s)

n=1

3. (d(n))n∈N∗

  X =  1 d|n

4.

= ζ(s)2 n∈N∗

∞ X n (1, 2, 3, · · · ) = = ζ(s − 1) ns n=1

5.



(σ(n))N ∈N∗

 X =  d d|n

= ζ(s)ζ(s − 1) n∈N∗

Notons que si l’on interprète les séries précédentes comme des séries de fonctions en la variable complexe (ou réelle) s, alors la première est bien évidemment convergente sur C (ou R) tout entier tandis que les fonctions ζ(s), ζ(s)2 , ζ(s − 1) et ζ(s)ζ(s − 1) sont respectivement absolument convergentes de limite analytique pour 1, 1, 2 et 2 respectivement. C’est un résultat fondamental de l’analyse et de l’arithmétique que la fonction ζ(s) admet un prolongement holomorphe à C\{1} avec un pôle simple en s = 1. En particulier, les valeurs ζ(0) et ζ(−1) ont un sens et, comme nous avions eu raison de le conjecturer dans la sous-section 2.2.2.4, vérifient effectivement ζ(0) = −

1 1 et ζ(−1) = − . 2 12 53

2.3.2

Produits formels ∗

La structure d’algèbre sur AN donnée par la loi de multiplication des séries de Dirichlet formelles est intimement liée aux propriétés multiplicatives des entiers au sens suivant. Considérons la donnée pour chaque nombre premier p d’une série formelle Fp = 1 +

∞ X

bm X m ∈ A[[X]]

m=1

de terme constant égal à 1. L’évaluation formelle en p−s de Fp définit une série de Dirichlet formelle ∞ ∞ X X Fp (p−s ) = 1 + bm p−ms = a(p)n n−s m=1

n=1

avec a(p)n = 0 si n n’est pas une puissance de p et a(p)pm = bm . Soit S = {p1 , · · · , ps } un ensemble fini de nombres premiers de cardinal s et Σ(S) l’ensemble des entiers dont les facteurs premiers sont inclus dans S. Alors   ! ∞ Y Y X X Y  Fp (p−s ) = a(p)n n−s = a(pi ) mi  n−s . p∈S

p∈S

n=1

m

s p1 1 ···pm s =n

n∈Σ(S)

pi

i En effet, le terme a(pi )pmi contribue au coefficient devant n−s si et seulement si pm i |n et i

i +1 pm |n. Ceci suggère la définition suivante. i

Définition 2.3.2.1. Pour tout nombre premier p, soit Fp = 1 +

∞ X

a(p)pn X n ∈ A[[X]].

n=1

Le produit eulérien formel Y

Fp (p

−s

)=

p

Y

1+

p

∞ X

! −ns

a(p)pn p

(2.3.2.1)

n=1

est la série de Dirichlet formelle définie par r r Y Y i m an = a(pi )p i si n = pm i . i

i=1

i=1

D’après la proposition 12.2.0.3 de l’annexe II, si les séries de fonctions

∞ P

a(p)pn p−s sont

n=1

absolument convergentes sur un certain dmi-plan ouvert de C, alors le produit infini de fonctions (2.3.2.1) est absolument convergent sur ce même demi-plan. Proposition 2.3.2.2. La série de Dirichlet formelle ζ(s) vérifie l’égalité formelle ζ(s) =

Y p

1 . 1 − p−s

Si 1, cette égalité devient une égalité de fonctions analytiques. 54

Démonstration. Pour tout nombre premier p, soit Fp ∈ C[[X]] la série formelle usuelle (1 − X)−1 . En utilisant les notations de la définition 2.3.2.1, les coefficients a(p)pm sont alors égaux à 1 pour tout p et tout m ∈ N. Le produit eulérien formel Y p

1 1 − p−s

est donc égal par définition à la série de Dirichlet formelle dont tous les coefficients sont égaux à 1. Par définition, il s’agit de la série de Dirichlet formelle ζ(s). ∞ ∞ P PP Si 1, alors les séries p−ns sont absolument convergentes et la série p−ns est p n=1 n=1 Q −1 (1 − p−s ) définit absolument convergente. D’après la proposition 12.2.0.3, le produit p

donc une fonction analytique qui ne s’annule pas et qui est égale à la fonction analytique ζ(s). On dit qu’une fonction f : N∗ −→ A est multiplicative si f (ab) = f (a)f (b) lorsque a ∧ b = 1. De manière équivalente, f est une fonction multiplicative si et seulement si f (n) =

Y f (pvp (n) ). p

lorsque n =

Q

pvp (n) est la décomposition en facteurs premiers de n. Remarquons que si f

p

est multiplicative, alors f (n) = f (1 · n) = f (1)f (n) ou encore f (n)(1 − f (1)) = 0 ∈ A pour tout n ∈ N∗ . En particulier, si l’anneau A est intègre et si f est non-nulle, alors f (1) = 1. Proposition 2.3.2.3. Soit A un anneau intègre. Une fonction f : N∗ −→ A non-nulle est multiplicative si et seulement si la série de Dirichlet formelle F = (f (n))n∈N∗ admet une écriture en produit eulérien formel F =

Y Fp (p−s ) p

où Fp est la série formelle

∞ P

f (pn )X n .

n=0

Démonstration. Supposons f non-nulle et multiplicative (en particulier f (1) = 1). Pour tout nombre premier p, notons Fp ∈ A[[X]] la série formelle Fp =

∞ X

f (pn )X n .

n=0

Alors

! ∞ Y X Y −s vp (n) Fp (p ) = f (p ) n−s p

p

n=1

par définition du produit eulérien formel et donc ! ∞ ∞ Y X Y X −s vp (n) −s Fp (p ) = f (p ) n = f p

n=1

p

n=1

par multiplicativité de f . 55

! Y p

vp (n)

p

n

−s

=

∞ X

f (n)n−s

n=1

Réciproquement, supposons que F admette une écriture en produit eulérien formel comme dans la proposition. Alors ! Y Y f (pvp (n) ) = f (n) = f pvp (n) p

p

pour tout n donc f est multiplicative.

2.3.3

Formule d’inversion de Möbius

Soit µ la fonction de N∗ dans N définie par µ(n) = (−1)s si n est un produit de s facteurs premiers distincts et µ(n) = 0 sinon. Notons que l’on peut voir µ comme prenant ses valeurs dans n’importe quel anneau commutatif. Proposition 2.3.3.1. L’égalité (µ(n))n∈N∗ (1)n∈N∗ = (1, 0, 0, · · · )n∈N∗

(2.3.3.1)

∗

est vraie dans l’anneau AN . En particulier M=

∞ X

µ(n)n−s =

Y (1 − p−s ) = p

n=1

1 ζ(s)

lorsque A = C et cette égalité formelle devient une égalité de fonctions si 1. Démonstration. Soit n ≥ 1. Alors n s’écrit n = pα1 1 · · · pαmm avec m > 0 et αi > 0 pour tout 1 ≤ i ≤ m. Les diviseurs de n sont alors exactement les entiers dont la décomposition en facteurs premiers est de la forme pβ1 1 · · · pβmm avec 0 ≤ βi ≤ αi pour tout 1 ≤ i ≤ m. Les diviseurs de n dont tous les diviseurs premiers sont distincts sont donc exactement les entiers dont la décomposition en facteurs premiers est de la forme pβ1 1 · · · pβmm avec βi ∈ {0, 1} pour tout 1 ≤ i ≤ m. La fonction qui à un tel diviseur d associe le sous-ensemble de {1, · · · , m} des i tel que βi = 1 est donc une bijection de l’ensemble des diviseurs de n ayant exactement s facteurs premiers tous distincts vers l’ensemble des sous-ensembles de {1, · · · , m} de cardinal s. Donc (   m X X 1 si m = 0, m µ(d) = (−1)s = (1 − 1)m = s 0 sinon. s=0 d|n L’égalité formelle

∞ X

µ(n)n−s =

n=1

1 ζ(s)

en découle directement. Enfin ∞ X

µ(pm )X m = 1 − X

m=0

par définition de µ donc M admet une écriture en produit eulérien formel M=

∞ X

µ(n)ns =

Y p

n=1

56


1 − p−s .

Supposons 1. Alors la série de fonctions ζ(s) est absolument convergente et est égale Q −1 à la série de fonctions (1 − p−s ) , donc ne s’annule pas. La série de fonctions 1/ζ(s) est p

donc également absolument convergente et l’égalité formelle ζ(s)M (s) = 1 est donc également une égalité de fonctions sur ce demi-plan. Proposition 2.3.3.2 (Formule d’inversion de Möbius). Soit f, g deux fonctions de N∗ à valeurs dans A intègre. Si X g(d) f (n) = d|n

alors g(n) =

X

f (d)µ(n/d).

d|n

De plus, si l’une est multiplicative, l’autre aussi. Démonstration. Soit F, G et M les séries de Dirichlet formelles de f, g et µ respectivement. Alors F = G · 1 donc F · M = G. Si l’une des deux fonctions f, g est multiplicative, alors deux de ces trois séries de Dirichlet formelles admettent une écriture en produit eulérien formel et il en est donc de même de la troisième, qui est donc également multiplicative. Corollaire 2.3.3.3. Soit α ∈ R. La fonction σα (n) =

X

dα

d|n

est multiplicative. La fonction ϕ(n) = |(Z/nZ)× | = |{x ∈ Z/nZ|hxi = Z/nZ}| est multiplicative et vérifie ϕ(n) =

X dµ(n/d). d|n

La série de Dirichlet formelle (ϕ(n))n∈N∗ =

∞ X

ϕ(n)n−s

n=1

est absolument convergente pour 2 en tant que série de fonctions et vérifie ∞ X

ϕ(n)n−s =

n=1

Y 1 − p−s ζ(s − 1) = . 1−s 1−p ζ(s) p

Démonstration. La fonction fα définie par fα (n) = nα est multiplicative donc il en est de même pour σα . Tout élément de Z/nZ est générateur d’un unique sous-groupe de Z/nZ de la forme Z/dZ avec d|n. Donc a Z/nZ = {x ∈ Z/nZ|hxi ' Z/dZ}. d|n

57

Ceci implique que n=

X

ϕ(d).

d|n

L’identité est une fonction multiplicative donc il en est de même pour ϕ et ϕ(n) =

X

dµ(n/d)

d|n

par la formule d’inversion de Möbius. En particulier, ϕ(ps ) = ps (1 − 1/p) si p est un nombre premier donc ∞ X

n

n

ϕ(p )X = 1 +

n=0

∞ X

n

p −p

n−1




n

X =

n=1

∞ X

n

n

p X −X

n=0

∞ X

pn X n =

n=0

1−X . 1 − pX

La série de Dirichlet formelle (φ(n))n∈N∗ admet donc un produit eulérien formel ∞ X

ϕ(n)n−s =

n=1

Y 1 − ps . 1 − p1−s p

L’égalité X

ϕ(d) = n

d|n

implique l’égalité formelle ∞ X

ζ(s)

! ϕ(n)n

−s

=

n=1

∞ X

nn−s = ζ(s − 1).

n=1

Lorsque 2, les séries de fonctions ∞ X

ϕ(n)n−s , ζ(s), ζ(s − 1),

n=1

Y Y 1 − ps Y 1 , et (1 − ps ) 1−s 1−s 1 − p 1 − p p p p

sont toutes absolument convergentes. L’égalité formelle ∞ X

ϕ(n)n−s =

n=1

ζ(s − 1) Y 1 − ps = ζ(s) 1 − p1−s p

est donc une égalité de fonctions sur ce demi-plan. Il est parfois utile de garder à l’esprit qu’une version un peu plus générale de la formule d’inversion de Möbius est en fait valable. Proposition 2.3.3.4. Soit f, g deux fonctions de N∗ à valeurs dans un groupe (G, +) commutatif. Si X f (n) = g(d) d|n

alors g(n) =

X

f (d)µ(n/d).

d|n

De plus, si l’une est multiplicative, l’autre aussi. 58

Démonstration. Remarquons tout d’abord que µ est à valeurs dans Z donc que les éléP P ments g(d) et f (d)µ(n/d) de G sont bien définis. Dans l’ensemble des fonctions de d|n

d|n

N∗ vers G, les éléments (f (n))n∈N∗ (1)n∈N∗ et (g(n))n∈N∗ (µ(n))n∈N∗ sont donc bien définis. L’équivalence (f (n))n∈N∗ (1)n∈N∗ = (g(n))n∈N∗ ⇔ (f (n))n∈N∗ = (g(n))n∈N∗ (µ(n))n∈N∗ s’obtient alors par multiplication (par exemple à droite) par (µ(n))n∈N∗ ou par (1)n∈N∗ en observant que la preuve de l’associativité de la convolution de Dirichlet pour un triplet spécifique de fonctions ne nécessite pas que les fonctions en question aient valeurs dans un anneau. 2.3.3.1

Remarque historique

Un rapide calcul montre que |

x X √ µ(s) |< x s=1

lorsque x > 1 est petit. Un calcul beaucoup moins rapide montre en fait que cette inégalité est vraie pour tout x ≤ 1016 et même que √ x X 3 x | µ(s) |< 5 s=1

1016 .

pour tout 33 ≤ x ≤ Sur la foi de tels calculs, Stieltjes et Mertens ont conjecturé à la ◦ fin du XIX siècle que l’inégalité x X √ | µ(s) |< x s=1

était vraie pour tout x > 1. Cette conjecture est tout à fait remarquable car même l’assertion beaucoup plus faible x   X µ(s) = O x1/2+ε s=1

pour tout ε > 0 est équivalente à l’hypothèse de Riemann, et est donc une formulation de ce qui est sans doute le problème ouvert les plus important des mathématiques actuelles. Un élément d’appréciation de la difficulté de l’hypothèse de Riemann peut être donné par la remarque suivante : en 1985, Odlyzko et te Riele ont montré que la conjecture de Mertens était fausse ! Il existe des x tels que x X √ µ(s) > x s=1

et il semble même probable que pour tout C ∈ R, il existe x tel que x X √ µ(s) > C x, s=1

ou de manière équivalente, il semble probable que |

x P

µ(s)| ne soit pas un O(x1/2 ), bien que

s=1

l’hypothèse de Riemann implique que ce soit un O(x1/2+ε ) pour tout ε > 0. On sait que x P √ 64 le premier x tel que | µ(s)| > x est plus petit que 102·10 (le lecteur pourra s’accorder s=1

une minute de réflexion pour contempler la taille de ce nombre). 59

2.3.4 2.3.4.1

Applications Polynômes cyclotomiques

Proposition 2.3.4.1. Soit Un,p l’ensemble des racines n-ièmes primitives de l’unité. Soit Φn ∈ C[X] le polynôme défini par Y

Φn =

(X − ζ).

(2.3.4.1)

ζ∈Un,p

Alors Φn est un polynôme de Z[X] donné par la formule Y

Φn =

(X d − 1)µ(n/d) .

d|n

Démonstration. Soit n ∈ N un entier. Une racine n-ième de l’unité est une racine primitive d-ième de l’unité pour un unique d|n donc a

Un =

Ud,p

d|n

et donc Xn − 1 =

Y Φd . d|n

Ceci signifie que les fonctions f : n 7→ X n − 1 et g : n 7→ Φn de N∗ à valeurs dans le groupe commutatif (C(X)× , ·) vérifient X f (n) = g(d) d|n

si l’on note la multiplication de C(X) de manière additive. Par la formule d’inversion de Möbius généralisée, on obtient g(n) =

X f (d)µ(n/d) d|n

soit encore Φn =

Y

(X d − 1)µ(n/d)

(2.3.4.2)

d|n

en notation multiplicative. Les polynômes X d − 1 sont inversibles dans l’anneau des séries formelles à coefficients dans Z donc l’égalité Φn =

Y

(X d − 1)µ(n/d)

d|n

est également une égalité dans l’anneau Z[[X]]. Donc Φn est à la fois une série formelle à coefficients dans Z et un polynôme à coefficients dans C. Donc Φn est donc un polynôme à coefficient entiers donné par la formule (2.3.4.2). 60

2.3.4.2

Dénombrement des mots primitifs

Soit A = {a1 , · · · , am } un alphabet. On considère les mots de longueur n formés de lettre de A, c’est-à-dire les éléments de An . On dit qu’un mot M n’est pas primitif s’il existe un mot N ∈ Ad tel que M soit égal à n/d copies de N . Sinon, on dit que M est primitif. Par exemple, si A est l’alphabet ordinaire {a, b, · · · , z}, les mots yoyo, couscous, chachacha ou kwasakwasa 2 ne sont pas primitifs. Soit An l’ensemble des mots de longueur n, Ψ(n, m) l’ensemble des mots primitifs de longueur n et ψ(n, m) le cardinal de Ψ(n, m). L’application f : An −→

a Ψ(d, m) d|n

qui à un mot M de An associe le plus court mot N ∈ Ad tel que M soit n/d copies de N est une bijection de An vers l’union disjointe sur d|n des ensembles des mots primitifs de longueur d d’inverse l’application qui à N ∈ Ψ(d, m) associe n/d copies de N . Donc X mn = ψ(d) d|n

soit encore ψ(n, m) =

X

md µ(n/d)

d|n

par la formule d’inversion de Möbius. Par exemple, il existe ψ(12, 2) = 212 − 26 − 24 + 22 = 4096 − 64 − 16 + 2 = 4018 mots primitifs de longueur 12 formés des éléments de {0, 1} (et donc 4096 − 4018 = 76 mots qui ne sont pas primitifs). 2.3.4.3

Fonctions de Jordan

Soit r ∈ N. La fonction Jr de Jordan est la fonction de N∗ dans C définie par Jr (n) = |{x ∈ (Z/nZ)r ||hxi| = n}|. En particulier, la fonction la fonction J0 est la fonction δn,1 (car l’unique élément de (Z/nZ)0 = {0} vérifie |hxi| = 1) et la fonction J1 est la fonction ϕ d’Euler (car |hxi| = n pour x ∈ Z/nZ si et seulement si x ∧ n = 1). Tous les éléments du groupe additif (Z/nZ)r ont un unique ordre, qui est un diviseur de n. Donc a (Z/nZ)r = {x||hxi| = d} d|n

et donc X

Jr (d) = nr .

d|n

La fonction n 7→ nr étant multiplicative, la fonction Jr est multiplicative et vérifie X Jr (n) = dr µ(n/d) d|n 2

Un kwasakwasa est un canot de pêche commorien.

61

d’après la formule d’inversion de Möbius. En particulier, si p est un nombre premier, alors   1 r r Jr (p) = p − 1 = p 1 − r p et plus généralement s

rs

r(s−1)

Jr (p ) = p − p

  1 1− r . =p p rs

Si la décomposition en facteurs premiers de n est n = ps11 · · · psuu , on obtient donc u  Y

Jr (n) =

i prs i

−

r(s −1) pi i

 u  Y 1 =n 1− r . pi



r

i=1

i=1

En particulier, la série de Dirichlet formelle Φr (s) = (Jr (n))n∈N∗ =

∞ X

Jr (n)n−s

n=1

est absolument convergente en tant que série de fonctions pour r + 1. L’égalité Jr (n) =

X dr µ(n/d) d|n

implique l’égalité de séries de Dirichlet formelles Φr (s) =

ζ(s − r) Y 1 − p−s = ζ(s) 1 − pr−s p

que l’on peut également retrouver en remarquant que ∞ X

1+

Jr (pn )X n =

n=1

et donc que

∞ X

Jr (n)n−s =

Les égalités

∞ X

Jr (n)n−s =

n=1

Y 1 − p−s p

n=1

1−X 1 − pr X

1 − pr−s

.

ζ(s − r) Y 1 − p−s = ζ(s) 1 − pr−s p

deviennent des égalités de fonctions pour r + 1.

62

Deuxième partie

Dessiner

63

Chapitre 3

Introduction à la théorie des graphes Die Mathematiker sind eine Art Franzosen : redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsobald ganz etwas anderes.1 (Johann Wolfgang von Goethe).

3.1 3.1.1 3.1.1.1

Notions de base Définitions Sommets, arêtes, graphes

Si E est un ensemble fini, on dénote par E o E l’ensemble des sous-ensembles de cardinal 2 de E. Comme il est d’usage en théorie des graphes, les éléments de E o E seront notés sous la forme (x, y) bien que (x, y) soit égal à (y, x). Un graphe G est par définition la donnée d’un couple d’ensembles finis G = (X, E) où X est non-vide et où E est un sous-ensemble de X o X. On appelle l’ensemble X l’ensemble des sommets de G et l’ensemble E l’ensemble des arêtes de G. Le cardinal de G est par définition le cardinal de X, donc est toujours strictement positif. Deux sommets (x, y) ∈ X 2 sont dits adjacents dans G, ce que l’on note x ∼G y, si (x, y) ∈ E. En particulier, un sommet n’est jamais adjacent à lui-même. L’ensemble {y ∈ X|(x, y) ∈ E} est appelé l’ensemble des voisins de x et est noté NG (x). Le degré dG (x) de x ∈ X est le cardinal de NG (x). Le degré minimal δG de G est le minimum des degrés des sommets de G, le degré maximal ∆G est le maximum des degrés des sommets de G. Lorsque δG = ∆G = k, donc lorsque dG (x) ne dépend pas de x, on dit que G est k-régulier. Le degré maximal d’un graphe G de cardinal n est au plus n − 1. Un graphe ayant n sommets et (n − 1)-régulier, donc tel que NG (x) = X − {x} pour tout x ∈ X, s’appelle un graphe complet. Un graphe 0-régulier, donc tel que NG (x) = ∅ pour tout x ∈ X, s’appelle un graphe isolé. Un sommet isolé est un graphe isolé de cardinal 1, donc un graphe de la forme ({x}, ∅). On le notera fréquemment ◦. Deux arêtes distinctes a et b sont dites incidentes si a ∩ b est de cardinal 1, et incidentes en u si a ∩ b = {u}. Pour x ∈ X et e ∈ E, on note G − {x} ou G − x le graphe (X − {x}, E − {(x, y) ∈ E|y ∈ X}) et G − {e} ou G − e le graphe (X, E − {e}). Si (x, y) ∈ X o X − E, on note G ∪ {e} le graphe (X, E ∪ (x, y)). Pour G = (X, E) et G0 = (X 0 , E 0 ) deux graphes, on note G ∪ G0 et on appelle union de G et G0 le graphe (X ∪ X 0 , E ∪ E 0 ). Le complémentaire ¯ d’un graphe (X, E) est le graphe (X, X o X − E). Soit G l’ensemble des graphes ayant G 1 Les mathématiciens sont un peu comme les Français : lorsque vous leur parlez, ils traduisent tout dans leur langue, si bien que c’est devenu quelque chose de tout à fait différent

65

¯ est alors une application bijective X comme ensemble de sommets. L’application¯: G 7→ G égale à son inverse sur G. On note G/(x, y) le graphe G = (X − {x, y} ∪ {z}, E ∪ {(z, v)|v ∈ NG (x) ∪ NG (y)}). Une sous-partie d’un graphe G = (X, E) est une paire (X 0 , E 0 ) avec X 0 ⊂ X et E 0 ⊂ E. Un sous-graphe H ⊂ G de G = (X, E) est une sous-partie de G qui est un graphe, donc un graphe (X(H), E(H)) avec X(H) ⊂ X et E(H) ⊂ E. La relation H ⊂ G est une relation d’ordre partielle sur les sous-graphes de G. Un sous-graphe H est dit induit si E(H) = {(x, y) ∈ E|(x, y) ∈ X(H) o X(H)}. Concrètement, un sous-graphe H est induit s’il est construit à partir de G en enlevant des sommets et le nombre minimal d’arêtes. Un sous-graphe H est dit couvrant si X(H) = X, ou encore s’il est construit à partir de G en enlevant seulement des arêtes. Un graphe est dit minimal pour une propriété P s’il n’admet pas de sous-graphe strict vérifiant P . Un sous-graphe H de G est dit maximal pour une propriété P s’il n’existe pas de sous-graphe H 0 de G contenant H et vérifiant P . Remarque La relation d’ordre ⊂ étant partielle, il peut exister plusieurs sous-graphes minimaux ou maximaux pour une propriété. Notons quelques propriétés élémentaires qui découlent immédiatement des définitions. Lemme 3.1.1.1. Soit X un ensemble de cardinal n et soit G l’ensemble des graphes ayant X comme ensemble des sommets. Alors G est un ensemble fini et  

n 2

 

|G| = 2

.

