Mathematische Aufgaben und Lösungen automatisch generieren

Andreas Helfrich-Schkarbanenko Kevin Rapedius Vita Rutka Aron Sommer

Mathematische Aufgaben und Lösungen automatisch generieren Effizientes Lehren und Lernen mit MATLAB

Mathematische Aufgaben und Lösungen ­automatisch generieren

Andreas Helfrich-Schkarbanenko · Kevin ­Rapedius Vita Rutka · Aron Sommer

Mathematische Aufgaben und Lösungen automatisch generieren Effizientes Lehren und Lernen mit MATLAB

Andreas Helfrich-Schkarbanenko Fakultät Grundlagen Mathematisches Institut Hochschule Esslingen Esslingen, Deutschland Kevin Rapedius MINT-Kolleg Baden-Württemberg Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Karlsruhe, Deutschland

Vita Rutka MINT-Kolleg Baden-Württemberg Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Karlsruhe, Deutschland Aron Sommer Institut für Informationsverarbeitung Leibniz Universität Hannover Hannover, Deutschland

ISBN 978-3-662-57777-6 ISBN 978-3-662-57778-3  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-57778-3 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Verantwortlich im Verlag: Annika Denkert Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany

Vorwort

„Ach“, sagte Aschenputtel und seufzte dabei: „Dafür brauche ich bis Mitternacht.“ „Sollen wir dir helfen, die Linsen zu lesen? “ „Ja, gern, liebe Täubchen!“ Aus dem Märchen „Aschenputtel“ (1812), Brüder Grimm, deutsche Sprachwissenschaftler

Märchen schreibt die Zeit, immer wieder wahr. Aus dem Disney-Musical „Die Schöne und das Biest“, Songtext von Alan Menken

Die Entstehung von MATEX Angetrieben von der Idee, im universitären Arbeitsalltag zeitliche Freiräume zu schaffen, begannen die Autoren Anfang 2016 regelmäßig wiederkehrende Arbeitsabläufe zu automatisieren. Sie hatten es auf das Erstellen von Übungsblättern inklusive Lösungsvorschlägen und Abbildungen zu typischen Rechenaufgaben der Ingenieurmathematik abgesehen. Sehr schnell zeigte sich, dass man hierzu auf die gebräuchlichen, zur Verfügung stehenden Software-Pakete MATLAB und LATEX zurückgreifen konnte. Insbesondere erwies sich die Symbolic Math Toolbox von MATLAB bei der schrittweisen algebraisch-analytischen Lösung nichttrivialer Aufgaben als sehr nützliches Hilfsmittel. Symbolisches Rechnen ist nichts Neues. Schon vor 30 Jahren war das Rechnen mit symbolischen Variablen beispielsweise mit dem Computeralgebrasystem Maple möglich. Auch lassen sich seit vielen Jahren die in einem MATLAB- oder Maple-Worksheet erzeugten symbolischen Rechnungen mithilfe der eingebauten Exportfunktionen auf einfache Weise in LATEX-Code überführen. Neu ist jedoch die Idee, Funktionalitäten von MATLAB, der Symbolic Math Toolbox und von LATEX zu kombinieren, um eine Vielzahl von unterschiedlichen Übungsaufgaben und deren Lösungsvorschläge automatisch in Form eines PDFs erstellen zu lassen. Damit konnte ein großer Teil der bisher manuell durchgeführten Editierarbeit an einen SoftwareRoboter delegiert werden. Aus der Umsetzung dieser Idee durch das Autorenteam entstand v

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Vorwort

die Software MATEX – ein „Duett“ aus MATLAB und LATEX, das als ein neuartiges digitales Medium für effizientere Lehre und Lernen angesehen werden kann.

Für wen ist MATEX gedacht? Wir empfehlen Ihnen nachdrücklich die Lektüre dieses Buches, wenn Sie • als Dozent(in), Lehrer(in) oder Wissenschaftler(in) im Fach Mathematik häufig mit umfangreichen Editierarbeiten im Textsatzsystem LATEX beschäftigt sind und dadurch viel Zeit verlieren, die Sie eigentlich für die Vorbereitung Ihres Unterrichts reserviert hatten, oder lediglich Ihren Feierabend endlich mal wieder pünktlich einläuten wollen, ohne eine Menge Arbeit auf Ihrem Schreibtisch liegen zu lassen, • als Studierende(r) oder besonders interessierte(r) Schüler(in) zur Vorbereitung auf Mathematik-Prüfungen bzw. zum vertiefenden Lernen mathematischer Themen weiteres Aufgaben-, Lösungs- oder Anschauungsmaterial benötigen, • generell an der Automatisierung von Prozessen im Umfeld der Erstellung mathematischer Lehrmaterialien für die ersten Studiensemester interessiert sind, • als Verantwortliche(r) einer E-Learning-Plattform auf der Suche nach Inspiration und einem Fahrplan mit dem Ziel individuell gestalteter mathematischer Aufgaben sind. Sämtliche Inhalte dieses Buches richten sich geschlechtsunabhängig an alle Menschen, die sich für Themen aus den Bereichen Mathematik, Lehre und Digitalisierung interessieren. Dass wir uns im weiteren Verlauf auf die Verwendung männlicher Sprachformen beschränken, geschieht allein aus Gründen der einfacheren Lesbarkeit.

Was kann MATEX leisten? MATEX ist ein Open-Source-Software-Projekt und kann den Arbeitsablauf vom Schreiben einer (standardisierten) Aufgabenstellung, über die Erstellung einer schrittweise algebraisch-analytischen Lösung des Problems bis hin zum Generieren einer gedruckten Musterlösung mit erläuternden Grafiken vollständig automatisieren. Zum Beispiel haben Aufgaben zum Thema Kurvendiskussion häufig die gleiche Struktur, bestehend aus Ableitungen bilden, Extremwerte bestimmen und Kurve zeichnen. Lediglich die zu analysierende Funktion ändert sich mit jeder Aufgabe. Möchte man mehrere Beispielaufgaben bereitstellen, steigt der Editieraufwand. Dieser Prozess wird von MATEX automatisiert, sodass beispielsweise Ableitungen und Extrempunkte automatisch von der Symbolic Math Toolbox bestimmt werden und die Aufgabenstellung mit Lösungsweg automatisch in LATEXCode und damit in ein PDF überführt werden. Damit lässt sich innerhalb von wenigen Sekunden eine neue Aufgabe erstellen, wofür man zuvor mehrere Stunden brauchte. Mit Unterstützung von MATEX entwerfen Sie 100 Aufgaben mit Lösungen in einer halben Stunde, insbesondere frei von Tipp- und Rechenfehlern.

Vorwort

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Nach einer Registrierung und Anmeldung unter

www.matex-online.de können Sie MATEX über eine Webschnittstelle sofort verwenden und haben das Vergnügen, sich zwischen vorgefertigten Beispielaufgaben, welche in diesem Buch vorgestellt werden, zufällig generierten Aufgaben oder eigens entworfenen Aufgaben zu entscheiden. Allerdings steckt MATEX noch in den Kinderschuhen. Im Rahmen einer Kooperationsvereinbarung zwischen dem Karlsruher Institut für Technologie, der Universität Stuttgart und der Hochschule Esslingen arbeitet das Autorenteam intensiv daran, MATEX im Themenumfang schrittweise auszubauen, Variationsmöglichkeiten flexibler bzw. intelligenter zu gestalten und die Bedienung intuitiver zu machen. Wir würden uns sehr freuen, wenn Sie Erfahrung mit Mathematik auf Knopfdruck sammeln und das Buch sowie die Software MATEX weiterempfehlen. Für Kritik, Kommentare und Anmerkungen sind wir jederzeit dankbar. Esslingen, Karlsruhe, Hannover, März 2018

Andreas Helfrich-Schkarbanenko Kevin Rapedius Vita Rutka Aron Sommer

Für Swetlana, Elina-Marie und Annalena. Für Ruth, Gaby und Günther.

Danksagung

Dieses Werk entstand einerseits durch einen regen Austausch innerhalb eines kleinen Dozententeams im MINT-Kolleg am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) sowie andererseits durch tatkräftige Unterstützung externer Fachkolleg(inn)en und auch durch Mitwirkung weiterer Personen, die mit Lehrtätigkeiten (nicht nur im Fach Mathematik) vertraut sind. Diesen Menschen, die uns in zahlreichen Gesprächen und im schriftlichen Austausch Anregungen und konstruktive Kritik mit auf den Weg gegeben haben, möchten wir unseren Dank aussprechen. Im Einzelnen sind dies: Frau Dr. Claudia Goll, Leiterin des MINT-Kollegs Baden-Württemberg, für Ihre Unterstützung bei der Realisierung des MATEX-Projekts; Herr Dr. Tobias Bentz, stellvertretender Leiter des MINT-Kollegs am KIT, für die Schaffung förderlicher Rahmenbedingungen sowie die Entwicklung einer Webschnittstelle für MATEX aus Eigeninitiative(!) und die Bereitstellung der zugehörigen Infrastruktur; Frau Andrea Nitsche, Koordinatorin des MINT-Kollegs Baden-Württemberg, für die Abwicklung der vertraglichen Angelegenheiten seitens des MINT-Kollegs sowie für das Projektmanagement in Zusammenarbeit mit Prof. Dr. Andreas Helfrich-Schkarbanenko – dem Initiator der Software MATEX. Der Hochschule Esslingen, der Fakultät Grundlagen, insbesondere dem Dekan Prof. Dr. Martin Stämpfle, danken wir ausdrücklich für die Begrüßung sowie Förderung der MATEXIdee. An der Entwicklung des Software-Moduls für Kapitel 11.5 wirkte Dipl.-Inf. Achim Eichhorn maßgeblich mit. Ohne seine intellektuelle und technische Unterstützung wäre dies nicht möglich. Wir danken unserem Kollegen Herrn Dr. Timo Essig, Dozent im MINT-Kolleg am Karlsruher Institut für Technologie, für genaues Korrekturlesen und das Einbringen Leseverständnis-förderlicher und fachlicher Aspekte sowie Frau Dipl.-Inf. und Studienrätin Anke Mäkiö für Korrekturlesen und Anregungen aus der Perspektive einer Fachfrau im ix

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Danksagung

gymnasialen Schuldienst. Herrn Dr. Daniel Haase, unserem Kollegen am MINT-Kolleg des Karlsruher Instituts für Technologie, danken wir für seine tatkräftige Unterstützung im IT-Bereich. Unserem Kollegen Herrn Dipl.-Math. Rainer Koß gilt unser besonderer Dank für Anregungen, Diskussionen und Hilfe bei der Literaturrecherche insbesondere bezüglich des Potenzials von MATEX für die Lehre an Schule und Hochschule. Aus dem Meilenstein der Mathematik-Lehrbücher Mathematik [Arens et al. 2015] verwendeten wir für dieses Werk über 50 Aufgaben und bedanken uns für die freundliche Genehmigung bei den Autoren PD Dr. Tilo Arens, PD Dr. Frank Hettlich, PD Dr. Christian Karpfinger, Dr. Ulrich Kockelkorn, Dr. Klaus Lichtenegger und Dr. Dr. h.c. Hellmuth Stachel. Unser ganz besonderer Dank geht an Frau Dr. Annika Denkert, Springer Spektrum-Verlag, die uns jederzeit als kompetente Ansprechpartnerin für konzeptionelle und inhaltliche Fragen zur Verfügung stand und das MATEX-Buchprojekt vorbildlich betreut hat, sowie an Frau Dr. Meike Barth, Springer Spektrum-Verlag, die uns als kompetente Ansprechpartnerin in allen technischen und formalen Fragen während der gesamten Phase der Manuskripterstellung zur Verfügung stand. Beim Karlsruher Institut für Technologie bedanken wir uns für die Bereitstellung der Total Academic Head Count (TAH)-Lizenz der MathWorks-Software MATLAB. Die Bereitstellung der MATEX-Dienste über eine Webschnittstelle bedurfte einer Abstimmung mit dem US-Unternehmen MathWorks. Für die freundliche Genehmigung bedanken wir uns sehr. Die kostenlose Bereitstellung des Button-Icons verdanken wir Layerace – www.freepik.com. Dankend erwähnen möchten wir überdies, dass das MINT-Kolleg Baden-Württemberg sowohl durch das Ministerium für Wissenschaft, Forschung und Kunst Baden-Württemberg (MWK) im Rahmen des Programms Studienmodelle individueller Geschwindigkeit als auch vom Bundesministeriums für Bildung und Forschung (BMBF) im Rahmen des BundLänder-Programms Bessere Studienbedingungen und mehr Qualität in der Lehre (Qualitätspakt Lehre) als Verbundprojekt mit der Universität Stuttgart (Förderkennzeichen: 01PL11018A bzw. 01PL16018A) gefördert wird. Für das Mitfiebern und die erbrachte Geduld bedanken wir uns bei unseren Familien im engeren und weiteren Sinne.

Inhaltsverzeichnis

Teil I Das Zeitproblem, eine Lösungsstrategie und die Realisierung 1

Motivation und Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Wind of Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Leistungsspektrum und Zielgruppen von MATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Prozessautomatisierung durch Software-Roboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Bemerkungen zum Buch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 4 5 7 9

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Komponenten und Schnittstellen von MATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Motivation und Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 MATLAB auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Symbolic Math Toolbox auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 LATEX auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Aufgabengeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Benutzerschnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 12 14 16 17 18 25

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MATEX trifft auf digitale Lehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Viel Stoff – wenig Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 MATEX und aufgabenorientiertes Lernen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 E-Learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Empfehlungen für den Einsatz von MATEX in der Lehre . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Erste Lehrerfahrungen mit MATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 29 33 37 42 44

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Handgriffe und Programmieraufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Grundbausteine eines Aufgabengenerators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Aufgabengenerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Hauptprogramm und Features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 MATEX-Hilfsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 46 60 64 65 70 xi

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Inhaltsverzeichnis

Teil II MATEX-Generatoren zu verschiedenen Themen der Höheren Mathematik 5

Einführung und Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Gleichungen, Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 74 79 82 91

6

Analysis einer reellen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Reihen, Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Differentialrechnung, Taylor-Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Partielle Integration mit Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Integration mittels Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 94 98 106 114 126 131 135 139 147 156

7

Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Das Orthonormalisierungsverfahren von Gram und Schmidt . . . . . . . . . . . . 7.3 Darstellungsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Kern und Bild einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Determinantenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157 158 166 174 180 186 191 202

8

Analysis mehrerer reeller Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Taylor-Polynom im 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Satz über implizit definierte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Kurvenintegrale erster Art, Kurvenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Kurvenintegrale zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Konservative Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203 204 217 225 232 239 247 255

9

Höhere Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Laplace-Transformation und Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Fourier-Transformation und Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Optimierung unter Nebenbedingungen – Lagrange’sche Multiplikatorenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257 258 268 279 288 299

Inhaltsverzeichnis

10 Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Kontinuierliche Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Zweidimensionale Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Qualitätsregelkarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xiii

301 302 315 323 332 344 353

Teil III Ideenbox 11 Multimedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 PDF-Annotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 PDF-Animationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Audiodateien im PDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Videodateien im PDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Dateiformat Universal 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Generieren von Abbildungen mittels PGF/TikZ oder PSTricks . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

357 358 358 362 363 363 365 366

12 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Generatoren für weitere Themen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Generatoren für Übungsblätter und Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Anbindung an eine E-Learning-Plattform (ILIAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Englisch und weitere Sprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Alternative Entwicklungsumgebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 MATEX lernt das Sprechen und Kommunizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Entwicklung eines MATEX-Chatbots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8 Kognitive Fähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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13 QR-Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

Teil I

Das Zeitproblem, eine Lösungsstrategie und die Realisierung

Gebraucht die Zeit, sie geht so schnell von hinnen, Doch MATEX lehrt euch Zeit gewinnen. J. W. von Goethe, „Faust I“, Paraphrase

Wer Zeit gewinnt, gewinnt Leben. Ein Sprichwort aus Ungarn

Zeit ist des Menschen kostbarstes Gut. Sie ist nicht käuflich, lässt sich weder speichern noch vermehren. Sie verrinnt kontinuierlich und unwiderruflich. Viele Zeitgenossen streben danach, in der ihnen zugeteilten Zeit mehr zu erledigen, mehr zu erfahren, mehr zu erleben. Dieses Streben mündet in eine Beschleunigung unserer Gesellschaft, die bereits im 17. Jahrhundert beobachtet und seither von Kulturphilosophen debattiert wird. Diese Beschleunigung ist insbesondere auch auf die Weiterentwicklung der Medien sowie auf die Digitalisierung unserer Lebenswelt zurückzuführen. Medien können unter anderem folgende Sehnsüchte des menschlichen Umgangs mit Zeit befriedigen [Schweiger 2007]: • Zeit einsparen (Aufgaben mittels geeigneter Medien schneller erledigen), • Zeit erfüllen (Zeitspannen überbrücken), • Zeit verdichten (effizientere Zeitnutzung; möglichst viele Tätigkeiten gleichzeitig erledigen). Dieses Buch und die darin eingeführte Software MATEX – eines der neuen Medien – fokussieren den in der Arbeitswelt so wichtigen Begriff des Zeitsparens. In Teil I des Buches stellen wir eine Idee vor, wie Sie bei der Erstellung von Lehr- und Lernmaterialien für Mathematikvorlesungen viel Zeit einsparen können. Wenn Sie an der unmittelbaren Anwendung der MATeX-Software interessiert sind, können Sie direkt zu Teil II übergehen, um MATEX sofort auf interaktive Weise zu erleben und sich ein Bild von dessen Leistungsfähigkeit zu machen. Falls sich Ihnen Fragen zur Realisierung aufdrängen, so gehen Sie einfach zurück zu Teil I, wo Sie die Antworten finden. Nach einer Motivation des Vorhabens in Kapitel 1 werden der Lösungsansatz sowie die Grundkomponenten der technischen Umsetzung in Kapitel 2 beleuchtet und ihre Benutzerschnittstelle aufgezeigt. Die Einsatzmöglichkeiten im Spannungsfeld von Digitalisierung und Lehre werden in Kapitel 3 thematisiert. Kapitel 4 gewährt dem Leser einen Blick hinter die Kulissen: Hier können exemplarisch anhand von Programmieraufgaben die grundlegenden, zur Entwicklung von Aufgabengeneratoren erforderlichen MATEX-Handgriffe erlernt werden.

Kapitel 1

Motivation und Einführung

Niemand ist nutzlos in dieser Welt, der einem anderen die Bürde leichter macht. Charles Dickens (1812 − 1870), englischer Schriftsteller

Zusammenfassung Wir eröffnen das Buch mit einem Anwendungsszenario. So erhalten Sie einen Vorgeschmack auf das, was unter „Mathematik auf Knopfdruck“ verstanden werden kann. Anschließend erfahren Sie im Abschnitt 1.2 die Zielgruppen sowie das Leistungsspektrum von MATEX und wie Sie damit Zeit einsparen können. Am Ende dieses Kapitels wird im Abschnitt 1.3 MATEX im Kontext aktueller Entwicklungen im Bereich der robotergesteuerten Prozessautomatisierung thematisiert. Abschließend geben wir zur Orientierung einen Überblick über die Struktur dieses Werks im Abschnitt 1.4 und unterstreichen dabei die Rolle der MATEX-Webschnittstelle, der externen Links bzw. der praktischen QR-Codes.

1.1 Wind of Change Es ist Freitag. Cindy – eine Übungsleiterin der Höheren Mathematik für Studierende der Elektrotechnik – macht sich gerade in ihrem Büro an die Aufgabe, ein Übungsblatt für nächste Woche vorzubereiten. Aufmerksam studiert sie die aktuellen Vorlesungsinhalte, sammelt Stichworte, schreibt Lernziele auf und fängt erste Ideen für die Aufgabenstellungen ein. In der Institutsaufgabendatenbank findet sie einige passende Aufgaben, die jedoch das Übungsblatt nicht komplett ausfüllen. Sie entscheidet sich, einige Aufgaben selbst zu konzipieren und die Lösungen (eventuell mit Abbildungen) zu erstellen. Anschließend muss die Unterlage in ein für Hochschulen übliches LATEX-Textsatzsystem überführt werden. Pro Aufgabe benötigt Cindy dafür normalerweise 1–2 Stunden. Sie hat bereits eine konkrete Vorstellung von einer Potenzreihe, die von den Studierenden auf ihren Konvergenzbereich untersucht werden soll. Anstatt jedoch zu Papier und Stift zu greifen, wendet sie sich ihrem

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018 A. Helfrich-Schkarbanenko et al., Mathematische Aufgaben und Lösungen automatisch generieren, https://doi.org/10.1007/978-3-662-57778-3_1

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1 Motivation und Einführung

Laptop zu. Bereits nach zwei Minuten ist sie nicht nur mit der von ihr ursprünglich erdachten Aufgabe fertig, sondern auch mit zwei weiteren Variationen dieser Aufgabe, und stellt diese bereits in einem PDF-Reader einander gegenüber. In ihrem Browser ist das Logo der Software MATEX erkennbar. Cindy entscheidet sich für die dritte Variante der Aufgabe. Ihr Blick streift über die Tafel an der Wand mit der Aufschrift: „Digital Transformation – Wind of Change“, als sie sich dem Drucker nähert. So oder so ähnlich kann die Anwendung von MATEX im Arbeitsalltag aussehen. In der obigen, bereits mehrmals erprobten Situation kann man eine Beschleunigung von Arbeitsprozessen um einen Faktor von bis zu ca. 100 oder mehr erfahren. Diese ausschlaggebende und im Entwicklungsteam empirisch belegte Charakteristik der in diesem Werk einzuführenden Software MATEX halten wir betont fest: MATEX beschleunigt bestimmte Prozesse um bis zu zwei Größenordnungen. Ein Übungsbetrieb an einer Hochschule ist jedoch nur eines der möglichen Szenarien. Dass von MATEX nicht nur Lehrende, sondern u. a. auch Lernende profitieren und auf welche Weise sie dies tun können, soll folgend zunächst kurz (und später in Kapitel 3 ausführlicher) erläutert werden.

1.2 Leistungsspektrum und Zielgruppen von MATEX In vielen mathematischen Themengebieten können Sie bestimmte zeitintensive und anspruchsvolle Prozesse über eine Webschnittstelle (siehe Abschnitt 2.6) an einen Rechner delegieren und dadurch diese extrem verkürzen. Dank der Webschnittstelle und mobiler Endgeräte ist dies jederzeit und fast überall möglich. Konkret kann MATEX folgende Tätigkeiten in automatisierter und ferngesteuerter Weise für Sie erledigen: • das Lösen standardisierter Aufgaben zu 33 Themen der Höheren Mathematik für Studierende des ersten bis dritten Semesters. • das Generieren von konkreten oder zufälligen Aufgabenstellungen und ausführlichen Lösungswegen. Bei manchen Themen, wo es didaktisch sinnvoll ist, werden Grafiken in den Formaten JPG oder PNG (Portable Network Graphics) miterzeugt. • das Digitalisieren und Bereitstellen der angesprochenen Dokumente mittels LATEX und das Erstellen der zugehörigen PDF-Datei. Für die verschiedenen Nutzerkreise sollen hier die Wesensmerkmale von MATEX hervorgehoben werden: • Mathematik-Lehrenden steht mit MATEX ein neuer, effizienter Weg zur Erstellung von Lehrunterlagen (aktuell sind dies Aufgabenblätter mit Lösungsvorschlägen) zur Verfügung. Aufgrund seiner Geschwindigkeit und dank der Webschnittstelle lässt sich MATEX in die Lehrveranstaltungen, beispielsweise wie in Kapitel 3.4 vorgeschlagen,

1.3 Prozessautomatisierung durch Software-Roboter

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einbinden. Durch die Automatisierung oben genannter Arbeitsschritte können Lehrende MATEX ferner zum kostengünstigen und zügigen Aufbau von Aufgabendatenbanken einsetzen. • Mathematik-Lernende erhalten die Möglichkeit, sich mit MATEX (individuelle, an die Leistung des Lernenden angepasste) Aufgabenstellungen und Lösungen zu Standardthemen der Höheren Mathematik generieren zu lassen, siehe Teil II des vorliegenden Werkes. Aufgrund der Fülle von Themen und Aufgaben lässt sich dieses Buch auch ohne die Software MATEX zum Üben und Einprägen von Inhalten verwenden. • Leserinnen und Leser mit Programmiererfahrung finden einen Weg, die bestehenden Open Source-Quelltexte der verschiedenen Aufgabengeneratoren an ihre persönlichen Bedürfnisse anzupassen. Eine detaillierte Anleitung an einem Beispiel stellt Kapitel 4 dar. Als Anwender benötigen Sie dazu lediglich ein Endgerät (PC, Tablet, Smartphone) mit einem Internetzugang sowie einem Webbrowser, um MATEX über eine Webschnittstelle anzusprechen. Komfortabel gestaltet sich die Bedienung von MATEX unter Zuhilfenahme eines QR-Code-Scanners [Jäger 2016]. Wenn Sie tiefer einsteigen wollen, indem Sie die zur Verfügung gestellten Möglichkeiten der Software modifizieren oder neue entwickeln möchten, dann benötigen Sie zusätzlich eine MATLAB- sowie eine LATEX-Software auf Ihrem PC. Oben ist der für dieses Werk essenzieller Begriff der Automatisierung gefallen. Wir möchten hier MATEX im Lichte der Prozessautomatisierung betrachten und auf einige spannende aktuelle Entwicklungen auf diesem Gebiet hinweisen.

1.3 Prozessautomatisierung durch Software-Roboter „The automation of knowledge work will be this decade’s engine of growth“ – so wirbt das Institute for Robotic Process Automation1 für seine Dienstleistungen. Robotic Process Automation (RPA) ist ein recht junger Ableger der klassischen Prozessautomatisierung, der auf dem Begriff des Software-Roboters basiert und die bestehenden Initiativen zur Automatisierung von Prozessen signifikant erweitert. Als Software-Roboter bezeichnet man dabei Software-Anwendungen, die Routinehandlungen eines Menschen bei der Interaktion mit einem Computer nachahmen. Ein solcher Roboter agiert auf der Benutzerschnittstelle in ähnlicher Weise, wie ein Mensch es tun würde. Im Unterschied zu einem Menschen erledigt der Software-Roboter seine Aufgaben jedoch innerhalb einer virtuellen Umgebung und nicht am Bildschirm. Somit ist eine Programmierschnittstelle (Application Programming Interface, kurz API2 ) beim Einsatz von Software-Robotern überflüssig. Daraus resultiert für den Anwender der entscheidende Vorteil, nicht mehr über Programmierfähigkeiten verfügen zu müssen. Aufgrund aktueller Entwicklungen werden Software-Roboter 1

https://irpaai.com/ API (englisch: Application Programming Interface) ist eine Schnittstelle zur Anwendungsprogrammierung. Es ist ein Programmteil, der von einem Software-System anderen Programmen zur Anbindung an das System zur Verfügung gestellt wird. 2

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1 Motivation und Einführung

in Fachkreisen sogar schon als ein „Paradigma der Automatisierung“ bewertet. Im Zusammenhang mit der Verwendung von Software-Robotern sollte man konsequenterweise von einer „Maschine zu Maschine“-Interaktion sprechen [Boswarthick 2012]. MATEX empfängt Arbeitsaufträge, steuert Prozessabläufe, erteilt Befehle an die Symbolic Math Toolbox, fordert MATLAB dazu auf, Abbildungen sowie LATEX-Dateien zu generieren, konvertiert LATEX-Dateien in PDF-Dokumente und führt Betriebssystembefehle aus. Es bündelt mehrere Dateien und stellt diese dem Auftraggeber über die Webschnittstelle zum Download bereit. Folgend gilt die Charakteristik: MATEX ist ein Software-Roboter. Dass mittlerweile extrem leistungsstarke Software-Roboter existieren, zeigt folgendes Beispiel. Das von IBM im Rahmen des DeepQA-Forschungsprojekts entwickelte kognitive System IBM Watson ist mehr als ein Software-Roboter. Es liefert Antworten auf Fragen, die in natürlicher Sprache gestellt werden. Zur Demonstration seiner Leistungsfähigkeit konkurrierte IMB-Watson im Jahr 2011 in mehreren Folgen einer Quizsendung mit zwei, auf Quizfragen spezialisierten menschlichen Gegnern. Das System gewann das Spiel mit deutlichem Vorsprung vor seinen menschlichen Konkurrenten. Dieser „Mensch gegen Maschine“-Wettkampf hatte einen vergleichbaren Stellenwert wie das im Jahr 1997 ausgetragene Schachduell des IBM-Schachcomputers Deep Blue (einem Vorgänger von IBM Watson) gegen den damaligen Weltmeister Garri Kasparow. Die Maschine gewann damals nur knapp. Heute ist IBM Watson in der Lage, selbstständig Informationen und Muster aus extrem umfangreichen Datenmengen zu generieren und daraus verwertbare Schlussfolgerungen zu ziehen. Durch diese „Befähigung“ nähert sich das IBM WatsonSoftware-System den kognitiven Möglichkeiten des Menschen an und birgt damit enormes Potenzial für zukünftige Anwendungen in Wirtschaft und Gesellschaft [IBM 2017]. Die Zukunft der robotergesteuerten Prozessautomatisierung ist aktuell nur sehr schwer vorhersagbar. Mögliche richtungsweisende Entwicklungen könnten im Bereich des Dienstleistungssektors liegen. Dort könnten etwa Reichweite, Ausgestaltung und Qualität von Dienstleistungen gesteigert und die Leistungen als solche individualisiert werden. Der Einsatz von Software-Robotern wird einen erheblichen gesellschaftlichen Einfluss haben, denn umfangreiche, in hohem Maße repetitive, ermüdende und somit fehleranfällige Tätigkeiten könnten von solchen Robotern übernommen werden. Dies könnte in Abhängigkeit des jeweiligen Tätigkeitsfeldes zu einer maßgeblichen Reduktion des täglichen Arbeitsvolumens führen. Akademische Studien prognostizieren, dass Robotic Process Automation sowie andere technische Trends eine neue Welle der Produktivität bzw. eine signifikante Steigerung der Effizienz (in betrieblichen Arbeitsabläufen) auslösen könnten. Laut Deloitte könnten zum Jahr 2035 bis zu 35 % aller Jobs in Großbrittanien automatisiert werden, wobei auch neue Stellen im Bereich der Implementierung und Verwaltung von RPA-Tools entstehen würden, [Deloitte 2015]. Darüber hinaus könnte sich RPA zu einer ernst zu nehmenden Alternative zum Outsourcing entwickeln. Abschließend sei eine Aussage [Willcocks et al. 2015] angefügt, welche die Wirkung von Robotic Process Automation auf den Punkt bringt: Wir begegnen einer Technologie,

1.4 Bemerkungen zum Buch

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die in der Lage ist, „to take the robot out of the human“. In diesem Sinne sehen wir MATEX als ein positives Beispiel eines Software-Roboters, der den Menschen nicht ersetzt, sondern ihn unterstützt, indem er ihm lästige Routinetätigkeiten abnimmt und ihm so mehr Freiraum für die interessanten und kreativen Aspekte der Lehre verschafft.

