Statisitca ed elaborazione statistica delle informazioni

Nella prima parte, essenzialmente descrittiva, le informazioni riguardano una sola componente, detta variabile statistica ad una dimensione, di cui vengono analizzati i principali aspetti formali, quali la posizione, la dispersione, la concentrazione, l'asimmetria, la curtosi. Si accenna anche all'entropia come misura della variabilita basata sulle frequenze. Vengono poi proposti semplici schemi di riferimento - le variabili casuali ad una dimensione per classificare le variabili statistiche. Nella seconda parte si esaminano fenomeni con due componenti e si presentano alcuni strumenti per valutarne il grado di connessione e di correlazione. Gli stessi concetti sono poi generalizzati al caso k-dimensionale nella parte quinta, dove vengono proposte due classi di modelli interpretativi dei sistemi complessi. Si tratta dei modelli di regressione in cui una variabile viene considerata dipendente dalle altre, e del modello delle componenti principali in cui una variabile multipla viene scomposta in fattori non correlati fra loro, ognuno dei quali spiega una percentuale via via minore della variabilita complessiva. Nella parte terza si esaminano le operazioni sulle variabili casuali, intese come fattori esplicativi della genesi delle distribuzioni osservate. In particolare si accenna alia teoria dei processi stocastici Markoviani quale potente strumento per l'analisi della dinamica dei sistemi e lo studio delle loro caratteristiche in condizioni d'equilibrio. Nella quarta parte, dopo una trattazione delle principali distribuzioni campionarie, si propone un approccio unitario per impostare i problemi di stima e di verifica di ipotesi sui parametri che caratterizzano una popolazione statistica.
Autor Ricci |  Fausto |  George Klosko |  Lolli |  Gabriele
107 downloads 4K Views 5MB Size
Report
Download pdf

Recommend Stories

Empty story

Idea Transcript

Fausto Ricci

doc�nte di Statistica alla Facoltà di Scienze dell'Università degli Studi di Milano e responsabile delle applicazioni scientifiche della Honeywell Information Systems Italia

Statistica

ed elaborazione statistica delle informazioni

Zanichelli

l

Copertina su impostazione grafica di Duilio Leonardi Disegni di Annamaria Riva © 1975 Nicola Zanichelli S.p.A., Bologna

Finito di stampare a Bologna nel mese di luglio 1981 da "La Fotocromo Emiliana", via Collamarini per conto della N. Zanichelli Editore S.p.A. via lrnerlo 34, Bologna

2

Ad Anna

PREFAZ I ON E l ' ope ra c he present i amo è i l frutto d i a l cun i ann i d i stud i fatt i s i a ne l l ' amb i to un i vers i ta r i o s i a a contatto d i a l tr i att i v i cen­ tr i d i r i ce rca sc i ent i f i ca . I l tema pr i nc i pa l e svo l to è l ' a na l i s i de l l a var i a b i l i tà ad una o p i ù d i mens i on i , s u l l a base d i man i festa z i on i osse rvate d i un feng meno che c h i ameremo i nforma z i on i e l ementa r i . Ne l l a pr i ma parte , essen z i a l mente desc r i tt i va , l e i nforma z i on i rl gua rda no una so l a componente , detta var i a b i l e stat i s t i ca ad una dj mens i one , d i cu i vengono a na l i zzat i i pr i nc i pa l i aspett i forma l i , qua l i l a pos i z i one, l a d i spe rs i one , l a concentra z i one , l ' as i m m e­ tr i a , l a curtos i . S i accenna anc he a l l ' e ntrop i a come m i sura de l l a va r i a b i l i tà basata s u l l e frequen ze . Ve ngono po i propost i semp l i c i schem i d i r i fer i mento - l e var i ab i l i casua l i ad una d i mens i one pe r c l ass i f i care l e va r i a b i l i stat i st i c he . Ne l l a seconda pa rte s i esam i nano fenome n i con due compone nt i e s i presentano a l cun i strument i per va l uta rne i l grado d i conness i one e di corre l a z i one . G l i stess i concett i sono po i ge nera l i zzat i a l caso k-d i me ns i ona l e ne l l a parte qu i nta , dove vengono proposte due c l ass i d i mode l l i i nte rpretat i v i de i s i stem i comp l es s i . S i tratta de i mode l l i d i regress i one i n cu i una var i ab i l e v i ene cons i de rata d i pendente da l l e a l tre , e de l mode l l o de l l e component i pr i nc i pa l i i n cu i una va r i a b i l e mu l t i p l a v i ene scomposta i n fattor i non cor­ re l at i fra l oro, ognuno de i qua l i s p i ega una pe rce ntua l e v i a v i a m i nore de l l a var i ab i l i tà comp l ess i va . Ne l l a pa rte te rza s i esam i nano l e opera z i on i s u l l e var i a b i l i ca­ s ua l i , i ntese come fattor i es p l i cat i v i de l l a genes i de l l e d i str i ­ bu z i on i osse rvate . I n pa rt i co l a re s i accenna a l l a teor i a de i pro­ cess i stocast i ci Markov i an i qua l e potente strumento pe r l ' a na l i s i de l l a d i nam i ca dei s i stem i e l o stud i o de l l e l oro caratter i st i c he i n cond i z i on i d ' equ i l i br i o . Ne l l a quarta parte , dopo una tratta z i one de l l e pr i nc i pa l i d i str i ­ bu z i oni camp i onar i e , s i propone u n approcc i o un i ta r i o per i mpost! re i prob l em i d i st i ma e d i ve r i f i ca d i i potes i s u i parametr i c he ca ratte r i zzano una popo l a z i one stat i st i ca . SI è cercato ne l testo, corredato da o l tre 1 80 esemp i svo l t i , 1 20 eserc i zi da svo l gere ed 80 f i gure , d i adotta re un l i nguagg i o r i ­ goroso ma comprens i b i l e s i a a g l i student i un i ve rs i ta r i c he a tec­ n i c i ed ana l i st i d i uff i c i stud i e r i ce rc he . Per l e d i mostra z i on i , ev i de n z i ate con r i quadr i , è s uff i c i e nte i n

VI

Prefaz i one

ge nera l e l a conoscenza d i noz i on i e l ementar i d i ana l i s i i nf i n i te s i ma l e . Fanno eccez i one i § 3 . 4, 5 . 4, 10 . 4, 1 3 . 3 , 1 3 . 8 , i l cap: V I l i , g l i esemp i 4 . 5 , 1 2 . 9 , 1 2 . 1 8 , 1 3 . 5 e g l i eserc i z i I l i 7 , I l i 1 0 , X 5 , X 6 , c he sono i nessenz i a l i pe r l a compre ns i one de l te­ sto e possono essere sa l tat i ne l l a l ettura . Ne l l e append i c i sono r i portat i l ' e l enco de i s i mbo l i e de l l e a b­ brev i az i on i usate , a l cune funz i on i e d i s uguag l i anze notevo l i , l e tavo l e nume r i c he d i uso p i ù comune i n Stat i s t i ca e R i cerca Ope r� t i va , una b i b l i ograf i a se l ez i onata e l ' i nd i ce ana l i t i co .

Pe r conc l ude re aus p i c h i amo c he i l pr i nc i p i o d i m i n i m i zzaz i one del costo d i e l a boraz i one de l l e i nformaz i on i , che ha i s p i rato l a no­ stra trattaz i one , d i vent i un cr i te r i o ope rat i vo g i à per g l i stu­ de nt i , c he i n segu i to app l i c he ranno l e tecn i c he descr i tte a l l a� l uz i one d i prob l em i conc ret i . Settembre , 1 974

I ND I C E

p.

2 7 9

12

21

25

27 3.5

44 47 50 38

51 55 57 59 63 65 67

69 75 78 86 91

PARTE PR I MA L A VAR I A B I L I TA ' AD UNA D I MENS I ON E

Cap i to l o l - VAR I AB I L I STAT I ST I C HE E VAR I A B I L I C ASUAL I 1.1. 1 . 2. 1 . 3. 1 . 4.

1.5.

Genes i de l l e var i ab i l i stat i st i che Concetto d i proba b i l i tà Sv i l uppo ass i omat i co de l l a teor i a de l l a proba& i l l tà Teorem i fondamenta l i de l ca l co l o de l l e probab i l i ­ tà Concetto d i var i a b i l e casua l e e d i fun z i one d i rl part i z i one Eserc i z i

Cap i to l o I l - GL I I ND I C I D I POS I Z I ON E E DI D I SPERS I ON E 2. 1 . 2.2. 2.3. 2.4.

l centr i d i ord i ne r A l tr i i nd i c i d i pos i z i one l pr i nc i pa l i i nd i c i d i d i s pers i one Norma l i zzaz i one e standa rd i zzaz i one La d i s uguag l i anza d i B i enaym, -Tc he byc heff Eserc i z i

Cap i to l o I l l - MOMENT I E F UN Z I ON I AD ESSE COLLEGATE 3. 1 . 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

Moment i semp l i c i e centra i i Moment i asso l ut i Fun z i one generatr i ce de i moment i Fun z i one ca ratte r i st i ca C umu l ant i Med i e d i potenze d ' ord i ne k Eserc i z i

Cap i to l o I V - L A FORMA D E L L E VAR I AB I L I STAT I ST I C HE 4. 1 . 4.2.

4.4. 4 .3.

As i mmetr i ca C u rtos i Mutua var i a b i l i tà e concentraz i one M i s ure de l l a var i a b i l i tà. basate s u l l e frequenze Eserc i z i

VI l i p.

93 93 101 117 119 123 1 25 1 29 1 32 1 34 1 38 1 42 144 149 1 54 157 165 171 173 176

179 183 1 88

191 196

l nd i ce

Cap i to l o V - L E PR I NC I PAL I VAR I AB I L I CASUAL I S.1. S.2. S.3. S.4. s.s.

Premessa Va r i a b i l i casua l i d i sc rete Va r i a b i l i casua l i cont i nue Genes i de l l e var i a b i l i casua l i Pr i me re l az i on i fra va r i a b i l i casua l i Eserc i z i

PARTE SECONDA L A VAR I AB I L I TA ' A D U E D I MENS I ON I

Cap i to l o V I - TEOR I A D E L L A CONNESS I ON E 6 . 1. 6. 2. 6.3. 6.4. 6.S.

Genes i de l l e ta be l l e a dopp i a entrata Freque nze v i nco l ate ed i nd i pende nza stocast i ca Perfetta d i pendenza b i l atera l e ed un i l atera l e Cont i ngenze e l oro propr i età I nd i c i d i conness i one Eserc i z i

7 . 1. 7 . 2. 7. 3. 7 .4. 7.5. 7.6. 7.7.

Moment i dopp i Coeff i c i ente d i co rre l az i one l i neare I nterpretaz i one geometr i ca d i p Teor i a de l l a regress i one I l pr i nc i p i o de i m i n i m i quadrat i La regress i one non l i neare Le pr i nc i pa l i strutture d i una var i ab i l e stat i st i ­ ca dopp i a Eserc i z i

Ca p i to l o V I I - TEOR I A D E L L A CORRELAZ I ON E E D E L L A REGRESS I ON E

Cap i to l o V I l i - COMPLEM ENT I SUL L E D I STR I BU Z I ON I DOPP I E 8.1. 8.2.

8. 3. 8 . 4.

Concetto di var i a b i l e casua l e a due d i mens i on i Moment i dopp i e funz i on i d i regress i one ne l cont i ­ nuo Funz i on i generatr i ce e caratterjst i ca d i una v . c . dopp i a V . c . Norma l e b i var i ata Eserc i z i

PARTE TERZA O PERAZ I ON I SULL E VAR I AB I L I C ASUAL I

1 99 206

213 218 222 227

229 230 236 238 244 247 25 1 255 256 259 262

I nd i ce

lX

Cap i to l o I X - F UN Z I ON I E SUCCESS I ON I D I VAR I A B I L I C ASUAL I 9. 1 . 9.2.

9. 3. 9.4. 9.5.

Trasforma z i on i d i var i a b i l i Va r i ab i l i casua l i somma , d i fferenza , prodotto , qu� z i ente Teorem i fondamenta l i su l l e ope ra z i on i e l ementa r i Schema d i Bernou l l i e schema B i nom i a l e Negat i vo l pr i nc i pa l i teorem i l i m i te Eserc i z i

Cap i to l o X - PROC ESS I STOC AST I C I MARKO V I AN I

10 . 1 . 10 . 2. 10 . 3 . 10 . 4 .

Concett i genera i i Catene omogenee d i Markov Ergod i c i tà de l l e catene d i Markov Process i Ma rkov i an i cont i nu i ne l tempo Eserc i z i PARTE QUARTA I NF E RE N ZA STAT I ST I C A

Cap i to l o X l - D I STR I BU Z I ON I C AMP I ONAR I E

11. 1. 1 1 . 2. 11.3. 11 .4. 11.5. 11.6.

Concetto d i popo l a z i one stat i st i ca e d i camp i one Mome nt i de l l a v . c . med i a camp i onar i a Moment i de l l a v . c . mome nto camp i ona r i o Moment i de l l a v . c . var i a n za camp i onar i a Moment i de l l a v . c . dopp i a ( M, s 2 ) D i str i bu z i one de l l a v . c . med i a camp i onar i a i n cas i part i co l a r i 264 1 1 . 7 . D i str i bu z i one de l l a v . c . var i a n za camp i onar i a ne l caso Norma l e 265 1 1 . 8 . D i str i bu z i one cong i unta d i M ed S ne l caso Norma l e 268 1 1 . 9 . V . c . d i Student 270 1 1 . ' 1 0 . V . c . d i Snedecor 27 1 1 1 . 1 1 . D i str i bu z i one de l coeff i c i ente d i corre l a z i one l i ne are 275 1 1 . 1 2 . Comp l ement i Eserc i z i 276

I nd i ce

X

Cap i to l o X l i - TEO R I A D E L L A ST I MA

p . 278 1 2 . 1 . 279 1 2 . 2 . 279 1 2 . 3 . 281 12 . 4 . 287 1 2 . 5 . 29 1 1 2 . 6 . 296 1 2 . 7 . 300

Concetto d i st i matore e s uo i requ i s i t i Cons i stenza Corrette zza Eff i c i en za Fun z i one d i veros i m i g l i a n za e suff i c i enza Metodo de i moment i e del l a mass i ma ve ros i m i g l i an za l nterva l l i d i conf i den za Eserc i z i

Cap i to l o X l i i - TEO R I A DELLA V ER I F I C A D EL L E I POTES I

I potes i stat i st i c he C r i te r i p i ù potent i ne l l a ver i f i ca d i due i potes i C r i te r i un i formemente p i ù potent i e cr i te r i non dl stort i 3 1 3 1 3 . 4 . I l c r i te r i o de l ra pporto d i veros i m i g l i a n za 3 1 5 1 3 . 5 . Ver i f i ca d i i potes i s u l l a med i a d i una v . c . Norma l e 3 1 8 1 3.6 . Confronto fra l e var i a n ze d i due v . c . Norma l i 320 1 3 . 7 . Confronto fra l e med i e d i due v . c . Norma l i 322 1 3 . 8 . D i str i bu z i one de l ra pporto d i veros i m i g l i an za per grand i camp i on i 323 1 3 . 9 . L ' ana l i s i de l l a var i a n za 326 1 3 . 1 0 . Test d i adattamento e d i i nd i pende nza 3 30 Eserc i z i 30 1 1 3 . 1 . 305 1 3 . 2 . 309 1 3 . 3 .

PARTE QU I NTA LA VAR I A B I L I TA ' A K D I MENS I ON I

Cap i to l o X I V - ANAL I S I DELLA STRUTTURA LATENTE

333 1 4 . 1 . 3 36 14 . 2 . 337 1 4 . 3 . 341 14.4. 345 1 4 . 5 . 348 349 35 1 356 359

368 37 1

Genes i de l l e var i a b i l i a k d i mens i on i M i s ure de l l a d i s pe rs i one Teor i a de l l a re gress i one mu l t i p l a l coeff i c i ent i d i corre l a z i one mu l t i p l a e pa r z i a l e Teor i a de l l e component i pr i nc i pa l i Eserc i z i

APPEND I C E A S i mbo l i ed a bbrev i a z i on i p i ù comun i APPEND I C E B - Funz i on i Gamma e Beta APPEND I C E C - D i s ugua g l i a n ze notevo l i APPEND I C E D - Tavo l e nume r i che B I BL I O GRAF I A I nd i ce ana l i t i co

P

A

R T E

LA V AR I A B I L I TA '

AD

P R l M A

UNA D I MENS I ON E

I n questa parte cons i der i amo l a var i ab i l i tà a d u n a d i mens ione , c i oè tent i amo l ' i nterpreta z i one d i un fenomeno so l tanto s u l l a ba ­ se de l l e man i festa z i on i osservate de l fenomeno stesso . I n questo amb i to ve ngono dappr i ma esam i nat i a l cu n i semp l i c i s c hem i d i c l as­ s i f i ca z i one de l l e osserva z i on i c he or i g i nano l e var i a b i l i stat i ­ st i c he , c i oè l e d i str i bu z i on i d i frequen za d i un caratte re quant i tat i vo . V i ene po i i ntrodotto i l concetto d i probab i l i tà ne l l a s u; evo l u z i one stor i ca c he ne ha mo l to m i g l i orato l ' eff i cac i a i nter ­ pretat i va , e que l l o d i var i ab i l e casua l e i ntes a come fun z i one c he fa corr i s pondere ad ogn i r i s u l tato d i un espe r i mento concreto un numero rea l e . Success i vamente i nd i c h i amo a l cun i metod i per s i ntet i zzare l e i n ­ forma z i on i conte nute i n una var i ab i l e stat i st i ca . I l processo d i s i ntes i p i ù comune cons i ste ne l sost i tu i re ad una d i str i bu z i one un un i co numero , detto centro , che s i a a l l a m i n i ma d i stan za da l ­ l ' i ns i eme de l l e osserva z i on i . A s econda de l t i po d i d i stan za sce! ta r i trov i amo i pr i nc i pa l i i nd i c i c l ass i c i qua l i l a med i a , l a me ­ d i ana e l a moda . S i hanno due s i tuaz i on i l i m i te : que l l a d i d i stan­ za nu l l a i n cu i i l centro rappresenta perfettamente l a var i ab i l e e que l l o d i d i stan za mas s . i ma i n cu i i l carattere è tutto co ncen ­ trato i n un ' un i ca c l asse e l e a l t re hanno i ntens i tà nu l l a . le m i ­ sure de i var i t i p i d i d i stan za qua l i l a dev i a z i one standard e l a dev i a z i one med i a asso l uta sono ne l l o stesso tempo m i s u re de l l a d i spers i one de i dat i ed i nd i c i d i aff i da b i l i tà , c i oè rappresentat i : v i tà , de i centr i . Quest i ed a l tr i as pett i de l l a variab i l i tà , qua ­ l i ad esemp i o i l grado d i as i mmetr i a e d i app i att i mento de l l e cur ve di frequenza , possono essere ana l i zzat i ca l co l ando o p p ortun ; med i e d i poten ze de i dat i - i moment i - eventua l mente con l ' aus i 1 i o d i part i co l ar i fun z i on i assoc i ate a l l e var i ab i l i stat i st i c he ­ fu n z i on i generatr i ce e caratter i st i ca - strettame nte co l l egate a! l e trasformate d i lap l ace e d i Fou r i er . I nf i ne vengono esam i nate l e propr i età de l l e pr i nc i pa l i var i ab i l i casua l i ad una d i mens i one, t i p i che strutture d i r i fe r i mento seco � do cu i c l as s i f i care l e var i ab i l i sta ti st i c he ed i nterpretarne l e caratter i st i c he p i ù s a l i ent i . S i comp i e cos l i l pr i mo passo, esse� z i a l mente desc r i tt i vo , per i de nt i f i care i parametr i struttura l i O. un fenomeno ed i nquadrarne l a var i ab i l i tà i n schem i d i t i po noto .

2

V ar i ab i l i stat i s t i c he e var i ab i l i c as ua l i

V AR I A B I L I

C A P I TOLO

STAT I ST I CHE

E V AR I A B I L I

GENES I D E L L E V AR I A B I L I STAT I ST I CHE

1.1.

CASUAL I

l dat i di base pe r l ' ana l i s i de l l a var i ab i l i tà ad una d i mens i one sono cost i tu i t i da un i ns i eme d i N osserva z i on i su u n ce rto feno­ meno , detto "argomento ". Una pr i ma c l as s i f i ca z i one e l ementare del l e osserva z i on i è que l l a c he or i g i na una D I STR I BU Z I ON E D I PRESEN­ ZE avente l a segue nte struttura x

x. l

N .l

n

Nn

i n cu i l e x l. sono l e determ i na z i on i de l l ' argome nto e l e N .l sono le prese n ze o numeros i tà o frequen ze asso l ute ( numero d i v0cl te i n c ui x. s i è presentato ) . l N = N1

+

N2

+

•

•

•

+

Nn

l a nume ros i tà comp l ess i va

è

S i sono r i l evate l e seguent i statu re Esemp i o 1 . 1 N =1 0 persone : 1 7 5 , 1 7 1 , 1 7 2, 1 7 5 , 1 7 2 , 1 7 2 , 1 7 1 , 1 7 3 , 1 7 2 , 1 7 5 .

�

la d i str i bu z i one d i presen ze corr i s pondente 171 2

1 72 4

173

175

1

3

di

è:

( x .l ) (N.

)

•

Def i n i amo frequenza ( re fat i va ) de l l a determ i na z i one x .l i l rapporto fra l a prese n za d i x l. ed i l tota l e de l l e osserva z i on i , e l a i !!, d i c h i amo con ( 1 .1 )

( i 1 , 2, =

• • •

n)

l

Var i ab i l i stat i st i c he e var i ab i l i cas u a l i

Nasc on o c os l l e D I STR I BU Z I ON I D I FREQU E N ZE de l t i po x .l

p l.

K

3

n

i n cu i ev i dentemente va l e l a c ond i z i one d i nor �na l i zza z i one

( 1 .2 )

n

i =1 r

p .l

1

� Esemp i o 1 .2 A l l a domanda "qua l ' è i l v ostro co l ore pre ­ fer i to? " fatta a 4 0 pers one , 2 0 persone hanno r i s post o "a zzurro" , 1 2 "ross o" e 8 "ve rde " . la d i str i bu z i one d i frequen ze corr i s pon de!!, te è :

Azzurr o 0 .5 0

R oss o 0 .3 0

Verde 0 .2 0

C ome s i vede dag l i esemp i fatt i , un arg oment o o carattere può es ­ sere : - qua l i tat i v o ( c ol ore , na z i ona l i tà , re i i g i one , ecc .) -quant i tati v o ( statu r. a , pes o, numero d i stanze d i un appartamento ecc .) Un arg omento quant i tat i vo può essere , a s ua v ol ta : - d i scret o quand o è s usce tt i b i l e d i ass ume re va l or i appartenenti a un i ns i eme f i n i t o o i nf i n i t o numerab i l e ( che può essere messo i n corr i s p onden za b i un i v oca con l ' i n si eme de i numer i natura l i ) - c ont i nuo quando pu b ass umere tutt i i va l or i rea l i appartenent i a un cert o i nterva l l o ( a , b)

Una d i str i bu z i one di frequ·e n ze re l at i va ad un argomento quant i ta ­ t i v o ( o c omunque espresso i n forma quant i tat i va ) è detta VARIABILE STAT I ST I CA ( abbrev i ata i n v .s .) ed è i nd i cata d i s o l i t o con una le ! tera ma i usc ol a ; l e s ue determ i na z i on i sono dette va l or i argomenta l i . Un i mportante m odo di caratter i zzare una v .s . è que l l o d i co ; s i de rare l a fun z i one cumu l at i va d i frequenza F ( x ) che espr i me l ; frequen za de i va l or i m i n or i o ugua l i ad un qua l unque nume r o rea l e x, l e cu i propr i età s a ranno e l encate ne l § 1 .5 par l ando de l l a fu � z i one d i r i part i z i one . Esemp i o 1 .3 lanc i and o un dado a se i facce vent i vo l te � s i s ono ottenut i quattro 1 , tre 2, tre 3, due 4, c i nque 5 e tre 6. Queste osservaz i on i orig i nano l a s e guente var i ab i l e stat i st i ca d i screta s ott o l a qua l e r i port i a mo i va l or i de l l a fun z i one cumu l ati va d i frequen za .

V ar i ab i l i stat i st i che e var i ab i l i casua l i

4

1

2

0.20

x ""

0 . 15

0.20

4

3

0.10

0. 15

0 . 35

0.50

0.60

6

5

0 . 25

0. 15

1 . 00

0 . 85

( va l or i argomentali) ( frequenze )

( frequen ze cumu late ) Not i amo che i n questo caso l a fun z i one cumu l at i va d i f reque n za è una fun z i one a grad i n i (ved i f i g . 1 .1 ) ... Quando l e osserva z i on i r i guardano un argomento cont i n uo o comunque sono mo l to numerose è opportuno operare raggruppament i i n c lass i che or i g i nano v . s . ad esemp i o de l t i po ( ved i l ' append i ce A pe r s i mbo l i ) p ,l

Def i n i amo l e g rande zze : (1.3) àx. = x.-x. 1 l 1l ( 1 .4 )

f .l

=

p l. /

...... )(n

amp i e zze des l

i

i nte rva l l i

dens i tà d i frequen za ( i=1 , 2 ,

àx.

la fun z i one c umu l at i va d i frequen za ( ved i f i g . 1 . 2 ) l

è

, n)

i n questo caso una s pe zzata • • •

Esemp i o 1 . 4 Trov i amo l e dens i tà d i freque n za de i va l or i a rgomenta i i de l l a seguente v . s . 15 - 20 12 - 15 po- 1 2 20 - 30 30 - 50 x l 0 .04 0. 18 0 . 20 0 . 40 0.18 D i s pon i amo i dat i ne l l a seguente tabe l l a i n c ui ri po rt i amo anche l e amp i e zze , l e dens i tà d i frequen za e l e frequen ze cumu l ate , i n­ d i cate con F l. �

)( i - 1

......

)( l

,

1 0 1-1 1 2

1 2 ...... 1 5

1 5 ...... 2 0 20

-!

30

3 0 ...... 5 0

f l.

pi

t:.x.

0. 18

3

0 . 06 0

20

0 . 009

l

0 . 04

2

0.20

10

0.40

0 . 18

5

0 . 020

0 . 08 0

0 . 02 0

F l.

0 . 04 0. 22

0 . 62

0 .82

1 . 00

Var i ab i l i s tat i st i che e var i ab i l i casua l i

5

Per v i s ua l i zzare l a struttura de l l e var i ab i l i stat i st i che s i r i ­ corre a l l e seguent i rappresenta z i on i graf i c he pr i nc i pa l i a ) DIAGRAMMA A SEGMENTI: graf i co cartes i ano i n cu i s u l l e asc i s­ se v i sono i va l or i argomenta l i x.l e s u l l e o rd i nate l e frequen ze p l. ( ve d i f i g . l l ) •

b ) ISTOGRAMMA : p l ur i rettango l o con bas i s ità 4'.l ( ved i f i g . 1 . 2 )

l

6x.

e con a l te zze l e den

N .B. I n un i stogramma l ' area de l p l u r i rettango l o va l e 1 . I nfat­ t i l ' area d i ogn i rettango l o è par i a F

0.25

l

0.2 0 0.1 5 0.1 o 0.05

F i g. 1 . 1 D i agramma e fun z i one cumu l at i va d i frequen za de l l a v .s . de l l ' e­ s emp i o 1 . 3 F

(x)

0.080 0.060

0.020 o.oo9

30

50

X. l

1 o 15

20

30

50

X. l

Fig. 1.2 lstogramma e fun z . cumu l at i va d i frequen za de l l a v . s . de l l ' es .1 . 4

6

V ar i ab i l i stat i st i c he e var i ab i l i cas ua l i p 1.

f.l',x. = l

l

e l a somma de l l e

va l e 1

P;

Neg l i i stogramm i deve qui nd i va l e re l a cond i z i one d i norma l i zza­ z i one , detta anche cond i z i one d ' area : n

1

f .l l', x l.

i =l

(1.5)

r

C ) I STOGRAMMA CONT I NUO : graf i co i n c ui s ul l ' asse de l l e asc i sse s i r i portano i va l or i argomenta i i x, s uppost i var i are con cont i n ui ­ tà i n un i nterva l l o ( a , b) e s ul l e ord i nate una fun z i one f ( x ) non negat i va detta FUNZ I ONE D I FREQUENZA, otte n uta ad ese mp i o i nte r­ po l ando un i stogramma de l t i po precedente con una c urva cont i n ua ( f i g . 1 . 3 ) . L ' i nterva l l o ( a , b ) è detto campo d i var i ab i l i tà de l l a v . s . La rag i one pr i nc i pa l e per c ui s i sost i t ui sce a l l ' i stogramma l a c urva d i freque n za cons i s te ne l fatto c he neg l i i stogramm i s i i pot i zza i mp l i c i tamente l a d i str i buz i one un i forme de l caratt e r e ne l l e s i ngo l e c l ass i , i potes i che s pesso è l ontana da l l a rea l tà. Ad esemp i o ne l l a f i g . 1 . 3 è i nt ui t i vo che l a frequen za d ei va l o­ r i argomenta i i compres i ne l l ' i nterva l l o ( 20,25) de bba essere maa g i ore d i q ue l l a de i va l or i compres i ne l l ' i nterva l l o ( 2 5 , 30 ) , co­ sa che è messa i n ev i de n za da l l a fun z i one d i freque n za ( tratteg­ g i ata )

, f (x) \ ' \

.. __

1012 1 5

30

20

F i g . 1.3 F un z i one d i frequenza e i s togramma

50 x

x

Fig. 1.4 F un z i one d i freque n za

Ne l caso cont i n uo l a f un z i one c umu l at i va d i freque n za è F(x) =

e l a frequen za è:

P

L

x

f( z)dz

deg l i e l ement i compres i i n un i nterval l o

(x ,x ) 1 2

V ar i ab i li stat i st i che e var i ab i l i casua l i

7

Per l e funz i o ni d i frequenza va l e l a cond i z i one d ' area seguente, perfettamente ana l oga a l l a ( 1. 5 ) :

r

( 1.6 )

a

f ( x )dx

l

Esemp i o 1.5 Dete rm i nare l a costante K i n modo c he la 2 fun z i one f ( x ) = K ( 4x-x ) poss a essere cons i d erata una fun z i one d i frequen za ne l l ' i nterva l l o ( 0 , 4 ) e determ i n are l a fun z i one cumu l a­ ti va d i frequenza corr i s po ndente . Not i amo pr i ma d i tutto che in tutto i l campo d i var i a bi l i tà (0 , 4 ) f ( x ) è non negat i va . Per l a ( 1.6 ) deve po i avers i : •

3/32

La fun z i one di freque n za cercata ha equa z i one 2 per 0 S x S 4 e va l e zer o pe r x < O e per x > 4 f ( x ) = 323 ( 4x- x) La fun z i one cumu l at i v a d i frequenza è x 2 1 3 F(x) = � ( 4 z- z 2 ) d z ..], 16 x - 32 x per O S x S 4

i o

I no l tre F ( x )=O per x < O ed F ( x ) = 1 per x > 4

Esemp i o 1.6 Ca l co l are l a probab i l i tà che l a v .s . de l l ' esemp i o precedente ass uma va l or i compres i fra 2 e 3 .

•

�

S i h a P 2 O . D èf i n i amo probab i l i tà d i A cond i z i onata a B l a probab i l i tà de l v� r i f i cars i d i A ne l l ' i potes i che B s i s i a ver i f i cato , e l a i nd i chia mo con P ( A I B) . Per ta l e probab i l i tà postu l i amo l a va l i d i tà de l l ; segue nte rego l a d i ca l co l o ( 1 . 12)

P( A l B )

( 1 . 12)

P(B l A)

P (AB) P( B )

dove P ( A B ) è l a probab i l i tà c he s i ve r i f i c h i no s i a A c h e B . Ana l 2 gemente s i ha : P(AB) P( A)

Per u n a g i ust i f i ca z i one r i goros a de l l e ( 1 . 1 2 ) ( 1 . 1 3 ) e de l fatto c he P ( A IB ) sodd i sf i ag i i ass i om i 1 - 11- 1 l l e qu i nd i s i a una proba­ b i l i tà· r i mand i amo a l F i s z . l ntu i t i vamente, va l ga i l segue nte ese !!!. pio.

� Esemp i o 1 . 1 5 S i a S = ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) l o s pa z i o d i event i e l ementar i corr i spondente a l l anc i o d i u n dado "perfetto" e s i at tr i bu i sca ad ognu no d i quest i l a probab i l i tà 1 /6 . S i a A = ( 1 , 2 , 3 ) l ' evento "usc i ta d i un numero m i nore d i 4" e B = ( 1 , 3 , 5 ) l ' eve nto "usc i ta d i un nume ro d i s par i " . L ' evento A B = ( 1 , 3 ) corr i s ponde a l l ' usc i ta d i u n numero d i s par i m i nore d i 4 . ( ved i fi g . 1 . 6 , d i agram : ma a ) . S i ha P( A ) = 3/6 P( B ) = 3/6 e P ( A B ) = 2 /6 .

L a probab i l i tà che esca u n nume ro m i nore d i 4 ne l l ' i potes i che qu� sto s i a d i s par i è , pe r l a ( 1 . 1 2 ) P ( A jB) =

�J�

= 2/ 3

Ta l e probab i l i tà poteva essere ca l co l ata i n questo caso cons i de � do come s p az i o d i event i l ' i ns i eme B , attr i bue ndo a d ogn i evento e l ementare i n esso contenuto l a probab i l i tà 1/3 e sommando l e pr2 bab i l i tà de l l ' l e d el 3 ( ved i f i g . 1 . 6 d i agramma b ) �

Var i ab i l i stat i st i c he

e

15

var i ab i l i casua l i

3

s,

- a -

- b -

F i g. 1 .6 V i s ua l i zza z i one de l concetto d i probab i l i tà cond i z i onata

Esemp i o 1 . 16 Con g l i stess i dat i de l l ' es . precedente , � s ia C =( 1 , 2 ) l ' evento"usc i ta d i un numero m i nore d i tre " . S i ha P(C ) = 2/6 C B = (l) P ( C B ) = 1/6 . la probab i l i tà c he esca u n numero m i nore d i 3 , ne l l ' i potes i c he questo s i a d i spar i , è : P ( C i B ) = 112 = 1 / 3 3/6

Not i amo deg l i esemp i come i l ver i f icars i d i un eve nto ( B ) a vo l te mod i f i ca l a probab i l i tà de l ver i f i cars i de l l ' a l tro ( A ) ed a vo l t � l a l asc i a i na l terata ( C ) . I n ge nera l e va l e l a segue nte def i n i z i o­ ne : Due event i A e B sono stocast i came nte i nd i pendent i quando i l veri f i cars i d i uno non a l tera l a probab i l i tà de l ve r i f i cars i de l l ' a l ­ tro c i oè quando : P( A )

( 1 . 14)

P( A jB)

( 1 . 15)

P ( BjA ) = P( B)

Se va l e l a ( 1 . 1 4 ) va l e anche l ' uguag l i an za come s i può d i mostrare r i cavando P(AB) da l l a ( 1 . 1 2 ) e sost i t· uend� l o ne l l a ( 1 . 1 3 ) .

16

Var i ab i l i stat i s t i che e var i ab i l i casua l i

Ad esemp i o g l i event i "usc i ta d i un nume ro d i s par i " ( B) ed "usc i ­ ta d i u n nume ro m i nore d i 3 " ( C ) sono s tocast i camen te i nd i penden­ t i i n quanto P ( C I B) = 1 / 3 = P( C )

mentre B non è i nd i pendente da I l ' evento "usc i ta d i · un numero m i n.2 re d i 4" ( A ) i n quanto P( A j B)

=

2/3

( 1 . 16 )

P(AB)

=

P( A ) P( B I A )

( 1 . 17 )

P(AB)

=

P( A ) P( B )

:/:

P( A )

Teorema de l la Probab i l i tà composta Da l l a ( 1 . 1 2 ) e ( 1 . 1 3 ) s i ott i ene

=

3/6

P( B ) P ( A I B )

c he è noto come teorema de l l a probab i l i tà compos ta . Pe r esso l a probab i l i tà che accadano due event i è ugua l e a l prodotto de l l a pn> bab i l i tà di uno, per l a probab i l i tà de l ver i f i cars i de l l 'a ltro co ;; d i z i on a ta a l ver i f i cars i de l pr i mo . Ne l caso d i event i stocast i ci mente i nd i pendent i l a ( 1 . 1 6 ) d i venta S i pub d i mostrare c he l a ( 1 . 1 7 ) è cond i z i one neces s a ri a e suff i ­ c i e nte perchè g l i event i A e B s i ano stocast i camente i nd i pe nden­ ti .

Esemp i o 1 . 1 7 Un ' urna con ti ene 2 pa l i i ne b i anc he e 2 "!!. ... re , i nd i st i ngu i b i l i a l tatto . Trovare l a probab i l i tà che estrae � do due pa l l i ne ques te s i ano e ntramb i b i anche , ne l l e due i potes i : 1 ) l e pa l l i ne vengono estratte i n b l occo 2 ) dopo ave r est r atto l a pr i ma pa l l i na ques t � v i ene r i messa ne l ­ l ' urna c he v i ene r i mesco l ata i n modo da r i c reare l a cond i z i one d i parte n za . I nd i c h i amo con A l ' evento " l a pr i ma pa l i i na è b i anc a" e con C l � vento " l a seconda pa l i i na è b i anca" . I n ogn i caso s i ha P( A )=2/ i Ne l l a pr i ma i potes i g l i event i A e C non sono i nd i pendent i in quanto dopo aver estratto una pa l l i na b i anca r i mangono ne l l ' urna 1 b i anca e 2 nere e qu i nd i P( C jA ) = 1 / 3 App l i cando l a ( 1 . 1 6 ) s i trova P( AC )

2/4

1/3

2/ 1 2

0.1Ò

Ne I l a seconda i potes i g l i event .i A e C sono i nvece i nd i pende n ti e s i ha =

•

P ( C jA )

=

P(C)

=

2/4

Nb

NB

bn Bn

Nn

- 1 -

Var i ab i l i stat i st i c he e var i ab i l i casua l i bN BN nN

Nb

NB

bn Bn nn Nn

bN BN nN NN

17

- 2 Fig.1.7 Spa z i de gl i event i per l ' estra z i orie di due pa l l i ne i n b l occo ( 1 ) o con r i genera z i one ( 2 ) App l i cando l a ( 1 . 1 7 s i trova P ( AC )

=

2.4

2/4

=

4/ 16

=

0 . 25

Nella f i g . 1 . 7 r i port i amo g l i s pa z i deg l i event i pe r i due cas - i e ­ sam i nat i , i nd i cando con b e B l e due pa l l i ne b i anc he , con n e N , l e due pa l l i ne nere e d ev i den z i ando l ' evento casua l e AC . Not i amo c he ne l c aso d i estra z i one i n b l occo mancano g l i event i e l ementa­ r i bb, BB, nn, N N , i n quanto i n questo caso una stessa pa l i i na nm può essere estratta due vo l te . Att ri buendo ag l i event i e l ementar i l a probab i l i tà 1 / 1 2 ne l pr i mo s pa z i o e 1 / 1 6 ne l secondo s i r i tro­ vano natura l mente l e probab i l i tà 2/ 1 2 e 4/ 1 6 sopra ca l co l ate . • •

Teorema de l l a probab i l i tà asso l uta e teorema d i Bayes

Dato uno s pa z i o di event i e l ementar i S cons i der i amone una partizio ne formata dag l i event i casua l i A 1 , A 2 , , A n ( g l i A i sono qu i n: d i i ncompat i b i l i e l a l oro un i one è ugua l e ad S ) e cons i deriamo un evento casua l e qua l s i as i B. Ta l e evento può man i festars i i ns i e m e ad A 1 oppu re i ns i eme ad A 2 , A 3 , , A n . Pos s i amo qu i nd i scri vere ( ve d i f i g . 1 . 8 ) • • •

•

•

•

Fig. 1 . 8 Part i z i one d i uno s pa z i o d i eve nt i ( n=3 )

18

V ar i ab i l i stat i st i c he e var i ab i l i casua l i

Dato c he g l i i ns i em i A .l B s o no d i sg i unt i poss i amo scr i vere ( 1 . 18)

P(B)

n I: P( A .l B) i =l

App l i cando ad ogn i term i ne de l secondo membro l a ( 1 . 1 6 ) s i ha ( 1 . 19 )

P( B )

n I: P( A l. ) P( B l A l. ) i =l

La ( 1 . 1 9 ) è nota come teorema de l l a probab i l i tà ass o l uta ed è v� l i da anche ne l caso d i i nf i n i t i event i per cu i ne i s uccess i V I rl fe r i ment i a ta l e for mu l a non i nd i ch eremo l ' estremo s u per i ore n .

Esemp i o 1 . 1 8 Ne l caso de l l ' esecu z i one d i un programma su un e l aboratore v i e ne i mpegnata un ' un i tà a nastro magnet i co per i l 40% de l tempo ed un ' un i tà a d i sco per i l 60% ( trascur i amo temp i d i ca l co l o de l l ' un i tà centra l e ) . S i sa c he es i ste una pro­ bab i l i tà d i errore che pe r l ' un i tà a nastro è par i a 2 x 1 0 -6 e que l l a a d i sco è 10 -6

�

Cua l ' è l a probab i l i tà g l oba l e d i errore? I nd i c h i amo con A 1 e A 2 r i s pett i vamente g l i event i "ut i l i zzo de l nastro" e "ut i l i zzo de l d i sco" e con B l ' evento "ver i f i cars i d i un errore" . App l i cando l a ( 1 . 1 9 ) s i ha : P( B ) = 0 . 4 ( 0 . 000002 )

+

0 . 6 ( 0 . 0 0000 1 ) = 0 . 000001 4

�

Una d i retta conseguen za de i teorem i de l l a probab i l i tà composta e de l l a probab i l i tà asso l uta è i l teorema d i Bayes es presso da l l a formu l a ( 1 . 20 )

P ( A K IB)

(K

1 , 2,

• • •

)

dove l e A . rappresentano una part i z i one d i uno spaz i o deg l i even 1 senso c h i ar i to i n precede n za e B è un evento cas ua l e t i ne l qua l unque .

D i mostraz i one .

19

Var i ab i l i stat i st i c he e var i ab i l i casua l i

P( Ak / B )

Da l l a ( 1 . 1 2 ) e da l l a ( 1 . 16 ) s i ha : P( A k ) P( B/A k ) P( B )

Sost i tuendo a l denom i natore l a ( 1 . 1 9 ) s i ott i ene l a ( 1 . 20 ) c .v.d.

I l teorema d i Bayes è anche noto come teorema de l l a probab i l i tà de l l e cause i n quanto i n teor i a pe rmette d i va l utare l a probab i ­ l i tà che u n evento A . s i a stata l a "caus a " de l ve r i f i cars i d i un evento B . La va l utazione è tanto p i ù aff i dab i l e quanto p i ù so n o aff i da b i l i l e st i me de l l e probab i l i tà P( A .l )

Esemp i o 1 . 1 9 Se s i ver i f i ca un errore ne l l ' e l aboraz i o­ ne de l programma d i cu i a l l ' es . 1 . 1 8 qua l ' è l a probab i l i tà c he questo s i a dovuto a l l ' un i tà nastro? E a l l ' un i tà a d i sco? App l i ­ cando l a ( 1 . 20 ) s i ha che l a probab i l i tà che l ' errore s i a dovuto a l nastro è �

0 . 4 ( 0 . 00000 2)

0 . 4 ( 0 . 000002 ) + 0 . 6 ( 0 . 000001 )

-------

=

8

14

-

I nvece l a probab i l i tà c he l ' errore s i a dovuto al d i sco è : P( A 2 /B )

=

0 . 6 ( 0 . 00000 1 ) 0 . 000001 4

-------

=

0 . 57 1

0 . 4 29

c he s i poteva ca l co l are anche facendo i l comp l emento ad 1 de l l a probab i l i tà precedente . �

App l i ca z i one comb i nata de i teorem i de l l a probab i l i tà composta e tota l e .

La va l uta z i one d i probab i l i tà s u l l a base so l tanto de l l o s pa z i o de g l i event i a vo lte può essere mo l to onerosa : s i pens i so l tanto � l a d i ff i co l tà d i rappresentare g l i s pa z i de l l a f i g . 1 . 7 ( es . 1 . 1 7 ) s e l e pa l l i ne b i anche e nere fossero so l o una dec i na . Da questo punto d i v i sta i teorem i de l l a probab i l i tà compo sta e tota l e per­ mettono un rap i do c a l co l o anche de l l e probab i l i tà d i event i com­ p l ess i , s pec i a l mente ne l caso d i event i i ncompat i b i l i i n cu i va l e l a fo rmu l a

20

(1 .21 )

Var i ab i l i stat i st i c he e var i ab i l i cas u a l i P( I: A l. ) •

l

I: P(A .l )

Un c aso part i co l armente sempl i ce è que l l o i n cu i ogn i evento ca­ s u al e A.l ha l a stessa probab i l i tà per c u i i l prob l ema s i r i duce al ca l co l o d i ta l e probab i l i tà c he va po i mo l t i p l i cata per i l numero deg l i event i A l .

•

� Esemp i o 1 . 20 Da un ' urna c he cont i ene 5 pa l l i ne b i anche , 7 nere ed 8 ros s e , se ne estraggono 9 . Trovare l a probab i l i tà c he fra queste ve ne s i ano 2 b i anche , 3 ne re e 4 rosse , ne i Ì e due i po tes i ( 1 ) d i estra z i one i n b l occo e ( 2 ) d i estra z i one co n r i gene ri z i one ( re i mm i ss i one d i ogn i pa l i i na ne l l ' urna dopo l ' estra z i one ) . I nd i c h i amo con B BNNN RRRR un evento cas u a l e "favorevo l e " . la prob!_ b i l i tà d i ta l e evento è , ne l caso d i estra z i on i i n b l occo -7 � _l _l • p ( 1 ) =_i 20 _i 1 9 1 8 _& 1 7 _i 1 6 1 5 1 4 _& 1 3 _i 1 2 1 1 57 1 0 •

•

•

•

•

•

•

-

Ne l caso d i estra z i on i con r i genera z i one i nvece s i ha : 2 4 3 686 x 1 0 - 7 p ( 2 ) -(�) (�) ( 2�) -

v

�

=

Tal i probab i l i tà vanno mo l t i p l i cate per i l nume ro de l l e permuta ­ z i on i con r i pet iz i one d i 9 oggett i ( l e 9 estraz i on i ) d i cu i 2 d i t i po B , 3 d i t i po N e 4 d i t i po R , dato da 9! p 1 . 260 2! 3! 4! 2, 3, 4 =

le probab i l i tà d i ottenere ( i n u n ord i ne qua l s i as i ) due pa l l i ne b i anche , tre nere e quattro rosse sono qui nd i - ne l caso d i estra z i one i n b l occo p ( 1 ) a 1 260 X 1 1 57 X 1 0 - 7 0 . 145

- ne l caso d i estra z i on i con r i genera z i one =

Genera l i zzando i l proced i mento segu i to i n questo esemp i o s i otte � gono l e d i str i bu z i on i b i nom i a l e , mu l t i nom i a l e ed i pergeometr i ca , che vedremo i n segu i to .

Var i a b i l i stat i st i c he e var i ab i l i casua l i

21

CONCETTO D I VAR I A B I L E CASUALE E D I F UN Z I O N E D I R I PART I ZIONE

1.5

Una var i ab i l e casua l e X è una fun z i one ( c he deve s odd i sfare a con d i z i on i abbastanza genera l i come fra poco prec i seremo ) def i n i ta� un i ns i eme S d i èvent i e l eme ntar i c he fa corr i s pondere ad ognuno d i ess i un nume ro rea l e x . Cons i der i amo ad esemp i o l ' estra z i one con r i generaz i on e d i due pal l i ne da un ' urna c he con t i ene una pa l l i na b i anca ( B) ed una nera ( � 1 1 nume ro d i pa l l i n e b i anche estratte è una var i ab i l e casua l e (che da ora i n po i abbrev i eremo i n v . c . ) che pu � assumer e i v a lor i O, 1 e 2 come è m esso i n ev i de n za a l l o sc hema seguente Event i e l ementar i x

�

:

:

o

Se assoc i amo ad ogn i eve nto e l ementare l a probab i l i tà 1 /4 ed at­ tr i bu i amo ad ogn i va l ore x l a probab i l i tà de l l ' evento casua l e cor r i s pondente , poss i amo mettere l a v . c . X sotto l a for ma seguente (NN ) o

x

0 . 25

( N B, BN )

( BB)

1

2

0 . 50

0 . 25

I n prat i ca i l r i fer i mento ag l i event i e l ementar i è sempre i mp l i cl to, e l a v . c . precede nte v i e ne mess a ne l l a forma x

-l

o

0 . 25

1

0 . 50

2

0 . 25

Prec i s i amo ora sotto qua l i cond i z i on i una fun z i one è una va­ r i ab i l e cas ua l e . S i a X ( x ) una fun z i one rea l e def i n i ta su l l ' � s i eme S deg l i event i e l ementar i . L ' i ns i eme A d i tutt i g l i e­ vent i e l ementar i s a i qua l i l a fun z i one X ( s ) assegna va l or i appartenent i ad u n certo i ns i eme G è c h i amato i mmag i ne in v e � s a o contro i mmag i ne de l l ' i ns i eme G . Ne l l ' u l t i mo esemp i o l ' i mmag i ne i nversa d i G � ( 1 ) è l ' i nsi e­ me A = ( N B, BN ) ; l ' i mmag i ne i nversa d i G = ( 0 , 1 , 2 ) è l ' i ntero s pa z i o deg l i event i S = ( NN , N B, BN , BB) C i � premesso una fun z i one rea l e ad un so l o va l ore def i n i t a s u l l ' i ns i eme S d i event i e l eme ntar i è una var i ab i l e casua l e se l ' i mmag i ne i nversa d i ogn i i nt erva l l o l del l a forma ( - �, x ] è un evento casua l e

22

Var i ab i l i stat i s t i c he e var i ab i l i cas ua l i

Per ogn i nume ro rea l e x r i s u l ta abbastan za natura l e porre l a b ab i l i tà P ( X :S; x ) c he l a v . c . X as suma va l or i m i nor i o ugua l i ugua l e a l l a probab i l i t à deg l i event i casua l i corr i s ponde nt i , abb i amo g i à i mp l i c i tamente fatto ne l l ' u l t i mo esem pi o do ve ·si P ( X :S; O )

P(NN )

0 . 25

0 . 75

P( N N , N B, BN )

P( X :S; 1 )

P( X S 2 )

P( S )

=

1

pro­ ad x come ha :

La fun z i one P ( X :S; x ) è detta fun z i one d i r i part i z i one ed è forma l ­ mente i dent i c a a l l a fun z i one cumu l at i va d i frequenza def i n i ta ne l § 1 . 1 . A questo punto è opportuno operare una d i st i n z i one fra v . c . d i sc rete e cont i nue , come g i à abb i amo fatto pe r l e v . s . Var i ab i l i cas ua l i d i screte sono que l l e i n cu i X può ass umere va l � r i x .l app artenent i a d un i ns i eme d i screto . I nd i c h i amo con p l. la probab i l i tà d i x., I pos t a ugu al e a que l l a de l l ' evento cas ua l e cor­ r i s pondente . Se l e x i sono i n nume ro f i n i to l a v . c . X ha la struttur a seguente x =

!

x

=

"2

l

x

x.

• • •

l

n

( va l or i argome nta i i )

( probab i l i tà ) p .l . . . P n n i n cu i ev i denteme nte t p .l = 1 ( ved i l a 1 . 2 ) i =l p2

pl

• • •

La fun z i one d i r i part i z i one d i X è data da : ( 1 . 22 )

F(x)

=

l

t

x . Sx

p .l

ed è un a fun z i one a grad i n i non dec rescente con u n nume ro f i n i t o d i d i scont i nu i t à, ove è cont i nu a a de stra , ta l e che ( ved i f i g . l. � F(x) F(x)

O per

1 per

x0

c.v.d.

L e formu l e ( 2 . 4 ) e ( 2 . 5 ) hanno s i gn i f i cato so l tanto s e l a ser i e oo � j x l. j p l. e l ' i ntegra l e l x l f ( x )dx sono convergent i , i n c ai =l so contrar i o s i d i rà c he l a d i str i bu z i one che s i sta cons i derando non poss i ede med i a . Qua l ora s i cons i de r i un gruppo d i va l or i arg� menta l i ( x 1 , x 2 , , x n ) , c he pub sempre i nte rpretars i come una v . s . con frequen ze p. tutte ugua l i ad 1/n, l a ( 2 . 3 ) d i venta

/

-oo

• • •

l

(2.6)

n � = ­nl L x .l i -= 1

Dato c he � m i n i m i zza l a somma de i quadrat i de l l e d i ffe ren ze frase stessa ed i va l or i argomenta l i d i una d i str i bu z i one X s i pub d i re c he l a med i a ar i tmet i ca è i l m i g l i or i nd i ce d i pos i z i one ne l sen­ so de i m i n i m i quadrat i .

29

Pos i z i one e d i s pe rs i one

Esemp i o 2 . 1 Ca l co l are l a med i a de l l e v . s . deg l i esemp i 1 . 3 e 1 . 5 . Ne l pr i mo caso s i ha

�

� = 0 . 20 + 0 . 30 + 0 . 45 + 0 . 40 + 1 . 25 + 0 . 90

Ne l secondo s i ha

( 4x-x 2 )dx

3 . 50

2

la med i ana come centro d i ord i ne l Quando r=l l e ( 2 . 1 ) e ( 2 . 2 ) espr i mono l a med i a de i va l or i asso l u­ t i de l l e d i ffere n ze fra i va l or i argomenta l i e c 1 ed i l centro co� r i s pondente è l a med i ana Ile , c he può def .i n i rs i come que l va l ore , che d i v i de i n due grupp i ugua l mente numeros i una d i str i bu z i one X . S i hanno i cas i seguent i a ) Dato un gru ppo ( x 1 x 2 x n ) d i va l or i argomenta i i ord i nati in modo non decrescente !.l e è i l va l ore centra l e , se n è d i s par i , o qua l unque va l ore compreso fra i due centra l i , se n è par i .

� Esemp i o 2 . 2 la med i ana de l gruppo ( 3 , 7 , 9, 14, 16 ) è u e �9 e que l l a de l gruppo ( 3 , 7 , 9 , 1 4 ) è qua l unque va l ore ta l e c he � �eS 9 ( a vo l te i n quest ' u l t i mo caso s i ass ume come med i ana l a med i a de i due va l or i centra l i : ne l l ' esemp i o s i avre bbe �e = ( 7+9)/2 8 ) •

b) Data una v . s . t i nua l a med i ana F ( �e )

Se F ( x ) (2.7)

è

=

0.5

con fun z i one cumu l at i va d i frequen za F ( x ) con­ que l va l ore � e ta l e c he =

X è

der i vab i l e s i ha : �e f ( x )dx 0 . 5

J

-

D i mostr i amo c he �e m i n i m i zza l a ( 2 . 2 ) c he i n questo caso d i ­ �e venta ( ponendo c 1 � , f ( x )dx=dF e à ( x-C )dF ) c =

J

Pos i z i one e d i spers i one

30

Ji

-oo

x-C I dF = Ile

!