(3.1.1.1)

Démonstration. Une fois X fixé, la donnée d’un graphe de sommets X est équivalente à la donnée   d’un sous-ensemble de X oX. Par définition, ce dernier ensemble est fini de cardinal n . 2 Lemme 3.1.1.2. Soit G = (X, E) un graphe. Alors X

dG (x) = 2|E|.

x∈X

Démonstration. Supposons que l’ensemble des graphes dont l’ensemble des sommets est X et ne vérifiant pas cette assertion soit non-vide. Il existe alors un graphe G = (X, E) ne vérifiant pas cette assertion et minimal pour cette propriété. Le graphe isolé (X, ∅) vérifie X

dG (x) = 0 = 2|E|

x∈X

donc E 6= ∅ et il existe donc une arête e = (u, v) ∈ E. Soit H ( G le graphe (X, E − {e}). Alors X dH (x) = 2|E − {e}| = 2|E| − 2 x∈X

par minimalité de G. Or, dH (u) = dG (u) − 1, dH (v) = dG (v) − 1 et dH (x) = dG (x) pour tout x ∈ X − {u, v}. Donc X x∈X

dH (x) =

X

dG (x) − 2 = 2|E − {e}| = 2|E| − 2

x∈X

66

et donc X

dG (x) = 2|E|.

x∈X

C’est absurde. Tous les graphes dont l’ensemble des sommets est X vérifient donc l’égalité (3.1.1.1). Lemme 3.1.1.3. Soit G = (X, E) un graphe de cardinal n. Il existe alors deux sommets distincts x et y de G tels que dG (x) = dG (y). Démonstration. Il s’agit exactement de démontrer que la fonction dG : X −→ N n’est pas injective. Par définition, NG (x) est un sous-ensemble de X donc l’image de dG est contenu dans {0, · · · , n}. Il ne peut exister dans G à la fois un sommet x de degré n − 1, donc tel que NG (x) = X − {x}, et un sommet isolé, donc tel que dG (x) = 0. L’image de dG est donc incluse dans {1, . . . , n − 1} ou dans {0, · · · , n − 2}. Le cardinal de l’image de dG est donc strictement inférieur au cardinal de sa source. Donc dG n’est pas une injection. 3.1.1.2

Topologie et connexité

Soit G = (X, E) un graphe. Une sous-partie (X 0 , E 0 ) de G est dite ouverte si et seulement si x ∈ X 0 =⇒ ∀(x, y) ∈ E, (x, y) ∈ E 0 . Autrement dit, la sous-partie (X, E 0 ) est ouverte lorsque tout arête incidente à un sommet de x0 ∈ X 0 est dans E 0 . Notons que la sous-partie (∅, ∅) et la sous-partie G sont ouvertes. Notons également que si H ⊂ G est un sous-graphe et si U est une sous-partie ouverte de G, alors U ∩ H est une sous-partie ouverte de H. Lemme 3.1.1.4. Soit P1 = (X1 , E1 ) et P2 = (X2 , E2 ) deux sous-parties ouvertes de G. Alors P1 ∩ P2 et P1 ∪ P2 sont ouvertes. Démonstration. Soit en effet x ∈ X1 ∪ X2 . Alors il existe i ∈ {1, 2} tel que x appartienne à Xi . La sous-partie Xi étant ouverte, toute arête incidente à x dans G est dans Ei donc dans E1 ∩ E2 . Soit maintenant x ∈ X1 ∪ X2 . Les sous-parties P1 , P2 étant ouvertes, toute arête incidente à x dans G est dans E1 et dans E2 , donc dans E1 ∩ E2 . L’ensemble des sous-parties de G étant un ensemble fini, une union arbitraire de sousparties de G s’écrit comme une suite d’unions de la forme P1 ∪ P2 et le lemme précédent montre donc que l’ensemble des sous-parties ouvertes de G contient ∅ et G, est stable par intersection finie et par union arbitraire. Cet ensemble munit donc G d’une topologie. Une sous-partie P = (X 0 , E 0 ) est fermée si et seulement si son complémentaire (X − X 0 , E − E 0 ) est ouverte. Concrètement, une sous-partie P est fermée si et seulement si (x, y) ∈ E 0 =⇒ x ∈ X 0 , y ∈ X 0 . Comme dans le cas des sous-parties ouvertes, notons que si H ⊂ G est un sous-graphe et si U est une sous-partie fermée dans G, alors U ∩ H est une sous-partie fermée de H. Remarquons aussi qu’une sous-partie fermée est nécessairement un sous-graphe. Définition 3.1.1.5. Une composante connexe d’un graphe G est une sous-partie non-vide, ouverte, fermée et minimale pour ces propriétés. 67

Notons qu’un graphe admet nécessairement au moins une composante connexe car G tout entier est une sous-partie non-vide, ouverte et fermée et qu’une composante connexe est un sous-graphe. Lemme 3.1.1.6. Deux composantes connexes sont disjointes ou égales. En particulier, chaque sommet de G appartient à exactement une composante connexe et les composantes connexes forment une partition de G. Démonstration. Soit C et C 0 deux composantes connexes et C = C1 ∩ C2 leur intersection. Supposons que C soit non-vide. Alors C est une sous-partie non-vide, ouverte et fermée incluse dans Ci pour i ∈ {1, 2} donc est égale à Ci par minimalité. Donc C1 = C2 = C. Si x ∈ X est un sommet d’un graphe G, on note Cx l’unique composante connexe de G contenant x. C’est aussi la sous-partie contenant x, ouverte, fermée et minimale pour ces propriétés. En particulier, soit x un sommet de G. Alors les arêtes incidentes à x sont dans toutes les parties ouvertes contenant x donc les voisins de x sont dans toutes les parties ouvertes et fermées de x et Cx contient donc NG (x). De manière équivalente, deux sommets adjacents appartiennent toujours à la même composante connexe. Si H ⊂ G est un sousgraphe, si x est un sommet de H et si U est une partie ouverte et fermée de G contenant x, alors U ∩ H est une sous-partie de H ouverte et fermée contenant x. Donc la composante connexe Cx (H) de x dans H est incluse dans la composante connexe Cx (G) de x dans G. Définition 3.1.1.7. On dit qu’un graphe est connexe s’il n’admet qu’une seule composante connexe (nécessairement égale au graphe tout entier). Par exemple, le somme isolé ({x}, ∅) est connexe (à part le graphe entier, sa seule souspartie est vide, donc le graphe entier est l’unique composante connexe). Par minimalité, une composante connexe est un graphe connexe. Soit P une propriété sur les sommets et les arêtes d’un graphe G = (X, E), au sens où les valeurs de vérité de P(x) et de P(e) sont bien définies pour tout x ∈ X et pour tout e ∈ E. On dit que P est ouverte si ∀x ∈ X, P(x) =⇒ ∀(x, y) ∈ E, P((x, y)). On dit que P est fermée si ∀(x, y) ∈ E, P((x, y)) =⇒ P(x) et P(y). Enfin, on dit que P est expansive si P est ouverte et fermée. Si P est une propriété sur les sommets d’un graphe G, on dit que P est expansive lorsque la propriété P 0 sur les sommets et les arêtes de G définie par ( P(u) si u ∈ X P 0 (u) = P(x) si u = (x, y) ∈ E est expansive. De manière équivalente, une propriété P sur les sommets d’un graphe G = (X, E) est expansive si ∀x ∈ X, P(x) =⇒ ∀y ∈ NG (x), P(y) ou encore si la propriété P 0 obtenu à partir de P en décrétant que P 0 est ouverte est également fermée. 68

Lemme 3.1.1.8. Soit P une propriété sur les sommets de G et soit P l’ensemble des x ∈ X tels que P(x) soit vraie. On suppose P non-vide. Les assertions suivantes sont alors équivalentes. 1. La propriété P est expansive. 2. L’ensemble P est une sous-partie ouverte et fermée de G. 3. L’ensemble P est une union disjointe de composantes connexes. En particulier, si x ∈ P alors Cx ⊂ P 4. ∀x ∈ X, P(x) =⇒ ∀y ∈ Cx , P(y). En particulier, la propriété d’appartenir à une composante connexe est expansive. Démonstration. Supposons P expansive. Alors x ∈ P donc P est non-vide. Soit x ∈ P et (x, y) ∈ E. Alors P((x, y)) est vraie car P est ouverte par hypothèse donc (x, y) ∈ P . Donc P est une sous-partie ouverte. Soit (x, y) ∈ P . Alors P(x) et P(y) sont vraies car P est fermée par hypothèse donc x ∈ P . Donc P est une sous-partie fermée. Donc P contient x et est ouverte et fermée. Supposons que P soit une sous-partie ouverte et fermée. Alors P contient la composante connexe de x ∈ P par minimalité. Donc P est une union (nécessairement disjointe) de composantes connexes. Supposons que P soit une union de composantes connexes. De l’inclusion ∀x ∈ X, NG (x) ⊂ Cx il découle ∀x ∈ X, P(x) =⇒ ∀y ∈ NG (x), P(y). Donc P est expansive. En particulier, l’ensemble P correspondant à la propriété “appartenir à une composante connexe” est une union de composante connexe donc est expansive. 3.1.1.3

Chemin et connexité

Soit k ≥ 1 un entier. Un chemin P de longueur k − 1 d’un graphe G est un sous-graphe (X, E) tel que X = {x1 , · · · , xk } avec xi 6= xj et E = {(xi , xi+1 )|1 ≤ i ≤ k − 1}. Un chemin P est déterminé uniquement par X(P ) muni de l’ordre donné par l’indexation, si bien que l’on se permettra donc de parler du chemin X. Deux chemins P1 = X et P2 = Y sont dits intérieur-disjoints si X ∩Y = (x1 , xk ) = (y1 , yk0 ). Si deux chemins P1 = X et P2 = Y ont les mêmes extrémités x et y, il existe un dernier sommet xi = yi tel que xj = yj pour j ≤ i. Si xi = y, les chemins P1 et P2 sont confondus. Si xi 6= y, il existe un premier sommet xj = y` avec i < j (et i < `). Il existe alors dans P1 et P2 deux sous-chemins intérieur-disjoints. Un parcours de longueur n − 1 est un ensemble {x1 , · · · , xn } avec (xi , xi+1 ) ∈ E pour tout i. Un parcours est un circuit si x1 = xn . Lemme 3.1.1.9. Une chemin est un graphe connexe. Démonstration. Le chemin de longueur 0 est le somme isolé ◦ dont nous avons déjà observé qu’il est connexe. Supposons maintenant que n ≥ 0 et que tous les chemins de longueur 69

au plus n soit connexe. Soit alors P = (x1 , · · · , xn+2 ) une chemin de longueur n + 1 et considérons la propriété P “appartenir à la composante connexe de x1 ”, qui est expansive d’après le lemme 3.1.1.8. Soit H ⊂ P le chemin (x1 , · · · , xn+1 ) de longueur n. D’après l’hypothèse de récurrence, il est connexe donc P(xi ) est vraie pour tout 1 ≤ i ≤ n + 1. Le sommet xn+2 est voisin de xn+1 donc P(xn+2 ) est vraie. Les chemins admettent une définition en terme de connexité et en terme de l’image de dG . Lemme 3.1.1.10. Les chemins sont les graphes connexes dont l’image de dG est {0} ou bien de la forme {1, 1} ∪ {2}n pour n ∈ N. Démonstration. Un chemin P est un sommet isolé ou bien un graphe connexe ayant exactement deux sommets de degré 1 et tous les autres sommets de degré 2. Réciproquement, si G est un graphe ayant exactement deux sommets de degré 1 et tous les autres sommets de degré 2, soit P = (x1 , · · · , xn ) un chemin maximal contenu dans P . Les sommets internes de P sont de degré 2 dans P et de degré 2 dans G donc leurs voisins dans G sont sur P . Tous les voisins dans G de xn et x1 sont sur P par maximalité. Tous les voisins dans G des sommets de P sont donc dans P . La propriété d’être dans P est donc expansive. Le graphe G étant connexe, il est donc égal à P . Soit x un sommet d’un graphe G = (X, E). Soit C x l’union des sommets de tous les chemins de G contenant x. Remarquons que si u ∈ X est un sommet de C x alors il existe un chemin P = (x1 , · · · , xi , · · · , xj , · · · , xn ) avec xi = x et xj = v donc P 0 = (xi , · · · , xj ) est un chemin d’extrémités x et u. L’ensemble C x est donc aussi l’union des sommets dont l’extrémité est x. Le proposition suivante est souvent prise comme définition de la connexité. Proposition 3.1.1.11. Les ensembles Cx et C x sont égaux. En particulier, G est connexe si et seulement si pour tout (x, y) ∈ X 2 , il existe un chemin dont les extrémités sont x et y. Démonstration. Soit u ∈ C x et soit v un voisin de u. Il existe alors un chemin P = (x, · · · , u) contenant x et u. Si v ∈ P , alors v ∈ C x . Sinon, Q = (x, · · · , v) est un chemin contenant x et v et donc v ∈ C x . Donc la propriété “appartenir à C x ” est expansive et Cx ⊂ C x d’après le lemme 3.1.1.8. Soit réciproquement u ∈ C x . Alors il existe un chemin P = (x, · · · , u). Donc u appartient à la composante connexe de x dans P , qui est incluse dans la composante connexe de x dans G. Donc C x ⊂ Cx . Un graphe est donc connexe si et seulement si pour tout (x, y) ∈ X 2 , y ∈ Cx . Corollaire 3.1.1.12. Soit G = (X, E) un graphe connexe et soit e = (x, y) ∈ E une arête. Alors G − {e} est connexe ou a exactement deux composantes connexes : celle de x et celle de y. Démonstration. Soit u ∈ X un sommet que l’on peut supposer ne pas appartenir à la composante connexe de x dans G − {e} (sans quoi G − {e} a une unique composante connexe). Le graphe G est connexe donc u appartient à Cx ⊂ G donc il existe un chemin P = (x, x2 , · · · , xn−1 , u) dans G d’après la proposition 3.1.1.11. Ce chemin n’est pas un chemin de G − {e} donc e est une arête de P . Donc x2 = y. Donc u appartient à la composante de y dans G − {e}. 70

D’après la proposition 3.1.1.11, un graphe G = (X, E) est connexe si et seulement si l’ensemble des chemins d’extrémité x et y est non-vide pour tout (x, y) ∈ X 2 . Soit plus généralement G = (X, E) un graphe et soit (x, y) ∈ X 2 . Alors x et y appartiennent à la même composante connexe de G si et seulement si l’ensemble des longueurs des chemins d’extrémité x et y est non-vide, donc si et seulement si le minimum de cet ensemble est un entier. On note dG (x, y) et on appelle distance de x à y le minimum de l’ensemble des longueurs des chemins d’extrémité x et y (avec la convention que le minimum d’un ensemble d’entiers vide est ∞). Le graphe G est donc connexe si et seulement si dG (x, y) est fini pour tout (x, y) ∈ X 2 . Lemme 3.1.1.13. Soit X un ensemble fini non vide, soit G l’ensemble des graphes dont l’ensemble des sommets est X et soit C le sous-ensemble des graphes de G qui sont connexes. Alors |C| ≥ |G|/2 avec égalité si et seulement si |X| ∈ {2, 3}. Démonstration. Soit G ∈ G un graphe qui n’est pas connexe et soit x et y deux sommets de ¯ Si x = y, alors d ¯ (x, y) = 0. Maintenant G. Calculons la distance dG¯ (x, y) de x à y dans G. G on suppose que x 6= y et donc que dG¯ (x, y) > 0. Si x 6∼G y, alors x ∼G¯ y donc dG¯ (x, y) = 1. Supposons enfin que x ∼G y. Dans ce cas dG¯ (x, y) > 1. Le graphe G a au moins deux composantes connexes distinctes et x et y sont dans la même composante connexe donc il existe un sommet z de G qui n’appartient pas à la composante connexe de G contenant x. Alors z ∼G¯ x et z ∼G¯ y donc dG¯ (x, y) = 2. ¯ envoie donc un graphe non connexe sur un graphe tel que L’application ¯· : G 7→ G max{dG (x, y)} ≤ 2, en particulier sur un graphe connexe. L’application ¯· étant sa propre inverse, elle est bijective et donc injective. Elle induit donc une injection de l’ensemble des graphes non connexes dans l’ensemble des graphes tels que max{dG (x, y)} ≤ 2, qui est un sous-ensemble de l’ensemble des graphes connexes. Si X est de cardinal au moins 4, il existe un graphe connexe tel que max{dG (x, y)} = 3, à savoir le chemin (x1 , · · · , x4 ), donc l’ensemble des graphes tels que max{dG (x, y)} ≤ 2 est un sous-ensemble strict de C. Si X = {x}, le seul graphe de G est dans C. En revanche, il y a exactement 1 graphe connexe à deux sommets (l’arête (x, y)) parmi les deux graphes à deux sommets et exactement 4 graphes connexes à trois sommets, à savoir les trois chemins (xσ(i) )1≤i≤3 pour σ ∈ S3 et le graphe complet K3 , parmi les 8 graphes à 3 sommets.

3.1.2 3.1.2.1

Cycles, arbres Cycles

Un graphe C = (X, E) est un cycle si X = (x1 , · · · , xn ) est de cardinal au moins 3 et si pour tout e ∈ E, le graphe (X, E − {e}) est un chemin. La longueur d’un cycle est son cardinal. Si C est un cycle et (x, y) ∈ X o X, le parcours de C de x à y dans un sens ou l’autre réalise C comme l’union de deux chemins intérieur-disjoints d’extrémités x et y. Un cycle est donc connexe. Réciproquement, l’union de deux chemins intérieur-disjoints est un cycle. Proposition 3.1.2.1. Un graphe G tel que δG ≥ 2 contient un cycle. Un graphe est une union disjointe de cycles si et seulement s’il est 2-régulier. Démonstration. Soit G un graphe tel que δG ≥ 2. Ce graphe contient un cycle si et seulement si l’une de ses composantes connexes en contient un ; nous supposons donc G connexe sans perte de généralité. Soit P = (X, E) un chemin de G maximal pour la propriété d’être un chemin. Le dernier sommet xk de P est de degré au moins 2 donc a au moins 71

un voisin u qui ne soit pas xk−1 . Le sous-graphe (X ∪ {u}, E ∪ {(xk , u)}) de G contient P , donc n’est pas un chemin par maximalité de P . Donc u ∈ X et u s’écrit u = xi . Comme u 6= xk−1 , le voisinage de xi contient l’ensemble {xi+1 , xk } de cardinal 2. Le graphe ({xj |i ≤ j ≤ k}, {(xj , xj+1 )|i ≤ j ≤ k} ∪ {(xk , xi )}) est un cycle. Une union disjointe de cycles est un graphe 2-régulier. Soit G un graphe 2-régulier et H une de ses composantes connexes. D’après la première partie de la preuve, H contient un cycle C = (X, E). Soit v un sommet de C. Le sommet v a deux voisins dans C et dans G donc NG (v) = NC (v) ⊂ X. Les deux voisins de v dans G sont donc dans C. La propriété P “appartenir à C” est donc expansive. D’après le lemme 3.1.1.8, P est donc vraie pour H. Donc H = C. Un graphe dont aucun des sous-graphes ne contient de cycle est dit acyclique. 3.1.2.2

Dendrologie

On appelle un graphe acyclique une forêt. Une composante connexe d’une forêt, donc un arbre connexe et acyclique, s’appelle un arbre. Si T est un arbre, le degré minimal δT de T est strictement inférieur à 2 par la contraposée de la proposition 3.1.2.1. Donc T a des sommets de degré 0 ou 1, et s’il a un sommet de degré 0, alors il est égal à ce sommet. Les sommets de degré 0 ou 1 d’un arbre sont appelés les feuilles de cet arbre. Un arbre a donc des feuilles. Les sommets qui ne sont pas des feuilles sont appelés des sommets intérieurs. Proposition 3.1.2.2. Soit T = (X, E) un graphe. Les assertions suivantes sont équivalentes. 1. Le graphe T est un arbre. 2. Le graphe T est acyclique et T ∪ {(x, y)} contient un cycle pour tout (x, y) ∈ / E. 3. Il existe un unique chemin P de x à y pour tout (x, y) ∈ X × X. 4. Le graphe T est connexe et T − {e} n’est pas connexe pour tout e ∈ E. Démonstration. Supposons (1). Alors T est acyclique. Soit (x, y) ∈ / E avec x 6= y. Soit P un chemin de x à y dans T . Le graphe P ∪ (x, y) est un cycle. Donc (2) est vraie. Supposons (2) et soit (x, y) ∈ X oX. Le graphe T est acyclique donc contient au plus un chemin entre x et y. Si x = y, il y a un unique chemin de x à y dans T . Si x 6= y, T ∪ {(x, y)} contient un cycle C. Le graphe T est acyclique donc C contient l’arête (x, y). Le sous-graphe C − {(x, y)} est alors un chemin de x à y dans T . Donc (3) est vraie. Supposons (3) et soit e = (u, v) ∈ E. Alors e est l’unique chemin de u à v. Donc T − {e} n’est pas connexe. Donc (4) est vraie. Enfin, supposons (4). Soit (x, y) deux sommets adjacents. Le graphe T − (x, y) n’est pas connexe donc il n’existe pas de chemin de x à y ne contenant pas (x, y). Donc x, y ne sont sur aucun cycle. Un graphe contient un cycle seulement s’il a deux sommets adjacents sur un cycle donc T est acyclique. Donc (1) est vraie. Corollaire 3.1.2.3. Soit G = (X, E) un graphe connexe et S un ensemble d’arêtes acyclique. Alors G admet un sous-arbre couvrant contenant l’ensemble S. De plus |X|−1 ≤ |E| avec égalité si et seulement si G est un arbre. Démonstration. Soit U l’ensemble des sous-graphes couvrants connexes de G contenant S. Alors G ∈ U donc U est non-vide. Donc il contient un élément minimal T pour la relation 72

d’être un sous-graphe. Si e ∈ E(T ), alors T − {e} n’est pas connexe par minimalité de T donc T est un arbre d’après la proposition 3.1.2.2. Supposons maintenant que l’ensemble V des graphes connexes vérifiant |X|−1 > |E| soit non-vide et soit G = (X, E) un graphe minimal de cet ensemble. Alors G admet un arbre couvrant T qui appartient donc nécessairement également à V . Par minimalité, G = T et G est donc un arbre. Le sommet isolé n’appartient pas à V donc G 6= ◦. Soit u une feuille de G. Le graphe G n’étant pas le sommet isolé, le sous-graphe G − {u} de G existe. Ce graphe est connexe et vérifie |X| > |E| − 1, en contradiction avec la minimalité de G. Donc V est vide. Enfin, si G est connexe et vérifie |X| = |E| − 1, alors G est le sommet isolé, donc est un arbre, ou bien G − {e} vérifie |X| > |E| − 1 pour tout e ∈ E donc G − {e} n’est pas connexe, auquel cas G est un arbre d’après la proposition 3.1.2.2. Réciproquement, supposons qu’il existe un arbre vérifiant |X| − 1 < |E| et soit T un tel arbre minimal pour cette propriété. Alors T n’est pas un sommet isolé donc T admet une feuille x de degré 1. Soit y l’unique voisin de x. Le graphe T est acyclique donc il en est de même pour T − {x}. Le graphe T − {(x, y)} a exactement deux composantes connexes qui sont donc nécessairement celle formée du sommet isolé x et T − {x}. Donc T − {x} est connexe. Donc T − {x} est un arbre vérifiant |X| − 1 < |E|. C’est absurde. Donc les arbres vérifient |X| − 1 = |E|. On dit que l’on taille un graphe lorsque l’on considère le sous-graphe induit par les sommets de degré au moins 2. La taille de G est en général une sous-partie (qui peut être vide) de G. Lorsque c’est un graphe, on la note t(G). On appelle hauteur de taille d’un sommet x le plus grand entier tel que x ∈ tn (G). En particulier, la hauteur de taille de x dans t(G) est égale à la hauteur de taille de x dans G moins 1. Lemme 3.1.2.4. Soit T un arbre. 1. Le graphe t(T ) est un arbre. Plus généralement, l’ensemble des sommets de hauteur de taille au moins h est un arbre. 2. L’ensemble des sommets de hauteur de taille maximale de T est un sommet x ou une arête (x, y). Démonstration. 1. Soit T privé de ses feuilles est vide, soit il existe des sommets internes x, y dans T . Tous les sommets d’un chemin P de x à y dans T sont de degré 2 dans P , donc de degré au moins 2 dans T . Ce ne sont donc pas des feuilles de T . Donc P est un chemin de x à y dans t(T ). Donc t(T ) est connexe. C’est un sous-graphe de T , donc il est acyclique. Donc t(T ) est un arbre, et par récurrence tn (T ) est un arbre pour tout n ∈ N tel que tn (T ) soit défini. 2. Si h est la profondeur de taille maximale de T , alors th+1 (T ) est vide, donc th (T ) n’a que des feuilles. C’est donc un sommet isolé ou une arête. Par analogie avec le reste de la terminologie forestière, l’ensemble des sommets de hauteur de taille maximale pourrait être appelé le tronc d’un arbre.