1.4 Bemerkungen zum Buch Das vorliegende Buch ist vielfältig einsetzbar: Es weist eine mathematische, didaktische sowie programmiertechnische Dimension auf, siehe Abschnitt 1.2. Die Hauptmotivation für dieses Werk ist die Vorstellung einer eigens entwickelten neuartigen Software MATEX für effizienteres Lehren und Lernen von Hochschulmathematik sowie ihrer Einsatzmöglichkeiten. Die kostenlose Nutzung von MATEX über eine Webschnittstelle bedarf einer Registrierung auf der MATEX-Website www.matex-online.de. Wir unterstreichen: MATEX adressiert effizienteres Lehren und Lernen. 33 Themen der Höheren Mathematik, die in sechs Kapiteln im Teil II gebündelt sind, werden kurz eingeführt und an über 140 Aufgaben mit Lösungen beleuchtet. Die Nummerierung der Aufgaben stimmt mit der Nummerierung der zugehörigen Abbildungen überein. Innerhalb eines Abschnitts sind die Aufgaben so gewählt bzw. konstruiert, dass ihr Schwierigkeitsgrad zunimmt und ein möglichst vollständiges Bild des Leistungsspektrums der Software entsteht. Zu jedem Thema werden die vom Autorenteam in MATLAB entwickelten sogenannten Aufgabengeneratoren vorgestellt. Dabei handelt es sich um Hauptelemente von MATEX, die in der Lage sind, zu einem konkreten mathematischen Thema ausgehend von einigen Eingaben eine Standardaufgabe zu formulieren, diese Aufgabe zu lösen und den Lösungsweg in LATEX-Format zu dokumentieren. Sämtliche mathematische Aufgabenstellungen sowie Lösungswege in diesem Werk stammen aus der Feder von MATEX. Bei der Auswahl von Themen aus dem Bereich der Höheren Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler orientierten wir uns am umfassenden und innovativen Lehrbuch Mathematik [Arens et al. 2015, Arens et al. 2016], aus dem wir ca. 50 Aufgaben übernommen und die Software an konkreten Aufgabenstellungen aus dem universitären Bereich, wie im Teil II dokumentiert, erfolgreich getestet haben. Dasselbe Lehrbuch können Sie in Verbindung mit dem vorliegenden Werk verwenden, um die 33 Themen gründlicher zu erkunden. Wie sich MATEX in das Spannungsfeld zwischen Lehre und digitale Medien einordnen lässt, wird in Kapitel 3 thematisiert. Insbesondere gehen wir dabei auf die wichtige Funktion der Aufgaben – die einen Stützpunkt für MATEX darstellen – im Mathematikunterricht ein. In diesem Buch machen wir großen Gebrauch von der Möglichkeit, Inhalte nicht nur buchintern zu verlinken, sondern auch externe Links einzubinden. Beachtenswert ist, dass dieses Buch fast 300 Links auf die extra entwickelte Schnittstelle zu MATEX aufweist. Dank der ca. 130 QR-Codes stellt dieses Werk als PDF aber auch in gedruckter Form

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1 Motivation und Einführung

selbst eine Schnittstelle zur mathematischen Software dar. Denn zu jedem der 33 Fachthemen werden drei QR-Codes bereitgestellt (Genaueres findet man im Abschnitt 2.6), über die man durch Anklicken oder Einscannen mit einer geeigneten App einen Auftrag zur Erstellung einer konkreten oder einer zufälligen Aufgabe erteilen kann. Lassen Sie sich durch Mehrfachklicks oder Mehrfachscans eines der mittleren QR-Codes in den Abschnitten von Teil II mehrere Varianten zum selben Thema generieren und überzeugen Sie sich davon, dass auf einer Fläche von ca. 4 cm2 prinzipiell unendlich viele Aufgaben untergebracht werden können. Über einen weiteren QR-Code kann man den MATLAB-Quelltext des entsprechenden Aufgabengenerators einsehen. Zusätzlich lässt sich jede der aufgeführten Aufgaben auf Knopfdruck (siehe das folgende Symbol)

dank der Webschnittstelle erneut aufstellen und lösen. Dabei werden sowohl die LATEXUnterlagen als auch die Abbildungen für den individuellen Einsatz des Lesers zur Verfügung gestellt. Im Schlusskapitel 13 ist eine Übersichtstabelle für alle im Buch behandelten Fachthemen samt QR-Codes für Zufallsaufgaben für einen eventuellen Einsatz im Unterricht vorbereitet. Die QR-Codes stellen somit ein Bindeglied zwischen diesem Buch, der Software-Schnittstelle und den Software-Quelltexten dar. Für interessierte Leser wird in Kapitel 4 in Form von Programmieraufgaben mit Lösungsvorschlägen die softwaretechnische Umsetzung eines konkreten Aufgabengenerators aufgezeigt.

Literaturverzeichnis

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Literaturverzeichnis Arens et al. 2015. Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, C., Kockelkorn, U., Lichtenegger, K., Stachel, H.: Mathematik, 3. Auflage, Springer Spektrum, 2015 Arens et al. 2016. Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, C., Kockelkorn, U., Lichtenegger, K., Stachel, H.: Arbeitsbuch Mathematik, 3. Auflage, Springer Spektrum, 2016 Boswarthick 2012. Boswarthick, D., Elloumi, O., Hersent, O.: M2M Communications – A Systems Approach, Wiley 2012 Deloitte 2015. Deloitte LLP: From brawn to brains – The impact of technology on jobs in the UK, 2015, https://www2.deloitte.com/content/dam/Deloitte/uk/Documents/Growth/ deloitte-uk-insights-from-brawns-to-brain.pdf (Abrufdatum: 26.03.2018) IBM 2017. IBM: http://www-05.ibm.com/de/watson/ (Abrufdatum: 11.09.2017) Jäger 2016. Jäger, L.: QR-Codes in der Hochschullehre, Books On Demand, 2016. Schweiger 2007. W. Schweiger: Theorien der Mediennutzung: Eine Einführung, Springer (2007) Schweizer 2013. Schweizer, W.: MATLAB kompakt, 5. Auflage, Oldenbourg Verlag (2013) Willcocks et al. 2015. Willcocks, L. P., Lacity, M. C.: Nine likely scenarios arising from the growing use of robots, September 2015, http://blogs.lse.ac.uk/businessreview/2015/09/29/ nine-likely-scenarios-arising-from-the-growing-use-of-robots/ (Abrufdatum: 01.03.2017)

Kapitel 2

Komponenten und Schnittstellen von MATEX

Die Gefahr, dass der Computer so wird wie der Mensch, ist nicht so groß, wie die Gefahr, dass der Mensch wird wie der Computer. Konrad Zuse (1910 − 1995), deutscher Ingenieur und Erfinder

Zusammenfassung In diesem Kapitel werden die grundlegende Struktur des SoftwareRoboters MATEX sowie die Arbeiten, die er Ihnen abnehmen kann, beschrieben. Unter anderem werden in den Kapiteln 2.2 – 2.4 die Grundpfeiler MATLAB, Symbolic Math Toolbox und LATEX, auf denen MATEX aufbaut, jeweils mit ihrer elementaren Funktionalität und ihrer Historie kurz vorgestellt. Nach der Einführung des zentralen Begriffs des Aufgabengenerators in Kapitel 2.5 werden abschließend in Kapitel 2.6 die Webschnittstelle und die Interaktionsmöglichkeiten mit MATEX eingehend beleuchtet sowie auf die Creative-Common-Lizenz für MATEX hingewiesen.

2.1 Motivation und Überblick Bislang gab es noch keinen benutzerfreundlichen Weg, um mittels MATLAB erzeugte Rechenergebnisse, Abbildungen, Texte und sonstige Daten gemäß individuellen Formatierungswünschen des Anwenders direkt in LATEX-Dateien einzubinden. MATLAB verfügt zwar über eine sogenannte „publish“-Funktion, mit der sich rasch eine Dokumentation des Quelltextes mit Ausgaben sowie Kommentaren und LATEX-Elementen erstellen lässt, für die Erstellung von mathematischen Aufgaben mit zugehörigen Lösungswegen ist diese jedoch weder gedacht noch besonders geeignet. Mit der in diesem Buch vorgestellten Software MATEX steht dem Benutzer hingegen ein leistungsfähiges Werkzeug zur Verfügung, das speziell auf diese Aufgabe zugeschnitten ist. Aufgrund der breit gefächerten Anwendungsmöglichkeiten von MATLAB und LATEX bietet es sich geradezu an, die Stärken beider Werkzeuge zum Zwecke der automatisierten © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018 A. Helfrich-Schkarbanenko et al., Mathematische Aufgaben und Lösungen automatisch generieren, https://doi.org/10.1007/978-3-662-57778-3_2

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2 Komponenten und Schnittstellen von MATEX

Erstellung mathematischer oder auch technischer Dokumente zu vereinen. Wie eine solche Symbiose aussehen und funktionieren kann, wird in [Talole et al. 2003] am Beispiel eines dynamischen elektrotechnischen Systems vorgestellt. Angetrieben von der Vision, routinemäßige Arbeitsabläufe zu automatisieren, wurde innerhalb eines Teams, bestehend aus Mitarbeitern des MINT-Kollegs des Karlsruher Instituts für Technologie, der Hochschule Esslingen sowie Dipl. Math.-techn. Aron Sommer, die Software MATEX entwickelt. Sie umfasst drei Kernkomponenten: die seit mehreren Jahrzehnten etablierte mathematische Software MATLAB, die dazugehörige Symbolic Math Toolbox zum formal-symbolischen Rechnen und das Textsatzsystem LATEX. Die Software wurde auf den Namen MATEX getauft, um der technischen Verschmelzung von MATLAB und LATEX auch sprachlich Ausdruck zu verleihen. MATEX wurde vollständig innerhalb von MATLAB entwickelt und wird dort aktuell auch weiterentwickelt. Nachfolgend sollen die Kernkomponenten der Entwicklungsumgebung von MATEX vorgestellt werden, siehe auch Abb. 2.1.

Abb. 2.1: MATEX und seine Entwicklungsumgebung

2.2 MATLAB auf einen Blick MATLAB ist eine proprietäre Programmiersprache des US-amerikanischen Herstellers MathWorks. Ihr Name entstand durch Verschmelzen der Worte MATrix und LABoratory. Sie ist eine Programmiersprache der vierten Generation, die nicht kompiliert, sondern interpretiert wird. MATLAB stellt dem Anwender neben einer inhärenten Programmiersprache eine grafische Desktop-Umgebung zur Verfügung, in der verschiedene Elemente wie Programmcode, Variablen oder Grafikplots auf einen Blick sichtbar sind und sich viele typische Ar-

2.2 MATLAB auf einen Blick

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beitsschritte sowohl durch Mausinteraktion als auch durch Tastaturkürzel ausführen lassen, siehe Abb. 2.2.

Abb. 2.2: Grafische Benutzeroberfläche von MATLAB R2017b

Eine Befehlszeile wie etwa cos(sqrt(2))+pi

kann wahlweise mittels der Tastatur im Command Window, siehe den unteren Abschnitt im GUI-Screenshot, eingegeben oder mittels eines Skriptes ausgeführt werden. Details zur Programmierung findet man z. B. in Kapitel 4. Für einen Einstieg in dieses Tool verweisen wir auf die umfangreiche Literatur, etwa [Schweizer 2013]. Die aktuelle MATEX-Version, welche unter der in Kapitel 2.6 vorgestellten Website www.matex-online.de läuft, wurde bereits mittels MATLAB-Version R2017b entwickelt. Bei direkter Verwendung der Quelltexte unter älteren MATLAB-Versionen kann es vereinzelt zu Problemen kommen. MATLAB verfügt standardmäßig über eine äußerst umfangreiche Bibliothek mathematischer, grafischer und weiterer nützlicher Anwendungs- und Systemfunktionen, die thematisch in über 60 sogenannten Toolboxen gebündelt sind. Da MATLAB ursprünglich nur für numerisches Rechnen ausgelegt war, wurden mit der Symbolic Math Toolbox, einem Rechenkern zur symbolischen Manipulation von Ausdrücken, die Rechenfähigkeiten

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2 Komponenten und Schnittstellen von MATEX

deutlich erweitert und der Einsatz in der Lehre noch vielfältiger und spannender. Daher stellt die Symbolic Math Toolbox eine weitere wichtige Komponente von MATEX dar.

2.3 Symbolic Math Toolbox auf einen Blick Computeralgebra Computeralgebrasysteme (abgekürzt: CAS) sind Software-Systeme zur formalen Manipulation algebraischer und auch analytischer Ausdrücke. Insbesondere kann man innerhalb eines CAS mit symbolischen Ausdrücken (wie etwa Variablen, Funktionen, Polynomen oder Matrizen) wie beim händischen Rechnen operieren. Symbolische Formelmanipulationen, wie z. B. das Auflösen einer Gleichung nach einer Variable, sind möglich. Weitere Vorteile der symbolischen Mathematik sind √ die formale Exaktheit (in dem Sinne, dass Lösungen exakt sind, was bedeutet, dass 2 tatsächlich √ als 2 und nicht als 1.414213562373095 behandelt wird) sowie die universelle Weiterverwendbarkeit von Ergebnissen. Mögliche Nachteile, die durch symbolisches Rechnen auftreten können, liegen in der Darstellung umfangreicher (Zwischen-)Ergebnisse oder Rückgabewerte, die keine formelmäßig geschlossenen Ausdrücke darstellen.

Entwicklungsgeschichte kurz und knapp Mathematische Anforderungen aus dem Bereich der Theoretischen Physik sowie Forschungen zur Künstlichen Intelligenz stießen in den 1960er Jahren die Entwicklung der ersten Computeralgebrasysteme an. Pionierarbeit in diesem Bereich leistete der spätere Nobelpreis-Laureat in Physik Martinus J. G. Veltman, der im Jahr 1963 die MathematikSoftware Schoonschip für symbolisches Rechnen kreierte. Konkret ging es um Berechnungen von Feynman-Diagrammen in der Elementarteilchenphysik. Fast ein Viertel Jahrhundert später platzierte Hewlett-Packard im Jahr 1987 den ersten CAS-Taschenrechner auf dem Markt. Heute sind Maple und Mathematica die wohl populärsten kommerziellen Computeralgebrasysteme, die von Mathematikern, Ingenieuren, Forschern und sonstigen Anwendern weltweit eingesetzt werden. Eine umfangreiche Liste von Computeralgebrasystemen sowie ihre Gegenüberstellung findet man z. B. unter https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_ computer_algebra_systems. In dieser Liste ist auch das Computeralgebrasystem namens MuPAD enthalten, dessen Entwicklung im Jahr 1990 an der Universität Paderborn mit einem Forschungsprojekt zur Lösung spezieller Problemstellungen im Bereich der dynamischen Systeme begann. MuPAD wurde jedoch sehr bald zu einem universellen Werkzeug zum symbolischen und exakten sowie numerischen Rechnen. Im Februar 1997 wurde das Unternehmen SciFace Software GmbH & Co. KG als Teilausgliederung aus der Universität Paderborn gegründet, um MuPAD in enger Kooperation mit der MuPAD-Forschungsgruppe weiterzuentwickeln und den zunehmenden Anforderungen der Benutzer u. a. hinsichtlich vielfältiger

2.3 Symbolic Math Toolbox auf einen Blick

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und mehrsprachiger Dokumentationen zum System und modernen Benutzerschnittstellen gerecht zu werden. MathWorks entschied sich im Jahr 2008 dazu, MuPAD aufgrund seiner Leistungsfähigkeit in MATLAB zu integrieren, um das symbolische Rechnen noch weiter auszubauen. Seitdem ist MuPAD ein fester Bestandteil der Symbolic Math Toolbox, die folgend vorgestellt werden soll.

Symbolic Math Toolbox Die Symbolic Math Toolbox stellt eine Vielfalt von Funktionen zur Manipulation symbolischer Ausdrücke, zur symbolischen Lösung von Gleichungen, aber auch zur Durchführung arithmetischer Berechnungen mit variabler Genauigkeit, zum Plotten von Graphen und vieles mehr zur Verfügung. Sie beinhaltet Funktionsbibliotheken zu vielen grundlegenden Gebieten bzw. Bereichen der Mathematik, etwa der Arithmetik, der linearen Algebra, den algebraischen Gleichungen, den gewöhnlichen Differenzialgleichungen sowie zum symbolischen Vereinfachen von Ausdrücken. Eine Auswahl von Themengebieten mit zugehörigen, typischen Funktionen ist in Tabelle 2.1 aufgelistet. Eine aktuelle Liste von weiteren Toolboxen der Produktfamilie MATLAB findet man unter https://de.mathworks.com/products.html. Tabelle 2.1: Einige Themengebiete sowie Operationen der Symbolic Math Toolbox (Quelle: [Pietruszka 2012, Kap. 1.8], erweitert) Themengebiet

Operationen

Lösen von Gleichungssystemen

Symbolische und numerische Lösung linearer algebraischer Gleichungen und Differentialgleichungen Lineare Algebra Inverse Matrix, Determinante, Eigenwerte, Singulärwerte (SVD), kanonische Formen Analysis Differentiation, Integration, Grenzwertbildung, Summation, Taylor-Polynome Spezielle mathematische Funktionen Spezielle Funktionen der klassischen angewandten Mathematik, wie etwa der Integralsinus (Sin) oder das Fehlerintegral (erf) Variable Exaktheitsarithmetik Numerische Auswertung mathematischer Ausdrücke mit vorgebbarer Genauigkeit Transformationen Fourier- (F-), Laplace- (L-), Z-Transformation und zugehörige inverse Transformationen

Mithilfe der Symbolic Math Toolbox ist es z. B. möglich, auf analytische Weise zu differenzieren, zu integrieren, Terme zu vereinfachen, zu transformieren und Gleichungen sowie Gleichungssysteme (linear/nichtlinear) zu lösen. Viele dieser Berechnungen können

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2 Komponenten und Schnittstellen von MATEX

sowohl symbolisch, d. h. durch formale Manipulation von Ausdrücken, als auch numerisch, d. h. durch näherungsweise Berechnung von Lösungen, mit wählbarer Genauigkeit durchgeführt werden. Neben der Symbolic Math Toolbox von MATLAB gibt es weitere Stand-alone Computeralgebrasysteme, siehe Kapitel 12.5, die sich ebenfalls (zum Teil jedoch nur eingeschränkt) zur Umsetzung der mit MATEX verfolgten Ziele eignen würden.

2.4 LATEX auf einen Blick LATEX ist ein Software-Paket, das die Benutzung des Textsatzsystems TEX mithilfe von Makros vereinfacht. TEX wurde von Donald E. Knuth während seiner Zeit als InformatikProfessor an der Stanford University ab 1977 entwickelt. Im Gegensatz zu anderen Textverarbeitungsprogrammen, die nach dem What-you-see-is-what-you-get-Prinzip funktionieren, arbeitet der LATEX-Autor mit Textdateien, in denen er innerhalb eines Textes anders zu formatierende Passagen oder Überschriften mit Befehlen textuell auszeichnet. Aufgrund seiner Stabilität, der freien Verfügbarkeit für viele Betriebssysteme und des ausgezeichneten Formelsatzes sowie seiner Features speziell für wissenschaftliche Arbeiten wird LATEX vor allem an Hochschulen eingesetzt. Insbesondere in der Mathematik und den Naturwissenschaften ist LATEX die Standardanwendung für wissenschaftliche Arbeiten und wird auch von Wissenschaftsverlagen und wissenschaftlichen Zeitschriften verwendet. Weitere Informationen und Hinweise zur Installation findet man auf der offiziellen Internetseite des LATEX-Projekts www.latex-project.org/. Empfehlenswert ist das Handbuch [Higham 1998], welche eine sehr ausführliche LATEX-Anleitung für Mathematiker darstellt. Die Bedienung von MATEX gelingt mühelos auch ohne LATEX-Kenntnisse durch die direkte Ausgabe von Aufgaben im PDF-Format (siehe auch Abschnitt 2.6 – Benutzerschnittstelle). Als Vorstufe zur PDF-Erzeugung nutzt MATEX intern einen LATEX-Quelltext. Bemerkung: Das vorliegende Buch wurde mit dem LATEX-Textsatzsystem geschrieben. Insbesondere stammen alle Aufgaben und ihre Lösungen sowie die Rohfassungen einiger Kapitelelemente (beispielsweise die QR-Codes oder die LATEX-Quelldateien mit den Aufgabensets für einzelne Kapitel) aus der Feder des Software-Roboters MATEX. Nach den Komponenten der Entwicklungsumgebung richten wir nun unseren Blick auf die softwaretechnisch tragenden Elemente von MATEX – die Aufgabengeneratoren und die Benutzerschnittstelle.

2.5 Aufgabengeneratoren

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2.5 Aufgabengeneratoren In der MATEX-Software kommt dem Begriff Aufgabengenerator oder kurz Generator eine zentrale Rolle zu, der in diesem Werk ca. 400-mal vorkommt und folgend eingeführt werden soll. Definition: Aufgabengenerator Mit Aufgabengenerator bezeichnen wir eine Funktion der Software MATEX, die für ein konkretes mathematisches Thema und für sinnvolle Eingaben eine Aufgabenstellung in LATEX erzeugt, die Aufgabe analytisch löst und den Lösungsweg (eventuell mit Abbildung) ebenfalls in LATEX-Form ausgibt. Jeder Aufgabengenerator kann bei Bedarf eine Aufgabe zufällig generieren oder aus einem Aufgabenpool zufällig herausgreifen. Die generierten Aufgaben werden aus didaktischer Sicht später im Abschnitt 3.2 charakterisiert. Die Grundbausteine eines Generators sowie ihre programmiertechnische Umsetzung werden in Kapitel 4 sehr detailliert an einem konkreten Beispiel vorgestellt. Besonderes Augenmerk wird dabei auf die Behandlung einer mathematischen Aufgabenstellung mithilfe des Wechselspiels von MATLAB mit der Symbolic Math Toolbox sowie die Berücksichtigung des LATEX-Textsatzsystems gelegt. Hier skizzieren wir daher lediglich die typischen Arbeitsschritte eines Aufgabengenerators sowie dessen Input und Output. • Nach dem Empfang eines Aufgaben-Auftrags (Input) zu einem vorgegebenen mathematischen Thema über die in Kapitel 2.6 vorgestellte Webschnittstelle werden von MATEX die Aufgabenparameter an einen entsprechenden Generator übergeben. Neben einer konkreten Aufgabe kann der Auftrag auch eine Zufallsaufgabe adressieren. • Der Generator legt eine TEX-Datei für eine Aufgabe an und erstellt darin einen LATEXQuelltext mit einer Aufgabenstellung. Je nach Auftrag wird ein Zufallsgenerator für die Aufgabenparameter vorgeschaltet. Der Zufallsgenerator kann mit zwei unterschiedlichen Modi betrieben werden: Einerseits können Parameter durch einen Zufallsgriff in eine Datenbank aus vorher von Entwicklern ausgewählten Aufgaben (vgl. Aufgaben im Teil II) generiert werden. Andererseits können Eingaben durch eine softwaretechnische Umsetzung einer zufälligen Konstruktion einer Aufgabe (vgl. Programmieraufgabe 4.1.8 bzw. die Quelltexte der Generatoren) erfolgen. Auf dem Server ist die erstgenannte Variante aktiviert. • Die Grundstruktur der Aufgabenstellung sowie der zugehörigen Lösung wurde von den Entwicklern (inspiriert durch Fachliteratur) für jeden Generator vorgegeben. Die Leistung von MATEX besteht darin, dass man die Aufgabe beliebig variieren kann und, dass MATEX mithilfe der Symbolic Math Toolbox die Rechnungen zu den Eingaben selbst durchführt und entsprechend nachvollziehbar darstellt. Die mathematische Aufgabe wird also vom Generator folgend einer vorgegebenen Struktur aufgestellt bzw. algebraisch-analytisch gelöst. Dabei wird der zugehörige mathematische Lösungsweg mit LATEX gesetzt (Verschriftlichung der Lösung) und die oben angelegte LATEX-Datei ergänzt. • Im Bedarfsfall wird vom Generator eine Abbildung erstellt und im obigen LATEXQuelltext eingebunden.

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2 Komponenten und Schnittstellen von MATEX

• Anschließend kompiliert MATEX die aufgestellte LATEX-Datei und stellt den Output (LATEX-Quelltext, PDF-Aufgaben-/Lösungsdatei, Grafikdateien) per Webschnittstelle dem Benutzer zur Verfügung, siehe Kapitel 2.6.

2.6 Benutzerschnittstelle Qualitativ hochwertige Mensch-Maschine-Schnittstellen zeichnen sich dadurch aus, dass sie an die Bedürfnisse der Benutzerin bzw. des Benutzers und an ihre bzw. seine Fähigkeiten bestmöglich angepasst sind. Einfachstes Handling und geringe technische Voraussetzungen sind hierbei wichtige Erfolgsfaktoren. Idealerweise ist eine solche Schnittstelle intuitiv bedienbar und selbsterklärend. Schulungs- oder/und Lernaufwand sollten minimal sein. Der Begriff der Reduktion ist ein zentrales Kriterium bei der Entwicklung von Benutzerschnittstellen. Eine Reduktion des Zugangs zu einer komplexen Maschine auf nur wenige Bedienelemente kann die Bedienbarkeit grundsätzlich erleichtern, wird aber oft der Komplexität der Maschine nicht in vollem Umfang gerecht. Einem solchen Zielkonflikt kann man im Fall eines sehr komplexen Betriebssystems bei einem modernen Computer etwa durch Einführen zweier Kategorien von Benutzerschnittstellen entgegenwirken: Die eine zeigt dem Anwender alle in alltäglichen Anwendungssituationen notwendigen Icons, den Papierkorb, die wichtigsten Ordner usw., die er ohne Lernaufwand sofort verstehen und bedienen kann. Die andere ermöglicht ihm, über die Kommandozeilenoberfläche tiefer in das Betriebssystem einzugreifen, erfordert jedoch einen bestimmten Lernaufwand.

Webschnittstelle Um MATEX einem breiten Nutzerkreis zugänglich zu machen, wurde eine Webschnittstelle auf Basis von HTML/CSS, JavaScript, PHP und MySQL geschaffen, die unter der URL

www.matex-online.de erreichbar ist, vgl. dazu [Klimke 2003]. Dadurch wird ein wichtiger Aspekt der Gebrauchstauglichkeit (engl. usability) des Systems, nämlich die Konsistenz, gewährleistet. Sie erleichtert die Zugänglichkeit eines Produktes dahingehend, dass Wissen von anderen, ähnlichen Produkten übernommen werden kann. Folgend ist die Bedienung konsistenter Interfaces intuitiv oder zumindest schneller zu erlernen. Mit der Schnittstelle ist es zum einen möglich, MATEX auch ohne eine MATLAB-Installation zu nutzen. Zum anderen wird der Zugang zu MATEX bzgl. Syntax, Eingabefehlern und Bedienung vereinfacht und

2.6 Benutzerschnittstelle

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vom Betriebssystem unabhängig. Die Webschnittstelle dient dabei als Mittler zwischen den Benutzereingaben und den aufzurufenden MATEX-Befehlen sowie den von MATEX generierten Ausgaben, die als Download bereitgestellt werden. Der Inhalt eines Auftrags, den ein Benutzer an MATEX richtet, muss bestimmten, vorgegebenen Regeln folgen, die dank der Eingabemasken der Webschnittstelle einfach einzuhalten sind. Bei manchen Aufgabengeneratoren muss der Benutzer u. a. mathematische Terme in MATLAB-Syntax über eine Tastatur oder ein Taschenrechnereingabefeld der Webschnittstelle eingeben, was im Wesentlichen einer KommandozeilenBenutzerschnittstelle (englisch: Command Line Interface, CLI) entspricht. Die prinzipielle Bedienung von MATEX wird unten erläutert. Konkrete Anweisungen für die Eingabe zu einzelnen Fachthemen findet man in den grau hinterlegten Texten im Teil II dieses Werkes bzw. können unter der obigen URL der Webschnittstelle nachgeschlagen werden. Aktuell können mit MATEX parametrisierte Aufgabentypen inklusive Lösungen zu 33 Themenbereichen der elementaren Höheren Mathematik erstellt werden.

Programmablauf Nach erfolgreicher Registrierung gelangt der Benutzer auf eine Übersichtsseite (siehe Abb. 2.3), in der er alle grundlegenden Aktionen ausführen kann. Hier kann er z. B. einen Generator auswählen (Button „Durchsuchen“ [Symbol: Lupe]) oder frühere Ergebnisse aufrufen (Button „Historie“ [Symbol: Büroklammer]).

Abb. 2.3: Startseite: Auswahlmenü

Wird ein Generator ausgewählt, gelangt der Benutzer auf eine Ansicht mit folgenden Elementen (siehe Abb. 2.4): • Toolbar mit Buttons z. B. für die Erstellung eines QR-Codes, der direkt zum angezeigten Generator mit den momentan eingegebenen Parametern führt. • Titel und Kurzbeschreibung des Generators, in der alle Eingabeparameter definiert werden.

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2 Komponenten und Schnittstellen von MATEX

• Eingabefelder für die Parameter, die der Generator zur Erstellung einer Aufgabe benötigt. • Absenden-Button bzw. Button „Zufällige Aufgabe erzeugen“.