-oo

( C-x ) dF + Ile

"

f c

( x-C )dF =

il

e

f

( C-x )dF

-f

= 0 . 5 ( C-11e ) +

ji

x-11e l dF + 0 . 5 ( 11e -C ) + 2 � =

Il e

( x-C ) dF � O s i ha c he per qua l unque C

=

=

-oof

�

-oo

-

[ c

l a (2.2)

-l

c

-oo

( C-x )dF +

f c

( x-C ) dF +

Il e

00

( x-C )dF =

l x- Ile i dF + 2 �

Dato c he � =

x

C

S i ha :

Esemp i o 2 . 3 O � x < + oo f ( x ) = e -x

i l c he d i mostra c he 11e rende m i n i ma

C a l co l are l a med i ana de l l a v . s .

c .v.d.

S i ha F ( x ) =

Deve essere : - Il 1 -e e = 0 . 5

l

o

Pos i z i one e d i s pe rs i one

x -z e dz=1 -e -x

Ile = l og 2 � 0 . 6 9 3

31

x

F i g. 2.2. Med i an a d i una v . s . cont i nua

�

Qua l ora F ( x ) s i a cont i nua ma non der i vab i l e per trovare l a med i a­ mi occorre fare u n'' i nterpo l a z i o ne . Esemp i o 2 . 4 Trovare Il e de l l a v . s . de l l ' esemp i o 1 . 4 . S i ha : F ( 1 5 )=0 . 22 F ( 20 )=0 . 6 2 e per def i n i z i one F ( !le )=0 . 50

•

( Ile - 1 5 ) : ( 0 . 50-0 . 22 )=( 20- 1 5 ) : ( 0 . 6 2-0 . 22 ) da cu i Ile =1 8 . 5

c ) Med i ana d i una v . s . a l l e cond i z i on i x r:s; Il e

E

(2.7) bis

x iE

=

a

2.3.

l PR I NC I PAL I

I ND I C I

DI

D I SPERS I ON E

Ne l l e pag i ne precedent i abb i amo v i sto a l cun i mod i per condens are l e i nformaz i on i contenute i n un gruppo d i osse rva z i o n i e p i ù in g!. nera l e i n uria var i ab i l e stat i s t i ca , i n un un i co numero detto "ce.!l tro" . E ' i ntu i t i vo che occorra assoc i are ad esso i nd i c i che d i ano i nformaz i on i su l l a sua aff i dab i l i tà e rappresentat i v i tà , c he s arà tanto magg i ore quanto m i nore è l a d i spe rs i one, c i oè l a "d i stan za" de l l e osserva z i on i da l centro . I l p i ù i mportante i nd i ce d i d i s pe� s i one è l a var i anza che è i l m i n i mo va l ore ass unto da l l a "d i stan za" ( 2 . 1 ) quando r=2 e ne i due cas i pr i nc i pa l i ( v . s . d i screte co;

Pos i z i one e d i s pers i one

un numero f i n i to d i va l or i e v . s . cont i nue ) è data da : ( 2 . 23)

( 2 . 24 )

a

a

39

2 = nr ( x - � ) 2 p . . l i =l l 2=

/""'

( x-� ) 2 f ( x )dx

-

( purchè l ' i ntegra l e s i a asso l utame nte convergente ) Da l l a def i n i z i one s i ha che l a var i an za = O se e so l o se X = � cioè se tutt i i va l or i argomenta i i d i una v . s . sono ugua l i fra l oro ( e qu i nd i ugua l i a l l a med i a ) . Neg l i a l tr i cas i i nvece l a var i an za è magg i ore d i zero . Strettamente co l l egato a l l a var i a n za è l o � to guadrat i co med i o o dev i a z i one standard dato da n

r

Vi =l

( 2 . 25 )

vJ -

""'

( x . -Jl ) 2 p .l l

( x- Jl ) 2 f ( x )dx

c he ha l e propr i età g i à v i s te per l a var i anza ed i no l tre è es pre� so ne l l a stessa un i tà d i m i s ura de l l a med i a . A i f i n i de l ca l co l o prat i co sono mo l to i mportant i l e re l az i on i s� guant i n

2

( 2 . 26 )

a

( 2 . 27 )

a =

r

. .. t

2

!""'

-

x i 2 P i - ll 2

x 2 f ( x ) dx-� 2

D i mostr i amo l a ( 2 . 26 ) . Svo l gendo l a ( 2 . 2 3 ) s i ha : 2 2 2 a = r x . p . - 2 r x . llP . + r Il P . = l l l l l 2 2 r x .l p .l - 2 � r x i p i + Il r p .l

=

= r x l. 2 p . - 2 ll 2 + � 2 da cu i s i ott i ene l a ( 2 . 2 6 ) , ave!!. do tenuto presente l a ( 1 . 2 ) e l a ( 2 . 3 ) l

c.v.d.

Pos i z i one e d i s pe rs i one

40

La ( 2 . 26 ) che ne l caso part i co l are d i u n gruppo d i osserva z i on i ' " 2' • • · ' " n ass ume l a forma n a 2 = -n1 r x .l 2 i =1

( 2 . 28 )

n

2 r x l. n i =1

!

i l pr i mo esemp i o che i ncontr i amo d i formu l a c he pe rmette d i re� l i zzare un r i s parm i o s u l costo de l l a e l abora z i one de l l e i nforma ­ z i on i , i n ossequ i o a pr i nc i p i che hanno i s p i rato tutta l a nostr a tratta z i one . Per ch i ar i re quanto affermato s uppon i amo che l e x,s ia no reg i strate s u un supporto magnet i co ( nastro , d i sco ) d i un e i a : borato re . I l ca l co l o de l l a var i an za con formu l e t i po l a ( 2 . 2 3 ) e­ s i ge che l a str i nga de l l e x s i a l etta due vo l te : una pr i ma vo l ta per ca l co l are l a med i a � ed una seconda vo l ta per ca l co l are i qu� drat i de l l e d i fferenze x-� . Ut i l i zzando l e ( 2 . 26 ) o ( 2 . 28 ) i nvece l a str i nga de l l e x v i ene l � ta una vo l ta so l a , accumu l ando i n due tota l i zzator i l a somma de l ­ l e x e de i suo i quadrat i : quando l e osse rva z i on i sono mo l to nume­ rose i l r i s parm i o ne i temp i d i e l abora z i one pub d i ventare abbast� za cons i stente . è

Esemp i o 2 . 1 3 Ca l co l are con l a ( 2 . 23 ) e l a ( 2 . 26) l a va­ r i an za e l a dev i a z i one standard de l l a v . s . l a cu i d i str i bu z i one è r i portata ne l l e pr i me due co l onne de l l a tabe l l a seguente

�

x .l

1 3 9 15 17

p l.

0 . 05 0 . 10 0 . 70 0 . 10 0 . 05

xipi

0 . 05 0 . 30 6 . 30 1 . 50 0 . 85

�=9 . 00

x i2p i

0 . 05 0 . 90 56 . 70 22 . 50 1 4 . 45

94 . 60

S i ha anche a2 =94 . 60 - 9 2 = 1 3 . 60 . a "" V1 3 . 60 = 3 . 69

x i -�

-8 -6 o 6 8

( x l. -� ) p l

-0 . 40 -0 . 60 o . oo 0 . 60 0 . 40

( x . -� ) 2 p l. l

3 . 20 3 . 60 o . oo 3 . 60 3 . 20

a� 1 3 . 60

L a dev i a z i one standard è

...

Es i ste un ' i nteress ante i nterpreta z i one geometr i ca de l l a dev i a z i �

Pos i z i one e d i s pers i one

41

ne standard a . Cons i der i amo un gruppo d i tre va l or i argo m e n tal i non negat i v i x 1 , x 2 , x 3 cu i assoc i amo un punto X ( x 1 , x 2 , x 3 ) i n uno spaz i o euc l i deo a tre d i mens i on i e cons i der i amo tutt i i pun­ t i ta l i che ( 2 . 29 )

x1 + x2 + x3

=

T ( costante )

dove T è l ' i ntens i tà comp l es s i va d i un certo carattere ( ad esem­ p i o T= redd i to comp l ess i vo d i un gruppo d i tre pe rsone ) L ' equaz i one ( 2 . 29 ) rappresenta un p i ano che i ncontra g l i ass i c� ord i nat i ne i punt i A ( T, O , O ) B ( O , T, O ) C ( O , O , T ) ( ved i f i g . 2 . 6 ) c

F i g. 2.6 I nterpreta z i one geometr i ca d i � e

a

Per l a pos i t i v i tà de l l e X c i i nteressa so l o l a parte d i p i ano com pres a ne l pr i mo ottante . Ogn i punto d i ta l e parte d i p i ano corr i ­ s ponde ad una r i part i z i one de l l ' i ntens i tà comp l ess i va T fra i tre i nd i v i du i cons i derat i . l punt i A, B, C, corr i s pondono a l l a s i tu� z i one detta d i concentra z i one mass i ma i n cu i un so l o i nd i v i duo concentra i n sè tutto .i l carattere . I l punto M ( �. �. � ) dove

42

Pos i z i one e d i s pe rs i one

corr i s ponde a l l a s i tuaz i one d i var i ab i l i tà o concentra z i one nu l l a i n c u i i l carattere è un i formemente r i pa rt i to . Una natura l e m i su­ ra de l l a var i ab i l i tà di X s i ott i ene cons i derando l a d i stan za eu­ c i i dea di X da M data da : ( 2 . 30 )

I n uno spaz i o ad n d i mens i on i s i ha

( 2 . 31 )

d(X, M) =

n

V i =1 ( x . - 11 ) E

l

2 = a Vn

da cu i s i vede che a è propor z i ona l e a l l a d i stanza euc l i dea fra un ,gener i co punto-osserva z i one X ( x , x , • • • , x n ) da l punto di var i abl 2 1 l i tà nu l l a M ( l1 , 11r • • • r l1 l

Qua l ora s i cons i der i un a l t ro t i po d i d i stan za e s i ponga r= 1 ne l l a ( 2 . 1 ) l a pr i nc i pa l e m i s ura de l l a d i s pe rs i one è l a dev i a z i one �e­ d i a asso l uta ( da l l a med i a ) data da ( 2 . 32 )

( 2 . 33 )

6 ""

6 ""

n

i =1 I:

j'""

-

l x . -11 1 p . l

l

l x- 11 1 f ( x ) dx

Meno usata, anche se teor i camente p i ù "coerente" co l t i po d i d i ­ stanza sce l ta , è l a dev i az i one med i a asso l uta da l l a med i ana ( 2 . 34 )

( 2 . 35 )

e

6 ..

6

e=

n

r

i -=1

l

x .l - 11e

!"" l l

-

l

P;

X - 11e f ( x )dx

Co l term i ne dev i a z i one med i a asso l uta, s pesso abbrev i ato i n MAD ( mean abso l ute dev i at i on ) , s i fa r i fe r i mento però so l tanto a l l ' in

Pos i z i one e d i s pe rs i one

43

d i ce c he abb i amo i nd i cato con 6 ( che i n a l tr i test i , s pec i a l men­ te d i r i cerca operat i va, v i ene i nd i cato con 6 ) Dato che 6 è l a med i a ar i tmet i ca deg l i scart i l X-11 1 e che a -ved i l a ( 2 . 25 ) - �uò ven i re i nterpretata come l a med i a quadrat i ca di t� l i scart i , per l a ( 2 . 22 ) s i ha ( 2 . 36 )

Per d i str i bu z i on i norma ! i ( ved i i l § 3 . 2 ) s i ha ( 2 . 37 )

a

V( 2/ n

) � O.8

a

c i oè l a dev i a z i one med i a asso l uta d i una d i str i bu zi one norma l e è c i rca par i a l l ' SO% de l l a sua dev i a z i one standard .

Esemp i o 2 . 1 4 Ca l co l are l a dev i a z i one med i a asso l uta da! l a med i a e da l l a med i ana de l l a v . s . de l l ' esemp i o 2 . 1 3 . S i ha Il e "" 9 "" 11 pe r cu i 6 e ""6 . S i trova po i 6 =2 . • �

Data una var i ab i l e stat i st i ca con campo d i var i ab i l i tà ( a , b ) u n a l tro i nd i ce d i d i s pers i one è i l range ( amp i e zza de l campo d i v� r i ab i l i tà ) i nd i cato con ( 2 . 38 )

1: ,. 1: 1

,.

b-a

Anc he p i ù us at i - ved i l a ( 2 . 1 1 ) - sono ( 2 . 39 )

ranse i nterguant i l i

e d i n part i co l are i l ranse i nterguart i l e ( 2 . 40 )

c he non sono i nf l uen zat i , a d i fferenza de l range , da l l ' ent i tà de i va l or i estrem i .

Esemp i o 2 . 1 5 Ca l co l are i l range i nterquart i l e de l l a v . s . d e l l ' es emp i o 2 . 3 . I l pr i mo ed i l ter zo quart i l e sono stat i c a! co l at i ne l l ' esemp i o 2 . 9 S i ha • 1: . 5 ,. x . 75 - x . 25 ,. ' l og 4 - l og 4/ 3 = l og 3 .

�

44

2.4.

Pos i z i one e d i s pers i one

NORMAL I ZZA Z I ON E E STANDARD I ZZAZ I ON E

Un proced i m�nto app l i cato mo l to frequentemente i n stat i st i ca è que l l o cos i detto d i norma l i zza z i one , che m i ra ad ottenere i nd i c i compres i ne l l ' i nterva l l o [ 0 , 1 ] . Ne l caso de l l e dev i a z i one standard e med i a asso l uta, cons i derat i ne l § precedente, l a norma l i zza z i o­ ne s i attua assoc i ando ad una v . s . X , che senza perdere d i genera l i tà poss i amo s upporre abb i a campo d i var i ab i l i tà ( 0 , � ) , una v . s: " l i m i te" che ne l caso d i screto ass ume l a forma seguente o

p

1 -p

dove O < p < l è sce l to i n modo che X e X MAX abb i ano l a stessa me­ d i a p . S i ha c i oè ( 2 . 41 )

da cu i s i r i cava ( 2 . 42 )

o

( 1-p )

+ �p = �p

p

App l i cando l e ( 2 . 25 ) , ( 2 . 32 ) e ( 2 . 42 ) s i trova che l e dev i a z i on i standard e med i a asso l uta d i X MAX sono : ( 2 . 43 )

( 2 . 44 )

E ' cos l poss i b i l e r i cavare

seguent i i nd i c i norma l i zzat i

( 2 . 45 )

( 2 . 46 )

T - 2P ( MAX d

d 'C' 'C'

-p )

che va l gono zero i n caso d i var i ab i l i tà nu l l a ed uno i n caso d i nmass i man var i ab i l i tà .

Pos i z i one e d i s pe rs i one

45

Se s i e l i m i na i l v i nco l o ( 2 . 41 ) s i d i mostra ( uguag l i ando a zero l a der i vata r i spetto a p de l l a 2 . 43 e 2 . 44 ) che i va l or i mass i m i d i o e lJ s i hanno quando p= fi/ 2 e sono ( 2 . 47 )

cont i nuando natura l mente a supporre che X non poss a ass umere va l � r i s uper i or i a Ti = 2p, come avv i ene ad esemp i o per l e v . s . non ne­ gat i ve s i mmetr i che i ntorno a l l a med i a ( ved i cap . I V ) . Se ne r i ca­ vano due i nd i c i norma l i zzat i i l p i ù usato de i qua l i è i l coeff i ­ c i e nte d i var i a z i one de l Pearson . v = -op

( 2 , 48 )

Suppon i amo i nf i ne che un gruppo d i determ i naz i on i x 1 , x 2 , , xN poss a ass umere qua l u nque va l ore non negat i vo . S i a i no l tre : + x N = T >O x1 + x2 + La med i a de l gruppo è p=T/N e l a s i tuaz i one di mass i ma var i ab i l i t� s i ha quando x 1 =x 2 a x N_ 1 =0 x N =T=N p; i n questo caso i l ran: ge è Ti •N p e l e ( 2 . 43 ) , ( 2 . 44 ) d i ventano •

•

•

•

•

o MAX

..

p

• •

v( N- 1 )

•

•

lJ

MAX = 2 p ( N- 1 )/N

Su ta l i bas i è poss i b i l e costru i re a l tr i due i nd i c i norma l i zzat i , i l p i ù noto de i qua l i è i l coeff i c i ente d i var i a z i one de l G i n i ( 2 . 49 )

che è sempre compreso fra O ed 1 .

Esemp i o 2 . 1 6 Ca l co l are i coeff i c i ent i d i var i a z i one de l Pearson e de l G i n i per i l gruppo X = ( 0 , 3 , 3 , 6 , 3 3 ) ed i pot i zzare -u na s i tu a z i one d i mass i ma var i ab i l i U . S i ha N=S p=9 o= V 1 57 . 6 v=1 . 4 v ' =0 . 7 Una s i tu a z i one d i mass i ma var i ab i l i tà i n questo caso potrebbe es­ sere A=( 0 , 0 , 0, 0 , 45 ) ( ved i f i g . 2 . 6 ) per l a qua l e s i ha v•2 v '=l . Not i amo c he v non può i nterpretars i come un i nd i ce norma l i zzato in questo caso, perchè non è r i s pettato i l v i nco l o X S 2 p � �

Un a l tro proced i mento mo l to usato per e l i m i nare l ' i nf l uenza de l ­ l ' or i g i ne e de l l ' un1 t� d i m i sura de i dat i è l a standard i zza z i one

Pos i z i one e d i s pers i one

46

i n cu i una var i ab i l e X con med i a � e dev i a z i one s tandard tr-.formata ne l l a var i ab i l e standard i zzata ( 2 . 50 )

N . B.

X-" Z =� o

X deve essere non degenere

c i oè avere

o

o

v i ene

>0

Ne l caso d i screto, a l qua l e per i l momento c i l i m i teremo , l a sta!l dard i zza z i one èons i ste semp l i cemente ne l sost i tu i re ad ogn i x .l i va l or i z l. = ( x .l - � )/ o assoc i ando ad ess i l e frequen ze p l Una v . s . standard i zzata h a sempre med i a = O e var i anza = dev i a­ z i one standard � 1 . I no l tre qua l unque v . s . standard i zzata ha a l ­ meno un va l ore argomenta l e i n va l ore asso l uto � 1 ed a l meno uno, i n va l ore asso l uto � 1 .

•

D i mostra z i one . Ut i l i zzando i s i mbo l i M ( ) e V ( ) per i ndl care l a med i a e l a var i anza s i ha M(Z)

( 1/o) ( � x l. p l. - � � p l. )

V ( Z) = r ( z l. -0 ) 2 p l. •

l

•

l

( 1/o ) ( �-� )

o

Per d i mostrare l ' u l t i ma propos i z i one i nd i c h i amo con z ( l ) e z ( n ) i va l or i argomenta l i r i s pett i vamente p i ù p i cco l o e p i ù grande i n va l ore asso l uto . Dato c he o ( Z ) può i nterpre tars i come l a med i a quadrat i ca de i va l or i asso l ut i de l l e z 1. per l a ( 2 . 22 ) s i ha c.v.d.

Ca l co l are i l coeff i c i ente d i var i a z i on e Esemp i o 2 . 1 7 ( de l Pearson ) de l l a seguente v . s . e standard i zzar l a

....

x ..

20

0.1

30

0.1

40

0.6

50

0.1

60

0.1

Pos i z i one e d i s pers i one

S i trove rà j.1=40 a=1 0 v=0 . 25 la v . s . standard i zzata è : Z =

-2

0.1

-1

0.1

o

0.6

che ha med i a = O e var i anza

1.

1

0. 1

47

2

0.1

Not i amo che i va l or i argomenta i i d i una v . s . standard i zzata sono pur i numer i , i l che permette d i pa ragonare d i str i bu z i on i es pres­ se in un i t� di m i sura d i ve rs e . V i ene i no l tre r i portata a va l or i standard que l l a parte de l l a var i ab i l i tà che a bb i amo c h i amato d i ­ s pers i one i ntorno a l l a med i a , i l c he permette , come vedremo ne l cap . I V , d i mettere i n 'ev i den za a l tr i as pett i de l l a var i ab i l i t à d i una v . s . , qua l i l ' as i mmetr i a e l a curtos i .

2.5.

=

L A D I SUGUAG L I AN ZA D I B I ENAYME ' -TC H E BYC H E F F

Un i mportante l egame fra l a frequenza d i una v . s . e l a sua var i an za è sta b i l i to da l l a d i suguagli an za d i B i enaymé-Tc hebyc heff, pub : b i i cata da l pr i mo ne l 1 85 3 e r i scoperta. i nd i pendenteme nte da l se­ condo a l cu n i ann i p i ù tard i : "Data una v . s . X con med i a Il e dev i az i one standard a ed un numero rea l e pos i t i vo À , l a frequen za P de i va l or i d i X compres i ne l l ' i � terva l l o ( m-À a , m+Àa ) è magg i ore o ugua l e d i 1 - 1 /À2 " I n s i mbo l i ( ved i l a f i g . 2 . 7 ) : (2.51 )

Ponendo k=Àa s i può anche scr i vere ( 2 . 52 )

l n prat i c a s i s ce l go no À > 1 e k>o perchè i n caso contrar i o l e dl s uguag l i an ze s uddette non s are bbero s i gn i f i cat i ve

Pos i z i one e d i spe rs i one

48

x

Fig. 2.7 V i sua l i zza z i one de l l a d i s uguag l i an za d i Tchebyc heff

Quando a> O l a (2.53) ( 2 . 54 )

e la

(2.51)

( 2 . 52 )

d i ventano r i s pett i vamente

P ! 11- 1\a < X < 11+11. a l :2: 1 - 1 / 11.

2

D i mostr i amo l a ( 2 . 5 3 ) . Quando 11. S 1 questa è sen z ' a l tro ve.ra pe rc hè l a frequenza pe r def i n i z i one è non negat i va . Se 11.>1 assoc i amo a l l a v . s . X l a v . s . standard i zzata Z=( X - 11 )/a. Ne l caso d i screto l i m i tato l a v . s . Z ha va l or i argomenta i i z 1 , , z n che s uppon i amo ord i nat i pe r va l or i non decrescenz , 2 t i i n va l ore asso l uto . S i a r un numero S n ta l e che • • •

( Abb i amo g i à d i mostrato che i n una v . s . standard i zzata es i ­ ste a l meno u n va l ore i n asso l uto S 1 che qu i nd i è i n asso l u­ to < 11. ) S i a P p 1 + p 2 + p r l a frequenza de i va l or i z i i n asso l � to < 11. . Poss i amo scr i vere a

P = P P

1-P =

•

•

•

l lz l< l P l 1 < x -l1 )/ a l < À t = 1 1 x- 11 1 < À a j S i ha po i : 11.

pr+ 1 +

•

•

•

+

Pn

la var i anza de l l a v . s . Z è : r 2 n 2 V ( Z ) = 1 = 1: z . p . = 1: z .1 p .1 1

l

l

1

n

+ 1:

z . 2p . �

r+ 1 l

n

1:

z . 2 p . :2: À

l r+ 1 l

l

2

n

1:

p . ...

r+ l l

Pos i z i one e d i s pe rs i one

= h 2 ( 1- P )

S i h a qu i ;1d i 1 � h 2 ( 1- P ) d a cu i P � 1 - 1 /h 2

49

c.v.d.

Qua l ora X s i a cont i nua l a d i mostra z i one è ana l oga . Ne l ca­ so l i m i te i n cu i a=O s app i amo c he l a frequen za de i va l ori di X ugua l i a � è ugua l e ad 1 qu i nd i anche l a ( 2 . 5 1 ) e ( 2 . 52 ) r i mangono d i mostrate .

Esemp i o 2 . 1 8 V er i f i ca re l a d i s uguag l i an za d i Tcheby� cheff per l a v . s . de l l ' esemp i o 2 . 1 3 . S i ha

17

15

9

3

x ...

0 . 10 0 . 70 0 . 10 0 .05

avente � 9 a 2 =1 3 . 6 Ponendo ad arb i tr i o k=8 ne l l a ( 2 . 54 ) s i h a -

1

�

P 1 < X < 1 7 ... 0 . 1

+

0.7

+

0 . 1 = 0 . 9 � 1 - 1 2 . 6/64 - 0 . 7875

•

Come è stato fatto osservare da F i s z, ne l l a c l asse d i tutte l e va­ r i ab i l i dotate d i med i a e var i anza non è poss i b i l e trovare una dl suguag l i an za m i g l i ore d i que l l a d i Tchebycheff, come s i deduce c� s i derando l a v . s . standard i z·zata

- h

x ...

_1_ 2h 2

o

1- _1_2 h

per c u i va l e l ' uguag l i an za p

t-

h < x < h l = 1 - 1/h 2

h

__.!

2h 2

Se i nvece s i pongono v i nco l i s u l l a forma de l l a v . s . X, possono ot teners i d i s uguag l i anze m i g l i or i de l l e precedent i , come è s tato m � so i n ev i den za da H . J . Godw i n ( 1 955 ) e C . L . Ma l l ows ( 1956 ) . La d i � s uguag l i an za d i Tchebycheff r i mane però que l l a p i ù i mportante da l punto d i v i sta teor i co i n quanto permette d i g i ust i f i care ra zionai mente l ' afferma z i one che l a med i a d i una v . s . è tanto p i ù rappre � sentat i va quanto m i nore è l a var i anza d i ta l e v . s . Vedremo i n se­ gu i to i mportant i app l i ca z i on i di ta l e concetto quando par l eremo de g l i st i mator i de i parametr i d i una d i str i bu z i one .

50

ESERC I Z I

Pos i z i one e d i s pers i one

1 . Ca l co l are med i a e med i ana de l gruppo X e ver i f i carne l e propr i età ( ord i nare i va l or i ) .

f(x )

"'"

( 3 , 5 , 2, 4, 1 1 )

2 . Ca l co l are l a moda d i una v. c . cont i nua avente K exp( -x 2 + 4x - 4 ) ( -oo < x < + ... )

3 . Ca l co l are med i a, moda e med i ana d i una v . c . avente f ( x ) 4 exp ( -4x ) per x ::2:: O ed f ( x ) = O per x < O ( not i amo che f ( x ) non è der i vab i l e i n x = O )

4 . Ca l co l are l e med i e ar i tmet i ca , armon i ca , geometr i ca e quadrat i ca de l l a v . s .

10

x

1000

100

10000

0.4

e ver i f i carne l e propr i età . 5.

0.3

0.2

0.1

Ca l co l are i tre quart i l i de l l a v . s . precedente .

6 . I l redd i to comp l ess i vo d i una co l l ett i v i tà d i N=l O persone è T=l OOO e l a dev i a z i one standard è o=60 . Ca l co l are i l coeff i c i ente d i var i a z i one de l G i n i .

7 . Ca l co l are var i an za , dev i a z i one standard e dev i a z i 2 n e med i a asso l uta de l l a v . c . de l l ' eserc i z i o 3 . de l l a v . s .

x =

8 . Ca l co l are i l coeff i c i ente d i var i a z i one de l Peanon

o �

2

2

-j

4

4

�

6

6�8

�

8

10

( prendere i va l or i centra l i d i ogn i i nterva l l o )

x

=

0 . 09

L.:,

0 . 23

0 . 35

0 . 26

0 . 07

9 . Standard i zzare l a v . s . 101 91 11 51

e ver i f i care l a d i s uguag l i an za d i Tcheby cheff .

0 . 09

0 . 80

0 . 09

0.01

1 0 . Data una v . s . X con med i a 1 40 e va r i a n za 100 trova­ r e un l i m i te i nfer i ore de l l a frequen za de i va l or i d i X compres i ne l l ' i nterva l l o ( 1 20, 160 ) ( App l i care Tcheby cheff ) .

C A P I TO l O

111

MOMENT I E FUNZ I ON I AD ESS I COLL EGATE

3. 1 .

MOMENT I SEM PL I C I E C ENTRAL I

Data una var i a b i l e ( stat i st i ca o casua l e ) X def i n i amo mome nto sem p l i ce d ' ord i ne k l a med i a de l l e k-me poten ze d i X e l o i nd i ch i amo con

(3. 1 )

11k

=

n r i -1

x. l

k

p l.

ne l caso d i screto e con

(3.2)

(k 0, 1 , 2, -

( k ==O, 1 , 2,

•

•

•

•

•

•

)

)

ne l cont i nuo ( purchè g l i i ntegra l i e , se n= -, l e ser i e preceden­ t i s i ano asso l utamente convergent i ) . I n part i co l are s i ha :

(3. 3) (3.4)

11 0 - 1

sempre

med i a ar i tmet i ca

D i ,o l i to s i arr i va a l mass i mo a ca l co l are i l momento d ' ord i ne 4, i n quanto g l i i nd i c i s i ntet i c i cos l ottenut i sono s uff i c i ent i a mettere i n ev i den za i pr i nc i pa l i as pett i de l l a var i ab i l i tà d i X . Esemp i o 3 . 1 Ca l co l are i pr 1 m 1 quattro moment i semp l i c i de l l a v . s . i cu i va l or i argomenta i i e l e cu i frequen ze sono r i ­ portat i ne l l e pr i me " due co l onne de l l a tabe l l a seguente

�

52

x .l

2 4 6 o

S i ha

Moment i p .l

0.4 0. 3 0.2 0. 1 1.0

xipi

0.0 0.6 0.8 0.6 2.0

11 1 =2

x l. 2 p .l

x l. 3 P ;

x l. 4 P .

o.o

o.o

o. o

1.2 3.2 3.6 8.0

11 2 =8

2.4 12. 8 21 . 6 36 . 8

l

4. 8

51.2

ili&

1 85 . 6

Def i n i amo po i momento centra l e d ' ord i ne k l a med i a de l l e k-me po ten ze de l l e d i ffe ren ze fra X e l a propr i a med i a e l o i nd i ch i am� con ( 3. 5 )

- = nr ( x. . - ) k p . 11k 11 l i =1 l

(3.6)

11 k =

( 3. 7)

ii = 1 0

ne l caso d i screto e con

!""

-

( x- 11 ) k f ( x ) dx

( k=0, 1 , 2 ,

( k=0, 1 , 2 ,

•

•

•

•

•

•

)

)

ne l cont i nuo ( ved i osserva z i on i su l l a convergen za i n nota 3.2) I n part i co l are s i ha : (3. 8)

(3. 9)

11 1

o

2 11 2 = a

-

al l a

sempre

sempre

var i anza

N . B . I n mo l t i test i ang l osasson i i moment i semp l i c i vengono i nd i ­ cat i co l s i mbo l o 11k e que l l i centra l i co l s i mbo l o 11k · Anc he qu i d i so l i to c i s i ferma a l ca l co l o de l mome nto quarto . Fra i moment i semp l i c i ed i moment i centra i i i ntercorre l a seguente � l a z i one

11k =

(3. 10)

� { �) r=O

Moment i

r 11k- r ( - 11 )

53

Svo l gendo l a poten za de l b i nom i o c he comp� D i mostra z i one . re ne l l a ( 3 . 5 ) co l l a formu l a d i Newton s i ha k { r=O r

�"

=

)

k x i - r ( - 11 ) k P i

k {k ) k n x . k- r p . = k k < - ) k ( ) 11 11 11k- r I: I: I: ( ) l r=O r r=O r i -1 l

c.v.d.

I n part i co l are s i ha

(3. 11)

(3. 12)

(3. 13)

Ca l co l are i pr 1 m 1 quattro moment i centra l i Esemp i o 3 . 2 de l l a v . s . de l l ' esemp i o 3 . 1 s i a con l a ( 3 . 5 ) c he con l e formu l e precedent i

�

x i - 11 -2

2 4 o

p .l

0.4 0.3 0.2 0. 1 1.0

( x .l - 11 ) p l. -0 . 8

0.4

o.o

.Q.d o.o

2 ( x .l - !1- ) p .l 1.6

0.8 1.6 4. 0 o.o

3 ( x .l - 11 ) p .l -3. 2 1.6

o.o

.Q.d

4. 8

4 ( x i -11 ) P i 6.4

3.2 25 . 6 35 . 2

o.o

Moment i

54

�l

-

�

�

= O

2 =

a

2

= 8 - 2

2

= 4

�

3

= 3 6 . 8- 4 8+ 16=4 . 8

= 1 85 . 6- 29 4 . 4+ 1 92-48= 3 5 . 2

4

Esemp i o 3 . 3 Ca l c o l are � l ' � 2 , � 3 e te f ( x )=l per O S x S l ed f ( x )=O a l trove .

�

�l

=

o

�2 =

-� �

I I o

3

4

=

I

o

=

I

o

1

�

=

l

de l l a v . c . aven-

2 ( x- 0 . 5 ) dx = 1 / 1 2

l

( x- 0 . 5 ) 3 dx = O

l

4 ( x- 0 . 5 ) dx = 1 / 80

oo)

V( 2 n )

f oo

-oo

4

xdx = 1 /2

Esemp i o 3 . 4 Ca l co l a re �. � 2 , standard i zzata ) avente 2 -x / 2 l e ( -oo < x < + f(x ) = S i ha :

�

-

x

1 V< 2

n

)

e- x

2

/2

e -x

dx - O

2

/2

dx ... O

�

3

e

�

4

de l l a v . c . ( norma l e

( Porre y

3

55

Moment i

= x 2 ed ut i l i zzare l e formu l e ( 81 ) ( 82 ) ( 84 ) )

F i g. 3 . 1 V . c . norma l e standard i z zata 3.2.

MOMENT I ASSOL UT I

l moment i asso l ut i semp l i c i sono dat i da : n

( 3 . 14) mentre ( 3 . 15 )

i =1 t

l x l· l k p i

( k=0, 1 , 2,

•

•

•

•

•

•

)

mome nt i asso l ut i centra l i sono dat i da n

i =1 t

l x l- - 11 1 k p .

/00 l

l

x- 11 1 k f ( x ) dx

( ved i nota a l l a formu l a 3 . 2 ) -oo

( k=0, 1 , 2 ,

)

56

Moment i

Ch i a ramente se k è par i , ta l i moment i co i nc i dono con i moment i in trodott i ne l pa ragrafo precede nte ; l o stesso accade se X può assu mere so l o va l or i non negat i v i , l i m i tetame nte a i moment i semp l i c i : I n prat i c a i l momento centra l e asso l uto p i ù usato è i l pr i mo c he co i nc i de con l a dev i a z i one med i a asso l uta (2. 32) S i ha c i o è l ii h ò

=

Esemp i o 3 . 5 Ca l co l are l � l 1 e l a var i a n za dP I I a v . c . ( no� ma l e ) avente -(x �)2/(2o 2 ) f(x) a 1 ( 2 n ) e -

�

=

S i ha :

med i a

var i anza

2 o2 - Vn

foo -oo

2�

!

-

--

- Vn _

2 i y 2e- y dy - 4 - Vn

--

r (! )= 2 o2 Vn 2 2 2 Vn (x-�)/ o V2 e

= d = -/00oo l x- � 1 o V( 2 n ) = (x-�)/ o

( avendo posto y ( 84 ) )

Pone ndo y

V

"

1

,

s i ha e -y

2 ; 2 dy

/00 2 -oo

y e - y 2 dy

= w= 2

02

y e ut i l i zzato l e ( 81 ) ( 82 )

e -(x-�)

2 /2o2

= V 2( 2on ) !.00 o

dx

2; y e - y 2 dy

Moment i

57

( r i mane cos l d i mostrata l a 2 . 37 ) F UN Z I ON E GEN E RATR I C E DE l MOMENT I

3.3.

Data una va r i ab i l e (stat i st i ca o casua l e ) X ed una var i a b i l e re� l e t, def i n i amo fun z i one generatr i ce de i moment i ( f . g . m . ) d i X la med i a , purchè es i stente , de l l a "var i ab i l e s pettro" e tX e l a i nd i c h i amo con (3. 16)

g ( t ) = M ( et X )

n tx · e l p .l i =1 I:

f oo oo

-

e t x f ( x ) dx

Esemp i o 3 . 6 La fu n z i one generatr i ce de i moment i v . s . de l l ' esemp i o 3 . 1 è :

�

de l l a

Esemp i o 3 . 7 La f . g . m . de l l a v . c . avente f ( x )=( 1 / 2 ) e -x x2 per x � O ed f ( x )=O a l trove è ( ved i l a ( 81 ) e l a ( 83 ) ) 00 00 ( g ( t ) = ( 1 / 2 ) e tx e -x x 2 d x = ( 1 /2 ) e -x 1 - t ) x 2 dx

�

i

o

= ( 1/2 )

i

00 - y e ( 1 -t ) - 3 y 2 dy =

o

1

o

t

•

( 1�t ) 3

• r (3) = ( � -t ) 3

La fun z i one generat r i ce de i moment i è cos l c h i amata pe rc hè , sv i ­ l uppata i n ser i e, or i g i na ne l l ' o rd i ne tutt i i moment i ( semp l i c i ). S i ha c i oè :

58

( 3 . 17 )

Moment i

+

g(t)

.

•

•

D ·r mostra z ·r one . S v r· l uppan d o ·r n ser ·r e e tx ne l l a ( 3 . 1 6 ) s i ha : x f ( x ) dx g(t) = e t x f ( x )dx = .llit : k O k!

!"" ""

tk k =O k ! l:

/"" ""

-

-

! ""

x k f ( x ) dx

k t k=O k !

"" l:

llk

c.v.d.

( s i suppone che i moment i ll k es i stano f i n i t i ) -

l moment i semp l i c i d ' o rd i ne k s i possono otte nere der i vando k vo! te l a f . g . m . i n t=O . S i ha c i oè :

(3. 18)

L

( k=1 , 2 ,

•

• •

)

Esemp i o 3 . 8 Ca l co l are i pr i m i due moment i semp l i c i • centra i i de l l a v . c . de l l ' esemp i o 3 . 7 S i ha : g ( t ) = ( 1 -t ) - 3 g ' ( t ) = 3 ( 1- t ) -4 3 = Il 1 g ' ( O) g " ( t ) = 1 2 ( 1-t ) - 5 g" ( O ) 1 2 = Il 2 -Il = Il - Il 2= 1 29 = 3 �1 = 1 2 2

e

Lo stesso r i s u l tato poteva otteners i sv i l uppando i n ser i e l a g ( t) c i oè : 3 t2 ( 1- t ) - 3 = 1 + 3t + 1 2 2! + 60 t3 ! +

ed ut i l i zzando l a ( 3 . 1 7 ) .

Data l a fun z i one gene ratr i ce de i moment i g X ( t ) d i una var i ab i l e l a f . g . m . de l l a v ar i ab i l e V = a+ bX è

X

Moment i

59

(3.19)

I n part i co l are se X è una var i ab i l e standard i zzata ( con med i a z� ro e var i anza con f . g . m . g ( t ) , l a f . g . m . de l l a var i ab i l e y = + X , che ha med i a e dev �i a z i one s tandard è:

1)

= 11 o (3.20)

11

o,

Esemp i o Ca l co l are l a fu n z i one generatr i ce de i mome� t i de l l a v . c . norma l e , avente fun z i one d i dens i tà d i probab i l i tà

3.9 f(x; l1 ,o ) = V< 2 n ) [-(x-11) 2/(2 o 2 ) ] 11=0 txo =1. 2 = !� V(21 n e e-x /2dx = �

�

exp

0

Conv i e ne ca l co l are pr i ma d i tutto l a f . g . m . standard i zzata, con e S i ha : g ( t; O, l )

)

20) 2 2 t e 11t / 2

3.4.

no rma l e

-

( abb i amo ut i l i zzato l a ( 86 ' ) ) Con l a O . s i trova i mmed i atamente g ( t ; +0 c he è l a . g . m . de l l a no rma l e =

de l l a v . c .

f

F UN Z I ON E CARATTE R I ST I CA

11, o

)

Data una v . s . ( o v . c . ) X , l a var i ab i l e rea l e t e l ' u n i tà i mmag i n� r i a i = V ( - 1 ) l a fun z i one caratter i st i ca ( f . c . ) d i X è :

Moment i

60

n

k=1 I:

( 3 . 21 )

Ponendo Q = i t s i vede che l a f . c . può essere i nterpretata come una fun z i one generatr i ce de i moment i d i una var i ab i l e X : r i s petto a quest ' u l t i ma però ha un ' i mportan7a mo l to magg i ore da l punto d i v i sta teor i co, i n quanto l a ( 3 . 2 1 ) , a d i ffere n za de l l a ( 3 . 1 6 ) , è sempre def i n i ta , dato che ad esemp i o s i ha

'P

1

( t ) i no l tre è un i formemente cont i nua i n t .

Se una var i ab i l e X poss i ede moment i asso l ut i d ' ord i ne k l a sua f� z i one caratter i st i ca è der i vab i l e k vo l te e s i ha : ( 3 . 22 )

v ente

....

S i ha :

Il

k = (- i )

k

Esemp i o 3 . 10

f(x) = 'P

1

n ( 1+ x 2 )

( t )= _1n_

[

[

k = .l ll k

Ca l co l a re l a f . c . de l l a v . c . ( d i Ca u c h y ) e i tx 1+ x 2

( -oo < x < +

dx

e- l i

l

oo

)

!.

Momenti 61 Dimostrazione. Se . t I>Ol, parte l integrale precedente (vedi ad e­ sempio Moretti, vol seconda, p.69) è uguale a 2 n iR dove R è i l residuo del la funzione F(z) = e itz/(1+ z2 ) nel punto z = i Si ha: ez itz+ i e-t R z-i l i m ( z-i) e(1itz+ z2 ) e-t = e-t quindi q>(t) 1 2n i � Quando t< O si ha, con analoghi calcol i : t2 ) dx e t ix( oo 1 e q>(t) ! foo �e-ix(-t) dx f 1+ x 2 l+ x quindi, per qualunque t, q>(t) e- l t i c.v.d. 1

•

==

== 2i

=

--

____

=

-oo

== n;

�

-oo

- f t J non è derivabi le in t=O quindi la distribuzione Notiamo che e di Canchy non possiede media Proprietà del le funzioni caratteristiche Enunciamo due fondamental i proprietà(vedidel adle es.f.c.,Kendal rimandando pere leFiszdimostrazioni al la letteratura l p.94 p.105) a) Teorema d'unicità: la f.c. di una variabi le X è unica b) Teorema d'inversione: la dif.c.frequenza di una variabi leIn particolare X determina u­ nivocamente la sua legge f(x). se f(x) è continua si ha: (3.23) f(x) = 2 1n foo q> (t)e- itxdt -oo

k

tàSe invece si ha:X può assumere soltanto valori interi con probabi l i­ pk

62 Momenti _l2 n_ f '\-itk 9'(t)dt (3.24) -n Esempio 3.11 le casuale Determinare, se esiste- lt( la funzione di de� sità di una variabi con 9'(t)== Appl icando la (3.23) si ha: f(x) ... _2 l_n f oo e- l t i e-itxdt

�

-oo

l

l

2 n l( 00 e-t ( e-itx+e itx )dx = 2 n l( 00e-tcostxdt Integrando per parti si trova f(x) = -;-l -x 2f(x) da cui : f(x) = n (tl+x 2 ) che la funzione di densità del la v.c. di eu (vedi esempio 3.10) la funzione di pr.2i � Determinare,che sepossaesiste, Esempio 3.12v.c. discreta assumere solo valori una di l ità teri, avente f.c. 9' (t) exp [ (e i l )] Appl icando la (3.24) si ha: pk= 2 � r·-ltk exp [ A (e lt_ l) l dt - �� (k=0,1,2, ) -n (come vedremo si tratta del la v.c. Poissoniana) Dimostrazione. 00 r=O ==

o

o

C

è

bab i �

•

À

x

t_

. -A

I:

• • •

cl)' •

Momenti _l_

(

)

e 2 n r=O rr! -I.n n e it r-k dt che: Notiamo se r = k � ne it r-k dt se r k -n come si deduce appl icando la formula eSinitha= quindi cos nt i sen nt con n intero e -kk!k se k pk se k -À

À

""

I:

2n

)

(

o

+

À

...

'(=

0, 1 , 2, 3,

< o

o

3.5.

63

• • •

c.v.d.

CUMULANTI Data variabi lesia con funzionele generatrice dei momenti g dit iordine l cuiunarlogaritmo svi luppabi in serie definiamo cumulante i l coefficiente di rt r! in tale svi luppo e lo indichiamo con Kr Si ha cioè: X

/

( )

( 3 . 25 )

A volte, sempre che dallo lasvifunzione luppo siacaratteristica, lecito, convienemediante definirel 'ugua-i cumulanti partendo gl ianza: log t ( 3 . 26 )

fil

( )

64 Momenti valgono le importanti relazioni seguentii chedueFra momenti simembripossonodele cumulanti dimostrare ad esempio derivando successivamente la ( 3.25 ) in t=O e appl icando la ( 3.10 ) : K 1 = 111 media K 2 2 varianza ( 3.27 ) K 3 = !13 K4 "" -!14 - 3 -!12 2 Esempioè stata 3.13 trovataTrovarenel l 'esempio i cumulanti3 . 9del) . Sila v.c. cui.. f.g.m. ha: normale (la log g ( t ) = 11t a 2t21 2 ..

C1

+

Notiamo che tutti i cumulanti del la gaussiana sono nul l i a parti re dal terzo. ..ne ( vediEsempio del la v.c.è Poissoniaesempio3.143.12 ) . Trovare la f.g.m.i cumulanti del la Poissoniana g ( t ) = exp [x ( et-1 )] quindi l og g ( t ) = [X ( et-1 ) ]= 2 2! 3 3! Sino vede ugual iimmediatamente al parametro cheX tutti cumulanti del la poissoniana ..s. deglEsempio primi quattro del la � i esempi3.153.1 e 3.2.TrovareUti li izzando le ( 3.27cumulanti ) si trova K 2=4 �

H + H

l

+ H

l

+

• • •

so

�

3.6.

Momenti

K

65

MEDIE DI POTENZE D'ORDINE di potenzecond'ordine kDatala unaradìcevariabi k-ma ledelpositiva suo momentodefiniamo k-mo e media la indichiamo (3.28) ( In alcuni testi invece del simbolo ll (k) viene usato i l simbolo \) In particolare pratica) si ha: nel caso discreto (l 'unico che abbia importanza in (3.29) (k)= ( i=1 x. k p. ) 1/k Come abbiamo già visto nel aritmetica 2.2 per ke=quadratica. -1,1,2 si hanno rispetti vamente la media armonica, Quando k-+0 . si ha la media geometrica, definita dal la (2.13) o dal la (2.14) X

11

n

r

l

l

§

7

Dimostrazione. Dal la (3.29)n ksi ha: log x. p. lk-+0im log ll (k) = k-+0 l im i=1 k icando lala regola doApplpresente (1.2) sidei ha:i 'HSpital (la variabi le k ) e tenen x. k (log x. )p. log ll (Ol, k-+0 l im 1 n p l og " n log p . log i =1 i i i=1 c.v.d. r

l

l

è

l

r

r

l

"

l

·

l

l

Momenti Supponendo scenti si hacome al sol ito che le x. siano ordinate per valori cr� lk--+im !l (k) x l (3.30) l im !l (k) x n k--+ + ....

66

1

-oa

Dimostrazione. Se n=li l leprimo(3.30)l i mite sonoraccogl ovviamente vere; se i l valonre> argomentale 1, per dimostrare i amo più piccolo. Si ha:

.- ( .,· � ( :: r l ,,. l/k dove q. k � q. · ) + P - ., (•t ..

x./x 1 > 1 n q kp ) log(p (k) + l l im l og log x 1 + k--+l im k� i i c.v.d. = log x 1 I l secondo cogl iendo x nl imite del la (3.30) si dimostra analogamente r� (k) è una funzione non decrescente di k, che infine Dimostriamo !l cioè che: (3.31) 2

k--+

-oa

l

11

l

l

=

l

-oa

;;:: o

Dimostrazione. (le derivate sono fatte rispetto a k) Poniamo y = e B= !lk " Si ha: log y "" losB k

!l ( k )

Momenti y '/y = B'/(Bk) - log B/k 2= F/k 2 dove kB' /B - log B. y ' = yF/k F' = --k [s B" -( > 2] dove B' i=1n x. k ( log )p i B" i=1n x. k (l og x. ) p. Ponendo a . = � (x. k p . ) e b.= ( log x. ) V(x. k p. ) si ha: F' .. k [ ( i :n 1 a i 2 ) ( i :n 1 b. 2 ) - ( i=n l a.b.) 2 ] Per la disuguagl ianzanondinegativa Canchy- Schwarz(C1) lai l quantità frak. parentesi quadre quindi F' ha segno di e c2 slDatopureche loF(O)=O la funzione F anch'essa non negativac.v.d. F

2

8

I:

2

2

l

8'

l

l

l

2

l

l

I:

l

è

y'

è

x .

l

l

l

-

8

I:

=

67

l

l

l

l

l

è

Si(k)può poi dimostrare che se le x. non sono tutte ugual i fra loro di � . In ogni caso rimane dimostrata �la una chefunzione possiamocrescente riscrivere: xn i l che significa che qualunque media di potenze di una variabi le (positiva) è sempre compresa fra i l valore argomentale più piccolo e quel lo alpiù grande. mandiamo 2.2. Per le appl icazioni del le medie di potenze rl è ( 2 . 22 )

§

X

ESERCIZI verificarel. Calcolare le relazionii primi (3.11)quattro (3.12) momenti (3.13) sempl per laiciv.s.e central : ie

Momenti 5 2 3 0.064 0.04 0.10 0.50 avente-x2. Trovare la funzione generatrice dei momenti del la v. c. poisuccessivamen­ i primi qufli ftrox =emomentipersempl x�O icied fa xdirettamente =O per x 0 . 44 l è arb i trar i a ( ne l l ' amb i to de l l a teor i a de l l ' i n­ forma z i one s i ass ume d i so l i to c=2 mentre se X è una var i abile quan t i tat i va cont i nua vedremo c he s i assume c=e ; per un ' e l egante tra t ta z i one i ntrodutt i va de l l a teor i a de l l ' i nforma z i one da l punto dT v i sta probab i l i st i co ved i A . Reny i - 1 970 . Ved i anc he i l testo d i R . f . Wr i ghton - 1 97 3 )

Come d i mostra Reny i l a ( 4 . 26 ) ( con c=2 ) è l ' un i ca fun z i one che sog d i sfa ag i i ass i om i seguent i : l) H è una fun z i one s i mmetr i ca ( l ) de l l e so l e frequen ze p l. S i può qu i nd i scr i vere H=H ( p 1 , p 2 , , pn ) I l ) H ( p, l - p ) è una fun z i one cont i nu a d i p ( O s p =:;; l ) 1 l l l l ) H (i, i ) = l I V ) Se una c l asse è sudd i v i sa i n due a l tre , H aumenta i n propor­ z i one s i a a l l a frequen za de l l a c l asse scomposta s i a a l l a H re l at i va a l l a scompos i z i one . C i oè : H ( p l , p 2 ' " " " ' p n )= H ( p 1 +p 2 , p 3 ' " " " ' p n ) + ( p l +p 2 ) H � ' � P t P 2 p 1+p 2 S i ha anc he H ( 1 )=0 • • •

(

)

Suppon i amo c he i l 50% d i una popol a z i one Esemp i o 4 1 3 .... s i a "r i cco" ed i l 50% s i a "povero " . Success i vamente l a c l asse d� i "pover i " s i a u l te r i o rmente sudd i v i s a i n "nu l l ate nent i " ed " i ndige.!!. t i " , par i r i s pett i vamente a 1 / 3 e 2/3 de i pover i . la s i tuaz i one è ev i de n z i ata ne l l e f i g . 4 . 10 .•

Forma de l l e v . s .

88

, 2

F i g . 4. 10 Scompos i z i one d i una c l asse i n due a l tre ( 1 ) Una fun z i one d i n var i ab i l i è detta s i mmetr i ca quando non d i ­ pende da l l 'ord i ne de l l e var i ab i l i stess e . I n base a l l a quarta propr i età d i H deve avers i

H

( !6 , !3 . !2 ) = H ( t · t )

D i ve rs i tà f i na l e i

D i ve rs i tà or i g i na l e i

+ !2 H

( !3 13 ) '

D i vers i tà der i vante da l l a scompos i z i one i

App l i cando l a 4 . 26 s i ha i nfatt i :

t)= 1 1)= t

Data una d i str i bu z i one d i frequen ze con n c l ass i i l va l ore mass i ­ mo de l l ' entrop i a è : ( 4 . 27 )

H MAX

D i mostra z i one . Cons i der i amo l a fun z i one convessa y=x l ogx e pon i amo ne l l a d i s uguag l i an za d i Jensen ( C 3 ) x .l =p .l w .l =l/n . S i ha :

n

n

!

i =1 1:

--+

--+

Forma de l l e v . s .

(! )

89

p .1 l og 2 n � p .1 s: � !n p .1 l og 2 p .1 i =1 i =1 n l og 2 !n S: 1: p 1. l og p .1 i .. 1

H =

-

n 1: p . l og 2 p . l i =1 l

s;

l og 2 n

c.v.d.

E ' cos l poss i b i l e costru i re u n i nd i ce norma ! i z zato d i var i ab i l i tà dato da : n - 1: p . l og c p i H i =1 l ( 4 . 28 ) H MAX = l ogc n c he va l e O i n caso d i var i a.b i l i tà nu l l a ed 1 i n caso d i var i ab i l i tà mas s i ma , c he s i ha quando p . =1/n per i =1 , 2 , ,n R i mane cos l g i ust i f i cato quant � abb i amo detto a l l ' i n i z i o d i que­ sto paragrafo . Ne l caso cont i nuo l ' e ntrop i a d i venta • • •

( 4 . 29 )

H =

--! ""

f ( x ) l og c f ( x ) dx

dove d i so l i to s i ass ume c=e

E ' i nteressante notare come i mponendo opportu n i v i nco ! i a l l a l eg­ ge d i frequen za f ( x ) s i r i trovano c l ass i che d i str i bu z i on i ( che s� d i e remo meg l i o ne l cap . V ) c he rendono mass i ma l ' e ntrop i a . I n pa� t i co l are s i ha : l ) Se X è una var i ab i l e casua l e con campo d i var i ab i l i tà f i n i to ( a , b ) e l egge d i d i str i bu z i one asso l utamente cont i nua l a d i strl bu z i one c he rende mass i ma l ' entrop i a è que l l a un i forme 1 f ( x ) = b-a pe r a < x < b

l -f(x)

O a l trove ( ved i f i g . 4 . 1 1 - a )

I l ) Se X è pos i t i va e d ha una con va l ore med i o '"' A > O l a esponen z i a l e negat i va , de l f ( x ) "" -1- exp ( - lS. )

l

A

A

d i str i bu z i one asso l utamente cont i nua d i str i bu z i one mass i m i zzante è que l l a t i po per 0 < x < +....

f ( x ) = O a l trove ( ved i f i g . 4 . 1 1 - b )

90

Forma de l l e v . s .

