Investitionsrechnung klipp & klar PDF

Im Zentrum des Buches stehen Verfahren, die Investitionsentscheidungen auf der Basis finanzmathematischer Kennzahlen erlauben sollen. Zunächst werden die modelltheoretischen und finanzmathematischen Grundlagen der Kennzahlen und ihrer Verwendung vermittelt. Auf dieser Basis werden anschließend die wichtigsten Kennzahlen vorgestellt, ihre Berechnung verdeutlicht und ihre Eignung zur Ableitung „vernünftiger“ Investitionsentscheidungen analysiert. Während die Betrachtungen zunächst auf eine stark idealisierte Modellwelt beschränkt bleiben, wird abschließend verdeutlicht, wie davon abweichende reale Gegebenheiten, insbes. Steuern und Unsicherheit, in die Betrachtungen integriert werden können. Alle Überlegungen setzen nahezu kein Vorwissen voraus, gehen in kleinen Schritten vor und sind durch zahlreiche Beispiele und Übungen unterlegt. Dadurch ist das Buch vor allem für Themenneulinge, insbes. Studierende in einem Bachelorstudiengang, und für ein Selbststudium geeignet.

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WiWi klipp & klar

Udo Terstege · Michael Bitz Jürgen Ewert

Investitionsrechnung klipp & klar

WiWi klipp & klar P. Schuster, Hochschule Schmalkalden, Fakultät Wirtschaftswissenschaften, Schmalkalden, Deutschland Reihenherausgeber

WiWi klipp & klar steht für verständliche Einführungen und prägnante Darstellungen aller wirtschaftswissenschaftlichen Bereiche. Jeder Band ist didaktisch aufbereitet und behandelt ein Teilgebiet der Betriebsoder Volkswirtschaftslehre, indem alle wichtigen Kenntnisse aufgezeigt werden, die in Studium und Berufspraxis benötigt werden. Vertiefungsfragen und Verweise auf weiterführende Literatur helfen insbesondere bei der Prüfungsvorbereitung im Studium und zum Anregen und Auffinden weiterer Informationen. Alle Autoren der Reihe sind fundierte und akademisch geschulte Kenner ihres Gebietes und liefern innovative Darstellungen – WiWi klipp & klar.

Weitere Bände in der Reihe http://www.springer.com/series/15236

Udo Terstege Michael Bitz Jürgen Ewert

Investitionsrechnung klipp & klar

Udo Terstege Wissenschaftsbereich I Technische Hochschule Georg Agricola Bochum, Deutschland

Jürgen Ewert CSF - Centrum für Steuern und Finanzen FernUniversität in Hagen Hagen, Deutschland

Michael Bitz CSF - Centrum für Steuern und Finanzen FernUniversität in Hagen Hagen, Deutschland

ISSN 2569-2194 WiWi klipp & klar ISBN 978-3-658-20991-9 https://doi.org/10.1007/978-3-658-20992-6

ISSN 2569-2216 (electronic) ISBN 978-3-658-20992-6 (eBook)

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Gabler © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Gabler ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

V

Vorwort Ziel dieses Buches ist ein erster, zugleich leicht nachvollziehbarer und doch inhaltlich anspruchsvoller Einblick in die betriebswirtschaftliche Investitionstheorie. Inhaltlich ist der Fokus auf die Methoden und Zusammenhänge gerichtet, die wohl Gegenstand der meisten einführenden Lehrveranstaltungen zum Thema Investition im Rahmen von Bachelorstudiengängen an deutschen Hochschulen sein dürften, es zumindest sein sollten. Bachelorstudierende sind dementsprechend die primären Adressaten dieses Buches. Es ist aber ebenso geeignet für Teilnehmerinnen und Teilnehmer ähnlicher Ausbildungsgänge an anderen Bildungseinrichtungen und für Praktiker und sonstige Interessierte, die sich im Selbststudium mit der Investitionstheorie beschäftigen wollen. Vermutlich vermittelt es aber auch sogar fortgeschrittenen Fachleuten noch einige neue Erkenntnisse. Methodisch orientiert sich das Buch ganz am Titel der Reihe, in der es erscheint: „klipp und klar“. Alle Inhalte sind ohne größere Vorkenntnisse, insbesondere ohne besondere formale Vorbildung leicht nachvollziehbar. Trotzdem werden die Methoden und Zusammenhänge der Investitionstheorie präzise, systematisch und mit durchaus hohem inhaltlichem Anspruch dargeboten. Das gleichzeitige Erreichen all dieser, auf Anhieb vielleicht widersprüchlich anmutenden Ziele wird durch den Einsatz eines ganzen Bündels didaktischer Elemente ermöglicht. Es wird zwar die einschlägige Fachsprache verwendet, aber sie wird erläutert und nicht als bekannt vorausgesetzt. Außerdem wird auf unnötig komplizierte Formulierungen verzichtet. Alle wesentlichen Erkenntnisse werden primär anhand von Beispielen vermittelt – die sich anschließenden formalen Darstellungen dienen dann nur noch der Verallgemeinerung, sind aber nicht mehr für das Grundverständnis erforderlich. Besonders wichtige Erkenntnisse werden ergänzend als Merksätze hervorgehoben. Zahlreiche Wiederholungsfragen und Übungsaufgaben samt Lösungsskizzen bieten Gelegenheit, das Erlernte selbst auszuprobieren, zu rekapitulieren und gegen Missverständnisse abzusichern. Mit der Erarbeitung der Inhalte dürften keine Leserin und kein Leser mit einer Hochschulzugangsberechtigung überfordert sein. Gleichwohl bleibt die „Erarbeitung“ aber mit Arbeit verbunden. Die können wir unseren Leserinnen und Lesern leider nicht ganz ersparen. Für das Gelingen dieses Werkes gebührt, neben zahlreichen, hier nicht einzeln genannten Personen, unser besonderer Dank Frau Marlis Klewer, die sich mit bewundernswerter Sorgfalt in die Tiefen der Formatvorlagen eingearbeitet und das Manuskript redaktionell vorbildlich gestaltet hat, und Herrn Leon Maximilian Ewert, der unsere Textentwürfe nach allen Regeln der Kunst auf „Herz und Nieren“ geprüft hat. Sollten trotzdem noch Fehler enthalten sein, gehen die allein zu Lasten der Autoren, die für entsprechende Hinweise der Leserinnen und Leser dankbar sind. Udo Terstege Michael Bitz Jürgen Ewert

Bochum und Hagen, Deutschland Juni 2018

VII

Inhaltsverzeichnis 1

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.3.1 2.2.3.2 2.2.3.3 2.2.3.4 2.2.3.5 2.2.3.6 2.2.3.7 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.4.1 2.3.4.2 2.3.4.3 2.3.4.4 2.4 2.5 2.6

Grundlagen der Investitionsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Investitionsprojekte in der Realität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition von Investitionsprojekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entscheidungssituationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dimensionen von Investitionsentscheidungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Investitionsprojekte im Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundsätzliche Modelleigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildung der Investitionsprojekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildung von Einzahlungen und Auszahlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildung periodenweise aggregierter Zahlungssalden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildung verursachter Zahlungswirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiel zur Abbildung eines Investitionsprojektes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufbereitung des Alternativenkataloges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzen der Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beurteilung von Investitionsprojekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beurteilung ohne Finanzkontrakte und ohne spezielle Präferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beurteilung auf der Basis spezieller Präferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beurteilung auf der Basis von Finanztransaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ergänzende Finanzmarktaktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beurteilung mit vollkommenem Finanzmarkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beurteilung mit unvollkommenem Finanzmarkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wiederholungsfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 7 7 8 9 11 11 13 15 15 15 17 19 20 22 28 30 30 31 37 40 40 40 44 51 54 55 56 60

Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Auf- und Abzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einzelzahlungen bei wechselnden Periodenzinssätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einzelzahlungen bei konstantem Periodenzinssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zahlungsreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fragestellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rentenrechnung im Standardfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Varianten der Rentenrechnung bei konstantem Zinssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rentenrechnung bei wechselnden Periodenzinssätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 64 66 66 70 74 79 79 80 84 90

3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4

VIII

Inhaltsverzeichnis

3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.6 3.7

Annuitätenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechentechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungsfall Annuitätendarlehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wiederholungsfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 4.2.1 4.2.1.1 4.2.1.2 4.2.2 4.2.2.1 4.2.2.2 4.2.2.3 4.2.3 4.2.3.1 4.2.3.2 4.2.3.3 4.3 4.4 4.5

Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5 5.1 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.5 5.6 5.6.1 5.6.2 5.6.3

Begriffliche und modelltheoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Investitionsprojekte und unmittelbare monetäre Konsequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Investitionsprojekte und „finanzielles Umfeld“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften des Grundmodells und weiteres Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Endwert, Kapitalwert und Annuität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formale Darstellung und Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Endwert und Kapitalwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Annuität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ökonomische Analyse und Vorteilhaftigkeitskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ökonomischer Gehalt der drei Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorteilhaftigkeitskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kalkulationszinssätze bei wechselnden Szenarien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modifiziertes Gewinnkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlegende Zusammenhänge zwischen Zahlungs- und Gewinngrößen . . . . . . . . . . . Kapitalwert der Residualgewinne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wiederholungsfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93 95 102 104 104 110

112 112 117 121 123 123 123 129 131 131 138 145 150 150 150 153 155 155 156 163

Erweiterungen des Grundmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berücksichtigung künftiger Preisänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenzierte Preisänderungserwartungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einheitliche Preisänderungen („Inflation“) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projektbezogene Finanzierungsmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Investitionsketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemstellung und grundlegende Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entscheidungen über Investitionsketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Einfache“ Nutzungsdauerprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfluss von Steuern auf Investitionsentscheidungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zahlungsreihe „nach Steuern“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modifikation des Kalkulationszinssatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167 168 168 168 170 172 174 174 178 179 183 183 185 187

IX Inhaltsverzeichnis

5.6.4 5.6.4.1 5.6.4.2 5.6.4.3 5.6.5 5.7 5.8 5.9

Kapitalwert und Endwert „nach Steuern“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ermittlung und Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfluss von Steuern auf die Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten . . . . . . . . . . . . . . Wirkungszusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abschließende und weiterführende Überlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wiederholungsfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 6.3.5 6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.5 6.6 6.7

Vorbemerkungen und Einordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Amortisationsdauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition und Ermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse, ökonomische Interpretation und Kennzahlenkritik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interner Zinsfuß und verwandte Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition und Ermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formale Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ökonomische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entscheidungsregel und Kennzahlenkritik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exkurs: Renditevergleiche bei Finanzanlagen und Krediten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kennzahlen auf Basis periodisierter Durchschnittsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ausgangspunkt der „statischen Verfahren“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kostenvergleichsrechnung als Referenzbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andere Praktikerverfahren und zusammenfassende Kennzahlenkritik . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wiederholungsfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.1.1 7.2.1.2 7.2.1.3 7.2.2 7.2.2.1 7.2.2.2 7.2.2.3 7.2.2.4 7.2.2.5

Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sensitivitätsanalysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kritische Werte und Wertekombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alternativrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeitsgestützte Analyse von Einzelrisiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Starre Planung bei stochastischer Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Starre Planung bei stochastischer Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flexible Planung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zwischenergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188 188 191 193 200 202 202 204 212

215 216 216 219 222 222 226 228 230 234 236 236 238 242 244 245 245 250

253 255 255 255 255 258 262 262 264 266 267 270

X

Inhaltsverzeichnis

7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.3.1 7.3.3.2 7.3.3.3 7.3.3.4 7.4 7.5 7.6

Investitionsentscheidungen bei Unsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Risikozuschlagsmethode und Sicherheitsäquivalentmethode(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sonstige Entscheidungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeitskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erwartungswertkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - -Konzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassende Einordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wiederholungsfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

271 271 272 277 277 278 280 285 285 286 287 292

Serviceteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Anhang: Finanzmathematische Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

1

Einleitung

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 U. Terstege, M. Bitz, J. Ewert, Investitionsrechnung klipp & klar, WiWi klipp & klar, https://doi.org/10.1007/978-3-658-20992-6_1

1

2

Kapitel 1 Einleitung

1 Die Investitionstheorie zählt zu den klassischen Teildisziplinen der Betriebswirtschaftslehre. Im Kern beschäftigt sie sich mit Entscheidungen über realwirtschaftliche Aktivitäten innerhalb von Unternehmen, die sich, wie z. B. die Inbetriebnahme einer neuen Produktionsanlage, über einen längeren Zeitraum erstrecken, zunächst Input erfordern und erst später, eventuell neben weiterem Input, einen Output erwarten lassen. Dieser thematische Kern der Investitionstheorie bildet zugleich den zentralen Gegenstand dieses Buches. Die in diesem thematischen Kerngebiet geltenden Zusammenhänge lassen sich allerdings weitgehend auch auf andere Entscheidungssituationen, z. B. auf Entscheidungen außerhalb von Unternehmen oder auf reine Finanzmarktaktivitäten, übertragen. Solche Übertragungsmöglichkeiten klingen in diesem Buch zwar gelegentlich an, sind aber nicht sein eigentliches Thema. In methodischer Hinsicht ist die Investitionstheorie, wie auch fast alle anderen Teildisziplinen der Betriebswirtschaftslehre, eine modellorientierte Wissenschaftsdisziplin. Das bedeutet, dass sie die zu beurteilenden realwirtschaftlichen Aktivitäten nicht in ihrer tatsächlich vorhandenen, vollen Komplexität betrachtet, sondern „nur“ anhand vereinfachender Abbildungen dieser Realität. Die Formulierung geeigneter Investitionsmodelle und vor allem auch die zielorientierte Analyse dieser Modelle prägen dementsprechend die Investitionstheorie. Dabei versteht sich die Investitionstheorie angesichts der mit jeder Modellierung verbundenen Vereinfachungen explizit nicht als Wissenschaft, die eine abschließende Beurteilung von Investitionsvorhaben erlaubt. Sie versteht sich vielmehr als die Teildisziplin, die sich im Rahmen einer arbeitsteiligen Betriebswirtschaftslehre mit ganz speziellen Aspekten von Investitionsvorhaben beschäftigt und nur im Hinblick auf diese Aspekte Entscheidungsempfehlungen liefern kann. Im Einklang mit fast allen einschlägigen „neueren“ Abhandlungen zur Investitionstheorie gehen wir dabei in diesem Buch davon aus, dass die Investitionsalter-

nativen anhand ihrer Zahlungskonsequenzen beurteilt werden sollen und dass die Zielsetzung der Vermögensmaximierung den Maßstab der Beurteilung bildet. Für die Berücksichtigung weiterer, ebenfalls beurteilungsrelevanter Aspekte und weiterer Zielsetzungen bleiben andere betriebswirtschaftliche Teildisziplinen zuständig. Im Zentrum des Buches stehen die ﬁnanzmathematischen Kennzahlen, die im einschlägigen Schrifttum typischerweise zur Fundierung von Investitionsentscheidungen vorgeschlagen werden und die nach unserer Wahrnehmung in der unternehmerischen Praxis mittlerweile auch tatsächlich sehr häuﬁg eingesetzt werden. Diese gängigen Kennzahlen werden im Buch ausführlich dargestellt, erläutert und in ihrer Anwendung demonstriert. Sie werden aber vor allem auch eingehend in Hinblick auf ihre Anwendungsvoraussetzungen, ihre Aussagekraft und ihre Erweiterungsmöglichkeiten verdeutlicht. Dazu behandelt das Buch die folgenden Inhalte: In 7 Kap. 2 werden zunächst sehr grundlegende Kenntnisse der in der Investitionstheorie verwendeten Modelle vermittelt. Thema sind vor allem die wesentlichen Merkmale dieser Modelle und die Probleme, die bei der Vorbereitung einer Investitionsentscheidung im Rahmen dieser Modelle zu lösen sind. In 7 Kap. 3 werden die für die Berechnung und Analyse investitionstheoretischer Kennzahlen erforderlichen ﬁnanzmathematischen Rechentechniken vermittelt. Dabei werden alle Verfahren sowohl für einen konstanten Zinssatz als auch für wechselnde Periodenzinssätze vorgestellt. 7 Kap. 4 kann als das zentrale Kapitel des Buches betrachtet werden. Hier werden, zunächst in einem einfachen Grundmodell, mit dem Endwert, dem Kapitalwert und der Annuität die drei wohl wichtigsten investitionstheoretischen Kennzahlen eingeführt und analysiert. Von zentraler Bedeutung sind diese drei Kennzahlen vor allem wegen ihres unmittelbaren Bezuges zur Zielsetzung der Vermögensmaximierung, die in diesem Kapitel

3 Einleitung

sehr ausführlich und nachvollziehbar dargelegt wird. In 7 Kap. 5 wird die Anwendung der Kennzahlen Endwert, Kapitalwert und Annuität um einige aus dem Grundmodell des 7 Kap. 4 zunächst ausgeschlossene Elemente erweitert. Es werden zusätzlich während der Projektlaufzeit zu erwartende Preisänderungen, spezielle an die Projektdurchführung gekoppelte Finanzierungsmöglichkeiten, Entscheidungen über wiederholte Projektdurchführungen, Entscheidungen über die Nutzungsdauer von Investitionsgütern und steuerliche Einﬂüsse auf die Investitionsentscheidungen berücksichtigt. In 7 Kap. 6 werden mit der dynamischen Amortisationsdauer, dem internen Zinsfuß und diversen statischen Größen zusätzliche investitionstheoretische Kennzahlen dargestellt, die anders als Endwert, Kapitalwert und Annuität keinen direkten Bezug zur Zielsetzung der Vermögensmaximierung aufweisen. Dementsprechend ist die Verwendung dieser Kenn-

1

zahlen mit etlichen Problemen verbunden; uns geht es daher in diesem Kapitel vor allem darum, die Schwächen dieser zusätzlichen Kennzahlen oﬀenzulegen. In 7 Kap. 7 werden schließlich (auf der Basis des Kapitalwertes als Kennzahl) Unsicherheitsaspekte in die Beurteilung von Investitionsprojekten einbezogen. Dabei werden sowohl Konzepte zur analytischen Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen als auch Konzepte zum Treﬀen der Investitionsentscheidung unter Unsicherheit selbst verdeutlicht. Da die Inhalte in der Reihenfolge der Kapitel aufeinander aufbauen, empfehlen wir deren sequentielle Erarbeitung. Die Übungsaufgaben sollten jeweils an der Stelle bearbeitet werden, an der die Aufgabenstellungen im Text platziert sind. Die zu den Übungsaufgaben jeweils am Kapitelende beﬁndlichen Lösungsskizzen sollten erst nach ernsthaften eigenen Lösungsanstrengungen, zur Kontrolle der selbst entwickelten Lösung, zu Rate gezogen werden.

5

Grundlagen der Investitionsrechnung 2.1

Investitionsprojekte in der Realität – 7

2.1.1 2.1.2 2.1.3

Definition von Investitionsprojekten – 7 Entscheidungssituationen – 8 Dimensionen von Investitionsentscheidungen – 9

2.2

Investitionsprojekte im Modell – 11

2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.3.1 2.2.3.2 2.2.3.3 2.2.3.4 2.2.3.5 2.2.3.6 2.2.3.7

Grundsätzliche Modelleigenschaften – 11 Zielsetzung – 13 Abbildung der Investitionsprojekte – 15 Überblick – 15 Abbildung von Einzahlungen und Auszahlungen – 15 Abbildung periodenweise aggregierter Zahlungssalden – 17 Abbildung verursachter Zahlungswirkungen – 19 Beispiel zur Abbildung eines Investitionsprojektes – 20 Aufbereitung des Alternativenkataloges – 22 Grenzen der Modellierung – 28

2.3

Beurteilung von Investitionsprojekten – 30

2.3.1 2.3.2

Vorbemerkung – 30 Beurteilung ohne Finanzkontrakte und ohne spezielle Präferenzen – 31 Beurteilung auf der Basis spezieller Präferenzen – 37 Beurteilung auf der Basis von Finanztransaktionen – 40 Vorbemerkung – 40 Ergänzende Finanzmarktaktivitäten – 40 Beurteilung mit vollkommenem Finanzmarkt – 44 Beurteilung mit unvollkommenem Finanzmarkt – 51

2.3.3 2.3.4 2.3.4.1 2.3.4.2 2.3.4.3 2.3.4.4

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 U. Terstege, M. Bitz, J. Ewert, Investitionsrechnung klipp & klar, WiWi klipp & klar, https://doi.org/10.1007/978-3-658-20992-6_2

2

2.4

Zusammenfassung – 54

2.5

Wiederholungsfragen – 55

2.6

Lösungen – 56 Literatur – 60

7 2.1 Investitionsprojekte in der Realität

Lernziele dieses Kapitels 4 Die Investitionstheorie als modellgestützte Analyse verstehen, die auf die Zielsetzung der Vermögensmaximierung fokussiert und nur die Vermögenswirkungen von Investitionsprojekten analysiert 4 Reale Investitionsvorhaben entsprechend den üblichen Konventionen durch Zahlungsreihen beschreiben können 4 Gegebene Investitionsalternativen als Katalog einander ausschließender Handlungsalternativen beschreiben können 4 Dominanzprinzipien als Möglichkeiten einer Vorentscheidung über Investitionsalternativen ohne die Berücksichtigung von Finanzkontrakten und speziellen Präferenzen verstehen und anwenden können 4 Das Grundkonzept und vor allem auch die Anwendungsgrenzen präferenzgestützter Investitionsentscheidungen verstehen 4 Verstehen, dass bei vollkommenem Finanzmarkt alle Investitionsentscheidungen durch die am Finanzmarkt herrschenden Zinssätze determiniert sind und Vergleiche von Endwerten, Kapitalwerten oder äquivalenten Annuitäten dann jeweils nur spezielle Varianten zum Erkennen von Dominanzbeziehungen darstellen 4 Verstehen, dass und warum bei divergierenden Soll- und Habenzinssätzen Investitionsentscheidungen nicht mehr in jedem Fall bereits durch die am Finanzmarkt herrschenden Zinssätze eindeutig determiniert sind, sondern dass dann u. U. auch die finanzielle Ausgangssituation und die intertemporalenPräferenzen des Investors beurteilungsrelevant sein können

2.1

2.1.1

2

Investitionsprojekte in der Realität Definition von Investitionsprojekten

Im weiten Sinne versteht man unter einer Inves-

tition jede Maßnahme, bei der 4 zunächst Input erfolgt, um 4 später – eventuell neben weiterem Input – Output zu erzielen, und 4 bei der zwischen Input und Output Zeit vergeht, die beurteilungsrelevant werden kann. Unter diesen weiten Investitionsbegriﬀ fallen sehr unterschiedliche Maßnahmen, z. B. folgende Maßnahmen, deren mögliche Inputs und Outputs wir nur exemplarisch skizzieren: 4 Inbetriebnahme einer neuen Produktionsanlage: Dabei kann der anfängliche Input z. B. in Geld für den Kauf, Beton und Arbeit für die Fundamentierung, Platz in der Fabrikationshalle für die Aufstellung und Material und Arbeit für die Probeläufe der Maschine bestehen. Wird die Maschine zusätzlich zum bisherigen Maschinenbestand betrieben, kann späterer Output in zusätzlichen Produkteinheiten und den damit erzielbaren zusätzlichen Einzahlungen bestehen. In diesem Fall wird im weiteren Verlauf der Aktivität aber auch immer wieder Input, z. B. durch den Einsatz zusätzlicher Werkstoﬀe und zusätzlicher Arbeit für den Betrieb der Maschine, erforderlich. Ersetzt die Maschine hingegen eine vorhandene, grundsätzlich weiter nutzbare Anlage, kann der spätere Output je nach konkreter Situation in höherer Qualität oder größerer Menge der Produkte und den deshalb zusätzlich erzielbaren Einzahlungen bestehen. Der Output kann dann aber auch in der Einsparung von Werkstoﬀen und Arbeit und deshalb ersparten Auszahlungen bestehen. 4 Aufnahme eines Studiums: Der anfängliche Input besteht vor allem im Einsatz von Arbeit, kann darüber hinaus aber auch im

8

2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

Einsatz von Geld etwa für den Kauf von Lehrbüchern, dem Verbrauch von Büromaterial oder dem Verbrauch von Benzin für die Fahrten mit dem PKW zur Hochschule bestehen. Der Output besteht in erster Linie in dem Zuwachs von Wissen, das wiederum ein besseres Verständnis der Welt, die Erzielung zusätzlichen Einkommens oder die Erlangung eines Arbeitsplatzes mit mehr Verantwortung und interessanteren Tätigkeiten bewirken kann. 4 Kauf einer Bundesanleihe: Der anfängliche Input besteht in der Auszahlung von Geld, der spätere Output in Einzahlungen für Zins und Tilgung. Die betriebswirtschaftliche Investitionstheorie (nachfolgend einfach Investitionstheorie genannt) legt ihr Hauptaugenmerk allerdings auf Investitionen in einem engeren Sinne. Ihr Fokus liegt auf realwirtschaftlichen Unternehmensinvestitionen. Auch nach diesem engeren Begriﬀsverständnis, dem wir hier im Wesentlichen folgen wollen, ist die Inbetriebnahme einer neuen Produktionsanlage noch immer eine Investition, da es sich um die Maßnahme eines Unternehmens handelt und Input und Output im Kern aus realen Größen wie der Maschine, dem Beton, der Arbeitszeit und -kraft und den Produkten bestehen. Die Aufnahme eines Studiums fällt hingegen nicht unter den engeren Investitionsbegriﬀ, weil es sich nicht um eine Unternehmensmaßnahme handelt. Der Kauf der Bundesanleihe ist keine Investition im engeren Sinne, weil bei ihr keine realwirtschaftlichen Aktivitäten ergriﬀen werden – die Aktivitäten bleiben auf die Zahlungsebene beschränkt. >Merke Im weiten Sinne erfolgt bei einer Investition zunächst Input, später Output und die Zeit kann beurteilungsrelevant sein. Im engen Sinne sind mit Investitionen nur noch realwirtschaftliche Investitionen eines Unternehmens gemeint.

2.1.2

Entscheidungssituationen

Intention der Investitionstheorie ist es, Entscheidungsträgern für in der Realität anstehende Entscheidungen über Investitionsmaßnahmen wissenschaftlich fundierte Hilfen an die Hand zu geben. Dabei kommen grundsätzlich in Betracht Entscheidungen über 4 die Inangriﬀnahme neuer Investitionen, 4 die Modiﬁkation bereits laufender Investitionen oder 4 den Abbruch bereits laufender Investitionen. Unsere Darstellungen konzentrieren sich auf die Inangriﬀnahme neuer Investitionen. Die dazu vermittelten Kenntnisse lassen sich mit geringfügigen Anpassungen weitgehend auf die beiden anderen Entscheidungssituationen übertragen. Auch Entscheidungen über die Inangriﬀnahme neuer Investitionen können abhängig von der Zahl der zur Wahl stehenden Alternativen in unterschiedlichen Varianten auftreten. Sinnvoll erscheint nach diesem Kriterium die Trennung von zwei Entscheidungstypen. 4 Projektindividuelle Entscheidung: Eine einzige, ganz bestimmte Investitionsmaßnahme steht zur Entscheidung. Zu entscheiden ist nur, ob diese Investition durchgeführt oder darauf verzichtet werden soll. Der Verzicht wird dabei als Unterlassen bezeichnet. Es geht also um die Beurteilung, ob eine bestimmte Investition vorteilhaft im Vergleich zum Unterlassen ist. Wie wir in 7 Abschn. 2.2.3.6 noch sehen werden, kann in Form einer solchen Entscheidungssituation sachgerecht nur über Investitionsprojekte entschieden werden, die unabhängig von allen anderen zur Entscheidung stehenden Investitionsprojekten sind. 4 Auswahlentscheidung: Mehrere Investitionsmaßnahmen stehen zur Wahl. Zu entscheiden ist, welche der zur Wahl stehenden Investitionen durchgeführt werden soll. Gegebenenfalls steht neben den Investitionen auch das Unterlassen zur Wahl

9 2.1 Investitionsprojekte in der Realität

2

Dimensionen von Investitionsentscheidungen

(= Auswahlentscheidung mit Unterlassen) oder eben nicht (= Auswahlentscheidung ohne Unterlassen). Ein Fehlen der

2.1.3

Unterlassensalternative beruht dabei i. d. R. auf bereits getroﬀenen Vorentscheidungen, durch die der vollständige Verzicht auf eine Investition a priori als Option ausgeschlossen wurde.

Die Investitionstheorie geht von der Vorstellung aus, dass Investitionsentscheidungen systematisch so getroﬀen werden sollen, dass die ausgewählten Maßnahmen möglichst gut zu übergeordneten Zielvorstellungen passen. Entscheidungen „aus dem Bauch heraus“ oder „per Zufallsentscheid“ sind nicht ihr Gegenstand. Damit Investitionen möglichst gut zu übergeordneten Zielen passen, müssen sie in rationaler Weise so ausgewählt werden, dass die durch sie ausgelösten Abfolgen von Input und Output bestmöglich die Präferenzen des Investors treffen. Dazu sind insbesondere folgende Schritte zu bewältigen: 4 Bestimmung des Alternativenkataloges: Zunächst sind alle Investitionsalternativen zu bestimmen, die zur Lösung des anstehenden Problems zur Verfügung stehen. Dabei ist auch zu klären, ob Unterlassen in Betracht kommt. Um den Arbeitsaufwand nachfolgender Schritte zu begrenzen, muss sich der Alternativenkatalog von vornherein auf Alternativen beschränken, die überhaupt optimal sein können. Alternativen, die zwar technisch ebenfalls realisierbar wären, aber oﬀensichtlich nicht optimal sein können, sind schon in diesem Schritt auszusortieren. 4 Bestimmung der Inputs und Outputs: Zu jeder Alternative müssen alsdann alle beurteilungsrelevanten Inputs und Outputs hinsichtlich ihrer vier wesentlichen Merkmale bestimmt werden, nämlich hinsichtlich: 5 Qualität: Was wird eingesetzt bzw. erzielt? 5 Quantität: Wie viel ist einzusetzen bzw. kann erzielt werden? 5 Zeitpunkt: Wann ist es einzusetzen bzw. kann es erzielt werden? 5 Wahrscheinlichkeit: Wie sicher ist die Notwendigkeit des Einsatzes bzw. die Möglichkeit der Erzielung? Da sich aus der Perspektive des Entscheidungszeitpunktes alle Inputs und Outputs erst in der Zukunft materialisieren, können

>Merke Bei projektindividuellen Entscheidungen ist nur zu entscheiden, ob eine bestimmte Investition durchgeführt werden soll oder nicht. Bei Auswahlentscheidungen kann zwischen mehreren Investitionen gewählt werden.

Zur beispielhaften Verdeutlichung der unterschiedlichen Entscheidungstypen nehmen wir an, das einzige Taxi eines selbständigen Taxifahrers habe einen irreparablen Schaden erlitten und er müsse daher über die Anschaffung eines neuen Taxis entscheiden. Im Detail kann diese Entscheidung in folgenden Varianten auftreten. Ist nur zu entscheiden, das alte Taxi durch das ansonsten identische Nachfolgemodell desselben Herstellers zu ersetzen oder auf den Kauf eines Taxis zu verzichten und in den vorzeitigen Ruhestand einzutreten, liegt eine projektindividuelle Entscheidung vor. Die Einstellung des Taxibetriebes stellt dabei die Unterlassensalternative dar. Ist zu entscheiden, das alte Taxi durch das Nachfolgemodell desselben Herstellers zu ersetzen, es durch Alternativmodelle anderer Hersteller zu ersetzen oder in den vorzeitigen Ruhestand einzutreten, liegt eine Auswahlentscheidung mit Unterlassen vor. Kommt der vorzeitige Ruhestand nicht in Betracht und ist nur zwischen dem Nachfolgemodell desselben Herstellers und bestimmten Alternativmodellen zu entscheiden, liegt eine Auswahlentscheidung ohne Unterlassen vor. Dabei kann das Unterlassen insbesondere ausgeschlossen sein, weil der Taxifahrer noch 10 Jahre vor dem eigentlich geplanten Ruhestand steht und er bereits in einer Vorentscheidung festgelegt hat, dass er auf jeden Fall noch einmal ein neues Taxi anschaﬀen will.

10

2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

deren Merkmale ex ante häuﬁg nicht deﬁnitiv bestimmt, sondern nur abgeschätzt werden. 4 Beurteilung der Alternativen: Die durch Abfolgen von Inputs und Outputs beschriebenen Alternativen sind zu beurteilen. Es ist also zu bestimmen, welche Abfolge am besten die Vorstellungen des Investors trifft. Dazu gehen wir im Folgenden vereinfachend davon aus, dass für ein Unternehmen als Investor die beurteilungsrelevanten Präferenzen festliegen und die Personen, die im Unternehmen für die Investitionsentscheidungen zuständig sind, ihre Entscheidungen strikt an diesen „Unternehmenszielen“ ausrichten. Wir lassen oﬀen, wie diese „Unternehmensziele“ genau zustande kommen, ob es sich dabei also z. B. um die persönlichen Präferenzen eines Einzelunternehmers handelt oder um die in einem institutionalisierten Prozess festgelegten Ziele einer Aktiengesellschaft. Zudem abstrahieren wir mit dieser Annahme von der real durchaus bestehenden Möglichkeit, dass Entscheidungsträger innerhalb des Unternehmens ihre persönlichen Ziele statt die Unternehmensziele verfolgen. Die beiden ersten Schritte können bei realen Investitionsentscheidungen durchaus anspruchsvoll sein. Und trotzdem beschäftigt sich die Investitionstheorie mit diesen Schritten aus gutem Grund kaum: Die in Betracht kommenden Handlungsalternativen und deren Inputs und Outputs hängen so stark von der konkreten Entscheidungssituation ab, dass sich dazu kaum verallgemeinerbare Aussagen machen lassen. Genau solche, über den Einzelfall hinausgehende Aussagen sind aber das Anliegen wissenschaftlich fundierter Betriebswirtschaftslehre. Aus diesem Grund werden auch wir in diesem Lehrbuch auf die beiden ersten Schritte trotz ihrer Wichtigkeit in realen Anwendungen allenfalls mit rudimentären Hinweisen eingehen (können). Stattdessen konzentrieren wir uns, wie fast die gesamte Investitionstheorie, auf den dritten Schritt. Es geht uns also vorrangig um

die Frage, wie Investitionsalternativen, die bereits ermittelt und als Sequenzen ihrer Inputs und Outputs beschrieben sind, beurteilt werden können. Auch die Beantwortung dieser Frage ist, wie Sie sehen werden, nicht ganz trivial. Die verschiedenen Probleme, die sich bei der Beurteilung von Investitionen stellen können, werden oﬀenkundig, wenn wir zunächst einmal von einer gedanklichen Idealsituation ausgehen, in der die optimale Investitionsentscheidung unmittelbar auf der Hand liegen würde. Das wäre der Fall, wenn alle Inputs und Outputs aller zu beurteilenden Alternativen 4 aus derselben Qualität bestünden (Homogenität), 4 zum selben Zeitpunkt erfolgten (Gleichzeitigkeit) und 4 bereits bei der Entscheidung hinsichtlich Zeitpunkt, Quantität und Qualität sicher absehbar wären (Sicherheit). In dieser Idealsituation wären Investitionsentscheidungen trivial. Bestehen z. B. alle Inputs und Outputs aus sicher absehbaren und gleichzeitig erfolgenden Ein- und Auszahlungen in derselben Währung, dann muss der Investor, der ceteris paribus (nachfolgend c. p.) mehr gegenüber weniger Geld bevorzugt, für die Bestimmung der Optimalalternative lediglich die Alternative mit dem größten Saldo aller Einzahlungen und Auszahlungen ermitteln. Die drei Annahmen sind in realen Entscheidungssituationen allerdings regelmäßig nicht erfüllt. Deshalb können sich bei realen Investitionsentscheidungen bis zu drei einander überlagernde Beurteilungsprobleme stellen. 4 Heterogene Qualitäten: Input muss nicht dieselbe Qualität wie Output haben. Zudem können der Input selbst oder der Output selbst aus unterschiedlichen Qualitäten bestehen. Sind Input und Output in der einen oder anderen Weise qualitativ heterogen, muss der Investor i. d. R. verschiedene Qualitäten gegeneinander abwägen. Dazu benötigt er Konzepte zum Vergleich heterogener Qualitäten.

11 2.2 Investitionsprojekte im Modell

Der Investor kann z. B. vor der Wahl stehen, eine teure Maschine zu erwerben, die wenig Arbeitseinsatz erfordert und die Fertigung von Produkten hoher Qualität erlaubt, oder eine billige Maschine, die viel Arbeit erfordert und nur die Fertigung von Produkten geringer Qualität erlaubt. Für die Entscheidung zwischen diesen beiden Alternativen sind die Unterschiede bei den Anschaﬀungsauszahlungen, die Unterschiede beim Arbeitseinsatz und die Unterschiede bei den Produktqualitäten gegeneinander abzuwägen. 4 Zeitliche Divergenzen: Fallen Input und Output der Alternativen zu unterschiedlichen Zeitpunkten an und liegen diese Zeitpunkte so weit auseinander, dass der Zeitunterschied beurteilungsrelevant ist oder es zumindest sein kann, muss der Investor i. d. R. zeitliche Divergenzen abwägen. Dazu benötigt er Konzepte zum intertemporalen Vergleich. Steht der Investor z. B. vor der Wahl, entweder heute wenig oder später mehr Arbeit in die Beseitigung von Rostschäden an den maschinellen Anlagen zu investieren, dann ist für die Entscheidung früher Arbeitseinsatz gegen späten Arbeitseinsatz abzuwägen. 4 Unsicherheit: Unsicher können Qualitäten, Quantitäten oder Zeitpunkte von Input und Output sein. Besonders unsicher dürfte i. d. R. weit in der Zukunft liegender Input und Output sein. Unsicherheit kann aber auch bereits den anfänglichen Input betreffen. Um Entscheidungen bei unsicherem Input und Output zu treﬀen, benötigt der Investor Konzepte zum Vergleich der Unsicherheitsstrukturen. Der Investor kann z. B. vor der Wahl stehen, für die Isolierung eines Gebäudes die erprobte und hinsichtlich ihrer Haltbarkeit sicher einschätzbare Technik einzusetzen oder eine innovative Technik, die wahrscheinlich langlebiger ist, deren Haltbarkeit wegen des hohen Innovationsgrades aber relativ unsicher ist. Dann muss der Investor ein sicheres Ergebnis gegen die Wahr-

2

scheinlichkeitsverteilung eines unsicheren Ergebnisses abwägen. >Merke Problematisch kann die Beurteilung von Investitionen insbesondere sein wegen heterogener Qualitäten, zeitlicher Divergenzen und Unsicherheit der mit den Investitionen verbundenen Inputs und Outputs.

2.2 2.2.1

Investitionsprojekte im Modell Grundsätzliche Modelleigenschaften

Obwohl es die Intention der Investitionstheorie ist, Investoren wissenschaftlich fundierte Hilfen für in der Realität anstehende Entscheidungen an die Hand zu geben, beschäftigt sie sich nicht unmittelbar mit realen Entscheidungssituationen in all ihrer Komplexität, sondern mit einer in vielerlei Hinsicht vereinfachten, modellmäßigen Abbildung realer Entscheidungssituationen. Wir stellen Ihnen in diesem 7 Abschn. 2.2 den Modellansatz vor, dem wir dabei in diesem Buch folgen und der in fast allen investitionstheoretischen Lehrbüchern ähnlich verwendet wird. Dazu verdeutlichen wir zunächst in diesem Teilabschnitt einige generelle Eigenschaften von Modellen und in den folgenden Teilabschnitten die wichtigsten Eigenschaften unseres investitionstheoretischen Modells. Modelle, die fast alle Bereiche der Betriebswirtschaftslehre prägen, sind immer Abbildungen bestimmter Realitätsausschnitte, oder wie man auch sagt „isolierende Abstraktionen“. Sie vereinfachen die realen Gegebenheiten mindestens im Hinblick auf die folgenden drei Aspekte: 4 Ausschnitthaft: Es wird nur ein Teilbereich der Realität abgebildet. Andere Bereiche werden gar nicht abgebildet oder Beziehungen zwischen dem abgebildeten und den nicht abgebildeten Bereichen allenfalls stark vereinfacht berücksichtigt. Die

12

2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

Ausschnitthaftigkeit von Modellen wird am Beispiel einer Landkarte als Modell einer realen Landschaft anschaulich. Eine Landkarte hat Ränder und alle Landschaftsteile außerhalb dieser Ränder werden nicht abgebildet bzw. nur rudimentär angedeutet, indem z. B. bei Straßen am Kartenrand angegeben wird, zu welchen größeren Städten sie führen. 4 Vereinfachend: Auch innerhalb des gewählten Ausschnittes werden Aspekte des realen Vorbildes im Modell nur selektiv abgebildet. Andere Aspekte werden nicht bzw. nur in rudimentärer Form berücksichtigt. Zum Beispiel zeigt die Autostraßenkarte einer bestimmten Region die Verläufe befahrbarer Straßen, aber i. d. R. nicht die Fußwege. Und auch topographische Eigenschaften werden allenfalls rudimentär verdeutlicht, z. B. im Falle extremer Steigungen oder besonders markanter Gipfel. Eine Wanderkarte derselben Region bildet hingegen die Straßen allenfalls nachrangig als Orientierungshilfe ab und legt stattdessen das Hauptaugenmerk auf die Abbildung der verfügbaren Wanderwege und der Höhenproﬁle. 4 Aggregierend: Selbst Aspekte, die in den gewählten Ausschnitt fallen und die grundsätzlich abgebildet werden, sind i. d. R. nicht in allen Details dargestellt, sondern werden zusammengefasst oder in anderer Weise reduziert. So wird z. B. auch in einer Wanderkarte nicht jedem einzelnen geographischen Ort die exakte Höhenangabe zugeordnet, sondern nur ausgewählten Punkten – etwa in Form von Höhenlinien im Abstand von 10 oder 50 Höhenmetern und einzelnen Gipfelhöhenangaben. Diese Vereinfachungen sind grundsätzlich kein Manko eines Modells, sondern beabsichtigt. Erst sie erlauben den Überblick, den das Modell ermöglichen soll. Zugleich haben die Vereinfachungen aber einschränkende Konsequenzen, derer Sie sich bei der Arbeit mit Modellen jederzeit bewusst sein sollten. Dazu gehört z. B. die Konsequenz, dass Modelle nicht falsch oder

richtig, sondern, ähnlich wie Deﬁnitionen eines Begriﬀes, nur zweckmäßig oder unzweckmäßig sein können. Je nachdem, welche Vereinfachungen in den drei genannten Bereichen vorgenommen werden, lassen sich zum selben Original unterschiedliche Modelle erstellen. Dabei kann nicht die eine Modellvariante als grundsätzlich „richtig“ und die andere als grundsätzlich „falsch“ beurteilt werden. Die Beurteilung von Modellvarianten setzt immer einen Zweck voraus, dem das Modell dienen soll. Erst in Hinblick auf einen gegebenen Zweck können Modelle nach den Kategorien „zweckmäßig“ oder „unzweckmäßig“ beurteilt werden. Diese Eigenschaft von Modellen ist außerhalb ökonomischer Kontexte oft selbstverständlich. Zum Beispiel ist Ihnen auf Anhieb klar, dass nicht per se die Wanderkarte das richtige und die Autostraßenkarte das falsche Modell einer Landschaft ist, sondern es auf den Zweck der Kartenverwendung ankommt. Wollen Sie mit dem Auto fahren, ist eine Wanderkarte unzweckmäßig. Wollen Sie sich hingegen zu Fuß aufmachen, ist die Autostraßenkarte unzweckmäßig. Dieselbe Eigenschaft weisen aber auch ökonomische Modelle auf. Zum Beispiel hängt es vom Zweck der Modellverwendung ab, ob der handelsrechtliche Jahresabschluss oder die Kosten- und Leistungsrechnung die zweckmäßige Abbildung des Unternehmens darstellt. Für uns folgt daraus, dass zunächst der Modellzweck festliegen muss, bevor wir darauf aufbauend über die zweckmäßige Konstruktion des investitionstheoretischen Modells nachdenken können. Dabei ist der Modellzweck zumindest in seiner Grundausrichtung bereits durch die Intention der Investitionstheorie bestimmt. Sollen am Ende der Modellanalyse Handlungsempfehlungen für vereinfacht abgebildete reale Entscheidungssituationen stehen, benötigen wir zwingend ein Entscheidungsmodell. Also ein Modell, in dem die Investitionsalternativen anhand der Ziele des Investors bewertet werden. Dementsprechend müssen wir in 7 Abschn. 2.2.2 zunächst die Ziele präzisieren, die durch die Investitionsentscheidung

13 2.2 Investitionsprojekte im Modell

möglichst vollständig erreicht werden sollen. Anschließend können wir in 7 Abschn. 2.2.3 darüber nachdenken, wie die Investitionsalternativen im Modell abgebildet werden müssen, damit deren Beitrag zur Zielerreichung beurteilt werden kann. 2.2.2

Zielsetzung

In die Unternehmensziele können die Interessen verschiedener Personengruppen (z. B. Gesellschafter, Kreditgeber, Arbeitnehmer, Kunden, Lieferanten) einﬂießen. Die verschiedenen Gruppen können unterschiedliche, z. T. auch widersprüchliche Ziele verfolgen. Zudem kann auch jede einzelne Gruppe für sich betrachtet bereits unterschiedliche, z. T. widersprüchliche Ziele verfolgen. Dementsprechend können die für die Beurteilung von Investitionen relevanten Unternehmensziele sich nicht nur zwischen den Unternehmen stark unterscheiden, sondern auch für ein einzelnes Unternehmen aus mehr oder weniger komplexen Zielsystemen bestehen. Wie in der Investitionstheorie üblich, haben wir aber gar nicht den Anspruch, Investitionen im Hinblick auf die Erreichung aller denkbaren Ziele zu untersuchen. Wir konzentrieren uns per Annahme ausschließlich auf das Ziel der Vermögensmaximierung. Wir untersuchen Investitionsentscheidungen also nur daraufhin, welche der zur Wahl stehenden Alternativen zum höchsten Unternehmensvermögen führt. Auch wenn verschiedene Gründe für die Konzentration auf gerade dieses Ziel sprechen, bleibt sie letztlich doch eine deﬁnitorische Beschränkung unseres Untersuchungsgegenstands. Die Konzentration auf das Ziel der Vermögensmaximierung wird häuﬁg missverstanden. So wird z. B. kritisiert, die Investitionstheorie interessiere sich nur für „den Proﬁt der Kapitalisten“ und müsse „endlich auch andere Ziele, wie z. B. Umweltschutz- und Nachhaltigkeitsaspekte“ berücksichtigen. In der Realität würden Unternehmen schließlich mehr Ziele als

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nur das der Vermögensmaximierung verfolgen. Diese Kritik beruht auf der irrtümlichen Vorstellung, die Investitionstheorie erhebe den Anspruch, mit ihren vermögensorientierten Analysen Maßnahmen bereits abschließend zu beurteilen. Diesen Anspruch erhebt sie aber gar nicht. Sie versteht sich vielmehr als ein Arbeitsbereich der arbeitsteiligen betriebswirtschaftlichen Theorie – und zwar den Arbeitsbereich, der sich gerade darauf spezialisiert hat, Vermögenseﬀekte von Investitionen zu untersuchen. In ihre Untersuchungen ﬂießen andere Aspekte, wie z. B. Umweltschutz und Nachhaltigkeit, tatsächlich nur insoweit ein, wie sie sich auf das Vermögen auswirken. Mit dieser Vorgehensweise wird aber gar nicht in Frage gestellt, dass andere Aspekte auch über ihre Vermögenskonsequenzen hinaus in Form eigenständiger Ziele in die Beurteilung von Investitionen einﬂießen sollten. Nur ist dafür nicht mehr die Investitionstheorie zuständig. Andere Aspekte von Investitionen sind von anderen betriebswirtschaftlichen Arbeitsbereichen zu analysieren. Vor einer abschließenden Investitionsentscheidung sind dann die Ergebnisse der verschiedenen Analysen zu einer Gesamtbeurteilung der Investitionsmaßnahmen zusammen zu führen. Häuﬁg wird auch kritisiert, die Investitionstheorie fordere dazu auf, ausschließlich das Ziel der Vermögensmaximierung zu verfolgen. Diese Kritik beruht ebenfalls auf einem Irrtum, nämlich auf der irrtümlichen Vorstellung, die Investitionstheorie verstehe sich als normative Theorie, die Vorgaben für anzustrebende Ziele entwickle. Tatsächlich versteht sie sich aber lediglich als präskriptive Theorie. Das heißt, sie will gar keine Zielvorgaben machen, sondern lediglich Aussagen darüber machen, wie Investitionsentscheidungen getroﬀen werden müssten, wenn das Ziel der Vermögensmaximierung möglichst vollständig realisiert werden soll. Ob und inwieweit ein Investor Vermögensmaximierung als Ziel verfolgt, muss er selbst entscheiden. Dazu macht die Investitionstheorie keine Aussage. Nur wenn er dieses Ziel anstrebt, hilft ihm die Investitionstheorie bei dessen Verfolgung.

14

2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

>Merke Die Investitionstheorie untersucht Investitionsalternativen per definitionem ausschließlich im Hinblick auf das Ziel der Vermögensmaximierung. Für Investitionsanalysen im Hinblick auf andere Ziele sind zusätzliche Untersuchungen anderer betriebswirtschaftlicher Disziplinen erforderlich.

Damit das Ziel der Vermögensmaximierung für Investitionsentscheidungen operabel ist, bedarf es allerdings noch diverser Präzisierungen. Die erforderlichen Präzisierungen korrespondieren mit den drei in 7 Abschn. 2.1.3 angesprochenen Problemdimensionen von Investitionsentscheidungen. 4 Heterogene Qualitäten: Genau wie der Input und Output einer Investition besteht auch das Vermögen eines Unternehmens i. d. R. aus unterschiedlichen Komponenten, z. B. Gebäuden, Maschinen und Vorräten als positiven und Verbindlichkeiten und Rückstellungen als negativen Komponenten. Um festzustellen, welche Handlungsalternative das Vermögen insgesamt maximiert, ist es daher erforderlich, die unterschiedlichen Komponenten auf einen „gemeinsamen Nenner“ zu bringen. Nur so kann das Vermögen in einer einzigen Größe ausgedrückt werden. Zu diesem Zweck werden in der Investitionstheorie alle Vermögenskomponenten in monetären Größen ausgedrückt. Wie das geschieht, sehen wir genauer bei der Abbildung der Investitionsprojekte. Durch die Kombination der beiden Annahmen, es seien nur Vermögenskonsequenzen für die Beurteilung von Investitionen relevant und alle Vermögenskonsequenzen ließen sich durch monetäre Größen ausdrücken, wird das Problem der vergleichenden Beurteilung heterogener Qualitäten aus dem Modell der Investitionstheorie ausgeschlossen. Der Vergleich heterogener Qualitäten ist nicht oder zumindest nicht vorrangig Gegenstand der Investitionstheorie.

4 Zeitlicher Bezug: Genau wie sich Input und Output einer Investition auf unterschiedliche Zeitpunkte beziehen können, ist auch das durch Input und Output veränderte Vermögen eine zeitpunktbezogene Größe. Damit stellt sich die Frage, zu welchem Zeitpunkt das Vermögen durch die Investitionsentscheidung maximiert werden soll. Hinsichtlich dieses Aspektes „fahren wir zweigleisig“ und präzisieren die Zielvorstellung in zwei alternativen Weisen. In einer ersten Präzisierung unterstellen wir, dass sich Vermögen nur erhöht, wenn es c. p. steigt, wenn also zu einem Zeitpunkt mehr Vermögen verfügbar ist und das Vermögen in allen anderen Zeitpunkten unverändert bleibt. In dieser Präzisierung wird das Ziel sicherlich von jedem Investor mit knappen Ressourcen geteilt. Sie impliziert also keine spezielle Annahme über die zeitlichen Präferenzen und wird daher auch als präferenzfrei bezeichnet. Allerdings erlaubt diese Präzisierung nur in speziellen Situationen eine vollständige Sortierung aller Alternativen nach ihren Vermögenskonsequenzen. Der Preis ihrer hohen Allgemeingültigkeit ist also ihre schwache Sortierkraft. In einer zweiten Präzisierung unterstellen wir, dass das Vermögen genau zu dem Zeitpunkt maximiert werden soll, in dem die zur Wahl stehenden Investitionsprojekte beendet werden. In dieser Konkretisierung wird die Zielvorstellung als Endvermögensmaximierung bezeichnet und vermutlich nicht mehr von jedem Investor geteilt. Sie unterstellt zunächst einmal, dass sich der Investor (nur) für Vermögenszuwächse zum Ende der Projektlaufzeit interessiert. Allerdings erlaubt diese Präzisierung andererseits i. d. R. eine vollständige Sortierung aller Alternativen nach ihren Vermögenskonsequenzen. Der Preis ihrer hohen Sortierkraft ist, zumindest auf den ersten Blick, ihre geringere Allgemeingültigkeit. Der zweigleisige Umgang mit der zeitlichen Dimension der Zielgröße erfordert einige

15 2.2 Investitionsprojekte im Modell

zusätzliche Überlegungen, lohnt sich aber vor allem deshalb, weil wir erkennen werden, dass beide Zielvorstellungen in vielen Situationen äquivalent sind. In vielen Situationen ist die Alternative mit dem maximalen Endvermögen zugleich für jeden Entscheider optimal, der sich an der präferenzfreien Variante der Zielsetzung orientiert. 4 Unsicherheit: Ex ante sind die Vermögenskonsequenzen einer Investition ebenso unsicher wie ihr Input und Output. Die Zielvorstellung bedarf also einer Präzisierung hinsichtlich der Berücksichtigung von Unsicherheit. Dazu gehen wir wie folgt vor: In den 7 Kap. 2 bis 7 Kap. 6 blenden wir Unsicherheit zunächst aus den Betrachtungen aus und unterstellen alle beurteilungsrelevanten Größen als sicher. Erst in 7 Kap. 7 denken wird ergänzend darüber nach, wie sich Unsicherheitsaspekte in die Analyse integrieren lassen. Da Probleme qualitativer Heterogenität nicht betrachtet werden und Unsicherheit erst später berücksichtigt wird, konzentrieren wir unsere Überlegungen also zunächst auf den Umgang mit unterschiedlichen zeitlichen Bezügen von Input/Output und Vermögensgrößen. Der Umgang mit zeitlichen Divergenzen bildet sozusagen den Kern der Investitionstheorie.

2.2.3

2.2.3.1

Abbildung der Investitionsprojekte Überblick

Die Festlegung des Ziels, nach dem Investitionsentscheidungen das monetär gemessene Vermögen maximieren sollen, hat Konsequenzen für die Art und Weise, wie die Investitionsalternativen im Modell abzubilden sind. Zur zielgerechten Beurteilung müssen wir als Input und Output der Investitionen folglich deren Beiträge zum monetär gemessenen Vermögen abbilden. Wir müssen Investitionen also durch zeitlich geordnete Abfolgen monetär gemesse-

2

ner Veränderungen des Investorenvermögens beschreiben. Wie aber soll diese Beschreibung genau erfolgen? Im Detail bleiben insbesondere folgende Fragen zu klären: 4 In der Betriebswirtschaftslehre werden Vermögensänderungen auf unterschiedlichen gedanklichen Ebenen monetär gemessen. Auf welcher Ebene sollen die Vermögensänderungen also monetär beschrieben werden? (vgl. 7 Abschn. 2.2.3.2) 4 Wie sollen die Vermögensänderungen dargestellt werden? (vgl. 7 Abschn. 2.2.3.3) 4 Investitionen können Veränderungen des Vermögens auf unterschiedlichen Wegen auslösen. Welche Veränderungen sollen erfasst werden und welche nicht? (vgl. 7 Abschn. 2.2.3.4) 2.2.3.2

Abbildung von Einzahlungen und Auszahlungen

Monetär gemessen werden Vermögensänderungen insbesondere auf folgenden Ebenen: 4 Einzahlungen und Auszahlungen sind Veränderungen des Zahlungsmittelbestandes. Dieser setzt sich zusammen aus dem Barbestand gesetzlicher Zahlungsmittel und dem Guthaben auf den bei Banken unterhaltenen Girokonten abzüglich der gegenüber Banken bestehenden Kontokorrentverbindlichkeiten. Einzahlungen sind alle Erhöhungen dieses Bestandes, also alle Erhöhungen des Barbestandes, Erhöhungen des Guthabens auf Girokonten und Minderungen der Kontokorrentverbindlichkeiten, Auszahlungen umgekehrt alle Minderungen dieses Bestandes. 4 Erträge und Aufwendungen sind Veränderungen des bilanziellen Eigenkapitals, also des Saldos bilanziell ausgewiesenen Vermögens und bilanziell ausgewiesener Schulden. Erträge sind alle Erhöhungen des bilanziellen Eigenkapitals, soweit sie nicht aus Einlagen der Gesellschafter resultieren. Aufwendungen alle Minderungen, soweit sie nicht aus Entnahmen der Gesellschafter resultieren. 4 Leistungen und Kosten sind wie Erträge und Aufwendungen Erhöhungen bzw. Min-

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2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

ger zu zahlende Sollzinsen, hängen von den derungen des Eigenkapitals, das wiederum Kontoständen ab, genauer gesagt, von den dem Saldo ausgewiesenen Vermögens und durch die Investition bewirkten Verändeausgewiesener Schulden entspricht. Hier rungen der Kontostände. geht es allerdings nicht um den gesetzlich reglementierten Ausweis von Vermö- 4 Kontostände ändern sich nur durch Zahlungen. Bewertungsvorgänge wie z. B. Abgen und Schulden in der Handelsbilanz, schreibungen wirken sich hingegen nicht sondern um den in das freie Ermessen des auf Kontostände aus. Unternehmens gestellten Ausweis von Vermögen und Schulden im internen Rech- 4 Folglich sind im investitionstheoretischen Modell Input und Output der Investitionen nungswesen. in Form der von ihnen bewirkten Zahlungen zu messen, um Zinseﬀekte sachgerecht Während Zahlungen von vornherein nur Verberücksichtigen zu können. änderungen spezieller Teile des Unternehmensvermögens messen, eben nur Veränderungen des Bestandes an Zahlungsmitteln, be- Wie in der Investitionstheorie üblich, beschreischreiben Erträge/Aufwendungen und Leis- ben wir daher Investitionen durch die von ihtungen/Kosten Vermögensänderungen jeweils nen ausgelösten Einzahlungen und Auszahlunumfassender. Sie beschreiben grundsätzlich al- gen. Zwar werden wir in 7 Kap. 4 verdeutlile Veränderungen des Unternehmensvermö- chen, dass Zinseﬀekte nach dem sogenannten gens, soweit sich diese auf die Saldogröße Ei- Lücke-Theorem bzw. Preinreich-Theorem ungenkapital auswirken. Insbesondere umfassen ter bestimmten Bedingungen alternativ auch sie auch Änderungen des Vermögens, die, wie auf der Basis von Erträgen/Aufwendungen bzw. z. B. planmäßige Abschreibungen des Anlage- Leistungen/Kosten sachgerecht berücksichtigt vermögens, aus reinen Bewertungsvorgängen werden können. Selbst diese Relativierung stellt die Gültigkeit der vorstehenden Argumentaresultieren. Insoweit könnte die Vermutung nahelie- tionskette aber nicht grundsätzlich in Frage. gen, Erträge/Aufwendungen und Leistungen/ Denn eine Abbildung der Zahlungen erlaubt Kosten seien für die Beschreibung der Ver- die Berücksichtigung von Zinseﬀekten in jemögenskonsequenzen von Investitionsalterna- dem Fall und unmittelbar. Eine sachgerechte tiven besonders gut geeignet, weil sie Ver- Berücksichtigung von Zinseﬀekten auf der Bamögensänderungen umfassender messen. Tat- sis von Erträgen/Aufwendungen bzw. Leistunsächlich stellt sich die Zweckmäßigkeit der gen/Kosten ist hingegen an zusätzliche Bedinverschiedenen Abbildungsmöglichkeiten aller- gungen geknüpft und stellt nur einen indirekdings genau umgekehrt dar. Die Abbildung der ten und deshalb i. d. R. umständlicheren Weg Investitionen durch die von ihnen ausgelösten zur Berücksichtigung von Zinseﬀekten dar. Zahlungen bietet für die Zwecke der Investitionstheorie deutliche Vorteile. Das macht fol- >Merke gende Gedankenkette deutlich: Ausgehend von der Zielsetzung der 4 Charakteristisch für Investitionen ist die Vermögensmaximierung werden Investizeitliche Divergenz zwischen Input und tionen vorzugsweise durch ihre Ein- und Output, die für die Beurteilung der InvesAuszahlungen beschrieben, weil sich so in titionen bedeutsam werden kann. direkter und präziser Weise auch die mit 4 Bedeutsam werden kann zeitliche DiverInvestitionen verbundenen Zinseffekte genz zwischen Input und Output insbesonerfassen lassen. dere wegen zwischenzeitlicher Zinseﬀekte. 4 Zinseﬀekte, also wegen der Investition zu- Die zeitliche Abfolge der durch eine Investition sätzlich bzw. weniger erzielbare Habenzin- ausgelösten Zahlungen wird auch als Zahlungssen oder deswegen zusätzlich bzw. weni- reihe der Investition bezeichnet. Im Modell

17 2.2 Investitionsprojekte im Modell

geht es daher entweder um die projektindividuelle Vorteilhaftigkeit einer bestimmten Zahlungsreihe oder um die Wahl aus alternativen Zahlungsreihen. Die analysierten Zahlungsreihen bilden zwar Handlungen auf der Realebene ab. Die Investitionstheorie beschäftigt sich aber nur noch mit deren Abbildung in Form von Zahlungsreihen. Über das Aussehen der Zahlungsreihen von Investitionen lassen sich nur wenige allgemeingültige Aussagen machen. Geht man davon aus, dass reale Projektinputs auf der Modellebene mit zusätzlichen Auszahlungen (bzw. geringeren Einzahlungen) und reale Projektoutputs mit zusätzlichen Einzahlungen (bzw. geringeren Auszahlungen) korrespondieren, lässt sich immerhin folgendes feststellen. Da ein Investitionsprojekt laut Deﬁnition mit einem realen Input beginnt, muss es auf der Modellebene mit einer Auszahlung starten. Deshalb kann eine Investition auch als Projekt beschrieben werden, dessen Zahlungsreihe mit einer Auszahlung beginnt. In dieser Weise werden Investitionen tatsächlich häuﬁg deﬁniert. Dabei sollten aber das reale Investitionsprojekt und dessen modellhafte Abbildung in Form einer Zahlungsreihe klar getrennt bleiben. Das reale Investitionsprojekt beginnt mit einem Input, der aus einer Auszahlung, aber auch aus dem Einsatz anderer Realfaktoren bestehen kann. Nur die modellmäßige Abbildung dieses Inputs ist zwingend eine Auszahlung. Bei häuﬁg verwendeten Formulierungen wie „Eine Investition startet immer mit einer Auszahlung“ wird diese Trennung von Realität und Modellwelt verwischt. >Merke Investitionen lassen sich durch Zahlungsreihen beschreiben, die mit einer Auszahlung beginnen, der später (eventuell neben weiteren Auszahlungen) Einzahlungen folgen.

2.2.3.3

2

Abbildung periodenweise aggregierter Zahlungssalden

Reale Investitionsprojekte können lange Laufzeiten aufweisen und nahezu kontinuierlich Zahlungen auslösen. Denken Sie etwa an die Errichtung eines neuen Produktionsstandortes, der voraussichtlich 50 Jahre betrieben wird und täglich hunderte Zahlungen auslöst. Bei detaillierter Berücksichtigung aller einzelnen Zahlungen können die Zahlungsreihen der Projekte dann sehr unübersichtlich werden. In der Investitionstheorie werden daher die Zahlungskonsequenzen üblicherweise nur in aggregierter Form abgebildet. Dabei haben sich folgende Konventionen zur Aggregation und Darstellung etabliert, denen auch wir folgen: 4 Die Laufzeit eines Investitionsprojektes wird in gleichlange Perioden zerlegt. Wir wählen dabei i. d. R. ein Jahr als Periodenlänge.1 4 Zeitpunkte werden mit der Variablen t beschrieben. Dem Beginn der ersten Periode wird der Zeitpunkt t D 0 zugeordnet, den Enden der Perioden die Zeitpunkte t D 1; 2; : : : ; T . Der Zeitpunkt t D 1 bezeichnet dabei das Ende der ersten Periode und t D T das Laufzeitende des Projektes. 4 Die durch das Projekt ausgelöste anfängliche Auszahlung, also z. B. die Zahlung des Kaufpreises für die Anschaﬀung einer neuen Maschine, stellt oft eine relativ große Einzelzahlung dar. Sie wird daher separat abgebildet und dem Zeitpunkt t D 0 zugeordnet.2 4 Alle anderen Zahlungskonsequenzen des Projektes werden hingegen periodenweise 1

2

Unsere Festlegung eines Jahres als Periodenlänge dient der Anschaulichkeit, bleibt aber letztlich willkürlich. Alternativ könnte man sich etwa auch Quartale, Monate, Wochen oder auch Tage als Periodenlänge vorstellen. Wir unterstellen hier, dass die erste Zahlung des Projektes den gesamten anfänglichen Input in das Projekt abbildet. In realen Investitionsprojekten kann sich dieser anfängliche Input auch über einen gewissen Zeitraum erstrecken und in diversen Einzelzahlungen manifestieren. Er wäre dann „mit Augenmaß“ zu einer Zahlung zusammenzufassen.

18

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

. Tabelle 2.1 Abbildung eines Investitionsprojektes als Zahlungsreihe

2

Exakte Einzelzahlungen

Vereinfachte Zahlungssalden

Zeitpunkt

Zahlung

Zeitpunkt

Zahlungssaldo

08.03.2017

10.000

t D0

e0 D 10:000

05.07.2017

1.000

12.11.2017

900

31.12.1017

3.000

28.02.2018

3.000 t D1

e1 D 5:900

t D2

e2 D 6:300

t D3

e3 D 900

07.03.2018 10.03.2018

400

05.07.2018

5.000

30.11.2018

300

01.02.2019

2.000

07.03.2019 15.03.2019

500

30.04.2019

1.600

15.06.2019

2.000

07.03.2020

gebündelt. Nur der verbleibende Saldo wird dem Ende der jeweiligen Periode zugeordnet.3 4 Der einem Zeitpunkt t auf diese Weise zugeordnete Zahlungssaldo wird mit e t bezeichnet. Das Investitionsprojekt wird folglich durch die Zahlungsreihe e0 , e1 , e2 ; : : : ; eT beschrieben. 4 Die Zahlungsgröße e0 beschreibt isoliert die Anfangsauszahlung und ist stets negativ. Alle folgenden Zahlungsgrößen beschreiben Zahlungssalden der jeweiligen Perioden. Dabei besagt ein negatives e t , dass in der t-ten Periode die Auszahlungen die Einzahlungen um diesen Betrag übersteigen, 3

Auch die Regel, nach der der Zahlungssaldo eines Jahres dem Ende dieses Jahres zugeordnet wird, ist eine willkürliche Festlegung, die in der Investitionstheorie allerdings fast durchgängig so erfolgt. Alternativ könnte man sich z. B. auch eine Zuordnung des Jahressaldos zur Mitte des Jahres vorstellen.

und ein positives e t , dass in der t-ten Periode die Einzahlungen die Auszahlungen um diesen Betrag übersteigen. Mit diesen Konventionen wird die Abbildung der Zahlungskonsequenzen von Investitionen in zweierlei Hinsicht vereinfacht. Zum einen werden Zahlungen, abgesehen von der Anfangsauszahlung, nur noch aggregiert abgebildet. Zum anderen abstrahiert die Abbildung von konkreten Kalenderdaten der Zahlungen. . Tab. 2.1 verdeutlicht die Abbildungskonventionen an einem Beispiel. In der ersten (Doppel-)Spalte werden die Zahlungskonsequenzen eines Investitionsprojektes hinsichtlich Betrag und Datum detailliert beschrieben. In der zweiten (Doppel-)Spalte werden sie gemäß der vorstehenden Konventionen vereinfacht beschrieben.4 4

Zur schreibtechnischen Vereinfachung verzichten wir in Beispielen und Übungsaufgaben darauf, die

19 2.2 Investitionsprojekte im Modell

2

In der Investitionstheorie würde dieses Pro- a) Direkt und einzeln jekt durch die Zahlungsreihe verursachte Zahlungen Gemeint sind damit Zahlungen, die ausschließe1 D 5:900I e0 D 10:000I lich und unmittelbar aus den Aktivitäten ree2 D 6:300I e3 D 900 sultieren, die zur Durchführung des abzubildenden Investitionsprojektes ergriﬀen werden. beschrieben. Für manche Zwecke erscheint Wird z. B. eine neue Maschine zur Erweiteselbst diese Schreibweise noch zu sperrig. Da- rung der Produktionskapazitäten angeschafft, her wird den Projekten oft auch ein Symbol gehören die Auszahlungen für den Kauf der zugeordnet und die zugehörige Zahlungsrei- Maschine oder den Kauf zusätzlicher Werkhe einfach als Zahlenfolge ergänzt. Nennt man stoﬀe und die Einzahlungen aus dem Verkauf das in . Tab. 2.1 beschriebene Projekt z. B. „X“, zusätzlicher Produkte zu den direkt und einkönnte das Projekt auch beschrieben werden zeln verursachten Zahlungen. Nicht dazu gedurch: hören Zahlungen, die aus dem Zusammenwirken der abzubildenden Investition mit weiteren X W .10:000I 5:900I 6:300I 900/: ins Auge gefassten Investitionsmaßnahmen gemeinsam resultieren, und Zahlungen, die nur >Merke indirekt aus den wegen der InvestitionsdurchIn der Zahlungsreihe eines Projektes führung zusätzlich ergriﬀenen Finanzmaßnahwerden die Ein- und Auszahlungen, abgemen resultieren. sehen von der anfänglichen Auszahlung, periodenweise saldiert und nur noch die auf das jeweilige Periodenende bezogenen Zahlungssalden ausgewiesen.

2.2.3.4

Abbildung verursachter Zahlungswirkungen

Ein Investitionsprojekt verursacht alle Zahlungen, die nur deshalb eintreten bzw. deshalb nicht eintreten, weil dieses Projekt durchgeführt und nicht darauf verzichtet wird. Die von einem Projekt verursachten Zahlungen sind daher grundsätzlich durch eine Diﬀerenzbetrachtung zu ermitteln. Dazu sind von den Zahlungen, die in der Situation mit Durchführung des Projektes zu erwarten sind, alle Zahlungen zu subtrahieren, die c. p. in derselben Situation ohne Durchführung des Projektes zu erwarten sind. Verursachen können Investitionsprojekte dabei Zahlungen im Detail auf unterschiedlichen Wegen: Geldbeträge hinsichtlich Dimension und Währung zu präzisieren. Wenn z. B. von einer „Zahlung in Höhe von 100“ die Rede ist, kann damit eine Zahlung von hunderttausend Euro oder auch von 100 Mio. Dollar gemeint sein.

b) Gemeinsam verursachte Zahlungen Gemeint sind damit Zahlungen, die durch das Investitionsprojekt „mit verursacht“ werden, aber nicht allein durch dieses eine Investitionsvorhaben, sondern erst durch sein Zusammenwirken mit weiteren Investitionsvorhaben. Wird z. B. neben dem Kauf der Maschine A der Kauf einer Maschine B erwogen und könnte beim gleichzeitigen Kauf beider Maschinen ein Rabatt auf den Kaufpreis erzielt werden, stellt die Auszahlungsminderung in Höhe des Rabattes eine gemeinsam von beiden Investitionen verursachte Zahlung dar. Solche Verknüpfungen können mit Investitionsprojekten bestehen, die wie im vorstehenden Beispiel im selben Zeitpunkt wie das abzubildende Projekt beginnen würden, aber auch mit Projekten, die erst für spätere Zeitpunkte in Betracht gezogen werden. Überlegt ein Automobilhersteller z. B. aktuell, ob er seine Produktpalette um einen Sportwagen erweitert, kann diese Entscheidung auch Einﬂuss haben auf die Absatzmöglichkeiten eines Geländewagens, dessen Produktion der Hersteller erst für einen späteren Zeitpunkt erwägt.

20

2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

c) Indirekt durch Finanzmaßnahmen verursachte Zahlungen Gemeint sind damit Zahlungen, die zwar wegen des Investitionsprojektes entstehen, aber nicht unmittelbar durch das Projekt selbst, sondern erst durch ﬁnanzielle Anpassungsmaßnahmen, die wegen des Projektes ergriﬀen werden. Finanzielle Anpassungsmaßnahmen können wegen eines Investitionsprojektes erforderlich werden, um die für Projektauszahlungen erforderlichen Zahlungsmittel bereitzustellen (z. B. durch Aufnahme eines Kredites) oder um durch Projekteinzahlungen erzielte Zahlungsmittel zu verwenden (z. B. zur Tilgung eines Kredites). Gemeinsam ist allen genannten Zahlungskategorien, dass sie kausal wegen der Durchführung des Investitionsprojektes entstehen. Sie müssen daher alle bei dessen Beurteilung berücksichtigt werden. Dies geschieht in der Investitionstheorie allerdings üblicherweise auf unterschiedlichen Wegen. Die unter a. und b. beschriebenen Zahlungskategorien werden i. d. R. in den Zahlungsreihen der Investitionsprojekte, also bereits bei deren modellmäßiger Abbildung, berücksichtigt. Indirekte Zahlungswirkungen der Finanzmaßnahmen bleiben in den Zahlungsreihen hingegen i. d. R. zunächst unberücksichtigt. Sie werden erst im Zuge der Beurteilung der Zahlungsreihen berücksichtigt – z. B., wie Sie noch ausführlich sehen werden, durch die Auf- und Abzinsung der in den Zahlungsreihen abgebildeten Zahlungen. >Merke In die Zahlungsreihe eines Investitionsprojektes gehen die von der Investition direkt (allein oder gemeinsam mit anderen Projekten) ausgelösten Zahlungen ein, i. d. R. aber nicht die indirekt durch Finanzmaßnahmen ausgelösten Zahlungen.

Wie die beiden ersten Zahlungskategorien durch Zahlungsreihen abgebildet werden können, verdeutlichen wir im folgenden Abschnitt an einem Beispiel. Dabei beschränken wir uns zunächst auf einzeln durch ein Investitionspro-

jekt verursachte Zahlungen und ergänzen das Beispiel anschließend um gemeinsam mit anderen Investitionsprojekten verursachte Zahlungen. 2.2.3.5

Beispiel zur Abbildung eines Investitionsprojektes

777 Beispiel 2.1 Bestimmung einer Zahlungsreihe Die MONA-LISA-GMBH hat die Möglichkeit, im Produktionsbereich ein Investitionsprojekt A durchzuführen. Projekt A ist durch folgende Plandaten charakterisiert: 1. Es wird eine Produktionsanlage zum Preis von 400 beschafft, für drei Jahre betrieben und dann wieder für 40 verkauft. 2. In jedem Jahr der Nutzung fallen Zahlungen für Löhne und Gehälter von 160 an. Zusätzlich erhält der Projektleiter nach drei Jahren eine Einmalzahlung von 18. 3. In jedem Jahr werden Werkstoffe im Anschaffungspreis von 170 verbraucht. Allerdings soll ein Materialpuffer durch Bevorratung der Werkstoffe aufgebaut werden. Dazu werden im ersten Jahr Werkstoffe für 200 beschafft, im zweiten Jahr für 170 und im dritten Jahr nur noch für 140. 4. Mit der Anlage können in jedem Jahr zusätzliche Produkte erzeugt werden, für die den Kunden jährlich 500 in Rechnung gestellt werden. 14 % des Umsatzes erfolgen allerdings jeweils in der Weise auf Ziel, dass die Zahlung erst im Folgejahr fällig ist. Dabei wird davon ausgegangen, dass 10 % der an jedem Jahresende offenen Forderungen ausfallen, dass also nur 90 % der am Jahresende offenen Forderungen tatsächlich im Folgejahr bezahlt werden. Für die Abbildung des Projektes wird vereinfachend unterstellt, dass steuerliche Konsequenzen außer Acht bleiben können und alle beschriebenen Zahlungen sicher erfolgen. Auf die Möglichkeiten, steuerliche Aspekte und Unsicherheitsaspekte in die Darstellung von Investitionsprojekten einzubeziehen, kommen wir in den 7 Kap. 5 und 7 Kap. 7 zurück. Außerdem ge-

2

21 2.2 Investitionsprojekte im Modell

. Tabelle 2.2 Projekt A der MONA-LISA-GMBH (einzeln verursachte Zahlungen) Zeitpunkt

Auszahlungen

Einzahlungen

t D0

Kauf der Anlage

400

t D1

Personal Material

160 200

lfd. Umsatz

430

70

t D2

Personal Material

160 170

lfd. Umsatz Forderungen

430 63

163

t D3

Personal Projektleiter Material

160 18 140

lfd. Umsatz Forderungen Verkauf der Anlage

430 63 40

215

63

63

t D4

hen wir zunächst davon aus, dass Projekt A die beschriebenen Konsequenzen vollständig unabhängig von sonst im Unternehmen zur Entscheidung anstehenden Aktivitäten hat. . Tab. 2.2 stellt die Zahlungen zusammen, die unter diesen Bedingungen bei der modellmäßigen Beschreibung des Projektes A zu berücksichtigen sind, und verdichtet sie zu der Zahlungsreihe, durch die das Projekt schließlich im Modell beschrieben wird: AW

.400I 70I 163I 215I 63/:

Sind die Zahlungskonsequenzen aller anderen ins Auge gefassten Investitionsprojekte unabhängig von der Entscheidung, ob Projekt A durchgeführt wird, ist Projekt A durch die in . Tab. 2.2 ermittelte Zahlungsreihe abschließend beschrieben. Um auch das Handling gemeinsam mit anderen Investitionsprojekten verursachter Zahlungen zu verdeutlichen, gehen wir nun davon aus, dass neben Projekt A u. a. Projekt B zur Entscheidung ansteht. Projekt B würde im selben Zeitpunkt wie Projekt A starten, über drei Jahre laufen und bei alleiniger Durchführung, d. h. ohne die gleichzeitige Durchführung von Projekt A, folgende Zahlungsreihe auslösen: BW

.200I 90I 90I 70/:

Dabei soll die Anfangsauszahlung aus dem Kauf einer Maschine beim selben Hersteller wie dem

Saldo 400

Forderungen

der Maschine A resultieren. Werden die Maschinen A und B allerdings gemeinsam erworben, nimmt die Verhandlungsmacht gegenüber dem Hersteller zu. Es sei angenommen, beim gemeinsamen Kauf könne im Vergleich zu den Einzelkäufen beider Maschinen ein Preisnachlass von insgesamt 50 erzielt werden. Dann wären im Hinblick auf die Maschinen A und B drei Handlungsalternativen durch jeweils eine Zahlungsreihe zu beschreiben, nämlich nur die Durchführung von A (A), nur die Durchführung von B (B) und die gemeinsame Durchführung von A und B (AB): AW

.400I 70I 163I 215I 63/

BW

.200I 90I 90I 70/

AB W

.550I 160I 253I 285I 63/:

Dabei wird mit der Berücksichtigung der Alternative AB unterstellt, dass eine gemeinsame Durchführung der Projekte A und B technisch möglich ist. Mit der Zahlungsreihe der Alternative AB wird weitergehend unterstellt, dass beide Projekte nur im Hinblick auf die Anfangsauszahlung Wechselwirkungen entfalten, sich alle anderen Zahlungskonsequenzen aber einfach addieren. Gemeinsam von den Projekten A und B bewirkte Zahlungseffekte sind allerdings nur dann in der dargestellten Weise bei der Beschreibung der Alternativen zu berücksichtigen, wenn die Entscheidungen über beide Projekte noch zu treffen sind. Ist stattdessen z. B. bereits be-

22

2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

schlossen, Projekt B durchzuführen, steht also nur noch die Entscheidung über die zusätzliche Durchführung des Projektes A aus, dann ist nur noch das Projekt A durch eine Zahlungsreihe abzubilden. In dieser Zahlungsreihe ist der erzielbare Rabatt dann vollständig dem Projekt A zuzurechnen: A0 W

.350I 70I 163I 215I 63/:

Wäre umgekehrt bereits beschlossen, Projekt A durchzuführen, stünde also nur noch die Entscheidung über die zusätzliche Durchführung des Projektes B aus, wäre nur noch Projekt B durch folgende Zahlungsreihe zu beschreiben: B0 W

.150I 90I 90I 70/:

999

?Übungsaufgabe 2.1 Der Akkumulatorenhersteller WATTSATTGMBH erwägt die Anschaffung einer zusätzlichen, fünf Jahre nutzbaren Produktionsanlage. Die Anschaffung und Inbetriebnahme der Anlage würde sofort Auszahlungen von 1 Mio. verursachen. Zum Ende der 5-jährigen Nutzungsdauer wird ein Verkaufserlös für die Anlage in Höhe von 100.000 erwartet. Ansonsten geht man bei der WATTSATT-GMBH von folgenden Plandaten aus: 1. Ohne die zusätzliche Anlage beträgt die Menge der jährlich produzierbaren und absetzbaren Akkus 10.000 Stück, mit zusätzlicher Anlage 14.000 Stück. 2. Die Anschaffungskosten der Anlage würden aktiviert und über die Nutzungsdauer von 5 Jahren linear abgeschrieben. 3. Aufgrund der mit Lieferanten geschlossenen Verträge betragen die zugleich zahlungswirksamen Materialkosten jedes Akkus bei einer Menge bis einschließlich 11.000 Stück pro Jahr 50, für jedes darüber hinausgehende Stück 45. 4. Darüber hinaus fallen je Akku weitere zahlungswirksame variable Kosten von 100 an. 5. Für die beiden ersten Jahre geht man von einem Absatzpreis von 300 je Akku

aus. Für die folgenden Jahre von 320 je Akku. 6. Entscheidet sich die WATTSATT-GMBH für die Anschaffung der zusätzlichen Anlage, muss sie eine Halle nutzen, die sie andernfalls für einen monatlichen Mietzins von 1.500 vermieten könnte. Bestimmen Sie auf Basis der vorstehenden Angaben die für den Kauf der Anlage beurteilungsrelevante Zahlungsreihe. Stellen Sie Ihre Ergebnisse dazu übersichtlich in einer nach Zahlungskategorien und Zahlungszeitpunkten differenzierenden Tabelle zusammen.

2.2.3.6

Aufbereitung des Alternativenkataloges

Je nach konkreter Entscheidungssituation kann auch das Unterlassen einer Investition in Betracht kommen. Daher müssen wir vorab klären, worin genau die Unterlassensalternative bestehen soll. Mit Unterlassen ist gemeint, 4 keine der zur Wahl stehenden Investitionsalternativen durchzuführen und 4 keine der nur wegen der Investitionsdurchführung in Betracht gezogenen, ﬁnanziellen Anpassungsmaßnahmen durchzuführen. Würde der Investor im Falle der Investitionsdurchführung die erforderlichen Zahlungsmittel z. B. durch die Aufnahme zusätzlicher Kredite bzw. durch die Reduktion seiner Anlagen bereitstellen, bedeutet Unterlassen neben dem Verzicht auf eine Investition also auch, dass er auf die Aufnahme zusätzlicher Kredite bzw. auf die Verringerung sonstiger Anlagen verzichtet. Im Alternativenkatalog wird die Unterlassensalternative i. d. R. nicht durch eine eigene Zahlungsreihe beschrieben. Um das Alternativenspektrum vollständig zu erfassen, muss daher neben den im Alternativenkatalog beschriebenen Investitionsalternativen bekannt sein, ob Unterlassen in Betracht kommt oder nicht. Die mit der Unterlassensalternative verbundene Zahlungsreihe kann dann weitergehend von der Art der ﬁnanziellen Anpassungs-

23 2.2 Investitionsprojekte im Modell

maßnahmen abhängen, die im Falle der Investitionsdurchführung ergriﬀen würden. >Merke Unterlassen bedeutet, keine Investition durchzuführen und keine wegen der Investition in Betracht gezogene finanzielle Anpassungsmaßnahme durchzuführen. Die Zahlungsreihe der Unterlassensalternative wird i. d. R. nicht im Alternativenkatalog abgebildet.

Grundsätzlich gehen wir davon aus, dass die Liste der zur Wahl stehenden Investitionsalternativen als Katalog einander ausschließender Alternativen formuliert wird, die Liste also stets so formuliert wird, dass am Ende genau eine dort aufgeführte Alternative oder gegebenenfalls die Unterlassensalternative gewählt werden muss. Die gleichzeitige Wahl mehrerer Alternativen ist hingegen ausgeschlossen. Diese Standardisierung des Alternativenkataloges wirft die Frage auf, ob sich so noch alle real in Betracht kommenden Entscheidungssituationen im Modell abbilden lassen. Auf den ersten Blick könnte man daran zweifeln, denn schon zwischen nur zwei Investitionsalternativen A und B kann man sich unterschiedliche Beziehungen der folgenden Arten vorstellen: (1) Wechselseitiger Ausschluss: Es kann entweder nur Projekt A durchgeführt werden oder nur Projekt B. Zum Beispiel kann ein vorhandenes Grundstück entweder nur mit einem Verwaltungsgebäude oder nur mit einer Lagerhalle bebaut werden. (2) Bedingtheit: Ein Projekt kann nur durchgeführt werden, wenn auch ein bestimmtes anderes Projekt durchgeführt wird. Dabei kann die Bedingtheit in zwei Varianten auftreten. (2.1) Wechselseitige Bedingtheit: Projekt A kann nur durchgeführt werden, wenn auch Projekt B durchgeführt wird, und umgekehrt kann auch B nur durchgeführt werden, wenn zugleich A durchgeführt wird. Zum Beispiel kann die neue Produktionsanlage nur in Betrieb genommen werden, wenn

2

auch die Mitarbeiter in der Bedienung geschult werden. Zugleich können die Mitarbeiter nur geschult werden, wenn die Anlage vorhanden ist. (2.2) Einseitige Bedingtheit: Projekt A kann nur durchgeführt werden, wenn auch Projekt B durchgeführt wird. B kann hingegen auch ohne A durchgeführt werden. Zum Beispiel kann eine Rolltreppe nur eingebaut werden, wenn das entsprechende Gebäude errichtet wird. Das Gebäude kann hingegen auch ohne Einbau der Rolltreppe errichtet werden. (3) Kombinierbarkeit: Projekt A kann alleine durchgeführt werden. Projekt B kann alleine durchgeführt werden. A und B können aber auch gemeinsam durchgeführt werden. Zum Beispiel kann ein Automobilhersteller nur einen neuen Sportwagen produzieren, nur ein neues SUV produzieren oder sowohl einen neuen Sportwagen als auch ein neues SUV produzieren. Varianten der Kombinierbarkeit können weitergehend nach den Zahlungskonsequenzen bei gemeinsamer Durchführung unterschieden werden. (3.1) Unabhängigkeit: Die Zahlungsreihe bei gemeinsamer Durchführung entspricht in jedem Zeitpunkt der Summe der beiden Zahlungsreihen bei einzelner Durchführung: B e AB D eA t t C et

in jedem t D 0; : : : ; T . Dieser Fall liegt insbesondere vor, wenn alle Ein- und Auszahlungen beider Projekte unabhängig von der Durchführung des anderen Projektes anfallen. Zum Beispiel liegt er vor, wenn alle Zahlungskonsequenzen des neuen Sportwagens unabhängig davon sind, ob zusätzlich ein neues SUV produziert wird, und alle Zahlungskonsequenzen des neuen SUV unabhängig davon sind, ob zusätzlich ein neuer Sportwagen produziert wird.