Abb. 2.4: Eingabemaske für den Generator zum Thema „Fourier-Reihe“

Die Eingabefelder bieten dem Benutzer die Möglichkeit, den Generator seiner Aufgabenstellung anzupassen und ihn anschließend über den Button „absenden“ zu starten. Die Eingabe erfolgt dabei in „taschenrechnerüblicher“ Form. Zur Unterstützung und zur besseren Bedienung per Touchscreen kann bei Formeleingaben ein Tastaturfeld ein- und ausgeblendet werden (Button rechts am Eingabefeld). Alternativ kann durch Aufruf des Buttons „Zufällige Aufgabe erzeugen“ (Symbol: Spielwürfel) eine zufallsbasierte Eingabe der Parameter erfolgen. Der Generator wird hierbei automatisch gestartet. Sofern keine anderen Aufträge abgearbeitet werden müssen, ruft die Webschnittstelle MATEX mit den entsprechenden Parametern auf und führt danach den Benutzer zum Download-Bereich, in dem ihm eine PDF-Datei, die LATEX-Quelldateien sowie ggf. Abbildungen zur generierten Aufgabe zur Verfügung gestellt werden. Benutzer mit LATEX-Kenntnissen haben dann die Möglichkeit, die bereitgestellten LATEX-Quelltexte zu modifizieren, in eigene LATEX-Dokumente einzubinden und somit Layout und Inhalt individuell anzupassen. Dazu müssen lediglich einige weit verbreitete Standard-LATEX-Pakete eingebunden werden, wie ein Blick auf die von MATEX beim Download mitgelieferte LATEX-Rahmendatei zeigt:

2.6 Benutzerschnittstelle

\ documentclass [ 1 1 pt ] { article } % Pakete \ usepackage { a4 } % Fuer DINA4 - Seitenlayout \ usepackage [ german ] { babel }% Fuer deutsche Sprachunterstuetzung \ usepackage { amsthm } % Erlaubt die Definition eigener Theoremumgebungen ( siehe unten (*)) \ usepackage { amsmath , amssymb } % Weit verbreitete Pakete , die Formelumgebungen und mathematische % Symbolik bereitstellen , AMS: American Mathematical Society \ usepackage { tikz } % Zur Generierung von Abbildungen mit LaTeX -Code \ usepackage { lipsum } % Dummy - Textgenerierunmg zu Debugging - Zwecken \ usepackage { autobreak } % Fuer automatische Zeilenumbrueche in Formeln \ usepackage { subcaption } % Fuer Bildunterschriften bei geteilten Abbildungen \ allowdisplaybreaks % Fuer Seitenumbrueche in \ begin { align *}...\ end{ align *} \ usetikzlibrary { trees } % Zur Erzeugung von Baumdiagrammen % Eigene Befehle und Definitionen \ newcommand { \ MATeX }{ MA \ TeX } \ theoremstyle { definition } \ newtheorem { aufgabe }{ Aufgabe } % (*) Rahmenumgebung fuer Aufgaben (im Theoremstil ) \ newenvironment { loesung } { \ textbf {L \ " osung : } } { } % Umgebung fuer Aufgabenloesungen \ newif \ ifLoesung % ein -/ und ausschaltbar (s.u.) \ newenvironment { ergebnis } { \ noindent \ scriptsize \ color { gray } { \ textbf { Ergebnis : } } } { } \ newif \ ifErg % Umgebung fuer Aufgaben , ein -/ und ausschaltbar (s.u.) % Aufgaben koennen mit und ohne Loesung , mit und ohne Ergebnis % kompiliert werden . Hier den gewuenschten Modus einstellen : \ Loesungtrue % Loesungen werden angezeigt %\ Loesungfalse % Loesungen werden nicht angezeigt \ Ergtrue % Ergebnisse werden angezeigt %\ Ergfalse % Ergebnisse werden nicht angezeigt \ begin { document } % Ueberschrift , kann nach eigenen Beduerfnissen angepasst werden . \ begin { center } Aufgabe zur H \ " oheren Mathematik \ \ \ footnotesize { Generated by { \ MATeX } \ \ \ today } \ end { center } % Hier die generierten Aufgaben mittels \ input einfuegen : % Falls Sie ein anderen Speicherort als output verwenden , muessen % die Grafikpfade in der jeweiligen Aufgabe .tex angepasst werden . % Bei mehreren Aufgaben muessen diese , umbenannt werden . \ input { output / Aufgabe . tex } \ end { document }

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22

2 Komponenten und Schnittstellen von MATEX

Damit diese Rahmendatei kompilierbar ist, muss der Pfad auf die miterzeugte Datei Aufgabe.tex stimmen bzw. bei Bedarf angepasst werden. Mit diesem Dokument lassen sich u. a. die Ergebnisse sowie Lösungen ein- und ausblenden, wie man den Kommentarzeilen in der Rahmendatei entnimmt. In naher Zukunft soll MATEX auch HTML als Ausgabeformat anbieten, wodurch sich die Interaktion mit der Software noch fließender gestalten ließe.

Technische Details Die Webschnittstelle wurde auf Basis üblicher Webtechnologien wie HTML/CSS, JavaScript und PHP erstellt. Als externe Bibliotheken wurden Bootstrap1 , jQuery2 sowie zur QR-Code Erzeugung PHP QR Code3 verwendet. Zur Verwaltung der Generatoren und der Benutzerdaten wird eine MySQL-Datenbank eingesetzt. Als Eingabefelder für die Parameter der einzelnen Generatoren stehen derzeit folgende Typen bereit: • • • • • • •

Ganzzahl Fließkommazahl Punkt (2 Fließkommazahlen) Boolean (wahr/falsch) Auswahlliste Felder/Matrizen Formeln

Die einzelnen Eingabetypen sind dahingehend optimiert, dass syntaktische Fehleingaben möglichst minimiert werden. Insbesondere bei Formeleingaben ist dies jedoch nur teilweise möglich. Hier wird der Nutzer zum einen durch Kennzeichnung fehlender Klammern o. Ä. in der Eingabe unterstützt. Zum anderen steht ihm ein taschenrechnerähnliches Eingabefeld zur Verfügung, sodass MATLAB-Befehle wie z. B. sqrt nicht erlernt werden müssen. Dieses Eingabefeld wird standardmäßig bei kleinen Displays (z. B. Smartphones) aktiviert, um das üblicherweise erscheinende Tastatureingabefeld zu unterdrücken, da in diesem mathematische Formeln häufig nur sehr unbequem einzugeben sind. Um die Auftragserteilung noch weiter zu vereinfachen, verwenden wir QR-Codes, die im folgenden Abschnitt eingeführt werden.

QR-Code – eine Matrix, die Medien verbindet QR-Codes (englisch: Quick Response Codes) bieten – wie auch die seit mehreren Jahrzehnten bekannten Bar-Codes – die Möglichkeit, gewisse Informationen in kompakter optischer Form darzustellen bzw. mit geeigneten Geräten schnell und sicher einzulesen. Konkret lassen sich dadurch Daten binär in Form einer Matrix aus weißen und schwarzen 1 2 3

https://getbootstrap.com https://jquery.com https://github.com/t0k4rt/phpqrcode

2.6 Benutzerschnittstelle

23

Datenpixeln kodieren. Eine solche Matrix muss mindestens aus 21 × 21 und darf maximal aus 177 × 177 Schwarz-Weiß-Quadraten bestehen. Das QR-Code-Verfahren wurde 1994 in Japan zur Markierung von Baugruppen für logistische Zwecke in der Automobilproduktion entwickelt und ist u. a. deshalb weit verbreitet, weil es eine automatische Fehlerkorrektur beinhaltet. Die Verwendung von QR-Codes ist lizenz- und kostenfrei. Eine schnelle und einfache Möglichkeit der kostenlosen Erstellung eines QR-Codes ist mittels eines Online-QR-Code-Generators4 möglich. Ein Skript wandelt gewünschte Texte in einen Code um und erstellt die zugehörige Grafik, die z. B. mittels eines mobilen Endgerätes und einer geeigneten Reader-Software (z. B. kostenlose App QuickScan von iHandySoft Inc. [iHandySoft 2013]) interpretiert werden kann. Diesen Prozess bezeichnet man als Mobile-Tagging 5 . Dadurch entfällt das mühsame Eintippen von URLs, Telefonnummern, Adressen, informierender Texte, SMS, vCards, WLAN-Zugangsdaten oder Geodaten. Darüber hinaus können bestimmte Funktionen des Smartphones automatisch ausgeführt werden, wie z. B. das Öffnen eines Browsers oder eines E-Mail-Programms. Gründe des nachhaltigen Erfolgs des Mobile-Tagging sind neben den flexiblen und vielseitigen Anwendungsgebieten der schnelle, präzise und vom Benutzer gesteuerte Zugang zur Information und insbesondere die nahtlose Verknüpfung von Offline- und Online-Inhalten. Aus diesen Gründen werden im zweiten Teil dieses Buches QR-Codes als (eine Komponente der) Schnittstelle zu MATEX in jedem Themenabschnitt für die folgenden Zwecke eingesetzt: • Verlinken auf die Webschnittstelle eines konkreten Fachthemas; dabei werden konkrete Aufgabenparameter automatisch eingetragen, siehe linken QR-Code. Vor dem Absenden darf der Benutzer die Aufgabenparameter individuell abändern. • Verlinken auf die Webschnittstelle eines konkreten Fachthemas und Veranlassung der Generierung einer zufälligen Aufgabe durch MATEX, siehe mittleren QR-Code. • Verlinken auf den LATEX-Quelltext der ersten Aufgabe aus jedem Kapitel. • Verlinken auf den MATLAB-Quelltext eines Generators der MATEX-Software. Für die Erstellung von QR-Codes haben wir uns der Schnittstelle zur Anwendungsprogrammierung (API) von http://qrserver.com bedient. Mit den folgenden QR-Codes soll die Auftragserteilung am Beispiel der Aufgabe 5.1.2 im Abschnitt 5.1 demonstriert werden. Mobile-Tagging verbindet somit statische Informationsträger mit Internet-basierten Anwendungen. Das gedruckte Buch oder auch das E-Book zu MATEX ist über QR-Codes an eine Server-basierte Installation der MATEX-Software angebunden. Ziel hierbei ist es, den Leser zum interaktiven Handeln anzuregen, indem er sich die gelesenen Inhalte zu MATEX sofort durch Anwenden der Software an (selbst gewählten) Beispielen verdeutlichen kann. Die QR-Codes tragen somit zu einem Zusammenrücken der einzelnen Medien 4

http://goqr.me Der Begriff Mobile-Tagging beschreibt den Vorgang, bei dem mithilfe der Kamera eines mobilen Handgerätes ein 2-D-Code von einem gekennzeichneten Objekt (z. B. aus einer Zeitschrift oder von einem Display) ausgelesen wird. In QR-Codes können verschiedenste Datenformate gespeichert werden. Beispiele sind: eine URL, die auf eine Seite einer Website verweist, auf die man nach der Decodierung direkt über einen Smartphone-Browser weitergeleitet wird; ein Transaktionscode, der in einem Dialogablauf weiter verwendet wird; ein Zugangscode, der den einmaligen Zugriff auf weitere Daten erlaubt; ein AdressDatensatz (virtuelle Visitenkarte), der in einem Dialogablauf in mobilen Geräten als Kontakt gespeichert werden kann. 5

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2 Komponenten und Schnittstellen von MATEX

bei. In den Kommunikationswissenschaften spricht man in diesem Zusammenhang von Medienkonvergenz, die durch technische Entwicklungen, vor allem die Digitalisierung der traditionellen Medien und die Etablierung des World Wide Web, ausgelöst wurde und seitdem stetig vorangetrieben wird. Es gibt inzwischen zahlreiche Anwendungsfelder für das Mobile-Tagging. Einen guten Überblick zum Thema QR-Codes sowie deren Einsatzmöglichkeiten in der Hochschullehre findet man z. B. in [Jäger 2016].

1. Aufgabe

Zufällige Aufgabe

LATEX

Generatorquelltext

Lizenz Wie im Abschnitt 2.1 geschildert, wurde MATEX in der Programmierumgebung MATLAB unter einer intensiven Einbindung der Symbolic Math Toolbox entwickelt. Sowohl MATLAB als auch Symbolic Math Toolbox sind proprietär. Die MATEX-Software selbst ist jedoch Open Source, d. h., ihr Quelltext ist öffentlich und darf von Dritten eingesehen, geändert und (nach einer Registierung) kostenlos genutzt werden. Das Urheberrecht ist durch internationale Übereinkommen (UN) und durch nationale Gesetzgebung geregelt. Durch die Creative-Common-Lizenz CC BY-NC-SA 3.0 DE werden der Öffentlichkeit auf einfache Weise Nutzungsrechte an der entwickelten Software MATEX eingeräumt. Im Fall einer Nutzung müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: • Namensnennung – Sie müssen angemessene Urheber- und Rechteangaben machen, einen Link zur Lizenz beifügen und angeben, ob Änderungen vorgenommen wurden. Diese Angaben dürfen in jeder angemessenen Art und Weise gemacht werden, allerdings nicht so, dass der Eindruck entsteht, der Lizenzgeber unterstütze gerade Sie oder Ihre Nutzung besonders. • Nicht kommerziell – Sie dürfen das Material nicht für kommerzielle Zwecke nutzen. • Weitergabe unter gleichen Bedingungen – Wenn Sie das Material remixen, verändern oder anderweitig direkt darauf aufbauen, dürfen Sie Ihre Beiträge nur unter derselben Lizenz wie das Original verbreiten. • Keine weiteren Einschränkungen – Sie dürfen keine zusätzlichen Klauseln oder technische Verfahren einsetzen, die anderen rechtlich irgendetwas untersagen, was die Lizenz erlaubt.

Literaturverzeichnis

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Literaturverzeichnis Cristea et al. 2005. Cristea, P., Tuduce, R.: Automatic generation of exercises for self-testing in adaptive e-learning environments: Exercises on AC circuits, International Workshop on Authoring of Adaptive and Adaptable Educational Hypermedia (Part of WBE), WSEAS Publishing, S. 1126–1136, 2005 Higham 1998. Higham, N., J.: Handbook of Writing for the Mathematical Sciences, 2nd Edition, SIAM 1998 Hsiao et al. 2008. Hsiao, I., Brusilovsky, P., Sosnovsky, S.: Web-based parameterized questions for objectoriented programming, World Conference on E-Learning in Corporate, Government, Healthcare, and Higher Education, 2008 iHandySoft 2013. iHandySoft: QuickScan App, 2013 https://itunes.apple.com/de/app/quick-scan-strichcodescanner/id446067710?mt=8 Jäger 2016. Jäger, L.: QR-Codes in der Hochschullehre, Books On Demand 2016 Klimke 2003. Klimke, A.: How to Access Matlab from Java, Institut für Angewandte Analysis und Numerische Simulation, Universität Stuttgart 2003, http://preprints.ians.uni-stuttgart.de/downloads/2003/2003-005.pdf MathWorks 2015. MathWorks, Symbolic Math Toolbox User’s Guide R2015b, 2015 Pietruszka 2012. Pietruszka, W. D.: MATLAB und Simulink in der Ingenieurpraxis, Modellbildung, Berechnung und Simulation, 3. Auflage, Vieweg+Teubner 2012 Schweizer 2013. Schweizer, W.: MATLAB kompakt, 5. Auflage, Oldenbourg Verlag 2013 Talole et al. 2003. Talole, S. E., Phadke, S. B.: Generating LATEX documents through MATLAB, TUBboat, Volume 24, 2003, No. 2

Kapitel 3

MATEX trifft auf digitale Lehre

Lehren heißt: die Dinge zweimal lernen. Joseph Joubert (1754-1824), französischer Schriftsteller und Moralist

Die Didaktik muss die Technologie führen und nicht umgekehrt. These von Jürgen Handke (*1954) in [Handke 2015]

Zusammenfassung Dieses Kapitel zeigt, wie MATEX sich in das Spannungsfeld zwischen Lehre und digitale Medien einordnen lässt. Da der Fokus der entwickelten Software auf Aufgaben – wichtigen Werkzeugen der Mathematikunterrichtsplanung – liegt, wird auf diesen Begriff und seine Bedeutung in Kapitel 3.2 näher eingegangen. Insbesondere wird hier MATEX als Bindeglied zwischen Unterrichtsinhalten, dem prozeduralen Wissen sowie halboffenen Aufgaben dargestellt. Eine Auswahl von für MATEX relevanten E-Learning-Methoden sowie ihre mögliche Anbindung an diese Software findet man in Kapitel 3.3. Die in Kapitel 3.4 skizzierten Einsatzszenarien von Aufgabengeneratoren sind darauf ausgerichtet, das Lernen aktiver, individualisierter und motivierender zu gestalten. Abschließend wird auf Lehrerfahrungen mit MATEX in Kapitel 3.5 eingegangen.

3.1 Viel Stoff – wenig Zeit Lehren und Lernen einer wissenschaftlichen Disziplin müssen zunehmend im Lichte immer differenzierterer Wissensbereiche, immer individuellerer Lernvoraussetzungen sowie immer vielfältigerer didaktischer Handlungsformen betrachtet werden [Lehner 2012]. Unter anderem steigt die Anzahl an Vorlesungen, welche einen immer spezielleren Themeninhalt vermitteln. Die Einordnung dieser Wissensinhalte in den Bezug zu anderen Vorle-

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018 A. Helfrich-Schkarbanenko et al., Mathematische Aufgaben und Lösungen automatisch generieren, https://doi.org/10.1007/978-3-662-57778-3_3

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3 MATEX trifft auf digitale Lehre

sungen und Themengebieten wird immer umfangreicher. Im Hinblick auf die Globalisierung finden sich an Hochschulen zunehmend Studierende aus aller Welt wieder. Nicht nur sprachliche Unterschiede, sondern auch die verschiedenen Wissensgrundlagen aller Studierenden machen das Design der Lerneinheiten komplexer. Zudem wird u. a. durch die Anpassung bestehender Lehrunterlagen an digitale Medien, die Einführung neuer Strukturen oder eventueller Hochschul- und Schulreformen mittelfristig der Anspruch an die Qualität der Vorlesungen und die Variabilität der Unterrichtsmaterialien erhöht. Auf der anderen Seite wird es aus den genannten Gründen für Studierende immer schwerer, den Anforderungen zu genügen. Dies birgt die Gefahr, dass vorgegebene, zeitlich straff durchstrukturierte Lernpläne nur einen engen individuellen Freiraum im Alltag der Studierenden zulassen. Auch die individuellen Voraussetzungen der Studierenden können dabei oftmals nicht oder nur in geringem Maße berücksichtigt werden. Die Anforderungen an beide Seiten sind hoch. Damit trotzdem Bildung erfolgreich gestaltet werden kann, kostet es schlussendlich den Lehrenden wie auch den Lernenden viel Zeit. Wir unternehmen im Folgenden den Versuch, das Spannungsverhältnis des Trios aus differenzierteren Wissensbereichen, individuelleren Lernvoraussetzungen sowie vielfältigeren didaktischen Handlungsformen durch die Wahl geeigneter Lehrmethoden sowie der Verwendung medialer Elemente zu entschärfen. Dabei drängen sich den Autoren folgende Fragen auf: • • • •

Wie möchten wir dieser Herausforderung hinsichtlich des Zeitaspekts begegnen? Welche Prozesse in der Lehre sind zeitaufwendig? Inwieweit und inwiefern lassen sich diese Prozesse beschleunigen? Lassen sich durch Beschleunigung von Prozessen Fortschritte im individuellen Lernen erzielen? • Inwiefern können wir Einfluss auf die Auswahl von Lehr- und Lernmethodiken nehmen? An dieser Stelle kommt MATEX ins Spiel. Mit diesem Buch möchten wir aufzeigen, wie sich MATEX in Lernprozesse sowie hybride Lernarrangements einbetten lässt und durch Automatisierung zeitaufwendiger Arbeitsphasen eine Beschleunigung erreicht wird. Konkret werden Möglichkeiten vorgestellt, wie MATEX dem Lehrenden typische, immer wiederkehrende Arbeiten abnimmt. Dies umfasst das Erstellen von mathematischen Aufgaben und Lösungen sowie von grafischen Veranschaulichungen verschiedener Art wie zum Beispiel die Visualisierungen des Einflusses von Parametervariationen. So kann durch die Nutzung von MATEX beispielsweise das bei der Entwicklung von Lehr- und Lernmaterialien in Schieflage geratene Verhältnis von zeitlichem Aufwand zu qualitativen Anforderungen ein Stück weit verbessert werden. Da MATEX nicht nur von Lehrenden, sondern auch von Lernenden verwendet werden kann, zeigen wir, inwieweit MATEX die Übungsphasen an die Begebenheiten der Studierenden anpasst und damit individuelles Lernen fördert. Damit können Lernende die Vorteile von MATEX beispielsweise bei der Anwendung von Blended Learning-Methoden ausschöpfen, siehe Kapitel 3.3. Insgesamt halten Sie mit MATEX ein Werkzeug in der Hand, das dem Zeitalter der Digitalisierung Rechnung trägt, Ihnen auf eine neuartige Weise nützliche Dienste erweist und Sie beim Erstellen mathematischer Lehrmaterialien maßgeblich entlasten kann.

3.2 MATEX und aufgabenorientiertes Lernen

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3.2 MATEX und aufgabenorientiertes Lernen Im Folgenden möchten wir MATEX in das Spannungsfeld zwischen Langzeitgedächtnis, Unterrichtsinhalten und mathematischen Aufgaben einordnen. Der Übersicht halber gehen wir nur auf die für uns relevanten Typen von Wissen, also das prozedurale Wissen, bzw. auf die relevanten Aufgabentypen, also die offenen und halboffenen Aufgaben, ein. Demnach kann MATEX (analog zu den Aufgaben selbst) als Beschleuniger/Katalysator von Lehrund Lernprozessen verstanden werden.

Abb. 3.1: MATEX im Spannungsfeld zwischen Langzeitgedächtnis, Unterrichtsinhalten und den Aufgaben. Die im Wirkungskreis von MATEX liegenden Komponenten sind blau eingefärbt.

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3 MATEX trifft auf digitale Lehre

Prozedurales Wissen Innerhalb des Langzeitwissens kann zwischen deklarativem Wissen (auch Faktenwissen) und prozeduralem Wissen (auch Konzeptwissen) unterschieden werden. • Deklaratives Wissen bezieht sich auf das Wissen über Sachverhalte wie Fakten und Begriffe. Ein Beispiel hierfür wäre das Einmaleins. • Das prozedurale Wissen ist Wissen, wie mit einer Prozedur bzw. einem Verarbeitungsprozess ein gewünschtes Ergebnis erzielt werden kann. Ein Beispiel für prozedurales Wissen ist das Verfahren der (schriftlichen) Multiplikation von zwei mehrstelligen Zahlen. Da prozedurales Wissen für eine intelligente Problemlösung wichtig ist, hat es eine größere Bedeutung als deklaratives Wissen. Allerdings dient deklaratives Wissen, welches nur vorgefertigte Antworten auf bestimmte Fragestellungen liefert, als Voraussetzung und Grundlage für prozedurales Wissen [Baumgartner et al. 1994]. Wie im Folgenden beschrieben wird, konzentriert sich MATEX primär auf Aufgaben, die die Anwendung prozeduralen Wissens trainieren, siehe Abb. 3.1.

Fundamentale Ideen im Fokus von MATEX In der Fachdidaktik werden Aufgaben seit Langem als beschleunigende Katalysatoren von Lernprozessen gesehen. Insbesondere in der Mathematik werden Aufgaben für die Planung und Durchführung von Unterrichtseinheiten sowie für die Bewertung der Studierendenleistung herangezogen, sodass man von aufgabenorientiertem Lernen sprechen kann. Aufgabenorientiertes Lernen basiert auf der Bearbeitung von aufgabenbezogenen Lerninhalten, wobei die Aufgaben u. a. als die kleinsten Einheiten unterrichtlichen Denkens und Handelns verstanden werden [Thonhauser 2008]. Eine genaue Definition einer Aufgabe sowie eine für MATEX relevante Klassifizierung von Aufgaben wird im nächsten Abschnitt aufgeführt. Die Auswahl und Strukturierung der Lerninhalte orientiert sich am Curriculum, einem Lehrplan, der auf einer Theorie des Lehrens und Lernens aufbaut. Nach der Festlegung der Kompetenzerwartungen steht man vor der Herausforderung, den Unterrichtsinhalt so passend auszuwählen, dass trotz (möglicherweise) unterschiedlicher Ziele gemeinsames Lernen entstehen kann. Besonders geeignet für den Unterricht in heterogenen Lerngruppen erweisen sich Unterrichtsinhalte, die den fundamentalen Ideen für den Mathematikunterricht entsprechen, siehe Abb. 3.1, [Heymann 1996, Thonhauser 2008]. Bei der Auswahl von Inhalten, die mit MATEX behandelt werden sollen, folgen wir dieser Erkenntnis und fokussieren uns auf die zentralen Methoden und Verfahren zum Lösen von bestimmten mathematischen Aufgaben, wie z. B. Wurzel- sowie Quotientenkriterium für die Konvergenzuntersuchung einer Reihe, Gauß’sches Eliminationsverfahren, Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt, Laplace’scher Entwicklungssatz zur Bestimmung der Determinanten einer Matrix oder Lagrange’sche Multiplikatorenregel.

3.2 MATEX und aufgabenorientiertes Lernen

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Aufgabenformate Den folgenden Ausführungen wird ein Aufgabenbegriff in knapper Form zugrunde gelegt, der sich inzwischen in der Unterrichtspraxis und in der Lehreraus- sowie -fortbildung als tragfähig und fruchtbar erwiesen hat: • Eine Aufforderung zum Lernhandeln im Mathematikunterricht wird als Aufgabe bezeichnet. Dazu gehören Aufforderungen zum Identifizieren und Realisieren von mathematischen Begriffen, Zusammenhängen und Verfahren sowie die Anwendung von Problemlösestrategien ebenso wie Aufforderungen zum Beschreiben, Verknüpfen, Ausführen, Begründen und Interpretieren. Neben Aufgaben gibt es den Begriff eines Problems. Diese Bezeichnung wird für individuell schwierige bzw. ungewohnte Aufgaben verwendet, die in unserem Kontext irrelevant bleiben sollen. • Der Begriff Arbeiten mit Aufgaben beschreibt die zentralen Aktivitäten der Lehrkraft zur Planung und Moderation einer (aufgabenbasierten) Lernumgebung. Er umfasst das Auswählen, Entwickeln, Variieren von Aufgaben, die Art des Stellens von Aufgaben an die Lernenden und das Beurteilen des Lernpotenzials von Aufgaben durch die Lehrkraft genauso wie ein Arrangieren von Aufgaben innerhalb einer Unterrichtsstunde, Bereitstellen von Musterlösungen, Entwickeln von Bewertungsmaßstäben für Aufgabenlösungen, die Art der Begleitung des Aufgabenbearbeitungsprozesses der Lernenden und das Herausarbeiten des fachlichen und lernmethodischen Erkenntniszuwachses. Beim Arbeiten mit Aufgaben geht es darum, wie ein Lernpotenzial in einer Aufgabe oder in einem Aufgabenarrangement angelegt und wie dieses Potenzial dann tatsächlich genutzt und fruchtbar gemacht wird. Jede Aufgabe besteht aus zwei Komponenten: dem Aufgabenstamm und dem Antwortformat. • Der Aufgabenstamm stellt ganz allgemein die Anforderungssituation dar, zum Beispiel in Form einer Frage, einer Aussage, eines Bildes, einer Geschichte, einer Zeichnung oder einer Rechenaufgabe. Die Anforderungssituation muss dabei so gestaltet sein, dass das fragende Verhalten herbeigeführt wird, Studierende also zum Zeigen des relevanten Verhaltens angeregt und angeleitet werden. • Das Antwortformat dient dagegen zur Registrierung des Testverhaltens. Grundlegend wird bei Tests zwischen offenen (freien) und geschlossenen (gebundenen) Antwortformaten unterschieden. Die Zwischenstelle wird als halboffenes Antwortformat bezeichnet. Bei einem offenen Antwortformat formuliert die getestete Person selbst eine Antwort in einem allgemein verständlichen Zeichensystem. Bei geschlossenen Antwortformaten wird demgegenüber eine Auswahl von Antworten angeboten. Wir halten folgende Charakteristik von MATEX fest: Alle MATEX-Aufgaben weisen ein offenes Antwortformat auf. Eine Aufgabe enthält im Kern eine Frage, auf die eine Antwort erwartet wird. Damit diese gegeben werden kann, ist in der Regel als Bezugspunkt eine Information nötig. Aus

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3 MATEX trifft auf digitale Lehre

der Form, in der diese Information gegeben wird, lassen sich drei Arten von Aufgaben ableiten [Maier et al. 2010, Leisen 2006]: • offene Aufgaben, • halboffene Aufgaben, • geschlossene Aufgaben. Eine geschlossene Aufgabe gibt im Anschluss an eine Information nicht nur eine Frage, sondern auch Antwortmöglichkeiten vor. Eine halboffene Aufgabe stellt im Anschluss an eine Information nicht nur eine Frage, sondern erwartet eine bestimmte Antwort, ohne Antwortmöglichkeiten vorzugeben. Die Steuerung einer möglichen Lösung übernimmt hierbei die konkrete Aufgabenformulierung mittels Aufgabenformen, z. B. die Aufforderung zur Anwendung eines bestimmten Verfahrens. Eine offene Aufgabe gibt lediglich eine Information, ohne Antwortmöglichkeiten zu nennen und ohne eine bestimmte Antwort zu erwarten. Offene Aufgaben kommen zum Einsatz, wenn man das Zusammenspiel von Kompetenzen aus verschiedenen Wissensgebieten in Bezug auf Problemlösungen trainieren bzw. testen will. Das selbstständige Agieren in Verbindung mit kreativem Denken steht dabei im Vordergrund. Zu betonen ist, dass durch offene Aufgaben eher das prozedurale Wissen (Konzeptwissen) als das reine deklarative Wissen (Faktenwissen) der Studierenden abgeprüft wird. Darüber hinaus ist Offenheit der Zielsituation eines der wichtigsten Merkmale didaktischer und fachlicher Qualität einer Aufgabe, vgl. [Blömke et al. 2006, Maier et al. 2010]. Eine weitere Eigenschaft von MATEX lautet: Mit MATEX werden überwiegend halboffene, aber auch offene Aufgaben generiert. Konkret werden z. B. mit den Generatoren aus Kapitel 6.2 zur Konvergenzuntersuchung einer Reihe bzw. Kapitel 6.3 zur Konvergenzuntersuchung einer Potenzreihe offene Aufgaben erzeugt. In beiden Kapiteln müssen Studierende u. U. passende Methoden zum Lösen der Aufgaben wählen. Die meisten Aufgabengeneratoren von MATEX fordern entweder explizit oder implizit die Anwendung eines bestimmten Verfahrens bzw. einer Methode, um die Unterrichtsinhalte auf fundamentale Ideen einzuschränken. Diese Generatoren erzeugen also halboffene Aufgaben. Zu beachten ist, dass MATEX meistens nur einen Lösungsweg aufstellt. Eine Ausnahme ist beispielsweise der Generator für das Orthogonalisierungsverfahren von Gram und Schmidt im zweidimensionalen Fall in Kapitel 7.2. Hier wird das Orthogonalisierungsverfahren für zwei verschiedene Startvektoren durchgeführt, was zwei verschiedene Berechnungen bzw. zwei verschiedene Lösungen ergibt. Abschließend werden beide Varianten grafisch gegenübergestellt. Ein weiterer Generator, der sogar zwei verschiedene Lösungsideen verfolgt, und somit offene Aufgaben erzeugt, ist der aus Kapitel 8.6 über konservative Felder. Nach obigen Erläuterungen ergibt sich von MATEX insgesamt ein Bild wie in der vorausgeschickten Abb. 3.1 bereits skizziert.