1 1 1 ) Se X ha una d i str i bu z i o ne asso l utamente cont i nu a con dev i a z�

ne standard o f i n i ta e pos i t i va , l a d i str i bu z i one mas s i m i zzan te è que l l a norma l e ( ved i f i g . 4 . 1 1 - c ) avente 2 2 e - ( x- � ) / ( 2o ) (

1

f(x)

--

<

x < ""' ) i- -

D i mostr i amo ad esemp i o i l I l teorema ( l e d i mostra z i on i de l e de l l l l sono ana l oghe ) . Per i potes i deve essere : f ( x )dx =

x À 1 Pon i amo g ( x ) = � e À

Ut i l i z z i amo ora l a d i s uguag l i an za ( C 7 ) con e f ( x )=p( x ) q ( x )=g ( x ) S i ha : "" 1 -x/À X e

/

o

C i oè H

�(x �

- a -

D i str i bu z i one un i forme

� H

[t

e

-x/À

J

x

- b -

D i s tr i bu z i one esponen z i a l e

f i g. 4. 1 1

c.v.d.

!L - C1

- c -

/-l + C1

D i str i bu z i one norma l e

D i str i bu z i on i c he rendono mass i ma l ' e ntrop i a

x

ESERC l Z l

re

f(x )

Forma de l l e v . s .

l

4 0 . 24

a,

6 0 . 40

2 . Ca l co l are

f ( x ) ""

x

Ca l co l are

1.

a e

p1

- ··

l

ed Sk pe r l a v . s . seguente e commenta -

8 0 . 32

e �2 pe r una v . s . avente O �x O

Pr i nc i pa l i v . c .

96

(5.5)

g(t)

D i mostra z i one .

g(t ) =

k=O 00

!

e tk e -X X k / k ! =

Da l l ' esemp i o 3 . 1 4 s i ha c he tutt i no ugua l i a X . S i ha qu i nd i : 11 ...

K

1 =X

e -X

oo

k=O !

c .v.d.

cumu l ant i de l l a Po i sson i an a

�

Not i amo c he anche ne l caso Po i sson i ano Not i amo po i c he l a med i a è ugua l e a l l a var i anza . La Po i sson i an a è detta l egge deg l i event i rar i , come vedremo meg l i o ne l § 5 . 5 Le ord i nate ( 5 . 4 ) , pe r a l cun i va l or i d i X sono r i portate ne l l a tabe l l a I l de l l ' append i ce D .

•

Esemp i o 5 . 2 I l numero d i i nc i de nt i strada l i che avv� gono g i orna l mente i n una certa autostrada segue una l egge d i Po i� son con parametro X=1 . Trovare l a probab i l i t� c he i n un g i orno accadano a l meno 2 i nc i dent i . La probab i l i tà cercata è ( tav . l l ) P = P 2+ P 3+ =1 - ( P0+ P 1 ) = 1 -0 . 3679 - 0 . 36 79 = 0 . 2642 �

�

• • •

GEOMETR I CA (5.6)

qk p

k=O, 1 , ·2 ,

• • •

0 a )

99

Pr i nc i pa l i v . c .

la b i nom i a l e negat i va è abbastanza us ata per descr i vere l a d i str i bu z i one d i event i rar i , quando l e probab i l i tà c he ta l i event i s i ver i f i c h i no non sono costant i per tutt i i membr i d i una co l l ett i ­ v i tà ( c aso t i p i co g l i i nfortun i s u l l avoro ) .

Esemp i o 5 . 4 G l i i nfortun i mens i l i s u l l avoro i n una certa a z i enda seguono una l egge b i nom i a l e negat i va con med i a = 1 e var i an za = 4/ 3 . Ca l co l are l a probab i l i tà che i n un gener i co m� se s i abb i ano a l meno due i nfortun i . S i ha : q=1/4 1 = rq/p p=3/4 r=3 4/ 3 = rq/p 2 l a probab i l i tà cercata è : 3 3 1 = 0 . 26 1 7 P = 1 - P0 - P 1 = 1 - 02 .J.4 - 31 .3.4 4 ( confronta l ' ana l ogo r i s u l tato ne l l ' esemp i o 5 . 2 dove med i a va• r i anza = 1 ) .

�

1

I PE RGEOMETR I C A

( 5 . 10 )

( )( ) ( )( )

pk

a

k=0 , 1 , 2,

=

•

dove N , r , n sono i ntes i non negat i v i ta l i che : N�n N� r N >O Per l e propr i età de i coeff i c i e nt i b i nom i a l i i no l tre P k=O se k > r

•

•

,n

la fu n z i one ge neratr i ce de i mome nt i de l l a ( 5 . 10 ) non è es pr i m i b i ­ l e i n modo compatto ed anche i l ca l co l o de i moment i è p i uttosto labor i oso ( ved i M . G . Kenda l l ; vo l . l ( 1969 ) , § 5 . 1 8 )

V .c.

Fig. 5.5 l pe rgeometr i ca

l

100

Pr i nc i pa l i v . c .

Ponendo p = r/N e q =1-p s i ha : (5.11)

11

2 p = (q-p) l npq

•

= np

( N- l ) ( N- 2n ) 2 ( N-n ) ( N- 2 ) 2

3 p -_ 3+ N ( 1 -6pq) 2 ( N -2 ) ( N- 3 ) ( N-n ) npq + N+6 n ( N-n H N- 1 ) - ( N- 2 ) ( N- 3 ) ( N-n ) npq

Not i amo c he : c he sono

(q-p) 2 npq

o2

npq( N - n ) N-1

[2N 2 ( 5 n+ l )-2nN ( 5 n+6 )+ 1 2n 2 ] + ( N-2 ) ( N - 3 ) ( N-n ) npq

3pg

l i m p = 3+ � npq N-+ +- 2

va l or i d i p 1 e P 2 de l l a b i nom i a l e .

La p i ù t i p i ca app l i ca z i one de l l ' i pergeometr i ca s i ha ne l l ' amb i to de l l e estra z i on i esaust i ve ( i n � l occo ) . data un ' urna con N pa l l i ne d i cu i r b i anc he ed N- r nere . S i � straggono i n b l occo n pa l l i ne . La probab i l i tà che fra queste ce ne s i ano k b i anche è dato da l prodotto de l l e comb i na z i on i d i r � l ement i d i c l asse k per l e comb i naz i on i d i N-r e l ement i d i c l as ­ se n-k , d i v i so per i l n umero de l l e comb i na z i on i d i N e l ement i d i c l asse n : s i ott i ene cos l l a ( 5 . 10 ) . L a probab i l i tà e l ementare d i una pa l l i na b i anca è p=r/N e l a probab i l i tà contrar i a è q=l -p . l l numero me d i o d i pa l l i ne b i anche estratte i n n estraz i on i è IJ.=np, i nd i pendente da N ed ugua l e a l l a med i a de l l a B i nom i a l e . La var i� za de l l ' i pergeometr i ca è però m i nore di que l l a de l l a b i nom i a l e , sa l vo i l caso n=l i n c u i co i nc i de con essa . Se N=n IJ.=r e o 2=� come è ovv i o i n quanto se s i estraggono tutte l e pa l l i ne de l l ' ur na, i l numero d i pa l l i ne b i anche estratte è es attamente r e la dL s pe rs i one è nu l l a .

E'

Esemp i o 5 . 5 Con g l i stess i dat i de l l ' esemp i o 5 . 1 , ca l co l are l a probab i l i tà d i estrarre 3 pa l l i ne b i anche con 5 estra: z i on i i n b l occo . S i ha N=20 r=8 n=5 k=3 .

�

p3

=

0 . 2384

Principal i v.c, 101 può mettersi nel la forma: La probabi l ità precedente . . 20 32! 3! 16 19 icata(cfrper� moltipl sequenzadiBBBNN una di ità l probabi esprimedi lapermutazioni con ripetizione cheil numero sequenza tale sempio 1.20) � - � ..2. ...§.

p

•

•

18

•

17

.ll

....iL_

l!

5.3.

VARIABILI CASUALI CONTINUE NORMALE O GAUSSIANA - N(H,o2 ) 2 2 ) -(x-!J. ) (-oo < x O H>O

-1

....!L H

5.15 V.c.Fig.Paretiana momenti del la Paretiana sono dati da : esistono se k< a} (5.43} ha: si In particolare (a>2) = a a -1) ( a >l} Il = �)(a+t)2 2 Asimmetrica (a >3) a (a-3} p2= 3(aa -2(a -3)H3a{a2+-4)a+2) Leptocurtica ( a> 4) Si ha: laim-+ -+-.p1 4 trova l 'economistadelPareto, daldescrizione che hapiùpresotipicai l nome Lala suaParetiana, distribu­ la la nel icazione appl zione dei redditi, a partire da una certo reddito minimo l

(

Il

�' t

H/ (

}

(

(

)

H.

1 16

Pr i nc i pa l i v . c .

LOGONORMAL E ( 5 . 44 )

1 ax V< 2 n )

( )

fx

(

e - logx-b

2

) 2 / ( 2a )

(0 < +oo ) a >0

x<

5 . 16

V.c. Fig.Logonormale l moment i del la logonormale sono dati da:

( 5 . 45 )

si dimostra particolareponendo si ha: = log x,e procedendo come nel l 'esempio e e b+a Ponendo si ha poi : asimmetrica leptocurtica Not i amo c he l i m a-+l im b-a a--+0 La moda del la l ogonorma l e o= e b La e e Anche l a l ogonorma l e stata molto usata per descrivere distribu­ z i on i de i redd i t i . 3.9. In

come J.L=

y

2/2

2 A=e a /2 P 1 = ( A- 1 ) ( A+2 ) 2

a

2 =J.L 2 ( a 2 /2 1 ) (

P2 = 3 + ( A- 1 ) ( A6+ 3A 4+6A 2+6 ) p1 = O

med i an a è 11

=

è

è

(

)

p O 2

v

=

3

)

2

V AR I A B I L I CASUAL I

Principal i v.c.

117

5.4. GENESI DEllE Nel ladiletteratura statistica sono stati difattiprobabi moltil itàsforzisul laperbase� tare caratterizzare le distribuzioni primo criterio unlonumero l imitato di proprietà generai i.in Unpresenza quel del la massimizzazione del l 'entropia di vincol ­i chele negativa origina edistribuzioni standard qual i la normale, l 'esponenzia la rettangolare, comesulgiàl 'elasticità abbiamo visto nel funzione 4.4. Undi altro criterio quel lo basato di una (densità di) probabi l ità, che nel caso continuo data da: df (5.46) e (x) f di

è

è

§

è

la (5.46) incognita può interpretarsi un'equazione funzione f, i l cui comeintegrale generaledifferenziale con (5.47) f(x) = c.exp I Pfxl dx � dove c una costante tale che � - f(x)dx = 1. Si hanno i seguenti risultati, di immediata verifica: 1) Se e(x)=- = costante una v.c. Paretiana (5.42) una v.c. Gamma (5.17) 2) Se e (x)=p-1-ax (retta) 2 3 ) Se e(x)=-x(x- � )/o (parabola) una v.c. Normale (5.12) 2 4) Se e (x)•-1-(log x-b)/a una v.c. logonormale (5.44) criterio quel equazione lo forse piùdifferenziale famoso, dovuto ageneratrice K.Pearson, chedel terzo propose la seguente come le principal i funzioni di densità di probabil ità: (5.48) del la (5.48) hanno in generale le seguenti proprie­ tà:le1) soluzioni Hanno una singola moda x=�o 2) tàHannodel unla curva, alto contatto del lequando ascisse,f(x)=Oal le estremi nel sensoconchel 'assef'(x)=O è:

è

-

a -1

X è

X è

Un

X è

X è

è

118

Principal i v.c. Hanno al massimo due flessi, equidistanti dal la moda. LaKendal l (voiha quattro parametri e, comepossono dimostra ad esempio M.G. l, 6.2) questi essere espressi in funzione soltanto dei primi quattro momenti di una v.c. o, i l che lo stesso, del la media, del la varianza, e degl i indici p 1 eP2 • Vale quindi inpervariabi i l Pearson i l seguent� principio ristretto di e­ quivalenza l ità: "Due casual iP sono l itl sono quandosoloha,!! no ugualvariabi i gl li i indici e P2equivalenti " (la media ine variabi la varianza indici posizione e dispersione può essere e­ lzazione). iminata,di come già abbiamo visto nella cui2. influenza . , mediante standardi A Per questoal motivo portanza calcoloneldile pagine e p2 • precedenti stata data tanta im­ Notiamo appl icarevalga: la significa impl icitamente suppor­ re che l che'elasticità x(x-'1�...:01 ;..._ (x) -a 2x 2 a x a0 La soluzione generale del la f(x) c exp 3)

( 5 . 48 )

1 969 , §

è

Ì

P1

e

( 5 . 49 )

§

( 5 . 48 ) )

è

+ 1 +

=

___

( 5 . 48 )

( 5 . 50 )

4

è:

•

estribuzioni dando opportuni valori ai parametri si ritrovano molte del le dl già viste. Esempio al casoDeterminare a 1=a 2=0. laSicurvaha: del sistema del Pea� son che corrisponde dx l · c . < •- •.l 2/ (2ao ) f(x) = c exp Ponendo Jl= o e ao=-a2 si ritrova la distribuzione normale. Vibabisonol ità:moltiper alcuni altri modirimandiamo per caratterizzare le distribuzioni di proal­ al la letteratura (ad esempio cap. VI del capitol vol . l i deldal testo di Kendal l ) e per altri rimandiamo ai successivi la nostra trattazione. 5.9

�

•

'Il

Principal i v.c.

119

S . S. Fra!azionile variabi l i casual intercorrono molte r� : vediamone alcunei finora fra leconsiderate più importanti. Relazione fradoveBinomiale e Poissoniana p= l/n è una costante positiva e finita in modo t� Q1)leuando l im np =l , la distribuzione Binomiale l imche:p = puòna conessere medi ainterpolata, l=np per grandi valori di n, con una Poissoni � PR I M E R E L A Z I O N I F R A V AR I A B I L I C A S U A L I

A

O

Dimostrazione. ln-++oo im ( k ) k qn-k � k l im n(n-l) n -k ) l i m ( ! ) n l im ( � ) -k = n-++oo n n-+ +oo n k ! n-++oo nk Àk .1 e - l k! k! c.v.d. L'approssimazione la Binomiale bi le, agl i effetti delpratici, quandoconnp �lOunaedPoissoniana n >SO è accetta­ didifettosi componenti. Trovare elettronila cpro­ i� Esempio S . del Unal 'l% dipartita tiene una percentuale pezzi se nel itàtrovino . hababi l ità che estraendone l=np=l.a casoLa 100probabi esatta2 difettosi è ( � ) 0.01 2 0.99 98 Un valore di tale probabi l ità è : 1 -e 1 1 2/2approssimato ! = e / 2 0.1 8 39 n P

•

•

•

(

+l

l-

t -·

l

•

�

lO

Si

n=lOO

p2 =

P = 2

p=O . O l

t O

-

=

120 Principal i v.c. Binomialecone Gaussiana 2) XRelazione Segeneratrice una v.c.deiframomenti Binomiale del la media v.c. np e varianza npq la funzione = v \ ) è

7 . 16 )

i

Q=

CJ

CJ

JJ 1 1

CJ

_.....:..;x._y_

X

Q

a

Q = ����--

--

--------

-

----

------

--

--

1 50

Corre l a z i one e regress i one

n m x y P - � � 1: 10 01 i =1 j 1 i j i j

!

Ne l caso d i u n gruppo dopp i o s i ha : (7. 18)

(l =

1

J

y

v

N

=1: 1

!

( x i - � x ) ( y i - �y )

�

( x . - �x ) 2

)( �

( y l. - � y ) 2

)

i =1 i =1 t N N N N 1: x .l y l. - l: x .l I l 1: y i i =1 i =1 i =1 N N N N 1: x .l 2 - ( 1: x .l 2 N 1: y l. 2 i =1 i =1 i =1 l

)

(

��

i =1

y. 2 l

)

)

Ne l l e ( 7 . 1 7 ) e ( 7 . 1 8 ) l e seconde formu l e sono mo l to p 1 u conven i e� t i da l pu nto d i v i sta de l costo de l l ' e l abora z i one de l l e in form azi,2 n i . Se i nf i ne s i ope rano l e standard i zzaz i on i ( Y- � y )/ay X ' = ( X- � x )/ax Y'

=

l e formu l e precedent i d i ventano , per l e v . s . dopp i e :

(7. 19 )

e per

( 7 . 20 )

n m (l = l: 1: x ' .1 y ' J. p .I J. i =1 j= 1

grupp i dopp i :

N ! 1: = (l N i =1 x ' .l y ' .l

I l coeff i c i ente d i corre l a z i one l i neare gode de l l e seguent i fo� damenta l i propr i età : a ) (1 =0 i n caso d i i nd i penden za corre l at i va ed i n part i co l are in C.!_ so d i i nd i penden za s tocast i ca . ( f i g . 7 . 3 ) b ) (1 =1 i n caso d i perfetta d i pendenza l i neare d i retta fra X ed Y che s i ha quando l a l i nea che un i sce i punt i osservat i ( x , y )è una retta con coeff i c i ente ango l a re pos i t i vo ( ved i f i g . 7 . 2 ) c ) (l =- 1 i n caso d i perfetta d i pendenza l i ne are i nversa fra X ed Y ( retta con coeff i c i e nte ango l are negat i vo - ved i f i g . 7 . 4 )

Corre l a z i one e

regre e e l n n •

151

"

Fig. 7.2 Perfetta d i pendenza l i neare d i retta

Fig. 7.3 I nd i pende n za stocast i ca

"

"

Fig. 7.4 Perfetta d i pende n za l i neare i nvers a

d ) 1 S {} S 1 sempre . e ) !} è i nd i pendente d a camb i ament i d i un i tà d i m i s ura e d i or i g i ­ ne pe r l e var i a b i l i X ed Y . -

Corre l a z i one e regress i one

152

D i mostraz i on i . La propr i età ( a ) d i scende d i rettamente da l l a def i n i z i one d i Q e da l l e propr i età de l l a covar i an za . Le propr i età ( b ) ( c ) ( d ) s i d i mostrano ad esemp i o ponendo ne l l a ( 7 . 1 8 ) : b l. = y l - ll y S i ha : a .l .. x l. - !lx •

Q2 =

(�

N

i l

i =l I:

a i bi

a l. 2

)2 N

i =l I:

b .l 2

::;; l per

l a d i s uguag l i an za d i Cauchy-Scwarz ( C l ) I no l tre ( ved i append i ce C ) Q 2 = l se e so l tanto se l e a . e l e b l. sono proporz i ona l i tra l l oro , c i oè se va l e l a re l a z i one : x 1 ( x .l - J.l x ) + X 2 ( y l. -J.l y ) o ( i =l , 2 , • • • N )

,

per v a l or i non nu l l i d i x 1 e x 2 • I n part i co l are Q =+ l se x 1 e x 2 hanno segno contrar i o ( retta con coeff i c i ente a� go l are pos i t i vo ) e Q =- 1 se À l e À 2 hanno l o stesso segno ( retta con coeff i� i ente ango l are negat i vo ) e v i ceversa • c.v.d.

L a propr i età ( e ) s i d i mostra a d esemp i o ponendo ne l l a (7.18)

x l. = a z .l + b ed y l. = cw l. + d e constata ndo che

Esemp i o 7 . 4 C a l co l are i l coeff i c i ente d i corre l a z i one l i neare fra X ed Y con i dat i de l l ' esemp i o 7 . 1 Occorrono 5 somme ( progress i one ) de i term i n i de l l e seguent i co­ l onne .

�

x .l

y l,

22 6 30 54 38

5 7 9 13 l

x

x iy i

x l. 2

y .l 2

1 242

325

5780

22 30 210 486 494

150

35

5 x 1 242 - 35

Corre l a z i one e regres s i one

150

153

484 36 900 2916 1 444

1 25 49 81 169

960

0 . 60

I l v a l ore trovato denota una notevo l e corre l a z i one pos i t i va fra X ed Y . �

.... S i ha :

Esemp i o 7 . 5

Ca l co l a re Q COn

.... pi a. x y

Esemp i o 7 . 6

Ca l co l are

= 0 • 9 = 0 . 45 V4

2

o 0.4

2 3 q J· 0 . 4 l

4

0.3 0.3 o

6

0.2 0.2

8

o l 0.1

xy = 6-4 = 2

p .l

dat i de l l ' esemp i o 7 . 2 •

e To per l a seguente v . s . do�

!!

Il x = l

0.4 0.3 0. 2

Il y = 4

O. l l

T

o =1

!!

2 x = l 2 o y = 4 o

= l

S i amo i nfatt i i n un caso d i perfetta d i penden za l i neare d i retta, fra X ed Y { y= 2x+2 ) � .... pia

Esemp i o 7 . 7

Ca l co l a re

!!

e To per l a segue nte v . s . do�

1 54 x

y

o

1 2 3

q J.

o

0.4 0.4

Corre l az i one e regress i one 1

9

4

0.3

0.2 0.2

0. 3

p .l

o. t

0. 1

Il x =1

0.4 0.3

Il y =2

O. t

0.2 1

!1 =

o

2 x =1 oxy =2 . 6

v7�ç0 .945

To =1

Not i amo che mentre T -1 i n quanto s i ha perfetta d i penden za b i l a tera l e fra X ed Y 0 !1 < 1 i n quanto l a d i pendenza non è l i near; • ( y=x 2 )

Esemp i o 7 . 8 Ca l co l are (1 per l e v . s . dopp i e deg l i esem... pi 6 . 4 ( dando ad X ed Y va l or i arb i trar i ) e 7 . 3 Ne l pr i mo caso s i ha i nd i pe nden za stocast i ca qu i nd i (1 =0 , ne l se­ • condo caso s i ha i nd i penden za corre l at i v a ed ancora !1 =O .

7. 3.

I NTERPRETAZ I ON E G EOMETR I CA D I

!1

( x N , y N ) i n cu i l e vari� Dato un gruppo dopp i o ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) b i l i X ed Y s i ano standard i zzate , qu i nd i ta l i c he : •

N

i =t I:

(7.21)

N

i =t I:

x .l

x .l 2 =

N

i =t I:

N

i =t I:

y .l

=

•

•

o

y i 2= N

i l coeff i c i ente d i corre l az i one l i neare, per l a ( 7 . 20 ) va l e N n e: L S i ha : " N i =I: t x i y i ( 7 . 22 )

!1 =

cos a

155 Correlazione e regressione dove l 'angolo formato dai vettori x=(x 1 ,x2 , ,xN ) ed y=( y 1 , y 2 , , y N ) Infatti N x.y. (vedi AMIR-FASS (1962) 1.15): N x .y. cos a = l xx�'Il y l vi=l N N 2 i=1 x. Vi=l y. sono ortoso­ Se e soloSe invece se edfra sonoed Yincorrelati i vettori x ed yl ineare vi perfetta dipendenza x =y oppure x . -y valgonorappresen­ nel lo N.B. Le delimportanti relazionicheprecedenti fra x edeysono spazio le osservazioni, ha N dimensioni, tab i l i graficamente so l o se N 3. SeSe N=2N=l ilel coefficiente perde di significato in quanto (7.21) danno sempre: x x = (± V212, + V 212 > yy= ±]

y = j=l

x a o , a l , l'o

E

E

E

j=

1

[x i

-

(x . -lly ) - llyJ

x

j (x.

E E i

+

ax2

•

(1-

Q 2)

E E

l

a2 a2 � - 2 a2 a2

l

2 p. . IJ

-Il X )

2 p IJ •

.

+

X ) p .I J.

j ( yj - lly ) (x.- ll x:�:: y ( y x x

a2

•

( )

2 -Il ) p .I · + J J.

a

Q 2)

y (1 -

pIJ

69

e l' l s i ano ca l co l at i con l e ( 7 . 39 ) e 7 . 42

y = j [y j j (y y

- 2 � a x2

2 p . . = a2 IJ

( l' o+ Yl yj ) y

D i mostr i amo l a pr i ma fo rmu l a a d 2 I: E 2L l l a2 E E

1

a2 1 -

ie ) - y

a 2 ( l - Q2 ) c.v. d.

l s i mbo l i l d 2 e 1 d 2 i nd i cano l ' errore c he s i commette sost�ue_n do a i va l or i osservat i d i e , r i spett i vamente, d i una retta . N� t i arno c he , pe r var i a b i l i non degener i ( c i oè con var i a n za non nu l 1 a ) s i ha : 2 d2 1 1d

y

x y

y= x o

x

quando e so l o quando Q ± 1 , c i oè ne l caso d i perfetta d i penden za l i neare fra X ed Y . Esemp i o 7 . 1 7

=

l ' i ntens i tà d i un certo fenomeno è sta-

1 70

Corre l a z i one e regress i one

ta m i s u rata con due strument i d i vers i , che hanno or i g i nato il gruE po dopp i o ( X , Y ) l e cu i determ i na z i on i sono r i portate ne l l e pr i m e due co l onne de l l a ta be l l a seguente . S i s u ppone che i r i s u l tat i de l l e due ser i e d i m i s u ra z i on i s i ano d� scr i v i b i l i appross i mat i vamente da l l a re l a z i one y = a o+ a l x .

Determ i na re a 0 ed a 1 co l cr i ter i o de i m i n i m i quadrat i e ver i f i ca­ re che va l e l a seguente re l a z i one, ana l oga a l l a ( 7 . 46 ) : ( 7 . 48 ) x l.

8 10 7 13 12 11 12 14 9 4

100

Il x =1 0

N

1

yi

14 19 12 25 23 22 18 26 15 6

180

xiyi

112 190 84 325 276 242 216 364 1 35 24

1 968

Il y =1 8

x l. 2

64 100 49 169 144 121 144 1 96 81 16

y l. 2

1 96 36 1 144 625 5 29 484 324 676 225 36

1084 3600

u l.

14 18 12 24 22 20 22 26 16 6

1 80 o

y l. -u l.

o 1

( y l. -u .l ) 2

o 1

1 1 2 -4

1 1 4 16

o

o

o

-1

o

o

xy =16 . 8

o

1

o

24

l ' equa z i one de l l a retta d i regress i one d i Y s u X è : u - 1 8 =2 ( x+ 1 0 ) - u= 2x - 2 l ' errore g l oba l e med i o è : 2 1 10E ( y - u . ) 2 = 2.4 . l S i ha i nf i ne 2 . 4 1 d y = 10 i =1 l

l ' i nterpo l ante l i neare descr i ve mo l to bene i l fenomeno ( ved i f i g . 7 . 10 )

Corre l a z i one e regress i one

171

26

F i g . 7 . 10 l nterpo l a z i one l i neare 14

7.6.

x. l

L A REG RESS I ON E NON L I NEARE

Per mo l t i fenomen i un ' i nterpo l ante l i neare non descr i ve con s uff! c i ente prec i s i one l a re l a z i one es i stente fra X ed Y . I n ta l caso s i r i corre s pesso a trasforma z i on i c he concentano d i l i near i zzare i l prob l ema, o meno frequentemente ad i nterpo l ant i d i grado s upe­ r i ore a l pr i mo . Un caso c l ass i co è que l l o i n cu i fra X ed Y si s u.e, ponga es i stere una re l a z i one de l t i po : ( 7 . 49 )

y

ax b

dove a e b sono pa rametr i i ncogn i t i . I n questo caso s i pone :

172

y ' "" l og

Corre l a z i one e regres s i one y

y '=a+bx'

x ' = l og

x a

e l a ( 7 . 49 ) d i venta

= l og a

l parametr i e b possono essere determ i nat. i co l cr i te r i o de i m i nl m i quadrat i , esattamente come abb i amo v i sto ne l § 7 . 5 I n prat i ca i l processo s uddetto è rea l i zzab i l e con mo l ta fac i l i tà i n quanto i pr i nc i pa l i programm i stat i st i c i es i stent i s ug l i e l ab� rator i prevedono l a poss i b i l i tà d i effettuare trasforma z i on i d i v� r i ab i l i con i struz i on i mo l to semp l i c i . Cua l ora i nvece s i cerch i no i parametr i d i un po l i nom i o i nterpo l an te d i equa z i one :

( 7 . 50 )

a

u =

a o + a 1x + + a xg •

•

g

•

i l cr i ter i o de i m i n i m i quadrat i , operando come per l a d i mostra z i � ne de l l a ( 7 . 40 ) , conduce a l l a so l u z i one de l seguente s i stema d i � qua z.i on ! l i near i :

ao

+11g+1, o a

(7.51 )

.... drat i ,

n m I: I: i =1 j=1

g

pI J •

•

Esemp i o 7 . 1 8 Ca l co l are, co l cr i ter i o de i m i n i m i qua parametr i de l po i i nom i o u =

a o +a 1 x + a2x 2

per l a v . s . dopp i a de l l ' esemp i o 7 . 7 caso d i venta :

I l s i stema ( 7 . 5 ) i n questo

1

Correlazione e regressione 173 che ammette la soluzione a = a 1 = O inomio di fra2° gradoed (cheha inquindi questoequazione caso descrive perfettamen teI l polla2 relazione =x . teL'errore un poi globale inomio dimediogradocheg sinel commette la variabiadottando le x è: come interpolan­ n m [ y. - p(x. ) J 2 p . dove (7.52) i=1 j=1 g (7.53) g=O i l criterio deimiglminimi ancora I unal sisti voi quadrati permette Qtauando di dimostrare che la iore interpolante è la media. ma ( x(7.51) = �01 = infatti ) = a 0 ammette anche: O u.. y2 .. y2 �y lai hasoluzione: Q uando g=1 abbiamo già visto che: 1 p(x) �y�x2 (x-�x ) e X

Y

Y)

I:

I:

oP

•

S

o

•

J

l

IJ .

o

o

o

In generale si dimostrarisolvendo che se i i parametri lanti sono calcolati l sistema dei(7.51)pol siinomiha: interpo­ (7.54) Omettiamoi l lafatto dimostrazione, anche perchè è abbastanza naturale a�u­ cettare che passando da un' interpolante di grado g ad na interpolante di grado g+1 l 'errore globale medio nonal debba au­ mentare. In pratica i problemi di regressione poi i nomi e vengono fatti sempl icicometrasformazioni l i,fra que! l i di rientrare, regressioneconmultipla, vedremo megl diio variabi in seguito. 1.1.

L E PR I NC I PAL I STRUTTURE D I UNA V AR I AB I L E STAT I ST I C A DO P­ P I A.

Rivediamo ora rapidamente le principal i strutture di una v.s.dop-

Corre l a z i one e regres s i one

1 74

p i a, r i portando i va l or i de i pr i nc i pa l i i nd i c i d i conness i one ( Tx , Ty , To ) regress i one e corre l a z i one ("1 x2 , 11 y2 , 11 2 , (1 ) - I ND I PENDENZA STOC AST I CA ( I . S . ) o

o

o

o

o

o

o

F i g. 7 . 11 - l .s. Il

o

I .C.

l . s.

><

i mp l i ca

l

•

R

•

,

l

•

M ed •

I ND I PENDENZA R EG RE SS I V A { I . R . }

-

o

....... ...-

o

l'y

o

o

. """)Il("

o

o

�

'� � �

F i g . 7 . 12 - l . R. Ili

Tutt i g l i i nd i c i va l gono zero .

o

o

o

p i j = p i qj

o

-

o

o

...... --.,...

o

o

o

y . ::J,l l y

• --.,...

o

"

"1x2= "1 y2= "1 2 = (1 =

x . = !.l x J o

l . R . i mp l i ca I . M . ed I . C .

l NO l PENDEN ZA I N MED I A { l . M . ) d i y s u x

o

o o

p ._.

o

o

o

F i g. 7 . 13 - I .M. d i y s u x

y . :: l

"

"1 y2

Il y o

(1 =0

l . M . i mp l i ca I . C .

Corre l a z i one e regress i one

175

IV - I ND I PENDENZA CORRELAT I V A I . C . o

o

F i g . 7 . 14

Q= o

)(

- l .C. 1-1- x

V - PERF ETTA D I PENDENZA ( P . D . ) d i

Y

su

X -a 2 y

F i g. 7 . 15 - P.D. di

Y

su

= a

2 y

X

V I - PERF ETTA D I PEND E N ZA B I LATERALE ( P . D . B. )

-a 2= a 2 x

x

-2 2 a = a y y

Tx =T y =To =� x2= � y2= � 2 P . D . B . i mp l i ce P . D .

F i g . 7 . 16 - P . D . B.

V I I - PERF ETTA D I PENDE N ZA L I NEARE I NV ERSA ( P . D . L . I . )

Tutt i g l l i nd i c i vo �:� = - 1

F i g . 7 . 17 - P. D . L . I .

)(

=

=

l

l sa l ­

P . D . L . I . i mp l i ce P . D . B . e P.D.

Corre l a z i one e regress i one

1 76

V I l i - PERF ETTA D I PENDENZA L I N EARE D I R ETTA ( P . D . l . D . )

Tutt i g l i i nd i c i sono u­ gua l i ad l

P . D . L . D . i mp l i ca P . D . B . e P.D.

"

F i g. 7 . 18 - P. D . L . D .

ESE RC l Z l

1 • C a l co l are �1 1 l a v . s . dopp i a s eguente y

o x

l

2

q

i

o

l

2

0.3 0.1

0.2

0. 1

0.4

O. l

O. l

0. 3

0.2

� 1 2 �22 � 10 � 0 1

�21 3

� 20 e �02 per

p. l

0. 1

0.6 0.2 0.2

0.1

1 .0

2 . Ca l co l are l a cova r i anza ed i l coeff i c i ente d i corre­ l az i one l i neare per l a v . s . precedente .

3 . C a l co l are serva z i on i 2 x 4 5 3 9 7 3 y : 5

Q

per i l gruppo dopp i o seguente e fare os­ 7 13

9 17

4 . Ca l co l are Q per l a v . s . dopp i a seguente :

x

o 1 2

'

o

0 . 25

1

0 . 25

Corre l az i one e regres s i one

2

P;

0 . 25 0 . 25 o . so 0 . 25 0 . 25

0 . 25 o . so 0 . 25

q J.

177

1

5 . Trovare a e b > O ta l i c he i l coeff i c i ente d i corre­ l a z i one l i neare de l l a seguente v . s . dopp i a v a l ga 1 e ox2 = 3 . 04 . y

x

o 1 a

o

0.2 0.2

q.

J

2

0.6

0.6

b

0.2 0.2

6 . Ca l co l are Commentare . x

o 1 2

qj

y

o

o 0.3 0. 1

0.4

2

0. 1 o 0. 1

0.2

4

0. 1 0.3 o

0.4

p l.

0.2 0.6 0.2 1.0

�:

p,

p l.

ed � : per l a s eguente v . s . dopp i a .

0.2 0.6 0.2 1

7 . Tracc i are i l graf i co de l l e fun z i on i d i regress i one d i pr i mo e s econdo t i po per l a v . s . dopp i a de l l ' eserc i z i o precedente e ca l co l a re g l i error i g l oba l i med i . Commentare .

Corre l a z i one e regress i one

178

8 . Tracc i are i l graf i co de l l e rette d i regress i one de l ­ l a v . s . de l l ' eserc i z i o 1 . Ca l co l are po i co l c r i ter i o de i m i n i m i quadrat i i parametr i de l po l i nom i o d i regress i one d i 2 ° grado d i X r i s petto ad Y e va l utare i l m i g l i oramento de l l ' errore g l oba l e med i o che s i ha pass ando da l l a retta a l l a parabo l a .

9 . Sta b i l i re c he t i po d i struttura h a l a seguente v . s dopp i a facendo anche i l d i agramma a d i s pers i one . y

x

o 1 2 3

qJ.

o

0.2 0.2

1

0. 1

0. 1

2

0. 1 0.2 0. 1

0.4

3

0. 1

0. 1

4

0.2 0.2

•

pi

0.4 0.3 0.2 0.1 1

1 0 . l nterpo l a re una retta ed una parabo l a cons i derando X fun z i one d i Y per l a v . s . de l l ' eserc i z i o 9 trovando i corr i s pon­ dent i error i g l oba l i . Oua l ' è i nvece l a m i g l i ore i nterpo l ante d i Y r i s petto ad X?

CAP I TOLO

VI l i

COMPLEMENT I SULLE D I STR I BU Z I O N I DOPP I E

CONC ETTO D I V A R I A B I L E CASUAL E A DUE D I MENS I ON I

8. 1.

Una var i a b i l e casua l e a due d i mens i on i U=( X , Y ) è una copp i a d i fun z i on i ( con part i co l ar i requ i s i t i c he vedremo fra poco ) def in i te s� un i ns i eme S d i event i e l ementar i ( ved i § 1 . 5 . ) che fanno corr i ­ s pondere ad ognuno d i ess i una copp i a d i nume r i rea l i ( x , y ) , c i oè un punto i n uno s paz i o Euc l i deo a due d i mens i on i . Per fare un esemp i o cons i der i amo l ' estra z i one esaust i va ( s e n za r i genera z i one ) d i due pa l l i ne da un ' urna c he cont i e ne 3 pa l l i ne b i � che e 7 nere . S i a x i l nume ro d i pa l i i ne b i anche est ratte l a p r i ­ ma vo l ta ed y que l l o re l at i vo a l l a seconda estraz i one . La cor r i ­ s ponde n za fra g l i event i e l ementar i ed va l or i di x e di y è me� s a i n ev i den za da l l o schema seguente . Event i e l ementar i :

� o

lx : ly :

o

� o 1

� 1

o

� 1 1

Le proba b i l i tà deg l i event i e l ementar i sono r i s pett i vamente : P( NN ) = 42/90 P( N B )= P( BN )= 2 1 /90 P( BB )= 6/90

La var i a b i l e casua l e U=( X , Y ) può essere messa sotto l a forma se­ guente : u

x

o l

y

o

42/90 2 1 /90

1 21/90 6/90

che a bb i amo g i à v i sto essere l a forma t i p i ca i n cu i s i presenta � na v . s . dopp i a .

Comp l eme nt i

t HO

Pe r prec i s are i l concetto precedente , def i n i amo i nterva l l o genera i i z zato b i d i mens i ona l e e l o i nd i c h i amo con l = ( �, �; a , b] l a reg i one de l p i ano ( x , y ) def i n i ta da l l e d i s uguag l i a n ze : x O )

f(x, y ) p(x )

dens i tà d i probab i l i tà d i Y v i n­ co l ata ad X=x . ( p ( x ) > O )

( 8 . 10 )

q(y l x )

(8. 11)

f(x, y ) = p(x ) q(y )

=

Anche ne l l e v . c . dopp i e , purchè a bb i ano una fun z i one d i dens i tà � t i nua ovunque, cond i z i one necessar i a e s uff i c i ente pe rc hè fra l e component i X ed Y v i s i a i nd i penden za stocast i ca è c he : Esemp i o 8 . 2 Constatare che ne l l a v . c . dopp i a de l l ' e semp i o 8 . 1 non c ' è i nd i pende n za stocast i ca . S i ha : 1 1 3 1 3 p(x ) = ( lxi s 1 ) 4 ( l+x y-xy ) dy 2 -1

�

q(y )

/ /

-1

=

1

-

3 3 -1 4 ( l+ x y-xy ) dx = 2

1

( 1 Yi s1)

Compl ement i

183

Ev i dentemente p(x)q( y ) 1/4 f f(x, y ) per qua l che x ed y qu i nd�i non v i è I . S .

8 . 2.

MOMENT I DOPP I E F UNZ I ON I D I REG RESS I O NE NEL CONT I N UO

i doppi d i una v.c. doppi a d i screta s i ca l co l ano con l e l moment formu l e (7. 1 ) e success ive. Ne l cont i nuo s i ha : (8. 12) ll h k = /Oo

Luogh i de i

P -

y( 3 )

...

\:

0 . 25

0 . 333

0 . 667

0 . 375

0 . 375

1 0 . 1 25

- 1 . 7 322

-0 . 5774

0 . 5774

1 . 7 322

0 . 1 25

o . 37 5

0 . 37 5

0 . 125

Ne l l a f i g . 9 . 6 r i port i amo i d i agramm i d i X { n ) Y { n ) Z { n ) che g i à i nd i cano l a d i vergen za de l l a pr i ma e l a convergenza de l l e a l tre due var i eb i l i verso forme l i m i te i nd i cate ne l l ' u l t i ma ser i e di gr� fici . : n •

J

(9.61 ) Esemp i o 9 . 16 (tratto da Bramb i l l a-C i fare l l i ( 1 970 )� serc i z i o N . t 39 ) . Data l a success i one d i v . c . i l cu i term i ne ge­ nera l e è ( n- l )/ n x. 1/2 e l a v.c. x = vo .

l :;; o

1

1/2

1/2

co l l egate da l seguente tessuto connettl x

xn 1/n

o

p l.

1

( n- 1 )/ ( 2n ) 1/ ( 2n )

1-1/n

1 / ( 2n )

qj

1/2

1/2

( n- 1 )/ ( 2n ) 1/2

1/2 l

d i mostrare che X n converge stocast i camente a X . Ca l co l a re i no l tre i l coeff i c i ente d i corre l a z i one l i neare fra X n ed X . Le var i ab i le d i fferenza asso l uta fra X n ed X è : 1 - 1/n 1/n Pref i ssato B > O se s i sceg l i e n > 1/ B s i ha : l im P 1 qu i nd i n-++oo =

c.v.d.

Fun z i on i d i v . c . S i ha i no l tre

p =

( n -2 )/ n

e l im n-++oo

p

=

225

1.

Su l l a convergenza i n probab i l i t� es i stono mo l t i a l tr i teorem i , i n part i co l are su l l e l egg i de i grand i numer i , per i qua l i r i mand i a­ mo a l l a l etteratura . Fra quest i c i t r amo so l tanto l a l egge dm gran­ d i nume r i d i Kh i ntch i n da l u i d i mostrata ne l 19 29 ( ved i b i b l i o ­ graf i a ) : "S i a { x n } una success i one d i v . c . i nd i pendent i ed i dent i che , con med i a � · A l l ora l a success i one ( zn } dove : Zn = ( X 1 + X 2+ + X n )/ n converge stocast i camente a �" . Not i amo che non s i fa a l cuna i potes i su l l a var i anza de l l e X che può anche non es i stere . Lo stesso Teorema d i Bernou l l i può � onsl derars i come un caso part i co l are de l Teorema d i Kh i ntch i n con X n data da l l a ( 9 . 47 ) •

•

•

TEOREM I SULLA CONV E RGENZA I N L EGGE Una success i one ( x l d i var i ab i l i casua l i conver e i n e ver­ so una v . c . X qua � ifo l a success i one ( F n ( x ) de l l e corr i spondent i funz i on i d i r i part i z i one F ( x ) d i X i n ogn i punto d i cont i nu i ­ t� d i F ( x ) . La F ( x ) è detta fun z i one d i r i part i z i one l i m i te . Va­ l e i l fondamenta l e Teorema d i Lévy-Cramé r : "Una success i one { x n } d i v . c . converge i n l egge verso una v . c . X se e so l o se l a success i one t �n ( t ) } de l l e corr i spondent i fun z i o­ n i caratter i st i che converge verso una fun z i one � ( t ) cont i nua i n un i ntorno de l l ' or i g i ne . La fun z i one � ( t ) è l a fun z i one caratte r i st i ca d i X ( e l a convergen za d i �n ( t ) verso � ( t ) è un i forme )� I n prat i ca i l teorema suddetto v i ene app l i cato anc he a l l e fun z i � n i generatr i c i de i moment i sotto cond i z i on i abbastanza gene� l i , come abb i amo g i � v i sto ne l § 5 . 5 par l ando d i a l cune re l a z i on i fra var i ab i l i casua l i . Abb i amo cos l d i mostrato, ad esemp i o, che l a v. c. B i nom i a l e standard i zzata converge i n l egge verso l a Norma l e rj dotta . Lo stud i o de l l a convergenza verso l a Norma l e ha dato l uogo, s i n da i temp i d i Lap l ace e Gauss ( 1800 ) a i nnumerevo l i r i cerche teo­ r i che, per i qua l i r i mand i amo a i test i d i Gnedenko e Ko l mogorov ( 1 954 ) e d i Loève ( 195 5 ) . Ved i amo d i esam i narne a l cun i aspet 1 i , i mportant i soprattutto per l e app l i ca z i on i . Una success i one j Xn } d i v . c . avent i med i a e var i anza f i n i ta sodd i sfa a l Teorema Cen­ tra l e de l Ca l co l o de l l e Probab i l i t� ( detto anche Teorema Centra l a L i m i te ) ne l l a sua forma c l ass i ca se l a success i one (Y n } i l cuT term .1 ne gener .1 co è :

226

(9.62 )

(9.63)

Fun z i on i d i v . c . yn s

S n -M ( S n ) o( S n )

dove :

n

converge i n l egge ad una v . c . Norma l e r i dotta ( M e o stanno per med i a e dev i az i one standard ) . S i ha c i oà : ( 9 . 64 )

l i m F (y ) n-+ -+- n

=

f

-

y

V ( 2 n)

�+ 1 --.­

2 e -u /2 du

dove F n ( y ) è l a fun z i one d i r i part i z i one· d i Y n . R i port i amo a l c,!! ne cond i z i on i perchè va l ga l a ( 9 . 64 ) .

l ) Per i l teorema d i lév y -Cramer, perchè va l ga l a ( 9 . �4 ) è nece� sar i o e suff i c i ente che ( 9 . 65 )

l i m cp ( t ) n -+ -+- n

I n mo l t i cas i prat i c i ( 9 . 66 )

è

suff i c i ente che :

l i m g (t) n-+ -+- n

=

2 et / 2

dove g n ( t ) è l a funz i one generatr i ce d i Y n ( ved i § 5 . 5 ) . l l ) Teorema d i de Mo i vre - lae l ace Se S è una v . c . B i nom i a l e ( 9 . 46 ) con 0 < p < l l a corr i spondente var i �b i l e standard i zzata ( 9 . 56 ) converge i n l egge verso l a N ( O , l) •

l l l ) Cond i zi one d i l i ndebers Se l e X .l che compa i ono ne l l a ( 9 . 6 3 ) sono i nd i pendent i , i dent i c he ed hanno var i anza f i n i ta e pos i t i va va l e l a ( 9 . 64 )

I V ) Cond i z i one d i lxaeunov Se l e X 1. sono i nd i pendent i (ma non necessar i amente i dent i che ) ed hanno :

Fun z i on i d i v . c

227

- var i anze a 2 ( X l. ) � c > 0

- moment i centra i i asso l ut i da l l a med i a l � lk( X i ) < C ( f i n i to ) per qua l che k > 2, a l l ora va l e l a ( 9 . 64 ) .

Es i stono po i mo l te a l tre cond i z i on i d i convergenza verso l a Nor­ ma l e, anche i n cond i z i on i d i debo l e i nterd i pendenza fra l e var i a bi l i sommate, per cu i r i mand i amo a l l a b i b l i ograf i a (ved i ad esem p i o Rény i ( 1970 ) § 8 . 5 ) .

�

Esemp i o 9 . 17 Trovare l a d i str i bu z i one l i m i te de l l a Y n ( 9 . 62 ) quando l e X . sono v . c . un i form i ( 5 . 31 ) i dent i che ed i� d i pendent i . le v . c . un i fo rm i hanno med i a =1/2 e var i anza = 1/ 1 2, f i n i ta e pos i t i va : sono qu i nd i ver i f i cate l e cond i z i on i di L i n­ deberg e l a l oro v . c . somma standard i zzata converge i n l egge a l l a Norma l e r i dotta . I n prat i ca questo r i s u l tato è ut i l i zzato ad esemp i o per l a genera z i one d i numer i casua l i norma l mente d i str i­ bu i t i . S i organ i zza l a v . c . somma d i n=1 2 v . c . un i form i , che per i teorem i de l § 9 . J ha med i a = 1 2/ 2 = 6 e var i anza = 1 2/ 1 2=1 . La corr i spondente v . c . somma standard i zzata y 12 = X 1 + X 2+ • • • + X 1 2 - 6 1

ha med i a O e var i anza 1 e s i ott i ene semp l i cemente generando 1 2 numer i pseudo casua l i un i formemente d i str i bu i t i e tog l i endo 6 . Stante l a rap i da convergen za de l l a Y n i n questo caso, s i assume per Y 12 una d i str i bu z i one Norma l e R i dotta . Eventua l mente s i ot t i ene da questa una N ( �, a2 ) med i ante l a tr asformaz i one w=�+ aY 1 2 •

•

la v . c . Norma l e non è l ' un i ca d i str i bu z i one l i m i te d i somme di V,!. r i ab i l i casua l i . A l tr i i mportant i r i su l tat i s i hanno ad esemp i o per l a convergen za verso l a Po i sson i ana, i n caso d i "event i rar i � che genera l i zzano quanto abb i amo detto ne l § 5 . 5 ( ved i a d esemp io Rény i ( 1970 ) § 8 . 5 e Von M i ses ( 1964 ) § 6 . 8 ) .

ESERC I Z I

t . D i mostrare c he una v . c . Gamma ( 5 . 17 ) pub i nterpreta� a i come v . c . somma d i p v . c . esponen z i a l i negat i ve ugua l i ed i n -

228

Fun z i on i d i v . c .

d i pendent i . Dedurre da c i ò e da l l a ( 9 . 6 ' ) che l a v . c . z p dove z i sono v . c . i nd i pendent i unl - ( 1/a ) l og z 1 z 2 form i ( 5 . 31 ) è una Gamma con parametr i a e p .

x =

•

•

•

2 . Date due v . c . X ed x 2 Norma l i r i dotte i nd i pendent i trovare l a d i str i bu z i one d i 1 2 + x2 . z = x 2 l 3 . Con g l i stess i dat i de l l 'eserc i z i o 2 trovare l a d i ­ str i bu z i one d i W = 4X 1 - 2X 2 4 . Trovare l e d i str i buz i on i de l l e v . s . X + Y, X-Y, XY, Y / X per l a v . s . dopp i a de l l ' esemp i o 7 . 2 e ver i f i care i teorem i ( 9 .34) e ( 9 . 36 ) . 5 . Ca l co l are l e fun z i on i generatr ic i de i moment i de l l a v . s . X, Y ed X+ Y per l a v . s . dopp i a de l l ' esemp i o 7 . 3 6 . Trovare l a d i str i bu z i one d i Z = X+ Y per l a v . c . dop­ p i a de l l ' esemp i o 8 . 1 e ver i f i care che l a fun z i one caratter i st i ca d i Z è i l prodotto de l l e fun z i on i caratter i st i che d i X e d i Y , p u r non essendov i i nd i penden za stocast i ca ( per l o svo l g i mento d i questo eserc i z i o ved i F i s z ( 1963 ) esemp i o 4 . 4 . 2 ) . 7 . D i mostrare che l a v . c . med i a ( 9 . 3 1 ) d i k Norma l i iE d i pendent i ed i dent i c he ( con med i a � e var i anza o 2 ) conver g e stocast i camente a � . ( App l i care l e ( 9� 35 ) ( 9 . 38 ) e l a ( 9 . 60 ) , cond i z i on i suff i c i ent i per l a convergen za ) .

CAP I TOLO X

PROC ESS I STOCAST I C I MARKOV I AN I

10. 1 .

CONC ETT I G E N E RAL I

Un processo stocast i co ( t ) è una fam i g l i a di var i a b i l i casua l i che d i pe ndono da un pa rametro t , Un P . S . v i ene i nd i cato co l s i mbo l o : jX t , t e TI dove T è l ' i ns i eme d i nume r i rea l i de i poss i b i l i va l or i d i t ( d i so l i to t i nd i ca i l tempo ) , I n base a questa def i n i z i one una va r i a b i l e a k d i mens i on i è un pro cesso stocast i co, dove T =( 1 , 2, , k ) e cos l pure una s uccess i on; d i var i a b i l i casua l i j X t l dove t e T = ( 1 , 2, . . . ) . I n e ntram b i i cas i T è u n i ns i eme d i screto , ne l qua l caso par l i a­ mo d i process i stocast i c i a pa rametro d i screto ( od anche P . S . dl scret i ne l tempo ) . Se l ' i ns i eme T è cont i nuo ed i n part i co l are è un i nte rva l l o , f i n i to o i nf i n i to , pa r i i amo d i process i stocast i c i a pa rametro cont i n uo ( od a nc he P . S . cont i nu i ne l tempo ) . A secon­ da de l l a natura de l l e v . c . X t d i st i ngu i amo po i P . S . d i scret i e � S . cont i nu i ( ne l l o spa z i o deg l i event i ) . Ne l l a nostra t ratta·z i one cons i dere remo so l tanto P . S . d i scret i i n cu i l e X t sono v . c . d i sc� te , i cu i va l or i argome nta l i s 1 , s 2 , sono dett 1 stat i de l s i ste•

•

•

La tracc i a v i s i b i l e d i un processo s tocast i co è cost i tu i ta da una s ucces s i one di osserva z i on i de i va l or i de l l e X t detta rea l i zza z i o­ � ( o tra i ettor i a o s tor i a ) de l processo , •

•

•

.!!!!..!.

Esemp i o 1 0 . 1 E ' stato l anc i ato un dado 9 vo l te , otte ne ndo puntegg i ( 3, 5 , 2, 6 , 4, 1 , 2, 4, 2 ) c he cost i tu i scono una rea l i i za z i one d i un semp l i ce processo s tocas t i co comp l etame nte def i n i to da

•

1

2

6

1/6

1/6

1/6

teT

( 1 , 2, 3, . . . )

( l ) da l greco a � òx a s � , X � S c he i nd i ca una persona capace d i pre­ vedere i l futuro . Use remo s pesso l ' a bbrev i a z i one P . S . per Proces­ � o Stocas t i co .

Process i Stocast i c i

230

4

F i g . 10 . 1 Rea l i zza z i one d i un processo stocast i co I l graf i co de l l a tra i ettor i a osservata

è

r i portato ne l l a f i g .10 . 1 ...

Un ' a l tra fondamenta l e c l ass i f i ca z i one de i P . S . fa r i fer i mento a! l a "memor i a " de l s i stema . Un P . S . è detto Markov i ano quando l a l egge d i probab i l i tà che governa i camb i ament i da uno stato ad un a l tro de l s i stema i n un dato i stante d i pende so l tanto da l l o sta­ to assunto da l s i stema ne l l ' i stante precedente e non da l " c o m e" s i è arr i vat i a ta l e stato . Per questo mot i vo i process i Markovia n i sono dett i senza "memor i a ", mentre i process i sen za ta l e car� ter i st i ca sono non Markov i an i . Se i nf i ne l a l egge che governa i camb i ament i d i stato da un i sta n te t ad un i stante t+ s d i pende so l tanto da s (e non da t ) pa r l i i mo d i process i omosene i .

10 . 2 .