3.1.3

Induction structurelle

L’induction structurelle est une méthode de construction de certaines classes de graphes, ou plus généralement d’objets mathématiques, à partir d’objets initiaux et d’opérations de construction. Plus précisément, la classe C est définie par induction structurelle s’il existe 73

1. Un ensemble X ⊂ C d’objets initiaux. 2. Un ensemble F d’opérations telles que pour tout f ∈ F , il existe un entier n tel que f soit une fonction de C n dans C. vérifiant la propriété suivante : la relation < définie par C < C 0 s’il existe f : C n −→ C ∈ F et (Ci )1≤i≤n contenant C tels que f (C1 , · · · , Cn ) = C 0 soit telle que tout sous-ensemble non-vide de C admette un élément minimal pour |E 0 | donc n’est pas connexe. Donc T est un arbre d’après la proposition 3.1.2.2. 75

3.1.4 3.1.4.1

Quelques propriétés élémentaires des graphes Liste graphique

On dit qu’une liste d’entiers (d1 , · · · , dn ) ∈ Nn vérifiant d1 ≥ d2 ≥ · · · ≥ dn est graphique s’il existe un graphe G = (X, E) tel que (d1 , · · · , dn ) = (dG (x))x∈X . Il résulte immédiatement de la définition qu’une liste décroissante (d1 , · · · , dn ) ∈ Nn ne peut être graphique que si d1 ≤ n − 1 (et donc di ≤ n − 1 pour tout 1 ≤ i ≤ n). Nous avons déjà également vu que si (d1 , · · · , dn ) ∈ Nn est une suite graphique, alors il existe i 6= j tels que di = dj et n X di ≡ 0 mod 2. i=1

Ces conditions nécessaires sont toutefois loin d’être suffisantes. Par exemple, la liste (3, 3, 3, 1) les vérifie effectivement toutes mais n’est pas une liste graphique (si un graphe ayant quatre sommets a trois sommets de degré 3, alors il s’agit du graphe complet K4 et son dernier sommet est donc aussi de degré 3). La proposition suivante permet de reconnaître rapidement si une liste est graphique. Proposition 3.1.4.1. [Théorème de Havel-Hakimi] Une liste (d1 , · · · , dn ) ∈ Nn décroissante est graphique si et seulement si la liste (d2 − 1, · · · , dd1 +1 − 1, dd1 +2 , · · · , dn ) ∈ Nn−1 rangée en ordre décroissant est graphique.

Démonstration. Si la liste (d2 − 1, · · · , dd1 +1 − 1, dd1 +2 , · · · , dn ) ∈ Nn−1 rangée en ordre décroissant est graphique, il existe un graphe G = (X, E) dont c’est la liste des degrés. Le graphe G0 construit en ajoutant à G un sommet x relié à tous les autres a alors (d1 , · · · , dn ) ∈ Nn comme liste des degrés et cette liste est donc graphique. Montrons maintenant la réciproque et supposons donc que (d1 , · · · , dn ) ∈ Nn est une liste graphique, soit encore qu’il existe G = (X, E) dont la liste (d1 , · · · , dn ) ∈ Nn est la liste des degrés. Si X = {x1 , · · · , xn } avec dG (xi ) ≥ dG (xj ) lorsque i ≤ j et si NG (x1 ) = {x2 , · · · , xd1 +1 }, alors G − {x1 } est un graphe de liste des degrés (d2 − 1, · · · , dd1 +1 − 1, dd1 +2 , · · · , dn ) ∈ Nn−1 et cette liste est donc graphique. Il suffit donc pour conclure de montrer qu’il existe un G dont la liste des degrés est (d1 , · · · , dn ) ∈ Nn et vérifiant cette condition. Soit G = (X, E) un graphe avec X = {x1 , · · · , xn }, dont la liste des degrés est (d1 , · · · , dn ) ∈ Nn et tel que le nombre de voisins de x1 dans {x2 , · · · , xd1 +1 } soit maximal. Il suffit alors de montrer que NG (x1 ) = {x2 , · · · , xd1 +1 }. Supposons que cela ne soit pas le cas. Alors il existe 2 ≤ i ≤ d1 + 1 tel que x1 6∼G xi et x1 a un voisin xj avec j > d1 + 1. Supposons tout d’abord que di = dj . Dans ce cas, échanger xi et xj accroit strictement le cardinal de NG (x1 ) ∪ {x2 , · · · , xd1 +1 }, ce qui est absurde. On peut donc supposer que dj est strictement inférieur à di et donc que xi a un voisin y qui n’est pas un voisin de xj . Soit G0 le graphe (X, E 0 ) où E 0 est définie de la manière suivante : toutes les arêtes de E sont des arêtes de E 0 à l’exception de (x, xj ) et de (xi , y) mais en revanche (x, xi ) est une arête de E 0 et il en est de même pour (xj , y) (autrement dit, par rapport à G on a supprimé et ajouté une arête à xi , xj et x1 ). Le graphe G0 a la même liste des degrés que le graphe G et le cardinal de le cardinal de NG0 (x1 ) ∪ {x2 , · · · , xd1 +1 } est strictement supérieur à celui de NG (x1 ) ∪ {x2 , · · · , xd1 +1 }, ce qui est absurde. Donc il existe G dont la liste des degrés est (d1 , · · · , dn ) ∈ Nn et tel que le voisinage de x1 soit {x2 , · · · , xd1 +1 }. La liste (d2 − 1, · · · , dd1 +1 − 1, dd1 +2 , · · · , dn ) ∈ Nn−1 est donc graphique. 76

3.1.4.2

Graphes ayant exactement deux sommets de même degré

Soit G≥2 l’ensemble des graphes ayant au moins 2 sommets. Nous avons vu dans le lemme 3.1.1.3 que la fonction dG : X −→ N n’est jamais injective lorsque G est un graphe de G≥2 . On dit que G ∈ G≥2 a un nombre minimal de coïncidences pour le degré s’il existe exactement deux sommets distincts x, y tels que dG (x) = dG (y). Il existe des graphes ayant un nombre minimal de coïncidences pour le degré. C’est en effet le cas de la paire de sommets isolés et de l’arête isolée. Remarquons également que si |G| = n ≥ 2, si G est connexe (donc dG ne prend pas la valeur 0) et si G a un nombre minimal de coïncidences pour le degré, alors il existe un ensemble X 0 de n − 1 sommets tels que dG |X 0 prenne n − 1 valeurs distinctes dans {1, · · · , n − 1} et soit donc une bijection. Fixons X 0 et notons y l’unique sommet de X − X 0 Pour tout entier de {1, · · · , n − 1}, il existe donc un

3.2

Bestiaire

trois dimensions douze apôtres mille et une nuits trente-deux positions six parties du monde cinq points cardinaux dix ans de bons et loyaux services sept péchés capitaux deux doigts de la main dix gouttes avant chaque repas trente jours de prison dont quinze de cellule cinq minutes d’entr’acte et... plusieurs ratons laveurs. (Jacques Prévert).

3.2.1

Graphes de Cayley

Graphes complets, isolés Le graphe complet Kn est le graphe ({1, · · · , n}, X o X). ¯ n de Kn , donc l’union de n sommets isolés. Le Le graphe isolé In est le complémentaire K graphe complet est tel que dG (x, y) ≤ 1 pour toute paire de sommets (x, y). Il est donc connexe. Le graphe isolé In a n composantes connexes. Le graphe complet biparti Kn,m est le graphe ({1, · · · , n} ∪ {1, · · · , m}, {(ni , mj )|1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}). Graphes circulants Soit n ∈ N un entier strictement positif et S ⊂ Z/nZ. Un graphe G est un graphe circulant de type (n, S) si et seulement G = (X, E) avec X = Z/nZ et E = {(x, y) ∈ X o X|x − y ∈ S}. Par définition d’un graphe, il n’y a pas de perte de généralité à supposer que 0 ∈ / S et que −x ∈ S si et seulement si x ∈ S. C’est ce que nous ferons à partir de maintenant sans plus de commentaire. Le graphe complet Kn est un graphe circulant de type (n, Z/nZ − {0}). Le graphe isolé In est un graphe circulant de type (n, ∅). Pour n ≥ 3, le cycle Cn est le graphe circulant (n, {−1, +1}). Le graphe complet biparti Kn,n est le graphe circulant (2n, {2s+1}0≤s≤n−1 ) ; en revanche, les graphes complets bipartis Kn,m avec n 6= m ne sont pas des graphes circulants. Dans un graphe circulant (n, S), le voisinage de x ∈ Z/nZ est l’ensemble x + S donc est de cardinal |S|. Les graphes circulants sont donc réguliers. En particulier, les seuls chemins et le seuls arbres qui sont des graphes circulants sont le sommet isolé et l’arête isolée. Lemme 3.2.1.1. Un graphe circulant G de type (n, S) est connexe si et seulement si S engendre Z/nZ si et seulement si les éléments de S sont premiers à n dans leur ensemble (c’est-à-dire si n et le plus grand diviseur commun des éléments de S sont premiers entre eux). Démonstration. Soit G = (X, E) un graphe circulant. La distance du sommet 0 ∈ X au 77

sommet x ∈ X est finie si et seulement s’il existe un chemin (0, x2 · · · , xk−1 , x) dans G donc si et seulement si x ∼G xk−1 , xk)1 ∼G xk−2 , · · · , x1 ∼G 0. Par définition de la relation d’adjacence, il s’en suit qu’il existe (s1 , · · · , sk−1 ) ∈ S k−1 tel que x − xk−1 = sk−1 , · · · , x2 = s1 . Donc x s’écrit s =

k−1 P

si donc appartient au sous-groupe de G engendré par S. Le graphe

i=1

G est donc connexe si et seulement si le sous-groupe engendré par S est égal à Z/nZ. Un sous-ensemble engendre Z/nZ en tant que groupe si et seulement si n et le plus grand diviseur commun de ses éléments sont premiers entre eux. Si G est un graphe circulant de type (n, S), alors il isolé, ou bien est 1-régulier, donc est une union d’arêtes isolées, ou bien est 2-régulier, donc est une union disjointe de cycles, ou bien est k-régulier avec k ≥ 3. Dans ce dernier cas S est de cardinal au moins 3 et il existe donc deux éléments s1 et s2 de S tels que s1 + s2 6= 0. Si x est un sommet de G, les sommets x, x + s1 , x + s2 , x + s1 + s2 sont alors tous distincts et forment un 4-cycle. Un graphe circulant connexe est donc facile à comprendre (un sommet isolé, une arête isolée ou un cycle) ou alors est tel que tout sommet appartient à un 4-cycle. Notons qu’au nom des sommets près, un graphe G peut être un graphe circulant de type (n, S) et de type (n, S 0 ) pour S 6= S 0 . Par exemple, le 5-cycle est un graphe circulant de type (5, {−1, 1}) et de type {5, {−2, 2}}. Graphes de Cayley Soit Γ un groupe fini et S un sous-ensemble de Γ. Un graphe G = (X, E) est un graphe de Cayley de type (Γ, S) si et seulement si X = Γ et E = {(x, y)|xy −1 ∈ S}. Par définition d’un graphe, il n’y a pas perte de généralité à supposer que s ∈ S implique que s−1 ∈ S et que le neutre e de Γ n’appartient pas à Γ. Nous faisons cette supposition à partir de maintenant sans plus de commentaire. Notons que dans ce cas x ∼G y ≡ xy −1 = s ∈ S ≡ (xy −1 )−1 = s−1 ∈ S ≡ yx−1 ∈ S ≡ y ∼G x−1 et donc que la relation d’adjacence est bien définie. Les graphes circulants de type (n, S) sont des graphes de Cayley de type (Z/nZ, S). En particulier, les graphes complets, les graphes isolés, les cycles et les graphes complets bipartis Kn,n sont des graphes de Cayley. Si G = (X, E) est un graphe de Cayley de type (Γ, S) et si x ∈ X est un sommet, alors NG (x) = {sx|s ∈ S} donc est de cardinal |S|. En particulier, les graphes de Cayley sont réguliers et les seuls arbres qui sont des graphes de Cayley sont le sommet isolé et l’arête isolée. Lemme 3.2.1.2. Un graphe de Cayley G de type (Γ, S) est connexe si et seulement si le sous-groupe engendré par S est Γ tout entier. Démonstration. La même preuve que celle du lemme 3.2.1.1 convient. Soit n ≥ 0 un entier. Le n-hypercube Qn est le graphe de Cayley de type ((Z/2Z)n , {w ∈ (Z/2Z)n |∃!i, wi = 1}) . 78

En particulier, Q0 est le sommet isolé, Q1 est le sommet isolé, Q2 est le 4-cycle et Q3 est le graphe formé de l’union de deux quatre cycles dont les sommets sont reliés deux à deux, donc est le graphe dont les sommets et les arêtes sont les sommets et les arêtes d’un cube au sens de la géométrie usuelle. Proposition 3.2.1.3. Si n ≥ 3, alors le n-hypercube n’est pas un graphe circulant. Démonstration. Remarquons que le 4-cycle est donc un graphe de Cayley de type (Z/4Z, {±1}) et un graphe de Cayley de type ((Z/2Z)2 , {(1, 0), (0, 1)}), ce qui montre qu’un graphe de Cayley connexe peut être un graphe de Cayley de types (Γ1 , S1 ) et (Γ2 , S2 ) avec Γ1 6' Γ2 (le cas non-connexe étant évident : le graphe isolé In est un graphe de Cayley de type (Γ, ∅) pour tout Γ de cardinal n).

3.2.2

Graphes bipartis

Un graphe (X, E) est dit biparti si et seulement s’il existe une partition de X en deux ` sous-ensembles disjoints X1 X2 tel que si (x, y) ∈ E, alors x ∈ Xi implique y ∈ X3−i . Par exemple, le chemin (x1 , · · · , xn ), le cycle C4 et le graphe complet biparti Km,n sont des graphes bipartis. Le n-hypercube Qn est biparti par la bipartition Xi = {w ∈ (Z/2n Z) ||{1 ≤ j ≤ n, wj = 1}| ≡ i mod 2} . En revanche, le cycle C5 et le graphe complet Kn pur n ≥ 3 ne sont pas des graphes bipartis. Soit G un graphe biparti et H un sous-graphe. Alors la bipartition de G induit une bipartition de H, qui est donc biparti. En particulier, les composantes connexes de G sont des graphes bipartis. Réciproquement, si toutes les composantes connexes de G sont des graphes bipartis, alors G est biparti. Il n’y a donc souvent pas de perte de généralité à supposer qu’un graphe est connexe lorsque l’on étudie la propriété d’être biparti. Lemme 3.2.2.1. Les forêts sont des graphes bipartis. A l’échange des classes de bipartition près, les arbres admettent une unique bipartition qui est construite en assignant à Xi mod 2 l’ensemble des sommets à distance i d’un sommet de profondeur de taille maximale. Les cycles bipartis sont les cycles pairs. Démonstration. Un graphe est biparti si et seulement si toutes ses composantes connexes le sont. Il suffit donc de démontrer que les arbres sont bipartis, qu’ils admettent une unique bipartition à l’échange des classes près et que cette bipartition est construite en assignant à Xi mod 2 l’ensemble des sommets à distance i d’un sommet de profondeur de taille maximale. Le sommet isolé x est biparti, n’admet essentiellement qu’une bipartition et cette bipartition est construite en assignant x à X1 ou X2 . Soit T 0 un arbre biparti dont l’unique bipartition à l’échange des classes près est donnée par la distance modulo 2 à un sommet de profondeur maximale. Soit T le graphe formé en reliant un sommet isolé x à un unique sommet y ∈ Xi (T 0 ). Le graphe T est alors un arbre d’après le lemme 3.1.3.2. Assigner x à la classe X3−i = X(i+1) mod 2 montre qu’assigner l’ensemble des sommets à distance i d’un sommet de profondeur maximale est une bipartition de T , et c’est également l’unique bipartition de T une fois fixée une bipartition de T 0 . Toute bipartition de T s’étend à T 0 donc la bipartition de T est essentiellement unique. Par induction structurelle, les arbres sont donc bipartis, n’admettent essentiellement qu’une seule bipartition et cette bipartition est donnée par la distance à un sommet de profondeur maximale. 79

Soit C un cycle, e une arête de C et Pe = (x1 , · · · , xn ) le chemin obtenu en supprimant e de G. Le graphe C est biparti si et seulement si l’unique bipartition de Pe s’étend à C donc si et seulement si x1 ∈ X1 entraîne xn ∈ X2 donc si et seulement si n est pair. Proposition 3.2.2.2. Un graphe est biparti si et seulement s’il ne contient pas de cycle impair. Démonstration. Soit G un graphe. Les deux propriétés de l’énoncé sont vraies pour G si et seulement si elles sont vraies pour toutes les composantes connexes de G. On peut donc sans perte de généralité supposer que G est connexe. Si G est biparti et si C est un sous-cycle de G, la bipartition de G induit une bipartition de C donc C est un cycle pair. Réciproquement, supposons que G n’ait pas de cycle impair. Soit alors T un arbre couvrant de G et e = (x, y) une arête de G. Si e est une arête de G qui n’est pas une arête de T , le graphe T ∪ e contient un cycle C = (x, · · · , y) ⊂ G qui est donc pair. Donc x et y ne sont pas dans la même classe de bipartition de T . La bipartition de T s’étend donc à T ∪ e et donc à G.

3.2.3

Graphe des arêtes

Soit G = (X, E) un graphe avec E 6= ∅. Le graphe des arêtes L(G) de E est le graphe (E, {(u, v) ∈ E o E|u ∩ v 6= ∅}). Lemme 3.2.3.1. Si G est connexe et contient une arête, L(G) est connexe. Démonstration. Soit x un sommet de G de degré non-nul et soit e = (x, y) une arête. Soit C la composante connexe de L(G) contenant e. Soit P la propriété “Toutes les arêtes de u sont des sommets de C”. Toutes les arêtes incidentes à x sont des voisins de e donc x vérifie P. Soit u un sommet vérifiant P et v un voisin de u. L’arête (u, v) appartient à C donc toute arête incidente à v appartient à C. La propriété P est donc expansive. Tout sommet de G vérifie donc P, donc L(G) n’a qu’une seule composante connexe.

3.2.4

3.3 3.3.1

Graphe des arêtes

Graphes élémentaires Chemins élémentaires, cycles élémentaires

Le chemin élémentaire Pn est le chemin {1, · · · , n}. Le cycle élémentaire Cn est le cycle {1, · · · , n}. La considération d’un chemin maximal ou d’un chemin induit maximal est souvent fort utile. Les graphes ayant des chemins ou des cycles couvrants sont étudiés dans la section 7.

3.4 3.4.1

Graphes moins élémentaires Graphes circulants

Un graphe G est dit circulant d’ordre n et de partie S ⊂ Z/nZ si et seulement G = (X, E) avec X = Z/nZ et E = {(x, y) ∈ X o X|x − y ∈ S}. Un graphe circulant est connexe si et seulement si S engendre Z/nZ, et donc si et seulement si les éléments de S sont premiers dans leur ensemble avec n. Lorsqu’un graphe 80

Figure 3.1 : Quelques graphes circulants circulant est connexe, il admet un cycle couvrant (cette assertion hautement non-triviale est démontrée dans la section 7). Par construction, un graphe circulant est |S|-régulier. Les graphes circulants sont donc de bons exemples de graphes réguliers non-complets.

3.4.2

Graphes de Cayley

Soit G un groupe fini et C ⊂ G. Un graphe H = (G, E(G, C)) est dit de Cayley pour G et C si et seulement E(G, C) = {(x, y) ∈ X(H) o X(H)|xy −1 ∈ C}. A nouveau, nous voyons qu’il n’y a pas de perte de généralité à supposer que eG ∈ / C et que x−1 ∈ C si et seulement si x ∈ C. Un graphe circulant est un graphe de Cayley pour G = Z/nZ.

81

Figure 3.2 : Les graphes circulants connexes ayant moins de 8 sommets

Figure 3.3 : Un graphe de Cayley

3.4.3

Graphes de Mycielski

Soit G = (X, E) un graphe avec X = {x1 , · · · , xn }. Soit M (G) = (X 0 , E 0 ) le graphe tel que : X 0 = {x1 , · · · , xn } ∪ {y1 , · · · , yn } ∪ {z} 82 E 0 = E ∪ {(yi , z)|∀ i ∈ {1, · · · , n}} ∪ {(xi , yj )|∀ (xi , xj ) ∈ E}

Si Kn n’est pas un sous-graphe de G, alors Kn n’est pas non plus un sous-graphe de M (G). Par exemple, les graphes K2 , M (K2 ), M (M (K2 ))... ne contiennent pas de triangles. Le graphe M (M (K2 )) s’appelle le graphe de Grötzsch.

Figure 3.4 : Le graphe de Grötzsch M (M (K2 ))

3.5 3.5.1

Bêtes curieuses et remarquables Graphes bipartis

83

3.5.2

Graphe de Petersen

Le graphe de Petersen P = L(K5 ) est le complémentaire du graphe des arêtes de K5 . En voici deux dessins possibles. Le lecteur observateur pourra aussi astucieusement remarquer qu’il orne la première page de ce bréviaire.

84

Chapitre 4

Isomorphismes Et qui n’est, chaque fois, ni tout à fait la même Ni tout à fait une autre. (Paul Verlaine)

4.1 4.1.1

Isomorphismes et groupe des automorphismes Généralités

Soit G = (X, E) et H = (X 0 , E 0 ) deux graphes. Soit Hom(X, X 0 ) l’ensemble des bijections de X vers X 0 . Lorsque |X| = 6 |X 0 |, cet ensemble est vide ; lorsque X = X 0 , cet ensemble s’identifie à Sn . Un élément σ ∈ Hom(X, X 0 ) est un isomorphisme de G vers H si et seulement si σ(x) ∼H σ(y) si et seulement si x ∼G y. On note Hom(G, H) l’ensemble des isomorphismes de G vers H et Aut(G) = Hom(G, G) l’ensemble des automorphismes de G. Lemme 4.1.1.1. L’ensemble Aut(G) est un groupe. Démonstration. C’est un sous-ensemble de Sn contenant l’identité, donc il suffit de vérifier que Aut(G) est stable par inverse et composition. On dit qu’une propriété est indépendante de la classe d’isomorphisme si elle est vraie pour un graphe G si et seulement si elle est vraie pour tout graphe H tel que Hom(G, H) soit non-vide. Lorsque l’on s’intéresse à une telle propriété, il n’y a donc pas de généralités à remplacer G par un graphe qui lui est isomorphe. L’annexe III contient quelques propriétés qui sont et ne sont pas indépendantes de la classe d’isomorphisme. Proposition 4.1.1.2. 1. L’image par σ ∈ Hom(G, H) d’un sous-graphe induit de G est un sous-graphe induit de H. La restriction de σ ∈ Aut(G) à un sous-graphe induit H est un élément de Hom(H, H 0 ). 2. Si σ ∈ Hom(G, H), dG (x) = dH (σ(x)). 3. L’image d’une composante connexe de G par σ ∈ Hom(G, H) est une composante connexe de H. 4. Si σ ∈ Hom(G, H), la distance entre x et y dans G est égale à la distance entre σ(x) et σ(y) dans H pour tout x, y ∈ X. 5. Si σ ∈ Hom(G, H), alors σ −1 ∈ Hom(H, G). 6. Le groupe Aut(G) est Sn si et seulement si G = Kn ou G = In . 85

¯ 7. Aut(G) = Aut(G) Démonstration. 1. Soit x, y ∈ G0 induit dans G. Soit H 0 le sous-graphe de H induit par les images des sommets de G0 . Alors x ∼G0 y si et seulement si x ∼G y si et seulement si σ(x) ∼H σ(y) si et seulement si σ(x) ∼H 0 σ(y). 2. Par définition d’un isomorphisme, y ∈ NG (x) si et seulement si σ(y) ∈ NH (σ(x)). 3. Soit x un sommet de G et P r la propriété “Le sommet σ(y) appartient à la composante connexe de H contenant σ(x)”. Alors x vérifie P r. Soit u un sommet de G vérifiant P r et v un voisin de u. Alors σ(u) est voisin de σ(v) donc v vérifie P r. Donc P r est expansive ; donc P r est vérifiée pour tout sommet de la composante connexe de x. L’image de la composante connexe de x est donc incluse dans la composante connexe de σ(x). En appliquant σ −1 , on voit que l’image de la composante connexe de x est la composante connexe de σ(x). 4. D’après l’assertion précédente, ces deux distances sont toutes les deux finies ou infinies. Dans le premier cas, le sous-graphe induit par un chemin de x à y est transformé par σ en un sous-graphe induit connexe qui est ou bien un sommet isolé ou bien dont tous les sommets sont de degré 2 sauf exactement 2. C’est donc un chemin de σ(x) à σ(y) d’après le lemme 3.1.1.10. Donc dH (σ(x), σ(y)) ≤ dG (x, y). En considérant σ −1 , on en déduit que dG (x, y) = dH (σ(x), σ(y)). 5. Soit (x, y) ∈ X 0 o X 0 . Alors : x ∼H y ⇔ σ(σ −1 (x)) ∼H σ(σ −1 (y)) ⇔ σ −1 (x) ∼G σ −1 (y) 6. Soit G un graphe tel que Aut(G) = Sn avec G 6= In . Soit x un sommet de G de degré strictement positif, soit y un voisin de x et soit z un troisième sommet. Il existe σ ∈ Aut(G) tel que σ(x) = x et σ(y) = z. Donc NG (x) = G − {x}. Il existe σ 0 ∈ Aut(G) tel que σ(x) = z donc NG (z) = G − {z}. Donc G = Kn . 7. Soit (x, y) ∈ X o X et σ ∈ Aut(G). Alors x ∼G y ⇔ σ(x) ∼G σ(y) donc x ∼G¯ y ⇔ ¯ On conclut en échangeant G et G. ¯ σ(x) ∼G¯ σ(y). Donc σ ∈ Aut(G).