3.3 E-Learning

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3.3 E-Learning Die Digitalisierung gehört zu den gravierendsten kulturellen und gesellschaftlichen Veränderungen seit der Erfindung des Buchdrucks. Die zentralen Elemente der Hochschullehre, das Lehren, Lernen und Prüfen, sind dabei, sich massiv zu wandeln. Bei der „Digitalisierung“ der Lehre geht es einzig um die Organisation der Inhaltsvermittlung und Inhaltserschließung, nicht jedoch um die Übertragung flankierender Maßnahmen in digitale Formate. Es geht also nicht um das digitale Prüfen, digitale Listen-Führen oder um digitales Anmelden etc. Die Digitalisierung macht nur dann Sinn, wenn wir uns nicht von den technologischen Möglichkeiten treiben lassen, sondern neue Didaktiken entwickeln und die damit verbundene technologische Entwicklungen einfordern. Die zentrale Forderung sollte also lauten: „Die Didaktik muss die Technologie bestimmen und nicht umgekehrt.“ Der Fokus darf nicht auf dem technisch Machbaren liegen, sondern muss das didaktisch Wünschenswerte zum Ziel haben [Handke 2015]. Die Digitalisierung eröffnet insbesondere neue Möglichkeiten für die Präsenzlehre, aber auch für ein mobiles Lernen [Handke 2015]. Alle Formen von Lernen, bei denen elektronische oder digitale Medien für die Präsentation und Distribution von Lernmaterialien und/oder zur Unterstützung zwischenmenschlicher Kommunikation zum Einsatz kommen, werden unter dem Begriff E-Learning (englisch: electronic learning) zusammengefasst. Passend eingesetzt entstehen dem Lehrenden Freiräume, die er zur Verbesserung der Unterrichtsqualität nutzen kann. Zum Beispiel könnte die klassische Vor-Lesung durch eine Nach-Lesung dessen, was die Studierenden mit E-Learning vorab erarbeitet haben, ersetzt werden. Die gemeinsame Präsenzzeit wird für ergänzende Klärungen, weiterführende Diskussionen etc. effektiver und lebendiger genutzt. E-Learning bietet darüber hinaus Chancen für einen individualisierten Lernprozess, den klassische Lehre selten direkt ermöglicht. Eine personalisierte Lern-Software kann Freiheiten bieten, um Lernportionen und Lernwege der individuellen Lerngeschwindigkeit sowie die von der Tagesform abhängige Aufnahmebereitschaft der eigenen Lebenssituation anzupassen. Personalisiertes Lernen, kombiniert mit spielerischen Elementen, scheint ein vielversprechender Weg zu sein. Die Lernforschung belegt, dass dies die Selbstaktivierung und die Merkfähigkeit steigert. E-Learning für sich wird nicht dauerhaft wirksam sein, ohne dass virtuelle Lernräume, bzw. Räume der realen Kommunikation zwischen den Teilnehmern etabliert werden. E-Learning ist kein Ersatz der Präsenzlehre. Es ermöglicht aber ihre Effizienzsteigerung, führt zu Freiraum und rückt die Persönlichkeitsbildung ins Zentrum. Denn E-Learning verstärkt selbstbestimmtes Lernen [Zeitler 2016]. Im Kontext der MATEX-Software sind nach Meinung der Autoren folgende moderne E-Learning-Methoden von Bedeutung: Blended Learning Blended Learning (oder Integriertes Lernen) bezeichnet eine Lernform, die eine didaktisch sinnvolle Verknüpfung von traditionellen Präsenzveranstaltungen und modernen ELearning-Formen anstrebt. Das Konzept verbindet die Effektivität und Flexibilität von elektronischen Lernformen mit den sozialen Aspekten der Face-to-Face-Kommunikation. Bei dieser Lernform werden verschiedene Lernmethoden, Medien sowie lerntheoretische

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3 MATEX trifft auf digitale Lehre

Ausrichtungen miteinander kombiniert. Sie ermöglicht Lernen, Kommunizieren und Informieren sowie ein Wissensmanagement losgelöst von Ort und Zeit in Kombination mit Erfahrungsaustausch, Rollenspielen und persönlichen Begegnungen im klassischen Präsenztraining [Erpenbeck et al. 2015]. Der Einsatz von MATEX im Kontext dieser Lernform wurde bereits von den Autoren in ihren Lehrveranstaltungen umgesetzt. Im Abschnitt 3.5 wird detailliert berichtet, inwiefern sich MATEX schon bei seinem ersten Einsatz als spannendes und wirkungsvolles Werkzeug zum Einbinden in die Präsenzveranstaltung erwiesen hat. Mobile Learning Unter Mobile Learning versteht man allgemein das Lernen mit mobilen ubiquitären Medien überall und zu jeder Zeit. Smartphones und Tablets bieten einen mobilen Internetzugang und drängen durch ihre mobilen Anwendungen den stationären PC immer weiter in den Hintergrund. Der US-amerikanischer Wissenschaftler Mark Weiser (1952 – 1999), der im Bereich der Informatik tätig war, sagte schon vor Jahren, siehe [Weiser 1991]: „In the 21st century the technology revolution will move into the everyday, the small and the invisible.“ Durch die bereits erwähnte Webschnittstelle trägt MATEX dieser nicht aufzuhaltenden Entwicklung Rechnung und ist somit auf das Mobile Learning zugeschnitten. Zudem können Lernportionen von MATEX klein gehalten werden. Dies ist eine wichtige Voraussetzung, da man beim Mobile Learning zahlreichen Unterbrechungen ausgesetzt ist. Rapid E-Learning Der Begriff Rapid E-Learning steht für schnelles, einfaches, ökonomisches Aufbereiten von Lerninhalten für ein festgelegtes Ziel in einer bestimmten Qualität. Um das Jahr 2000 wurden einige Rapid E-Learning-Werkzeuge (wie z. B. ActivePresenter, Adobe Captivate, Alphastudy, Articulate Presenter, Rapid Intake, iSpring Suite, Coggno, Dokeos, Lectora, Odijoo sowie weitere) in den Markt eingeführt und erreichten u. a. aufgrund der Möglichkeit zur schnellen Erstellung von E-Learning-Kursen aus Präsentationen große Beliebtheit. Ein Markttrend ist weiterhin die Kombination von Rapid E-Learning mit Screencasts (das Filmen des eigenen Bildschirms einschließlich der Mausbewegungen), um sowohl einen Foliensatz als auch Anwendungsdemonstrationen nutzen zu können. Diese Kombination ist insbesondere bei Einführungskursen zu Software-Produkten sinnvoll. MATEX ist primär für die Erstellung von Lehrinhalten und nicht speziell für E-LearningKurse konzipiert. Die von MATEX erzeugten mathematischen Aufgaben und Lösungen, lassen sich jedoch bei Bedarf für E-Lerning-Kurse aufbereiten. MATEX generiert für ein vorgegebenes Thema je nach Umfang eine Aufgabe samt Lösung und Abbildungen innerhalb von Sekunden. Damit eignet es sich nicht nur zum Erstellen von Lehrunterlagen im Vorfeld, sondern sogar für einen Echtzeiteinsatz im Unterricht, z. B. für die Analyse eines Problems beim Variieren eines Parameters.

3.3 E-Learning

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Microlearning Die Methode Microlearning bezeichnet Lernen in kleinen Lerneinheiten und kurzen Schritten. Allgemein verweist der Begriff Microlearning auf die Mikroaspekte im Kontext von Lern-, Ausbildungs- und Trainingsprozessen. Dabei werden kleine Informationseinheiten und Testfragen über PC oder Smartphone vom Server abgerufen. Die Software auf dem Server beobachtet den individuellen Lernfortschritt und passt die Fragestellungen und Fragewiederholungen an die bisher richtig oder falsch beantworteten Fragen an. Als anleitende Technologie konzentriert sich Microlearning auf das Design von Mikrolernaktivitäten durch Mikroschritte in digitalen Medienentwicklungen, was bereits gängige Praxis für heutige Wissensmanager ist. Diese Aktivitäten können in die täglichen Routineaufgaben und Programme des Lerners eingearbeitet werden. Anders als traditionelle E-LearningKonzepte, kann Microlearning als Stoßtechnologie gesehen werden, welche die kognitive Last beim Lernen verringert. Folglich ist die Auswahl der Mikrolernobjekte, genauso aber auch Ort und Zeit der Lernaktivitäten von großer Bedeutung für den Lernerfolg. Wie für das Mobile Learning ist MATEX auch für das Microlearning gut geeignet aufgrund der vorhandenen Web-Benutzerschnittstelle und der kleinen Lerneinheiten – den Aufgaben. Gamification Unter Gamification versteht man die Anwendung von Spieledesign-Prinzipien auf spielfremde Anwendungen und Prozesse, um Teilnehmer zu aktivieren. Ziel ist es, die Motivation der Benutzer zu steigern und sie dazu zu bringen, verstärkt mit den Anwendungen zu interagieren oder erwünschte Verhaltensweisen anzunehmen. Gamification hilft, Techniken für die Benutzer ansprechender zu gestalten und diese länger an die Anwendung zu binden, indem sie klare Wege zur Beherrschung der Anwendung suggeriert und den subjektiven Eindruck von Benutzer-Selbstständigkeit und -Entscheidungsfreiheit verstärkt. Zu den grundlegenden Elementen eines gamifizierten Systems im Hochschulbereich gehören Instrumente wie z. B. Punkte (zur gezielten Leistungserfassung einzelner Aktionen der Studierenden), Level (zur Veranschaulichung des Fortschritts), Badges (Auszeichnungen, die das Erreichen von bestimmten Zielen signalisieren) und Challenges (Herausforderungen, die das System immer weiter am Leben erhalten, da den Teilnehmern dadurch neue Antriebsmotivation gegeben wird), siehe [Zichermann et al. 2011]. Durch die relativ einfach umsetzbare Statistik der Aktivitäten der Teilnehmer ließen sich in MATEX Instrumente wie Punkte, Level und Badges einführen. Die bestehende Möglichkeit, Zufallsaufgaben per Knopfdruck generieren zu lassen, verleiht MATEX bereits einen Gamification-Zug. Ferner stellt die Gelegenheit, mathematische Aufgaben frei konzipieren zu dürfen, eine Stärke von MATEX im Sinne der Gamification dar.

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3 MATEX trifft auf digitale Lehre

Bring Your Own Device Neben den oben geschilderten E-Learning-Methoden sei an dieser Stelle auch das Unterrichtskonzept Bring Your Own Device (BYOD) erwähnt. Es sieht vor, dass Studierende ihre mobilen Geräte in der Lehrveranstaltung benutzen. Gedacht ist dabei an Szenarien, in denen der Lehrende mediengestützte Aufgaben stellt, die auf dem Privatgerät bearbeitet oder gelöst werden. Für den Lehrenden bietet BYOD den Vorteil, dass er neue mediengestützte Lehr- und Lernformen ausprobieren kann, ohne sich um die Verfügbarkeit von Geräten kümmern zu müssen. Die Chancen und Risiken, die sich aus der Verfügbarkeit von ubiquitärem Internetzugriff und allgegenwärtigen Smart Devices1 auch in institutionalisierten Unterrichtsformen ergeben, sind in den vergangenen Jahren vielfach und kontrovers diskutiert worden. Neben den Risiken (z. B. Ablenkung) werden in der Diskussion auch immer wieder neue Chancen thematisiert. Die Erhöhung der Anschaulichkeit durch mediale Vielfalt und die Festigung des Lernerfolgs durch computergestützte Übungsszenarien sind nur zwei von vielen Aspekten, die neben der Vermittlung von Medienkompetenz in der Diskussion regelmäßig genannt werden. Eine im Frühjahr 2016 durchgeführte empirische Studie mit ca. 600 Studierenden (Digital Natives) und ca. 300 Lehrenden aus Deutschland und Österreich hat ergeben, dass beide Gruppen darin Chancen sehen, den klassischen Hochschulunterricht durch den gezielten und begleiteten Einsatz von Smart Devices zu verbessern. Denn die Nutzung von Smart Devices ist für Studierende nicht nur im Alltag, sondern auch an der Hochschule und in der Vorlesung selbstverständlich [Dittler et al. 2016]. Wie MATEX im Rahmen des BYOD-Konzepts eingesetzt werden kann, wird im nächsten Abschnitt 3.4 detailliert beleuchtet. Inverted Classroom Inverted Classroom, auch als Flipped Classroom bezeichnet, ist ein Unterrichtsmodell des Blended Learning und dient der effektiven Gestaltung des Unterrichts. Das mediengestützte Konzept dieser Methode basiert darauf, dass die Inhaltsvermittlung, die in der traditionellen Lehre durch den Lehrenden in einer Präsenzzeit vor Ort stattfindet, mit der Übungs- bzw. Vertiefungsphase zu Hause vertauscht wird. Die individuell vorangestellte Inhaltsvermittlung führt zu gewonnener Zeit in der eigentlichen Vorlesung. Somit bleibt in der Präsenzveranstaltung neben dem fachlichen Diskussionsaustausch Raum für das gemeinsame Lösen von Aufgaben und für die Klärung von Fragestellungen. Die gewonnene Zeit dient ebenfalls dem Einsatz von unterschiedlichen Methoden, mithilfe derer die Lehrveranstaltung durch die Interaktivität Lerner-zentrierter und effektiver gestaltet werden kann. Das Lerngeschehen wird im Wesentlichen durch die Studierenden bestimmt [Großknuth et al. 2016]. Dabei steht die fachliche und soziale Eingebundenheit der Lernenden im Vordergrund, die z. B. durch die Methode des Aktiven Plenums berücksichtigt werden kann, siehe [Berger et al. 2015]. Veranstaltungen der Hochschulmathematik bedienen sich eher des Konzepts des Instruktionslernens, auch bezeichnet als deduktive Lernmethode. Hier wird zuerst das Prin1

Smart Devices: informationstechnisch aufgerüstete Alltagsgegenstände, die einen Mehrwert durch sensorgestützte Informationsverarbeitung und Kommunikation erhalten, siehe [Eggert 2014].

3.4 Empfehlungen für den Einsatz von MATEX in der Lehre

37

zip erklärt, dann Definitionen gegeben, die Gesetzmäßigkeit oder die Zusammenhänge erläutert, um schließlich Einzelfälle in Form von Übungen oder Beispielen zu behandeln. Durch das Absteigen vom Allgemeinen zum Einzelnen sowie durch eine überwiegend zeitliche Trennung dieser beiden Aspekte im Unterricht, bietet sich die Anwendung des Inverted Classroom Modells an. Das Aufsteigen vom Besonderen zum Allgemeinen wird als induktive Lernmethode bezeichnet und spielt für das unten vorzuschlagende mediendidaktische Konzept eine untergeordnete Rolle. Die Kombination der Methode des Inverted Classrooms mit MATEX wird von den Autoren im Hinblick auf aktivierendere Lehre empfohlen. Eine detaillierte Beschreibung für den Einsatz beider Werkzeuge findet man in Kapitel 3.4, bzw. skizziert in Abb. 3.2 und Abb. 3.3.

3.4 Empfehlungen für den Einsatz von MATEX in der Lehre Wie im Vorwort bereits erwähnt, bilden sowohl Lehrende als auch Lernende die Zielgruppe von MATEX. Insbesondere dank der zugehörigen Webschnittstelle ist ein unmittelbares Verwenden von MATEX z. B. durch Studierende während der Vorlesung via Smartphone möglich. Zu beachten ist, dass Medien keinesfalls eine „Arznei für die Bildung“ sind [Hawelka et al. 2007]. Ein erhöhter Lernerfolg ist jedoch dann zu verzeichnen, wenn die Medienwahl und der Einsatzzweck des Mediums in ein didaktisches Konzept eingebettet werden, siehe [Gruber et al. 2001]. Im Folgenden möchten wir, stützend auf die Stärken von MATEX, den Interessenten ein didaktisches Konzept bzw. mögliche Einsatzszenarien von MATEX vorschlagen. Unseren Überlegungen schicken wir eine Vision der Studierenden voraus, wie sie im Rahmen einer Befragung eines strategischen Projekts zur digitalen Transformation der Lehre an der Hochschule Neu-Ulm im Frühjahr 2016 festgehalten wurde. Die Studierenden haben sich darin zum Großteil für Blended Learning ausgesprochen. Die Hochschule, als Ort des Lernens und der persönlichen Begegnungen, schätzen sie sehr. Dennoch besteht der Wunsch nach mehr Flexibilität bei Lernzeiten und -orten, was wohl nur durch mehr Online-Anteile erreicht werden kann. Zudem haben Studierende die Vision von weniger, aber dafür besseren Präsenzveranstaltungen mit innovativen Lehr - und Lernformaten wie dem Inverted Classroom. Für die Hochschule der Zukunft sind kollaborative Lernräume, Open Educational Ressources (OER), mehr Feedback durch Digitale Coaches oder Dozierende, weniger geschriebene Klausuren, mehr mündliche Prüfungen oder Digital Storytelling2 weitere Bausteine [Kocian 2016].

2

Digital Storytelling ist ein relativ neuer Begriff und bezeichnet eine Kurzform der digitalen Filmproduktion, die es jedermann ermöglicht, Teile der eigenen Lebensgeschichte weiterzugeben.

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3 MATEX trifft auf digitale Lehre

Mediendidaktisches Konzept Didaktisches Design hat die Aufgabe, mit dem Einsatz und der Gestaltung von Medien das Lehren und Lernen zu verbessern. Damit entstehen Überlegungen und Empfehlungen, wie man Medien für verschiedene Lehr- und Lernsituationen auswählt, kombiniert, einsetzt und bewertet. Eine Teilaufgabe des Didaktischen Designs ist die Herstellung und Gestaltung von Medien im Sinne einer „gestaltungsorientierten Mediendidaktik“. Didaktische Entscheidungen lassen sich nicht auf die Frage der „richtigen“ Methodik reduzieren. Es handelt sich dabei vielmehr um einen komplexen Prozess, der Zielgruppen, Lerninhalte und -ziele sowie Rahmenbedingungen (Kosten, Ressourcen, Erwartungen etc.) berücksichtigen muss. Mit dieser gestaltungsorientierten Perspektive wendet sich die Mediendidaktik ab von der Identifikation der „besten Methode“ und hin zu der Frage, wann welches Modell sich wie und mit welchen Ergebnissen einsetzen lässt bzw. wie solche Entscheidungen systematisch getroffen werden können. Die Entwicklung geht damit von der Methodenzentrierung zur Gestaltungsorientierung, siehe [Kerres et al. 2003]. Die gestaltungsorientierte Mediendidaktik fokussiert dabei die systematische Ableitung von Konzepten unter Berücksichtigung folgender Aspekte: • • • •

Benennung des Bildungsproblems, Merkmale der Zielgruppe, didaktische Aufbereitung der Lernangebote, Funktion der gewählten Medien.

Die Konzeption beginnt mit der Benennung eines Bildungsproblems, d. h. der Bestimmung einer Zielgruppe und der Benennung von Lehrinhalten und -zielen. Dies ist der Ausgangspunkt jeder professionellen Planung von Kommunikation. Eine erfolgreiche Kommunikationsstrategie beruht auf einer genauen Kenntnis von Zielgruppe und Kommunikationsinhalten und -zielen. Wie in Kapitel 3.2 dargestellt, schränken wir uns inhaltlich auf die fundamentalen Ideen, Verfahren und Methoden der Höheren Mathematik aus den ersten zwei Semestern ein. Die Zielgruppe lässt sich anhand folgender zentraler Merkmale beschreiben (nähere Erläuterungen in [Kerres 2001]): soziodemografische Daten, Vorwissen, Motivation, Lerngewohnheiten, Lerndauer, Einstellungen und Erfahrungen, Lernorte und Medienzugang. Es ist zu benennen, was die Zielgruppe nach dem Durcharbeiten des Lernangebotes können und an welchen Parametern sich dies äußern sollte. Die Zielgruppe, für die im folgenden Abschnitt ein didaktisches Konzept vorgeschlagen werden soll, sind die Studierenden der Ingenieurwissenschaften an einer Hochschule in der Studieneingangsphase, also den ersten zwei Semestern. Ferner wird vorausgesetzt, dass jeder der Studierenden über ein mobiles Endgerät mit Internetzugang verfügt. Die didaktische Methodik beschäftigt sich mit der Aufbereitung von Lehrinhalten zu Lernangeboten und deren logischer und zeitlicher Organisation. Lernangebote können z. B. didaktisch aufbereitete Materialien sein. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass deren Bearbeitung gezielt bestimmte Lernerfahrungen anregen soll. Zudem sind sie bewusst für Lernzwecke entwickelt. Es geht grundsätzlich um die Frage, wie Fakten, komplexe Zusammenhänge, Abläufe, Prozesse etc. aufbereitet werden müssen, damit Lernen stattfinden kann und ein Lernerfolg eintritt. Im Zusammenhang mit MATEX stellen offene/halboffene

3.4 Empfehlungen für den Einsatz von MATEX in der Lehre

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Aufgaben (sowie die zugehörigen Lösungen) zu zentralen Themen der Höheren Mathematik (I/II) wie auch der Web-basierte Zugang zur Software die didaktisch aufbereiteten Materialien dar. Wichtige Kriterien für die Bestimmung eines Lernerfolgs sind z. B. die Dauerhaftigkeit und Generalisierbarkeit eines Kompetenzerwerbs sowie der Lerntransfer, die durch Tests bzw. im Fall von MATEX durch Selbsttests kontrolliert werden können. Für die Mediendidaktik stellt sich insbesondere die folgende Frage: Wie ist der Interaktionsraum des Mediums zu gestalten, um solche Lernerfolge zu sichern bzw. zu erhöhen? Uns scheint dabei ein hybrides Lernarrangement aus Inverted Classroom, Mobile Learning und Bring Your Own Device für MATEX geeignet zu sein, worauf folgend näher eingegangen wird.

Inverted Classroom, Mobile Learning und BYOD Die Kombination von Inverted Classroom, Mobile Learning und Bring Your Own Device bietet sich für den Einsatz von MATEX aus unserer Sicht an. Um das Zusammenspiel dieser Methoden zu verdeutlichen, gehen wir im Folgenden detailliert auf ihren Einsatz in der Distanz- und Präsenzphase ein. Eine Visualisierung findet man in Abb. 3.2 und Abb. 3.3. E-Learning – Distanzphase Die Distanzphase, in der sich Studierende individuell Inhalte eigenständig aneignen, kann orts- und zeitunabhängig gestaltet werden. Hier kann beispielsweise das Mathematiklehrbuch [Arens et al. 2015] verwendet werden, an das sich das vorliegende Buch fachlich anlehnt. Bei dem Modell des Inverted Classroom ist üblicherweise eine Möglichkeit der direkten Nachfrage nicht gegeben. Die vorgestellte Software MATEX weist jedoch die Fähigkeit auf, diesem Bedarf nachkommen zu können, zumindest, wenn sich die aufkommenden Fragen auf die konkreten Aufgabenstellungen oder das Verständnis der zu vermittelnden Methoden beschränken. Somit lässt sich MATEX u. U. für bestimmte Fragestellungen bereits in der Distanzphase einsetzen, siehe Abb. 3.2, wobei hier die Methoden des Mobile Learning oder auch des Microlearning zum Einsatz kommen können. Zusätzlich möchten wir an dieser Stelle auf den Begriff des selbstbestimmten (oder selbstgesteuerten) Lernens eingehen. Damit wird ein Ansatz bezeichnet, bei dem Lernende selbst bestimmen, was sie wann, wo, wie und mit wem zusammen lernen und dadurch ihre Lebensqualität erhöhen, weil sie so weniger stark fremdbestimmt sind und ihrem eigenen Lernrhythmus folgen können [Gage et al. 1996]. Die Software MATEX berücksichtigt folgende Aspekte des selbstbestimmten Lernens: • Dank der Webschnittstelle sowie mobiler Endgeräte ist MATEX immer und fast überall verfügbar, was im informationstechnologischen Kontext oft als Ubiquität bezeichnet wird. • Durch die Möglichkeit, Aufgabenstellungen selbst konzipieren zu dürfen, bestimmt der Lernende im gewissen Grad individuell die Lerninhalte.

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3 MATEX trifft auf digitale Lehre

Abb. 3.2: Vorgeschlagenes didaktisches Design für die Distanzphase

Zusammenfassend lässt sich folgende Eigenschaft der Software aufstellen, die wir in Zusammenhang mit der Distanzphase bringen: MATEX fördert ein selbstbestimmtes Lernen. Die Erfahrung mit der entwickelten Software zeigt, siehe Kapitel 3.5, dass ein Abweichen von der Inverted-Classroom-Methode durch Einbinden der MATEX-Elemente in die Präsenzvorlesung auch konzentrationsreiche, intensive Arbeitsphasen mit sich bringt. Übung – Präsenzphase In der Präsenzveranstaltung setzen sich Studierende mit Unterstützung des Lehrenden mit Übungsaufgaben auseinander und erarbeiten kollektiv Lösungen. Die Themen der MATEX-Generatoren wurden vom Autorenteam ebenfalls stützend auf [Arens et al. 2015] bzw. [Arens et al. 2016] ausgewählt, sodass die wichtigsten Inhaltspunkte der Höheren Mathematik (I/II) sich darin wiederfinden lassen und ein nahezu flächendeckendes Einsetzen der Software über das ganze Semester möglich ist. Hierbei hat der Lehrende sogar die Möglichkeit, die Studierenden mittels MATEX nach dem Bring-Your-Own-DeviceUnterrichtskonzept, vgl. Kapitel 3.3, individuell Aufgaben konstruieren und lösen zu lassen oder die Studierenden dabei zu betreuen. Siehe dazu auch Kapitel 3.5 über die Lehrerfahrung mit MATEX. Für die Präsenzphase möchten wir vorschlagen, z. B. anhand einer Gegenüberstellung von mehreren mit MATEX gelösten Aufgaben, Zusammenhänge zu beleuchten, vom Allgemeinen auf das Einzelne Schlüsse zu ziehen sowie das Gesetzhafte am Einzelnen zu bestätigen, siehe Abb. 3.3. Ein konkretes Beispiel soll im nächsten Abschnitt geschildert werden.

3.4 Empfehlungen für den Einsatz von MATEX in der Lehre

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Abb. 3.3: Vorgeschlagenes didaktisches Design für die Präsenzphase

Anstoßen von Verstehensprozessen Verstehen ist ein konstruktiver Prozess. Die individuelle Wissenskonstruktion kann anhand geeigneter Vertiefungsfragen in eine sinnvolle Richtung gelenkt werden, was der diskursiven Art der Auseinandersetzung mit Lerninhalten entspricht. Fachliche Inhalte wie z. B. eine Formel sollen „gedreht und gewendet“, also von verschiedenen Seiten betrachtet werden. Dieses Vorgehen ermöglicht ein tieferes Verständnis und führt zu einer längerfristigen Verankerung im Gedächtnis. Durch die Anwendung von MATEX auf mehrere ausgesuchte Aufgaben/Situationen eines Aufgabentyps sowie durch Gegenüberstellung ihrer Lösungswege können die Besonderheiten eines Themas sichtbar gemacht werden. So kann beispielsweise der Einfluss der Folge (an ) auf den Konvergenzradius einer Potenzreihe ! ∞

∑ an (x − x0 )n

n=n0

mit dem Generator aus Kapitel 6.3 sehr schön veranschaulicht werden, indem man nach dem Prinzip der Didaktischen Reduktion, vgl. [Lehner 2012] bzw. [Bentz et al. 2015b], für wesentliche Folgentypen wie an = 1,

an = n,

an = nn ,

1 an = , n

an =

1 , n!

an = 2n ,

an = 2−n

die Berechnungen bzw. Ergebnisse gegenüberstellt und die Unterschiede betont. Weitere Vorschläge für den Einsatz von MATEX zur Anregung von Verstehensprozessen findet man im Abschnitt 11.2 über Animationen.

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3 MATEX trifft auf digitale Lehre

Erstellen von Grafiken Für Studierende sind Darstellungen und Visualisierungen hilfreich bzw. fachidentitätsstiftend. Grafiken ordnen das Wissen entlang von Standardproblemen und Standardanwendungen. Sinnvoll konzipierte Visualisierungen, vgl. [Gruber et al. 2001], steigern die Lernleistung. Daher sind die Lösungen der meisten Generatoren von MATEX mit einer Abbildung angereichert, wobei auf die folgenden Hinweise geachtet wurde: • Visualisierungen sollen das gesprochene Wort unterstützen. • Sie sollen eine didaktische Funktion haben. • Sie sollen didaktisch aufbereitet werden, damit nach Möglichkeit nur die relevanten Informationen transportiert, die irrelevanten jedoch ausgeblendet werden. • Sie sollen maßvoll eingesetzt werden, da sie möglicherweise die gesamte Aufmerksamkeit auf sich ziehen und eventuell vom Lerngegenstand ablenken.