24

2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

(3.2) Beeinträchtigung: Die Zahlungsreihe bei gemeinsamer Durchführung ist ungünstiger als die Summe beider Zahlungsreihen bei einzelner Durchführung: B e AB eA t t C et

in jedem t D 0; : : : ; T und B e AB < eA t t C et

in mindestens einem t D 0; : : : ; T . Dieser Fall liegt insbesondere vor, wenn bei gemeinsamer Durchführung der Projekte zusätzliche Auszahlungen oder geringere Einzahlungen anfallen. Zum Beispiel könnten die vorhandenen Hallenkapazitäten für die Produktion nur des Sportwagens und für die Produktion nur des SUV jeweils ausreichen, bei gleichzeitiger Produktion von Sportwagen und SUV aber zusätzliche Auszahlungen für den Bau einer neuen Halle erforderlich werden. Oder die Mengen potentieller Käufer von Sportwagen und SUV könnten sich überschneiden und die betreﬀenden Kunden nur entweder einen Sportwagen oder ein SUV kaufen. Bei Produktion beider Fabrikate könnten Einzahlungen von diesen Kunden also nur einmal erzielt werden. (3.3) Begünstigung: Die Zahlungsreihe bei gemeinsamer Durchführung ist günstiger als die Summe beider Zahlungsreihen bei einzelner Durchführung: B e AB eA t t C et

in jedem t D 0; : : : ; T und B e AB > eA t t C et

in mindestens einem t D 0; : : : ; T . Dieser Fall liegt insbesondere vor, wenn bei gemeinsamer Durchführung Auszahlungen eingespart oder zusätzliche Einzahlungen erzielt wer-

den können. Zum Beispiel könnten bei den Lieferanten höhere Rabatte erzielt und damit Auszahlungen eingespart werden, wenn Sportwagen und SUV gemeinsam produziert werden (ein solcher Fall wurde bereits in 7 Abschn. 2.2.3.5 als Beispiel für gemeinsam durch mehrere Projekte ausgelöste Zahlungen betrachtet). Oder es könnten bei gemeinsamer Durchführung zusätzliche Einzahlungen erzielt werden, wenn z. B. institutionelle Kunden nur Fahrzeuge eines einzigen Herstellers in ihrem Fuhrpark vorhalten wollen, der Fuhrpark aber sowohl Sportwagen als auch SUV umfassen soll. (3.4) Begünstigung/Beeinträchtigung: Die Zahlungsreihe bei gemeinsamer Durchführung ist z. T. günstiger und z. T. ungünstiger als die Summe bei einzelner Durchführung: B < eA e AB t t C et

in mindestens einem t D 0; : : : ; T und B > eA e AB t t C et

in mindestens einem t D 0; : : : ; T : Dieser Fall liegt insbesondere vor, wenn bei gemeinsamer Durchführung in einzelnen Zeitpunkten Auszahlungen eingespart oder zusätzliche Einzahlungen erzielt werden können und in anderen Zeitpunkten zusätzliche Auszahlungen erforderlich werden oder Einzahlungen entgehen. Zum Beispiel könnten bei gleichzeitiger Fertigung von Sportwagen und SUV die Anfangsauszahlung höher ausfallen, weil dann zusätzlich eine neue Halle errichtet werden muss (Beeinträchtigung), gleichzeitig aber auch die späteren Zahlungssalden höher ausfallen, weil höhere Rabatte bei den Werkstoﬄieferanten erzielt werden können (Begünstigung).

25 2.2 Investitionsprojekte im Modell

2

. Tabelle 2.3 Abbildung zweier Projekte mit unterschiedlichen Beziehungen Zwischen A und B bestehende Beziehung

In den Katalog aufzunehmende Alternativen

(1)

Wechselseitiger Ausschluss

A; B

(2.1)

Wechselseitige Bedingtheit

AB

(2.2)

Einseitige Bedingtheit

A; AB (B; AB)

(3)

Kombinierbarkeit

A; B; AB

>Merke

Handlungsmöglichkeiten. Er kann nur A, nur B oder A und B gemeinsam durchführen. Dementsprechend sind dann die Alternativen A, B und AB in den Katalog aufzunehmen. In welcher Variante (Unabhängigkeit, Beeinträchtigung, Begünstigung oder Begünstigung/Beeinträchtigung) die Kombinierbarkeit auftritt, hat dabei keinen Einﬂuss auf die grundsätzlich im Katalog zu berücksichtigenden Alternativen, sondern nur Einﬂuss auf die ZahlungsreiAlle zwischen zwei Investitionsprojekten mög- he der Alternative AB. lichen Beziehungen lassen sich, bei entsprechender Formulierung, in einem Katalog ein- >Merke Alle zwischen Investitionen möglichen ander ausschließender Alternativen abbilden. Beziehungen lassen sich grundsätzlich in Insoweit stellt die Beschränkung auf Kataloeinem Katalog einander ausschließender ge einander ausschließender Alternativen alHandlungsalternativen beschreiben. so doch keine Einschränkung für die im Modell abbildbaren Entscheidungssituationen dar. Die bei den verschiedenen Beziehungen jeweils 777 Beispiel 2.2 Aufbereitung eines Alterim Katalog zu berücksichtigenden Alternativen nativenkataloges stellt . Tab. 2.3 dar. Zur beispielhaften Verdeutlichung der AufbeWechselseitiger Ausschluss entspricht un- reitung eines Alternativenkataloges gehen wir mittelbar der Vorstellung einander ausschlie- davon aus, neben der Unterlassensalternative ßender Alternativen. In den Katalog sind dann stünden fünf Investitionsalternativen zur Entdie Alternativen A und B aufzunehmen. Bei scheidung an, die bei jeweils isolierter Betrachwechselseitiger Bedingtheit besteht nur die tung die in . Tab. 2.4 abgebildeten ZahlungsreiMöglichkeit, die Projekte A und B gemeinsam hen aufweisen. durchzuführen. Daher ist in den Katalog dann Grundsätzlich soll davon ausgegangen wernur die Alternative AB aufzunehmen. Kann den, alle Projekte könnten jeweils unabhängig bei einseitiger Bedingtheit Projekt B nur ge- von allen anderen Projekten durchgeführt wermeinsam mit Projekt A durchgeführt werden, den, allerdings mit folgenden Einschränkungen: Projekt A aber auch alleine, sind die Alterna- 4 A bedingt einseitig C, tiven A und AB zu berücksichtigen. Bedingt 4 B und D begünstigen sich; bei gemeinsamer hingegen Projekt A einseitig die DurchfühDurchführung können in jedem Jahr Ausrung von Projekt B, wären die Alternativen zahlungen in Höhe von 10 eingespart werB und AB in den Katalog aufzunehmen. Bei den und Kombinierbarkeit bieten sich dem Investor drei 4 B und C schließen sich wechselseitig aus. Zwei Investitionen können beliebig kombinierbar sein, sich ausschließen, sich einseitig bedingen oder sich wechselseitig bedingen. Bei beliebiger Kombinierbarkeit können ihre Zahlungsreihen voneinander unabhängig sein, sich begünstigen, sich beeinträchtigen oder sich z. T. begünstigen und z. T. beeinträchtigen.

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

26

2

. Tabelle 2.4 Ausgangsdaten zur Aufbereitung eines Alternativenkataloges Investitionsprojekt

Zahlungen im Zeitpunkt tD0

tD1

A

100

60

60

B

40

20

80

C

50

10

60

D

40

25

25

E

80

150

10

tD2

Wären alle Projekte beliebig kombinierbar, bestünden zusammen mit der Unterlassensalternative U 32 einander ausschließende Handlungsalternativen, die in . Tab. 2.5 zusammengestellt sind. Dann bestünden 5 Möglichkeiten, nur ein Projekt durchzuführen, 10 Möglichkeiten, zwei Projekte durchzuführen, 10 Möglichkeiten, drei Projekte durchzuführen bzw. zwei wegzulassen, fünf Möglichkeiten, vier Projekte durchzuführen bzw. eines wegzulassen und eine Möglichkeit, fünf Projekte durchzuführen. Von diesen 32 in . Tab. 2.5 abgebildeten Alternativen sehen die 8 fett gedruckten Alternativen die Durchführung von A ohne gleichzeitige Durchführung von C vor. Sie vernachlässigen also, dass Projekt A einseitig Projekt C bedingt, und sind daher nicht realisierbar. Damit verbleiben die in . Tab. 2.6 ausgewiesenen 24 Alternativen: Von den verbliebenen 24 in . Tab. 2.6 abgebildeten Alternativen sehen die 8 nunmehr

fett gedruckten Alternativen die gleichzeitige Durchführung von B und C vor. Sie sind also wegen des wechselseitigen Ausschlusses beider Projekte nicht durchführbar. Damit verbleiben 16 realisierbare, einander ausschließende Alternativen, die Unterlassensalternativeund 15 echte Handlungsalternativen mit den in . Tab. 2.7 zusammengefassten Zahlungsreihen. Grundsätzlich ergeben sich die Zahlungsreihen aus der Summe der Zahlungsreihen aller jeweils in die Handlungsalternativen einbezogenen Investitionsprojekte. Nur bei den beiden Handlungsalternativen mit gemeinsamer Durchführung von B und D erhöhen sich diese Summen wegen der Begünstigung beider Projekte in den Zeitpunkten t D 1 und t D 2 jeweils um 10. Im Beispiel wäre also eine aus insgesamt 16 Alternativen, den 15 aufgeführten Handlungsalternativen und der Unterlassensalternative, auszuwählen. Diese Entscheidung lässt sich durch die Zerlegung in zwei voneinander unabhängige Teilentscheidungen noch vereinfachen. Den Ansatzpunkt für die Vereinfachung bildet Projekt E, das im Beispiel das einzige von allen anderen Projekten unabhängige Projekt darstellt. Ob E durchgeführt werden kann, hängt nicht von der Durchführung anderer Projekte ab. Ob andere Projekte durchgeführt werden können, hängt nicht von der Durchführung von E ab. Und wenn E durchgeführt wird, hängen dessen Zahlungskonsequenzen nicht davon ab, welche anderen Projekte ebenfalls durchgeführt werden. Ob Projekt E durchgeführt oder unterlassen wird, kann daher in einer ersten Teilentschei-

. Tabelle 2.5 Alternativenkatalog bei beliebiger Kombinierbarkeit Einander ausschließende Alternativen bestehend aus: Keinem Projekt

U

Einem Projekt

A; B; C; D; E

Zwei Projekten

AB; AC; AD; AE; BC; BD; BE; CD; CE; DE

Drei Projekten

ABC; ABD; ABE; ACD; ACE; ADE; BCD; BCE; BDE; CDE

Vier Projekten

ABCD; ABCE; ABDE; ACDE; BCDE

Fünf Projekten

ABCDE

2

27 2.2 Investitionsprojekte im Modell

. Tabelle 2.6 Alternativenkatalog bei Berücksichtigung einseitiger Bedingtheit Einander ausschließende Alternativen bestehend aus: Keinem Projekt

U

Einem Projekt

B; C; D; E

Zwei Projekten

AC; BC; BD; BE; CD; CE; DE

Drei Projekten

ABC; ACD; ACE; BCD; BCE; BDE; CDE

Vier Projekten

ABCD; ABCE; ACDE; BCDE

Fünf Projekten

ABCDE

. Tabelle 2.7 Alternativenkatalog bei zusätzlicher Berücksichtigung wechselseitigen Ausschlusses

. Tabelle 2.8 Alternativenkatalog bei zusätzlicher Berücksichtigung nach Zerlegung in unabhängige Teilentscheidungen

Handlungsalternative

Handlungsalternative

Zahlungen im Zeitpunkt tD0

tD1

tD2

B

40

20

80

C

50

10

D

40

E

Zahlungen im Zeitpunkt tD0

tD1

tD2

B

40

20

80

60

C

50

10

60

25

25

D

40

25

25

80

150

10

AC

150

70

120

AC

150

70

120

BD

80

15

115

BD

80

15

115

CD

90

35

85

BE

120

130

70

190

95

145

CD

90

35

85

CE

130

160

50

DE

120

175

15

ACD

190

95

145

ACE

230

220

110

BDE

160

165

105

CDE

170

185

75

ACDE

270

245

135

dung ohne Beachtung der sonst zu treffenden Entscheidungen isoliert beurteilt werden. Für die restlichen Entscheidungen sind dann nur noch die Handlungsalternativen zu berücksichtigen, die das Projekt E nicht enthalten. Für die zweite Teilentscheidung vereinfacht sich der Ka-

ACD

talog einander ausschließender Alternativen damit zu den in . Tab. 2.8 abgebildeten 7 Handlungsalternativen zuzüglich der nicht abgebildeten Unterlassensalternative. 999

Die im Beispiel anhand von Projekt E verdeutlichte Möglichkeit einer isolierten Beurteilung von Projekten, die von allen anderen Projekten unabhängig durchführbar sind, gilt allgemein. Über die Durchführung von unabhängigen Projekten kann grundsätzlich isoliert entschieden werden. Allerdings gilt dieser Zusammenhang auch in umgekehrter Richtung. Isoliert kann über ein Projekt nur dann sachgerecht entschieden werden, wenn es unabhängig von allen anderen Projekten ist.

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

28

2

?Übungsaufgabe 2.2 Zur Wahl stehen die nachfolgend anhand ihrer Zahlungsreihen beschriebenen Investitionsprojekte. Unterlassen ist nicht möglich. Alternative

tD0

tD1

tD2

A

100

20

102

B

100

60

80

C

150

80

55

D mit Durchführung von B

120

80

55

D ohne Durchfüh- 120 rung von B

85

60

Erstellen Sie den Katalog einander ausschließender Handlungsalternativen und geben Sie zu jeder Alternative die beurteilungsrelevante Zahlungsreihe an. Gehen Sie dabei von folgenden ergänzenden Angaben aus: 4 Projekt B kann nur durchgeführt werden, wenn auch D durchgeführt wird. D kann auch alleine durchgeführt werden. 4 Die Projekte B und D beeinträchtigen sich bei gleichzeitiger Durchführung wie in der Tabelle zu Projekt D dargestellt. 4 Die Projekte A und D schließen sich wechselseitig aus, es kann also entweder nur A oder nur D durchgeführt werden. 4 Projekt C kann unabhängig von allen übrigen Projekten durchgeführt werden.

2.2.3.7

Grenzen der Modellierung

In 7 Abschn. 2.2.3.6 sollte deutlich geworden sein, dass die zwischen Investitionsprojekten möglichen Beziehungen einer Abbildung im Modell nicht entgegenstehen. Alle in Betracht kommenden Beziehungen lassen sich grundsätzlich so im Modell durch Handlungsalternativen und zugehörige Zahlungsreihen beschreiben, dass schließlich nur Kataloge einander

ausschließender Handlungsalternativen zu beurteilen sind. Trotzdem bleiben die Möglichkeiten der Abbildung von Investitionsalternativen in verschiedener Hinsicht beschränkt. Zwei Beschränkungen erscheinen uns besonders erwähnenswert. a) Beschränkung auf diskrete Investitionsalternativen Verbindet man mit einem Katalog, so wie wir das bisher stillschweigend getan haben, die Vorstellung einer endlichen Liste diskreter Alternativen, dann sind im Alternativenkatalog eben auch nur diskrete Investitionsalternativen abbildbar. Stehen hingegen (auch) kontinuierlich variierbare Alternativen zur Wahl, lassen sich diese nur durch ausgewählte diskrete Vertreter im Katalog abbilden. Bestünde z. B. als ein Investitionsprojekt die Möglichkeit, einen beliebigen Betrag zwischen Null und einer Million in eine bestimmte Finanzanlage zu investieren, ist diese Alternative im Hinblick auf den zu investierenden Betrag kontinuierlich variierbar. Sie kann nicht in allen denkbaren Varianten in den Alternativenkatalog aufgenommen werden. Entweder müsste sich dann die katalogmäßige Beschreibung der Alternativen im Hinblick auf diese Investition auf ausgewählte Anlagebeträge beschränken. Oder es müsste eine grundsätzlich andere Darstellung der Alternativen gewählt werden, die die Handlungsalternativen nicht in diskreten Katalogen aufbereitet. b) Beschränkung berücksichtigungsfähiger Abhängigkeiten Die zweite Einschränkung der im Modell abbildbaren Entscheidungssituationen ist deutlich gravierender. In Beispiel 2.2 wurde deutlich, dass über Investitionsprojekte nur isoliert entschieden werden kann, wenn sie von jedem anderen zur Entscheidung anstehenden Investitionsprojekt unabhängig sind. Weisen Investitionsprojekte hingegen Abhängigkeiten von anderen, oder wie man auch sagt Interdependenzen zu anderen Projekten auf, kann über die interdependenten Projekte nur noch ge-

29 2.2 Investitionsprojekte im Modell

meinsam entschieden werden. Bestehen können solche Interdependenzen aus unterschiedlichen Gründen: weil Projekte andere Projekte ausschließen, weil sie durch andere Projekte ausgeschlossen werden, weil sie andere Projekte voraussetzen, weil sie selbst Voraussetzung für andere Projekte sind oder weil sie zusammen mit anderen Projekten begünstigende oder beeinträchtigende Zahlungswirkungen entfalten. Unabhängig von ihren Gründen erhöhen Interdependenzen aber i. d. R. die Komplexität von Investitionsentscheidungen. Wie komplex Investitionsentscheidungen durch Interdependenzen zwischen den Investitionsprojekten werden können, erschließt sich vollständig erst, wenn man sich verdeutlicht, in welchen zeitlichen Varianten Interdependenzen auftreten können. Interdependenzen können auftreten zwischen Investitionsprojekten, die im selben Zeitpunkt starten. Dann spricht man von zeitlichhorizontalen Interdependenzen. In Beispiel 2.2 starten alle Projekte im selben Zeitpunkt; dort kommen also von vornherein nur zeitlichhorizontale Interdependenzen zwischen den Investitionsprojekten in Betracht. Dabei wird im Beispiel nur von fünf Investitionsprojekten und drei zwischen ihnen bestehenden Interdependenzen ausgegangen. Man kann sich nach Beschäftigung mit dem Beispiel allerdings leicht vorstellen, wie rasch die Probleme bei der Formulierung des Alternativenkataloges mit der Zahl der zu berücksichtigenden Investitionsprojekte und der Zahl der zu beachtenden zeitlich-horizontalen Interdependenzen zunehmen können. Diese Probleme sind aber grundsätzlich im Modell sauber lösbar. Sie erfordern nur zusätzliche Arbeit. Allerdings können alle skizzierten Arten von Interdependenzen auch zwischen Investitionsprojekten bestehen, die in unterschiedlichen Zeitpunkten in Angriﬀ genommen würden. Dann spricht man von zeitlich-vertikalen Interdependenzen. Zeitlich-vertikale Interdependenzen erfordern nicht nur zusätzliche Arbeit bei der Aufstellung des Alternativenkataloges. Sie können das investitionstheoretische Modell an die Grenzen seiner Möglichkeiten

2

zur sachgerechten Abbildung realer Entscheidungssituationen führen. Um diese Grenzen zu erkennen, müssen Sie sich nur verdeutlichen, dass fast jede aktuell zu treﬀende Investitionsentscheidung irgendwelche Interdependenzen zu später anstehenden Entscheidungen aufweist. Entschließt sich z. B. der Automobilhersteller heute, einen Kleinwagen in sein Produktionsprogramm aufzunehmen, dürfte das Einﬂuss auf die mit einem neuen Sportwagen erzielbaren Einzahlungen haben, auch wenn die Produktion des Sportwagens erst fünf Jahre später aufgenommen werden soll. Entscheidet sich das Unternehmen z. B., die heute zum Ersatz anstehende Produktionsanlage beim Anbieter Z zu erwerben, kann das Einﬂuss auf später anstehende Entscheidungen über den Ersatz weiterer Produktionsanlagen haben. Da zukünftige Investitionsprojekte wiederum Interdependenzen mit noch weiter in der Zukunft liegenden Investitionsprojekten aufweisen können, würde deren sachgerechte Berücksichtigung schließlich erfordern, dass ein Unternehmen bereits bei Aufnahme seiner Geschäftstätigkeit ein investitionstheoretisches Totalmodell „von der Wiege bis zur Bahre“ aufstellt und löst. In diesem Modell müssten neben den sofort anstehenden Investitionsprojekten auch alle zukünftigen Investitionen berücksichtigt werden – es sei denn, die Investitionsprojekte seien unabhängig von allen irgendwann in Betracht kommenden anderen Investitionsprojekten. Ein auf unbestimmte Zeit gegründetes Unternehmen müsste dann also ein Modell mit unendlich langem Planungshorizont und i. d. R. unendlich vielen Investitionsalternativen aufstellen und lösen. Diese aus einer sachgerechten Berücksichtigung aller zwischen Investitionsprojekten bestehenden Interdependenzen, vor allem auch aller zeitlich-vertikalen Interdependenzen, folgende Anforderung ist oﬀenkundig nicht erfüllbar. Daher erfordert die Handhabbarkeit des Modells Grenzen für die noch abzubildenden Interdependenzen. Insbesondere muss eine zeitliche Grenze gezogen werden, bis zu der auch noch Konsequenzen berücksichtigt

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

30

2

werden, die jetzt zur Entscheidung anstehende Investitionsprojekte auf spätere Investitionsprojekte haben können. Diese Begrenzung bleibt gemessen an einer theoretisch sauberen Investitionsentscheidung immer unbefriedigend und kann auch nur mehr oder weniger willkürlich vorgenommen werden. Sie ist aber zwingend, um zu einem operablen Modell der Investitionsentscheidung kommen zu können. Für unsere beispielhaften Analysen gehen wir diesbezüglich i. d. R. sehr rigide vor. Wir unterstellen einfach, dass die betrachteten Investitionsalternativen überhaupt keine Interdependenzen zu späteren Projekten aufweisen. Daher endet der Zeitraum, für den wir die Konsequenzen einer Investitionsalternative betrachten, i. d. R. mit der letzten Zahlung, die das Projekt einzeln verursacht. >Merke An ihre Grenzen stößt die Möglichkeit, alle Investitionsalternativen als Katalog einander ausschließender Handlungsalternativen zu beschreiben, vor allem bei kontinuierlich variierbaren Alternativen und durch zeitlich-vertikale Interdependenzen mit eventuell später startenden Investitionsprojekten.

2.3

2.3.1

Beurteilung von Investitionsprojekten Vorbemerkung

Wie bereits verdeutlicht, geht es in der Investitionstheorie nicht darum, Investitionen anhand all ihrer komplexen realen Merkmale zu beurteilen, sondern nur darum, deren 4 durch Zahlungsreihen beschriebenen Vermögenskonsequenzen 4 unter der Zielsetzung der Vermögensmaximierung zu beurteilen. Ein Problem bleibt die Beurteilung insbesondere, weil Investitionen durch ihre zeitpunktbezogenen Zahlungssalden widersprüchliche Ver-

mögenskonsequenzen entfalten können. Zum Beispiel kann Investition X im Vergleich zu Investition Y zwar einerseits eine höhere Anfangsauszahlung erfordern, dafür aber andererseits später höhere Einzahlungen bewirken. Für eine Entscheidung sind solche widersprüchlichen Vermögenswirkungen zusammenfassend zu beurteilen. In diesem Abschnitt diskutieren wir unterschiedliche Ansätze zur Lösung des Beurteilungsproblems. Dazu gehen wir in drei Schritten vor. In 7 Abschn. 2.3.2 gehen wir zunächst auf Beurteilungsansätze ein, die kein spezielles Wissen über die Präferenzen des Investors oder seine Möglichkeiten zur Durchführung ergänzender Transaktionen am Finanzmarkt erfordern. Solche als Dominanzprinzipien bekannte Beurteilungsansätze besitzen hohe Allgemeingültigkeit, erlauben i. d. R. aber nur selektive Vorentscheidungen und noch keine eindeutige Bestimmung der Optimalalternative. In 7 Abschn. 2.3.3 gehen wir, in Anlehnung an entscheidungstheoretische Ansätze, auf die Möglichkeiten einer Beurteilung anhand der Präferenzen des Investors ein. Rein präferenzabhängige Beurteilungen erlauben zwar konzeptionell die Bestimmung einer Optimalalternative. Sie weisen aber zugleich gravierende Probleme auf. Zum einen sind sie in der Praxis kaum anwendbar. Zum anderen ist ihre Anwendung nicht oder nur eingeschränkt sachgerecht, wenn der Investor ergänzende Finanztransaktionen durchführen kann. In 7 Abschn. 2.3.4 gehen wir schließlich ausführlicher auf den in der Investitionstheorie favorisierten Weg einer Beurteilung anhand ergänzender Finanztransaktionen ein. Dabei verdeutlichen wir insbesondere auch, unter welchen Bedingungen dieser Beurteilungsansatz allein schon die eindeutige Bestimmung der Optimalalternative erlaubt bzw. wann er noch Raum für andere Bewertungseinﬂüsse, z. B. für die Präferenzen des Investors, belässt. Die drei Beurteilungsansätze verdeutlichen wir beispielhaft an einer Auswahlentscheidung ohne Unterlassen. Dabei muss der Investor zwischen den vier einander ausschließenden Projekten A, B, C und D entscheiden, deren

31 2.3 Beurteilung von Investitionsprojekten

. Tabelle 2.9 Zahlungsreihen von vier Investitionsalternativen Alternative

e0

e1

A

100

55

55

B

100

53

55

C

100

60

51

D

100

0

113

e2

Zahlungsreihen in . Tab. 2.9 zusammengestellt sind. Am Ende des Entscheidungsprozesses ist also genau eine der vier Alternativen auszuwählen. Da das Unterlassen ausgeschlossen ist, die Investitionsalternativen nur zu drei Zeitpunkten Zahlungen auslösen und die Anfangsauszahlungen aller Alternativen auch noch identisch sind, beschränkt sich das Beurteilungsproblem in diesem einfachen Beispiel auf eine Beurteilung der Projektrückﬂüsse in den Zeitpunkten t D 1 und t D 2. 2.3.2

Beurteilung ohne Finanzkontrakte und ohne spezielle Präferenzen

a) Präzisierung der Rahmenbedingungen In diesem Abschnitt verdeutlichen wir Beurteilungsansätze, die keine speziellen Präferenzen des Investors und keine ergänzenden Transaktionen am Finanzmarkt erfordern. Diese Rahmenbedingungen bedürfen der Konkretisierung. Eine Beurteilung vollständig ohne Präferenzvorstellung ist ihrem Wesen nach unmöglich. In diesem Abschnitt beschränken wir die Vorstellung von den Präferenzen des Investors aber auf ihr absolutes Minimum. Dazu gehen wir lediglich davon aus, dass der Investor c. p. sein Vermögen maximieren will. Gemäß dieser Vorstellung erhöht sich sein Vermögen, wenn es in einem Zeitpunkt zunimmt, ohne sich deshalb in einem anderen Zeitpunkt zu verringern. Darüber hinaus treﬀen wir keine

2

Annahmen zu seinen Präferenzen. Insbesondere treﬀen wir keine Annahme, wie der Investor gegenläuﬁge Vermögensänderungen, also Vermögenserhöhungen in bestimmten Zeitpunkten bei gleichzeitigen Vermögensminderungen in anderen Zeitpunkten, beurteilt. Wir verzichten also auf Annahmen über seine intertemporalen Präferenzen. Da die hier unterstellte Präferenzvorstellung sicherlich von jedem an Vermögensmaximierung interessierten Investor geteilt wird, sprechen wir (etwas verkürzend) auch von präferenzfreier Bewertung. Die auf der Basis präferenzfreier Bewertung möglichen Beurteilungen gelten für jeden Investor, der C. p.Erhöhungen seines Vermögens positiv beurteilt – ganz gleich, welche weitergehenden Präferenzvorstellungen er hegt, also insbesondere unabhängig davon, wie er Vermögenserhöhungen in bestimmten Zeitpunkten gegen Vermögensminderungen in anderen Zeitpunkten abwägt. Zudem abstrahieren wir in diesem Abschnitt von ﬁnanziellen Anpassungsmaßnahmen. Dazu gehen wir davon aus, dass der Investor in t D 0 über ausreichend ﬁnanzielle Mittel für die Durchführung eines der Investitionsprojekte verfügt. Wir berücksichtigen aber keine Möglichkeiten, sich in einem der drei Zeitpunkte weitere ﬁnanzielle Mittel zu beschaﬀen oder in einem der drei Zeitpunkte ﬁnanzielle Mittel anzulegen. Damit abstrahieren wir insbesondere von der Möglichkeit ergänzender Finanzkontrakte. Die auf Basis dieser Abstraktion von Finanzkontrakten möglichen Beurteilungen gelten für alle Finanzmarktumgebungen. Sie gelten, falls tatsächlich keine Transaktionsmöglichkeiten am Finanzmarkt bestehen. Sie gelten aber auch, falls Transaktionen am Finanzmarkt möglich sind. b) Allgemeine zeitliche Dominanz Eine erste Möglichkeit, Investitionen ohne spezielle Präferenzen und ohne Finanztransaktionen zu beurteilen, wird beim Vergleich der Investitionen A und B deutlich. In t D 0 und t D 2 weisen beide Alternativen jeweils denselben Zahlungssaldo auf. In t D 1 weist A

32

2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

in unserem Beispiel mit 4 Alternativen also 6 (= 3 + 2 + 1) paarweise Vergleiche von Alternativen durchzuführen. Die weiteren 5 Vergleiche führen im Beispiel allerdings nicht zu weiteren Dominanzbeziehungen. Zum Beispiel zeigt sich beim Vergleich der Alternativen A und C: In t D 0 weisen beide Alternativen denselben Zahlungssaldo auf. In t D 1 weist C einen höheren Saldo als A auf, in t D 2 weist umgekehrt A einen höheren Saldo als C auf. Zwischen beiden Alternativen besteht also keine Dominanz. Als Ergebnis des Vergleichs kann daher zusammengefasst werden, dass Alternative B ineﬃzient ist und die Alternativen A, C und D eﬃzient sind, also noch optimal sein können. Wie im Beispiel erlaubt das Prinzip der allgemeinen zeitlichen Dominanz i. d. R. keine eindeutige Investitionsentscheidung, sondern allenfalls Eingrenzungen der als OptimalalterY eX native in Betracht kommenden Alternativen, t et weil i. d. R. mehr als eine Alternative eﬃzient für jedes t D 0; 1; : : : ; T und bleibt. Diese Konstellation ist typisch für Dominanzprinzipien. Dominanzprinzipien sind eiX Y et > et nerseits starke Entscheidungsprinzipien, weil sie nur von sehr schwachen Annahmen ausgefür mindestens ein t D 0; 1; : : : ; T . Im Sinne allgemeiner zeitlicher Dominanz hen und ihre Beurteilungen daher große Allgedominierte Alternativen können nicht optimal meingültigkeit haben. Andererseits sind Domisein, sie sind ineﬃzient. Die Einhaltung dieser nanzprinzipien schwache EntscheidungsprinRegel bildet eine Grundanforderung an ratio- zipien, weil sie wenig selektiv sind. Vorsorglich sei auf mögliche Fehlinterprenale Investitionsentscheidungen. tationen von Dominanzbeziehungen hingewiesen: >Merke einen besseren Zahlungssaldo als B auf. A weist also immer mindestens denselben Zahlungssaldo wie B und in mindestens einem Zeitpunkt einen besseren Zahlungssaldo als B auf. Damit kann B auf keinen Fall die Optimalalternative sein. Eine Entscheidung für Alternative B wäre irrational, weil sie gegen die Maxime „mehr ist c. p. besser als weniger“ verstößt. B kann deshalb bei der weiteren Suche nach der Optimalalternative unberücksichtigt bleiben. Das gilt unabhängig von den genauen Präferenzen des Investors und unabhängig von seinen Möglichkeiten, Finanzkontrakte abzuschließen. Die am Beispiel verdeutlichte Beurteilungsmöglichkeit heißt allgemeine zeitliche Dominanz und lässt sich folgendermaßen verallgemeinern. Im Sinne der allgemeinen zeitlichen Dominanz dominiert die Handlungsalternative X die Handlungsalternative Y, wenn gilt:

Im Sinne allgemeiner zeitlicher Dominanz dominierte Alternativen können nicht optimal sein. Sie können ohne Rücksicht auf die genauen Merkmale des Investors und ohne Rücksicht auf die am Finanzmarkt bestehenden Transaktionsmöglichkeiten schon allein aufgrund ihrer Zahlungsreihen aus der Entscheidungsfindung ausgeschlossen werden.

Um allgemeine zeitliche Dominanzen zu identiﬁzieren, sind Alternativen jeweils paarweise zu vergleichen. Um alle bestehenden Dominanzbeziehungen zu identiﬁzieren, sind alle möglichen Alternativenpaare zu vergleichen,

4 Ineﬃziente Alternativen können zwar nicht optimal sein. Deshalb sind sie aber nicht zwingend die schlechtesten aller zur Wahl stehenden Alternativen. In unserem Beispiel wird nur Alternative B dominiert. Damit ist Alternative B zwingend schlechter als die sie dominierende Alternative A. Alternative B kann aber, je nach Konkretisierung der Beurteilungsmaßstäbe, durchaus immer noch besser sein als die Alternativen C und D, von denen sie nicht dominiert wird. 4 Eﬃzient sind Alternativen, die nicht dominiert werden. Unter den eﬃzienten Alternativen weisen aber die Alternativen, die

2

33 2.3 Beurteilung von Investitionsprojekten

ihrerseits andere Alternativen dominieren, keine besondere Qualität auf. Im Beispiel sind die Alternativen A, C und D eﬃzient. Davon dominiert nur Alternative A eine andere Alternative. Trotzdem können letztlich die Alternativen C oder D die Optimalalternative sein.

. Tabelle 2.10 Projekt C ergänzt um Kassenhaltung Maßnahme

e0

C

100

60

51

0

5

5

100

55

56

C Kassenhaltung D C0

c) Zeitlich kumulative Dominanz Eine weitergehende Möglichkeit, Investitionen ohne spezielle Präferenzen und Finanztransaktionen zu beurteilen, wird bei genauerem Vergleich der Investitionen A und C deutlich. Da C in t D 1 einen um 5 höheren Zahlungssaldo und A in t D 2 einen um 4 höheren Zahlungssaldo aufweist, besteht zwischen beiden Alternativen zwar keine allgemeine zeitliche Dominanz. Aber erstens tritt der Vorteil von C früher ein und zweitens ist er höher als der Vorteil von A. Deshalb eröﬀnet Alternative C die Möglichkeit, frühe Projekteinzahlungen (teilweise) in die Kasse zu legen, sie später wieder der Kasse zu entnehmen und so eine Zahlungsreihe zu erzeugen, die die Zahlungsreihe der Alternative A im Sinne allgemeiner zeitlicher Dominanz dominiert. Zum Beispiel kann bei Durchführung von Alternative C, wie in . Tab. 2.10 dargestellt, ein Betrag von 5 im Zeitpunkt t D 1 in die Kasse gelegt und in t D 2 der Kasse wieder entnommen werden. Damit verbleiben dem Investor in t D 1 wie bei Alternative A nur noch 55 für sonstige Zwecke. In t D 2 stehen ihm dann aber 56 und somit mehr Zahlungsmittel als bei Alternative A zur Verfügung. Das aus Projekt C und Kassenhaltung bestehende Maßnahmenbündel C0 führt also zu einer Zahlungsreihe, die die Zahlungsreihe von Projekt A im allgemeinen zeitlichen Sinne dominiert. Um diese Dominanzbeziehung herzustellen, muss der Investor keine Finanzkontrakte mit Dritten schließen. Es reicht die Möglichkeit, Zahlungsmittel substanzneutral in der Kasse zu halten. Die Dominanzbeziehung gilt aber auch noch, falls Finanzkontrakte geschlossen werden können. Damit erweist sich auch Projekt A als ineﬃzient, kann also nicht mehr optimal sein.

e1

e2

Eine Entscheidung für A verstieße gegen die Maxime „mehr ist c. p. besser als weniger“. Denn durch das mit Kassenhaltung kombinierte C0 kann eine dominant bessere Zahlungsreihe als mit A erreicht werden. Diese Relation lässt sich auch nicht mehr dadurch verändern, dass A ebenfalls um Kassenhaltungsaktivitäten ergänzt wird. Denn dann müsste C0 nur um dieselben zusätzlichen Kassenhaltungsaktivitäten ergänzt werden und bliebe dominant besser als A. Es gilt also: C0 A ) C A : Während ohne Kassenhaltung die zwischen den Projekten A und C bestehende Präferenzrelation ungeklärt blieb, also z. B. auch noch von den persönlichen Präferenzen des Investors abhängen konnte, ist sie mit der Möglichkeit der Kassenhaltung eindeutig geklärt. Durch die Möglichkeit der Kassenhaltung schwindet also der Einﬂuss, den möglicherweise persönliche Präferenzvorstellungen auf die Beurteilung der Investitionen haben können. Im Beispiel ist Alternative A ineﬃzient, weil sich mit Kassenhaltung ein Maßnahmenbündel C0 kreieren lässt, das die Alternative A im allgemeinen zeitlichen Sinne dominiert. Das ist möglich, weil Alternative C im Vergleich zu A nicht nur den früheren, sondern auch den höheren Zahlungsvorteil aufweist. Alternative A müsste bei der weiteren Suche nach der Optimalalternative aber auch bereits dann nicht mehr berücksichtigt werden, wenn der Zahlungsvorteil von C nur früher anfällt und nicht geringer ist als der Vorteil von Alternative A. Dann ließe sich durch ergänzende Kassenhal-

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

34

2

. Tabelle 2.11 Projekt CC ergänzt um Kassenhaltung

. Tabelle 2.12 Projekt A ergänzt um Kassenhaltung

Maßnahme

e0

e1

e2

Maßnahme

e0

CC

100

59

51

A

100

55

55

0

4

4

0

55

55

100

55

55

100

0

110

C Kassenhaltung D CC0

tung zwar nur ein Maßnahmenbündel kreieren, das genauso gut ist wie Alternative A. Alternative A könnte dann aber trotzdem aus den weiteren Untersuchungen ausgeschlossen werden. Wir spielen auch diesen Grenzfall anhand einer Variation des Beispiels durch. Angenommen, statt des Projektes C: (100; 60; 51) stünde nur das etwas schlechtere Projekt CC: (100; 59; 51) zur Wahl. Wie . Tab. 2.11 verdeutlicht, könnte Projekt CC dann nur noch so um Kassenhaltung ergänzt werden, dass das Bündel dieselbe Zahlungsreihe wie A auslöst, aber keine bessere. Trotzdem könnte auch dann noch Projekt A im weiteren Investitionsentscheidungsprozess unberücksichtigt bleiben. Denn dann gilt immer noch: CC0 A ) CC A oder CC A : Weil sich aus CC durch Ergänzung um Kassenhaltung ein Bündel mit derselben Zahlungsreihe wie A kreieren lässt, kann auf Basis von CC nicht nur der Zahlungsstrom von A selbst generiert werden, sondern auch jeder Zahlungsstrom, der sich durch die Kombination von A mit Kassenhaltung erzeugen ließe. Mit CC lassen sich also alle Zahlungsströme realisieren, die mit Investition A möglich sind. Umgekehrt lassen sich mit CC, ohne oder bei betraglich geringerer Kassenhaltung, aber auch Zahlungsströme erreichen, die mit Investition A unerreichbar sind. Je nach den genauen Präferenzen des Investors lässt sich deshalb mit CC eventuell nur eine genauso gute Zahlungsreihe wie mit A erreichen, eventuell aber auch eine bessere.

C Kassenhaltung D A0

e1

e2

Mit A lässt sich aber auf keinen Fall eine bessere Zahlungsreihe als mit CC erreichen. Um die Grenzen der Identiﬁkation zusätzlicher Dominanzbeziehungen mittels Kassenhaltung zu erkennen, vergleichen wir beispielhaft auch noch die Alternativen A: (100; 55; 55) und D: (100; 0; 113). Ohne Kassenhaltung konnte auch zwischen ihnen keine Dominanzbeziehung festgestellt werden. Mit Kassenhaltung könnte die Idee nahe liegen, Projekt A, wie in . Tab. 2.12 dargestellt, um Kassenhaltung zu ergänzen. Das aus Projekt A und Kassenhaltung bestehende Maßnahmenbündel A0 wird von Alternative D im allgemeinen zeitlichen Sinne dominiert. Anders als beim Vergleich der Projekte A und C haben wir nun also durch die Ergänzung um Kassenhaltung aus A kein dominantes Maßnahmenbündel A0 kreiert, sondern ein dominiertes. Aus dieser Konstellation lässt sich allerdings keine Folgerung über die Beurteilung der Projekte A und D ziehen. . Tab. 2.12 macht lediglich deutlich, dass es für keinen Investor sinnvoll sein kann, Projekt A durchzuführen und es um die beschriebene Kassenhaltung zu A0 zu ergänzen. Dieses Bündel würde von D dominiert. Aus der Erkenntnis, dass das Maßnahmenbündel A0 von D dominiert wird, kann aber nicht gefolgert werden, dass deshalb auch Projekt A selbst von D dominiert wird. Denn zum einen lassen sich mit Projekt A auch Zahlungsströme erreichen, die mit Projekt D und Kassenhaltung unerreichbar bleiben. Zum Beispiel kann die unmodiﬁzierte Zahlungsreihe von Projekt A mit Projekt D nicht erreicht werden – egal, wie Projekt D um Kassenhaltungsaktivitäten ergänzt wird. Zum anderen könnten mit A immer noch im Sinne

2

35 2.3 Beurteilung von Investitionsprojekten

allgemeiner zeitlicher Dominanz bessere Zahlungsströme als mit D erreicht werden, wenn Geld nicht nur unverzinslich in der Kasse gehalten werden kann, sondern z. B. zu deutlich positiven Zinssätzen am Finanzmarkt angelegt werden kann. Die Feststellung zusätzlicher Dominanzbeziehungen erlaubt die Berücksichtigung von Kassenhaltung also nur, wenn Handlungsalternativen so um Kassenhaltung ergänzt werden können, dass die entstehenden Maßnahmenbündel andere Alternativen im allgemeinen zeitlichen Sinne dominieren oder mindestens identische Zahlungsreihen aufweisen, nicht aber wenn die Maßnahmenbündel selbst dominiert werden. Stellt man im Beispiel alle 6 paarweisen Vergleiche in analoger Weise an, lassen sich insgesamt die drei folgenden Dominanzbeziehungen feststellen: (1) A B (2) C A (3) C B. Dominanzrelation (1) gilt schon ohne Kassenhaltung und muss daher mit Kassenhaltung ebenfalls gelten. Dominanzrelation (2) gilt erst mit Kassenhaltung und zeigt, dass Alternative A durch die Möglichkeit der Kassenhaltung ineﬃzient wird. Dominanzrelation (3) gilt ebenfalls erst mit Kassenhaltung. Durch sie wird aber keine zusätzliche Alternative ineﬃzient, weil Alternative B ohnehin (durch A) dominiert wird. Außerdem kann Dominanzrelation (3) bereits aus den beiden ersten Dominanzrelationen gefolgert werden, denn Dominanzbeziehungen sind transitiv. Bislang haben wir die Möglichkeit der Kassenhaltung in die Beurteilung der Alternativen einbezogen, indem wir die Zahlungsreihen der Alternativen explizit mit dem Ziel um Kassenhaltungsaktivitäten ergänzt haben, um auf Basis der Maßnahmenbündel zusätzliche Dominanzbeziehungen erkennen zu können. Diese Vorgehensweise ist didaktisch vorteilhaft, weil sie erkennen lässt, dass es auch mit Kassenhaltung weiterhin um die Feststellung allgemeiner zeitlicher Dominanzbeziehungen geht und Kassenhaltung es lediglich erlaubt, wei-

tere solcher allgemeinen zeitlichen Dominanzen zu erkennen. Allerdings kann die bisherige Vorgehensweise umständlich werden, weil in jedem paarweisen Vergleich erneut die konkreten Kassenhaltungsaktivitäten gesucht werden müssen, die die Feststellung einer Dominanzbeziehung erlauben – dieser Suchprozess gestaltet sich schon im Beispiel etwas unangenehm, erfordert bei mehr Handlungsalternativen und vor allem bei längeren Zahlungsreihen aber schnell deutlich mehr Aufwand. Daher ist ein alternatives Procedere wünschenswert, das die mit Kassenhaltungsaktivitäten bestehenden Dominanzbeziehungen einfacher erkennen lässt. Für die Konstruktion dieses einfacheren Procederes ist es hilfreich, sich vor Augen zu führen, unter welchen Bedingungen auf dem von uns zunächst beschrittenen Weg Dominanzbeziehungen festgestellt werden können. Dazu 4 darf die dominierende Alternative über alle Zeitpunkte saldiert keinen schlechteren Zahlungssaldo aufweisen als die dominierte Alternative und 4 muss sie systematisch früher zu Einzahlungen bzw. später zu Auszahlungen führen als die dominierte Alternative. Ob beide Bedingungen erfüllt sind, lässt sich einfacher anhand der im Zeitablauf kumulierten Zahlungsreihen der Handlungsalternativen erkennen. In unserem Beispiel weisen die Alternativen die in . Tab. 2.13 dargestellten kumulierten Zahlungsreihen auf. In der ersten Spalte werden nur die in t D 0 erforderlichen Auszahlungen abgebildet, in der zweiten Spalte der Saldo aller bis t D 1 eintretenden Zahlun. Tabelle 2.13 Kumulierte Zahlungsreihen e0 C e1

e0 C e1 C e2

Alternative

e0

A

100

45

10

B

100

47

8

C

100

40

11

D

100 100

13

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

36

2

gen und in der dritten Spalte der Saldo aller bis t D 2 eintretenden Zahlungen. Auszuwerten ist diese Tabelle nach demselben Schema, wie die Tabelle der Originalzahlungsreihen zur Feststellung der allgemeinen zeitlichen Dominanz auszuwerten ist. Die Alternativen sind paarweise zu vergleichen. Dabei dominiert Alternative X die Alternative Y, wenn X in keinem Zeitpunkt einen schlechteren kumulierten Zahlungssaldo als Y aufweist und in mindestens einem Zeitpunkt einen echt besseren. Bei Anwendung dieses Vergleichsschemas ergeben sich im Beispiel dieselben Dominanzbeziehungen, wie wir sie bereits durch explizite Ergänzung um Kassenhaltungsaktivitäten festgestellt haben. Beide Vergleichsmethoden stimmen unabhängig vom Beispiel immer überein. Da der Vergleich anhand kumulierter Zahlungsreihen deutlich weniger Aufwand verursacht, werden Dominanzbeziehungen mit Kassenhaltung zweckmäßiger Weise auf diesem Wege identiﬁziert. Die mit Kassenhaltung geltenden Dominanzbeziehungen werden daher auch als zeitlich kumulative Dominanz bezeichnet. In allgemeiner Formulierung dominiert Alternative X im Sinne der zeitlich kumulativen Dominanz die Alternative Y, wenn gilt: t X

eX

D0

t X

eY

D0

für jedes t D 0; 1; : : : ; T und t X D0

eX >

t X

eY

D0

für mindestens ein t D 0; 1; : : : ; T . Obwohl so festgestellte Dominanzbeziehungen als zeitlich kumulative Dominanz bezeichnet werden, kommt dabei grundsätzlich kein neues Dominanzprinzip zum Einsatz. Die zeitlich kumulative Dominanz erlaubt es lediglich, einfacher zu erkennen, welche Dominanzbeziehungen im Sinne der allgemeinen zeitlichen Dominanz bestehen, wenn Kassenhaltung möglich ist.

>Merke Im Sinne zeitlich kumulativer Dominanz dominierte Alternativen können nicht optimal sein. Sie können ohne Rücksicht auf die genauen Merkmale des Investors und ohne Rücksicht auf die am Finanzmarkt bestehenden Transaktionsmöglichkeiten schon allein aufgrund ihrer Zahlungsreihen aus der Entscheidungsfindung ausgeschlossen werden.

Zeitlich kumulative Dominanz ist zwar systematisch selektiver als allgemeine zeitliche Dominanz. Auch sie erlaubt i. d. R. aber noch keine eindeutige Investitionsentscheidung, sondern nur Eingrenzungen der als Optimalalternative in Betracht kommenden Alternativen. Auch die auf Basis zeitlich kumulativer Dominanz festgestellten Dominanzbeziehungen bleiben sowohl gültig, wenn die Präferenzen des Investors genauer bekannt sind, als auch, wenn der Investor Kontrakte am Finanzmarkt abschließen kann. Sollen über die zeitlich kumulative Dominanz hinaus Aussagen über die Optimalalternative getroﬀen werden, ist das nur möglich, wenn entweder die Präferenzen des Investors oder die am Finanzmarkt möglichen Transaktionen genauer bekannt sind. ?Übungsaufgabe 2.3 Zur Wahl stehen die Investitionsprojekte A, B, C und D mit den nachfolgend beschriebenen Zahlungskonsequenzen. Genau eines dieser Projekte muss durchgeführt werden. Unterlassen ist nicht möglich. Projekt

e0

A

2.000

560

560

1.800

B

2.000

600

600

1.800

C

2.000

0

0

3.200

D

2.000 1.000

1.000

1.000

e1

e2

e3

Über die Präferenzen des Investors ist nur bekannt, dass er sein Vermögen maximieren will, c. p. also in jedem Zeitpunkt ein höheres

37 2.3 Beurteilung von Investitionsprojekten

Vermögen gegenüber einem geringeren Vermögen präferiert. Seine weitergehenden zeitlichen Präferenzen sind hingegen unbekannt. a. Angenommen, es seien weder Kassenhaltung noch Transaktionen am Finanzmarkt möglich. Welche Aussagen können Sie dann über die optimale Handlungsalternative treffen? Begründen Sie Ihre Aussagen und erläutern Sie das angewendete Vergleichsprinzip. b. Angenommen, es seien zwar keine Transaktionen am Finanzmarkt möglich, aber Kassenhaltung. Welche Aussagen können Sie dann über die optimale Handlungsalternative treffen? Begründen Sie Ihre Aussagen und erläutern Sie das angewendete Vergleichsprinzip.

2.3.3

Beurteilung auf der Basis spezieller Präferenzen

a) Veranschaulichung einer präferenzabhängigen Bewertung Damit der Investor Investitionsentscheidungen auf der Basis seiner Präferenzen eindeutig treffen kann, muss er zunächst einmal eine hinreichend klare Vorstellung von seinen Präferenzen haben. Zur Veranschaulichung der Präferenzen kann man sich etwa vorstellen, der Investor verfüge über eine sogenannte Präferenzfunktion ˚. In diese Präferenzfunktion ˚ können für jede Handlungsalternative i die mit der Alternative verbundenen Vermögenskonsequenzen, also die zeitpunktbezogenen Zahlungskonsequenzen e it , eingesetzt werden. Die Funktion würde dann zu jeder Handlungsalternative eine einwertige Bewertungskennzahl ' i , den sogenannten Präferenzwert der Alternative i, errechnen. Am Ende des Bewertungsprozesses entscheidet sich der Investor für die Handlungsalternative mit dem besten Präferenzwert. Unterstellt man, dass Präferenzwerte umso besser sind, je höher sie sind, ließe sich eine präferenzbasierte Investitionsent-

2

scheidung nach dieser Vorstellung formal wie folgt beschreiben: maxW ' i D ˚ e0i ; e1i ; : : : ; eTi : i

Um Investitionsentscheidungen stets präferenzorientiert eindeutig treﬀen zu können, muss der Investor i. d. R. seine intertemporale Präferenzfunktion soweit konkretisieren, dass sie zu jeder Alternative die Berechnung eines eindeutigen Präferenzwertes erlaubt. Mit Blick auf die Alternativen unseres Beispiels könnte der Investor durch Introspektion beispielsweise zu der Erkenntnis gelangen, dass ihm 4 in t D 0 eintretende Vermögensänderungen wichtig sind und er sie mit dem Faktor 1 gewichtet, 4 in t D 1 eintretende Vermögensänderungen weniger wichtig sind und er sie daher mit dem Faktor 0,9 gewichtet und 4 ihm in t D 2 eintretende Vermögensänderungen noch unwichtiger sind und er sie daher nur mit dem Faktor 0,85 gewichtet. Seine intertemporale Präferenzfunktion im Hinblick auf die drei Zeitpunkte während des Betrachtungszeitraumes könnte demnach durch folgende lineare Funktion beschrieben werde: ' i D e0i C 0;9 e1i C 0;85 e2i : Durch Einsetzen der Zahlungssalden ließen sich folgende Präferenzwerte der Alternativen berechnen: ' A D 100 C 0;9 55 C 0;85 55 D 3;75 ' B D 100 C 0;9 53 C 0;85 55 D 5;55 ' C D 100 C 0;9 60 C 0;85 51 D 2;65 ' D D 100 C 0;9 0 C 0;85 113 D 3;95:

38

2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

Damit ließe sich als Ergebnis der rein gener, im Extremfall einer Publikumsaktienpräferenzorientierten Bewertung im Beispiel gesellschaft sogar eine sehr große Zahl von Gesellschaftern, stellt sich das Problem, von notieren: wessen Präferenzen bei der Entscheidung geC A D B: nau ausgegangen werden soll. Entweder müsste dann eine Aggregation der individuellen PräfeDer Investor müsste sich dann also für die In- renzen zu einer „Gesamtpräferenz“ vorgenomvestitionsalternative C entscheiden. men werden. Dafür sind allerdings nicht einEine Entscheidung im Sinne des vorste- mal ansatzweise geeignete Konzepte erkennbar. hend beschriebenen, präferenzabhängigen Be- Oder Entscheidungen dürften sich nur auf die wertungskonzeptes ließe sich noch einigerma- von allen Gesellschaftern geteilten Präferenzen ßen vorstellen, wenn stützen. Es sind aber kaum verallgemeinerbare 4 der Investor die Entscheidung selbst trifft, Präferenzeigenschaften erkennbar. Häuﬁg wird 4 die Entscheidung nur einen Investor betrifft unterstellt, Präferenzen von Investoren wiesen und zumindest stets die beiden folgenden Eigen4 ergänzende Finanztransaktionen ausge- schaften auf: schlossen sind. 1. Nichtsaturiertheit: Damit ist gemeint, der Investor habe in jedem Zeitpunkt noch VerIst eine der drei Bedingungen verletzt, stößt die wendung für zusätzliche Zahlungsmittel, präferenzabhängige Bewertung auf Schwierigsei also in keinem Zeitpunkt saturiert und keiten, die wir nachfolgend in der gebotenen bewerte deshalb zusätzliche Zahlungsmittel Kürze skizzieren. Da in der Praxis alle drei in jedem Zeitpunkt c. p. positiv. Für die inBedingungen gleichzeitig allenfalls in Ausnahtertemporale Präferenzfunktion muss dann mefällen erfüllt sind, scheidet das rein präfegelten: renzbasierte Bewertungskonzept für praktische Investitionsentscheidungen weitgehend aus. @˚=@e > 0 für jedes t D 0; 1; : : : ; T : t

b) Probleme bei delegierten Diese Präferenzeigenschaft kann salopp als Entscheidungen „mehr ist c. p. besser als weniger“ umschrieTrifft der Unternehmer Investitionsentscheiben werden und gilt sicherlich für jeden an dungen nicht selbst, sondern beauftragt er anVermögensmaximierung interessierten Ingestellte Manager damit, diese Entscheidungen vestor. Deshalb sind wir von deren Gültigin seinem Interesse zu treﬀen, ist eine intuitikeit ja auch bereits in 7 Abschn. 2.3.2 ausgeve Anwendung des Bewertungskonzeptes ausgangen. geschlossen. Dann muss der Eigner den Ma- 2. Gegenwartspräferenz: Damit ist gemeint, nagern seine Präferenzen hinreichend präzise, der Investor bewerte zusätzliche Zahlungsi. d. R. in formalisierter Form, mitteilen. Für die mittel c. p. umso deutlicher positiv, je früher Zwecke eines Lehrbuchbeispiels lässt sich das sie ihm zur Verfügung stehen. Dann muss leicht durch eine ﬁktive Funktion bewältigen. gelten: Es darf aber bezweifelt werden, ob Menschen dazu in der Realität in der Lage sind. Oder @˚=@e t 1 > @˚=@e t können Sie Ihre intertemporalen Präferenzen formelmäßig beschreiben? für jedes t D 1; 2; : : : ; T . Salopp formuliert soll also gelten „früher c) Probleme bei mehreren ist c. p. besser als später“. Bereits diese zuUnternehmenseignern sätzliche Eigenschaft der GegenwartspräfeBetreﬀen die Investitionsentscheidungen nicht renz ist aber keineswegs mehr allgemeinnur einen, sondern mehrere Unternehmenseigültig, auch wenn unsere im Beispiel ver-

39 2.3 Beurteilung von Investitionsprojekten

wendete Präferenzfunktion auch diese Eigenschaft aufweist. Vorstellbar ist durchaus auch die konträre Zukunftspräferenz. Geht ein Investor z. B. davon aus, dass er aus anderen Aktivitäten in den kommenden Jahren zunächst ohnehin über hohe Zahlungsmittel verfügen kann, die ohnehin verfügbaren Zahlungsmittel in der weiteren Zukunft aber z. B. wegen seines Eintrittes in den Ruhestand deutlich geringer ausfallen, dann erscheint es nachvollziehbar, wenn er zusätzliche Zahlungsmittel in naher Zukunft nur schwach positiv, zusätzliche Zahlungsmittel in der weiteren Zukunft hingegen stark positiv bewertet. Über die intertemporalen Präferenzen lassen sich also kaum noch allgemeingültige Aussagen treﬀen. So eine Aussage wäre allenfalls unter Berücksichtigung zusätzlicher Transaktionsmöglichkeiten allgemeingültig. Ist z. B. substanzneutrale Kassenhaltung möglich, dann ist ein bestimmter zusätzlicher Betrag in einem frühen Zeitpunkt für den Investor zumindest nie weniger wert als derselbe zusätzliche Betrag in einem späteren Zeitpunkt. Dann gilt Gegenwartspräferenz zumindest im schwachen Sinne (@˚=@e t 1 @˚=@e t ). Genaugenommen beruht diese verallgemeinerbare Bewertungsvorstellung dann aber nicht mehr auf einer allgemeingültigen Präferenzvorstellung im engeren Sinne, sondern auf der Möglichkeit der Kassenhaltung.

d) Probleme bei zusätzlich möglichen Finanztransaktionen In Frage steht die Sachgerechtigkeit einer rein präferenzorientierten Bewertung in sehr grundsätzlicher Weise, sobald die Möglichkeit besteht, Zahlungskonsequenzen der Investitionsprojekte durch ergänzende Finanztransaktionen zu modiﬁzieren. Wir verdeutlichen dieses Problem anhand unseres Beispiels. Dort hatten wir auf Basis der unterstellten Präferenzfunktion anhand der folgenden Rechnungen unter anderem ermittelt, dass Alternative D: (100; 0; 113) im Vergleich zu B: (100; 53; 55)

2

den höheren Präferenzwert aufweist und Alternative D daher der Alternative B vorzuziehen ist: ' B D 100 C 0;9 53 C 0;85 55 D 5;55 ' D D 100 C 0;9 0 C 0;85 113 D 3;95: Gehen wir nun aber z. B. davon aus, dass Zahlungsmittel im Zeitpunkt t D 1 zu einem Zinssatz von 10 % für die Dauer einer Periode am Finanzmarkt angelegt werden können, dann könnte die bei Projekt B erzielbare Einzahlung von 53 am Finanzmarkt angelegt und aus dieser Anlage im Zeitpunkt t D 2 eine zusätzliche Einzahlung von 58,3 erzielt werden. Die ursprüngliche Zahlungsreihe von B ließe sich mit dieser Finanztransaktion modiﬁzieren zur Zahlungsreihe B0 : (100; 0; 113,3). Die modiﬁzierte Zahlungsreihe von B0 dominiert dann aber die Zahlungsreihe von D im allgemeinen zeitlichen Sinne. Ist die angenommene Finanztransaktion möglich, kann also D bei rationaler Entscheidung gar nicht der Alternative B vorzuziehen sein, sondern es muss zwingend die umgekehrte Relation gelten. Das Beispiel zeigt, dass persönliche Präferenzen als alleinige Bewertungsgrundlage im Kontext eines Finanzmarktes ganz grundsätzlich ungeeignet sein können. Sie können stattdessen immer nur in dem Maße sachgerecht zur Beurteilung herangezogen werden, wie nach Berücksichtigung ergänzender Transaktionsmöglichkeiten am Finanzmarkt noch Beurteilungsspielräume verbleiben. >Merke Investitionsentscheidungen rein auf der Basis spezieller Präferenzen des Investors sind nur in Ausnahmefällen praktikabel und sachgerecht. Sie erfordern i. d. R. eine Explizierung der zeitlichen Präferenzen des Investors und sind angesichts am Finanzmarkt bestehender Transaktionsmöglichkeiten häufig auch nicht zielkonform.

2

40

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

2.3.4

Beurteilung auf der Basis von sich in anspruchsvolleren investitionstheoretischen Modellen durchaus berücksichtigen. Finanztransaktionen

2.3.4.1

Vorbemerkung

Erfordern Investitionsprojekte eine Auszahlung, fallen die benötigten Zahlungsmittel „nicht vom Himmel“, und führen Investitionsprojekte zu einer Einzahlung, lösen sich die erzielten Zahlungsmittel anschließend „nicht in Luft auf“. Deshalb erfordert jede durch Investitionsprojekte bewirkte Zahlung zwingend Anpassungsmaßnahmen auf der Zahlungsebene. Da Investitionen mittelbar auch die ﬁnanziellen Anpassungsmaßnahmen auslösen, müssen auch diese, wie bereits in 7 Abschn. 2.2.3.4 verdeutlicht, in die Beurteilung der Projekte einbezogen werden. Unsere bisherigen Bewertungsüberlegungen lassen die Anpassungsmaßnahmen aber noch (weitgehend) unberücksichtigt. In 7 Abschn. 2.3.2 und 7 Abschn. 2.3.3 haben wir für die zur Bestreitung von Projektauszahlungen erforderlichen Zahlungsmittel einfach unterstellt, „sie seien vorhanden“, ohne zu erklären, wie sie zusätzlich erlangt bzw. welcher sonstigen Verwendung sie entzogen werden. Für die durch Projekteinzahlungen erzielten Zahlungsmittel haben wir einfach unterstellt, „sie stünden für andere Zwecke zur Verfügung“, ohne zu erklären, für welche anderen Zwecke sie genau eingesetzt werden. Als einzige Konkretisierung haben wir diesbezüglich bislang die Möglichkeit berücksichtigt, durch Projekteinzahlungen erzielte Zahlungsmittel zunächst in die Kasse zu legen und sie dann später „für andere Zwecke zu nutzen“. In diesem Abschnitt wollen wir ﬁnanzielle Anpassungsmaßnahmen nun explizit in die Beurteilung der Investitionen einbeziehen. Theoretisch können ﬁnanzielle Anpassungsmaßnahmen zugleich mit Veränderungen leistungswirtschaftlicher Aktivitäten einhergehen. Zum Beispiel kann die Auszahlung für ein Investitionsprojekt kompensiert werden, indem Rohstoﬀe nicht beschafft und so sonstige Auszahlungen eingespart werden. Anpassungsmaßnahmen mit Veränderungen leistungswirtschaftlicher Aktivitäten lassen

Im Sinne einer einführenden Darstellung lassen wir Anpassungsmaßnahmen mit leistungswirtschaftlichen Folgen hier allerdings unberücksichtigt. Wir beschränken uns bei den ﬁnanziellen Anpassungsmaßnahmen auf Aktivitäten am Finanzmarkt. Wir gehen davon aus, dass der Investor zur Kompensation der Projektzahlungen seine am Finanzmarkt über feste Zinssätze geschlossenen Kontrakte in entsprechendem Umfang variiert, also z. B. Kredite aufnimmt, festverzinsliche Anlagen reduziert, aufgenommene Kredite tilgt oder festverzinsliche Anlagen erhöht. Zur Berücksichtigung von Finanzmarktaktivitäten als Anpassungsmaßnahmen gehen wir in drei Schritten vor: 4 In 7 Abschn. 2.3.4.2 präzisieren wir die als Anpassungsmaßnahmen berücksichtigten Finanztransaktionen. In den beiden folgenden Abschnitten untersuchen wir die Auswirkungen dieser Anpassungsmaßnahmen auf die Beurteilung der Investitionsprojekte. 4 Dazu gehen wir in 7 Abschn. 2.3.4.3 zunächst von Situationen mit einem vollkommenen Finanzmarkt aus. Dann erlauben die am Finanzmarkt verfügbaren Transaktionsmöglichkeiten alleine schon eine eindeutige Beurteilung der Investitionen. Individuelle Merkmale des Investors sind für die Beurteilung dann irrelevant. 4 In 7 Abschn. 2.3.4.4 betrachten wir Situationen mit unvollkommenen Finanzmärkten. Dann können Investitionsentscheidungen außer von den am Finanzmarkt verfügbaren Transaktionsmöglichkeiten u. U. auch noch von individuellen Merkmalen des Investors, wie seiner ﬁnanziellen Anfangsausstattung oder seinen zeitlichen Präferenzen, abhängen. 2.3.4.2

Ergänzende Finanzmarktaktivitäten

Welche Möglichkeiten dem Investor für ergänzende Finanztransaktionen zur Verfügung stehen, hängt von den Eigenschaften des Fi-

41 2.3 Beurteilung von Investitionsprojekten

nanzmarktes ab. Um Finanztransaktionen möglichst einfach in der Investitionsbeurteilung berücksichtigen zu können, wird in der Investitionstheorie zumeist ein idealisierter Finanzmarkt („vollkommener Finanzmarkt“ bzw. „vollkommener Kapitalmarkt“) unterstellt. Bei der extremsten Variante des vollkommenen Finanzmarktes kann der Investor in seinen Planungsüberlegungen von folgenden Gegebenheiten ausgehen: (1) Sicherheit: Alle Zinssätze für Kreditaufnahmen und Mittelanlagen sind bereits bei der Entscheidung über das Projekt für die gesamte Projektdauer sicher bekannt. (2) Jederzeitige Transaktionsmöglichkeit: In jedem Zeitpunkt, in dem das Investitionsprojekt eine Anpassungsmaßnahme erfordert, kann diese am Finanzmarkt ergriﬀen werden. (3) Transaktionsmöglichkeit für jeweils eine Periode: Anpassungsmaßnahmen können jeweils für die Dauer einer Periode vorgenommen werden. (4) Betragsunabhängige Zinssätze: Der für Kredite zu zahlende Zinssatz hängt nicht vom Kreditbetrag ab und der für Anlagen zu erzielende Zinssatz nicht vom Anlagebetrag. (5) Im Zeitablauf konstante Zinssätze: Die Zinssätze für Kredite und Anlagen gelten unabhängig davon, in welchem Zeitpunkt die Kredite aufgenommen oder die Anlagen getätigt werden. (6) Identische Soll- und Habenzinssätze: Der bei Kreditaufnahme zu zahlende Sollzinssatz stimmt mit dem bei einer Mittelanlage erzielbaren Habenzinssatz überein. Gelten alle sechs Annahmen, sind aus dem Modell sämtliche Gründe ausgeschlossen, aus denen ein Investor in der Realität bei seinen Finanztransaktionen mit unterschiedlichen Zinssätzen konfrontiert sein kann. Wir nennen diese Extremwelt einen „im strengen Sinne vollkommenen Finanzmarkt“. Sie ist für die Beurteilung von Investitionsprojekten sehr angenehm, weil es in ihr nur einen einzigen Zinssatz geben kann. Dieser eine Zins-

2

satz gilt dann zwangsläuﬁg für jede in Betracht zu ziehende Anpassungsmaßnahme. Der Zinssatz, mit dem zu rechnen ist, also der Kalkulationszinssatz, ist dann ohne weitere Überlegungen eindeutig ﬁxiert. Wegen dieser besonders stark vereinfachenden Konsequenz wird in Einführungen zur Investitionstheorie häuﬁg ein im strengen Sinne vollkommener Finanzmarkt unterstellt. Soweit wir nicht ausdrücklich abweichende Annahmen treffen, unterstellen auch wir nachfolgend einen im strengen Sinne vollkommenen Finanzmarkt. Die durchgängige Unterstellung eines vollkommenen Finanzmarktes würde allerdings die Gefahr bergen, dass Sie den Gültigkeitsbereich der für die Beurteilung von Investitionen aufgezeigten Zusammenhänge deutlich zu eng wahrnehmen. Die Beurteilungszusammenhänge gelten vollständig oder zumindest in wesentlichen Teilen auch bei Finanzmärkten mit weniger idealen Eigenschaften. Um zu verdeutlichen, inwieweit unsere Erwägungen auch bei einem weniger vollkommenen Finanzmarkt gültig bleiben, einer Modiﬁkation bedürfen oder gar hinfällig werden, gehen wir daher teilweise auch von einem weniger vollkommenen Finanzmarkt aus. Unsere Lockerungen der Annahmen müssen allerdings selektiv bleiben: 4 Die Annahmen (2), (3) und (4) lockern wir überhaupt nicht. Wir gehen stets von jederzeitigen Transaktionsmöglichkeiten für jeweils eine Periode und betragsunabhängigen Zinssätzen aus. Eine Lockerung dieser Annahmen würde den Rahmen einer Einführung sprengen. 4 Annahme (5) heben wir fallweise auf und gehen dann von „wechselnden Zinssätzen“ aus, die in verschiedenen Perioden unterschiedliche Werte annehmen können. Wie Sie sehen werden, stellt die Lockerung dieser Annahme keinen einzigen Zusammenhang in Frage, der auf einem im strengen Sinne vollkommenen Finanzmarkt gilt. Die Annahme erlaubt lediglich in schreibtechnischer Hinsicht eine einfachere Darstellung der Zusammenhänge.

42

2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

. Tabelle 2.14 Alternative Finanzmarktversionen Finanzmarktversion

Vollkommen im strengen Sinn

Vollkommen mit wechselnden Periodenzinssätzen

Unvollkommen mit konstanten Periodenzinssätzen

Unvollkommen mit wechselnden Periodenzinssätzen

4 Annahme (6) heben wir ebenfalls gelegentlich auf und gehen dann davon aus, dass der Sollzinssatz oberhalb des Habenzinssatzes liegen kann. Wir sprechen dann von „divergierenden Soll- und Habenzinssätzen“. Einen Finanzmarkt mit divergierenden Soll- und Habenzinssätzen bezeichnen wir nicht mehr als vollkommenen, sondern als unvollkommenen. Wie Sie in 7 Abschn. 2.3.4.4 sehen werden, kann die Lockerung dieser Annahme Einﬂuss auf die Beurteilung von Investitionen haben. Sie hat diesen Einﬂuss aber nur in speziellen Situationen. Die Variationen der Annahmen (5) und (6) können sich überlagern. Daraus ergeben sich die vier, in . Tab. 2.14 beispielhaft verdeutlichten Versionen des Finanzmarktes. 4 In 7 Kap. 7 heben wir schließlich auch Annahme (1) auf. Dort berücksichtigen wir neben Unsicherheiten über Zahlungen der Investitionsprojekte auch Unsicherheiten über die am Finanzmarkt geltenden Zinssätze. Allerdings werden wir dazu wieder einen einheitlichen Zinssatz unterstellen, der im Zeitablauf konstant und für Sollund Habenzinssatz identisch ist, und nur Unsicherheiten über diesen einen Zinssatz berücksichtigen.

Beispiele (rs D Sollzinssatz; rh D Habenzinssatz) Zinssätze in Periode

1

2

3

rs

8%

8%

8%

rh

8%

8%

8%

rs

8%

7%

6%

rh

8%

7%

6%

rs

8%

8%

8%

rh

5%

5%

5%

rs

8%

7%

6%

rh

4%

4%

3%

>Merke Ein im strengen Sinne vollkommener Finanzmarkt ist durch sechs Merkmale charakterisiert (Sicherheit, Transaktionen jederzeit und für jeweils eine Periode möglich, vom Betrag unabhängiger, im Zeitablauf konstanter und für Anlage und Aufnahme identischer Zinssatz). Variiert der Zinssatz im Zeitablauf, ist der Finanzmarkt bei Gültigkeit der anderen fünf Prämissen noch immer vollkommen, aber nicht mehr im strengen Sinne.

Konkret ziehen wir vier auf dem Finanzmarkt mögliche Anpassungsmaßnahmen in Betracht: 4 Der Investor kann für eine Investition erforderliche Auszahlungen ﬁnanzieren, indem er entweder zusätzliche Kredite aufnimmt oder Finanzanlagen reduziert. 4 Er kann Einzahlungen verwenden, indem er entweder laufende Kredite tilgt oder Finanzanlagen erhöht. Sind, wie z. B. in 7 Abschn. 2.3.4.3 unterstellt, Soll- und Habenzinssatz identisch, ist es für die Vermögenssituation des Investors egal, wie er Auszahlungen ﬁnanziert und Einzahlungen verwendet. Variationen des Anlagevolumens haben dann dieselben Zinskonsequenzen wie Variationen des Kreditvolumens.

43 2.3 Beurteilung von Investitionsprojekten

Wird allerdings, wie z. B. in 7 Abschn. 2.3.4.4, die Möglichkeit eines über dem Habenzinssatz liegenden Sollzinssatzes berücksichtigt, macht die Aufnahme bzw. der Fortbestand von Krediten bei gleichzeitig bestehenden Finanzanlagen keinen Sinn. Dann ﬁnanziert der Investor im Sinne der Vermögensmaximierung Auszahlungen immer erst durch Kreditaufnahme, nachdem er seine Finanzanlagen vollständig aufgelöst hat, und verwendet er Einzahlungen erst zur Erhöhung von Finanzanlagen, nachdem er alle laufenden Kredite getilgt hat. Unter Berücksichtigung divergierender Soll- und Habenzinssätze erscheint es daher sinnvoll, folgende Situationen zu unterscheiden, in denen sich Investoren im Hinblick auf ihre Finanzmarktaktivitäten beﬁnden können: 4 Verschuldeter Investor: Ein Investor dieses Typs nimmt in jedem Zeitpunkt und unabhängig davon, wie er die anstehende Investitionsentscheidung trifft, Kredite in Anspruch. Er kann zusätzliche Auszahlungen für Investitionen daher nur durch die Aufnahme zusätzlicher Kredite ﬁnanzieren. Projekteinzahlungen setzt er sinnvollerweise für die Tilgung von Krediten ein. Der verschuldete Investor variiert durch Finanztransaktionen daher den Bestand an Schulden, für den er den Sollzinssatz bezahlen muss. Ihn interessiert nur der (u. U. periodenweise wechselnde) Sollzinssatz. Diese Situation wird in vielen investitionstheoretischen Darstellungen als Kreditfinanzierung bzw. Fremdfinanzierung bezeichnet – auch wenn dort meist nur explizit festgelegt wird, dass der Investor bei einer Kreditﬁnanzierung die zur Deckung von Investitionsauszahlungen erforderlichen Zahlungsmittel durch die Aufnahme von Krediten beschafft. Zumindest implizit ist mit einer Kreditﬁnanzierung von Investitionen zumeist aber auch die Vorstellung verbunden, dass der Investor Projekteinzahlungen zur Kredittilgung einsetzt; auch wenn das nicht in jedem Einzelfall ganz klar wird. Wir verwenden „Kreditﬁnanzierung“ daher als Synonym für einen „verschuldeten Investor“.

2

4 Anlegender Investor: Ein Investor dieses Typs unterhält in jedem Zeitpunkt und unabhängig davon, wie er die anstehende Investitionsentscheidung trifft, Anlagen am Finanzmarkt. Er ﬁnanziert zusätzliche Auszahlungen für Investitionen sinnvollerweise durch die Reduktion seiner Anlagen. Projekteinzahlungen kann er nur für die Erhöhung seiner Anlagen einsetzen. Der anlegende Investor variiert durch Finanztransaktionen daher sein Guthaben, für das er den Habenzinssatz erhält. Ihn interessiert nur der (u. U. periodenweise wechselnde) Habenzinssatz. Diese Situation wird häuﬁg als Finanzierung aus eigenen Mitteln bezeichnet. Mit einer Finanzierung aus eigenen Mitteln wird explizit die Vorstellung verknüpft, dass die zur Deckung von Investitionsauszahlungen erforderlichen Zahlungsmittel ohnehin im Unternehmen vorhanden sind und ansonsten am Finanzmarkt angelegt würden. Zur Verwendung von Investitionseinzahlungen fehlt wiederum oft eine explizite Annahme. Meist wird dafür aber zumindest implizit angenommen, Projekteinzahlungen würden zur Erhöhung der Finanzanlagen eingesetzt. In dieser Interpretation kann „Finanzierung aus eigenen Mitteln“ als Synonym für unseren „anlegenden Investor“ verwendet werden. Wir vermeiden die Bezeichnung „Finanzierung aus eigenen Mitteln“ aber trotzdem ganz bewusst, weil sie die missverständliche Vorstellung schürt, es ginge dabei um eine „Eigenﬁnanzierung“ im Sinne der Finanzierungslehre. Bei einer Eigenﬁnanzierung werden aber Einzahlungen durch Einlagen von Gesellschaftern erzielt und nicht durch den Verzicht auf eine Anlage am Finanzmarkt. Zur Vermeidung solcher Missverständnisse verwenden wir als synonyme Bezeichnung für den anlegenden Investor lieber die Bezeichnung „Finanzierung aus vorhandenen Mitteln“. 4 (zwischen Anlage und Verschuldung) wechselnder Investor: Ein Investor dieses Typs kann in bestimmten Situationen

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

44

2

Kredite in Anspruch nehmen bzw. tilgen und in anderen Situationen Anlagen am Finanzmarkt tätigen bzw. abbauen. Abhängig davon, welche Ursache für den Wechsel zwischen Anlage und Verschuldung maßgeblich ist, kann dieser Investorentyp in verschiedenen Varianten auftreten. Insbesondere kann der Wechsel exogene Ursachen haben, also nicht von der zu treffenden Investitionsentscheidung abhängen. Dann muss der Investor im Zeitablauf zwar in manchen Perioden mit dem Sollzinssatz und in anderen Perioden mit dem Habenzinssatz rechnen. Welcher Zinssatz für seine Berechnungen relevant ist, liegt dann aber unabhängig von der zu treﬀenden Entscheidung fest. Oder der Wechsel kann endogene Ursachen haben, also noch von der zu treﬀenden Investitionsentscheidung selbst abhängen. Diese Situationen sind in der Literatur nicht mit eingeführten Bezeichnungen belegt. 2.3.4.3

Beurteilung mit vollkommenem Finanzmarkt

a) Vorbemerkung In diesem Abschnitt gehen wir davon aus, der Investor könne zur Kompensation der Investitionszahlungen Transaktionen an einem Finanzmarkt durchführen, der die ersten vier und die sechste der in 7 Abschn. 2.3.4.2 aufgeführten Prämissen erfüllt. Die fünfte Annahme, nach der der Zinssatz zusätzlich im Zeitablauf konstant ist, kann ebenfalls erfüllt sein, muss es aber nicht. Zusätzlich unterstellen wir, die Zinssätze am Finanzmarkt seien nichtnegativ. Mit dieser zusätzlichen Annahme degeneriert die Möglichkeit der Kassenhaltung zu einer rein theoretischen Option. Der Investor könnte die unverzinsliche Kassenhaltung, so er sie denn in Betracht zöge, stets durch eine mindestens genauso hoch verzinsliche Aktivität am Finanzmarkt ersetzen. Wir werden erkennen, dass bei vollkommenem Finanzmarkt alle Investitionsentscheidungen zwingend bereits durch die Kenntnis der am Finanzmarkt gültigen Zinssätze ein-

. Tabelle 2.15 Zahlungsreihen effizienter Alternativen Alternative

e0

e1

C

100

60

51

D

100

0

113

e2

deutig determiniert sind. Die Beurteilung der Projekte kann dann auf Vergleiche nach dem Prinzip der allgemeinen zeitlichen Dominanz zurückgeführt werden. Persönliche Merkmale des Investors, wie seine zeitlichen Präferenzen oder seine ﬁnanzielle Ausstattung, können damit keinen Beurteilungseinﬂuss haben. Darüber hinaus werden wir erkennen, dass wir die Investitionsentscheidung bei vollkommenem Finanzmarkt auf vielen unterschiedlichen Wegen sachgerecht treﬀen können. Die Zusammenhänge verdeutlichen wir wieder an unserem Beispiel. Dabei lassen wir zur Vereinfachung die bereits auf Basis der allgemeinen zeitlichen und der zeitlich kumulativen Dominanz (vgl. 7 Abschn. 2.3.2) als inefﬁzient erkannten Alternativen A und B außer Acht. Zu entscheiden ist also nur noch über die in . Tab. 2.15 dargestellten Alternativen. Exemplarisch gehen wir davon aus, am Finanzmarkt gelte in der ersten Periode, vom Zeitpunkt t D 0 bis zum Zeitpunkt t D 1, für Anlagen und Kreditaufnahmen ein Zinssatz von r1 D 5 % und in der zweiten Periode, vom Zeitpunkt t D 1 bis zum Zeitpunkt t D 2, ein Zinssatz von r2 D 10 %. b) Sparsamer Vergleich In Anlehnung an den zur Berücksichtigung der Kassenhaltung beschrittenen Weg, berücksichtigen wir mögliche ergänzende Aktivitäten am Finanzmarkt im Vergleich der Alternativen C und D zunächst wie in . Tab. 2.16 dargestellt. Der Investor kann bei Durchführung von Projekt C die in t D 1 in Höhe von 60 zuﬂießenden Zahlungsmittel am Finanzmarkt zu 10 % „einsetzen“. „Einsetzen“ kann dabei bedeuten, dass er einen mit 10 % zu verzinsenden Kredit tilgt oder eine mit 10 % verzinste Anlage tätigt. Welche Alternative in Betracht kommt, hängt von

2

45 2.3 Beurteilung von Investitionsprojekten

. Tabelle 2.16 Projekt C ergänzt um Anlage/Kredittilgung

. Tabelle 2.17 Projekt D ergänzt um Kreditaufnahme/Anlagereduktion

Maßnahme

e0

Maßnahme

e0

C

100

60

51

D

100

0

0

60

66

0

60

100

0

117

C Kreditaufnahme/ Anlagereduktion

100

60

C Anlage/Kredittilgung D C0

e1

e2

der ﬁnanziellen Ausgangssituation ab, in der sich der Investor bei seiner Entscheidung beﬁndet. Die Wahl der Einsatzalternative hat bei vollkommenem Finanzmarkt aber ohnehin keinen Einﬂuss auf das Ergebnis, denn in beiden Fällen erzielt der Investor aus dem in t D 1 getätigten Einsatz in t D 2 eine Einzahlung bzw. verminderte Auszahlung von 66. Die Zahlungskonsequenzen beider Finanztransaktionen sind bei vollkommenem Finanzmarkt wegen der Identität von Soll- und Habenzinssatz identisch. Mit dem aus Projekt C und ergänzender Finanztransaktion bestehenden Bündel C0 verknüpft sich eine Zahlungsreihe, die im Sinne allgemeiner zeitlicher Dominanz besser ist als die Zahlungsreihe von Projekt D. Damit ist auch Projekt D ineﬃzient, kann also nicht mehr optimal sein: C0 D ) C D : Alternativ können wir Finanzkontrakte im Vergleich der Alternativen C und D aber auch wie in . Tab. 2.17 dargestellt berücksichtigen. Der Investor kann bei Durchführung von Projekt D in t D 1 einen Kredit in Höhe von 60 zu 10 % aufnehmen bzw. seine Anlagen zu 10 % um 60 reduzieren und muss dafür in t D 2 eine Auszahlung von 66 für Zins und Tilgung leisten bzw. auf ein Guthaben von 66 verzichten. Die Zahlungskonsequenzen beider Finanztransaktionen sind auf einem vollkommenen Finanzmarkt wegen der Identität von Soll- und Habenzinssatz wiederum identisch. Das aus Projekt D und Finanzkontrakt bestehende Bündel D 0 führt zu einer Zahlungsreihe, die im Sinne allgemeiner zeitlicher Dominanz schlechter ist als Projekt C. Wir haben

D D0

e1

e2 113 66 47

jetzt also ein Bündel aus Projekt und Finanzkontrakt kreiert, das nicht eine andere Alternative dominiert, sondern selbst dominiert wird. In 7 Abschn. 2.3.2 konnten wir bei der Berücksichtigung der Kassenhaltung aus einer ähnlichen Konstellation keine Schlussfolgerung ziehen. Im Hinblick auf Transaktionen auf einem vollkommenen Finanzmarkt ist das hingegen möglich. Bei vollkommenem Finanzmarkt lässt sich folgern: C D0 ) C D : Dieser Unterschied zwischen den bei Kassenhaltung und Finanzkontrakten möglichen Schlussfolgerungen lässt sich wie folgt begründen: Kassenhaltung funktioniert im Allgemeinen nur „in eine Richtung“. Erst muss Geld in die Kasse gelegt werden, um es später wieder entnehmen zu können. Kassenhaltung ermöglicht daher nur das Verschieben von Zahlungsmitteln in die Zukunft. Finanzkontrakte auf einem vollkommenen Finanzmarkt bieten hingegen zum selben Zinssatz Transaktionen in beide Richtungen. Durch zusätzliche Anlage bzw. Tilgung laufender Kredite können Zahlungsmittel in die Zukunft transferiert werden, durch zusätzliche Kreditaufnahme oder Reduktion der Mittelanlage können Zahlungsmittel zeitlich vorgezogen werden. Wenn also Finanzkontrakte existieren, die sich mit Projekt D zu einem Bündel D0 kombinieren lassen, das von Projekt C dominiert wird, dann gibt es auf einem vollkommenen Finanzmarkt zwingend auch die spiegelbildlichen Finanzkontrakte, die zusammen mit Projekt C das Projekt D dominieren.