4.1.2

Action de groupes

On dit qu’un groupe Γ agit sur un ensemble X s’il existe un morphisme de groupes de Γ vers SX . Autrement dit, Γ agit sur X s’il existe une application γ 7→ fγ ∈ X X telle que ∀ x ∈ X, ∀ (γ, γ 0 ) ∈ Γ2 , fγ 0 (fγ (x)) = fγ 0 γ (x), feΓ (x) = x. Dans un léger abus de notation, on note de la même façon γ et fγ . L’ensemble des γ(x) pour γ ∈ Γ s’appelle l’orbite de x et est noté O(x). Lorsque pour tout (x, y) ∈ X 2 , il existe γ ∈ Γ tel que γ(x) = y, on dit que Γ agit transitivement sur X ou que l’action de Γ sur X est transitive. L’action de Γ sur X est transitive si et seulement si l’orbite de tous les éléments est X tout entier si et seulement si l’orbite d’un élément est X tout entier. L’ensemble des γ ∈ Γ tels que γ(x) = x s’appelle le stabilisateur de x et est noté Stabx . 86

Lemme 4.1.2.1 (Lemme Orbite-Stabilisateur). Soit Γ un groupe avec une action sur un ensemble X de cardinal fini. Soit x ∈ X et y ∈ O(x). Alors |O(x)| =

|Γ| . |Staby |

Démonstration. Il suffit de montrer d’une part qu’il existe une surjection de Γ vers O(x) telle que la pré-image de tout élément de O(x) soit de cardinal Stabx et d’autre part que Stabx est de même cardinal que Staby . L’ensemble des éléments de X tels que γ(x) = x pour tout γ ∈ Γ est noté X Γ . Lorsque X Γ est ∅, on dit que Γ agit sans point fixe. Lorsque le morphisme de groupes de Γ dans SX est une injection, on dit que l’action de Γ est fidèle. Lorsqu’il existe x ∈ X tel que γ(x) = x seulement si γ = eΓ , on dit que l’action de Γ est simple. On dit que l’action de Γ est simplement transitive lorsqu’elle est transitive et simple. On dit que G = (X, E) est sommet-transitif si pour tout (x, y) ∈ X 2 , il existe σ ∈ Aut(G) tel que σ(x) = y. Un graphe sommet-transitif est régulier. Si Γ = Aut(G), on note X Γ l’ensemble des sommets de G fixés par tous les éléments de Γ et on note E Γ l’ensemble des arêtes de G fixées par tous les éléments de Γ.

4.2 4.2.1

Exemples Graphes complets, isolés

Nous avons déjà vu que Aut(G) = Sn .

4.2.2

Chemins élémentaires, cycles élémentaires

Le chemin élémentaire Pn a pour groupe d’automorphisme Z/2Z. Le groupe des automorphismes de Cn est (par définition) le groupe diédral D2n de cardinal 2n. Il contient un unique sous-groupe cyclique d’ordre n. Proposition 4.2.2.1. Le groupe diédral D2n est engendré par un élément τ d’ordre 2 et un élément σ d’ordre n. Ces deux éléments vérifient τ σ = σ −1 τ . Démonstration. Soit (i, j) = (i, i ± 1) un couple orienté d’éléments de Z/nZ. Il existe alors un automorphisme de Cn qui envoie (0, 1) sur (i, j). Réciproquement, si g fixe le couple orienté (0, 1), alors g est l’identité. L’ensemble des automorphismes de Cn est donc en bijection avec l’ensemble des couples orientés (i, i + 1) et (i, i − 1). Soit τ l’automorphisme qui envoie le sommet x sur −x et σ l’automorphisme qui envoie x sur x + 1. Il existe alors une bijection entre les couples orientés (i, j) = (i, i ± 1) et les couples τ  σ i .

4.2.3

Arbres

Proposition 4.2.3.1. Soit T = (X, E) un arbre de groupe d’automorphismes Γ. 1. La restriction de σ ∈ Aut(T ) à t(T ) est un automorphisme de t(T ). Les sommets de hauteurs de taille au moins h sont préservés par σ. 2. Ou bien X Γ 6= ∅ ou bien E Γ 6= ∅. 87

3. Si X Γ 6= ∅, alors le sous-graphe induit par X Γ est un arbre. Démonstration. 1. Soit σ ∈ Aut(T ). Alors σ préserve l’ensemble des feuilles de T donc également l’ensembles des sommets internes de T . La restriction à t(T ) induit donc un morphisme de groupes res de Aut(T ) vers Aut(t(T )), et donc vers Aut(tn (T )) pour tout n. 2. L’ensemble des éléments de hauteur de taille maximale est un singleton ou une arête. Cet ensemble est fixé par Aut(T ). 3. Supposons maintenant X Γ 6= ∅. Alors le sous-graphe induit par X Γ est acyclique. Soit x, y deux sommets de X Γ et σ ∈ Γ. Le chemin P de x à y est transformé par σ en un chemin de T de x à y, donc en P . Donc σ induit un automorphisme de P d’ordre au plus 2. Comme il fixe une extrémité, c’est l’identité. Donc P ⊂ X Γ .

Il est démontré en exercice que la classe C des groupes qui sont groupes d’automorphismes d’un arbre est définie par induction structurelle de la manière suivante. Objet initial : Le groupe trivial. Opérations : 1) Si (G, H) ∈ C 2 , alors G × H ∈ C. 2) Si G ∈ C et n ≥ 2, alors le produit en couronne de G et Sn est dans C.

4.2.4

Graphes circulants

Le groupe Aut(G) contient le groupe D2n comme sous-groupe. Le graphe G est sommettransitif.

4.2.5

Graphes de Cayley

Soit G un graphe de Cayley pour un groupe fini Γ. Le groupe Aut(G) contient le groupe Γ comme sous-groupe car σh : Γ −→ Γ g

7−→ gh

est une inclusion de Γ dans Aut(G). Le groupe Γ a une action simplement transitive sur G. Proposition 4.2.5.1. [Théorème de Sabidussi] Soit G un graphe et Γ un sous-groupe de Aut(X) avec une action simplement transitive sur G. Alors G est un graphe de Cayley pour Γ. Démonstration. Soit x un sommet de G. L’application φ : Γ −→ X σ 7−→ σ(x) est une bijection qui munit X d’une structure de groupe par identification. Soit S la préimage de NG (x) par φ. Alors u ∼G v est équivalent à σv−1 σu ∈ S pour σu et σv les pré-images de u et v par φ. Soit G = (Γ, S) et H = (Γ0 , S 0 ) deux graphes de Cayley. On dit qu’ils sont isomorphes en tant que graphes de Cayley s’il existe σ ∈ Hom(G, H) tel que σ(S) = S 0 . 88

4.2.6

Graphe de Petersen

Proposition 4.2.6.1. Aut(P ) ' S5 Démonstration. Soit σ ∈ Aut(K5 ). L’application σ ∗ de L(K5 ) dans L(K5 ) définie par σ ∗ (x, y) = (σ(x), σ(y)) est une application de Aut(Kn ) dans Aut(L(K5 )) = Aut(P ). Si σ ∗ fixe l’arête (a, b), alors σ(a) = a ou σ(a) = b et σ(b) = a, auquel cas σ ∗ ne fixe pas l’arête (b, c). Donc, si σ ∗ est l’identité, alors σ est l’identité. Donc S5 s’injecte dans Aut(P ). Réciproquement, si σ ∗ ∈ Aut(L(K5 )), σ ∗ transforme la 4-clique de L(K5 ) formée des 4 arêtes incidentes en x en une 4-clique. 4 arêtes sont incidentes entre elles seulement si elles le sont en un voisin commun, que nous notons σ ∗∗ (x). L’application qui à σ ∗ associe σ ∗∗ est une application de Aut(L(K5 )) dans Aut(K5 ). Supposons que σ ∗ soit tel que σ ∗∗ soit l’identité et soit x un sommet de K5 . Pour tout y 6= x, l’arête σ ∗ (x, y) est une arête incidente à σ ∗∗ (x) = x, donc σ ∗ est l’identité. Donc Aut(L(K5 )) s’injecte dans S5 . Donc Aut(L(K5 )) = S5 . Corollaire 4.2.6.2. Le graphe de Petersen n’est pas un graphe de Cayley. Démonstration. D’après le corollaire 12.1.0.2, à isomorphisme près, il n’existe que deux groupes d’ordre 10 : le groupe cyclique Z/10Z et le groupe diédral D10 . Le groupe Z/10Z a un élément d’ordre 10 alors que l’ordre maximal d’un élément de S5 est 6. Donc P n’est pas un graphe circulant. Le groupe S5 contient un sous-groupe Γ isomorphe à D10 engendré par σ d’ordre 5 et τ d’ordre 2. L’élément τ agit avec un point fixe sur {1, 2, 3, 4, 5} et quitte à renuméroter, on peut supposer que 3 est un point fixe et que σ(i) = i + 1. La relation τ στ (3) = 2 implique alors que τ (4) = 2. La relation τ στ (2) = 1 implique alors que τ (5) = 1. L’élément τ est donc le produit des deux transpositions (15) et (24). L’élément τ  σ i envoie alors (1, 2) ∈ X(P ) sur τ  (1 + i, 2 + i). Donc, si τ  σ i (1, 2) = (x, 3), alors x = 2 ou x = 4. Donc (1, 3) n’est pas dans l’orbite de (1, 2) sous Γ donc Γ n’agit pas transitivement sur X(P ). D’après la proposition 4.2.5.1, le graphe de Petersen n’est donc pas un graphe de Cayley.

4.2.7

Graphe asymétrique

Un graphe G est dit asymétrique si et seulement si Aut(G) = {Id}. Le graphe suivant est asymétrique.

89

90

Chapitre 5

Connectivité Alguna vez, los senderos de ese laberinto convergen.1 (Jorge Luis Borges).

5.1

Généralités

Un sous-ensemble S ⊂ X est appelé un ensemble de séparateurs d’un graphe G si G − S n’est pas connexe. Soit k ≥ 0 un entier. Un graphe G est dit k-connexe si et seulement si |G| > k et si tout séparateur S ⊂ X de G est de cardinal au moins k. De manière équivalente, un graphe G est k-connexe si et seulement si |G| > k et si pour tout sousensemble S ⊂ X de cardinal strictement inférieur à k, le graphe G − S est connexe. Tous les graphes sont 0-connexes. La 1-connexité se confond avec la connexité usuelle lorsque G n’est pas un sommet isolé. La connectivité κ(G) de G est le plus grand entier k tel que G soit k-connexe. Si A et B sont deux sous-ensembles de X, un chemin P = {x1 , · · · , xk } est un chemin A − B si et seulement si P ∩ A = {x1 } et P ∩ B = {xk }. Un ensemble S ⊂ X sépare A de B si tout chemin A − B contient un sommet de S. Lemme 5.1.0.1. Soit G un graphe de connectivité κ. Alors il existe un couple de sommets (x, y) ∈ X o X tel qu’il n’existe pas κ + 1 chemins intérieur-disjoints de x à y Démonstration. Par définition de κ, il existe un ensemble de sommets S de cardinal κ tel que G − S ait au moins deux composantes connexes C1 et C2 . Soit x ∈ C1 et y ∈ C2 . Alors tout chemin de x à y passe par un sommet de S. Il en existe donc au plus κ qui soient mutuellement intérieur-disjoints. Un graphe G de cardinal strictement supérieur à 1 est dit k-arête-connexe si et seulement si pour tout sous-ensemble S ⊂ E de cardinal strictement inférieur à k, le graphe G − S est connexe. Tous les graphes de cardinal au moins 2 sont 0-arêtes-connexes et les graphes 1-arêtes-connexes sont le graphes connexes à au moins deux sommets. Un isthme est une arête e d’un graphe connexe G tel que G − e est non connexe. La e-connectivité λ(G) de G est le plus grand entier k tel que G soit k-arête-connexe. Proposition 5.1.0.2. Soit G un graphe de cardinal au moins 2. Alors κ(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G). 1

Parfois, les sentiers de ce labyrinthe convergent.

91

Démonstration. Soit x un sommet de degré δ(G) et soit S l’ensemble des arêtes incidentes à x. Alors G − S n’est pas connexe donc λ(G) ≤ δ(G). Soit maintenant S un ensemble minimal d’arêtes tel que G − S ne soit pas connexe. Supposons tout d’abord qu’il existe x ∈ X qui ne soit incident à aucune arête de S. Soit C la composante de x dans G − S. Soit S 0 l’ensemble des sommets de C incidents à une arête de S. Si u est un sommet de S 0 incident à une arête (u, v) de S, alors v n’est pas dans la même composante connexe que u dans G − S par minimalité de S donc v ∈ / C. Donc u 0 est adjacent à au moins un sommet qui n’est pas dans C. Donc |S | est plus petit que |S|. L’ensemble S 0 est un séparateur de G donc κ(G) ≤ λ(G). Supposons maintenant que tout x ∈ X est incident à une arête de S et soit u un sommet de degré minimal. Soit N l’ensemble des voisins de u dans G − S. Tous les sommets de N sont dans la même composante connexe de G − S donc il n’existe pas d’arêtes de S de la forme (v, w) ∈ N o N par minimalité de S. Les sommets de N sont donc incidents à des arêtes distinctes de S. Les voisins de u dans G sont les sommets de N et les extrémités d’arêtes de S donc |NG (u)| ≤ |S|. Si NG (u) est un ensemble de séparateurs de G, on en déduit que κ(G) ≤ λ(G). Sinon, le graphe G − NG (u) est connexe donc est réduit à l’unique sommet u. Donc δG = |G| − 1 donc G = Kn . Dans ce cas, κ(G) = λ(G). Remarque : Les inégalités de la proposition précédente sont optimales au sens où elles deviennent des égalités par exemple pour les cycles. Inversement, il est aisé de construire des graphes tels que la différence entre κ(G) et λ(G), ou entre λ(G) et δG , soit arbitraire : il suffit pour cela de considérer l’union de deux graphes fortement connexes ayant seulement un sommet en commun, ou relié par un isthme. Lemme 5.1.0.3 (Lemme d’extension). Soit G un graphe k-connexe et x un sommet externe à G. Le graphe G0 obtenu en reliant G à x par k arêtes est k-connexe. Démonstration. Soit S 0 un ensemble de séparateurs de G0 et soit S = S 0 ∩ X. Si S est un ensemble de séparateurs de G, alors |S| ≥ k. Sinon, G − S est connexe. Le graphe G0 −0 S a au moins deux composantes connexes donc x est un sommet isolé dans G0 − S 0 donc |S 0 | > k. Lemme 5.1.0.4. 1. Soit G un graphe connexe et e = (x, y) ∈ E un isthme de G. Alors G − e a deux composantes connexes ; l’une contenant x et l’autre contenant y. 2. Soit k ≥ 1. Soit G un graphe k-connexe et e = (x, y) ∈ E. Alors G − e est k − 1connexe. Démonstration. 1. Soit a ∈ X. Il existe un chemin de a à x dans G. Si a n’appartient pas à la composante connexe de x dans G − e, le chemin de a à x dans G passe par e donc a appartient à la composante connexe de y. 2. Supposons que G0 = G − e ne soit pas k − 1-connexe. Il existe alors un ensemble S 0 de sommets de cardinal k − 2 séparant G0 . Alors S 0 ne sépare pas G donc x et y ne sont pas dans S 0 et e est un isthme de G−S 0 . Donc G−S 0 a exactement deux composantes connexes distinctes Cx et Cy . Supposons que |G| > k. Alors |G − S 0 | > 2 donc l’une des composantes, disons Cx , contient un autre sommet z. Alors S = S 0 ∪ {x} sépare z de y. Donc G n’est pas k-connexe.

92

5.2

Théorème de Menger

Théorème 5.2.0.1 (Théorème de Menger). Un graphe G est k-connexe si et seulement si pour tout (x, y) ∈ X o X, il existe k chemins intérieur-disjoints de x à y. Il est en fait plus facile de montrer le résultat plus général suivant. Théorème 5.2.0.2 (Théorème de Menger général). Soit A et B deux sous-ensembles distincts de X. Le nombre maximal de chemins A − B disjoints est égal au cardinal du plus petit ensemble séparant A de B. Démonstration. Soit n le cardinal d’un ensemble maximal N de chemins A − B disjoints et m le cardinal d’un ensemble séparant A de B et de taille minimale. Pour séparer A de B, il est nécessaire de supprimer un sommet sur chacun des n chemins A − B disjoints de N . Donc n ≤ m. Montrons l’inégalité inverse. On raisonne par récurrence sur |E|. Si |E| = 0, alors N est égal à A ∩ B. Donc N est un ensemble séparant minimal donc n = m. Supposons maintenant que E contienne une arête e = (x, y) et que tout graphe G0 tel que |E 0 | < |E| vérifie le théorème. Soit (A, B) ⊂ X × X. Soit A0 (resp. B 0 ) le sous-ensemble de sommet de G/e égal à {u ∈ A ∩ X(G/e)} (resp. {u ∈ B ∩ X(G/e)}) auquel on ajoute ve si x ou y appartient à A (resp. à B). Soit s0 le cardinal d’un ensemble S 0 de taille minimale séparant A0 de B 0 . Par hypothèse de récurrence, il existe s0 chemins intérieur-disjoints de A0 à B 0 dans G/e. Ces chemins induisent s0 chemins A − B disjoints donc n ≥ s0 . Si ve ∈ / S 0 , alors S 0 est un ensemble séparant de G donc s0 ≥ m. Donc n ≥ m. Si S 0 contient ve , alors S = S 0 − {ve } ∪ {x, y} est un sous-ensemble de X formé de s = s0 + 1 sommets séparant A et B. Donc s ≥ M . Tout chemin de A à B dans G passe par un sommet de S donc tout ensemble séparant A de S sépare A de B et contient donc au moins M sommets. Par hypothèse de récurrence, le nombre N1 de chemins disjoints de A à S dans G − e est donc au moins M . Soit P l’ensemble de cardinal au moins M des extrémités de ces chemins. Un ensemble séparant B de P dans G − e sépare B de A dans G − e donc est de cardinal au moins M . Il existe donc au moins M chemins disjoints de B à P . On a construit ainsi M chemins distincts de A à B. Donc N ≥ M . Corollaire 5.2.0.1. Soit H ⊂ G un sous-graphe et x ∈ / H. Le nombre maximal de chemins reliant x à H et n’ayant que x comme sommet commun est égal au cardinal du plus petit ensemble séparant x de H. Le nombre maximal de chemins intérieur-disjoints reliant x à y∈ / NG (x) est égal au cardinal du plus petit ensemble ne contenant ni x ni y et séparant x de y. Démonstration. Posons A = NG (x). Le nombre maximal de chemins A−H, donc le nombre maximal de chemin de x à H n’ayant que x comme sommet commun, est alors égal au cardinal du plus petit ensemble séparant A de H, donc au cardinal du plus petit ensemble ne contenant pas x et séparant x de H. La deuxième assertion est la première appliquée au cas H = NG (y). Démontrons maintenant le théorème de Menger. Démonstration. Supposons k = 0. Les deux termes de l’équivalence sont alors vrais pour tout G, donc équivalents. Supposons k > 0 et le théorème vraie pour k − 1. S’il existe k-chemins intérieur-disjoints de x à y pour tout (x, y) ∈ X o X, alors G est k-connexe. Réciproquement, supposons que G est k-connexe. Considérons (x, y) ∈ X o X. Si x G y, 93

le corollaire précédent montre qu’il existe au moins autant de chemins intérieur-disjoints de x à y que de séparateurs de x et y. Si x ∼ y, alors G − (x, y) est (k − 1)-connexe. Il existe donc k − 1 chemins intérieur-disjoints de x à y dans G − (x, y), donc k dans G.

94

Chapitre 6

Algèbre linéaire Hamlet : Où veux-tu me conduire ? Parle, je n’irai pas plus loin. Le Spectre : Écoute-moi bien. (William Shakespeare).

6.1 6.1.1

Endomorphisme associé à un graphe Généralités

Soit G = (X, E) un graphe de cardinal n et soit K un corps. Soit K X l’espace vectoriel des fonctions sur X à valeurs dans K. Le graphe G définit un endomorphisme de K X : φ(G) : K X v

−→ K X 7−→ x 7→

X

v(y)

y∼x

L’espace K X admet une famille F (Sn ) de bases canoniques : les familles (vx )x∈X avec vx (y) = δxy (deux éléments de F (Sn ) ont les mêmes éléments mais dans un ordre éventuellement différent, ce qui justifie l’indexation par Sn ). Par définition : ( X X 1 si x ∼G z φ(G)(vx ) = z 7→ vx (y) = z 7→ = vy 0 sinon y∼z y∼x Une matrice A(G) de G est la matrice de φ(G) relative à un choix d’une telle base. Le polynôme caractéristique µ(G) et le spectre Spec G de G sont par définition le polynôme caractéristique et le spectre de φ(G). Lemme 6.1.1.1. Deux matrices d’adjacence sont conjuguées sous l’action d’une matrice de permutation Démonstration. Ceci résulte du fait que deux bases de F (Sn ) sont images l’une de l’autre sous une permutation de Sn . Supposons que K soit R ou C. Alors K X est muni d’une forme hermitienne (·|·) définie par (vx |vy ) = δxy et étendue à par antilinéarité à gauche et linéarité à droite. Théorème 6.1.1.1. Supposons K = R. Alors φ est un endomorphisme symétrique. En particulier, il est diagonalisable dans une base orthonormée et Spec G ⊂ Rn . 95

Démonstration. Soit vx et vy deux éléments d’une base de la famille canonique de K X . Il suffit de montrer que (φ(vx )|vy ) = (vx |φ(vy )). Ces deux quantités sont égales respectivement à 1 si x et y sont voisins et à 0 sinon. En particulier, si V ⊂ K X est un sous-espace vectoriel stable sous φ(G), alors φ(G)|V est diagonalisable. Si X1 est l’ensemble des sommets d’une composante connexe de φ(G), alors K X1 est stable par φ(G). On pourra donc se restreindre pour l’étude de φ(G) au cas des graphes connexes. On donne quelques propriétés élémentaires de φ(G) lorsque Q ⊂ K. Proposition 6.1.1.2. (φs (vx )|vy ).

1. Le nombre de parcours de x à y de longueur s est donnée par

2. La trace de φ(G) est nulle. La trace de φ(G)2 est égale à 2|E| ; la trace de φ(G)3 est égale à 6 fois le nombre de triangles dans G.