3.5 Erste Lehrerfahrungen mit MATEX Die Premiere von MATEX fand im Wintersemester 2016/17 in einer Veranstaltung des MINT-Kollegs zur Höheren Mathematik II am Karlsruher Institut für Technologie statt. Der Generator für lokale Extremwertbestimmung für Funktionen f : R2 → R, siehe Kapitel 8.1, wurde live in die Veranstaltung eingebunden. Studierende der Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik im 2. Semester durften während der Vorlesung eigens konstruierte Aufgaben zuerst von Hand und anschließend mit MATEX lösen sowie die Ergebnisse vergleichen. Dabei kamen ausschließlich private mobile Endgeräte wie Smartphones zum Einsatz. Innerhalb einer halben Stunde wurden auf diese Weise von 20 anwesenden Studierenden ca. 40 individuelle Aufgaben konzipiert und behandelt. Der Dozent ging während dieser Zeit auf individuelle Fragen der Studierenden beim Lösen der Aufgaben ein. Im Sommersemester 2017 wurden an der Hochschule Esslingen neue Übungsblätter für die Vorlesung Mathematik 1A (Analysis) mit Unterstützung von MATEX konzipiert. Insbesondere wurden die Übungsaufgaben zum Thema Kurvendiskussion mit dem zugehörigen Generator, siehe Kapitel 6.4, erstellt. Dabei wurde die vom Generator mitgelieferten TEX-Datei der Aufgabenstellung als Basis für das PDF des Übungsblattes verwendet. Im selben Semester wurde MATEX im Rahmen einer fachlichen Betreuung von Studierenden, dem sogenannten Helpdesk, am Karlsruher Institut für Technologie verwendet. Die Besonderheit des Helpdesks bestand darin, dass Studierende der ersten zwei Semester aller Studienfachrichtungen einzeln oder in Lerngruppen ohne Terminvereinbarung sich an die zuständigen Dozenten mit ihren fachlichen Fragen wenden konnten. Hier kam u. a. der Generator zum Lösen von linearen Gleichungssystemen zum Einsatz, siehe Kapitel 7.1, damit die Lösungen und die Lösungswege der Studierenden rasch überprüft werden konnten, ohne sie von Hand nachrechnen zu müssen. Damit haben sich in diesem Szenario die MATEX-Generatoren als sehr hilfreich erwiesen. Auch für die Konzeption von Klausuraufgaben wurde MATEX bereits eingesetzt. So wurde im Wintersemester 2017/18 am Mathematischen Institut der Hochschule Esslingen

3.5 Erste Lehrerfahrungen mit MATEX

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der Generator für Eigenwertprobleme, siehe Kapitel 7.6, verwendet, um eine geeignete Aufgabenstellung im Rahmen der Klausur in Mathematik 1B (lineare Algebra) zu finden. Im Konkreten hat der Dozent verschiedene Matrizen mit dem Generator getestet sowie diejenige Matrix ausgewählt, deren Eigenwertzerlegung dem Niveau einer Klausuraufgabe entspricht. Er hat also eine geeignete Matrix ausgesucht, das Eigenwertproblem mittels MATEX gelöst und den Lösungsweg von MATEX in die Klausurdokumentation aufgenommen. Der Generator für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, siehe Kapitel 9.2, welche mittels der Laplace-Transformation gelöst werden, fand erfolgreich seine Anwendung im Themenbereich der Integraltransformationen der Klausur im Fach Mathematik 3. Hier wurde mittels MATEX beim Anfangswertproblem vom Typ y00 (t) + y(t) = g(t),

y(0) = a, y0 (0) = b

die rechte Seite g sowie die Anfangswerte a und b durch eine Gegenüberstellung von mehreren Variationen dieser Aufgabe so ausgewählt, dass ein gewünschter Schwierigkeitsgrad erzielt wurde und beim Lösen sowohl die Korrespondenztabelle als auch eine Eigenschaft der Laplace-Transformation angewandt werden musste. Das heißt, im Lösungsweg wurden sinnvollerweise mehrere inhaltliche Aspekte abgefragt. Darüber hinaus wurde die Ausgabe von MATEX als Lösungsvorschlag in die interne Dokumentation der Klausur aufgenommen.

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3 MATEX trifft auf digitale Lehre

Literaturverzeichnis Arens et al. 2015. Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, C., Kockelkorn, U., Lichtenegger, K., Stachel, H.: Mathematik, 3. Auflage, Springer Spektrum 2015 Arens et al. 2016. Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, C., Kockelkorn, U., Lichtenegger, K., Stachel, H.: Arbeitsbuch Mathematik, 3. Auflage, Springer Spektrum 2016 Baumgartner et al. 1994. Baumgartner, P., Payr, S.: Lernen mit Software, StudienVerlag, Innsbruck 1994 Bentz et al. 2015b. Bentz, T., Helfrich-Schkarbanenko, A., Koß, R., Nitsche, A.: Ressourcenökonomische Erstellung von Materialien für Lehrende und Lernende in der Studieneingangsphase, MINTTENDRIN – Lehre im Dialog, Tagungsband zum 2. HDMINT-Symposium 2015 Berger et al. 2015. Berger, L., Spannagel, C., Grzega, J. (Hrsg.): Lernen durch Lehren im Fokus. Berichte von LdL-Einsteigern und LdL-Experten, epubli 2015 Blömke et al. 2006. Blömke, S., Risse, J., Müller, Ch., Eichler, D. Schulz, W.: Analyse der Qualität von Aufgaben aus didaktischer und fachlicher Sicht. Ein allgemeines Modell und seine exemplarische Umsetzung im Unterrichtsfach Mathematik, Unterrichtswissenschaft 34 (2006) 4 Dittler et al. 2016. Dittler, U., Kreidl, Ch.: SmartDevices in der Vorlesung: unterstützendes Lernmittel oder störende Ablenkung?, Die Neue Hochschule, Hochschullehrerverbund, Heft 4 (2016) Erpenbeck et al. 2015. Erpenbeck, J., Sauter, S., Sauter, W.: E-Learning und Blended Learning, Selbstgesteuerte Lernprozesse zum Wissensaufbau und zur Qualifizierung, Springer Gabler 2015 Eggert 2014. Eggert, W. (Hrsg.): Gabler Wirtschaftslexikon, Springer Gabler, 18. Auflage, http:// wirtschaftslexikon.gabler.de, 2014 Gage et al. 1996. Gage, N., L., Berliner, D., C. (Hrsg.): Pädagogische Psychologie, 5., überarbeitete Auflage, Psychologie Verlags Union, 1996 Großknuth et al. 2016. Großkurth, E.-M. (Hrsg.), Handke, J. (Hrsg.): Inverted Classroom and Beyond: Lehren und Lernen im 21. Jahrhundert, Tectum Verlag 2016 Gruber et al. 2001. Gruber, H., Hawelka, B.: Lerntheoretische Ansätze und ihrer Bedeutung für die neuen Medien. Hessische Blätter für Volksbildung 51, S. 293–302, 2001 Handke 2015. Handke, J.: Handbuch Hochschullehre Digital: Leitfaden für eine moderne und mediengerechte Lehre, Tectum Wissenschaftsverlag 2015 Hawelka et al. 2007. Hawelka, B., Hammerl, M., Gruber, H.: Förderung von Kompetenzen in der Hochschullehre, Asanger 2007 Heymann 1996. Heymann, H. W.: Allgemeinbildung und Mathematik. Beltz, 1996 Kerres 2001. Kerres, M.: Multimediale und telemediale Lernumgebungen. Konzeption und Entwicklung, 2. Auflage, Oldenbourg 2001 Kerres et al. 2003. Kerres, M., de Witt, C., Stratmann, J.: E-Learning. Didaktische Konzepte für erfolgreiches Lernen, Jahrbuch Personalentwicklung & Weiterbildung 2003 (hrsg. von K. Schwuchow, J. Guttmann), Luchterhand Verlag 2002 Kocian 2016. Kocian, C.: Digitale Transformation der Hochschulen: Einsichten aus einem Innovation Camp mit Studierenden, Die Neue Hochschule, Hochschullehrerverbund, Heft 4, 2016 Lehner 2012. Lehner, M.: Didaktische Reduktion, Haupt UTB 2012 Leisen 2006. Leisen, J.: Aufgabenkultur im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht, MNU 59/5, S. 260–266, Verlag Klaus Seeberger 2006 Maier et al. 2010. Maier, U., Kleinknecht, M., Metz, K., Bohl, Th.: Ein allgemeindidaktisches Kategoriensystem zur Analyse des kognitiven Potenzials von Aufgaben, Beiträge zur Lehrerinnen- und Lehrerbildung 28 (2010) 1, S. 84–96 Thonhauser 2008. Thonhauser, J. (Hrsg.): Aufgaben als Katalysatoren von Lernprozessen, Eine zentrale Komponente organisierten Lehrens und Lernens aus der Sicht von Lernforschung, Allgemeiner Didaktik und Fachdidaktik, Waxmann 2008 Weiser 1991. Weiser, M.: The Computer for the 21st Century. Scientific American 265(3), S. 94–104, 1991 Zeitler 2016. Zeitler, W.: Humboldt Digital: E-Learning oder I-Learning?, Die Neue Hochschule, Heft 2, 2016 Zichermann et al. 2011. Zichermann, G., Cunningham, Ch.: Gamification by Design, Implementing Game Mechanics in Web and Mobile Apps, O’Reilly, 2011

Kapitel 4

Handgriffe und Programmieraufgaben

Ephemeralization – doing more and more with less and less until eventually you can do everything with nothing. R. Buckminster Fuller (1895 − 1983), amerikanischer Architekt, Konstrukteur und Visionär

Lesen, Schreiben, Rechnen bleiben notwendige Grundfähigkeiten; das Programmieren kommt aber noch dazu. Aus der Rede von Bundeskanzlerin Angela Merkel zur Eröffnung der CeBIT 2017

Zusammenfassung Die Fähigkeit, mit einem Rechner zu kommunizieren und Computer-programme zu schreiben, ist eine Grundfähigkeit in der heutigen Gesellschaft. Wenn Menschen lernen, Programme zu schreiben, lernen sie wichtige Strategien zum Lösen von Problemen, zum Entwerfen von Projekten und zum Vermitteln von Ideen „Lerne zu programmieren. Programmiere, um zu lernen.“ Die vorliegende Sammlung von Programmieraufgaben mit Lösungsvorschlägen richtet sich an Interessenten mit MATLAB-Programmiererfahrung. Sie dient dem Nachvollziehen der Arbeitsweise der Software MATEX und eignet sich als Ausgangspunkt für die Umsetzung eigener Ideen. In Kapitel 4.1 werden Grundbausteine eines Generators vorgeführt, die im anschließenden Kapitel 4.2 zu einem Generator zusammengesetzt werden. Einige mit diesem Generator erstellte Aufgaben werden im Teil II des Buches vorgestellt.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018 A. Helfrich-Schkarbanenko et al., Mathematische Aufgaben und Lösungen automatisch generieren, https://doi.org/10.1007/978-3-662-57778-3_4

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4 Handgriffe und Programmieraufgaben

4.1 Grundbausteine eines Aufgabengenerators Das Ziel dieses Kapitels besteht darin, dem Leser vorzuführen, wie man einen Quelltext prinzipiell entwickelt, mit dem man eine mathematische Aufgabe automatisch lösen bzw. die zugehörige Dokumentation, d. h. die Aufgabenstellung sowie den ausführlichen Lösungsweg in LATEX erstellen lassen kann. Die Umsetzung dieser relativ komplizierten Vorgänge wurde durch ein Zusammenspiel von MATLAB, Symbolic Math Toolbox sowie LATEX umgesetzt und soll hier am Beispiel der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0

(4.1)

für reelle Koeffizienten a 6= 0, b, c anhand von Programmieraufgaben bzw. Lösungsvorschlägen demonstriert bzw. erläutert werden. Dieser Generator ist somit thematisch auch für Lehrende und Lernende aus dem Bereich der Schulmathematik von Bedeutung. Die im MATLAB-Quelltext aus LATEX-Elementen zusammengestellte Aufgabenstellung sowie der Lösungsweg sind zwecks Übersicht farbig (in Blau) hervorgehoben. Wir betonen an dieser Stelle, dass in MATLAB Arrays bzw. Matrizen auf vielfältige Weise erzeugt werden können, siehe [Schweizer 2013]. In diesem Werk schränken wir uns auf die explizite Eingabe ein, wobei die Zuweisung der Werte auf eine Variable erfolgt. Folgende Regeln sind dabei zu beachten: • Die einzelnen Einträge innerhalb einer Zeile (row) werden durch Leerzeichen (blanks) oder bevorzugt durch Beistriche (commas) getrennt. • Der Strichpunkt (semicolon) schließt eine Zeile ab. • Die gesamte Liste der Einträge wird in eckige Klammern [] gestellt. Die erste Aufgabe befasst sich mit der symbolischen Formulierung bzw. Behandlung eines einfachen Nullstellenproblems. Aufgabe 4.1.1 (Lösen von Gleichungen) Betrachten Sie die Gleichung (4.1). a) Schreiben Sie ein MATLAB-Skript, in dem Sie die Gleichung für a = 1, b = −3/2, c = −1 mittels der Befehle syms bzw. solve lösen. Ordnen Sie der Lösungsmenge den Namen L zu. b) Testen Sie Ihren Quelltext für die Parameter a = 1, b = 0, c = 0 bzw. a = 1, b = 0, c = −1. Verifizieren Sie dabei, dass Symbolic Math Toolbox im letzteren Fall eine komplexwertige Lösung liefert. Lösungsvorschlag Eine symbolische Variable lässt sich in Symbolic Math Toolbox mittels des Befehls syms deklarieren, [MathWorks 2015]. Eine Möglichkeit, die Teilaufgabe a) zu lösen, wäre: clear all ; % Loeschen aller in Workspace vorhandenen Variablen syms x ; % x als symbolische Variable einfuehren L = solve ( x ^2 −3/2∗x −1==0)

Alternativ kann man die linke Seite der Gleichung mit p bezeichnen, die dadurch automatisch zu einer symbolischen Funktion wird:

4.1 Grundbausteine eines Aufgabengenerators

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clear all ; syms x ; p ( x ) = x ^2 −3/2∗x −1; L = solve ( p ( x ) ==0)

Es bietet sich aber auch an, Variablen für die Polynomkoeffizienten einzuführen: clear all ; syms x ; a = 1 ; b = −3/2; c = −1; % Koeffizienten des Polynoms p p ( x ) = a∗x ^2+ b∗x+c ; L = solve ( p ( x ) ==0)

Für den Fall a = 1, b = −3/2, c = −1 lautet die Ausgabe: L = −1/2 2

Die Lösungsmenge ist hier ein Vektor. Die einzelnen Komponenten davon lassen sich durch L(1) und L(2) ansprechen. Für die Parameterwerte a = 1, b = 0 und c = 1 lautet die Ausgabe: L = −1i 1i

Aufgabe 4.1.2 (Aufgabenstellung formulieren und Ergebnis angeben) Für vorgegebene Parameter a, b, c soll das in Aufgabe 4.1.1 aufgestellte Skript wie folgt erweitert werden: Eine Aufgabenstellung soll formuliert und im Command Window ausgegeben werden. Verwenden Sie die Befehle disp, char (für symbolische Eingabeparameter), num2str sowie length. Lösungsvorschlag clear all ; syms x ; % Symbolische Variablen a = 1 ; b = −3/2; c = −1; % Koeffizienten des Polynoms p p ( x ) = a∗x ^2+ b∗x+c ; %% Aufgabenstellung formulieren Text = [ ’Loesen Sie die quadratische Gleichung ’ , . . . char ( p ( x ) ) , ’ = 0.’ ] ; disp ( Text ) ; %% Gleichung loesen und Ergebnis anzeigen L = solve ( p ( x ) ==0) ; disp ( ’Ergebnis : ’ ) ; for n = 1 : length ( L ) disp ( [ ’x’ , num2str ( n ) , ’=’ , char ( L ( n ) ) , ’; ’ ] ) ; end

48

4 Handgriffe und Programmieraufgaben

Der obige Quelltext liefert somit folgende Aufgabe: Loesen Sie die quadratische Gleichung x ^2 − ( 3 ∗ x ) / 2 − 1 = 0 . Ergebnis : x1 = −1/2; x2 = 2 ;

Aufgabe 4.1.3 (LATEX-Datei anlegen) a) Die in Aufgabe 4.1.2 im Befehlsfenster mittels disp ausgegebenen Zeichenketten (Strings) sollen im LATEX-Textsatzsystem dargestellt werden. Verwenden Sie anstatt num2str die Befehle latex und sym. b) Das Ergebnis soll in einer kleinen Schriftgröße und grauen Textfarbe erscheinen. Verwenden Sie hierfür die LATEX-Befehle \footnotesize sowie \textcolor. c) Speichern Sie die in Teilaufgabe a) erstellte Ausgabe in einer LATEX-Datei mit dem Namen „Aufgabe3.tex“ ab. Verwenden Sie hierfür fopen(...,’wt’), fprintf, fclose. Hinweis: Verwenden Sie zum Kompilieren der LATEX-Datei eine geeignete Rahmendatei namens „Rahmen.tex“, die beispielsweise so aussehen könnte: \ documentclass { article } \ usepackage { xcolor } \ usepackage { graphicx } \ begin { document } \ input { Aufgabe3 . tex } \ end { document }

Lösungsvorschlag Die gewünschten LATEX-Dateien werden innerhalb von MATLAB unter Verwendung von file I/O- sowie String-Funktionen erzeugt. Dabei ist zu beachten, dass ein Backslash (\) innerhalb eines MATLAB-Strings ein Maskierungszeichen (escape character) repräsentiert, welches verhindert, dass das nachfolgende Zeichen von MATLAB als Funktionssymbol erkannt wird. Um einen (einzelnen) Backslash als Zeichen (und nicht als Funktionssymbol) in einer LATEX-Ausgabedatei zu erhalten, muss dieser innerhalb eines MATLABStrings mit einem weiteren Backslash maskiert werden. Unter den Strings gibt es also Sonderzeichen, wie z. B. \\, das für Backslash steht, oder \n, das als Zeilensprung interpretiert wird. Beide Sonderzeichen spielen beim Erstellen der LATEX-Dateien eine große Rolle. Wir demonstrieren dieses Verhalten anhand einiger Beispiele: Text = [’Die Ableitung lautet: \\newline’];

Da \\ von MATLAB in einer LATEX-Datei als \ abgespeichert wird, ergibt \\newline in der LATEX-Datei die Zeichenkette \newline, die folglich als ein Zeilenumbruch interpretiert wird. Somit endet die Zeile Text = [’Die Ableitung lautet: \\\\’]; in der LATEX-Datei mit \\, d. h. mit einem Zeilenumbruch. Die Kombination von \\\\ sowie \n Text = [’Die Ableitung lautet: \\\\ \n’]; führt somit zu einem Zeilenumbruch und anschließend zu einem Zeilensprung. Durch das Argument ’wt’ des MATLAB-Befehls fopen (siehe Beispiel unten) wird der Zugriff auf die Datei spezifiziert. Dabei steht w für ein Öffnen einer vorhandenen oder Anlegen einer neuen Datei. Der eventuell vorhandene

4.1 Grundbausteine eines Aufgabengenerators

49

Inhalt wird dabei verworfen. Durch die Spezifikation t wird die Datei im Textmodus geöffnet. Ein Text oder auch numerische Ergebnisse können mithilfe des MATLAB-Befehls fprintf in einer Datei hinzugefügt werden: Text = [’Die Ableitung lautet:’]; fprintf(fID, Text);

Zusammen ergibt sich der folgende Lösungsvorschlag: clear all ; fID = fopen ( ’Aufgabe3 .tex ’ , ’wt’ ) ; syms x ; % Symbolische Variablen a = 1 ; b = −3/2; c = −1; % Koeffizienten des Polynoms p p ( x ) = a∗x ^2+ b∗x+c ; %% Aufgabenstellung formulieren Text = [ ’\\ textbf { Aufgabe }: L\\" osen Sie die Gleichung \n \\[ \n ’ ] ; fprintf ( fID , Text ) ; Text = latex ( p ( x ) ) ; % latex - Befehl kann ’\’- Zeichen erstellen , deshalb ersetzen : Text = strrep ( Text , ’\’ , ’\\’ ) ; fprintf ( fID , Text ) ; Text = ’ \\ = \\ 0. \n \\] \n ’ ; fprintf ( fID , Text ) ; %% Gleichung loesen und Ergebnis anzeigen L = solve ( p ( x ) ==0) ; fprintf ( fID , ’\\ footnotesize {\\ textcolor {gray }{ Ergebnis : \n ’ ) ; Trennz = ’;’ ; for n = 1 : length ( L ) if n==length ( L ) Trennz = ’’ ; end Text = [ ’$x_{’ , num2str ( n ) , ’}=’ , latex ( L ( n ) ) , ’$’ , Trennz , ’ ’ ] ; % latex - Befehl kann ’\’- Zeichen erstellen : Text = strrep ( Text , ’\’ , ’\\’ ) ; Text = [ Text , ’ \n ’ ] ; fprintf ( fID , Text ) ; end fprintf ( fID , ’}}’ ) ; fclose ( fID ) ;

Inhalt der erstellten LATEX-Datei Aufgabe3.tex: \ textbf { Aufgabe } : L \ " osen Sie die Gleichung \[ x ^2 −\ frac { 3 \ , x}{2}−1 \ = \ 0 . \] \ footnotesize { \ textcolor { gray }{ Ergebnis : $x_ {1}= −\ frac {1}{2} $ ; $x_ {2}=2 $ }}

50

4 Handgriffe und Programmieraufgaben

Kompilierter LATEX-Quelltext (Datei „Rahmen.tex“): Aufgabe: Lösen Sie die Gleichung x2 −

3x − 1 = 0. 2

Ergebnis: x1 = − 12 ; x2 = 2

Aufgabe 4.1.4 (Funktion für Sonderzeichenbehandlung) Im Lösungsvorschlag 4.1.3 fällt auf, dass die Behandlung der Sonderzeichen bzw. das Abspeichern relativ oft im Quelltext vorkommen. Diese Operationen sollen daher in eine Funktion appendContent(Text) ausgelagert werden, die einen vorgegebenen String wie folgt behandelt: a) Das in einem String vorhandene Zeichen \ soll durch das Sonderzeichen \\ mittels des MATLAB-Befehls strrep ersetzt werden. Dabei muss das Sonderzeichen für den Zeilensprung \n unverändert bleiben. b) Der u. U. geänderte String soll an die geöffnete LATEX-Datei mittels fprintf angehängt werden. c) Schreiben Sie den Quelltext der Aufgabe 4.1.3 unter Verwendung der neuen Funktion append_content um. Lösungsvorschlag Die Teilaufgaben a) und b) lassen sich z. B. wie folgt umsetzen. Damit die Funktion nicht fälschlicherweise bei allen LATEX-Befehlen, die mit ’n’ anfangen wie z. B. \newline, die Änderung vornimmt, nehmen wir eine Konvention vor: Dem Sonderzeichen \n soll stets eine Leerstelle folgen. Dank dieser Konvention ist die Funktion nur wenige Zeilen lang. function append_content ( fID , Text ) Text = strrep ( Text , ’\’ , ’\\’ ) ; Text = strrep ( Text , ’\\n ’ , ’\n ’ ) ; fprintf ( fID , Text ) ; end

Unter Verwendung der Funktion append_content reduziert sich der Quelltext der Aufgabe 4.1.3. Mittels einer Hintereinanderschaltung der Texte durch Text=[Text, ’neuer Text’]; und erst anschließender Abspeicherung durch die Funktion append_content lässt sich der Quelltext noch schlanker gestalten. clear all ; fID = fopen ( ’Aufgabe4 .tex ’ , ’wt’ ) ; syms x ; % Symbolische Variablen a = 1 ; b = −3/2; c = −1; % Koeffizienten des Polynoms p p ( x ) = a∗x ^2+ b∗x+c ; %% Aufgabenstellung formulieren

4.1 Grundbausteine eines Aufgabengenerators

51

Text = [ ’\ textbf { Aufgabe }: L\" osen Sie die Gleichung \n \[ \n ’ , . . . latex ( p ( x ) ) , ’\ = \ 0. \n \] \n ’ ] ; appendContent ( fID , Text ) ; %% Gleichung loesen und Ergebnis anzeigen L = solve ( p ( x ) ==0) ; fprintf ( fID , ’\\ footnotesize {\\ textcolor {gray }{ Ergebnis : \n ’ ) ; Trennz = ’;’ ; for n = 1 : length ( L ) if n==length ( L ) Trennz = ’’ ; end Text = [ ’$x_{’ , num2str ( n ) , ’}=’ , latex ( L ( n ) ) , ’$’ , Trennz , ’ \n ’ ] ; appendContent ( fID , Text ) ; end appendContent ( fID , ’}}’ ) ; fclose ( fID ) ;

Die in den Aufgaben 4.1.3 bzw. 4.1.4 erstellten LATEX-Dateien stimmen überein, was auch zu erwarten war. Aufgabe 4.1.5 (Ausführliche Lösung erstellen) Lösen Sie die quadratische Gleichung für vorgegebene Koeffizienten mittels der sog. a-b-cFormel und stellen Sie den Rechenweg in LATEX dar. Verwenden Sie u. a. die in Aufgabe 4.1.4 aufgestellte Funktion append_content. Lösungsvorschlag Der Umsetzung der Aufgabe möchten wir einige wichtige Bemerkungen vorausschicken. 2 Ein symbolischer Ausdruck 32x − π 2 lässt sich sehr elegant durch latex(3/2∗x^2−sym(pi)^2)

im LATEX-Textsatzsystem darstellen [MathWorks 2015]: \frac{3\,x^2}{2}-\pi ^2. Der Befehl sym(pi) zwingt MATLAB, die vordefinierte Variable pi als symbolische Variable zu behandeln und nicht als Zahl 3.141592653589793. So liefert z. B. die Eingabe latex( sym(pi)^2 )

das gewünschte Ergebnis \pi ^2. Die Eingabe latex(sym( pi^2 ))

liefert dagegen das Ergebnis \frac{2778046668940015}{281474976710656}. Hier wurde zuerst der numerische Wert der Zahl π quadriert und danach symbolisch (als Bruch) dargestellt. In Kombination mit nichtsymbolischen Termen, wie z. B. einer Variable a vom Typ double mit dem Wert a=3/2, liefert die Befehlskette latex(a∗x^2−sym(pi)^2), wobei x eine symbolische Variable ist, das gewünschte Resultat

52

4 Handgriffe und Programmieraufgaben

\frac{3\,x^2}{2}-\pi ^2. Falls latex einen Term in nicht verkürzter Form darstellt, kann diese u. U. mittels latex(simplify(f,’Steps’,20))

erzwungen werden. So ergibt z. B. die Eingabe simplify((x+1)∗(x−1)) die äquivalente Darstellung x^2−1. Da die MATLAB-Befehle keine Zwischenschritte der Berechnungen liefern bzw. diese schwer zugänglich sind (kein Streaming vorhanden), müssen diese für unsere Zwecke manuell durchgeführt werden. Weiterhin werden die Koeffizienten a, b und c mittels a = sym(a), b = sym(b) und c = sym(c) in symbolische Variablen umgewandelt. Damit werden automatisch auch alle weiteren Rechenschritte mit diesen Zahlen symbolisch durchgeführt. Die Formulierung der Aufgabenstellung wird in diesem Lösungsvorschlag ausgelassen. clear all ; fID = fopen ( ’Aufgabe5 .tex ’ , ’wt’ ) ; syms x ; % Symbolische Variablen a = 1 ; b = −3/2; c = −1; % Koeffizienten des Polynoms p a = sym ( a ) ; b = sym ( b ) ; c = sym ( c ) ; % a,b,c sind symbolisch p ( x ) = a∗x ^2+ b∗x+c ; %% Loesung darstellen Text = [ ’\ textbf {L\" osung :} Die L\" osungen der allgemeinen ’ , . . . ’quadratischen Gleichung lauten : \n ’ , . . . ’\[ \n ’ , . . . ’ x_ {1 ,2}=\ frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \n ’ , . . . ’\] \n wobei $D=b^2 -4 ac$ als Diskriminante bezeichnet wird. \n ’ ] ; D = b^2−4∗a∗c ; % Diskriminante if D>0 % zwei reelle Loesungen Text = [ Text , ’Da $D=’ , latex ( D ) , ’$ positiv ist , ’ , . . . ’besitzt die Gleichung zwei reelle L\" osungen : ’ ] ; L = [( −b−sqrt ( D ) ) / ( 2 ∗ a ) ; (−b+sqrt ( D ) ) / ( 2 ∗ a ) ] ; elseif D==0 % eine reelle Loesung Text = [ Text , ’Wegen $D=0$, besitzt die Gleichung ’ , . . . ’genau eine L\" osung : ’ ] ; L = [( − b+sqrt ( D ) ) / ( 2 ∗ a ) ] ; elseif D 10 kann cm = 1 gesetzt werden. Auf Basis dieser gemessenen Daten können nun Tabelle 10.2: Korrekturfaktor cm [Papula 2011, Kap. 8], [Hartung 1989, S. 158] m

2

3

4

5

6

7

8

9

10

cm

0.798 0.886 0.921 0.940 0.952 0.959 0.965 0.969 0.973

die x-Karte ¯ (Mittelwertkarte) und s-Karte (Standardabweichungskarte) die Qualität des zugrunde liegenden Prozesses erfassen.

Prozessfähigkeit Zusätzlich kann mit einer Qualitätsregelkarte ein Prozess auf Prozessfähigkeit überprüft werden. Die Prozessfähigkeit schätzt, ob zukünftige Messwerte des Prozesses innerhalb geforderter unterer und oberer Toleranzvorgaben UGW und OGW bleiben. Um eine große Prozessstreuung zu vermeiden, muss für den c p -Wert cp =

OGW − UGW ! 4 ≥ ≈ 1.33 6 σˆ 3

gelten. Ist dieses Kriterium erfüllt, lässt sich der c pk -Wert c pk =

ˆ µˆ − UGW) min(OGW − µ, 3 σˆ

bestimmen. Damit Prozessfähigkeit vorliegt, wird gefordert, dass auch der c pk -Wert nicht kleiner 43 ist.

346

10 Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Generator

Verwendungsbereich Der vorliegende Generator ist ausgehend von Messreihen zum Aufstellen einer Qualitätsregelkarte und zum Untersuchen eines Fertigungsprozesses auf Prozessfähigkeit konzipiert. Dabei werden die Parameter µ und σ stets geschätzt.

Der Weg zu eigenen Aufgaben Für diesen Aufgabengenerator müssen sich Benutzer(innen) unter www.matex-online.de einloggen und das Thema „Qualitätsregelkarte“ auswählen. Um die Lösungen der Aufgabe 10.5.1 zu erhalten, müssen folgende Vorgaben entweder direkt oder mittels virtueller Tastatur in die Weboberfläche eingegeben werden: Mittelwerte Standardabweichungen m : 8 n : 4 OGW : 95 UGW : 65

: [80 , 81 , 82 , 80 , 84] : [2 , 4 , 5 , 3 , 4 ]

Der j-te Eintrag des Vektors Mittelwerte stellt den arithmetischen Mittelwert der j-ten Messreihe dar. Der j-te Eintrag des Vektors Standardabweichungen gibt die Varianz der j-ten Messreihe wieder. Die Anzahl der Messwerte pro Messreihe wird mit m beschrieben. Der Stichprobenumfang ist n. Die obere und die untere Toleranzgrenze werden jeweils mit OGW und UGW angegeben. Die Bezeichnungen sind vorgeschrieben. Wie im Abschnitt 2.6 beschrieben, werden zum vorliegenden Generator vier QR-Codes bereitgestellt, die die Bedienung von MATEX erleichtern sowie Einblicke in die Quelltexte gewähren.

1. Aufgabe

Zufällige Aufgabe

LATEX

Generatorquelltext

Eine Besonderheit dieses Generators liegt in der dynamischen Aufstellung einer Tabelle in LATEX. Für eine gegebene Messreihe werden die Einträge über eine for-Schleife in die Tabelle geschrieben. Das Konzept der dynamischen Tabelle wurde ebenfalls in Kapitel 10.2 verwendet.