46

2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

Mit analogen Überlegungen lassen sich bei vollkommenem Finanzmarkt auch die Präferenzrelationen zwischen allen anderen Alternativen allein auf der Basis allgemeiner zeitlicher Dominanz eindeutig bestimmen. Auf einem vollkommenen Finanzmarkt hängen die Investitionsentscheidungen daher grundsätzlich nur noch von den am Finanzmarkt geltenden Zinssätzen ab. Persönliche Eigenschaften des Investors, wie seine intertemporalen Präferenzen, seine sonstigen Aktivitäten oder seine sonstige ﬁnanzielle Ausstattung, also ob er am Finanzmarkt Geld anlegt oder Kredite aufnimmt, können für Investitionsentscheidungen bei vollkommenem Finanzmarkt hingegen keine Rolle spielen. Um die bei vollkommenem Finanzmarkt zwischen Alternativen bestehenden Präferenzrelationen zu erkennen, kommt eine Vielzahl unterschiedlicher Vorgehensweisen in Betracht. Bislang haben wir uns dazu eng an unsere Vorgehensweise zur Berücksichtigung von Kassenhaltung angelehnt. Wir haben nur die Zahlungsreihe einer Alternative um Finanzmarktaktivitäten ergänzt und dabei nur so viele ergänzende Aktivitäten berücksichtigt, wie erforderlich sind, um eine Dominanzbeziehung im Verhältnis zu einer bestimmten anderen Alternative erkennen zu können. Deshalb haben wir diese Vorgehensweise mit „sparsamer Vergleich“ überschrieben. Diese Vergleichsmethode kann allerdings wieder umständlich werden, weil in jedem paarweisen Vergleich erneut die Finanzkontrakte gesucht werden müssen, die die Feststellung einer Dominanzbeziehung erlauben. Bei vollkommenem Finanzmarkt lassen sich die Vergleiche allerdings auch einfacher durchführen. Denn wie bereits erläutert, gibt es auf dem vollkommenen Finanzmarkt zu jedem Finanzkontrakt zum selben Zinssatz den gegenläuﬁgen Finanzkontrakt. Deshalb können wir die zu vergleichenden Handlungsalternativen beliebig um Finanzkontrakte ergänzen – Hauptsache die erzeugten Maßnahmenbündel werden einer Beurteilung mittels allgemeiner zeitlicher Dominanz zugänglich. Diese Freiheit in der Wahl der ergänzenden Finanzkontrak-

te erlaubt insbesondere auch folgendes Vorgehen: Zur Vorbereitung des Vergleichs werden die Zahlungsreihen aller Alternativen so um Finanzkontrakte ergänzt, dass die Zahlungsreihen aller entstehenden Maßnahmenbündel eine identische Struktur aufweisen, die unmittelbar allgemeine zeitliche Dominanz erkennen lässt. Solche Möglichkeiten zur Standardisierung der modiﬁzierten Zahlungsreihen bestehen theoretisch in beliebiger Zahl. Wir verdeutlichen nachfolgend drei in der Investitionstheorie besonders bedeutsame, standardisierte Varianten. c) Endwertvergleich In einer ersten standardisierten Variante ergänzen wir die Projekte C und D so um Finanzkontrakte, dass die Zahlungsreihen der Maßnahmenbündel jeweils in den Zeitpunkten t D 0; 1; : : : ; T 1 Zahlungssalden von Null aufweisen. Nur der Zahlungssaldo in t D T darf von Null abweichen. Ein so für t D T ermittelter Zahlungssaldo heißt Endwert. Zur Ermittlung seines Endwertes ergänzen wir Projekt C wie in . Tab. 2.18 dargestellt um Finanzkontrakte. Damit das Maßnahmenbündel in t D 0 einen Zahlungssaldo von Null aufweist, sind in t D 0 in Höhe von 100 zusätzlich Kredite aufzunehmen bzw. Anlagen zu reduzieren. Dieser Finanzkontrakt bewirkt bei einem Periodenzinssatz von 5 % in t D 1 eine zusätzliche Auszahlung bzw. verminderte Einzahlung von 105. Zusammen mit der Einzahlung aus dem Projekt von 60 entsteht in t D 1 so (vorläuﬁg) ein negativer Zahlungs. Tabelle 2.18 Modifikation von Projekt C zum Endwert Maßnahme

e0

C

100

60

100

105

C Kreditaufnahme/ Anlagereduktion

e1

C Kreditaufnahme/ Anlagereduktion D C0

0

e2 51

45

49,5

0

1,5

2

47 2.3 Beurteilung von Investitionsprojekten

. Tabelle 2.19 Modifikation von Projekt D zum Endwert

. Tabelle 2.20 Modifikation von Projekt C zum Kapitalwert

Maßnahme

e0

Maßnahme

e0

D

100

0

C

100

100

105

C Kreditaufnahme/ Anlagereduktion

e1

C Kreditaufnahme/ Anlagereduktion D D0

0

e2 113

e1

C Kreditaufnahme/ Anlagereduktion

105

115,5

0

2,5

saldo von 45. Damit das Maßnahmenbündel auch in t D 1 einen Zahlungssaldo von Null aufweist, sind in t D 1 also in Höhe von 45 abermals Kredite aufzunehmen bzw. Anlagen zu reduzieren. Dieser Finanzkontrakt bewirkt bei einem Periodenzinssatz von 10 % in t D 2 eine zusätzliche Auszahlung bzw. verminderte Einzahlung von 49;5. Zusammen mit der Einzahlung aus dem Projekt von 51 verbleibt in t D 2 so ein Endwert von 1,5. . Tab. 2.19 verdeutlicht die analogen Ergänzungen von Projekt D um Finanzkontrakte. Wegen der standardisierten Modiﬁkationen weisen die Zahlungsreihen der Maßnahmenbündel C0 und D0 in den Zeitpunkten t D 0; 1; : : : ; T 1 denselben Zahlungssaldo von Null auf. Sie unterscheiden sich nur durch ihre Endwerte. Da der Endwert EW C des Projektes C im Beispiel höher als der Endwert EWD des Projektes D ist, dominiert das Projekt C das Projekt D im Sinne allgemeiner zeitlicher Dominanz: EW C > EWD ) C D : Der Vergleich der Alternativen auf der Basis von Endwerten stellt bei vollkommenem Finanzmarkt also eine spezielle Variante dar, die zwischen Handlungsalternativen im allgemeinen zeitlichen Sinne bestehenden Dominanzbeziehungen in standardisierter Vorgehensweise zu erkennen. Er zeigt zwingend dieselben Dominanzbeziehungen wie die zuvor skizzierten sparsamen Dominanzvergleiche und zwingend dieselben Dominanzbeziehungen wie alle ande-

C Kreditaufnahme/ Anlagereduktion D C0

e2 60

51

46,36 51 101,30 106,36 1,30

0

0

ren standardisierten Vergleichsvarianten. Auf den Endwert kommen wir in 7 Kap. 4 zurück. d) Kapitalwertvergleich In einer zweiten standardisierten Variante ergänzen wir die Projekte C und D so um Finanzkontrakte, dass die Zahlungsreihen der Maßnahmenbündel in den Zeitpunkten t D 1; 2; : : : ; T jeweils Zahlungssalden von Null aufweisen. Jetzt darf nur der Zahlungssaldo in t D 0 von Null abweichen. Ein so für t D 0 ermittelter Zahlungssaldo heißt Kapitalwert. Dazu ergänzen wir Projekt C wie in . Tab. 2.20 dargestellt um Finanzkontrakte. Damit das Maßnahmenbündel in t D 2 einen Zahlungssaldo von Null aufweist, sind in t D 1 in solchem Betrag Kredite aufzunehmen bzw. Anlagen zu reduzieren, dass daraus bei einem Periodenzinssatz von 10 % in t D 2 zusätzliche Auszahlungen bzw. verminderte Einzahlungen von 51 resultieren, also im Betrag von 46;36 D 51=1;1. Zusammen mit der Einzahlung aus dem Projekt von 60 entsteht in t D 1 so (vorläuﬁg) ein Zahlungssaldo von 106,36. Damit das Maßnahmenbündel auch in t D 1 einen Zahlungssaldo von Null aufweist, sind deshalb in t D 0 in solchem Betrag Kredite aufzunehmen bzw. Anlagen zu reduzieren, dass daraus bei einem Periodenzinssatz von 5 % in t D 1 zusätzliche Auszahlungen bzw. verminderte Einzahlungen von 106,36 resultieren, also im Betrag von 101;30 D 106;36=1;05. Zusammen mit der Auszahlung für das Projekt von 100 verbleibt in t D 0 ein Kapitalwert von 1,3.

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

48

2

. Tabelle 2.21 Modifikation von Projekt D zum Kapitalwert

. Tabelle 2.22 Modifikation von Projekt C zur äquivalenten Annuität

Maßnahme

e0

Maßnahme

e0

D

100

C

100

e1

C Kreditaufnahme/ Anlagereduktion

e2 0

113

102,73 113

C Kreditaufnahme/ Anlagereduktion

97,84 102,73

D D0

2,16

0

. Tab. 2.21 verdeutlicht die analogen Ergänzungen von Projekt D um Finanzkontrakte. Wegen der standardisierten Modiﬁkationen weisen die Zahlungsreihen der Maßnahmenbündel C0 und D0 in allen Zeitpunkten t D 1; 2; : : : ; T denselben Zahlungssaldo von Null auf. Sie unterscheiden sich nur durch ihre Kapitalwerte. Da der Kapitalwert KC des Projektes C im Beispiel höher als der Kapitalwert KD des Projektes D ist, dominiert das Projekt C das Projekt D im Sinne allgemeiner zeitlicher Dominanz: KC > KD ) C D : Der Vergleich der Alternativen auf der Basis von Kapitalwerten stellt also eine zweite Variante dar, um vor dem Hintergrund eines vollkommenen Finanzmarktes Dominanzbeziehungen im Sinne der allgemeinen zeitlichen Dominanz in standardisierter Weise erkennen zu können. Auch auf den Kapitalwert kommen wir in 7 Kap. 4 zurück. e) Annuitätenvergleich In einer dritten standardisierten Variante ergänzen wir die Projekte C und D so um Finanzkontrakte, dass die Zahlungsreihen der Maßnahmenbündel jeweils im Zeitpunkt t D 0 einen Zahlungssaldo von Null aufweisen und in allen anderen Zeitpunkten t D 1; 2; : : : ; T Zahlungssalden gleichen Betrags. Jetzt dürfen also die Zahlungssalden in t D 1; 2; : : : ; T von Null abweichen, aber jeweils zwingend um denselben Betrag. Ein so für die Zeitpunk-

e2 60

C Kreditaufnahme/ Anlagereduktion C Kreditaufnahme/ Anlagereduktion

0

e1

51

45,71 50,29 100

D C0

105

0

0,71

0,71

. Tabelle 2.23 Modifikation von Projekt D zur äquivalenten Annuität Maßnahme

e0

D

100

e1

C Kreditaufnahme/ Anlagereduktion C Kreditaufnahme/ Anlagereduktion D D0

e2 0

113

103,81 114,19 100 0

105 1,19

1,19

te t D 1; 2; : : : ; T ermittelter Zahlungssaldo heißt äquivalente Annuität. Dazu ergänzen wir die Projekte C und D wie in . Tab. 2.22 und . Tab. 2.23 dargestellt um Finanzkontrakte. Um nachzuvollziehen, wie sich die Beträge der äquivalenten Annuitäten berechnen lassen, fehlen Ihnen derzeit noch die mathematischen Grundlagen. Die erlernen Sie in 7 Kap. 3. Insoweit müssen wir Sie also noch ein wenig vertrösten. Hier kommt es aber zunächst gar nicht auf die Berechnung der Höhe der äquivalenten Annuitäten an, sondern es reicht die Erkenntnis, dass auch äquivalente Annuitäten, wenn sie denn berechnet sind, Dominanzbeziehungen im Sinne der allgemeinen zeitlichen Dominanz unmittelbar erkennen lassen. Wegen der standardisierten Modiﬁkationen weisen die Zahlungsreihen der Maßnahmenbündel C0 und D0 in t D 0 den identischen Zahlungssaldo von Null auf. In allen anderen Zeitpunkten t D 1; 2; : : : ; T weisen sie zwar u. U. einen von Null verschiedenen, aber in je-

49 2.3 Beurteilung von Investitionsprojekten

dem Fall konstanten Zahlungssaldo in Höhe ihrer äquivalenten Annuität auf. Die Zahlungsreihen der Maßnahmenbündel unterscheiden sich nur durch den Betrag ihrer äquivalenten Annuitäten. Da die äquivalente Annuität AN C des Projektes C im Beispiel höher als die äquivalente Annuität AND des Projektes D ist, dominiert das Projekt C das Projekt D im Sinne allgemeiner zeitlicher Dominanz: AN C > AND ) C D : Auch der Vergleich anhand äquivalenter Annuitäten stellt bei vollkommenem Finanzmarkt also eine spezielle Variante dar, die zwischen den Handlungsalternativen im Sinne der allgemeinen zeitlichen Dominanz bestehenden Dominanzbeziehungen in standardisierter Vorgehensweise zu erkennen. Auch auf diese Kennzahl kommen wir in 7 Kap. 4 zurück. >Merke Bei vollkommenem Finanzmarkt sind alle Investitionsbeurteilungen durch die Bedingungen des Finanzmarktes eindeutig determiniert. Sie können dann auf vielen unterschiedlichen Wegen vorgenommen werden, u. a. durch den Vergleich von Kapitalwerten, Endwerten und äquivalenten Annuitäten.

f) Einordnung der Zusammenhänge Die unter b) bis e) beschriebenen Vergleichskonzepte folgen demselben Schema. Sie modiﬁzieren die Zahlungsreihen der Projekte jeweils durch Ergänzung um Finanzkontrakte und vergleichen dann die modiﬁzierten Zahlungsreihen nach dem Konzept der allgemeinen zeitlichen Dominanz. Damit bleiben alle vorgenommenen Beurteilungen kompatibel mit der Zielsetzung der Vermögensmaximierung – egal, in welcher konkreten Ausformung der Investor Vermögensmaximierung anstrebt. Diese Kompatibilität mit der Vermögensmaximierung wird sich in 7 Kap. 4 noch als wichtige Eigenschaft von Endwert, Kapitalwert und äquivalenter

2

Annuität erweisen. Denn später werden Sie in 7 Abschn. 6.2 bzw. 7 Abschn. 6.3 z. B. mit der Amortisationsdauer oder dem internen Zinsfuß auch noch weitere Kennzahlen kennenlernen, die nicht in jedem Fall kompatibel mit der Vermögensmaximierung sind und deshalb auch nur sehr beschränkt geeignet sind, Entscheidungen im Sinne dieser Zielsetzung zu treﬀen. Kompatibel mit der Vermögensmaximierung sind die beschriebenen Vergleichskonzepte bei Existenz eines Finanzmarktes und sachgerechter Anwendung grundsätzlich. Bei einem hier zunächst unterstellten vollkommenen Finanzmarkt weisen sie aber noch wichtige weitergehende Eigenschaften auf. Zum einen hängen die Investitionsentscheidungen dann nicht von der ﬁnanziellen Ausgangssituation des Investors ab, zum anderen nicht von seinen intertemporalen Präferenzen. Daher kann jeder vermögensmaximierende Investor für seine Investitionsentscheidungen frei aus den vorgestellten Vergleichskonzepten wählen. Unabhängig von der finanziellen Ausgangssituation des Investors sind die Investitionsentscheidungen bei vollkommenem Finanzmarkt aus folgendem Grund. Nimmt ein Investor unabhängig von der zu treﬀenden Entscheidung ohnehin in jeder Periode Kredite auf (= verschuldeter Investor), variiert er durch ergänzende Finanztransaktionen das Volumen seiner Kredite. Dadurch verändern sich die von ihm zu zahlenden Sollzinsen. Legt ein Investor hingegen unabhängig von der zu treﬀenden Entscheidung ohnehin in jeder Periode Geld am Finanzmarkt an (= anlegender Investor), variiert er durch ergänzende Finanztransaktionen das Volumen seiner Anlagen. Dadurch ändern sich die von ihm erzielten Habenzinsen. Beide Arten von Finanztransaktionen haben bei identischem Soll- und Habenzinssatz aber dieselben Vermögenseﬀekte. Daher kann die Beurteilung der Investitionsprojekte nicht von der ﬁnanziellen Ausgangssituation der Investoren abhängen. Das gilt auch für zwischen Anlage und Verschuldung wechselnde Investoren.

50

2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

Unabhängig von den intertemporalen Präferenzen des Investors sind Investitions-

entscheidungen bei vollkommenem Finanzmarkt aus folgendem Grund. Jeder Investor würde die Projekte, wenn er sie denn tatsächlich durchführt, so mit Finanzkontrakten kombinieren, dass der Zahlungsstrom des Maßnahmenbündels bestmöglich zu seinen intertemporalen Präferenzen passt. Deshalb können die bei Durchführung der Projekte tatsächlich gewählten Finanzkontrakte durchaus von den subjektiven intertemporalen Präferenzen der Investoren abhängen. Zum Beispiel würden Projekt C nur solche Investoren mit den oben zur Bestimmung des Endwertes eingesetzten Finanzkontrakten kombinieren, die eine deutliche Präferenz für späte zusätzliche Zahlungsmittel in t D 2 hegen (D Endvermögensmaximierer). Ergänzungen um die zur Bestimmung des Kapitalwertes eingesetzten Finanzkontrakte würden hingegen nur Investoren mit deutlicher Präferenz für frühe zusätzliche Zahlungsmittel vornehmen (D Gegenwartsvermögensmaximierer). Ergänzungen um die zur Bestimmung der äquivalenten Annuität eingesetzten Finanzkontrakte würden schließlich nur Investoren mit einer Präferenz für gleichmäßig über die Perioden verteilte zusätzliche Zahlungsmittel vornehmen (D Vermögensstrommaximierer). Auf einem vollkommenen Finanzmarkt können deshalb aber trotzdem nicht die Investitionsentscheidungen selbst von den intertemporalen Präferenzen des Investors abhängen. Denn bei vollkommenem Finanzmarkt ist der mit einem Investitionsprojekt verbundene Zahlungsvorteil bzw. -nachteil von den intertemporalen Präferenzen unabhängig. Das erkennt man etwa an unserem Beispiel. Bezogen auf t D 2 bietet Projekt C im Vergleich zu D einen Vorteil von 4 (D 1;5 C 2;5). Bezogen auf t D 0 bietet Projekt C gegenüber D zwar nur einen geringeren Vorteil von 3,46 (D 1;3 C 2;16). Dafür entsteht dieser Vorteil aber auch zwei Perioden früher. Legt man die 3,46 für die erste Periode zu 5 % und den dann erreichten Betrag für die zweite Periode zu 10 % an, erhält man in t D 2 wieder 4 (D

3;46 1;05 1;1). Und auch der bei der äquivalenten Annuität auf zwei Perioden gleichmäßig verteilte Vorteil entspricht dem Betrag von 4, wenn man die Vorteile bis zum Zeitpunkt t D 2 anlegt (.0;71 C 1;19/ .1 C 1;1/ D 4). Weist eine Alternative den höheren Endwert als eine andere Alternative auf, dann weist sie also zwingend auch den höheren Kapitalwert und die höhere äquivalente Annuität auf. Damit müssen die Investoren unabhängig von ihren intertemporalen Präferenzen auf einem vollkommenen Finanzmarkt alle Investitionsentscheidungen gleich treﬀen. Von den subjektiven Präferenzen hängt damit nicht die Investitionsentscheidung selbst, sondern lediglich ab, wie die Investoren nach getroﬀener Entscheidung die durch die gewählte Alternative zusätzlich gewonnenen Zahlungsmittel durch ergänzende Finanztransaktionen auf die verschiedenen Zeitpunkte verteilen. Damit ist es dann aber auf einem vollkommenen Finanzmarkt zugleich unerheblich, welche der dargestellten Vergleichsmethoden der Investor für die Investitionsentscheidung nutzt. Zum Beispiel kann ein Investor die Entscheidung anhand des Endwertes treﬀen, obwohl er eine hohe Präferenz für frühe zusätzliche Zahlungsmittel hegt. Er vergleicht dann zwar so, als sei er an der Maximierung seines Endvermögens interessiert, obwohl er tatsächlich Gegenwartsvermögensmaximierer ist. Das ist aber unschädlich, weil ohnehin alle Vergleichsmethoden zur selben Entscheidung führen. Auf einem vollkommenen Finanzmarkt ist es damit dann auch egal, ob für Entscheidungen nur die schwache Präferenzannahme der Nichtsaturiertheit unterstellt wird, oder irgendeine ganz konkrete Präferenzannahme, z. B. die der Endvermögensmaximierung. >Merke Bei vollkommenem Finanzmarkt können Investitionsentscheidungen weder von der finanziellen Ausgangssituation des Investors noch von dessen intertemporalen Präferenzen abhängen. Daher kann der Investor frei wählen, mittels welcher Methode er die Zahlungsreihen der al-

51 2.3 Beurteilung von Investitionsprojekten

ternativen Projekte durch die Ergänzung um Finanzmarktaktivitäten vergleichbar macht. Alle Methoden führen dann ohnehin zum selben Beurteilungsergebnis.

?Übungsaufgabe 2.4 Gehen Sie wieder davon aus, dass zwischen den Beispielprojekten C: (100; 60; 51) und D: (100; 0; 113) zu wählen ist. Jetzt gilt am Finanzmarkt in beiden Perioden ein Zinssatz von r D 2 %. a. Leiten Sie die Entscheidung ab, indem Sie nur Projekt D in der Weise „sparsam“ um Transaktionen am Finanzmarkt ergänzen, dass eine Entscheidung auf der Basis von Dominanzüberlegungen möglich wird. b. Leiten Sie die Entscheidung ab, indem Sie für beide Projekte jeweils durch ergänzende Transaktionen am Finanzmarkt ihren Endwert bestimmen. c. Leiten Sie die Entscheidung ab, indem Sie für beide Projekte jeweils durch ergänzende Transaktionen am Finanzmarkt ihren Kapitalwert bestimmen.

2.3.4.4

Beurteilung mit unvollkommenem Finanzmarkt

a) Vorbemerkung Die in 7 Abschn. 2.3.4.3 für einen vollkommenen Finanzmarkt aufgezeigten Zusammenhänge, nach denen Investitionsentscheidungen weder von der ﬁnanziellen Ausgangssituation noch von den intertemporalen Präferenzen des Investors abhängen, gelten bei unvollkommenem Finanzmarkt nicht mehr zwingend. Das verdeutlichen wir in diesem Abschnitt. Dazu gehen wir wieder von den Alternativen C und D unseres Beispiels aus. Zur Abbildung eines unvollkommenen Finanzmarktes unterstellen wir nun, dass in beiden Perioden jeweils ein Habenzinssatz von rH D 0 % und ein Sollzinssatz von rS D 10 % gilt. Die Annahme, nach der der Habenzinssatz gerade null betragen soll, dient dabei ausschließlich der Vereinfachung der Berechnun-

2

gen. Die aufgezeigten Zusammenhänge gelten auch bei positiven Habenzinssätzen. Zur Berücksichtigung unterschiedlicher finanzieller Ausgangssituationen (AS) gehen wir von Investoren aus, die ohne die Durchführung einer zusätzlichen Investition in t D 0 in unterschiedlicher Höhe Finanzanlagen tätigen (AS > 0) bzw. Kredite in Anspruch nehmen (AS < 0) würden. In den auf t D 0 folgenden Zeitpunkten würde sich ihr Volumen an Finanzanlagen und Krediten ohne zusätzliches Investitionsprojekt, so eine weitere Annahme, nicht ändern. Ändern sollen sich ihre Anlageund Kreditvolumina also nur durch die zu beurteilenden Investitionsprojekte und dadurch ausgelösten Anpassungsmaßnahmen. Unterschiedliche intertemporale Präferenzen berücksichtigen wir durch die Betrachtung eines Endvermögensmaximierers und eines Gegenwartsvermögensmaximierers. Der erste präferiert es, zusätzlich erlangbare Zahlungsmittel vollständig in t D 2 zu erzielen, der zweite präferiert es, zusätzlich erlangbare Zahlungsmittel vollständig in t D 0 zu erhalten. b) Bedeutung der finanziellen Ausgangssituation Um die Bedeutung der ﬁnanziellen Ausgangssituation für Investitionsentscheidungen auf unvollkommenen Finanzmärkten zu verdeutlichen, gehen wir davon aus, alle untersuchten Investoren seien Endvermögensmaximierer, aber Investor I verfüge in t D 0 über Anlagen am Finanzmarkt in Höhe von ASI D 200 und Investor II habe Kredite in Höhe von ASII D 100 aufgenommen. Folglich würde Investor I zur Anpassung an ein zusätzliches Investitionsprojekt stets das Volumen seiner Anlagen variieren und Investor II stets das Volumen seiner Kredite. Investor I würde bei Durchführung von Projekt C, wie in . Tab. 2.24 dargestellt, in t D 0 und t D 1 jeweils seine Anlagen reduzieren, um die aus dem Projekt resultierenden Zahlungssalden auszugleichen. Da der Zinssatz für Anlagen rH D 0 % beträgt, entgehen ihm dadurch keine Zinsen.

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

52

2

. Tabelle 2.24 Modifikation von Projekt C zum Endwert durch Investor I

. Tabelle 2.26 Modifikation von Projekt C zum Endwert durch Investor II

Maßnahme

e0

Maßnahme

e0

C

100

60

C

100

60

100

100

100

110

C Anlagereduktion

e1

C Anlagereduktion DC

e2

40

0

0

0

51

C Kreditaufnahme 40 11

e1

C Kreditaufnahme DC

0

0

e2 51

50

55

0

4

. Tabelle 2.25 Modifikation von Projekt D zum Endwert durch Investor I

. Tabelle 2.27 Modifikation von Projekt D zum Endwert durch Investor II

Maßnahme

e0

Maßnahme

e0

D

100

0

D

100

0

100

100

100

110

C Anlagereduktion

e1

C Anlagereduktion D D0

0

e2 113

C Kreditaufnahme

100

100

0

13

Analog würde Investor I Projekt D wie in . Tab. 2.25 dargestellt um Finanzkontrakte ergänzen. Für die Entscheidung von Investor I gilt damit: EWD > EW C ) D C : Investor II würde bei Durchführung von Projekt C, wie in . Tab. 2.26 dargestellt, in t D 0 und t D 1 jeweils seine Kredite erhöhen, um die aus dem Projekt resultierenden Zahlungssalden auszugleichen. Da der Zinssatz für Kredite rS D 10 % beträgt, muss er dafür zusätzliche Sollzinsen von 10 bzw. 5 zahlen. Analog würde Investor II Projekt D wie in . Tab. 2.27 dargestellt um Finanzkontrakte ergänzen. Für die Investitionsentscheidung von Investor II gilt damit: EW C > EWD ) C D : Der permanent anlegende Investor I und der permanent verschuldete Investor II gelangen damit zu unterschiedlichen, für sie optimalen Entscheidungen. Das Beispiel lässt also den möglichen Einﬂuss der ﬁnanziellen Ausgangssituation auf die Investitionsentscheidungen

e1

C Kreditaufnahme 0

DD

0

e2 113

110

121

0

8

bei unvollkommenem Finanzmarkt erkennen. Noch nicht zu erkennen ist bislang allerdings die Möglichkeit, dass auch die intertemporalen Präferenzen der Investoren bei unvollkommenem Finanzmarkt Einﬂuss auf die Investitionsentscheidungen nehmen können. Einen solchen Einﬂuss kann es bei den bislang unterstellten Investoren tatsächlich nicht geben. Das erkennt man, wenn man deren Planungen noch einmal unter der Annahme durchspielt, sie seien an der Maximierung ihres Vermögens in t D 0 interessiert. Dann ergeben sich auf Basis der Kapitalwerte dieselben Präferenzrelationen, wie wir sie für die Endvermögensmaximierung ermittelt haben. Auf die Berechnung verzichten wir. >Merke Bei divergierenden Soll- und Habenzinssätzen kann die Investitionsentscheidung von der finanziellen Ausgangssituation des Investors abhängen, weil für Investoren, die sich durch die Variation ihrer Kredite finanziell anpassen, dann höhere Zinssätze wirksam werden als für Investoren, die sich durch die Variation ihrer Finanzmarktanlagen anpassen.

2

53 2.3 Beurteilung von Investitionsprojekten

. Tabelle 2.28 Modifikation von Projekt C zum Endwert durch Investor III

. Tabelle 2.30 Modifikation von Projekt C zum Kapitalwert durch Investor III

Maßnahme

e0

Maßnahme

e0

C

100

60

C

100

C Anlagereduktion

90

90

C Anlagereduktion

C Kreditaufnahme

10

11

C Anlagereduktion

90

C Kreditaufnahme

19,09

21

9,09

0

e1

C Anlagereduktion

e2

41

0

DC

0

0

51

41 10

DC

0

e1

e2 60

51

51

51

90

0

. Tabelle 2.29 Modifikation von Projekt D zum Endwert durch Investor III

. Tabelle 2.31 Modifikation von Projekt D zum Kapitalwert durch Investor III

Maßnahme

e0

Maßnahme

e0

D

100

0

D

100

C Anlagereduktion

90

90

C Kreditaufnahme

10

e1

e2 113

11

e1

e2 0

C Anlagereduktion

90

90

C Kreditaufnahme

20,91

23

C Anlagereduktion

90

90

C Anlagereduktion

90

C Kreditaufnahme

11

12,1

C Kreditaufnahme

19,01 20,91

D D0

0

0

10,9

c) Bedeutung der intertemporalen Präferenzen Um den Einﬂuss der intertemporalen Präferenzen aufzuzeigen, betrachten wir in diesem Abschnitt einen dritten Investor mit einer Anfangsausstattung von ASIII D 90. Als Endvermögensmaximierer würde er Projekt C wie in . Tab. 2.28 dargestellt um Finanzkontrakte ergänzen. Er würde in t D 0 seine unverzinsliche Anlage von 90 auﬂösen und die fehlenden 10 als Kredit zu 10 % aufnehmen. Zusammen mit der Projekteinzahlung von 60 fehlen ihm in t D 1 dann 41. In dieser Höhe reduziert er in t D 1 abermals seine unverzinsliche Anlage. So verbleibt ihm in t D 2 ein Endwert von 10. Analog würde Investor III als Endvermögensmaximierer Projekt D wie in . Tab. 2.29 dargestellt um Finanzkontrakte ergänzen. In t D 0 würde er zur Finanzierung der Anfangsauszahlung zunächst dieselben Finanztransaktionen wie bei Projekt C durchführen. Da er bei Projekt D in t D 1 allerdings keine Einzahlungen erzielt, fehlen ihm dann 101. Im Umfang

113

0

DD

9,01

90

0

0

von 90 kann er dieses Deﬁzit wieder durch vollständigen Verzicht auf Anlagen ausgleichen. In Höhe der restlichen 11 muss er einen Kredit zu 10 % aufnehmen. Damit verbleibt ihm in t D 2 ein Endwert von 10,9. Für die Entscheidung von Investor III als Endvermögensmaximierer gilt damit: EWD > EW C ) D C : Als Gegenwartsvermögensmaximierer würde Investor III Projekt C bei dessen Durchführung wie in . Tab. 2.30 dargestellt um Finanzkontrakte ergänzen. Die Einzahlung aus dem Projekt von 51 in t D 2 setzt er ein, um seine Anlage wieder aufzustocken, die er in t D 1 um diesen Betrag reduziert hat. Damit verfügt er in t D 1 zusammen mit der Projekteinzahlung von 60 allerdings über einen Einzahlungsüberschuss von 111. Diesen setzt er ein, um seine Anlage wieder aufzustocken, die er in t D 0 vollständig, also in Höhe von 90 aufgelöst hat. Die restlichen 21 setzt er für die Tilgung und Verzinsung eines Kredites ein, den er in t D 0

54

2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

in Höhe von 19,09 aufgenommen hat. Damit verbleibt ihm in t D 0 ein Kapitalwert von 9,09. Analog würde Investor III als Gegenwartsvermögensmaximierer Projekt D wie in . Tab. 2.31 dargestellt um Finanzkontrakte ergänzen. Er muss in beiden Perioden vollständig auf eine Anlage verzichten. Zusätzlich muss er in t D 1 einen Kredit über 20,91 aufnehmen, für dessen Tilgung und Verzinsung er den ansonsten in t D 2 verbleibenden Einzahlungsüberschuss von 23 einsetzt. Und in t D 0 muss er einen Kredit über 19,01 aufnehmen, für dessen Tilgung und Verzinsung er den ansonsten in t D 1 verbleibenden Einzahlungsüberschuss von 20,91 einsetzt. Im Ergebnis verbleibt ihm in t D 0 so ein Kapitalwert von 9,01. Für die Entscheidung von Investor III als Gegenwartsvermögensmaximierer gilt damit: EW C > EWD ) C D : Präferiert Investor III die Maximierung seines Vermögens in t D 0, führt er folglich Projekt D durch. Präferiert er hingegen die Maximierung seines Vermögens in t D 2, führt er Projekt C durch. An diesem Beispiel wird erkennbar, dass bei unvollkommenem Finanzmarkt auch die intertemporalen Präferenzen bedeutsam für Investitionsentscheidungen sein können. >Merke Bei divergierenden Soll- und Habenzinssätzen kann die Investitionsentscheidung von den zeitlichen Präferenzen des Investors abhängen, weil es dann von den zeitlichen Präferenzen abhängen kann, in welche Zeitpunkte der Investor die Vermögenskonsequenzen der Projekte durch ergänzende Finanzmarktaktivitäten verschiebt und welche Zinssätze für diese Verschiebungen wirksam werden.

2.4

Zusammenfassung

In der Realität sind Investitionsprojekte dadurch gekennzeichnet, dass einem anfänglichen realen Input später realer Output folgt und die Durchführung der Projekte so viel Zeit beansprucht, dass diese beurteilungsrelevant werden kann. Die Investitionstheorie untersucht Investitionsprojekte allerdings nicht in ihrer gesamten Komplexität, sondern nur im Rahmen eines Modells, das die Zusammenhänge in verschiedener Hinsicht vereinfacht. Als Zielsetzung der Investoren wird dabei nur deren Interesse an der Maximierung ihres Vermögens berücksichtigt. Die Investitionsprojekte selbst werden dementsprechend nur als ein Katalog einander ausschließender Handlungsalternativen aufgefasst, in dem jedes Projekt in speziﬁscher Weise durch eine Zeitreihe seiner Zahlungskonsequenzen beschrieben wird. In den Zahlungsreihen werden alle Zahlungen berücksichtigt, die direkt durch die zur Projektdurchführung ergriﬀenen Aktivitäten ausgelöst werden. Die indirekt durch Finanzierungsmaßnahmen ausgelösten Zahlungen ﬂießen hingegen i. d. R. nicht in die Zahlungsreihen ein. Im Vordergrund investitionstheoretischer Analysen steht die Untersuchung zeitlicher Divergenzen zwischen den Ein- und Auszahlungen der Investitionsprojekte und deren Bedeutung für die Investitionsentscheidung. Einﬂuss auf die Beurteilung der Investitionsprojekte können dabei grundsätzlich die Zahlungskonsequenzen der Projekte selbst, persönliche Merkmale des Investors und Transaktionsmöglichkeiten haben, die dem Investor am Finanzmarkt oﬀenstehen. In speziellen Situationen, in denen sich eine allgemeine zeitliche Dominanz oder eine zeitlich kumulative Dominanz feststellen lässt, können Investitionsalternativen bereits allein auf der Basis der Zahlungsreihen beurteilt werden. Für diese Beurteilungen ist also kein Wissen über die persönlichen Merkmale des Investors und seine Transaktionsmöglichkeiten am Finanzmarkt erforderlich. Solche Beurteilungsmöglichkeiten sind allerdings i. d. R. auf wenige Vorentscheidungen beschränkt. Es verbleiben

55 2.5 Wiederholungsfragen

danach i. d. R. noch mehrere eﬃziente Alternativen. Eine eindeutige Investitionsentscheidung erfordert dann zusätzliches Wissen – entweder über die persönlichen Merkmale des Investors oder über die Transaktionsmöglichkeiten am Finanzmarkt. Eine eindeutige Investitionsentscheidung allein auf der Basis persönlicher Merkmale des Investors, insbesondere seiner intertemporalen Präferenzen, scheidet dabei weitgehend aus. Zum einen würde sie eine hinreichend präzise Beschreibung der persönlichen Präferenzen des Investors erfordern, die praktisch kaum gelingen dürfte. Zum anderen wäre die ausschließlich präferenzabhängige Beurteilung auch nicht sachgerecht, sobald der Finanzmarkt Möglichkeiten für ergänzende Maßnahmen zur Mittelaufnahme und/oder Mittelanlage bietet. Auf der Basis der am Finanzmarkt bestehenden Transaktionsmöglichkeiten können Investitionsentscheidungen auf jeden Fall dann eindeutig getroﬀen werden, wenn der Finanzmarkt vollkommen ist. Diese Möglichkeit rein ﬁnanzmarktgestützter Investitionsentscheidungen besteht auch noch unter deutlich schwächeren Voraussetzungen. Die Vergleiche von Endwerten, Kapitalwerten und äquivalenten Annuitäten stellen dann alternative Wege dar, um die zwischen den Projektalternativen bestehenden Vorteilhaftigkeitsrelationen zu erkennen. An ihre Grenzen kann eine rein ﬁnanzmarktgestützte Investitionsentscheidung allerdings vor allem dann gelangen, wenn am Finanzmarkt unterschiedliche Zinssätze für Geldanlage und Geldaufnahme gelten. Dann können neben den Gegebenheiten des Finanzmarktes auch persönliche Merkmale des Investors, wie seine ﬁnanzielle Ausgangssituation und seine intertemporalen Präferenzen, Bedeutung für die Beurteilung von Investitionsalternativen erlangen.

2.5

2

Wiederholungsfragen

1. Durch welche deﬁnitorischen Merkmale ist eine Investition charakterisiert? Lösung 7 Abschn. 2.1.1 2. Welche Typen von Entscheidungssituationen lassen sich bei der Entscheidung über die Inangriﬀnahme einer neuen Investition unterscheiden? Lösung 7 Abschn. 2.1.2 3. Auf welchen unterschiedlichen Ebenen können sich Probleme bei der Beurteilung von Investitionen stellen? Lösung 7 Abschn. 2.1.3 4. Warum erscheint es im Lichte der Zielsetzung „Vermögensmaximierung“ sinnvoll, als Vermögenskonsequenzen von Investitionen deren Einzahlungen und Auszahlungen zu betrachten und nicht z. B. deren Erträge und Aufwendungen? Lösung 7 Abschn. 2.2.3.2 5. Nach welchen Regeln werden die durch eine Investition ausgelösten Ein- und Auszahlungen zu einer Zahlungsreihe verdichtet? Lösung 7 Abschn. 2.2.3.3 6. Welche durch Investitionen ausgelösten Zahlungen werden in den Zahlungsreihen abgebildet und welche nicht? Lösung 7 Abschn. 2.2.3.4 7. Welche unterschiedlichen Beziehungen können zwischen zwei Investitionsalternativen bestehen und wie können diese Beziehungen in einem Katalog einander ausschließender Handlungsalternativen berücksichtigt werden? Lösung 7 Abschn. 2.2.3.6 8. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit zwischen zwei Projekten allgemeine zeitliche Dominanz besteht, und welche Folgerungen erlaubt eine solche Dominanzbeziehung? Lösung 7 Abschn. 2.3.2 9. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit zwischen zwei Projekten zeitlich kumulative Dominanz besteht, und welche Folgerungen erlaubt eine solche Dominanzbeziehung? Lösung 7 Abschn. 2.3.2 10. Warum sind rein präferenzbasierte Konzepte für Investitionsentscheidungen wenig geeignet? Lösung 7 Abschn. 2.3.3

56

2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

11. Durch welche Merkmale ist ein im strengen 2.6 Lösungen Sinne vollkommener Finanzmarkt charakterisiert? Lösung 7 Abschn. 2.3.4.2 1 Übungsaufgabe 2.1 12. Auf welchen unterschiedlichen Wegen Der Kauf der Anlage löst in t D 0 eine Auszahlassen sich Investitionsentscheidungen lung von 1.000.000 aus. Der Verkauf in t D 5 vor dem Hintergrund eines vollkom- eine Einzahlung von 100.000. Die buchtechnimenen Finanzmarktes treﬀen? Lösung sche Aktivierung und Abschreibung der Anla7 Abschn. 2.3.4.3 ge haben hingegen keine Zahlungskonsequen13. Warum spielen bei vollkommenem Finanz- zen. markt persönliche Merkmale des Investors Durch den Kauf der Anlage können jährlich keine Rolle für Investitionsentscheidungen? 4.000 Akkus zusätzlich produziert und abgeLösung 7 Abschn. 2.3.4.3 setzt werden. Daraus resultieren in jedem der 14. Sind persönliche Merkmale des Investors fünf Jahre 185.000 (D 1:000 50 C 3:000 auch bei unvollkommenem Finanzmarkt 45) zusätzliche Auszahlungen für Material und generell irrelevant für Investitionsentschei- 400.000 (D 4:000 100) zusätzliche Auszahdungen? Lösung 7 Abschn. 2.3.4.4 lungen für sonstige zahlungswirksame variable

. Tabelle 2.32 Ableitung der beurteilungsrelevanten Zahlungsreihe (ÜA 2.1) Zeitpunkt

Zusätzliche Auszahlungen

Zusätzliche Einzahlungen

Entgehende Einzahlungen

Einsparbare Auszahlungen

t D0

Kauf der Anlage

t D1

Material

185 Umsatz

Sonstige Variable

400

Mietentgang t D2

t D3

t D4

Sonstige Variable

400

t D5

185 Umsatz

Sonstige Variable

400

1.200

597

1.280

677

1.280

677

1.280

777

18

Material

185 Umsatz

Sonstige Variable

400 18

Material

185 Umsatz

Sonstige Variable

400 Verkauf Anlage

Mietentgang

597

18

Material

Mietentgang

1.200

18 185 Umsatz

Mietentgang

1.000

1.000

Material

Mietentgang

Saldo

18

100

2

57 2.6 Lösungen

Kosten. Als zusätzliche Einzahlungen aus Umsätzen ergeben sich daraus in den beiden ersten Jahren jeweils 1.200.000 (D 4:000 300) und in den drei folgenden Jahren jeweils 1.280.000 (D 4:000 320). Bei Kauf der Maschine entgehen zudem ansonsten erzielbare Mieteinzahlungen für die Halle in Höhe von jährlich 18.000 (D 12 1:500), die wie zusätzliche Auszahlungen in der Zahlungsreihe zu berücksichtigen sind. Insgesamt lässt sich der Kauf der Maschine damit durch die in . Tab. 2.32 zusammengefasste Zahlungsreihe (alle Angaben in 1.000) beschreiben. 1 Übungsaufgabe 2.2

. Tabelle 2.34 Alternativenkatalog bei Berücksichtigung einseitiger Bedingtheit und wechselseitigen Ausschlusses (ÜA 2.2) Handlungsalternative

Zahlungen im Zeitpunkt tD0

tD1

A

100

20

102

C

150

80

55

D

120

85

60

AC

250

100

157

BD

220

140

135

CD

270

165

115

BCD

370

220

190

tD2

Wären die vier zur Wahl stehenden Projekte beliebig miteinander kombinierbar, bestünden Die Zahlungsreihen ergeben sich aus der die in . Tab. 2.33 zusammengestellten 15 einSumme der Zahlungsreihen aller jeweils in die ander ausschließenden Handlungsalternativen. Handlungsalternativen einbezogenen InvestitiWegen des Ausschlusses der Unterlassensalteronsprojekte. Dabei ist für das Projekt D die native kommt die Möglichkeit, keines der ProZahlungsreihe „D mit Durchführung von B“ jekte durchzuführen, nicht in Betracht. anzusetzen, wenn auch B zur HandlungsalterVon den 15 Alternativen sehen die 4 kursivgedruckten Alternativen die Durchführung native gehört, und die Zahlungsreihe „D ohvon B ohne gleichzeitige Durchführung von D ne Durchführung von B“ anzusetzen, wenn B vor. Sie vernachlässigen also, dass Projekt B ein- nicht dazu gehört. seitig Projekt D bedingt, und sind daher nicht realisierbar. Zudem sehen die 4 fettgedruck-1 Übungsaufgabe 2.3 ten Alternativen die gleichzeitige Durchfüh- a. Ohne Kassenhaltungsmöglichkeit, ohne Transaktionsmöglichkeiten am Finanzrung der Projekte A und D vor. Sie sind also markt und ohne genauere Kenntnisse von wegen des wechselseitigen Ausschlusses dieser den zeitlichen Präferenzen des Investors beiden Projekte nicht realsierbar. Damit verkönnen die Handlungsalternativen nur bleiben 7 einander ausschließende Handlungspaarweise nach dem Prinzip der allgemöglichkeiten, mit denen sich die in . Tab. 2.34 meinen zeitlichen Dominanz miteinander dargestellten Zahlungsreihen verknüpfen. verglichen werden. Nach dem Prinzip der allgemeinen zeitlichen Dominanz dominiert eine Hand. Tabelle 2.33 Alternativenkatalog bei Auslungsalternative X eine andere Handlungsschluss der Unterlassensalternative (ÜA 2.2) alternative Y, wenn gilt: Einander ausschließende Alternativen bestehend aus:

Y eX t et

Einem Projekt

A; B; C; D

Zwei Projekten

AB; AC; AD; BC; BD; CD

Drei Projekten

ABC; ABD; ACD; BCD

Y eX t > et

Vier Projekten

ABCD

für mindestens ein t D 0; 1; : : : ; T .

für jedes t D 0; 1; : : : ; T und

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

58

. Tabelle 2.35 Kumulierte Zahlungsreihen (ÜA 2.3)

2

Alternative

e0

e0 C e1

B

2.000

1.400

800

1.000

C

2.000

2.000

2.000

1.200

D

2.000

1.000

0

1.000

Bei vier zur Wahl stehenden Alternativen sind im Beispiel insgesamt 6 paarweise Vergleiche durchzuführen. Dabei kann nur im Vergleich der Alternativen A und B eine Dominanzbeziehung festgestellt werden. Dabei gilt: B A: Die Alternative B dominiert die Alternative A also im Sinne der allgemeinen zeitlichen Dominanz. Damit ist A ineﬃzient. Nach dieser Vorüberlegung können nur die eﬃzienten Alternativen B, C und D noch optimal sein. b. Mit Kassenhaltungsmöglichkeit können die Handlungsalternativen nach dem Prinzip der zeitlich kumulativen Dominanz mitein-1 ander verglichen werden. Nach dem Prin- a. zip der zeitlich kumulativen Dominanz dominiert eine Handlungsalternative X eine andere Handlungsalternative Y, wenn gilt: t X

eX

D0

t X

eY

D0

für jedes t D 0; 1; : : : ; T und t X D0

eX >

t X

eY

D0

für mindestens ein t D 0; 1; : : : ; T . Soll nur eine Aussage über die möglicherweise optimalen Handlungsalternativen gemacht werden, muss Alternative A in diese Vergleiche nicht mehr einbezogen werden, da sie bereits aufgrund der Überlegungen zur allgemeinen zeitlichen Dominanz

e0 C e1 C e2

e0 C e1 C e2 C e3

nicht mehr optimal sein kann. Für die restlichen drei Handlungsalternativen ergeben sich die in . Tab. 2.35 ausgewiesenen, im Zeitablauf kumulierten Zahlungsreihen. In den nun durchzuführenden 3 paarweisen Vergleichen kann nur im Vergleich der Alternativen B und D eine Dominanzbeziehung festgestellt werden. Dabei gilt: D B: Die Alternative D dominiert die Alternative B also im Sinne der zeitlich kumulativen Dominanz. Damit ist auch B ineﬃzient und können nur noch die eﬃzienten Alternativen C und D optimal sein. Übungsaufgabe 2.4

Im Zeitpunkt t D 0 besteht kein Erfordernis, Projekt D um eine Transaktion am Finanzmarkt zu ergänzen, da die Projekte C und D eine identisch hohe anfängliche Auszahlung erfordern. Im Zeitpunkt t D 1 weist Projekt D im Vergleich zu Projekt C ein Zahlungsdeﬁzit von 60 auf. Dieses Deﬁzit kann ausgeglichen werden, indem in t D 1 Anlagen am Finanzmarkt um 60 reduziert oder zusätzliche Kredite in Höhe von 60 aufgenommen werden. Beide Anpassungsalternativen führen bei einem Zinssatz von 2 % in t D 2 zu einer Verringerung des Zahlungssaldos um 61,2, entweder weil dieser Betrag zur Verzinsung und Tilgung der zusätzlichen Kredite eingesetzt werden muss oder weil das Anlageguthaben um diesen Betrag geringer ausfällt (vgl. . Tab. 2.36). Das aus Projekt D und Finanzkontrakt bestehende Bündel D 0 führt in beiden Fällen

2

59 2.6 Lösungen

. Tabelle 2.36 Modifizierte Zahlungsreihe I (ÜA 2.4) Maßnahme

e0

D

100

0

113

0

60

61,2

100

60

51,8

e1

C Kreditaufnahme/ Anlagereduktion D D0

e2

zu einer Zahlungsreihe, die das Projekt C im allgemeinen zeitlichen Sinne dominiert. Es gilt daher: D0 C ) D C : b. Damit die Zahlungsreihe des Projektes C nach Ergänzung um Finanztransaktionen in t D 0 einen Zahlungssaldo von Null aufweist, sind in t D 0 Finanzanlagen um 100 zu reduzieren bzw. Kredite in Höhe von 100 aufzunehmen. In beiden Fällen resultiert daraus bei einem Zinssatz von 2 % in t D 1 eine Verringerung des Zahlungssaldos um 102. Zusammen mit der Einzahlung von 60 aus dem Projekt C ergibt sich so in

t D 1 ein (vorläuﬁger) Zahlungssaldo von 42. Damit die Zahlungsreihe des um Finanztransaktionen ergänzten Projektes C auch in t D 1 einen Zahlungssaldo von Null aufweist, sind in t D 1 abermals Finanzanlagen zu reduzieren bzw. Kredite aufzunehmen, und zwar in Höhe von 42. Das führt in t D 2 zu einer Verringerung des Zahlungssaldos um 42,84. Zusammen mit der Einzahlung aus dem Projekt C ergibt sich so in t D 2 der in . Tab. 2.37 ausgewiesene Endwert von 8,16. Bei analoger Ergänzung um Finanztransaktionen ergibt sich für Projekt D in t D 2 der in . Tab. 2.38 ausgewiesene Endwert von 8,96. Der Vergleich auf Basis der Endwerte führt mithin zum selben Ergebnis wie in Teilaufgabe a): D0 C0 ) D C : Da durch beide Vergleichskonzepte die Zahlungsreihen so modiﬁziert wurden, dass sich der einzig verbleibende Unterschied im Zeitpunkt t D 2 manifestiert,

. Tabelle 2.37 Modifizierte Zahlungsreihe II (ÜA 2.4) Maßnahme

e0

C

100

60

100

102

C Kreditaufnahme/Anlagereduktion

e1

C Kreditaufnahme/Anlagereduktion DC

0

0

e2 51

42

42,84

0

8,16

. Tabelle 2.38 Modifizierte Zahlungsreihe III (ÜA 2.4) Maßnahme

e0

D

100

0

100

102

C Kreditaufnahme/Anlagereduktion

e1

C Kreditaufnahme/Anlagereduktion D D0

0

e2 113

102

104,04

0

8,96

60

2

Kapitel 2 Grundlagen der Investitionsrechnung

. Tabelle 2.39 Modifizierte Zahlungsreihe IV (ÜA 2.4) Maßnahme

e0

C

100

e1

C Kreditaufnahme/Anlagereduktion C Kreditaufnahme/Anlagereduktion DC

0

e2 60

51

50

51

107,84

110

7,84

0

0

. Tabelle 2.40 Modifizierte Zahlungsreihe V (ÜA 2.4) Maßnahme

e0

D

100

e1

C Kreditaufnahme/Anlagereduktion C Kreditaufnahme/Anlagereduktion D D0

e2 0

110,78 108,61 8,61

113 113

110,78 0

0

sultiert daraus in t D 0 der in . Tab. 2.39 zeigen beide Vergleiche in diesem Fall auch denselben absoluten Vorteil von 0,8 zuausgewiesene Kapitalwert von 7,84. gunsten von Projekt D. Durch analoge Ergänzungen um Finanzc. Damit das um Finanztransaktionen ergänztransaktionen ergibt sich für Projekt D der te Projekt C im Zeitpunkt t D 2 einen Saldo in . Tab. 2.40 ausgewiesene Kapitalwert von von Null aufweist, müssen im Zeitpunkt 8,61. t D 1 Finanzanlagen gerade um den Betrag Auch der Vergleich der Kapitalwerte führt reduziert werden bzw. Kredite gerade in der mithin zum selben Ergebnis wie die VergleiHöhe aufgenommen werden, dass daraus in che in den Teilaufgaben a) und b): t D 2 eine Minderung des Zahlungssaldos von 51 resultiert. Bei einem Zinssatz von D0 C0 ) D C : 2 % ist dazu in t D 1 eine Reduktion der Finanzanlagen bzw. eine zusätzliche KreditDiesmal fällt der Vorteil von Projekt D mit aufnahme von 50 (D 51=1;02) erforderlich. 0,77 zwar betraglich etwas geringer aus. DaZusammen mit der Einzahlung von 60 aus für bezieht er sich jetzt aber auch auf den dem Projekt resultiert daraus in t D 1 ein Zeitpunkt t D 0 statt auf t D 2. (vorläuﬁger) Zahlungssaldo von 110. Damit das um Finanztransaktionen ergänzLiteratur te Projekt C auch im Zeitpunkt t D 1 einen Saldo von null aufweist, müssen im Zeit1. Bitz, M., & Ewert, J. (2014). Übungen in Betriebswirtpunkt t D 0 Finanztransaktionen ergriﬀen schaftslehre (8. Aufl.). München: Franz Vahlen. insbes. werden, die in t D 1 zu einer Minderung Kapitel 3, B (Investitionstheoretische Kennzahlen zur des Zahlungssaldos um 110 führen. Bei eiProjektbewertung) nem Zinssatz von 2 % ist dazu in t D 0 eine 2. Bitz, M., & Ewert, J. & Terstege, U. (2018). Investition – Multimediale Einführung in finanzmathematische Reduktion der Finanzanlagen bzw. eine Entscheidungskonzepte (3. Aufl.). Wiesbaden: Sprinzusätzliche Kreditaufnahme von 107,84 ger Gabler. insbes. Kapitel 2 (D 110=1;02) erforderlich. Zusammen mit 3. Blohm, H., Lüder, K., & Schaefer, Chr. (2012). Investitider Auszahlung von 100 für das Projekt reon (10. Aufl.). München: Franz Vahlen.

61 Literatur

4. 5. 6. 7. 8.

Breuer, W. (2011). Investition I – Entscheidungen bei Sicherheit (4. Aufl.). Wiesbaden: Gabler. Grob, H. L. (1989). Investitionsrechnung mit vollständigen Finanzplänen. München: Franz Vahlen. Hax, H. (1985). Investitionstheorie (5. Aufl.). Würzburg, Wien: Physica. Hering, Th. (2017). Investitionstheorie (5. Aufl.). München: De Gruyter. Kruschwitz, L. (2014). Investitionsrechnung (14. Aufl.). Berlin, New York: De Gruyter.

2

63

Finanzmathematik 3.1

Vorbemerkung – 64

3.2

Auf- und Abzinsung – 66

3.2.1 3.2.2 3.2.3

Einzelzahlungen bei wechselnden Periodenzinssätzen – 66 Einzelzahlungen bei konstantem Periodenzinssatz – 70 Zahlungsreihen – 74

3.3

Rentenrechnung – 79

3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4

Fragestellung – 79 Rentenrechnung im Standardfall – 80 Varianten der Rentenrechnung bei konstantem Zinssatz – 84 Rentenrechnung bei wechselnden Periodenzinssätzen – 90

3.4

Annuitätenrechnung – 93

3.4.1 3.4.2

Rechentechnik – 93 Anwendungsfall Annuitätendarlehen – 95

3.5

Zusammenfassung – 102

3.6

Wiederholungsfragen – 104

3.7

Lösungen – 104 Literatur – 110

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 U. Terstege, M. Bitz, J. Ewert, Investitionsrechnung klipp & klar, WiWi klipp & klar, https://doi.org/10.1007/978-3-658-20992-6_3

3

64

Kapitel 3 Finanzmathematik

Lernziele dieses Kapitels

3

4 Finanzmathematik als Rechentechnik zum intertemporalen Zahlungsvergleich einordnen können 4 Auf- und Abzinsung als Grundtechniken der Finanzmathematik auf Einzelzahlungen und Zahlungsreihen bei konstanten und bei wechselnden Periodenzinssätzen anwenden können und dabei insbesondere die Bedeutung von Zins- und Zinseszinseffekten verstehen 4 Barwertberechnung einer endlichen nachschüssigen Rente bei konstantem Zinssatz als Standardfall der aggregierten Technik „Rentenrechnung“ verstehen und anwenden können 4 Technik der Rentenrechnung für vorschüssige Renten, unendliche Renten, Rentenendwerte und wechselnde Periodenzinssätze adaptieren können 4 Annuitätenrechnung als zur Rentenrechnung inverse Technik verstehen und anwenden können 4 Spezielle Eigenschaften eines Annuitätendarlehens rechnerisch erfassen können und verstehen

zwischenzeitlich erforderlichen Kreditaufnahme resultierenden Zins- und Zinseszinseﬀekte 4 umrechnen in gleichwertige Zahlungen, die sich auf andere Zeitpunkte beziehen.

Solche Rechentechniken zur „Umrechnung“ von Zahlungen erlauben es, Zahlungsreihen verschiedener Handlungsalternativen einfacher zu vergleichen. Zur Verdeutlichung des Anliegens der Finanzmathematik versetzen Sie sich z. B. in folgende, leider rein gedankliche, Situation: Als Gewinner einer Lotterie können Sie sofort die Zahlung Ihres Gewinns in Höhe von 100.000 beanspruchen. In diesem Fall würden Sie den Betrag auf ein Sparkonto einzahlen, für das Ihnen die Bank für die kommenden 20 Jahre einen Anlagezinssatz von 5 % p. a. (D per annum, also pro Jahr) fest zugesagt hat. Die Lotterie bietet Ihnen allerdings zwei Auszahlungsalternativen für den Gewinn an: 4 Alternative I: Sie können den Gewinn zunächst „stehen lassen“ und erhalten stattdessen nach 10 Jahren eine Zahlung von 160.000. 4 Alternative II: Sie können sich den Gewinn verteilt auf 20 gleichhohe Beträge von je3.1 Vorbemerkung weils 7.500, die jeweils zum Ende der nächsten 20 Jahre gezahlt werden, auszahlen lasIn 7 Kap. 2 standen wir vor dem Problem, Zahsen. lungsreihen von Handlungsalternativen unter Berücksichtigung der am Finanzmarkt bestehenden Transaktionsmöglichkeiten zu verglei- Welche Zahlungsvariante sollen Sie wählen? chen (vgl. 7 Abschn. 2.3.4). Dort hatten wir Dazu müssten Sie wissen, welcher Einmalbedieses Problem zunächst etwas „umständlich“ trag nach 10 Jahren bzw. welcher über 20 Jahre gelöst, indem wir die Handlungsalternativen jährlich wiederkehrende Betrag für Sie gerade explizit um Finanzkontrakte von der Dauer je- denselben Wert hat wie die sofortige Zahlung weils einer Periode ergänzt haben. Die Finanz- von 100.000. Dabei ist zu berücksichtigen, dass mathematik stellt Techniken zur Verfügung, Sie Geld p. a. zu 5 % anlegen können. die solche Vergleiche unter bestimmten BedinIn diesem Kapitel lernen Sie die Basisgungen mit weniger Aufwand erlauben. techniken kennen, die die Finanzmathematik Gegenstand der Finanzmathematik sind für solche Umrechnungen von Zahlungen beRechentechniken, die reithält. Dazu betrachten wir drei Fragestellun4 Zahlungen, die zu bestimmten Zeitpunkten gen: anfallen, 4 Auf- und Abzinsung: Wie groß ist der zu4 unter Berücksichtigung der aus der zwikünftige Wert einer gegebenen heutigen schenzeitlich möglichen Anlage oder der Zahlung (Aufzinsung) bzw. wie groß ist der

65 3.1 Vorbemerkung

3

lich, monatlich, quartalsweise oder jährlich heutige Wert einer gegebenen zukünftigen geschehen. Wir unterstellen hier ein Jahr als Zahlung (Abzinsung)? Dauer einer Zinsperiode. 4 Rentenrechnung: Wie groß ist der in einem einzigen Betrag ausgedrückte Wert ei- 4 Zinsbelastungen bzw. Zinsgutschriften erfolgen nachschüssig, d. h. am Ende eines nes Zahlungsstroms, der über mehrere PeJahres werden die Zinsen für das im vorrioden andauert und aus konstanten Einzelangegangenen Jahr bestehende Guthaben zahlungen besteht? gutgeschrieben bzw. für die im vorangegan4 Annuitätenrechnung: Wie hoch müssen genen Jahr bestehende Schuld belastet. die konstanten Einzelzahlungen eines über mehrere Perioden andauernden Zahlungs- 4 Für jedes vom Zeitpunkt t 1 bis zum Zeitpunkt t dauernde Jahr t ist der maßgebliche stromes sein, damit der Zahlungsstrom Zinssatz r t eindeutig bekannt. denselben Wert wie ein gegebener Einmalbetrag hat? Da die Techniken der Finanzmathematik Alle Rechentechniken und damit in Verbin- Transaktionen am Finanzmarkt abbilden soldung stehende Zusammenhänge verdeutlichen len, gehen mit unseren ﬁnanzmathematischen wir an einem Beispiel. Für die Anwendung Annahmen bestimmte Vorstellungen vom der Rechentechniken reicht es jeweils aus, die umgebenden Finanzmarkt einher. Für den im Beispiel verdeutlichte Vorgehensweise sach- Finanzmarkt unterstellen wir mit unseren gerecht auf andere Situationen übertragen zu Annahmen, dass dort Zinssätze sicher sind, können. Zudem formulieren wir die meisten Mittelanlagen oder Kredite jederzeit und für Techniken und Zusammenhänge auch in einer die Dauer einzelner Perioden variiert werden abstrakten, symbolgestützten Weise. Die for- können und die Zinssätze nicht von der Höhe malisierten Darstellungen bringen die verall- aufgenommener Kredite oder angelegter Begemeinerungsfähigen Techniken und Zusam- träge abhängen. Wir unterstellen also einen menhänge deutlicher zum Ausdruck. Daher Finanzmarkt, der mindestens die ersten vier sollten Sie auch die allgemeinen Formeln nach- der insgesamt sechs Merkmale erfüllt, die wir vollziehen können. Es ist aber nicht erforder- in 7 Abschn. 2.3.4.2 als Merkmale eines volllich, die allgemeinen Formeln reproduzieren zu kommenen Finanzmarktes aufgeführt hatten. können. Erst recht macht es keinen Sinn, sie Das in 7 Abschn. 2.3.4.2 aufgeführte fünfauswendig zu lernen. te Merkmal, nach dem Zinssätze im ZeitabUm die Betrachtungen übersichtlich zu hal- lauf konstant sind, kann zusätzlich erfüllt sein, ten, gehen wir, sofern nicht im Einzelfall aus- muss es aber nicht. Falls Zinssätze im Zeitablauf drücklich abweichende Annahmen getroﬀen konstant sind, vereinfachen sich die formalen werden, von folgenden vereinfachenden Bedin- Darstellungen. Dann sind die Zinssätze aller gungen aus: Perioden identisch, kann also statt r t einfach 4 Zahlungen erfolgen nur in den äquidistan- r geschrieben werden. Das erlaubt kompaktere ten, also gleich weit auseinander liegenden, formale Beschreibungen der Zusammenhänge. Zeitpunkten t, mit t D 0; 1; : : : ; T . Wie wir noch sehen werden, erschöpft sich da4 Zahlungen erfolgen nur genau zum Beginn rin aber auch bereits die Wirkung konstanter oder zum Ende einer Zinsperiode. Damit Zinssätze. Alle nachfolgend dargestellten Zuwerden Zahlungen stets für volle Perioden sammenhänge sind auch bei wechselnden Pezinswirksam und schließen wir die soge- riodenzinssätzen grundsätzlich gültig. nannte „unterjährige“ Verzinsung aus. Die Das in 7 Abschn. 2.3.4.2 aufgeführte sechste Dauer einer Zinsperiode hängt davon ab, Merkmal, nach dem die Zinssätze für aufgein welchem Rhythmus auf den Konten Zin- nommene Kredite (Sollzinssatz) und angelegsen gutgeschrieben bzw. belastet werden. tes Guthaben (Habenzinssatz) identisch sind, Das kann insbesondere täglich, wöchent- kann ebenfalls erfüllt sein, muss es aber nicht

66

3

Kapitel 3 Finanzmathematik

zwingend. Denn für die Zwecke der Finanzmathematik nehmen wir ja nur an, dass der für jede Periode maßgebliche Zinssatz eindeutig gegeben ist. Wir schließen damit aber nicht grundsätzlich aus, dass es neben dem maßgeblichen Zinssatz weitere Zinssätze in anderer Höhe geben kann. Wickelt z. B. ein Akteur alle ﬁnanziellen Transaktionen über ein Konto ab, das stets „im Soll geführt“ wird, verändert er durch ﬁnanzielle Transaktionen immer nur die Höhe der von ihm aufgenommenen Kredite. Für ihn ist damit von vornherein nur der Sollzinssatz maßgeblich. Welche Höhe der Habenzinssatz hat und ob er mit dem Sollzinssatz übereinstimmt, interessiert diesen Akteur erst gar nicht. Wickelt umgekehrt ein Akteur alle ﬁnanziellen Transaktionen über ein Konto ab, das stets „im Haben geführt“ wird, verändert er durch ﬁnanzielle Transaktionen immer nur die Höhe der angelegten Beträge. Für ihn ist damit von vornherein nur der Habenzinssatz maßgeblich. Die ﬁnanzmathematische Annahme, nach der die maßgeblichen Zinssätze eindeutig bekannt sein sollen, kann also durchaus auch auf Finanzmärkten mit divergierenden Soll- und Habenzinssätzen erfüllt sein. Eine Einschränkung kann die ﬁnanzmathematische Annahme eines einheitlichen Zinssatzes nur im Hinblick auf Akteure in speziellen ﬁnanziellen „Grenzsituationen“ bedeuten. Führt z. B. eine zusätzliche Einzahlung dazu, dass das Konto wegen dieser Einzahlung nicht mehr im Soll, sondern im Haben geführt wird, dann würde die Einzahlung teilweise zu zahlende Sollzinsen reduzieren und teilweise zusätzliche Habenzinsen bewirken. In solchen Grenzsituationen können divergierende Soll- und Habenzinssätze dazu führen, dass die Zinskonsequenzen ﬁnanzieller Transaktionen, anders als in diesem Kapitel angenommen, nicht mehr in jedem Fall durch einen einzigen Zinssatz pro Periode abgebildet werden können. Abgesehen von solchen ﬁnanziellen Grenzsituationen gelten alle aufgezeigten ﬁnanzmathematischen Zusammenhänge aber auch für unvollkommene Finanzmärkte mit divergierenden Soll- und Habenzinssätzen.

Dass die Anwendung der ﬁnanzmathematischen Techniken nicht die zeitliche Konstanz der Zinssätze erfordert und auch nur in Grenzfällen die Identität von Soll- und Habenzinssätzen voraussetzt, ist deshalb eine wichtige Erkenntnis, weil viele Darstellungen der Finanzmathematik das Gegenteil suggerieren. Häuﬁg wird die Existenz eines im strengen Sinne vollkommenen Finanzmarktes als Voraussetzung für die Anwendung der Finanzmathematik angesehen. Damit wird der falsche Eindruck erweckt, ﬁnanzmathematische Techniken seien nur unter sehr engen Voraussetzungen anwendbar. >Merke Finanzmathematische Berechnungen bilden Transaktionen am Finanzmarkt ab. Daher implizieren die für die Berechnungen unterstellten Annahmen letztlich Annahmen über den Finanzmarkt.

Auf- und Abzinsung

3.2 3.2.1

Einzelzahlungen bei wechselnden Periodenzinssätzen

Beginnen wir mit einem Beispiel zur Aufzinsung. Angenommen, Sie zahlen heute auf ein Konto ein Anfangsguthaben von 1.000 ein, das Sie für die Dauer von 3 Jahren auf dem Konto belassen. Im ersten Jahr gilt ein Anlagezinssatz von r1 D 5 %, im zweiten Jahr ein Zinssatz von r2 D 6 % und im dritten Jahr ein Zinssatz von r3 D 7 %. Wie hoch ist das Endguthaben nach drei Jahren? Ihr Guthaben am Ende des ersten Jahres C1 besteht aus dem Anfangsguthaben C0 D 1:000 zuzüglich der darauf gutgeschriebenen Zinsen von C0 r1 : C1 D C0 C C0 r1 D C0 .1 C r1 / D 1:000 .1 C 0;05/ D 1:050 : Ihr Guthaben am Ende des zweiten Jahres C2 ergibt sich aus dem Guthaben nach einem Jahr

67 3.2 Auf- und Abzinsung

3

Das Endguthaben nach T Jahren ergibt sich also, indem man das Anfangsguthaben für jede Periode der Laufzeit mit dem Faktor „Eins plus C2 D C1 .1 C r2 / Zinssatz der Periode“ multipliziert. Die SumD C0 .1 C r1 / .1 C r2 / me aus dem Zinssatz r t einer Periode t und der Zahl Eins bezeichnet man als Zinsfaktor D 1:050 .1 C 0;06/ D 1:113: q t D .1 C r t / der Periode t. Das Produkt alIhr Endguthaben nach drei Jahren C3 ent- ler im Zeitraum t D 0 bis t D T geltenden spricht schließlich dem Guthaben nach zwei Zinsfaktoren bezeichnet man als AufzinsungsJahren C2 zuzüglich darauf gutgeschriebener faktor für die Laufzeit von T Jahren. Dabei Zinsen von C2 r3 : wird stillschweigend unterstellt, dass die Laufzeit in t D 0 beginnt. C3 D C2 .1 C r3 / C1 zuzüglich der darauf gutgeschriebenen Zinsen von C1 r2 :

D C0 .1 C r1 / .1 C r2 / .1 C r3 / D 1:113 .1 C 0;07/ D 1:190;91:

>Merke Um einen Betrag von einem frühen Zeitpunkt t = 0 auf einen späteren Zeitpunkt t = T aufzuzinsen, ist der Betrag für jede Periode der Laufzeit mit dem Faktor „Eins plus Zinssatz der Periode“ zu multiplizieren.

Das Beispiel verdeutlicht die allgemeine Gesetzmäßigkeit der Aufzinsung. Wird im Zeitpunkt t D 0 das Anfangsguthaben C0 für die Dauer von T Jahren angelegt und gilt im, vom Zeitpunkt t 1 bis zum Zeitpunkt t dauernden, t-ten Jahr ein Zinssatz von r t , dann führt die Anlage zu dem durch Formel (3.1) beschriebe- Die Aufzinsung bei wechselnden Periodenzinssätzen verdeutlicht . Abb. 3.1 graphisch. nen Endguthaben CT :1 Wir haben die Aufzinsung zunächst für den CT D C0 .1 C r1 / .1 C r2 / : : : Fall einer Anlage, also für ein Anfangsguthaben und für ein Endguthaben, beschrieben. Dersel .1 C rT 1 / .1 C rT / be Zusammenhang gilt analog bei einer KreT Y ditaufnahme. Geht es in dem Beispiel etwa .1 C r t / D C0 um die Aufnahme eines Kredites in Höhe von (3.1) t D1 1.000, beträgt bei unveränderten Zinssätzen D C0 q1 q2 : : : qT 1 qT der Schuldenstand nach drei Jahren: T Y D C0 qt C3 D 1:000 1;05 1;06 1;07 D 1:190;91 t D1

1

Q Das in (3.1) verwendete Produktzeichen ist ähnlich zu lesen wie das bekanntere Summenzeichen †. Nur werden mit dem Produktzeichen die Faktoren eines Produktes und nicht die Summanden einer Summe zusammenfassend beschrieben. Rechts vom Produktzeichen steht der allgemeine Term, in unserem Fall (1Cr t ) bzw. q t . Er beschreibt, nach welcher Regel die Faktoren des Produktes zu bilden sind. Er hängt noch vom Wert des Laufindex t ab. Für jeden für t einzusetzenden Wert ergibt sich ein Faktor. Einzusetzen sind für t alle ganzen Zahlen, beginnend mit der kleinsten einzusetzenden Zahl, die unter dem Produktzeichen angegeben wird und in unserem Fall „1“ beträgt, und endend mit der größten einzusetzenden Zahl, die über dem Produktzeichen angegeben wird und in unserem Fall „T“ beträgt.

Es ändern sich also lediglich die Vorzeichen der Beträge, Formel (3.1) bleibt aber gültig. Daher können wir statt von Anfangs- und Endguthaben auch allgemein von Anfangs- und Endbetrag sprechen. Die Zinsfaktoren haben wir zunächst in der Reihenfolge ihres zeitlichen Auftretens notiert, also den Anfangsbetrag zunächst mit dem Faktor der ersten Periode, dann mit dem Faktor der zweiten Periode usw. multipliziert. Diese Schreibtechnik führt zu anschaulichen Zwischenergebnissen. Nach der ersten Multiplikation haben wir den Kontostand nach einer Periode ermittelt, nach der zweiten Multiplikation

68

Kapitel 3 Finanzmathematik

. Abb. 3.1 Aufzinsung bei wechselnden Zinssätzen

3

T

CT

C0

qt t 1

mit q t

1 rt

C0

0

1 r1

den Kontostand nach der zweiten Periode usw. Da für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt, die Faktoren also ohne Einﬂuss auf das Ergebnis beliebig vertauscht werden dürfen, kann die Reihenfolge der Aufzinsungsoperationen aber frei gewählt werden. Das Ergebnis hängt nur von der Zahl und der Höhe der Aufzinsungsfaktoren ab. Legen wir z. B. wieder 1.000 für 3 Jahre an, gilt jetzt aber für die Zinssätze die umgekehrte zeitliche Reihenfolge, nämlich r1 D 7 %, r2 D 6 % und r3 D 5 %, ergibt sich trotzdem dasselbe Endguthaben: C3 D 1:000 1;07 1;06 1;05 D 1:190;91 Der Endbetrag setzt sich aus den drei Komponenten Anfangsbetrag, einfache Zinsen und Zinseszinsen zusammen. Im Beispiel setzt sich der Endbetrag von 1.190,91 zusammen aus: 4 1.000 Anfangsbetrag, also dem in t D 0 angelegten Betrag, 4 180 D 1:000 .0;05 C 0;06 C 0;07/ einfachen Zinsen, also den im Verlauf der drei Jahre auf den Anfangsbetrag gutgeschriebenen Zinsen, und 4 10;91 D 1:190;911:000180 Zinseszinsen, also den im Verlauf der drei Jahre auf Zinsgutschriften der Vorjahre gutgeschriebenen Zinsen.

2 r2

T 1

T

t

rT

Vorgehensweisen ein Vorteil der Finanzmathematik ist, auch die Zinseszinseﬀekte exakt in Berechnungen einbeziehen zu können. In unserem Beispiel ist der Zinseszinseﬀekt zwar nur von relativ geringer Bedeutung. Seine Bedeutung nimmt c. p. aber mit der Laufzeit und der Höhe der Zinssätze zu. Deshalb ist vor allem bei langlaufenden Aktivitäten und deutlich von Null abweichenden Zinssätzen eine präzise ﬁnanzmathematische Analyse erforderlich. Näherungsrechnungen, wie sie häuﬁg z. B. als sogenannte statische Analysen durchgeführt werden, sind dann i. d. R. nicht mehr präzise genug. >Merke Ein aufgezinster Betrag setzt sich aus Anfangsbetrag, einfachen Zinsen und Zinseszinsen zusammen. Die Bedeutung der Zinseszinsen steigt mit der Höhe der Periodenzinssätze und vor allem auch mit der Dauer der Laufzeit.

Haben wir durch die Aufzinsung den künftigen Wert eines heutigen Betrages bestimmt, geht es bei der Abzinsung um die entgegengesetzte Fragestellung: Zu einem gegebenen künftigen Betrag soll der wertgleiche heutige Betrag bestimmt werden. Zur Beantwortung dieser „umgekehrten“ Fragestellung sind auch die Rechenoperationen nur „umzukehren“. Letztlich stellt sich damit die Frage, ob Auf- und Abzinsung Diese Aufteilung ist u. a. deshalb von Interes- überhaupt zwei unterschiedliche Techniken der se, weil es im Vergleich zu weniger präzisen Finanzmathematik darstellen. Häuﬁg fasst man

3

69 3.2 Auf- und Abzinsung

. Abb. 3.2 Abzinsung bei wechselnden Zinssätzen

CT T

C0

qt 1

CT t 1

mit q t

1 rt

0

1 r1

sie daher unter einer Bezeichnung, z. B. als „Zins- und Zinseszinsrechnung“, zusammen. Angenommen, Sie wollen heute einen Betrag auf Ihr Konto einzahlen, der bei einem Anlagezinssatz von 5 % im ersten, 6 % im zweiten und 7 % im dritten Jahr nach dreijähriger Anlage zu einem Guthaben von 1.000 führt. Dann ist zu dem auf t D 3 bezogenen Betrag C3 D 1:000 der wertgleiche, auf t D 0 bezogene Betrag C0 gesucht. Gemäß der für die Aufzinsung verdeutlichten Zusammenhänge muss für den gesuchten Anfangsbetrag gelten: 1:000 D C0 1;05 1;06 1;07 1:000 , C0 D 1;05 1;06 1;07 D 1:000 1;051 1;061 1;071 D 839;69: Zur Abzinsung wird also dieselbe Formel wie zur Aufzinsung verwendet. Sie wird nur nach einer anderen Variablen, nämlich nach dem jetzt gesuchten Anfangsbetrag, aufgelöst. In allgemeiner Formulierung muss bei einem Zinsfaktor von q t in der t-ten Periode und einer Anlagedauer von T Jahren zur Erzielung eines Endbetrags von CT also ein Anfangsbetrag C0 gemäß Formel (3.2) angelegt werden. C0 D CT q11 q21 : : : qT11 qT1 D CT

T Y t D1

q t1

2 r2

T 1

T

t

rT

Zur Abzinsung ist also der Endbetrag mit den Kehrwerten aller während der Laufzeit relevanten Zinsfaktoren zu multiplizieren. Das Produkt aller Kehrwerte der für den Zeitraum t D 0 bis t D T relevanten Zinsfaktoren bezeichnet man als Abzinsungsfaktor für die Laufzeit von T Jahren. In welcher Reihenfolge die Kehrwerte der Zinsfaktoren dazu multipliziert werden, ist für das Ergebnis wieder unerheblich. Der zu einem gegebenen Endbetrag mittels Abzinsung bestimmte Anfangsbetrag wird auch als Barwert des Endbetrags bezeichnet. >Merke Um einen Betrag von einem späten Zeitpunkt t = T auf einen früheren Zeitpunkt t = 0 abzuzinsen, ist der Betrag für jede Periode der Laufzeit durch „Eins plus Zinssatz der Periode“ zu dividieren.

Die Abzinsung bei wechselnden Periodenzinssätzen verdeutlicht . Abb. 3.2 graphisch. Auch bei einer Abzinsung setzt sich das Endguthaben aus Anfangsbetrag, einfachen Zinsen und Zinseszinsen zusammen. In unserem Beispiel besteht das Endguthaben von 1.000 z. B. aus: 4 839,69 Anfangsbetrag, 4 151;14 D 839;69 .0;05 C 0;06 C 0;07/ einfachen Zinsen und (3.2) 4 9;17 D 1:000 839;69 151;14 Zinseszinsen.

Kapitel 3 Finanzmathematik

70

?Übungsaufgabe 3.1

3

Wir zahlen im Zeitpunkt t D 0 den Betrag C0 auf ein Konto ein. Die Anlagedauer beträgt T D 5 Jahre. a. Angenommen, wir legen C0 D 5:000 an und in den fünf Jahren der Anlage gelten die Zinssätze r1 D r2 D 6 %, r3 D 8 % und r4 D r5 D 10 %. Über welchen Endbetrag C5 können wir in t D 5 verfügen? b. In Höhe welchen Teilbetrages besteht der in Teilaufgabe a. errechnete Endbetrag aus Zinseszinsen? c. Ein Kommilitone argumentiert: „Bei sonst gleichen Bedingungen würde die umgekehrte Reihenfolge der Zinssätze, also r1 D r2 D 10 %; r3 D 8 % und r4 D r5 D 6 %, zu einem höheren Endbetrag führen. Denn dann würden in den ersten Jahren höhere Zinsen gutgeschrieben, und könnten wir in den Folgejahren mehr Zinseszinsen erzielen.“ Was halten Sie von dieser Argumentation? d. Angenommen, in den fünf Jahren der Anlage gelten die Zinssätze r1 D r2 D 6 %, r3 D 8 % sowie r4 D r5 D 10 % und wir wollen nach fünf Jahren über C5 D 10:000 verfügen. Welchen Betrag C0 müssen wir anlegen?

3.2.2

Einzelzahlungen bei konstantem Periodenzinssatz

terer Fragestellungen. Deshalb sehen wir uns einige Besonderheiten dieses Spezialfalles an. Angenommen, Sie legen auf einem Sparkonto heute 1.000 für die Dauer von 3 Jahren an und in jedem Jahr gilt derselbe Anlagezinssatz von 6 %. Dann ergibt sich als Guthaben nach drei Jahren: C3 D 1:000 1;06 1;06 1;06 D 1:000 1;063 D 1:191: Da die Zinsfaktoren der Perioden identisch sind, müssen sie nicht mehr als Einzelfaktoren geschrieben werden, sondern können kompakt zu einer Potenz zusammengefasst werden. Allgemein lässt sich mit q D 1 C r daher Formel (3.1) zu Formel (3.3) vereinfachen. CT D C0 q q : : : q q D C0 q T (3.3) Bei konstantem Zinssatz vereinfacht sich der Aufzinsungsfaktor also zu q T . Da dieser neben der Laufzeit nur noch von einem einzigen Zinssatz r abhängt, lassen sich Aufzinsungsfaktoren im Spezialfall konstanter Zinssätze in einer zweidimensionalen Tabelle darstellen. Eine tabellarische Zusammenstellung der Aufzinsungsfaktoren für ausgewählte Laufzeiten und Zinssätze enthält die im Anhang beﬁndliche 7 Tab. A.1. Zwar lassen sich die Aufzinsungsfaktoren bei Bedarf mit Hilfe heute verfügbarer Rechner nicht nur leicht, sondern i. d. R. auch genauer berechnen. Für manche Überlegungen wird sich die auf den ersten Blick etwas „altbackene“ tabellarische Darstellung von Aufzinsungsfaktoren aber trotzdem noch als hilfreich erweisen.

Bislang sind wir für die Auf- und Abzin- >Merke sung vom allgemeinen Fall wechselnder PeriDie Aufzinsung bei wechselnden Peodenzinssätze ausgegangen. Diese Überlegunriodenzinssätzen unterscheidet sich gen schließen den speziellen Fall eines im Zeittechnisch nicht von der Aufzinsung bei ablauf konstanten Zinssatzes ein. Der Spezikonstantem Zinssatz. Ein konstanter alfall bedürfte insoweit also keiner weiteren Zinssatz reduziert lediglich die Zahl der Überlegungen. Allerdings wird zum einen reVariablen und erlaubt daher schreibtechlativ häuﬁg vom Spezialfall eines konstanten nische Vereinfachungen. Zinssatzes ausgegangen und erlaubt dieser Spezialfall zum anderen neben schreibtechnischen Die Aufzinsung bei konstantem PeriodenzinsVereinfachungen auch die Beantwortung wei- satz verdeutlicht . Abb. 3.3 graphisch.

3

71 3.2 Auf- und Abzinsung

. Abb. 3.3 Aufzinsung bei konstantem Zinssatz

CT

C0 q T

mit q 1 r

C0

0

1

2

T 1

T

t

r

Er besteht damit zu 77 % aus Zinseszinsen. Zinseszinsen sind in diesem Beispiel also von ganz erheblichem Gewicht und bedürfen einer exakten ﬁnanzmathematischen Berücksichtigung. Die durch einen konstanten Zinssatz bei der Aufzinsung möglichen schreibtechnischen Vereinfachungen bestehen auch für die Abzinsung. Angenommen, Sie wollen wieder einen Betrag anlegen, der nach drei Jahren zu einem In dieser Schreibweise wird deutlich, dass Zin- Guthaben von 1.000 führt. Jetzt soll aber in seszinsen in dem Maße Bedeutung für das End- jeder der drei Perioden derselbe Zinssatz von guthaben erlangen, wie der Aufzinsungsfak- r D 6 % gelten. Dann gilt für den erforderlitor .1 C r/T im Zeitablauf überproportional chen Anfangsbetrag: wächst, also stärker wächst als die mit der Laufzeit linear zunehmende Größe .1 C r T ). C0 D 1:000 1;061 1;061 1;061 Beim Blick in 7 Tab. A.1 wird deutlich, dass D 1:000 1;063 D 839;62 das überproportionale Wachstum der Aufzinsungsfaktoren umso ausgeprägter ist, je höher Allgemein vereinfacht sich für die Abzinsung (bei Laufzeiten von mehr als einem Jahr) der bei konstantem Zinsfaktor q Formel (3.2) zu Zinssatz ist und je länger (bei positiven ZinsFormel (3.4). sätzen) die Laufzeit ist. Legt man z. B. 1.000 für die Dauer von 30 Jahren zu 10 % p. a. an, erhält C0 D CT q 1 q 1 : : : q 1 q 1 man als Endbetrag: D CT q T (3.4) Auch die Zusammensetzung des Endbetrages nach T Perioden vereinfacht sich bei einem im Zeitablauf konstanten Zinssatz zu: 4 Anfangsbetrag: C0 , 4 einfache Zinsen: C0 T r und 4 Zinseszinsen : C0 .1 C r/T C h i 0 C0 T r D T C0 .1 C r/ .1 C r T / :

C30 D 1:000 1;130 D 1:000 17;4494 D 17:449;40:

Auch der vereinfachte Abzinsungsfaktor q T hängt neben der Laufzeit nur noch von einem einzigen Zinssatz r ab und lässt sich daher Dieser Endbetrag setzt sich zusammen aus: ebenfalls tabellarisch aufbereiten. Eine Zusam4 einem Anfangsbetrag von 1.000, menstellung der Abzinsungsfaktoren für ausge4 einfachen Zinsen von 1:000 30 0;1 D wählte Laufzeiten und Zinssätze enthält die im 3:000 und Anhang beﬁndliche 7 Tab. A.2. 4 Zinseszinsen von 17:449;40 1:000 Die Abzinsung bei konstantem Zinssatz 3:000 D 13:449;40. verdeutlicht . Abb. 3.4 graphisch.

72

Kapitel 3 Finanzmathematik

. Abb. 3.4 Abzinsung bei konstantem Zinssatz

3 CT C0

CT q

T

mit q 1 r

0

1

2

T 1

T

t

r

Während bei wechselnden Periodenzinssätzen der Zinssatz jeder Periode eine eigenständige Variable darstellt, können bei konstantem Zinssatz alle Periodenzinssätze durch eine einzige Variable beschrieben werden. Damit reduziert sich der rechnerische Zusammenhang der Auf- und Abzinsung bei konstantem Zinssatz auf das Zusammenspiel von vier Variablen, dem Anfangsbetrag C0 , dem Zinssatz r, der Laufzeit T und dem Endbetrag CT . In diesem „Viereckverhältnis“ kann jede Variable jeweils als die von den drei anderen Variablen abhängige Größe interpretiert werden. Die vierte Größe kann also jeweils errechnet werden, wenn die drei anderen Größen exogen vorgegeben sind: 4 Sind C0 , r und T exogen gegeben, kann der resultierende Endbetrag CT berechnet werden. Diese Interpretation liegt der Aufzinsung zugrunde. 4 Sind CT , r und T exogen gegeben, kann der erforderliche Anfangsbetrag C0 berechnet werden. Diese Interpretation liegt der Abzinsung zugrunde. 4 Sind C0 , CT und r exogen gegeben, kann die erforderliche Laufzeit T berechnet werden. 4 Sind C0 , CT und T exogen gegeben, kann der erforderliche Zinssatz r berechnet werden.