6.1.2

Théorème de Sachs

Un graphe simple est dit sesquivalent si et seulement si chacune de ses composantes est une arête isolée ou un cycle. Théorème 6.1.2.1 (Théorème de Sachs). Soit G un graphe d’endomorphisme φ. Soit n X µφ = αk X k k=0

le polynôme caractéristique de φ. Alors : αk =

X (−1)r(H) 2c(H) H

La somme précédente est prise sur tous les sous-graphes sesquivalents de G ayant n − k sommets. Les entiers r(H) et c(H) désignent respectivement le nombre de composantes connexes de H et le nombre de composantes connexes de H qui sont des cycles. En particulier, le coefficient αn−2 est égal à −|E| et αn−3 est égal à -2 fois le nombre de triangles de G. Démonstration. Supposons tout d’abord k = 0. Alors α0 = det φ. On choisit une matrice d’adjacence A de φ. n X Y det φ = (σ) aiσ(i) σ∈Sn

i=1

Supposons qu’il existe i tel que aiσ(i) = 0. Alors le terme (σ)

n Q

aiσ(i) est nul. La contri-

i=1

bution de σ à det φ est donc non nulle, auquel cas elle est égale à ±1, si et seulement si aiσ(i) 6= 0 pour tout i. Les orbites de σ sont donc toutes de cardinal au moins 2. Sur l’orbite O, la permutation σ agit comme un cycle. A O est donc associé un sous-cycle HO de G défini par X(O) = O et E(O) = {(i, σ(i))|i ∈ O}. A σ est donc associé le graphe sesquivalent Hσ égal à l’union des HO prise sur les orbites de σ. Réciproquement, soit H un graphe sesquivalent avec X(H) = X(G). A H est associé un sous-ensemble SH de Sn par le procédé suivant : la permutation σ appartient à SH si 96

et seulement si Hσ = H. Le cardinal de SH est alors égal à 2c(H) car chaque composante connexe C de H définit deux permutations : la permutation cyclique correspondant au parcours des sommets de C dans un sens et celle correspondant au parcours dans l’autre sens. Remarquons que deux permutations de SH ont les mêmes orbites donc la même signature (H), à savoir (−1)n−r(H) . D’après la discussion précédente : det φ = (−1)n

X

(−1)r(H) 2c(H)

H

La somme est prise sur tous les sous-graphes sesquivalents de cardinal n de H. Donc : α0 =

X (−1)r(H) 2c(H) H

et la propriété est bien vraie pour k = 0. Soit maintenant k quelconque. Alors αk est la somme des déterminants des k-mineurs de A. Donc : X αk = (−1)n−k (−1)r(H) 2c(H) H

La somme est prise sur tous les sous-graphes sesquivalents de G ayant exactement n − k sommets. En effet, les sous-graphes sesquivalents de G de cardinal n − k sont les sousgraphes sesquivalents de cardinal maximum des sous-graphes de G obtenus en supprimant k sommets. Le cas particulier de αn−2 et αn−3 s’en déduit en observant que les arêtes isolées sont les seuls graphes sesquivalents à deux sommets et que les K3 sont les seuls graphes sesquivalents à 3 sommets.

6.2 6.2.1

Spectre Généralités

Un vecteur v ∈ K X est un vecteur propre de G pour la valeur propre λ ∈ K si et seulement si v 6= 0 et φ(G)(v) = λv donc si et seulement si v 6= 0 et : ∀ x ∈ X,

X

v(y) = λv(x)

y∼x

Proposition 6.2.1.1. Un graphe k-régulier connexe G admet k comme valeur propre maxi¯ sont les vecteurs propres de G. male avec multiplicité 1. Les vecteurs propres de G P

Démonstration. Le vecteur

vx est vecteur propre de φ(G) pour la valeur propre k. Soit

x∈X

v ∈ K X un vecteur propre de φ(G) de valeur propre λ normalisé afin qu’il existe x ∈ X tel que v(x) = 1 et |v(y)| ≤ 1 pour tout y ∈ X. Alors : |

X

v(y)| = |λ|v(x) = |λ| ≤ k max v(y) ≤ k y

y∼x

97

Donc |λ| ≤ k. Il y a égalité seulement si v(y) = 1 pour tout y ∈ X. La propriété v(z) = 1 est donc expansive. ¯ est n−k −1-régulier et admet n−k −1 comme valeur propre pour le vecteur Le graphe G P ¯ vérifie A(G) ¯ = J − A(G) − Id. Les vecteurs propres v 0 propre v = vx . La matrice A(G) x∈X

¯ distincts de v sont orthogonaux à v donc A(G)v ¯ 0 = −A(G)v − Id v = (−λ − 1)v 0 . de G Proposition 6.2.1.2.

1. Le spectre du graphe complet Kn est {(−1)n−1 , n − 1(1) }.

2. Soit ζ une racine primitive n-ième de l’unité. Le spectre de Cn est {ζ i + ζ −i |i ∈ [0, n − 1]}. 3. Le polynôme caractéristique µn de Pn vérifie la la relation de récurrence µ0 = 1, µ1 = X et µn+1 = Xµn − µn−1 . Soit ζ une racine primitive (2n + 2)-ième de l’unité. Le spectre de Pn est {ζ i + ζ −i |1 ≤ i ≤ n}. 4. Soit ζ une racine primitive n-ième de l’unité. Le spectre d’un graphe circulant (n, S) est {P (ζ i )|i ∈ [0, n − 1]} avec P ∈ Z[X] le polynôme : P =

n−1 X

1S (x)X

x=0

5. Si G = (Γ, S) est un graphe de Cayley et si χ est un morphisme de groupes de Γ dans C× , alors X v= χ(γ)vγ γ∈Γ

est un vecteur propre de G pour la valeur propre

P

χ(s).

s∈S

6. Soit G = (Γ, S) un graphe de Cayley avec Γ commutatif. Alors Γ admet n morphismes de groupes vers C× formant une base de vecteurs propres de G. Démonstration. 1. Kn admet n comme valeur propre de multiplicité 1. Soit v un vecteur propre associé à une valeur propre λ 6= k. Alors v est orthogonal à (1)i donc φ(Kn )(v) = −v donc λ = −1. 2. Le vecteurs vi (x) = ζ ix est propre pour la valeur propre ζ i + ζ −i . Ils forment une famille libre sauf si vi et vn−i sont liés. Ces deux vecteurs sont distincts et ont même première composante. 3. Soit v un vecteur propre de Pn pour la valeur propre λ. Alors v 6= 0 donc l’ensemble des x tels que v(x) 6= 0 a un élément minimal. Si x 6= 1, alors λv(x − 1) = v(x) + v(x − 2) donc v(x) = 0. C’est absurde donc x = 1. Sans perte de généralité, on peut donc supposer que v(1) = 1. Alors v(2) = λ et v(i+1) = λv(i)−v(i−1) pour 2 ≤ i ≤ n−1. Donc v(i + 1) = µi (λ). Donc v est déterminé par v(1), ce qui implique que λ est de multiplicité 1. Enfin, λv(n)−v(n−1) = 0 donc µn (λ) = 0 donc λ est une racine de µn . Soit C le cycle de cardinal 2n + 2. Alors v(x) = ζ ix et w(x) = ζ −ix sont des vecteurs propres de C pour la valeur propre ζ i + ζ −i . Donc v − w est un vecteur propre de C pour la même valeur propre et (v − w)(0) = (v − w)(n + 1) = 0. Le vecteur v − w restreint à Pn est donc un vecteur propre de Pn 98

4. Soit σ l’endomorphisme de K X qui envoie vx sur vx+1 pour tout x ∈ X. Soit P le n−1 P 1S (x)X x . Alors : polynôme P = x=0

P (σ)(v0 ) =

n−1 X

X

x=0

x∈S

1S (x)σx (v0 ) =

vx =

X vx = φ(G)(v0 ) x∼0

Donc φ = P (σ) donc Spec G = {P (ζ)|ζ n = 1}. 5. Soit v comme dans l’assertion. X XX φ(G)(v) = χ(γ)φ(G)(vγ ) = χ(γ)vγs−1 γ∈Γ

γ∈Γ s∈S

! XX = χ(us)vu = u∈Γ s∈S

X

χ(s)

s∈S

X

χ(u)vu

u∈Γ

6. D’après le corollaire 12.1.0.4, le groupe Γ admet |Γ| morphismes de groupes vers C× qui, vus comme éléments de CX , sont orthogonaux pour le produit scalaire de CX . Ils forment donc une base de CX , et il s’agit d’une base de vecteurs propres d’après le point précédent.

Proposition 6.2.1.3. Soit G un graphe k-régulier et L son graphe des arêtes. Alors µ(L, X) = (X + 2)e−n µ(G, X − k + 2). Le spectre de L est donc {λ(i) + k − 2|λ(i) ∈ Spec(G)} ∪ {−2(e−n) } Démonstration. Soit B la matrice dont les colonnes sont indexées par les arêtes de G, les lignes par les sommets de G et telle que bij = 0 sauf si le sommet i est sur l’arête j. Le produit scalaire de deux colonnes est 0 sauf si ces colonnes sont confondues, auquel cas il vaut 2, ou bien si les arêtes correspondantes sont incidentes, auquel cas il vaut 1. Le produit scalaire de deux lignes vaut 0 sauf si ces deux lignes sont confondues, auquel cas il vaut k, ou si les deux sommets correspondants sont voisins, auquel cas il vaut 1. Donc B t B = k Idn +φ(G) et t BB = 2 Ide +φ(L). Donc : µ(L, X − 2) = det((X − 2) Ide −φ(L)) = det(X Ide −2 Ide −φ(L)) = det(X Ide −t BB) = X e−n det(X Idn −B t B) = X e−n det((X − k) Idn −φ(G))

Proposition 6.2.1.4. Le spectre du graphe de Petersen est {−2(4) , 1(5) , 3(1) }. Démonstration. Le spectre de K5 est {(−1)(4) , 4(1) }. Donc le spectre de L(K5 ) est {−2(5) }∪ {1(4) , 6(1) }. Donc le spectre de L(K5 ) est {−2(4) , 1(5) , 3(1) }. On donne une autre preuve de ce résultat. Soit ψ ∈ End(KX ) défini par : ψ(vx ) =

X

vz

z∈X

Remarquons que le nombre de parcours de longueur 2 d’un sommet x du graphe de Petersen à un autre sommet y est 3 si x = y (un pour chaque voisin de x), 0 si x ∼ y car dans ce 99

cas x et y n’ont aucun sommet voisin et 1 si x ∼ y et x 6= y car x et y ont alors unique voisin commun (l’unique arête de K5 incidente à aucun des sommets de x et y). Donc φ(G)2 = 3 Id +(ψ − Id −φ(G)) ou encore φ(G)2 + φ(G) − 2 Id = ψ. Les vecteurs propres pour λ 6= 0 sont dans le noyau de ψ donc λ2 + λ − 2 = 0 donc λ ∈ {1, −2}. La valeur propre 3 est de multiplicité 1, ce qui détermine les multiplicités de 1 et -2.

6.2.2

Entrelacement

Dans cette sous-section, le corps K est choisi égal à R. Un endomorphisme symétrique ψ de RX est dit semi-défini positif si et seulement si : ∀ v ∈ RX , (ψ(v)|v) ≥ 0 En exprimant v dans une base de vecteurs propres pour ψ orthonormés, on voit que ψ est semi-défini positif si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives. Proposition 6.2.2.1. Soit λmin et λmax la plus petite et la plus grande valeur propre de G respectivement. Alors δG ≤ λmax ≤ ∆G . Soit H un sous-graphe induit de G et µmin et µmax la plus petite et la plus grande valeur propre de H. Alors λmin ≤ µmin ≤ µmax ≤ λmax Démonstration. Nous savons déjà que λmax ≤ ∆G . L’endomorphisme λmax Id −φ(G) est positif semi-défini donc (λmax v|v) − (φ(G)v|v) ≥ 0 pour tout v. En appliquant ce résultat P àv= vx et en remarquant que (φ(G)v|v) ≥ nδG , on obtient que λmax ≥ δG . x∈X

L’endomorphisme λmax Id −φ(G) est positif semi-défini. Soit v ∈ RX(H) . Alors : ((λmax Id −φ(H))v|v) = ((λmax − φ(G))v|v) ≥ 0 Dans la deuxième égalité, on considère v comme un vecteur de RX en posant v(x) = 0 si x ∈ / H. Donc λmax Id −φ(H) est positif semi-défini donc µmax ≤ λmax . De même, l’endomorphisme φ(G) − λmin Id est positif semi-défini donc λmin ≤ µmin . La preuve du théorème suivant est admise. Théorème 6.2.2.1 (Entrelacement). Soit H un sous-graphe induit de G. Soit {λi |1 ≤ i ≤ n} le spectre de G rangé en ordre décroissant et soit {µi |1 ≤ i ≤ m} le spectre de H rangé en ordre décroissant. Alors : ∀ 1 ≤ i ≤ m, λn−m+i ≤ µi ≤ λi

6.2.3

Bipartition

Proposition 6.2.3.1. Soit G un graphe biparti. Si λ(i) ∈ Spec G, alors −λ(i) ∈ Spec G. Soit G un graphe connexe tel que −∆ ∈ Spec G. Alors G est régulier biparti. S P Démonstration. Soit G un graphe biparti et X1 X2 une bipartition. Soit v = αx vx + x∈X1

P x∈X2

P

P

βx vx un vecteur propre de G pour la valeur propre λ. Le vecteur w =

x∈X1

βx vx vérifie

x∈X2

φ(G)w(x) =

X y∼x

w(y) = ±

X

v(y) = ±λv(x) = ± ∓ λw(x) = −λw(x)

y∼x

100

αx vx −

donc est vecteur propre pour la valeur propre −λ. Soit G un graphe connexe tel que −∆ ∈ Spec G. Nous savons déjà que G est régulier. Considérons un vecteur propre v pour la valeur propre −∆ de plus grande composante 1. Les ensembles X+ et X− des x ∈ X tels que v(x) = 1 et v(x) = −1 réalisent alors une bipartition de G. La preuve du théorème suivant est admise. Théorème 6.2.3.1 (Bipartition générale). Un graphe G est biparti si et seulement si −λmax appartient à Spec G. Dans ce cas, son spectre est symétrique par rapport à zéro.

6.3 6.3.1

Parcours sur les graphes Parcours fermés sur les graphes sommets-transitifs

Soit G un graphe d’endomorphisme d’adjacence φ(G) et soit (x, y) ∈ X(G)2 deux sommets de G. Le nombre de parcours de G de longueur n de x à y est égal à (φ(G)n (vx )|vy ). Supposons G sommet-transitif. Le nombre de parcours de longueur n de x à lui-même ne dépend alors pas de x et est donc égal à Tr(φ(G)n )/|G|. La connaissance du spectre de G suffit donc à déterminer le nombre de parcours de x à lui-même. Proposition 6.3.1.1. n−1 X s=0

cos

2n

k 2πs = n k 2

    Z π/2 1 2n π 2n 2n et cos x dx = n n n 2 2 0

Démonstration. Supposons   k > 2n. Le nombre de parcours de x à lui-même de longueur 2n 2n sur Ck est alors . Donc n 1 Tr(φ(Ck )n ) = k k

n−1 X

n

2 cos

s=0

2n

2πs k

!

  2n = n

soit encore n−1 X

1 k

cos

s=0

2n

2πs k

!

1 = n 2

  2n n

puis Z 0

1

1 cos (2πx) dx = n 2 2n

  2n n

en passant à la limite. On obtient la valeur de l’intégrale de Wallis par changement de variables. Proposition 6.3.1.2. Le nombre de parcours de x à lui-même de longueur n sur le cube Qm = ((Z/2Z)m , {∃! i, xi = 1}) est m   1 X m (m − 2k)n . k 2m k=0

101

Démonstration. La donnée d’un vecteur propre de Qm est équivalente à la donnée du choix de k caractères non-triviaux de Z/2Z parmi m. Un vecteur propre associé à un choix de k caractères non-triviaux est associé à la valeur propre m − 2k. Donc m   X m n Tr(φ(Qm ) ) = (m − 2k)n . k k=0

6.3.2 6.3.2.1

Parcours sur les chemins et nombre de Catalan Mots du langage des parenthèses

Un mot du langage des parenthèses L est un mot formé des symboles ( et ). Un sousmot de m ∈ L est un mot n ∈ L inclus dans m. Un sous-mot n de m est dit initial si m = nn0 et final si m = n0 n. Un mot équilibré de longueur 2n est un mot du langage des parenthèses ayant autant de parenthèses ouvrantes que de parenthèses fermantes. Un mot bien parenthésé m de longueur 2n est un mot du langage des parenthèses tel que le nombre de parenthèses ouvrantes soit supérieur au nombre de parenthèses fermantes dans tout les sous-mots initiaux de m et tels que ces deux nombres soient égaux pour m.   2n n n Il existe 2 mots de longueur n du langage des parenthèses. Parmi ces 2 mots, n sont équilibrés. Un mot du langages des parenthèses qui n’est pas équilibré est dit en excès ouvrant ou fermant selon qu’il a strictement plus de parenthèses ouvrantes ou fermantes. Un mot équilibré minimal m est un mot équilibré dont tous les sous-mots initiaux sont déséquilibrés (donc un mot équilibré et minimal pour cette propriété au sens de la relation d’ordre partielle “être un sous-mot initial”). Un tel sous-mot est appelé minimal ouvrant si tous ces sousmots initiaux sont en excès ouvrant et minimal fermant si tous ces sous-mots initiaux sont en excès fermant ; ceci correspond également au choix de la première parenthèse. Tout mot équilibré admet une unique écriture comme concaténation de mots équilibrés minimaux. L’excès d’un mot équilibré m est le nombre de ses parenthèses ouvrantes situées dans les mots minimaux ouvrants de l’écriture de m en mots équilibrés minimaux. 6.3.2.2

Flip

Le flip est l’application suivante f de l’ensemble des mots équilibrés d’excès strictement positif vers l’ensemble des mots équilibrés. Soit m d’excès d > 0. Soit m = m1 m2 m3 · · · ms l’écriture de m en mots équilibrés minimaux. Supposons que m1 · · · mi soit le sous-mot initial équilibré maximal de m ayant plus de parenthèses fermantes que de parenthèses ouvrantes. L’excès de m étant strictement positif, m est différent de m1 · · · mi donc il existe un mot équilibré minimal mi+1 dans m après m1 · · · mi . Alors le mot mi+1 commence nécessairement par une parenthèse ouvrante (la première parenthèse ouvrante qui contribue à l’excès de m) et se termine nécessairement par une parenthèse fermante. Soit mi+1 = (m0i+1 ). Définissons f (m) = f (m1 · · · mi (m0i+1 )mi+2 · · · ms ) = mi+2 · · · ms )m1 · · · mi (m0i+1 . Les mots m et f (m) sont formés des mêmes symboles donc f (m) est équilibré. Les parenthèses ouvrantes situées dans les mots minimaux ouvrants mi+2 , · · · , ms sont toujours des parenthèses ouvrantes dans des mots minimaux ouvrants de f (m) donc contribuent à 102

l’excès de f (m) comme à l’excès de m. Il en est de même pour les parenthèses ouvrantes de m0i+1 . Le mot )m1 · · · mi ( est équilibré et tous ses sous-mots minimaux sont fermants par construction. Les parenthèses ouvrantes de ce mot ne contribuent donc pas à l’excès. L’excès de f (m) est donc égal à l’excès de m moins 1 : à savoir la contribution de la première parenthèse ouvrante de mi+1 . Le flip admet un inverse. Soit en effet un mot équilibré m de longueur 2n dont l’excès est strictement plus petit que n. Il existe alors une, et donc une dernière, parenthèse fermante ) commençant un mot équilibré minimal de la forme )m0 . Ce mot équilibré minimal est nécessairement fermant. Écrivons m = p)m0 n. Alors f −1 (m) = m0 n)p vérifie f (f −1 (m)) = m. 6.3.2.3

Nombres de Catalan

Considérons les sous-ensembles Ls = {m ∈ L |m équilibré d’excès s} des mots équilibrés d’excès s. Alors f : Ls+1 −→ Ls est une bijection. De Lb = {m ∈ L |m équilibré} =

n a

Ls

s=0

on déduit que 1 |Ls | = n+1



2n n



pour tout s. L’ensemble Ln des mots bien parenthésés est donc en particulier de cardinal   1 2n . n+1 n On appelle |Ln | le n-ième nombre de Catalan. 6.3.2.4

Parcours sur les chemins

Il existe une bijection évidente entre L0 et l’ensemble des parcours de x = x1 à lui-même de longueur 2n sur Pk pour k > 2n. Donc   1 2n 2n (φ(Pk ) (vx )|vx ) = . n+1 n Écrivons vx dans une base orthonormale de vecteurs propres de φ(Pk ). Une base de vecteurs propres de φ(Pk ) est la base des (vj )1≤j≤k donnée par     1 ij πij −ij vj = (ζ − ζ ) = sin . 2i k + 1 1≤i≤k 1≤i≤k Ici ζ est une racine primitive 2k + 2-ième de l’unité et le i au dénominateur est la racine carrée de −1, et non pas l’indice de sommation. Le vecteur vj est associé à la valeur propre   πj λj = 2 cos . k+1 103

et est de norme au carré 2

||vj || =

k X

2

sin

i=1



πij k+1

 .

Soit ζ un racine primitive 2k + 2-ième de l’unité (par exemple ζ = eπi/(k+1) ). Pour tout 1 ≤ i ≤ k, l’application σi : ζ 7→ ζ i étendue par linéarité est un morphisme du corps Q(ζ) (il s’agit du plus petit corps contenant ζ et est aussi l’espace vectoriel de base (1, ζ, ζ 2 , · · · , ζ 2k+1 ) sur Q). Par construction, la restriction à Q de σi est l’identité. En considérant φ(Pk ) comme un endomorphisme de QX(Pk ) et de Q(ζ)X(Pk ) , on obtient
σi Tr φ(Pk )2 = Tr φ(Pk )2 pour tout 1 ≤ i ≤ k. De plus Tr φ(Pk )2 = 2(k − 1) car la trace du carré de l’endomorphisme d’adjacence est égal à 2 fois le nombre d’arêtes du graphe. Mais par ailleurs   k k X X
πj σi Tr φ(Pk )2 = σi  (ζ i + ζ −j )2  = 4 cos2 . k+1 j=1

Donc

k X

4 cos2

j=1

et 2

||vj || =

k X

sin2

i=1

j=1

πij = 2(k − 1) k+1

πij k−1 k+1 =k− = . k+1 2 2

On obtient donc une base orthonormale de vecteurs propres en posant r 2 πij wij = sin . k+1 k+1 Le nombre de parcours de x à lui-même de longueur 2n est alors (φ(Pk )2n vx |vx ) =

  k X πs 2n αs2 2 cos k+1 s=1

si vx s’écrit vx =

k X

αs ws

s=1

et donc si αs = (vx |ws ). Finalement, on obtient   k X 2 πs 2n 2 πs (φ(Pk ) vx |vx ) = sin 2 cos k+1 k+1 k+1 2n

s=1

et donc l’identité     k X 2 πs 2n 1 2n 2 πs sin 2 cos = . k+1 k+1 k+1 n+1 n s=1

104

Si l’on fait tendre k vers l’infini, on interprète cette somme comme une somme de Riemann et on obtient   Z 1 1 2n . 2 sin2 πx(2 cos πx)2n dx = n n + 1 0 Posons maintenant u = cos πx, du = −π sin πx dx. On obtient   2n Z 1 p n 2 u2n 1 − u2 du = 2n . π −1 2 (n + 1) Ceci signifie que la mesure de R pour la mesure dµ =

2p 1 − x2 dx π

concentrée sur [−1, 1] est 1 et que Z

xm dµ =

  

2n n

1 22n (n+1)

!

  0 6.3.2.5

si n = 2m, sinon.

Série génératrice des nombres de Catalan

Un mot de L0 s’écrit sous la forme (m1 )m2 avec m1 et m2 des mots de L0 et réciproquement, tout mot de la forme (m1 )m2 avec m1 et m2 des mots de L0 est bien parenthésé. Donc n X Cn+1 = Cs Cn−s . s=0

La série génératrice C(x) des nombres de Catalan vérifie donc C(x)2 =

∞ X n ∞ X X 1 Cs Cn−s xn = Cn+1 xn = (C(x) − 1) x

n=0 s=0

n=0

ou encore C(x) = 1 + xC(x)2 . Les solutions de cette équation fonctionnelle sont √ 1 ± 1 − 4x χ± (x) = . 2x La fonction C(x) est définie en x = 0 de valeurs 1 donc C(x) = 6.3.2.6

1−

√

1 − 4x 2x

Quatre problèmes fondamentaux

Les quatre problèmes suivants admettent donc tous la même réponse. 1. Combien y a-t-il de chemins de longueur 2n de x à lui-même dans Pk (pour k > 2n) ? 105

2. Calculer 1 2π

Z

2

x2n

p 4 − x2 dx.