10.5 Qualitätsregelkarte

347

Ferner weist der Lösungsalgorithmus bei der Teilaufgabe d) je nach Messreihe eine Verzweigung auf. Insbesondere werden bei den Berechnungen die Tabellen 10.1 und 10.2 herangezogen. Zusätzlich zu den Berechnungen erstellt der Generator Abbildungen zur x-Karte ¯ bzw. s-Karte und zeichnet darin die berechneten Eingriffsgrenzen ein.

Generierte Aufgaben Der vorgestellte Generator wird nun zur Demonstration auf verschiedene Aufgaben angewendet. Aufgabe 10.5.1 (Qualitätsregelkarte) In einem Qualitätsprüfungslabor wurden für einen Vorlauf fünf Messreihen mit je acht Messwerten einer Messgröße X durchgeführt. Die unten angeführte Tabelle gibt für jede Messreihe deren arithmetischen Mittelwert x¯ j sowie deren Standardabweichung s j an. Messreihe 1 2 3 4 5 x¯ j 80 81 82 80 84 sj 2 4 5 3 4 a) Berechnen Sie aus den Angaben Schätzwerte für µ bzw. σ . b) Berechnen Sie mithilfe der in a) ermittelten Werte die Eingriffsgrenzen der x-Karte ¯ sowie der s-Karte, wenn bei Einsatz der Qualitätsregelkarten Stichproben vom Umfang 4 gezogen werden. c) Für die Messgröße X gelte die Toleranzvorgabe 65 ≤ X ≤ 95. Berechnen Sie hieraus und aus a) den Prozessfähigkeitswert c p . d) Was sagt der in c) berechnete c p -Wert aus? Liegt Prozessfähigkeit vor? Begründen Sie Ihre Antwort. a) µˆ = 81.4, σˆ = 3.7306;

Ergebnis: 1.3403;

b) OEGx¯ ≈ 86.205, UEGx¯ ≈ 76.595, OEGs ≈ 7.7185, UEGs ≈ 0.57824;

d) Es liegt keine Prozessfähigkeit vor.

Lösung: a) Für einen Messreihenumfang von m = 8 ist nach Tabelle 10.2 cm = 0.965. Damit ergeben sich folgende Schätzwerte: µˆ = σˆ =

1 5

5

∑ x¯ j =

j=1

1 5 cm

407 , 5

5

∑ s j = 3.7306.

j=1

b) Mit z0,995 ≈ 2.576 erhält man folgende Eingriffsgrenzen der x-Karte: ¯ σˆ 407 3.7306 OEGx¯ = µˆ + z0,995 √ ≈ + √ ≈ 86.205, n 5 4

c) c p =

348

10 Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

σˆ 407 3.7306 UEGx¯ = µˆ − z0,995 √ ≈ + √ ≈ 76.595. n 5 4

Für die s-Karte ergeben sich bei einem Stichprobenumfang von n = 4 und entsprechenden Werten a = 0.155 und b = 2.069 (siehe Tabelle 10.1) folgende Eingriffsgrenzen: OEGs = b · σˆ ≈ 2.069 · 3.7306 = 7.7185, UEGs = a · σˆ ≈ 0.155 · 3.7306 = 0.57824. c) Der Prozessfähigkeitswert ist cp =

OGW − UGW 95 − 65 = = 1.3403. 6 σˆ 6 · 3.7306

d) Der c p -Wert, auch Prozessfähigkeitswert genannt, sagt aus, ob der Prozess die Toleranzgrenzen OGW und UGW einhält. Da c p ≥ 43 gilt, bleibt nachzuprüfen, ob c pk ≥ 43 ist: c pk =

ˆ µˆ − UGW) min(OGW − µ, = 1.2152. 3 σˆ

Damit liegt keine Prozessfähigkeit vor.

Abb. 10.5.1: In x¯ sowie s-Karte eingetragene Messreihe des Vorlaufs mit Eingriffsgrenzen

10.5 Qualitätsregelkarte

349

In dieser Aufgabe liegt keine Prozessfähigkeit vor, da die Streuung der Standardabweichungen zu groß ist. Aufgabe 10.5.2 (Qualitätsregelkarte) In einem Qualitätsprüfungslabor wurden für einen Vorlauf zehn Messreihen mit je vier Messwerten einer Messgröße X durchgeführt. Die unten angeführte Tabelle gibt für jede Messreihe deren arithmetischen Mittelwert x¯ j sowie deren Standardabweichung s j an. Messreihe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x¯ j 80 81 82 80 84 85 80 85 82 80 sj 2 4 5 3 4 5 3 4 5 3 a) Berechnen Sie aus den Angaben Schätzwerte für µ bzw. σ . b) Berechnen Sie mithilfe der in a) ermittelten Werte die Eingriffsgrenzen der x-Karte ¯ sowie der s-Karte, wenn bei Einsatz der Qualitätsregelkarten Stichproben vom Umfang 9 gezogen werden. c) Für die Messgröße X gelte die Toleranzvorgabe 65 ≤ X ≤ 95. Berechnen Sie hieraus und aus a) den Prozessfähigkeitswert c p . d) Was sagt der in c) berechnete c p -Wert aus? Liegt Prozessfähigkeit vor? Begründen Sie Ihre Antwort. a) µˆ = 81.9, σˆ = 4.126;

Ergebnis: 1.2118;

b) OEGx¯ ≈ 85.4428, UEGx¯ ≈ 78.3572, OEGs ≈ 6.8367, UEGs ≈ 1.6916;

c) c p =

d) Es liegt keine Prozessfähigkeit vor.

Lösung: a) Für einen Messreihenumfang von m = 4 ist nach Tabelle 10.2 cm = 0.921. Damit ergeben sich folgende Schätzwerte: µˆ = σˆ =

1 10

10

∑ x¯ j =

j=1

1 10 cm

819 , 10

10

∑ s j = 4.126.

j=1

b) Mit z0,995 ≈ 2.576 erhält man folgende Eingriffsgrenzen der x-Karte: ¯ σˆ 819 4.126 OEGx¯ = µˆ + z0,995 √ ≈ + √ ≈ 85.4428, n 10 9 σˆ 819 4.126 UEGx¯ = µˆ − z0,995 √ ≈ + √ ≈ 78.3572. n 10 9

Für die s-Karte ergeben sich bei einem Stichprobenumfang von n = 9 und entsprechenden Werten a = 0.41 und b = 1.657 (siehe Tabelle 10.1) folgende Eingriffsgrenzen: OEGs = b · σˆ ≈ 1.657 · 4.126 = 6.8367,

350

10 Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

UEGs = a · σˆ ≈ 0.41 · 4.126 = 1.6916. c) Der Prozessfähigkeitswert ist cp =

OGW − UGW 95 − 65 = = 1.2118. 6 σˆ 6 · 4.126

d) Der c p -Wert, auch Prozessfähigkeitswert genannt, sagt aus, ob der Prozess die Toleranzgrenzen OGW und UGW einhält. Da c p < 43 gilt, ist die Prozessstreuung zu groß. Es liegt also keine Prozessfähigkeit vor. Beachte, dass stets c pk ≤ c p gilt.

Abb. 10.5.2: In x¯ sowie s-Karte eingetragene Messreihe des Vorlaufs mit Eingriffsgrenzen

In diesem Beispiel muss sowohl der c p -Wert, als auch der ckp -Wert berechnet werden, um die Prozessfähigkeit zu bestätigen. Aufgabe 10.5.3 (Qualitätsregelkarte) In einem Qualitätsprüfungslabor wurden für einen Vorlauf 14 Messreihen mit je 11 Messwerten einer Messgröße X durchgeführt. Die unten angeführte Tabelle gibt für jede Messreihe deren arithmetischen Mittelwert x¯ j sowie deren Standardabweichung s j an. Messreihe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x¯ j 80 81 82 80 84 85 80 85 82 80 79 81 80 82 sj 2 4 5 3 4 5 3 4 5 3 3 4 4 2 a) Berechnen Sie aus den Angaben Schätzwerte für µ bzw. σ .

10.5 Qualitätsregelkarte

351

b) Berechnen Sie mithilfe der in a) ermittelten Werte die Eingriffsgrenzen der x-Karte ¯ sowie der s-Karte, wenn bei Einsatz der Qualitätsregelkarten Stichproben vom Umfang 9 gezogen werden. c) Für die Messgröße X gelte die Toleranzvorgabe 55 ≤ X ≤ 105. Berechnen Sie hieraus und aus a) den Prozessfähigkeitswert c p . d) Was sagt der in c) berechnete c p -Wert aus? Liegt Prozessfähigkeit vor? Begründen Sie Ihre Antwort.

2.2876;

b) OEGx¯ ≈ 84.628, UEGx¯ ≈ 78.372, OEGs ≈ 6.0362, UEGs ≈ 1.4936;

a) µˆ = 81.5, σˆ = 3.6429;

Ergebnis:

c) c p =

d) Es liegt Prozessfähigkeit vor.

Lösung: a) Für einen Messreihenumfang von m = 11 ist nach Tabelle 10.2 cm = 1. Damit ergeben sich folgende Schätzwerte: µˆ = σˆ =

1 14

14

∑ x¯ j =

j=1

1 14 cm

163 , 2

14

∑ s j = 3.6429.

j=1

b) Mit z0,995 ≈ 2.576 erhält man folgende Eingriffsgrenzen der x-Karte: ¯ σˆ 163 3.6429 OEGx¯ = µˆ + z0,995 √ ≈ + √ ≈ 84.628, n 2 9 σˆ 163 3.6429 UEGx¯ = µˆ − z0,995 √ ≈ + √ ≈ 78.372. n 2 9

Für die s-Karte ergeben sich bei einem Stichprobenumfang von n = 9 und entsprechenden Werten a = 0.41 und b = 1.657 (siehe Tabelle 10.1) folgende Eingriffsgrenzen: OEGs = b · σˆ ≈ 1.657 · 3.6429 = 6.0362, UEGs = a · σˆ ≈ 0.41 · 3.6429 = 1.4936. c) Der Prozessfähigkeitswert ist cp =

OGW − UGW 105 − 55 = = 2.2876. 6 σˆ 6 · 3.6429

d) Der c p -Wert, auch Prozessfähigkeitswert genannt, sagt aus, ob der Prozess die Toleranzgrenzen OGW und UGW einhält. Da c p ≥ 43 gilt, bleibt nachzuprüfen, ob c pk ≥ 43 ist: c pk =

ˆ µˆ − UGW) min(OGW − µ, = 2.1503. 3 σˆ

352

10 Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Damit liegt Prozessfähigkeit vor.

Abb. 10.5.3: In x¯ sowie s-Karte eingetragene Messreihe des Vorlaufs mit Eingriffsgrenzen

Literaturverzeichnis

353

Literaturverzeichnis Arens et al. 2015. Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, C., Kockelkorn, U., Lichtenegger, K., Stachel, H.: Mathematik, 3. Auflage, Springer Spektrum 2015 Beucher 2007. Beucher, O.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik mit MATLAB, Anwendungsorientierte Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 2. Auflage, Springer 2007 Duckett 2017. Duckett, G. A.: TikZ – Questions and Answers, CreateSpace Independent Publishing Platform 2017 Hartung 1989. Hartung, J.: Statistik. Lehr- und Handbuch für Statistik, 7. Auflage, R. Oldenbourg Verlag 1989 MathWorks 2015. MathWorks: Symbolic Math Toolbox User’s Guide R2015b, 2015 Papula 2011. Papula, L.: Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure, Band 3, 6., überarbeitete und erweiterte Auflage, Vieweg+Teubner 2011 Schweizer 2013. Schweizer W.: MATLAB kompakt, 5. Auflage, Oldenbourg Verlag 2013

Teil III

Ideenbox

Die Ideen sind nur Ausgangspunkte. Um zu wissen, was man zeichnen will, muss man damit anfangen. Pablo Picasso (1881 – 1973), spanischer Maler, Grafiker und Bildhauer

Man soll nicht aufhören, bevor es am schönsten ist. Walter Ludin (*1945), Schweizer Journalist, Redakteur, Aphoristiker und Buchautor

Im Teil I dieses Werks haben wir das Zeitproblem beim Erstellen von mathematischen Lehrunterlagen thematisiert und einen wirkungsvollen Lösungsvorschlag vorgestellt. Dessen Umsetzung haben wir in Teil II anhand verschiedener Themen der Höheren Mathematik dokumentiert. Dabei haben wir uns auf die Erstellung von LATEX-Unterlagen sowie Abbildungen konzentriert. Da das Spektrum von Lehrunterlagen sehr breit ist, die Anforderungen an diese reichhaltig sind und Medien sowie mobile Endgeräte ein weiteres Einsatzpotenzial aufweisen, möchten wir in Kapitel 11 des Teil III Entwicklungsideen für MATEX im Bereich Multimedia aufzeigen und punktuell bereits umgesetzte Module beschreiben. Einen Ausblick auf Entwicklungsmöglichkeiten von MATEX bietet Kapitel 12. Insbesondere wird auf die Umsetzbarkeit einer automatischen Übersetzung der generierten Aufgaben in verschiedene Sprachen eingegangen. Des Weiteren werden die Erweiterung des mathematischen Themensprektrums sowie die Möglichkeit der Generierung ganzer Übungsblätter thematisiert und der Reiz sowie die Machbarkeit einer Chatbot-Schnittstelle umrissen. Im letzten Kapitel 13 befindet sich eine Tafel mit einem Rückblick auf die 33 MATEXAufgabengeneratoren aus Teil II mit jeweils einem QR-Code für eine zufällige Aufgabe. Diese Übersicht kann für eventuelle Wandaushänge in Lehrräumen verwendet oder den Studierenden in Veranstaltungen ausgeteilt werden.

Kapitel 11

Multimedia

Ein Bild sagt mehr als tausend Worte. Sprichwort

Ein Bild lügt mehr als tausend Worte. Wolfgang Mocker (1954 – 2009), deutscher Journalist und Autor

Zusammenfassung Die Vermittlung von mathematischen Inhalten stellt für Lehrer und Dozenten häufig eine Herausforderung dar. Dabei bedient man sich oft visueller Mittel wie Abbildungen, Graphen und Skizzen. Durch sie soll der Lernende Einsicht in mathematische Strukturen erhalten, indem er sich durch die Bebilderung ihrer Zusammenhänge zunächst ein oberflächliches Verständnis aneignet. Diese Hilfsmittel können ihre Wirkung aufgrund des stationären Zustandes nicht immer vollständig entfalten. Das Portable Document Format (PDF) erlaubt es, neben Text eine Vielfalt von Medien einzubinden wie z. B. Audiodateien, Videodateien und Universal 3D-Dateien. Darüber hinaus lassen sich mit entsprechenden LATEX-Paketen Annotationen und Animationen erstellen sowie diese ins PDF einbinden und dynamisch, interaktiv abrufen. In den vorliegenden Abschnitten 11.1 bis 11.6 beleuchten wir diese für MATEX attraktiven Optionen und geben stellenweise konkrete Anwendungsideen. In Kapitel 11.5 wird eine schlanke Umsetzung zum automatischen Generieren von Funktionsgraphen im Universal 3D-Datenformat vorgestellt. Damit lassen sich Graphen von Funktionen direkt im PDF interaktiv erkunden. Es ist geplant, die genannten Medien zukünftig in die Aufgabengeneratoren von MATEX einzubinden.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018 A. Helfrich-Schkarbanenko et al., Mathematische Aufgaben und Lösungen automatisch generieren, https://doi.org/10.1007/978-3-662-57778-3_11

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11 Multimedia

11.1 PDF-Annotationen Aus didaktischer Sicht ist es oft sinnvoll, die Lehrinhalte an den aktuellen Wissenshorizont der Studierenden anzupassen, um sie fachlich abzuholen. Erst in einem zweiten Schritt sollte die inhaltliche Tiefe der Themen den Studierenden offengelegt werden [Lehner 2012]. Eine entsprechende Funktionalität kann einem PDF-Dokument in Kombination mit geeigneten LATEX-Paketen verliehen werden. Konkret lassen sich zusätzliche Notizen, Erklärungen und Herleitungen von Formeln in ein Dokument einblenden, wenn eine entsprechende Stelle (ein Link im Text oder eine Abbildung) angeklickt wird oder der Mauszeiger darüber kurz verweilt, vgl. [Lamport 1993]. Beispielsweise stellen folgende LATEX-Pakete solche Funktionen bereit: • cooltooltips, • fancytooltips, • pdfcomment. Mit cooltooltips1 lässt sich ein PDF auf einfache Weise mit simplen Annotationen versehen. Das Paket fancytooltips2 ist dazu geeignet, referenzierte Gleichungen, mathematische Terme, Abbildungen und sogar Animationen direkt auf der vorliegenden Seite des PDFs einzublenden [Marik 2012]. Zusätzlich befindet sich in dem Paket ein Perl-Skript fancypreview, das dem Benutzer das Erstellen von Annotationen auf sämtliche Referenzen ( \←ref, \eqref, \cite) abnimmt – eine für MATEX spannende Funktion. Das umfangreichste unter den genannten Paketen ist pdfcomment3 . Es bietet die Möglichkeit, einen Großteil der Adobe Acrobat Reader-Annotationen mit LATEX zu erstellen, um z. B. Textboxen im PDF zu editieren. Ebenfalls kann der Leser in PDFs Hinweise verschieben sowie Grafiken vergrößern oder verkleinern. Es sei darauf hingewiesen, dass derartige Effekte allerdings nicht von allen PDF-Viewern unterstützt werden. In der Regel verlangen diese Pakete ausdrücklich, dass zum Öffnen des PDFs die Software Adobe Acrobat Reader verwendet wird. Unter Umständen muss auch JavaScript im PDF-Viewer aktiviert werden. Zu beachten ist, dass von den genannten nur das letzte Paket ein Mitausdrucken der Annotationen (halbtransparent) erlaubt. Mittels der Annotationen ließen sich beispielsweise die Ergebnisse oder bestimmte Zwischenrechnungen in der Lösung der MATEX-Aufgaben ein- bzw. ausblenden.

11.2 PDF-Animationen In der Lernpsychologie ist Animation ein Verfahren der Wissensvermittlung, bei dem dafür geeignete Inhalte multimedial aufbereitet und in einem festgelegten Ablauf dem Lernenden präsentiert werden. Der Ursprung dieser Methode liegt beispielsweise im Vorführen 1 2 3

http://www.ctan.org/pkg/cooltooltips http://www.ctan.org/pkg/fancytooltips http://www.ctan.org/pkg/pdfcomment

11.2 PDF-Animationen

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von Experimenten während der Lehrveranstaltung. Animierte Bilder haben gegenüber statischen Bildern den Vorteil, Veränderungen und Prozessinformationen explizit abbilden zu können. In der Mathematik lassen sich damit Abhängigkeiten eines Systems von vorgegebenen Parametern gut veranschaulichen. Es liegt auf der Hand, MATEX um ein entsprechendes Modul zu erweitern. Geeignet hierfür wäre das LATEX-Paket Animate zum Erstellen von portablen, JavaScript-gesteuerten PDF-Animationen aus einer Menge von Vektorgrafiken, Rasterbilddateien (raster image files) oder Inline-Abbildungen (inline graphics) [Grahn 2018a]. Die Letztgenannten werden mittels LATEX, PSTricks oder PGF/TikZ erstellt, siehe Kapitel 11.6. Der Benutzer agiert mit den Abbildungen über Buttons, die vom Paket Animate bereitgestellt werden. Folgend geben wir einige Anregungen für Animationen. • Ein konkretes Anwendungsthema wäre das Eigenwertproblem: Analog zur Aufgabe 7.6.1 können für die parametrisierte Matrix   α1 Aα = 1 1 für α ∈ {−1, 0, 1, 2, 3} das Bild(Aα ) und der Eigenraum berechnet und anschließend die Matrix sowie die zugehörigen Abbildungen für verschiedene α in einer Animation gegenübergestellt werden. Interessant ist hier vor allem der Übergang vom regulären in den singulären Fall (α = 1) sowie die Auswirkung der Singularität auf die Eigenräume, die sehr gut visualisiert werden können, siehe Abbildung 11.1. • Eine weitere Anwendung von Animationen wäre das Taylor-Polynom, siehe Kapitel 6.5. Hier kann man für eine Funktion f beispielsweise die Taylor-Polynome 2. Grades T f ,2,x0 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + 12 f 00 (x0 )(x − x0 )2 für verschiedene Entwicklungspunkte x0 aufstellen. Die Auswirkung von x0 auf das Restglied, vgl. [Arens et al. 2015, Kap. 10.4], kann man anhand von generierten Abbildungen, bzw. Animationen buchstäblich beobachten. • Ferner kann man anhand von Animationen die Auswirkung eines linearen Dämpfers y0 in einem harmonischen Oszillator auf das Schwingverhalten untersuchen. Hierfür würde man das Anfangswertproblem aus der Aufgabe 9.2.4 mit einem Parameter α versehen: y00 (t) + αy0 (t) + 2y(t) = 2, t ≥ 0, y(0) = 0, y0 (0) = 2. Dieses Problem könnte man für α ∈ {4, 2, 1, 12 , 0} lösen und die Ergebnisse in einer Animation gegenüberstellen, siehe Abb. 11.2. Interessant dabei ist der Übergang von α = 12 zu α = 0, also wenn die Dämpfung aus dem Oszillator entfernt wird.

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α = −1:

11 Multimedia

A−1 =

  −1 1 1 1

α = 0:

A0 =

  01 11

α = 1:

A1 =

  11 11

α = 2:

A2 =

  21 11

α = 3:

  31 A3 = 11

Abb. 11.1: Abbildungen analog zur Aufgabe 7.6.1 für α ∈ {−1, 0, 1, 2, 3} als Grundlage für eine Animation mit einer parametrisierten Matrix Aα . Die dritte Spalte zeigt willkürlich gewählte Markierungen im Definitionsbereich R2 . Die rechte Spalte zeigt die Transformation der gewählten Markierungspunkte in Bild(Aα ). Die grauen Linien markieren die Basisvektoren des Eigenraums.

11.2 PDF-Animationen

361

Abb. 11.2: Veranschaulichung der Abhängigkeit der Lösung eines Anfangswertproblems zu einer Schwingungsgleichung vom Dämpfungsparameter α ∈ {4, 2, 1, 12 , 0}. Als Ausgangspunkt wurde die Aufgabe 9.2.4 verwendet. Die Abbildungen eignen sich gut zum Erstellen einer Animation bzw. zum Erfassen des Dämpfungsbegriffs im Kontext eines Oszillators.

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11.3 Audiodateien im PDF Im Abschnitt 11.1 wird erläutert, warum manche Inhalte erst auf Abruf bereitgestellt werden sollten. Dies kann zusätzlich zu Annotationen auch über Tonspuren geschehen, die über Buttons im PDF bedient werden können. Genau diese Möglichkeiten bietet das LATEXPaket media9, siehe [Grahn 2018b]. Nach Einbindung in einer LATEX-Datei durch \usepackage[]{media9}

kann eine Audiodatei, z. B. bird.mp3, mit einem im media9-Paket mitgelieferten Player (Aplayer.swf) eingebunden werden: \ includemedia [ addresource = bird . mp3 , flashvars = { source = bird . mp3 & autoPlay = true & activate = pagevisible & deactivate = pageinvisible }, transparent , passcontext % show APlayer ’s right - click menu ] { \ color { blue } \ framebox [ 0 . 5 \ linewidth ] [ c ] { \ footnotesize { Text1 }}}{ APlayer . swf }

Bei Bedarf können die Audiodateien auch automatisch abgespielt werden, sobald die zugehörige PDF-Seite auf dem Monitor erscheint. Details und weitere Funktionalitäten findet man in der oben genannter Dokumentation. Auch die Erzeugung dieser erläuternden Audiodateien kann automatisiert erfolgen. Ein System, das dies leistet, wird als Text-to-Speech-System (TTS) bezeichnet. Es erzeugt künstlich eine menschliche Sprechstimme, die z. B. eine Textdatei vorliest. Um einen vom MATEX-Generator aufgestellten Text in Sprache bzw. in eine Audiodatei zu überführen, könnten die folgenden drei Komponenten verwendet werden: • eine MATLAB-Funktion, welche die von MATEX generierten Texte aufbereitet, • ein Sprachsynthesizer mit einer Schnittstelle. Hierfür lässt sich z. B. das Speech Application Programming Interface4 von Microsoft verwenden. Vergleichen Sie dazu den im Abschnitt 12.6 verwendeten Sprachsynthesizer des Betriebssystems Windows, • eine weitere MATLAB-Funktion, welche die Kommunikation mit dem Synthesizer sowie das Abspeichern von Audiodateien übernimmt, siehe z. B. Skript [Deng 2007] auf File Exchange von MathWorks. Bei der Auswahl dieser Komponenten haben wir darauf Wert gelegt, dass möglichst viele Aufgaben mit MATLAB angegangen werden können. In Deutschland gibt es mehrere Hundert Studenten, die nicht oder stark eingeschränkt sehen können [Becker 2016]. Ein Text-to-Speech-System, so wie oben skizziert, würde ihnen Barrierefreiheit nicht nur bei mathematischen Lehrunterlagen gewähren.

4

https://msdn.microsoft.com/en-us/library/ee125077.aspx

11.5 Dateiformat Universal 3D

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11.4 Videodateien im PDF Video ist eines der populärsten Medienformate im Internet. Auch für Hochschulen werden Videos immer wichtiger. Daher möchten wir an dieser Stelle eine Möglichkeit aufzeigen, wie man PDF-Lehrunterlagen rechnergestützt mit Videomaterial anreichern kann. Mit dem im Abschnitt 11.3 vorgestellten LATEX-Paket media9 lassen sich nicht nur Audiodateien in PDFs einbinden, sondern viele weitere Medien wie Videodateien. Man kann in einem PDF sogar Videos direkt von einer URL (z. B. von der Plattform YouTube) abspielen lassen. Details dazu findet man in der Dokumentation [Grahn 2018b]. Mit MATLAB ist es möglich, bestimmte mathematische Inhalte als Videosequenz aufzubereiten. Um zu zeigen, wie eine AVI-Videodatei aus einer Serie von Abbildungen (wie z. B. im Abschnitt 11.2) erstellt werden kann, geben wir hier ein MATLAB-Skript5 an: % Bereite eine neue Datei peaks .avi vor. v = VideoWriter ( ’peaks .avi ’ ) ; open ( v ) ; % Stelle Daten auf und gebe Abbildungseigenschaften vor. Z = peaks ; surf ( Z ) ; axis tight manual ; set ( gca , ’nextplot ’ , ’replacechildren ’ ) ; % Erstelle einen Satz von Einzelbildern und schreibe jedes einzelne % in die Datei peaks .avi. for k = 1 : 2 0 surf ( sin ( 2 ∗ pi∗k / 2 0 ) ∗Z , Z ) frame = getframe ( gcf ) ; writeVideo ( v , frame ) ; end close ( v ) ;

Die so erstellte Videodatei kann bei Bedarf mit einer Audiospur, vgl. Abschnitt 11.3, versehen werden. Für diese Operation kann vision.VideoFileWriter von MATLAB verwendet werden.

11.5 Dateiformat Universal 3D Die bisher betrachteten Medien haben alle eines gemeinsam: Bei ihrer Aktivierung wird ein Prozess gestartet und z. B. eine Audio- oder Videodatei abgespielt, oder eine Animation vorgeführt. Mit diesen Formaten lassen sich die Lernprozesse nur bedingt interaktiv gestalten. Durch leistungsfähige mobile Endgeräte und relativ neue Dateiformate ergeben sich spannende Möglichkeiten und Perspektiven für die interaktive, individuelle Erkundung von Lehrinhalten, eingebunden in ein PDF. Es handelt sich um das Universal 3D-Dateiformat (U3D). Im Jahr 2005 wurde es für 3D-Daten von der European Computer Manufacturers Association (ECMA) standardisiert, 5

Entnommen von der MathWorks-Seite https://de.mathworks.com/help/matlab/ref/videowriter.html

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11 Multimedia

um einen herstellerübergreifenden Austausch insbesondere für CAD-Modelle zu ermöglichen6 . Das Format wird u. a. von Adobe Acrobat, Adobe Reader ab Version 7, Adobe Photoshop CS3, Adobe FrameMaker ab Version 8 sowie pdfLaTeX unterstützt. In Adobe Pro DC lassen sich sogar manuell U3D-Dateien in ein PDF einbetten7 . Universal 3D eignet sich hervorragend für die Anreicherung von PDF-Dokumenten mit interaktiven Anschauungsobjekten. Im Fall der Höheren Mathematik sind es beispielsweise Graphen von Funktionen. Daher haben wir uns zum Ziel gesetzt, Lehrenden einen Service anzubieten, um schnell und unkompliziert über eine Webschnittstelle interaktiv erkundbare Grafiken für ihre Lehrunterlagen erzeugen zu lassen. An diese Stelle möchten wir die Generierung eines Graphen der Funktion f : D2 → R,

(x, y) 7→ sin(cos(xy) + xy)

mit D = [−π, π] vorstellen. Für diese Eingaben liefert MATEX eine U3D-Datei, siehe Abbildung 11.3. Damit Sie diese Datei im Adobe Acrobat Reader mit der Maus erkunden können, haben wir für Sie Kapitel 11.5 online unter https://lx4.mint-kolleg.kit.edu/MATeX/download/U3D.pdf bereitgestellt. Zum Einbetten der U3D-Datei musste in der entsprechenden LATEX-Rahmendatei ein Paket mit JavaScript unterstützenden Dateien geladen werden [Story 2017]: \usepackage{insdljs}

Aktuell ist das Erstellen von U3D-Dateien über die Webschnittstelle noch nicht zugänglich.

Abb. 11.3: Eine mit MATEX generierte Abbildung zum Graphen von f . Die interaktiv erkundbare Version im U3D-Format kann unter https://lx4.mint-kolleg.kit.edu/MATeX/ download/U3D.pdf heruntergaladen werden.