Laufzeit. Angenommen, wir legen auf einem

Sparkonto heute 1.000 zu einem konstanten Zinssatz von 6 % an und wollen unser Guthaben durch die Anlage mindestens verdoppeln. Über welche Zeitdauer müssen wir dazu die Anlage mindestens tätigen? Für die gesuchte Anlagedauer muss gelten: 1:000 1;06T 2 1:000 , 1;06T 2:

Wir suchen also die Laufzeit, für die der Aufzinsungsfaktor beim Zinssatz von 6 % den Wert 2 gerade annimmt oder erstmals übersteigt. Die gesuchte Laufzeit lässt sich auf mindestens zwei Wegen bestimmen. Eine erste Bestimmungsmöglichkeit bietet die Tabelle der Aufzinsungsfaktoren. Wenn wir dort in der Spalte für den gegebenen Zinssatz r D 6 % suchen, für welche Laufzeit der Aufzinsungsfaktor erstmals einen Wert von 2 erreicht, ﬁnden wir: Bis zu einer Laufzeit von 11 Jahren haben alle Faktoren kleinere Werte als 2, z. B. für 11 Jahre einen Wert von 1,8983. Bei einer Laufzeit von 12 Jahren erreicht der Faktor mit 2,0122 erstmals einen Wert von (mindestens) 2. Damit haben wir die Antwort auf unsere Frage: Die Anlage zu 6 % muss mindestens 12 Jahre dauern, um den Anfangsbetrag zu verdoppeln. Diese Antwort ist Auch die beiden zuletzt aufgeführten Lesarten vor dem Hintergrund unseres Verzinsungsmodes rechnerischen Zusammenhanges sehen wir dells auch bereits präzise. Sie wird insbesondere uns noch genauer an. Wir beginnen mit der nicht durch den Umstand erschüttert, dass sich beispielhaften Ermittlung der erforderlichen unser Guthaben nach 12 Jahren nicht nur ver-

73 3.2 Auf- und Abzinsung

doppelt hat, sondern mit 1:000 2;0122 D 2:012;2 mehr als verdoppelt hat. Da unser Rechenansatz ein Verzinsungsmodell unterstellt, bei dem immer nur am Jahresende Zinsen gutgeschrieben werden und Zahlungen erfolgen können, erreichen wir tatsächlich erst nach vollen 12 Jahren eine Verdopplung des Guthabens – auch wenn wir dann gleich mehr als die Verdopplung erreichen. Eine zweite Bestimmungsmöglichkeit bieten äquivalente Umformungen der Gleichung, also mathematische Methoden. Dazu kann die Gleichung mittels Logarithmierung beider Seiten äquivalent umgeformt werden. Auf der Basis welchen Logarithmussystems wir die Gleichung umformen, also ob wir z. B. den natürlichen Logarithmus zur Basis der Euler’schen Zahl, den dekadischen Logarithmus zur Basis 10 oder einen beliebigen anderen Logarithmus verwenden, hat keinen Einﬂuss auf das Ergebnis. Wir verwenden beispielhaft den dekadischen Logarithmus: 1;06T 2 , T log 1;06 log 2 log 2 0;3010 ,T D D 11;8957: log 1;06 0;0253 Allgemein gilt für die erforderliche Laufzeit T bei einem Zinsfaktor q, Anfangsbetrag C0 und Endbetrag CT Formel (3.5). C0 q T CT , q T CT =C0 , T log q log .CT =C0 / log .CT =C0 / ,T log q

3

gutgeschrieben, noch können in diesem Zeitpunkt Abhebungen vom Konto erfolgen. Die nächste Zinsgutschrift, mit der wir unseren Anfangsbetrag verdoppeln, erfolgt erst nach vollen 12 Jahren und auch dann kann erst wieder die nächste Zahlung erfolgen. Zur Vermeidung von Missverständnissen sei betont, dass es sich bei dieser gebotenen Lesart des rechnerischen Ergebnisses ausdrücklich nicht um eine mathematische Rundung handelt, bei der das Ergebnis auf die am wenigsten entfernte ganze Zahl entweder aufzurunden oder abzurunden ist. Sondern es ist bei nicht ohnehin ganzzahligen rechnerischen Ergebnissen grundsätzlich immer auf die nächstgrößere ganze Zahl aufzurunden. Zum Beispiel wäre auch ein rechnerisches Ergebnis von 11,0001 auf 12 Jahre aufzurunden. Vor diesem Hintergrund sind beide Bestimmungsmöglichkeiten also gleich exakt – vorausgesetzt, die Tabelle der Aufzinsungsfaktoren weist im relevanten Laufzeitbereich den Aufzinsungsfaktor für jedes volle Laufzeitjahr aus. >Merke Mindestlaufzeiten können im Rahmen der für die Finanzmathematik getroffenen Annahmen immer nur aus ganzen Jahren bestehen. Bei deren Bestimmung sind nicht ganzzahlige Ergebnisse nicht mathematisch auf- oder abzurunden, sondern es ist immer die nächste größere ganze Zahl von Jahren relevant.

Auch die Ermittlung des erforderlichen Zinssatzes verdeutlichen wir zunächst an einem Beispiel. Angenommen, wir legen heute 1.000 zu einem konstanten Zinssatz r für die DauBei voreiliger Interpretation des Ergebnisses er von 10 Jahren an. Nach 10 Jahren soll sich könnten Sie vielleicht zu folgendem Schluss der Anlagebetrag verdoppelt haben. Wie hoch neigen: „Das Guthaben hat sich bei einem Zins- muss dazu der Anlagezinssatz sein? Für den gesatz von 6 % nach 11,8957 Jahren genau ver- suchten Anlagezinssatz r muss dann gelten: doppelt. Der rechnerische Ansatz ist damit ge1:000 .1 C r/10 D 2 1:000 nauer als das Auslesen aus der Tabelle der Aufzinsungsfaktoren.“ Wie bereits angemerkt, , .1 C r/10 D 2 p wäre diese Schlussfolgerung allerdings vorei10 ,1Cr D 2 lig, also falsch. Denn nach unserem Zinsmop 10 , r D 2 1 D 7;18 %: dell werden nach 11,8957 Jahren weder Zinsen (3.5)

74

3

Kapitel 3 Finanzmathematik

Für die Verdoppelung des Anfangsbetrages innerhalb von 10 Jahren ist also ein konstanter Zinssatz von 7,18 % p. a. erforderlich. Allgemein gilt für den erforderlichen Zinssatz r bei einer Laufzeit T , einem Anfangsbetrag C0 und einem Endbetrag CT Formel (3.6). C0 .1 C r/T D CT , .1 C r/T D CT =C0 p , 1 C r D T CT =C0 p , r D T CT =C0 1

(3.6)

Endbetrag wie in Teilaufgabe a.“ Was halten Sie von dieser Argumentation? d. Angenommen, wir wollen am Ende der 10-jährigen Anlagedauer über ein Guthaben von C10 D 20:000 verfügen. Welchen Betrag müssen wir dann heute anlegen? e. Angenommen, wir wollen am Ende der 10-jährigen Anlage über ein Guthaben von C10 D 20:000 verfügen, dazu aber trotzdem nur C0 D 5:000 anlegen. Welcher konstante Zinssatz müsste dazu während der 10 Jahre (statt der ursprünglich unterstellten 8 % p. a.) gelten? f. Angenommen, wir wollen am Ende der Anlagedauer über ein Guthaben von C10 D 20:000 verfügen, dazu aber trotzdem nur C0 D 5:000 bei einem konstanten Zinssatz von r D 8 % p. a. anlegen. Wie lange müssen wir dann (statt der ursprünglich unterstellten 10 Jahre) die Anlage aufrecht halten?

Theoretisch ließe sich auch der erforderliche Zinssatz wieder aus der Tabelle der Aufzinsungsfaktoren auslesen. Diesmal ist die Bestimmung via Tabelle allerdings dem rechnerischen Weg konzeptionell unterlegen. In einer Tabelle können generell nur ausgewählte Zinssätze berücksichtigt werden – in unserer besonders knappen Tabelle sind sogar nur ganzzahlige Zinssätze berücksichtigt. Anders als Laufzeitjahre können Zinssätze in unserem Zinsmodell aber beliebige gebrochene Werte annehmen. Rechnerisch kann das Ergebnis stets exakt be- 3.2.3 Zahlungsreihen stimmt werden. Das Auslesen aus der Tabelle liefert, abgesehen von zufällig ganzzahligen Lö- Bislang haben wir die Auf- und Abzinsung nur sungen, hingegen nur eine Näherung. für einzelne Beträge skizziert. Dabei konnten der Anfangsbetrag C0 und der Endbetrag CT alternativ Bestände auf einem Konto oder Zah?Übungsaufgabe 3.2 lungen sein. Jetzt erweitern wir die Auf- und Angenommen, wir legen einen Betrag von Abzinsung auf Fälle, in denen zwischen den C0 für die Dauer von 10 Jahren zu einem Zeitpunkten t D 0 und t D T zusätzliche konstanten Zinssatz von r D 8 % an. Veränderungen des Kontostandes stattﬁnden. a. Über welchen Endbetrag C10 können Diese zusätzlichen Veränderungen des Kontowir in t D 10 verfügen, wenn der standes lassen sich nur noch als Einzahlungen Ausgangsbetrag unserer Anlage oder Auszahlungen interpretieren. Damit erC0 D 5:000 beträgt? weitern wir jetzt also die Auf- und Abzinsung b. In Höhe welchen Teilbetrages besteht einzelner Beträge zu einer Auf- und Abzinsung der in Teilaufgabe a. errechnete ganzer Zahlungsreihen – wobei die AnfangsEndbetrag aus Zinseszinsen? zahlung e0 alternativ immer noch der Anfangsc. Ein Kommilitone argumentiert: „Würde bestand und die Schlusszahlung eT alternativ in den ersten 5 Jahren der Anlage ein immer noch der Schlussbestand eines Kontos Zinssatz von 6 % p. a. und in den letzten sein können. 5 Jahren ein Zinssatz von 10 % p. a. Starten wir wieder mit dem allgemeinen gelten, dann betrüge der Zinssatz im Fall wechselnder Periodenzinssätze und beDurchschnitt der gesamten Laufzeit ginnen wir mit einem Beispiel zur Aufzinsung. ebenfalls 8 % und ergäbe sich derselbe

3

75 3.2 Auf- und Abzinsung

. Abb. 3.5 Beispiel einer aufzuzinsenden Zahlungsreihe

1000

C5 r1 0

r2

5%

r3

r4

2

6%

r5

4

?

7% 5

t

300 500

Angenommen, wir legen in t D 0 einen Be- haben: trag von 1.000 für die Dauer von 5 Jahren an. C3 D .1:000 1;05 300/ In den beiden ersten Jahren gilt jeweils ein An 1;05 1;06 500 D 334;75 lagezinssatz von r1 D r2 D 5 %, im dritten und vierten Jahr jeweils ein Zinssatz von r3 D Dieses Guthaben wird im vierten und fünften r4 D 6 % und im fünften Jahr ein Zinssatz Jahr verzinst und führt zum Endguthaben von: von r5 D 7 %. Am Ende des ersten Jahres entnehmen wir 300 und am Ende des dritten C5 D Œ.1:000 1;05 300/ Jahres noch einmal 500. Bezeichnen wir die 1;05 1;06 500 1;06 1;07 im Zeitpunkt t erfolgende Zahlung mit e t , gilt D 379;67 also: e0 D C1:000I e3 D 500I

e1 D 300I e4 D 0I

e2 D 0I e5 D 0

Gesucht ist das Endguthaben nach fünf Jahren C5 . Die Struktur des zu lösenden Problems verdeutlicht . Abb. 3.5. Die Berechnung des Endguthabens gehen wir zunächst zeitlich sequentiell in drei, durch die Ein- und Auszahlungen begrenzten Zeitabschnitten an. Nach einem Jahr, unmittelbar nach der ersten Entnahme von 300, beträgt das Guthaben: C1 D 1:000 1;05 300 D 750 Dieses Guthaben wird im zweiten und dritten Jahr verzinst. Nach drei Jahren, unmittelbar nach der Entnahme von 500, beträgt das Gut-

Durch schrittweise Übertragung der Technik zur Aufzinsung einzelner Beträge können wir also grundsätzlich auch den Endbetrag ganzer Zahlungsreihen bestimmen. Dazu bedarf es allerdings gar keiner schrittweisen Aufzinsung. Wir können stattdessen, wie in . Abb. 3.6 verdeutlicht, auch direkt alle Beträge der Zahlungsreihe auf den Zeitpunkt T aufzinsen und anschließend addieren. Dass auch dieses rechnerische Vorgehen möglich ist, erkennen wir im Beispiel durch Auﬂösung der zur Beschreibung des Endguthabens verwendeten Klammern: C5 D Œ.1:000 1;05 300/ 1;05 1;06 500 1;06 1;07 D 1:000 1;052 1;062 1;07 300 1;05 1;062 1;07 500 1;06 1;07 D 379;67:

76

Kapitel 3 Finanzmathematik

. Abb. 3.6 Aufzinsung einer Zahlungsreihe

1000 1, 052 1, 062 1, 07

3

1000

r1

r2

r3

5%

r4

2

0

6%

r5

4

C5

7% 5

379, 67

t

300 500

300 1, 05 1, 062 1, 07 500 1, 06 1, 07

Zahlungsreihe alle Zahlungen vor ihrer Summation nicht auf t D T aufgezinst, sondern auf t D 0 abgezinst werden. Die Abzinsung erfolgt dabei, indem jede Zahlung jeweils durch alle Zinsfaktoren dividiert wird, die zeitlich vor t D0 Dt C1 der Zahlung wirksam werden. Da sich die ZahZur Berechnung des Endbetrages werden alle lung e0 ohnehin auf t D 0 bezieht, ist für sie Zahlungen von e0 bis eT aufsummiert. Diese keine Abzinsung erforderlich. Damit gilt für die Summation beschreibt für alle Zahlungen au- Abzinsung einer Zahlungsreihe Formel (3.8). ßer eT das Summenzeichen. Die Zahlung eT ! T t wird separat addiert. Dass in diese SummatiX Y 1 on u. U. auch Zahlungen von Null einbezogen q (3.8) C0 D e 0 C et werden, hat keinen Einﬂuss auf das Ergebnis. t D1 D1 Bevor eine Zahlung in die Summe eingeht, wird sie allerdings jeweils noch auf das Laufzeitende Multipliziert man den Barwert der Zahlungst D T aufgezinst. Diesen Rechenvorgang be- reihe mit allen während der Laufzeit relevanten schreibt das Produktzeichen. Die Aufzinsung Zinsfaktoren, erhält man den Endbetrag. Für auf das Laufzeitende erfolgt jeweils durch die die Relation zwischen C0 und CT gilt also ForMultiplikation der Zahlung mit allen Zinsfak- mel (3.9). toren, die zeitlich nach der Zahlung und vor T dem Laufzeitende wirksam werden. Da sich die Y Zahlung eT ohnehin auf t D T bezieht, ist für q t D CT bzw. C0 sie keine Aufzinsung erforderlich. t D1 T Die Rechenmethode zur Abzinsung einer Y CT Zahlungsreihe lässt sich analog beschreiben; q t1 D C0 (3.9) nur dass zur Berechnung des Barwertes der t D1 Allgemein gilt für die Aufzinsung einer ganzen Zahlungsreihe dementsprechend Formel (3.7). ! T 1 T X Y CT D q C eT (3.7) et

77 3.2 Auf- und Abzinsung

3

Der Barwert der Zahlungsreihe unseres Bei- Auftreten ab, welche Zinssätze für die Aufzinspiels lässt sich also alternativ als Summe aller sung bzw. Abzinsung einer Zahlung relevant abgezinsten Zahlungen der Zahlungsreihe er- sind. Dieser Zusammenhang lässt sich in unserechnen: rem Beispiel an der letzten Schreibweise zur Berechnung des Endguthabens erkennen: C0 D 1:000 300 1;051 500 1;061 1;052 D 286;44

C5 D 1:000 1;052 1;062 1;07

oder als abgezinster Endbetrag der Zahlungsreihe: C0 D 379;67 1;05 D 286;44

2

1;06

2

1;07

1

Dieser Zusammenhang sollte Sie nicht überraschen. Der Endbetrag stellt einen auf den Zeitpunkt t D T bezogenen Einzelbetrag dar. Der Barwert stellt einen auf den Zeitpunkt t D 0 bezogenen Einzelbetrag dar. Wenn sich beide Beträge wertmäßig entsprechen, muss sich der Endbetrag durch die Aufzinsung des Barwertes und umgekehrt der Barwert durch die Abzinsung des Endbetrages errechnen lassen. Genau diesen, letztlich trivialen Zusammenhang beschreibt Formel (3.9). >Merke Ganze Zahlungsreihen lassen sich aufbzw. abzinsen, indem zunächst jede einzelne Zahlung auf- bzw. abgezinst wird, und anschließend die auf- bzw. abgezinsten Einzelzahlungen addiert werden.

Anders als bei der Auf- und Abzinsung einzelner Beträge ist die zeitliche Reihenfolge der Periodenzinssätze für die Auf- und Abzinsung ganzer Zahlungsreihen im Allgemeinen nicht irrelevant. Zwar gilt auch für die Auf- und Abzinsung ganzer Zahlungsreihen selbstverständlich immer noch das Kommutativgesetz der Multiplikation. D. h. bei der Aufzinsung bzw. Abzinsung jeder einzelnen Zahlung dürfen die dabei relevanten Faktoren selbstverständlich immer noch beliebig getauscht werden. Es hängt nun aber von ihrem zeitlichen

300 1;05 1;062 1;07 500 1;06 1;07 D 379;67 Von allen fünf Zinsfaktoren ist bei der Berechnung des Endguthabens nur die Zahlung e0 D 1:000 betroﬀen. Ihr Beitrag zum Endguthaben ist daher unabhängig von der zeitlichen Reihenfolge, in der die unterschiedlichen Zinssätze auftreten. Alle Zahlungen im weiteren Verlauf, e1 D 300 und e3 D 500, sind bei der Berechnung des Endguthabens hingegen nur von einem Teil der fünf Zinsfaktoren „betroﬀen“. Ihr Beitrag zum Endguthaben hängt daher davon ab, mit welchem Teil der Zinssätze ihre Aufzinsung vorzunehmen ist. Das hängt außer vom Zeitpunkt der Zahlung auch von der zeitlichen Reihenfolge der unterschiedlichen Zinssätze ab. Würden z. B. bei unveränderter Zahlungsreihe zunächst für eine Periode der Zinssatz von 7 %, dann für zwei Perioden der Zinssatz von 6 % und für die beiden letzten Perioden jeweils der Zinssatz von 5 % gelten, ergäbe sich folgendes Endguthaben: C5 D 1:000 1;07 1;062 1;052 300 1;062 1;052 500 1;052 D 402;60 Wie die Berechnung zeigt, würde das Endguthaben jetzt höher ausfallen, weil durch die Entnahmen in den Zeitpunkten t D 1 und t D 3 weniger Zinsgutschriften entgehen, da in den nachfolgenden Perioden im Vergleich zur ursprünglichen Zinssituation nur noch niedrigere Anlagezinssätze gelten. >Merke Auch bei der Auf- bzw. Abzinsung ganzer Zahlungsreihen gilt für die Auf- bzw.

78

3

Kapitel 3 Finanzmathematik

techniken noch etwas zu erweitern. Denn in speziellen Situationen, in denen konstante Zahlungsströme von längerer Dauer auftreten, würden Berechnungen mittels reiner Aufund Abzinsung unnötig viele Rechenoperationen erfordern. Für solche speziellen Situationen stehen mit der Renten- und der AnnuitäBei einem im Zeitablauf konstanten Zinssatz tenrechnung aggregierte Rechentechniken zur lassen sich auch die Berechnungsformeln für Verfügung. Diese aggregierten Techniken erdie Auf- und Abzinsung ganzer Zahlungsrei- lauben es, zahlreiche Auf- und Abzinsungsvorhen vereinfachen. Für einen einheitlichen Zins- gänge, die bei reiner Auf- und Abzinsung alle satz r vereinfachen sich die Formeln (3.7) und einzeln durchzuführen wären, in einer einzigen (3.8) zu den Formeln (3.10) und (3.11). Rechenoperation zusammenzufassen. Abzinsung der einzelnen Zahlungen das Kommutativgesetz der Multiplikation. Trotzdem ist dann das Gesamtergebnis der Berechnung abhängig von der zeitlichen Reihenfolge, in der wechselnde Periodenzinssätze auftreten.

CT D

T 1 X

e t q T t C eT D

t D0

T X

e t q T t

t D0

(3.10)

C0 D e 0 C

T X

e t q t D

t D1

T X

e t q t

t D0

(3.11)

Zum Beispiel errechnen sich zu unserer Beispielzahlungsreihe bei einem über fünf Jahre konstanten Zinssatz von r D 6 % folgender Endbetrag und folgender Barwert: C5 D 1:000 1;065 300 1;064 500 1;062 D 397;68 C0 D 1:000 300 1;061 500 1;063 D 297;17 Der laut Formel (3.9) zwischen C0 und CT bestehende Zusammenhang vereinfacht sich bei konstantem Zinssatz schließlich zu Formel (3.12). C0 q T D CT

bzw.

CT q T D C0 (3.12)

So gilt für unsere Beispielzahlungsreihe: 297;17 1;065 D 397;68 Mit den skizzierten Techniken der Auf- und Abzinsung lassen sich im Rahmen unserer für diese ﬁnanzmathematische Einführung getroffenen Annahmen grundsätzlich bereits alle relevanten Fragestellungen beantworten. Trotzdem lohnt es sich, das Arsenal der Rechen-

?Übungsaufgabe 3.3

Angenommen, wir eröffnen in t D 0 ein Kreditkonto und erhalten zu dessen Lasten sofort einen Kreditbetrag in Höhe von 10.000 ausgezahlt. Zwei und vier Jahre nach der Kreditaufnahme zahlen wir jeweils 5.000 auf das Kreditkonto ein. Nach sechs Jahren lösen wir das Konto wieder auf. a. Wie hoch ist der Stand des Kontos bei dessen Auflösung, wenn für die Abrechnung des Kontos in den ersten drei Jahren jeweils ein Zinssatz von 4 % p. a. und in den folgenden drei Jahren jeweils ein Zinssatz von 6 % p. a. gilt? b. Wie hoch ist der Stand des Kontos bei dessen Auflösung, wenn für die Abrechnung des Kontos die umgekehrte Reihenfolge der Zinssätze gilt, also erst drei Jahre lang 6 % p. a. und dann drei Jahre lang 4 % p. a.? Überlegen Sie, bevor Sie rechnen, qualitativ, ob der Endbestand des Kontos höher oder niedriger sein muss als in Teilaufgabe a. errechnet. c. Wie hoch darf bei dem in Teilaufgabe a. skizzierten Zinsszenario der in t D 0 ausgezahlte Kreditbetrag (statt der ursprünglich unterstellten 10.000) maximal sein, damit c. p. das Konto nach sechs Jahren ausgeglichen ist? d. Wie hoch darf der Kreditbetrag maximal sein, damit das Konto bei einem konstanten Zinssatz von 5 % nach sechs Jahren ausgeglichen ist?

79 3.3 Rentenrechnung

Rentenrechnung

3.3 3.3.1

Fragestellung

Als Rente bezeichnet man in der Finanzmathematik eine Zahlung, die 4 mehrfach, 4 in konstanter Höhe und 4 äquidistant, also in gleichen Zeitabständen, anfällt. Gegenstand der Rentenrechnung ist die Bewertung einer Rentenzahlungsreihe in Form eines einzigen Betrages. Es wird also von einer gegebenen Rentenzahlungsreihe ausgegangen. Dazu soll ein gleichwertiger Einmalbetrag bestimmt werden. Genauer ausgedrückt, geht es bei der Rentenrechnung also um eine Rentenwertberechnung. Die Methoden der Rentenrechnung können sich im Detail unterscheiden. Einﬂuss auf die anzuwendende Rechenmethode haben neben dem genauen Aussehen der Rentenzahlungsreihe der Bezugszeitpunkt, für den der Rentenwert berechnet werden soll, und das Zinsszenario, von dem bei der Berechnung auszugehen ist. Idealtypisch können so insbesondere folgende Typen der Rentenrechnung unterschieden werden: 1. nach dem Zeitpunkt der Rentenzahlung 4 nachschüssige Rente: die Rente wird zum Ende jeder Rentenperiode gezahlt 4 vorschüssige Rente: die Rente wird zum Beginn jeder Rentenperiode gezahlt 2. nach der Dauer der Rentenzahlung 4 endliche Rente: die Rente wird für eine feste Zahl von Rentenperioden gezahlt 4 unendliche Rente: die Rente wird für eine unendliche Zahl von Rentenperioden gezahlt2 2

Dass Renten für einen unendlichen Zeitraum vereinbart werden, ist in der Realität durchaus anzutreffen. Dass Renten für einen unendlichen Zeitraum auch tatsächlich geleistet werden, ist hingegen kaum realistisch. Insofern handelt es sich bei der unendlichen Rente eher um ein gedankliches Ideal-

3

3. nach dem Bezugszeitpunkt des Rentenwertes 4 Rentenbarwert: der Wert wird für den Beginn der ersten Rentenperiode berechnet 4 Rentenendwert: Der Wert wird für das Ende der letzten Rentenperiode berechnet 4. nach dem Zinsszenario 4 konstanter Zinssatz: alle Periodenzinssätze haben denselben Wert 4 wechselnde Zinssätze: Periodenzinssätze können unterschiedliche Werte haben. Rein kombinatorisch lassen sich anhand dieser vier binären Merkmale zunächst einmal 24 D 16 Typen der Rentenrechnung unterscheiden. Da die Berechnung eines Rentenendwertes bei unendlichen Renten keinen Sinn macht, reduziert sich die Zahl allerdings um 4 auf 12 Typen. Um uns diese Typen der Rentenrechnung zu erschließen, gehen wir wie folgt vor: 4 In 7 Abschn. 3.3.2 betrachten wir zunächst die Rentenrechnung für den Fall, in dem jedes Merkmal in seiner ersten Variante auftritt. Wir berechnen also den Barwert einer endlichen, nachschüssigen Rente bei konstantem Zinssatz. Diesen Ausgangsfall nennen wir Standardfall. 4 In 7 Abschn. 3.3.3 halten wir die Annahme eines konstanten Zinssatzes bei, beziehen aber vorschüssige Renten, unendliche Renten und Rentenendwerte in die Betrachtung ein. 4 In 7 Abschn. 3.3.4 beziehen wir wechselnde Periodenzinssätze in die Betrachtung ein. >Merke Die Technik der Rentenrechnung hängt davon ab, ob die Rente nachschüssig oder vorschüssig gezahlt wird, ob die Rente endlich oder unendlich ist, ob der Barwert oder der Endwert berechnet werden soll konstrukt. Trotzdem lohnt sich dessen Betrachtung, weil sich dafür interessante und besonders einfache Zusammenhänge ergeben.

Kapitel 3 Finanzmathematik

80

Im Beispiel lässt sich der Barwert der endlichen nachschüssigen Rente RBN also berechnen, indem zunächst die Barwerte aller einzelnen Rentenzahlungen berechnet und diese anschießend zum Barwert der Rente summiert werden, so wie es . Abb. 3.7 verdeutlicht. Rechnerisch ergibt sich so für den Barwert der endlichen nachschüssigen Rente RBN:

und ob von wechselnden Periodenzinssätzen oder einem konstanten Zinssatz auszugehen ist.

3 3.3.2

Rentenrechnung im Standardfall

Die Berechnung des Barwertes einer endlichen nachschüssigen Rente bei konstantem Periodenzinssatz verdeutlichen wir uns zunächst an einem Beispiel. Dazu sei angenommen, Sie hätten die sogenannte „Sofortrente“ einer Lotterie gewonnen. Die Rente wird für die Dauer von 6 Jahren jeweils zum Ende des Rentenjahres in Höhe von jährlich 20.000 gezahlt. Sie kalkulieren mit einem konstanten Zinssatz von 5 % p. a. Die Lotterie bietet Ihnen statt der Rente eine einmalige Zahlung zu Beginn des ersten Rentenjahres an. Wie hoch muss die Einmalzahlung sein, damit sie für Sie denselben Wert wie die Rente hat? Der Typ des zu lösenden Problems ist uns bereits bekannt. Gesucht ist der Barwert der Zahlungsreihe e0 D 0; e1 D e2 D e3 D e4 D e5 D e6 D C20:000 bei konstantem Zinssatz r D 5 %. Zur Lösung können wir also die bereits bekannte Formel (3.11) verwenden: C0 D e 0 C

T X

e t q t D

t D1

T X

RBN D C0 D 20:000 1;051 C 20:000 1;052 C : : : C 20:000 1;056 D 20:000 1;051 C 1;052 C 1;053 C 1;054 C 1;055 C1;056 D 20:000 .0;9524 C 0;9070 C 0;8638 C 0;8227 C 0;7835 C 0;7462/ D 20:000 5;0756 D 101:512: Das Ergebnis lässt sich z. B. folgendermaßen interpretieren: Wenn Sie in t D 0 einen Betrag in Höhe von 101.512 zu einem konstanten Zinssatz von 5 % anlegen, können Sie am Ende der folgenden sechs Jahre jeweils einen Betrag von 20.000 vom Konto abheben und weist das Konto nach der sechsten Entnahme einen Saldo von Null auf.

e t q t :

t D0

14,92 15, 67 16, 45

RBN

17, 28 18,14

20

19, 05

0

1

20

2

20 3 r = 5%

. Abb. 3.7 Rentenbarwertrechnung durch Einzelabzinsung

20

4

20 5

20 6

t

3

81 3.3 Rentenrechnung

20 RBF(6 J., 5%)

RBN

20 0

1

20

20

2

20

4

3

20 5

20 6

t

r = 5% . Abb. 3.8 Rentenbarwertrechnung durch aggregierte Abzinsung

Das im Beispiel verdeutlichte Vorgehen lässt sich verallgemeinern. Da bei einer nachschüssigen Rente e0 D 0 gilt, kann die Zahlung e0 in der Summation von vornherein unberücksichtigt bleiben. Da alle Zahlungen e t mit t D 1; : : : ; T den identischen Betrag aufweisen, können alle e t mit t D 1; : : : ; T durch e ersetzt werden. Dadurch vereinfacht sich Formel (3.11) zu Formel (3.13). RBN D

T X

e q t D e

t D1

D e RBF.T I r/

T X

q t

t D1

(3.13)

Zur Ermittlung des Barwertes einer endlichen nachschüssigen Rente von T Jahren ist also der Betrag der Rente mit der Summe aller Abzinsungsfaktoren für die Laufzeiten von t D 1; : : : ; T beim Zinssatz r zu multiplizieren. P t Diese Summe der Abzinsungsfaktoren q bezeichnet man als Rentenbarwertfaktor RBF.T I r/ für eine Laufzeit von T Jahren und einen Zinssatz von r. Zur Bestimmung des Rentenbarwertes haben wir die allgemeine Methode zur Berechnung des Barwertes ganzer Zahlungsreihen für den uns hier interessierenden Spezialfall einer endlichen nachschüssigen Rente adaptiert. So konnten wir Formel (3.11) zu Formel (3.13) vereinfachen. Der Vergleich beider Formeln zeigt die erste Vereinfachung, die sich bei der

Berechnung eines Rentenbarwertes im Vergleich zur allgemeinen Methode ergibt: Da alle Periodenzahlungen identisch sind, müssen sie vor ihrer Summation nicht mehr individuell auf den Bezugszeitpunkt abgezinst oder, wie man auch sagt, „diskontiert“ werden. Stattdessen kann die Diskontierung in einem einzigen Rechenschritt durch die Multiplikation des einheitlichen Rentenbetrages mit dem entsprechenden Rentenbarwertfaktor erfolgen. Die vereinfachte Barwertberechnung verdeutlicht, im Vergleich zu . Abb. 3.7, die . Abb. 3.8. Die erste, bereits in den Formeln erkennbare Vereinfachung bildet die Basis für eine zweite Vereinfachung. Der für die Berechnung erforderliche Rentenbarwertfaktor muss nicht bei jeder Anwendung mühsam durch die Ermittlung und Summation der enthaltenen Abzinsungsfaktoren berechnet werden. Es bieten sich einfachere Methoden zur Ermittlung des Rentenbarwertfaktors. Zum einen hängt, wie bereits der Aufund der Abzinsungsfaktor, auch der Rentenbarwertfaktor nur von den beiden Variablen T und r ab. Auch er kann also für ausgewählte Laufzeiten und Zinssätze tabelliert werden. Eine entsprechende Tabelle der Rentenbarwertfaktoren enthält die im Anhang beﬁndliche 7 Tab. A.3. Dort ﬁnden wir für unser Beispiel der „Sofortrente“ zu einer Laufzeit von 6 Jahren und einem Zinssatz von 5 % den RBF.6 J:I 5 %/ D 5;0757. Im Beispiel ergibt

82

3

Kapitel 3 Finanzmathematik

sich damit als Rentenbarwert, abgesehen von Dass sich Rentenbarwertfaktoren nicht nur kleinen Rundungsdiﬀerenzen, derselbe Wert im Beispiel, sondern allgemein mittels Formel (3.14) berechnen lassen, ist leicht nachwie bereits ermittelt: vollziehbar. Die Abfolge der zu summierenRBN D e RBF.T I r/ den Abzinsungsfaktoren s1 D q 1 ; s2 D D 20:000 5;0757 D 101:514: q 2 I : : : I sT D q T ist eine geometrische Folge, bei der sich zwei direkt aufeinander folgende >Merke Glieder s t und stC1 immer um denselben FakDie tabellierten Rentenbarwertfaktoren tor stC1 =s t D q .tC1/ =q t D q 1 unterscheibeziehen sich auf den Standardfall, den. Damit bilden die für unterschiedliche T bei dem der Barwert einer endlichen, zu berechnenden Rentenbarwertfaktoren eine nachschüssigen Rente bei konstantem geometrische Reihe. Deren Reihenglieder lasZinssatz zu berechnen ist. Sie unterstellen sen sich mittels Gauss’schem Trick formeldamit insbesondere, dass zwischen dem mäßig berechnen. Die entsprechende BerechBeginn der Rentendauer und der ersten nungsformel kann in drei Schritten bestimmt Rentenzahlung eine Periode liegt. werden: Zum anderen bilden die Abzinsungsfaktoren, 4 Zunächst schreiben wir die Summe RBF auf, deren Wert berechnet werden soll: aus deren Summe sich ein Rentenbarwertfaktor zusammensetzt, eine geometrische Folge. Die RBF D q 1 C q 2 C : : : C q .T 1/ C q T Rentenbarwertfaktoren selbst lassen sich daher als geometrische Reihe interpretieren. Die Werte einer geometrischen Reihe wiederum 4 Dann schreiben wir dieselbe Summe noch einmal auf, multiplizieren sie aber vorher lassen sich Dank des nach dem Mathematiker mit dem konstanten Faktor der geometriCarl Friedrich Gauss benannten „Gauss’schen schen Folge. Wir notieren also q 1 RBF: Tricks“ mittels einer einfachen Formel für geometrische Reihen berechnen. Danach gilt For q 1 RBF D q 1 q 1 C q 2 C : : : mel (3.14). T C q .T 1/ C q T T X 1 q q t D D q 2 C q 3 C : : : C q T q1 t D1 C q .T C1/ : 1 .1 C r/T (3.14) D r 4 Abschließend subtrahieren wir die zweite Mit Hilfe der Formel (3.14) können wir ForSumme von der ersten, fassen den entstemel (3.13) zu Formel (3.15) ergänzen. henden Ausdruck zusammen und erweiT tern den entstehenden Bruch mit q. So erX RBN D e q t D e RBF.T I r/ halten wir: t D1

1 q T (3.15) De r Im Beispiel unserer „Sofortrente“ können wir also auch rechnen: 1 1;056 RBN D 20:000 0;05 0;2538 D 20:000 0;05 D 20:000 5;0757 D 101:513;84:

RBF q 1 RBF D q 1 C q 2 C : : : C q .T 1/ C q T q 2 : : : q .T 1/ q T q .T C1/ , 1 q 1 RBF D q 1 q .T C1/ q 1 q .T C1/ 1 q T D 1 q 1 q1 1 q T : D r

, RBF D

3

83 3.3 Rentenrechnung

. Tabelle 3.1 Kontoverlauf bei Abhebung einer Rente Ct

C t C t1

0

101.513,84

101.513,84

20.000,00

5.075,69

86.589,53

14.924,31

2

20.000,00

4.329,48

70.919,01

15.670,52

3

20.000,00

3.545,95

54.464,96

16.454,05

4

20.000,00

2.723,25

37.188,21

17.276,75

5

20.000,00

1.859,41

19.047,62

18.140,59

6

20.000,00

952,38

t

et

0

101.513,84

1

Diese von Gauss vorgeschlagene Vorgehensweise erlaubt uns, die Gültigkeit der Formel (3.14) mit einfachen mathematischen Mitteln zu beweisen. Genau deshalb nennt man sie den „Gauss’schen Trick“. Zur Vermeidung von Missverständnissen seien die in 7 Tab. A.3 zusammengestellten Rentenbarwertfaktoren und die gerade hergeleitete Formel zu deren Ermittlung noch einmal gedanklich eingeordnet. Wir hatten uns überlegt, dass zur Berechnung des Barwertes einer endlichen, über T Jahre laufenden, nachschüssigen Rente bei konstantem Periodenzinssatz alle Abzinsungsfaktoren q t mit t D 1, . . . , T zu summieren und dann mit dem Rentenbetrag zu multiplizieren sind. In diesem Standardfall, aber zunächst einmal auch nur in diesem Standardfall, kann der Rentenbetrag deshalb einfach mit dem entsprechenden Wert aus 7 Tab. A.3 oder mit dem Wert gemäß hergeleiteter Formel multipliziert werden. Weicht die Situation, in der der Wert einer Rente zu berechnen ist, vom Standardfall ab, muss die Rechenmethodik hingegen an die Situation angepasst werden. Wie dann vorzugehen ist, zeigen wir in den beiden folgenden Abschnitten. >Merke Weicht die Rentenrechnung vom Standardfall ab, kann zur Berechnung des Rentenwertes nicht mehr einfach der Rentenbetrag mit dem tabellierten Rentenbarwertfaktor multipliziert werden. Bei

Zt

0

19.047,62

vorschüssigen Renten, unendlichen Renten, Rentenendwerten und wechselnden Periodenzinssätzen ist der Rechenansatz zu modifizieren.

Nachdem wir uns mit der Technik zur Berechnung des Rentenwertes für den Standardfall vertraut gemacht haben, verdeutlichen wir abschließend noch eine materielle Konsequenz der Rentenrechnung. Dazu greifen wir noch einmal unser Beispiel der „Sofortrente“ auf und sehen uns an, wie sich das Anlagekonto entwickelt, wenn wir uns statt für die Rente für die Auszahlung des berechneten Barwertes in Höhe von 101.513,84 entscheiden, diesen Betrag zu einem konstanten Zinssatz von 5 % anlegen und am Ende der folgenden sechs Jahre jeweils einen Betrag von 20.000 vom Konto abheben. Dazu sind in . Tab. 3.1 für jeden Zeitpunkt t D 0; 1; : : : ; 6 der Betrag der Ein- oder Auszahlung e t , der Betrag der Zinsgutschrift Z t und der Kontostand unmittelbar nach Ein- oder Auszahlung und Zinsgutschrift C t zusammengestellt. Außerdem wird in der letzten Spalte die Veränderung des Kontostandes im Vergleich zum Vorjahr angegeben. Die Kontoabrechnung zeigt zunächst einmal, dass unsere Berechnungsformel stimmt. Nach sechs Rentenzahlungen ist der eingezahlte Betrag tatsächlich genau verbraucht. Insoweit hätte es aber nicht der expliziten Betrachtung des Kontos bedurft. Bei stringenter Ableitung der Formel konnte an diesem Ergebnis kein Zweifel bestehen.

84

3

Kapitel 3 Finanzmathematik

Interessant ist allerdings, wie sich der Kontostand im Laufe der Zeit von seinem Anfangsbestand von 101.513,84 auf seinen Endbestand von 0 verringert. Diese Entwicklung erkennt man in der letzten Spalte. Während sich der Kontostand im ersten Jahr nur um einen relativ geringen Betrag von 14.924,31 verringert, nehmen die Verringerungen im Zeitablauf zu und erreichen im letzten Jahr mit 19.047,62 ihren höchsten Wert. Nachdem wir uns die Kontoentwicklung für das Beispiel explizit aufgeschrieben haben, sollte Ihnen allerdings nicht nur klar sein, dass der Kontostand einen solchen progressiv fallenden Verlauf nimmt, sondern auch, warum er einen progressiv fallenden Verlauf nehmen muss. In den ersten Jahren kann die Entnahme noch zu großen Teilen aus Zinsgutschriften gespeist werden, weil noch Zinsen auf hohe Anlagebeträge gutgeschrieben werden. Mit dem Rückgang des Kontostandes nehmen aber die Zinsgutschriften im Zeitablauf ab. Deshalb kann die jährlich konstante Entnahme nur noch zu einem abnehmenden Anteil aus Zinsgutschriften gespeist werden, muss also zu einem immer größeren Anteil durch den Verzehr des Guthabens gespeist werden. Dieser Eﬀekt führt z. B. dazu, dass sich der Kontostand nicht, wie von Laien häuﬁg vermutet, nach der Hälfte der Laufzeit, also nach der Hälfte aller Entnahmen, ebenfalls halbiert hat. Er hat sich um weniger als die Hälfte reduziert und entspricht im Beispiel mit 54.464,96 noch 53,7 % des anfänglichen Kontostandes. Im Beispiel ist dieser Eﬀekt relativ schwach ausgeprägt. Bei längeren Laufzeiten und höheren Zinssätzen kann er von erheblich größerer Bedeutung sein. ?Übungsaufgabe 3.4

Angenommen, wir eröffnen in t D 0 ein Konto, auf das wir sofort bei Eröffnung einmalig einen Betrag einzahlen. Von dem Konto wollen wir im weiteren Verlauf über eine Rentendauer von insgesamt 20 Jahren jeweils zum Ende eines Jahres einen Betrag von 10.000 abheben. Für die Abrechnung des Kontos gilt ein konstanter Zinssatz von 8 % p. a.

a. Angenommen, die Rentendauer beginnt sofort mit Eröffnung des Kontos, die Rentenzahlungen sollen also in den Zeitpunkten t D 1; 2; : : : ; 20 erfolgen. Welchen Betrag müssen wir dann in t D 0 auf das Konto einzahlen? Berechnen Sie den erforderlichen Rentenbarwertfaktor zunächst selbst und kontrollieren Sie Ihr Ergebnis dann anhand der Tabelle. b. Gehen Sie von der in Teilaufgabe a. unterstellten Situation aus. Wie hoch ist dann der Kontostand unmittelbar nach der Abhebung der 14. Rentenzahlung? Versuchen Sie, den Kontostand direkt mittels finanzmathematischer Methoden zu berechnen. Eine sukzessive Berechnung der Kontostände der ersten 14 Rentenjahre ist nicht erforderlich. c. Nehmen Sie nun an, die Rentendauer beginnt erst fünf Jahre nach Eröffnung des Kontos, die Rente soll jetzt also in den Zeitpunkten t D 6; 7; : : : ; 25 gezahlt werden. Welchen Betrag müssen wir dann in t D 0 auf das Konto einzahlen?

3.3.3

Varianten der Rentenrechnung bei konstantem Zinssatz

Wir halten die Annahme eines konstanten Zinssatzes in diesem Abschnitt zunächst noch bei und variieren die anderen drei Parameter der Rentenrechnung. Zur Berechnung der Rentenwerte gehen wir jeweils von der für den Standardfall entwickelten Formel (3.13) aus und passen diese an die geänderten Bedingungen an. Im Ergebnis entsteht für jeden behandelten Fall eine neue Formel für die Berechnung des Rentenwertes. Primär sollen aber nicht diese Formeln vermittelt werden, sondern die Erwägungen, wie sich diese Formeln durch Modiﬁkation des Standardfalles gewinnen lassen.

3

85 3.3 Rentenrechnung

a) Endwert einer nachschüssigen, endlichen Rente Wieder sei angenommen, Sie hätten die „Sofortrente“ für die Dauer von 6 Jahren jeweils zum Ende des Rentenjahres in Höhe von jährlich 20.000 gewonnen und kalkulieren mit einem konstanten Zinssatz von 5 % p. a. Jetzt bietet Ihnen die Lotterie statt der Rente aber eine einmalige Zahlung zum Ende des letzten Rentenjahres an. Damit stellt sich nun also die Frage, wie hoch die Einmalzahlung zum Ende der Laufzeit sein muss, damit sie denselben Wert wie die Rente hat. Die Frage lässt sich auf unterschiedlichen Wegen beantworten. Besonders einfach fällt der Weg über den bereits aus 7 Abschn. 3.3.2 bekannten Barwert der Rente. Der Barwert drückt den Wert der Rente in einem einzigen Betrag bezogen auf den Zeitpunkt t D 0 aus. Jetzt ist erneut der Wert der Rente in einem einzigen Betrag gesucht, nur dass sich der Betrag nun auf t D T beziehen soll. Zur Ermittlung des Endwertes einer nachschüssigen, endlichen Rente REN kann daher der bekannte Rentenbarwert um T Perioden vom Zeitpunkt t D 0 auf t D T aufgezinst werden: REN D 101:513;84 1;056 D 136:038;25 In enger Anlehnung an den zu seiner Berechnung beschrittenen Weg, beschreibt der Rentenendwert das Guthaben, das Sie am Ende der Anlagedauer erzielen, wenn Sie in t D 0 einen Betrag in Höhe des Rentenbarwertes von 101.513,84 für die Dauer von sechs Jahren zu einem konstanten Zinssatz von 5 % anlegen. Er lässt sich aber auch interpretieren als das Endguthaben, das Sie erzielen, wenn Sie die Rente in Form von sechs Zahlungen von je 20.000 beziehen und die Rentenbeträge jeweils für die Dauer bis t D 6 zum Periodenzinssatz von 5 % anlegen. Allgemein kann der Endwert einer endlichen, nachschüssigen Rente REN bei einem Rentenbetrag e, einem Zinssatz r bzw. Zinsfaktor q D 1 C r und einer Rentenlaufzeit von T

Jahren gemäß (3.16) berechnet werden. REN D RBN q T D e RBF.T I r/ q T 1 q T qT r qT 1 De r De

(3.16)

Der Faktor, mit dem der Rentenbetrag e laut Formel (3.16) zu multiplizieren ist, heißt Rentenendwertfaktor. Er lässt sich, wie in Formel (3.16) verdeutlicht, durch eine eigene Formel ausdrücken. Während wir gezeigt haben, wie er sich durch die Adaption des Rentenbarwertfaktors bestimmen lässt, kann er alternativ auch eigenständig mit Hilfe des Gauss’schen Tricks hergeleitet werden. >Merke Der Endwert einer Rente kann ermittelt werden, indem deren Barwert über die Laufzeit der Rente aufgezinst wird.

b) Barwert einer vorschüssigen, endlichen Rente Es sei wieder angenommen, Sie hätten die „Sofortrente“ für die Dauer von 6 Jahren in Höhe von jährlich 20.000 gewonnen, kalkulieren mit einem konstanten Periodenzinssatz von 5 % p. a. und können sich den Gewinn alternativ als Einmalzahlung zu Rentenbeginn auszahlen lassen. Nun ist also wieder ein Barwert der Rente gesucht. Jetzt soll die Zahlung der Rente aber nicht mehr zum Ende, sondern zum Beginn jedes Rentenjahres erfolgen. Bei Bezug der Rente lautet der Zahlungsstrom nun also e0 D e1 D e2 D e3 D e4 D e5 D 20:000; e6 D 0. Auf Anhieb ist klar, dass der Barwert der vorschüssigen Rente c. p. höher sein muss als der Barwert der nachschüssigen Rente. Denn beide Renten weisen denselben Zahlungsstrom auf, nur dass bei der vorschüssigen Rente jede Zahlung eine Periode früher erfolgt. Für die genaue Berechnung des Barwertes der vorschüssigen Rente RBV bieten sich insbesondere

86

3

Kapitel 3 Finanzmathematik

drei Ansätze an, die bei sachgerechter Handhabung selbstverständlich zum identischen Ergebnis führen. In einem ersten Ansatz wird zunächst die Rentenzahlungsreihe zeitlich so transformiert, dass wir darauf die aus 7 Abschn. 3.3.2 bekannte Barwertformel anwenden können. Formel (3.15) setzt eine nachschüssige Rente voraus; zwischen dem Zeitpunkt t D 0, auf den sich der Barwert bezieht, und dem Zeitpunkt der ersten Rentenzahlung liegt also ein Jahr. Damit diese Anwendungsvoraussetzung der Formel (3.15) bei einer vorschüssigen Rente erfüllt ist, müssen wir zuvor jede einzelne Rentenzahlung um eine Periode aufzinsen, also vom Anfang auf das Ende der jeweiligen Periode umrechnen. Auf diese um eine Periode aufgezinsten Rentenzahlungen können wir dann Formel (3.15) ohne weitere Modiﬁkation anwenden: RBV D .20:000 1;05/ RBF .6 J:I 5 %/ D 21:000 5;0757 D 106:589;53 In einem zweiten Ansatz wird zunächst Formel (3.15) angewendet und anschließend der damit „begangene Fehler korrigiert“. Wenden wir Formel (3.15) ohne vorherige Transformation der einzelnen Rentenzahlungen auf eine vorschüssige Rente an, liefert uns die Formel den Barwert dieser Rente bezogen auf einen Zeitpunkt eine Periode vor der ersten Rentenzahlung, bei einer vorschüssigen Rente also bezogen auf den Zeitpunkt t D 1, denn so haben wir Formel (3.15) bei ihrer Herleitung kalibriert. Da uns der Barwert der Rente aber nicht für t D 1, sondern für t D 0 interessiert, müssen wir das Ergebnis noch um eine Periode aufzinsen: RBV D Œ20:000 RBF .6 J:I 5 %/ 1;05 D 20:000 5;0757 1;05 D 106:589;53 In einem dritten Ansatz wird Formel (3.15) zunächst nur auf die Rentenzahlungen der Perioden 2 bis 6 angewendet. Diese 5 Zahlungen

bilden aus Sicht des Zeitpunktes t D 0 eine nachschüssige Rente mit der Laufzeit von 5 Perioden. Die ohnehin auf den Zeitpunkt t D 0 bezogene Rentenzahlung der ersten Periode kann dann einfach zum ermittelten Rentenbarwert der folgenden 5 Perioden addiert werden: RBV D 20:000 RBF .5 J:I 5 %/ C 20:000 D 20:000 ŒRBF .5 J:I 5 %/ C 1 D 20:000 5;3295 D 106:589;53: Auf allen drei Wegen ergibt sich allgemein für den Barwert einer endlichen, vorschüssigen Rente RBV bei einem Betrag der Rente e, einem Zinssatz r bzw. Zinsfaktor q D 1 C r und einer Rentenlaufzeit T Formel (3.17). RBV D RBN q D e RBF.T I r/ q 1 q T q r q D e 1 q T r De

(3.17)

Dass Formel (3.17) die Verallgemeinerung unserer beiden ersten im Beispiel beschrittenen Berechnungswege darstellt, ist oﬀensichtlich. Auf beiden Wegen haben wir ja jeweils den RBN mit q multipliziert. Dass Formel (3.17) auch die Verallgemeinerung des dritten Weges darstellt, lässt sich durch die formale Darstellung des dritten Weges und anschließende Umstellungen wie folgt verdeutlichen: RBV D e ŒRBF.T 1I r/ C 1 1 q .T 1/ C r r q q .T 1/ De r q D e 1 q T : r

De

>Merke Der Barwert einer vorschüssigen Rente kann ermittelt werden, indem der Barwert der entsprechenden nachschüssigen Rente um eine Periode aufgezinst wird.

87 3.3 Rentenrechnung

3

c) Endwert einer vorschüssigen, endlichen mel (3.18). Rente REV D RBN q T C1 Es sei wie unter b) angenommen, Sie hätten die „Sofortrente“ für 6 Jahre als vorschüssige D RBV q T Rente in Höhe von jährlich 20.000 gewonnen D REN q und kalkulieren mit einem konstanten Peri1 q T odenzinssatz von 5 % p. a. Jetzt können Sie sich De q T C1 r den Gewinn aber alternativ wieder wie unter q a) als Einmalzahlung zum Ende der RentenD e qT 1 (3.18) r dauer auszahlen lassen. Gesucht ist jetzt also wieder ein Rentenendwert – diesmal aber für >Merke eine vorschüssige und nicht für eine nachschüsDer Endwert einer vorschüssigen Rente sige Rente. kann ermittelt werden, indem der Barwert Zur Berechnung des gesuchten Endwertes der entsprechenden nachschüssigen einer vorschüssigen, endlichen Rente REV erRente über die Laufzeit der Rente und zur öﬀnet uns das bereits verfügbare Arsenal von Berücksichtigung der Vorschüssigkeit um Rentenrechnungsmethoden diverse Wege. REV eine zusätzliche Periode aufgezinst wird. kann berechnet werden aus dem Barwert der vorschüssigen Rente RBV. Dazu ist dieser Bar- d) Barwert einer unendlichen, wert zur Berücksichtigung des veränderten Benachschüssigen Rente zugszeitpunktes um T Perioden aufzuzinsen: Angenommen, Sie hätten die „Sofortrente“ jeweils zum Ende des Rentenjahres in Höhe REV D 106:589;53 1;056 D 142:840;16 von jährlich 20.000 gewonnen und kalkulieren mit einem konstanten Periodenzinssatz von 5 % p. a. Die Rente soll nun ewig, also über REV kann alternativ berechnet werden aus dem einen unendlich langen Zeitraum gezahlt werEndwert der nachschüssigen Rente REN. Daden. Die Lotterie bietet Ihnen statt der ewigen zu ist dieser Endwert zur Berücksichtigung der Rente alternativ die Zahlung eines einmaligen Vorschüssigkeit um eine Periode aufzuzinsen: Betrages zu Beginn des ersten Rentenjahres an. Jetzt ist also der Barwert einer unendlichen, REV D 136:038;25 1;05 D 142:840;16 nachschüssigen Rente gesucht. Der Barwert der unendlichen, nachschüssigen Rente RBN 1 stellt einen Grenzfall des Oder REV kann berechnet werden aus dem Barwertes der endlichen nachschüssigen RenBarwert der nachschüssigen Rente RBN. Date dar. Dieser Grenzfall besteht darin, dass die zu ist dieser Barwert zur Berücksichtigung des Dauer der Rente jede auch noch so hohe, vorveränderten Bezugszeitpunktes um T Perioden gegebene Laufzeit übersteigt. Er kann also als und zur Berücksichtigung der Vorschüssigkeit mathematischer Grenzwert des Barwertes der um eine weitere Periode aufzuzinsen: endlichen Rente bestimmt werden: 1 1;05T REV D 101:513;84 1;057 D 142:840;16 : RBN 1 D lim 20:000 T !1 0;05 20:000 1 Allgemein gilt damit für den Endwert einer D lim 1 0;05 T !1 1;05T endlichen, vorschüssigen Rente REV bei ei20:000 nem Rentenbetrag e, einem Zinssatz r bzw. D 400:000 D 0;05 Zinsfaktor q D 1 C r und einer Laufzeit T For-

88

3

Kapitel 3 Finanzmathematik

Bei positivem Zinssatz wächst der Aufzinsungsfaktor mit wachsenden Laufzeiten über alle Grenzen. Dessen Kehrwert, der Abzinsungsfaktor, konvergiert für wachsende Laufzeiten daher gegen Null. Deshalb strebt der Grenzwert in der zweiten eckigen Klammer gegen den Wert eins und ergibt sich der Barwert einer ewigen, nachschüssigen Rente einfach aus dem Quotienten von Rentenbetrag und Zinssatz. Bei positivem Zinssatz gilt damit allgemein für den Barwert einer unendlichen, nachschüssigen Rente RBN 1 bei einem Rentenbetrag e und einem Zinssatz r bzw. Zinsfaktor q D 1 C r Formel (3.19). RBN

1

1 q T D lim e T !1 r e 1 e D lim 1 T D r T !1 q r

>Merke Der Barwert einer unendlichen, nachschüssigen Rente lässt sich berechnen, indem der Rentenbetrag durch den Zinssatz dividiert wird.

Die Einfachheit der Formel (3.19) erlaubt eine alternative Herleitung der bereits im Standardfall für eine endliche, nachschüssige Rente gewonnenen Barwertformel (3.15). Dazu kann auch eine endliche nachschüssige Rente in einem ersten gedanklichen Schritt zunächst einmal als unendliche Rente aufgefasst werden. Soweit würde vorläuﬁg gelten: RBN D e

(3.19)

Das Ergebnis mag auf den ersten Blick in zweierlei Hinsicht verblüﬀen. Zum einen mag verblüﬀen, dass es mathematisch von so einfacher Struktur ist. Zum anderen mag verblüﬀen, dass der Rentenbarwert endlich ist, obwohl doch die Rente unendlich lange gezahlt wird. Beide Irritationen lassen sich allerdings beseitigen, wenn wir uns das Ergebnis noch einmal auf eine andere, sehr anschauliche Weise verdeutlichen: Legen wir im Beispiel 400.000 zu 5 % an, beträgt die Zinsgutschrift nach einem Jahr 20.000. Sie entspricht also genau der Höhe der Rente. Nach der Auszahlung der Rente werden damit im zweiten Jahr, genau wie im ersten Jahr, wieder 400.000 angelegt und alle Zahlungen der ersten Periode wiederholen sich in der zweiten Periode und in jeder folgenden Periode. Damit der Kontostand im Zeitablauf weder wächst noch schrumpft, müssen wir also zum Ende der Periode genau die Zinsgutschrift entnehmen. Damit muss für die Entnahme e zwingend gelten: e D RBN 1 r. Genau diesen Zusammenhang beschreibt aber Formel (3.19), nur aufgelöst nach dem Rentenbarwert und nicht aufgelöst nach dem Rentenbetrag.

1 ::: r

Damit würde der Barwert der endlichen Rente allerdings überschätzt. Die endliche Rente läuft ja nur bis zum Zeitpunkt T und eben nicht unendlich. Alle Rentenzahlungen nach T würden in der vorläuﬁgen Formel zu viel berücksichtigt. Der Barwert aller Rentenzahlungen nach T muss also noch subtrahiert werden. Dabei folgen bei einer ewigen Rente auch nach dem Zeitpunkt T aber immer noch unendlich viele Rentenzahlungen. Wir müssen von dem Barwert der unendlichen Rente also den Barwert einer unendlichen Rente subtrahieren. Soweit würde vorläuﬁg gelten: RBN D e

1 1 e ::: r r

Damit würde sich ein Barwert von Null ergeben. Wir können mit unserer Berechnungsformel also noch nicht fertig sein. Anpassungsbedarf besteht noch bei den zeitlichen Bezügen. Der Barwert der ersten unendlichen Rente bezieht sich auf den Beginn der gesamten Rentendauer, also auf t D 0. Der Barwert der zweiten unendlichen Rente bezieht sich hingegen auf den Beginn der restlichen Rentendauer, also auf t D T . Bevor wir den zweiten Barwert subtrahieren, müssen wir ihn also noch von t D T auf t D 0 abzinsen und erhalten so wieder For-

3

89 3.3 Rentenrechnung

te RBV 1 bei einem Betrag der Rente e und

mel (3.15): 1 1 RBN D e e q T r r 1 q T 1 D e 1 q T D e r r e) Barwert einer unendlichen, vorschüssigen Rente Wieder sei angenommen, Sie hätten die „Sofortrente“ von jährlich 20.000 für eine unendliche Laufzeit gewonnen und kalkulieren mit einem konstanten Periodenzinssatz von 5 % p. a. Die Rente soll nun aber vorschüssig, also zu Beginn jedes Rentenjahres und damit erstmals in t D 0, gezahlt werden. Die Lotterie bietet Ihnen statt der ewigen Rente alternativ wieder die Zahlung eines einmaligen Betrages zu Beginn des ersten Rentenjahres an. Jetzt ist also der Barwert einer unendlichen, vorschüssigen Rente gesucht. Der gesuchte Barwert einer unendlichen, vorschüssigen Rente RBV 1 kann auf zwei Wegen mit Hilfe des bereits bekannten Barwertes einer unendlichen, nachschüssigen Rente RBN 1 bestimmt werden. In einem ersten Ansatz kann die bekannte Formel (3.19) auf die vorschüssige Zahlungsreihe angewendet werden. Der so berechnete Barwert bezieht sich auf den Zeitpunkt eine Periode vor der ersten Rentenzahlung, also auf t D 1. Er ist daher noch für eine Periode aufzuzinsen: RBV 1 D

20:0000 1;05 D 420:000 0;05

Alternativ kann Formel (3.19) auf die Rentenzahlungen ab t D 1, die aus Sicht des Zeitpunktes t D 0 eine ewige, nachschüssige Rente bilden, angewendet werden. Dann ist anschließend noch die Rentenzahlung des Zeitpunktes t D 0 zu diesem ebenfalls auf t D 0 bezogenen Barwert zu addieren: RBV 1 D

20:0000 C 20:000 D 420:000 0;05

Bei positiven Zinssätzen gilt damit für den Barwert einer unendlichen, vorschüssigen Ren-

einem Zinssatz r bzw. Zinsfaktor q D 1 C r allgemein Formel (3.20). RBV 1 D RBN 1 q q e De D Ce r r

(3.20)

>Merke Der Barwert einer unendlichen, vorschüssigen Rente lässt sich berechnen, indem zum Barwert der entsprechenden nachschüssigen Rente eine Rentenzahlung addiert wird.

?Übungsaufgabe 3.5

Wir eröffnen in t D 0 ein Konto, das mit 10 % p. a. abgerechnet wird. Von dem Konto heben wir in jedem Jahr der Rentendauer einen Betrag von 5.000 ab. a. Angenommen, wir wollen die Rente unendlich lange, jeweils am Ende eines Jahres, erstmals also in t D 1, abheben und der Kontostand soll nie negativ werden. Welchen Betrag müssen wir dann in t D 0 mindestens auf das Konto einzahlen? b. Angenommen, wir wollen die Rente unendlich lange, jeweils zum Beginn eines Jahres, erstmals also in t D 0, abheben und der Kontostand soll nie negativ werden. Welchen Betrag müssen wir dann in t D 0 (unmittelbar vor der ersten Abhebung) mindestens auf das Konto einzahlen? c. Angenommen, wir wollen die Rente für die Dauer von 20 Jahren jeweils zum Beginn eines Jahres, erstmals also in t D 0, abheben und der Kontostand soll nie negativ werden. Welchen Betrag müssen wir dann in t D 0 (unmittelbar vor der ersten Abhebung) mindestens auf das Konto einzahlen? d. Angenommen, wir tätigen zunächst keine Einzahlung auf das Konto und heben die Rente für die Dauer von 20 Jahren jeweils zum Ende eines Jahres, erstmals also in t D 1, ab. Wie

Kapitel 3 Finanzmathematik

90

12, 67 13,56

3

14,51 15,38

RBN

16,30 17, 28 18,14

20

19, 05

0

1

20

2

20 3

r = 5%

20

4

20 5

20 6

r = 6%

20 7

20 8

t

r = 7%

. Abb. 3.9 Rentenbarwert bei wechselnden Zinssätzen durch Einzelabzinsung

hoch ist dann der Kontostand nach 20 Jahren (unmittelbar nach der 20. Abhebung)? e. Angenommen, wir tätigen zunächst keine Einzahlung auf das Konto und heben die Rente für die Dauer von 20 Jahren jeweils zum Beginn eines Jahres, erstmals also in t D 0, ab. Wie hoch ist dann der Kontostand nach 20 Jahren?

3.3.4

Rentenrechnung bei wechselnden Periodenzinssätzen

Bisher sind wir für die Rentenrechnung stets von einem im Zeitablauf konstanten Periodenzinssatz ausgegangen. Nun unterstellen wir wechselnde Periodenzinssätze. Wechselnde Periodenzinssätze lassen sich theoretisch mit allen bisher behandelten sechs Varianten der Rentenrechnung kombinieren. Wir beschränken uns exemplarisch auf endliche, nachschüssige Renten.

Zur beispielhaften Verdeutlichung der Rechenmethode sei angenommen, Sie hätten eine nachschüssige „Sofortrente“ von jährlich 20.000 für die Dauer von acht Jahren gewonnen. Für die ersten drei Rentenjahre kalkulieren Sie mit einem Zinssatz von r1 D r2 D r3 D 5 %, anschließend für drei Jahre mit r4 D r5 D r6 D 6 % und für die beiden letzten Jahre mit r7 D r8 D 7 %. Die Lotterie bietet Ihnen statt der Rente eine einmalige Zahlung zu Beginn des ersten Rentenjahres an – gesucht ist also der Barwert der Rente. Zur Lösung des Problems erinnern wir uns zunächst an unseren Einstieg in die Rentenrechnung. Den ersten Rentenbarwert haben wir bestimmt, indem wir jede einzelne Rentenzahlung separat auf t D 0 abgezinst und anschließend die Barwerte aller Einzelzahlungen zum Barwert der gesamten Zahlungsreihe aufsummiert haben. Diese Basistechnik der Rentenrechnung können wir auch bei wechselnden Periodenzinssätzen anwenden. Die Vorgehensweise wird in . Abb. 3.9 veranschaulicht. So errechnet sich als Barwert der endlichen, nachschüssigen Rente bei wechseln-

3

91 3.3 Rentenrechnung

den Periodenzinssätzen:

RBN D 20:000 1;051 C 20:000 1;052 C 20:000 1;053 C 20:000 1;061 1;053 C 20:000 1;062 1;053 C 20:000 1;063 1;053 C 20:000 1;071 1;063 1;053 C 20:000 1;072 1;063 1;053 0 1;051 C 1;052 C 1;053 C 1;061 1;053 C 1;062 1;053 B B 3 3 1 3 3 D 20:000 B B C1;06 1;05 C 1;07 1;06 1;05 @ C1;072 1;063 1;053

1 C C C C A

D 20:000 6;3436 D 126:872;85: Die Basistechnik der Rentenrechnung funktioniert in jeder Zinssituation. Sie erfordert allerdings zahlreiche einzelne Diskontierungen. Auf eine aggregierte Diskontierung vieler Rentenzahlungen in einem einzigen Schritt, deren vereinfachende Wirkung ja gerade der Clou unserer bisherigen Rentenrechnungen war, wird dabei allerdings vollständig verzichtet. Der Vorteil einer aggregierten Rentenrechnung lässt sich aber u. U. in abgeschwächter Form auch bei wechselnden Periodenzinssätzen erzielen. Die dazu bestehenden Möglichkeiten werden in . Abb. 3.10 veranschaulicht. Rechnerisch lassen sich die Aggregationsmöglichkeiten im Beispiel durch die Umstellung des Berechnungsterms verdeutlichen: 0

Die bei einer Rentenrechnung mit wechselnden Periodenzinssätzen möglichen Aggregationen werden in der vorletzten Zeile deutlich. Für jeden Zeitabschnitt mit konstantem Periodenzinssatz, in unserem Beispiel also für die Abschnitte von 3, 3 und 2 Perioden Dauer, kann zunächst jeweils der Barwert aller während dieses Zeitabschnittes anfallenden Rentenzahlungen mit Hilfe der Formel (3.15) berechnet werden. Diese Barwertberechnungen werden in . Abb. 3.10 durch die Pfeile mit den Zahlen 1 bis 3 verdeutlicht. Die so errechneten Barwerte der Zeitabschnitte beziehen sich jeweils auf den Beginn des Zeitabschnittes, in unserem Beispiel also auf die Zeitpunkte t D 0, t D 3 und t D 6. Abgesehen vom ersten Barwert müs-

1;051 C 1;052 C 1;053 C 1;061 1;053 C 1;062 1;053

1

C B C B 3 3 1 3 3 C B RBN D 20:000 B C1;06 1;05 C 1;07 1;06 1;05 C A @ 2 3 3 C1;07 1;06 1;05 3 2 1 2 3 1 2 3 3 C 1;06 C 1;06 C 1;06 1;05 7 6 1;05 C 1;05 C 1;05 D 20:000 4 5 C 1;071 C 1;072 1;063 1;053 3 2 3 RBF .3 J:I 5 %/ C RBF .3 J:I 6 %/ 1;05 7 6 D 20:000 4 5 3 3 CRBF .2 J:I 7 %/ 1;06 1;05 D 20:000 6;3436 D 126:872;85:

92

Kapitel 3 Finanzmathematik

(5)

26, 23

3

(4) 46,18 53, 46

RBN

(1)

(2)

36,16

(3) 54, 46

20 0

1

20

2

20 3

r = 5%

20

20 5

4 r = 6%

20

20 6

7

20 8

t

r = 7%

. Abb. 3.10 Rentenbarwert bei wechselnden Zinssätzen durch aggregierte Abzinsungen

sen sie daher vor ihrer Summation noch auf den Zeitpunkt t D 0 abgezinst werden. Diese Diskontierungen werden in . Abb. 3.10 durch die Pfeile 4 und 5 verdeutlicht. Wir verzichten auf die allgemeine formale Beschreibung dieser Vorgehensweise, da sie nicht mehr sehr anschaulich ist. Wie sehr die aggregierte Methodik die Rentenbarwertrechnung bei wechselnden Periodenzinssätzen vereinfacht, hängt von der Häuﬁgkeit der Zinswechsel ab. Ihre Vorteile sind umso größer, je seltener der Zinssatz wechselt bzw. je länger die Abschnitte mit konstanten Zinssätzen sind.

wert ausgehen und diesen über die Laufzeit – mit den wechselnden Periodenzinssätzen – aufzinsen. Gehen wir z. B. wieder von der nachschüssigen Rente von jährlich 20.000 für die Dauer von acht Jahren aus und unterstellen wir wieder für die ersten drei Rentenjahre einen Zinssatz von 5 % p. a, anschließend für drei Jahre 6 % p. a. und für die beiden letzten Jahre 7 % p. a., hat diese Rente bezogen auf den Zeitpunkt t D T einen Wert von:

>Merke

?Übungsaufgabe 3.6

Bei wechselnden Periodenzinssätzen lässt sich der Barwert einer Rente stets durch die Abzinsung der einzelnen Rentenzahlungen berechnen. Bei längeren Abschnitten mit jeweils konstantem Zinssatz lässt sich die Rechnung abschnittsweise mit Hilfe der Rentenrechnung vereinfachen.

Interessiert uns der Endwert einer endlichen, nachschüssigen Rente bei wechselnden Periodenzinssätzen, können wir wieder vom Bar-

REN D 126:872;85 1;053 1;063 1;072 D 200:272;70 :

Wir eröffnen in t D 0 ein Konto, das in den ersten 5 Jahren mit 6 % p. a. und in den folgenden Jahren mit 10 % p. a. abgerechnet wird. Von dem Konto heben wir 20 Jahre lang, jeweils zum Ende des Jahres einen Betrag von 5.000 ab. a. Welchen Betrag müssen wir in t D 0 auf das Konto einzahlen, damit das Konto nach der 20. Abhebung einen Saldo von Null aufweist? b. Angenommen, wir nehmen in t D 0 keine Einzahlung vor. Welchen Stand

3

93 3.4 Annuitätenrechnung

Formel (3.21) umgestellt werden.

weist das Konto dann nach der 20. Abhebung auf?

3.4 3.4.1

1 q T r r 1 D AB , e D AB RBF .T I r/ 1 q T D AB ANF .T I r/ AB D RBN D e RBF.T I r/ D e

Annuitätenrechnung Rechentechnik

So wie die Abzinsung die zur Aufzinsung inverse Rechenmethode darstellt, ist die Annuitätenrechnung die zur Rentenrechnung inverse Methode. Sind Zinssätze und Laufzeit bekannt, ermittelt die Rentenrechnung zu einem gegebenen Rentenbetrag e den wertgleichen Einmalbetrag. Die Annuitätenrechnung ermittelt umgekehrt zu einem gegebenen Einmalbetrag den wertgleichen Rentenbetrag e. Beide Methoden beziehen sich also auf denselben rechnerischen Zusammenhang und interpretieren in diesem Zusammenhang nur unterschiedliche Größen als die abhängige, noch zu berechnende Variable. Dementsprechend kann zu jeder Variante der Rentenrechnung die entsprechende Annuitätenrechnung durch Umstellung der Berechnungsgleichung gewonnen werden. Ist der in t D 0 verfügbare Anfangsbetrag AB bekannt und soll ermittelt werden, welche nachschüssige Rente e über eine Laufzeit von T Jahren bei einem konstanten Kalkulationszinssatz r denselben Wert wie der Anfangsbetrag hat, kann dazu die für den Standardfall der Rentenrechnung entwickelte Formel (3.15) zu

(3.21)

Zur Lösung dieses Problems ist also der Anfangsbetrag mit dem Kehrwert des Rentenbarwertfaktors zu multiplizieren. Der Kehrwert des Rentenbarwertfaktors wird als Annuitätenfaktor ANF.T I r/ bezeichnet. Eine Tabelle der Annuitätenfaktoren für ausgewählte Zinssätze und Laufzeiten enthält die im Anhang beﬁndliche 7 Tab. A.4. . Abb. 3.11 veranschaulicht die Annuitätenrechnung für den Standardfall graphisch. Zur beispielhaften Anwendung von Formel (3.21) sei angenommen, Sie verfügen heute über AB D 100:000, legen diesen Betrag für die Dauer von T D 20 Jahren zu einem konstanten Zinssatz von r D 5 % p. a. an und wollen zum Ende jedes der 20 Jahre denselben Betrag e gerade in der Höhe entnehmen, dass das Konto nach der 20. Entnahme ausgeglichen ist. Dann können Sie jährlich entnehmen: 0;05 1 1;0520 D 100:000 0;0802 D 8:024;26

e D 100:000

. Abb. 3.11 Annuitätenrechnung im Standardfall

AB ANF(T, r) r 1 q mit q 1 r

e

AB

T

AB

e

0

1

e

2

e

T 1 r

e

T

t

94

Kapitel 3 Finanzmathematik

>Merke

3

Die Annuitätenrechnung stellt die Umkehrung der Rentenrechnung dar. Zur Berechnung des gesuchten Rentenbetrages ist daher jeweils der gegebene Ausgangsbetrag durch den geeigneten Rentenbarwertfaktor zu dividieren.

So wie wir Formel (3.15) zwecks Annuitätenrechnung zu Formel (3.21) umgestellt haben, lassen sich auch alle anderen für die Rentenrechnung bestimmten Formeln für die Zwecke der Annuitätenrechnung nach der gesuchten Variablen e umstellen. Wir verzichten auf diese wenig aufschlussreiche Umstellung aller allgemeinen Rentenformeln. Stattdessen beschränken wir uns darauf, die Varianten der Annuitätenrechnung jeweils an einem Beispiel zu verdeutlichen. Angenommen, Sie wollen zum Ende jedes Jahres den konstanten Betrag e auf ein jährlich mit r D 5 % verzinstes Konto einzahlen und nach T D 20 Jahren über ein Endguthaben von EB D 100:000 verfügen. Dann können Sie den jährlich einzuzahlenden Betrag mit Hilfe von Formel (3.16) ermitteln: 100:000 D e RBF .20 J:I 5 %/ 1;0520 0;05 , e D 100:000 1;0520 1 D 100:000 0;0302 D 3:024;26: Angenommen, Sie legen heute den Betrag AB D 100:000 für die Dauer von T D 20 Jahren zu einem konstanten Zinssatz von r D 5 % p. a. an und wollen zum Beginn jedes der 20 Jahre denselben Betrag e gerade in der Höhe entnehmen, dass das Konto nach der 20. Entnahme ausgeglichen ist. Dann können Sie den entnehmbaren Betrag mit Hilfe von Formel (3.17) ermitteln: 100:000 D e RBF .20 J:I 5 %/ 1;05 0;05 1;051 , e D 100:000 1 1;0520 D 8:024;26 1;051 D 7:642;15:

Angenommen, Sie wollen zum Beginn jedes Jahres den konstanten Betrag e auf ein jährlich mit r D 5 % verzinstes Konto anlegen und nach T D 20 Jahren über ein Guthaben von EB D 100:000 verfügen. Dann können Sie den jährlich einzuzahlenden Betrag mit Hilfe von Formel (3.18) bestimmen: 100:000 D e RBF .20 J:I 5 %/ 1;0521 0;05 , e D 100:000 1;051 1;0520 1 D 3:024;26 0;9524 D 2:880;25: Angenommen, Sie legen heute AB D 100:000 zu einem konstanten Zinssatz von r D 5 % p. a. an, dann können Sie den unendlich lange jeweils zum Ende eines Jahres vom Konto entnehmbaren Betrag mit Hilfe von Formel (3.19) ermitteln: e 0;05 , e D 100:000 0;05 D 5:000:

100:000 D

Angenommen, Sie legen heute AB D 100:000 zu einem konstanten Zinssatz von r D 5 % p. a. an, dann können Sie den unendlich lange jeweils zum Beginn eines Jahres vom Konto entnehmbaren Betrag mit Hilfe von Formel (3.20) ermitteln: 1;05 0;05 , e D 100:000 0;05 1;051 D 4:761;90:

100:000 D e

Angenommen, Sie legen heute AB D 100:000 für die Dauer von T D 20 Jahren zu einem wechselnden Periodenzinssatz an. In den ersten acht Jahren gilt ein Zinssatz von 6 % p. a., in den Folgejahren ein Zinssatz von 8 % p. a. Sie wollen am Ende der kommenden 20 Jahre jeweils einen so hohen konstanten Betrag e entnehmen, dass das Konto nach der 20. Entnahme ausgeglichen ist. Dann können Sie den entnehmbaren Betrag mit Hilfe der für die Rentenrechnung entwickelten Vorgehensweise wie

95 3.4 Annuitätenrechnung

folgt ermitteln: 3 RBF .8 J:I 6 %/ 7 6 7 100:000 D e 6 5 4 8 CRBF .12 J:I 8 %/ 1;06 2

b.

, 100:000 RBF .8 J:I 6 %/ C RBF .12 J:I 8 %/ 1;068 100:000 D 6;2098 C 7;5361 0;6274 100:000 D 9:142;40: D 10;9380

eD

Angenommen, Sie wollen zum Ende jedes Jahres den konstanten Betrag e auf ein Konto einzahlen und nach T D 20 Jahren über ein Guthaben von EB D 100:000 verfügen. In den ersten 5 Jahren gilt ein Anlagezinssatz von 5 % p. a., danach ein Zinssatz von 8 % p. a. Dann können Sie den jährlich einzuzahlenden Betrag mit Hilfe der für die Rentenrechnung entwickelten Vorgehensweise wie folgt ermitteln: 2

c.

d.

3

6 RBF .5 J:I 5 %/ 7 7 100:000 D e 6 4 5 CRBF .15 J:I 8 %/ 1;055

e.

1;055 1;0815 , eD

100:000 RBF .5 J:I 5 %/ C RBF .15 J:I 8 %/ 1;055 1;055 1;0815

100:000 0;7835 0;3152 4;3295 C 8;5595 0;7835 100:000 D 0;2470 D 2:237;79: 11;0359 D

?Übungsaufgabe 3.7

Wir eröffnen in t D 0 ein Konto und entnehmen anschließend jährlich denselben Betrag e. Berechnen Sie für die nachfolgend skizzierten Szenarien e. a. In t D 0 zahlen wir 200.000 auf das Konto ein. Das Konto wird zu 8 % p. a. abgerechnet. Wir wollen das maximal mögliche e unendlich lange, jeweils

3.4.2

3

zum Ende eines Jahres, erstmals also in t D 1, abheben. Der Kontostand soll nie negativ werden. In t D 0 zahlen wir 200.000 auf das Konto ein. Das Konto wird zu 8 % p. a. abgerechnet. Wir wollen das maximal mögliche e unendlich lange, jeweils zum Ende eines Jahres abheben. Die erste Entnahme soll aber erst in t D 5 erfolgen. Der Kontostand soll nie negativ werden. In t D 0 zahlen wir 200.000 auf das Konto ein. Das Konto wird in den ersten 5 Jahren zu 8 % p. a., dann 5 Jahre lang zu 6 % p. a. und anschließend zu 4 % p. a. abgerechnet. Wir wollen das maximal mögliche e 20 Jahre lang, jeweils zum Ende eines Jahres, erstmals also in t D 1, abheben. Der Kontostand soll nie negativ werden. Das Konto wird zu 8 % abgerechnet. Wir heben e 20 Jahre lang, jeweils zu Jahresbeginn, erstmals also in t D 0, ab. Wir zahlen in t D 20 einen Betrag von 500.000 auf das Konto ein. Mit dieser Einzahlung soll das Konto wieder glattgestellt werden. Das Konto wird in den ersten 5 Jahren zu 8 % p. a., dann 5 Jahre lang zu 6 % p. a. und danach zu 4 % p. a. abgerechnet. Wir heben e 20 Jahre lang, jeweils zum Jahresende, erstmals also in t D 1, ab. Wir zahlen in t D 20 einen Betrag von 500.000 auf das Konto ein. Mit dieser Einzahlung soll das Konto wieder glattgestellt werden.

Anwendungsfall Annuitätendarlehen

a) Begriff Häuﬁge Anwendung ﬁndet die Annuitätenrechnung bei der Aufnahme von Darlehen mit hohen Beträgen und langen Laufzeiten. Solche Darlehen werden häuﬁg als Annuitätendarlehen vereinbart. Insbesondere werden Kredite zum Erwerb oder zur Errichtung einer Im-

96

3

Kapitel 3 Finanzmathematik

merischen Beispiel verdeutlichen. Dazu nehmen wir an, der Kreditnehmer könne in jedem der kommenden 20 Jahre 26.155,37 für die Bedienung des Kredites einsetzen. Wir vergleichen zwei alternative Darlehensvereinbarungen und damit verbundene Möglichkeiten, wie er diesen Betrag genau jährlich für die Bedienung des Kredites einsetzt. 4 Annuitätendarlehen: Dann zahlt er jedes Jahr 26.155,37 als Annuität an den Kreditgeber und hat den Kredit, wie berechnet, nach 20 Zahlungen verzinst und vollständig getilgt. 4 Endfälliges Darlehen: Dann zahlt er in den ersten 19 Kreditjahren zunächst nur Zinsen an den Kreditgeber und leistet im letzten Kreditjahr neben dem letzten Zinsbetrag die volle Tilgung. Bei einem Kreditbetrag von 300.000 und Zinssatz von 6 % p. a. leistet er dann jährlich 18.000 an Zinsen. Die restlichen 8.155,37 (D 26:155;37 18:000) e D 300:000 ANF .20 J:I 6 %/ kann er für die Tilgung des Kredites anD 300:000 0;0872 D 26:155;37 sparen. Kann er diesen Betrag z. B. zu jährlich 2 % anlegen, beträgt der Stand seines Sparkontos nach der 20. Einzahlung von b) Hauptgrund der Vereinbarung 8.155,37 gemäß Formel (3.16): Vorteile bietet die Vereinbarung eines Annuitätendarlehens im Vergleich zu Darlehen mit 1;0220 1 anderen Tilgungsverläufen vor allem in der C20 D 8:155;37 nachfolgend skizzierten, praktisch häuﬁg zu0;02 treﬀenden Situation: D 198:154;04 4 Der Kreditnehmer kann in jedem Jahr der Laufzeit (in etwa) denselben Betrag für Diesen angesparten Betrag in Höhe von die Bedienung des Kredites einsetzen – 198.154,04 kann er nach 20 Jahren für z. B., weil er auf der anderen Seite auch die Tilgung des Darlehens einsetzen. Daeinen konstanten Einkommensstrom ernach verbliebe aber noch eine Restschuld wartet, aus dem er die Kreditbelastung speiin Höhe von 101.845,96 (D 300:000 sen kann. Das ist zumindest näherungswei198:154;04). se häuﬁg für Unternehmen, aber auch für In unserem Beispiel würde sich der Kresehr viele Privatpersonen der Fall. 4 Beträge, die der Kreditnehmer während der ditnehmer mit der Vereinbarung des AnnuitäLaufzeit nicht an den Kreditgeber leistet, tendarlehens nach 20 Jahren also um stattliche kann er nur zu einem Zinssatz anlegen, der 101.845,96 besserstellen als mit der Vereinbaniedriger als der Sollzinssatz des Darlehens rung eines endfälligen Darlehens. Die genauen Zahlen des Beispiels sind willist. kürlich gewählt. Für den aufgezeigten Vorteil Der in so einer Situation bestehende Vorteil ei- des Annuitätendarlehens sind aber letztlich nur nes Annuitätendarlehens lässt sich durch eine zwei Merkmale unseres Beispiels ausschlaggeeinfache Vergleichsrechnung zu unserem nu- bend. Zum einen muss der Kreditnehmer jährmobilie durch Privatpersonen in den weitaus meisten Fällen als Annuitätendarlehen aufgenommen. Die Besonderheit eines Annuitätendarlehens besteht darin, dass der Betrag, den der Kreditnehmer in der Summe für Zins und Tilgung als Gesamtbelastung leisten muss, in jedem Jahr der Kreditlaufzeit gleich hoch ist. Um diese zeitlich konstante Gesamtbelastung zu ermitteln, ist in ﬁnanzmathematischer Terminologie die Annuität der Kreditsumme zu berechnen. Wird z. B. ein Darlehen in Höhe von 300.000 aufgenommen, ein Zinssatz von 6 % p. a. für das Kreditkonto vereinbart und soll die Schuld im Laufe von 20 Jahren durch in jedem Jahr gleich hohe, zum Jahresende zu leistende Annuitäten verzinst und genau vollständig getilgt werden, dann muss die jährliche Gesamtbelastung gemäß Formel (3.21) betragen:

97 3.4 Annuitätenrechnung

3

lich in etwa denselben Betrag für die Bedienung 4 Bei einem Annuitätendarlehen leistet der Kreditnehmer zwar jährlich denselben Gedes Darlehens einsetzen können. Zum anderen samtbetrag für Zinsen und Tilgung. Wie darf er Beträge nur zu einem Zinssatz anspasich die Annuität aus Zinsen und Tilgung ren können, der unter dem Sollzinssatz des zusammensetzt, muss sich im Zeitablauf Darlehens liegt. Da diese beiden Bedingungen aber zu Gunsten der Tilgung und zu Lasten praktisch häuﬁg erfüllt sind, entscheiden sich der Zinsen verschieben. Kreditnehmer oft in ihrem besten Interesse für 4 Anfangs ist die volle Schuld zu verzinsen, die Aufnahme eines Annuitätendarlehens. also ein großer Teil der Annuität für Zinsen >Merke einzusetzen. Nur der Rest verbleibt für die Die Aufnahme von Annuitätendarlehen Tilgung. ist für einen Kreditnehmer vor allem dann 4 Mit jeder Tilgung reduziert sich die zu verinteressant, wenn er jährlich gleichbleizinsende Schuld. Da in jedem Jahr Tilgunbende Beträge für die Bedienung des gen erfolgen, sinkt also von Jahr zu Jahr Darlehens aufbringen kann und dieder Betrag, der für Zinsen einzusetzen ist. se ansonsten nur zu einem unter dem Spiegelbildlich steigt von Jahr zu Jahr der Sollzinssatz liegenden Habenzinssatz Betrag, der für die Tilgung eingesetzt weransparen könnte. den kann. 4 Da die Tilgungen im Zeitablauf zunehmen, reduzieren sich die zu leistenden Zinsen c) Verlauf der Restschuld nicht von Jahr zu Jahr um denselben Betrag, Finanzmathematisch ungebildete Kreditnehsondern von Jahr zu Jahr um immer größemer haben häuﬁg falsche Vorstellungen von re Beträge. Die zu leistenden Zinsen nehder Entwicklung, die ihr Kreditkonto bei der men also einen progressiv abnehmenden Aufnahme eines Annuitätendarlehens im ZeitVerlauf. Spiegelbildlich nimmt der Betrag ablauf nimmt. Insbesondere gehen sie häuﬁg von der falschen Vorstellung aus, dass sie mit der Tilgung einen progressiv zunehmeneiner in jedem Jahr in gleicher Höhe zu leisden Verlauf. tenden Annuität auch ihre Schuld im Laufe der Jahre gleichmäßig zurückführen. Zum Beispiel >Merke erwarten sie, nach der Hälfte der Kreditlaufzeit, Bei einem Annuitätendarlehen reduziert also der Hälfte aller insgesamt zu leistenden sich die Restschuld in den ersten Jahren Annuitäten, auch ihre Schulden halbiert zu hanur wenig. Die Tilgung beschleunigt sich ben. im Zeitablauf. Tatsächlich nimmt die Restschuld bei einem Annuitätendarlehen aber nicht linear, sonWollen wir uns ein exaktes Bild vom Verlauf der dern progressiv fallend ab. Sie nimmt zunächst Restschuld machen, müssen wir rechnen. Für nur um einen geringen Betrag ab. Die Tilgung unser Beispiel eines Annuitätendarlehens über der Schuld steigt im Zeitablauf und beschleu300.000 mit 20 Jahren Laufzeit bei einem Zinsnigt ihren Anstieg zudem im Zeitablauf. Demsatz von 6 % p. a. können wir diese Berechnung entsprechend wird der größte Teil der Schuld z. B. in folgender Weise zeitlich fortschreitend erst in den letzten Jahren der Kreditlaufzeit beangehen: glichen. Dass sich die Restschuld bei einem Annuitätendarlehen im Zeitablauf nach diesem 4 Zu Beginn des ersten Kreditjahres entspricht die Restschuld C0 dem vollen KreSchema entwickeln muss, lässt sich schon auf ditbetrag: der Basis rein qualitativer Überlegungen, also ohne ﬁnanzmathematische Kenntnisse erschließen: C0 D 300:000 :

98

Kapitel 3 Finanzmathematik

. Tabelle 3.2 Kontoentwicklung eines Annuitätendarlehens t

3

et

Zt

0

300.000,00

1

26.155,37

2

C t C t1 D T t

Ct 300.000,00

300.000,00

18.000,00

291.844,63

8.155,37

26.155,37

17.510,68

283.199,94

8.644,69

3

26.155,37

16.992,00

274.036,57

9.163,37

4

26.155,37

16.442,19

264.323,39

9.713,18

5

26.155,37

15.859,40

254.027,42

10.295,97

6

26.155,37

15.241,65

243.113,70

10.913,72

7

26.155,37

14.586,72

231.545,15

11.568,55

8

26.155,37

13.892,71

219.282,49

12.262,66

9

26.155,37

13.156,95

206.284,06

12.998,42

10

26.155,37

12.377,04

192.505,74

13.778,33

11

26.155,37

11.550,34

177.900,71

14.605,03

12

26.155,37

10.674,04

162.419,39

15.481,33

13

26.155,37

9.745,16

146.009,18

16.410,21

14

26.155,37

8.760,55

128.614,36

17.394,82

15

26.155,37

7.716,86

110.175,85

18.438,51

16

26.155,37

6.610,55

90.631,03

19.544,82

17

26.155,37

5.437,86

69.913,52

20.717,51

18

26.155,37

4.194,81

47.952,97

21.960,56

19

26.155,37

2.877,18

24.674,77

23.278,19

20

26.155,37

1.480,49

0,11

24.674,88

0

Für diesen Betrag werden am Ende des ersten Jahres Zinsen Z1 belastet: Z1 D 300:000 0;06 D 18:000 : Dementsprechend verbleiben für die Tilgung am Ende des ersten Jahres T1 : T1 D 26:155;37 18:000 D 8:155;37 : 4 Zu Beginn des zweiten Jahres entspricht die Restschuld C1 der ursprünglichen Restschuld C0 abzüglich der Tilgung des ersten Jahres. Alternativ kann man C1 bestimmen

als die einmal verzinste Restschuld C0 abzüglich der Annuität: C1 D 300:000 C 8:155;37 D 300:000 1;06 C 26:155;37 D 291:844;63 : Für diesen Betrag werden am Ende des zweiten Jahres Zinsen belastet: Z2 D 291:844;63 0;06 D 17:510;68 : Dementsprechend verbleiben für die Tilgung am Ende des zweiten Jahres: T2 D 26:155;37 17:510;68 D 8:644;69 :

99 3.4 Annuitätenrechnung

3

Allgemein gelten bei einer Anfangsschuld C0 in Höhe des Kreditbetrages bei der zeitlich fortschreitenden Methode für die Restschuld, den Zinsanteil und den Tilgungsanteil nach t Jahren also die Zusammenhänge der Formeln (3.22). Dabei ist zu beachten, dass die Annuitäten e und die Tilgungen T t positiv, die Zinsbelastungen Z t und die Kontostände C t aber negativ sind.