−2

3. Soit (Cn )n∈N la suite définie par  1 n Cn = P  Cs Cn−s

si n = 0. sinon.

s=0

Calculer Cn . 4. Développer en série entière f (x) =

1−

106

√

1 − 4x . 2x

Chapitre 7

Graphes hamiltoniens Le rapporteur avoue n’en avoir pas fait entièrement le tour. (Alexandre Grothendieck).

7.1

Cycles hamiltoniens

Un graphe G possède un cycle hamiltonien s’il admet un cycle couvrant, c’est-à-dire un sous-graphe H qui soit un cycle avec |H| = |G|. De manière équivalente, un graphe est hamiltonien s’il existe un cycle passant par tous les sommets de G. Un graphe G possède un chemin hamiltonien s’il admet un chemin couvrant. Les graphes possédant un chemin hamiltoniens, et donc les graphes hamiltoniens, sont connexes. Les graphes hamiltoniens sont 2-connexes. Les graphes complets à au moins 3 sommets, les cycles, plus généralement les graphes circulants connexes, plus généralement les graphes de Cayley abéliens connexes (par exemple les cubes) sont hamiltoniens. Les graphes complets bipartis Km,n avec m 6= n et le graphe de Petersen ne sont pas hamiltoniens. Proposition 7.1.0.1. Le graphe de Petersen n’est pas hamiltonien. Démonstration. Soit C un cycle de longueur maximale dans P . Alors L(C) = C est un cycle induit de même longueur dans L(P ). D’après la proposition 6.2.1.3, le spectre de L(P ) rangé dans l’ordre décroissant est {4(1) , 2(5) , −1(4) , −2(5) }. D’après la proposition 6.2.1.2, √ (2) √ (2) √ (2) √ (2) 5 , 1−2 5 , −1+2 5 , −1−2 5 , −2(1) }.

le spectre de C10 est {2(1) , 1+2 √ −1+ 5 , 2

La septième valeur

de C10 est donc qui est plus grand que la septième valeur propre −1 de L(P ). Les valeurs propres de C10 n’entrelacent donc pas les valeurs propres de L(P ). D’après le théorème 6.2.2.1 d’entrelacement fort, C n’est donc pas C10 . Donc P n’a pas de cycle couvrant. Proposition 7.1.0.2. Soit G un graphe de cardinal n ≥ 3. Supposons que δG ≥ n/2. Alors G est hamiltonien. Démonstration. La plus petite composante connexe de G a au moins n/2 + 1 sommets, donc est G tout entier. Donc G est connexe. Soit P = {x1 , · · · , xs } un chemin maximal. Tous les voisins de x1 et de xs sont sur P . L’ensemble des voisins de xs est de cardinal au moins n/2 et l’ensemble des prédécesseurs des voisins de x1 est de cardinal au moins n/2. L’union de ces deux ensembles inclus dans {x1 , · · · , xs−1 } est donc de cardinal au moins n. Donc leur intersection est non-vide. Donc le sous-graphe induit par les xi contient un 107

cycle C passant par tous les xi . Par connexité de G et maximalité de P , il n’existe pas de sommet de G externe à P . Donc s = n. Le lemme suivant est particulièrement utile dans l’étude des graphes sommets-transitifs. Lemme 7.1.0.3. Soit G un graphe pouvant s’écrire comme l’union disjointe de graphes (Hi )1≤i≤n tous isomorphes et tous hamiltoniens. Supposons que les sommets xi,j et xi,j+1 de Hi et Hj+1 soient adjacents pour tout j (avec la convention que n + 1 = 1). Alors G est hamiltonien. Démonstration. Si n = 1, alors G = H1 donc est hamiltonien. Sinon, soit Ci un cycle hamiltonien de Hi . Sans perte de généralité, on peut supposer que Hi = Ci . Le chemin (x1,1 , x1,2 , · · · , x1,n , Cn ) se termine sur un voisin x2,n de x1,n sur Cn . Le chemin (x2,n , x2,n−1 , Cn−1 ) se termine sur xk,n−1 , l’autre voisin de x1,n sur Hn−1 . Le sommet xk,n−1 est voisin de xk,n−2 . En répétant ce processus, on arrive sur un voisin de x1,1 et on termine par C1 . Le chemin obtenu est un cycle hamiltonien de G. Corollaire 7.1.0.4. Le n-cube est hamiltonien pour n ≥ 2. Démonstration. Le 2-cube est un cycle donc est hamiltonien. Par définition, le (n + 1)-cube est l’union de deux copies du n-cube reliées sommets à sommets. C’est donc l’union de deux graphes hamiltoniens isomorphes reliés sommets à sommets. Soit G = (X, E) un graphe et k ∈ N. Le graphe Gk est le graphe (X, {x, y|dG (x, y) ≤ k}). Le graphe G0 est donc le graphe isolé et G1 est égal à G. Proposition 7.1.0.5. Si P est un chemin de cardinal supérieur à 3, alors P 2 est hamiltonien. Si G est connexe et |G| ≥ 3, alors G3 est hamiltonien. Démonstration. Si |P | est pair, alors le cycle (x1 , x3 , x5 , · · · , x2n+1 , x2n , x2n−2 , · · · , x2 , x1 ) convient. Sinon, (x1 , x3 , · · · , x2n−1 , x2n , x2n−2 , · · · , x2 , x1 ) convient. Pour démontrer la deuxième assertion, il suffit de la montrer pour un arbre couvrant T de G. Une branche de T est un sous-graphe de T induit par des sommets de degrés 1 ou 2 dans T . Une feuille est une branche donc T admet des branches donc T admet une branche maximale L = (x1 , · · · , x` ). Si T = L, alors T est un chemin donc T 2 est hamiltonien donc T 3 est hamiltonien. Sinon, x = x1 ∈ L a un voisin y dans T qui est de degré au moins 3 dans T . Le graphe T1 = T − L est acyclique et l’unique chemin de a ∈ T1 à b ∈ T1 dans T est un chemin de T1 , donc T1 est connexe. Donc T1 est un arbre ayant au moins 3 sommets. Par récurrence, on peut supposer que T13 admet un cycle hamiltonien C. Soit y a un voisin z sur C tel que dT (z, y) ≤ 2. Alors dT (x, z) ≤ 3 donc (y, x2 , · · · , x, z, · · · , y) T 3.

est un cycle hamiltonien de Soit les deux voisins z1 et z2 de y sur C sont à distance 3 de y. Dans ce cas, on nomme Tzi la composante connexe de zi dans T1 − {y}. Si w est un sommet de Tzi qui n’est pas sur l’unique chemin de z1 à z2 dans T , alors tous les sommets à distance au plus 3 de w sont dans Tzi . Donc les voisins de w sur C sont dans Tzi . Soit P le chemin de z1 à z2 sur C qui ne passe pas par y. Soit t le dernier sommet de P qui est dans Tz1 . D’après ce que nous venons de voir, t1 est à distance au plus 2 de y. Son unique voisin t0 sur C qui n’est pas dans Tz1 est donc à distance au plus 2 de y et l’un des deux sommets t, t0 est à distance 1 de y. Renommons t1 l’un des deux sommets t, t0 à distance 1 de y. Le cycle (t1 , x2 , · · · , x, t2 , · · · , t1 ) est alors un cycle hamiltonien de T 3 . 108

7.2

Deux classes de graphes hamiltoniens

Théorème 7.2.0.1. Soit G un graphe de cardinal au moins 3. Soit α(G) le cardinal du plus grand sous-ensemble de X dont le sous-graphe induit est isolé. Supposons que la connectivité κ(G) de G soit plus grande que α(G). Alors G est hamiltonien. Démonstration. Soit G un graphe κ-connexe et soit C un cycle de longueur maximale de G dont nous notons {vs }1≤s≤m les sommets dans un ordre cyclique fixé. Supposons que |C| < |G|. Il existe alors un sommet x ∈ X externe à C. D’après le théorème de Menger, il existe au moins κ(G) chemins distincts de x à C. Notons I ⊂ {1, · · · , m} l’ensemble des indices de leurs extrémités sur C. Si i ∈ I, alors i + 1 ∈ / I par maximalité de C. Pour la même raison, il n’existe pas de paires d’indices i et j dans I telle que vi+1 ∼ vj+1 . Il s’en suit que {vi+1 |i ∈ I} ∪ {x} induit un sous-graphe isolé. Donc α(G) > κ(G). La conjecture suivante est un des problèmes ouverts les plus importants de la théorie algébrique des graphes. Conjecture 7.2.0.1. Le seul graphe de Cayley connexe non hamiltonien est K2 . Théorème 7.2.0.2. Les graphes de Cayley abéliens connexes sauf K2 sont hamiltoniens. Démonstration. Soit G = (Γ, S) un graphe de Cayley connexe avec Γ commutatif et |G| > 2. Si x ∼G y, alors x−y ∈ S. On se permettra donc d’identifier les arêtes de G avec des éléments de S. Supposons tout d’abord que Γ = (Z/2Z)2 . Le graphe G étant connexe, il n’est pas l’union disjointe de sommets ou d’arêtes isolées. Il est donc au moins 2-régulier. D’après la proposition 7.1.0.2, il est donc hamiltonien. Supposons maintenant que Γ = Z/pα Z avec p impair ou α > 2. L’ensemble S engendre Z/pα Z donc contient un générateur s de Z/pα Z. Donc G contient un cycle formé de la répétition de l’arête s. D’après le théorème 12.1.0.1 de structure des groupes finis commutatifs, on peut désormais supposer que Γ s’écrit Γ = Γ1 × Γ2 avec Γ1 = (Z/2Z)2 ou Γ1 = Z/pα Z avec p impair ou α > 2. Soit G1 le groupe (Γ1 , S mod Γ2 − {0}). L’ensemble S engendre Γ donc S1 = S mod Γ2 − {0} engendre Γ1 . Donc G1 est connexe. Donc il est hamiltonien. Soit {ei ∈ S1 |1 ≤ i ≤ |Γ1 |} l’ensemble ordonné des arêtes d’un cycle hamiltonien de G1 . Soit {fi ∈ S|1 ≤ i ≤ |Γ1 |} un ensemble ordonné de relèvement des ei à S. On appelle Ce le plus long chemin formé par la répétition des fi dans l’ordre et contenant (0, 0). L’ensemble Γ étant un groupe, C1 est un cycle. Si Ce = G, alors G est hamiltonien. Sinon, il existe g ∈ Γ n’appartenant pas à Ce . Soit Cg le plus long chemin formé par la répétition des fi dans l’ordre et contenant (0, 0). Le graphe G s’écrit alors comme l’union disjointe des Cg . Le graphe G est connexe donc il existe g 6= g 0 et une arête a entre xg ∈ Cg et xg0 ∈ Cg0 . Le graphe G étant sommet-transitif, il existe une numérotation des Cg telle que Ci et Ci+1 soient reliés par une arête a pour tout i. Les cycles Ci ayant tous les mêmes arêtes, pour tout sommet xi ∈ Ci , il existe une arête a de xi à xi+1 . D’après le lemme 7.1.0.3, le graphe G est donc hamiltonien.

109

110

Chapitre 8

Coloration Sabi wa ku no hiro.1 (Matsuo Basho).

8.1

Généralités

Soit G = (X, E) un graphe. Un stable est un sous-ensemble S ⊂ X tel que le sous-graphe induit par S soit isolé. Une clique est un sous-ensemble S ⊂ X tel que le sous-graphe induit par S soit complet. Le graphe G admet un stable et une clique. Un stable de G est une ¯ et réciproquement. On appelle stabilité et on note α(G) le cardinal du plus clique de G grand stable de G et on appelle nombre de clique et on note ω(G) le cardinal de la plus grande clique de G. k S Une coloration de G en k couleurs est une partition de X en k sous-ensembles X = Xi i=1

telle que chaque Xi soit un stable. Un graphe est dit k-coloriable s’il existe une coloration de G en k couleurs. Le graphe G est |G|-coloriable. Le nombre de coloration χ(G) de G est le plus petit entier k tel que G soit k-coloriable. Les graphes 1-coloriables sont les graphe isolés ; les graphes 2-coloriables sont les graphes bipartis. La propriété d’être k-coloriable est connexe-ascendante et fortement connexe-descendante ; elle est donc vraie pour G si et seulement si elle est vraie pour toutes les composantes connexes de G, si bien que l’on peut se ramener au cas des graphes connexes lorsque l’on étudie les problèmes de coloration. Proposition 8.1.0.1. Soit G un graphe de cardinal n. Alors : ω(G) ≤ χ(G) ≤ max{δH |H ⊂ G} + 1 ≤ ∆G + 1 Démonstration. La première et la dernière inégalités résultent directement de la définition. Pour démontrer la deuxième, on considère une coloration de G construite de la manière suivante. On choisit vn ∈ X parmi les sommets de degré minimal. Si vi , · · · , vn sont supposés choisis, on prend vi−1 parmi les sommets de degré minimal de G − {vi , · · · , vn }. Pour 1 ≤ i ≤ n, on assigne ensuite vi à la première classe Cs ne contenant aucun des voisins de vi dans le sous-graphe Hi de G induit par {v1 , · · · , vi }. Cette procédure requiert au maximum δHi + 1 couleurs à chaque étape. On remarque que ces inégalités sont les meilleurs possibles, puisqu’elles deviennent des égalités lorsque G est un cycle impair ou un graphe complet. Inversement, les graphes de 1

Les poèmes sont colorés par le passage du temps.

111

Mycielski montrent que l’on peut rendre arbitrairement grand la différence entre ω(G) et χ(G). La preuve du théorème suivant est admise (et il ne sera pas utilisé dans le cours). Théorème 8.1.0.1 (Brooks 1941). Soit G un graphe qui n’est ni complet ni un cycle impair. Alors χ(G) ≤ ∆G . Une coloration de E en k couleurs est une partition de E en k sous-ensembles E =

k S

Ei

i=1

telle que si e ∈ Ei , alors e n’est incidente à aucune arête de Ei . Un graphe est dit k-arêtecoloriable s’il existe une coloration de E en k couleurs. Le graphe |G| est |E|-coloriable. Le nombre d’arête-coloration χ0 (G) est le plus petit entier k tel que G soit k-arête-coloriable. Alternativement, il s’agit de χ(L(G)). Le nombre d’arête-coloration de G est plus grand que ∆G . Proposition 8.1.0.2. Soit G un graphe biparti. Alors χ0 (G) = ∆(G). Démonstration. On raisonne par récurrence sur |E|. Le résultat est vrai si |E| = 0. Supposons maintenant |E| = m > 0 et que la proposition soit vraie pour les graphes bipartis ayant moins d’arêtes. Soit ∆ le degré maximal de G. Soit e = (x, y) une arête. Considérons une ∆-coloration de G − e. Dans G − e, les sommets x et y sont de degré au plus ∆ − 1 donc il existe deux couleurs α et β telles qu’aucune arête incidente à x ne soit dans Cα et aucune arête incidente à y ne soit dans Cβ . Si on peut choisir α = β, on peut assigner e à Cα et χ0 (G) ≤ ∆(G). Sinon, il existe une arête e1 incidente à x de couleur β et une arête incidente à y de couleur α. Soit P le plus long circuit de G contenant e1 et tel que les arêtes de P sont dans Cα ∪ Cβ . Dans le sous-graphe induit par les sommets de P , les sommets sont de degré 2 au plus et x est de degré 1 donc P est un chemin. Le graphe G ne contient pas de cycle impair donc tout chemin de x à y est de longueur impaire. Donc P ne passe par y. Soit z le dernier sommet de P . Par maximalité, il existe γ ∈ {α, β} tel qu’aucune arête incidente à z soit de couleur γ. Recolorions G en échangeant α et β sur toutes les arêtes de P . Ceci produit bien un coloration de G. Maintenant, on peut choisir α = β et donc χ0 (G) ≤ ∆G . Proposition 8.1.0.3. Le graphe de Petersen vérifie χ0 (P ) = 4. Démonstration. Il est aisé de colorer les arêtes de P en 4 couleurs. Nous montrons donc que χ0 (P ) > 3. Soit une coloration des arêtes de P en 3 couleurs C1 , C2 , C3 . Le C5 externe de P est un cycle impair donc n’est pas 2-coloriable donc les trois couleurs Ci sont présentes. Soit (x, y) une arête colorée de Ci . Les arêtes (x, x0 ) et (y, y 0 ) vers le C5 interne ne sont alors pas dans Ci . Donc le C5 interne contient une arête incidente à x0 de Ci . Cette arête n’est pas (x0 , y 0 ) car x0  y 0 donc il existe une autre arête du C5 interne incidente à y 0 de Ci . Donc C5 a au moins 6 arêtes. Contradiction. Corollaire 8.1.0.4. Le graphe de Petersen n’est pas hamiltonien. Démonstration. Soit C un cycle couvrant de P . C’est un cycle pair donc ses arêtes sont 2-coloriables. De chaque sommet de P part une unique troisième arête. Colorions là en une troisième couleur. Ceci produit une 3-coloration des arêtes de P , en contradiction avec la proposition précédente. 112

8.2

Perfection

Nous avons vu que pour tout graphe G, le nombre de coloration χ(G) est supérieur au nombre de clique ω(G). Un graphe G est dit parfait si et seulement si χ(G) = ω(G) et si χ(H) = ω(H) pour tout sous-graphe induit de G. Lemme 8.2.0.1. La propriété d’être parfait est connexe-ascendante et fortement connexedescendante. Les graphes 2-coloriables sont parfaits. Démonstration. Supposons toutes les composantes connexes de G parfaites. Soit H un sous-graphe induit de G. Le graphe H est une union disjointe de sous-graphes induits Hi des composantes connexes de G. Pour chacun de ces sous-graphes χ(Hi ) = ω(Hi ) donc χ(H) = max χ(Hi ) = max ω(Hi ) = ω(H). Donc G est parfait. Si G est parfait et si C est une composante connexe de G, alors tout sous-graphe induit de C est un sous-graphe induit de G donc C est parfait. Les graphes de nombre chromatique 1 sont les graphes isolés. Ils sont effectivement parfaits. Les graphes de nombre chromatique 2 sont les graphes bipartis qui ne sont pas isolés. Un sous-graphe induit d’un graphe biparti est biparti donc isolé ou de nombre chromatique 2. Dans les deux cas, c’est bien le cardinal de la plus grande clique. En vertu de la première assertion du lemme précédent, on peut se ramener au cas des graphes connexes pour étudier la perfection. Proposition 8.2.0.2. Soit G un graphe. Tout sous-graphe induit H de G contient un stable A tel que ω(H − A) < ω(H) si et seulement si G est parfait. Démonstration. Supposons G parfait et soit H un sous-graphe induit de G. Soit A = C1 . Alors ω(H − A) = χ(H − A) = χ(H) − 1 < χ(H) = ω(H). Réciproquement, supposons que tout sous-graphe induit H de G contient un stable A tel que ω(H − A) < ω(H) et raisonnons par récurrence sur |H|. Si |H| = 1, alors ω(H) = χ(H). Supposons que χ(H) = ω(H) pour tout sous-graphe induit de cardinal inférieur à n > 0. Soit H un sousgraphe induit de cardinal n + 1. Posons C1 = A. Alors ω(H − A) = χ(H − A) < ω(H). Donc χ(H − A) + 1 ≤ ω(H) et donc χ(H) = ω(H). Donc G est parfait. Corollaire 8.2.0.3. Soit G un graphe tel que α(H) soit égal au nombre de cliques maximales de H pour tout sous-graphe induit H. Alors G est parfait. Démonstration. Sans perte de généralité, on peut supposer G connexe. Soit u un sommet de degré maximal et soit v un voisin de u. Soit w un voisin de v et x un voisin de u. Soit H le sous-graphe induit par uvwx. Alors α(H) < 3 donc H contient au plus 2 cliques maximales donc ses cliques maximales ne sont pas des K2 . Il y a donc un K3 dans H. Si u G w, alors v ∼G x donc dG (v) > dG (u), ce qui est contraire à notre hypothèse. Donc u ∼G w. Donc u est voisin de tous les sommets de G. Donc u appartient à toutes les cliques maximales de G. Donc ω(G − {u}) < ω(G). Donc G est parfait. Les graphes vérifiant les hypothèses de la proposition précédente sont appelés les graphes trivialement parfaits. Un graphe G est dit triangulé si et seulement si K3 est le seul cycle induit possible de G. Lemme 8.2.0.4 (Induction structurelle sur les graphes triangulés). La classe des graphes triangulés est définie par induction structurelle de la manière suivante. Objets initiaux : les 113

graphes complets. Opérations : Soit G1 et G2 triangulés. Alors G = G1 ∪ G2 et G1 ∩ G2 est vide ou un graphe complet. Démonstration. Appelons pour cette preuve les graphes complets ou bien s’écrivant G = G1 ∪ G2 avec G1 et G2 triangulés d’induction et avec G1 ∩ G2 vide ou un graphe complet les graphes triangulés d’induction. Les graphes complets sont triangulés. Soit G s’écrivant G = G1 ∪ G2 avec G1 et G2 triangulés et avec G1 ∩ G2 un graphe complet. Soit C un cycle induit de G. Alors C est contenu dans G1 ou G2 . Donc C est un K3 . Donc G est triangulé. Donc les graphes triangulés d’induction sont triangulés. Réciproquement, supposons que tous les graphes triangulés de cardinal n soient triangulés d’induction et soit G un graphe triangulé avec |G| = n + 1. Si G est non-connexe, c’est une union disjointe de graphes triangulés d’induction, donc de graphes triangulés. Donc il est triangulé. Si G est complet, il est triangulés d’induction. Sinon, soit u et v deux sommets non-adjacents et soit S un ensemble minimal séparant u de v. Soit C la composante connexe de u. Soit G1 le sous-graphe de G induit par les sommets de C et par les sommets de S. Soit G2 le sous-graphe de G induit par les sommets qui ne sont pas dans C. Les graphes G1 et G2 sont des sous-graphes induits de G donc sont triangulés. Ce sont des sous-graphes stricts donc ils sont triangulés d’induction. De plus, G1 ∪ G2 est égal à G et G1 ∩ G2 = S. Soit x et y deux éléments de S. Il existe un cycle contenant u, v, x, y donc un cycle de longueur minimale contenant des sommets de G1 , des sommets de G2 ainsi que x, y. Ce cycle est induit, donc il s’agit d’un K3 . Donc il existe une arête entre x et y. Donc S est complet. Donc G est triangulé d’induction. Théorème 8.2.0.1. Les graphes triangulés sont parfaits. Démonstration. Soit G un graphe triangulé. Sans perte de généralité, on peut le supposer connexe. Si G est complet, il est parfait. Sinon, il s’écrit G1 ∪ G2 avec G1 et G2 triangulés et S = G1 ∩ G2 complet. Sans perte de généralité, on peut supposer G1 et G2 parfaits. Soit H un sous-graphe induit de G et soit H1 et H2 les sous-graphes de G1 et G2 induits par les sommets de H. Les graphes Hi sont coloriables avec ω(Hi ) couleurs. Si H1 ∩ H2 est vide, alors H est coloriable avec max ω(Hi ) couleurs donc χ(H) ≤ ω(H). Sinon H1 ∪ H2 est un sous-graphe induit de S donc est complet. Quitte à permuter les classes de couleur si nécessaire, une coloration des Hi s’étend à une coloration de H. Donc χ(G) ≤ ω(H). Donc G est parfait. Théorème 8.2.0.2. Soit G un graphe. Le graphe G est parfait si et seulement si pour tout sous-graphe induit H de G, l’inégalité |H| ≤ α(H)ω(H)

(8.2.0.1)

est vérifiée. Démonstration. Si G est parfait et si H est un sous-graphe induit, on peut le colorer en ω(H) couleurs. Chacune classe de couleur est un stable de H donc a moins de α(H) sommets. Donc |H| est plus petit que α(H)ω(H). Supposons réciproquement que G ne soit pas parfait. Sans perte de généralité, on peut supposer que tout sous-graphe induit strict de G est parfait. Soit S un stable non-vide de G. Le graphe G − S est parfait donc χ(G − S) = ω(G − S). Si χ(G − S) < ω(G), alors une coloration minimale de G − S s’étend en une coloration de G en χ(G − S) + 1 ≤ ω(G) couleurs donc G est parfait. Nous savons donc que χ(G − S) = ω(G − S) = ω(G) pour 114

tout stable de G. Soit en particulier C0 = {s1 , · · · , sα } un stable de taille α(G). Pour 1 ≤ i ≤ ω(G) et 1 ≤ j ≤ α, soit Ci,j la classe de la couleur i dans une coloration minimale fixée de G − {sj }. Les sommets d’un Ci,j forment donc un stable. Les Ci,j et C0 forment donc α(G)ω(G) + 1 stables. Soit K une clique maximale fixée de G. Si K ∩ C0 est vide, alors, pour tout 1 ≤ j ≤ α, K est une clique de G − {sj } donc est colorée par toutes les couleurs de notre coloration fixée de G − {sj }. Donc K ∩ Ci,j 6= ∅. Si K ∩ C0 6= ∅, alors K ∩ C0 = {s` }. Donc K est une clique de G − {si } pour j 6= ` donc K ∩ Ci,j 6= ∅ pour tout i et tout j 6= `. Si j = `, la clique K − {s` } est colorée par toutes les couleurs de la coloration fixée de G − {s` } sauf exactement une donc il existe exactement un i tel que K ∩ Ci,` = ∅. Finalement, il existe un unique ensemble C parmi les éléments C0 , C1,1 , · · · , Cω(G),α(G) tel que K ∩ C = ∅ et lorsque K ∩ C 6= ∅, alors K ∩ C est de cardinal 1. Si C = C0 ou C = Ci,j , alors ω(C) = ω(G). Choisissons une numérotation des sommets de G et une numérotation des α(G)ω(G) + 1 stables C0 , C1,1 , · · · , Cω(G),α(G) . Soit Ki ⊂ G − Ci une clique maximale fixée. Soit A = (aij ) la matrice de taille (α(G)ω(G) + 1) × |G| dont les coefficients sont nuls sauf si le sommet j appartient à Ci auquel cas aij = 1. Soit B = (bij ) la matrice de taille |G| × (α(G)ω(G) + 1) dont les coefficients sont nuls sauf si le sommet i appartient à Kj auquel cas bij = 1. Calculons AB. L’entrée ij de AB compte le nombre de sommets k qui appartiennent à la fois au stable Ci et à la clique Kj . Il n’y en a pas par définition de Kj si i = j. Sinon, Kj ∩ Ci 6= ∅ et est de cardinal 1. Donc AB est la matrice J − Id donc est de rang n. Donc A et B sont de rang au moins n donc α(G)ω(G) + 1 ≤ n. Donc G ne vérifie pas l’hypothèse (8.2.0.1). ¯ est parfait. Corollaire 8.2.0.5. Un graphe G est parfait si et seulement si G ¯ est parfait. Supposons Démonstration. Il suffit de montrer que si G est parfait, alors G ¯ Alors H ¯ est un sous-graphe induit de donc G parfait. Soit H un sous-graphe induit de G. ¯ ¯ ¯ ¯ G donc |H| = |H| ≤ α(H)ω(H) = ω(H)α(H). Donc G est parfait d’après le théorème.