CATENE OMOGENEE D I MARKOV

l process i Markov i an i omogene i , d i scret i ne l tempo e ne l l o spa z i o deg l i event i , sono dett i catene omosenee d i Markov e r i vestono � na part i co l are i mportan za per l e app l i ca z i on i . l i m i tandoc i per ora a l caso i n cu i v i s i a un numero f i n i to d i st� t i s 1 , s 2 , • • • , S n , una catena omogenea d i Markov è comp l etamente c� ratter i zzata da : q n , o i cu i e l emen - un vettore i n i z i a l e A 0= q 1 , 0 q 2 , 0 t i q , 0 sono l e proba b l l i tà che i l s i stema s i a ne l l o stato S i ( i = 1 , 2, • • • , n ) a l tempo t 0 • A 0 è qu i nd i i l vettore de l l e pr� l ,

[

]

Process i Stocast i c i

231

- una matr i ce d i proba b i l i tà d i trans i z i one : s1

( 10 . 1 )

st s.

p lj

l

Pn P; l

sn

Pn l

P ns

.

p

sn

s. J

p I. J.

cu i e l ement i p sono l e probab i l i tà d i passare da l l o stato s i a l l o stato Sj 1 �e l l ' i nterva l l o d i tempo (t k - l ' t k } c i oè ne l l a k-ma trans i z i one ( k=1, 2 , } •

.

•

•

•

La ( 10 . 1 } è una matr i ce stocast i ca c i oè : - è quadrata - g l i e l ement i p I J sodd i sfano a l v i nco l o O :s;; p I J :s;; 1 - l a somma deg l i e l ement i d i ogn i r i ga è ugua l e ad 1 ( qua l ora a� che l a somma deg l i e l ement i d i ogn i co l onna s i a ugua l e ad 1 s i par l a d i matr i ce dopp i amente stocast i ca } . •

.

•

.

Not i amo che l e probab i l i tà ( 10 . 1 } non d i pendono da l l ' i nd i ce k i n quanto st i amo par l ando d i process i omogene i . C i ò premesso, i� d i cando con ( 10 . 2 } i l vettore de l l e proba b i l i tà deg l i stat i S .1 a l tempo t k ' l ' evo l� z i one de l s i stema è data da : ( 10 . 3 )

k=0, 1 , 2 ,

• • •

I l prodotto v i ene esegu i to con l e rego l e de l l ' a l ge bra matr i c i a l e. S i ha qu i nd i : n ( j ... t , 2, ( 10.4} q j , k+ 1 = r q i , k P i j ,n} i =1 • • •

Process i Stocast i c i

232 �

è

Esemp i o 10 . 2 I l s i stema soc i o econom i co d i un paese c l ass i f i cato ne l l e tre att i v i tà seguent i : - Stato s 1 agr i co l tura - Stato s 2 i ndustr i a - Stato s 3 a l tre att i v i tà La d i str i buz i one i n i z i a l e è : A0 = [ o . 6 0 . 3 0 . 1 ] I n una trans i z i one (ad esemp i o i n una genera z i one ) l e probab i l i tà d i trans i z i one formano l a seguente matr i ce :

p =

st

s2

s3

st

0.6

0. 1

s2

0.4

0.3 0.4 0.6

0.4

s3

0.2

Questo s i gn i f i ca ad esemp i o che u n i nd i v i duo che s i trovava a l te� po t o ne l l a categor i a s l ( agr i co l tura ) ha probab i l i tà 0 . 6 d i r i m� nerv i , 0 . 3 d i passare a l l o stato s ( i ndustr i a ) e 0 . 1 d i passare a l l o stato s 3 ( a l tre att i v i tà ) . 2 Ana l ogo s i gn i f i cato hanno l e a l tre probab i l i tà ; not i amo i n parti co l are che g l i appartenent i a l l o stato s 3 ne l corso d i una trans i � i one non possono passare a l l o stato s 1 • App l i cando l a ( 10 . 3 ) s i trovano l e d i str i bu z i on i seguent i . A0 P

=

[

l

0.6 0. 3 O. l [o . 6 0 . 3 0 . 1] 0 � 4 0 . 4 0 . 2 = [0 . 48 0 . 36 0 . 16 J 0.6 0.4

( Ad esemp i o s i è effettuato i l ca l co l o : q 1 , 1 q 1 , 0 p 1 1 + q 2, 0 p 2 1 + q 3, 0 p 3 1 = 0 . 6 (0 . 6 ) +0 . 3 ( 0 . 4 ) + 0 . 1 ( 0 )=0 .48 [0 . 432 A3

0 . 384

0 . 1 84]

A 2 P = [0 . 41 28 0 . 3936 0 . 1 936]

Le component i de l l ' u l t i mo vettore c i d i cono ad esemp i o che, dopo 3 trans i z i on i ( generaz i on i ) , se l a matr i ce de l l e probab i l i tà d i trans i z i one r i mane effett i vamente i na l te rata, c i rca i l 40% de l l a popo l a z i one s i ded i cherà a l l ' agr i co l tura e a l trettanta a l l ' i ndu-

Process i Stocast i c i

233

str i a, mentre c i �ca i l 20% s i ded i c herà ad a l tre att i v i tà . Not i amo che c i ò che veramente cond i z i ona l ' evo l uz i one de l s i ste­ ma è i a matr i ce stocast i ca d i trans i z i one P. Ad esemp i o se si pa� te da l l a s i tua z i one A0 [ 0 . 5 0 . 2 0 . 3 ] dopo 3 trans i z i on i s i arr i va a l l a d i str i bu z i one A 3 l 0 . 3968 0 . 4016 0 . 20 1 6 ] che è prat i camente ugua l e a l l a precedente , anche se l e cond i z i o­ n i i n i z i a i i sono mo l to d i verse . � =

=

Esam i n i amo ora a l cune t i p i che atrutture d i matr i c i 'Stocast i c h e ( MS ) . S i d i ce che una MS è sc i nd i b i l e se g l i stat i S . s i posso­ no d i v i dere i n due i ns i em i d i sg i unt i G 1 e G 2 conteneAt i a l meno un e l emento e ta l i che per ogn i sj G l e sk G 2 s i abb i a p j k o . C i ò s i gn i f i ca che i n una trans i z i one non è poss i b i l e passare da uno stato de l pr i mo gruppo ad uno stato de l secondo . I l gruppo G1 è detto gruppo f i na l e ne l senso che i v i g i unt i non è poss i b i l e passare ad a l tr i stat i . I l gruppo G 2 può a sua vo l ta contene r e grupo i f i na l i , a l tr i ment i è detto gruppo d i trans i z i one . E

E

=

S i d i ce che una matr i ce stocast i ca è c i c l i ca quando l ' i ns i eme d� g l i stat i è d i v i s i b i l e i n grupp i G 1 G 2 G r ta l i che : - s i a ugua l e ad 1 l a probab i l i tà d i passagg i o da uno stato de l gruppo G i ad uno de l gruppo G i + l ( i =1, 2, , r - 1 ) - s i a de l par i ugua l e ad t l a probab i l i tà de l passagg i o da uno stato de l gruppo G r ad uno de l gruppo G 1 • Si rea l i zza cos l l a sequen za c i e l i ca G 1 -+ G 2 -+ G 3 -+ . . ..... G r -+ G 1 -+ .G 2 • • •

•

•

•

....

.... Esemp i o bu z i one i n i z i a l e o A0 = [ t o ca l co l are A 4 ne l

p

è

10 . 3

Data una catena d i Markov l a cu i d i strl

o]

caso de l l e MS seguent i : st

52

0.3

0.7

52

0.6

0.4

53

0. 1

0.5

0.2

0.2

54

0.4

0.3

0.1

0.2

st

• • •

234

Process i 5tocast i c i 0.5 0.5

P'

0.5 0.5 0.5 0.5 52

51

1

52 s3 54

54

1

sl P"

53

0.5 0.5

;..

l

l

La matr i ce P è sc i nd i b i l e e cont i ene i l gruppo f i na l e G 1 =( S 1 s 2 ) ed i l gruppo d i trans i z i one G 2 = ( s 3 s 4 ) . S i ha po i : A 4 = A 0 P4 - [0 . 4659 0 . 5 341 O O] Not i amo che a l momento i n i z i a l e i l s i stema s i trovava i n uno de­ g l i stat i de l gruppo G 1 ed i v i è r i masto, essendo questo un gru� po f i na l e . Anche l a matr i ce P ' è sc i nd i b i l e e cont i ene due grupp i f i na l i 0 . 4545 o o]

I nf i ne l a matr i ce P" è una matr i ce c i e l i ca part i co l are (ogn i grue, po cont i ene un so l o stato ) . S i ha : A l A o P ' [o l o o ] A2

=

A l P ' = [o o l o ]

A 3 = A 2 P ' = [o o o l ] A4 A 3 P ' [l o o o ]

•

R i prend i amo ora l a ( 10 . 3 ) c he può essere sv i l uppata come segue : A0 P

Al ( 10 . 5 )

A 2 = A l p = Ao p� .. . .. . k A = Ao p .

k

.

. . . . . . .

Process i Stocast i c i

23 5

Pk è l a k-ma poten za de l l a matr i ce P; i s uo i e l ement i , che i nd i ­ ch i amo con p I J ( k ) rappres entano l a proba b i l i tà d i passare d a l l o stato S .l a l l o stato S J. i n k trans i z i on i . Ad esemp i o s i ha : •

( 10 . 6 )

.

pIJ (2) •

•

La ( 10 . 6 ) s i gn i f i ca c he l a proba b i l i tà d i passare da l l o stato S l. a l l o stato S . i n due trans i z i on i , pe r i teorem i de l l a proba b i l i tà composta e t � ta l e , è ugua l e a l l a somma de i prodott i de l l e probabl l i tà d i passare da S .1 ad un gener i co stato S r , pe r l e probab i l i tà d i pas s a re da S r ad S J. , pe r tutt i i va l o r i d i r . G l i e l ement i d i Pk sodd i sfano a l l a fondamenta l e equa z i one d i Mar­ kov : ( lO . 7 )

n

p I J (k ) •

p .1 r ( m ) p rJ. ( k -m )

r=l I:

.

dove m è un i ntero c he sodd i s fa a l l a l i m i ta z i one l !:> m < k . L ' i nter preta z i one de l l a ( 10 . 7 ) è ana l oga a que l l a de l l a ( 10 . 6 ) con l a d i f fe re n za c he i l passagg i o da S 1. ad S r è comp i uto i n m trans i z i on i ed i l passagg i o da S r ad SJ. è comp i uto ne l le restant i k-m trans i z i on i . Esemp i o 10 . 4 Con i dat i de l l ' esemp i o 10 . 2 ve r i f i care l ' equa z i one d i Markov per k=3, m=l , i = l , j =2 . S i ha :

�

.6

.4

Il P I J < 2 > Il = •

•

P2

. 48 . 40

. 24

.l .2

.3 .6

.4

•

.

.4 36

40

. 48

. 16 20 28

.

.

( Proba b i l i tà pe r una transa­ z i one ) ( Probab i l i tà per due trans i z i on i )

236

Il

Process i Stocast i c i I J C 3 > Il =

P•

•

. 432 . 384 . 184 . 400 . 400 . 200 . 336 . 432 . 232

P3 =

( Probab i l i tà per tre trans i z i on i )

p 1 2 ( 3 ) = p 1 1 ( 1 ) p 1 2 ( 2 ) + p 1 2 ( 1 ) p 22 ( 2 ) + p 1 3 ( 1 ) p 32 ( 2 ) = = . 6 ( . 36 ) + . 3 ( . 40 ) + . 1 ( . 48 ) = . 384

10 . 3 .

ERGOD I C I TA ' DELLE CATENE D I MARKOV

Data una catena omogenea d i Markov è abbastan za natura l e ch i ede� s i se i vettor i A0 , A 1 , A 2 s i stab i l i zzano a l l ' aumentare de l numero de l l e trans i z i on i e qua l e i nf l uen za ha l a d i str i bu z i one l n i z i a l e su l l a eventua l e convergenza . R i sponde a queste domande il a.i detto teorema ersod i co : Data una success i one P, P 2 , P 3 , d i poten ze d i una matr i ce stoc� st i ca P d i una catena omogenea d i Markov con un numero f i n i to d i stat i , s e es i ste u n i ntero r e d u n i ns i eme non vuoto d i stat i G 1 ta l e che •

•

•

•

( 10 . 9 )

•

Min p. . (r) ( i eN, j eG 1 ) ' J

( 10 . 8 ) dove N

•

( 1 , 2,

• • •

c>O

, n ) , a I l ora s i ha :

l i m p. . (k ) = p . IJ J k .... +oo

( j=1 , 2,

•

•

•

,n)

Le probab i l i tà l i m i te p . sono i nd i pende nt i da l l a d i str i bu z i one l n i z i a l e A 0 • l no l tre : J ( 10 . 10 ) ( 10 . 1 1 )

n

p. I: j=l J

l

Process i Stocast i c i

237

§ 7 . 4 e pe r un approfond i mento de l l ' argomento a Fe l l er ( 1968 ) A­

Per l a d i mostra z i one de l teorema ergod i co r i mand i amo a F i s z ( i963)

vondo ( 1973 ) e Kemeny-Sne l l ( 1960 ) . Un processo per cu i va l gon o l e cond i z i on i precedent i è detto processo ergod i co . Una vo l ta a� certata l a l oro es i stenza i l ca l co l o prat i co de l l e probab i l i tà -l i m i te è mo l to semp l i ce i n quanto, per l a ( 10 . 7 ) s i ha : n n I: p . (k- 1 ) p . ( 1 ) pI (k) ( 10 . 1 2 ) I: p . (k- 1 )p . rJ rJ J r= 1 1 r r= 1 1 r •

.

Per l a ( 10 . 9 ) s i ha :

( 10 . 1 3 )

e

(j N )

l i m p . . ( k ) = pJ. k-++- I J l i m p . (k- 1 ) k-++- 1 r

Pr

(j

e

N)

Sost i tuendo s i trova : (j N ) p. = J la ( 10 . 1 4 ) è un s i stema d i n equa z i on i ne l l e n i ncogn i te � che , un i tamente a l l a cond i z i one ( 10 , 1 1 ) permette i l ca l co l o de l l a d i ­ str i bu z i one l i m i te : e

( 10 . 14 )

( 10 . 15 ) Trovare l a d i str i bu z i one l i m i te de l Pl'2, Esemp i o 10 . 5 cesso de l l ' esemp i o 10 . 2 . S i ha : p l 0 . 6 p 1 + 0 . 4 p2 ...

p2

p3

0 . 3 p1 + 0 . 4 0 . 1 p1 + 0 . 2

p2 + 0 . 6 p3 p2 + 0 . 4 p3

p 1 + p2 + p 3 E l i m i nando l a 3 a equa z i one , che d i pe nde da l l e pr i me due, s i tro va l a so l uz i one c i oè A = [ 0 . 4 0 . 4 0 . 2] p2 = 0 . 4 0.4 C i ò s i gn i f i ca che , a reg i me , i l 40% de l l a popo l a z i one s i ded i ch� l

pl =

238

Process i Stocast i c i

rà a l l ' a gr i co l tura , i l 40% a l l ' i ndus tr i a ed i l 20% ad a l tre attl v i tà , come de l resto e ra g i à a bbasta n za c h i a ro dopo l e pr i me tran s t z t on i . I no l tre , dato c he l a ( 1 0 . 8 ) è ver i f i cata g i à per r=1 ; G 1 =( S 2 , s 3 ) i l processo è ergod i co qu i nd i l a d i str i bu z i one l i m i te non d i pende da l l a d i str i bu z i one i n i z i a l e . N . B. Se l a matr i ce P d i una catena omoge nea d i Markov è sc i nd i bl l e ed i grupp i d i stat i sono tutt i f i na l i , oppure è c i e l i ca , l a cond i z i one ( 1 0 . 8 ) non è r i spettata , i n quanto i n ogn i co l onna d� l e matr i c i P, P 2 , P 3 , c ' è a l meno un e l emento nu l l o . Ad esemp� è i ntu i t i vo c he i process i de l l ' esemp i o 10 . 3 governat i da l l e ma­ tr i c i P' e P" non sono e rgod i c i , i n quanto ne l pr i mo caso i gru� p i ( S 1 s 2 ) ( s 3 s 4 ) non comun i cano e ne l secondo g l i stat i s i su� cedono c i c l i camente ne l tempo e l e probab i l i tà non possono sta bl l i zza rs i . •

10 . 4 .

•

•

PROC ESS I MARKO V I AN I CONT I NU I N E l TEMPO

Cons i der i amo ora a l cun i semp l i c i process i Ma rkov i an i cont i nu i ne l tempo, omogene i , come sequen ze d i ch i amate ad un centra i i no te l e­ fon i co, r i c h i este d i cert i f i cat i ad uno s porte l l o, d i s i ntegra z i o­ n i rad i oatt i ve , ecc . , i n cu i i camb i ament i d i stato possono avve­ n i re i n un i stante qua l s i as i . le proba b i l i tà p I. J. ( n ) de l l e catene d i Markov d i ventano qu i p I. . ( t ) J che sono l e proba b i l i tà che i l s i stema pass i da l l o stato S . a l l o stato S J. i n un i nterva l l o d i tempo d i amp i e zza t . Per esse va l e l a re l a z i one d i C hapman-Ko l mogorov ( ana l oga a l l a 1 0 . 7 ) ne l l a fo� ma : l

( 10 . 16 )

p .I J. ( t )

= r

r

p 1. r ( s ) p rJ. ( t-s )

dove r = 1 , 2 , , n se i l numero deg l i stat i è f i n i to ma p i ù fre­ quentemente r=1 , 2, se ta l e numero è i nf i n i to . I no l tre s è un numero rea l e ta l e che 0 < s < t . •

•

•

•

•

•

Uno de i process i p i ù i mportant i per l e appl i ca z i on i concrete è i l PROC E SSO NASC I TE-MORT I ( B i rth-and-Death Process ne l l a l etteratu­ ra a n g l osassone ) . I n questo amb i to d i c i amo che un s i stema è ne l ­ l o stato S n se ne l s i stema sono present i n e l ement i ( n=0, 1 , 2, ) i n un certo i stante . l process i nasc i te-mort i sono basat i su l l e seguent i tre i potes i : • • •

239

Process i Stocast i c i

l ) La probab i l i tà che i l s i stema pass i da l l o stato S n a l l o stato

s n + 1 ne l l ' i nterva l l o d i tempo ( t, t+ àt ) è :

( 10 . 1 7 ) ( ved i l ' a ppend i ce A per i l s i gn i f i cato de l s i mbo l o o ( lit )_kf ove ). :2:: 0 n per n=O, 1 , 2, e À n =O per n < O . •

•

•

I l ) La probab i l i tà che i l s i stema pass ·i da S n ad S 1 ne I l ' 1" n te.r. nva l l o ( t, t+ àt ) è :

( 10 . 1 8 ) dove 1.1. o =O ll

l)

per n=1 , 2

•

•

•

La proba b i l i tà che ne l l ' i nterva l l o ( t, t+ àt ) ne l s i stema av­ venga p i ù d i un camb i amento è trascura b i l e , e prec i samente :

( 10 . 1 9 )

k >1

Se va l gono l e tre i potes i precedent i s i ha anche : ( 10 . 20 )

P l S n .... S n l "" 1 - À n àt 1 !

- 1.1.

n 6t + o ( àt )

c i oè l a proba b i l i tà che ne l s i stema non avvenga a l cun camb i amen­ to è i l comp l emento ad 1 de l l e probab i l i tà ( 10 . 1 7 ) e ( 10 . 18 )a meno d ' i nf i n i tes i m i d 'ord i ne super i ore a àt . I nd i c h i amo ora con P n ( t ) l a proba b i l i tà che i l s i stema s i a ne l l o stato S n a l tempo t . l n base a l l e i potes i precedent i poss i amo seri l e seguent i re l a z i on i : vere

( 10 . 21 )

+ ( 1 - À n tst - 1.1. n àt ) P n ( t )+ o ( àt ) ( n 1 , 2 , -

S i ha po i

• •

J

Process i Stocast i c i

240

P n ( t+t.t }- P n ( t } = h n-l p n- l ( t } + � n + l p n + l (t }+ t.t - (X n+ � n } P n ( t }+ o ( àt }/6t

( n=1 , 2,

•

•

•

}

P0 (t+t.t }-P0 ( t } t. t Facendo tendere t.t a O s i ott i ene i l seguente s i stema d i equa z i� n i d i fferen z i a i i a l l e d i fferenze che governa l 'evo l u z i one del P l"2, cesso nasc i te-mort i . ( 10 . 22 }

P n' ( t } = X n- 1 P n- 1 ( t }+ � n+ l p n+ l (t }- (h n+ � n }P n (t } ( n=1 , 2 , } •

•

•

P0 ( t } dove l e der i vate sono r i spetto a t . L a so l u z i one de l s i stema ( 10 . 22 } d i pende da l l e costant i h n e � n : cons i der i amo ora a l cun i i mportant i cas i part i co l ar i . PROCESSO D I PO I SSON E ' un processo d i pure nasc i te ( � = O } con tasso costante h =. h . S i suppone c he i n t=O i l s i stema n s i a ne l l o stato s 0 , c i oè " va­ l e l a cond i z i one i n i z i a l e : ( 10 . 23 }

Pn ( O }

==

O

( n=1 , 2,

•

•

•

)

Con queste i potes i· i l s i stema ( 10 . 22 } ammette l a so l uz i one ( 10 . 24 }

( n=0, 1 , 2,

D i mostra z i one . Per i l processo d i Po i sson s i ha pr i ma d i tutto

• • •

}

Process i Stocast i c i

241

( 10 . 25 ) equa z i one d i fferenz i a l e a var i a b i l i separab i l i l a cu i so l u­ z i one, tenendo conto de l l a ( 10 . 23 ) è : S i ha po i : P0 ( t ) = e - Àt ( 10. 26 )

P n' (t )

I n part i c o l are

S i tratta d i un ' equaz i one d i fferen z i a l e l i neare de l t • ord i ne che tenendo conto de l l a cond i z i one P 1 ( 0 )=0 ammette l a s� l uz i one Ana l ogamente s i trova che Àte - Àt Suppon i amo ora che l a so l uz i one de l l a ( 10 . 26 ) abb i a l a fo� ma ( 10 . 27 )

p

n(t)

dove K n non d i penda da t . S i ha :

Sost i tuéndo ne l l a ( 10 . 26 ) e semp l i f i cando s i trova che K n sodd i sfa a l l a seguente equa z i one a l l e d i fferenze : ( 1 0 . 28 ) Per r i corre n za s i trova K n =À n / n ! qu i nd i ( Ved i

c.v.d. per una d i mostra z i one p i ù r i gorosa Avondo ( 197 3 ) § 7. 9 )

242

Process i Stocast i c i

La ( 10 . 24 ) è una Po i sson i ana con parametro Xt e l e semp l i c i i po­ tes i che c i hanno permesso d i r i cavar l a agg i ungono i mportan za a questa var i ab i le casua l e ne l l a descr i z i one de l l a d i str i bu z i one deg l i event i rar i , come g i à abb i amo v i sto ne l cap i to l o V . PROC ESSO

DI

YULE

E' a ne h' esso un processo d i pure n a se i te ( Il = O ) i n eu i i l tasso di cresc i ta è proporz i ona l e a l numero de l l e " un i tà present i ne l ( n=0, 1 , ) s i stema . S i ha c i oè X n = nX Con queste i potes i i l s i stema ( 10 . 22 ) d i venta : •

•

•

( n=1 , 2, ( 10 . 29 )

P n' ( O )

=

• • •

)

O

Suppon i amo po i che a l l ' i stante i n i z i a l e s i abb i ano � un i tà pre­ sent i ne l s i stema , c i oè che : ( 10 . 30 )

Pr ( O ) = 1

Pn ( O ) = O

n .;. r

R i so l vendo per r i corren za l e ( 10 . 29 ) s i trova : ( 10 . 31 )

p

n(t )

=

O

per n < r ( n � r >O )

Ponendo k•n - r e p=e - Xt r i trov i amo una d i str i bu z i one B i nom i a le N� gat i va ( 5 . 8 ) che pu� i nterpretars i come una v . c . somma d i r v . c . Geometr i c he ( 5 . 6 ) ( i "progen i tor i " ne l l a term i no l og i a d i Fe l l er ( 1 968 ) § 1 7 . 3 ) . 1 1 mode l l o precedente i stato proposto da Yu l e ne l 1 9 24 per desc·r i vere l ' evo l u z i one d i una popo l a z i one d i i nd i v i du i ognuno de i qua l i a b b i a una probabi l i til costante X d i creare n u.2. vo i nd i v i duo, i n un p i cco l o i nterva l l o d i tempo . Per un ' u l te r i ore ana l i s i d i questo mode l l o ved i i l testo d i Fe l l er c i tato e l a b i ­ bl i ograf i a i v i r i portata . un

PROCESSO NASC I TE-MORT I A TASS I COSTANT I Facc i amo ora l ' i potes i che I l numero deg l i e l ement i d i u n s i stema possa s i a aumentare, con tasso costante X n :: X, che d i m i nu i re , con

243

Process i Stocast i c i

tasso costante J.1 n =: J..L . Va l gano po i l e cond i z i on i i n i z i a i i ( 10 . 30 ) . I n questo case l a so l u z i one de l s i stema ( 10 . 22 ) per ogn i va l ore di t è mo l to comp i i cata ( ved i ad esemp i o TAKACS ( 1962 ) § 1 . 2 ) e non ha neanc he mo l ta i mportan za prat i c a . Si può però d i mostrare , s i a partendo da l l a forma esp l i c i ta de l l a so l u z i one che da teorem i er­ god i c i genera i i per process i Markov i an i , che i l i m i t i ( 10 . 32 )

l i m P ( t ) = Pn t -H""" n

( n=0, 1 , 2,

•

•

•

)

es i stono e sono i nd i pendent i da l l e cond i z i on i i n i z i a l i ( 10 . 30 ) . Ta l i l i m i t i sodd i sfano a l s i stema seguente, ottenuto uguagl i ando a zero l e der i vate ( 10 . 22 ) À pn - 1 +

J.1

p n+ 1

( 10 . 33 )

-

(HJ..L ) p n = o

( n=1 , 2,

•

•

•

)

o

p 1 - À Po Deve i no l tre avers i : J.1

""

( 10 . 34 )

p = 1 1: n=O n

Le ( 10 . 33 ) formano un s i stema d i equa z i on i a l l e d i fferen ze l a cu i so l u z i one è , se À < J..L : ( 10 . 35 )

pn = ( 1 - p ) p n

n=0, 1 , 2,

•

•

•

dove p =À/J..L < 1 è detta i ntens i tà d i traff i co . D i mostra z i one . Da l l a ( 10 . 33 ) s i ha sub i to ( 10 . 36 )

p1

= � J.1

po

=

p Po

Per ogn i n l a pr i ma equaz i one de l l e ( 10 . 33 ) è un ' equaz i one a l l e d i fferen ze d i 2 " ord i ne a coeff i c i ent i costant i l a c u i equa z i one caratter i s t i ca è :

Process i stocast i c i

244

o

( 1 0 . 37 )

con rad i c i z 1 = p z 2=1 . S i ha qu i nd i : ( 10 . 38 )

p

n

c 2=O S i trova sub i to c 1 =P0 Da l l a ( 10 . 34 ) s i r i cava i nf i ne P0 = ( 1 - p ) qu i nd i P n = ( 1 - p ) p n c.v.d. l a ( 10 . 35 ) è una v . c . geometr i ca e tutto i l processo desc r i tto è uno de i p i ù semp l i c i ma i mportant i esemp i d i process i stocast i c i che trova mo l t i ss i me app l i ca z i on i soprattutto ne l l ' amb i to de l l a teor i a de l l e f i l e d ' attesa , dove À è i l tasso d ' arr i vo e � è i l tasso d i serv i z i o d i "c l i ent i " gest i t i da un so l o servente . Per g l i i nnumerevo l i sv i l upp i d i quest i concett i r i mand i amo a l testo d i Takacs e a que l l o d i Saaty ( 1 96 1 ) nonchè a l l e r i v i ste spec i a1 i zzate, i n part i co l are i l J . O . R . S . A .

ESERC l Z l 1 . Trovare l a matr i ce stocast i ca che governa l ' evo l u z i� ne de l s i stema descr i tto ne l l ' esemp i o 10 . 1 2 . l l ettor i d i tre quot i d i an i A, B, C , hanno tass i d i "fe de i tà " p e d i "cam b i amento d i i dee " p I J ( j f= i ) espress i da l i ; seguente matr i ce stocast i ca l l

.

.

•

A p -

B

c

A

B

c

0.8 o 0. 1

0. 2

o 0. 1

0.9 0.2

0.7

.

Process i Stocast i c i Data l a d i str i bu z i one i n i z i a l e A0 = [0 . 3 A 1 , A2 , , A 5 e commentare .

0.4

245

0 . 3] ca l co l are

• • •

zio 2.

3 . Trovare l a d i str i bu z i one l i m i te de l P . S . de l l ' esercl 4 . C l ass i f i care l e seguent i matr i c i stocast i c he :

p

P'

o o

o o

0.3 0.2

0.7 0.8

o o o l l

0.3 o o o o

0.5 0.4

0.5 0.6

o o

0.7 o o o o

o o

o

o

0.4 0.8

0.6 0.2 o o

Ca l co l are p 2 e p 3 e fare osserva z i on i

o o

•

5 . Ca l co l are l e proba b i l i tà Pn ( t ) per un processo d i "P.!! re mort i " ottenuto ponendo ne l l e ( 1 0 . 22 ) X n = O 1J. = 1.1. s upponen n do che ne l s i stema a I l ' i stante i n i z i a l e v i s i ano r > O e l ement i . 6 . Ca l co l are l a d i str i bu z i one l i m i te d i un processo d i nasc i te - mort i con X n = À e 1J. n niJ. ( ved i Fe l l er ( 1968 ) § 17 . 7 ) . =

P A R T E

Q U

A

R T A

I NF EREN ZA STAT I ST I CA l ' i nferenza stat i st i ca è un proced i mento d i genera l i zza z i one de i r i su l tat i ottenut i con r i l evaz i on i camp i ona r i e che consente di ef fettuare st i me o ve r i f i che d i i potes i su i parametr i d i una var i� b i l e casua l e . Ne l l a nostra tratta z i one suppon i amo dappr i ma d i conoscere la str\.!i tura de l l a popo l a z i one stat i st i ca o de l l ' un i verso da cu i i camp i� n i sono stat i estratt i e r· i cav i amo le pr i nc i pa l i d i str i bu z i oni Ci!!l p i onar i e , i n part i co l are que l l e de l l a med i a , de l l a var i anza e del coeffi c i ente d i corre l a z i one . Success i vamente par i i amo d i teor i a de l l a st i ma i l cu i ob i ett i vo è que l l o d i determ i na re opportune funz i on i deg l i e l ement i de l cam­ p i one -g l i st i mator i - che d i ano i nforma z i on i cons i stent i e cor� rette su i parametr i c he ca ratter i zzano l a var i ab i l e casua l e og­ getto d i stud i o . D i st i ngu i amo proced i ment i d i st i ma puntua l e che forn i �cono st i me de i parametr i espresse con va l or i s i ngo l i da proced i ment i d i st! ma pe r i nterva l l i c he determ i nano i nte rva l l i entro cu i i parame­ tr i stess i cadono con probab i l i tà pref i ssate . Fra i metod i per l a r i cerca d i st i mator i d i amo part i co l are r i l evanza a que l l o de l l a mass i ma veros i m i g l i a nza che i n mo l te c i rcostan ze r i te n i amo i l m! g l i ore fra i metod i d i s pon i b i l i . Tratt i amo i nf i ne l a teor i a de l l a ver i f i ca de l l e i potes i c he pos­ sono essere parametr i che oppure non parametr i èhe , a seconda che r i guard i no i parametr i d i una d i str i bu z i one oppure l a sua forma . Vengono cos l i ntrodott i i pr i nc i pa l i test d i s i gn i f i cat i v i tà , per confrontare med i e e var i an ze d i camp i on i , l a magg i or pa rte de i qua l i può esse re r i cavata app l i cando i l cr i ter i o de l rapporto d i veros i m i g l i an za . Pe r conc l udere par l i amo de i test d i adattamento d i fun z i on i d i proba b i l i tà teor i c he a d i str i bu z i on i emp i r i che , che p i ù anco ra de i precedent i sono espress i one di uno de i p i ù i mportant i moment i de l l a stat i st i ca i ndutt i va che è que l l o de l l a d i agnos i . S i tratta i nfatt i d i dec i dere se l a l egge che g overna un fenome no è d i un certo t i po teor i co oppure no, su l l a base d i un nume: ro l i m i tato d i osserva z i on i . Per questa dec i s i one è i mportante non segu i re so l tanto un cr i t� r i o i nterpo l at i vo, che sugge r i rebbe d i sceg l i e re l a l egge c he g l i o s i accosta a i dat i osservat i s i c et s i mp l i c i ter, ma d i ten­ tare d i i nterpretare ta l e l egge ne l contesto part i co l are, ad e: semp i o med i ante g l i schem i d i trasforma z i one d i var i a b i l e e l e opera z i on i s u v . c . espost i ne l l a parte terza , e d i proporre a l ­ tre l egg i se l ' i nterpreta z i one de l l a l egge precedente non s i a sodd i sfacente . S i comp i e cos l un te rzo fondamenta l e passo, p t u s pec i f i camen t e i nterpretat i vo, ne l l ' ana l i s i de l l a var i ab i l i tà . me

CAP I TOLO

11.1.

D I STR I BU Z I O N I

Xl

CAM P I ONAR I E

CONCETTO D I PO POL A Z I ON E STAT I ST I C A E D J CAMP I ON E

U n a popo l a z i one stat i s t i ca è un i ns i eme f i n i to d i d a t i sta t i s t i ­ c i tra l oro omogene i pe r qua nto r i gua rda una o p i ù ca ratte r i st i ­ che . Ad esemp i o è una - popo l a z i one stat i s t i ca l ' i ns i eme de l l e st� ture d i un gruppo d i g i ovan i , o l ' i ns i eme de i pes i d i s fe rette m� ta l l i c he prodotte i n una g i ornata da uno stesso gruppo d i macc hi ne . I nd i c h i amo con N i l nume ro deg l i e l ement i de l l a popo l a z i one , che a sua vo l ta verrà i nd i cata con X . Un un i ve rso è una popo l·a z i one stat i s t i ca compos ta da un nume ro i,!! f i n i to d i e l ement i , e ve rrà anch ' esso i nd i cato con X . Poss i am o sempre pe nsare c he X s i a una va r i a b i l e cas ua l e e pe r caratte r i z­ za r l a use remo l ettere greche . I n pa rt i co l are � e o 2 sono r i s pet­ t i vame nte med i a e va r i a n za de l l a popo l a z i one ( od un i ve rso ) . Un camp i one è un comp l esso d i os serva z i on i effett i ve sug l i e leme.!! t i d i una popo l a z i one o un i ve rso . Se non è s pec i f i cato a l t r i men­ ti s upporremo c he s i tratt i di un camp i one casua l e (ra ndom sample) che s i ha qua ndo ogn i e l emento de l l a popo l a z i one ha ugua l e proba b i l i tà d i fa r parte de l camp i one s tesso . Questo verrà i nd i cato �

dove n è detta amp i e zza de l camp i one . Pe r ca ratte r i zza re un camp i one use remo l ettere roma ne . I n pa rt i ­ co l are s i ha : (11.1)

(11.2)

m =

s 2=

(11.3)

( 11.4)

n

i =1 n

i =1 n I:

l

( x . -m ) 2 /n l

i =1 I:

mk =

x . /n

I:

n

i =1 I:

x k. /n l

( x . -m ) k /n l

med i a de l camp i one

var i a n za de l camp i one

mome nto semp l i ce k -mo de l camp i one

momento centra l e k -mo de l camp i one

248

D i str i bu z i on i camp i onar i e

Faremo po i uso de l l a cos i detta var i a n za corretta (11.5)

n

( x .l -m ) 2 / ( n- 1 )

i =l l a cu i formu l a ve rrà g i us t i f i cata i n segu i to . I n f i ne i nd i che remo i cumu l a nt i de l camp i one o d i s ue funz i on i con k r , pe r d i s t i ngue r ! i da que l l i de l l a popo l a z i one ( Kr ) . Un camp i one ( casua l e ) può sempre i nte rpreta rs i come un i ns i eme d i va r i a b i l i cas ua l i x l , x2, • • • , xn E

ognuna de l l e qua l i è i de nt i ca a l l a v . c . X d i parte n za . Se l e v . c . x 1 , x 2 , • • • , X n sono i nd i pe ndent i pa r l i amo d i came iore semp l i ce o Be rnou l l i ano, di cu i a bb i amo g i à v i sto un sesemp i o pa r i an do de l l o Sc hema d i Be rnou l l i . I l p i ù comune sc hema d i camp i onamen to non Be rnou l l i a no è que l l o esaust i vo , app l i ca b i l e so l o i n caso d i popo l a z i one f i n i ta , c he a bb i amo g i à trattato i n pa rte pa r l ando d i estra z i on i da un ' urna senza r i ge ne r a z i one ( esemp i 1 . 1 7 e 1.20) N . B . I n prat i ca i l camp i onamento è quas i sempre esaust i vo , ma s i prefe r i sce adottare g l i sc hem i Be rnou l l i a n i , mo l to p i ù semp l i c i , anche perchè l a d i fferenza fra l e formu l e corr i s pondent i è trasc� ra b i l e qua ndo N è suff i c i entemente gra nde r i spetto ad n . I l nume­ ro d i tutt i i poss i b i l i camp i on i Bernou l l i a n i d i amp i e zza n est� bi l i da una popo l a z i one d i N e l ement i è (11.6)

N 8 = N " ( d i spos i z i on i con r i pet i z i one d i N oggett i d i c l asse n ) .

I l nume ro de i camp i on i ne l caso esaust i vo è i nvece

(11.7)

( � )=

N! n ! ( N-n ) !

( comb i na z i on i semp l i c i d i N e l ement i i n grupp i d i n ) .

Esemp i o 1 1 . 1 Pe r esemp l i f i ca re i concett i esposti � s i der i amo una popo l a z i one composta da g l i N=4 e l ement i o 3 6 9 c he ha : K =- 1 7 2 . 1 25 IC =� =O � 4=207 . 5625 11=4 . 5 3 3 4

�

Estra i amo da questa popo l a z i one tutt i i camp i on i bernou l l i a n i d i amp i e zza n=3 e pe r ogn i camp i one ca l co l i amo l a med i a , l a var i a n­ za e l a va r i a n za co rretta .

A l cun i fra g l i N 8=64 pos s i b i l i camp i on i sono r i portat i ne l l a ta ­ be l l a 1 1 . 1

o o

3. .

6 6 . .

. 3 3. .

9 9 9 9

9

9

s2

m

x l x2 x3 o o o o o 3

o o o .

D i str i bu z i on i camp i onar i e

6 9

2

8 18

. 5 6 .

6

3 1 .

. 6 9 . . o 3

o 3

o

1

o .

s,2

2

o

12 27 3

2 . .

. .

9

2

3 . . 27 12

. . 18 8

.

6 7

8 6 2 o 9 9 Ta b . 1 1 . 1 - Camp i onamento Be rnou l l i a no 9 9

3 o

S i otte n gono cos l l e seguent i d i s tr i bu z i on i ( ved i f i g . V . c Med i a came i onar i a •

=

1;

1

2

3

;

2

6

8

64

64

4

6 10 ...1 64 64 64 6 - V . c . Var i an za came i onar i a •

s 2 -1

249

5

12 64

12

64

14

18

6

64

lO

7 6 64

11.

8 3

64

1) 9 1

64

6 18 64 64 64 64 64 6 - V . c . Va r i a n za came i onar i a corretta

5 ' 2-

1�

12

3

18

12

12

9

12 12

12

6 64

64

64

64

27

21 12

Ne l caso d i camp i oname nto esaust i vo i l nume ro de i camp i on i ( ta bel la s i r i duce a N E =4 .

11 . 2)

x l x2 x3 o 3 6 o 3 9

o 3

6 6

9

9

m

4

3

5

6

s2

6

14 14 6

s,2 9

21 21

9

Ta b. Camp i onamento Esau�l vo

11.2

D i s tr i bu z i on i camp i ona r i e

250

Le d i str i buz i on i precedent i d i ventano ora : V . c . Med i a camp i onar i a ( caso esaus t i vo ) 4

4

1

5

6

4

1

4

1

V . c . Va r i a n za camp i onar i a { c . e . }

52

=

14

!;

4

1

- V . c . Va r i a n za campi onar i a corretta

s· •- 1;

21

{c . e . }

4

l

Not i amo c he c i sono fo rt i d i ffe ren ze fra i l caso Be rnou l l i a no e que l l o esaust i vo i n quanto l a nume ros i tà de l l a popo l a z i one N-4 è p i cco l a ed è quas i ugua l e a l l ' amp i e zza de l camp i one n=3 .

o

l

1

3

4

5

6

7

l

8

l

m

o

14

F i g. 11.1 2 Popo l a z i one ( X ) , v . c . Med i a ( M ) e Va r i a n za camp i onar i a ( S ) i n caso d i camp i oname nto Bernou l l i a no 2

l

18

11.

2.

25 1

D i str i bu z i on i c�mp i ona r i e

MOM ENT I D E L L A V . C . MED I A CAMP I ONAR I A

Cons i de r i amo ora l e pr i nc i pa l i var i a b i l i casua l i c he nascono ef­ fettua ndo un camp i oname nto , i n i z i ando da l l a med i a . Pe r def i n i z i -o ne l a v . c . med i a camp i onar i a

(11.8)

è una comb i na z i one l i neare con pes i 1 n d i n v . c . i dent i c he ad X ( popo l a z i one od un i ve rso ) . la struttura d i M d i pe nde da l t i po d i camp i onamento effettuato : esam i n i amo i due cas i pr i nc i pa l i ( i nd­i ch i amo con E ( X ) e V( X ) l a med i a e , r i s pett i vamente, l a var i an z a d i una v . c . X ) .

/

CAMP I ONAMENTO BE RNOUL L I ANO

Ne l caso Be rnou l l i ano l e v . c . X . de l l a ( 1 1 . 8 ) sono stocast i camen te i nd i pendent i . I nd i cando con 1 V( X .l ) = V( X ) � = E ( X l. ) E ( X ) ( i =1 , 2, , n )

o2

l a med i a e l a var i an za d i X s i ha : •

(11.9)

E(M) = �

( 1 1 . 10 )

V(M ) = o n

•

•

•

c i oè :

"la med i a de l l e med i e de i camp i on i è ugua l e a l l a med i a de l l ' un i ­ verso"

2/

c i oè :

"la va r i a n za de l l e med i e de i camp i on i Be rnou 1 ·1 i an i è ugua l e ad un n-mo de l l a va r i a n za de l l a popo l a z i one" . D i mostra z i one . Per l a ( 9 . 35 ), ponendo a .l =1 n s i ha : E ( M ) = E E ( X l. ) n = E � n = � i i Pe r l a ( 9 . 38 ) po i :

/

V(M) = E

/ o2/n 2 2/ V( x ) / 2 •

l

n = "'�

= a n

/

c.v.d.

252

D i s tr i bu z i on i camp i onar i e

( )

)

P i ù i n ge nera l e va l e l a seguente re l a z i one fra cumu l a nt i d i M k r e que l l i d i X ( K r , s u ppost i es i stent i : X K kr M = r=1 , 2 , ) n

( ) ( ) ----:�"---1-­

(11.11)

D i mostra z i one . Dette g X t e g M t s i ha :

( )

( )

(

•

•

•

l e f . g . m . d i X e d i M, pe r l a ( 9 . 40 )

Sv i l uppando i n ser i e , ammesso che c i ò s i a poss i b i l e , s i ha 25 + = k 1 t + k 2t2 2 ! +

(3 . )

= n

K1 t / n +

/

k 3 t 3 /3 !

•

•

•

n K2 t 2 / 2 ! n 2 + n t

(

)

Da l confronto s i ott i ene

K3 3 / ( 3 ! n 3 ) + l a ( 1 1 . f1 )

Da l l a s i r i cavano i mmed i atamente i nd i c i d i "forma " :

(11.11)

n

( 1 1 . 12)

( 1 1 . 13) Not i amo c he

l im � M) = O n--+ +oo

1(

n

•

• •

•

c.v.d.

seguent i va l or i de g l i

3

c i oà l a v . c . M à "stat i st i camente norma l e " . Pe r l a l egge de i grand i numer i d i K h i ntcn i n l a v . c . M conve rse stocas t i camente a H, med i a de l l a v . c . d i pa rten za X , purchà H es i sta f i n i to . I no l tre , pe r l a cond i z i one d i l i nde be rg, l a v . c . M ;;J y - Ht:,...-­ = _:;:, o n

/V

D i str i bu z i on i camp i onar i e

25 3

conve rge i n I P.gge verso l a Norma l e r i dotta purc h è l a v . c . X a b­ b i a va r i a n za o 2 f i n i ta e pos i t i va . I n prat i ca l a conve rge n za è mo l to rap i da . CAMP I ONAM ENTO ESA UST I VO

Ne l caso esaust i vo l e v . c . X . che compa i ono ne l l a ( 1 1 . 8 ) non so no i nd i pe nde nt i e l e formu l e ' precedent i non sono p i ù va l i de , ad e cce z i one de l l a ( 1 1 . 9 ) . I nfatt i anche i n que sto caso l a med i a de l l e med i e de i camp i on i è ugua l e a l l a med i a de l l a popo l a z i one . Pe r l a va r i a n za va l e i nvece l a re l a z i one ( 1 1 . 14 )

N - n N- l

V(M)

2

( caso esaust i vo )

o_

n

__

D i mostras i one . Pe r l a ( 9 . 37 ' ) l a var i a n za d i una comb i na z i one l i ne a re d i n var i a b i l i con pes i 1/n è : n n v 1: o rs /n 2 = 1: o r2 + 1: 1: o rs jl /n 2 1: r � s r=l r=l s=l Pe r i potes i o r2 o 2 pe r ogn i r . Pe r va l uta re l a cova r i a n za o rs fra X r ed X s osserv i amo che l a v . c . dopp i a ( X r , X s ) ha l a segue nte struttura

l

x

x

xl

r

x2 . x .l . . .

( 1 1 . 15 )

XN

s

xl

o

p

. p . .

p .

1 /N

x 2 . . x .l . . X N p

. .

. . . . . p . . . . . p .

o

.

. . . . .

.

p . .

p

. . p

o

. . . . . . .

.

. p . . . . .

.

.

p .

p . . .

o

1 / N . . 1/N . . l /N

1/N

1/N . . 1/N . . 1/N l

D i str i bu z i on i camp i onar i e

254

dove x 1 , x 2 , , x N sono g l i e l ement i de l l a popo l a z i one (ab­ b i amo usato g l i stess i s i mbo l i per g l i e l ement i d i un cam­ p i one ) . Le probab i l i tà cong i unte sono date da : p = 1/ { N ( N- 1 ) ) per ;. j ( 1 1 . 16 ) P per j IJ O •

•

•

•

=

•

l

=

I nfatt i se X r = x . l a probab i l i tà che X s x . è ugua l e a zero, i n quanto ne l camp i onamento esaust i vo uno stesso e­ l emento non può ven i re estratto due vo l te . D ' a l tronde se X r•x . l a probab i l i tà che X s •x J. (j�i ) è 1 / ( N- 1 ) e l a pro� b i l i tà cong i unta è 1/ [N ( N- 1 )] . La covar i anza fra X r e X s è 1

•

1

1

( 1 1 . 17 )

o rs N I:

i =1

=

x .l

N

N

I:

I:

p

x . - · ·l

j=1

J

� X , ( N 11 -x . ) -11 2 P l i =1 l �

- j li 2 / ( N- 1 ) avendo posto

Il - I:

x i x j p i j - E ( X r ) E ( Xs )

i •t j=1

Il

•

]

p - 11 2 N 2 Il 2 p - � X 2i P - Il 2 = i =1 �

2 / ( N- 1 ) = - o 2 / ( N- 1 )

l

x l. /N

.Sost i tuendo n·e l l a formu l a i n i z i a l e i va l or i trovat i s i tr.2. va : j n o2 - n ( n- 1 ) o rs /n 2= 2 c.v.d. • .5L =o 2 j 1 - ( n- 1 )/(N-1 ) 1 /n 1i:!l N- 1 n

V=

l

...

O s e N=n, come

Not i amo che l a var i an za de l l a v . c . med i a ne l caso esaust i vo va l e è l og i co i n quanto I n questo caso i l camp i one ca� c i de con l a popo l az i one ed m•ll · I n genera l e ta l e var i anza è m i nore de l l a ( 1 1 . 10 ) e tende a co i nc i dere con essa se N -+ �. Come ha messo i n ev i den za Carver ( 1930 ) con una ser i e d i esper i -

D i str i bu z i on i camp i onar i e

255

ment i , l a d i str i bu z i one de l l e med i e d i camp i on i d i n=50 o p t u e­ l ement i proven i e nt i da popo l a z i on i con N > 10 n e l ement i , è pratl camente norma l e , s i a ne l caso esaust i vo che ne l caso Bernou l l i a­ no ( N-+M) , Gl i esemp i contra r i hanno un ' i mportan za preva l entemen t e teor i ca : que l l o p i ù t i p i co è re l at i vo a l l a v , c . d i Cauchy ( 5: 36 ) l a cu i v , c , med i a ha ancora l a stessa struttura de l l a v , c . d i partenza e qu i nd i non converge stocast i camente verso a l cuna co­ stante . C i ò s i s p i ega i n quanto, come g i à v i sto ne l § 5 . 3, ta l e v . c . non poss i ede med i a . Esemp i o 1 1 . 2 Ver i f i care l e ( 1 1 . 9 ) ( 1 1 . 10 ) ( 1 1 . 1 1 ) ( r=3, 4 ) ( 1 1 . 14 ) per l a popo l az i one de l l ' esemp i o 1 1 . 1 Ne l caso Bernou l l i ano s i ha : •

E(M) = 4.5 c � V ( M ) = 3 . 75 o 2 / 3 k 3 ( M ) = o = K 3 { X )/9 •

k4 ( M )

K4 ( X )/27 Ne l caso esaust i vo s i ha E(M) = 4.5 = � V( M ) = 1 . 25 = { 1/ 3 ) o 2 /3 Da l graf i co 1 1 . 1 si nota già un andamento pressoc hè norma l e de l ­ l e med i e de i camp i on i . � =

11.3.

-6 . 375

=

MOMENT I DELLA V . C . MOMENTO CAMP I ONAR I O

L a v . c . Momento camp �onar i o d ' ord i ne k ( 1 1 . 18 ) una comb i na z i one l i neare d i n v . c . tutte ugua l i a X k con pes i 1/n. L i m i tandoc i a l caso Bernou l l i ano s i ha :

è

( 1 1 . 19 ) ( 1 1 . 20 )

(k=1 , 2,

• • •

)

(k-1 , 2,

• • •

)

D i str i bu z i on i camp i ona r i e

256

D i mostra z i one .

E ( Mk ) = � E ( X l. k )/n l •

c.v.d.

Ana l ogamente a l l a med i a , anche l a v . c . mome nto camp i onar i o d ' or­ d i ne k converge stocast i camente a � k ' i l corr i s pondente momento de l l a popo l a z i one , se questo es i ste . I no l tre , se es i s tono anche moment i d ' ord i ne 2k d i X , � 2k l a v.c. ' conve rge i n l egge verso l a Norma l e r i dotta . I l ca l co l o d i a l tr i moment i d i Mk e l a tratta z i one de l caso esaust i vo è a bbastan z a l ungo e non mo l to i mportante i n prat i ca : pe r c h i vo l esse ap­ profond i re l ' argomento ved i ad esemp i o Kenda l l , vo i l ( 196 9 )ca� XI l. 11.4.

MOMENT I D E L L A V . C . VAR I AN ZA CAMP I ONAR I A

Dopo l a med i a l a p i ù i mportante var i ab i l e casua l e ne l l a teor i a de i camp i on i è l a va r i an za camp i onar i a data da : ( 1 1 . 21 )

n

i al r

D i st i ngu i amo anche qu i

( X .l -M ) 2 /n

due t i p i d i camp i onamento fondamenta l i .

C AM P I ONAMENTO BERNOU L L I ANO

Ne l caso Bernou l l i ano l a v . c . var i an za camp i ona r i a ha med i a

n- 1 0 2 E ( S 2 ) = -n

( 1 1 . 22 ) e

var i an za

V ( S2 )

( 1 1 . 23 )

D i str i bu z i on i camp i onar i e

ii -o4 n

... :L.:_

25 7

-11 3 o4 2 ( ii�-2o4 ) ç + 2 n n3

D i mostr i amo l a ( 1 1 . 22 ) . La v . c . var i anza camp i onar i a può sc r i ve rs i ne l l a forma s2

I nfatt i

=

r

� L

( X l. -11 ) 2 / n +

[ i

L

< x i -11 ) + ( 11-M ) 2 /n ( 11-M ) 2 /n+ 2

]

i

L

( X . - 11 ) ( 11-M )/n l

S i ha po i : E( S � )

E ( X l. -11 ) 2 /n - E ( M- 11 ) 2 = E ( X-11 ) 2 - E ( M-11 ) 2 =o 2 - o 2 /n i i n quanto i l pr i mo term i ne è l a var i an za d i X ed i l secondo term i ne è l a var i an za d i M ( 1 1 . 10 ) . =

L

c.v.d. Pe r l a d i mostra z i one de l l a ( 1 1 . 23 ) ved i Kenney -Keep i ng vo l . I l ( 1959 ) § 7 . 4

Pe r l e ( 9 . 60 ) s e una v . c . X ha es i stent i e f i n i t i i moment i f i no 4 " ord i ne l a v . c . 5 2 converge stocast i camente a o 2 ( ved i an­ che F i s z ( 196 3 ) § 9 . 1 1 ) . l ' eventua l e convergen za i n l egge verso l a Norma l e de l l e var i an ze camp i onar i e è i nvece mo l to l enta e sono necessar i e i nforma z i o n i su l l a d i s tr i bu z i one d i X per de l i neare l a struttu ra de l l a v . c . al

Not i amo c he l a med i a de l l e var i a n ze de i camp i on i non è ugua l e a! l a var i an za de l l ' un i ve rso . Per questo mot i vo è stata i ntrodo t t a l a var i a n za corretta ( 1 1 . 5 ) per l a qua l e s i ha : s 2

•

25 8

( 1 1 . 25 )

D i str i bu z i on i camp i onar i e =

( 1 1 . 26 )

o2

( ved i l a ( 1 1 . 23 ) )

anc h ' essa conve rge nte stocast i camente a o 2 ma p iù "corretta " d i s 2 , come prec .i seremo meg l 1" 0 1 n segu 1 to . •

•

CAMP I ONAMENTO ESAUST I VO

la v . c . var i a n za camp i ona r l a ha i n questo caso med i a ( 1 1 . 27 )

( caso esaust i vo )

e var i an za

N ( n- 1 H N-n ) 2 n 3 ( N- 1 ) ( N- 2 ) ( N-3 )

( 1 1 . 28 )

( nN-N-n- 1 ) ( N- 1 ) -�4 - ( nN 2 -3N 2+6N-3n-3 ) o4

( caso esaust i vo ) •

D i mostr i amo l a ( 1 1 . 27 ) . Operando come per l a d i mostra z i one de l l a ( 1 1 . 22 ) e tenendo presente l a ( 1 1 . 1 4 ) s i trova : 2 � N ( n- 1 )o 2 / [ n ( N- 1 ) ] E ( S 2 ) = E ( X-� ) 2 - E ( M- � ) 2 o 2 - !=n N- 1 n =

c.v.d. Per l a d i mostra z i one de l l a ( 1 1 . 28 ) ved i Kenda l l , vo l . l ( 19 6 9 ) eserc i z i o 1 2 . 1 1

Natura l mente quando N -+ � l e ( 1 1 . 27 ) 22 ) e ( 1 1 . 23 ) .

e

( 1 1 . 28 ) tendono a l l e ( 1 1 .