Bisher sind wir zur Berechnung der bei Aufnahme eines Annuitätendarlehens in einem Kreditjahr relevanten Größen Zinsbetrag, Tilgungsbetrag und Restschuld zeitlich fortschreitend vorgegangen. Diese Vorgehensweise setzt voraus, dass die Größen der ersten t 1 Jahre bereits berechnet sein müssen, bevor die entsprechenden Größen des t-ten Jahres bestimmt werden können. Die interessierenden Jahresbeträge lassen sich alternativ zeitlich rückschreiC t D C t 1 q C e tend bestimmen. Dazu müssen wir in Formel Z t D C t 1 r (3.22) lediglich die erste Gleichung zur BestimT t D C t C t 1 D e C Z t (3.22) mung der Restschuld, nach C t 1 statt nach C t auﬂösen. Dann gelten bei einer Restschuld von Führen wir die Berechnungen für die gesamte CT D0 die Formeln (3.23). Kreditlaufzeit fort, erhalten wir die in . Tab. 3.2 zusammengestellten Ein- und Auszahlungen C t 1 D .C t e/ q 1 e t , Zinsbelastungen Z t , und Kontostände C t . Z t D C t 1 r Der angegebene Kontostand gilt dabei jeweils T t D C t C t 1 D e C Z t (3.23) unmittelbar nach erfolgter Zinsbelastung, Ein-

oder Auszahlung und Tilgungsverrechnung. Zusätzlich sind in der letzten Spalte die Veränderungen der Restschuld im Vergleich zur Restschuld des Vorjahres angegeben. Abgesehen vom Zeitpunkt t D 0 entspricht diese Diﬀerenz der Tilgung des Jahres. Die Kontoentwicklung zeigt die bereits qualitativ verdeutlichten Merkmale. Die Tilgungen sind in den ersten Jahren gering und steigen im Zeitablauf. Im Beispiel steigen sie von T1 D 8:155;37 auf T20 D 24:674;88. Der Anstieg verläuft nicht linear, sondern progressiv. Zum Beispiel beträgt er vom ersten zum zweiten Jahr 469,32 (D 8:644:69 8:155:37), vom vorletzten zum letzten Jahr hingegen 1.396,69 (D 24:674;88 23:278;19). Durch den progressiven Anstieg der Tilgung werden die Schulden im wesentlichen erst in den letzten Jahren der Kreditlaufzeit abgebaut. Zum Beispiel beträgt die Restschuld nach der Hälfte der Laufzeit noch 64,17 % (D 192:505;74=300:000) der Anfangsschuld. In der ersten Hälfte der Laufzeit werden also nur 35,83 % der Schulden abgebaut und in der zweiten Hälfte die restlichen 64,17 %. Diese ungleiche Verteilung der Tilgung fällt bei längeren Laufzeiten und höheren Zinssätzen noch deutlicher aus.

So können wir im Beispiel etwa bestimmen: C20 D 0 C19 D .0 26:155;37/ 1;061 D 24:674;88 Z20 D 24:674;88 0;06 D 1:480;49 T20 D 26:155;37 1:480;49 D 24:674;88 C18 D .24:674;88 26:155;37/ 1;061 D 47:953;07 Z19 D 47:953;07 0;06 D 2:877;18 T19 D 26:155;37 2:877;18 D 23:278;19 ::: Während die Berechnung der Restschuld nach t Jahren bei der fortschreitenden Methode die Berechnung aller vorherigen Restschuldbestände voraussetzt, setzt sie bei der rückschreitenden Methode die Berechnung aller nachfolgenden Restschuldbestände voraus. Beide bisher dargestellten Methoden sind also nur rekursiv anwendbar. Alternativ kann die Restschuld zu einem beliebigen Zeitpunkt t der

100

3

Kapitel 3 Finanzmathematik

Kreditlaufzeit aber auch direkt ermittelt werden – und das sogar auf mindestens zwei Wegen. Zum Beispiel können wir in unserem Beispiel die Restschuld am Ende des 13. Kreditjahres auf folgenden Wegen direkt berechnen: In einem ersten Ansatz können wir rechnen: C13 D Œ300:000 C26:155;37 RBF .13 J:I 6 %/ 1;0613 D .300:000 C 26:155;37 8;8527/ 2;1329 D 146:009;18: Unsere ursprüngliche Schuld in t D 0 betrug 300.000. Bezogen auf den Zeitpunkt t D 0 wurde sie bereits um den Barwert von 13 Annuitätenzahlungen reduziert. Der Klammerausdruck beschreibt daher die auf t D 0 bezogene Restschuld nach 13 Annuitäten. Um die Restschuld nach 13 Jahren zu erhalten, müssen wir diesen Betrag noch vom Zeitpunkt t D 0 auf den Zeitpunkt t D 13 aufzinsen. Allgemein können wir die Restschuld nach t Jahren gemäß dem ersten Ansatz mit Hilfe von Formel (3.24) berechnen. C t D ŒC0 C e RBF .tI r/ q t

(3.24)

In einem zweiten Ansatz können wir rechnen: C13 D 26:155;37 RBF .7 J:I 6 %/ D 26:155;37 5;5824 D 146:009;25: Da die Restschuld nach 13 Jahren durch die in den Jahren 14 bis 20 noch folgenden 7 Annuitäten getilgt werden muss, muss sie dem Barwert der ausstehenden Annuitäten entsprechen. Allgemein können wir die Restschuld nach t Jahren gemäß dem zweiten Ansatz mit Hilfe von Formel (3.25) berechnen. C t D e RBF .T tI r/

(3.25)

>Merke Bei einem über T Perioden laufenden Annuitätendarlehen kann die unmittelbar nach t Annuitätenzahlungen noch offene Restschuld direkt als Rentenbarwert der noch ausstehenden T t Annuitätenzahlungen berechnet werden.

d) Gepflogenheiten der praktischen Vereinbarung Bei konstantem Zinssatz ist ein Annuitätendarlehen durch vier Variablen charakterisiert: 4 den Kreditbetrag C0 , 4 den Zinssatz r, 4 die Laufzeit T und 4 die Annuität e. Durch drei dieser Variablen ist das Darlehen bereits vollständig charakterisiert. Der Wert der vierten Variablen lässt sich dann aus den Werten der drei anderen Variablen berechnen. Unsere bisherigen Überlegungen zum Annuitätendarlehen haben wir eng an die Überlegungen zur ﬁnanzmathematischen Technik der Annuitätenrechnung aus 7 Abschn. 3.4.1 angelehnt. Wir sind von vorgegebenen Werten für den Kreditbetrag, den Zinssatz und die Laufzeit ausgegangen und haben den dazu passenden Betrag der Annuität errechnet. In der Praxis ist bei der Vereinbarung von Annuitätendarlehen allerdings eine etwas andere Vorgehensweise zur Fixierung der Darlehenskonditionen üblich. Wie in unseren bisherigen Darstellungen wird zwar auch in der Kreditpraxis von einem gegebenen Kreditbetrag C0 und einem gegebenen Zinssatz r ausgegangen. Anders als in unseren bisherigen Darstellungen wird dort aber als dritte Variable nicht die Laufzeit T vorgegeben, sondern die Höhe der Annuität e. Die Laufzeit T wird in der Praxis also meist nur implizit vereinbart. Eine zusätzliche Besonderheit der Kreditpraxis besteht darin, wie die Höhe der Annuität festgelegt wird. In der Regel wird deren Höhe nämlich nicht direkt durch Nennung eines Betrages e ﬁxiert, sondern durch Festlegung der sogenannten „anfänglichen (prozentualen) Tilgung“. Zum Beispiel wird häuﬁg festgelegt,

101 3.4 Annuitätenrechnung

dass die anfängliche Tilgung 1 % betragen soll, d. h., dass im ersten Kreditjahr ein Prozent der Kreditsumme getilgt werden soll. Da sich die Annuität des ersten Jahres aus dem Zins auf die Anfangsschuld und der Tilgung des ersten Jahres zusammensetzt, wird so mittelbar die Höhe der Annuität ﬁxiert. Eine weitere Besonderheit der praktisch üblichen Usancen zur Vereinbarung von Annuitätendarlehen ergibt sich daraus, dass mit dem Kreditbetrag, dem Zinssatz und der Annuität zwar drei der vier Darlehensmerkmale beliebige gebrochene Zahlen annehmen können. Ausgerechnet die Laufzeit kann aber keine beliebig gebrochenen Werte annehmen, sondern nur ganze Zinsperioden betragen. Zu vorgegebenem Kreditbetrag, vorgegebenem Zinssatz und vorgegebener Annuität ergibt sich aber allenfalls in Ausnahmefällen eine ganzzahlige Zahl von Laufzeitperioden. Daher muss in praktischen Vereinbarungen eines Annuitätendarlehens i. d. R. für das letzte Laufzeitjahr eine von der Annuität der Vorjahre abweichende Zahlung vereinbart werden. Wir verdeutlichen die Speziﬁka der praktischen Vereinbarung eines Annuitätendarlehens an einem numerischen Beispiel. Dazu gehen wir wieder von einem Kreditbetrag von 300.000 und einem Zinssatz von 6 % p. a. aus. Zusätzlich sei eine anfängliche Tilgung von 2 % vereinbart. Damit wurde implizit eine Annuität in Höhe von 24.000 ﬁxiert: e D 300:000 .0;06 C 0;02/ D 24:000: Für die Laufzeit T des Darlehens muss dann gelten: 300:000 D 24:000 RBF .T I 6 %/ D 24:000

1 1;06T 0;06

300:000 0;06 D 1 1;06T 24:000 300:000 , 1;06T D 1 0;06 D 0;25 24:000 T , 1;06 D 4 log 4 D 23;7913: ,T D log 1;06

,

3

Die Berechnung zeigt, dass 23 Jahre lang die volle Annuität in Höhe von 24.000 geleistet werden muss. Damit ist das Darlehen allerdings noch nicht vollständig getilgt. Zur vollständigen Tilgung ist nach 24 Jahren eine weitere Zahlung e24 erforderlich. Diese kann allerdings geringer als 24.000 ausfallen. Die Höhe der 24. Zahlung läßt sich wie folgt bestimmen: e24 D Œ300:000 24:000 RBF.23 J:I 6 %/ 1;0624 D .300:000 24:000 12;3034/ 4;0489 D 19:106;54: Die Schlusszahlung nach 24 Jahren beträgt also 19.106,54. Der Ansatz zu ihrer Berechnung greift den Gedanken aus Formel (3.24) auf. Der Ausdruck in der Klammer gibt bezogen auf den Zeitpunkt t D 0 an, welche Restschuld nach 23 vollen Annuitäten verbleibt. Diese Restschuld soll aber nicht im Zeitpunkt t D 0 beglichen werden, sondern im Zeitpunkt t D 24. Daher ist der Betrag noch um 24 Perioden aufzuzinsen. >Merke Bei der praktischen Vereinbarung von Annuitätendarlehen werden zunächst Darlehenssumme, Zinssatz und „anfängliche Tilgung“ festgelegt. Daraus ergibt sich die Laufzeit. In der Regel ist im letzten Jahr der Laufzeit dann nur noch eine Restzahlung zu leisten, die geringer als die Annuitäten der Vorjahre ist.

?Übungsaufgabe 3.8

Wir nehmen in t D 0 ein Annuitätendarlehen in Höhe von 200.000 auf, das durch jährlich nachschüssige Zahlungen verzinst und getilgt werden soll. Wir vereinbaren einen Zinssatz von 9 % p. a. und eine anfängliche Tilgung von 1 %. a. Wie hoch ist, abgesehen vom letzten Jahr, die jährlich zu leistende Annuität? b. Nach wie vielen Jahren ist das Darlehen vollständig getilgt? c. Wie hoch ist die Schlusszahlung im letzten Darlehensjahr?

102

Kapitel 3 Finanzmathematik

d. Wie hoch ist die Restschuld unmittelbar nach Zahlung der 20. Annuität? e. Zu welchen Teilbeträgen setzt sich die 20. Annuität aus Zinsen und Tilgung zusammen?

3 3.5

Zusammenfassung

Die Rechentechniken der Finanzmathematik erlauben es, in bestimmten Zeitpunkten anfallende Zahlungen unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen in gleichwertige Zahlungen zu anderen Zeitpunkten umzurechnen. Als Basistechnik der Finanzmathematik kann die Aufzinsung eines Betrages angesehen werden. Sie wird für den Fall eines konstanten Zinssatzes in . Abb. 3.12 verdeutlicht. Dabei wird die in einem frühen Zeitpunkt t D 0 an-

fallende Zahlung in eine gleichwertige Zahlung zu einem späteren Zeitpunkt t D T umgerechnet. Die Abzinsung stellt die Umkehrrechnung zur Aufzinsung dar. Sie wird für den Fall eines konstanten Zinssatzes in . Abb. 3.13 verdeutlicht. Dabei wird die in einem späten Zeitpunkt t D T anfallende Zahlung in eine gleichwertige Zahlung zu einem früheren Zeitpunkt t D 0 umgerechnet. Die Rentenrechnung drückt einen Strom konstanter Zahlungen in einem einzigen Betrag aus. In ihrer Variante der Rentenbarwertrechnung stellt sie eine aggregierte Form der Abzinsung dar. Sie wird für den Standardfall einer endlichen, nachschüssigen Rente und eines konstanten Zinssatzes in . Abb. 3.14 verdeutlicht. Mit der Rentenbarwertrechnung wird der gesamte Zahlungsstrom einer Rente mit einer

. Abb. 3.12 Aufzinsung bei konstantem Zinssatz

CT

C0 q T

mit q 1 r

C0

0

1

2

T 1

t

T

r . Abb. 3.13 Abzinsung bei konstantem Zinssatz

CT C0

CT q

T

mit q 1 r

0

1

2

T 1 r

T

t

3

103 3.5 Zusammenfassung

. Abb. 3.14 Rentenbarwertrechnung im Standardfall

e RBF(T, r)

RBN

1 q T e r mit q 1 r e

0

e

1

2

e

e

T 1

t

T

r . Abb. 3.15 Annuitätenrechnung im Standardfall

AB ANF(T, r) r 1 q mit q 1 r

e

AB

T

AB

e

0

1

e

2

e

T 1

e

T

r

einzigen Abzinsungsoperation in seinen gleichwertigen Barwert zum Rentenbeginn in t D 0 umgerechnet. Die Rentenbarwertrechnung des Standardfalles lässt sich durch übersichtliche Modiﬁkationen für Rentenrechnungen in anderen Situationen adaptieren. Die Annuitätenrechnung stellt wiederum die Umkehrrechnung zur Rentenrechnung dar. Sie rechnet einen gegebenen Einmalbetrag in einen gleichwertigen Rentenstrom um. Für den Standardfall eines gegebenen Anfangsbetrages, einer endlichen, nachschüssigen Rente und eines konstanten Zinssatzes wird sie in . Abb. 3.15 verdeutlicht. ?Übungsaufgabe 3.9 FRAUKE DISKONT tritt in genau 25 Jahren in den Ruhestand ein. Zur Ergänzung ihrer

ansonsten erworbenen Altersansprüche, möchte sie „privat vorsorgen“. Mit Eintritt in den Ruhestand will sie dazu 20 Jahre lang, jeweils zu Beginn eines Jahres 12.000 von einem „Rentenkonto“ abheben können. Mit ihrer Bank hat sie vereinbart, dass sie in 25 Jahren einmalig ein Anfangskapital R25 auf das Rentenkonto einzahlt und für das Rentenkonto dann 20 Jahre lang ein Anlagezinssatz von 4 % p. a. gilt. Aus dem Anfangskapital sollen die 20 Rentenzahlungen geleistet werden. Das auf dem Rentenkonto benötigte Anfangskapital will sie auf zwei Wegen aufbringen. Zum einen verfügt sie derzeit über ein Guthaben in Höhe von 10.000 auf einem „Festgeldkonto“, das sie bis zum Eintritt in den Ruhestand ohne Ein-

t

104

Kapitel 3 Finanzmathematik

und Auszahlungen aufrechterhalten will. Für das Festgeldkonto gilt ein Zinssatz von 8 % für die ersten 10 Jahre und 6 % für die folgenden 15 Jahre. Zum anderen eröffnet sie ein „Ansparkonto“, auf das sie während der kommenden 25 Jahre jeweils zu Jahresbeginn den konstanten Betrag e einzahlen will. Für das Ansparkonto ist ein Zinssatz von 5 % p. a. für die nächsten 25 Jahre vereinbart. Welchen Betrag e muss FRAUKE DISKONT in den nächsten 25 Jahren jeweils einzahlen, um ihre geplante Zusatzrente realisieren zu können?

3

3.6

Wiederholungsfragen

7. Durch welche Anpassungen lässt sich die Technik der Rentenrechnung für die Rentenrechnung bei vorschüssigen Renten, Rentenendwerten und unendlichen Renten jeweils adaptieren? Lösung 7 Abschn. 3.3.3 8. Welche Möglichkeiten bestehen für die Berechnung eines Rentenbarwertes bei wechselnden Periodenzinssätzen? Lösung 7 Abschn. 3.3.4 9. Wie lässt sich zu einem gegebenen Betrag die Höhe der daraus realisierbaren Rente berechnen, wenn der Zinssatz konstant ist und die Rente für einen endlichen Zeitraum nachschüssig gezahlt werden soll? Und wie lässt sich die Rechenmethode für Berechnungen bei wechselnden Periodenzinssätzen anpassen? Lösung 7 Abschn. 3.4.1 10. Welchem Verlaufstyp folgt die Restschuld eines Annuitätendarlehens im Zeitablauf und warum nimmt sie gerade diesen Verlauf? Lösung 7 Abschn. 3.4.2 11. Wie lässt sich bei einem Annuitätendarlehen die genaue Zusammensetzung aus Zinszahlung und Tilgungszahlung der nach t Laufzeitjahren gezahlten Annuität berechnen? Lösung 7 Abschn. 3.4.2

1. Welche Fragen lassen sich mittels Aufzinsung, Abzinsung, Rentenrechnung und Annuitätenrechnung beantworten? Lösung 7 Abschn. 3.1 und 7 Abschn. 3.5 2. Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede bestehen zwischen einer Aufzinsung bei konstantem Zinssatz und einer Aufzinsung bei wechselnden Periodenzinssätzen? Lösung 7 Abschn. 3.2.1 und 7 Abschn. 3.2.2 3. Warum ist bei wechselnden Periodenzinssätzen die zeitliche Reihenfolge der Zins- 3.7 Lösungen sätze für das Ergebnis von Bedeutung, wenn eine Zahlungsreihe auf- oder abge-1 Übungsaufgabe 3.1 zinst wird, nicht aber, wenn nur eine Einzel- a. Als Endbetrag ergibt sich gemäß Forzahlung auf- oder abgezinst wird? Lösung mel (3.1): 7 Abschn. 3.2.3 4. Durch welche wesentlichen Merkmale lasC5 D 5:000 1;062 1;08 1;12 D 7:341;60: sen sich Varianten der Rentenrechnung charakterisieren und welche Ausprägungen b. Der Endbetrag in Höhe von 7.341,60 enthält: können diese Merkmale idealtypisch an4 5.000 Anfangsbetrag und nehmen? Lösung 7 Abschn. 3.3.1 4 2:000 D 5:000 .0;06 C 0;06 C 0;08 C 5. Wie lässt sich der Barwert einer endlichen, 0;1 C 0;1/ einfache Zinsen. nachschüssigen Rente mittels einfacher AbDer Restbetrag von 341,60 (D 7.341,60 zinsung berechnen? Lösung 7 Abschn. 3.3.2 5.000 2.000) ergibt sich aus Zinseszinsen. 6. Wie lässt sich der Rentenbarwertfaktor für endliche, nachschüssige Renten bei c. Da für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt, hat die Reihenfolge ihres Auftrekonstantem Zinssatz herleiten? Lösung tens bei gegebenen Zinssätzen keinen Ein7 Abschn. 3.3.2

105 3.7 Lösungen

ﬂuss auf das Ergebnis der Aufzinsung. Es gilt also: C5 D 5:000 1;062 1;08 1;12 D 5:000 1;12 1;08 1;062 D 7:341;60: Die Argumentation des Kommilitonen erweist sich damit als falsch. d. Als Anfangsbetrag ergibt sich gemäß Formel (3.2):

1

a.

b.

c.

3

lässt sich – zumindest für das Beispiel – durch schlichtes Nachrechnen überprüfen. Bei wechselnden Periodenzinssätzen würde gelten: C10 D 5:000 1;065 1;15 D 5:000 1;3382 1;6105 D 5:000 2;1552 D 10:776;13:

Die zweite Behauptung trifft also nicht zu. Tatsächlich ist das Aufzinsungsergebnis geringer, wenn dieselbe Summe aller ZinssätC0 D 10:000 1;12 1;081 1;062 ze von 0,8 nicht wie bei einem konstanten Zinssatz gleichmäßig auf die Laufzeit verD 6:810;50: teilt ist (10 0;08 D 0;8), sondern wie bei wechselnden Periodenzinssätzen ungleichÜbungsaufgabe 3.2 mäßig (5 0;06 C 5 0;1 D 0;8). Als Endbetrag ergibt sich gemäß ForDieser Zusammenhang gilt allgemein. Er mel (3.3): sollte ihnen aus der Schulmathematik beC10 D 5:000 1;0810 D 5:000 2;1589 reits aus anderen Kontexten bekannt sein. Zum Beispiel ist stets das Quadrat dasjenige D 10:794;63: Rechteck mit der größten Fläche aller denkDer Endbetrag in Höhe von 10.794,63 entbaren Rechtecke gleichen Umfanges. hält: d. Der erforderliche Anlagebetrag ergibt sich 4 5.000 Anfangsbetrag und aus Formel (3.4): 4 4:000 D 5:000 0;08 10 einfache ZinC0 D 20:000 1;0810 D 20:000 0;4632 sen. Der Restbetrag von 1.794,63 (D 10.794,63 D 9:263;87: 5.000 4.000) ergibt sich aus Zinseszine. Der gesuchte Zinssatz ergibt sich aus Forsen. mel (3.6): Die Argumentation enthält zwei Behauptungen. Nach der ersten Behauptung soll 5:000 .1 C r/10 D 20:000 sich über den Zeitraum von 10 Jahren im p 10 Durchschnitt, gemeint ist wohl der arith, r D 4 1 D 14;87 %: metische Durchschnitt, ebenfalls ein Periodenzinssatz von 8 % ergeben, wenn zu- f. Die Mindestanlagedauer ergibt sich aus Formel (3.5): nächst 5 Jahre lang 6 % und dann 5 Jahre lang 10 % gelten. Diese Behauptung stimmt 5:000 1;08T 20:000 oﬀensichtlich: , 1;08T 4 5 0;06 C 5 0;1 D 8 %: , T 18;0129: 10 Nach der zweiten Behauptung soll sich bei zunächst für die Dauer von 5 Jahren geltenden r D 6 % und anschließend geltenden r D 10 % auch dasselbe Endguthaben ergeben. Ob diese Behauptung zutrifft,

Durch Aufrundung auf die nächste ganze Zahl erhalten wir als Ergebnis, dass wir die Anlage mindestens für 19 Jahre aufrechterhalten müssen, um unser Anfangsvermögen bei einem konstanten Zinssatz von 8 %

106

3

Kapitel 3 Finanzmathematik

zu vervierfachen. Zu demselben Ergebnis kommen wir durch das Auslesen der Tabelle der Aufzinsungsfaktoren. Bei einem Zinssatz von 8 % ﬁnden wir dort mit 4,3157 erstmals für eine Laufzeit von 19 Jahren einen Aufzinsungsfaktor mit einem Wert von mindestens 4. 1 Übungsaufgabe 3.3

a. Für den Endbestand des Kontos errechnet sich gemäß Formel (3.7): C6 D 10:000 1;043 1;063 C 5:000 1;04 1;06

3

C 5:000 1;062 D 1:586;03 Bei Kontoauﬂösung ist also noch eine Einzahlung von 1.586,03 auf das Konto zu leisten. b. Der Beitrag der Kreditauszahlung zum Kontoendstand ändert sich durch die veränderte Zinsreihenfolge nicht. Der Beitrag der beiden Einzahlungen zum Kontoendstand reduziert sich durch die veränderte Zinsreihenfolge, weil jetzt nach den Ein- d. zahlungen nur noch niedrigere Zinssätze relevant werden. Der Kontostand muss im veränderten Zinsszenario daher niedriger, also deutlicher negativ sein. Für den Endbestand des Kontos errechnet sich jetzt gemäß Formel (3.7): 1 C6 D 10:000 1;063 1;043 a. C 5:000 1;06 1;04

3

C 5:000 1;042 D 2:027;53 c. Der maximal mögliche Kreditbetrag entspricht der Barwertsumme der beiden späteren Einzahlungen, in Anlehnung an Formel (3.8) also: C0 D 5:000 1;042 C 5:000 1;061 1;043 D 8:816;16

Wird in t D 0 ein Kredit in Höhe von 8.816,16 aufgenommen, kann dieser Kredit durch die beiden in t D 2 und t D 4 erfolgenden Einzahlungen genau verzinst und getilgt werden. Alternativ kann der maximale Kreditbetrag auch aus dem in Aufgabenteil a) bereits bestimmten Endbetrag der Zahlungsreihe bei dem ursprünglich geplanten Kreditbetrag von 10.000 errechnet werden. Für den Barwert der Zahlungsreihe gilt dann: C0 D 1:586;03 1;063 1;043 D 1:183;84 Der ursprüngliche Kreditbetrag von 10.000 führt in t D 0 also zu einem negativen Barwert von 1:183;84. Der Kreditbetrag wurde also um diesen Betrag zu hoch gewählt. Damit das Kreditkonto durch die beiden Einzahlungen wieder glattgestellt werden kann, darf der Kredit nur betragen: C0 D 10:000 1:183;84 D 8:816;16 Als maximal möglicher Kreditbetrag errechnet sich jetzt mit Hilfe von Formel (3.11): C0 D 5:000 1;052 C 5:000 1;054 D 8:648;66 Übungsaufgabe 3.4

Die Einzahlung in t D 0 muss dem Barwert der 20 Jahre dauernden, nachschüssigen Rente bei konstantem Zinssatz r D 0;08 entsprechen. Es geht also um eine Rentenrechnung für den Standardfall. Dafür errechnet sich als Rentenbarwertfaktor RBF.20 J:I 8 %/ nach Formel (3.14): 1 1;0820 0;7855 D 0;08 0;08 D 9;8181

RBF .20 J:I 8 %/ D

Derselbe Wert ﬁndet sich in der Tabelle der Rentenbarwertfaktoren für 20 Jahre und

107 3.7 Lösungen

8 %. Für den in t D 0 einzuzahlenden Betrag ergibt sich dann gemäß Formel (3.15): C0 D RBN D 10:0009;8181 D 98:181;47 b. Der Kontostand nach der 14. Rentenzahlung muss dem Barwert der dann noch ausstehenden 6 Rentenzahlungen entsprechen. Unmittelbar nach der 14. Rentenzahlung dauert es ein Jahr bis zur Zahlung der nächsten Rente. Es geht also wieder um eine Rentenbarwertrechnung des Standardfalls – jetzt nur um eine auf 6 Jahre verkürzte Restlaufzeit. Für den Kontostand unmittelbar nach der 14. Rentenzahlung ergibt sich also nach Formel (3.15): C14 D RBN D 10:000 RBF .6 J:I 8 %/ 1 1;086 0;08 D 10:000 4;6229 D 46:228;80

D 10:000

Nach 14 Jahren stehen also zwar nur noch 30 % der Rentenzahlungen aus, beträgt der Kontostand aber noch rund 47 % seiner anfänglichen Einzahlung von 98.181,47. Die skizzierte Situation wird gelegentlich auch als „aufgeschobene Rente“ bezeichnet. Grundsätzlich geht es zwar weiterhin um eine Rentenbarwertrechnung im Standardfall, da die Rente endlich ist und nachschüssig gezahlt wird, ein Barwert der Rente interessiert und der Zinssatz konstant ist. Da zwischen dem Zeitpunkt, für den uns der Barwert interessiert, und dem Beginn der Rentendauer fünf Jahre vergehen, handelt es sich aber nicht mehr exakt um den Standardfall. Unsere Rechenmethode bedarf daher einer Anpassung. Dafür kommen zwei Wege in Betracht. Nach einem ersten Lösungsweg können wir folgendermaßen rechnen: C0 D 10:000 RBF .20 J:I 8 %/ 1;085 D 10:000 9;8181 0;6806 D 66:820;66

3

Wir können also zunächst den Barwert der Rente für den Beginn der Rentendauer berechnen und dann diesen auf t D 5 bezogenen Betrag um fünf Perioden auf t D 0 abzinsen. Nach dieser Berechnung müssen wir in t D 0 einen Betrag von 66.820,66 auf das Konto einzahlen, um daraus in den Zeitpunkten t D 6; 7; : : : ; 25 jeweils eine Rente in Höhe von 10.000 zahlen zu können. Der zwischen der Kontoeröﬀnung und der ersten Rentenzahlung liegende Zeitraum von insgesamt sechs Jahren wird in dieser Berechnung wie folgt berücksichtigt. Das zwischen t D 5 und t D 6 liegende Jahr wird bereits durch die Multiplikation mit dem Rentenbarwertfaktor berücksichtigt. Wir haben unsere Berechnungen für den Standardfall ja so kalibriert, dass es um eine nachschüssige Rente geht, zwischen dem Rentenbeginn und der ersten Rentenzahlung also eine Periode liegt. Die zusätzlich zwischen t D 0 und t D 5 liegenden fünf Jahre werden durch die zusätzliche Abzinsung des Rentenbarwertes berücksichtigt. Nach einem zweiten Lösungsweg können wir alternativ wie folgt rechnen: C0 D 10:000 RBF .25 J:I 8 %/ 10:000 RBF .5 J:I 8 %/ D 10:000 .10;6748 3;9927/ D 66:820;66: Wir können also auch zunächst rechnen, als starte die Rente sofort und dauere 25 Jahre. Damit würden wir den Barwert der Rente aber um den Barwert der ersten fünf Rentenzahlungen zu hoch ausweisen. Wir müssen also noch den Barwert einer Rente mit fünf Jahren Dauer subtrahieren. Beide Wege führen selbstverständlich zum selben Ergebnis.

1 Übungsaufgabe 3.5

a. Gesucht ist der Barwert einer unendlichen, nachschüssigen Rente, der sich mit Hilfe

108

Kapitel 3 Finanzmathematik

b. Gesucht ist der Endwert der endlichen, nachschüssigen Rente bei wechselnden Pe5:000 riodenzinssätzen. Er lässt sich durch AufD 50:000 RBN 1 D 0;1 zinsung des Barwertes berechnen. Dabei ist zu berücksichtigen, dass der gesuchte Konb. Gesucht ist der Barwert einer unendlichen, tostand negativ ist: vorschüssigen Rente, der sich mit Hilfe von Formel (3.20) errechnen lässt: REN D 49:480;34 1;065 1;115 5:000 D 276:600;07 C 5:000 D 55:000 RBV 1 D 0;1 von Formel (3.19) errechnen lässt:

3

c. Gesucht ist der Barwert einer endlichen,1 Übungsaufgabe 3.7 vorschüssigen Rente, der sich mit Hilfe von a. Zum gegebenen Anfangsbetrag wird der Betrag einer unendlichen, nachschüssigen Formel (3.17) errechnen lässt: Rente bei konstantem Zinssatz gesucht. Der 1 1;120 Rentenbetrag lässt sich mit Formel (3.19) RBV D 5:000 1;1 D 46:824;60 bestimmen: 0;1 d. Gesucht ist der Endwert einer endlichen, e D 200:000 0;08 D 16:000 nachschüssigen Rente, der sich mit Hilfe von Formel (3.16) errechnen lässt. Dabei ist b. Zum gegebenen Anfangsbetrag wird wieder zu beachten, dass der gesuchte Kontostand der Betrag einer unendlichen, nachschüssinegativ ist: gen Rente bei konstantem Zinssatz gesucht. Jetzt verzinst sich der Anfangsbetrag aber 4 20 1 1;1 1;120 REN D 5:000 Perioden lang, bevor das erste Rentenjahr 0;1 beginnt, zu dessen Ende die erste Rente abD 286:375;00 gehoben wird: e. Gesucht ist der Endwert einer endlichen, e D 200:000 1;084 0;08 D 21:767;82 vorschüssigen Rente, der sich mit Hilfe von Formel (3.18) errechnen lässt. Dabei ist zu c. Zum gegebenen Anfangsbetrag wird der berücksichtigen, dass der gesuchte KontoBetrag einer endlichen, nachschüssigen stand negativ ist: Rente bei wechselnden Periodenzinssätzen gesucht. Er lässt sich wie folgt berechnen: 1 1;120 REV D 5:000 1;121 0;1 200:000 3 eD 2 D 315:012;50 6 RBF .5 J:I 8 %/ 6 6 C RBF .5 J:I 6 %/ 1;085 4 C RBF .10 J:I 4 %/ 1;065 1;085

1 Übungsaufgabe 3.6

a. Gesucht ist der Barwert der endlichen, nachschüssigen Rente bei wechselnden Periodenzinssätzen. Analog zum Beispiel aus dem Lehrtext lässt er sich wie folgt berechnen: RBN D 5:000 ŒRBF .5 J:I 6 %/ 5

D 2

7 7 7 5

200:000

3 3;9927 C 4;2124 0;6806 5 4 C 8;1109 0;7473 0;6806

D

200:000 D 18:207;40: 10;9845

CRBF .15 J:I 10 %/ 1;06 D 5:000 .4;2124 C 7;6061 0;7473/ d. Zum gegebenen Endbetrag wird der BeD 5:000 9;8961 D 49:480;34: trag einer endlichen, vorschüssigen Rente

109 3.7 Lösungen

bei konstantem Zinssatz gesucht. Der Rentenbetrag lässt sich mit Formel (3.18) bestimmen: e D 500:000 ANF .20 J:I 8 %/ 1;0821 D 500:000 0;1019 0;1987 D 10:116;76: e. Zum gegebenen Endbetrag wird der Betrag einer endlichen, nachschüssigen Rente bei wechselnden Periodenzinssätzen gesucht. Er lässt sich wie folgt berechnen: eD 2

500:000

6 RBF .5 J:I 8 %/ 6 6 C RBF .5 J:I 6 %/ 1;085 4 C RBF .10 J:I 4 %/ 1;065 1;085

3 7 7 7 5

1;085 1;065 1;0410 D 2

500:000

3 3;9927 C 4;2124 0;6806 5 4 C 8;1109 0;7473 0;6806 0;6806 0;7473 0;6756

D

500:000 0;3436 D 15:638;97: 10;9845

1 Übungsaufgabe 3.8

a. Die Annuität ergibt sich aus der Summe der im ersten Jahr zu leistenden Zinsen und Tilgung: e D 200:000 .0;09 C 0;01/ D 20:000: b. Da die Anfangsschuld dem Rentenbarwert aller Annuitätenzahlungen entsprechen muss, muss für die Laufzeit des Darlehens gelten: 1 1;09T 0;09 200:000 D 0;09 D 0;9 20:000

200:000 D 20:000 , 1 1;09T

, 1;09T D 10 log 10 D 26;7190: ,T D log 1;09

3

Vollständig getilgt ist das Darlehen also nach 27 Jahren. 26 Jahre lang müssen wir die volle Annuität in Höhe von 20.000 leisten, im 27. Jahr eine reduzierte Abschlusszahlung. c. Für die im 27. Jahr zu leistende Schlusszahlung gilt: e27 D Œ200:000 20:000 RBF .26 J:I 9 %/ 1;0927 D .200:000 20:000 9;9290/ 10;2451 D 14:553;73:

Die Höhe der Schlusszahlung entspricht damit 72,77 % einer vollen Annuität und nicht, wie man nach einer voreiligen Interpretation der erforderlichen Laufzeit vielleicht vermuten könnte, 71,90 %. d. Die Restschuld nach der 20. Annuität lässt sich auf unterschiedlichen Wegen berechnen. Zum einen muss sie, bezogen auf t D 20, dem Betrag der Anfangsschuld entsprechen, der durch die ersten 20 Annuitäten noch nicht getilgt wurde: C20 D Œ200:000 C 20:000 RBF .20 J:I 9 %/ 1;0920 D .200:000 C 20:000 9;1285/ 5;6044 D 97:679;76:

Zum anderen muss sie dem Barwert der noch ausstehenden 7 Zahlungen entsprechen, sechs vollen Annuitäten und der Schlusszahlung im 27. Jahr: C20 D 20:000 RBF .6 J:I 9 %/ 14:553;73 1;097 D 20:000 4;4859 14:553;73 0;5470 D 97:679;76:

Kapitel 3 Finanzmathematik

110

3

Obwohl nach 20 Jahren bereits etwa Dreiviertel der Laufzeit verstrichen sind, ist also noch fast die Hälfte der Anfangsschuld ungetilgt. e. Für die Restschuld nach Zahlung der 19. Annuität gilt:

Den Diﬀerenzbetrag muss sie bis zum Zeitpunkt t D 25 durch Einzahlungen auf ihrem Ansparkonto angespart haben. Es muss also gelten: A25 D 169:607;27 51:739;89 D 117:867;38

C19 D 20:000 RBF .7 J:I 9 %/ 14:553;73 1;098 D 20:000 5;0330 14:553;73 0;5019 D 107:963;08:

Dieses Endguthaben erzielt sie bei einem Zinssatz von 5 % p. a. durch die Einzahlung einer vorschüssigen Rente e im Laufe der nächsten 25 Jahre, wenn sie e entsprechend Formel (3.18) bestimmt: 0;05 1 1;0525 D 117:867;38 0;2953 0;0710 D 2:469;61:

Mit der 20. Annuität sind daher Zinsen zu zahlen in Höhe von:

e D 117:867;38 1;0525

Z20 D 107:963;08 0;09 D 9:716;68 Tilgung erfolgt mit der 20. Annuität folglich in Höhe des Restes von: T20 D 20:000 9:716;68 D 10:283;32

Zur Realisierung ihrer geplanten Zusatzrente muss Frau DISKONT in den nächsten 25 Jahren also jeweils 2.469,61 zu Jahresbeginn auf das Ansparkonto einzahlen.

1 Übungsaufgabe 3.9

Um bei einem Zinssatz von 4 % p. a. 20 Jahre Literatur lang eine vorschüssige Rente von 12.000 abheben zu können, muss Frau DISKONT gemäß 1. Bitz, M., & Ewert, J. (2014). Übungen in BetriebswirtFormel (3.17) zu Beginn ihres Ruhestandes auf schaftslehre (8. Aufl.). München: Franz Vahlen. insbes. das Rentenkonto einzahlen: Kapitel 3, A (Finanzmathematik) R25

1 1;0420 D 12:000 1;04 0;04 D 12:000 13;5903 1;04 D 169:607;27:

Auf ihrem Festgeldkonto verfügt Frau DISKONT in t D 25 über: F25 D 10:000 1;0810 1;0615 D 10:000 2;1589 2;3966 D 51:739;89:

2.

3. 4. 5.

Bitz, M., Ewert, J., & Terstege, U. (2018). Investition – Multimediale Einführung in finanzmathematische Entscheidungskonzepte (3. Aufl.). Wiesbaden: Springer Gabler. insbes. Kapitel 3 Kruschwitz, L. (2010). Finanzmathematik (5. Aufl.). Berlin, New York: De Gruyter. Ortmann, K. M. (2017). Praktische Finanzmathematik. Wiesbaden: Springer Spektrum. Renger, K. (2016). Finanzmathematik mit Excel (4. Aufl.). Wiesbaden: Gabler.

111

Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten 4.1

Begriffliche und modelltheoretische Grundlagen – 112

4.1.1 4.1.2 4.1.3

Investitionsprojekte und unmittelbare monetäre Konsequenzen – 112 Investitionsprojekte und „finanzielles Umfeld“ – 117 Eigenschaften des Grundmodells und weiteres Vorgehen – 121

4.2

Endwert, Kapitalwert und Annuität – 123

4.2.1 4.2.1.1 4.2.1.2 4.2.2 4.2.2.1 4.2.2.2 4.2.2.3 4.2.3 4.2.3.1 4.2.3.2 4.2.3.3

Formale Darstellung und Analyse – 123 Endwert und Kapitalwert – 123 Annuität – 129 Ökonomische Analyse und Vorteilhaftigkeitskriterien – 131 Ökonomischer Gehalt der drei Kennzahlen – 131 Vorteilhaftigkeitskriterien – 138 Kalkulationszinssätze bei wechselnden Szenarien – 145 Modifiziertes Gewinnkalkül – 150 Vorbemerkung – 150 Grundlegende Zusammenhänge zwischen Zahlungs- und Gewinngrößen – 150 Kapitalwert der Residualgewinne – 153

4.3

Zusammenfassung – 155

4.4

Wiederholungsfragen – 155

4.5

Lösungen – 156 Literatur – 163

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 U. Terstege, M. Bitz, J. Ewert, Investitionsrechnung klipp & klar, WiWi klipp & klar, https://doi.org/10.1007/978-3-658-20992-6_4

4

112

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

Lernziele dieses Kapitels

4

4 Den Begriff „Investitionsprojekt“ und die Zielsetzung der hier dargestellten investitionstheoretischen Ansätze erläutern sowie die monetären Konsequenzen eines Investitionsprojektes sowohl auf der Ebene der Ein- und Auszahlungen als auch auf der Ebene der Erträge und Aufwendungen für konkrete Beispiele numerisch darstellen können 4 Die Bedeutung des „finanziellen Umfeldes“ für die endgültige Beurteilung eines Investitionsprojektes sowie die beiden idealtypischen Szenarien I und II erläutern sowie die Eigenschaften des „investitionstheoretischen Grundmodells“ benennen und erläutern können 4 Die investitionstheoretischen Kennzahlen Endwert, Kapitalwert und Annuität inhaltlich erläutern, für konkrete Beispiele selbständig berechnen und rechnerische Zusammenhänge zwischen diesen drei Kennzahlen herstellen und verdeutlichen können 4 Den Begriff der „Kapitalwertfunktion“ inhaltlich erläutern, entsprechende Darstellungen für vorgegebene Beispiele selbst entwickeln sowie alternativ mögliche Verlaufsformen der Kapitalwertfunktion erläutern können 4 Für die Szenarien I und II den Zusammenhang zwischen Endwert und Endvermögen allgemein darzustellen und entsprechende Berechnungen für konkrete Beispiele selbst vornehmen und darauf aufbauend die ökonomische Bedeutung von Kapitalwert und Annuität darlegen können 4 Für projektindividuelle Entscheidungen und für Auswahlentscheidungen Entscheidungskriterien definieren, auf konkrete Beispiele anwenden sowie die für die Bestimmung der jeweils maßgeblichen Kalkulationszinssätze maßgeblichen Aspekte, differenziert für Szenario I und II, systematisch zusammentragen können 4 Grundlegende Zusammenhänge zwischen den mit einem Investitionsprojekt verbundenen Zahlungssalden und den entsprechenden Gewinn- oder Verlustgrößen allgemein erläutern, entsprechende Berechnungen für konkrete Beispiele selbst vornehmen sowie die zeitliche Entwicklung der mit der Durchfüh-

rung eines Investitionsprojektes verbundenen bilanziellen Bestandsgrößen nachzeichnen können 4 Den Begriff des „Residualgewinnes“ erläutern, entsprechende Berechnungen für konkrete Beispiele vornehmen und darlegen können, dass der Kapitalwert der Residualgewinne zwangsläufig mit dem der Zahlungssalden übereinstimmt

4.1

4.1.1

Begriffliche und modelltheoretische Grundlagen Investitionsprojekte und unmittelbare monetäre Konsequenzen

Unter einem Investitionsprojekt im engeren Sinne versteht man, wie Sie bereits aus 7 Abschn. 2.2.1 wissen, im Allgemeinen eine Folge realwirtschaftlicher Aktivitäten. Diese Aktivitäten umfassen zunächst die zu Projektbeginn erfolgende Beschaﬀung der benötigten Investitionsgüter, z. B. maschineller Anlagen, Fahrzeuge, Software etc., sowie die mit deren Nutzung in den kommenden Jahren einhergehenden Folgetätigkeiten, z. B. die Produktion bestimmter Güter und deren Absatz. Über dieses traditionelle Begriﬀsverständnis hinaus hat sich der allgemeine Sprachgebrauch allerdings dahin entwickelt, dass auch diverse andere Aktivitäten, bei denen zunächst wie auch immer geartete „Mittel“ eingesetzt werden, um daraus anschließend „Nutzungen“ zu erzielen, als „Investition“ bezeichnet werden. Je nach Art der „Mittel“ und der „Nutzungen“ spricht man so etwa von Finanzinvestitionen, PRInvestitionen oder Bildungsinvestitionen. Wir wollen uns in dieser einführenden Darstellung im Regelfall auf die Betrachtung von Investitionsprojekten im engeren Sinne beschränken. Ein Großteil der dabei entwickelten Erkenntnisse kann allerdings auch auf andere Arten von Investitionsprojekten übertragen werden.

113 4.1 Begriffliche und modelltheoretische Grundlagen

Das Ziel der folgenden Ausführungen besteht dabei nicht darin, das im Wirtschaftsleben tatsächlich zu beobachtende Investitionsverhalten zu beschreiben und zu erklären. In der Investitionstheorie als Teilbereich der präskriptiv ausgerichteten Betriebswirtschaftslehre geht es vielmehr darum, Verfahren zu entwickeln, um die wirtschaftliche Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten zu beurteilen und darauf aufbauend schließlich zu einer „vernünftigen“ oder, wie man in der Fachliteratur auch häuﬁg sagt, „rationalen“ Entscheidung über die Durchführung oder Ablehnung des Projektes zu gelangen. Eine Entscheidung ist in diesem Sinne „rational“, wenn 4 eine objektiv fassbare Zielgröße deﬁniert werden kann und 4 die Auswirkungen der zur Auswahl stehenden Alternativen auf diese Zielgröße in logisch (in der Regel mathematisch) nachvollziehbarer Weise veranschaulicht werden können, 4 so dass es letztendlich möglich ist, die Alternative zu bestimmen, die der vorgegebenen Zielsetzung am besten entspricht. Dazu folgt die Investitionstheorie, wie Ihnen grundsätzlich schon aus 7 Abschn. 2.2 bekannt ist, der auch in vielen anderen Bereichen der Betriebswirtschaftslehre üblichen modelltheoretischen Vorgehensweise. Das heißt, dass reale Entscheidungssituationen zunächst in vereinfachender Weise stilisiert werden, allerdings mit dem Anspruch, aus der Analyse der vereinfachten Modelldarstellung dennoch Anhaltspunkte für die Bewältigung in aller Regel komplexerer realer Probleme zu gewinnen. Wir werden Ihnen im Folgenden, zugleich als Basis für weitergehende Überlegungen in den nächsten Kapiteln, als „investitionstheoretisches Grundmodell“ einen derartigen Modellansatz näher vorstellen, der in vielen investitionstheoretischen Lehrbüchern in ähnlicher Weise anzutreﬀen ist. Ausgangspunkt dieses Grundmodells bilden zunächst die mit einem Investitionsprojekt verbundenen realwirtschaftlichen Aktivitäten. Allerdings entziehen sich diese Prozesse als sol-

4

che in der Regel einer unmittelbaren wirtschaftlichen Beurteilung. Vielmehr ist es, so wie Sie das aus anderen Bereichen der Betriebswirtschaftslehre auch kennen, erforderlich, auf die mit den realen Aktivitäten verknüpften monetären Konsequenzen zurückzugreifen. Dazu betrachten wir noch einmal das bewusst einfach, aber dennoch nicht völlig realitätsfern gestaltete Beispiel der MONA-LISA-GMBH, das Ihnen schon aus dem 7 Abschn. 2.2.3.5 bekannt ist, ergänzen die dort getroﬀenen Annahmen jetzt aber noch um einige zusätzliche Informationen. 777 Beispiel 4.1 Die MONA-LISA-GMBH hat die Möglichkeit, ein in den Produktionsaktivitäten auf drei Jahre geplantes Investitionsprojekt durchzuführen oder darauf ersatzlos zu verzichten. Das Projekt kann durch folgende Plandaten gekennzeichnet werden: 1. Zu Projektbeginn wird eine Produktionsanlage zum Preis von 400 beschafft. Die laufende Abschreibung während der für drei Jahre geplanten Nutzung beträgt pro Jahr 25 % der Investitionssumme. Die Anlage soll nach 3 Jahren wieder verkauft werden; dabei wird mit einem Resterlös von 40 gerechnet. 2. Der laufende Betrieb der Anlage erfordert über 3 Jahre hinweg Personalausgaben von 160 pro Jahr. 3. Zudem erhält der Leiter des Projektes nach drei Jahren eine einmalige Zahlung in Höhe von 18. Buchhalterisch werden in diesem Zusammenhang allerdings schon im ersten und im zweiten Jahr Rückstellungen in Höhe von 5 bzw. 6 gebildet. 4. In jedem Jahr werden Einsatzmaterialien im Anschaffungspreis von 170 verbraucht. Allerdings soll ein gewisses „Pufferlager“ aufgebaut werden. Dazu werden im ersten Jahr Einsatzmaterialien zum Preis von 200 beschafft und im zweiten Jahr zum Preis von 170. Im dritten Jahr wird das Lager dann wieder abgebaut; dementsprechend werden nur noch Materialien zum Preis von 140 beschafft. 5. Als Ergebnis der operativen Tätigkeiten wird in jedem der drei Jahre ein Umsatz von 500

114

4

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

realisiert. 14 % des Umsatzes erfolgen allerdings in der Weise „auf Ziel“, dass die Zahlung erst im Folgejahr fällig ist. Dabei wird damit gerechnet, dass 10 % der zum Jahresende bestehenden Forderungen ausfallen, die in einem Jahr effektiv erfolgenden Zahlungen also nur 90 % der am Ende des Vorjahres offenen Rechnungen ausmachen. 999

denziell kontinuierlich anfallenden, wie auch immer deﬁnierten monetären Konsequenzen dargestellt werden sollen.

Im Hinblick auf die zweite Frage wollen wir der Ihnen schon aus 7 Abschn. 2.2.3.3 bekannten und in investitionstheoretischen Ansätzen weithin üblichen Praxis folgen, 4 den originären Investitionsvorgang, also etwa die Beschaﬀung der maschinellen Anlagen, darstellungstechnisch auf den Beginn Für die weitere Analyse wird vereinfachend undes ersten Jahres der Investitionslaufzeit zu terstellt, dass steuerliche Aspekte außer Acht beziehen, und bleiben können. Außerdem soll von dem Umstand abstrahiert werden, dass die tatsächliche 4 die monetären Konsequenzen aller weiteren Aktivitäten jeweils jahresweise zu aggregieEntwicklung des Projektes in mehr oder weniren und dem Jahresende zuzurechnen. ger großem Umfang von den zunächst unterstellten Plandaten abweichen kann. Auf Möglichkeiten, auch diese beiden, natürlich wirk- Dabei ist es üblich, dem Beginn des ersten Jahlichkeitsfremden, vereinfachenden Annahmen res den Zeitpunkt t D 0 zuzuordnen, und das aufzuheben, werden wir in 7 Kap. 5 und in Ende eines jeden der Folgejahre jeweils durch 7 Kap. 7 dieses Buches später noch zurückkom- die Zeitpunkte t D 1; 2; : : : ; T zu verdeutlichen. Die Größe T bezeichnet dabei die Laufmen. zeit des Projektes, d. h. die Anzahl der Jahre, die für dessen sachgerechte Darstellung insgesamt >Merke in das Kalkül einzubeziehen sind. Wir lassen steuerliche Aspekte und unsiFür die Art und Weise, die mit einem Prochere Erwartungen nicht deshalb außer jekt verbundenen monetären Konsequenzen Acht, weil diese keinen Einfluss auf die darzustellen, kennt die BetriebswirtschaftslehVorteilhaftigkeit von Investitionsprojekre mehrere Möglichkeiten. Viele von Ihnen ten haben können, sondern weil wir Sie werden dabei an die aus Buchhaltung und Bizunächst auf möglichst einfache Weise mit lanzierung bekannte Praxis denken, Geschäftsden grundlegenden Methoden der Invesvorfälle durch die mit ihnen verbundenen Ertitionstheorie vertraut machen wollen. träge und Aufwendungen zu beschreiben, um Gehen wir also davon aus, dass das Projekt letztlich den per Saldo erzielbaren Gewinn durch die unter 1. bis 5. zusammengetragenen oder Verlust zu ermitteln. Angaben eindeutig und vollständig beschrieAlternativ dazu könnte auch daran gedacht ben ist, und wenden wir uns der Frage zu, ob werden, die monetären Konsequenzen unmites „wirtschaftlich vorteilhaft“ ist, dieses Pro- telbar an den mit den Investitionsaktivitäten jekt durchzuführen. Dazu gilt es, uns zunächst verbundenen Ein- und Auszahlungen zu meseinen Überblick über die mit dem Projekt ver- sen, so wie Sie das ja schon im 7 Abschn. 2.2.3.4 bundenen monetären Konsequenzen zu ver- kennengelernt haben. Wir wollen beide Verfahschaﬀen. Dabei stellen sich zumindest zwei Fra- ren an unserem Beispiel verdeutlichen. gen, nämlich Für die Ermittlung der aus dem Projekt re4 zum einen, an welchen Größen die „mo- sultierenden Periodengewinne oder -verluste netären Konsequenzen“ gemessen werden ist Folgendes zu beachten: sollen, sowie 1. Die Beschaﬀung der Produktionsanla4 zum anderen, in welcher zeitlichen Feinge verursacht im Anschaﬀungszeitpunkt gliederung die in ihrer Gesamtheit ja ten(t D 0) zunächst gar keinen Aufwand,

4

115 4.1 Begriffliche und modelltheoretische Grundlagen

. Tabelle 4.1 Projektbezogene Gewinne und Verluste des MONA-LISA-Projektes Aufwendungen tD0

0

Gewinn/Verlust 0

0

Abschreibung Personalaufw. Personalaufw. Materialaufw.

100 160 5 170 Umsatz 435

500 500 65

Abschreibung Personalaufw. Personalaufw. Materialaufw. Wertber.

100 160 6 170 7 Umsatz 443

500 500 57

Abschreibung So. betr. Aufw. Personalaufw. Personalaufw. Materialaufw. Wertber.

100 60 160 7 170 7 Umsatz 504

500 500 4

tD1

tD2

tD3 tD4

Erträge

Wertber.

SUMME

da der Betrag in vollem Umfang aktiviert wird. Die in den nachfolgenden drei Jahren erfolgenden Abschreibungen, die wir jeweils den Jahresenden zurechnen, also den Zeitpunkten t D 1; 2; 3, führen dann zu Aufwendungen. Schließlich wird die Anlage bei einem Restbuchwert von 100 nur zu 40 verkauft, so dass für t D 3 noch ein Aufwand von 60 entsteht. 2. Der den Zeitpunkten t D 1; 2; 3 zuzurechnende laufende Personalaufwand beträgt pro Jahr 160. 3. Die in t D 3 erfolgende Zahlung an den Projektleiter von 18 wird durch die (rein buchtechnische) Bildung der Rückstellungen von 5 bzw. 6 bereits z. T. in den Zeitpunkten t D 1 und t D 2 als Aufwand erfasst. 4. Im Materialbereich wird der eﬀektive Verbrauch als Aufwand erfasst; für t D 1; 2; 3 sind somit Aufwendungen von jeweils 170 anzusetzen.

7

0 7 111

5. Die laufenden Umsätze in Höhe von 500 pro Jahr schließlich werden nach unseren Buchhaltungsregeln ungeachtet des eﬀektiven Zahlungseinganges in ihrem Entstehungsjahr in voller Höhe als Ertrag erfasst. Auf der anderen Seite werden die Forderungsverluste von jeweils 7 den Zeitpunkten t D 2; 3; 4 als „Wertberichtigungsaufwand“ verrechnet. Fasst man diese Daten zusammen, so erhält man . Tab. 4.1, in der die aus dem betrachteten Investitionsprojekt periodenweise resultierenden Gewinne (C) und Verluste () erkennbar sind. Das Projekt würde also während der gesamten Laufzeit zu einem „Gesamtgewinn“ von 111 führen. Dabei würde es in den ersten beiden Jahren mit 65 und 57 recht hohe Gewinne generieren und in den beiden letzten Jahren dann mit 4 bzw. 7 nur vergleichsweise geringe Verluste mit sich bringen. Dieser Befund

116

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

. Tabelle 4.2 Projektbezogene Ein- und Auszahlungen des MONA-LISA-Projektes Auszahlungen tD0

4

Masch. Anl.

400

Personal

160 Einz. aus lfd. Umsatz

Material

200

tD1

430

Personal

160 Einz. aus lfd. Umsatz

430

Material

170 Einz. aus Fdg. LuL

Projektleiter Material

SUMME

0 400

430

Personal

tD4

Saldo

360

tD2

tD3

Einzahlungen

70

63

330

493 163

160 Einz. aus lfd. Umsatz

430

18 Einz. aus Fdg. LuL 140 Anlagenverkauf 318 0 Einz. aus Fdg. LuL

63 40 533 215 63

63 111

ders raﬃniert gewählten Arrangements. Sie könnte es auf den ersten Blick nahelegen, das folgt vielmehr zwangsläuﬁg aus der hier Projekt eindeutig als „vorteilhaft“ einzustufen. zunächst nicht weiter zu erläuternden GeWir werden später noch sehen, dass diese Folsetzmäßigkeit, dass sich die Abweichungerung möglicherweise einen Fehlschluss dargen zwischen den durch ein Projekt verurstellen kann. sachten Ertrags- und Aufwandsgrößen und Den zweiten Weg zur Verdeutlichung den entsprechenden Zahlungsgrößen über der mit dem Projekt verbundenen monetädie gesamte Projektlaufzeit hinweg zwangsren Konsequenzen, die Ermittlung der aus läuﬁg ausgleichen. Wir werden darauf im den realwirtschaftlichen Aktivitäten resultie7 Abschn. 4.2.3.2 noch einmal zurückkomrenden Ein- und Auszahlungen, kennen Sie schon aus der Einführung dieses Beispiels in men. 7 Abschn. 2.2.3.5. . Tab. 4.2 verdeutlicht noch 4 Ungeachtet dieser Übereinstimmung der „einfachen“ Summen, erzeugen diese beieinmal die auf die Zeitpunkte t D 0 bis t D 4 den Darstellungsformen dennoch ganz bezogenen Ein- und Auszahlungen sowie den oﬀensichtlich zwei recht unterschiedliche sich daraus letztlich ergebenden Zahlungssaldo „Bilder“ des Investitionsprojektes. Inspro Periode. besondere wird der bei Betrachtung der Vergleichen wir die beiden durch die in Gewinngrößen hervorgerufene Eindruck, . Tab. 4.1 und . Tab. 4.2 verdeutlichten Mögdass das Projekt eindeutig vorteilhaft ist, lichkeiten zur Darstellung der „monetären in dieser Klarheit keineswegs bestätigt, Konsequenzen“ des Projektes, so erkennt man wenn man die Zahlungssalden betrachu. a. Folgendes: tet. Vielmehr wäre nun zu untersuchen, ob 4 Die Salden aller Gewinngrößen und aldie auf die Zeitpunkte t D 0 bis t D 4 ler Zahlungsgrößen betragen übereinstimbezogene Zahlungsreihe (400; 70; 163; mend 111. Diese Übereinstimmung ist kei215; 63) als „günstig“ anzusehen ist oder neswegs Zufall oder Folge eines von uns nicht. bei der Konstruktion des Beispiels beson-

117 4.1 Begriffliche und modelltheoretische Grundlagen

4.1.2

Investitionsprojekte und „finanzielles Umfeld“

Wir hatten in 7 Abschn. 2.2.3.4 bereits grundsätzlich festgestellt, dass neben den unmittelbaren Zahlungskonsequenzen der Investitionsprojekte für deren sachgerechte Beurteilung auch die Konsequenzen zu berücksichtigen sind, die die Projekte mittelbar durch Anpassungsmaßnahmen in ihrem ﬁnanziellen Umfeld auslösen. Um die mittelbaren Konsequenzen im ﬁnanziellen Umfeld sachgerecht in unser investitionstheoretisches Grundmodell einbeziehen zu können, gilt es zunächst einmal, die mit den hier betrachteten investitionstheoretischen Modellen verfolgte Zielsetzung näher zu präzisieren. Dazu gehen wir jetzt als Leitbild von der Vorstellung aus, dass die Investitionsentscheidung innerhalb des komplexen Kompetenzgefüges eines Unternehmens durch eine dafür zuständige Instanz getroﬀen wird. Dabei mag es sich um eine Einzelperson handeln (z. B. den zuständigen Abteilungsleiter oder Geschäftsführer) oder ein Gremium (z. B. einen Finanzausschuss oder den Vorstand). Zudem ist es denkbar, dass die entsprechende Entscheidung durch eine untergeordnete Instanz, z. B. einen Planungsstab, vorbereitet und mit einer Handlungsempfehlung verbunden wird. Im „echten Leben“ ist es dabei durchaus möglich, dass sich die an einem solchen Entscheidungsprozess beteiligten Personen von ganz individuellen Interessen leiten lassen, die keineswegs mit den wie auch immer gearteten Zielen „des Unternehmens“ im Einklang stehen müssen. So kann etwa ein in erster Linie auf seine eigene Bequemlichkeit bedachter Sachbearbeiter versucht sein, ein mit etlichen Umstellungen in seinem eigenen Umfeld verbundenes Projekt von Anfang an „tot zu rechnen“ und die Sache somit „schnell vom Tisch zu bringen“. Auf der anderen Seite kann man sich vorstellen, dass der Vorstandsvorsitzende eines Unternehmens bestrebt ist, ein besonders spektakuläres Projekt (z. B. „der erste völlig emissionsfreie Diesel auf Europas Straßen“) besonders günstig aussehen zu lassen, nur um damit das eigene Prestige als „großer Innovator“ zu befördern.

4

Von all solchen persönlichen Nebeninteressen sehen wir im Folgenden ab und gehen als Modellannahme von der Idealvorstellung aus, dass die entscheidungsvorbereitenden und auch die letztlich entscheidenden Instanzen ihre Aufgaben stets uneigennützig nach bestem Wissen und Vermögen erfüllen und sich dabei ausschließlich dem Ziel verpﬂichtet fühlen, das Unternehmensvermögen so weit wie möglich zu mehren. Für die Beurteilung eines einzelnen Investitionsprojektes kommt es somit darauf an festzustellen, wie es sich insgesamt auf die Vermögenssituation des Unternehmens auswirkt. Dabei soll ein Projekt genau dann als „wirtschaftlich vorteilhaft“ anzusehen sein, wenn es dazu führt, dass das Unternehmen nach dessen vollständiger Abwicklung über ein höheres Vermögen verfügt, als das bei Verzicht auf dieses Projekt der Fall gewesen wäre. Diese Zielvorstellung wird in der Literatur häuﬁg als Prinzip der Endvermögensmaximierung bezeichnet. Diese Maxime ist unter bestimmten Voraussetzungen zugleich auch mit anderen Zielvorstellungen kompatibel, z. B. der Maximierung der Breite eines über T Perioden hinweg gleichbleibenden Entnahmestromes (vgl. zu solchen Zusammenhängen bereits 7 Abschn. 2.3.4). Wir werden derartige Kompatibilitätsfragen im Folgenden allerdings nicht weiter untersuchen, sondern es bei der Zielsetzung der Endvermögensmaximierung belassen. Zur Umsetzung dieses Prinzips reicht es allerdings nicht aus, nur die mit einem Investitionsprojekt unmittelbar verbundenen monetären Konsequenzen zu betrachten. Vielmehr müssen auch noch bestimmte indirekte Effekte auf das „ﬁnanzielle Umfeld“ des Investitionsprojektes berücksichtigt werden, die sich insbesondere in Form von Finanzierungskosten manifestieren. >Merke Investitionsprojekte wirken sich zunächst durch die mit ihnen unmittelbar verbundenen monetären Konsequenzen auf das Unternehmensvermögen aus, darüber hinaus aber auch durch indirekte Effekte in ihrem „finanziellen Umfeld“.

118

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

Folgende Fortsetzung unseres Beispiels 4.1 4 Auf der anderen Seite bewirken die in den verdeutlicht diesen grundsätzlich bereits aus Folgejahren eintretenden Rückflüsse aus 7 Abschn. 2.2.3.4 bekannten Gedanken. dem Projekt sukzessive eine Reduktion der 777 Beispiel 4.1 (Fortsetzung)

4

Bezüglich des „finanziellen Umfeldes“, in dessen Rahmen unser Investitionsprojekt realisiert wird, wollen wir die folgenden beiden besonders markanten Szenarien betrachten: Szenario I: Die MONA-LISA-GMBH verfügt aktuell und auch in den kommenden vier Jahren (unabhängig von der Durchführung des Investitionsprojektes) stets über freie finanzielle Mittel, die jeweils für ein Jahr oder länger als Festgeld angelegt werden. Die dabei erzielbaren Zinssätze sind mit Sicherheit im Voraus bekannt; ihre Höhe hängt auch nicht von der jeweiligen Anlagesumme ab. Die indirekten Effekte auf das „finanzielle Umfeld“ konkretisieren sich dann in folgender Weise: 4 Zunächst führt die Bereitstellung der für die Einleitung des Projektes erforderlichen Finanzmittel von 400 dazu, dass im Zeitpunkt t D 0 nur ein um diese Summe niedrigerer Festgeldbetrag angelegt werden kann, als das bei Verzicht auf das Projekt möglich gewesen wäre. 4 Auf der anderen Seite können die in den Folgejahren eintretenden Rückflüsse aus dem Projekt ihrerseits verzinslich angelegt werden. Szenario II: Die MONA-LISA-GMBH nimmt aktuell und auch in den kommenden vier Jahren (unabhängig von der Durchführung des Investitionsprojektes) stets einen Kontokorrentkredit in Anspruch. Die dabei jeweils anfallenden Zinssätze sind mit Sicherheit im Voraus bekannt; ihre Höhe hängt auch nicht von der jeweils beanspruchten Kreditsumme ab. In diesem Szenario schlagen sich die indirekten Effekte wie folgt nieder: 4 Zunächst führt die Einleitung des Projektes dazu, dass der Kontokorrentkredit im Zeitpunkt t D 0 um 400 mehr beansprucht wird, als das bei Verzicht auf das Projekt der Fall wäre.

durch das Projekt induzierten zusätzlichen Kreditbeanspruchung.

In beiden Szenarien werden durch die im Zeitpunkt t D 0 erfolgende Auszahlung also zusätzliche Finanzierungskosten verursacht, die sich entweder (als Opportunitätskosten) in Form entgehender Festgeldzinsen oder als zusätzlich anfallende Kreditzinsen manifestieren. Auf der anderen Seite bewirken die in den folgenden Perioden eintretenden Rückflüsse aus dem Projekt eine permanente Verminderung der zusätzlich entstehenden Finanzierungskosten, eventuell sogar definitive Einsparungen. Zu welchem Gesamtergebnis diese gegenläufigen Teileffekte führen, lässt sich konkret berechnen, wenn die für die einzelnen Perioden maßgeblichen Zinssätze bekannt sind. Dazu nehmen wir zunächst für Szenario I an, dass Festgelder zu Beginn des ersten und des zweiten Jahres jeweils zu 3 % p. a. angelegt werden können, und der Festgeldzinssatz für die nächsten beiden Jahre auf 4 % p. a. steigt. Weiterhin nehmen wir zur Vereinfachung an, dass die MONA-LISA-GMBH im Zeitpunkt t D 0 neben weiteren Festgeldguthaben gerade über freie Mittel in Höhe von 400 verfügt, die entweder für vier Jahre als Festgeld angelegt oder zunächst in das Investitionsprojekt „gesteckt“ werden können. Unterstellt man – ebenfalls nur der einfacheren Darstellung wegen –, das weitere „Schicksal“ dieses Betrages von 400 werde auf einem eigenen Konto dargestellt, so würde sich für den Fall des Unterlassens des Projektes das in . Tab. 4.3 dargestellte Bild ergeben. Bei Unterlassen der Investition würde so im Zeitpunkt t D 4 ein Endvermögen (EV U ) von 458,99 erzielt. Aus 7 Abschn. 3.2 wissen Sie schon, dass wir statt der etwas umständlichen Kontodarstellung auch einfach wie folgt hätten rechnen können: EV U D 400 1;03 1;03 1;04 1;04 D 458;99:

4

119 4.1 Begriffliche und modelltheoretische Grundlagen

. Tabelle 4.3 Festgeldentwicklung bei Unterlassen des MONA-LISA Projektes Jahr Jahresanfang Jahresende Kontostand

Zinsgutschrift

Kontostand

1

400,00

12,00

412,00

2

412,00

12,36

424,36

3

424,36

16,97

441,33

4

441,33

17,65

458,99

Für den Fall, dass die 400 in t D 0 gerade nicht verzinslich angelegt, sondern in das Projekt investiert werden und Projektrückflüsse anschließend verzinslich angelegt werden, würde sich die Kontoentwicklung laut . Tab. 4.4 ergeben. Am Ende der Projektlaufzeit würde die MONA-LISA-GMBH mit EV P D 540;88 also über ein deutlich höheres Endvermögen verfügen als bei Investitionsverzicht (EV U D 458;99). Gemessen an der hier unterstellten Zielsetzung der Endvermögensmaximierung wäre das Projekt also als vorteilhaft anzusehen. Diese Eigenschaft resultiert aber nicht allein aus der mit dem Projekt verbundenen Zahlungsreihe, sondern auch aus den Annahmen über die „finanzielle Umgebung“, also zunächst aus der grundlegenden

Unterstellung, dass überhaupt Szenario I vorliegt, sowie des Weiteren aus den für die Zinssätze angenommenen Werten. Dieser Einfluss der „finanziellen Umgebung“ wird sofort deutlich, wenn wir nun alternativ unterstellen, dass sich die MONA-LISA-GMBH in Szenario II befindet und davon ausgeht, dass die Kreditzinssätze in den ersten beiden Jahren jeweils 11 % p. a. betragen und danach auf 12 % p. a. im dritten Jahr sowie 13 % p. a. im vierten Jahr steigen. Die Entwicklung der durch das Projekt verursachten zusätzlichen Kreditbeanspruchung stellt sich dann wie in . Tab. 4.5 dar.1 Unter den jetzt unterstellten Annahmen über die „finanzielle Umgebung“ reichen die durch das Projekt generierten Rückflüsse also nicht aus, die anfängliche Kreditbeanspruchung und die im Zeitablauf zusätzlich entstehende Zinsbelastung abzutragen. Die Durchführung des Projektes würde vielmehr dazu führen, dass die MONA-LISA-GMBH am Ende des vierten Jahres 13,16 mehr Schulden hätte, als das bei Verzicht auf die Investition der Fall gewesen wäre. In dieser Konstellation würde sich das Projekt also trotz unveränderter Zahlungsreihe als unvorteilhaft erweisen. Dieses Ergebnis resultiert allerdings nicht grundsätzlich aus der Annahme, dass Szenario II gegeben ist, sondern hängt letztlich allein von der Höhe der maßgeblichen Zinssätze ab. Nimmt man etwa alternativ zu der zunächst unterstell-

. Tabelle 4.4 Festgeldentwicklung bei Durchführung des MONA-LISA Projektes Jahr

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsgutschrift

Projektzahlung

Kontostand

1

0,00

0,00

70,00

70,00

2

70,00

2,10

163,00

235,10

3

235,10

9,40

215,00

459,50

4

459,50

18,38

63,00

540,88

1

Die Kreditbeanspruchung und zusätzliche Belastungen werden in dieser Darstellung durch negative Zahlen ausgedrückt, etwaige Gutschriften durch positive Zahlen.

120

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

. Tabelle 4.5 Kreditbelastung bei Durchführung des MONA-LISA Projektes (Zinssituation 1) Jahr

4

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsbelastung

1

400,00

44,00

70,00

374,00

2

374,00

41,14

163,00

252,14

3

252,14

30,26

215,00

67,40

4

67,40

8,76

63,00

13,16

Projektzahlung

Kontostand

. Tabelle 4.6 Kreditbelastung bei Durchführung des MONA-LISA Projektes (Zinssituation 2) Jahr

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsbelastung

1

400,00

40,00

70,00

370,00

2

370,00

37,00

163,00

244,00

3

244,00

24,40

215,00

53,40

4

53,40

5,34

63,00

4,26

ten Zinsentwicklung an, dass der Kreditzinssatz über den gesamten Betrachtungszeitraum hinweg konstant 10 % p. a. beträgt, so würde sich das in . Tab. 4.6 dargestellte Bild ergeben. Unter diesen abgemilderten Zinsbedingungen würde sich das Projekt also auch in Szenario II als vorteilhaft erweisen. Es führte jetzt dazu, dass das Ausmaß der bei der MONA-LISAGMBH der Sache nach auf jeden Fall bestehenden Kreditbelastung wegen der Durchführung des Projektes am Ende des vierten Jahres um 4,26 niedriger sein würde als bei Investitionsverzicht. 999

?Übungsaufgabe 4.1 Betrachten Sie noch einmal die MONALISA-GMBH in Szenario I. Nehmen Sie nun jedoch an, der Anlagezinssatz belaufe sich in allen Perioden gleichbleibend auf 12 %. Führen Sie die beiden Kontoabrechnungen entsprechend . Tab. 4.3 und . Tab. 4.4 noch einmal durch und kommentieren Sie Ihre Ergebnisse kurz!

Projektzahlung

Kontostand

Wie unser Beispiel zeigt, erfordert eine sachgerechte Beurteilung eines Projektes stets, über die dem Projekt unmittelbar zuzurechnenden monetären Konsequenzen hinaus, auch noch die sich in Zinseﬀekten manifestierenden Auswirkungen des Projektes auf seine „ﬁnanzielle Umgebung“ in das Kalkül mit einzubeziehen. Derartige projektinduzierten Zinseﬀekte werden jedoch, wie Ihnen grundsätzlich schon aus 7 Abschn. 2.2.3.2 bekannt ist, nicht durch buchhalterisch generierte Gewinn- oder Verlustgrößen ausgelöst, sondern nur durch eﬀektive Zahlungsmittelbewegungen. Zwar bestehen mehrere Möglichkeiten, auch auf der Basis der projektbezogenen Gewinn- und Verlustgrößen durch ergänzende Rechnungen zu einem letztlich sachgerechten Vorteilhaftigkeitsurteil zu gelangen. Diese Ansätze sind jedoch umständlicher und zudem von geringerer intuitiver Plausibilität als der unmittelbare Rückgriﬀ auf die Zahlungsgrößen. Wir wollen daher für unser Grundmodell zunächst der in investitionstheoretischen Beiträgen weithin geübten

121 4.1 Begriffliche und modelltheoretische Grundlagen

4

planten Werten abweichen können, außer Acht gelassen. Die Plandaten werden also als quasi-sichere Größen behandelt. (Mit einigen Möglichkeiten, diese ebenfalls recht einschränkende Prämisse zumindest in gewissem Ausmaß „aufzuweichen“, werden wir Sie in 7 Kap. 7 vertraut machen.) Die geplanten Ein- und Auszahlungen werden in zeitlicher Hinsicht in folgender Weise aggregiert: Die mit dem originären In>Merke vestitionsvorgang verbundene AnfangsausEs liegt nahe, Investitionsprojekte durch zahlung a0 wird darstellungstechnisch auf die mit ihnen verbundenen Zahlungssalden Beginn des ersten Jahres der Investiden zu verdeutlichen, weil diese einen tionslaufzeit bezogen (Zeitpunkt t D 0). unmittelbaren Bezug zu den ebenfalls zu Die aus den weiteren Folgeaktivitäten resulbeachtenden Zinseffekten aufweisen. tierenden Ein- und Auszahlungen werden jeweils jahresweise zu einem Zahlungssal4.1.3 Eigenschaften des do zusammengefasst und dem jeweiligen Grundmodells und weiteres Jahresende zugerechnet (Zeitpunkte t D Vorgehen 1; 2; : : : ; T ), wobei T die in Jahren gemessene Gesamtlaufzeit des Investitionsprojektes bezeichnet. In den vorangegangenen beiden Abschnitten haben Sie sukzessive die das investitionstheo- 4 Darstellungstechnisch treﬀen wir zudem die Konvention, den auf einen Zeitpunkt t retische Grundmodell prägenden Annahmen bezogenen Zahlungssaldo allgemein durch kennengelernt. Wir wollen sie hier noch einmal die Variable e t zu verdeutlichen, wobei ein zusammenfassen: 4 Das Modell dient dem Ziel, die wirtschaftpositiver Wert von e t einen Einzahlungslichen Konsequenzen von Investitionsproüberschuss anzeigt, ein negativer Wert hinjekten so darzustellen, dass auf dieser Bagegen einen Auszahlungsüberschuss. Für sis eine „vernünftige“ Entscheidung über die allererste, im Zeitpunkt t D 0 erfolgendie Durchführung eines Projektes oder die de Zahlung gilt somit e0 D a0 . Formal Auswahl aus mehreren Projekten getroﬀen manifestiert sich ein Investitionsprojekt alwerden kann. Es handelt sich also um ein so in einer auf die Zeitpunkte t D 0 bis Entscheidungsmodell. t D T bezogenen Zeitreihe von Zahlungs4 Als übergeordnete Zielsetzung für dieses salden (e0 ; e1 ; : : : ; eT ), wobei zumindest e0 Entscheidungsmodell wird das Prinzip der eine negative Zahl darstellt. Endvermögensmaximierung unterstellt. 4 Die Investitionsprojekte werden durch die In diesem Zusammenhang ist es zweckmäßig, mit ihnen planmäßig verknüpften Ein- und vorab zwei Deﬁnitionen zu treﬀen. Zunächst Auszahlungen gekennzeichnet. wollen wir die Summe aller von t D 0 bis 4 Steuerliche Aspekte werden bei der Herlei- t D T erfolgenden Zahlungssalden als den tung der Zahlungsgrößen außer Acht gelas- Nominalwert NW bezeichnen. Weiterhin wolsen. (Diese einschränkende Prämisse wer- len wir die Summe aller von t D 1 bis t D den wir im 7 Abschn. 5.6 aufheben.) T erfolgenden Zahlungssalden ungeachtet der 4 Ebenso wird die Möglichkeit, dass die sich Möglichkeit, dass sich darunter auch negative bei Durchführung des Projektes tatsäch- e t -Werte beﬁnden können, als Rückzahlungslich realisierenden Zahlungen von den ge- wert RW eines Projektes bezeichnen. Es sollen Praxis folgen, die monetären Konsequenzen von Investitionsprojekten durch die projektinduzierten Ein- und Auszahlungen zu verdeutlichen. Auf die Möglichkeiten, über bestimmte Umwege auch auf der Basis von Gewinngrößen zu einer sachgerechten Beurteilung von Investitionsprojekten zu gelangen, werden wir dann anschließend im 7 Abschn. 4.2.3 eingehen. 4

122

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

also die Deﬁnitionen (4.1) und (4.2) gelten. NW D

T X

et

(4.1)

t D0

4

RW D

T X

et

(4.2)

t D1

Unter den Annahmen unseres Grundmodells beschreibt eine Zahlungsreihe die mit einem Investitionsprojekt unmittelbar verbundenen Konsequenzen eindeutig und vollständig. Um darüber hinaus auch die indirekten Auswirkungen auf das „ﬁnanzielle Umfeld“ modellmäßig adäquat zu erfassen, treﬀen wir die folgenden weiteren Annahmen: 4 Durch die Durchführung des Projektes werden die aus anderen bereits laufenden oder erst noch zu initiierenden Investitionen resultierenden Ergebnisse weder begünstigt noch beeinträchtigt. (Vgl. dazu 7 Abschn. 2.2.3.6) 4 Die Auswirkungen auf das „ﬁnanzielle Umfeld“ beschränken sich somit auf rein ﬁnanzielle Transaktionen, die sich in zusätzlichen Zinsgutschriften oder -belastungen niederschlagen. 4 Die Höhe der dafür in den kommenden Jahren maßgeblichen Zinssätze kann mit Sicherheit vorausgesehen werden; sie ist jeweils für ein Jahr konstant. Ihre Höhe hängt zudem nicht davon ab, ob das Projekt durchgeführt wird oder nicht. Weiterhin schließen wir für die Zinssätze negative Werte sowie im Regelfall auch Werte von 100 % und mehr aus unserer Betrachtung aus. 4 Zur formalen Darstellung bezeichnen wir den Zinssatz, der in dem Jahr zwischen den Zeitpunkten t 1 und t maßgeblich ist, als r t und den zugehörigen Zinsfaktor als q t (q t D 1 C r t ). Für den Spezialfall, dass die Zinssätze während der gesamten Projektlaufzeit konstant sind, verwenden wir einfach die Symbole r bzw. q. Die dementspre-

chend anzusetzenden Zinssätze wollen wir dabei als die Kalkulationszinssätze bzw. den Kalkulationszinssatz bezeichnen. Im Hinblick auf missverständliche Ausführungen, die gelegentlich auch im theoretisch orientierten Schrifttum anzutreﬀen sind, sei darauf hingewiesen, dass für unser Grundmodell lediglich vorausgesetzt wird, dass die in dem maßgeblichen „ﬁnanziellen Umfeld“ herrschenden Zinssätze bekannt sind. Es wird jedoch weder angenommen, dass diese Zinssätze während der gesamten Betrachtungsdauer konstant bleiben, noch wird vorausgesetzt, dass Anlage- und Kreditzinssätze übereinstimmen. Die im folgenden Kapitel zu behandelnden investitionstheoretischen Ansätze gehen grundsätzlich von einer im Sinne unseres Grundmodells vorgegebenen Zahlungsreihe aus, die als solche nicht mehr hinterfragt wird. Das weitere Vorgehen dieser Ansätze besteht dann darin, Verfahren bereitzustellen, um diese Zahlungsreihen zu einer einzigen Kennzahl zusammenzufassen, die ein „vernünftiges Urteil“ über die „wirtschaftliche Vorteilhaftigkeit“ des betrachteten Investitionsprojektes erlauben soll. Wir werden Ihnen im 7 Abschn. 4.2 zunächst drei besonders prominente Beispiele derartiger Kennzahlen vorstellen. Dabei werden wir jeweils zunächst auf die Deﬁnition und die Berechnung der Kennzahlen sowie einige zwischen ihnen bestehende formale Zusammenhänge eingehen. Anschließend werden wir jeweils den ökonomischen Gehalt der einzelnen Kennzahlen verdeutlichen und darauf aufbauend aufzeigen, ob und ggf. in welcher Weise diese Kennzahlen geeignet sind, eine im Sinne der Endvermögensmaximierung „vernünftige“ Entscheidung über ein Investitionsprojekt oder die Auswahl aus mehreren Projekten zu fundieren. In diesem Zusammenhang werden wir dann auch auf die Bestimmungsfaktoren der aus dem „ﬁnanziellen Umfeld“ ableitbaren Zinssätze eingehen.

4

123 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

4.2

Endwert, Kapitalwert und Annuität

so vereinfachen sich die Berechnungen ein wenig; dann gilt: EW D 100 1;053 C 30 1;052 C 40 1;05 C 50

Formale Darstellung und Analyse

4.2.1

4.2.1.1

Endwert und Kapitalwert

a) Begriffe und Definitionen Die beiden Kennzahlen Endwert (EW) und Kapitalwert (K) sind sich formal sehr ähnlich. Zur Ermittlung von EW werden alle Zahlungsgrößen auf das Ende der Projektlaufzeit (t D T ) aufgezinst und dann addiert; K ergibt sich demgegenüber als Summe aller auf den Startzeitpunkt (t D 0) abgezinsten Zahlungen. 777 Beispiel 4.2 Das dreijährige Projekt 1 führt zu der Zahlungsreihe e0 D 100, e1 D 30, e2 D 40, e3 D 50. Für die in den drei Jahren maßgeblichen Zinssätze gelten die Werte r1 D 6 %, r2 D 5 % und r3 D 4 %. Für End- und Kapitalwert ergibt sich dann: EW D 100 1;06 1;05 1;04 C 30 1;05 1;04 C 40 1;04 C 50 D 8;61 K D 100 C 30 1;061 C 40 1;051 1;061 C 50 1;041 1;051 1;061 D 7;44: In formaler Hinsicht müsste Ihnen die Herleitung dieser beiden Kennzahlen schon aus 7 Abschn. 3.2.3 bekannt sein; dennoch zur Wiederholung eine kleine Erläuterung am Beispiel der Ermittlung von K: Die allererste, im Zeitpunkt t D 0 fällige Zahlung wird gar nicht abgezinst. Die in t D 1 fällige Zahlung wird für eine Periode abgezinst, und zwar auf der Basis des für die erste Periode maßgeblichen Zinssatzes von 6 %. Die in t D 2 fällige Zahlung wird für zwei Jahre abgezinst, und zwar zunächst mit dem für das zweite Jahr maßgeblichen Zinssatz von 5 % und dann noch einmal mit dem Zinssatz für das erste Jahr; etc. Die zur Ermittlung von EW erforderlichen Aufzinsungsvorgänge sind ganz analog zu erklären. Nimmt man alternativ an, dass die Zinssätze während der drei Jahre konstant 5 % betragen,

D 9;31 K D 100 C 30 1;051 C 40 1;052 C 50 1;053 D 8;04: Eine weitere rechentechnische Vereinfachung ergibt sich, wenn nicht nur die Zinssätze konstant sind, sondern auch alle mit dem Projekt verbundenen Zahlungen von t D 1 bis t D T die gleiche Höhe aufweisen. Betrachten wir dazu ein Projekt 2, bei dem auf eine Anfangsauszahlung von 100 (e0 D 100) über 20 Jahre hinweg eine konstante Rückzahlung von 8 erfolgt. Unter Rückgriff auf die aus 7 Abschn. 3.3 bekannten Rentenformeln lassen sich hier die zwanzig ansonsten erforderlichen Auf- bzw. Abzinsungsoperationen einsparen, indem man einfach wie folgt rechnet: EW D 100 1;0520 C 8 RBF .20 J:I 5 %/ 1;0520 D 265;33 C 264;53 D 0;80 K D 100 C 8 RBF .20 J:I 5 %/ D 100 C 99;70 D 0;30:

999

Zur Bestimmung der beiden Kennzahlen gelten also allgemein die Formeln (4.3) und (4.4). EW D e0 .q1 q2 : : : qT / C e1 .q2 q3 : : : qT / C : : : C eT 1 qT C eT (4.3) K D e0 C e1 q11 C e2 .q1 q2 /1 C : : : C eT 1 .q1 q2 : : : qT 1 /1 C eT .q1 q2 : : : qT /1

(4.4)

Für den Fall eines konstanten Zinssatzes vereinfachen sich diese allgemeinen Formeln deutlich zu den Formeln (4.5) und (4.6). EW D

T X

e t q T t

(4.5)

e t q t

(4.6)

t D0

KD

T X t D0

124

4

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

Gilt schließlich auch noch e1 D e2 D : : : D Endwert. Es gelten also stets die in Formel (4.9) eT D e, so vereinfachen sich die Formeln wei- abgebildeten äquivalenten Relationen.2 ter zu den Formeln (4.7) und (4.8). EW D K q T bzw. T T (4.7) EW D e0 q C e RBF.T I r/ q (4.9) K D EW q T oder auch T K D e0 C e RBF.T I r/ (4.8) für K ¤ 0 EW=K D q >Merke Die Berechnung von End- und Kapitalwerten setzt weder voraus, dass Kredit- und Guthabenzinssätze übereinstimmen noch dass die Zinssätze im Zeitablauf konstant bleiben.