115

116

Chapitre 9

Morphismes I hear it in the deep heart’s core. (William Yeats).

9.1

Définitions

Un morphisme de graphes f de G1 = (X1 , E1 ) dans G2 = (X2 , E2 ) est une application de X1 dans X2 qui envoie un élément de E1 sur un élément de E2 . De manière équivalente : x ∼G1 y implique f (x) ∼G2 y. Ceci implique en particulier que deux sommets adjacents de G1 sont envoyés sur deux sommets distincts de G2 . Un morphisme n’est ni nécessairement injectif, ni nécessairement surjectif. L’ensemble des x ∈ X(G1 ) tel que f (x) = y ∈ X(G2 ) est appelé la fibre de f au-dessus y. Une fibre est un stable. L’ensemble des morphismes de G1 dans G2 est noté Mor(G1 , G2 ). Il contient Hom(G1 , G2 ). Si f ∈ Mor(G1 , G2 ) et g ∈ Mor(G2 , G3 ), alors g ◦ f ∈ Mor(G1 , G3 ). On note End(G) l’ensemble Mor(G, G). C’est un monoïde pour la composition. Lemme 9.1.0.1. L’image d’un graphe connexe est connexe. Démonstration. Cela résulte du fait que f préserve l’adjacence. Lorsque Mor(G1 , G2 ) est non-vide, on écrit G1 −→ G2 . Lorsque G1 −→ G2 et G2 −→ G1 , on écrit G ≡ G2 . Proposition 9.1.0.2. La relation ≡ est une relation d’équivalence. Démonstration. L’identité est un élément de Mor(G, G) donc G ≡ G. Si G ≡ H, alors G −→ H et H −→ G donc H ≡ G. Si G ≡ H et H ≡ U , alors G −→ H et H −→ U . En composant deux morphismes de Mor(G, H) et Mor(H, U ), on obtient un morphisme de G vers U . Donc G −→ U . La même démonstration en échangeant G et U montre que U −→ G. Donc G ≡ U . Si G ≡ H, il existe f ∈ Mor(G, H) et g ∈ Mor(H, G). Donc g ◦ f ∈ End(G). Lorsque de plus il existe de tels f et g vérifiant g ◦ f = Id, on dit que G est une rétraction de H et on note G ,→ H. La relation ,→, être une rétraction, est réflexive et transitive mais n’est pas symétrique. Si G est une rétraction de H et si f et g sont comme dans la définition d’une rétraction, alors f (G) est un sous-graphe de H isomorphe à G par g. C’est donc un sous-graphe induit. Si l’on identifie G et f (G), la restriction de g à G devient l’identité. Un 117

élément de la classe d’équivalence de G ayant un nombre minimum de sommets est appelé un coeur1 de G. Proposition 9.1.0.3. Les coeurs de G sont tous isomorphes. Le graphe C est un coeur si et seulement si End(C) = Aut(C). Un coeur de G est une rétraction de G. Démonstration. Soit C1 et C2 deux coeurs de G. Alors C1 ≡ C2 donc il existe f ∈ Mor(C1 , C2 ) et g ∈ Mor(C2 , C1 ). La composée g ◦ f est un endomorphisme de C1 ; soit C son image. C’est un sous-graphe induit de C1 . De plus g ◦ f appartient à Mor(C1 , C), donc C1 −→ C, et l’inclusion appartient à Mor(C, C1 ), donc C −→ C1 . Donc C ≡ C1 donc |C| = |C1 | et g ◦ f est une bijection. Donc f est une injection et g est une bijection de f (C1 ) sur C1 . L’arête (x, y) ∈ E(C1 ) est transformée par f en une arête (f (x), f (y)) ∈ E(C1 ) et (u, v) 6= (x, y) est transformée en (f (u), f (v)) 6= (f (x), f (y)). Donc le sous-graphe C3 induit dans C2 par les sommets de f (C1 ) a plus d’arêtes que C1 . Donc g(C3 ) = C a plus d’arêtes que C1 ; étant par ailleurs un sous-graphe de C1 , il lui est égal. Donc C = C1 et g ◦ f est un automorphisme de C1 . Les applications f et g sont alors également des bijections. Si f (x) ∼C2 f (y), alors g ◦ f (x) ∼C1 g ◦ f (y) donc x ∼C1 y. Donc f est un isomorphisme de C1 vers C2 . Si f appartient à End(C), alors f (C) est un sous-graphe de C donc est dans la classe d’équivalence de C. D’après la première assertion, f est donc un automorphisme. Réciproquement, si G ≡ H, alors G −→ H −→ G est un endomorphisme de G. Si tous les endomorphismes de G sont des automorphismes, appliquer cette propriété au coeur de G montre que G est un coeur. D’après l’assertion précédente, il existe f ∈ Mor(C, G) et g ∈ Mor(G, C) tels que g ◦ f ∈ End(C) = Aut(C). Composer avec g avec l’inverse de g ◦ f produit les deux morphismes de la définition d’une rétraction. Corollaire 9.1.0.4. Le coeur d’un graphe connexe est connexe. Le coeur d’un graphe sommet-transitif est un graphe connexe. Démonstration. Soit x et y deux sommets du coeur d’un graphe connexe G. Dans G, il existe un chemin de x à y. L’image de ce chemin par la rétraction de G à C est un chemin de x à y. Soit G un graphe sommet-transitif et C sa composante connexe de cardinal maximal. Soit Ci une composante connexe de G et x un sommet de Ci . Il existe σi ∈ Aut(G) tel que σi (x) appartienne à C. Alors σi (Ci ) ⊂ C. L’application qui envoie x sur σi (x) est un morphisme de G vers C. Donc G ≡ C. Il n’y a donc pas de perte de généralité à supposer que G est connexe. Son coeur est alors un graphe connexe. 9.1.0.1

Exemples :

Les graphes complets sont des coeurs. Le coeur du cycle pair C2n est l’arête isolée K2 . Soit G le graphe formé par l’union disjointe de M (M (K2 )) et de K3 (voir la sous-section 11.6 pour la notation M (·)). Alors G est un coeur non-connexe. Proposition 9.1.0.5. Le coeur C d’un graphe G sommet-transitif est sommet-transitif. Le cardinal de la fibre d’un morphisme f de G vers C au-dessus de x ∈ X(C) ne dépend pas de x. De plus, |C|||G|. 1

En Anglais, core.

118

Démonstration. Soit G un graphe sommet-transitif et C son coeur. C’est une rétraction donc il existe un morphisme f de C vers G et un morphisme g de G vers C dont la composée est l’identité. Nous identifions C avec le sous-graphe induit f (C), ce qui identifie g avec l’identité. Soit x et y deux sommets de C. Il existe un automorphisme σ de G tel que σ(x) = y. La composée de σ et de g est un endomorphisme, donc un automorphisme, de C qui envoie x sur y. Soit x ∈ X(G) et y = τ (x) un autre sommet de G. S’il existe un σ ∈ Aut(G) tel que x ∈ σ(C), alors y ∈ τ σ(C). Le cardinal N 6= 0 de l’ensemble des σ tel que x ∈ σ(C) ne dépend donc pas de x. Considérons maintenant la fibre F (z) d’un morphisme f ∈ Mor(G, C) au-dessus de z ∈ X(C). Le morphisme f induit un isomorphisme de σ(C) vers C pour tout σ ∈ Aut(G). Donc l’intersection F (z) ∩ σ(C) est un singleton pour tout σ. Si l’on énumère les F (z) ∩ σ(C) pour tout σ ∈ Aut(G), on compte N fois chaque sommet de F (z). Le cardinal de F (z) est donc |Aut(G)|/N . Il est donc indépendant de z. Le graphe G est l’union des fibres au-dessus des sommets de C donc |C|||G|. Corollaire 9.1.0.6. Un graphe sommet-transitif ayant un nombre premier de sommets et au moins une arête est son propre coeur. Démonstration. En effet, le sommet isolé n’est pas le coeur d’un graphe ayant au moins une arête.

9.2

Lien avec la coloration

Soit G un graphe k-coloriable. Une coloration de G induit alors un morphisme de G vers Kk envoyant x ∈ Ci sur le sommet i ∈ Kk . Réciproquement, un morphisme de G vers Kn induit, en prenant les fibres, une coloration de G en n couleurs. En particulier, si G −→ H, alors χ(G) ≤ χ(H) et le nombre chromatique est constant dans la classe d’équivalence d’un graphe. Les graphes complets étant des coeurs, un graphe G vérifie Kn −→ G si et seulement si G contient une clique de taille n. Donc, si G −→ H, alors ω(G) ≤ ω(H) et le nombre de clique est constant dans une classe d’équivalence. Un graphe vérifie χ(G) = ω(G) si et seulement si son coeur est Kχ(G) . Un graphe est donc parfait si et seulement si le coeur de tout sous-graphe induit est un Kn . Proposition 9.2.0.1. K2 .

1. Le coeur d’un graphe G biparti ayant au moins une arête est

2. Les cycles impairs sont des coeurs. 3. Le graphe de Petersen est un coeur. 4. M (M (K2 )) est un coeur. 5. L’union disjointe de M (M (K2 )) et de K3 est un coeur non-connexe. 1. En effet, G −→ K2 et K2 −→ G. 2. Soit C un cycle impair. Alors χ(C) = 3 et tout sous-graphe induit strict de C vérifie χ(C) ≤ 2. Donc C est un coeur. 3. Soit P le graphe de Petersen et C son coeur. Le graphe P est sommet-transitif donc C est un graphe connexe sommet-transitif, donc régulier, et |C||10. Le graphe P contient une arête donc |C| = 6 1. Il n’est pas biparti donc C 6= K2 donc |C| = 6 2. Supposons 119

|C| = 5. Alors C est régulier d’ordre k > 0 pair. Il n’y a pas de 5-cliques dans P donc C 6= K5 donc k 6= 4. Donc k = 2 donc C est le cycle C5 et la fibre au-dessus de z ∈ C5 de f : P −→ C est de cardinal 2, disons {x, y}. Les sommets x et y de P sont sur un même 5-cycle Γ. La restriction de f à Γ est un isomorphisme donc f (x) 6= f (y). Contradiction. Donc |C| = 10 et P = C. 4. Soit H un sous-graphe induit de M (M (K2 )). Alors χ(H) ≤ 3. Donc il n’exsite pas de morphismes de M (M (K2 )) vers H. 5. Soit G l’union disjointe de M (M (K2 )) et de K3 . Soit f ∈ End(G). Il n’y a pas de morphisme de K3 vers M (M (K2 )) car χ(K3 ) < χ(M (M (K2 ))) ni de M (M (K2 )) vers K3 car ω(M (M (K2 ))) < ω(K3 ). Donc f envoie M (M (K2 )) et K3 sur eux-mêmes. Comme ces deux graphes sont des coeurs, f induit un automorphisme de chacun d’entre eux, et donc un automorphisme de G. Donc G est un coeur.

120

Chapitre 10

Planarité Education doesn’t change life much. It just lifts trouble to a higher plane of regard. (Robert Frost).

10.1

Dessins, multigraphes, planarités

Un dessin (X, C) de R2 est la donnée d’un ensemble X fini de points distincts de R2 et d’un ensemble fini C ⊂ {fi (x, y, ·)|i ∈ N, (x, y) ∈ X 2 } de fonctions de [0, 1] dans R2 telles que fi (x, y, ·) soit continue, linéaire par morceaux avec fi (x, y, 0) = x et fi (x, y, 1) = y ou bien fi (x, y, 0) = y et fi (x, y, 1) = x. Un dessin est dit plan si et seulement si les seuls points de R2 dans l’image à la fois de fi (x, y, ·) et fj (x0 , y 0 , ·) sont les points de X. On appelle l’image d’une fonction de C une ligne brisée. Lorsqu’il existe fi (x, y, ·) ∈ C avec i > 0, on dit que (X, C) a une ligne brisée multiple (entre x et y). Lorsqu’il existe fi (x, x, ·) ∈ C, on dit que (X, C) a une boucle. Un multigraphe (X, C) est la donnée d’un ensemble fini X et d’un sous-ensemble fini E ⊂ {(x, y)i |i ∈ N, (x, y) ∈ X 2 }. A la différence d’un graphe, on permet donc dans un multigraphe les arêtes multiples ainsi que le fait qu’un sommet soit joint à lui-même. A un dessin D = (X, C) sans ligne brisée multiple et sans boucle est associé un graphe G = (X, E) donné par e ∈ X o X si et seulement si f0 (x, y, ·) appartient à C. Plus généralement, à un dessin D est associé un multigraphe G = (X, E) avec (x, y)i ∈ E si et seulement fi (x, y, ·) ∈ C. Un multigraphe G, et donc en particulier un graphe, est dit plan si et seulement s’il existe un dessin plan D tel que G soit associé à D par la procédure ci-dessus.

10.2

Pré-requis de topologie de R2

Deux points x et y de R2 appartiennent à la même composante connexe par lignes brisées de P ⊂ R2 si et seulement si x = y ou s’il existe un dessin D dont les lignes sont dans P avec x et y sur une ligne de D. La propriété d’appartenir à la même composante connexe par lignes brisées est une relation d’équivalence. Une partie P ⊂ R2 est dite connexe par lignes si et seulement si elle n’a qu’une seule composante connexe par lignes brisées. Le plan est connexe par lignes. Si D est un dessin tel que R2 privé des lignes de D n’est pas connexe par lignes, on dit que D sépare R. Un cycle de R2 , c’est-à-dire un ensemble homéomorphe à S 1 , sépare R2 en deux régions ayant le cycle comme frontière. Réciproquement, si un dessin D ne contient pas de sous-ensemble homéomorphe à S 1 , alors R2 − D est un ensemble connexe 121

par lignes.

10.3

Graphes planaires

Un multigraphe G = (X, E) est dit planaire si et seulement s’il existe un multigraphe plan G0 = (X 0 , E 0 ) et une bijection φ de X dans X 0 telle que (x, y) ∈ E si et seulement si (φ(x), φ(y)) ∈ E 0 . Soit G un multigraphe planaire et soit D un dessin plan qui lui est associé. Une face de D est un ouvert maximal de R2 − D. Deux faces sont dites adjacentes si l’intersection de leurs adhérences est non-vide. Lemme 10.3.0.1. Les chemins, les cycles et les forêts sont planaires. Le graphe K4 est planaire. Les chemins et les forêts n’ont qu’une seule face. Les cycles ont deux faces. Démonstration. Cela résulte de nos pré-requis de topologie. Un dessin plan est dit maximal si D∪{e} n’est pas un dessin plan pour tout e ∈ XoX−E. Lemme 10.3.0.2. Soit D un dessin plan d’ordre au moins 3. Alors D est maximal si et seulement la frontière de toutes faces F de D est un triangle. Démonstration. Si la frontière de toutes faces F de D est un triangle, alors D est maximal d’après nos pré-requis de topologie. Réciproquement, soit F une face de D un dessin plan maximal. Soit x et y deux sommets de l’adhérence de F . Les sommets x et y appartiennent à la même composante connexe par lignes de R2 − D ∪ {x, y} donc sont reliés par une ligne de D par maximalité de D. Les sommets de l’adhérence de F forment donc un graphe complet. Les lignes de la frontière de F séparent R2 donc contiennent un cycle. Supposons qu’ils contiennent un cycle de longueur 4. Ce cycle a deux faces ; soit F1 celle qui contient F . Alors l’une des lignes x1 x3 ou x2 x4 est contenu dans F1 donc l’autre sépare F1 . Donc F ne contient pas tous les sommets de C, ce qui est une contradiction. Donc ce cycle est de longueur 3. Le dual plan G∗ d’un multigraphe planaire connexe G associé à un dessin plan D de G est le multigraphe connexe construit par le procédé suivant. Soit D∗ un dessin dont les sommets sont dans chacune des faces de D. Entre deux sommets de deux faces adjacentes, il existe une unique ligne incidente à chacune des lignes de leurs frontières communes. Soit G∗ le multigraphe associé à D∗ . Le dual plan G∗∗ de G∗ peut s’identifier à G. Théorème 10.3.0.1. Soit G = (X, E) un multigraphe planaire connexe. Soit F l’ensemble des faces d’un dessin plan D de G. Alors |X| − |E| + |F | = 2. Démonstration. Soit G est acyclique. Alors G est un arbre donc |X| − |E| = 1 et D a une seule face donc la formule est vraie. Soit maintenant E 0 ⊂ E un ensemble d’arêtes et H = (X, E 0 ) le sous-graphe de G ayant pour arête E 0 . A H est associé le sous-graphe G∗H de G∗ dont les arêtes sont les arêtes correspondant aux lignes de D∗ qui ne sont pas incidentes à E 0 . Si E 0 = ∅, le graphe G∗H est le graphe dual G∗ . Au contraire, si E 0 = E, le graphe G∗H est un graphe isolé ayant autant de sommets que G a de faces. Si E 0 contient un cycle C, alors l’ensemble des lignes de C sépare R2 en deux régions dont une est bornée. Le sommet de G∗H correspondant à la face infinie de G n’est donc pas dans la composante connexe des sommets correspondant aux faces incluses dans la région intérieure de C. Le graphe G∗H est donc non-connexe. Réciproquement, si G∗H est 122

non-connexe, il existe une face qui n’est pas dans la composante connexe de la face infinie, donc cette face est bornée par des ligness homéomorphes à S 1 donc E 0 contient un cycle. Soit T un arbre couvrant de G. D’après ce que nous avons vu plus haut, le graphe G∗T est connexe. Si l’on ajoute une arête à T , donc si on supprime une arête à G∗T , on crée un cycle, donc on déconnecte G∗T . Donc G∗T est un arbre. Par construction, c’est donc un arbre couvrant de G∗ . Alors : |X| − |E| + |F | = |X(T )| − |E(T )| − |E(G∗T )| + |X(G∗T )| = 1 + 1 = 2

Ce théorème montre que le nombre de faces d’un graphe planaire ne dépend pas du choix du dessin D qui lui est associé. Corollaire 10.3.0.3. Le nombre d’arête e d’un graphe planaire G ayant n sommets est au plus 3n − 6. Plus généralement, si G est un graphe planaire dont les faces sont toutes bornées par des cycles de longueur `, alors (` − 2)e ≤ (n − 2)` Démonstration. Sans perte de généralité, on peut supposer que G est associé à un dessin plan maximal. Alors chaque face de G a pour frontière une triangle donc 2e = 3|F |. De 3n − 3e + 3|F | = 6, on déduit que 3n − 6 = e. Si toutes les faces de G sont bornées par un cycle de longueur au moins `, alors 2e ≥ `|F | donc `n − `e + `|F | = 2` ≤ `n − (` − 2)e donc (` − 2)e ≤ (n − 2)`. Corollaire 10.3.0.4. Les graphes K5 , K3,3 et le graphe de Petersen ne sont pas planaires. Le n-cube est planaire si et seulement si n ≤ 3. Démonstration. Le graphe K5 a 10 arêtes ce qui est plus que les 9 permises par la formule d’Euler. Le graphe K3,3 a 9 arêtes, ce qui est plus que les 8 permises par la formule d’Euler pour les graphes sans triangles. Le graphe de Petersen a 15 arêtes, ce qui est plus que les 13 permises par la formule d’Euler pour les graphes sans triangles ni carrés. Le n-cube a n2n−1 arêtes et est planaire seulement s’il en a moins que 4(2n−1 − 1), donc seulement si n ≤ 3. Le n-cube pour n ≤ 3 admet bien un dessin plan.

123

124

Chapitre 11

Exercices 11.1 11.1.0.1

Notions élémentaires Exercice 1 :

1. Quel est le cardinal de E(Kn ) ? 2. Combien y a-t-il de graphes dont l’ensemble des sommets est {1, · · · , n} ? 3. Y a-t-il plus de graphes connexes ou de graphes non connexes de cardinal n ? 4. Montrer que si G est k-régulier, alors L(G) est k 0 -régulier. Que vaut k 0 ? 5. Déterminer L(Pn ) et L(Cn ). Trouver deux graphes connexes distincts G et H tel que L(G) = L(H). 11.1.0.2

Exercice 2 :

1. Que vaut la somme des degrés des sommets d’un graphe ? En déduire que le nombre de sommets de degré impair d’un graphe est pair. 2. Soit G un graphe tel que |NG (u) ∩ NG (v)| soit impair pour tout (u, v) ∈ X o X. Montrer que le degré de tout sommet de G est pair. 11.1.0.3

Exercice 3 :

1. Montrer qu’un graphe de degré δG contient un chemin de longueur δG et un cycle de longueur au moins δG + 1 si δG ≥ 2. 2. Montrer qu’un graphe de cardinal n et tel que δG ≥ n/2 est connexe. 3. Soit G un graphe connexe et H un sous-graphe strict de G. Montrer qu’il existe un sommet x de G a distance 1 de H. 4. Soit P = {x1 , · · · , xk } un chemin de longueur maximale d’un graphe G connexe. Montrer qu’un voisin de x1 est successeur d’un voisin de xk seulement si P = X(G). En déduire qu’un graphe connexe contient un chemin de longueur min{2δG , |G| − 1}. 125

11.1.0.4

Exercice 4 :

1. Montrer qu’un arbre T contient au moins ∆T feuilles. 2. Un arbre binaire de racine x est un arbre ayant un unique sommet x de degré 0 ou 2 et dont les sommets intérieurs distincts de x sont de degré 3. Montrer que les arbres binaires sont caractérisés par la propriété d’induction structurelle suivante : un graphe est un arbre binaire si et seulement si c’est un sommet isolé x ou bien deux arbres binaires de racines y et z reliées à un sommet x. 3. Montrer que tout graphe connexe G contient un arbre couvrant. Soit T (G) le graphe tel que X(T (G)) soit l’ensemble des arbres couvrants de G et (x, y) ∈ E(T (G)) si et seulement si la différence symétrique de E(x) et E(y) est de cardinal 2. Montrer que T (G) est connexe.