Esemp i o 1 1 . 3 Ver i f i care l e ( 1 1 . 22 ) ( 1 1 . 23 ) ( 1 1 . 25 ) ( 1 L 27 ) e ( 1 1 . 28 ) per l a popo l a z i one stat i st i ca ed i camp i on i de l l '�

�

D i str i bu z i on i camp i onar i e

semp i o 1 1 . 1

Ne l caso de l camp i onamento Be rnou l l i ano s i ha : 7 . 5 2 o2/ 3 4 30 . 7 5 ( �4 -o4 )/3- 2 ( �4 - 2o4 )/9+ ( �4 -3o )/27

259

Ne l caso i nvece de l camp i onamento esaust i vo : 10 4/ 3 2/3 o 2 16

8/4 8 6

� 1 2�4 - 1 2o4 �

Ne l l a f i g . 1 1 . 1 ( caso Be rnou l l i a no ) s i nota come l a d i str i bu z i o­ ne de l l e va r i a n ze camp i onar i e s i a fortemente as i mmetr i ca , a d i f­ feren za d i que l l a de l l e med i e . •

11.5.

MOMENT I D E L L A V . C . DO PP I A ( M , s 2 )

Cons i de r i amo ora l a d i str i bu z i one cong i unta de l l e med i e e de l l e va r i a n ze camp i ona r i e . Ad esemp i o i n caso d i popo l a z i one ( f i n i ta ) questa può costru i rs i organ i zzando una ta be l l a a dopp i a e ntrat a che i n ogn i ce l l a cont i e ne l a proba b i l i tè d i una copp i a d i med i e e var i a n ze . 2 L a cova r i a n za de l l a var i a b i l e ( M , S ) ne l caso Be rnou l l i a no va l e : ( 1 1 . 29 )

Cov ( M , S 2 ) = n- � � 3 n

i l coeff i c i e nte d i corre l a z i one l i neare pe r grand i camp i on i v� l e , i n modu l o :

ed

( 1 1 . 30 )

va preso co l segno d i -� 3 • Qua l unque s i a n , qu i nd i v i è I nd i pe nde n za Corre l at i va fra M ed s 2 qua ndo i l momento centra l e te r zo d i X è nu l l o ed i n part i co l a r e p

D i str i bu z i on i camp i onar i e

260

se X è s i mmetr i ca . Se i nvece � 3 e qu i nd i � 1 sono � O non s i può pa r l a re d i I . C . fra l e med i e e var i a n ze camp i onar i e neanc he per grand i camp i on i , i n qua ndo va l e l a ( 1 1 . 30 ) •

D i mostr i amo l a ( 1 1 . 29 ) . Sen za pe rde re d i ge nera i i tà poss i amo supporre che � =E ( X )=O . S i ha � cov ( M, s 2 ) = E r x i ; � x � - � X/ n =

[

l*

� n

+

n2

.L

E

rJ\

� f x i [x � - X � /n ] j +

E lr x. )i l

� lf n

(

[

r x� - r x� + r r xr J j � i J r�t

jf i

(

E ( X � ) - r E ( X � )/n da cu i se gue l a ( 1 1 . 29 )

�

c.v.d.

( l e med i e de l l e v . c . fra pa rentes i graffe ne l secondo te rm i ne sono nu l l e pe r l ' i nd i pende n za de l l e copp i e ( X l. , X J. ) ( i �j ); pe rc hè � =O . Abb i amo i no l tre ut i l i zzato l a formu l a r x � + r r x rx t J r�t

j

La ( 1 1 . 30 ) d i d i mostra tene ndo presente l e ( 1 1 . 29 ) ( 1 1 . 1 0 ) ( 1 1 . 2 3 ) ( 7 . 16 ) ( 4 . 10 ) ( 4 . 1 2 ) e facendn tenedre n a �. Esemp i o 1 1 . 4 Comp l etando i l camp i onamento de l l ' esem p i o 1 1 . 1 s i trova che l a d i str i bu z i one cong i unta de l l e med i e e va r i anze camp i ona r i e ha l a struttura seguente ( ved i f i g . 1 1 . 2 - a :)

�

M

s2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

o

q . ( S2 ) J

o

1/64

1/64

1/64

1/64

1/64

2

3/64 3/64

3/64 3/64

3/64 3/64

6 6/64

6/64

D i str i bu z i on i camp i onar i e 8

3/64

3/64 3/64

3/64

14

6/64 6/64

1 8/64 1 2/64 1 2/64 1 2/64

18

26 1

p l, ( M )

3/64

3/64 6/64

1/64 3/64 6/64 10/64 1 2/64 1 2/64 10/64 6/64 3/64 1/64 l

La cova r i a n za fra M ed s 2 va l e O , come s i deduce da l l a ( 1 1 . 29 ) i n quando � 3 =0 . Se i nvece s i estraggono tutt i i camp i on i d i amp i e zza n=3 da l l a popo l a z i one O 3 9 d i N=3 e l ement i , ave nte � =4 ii 3=20 s i trova l a seguente d i str i bu z i one con g i unta d i med i e e V!!, r i a n ze camp i onar i e ( f i g . 1 1 . 2 - b - ) . M

o

2 3 4 5 6 7 9

s2

l

q . ( S2 ) J

o

1 / 27

1 / 27 1/27

3/27

2

3/27 3/27

6/27

8

3/27

3/27

6/27

14

6/27 6/27

i n cu i Cov ( M , S 2 ) = 4 . 44 = 20 ( 3- 1 )/9

18

3/27

3/27

6/27

( 1 1 . 29 )

p .l ( M ) 1 / 27 3/27 3/27 4/27 6/27 3/27 3/27 3/ 27 1/27 l

Ne l l e f i g . 1 1 . 2 -a- e -b- a bb i amo a nc he trattegg i ato i graf i c i de l l e rette d i regress i one che sono para l l e l e a g l i ass i so l o se � Pi �o l a z i one d i pa rte n za è s i mmetr i c a . �

D i st r i bu z i on i camp i onar i e

262 ,. 18

•

8

: •

l l

•:• l l l l

14

,.

l

•

• �•

..

•:•

•

-----..-- --..-----1 0

1

2

: l

3

4

5

. .

6

7

8

m

9

o

1

2

4

5

6

1

m

F i g. 11.2 D i str i bu z i one cong i unta d i med i e e va r i a n ze camp i onar i e proven ie� t i da una popo l a z i one s i mmetr i ca ( -a- ) o as i mmetr i ca ( - b- )

11.6.

D I STR I BUZ I O N E D E L L A V . C . M ED I A CAM P I ONAR I A I N CAS I PART I COLAR I

S i nnra non a bb i amo ut i l i zzato i nforma z i on i s u l l a fun z i one d i ( den­ s i tà d i ) proba b i l i tà de l l a v . c . X da cu i s i estraggono i camp i oni. Ved i amo d i fa r l o ora , l i m i tandoc i a camp i on i (casua l i ) Be rnou l l i� n i , i n i z i ando da l l a v . c . med i a camp i ona r i a ( 1 1 . 8 )

R i cordando c he N ( � , o s i ha c he :

2

X = N ( �,

o2

o2

) -+ M = N ( � ,

) i nd i ca una Norma l e con med i a � e var i an z a n

o2 / )

c i oè " l a med i a d i camp i on i proven i ent i da una v . c . Norma l e è an­ cora una Norma l e con l a stessa med i a e con l a va r i a n za d i v i sa per n" . D i mostra z i one ( ved i l a ( 1 1 . 1 1 ) e l a ( 5 . 1 3 ) ) n g M ( t ) = g X { t/ n ) n

[

]

==

[e �t/n+o2t 2/( 2n 2 ) ]

D i str i bu z i on i camp i onar i e c he à l a f . g . m . d i una N ( p , o 2 /n ) C i ò s i gn i f i ca c he

26 3

c.v.d.

v p ( m ) = o V < 2 n > exp -n ( m- p ) 2 / ( 2o 2 >

( 1 1 . 31 )

]

[

( -oo < m < -+- )

Esemp i o 1 1 . 5 Trovare l a probab i l i tà che l a med i a d i un camp i one (casua l e Be rnou l l i ano ) d i n=10 e l ement i proven i en t i da una v . c . Norma l e con med i a 1 80 e var i anza 160 ass uma va l or i m i nor i d i 190 . S i ha : M = N ( 180, 16 ) Operando l a sta ndard i zza z i one Z=( M- 180 )/4 s i ha c he I l va l o r e l i m i te d i Z è z= 2 . 5 Da l l a ta b . I V de l l ' a ppend i ce D s i ha F ( 2 . 5 ) = 0 . 9938 P M < 1 90

�

-

l

l-

Data l a v . c . Be rnou l l i ana ( 9 . 47 ) p l

q=1-p

abb i amo g i à v i sto ne l § 9 . 4 che l a v . c . med i a ( 9 . 5 3 ) ha l a segue� te struttura . . .l 1/n Pn

dove l e pk sono date da l l a ( 5 . 2 ) . La z ( n ) ha med i a - E ( X ) p e var i a n za = V ( X )/n = pq/n , come a bb i amo g i à v i sto , e forn i sce l � semp i o p i ù c h i a ro d i converge n za stocast i ca verso p , c i oè de l l a frequenza k/n d i un evento verso l a s ua proba b i l i tà p . N . B. Qua l ora i l camp i onamento s i a esaust i vo e l a popo l a z i one con � t i d i N e l ement i , app l i cando l e ( 1 1 . 9 ) e ( 1 1 . 14 ) s i trova che � frequen za k/n d i s uccess i ha med i a = E ( k/n ) = p var i a n za = V ( k/ n ) � � N- 1 n •

-

•

•

D

264

D i str i bu z i on i camp i on a r i e

Pe r conc l udere cons i de r i amo l a d i st r i bu z i one de l l e med i e d i ca� p i on i prove n i e nt i da una v . c . e s pone n z i a l e negat i va ( 5 . 1 9 ) . S i ha : ( 1 1 . 32)

1M,L

p(m ) =

r( n )

e

-nax

x

che è una v . c . Gamma con pa rametr i

n- 1

(O< x <

+oo

)

na, n.

D i mostra z i one ( ved i l a ( 1 1 . 1 1 ) e l a ( 5 . 2 0 ) ) n

g ( t ) = [g x ( t / n ) J M

a = (a - t/ n

)

"

c he è de l t i po ( 5 . 1 8 )

11.7.

=( an an-t

)n

c.v.d.

D I STR I BU Z I O N E D E l l A V . C . VAR I A N ZA C A M P I ON A R I A N E L C ASO NO RMA L E

Ne l c a p i to l o I X a bb i amo d i mos t rato che i l quadrato d i una Norma­ l e s ta nda rd i z zata ha una d i st r i bu z i one X 2 con l grado d i l i be rtà ( 9 . 1 1 ) . Vog l i amo ora d i mos trare c he l a v . c . var i a n za camp i o n a r i a è una Gamma e prec i s ame nte che l a v . c . Y = nS 2 / a2 è una X 2 con g""n- 1 grad i d i l i be rtà ( dove n è l ' amp i e z za de l cam­ p i one ) c i oè : ( 1 1 . 33 )

Y

f(y )

e y/2

( n- 3 )/ 2

D i mostra z i one . Da l l a ( 1 1 . 2 4 ) s i ha : n

I:

i =l

( X i - 11 ) 2 a

=

(y

( n- l ) / 2 r [ ( n - 1 ) / 2] 2

�

( X i -M ) a r =l

.

2

+

(

�) a/ V n

2

>0)

D i str i bu z i on i camp i onar i e

I l pr i mo membro è una v . c . somma de i quadrat i d i n Norma l i s tandard i zzate e come ta l e è una X 2 con n grad i d i l i be rtà . I l secondo term i ne de l secondo membro è i l quadrato d i una v . c . Norma l e standard i zzata ( ved i l a ( 1 1 . 9 ) e ( 1 1 . 10 ) ) e come ta l e è una X 2 con g=1 Pe r l a propr i età add i t i va de l l a X 2 ( 9 . 43 ) i l pr i mo te r m ine de l secondo membro 2 y = � X i -M nS 2 /o 2 o • =1 è

. ( )

una X 2 con g=n- 1 grad i d i l i bertà .

265

c.v.d.

Operando l a trasforma z i one V=S 2 =Yo 2 / n , app l i cando l a ( 9 . 3 ) , trova l a fun z i one d i dens i tà de l l e var i anze camp i onar i e : ( 1 1 . 34 )

f(v)

( n/ 2 ) g/2 r ( g/ 2 ) o g

2 e - nv/ ( 2o ) v g/ 2- 1

(v > o )

dove g=n- 1 . S i tratta d i una v . c . Gamma ( 5 . 17 ) con a=n/ ( 2o 2 ) e p=g/ 2 . propr i età de l l a v . c . Gamma s i ha s u b i to go 2 /n

( 1 1 . 35 )

( 1 1 . 36 )

( n- 1 )o 2 /n

si

Da l l e

come s i può anche dedurre da l l e ( 1 1 . 22 ) ( 1 1 . 23 ) e da l l e propr i e­ tà de l l a Norma l e . Pone ndo i nf i ne S= V Y s i ott i ene l a d i s tr i bu z i � ne de l l a dev i a z i one standa rd camp i onar i a : ( 1 1 . 37 )

11.8.

q(s )

-ns 2 / ( 2o 2 ) s n- 1 n g/ 2 e 2 g/ 2- 1 o g r ( g/ 2 )

(s > O )

D I STR I BUZ I O N E CO N G I UNTA D I M ED S N E L C ASO NORMALE

Come abb i amo v i sto ne l § 1 1 . 6 i mpo rtant i i nforma z i on i sul l a va r �

266

D i str i bu z i on i camp i onar i e

b i l i tà d i camp i onamento possono essere r i cavate da l l a d i str i bu z i � cas o ne cong i u nta de l l e med i e e de l l e va r i a n ze camp i onar i e . Ne l che X s i a una v . c . Norma l e s i può d i mostrare c he l e v . c . M ed S sono stocast i camente i nd i pendent i e l a l oro d i s tr i bu z i one cong i u� ta è : ( 1 1 . 38 )

f(m, s )

=

p(m ) q(s )

dove p ( m ) e q ( s ) sono date r i spett i vamente da l l a ( 1 1 . 3 1 ) e ( 1 1 . 37 ) D i mostr i amo l o ne l caso d i c amp i on i d i amp i e zza n-3 segue n do l ' e l egante metodo geometr i co, usato da l F i s h e r ( vedi � s amb i - 1944 ) , supponendo c he E ( X )= �=O I nd i ch i amo con p ( x 1 , x 2 , x 3 ) l a fun z i one d i dens i tà de l l a v . c . ( X 1 , x 2 , x 3 ) dove x 1 , x 2 , x 3 formano u n camp i one ( Bernou l l i� no ) d i tre e l eme n t i estratto da una v . c . Norma l e ( 5 . 1 2 ) . C h i am i amo po i l ' es press ione ( 1 1 . 39 )

dP

( 1 1 . 40 )

dP

e l emento d i proba b i l i tà de l l a v . c . ( X 1 , x 2 , x 3 ) . S i ha : -

[

0

r 1- �

v ( 2 nj

exp

;

t •;

Da l l a ( 1 1 . 24 ) , r i cordando c he �=0 , s i ha : ( 1 1 .41 )

dove

( 1 1 .42) ( 11 . 43 )

2 / ( 2o 2 ) dx dx dx 1 2 3

D i s tr i bu z i on i camp i onar i e

267

F i ssando i va l or i d i m ed s, l a ( 1 1 . 42 ) è l ' equa z i one d i un p i ano ( A ) e l a ( 1 1 . 43 ) è l ' equa z i one di una sfera con centro M ( m , m , m ) e ragg i o p=s V 3 . Cons i de r i amo l a retta ( 1 1 . 44 )

pe rpend i co l a re a l p i ano A , c he i ncontra l a retta ne l punto M. I l l uogo de i punt i C c he stanno s u l p i ano A e s u l l a s fera ( 1 1 . 43 ) è l a c i rconfere n za r con ragg i o p ( ved i f i g . 1 1 . 3a- ) . I nvece de l l e coord i nate x 1 , x 2 , x 3 cons i de r i amo ora l e coord i nate sem i po l a r i m V 3 = OM X p s V 3 MC a : ango l o c he def i n i sce l a pos i z i one di MC su l p i ano A . Per espr i mere l a ( 1 1 . 4 1 ) i n fun z i one d i X , p ed a occorre "!!. l uta re l ' e l emento d i fferenz i a l e dx 1 dx 2 dx 3 ne l l e nuove coord i nate . A ta l e scopo tracc i amo s u l p i ano A l e c i rconfe ren­ ze d i centro M e ragg i p, p+dp : l ' e l emento d ' a rea , trat� g i ato ne l l a f i g . 1 1 . 3 - b - va l e p d a dp . L ' e l emento d i vo l ume ( f i g . 1 1 . 3 - c - ) va l e qu i nd i pd a dpdX e qu i nd i l a ( 1 1 . 4 1 ) può scr i vers i ( 1 1 . 45 )

dP

�

=

K exp - ( 3m 2+ 3s 2 )/ ( 2o 2 ) sdsdmd a

l

l

2 2 2 2 K 1 e - 3m / ( 2o ) K 2 e - 3 s / ( 2a ) s K 3 d a

dove K , K 1 , K 2 , K 3 sono cos ta nt i . La dens i t� cong i unta d i m , s ed a s i sc i nde qu i nd i ne l dotto d i tre fun z i on i , e c i oè : dens i t� d i m , c he i n genera l e è l a ( 1 1 . 32 )

pro­

dens i t� d i s , c he i n genera l e è l a ( 1 1 . 37 ) ed è i nd i pen ­ dente da m .

- dens i t� d i a , un i fo rme , c he non d� i nforma z i on i s u m ed s. c.v.d.

268

D i str i buz i on i camp i onar i e

(b)

A

F i g. 11.3 Metodo geometr i co per camp i on i d i 3 e l ement i ( a ) Spa z i o ( x 1 , x 2 , x 3 ) - ( b ) P i ano A - ( c ) E l emento d i vo l ume .

La d i mostra z i one fatta può fac i l mente estende rs i a l caso n-d i men s i ona l e ( ved i ad esemp i o Kenney-Keep i ng ( 1959 ) vo l . l l § 7 . 7 ) . 1: no l tre Gea ry ( 1 9 36 ) e Kawata ( 1 949 ) ha nno d i mostrato c he se e s� l o se l e v . c . M ed S 2 sono stocast i camente i nd i pendent i l a v . c . X è Norma l e , e v i ceversa . 11.9.

V.C .

D I STUDENT

Abb i amo v i sto ne l § 1 1 . 7 c he l a med i a di un camp i one proven i ente

269

D i s tr i bu z i on i camp i onar i e

da una v . c . Norma l e con med i a e va r i a n za note è anch ' essa Norma­ l e . Se l a va r i a n za de l l ' un i verso non è nota può essere st i mata con l a var i a n za camp i onar i a , i l c he porta a cons i derare l a v . c •

t -= ..&!L S/ V 9

( 1 1 . 46 )

dove , ne l c a s o d i una camp i one d i n e l ement i , g=n- 1 . La v . c . t è essenz i a l mente una v . c . quo z i ente de l l e v . c . i nd i pen dent i M ed S e l a sua d i str i bu z i one è data da l l a ( 5 . 32 ) c i oè sT ha : 1 f(t) K 2 ( 1+t /g ) ( g+ 1 )/2 dove K è una costante ( cos ì come sono costant i K 1 , K 2 , ecc . )

D i mostra z i one . Cons i der i amo l a v . c . Z = ( M- � )/S quo z i ente de l l a v . c . M- � avente f . d .

e de l l a v . c . S avente f . d . p ( s ) = K 2 s n- 2 exp j -ns 2 / ( 2o 2 ) l Pe r l a ( 9 . 28 ) c he s i può a pp l i ca re a nc he i n questo caso s i ha : h(z) =

100

K 3 exp

l ( - ns 2 -n z 2s 2 )/(;! o 2 ) l

s n- 1 ds

Ponendo v=s 2 e r i cordando l e propr i età de l l e fun z i on i Ga� ma ( Append i ce B ) s i ha : h ( z ) = K 4 / ( 1+ z 2 ) n/2 da e u i , ponendo t = z V g s i ha l a ( 5 . 32 ) c.v.d. o

Da l l a ( 5 . 32 ) not i amo c he l a fun z i one d i dens i tà de l l a v . c . t d i Student non d i pende da a, fatto questo mo l to i mporta nte ne l l ' am­ b i to de l l a teor i a de l l a prova de l l e i potes i , come vedremo .

270

D i str i bu z i on i camp i onar i e

Cons i de r i amo ora due camp i on i ( Bernou l l i an i ) ( 1 1 . 47 )

t

Mx - M

y

1 / nk ( n+k-2 ) n+k Y

Mx

n r X . /n i =1 L

s x2

n r ( X l. -M x ) 2 / n i =1

My

( 1 1 . 48 )

estratt i da una N ( � , o2 ) . la v . c .

s y2

dove :

k r Y . /k i =1 l

k r ( Y .l - My ) 2 /k i =1

sono r i spett i vamente l e med i e e l e var i an ze de i due camp i on i , s� gue una l egge d i Student ( 5 . 32 ) con g=n+k-2 grad i d i l i be rtà . la d i mostra z i one è ana l oga a l l a precede nte , te ne ndo presente c he M x -M y è una v . c . d i fferenza d i due Norma l i i nd i pendent i con u gual med i a � e var i a n ze o 2 /n, o 2 /k e come ta l e è u na N ( O , o 2 /n+o 2 /k ) e c he ( nSx2 + kSy2 ) / a 2 è una x 2 con n+k grad i d i l i be rtà . Anche l a ( 1 1 . 47 ) c he non d i pende da o, ha i mportant i �pp l i c a z i o­ n i c he vedremo i n segu i to .

1 1 . 10 .

V . C . D I SN EDECOR

Accanto a l l a v . c . t d i Student ne l l a l etteratura stat i st i ca u n p� sto d i r i l i evo è occu pato da l l a v . c . ( 1 1 . 49 )

F

dove ( 1 1 . 50 )

n

Sx' 2

i =1 L

k

S y' 2

i =1 L

27 1

D i str i bu z i on i camp i onar i e ( X .l -Mx ) 2 / ( n- 1 )

( Y l. -M y ) 2 / ( k - 1 )

sono l e var i a n ze corrette d i due camp i on i i nd i pendent i es tratt i da due v . c . Norma l i i nd i pendent i con l a stessa var i a n za o 2 Ope ra n­ Essen z i a l mente F è un quo z i ente d i due v . c . d i t i po X2 do come ne l l ' esemp i o ( 9 . 10 ) s i d i mostra c he F ha una l e gge d i tl po Beta ( 5 . 38 ) con grad i d i l i bertà g=n- 1 ed m=k- 1 , c i oè s i ha : •

•

(11.51 )

f(F)

K

F ( n- 1 )/2- 1 � n- 1 ) F+k - 1 ( n+k- 2 )/�

]

(O <

F < +oa )

La dens i tà ( 1 1 . 5 1 ) è i nd i pendente da o 2 , ana l ogamente a qua nto a� b i amo osse rvato per i l t d i Student per uno o due camp i on i .

11 . 1 1 .

D I STR I BU Z I ON E D E L COEFF I C I ENTE D I CORREL AZ I O N E L I NEARE E D E l CO EFF I C I ENT I D I R E GR E SS I O N E

Cons i der i amo u n a v . c . Norma l e b i va r i ata ( 8 . 27 ) c o n parametr i �x , �y , ox , oy e p . Cons i de r i amo l e corr i s pondent i v . c . camp i onar i e M x, My , Sx , Sy ed R def i n i te da l l a ( 1 1 . 48 ) e da : n L ( X .l -Mx ) ( Y l. -M y ) i =1 R (11.52) nSx S y

( coeff i c i ente d i corre l a z i one camp i onar i o-confronta l a 7 . 1 8 ) . F i sher ( 1 9 1 5 ) e Romanowsk i ( 1 925 ) hanno d i mostrato c he l a v . c . a ) d i mens i on i ( Mx , My , Sx , Sy , R ) ha fun z i one d i dens i tà che s i può mettere ne l l a forma

272

(11.53)

D i str i bu z i on i camp i onar i e

f ( mx , m y , s x , s y , r ) = h ( mx , my ) g ( s x , s y , r )

dove h ( mx , my ) è l a f . d . d i una v . c . norma l e dopp i a con med i e � x , 2 2 � y , var i a n ze ox / n , oy /n e coeff i c i ent e d i corre l a z i one l i neare p. Ta l e v . c . è i nd i pendente da l l a d i s tr i bu z i one cong i unta deg l i a l ­ tr i tre parametr i che ha l a forma ( ved i F i s z ( 1 963 ) § 9 . 9 ) : ( 1 1 . 54 )

g ( sx , sy , r )

=

K (· ox , oy , p ) S x n- 2 s y n- 2 ( 1 - r 2 )

n/2- 2

x

( sx > 0 , sy > 0 , - 1 < r < 1 )

dove K ( ox , oy , p ) d i pe nde da quest i tre parametr i ma nori da s x , s y , r. L a d i s tr i bu z i one d i r può otte ners i i ntegrando l a ( 1 1 . 54 )ne l cam po d i var i ab i l i tà d i s , s ( con l o stesso pr i nc i p i o con cu i sl sono ottenute l e d i st� i bt z i on i marg i na i i ( 8 . 7 ) ( 8 . 8 ) i ntegra ndo l a fun z i one d i dens i tà cong i unta ) Dopo passagg i a bbastan za l abor i os i ( ved i F i s z l oc . c i t . ) s i trova: •

( 1 1 . 55 )

(n- 1 )/2 ( n-4 )/2 x ( 1 -p 2 ) ( 1-r 2 )

p ( r ) = n-2 n

--

x n- 2

( 1 -prx ) n- 1 V ( 1 -x 2 )

-------

dx

(-1 < r < 1 )

l i m V( R ) = O . S i d i mostra anche c he l i m E ( R ) p n -++oa n -+ +oa Not i amo c he l a d i str i bu z i one d i r d i pende so l o da l coeff i c i e n t e d i co rre l a z i one de l l ' un i verso, p , e da l l ' amp i e zza de l camp i one d� p i o , n . Qua ndo p=O l a d i str i bu z i one precedente d i venta : ( 1 1 . 56 )

p( r )

1

( 1 -r ) 2

n/2-2

D i s tr i bu z i on i camp i onar i e

27 3

come s i può d i mos trare ponendo w=x 2 ne l l a ( 1 1 . 5 5 ) e ten e ndo pre­ sente l e propr i età de l l e fu n z i on i Beta ( Appe nd i ce B ) . Ope rando l a trasforma z i one d i va r i a b i l e V ( n- 2 )

( 1 1 . 57 )

app l i cando l a ( 9 . 3 ) s i d i mostra c he l a v . c . ( 1 1 . 5 7 ) segue una ge d i Student con g=n- 2 grad i d i l i be rtà , pu rc hè p=O .

�B

Esemp i o 1 1 . 6 Data una v . c . Norma l e dopp i a l e cu i com ponent i sono non corre l ate ( p=O ) trovare i l va l ore de l coeff i c i e; te d i corre l a z i one r , pe r u n camp i one dopp i o d i n=1 8 e l ement i , c he ha proba b i l i tà de l 5% d i essere supe rato i n va l ore asso l uto . l ndl cando con r 0 i l va l ore cercato deve essere P l i r l > r 0 j = 0 . 05 �

Da l l a Ta vo l a V I ( Appe nd i ce O ) s i ha , per g=1 6 :

l ! t \ > 2 . 1 20 1 =

0 . 05 Da l l a ( 1 1 . 5 7 ) s i ha po i : 2 . 1 20 = 4r 0 / y ( l - r 02 )-+ r 0 =0 . 469 p

I l va l ore c r i t i co cercato d i r è qu i nd i d i poco i nfe r i ore a 0 . 5 , anche se p=O ( i l camp i one è pe rò mo l to p i cco l o ) . � E ' stato i nf i ne d i mostrato da l F i s he r ( 1 941 ) che l a va r i a b i l e (11 .58)

l og 11+R -R

anche pe r n p i cco l o ( > 10 ) ha una d i str i bu z i one appross i mat i va ­ mente Norma l e con : ( 1 1 . 59 )

) med i a = E ( W ) = z1 l og 1 -p � var i a n za V ( W ) = 1/ ( n- 3 )

.!±Q.

P-� + -.o: 2 ( n- 1 )

Ne l caso p=O W è qu i nd i a ppross i mat i vamente u na N ( 0 , 1/ ( n- 3 ) ) .

Ne l l ' amb i to de l l a var i ab i l i tà a due d i mens i on i è anc he i mportan­ te determ i na re l a d i str i bu z i one de i coeff i c i e nt i d i regress i on e camp i onar i :

274

( 1 1 . 60 )

D i str i bu z i on i camp i onar i e

!= Al

c1

=

R S/ Sx R S x / Sy

( confronta l e ( 7 . 39 } e ( 7 . 4 2 ) ) . Ad esemp i o ne l caso Norma l e b i va r i ato l a d i s tr i bu z i one d i A 1 può otteners i da l l a ( 1 1 . 54 ) attraverso l e fas i seguent i ( ved i F i s z ­ ( 1 96 3 ) f 9 . 10 ) : - s i ott i ene l a d i str i bu z i one con g i unta de l l a v . c . ( Sx2 , sy2 , R ) - con l a tras formaz i one A 1 = R Sy /Sx s i trova l a d i s t r i bu z i one d i (Sx2 ' sy2 ' A ) 1 - s i i ntegra ta l e d i str i bu z i one r i spetto ad sy2 tenendo presente che I RI � l qu i nd i

sy2 � s x2 A 21

- s i i ntegra l a d i str i bu z i one r i s u l tante r i s petto ad s· x2 ne l campo ( O , +oo ) . S i trova cos l l a d i str i bu z i one : ( 1 1 . 61 )

dove K è una costante ta l e che la v . c . A 1 ha : (11.62)

med i a "" E ( A 1 )

=

-!""

!"" -

q ( a 1 )da 1 -1 . a 1 q ( a 1 )da 1

purchè n > 2 e , r i s pett i vame nte , n > 3 . Not i amo che l a ( 1 1 . 6 1 ) è s i mmetr i ca i ntorno a l coeff i c i ente d i re gres s i one de l l ' un i ve rso a 1 ( 7 . 39 ) che è contemporaneamente med i a , moda e med i a na d i ta l e d i str i bu z i one . Ba rt l ett ( 1 933 ) ha d i mostrato che l a v . c .

( 1 1 . 63 )

t

( Ac sy

D i str i bu z i on i camp i onar i e

l ) s x V ( n-2 ) V ( l- R2 ) a

275

ha una d i str i bu z i one d i Student ( 5 . 3 2 ) con g=n-2 grad i d i l i ber­ tà , i l che è mo l to i mportante perchè l a ( 1 1 . 63 ) non d i pende da i parametr i de l l a Norma l e b i va r i ata, anche quando p f O . 2 2 Scamb i a ndo sy con sx ne l l e formu l e precedent i s i possono trov!_ re per c 1 ( 1 1 . 60 ) r i s u l tat i i dent i c i a que l l i trovat i pe r A 1 • N� t i amo per conc l udere che l e v . c . R, A 1 , c 1 convergono stocast i ca ­ mente a p , a 1 , y 1 r i s pett i vamente ma c he per va r i mot i v i ( l e nta converge n za d i R, d i penden za da pa rametr i i ncogn i t i de l l ' un i ver­ so de i coeff i c i ent i d i regres s i one ) s i prefe r i scono adottare l e trasforma z i on i ( 1 1 . 57 ) ( 1 1 . 58 ) ( 1 1 . 6 3 ) come vedremo i n segu i to . 11. 12.

COMPLEMENT I

O l tre a l l e v . c . camp i onar i e s i nora c i tate se ne po s sono cons i de­ rare nume rose a l tre , fra l e qua l i c i t i amo que l l e re l a t i ve a i pa­ rameti i ord i na l i ( Order Stat i st i ca ) pe r i qua l i r i ma nd i amo a l l a l etteratura ed i n part i co l are a Kenda l l , Vo l . l ( 1 96 9 ) cap . X I V e F i s z ( 196 3 ) cap . X . R i cord i amo so l tanto c he l a med i ana me d i u n camp i one d i n e l ement i ( i ntesa come va l ore centra l e o med i a a r i tmet i ca de i due va l o­ r i centra ·l i de l gruppo ord i nato i n modo non decresce nte ) conver­ ge stocast i camente verso l a med i ana de l l ' un i verso d i parte n za . S i ha i no l tre , ne l caso c he l ' un i verso s i a una N ( � , o 2 ) : ( 1 1 . 64 )

(n � 3)

I n part i co l are l a var i anza de l l a v . c . med i ana ne l caso Norma l e va l e o 2 / 2 ne l caso n• 2 ed è a ppross i mat i vamente par i ad 1 . 5708 o 2� pe r grand i va l or i d i n ( n > 50 ) . I nf i ne s i d i mostra c he l a med i ana d i camp i on i estratt i da una v c . cont i nua con fun z i one d i dens i tà f ( x ) ha una d i s tr i bu z ione a­ s i ntot i camente Norma l e con •

276

D i str i bu z i on i camp i onar i e Med i a : E ( M e ) = Il e

( 1 1 . 65 )

Va r i an za : V ( M e )

1

Ne l caso d i grand i camp i on i estratt i da una v . c . Norma l e , i n cu i e =IJ., s i ha ( i n accordo con l a 1 1 . 64 )

11

E ( Me ) =

( 1 1 . 66 )

V ( M e ) = n o 2 / ( 2n ) Il

Ana l ogh i r i s u l tat i va l gono pe r g l i a l tr i quant i l i . ESERC l Z l

1 . Data l a popo l a z i one ( 0 , 2 , 4 , 10 ) estrarre tutt i i pos sl b i l i camp i on i Bernou l l i an i d i amp i e zza n=2 ed n=3 . R i cava re l a dl str i bu z i one con g i unta de l l e med i e e de l l e var i an ze camp i onar i e f� cendo i d i a gramm i semp l i c i e que l l i a d i spers i one e ver i f i care l e ( 1 1 . 9 ) ( 1 1 . 10 ) ( 1 1 . 1 2 ) ( 1 1 . 1 3 ) ( 1 1 . 22 ) ( 1 1 . 23 ) ( 1 1 . 29 ) .

2 . Con i dat i de l l ' eserc i z i o 1 trova re l a d i str i bu z i on e cong i u nta d i med i e e var i a n ze camp i onar i e ne l caso esaust i vo , ve­ r i f i cando l a ( 1 1 . 9 ) ed ( 1 1 . 1 4 ) .

3 . Trova re l a d i str i bu z i one de l l a v . c . med i a camp i onar i a d i camp i on i Bernou l l i an i d i n e l ement i estratt i da l l a v . c . avente f.d. : (x � O ) e - 2x x 4 f(x ) = (x < o)

l:

( ca l co l are pr i ma K po i l a fun z i one gene ratr i ce de i moment i d i e di M).

4 . C a l co l are g l i i nd i c i p 1 e

P

2

X

de l l a v . c . med i a d i u n

D i str i bu z i on i camp i onar i e

277

camp i one Bernou l l i ano d i 10 e l eme nt i proven i ente da una v . c . ave� te f . d . f(x )

x < O; x > 1

S . Ca l co l are med i a e var i an za de l l a v . c . med i a e de l l a v . c . var i a n za d i camp i on i proven i ent i da u·n a v . c . Po i sson i ana .

6 . Trova re i l va l ore de l coeff i c i ente d i corre l a z i one IL neare fra l a v . c . med i a e l a v . c . var i a n za di camp i on i Bernou l l � n i d i 1 0 e l eme nt i estratt i da una v . c . Po i sson i a na . 7 . Trova re l a pro bab i l i tà c he i l coeff i c i e nte d i corre­ l a z i one l i neare d i un camp i one dopp i o Bernou l l i ano d i n= 100 e l e ­ ment i estratto da una v . c . Norma l e b i va r i ata ass uma va l o r i supe­ r i or i a 0 . 3 ne l caso c he i l coeff i c i ente p ( a ) va l ga O oppure ( b ) va l ga 0 . 2 ( adottare l ' appross i ma z i one Norma l e ) . 8 . D i mostra re l a ( 1 1 . 6 2 ) ne l caso part i co l are p=O .

9 . Ca l co l are l a pro ba b i l i tà che l a med i ana d i un camp i o ne Be rnou l l i a no d i n= 100 e l ement i es tratto da una N ( 1 5 , 64 ) supe: r i i l va l ore 1 4 .

C A P I TO LO X l i

12. 1 .

TEOR I A D E L L A ST I MA

CONC ETTO D I ST I MATO RE E SUO I REQU I S I T I

E ' data una v . c . X , c he pe r ora s uppon i amo ad una so l a d i mens i o­ ne , caratter i zzata da una fun z i one d i ( dens i tà d i pro ba b i l i tà ) f(x, 8 ) dove 8 è un parametro o , p i ù i n genera l e , un vettore d i pa rametri.

Esemp i o 1 2 . 1 Ne l l a v . c . Po i sson i a na ( 5 . 4) s i ha un so l o pa rametro 8 = À. Ne l l a v . c . Norma l e ( 5 . 1 2 ) s i hanno due para metr i e 8 = ( 1J, , o ) , od a nche 8 =( 1J., o 2 ) . I nf i ne ne l l a v . c . Beta ( 5 . 2S) s i hanno 4 pa rametr i e 8 = ( p, q, a , b )

r( • f x,

l dx

l

d i screta con fun z i one d i proba b i l i t� f ( x .l , 9 ) ( i 1 , ..

Per l a d i mostra z i one de l l e ( 1 2 . 10 ) ( 1 2 . 1 1 ) ved i i l testo d i Ken-

St i ma

283

ney-Keep i ng l oc . c i t . Lo st i matore l a cu i var i a n za s i a data da i ­ l a ( 1 2 . 1 1 ) o da l l a ( 1 2 . 1 2 ) è detto st i matore p i ù eff i c i ente ( M i ­ n i mum Var i ance Bound ( M . V. B. ) Est i mator ne l l a term i no l og i a de l Kenda l l ) . è l o st i matore p i ù eff i c i ente de l pa rametro var i an za nota . S i ha : - (x-� ) 2 / ( 2o 2 ) 1 e f(x , � ) o V ( 2n) �

Esemp i o 1 2 . 7

Ver i f i care che l a med i a d i un camp i one � d i una Norma l e con

=

2 2 e - ( x-Il ) / ( 2o ) d x = o4 / ( no 2 )

o 2 /n

Sapp i amo però che V( M ) =

=

o 2 /n i l che d i mostra quanto r i ch i esto . �

�

Esemp i o 1 2 . 8 Ver i f i care che l a frequen za k/n d i su� cess 1 e l o st i matore p i ù eff i c i ente de l l a probab i l i tà p d i un su� cesso . S i ha ( ved i l a ( 9 . 47 ) ) : d l og ( 1- e ) = - 1 d l os f(O, p) -1 dp 1-p = q dp

--

d l og F { 1 1 p } dp

l

o� = 1/ n

[)

d l og dp q+

p

_ !

p

> p] ! = l/ I n � � = pq/n

che è l a var i anza de l l a Z ( n ) ( 9 . 55 ) i cu i va l or i a rgomenta i i so� no l e frequen ze k/n . Dato uno st i matore Tn rego l are e corretto d i un parametro 9 pos­ s i amo m i surare l a sua eff i c i en za co l rapporto ( 12. 13)

e =

V(T n ) � 1

Natura l mente s i avrà e=1 se T n è l o st i matore p i ù eff i c i ente d i a

St i ma

284

12.9

�

Esemp i o Data una N l ' eff i c i enza de l l o st i matore

(�,o 2 ) con � noto,

va l utare

(12. 14)

che, a meno de l fattore è l a dev i a z i one med i a d� g l i e l ement i de l camp i one da l l a med i a de l l ' un i verso (confronta la ) . S i ha :

l E(D) = o

(2. 33)

( 12. 15 )

V( n /2) � 1 . 25,

V(D )

D i mostra z i one .

= V< n/2) i E IX-111 /n = V< n /2) E I X-�1. = o ( ve d i l ' esemp i o 3 . 5 ) Per l a ( 9 . 38 ) s i ha po i : V( D ) ( n/2) V IX- � I /n 2 = i = 2� � E [I x -�1 2] - � I X-111] 2 1 = :n l o2 E(D )

I:

I:

=

L a var i an za m i n i ma deg l i st i mator i d i rato è ( 1 2 . 16 ) o0

o ne l

c.v.d.

caso Norma l e cons i d�

2 o2 /(2n) =

D i mostra z i one .

( o = - l og o - losV(2n) - (x -� ) 2/(2o 2 ) ò l os f x o - (x-H) 2 òo o3 o

l og f x , )

( , )

_

1:- ['·:�) 2 - �]

_

!

f(x, a )dx - 2/a 2

da cu i , app l i cando l a ( 1 2 . 1 1 ) s i trova l a ( 1 2 . 16 ) c.v.d.

St i ma

285

L ' eff i c i e n za de l l o s t i matore D ( 1 2 . 1 4 ) è qu i nd i : e = o02 / V ( D ) = 1 / ( :t - 2 ) = 0 . 876 Da l l ' esemp i o precedente s i vede c he l o st i matore D non è mo l to ef f i c i e nte ne l l a st i ma d i o . D ' a l tronde non è fac i l e ragg i unge re u ­ na eff i c i e n za magg i ore . Not i amo pr i ma d i tutto c he l o st i matore � rad i ce d i s 02 ( 1 2 . 7 ) non è uno st i matore cor retto d i o . S i ha i nfatt i : 2 r [( n+ 1 )/ 2 ] o ( 1 2. 17) n r ( n/ 2 )

VV

2 2 D i mostra z i one . L a v . c . W= nS /o è una somma de i quadrat i d i Norma l i standard i z zate i n i pe ndent i e come ta l e è una v . c . X 2 con n grad i di l i bertà . Ope ran�o l a trasforma z i one s 0 o r( W/n ) s i trova c he s0 è una v . c . d i t i po Gamma l a cu i med i a è l a ( 1 2 . 1 7 ) .

9

=

La v . c .

( 1 2. 18 )

dove c n ( 12. 19)

e

S'o

n r < nL 2 > 2 r [( n+1 ) / 2]

VV

E(S'o ) = o

ha med i a

qu i nd i forn i sce st i me corrette d i o . S i ha i no l tre :

( 1 2 . 20 )

D i mostra z i one ( ved i l e ( 1 2 . 8 ) e { 9 . 3 2 ) . 2 V ( 0 ) = E ( s0 ) -

S

c n2 a 2 -o 2

[E(S� )J

c.v.d.

St i ma

286

Per i l ca l co l o prat i co de l l e c c he compa i ono ne l l a ( 1 2 . 1 8 ) va l e l a segue nte formu l a d i r i corre � za che s i d i mos tra r i corre ndo a l l e propr i età de l l e fun z i on i Gamma ( Append i ce B ) ( 12. 21 )

dove c 1 = V( 1r- / 2 ) S i trova cos l ad esemp i o

es

3 v ( S n)/ ( 8 V 2 ) = Vl . l05

Esemp i o 1 2 . 10 Su l l a base de l camp i one ( 0 , 1 , 2 , 8 , 9 ) e­ • stratto da una v . c . No rma l e con med i a 5 dare due st i me corr e t t e de l l a dev i a z i one standard o e va l uta� l ' eff i c i en za . Con l a ( 1 2 . 14 ) s i trova d = 1 . 25 ( 5+4+3+ 3+4 )/5 = 4 . 7 5 che è una pr i ma st i ma d i o, l a cu i eff i c i enza è ( ved i esemp i o 1 2 . 8 ) e=0 . 876 . Con l a ( 1 2 . 1 8 ) s i trova po i s é = v1 . 105 V [ ( 25+ 1 6+9+9+ 1 6 )/ s 1 = 4 . 28

che è una seconda st i ma d i o l a cu i eff i c i en za è ( ved i l a ( 1 2 . 20 ) e l a ( 1 2 . 16 ) ) i n questo caso 2 o2/t0 = 0 . 95 2 e -- o / 10 2 V ( Sé ) 0 . 1 05 o 2

L o st i matore S é è p 1 u eff i c i e nte , anche s e i l proced i mento ca l co l a r l o è p i ù l a bor i oso .

per

50 ) estratto da una v . c . Norma l e ta l e c he l a sua med i a­ na a bb i a un ' eff i c i en za percen tua l e , m i surata da l l a ( 1 2 . 1 3 ) , ugua­ l e a que l l a de l l a med i a d i un camp i one d i 100 e l ement i , ne l l a st-i ma de l parametro � . Deve essere , pe r l e ( 1 1 . 1 0 ) e ( 1 1 . 66 ) o 2 / 100 ���-- = l -+ n � 1 5 7 n o 2 / ( 2n )

•

I l c r i ter i o d i eff i c i e n za è u n i mporta nte strumento per l a m i n i ms za z i one de l costo de l l ' e l abora z i one de l l e i nfo rma z i on i .

St i ma

287

Da un l ato i nfatt i s i tende ad avere st i mator i eff i c i ent i i n quan­ to c i ò s i gn i f i ca che l e st i me de i parametr i sono p i ù aff i da b i l i . I no l tre , a par i tà d i aff i da b i l i tà de l l e st i me , g l i s t i mator i eff i c i ent i r i c h i edono i n genera l e , camp i on i d i d i mens i on i m i nor i , c� me a bb i amo v i s to ne l l ' u l t i mo esemp i o . D ' a l tro canto a vo l te g l i � mator i p i ù eff i c i ent i , ammesso che es i stano , hanno formu l e comp i i cate e non s i uso comune, come ad esemp i o l a ( 1 2 . 1 8 ) . S i tratta di fa re un b i l anc i o fra quest i var i aspett i per rea l i zza re l ' econom i c i tà g l oba l e de i proced i me nt i d i racco l ta e d i e l a bora z i one de l l ; i nforma z i on i . 12.5.

F UN Z I ONE D I VERO S I M I GL I AN ZA E SUFF I C I E N ZA

Data una v . c . X con fun z i one d i ( dens i tà d i ) proba b i l i tà f ( x , e ) ed estratto da essa un camp i one ( Be rnou l l i ano ) d i n e l eme nt i ( x 1 , x 2 , , x n ) , def i n i amo fu n z i one d i veros i m i g l i a n za ( l i ke l i nood funct i on ) de l camp i one l a s egue nte : •

•

•

( 1 2 . 22 )

l può i nterpretars i come fun z i one d i dens i tà d i proba b i l i tà con ­ g i unta de l l a v . c . ad n d i mens i on i ( X 1 , x 2 , , X n ) l e cu i componenti sono stocast i camente i nd i pendent i e tutte ugua l i ad x. e può � sere un s i ngo l o parametro o anche un vettore d i parametr i e 1 , e 2 , . . . , ek. • • •

Esemp i o 1 2 . 1 2 Trov i amo l a fun z i one d i ve ros i m i g l i a nza d i camp i on i estratt i da l l e pr i nc i pa l i var i ab i l i c�sua l i . NO RMAL E ( 5 . 1 2 ) �

( 1 2 . 23 )

PO I SSON I ANA ( 1 2 . 24 )

n

i =l

- I:

(5.4) l

St i ma

288

BERNOUL L I AN A ( 5 . 4 ) L

( 1 2 . 25 )

� (5 . 17)

L

( 1 2 . 26 )

a n p ex p L a

l

�

i =1

[n • ! i =1

x.l

xJ

�

p- 1

1 [r < p > 1

D i mostra z i one . Ne l caso Norma l e l a Ve ros i m i g l i an za d i un camp i one , xn ) è •

•

n

(x1, x , 2

•

L

l

1

o V< 2 n ) e

- ( x n -!! ) 2 / ( 2o 2 )

e

2

- ( x - !! ) / 2 o 2

2

c he or i g i na l a ( 1 2 . 23 ) . Ne l l o stesso modo s i d i mostrano l e ( 1 2 . 24 ) e ( 1 2 . 26 ) . L a ( 1 2 . 25 ) r i c h i ede magg i or i de l uc i da z D n i . S e s i estrae un camp i one da l l a ( 9 . 47 ) i suo i va l or i a!: gomenta l i possono ass umere so l o i va l or i O od 1 , con prob� b i l i tà q=l -p e , r i s pett i vamente , p . I l camp i one stesso è qu i nd i formato da una seque n za d i O ed 1 . Detto x i l nume­ ro deg l i 1 ne l camp i one ed n-x i l numero de g l i ze r i s i ha che l a proba b i l i tà d i una sequen za con l a struttura s udde! ta è pp pqq q p x q n-x • • •

• • •

c.v.d.

I l concetto d i veros i m i g l i a n za a i uta a compre nde re l a quarta pr� pr i età d i a l cun i st i mator i , l a s uff i c i e n za , i ntrodotta da l F i sher ne l 1925 . Data una v . c . X l a cu i l e gge d i ( dens i tà d i ) proba b i l i tà d i penda da un parametro e e stra i amo un camp i o ne d i n � 2 osse; va z i on i e cons i de r i amo uno st i matore T = T ( 1 ) d i 9 ( I n quest a se z i one uno st i matore non ve rrà i nd i cato con T n ma semp l i cemente con T ) . •

St i ma

289

Accanto ad esso cons i der i amo un gruppo d i a l tr i st i mator i T ( 2 ) , T ( J ) ' " " " T ( r ) ' con r � n , fun z i ona l mente i nd i pendent i da T ( 1 ) e fra l oro . la v . c . ad r d i mens i on i ( T ( 1 ) , T ( 2 ) , , T ( r ) ) ha una fun z i one d i (dens i tà d i ) proba b i l i tà cong i unta che i nd i ch i amo con fr ( t ( 1 ) ' t ( 2 ) ' , t ( r ) 1 9 ) C i ò premesso l o st i matore T ( 1 ) è detto suff i c i ente per 9 sè ta­ l e f . d . può metters i ne l l a forma •

•

( 1 2 . 27 )

•

•

•

•

fr ( t ( 1 ) ' t ( 2 ) ' " " " ' t ( r ) l 9 ) •

•

•

, t(r) l t( l ) )

dove g ( t ( l ) l 9 ) è l a d i str i bu z i one marg i na l e d i t ( 1 ) ed h r non dl pende da 9 , comunque s i sce l gano T ( 2 ) , T ( J ) ' " " " ' T ( r ) ' per re2, 3, n I n prat i ca c i ò s i gn i f i ca che uno st i matore suff i c i ente cont i e n e tutte l e i nforma z i on i su l parametro 9 e g l i a l tr i st i mator i non danno u l ter i or i i nforma z i on i su d i esso . la cond i z i one ( 1 2 . 27 ) non permette , sa l vo cas i ecce z i ona l i , d i � r i f i care se uno st i matore è suff i c i ente . S i può però d i mostra r e (ved i ad esemp i o Ha l mos-Savage ( 1949 ) ) che cond i z i one necessar� e suff i c i ente perchè uno st i matore T s i a suff i c i ente è che l a fm z i one di veros i m i g l i an za ( 1 2 . 22 ) possa essere messa ne l l a forma : •

•

• ,

•

( 1 2 . 28 ) dove k ( . ) è una fun z i one che non d i pende da 9 C i ò permette , fra l ' a l tro, d i estendere l a def i n i z i one data i n preceden za anche a l caso d i camp i on i d i amp i e zza n=1 . S i d i mostra fra l ' a l tro che tut t i g l i st i mator i pi ù eff i c i ent i , l a cu i var i anza è data da l l a (12. 1 1 ) o ( 1 2 . 1 2 ), sono anche suff i c i ent i ( non è vero i l contrar i o ) . Med i ante l a fun z i one d i veros i m i g l i an za l e formu l e ( 1 2 . 1 1 ) e ( 1 2 . 1 2 ) possono metters i ne l l a forma •

( 12 . 29 )

l

290

( 1 2 . 30 )

St i ma

- 1

dove l a med i a E va fatta ne l l ' i ntero s pa z .i o camp i onar i o x , x , 1 2 , xn •

•

•

•

( ved i Kenda l l vo l . l l ( 1973 ) § 1 7 . 16 ) . Esemp i o 1 2 . 1 3

D i mostr i amo c he l a med i a d i u n camp i one estratto da una Po i � son i a na è uno st i ma tore s uff i c i ente de l pa rametro À . Pone ndo m t x l. / n l a ( 1 2 . 24 ) può scr i vera i �

•

l

g(m, À )

= e -À À nm e k

è i nd i pe nde nte da À .

t / n x .l !

c.v.d.

I n questo caso M è anche l o st i matore p i ù eff i c i e nte d i À . Pe r l a ( 1 1 . 9 ) l a var i a n za d i M è :

V ( M ) = V ( X )/ n = À / n dato che ( § 5 . 2 ) À è contemporaneamente med i a e var i a n za de l l a Po i sson i a na . Per l a ( 1 2 . 30 ) s i ha à l og L ÒÀ

à 2 l oa L Ò À2

= -

l

+nm / À

- nm / À 2

o02 = À 2 / l n E ( m ) jl = À 2 / ( nÀ ) = À / n /

Ne l caso c he 9 s i a u n vettore d i pa rametr i ( 9 1 , e 2 ,

c.v.d.

•

•

•

, 9 k ) e T sia

St i ma

29 1

un vettore d i st i mator i ( T 1 , T 2 , , T5 ) cond i z i one necessar i a e suff i c i ente pe rchè T 1 , T 2 , , T5 s i a no cong i untamente suff i c i e nt i pe r i parametr• i 91 , 9 2 , , 9 k è c he l a fun z i one d i veros i m i g l i'!! za possa scompors i ( come l a ( 1 2 . 28 ) te ne n do presente che adesso t è un vettore ) ne l prodotto de l l a fun z i one d i d i str i bu z i one ma� g i na l e d i t pe r una fun z i one k che d i penda s o l o da l l e x l •

•

•

•

•

•

• • •

.