?Übungsaufgabe 4.2 Betrachten Sie ein Investitionsprojekt mit der Zahlungsreihe e0 D 100, e1 D 40, e2 D 40, e3 D 40. a. Berechnen Sie den Nominalwert und den Rückzahlungswert des Projektes. b. Bestimmen Sie die Kennzahlen EW und K auf drei Nachkommastellen genau für den Fall, dass die in den drei Jahren maßgeblichen Zinssätze die Werte r1 D 5 %, r2 D 6 % und r3 D 7 % aufweisen. c. Lösen Sie Teilaufgabe b. noch einmal für den Fall, dass sich der maßgebliche Zinssatz in allen drei Perioden gleichbleibend auf 6 % beläuft.

b) Zusammenhänge bei konstantem Kalkulationszinssatz 1 (1) Endwert und Kapitalwert

Im Rahmen dieser grundlegenden Darstellung wollen wir die weitere Analyse überwiegend auf den Fall eines für die gesamte Projektdauer konstanten Kalkulationszinssatzes beschränken. Vergleicht man Formel (4.5) mit Formel (4.6) oder Formel (4.7) mit Formel (4.8), so erkennt man, dass der Endwert stets als aufgezinster Kapitalwert interpretiert werden kann oder umgekehrt der Kapitalwert als abgezinster

Aus Formel (4.9) folgt zunächst, dass EW und K stets das gleiche (positive oder negative) Vorzeichen aufweisen oder beide gerade übereinstimmend den Wert Null annehmen. Welche dieser Konstellationen vorliegt, hängt bei gegebener Zahlungsreihe von der Höhe des Kalkulationszinssatzes ab. Gilt im Extremfall gerade r D 0 und damit q D 1, so folgt aus den Formeln (4.5) und (4.6) sofort Formel (4.10). EW D K D e0 C e1 C : : : C eT D NW (4.10) Endwert und Kapitalwert stimmen in diesem Fall also überein und entsprechen der einfachen Summe aller projektbezogenen Zahlungen, also dem Nominalwert des Projektes. Im Fall eines positiven Kalkulationszinssatzes (r > 0 und dementsprechend auch q > 1) folgt aus Formel (4.9) weiter, dass je nach der Höhe des Kalkulationszinssatzes immer eine der drei folgenden Konstellationen bestehen muss: 4 Konstellation 1: EW > K > 0 4 Konstellation 2: EW D K D 0 4 Konstellation 3: EW < K < 0. 777 Beispiel 4.3 Wir betrachten das aus Beispiel 4.2 bekannte Projekt 1 (100; 30; 40; 50) und gehen weiterhin davon aus, dass während der gesamten Projektlaufzeit ein gleichbleibender Kalkulationszinssatz maßgeblich ist. Um die zuvor angesprochenen Zusammenhänge systematisch zu untersuchen, haben wir EW und K einmal für alle geradzahligen Zinssätze zwischen 0 % und 14 % 2

Relation (4.9) ist im Übrigen auch im Fall wechselnder Periodenzinssätze erfüllt.

4

125 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

. Tabelle 4.7 End- und Kapitalwerte für Projekt 1 r

0%

2%

4%

6%

8%

10 %

12 %

14 %

EW

20,00

15,89

11,56

7,01

2,22

2,80

8,06

13,57

20,00

14,97

10,28

5,88

1,76

2,10

5,74

9,16

1,00

1,06

1,12

1,19

1,26

1,33

1,40

1,48

1,00

1,06

1,12

1,19

1,26

1,33

1,40

1,48

K .1 C r/ EW/K

3

berechnet und so die in . Tab. 4.7 aufgeführten den Wert von Null. An dieser Stelle tritt also Werte erhalten.3 Konstellation 2 auf. In den unteren beiden Zeilen haben wir zu4 Danach gehen beide Kurven in den Bereich dem für jeden Zinssatz den Wert des entsprenegativer Werte über, wobei die K-Kurve chenden Aufzinsungsfaktors sowie den Quotijetzt stets oberhalb der EW-Kurve verläuft, enten aus EW und K angegeben. Gemäß Relatialso Konstellation 3 gegeben ist. 999 on (4.9) müssen diese beiden Größen ja überein>Merke stimmen; die in der Tabelle aufgeführten Werte Da der Kapitalwert stets als der abgezinste liefern hier eine numerische Bestätigung. Endwert interpretiert werden kann (und Für die weitere Analyse ist es zweckmäßig, umgekehrt) weisen beide Kennzahlen die in . Tab. 4.7 numerisch dargestellten Zu– ganz unabhängig von der Höhe der sammenhänge zusätzlich grafisch zu verdeutlizugrundeliegenden Zinssätze – stets chen. Man erhält so die in . Abb. 4.1 dargestelldasselbe Vorzeichen auf. ten Kurvenzüge. Diese beiden Kurven verdeutlichen optisch, 1 (2) Kapitalwert und Kalkulationszinssatz: wie EW und K auf gedankliche Änderungen des Die Kapitalwertfunktion Kalkulationszinssatzes reagieren. An ihnen wird Wie wir soeben schon, gewissermaßen „nebenu. a. Folgendes deutlich: bei“, gesehen haben, können End- und Kapital4 Beide Kurven schneiden die Ordinate überwert bei gegebener Zahlungsreihe als Funktion einstimmend bei 20, was genau dem Nomides zugrunde gelegten Kalkulationszinssatzes nalwert des Projektes (100 C 30 C 40 C aufgefasst werden. Für die folgenden Analysen 50 D 20) entspricht. Relation (4.10) wird also interessiert dabei insbesondere der funktionaebenfalls bestätigt. le Zusammenhang zwischen Kapitalwert und 4 Von r D 0 % ausgehend verlaufen beiKalkulationszinssatz, die sogenannte Kapitalde Kurven fallend, wobei die EW-Kurve zuwertfunktion.4 nächst stets oberhalb der K-Kurve liegt. Hier Die gerade betrachtete . Abb. 4.1 zeigt liegt also durchgehend Konstellation 1 vor. einen möglichen Verlauf dieser Funktion. Bei 4 Mit weiter zunehmendem Kalkulationszinsdem dort betrachteten Projekt handelt es sich satz erreichen beide Kurven bei einem Zinssatz in der Größenordnung von 9 % ihren 4 Die folgenden Analysen könnten grundsätzlich auch gemeinsamen Abszissenschnittpunkt, d. h. auf der Basis der analog zu definierenden Endwert3

Dass wir dieser Darstellung gerade Zinssätze zwischen 0 % und 14 % zugrunde legen, folgt keiner wie auch immer gearteten Gesetzmäßigkeit; es ist vielmehr eine Frage der von dem Erkenntnisziel und den konkreten Daten des betrachteten Beispiels abhängigen Zweckmäßigkeit.

funktion erfolgen. Für die Wahl der Kapitalwertfunktion als Analyseinstrument sprechen zwei Gründe: Zum einen können einige Herleitungen und Interpretationen formal etwas einfacher erfolgen. Zum anderen entspricht dies auch der im investitionstheoretischen Schrifttum weithin verbreiteten Praxis.

126

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

K; EW

25 20

4

15 10 5 0 2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

r

5 10

K r

15

EW r

20

. Abb. 4.1 Endwert und Kapitalwert von Projekt 1

Entgegen dem durch . Abb. 4.1 möglicherweise vermittelten Eindruck stellt die Kurve jedoch keine Gerade dar; vielmehr wird ihr „Gefälle“ mit zunehmendem Zinssatz immer kleiner. Schließlich schneidet die Kurve die Abszisse bei einem positiven Wert für den KalkuNormalinvestitionen beginnen also mit einer lationszinssatz. oder mehreren Auszahlungen in den ersten Pe- 4 Nach dem Übergang in den Bereich negatirioden; danach folgen nur noch Perioden, in ver Kapitalwerte verläuft die Funktion dann denen Einzahlungsüberschüsse vorliegen oder zunächst immer noch fallend. der Zahlungssaldo gerade null beträgt. Die Ka- 4 In dem in . Abb. 4.1 nicht mehr dargestellten Bereich „größerer“ Werte des Kalkulapitalwertfunktion eines solchen Projektes weist tionszinssatzes kann die Funktion dann je generell einen Verlauf auf, wie er in . Abb. 4.1 nach der genauen Struktur der Zahlungsdurch die mit „K.r/“ bezeichnete Kurve verreihe entweder kontinuierlich weiter fallen deutlicht wird, d. h.: oder aber auch in einen steigenden Ver4 Die Funktion schneidet die Ordinate bei eilauf übergehen. In beiden Fällen nähert sich nem positiven Wert. die Kurve jedoch asymptotisch dem (nega4 Anschließend verläuft die Funktion im erstiven) Wert e0 ; es kommt somit in keinem ten Quadranten streng monoton fallend. Fall zu einem weiteren Abszissenschnitt5 punkt. Wie wir gleich noch sehen werden, Der Begriff Normalinvestition wird im Schrifttum teils enger, teils weiter als hier gebraucht. Gelegentist für eine ökonomische Analyse in aller lich wird er (einengend) nur für Projekte mit einer Regel ohnehin nur der Verlauf der Kapitaleinzigen Anfangsauszahlung im Zeitpunkt t D 0 wertfunktionen im ersten Quadranten beverwendet; gelegentlich werden darunter (erweideutsam, so dass die Frage, ob die Funktion ternd) aber auch Projekte mit negativem Nominalauch darüber hinaus monoton fallend verwert subsumiert. um eine sogenannte Normalinvestition.5 Darunter wollen wir im Folgenden ein Investitionsprojekt verstehen, 4 dessen Nominalwert positiv ist und 4 dessen Zahlungsreihe nur einen Vorzeichenwechsel von nach C aufweist. 4

4

127 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

K 40 20 0 50%

100%

150%

200%

250%

300%

350%

r

20 40 60 80 100

K (r)

. Abb. 4.2 Kapitalwertfunktion von Projekt 1 für „große“ Zinssätze

läuft oder nicht, eher von theoretischem tionen, in denen Investitionsprojekte mit anInteresse als von praktischer Bedeutung dersgearteten Zahlungsreihen verbunden sind. Ein typisches Beispiel sind etwa Tagebauinvesist. titionen: In einer ersten Phase erfolgen AuszahIn verschiedenen Zusammenhängen sind die lungen, um die Abbauﬂäche zu erschließen und beiden Achsenschnittpunkte der Kapitalwert- die Abbaugeräte bereitzustellen; es folgt eine funktion von Interesse. Der Ordinatenschnitt- typischerweise etliche Jahre andauernde Zeitpunkt kann sehr einfach ermittelt werden: Er spanne, in der der laufende Abbaubetrieb zu entspricht der einfachen Summe aller Zah- Einzahlungsüberschüssen führt; nach Beendilungsgrößen e0 bis eT ; stellt also nichts anderes gung der Abbauaktivitäten fallen dann noch dar als den schon aus Deﬁnition (4.1) bekann- einmal Auszahlungen an, um die Hinterlasten Nominalwert des Projektes. Der Abszissen- senschaften des Tagebaus abzubauen und das schnittpunkt verdeutlicht demgegenüber den Gelände zu renaturieren. Bei derartigen Zahkritischen Wert des Kalkulationszinssatzes, auf lungsreihen mit mehr als einem Vorzeichendessen Basis der Kapitalwert gerade den Wert 0 wechsel kann die Kapitalwertfunktion einen annimmt. Diese Größe wird allgemein als der andersgearteten Verlauf aufweisen als im Fall interne Zinsfuß eines Investitionsprojektes be- einer Normalinvestition. zeichnet; seine Ermittlung gestaltet sich im Allgemeinen etwas komplizierter als die Bestim- 777 Beispiel 4.4 mung des Nominalwertes. Wir werden darauf Wir betrachten das schon aus vorangegangesowie auf eine nähere ökonomische Interpreta- nen Beispielen bekannte Projekt 1 (100; 30; tion dieser Größe im 7 Abschn. 6.3 noch näher 40; 50). Den Verlauf der zugehörigen Kapitaleingehen. wertfunktion im Bereich „normaler“ Zinssätze Es ist davon auszugehen, dass zumindest kennen Sie schon aus . Abb. 4.1. Weitet man zahlreiche der im praktischen Wirtschaftsleben den Bereich der betrachteten Zinssätze ganz eranzutreﬀenden Investitionsprojekte dem Typus heblich aus, so erhält man das in . Abb. 4.2. einer Normalinvestition entsprechen. Wir wer- wiedergegebene Bild der Kapitalwertfunktion. den im Folgenden daher im Regelfall von die- Man erkennt den monoton fallenden Verlauf sem Investitionstyp ausgehen. Es gibt jedoch und kann die Konvergenz gegen 100 zuminauch durchaus praktisch relevante Konstella- dest erahnen.

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

128

K 30 20

4

10 0 50%

100%

150%

200%

250%

300%

350%

r

10 20

K (r)

30 40 50

. Abb. 4.3 Kapitalwertfunktion von Projekt 1 für „große“ Zinssätze

Zur weiteren Verdeutlichung nehmen wir nun als Variante 1* zu Projekt 1 an, dass sich die Anfangsauszahlung in folgender Weise auf zwei Perioden verteilt: Für vorbereitende Tätigkeiten werden im Zeitpunkt t D 0 erste Zahlungen in Höhe von 5 fällig; die eigentlichen Investitionsauszahlungen in Höhe von 95 erfolgen dann erst im Zeitpunkt t D 1. Die nachfolgenden Einzahlungen in Höhe von 30, 40 und 50 verschieben sich dementsprechend auf die Zeitpunkte t D 2 bis t D 4. Projekt 1 hat also die Zahlungsreihe (5; 95; 30; 40; 50). Die zugehörige Kapitalwertfunktion hat dann das in . Abb. 4.3 wiedergegebene Aussehen. Man erkennt, dass die Funktion zunächst deutlich unter den der ersten Auszahlung entsprechenden Wert von 5 absinkt, bei einem Zinssatz knapp unter 100 % ihr Minimum mit etwa 37 erreicht und dann in einen steigenden, jedoch immer flacher werdenden Verlauf übergeht. Dass die Funktion dann schließlich gegen 5 konvergiert, kann man wiederum nur erahnen. Zur Vervollständigung unserer Beispielfälle betrachten wir schließlich als Projekt 3 ein auf unseren Tagebaufall passendes Beispiel: Zu Beginn der Tagebautätigkeit ist eine Anfangsauszahlung von 140 erforderlich; anschließend wer-

den über neun Perioden hinweg gleichbleibende Einzahlungsüberschüsse in Höhe von jeweils 40 erzielt; in der letzten Periode sind dann noch einmal Auszahlungen von 230 erforderlich. Die Zahlungsreihe hat also das Aussehen: e0 D 140I

e1 D e2 D : : : D e9 D 40I

e10 D 230: Wie man leicht sieht, verstößt dieses Projekt gegen alle Vorgaben für eine Normalinvestition: Seine Zahlungsreihe weist zwei Vorzeichenwechsel auf und sein Nominalwert ist negativ. Bestimmt man nach der Formel K D 140 C 40 RBF .9 J:I r/ 230 .1 C r/10 wieder die Kapitalwerte für alle geradzahligen Zinssätze zwischen 0 % und 14 %, so erhält man die in . Tab. 4.8 dargestellte Wertetabelle. Noch anschaulicher ist die graphische Verdeutlichung mit Hilfe der zugehörigen Kapitalwertfunktion, wie sie in . Abb. 4.4 dargestellt wird. Bei diesem Projekt nimmt der Kapitalwert also mit steigendem Zinssatz zunächst zu und wird ab ca. 3 % positiv. Bei ca. 7 % erreicht

4

129 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

. Tabelle 4.8 Kapitalwerte für Projekt 3 r

0%

2%

4%

6%

8%

10 %

12 %

14 %

K

10,00

2,19

2,03

3,64

3,34

1,69

0,92

4,19

K 10 5 0 2%

4%

6%

10%

8%

5

12%

14%

r

K (r)

10 15

. Abb. 4.4 Kapitalwertfunktion für Projekt 3 (Tagebauprojekt)

die Kurve ihr Maximum, verläuft von dort an fallend und nimmt knapp oberhalb von 11 % wieder negative Werte an. Wir wollen uns hier zunächst mit diesem formalen Befund begnügen; auf eine ökonomische Interpretation dieses auf den ersten Blick vielleicht nicht sonderlich plausibel erscheinenden Verlaufes der Kapitalwertfunktion werden wir später noch einmal zurückkommen. 999

?Übungsaufgabe 4.3 Betrachten Sie noch einmal das aus Übungsaufgabe 4.2 bekannte Projekt mit der Zahlungsreihe e0 D 100, e1 D 40, e2 D 40, e3 D 40. a. Gehen Sie von den in Übungsaufgabe 4.2 unter Teilaufgabe b. für den Fall wechselnder Zinssätze für EW und K ermittelten Ergebnissen aus und überprüfen Sie die Gültigkeit von Relation (4.9) numerisch. b. Skizzieren Sie den Verlauf der Kapitalwertfunktion dieses Projektes für einen Kalkulationszinssatz im Bereich zwischen 0 % und 12 %. Versuchen Sie dabei den Abszissenschnittpunkt auf einen halben %-Punkt genau abzuschätzen.

>Merke Für die meisten praktischen Fälle kann von dem Fall ausgegangen werden, dass die Kapitalwertfunktion im ersten Quadranten monoton fallend verläuft und nur einen (positiven) Schnittpunkt mit der Abszisse aufweist. Bei mehr als einem Vorzeichenwechsel in der Zahlungsreihe sind aber auch andere Verläufe der Kapitalwertfunktion denkbar.

4.2.1.2

Annuität

a) Begriff und Definition Wie Sie aus 7 Abschn. 3.4 wissen, geht es bei der Annuitätenrechnung insbesondere darum, einen im Zeitpunkt t D 0 vorgegebenen Zahlungsbetrag für eine fest vorgegebene Folge zukünftiger Zinssätze in einen „äquivalenten“ Strom gleichbleibender Zahlungen in den Zeitpunkten t D 1; 2; : : : ; T umzurechnen. Die geforderte Äquivalenz bemisst sich dabei danach, dass der Barwert dieser gleichbleibenden Zahlungen exakt dem für t D 0 vorgegebenen Zahlungsbetrag entspricht. Formal kann diese Aufgabe dadurch gelöst werden, dass man diesen vorgegebenen Gegenwartsbetrag mit dem Annuitätenfaktor multipliziert.

130

4

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

Diese Idee ist aus der allgemeinen Finanzmathematik in die Investitionstheorie übertragen worden. Hier deﬁniert man die Annuität eines Investitionsprojektes einfach als Produkt des Kapitalwertes mit dem Annuitätenfaktor. Wir wollen dieses Konzept zunächst wieder an einem Beispiel verdeutlichen. 777 Beispiel 4.5 Wir betrachten wieder das schon bekannte Projekt 1 (100; 30; 40; 50). Wie schon in Beispiel 4.2 angenommen, sollen für die in den kommenden drei Jahren maßgeblichen Zinssätze die Werte r1 D 6 %, r2 D 5 % und r3 D 4 % gelten. Für diese Konstellation hatten wir schon K D 100 C 30 1;061 C 40 1;061 1;051 C 50 1;061 1;051 1;041 D 7;44 ermittelt. Gefragt wird nun, welche Höhe eine in den Zeitpunkten t D 1; 2; 3 in gleicher Höhe anfallende Zahlung e haben müsste, damit der Barwert dieser drei Zahlungen gerade 7,44 beträgt. Das führt zu folgendem Rechenansatz: e 1;061 C 1;061 1;051

C 1;061 1;051 1;041 D 7;44 e D 7;44 1= 1;061 C 1;061 1;051 C 1;061 1;051 1;041

D 7;44=2;71 D 2;75: Der in den eckigen Klammern befindliche Term stellt für die hier unterstellte Zinssituation den Annuitätenfaktor dar. Sie ahnen schon, dass sich die Rechnung etwas einfacher gestaltet, wenn wir von einem gleichbleibenden Wert für den Kalkulationszinssatz ausgehen. Ebenfalls aus Beispiel 4.2 wissen Sie schon, dass für einen gleichbleibenden Zinssatz von 5% K D 100 C 30 1;051 C 40 1;052 C 50 1;053 D 8;04 gilt. Die zugehörige Annuität ergibt sich dann einfach als e D 8;04 ANF .3 J:I 5 %/ D 8;04 0;3672 D 2;95:

Ergänzend wollen wir auch noch das ebenfalls schon bekannte Projekt 2 betrachten, bei dem auf eine Anfangsauszahlung von 100 (e0 D 100) über 20 Jahre hinweg eine konstante Rückzahlung von 8 erfolgt. Für den Kapitalwert hatten wir hier schon K D 100 C 8 RBF .20 J:I 5 %/ D 100 C 99;70 D 0;30 ermittelt. Für die zugehörige Annuität gilt somit: e D K ANF .20 J:I 5 %/ D 0;30 0;0802 D 0;02 : In diesem Fall kann aber alternativ auch geschrieben werden: e D K ANF .20 J:I 5 %/ D Œ100 C 8 RBF .20 J:I 5 %/ ANF .20 J:I 5 %/ : Daraus folgt dann unter Beachtung von ANF D 1=RBF weiter e D 8 100 ANF .20 J:I 5 %/ D 8 100 0;0802 D 0;02 :

999

Aus dem vorangegangenen Beispiel werden die allgemeinen Formeln zur Bestimmung der Annuität eines Investitionsprojektes unmittelbar deutlich. Im allgemeinsten Fall gilt bei gegebenem Kapitalwert Formel (4.11). e D K 1= q11 C q11 q21 C : : : (4.11) C q11 q21 : : : qT1 Sofern die periodenspeziﬁschen Kalkulationszinssätze alle den gleichen Wert haben, vereinfacht sich dieser Ausdruck zu Formel (4.12). e D K ANF.T I r/ D K r= 1 q T

(4.12)

Für Projekte, bei denen auf eine Anfangsauszahlung in Höhe von a0 (a0 D e0 ) nur noch ständig gleichbleibende Einzahlungen von e

131 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

4

erfolgen, kann die Annuität schließlich unter oberhalb praktisch relevanter Zinssätze liegen. Rückgriﬀ auf Formel (4.8) wie in Formel (4.13) So übersteigt ANF für T D 2 bei ca. 62 % den Wert von 1, für T D 3 bei ca. 84 % und für angegeben geschrieben werden: T D 5 erst ab 97 %. Beschränken wir die Betrachtung auf Proe D K ANF.T I r/ jekte mit mindestens zweijähriger Laufzeit und D Œa0 C e RBF.T I r/ ANF.T I r/ positive Kalkulationszinssätze unterhalb von D e a0 ANF.T I r/ (4.13) 60 %, so kann in Ergänzung des für die Beziehung zwischen EW und K schon hergeleite>Merke ten Konstellationsgefüges festgehalten werden, Im Allgemeinen setzt die Bestimmung der dass je nach der Höhe des KalkulationszinssatAnnuität die Kenntnis des Kapitalwertes zes immer eine der drei folgenden Konstellatiovoraus; lediglich in dem Spezialfall nen bestehen muss: gleichbleibender Einzahlungsüberschüsse 4 Konstellation 1: EW > K > e > 0 kann die Annuität direkt, ohne den 4 Konstellation 2: EW D K D e D 0 Rückgriff auf den Kapitalwert ermittelt 4 Konstellation 3: EW < K < e < 0. werden.

b) Zusammenhänge zwischen Kapitalwert und Annuität Im Allgemeinen setzt die Berechnung der Annuität voraus, dass zuvor der Kapitalwert ermittelt worden ist. Die Annuität kann insoweit als eine aus dem Kapitalwert abgeleitete Größe angesehen werden. Lediglich für den Fall gleichbleibender Einzahlungsüberschüsse kann e gem. Formel (4.13) autonom, d. h. ohne Rückgriﬀ auf K, ermittelt werden. Nichtsdestoweniger behält aber auch in diesem Fall Relation (4.12) ihre Gültigkeit. Da ANF auf jeden Fall einen positiven Wert aufweist, folgt daraus zunächst, dass e und K stets das gleiche Vorzeichen aufweisen oder beide den Wert Null haben. In diesem Rahmen hängt die Größenbeziehung zwischen den beiden Kennzahlen vom Wert des Annuitätenfaktors ANF ab. Intuitiv könnte man hier erwarten, dass dieser Faktor, so wie das in den zuletzt betrachteten Beispielen der Fall war, stets kleiner als 1 ist. Das ist jedoch nicht ausnahmslos so. Vielmehr gilt Folgendes: Bei Projekten mit einer Laufzeit von nur einem Jahr gilt generell ANF D .1Cr/. In diesem Fall nimmt ANF also für r D 0 % den Wert 1 an, während für positive Kalkulationszinssätze stets ANF > 1 gilt. Aber auch bei längeren Laufzeiten kann AFN größer als 1 werden, allerdings nur für Zinssätze, die in aller Regel

>Merke Kapitalwert, Endwert und Annuität weisen – ganz unabhängig von der Höhe der zugrundeliegenden Zinssätze – stets dasselbe Vorzeichen auf.

?Übungsaufgabe 4.4 Betrachten Sie weiter das aus den beiden vorangegangenen Übungsaufgaben bekannte Projekt (100; 40; 40; 40) und bestimmen Sie auf drei Nachkommstellen genau die Annuität e a. für den Fall, dass die Periodenzinssätze die Werte r1 D 5 %, r2 D 6 % und r3 D 7 % aufweisen, b. für den Fall eines gleichbleibenden Kalkulationszinssatzes von 6 %.

4.2.2

4.2.2.1

Ökonomische Analyse und Vorteilhaftigkeitskriterien Ökonomischer Gehalt der drei Kennzahlen

a) Der Endwert als Indikator für den Vermögenszuwachs Nach der formalen Analyse im vorangegangenen Abschnitt wollen wir Ihnen nun den ökonomischen Gehalt der drei Kennzahlen vor

132

4

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

Augen führen und darauf aufbauend schließlich auf die Frage eingehen, in welcher Weise man auf der Basis dieser Kennzahlen zu einem „vernünftigen“ Urteil über die Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten gelangen kann. Intuitiv drängt sich die Vermutung auf, dass ein positiver Wert von EW, K oder e für eine projektindividuelle Entscheidung den gesuchten Vorteilhaftigkeitsindikator darstellt und man sich bei der Auswahl aus mehreren Projekten an dem höchsten Wert einer dieser drei Kennzahlen orientieren sollte. Wir werden im Folgenden überprüfen, ob das, was uns intuitiv nahe zu liegen scheint, auch konzeptionell fundiert werden kann. 1 (1) Beispielhafte Verdeutlichung

Um uns Sicherheit zu verschaffen, nehmen wir wie schon in Beispiel 4.1 vereinfachend an, der Investor verfüge im Zeitpunkt t D 0 gerade über freie Mittel in Höhe von 100, die entweder für drei Jahre als Festgeld angelegt oder zunächst in das Investitionsprojekt „gesteckt“ werden können. Bei Unterlassen der Investition würde so im Zeitpunkt t D 3 folgendes Endvermögen (EV IU )6 erzielt: EV IU D 100 1;063 D 119;10 : Bei Durchführung des Projektes würden demgegenüber die aus dem Projekt von t D 1 bis t D 3 erfolgenden Rückflüsse auf das Festgeldkonto eingezahlt. Unter Berücksichtigung der zwischenzeitlichen Verzinsung der vor t D 3 eingezahlten Beträge erhält man für das auf diese Weise erzielbare Endvermögen EV PI den Wert:

Dabei werden wir uns, sofern nicht im Einzelfall etwas anderes gesagt wird, auf den Fall von Normalinvestitionen beschränken und in diesem ersten Abschnitt zunächst den ökonomischen Gehalt des Endwertes untersuchen. Dazu EV PI D 30 1;062 C 40 1;06 C 50 D 126;11 : betrachten wir zunächst wieder ein Beispiel. 777 Beispiel 4.6 Wir greifen wieder auf das schon bekannte Projekt 1 (100; 30; 40; 50) zurück und betrachten mit den Szenarien I und II die beiden schon in Beispiel 4.1 eingeführten unterschiedlichen Annahmen über das „finanzielle Umfeld“, in dem dieses Projekt realisiert werden soll. Szenario I: Der Investor verfügt aktuell und auch in den kommenden drei Jahren (unabhängig von der Durchführung des Investitionsprojektes) stets über freie finanzielle Mittel, die jeweils für ein Jahr als Festgeld angelegt werden. Der rechentechnischen Einfachheit halber sei zudem unterstellt, dass der Anlagezinssatz für den gesamten Zeitraum konstant 6 % beträgt. Aus der Wertetafel in . Tab. 4.7 können wir sofort entnehmen, dass in diesem Fall EW.6 %/ D 7;01 gilt. Unserer Intuition nach müsste das Projekt in dem hier betrachteten finanziellen Umfeld also vorteilhaft sein. Wirklich?

Unsere Intuition wird also bestätigt: Das Projekt führt letztendlich zu einem höheren Endvermögen als das der Fall wäre, wenn die GmbH darauf verzichten und sich von Anfang an nur auf die Festgeldanlage beschränken würde. Nur: Was hat das alles mit Kapitalwert und Endwert zu tun? Der Bezug zum Endwert wird schnell deutlich: Vergleicht man nämlich die bei Projektdurchführung und bei Unterlassen jeweils erzielbaren Endvermögenswerte, so erkennt man, dass EV PI EV IU D 126;11 119;10 D 7;01 D EW gilt. In dem hier betrachteten Szenario I gibt EW also an, um welchen Betrag das bei Projektdurchführung erzielbare Endvermögen den bei Projektverzicht erzielbaren Vergleichswert übersteigt. Wir werden gleich noch sehen, dass dieser Befund keineswegs Zufall ist und auch 6

Der hochgestellte Index soll das maßgebliche Szenario verdeutlichen (hier „Szenario I“), der tiefer gestellte die betrachtete Alternative (hier „Unterlassen“).

4

133 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

. Tabelle 4.9 Abrechnungskonto für Projekt 1 (8 %) Jahr

Jahresanfang Kontostand

Jahresende Zinsbelastung

Projektzahlung

Kontostand

1

100,00

8,00

30,00

78,00

2

78,00

6,24

40,00

44,24

3

44,24

3,54

50,00

17,78

120,00

SUMMEN

nicht aus einem für unser Beispiel besonders geschickt gewählten numerischen Arrangement resultiert; es handelt sich vielmehr um eine allgemeine Gesetzmäßigkeit.

2,22 –

Szenario II: Alternativ nehmen wir nun an, dass der Investor aktuell und auch in den kommenden drei Jahren stets einen Kontokorrentkredit zu einem konstant bleibenden Jahreszinssatz von 8 % in Anspruch nimmt. Wir greifen wieder auf die Wertetafel in . Tab. 4.7 zurück und stellen fest, dass in diesem Fall

bei Unterlassen. Der fett gedruckte Endsaldo besagt also, dass die Durchführung des Projektes dazu führt, dass der zunächst zusätzlich in Anspruch genommene Kredit aus den Rückflüssen des Projektes (einschließlich der auflaufenden Zinsen) vollständig getilgt werden kann und die im Endzeitpunkt verbleibende Kreditbeanspruchung um 2,22 niedriger ausfällt, als das bei Verzicht auf das Projekt der Fall wäre. Es wundert Sie wahrscheinlich nicht mehr, dass die so hergeleitete Größe exakt mit dem Endwert übereinstimmt. Analog zu Szenario I gilt also auch für Szenario II die Relation:

EW .8 %/ D 2;22

EV PII EV UII D 2;22 0 D 2;22 D EW :

gilt. Wie Sie schon wissen, besteht die Unterlassensalternative für Szenario II im schlichten „Nichtstun“; für das insoweit erlangbare Endvermögen gilt also trivialerweise: EV UII D 0 : Um die bei Durchführung des Projektes in seinem „finanziellen Umfeld“ eintretenden Effekte zu verdeutlichen, greifen wir wieder auf die bereits aus Beispiel 4.1 bekannte Darstellung eines Abrechnungskontos zurück und erhalten so den in . Tab. 4.9 dargestellten Kontenverlauf. Zur Lesart dieser Abrechnung noch einmal folgender Hinweis: Bei einem negativen (positiven) Vorzeichen verdeutlicht der „Kontostand“ jeweils den Betrag, um den der ohnehin stets beanspruchte Kredit wegen der Projektdurchführung stärker (weniger) beansprucht wird als

Das heißt, dass der Endwert auch in diesem Fall exakt den Vermögensvorteil misst, der bei Projektdurchführung im Vergleich zum Unterlassen erzielt wird. Ein nochmaliger Blick auf das Abrechnungskonto lässt noch eine weitere Interpretation für den Endwert deutlich werden: Sie sehen zunächst, dass sich die Summe aller während der Projektlaufzeit anfallenden Zinsbelastungen auf 17,78 beläuft. Sie sehen weiter, dass der Anfangsauszahlung von 100 projektbezogene Rückflüsse von insgesamt 120 gegenüberstehen. Die durch das Projekt generierten Rückflüsse würden also dazu ausreichen, um über die Tilgung der anfänglichen Kreditsumme in Höhe der Anfangsauszahlung hinaus gerade noch 20 an Zinszahlungen zu verkraften. Da die tatsächliche Zinsbelastung aber nur 17,78 beträgt, verbleibt somit ein „Überschuss“ von 2,22, was wiederum exakt dem für EW ermittelten Wert entspricht. Bezeichnen wir die (als positive Zahl aus-

134

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

gedrückte) gesamte Zinsbelastung als ZB und den Betrag, um den die Summe aller Rückflüsse die Anfangsauszahlung übersteigt, als „Verzinsungskraft“ VK, so gilt für unser Beispiel die Relation:

4

VK ZB D 20;00 17;78 D 2;22 D EW : Auch diese beiden für Szenario II aufgezeigten Relationen treffen nicht nur auf unser Beispiel zu, sondern sind Ausdruck einer allgemeinen Gesetzmäßigkeit. Allerdings ist es im allgemeinen Fall möglich, dass das Abrechnungskonto nicht (so wie in unserem Fall) erst zum Ende der letzten Periode auf einen positiven Bestand „umspringt“, sondern schon zu einem früheren Zeitpunkt. Ab diesem Zeitpunkt würden dann aus der weiteren Abwicklung des Projektes keine Zinsbelastungen mehr eintreten, sondern Zinseinsparungen. Die gerade definierte Größe ZB soll in einem solchen Fall den Saldo zwischen den anfänglichen Zinsbelastungen und den etwaigen späteren Zinseinsparungen verdeutlichen. 999

1 (2) Verallgemeinerung für Szenario I

Die in unserem Beispiel zunächst nur für einen Einzelfall numerisch hergeleiteten Ergebnisse lassen sich leicht verallgemeinern. Dazu betrachten wir zunächst Szenario I. Wenn wir uns daran erinnern, dass wir den Absolutbetrag der Anfangsauszahlung als a0 (mit a0 D e0 ) bezeichnet hatten, so kann das bei Investitionsverzicht erzielbare Endvermögen wie in Formel (4.14) beschrieben werden. EV IU D a0 q T

(4.14)

Das in diesem Fall erzielbare Endvermögen entspricht also gerade dem aufgezinsten Wert des Betrages a0 , der im Falle des Investitionsverzichtes in t D 0 verzinslich angelegt werden kann. Wird dieser Betrag hingegen zur Anfangsﬁnanzierung des Projektes verwendet und werden die ab t D 1 aus dem Projekt erfolgenden Rückﬂüsse verzinslich angelegt (bzw. etwaige weitere Auszahlungsüberschüsse zu Lasten des Festgeldkontos ﬁnanziert), so gilt für

das auf diese Weise entstehende Endguthaben Formel (4.15). EVPI D e1 q T 1 Ce2 q T 2 C: : :CeT 1 q 1 CeT (4.15)

Bildet man nun die Diﬀerenz zwischen diesen beiden Ausdrücken, so erhält man bei geeigneter Umstellung: EV PI EV IU D a0 q T C e1 q T 1 C e2 q T 2 C : : : C eT 1 q 1 C eT : Wenn man nun a0 wieder durch e0 ersetzt und den so gefundenen Term mit der für EW maßgeblichen Deﬁnitionsgleichung (4.5) vergleicht, so erkennt man dass EV PI EV IU D e0 q T C e1 q T 1 C e2 q T 2 C : : : C eT 1 q 1 C eT und damit auch Formel (4.16) gilt. EV PI EV IU D EW

(4.16)

>Merke Für Szenario I gibt ein positiver (negativer) Endwert also den Betrag an, um den das Endvermögen bei Durchführung des Investitionsprojektes höher (niedriger) ausfällt als bei Investitionsverzicht.

Im Hinblick auf spätere Analysen sei an dieser Stelle noch ein Zwischengedanke eingeschoben. Für den speziellen Fall einer Investition, bei der nach der Anfangsauszahlung keine weiteren negativen Zahlungssalden auftreten, kann das Endvermögen EVPI in zwei Komponenten zerlegt werden. Es enthält zunächst sämtliche aus dem Projekt von t D 1 bis t D T erfolgten Rückﬂüsse, also die schon durch Formel (4.2) deﬁnierte Größe RW. Hinzu kommen die bis zum Endzeitpunkt angesammelten

135 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

4

Zinsgutschriften. Bezeichnen wir diese Größe1 (3) Verallgemeinerung für Szenario II als ZGP , so kann also auch geschrieben werden: Um die Zusammenhänge für Szenario II zu untersuchen, ist es zunächst zweckmäßig, die in EV PI D RW C ZGP : unserem Beispiel mit Hilfe des Abrechnungskontos explizit verdeutlichte Entwicklung der Zerlegt man analog auch EV IU gedanklich in die durch das Projekt zusätzlich bewirkten oder reSumme aus ursprünglichem Anlagebetrag (a0 ) duzierten Kreditbeanspruchung formelmäßig und die daraus resultierenden Zinsgutschriften darzustellen. Bleiben wir bei der Konvention, (ZGU ), so kann der Endwert in Szenario II auch dass Schuldbestände durch negative Vorzeichen verdeutlicht werden und bezeichnen wir wie in Formel (4.17) geschrieben werden.7 den Kontostand im Zeitpunkt t allgemein als C t EW D .RW C ZGP / .a0 C ZGU / (4.17) (t D 0; 1; : : : ; T ), so gilt zunächst: >Merke Ein (positiver) Endwert misst in dieser Sichtweise in Szenario II also den Überschuss 4 der aus dem Projekt insgesamt zu erwartenden Rückflüsse und Zinsgutschriften über 4 die bei Investitionsverzicht anlegbare Summe und die daraus erzielbaren Zinsgutschriften.

?Übungsaufgabe 4.5 Gehen Sie von Szenario I aus und betrachten Sie ein Projekt mit der Zahlungsreihe (100; 10; 10; 10; 100). a. Bestimmen Sie für einen Anlagezinssatz von 6 % und von 10 % jeweils den Endwert EW sowie das bei Projektdurchführung erzielbare Endvermögen EV P . b. Wenn Sie richtig gerechnet haben, haben Sie in Aufgabenteil a. für r D 10 % gegenüber der Situation bei r D 6 % 4 eine deutliche Verminderung des Endwertes und zugleich 4 eine Erhöhung des Endvermögens festgestellt. Wie ist dieser scheinbare Widerspruch zu erklären?

C0 D a0 : Im Startzeitpunkt des Projektes entspricht der Schuldenstand der Anfangsauszahlung. Zum Ende des ersten Jahres erhöht sich der Schuldenstand um die Verzinsung des Anfangsbestandes Œr .a0 /; zudem ändert er sich um die im Zeitpunkt t D 1 aus dem Projekt erfolgende Zahlung e1 . Handelt es sich dabei um einen Einzahlungsüberschuss (e1 > 0), so vermindert sich der Schuldenstand entsprechend; andernfalls nehmen die Schulden weiter zu. Unter Beachtung der getroﬀenen Vorzeichenkonvention gilt somit: C1 D a0 .1 C r/ C e1 D a0 q C e1 : Zum Ende des zweiten Jahres tritt der analoge Eﬀekt ein: Der Schuldenbestand wächst von C1 auf C1 q; hinzu kommt die Projektzahlung e2 . Also gilt: C2 D C1 q C e2 D a0 q 2 C e1 q C e2 : Analog erhält man für C3 die Gleichung: C3 D C2 q C e 3 D a0 q 2 C e1 q C e2 q C e3 D a 0 q 3 C e1 q 2 C e2 q C e3 :

7

Sofern nur die Bedingung EV PI > RWerfüllt ist, gilt diese Relation im Übrigen auch dann noch, wenn es in einzelnen Perioden zu negativen Zahlungssalden und insoweit zu Zinseinbußen kommt.

Setzt man diesen Gedanken entsprechend fort, so erhält man schließlich für die im Endzeitpunkt t D T verbleibende Mehrbelastung (negatives Vorzeichen) bzw. die eingetretene Min-

136

4

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

Vermindert man VK nun um die (jetzt als derbelastung (positives Vorzeichen) des Kreditkontos den in Formel (4.18) beschriebenen positive Zahl ausgedrückte) gesamte Zinsbelastung ZB, d. h. die Summe aller während der Ausdruck Projektlaufzeit aufgelaufenen Zinsen (ggf. korCT D a0 q T C e1 q T 1 C e2 q T 2 rigiert um gegen Ende der Projektlaufzeit evenC : : : C eT 1 q 1 C eT (4.18) tuell auftretende Zinseinsparungen), so erhält man den nach Abwicklung des Projektes verFormel (4.18) entspricht exakt dem in Formel bliebenen Stand des Kreditkontos CT . Es gilt also die Relation (4.21). (4.5) deﬁnierten Endwert. Beachtet man weiter, dass die UnterlasEV PII D CT D VK ZB (4.21) sensalternative in Szenario II im schlichten Nichtstun besteht, für das entsprechende Endvermögen also einfach EV UII D 0 gilt, können Nun stimmt CT aber gemäß Formel (4.18) wir somit festhalten, dass analog zu Relation zwangsläuﬁg mit dem Endwert überein, so dass wir zu der für unser Beispiel schon numerisch (4.16) die Relation (4.19) gilt. festgestellten Relation (4.22) gelangen. EV PII EV UII D EW

(4.19)

>Merke

EW D VK ZB

(4.22)

Ein positiver Endwert gibt in dieser Sichtwei-

Der Endwert stellt also auch in Szenario se also an, welche zusätzliche Zinsbelastung II einen verlässlichen Indikator für den das Projekt über die tatsächlich zu erwartende durch die Durchführung des InvestitionsZinsbelastung hinaus noch „verkraften“ könnprojektes im Vergleich zum Unterlassen te. Ein negativer Endwert hingegen zeigt demerzielbaren Endvermögensvorteil dar und entsprechend, in welchem Ausmaß die tatsächgibt – anders als in Szenario I – gleichzeitig lich zu erwartende Zinsbelastung die „Tragfäauch die Höhe des bei Investitionsdurchhigkeit“ des Projektes übersteigt. führung realisierbare Endvermögen des Investors an. 1 (4) Zusammenfassung

Zusammenfassend können wir festhalten, dass Betrachten wir abschließend noch die in unse- unter den hier unterstellten Annahmen stets rem Beispiel für Szenario II aufgezeigte Inter- die Relation (4.23) erfüllt ist. pretation des Endwertes als Indikator für den Überschuss der Verzinsungskraft (VK) über die EW D EVP EV U (4.23) tatsächlich zu tragende Zinsbelastung (ZB). Für die Verzinsungskraft gilt Formel (4.20). Dabei haben wir gesehen, dass Relation (4.23) unabhängig davon erfüllt ist, ob im „ﬁnanziVK D .e1 C e2 C : : : C eT 1 C eT / a0 ellen Umfeld“ des Projektes Szenario I oder II D .e0 C e1 C e2 C : : : C eT 1 C eT / herrscht; vorausgesetzt ist (bislang) allerdings, dass während der gesamten Projektlaufzeit nur (4.20) eines der beiden Szenarien herrscht.8 VK entspricht also der einfachen Summe aller projektbezogenen Zahlungen, stellt also nichts anderes dar als den schon bekannten Nominalwert des Projektes gemäß Formel (4.1). Der Anschaulichkeit halber wollen wir diese Größe in diesem Zusammenhang jedoch weiter als „Verzinsungskraft“ bezeichnen.

>Merke Unter dieser Einschränkung misst der Endwert also, um welchen Betrag das 8

Wie es sich verhält, wenn es während der Projektlaufzeit zu einem Wechsel des Szenarios kommt, werden wir im 7 Abschn. 4.2.2.3 noch sehen.

137 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

Endvermögen bei Durchführung des Investitionsprojektes höher (EW > 0) oder niedriger (EW < 0) ausfällt als bei Verzicht auf das Projekt. Sofern die maßgeblichen Periodenzinssätze bekannt sind, reicht es also aus, statt eine etwas sperrige Endvermögensberechnung in der einen oder anderen Variante durchzuführen, einfach die Kennzahl EW zu ermitteln, um eine klare Aussage über die Auswirkung auf das Endvermögen im Endzeitpunkt des betrachteten Projektes zu erhalten.

Zwei weitere, von der Art des Szenarios abhängige, nichtsdestoweniger ähnliche Interpretationen erschließen sich über die Relationen (4.17) und (4.22): In Szenario I verdeutlicht der Endwert die Diﬀerenz zwischen der Summe der aus dem Projekt insgesamt zu erwartenden Rückﬂüsse und Zinsgutschriften einerseits und der bei Investitionsverzicht für die Festgeldanlage verfügbaren Summe und den daraus erzielbaren Zinsgutschriften andererseits. Analog verdeutlicht der Endwert in Szenario II, in welchem Ausmaß das Projekt über die tatsächlich zu erwartende Zinsbelastung hinaus noch eine zusätzliche Belastung „verkraften“ könnte bzw. inwieweit die tatsächlich zu erwartende Zinsbelastung die „Tragfähigkeit“ des Projektes übersteigt. Wenn man die Annahme sicherer Voraussicht ein wenig „aufweicht“, kann ein positiver Endwert weiterhin auch als der Betrag interpretiert werden, um den die letzte Einzahlung hinter dem zunächst geplanten Wert eT zurückbleiben dürfte, ohne dass EW negativ wird, ohne dass also das bei Investitionsdurchführung erzielbare Endvermögen hinter dem bei Unterlassen erzielbaren Endvermögen zurückbleibt.

4

(t D T ) bezogenen projektbedingten Vermögensvorteil, so misst K den auf den Startzeitpunkt (t D 0) bezogenen Wert dieses Vermögensvorteils. Ein (positiver) Kapitalwert kann demnach als der Betrag interpretiert werden, der bei Durchführung des Projektes bereits im Zeitpunkt t D 0 zusätzlich an die Gesellschafter ausgeschüttet werden könnte, ohne dass das Unternehmen deshalb im Zeitpunkt t D T über ein niedrigeres Endvermögen als bei Unterlassen verfügen würde. Eine zu Relation (4.17) und (4.22) analoge Deutung lässt sich auf der Ebene des Kapitalwertes allerdings allenfalls über wenig anschauliche „Umwege“ ﬁnden. Stattdessen kann der Kapitalwert jedoch (für den Fall eines positiven Vorzeichens) auch noch wie folgt interpretiert werden: 4 Würde sich in einem zweiten Planungsschritt herausstellen, dass die Anfangsauszahlung a0 höher anzusetzen ist als zunächst geplant, so gibt K genau den Betrag an, um den a0 maximal erhöht werden dürfte, ohne deshalb ein niedrigeres Endvermögen zu erreichen als bei Verzicht auf das Projekt. 4 Würde dem Investor ein Schadensersatzanspruch dafür zustehen, dass er etwa durch staatliche Auﬂagen oder das Verhalten von Konkurrenten daran gehindert wird, das Projekt zu realisieren, so würde K gerade exakt den Betrag beziﬀern, der dem Investor – etwa als Schadensersatz – im Zeitpunkt t D 0 gezahlt werden müsste, um ihn vermögensmäßig so zu stellen, als habe er das Projekt durchgeführt. 4 Hätte der Investor die Möglichkeit, die „Idee“ des betrachteten Projektes zu verkaufen, statt es selbst durchzuführen, so würde K gerade den Preis verdeutlichen, der dem Investor mindestens geboten werden müsste, damit der Verkauf für ihn in rein wirtschaftlicher Sicht die günstigere Alternative darstellt.

b) Zur Interpretation des Kapitalwertes Von Relation (4.23) ausgehend kommen wir unter Beachtung von Formel (4.9) [„K D abgezinster Endwert“] auch für den Kapitalwert Für den Fall eines negativen Kapitalwertes erschnell zu einer analogen ökonomischen Inter- gibt sich noch eine weitere Interpretation: Will pretation: Misst EW den auf den Endzeitpunkt der Staat etwa aus struktur- oder umweltpoli-

138

4

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

tischen Gründen Anreize schaﬀen, damit bestimmte, im privaten Kalkül zunächst nicht lohnende Investitionsprojekte doch durchgeführt werden, so gibt der Absolutbetrag des (negativen) Kapitalwertes gerade die Summe an, die dem Investor im Startzeitpunkt als Investitionszuschuss mindestens gezahlt werden müsste, um ihn doch zur Durchführung des Projektes zu bewegen. c) Zur Interpretation der Annuität Der Umstand, dass die Annuität stets das gleiche Vorzeichen wie End- und Kapitalwert aufweist, legt die Vermutung nahe, dass auch diese Kennzahl etwas über den durch das betrachtete Projekt erzielbaren Vermögensvorteil aussagt. Während sich die aus EW und K ableitbaren Aussagen jedoch jeweils auf einen Zeitpunkt beziehen, liefert die Annuität eine zeitraumbezogene Aussage, die etwa wie folgt präzisiert werden kann: Ein positiver e -Wert gibt den Betrag an, der während der gesamten Laufzeit des Investitionsprojektes Jahr für Jahr zusätzlich an die Gesellschafter ausgeschüttet werden könnte, ohne dass das Unternehmen deshalb nach Abschluss des Projektes über ein niedrigeres Endvermögen als bei Unterlassen verfügen würde. Daran anknüpfend ergeben sich analog zum Kapitalwert einige weitere Möglichkeiten, der Annuität einen gewissen ökonomischen Gehalt zu geben, so zum Beispiel: 4 Wird etwa in einem zweiten Planungsschritt die Frage untersucht, ob wirklich davon auszugehen ist, dass die Zahlungsgrößen in der zunächst geplanten Höhe realisiert werden können, so gibt ein positiver e -Wert den Betrag an, um den die laufenden Einzahlungsüberschüsse pro Jahr maximal hinter den zunächst geplanten Werten zurückbleiben dürften, ohne deshalb ein niedrigeres Endvermögen zu erreichen als bei Verzicht auf das Projekt. 4 Auf der anderen Seite kann ein negativer e -Wert als der Betrag interpretiert werden, der dem Investor pro Jahr als staatlicher Zuschuss mindestens gezahlt werden müsste, damit er bei Durchführung des Projektes

letztendlich keine Vermögenseinbuße hinnehmen muss. ?Übungsaufgabe 4.6 Betrachten Sie noch einmal das schon aus Übungsaufgabe 4.5 bekannte Projekt (100; 10; 10; 10; 100). Gehen Sie nun jedoch von Szenario II mit einem während der gesamten Projektlaufzeit gleichbleibenden Kreditzinssatz von 7 % aus. a. Berechnen Sie zunächst rein „schematisch“ die Kennzahlen EW, K und e auf drei Nachkommastellen genau. b. Erstellen Sie eine Kontoabrechnung nach Art von . Tab. 4.9; geben Sie dabei alle Werte auf drei Nachkommastellen genau an. Ermitteln Sie anschließend die Kennzahlen VK und ZB und stellen Sie einen Zusammenhang zu dem in Teilaufgabe a. für EW ermittelten Ergebnis her. c. Unterstellen Sie nun, die in den Zeitpunkten t D 1 bis t D 4 erfolgenden Einzahlungsüberschüsse des Projektes seien jeweils genau um den in Teilaufgabe a. für die Annuität ermittelten Betrag niedriger als zunächst angenommen. Erstellen Sie für diesen Fall noch einmal eine Kontoabrechnung und kommentieren Sie Ihr Ergebnis.

4.2.2.2

Vorteilhaftigkeitskriterien

a) Projektindividuelle Entscheidungen Dem hier ja durchgängig unterstellten Prinzip der Endvermögensmaximierung entsprechend ist ein Projekt individuell genau dann vorteilhaft, wenn das bei Durchführung des Projektes (unter Beachtung des ﬁnanziellen Umfeldes) zu erwartende Endvermögen EVP das bei Investitionsverzicht eintretende Endvermögen EV U übersteigt. Unsere elementare Vorteilhaftigkeitsbedingung lautet also wie in Relation (4.24) formuliert. EV P EV U > 0

(4.24)

Nun haben wir schon gesehen, dass der Endwert für den Fall eines gegebenen ﬁnanziellen

139 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

4

7 Abschn. 2.2.3.6). In diesem Fall entspricht es dem Ziel der Endvermögensmaximierung, alle Projekte mit einem positiven Wert für EW, K oder e in Angriﬀ zu nehmen. Ist demgegenüber davon auszugehen, dass bestimmte Projekte sowohl je einzeln als auch gemeinsam durchgeführt werden können, es bei der gemeinsamen Durchführung jedoch zu wechselseitigen Beeinträchtigungen oder Begünstigungen kommen kann, bedarf es einiger weiterer Modiﬁkationen in der Formulierung der zu vergleichenden Alternativen, wie Sie schon in 7 Abschn. 2.2.3.6 gesehen haben. Es handelt sich dann letztlich gar nicht mehr um projektindividuelle Entscheidungen, son(4.25) dern um eine spezielle Form einer nachfolgend EW > 0 zu behandelnden Auswahlentscheidung. Da K und e in ihrem Vorzeichen stets mit EW übereinstimmen, können die auf diese beib) Auswahlentscheidungen den Kennzahlen bezogenen VorteilhaftigkeitsEtwas komplizierter liegen die Verhältnisse, kriterien für projektindividuelle Entscheidunwenn es darum geht, das beste von mehreren gen ganz analog durch die Formeln (4.26) und einander ausschließenden Investitionsprojek(4.27) ausgedrückt werden. ten zu bestimmen. Haben alle zur Auswahl ste(4.26) henden Projekte die gleiche Laufzeit, so folgt K>0 aus den zwischen EW und K einerseits sowie e > 0 (4.27) K und e andererseits bestehenden BeziehunWeisen die drei Kennzahlen demgegenüber ein gen (4.9) und (4.12), dass beim Vergleich von 2 zunegatives Vorzeichen auf, so ist das Projekt zwei Projekten 1 und 2 aus EW 1 > EW gleich auch K > K sowie e > e 1 2 1 2 folgt im Hinblick auf die hier unterstellte Zielsetund umgekehrt. Unabhängig von der betrachzung der Vermögensmaximierung unvorteilhaft.9 Unsere eingangs schon intuitiv geäußerte teten Kennzahl liefert also das Projekt mit dem höchsten Kennzahlenwert auch den höchsten Vermutung wird insoweit also bestätigt. Beitrag zur Endvermögensmaximierung. Umfeldes ganz allgemein den bei planmäßiger Abwicklung eines Investitionsprojektes am Ende der Projektlaufzeit zu erwartenden Vermögensvorteil oder -nachteil misst, also genau die in Formel (4.24) angegebene Diﬀerenz. Für die projektindividuelle Analyse ist damit auch schon die „Übersetzung“ unserer elementaren Vorteilhaftigkeitsbedingung in die „Endwertsprache“ klar: Ergibt sich für ein Projekt ein positiver Endwert, so ist das Projekt der Unterlassensalternative vorzuziehen. Formal lautet die im Ergebnis zu Formel (4.24) äquivalente Vorteilhaftigkeitsbedingung also einfach wie in Formel (4.25) formuliert.

>Merke Projektindividuell betrachtet ist ein Investitionsprojekt also genau dann vorteilhaft, wenn festgestellt wird, dass der Kapitalwert, der Endwert oder die Annuität positiv sind.

Die einfachen Kriterien (4.25) bis (4.27) sind auch dann maßgeblich, wenn dem Investor mehrere Investitionsprojekte zur Auswahl stehen, die alle jeweils unabhängig voneinander durchgeführt werden können (vgl. dazu 9

Wie schließlich im Fall EW D K D e D 0 zu entscheiden ist, kann an dieser Stelle offen bleiben.

>Merke Weisen alle zur Auswahl stehenden Projekte die gleiche Laufzeit auf, so weist das Projekt mit dem höchsten Kapitalwert zugleich auch den höchsten Endwert und auch die höchste Annuität auf. Für die Bestimmung der Optimalalternative ist es in diesem Fall somit gleichgültig, auf welche der drei Kennzahlen zurückgegriffen wird. Zu wählen ist dann stets das Projekt mit dem höchsten Kennzahlenwert.

Anders verhält es sich bei der Auswahl aus mehreren Projekten mit unterschiedlichen

140

4

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

Laufzeiten. Dazu wollen wir zunächst – wie- genzen zwischen Kapitalwert- und Endwertder an einem Beispiel – die Zusammenhänge kriterium kommen und die Orientierung am zwischen End- und Kapitalwert näher untersu- Endwert in die Irre führen kann. Ähnliche Verwerfungen können auch zwichen. schen K und e auftreten, wie folgende Fortset777 Beispiel 4.7 zung von Beispiel 4.7 verdeutlicht. Angenommen, alternativ zu dem schon bestens bekannten (dreijährigen) Projekt 1 (100; 30; 40; 50) könne der Investor auch das (vierjährige) Projekt 4 mit der Zahlungsreihe (100; 30; 40; 45; 5) realisieren. Der Kalkulationszinssatz betrage 6 %. Nach den bekannten Formeln erhält man für K und EW folgende Werte: K1 D 100 C 30 1;061 C 40 1;062 C 50 1;063 D 5;88 K4 D 100 C 30 1;061 C 40 1;062 C 45 1;063 C 5 1;064 D 5;65 EW 1 D 100 1;063 C 30 1;062 C 40 1;06 C 50 D 7;01 EW 4 D 100 1;064 C 30 1;063 C 40 1;062 C 45 1;06 C 5 D 7;13 : Das „neue“ Projekt weist also einen niedrigeren Kapitalwert, zugleich jedoch einen höheren Endwert auf. Was ist „schief gegangen“? Nach welcher Kennzahl soll man sich richten? Um Licht in das Dunkel zu bringen, schauen wir uns die beiden Zahlungsreihen einmal etwas genauer an: Der einzige Unterschied besteht darin, dass die letzte Zahlung in Höhe von 50 bei Projekt 1 vollständig im Zeitpunkt t D 3 erfolgt, während bei Projekt 4 in t D 3 zunächst nur 45 gezahlt werden und die restlichen 5 erst eine Periode später. Da der Kalkulationszinssatz positiv ist, kann es eigentlich gar keinen Zweifel daran geben, dass Projekt 1 eindeutig zu bevorzugen ist. Sie haben diese Überlegung im Übrigen schon in 7 Abschn. 2.3.2 als „allgemeine zeitliche Dominanz“ kennengelernt. Wieso aber signalisieren die Endwerte (scheinbar?) einen anderen Befund? Wir werden gleich noch darauf zurückkommen. 999

777 Beispiel 4.7 (Fortsetzung) Angenommen, alternativ zu Projekt 1 (100; 30; 40; 50) könne der Investor jetzt das (vierjährige) Projekt 5 mit der Zahlungsreihe (100; 30; 40; 50; 2) realisieren. Der Kalkulationszinssatz betrage nach wie vor 6 %. Ein genauerer Blick auf die beiden Zahlungsreihen zeigt, dass in dieser Vergleichssituation Projekt 5 nach dem Prinzip der schon aus 7 Abschn. 2.3.2 bekannten allgemeinen zeitlichen Dominanz eindeutig vorzuziehen ist. Es weist in den Zeitpunkten t D 0 bis t D 3 exakt dieselben Zahlungssalden wie Projekt 1 auf, führt aber in t D 4 noch zu einer zusätzlichen Einzahlung. Die Berechnung der Kapitalwerte steht mit K1 D 100 C 30 1;061 C 40 1;062 C 50 1;063 D 5;88 K5 D 100 C 30 1;061 C 40 1;062 C 50 1;063 C 2 1;064 D 7;47 in vollem Einklang mit diesem Befund. Die Differenz von 7;47 5;88 D 1;59 entspricht, abgesehen von einer kleinen Rundungsdifferenz, genau dem mit 6 % über 4 Jahre abgezinsten Wert der bei Projekt 5 zusätzlich erfolgenden Zahlung von 2. Für die zu den Kapitalwerten korrespondierenden projektspezifischen Annuitäten ergibt sich mit e1 D 5;88 ANF .3 J:I 6 %/ D 5;88 0;3741 D 2;20 e5 D 7;47 ANF .4 J:I 6 %/ D 7;47 0;2886 D 2;16

Als Zwischenergebnis können wir zunächst jedoch ein mit dem Kapitalwertkriterium auf festhalten, dass es beim Vergleich von Projek- den ersten Blick nicht übereinstimmendes ten mit unterschiedlichen Laufzeiten zu Diver- Ergebnis. 999

141 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

4

te ganz allgemein für die vergleichende Beurteilung von Projekten mit unterschiedlichen Laufzeiten keinen uneingeschränkt geeigneten Maßstab darstellen. Analoges gilt auch für den Vergleich der projektspeziﬁschen Annuitäten: Der bei Projekt 5 erzielbare jährliche Vermögensvorteil liegt mit 2,16 in der Tat unter dem für Projekt 1 ermittelten Wert von 2,20. Jedoch wird dieser Vermögensvorteil bei Projekt 5 vier Jahre lang realisiert, der etwas höhere Wert bei Projekt 1 jedoch nur drei Jahre lang. Um zu einem sinnvollen Vergleich zu gelangen, könnte man etwa beide Zahlungsströme abzinsen und würde dabei zu den schon als Kapitalwerte ermittelten Größen gelangen. Alternativ könnte man auch die für den kürzeren Zeitraum ermittelte Annuität auf den längeren Zeitraum umrechnen oder umgekehrt. Im paarweisen Vergleich von zwei Projekten kann man sich eine solche Umrechnung allerdings ersparen, wenn das Projekt mit der längeren Laufzeit zugleich die höhere (oder zumindest nicht niedrigere) Annuität aufweist. Ganz allgemein verhält es sich jedoch analog zum Endwert so, dass der Vergleich der projektspeziﬁschen Annuitäten >Merke bei der Auswahl zwischen mehreren Projekten Beim Vergleich mehrerer Projekte mit mit unterschiedlichen Laufzeiten keine sichere unterschiedlichen Laufzeiten kann die Aussage über die relative Vorteilhaftigkeit der Orientierung an den jeweiligen projektProjekte zulässt. individuellen Endwerten, also den auf das Aus diesen Erkenntnissen können zwei Laufzeitende des jeweiligen Projektes denkbare Schlüsse gezogen werden. Die robezogenen Endwertenmöglicherweise, busteste Vorgehensweise bestünde darin, sich zu Ergebnissen führen, die mit der Zielbei der Beurteilung von Investitionsprojekten setzung der Endvermögensmaximierung mit unterschiedlichen Laufzeiten ausschließnicht im Einklang stehen. lich der Kapitalwertmethode zu bedienen. Das Allerdings erlauben die auf die projektindi- Projekt mit dem höchsten projektspeziﬁschen viduellen Laufzeiten bezogenen Endwerte im Kapitalwert bringt auch den höchsten Endverpaarweisen Vergleich von zwei Projekten den- mögensbeitrag.10 noch genau dann eine eindeutige Aussage, wenn das Projekt mit der kürzeren Laufzeit zugleich einen höheren (oder zumindest nicht 10 Diese Aussage gilt allerdings nur unter der bislang (stillschweigend) unterstellten Annahme, dass alle niedrigeren) Endwert aufweist. Wird dieser Projekte einheitlich im Zeitpunkt t D 0 beginnen. Endwert nun noch auf einen späteren ZeitStehen demgegenüber auch Projekte mit zur Auspunkt „hochgerechnet“, so wird der Abstand wahl, die etwa erst in t D 1 oder t D 2 begonnen zwischen den beiden Endwerten ja nur noch werden können, so sind deren Zahlungsreihen dengrößer. Nichtsdestoweniger bleibt es jedoch noch auf den Zeitpunkt t D 0 abzuzinsen, um zu dabei, dass die projektindividuellen Endwereiner „vernünftigen“ Vergleichsbasis zu gelangen.

Die Gründe für die aufgetretenen (scheinbaren) Widersprüche zwischen den verschiedenen Kriterien lassen sich recht einfach erklären. Dazu betrachten wir zunächst die Divergenz zwischen K und EW. Nehmen wir an, dass sich der Investor in Szenario I beﬁndet, so sagen die in unserem Beispiel für EW ermittelten Werte, dass Projekt 1 im Vergleich zum Unterlassen zu einem um 7,01 höheren Endvermögen führt; Projekt 4 bewirkt demgegenüber mit 7,13 einen höheren Vermögenszuwachs. Allerdings wird dieser Vermögenszuwachs bei Projekt 1 schon im Zeitpunkt t D 3 wirksam, bei Projekt 4 hingegen erst ein Jahr später. Bis zu diesem Zeitpunkt wäre der aus Projekt 1 resultierende Vermögensvorteil allerdings um weitere 6 % auf 7;01 1;06 D 7;43 angestiegen, also auf einen deutlich höheren Wert als der aus Projekt 4 resultierende Zuwachs. Entsprechendes gilt auch für den Fall, dass sich der Investor in Szenario II beﬁndet: Die durch Projekt 1 für t D 3 bewirkte Minderung der Kreditbeanspruchung in Höhe von 7,01 wäre bis zum Endzeitpunkt von Projekt 4 schon auf 7,43 angestiegen.

142

4

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

Will der Investor hingegen – aus welchen Gründen auch immer – die Endwert- oder Annuitätenmethode anwenden, so bietet es sich als Lösung an, die zunächst nach den Grundformeln (4.5) oder (4.12) projektspeziﬁsch ermittelten Kennzahlenwerte durch ergänzende ﬁnanzmathematische Operationen auf den gleichen Zeitpunkt bzw. Zeitraum zu beziehen. Die Wahl dieses Zeitpunktes bzw. Zeitraums ist im Grunde beliebig. Dem Prinzip der Endvermögensmaximierung dürfte es allerdings am ehesten entsprechen, alle projektindividuellen EW- oder e -Werte auf den Endzeitpunkt bzw. die Laufzeit des Projektes mit der längsten Laufzeit umzurechnen. Zwischen den so modiﬁzierten Kennzahlenwerten und den projektspeziﬁschen Kapitalwerten gelten dann wieder die durch die Formeln (4.9) und (4.12) ausgedrückten Äquivalenzbeziehungen. Das heißt, dass das Projekt mit dem größten Endwert zugleich auch die größte Annuität sowie den größten Kapitalwert aufweist und somit den höchsten Beitrag zur Vermögenssteigerung liefert. Stehen also mehrere einander ausschließende Investitionsprojekte mit unterschiedlichen Laufzeiten zur Auswahl, so ist im Sinne der Endvermögensmaximierung wie folgt zu verfahren: 4 Zunächst werden für alle Projekte die Kapitalwerte oder die in dem gerade verdeutlichten Sinne modiﬁzierten EW- oder e Werte berechnet und das Projekt bestimmt, für das die verwendete Kennzahl maximal ist. 4 Ist dieser Maximalwert positiv, so stellt das entsprechende Projekt auf jeden Fall die Optimalalternative dar. 4 Weist das so ermittelte Projekt hingegen negative Kennzahlenwerte auf, so hängt die endgültige Auswahl der Optimalalternative von folgendem Umstand ab: Ist aus hier nicht näher zu erörternden Gründen (z. B. wegen vertraglicher Verpﬂichtungen) bereits die Rahmenentscheidung getroﬀen worden, dass eines der betrachteten Projekte auf jeden Fall durchzuführen ist, so stellt das Projekt mit den maximalen Kenn-

zahlenwerten trotz des negativen Vorzeichens dennoch die Optimalalternative dar; andernfalls ist es zielführend, keines der untersuchten Projekte in Angriﬀ zu nehmen. >Merke Bei der Auswahl zwischen mehreren einander ausschließenden Projekten stellt im Allgemeinen nur das Kapitalwertkriterium ein unmittelbar brauchbares Entscheidungskonzept dar. Bei Rückgriff auf den Endwert oder die Annuität ist es im Allgemeinen erforderlich, die projektspezifischen Kennzahlenwerte auf einen einheitlichen Zeitpunkt bzw. eine einheitliche Laufzeit umzurechnen.

?Übungsaufgabe 4.7 Die MONA-LISA-GMBH hat die Auswahl zwischen den einander ausschließenden Investitionsprojekten I bis V, deren Laufzeiten und projektspezifische Endwerte nachfolgend angegeben sind. Projekt

Laufzeit

Endwert

I

8

3,80

II

9

4,10

III

9

2,20

IV

10

4,40

V

11

4,20

a. Gehen Sie von einem positiven Wert für den Kalkulationszinssatz aus und versuchen Sie festzustellen, welche Projekte im Sinne der Endvermögensmaximierung auf keinen Fall als Optimalalternative in Betracht kommen. b. Nehmen Sie nun weiter an, dass der Kalkulationszinssatz 10 % beträgt, und stellen Sie fest, welches Projekt optimal ist. c. Lösen Sie die Teilaufgaben a. und b. noch einmal für den Fall, dass die in der letzten Spalte der oben stehenden Tabelle angegebenen Werte die jeweiligen projektspezifischen Annuitäten angeben.

4

143 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

. Tabelle 4.10 Differenzzahlungsreihe der Projektvarianten A und B t

0

1

2

3

4

A

180

50

50

50

100

B

130

45

45

45

55

50

5

5

5

45

c) Die Differenzzahlungsreihe Speziell für den Fall, dass der Investor die Wahl zwischen genau zwei Investitionsprojekten hat, kann das Instrument der Diﬀerenzzahlungsreihe gewisse verfahrenstechnische Vereinfachungen ermöglichen. Wir werden diesen Begriﬀ und das damit verfolgte Konzept zunächst wieder an einem Beispiel erläutern. 777 Beispiel 4.8 In einer bestimmten Region soll in vier Jahren ein sportliches Großereignis stattfinden; bis dahin fallen umfangreiche Baumaßnahmen an. Die in der Bauwirtschaft tätige Einzelunternehmerin MONA beabsichtigt, etliche LKW mit dem Ziel anzuschaffen, diese entgeltlich für die im Zuge der bevorstehenden Baumaßnahmen in großem Umfang anfallenden Transportaktivitäten bereitzustellen. Sie geht davon aus, dass sie dabei über vier Jahre hinweg Einzahlungen aus Umsätzen von 250 pro Jahr erzielen kann. Für die zu beschaffenden LKW stehen folgende beiden Varianten zu Auswahl: Variante A – Sie beschafft fabrikneue LKW zum Preis von 180. Dabei geht sie davon aus, dass sie die Fahrzeuge nach vier Jahren zum Preis von 50 verkaufen kann. Die in diesem Fall erforderlichen Auszahlungen für Personal sowie für Betrieb und Unterhalt der LKW werden auf 200 pro Jahr taxiert. Variante B – MONA nutzt ein Angebot, gebrauchte LKW zum Preis von 130 zu erwerben. Dabei geht sie davon aus, dass sie diese Fahrzeuge nach vier Jahren nur noch zum Preis von 10 verkaufen kann. Zudem ist davon auszugehen, dass die älteren Fahrzeuge zu etwas höheren laufenden Kosten führen, so dass die jährlichen Auszahlungen für diese Variante auf 205 taxiert werden.

Je nach der gewählten Variante hat die Zahlungsreihe dieses LKW-Projektes also das in der zweiten und dritten Zeile der . Tab. 4.10 ver-

deutlichte Aussehen. (Auf die Bedeutung der untersten Zeile werden wir gleich noch zurückkommen.) Nach der bislang praktizierten Methode würden wir nun die K-, EW- oder e -Werte dieser beiden Projektvarianten ermitteln. Wenn wir der Kapitalwertmethode folgen und annehmen, dass der Kalkulationszinssatz 8 % beträgt, erhalten wir so die Werte: KA D 180 C 50 RBF .3 J:I 8 %/ C 100 1;084 D 22;4 KB D 130 C 45 RBF .3 J:I 8 %/ C 55 1;084 D 26;4 : Das Projekt als solches ist also in beiden Varianten (klar) vorteilhaft, wobei Variante B auf der Basis eines Kalkulationszinssatzes von 8 % im direkten Vergleich gegenüber Variante A besser abschneidet. Die Methode der Differenzzahlungsreihe sieht nun statt der Berechnung der beiden projektspezifischen Kapitalwerte folgende Vorgehensweise vor: Zunächst werden die Differenzen der auf den gleichen Zeitpunkt bezogenen Zahlungsgrößen der beiden Projektvarianten gebildet. Zieht man dabei die für Variante B maßgeblichen Zahlungen von den entsprechenden Größen für Variante A ab, so erhält man die in der letzten Zeile der Tabelle aufgeführte „Differenzzahlungsreihe“ .11 Ein positives (negatives) Vorzeichen dieser Differenzgrö11

Ebenso gut könnte man natürlich auch andersherum die mit A verbundenen Zahlungen von den entsprechenden B-Werten abziehen. Es gibt hier keine ganz feste Regel. Häufig werden die Differenzen jedoch so gebildet, dass die erste von Null verschiedene Zahl der Differenzzahlungsreihe ein negatives Vorzeichen aufweist.

144

4

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

ßen verdeutlicht, dass die betrachtete Zahlung bei Variante A größer (kleiner) ausfällt als bei Variante B. Etwas salopp formuliert kann man also sagen, dass diese Differenzzahlungsreihe die zeitlich verteilten Vorteile (positives Vorzeichen) bzw. Nachteile (negatives Vorzeichen) von Variante A gegenüber B verdeutlicht. Alternativ könnte man auch formulieren, dass die Differenzzahlungsreihe die Zahlungskonsequenzen der Entscheidung beschreibt, statt des Projektes B das Projekt A durchzuführen, also des gedanklichen Übergangs von B zu A. Anschließend ist dann nur noch der Kapitalwert dieser Zahlenreihe zu ermitteln. So ergibt sich: K D 50 C 5 RBF .3 J:I 8 %/ C 45 1;084 D 4;0 : Der am Kapitalwert gemessene „Vorteil“ von Variante A ist also negativ; d. h. dass Variante B vorzuziehen ist. Es verwundert Sie wahrscheinlich nicht, dass sich diese Aussage mit dem schon bei dem unmittelbaren Vergleich der beiden Kapitalwerte ermittelten Befund deckt. Zudem erkennt man, vermutlich auch nicht überraschend, dass der für den Kapitalwert der Differenzzahlungsreihe ermittelte Wert K exakt mit der Differenz der beiden einzelnen Kapitalwerte KA und KB übereinstimmt. 999

In der Tat resultieren diese beiden Befunde aus einem einfachen systematischen Zusammenhang. Für den Kapitalwert K einer auf zwei Projekte A und B bezogenen Diﬀerenzzahlungsreihe gilt Formel (4.28). K D

T X

B t .e A t et / q

t D0

D

T X

t eA t q

t D0

T X

e Bt q t

(4.28)

t D0

D KA KB >Merke Der Kapitalwert der Differenzzahlungsreihe stimmt also mit der Differenz der

Kapitalwerte der beiden ursprünglichen Zahlungsreihen überein.

Mithin folgt aus K > 0 (K < 0) sofort, dass KA größer (kleiner) als KB ist, also Projekt A (B) vorzuziehen ist. Sofern zudem bereits die Rahmenentscheidung getroﬀen worden ist, dass eines der betrachteten Projekte auf jeden Fall durchgeführt werden soll, ist damit zugleich auch schon die Optimalalternative gefunden. Anderenfalls, also für den Fall, dass auch die Möglichkeit besteht die Unterlassensalternative zu realisieren, ist in einem zweiten Schritt noch zu prüfen, ob das mit Hilfe der Differenzzahlungsreihe als „besser“ identiﬁzierte Projekt überhaupt einen positiven Kapitalwert aufweist. Ist dies nicht der Fall, stellt der Verzicht auf beide Projekte die Optimalalternative dar. Diese Prüfung ist zwingend notwendig, da die konkrete Höhe des Kapitalwertes der Diﬀerenzzahlungsreihe keinen Rückschluss auf die Höhe und das Vorzeichen der Kapitalwerte der Projekte A und B ermöglicht. Der Rückgriﬀ auf die Methode der Diﬀerenzzahlungsreihe kann insbesondere in dem schon mehrfach angesprochenen Fall einer gegebenen Rahmenentscheidung zu möglicherweise erheblichen verfahrenstechnischen Vereinfachungen führen. Denn all die Einﬂussfaktoren, die sich auf die Zahlungsreihen beider Projekte in gleicher Weise auswirken, brauchen gar nicht mehr mit der Gründlichkeit und Intensität durchleuchtet werden, wie das für die vollständige Ermittlung der beiden projektspeziﬁschen Zahlungsreihen erforderlich wäre. Wäre etwa in unserem Beispiel MONA auf Grund bindender und mit hohen Vertragsstrafen ausgestatteter vertraglicher Vereinbarungen de facto gezwungen, das LKW-Projekt in der einen oder anderen Variante auf jeden Fall durchzuführen, so könnte sie auf die Abschätzung der so oder so erzielbaren Umsätze und des erforderlichen Personaleinsatzes verzichten und die Analyse auf die durch die Diﬀerenzzahlungsreihe verdeutlichten Unterschiede in Anschaﬀungsund Wiederverkaufspreisen sowie den laufenden Betriebsausgaben beschränken.

4

145 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

4.2.2.3

Kalkulationszinssätze bei wechselnden Szenarien

als idealisierende Annahme) unterstellt haben, dass die zukünftig relevanten Daten mit Sicherheit vorhergesehen werden können. Auf die Möglichkeiten, sich auch bei Aufhebung dieser Prämisse dennoch „vernünftigen“ Entscheidungskonzepten anzunähern, werden wir ja noch später, in 7 Kap. 7, eingehen. Auch unter der Prämisse sicherer Erwartungen ist allerdings noch oﬀen, ob die Technik, die maßgeblichen Kalkulationszinssätze über die Abschätzung der in den künftigen Perioden herrschenden Szenarien herzuleiten, auch dann anwendbar ist, wenn es während der Projektlaufzeit zu einem Wechsel des maßgeblichen Szenarios kommt. Wir wollen das an zwei Beispielen verdeutlichen, die folgenden Unterschied aufweisen: In dem ersten Beispiel tritt der Szenario-Wechsel unabhängig davon ein, ob das Projekt durchgeführt wird oder nicht; in dem zweiten Beispiel hingegen wird der Szenario-Wechsel durch das Projekt selbst herbeigeführt.

Für die rein rechnerische Bestimmung von EW, K oder e ist es lediglich erforderlich, dass die periodenspeziﬁschen Kalkulationszinssätze r t oder der einheitliche Kalkulationszinssatz r bekannt sind. Für die Übertragung der aus unserem investitionstheoretischen Grundmodell gewonnenen Erkenntnisse auf praktische Probleme ist es hingegen von zentraler Bedeutung, wonach sich die Höhe der anzusetzenden Zinssätze richten soll. Dabei haben wir für die Gegebenheiten unseres investitionstheoretischen Grundmodells im Zuge der vorangegangenen Beispiele schon folgendes zweistuﬁge Verfahren kennengelernt: 4 Zunächst muss der Investor überprüfen, ob das „ﬁnanzielle Umfeld“, innerhalb dessen sich die betrachteten Investitionsprojekte im Falle der Realisierung abwickeln werden, dem Szenario I oder Szenario II entspricht. 4 In einem zweiten Schritt ist dann die für die kommenden Perioden maßgebliche Ent- 777 Beispiel 4.9 wicklung der Anlage- bzw. Kreditzinssätze Als Konstellation 1 nehmen wir an, dass sich die finanzielle Gesamtsituation der MONA-LISAabzuschätzen. Selbstverständlich können die angesprochenen Sachverhalte im „echten Leben“ nicht mit Sicherheit vorausgesehen werden. Dies ist jedoch kein tragfähiger Einwand gegen die Tauglichkeit des hier unter den Prämissen unseres investitionstheoretischen Grundmodells entwickelten Konzeptes, in dem wir ja (natürlich

GMBH während der kommenden Jahre nach dem bisherigen Planungsstand, d. h. ohne Durchführung des gleich noch zu betrachtenden Projektes, in der durch . Tab. 4.11 verdeutlichten Weise entwickeln würde. Dieser Darstellung liegen folgende Annahmen zugrunde: 4 Zu Beginn der ersten Periode weist die MONA-LISA-GMBH als Ergebnis aller bis da-

. Tabelle 4.11 Finanzielle Gesamtsituation der MONA-LISA-GMBH (ohne Projekt), Konstellation 1 Jahr Jahresanfang

Jahresende

Kreditkonto

Festgeldkonto

ZinsZinsbelastung gutschrift

Gesamtsaldo

Kontostand

1

500,00

0,00

30,00

0,00

100,00

630,00

2

630,00

0,00

37,80

0,00

900,00

232,20

3

0,00

232,20

0,00

6,97

100,00

139,17

4

0,00

139,17

0,00

4,17

80,00

223,34

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

146

. Tabelle 4.12 Finanzielle Gesamtsituation der MONA-LISA-GMBH (mit Projekt), Konstellation 1 Jahr Jahresanfang

4

Jahresende

Kreditkonto Festgeldkonto

Zinsbelastung

Zinsgutschrift

Gesamtsaldo

Projektzahlung

Kontostand

1

650,00

0,00

39,00

0,00

100,00

50,00

739,00

2

739,00

0,00

44,34

0,00

900,00

60,00

176,66

3

0,00

176,66

0,00

5,30

100,00

30,00

111,96

4

0,00

111,96

0,00

3,36

80,00

30,00

225,32

hin abgewickelten Geschäfte eine Kreditbelastung von 500 auf. Der Kreditzinssatz beträgt konstant 6 % und wird jeweils zum Jahresende dem Kreditkonto belastet. 4 Die in den kommenden Jahren aus dem gesamten betrieblichen Prozess zu erwartenden Ein- und Auszahlungen führen jeweils zu einem Zahlungssaldo, der in der Tabelle als „Gesamtsaldo“ ausgewiesen wird. 4 Dabei ergibt sich zum Ende des zweiten Jahres (etwa als Folge einer Aktienemission oder des Verkaufs einer Unternehmensbeteiligung) ein hoher Einzahlungsüberschuss, der es erlaubt, den bislang beanspruchten Kredit vollständig abzubauen und den überschießenden Betrag als Festgeld anzulegen. Der Festgeldzinssatz beträgt konstant 3 % und wird jeweils zum Jahresende gutgeschrieben. Nach diesen Annahmen ist in den ersten beiden Jahren also Szenario II gegeben; zu Beginn des dritten Jahres erfolgt dann ein Wechsel zu Szenario I, das bis zum Ende des betrachteten Zeitraumes erhalten bleibt. Dabei weist das Festgeldkonto einen Endbestand von 223,34 auf. Für den Fall des Verzichtes auf das gleich noch betrachtete Projekt würde also EV U D 223;34 gelten. Nun sei weiter angenommen, die AG könne zusätzlich ein Projekt mit der Zahlungsreihe (150; 50; 60; 30; 30) durchführen. Die Realisierung dieses Projektes würde zunächst dazu

führen, dass die Kreditbelastung zu Beginn des ersten Jahres von 500 auf 650 erhöht werden müsste. Die weitere Entwicklung der finanziellen Gesamtsituation wird durch . Tab. 4.12 verdeutlicht. Als „Gesamtsaldo“ ist dabei nach wie vor der sich ohne Projektdurchführung ergebende Einzahlungsüberschuss ausgewiesen. Wie auch schon in der Ausgangssituation würde es zum Ende des zweiten Jahres zu einem Wechsel von Szenario II zu Szenario I kommen. Man erkennt zudem, dass die Durchführung des Projektes dazu führen würde, dass für das am Ende des vierten Jahres zu erwartende Endvermögen EV P D 225;32 und damit weiter EV P EV U D 225;32 223;34 D 1;98 gelten würde. Gemessen an der durch die elementare Vorteilhaftigkeitsbedingung (4.24) konkretisierten Zielsetzung der Endvermögensmaximierung wäre das Projekt unter den gegebenen finanziellen Rahmendaten also als vorteilhaft anzusehen. Genau dieses Ergebnis lässt sich allerdings wesentlich einfacher unmittelbar mit Hilfe der bislang analysierten investitionstheoretischen Kennzahlen herleiten. Dazu gilt es allerdings die anzusetzenden Kalkulationszinssätze wie folgt sachgerecht zu bestimmen: In den ersten beiden Perioden liegt Szenario II mit einem Kreditzinssatz von 6 % vor; für den Rest der Betrachtungsdauer ist dann Szenario I mit einem Guthabenzinssatz von 3 % gegeben. End- und Kapitalwert sind somit auf der Basis der periodenspezi-

4

147 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

. Tabelle 4.13 Finanzielle Gesamtsituation der MONA-LISA-GMBH (ohne Projekt), Konstellation 2 Jahr Jahresanfang Kreditkonto

Jahresende

Festgeldkonto

ZinsZinsgutbelastung schrift

Gesamtsaldo

Kontostand

1

0,00

90,00

0,00

2,70

80,00

12,70

2

0,00

12,70

0,00

0,38

50,00

36,92

3

36,92

0,00

2,22

0,00

50,00

10,87

4

0,00

10,87

0,00

0,33

60,00

71,19

fischen Kalkulationszinssätze von r1 D r2 D 6 % sowie von r3 D r4 D 3 % zu berechnen. Beschränken wir uns hier auf die Ermittlung des Endwertes, so erhält man nach unserer Ausgangsformel (4.3) das Ergebnis EW D 150 1;06 1;06 1;03 1;03 C 50 1;06 1;03 1;03 C 60 1;03 1;03 C 30 1;03 C 30 D 1;98 : Der auf der Basis der jeweils maßgeblichen, im Zeitablauf wechselnden Kalkulationszinssätze berechnete Endwert gibt also genau das Ergebnis an, das wir zuvor recht umständlich mit Hilfe der beiden Tabellen hergeleitet hatten. Und wiederum ist dies kein Zufall, sondern Ausdruck einer allgemeinen Gesetzmäßigkeit. 999

An diesem Beispiel erkennen wir folgenden allgemeinen Zusammenhang: >Merke Ist unabhängig von Durchführung oder Unterlassen des betrachteten Projektes mit wechselnden Szenarien zu rechnen, so ist es immer noch möglich, mit Hilfe unserer investitionstheoretischen Kennzahlen zu sachgerechten Aussagen über die wirtschaftliche Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten zu gelangen. Dazu müssen die Kalkulationszinssätze eben den in den einzelnen Perioden herrschenden finanziellen Gegebenheiten entsprechend angesetzt werden.