11.1.0.5

Exercice 5 :

1. Montrer qu’un sous-graphe d’un graphe biparti est biparti. 2. Montrer qu’un graphe est biparti si et seulement s’il ne contient pas de cycle impair. 3. Montrer qu’un graphe est biparti si et seulement s’il ne contient pas de cycle impair induit.

11.1.0.6

Exercice 6 :

Donner un exemple de graphe circulant connexe qui ne soit ni un cycle, ni complet. Donner un exemple de graphe de Cayley connexe qui ne soit pas un graphe circulant.

11.1.0.7

Exercice 7 :

Le n-cube C n est le graphe de Cayley ((Z/2Z)n , {x|∃! i, xi = 1}). Que valent X(C n ) et E(C n ) ? Montrer que le n-cube est connexe et biparti.

11.1.0.8

Exercice 8 :

1. Une griffe est un arbre à quatre sommets et trois feuilles. Montrer que le graphe des arêtes L(G) d’un graphe G ne contient pas de griffe induite. 2. Montrer que si deux arbres T et U ont même graphe des arêtes ; alors T est isomorphe à U.

11.1.0.9

Exercice 9 :

1. Soit H ⊂ G un sous-graphe. Montrer que L(H) ⊂ L(G). 2. Déterminer tous les graphes G tels que L(G) = G. 126

11.2 11.2.0.1

Automorphismes Exercice 1 :

Énumérer les graphes de Cayley connexes de cardinal 4 et 7 non-isomorphes. Montrer qu’à isomorphisme près, il n’existe que deux graphes circulants connexes, de cardinal 10 et 3réguliers.

11.2.0.2

Exercice 2 :

1. Montrer que le groupe des automorphismes d’un arbre binaire a pour cardinal une puissance de 2. 2. Soit T un arbre non-asymétrique et x un sommet fixé par Aut(T ). On appelle sousarbre de u ∈ X(T ) le sous-graphe induit par l’ensemble des sommets z de T tels que le chemin de x à z passe par u. Montrer que T admet deux sous-arbres isomorphes. 3. En déduire que si Aut(T ) ne contient pas d’élément d’ordre 2, alors Aut(T ) est trivial.

11.2.0.3

Exercice 3 :

Soit S un sous-ensemble des transpositions de Sn . Le graphe G(S) = (X, E) est défini par X = {1, · · · , n} et E = {(i, j) ∈ S}. 1. Montrer que G(S) est connexe si et seulement si S engendre Sn . 2. Montrer que S est un ensemble générateur minimal de Sn (c’est-à-dire que S engendre Sn mais un sous-ensembe strict de S n’engendre pas Sn ) si et seulement si G(S) est un arbre. 3. Montre que le graphe de Cayley (Sn , S) est biparti. 11.2.0.4

Exercice 4 :

Montrer que le groupe D2n des automorphismes du cycle Cn est le groupe engendré par σ : x 7→ x + 1 et τ : x 7→ −x. Montrer que c’est exactement le groupe {hσ, τ i|σ n = 1, τ 2 = 1, τ στ = σ −1 } et donc qu’il est de cardinal 2n.

11.2.0.5

Exercice 5 :

Montrer qu’il n’existe pas de graphe connexe non-trivial de cardinal 4 au plus qui soit asymétrique. Exhiber un graphe connexe asymétrique de cardinal 6. Exhiber un arbre asymétrique. Existe-t-il des arbres binaires non-triviaux asymétriques ?

11.2.0.6

Exercice 6 :

Déterminer le groupe des automorphismes du graphe complet biparti Km,n . 127

11.2.0.7

Exercice 7 :

Soit G = (X, E) un graphe de cardinal n et Γ un sous-groupe de Aut(X) vérifiant les propriétés suivantes : pour tout x ∈ X et σ ∈ Γ, σ(x) = x seulement si σ = Id ; pour tout (x, y) ∈ X o X, il existe σ ∈ Γ tel que σ(x) = y. Montrer que G est un graphe de Cayley pour le graphe Γ. 11.2.0.8

Exercice 8 :

Montrer que le graphe de Petersen n’est pas un graphe circulant. 11.2.0.9

Exercice 9 (difficile) :

1. Soit G un graphe et soit Ci ses composantes connexes. Déterminer Aut(G) en fonction des Aut(Ci ) (on prendra garde à ce que deux composantes connexes distinctes peuvent être isomorphes). 2. Montrer que si un groupe G est le groupe des automorphismes d’un arbre T , c’est aussi le groupe des automorphismes d’un arbre T 0 qui n’est pas isomorphe à T . 3. Soit Γ la classe des groupes définie inductivement de la manière suivante. Le groupe restreint à l’identité appartient à Γ ; si (G, H) ∈ Γ2 , alors G × H ∈ Γ ; si G ∈ Γ et n ≥ 2, alors G o Sn ∈ Γ. Montrer que Γ est la classe des groupes G tels qu’il existe un arbre T tel que Aut(T ) = G.

11.3 11.3.0.1

Connectivité Exercice 1 :

(Induction structurelle sur les graphes 2-connexes) On se propose de montrer que la classe des graphes 2-connexes est la classe des graphes obtenus par induction structurelle de la façon suivante : un graphe G est 2-connexe si et seulement si c’est un cycle ou bien s’il existe un graphe 2-connexe H et Pn un chemin H − H tels que G = H ∪ Pn . On appelle les graphes construits par ce procédé graphes 2-connexes d’induction. 1. Montrer qu’un graphe 2-connexe d’induction est 2-connexe. 2. Soit G un graphe 2-connexe. Montrer que G admet un sous-graphe maximal H qui est 2-connexe d’induction. 3. Montrer que H est un sous-graphe induit. 4. Montrer que la propriété d’appartenir à H est expansive et conclure. 5. Montrer, sans utiliser le théorème de Menger, que deux sommets d’un graphe 2connexe sont sur un même cycle. 11.3.0.2

Exercice 2 :

1. Montrer que pour tout entier n, il existe un graphe connexe G et un sommet x tel que G − x ait au moins n composantes connexes. 128

2. Soit G 2-connexe avec G 6= K3 . Soit e ∈ E(G). Montrer que G − e ou G/e est 2-connexe. 11.3.0.3

Exercice 3 :

Soit G un graphe k-connexe. 1. Montrer que k sommets quelconques appartiennent à un même cycle. 2. Montrer que si G est de cardinal supérieur à 2k, alors G contient un cycle de longueur au moins 2k. 11.3.0.4

Exercice 4 :

Quelle est la connectivité du graphe de Petersen ? Quelle est la connectivité du graphe circulant (7, {1, 3, 4, 6}) ? Quelle est la connectivité du n-cube ? 11.3.0.5

Exercice 5 :

Un bloc est un sous-graphe maximal pour la propriété de ne pas avoir de séparateur de cardinal 1. Soit G un graphe. 1. Montrer qu’un bloc est un sommet isolé, ou bien une arête, ou bien un sous-graphe 2-connexe maximal. 2. Montrer qu’un cycle est contenu dans un unique bloc. 3. Montrer que l’intersection de deux blocs est vide ou bien est un unique sommet qui sépare G. 4. Soit ∼ la relation sur E(G) définie par e ∼ e0 si et seulement si e et e0 appartiennent à un même cycle de G. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence dont les classes d’équivalence sont les arêtes des blocs. 5. Supposons G connexe. Soit X1 l’ensemble de ses blocs et X2 l’ensemble des intersections entre blocs. Soit T (G) = (X1 ∪ X2 , E) avec e = (x, y) ∈ E si et seulement si x ∈ X1 , y ∈ X2 et y ∈ x. Montrer que T (G) est un arbre. 11.3.0.6

Exercice 6 :

Soit G un graphe 3-connexe non biparti. Montrer qu’il contient au moins 4 cycles impairs.

11.4 11.4.0.1

Algèbre linéaire Exercice 1 :

Soit A un anneau commutatif (non-nul). Les fonctions symétriques élémentaires à n éléments sont les polynômes symétriques : Sk =

X

k Y Xji ∈ A[X1 , · · · , Xn ]

1≤j1 1, alors G est hamiltonien. 7. Conclure.

11.6

Coloration

Exercice 1 : Soit G un graphe avec m = |E|. Montrer que : 1 χ(G) ≤ + 2

r 2m +

1 4

Exercice 2 : En utilisant la propriété d’entrelacement forte, montrer qu’un graphe G a au moins α(G) valeurs propres positives ou nulles. Exercice 3 : Soit k un entier et G = (X = {x1 , · · · , xn }, E) un graphe connexe ayant au moins une arête avec ω(G) = ω et χ(G) = k. Soit M (G) = (X 0 , E 0 ) le graphe tel que : X 0 = {x1 , · · · , xn } ∪ {y1 , · · · , yn } ∪ {z} E 0 = E ∪ {(yi , z)|∀ i ∈ {1, · · · , n}} ∪ {(xi , yj )|∀ (xi , xj ) ∈ E} On note X1 , X2 et X3 les sous-ensembles de X 0 égaux respectivement à {x1 , · · · , xn }, {y1 , · · · , yn } et {z}. 0

1. Soit K ω une clique maximale de M (G). En séparant les cas selon que les sommets 0 de K ω sont dans X1 , X2 ou X3 , montrer que ω 0 ≤ ω. 2. Supposons que M (G) soit k-coloriable et choisissons un tel coloriage. Montrer qu’il existe k sommets de G notés {xi1 , · · · , xik } tels que xij est colorié par la couleur j et tel que xij a des voisins de toutes les couleurs k 6= i. 3. En déduire que le sommet yij est de la couleur j puis une contradiction. 4. Construire M (K2 ) puis M (M (K2 )). Expliquer comment construire un graphe G ne contenant pas de triangle et de nombre chromatique supérieur à 100. 5. Montrer que si G est tel que χ(H) < χ(G) pour tout sous-graphe induit strict H, alors il en est de même pour M (G). 132

Exercice 4 : Soit G = (X, E) un graphe de nombre chromatique χ(G) = k. Supposons qu’il existe un coloriage C 0 = C10 ∪ C20 ∪ · · · ∪ Cn0 tel que |Ci0 | ≥ 2 pour tout i. L’objectif de cet exercice est de démontrer qu’il existe un tel coloriage avec n = k. Soit C = C1 ∪ · · · ∪ Ck un k-coloriage de G avec C1 = {v1 }. 1. Minorer le cardinal de X en fonction de n. En déduire qu’il existe une classe Ci de cardinal strictement supérieur à 2. 2. Montrer que, quitte à renuméroter les Ci , il existe u2 ∈ C2 de la même couleur que v1 dans C 0 . 3. Montrer que |C2 | ≥ 2. Si |C2 | > 2, construire un k-coloriage de G avec |C1 | ≥ 2 en changeant la couleur de u2 . 4. Si C2 = {u2 , v2 }, montrer que v1 et v2 ne sont pas de la même couleur dans C 0 . 5. En déduire qu’il existe C3 de cardinal supérieur à 2 et u3 ∈ C3 de la même couleur que v2 dans C 0 . Conclure si |C3 | > 2. Que peut-on faire si C3 = {u3 , v3 } ? 6. Montrer en utilisant la question (1) que le processus esquissé termine. Conclure. 11.6.0.1

Exercice 5 :

1. Un graphe G = (X, E) est dit de comparaison si et seulement s’il existe un ordre partiel ≤ sur X tel que (xy) ∈ E si et seulement si x ≤ y. Montrer que les graphes de comparaison sont parfaits. 2. Un graphe G = (X, E) est dit d’intervalles si et seulement si X est une réunion d’intervalles de R et (IJ) ∈ E si et seulement si I ∩ J 6= ∅. Montrer que les graphes d’intervalles sont triangulés, donc parfaits. Montrer que le complémentaire d’un graphe d’intervalle est parfait. 11.6.0.2

Exercice 6 :

Soit G = (X, E) un graphe et x ∈ X(G). L’expansion de G par rapport à x est le graphe G0 = (X 0 , E 0 ) avec X 0 = X ∪ {x0 } et E 0 = E ∪ {(x,0 y)|∀ y ∈ NG (x) ∪ {x}}. L’objectif de cet exercice est de démontrer que l’expansion par rapport à x d’un graphe parfait est un graphe parfait. On raisonne par récurrence sur le cardinal du graphe parfait G. 1. Formuler précisément la proposition que l’on souhaite démontrer de récurrence et traiter le cas n = 1. Soit maintenant G un graphe parfait de cardinal n et G0 son expansion par rapport à x. 2. Montrer qu’il suffit de démontrer que χ(G0 ) ≤ ω(G0 ) pour conclure. 3. Montrer que si ω(G0 ) = ω(G) + 1, alors G0 est parfait. En déduire que l’on peut supposer que ω(G0 ) = ω(G). 4. Supposons que ω(G0 ) = ω(G) et fixons un coloriage de G utilisant ω(G) couleurs. Montrer que x n’appartient à aucune clique maximale de G mais que chaque clique maximale contient un élément de la couleur de x. 5. En déduire que le sous-graphe induit H obtenu à partir de G en supprimant tous les sommets de la même couleur que x sauf x vérifie χ(H) ≤ ω(G) − 1. 133

6. Montrer que l’on peut étendre le ω(G) − 1-coloriage de H en un ω(G)-coloriage de G0 et conclure.

134

Chapitre 12

Annexes I attempted mathematics [...] but I got on very slowly. The work was repugnant to me, chiefly from my not being able to see any meaning in the early steps in algebra. This impatience was very foolish, and in after years I have deeply regretted that I did not proceed far enough at least to understand something of the great leading principles of mathematics, for men thus endowed seem to have an extra sense. (Charles Darwin)

12.1

Annexe I : Algèbre

Proposition 12.1.0.1 (Théorème de Cauchy). Si un nombre premier p divise l’ordre d’un groupe fini G, alors G contient q ≡ −1 mod p éléments d’ordre p. Démonstration. Soit Γ = (X, E) le graphe défini de la manière suivante ( ) p Y Z/pZ X = x = (x1 , · · · , xp ) ∈ G | xi = e i=1

E = {(x, y) ∈ X o X|xi = yi+1 ou xi = yi−1 } . La connaissance des p − 1 première composantes de x ∈ X le détermine entièrement donc |X| = |G|p−1 . Les applications de décalage (xi )i∈Z/pZ 7→ (xi+1 )i∈Z/pZ et (xi )i∈Z/pZ 7→ (xi−1 )i∈Z/pZ sont des bijections mutuellement inverses l’une de l’autre donc dG (x) = 0 ou 2. Donc une composante connexe de G est un cycle ou un sommet isolé. Soit C une composante connexe cyclique. Alors C est de cardinal p. Le cardinal de G est donc congruent au nombre de composantes connexes isolées modulo p. De p||X| il découle donc que p divise le nombre de sommets isolés. Un sommet est isolé dans Γ si et seulement si xi = xj pour tout i, j donc si et seulement si x1 est d’ordre divisant p. Le seul élément d’ordre 1 est l’identité. Donc il existe q ≡ −1 mod p éléments d’ordre p. Corollaire 12.1.0.2. A isomorphisme près, les deux groupes d’ordre 10 sont Z/10Z et D10 . Démonstration. Soit G d’ordre 10. Si G est cyclique, il est isomorphe à Z/10Z. Sinon, il admet d’après le théorème de Cauchy un élément d’ordre 2 et exactement 4 éléments d’ordre 5. Soit σ un tel élément ; les autres sont alors σ 2 , σ 3 , σ 4 . Donc τ σ n’est ni d’ordre 5, ni d’ordre 1, donc d’ordre 2. Donc G est le groupe diédral. Lemme 12.1.0.3. Soit Γ un groupe commutatif fini et (xi )1≤i≤n une famille génératrice de Γ. Soit (λi )1≤i≤n des entiers premiers entre eux dans leur ensemble. Alors la famille 135

(

n P

λi xi ) (qui a donc un unique élément) peut être prolongée en une famille génératrice de

i=1

Γ de cardinal n. Démonstration. Soit (λi )1≤i≤n des entiers premiers entre eux dans leur ensemble. Quitte à remplacer xi par −xi , on peut supposer que les λi sont tous strictement positifs et quitte à renuméroter, on peut de plus supposer que 1 ≤ λn ≤ · · · ≤ λ1 . Si l’entier S est égal à 1, cette renumérotation implique que n = 1 et que λ1 = 1. La famille (xi )1≤i≤n est donc réduite à x1 et le lemme est vrai par hypothèse. Maintenant, on suppose que S > 1 et que le n P lemme est vrai pour toute les familles ( µi zi ) telles que la somme des µi soit strictement i=1

inférieure à S. Dans ce cas, la famille (zi )1≤i≤n = (x1 , x1 + x2 , x3 , · · · , xn ) engendre Γ. Posons (µi )1≤i≤n = (λ1 − λ2 , λ2 , · · · , λn ). Alors n n X X µ i zi = λ i xi i=1

et

n P

µi = λ1 +

i=1

n P

i=1

λi < S. Par récurrence, la famille (

i=3

n P

µi zi ) se prolonge en une famille

i=1

génératrice de Γ. Le lemme est donc démontré. Théorème 12.1.0.1 (Théorème de structure des groupes finis commutatifs). Un groupe G commutatif fini est un produit de groupes cycliques. Démonstration. Si G est engendré par un unique élément, alors il est cyclique et le théorème est vrai pour G. Soit maintenant n ∈ N∗ et supposons maintenant que le théorème est vrai pour tout groupe commutatif fini engendré par au plus n éléments. Soit G un groupe commutatif fini engendré par n + 1 éléments (xi ). Quitte à changer d’ensemble générateur et renuméroter, nous pouvons supposer que x1 est d’ordre minimal parmi les générateurs. Le groupe hx1 i × hx2 , · · · , xn i se surjecte sur G par π : (α1 x1 , (α2 x2 , · · · , αn+1 xn+1 )) 7→

n+1 X

αi xi .

i=1

Soit x = (λ1 x1 ,

n+1 P

λi xi ) un élément du noyau. Supposons λ1 6= 0 et soit alors d le plus

i=2

grand diviseur commun aux λi . Soit µi = λi /d. Les µi sont alors premiers entre eux. D’après n+1 P le lemme 12.1.0.3, la famille (y) pour y = µi xi se prolonge en une famille génératrice de i=1

G. Or dy =

n+1 X

n+1 X

i=1

i=2

λi xi = π λ1 x1 ,

λ x xi

! =0

et d|λ1 donc d est strictement inférieur à l’ordre de x1 . C’est une contradiction. Donc λ1 = 0. Donc hx1 i × hx2 , · · · , xn i est isomorphe à G, qui est donc un produit de groupes cycliques. Corollaire 12.1.0.4. Un groupe commutatif fini G d’ordre n admet n morphismes distincts de G vers C× . Vu comme élément de Cn , ces morphismes sont orthogonaux pour le produit scalaire hermitien usuel de Cn . 136

Démonstration. Supposons que G s’écrive G1 × G2 et soit χi un morphisme de groupes de Gi vers C× . Alors χ1 × χ2 : G = G1 × G2 −→ C× 7−→ χ1 (g1 )χ2 (g2 )

(g1 , g2 )

est un morphisme de groupes de G vers C× . De plus, si χ = χ1 × χ2 et ψ = ψ1 × ψ2 sont égaux, le calcul de l’image de (g, e2 ) et (e1 , g) par l’un et l’autre montre que χ1 = ψ1 et χ2 = ψ2 . Pour montrer la première assertion, il suffit donc en vertu du théorème 12.1.0.1 de la démontrer pour le groupe cyclique Z/pα Z avec p un nombre premier. Soit alors ζ une racine primitive pα -ième de l’unité. Les pα morphismes de groupes χi définis par χi (1) = ζ i pour 0 ≤ i ≤ pα − 1 conviennent alors. Soit χ et ψ deux des n caractères construits par le procédé ci-dessus et h un élément de G. X

χ(g)ψ(g) ¯ =

g∈G

X

χ(gh)ψ(gh) ¯

g∈G

= χ(h)ψ(h) ¯

X

χ(g)ψ(g) ¯

g∈G

Donc (1 − χ(h)ψ(h))(χ|ψ) ¯ = 0. Ceci implique que (χ|ψ) = 0 ou bien que χ = ψ.

12.2

Annexe II : Analyse ∗

Soit (zn )n∈N ∈ CN une suite de nombres complexes. On dit que le produit infini ∞ Y

zn

n=1

est naïvement convergent de limite ` si la suite (Pn )n∈N∗ définie par PN =

N Y

zn

n=1

est convergente de limite `. Une condition nécessaire pour qu’un produit soit naïvement convergent est que lim zn = 1. Notons qu’un produit infini peut très bien être naïvement convergent de limite 0. ∗

N . Le produit Lemme 12.2.0.1. Soit (zn )n∈N ∈ (R× +) ∞ Y

(1 + zn )

n=1

est naïvement convergent si et seulement si la série ∞ X

zn

n=1

est convergente. 137

Démonstration. Lorsque x ∈ R, 1 + x ≤ ex donc z1 + · · · + zn ≤ (1 + z1 )(1 + z2 ) · · · (1 + zn ) ≤ ez1 +···+zn .

∗

Soit (zn )n∈N ∈ CN une suite de nombres complexes. On dit que le produit infini ∞ Y

(1 + zn )

n=1

est absolument convergent si le produit infini ∞ Y

(1 + |zn |)

n=1

est naïvement convergent. D’après le lemme 12.2.0.1, le produit infini ∞ P

absolument convergent si et seulement si la série

∞ Q

(1 + zn ) est donc

n=1

zn est absolument convergente.

n=1

Lemme 12.2.0.2. Soit

∞ Q

(1 + zn ) un produit infini absolument convergent. Alors

∞ Q

(1 +

n=1

n=1

zn ) est naïvement convergent. Démonstration. D’après le lemme 12.2.0.1, la série

∞ P

zn est absolument convergente et en

n=1

particulier lim |zn | = 0. Il n’y a donc pas de perte de généralité à supposer que |zn | < 1 pour tout n ∈ N∗ . Pour |z| < 1, ln(1 + z) est analytique et ln(1 + z) = z (1 − z/2 + · · · ) = zh(z) où h(z) une fonction analytique de limite 1 lorsque |z| −→ 0 et en particulier bornée sur l’ensemble {zn }n∈N∗ . La somme de Cauchy de log(1 + zn ) vérifie donc l’inégalité p X

|

log(1 + zn ) |≤

n=m

La série

∞ P

p X

|zn ||h(zn )| −→ 0.

n=m

log(1 + zn ) est donc convergente. En appliquant l’exponentielle, on obtient que

n=1

le produit infini

∞ Q

(1 + zn ) est naïvement convergent.

n=1

Proposition 12.2.0.3. Soit (gn )n∈N∗ une suite de fonctions à valeurs complexes toutes ∞ P définies sur un ensemble E. Supposons que la série de fonctions gn soit uniformément convergente sur E. Alors le produit E. Soit f la limite de

∞ Q

∞ Q

n=1

(1 + gn ) converge absolument et uniformément sur

n=1

(1 + gn ) et soit z ∈ E. Alors f (z) = 0 si et seulement s’il existe

n=1

n ∈ N∗ tel que 1 + gn (z) = 0. 138

Démonstration. Comme dans la preuve du lemme 12.2.0.2, il n’y a pas de perte de généralité à supposer que |gn (z)| < 1 pour tout n ∈ N∗ et tout z ∈ E. Alors |

p X n=m

log(1 + gn (z)) |≤

p X

|gn (z)||h(gn (z))| −→ 0

n=m

uniformément sur E lorsque m, p tendent vers l’infini. En particulier, la série

∞ P

log(1 +

n=1

gn (z)) est bornée sur E. L’exponentielle étant uniformément continue sur les sous-ensembles bornés de C, N ∞ P P ∞ Y log(1+gn (z)) log(1+gn (z)) n=1 n=1 e −→ e = (1 + gn (z)) 6= 0 n=1

uniformément sur E lorsque N tend vers +∞. L’exponentielle n’étant jamais nulle, le ∞ Q produit (1 + gn (z)) est nul si et seulement si l’un des termes 1 + gn (z) est nul pour n n=1

hors du voisinage de +∞ pour lequel |gn (z)| < 1.

139