•

fsemp i o 1 2 . 14

2 D i mostr i amo c he g l i st i mator i m e d s sono cong i untame nte suff i c i ent i per i parametri � o 2 d i una Norma l e . Pe r l a ( 1 1 . 24 ) l a ( 1 2 . 2 3 ) può scr i ve rs i ne l l a forma K 1 o- 1 exp -n ( m- � ) 2 / ( 2o 2 ) . L K 2 o-n+ 1 s n- 3 exp l -ns 2 /(2o 2 ) � K3

l

•

•

1

1

•

dove i l prodotto de l l e pr i me due fun z i on i è l a dens i tà con g i unta ( 1 1 . 38 ) d i ( m , s 2 ) data da l prodotto de l l e ( 1 1 . 3 1 )ed ( 1 1 . 37 ) e K 3 non d i pende da � e o .

Pe r u n a d i scuss i one p i ù approfond i ta de l cr i ter i o d i suff i c i en za ved i Ha l mos- Savage l oc . c i t .

1 2. 6 .

METODO DE l MOMENT I E D E L L A MASS I MA VEROS I M I GL I AN ZA

S i n o r a a bb i amo par l ato de l l e propr i età genera l i deg l i st i mator i , sen za s pec i f i ca rne l a genes i . Ved i amo ora d i cons i de rare i pr i n­ c i pa l i metod i pe r r i cavare uno st i matore d i un pa rametro . I l p i ù c l ass i co e forse anche i l p i ù natura l e fra quest i è i l metodo de i moment i c he cons i ste ne l l ' e s pr i mere i parametr i de l l a fun z i one d i ( de ns i tà d i ) probab i l i tà d i una v . c . X i n fun z i one de i suo i momen t i e ne l l o st i ma re quest i u l t i m i med i ante i moment i corr i sponde � t i de l camp i one . G l i st i mator i cos 1 ottenut i sono cons i stent i �to cond i z i on i mo l to genera l i ( ved i i l § 1 1 . 3 ) ma s pesso non sono

292

St i ma

corrett i nè sono i p i ù eff i c i ent i . Abb i amo g i à v i sto ad esemp i o c he l a dev i a z i one standard camp i onar i a non è una st i ma cor re t t a de l parametro o d i una Norma l e ( ved i l a 1 2 . 1 7 ) . Anc he i n caso d i st i mator i corrett i , i no l tre , l ' eff i c i en za può essere mo l to bass� come d i mostra l ' esemp i o seguente .

Esemp i o 1 2 . 1 5 Data una v . c . Gamma ( 5 . 1 7 ) con pa rame tro p i ncogn i to ed a=l ed estratto da essa un camp i one d i n e l e: ment i trovare, co l metodo de i moment i , uno st i matore d i p e ca l ­ co l arne l ' eff i c i en za . I n questo caso s i ha E ( X ) = p V ( X ) = p q u i nd i l o st i matore d i p è l a med i a de l cam­ p i one M = ( X 1 +X 2+ X )/n . Pe r l e ( 1 1 . 9 ) ed ( 1 1 . 10 ) s i ha E ( M )=p V ( M )=p/ n qu i nd i M è u R o st i matore cons i stente e corretto d i p (� di l e ( 12. 3 ) e ( 12. 4 ) ) .

�

• • •

Pe r va l utare l ' eff i c i e n za d i M app l i c h i amo pr i ma d i tutto l a 26 ) e l a ( 1 2 . 29 ) . S i ha : I:

l og L a

l os òp

l

x. l

= l og

+ ( p- 1 ) l og n

x

•

l

n x. l

- n 1JI ( p- l )

- n l og r ( p )

(12

dove 'IJI ( p- 1 ) = d l osd p f ( p ) è l a cos i detta fun z i one D i gamma ( ved i , anche per l a Tr i gamma , J a n hke- Emde ( 1 945 ) § 2 . 4 e § 2 . 5 ) 2 , ò l os l n 1JI ( p- 1 ) a p2 o02 = + 1 / [n 'IJI ' ( p- 1 ) ]

dove 'IJI ' è detta fun z i one Tr i gamma e pe r essa va l e l o sv i l uppo : _1_ + _1_ _1_ + _l_ _l_ + 1JI , ( z- 1 ) = p p2 2p 2 2p 3 30p 5 _

l ' eff i c i e n za ( 1 2 . 1 3 ) d i M è qu i nd i 002 l < l e l+ l/ ( 2p ) p 'IJI ' ( p- 1 ) V( M )

<

l

Not i amo i no l tre c he e non d i pende da l l ' amp i e zza n de l camp i o n e , qu i nd i è sempre m i no;e d i 1 anche per grand i camp i on i . I nf i ne l '� il f i c i en za d i M tende a zero quando p .... Q i l c he d i mostra come metodo de i moment i non s i a cons i g l i a b i l e i n questo caso . �

St i ma

293

Dec i samente m i g l i ore , da mo l t i punt i d i v i sta , è i l metodo de l l a mass i ma veros i m i l i an za ( che a bbrev i eremo i n M . L . , da Max i mu m L i ke l i hood proposto e sv i l uppato da l F i s her s i n da l 1 9 2 1 . ( ved i anche F i s her 1950 ) . Secondo questo metodo i l m i g l i or st i mat o r e d i un pa rametro 9 è l o st i matore i che rende mass i ma l a fun z i one d i veros i m i g l i an za ( 1 2 . 22 ) . S i ha qu i nd i : ( 12. 31 )

L ( 9) � L ( 9)

( 1 2 . 32 )

L' (9 )

o

( 1 2 . 33 )

iJ i os L a9

L' = o =l

A

Ne i cas i p i ù comun i 9 può essere trovato r i so l vendo l ' equa z i one : od anche, pe r semp l i f i care Se 9 = ( 9 1 , 9 2 , z i on i : ( 1 2 . 34 )

•

l

•

•

ca l co l i , l ' equa z i one

, 9 k ) l a ( 1 2 . 3 3 ) è sost i tu i ta da l s i stema d i equ.!.

iJ i og L = 0 a 9J.

(j=1 , 2,

•

•

•

,k)

La forma de l l a fun z i one d i ve ros i m i g l i an za i n genera l e perme t t e d i ev i tare l ' us o de l l e der i vate s uccess i ve d i L per i l contro l l o de i mass i m i .

Esemp i o 1 2 . 1 6 Trova re g l i st i mator i M . L . ( d i mass i ­ ma ve ros i m i g l i a n za ) de i pa rametr i � e o 2 d i una Norma l e . Da l l a ( 1 2 . 2 3 ) s i ha : l og L = - ( n/ 2 ) l og o 2 -n l ogV( 2 �) E ( x . -� ) 2 / ( 2o 2 )

•

-

iJ i og L a� iJ i os L a o2

l e cu i so l u z i on i sono :

l

St i ma

294 r

x .l /n

=

A2

m

o

�

r • l

( x .l -m ) 2 /n

=

s2

G l i st i mator i M . L . d i � e o 2 sono, r i s pett i vamente , l a med i a l a var i a n za camp i onar i a .

e

•

Esemp i o 1 2 . 1 7 Trovare l o st i matore M . L . de l pa rame� tro p d i una Be rnou l l l ana . Da l l a ( 1 2 . 25 ) s i ha : l og L = x l og p + ( n-x ) l og ( l • p )

d l os L dp

p

=

x/n

Lo st i matore M . L . de l l a pro ba b i l i tà p è qu i nd i l a frequenza x/n

• •

Ne l l o stesso modo s i d i mostra , ad esemp i o , c he l o st i matore M . L . de l pa rametro À d i una Po i sson i ana è X = m , c i oè l a med i a del cam p i one . Esam i n i amo ora l e pr i nc i pa l i propr i età deg l i st i mator i M: L.

1 ) CONS I STEN ZA Sotto cond i z i on i asso l utamente genera i i g l i st i mator i M . L . sono cons i sten t i ( ved i F i s z ( 1 963 ) § 1 3 . 7 , a nche per qua nto r i gua r d a l ' as i ntot i ca norma l i tà ) .

2 ) SUFF I C I EN ZA Se es i ste un un i co st i matore T s uff i c i e nte pe r un pa rametro 9 , 1 o st i matore M . L . Q è una fun z i one d i T . D i mostra z i one . I n questo caso l a fun z i one d i veros i m l g l i an za ha l a forma ( 1 2 . 28 ) L =

g (ti & ) k (x1 , x2,

, xn )

i l c u i mass i mo d i pende da t • • •

c.v.d.

3 ) EFF I C I ENZA Se un parametro 9 a mette uno st i ma tore c he s i a i l p i ù eff i c i e nte , questo s i trova co l metodo de l l a mass i ma veros i m i g l i an za ( ved i Kenda l l vo l . l l ( 1 9 7 3 ) § 18 . 5 )

295

St i ma

4 ) AS I N TOT I C A NO RMAL I TA ' Sotto cond i z i on i mo l to genera l i , c he i n sosta n za sono sce l te in modo da permette re l ' app l i ca z i one de l Teorema Centra l e de l Ca l co­ l o de l l e proba b i l i tà , g l i st i mator i M . L . sono d i str i bu i t i i n modo as i ntot i camente Norma l e con med i a 9 e var i an za ( 1 2 . 29 ) o ( 1 2 . 30 ) . S i ha c i oè , pe r gra nd i va l or i d i n : 2 2 e - ( 9 - 9 ) / ( 2a O )

f (9 )

( 1 2 . 35 )

A

A

Ouesto s i gn i f i ca anche c he ta l i st i mator i sono as i ntot i camente ef f i c i ent i .

Esemp i o 1 2 . 1 8 d i proba b i l i tà f ( x ) = (� ) p x q N-x

Data una v , c , X B i nom i a l e con fun z i one

�

( x=0 , 1 ,

, N ) ( q=1 - p )

trovare l o st i matore M . L . de l parametro p e ver i f i ca re c h e gode di tutte l e propr i età sopra e l encate , x. N-x . n l L = � � P l q i i l

( ) n

l og L a

p

n

i =1

n

i =1 r

x .l / ( nN )

Ponendo m

n x .l l og p + ( nN­ r x . ) l og ( l -p ) i =1 l i =l r

r

r x l. l og L = -p p

d

• • •

n

i =1 r

nN- rx .l 1 -p

o

x .l / n s i ha che l o st i matore M . L . d i p è

p

= m/N .

La fun z i one ge neratr i ce de i moment i de l l a B i nom i a l e è ( 5 . 3 ) g( t ) = ( q+pe t ) N Pe r l a ( 9 . 40 ) l a f . g . m . de l l a v . c . nN ) ) n N ( q+pe t/ (

p

è:

Der i vando l a s uccess i vamente i n t=O ed ut i l i zzando l a ( 3 . 1 1 )s i tr2 va :

296

St i ma

E(�) = P V ( � ) = pq/ ( n N ) per cu i � è uno st i matore cons i stente e corretto d i p . l a fun z i one ge neratr i ce de i moment i de l l a v . c . standard i zzata - e w - V[B pq/ ( nN )] per l a ( 5 . 5 1 ) è : nN t r( nN )/ [r( pq )Nn] 9 ( t ) = e -tp r( n N )/r( pq ) q+pe _

w

{

)

Ope rando come a bb i amo fatto pe r l a B i nom i a l e ne l § 5 5 c he 2 l i m gw ( t ) = e t / 2 n-+-+•

i l c he d i mostra l ' as i ntot i ca norma l i tà d i per l a ( 1 2 . 30 ) : nN- I: x l. I: x . __,_ p2

�.

s

i d i mostra

Pe r conc l ude re s i h�

n Np/p 2+ ( n N-nNp )/q 2 nN/ ( pq ) =

o�

pq/ ( nN ) = V ( � ) e r i mane cos ì d i mostrato c he � è l o st i mato-

re p i ù eff i c i ente ( e qu i nd i anc he suff i c i ente ) d i p .

O l tre a que l l o de i moment i e de l l a mass i ma ve ros i m i g l i a n za esisto no a l tr i metod i pe r l a r i cerca d i st i mator i , come i l metodo de i m i n i m i quadrat i ( d i cu i a bb i amo g i à par l ato ne l l a pa rte seconda 1 i i l metodo de l m i n i mo X 2 , semp l i ce o mod i f i cato, ed a l tr i pe r qua l i r i mand i amo a l l a b i b l i ograf i a ( ved i ad esemp i o Kenda l l vo l . I l ( 1 973 ) cap. 19 )

12. 7.

I NTERVAL L I D I CON F I D E N ZA

Una natura l e estens i one de l l a teor i a de l l a st i ma puntua l e è la teor i a deg l i i nterva l l i d i conf i den za i l cu i o b i ett i vo è que l lo &

St i ma

297

trovare un i nterva l l o ( t 1 , t 2 ) entro cu i cade un pa rametro 8 d i una d i str i bu z i one con una ce rta probab i l i tà , conve n z i ona l mente i n d i cata con 1 - a ( detta coeff i c i ente d i conf i den za o l i ve l l o d l conf i de n za ) . S i ha c i oè : (O < a < l )

( 1 2 . 36 )

i n ge nera l e e , ne i cas i d i magg i o r i nte resse prat i co i n cu i t 1 e t 2 sono v . c . cont i nue : ( 1 2 . 37 )

E ' c h i a ro che i n genera l e s i possono ottene re p i ù i nterva l l i con uno stAsso coeff i c i e nte d i conf i de n za . C i l i m i teremo a fare a l cu­ n i esemp i d i i nterva l l i centra i i ta l i c he

l ) I nterva l l o d i conf i de n za de l l a med i a H d i una v . c . Norma l e con Va r i an za o 2 nota I n questo caso l a v . c . med i a camp i onar i a è una N ( � , o 2 / n ) . Poss i amo qu i nd i scr i vere ( 1 2 . 38 )

p

- z � om- Hn V

F( z) - F(-z)

2F ( z ) - l

=

l -a

dove F ( z ) è l a fun z i one d i r i part i z i one de l l a Norma l e r i dotta ( A� prend i ce D tav . I V ) . l ' i nterva l l o centra l e d i conf i den za d i � , a l l i ve I l o P = 1- a è pere i ò : ( 1 2 . 39 )

m- zo/ V n � � � m+ zo V n

( 1 2 . 39 ' )

F( z)

dove z è def i n i ta da

=

1 - a /2

( a l l i ve l l o 1 - a = 9 5% s i ha z=l .96 )

Ad esemp i o l ' i nterva l l o centr a l e d i � a l l i ve l l o de l 95 % è : m - 1 . 96 o / V n � � � m+ 1 . 96 o/ V n

St i ma

298

2 ) I nterva l l o d i conf i den za de l l a med i a d i una Norma l e c.o n Va ­ r i anza i ncogn i ta I n questo caso l a v . c . ( 1 1 . 46 ) t ... M:.1L S/ Vg

segue una l egge d i Student con g=n- 1 grad i d i l i bertà . L ' i nterv� l o centra l e d i conf i denza d i 1.1. a l l i ve l l o 1 - d i venta : a

( 12 . 40 ) dove i l va l ore d i t è r i portato ne l l a tav . V I , App .D, i n fun z i o­ ne d i e d i g .. n- 1 . a

Esemp i o 1 2 . 19 Da una v . c . Norma l e è stato estratto i l .... camp i one ( 1 , 2, 3, 5 , 9 ) . Trovare u n i nterva l l o d i conf i denza a l l i ­ ve l l o de l 95% per l a med i a 1.1. ne l l e i potes i (a ) che l a var i anza s� ugua l e a 9 (b) che l a var i anza s i a i ncogn i ta . Le costant i de l camp i one sono m=4, s= VB , n=5 , g=4 . Ne l caso ( a ) l ' i nterva l l o centra l e a l l i ve l l o de l 95% è ( 1 . 370 , 6 . 630 ) . Ne l ca so ( b ) i l va l ore cr i t i co de l t d i Student è t(4, 0 . 05 ) 2 . 776 pe; cu i l ' i nterva l l o d i conf i den za d i venta ( 0 . 086, 7 . 9 14 ) • 3 ) I nterva l l o d i conf i denza d i una frequenza Abb i amo v i sto che l o st i matore M . L . de l l a probab i l i tà p d i una Ber nou l l i ana è � .,. x/n che è d i str i bu i to, ne l caso d i grand i camp i o: n i , appross i mat i vamente come una N ( p, pq/n ) ( ved i esemp i 1 2 . 1 7 e 1 2� 1 8 con N=1 ) . S i ha qu i nd i , come per l a ( 1 2 . 38 ) : ( 1 2 . 41 ) da cu i s i r i cava l ' i nterva l l o centra l e d i conf i denza per p ( q=1 - p}. ( 12.42)

n n+ z 2

e z è def i n i ta da l l a ( 1 2 . 39 ' )

Esemp i o 1 2 . 20 Da una part i ta d i mater i a l e è stato e­ .... stratto un camp i one d i n=100 e l ement i e se ne sono trovat i x=20 � fettos i . Trovare un i nterva l l o d i conf i den za de l l a probab i l i tà p

St i ma

299

de i d i fettos i a l l i ve l l o de l 95%. Eseguendo i ca l co l i con � = 20/ 1 00 s i trova c he l ' i nterva l l o cer­ cato è ( 0 . 1 33 3 , 0 . 2789 ) pe r c u i l a probab i l i tà de i d i fettos i ne l ­ l ' un i ve rso è compresa fra i l 1 3 . 3 3% ed i l 27 . 89% con proba b i l i t à � de l 95%. 4 ) l nte rva l l o d i conf i de n za de l l a va r i a n za d i una v . c . Norma l e Ne l pa ragrafo 1 1 . 7 abb i amo d i mostrato che l a v . c . Y = nS2 /o 2 è una X 2 con 9 = n- 1 grad i d i l i be rtà . I n base a c i ò l ' i nterva l l o di conf i den za centra l e a l i ve l l o 1 - a d i o 2 è : ( 1 2 . 43 )

dove

Jo

"o

2

.!!!.._

"t

2 � o 2 � .!!L

f ( x2 ) d X 2 =

a

"o

( ved i Append i ce D tav . V )

Esemp i o den za a l l i ve l l o 1 2 . 1 9 ( b ) . Da l l a cu i l ' i nte rva l l o

�

!o " 1

e

/2

f ( X 2 ) d X 2 = 1- a/2

12.21 Trova re l ' i nte rva l l o centra l e d i confl de l 95% de l l a var i a n za con i dat i de l l ' esemp i o ta v . V pe r g=4 s i trova x 0 =0 . 48 ed x 1 =1 1 . 14 pe r � cercato è ( 3 . 54 8 3 . 3 3 ) .

,

5 ) I nterva l l o d i conf i de n za de l coeff i c i e nte d i cor re l a z i one l i ­

neare I n caso d i camp i on i a bbasta n za grand i ( n > 50 ) l a var i a b i l e ( 1 1.58) l+ R = 1 . 15 1 3 log l+R w = 2l l og t:R 1 0 t:R l+p l . . è appross 1 mat 1 vamen t e una N 1 l og 2 l -p • n-3 C i ò permette d i costru i re un i nterva l l o centra l e di conf i denza pr p de l l a forma

(

( 1 2 . 44 )

)

dove b=2 z/ V ( n- 3 ) e z è def i n i ta da l l a ( 1 2 . 39 ' ) ( ved i anche tav . 1 5 fra que l l e de l Pearson ( 1966 ) ) . Esemp i o 1 2 . 22

la

Trovare l ' i nterva l l o d i conf i den za a l

300

St i ma

l i ve l l o de l 95% de l coeff i c i e nte d i corre l a z i one l i neare p d i una Norma l e b i va r i ata s u l l a base d i un camp i one dopp i o d i n=84 e l em� t i i n cu i s i è r i scontrato r=0 . 5 . S i ha :

= 1 . 1 5 1 3 Log 10 3=0 . 549 b = 2 ( 1 . 96 )/ V 8 1 = 0 . 4356 Ut i l i zzando l e tavo l e de l l ' es pone n z i a l e s i r i cava l ' i nte rva l lo cer � cato che è ( 0 . 323, 0 . 644 )

w

ESERC l Z l

1 . Dato u n camp i one d i 40 e l ement i con med i a 2 3 e var i an za 1 6 trovare due st i me corrette de l l a med i a e de l l a va r i a n za de! l ' un i ve rso .

2 . Dat i due st i mator i corrett i d i un pa rametro 9 , T ' e T '� con var i anze r i s pett i vamente pa r i a 1/n e 2/n - 8/n 2 , trovare pe r qua l e va l ore d i n quest i hanno l a stes sa eff i c i en za e qua l e de i due è p i ù eff i c i ente per grand i camp i on i . 3 . D i mostra re che l a med i a d i un camp i one estratto �a una Po i sson i ana con pa rametro � è l o st i matore p i ù eff i c i ente d i

x.

4 . Dato i l camp i one ( 0 , 2, 4, 6 , 8 } estratto da una Norma l e , con med i a 6 , trovare due s t i me cor rette d i o e due st i me corrette d i o 2 , i nd i cando ogn i vo l ta l a st i ma p i ù eff i c i e nte . 5 . Trova re l o s t i matore d i mass i ma veros i m i g l i a nza de l parametro a de l l a ( 5 . 1 9 ) .

(M. �)

6 . Trovare l o s t i matore M . L . de l pa rametro m de l l a v . c avente f ( x )=( 1/m)e -xlm {x > O ) ed f ( x )=O { x s O ) .

•

7 . Su l l a bas e de l camp i one ( 0 , 3 , 6, 9 ) dare una st i ma co� retta de l pa rametro p d i una Er l a ngh i ana .

8 . Trovare un i nterva l l o d i conf i den za per l a med i a d i u na Norma l e a l l i ve l l o de l 95% s u l l a base de l camp i one ( 0 , 2 , 4 , 6 , 8) ne l caso ( a ) che l a var i a n za s i a nota e pa r i a 4 e ( b ) che quest·a s i a I gnota .

C A P I TOLO X l i i

TEOR I A D E L L A

I POTES I STAT I ST I C H E

13. 1 .

VER I F I C A D E L L E

I POTES I

Un ' i potes i stat i st i ca è qua l unque congettura i ne rente a l l a l e gge d i d i str i bu z i one d i una v . c . X . L ' i potes i è detta pa rametr i ca se r i gua rda i pa rametr i di una l e gge di ( dens i tà d i ) proba b i l i tà no­ ta ne l l a sua forma genera l e , a l tr i ment i è detta non pa rametr i ca . I nf i ne un ' i potes i parametr i ca è detta semp l i ce se s pec i f i ca i va­ l or i d i tutt i i pa rametr i d i una d i str i bu z i one, mentre è �a � posta se ne l asc i a qua l cuno i ndeterm i nato . Geometr i camente c i ò sl gn i f i ca c he se una d i str i bu z i one ha k parametr i , ( ved i i l § 1 2 . 1 ) cu i assoc i amo uno spa z i o Q a k d i mens i on i , un ' i potes i semp l i ce d� term i na un punto i n ta l e spaz i o me ntre un ' i potes i composta dete r­ m i na i n esso una re g i one contenente p i ù d i un punto .

D i amo a l c un i esemp i de i va r i t i p i d i i Esemp i o 1 3 . 1 ... potes i . - L ' i potes i c he una Norma l e a bb i a �=5 , o=8 è parametr i ca semp l i ce L ' i potes i che una Norma l e a bb i a �=5 è paramet r i ca composta L ' i potes i c he una v . c . X a bb i a una d i s tr i bu z i one d i t i po Gamma è non pa rametr i ca e cos l pure l ' i potes i che due v . c . X ed Y a b­ b i ano l a stessa d i str i bu z i one L ' i potes i che una Norma l e a bb i a �=o è pa rametr i ca compos ta . �

Estratto da una v . c . X un camp i one U = ( X 1 , x 2 , , X n ) c he anche qu i s uppon iamo Bernoul l iano e i n d ich iamo con W lo spa z io camp i onar i o ( ad n d i mens i on i ) , c i oè l ' i ns i eme d i tutt i i poss i b i l i va l or i de l vettore U . Ver i f i care una qua l unque i potes i stat i st i ca H 0 s i gn i f i ca r i part i re W i n due reg i on i comp l ementa r i , w ed A=W-w . Se i l camp i one os­ servato u cade ne l l a reg i one w, detta reg i one cr i t i ca , r i f i ut i amo H 0 , mentre se u cade i n A, detta res i one d i accetta z i one , accetti� mo H 0 L i m i t i amoc i pe r i l momento a cons i derare so l ta nto due i ­ potes i : una , H 0 , è detta i potes i d i nu l l i tà ( n u l l hy pothes i s ) e l ' a l tra , i nd i cata con H 1 è detta i potes i a l te rnat i va . •

•

•

•

Ver i f i ca i potes i

302

la sce l ta d i una reg i one cr i t i ca w dà l uogo a due t i p i d i errore: - Errore d i er i ma spec i e che cons i ste ne l r i f i uta re H 0 quando qu� sta è vera . la proba b i l i tà corr i spondente v i ene i nd i cata con : (13. 1 )

P U E W l HO l = a

l

ed è detta l i ve l l o d i s i.sn i f i cat i v i tà ( s i ze of the test ) ( ved i f i g. 13. 1 ) .

Errore d i seconda spec i e c he cons i ste ne l l ' accettare H 0 quando questa è fa l sa . la proba b i l i tà de l l ' errore d i seconda s pec � (ved i f i g . 1 3 . 1 ) v i ene i nd i cata con :

(13

.

2)

la proba b i l i tà che i l va l ore osservato de l camp i one cada ne l l a � g i one cr i t i ca se è vera H 1 è detta potenza de l cr i ter i o ( d i verl f i ca de l l ' i potes i H 0 contro l ' i potes i H 1 ) e v ie ne i nd i cata con : ( 13.3)

Se H l non è una s i n go l a i potes i ma è una c l asse d i i potes i amm i.!. s i b i l i H a l te rnat i ve ad H 0 l a ( 1 3 . 2 ) , cons i derata come fun z i one d i H 1 , è detta fun z i one ca ratter i st i ca operat i va o fun z i one O C (2perat i ng �ha racter i st i c funct i on ) e v i ene i nd i cata con C ( w i H). Ana l ogame nte l a ( 1 3 . 3 ) , i nd i cata con M ( w i H ) , è detta fun z i one di poten za . P i ù frequenteme nte , a causa de l fatto che l e i potes i � l a c l asse H r i guardano un pa rametro ( o un vettore d i parametr i ) � l e fun z i on i OC e d i poten za sono i nd i cate r i s pett i vamente con C (w, e ) e con M ( w , e ) . S i ha per def i n i z i one ( 13.4)

C ( w, e ) = P J u e A J e l = 1 - M ( w , e ) C ( w, e 0 )= 1 - a M ( w , e0 ) = a

C ( w, e 1 )= P

M(w, e1 ) = 1

1 - PJ u e w le

-P

j

Esemp i o 1 3 . 2 Per ver i f i care l ' i potes i H 0 che una v . c . Norma l e con var l a n za 400 h a med i a �a� 0= t 2 0 contro l ' a l te rnati va c he �=� 1 =180 s i estrae un camp i one U d i amp i e zza nml . S i ac� ta H 0 se i l va l ore osse rvato u < 1 5 5 e s i r i f i uta se u : À o s u l l a base d i un camp i one d i n e l eme nt i . Esegu i re i ca l co l i ne l caso x 0 =0 . 2 , X 1 =0 . 9 , n=5 ed a =0 . 0 1 I l rapporto ( 1 3 . 6 ) i n questo caso va l e ( ved i l a 1 2 . 24 ) :

�

e

e

-nÀ 0

- nx 1

Ào À1

Ponendo

( 1 3 ..1 6 )

I:x . l

I:x . l

y

l

nxi ! i

l nx !

n x l a ( 1 3 . 6 ) d i venta : i �1 i Y �

n U , 1 -X 0 )- l og l og(X / X 0 )

k

a

Ma se va l e H y è una determ i na z i one d i una v . c . Y somma d i n Fb� son i a ne i nd i 0pendent i co n parametro x 0 e come ta l e è una Po i sson i� na con parametro nÀ 0 ( l o s i può d i mostra re con l a ( 9 . 39 ' ) ) . Pe r l a ( 1 3 . 1 5 ) deve essere : ( 13 . 17 )

P ( Y > a ) + p P ( Y=a )

(13. 18)

P( Y > a ) � a

( 13. 19 )

p

=

a

I l numero a è u n i ntero non negat i vo c he può determ i nars i , dato dhe O � p � 1 , con l e cond i z i on i : P( Y � a ) � a

La proba b i l i tà p s i dete rm i na po i con l a formu l a a - P( Y > a ) P ( Y=a )

Ve r i f i ca i potes i

309

C i ò premesso l ' i potes i H 0 s i r i f i uta sempre se y > a e s i r i f i uta con probab i l i tà p ( ad esemp i o ut i l i zzando una tavo l a d i nume r i ca s ua l i ) se y=a . Un cr i ter i o d i questo t i po è detto ca sua l i zzato (� anc he random i z zato ) . Ne l caso numer i co cons i derato se va l e H 0 Y è una v . c . Po i sson i � n a con med i a nÀ 0 =5 ( 0 . 2 )=1 . ( 1 3 . 1 8 )è ver i f i ca ta so l o pe r a=4 ( ved i l a tav . I l la cond i z i one Appe nd i ce D o d a nche Se l by ( 1 968 ) ) . S i ca l co l a po i c o n l a ( 1 3 . 19) p=( O . O l-0 . 0037 )/0 . 0 1 5 3 = 0 . 4 1 1 l -p=0 . 589 I n conc l us i one se l a s omma y=x 1 +x 2+ +x 5 deg l i e l ement i de l cam p i one supe ra 4 s i r i f i uta H 0 , se y è i nfe r i ore a 4 s i accetta H 0 ed i nf i ne se y=4 s i accetta H ne l 5 8 . 9% e l a s i r i f i uta ne l 4 1 . 1% de i cas i ( a d esemp i o sceg0 l i endo l e pr i me tre c i fre d i un n� mero casua l e d i una tavo l a , come que l l a de i Random Un i ts de l Se i -� by ( 1968 ) ed accettando H 0 se non v i ene supe rato 589 ) . •

13. 3

.

•

•

C R I TE R I UN I FORMEMENTE P I U ' POTENT I E C R I TE R I NON D l STORT I

Cons i de r i amo ora i l prob l ema de l l a ve r i f i ca d i un ' i potes i H 0 sem p l i ce contro un ' i potes i � composta che cons i sta i n una c l asse d i i potes i a l ter nat i ve semp l 1c i . l a s i tua z i one p i ù frequente è que l l a i n c u i a bb i amo i potes i parametr i c he de l t i po e=e o contro i po: tes i de l t i po e>e 0 , e < e 0 o e =F e 0 •

Per ognuna de l l e i potes i a l ternat i ve H l i c he compongono H 1 es i ste come a bb i amo g i à v i sto una reg i one c r i t i ca p i ù potente w .1 che i n genera l e var 1 a a l var 1 a re d "1 H 1 S e •1 nvece es •1 s t e una reg 1 on e cr i t i ca w che è p i ù potente pe r1 tutte l e i potes i de l l a c l asse H 1 par l i amo d i reg i one c r i t i ca un i formeme nte p i ù potente ed i l c r i t� r i o corr i s pondente è a nc h ' esso detto cr i ter i o un i formeme nte p i ù � � ( UM P test : Qn i form l y Most �owerfu l test ) Ad esemp i o , data una N ( � , o 2 ) dove o 2 è nota se vog l i amo ve r i f i ca­ re l ' i potes i semp l i ce �=� 0 contro l ' i potes i composta �� O l a re ­ g i one c r i t i ca un i formemente p i ù potente è data da l l a ( 1 3 . 1 1 ) ( i n­ fatt i questa non d i pende da � l ' purchè questo s i a magg i ore d i � 0 ) Ana l oghe propr i età ha l a ( 1 3 . 1 2 ) qua l ora s i vog l i a provare l ' i po­ tes i �< � o · Se i nvece l ' a l te rnat i va è H 1 : �=F� 0 non es i ste una reg i 2 •

•

•

.

•

3 10

Ve r i f i ca i potes i

ne c r i t i ca un i formemente p i ù potente . Va l e a n z i i l seguente teor� ma d i Neyman ( 1 9 35 ) : "Data una v . c . X con parametro i ncogn i to e l a cu i fun z i one d i (den s i tà d i ) proba b i l i tà s i a d i ffe renz i ab i l e r i spetto a e , non es i st; un cr i ter i o un i formeme nte p i ù potente per ve r i f i care H 0 : e=e 0 con­ tro l ' a l te rnat i va H 1 : e;&e 0 " . Ne l caso de l l a Norma l e questo è messo i n ev i den za ne l l a f i g . 1 3 . 3 dove sono trattegg i ate l e fun z i on i d i poten za re l at i ve a l l e reg i � n i ( 1 3 . 1 1 ) e ( 1 3 . 1 2 ) a l var i a re d i � : s i vede come entrambe tend� no a zero quando � -+� e , r i spett i vamente , � -+�. Ne l caso de l l ' i potes i H 1 : e;&e 0 occorre qu i nd i r i nunc i a re a i c r i ter i p i ù potent i i n asso l uto , l a c u i fun z i one d i pote n za pub a n che presentare l ' i nconve n i ente d i ass ume re va l or i i nfer i or i a l l i ve l ­ l o d i s i gn i f i cat i v i tà a . l c r i te r i c he hanno questo d i fetto , c i oè sono ta l i c he per a l meno un va l ore amm i ss i b i l e e • ( spec i f i cato da H 1 ) d i e s i a bb i a : ( 1 3 . 20 )

sono dett i d i s tort i . La ( 1 3 . 20 ) s i gn i f i ca c he pub s uccede re c he un ' i potes i H s� r i f i � tata con proba b i l i tà a s e essa è vera e s i a r i f i utata con0 una pro­ ba b i l i tà m i nore d i a se è fa l sa , contro ogn i l og i ca . A l contrar i o u n test pe r cu i l a ( 1 3 . 20 ) non va l ga per a l cun va l ore amm i ss i b i l e d i e è detto non d i storto ( u n b i ased ) . Pe r quanto detto e pe r l a ( 1 3 . 4 ) pe r i c r i ter i non d i stort i l a fun z i one d i poten za presenta un m i n i mo pe r e=e 0 d i va l ore a . S i ha c i oè : (13.21 )

Min eee H

{ M ( w, e ) j

= a

dove e H è l ' i ns i eme de i va l or i amm i ss i b i l i d i e . Ne l l ' amb i to de l l e reg i on i cr i t i c he non d i storte que l l a p i ù poten­ te s i r i cava i n base a l segue nte teorema ( ved i , anche pe r l a d i mo stra z i one , F i s z ( 196 3 ) § 16 . 5 , dove L ( e ) è i nd i cata con f ( � , Q ) �

S i a i l camp i one U=( X 1 , x 2 , , X n ) una v . c . cont i nua ne l l o s pa z i o camp i onar i o con fun z i one d i veros i m i g l i anza L ( e ) dove i l parameVo e è i ncogn i to e l ' i ns i eme de i va l or i amm i ss i b i l i d i e s i a un i n­ terva l l o K , f i n i to o i nf i n i to . S i ano H 0 : e=e 0 e d H 1 : e;&e 0 l ' i potes i d i nu l l i tà e l a c l asse de l le al ternat i ve , dove e 0 è i nterno a l l ' i nterva l l o K . Se l a fun z i one d i veros i m i g l i an za L ( e ) ammette pe r ogn i punto i nterno a K de r i va t a pa r z i a l e r i spetto a e c he sodd i s fa a l l a d i suguag l i a n za •

•

•

Ver i f i ca i potes i

Joo · j"" ..

111

dove l ' i ntegra l e

g ( x 1 , x 2 , • • • , x n ) dx 1 dx 2 • • • dx n

es i ste f i n i to , a l l ora fra tutte l e reg i on i cr i t i che non d i storte , pe r l e qua l i l a proba b i l i tà de l l ' errore d i pr i ma spec i e è a , ne es i ste una ( w ' ) detta rea i o ne cr i t i ca non d i storta p i ù pote.nte 1'.!!Pst ,eowe rfu l .!!_n b i ased ) l a c u i pote n za è non i nfe r i· ore a que l l a de l l e a l tre reg i on i non d i storte , ed è def i n i ta da l l a d i s uguag l i anza -oo

-oo

Le

( 1)�c

( 1 3 . 22 )

L(e0)

+ cl

L' (e)

dove c � O e c l s i r i cavano con l e cond i z i on i

,e0) [ a ae. e J

( 13 . 23)

M (w '

M(w

( 1 3 . 24 )

l

= P( x E w ' l

e0)

=a

a ael( e >] ft f e=e e-eo efe0 o

=

•••

w'

dx l • • • dx n = o

Qua l ora l a reg i one w ' def i n i ta da l l e ( 1 3 . 22 ) ( 1 3 . 2 3 ) e ( 1 3 . 24 )pe r tutt i i va l or i amm i s s i b i l i d i s i a sempre l a stes sa, pa r l i amo d i reg i on e ( e cr i te r i o ) un i formemente p i ù potente non d i storto ( UMPU test : Mn i form l y Most fowe rfu l Mn b i a sed test ) .

... Esemp i o 1 3 . 6 Dete rm i nare i l cr i ter i o un i forme me n t e p i ù potente non d i storto pe r ve r i f i care l ' i potes i c he una Norma l e con va r i a n za nota abb i a med i a �� O ' su l l a ba se d i un camp i one d i n e l ement i . S i ha : ( A i ternat i va : �F�O ) n - I: ( x i - � r ) 2 / ( 2o 2 ) l ( r=O , l ) l ( � r ) = o ( 2 n) e V (u)

(

)

= n l ( � o ) ( m- � o )/o 2 =� o ave ndo posto m=I:x ,l /n . App l i ca ndo l a ( 1 3 . 22 ) e semp l i f i cando s i t� va : n ( m-� 0 ) ( � 1 - �0 )/o 2 -n ( � l -� 0 ) 2 / ( 2o 2 ) 2 e � c+c n ( m- � ) o e 0 1

t :� 1 Il

membro d i s i n i stra d i ta l e d i suguag l i a n za è u n a fun z i one espo-

312

Ve r i f i ca i potes i

nen z i a l e de l l a d i ffe ren za m- 11 mentre i l me mbro d i destra è una fun z i one l i neare d i ta l e d i ffe0 re n za . Pe r non r i cade re ne l l e reg i 2 n i ( 1 3 . 1 1 ) e ( 1 3 . 1 2 ) c h e sapp i amo essere d i storte , l a retta deve i ncontrare l ' es pone n z i a l e i n due punt i l e c u i asc i ssse s i a no m 1 ed m2 (m l < m2 ) . Pe r l a ( 1 3 . 24 ) deve po i essere : o

qu i nd i i l dom i n i o w ' deve cons i stere d i due part i s i mmetr i c he r i ­ s petto a 11 0 , pe rc i ò m 2 - 11 0 = 11 0 -m 1 • la reg i one c r i t i ca è qu i nd i del t i po

I nf i ne pe r l a ( 1 3 . 2 3 ) , te ne ndo pres e nte c he l a v . c . med i a camp i o nar i a s e va l e H 0 è una N ( 11 0 , a 2 ) , s i ha c he l a reg i one cercata (;t è def i n i ta da : ( 1 3 . 25 )

dove N ( z ) = l - a /2 ( ve d i l a 1 3 . 5 ) . Dato che ne l l ' u l t i ma d i s ugua g l i anza non compa re 11 1 l a ( 1 3 . 25 )è l a re g i one c r i t i ca un i fo rmemente p i ù potente n o n d i storta pe r l a v� r i f i ca de l l ' i potes i i n precede n za s pec i f i cata . Ne l l a f i g . 1 3 . 3 , a tratto cont i nuo, r i port i amo i l graf i co de l l a fun z i one d i potenza M 3 de l l a reg i one w 3 ( 1 3 . 25 ) i ns i eme a i grafl c i M 1 ed M 2 trattegg i at i , de l l e fun z i on i d i poten za de l l e reg i o­ n i d i storte w 1 ( 1 3 . 1 1 ) e w 2 ( 1 3 . 1 2 ) . I n te rm i n i de l l a fun z i one d i r i pa rt i z i one de l l a Norma l e N ( z ) s i ha : M 1 M ( w 1 , 1l ) N ( V( n ) ( 11 - ll o )/a- z a ) N ( V( n ) ( ll 0 - ll )/a- z a )

N ( V ( n ) ( 11 - 11 0 )/a- z a f2 ) + N ( V ( n ) ( 11 0 - Il )/ a- z a/ 2 )

dove N ( - z a ) 1-N ( z a ) = a Not i amo che M 3 ha un m i n i mo i n Ilo d i va l ore a . =

Esemp i o 1 3 . 7 Su l l a base de l camp i one ( 3, 5 , 8 , 1 3 ) estratto da una N ( !1, 9 ) vog l i amo dec i dere se accettare l ' i potes i 11 = 6 contro l ' a l te rnat i va 11f6 a l l i ve l l o d i s i gn i f i cat i v i tà a =5% . Da l l a tav . I V s i r i cava z=1 . 96 qu i nd i l a ( 1 3 . 25 ) è i n questo ca­ s o l m-6 1 �2 . 94 . Dato che l a med i a de l camp i one è m=7 . 25 accett i � m o l ' i potes i c h e 11 =6 . 3 . 7 1 ( va l ore cr i t i co d i F con g 1 =3 g 2 =10 a=0 . 05 r i cavato da l l a tav . V I I a ) . R i f i ut i amo qu i nd i l ' i potesi c� l e med i e de i 4 un i vers i s i a no ugua l i . R i petendo l ' ana l i s i per i pr i m i tre proced i ment i ta l e i potes i può i nvece essere accettata per cu i è l e g i tt i mo r i tenere come s i a so l tanto i l qua rto proced i me nto � a da re r i s u l tat i i n med i a d i ve rs i da g l i a l tr i . F

Lo sc hema d i a na l i s i de l l a var i a n za c he abb i amo presentato è i l p i ù semp l i ce fra que l l i cons i de rat i i n l etteratura c he prevedono , ad esemp i o , l a poss i b i l i tà d i ana l i zza re g l i effett i d i p i ù fatt� r i e l e l oro i ntera z i on i e d i effettuare d i segn i deg l i esper i men­ t i ta l i da mas s i m i zzare a pr i or i l a quant i tà d ' i nforma z i one otte­ n i b i l e da i dat i s per i menta i i . R i mand i amo a l l a b i b l i ograf i a c h i v� l esse a pprofond i re questo i mporta nte argomento ( ved i ad esemp i o Sc heffé ( 1 959 ) e Kenda l l Vo l . l l l ( 1 968 ) cap. 35 7 38 ) 1 3 . 10 .

TEST D I ADATTAMENTO ED I ND I PENDENZA

F i nora a bb i amo suppos to d i conoscere l a forma de l l a fun z i one d i ( dens i tà d i ) proba b i l i tà d i una o p i ù v . c . qu i nd i a bb i amo cons i ­ derato so l o i potes i parametr i c he . Suppon i amo ora d i vo l e r ve r i f i care i potes i ( non parametr i c he ) su l l a forma de l l a d i st r i bu z i o n ; d i un fenomeno , c i oè d i vo l e r s ta b i l i re se ad una d i str i bu z i o n e d i frequenze asso l ute ( ved i § 1 . 1 ) s i "adatt i " o meno una l egge teor i ca che assegna ad ogn i c l asse q una proba b i l i tà p . ( i =1 , 2, ,k). I l p i ù c l as s i co t � st d i adattamento è que l l o d i Pearson- P i zzett i •

( 13 . 52)

k I: i =1

•

•

( N l -Np l ) 2 .

.

dove N

k I: N . i =1 l

che qua ndo l ' i potes i da ve r i f i ca re s pec i f i ca comp l etamente l a d i str i bu z i one teor i ca segue , pe r gra nd i camp i on i , una l egge X 2 co; g=k- 1 grad i d i l i bertà . Quando i nvece l ' i potes i da prova re è com posta , ne l senso c he s � 1 pa rametr i de l l a l egge teor i ca vanno stl mat i i n base a l camp i one l a d i str i bu z i one de l l a v . c . ( 1 3 . 5 2 ) non segue necessa r i ame nte una l egge X 2 nemmeno per grand i camp i on i . E ' ve ro i nvece ( ved i l a d i scuss i one de l Kenda l l Vo l . l l ( 1 97 3 ) cap. 30)

Ver i f i ca i potes i

327

che ne l caso di grand i camp i on i l a reg i one c r i t i c a d i H 0 è def i nl ta da : ( 1 3 . 53 )

2 x2 < A < x k -s- 1 ,tr - k- 1 , a 2 è i l va l ore cr i t i co de l l a v . c . x 2 con g grad i d i l i dove x g,a bertà c he v i ene supe rato con proba b i l i tà a ed A d i pende da k ed s . Un c r i ter i o "conservat i vo " è qu i nd i que l l o d i accetta re H 0 s e l 2 X2 e d i r i f i utar l a se % 2 > X k2 - 1 , a , r i struttura ndo l e c lf!! $. k -s- 1 , a s i o r i correndo a d a l tr i test se I n ogn i caso è conven i e nté : 1 ) St i mare g l i s parametr i i nco gn i t i co l metodo M L c he forn i sc e st i me as i ntot i camente p i ù eff i c i ent i . 2 ) Orga n i zza re c l ass i c l. ta l i c he Np .l � 5 e , se poss i b i l e , ta l i c he Np .l s i a ugua l e per i = 1 , 2, , k . ( pe r a l tr i sugge r i ment i p i ù � na l i t i c i ved i Kenda l l l oc . c i t . § 30 . 3 1 ) . • • •

Esemp i o 1 3 . 1 2 Ver i f i care l ' i potes i che l a d i str i buz i one r i portata ne I l e pr i me due co l o n ne de I l a ta be I l a seguente sia un Po i s son i ana a l l i ve l l o a =0 . 05 . La med i a de l cam p i one è ugua l e a 2 ( s t i matore ML d i X ) qu i nd i i nterpo l i amo una Po i sson i ana � X=2 . Le proba b i l i tà teor i c he r i cavate da l l a tav . l l App . D , mo l t i ­ p l i cate per N=100 sono i nd i cate ne l l a terza co l onna . Accanto so­ no r i portat i i va l or i c r i t i c i d i X2 ( ta v . V ) . �

x .

l

1 2 3 4 �5 o

N .l

11 29 28 17 11 4

100

Np .l

13. 53 27 . 07 27 . 07 1 8 . 04 9 . 02 5 . 27

100

a

=0 . 05

k-s- 1=4

k=6

k - 1=5

s=1

Dato che i l va l ore osservato de l l 2 è i nfer i ore ad entram b i

va l 2

328

Ver i f i ca i potes i

r i cr i t i c i accett i amo l ' i potes i c he l a d i str i bu z i one s i a Po i sso­ • n i ana .

Un a l tro test d i adattamento non parametr i co , a l ternat i vo a l X 2 è i l test KS d i Ko l mogorov- Sm i rnov . Dato un camp i one d i n osse� va z i on i ord i nate i n modo non decrescente ed i nd i cate con x ( 1 ) , x( 2) , x ( ) vog l i amo ver i f i ca re l ' i potes i che i l camp i one proveng a n da una v . c . cont i nua avente fun z i one d i r i pa rt i z i one F ( x ) . l ' i p� tes i s i ver i f i ca costruendo l a fun z i one cumu l at i va d i frequen z a de l camp i one • • •

( 1 3 . 54 ) e ca l co l a ndo ( 1 3 . 55 )

o

pe r x < x ( 1 )

S n ( x )= i /n

per x ( i ) � x < x ( i + 1 ) pe r x � x ( n )

Dn

l sn ( x ) - F ( x ) l

1

( i =1 ,

• • •

, n- 1 )

Fe l l e r ( 1 9481 semp l i f i ca ndo ed estendendo i l l avoro or i g i na l e d i Ko l mogorov e Sm i rnov ha d i mostrato c he ( 1 3 . 56 )

Es i stono mo l te tavo l e de l l a d i str i bu z i one d i À s i a per n f i n i t o c he as i ntot i c he ( ved i ad esemp i o B i rnba um, 1 9 5 2 ) . I n prat i ca i � f or i cr i t i c i de l test KS p i ù usat i , va l i d i pe r grand i ca m p i on i ( n � 80 ) , sono def i n i t i da : ( 1 3 . 57 )

P { D n � 1 . 36/ V n

P { D n � 1 . 6 3/ V n

l

\

0 . 05

= 0.01

Esemp i o 1 3 . 1 3 Dato un camp i one d i n=225 osserva z i o­ n i pe r ve r i f i ca re a l l i ve l l o a ...0 . 05 l ' i potes i c he esso proven ga da una d i str i bu z i one Norma l e s i sono ca l co l ate st i me Ml de l l a m� d i a e de l l a var i a n za de l l ' un i ve rso e s i sono costru i te l e fun z i �

�

Ver i f i ca i potes i

329

n i d i r i pa rt i z i one F ( x ) e cumu l a t i va d i frequenza ( 1 3 . 54 ) otte ­ nendo come d i fferen za asso l uta mass i ma 0=0 . 1 1 . Da l l a ( 1 3 . 57 ) s i ha che i l va l ore cr i t i co d i D è 1 . 36/ V225=0 . 09 qu i nd i r i f i ut i amo • l ' i potes i cons i derata .

Pe r a l tr i esemp i d i app l i ca z i one de l test KS e s ue estens i on i a l caso d i due camp i on i ved i F i s z ( 1 963 ) § 1 2 . 5 Cons i der i amo per conc l udere i l prob l ema de l l a ver i f i ca de l l ' i pot� s i d i i nd i pende n za fra due var i a b i l i X ed Y . D i st i ngu i amo anche qu i test pa rametr i c i e non parametr i c i . Fra i pr 1 m 1 i l pr i nc i pa l e è i l test d ' i nd i pe nden za per una Norma l e b i va r i ata , basato su l l a ( 1 1 . 57 ) . Pe r prova re l ' i potes i a l l i ve I l o a che p=O contro l ' a Iter nat i va pfe s u l l a base d i un camp i one d i n e l ement i con coeff i c i en te d i corre l a z i one r s i ca l co l a t = r V (( n- 2 )/ ( 1 -r 2 )J Se l t l < t a/ 2 ( va l ore c r i t i co de l t d i Student con g=n- 2 grad i d i l i bertà - ved i § 1 3 . 5 ) s i accetta l ' i potes i d i i nd i pe nde nza , a ltrl ment i l a s i r i f i uta . I l pr i ne i pa l e test non pa rametr i co pe r l a ve r i f i ca de l l ' i potesi di i nd i pe nde n za stocast i ca fra l e component i X ed Y d i una v . c . dop­ p i a , s u l l a base d i una ta be l l a a dopp i a entrata d i frequen ze ass.2. l ute N . J è ancora i l test Z 2 ne l l a fo rma : l

.

( 1 3 . 58 )

X2 =

N

m

n

i =l j=l r

r

[N .l l. - P .l O . /N] 2 P l. O .

.!

J

( ved i i l § 6 . l e 6 . 2 per i s i m bo l i ) I n caso d i I . S . e per grand i camp i on i l a ( 1 3 . 58 ) è una determ i na­ z i one d i una v . c . X 2 con g=( n- l ) ( m- 1 ) grad i d i l i be rtà perc i ò l ' i� tes i d i I . S . s i accetta se Z 2 < X 2g, a a l tr i ment i s i r i f i uta . •

Esemp i o 1 3 . 1 4 Ver i f i care a l l i ve l l o d i s i gn i f i cat i vl tà a =0 . 05 l ' i potes i c he l e var i a b i l i X ed Y , s u cu i sono state � te N=lOO osserva z i on i r i portate ne l l a ta be l l a seguente, s i amo i n­ d i pendent i ne l caso ( a ) i n cu i ( X , Y ) s i a una v . c . Norma l e b i va r i -a ta e ( b ) i n c u i ( X , Y ) s i a una v . c . qua l u nque .

•

x

y

o

8 o 2 12 20 l

Qj

o

l

6 40 4 50

2

16 o 14 30

P .l

30 40 30 100

p=-0 . 06/ v o . 542=-0 . 082 t=-c . o82/ V 97=- o . o79

3 30

Ver i f i ca i pote s i

Ne l caso ( a ) dato che i l va l ore c r i t i co d i t pe r g=98 ed a =O . OS è � 1 . 96 ed i l t osse rvato è d i gra n l u nga i nfer i ore accett i amo l ' i potes i che v i s i a i nd i pe nden za fra X ed Y. Ne l caso ( b ) i nv� ce r i f i ut i amo ta l e i potes i i n quanto con g=4 ed a =O . OS i l va l o­ re c r i t i co X 2 è 9 . 49 e que l l o osse rvato l o s upe ra . Dato c he i l va l ore d. i p è mo l to basso poss i amo conc l udere che fra X ed Y v i è so 1· o i nd i pende n za co rre l a t i va , ma non stocast i ca e qu i nd i an­ c he l a v . c . ( X , Y ) non è una Norma l e b i va r i ata .

ESERC I Z I

l . Data una N ( �, 400 ) pe r ver i f i care l ' i potes i �=100 con tro l ' a l ternat i va �=1 10 s i estrae un camp i one d i 25 e l ement i ; s i r i f i uta l ' i potes i d i nu l l i tà se l a med i a de l camp i one è mag­ g i ore d i 103 . Ca l co l a re l e proba b i l i tà a e fJ deg l i error i d i prl ma e seconda spec i e e l a poten za de l c r i ter i o .

2 . Cua l e deve essere l a reg i on e cr i t i ca pe r l ' eserc i z� precede nte qua l ora s i i m pon ga che a = fJ ?

3 . C he d i mens i one deve avere i l camp i one pe r i l pro b l � m a de l l ' eserc i z i o l se a = {J =0 . 025? 4. Trova re l a re g i one c r i t i ca non d i storta un i for meme� te P I U pote nte per l a ver i f i ca de l l ' i potes i che u na N ( � , 400 ) ha � =100 co ntro l ' a l ternat i va �flOO s u l l a base d i un camp i one d i 1 0 e l ement i quando a =O . l .

S . Può essere accettata l ' i potes i �=100 con l ' eserc i z i o 4 se un camp i one ha med i a 109?

dat i del

6 . Ver i f i ca re a l l i ve l l o d i s i gn i f i cat i v i tà a = S % l ' i p.2,

Ver i f i ca i potes i

331

tes i che u n a Norma l e a bb i a �=40 s u l l a base de l camp i one (46, 3� 4$ 50 ) ne i cas i ( a ) i n c u i l a var i an za de l l ' un i ve rso va l ga 60 e ( b ) i n c u i ta l e var i a n za s i a i gnota .

7 . Dat i i camp i on i (46, 39, 45 , 50 ) e ( 57 , 3 8 , 34, 46, 60 , 6 5 )� stratt i da un i ve rs i Norma l i i nd i pende nt i procedere a l confron t o de l l e var i an ze e de l l e med i e de i due camp i on i a l l i ve l l o a =5% con test opportun i .