6 7

www.ecma-international.org/publications/standards/Ecma-363.htm https://helpx.adobe.com/de/acrobat/using/adding-3d-models-pdfs-acrobat.html

11.6 Generieren von Abbildungen mittels PGF/TikZ oder PSTricks

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11.6 Generieren von Abbildungen mittels PGF/TikZ oder PSTricks Alle von MATEX-Generatoren erstellten Abbildungen im Teil II wurden in MATLAB geplottet und im JPEG-Format mittels print(gcf, [Pfad,Dateiname], ’-djpeg’, [’-r’,Bildaufloesung]);

abgespeichert, vgl. [Schweizer 2013]. Eine Ausnahme stellt der Generator für „Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme“ in Kapitel 10.1 dar. Darin wird zur Erstellung von Baumdiagrammen das LATEX-Paket TikZ verwendet. Ein Vorteil dieses Vorgehens ist die niedrige Dateigröße der resultierenden Abbildungen, da TikZ-Grafiken im Vektorformat abgelegt werden. PGF8 /TikZ9 ist eine Kombination zweier Computersprachen zur Erstellung von Vektorgrafiken. Dabei ist TikZ als Frontend zu dem Makropaket PGF konzipiert. Es bietet kein grafisches Interface, stellt jedoch eine einfachere Syntax als PGF zur Verfügung [Duckett 2017]. Interpretiert werden beide Sprachen durch TEX, LATEX oder ConTEXt. Der Funktionsumfang von PGF/TikZ ist mit dem von PSTricks [Voß 2016] vergleichbar. Im Gegensatz zu Letzterem wird sowohl die Erzeugung von PostScript- als auch von PDFDateien unterstützt. Einige Programme bieten die Möglichkeit, Grafiken im Format PGF bzw. TikZ zu speichern. Hier sind das mathematische Zeichenprogramm GeoGebra, die Vektorgrafiksoftware Inkscape, die 3-D-Animation-Software Blender, MATLAB [Schlömer 2017] und die Statistik-Software R erwähnenswert. Insbesondere bei wissenschaftlichen Arbeiten aus mathematischen, natur- oder ingenieurswissenschaftlichen Themengebieten wird in LATEX neben PSTricks häufig PGF/TikZ zur Erstellung von Grafiken eingesetzt – ein weiteres Argument für die Verwendung von TikZ in MATEX. Gerade für mathematische Lehrinhalte bieten sich die in diesem Kapitel genannten Medien zur besseren Vermittlung komplexer Sachverhalte an. Darin begründet liegt unser Vorhaben, diese Medien künftig in MATEX zu integrieren.

8 9

Die Abkürzung PGF steht für „portable graphics format“. Das rekursive Akronym TikZ bedeutet: „TikZ ist kein Zeichenprogramm“.

366

11 Multimedia

Literaturverzeichnis Arens et al. 2015. Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, C., Kockelkorn, U., Lichtenegger, K., Stachel, H.: Mathematik, 3. Auflage, Springer Spektrum 2015 Becker 2016. Becker, K. B.: Süddeutsche Zeitung, Viele Lehrende sind didaktisch nicht auf Blinde eingestellt, 6. März 2016, http://www.sueddeutsche.de/bildung/behinderung-erst-einmal-aushandeln-1. 2892456 (Abrufdatum: 23.01.2018) Deng 2007. Deng, S.: MATLAB-Script: Text-to-Speech, https://de.mathworks.com/matlabcentral/ fileexchange/18091-text-to-speech?s_tid=srchtitle (Abrufdatum: 24.01.2018) Duckett 2017. Duckett, G. A.: TikZ – Questions and Answers, CreateSpace Independent Publishing Platform 2017 Grahn 2018a. Grahn, A.: LATEX-Package: The animate Package, https://github.com/agrahn/animate (Abrufdatum: 22.01.2018) Grahn 2018b. Grahn, A.: LATEX-Package: The Media Package, v0.89, https://github.com/agrahn/media9 (Abrufdatum: 23.01.2018) Lamport 1993. Lamport, L.: How to write a Proof, December 1993, https://lamport.azurewebsites. net/pubs/lamport-how-to-write.pdf, http://www.heidelberg-laureate-forum.org/blog/video/ lecture-tuesday-september-23-2014-leslie-lamport/ Lehner 2012. Lehner, M.: Didaktische Reduktion, Haupt UTB 2012 Marik 2012. Marik, R.: The fancytooltips package, the fancy-preview script, 2012 www.ctan.org/pkg/ fancytooltips (Abrufdatum: 22.01.2018) Schlömer 2017. Schlömer, N.: MATLAB-Script matlab2tikz, 2017, www.de.mathworks.com/ matlabcentral/fileexchange/22022-matlab2tikz-matlab2tikz (Abrufdatum: 22.01.2018) Schweizer 2013. Schweizer, W.: MATLAB kompakt, 5. Auflage, Oldenbourg Verlag 2013 Story 2017. Story, D. P.: LATEX-Package: insdljs – Insert document-level JavaScript in LaTeX documents, 2017, https://ctan.org/pkg/insdljs?lang=de (Abrufdatum: 24.01.2018) Voß 2016. Voß, H.: PSTricks, Grafik mit PostScript für TEX und LATEX, 7., überarbeitete Auflage, Lehmanns 2016

Kapitel 12

Ausblick

Der kleinste Hügel vermag uns die Aussicht auf einen Chimborasso zu verdecken. Marie Freifrau von Ebner-Eschenbach (1830 – 1916), mährisch-österreichische Schriftstellerin

Innovationen geben der Zukunft eine Zukunft. Hans-Jürgen Quadbeck-Seeger (*1939), deutscher Chemiker

Zusammenfassung Im Laufe der Entwicklung von MATEX sind viele neue Ideen entstanden, die das Autorenteam aus Kapazitätsgründen noch nicht umsetzen konnte, aber in diesem Kapitel vorstellen möchte: Zunächst zählen wir in Kapitel 12.1 weitere mathematische Themen auf, für die eigene Aufgabengeneratoren entwickelt werden könnten. Auf den Bedarf sowie die Möglichkeit, ganze Übungsblätter automatisch generieren zu lassen, wird im Kapitel 12.2 eingegangen, wobei die Notwendigkeit der Steuerung des Schwierigkeitsgrades einer mathematischen Aufgabenstellung angesprochen wird. Die Anbindung von MATEX an eine an Hochschulen etablierte Lernplattform wie ILIAS würde offensichtliche Vorteile mit sich bringen, wie wir in Kapitel 12.3 darlegen. Die Möglichkeit, optional englischsprachige Materialien zu erstellen, beleuchtet Kapitel 12.4, in dem an einem konkreten Beispiel auch die Leistungsfähigkeit eines auf künstlicher Intelligenz basierenden Übersetzungsdienstes demonstriert wird. In Kapitel 12.5 betrachten wir alternative Entwicklungsumgebungen für MATEX. Abschließend skizzieren wir einfache Ansätze für die Einbindung einer Sprachausgabe in MATEX bzw. für eine E-Mail-Schnittstelle sowie eine Chatbot-Schnittstelle in Kombination mit WhatsApp, Kapitel 12.6.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018 A. Helfrich-Schkarbanenko et al., Mathematische Aufgaben und Lösungen automatisch generieren, https://doi.org/10.1007/978-3-662-57778-3_12

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368

12 Ausblick

12.1 Generatoren für weitere Themen Im Teil II des Buches stellten wir Generatoren für 33 Themen der Höheren Mathematik vor. Es können jedoch Generatoren für viele weitere standardisierte Aufgabentypen erstellt werden, um einen breiteren Einsatz von MATEX in den Lehrveranstaltungen zu gewährleisten. Zu beachten ist aber, dass mit den Computeralgebrasystemen nicht alle Mathematikbereiche behandelt werden können. Eine knappe Leistungsübersicht der Symbolic Math Toolbox ist in der Tabelle 2.1 angegeben. Für detaillierte Informationen verweisen wir auf die Benutzeranleitung [MathWorks 2015]. Im Folgenden sind einige – in MATEX noch nicht vorhandene – Themenbereiche aufgelistet, die mit Symbolic Math Toolbox umsetzbar sind: • Analytische Geometrie [Neher 2018a, Kap. 3.4] in Rm und insbesondere in R3 . Die Aufgaben für die Berechnung diverser Abstände (Punkt-Punkt, Punkt-Gerade, PunktEbene, Gerade-Gerade) lassen sich vergleichsweise einfach automatisieren. Die automatische Visualisierungsmöglichkeit ist bei diesem Thema einem besseren Verständnis besonders zuträglich. • Aus den Themen der eindimensionalen Analysis wäre ein MATEX-Generator für die Differentialrechnung [Arens et al. 2015, Kap. 10] eine wichtige Erweiterung. Hier ist viel Üben mit Standardaufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades unerlässlich, damit sich die verschiedenen Ableitungsregeln ins Gedächtnis einprägen können. Die Generatoren zu Integrationstechniken (Kapitel 6.6, 6.7 und 6.8) sollten um einen Generator für die Substitutionsmethode [Neher 2018a, Kap. 18.2] erweitert werden. • Im Bereich der mehrdimensionalen Analysis sind die Aufgaben zur Berechnung partieller Ableitungen inklusive Richtungsableitungen [Arens et al. 2015, Kap. 24.3] wichtig und gleichermaßen automatisierbar. Einige Aufgabenstellungen aus der Integralrechnung im Mehrdimensionalen [Arens et al. 2015, Kap. 25], etwa Anwendungen des Satzes von Fubini oder Koordinatentransformationen, ließen sich in MATEX umsetzen. • Das Lösen von Differentialgleichungen, aktuell mit zwei Generatoren in den Kapiteln 9.2 und 9.3 vertreten, kann um weitere Generatoren für spezielle analytisch lösbare Aufgaben erweitert werden, wie z. B. separable Differentialgleichungen, Euler’sche, Bernoulli’sche und Riccati’sche Differentialgleichung [Neher 2018b, Kap. 15], [Arens et al. 2015, Kap. 13.3]. Auch der Potenzreihenansatz [Arens et al. 2015, Kap. 13.4] sowie die Variation der Konstanten [Arens et al. 2015, Kap. 13.3] lassen sich umsetzen. Systeme von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten [Arens et al. 2015, Kap. 28.4] sind automatisch lösbar. • Differenzengleichungen, vgl. [Koch et al. 2015, Kap. 15], wurden bisher in MATEX nicht umgesetzt. Das Lösen von linearen Differenzengleichungen bzw. Anfangswertproblemen zu Differenzengleichungen mittels der Z -Transformation wäre ein geeignetes Thema für einen Generator, vgl. [Koch et al. 2015, Kap. 20].

12.3 Anbindung an eine E-Learning-Plattform (ILIAS)

369

12.2 Generatoren für Übungsblätter und Tests Eine automatische Erstellung von ganzen Übungsblättern wäre eine ideale Entlastung für Dozenten an einer Hochschuleinrichtung. MATEX lässt sich mit relativ einfachen Modifikationen um dieses Feature erweitern. Dabei ist es wichtig, wie bei den einzelnen Generatoren bereits implementiert, sowohl zufällig generierte als auch konkret vom Benutzer vorgegebene Aufgaben für die Zusammenstellung eines Übungsblattes einsetzen zu können. Um ein Übungsblatt zu einem Thema didaktisch sinnvoll zusammenstellen zu lassen, muss den vorhandenen Aufgabengeneratoren die Fähigkeit verliehen werden, die Aufgaben entsprechend einem vorgegebenen Schwierigkeitsgrad entwerfen zu können. Für bestimmte Fachthemen wie z. B. das Lösen von linearen Gleichungssystemen oder Eigenwertprobleme ist dies aus Sicht der Autoren problemlos möglich. Beispielsweise könnte für Eigenwertprobleme (siehe Kapitel 7.6) der Schwierigkeitsgrad durch folgende Parameter gesteuert werden: • • • •

Dimension der zu untersuchenden Matrix A, verschiedene Grundkörper, also A ∈ Rn×n oder A ∈ Cn×n (oder auch A ∈ (Z/kZ)n×n ), Komplexität des charakteristischen Polynoms χ(λ ) = det(A − λ I), algebraische sowie geometrische Vielfachheit der Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Darüber hinaus wäre es ideal, wenn die Aufgabengeneratoren verschiedene Lösungswege aufzeigen könnten, falls vorhanden.

12.3 Anbindung an eine E-Learning-Plattform (ILIAS) Die Abkürzung ILIAS steht für Integriertes Lern-, Informations- und ArbeitskooperationsSystem. Es ist eine freie Software zum Betreiben von Lernplattformen (www.ilias.de). Mit deren Hilfe können sowohl Internet-basierte Lehr- und Lernmaterialien (für E-Learning) erstellt und verfügbar gemacht als auch Kommunikation und Kooperation unter Lehrenden und Lernenden verwirklicht werden. Prüfungen und Evaluation sowie didaktische Strukturen für komplette Kurse lassen sich ebenfalls realisieren. Zu den Funktionen von ILIAS gehören die Verwaltung, Verwahrung und Darstellung von Daten sowie die statistische Auswertung von Tests. Sie unterstützt viele standardisierte Testtypen wie single/multiple response, fill-in-blank, matching, ordering und image maps, die in Online-Tests oder Online-Prüfungen eingesetzt werden. Darüber hinaus ist eine Anbindung an Java-Applets möglich, die für die Umsetzung von Skript-basierten Tests äußerst wichtig sind. Es gibt in Java umgesetzte Schnittstellen zwischen ILIAS und MATLAB, so z. B. JavaMATLAB1 [Risse 2007]. Ein alternativer Ansatz ist in [Klimke 2003] beschrieben. Ferner, und dies ist für die Lehre im Fach Mathematik relevant, unterstützt ILIAS die Darstellung von LATEX-Elementen.

1

JavaMATLABbasiert auf der Bibliothek JMatLink http://jmatlink.sourceforge.net

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12 Ausblick

Aus diesen Gründen ist es erstrebenswert, MATEX an ein an Hochschulen etabliertes System wie ILIAS anzubinden, um das Potenzial der Software auszuschöpfen. Insbesondere ist durch den Einsatz von ILIAS eine stärkere Interaktion zwischen MATEX und den Studierenden in Form von Feedback zu den Lösungen möglich.

12.4 Englisch und weitere Sprachen Im Jahr 2015 studierten an Hochschulen in Deutschland insgesamt ca. 2,7 Millionen junge Menschen. An der Hochschulen in Österreich waren es ca. 0,3 Millionen2 . Im nicht deutschsprachigen Raum sind die Zahlen weitaus größer: Beispielsweise studierten in China im gleichen Zeitraum ca. 26,7 Millionen Menschen und in den USA im Jahre 2008 ca. 18,2 Millionen. Sogar in Europa zählt man ca. 16,6 Millionen nicht deutschsprachige Studierende. Von all diesen Studierenden kommt ein großer Teil in den Grundlagenvorlesungen mit Höherer Mathematik in Kontakt. Diese Zahlen zeigen, dass weltweit der Bedarf an englischsprachigen Übungsmaterialien deutlich höherer ist als der an Deutschsprachigen. Eine Übersetzung der Aufgabenblätter von MATEX in andere Sprachen ist damit sehr erstrebenswert. Die Kernidee von MATEX, Editierarbeiten zu automatisieren, steht jedoch im Gegensatz zu einer manuellen Übersetzung sämtlicher Generatoren. Aufgrund der in den letzten Jahren rasanten Entwicklung im Bereich der maschinellen Lernalgorithmen, bzw. der neuronalen Netze haben Übersetzungsmaschinen große Fortschritte erzielt. Auf Basis riesiger Datenmengen haben Rechner gelernt, qualitativ Fließtexte in verschiedene Sprachen zu übersetzen. Einige Online-Übersetzungsmaschinen besitzen dazu ein großes Repertoire an Sprachen. Durch die Anbindung eines solchen Translators wie z. B. DeepL würde MATEX seine Zielgruppe global ausweiten. So ist es denkbar, dass ein von künstlicher Intelligenz angetriebener Übersetzungsdienst verwendet werden kann, um automatisch Aufgabenblätter in die vom Benutzer geforderte Sprache zu übersetzen. Zur Demonstration stellen wir die Aufgabe 5.1.1 aus dem Kapitel 5.1 zunächst auf Deutsch vor: Aufgabe 5.1.1 (Quadratische Gleichungen) Lösen Sie die Gleichung x2 − Ergebnis:

x1 = − 12 ,

3x − 1 = 0. 2

x2 = 2.

Lösung: Die Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung lauten: √ −b ± D x1,2 = , 2a

2

Statistiken aus http://de.statista.com

12.4 Englisch und weitere Sprachen

371

wobei D = b2 − 4ac als Diskriminante bezeichnet wird. Da D = 25 4 positiv ist, besitzt die Gleichung zwei reelle Lösungen: q q 3 25 3 3 5 3 + 25 − +5 1 2− 4 2 4 x1 = = 2 2 = − , x2 = = 2 2 = 2. 2·1 2 2 2·1 2 Die zugehörige, mittels DeepL übersetzte Variante weist kaum Fehler auf. Fälschlicherweise wurde quadratische Gleichung als Square Equation anstatt Quadratic Equation übesetzt. Darüber hinaus fehlt Artikel the vor dem Wort equation in der Aufgabenstellung bzw. vor discriminant in der Lösung: Exercise 5.1.1 (Square Equations) Solve equation x2 − Ergebnis:

x1 = − 12 ,

3x − 1 = 0. 2

x2 = 2.

Solution: The solutions of the general quadratic equation are: √ −b ± D x1,2 = , 2a where D = b2 − 4ac is called discriminant. Since D = 25 4 is positive, the equation has two real solutions: q q 3 25 3 25 3 5 3 − + +5 1 2 4 2 4 2−2 x1 = = =− , x2 = = 2 2 = 2. 2·1 2 2 2·1 2

Einen ähnlichen Fortschritt wie bei Textübersetzungsmaschinen gab es bei Sprachübersetzungssystemen. Ende 2015 erreichte das US-Labor der chinesischen Suchmaschine Baidu im Silicon Valley einen Meilenstein in der Spracherkennung. Ihr Spracherkennungssystem namens Deep Speech 2 [Amodei et al. 2015] basiert auf einem neuronalen Netz und lernt anhand von Millionen transkribierter Sprachbeispiele, wie Audiosignale in geschriebene Wörter überführt werden. Damit legte es den Grundstein für ihr aktuelles System, das Mandarin mitunter genauer versteht als ein Mensch3 . In Zukunft könnte MATEX nicht nur verschiedene Sprachen sprechen, sondern auch per Spracheingabe in beliebigen Sprachen bedient werden können.

3

Vgl. Meldung vom April 2016 bei Heise: www.heise.de/newsticker/meldung/Software-versteht-Sprachebesser-als-ihre-Entwickler-3180741.html

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12 Ausblick

12.5 Alternative Entwicklungsumgebungen Dem vorgestellten Tool MATEX diente MATLAB als Entwicklungsumgebung. Die symbolischen Operationen, wodurch MATEX sich erst entfalten kann, wurden mittels der Symbolic Math Toolbox – ebenfalls ein Produkt von MathWorks – bewältigt. Für Leser mit Programmiererfahrung möchten wir in diesem Abschnitt Alternativen aufzeigen, die für ein Nachbilden der MATEX-Funktionen geeignet sind, da sie auch ein Computeralgebrasystem beinhalten. Dabei unterscheiden wir zwischen proprietärer und Open-SourceSoftware.

Proprietäre Software • Maple (Mathematical manipulation language) ist ein Computeralgebrasystem für Algebra, Analysis, diskrete Mathematik, Numerik und viele andere Teilgebiete der Mathematik. Es stellt eine Umgebung für die Entwicklung mathematischer Programme zur Verfügung und ermöglicht die Visualisierung mathematischer Strukturen. Maple findet ihren Einsatz u. a. auch in der Hochschullehre [Westermann 2014]. An dieser Software sind bzw. waren neben dem Ontario Research Centre for Computer Algebra (ORCCA) auch Wissenschaftler der ETH Zürich, vom Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (INRIA) und aus vielen weiteren Laboren weltweit beteiligt. • Mathematica ist ein proprietäres Software-Paket des Unternehmens Wolfram Research [Hastings et al. 2016]. Es ist eines der meistbenutzten mathematisch-naturwissenschaftlichen Computeralgebrasysteme. Die Software enthält unter anderem eine Programmiersprache, die Elemente des prozeduralen, objektorientierten, funktionalen und regelbasierten Programmierens in sich vereint. Mathematica unterscheidet zwischen dem Kernel, welcher die eigentlichen Berechnungen vornimmt, sowie dem Notebook, welches eine rein grafische Benutzeroberfläche darstellt. Mathematica adressiert professionelle Anwender in Industrie und Wirtschaft und wird in der Wissenschaft bzw. im Studium natur- oder wirtschaftswissenschaftlicher Fächer eingesetzt. • Mathcad 4 wurde ursprünglich für rein numerische Rechnungen entwickelt. Entsprechend ist Mathcad bei symbolischen Rechnungen weniger leistungsfähig als Maple oder Mathematica, wird jedoch aufgrund seiner numerischen Rechenfähigkeiten und der Erweiterungsmöglichkeit durch spezielle Pakete zu verschiedenen Themengebieten von Technikern, Wirtschafts- und Naturwissenschaftlern gerne verwendet. Auch in der Lehre findet das Programm Verwendung, da es einen guten Kompromiss aus einfacher Bedienbarkeit und mathematischer Ausdrucksfähigkeit darstellt [Benker 2013]. Das Programm richtet sich hauptsächlich an Nutzer ohne Programmierkenntnisse, bietet aber auch Möglichkeiten zur prozeduralen Programmierung. In C++ oder C geschriebener Code lässt sich durch benutzerdefinierte DLLs einbinden.

4

www.ptc.com

12.5 Alternative Entwicklungsumgebungen

373

• MuPAD (Multi Processing Algebra Data Tool) ist seit der Übernahme des Herstellers SciFace durch MathWorks im Jahre 2008 nur noch als Bestandteil (Kern) der Symbolic Math Toolbox verwendbar [MathWorks 2015].

Open-Source-Software (OSS) Es gibt mehrere quelloffene Software-Produkte, mit denen sich die Idee von MATEX zumindest prinzipiell umsetzen ließe. Erwähnt werden sollen an dieser Stelle nur einige Vertreter: • Axiom ist ein freies Computeralgebrasystem [Jenks et al. 2005]. Es besteht aus einer interaktiven Umgebung (dem Interpreter), einem Compiler und einer Programmbibliothek. Axiom wurde seit 1971 von Forschern der IBM unter Leitung von Richard Dimick Jenks entwickelt. Seit 2002 wird es unter einer modifizierten BSD-Lizenz verbreitet. • Maxima ist ein Computeralgebrasystem, das als Open-Source-Projekt unter der GNU General Public License (GPL)5 entwickelt wird [Ney de Souza et al. 2004]. Es handelt sich dabei um eine Variante von Macsyma, einem der ersten Computeralgebrasysteme überhaupt, das in den 1960er Jahren am MIT im Auftrag des US-Energieministeriums entwickelt wurde. Macsyma war zu seiner Zeit revolutionär und viele spätere Systeme, etwa Maple und Mathematica, wurden davon inspiriert. • GNU Octave ist eine frei erhältliche Software zur numerischen Lösung mathematischer Probleme [Thuselt et al. 2013]. In Verbindung mit dem Symbolic Package6 , das intern SymPy verwendet (siehe www.sympy.org), lassen sich damit auch symbolische Aufgabenstellungen angehen. Fast vollständige Kompatibilität zum proprietären MATLAB lässt sich durch das Zusatzpaket octave-forge erreichen. • Python ist eine universelle höhere Programmiersprache [Weigend 2016]. Sie besitzt eine umfangreiche Standardbibliothek und zahlreiche Pakete im Python Package Index. Die symbolischen Berechnungen ließen sich damit mittels der Bibiothek SymPy umsetzen, die in der Lage ist, die Ergebnisse der Berechnungen als LATEX-Code auszugeben. In Kombination mit Matplotlib (einer Bibliothek zum Plotten) sowie SciPy (einer Bibliothek mit numerischen Algorithmen und mathematischen Werkzeugen) ließe sich damit der mathematische Kern von MATEX bei Bedarf nachahmen. Die Unterschiede zu MATLAB variieren von einem OSS-Projekt zum anderem teils erheblich. Von den genannten Alternativen weist das im Rahmen des GNU-Projekts entwickelte GNU Octave syntaktisch die größte Kompatibilität zu MATLAB auf. Als weiteres MATLAB-ähnliches Open-Source-Software-Paket sei noch FreeMat erwähnt. Die unter Wissenschaftlern beliebte Software Scilab7 unterstützt im Gegensatz zu den angesproche5

GNU ist ein Unix-ähnliches Betriebssystem und vollständig freie Software, die im Rahmen des 1984 gestarteten GNU-Projekts als Software-Sammlung von Anwendungen, Bibliotheken und Extras für Programmierer entwickelt wird. GNU steht unter der GNU General Public License (GPL). 6 http://octave.sourceforge.net/symbolic/ 7 www.scilab.org

374

12 Ausblick

nen Systemen jedoch kein symbolisches Rechnen und gehört deshalb nicht in die Gruppe der Computeralgebrasysteme [Thuselt et al. 2013].

12.6 MATEX lernt das Sprechen und Kommunizieren Durch den Einzug der Informationstechnologie in den Alltag spielen die Schnittstellen zur Interaktion zwischen Computer und Benutzer eine immer größere Rolle. Neben den technologischen Möglichkeiten muss der Mensch mit seinen Fähigkeiten und Beschränkungen berücksichtigt werden. Gefragt sind daher Systeme, die sich einfach bedienen lassen und geringe Einarbeitungszeit erfordern. Unten sollen einfache Ansätze für die nachfolgenden Schnittstellen skizziert werden: • eine E-Mail-Schnittstelle zu MATEX (siehe Aufgabe 12.1); • Sprachmitteilungen von MATEX im Fall einer lokalen Ausführung der Software (siehe Aufgabe 12.2); • eine Schnittstelle zu mobilen Endgeräten mittels eines Chatbots, siehe Abschnitt 12.7. Darüber hinaus weisen wir im Abschnitt 12.2 auf die Möglichkeit hin, die von MATEX generierten PDFs mit einer Audiospur zu versehen, welche die Berechnungen z. B. für Sehgeschädigte zugänglich machen könnte. 12.1. Aufgabe (So empfängt und verschickt Ihr Rechner E-Mails.) Wir möchten nun eine E-Mail-Schnittstelle zur lokal installierten MATLAB-Software entwerfen, sodass Arbeitsaufträge per E-Mail erteilt und die Resultate per E-Mail empfangen werden können. a) Schreiben Sie ein Skript, mit dem Sie von Microsoft Outlook E-Mails samt Betreff und E-Mail-Body importieren. Der Posteingang kann mittels folgender Befehle eingelesen werden: outlook = actxserver ( ’Outlook . Application ’ ) ; mapi = outlook . GetNamespace ( ’mapi ’ ) ; INBOX = mapi . GetDefaultFolder ( 6 ) ; % Posteingang einlesen

Die Anzahl der E-Mails im Posteingang wird mit count = INBOX.Items.Count;

ermittelt. Die n-te Nachricht kann mittels nachricht = INBOX.Items.Item(n);

erfasst werden, wobei 1 ≤ n ≤ count gilt. b) Erweitern Sie nun das obige Skript so, dass nur E-Mails mit dem Betreff „Taschenrechner“ wahrgenommen werden und der Nachrichtentext, also der E-Mail-Body, über disp ausgegeben wird. Den Betreff bzw. E-Mail-Body erhält man mittels: betreff = nachricht.get(’Subject’); inhalt = nachricht.get(’Body’);

c) Erweitern Sie das in a) bis b) geschriebene Skript um die Fähigkeit, zwei per E-Mail zugeschickte Variablen a, b mit beliebigen Werten (z. B. a = 3, b = −20) einzulesen,

12.6 MATEX lernt das Sprechen und Kommunizieren

375

ihre Summe zu bilden und diese per E-Mail an den Absender abzuschicken. Für die Summenbildung muss zunächst der E-Mail-Body als MATLAB-Befehlskette ausgeführt werden: eval(inhalt);

d) Fügen Sie der E-Mail einen Anhang mit dem Ergebnis im LATEX-Format bei. Die LATEXDatei kann, wie bereits in Aufgabe 4.1.4 beschrieben, erstellt werden. Der Pfad auf den Anhang soll mit dem MATLAB-Befehl pwd konstruiert werden: mail.attachments.Add([pwd,’/Aufgabe10.tex’]);

12.1 Lösungsvorschlag clc ; clear all ; outlook mapi INBOX count

= = = =

actxserver ( ’Outlook . Application ’ ) ; outlook . GetNamespace ( ’mapi ’ ) ; mapi . GetDefaultFolder ( 6 ) ; % Posteingang einlesen INBOX . Items . Count ; % Anzahl der E-Mails in Posteingang

for dcount = 0 : 5 % die letzten 5 E-Mails kontrollieren nachricht = INBOX . Items . Item ( count − dcount ) ; % E-Mail einlesen betreff = nachricht . get ( ’Subject ’ ) ; inhalt = nachricht . get ( ’Body ’ ) ; absender = nachricht . get ( ’SenderEmailAddress ’ ) ; ungelesen = nachricht . get ( ’UnRead ’ ) ; % true bei ungelesen % Falls die Nachricht ungelesen ist UND Betreff = Taschenrechner % bearbeite diese weiter if and ( strcmp ( betreff , ’Taschenrechner ’ ) , ungelesen ) nachricht . set ( ’Unread ’ , 0 ) % E-Mail als gelesen markieren disp ( ’Ein Auftrag ist eingegangen !’ ) ; disp ( inhalt ) ; try eval ( inhalt ) c = a+b ; auftrag_korrekt = 1 ; catch auftrag_korrekt = 0 ; end % Antwort -Mail mail = outlook . CreateItem ( ’olMail ’ ) ; mail . Subject = ’Antwort vom Taschenrechner ’ ; mail . To = absender ; if auftrag_korrekt mail . Body = [ num2str ( a ) , ’ + ’ , num2str ( b ) , ’ = ’ , num2str ( c ) ] ; % Anhang mit LaTeX - Befehlen vorbereiten fID = fopen ( ’Aufgabe10 .tex ’ , ’wt’ ) ; appendContent ( fID , . . . [ ’$’ , num2str ( a ) , ’+’ , num2str ( b ) , ’=’ , num2str ( c ) , ’$’ ] ) ; fclose ( fID ) ; % Anhang beifuegen mail . attachments . Add ( [ pwd , ’/ Aufgabe10 .tex ’ ] ) ; else mail . Body = [ ’Auftrag ’ , inhalt , ’ ist inkorrekt !’ ] ; end

376

12 Ausblick mail . Send ; end

end

Die Antwort-E-Mail kann mit weiteren Details angereichert werden, z. B. mit dem Namen des Absenders: absendername = nachricht.get(’SenderName’)

Des Weiteren besteht die Möglichkeit, E-Mails im HTML-Format zu verfassen. Nach der Vorgabe des Formats mail.BodyFormat = ’olFormatHTML’

können dann HTML-Formatierungsmittel beispielsweise wie folgt verwendet werden; mail . HTMLBody = [ ’Hallo ’ , . . . absendername , ’ !];

Die E-Mail-Schnittstelle sollte mit Bedacht verwendet werden. Es muss sichergestellt sein, dass keine systemschädlichen Befehle zugeschickt und ausgeführt werden können. Dem Ausführen des eval-Befehls sollte eine Analyse des Nachrichtentextes auf verdächtigen Inhalt vorausgehen. 12.2. Aufgabe (So bekommt Ihr Rechner eine Stimme.) Einmaleins und Sprachsynthesizer Es ist ein Leichtes, den Sprachsynthesizer des Windows-Betriebssystems anzusprechen: NET.addAssembly(’System.Speech’); obj = System.Speech.Synthesis.SpeechSynthesizer; obj.Volume = 100;

sowie einen Text zu Sprache zu konvertieren: Speak(obj, char(’Hallo! Lass uns Multiplikation üben.’))