Die in Beispiel 4.9 betrachtete Situation war allerdings dadurch gekennzeichnet, dass die wechselnden Szenarien unabhängig davon eintreten, ob das Projekt durchgeführt wird oder nicht. Anhand einer kleinen Abwandlung dieses Beispiels wollen wir abschließend der Frage nachgehen, ob Kapital- und Endwertkriterium auch dann noch zu vernünftigen Ergebnissen führen, wenn ein Szenarien-Wechsel durch das Projekt selbst induziert wird. 777 Beispiel 4.10 Wir nehmen jetzt in Abweichung von dem bisherigen Beispiel als Konstellation 2 an, dass die MONA-LISA-GMBH ohne Durchführung des Projektes in der Ausgangssituation über ein Festgeldguthaben von 90 verfügt und die weitere finanzielle Entwicklung ohne Durchführung des Projektes den in . Tab. 4.13 angegebenen Werten folgen würde. Danach liegt in den ersten beiden Jahren Szenario I vor. Zum Ende des zweiten Jahres vollzieht sich dann für ein Jahr ein Wechsel zu Szenario II. Im letzten Jahr ist dann jedoch wieder Szenario I gegeben. Dabei würde sich nach bisherigem Planungsstand zum Ende der vierten Periode ein Endvermögen von EV U D 71;19 ergeben. Wird nun zusätzlich zu den bislang geplanten Aktivitäten das schon aus dem vorangegangenen Beispiel bekannte Projekt (150; 50; 60; 30; 30) realisiert, so führt das zu Beginn des ersten Jahres zunächst dazu, dass das ansonsten

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

148

. Tabelle 4.14 Finanzielle Gesamtsituation der MONA-LISA-GMBH (mit Projekt), Konstellation 2 Jahr

4

Jahresanfang

Jahresende

Kreditkonto Festgeldkonto

Zinsbelastung

Zinsgutschrift

Gesamtsaldo

Projektzahlung

Kontostand

1

60,00

0,00

3,60

0,00

80,00

50,00

93,60

2

93,60

0,00

5,62

0,00

50,00

60,00

89,22

3

89,22

0,00

5,35

0,00

50,00

30,00

14,57

4

14,57

0,00

0,87

0,00

60,00

30,00

74,56

vorhandene Guthaben aufgelöst und zusätzlich ein Kredit in Höhe von 60 beansprucht werden muss. Die weitere Entwicklung der finanziellen Gesamtsituation wird wieder durch . Tab. 4.14 verdeutlicht. Die Durchführung des Projektes würde in der jetzt betrachteten Konstellation also dazu führen, dass während der gesamten Laufzeit Szenario II vorliegt und sich erst mit Abschluss des Projektes, zum Ende des vierten Jahres, ein Wechsel zu Szenario I vollzieht. Zudem erkennt man, dass das Projekt auch unter den geänderten Rahmendaten vorteilhaft bleibt: Das bei Projektdurchführung am Laufzeitende zu erwartende Endvermögen würde sich auf EV P D 74;56 belaufen, so dass sich für unsere elementare Vorteilhaftigkeitsbedingung (4.24) EV P EV U D 74;56 71;19 D 3;37 ergeben würde. Das bei Projektdurchführung erzielbare Endvermögen würde jetzt sogar um 3,37 über dem Vergleichswert von 71,19 liegen. Der Beitrag des Projektes zur Zielerfüllung würde also noch größer ausfallen als in Konstellation 1. Wenn wir nun untersuchen wollen, ob sich das entsprechende Ergebnis nicht wiederum einfacher mit einer direkten Endwertberechnung erzielen lässt, könnte es naheliegend erscheinen, dabei ausschließlich auf den Kreditzinssatz von 6 % zurückzugreifen. Schließlich herrscht ja während der gesamten Laufzeit des Projektes Szenario II. Eine solche Rechnung führt

jedoch mit EW D 150 1;064 C 50 1;063 C 60 1;062 C 30 1;06 C 30 D 0;60 zu einem Resultat, dass nicht zu dem über die ausführliche Berechnung mit Hilfe der beiden Tabellen hergeleiteten Befund passt. Im Gegenteil würde das Projekt nach diesem Kalkül sogar als unvorteilhaft dargestellt. Ein zweiter Versuch könnte darin bestehen, sich auf die Szenarien zu beziehen, die ohne Durchführung des Projektes herrschen würden. Dann wären periodenspezifische Kalkulationszinssätze in Höhe von r1 D r2 D 3 % sowie von r3 D 6 % und r4 D 3 % anzusetzen. Mit EW D 150 1;03 1;03 1;06 1;03 C 50 1;03 1;06 1;03 C 60 1;06 1;03 C 30 1;03 C 30 D 8;89 würde aber auch bei diesem Versuch kein vernünftiges Ergebnis erzielt. Vielmehr würde die Vorteilhaftigkeit des Projektes jetzt deutlich überzeichnet. 999

Auch alle weiteren Versuche, in dem zuletzt betrachteten Beispiel auf irgendeine heuristische Weise vernünftig herleitbare Kalkulationszinssätze zu ﬁnden, auf deren Basis der Endwert den durch das Projekt induzierten Vermögenszuwachs verdeutlicht, scheitern. Die in diesem Abschnitt vorgestellten kennzahlenorientierten investitionstheoretischen Ansätze sind also dann nicht mehr anwendbar, wenn die benötigten Kalkulationszinssätze nicht mehr exo-

4

149 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

dem günstigsten Zinsszenario eine Vermingen, d. h. unabhängig von der Projektdurchfühderung des Endvermögens. rung, vorgegeben werden können. Der Grund dafür liegt darin, dass sich die Auswirkungen 4 Die Kennzahl weist auf der Basis der Guthabenzinssätze einen positiven, auf der Basis des Investitionsprojektes auf das „ﬁnanzielle der Kreditzinssätze jedoch einen negativen Umfeld“ in diesem Fall nicht mehr darauf beWert auf, so wie das in unserem Beispiel der schränken, dass die auf ohnehin bestehende Fall war. Dann ist der Investor zunächst so Guthaben oder Schulden anfallenden Zinsen klug wie zuvor. als Folge der projektbezogenen Zahlungen höher oder niedriger ausfallen. Vielmehr wird in dieser Situation die Höhe der anzusetzenden ?Übungsaufgabe 4.8 Zinssätze selbst durch das Projekt beeinﬂusst Betrachten Sie noch einmal das schon aus und damit auch das Gewicht, mit dem sich die den Übungsaufgaben 4.5 und 4.6 bekannte projektunabhängigen Zahlungen über AufzinProjekt (100; 10; 10; 10; 100) und gehen sungseﬀekte auf das Endvermögen auswirken. Sie davon aus, dass sich Anlage- und Dieser weitergehende Eﬀekt kann aber nicht Kreditzinssätze in den kommenden Jahren mehr durch die Aufzinsung der projektbezogeso wie nachfolgend angegeben entwickeln nen Zahlungen allein erfasst werden. werden. >Merke Ist ein Projekt zu beurteilen, dessen Durchführung einen Wechsel des maßgeblichen Szenarios bewirken würde, reichen die projektspezifischen investitionstheoretischen Kennzahlen nicht mehr aus, um die Vorteilhaftigkeit des Projektes verlässlich zu beurteilen.

Allerdings können die bislang betrachteten investitionstheoretischen Kennzahlen auch in solchen Situationen möglicherweise eine gewisse Entscheidungshilfe liefern. Im Fall einer projektindividuellen Entscheidung könnte man die fragliche Kennzahl, z. B. EW, ja einfach ganz robust einmal nur auf der Basis der für die kommenden Perioden maßgeblichen Guthabenzinssätze berechnen und anschließend noch einmal auf der Basis der (höheren) Kreditzinssätze. Dabei sind (bei Vernachlässigung der Grenzfälle) und Beschränkung auf Zahlungsreihen vom Typ Normalinvestition folgende drei Ergebniskonstellationen denkbar: 4 Die verwendete Kennzahl fällt für beide Fälle positiv aus. Dann führt das Projekt auf jeden Fall zu einer Steigerung des Endvermögens, auch wenn deren Höhe nicht genau bekannt ist. 4 Die Kennzahl fällt für beide Fälle negativ aus. Dann bewirkt das Projekt auch in

Jahr

1

2

3

4

Anlagezinssatz

3%

4%

5%

4%

Kreditzinssatz

6%

7%

8%

6%

Nehmen Sie weiter an, dass sich das Unternehmen unabhängig von der Durchführung oder Nichtdurchführung des betrachteten Projektes zunächst in Szenario I befindet, zu Beginn der dritten Periode jedoch (etwa wegen der Rückzahlung einer selbst emittierten Anleihe) in Szenario II übergeht. a. Berechnen Sie zunächst „rein schematisch“ den Endwert auf der Basis der nun maßgeblichen Kalkulationszinssätze. b. Überprüfen Sie das in Teilaufgabe a. ermittelte Ergebnis mit Hilfe einer geeigneten „Kontoabrechnung“. Ermitteln Sie dazu zunächst die am Ende der zweiten Periode bei Durchführung bzw. Unterlassen der Investition gegebene Vermögenssituation und stellen Sie durch den Vergleich dieser beiden Vermögenspositionen fest, in welchem Ausmaß das Kreditkonto zu Beginn der dritten Periode bei Durchführung der Investition im Vergleich zum Unterlassen stärker belastet sein würde. Erstellen Sie auf dieser Basis ein „Kreditkonto“ für die beiden letzten Perioden.

150

4.2.3 4.2.3.1

4

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

Modifiziertes Gewinnkalkül

nächst einige grundlegende Zusammenhänge verdeutlichen.

Vorbemerkung

Wir haben eingangs deutlich gemacht, dass es sachgerecht ist, bei der Beurteilung von Investitionsprojekten auf die mit ihnen verbundenen Zahlungsströme zurückzugreifen, während die unmittelbare Orientierung an Gewinnen, so wie wir sie aus der Buchhaltung kennen, in die Irre führen kann. Es ist allerdings möglich, auch auf der Basis von Gewinngrößen zu „vernünftigen“ Aussagen über die Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten zu gelangen, sofern man der Rechnung nicht die „einfachen“ buchhalterischen Werte zugrunde legt, sondern mit modiﬁzierten Gewinngrößen arbeitet. Die Erläuterung dieser Zusammenhänge ist nicht nur von theoretischem Interesse, sondern kann auch für die Implementierung eines konzeptionell fundierten Verfahrens zur Beurteilung von Investitionsprojekten in das Gesamtsystem des betrieblichen Rechnungswesens nützlich sein. Solche Systeme sind in der Praxis überwiegend auf Gewinngrößen und daraus abgeleitete Kennzahlen ausgerichtet, so dass ein der reinen Lehre entsprechend allein an Zahlungsströmen orientiertes Konzept der Investitionsrechnung oft als Fremdkörper wahrgenommen wird. Innerhalb der Unternehmen kann daher ein Interesse daran bestehen, ein Investitionsrechnungssystem zur Verfügung zu haben, das sich organisch in die dominant gewinnorientierte Denkwelt des gesamten Rechnungswesens einfügt, auch wenn dieses Verfahren etwas umständlicher ist als die unmittelbar an den Zahlungsströmen orientierten Methoden, die Sie in den zurückliegenden Abschnitten kennengelernt haben. Wir werden Ihnen daher im Folgenden einen Ansatz vorstellen, nach dem es möglich ist, auf der Basis modiﬁzierter Gewinngrößen zu einer „vernünftigen“ Beurteilung von Investitionsprojekten zu gelangen, d. h. zu einer Beurteilung, die mit den im 7 Abschn. 4.2.2 dargestellten zahlungsorientierten Verfahren im Einklang steht. Als Basis für diese Darstellungen werden wir Ihnen im 7 Abschn. 4.2.3.2 zu-

4.2.3.2

Grundlegende Zusammenhänge zwischen Zahlungs- und Gewinngrößen

In dem einleitenden Beispiel der MONA-LISAGMBH hatten wir in 7 Abschn. 4.1.1 schon eher beiläuﬁg gesehen, dass für das dort betrachtete Projekt die Summe aller während der gesamten Projektlaufzeit erzielten Gewinne mit dem entsprechenden Saldo aller Zahlungsgrößen übereinstimmt. Wir wollen Ihnen im Folgenden zunächst verdeutlichen, dass es sich bei dieser Übereinstimmung um keinen Zufall handelt, sondern um das Ergebnis einer allgemeingültigen Gesetzmäßigkeit. Um dies zu zeigen, ist es zweckmäßig, sich einige Zusammenhänge aus dem allgemeinen Rechnungswesen noch einmal vor Augen zu führen. Üblicherweise wird der Gewinn eines Unternehmens als der Saldo zwischen allen in einem Jahr erzielten Erträgen und den entsprechenden Aufwendungen deﬁniert. Alternativ kann der Gewinn eines Geschäftsjahres jedoch auch, so wie es etwa § 4 Abs. 1 EStG, wenn auch in anderer Formulierung, vorsieht, auch durch einen Bestandsvergleich nach dem in . Abb. 4.5 wiedergegebenen Schema ermittelt werden. Die so bestimmte Gewinngröße stimmt aufgrund einfacher buchhalterischer Zusammenhänge zwangsläuﬁg mit dem Saldo aller Erträge und Aufwendungen überein. Denn jede Ertragsbuchung geht stets mit einer Erhöhung des Vermögens oder einer Verminderung der Schulden in gleicher Höhe (oder einer Kombination von beidem) einher; für Aufwandsbuchungen gilt dasselbe mit umgekehrten Vorzeichen. Dieser auf den gesamten Jahresgewinn bezogene Ansatz lässt sich ohne Probleme auch auf die durch ein Investitionsprojekt induzierten Gewinnbeiträge übertragen. Dabei kann zunächst auf die Korrektur um Einlagen und Entnahmen verzichtet werden. Weiterhin ist es zweckmäßig, jeweils zwei Arten von Verände-

151 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

4

Änderung des Gesamtvermögens im Laufe des Geschäsjahres ./.

Änderung aller Schulden im Laufe des Geschäsjahres

./.

Einlagen im Laufe des Geschäsjahres

+

Entnahmen im Laufe des Geschäsjahres

=

Gewinn (Verlust) des Geschäsjahres

. Abb. 4.5 Gewinnermittlung durch Bestandsvergleich

Projeknduzierte Änderung des Sichtguthabens ./.

Projeknduzierte Änderung des Kontokorrentkredits

+

Projeknduzierte Änderungen sonsger Vermögensposionen

./.

Projeknduzierte Änderungen sonsger Schuldposionen

=

Projeknduzierter Gewinnbeitrag

. Abb. 4.6 Projektinduzierter Gewinnbeitrag

Projeknduzierter Zahlungssaldo +

Projeknduzierte Änderungen sonsger Vermögensposionen

./.

Projeknduzierte Änderungen sonsger Schuldposionen

=

Projeknduzierter Gewinnbeitrag

. Abb. 4.7 Projektinduzierte Zahlungssalden und Gewinnbeiträge

rungen des Vermögens und der Schulden zu unterscheiden, nämlich 4 solche, die sich auf die Bestände an Bargeld und jederzeit verfügbaren Bankguthaben (sog. „Sichtguthaben“) sowie beanspruchten Kontokorrentkredite beziehen, sowie 4 alle übrigen Arten von Bestandsveränderungen.

Beachtet man weiter, dass sich die mit einem Projekt verbundenen Zahlungssalden stets in entsprechenden Änderungen von Sichtguthaben und/oder Kontokorrentkredit niederschlagen, so erkennt man, dass die durch ein Investitionsprojekt induzierten Gewinnbeiträge und die entsprechenden Zahlungssalden in der in . Abb. 4.7 dargestellten Beziehung stehen. Vernachlässigt man Bargeldbestände, so erhält Wir wollen diese Zusammenhänge noch man eine Darstellung der aus einem Investiti- einmal an Hand des schon zu Beginn von onsprojekt pro Jahr resultierenden Gewinnbei- 7 Abschn. 4.1.1 vorgestellten Beispiels der trags, wie sie . Abb. 4.6 wiedergibt. MONA-LISA-GMBH verdeutlichen.

152

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

. Tabelle 4.15 Gewinn- und Zahlungsgrößen des Projektes der MONA-LISA-GMBH tD0

4

tD1

tD2

tD3

tD4

SUMME

gt

0

65

57

4

7

111

et

400

70

163

215

63

111

. Tabelle 4.16 Bilanzielle Bestände des Projektes der MONA-LISA-GMBH tD0

tD1

tD2

400

300

200

0

0

Vorräte

0

30

30

0

0

Fordg. LuL

0

70

70

70

0

Rückstellungen

0

5

11

0

0

Nettovermögen

400

395

289

70

0

Masch. Anl.

tD3

tD4

. Tabelle 4.17 Veränderungen bilanzieller Bestände und Zahlungssalden des Projektes der MONA-LISA-GMBH tD0 Verm. et

tD1

tD2

tD3

tD4

400

5

106

219

70

0

400

70

163

215

63

111

0

65

57

4

7

111

SUMME

777 Beispiel 4.1 (2. Fortsetzung) Zur leichteren Orientierung wollen wir zunächst mittels . Tab. 4.15 die für das betrachtete Projekt schon ermittelten Gewinn- und Zahlungsgrößen noch einmal in Erinnerung rufen. Sie sehen noch einmal, dass die Zahlungsreihe und die Zeitfolge der projektinduzierten Gewinnbeiträge ein deutlich anderes Aussehen haben, trotz dieser offensichtlichen Divergenzen allerdings doch die Gemeinsamkeit aufweisen, dass die einfachen Summen sowohl aller Zahlungsgrößen als auch aller Gewinnbeiträge sich übereinstimmend auf 111 belaufen. Aus den Ausgangsdaten dieses Beispiels folgt, dass das Investitionsprojekt über die Zahlungsvorgänge hinaus zu Bestandsveränderungen bei den Bilanzpositionen 4 Maschinelle Anlagen, 4 Vorräte, 4 Forderungen LuL sowie 4 Rückstellungen

SUMME

führt. Trifft man die Konvention, Schuldbestände durch ein negatives Vorzeichen zu verdeutlichen, so zeigt sich für die zeitliche Entwicklung der einzelnen Bilanzpositionen und des daraus als Summe resultierenden bilanziellen Nettovermögens das in . Tab. 4.16 dargestellte Bild. In einem nächsten Schritt fassen wir nun die jährlichen Änderungen ( Verm.) des in . Tab. 4.16 ausgewiesenen Nettovermögens und die projektinduzierten Zahlungssalden wie in . Tab. 4.17 dargestellt zusammen. An dieser Tabelle erkennen Sie zweierlei: 4 Die auf die einzelnen Zeitpunkte bezogenen Summen aus Vermögensänderung und Zahlungssaldo stimmen in der Tat mit den zuvor schon über die übliche Ertrags- und Aufwandsrechnung ermittelten Gewinngrößen überein. Die in . Abb. 4.7 verdeutlichten Zusammenhänge werden also für das Beispiel bestätigt.

4

153 4.2 Endwert, Kapitalwert und Annuität

4 Weiterhin erkennt man, dass sich die positiven und negativen Änderungen der bilanziellen Bestandspositionen über die gesamte Projektlaufzeit hinweg gegenseitig gerade aufheben. Dies erklärt die schon festgestellte Übereinstimmung der Summen aller Zahlungssalden und aller Gewinnbeiträge. 999

Es lässt sich leicht zeigen, dass die in unserem Beispiel hergeleiteten Ergebnisse allgemeingültiger Natur sind. Dazu bezeichnen wir das als Folge eines Investitionsprojektes im Zeitpunkt t hervorgerufene bilanzielle Nettovermögen, soweit es über den Saldo zwischen Sichtguthaben und Kontokorrentverbindlichkeiten hinausgeht, als B t (t D 0; 1; 2; : : : ; T ). Weiterhin gehen wir davon aus, dass das Investitionsprojekt vor seiner Inangriﬀnahme im Zeitpunkt t D 0 noch keinerlei bilanziellen Niederschlag gefunden hat, so dass die auf den Zeitpunkt t D 0 bezogene Änderung des bilanziellen Reinvermögens mit dem erstmaligen Bilanzierungsbetrag B0 übereinstimmt. Entsprechend . Abb. 4.7 kann dann für die einzelnen Gewinnbeiträge geschrieben werden: g 0 D e0 C B 0 g1 D e1 C .B1 B0 / g2 D e2 C .B2 B1 / ::: gT 1 D eT 1 C .BT 1 BT 2 / gT D eT C .BT BT 1 / : Diese „aufgefächerte“ Schreibweise lässt erkennen, dass die Bilanzwerte von B0 an bis BT 1 jeweils in einem Jahr addiert und im Folgejahr wieder abgezogen werden. Bildet man nun die Summe aller Gewinnbeiträge, so heben sich diese Positionen komplett auf; es verbleibt lediglich BT . Nun bezeichnet t D T aber den Zeitpunkt, in dem das Investitionsprojekt vollständig abgewickelt ist, also abgesehen von Sichtguthaben oder Kontokorrentverbindlichkeiten keinerlei „bilanzielle Spuren“ mehr bestehen. Mithin gilt, so wie Sie das ja auch in unserem Beispiel gesehen haben, einfach BT D

0. Daraus aber folgt sofort weiter, dass generell Relation (4.29) gilt. T X

gt D

t D0

T X

et

(4.29)

t D0

>Merke Die über die gesamte Laufzeit ermittelte Summe aller durch ein Investitionsprojekt induzierten Gewinnbeiträge stimmt also zwangsläufig mit der Summe der entsprechenden Zahlungssalden überein.

4.2.3.3

Kapitalwert der Residualgewinne

Mit dem sogenannten „Lücke-Theorem“ hält die Investitionstheorie seit Langem ein Verfahren bereit, die originären Gewinnbeiträge eines Investitionsprojektes so zu modiﬁzieren, dass der Barwert dieser modiﬁzierten Gewinngrößen mit dem gemäß Formel (4.6) ermittelten Kapitalwert der Zahlungssalden übereinstimmt. Dazu werden die originären Gewinnbeiträge eines jeden Jahres um „kalkulatorische Zinsen“ auf die jeweilige „Kapitalbindung“ vermindert. Derartig modiﬁzierte Größen werden häuﬁg auch als Residualgewinne bezeichnet. Zu deren konkreter Bestimmung bedürfen die beiden zuvor kursiv gesetzten Begriﬀe natürlich der weiteren Präzisierung. Wir wollen das zunächst wiederum an unserem Beispiel der MONA-LISA-GMBH verdeutlichen. 777 Beispiel 4.1 (3. Fortsetzung) Auf unser Bespiel übertragen ist unter der jeweiligen „Kapitalbindung“ nichts anderes zu verstehen als das in . Tab. 4.16 aufgeführte bilanzielle Nettovermögen (ohne Beachtung von Sichtguthaben und Kontokorrentverbindlichkeiten) zu Beginn der einzelnen Jahre, während die „kalkulatorischen Zinsen“ einfach durch den Kalkulationszinssatz bestimmt werden. Unterstellen wir der Einfachheit halber einen konstanten Kalkulationszinssatz von 10 %, so sind die Residualgewinne (g t ) einfach nach der Formel g t D g t 0;1 B t1

154

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

. Tabelle 4.18 Residualgewinne des Projektes der MONA-LISA-GMBH tD0

tD1

tD2

tD3

tD4

400,0

395,0

289,0

70,0

0,0

0;1 B t 1

0,0

40,0

39,5

28,9

7,0

gt

0,0

65,0

57,0

4,0

7,0

0,0

25,0

17,5

32,9

14,0

Bt

4

gt

D g t 0;1B t 1

zu bestimmen. Auf diese Weise erhalten wir die in . Tab. 4.18 zusammengestellten Werte (mit B1 D 0): Berechnen wir nun zum einen den Kapitalwert dieser Residualgewinne (K ) sowie zum anderen den Kapitalwert der Zahlungssalden gemäß . Tab. 4.15, so erhalten wir mit

::: D gT 1 r BT 2 D eT 1 C .BT 1 BT 2 / r BT 2 D eT 1 C BT 1 .1 C r/ BT 2 gT D gT r BT 1 D eT C .BT BT 1 / r BT 1 D eT C BT .1 C r/ BT 1 :

gT 1

K D 25 1;11 C 17;5 1;12 32;9 1;13 14 1;14 D 2;91

Wird nun der auf t D 0 bezogene Barwert aller Residualgewinne gebildet, so erkennt man C 215 1;13 C 63 1;14 D 2;91 Folgendes: B1 etwa wird lt. Zeile 2 über eine Periode abgezinst und addiert; lt. Zeile 3 wird in der Tat übereinstimmende Ergebnisse. Die dann jedoch .1 C r/ B1 über zwei Perioden durch das Lücke-Theorem behauptete Gesetzabgezinst und subtrahiert; beide Größen heben mäßigkeit wird für unser Beispiel also bestäsich also gegenseitig auf. Analog wird B2 über tigt. 999 2 Perioden abgezinst, dem steht aber wieder als Sie ahnen schon, dass diese Gesetzmäßigkeit abzuziehende Größe der über 3 Perioden abauch allgemein nachgewiesen werden kann. gezinste Wert von .1 C r/ B2 gegenüber, etc. Dazu schreiben wir die einzelnen Residual- Im Zuge der Abzinsung fallen die Größen B0 gewinne zunächst wieder in „aufgefächerter“ bis BT 1 also vollständig aus der Rechnung. Es verbleibt lediglich die Größe BT , von der wir ja Form auf: wissen, dass sie den Wert 0 hat. Mithin gilt ganz allgemein die Relation (4.30). g0 D g0 r 0 K D 400 C 70 1;11 C 163 1;12

D e0 C B 0 r 0 D e0 C B 0 g1 D g1 r B0 D e1 C .B1 B0 / r B0 D e1 C B1 .1 C r/ B0 g2 D g2 r B 1 D e2 C .B2 B1 / r B1 D e2 C B2 .1 C r/ B1 g3 D g3 r B 2 D e3 C .B3 B2 / r B2 D e3 C B3 .1 C r/ B2

T X

g t .1 C r/t D

t D0

T X

e t .1 C r/t (4.30)

t D0

>Merke Der Barwert aller Residualgewinne stimmt also zwangsläufig mit dem aller Zahlungsgrößen, also dem Kapitalwert, überein.

Diese Übereinstimmung gilt im Übrigen auch, wenn die maßgeblichen Kalkulationszinssätze von Periode zu Periode wechseln. Auf den ent-

155 4.4 Wiederholungsfragen

sprechenden Nachweis sei an dieser Stelle verzichtet. ?Übungsaufgabe 4.9 Betrachten Sie wieder das Projekt (100; 10; 10; 10; 100) und gehen Sie von einem einheitlichen Kalkulationszinssatz von 6 % aus. Nehmen Sie weiter Folgendes an: Die Anfangsauszahlung von a0 D 100 wird im Zeitpunkt t D 0 aktiviert und anschließend über vier Jahre in gleichbleibenden Beträgen von jeweils 25 abgeschrieben. Die in den vier Jahren erfolgenden Einzahlungsüberschüsse sind zugleich ertragswirksam. Zahlungs- und Gewinnreihe weichen also nur als Folge der anfänglichen Aktivierung sowie der nachfolgenden Abschreibungen voneinander ab. a. Ermitteln Sie zunächst nach der Grundformel (4.6) den Kapitalwert des Projektes. b. Bestimmen Sie die durch das Projekt entstehenden Gewinne g t (t D 0; 1; 2; 3; 4) und verdeutlichen Sie die zeitliche Entwicklung des als Folge des Investitionsprojektes hervorgerufenen bilanziellen Nettovermögens B t (t D 0; 1; 2; 3; 4). c. Bestimmen Sie ausgehend von den in Teilaufgabe b. ermittelten Ergebnissen die durch das Projekt hervorgerufenen Residualgewinne g t (t D 0; 1; 2; 3; 4); folgen Sie dabei der durch . Tab. 4.18 vorgegebenen Darstellungsform. Berechnen Sie anschließend den Kapitalwert der Residualgewinne

4.3

Zusammenfassung

Unter den idealisierenden Annahmen des „investitionstheoretischen Grundmodells“ kann die am Endvermögen gemessene Vorteilhaftigkeit eines Investitionsprojektes auch durch eine der investitionstheoretischen Kennzahlen Endwert, Kapitalwert oder Annuität verdeutlicht

4

werden. Zur Ermittlung des Endwertes werden alle aus dem Projekt resultierenden Zahlungen auf den Endzeitpunkt aufgezinst, beim Kapitalwert auf den Anfangszeitpunkt abgezinst. Zur Ermittlung der Annuität werden alle Zahlungsgrößen in einen äquivalenten Strom gleichbleibender Zahlungen umgerechnet. Bei projektindividuellen Entscheidungen ist ein Investitionsprojekt genau dann vorteilhaft, wenn eine der drei Kennzahlen Endwert, Kapitalwert oder Annuität, die zwingend das gleiche Vorzeichen haben, einen positiven Wert aufweist. Bei Auswahlentscheidungen sollte der Investor das Projekt mit dem maximalen positiven Kapitalwert realisieren. Eine Entscheidung auf Basis der Kennzahlen Endwert oder Annuität kann hingegen zu nicht zielkonformen Entscheidungen führen. Die Höhe der jeweiligen Kennzahlenwerte hängt zum einen von den durch das Projekt verursachten Zahlungsströmen ab, zum anderen aber auch von dem verwendeten Kalkulationszinssatz. Dessen Größe richtet sich danach, in welchem ﬁnanziellen Umfeld sich das investierende Unternehmen beﬁndet. Der Einﬂuss des daraus abgeleiteten Kalkulationszinssatzes auf die Vorteilhaftigkeit eines Investitionsprojektes kann durch die sog. Kapitalwertfunktion recht anschaulich verdeutlicht werden. Ergänzend haben wir eine Möglichkeit verdeutlicht, auch über die sog. „Residualgewinne“ zu einer Beurteilung eines Projektes zu gelangen, die mit den auf der Basis der zahlungsorientierten Kennzahlen hergeleiteten Ergebnisse kompatibel ist.

4.4

Wiederholungsfragen

1. Was soll unter einem „Investitionsprojekt im engeren Sinne“ verstanden werden? Lösung 7 Abschn. 4.1 2. Was wird unter einer „rationalen Entscheidung“ verstanden? Lösung 7 Abschn. 4.1 3. Welche beiden Möglichkeiten zur Verdeutlichung der mit einem Investitionsprojekt verbundenen monetären Konsequenzen gibt es? Lösung 7 Abschn. 4.1

156

4

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

werts der Diﬀerenzzahlungsreihe die opti4. Welche Bedeutung kommt dem „ﬁnanzielmale Handlungsalternative bestimmt werlen Umfeld“ für die Beurteilung von Invesden? Lösung 7 Abschn. 4.2.2 titionsprojekten zu? Lösung 7 Abschn. 4.1 5. Welche ﬁnanziellen Gegebenheiten kenn- 21. Wie sind die Kalkulationszinssätze zu bezeichnen die „Szenarien“ I und II? Lösung stimmen, wenn damit zu rechnen ist, dass 7 Abschn. 4.1 sich die für das ﬁnanzielle Umfeld maßgeblichen Szenarien während der Projekt6. Durch welche Annahmen ist das „inveslaufzeit ändern werden? Lösung 7 Abschn. titionstheoretische Grundmodell“ gekennzeichnet? Lösung 7 Abschn. 4.1 4.2.2 7. Wie sind die Größen „Nominalwert“ und 22. Wie kann der durch ein Investitionsprojekt „Rückzahlungswert“ deﬁniert? Lösung induzierte Gewinnbeitrag mit Hilfe eines 7 Abschn. 4.1 „Bestandsvergleiches“ hergeleitet werden? Lösung 7 Abschn. 4.2.3 8. Wie werden die Kennzahlen Endwert und Kapitalwert berechnet? 7 Abschn. 4.2.1 23. Über welche Korrekturschritte kann der durch ein Investitionsprojekt induzierte 9. In welchem Zusammenhang stehen diese Gewinnbeitrag aus dem projektinduzierten beiden Kennzahlen? Lösung 7 Abschn. 4.2.1 Zahlungssaldo hergeleitet werden? Lösung 10. Welcher Zusammenhang wird durch die 7 Abschn. 4.2.3 Kapitalwertfunktion verdeutlicht? Lösung 7 Abschn. 4.2.1 24. Welche Beziehung besteht zwischen der einfachen Summe aller durch ein Inves11. Was versteht man unter einer „Normalintitionsprojekt induzierten Gewinnbeiträge vestition“? Lösung 7 Abschn. 4.2.1 und dem (auf der Zahlungsebene deﬁnier12. Welchen Verlauf hat die Kapitalwertfunkten) Nominalwert des Projektes? Lösung tion für Normalinvestitionen? Lösung 7 Abschn. 4.2.3 7 Abschn. 4.2.1 13. Wie wird die Annuität eines Investitions- 25. Wie sind die durch ein Investitionsprojekt projektes berechnet? Lösung 7 Abschn. 4.2.1 induzierten „Residualgewinne“ zu ermitteln? Lösung 7 Abschn. 4.2.3 14. Was wird durch den Endwert in den Szenarien I und II verdeutlicht? Lösung 26. In welcher Beziehung steht der Barwert al7 Abschn. 4.2.2 ler Residualgewinne zu dem auf der Zahlungsebene ermittelten Kapitalwert? Lö15. Was wird für Szenario II durch die Kennsung 7 Abschn. 4.2.3 zahlen „Verzinsungskraft“ und „Zinsbelastung“ zum Ausdruck gebracht? Lösung 7 Abschn. 4.2.2 16. Wie können Kapitalwert und Annuität 4.5 Lösungen ökonomisch interpretiert werden? Lösung 7 Abschn. 4.2.2 17. Welche Kriterien zur Beurteilung der pro-1 Übungsaufgabe 4.1 jektindividuellen Vorteilhaftigkeit kennen Bei einem einheitlichen Zinssatz von 12 % haben die beiden Anlagekonten für Unterlassen Sie? Lösung 7 Abschn. 4.2.2 18. Welche Probleme können auftreten, wenn und Projektdurchführung das in . Tab. 4.19 man sich bei Auswahlentscheidungen bzw. . Tab. 4.20 dargestellte Aussehen. Die bei Verzicht auf das Projekt mögliche an den projektindividuellen Endwerten oder Annuitäten orientieren will? Lösung verzinsliche Anlage führte jetzt zu einem Endvermögen von 629,41. Bei Durchführung des 7 Abschn. 4.2.2 19. Was wird durch die „Diﬀerenzzahlungsrei- Projektes würde demgegenüber nur ein Endvermögen von 606,61 erreicht. Angesichts des he“ verdeutlicht? Lösung 7 Abschn. 4.2.2 20. Unter welchen Voraussetzungen kann al- höheren Anlagezinssatzes wäre das Projekt in lein durch die Berechnung des Kapital- diesem Fall also nicht lohnend.

4

157 4.5 Lösungen

. Tabelle 4.19 Anlagekonto bei Unterlassen (ÜA 4.1) Jahr

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsgutschrift

Kontostand

1

400,00

48,00

448,00

2

448,00

53,76

501,76

3

501,76

60,21

561,97

4

561,97

67,44

629,41

. Tabelle 4.20 Anlagekonto bei Projektdurchführung (ÜA 4.1) Jahr

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsgutschrift

Projektzahlung

Kontostand

1

0,00

0,00

70,00

70,00

2

70,00

8,40

163,00

241,40

3

241,40

28,97

215,00

485,37

4

485,37

58,24

63,00

606,61

. Tabelle 4.21 Wertetabelle für den Kapitalwert (ÜA 4.3) r

0%

2%

4%

6%

8%

10 %

12 %

K

20,00

15,36

11,00

6,92

3,08

0,53

3,93

1 Übungsaufgabe 4.2

a.

b.

NW D 100 C 3 40 D 20 RW D 3 40 D 120 EW D 100 1;05 1;06 1;07 C 40 .1;06 1;07 C 1;07 C 1/ D 9;077 K D 100 C 40 .1;051 C 1;051 1;061 C 1;051 1;061 1;071 / D 7;622

c.

EW D 100 1;063 C 40 RBF .3 J:I 6 %/ 1;063 D 8;242 K D 100 C 40 RBF .3 J:I 6 %/ D 6;920

1 Übungsaufgabe 4.3

a. Aus der Lösung zu Übungsaufgabe 4.2b. wissen wir, dass EW D 9;077 und K D 7;622 gilt. Gemäß Relation (4.9) entspricht der aufgezinste Kapitalwert dem Endwert. Bei einer numerischen Überprüfung erhalten wir in der Tat das Ergebnis: 7;622 1;05 1;06 1;07 D 9;077 : b. Nach der Formel K D 100 C 40 RBF .3 J:I r/ berechnen wir den Kapitalwert für alle geraden r-Werte zwischen 0 % und 12 % und erhalten so . Tab. 4.21. Man erkennt schon, dass der Abszissenschnittpunkt zwischen 8 % und 10 % liegen muss. Um den Schnittpunkt noch etwas genauer zu bestimmen, bestimmen wir K auch noch für einen Kalkulationszinssatz von 9 %

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

158

K 25 20

4

15 10 5 0 2%

4%

6%

8%

10%

12%

r

5 10 15 20 . Abb. 4.8 Kapitalwertfunktionen zu ÜA 4.3

und erhalten K.9 %/ D C1;25. Der Abs- b. zissenschnittpunkt muss also zwischen 9 % und 10 % liegen. Weiterhin sehen wir, dass der absolute Abstand von der Abszisse bei 9 % mit 1,25 deutlich größer ist als bei 10 % mit 0,53. Das lässt den Schluss zu, dass der fragliche Schnittpunkt zwischen 9,5 % und 10 % liegt. (Eine hier nicht verlangte exakte Berechnung führt zu dem Ergebnis, dass die Kapitalwertfunktion die Achse bei einem Wert von 9,701 % schneidet.) Die Kapitalwertfunktion hat dann den in . Abb. 4.8 wiedergegebenen Verlauf. 1 a. 1 Übungsaufgabe 4.4 a. Wir berechnen e gemäß Relation (4.11) und erhalten: e D 7;622 1= 1;051 C 1;051 1;061 C1;051 1;061 1;071 D 7;622=2;691 D 2;833 :

Jetzt können wir auf die spezielle Relation (4.13) zurückgreifen und erhalten: e D 40 100 ANF .3 J:I 6 %/ D 2;589 : Alternativ können wir natürlich auch Formel (4.12) verwenden; hier ergibt sich mit e D 6;920 ANF .3 J:I 6 %/ D 2;589 dasselbe Ergebnis. Übungsaufgabe 4.5 Nach den Formeln (4.5) und (4.15) erhält man folgende Werte:

EW .6 %/ D 100 1;064 C 10 1;063 C 1;062 C 1;06 C 100 D 7;50

4

159 4.5 Lösungen

EW .10 %/ D 100 1;1 C 10 1;13 C 1;12 C 1;1 C 100 D 10;00 EV P .6 %/ D C10 1;063 C 1;062 C 1;06 C 100 D 133;75 EV P .10 %/ D C10 1;13 C 1;12 C 1;1 C 100 D 136;41: 4

b. Die Erhöhung des Kalkulationszinssatzes von 6 % auf 10 % bewirkt also eine Ver-1 minderung des Endwertes um insgesamt a. 17,5, zugleich jedoch eine Erhöhung des bei Durchführung des Projektes erzielbaren Endvermögens um 2,66. c. Der scheinbare Widerspruch löst sich auf, wenn man bedenkt, dass der Endwert den Vermögensvorteil gegenüber der Unterlassensalternative misst. Diese führt bei dem höheren Zinssatz natürlich ebenfalls zu einem höheren Endvermögen. So gilt: EV U .6 %/ D 100 1;064 D 126;25 und EV U .10 %/ D 100 1;14 D 146;41 :

Als Folge der Steigerung des Anlagezinssatzes von 6 % auf 10 % nehmen die Werte sowohl von EV U als auch die EV P zu. Allerdings fällt diese Zunahme bei EV U angesichts der wesentlich höheren Anlagesumme mit 146;41 126;25 D 20;16 deutlich stärker aus als bei EVP mit lediglich 136;4 133;75 D 2;66, so dass sich der ursprüngliche „Vorsprung“ des Projektes von 7,5 – trotz der absoluten Zunahme – im Vergleich zum Unterlassen in einen Rückstand von nunmehr 10 verwandelt. Genau dies wird durch den Endwert als in sich schon vergleichende Kennzahl zum Ausdruck gebracht. Übungsaufgabe 4.6

Nach den einschlägigen Formeln ergibt sich: EW D 100 1;074 C 10 1;073 C 1;072 C 1;07 C 100 D 3;320 K D 100 C 10 1;071 C 1;072 C 1;073 C 100 1;074 D 2;533 e D 2;533 ANF .4 J:I 7 %/ D 2;533 0;2952 D 0;748:

b. Die Kontoabrechnung hat das in . Tab. 4.22 abgebildete Aussehen:

. Tabelle 4.22 Kontoabrechnung I (ÜA 4.6) Jahr

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsbelastung

Projektzahlung

Kontostand

1

100,000

7,000

10,000

97,000

2

97,000

6,790

10,000

93,790

3

93,790

6,565

10,000

90,355

4

90,355

6,325

100,000

3,320

26,680

130,000

SUMMEN

–

160

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

. Tabelle 4.23 Kontoabrechnung II (ÜA 4.6) Jahr

4

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsbelastung

Projektzahlung

Kontostand

1

100,000

7,000

9,252

97,748

2

97,748

6,842

9,252

95,338

3

95,338

6,674

9,252

92,760

4

92,760

6,493

99,252

0,001

27,009

127,008

SUMMEN

Für die fraglichen Kennzahlen folgt daraus: VK D 130 100 D 30 sowie ZB D 26;680 : Man erkennt, dass der Endstand des Kontos genau mit dem in Teilaufgabe a. für EW ermittelten Wert übereinstimmt und zudem VK ZB D 30 26;680 D 3;320 D EW

–

I/II – Projekt II führt zwar zu einem höheren Endwert, jedoch nach einer längeren Laufzeit als Projekt I; ohne Kenntnis des Kalkulationszinssatzes ist eine Entscheidung nicht möglich. I/IV; II/IV – Projekt IV führt zu einem höheren Endwert, jedoch zu einem späteren Zeitpunkt; auch hier ist ohne Kenntnis des Kalkulationszinssatzes eine Entscheidung nicht möglich. I/V; II/V – Projekt V führt zu einem höheren Endwert, jedoch zu einem späteren Zeitpunkt; auch hier ist ohne Kenntnis des Kalkulationszinssatzes eine Entscheidung nicht möglich. IV/V – Projekt IV führt zu einem früheren Zeitpunkt zu einem höheren Endwert; Projekt V kommt somit als Optimalalternative nicht in Betracht.

gilt. c. Vermindert man die projektbezogenen Einzahlungen jeweils um 0,748, so erhält die Kontoabrechnung das in . Tab. 4.23 abgeb. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um zu bildete Aussehen: einem abschließenden Vergleich der ProDie im Text gegebene Interpretation der jekte I, II und IV zu kommen. Eine MögAnnuität wird, bis auf einen minimalen lichkeit besteht darin, unter Rückgriﬀ auf Rundungsfehler, numerisch bestätigt: WerFormel (4.9) die jeweiligen Kapitalwerte zu den alle Rückﬂüsse des Projektes jeweils um ermitteln. Man erhält so folgende Ergebden Betrag der Annuität reduziert, so benisse: wirkt das Projekt gerade weder einen positiven noch einen negativen Eﬀekt auf das KI D 3;80 1;18 D 1;77 Endvermögen. KII D 4;10 1;19 D 1;74 1 Übungsaufgabe 4.7 KIV D 4;40 1;110 D 1;70: a. Ungeachtet der unterschiedlichen LaufzeiDemnach stellt Projekt I die Optimalalterten scheidet Projekt III mit einem negativen native dar. Endwert auf jeden Fall aus; das negative Alternativ ist es auch möglich, die projektVorzeichen bleibt auch bei der Umrechspeziﬁschen Endwerte auf eine einheitlinung auf eine andere Laufzeit erhalten. che Endlaufzeit umzurechnen. Zinst man Zur weiteren Analyse beginnen wir mit eiso zum Vergleich zwischen den Projekten I nem paarweisen Vergleich der verbleibenund II EWI um eine Periode auf, so ergibt den Projekte:

161 4.5 Lösungen

sich: EWI 1;1 D 3;80 1;1 D 4;18 > EW II D 4;10 : Projekt I ist also gegenüber Projekt II vorzuziehen. Zum weiteren Vergleich zwischen den noch verbleibenden Projekten I und IV zinsen wir EWI um 2 Perioden auf und erhalten: EWI 1;12 D 3;80 1;12 D 4;60 > EW IV D 4;40 : Naheliegenderweise kommt man auch auf diesem Wege zu dem Ergebnis, dass Projekt I die Optimalalternative darstellt. c. Auch wenn die in der letzten Spalte aufgeführten Werte die projektspeziﬁschen An-1 nuitäten darstellen, scheidet Projekt III wie- a. derum sofort aus; eine negative Annuität bleibt auch bei Umrechnung auf eine andere Laufzeit negativ. Für die verbleibenden Projekte erkennt man zunächst, dass Projekt IV gegenüber den Projekten I und II eindeutig vorzuziehen ist, da es bei längerer Laufzeit die höhere Annuität aufweist. Zwischen den Projekten IV und V ist demgegenüber ohne Kenntnis des Kalkulationszinssatzes eine Entscheidung nicht möglich, da Projekt V b. zwar eine niedrigere Annuität erbringt, jedoch über einen längeren Zeitraum. Ist bekannt, dass der Zinssatz 10 % beträgt, kann der Vergleich zwischen den Projekten IV und V wieder über die Ermittlung der Kapitalwerte erfolgen. Unter Rückgriﬀ auf Relation (4.12) erhalten wir so KIV D 4;40=ANF .10 J:I 10 %/ D 4;40=0;1627 D 27;04 KV D 4;20=ANF .11 J:I 10 %/ D 4;20=0;1540 D 27;28: In diesem Fall stellt also Projekt V trotz der niedrigeren Annuität die Optimalalternative dar.

4

Alternativ ist es auch möglich, die projektspeziﬁschen Annuitäten auf eine einheitliche Laufzeit umzurechnen. Entscheidet man sich dabei für den insgesamt längst möglichen Zeitraum von 11 Jahren als Vergleichsmaßstab, so ist nur die Annuität für Projekt IV umzurechnen. Man erhält so als korrigierten Wert: eIV =ANF .10 J:I 10 %/ ANF .11 J:I 10 %/ D Œ4;4=0;1627 0;1540 D 4;16 < 4;2 : Das mit Hilfe des Kapitalwertvergleiches ermittelte Ergebnis wird also bestätigt: Projekt V stellt die Optimalalternative dar. Übungsaufgabe 4.8

Nach den Vorgaben der Aufgabenstellung belaufen sich die anzusetzenden Zinssätze auf 3 %, 4 %, 8 % sowie 6 %. Für den Endwert ergibt sich somit: EW D 100 1;03 1;04 1;08 1;06 C 10 1;04 1;08 1;06 C 10 1;08 1;06 C 10 1;06 C 100 D 11;32 : Bei Durchführung der Investition würde das Anlagekonto das in . Tab. 4.24 abgebildete Aussehen haben. Bei Durchführung der Investition würde sich bis zum Ende des zweiten Jahres also ein Guthaben von EV P .t D 2/ D 20;40 ansammeln. Bei Investitionsverzicht würde sich demgegenüber aus der verzinslichen Anlage der Investitionssumme von 100 ein Guthaben von EV U .t D 2/ D 100 1;03 1;04 D 107;12 ergeben. Mithin würde das ab dem Beginn des dritten Jahres maßgebliche Kreditkonto

Kapitel 4 Investitionstheoretisches Grundmodell und Varianten

162

. Tabelle 4.24 Anlagekonto (ÜA 4.8) Jahr

4

1 2

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinssatz

Zinsgutschrift

Projektzahlung

Kontostand

3,00 %

0

10

10,00

4,00 %

0,40

10

20,40

Projektzahlung

Kontostand

0 10,00

. Tabelle 4.25 Kreditkonto (ÜA 4.8) Jahr

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinssatz

Zinsbelastung

3

86,72

8,00 %

6,94

10

83,66

4

83,66

6,00 %

5,02

100

11,32

bei Durchführung der Investition zunächst um .107;12 20;40/ D 86;72 stärker belastet. Für das Kreditkonto würde sich somit die in . Tab. 4.25 abgebildete Entwicklung ergeben. Bei Durchführung des Projektes würde die zum Ende des vierten Jahres bestehende Kreditbelastung also um 11,32 niedriger ausfallen als bei Investitionsverzicht. Das in der „schematischen“ Berechnung ermittelte Ergebnis wird also bestätigt. 1 Übungsaufgabe 4.9

a. Für den Kapitalwert ergibt sich nach Formel (4.6): K D 100 C 10 1;061 C 1;062 C1;063 C 100 1;064 D 5;94 : b. Für die aus dem Projekt resultierenden Gewinnbeiträge gilt Folgendes: Im Startzeitpunkt t D 0 wird die Anfangsauszahlung durch die Aktivierung in gleicher Höhe neutralisiert, so dass einfach g0 D 0 gilt. In den Zeitpunkten t D 1; 2; 3 steht der (ertragswirksamen) Einzahlung von jeweils 10 als nicht zahlungswirksamer Aufwand die Abschreibung von jeweils 25 gegenüber, so dass in den drei Jahren jeweils ein Verlust-

beitrag von 15 entsteht, also g1 D g2 D g3 D 15 gilt. Im Zeitpunkt t D 4 steht der (ebenfalls ertragswirksamen) Einzahlung von 100 ebenfalls die Abschreibung von 25 gegenüber, so dass g4 D 75 gilt. Im vorliegenden Fall bestimmt sich das (über den Saldo zwischen Sichtguthaben und Kontokorrentverbindlichkeiten hinausgehende) projektinduzierte bilanzielle Nettovermögen einfach durch den jeweiligen (Rest-)Buchwert des zu Projektbeginn aktivierten Investitionsgutes. Angesicht der unterstellten linearen Abschreibung gilt somit: B0 D 100I B1 D 75I B3 D 25I B4 D 0 :

B2 D 50I

c. . Tab. 4.26 zeigt die Berechnung der gesuchten Residualgewinne. Für den Kapitalwert der Residualgewinne gilt dann: K D 21 1;061 19;5 1;062 18 1;063 C 73;5 1;064 D 5;94 : Wie nicht anders zu erwarten, stimmen die für K und für K ermittelten Werte überein.

4

163 Literatur

. Tabelle 4.26 Residualgewinne (ÜA 4.9) tD0

tD1

tD2

tD3

100,0

75,0

50,0

25,0

0,0

0;06 B t 1

0,0

6,0

4,5

3,0

1,5

gt

0,0

15,0

15,0

15,0

75,0

0,0

21,0

19,5

18,0

73,5

Bt

gt

D g t 0;06 B t 1

Literatur 1.

2.

3.

Bitz, M. (2005). Investition. In M. Bitz, M. Domsch, R. Ewert & F. W. Wagner (Hrsg.), Vahlens Kompendium der Betriebswirtschaftslehre 5. Aufl. (Bd. 1, S. 105– 171). München: Franz Vahlen. Bitz, M., & Ewert, J. (2014). Übungen in Betriebswirtschaftslehre (8. Aufl.). München: Franz Vahlen. insbes. Kapitel 3, B (Investitionstheoretische Kennzahlen zur Projektbewertung) Bitz, M., Ewert, J., & Terstege, U. (2018) Investition – Multimediale Einführung in finanzmathematische Entscheidungskonzepte (3. Aufl.). Wiesbaden: Springer Gabler. insbes. Kapitel 4 und Abschnitt 7.2

4. 5. 6. 7. 8.

tD4

Blohm, H., Lüder, K., & Schaefer, Chr. (2012). Investition (10. Aufl.). München: Franz Vahlen. Breuer, W. (2011). Investition I – Entscheidungen bei Sicherheit (4. Aufl.). Wiesbaden: Gabler. Hax, H. (1985). Investitionstheorie (5. Aufl.). Würzburg, Wien: Physica. Hering, Th. (2017). Investitionstheorie (5. Aufl.). München: De Gruyter. Kruschwitz, L. (2014). Investitionsrechnung (14. Aufl.). Berlin, New York: De Gruyter.

165

Erweiterungen des Grundmodells 5.1

Vorbemerkungen – 167

5.2

Berücksichtigung künftiger Preisänderungen – 168

5.2.1 5.2.2 5.2.3

Problemstellung – 168 Differenzierte Preisänderungserwartungen – 168 Einheitliche Preisänderungen („Inflation“) – 170

5.3

Projektbezogene Finanzierungsmaßnahmen – 172

5.4

Investitionsketten – 174

5.4.1 5.4.2

Problemstellung und grundlegende Zusammenhänge – 174 Entscheidungen über Investitionsketten – 178

5.5

„Einfache“ Nutzungsdauerprobleme – 179

5.6

Einfluss von Steuern auf Investitionsentscheidungen – 183

5.6.1 5.6.2 5.6.3 5.6.4 5.6.4.1 5.6.4.2

Problemstellung – 183 Zahlungsreihe „nach Steuern“ – 185 Modifikation des Kalkulationszinssatzes – 187 Kapitalwert und Endwert „nach Steuern“ – 188 Ermittlung und Interpretation – 188 Einfluss von Steuern auf die Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten – 191 Wirkungszusammenhänge – 193 Abschließende und weiterführende Überlegungen – 200

5.6.4.3 5.6.5

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 U. Terstege, M. Bitz, J. Ewert, Investitionsrechnung klipp & klar, WiWi klipp & klar, https://doi.org/10.1007/978-3-658-20992-6_5

5

5.7

Zusammenfassung – 202

5.8

Wiederholungsfragen – 202

5.9

Lösungen – 204 Literatur – 212

167 5.1 Vorbemerkungen

Lernziele dieses Kapitels 4 Ein allgemeines Konzept zur Berücksichtigung erwarteter Preisänderungen bei der Ermittlung des Kapitalwerts eines Investitionsprojektes erläutern und für konkrete Beispiele selbständig umsetzen können 4 Ein allgemeines Konzept zur Einbeziehung projektspezifischer Finanzierungsmaßnahmen in die Kapitalwertberechnung allgemein erläutern und für konkrete Beispiele selbständig umsetzen können 4 Den Begriff „Investitionskette“ erläutern und Kapitalwert, Endwert und Annuität einer Investitionskette für konkrete Beispiele selbständig berechnen können 4 Erläutern können, dass die Annuität einer Investitionskette mit der Annuität des zugrundeliegenden Einzelprojektes übereinstimmt und wie die Auswahl zwischen einander ausschließenden Investitionsketten in Abhängigkeit davon zu gestalten ist, ob die Gesamtlaufzeiten der Ketten übereinstimmen oder divergieren 4 Die Bestimmung der optimalen Laufzeit eines Investitionsprojektes unter Rückgriff auf das Konzept der Differenzzahlungsreihe erläutern und entsprechende Berechnungen für konkrete Beispiele selbständig vornehmen können 4 Die grundlegende Notwendigkeit zur Modifikation von Zahlungsreihen und Kalkulationszinssatz um steuerliche Effekte begründen und entsprechende Modifikationen an konkreten Beispielen selbst durchführen können 4 Die Auswirkungen steuerlich bedingter Modifikationen auf Kapital- und Endwert und damit auf die Vorteilhaftigkeit von Investitionen allgemein erläutern und anhand von Beispielen rechnerisch demonstrieren können 4 Das sogenannte Steuerparadoxon erläutern und die Gründe für sein Auftreten darlegen können

5.1

5

Vorbemerkungen

In 7 Kap. 4 haben Sie die drei grundlegenden investitionstheoretischen Kennzahlen sowohl unter formalen Aspekten als auch in Hinblick auf ihre ökonomische Bedeutung kennengelernt. Dabei sind wir zumeist davon ausgegangen, dass die zu beurteilenden Projekte und die damit verbundenen Zahlungsreihen „irgendwie“ vorgegeben sind, ohne näher auf deren realwirtschaftliche Bestimmungsfaktoren einzugehen. Wir wollen diesen Abstraktionsgrad im Folgenden ein wenig verringern und Ihnen vor Augen führen, welche Besonderheiten sich für die Anwendung dieser grundlegenden Kriterien in einigen speziellen Entscheidungssituationen ergeben. Im Einzelnen werden wir Sie mit fünf verschiedenen Erweiterungen unseres bisherigen Modellansatzes vertraut machen. Dabei werden wir jede dieser fünf Modiﬁkationsmöglichkeiten je einzeln betrachten und im Rahmen dieses einführenden Lehrbuches nicht auch noch auf die in der Realität natürlich bestehende Möglichkeit eingehen, dass sich die behandelten Aspekte überlagern können. In 7 Abschn. 5.2 behandeln wir das Problem, künftig zu erwartende Preisänderungen in den bisherigen Modellrahmen einzubeziehen. In 7 Abschn. 5.3 gehen wir der Frage nach, wie zu verfahren ist, wenn spezielle Finanzierungsmöglichkeiten bestehen, auf die nur bei Durchführung des betrachteten Projektes zurückgegriﬀen werden kann. In 7 Abschn. 5.4 erweitern wir die bislang betrachteten Entscheidungskalküle um die Möglichkeit, dass ein Projekt in mehrfacher Wiederholung als sogenannte Investitionskette durchgeführt werden kann. In 7 Abschn. 5.5 widmen wir uns dem Problem, dass die Laufzeit eines Investitionsprojektes ja zumeist nicht exogen vorgegeben ist, sondern zumindest in gewissem Rahmen durch den Investor selbst bestimmt werden kann. In 7 Abschn. 5.6 schließlich gehen wir der Frage nach, welchen Einﬂuss die Besteuerung auf die Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten hat.

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

168

Berücksichtigung künftiger Preisänderungen

5.2

5.2.1

5

Problemstellung

Im Allgemeinen ist davon auszugehen, dass die Preise verschiedener Güter im Zeitablauf nicht konstant bleiben. Für die hier betrachteten einzelwirtschaftlich orientierten investitionstheoretischen Ansätze ergibt sich daraus allerdings eigentlich kein besonderes Problem. Denn bei der Herleitung der projektbezogenen Zahlungsreihen ist selbstverständlich von den in den zukünftigen Perioden maßgeblichen Löhnen und Preisen auszugehen. Aus pragmatischen Gründen kann es jedoch sinnvoll sein, bei der Ermittlung der Zahlungsreihen in folgender Weise in zwei Schritten vorzugehen: 4 Zunächst werden die mit den realwirtschaftlich vorgesehenen Aktivitäten verbundenen Zahlungsströme auf der Basis der im Planungszeitpunkt maßgeblichen Preisverhältnisse ermittelt. 4 Danach werden diese Ausgangsdaten um die erwarteten Lohn- und Preisänderungen korrigiert. Für eine solche Aufspaltung des Planungsprozesses könnte der Umstand sprechen, dass für den ersten Schritt in erster Linie Kenntnisse der für das betrachtete Unternehmen maßgeblichen absatzwirtschaftlichen und produktionstechnischen Gegebenheiten erforderlich sind. Für eine sachgerechte Abschätzung zukünftiger Preis- und Lohnentwicklungen bedarf es demgegenüber in aller Regel allgemeinwirtschaftlichen, über die spezielle Situation des betrachteten Unternehmens hinausgehenden Sachverstands. Es kann daher durchaus sinnvoll sein, diese beiden Teilaufgaben von unterschiedlichen Planungsinstanzen wahrnehmen zu lassen. >Merke Die separate Berücksichtigung von Preisänderungen im Zeitablauf ist für die Modellierung von Investitionsprojekten

nicht zwingend; sie kann aber wegen im Unternehmen verteilter Kompetenzen sinnvoll sein.

In 7 Abschn. 5.2.2 wollen wir zunächst die Situation behandeln, in der für die Löhne und die Preise der verschiedenen Güter mit unterschiedlichen Änderungsraten zu rechnen ist. In 7 Abschn. 5.2.3 werden wir dann auf den in der investitionstheoretischen Lehrbuchliteratur zumeist ausschließlich betrachteten Spezialfall eingehen, dass für die Preise aller Einﬂussfaktoren jeweils übereinstimmende Steigerungsraten unterstellt werden. 5.2.2

Differenzierte Preisänderungserwartungen

Zur Einführung in unser Problem betrachten wir wiederum zunächst ein Beispiel. 777 Beispiel 5.1 Wir betrachten ein dreijähriges Investitionsprojekt, das im Zeitpunkt t D 0 für die Beschaffung einer maschinellen Anlage eine Anfangsauszahlung von 100 erfordert; nach drei Jahren kann die Anlage zu 25 % ihres Neuwertes veräußert werden. Auf der Basis der im Planungszeitpunkt maßgeblichen Lohn- und Preisverhältnisse würde das Projekt zu den in . Tab. 5.1 verdeutlichten Zahlungen führen. Geht man weiter davon aus, dass der Investor angesichts seiner finanziellen Lage einen Kalkulationszinssatz von 6 % zugrundelegt, so errechnet sich für den Kapitalwert: K D 100 C 35 1;061 C 30 1;062 C 50 1;063 D 1;70 : Für den Fall, dass die Preisverhältnisse unverändert blieben, wäre das Projekt also (knapp) vorteilhaft. Nun sei aber weiter damit zu rechnen, dass sich bei den Preisen der einzelnen Einsatzfaktoren in den kommenden drei Jahren unterschiedliche Veränderungen ergeben werden. Dabei nehmen wir, mehr oder weniger willkürlich, Folgendes an:

5

169 5.2 Berücksichtigung künftiger Preisänderungen

4 Die Absatzpreise können gegenüber der Ausgangssituation Jahr für Jahr um 4 % gesteigert werden. 4 Der Neupreis der maschinellen Anlage wird jährlich um 2 % steigen, was sich entsprechend auf den bei Beendigung des Projektes erzielbaren Liquidationserlös auswirkt. 4 Die Energiepreise werden um 10 % pro Jahr steigen, die Materialpreise hingegen um 3 % pro Jahr zurückgehen. 4 Für die Personalausgaben schließlich wird mit jährlichen Steigerungen von 4% gerechnet.

Um unter Berücksichtigung dieser zusätzlichen Annahmen die letztlich maßgebliche Zahlungsreihe zu ermitteln, müssen die in . Tab. 5.1 enthaltenen Ausgangsgrößen jeweils nach Art von Aufzinsungsoperationen in die letztlich maßgeblichen Werte umgerechnet werden. . Tab. 5.2 verdeutlicht die entsprechenden Rechenergebnisse. Die Berücksichtigung der unterstellten Preisänderungsraten führt in unserem Beispiel also zu einer eindeutigen Verschlechterung der letztlich maßgeblichen Zahlungsreihe. Für den Kapitalwert dieser modifizierten Zahlungsreihe

. Tabelle 5.1 Zahlungsreihe bei unveränderten Preisen tD0

tD1

tD2

tD3

145

160

175

Einzahlungen Laufende Erlöse Liquidationserlös

25

Auszahlungen 100

Anlage Energieverbrauch

50

60

70

Materialeinsatz

20

25

30

Personal

40

45

50

35

30

50

100

Summe

. Tabelle 5.2 Zahlungsreihe bei differenzierten Preissteigerungen tD0

tD1

tD2

tD3

145 1;041 D 150;80

160 1;042 D 173;06

175 1;043 D 196;85

Einzahlungen Laufende Erlöse (4 %)

25 1;023 D 26;53

Liquidationserlös (2 %) Auszahlungen Anlage

100

Energieverbrauch (10 %)

50 1;11 D 55;00

60 1;12 D 72;60

70 1;13 D 93;17

Materialeinsatz (3 %)

20 0;971 D 19;40

25 0;972 D 23;52

30 0;973 D 27;38

Personal (4 %)

40 1;041 D 41;60

45 1;042 D 48;67

50 1;043 D 56;24

34,80

28,26

46,59

Summe

100

170

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

ergibt sich dementsprechend mit K D 100 C 34;80 1;061 C 28;26 1;062 C 46;59 1;063 D 2;90 auch ein deutlich niedrigerer Wert, der sogar negativ wird. 999

5

Unser einfaches Beispiel zeigt, dass es ohne alle methodischen Schwierigkeiten möglich ist, unterschiedliche Preisänderungserwartungen in die bislang vorgestellten investitionstheoretischen Ansätze einzubeziehen. Das gilt im Übrigen auch für den hier nicht weiter behandelten Fall, dass im Zeitablauf wechselnde Preisänderungsraten zu erwarten sind. Die entsprechenden Rechenansätze ändern sich dadurch gegenüber dem betrachteten Beispiel nur unwesentlich. Im praktischen Anwendungsfall ist die zukünftige Preisentwicklung im Planungszeitpunkt in aller Regel noch gar nicht bekannt. Das Problem der Unsicherheit tritt jedoch nicht nur bei der Abschätzung der zu erwartenden Preisänderungen auf, sondern ist ein ganz grundlegendes Phänomen der Investitionsplanung, das sich auf alle einzubeziehenden Komponenten bezieht. In unserem Beispiel hatte die Einbeziehung von Preisänderungserwartungen zur Konsequenz gehabt, dass das im Falle stabiler Preise vorteilhafte Projekt seine Vorteilhaftigkeit verliert. Dies ist jedoch keineswegs eine zwangsläuﬁge Folge der Einbeziehung von Preisänderungserwartungen. Dieses Ergebnis resultiert vielmehr aus den ganz speziellen numerischen Vorgaben unseres Beispiels. Folgende Übungsaufgabe gibt Ihnen Gelegenheit, sich selbst davon zu überzeugen. ?Übungsaufgabe 5.1 Gehen Sie von den Daten aus Beispiel 5.1 aus, unterstellen Sie nun jedoch für die jährlichen Preis- und Lohnänderungsraten folgende Werte: 4 Die Absatzpreise können gegenüber der Ausgangssituation Jahr für Jahr um 3 % gesteigert werden.

4 Der Neupreis der maschinellen Anlage wird jährlich um 2 % steigen, was sich entsprechend auf den bei Beendigung des Projektes erzielbaren Liquidationserlös auswirkt. 4 Die Energiepreise werden um 4 % pro Jahr zunehmen, die Materialpreise hingegen nur um 1 %. 4 Für die Personalausgaben schließlich wird mit jährlichen Steigerungen von 2 % gerechnet. Ermitteln Sie die jährlichen Zahlungssalden sowie den entsprechenden Kapitalwert.

5.2.3

Einheitliche Preisänderungen („Inflation“)

Etwas anders liegen die Verhältnisse allerdings, wenn unterstellt wird, dass die Preise aller Einﬂussfaktoren übereinstimmende Änderungsraten aufweisen. Wir wollen uns dabei hier auf den Fall von Preissteigerungen beschränken und, dem allgemeinen Sprachgebrauch folgend, die allgemeine Preissteigerungsrate als Inflationsrate (i) bezeichnen und den Ausdruck .1 C i/ als Inflationsfaktor. Zudem wollen wir den Kalkulationszinssatz, der sich aus den für den Investor maßgeblichen Finanzierungsbedingungen ergibt, in dem jetzt betrachteten Zusammenhang als Nominalzinssatz bezeichnen. Wir betrachten das vorangegangene Beispiel 5.1 noch einmal. 777 Beispiel 5.1 (Fortsetzung) Bei ansonsten unveränderten Daten sei jetzt angenommen, dass die für die kommenden drei Jahre erwartete Inflationsrate konstant 3 % beträgt, also für alle Einflussfaktoren in gleicher Weise mit einer jährlichen Preissteigerung in dieser Höhe gerechnet wird. In diesem Fall kann darauf verzichtet werden, die Entwicklung der verschiedenen Zahlungskomponenten nach Art von . Tab. 5.2 je einzeln darzustellen. Denn wenn alle Größen jeweils um 3 % zunehmen, steigt auch der gesamte Zahlungssaldo um die-

171 5.2 Berücksichtigung künftiger Preisänderungen

sen Prozentsatz. Bezeichnen wir die zunächst für den Fall konstanter Preise ermittelten Zahlungsgrößen als e 0t und die um Inflationseffekte ergänzten, letztlich maßgeblichen Zahlungsgrößen mit e t , so gilt: e0 D e 0 0 D 100 e1 D e 0 1 .1 C i/ D 35 1;03 D 36;05 e2 D e 0 2 .1 C i/2 D 30 1;032 D 31;83 e3 D e 0 3 .1 C i/3 D 50 1;033 D 54;64: Für den Kapitalwert errechnet sich dann: K D 100 C 36;05 1;061 C 31;83 1;062 C 54;64 1;063 D 8;21 : Erwartungsgemäß erhalten wir einen höheren Wert als für den Fall konstant bleibender Preise. Die Berechnung des Kapitalwertes kann allerdings auch noch auf einem anderen Weg erfolgen. Denn für K kann ja auch K D 100 C 35 1;03 1;061 C 30 1;032 1;062 C 50 1;033 1;063 geschrieben werden oder weiter: K D 100 C 35 .1;06=1;03/1 C 30 .1;06=1;03/2 C 50 .1;06=1;03/3 : Beachtet man, dass 1;06=1;03 D 1;02913 gilt, so läuft diese Gleichung also letztlich darauf hinaus, für die ohne Beachtung von Preissteigerungen ermittelte Zahlungsreihe den Kapitalwert auf der Basis eines Zinssatzes von 2,913 % zu berechnen. Mit K D 100 C 35 1;029131 C 30 1;029132 C 50 1;029133 D 100 C 34;01 C 28;33 C 45;87 D 8;21 erhalten wir erwartungsgemäß das zuvor schon auf einem etwas anderen Weg ermittelte Ergebnis. 999

In Anlehnung an die in diesem Zusammenhang in der Literatur häuﬁg anzutreﬀenden

5

Darstellungen wollen wir den Prozentsatz, der aus dem Quotienten zwischen Nominalzinsfaktor (1 C r) und Inﬂationsfaktor (1 C i) hergeleitet werden kann, als Realzinssatz bezeichnen. Folgt man dieser Terminologie, so können die beiden in unserem Beispiel vorgestellten Methoden zur Bestimmung des Kapitalwertes bei einheitlichen Preissteigerungsraten aller Zahlungsgrößen allgemein wie folgt beschrieben werden: Methode 1: Zunächst wird die Zahlungsreihe für den Fall konstant bleibender Preise analog zu . Tab. 5.1 ermittelt. Diese Zahlungsgrößen werden dann durch Multiplikation mit dem entsprechend potenzierten Inﬂationsfaktor um die aus der Inﬂation resultierenden Effekte ergänzt. Für die so inﬂationsadjustierte Zahlungsreihe wird dann der Kapitalwert auf der Basis des für den Investor maßgeblichen Nominalzinssatzes ermittelt. Methode 2: Der Kapitalwert wird für die ohne Berücksichtigung von Inﬂationserwartungen ermittelte Zahlungsreihe auf der Basis des Realzinssatzes bestimmt. Man kann leicht allgemein zeigen, dass beide Methoden stets zu dem gleichen Ergebnis führen. Es ist also eine Frage der Zweckmäßigkeit, welche Methode im Einzelfall angewandt werden soll. Häuﬁg dürfte Methode 2 rechentechnisch etwas einfacher sein; angesichts der heutzutage verfügbaren Rechnertechnik fallen diese Unterschiede in aller Regel aber wohl kaum ins Gewicht. Beide Methoden führen bei Normalinvestitionen und zu erwartenden Preissteigerungen im Regelfall (zu einer Ausnahme vgl. . Abb. 4.3) in übereinstimmender Weise dazu, dass sich für den Kapitalwert ein höherer Wert ergibt als bei Vernachlässigung der erwarteten Inﬂationseﬀekte. >Merke Bei für alle Preise in gleicher Weise erwarteten Preissteigerungen (Inflation) bestehen zwei alternative Möglichkeiten zu deren Berücksichtigung. Entweder kann die Inflationserwartung in der Zahlungsreihe berücksichtigt werden oder durch die Verwendung eines Realzinssatzes.

172

5

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

Eine andere Frage ist es allerdings, ob es in dem hier betrachteten Fall einheitlicher Preissteigerungserwartungen überhaupt generell erforderlich ist, die eine oder andere Form der Bereinigung vorzunehmen. Denn bei Normalinvestitionen führt die zusätzliche Einbeziehung einer bestimmten Inﬂationserwartung im Regelfall zu einer Erhöhung des Kapitalwertes. Bei Methode 1 resultiert dieser Eﬀekt daraus, dass für alle Einzahlungsüberschüsse e1 ; e2 ; : : : ; eT höhere Werte anzusetzen sind als im Fall konstanter Preise. Dabei ist der Eﬀekt zum einen umso größer, je höher die erwartete Inﬂationsrate ist, sowie zum anderen, je später der Zahlungsschwerpunkt des Projektes liegt. Bei Methode 2 bleibt die der Berechnung zugrunde gelegte Zahlungsreihe demgegenüber unverändert; jedoch wird der letztlich anzusetzende Kalkulationszinssatz reduziert. Bildlich gesprochen kommt es also auf der schon aus 7 Abschn. 4.2.1.1 bekannten Kapitalwertfunktion zu einer „Wanderung“ nach links und damit im Regelfall ebenfalls zu einer Erhöhung des Kapitalwertes. Für projektindividuelle Entscheidungen über Normalinvestitionen ergibt sich daraus Folgendes: 4 Ist der zunächst für den Fall konstanter Preise ermittelte Kapitalwert bereits positiv, so kann auf alle weiteren Berechnungen verzichtet werden; bei Einbeziehung von Inﬂationserwartungen würde sich ja erst recht ein positiver Kapitalwert ergeben. In verfahrenstechnischer Hinsicht bestünde bei dieser Konstellation ein weiterer Vorteil darin, dass es gar nicht mehr erforderlich ist, sich überhaupt Gedanken über die konkrete Höhe der in den kommenden Jahren zu erwartenden Inﬂationsraten zu machen. 4 Ist der zunächst ermittelte Kapitalwert demgegenüber negativ, so kommt der Investor nicht darum herum, zunächst Vorstellungen über die zukünftigen Inﬂationsraten zu entwickeln und den Kapitalwert auf dieser Basis nach einer der beiden soeben aufgezeigten Möglichkeiten noch einmal neu zu berechnen.

Ebenso ist es bei Auswahlentscheidungen erforderlich, die Inﬂationserwartungen in die Beurteilung einzubeziehen. Denn selbst wenn alle für den Fall konstanter Preise ermittelten Kapitalwerte positiv sind, ist es immer noch möglich, dass sich die Rangfolge der Projekte durch die Einbeziehung von Inﬂationserwartungen ändert.

5.3

Projektbezogene Finanzierungsmaßnahmen

Bislang sind wir davon ausgegangen, dass die mit einem Investitionsprojekt verbundenen Auszahlungen durch Verzicht auf alternativ mögliche Geldanlagen oder durch die zusätzliche Belastung ohnehin bestehender Kreditfazilitäten ﬁnanziert werden. Das mag, insbesondere bei kleineren Investitionsvorhaben, auch durchaus den Gegebenheiten in etlichen praktischen Fällen entsprechen. Ebenso gut besteht aber auch die Möglichkeit, dass zumindest ein Teil der für eine Investition benötigten Zahlungsmittel durch ganz speziell auf dieses Projekt zugeschnittene Finanzierungsaktivitäten beschafft wird, die bei Verzicht auf die betrachtete Investition auch unterbleiben würden. Dabei ist zum einen an spezielle, projektgebundene Investitionsdarlehen und zum anderen an „zinsverbilligte Darlehen“ zu denken, die der Staat oftmals in solchen Fällen bereitstellt, in denen es darum geht, private Investoren dazu zu bewegen, dass sie bestimmte gesamtwirtschaftlich „erwünschte“ Investitionsvorhaben realisieren, die sie ohne eine solche Fördermaßnahme möglicherweise unterlassen würden. Auch in solchen Fällen können die hier betrachteten investitionstheoretischen Kennzahlen herangezogen werden, um die Vorteilhaftigkeit der fraglichen Projekte zu beurteilen. Allerdings ist es dazu erforderlich, die den entsprechenden Berechnungen zugrundeliegenden Handlungsalternativen und die daraus abzuleitenden Zahlungsreihen über das

173 5.3 Projektbezogene Finanzierungsmaßnahmen

5

Investitionsprojekt hinaus auch auf die speziel. Tabelle 5.3 Zahlungsreihe mit Förderkredit len projektbezogenen Finanzierungsmaßnahmen auszudehnen. t 0 1 2 3 4 Wir wollen uns wieder darauf beschränken, et 100 35 35 35 15 das entsprechende Konzept anhand eines Beift 60 3,6 3,6 3,6 63,6 spiels zu verdeutlichen. Dazu betrachten wir ein Projekt mit der Zahlungsreihe (100; 35; ct D 40 31,4 31,4 31,4 48,6 et C ft 35; 35; 15) und nehmen an, dass sich der Investor in Szenario II beﬁndet und während der gesamten Laufzeit des Projektes zu einem gleichbleibenden Zinssatz von 10 % auf generell zierten Zahlungsreihe ergibt sich: verfügbare Kreditmöglichkeiten zurückgreifen KP &F D 40 C 31;4 RBF .3 J:I 10 %/ kann. Für den Kapitalwert dieses Projektes erhalten wir dann mit 48;6 1;14 D 4;89 : K D 100 C 35 RBF .3 J:I 10 %/ C 15 1;1

4

D 2;71

In diesem Fall würde das Subventionsprogramm also sein Ziel erreichen: Unterstützt durch den Förderkredit würde sich das betrachtete Projekt also auch im privatwirtschaftlichen Kalkül als vorteilhaft erweisen. Alternativ zu diesem Ansatz könnte man auch einfach den Kapitalwert der für den Förderkredit maßgeblichen Zahlungsreihe berechnen und den so ermittelten Wert zu dem ursprünglichen (allein für die projektbezogenen Zahlungen ermittelten) Kapitalwert K addieren. Auf diesem Wege erhält man mit

einen negativen Wert. Aus „eigenem Antrieb“ würde der Investor dieses Projekt also nicht durchführen. Nun sei weiter angenommen, dass für Investitionen dieser Art ein staatliches Subventionsprogramm existiert, in dessen Rahmen 60 % der Investitionssumme durch eine Förderbank zu folgenden Konditionen ﬁnanziert werden: 4 Auszahlung in t D 0 zu 100 %. KF D C 60 3;6 RBF .3 J:I 10 %/ 4 Jährlich nachschüssige Zinszahlungen in 63;6 1;14 D 7;61 Höhe von 6 % der Darlehenssumme (t D 1, 2, 3, 4); keine laufenden Tilgungszahlungen. sowie 4 Eine abschließende Tilgungszahlung nach vier Jahren (t D 4). K C KF D 2;71 C 7;61 D 4;90

Es gibt mehrere Möglichkeiten, um festzustel- (bis auf einen kleinen Rundungsfehler) das len, ob es unter diesen geänderten Rahmen- schon zuvor ermittelte Ergebnis. daten doch lohnt, das Projekt durchzuführen. Eine besteht darin, die ursprüngliche Zah- ?Übungsaufgabe 5.2 lungsreihe um die mit dem Förderkredit verGehen Sie von dem zuletzt betrachteten bundenen Zahlungen zu ergänzen. Bezeichnen Beispiel aus. Nehmen Sie nun jedoch an, wir die aus dem Kredit resultierenden Zahlundass der Förderkredit nur in einem kleineren gen mit f t und die sich aus der Verrechnung Volumen als zu 60 % der Investitionsmit den projektbezogenen Zahlungen ergebensumme gewährt wird. Stellen Sie fest, wie den Salden mit c t , so ergibt sich die in . Tab. 5.3 hoch die entsprechende „Förderquote“ dargestellte Zahlungsreihe. (FQ) mindestens sein müsste, damit das Für den (nach wie vor auf der Basis von Projekt (einschließlich Förderkredit) noch 10 % ermittelten) Kapitalwert dieser modiﬁvorteilhaft bleibt.

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

174

>Merke Werden projektspezifische Finanzierungsmaßnahmen genutzt, sind die Zahlungsreihen des Projektes und der projektgebundenen Finanzierung durch Saldierung zusammenzufassen. Der Kapitalwert ist dann für diese saldierte Zahlungsreihe auf der Basis des Zinssatzes zu ermitteln, der sich aus dem sonstigen allgemeinen Finanzierungsszenario ergibt.

5

5.4 5.4.1

Investitionsketten Problemstellung und grundlegende Zusammenhänge

Bislang sind wir davon ausgegangen, dass ein Investitionsprojekt genau einmal durchgeführt wird. In diesem Abschnitt wollen wir nun den Fall betrachten, dass ein Projekt mehrmals hintereinander realisiert werden soll. Eine solche mehrfache Wiederholung ein und desselben Projektes wollen wir im Folgenden als „Kette“ bezeichnen. Dabei beschränken wir uns zunächst auf den besonders einfachen Fall, dass die Laufzeit des Einzelprojektes exogen vorgegeben ist und die mit seiner Durchführung verbundenen Zahlungsgrößen in allen Wiederholungen gänzlich unverändert bleiben. Zudem treﬀen wir zur formalen Darstellung folgende Konventionen: 4 Die in einer konkreten Problemstellung vorgesehene Anzahl von „Kettengliedern“ (D Anzahl der Projektdurchgänge) wird mit m bezeichnet. 4 Der für das einzelne Projekt, also für ein Glied der „Kette“, maßgebliche Kapitalwert wird nach wie vor einfach als K bezeichnet. 4 Den Kapitalwert der gesamten aus m Einzelprojekten bestehenden „Kette“ bezeichnen wir dementsprechend als KK .m/ . 4 Den zugehörigen Endwert bezeichnen wir als EWK .m/ , die Annuität als eK .m/ .

Beispiel 5.2 dient dem Einstieg in das Problem der Investitionsketten. 777 Beispiel 5.2 Wir betrachten wieder das schon aus Beispiel 4.2 bekannte Projekt 1 mit der Zahlungsreihe (100; 30; 40; 50). Für einen Kalkulationszinssatz von 6 % haben wir an früherer Stelle schon die projektindividuellen Werte K D 5;88; EW D 7;01

und e D 2;20

ermittelt. Wir wollen jetzt annehmen, dass dieses Projekt viermal hintereinanderdurchgeführt werden soll, also als viergliedrige „Kette“. D. h., dass in den Zeitpunkten t D 3, t D 6 und t D 9 jeweils einerseits die letzte Projektzahlung von 50 erfolgt, gleichzeitig jedoch eine Auszahlung 100 für den Beginn des nächsten Kettengliedes. Die zugehörige Zahlungsreihe kann somit durch den in . Abb. 5.1 dargestellten Zeitstrahl verdeutlicht werden. Saldiert man die in den Zeitpunkten t D 3, 6 und 9 erfolgenden Ein- und Auszahlungen, so erhält man das in . Abb. 5.2 wiedergegebene, vereinfachte Bild des Zahlungsstroms. Wenden wir nun zunächst ganz schematisch die für den Kapitalwert maßgebliche Berechnungsformel (4.4) auf diesen vereinfachten Zahlungsstrom an, so erhalten wir für den Kapitalwert der gesamten Kette Relation (5.1). KK .4/ D 100 C 30 1;061 C 40 1;062 50 1;063 C 30 1;064 C 40 1;065 50 1;066 C 30 1;067 C 40 1;068 50 1;069 C 30 1;0610 C 40 1;0611 C 50 1;0612 D 18;45:

(5.1)

Durch eine analoge Rechnung, auf deren Wiedergabe wir hier verzichten, erhält man für den Endwert der Kette: EWK .4/ D 37;13 : Für den Fall, dass das Projekt viermal hintereinander durchgeführt wird, steigt der Kapitalwert

5

175 5.4 Investitionsketten

50

50

40 30

0

1

– 100

3

4

40

30

5

6

7

30

8

9

10

11

12

t

– 100

– 100

– 100

50

40

30

2

50

40

. Abb. 5.1 Zahlungsreihe der Investitionskette von Projekt 1 (m D 4)

50 40

40

30

0

1

40

30

2

3

– 50

4

40

30

5

6

– 50

7

30

8

9

10

11

12

t

– 50

– 100 . Abb. 5.2 Saldierte Zahlungsreihe der Investitionskette von Projekt 1 (m D 4)

von 5,88 auf 18,45, erhöht sich also auf weniger als das Vierfache. Dieser Befund ist intuitiv plausibel; denn die Zahlungen des zweiten, dritten und vierten Durchganges werden ja stärker abgezinst als die des ersten Kettengliedes, leisten also immer geringer werdende Beiträge zu dem Kapitalwert der gesamten Kette. Umgekehrt verhält es sich bei dem Endwert: Dieser erhöht sich um mehr als das Vierfache, da die

Zahlungen ja insgesamt über einen längeren Zeitraum aufgezinst werden. Für die Annuität schließlich gilt eK .4/ D KK .4/ ANF .12 J:I 6 %/ D 18;45 0;1193 D 2;20 ; was genau dem bereits für die Annuität des „einfachen“ Projektes ermittelten Wert entspricht.