8 . Cons i derando o l tre a i due camp i on i de l l ' eserc i z i o 7 a nche i camp i on i ( 30 , 40, 50 ) ( 39 , 40 , 45 , 60 ) confrontare l e quattro var i an ze camp i onar i e ( con l a 1 3 . 44 ) e procedere po i a l l ' a n a l i s i de l l a va r i a n za . 9 . lanc i ando u n dado 60 vo l te s i sono ottenute l e se­ guent i frequen ze de l l e se i facce ( 8 , 1 2 , 9 , 7 , 1 3 , 1 1 ) . Ve r i f i ca re al l i ve l l o a =0 . 05 l ' i potes i c he i l dado s i a rego l a re ( App l i care l a 1 3 . 52 con p l. =1/6 ) .

P A R T E

L A VAR I AB I L I TA '

Q U l N T A

A K D I MENS I ON I

I n questa pa rte cons i der i amo un fe nome no con un nume ro qua l unque d i compone nt i es presse i n forma quant i tat i va . l l e gam i es i stent i fra d i esse sono s i ntet i zzat i da l l a matr i ce de i coeff i c i e nt i d i corre l a z i one l i neare , l a cu i caratte r i st i ca espr i me i l nume ro d i va r i a b i l i s uff i c i e nte pe r r i produrre l e pr i nc i pa l i propr i età st� t i st i c he de l fenome no osse rvato . Success i vamente vengono cons i de rate l e fun z i on i d i regress i o n e mu l t i p l a , natura l i estens i on i d i que l l e v i ste ne l l a pa rte secon­ da , e v i ene i ntrodotto i l coeff i c i e nte di corre l a z i one mu l t i p l a , i mportante i nd i ce pe r va l uta re l a capac i tà d i un mode l l o l i neare d i s p i e ga re l a va r i a b i l i tà d i una var i a b i l e ma rg i na l e i n te rm i n i de l l e a l tre . I nf i ne pa r i i amo de l l a teor i a de l l e compone nt i pr i nc i pa l i i n cu i , una v . s . a p i ù d i me ns i on i v i ene scomposta i n compone nt i non cor­ re l ate fra l oro ognuna de l l e qua l i s p i e ga una pe rce ntua l e v i a via m i nore de l l a var i a b i l i tà comp l ess i va . Entr i amo i n questa pa r t e ne l campo affasc i na nte de i mode l 1 i mu l t i d i mens i ona l i che hanno u n ruo l o fondamenta l e ne l l o stud i o e ne l l ' i nterpreta z i one de i s i st� m i comp l ess i .

C A P I TOLO

14. 1 .

XlV

ANAL I S I D E L L A STRUTTURA L ATENTE

GEN E S I D E L L E VAR I AB I L I A K D I ME NS I ON I

l dat i d i base pe r l ' a na l i s i de l l a var i ab i l i tà mu l t i d i mens i ona l e sono cost i tu i t i da una matr i ce d i N osserva z i on i A"" ll x t )l t =1 , 2 , . . . , N j =1 , 2 , . . . , k ; s u l l a var i a b i l e a k d i me ns i on i U=(X 1 , x 2 , . . . , X k ) , I n questa pa rte fa remo preva l enteme nte r i fer i mento ad U co­ me var i a b i l e stat i st i ca ma l e stesse cons i de ra z i on i va l gono per l e va r i a b i l i casua l i k d i mens i ona i i , che s i possono def i n i re e­ s te ndendo quanto a bb i amo detto ne l § 8 . 1 per i l caso k=2 . Suppo� remo i no l tre c he l e osserva z i on i s i ano espresse i n forma quant i ­ tat i va . Le pr i nc i pa l i costant i s ta t i s t i c he de l tessuto metr ico dej l a v . s , U sono l e med i e e l e var i a n ze de l l e v , s , marg i na l i X J. rl s pett i vamente date da : ( 14. 1 )

( 14 . 2 )

I: x / N t""1 t N

Il. J

2

o. J

o. . JJ

N

t=1 I:

( x t . - j.l . ) 2 /N J

J

( j =1 , 2 ,

•

•

•

,k)

N . B . Seguendo una s i mbo l og i a l a rgamente d i ffusa , i n questo cap i ­ to l o i nd i c heremo con IlJ· l a med i a d i X J. e non i l momento semp l i ce d ' ord i ne j d i una v , s . X ( ved i § 3 . 1 ) . Le costant i c he perb ca� ter i z za no meg l i o l a v . s . U i n quanto ne prendono i n cons i der� z i one a nc he i l tessuto connett i vo sono l e cova r i a n ze ed i coeff i ­ c i ent i d i corre l a z i one l i neare fra l e var i ab i l i X l. e d X J. , dat i da ( 14. 3 )

o. . = o . . IJ J l

3 34

Struttura l atente

( 14 . 4 )

p

p

•

IJ

•

J l

• •

o I. J.

V< o l. l. oJ. J. )

( i , j = 1 , 2,

•

•

• ,

k)

Pe r a na l i zza re l a struttura d i una va r i ab i l e a k d i me ns i on i è o� portuno standa rd i zzare l e va r i ab i l i marg i na l i opera ndo l e trasf� ma z i on i ZJ.

( 14 . 5 )

( X J. -J.LJ. )/oJ.

=

i n modo da e l i m i na re l ' i nf l ue n za de l l ' or i g i ne e de l l ' un i tà d i m i sura de i dat i . Come è noto ( ved i § 2 . 4 ) l e v . s . standa rd i zz a t ; hanno med i a ugua l e a ze ro e va r i a n za ugua l e ad 1 . S i ha c i oè : E ( ZJ. ) =

( 14. 6 )

V ( ZJ. ) -=

N

z /N r t=1 t N

t-1 I:

o

zt2 / N = 1

Se i dat i sono standa rd i zzat i i l coeff i c i ente d i corre l a z i one fre X .l ed X . può ca l co l a rs i con l a formu l a ( 14. 7 )

J

p

I• J•

-

Natura l mente p =1 pe r qua l unque 1 1 n quanto i l coeff i c i e nte d i corre l a z i one 1 1 l i neare d i una va r i a b i l e con se stessa va l e 1 I nd i c h i amo con C l a matr i ce de i coeff i c i ent i d i corre l a z i one l 1 nea re , c he ha l a forma •

•

•

( 14 . 8 )

c

=

1

1

La matr i ce C è s i mmetr i ca ed i l suo determ i na nte I C i è non negati vo .

Struttura l a tente

335

� Esemp i o 1 4 . 1 I n c i nque pe r i od i success i v i sono state effettuate l e seguent i r i l eva z i on i s u l l e tre va r i a b i l i : x l gramm i d ' oro contenut i i n bracc i a l ett i

x2 x3

pre zzo , i n m i g l i a i a d i l i re , de i bracc i a l ett i

N ° de i bracc i a l ett i vendut i ogn i g i orno da un ' oref i cer i a

cu i assoc i amo i va l or i de l l e corr i s pondent i v . s . standard i zzate •

Per i od i l 2 3 4

x2

xl

l 3 4 5 7 4 4

5

11 13 17 11 16

9

Med i e : Va r i a n ze : Dev i a z i on i standa rd : 2 5

4

x3

10 14 6 8 2 8 16

4

zl

z2

-1, 5 -0, 5 o

-1, 5 -0 , 5

o

o

o

0, 5 1, 5

0, 5 1,5

l

l

l

l

z3

+0 , 5 1, 5 -0 , 5 o

-1, 5 o

l

l

Eseguendo i ca l co l i s i trova c he l a matr i ce de i coeff i c i ent i corre l a z i one l i neare � · c

=

[

l l -0 . 75

l l - 0 . 75

-0 . 7 5 -0 . 75 l

]

di

Not i amo c he i l coeff i c i e nte d i corre l a z i one l i neare fra l e va r i � b i l i x l e d x 2 � �.gua l e a d l . Questo s i gn i f i ca c he l e v . s . x l ed � sono perfettamente e pos i t i vamente corre l ate fra l oro ( l a stessa osserva z i one s i poteva fare notando c he l e va r i a b i l i standa rd i z­ zate z l e z 2 sono i dent i che , i l che s i gn i f i ca che x l ed x 2 d i ff� r i scono so l o per or i g i ne ed un i tà d i m i s ura ) . la var i ab i l e oggetto d i stud i o non � . i n rea l tà , a tre d i mens i o­ n i , ma bastano due va r i a b i l i ( ad es . x 1 e x 3 ) a i nterpreta re i l fenomeno . Vedremo ne i pross i m i pa ragraf i d i g i ust i f i care quest e � cons i de ra z i on i .

336

14. 2.

Struttura l ate nte

M I SURE D E L L A D I SPERS I ON E

Una v , s . U a k d i mens i on i pu� essere stud i ata esam i nando l e pro­ pr i età de l l a matr i ce C de i coeff i c i ent i d i corre l a z i one l i nea r e ( 1 4 . 8 ) . I l dete rm i na nte 6 d i ta l e matr i ce è proporz i ona l e a l l ' a­ rea o a l vo l ume V de l l a por z i one d i spa z i o compreso fra i vetto­ r i avent i come component i l e r i ghe (o l e co l onne ) d i C , Prec i sa­ mente s i ha : ( 14 . 9 )

le l

k!

v

I l concetto non è v i s ua l i zza b i l e fae i l me nte : com i nc i amo con un semp l i ce esemp i o re l at i vo a una v , s , dopp i a .

... Esemp i o 1 4 . 2 Trovare l a matr i ce C per l a v . s . doppia formata da x l e x 3 e i nterpretarne geometr i came nte i l determ i nan­ te . Si ha : c

6 = 1 - ( -0 . 7 5 ) 2 = 0 . 4375

l ' area de l l a por z i one di p i ano compresa fra i vettor i A= ( 1 , -0 . 7 5 ) e B=( -0 . 7 5 , 1 ) va l e V=0 , 2 1 87 5 . Not i amo c he 6=2 V, i n accordo con la 14 . 8 . E ' fac i l e ve r i f i care c he se cons i de r i amo l a var i a b i l e tr ipla U= ( X 1 , x 2 , x 3 ) s i ha 6=0 . C i � vuo i d i re c he i l vo l ume de l l a par t e d i spaz i o compresa fra i tre vettor i [ 1 , l , -0 . 7 5 ] [ 1 , l , -0 . 75] [ - 0. 7 5 , -0 . 7 5 , l] è nu l l o . Matemat.i camente c i � s i gn i f i ca c he la m!, tr i ce C ha ca ratte r i s t i ca < 3; stat i st i camente c i � s i gn i f i ca c he la "d i mens i one " de l l a v . s . mu l t i p l a cons i derata è m i nore di 3, come • s i è g i à detto ne l l ' esemp i o 14 . 1 Da l l e cons i deraz i on i precedent i d i sce nde c he una natura l e m i s ura de l l a d i s pe rs i one d i una v , s , a k d i mens i on i è data da : ( 14 . 10 )

S = + Và = + V Ic l

l ' i nd i ce S è stato proposto da Ragnar Fr i sch ed ha l e se guenti pr2 pr i età : S=O se a l meno due fra l e var i a b i l i X J. c he compongono l a v . s . U so­ no l i nea rme nte d i pe ndent i ( m i n i ma d i s pe rs i one ) S=l se l e v . s . X J. sono non corre l ate ( mass i ma d i s pe rs i one ) Pe r l e va r i a b i l i a due d i mens i on i a bb i amo g i à v i sto come S=O s i -

Struttura l atente

337

gn i f i c h i pe rfetta d i pende n za l i neare fra X 1 ed X 2 mentre S=l s i ­ gn i f i ca c he v i è tra esse i nd i pe nde n za corre l at i va . Ne l caso stat i st i came nte i nteressante O < S < l so rge i l prob l e m a de l l ' ana l i s i de l l a var i ab i l i tà d i U . I l pro b l ema può i mposta rs i in due mod i concettua l me nte mo l to d i vers i . I l pr i mo cons i ste ne l ten tare d i s p i e ga re l a var i a b i l i tà d i una var i a b i l e ma rg i na l e d i U m� d i a nte l e a l tre var i a b i l i adottando semp l i c i mode l l i i n ge ne re d i t i po l i neare : pa r l i amo i n questo caso d i teor i a de l l a re sress i on� I l secondo cons i ste ne l tras forma re l e va r i a b i l i X J. i n a l tre variab i l i Y .l ( i , j =1 , 2 , , k ) i nd i pendent i fra l oro , ognuna de l l e qua l i s p i e ga una por z i one v i a v i a m i nore de l l a var i a b i l i tà comp l es s i va : pa r l i amo i n questo secondo caso d i teor i a de l l e component i pr i n­ c i pa l i . Pe r una tratta z i one r i gorosa de l l ' a na l i s i mu l t i var i ata � ge r i amo I ' Ande rson ( 1 960 ) . •

14. 3.

•

•

TEOR I A D E L L A R EGR ESS I ON E MULT I PL A

Data u n a v . s . a k d i mens i on i U=( X 1 , x 2 , , X k ) vog l i amo costru i re un mode l l o c he s p i e gh i l a va r i a b i l i tà d i una de l l e var i a b i l i mar g i na l i , ad esemp i o x k , i n te rm i n i de l l e a l tre var i a b i l i x 2 · · · -\�t •

•

•

Pe r semp l i c i tà c i l i m i teremo a mode l l i de l t i po ( 14 . 1 1 )

w

c he sono l i near i ne i pa rametr i a l Qua l ora ta l i parametr i s i ano dete rm i nat i co l cr i te r i o de i m i n i m i quadrat i , c i oè i n base a l l a cond i z i one •

( 14 . 1 2 )

MIN

•

a

dove xtk sono i va l or i osse rvato d i X k e w t sono i va l or i i nter­ po l at i , l a ( 1 4 . 1 1 ) è detta funz i one d i resress i one centra l e d e l 2 " ord i ne ( o d i 2 ° t i po ) d i X k r i s petto a l l e a l tre var i a b i l i . T� l e fun z i one può mette rs i ne l l a forma :

3 38

( 14 . 1 3 )

Struttura l atente

a .(X.-!1.) J

J

( 14 . 1 4 )

J

( i =1 , 2,

a. J

dove

•

•

•

e C I. J. è i l comp l emento a l gebr i co de l l ' e l eme nto C ( 1 4 . 8 ) . Ne l caso pa rt i co l are k=3 s i ha :

, k- 1 ) p

I J de l l a matr i ce

•

•

( 14. 15 )

D i mostra z i one . Ne l l a ( 14 . 1 1 ) standard i zz i amo l e va r i a b i l i e pon i amo

a . = a .o./ok J

J J

( j=1 , 2 ,

•

•

•

, k- 1 )

X. J

con l a ( 14 . 5 )

La ( 1 4 . 1 2 ) d i ve nta :

MIN a Ugua g l i ando a zero l a der i vata r i s petto ad a 0 e tenendo pr� se nte l a ( 1 4 . 6 ) s i trova s u b i to a 0 =0 . De r i vando r i s petto a­ g l i a l tr i pa rametr i e ut i l i zzando l a ( 14 . 7 ) s i ott i ene i l cos i detto s i ste ma d i equa z i on i norma l i : ( 1 4 . 16 )

{ j -1 , 2 ,

•

•

•

, k- 1)

I l dete rm i nante 6 de l l a matr i ce de i coeff i c i ent i d i quest o s i stema co i nc i de co l comp l emento a l ge br i co C kk d i p kk ne l l a ( 14 . 8 ) , me ntre i l dete rm i nante 6J. de l l a matr i ce otte nuta da!

Struttu ra l atente

l a precede nte sost i tuendo a l l a co l onna j -ma l a co l onna de i term i n i not i va l e 6 . - -C k J S i ha qu i nd i : J

339

. •

R i sost i tue ndo s i trovano l a ( 14 . 1 3 ) e ( 1 4 . 14 )

c.v.d.

Esemp i o 1 4 . 3 l or i argome nta l i sono r i porta t i ne l l e pr i me tre co l onne de l l a t� be l l a seguente , standa rd i zza rne l e var i a b i l i marg i na i i , r i cavare l a matr i ce de l l e va r i an ze -cova r i a n ze e l a matr i ce C de i coeff i ­ c i ent i d i corre l a z i one l i na re . Trovare po i l ' equa z i one de l l a fun z i one d i re gress i one d i x 3 s u x l ed x 2 . xl 9 5 3 2 1 8 2 2 2 6 6 2 4 4 4 4 4 4 4

80

4

x2 8 8

o

12 8 16 8 6 4 6 8 8 8 8 6 10 16 o

8 12 160

x3 4 3 2 2 o

4 o

1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 40

zl 2.5 0.5 -0 . 5 -1 -1.5 2 -1 -1 -1 1 1 -1 o o o o o o o o o

z2

o o

-2 1 o

2

o

-0 . 5 -1 -0 . 5 o o o o

-0 . 5 0.5 2 -2 o

1

o

z3 2 1

o o

-2 2 -2 -1 -1 1

o o o o o o o o o o o

Con una so l a l ettura de l l a matr i ce de l l e osse rva z i on i s i possono ottenere : - i l vettore de l l e somme ( 80 , 160, 40 ) - i l vettore de l l e med i e p=( 4 , 8 , 2 )

Struttura l ate nte

340

- l a matr i ce de l l e somme de i prodott i 680 400 195 1600 680 340 1 00 340 195 de l l e var i a n ze -cova r i a n ze ( ved i l ' u l t i ma formu la de! matr i ce la l a 14. 3 ) 4 . 75 1 i . 7 5 �1 !1 i l vettore de l l e var i a nz e o 2 =( 4, 1 6 , 1 ) - i l vettore de l l e dev i a z i on i standard o= ( 2 , 4, 1 ) - l a matr i ce de i coeff i c i e nt i d i corre l a z i o ne 0 . 8 75 0 . 250 1 . 000 0 . 250 1 . 000 0 . 250 c 1 . 000 0 . 250 0 . 87 5 Not i amo che tutte l e matr i c i cons i de rate sono s i mme tr i c he i l che pe rmette , ne l caso i n c u i s i ut i l i zz i pe r i ca l co l i un e l a borato­ re , d i r i durre l ' occ upa z i one de l l a memor i a ce ntra l e . Questo r i ­ s pa rm i o è i mportante i n qua nto ta l e occupa z i one è c i rca proporzio na i e a k 2 , dove k è i l n ume ro de l l e var i a b i l i : l a matr i ce A ( N� k) de l l e osserva z i on i , c he i n questa fase può essere l etta una vo l ­ ta so l a , a l l i m i te una r i ga pe r vo l ta , v i ene i nvece re g i strata � memor i e a us i l i a r i e e l e s ue d i mens i on i non hanno i mportan za . Vo l endo i nvece standard i zza re l e va r i a b i l i mar g i na i i , come è st� to fatto ne l l a 4 " ' 5 " e 6 " co l onna de l l a ta be l l a precede nte , l a matr i ce A va l etta una seconda vo l ta , dopo aver trovato l e med i e e l e var i a nz e d i tutte l e va r i a b i l i , pe r pote r a pp l i care l a ( 1 4 �) Trov i amo ora i parametr i de l l a fun z i one d i re gress i one . S i ha : c 3 1 =+.( 0 . 25 2 -0 . 87 5 )=-0 . 8 1 25 c 3 3 =t-0 . 25 2 =0 . 9 37 5

[

=

[

]

[

]

]

c 32 =- ( 0 . 25-0 . 875x0 . 25 )=-0 . 0 3 1 25

App l i ca ndo l a ( 1 4 . 1 4 ) o l a ( 14 . 1 5 ) s i ha po i : a =-o c / ( o c )=0 . 8 1 25/ 1 . 87 5 0 . 4 3 3 1 2 31 1 33 0 . 00 8 3 3

L ' equa z i one de l l a fun z i one d i regress i one mu l t i p l a ( d i secondo tl po ) d i x 3 s u x l e x 2 è qu i nd i ( 1 4 . 1 3 ) : W 2 + 0 . 433 ( X 1 -4 ) + 0 . 00 8 3 3 ( X 2 -8 ) = 0 . 2 + 0 . 4 33 x 1 + 0 . 00 8 3 3 � e cost i tu i sce un pr i mo semp l i ce mode l l o per i nterpretare l a va r i a • b i l i tà d i x 3 i n term i n i de l l e a l tre due va r i a b i l i . =

14 . 4 .

Struttura l ate nte

341

l COEFF I C I ENT I D I CORRELAZ I ON E MULT I PLA E PARZ I AL E

Pe r va l utare l a capac i tà i nte rpretat i va d i u n mode l l o d i re gres­ s i one è opportuno scomporre l a va r i a n za de l l a va r i a b i l e cons i de ­ rata come d i pe ndente N ok2 = r ( x tk -� k ) 2 /N t= l ne l l a var i a n za s p i egata da l l a regress i one : ( 14. 18 )

e ne l l a var i a n za res i d ua : ( 14 . 1 9 )

S i ha , ana l ogame nte a qua nto a b b i amo g i à v i sto ne l § 7 . 4 ( do� � b i amo usato s i mbo l i l egge rme nte d i vers i i n qua nto s i trattava d i func i on i d i re gress i one d i t • t i po ) : ( 14 . 20 )

S i d i mostra i nfatt i c he : ( 14 . 2 1 )

( 14 . 22 )

( 14 . 23 )

è i l coeff i c i ente d i corre l a z i one mu l t i p l a ( mu l t i p l e corre l at i on coeff i c i e nt od a nc he mu l t i p l e R ) d i X k s u l l e a l tre va r i a b i l i , I C I è i l determ i na nte de l l a matr i ce ( 14 . 8 ) e c kk è i l comp l emento a! ge br i co d i p k k ne l l a stessa matr i ce . La rad i ce quadrata de l la ( 14.

342

Struttura l atente

2 1 ) , o rk ' è detta errore sta nda rd de l l a st i ma d i X ( sta ndard er­ k ror of est i mate ) . D i mostr i amo l a ( 14 . 2 1 ) . I ntroducendo l ' operato re E ( X ) =r x t / N e tene ndo presente l e ( 14 . 1 3 ) , ( 1 4 . 1 4 ) e ( 1 4 . 5 ) s i pu ! seri vere :

r jr a l. a J. ) .

k

i n quanto l a somma de i prodott i deg l i e l ement i p I J de l l a rl ga i -ma de l l a matr i ce c per i comp l ement i a l gebr i c i c k J. è -u gua l e a zero se k f i ed è ugua l e a ! e l se i - k , pe r not i teorem i s u i dete rm i nant i . S o st i tuendo l a ( 1 4 . 23 ) ne l l ' u l t i ma formu l a s i ott i e ne po i l a ( 14. 21 ) c.v.d. L a ( 14 . 22 ) s i d i mostra i n modo ana l ogo ( ved i a d es�mp i o Ken ney-Kee p i ng vo l . l l ( 1 959 ) § 1 1 . 1 2 dove l a var i a b i l e d i pe � te è x l e o� k a 21 2 3 ) •

•

=

I l coeff i ci ente d i corre l a z i one mu l t i p l a , c he usua l mente è def i nl to da ( 14 . 24 )

può a nche essere i nte rpretato come coe-ff i c i e nte d i corre l a z i one l i neare fra l a va r i a b i l e osse rvata X k e l a var i a b i l e W( 1 4 . 1 3 ) e h ; forn i sce i va l or i "p i � attend i b i l i " d i X k ' ne l senso de i m i n i m i

Struttura l atente

quadrat i , s u l l a base de i va l or i osservat i d i x 1 , x 2 , c i oè : ( 1 4 . 25 )

•

•

•

34 3

, X k 1 . S i ha _

S i d i mostra ( ved i Keenney l oc . c i t . § 1 1 . 1 3 ) c he anche questa def i n i z i one porta a l l a ( 14 . 2 3 ) . Pe r i l coeff i c i e nte d i corre l a z i � � t i p l a va l gono l e seguent i fondamenta l i propr i età : R k =O quando v i è i nd i pende n za corre l at i va fra X k e tutte l e a l tre var i a b i l i R k •1 quando X k e W sono pe rfettamente corre l ate l i nearmente , c i oè quando i l mode l l o d i re gress i one mu l t i p l a cons i de rato i nter­ preta perfettamente l a va r i a b i l e x k i n ge nera l e . , N ; j=1 , 2 , , k ) s i a no da i nte nde rs i co­ Qua l ora l e x tj ( t•1 , 2 , me un camp i one d i N k-up l e d i osserva z i on i estratte da una v. c . , X k ) ( genera l i zza z i one a k d i Norma l e mu l t i var i ata U-( X 1 , x 2 , mens i on i de l l a Norma l e b i va r i ata i ntrodotta ne l § 8 . 4 ) i l prob l � m a p i ù i mpo rta nte i n prat i ca è que l l o d i ver i f i care l ' i potes i che i l coeff i c i e nte d i corre l a z i one mu l t i p l a de l l ' un i ve rso s i a uqua ­ J e a zero . Pe r ve r i f i ca re ta l e i potes i ( ved i Kenda l l vo l . l I U 973 ) § 27 . 29 ) s i ca l co l a •

•

•

•

•

( 14 . 26 )

F

•

•

•

•

•

R � / ( k- 1 )

�-------------

( 1 - R� )/ ( N-k )

----

e s i accetta l ' i potes i se F < Fa , dove Fa è i l va l ore c r i t i co dtt l a v . c . F d i Snedecor con g 1 =k- 1 , g 2 •N-k grad i d i l i bertà , a l I l ve l l o d i s i gn i f i cat i v i tà a ( ved i tavo l e V I l a per a a0 . 05 e V I I b pe r a -o . 0 1 ) . Se i nvece F � Fa l ' i potes i v i ene r i f i utata i l c he , X k 1 s u X k pub r i te n e r s i s i gn i f i ca c he l ' i nf l ue n za d i X 1 , x 2 , _ s i gn i fi cat i va . •

•

•

Esemp i o 14 . 4 Con i dat i de J J #esemp i o 1 4 . 3 trova re i va l or i de l l a var i an za sp i egata e res i dua e ver i f i care l e ( 14 2 1 ) ( 14 . 22 ) e ( 14 . 25 ) . I nte rpreta ndo po i i dat i come un camp i one d i N=20 e l ement i estratto da una v . c . Norma l e tr i va r i ata ve r i f i care l ' i potes i c he i l coeff i c i ente d i corre l a z i one mu l t i p l a d i ta l e v . c . s i a ugua l e a ze ro , a l l i ve l l o a =0 . 05 . Ne l l a ta be l l a seguen­ te r i port i amo i va l or i osservat i d i x 3 , i va l or i i nterpo l at i W e g l i scart i x 3 -w .

�

344 xt 3

wt

Struttura l atente

4 4. 17 3 2.43 2 1 . 50 2 1 . 17 o 0.70 4 3.80 o 1 . 13 1 1 . 12 1 1 . 10 3 2.85 2 2 . 87 2 1 . 13 2 2.00 2.00 2 2 1 . 98 2 2.02 2 2.07 2 1 . 93 2 2.00 2 2.03 40 40.00

Con l a

x t 3 -w t

-0. 17 0.57 0.50 0.83 -0. 70 0.20 -1 . 13 -0. 12 -0. 10 0. 15 -0. 87 0.87 o.oo o.oo 0.02 -0.02 -0.07 0.07 0.00 -0.03 o.oo

R 32 = 0.767 l c l = 0. 2188 c 33 = o.9375

( 14.22) e ( 14 . 23) s i trova : o; 3 = 1 (0. 2188/0.9375 ) = 0. 233 o! 3 = 1 ( 1-0. 2188/0.9375 )=0. 767 I nf i ne con l a ( 14 . 25 ) s i trova R 3 = ( rx t Jw t -4)/ V j r ( x t 3-2 ) 2 � ) r ( wt 3-2) 2 � = 0.876 pe r cu i l e form u l e r i c h i este sono ver i f i cate . I l va l o re osse rvato de l test f è

r =jo.767/2 j / j ( t-0.767 )/(20-3) j= 27.94 Con g 1 =2 e g 2 =t7 grad i d i l i bertà i l va l ore cr i t i co d i f a l l i ve! l o a=0.05 è r 0 • 05 =3. 59 < 27 .94 qu i nd i r i f i ut i amo l ' i potes i d i i ndl .... pende n za fra x 3 e l e a l tre due var i ab i l i . Pe r un approfond i mento de i prob l em i d i regress i one mu l t i p l a ved i Draper-Sm i th e Kenda l l vo l . l l e fra g l i i nd i c i c he non a bb i amo trattato c i t i amo so l tanto i l coef­ f i c i ente d i corre l a z i one pa rz i a l e fra due var i a b i l i ed da­ to da :

( 1968)

( 1973) cap. 27 28. xl x2

Struttura l atente

( 14 . 27 )

345

che espr i me i l l egame es i stente fra x l ed x 2 "de purato " da l l ' i nf l ue n za de l l e a l tre var i a b i l i . Pe r un esemp i o ved i Kenda l l l oc . c i t . § 27 . 20 .

TEOR I A D EL L E COMPON ENT I PR I NC I PAL I

14. 5 .

L ' a na l i s i de l l e compone nt i pr i nc i pa l i è una tecn i ca che pe rmette d i s p i e ga re l a var i a b i l i tà d i una v . s . a k d i mens i o n i Z= ( Z 1 , z 2 , , Zk ) i n te rm i n i d i k va r i ab i l i Y 1 , v2 , , Y k , comb i na z i on i l i near i de l l e v . c . ZJ S i ha : •

•

•

•

•

. •

•

k

b I J zJ.

( 14 . 28 )

Y .l

( 14 . 29 )

cov ( Y .l , Y J. ) =O

j =l I:

•

( i =l , 2 ,

•

•

•

•

,k)

doye l e b .I J. sono costant i da determ i nars i . Le Y .l sono dette � ponent i pr i nc i pa l i de l l a v . c . Z e sono per i potes i non corre l ate fra l oro ed ord i nate pe r i mporta nza ne l l a s p i e ga z i one de l l a var � b i l i tà d i z . S i ha c i oè : ( 14 . 30 )

(

i foj )

dove cov sta per cova r i a n za ( ved i l a 1 4 . 3 ) e V sta pe r var i a n za . Sen za pe rde re d i ge ne ra l i tà poss i amo supporre c he l e var i a b i l i Z.1 s i a no standa rd i z zate per c u i va l gono l e ( 14 . 6 ) . I mpon i amo po i l a cond i z i one c he l a var i anza comp l ess i va de l l e Z l. s i a ugua l e a que l l a de l l e Y .l , c 1 oe : •

( 14 . 3 1 )

k

i =l I:

V ( Y .l )

k

i =l I:

'

V ( Z .l ) = k .

346

Struttura l ate nte

Suppon i amo i nf i ne c he i vettor i ( 14 . 32 )

a bb i a no l unghe z za un i ta r i a , c i oè c he ( 14 . 3 3 )

k

j=1 r

b2I. J.

1

( i =1 , 2 ,

• • •

,k)

C i ò premesso i vettor i b l. che mass i m i zzano s uccess i vamente l a v� r i a n za d i Y 1 , d i Y 2 , , d i Y k con i v i nco l i ( 14 . 29 ) e ( 14 . 3 3 ) s� no g l i autovettor i de l l a matr i ce C ( 14 . 8 ) c he corr i s pondono agl i autova l or i A 1 , A 2 , , A k d i C , ord i nat i pe r va l or i non cresce� t i . S i ha c i oè : •

•

•

• • •

( 1 4 . 34 )

( 14 . 35 )

IC - A i j = O b l. (C - A l. l ) = O

dove l è l a matr i ce un i tà . Per l a natura de l l a matr i ce C l e so l .!:!. z i on i A .l de l l a ( 14 . 34 ) sono non negat i ve e ta l i c he ( 1 4 . 36 )

k

i -= 1 I:

A i = k ( tracc i a de l l a matr i ce C )

la var i a n za de l l a i -ma componente pr i nc i pa l e è : ( 14 . 37 )

V( Y .l ) = A l.

( 14 . 38 )

P l.

ed i l contr i buto d i Y l. a l l a var i an za comp l ess i va è :

V( Y .l )/k = A .l /k

( i =1 , 2 ,

• • •

,k)

I n prat i ca spesso s i cons i derano so l tanto l e pr i me component i p� c i pa l i i l cu i contr i buto a l l a va r i a n za comp l es s i va s i a par i a l me­ no al 50-60% .

Strutt ura l atente

3 47

D i mostr i amo l a ( 14 . 35 ) pe r i =1 e k=3 . Per l e ( 14 . 28 ) e ( 9 . 37 ' ) , tenendo presente c he o i j =p i j pe r l e ( 14 . 6 ), s i ha

V ( Y 1 )= b21 1 + b21 2+ b 21 3+ 2b 1 1 b 1 2 P 1 2+ 2 b 1 1 b 1 3 P 1 3+ 2 b 1 2 b 1 3 P 2 3 Per mass i m i zzare ta l e fun z i one co l v i nco l o ( 14 . 33 ) pon i amo L = V( Y 1 ) + À ( 1-b 21 1 - b 212 - b21 3 ) dove À è un mo l t i p l i catore d i Lagrange . Ugua g l i a ndo a ze ro l e de r i vate d i L r i s pe tto a l l e b 1 i s i oj:

t i e ne i l s i stema

( 1 -À ) b1 1 + p 1 2 b1 2 + p 1 3 b1 3 = p 1 2 b 1 1 + ( 1-À ) I:i .t p 23 b 1 3 p 1 2 b 1 1 + p 23 b 1 2 + ( 1-À ) b 1 3 = =

o o o

c he ammette so l u z i on i non ba na l i so l o d a cu i s i ott i ene i l pr i mo a utova l ore Sost i tuendo À l ne l l a ( 14 . 35 ) s i trova pr i nc i pa l e b 1 , c he v i e ne norma l i zzata co i nc i de co l pr i mo autovettore d i C .

se va le l a ( 14 . 34 ) ,

l a pr i ma compone nt� con l a ( 14 . 33 ) e

À1 •

c.v.d. L e compone nt i pr i nc i pa l i s uccess i ve devono r i s petta re i v i n co l i ( 14 . 33 ) e d i no l tre i v i nco l i ( 14 . 29 ) che equ i va l gon � a:

( 14 . 39 )

r

r

b 1. r b rJ. =

o

Opera ndo sempre co l metodo de i mo l t i p l i cator i d i Lagrange s i trova c he ta l i compone nt i co i nc i dono con i s uccess i v i autovettor i d i C . Esemp i o 14 . 5 Trova re l e compone nt i pr i nc i pa l i de l l a v . s . de l l ' esemp i o 14. 3 ed i r i s pett i v i contr i but i a l l a va r i a n z a comp l ess i va . G l i autova· l ori ed a utovettor i de I l a matr i ce C sono ( ved i l e ( 14 . 34 ) ( 14 . 35 ) ( 14 . 37 ) e ( 14 . 38 ) ) :

�

À 1 =V( Y 1 )= 2 . 000 À 2=V( Y 2 )= 0 . 875

b 1 = ( 0 . 667 0 . 333 0 . 667 ) b2 =( 0 . 236 -0 . 943 0 . 236 )

P 1 = 66 . 67% P 2= 29 . 1 7%

348

Struttura l atente

o

Not i amo c he l e pr i me due compone nt i v 1 = o . 667 z 1 + o . 3 3 3 z2 + o . 667 z 3 v 2 = 0 . 2 36 z 1 - 0 . 943 z 2 + o . 236 z 3

0 . 707 )

s p i egano i l 95 . 84% de l l a va r i a n za comp l ess i va de l l a v . s . cond i de � rata .

Pe r approfond i re l ' a rgomento de l l ' a na l i s i de l l e component i pr i n­ c i pa l i e p i ù i n genera l e de l l ' ana l i s i de i fattor i ved i H a rman ( 1967 ) mentre per una tratta z i one or i e ntata a l l ' e l a bora z i one de i dat i ved i D i xon ( 197 1 ) e Ra l ston-W I I f ( 1967 ) .

E S E RC l Z l

1 . Trova re l ' equa z i one de l l a fun z i one d i re gress i one d i 2 ° t i po d i x 3 s u x l con i dat i de l l ' esemp i o 1 4 . 1

2 . Pe r l o stesso esemp i o trovare g l i autova l or i de l l a m_!! tr i ce C : cosa hanno d i part i co l a re e pe rc hè ?

3 . Sos t i tuendo ne l l ' esemp i o 1 4 . 3 ad x 3 l a var i a b i l e x 4( 4, 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4, 1 , 3, 0 , 2 , 4, 4, 2 , 0 , 3, 1 ) tro'8 re l a fun z i one d i re gress i nne d i 2 ° t i po d i x 4 s u x l ed x 2 e va l utare l e s i gn i f i cati v i tà d i R 4 •

4 . Trovare con i dat i de l l ' eserc i z i o 3 l ' equa z i one d i � gress i one mu l t i p l a c he l ega x 4 ad X 1 , x 2 ed x 3 •

5 . Ca l co l a re i va l or i d ! Y e � Y 2 con i dat i de l l ' esem­ p i o 14 . 5 e fare i l d i agramma a d 1 s pe1 rs 1 one de l l a va r i ab i l e ( Y 1 , Y2 )

A

APPEND I C E

S I M BO L I

(

x x- 1

(�)

)

• • •

s e x è rea l e qua l u n q ue ed n-1 , 2 ,

( x - n+ 1 )/ n !

se x n-o

1

...

P I U ' COMUN I

E ABBREV I AZ I ON I

O s e n•- 1 , - 2 ,

• • •

è

• • •

rea l e qua l unque ed

oppure s e n > x con x-1 , 2 , . . . nm1 , 2 ,

ed

• • •

( )

o x

ogn i f u n z i one ta l e c he l i m x -+ 0

§

pk

�

N( ,

a

2

):

( ): N( z) r (p) : �( p, q ) : N 0, 1

mome nto c e ntra l e to c o n �k ) .

l

l

.

(§ 3. 1 )

•

No rma l e c o n med i a p e v a r i a n za tor i è i nd i ca ta c o n N ( , ) ) . p

-o

x

( i n mo l t i t e s t i i n g l es i � è l a med i a d i X ( i n mo l t i test i i n g l es i

mome nto semp l i ce ( 3. 1 ) to con �k' ) . Ne l c a p . X I V

pk

�

a

a2

( da

a l c u n i A�

r i pa rt i z i one de l l a No rma l e R i dotta

F u n z i one Ga mma F u n z i one Beta

( ved i ( ved i

a ppend i ce B appe n d i ce B

)

i n ge nera l e s i gn i f i c a proba b i l i t� . Ne l c a p i to l o c a a nc he una matr i ce s toc a s t i ca .

e

parametro o vettore d i parame t r i

v.s.

va r i a b i l e stat i s t i ca

v.c.

va r i a b i l e c a s u a l e

f.d.

f u n z i one d i dens i t� d i proba b i l i t� d i cata c o n f .

f.r.

f u n z i one d i

1.1

(§ 1 5 )

r i pa rt i z i o ne

)

( §1 . 5 )

fu n z i one ge n e r a t r i ce de i mome n t i cata con g t .

f.c.

fu n z i one ca ratte r i s t i ca 'P t

(§

( § 1 . 5 ) d i s o l i to i n ­

d i s o l i to i nd i cata con F

f.g.m.

( )

X i nd i ­

(§ 12. 1 )

• .

( )

(5 . 15 )

)

p

(§

i nd i e�

(5 . 14 )

No rma l e R i dotta o St anda rd i z za ta

F u n z i one d i

(§ 5.3)

i n d i e�

•

( § 3 . 3 ) d i s o l i to i nd!

3 . 4 ) d i s o l i to i nd i cata

M ( X )•E ( X ) : med i a d i X ( §9 . 3 e § 1 1 . 2 )

con

35 0

V(X ) P.S. 1 . 5. I .C. I . M. I . R. M. V. B. M. L . Fun z i one O C MP U . M . P. U . M. P. U : L.R. (a, b) (a, b) [a , b ) [ a , b]

Appe nd i ce A

va r i a n za d i X ( § 9 . 3 e § 1 1 . 2 ) processo stocast i co ( § 1 0 . 1 ) i nd i pe nde n za stocast i ca ( § 6 . 2 e i nd i pe nden za corre l at i va ( § 7 . 1 e i nd i pende n za i n med i a ( § 7 . 4 e i nd i pe nde n za regres s i va ( § 7 . 4 e p i ù eff i c i ente ( M i n i mum Va r i a nce mass i ma ve ros i m i g l i an za ( Max i mum

7.7) 7.7) 7.7) 7.7) Bound ) ( § 1 2 . 4 ) L i ke l i hood ) ( § 1 2 . 6 )

fun z i one caratter i s t i ca ope rat i va ( § 1 3 . 1 ) p i ù potente ( Most Powerfu l ) ( § 1 3 . 1 ) un i fo rmeme nte p i ù potente ( Un i form l y M . P . ) ( § 1 3 . 3 ) un i formemente p i ù pote nte non d i storto ( U . M . P . Un b i ased ) (§ 13. 3) ra pporto d i veros i m i g l i an za ( L i ke l i hood Rat i o ) ( § 1 3 . 4 ) a < x < b i nte rva l l o a pe rto a- b a < x � b i nte rva l l o a perto a s i n i stra a-ib a � x < b i nterva l l o a pe rto a destra a1- b a � x � b i nterva l l o c h i uso at--t b

A PPEND I C E

B

F U N Z I ON I GAMMA E BETA

Def i n i amo fun z i one Gamma i l se guente i ntegra l e def i n i to (B 1)

r(p)

dove p > O L ' i ntegra l e ( B 1 ) è un i formemente conve rgente r i s petto a p qu i nd i r ( p ) è una fun z i one cont i n ua ( ved i f i g . B 1 ) S i ha ( ved i f i g . B 1 ) l im l i m r ( p )=+oo r( p )-+oo p-+ +p -+ 0+ = O pe r p= 1 . 46 1 6 3 i n cu i r =0 . 88560 ( ved i Ja hnke Emde pa g . l l ) r"(p) > O Pe r p mo l to grande va l e l a fo rmu l a appross i mata d i St i r i i ng f ( p ) - ( p- l ) p- l e -p+ l V[2 n ( p- l )J I ntegra ndo pe r pa rt i s i trova l a se guente formu l a d i r i corre n za :

r•

(B 2)

r ( p )= ( p- 1 ) r ( p- t )

(B 3)

r ( p )= ( p- t ) !

p=2, 3,

•

•

•

Osservando c he r ( t )=l e app l i cando s uccess i vame nte l a ( B 2 )s i tr2 va c he , quando p è i ntero S i ha i nf i ne :

352

Append i ce B

D .88 1.46

(B

F i g. B 1 Andamento de l l a fun z i one gamma

4)

r < t/2 )

i"" o

e -x x - 1 / 2 dx = V n

D i mostra z i one . Ponendo x=y 2 ed A= r ( l / 2 ) s i trova (B 5)

Dato che l a ( B 5 ) è i nd i pen dente da l l a va r i a b i l e d ' i ntegr� z i one s i ha anche 2 A = e -x dx . S i ha qu i nd i :

� 4 /"" o

A 2=

o

2 e -x dx

j

"" -y 2 e dy =

o

4 /"" !"" o

o

2 2 e - ( x + y ) dxd y

Pass i amo a l l e coord i nate po l a r i ponendo

{x

= y =

p p

cos a sen a

Append i ce B

Lo Jacob i ano de l l a trasforma z i one è : òx cos a - p sen a 2 J

p

da

�

�

d

òa

òp

p

sen a

S i h a qu i nd i dxdy "" l P l d p d a e

n/2

A 2= .J lo

353

p

cos a

f."" e-p 2pdpda = i"/2 Ge-p 2/2]""' o

0

Jo

S i ha i nf i ne A= r ( 1/ 2 ) = Vn

c.v.d.

Da l l a ( B 5 ) s i r icava i mmed i atamente (B 6) i ntegra l e che s i i ncontra mo l to spesso i n stat i st i ca e che , ponen do x=(y - a )/b, d i venta (B 6' )

!"" e- ( y -a ) 2/ ( 2b2 ) dy

_...,

Def i n i amo fun z i one Beta i l seguente i ntegra l e def i n i to 1 (B 7) p ( p, q ) = x P- 1 ( 1 -x ) q- 1 dx o

j

dove p > O q > O Fra l e fun z i on i Gamma e Beta va l e l a seguente re l a z i one (B 8)

p ( p, q ) =

�

r r 9>

r ( p+ q

D i mostra z i one . Ponendo x-y 2 l a ( 81 ) d i venta

354

(B 9)

Append i ce B

y 2p- 1 dy

Poss i amo qu i nd i scr i ve re r ( p ) r ( q ): 4

1 "" 4 : 1"" o

o

1"" o

2 e -x x 2p- 1 dx

1"" o

2 e - y y 2q - 1 dy

=

2 2 e - ( x +y ) x 2p- 1 Y 2q- 1 dxdy

Passa ndo a l l e coord i nate po l a r i ( ved i l a d i mostraz i one del l a B 4 ) s i ha : r ( p ) r ( q )--

: 2

n; 2

1

1 2 "" 2 ( p+q- 1 ) -p 2 2q- 1 e sen p acos 2p- 1 ap d p d a =

4 }�r l o

o

sen 2q- 1 a cos 2p- 1 a d a

o

s e n 2 q - 1 a cos 2 p- 1 a d a

Ponendo x:cos 2 a s i ha

e qu i nd i

1 ""

r(P) r ( q )

:

o

r

2 e -p p 2 ( p+q )- 1 d p

( p+q )

� ( p, q ) r ( p+q )

Da l l a ( B 7 ) pone ndo x=1 / ( 1+y ) s i r i cava

c.v.d.

(B

10 )

� ( p, q )

..

r·

lo

q- l ( t+y ) p+q

dy

Append i ce B

355

Da l l a ( B 8 ) s i vede i mmed i atame nte c he

(B 11)

� ( p, q ) - � ( q, p )

D i amo i nf i ne a l cun i va l or i pa rt i co l a r i de l l a fun z i one Beta c he s i r i cavano da l l e ( B 2 ) ( B 3 ) ( B 4 )

(B 12) ( B 13)

� (1, 1 )

=

l

C

APPEND I C E

D I SUGUAGL I AN ZE NOTE VOL I

D i s usua s l i a n za d i Cauc hy- Sc hwa rz

Date n copp i e di nume r i rea l i a l. , b l. ( i =1 , 2 ,

(� ) (� ) (� )

(C l )

i =l

a �l

i =l

b �l

:2::

i =l

a l, b .l

•

•

2

•

, n ) s i ha :

la d i suguag l i a n za d i venta un ' uguag l i an za se e so l ta nto se l e a .1 e l e b .l sono proporz i ona l i fra l o ro . D i mostra z i one . Cons i de r i amo l a forma quadratr i c a n

l

�2

E b�

Ei =l { Xa . +�b . ) 2 = X 2 E a 2. +2X� E a . b .

Q

(C 2 )

+

l

l

l

+

O

:2::

l

l

I l d i scr i m i nante d i Q è

( a 2. ) ( E b2. ) - ( E a . b . )2

/!; = t •

l

/!; =

l

•

l

l

l

•

l

l

O se l è sem i def i n i ta pos i t i va , c i oè se

Xa .l +�b l. =O

( i = 1 , 2,

, n ) pe r va l or i non nu l l i d i X e � .

I n caso contra r i o Q è def i n i ta pos i t i va e l'l > O •

•

•

c.v.d.

357

Append i ce C

O i s usuas l i a n za d i Jensen

Data una fun z i o ne g ( x ) convessa i n un i nterva l l o ( a , b ) ed n cop­ , n ) ta l i che p i e d i numer i rea l i x .l , w l. ( i =1 , 2 , n r w.= a < x .l < b, O < w l. < s i ha : i =l l g

(C 3 )

l, C:l n

w l. x .l s:

)

n

i �1 r

l,

• • •

w l. g ( x l. )

D i mostra z i one . Cons i de r i amo n masse w . d i s poste i n un p i ano ( x , y ) ne i punt i ( x .l , g ( x .l ) ) ( i =1 , 2, ! , n ) . I l centro d i grav i tà c ; , y ) d i ta l e s i stema d i masse, dove •

x

-=

r

w l. x .l

y

I:

•

w l. g ( x .l )

g i ace i nte rnamente a l po i i gono convesso con vert i c i ( x l. , g ( x l. ) �

S i ha qu i nd i ( ved i f i gura C 1 ) g ( x ) < Y e l a ( C 2 ) resta dl mostrata . S i vede anche c he se g ( x ) -non è una s pe z zata , i l segno d i uguag l i an za ne l l a ( C 3 ) va l e so l o se x 1 =x 2= =x n •

g

y

-------

t 1 l l l l l l l l

(x)

-

l

F i g. C V i s ua l i zza z i one de l l a d i suguag l i a n za d i Jensen

•

•

35 8

Append i ce C

Se 9 ( x ) è una fun z i one concava l a (C 3 ) d i venta

(C 4 )

9

(� ) i =l

w l. x l. �

w l. 9 ( x l. )

�

i =l

Ne l cont i nuo, se p ( x ) ed h ( x ) sono fun z i on i m i sura b i l i ta l i c he

p ( x ) � O,

fb

p ( x )dx = 1

a ass ume l a forma

l a d i s u9ua 9 l i an za d i Jensen

a< h(x ) < �

(C 5 )

se 9( x ) è con vessa i n ( a , � ) , e

(C 6 )

9

[f

a

b

]f

h ( x ) p ( x )dx

se 9 ( x ) è concava i n ( a , � ) .

:2::

a

b

9 [ h ( x ) ] p ( x )dx

S i a no ora P e Q due d i str i bu z i on i , asso l utamente cont i nue r i s pet to a l l a m i s ura d i lebes gue , con funz i on i d i dens i tà p (.x ) e q ( x ):­ e s i a Q asso l utamente cont i nua r i s petto a P . Va l e l a d i s u 9 ua 9 l ia!!. za :

(C 7 )

!""

-oo

q ( x ) l o9c

:� : �

dx � O

con c >

1·

la (C 7 ) s i pub d i mostra re a pp l i cando l a (C 5 ) con h ( x )

e 9 ( z )- l o 9c z r i cordando c he

-!""

q ( x )dx

..

1.

•

:�: �

APPEND I C E

TAVO L E

O

NUMER I C H E

R i port i amo a l cune ta vo l e stat i st i che d i u s o comune r i mandando a l ­ l a b i b l i ograf i a ( ved i i n pa rt i co l a re Se l by ( 1 968 ) e Pea rson- Ha r ­ t l ey ( 1 966 ) ) pe r ta vo l e d i verse o p i ù estese . Le funz i on i tabu l � t e sono l e seguent i ( i nd i ch i amo fra pa rentes i i nume r i d i a l cun e se z i on i i n cu i s i possono trovare app l i ca z i on i ) . Tav . Tav . I l Tav . I l i Tav . l v Tav .

v

Pk de l l a B i nom i a l e ( 5 . 2 ) ( § 5 . 2 ) Pk de l l a Po i sson i a na ( 5 . 4 ) ( § 5 . 2 ) f( z ) de l l a Norma l e R i dotta ( 5 . 14 ) ( § 5 . 3 ) N ( z ) = F ( z ) de l l a Norma l e R i dotta ( 5 . 1 5 ) e ( 1 3 . 5 ) (§ 5.3 e § 13. 1 ) - Va l or i cr i t i c i x 2a, g de l l a x 2 def i n i t i da l l a ( 5 . 2 3 ) c i o è t a l i c he P j x 2 > x a2 , g j = a ( §5 . 3 )

-

- Va l or i c r i t i c i t a / 2 de l l a t d i Student def i n i t i da l l a ( 5 . 35 ) c i oè ta l i c he P j l t l > t a12 j = a ( § 5 . 3 e § 1 1 .9 ) Tav . V I I - Va l or i c r i t i c i Fa de l l a F d i Snedecor def i n i t i da l i a ( 5 . 40 ) ( dove g=g 1 ed m=s 2 ) c i oè ta l i c he P j F > Fa j = a . Ne l l a tav . V I I a a =0 . 05 e ne l l a V I I b a =0 . 0 1 ( § 5 . 3 e § 1 1 . 10 ) .