Entwerfen und setzen Sie ein MATLAB-Skript um, das Kindern hilft, das Einmaleins zu lernen. Konkret soll sich das Skript in einer Schleife Zahlen ausdenken, das Kind sprachlich nach dem Produkt fragen, über den input-Befehl das Ergebnis einholen und die Eingabe sprachlich bewerten. Zusätzlich kann eine Statistik über die richtig bzw. falsch gelösten Aufgaben geführt werden. 12.2 Lösungsvorschlag clc ; clear all ; close all ; NET . addAssembly ( ’System . Speech ’ ) ; obj = System . Speech . Synthesis . SpeechSynthesizer ; obj . Volume = 1 0 0 ; Speak ( obj , char ( ’Hallo ! Lass uns Multiplikation üben.’ ) ) ; m = 10; Stat = zeros ( m ) ; for n = 1 : 5 a = randi ( m ) ; b = randi ( m ) ; disp ( [ ’Was ist ’ , num2str ( a ) , ’ mal ’ , num2str ( b ) , ’ ?’ ] ) ;

12.7 Entwicklung eines MATEX-Chatbots

377

Speak ( obj , . . . char ( [ ’Was ist ’ , num2str ( a ) , ’ mal ’ , num2str ( b ) , ’ ?’ ] ) ) ; Antwort = input ( ’Deine Antwort : ’ ) ; if Antwort == a∗b Speak ( obj , char ( [ num2str ( Antwort ) ] ) ) ; d = randi ( 3 ) ; switch d case 1 Speak ( obj , char ( ’Super !’ ) ) ; case 2 Speak ( obj , char ( ’Richtig !’ ) ) ; case 3 Speak ( obj , char ( ’Waaahnsinn !!! ’ ) ) ; end Stat ( a , b ) = Stat ( a , b ) + 1 ; else Speak ( obj , char ( ’Das stimmt leider nicht ganz!’ ) ) ; Stat ( a , b ) = Stat ( a , b ) −1; end end figure imagesc ( Stat ) ; colormap ( ’bone ’ ) ; axis equal ; colorbar ; title ( ’Statistik ’ ) ;

12.7 Entwicklung eines MATEX-Chatbots Das mobile Internet steht vor einem Paradigmenwechsel – weg von Apps hin zu Plattformen [Moring et al. 2018, Kap. 4.2.5]. Der durchschnittliche Smartphone-Nutzer installiert zunehmend weniger Apps, denn er findet es lästig, für jeden Dienst eine neue Installation durchführen und ein neues Nutzerkonto eröffnen zu müssen. Facebook, Microsoft und Google versuchen deshalb viele externe Dienste und Angebote in ihre eigenen Plattformen zu integrieren, die bereits von Milliarden Menschen genutzt werden. Allein WhatsApp und der Facebook-Messenger kommen zusammen auf 1,7 Milliarden aktive Nutzer. 2015 überstieg die Anzahl der Benutzer von Messenger-Apps zum ersten Mal die Anzahl der Benutzer der sozialen Netzwerke [Kühl 2016]. Die Zahlen belegen, dass Menschen gerne und vorrangig via Text kommunizieren. Das hat zur Entwicklung von conversational user interfaces geführt, die als Chatbots oder kurz Bots bezeichnet werden. Sie sind textbasierte Dialogsysteme/Computerprogramme, die auf vorgefertigte Datenbanken, künstliche Intelligenz oder auf maschinelles Lernen zurückgreifen. Sie ermöglichen es, eine Anwendung persönlicher, natürlicher und interaktiver zu gestalten, und ebenso eine Interaktion oder gar ein Gespräch mit einer Person. Chatbots könnten für uns vieles sein: Sekretär, Buchhalter, Anlageberater, Reisebüro. Das Einsatzspektrum ist umfangreich und diese Dienstleistung lässt sich in beliebige etablierte Chatprodukte einbinden. Beispielsweise findet man auf https://botlist.co eine Liste von bereits existierenden Chatbots.

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12 Ausblick

Um einen Chatbot zu entwickeln, benötigt man nicht unbedingt Programmierkenntnisse. Es gibt Plattformen, die dies ermöglichen, wie etwa: www.wit.ai, www.motion.ai, www.onsequel.com, www.chatfuel.com, www.ibm.com/watson/how-to-build-a-chatbot/, https://dialogflow.com/, www.converse.ai, www.gupshup.io, vgl. [Frank 2016]. Aktuell gibt es keine Chatbots für (Höhere) Mathematik. Durch ein Chatbot ließe sich die Dimension der Interaktivität bei MATEX stärker ausbauen, wobei die Designmöglichkeiten der softwaretechnischen Schnittstelle zwischen MATLAB und einem Chatbot zu beleuchten wären. Ein Mathematikkurs, geleitet und durchgeführt von MATEX, bei dem der Schwierigkeitsgrad der behandelten Aufgaben durch Benutzerfeedback optimal eingestellt werden kann, wäre denkbar. Durch ein Chatbot-Modul könnte MATEX auch auf Querverweise zu benachbarten Themen aufmerksam machen oder den Studierenden zur Auflockerung einen zum Thema passenden mathematischen Witz erzählen.

12.8 Kognitive Fähigkeit Ein Lehrwerkzeug sollte zugleich etwas über den lernen, der es verwendet, um adaptiv, und individuell zu sein und dadurch seine Wirksamkeit zu steigern: Aus den Schwächen des Einzelnen mögen die Stärken des Lehrsystems erwachsen. Die Software MATEX verfügt vorerst über keine solche Lernfähigkeit. Der erste denkbare Schritt in diese Richtung könnte eine Anbindung an eine wissensbasierte Aufgabendatenbank sein [Bentz et al. 2015a]. Zusätzlich wäre die Entwicklung einer Feedbackfunktion (z. B. für die Lösungsvorschläge von Studierenden für die von MATEX gestellten Aufgaben), gekoppelt mit einem internen Statistik- bzw. Analysemodul, zielführend.

Literaturverzeichnis

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Literaturverzeichnis Amodei et al. 2015. Amodei, D., Amodei, D., Anubhai, R., Battenberg, E., Case, C., Jared Casper, J., Catanzaro, B., Chen, J., Chrzanowski, M., Coates, A., Diamos, G., Elsen, E., Engel, J., Fan, L., Fougner, Ch., Han, T., Hannun, A., Jun, A., LeGresley, P., Lin, L., Narang, Sh., Ng, A., Ozair, S., Prenger, R., Raiman, J., Satheesh, S., Seetapun, D., Sengupta, Sh., Wang, Y., Wang, Zh., Wang, Ch., Xiao, B., Yogatama, D., Zhan, J., Zhu, Zh.: Deep Speech 2: End-to-End Speech Recognition in English and Mandarin, https://arxiv.org/, 2015 Arens et al. 2015. Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, C., Kockelkorn, U., Lichtenegger, K., Stachel, H.: Mathematik, 3. Auflage, Springer Spektrum 2015 Benker 2013. Benker, H.: Mathematik-Problemlösungen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME, Springer Vieweg 2013 Bentz et al. 2015a. Bentz, T., Feiler, S., Helfrich-Schkarbanenko, A., Koß, R., Liedtke, J., Marz, M.: WISTA – „Wissensbasierte“ Theorie- und Aufgabendatenbank für die Studieneingangsphase, MINTTENDRIN – Lehre im Dialog, Tagungsband zum 2. HDMINT-Symposium 2015 Frank 2016. Frank, B.: So basteln Sie einen faustischen Chatbot, www.spiegel.de/netzwelt/web/ sequel-so-basteln-sie-einen-faustischen-chatbot-a-1102684.html (Abrufdatum: 01.03.2017) Hastings et al. 2016. Hastings, C., Mischo, K., Morrison, M.: Hands on Starts to Wolfram Math, 2nd Edition, Wolfram Media, Inc., 2016 Jenks et al. 2005. Jenks, R. D., Sutor, R.: Axiom: The Scientific Computation System, 2005, http://www. axiom-developer.org/ (Abrufdatum: 22.01.2018) Klimke 2003. Klimke, A.: How to Access Matlab from Java, Institut für Angewandte Analysis und Numerische Simulation, Universität Stuttgart 2003, http://preprints.ians.uni-stuttgart.de/downloads/2003/ 2003-005.pdf Koch et al. 2015. Koch, J. Stämpfle, M.: Mathematik für das Ingenieurstudium, 3., aktualisierte und erweiterte Auflage, Hanser 2015 Kühl 2016. Kühl, E.: Hey, du Mensch! www.zeit.de/digital/internet/2016-04/facebook-messenger-chatbots-zukunft (Abrufdatum: 15.04.2016) MathWorks 2015. The MathWorks, Inc.: Symbolic Math Toolbox User’s Guide R2015b, 2015 Moring et al. 2018. Moring, A., Maiwald, L., Kewitz, T.: Bits and Bricks: Digitalisierung von Geschäftsmodellen in der Immobilienbranche, Springer Gabler 2018 Neher 2018a. Neher, M.: Anschauliche Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1, Springer Vieweg 2018 Neher 2018b. Neher, M.: Anschauliche Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 2, Springer Vieweg 2018 Ney de Souza et al. 2004. Ney de Souza, P., Fateman, R. J., Moses, J., Yapp, C.: The Maxima Book, 2004, http://maxima.sourceforge.net/docs/maximabook/maximabook-19-Sept-2004.pdf (Abrufdatum: 21.11.2017) Risse 2007. Risse, T.: Using CASs to Generate and Mark Mathematical Question/Answer Type Tests; 25th International Conference Science in Practice, Schweinfurt 2007 Thuselt et al. 2013. Thuselt, F., Gennrich, F. P.: Praktische Mathematik mit MATLAB, Scilab und Octave, Springer Spektrum 2013 Weigend 2016. Weigend, M.: Python 3: Lernen und professionell anwenden: Das umfassende Praxisbuch, mitp 2016 Westermann 2014. Westermann, Th.: Mathematische Probleme lösen mit Maple, Ein Kurzeinstieg, 5. Auflage, Springer 2014

Kapitel 13

QR-Codes

Wo ein Anfang ist, muss auch ein Ende sein. Deutsches Sprichwort

Es gibt kein Ende, solang du es nicht selbst verursachst. Janine Weger (*1985), deutsche Aphoristikerin

Zusammenfassung Abschließend möchten wir dem Leser eine kompakte Zugriffsmöglichkeit auf die Software MATEX in Form einer Tafel von QR-Codes zur Verfügung stellen. Diese kann als Vorlage für großformatige Drucke für einen möglichen Einsatz im Unterricht verwendet werden. Die darin enthaltenen QR-Codes stellen Aufträge für zufällige Aufgaben zu jedem der 33 mathematischen Themen dar, die in diesem Werk behandelt wurden. Der Zufallsgenerator greift auf eine Datenbank von vorher ausgewählten Aufgaben zu. Falls Ihnen dieses Dokument als PDF vorliegt, können Sie die Aufträge auch per Mausklick auf einen der QR-Codes erteilen.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018 A. Helfrich-Schkarbanenko et al., Mathematische Aufgaben und Lösungen automatisch generieren, https://doi.org/10.1007/978-3-662-57778-3_13

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13 QR-Codes

5.1 Quadratische Gleichungen Der vorliegende Generator ist zum Aufstellen und Lösen von quadratischen Gleichungen (5.1) konzipiert.

5.2 Bruchrechnung Dieser Generator ist zum Kürzen von Zahlenbrüchen sowie Bruchtermen der Form u/v nach vorherigem Ausklammern gestaltet. Der Zähler und der Nenner können von weiteren Parametern abhängen.

5.3 (Un-)Gleichungen Der vorliegende Generator dient dem Aufstellen und Lösen von Aufgaben, bei welchen lineare Betragsgleichungen bzw. Betragsungleichungen des Typs (5.2) zu lösen sind.

6.1 Folgen Mit dem vorliegenden Generator lässt sich der Grenzwert (6.1) einer reellen Folge (an ) bestimmen.

6.2 Reihen, Konvergenzkriterien Mit dem vorliegenden Generator lässt sich eine Reihe (6.2) auf Konvergenz mittels der in Kapitel 6.2 genannten Kriterien prüfen.

6.3 Potenzreihen Mit dem vorliegenden Generator lassen sich der Konvergenzradius und gegebenenfalls der Konvergenzbereich der reellen Potenzreihe (6.3) bestimmen.

6.4 Kurvendiskussion Der vorliegende Generator führt für eine vorgegebene rationale Funktion der Gestalt (6.4) eine umfangreiche Kurvendiskussion durch.

13 QR-Codes

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6.5 Taylor-Polynom Dieser Generator berechnet TaylorPolynome (6.5) reeller Funktionen einer Variablen. Insbesondere werden zwei verschiedene Entwicklungspunkte einer Funktion grafisch verglichen.

6.6 Partielle Integration Der vorliegende Generator ist zum Aufstellen und Lösen von Aufgaben zur Berechnung eines (un-)bestimmten Integrals der Gestalt (6.6) mittels partieller Integration konzipiert.

6.7 Partielle Integration mit Parameter Mit diesem Generator lassen sich Aufgaben aufstellen und lösen, bei denen Parameterintegrale des Typs (6.7) mithilfe von partieller Integration gelöst werden.

6.8 Integration mit PBZ Dieser Generator erzeugt Aufgaben zur Integration einer beliebigen rationalen Funktion (6.8) mittels Partialbruchzerlegung. Die Integrale können je nach Wunsch bestimmt oder unbestimmt sein.

6.9 Lin. Differentialgleichungen Dieser Generator löst lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten (6.9) allgemein oder für vorgegebene Anfangsbedingungen. Der Ansatz vom Typ der rechten Seite ist vom Benutzer selbst anzugeben.

7.1 Lineare Gleichungssysteme Der vorliegende Generator ist zum Aufstellen und Lösen von linearen Gleichungssystemen (7.1) mit dem GaußJordan-Verfahren zu verwenden.

7.2 Gram und Schmidt Der vorliegende Generator dient dem Aufstellen und Lösen von Aufgaben zur Anwendung des in Kapitel 7.2 beschriebenen Gram-Schmidt-Verfahrens auf ein System von Vektoren.

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13 QR-Codes

7.3 Darstellungsmatrix Mit diesem Generator lässt sich die kanonische Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung f : Rn → Rm ausgehend von Vektorpaaren (aa j ,bb j ) mit b j = f (aa j ) nach Vorschrift (7.2) aufstellen.

7.4 Kern und Bild einer lin. Abb. Dieser Generator bestimmt den Kern und das Bild einer gegebenen Abbildungsmatrix A ∈ Cm×n . Der Lösungsvorschlag legt den Schwerpunkt eher auf den Rangsatz als auf den Gauß-Algorithmus.

7.5 Determinantenberechnung Mit diesem Generator lassen sich Aufgaben zur Berechnung der Determinante einer komplexen quadratischen Matrix mittels Laplace-Entwicklung (7.4) nach der ersten Spalte aufstellen und lösen.

7.6 Eigenwertprobleme Dieser Generator erstellt und löst Aufgaben zur Berechnung der Eigenwerte und Eigenräume komplexer quadratischer Matrizen. Damit ist nach allen Lösungen der Gleichung (7.5) gefragt.

8.1 Extremwertaufgaben Mit diesem Generator kann man Aufgaben zur Extremwertberechnung bei differenzierbaren Funktionen mit zwei reellwertigen Variablen (8.1) aufstellen und lösen.

8.2 Taylor-Polynom 2-D Der vorliegende Generator dient dem Aufstellen und Lösen von Aufgaben zur Berechnung von Taylor-Polynomen nach Gl. (8.4) bis zum Grad 2 für reellwertige Funktionen mit zwei reellen Variablen.

8.3 Implizit def. Funktionen Mit diesem Generator lässt sich überprüfen, ob eine implizit definierte Funktion durch eine stetig differenzierbare Funktion in (8.5) lokal darstellbar ist.

13 QR-Codes

385

8.4 Kurvenintegrale erster Art – Kurvenlänge Der vorliegende Generator ist für die Berechnung von Kurvenintegralen erster Art (8.7) entwickelt. Zusätzlich wird die Kurvenlänge nach Gleichung (8.8) berechnet.

8.5 Kurvenintegrale zweiter Art Der vorliegende Generator ist zum Aufstellen und Lösen von Aufgaben zur Berechnung von Kurvenintegralen zweiter Art (8.9) entwickelt.

8.6 Konservative Felder Dieser Generator ist für Aufgaben konzipiert, bei denen geprüft wird, ob ein vorgegebenes Vektorfeld im R3 konservativ ist, also ein Potenzial besitzt, und dieses Potenzial gegebenenfalls berechnet wird.

9.1 Fourier-Reihe Dieser Generator kann für Aufgaben verwendet werden, bei denen die FourierKoeffizienten (9.2) und (9.3) einer vorgegebenen 2π-periodischen Funktion des Typs (9.5) zu berechnen sind.

9.2 Laplace-Trafo und DGL Der vorliegende Generator erstellt und löst ein Anfangswertproblem zu linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (9.9) mittels LaplaceTransformation (9.7).

9.3 Fourier-Trafo und DGL Der vorliegende Generator liefert Aufgaben und Lösungen, bei denen eine Differentialgleichung (9.11) mittels FourierTransformation (9.10) gelöst werden soll.

9.4 Lagrange’sche Multiplikatorenregel Mit diesem Generator lassen sich Aufgaben zur Lagrange’schen Multiplikatorenregel für eine Nebenbedingung aufstellen und lösen, vgl. (9.13).

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13 QR-Codes

10.1 Baumdiagramme Hier können Aufgaben zu mehrstufigen zufälligen Experimenten aufgestellt und gelöst werden. Darüber hinaus wird ein Baumdiagramm wie in Abb. 10.1 gezeichnet.

10.2 Lineare Regression Dieser Generator ist konzipiert, um zwei Messdatensätze in Form von Vektoren auf ihren linearen Zusammenhang zu überprüfen und eine Regressionsgerade nach Gleichung (10.2) aufzustellen.

10.3 Kontinu. Zufallsvariable Dieser Generator erzeugt Aufgaben zu Dichte- und Verteilungsfunktionen nach Gleichung (10.3). Zudem lassen sich Erwartungswerte und Varianzen berechnen.

10.4 2-D-Zufallsvariable Dieser Generator transformiert eine 2-DDichtefunktion (10.5) durch eine Drehung um den Ursprung und überprüft die entstehenden Zufallsvariablen mittels (10.6) auf statistische Unabhängigkeit.

10.5 Qualitätsregelkarte Dieser Generator ist ausgehend von Messreihen zum Aufstellen einer Qualitätsregelkarte und zum Untersuchen eines Fertigungsprozesses auf Prozessfähigkeit entwickelt worden.

Literaturverzeichnis

Dieses Literaturverzeichnis stellt die Vereinigungsmenge der Literaturverzeichnisse aller Kapitel des vorliegenden Werkes dar.  Amodei et al. 2015. Amodei, D., Amodei, D., Anubhai, R., Battenberg, E., Case, C., Jared Casper, J., Catanzaro, B., Chen, J., Chrzanowski, M., Coates, A., Diamos, G., Elsen, E., Engel, J., Fan, L., Fougner, Ch., Han, T., Hannun, A., Jun, A., LeGresley, P., Lin, L., Narang, Sh., Ng, A., Ozair, S., Prenger, R., Raiman, J., Satheesh, S., Seetapun, D., Sengupta, Sh., Wang, Y., Wang, Zh., Wang, Ch., Xiao, B., Yogatama, D., Zhan, J., Zhu, Zh.: Deep Speech 2: End-to-End Speech Recognition in English and Mandarin, https://arxiv.org/, 2015 Arens et al. 2015. Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, C., Kockelkorn, U., Lichtenegger, K., Stachel, H.: Mathematik, 3. Auflage, Springer Spektrum 2015 Arens et al. 2016. Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, C., Kockelkorn, U., Lichtenegger, K., Stachel, H.: Arbeitsbuch Mathematik, 3. Auflage, Springer Spektrum 2016 Baumgartner et al. 1994. Baumgartner, P., Payr, S.: Lernen mit Software, StudienVerlag, 1994 Becker 2016. Becker, K. B.: Süddeutsche Zeitung, Viele Lehrende sind didaktisch nicht auf Blinde eingestellt, 6. März 2016, http://www.sueddeutsche.de/bildung/-behinderung-erst-einmal-aushandeln-1. 2892456 (Abrufdatum: 23.01.2018) Benker 2013. Benker, H.: Mathematik-Problemlösungen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME, Springer- Vieweg 2013 Bentz et al. 2015a. Bentz, T., Feiler, S., Helfrich-Schkarbanenko, A., Koß, R., Liedtke, J., Marz, M.: WISTA – „Wissensbasierte“ Theorie- und Aufgabendatenbank für die Studieneingangsphase, MINTTENDRIN – Lehre im Dialog, Tagungsband zum 2. HDMINT-Symposium 2015 Bentz et al. 2015b. Bentz, T., Helfrich-Schkarbanenko, A., Koß, R., Nitsche, A.: Ressourcenökonomische Erstellung von Materialien für Lehrende und Lernende in der Studieneingangsphase, MINTTENDRIN – Lehre im Dialog, Tagungsband zum 2. HDMINT-Symposium 2015 Berger et al. 2015. Berger, L., Spannagel, C., J. Grzega, J. (Hrsg.): Lernen durch Lehren im Fokus. Berichte von LdL-Einsteigern und LdL-Experten, epubli 2015 Beucher 2007. Beucher, O.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik mit MATLAB, Anwendungsorientierte Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 2. Auflage, Springer 2007 Blömke et al. 2006. Blömke, S., Risse, J., Müller, Ch., Eichler, D. Schulz, W.: Analyse der Qualität von Aufgaben aus didaktischer und fachlicher Sicht. Ein allgemeines Modell und seine exemplarische Umsetzung im Unterrichtsfach Mathematik, Unterrichtswissenschaft 34 (2006) 4 Boswarthick 2012. Boswarthick, D., Elloumi, O., Hersent, O.: M2M Communications – A Systems Approach, Wiley 2012 Bronson et al. 2006. Bronson, R., Costa, G.: Differential Equations, 3rd Edition, Schaum’s Outline Series, McDraw-Hill 2006

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018 A. Helfrich-Schkarbanenko et al., Mathematische Aufgaben und Lösungen automatisch generieren, https://doi.org/10.1007/978-3-662-57778-3

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Sachverzeichnis

Abbildungsmatrix, 174 Ableitung partielle, 218 alpha, 167 Animation, 358 Arbeiten mit Aufgaben, 31 Array, 46 assume, 83, 95, 99 Aufgabe, 31 geschlossene, 32 halboffene, 32 offene, 32 Aufgabenformat, 31 Aufgabengenerator, 17 Aufgabenstamm, 31 Ausgleichsgerade, 315 Baumdiagramm, 302 Benutzerschnittstelle, 18 Betragsungleichungen, 82 Blended Learning, 33 Bogenlänge, 232 Bot, 377 Bruchrechnung, 79 BYOD, 36 cell-Array, 83 Chatbot, 377 coeffs, 58, 59 Command Window, 13 contourf, 334 Darstellungsmatrix, 174 kanonische, 174 DeepL, 370 det, 187, 192 Determinante, 186, 332

Untermatrix, 186 diag, 192 Diagonalisierbarkeit, 192 diff, 115, 127, 150, 218, 233, 248, 290 Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, 147 dirac, 283 Dirac-Impuls, 283, 286 Distribution, 283 Drehmatrix, 196 Drehung, 332 dsolve, 149 E-Learning, 33 eig, 192, 206 Eigenvektor, 191 Eigenwert, 191 Eigenwertproblem, 191 erf-Funktion, 328 Erwartungswert, 302, 323 eval, 150 exist, 149 expand, 115, 233, 248 Extremwert, 204 eye, 192 fclose, 48 Fehlerkontrolle, 64 figure, 54 Flipped Classroom, 36 Folgen, 94 fopen, 48 fourier, 281 Fourier-Koeffizient, 258 Fourier-Polynom, 258, 260 Fourier-Reihe, 258 Fourier-Transformation, 279

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018 A. Helfrich-Schkarbanenko et al., Mathematische Aufgaben und Lösungen automatisch generieren, https://doi.org/10.1007/978-3-662-57778-3

391

392 inverse, 281 Korrespondenztabelle, 280 Schwarz-Raum, 279 fplot3, 56 fprintf, 48 fsurf, 56 Funktion rationale, 114, 139 Gamification, 35 Gauß-Jordan-Verfahren, 158, 159 Gauß-Verfahren rückwärts, 159 Gauß-Verteilung zweidimensionale, 332 gcd, 79 Generator, 17 Gleichung quadratische, 74 has, 206 heaviside, 284 Hesse-Matrix, 204 IBM Watson, 6 ifourier, 281 ilaplace, 271 Instruktionslernen, 36 int, 233, 248 inv, 175 Inverted Classroom, 36 isempty, 290 isequaln, 334 isfinite, 107 Jacobi-Matrix, 332 Künstliche Intelligenz, 14 Kern, 180 Koeffizientenmatrix erweiterte, 159 Kommandozeile, 19 Konservatives Feld rotationsfreies, 247 Koordinatentransformation, 332 Korrelationskoeffizient, 315 Kovarianz empirische, 315 Kurve Lemniskate, 296 parametrisierte, 232 Kurvendiskussion, 114 Kurvenintegral erster Art, 232

Sachverzeichnis Parametrisierungsunabhängigkeit, 240 skalares, 232 vektorielles, 232 zweiter Art, 239 Kurvenlänge, 232 Lösung spezielle, 147 Lagrange’sche-Multiplikatorenregel, 288 Lagrange-Funktion, 288 Lagrange-Multiplikator, 288 laplace, 271 Laplace’scher Entwicklungssatz, 186 Laplace-Transformation, 268 inverse, 271 Korrespondenztabelle, 269 LATEX, 16 latex, 48, 67 Leibniz-Kriterium, 98 Lernen aufgabenorientiertes, 30 integriertes, 33 selbstbestimmtes, 39 Lernmethode deduktive, 36 induktive, 37 Instruktionslernen, 36 limit, 95, 100, 324 limit comparison theorem, 106 Lineare Abbildung Bild, 180 Darstellungsmatrix, 174 Kern, 180 Lineares Gleichungssystem, 158 linsolve, 160 Lizenz, 24 Maple, 372 Mathcad, 372 Mathematica, 372 MATLAB, 12 Matplotlib, 373 Matrix Determinante, 186 invertierbare, 186 Medienkonvergenz, 24 Microlearning, 35 Mittelwert, 345 Mobile Learning, 34 Mobile-Tagging, 23 MuPAD, 373 Norm, 166 null, 160, 181, 192

Sachverzeichnis

393

Nullraum, 180

root, 150

Optimierungsproblem, 288 or, 83 Orthonormalisierungsverfahren von Gram und Schmidt, 166 Oszillator harmonischer, 273

Satz über implizit definierte Funktion, 225 von Schwarz, 217 saveas, 54 scatter3, 233 subs, 233 SciPy, 373 simplify, 53, 79, 100, 205, 227, 233 Skalarfeld, 232 Skalarprodukt, 166 Software-Roboter, 5 solve, 46, 83, 115, 150, 290 Sonderzeichen \\, 48 \n, 48 sort, 115 sphere, 167 Sprachsynthesizer, 376 Standardabweichung empirische, 315, 345 Standardnormalverteilung Quantil, 344 Stichprobenmittelwert, 344 Stichprobenstandardabweichung, 344 Streudiagramm, 315 String Sonderzeichen, 48 strrep, 50 surf, 167, 218 sym2poly, 140, 259 Symbolic Math Toolbox, 14, 15 syms, 46

Partialbruchzerlegung, 139 Partielle Integration, 131 mit Parameter, 135 PDF-Annotation cooltooltips, 358 fancytooltips, 358 pdfcomment, 358 pinv, 160 plot, 54 plot3, 218 Potenzreihe, 106 Konvergenzbereich, 106 Konvergenzradius, 106 print, 365 Problem, 31 Programmierung rekursive, 187 Prozessstabilität, 344 Pseudoinverse, 160 publish-Funktion, 11 Python, 373 Qualitätsregelkarte, 344 Grunderhebung, 344 Korrekturfaktor, 345 quorem, 140 randi, 58 randperm, 181 Rangsatz, 181 rank, 160, 181 Rapid E-Learning, 34 Regression lineare, 315 Reihe absolut konvergente, 98 divergente, 98 konvergente, 98 Konvergenzkriterien, 98 Leibniz-Kriterium, 98 Rekursion, 187 Resonanz, 148 ReturnConditions, 83, 205 ribbon, 107 Robotic Process Automation, 5

Taylor-Polynom, 217 Entwicklungspunkt, 217 text, 54 TikZ, 304, 365 Transformationssatz, 332 für Dichten, 332 try-catch-Fehlerkontrolle, 64 U3D, 363 Ubiquität, 39 Unabhängigkeit statistische, 332 Ungleichungen, 82 unique, 115, 192 Varianz, 323 Vektorfeld, 232 Verteilungsfunktion, 323 Vielfachheit

394 algebraische, 191 geometrische, 191 vpa, 218 Wahrscheinlichkeitsdichte Verbund-, 332 Wahscheinlichkeit, 302 bedingte, 302 Wissen deklaratives, 30 prozedurales, 30

Sachverzeichnis Zeitsparen, 2 Zufallsexperimente mehrstufige, 302 Zufallsgenerator, 17, 381 Aufgabendatenbank, 17 Zufallsvariable, 315 kontinuierliche, 323 stetige, 332 zweidimensionale, 332

springer-spektrum.de T. Arens, F. Hettlich, C. Karpfinger, U. Kockelkorn, K. Lichtenegger, H. Stachel Mathematik 3. Aufl. 2015, XXIV, 1630 S., 2314 Abb., 1140 Abb. in Farbe, Hardcover [1] 69,99 € (D) | 71,95 € (A) | CHF 72,00 ISBN 978-3-642-44918-5 eBook [2] 54,99 € (D) | 54,99 € (A) | CHF 66,68 ISBN 978-3-642-44919-2

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