Tav . V I

360

n kp

1 o 1 2 o 1 2 3 o 1 2 3 4 o 1 2 3 4 5 o 1 2 3 4 5 6 o 1 2 3 4 5 6 7 o 1 2 3 4 5 6 7

TA VO L A

. 05

. 9500 . 0500 . 9025 . 0950 . 0025 . 8574 . 1 354 . 007 1 . 000 1 . 8 1 45 . 1715 . 0 1 35 . 0005

7738 . 20 36 . 0214 . 00 1 1 •

. 7 35 1 . 2321 . 0 305 . 00 2 1 . 0001

. 6983 . 25 7 3 . 0406 . 00 36 . 0002

l

. 10

. 9000 . 1000 . 8 100 . 1 800 . 0 100 . 7 290 . 2430 . 0 270 . 00 10 . 656 1 . 29 1 6 . 0486 . 00 36 . 000 1 . 5905 . 3 280 . 07 29 . 00 8 1 . 0004

. 5314 . 3543 . 0984 . 0 1 46 . 00 1 2 . 0001

. 47 8 3 . 37 20 . 1 240 . 0 230 . 00 26 . 0002

- Fun z i one d i proba b i l i tà . 15

. 8500 . 1 500 . 7 225 . 2550 . 0225 . 6 1 41 . 3 25 1 . 0574 . 00 34 . 5 220 . 3685 . 0975 .0115 . 0005 . 4437 39 1 5 . 1 38 2 . 0 244 00.22 . 000 1 . 37 7 1 . 3993 . 1 762 . 04 1 5 . 005 5 . 0004 •

•

. 3206 . 3960 . 2097 . 06 1 7 . 0 1 09 . 00 1 2 . 000 1

. 20

. 8000 . 2000 . 6400 . 3200 . 0400 . 5 1 20 . 3840 . 0960 . 0080 . 4096 . 4096 . 1 5 36 . 0 256 . 00 1 6 . 3 277 4096 . 2048 . 05 1 2 0064 . 0003 . 26 2 1 . 3932 . 2458 . 08 1 9 . 0 1 54 . 00 1 5 •

•

. 2097 . 3670 . 27 5 3 . 1 1 47 . 0287 . 0043 . 0004 . onn t

. 25

. 7 500 . 2500 . 5625 . 37 50 . 0625 . 42 1 9 . 42 1 9 . 1 406 . 0 1 56 . 3 1 64 . 42 1 9 . 2 109 . 0469 . 00 39 . 2 373 3955 . 2637 . 0879 . 0 146 . 00 1 0 . 1 780 3560 . 2966 . 1 318 . 0 3 30 . 0044 . 0002 . 1 3 35 . 3115 . 3115 . 1 7 30 . 0 577 .0115 . 00 1 3 . 0001 •

•

. 30

. 7000 . 3000 . 4900 . 4200 . 0900 . 3430 . 4410 . 1 890 . 0 270 . 240 1 . 41 16 . 2646 . 0756 . 00 8 1 . 1681 3602 . 3087 . 1 3 23 . 0 284 . 00 24 . 1 1 76 3025 . 3241 . 1 852 . 0595 . 0 10 2 . 0007 . 0824 . 247 1 . 3177 . 2269 . 0972 . 0250 . 00 36 . 0002 •

•

Pk

. 35

de l l a v . c . B i nom i a l e

. 6500 . 3500 . 4225 . 4550 . 1 225 . 2746 . 4436 . 2 389 .0429 . 1 785 . 3845 . 3 105 . 1115 . 0 1 50 . 1 1 60 . 3 1 24 . 3 364 . 1811 . 0488 . 00 5 3 . 0754 . 2437 3280 2355 . 095 1 . 0 205 . 00 1 8 . 0490 . 1 848 . 2985 . 2679 . 1442 . 0466 . 0084 . 0006 •

•

. 40

. 6000 . 4000 . 3600 . 4800 . 1600 . 2 1 60 . 4320 . 2880 . 0640 . 1 296 . 3456 . 3456 . 1 5 36 . 0256 . 07 7 8 . 2592 . 3456 . 2 304 . 0768 . 0 102 . 0467 . 1 866 3 1 10 2765 . 1 382 . 0 369 . 0041 . 0280 . 1 306 . 26 1 3 . 2903 . 1 935 . 0774 . 0 172 . 00 1 6 •

•

. 45

. 5 500 . 4500 3025 . 4950 . 2025 . 1664 . 4084 . 3 341 . 09 1 1 .0915 . 2995 . 3675 . 2005 . 0410 . 050 3 . 2059 . 3369 . 2757 . 1 1 28 . 0185 . 0 277 . 1 35 9 . 2780 . 3032 . 1 861 . 0609 . 0083 .0152 . 087 2 . 2 1 40 . 29 1 8 . 2388 . 1 172 . 0 320 . 0037 •

. 50

. 5000 . 5000 . 2500 . 5000 . 2500 . 1 250 . 37 50 . 37 50 . 1 250 . 0625 . 2500 . 3750 . 2500 . 0625 . 0312 . 1 562 3 1 25 . 3 1 25 . 1 562 .0312 . 0 1 56 . 0938 . 2344 . 3 1 25 . 2344 . 0938 . 0 1 56 . 0078 . 0547 . 1 641 . 27 34 . 27 34 . 1641 . 0547 . 0078 •

TAVO L A I l - Fun z i on i d i proba b i l i tà k

k

k

1 2 3 4 5 6 7

À

o

1 2 3 4 5 6 7 8 9

À

o

1 2 3 4 5 6 7 8 o

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

9

À

0.1

0.2

0.3

. 9048 . 0905 . 0045 . 0002

. 8 187 . 1637 . 0 164 . 00 1 1 . 000 1

. 7408 . 2222 .0333 . 00 3 3 . 0002

1.1

1.2

1.3

0.4

0.5

P

k

de l l a Po i sson i ana

0.6

. 6703 . 26 8 1 . 05 36 . 0072 . 0007 . 000 1

. 6065 . 30 3 3 . 075 8 . 0 1 26 . 00 1 6 . 0002

. 5488 . 3293 . 0988 . 0 1 98 . 00 30 . 0004

1.4

1.5

. 1653 . 2975 . 2678 . 1 607 . 0723 . 0260 . 00 7 8 . 0020 . 0005 . 000 1 6.0

. 1 496 . 2842 . 2700 . 1710 .0812 . 0 309 . 0098 . 0027 . 0006 . 000 1 6.5

. 22 3 1 . 3 347 . 25 10 . 1 255 . 047 1 . 0 141 . 0035 . 0008 . 000 1

. 20 1 9 . 32 30 . 2584 . 1 378 . 05 5 1 . 0 176 . 0047 . 00 1 1 . 0002

. 08 2 1 . 2.0 5 2 . 2565 . 2 1 38 . 1 336 . 0 668 . 0278 . 0099 . 00 3 1 . 0009 . 0002

. 0498 . 1 494 . 2240 . 2240 . 1680 . 1008 . 0504 .0216 . 00 8 1 . 0027 . 0008 . 0002 . 000 1

. 0 30 2 . 1057 . 1 850 . 2 1 58 . 1 888 . 1 322 . 07 7 1 . 0385 . 0 169 . 0066 . 00 2 3 . 0007 . 0002 . 000 1

.0183 . 07 3 3 . 1465 . 1954 . 1 954 . 1 563 . 1042 . 0595 . 0298 . 0 1 32 . 00 5 3 . 00 1 9 . 0006 . 000 2 . 000 1

.0111 . 0500 . 1 1 25 . 1 687 . 1 898 . 1 708 . 1 28 1 . 0824 . 046 3 . 0 232 . 0 104 . 0043 . 00 1 6 . 0006 . 0002 . 000 1

. 0067 . 0 3 37 . 0842 . 1 404 . 1755 . 1755 . 1 462 . 1044 . 06 5 3 . 0 363 .0181 . 0082 . 00 34 . 00 1 3 . 0005 . 0002

4.5

. 1 35 3 . 2707 . 2707 . 1 804 . 0902 . 0 36 1 . 0 1 20 . 00 34 . 0009 . 0002 7.0

. 1 827 . 3 106 . 2640 . 1496 . 06 36 . 02 1 6 . 00 6 1 . 00 1 5 . 0003 . 000 1 5.0 5.5

1.6

. 2466 . 3452 . 24 1 7 . 1 1 28 . 0 395 .01 1 1 . 0026 . 0005 . 000 1 4.0

1.0

. 4066 . 3659 . 1 647 . 0494 .0111 . 0020 . 0003

. 2725 . 3543 . 2 30 3 . 0998 . 0 324 . 0084 . 00 1 8 . 0003 . 000 1 3.5

0.9

. 449 3 . 3 595 . 1 438 . 0 383 . 0077 . 00 1 2 . 0002

. 30 1 2 . 36 14 . 2 169 . 0867 . 0260 . 0062 . 00 1 2 . 0002 3.0

0.8

. 4966 . 3476 . 1217 . 0284 . 0050 . 0007 . 0001

. 3 329 . 3662 . 20 1 4 . 07 3 8 . 020 3 . 0045 . 0008 . 000 1 2.5

0.7

1.7

. 0041 . 0 225 . 06 1 8 . 1 1 33 . 1 558 . 1714 . 1571 . 1 2 34 . 0849 .0519 . 0285 . 0 143 . 0065 . 0028 . 00 1 1 . 0004 . 000 1

1.8

. 00 2 '; . 0 1 49 . 0446 . 0892 . 1 3 39 . 1 606 . 1 606 . 1 377 . 1033 . 0688 . 041 3 . 0225 .0113 . 0052 . 0022 . 0009 . 0003 . 0001

36 1

. 3679 . 3679 . 1 839 . 06 1 3 .0153 . 00 3 1 . 0005 , 000 1 1 .9 2.0

. 00 1 5 . 0098 .0318 . 0688 . 1118 . 1 454 . 1 575 . 146 2 . 1 1 88 . 0858 . 0558 . 0 330 . 0 1 79 . 0089 . 0041 . 00 1 8 . 0007 . 0003 . 000 1

. 0009 . 0064 . 0223 . 0521 . 09 1 2 . 1 2 77 . 1 490 . 1490 . 1 304 . 10 1 4 . 07 1 0 . 045 2 . 0 264 . 0 142 . 007 1 . 00 3 3 . 00 1 4 . 0006 . 0002 . 000 1

362 z

o.o 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2. 1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

3 .9

. oo

. 3989 . 3970 . 39 1 0 . 38 1 4 . 36 8 3 . 35 2 1 3 3.3 2 . 3123 . 2897 . 2661 . 2420 . 2 179 . 1 942 . 1714 . 1497 . 1 295 . 1 109 . 0940 . 0790 . 0656 . 0540 . 0440 . 0355 . 0283 . 0224 .0175 . 0 1 36 . 0 104 . 0079 . 0060 . 0044 . 00 3 3 . 0024 . 00 1 7 . 00 1 2 . 0009 . 0006 . 0004 . 0003 . 0002 •

TA VO L A l l l - Funz i one d i dens i tà f ( z ) de l l a N ( 0 , 1 ) .01

. 3989 . 3965 . 3902 . 3802 . 3668 . 3503 3312 . 3101 . 2874 . 2637 . 2396 . 2155 . 1919 . 1 691 . 1476 . 1 276 . 1092 . 0925 . 0775 . 0644 . 05 29 . 0431 . 0 347 . 0277 .0219 .0171 . 0 1 32 . 0101 . 0077 . 0058 . 0043 . 0032 . 0023 . 00 1 7 . 00 1 2 . 0008 . 0006 . 0004 . 000 3 . 0002 •

. 02

. 3989 . 396 1 . 3894 . 3790 . 36 5 3 34 8 5 3292 . 3079 . 2850 . 26 1 3 . 23 7 1 . 2131 . 1 895 . 1 669 . 1456 . 1 257 . 1074 . 0909 . 0761 . 06 3 2 .0519 . 0422 . 0 339 . 0 270 . 021 3 . 0 167 . 0 1 29 . 0099 . 0075 . 0056 . 0042 . 00 3 1 . 0022 . 00 1 6 . 00 1 2 . 0008 . 0006 . 0004 . 0003 . 0002 •

•

.03

. 3988 . 3956 . 3885 . 3778 . 3637 3467 . 327 1 . 3056 . 2827 . 2589 . 2347 . 2 107 . 1 87 2 . 1 647 . 1435 . 1 238 . 1057 . 0893 . 0748 . 0620 . 0508 . 04 1 3 . 03 3 2 . 0264 . 0 208 .0163 . 0 1 26 . 0096 . 0073 . 0055 . 0040 . 00 30 . 0022 . 00 1 6 . 00 1 1 . 0008 . 0005 . 0004 . 0003 . 0002 •

. 04

. 3986 . 39 5 1 . 3876 . 3765 . 3621 . 3448 . 32 5 1 . 30 34 . 280 3 . 2565 . 2323 . 2083 . 1 849 . 1620 . 1415 . 1219 . 1040 . 0878 . 07 34 . 0608 . 0498 . 040 5 . 0 321 . 0258 . 020 3 .0158 . 0122 . 0093 . 00 7 1 . 005 1 . 00 39 . 00 29 . 00 2 1 . 00 1 5 . 00 1 1 . 0008 . 0005 . 0004 . 0003 �0002

.05

. 3984 . 3945 . 3867 . 37 5 2 . 3605 . 3429 . 32 30 . 30 1 1 . 2780 . 2541 . 2299 . 2059 . 1 826 . 1 604 . 1 394 . 1 200 . 10 2 3 . 0863 . 07 2 1 . 0596 . 0488 . 0 396 . 0317 . 0252 . 0 1 98 . 0 1 54 . 0 1 19 . 009 1 . 0069 . 00 5 1 . 0038 . 0028 . 0020 . 00 1 5 . 00 1 0 . 0007 . 0005 . 0004 . 0002 . 0002

. 06

. 3982 . 39 39 . 3857 . 37 39 . 3589 . 34 1 0 . 3209 . 2989 . 2756 . 25 1 6 . 2275 . 2036 . 1 804 . 1 582 . 1 374 . 1 182 . 1006 . 0848 . 0707 . 05 84 . 047 8 . 0 387 . 0 3 10 . 0 246 . 0 1 94 .0151 . 0 1 16 . 0088 . 0067 . 0050 . 0037 . 0027 . 0020 . 00 1 4 . 00 1 0 . 0007 . 0005 . 0003 . 0002 . 0002

. 07

. 3980 . 3932 . 3847 . 3725 . 3572 . 3391 . 3 1 87 . 2966 . 27 3 2 . 2492 . 2251 . 20 1 2 . 17 8 1 . 1 56 1 . 1 354 . 1 16 3 . 0989 . 0833 . 0694 . 05 7 3 . 0468 . 0 379 . 0 30 3 . 0241 . 0 1 89 . 0 147 .0113 . 0086 . 0065 . 0048 . 00 36 . 0026 . 00 1 9 . 00 1 4 . 00 1 0 . 0007 . 0005 . 000 3 . 0002 . 0020

. 08

. 3977 . 392 5 . 38 36 . 37 1 2 . 35 5 5 . 3 372 . 3 1 66 . 2943 . 2709 . 2468 . 2227 . 1 989 . 1758 . 1 5 39 . 1 3 34 . 1 145 . 0973 . 08 1 8 . 068 1 . 0562 . 0459 . 0 37 1 . 0297 . 0235 . 0 1 84 . 0 14 3 . 0 1 10 . 0084 . 006 3 : oo47 . 0035 . 0025 . 00 1 8 . 00 1 3 . 0009 . 0007 . 0005 . 000 3 . 0002 . 0001

. 09

. 39 7 3 . 39 18 .J825 . 3697 . 35 38 . 33 5 2 . 3 144 . 2920 . 2685 . 2444 . 2203 . 1 965 . 1 7 36 . 1518 . 1315 . 1 1 27 . 0957 . 0 804 .0669 .0551 . 0449 . 0 36 3 . 0290 . 0229 . 0 1 80 . 0 1 39 . 0 107 . 00 8 1 . 0061 . 0046 . 0034 . 0025 . 00 1 8 . 00 1 3 . 0009 . 0006 . 0004 . 000 3 . 0002 . 000 1

TA VO L A I V - Fun z i one d i r i pa rt i z i one N ( z ) de l l a N ( 0 , 1 ) . oo

o . o . 5000 z

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2. 1 2. 2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3. 3 3.4 3.6

. 5 398 . 5793 . 6179 . 6554 . 69 1 5 . 7257 . 75 80 . 788 1 . 8 1 59 . 841 3 . 8643 . 8849 . 9032 . 9 1 92 . 9332 . 9452 . 9554 . 9641 . 97 1 3 . 97 7 2 . 9821 . 986 1 . 9893 . 99 1 8 . 9938 . 99 5 3 . 9965 . 9974 . 998 1 . 9987 . 9990 . 999 3 . 9 9 95 . 9997 . 9998

.01 . 5040 . 5438 . 5 832 . 62 1 7 . 659 1 . 6950 . 7 29 1 . 76 1 1 . 79 10 . 8 1 86 . 8438 . 8665 . 8869 . 9049 . 9207 . 9345 . 946 3 . 9564 . 9649 . 97 1 9 . 97 7 8 . 9826 . 9864 . 9896 . 9920 . 9940 . 995 5 . 9966 . 9975 . 9982 . 9987 . 999 1 . 9993 . 9995 . 9997 . 9998

. 02 . 0 3 . 5080 . 5 1 20 . 5478 . 55 1 7 . 587 1 - 59 1 0 . 6255 . 629 3 . 6628 . 6664 . 6985 . 70 1 9 . 7 324 . 7 357 . 7642 . 7673 . 7939 . 7967 . 82 1 2 . 8238 . 846 1 . 8485 . 8686 . 8708 . 8888 . 8907 . 9066 . 9082 . 9222 . 9236 . 9357 . 9370 . 9474 . 9484 . 95 7 3 . 95 8 2 . 9656 . 9664 . 97 26 . 97 3 2 . 97 8 3 . 9788 . 98 30 . 98 34 . 9868 . 987 1 . 9898 . 990 1 . 9922 . 992 5 . 9941 . 9943 . 9956 . 9957 . 9967 . 9968 . 9976 . 9977 . 998 2 . 998 3 . 9987 . 9988 . 999 1 . 999 1 . 9994 . 9994 . 9995 . 9996 . 9997 . 9997 . 9999 . 9999

. 04 . 5 1 60 . 5557 . 5948 . 6331 . 6700 . 7054 . 7 389 . 7704 . 7995 . 8264 . 8508 . 87 29 . 8925 . 9099 . 92 5 1 . 9 382 . 9495 . 959 1 . 967 1 . 97 38 . 9793 . 9838 . 9875 . 9904 . 9927 . 9945 . 9959 . 9969 . 9977 . 9984 . 9988 . 9992 . 9994 . 9996 . 9997 . 9999

.05 . 5 1 99 . 5 596 . 5987 . 6 368 . 67 36 . 7088 . 7422 . 77 34 . 80 2 3 . 8289 . 85 3 1 . 8749 . 8944 . 91 1 5 . 9265 . 9 394 . 9505 . 9599 . 9678 . 9744 . 9798 . 9842 . 9878 . 9906 . 9929 . 9946 . 9960 . 9970 . 9978 . 9984 . 9989 . 9992 . 9994 . 9996 . 9997 . 9999

. 06 . 5 239 . 5636 . 60 26 . 640 6 . 67 7 2 . 7123 . 7454 . 7764 . 80 5 1 . 8315 . 8554 . 8770 . 8962 . 9131 . 9279 . 9406 . 95 1 5 . 9608 . 9686 . 9750 . 980 3 . 9846 . 988 1 . 9909 . 99 3 1 . 9948 . 9961 . 997 1 . 9979 . 998 5 . 9989 . 9992 . 9994 . 9996 . 9997 . 9999

. 07 . 5 279 . 5675 . 6064 . 6443 . 6808 . 7 1 57 . 7486 . 7 794 . 8078 . 8340 . 8577 . 8790 . 8980 . 9 147 . 9292 . 94 1 8 . 9525 . 96 1 6 . 9693 . 97 5 6 . 9808 . 9850 . 9884 . 99 1 1 . 9932 . 9949 . 9962 . 9972 . 9979 . 9985 . 9989 . 9992 . 9995 . 9996 . 9997 . 9999

. 08 - � 31 9 . 5714 . 6103 . 6480 . 6844 . 7 1 90 . 7517 . 7 823 . 8 106 . 8 365 . 8599 . 88 1 0 . 8997 . 9 162 . 9 306 . 9429 . 95 3 5 . 9625 . 9699 . 97 6 1 . 98 1 2 . 98 54 . 9887 . 99 1 3 . 9934 . 99 5 1 . 996 3 . 997 3 . 9980 . 9986 . 9990 . 999 3 . 9995 . 9996 . 9997 . 9999

363

. 09 . 5 359 . 5753 . 6 141 . 65 1 7 . 6879 . 7 224 . 7 549 . 7852 . 8133 . 8 389 . 86 2 1 . 88 30 . 90 1 5 . 9177 . 9319 . 944 1 . 9545 . 9633 . 9706 . 9767 . 98 1 7 . 9857 . 9890 . 99 1 6 . 9936 . 995 2 . 9964 . 9974 . 9981 . 9986 . 999 0 . 9993 . 9995 . 9997 . 9998 . 9999

364 9

a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 . 26 �7 �8 �9

po

2 TAVOLA V - Va l or i c r i t i c i X a, g de l l a

v.

c

•

X

2

0 . 995 0 . 99 0 . 975 0 . 95 0 . 90 0 . 10 0 . 05 0 . 025 0 . 0 1 0 . 005

0.01 0 . 07 0 . 21 0 . 4.1 0 . 68 0 . 99 1 . 34 1 . 74 2 . 16 2 . 60 3 . 07 3 . 57 4 . 08 4 . 60 5 . 14 5 . 70 6 . 27 6 . 84 7 . 43 8 . 03 8 . 64 9 . 26 9 . 89 10 . 5 2 1 1 . 16 11 .81 1 2 . 46 13. 12 1 3 . 79

0 . 02 0.12 0 . 30 0 . 55 0 . 87 1 . 24 1 . 65 2 . 09 2 . 56 3 . 05 3 . 57 4. 11 4 . 66 5 . 23 5.81 6.41 7 . 02 7 . 63 8 . 26 8 . 90 9 . 54 10 . 20 10 . 86 1 1 . 52 1 2 . 20 1 2 . 88 1 3 . 57 14 . 26 1 4 . 95

0 . 05 0 . 22 0 . 48 0 . 83 1 . 24 1 . 69 2. 18 2 . 70 3 . 25 3 . 82 4 . 40 5.01 5 . 63 6 . 26 6.91 7 . 56 8 . 23 8.91 9 . 59 10 . 28 10 . 98 1 1 . 69 1 2 . 40 13. 12 1 3 . 84 14 . 57 15. 31 1 6 . 05 16 . 7 9

0 . 10 0 . 35 0.71 1 . 15 1 . 63 2. 17 2.73 3 . 33 3 . 94 4 . 58 5 . 23 5 . 89 6 . 57 7 . 26 7 . 96 8 . 67 9 . 39 10 . 1 2 10 . 8 5 1 1 . 59 1 2 . 34 1 3 . 09 1 3 . 85 14 . 6 1 1 5 . 38 16. 15 16 . 93 17.71 1 8 . 49

0 .02 0 . 21 0 . 58 1 . 06 1 .61 2 . 20 2 . 83 3 . 49 4 . 17 4 . 87 5 . 58 6 . 30 7 . 04 7 . 79 8 . 55 9 . 31 10 . 09 10 . 87 1 1 . 65 1 2 . 44 1 3 . 24 14 . 04 14 . 8 5 1 5 . 66 1 6 . 47 1 7 . 29 18 . 1 1 18 . 94 19 . 77 20 . 60

2.71 4.61 6 . 25 7 . 78 9 . 24 10 . 65 1 2 . 02 1 3 . 36 1 4 . 68 1 5 . 99 1 7 . 28 18. 55 19.81 2 1 . 06 22 . 3 1 23 . 54 24 . 77 25 . 99 27 . 20 28 . 4 1 29 . 62 30 . 8 1 32 . 0 1 33 . 20 34. 38 35 . 56 36 . 74 37 . 9 2 39 . 09 40 . 26

3 . 84 5 . 99 7 . 82 9 . 49 1 1 . 07 1 2 . 59 14 . 07 15.51 16 . 92 18 . 31 1 9 . 68 21 . 0 3 2 2 . 36 2 3 . 69 25 . 00 26 . 30 27 . 59 28 . 87 30 . 14 31 . 41 32 . 67 33. 92 35 . 1 7 36 . 42 37 . 65 38 . 89 40 . 1 1 4 1 . 34 42 . 56 43. 77

5 . 02 7 . 38 9 . 35 1 1 . 14 12.83 1 4 . 45 16.01 1 7 . 54 19 . 02 20 . 48 21 . 92 23 . 34 24 . 74 26 . 1 2 27 . 49 28 . 8 5 30 . 1 9 31 . 53 32 . 85 34 . 1 7 35 . 48 36 . 78 38 . 08 39 . 36 40 . 65 41 . 92 4 3 . 19 44 . 46 4.S . 72 46 . 98

6 . 64 9 . 21 1 1 . 35 1 3 . 28 1 5 . 09 16 . 8 1 1 8 . 48 20 . 09 2 1 . 67 23 . 2 1 24 . 7 3 26 . 22 27 . 69 29 . 1 4 30 . 58 32 . 00 33 . 4 1 34 . 8 1 36 . 1 9 37 . 57 38 . 9 3 40 . 29 4 1 . 64 42 . 98 44 . 3 1 45 . 64 46 . 96 48 . 28 4:9 . 59 50 . 89

7 . 88 10 . 60 1 2 . 84 14 . 86 1 6 . 75 18 . 55 20 . 28 2 1 . 96 2 3 . 59 25 . 1 9 26 . 76 28 . 30 29 . 82 3 1 . 32 3 2 . 80 34 . 27 35 . 7 2 37 . 1 6 38 . 58 40 . 00 4 1 . 40 42 . 80 44 . 1 8 45 . 56 46 . 9 3 48 . 29 49 . 65 50 . 99 5 2 . 34 5 3 . 67

TAVO L A V I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2! 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60

9

""

a

-

Va l or i cr i t i c i t a/2 de l l a v . c . t d i Student

. 10

6 . 314 2 . 920 2 . 353 2 . 1 32 2.015 1 . 94 3 1 . 895 1 . 860 1 . 833 1 . 812 1 . 796 1 . 782 1 . 77 1 1 . 76 1 1 . 753 1 . 746 1 . 740 1 . 7 34 1 . 7 29 1 . 7 25 1 . 72 1 1 . 717 1 . 7 14 1.711 1 . 708 1 . 706 1 . 70 3 1 . 70 1 1 . 699 1 . 697 1 . 684 1 . 67 1 1 . 645

.05

12 . 706 4 . 30 3 3 . 182 2 . 776 2 . 57 1 2 . 447 2 . 365 2 . 306 2 . 262 2 . 228 2 . 20 1 2 . 179 2 . 160 2 . 145 2. 131 2 . 1 20 2 . 1 10 2 . 101 2 . 09 3 2 . 086 2 . 080 2 . 074 2 . 069 2 . 064 2 . 060 2 . 056 2 . 05 2 2 . 048 2 . 045 2 . 042 2 . 021 2 . 000 1 . 960

.02

3 1 . 82 1 6 . 965 4 . 541 3 . 747 3 . 365 3 . 143 2 . 998 2 . 896 2 . 82 1 2 . 764 2. 718 2 . 68 1 2 . 650 2 . 624 2 . 602 2 . 58 3 2 . 567 2 . 552 2 . 539 2 . 528 2. 518 2 . 508 2 . 500 2 . 492 2 . 48 5 2 . 479 2 . 47 3 2 . 467 2 . 462 2 . 457 2 . 42 3 2 . 390 2 . 326

.01

6 3 . 657 9 . 925 5 . 841 4 . 604 4 . 032 3 . 707 3 . 499 3 . 355 3 . 250 3 . 169 3 . 106 3 . 055 3.012 2 . 977 2 . 947 2 . 92 1 2 . 898 2 . 878 2 . 86 1 2 . 845 2 . 831 2. 819 2 . 807 2 . 7 97 2 . 787 2 . 779 2 . 77 1 2 . 763 2 . 7 56 2 . 7 50 2 . 704 2 . 660 2 . 576

. 00 1

6 36 . 6 1 9 3 1 . 598 1 2 . 941 8 . 610 6 . 859 5 . 959 5 . 40 5 5 . 041 4 . 78 1 4 . 587 4 . 437 4. 318 4 . 221 4 . 140 4 . 07 3 4.015 3 . 965 3 . 922 3 . 88 3 3 . 850 3 . 8 19 3 . 792 3 . 767 3 . 745 3 . 725 3 . 707 3 . 690 3 . 674 3 . 6 59 3 . 646 3 . 55 1 3 . 460 3 . 29 1

365

1

2

3

4

5

6

1 1 6 1 . 4 1 99 . 5 2 1 5 . 7 224 . 6 2 30 . 2 234 . 0 2 1 8 . 51 1 9 . 00 1 9 . 1 6 1 9 . 25 1 9 . 30 1 9 . 3 3 3 10 . 1 3 9 . 5 5 9 . 28 9 . 1 2 9 . 0 1 8 . 94 4 7 . 7 1 6 . 94 6 . 59 6 . 39 6 . 26 6 . 16 5 6 . 6 1 5 . 79 5 . 4 1 5 . 1 9 5 . 05 4 . 95 6 5 . 99 5 . 14 4 . 76 4 . 5 3 4 . 39 4 . 28 7 5 . 59 4 . 74 4 . 35 4 . 1 2 3 . 97 3 . 87 8 5 . 32 4 . 46 4 . 07 3 . 84 3 . 69 3 . 5 8 9 5 . 1 2 4 . 26 3 . 86 3 . 6 3 3 . 48 3 . 37 10 4 . 96 4 . 10 3 . 7 1 3 . 48 3 . 33 3 . 22 1 1 4 . 84 3 . 98 3 . 59 3 . 36 3 . 20 3 . 09 1 2 4 . 7 5 3 . 89 3 . 49 3 . 26 3 . 1 1 3 . 00 1 3 4 . 67 3 . 8 1 3 . 4 1 3 . 1 8 3 . 0 3 2 . 92 1 4 4 . 60 3 . 74 3 . 34 3 . 1 1 2 . 96 2 . 8 5 1 5 4 . 54 3 . 68 3 . 29 3 . 06 2 . 90 2 . 7 9 16 4 . 49 3 . 6 3 3 . 24 3 . 0 1 2 . 8 5 2 . 74 1 7 4 . 45 3 . 59 3 . 20 2 . 96 2 . 8 1 2 . 70 1 8 4 . 41 3 . 5 5 3 . 16 2 . 9 3 2 . 77 2 . 66 1 9 4 . 38 3 . 5 2 3 . 1 3 2 . 90 2 . 74 2 . 6 3 20 4 . 35 3 . 49 3 . 1 0 2 . 87 2 . 7 1 2 . 60 30 4 . 1 7 3 . 32 2 . 92 2 . 69 2 . 5 3 2 . 42 60 4 . 00 3 . 1 5 2 . 76 2 . 5 3 2 . 37 2 . 25 00 3 . 84 3 . 00 2 . 60 2 . 37 2 . 2 1 2 . 10

9 92 1 236 . 8 1 9 . 35 8 . 89 6 . 09 4 . 88 4. 21 3 . 79 3 . 50 3 . 29 3 . 14 3.01 2 . 91 2 . 83 2 . 76 2.71 2 . 66 2.61 2 . 58 2 . 54 2.51 2 . 33 2 . 17 2.01

7 238 . 9 1 9 . 37 8 . 85 6 . 04 4 . 82 4. 15 3 . 73 3 . 44 3 . 23 3 . 07 2 . 95 2 . 85 2 . 77 2 . 70 2 . 64 2 . 59 2 . 55 2.51 2 .48 2 . 45 2 . 27 2 . 10 1 . 94

8 240 . 5 1 9 . 38 8.81 6 . 00 4 . 77 4 . 10 3 . 68 3 . 39 3 . 18 3 . 02 2 . 90 2 . 80 2.71 2 . 65 2 . 59 2 . 54 2 . 49 2 .46 2 . 42 2 . 39 2 . 21 2 . 04 1 . 88

9 241 . 9 1 9 . 40 8 . 79 5 . 96 4 . 74 4 . 06 3 . 64 3 . 35 3 . 14 2 . 98 2 . 85 2 . 75 2 . 67 2 . 60 2 . 54 2 . 49 2 . 45 2 . 41 2 . 38 2 . 35 2. 16 1 . 99 1 . 83

10 . 248 . 0 19 . 45 8 . 66 5 . 80 4 . 56 3 . 87 3 . 44 3. 15 2 . 94 2 . 77 2 . 65 2 . 54 2 . 46 2 . 39 2 . 33 2 . 28 2 . 23 2. 19 2. 16 2. 12 1 . 93 1 . 75 1 . 57

20 250 . 1 1 9 . 46 8 . 62 5 . 75 4 . 50 3.81 3 . 38 3 . 08 2 . 86 2 . 70 2 . 57 2 . 47 2 . 38 2 . 31 2 . 25 2 . 19 2. 15 2. 11 2 . 07 2 . 04 1 . 84 1 . 65 1 . 46

30 252 . 2 1 9 . 48 8 . 57 5 . 69 4 . 43 3 . 74 3 . 30 3.01 2 . 79 2 . 62 2 . 49 2 . 38 2 . 30 2 . 22 2 . 16 2.11 2 . 06 2 . 02 1 . 98 1 . 95 1 . 74 1 . 53 1 . 32

60 254 . 3 1 9 . 50 8 . 53 5 . 63 4 . 36 3 . 67 3 . 23 2 . 93 2.71 2 . 54 2 . 40 2 . 30 2. 21 2. 13 2 . 07 2.01 1 . 96 1 . 92 1 . 88 1 . 84 1 . 62 1 . 39 1 . 00

00

.,

.< .n

a.

a.. CD

o 1.11

.,

.o

n

l't­

n .,

o .,

< a.

a.

<

,... >

�

.... >

w 01. 01.

l

00

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 60

92

91

405 2 . 98 . 50 34 . 1 2 2 1 . 20 16 . 26 1 3 . 75 1 2 . 25 1 1 . 26 10 . 56 10 . 04 9 . 65 9 . 33 9 . 07 8 . 86 8 . 68 8.53 8 . 40 8 . 29 8 . 18 8 . 10 7 . 56 7 . 08 6 . 63

l

5000 . 99 . 00 30 . 82 1 8 . 00 1 3 . 27 10 . 92 9 . 55 8 . 65 8 .02 7 . 56 7 . 21 6 . 93 6 . 70 6.51 6 . 36 6 . 23 6.11 6.01 5 .93 5 . 85 5 . 39 4 . 98 4.61

2

540 3 . 99 . 1 7 29 . 46 1 6 . 69 1 2 . 06 9 . 78 8 . 45 7 . 59 6 . 99 6 . 55 6 . 22 5 . 95 5 . 74 5 . 56 5 . 42 5 . 29 5 . 18 5 . 09 5 .01 4 . 94 4.51 4. 13 3 . 78

3 5625 . 99 . 25 28 . 7 1 1 5 . 98 1 1 . 39 9. 15 7 . 85 7 .01 6 . 42 5 . 99 5 . 67 5 . 41 5 . 21 5 . 04 4 . 89 4 . 77 4 . 67 4 . 58 4 . 50 4 . 43 4.02 3 . 65 3 . 32

4 5764 . 99 . 30 28 . 24 1 5 . 52 10 . 97 8 . 75 7 . 46 6 . 63 6 . 06 5 . 64 5 . 32 5 . 06 4 . 86 4 . 69 4 . 56 4 . 44 4 . 34 4 . 25 4. 17 4 . 10 3 . 70 3 . 34 3 . 02

5

5859 . 99 . 33 27 . 9 1 1 5 . 21 10 . 67 8 . 47 7 . 19 6 . 37 5 . 80 5 . 39 5 . 07 4 . 82 4 . 62 4 . 46 4 . 32 4 . 20 4 . 10 4.01 3 . 94 3 . 87 3 . 47 3. 12 2 . 80

6 7

5928 . 99 . 36 27 . 67 1 4 . 98 10 . 46 8 . 26 6 . 99 6 . 18 5 . 61 5 . 20 4 . 89 4 . 64 4 . 44 4 . 28 4. 14 4.03 3.93 3 . 84 3 . 77 3 . 70 3 . 30 2 . 95 2 . 64 .

598 2 . 99 . 37 27 . 49 1 4 . 80 10 . 29 8 . 10 6 . 84 6 .03 5 . 47 5 . 06 4 . 74 4 . 50 4 . 30 4. 14 4 . 00 3 . 89 3 . 79 3.71 3 . 63 3 . 56 3. 17 2 . 82 2.51

8 6022 . 99 . 39 27 . 35 1 4 . 66 10 . 1 6 7 . 98 6 . 72 5 . 91 5 . 35 4. 94 4 . 63 4 . 39 4. 19 4.03 3 . 89 3 . 78 3 . 68 3 . 60 3 . 52 3 . 46 3 . 07 2.72 2.41

9 6056 . 99 . 40 27 . 23 14. 55 10 . 05 7 . 87 6 . 62 5.81 5 . 26 4 . 85 4 . 54 4 . 30 4 . 10 3 . 94 3 . 80 3 . 69 3 . 59 3.51 3 . 43 3 . 37 2 . 98 2 . 63 2 . 32

lO 6209 . 99 . 45 26 . 69 14.02 9 . 55 7 . 40 6 . 16 5 . 36 4.81 4 . 41 4. 10 3 . 86 3 . 66 3.51 3 . 37 3 . 26 3 . 16 3 . 08 3 . 00 2 . 94 2 . 55 2 . 20 1 . 88

20 626 1 . 99 . 47 26 . 5 0 1 3 . 84 9 . 38 7 . 23 5 . 99 5 . 20 4 . 65 4 . 25 3 . 94 3 . 70 3.51 3 . 35 3 . 21 3 . 10 3 . 00 2 . 92 2 . 84 2 . 78 2 . 39 2.03 1 . 70

30 6313. 99 . 48 26 . 32 1 3 . 65 .9 . 20 7 . 06 5 . 82 5 .03 4 .48 4 . 08 3 . 78 3 . 54 3 . 34 3. 18 3 . 05 2 . 93 2. 83 2 . 75 2 . 67 2 . 61 2 . 21 1 . 84 1 . 47

60 6 366 . 99 . 50 26 . 1 3 1 3 . 46 9 .02 6 . 88 5 . 65 4 . 86 4. 31 3.91 3 . 60 3 , 36 3. 17 3 . 00 2 . 87 2 . 75 2 . 65 2 . 57 2 . 49 2 . 42 2.01 1 . 60 1 . 00 00

w O\ "-.l

"TT

-

.< .n

CII

Q. (D

o ...

"TT

.o

n

...

n .,

o .,

< CII

C"'

<

-t > < o r­ >

B I BL I O GRAF l A

AM I R-MO E Z A . R . and FASS A . l . " E i ements of L i near Spaces " , Pe rga­ mon Press , Oxford ( 1 962 ) AND ERSON T . W . "An l ntroduct i on to Mu l t i va r i ate Stat i st i ca ! Ana­ l y s i s " W i l ey , New York ( 1 960 ) AVONDO BOD I NO G. "Le z i on i d i Ca l co l o de l l e Pro ba b i l i tà " , Za n i c he-l l i , Bo l ogna ( 197 3 ) BARTL ETT M . S . "On the Theory of Stat i st i ca ! Re gress i on " Proc . R,2 ya l Soc . Ed i n burgh N . 5 3 p . 260 ( 1 9 3 3 ) B I RN BAUM Z . W . "Nume r i ca ! Ta bu l at i on of the D i str i but i on of Ko l m.2 gorov ' s Stat i s t i c for F i n i te Samp l e S i ze " J . Ame r . Sta­ t i s t . Ass . N . 47 p . 425 ( 1 952 ) BRAMB l L L A F . e C l FARELL l D . M . "Matemat i ca pe r sta t i st i c i ed eser, c i z i d i stat i s t i ca " Vo i . V de l "Trattato d i Stat i st i ca e R i ce rca Ope rat i va " UTET - Tor i no ( 1 970 ) CARVER H . C . "Fundamenta l s of the Theory of Samp l i ng " Ann . Math . Stat . 1 , p . 1 0 1 ( 1 9 30 ) C RAMER H . "Mathemat i ca l Methods i n Stat i s t i cs " Pr i nceton Un i v . Press , Pr i nceton ( 1 946 ) DABON I l . "Ca l co l o de l l e Pro ba b i l i tà ed e l ement i d i Stat i st i ca " UTET, Tor i no ( 1 970 ) D I XON W . J . " BMD - B i omed i ca ! Compute r Programs ", Un i v . of Ca l i ­ forn i a Pres s , Be rke l ey ( 1 9 7 1 ) DRAPER N . R . and SM I TH H . "App l i ed Re gress i on Ana l ys i s " W i l ey , New York ( 1 968 ) F E L L E R W . "On the Ko l mogorov - Sm i rnov L i m i t Theo rems fo r Emp i r! ca l D i s tr i but i ons " Ann . Math . Stat . N . 1 9 p . l 7 7 ( 1 948 ) F E L L E R W . "An l ntroduct i on to Pro ba b i l i ty Theory and l ts App l i cat i ons " Vo l . l e I l , W i l ey , New York ( 1 968 ) F I SH E R R . A . "Frequency D i str i but i on of the Va l ues of the Corre i � t i on Coeff i c i e nt i n Samp l e s from a n l nf i n i te l y La rge Popu l a t i on " B i ometr i ka N . 10 p . 507 ( 1 9 1 5 ) F I SH E R R . A . "On the Mathemat i ca l Foundat i ons of Theoret i ca l Sta­ t i s t i cs " Ph i l . Tra ns . Roya l Soc . London N . 2 2 p . 309 ( �2 1) F I SHER R . A . "Theory of Stat i s t i ca ! Est i mat i on " Proc . of the Cam­ br i dge Ph i l osoph i ca l Soc . , N . 2 2 p . 700 ( 1 925 ) F I SHER R . A . "Sta t i st i ca l Methods for Researc h Workers " 0 1 i ve r ard Boyd, Ed i n burgh ( 1 94 1 ) F I SH E R R . A . "Contr i but i ons to Mathemat i ca l St&t i st i cs "W i l ey , New York ( 1 950 ) F l SZ M . " Proba b i l i ty Theory and Mathemat i ca l Stat i s t i es " W i l e y , N e w York ( 1 96 3 ) GEARY R . C . "D i s tr i but i on of Student ' s Rat i o for Non-Norma l Sam­ p l es " Sup l l eme nt to J . R . S . S . N . 3 p . 1 7 8 ( 1 9 36 ) GN EDENKO B . V . and KOLMO GO RO V A . N . "Li m i t D i str i but i ons for Sums of l nde ndent Random Va r i a b l es " , Add i son - Wes l ey , Cam­ br i dge , Mass . ( 1 954 )

B i b l i ograf i a

369

GODW I N , H . J . "Ge ne ra i i sat i ons of Tc he byc heff ' s l nequa l i t y " J . Am . Stat . Ass . , 50 , 923 ( 1 955 ) HALMOS P . R . and SAVAGE L . J . "App l i cat i on of the Radon - N i kodym Theorem to t he Theory of Suff i c i ent Stat i st i es " Ann . Math . Stat . N . 20 , p . 225 ( 1 949 ) HARMAN H . H . "Mode rn Factor Ana l ys i s " Un i v . of C h i cago Pre ss , C hl cago ( 1 967 ) J A H N K E E . and EMDE F . "Ta b l es of Funct i ons w i th Formu l ae and Curves " Dove r Pu b i i cat i ons , New York ( 1 945 ) KAPLANSK Y , l . "A common e rror conce rn i ng Ku rtos i s " J . Am . Stat .Ass 40 , 259 ( 1943 ) KAWATA T . and SAK AMOTO H "On the C ha racte r i zat i on of the Nor­ ma ! Popu l at i on by the l nde pe nde nce of the Samp l e Mean and Samp l e Va r i ance " J . Math . Soc . Japan N . 1 , 1 1 1 ( 1949 ) K EMENY J . G . a nd SN E L L J . L . "F i n i te Markov C ha i ns " , Va n Nos tran4 Pr i nceton ( 1 960 ) KENDALL M . G . a nd STUART A . "The Adva nced Theory of Stat i s t i c s " Gr i ff i n , london, Vo l . l ( 1 969 ) , vo l . l l ( 1 9 7 3 ) , Vo l . 1 1 1 ( 1 968 ) K E N N E Y J . F . and K E E P I N G E . S . "Mathemat i cs of Stat i s t i cs " ( l e I l Vo l . ) Van Nostrand, Pr i nceton ( 1959 ) K H I NTC H I N A . "Sur l a lo i des Gra ndes Nombres " Comptes Rendus de I ' Academ i e des Sc i e nces , Pa r i s . N . 1 88 p . 47 7 ( 1929 ) KOLMO GO RO V A . N . "Gr u n d be gr i ffe de r Wa hrsche i n l i c hke i ts rec hnung" Spr i nge r , Be r l i n ( 1 9 3 3 ) KOSAM B I D . D . "The Geometr i ca ! Method i n Mathemat i ca l Stat i st i ca" Ame r . Math . Month l y , 5 1 pp . 382-389 ( 1944 ) L E HMANN E . L . "Test i ng Stat i s t i ca l Hy pot heses " W i l e y , New York , ( 1959 ) LO E VE M . " Proba b i l i ty Theory " Va n Nostrand, Ne w York ( 1955 ) MAL LOWS, C . L . " Gene ra i i sat i ons of Tc he byc heff ' s l nequa l i t i es " J . R . S . S . Se r i es B, 1 8 , 1 39 ( 1956 ) MOOD A . M . and GRAY B I L L F . A . " l ntroduct i on to the Theory of Sta ­ t i st i cs " Mc Graw- H i l l , New York ( 1963 ) MOR ETT I G . "Ana l i s i Matemat i ca " ( l e I l Vo l . ) Hoe p l i , M i l a no ( 1 960 ) N EYMAN J . "On the Prob l em of Conf i dence l nte rva l s " Ann . Math. Stat. N . 6 p . l l l ( 1935 ) N E YMAN J . "Out l i ne of a Theory of Sta t i st i ca l Est i ma t i o n B a s ed on t he C l as s i ca ! Theory of Proba b i l i ty " Ph i l . Trans . R.2. ya l Soc . london Se r i es A N . 236 p . 333 ( 1 9 37 ) N EYMAN J . and PEARSO N E . S . "On the Pro b l em of the Most Eff i c i ent Tests of Stat i st i ca l Hy potheses " Ph i l . Tra ns . Roya l Soc . london ( ser i es A ) N 2 3 1 p . 289 ( 1 9 3 3 ) N E YMAN J . and PEARSON E . S . "On the Use and l nte rpretat i on of ce� ta i n Test C r i te r i a for the Purposes of Stat i st i ca ! l n­ fe rence " B i ometr i ka , N . 20 A p . 1 7 5 e 263 OWEN D. B . "The B i va r i ate Norma l Proba b i l i ty I nte gra i ", Sand i a Cor porat i on , Was h i ngton D . C . ( 1957 ) PEARSON E . S . - HARTL EY H . O . "Bi ometr i ka Ta b l es for Stat i st i c i a n� Cambr i dge Un i v . Press . , london ( 1 966 ) • .

370

B i b l i ograf i a

PEA RSON K . "Ta b l es for Stat i s t i c i a ns and B i ometr i c i a ns " Part l e l l , Cambr i dge Un i ve rs i ty Press . Cambr i dge ( 1 930 e 1 9 3 1 ) PEARSON K . "Ta b l es of I nc omp l ete Beta F unct i on " London ( 1 9 34 ) RAL STON A . and W I L F H . S . "Mathemat i ca l Method for D i g i ta i Compu­ te rs " W i l ey , New York , vo l . l ( 1967 ) RAO C . R . " l nformat i on a nd Accuracy O bta i na b l e i n an Estimation of a Stat i s t i ca l Pa ramete r " Bu i l . Ca l cutta Math . Soc . N . 37 p. 81 ( 1945 ) R E N Y I A " Proba b i l i ty Theor y " North- Ho l l a nd Pu b i i s h i ng Co- London ( 1970 ) ROMANOWSK Y V . l . "On the Mome nts of Sta nda rd Dev i at i ons and Corr� l at i on Coeff i c i e nt i n Samp l es from Norma l Popo l at i ons " Metron N . 5 p . 3 ( 1925 ) RUD I N W . " Rea l and Comp l e x Ana l ys i s " Mc Graw H i l l - New York fi 966 ) SAATY T . L . "E i eme nts of Que ue i ng Theory " Mc Graw- H i i i , New Yor k ( 196 1 ) SC H E F F E ' H . "The Ana l ys i s of Va r i ance " W i l ey , New York ( 1 959 ) SE L BY S . M . "Sta nda rd Mathemat i ca l Ta b l es " C . R . C . , C l eve l and (196 8) TAK ACS L . " l ntroduct i on to the Theory of Queues " Oxford Un i ve rs-i ty Press , New Yo rk ( 1962 ) VO N M I SES R . "Mathemat i ca l Theory of Pro ba b i l i ty and Stat i st i cs " Academ i c Press , New York ( 1 964 ) WELC H B . L . "The S i gn i f i ca nce of the D i ffe rence between Two Means when the Popu l a t i o n Va r i a nces a re Une qua l " Bi ometr i k a N . 29 p . 350 ( 1938 ) WR I GHTO N R . F . "E i eme nta ry Pr i nc i p l es of Proba b i l i ty a n d l nforma­ t i on " Academ i c Press - London ( 1973 )

I ND I C E ANAL I T I CO

Ana l i s i de l l a var i a n za , 323 As i ntot i ca norma l i tà , 295 Autova l or i e autovettor i , 346 Baye s , teorema d i , 1 7 Be rnou l l i , teorema d i , 223 Beta , v . c . , 107 B i ena y mé-Tchebycheff, d i s uguag l i an za d i , 47 B i nom i a l e , 94 negat i va , 97

Camp i onamento esaust i vo , 248 Camp i one , 247 , casua l e , 247 Be rnou l l i ano , 248 Campo d i Bore l , 9 Catene omogenee d i Ma rkov, 230 Centr i d i ord i ne r, 27 C h i -quadrato , v . c . 106 test, 326 , 329 Coeff i c i ente d i corre l a z i one l i neare, 149 , 27 1 , 333 mu l t i p l a , 341 pa rz i a l e , 344 Coeff i c i e nte d i var i a z i one , 45 regress i one , 167 , 27 3 Comb i na z i one l i neare , v . c ., 2 1 3 Component i pr i nc i pa l i , 345 Conce ntra z i one , 41 a rea d i , 84 s pezzata d i , 82 Confronto fra var i a n ze , 3 1 8 fra med i e , 320 Cons i ste n za , 279 Cont i nge n za , 1 34 Converge n za i n l egge , 225 stocast i ca , 222, 224 Corrette zza , 279 Cova r i a n za , 145 , 3 3 3 C r i te r i un i formemente p i ù potent i , 309 C r i te r i d i stort i e non , 309 casua l i zzat i , 309 Cumu l a nt i , 6 3 , 2 1 8 , 248

37 1

De Mo i vre- La p l ace , teorema , 226 Dev i a n za , 324 Dev i a z i one med i a asso l uta , 42 standard, 39 D i ffe ren za med i a semp l i ce , 79 con r i pet i z i one , 79 D i penden za b i l a tera l e , 1 3 2, 1 7 5 un i l atera l e , 0 2 , 1 7 5 l i neare , 1 50 , 1 7 5 , 1 7 6 D i str i bu z i one cong i unta d i M e S 259, caso Norma l e , 26 5 D i str i bu z i one d i frequenze , 3 d i presenze , 2, 1 2 5 D i suguag l i a n za d i Cauchy- Schwa rz, 3 56 Jensen, 357 Eff i c i en za , 28 1 E l ast i c i tà , 1 1 7 Entrop i a , 87 Equa z i on i norma l i , 338 Ergod i co, teorema , 236 processo, 237 Errore di t • e 2 ° s pec i e , 302 Esponen z i a l e negat i va , 10 5 Evento casua l e , 1 0

F d i Snedecor, 1 1 2, 270 Formu l a d i St i r i i n g, 35 1 Freque n ze ma rg i na i i , 1 26 v i nco l ate , 1 29 Funz i on i Beta e Gamma , 3 5 3 , 3 5 1 ca ratte r i st i ca , 5 9 , 1 90 ope rat i va , 30 2 cumu l at i va d i frequen za , 3 d i dens i tà d i frequen ze , 4 , 6 d i proba b i l i tà , 24 d i freque n za , 6 d i pote n za , 30 2 d i regress i one t • t i po , 1 5 7 , 1 84 2 ° t i po , 1 6 5 , 337 ge neratr i ce , 57, 188

Gamma o Er l angh i a na , v . c . , 104

37 2

I nd i ce a na l i t i co

Geometr i ca , 96 Gruppo d i tra ns i z i one , 233 f i na l e , 233

l nd i pe nde n za , corre l at i va , 1 4 8 , 1 7 5 i n med i a , 160, 174 regress i va , 164, 174 stocas t i ca , 1 30 , 174, 1 82 I ntens i tà , 82 l nte rva l l i di conf i den za d i p , 299 de l l a med i a , 297 , 198 de l l a va r i a n za , 299 d i una frequen za , 298 l pergeometr i ca , 99 I potes i s tat i st i c he , 30 1 pa rametr i c he e non , 30 1 semp l i c i e compos te , 30 1 d i nu l l i tà e a l ternat i ve , 30 1

K h i ntch i n , l egge d i , 225 Ko l mogo rov - Sm i rnov, test KS, 328

legge emp i r i ca de l caso, 219 lemma fondamenta l e , 305 l i nde berg, cond i z i one d i , 226 l i ve l l o d i s i gn i f i cat i v i tà , 302 logonorma l e , 1 1 6 lya punov , cond i z i one d i , 226 Ma rkov, equa z i one d i , 235 Matr i ce stocast i ca , 2 3 1 de l l e cova r i a n ze , 340 de i coeff i c i e nt i d i corre l a z i one, 3 34 Med i a ar i tmet i ca , 27 a rmon i ca , 36 geometr i ca , 36 quadrat i ca , 37 Med i a camp i onar i a , 247 moment i , 25 1 v . c . espone n z i a l e , 264 v . c . Norma l e , 26 3 Med i a na , 29 camp i onar i a , 27 5

Med i e d i poten ze , 6 5 v i nco l ate , cond i z i onate , 1 57 Moda , 32 Moment i asso l ut i , 55 centra l i , 5 2 sem p l i c i , 5 1 dopp i , 1 8 3 metodo de i , 29 1 Momento camp i onar i o v . c . , 255 Norma l e o Ga uss i a na , 101 r i dotta , 102 b i va r i ata, 1 9 1 Numer i casua l i un i form i , 227

Pa rametr i , 278 Pa ret i ana , 1 1 5 Posson i a na , 95 Popo l a z i one stat i st i ca , 247 Pote n za de l cr i te r i o , 302 Proba b i l i tà , def . c l ass i ca , 8 a pos te r i or i , 8 soggett i va , 9 ass i omat i ca , 1 1 asso l uta , 1 7 composta , 16 cond i z i onata , 14 tota l e , 12 Process i stocast i c i , 229 Markov i a n i , 230 c l ass i f i ca z i on i , 229 omogene i , 230 Processo nasc i te-mo rt i , 238 a tass i costant i , 242 Processo d i Po i sson , 240 d i Yu l e , 242

Cuant i l i , 35 Cua rt i l i , 35

Ra nge , 43 Rapporto d i concentra z i one , 80 d i corre l a z i one Pearson, 1 6 1 tota l e d i corre l a z i one, 164 Rea l i zza z i one , 229 Regress i one , retta d i , 166

coeff i c i ent i d i , 167 fun z i on i d i : ved i funz i on i teor i a de l l a , 1 57 , 337 mu l t i p l a , 337 Reg i one c r i t i ca , 30 1 non d i s torta , 3 1 1 p i ù potente , 3 1 1 som i g l i a nte , 3 1 4 Reg i one d i accetta z i one , 30 1 R i pa rt i z i one, 22, 1 80

Sca rto quadrat i co med i o , 39 Sc hema B i nom i a l e Negat i vo , 220 d i Be rnou l l i , 21 8 Sem i cont i ngen za med i a , 1 38 Skewness , 7 2 Spa z i o camp i onar i o , 30 1 Standard i zza z i one , 45 St i ma puntua l e , 278 per i nterva l l i , 278 St i matore , 27 8 re go l a re , 282 Struttu ra l atente , 3 36 Suff i c i e n za , 288 , 289

t d i Student, 1 1 0 , 268 Teorema Centra l e L i m i te , 225 Trasforma z i on i d i va r i a b i l e , 199 Un i forme cont i nua o rettango l a­ re , 109 d i sc reta , 93

Va r i a b i l e casua l e , 2 1 a d u e d i mens i on i , 179 a k d i mens i on i , 3 3 3 Va r i a b i l i casua l i cont i nue , 24, 1 0 1 , 1 80 d i sc rete , 22, 9 3 , 1 80 d i ffe renza , 207 , 2 1 3 prodotto , 207 quo z i e nte , 207 somma , 206 , 2 1 3 , 2 1 6 , 2 1 7 Va r i a n za , 38 res i dua , 159, 341 s p i egata , 1 5 9 , 341

I nd i ce ana l i t i co

37 3

Va r i an za camp i ona r i a , 247 mome nt i , 256 caso Norma l e , 264 corretta , 248 Ve r i f i ca d i i potes i su l l a med i a , 315 su l l a var i a n za , 3 1 8 Veros i m i g l i an za , funz i one d i , 287 mass i ma , 293 ra pporto d i , 3 1 3 , 322

Helpful Links

Smile Life

When life gives you a hundred reasons to cry, show life that you have a thousand reasons to smile

Get in touch

© Copyright 2015 - 2024 AZPDF.TIPS - All rights reserved.