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

176

5

Sie ahnen sicherlich, dass dies kein Zufall ist. Um diese Ahnung in Gewissheit umzuwandeln, betrachten wir zunächst die Ermittlung des Kapitalwertes noch einmal etwas näher. Unter Rückgriff auf die scheinbar umständlichere Darstellung in . Abb. 5.1 kann man den Kapitalwert der Kette auch wie folgt berechnen:

Die letzten drei Ausdrücke in der Klammer können weiter nach der schon bei der Herleitung des Rentenbarwertfaktors verwendeten Formel wie folgt zusammengefasst werden:

KK .4/ D 100 C 30 1;061 C 40 1;062 C 50 1;063 C 100 1;063 C 30 1;064 C 40 1;065 C 50 1;066 C 100 1;066 C 30 1;067 C 40 1;068 C 50 1;069 C 100 1;069 C 30 1;0610 C 40 1;0611 C 50 1;0612

Ersetzen wir nun Q wieder durch 1,063 und setzen wir den entsprechenden Bruch in die Formel zur Bestimmung von KK .4/ ein, so erhalten wir: 1 1;069 .4/ KK D 5;88 1 C 1;063 1

Erweitert man den Bruch schließlich mit 1,063 , so ergibt sich der Ausdruck (5.2).

oder auch

KK .4/ D 5;88

Q1 C Q2 C Q3 D

D 5;88

KK .4/ D 100 C 30 1;061 C 40 1;062 C 50 1;063 C 100 C 30 1;061 C 40 1;062 C 50 1;063 1;063 C 100 C 30 1;061 C 40 1;062 C 50 1;063 1;066 C 100 C 30 1;061 C 40 1;062 C 50 1;063 1;069 : Die in den eckigen Klammern enthaltenen Ausdrücke stellen wertmäßig jeweils nichts anderes dar als den „einfachen“ Kapitalwert von K D 5;88. Mithin können wir für unser Beispiel auch schreiben: KK .4/ D 5;88 1 C 1;063 C 1;066 C 1;069 : Um diesen Ausdruck noch weiter zu vereinfachen und der für die Bestimmung der Annuität maßgeblichen Gesetzmäßigkeit auf die Spur zu kommen, setzen wir vorübergehend 1;06 D Q : 3

So erhalten wir: KK .4/ D 5;88 1 C Q1 C Q2 C Q3 :

1 Q3 : Q1

1;063 1;069 : 1;063 1

1 1;0612 1 1;063

(5.2)

Damit haben wir einen recht „handlichen“ Ausdruck, der im Übrigen auch einer numerischen Überprüfung standhält. Setzt man nämlich 1;0612 D 0;4970

und 1;063 D 0;8396 ;

so erhält man mit KK .4/ D 5;88

0;5030 D 5;88 3;1360 D 18;44 0;1604

für den Kapitalwert der Kette „praktisch“ dasselbe Ergebnis, das wir zuvor schon in der ausführlichen Berechnung bestimmt hatten. Die geringfügige Abweichung in der zweiten Nachkommastelle resultiert aus Rundungsdivergenzen. Für die Annuität schließlich erhalten wir unter Rückgriff auf Formel (4.12) den Ausdruck (5.3). eK .4/ D KK .4/ ANF .12 J:I 6 %/ 1 1;0612 0;06 1 1;063 1 1;0612 0;06 D 5;88 1 1;063

D 5;88

(5.3)

Der letzte Bruch ist nun aber nichts anderes als der auf die „einfache“ Projektlaufzeit bezogene Annuitätenfaktor. Zumindest für das hier betrachtete Projekt verhält es sich also so, dass die

177 5.4 Investitionsketten

auf die gesamte Laufzeit der „Kette“ bezogene Annuität mit der Annuität des „einfachen“ Projekts übereinstimmt. 999

Die in unserem Beispiel überwiegend numerisch aufgezeigten Zusammenhänge lassen sich leicht verallgemeinern. Wir verzichten hier darauf, die maßgeblichen Formeln noch einmal von Grund auf herzuleiten, sondern greifen auf die schon in unserem Beispiel gewonnenen Erkenntnisse zurück. Wir betrachten zunächst den Ausdruck (5.2) und nehmen folgende Verallgemeinerungen vor: Die Zahl 4 wird allgemein durch m ersetzt, 5,88 durch K und 1,06 durch q. Die beiden Exponenten von q entsprechen einmal der Laufzeit des einzelnen Projektes (T D 3) sowie dem Produkt aus der projektindividuellen Laufzeit (T D 3) und der Anzahl der Kettenglieder (m D 4). Also kann für den Kapitalwert eines m Mal nacheinander durchgeführten Projektes mit einer individuellen Laufzeit von T Jahren und einem projektbezogenen Kapitalwert in Höhe von K allgemein Formel (5.4) geschrieben werden. KK .m/ D K

1 q mT 1 q T

eK .m/ D KK .m/

(5.5)

Nicht nur in unserem Beispiel, sondern ganz allgemein, stimmt die Annuität für die gesamte Kette eines mehrfach wiederholten Projektes also mit der „einfachen“ Annuität überein, und zwar völlig unabhängig von der Anzahl der Wiederholungen. >Merke Bei einer Kette zeitlich aufeinander folgender, identischer Investitionsprojekte

stimmt die Annuität der Investitionskette mit der Annuität des einzelnen Investitionsprojektes überein.

Das gilt damit auch für den Grenzfall einer „unendlichen“ Kette. Darunter versteht man die Modellsituation, dass das betrachtete Projekt „auf ewige Zeiten“ in immer gleicher Form wiederholt wird. Es bedarf keiner Erläuterung, dass es sich dabei um ein rein theoretisches Konstrukt handelt, das aber doch einige interessante Einblicke in die zugrundliegenden Zusammenhänge erlaubt. Aus Formel (5.4) erkennt man sofort, dass der Ausdruck q mT mit wachsendem m immer kleiner wird und gegen null strebt. Also gilt für den Kapitalwert einer „unendlichen Kette“ einfach Formel (5.6). KK 1 D

K 1 q T

(5.6)

Interessant an diesem Ergebnis ist insbesondere der Umstand, dass sich auch für den Fall einer „unendlichen“ Wiederholung eines Investitionsprojektes ein endlicher Wert für den Kapitalwert dieser Kette ergibt. In unserem Bei(5.4) spiel beträgt dieser Grenzwert

Für die Annuität folgt daraus weiter Formel (5.5). r 1 q mT 1 q mT r DK T 1q 1 q mT r DK D e 1 q T

5

KK 1 D

5;88 D 36;66 : 1 1;063

Der Grund für dieses intuitiv vielleicht erstaunliche Ergebnis liegt darin, dass die in „sehr weiter Zukunft“ anfallenden Zahlungsgrößen als Folge des überproportional zunehmenden Abzinsungseﬀektes auf den Zeitpunkt t D 0 bezogen praktisch keinerlei Gewicht mehr haben. Beachtet man nun weiter, dass sich der Annuitätenfaktor r=.1 q mT ) für ein immer größer werdendes m einfach dem Wert r nähert, so folgt aus Relation (5.6) für die Annuität weiter Relation (5.7). eK 1 D KK 1 r D K

r D e (5.7) 1 q T

Die aus Formel (5.5) erkennbare Unabhängigkeit der Annuität einer Kette von der Anzahl der Wiederholungen bleibt also in der Tat auch

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

178

in dem theoretischen Grenzfall einer „unendlichen“ Kette erhalten. ?Übungsaufgabe 5.3

5

Betrachten Sie wieder das schon aus Übungsaufgabe 4.5 bekannte Projekt (100; 10; 10; 10; 100) und gehen Sie von einem Kalkulationszinssatz von 5 % aus. a. Bestimmen Kapitalwert und Annuität des Projektes für den Fall der einmaligen Durchführung. b. Nehmen Sie nun an, das Projekt solle fünfmal durchgeführt werden. Bestimmen Sie den Kapitalwert und die Annuität dieser „Kette“. c. Innerhalb des mit der Planung des fraglichen Investitionsprojektes befassten Arbeitskreises wird darüber diskutiert, wie viele Durchläufe mindestens erforderlich wären, damit sich für die entsprechende „Kette“ 1. ein Kapitalwert von mehr als 50 bzw. 2. eine Annuität von mehr als 5 ergeben würde. Versuchen Sie beide Fragen zu beantworten.

5.4.2

Entscheidungen über Investitionsketten

Aus den dargestellten Zusammenhängen lassen sich sofort die folgenden beiden Aussagen zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit von Investitionsketten ableiten: 1. Eine Investitionskette ist genau dann projektindividuell vorteilhaft, wenn das Einzelprojekt vorteilhaft ist, also etwa K > 0 gilt. 2. Bei der Auswahl aus mehreren einander ausschließenden Investitionsketten mit gleicher Gesamtlaufzeit, führt diejenige Kette zu dem höchsten Endvermögenszuwachs, deren Gesamtkapitalwert gem. der Formeln (5.4) oder (5.6) maximal ist. Gemäß der Formeln (5.5) oder (5.7) ist das jedoch zwangsläuﬁg bei der Kette der Fall, für die die Annuität des Einzelprojektes den höchsten Wert hat. Zur Bestimmung der optimalen Kette reicht es jetzt also aus, ein-

fach die projektindividuellen Annuitäten zu vergleichen, auch wenn die Einzelprojekte unterschiedliche Laufzeiten haben. Entscheidend ist nur, dass die Gesamtlaufzeiten der Ketten entweder in einem endlichen Wert übereinstimmen oder aber „unendliche“ Ketten betrachtet werden. >Merke Da die Annuitäten eines einzelnen Investitionsprojektes und einer Kette identischer Investitionsprojekte übereinstimmen, können Entscheidungen über die projektindividuelle Vorteilhaftigkeit einer Kette oder über die Auswahl unterschiedlicher, aber insgesamt identisch langer Ketten jeweils einfach anhand der Annuitäten der Einzelprojekte getroffen werden. Beim Vergleich unterschiedlich langer Ketten geht das nicht mehr so einfach.

Ist die letztgenannte Voraussetzung nicht mehr erfüllt, wird die Bestimmung der optimalen Investitionskette etwas komplizierter. Wir schauen uns dazu Beispiel 5.3 an. 777 Beispiel 5.3 Ein Investor hat die Wahl, 4 das schon bekannte Projekt 1 (100; 30; 40; 50) als dreifache Kette durchzuführen oder 4 das Projekt 2 (100; 5; 20; 25; 35; 50) als zweifache Kette. Gehen wir weiter von einem Kalkulationszinssatz von 6 % aus, so ergeben sich für die projektindividuellen Kennzahlen die (zum Teil schon bekannten) Werte: K1 D 5;883

und e1 D 2;201

sowie K2 D 8;594

und e2 D 2;040 :

Würde man sich auch in dieser Situation, so wie das im Fall übereinstimmender Laufzeiten ja korrekt ist, einfach an der Höhe der projektindividuellen Annuitäten orientieren, würde die Entscheidung also (wenn auch knapp) zugunsten von Projekt 1 fallen. Wenn wir nun jedoch

179 5.5 „Einfache“ Nutzungsdauerprobleme

zur Kontrolle die Gesamtkapitalwerte (KK) der beiden Ketten gem. Formel (5.4) errechnen1, so erhalten wir mit 1 1;069 1 1;063 0;4081 D 14;97 D 5;883 0;1604 1 1;0610 KK 2 D 8;594 D 15;02 1 1;065

KK 1 D 5;883

das entgegengesetzte Ergebnis. Dass es zu einem solchen Widerspruch kommen kann, dürfte Sie eigentlich nicht erstaunen. Bereits im 7 Abschn. 4.2.2.2 b) hatten wir ja gesehen, dass die unmittelbare Orientierung an den projektindividuellen Annuitäten bei Projekten mit unterschiedlicher Laufzeit zu Fehlentscheidungen führen kann. Bei dem Vergleich von Investitionsketten mit unterschiedlichen Gesamtlaufzeiten gilt das ganz analog. Wenn man dennoch bei der Anwendung der Annuitätenmethode bleiben will, ist es erforderlich die projekt- und damit zugleich kettenspezifischen Annuitäten auf eine einheitliche Laufzeit umzurechnen. Rechnet man im vorliegenden Fall etwa die zunächst auf neun Jahre bezogene Annuität e1 auf zehn Jahre um, so erhält man mit ANF .10 J:I 6 %/ ANF .9 J:I 6 %/ 0;06 0;06 D 2;201 W 10 1 1;06 1 1;069 9 1 1;06 D 2;201 1 1;0610 0;4081 D 2;201 0;4416

e1 D 2;201

D 2;034

5

möglich, anhand der projektbezogenen Annuitäten zu einer „vernünftigen“ Entscheidung zu gelangen. Dazu ist es allerdings erforderlich, die projektbezogenen Annuitäten auf eine einheitliche Gesamtlaufzeit umzurechnen. Bezeichnen wir diese einheitliche Gesamtlaufzeit mit T, so ist jede projektbezogene Annuität (e ) einer Kette mit abweichender Gesamtlaufzeit T durch die laut Formel (5.8) modiﬁzierte Größe e zu ersetzen. ANF .T I r/ ANF .T I r/ r r W D e T 1q 1 q T 1 q T D e 1 q T

e D e

(5.8)

Die Orientierung an den so modiﬁzierten projektindividuellen Annuitäten führt dann zwangsläuﬁg zu dem gleichen Ergebnis wie die Betrachtung der Kapitalwerte der gesamten Ketten. Wie ein Blick auf die Formeln (5.8) und (5.4) zeigt, beinhaltet der Vorteilhaftigkeitsvergleich mit Hilfe der Annuitäten bei divergierenden Gesamtlaufzeiten gegenüber der direkten Anwendung der Kapitalwertmethode allerdings keine Vereinfachung mehr. In diesem Fall ist es somit im Zweifel am einfachsten, unmittelbar die Kapitalwerte nach Formel (5.4) zu ermitteln.

5.5

„Einfache“ Nutzungsdauerprobleme

In den vorangegangenen Abschnitten haben wir stets Investitionsprojekte betrachtet, deren Laufzeit fest vorgegeben war. Von dieser Annahme wollen wir jetzt abweichen und den Fall untersuchen, dass der Investor ein bestimmtes Projekt in unterschiedlichen Laufzeitvarianten Auch beim Vergleich von Investitionsketten durchführen kann. Dazu betrachten wir folgenmit unterschiedlichen Laufzeiten ist es also de Entscheidungssituation: 4 Die Beschaﬀung einer maschinellen Anlage 1 Der schreibtechnischen Einfachheit halber verzicherfordert im Zeitpunkt t D 0 eine Anfangsten wir darauf, die Zahl der Kettenglieder (m) mit auszahlung von a0 . anzugeben. einen Wert, der (jetzt wieder in Übereinstimmung mit dem Vergleich der Kapitalwerte der beiden Ketten) unter dem für Projekt 2 ermittel999 ten Wert von e2 D 2;040 liegt.

180

5

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

4 Die Anlage kann maximal T Jahre genutzt werden; ein früherer Abbruch ist jedoch auch möglich, frühestens im Zeitpunkt t D 1. Bei einem Abbruch im Zeitpunkt t wird aus dem Verkauf der Anlage ein positiver Resterlös in Höhe von R t erzielt (t D 1; 2; : : : ; T ). Dieser Resterlös wird mit zunehmender Einsatzdauer immer kleiner; es gilt also R1 > R2 > : : : > RT > 0. 4 Währende der Nutzungsdauer führt das Projekt zu laufenden Einzahlungsüberschüssen c t (t D 1; 2; : : : ; n), deren Höhe von der Wahl des späteren Abbruchtermins unabhängig ist. Es wird jedoch angenommen, dass diese Einzahlungsüberschüsse kontinuierlich kleiner werden, also c1 > c2 > : : : > cT > 0 gilt. Diese Annahme soll den Umstand reﬂektieren, dass der laufende Betrieb der Anlage mit zunehmendem Alter, etwa weil Energieverbrauch und Wartungsarbeiten steigen, immer teurer wird. Zur Symbolik wollen wir die Konvention treffen, den Kapitalwert, der sich für eine Laufzeit von t Jahren errechnet, einfach als K.t/ zu bezeichnen und die Veränderung des Kapitalwertes, die aus einer Verkürzung der Laufzeit von t Jahren auf einen kürzeren Zeitraum von t) zu vert 0 Jahren resultiert, durch K.t 0 deutlichen. Wir wollen diese Problemstellung zunächst anhand des Beispiels 5.4 verdeutlichen. 777 Beispiel 5.4 Für die Beschaffung einer maschinellen Anlage muss der Investor im Zeitpunkt t D 0 eine Anfangsauszahlung von 125 leisten. Die Anlage kann maximal 6 Jahre lang genutzt werden. Die operative Nutzung der Anlage führt in den Zeitpunkten t D 1 bis t D 6 zu den in . Tab. 5.4 aufgeführten Einzahlungsüberschüssen. Zudem wird im Zeitpunkt t D 6 aus dem Verkauf der gebrauchten Anlage noch ein Resterlös von 12 erzielt. Rechnet unser Investor mit einem Kalkulationszinssatz von 10 %, so ergibt sich unter Beach-

. Tabelle 5.4 Einzahlungsüberschüsse bei sechsjähriger Projektlaufzeit Jahr

1

2

3

4

5

6

Betrag

40

35

30

25

20

15

tung des Resterlöses ein Kapitalwert von: K D 125 C 40 1;11 C 35 1;12 C 30 1;13 C 25 1;14 C 20 1;15 C 27 1;16 D 7;563 : Die Durchführung des Projektes in der zunächst betrachteten sechsjährigen Variante wäre also vorteilhaft. Nun soll zusätzlich aber auch die Möglichkeit bestehen, das Projekt schon früher abzubrechen und dabei einen höheren Resterlös zu erzielen. Wir nehmen dazu an, dass das Projekt aufgrund exogener Faktoren (z. B. vertraglicher Bindungen) frühestens am Ende des dritten Jahres abgebrochen werden kann und die je nach Abbruchzeitpunkt noch erzielbaren Resterlöse die in . Tab. 5.5 angegebene Höhe haben. Der Investor hat somit die Wahl zwischen den vier einander ausschließenden Alternativen, das Projekt in drei-, vier-, fünf- oder sechsjähriger Variante durchzuführen. . Tab. 5.6 verdeutlicht die mit diesen vier Laufzeitvarianten verbundenen Zahlungsreihen. Man könnte nun rein schematisch die Kapitalwerte dieser vier Laufzeitvarianten berechnen und erhielte so folgende Ergebnisse: K .6/ D 7;563I

K .5/ D 7;845I

K.4/ D 7;225I

K .3/ D 6;405 :

Demnach wäre es am günstigsten, das Projekt bereits zum Ende des fünften Jahres zu beenden.

. Tabelle 5.5 Resterlöse bei unterschiedlichen Projektlaufzeiten Laufzeit

3

4

5

6

Resterlös

58

40

25

12

181 5.5 „Einfache“ Nutzungsdauerprobleme

. Tabelle 5.6 Zahlungsreihen bei unterschiedlichen Projektlaufzeiten t

um K .5

0

1

2

3

4

5

6

(6) 125

40

35

30

25

20

27

(5) 125

40

35

30

25

45

–

(4) 125

40

35

30

65

–

–

(3) 125

40

35

88

–

–

–

Zu diesem Ergebnis können wir jedoch auf eine einfachere Weise gelangen, indem wir auf das Konzept der Differenzzahlungsreihe zurückgreifen. Bilden wir nämlich die Differenzen zwischen den jeweils in ihrer Laufzeit „benachbarten“ Varianten, indem wir jeweils die längere Zahlungsreihe von der kürzeren abziehen, so erhalten wir die in . Tab. 5.7 angegebenen Differenzzahlungsreihen. Betrachten wir zunächst die Differenzzahlungsreihe (5)./.(6). Die beiden Zahlungsgrößen verdeutlichen in folgender Weise die Vor- und Nachteile, die mit einer Verkürzung der Projektlaufzeit von 6 auf 5 Jahre verbunden wären: 4 Der Vorteil einer solchen Laufzeitverkürzung besteht darin, dass bereits im Zeitpunkt t D 5 ein Resterlös von 25 vereinnahmt werden kann. 4 Dem steht als Nachteil gegenüber, dass die ansonsten im Zeitpunkt t D 6 erfolgenden Zahlungen von 15 C 12 („laufende“ Einzahlung plus Resterlös) entfallen. Die übrigen Zahlenpaare können ganz analog interpretiert werden. Durch eine Verkürzung der Projektlaufzeit von 6 auf 5 Jahre würde sich der Kapitalwert also

. Tabelle 5.7 Differenzzahlungsreihen bei unterschiedlichen Projektlaufzeiten t

3

4

5

(5) ./. (6)

25

(4) ./. (5) (3) ./. (4)

6

40 58

65

45

27

5

6/ D 25 1;15 27 1;16 D 0;282

verändern, was genau der Differenz zwischen den oben schon ermittelten Kapitalwerten K.5/ und K.6/ entspricht. Man kann sich die Rechnung allerdings noch etwas einfacher machen. Entscheidend dafür, dass die Verkürzung der Projektlaufzeit von 6 auf 5 Jahre lohnt, ist ja nur die Frage, ob K.5 6) größer als Null ist, also ob sich für die Differenz 25 1;15 27 1;16 ein positiver Wert ergibt. Das ist aber auch der Fall, wenn diese mit 1,16 multiplizierte Differenz positiv ist, wenn also 25 1;1 27 > 0 gilt. Es reicht somit aus, den in t D 5 entstehenden „Vorteil“ von 25 für eine Periode aufzuzinsen und diesen aufgezinsten Wert dem in t D 6 eintretenden „Nachteil“ von 27 gegenüberzustellen. Bezeichnet man die so modifizierten Differenzen einfach als , so werden mit .5

6/ D 25 1;1 27 D C0;5

.4

5/ D 40 1;1 45 D 1;0

.3

4/ D 58 1;1 65 D 1;2

die in der Sache schon bekannten Ergebnisse bestätigt: Es ist vorteilhaft, das Projekt nicht 6 Jahre lang durchzuführen, sondern es bereits am Ende des 5. Jahres abzubrechen; eine weitere Verkürzung lohnt nicht. 999

Anhand unseres Beispiels haben wir ein recht einfaches Verfahren kennengelernt, nach dem unter den dort unterstellten Rahmenbedingungen die optimale Nutzungsdauer eines Projektes bestimmt werden kann. Dazu reicht es aus, für alle möglichen Projektlaufzeiten t (t D 2; 3; : : : ; T ) jeweils den aus einer Laufzeitverkürzung um ein Jahr von t auf t 0 (mit t 0 D t 1)

182

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

endgültigen Entscheidung gelten dabei dieselben Einschränkungen, die wir schon unter 1. erläutert haben. t0 t D Rt 0 q .e t C R t / (5.9) 3. In der Folge der sukzessiv ermittelten Werte kommt es zu mehreren Vorzeichenmit (t D 2; 3; : : : ; T ; t 0 D t 1). wechseln. In diesem Fall kann die optimale Mit dieser Diﬀerenz wird der um eine PeriLaufzeit allein mit Hilfe der vereinfachten ode aufgezinste „Vorteil“ einer LaufzeitverkürDiﬀerenzbetrachtung nicht mehr bestimmt zung den damit zugleich verbundenen „Nachwerden; vielmehr müssen die noch nicht teilen“ gegenübergestellt. im ersten Schritt als suboptimal erkannten Laufzeitvarianten untereinander verglichen werden, etwa durch Ermittlung der >Merke jeweiligen Kapitalwerte. Folgende FortsetZur Vorbereitung einer Nutzungsdauzung unseres Beispiels 5.4 verdeutlicht aberentscheidung kann es hilfreich sein, schließend diese Möglichkeit. zunächst die mit einer Verkürzung der resultierenden Eﬀekt einfach an der in Relation (5.9) angegebenen Diﬀerenz zu messen.

5

Nutzungsdauer um jeweils ein Jahr verbundenen Zahlungsdifferenzen und die Kapitalwerte dieser Differenzzahlungsreihen zu ermitteln. Die weitere Vorgehensweise der Entscheidungsfindung hängt dann von der dabei auftretenden Konstellation ab.

Von der längsten Laufzeit ausgehend ermitteln wir also sukzessive für alle überhaupt in Frage kommenden Laufzeiten diese -Werte. Dabei können folgende Konstellationen auftreten: 1. Alle -Werte sind negativ. Dann ist die maximal mögliche Laufzeit T zugleich die optimale Laufzeit. Daraus folgt allerdings noch nicht, dass es überhaupt vorteilhaft ist, das Projekt durchzuführen. Dazu muss abschließend noch der Kapitalwert für das gesamte Projekt in der optimalen Laufzeitvariante berechnet werden – es sei denn, dass durch eine zuvor schon gefällte Rahmenentscheidung festgelegt worden ist, das Projekt auf jeden Fall durchzuführen. Aber auch ohne eine solche Vorgabe, vermindert das vorgestellte Verfahren den Rechenaufwand nicht unerheblich: statt T-mal einen Kapitalwert zu berechnen, ist das jetzt nur einmal erforderlich. 2. Von Œ.T 1/ T ausgehend ergeben sich zunächst einige positive -Werte, ab dem Übergang Œ.t 1/ t folgen nur noch negative Werte. Dann stellt t die optimale Laufzeit dar. Für die Ableitung der

777 Beispiel 5.4 (Fortsetzung) Wir nehmen nun an, dass der Resterlös bei Beendigung des Projektes zum Ende des 3. Jahres 60 (und nicht 58) beträgt; alle übrigen Daten bleiben unverändert. Für die Differenzwerte erhalten wir dann folgende Ergebnisse: .5

6/ D C25 1;1 27 D 0;5

.4

5/ D C40 1;1 45 D 1;0

.3

4/ D C60 1;1 65 D 1;0:

In dieser Situation wäre also – wie bislang auch – eine Verkürzung der Laufzeit von 6 auf 5 Jahre lohnend, eine weitere Verkürzung auf 4 Jahre hingegen nicht. Eine noch weitere Verkürzung auf 3 Jahre wäre dann aber doch wieder mit Vorteilen verbunden. Klar ist somit, dass die Laufzeiten von 4 Jahren und 6 Jahren auf jeden Fall suboptimal sind. Um zu einer endgültigen Entscheidung zu kommen, müssen wir aber abschließend die für die fünf- und die für die dreijährige Laufzeit maßgeblichen Zahlungsreihen noch genauer vergleichen – etwa, indem wir die beiden Kapitalwerte berechnen. So erhalten wir: K .5/ D 125 C 40 1;11 C 35 1;12 C 30 1;13 C 25 1;14 C 45 1;15 D 7;8455 K .3/ D 125 C 40 1;11 C 35 1;12 C 90 1;13 D 7;9076:

183 5.6 Einfluss von Steuern auf Investitionsentscheidungen

Demnach wäre es unter den jetzt unterstellten Annahmen letztendlich optimal, das Projekt in der dreijährigen Variante durchzuführen. Eine andere Möglichkeit zur Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer bestünde darin, die beiden mit dem Übergang von der 5jährigen zur 3-jährigen Variante verbundenen Differenzwerte .4 5/ und .3 4/ jeweils auf den Zeitpunkt t D 0 abzuzinsen und zu addieren. Mit 11;15 C11;14 D 0;0621 erhalten wir auf diese Weise einen Wert, der genau der Differenz der beiden zuvor schon explizit berechneten Kapitalwerte entspricht. Eine letzte Möglichkeit, bei der sogar auf jede konkrete Kennzahlenberechnung verzichtet werden kann, sei noch kurz angesprochen. Da in unserem Beispiel die Differenzwerte .4 5/ und .3 4/ bei unterschiedlichen Vorzeichen den gleichen Betrag aufweisen und sich der positive Differenzwert .3 4/ auf einen früheren Zeitpunkt bezieht als der negative Differenzwert .4 5/, kann sofort gefolgert werden, dass die dreijährige Variante die fünfjährige Variante im Sinne der in 7 Abschn. 2.3.2 b) vorgestellten allgemeinen zeitlichen Dominanz dominiert. 999

Sie werden sich zum Ende dieses Abschnitts vielleicht fragen, warum in der Überschrift von „einfachen“ Nutzungsdauerproblemen die Rede ist. Damit wird nicht auf die rechnerische „Einfachheit“ des dargestellten Lösungsverfahrens angespielt. Gemeint ist vielmehr, dass die betrachtete Fragestellung innerhalb der in der Investitionstheorie üblicherweise behandelten Nutzungsdauerprobleme einen besonders einfachen Fall darstellt. Zusätzliche Komplikationen treten nämlich dann auf, wenn man auch die Möglichkeit in die Betrachtung einbezieht, das Projekt (mit dieser oder jener Nutzungsdauer) mehrfach hintereinander durchzuführen. Das gerade vorgestellte Verfahren bedarf bei dieser erweiterten Problemstellung bestimmter Ergänzungen und Modiﬁkationen, wie wir sie schon bei der Behandlung der Investitionsketten kennengelernt haben. Im Rahmen dieses grundlegenden Lehrtextes wollen wir auf die Darstellung dieser nicht auf ein, zwei Sei-

5

ten abzuhandelnden Erweiterungsmöglichkeiten verzichten.

5.6

5.6.1

Einfluss von Steuern auf Investitionsentscheidungen Problemstellung

In 7 Kap. 4 haben wir bereits ein einfaches Grundkonzept zur systematischen Fundierung von Investitionsentscheidungen kennengelernt, das im Kern die beiden folgenden Schritte umfasst: 1. Die Gesamtheit der mit einem Investitionsprojekt verbundenen Aktivitäten und Konsequenzen wird durch die daraus resultierenden Zahlungsströme ausgedrückt. Diese werden jeweils über gewisse Zeitintervalle hinweg, i. d. R. Jahre, zu einer aggregierten Zahlungsgröße zusammengefasst. Investitionsprojekte erscheinen somit letztlich als Zahlungsreihe. 2. Diese Zahlungsreihen werden in einem zweiten Schritt mit Hilfe ﬁnanzmathematischer Methoden zu einer einzigen investitionstheoretischen Kennzahl, wie z. B. Kapitalwert, Endwert oder Annuität, zusammengefasst, um Aussagen über die Vorteilhaftigkeit des Projektes zu erhalten. Zur Ableitung solcher Kennzahlen ist es notwendig, einen Kalkulationszinssatz festzulegen, in dem sich die jeweiligen Finanzierungskosten niederschlagen sollen. Steuerliche Aspekte hatten wir dabei zunächst außer Acht gelassen. Dieses Manko wollen wir nun beheben und der Frage nachgehen, ob und ggf. in welcher Weise Investitionsentscheidungen durch die zusätzliche Beachtung steuerlicher Konsequenzen beeinﬂusst werden. Es würde allerdings den Rahmen dieses einführenden Lehrbuches bei weitem sprengen, wenn wir dazu unser tatsächlich existierendes Steuersystem in all seiner Komplexität betrachten würden. Stattdessen wollen wir uns auf die Betrachtung einer einfachen Modellsituation, das

184

5

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

sogenannte Standardmodell der Steueranalyse, beschränken. Das in diesem Standardmodell betrachtete Steuersystem sei durch folgende Prämissen gekennzeichnet: 1. Unternehmensgewinne unterliegen einer proportionalen Gewinnsteuer mit dem Steuersatz s. Bemessungsgrundlage ist der nach den einfachen buchhalterischen Regeln ermittelte Überschuss der in einem Jahr erzielten Erträge über die Aufwendungen. Etwaige Divergenzen zwischen dem handelsrechtlichen und dem steuerlichen Gewinn bleiben außer Acht. 2. Die Steuern sind jeweils unmittelbar am Ende des Jahres der Gewinnentstehung in voller Höhe zu zahlen. Von Steuervorauszahlungen und -nachzahlungen wird also abstrahiert. 3. Kreditzinsen sind als Aufwendungen in voller Höhe steuerlich absetzbar; Guthabenzinsen sind als Erträge in voller Höhe steuerpﬂichtig. Weiterhin unterstellen wir für das finanzielle Umfeld der jeweils betrachteten Investitionsprojekte folgende Gegebenheiten: 4. Der Investor erzielt unabhängig von dem betrachteten Projekt in jeder Periode auf jeden Fall Gewinne. Durch das Projekt kann die Höhe des Gewinns jedoch gesteigert oder gemindert werden. Die durch die betrachtete Investition bedingte Veränderung des Periodengewinns vor Steuern in der Periode t sei mit g t bezeichnet. g t > 0 kennzeichnet dabei eine aus der betrachteten Investition resultierende Erhöhung des insgesamt erzielten Gewinns, g t < 0 eine Gewinnminderung. Die durch das betrachtete Investitionsprojekt bewirkte Veränderung der am Ende einer Periode t zu zahlenden Steuern beträgt dann S t D s g t . Dabei ergibt sich für g t > 0 eine zusätzliche Steuerbelastung (S t > 0). Im Fall eines projektbezogenen Verlustbeitrages (g t < 0) ergibt sich hingegen eine Verminderung der ja insgesamt auf jeden Fall zu zahlenden Steuern (S t < 0).

5. Der Investor beﬁndet sich während der gesamten Laufzeit des Investitionsprojektes gleichbleibend in einem der schon bekannten Szenarien I oder II Dabei gehen wir zudem jetzt wieder davon aus, dass der entsprechende Anlagezinssatz bzw. Kreditzinssatz im Zeitablauf konstant bleibt. Schließlich gehen wir im Regelfall von folgender vereinfachenden Annahme über die Zusammenhänge zwischen den projektbezogenen Zahlungs- und Gewinngrößen aus: 6. Die mit dem Projekt verbundene Anfangsauszahlung wird in t D 0 aktiviert und über die Laufzeit des Projektes linear abgeschrieben. Ansonsten bestehen keine weiteren Divergenzen zwischen Zahlungs- und Gewinngrößen. Diese Annahmen wirken auf den ersten Blick recht einschränkend. Sie dienen jedoch in erster Linie dazu, das Grundkonzept zur Einbeziehung steuerlicher Aspekte in Investitionsentscheidungen möglichst einfach und klar hervortreten zu lassen. In der praktischen Anwendung ist es ohne weiteres möglich, die Prämissen des Standardmodells durch lebensnähere Annahmen zu ersetzen; die erforderlichen Berechnungen werden dann nur komplizierter und unübersichtlicher. Zudem werden wir im Folgenden zur beispielhaften Verdeutlichung an der einen oder anderen Stelle auch auf andere Annahmekonstellationen eingehen. Um Ihnen einen systematischen Überblick darüber zu verschaﬀen, wie sich steuerliche Gegebenheiten auf die Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten auswirken, werden wir wie folgt vorgehen: In 7 Abschn. 5.6.2 beschäftigen wir uns zunächst mit der Herleitung der „nach Steuern“ maßgeblichen Zahlungsreihe. Anschließend denken wir in 7 Abschn. 5.6.3 darüber nach, welche Konsequenzen sich aus der Besteuerung für die Höhe des anzusetzenden Kalkulationszinssatzes ergeben. Nach diesen Vorarbeiten können wir uns dann in 7 Abschn. 5.6.4 mit der Frage beschäftigen, welchen Einﬂuss die entsprechenden Mo-

185 5.6 Einfluss von Steuern auf Investitionsentscheidungen

diﬁkationen auf die Beurteilung von Investitionsprojekten haben; dabei werden wir uns überwiegend auf die Betrachtung von Kapitalwert und Endwert als Beurteilungsmaßstab beschränken. Mit einigen weiterführenden Überlegungen schließen wir unsere Überlegungen zur Bedeutung steuerlicher Gegebenheiten in 7 Abschn. 5.6.5 ab.

5.6.2

Zahlungsreihe „nach Steuern“

Bezeichnet e t (t D 0; 1; : : : ; T ) in der gewohnten Weise die Zahlungsreihe des Investitionsprojektes vor Steuern, so sind die e t im Steuerfall um die in der entsprechenden Periode erfolgenden Steuerzahlungen S t zu korrigieren. Dabei ergeben sich die Steuerzahlungen den hier unterstellten vereinfachenden Annahmen entsprechend einfach als konstanter Prozentsatz (s) des projektbezogenen Gewinnbeitrags gt . Bezeichnet ein positives S t eine zusätzliche Steuerzahlung in t und ein negatives S t dementsprechend eine Steuereinsparung, so ergibt sich allgemein die modiﬁzierte Zahlungsreihe nach Steuern aus Formel (5.10). e0 t D et St D et s gt .t D 0; 1; : : : ; T /

(5.10)

Zur Umsetzung dieses Konzeptes ist es also notwendig, die ursprüngliche Zahlungsrechnung um eine Nebenrechnung zu ergänzen, in der die ertrags- und aufwandsmäßigen Konsequenzen des betrachteten Investitionsprojektes erfasst werden. Nichtsdestoweniger bleibt die Investitionsrechnung im Endeﬀekt jedoch eine reine Zahlungsrechnung; denn die Betrachtung von Ertrags- und Aufwandsgrößen dient letztlich nur dazu, die daraus resultierenden Steuerzahlungen zu ermitteln. Beispiel 5.5, in dem wir der einschränkenden Annahme 6. zunächst noch nicht folgen, verdeutlicht den angesprochenen Zusammenhang.

>Merke Zur Berücksichtigung von Steuern ist die Zahlungsreihe des Investitionsprojektes um alle Steuerzahlungen zu ergänzen, die durch die Aktivitäten ausgelöst werden, die zur Durchführung des Projektes unmittelbar ergriffen werden.

>Merke Zur Berechnung der durch ein Investitionsprojekt unmittelbar ausgelösten Steuerzahlungen ist eine Nebenrechnung auf der Basis von Erträgen und Aufwendungen erforderlich, da die Besteuerung an solchen Erfolgsgrößen ansetzt. Dabei handelt es sich aber nur um eine Nebenrechnung zur Ermittlung der Steuerzahlungen. Die Investitionsrechnung selbst bleibt strikt auf die Zahlungsebene beschränkt.

777 Beispiel 5.5 Wir betrachten zunächst noch einmal das aus 7 Abschn. 4.1.1 bekannte Projekt der MONALISA-GMBH. Wie Sie sich erinnern, hatten wir recht ausführlich sowohl die Zahlungsreihe als auch die Gewinnreihe für dieses Projekt hergeleitet und dabei die in den Zeilen 2 und 3 der . Tab. 5.8 aufgeführten Werte ermittelt. Wir unterstellen weiterhin, dass der proportionale Steuersatz s D 30 % beträgt. Die vierte Zeile zeigt dann die gem. Annahmen 1. und 2. wegen des Projektes zusätzlich zu zahlenden bzw. eingesparten Steuern. Beachten Sie dabei, dass eine Steuerbelastung hier durch ein positives Vorzeichen verdeutlicht wird, eine Steuereinsparung durch ein negatives Vorzeichen. Die letzte Zeile schließlich zeigt die für die weiteren Überlegungen maßgebliche Zahlungsreihe „nach Steuern“. Wie Sie auch schon wissen, stimmen die in der letzten Spalte ausgewiesenen „einfachen“ Summen aller Zahlungs- und Gewinngrößen überein. Dementsprechend beläuft sich auch die Summe aller Steuerzahlungen bei dem hier unterstellten Steuersatz auf 30 % der Gewinnund Zahlungssumme. 999

5

186

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

. Tabelle 5.8 Zahlungsreihe „nach Steuern“ im Beispiel der MONA-LISA-GMBH

5

t

0

1

2

et

400

70

163

215

63

111

gt

0

65

57

4

7

111

S t D 0;3 g t

0

19,5

17,1

1,2

2,1

33,3

400

50,5

145,9

216,2

65,1

77,7

e 0t

D et St

Das zuletzt betrachtete Beispiel war durch recht komplexe Verwerfungen zwischen Zahlungsund Gewinngrößen gekennzeichnet. Für die weiteren Untersuchungen wollen wir ab jetzt stattdessen der vereinfachenden Annahme 6. folgen. Zur formalen Darstellung bezeichnen wir die in einer Periode t erfolgenden Abschreibungen als ˛ t (t D 1; 2; : : : ; T ); analog soll ˛0 D e0 die im Zeitpunkt t D 0 zunächst erfolgende Aktivierung der Investitionssumme verdeutlichen. Beachten Sie beim Umgang mit diesen Symbolen, dass ein positiver ˛-Wert eine nicht zahlungswirksame Aufwendung verdeutlicht, die den Gewinn mindert, nicht jedoch den Zahlungssaldo. Der negative ˛0 Wert kennzeichnet demgegenüber eine nicht aufwandswirksame Auszahlung, die zwar den Zahlungssaldo mindert, jedoch nicht auf den Gewinn durchschlägt. Allgemein kann somit der Gewinn jedes Jahres wie in Formel (5.11) geschrieben werden. gt D et ˛t .t D 0; 1; : : : ; T /

4

(5.11)

(5.12)

Der erste Term in dem endgültig gefundenen Ausdruck verdeutlicht den Betrag, der nach Abzug der Steuern für den Fall verbleiben wür-

Summe

de, dass der projektbezogene Einzahlungsüberschuss in vollem Umfang der Besteuerung unterliegen würde. Der zweite Term verdeutlicht dann die als Folge der Abschreibung (Aktivierung) eintretende Steuereinsparung (Steuermehrbelastung). Da die Summe aller Abschreibungen genau dem ursprünglichen Aktivierungsbetrag entspricht, gilt Relation (5.13). T X

˛t D 0

(5.13)

t D0

Die zwischen den e t und den g t bestehenden Divergenzen ˛ t heben sich also über die gesamte Projektdauer hinweg gegenseitig auf. Daraus folgt aber weiter, dass auch Relation (5.14) gilt. T X

gt D

t D0

T X

.e t ˛ t /

t D0

D

T X

et

t D0

Fasst man die Relationen (5.10) und (5.11) zusammen, so kann für die Zahlungsreihe „nach Steuern“ auch Relation (5.12) geschrieben werden. e 0 t D e t s .e t ˛ t / D e t .1 s/ C s ˛ t .t D 0; 1; : : : ; T /

3

T X t D0

˛t D

T X

(5.14)

et

t D0

Der bislang nur beispielhaft gefundene Zusammenhang wird also allgemein bestätigt: Über die gesamte Projektlaufzeit gerechnet stimmt die Summe aller projektbezogenen Gewinnbeiträge mit der Summe der projektbezogenen Zahlungssalden überein (vgl. 7 Abschn. 4.2.3.2). Aus Formel (5.12) folgt weiter, dass für die über die gesamte Projektlaufzeit ermittelte Summe aller Zahlungen nach Steuern Relation (5.15) gilt. T X t D0

e 0 t D .1 s/

T X t D0

et C s

T X t D0

˛ t (5.15)

187 5.6 Einfluss von Steuern auf Investitionsentscheidungen

Stattdessen kann aber unter Berücksichtigung der Formeln (5.13) und (5.14) auch Relation (5.16) geschrieben werden.

5.6.3

5

Modifikation des Kalkulationszinssatzes

Auf den ersten Blick könnte es nun naheliegend erscheinen, für die gemäß Formel (5.10) e 0 t D .1 s/ e t D .1 s/ g t bzw. (5.12) bestimmte Zahlungsreihe „nach t D0 t D0 t D0 Steuern“ in der gewohnten Weise den Kapi(5.16) talwert zu berechnen, und zwar auf der Basis des Kalkulationszinssatzes, der auch ohne BeWie wir das schon in Beispiel 5.5 gesehen ha- rücksichtigung steuerlicher Eﬀekte maßgeblich ben, entspricht die Summe der nach Steuern gewesen wäre. Diese Vorgehensweise würde jeverbleibenden Zahlungen also ganz allgemein doch die ökonomische Funktion des Kalkulader um den entsprechenden Steuersatz gekürz- tionszinssatzes verkennen. Dessen Aufgabe ist ten Summe aller Zahlungen vor Steuern und es nämlich, die dem Investitionsprojekt zuzudamit zugleich der um den Steuersatz gekürz- rechnenden Finanzierungskosten zu erfassen. ten Summe aller Gewinne. Dementsprechend bestimmt sich der Kalkulationszinssatz im Nicht-Steuerfall >Merke 4 bei Finanzierung aus frei verfügbaren liquiDie Summe aller durch das Projekt unden Mitteln des Unternehmens nach der mittelbar ausgelösten Steuerzahlungen Höhe der Zinserträge, die bei alternativer entspricht einfach der mit dem Steuersatz Anlage der eingesetzten Mittel erzielt wormultiplizierten Summe aller Projektzahden wären (Opportunitätskosten) oder lungen, die wiederum identisch ist mit der 4 bei Kreditﬁnanzierung nach der Höhe der Summe aller Projektgewinne. aufzuwendenden Kreditzinsen. T X

T X

T X

?Übungsaufgabe 5.4 Gehen Sie von einem Projekt mit der Zahlungsreihe (100; 35; 35; 35; 15) aus und ermitteln Sie unter den Annahmen unseres Standardmodells für einen Steuersatz von 30 % die Zahlungsreihe „nach Steuern“, indem Sie die folgende Tabelle um geeignete Eintragungen ergänzen. t

0

et

100 35

˛t g t D e t ˛ t S t D 0;3 g t e 0t D et S t

1

2

3

4

35

35

15

Unterliegen nun nicht nur die Ertragsüberschüsse des Investitionsprojektes selbst der Besteuerung, sondern löst auch die ergänzende zwischenzeitliche Anlage liquider Mittel oder die Aufnahme von Krediten Steuerwirkungen aus, so sind diese Eﬀekte durch Modiﬁkation des Kalkulationszinssatzes zu erfassen. Im Steuerfall müssen wir dazu entsprechend unserer Annahme 3. im Einzelnen folgendes berücksichtigen: 4 Zinserträge unterliegen voll der Besteuerung. Bei einem Bruttozinssatz von r 0 sind also s r 0 an Steuern zu zahlen. Mithin beträgt der nach Steuern verbleibende Nettozinssatz r 0 D r 0 s r 0 D r 0 .1 s/. 4 Auf der anderen Seite mindern belastete Kreditzinsen den Gewinn. Bei einem Bruttozinssatz von r 0 wird also eine Steuereinsparung von s r 0 erreicht, so dass für die Zinsbelastung nach Steuern ebenfalls r 0 D r 0 .1 s/ gilt.

188

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

Ist Annahme 3. unseres Standardmodells erfüllt, so gilt für den im Steuerfall maßgeblichen Nettozinssatz r 0 damit ganz allgemein die Relation (5.17). r 0 D r 0 .1 s/

5

(5.17)

Entgegen der auf den ersten Blick möglicherweise als naheliegend erscheinenden Vermutung, muss der Kalkulationszinssatz beim Übergang zum Steuerfall also nicht erhöht, sondern vermindert werden. Auf den zweiten Blick ist das auch ganz plausibel; denn sowohl der bei alternativer Anlage erzielbare Zins als auch die aus der Kreditaufnahme resultierende Zinsbelastung fallen wegen der steuerlichen Belastung bzw. der steuerlichen Absetzbarkeit im Endeﬀekt umso geringer aus, je höher der Ertragssteuersatz ist. Beispiel 5.6 zeigt die rechnerische Ermittlung des Nettozinssatzes r 0 . >Merke Zur Berücksichtigung von Steuerwirkungen, die mittelbar durch Zinseinzahlungen oder Zinsauszahlungen der wegen der Investition ergriffenen Anpassungsmaßnahmen im finanziellen Umfeld ausgelöst werden, ist der Kalkulationszinssatz prozentual um den Steuersatz zu reduzieren.

777 Beispiel 5.6 Die Unternehmen A und B können beide ein bestimmtes Investitionsprojekt durchführen. Für Unternehmen A stehen dazu in hinreichendem Umfang frei verfügbare Finanzierungsmittel bereit, die alternativ zu 4 % angelegt werden könnten. Bei Unternehmen B hingegen schlagen sich alle Zahlungsbewegungen auf dem Kontokorrentkonto nieder, das mit 9 % p. a. zu verzinsen ist. Bei einem Ertragssteuersatz von 30 % gilt dann für die von A und B anzusetzenden Kalkulationszinssätze (als Prozentsatz ausgedrückt): AW

Annahme 3. unseres Standardmodells entsprechend haben wir bislang unterstellt, dass für die steuerliche Behandlung von Kredit- bzw. Guthabenzinsen der gleiche einheitliche Steuersatz s maßgeblich ist, der auch für die allgemeine Gewinnbesteuerung gilt. Diese Annahme ist jedoch keineswegs zwingend. Vielmehr lassen sich auch andere Besteuerungsvarianten problemlos in den hier vorgestellten Rechenansatz integrieren. Übungsaufgabe 5.5 gibt Ihnen Gelegenheit, sich diesen Sachverhalt selbst vor Augen zu führen. ?Übungsaufgabe 5.5 Was würde sich an den im Beispiel 5.6 für die Unternehmen A und B ermittelten Kalkulationszinssätzen bei sonst gleichen Gegebenheiten ändern, wenn das Steuersystem folgende Eigenschaften aufweisen würde? 4 Ertragszinsen werden zusätzlich mit einem „Solidaritätszuschlag“ in Höhe von 20 % der ansonsten üblichen Gewinnsteuer belastet. 4 Schuldzinsen können nur jeweils zur Hälfte steuerlich abgesetzt werden.

5.6.4

Kapitalwert und Endwert „nach Steuern“

5.6.4.1

Nachdem wir uns in 7 Abschn. 5.6.2 und 7 Abschn. 5.6.3 die notwendigen „Zutaten“ bereitgelegt haben, stellt die Ermittlung des im Steuerfall maßgeblichen Kapitalwertes K 0 kein Problem mehr dar; die für den Kapitalwert ohne Berücksichtigung von Steuern maßgebliche Formel (4.6) kann einfach ganz analog angewendet werden, wobei die gemäß Formel (5.10) bzw. Formel (5.12) und Formel (5.17) modiﬁzierten Zahlungs- und Zinsgrößen anzusetzen sind. Also gilt Relation (5.18).

r 0 D 4 .1 0;3/ D 4 0;7 D 2;8 %

BW r 0 D 9 .1 0;3/ D 9 0;7 D 6;3 %: 999

Ermittlung und Interpretation

K0 D

T X t D0

t e0 t 1 C r 0

(5.18)

189 5.6 Einfluss von Steuern auf Investitionsentscheidungen

5

Für den Endwert nach Steuern EW 0 gilt ganz Sie sehen, dass die Berechnung von K 0 und EW 0 analog zu Formel (4.5) Relation (5.19). keine besonderen Probleme aufwirft, wenn die modiﬁzierte Zahlungsreihe und der nun maßT X T t T gebliche Kalkulationszinssatz erst einmal bestimmt sind. Auch die inhaltliche Interpretation e0 t 1 C r 0 D K0 1 C r 0 EW 0 D der so gefundenen Werte ändert sich gegenüber t D0 (5.19) den in 7 Abschn. 4.2.2.1 zusammengetragenen Erkenntnissen nicht grundsätzlich, erhält allerFür die folgenden Untersuchungen wollen wir dings einige zusätzliche Nuancen. Dazu unterzudem die Konvention treﬀen, zur besseren suchen wir die in Beispiel 5.7 ermittelten ErUnterscheidbarkeit für die nach den Ausgangs- gebnisse etwas näher und unterscheiden dabei formeln (4.5) und (4.6) ermittelten Kennzahlen wieder nach den beiden schon aus 7 Kap. 4 bejetzt die Symbole K 0 bzw. EW 0 zu verwenden. kannten Szenarien. Beispiel 5.7 zeigt zunächst die rechnerische Ermittlung von Kapitalwert und Endwert „vor“ >Merke Der Kapitalwert bzw. Endwert mit Berückund „nach Steuern“. 777 Beispiel 5.7

sichtigung von Steuern ist auf der Basis der Zahlungsreihe nach Steuern und des Kalkulationszinssatzes nach Steuern zu ermitteln. Die Interpretation der Kennzahlen verändert sich durch die Berücksichtigung der Steuern nicht grundsätzlich.

Wir betrachten wieder das Projekt (100; 35; 35; 35; 15) und nehmen nach wie vor an, dass ein Steuersatz von s D 30 % gilt. Aus der Lösung zu Übungsaufgabe 5.4 wissen Sie schon, dass für die Zahlungsreihe „nach Steuern“ (100; 32; 32; 32; 18) gilt. Weiter nehmen wir an, dass der 1 Szenario I Wird das Projekt aus frei verfügbaren Mitteln (vor Steuern) maßgebliche Kalkulationszinssatz ﬁnanziert, so gilt im Fall ohne Steuern für das 0 r D 5 % beträgt; für den um Steuereffekte bei Investitionsverzicht bzw. bei Projektdurchbereinigten Kalkulationszinssatz gilt somit gem. führung erzielbare Endvermögen: 0 Formel (5.17) r D 5 .1 0;3/ D 3;5 %. Auf der Basis dieser Daten ergeben sich für EV 0U D 100 1;054 D 121;55 die beiden Kapitalwerte sowie die entsprechen EV P0 D 35 1;053 C 1;052 C 1;05 C 15 den Endwerte: K 0 D 100 C 35 RBF .3 J:I 5 %/ C 15 1;054 D 7;65 K 0 D 100 C 32 RBF .3 J:I 3;5 %/ C 18 1;0354 D 5;34 und EW 0 D C7;65 1;054 D 9;30 EW 0 D C5;34 1;0354 D 6;13: Die Einbeziehung von Steuern führt im vorliegenden Fall also (erwartungsgemäß?) zu einem Rückgang der beiden Kennzahlenwerte; das Projekt bleibt aber auch „nach Steuern“ vorteilhaft. 999

D 130;85: Die Diﬀerenz .EV P0 EV 0U / D .130;85 121;55/ D 9;30 entspricht dabei bekanntlich dem Endwert. Im Fall mit Steuern bringt die verzinsliche Anlage nach Abzug der Steuern per Saldo nur noch eine Verzinsung von 3,5 %. Für die beiden EV-Werte gilt mithin: EV 0U D 100 1;0354 D 114;75 EV P0 D 32 1;0353 C 1;0352 C 1;035 C 18 D 120;88: Die Diﬀerenz zwischen diesen beiden Werten (120;88 114;75) stimmt wiederum mit dem

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

190

. Tabelle 5.9 Kreditkonto „nach Steuern“ Jahr

5

Jahresanfang Jahresende Kontostand

Zinsbelastung

SteuergutProjektschr. wg. Zins zahlung

Steuerzahlung

Kontostand

1

100,00

5,00

1,50

35,00

3,00

71,50

2

71,50

3,58

1,07

35,00

3,00

42,00

3

42,00

2,10

0,63

35,00

3,00

11,47

4

11,47

0,57

0,17

15,00

3,00

6,13

zuvor schon ermittelten Endwert von EW 0 D Das Abrechnungskonto hat dann das in . Tab. 5.9 dargestellte Aussehen. 6;13 überein. In Szenario II führt das Projekt unter Berücksichtigung aller steuerlichen Einﬂüsse also 1 Szenario II Wird das Projekt ausschließlich zu Lasten ei- dazu, dass die Kreditbelastung am Ende der nes (zu 5 % verzinslichen) Kredites ﬁnanziert, Projektlaufzeit um 6,13 niedriger ausfällt, als so misst der Endwert im Fall ohne Steuern das bei Verzicht auf das Projekt der Fall wäbekanntlich unmittelbar den aus der Projekt- re, was wiederum genau dem schon bekannten durchführung resultierenden Vermögensvor- Endwert entspricht. Man kann zeigen, dass die gerade an eiteil, der sich hier darin manifestiert, dass das Kreditkonto am Ende der Projektlaufzeit eine nem Beispiel verdeutlichten Zusammenhänge um EW 0 D 9;30 niedrigere Belastung aufweist unter den Annahmen unseres Standardmodells ganz allgemeine Gültigkeit besitzen. Das heißt, als bei Verzicht auf das Projekt. Um zu überprüfen, ob die Verhältnisse auch dass der entsprechend der nun maßgeblichen im Fall mit Steuern ähnlich liegen, greifen wir Formel (5.19) ermittelte Endwert EW 0 für beinoch einmal auf die schon bekannte Kontodar- de Szenarien in gleicher Weise ein verlässlicher stellung zurück und nehmen jetzt aus darstel- Indikator für den durch das Projekt im Zeitlungstechnischen Gründen zusätzlich Folgen- punkt t D T bewirkten Vermögensvorteil gedes an: genüber der Unterlassensalternative darstellt. 4 Die Kreditzinsen von 5 % werden dem Kon- Dementsprechend verdeutlicht K 0 den auf den to jeweils am Jahresende in voller Höhe Startzeitpunkt t D 0 bezogenen Wert dieses belastet; zugleich erfolgt jedoch eine „Steu- Vermögensvorteiles. Daraus folgt weiter, dass wir in projektindiergutschrift“ in Höhe von 30 % der Zinsbeviduellen Entscheidungen die für die Situation lastung. 4 Jeweils am Jahresende werden dem Konto ohne Steuern abgeleiteten Vorteilhaftigkeitsbezunächst die aus dem Projekt resultieren- dingungen EW > 0 bzw. K > 0 ganz analog den Rückzahlungen e t in Höhe von (35; 35; auf den Fall mit Steuern übertragen können. 35; 15) in voller Höhe gutgeschrieben; zu- Und auch für Auswahlentscheidungen behalgleich werden die schon aus der Lösung zu ten die in 7 Abschn. 4.2.2.2 zusammengetrageÜbungsaufgabe 5.4 bekannten projektindu- nen Erkenntnisse in analoger Anwendung auf zierten Steuerzahlungen S t in Höhe von (3; K 0 bzw. EW 0 ihre Gültigkeit. 3; 3; 3) belastet bzw. in der letzten Periode gutgeschrieben.

5

191 5.6 Einfluss von Steuern auf Investitionsentscheidungen

5.6.4.2

Einfluss von Steuern auf die Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten

Wir wollen nun etwas näher auf die Frage eingehen, in welcher Beziehung die Kennzahlen K 0 und K 0 zueinanderstehen. Dabei beschränken wir uns jetzt auf projektindividuelle Entscheidungen und fragen uns als erstes, ob diese beiden Kennzahlen für ein vorgegebenes Investitionsprojekt möglicherweise stets das gleiche Vorzeichen haben, so wie das Beispiel 5.7 möglicherweise nahelegen könnte. Sollte diese Vermutung zutreﬀen, könnten die in 7 Abschn. 5.6.2 und 7 Abschn. 5.6.3 beschriebenen Modiﬁkationen (zumindest für die Beurteilung der projektindividuellen Vorteilhaftigkeit) unterbleiben. Stattdessen könnte – trotz Steuern – nach wie vor einfach auf der Basis von K entschieden werden. Um die Probe aufs Exempel zu machen, wollen wir unser Beispiel 5.7 etwas weiterführen.

K 0 D 100 C 35 RBF .3 J:I 8;5 %/ C 15 1;0854 D 0;21 0

K D 100 C 32 RBF .3 J:I 5;95 %/ C 18 1;05954 D 0;10:

999

Das Beispiel zeigt, dass unsere Hoﬀnung trügerisch war: Die beiden Kennzahlen K 0 und K 0 können durchaus das gleiche Vorzeichen aufweisen, müssen das aber nicht zwangsläuﬁg. Unser Beispiel könnte allerdings zumindest die Vermutung nahe legen, dass sich die an Kapital- oder Endwert gemessene Vorteilhaftigkeit eines Projektes durch die Einbeziehung von Steuern generell verschlechtert. Sollte das zutreﬀen, könnten Projekte, für dessen „einfachen“ Kapitalwert K 0 < 0 gilt, sofort als deﬁnitiv unvorteilhaft verworfen werden, ohne den Einﬂuss von Steuern weiter zu untersuchen. Beispiel 5.8 zeigt Ihnen, dass aber auch diese Vermutung nicht zutrifft. 777 Beispiel 5.8

777 Beispiel 5.7 (Fortsetzung) Wir betrachten nach wie vor das Projekt, dessen Zahlungsreihe nach Steuern bei s D 30 % ja folgendes Aussehen hat (100; 32; 32; 32; 18). Für einen Kalkulationszinssatz von 5 % vor Steuern hatten wir ja schon die Ergebnisse K 0 .5 %/ D 7;65 und K 0 .3;5 %/ D 5;34 ermittelt. Abweichend von den bisherigen Berechnungen nehmen wir nun aber an, dass für den Kalkulationszinssatz vor Steuern r 0 D 8;5 % gilt und somit r 0 D 8;5 .1 0;3/ D 5;95 %. Berechnen wir nun wieder die Kapitalwerte vor und nach Steuern so ergibt sich:

Wir betrachten das Projekt (100; 10; 10; 10; 100). Bleiben wir nach wie vor bei einem Steuersatz von 30 %, so hat die Zahlungsreihe „nach Steuern“ das aus der letzten Zeile der .Tab. 5.10 erkennbare Aussehen. Wie Sie sehen, führt dieses Projekt in den ersten drei Perioden zu Verlusten. Die von dem Unternehmen insgesamt zu tragende Steuerlast wird dementsprechend gesenkt, so dass für diese drei Perioden e 0t > e t gilt. Beläuft sich der Kalkulationszinssatz vor Steuern etwa auf r 0 D 10 %, so gilt für den Zinssatz nach Steuern r 0 D 10 .1 0;3/ D 7;0 %.

. Tabelle 5.10 Zahlungsreihe „nach Steuern“ (Beispiel 5.8) t

0

et

100

10

10

10

100

˛t

100

25

25

25

25

gt D et ˛t

0

15

15

15

75

S t D 0;3 g t

0

4,5

4,5

4,5

22,5

e 0t D e t S t

100

14,5

14,5

14,5

77,5

1

2

3

4

192

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

Für die beiden Kapitalwerte erhalten wir dann K 0 D 100 C 10 RBF .3 J:I 10 %/ C 100 1;14 D 6;83 K 0 D 100 C 14;5 RBF .3 J:I 7 %/ C 77;5 1;074 D 2;82:

5

Unter den unterstellten Finanzierungsbedingungen erweist sich das Projekt also so oder so als unvorteilhaft. Ein wenig irritieren könnte Sie allerdings allenfalls der Umstand, dass der Kapitalwert als Folge der Berücksichtigung von Steuern „weniger negativ“ geworden ist. Noch „erstaunlicher“ wird die Angelegenheit allerdings, wenn wir alternativ davon ausgehen, dass der Bruttozinssatz r 0 D 8 % beträgt, der Zinssatz nach Steuern also r 0 D 8 .1 0;3/ D 5;6 %. Für den den Kapitalwert vor Steuern erhalten wir dann mit K 0 D 100 C 10 RBF .3 J:I 8 %/ C 100 1;084

stellen Sie fest, dass beim Übergang vom NichtSteuer- zum Steuerfall praktisch „alles möglich“ ist. Vernachlässigt man die Grenzfälle, dass einer der Kapitalwerte K 0 oder K 0 gerade den Wert 0 annimmt, so sind grundsätzlich die folgenden vier Konstellationen möglich: 1. Es gilt K 0 > 0 und auch K 0 > 0. 2. Es gilt umgekehrt K 0 < 0 und auch K 0 < 0. 3. Es gilt K 0 > 0, jedoch K 0 < 0. 4. Es gilt gerade umgekehrt K 0 < 0, jedoch K 0 > 0. >Merke Zwischen den mit und ohne Steuern berechneten Kapitalwerten besteht keine feste Beziehung. Abhängig von den Daten des Einzelfalls sind alle theoretisch denkbaren Größenrelationen und auch Vorzeichenwechsel möglich.

Betrachtet man die zwischen K 0 und K 0 möglicherweise auftretenden Konstellationen etwas näher, so dürften die Fälle 1. bis 3. vielen Beimmer noch einen negativen Wert. Bliebe der trachtern intuitiv plausibel erscheinen: Es gibt Zinssatz bei 8 %, würde der Kapitalwert nach eben „gute“ Projekte, die auch trotz steuerliSteuern den Wert cher Belastungen „gut“ bleiben (Konstellation 1.); ebenso gibt es Projekte die – mit oder ohK 0 D 100 C 14;5 RBF .3 J:I 8 %/ ne Steuern – halt „schlecht“ sind (Konstellation 2.). Weiterhin kann man sich auch noch recht C 77;5 1;084 D 5;67 gut vorstellen, dass ein ohne Steuern durchaus lohnendes Projekt durch die zusätzlichen steuannehmen, also ebenfalls negativ sein. Auf der erlichen Belastungen „kaputt“ gemacht wird Basis des nun aber maßgeblichen Zinssatzes von (Konstellation 3.). 5,6 % ergibt sich demgegenüber Die schon in Beispiel 5.8 verdeutlichte 0 Möglichkeit, dass ein ohne Steuern unvorteilK D 100 C 14;5 RBF .3 J:I 5;6 %/ haftes Projekt gerade durch die Einbeziehung 4 C 77;5 1;056 D 1;37 : von Steuern vorteilhaft wird (Konstellation 4.), mag hingegen auf den ersten Blick verblüﬀen. Trotz eines negativen Kapitalwertes „vor SteuDieser Fall wird dementsprechend in der einern“ weist der Kapitalwert „nach Steuern“ jetzt schlägigen Literatur häuﬁg als Steuerparadoalso ein positives Vorzeichen auf, was Ihrem inxon bezeichnet. Im nächsten Abschnitt wollen tuitiven Plausibilitätsempfinden vermutlich wiwir uns die Ursachen, die für die Unterschiedersprechen dürfte. 999 de zwischen K 0 und K 0 maßgeblich sind, etwas genauer ansehen. Dabei werden wir insbesonWenn Sie die in unseren Beispielen ermittelten dere auch besser verstehen, wie es zu dem SteuErgebnisse noch einmal Revue passieren lassen, erparadoxon kommen kann. D 0;73

5

193 5.6 Einfluss von Steuern auf Investitionsentscheidungen

>Merke Die Konstellation, in der der Kapitalwert ohne Steuern negativ, der Kapitalwert mit Steuern hingegen positiv ist, bezeichnet man als Steuerparadoxon, weil diese Konstellation (zumindest auf den ersten Blick) kontraintuitiv erscheint.

5.6.4.3

Wirkungszusammenhänge

a) Kapitalwertanalyse: Volumen- und Zinseffekt Um zu analysieren, wovon es abhängt, welche der vier gerade betrachteten Konstellationen eintritt, insbesondere wann es zu dem Steuerparadoxon kommt, stehen im Wesentlichen zwei Wege oﬀen. Ein Weg führt über die Betrachtung der Kapitalwertfunktionen K 0 .r/ und K 0 .r/. . Abb. 5.3 verdeutlicht den Verlauf dieser beiden Funktionen für unser aus Beispiel 5.8 bekanntes Projekt mit den zugrundeliegenden Zahlungsreihen „vor Steuern“ von (100; 10; 10; 10; 100) sowie „nach Steuern“ von (100; 14,5; 14,5; 14,5; 77,5). Diese beiden Kapitalwertfunktionen ordnen den beiden Zahlungsreihen für jeden beliebigen Zinssatz r einen Wert für den jeweiligen Kapitalwert zu, wobei zunächst noch oﬀenbleibt, welcher Zinssatz für die endgültige Beurteilung der Vorteilhaftigkeit maßgeblich ist.

Der Verlauf dieser beiden Kurven entspricht genau dem bereits aus 7 Abschn. 4.2.1.1 bekannten Verlauf. Der Ordinatenschnittpunkt der beiden Kurven verdeutlicht den jeweiligen Nominalwert, d. h. die einfache Summe aller maßgeblichen Zahlungen. Im Fall ohne Steuern beträgt diese Summe 30; bei einem Steuersatz von 30 % verbleiben davon nach Steuern nur 21, was genau dem Ordinatenschnittpunkt der Kurve K 0 entspricht. Der vertikale Abstand zwischen den beiden Kurven entspricht an dieser Stelle somit der „einfachen“ Summe aller Steuerzahlungen. Da beide Zahlungsreihen dem Typ der Normalinvestition entsprechen, verlaufen beide Kurven dann mit zunehmenden r zudem innerhalb des ökonomisch relevanten Bereiches monoton fallend. Dabei misst der vertikale Abstand jetzt den Barwert aller Steuerzahlungen, wobei dieser Abstand mit steigendem Zinssatz immer kleiner wird, die Kurven sich innerhalb des ersten Quadranten jedoch nicht schneiden. Wir wollen die folgenden Untersuchungen auf diesen „Normalfall“ beschränken. Die mit der Einbeziehung von Steuern in die Betrachtung verbundenen Auswirkungen lassen sich im Gefüge dieser beiden Kapitalwertfunktionen durch zwei einander entgegengesetzte Eﬀekte verdeutlichten:

K 40 30 20 10 0 2%

4%

6%

8%

10%

12%

r

10 Zinseffekt

20 . Abb. 5.3 Volumen- und Zinseffekt (ohne Steuerparadoxon)

K 0 (r) Volumeneffekt

K (r)

194

5

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

4 Die zusätzliche Belastung mit Steuerzah. Tabelle 5.11 Wertetabelle für K 0 und K 0 lungen bewirkt zunächst eine „Verschlechterung“ der Zahlungsreihe, den sogenannr K0 K0 ten Volumeneffekt. Bei gegebenem Kalku0,00 % 30,00 21,00 lationszinssatz r gilt somit K 0 .r/ > K 0 .r/, 5,60 % 7,35 1,37 die Kapitalwertfunktion wird also nach unten verschoben. Betrachten wir nun zu7,00 % 2,53 2,82 nächst die Situation für einen Bruttozins8,00 % 0,73 5,67 satz von r 0 D 10 %, so kann der in die10,00 % 6,83 11,01 sem Fall konkret auftretende Volumeneﬀekt (VE) durch den Abstand zwischen den beiden Kapitalwertfunktionen an der Stelle r ı gemessen werden. Deﬁnieren wir VE durch Steuerzahlungen also zu einer zusätzlichen Beeine positive Zahl, so kann VE also gemäß lastung von Relation (5.20) geschrieben werden. VE D K 0 .10 %/ K 0 .10 %/ 0 0 0 0 (5.20) VE D K r K r D 6;83 .11;01/ D 4;18 ; In . Abb. 5.3 wird dieser Eﬀekt durch den senkrecht nach unten gerichteten Pfeil verdeutlicht. 4 Die Reduzierung des Kalkulationszinssatzes hingegen bewirkt – isoliert betrachtet – eine Erhöhung des Kapitalwertes, den sog. Zinseffekt (ZE). Graﬁsch entspricht dies einer „Wanderung“ auf der Kapitalwertkurve K 0 .r/ nach „links oben“, so wie das in . Abb. 5.3 durch die beiden zunächst waagerecht nach links und dann bei einem Abszissenwert von r 0 D 7 % senkrecht nach oben verlaufenden Pfeile verdeutlicht wird. Formelmäßig gilt Relation (5.21). (5.21) ZE D K 0 r 0 K 0 r 0 Zur rechnerischen Verdeutlichung der zunächst nur graﬁsch verdeutlichten Eﬀekte können wir uns der in . Tab. 5.11 wiedergegebenen Wertetabelle bedienen, in der die Werte von K 0 und K 0 für einige uns im Folgenden besonders interessierende Zinssätze noch einmal aufgelistet sind.

so wie das auch der senkrecht nach unten gerichtete Pfeil in . Abb. 5.3 verdeutlicht. Beachten Sie dabei bitte, dass wir den Volumeneﬀekt so deﬁniert haben, dass die damit verbundene Verschlechterung des Kapitalwertes durch ein positives Vorzeichen zum Ausdruck gebracht wird. >Merke Der Volumeneffekt beschreibt die Konsequenzen, die die unmittelbaren steuerlichen Auswirkungen des Projektes auf dessen Kapitalwert haben. Er entspricht graphisch dem Übergang von der Kapitalwertfunktion vor Steuern auf die Kapitalwertfunktion nach Steuern.

Der Zinseffekt entspricht der Wanderung entlang der K 0 -Kurve von dem als Ergebnis des Volumeneﬀektes erreichten Punkt K 0 .10 %/ D 11;01 zu dem für die Beurteilung letztlich maßgeblichen Punkt K 0 .7 %/ D 2;82. Aus der steuerlichen Berücksichtigung von Zinserträgen bzw. -aufwendungen resultiert insoDer Volumeneffekt entspricht einem weit also eine Verbesserung des Kapitalwertes „Sprung“ von dem Punkt K 0 .10 %/ D 6;83 um: auf den noch niedriger liegenden Punkt ZE D K 0 .7 %/ K 0 .10 %/ K 0 .10 %/ D 11;01. Gemessen auf der Basis des Bruttozinssatzes von 10 % führen die D 2;82 .11;01/ D 8;19:

195 5.6 Einfluss von Steuern auf Investitionsentscheidungen

>Merke Der Zinseffekt beschreibt die Konsequenzen, die (bei gegebenem Volumeneffekt) die mittelbaren steuerlichen Auswirkungen von Zinsen auf den Kapitalwert des Projektes haben. Er entspricht graphisch einer Wanderung auf der Kapitalwertfunktion nach Steuern nach links.

5

Der Zinseﬀekt überwiegt den Volumeneﬀekt jetzt um ZE VE D 7;04 4;94 D 2;10 : Dem steht aber nur ein Ausgangskapitalwert von K 0 .8 %/ D 0;73 gegenüber, so dass per Saldo noch ein „positiver Resteﬀekt“ von 2;10 0;73 D 1;37 verbleibt; das aber deckt sich genau mit dem schon bekannten Kapitalwert „nach Steuern“ von K 0 .5;6 %/ D 1;37. Sie erkennen, dass das Steuerparadoxon genau dann auftritt, wenn folgende Bedingungen gemeinsam erfüllt sind:

Insgesamt überwiegt der Zinseﬀekt in unserem Beispiel also den Volumeneﬀekt. Im Ergebnis wird der Kapitalwert allerdings nicht positiv, sondern nur, wie wir schon gesehen haben, „weniger negativ“. Der Grund dafür liegt darin, dass die als Diﬀerenz zwischen Zins- und Volu1. Der Kapitalwert vor Steuern K 0 .r 0 / muss meneﬀekt per Saldo eintretende Verbesserung negativ sein. 2. Der Zinseﬀekt ZE muss größer als der VoZE VE D C8;19 4;18 D 4;01 lumeneﬀekt VE sein. 3. Dabei muss der Zinseﬀekt den Volumeneffekt um mehr als den Betrag des (ursprüngnicht ausreicht, den (negativen) Ausgangskapilich negativen) Kapitalwertes K 0 .r 0 / übertalwert von K 0 .r 0 / D 6;83 überzukompentreﬀen. sieren. Die in . Abb. 5.3 dargestellte Situation entspricht also der schon aus 7 Abschn. 5.6.4.2 Insgesamt muss also bekannten Konstellation 2. ˇ ˇ Anders verhält es sich, wenn wir das Projekt K 0 r 0 < 0 und ZE > VE C ˇK 0 r 0 ˇ mit den Zahlungsreihen „vor“ und „nach Steuern“ von (100; 10; 10; 10; 100) bzw. (100; gelten. Wir werden auf eine ökonomische In14,5; 14,5; 14,5; 77,5) betrachten und nunmehr terpretation dieses zunächst rein formalen Beunterstellen, dass für den Bruttozinssatz r 0 D fundes noch zurückkommen. 8 % und dementsprechend r 0 D 5;6 % gilt. . Abb. 5.4 verdeutlicht die jetzt maßgeblichen >Merke Zusammenhänge graphisch. Wie Sie an den Ist der Kapitalwert vor Steuern negativ entsprechenden Pfeilen sofort erkennen, reicht und überwiegt der positive Zinseffekt den der Zinseﬀekt jetzt oﬀensichtlich aus, um den negativen Volumeneffekt um mehr als Volumeneﬀekt und den (negativen) Ausgangsden Betrag des negativen Kapitalwerts vor kapitalwert K 0 .r 0 / überzukompensieren. Steuern, tritt das Steuerparadoxon auf. Dieses Ergebnis lässt sich natürlich auch rechnerisch bestätigen. Unter Rückgriﬀ auf die ?Übungsaufgabe 5.6 schon aus Beispiel 5.8 bekannten Werte gilt Betrachten Sie die beiden einander ausjetzt für die beiden Eﬀekte: schließenden Investitionsprojekte A und 0

VE D K .8 %/ K .8 %/ D 0;73 .5;67/ D 4;94 ZE D K 0 .5;6 %/ K 0 .8 %/ D C1;37 .5;67/ D 7;04: 0

B mit den Zahlungsreihen (80; 40; 40; 10; 10) bzw. (80; 0; 0; 0; 112). Die Investitionsauszahlung wird jeweils linear über 4 Jahre abgeschrieben. Der Kalkulationszinssatz vor Steuern beträgt 7 %, der lineare Ertragssteuersatz 40 %.

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

196

K 40 30 20

5

10 0 2%

4%

6%

10%

12%

r

10 Zinseffekt

Volumeneffekt

20

K 0 (r) K (r)

. Abb. 5.4 Volumen- und Zinseffekt (mit Steuerparadoxon)

a. Ermitteln Sie für beide Projekte jeweils die Zahlungsreihe „nach Steuern“ sowie die Kapitalwerte K 0 und K 0 . Kommentieren Sie Ihre Ergebnisse kurz. b. Skizzieren Sie für Projekt B den Verlauf der beiden Kapitalwertfunktionen K ı .r/ und K.r/, indem Sie die Ordinatenwerte beider Funktionen zumindest für r D 0 %, r D 4 % und r D 8 % berechnen. Lösen Sie dann anhand dieses Diagrammes folgende Aufgaben: 1. Verdeutlichen Sie für Projekt B Volumen- und Zinseffekt graphisch. 2. Betrachten Sie die beiden Ordinatenschnittpunkte der beiden Kurven. Wie sind die gefundenen Werte und die Differenz zwischen ihnen inhaltlich zu interpretieren? Überprüfen Sie Ihre Antwort anhand der in Teilaufgabe a. ermittelten Zahlungsreihen. 3. Wie ist der vertikale Abstand zwischen den beiden Kurven für beliebige r-Werte zu interpretieren? Überprüfen Sie Ihre Antwort konkret für r D 4 % und erläutern Sie, warum der vertikale Abstand zwischen den beiden Kapitalwertkurven in dem hier relevanten Zinsbereich mit wachsendem r immer kleiner wird!

c. Wenn Sie bei Teilaufgabe a. richtig gerechnet haben, sind beide Projekte sowohl vor als auch nach Steuern projektindividuell vorteilhaft; es liegt also in beiden Fällen Konstellation 1 vor. Die Rangfolge der beiden Projekte untereinander hat sich durch die Einbeziehung der Steuern jedoch geändert. Versuchen Sie diese Änderung der relativen Vorteilhaftigkeit unter Rückgriff auf die jeweiligen Volumenund Zinseffekte zu erläutern.

b) Endvermögensanalyse Ein zweiter, stärker materiell ausgerichteter Weg zur Erklärung speziell des Steuerparadoxons führt über die Ihnen ja schon aus 7 Kap. 4 bekannte Endvermögensbetrachtung. Dabei ist es wiederum zweckmäßig, die beiden ebenfalls schon bekannten Finanzierungssituationen der Finanzierung aus freien Mitteln (Szenario I) und zu Lasten eines Kontokorrentkredites (Szenario II) getrennt zu untersuchen. Zur beispielhaften Verdeutlichung betrachten wir das schon sattsam bekannte Investitionsprojekt (100; 10; 10; 10; 100). Wie wir in . Tab. 5.10 schon gesehen haben, hat die Zahlungsreihe „nach Steuern“ bei einem Steuersatz von 30 % das Aussehen (100; 14,5; 14,5; 14,5;

197 5.6 Einfluss von Steuern auf Investitionsentscheidungen

5

77,5). Weiterhin unterstellen wir, dass r 0 D 8 % nicht paradox – verschlechtert. Das gilt allerund dementsprechend r 0 D 5;6 % gilt. Für die dings auch für das bei Unterlassen des Projekts erzielbare Endvermögen. In diesem Fall beläuft entsprechenden Endwerte ergibt sich dann: sich die Steuerlast auf: EW 0 D 100 1;084 SLU D 136;05 124;35 D 11;70 : C 10 1;083 C 1;082 C 1;08 C 100 D 0;99 In dem vorliegenden Beispiel „leidet“ die Un0 4 terlassensalternative mit SLU D 11;70 also EW D 100 1;056 stärker unter der Besteuerung als das InvestitiC 14;5 1;0563 C 1;0562 onsprojekt mit SLP D 9;00. Relativ zur Unter C 1;056 C 77;5 lassensalternative „verbessert“ sich das Investitionsprojekt also als Folge der Besteuerung um D 1;70: 11;70 9;00 D 2;70. Dabei kann für den End1 Szenario I: Finanzierung aus freien Mitteln wert nach Steuern auch geschrieben werden: Wir bestimmen zunächst das bei DurchfühEW 0 D EW 0 C .SLU SLP / rung bzw. Unterlassen des Projektes jeweils einD 0;99 C .11;70 9;00/ tretende Endvermögen: D C 1;71 : Projektdurchführung: Wie Sie sehen, fällt die „Verbesserung“ in un EV P0 D 10 1;083 C 1;082 C 1;08 C 100 serem Beispielfall höher aus als der ohne Besteuerung bestehende „Rückstand“ in Höhe des D 135;06 „Ausgangsendwertes“ von EW 0 D 0;99, so EV P0 D 14;5 1;0563 C 1;0562 C 1;056 dass sich für die Situation nach Steuern per SalC 77;5 D 126;06: do also ein positiver Endwert ergibt. Mithin kommt es, wie Sie ja schon wissen, zu dem SteuUnterlassen: erparadoxon. Im Lichte unseres Beispiels kann verallgeEV 0U D 100 1;084 D 136;05 meinernd für den Fall der Finanzierung aus freien Mitteln festgehalten werden: EV 0U D 100 1;0564 D 124;35: 4 Die Erhebung von Steuern mindert den mit dem Projekt verbundenen VermögensBetrachten wir zunächst den Fall der Projektzuwachs, d. h. das erzielbare Endvermögen durchführung, so stellen wir fest, dass die Befällt in der Tat geringer aus, als das ohne steuerung eine deutliche Minderung des EndSteuern der Fall gewesen wäre. vermögens bewirkt. Die daran gemessene Steu4 Auf der anderen Seite bewirkt die Besteueerlast (SL)2 beträgt: rung aber auch, dass das bei alternativer Anlage der Investitionssumme erzielbare SLP D 135;06 126;06 D 9;00 : Endvermögen als Folge der Besteuerung ebenfalls geringer ausfällt als im Fall ohne Absolut gesehen wird das Projektergebnis alSteuern. so durch die Einbeziehung der Steuern – gar 2

Dass dieser Wert in der gerundeten Schreibweise gerade der „einfachen“ Summe aller Steuerzahlungen entspricht, ist ein aus den speziellen Vorgaben unseres Beispiels resultierender Zufall und entspricht keiner allgemeinen Gesetzmäßigkeit.

>Merke Bei einer Finanzierung aus freien Mitteln reduziert sich durch die Besteuerung in der Regel sowohl das mit Unterlassen als auch das mit Investition erreichbare

198

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

. Tabelle 5.12 Kreditkonto „vor Steuern“ Jahr

5

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsbelastung

Projektzahlung

Kontostand

1

100,00

8,00

10,00

98,00

2

98,00

7,84

10,00

95,84

3

95,84

7,67

10,00

93,51

4

93,51

7,48

100,00

0,99

30,99

130,00

SUMMEN

Endvermögen. Eine steuerinduzierte Erhöhung von Kapitalwert oder Endwert bedeutet in diesem Fall nur, dass die Unterlassensalternative stärker unter der Besteuerung leidet als die Investitionsalternative.

In welcher Größenbeziehung diese beiden steuerbedingten Vermögensminderungen SLU und SLP zueinander stehen, hängt von den Gegebenheiten des jeweiligen Einzelfalles ab. Immerhin besteht die an unserem Beispiel verdeutlichte Möglichkeit, dass SLU > SLP gilt, also die bei Investitionsverzicht maßgebliche Alternativanlage steuerlich stärker belastet wird als das Investitionsprojekt. Unter dieser Voraussetzung kann dann die für das Steuerparadoxon kennzeichnende Situation auftreten, 4 dass sich der im Vergleich zur Alternativanlage zunächst bestehende relative Nachteil eines Projektes in einen relativen Vorteil verwandelt, 4 obwohl der durch das Projekt absolut erzielbare Vermögenszuwachs kleiner ausfällt als in der Situation ohne Steuern. 1 Szenario II: Kreditfinanzierung

Ein wenig anders, wenn auch im Endergebnis ähnlich, verhält es sich, wenn die mit dem Investitionsprojekt verbundenen Aus- und Einzahlungen stets zu Lasten oder zu Gunsten ohnehin bestehender Kreditfazilitäten erfolgen. Zur Verdeutlichung betrachten wir weiter unser Projekt (100; 10; 10; 10; 100), unterstellen nun jedoch, dass das Unternehmen wäh-

–

rend des gesamten Betrachtungszeitraums ganz unabhängig von dem Projekt stets einen zu 8 % verzinslichen Kontokorrentkredit in Anspruch nimmt. Die bei Durchführung des Investitionsprojektes im Fall ohne Steuern eintretende Entwicklung kann dann in der schon bekannten Weise durch das in . Tab. 5.12 wiedergegebene Kreditkonto verdeutlicht werden. Wie man an den Summenwerten erkennt, generiert das Investitionsprojekt zwar eine Rückzahlungssumme von insgesamt 130. Davon werden 100 zur Amortisation der ursprünglichen Investitionssumme benötigt; mithin verbleibt nur noch eine Verzinsungskraft VK 0 D 30 : Dem steht aber eine Zinslast von ZL0 D 30;99 gegenüber. Das Projekt ist also nicht ganz in der Lage einen 8 %-igen Kredit einschließlich sämtlicher Zinsen und Zinseszinsen vollständig abzutragen. Vielmehr verbleibt nach vollständiger Abwicklung der Investition eine um 0,99 höhere Belastung des Kreditkontos, als das bei Investitionsverzicht der Fall wäre. Der zuvor schon unmittelbar aus der Endwertbetrachtung mit EW 0 D 0;99 gewonnene Befund wird also noch einmal bestätigt. Beziehen wir nun zusätzlich die 30-%ige Steuer in die Betrachtung ein, so sind wiederum zwei gegenläuﬁge Eﬀekte zu beachten: Zum einen „verschlechtern“ sich die nach Steu-

5

199 5.6 Einfluss von Steuern auf Investitionsentscheidungen

. Tabelle 5.13 Kreditkonto „nach Steuern“ Jahr

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsbelastung

Projektzahlung

Kontostand

1

100,00

5,60

14,50

91,10

2

91,10

5,10

14,50

81,70

3

81,70

4,58

14,50

71,78

4

71,78

4,02

77,50

1,70

19,30

121,00

SUMMEN

ern verbleibenden Zahlungsgrößen; zum anderen führt die steuerliche Absetzbarkeit der Kreditzinsen aber zu einer Verminderung der letztendlich verbleibenden Zinslast. Saldieren wir jetzt die Zinsbelastung sofort mit der „Steuergutschrift“ und die Projekt- mit den Steuerzahlungen, so hat die entsprechende Kontoabrechnung das in . Tab. 5.13 dargestellte Aussehen. Zunächst erkennt man, was nach dem bereits zuvor berechneten Endwert von EW 0 D 1;70 zu erwarten war: Bei der Durchführung des Projektes weist der Kontokorrentkredit im Steuerfall am Ende eine um 1,70 niedrigere Beanspruchung auf, als das bei Investitionsverzicht der Fall sein würde. Mithin führt die Einbeziehung der Besteuerung in diesem Fall – im Gegensatz zu der Situation bei freien Finanzmitteln – deﬁnitiv zu einer Steigerung des Endvermögens. Diese Umkehrung der Gegebenheiten gegenüber der Situation ohne Steuern lässt sich anhand der in der vorstehenden Tabelle ausgewiesenen Summenwerte wie folgt erklären: 4 Die Verzinsungskraft des Projektes sinkt als Folge der Besteuerung von ursprünglich 30 auf nur noch 21, also um 9, was bei der hier gewählten Deﬁnition für die Verzinsungskraft zwangsläuﬁg der Summe aller Steuerzahlungen entspricht. 4 Zugleich sinkt jedoch auch die Zinsbelastung von ursprünglich 30,99 auf nunmehr 19,30, also um 11,69. 4 Dabei ist der Rückgang der Zinsbelastung mit 11,69 größer als die Abnahme der Ver-

–

zinsungskraft um 9, und zwar mit 2,69 um so viel größer, dass dadurch der ursprünglich negative Endwert von 0;99 sogar überkompensiert wird. >Merke Bei einer Finanzierung durch Kredite haben Steuern keine Auswirkungen auf das mit Unterlassen erreichbare Endvermögen, weil diese Alternative dann im schlichten Nichtstun besteht. Eine steuerinduzierte Erhöhung von Kapitalwert oder Endwert bedeutet in diesem Fall damit tatsächlich, dass das mit der Investitionsdurchführung erzielbare Endvermögen durch die Besteuerung zunimmt. Die Ursache für diese Vermögenszunahme liegt dann primär in einer wegen der Besteuerung abnehmenden Nettozinsbelastung.

Übungsaufgabe 5.7 gibt Ihnen Gelegenheit, sich die zuletzt aufgezeigten Eﬀekte für beide Finanzierungsvarianten selbst noch einmal vor Augen zu führen. ?Übungsaufgabe 5.7 Gehen Sie von dem schon aus Übungsaufgabe 5.6 bekannten Projekt A mit den Zahlungsreihen „vor“ und „nach Steuern“ von (80; 40; 40; 10; 10) bzw. (80; 32; 32; 14; 14) sowie den Zinssätzen r 0 D 7 % bzw. r 0 D 4;2 % aus. a. Ermitteln Sie die Endwerte vor und nach Steuern EW 0 und EW 0 .

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

200

5

b. Nehmen Sie zunächst an, die Investition könnte aus frei verfügbaren Liquiditätsreserven finanziert werden, die alternativ zu 7 % vor Steuern angelegt werden könnten. Berechnen Sie für die Fälle ohne und mit Steuern sowohl für die Unterlassensalternative als auch für den Fall der Projektdurchführung das erzielbare Endvermögen (EV) sowie die am Endvermögen gemessene Steuerlast (SL)! Kommentieren Sie Ihre Ergebnisse! c. Unterstellen Sie jetzt abweichend von Teilaufgabe b., dass das Unternehmen während des gesamten Betrachtungszeitraumes stets einen mit 7 % pro Jahr zu verzinsenden Kontokorrentkredit in Anspruch nimmt. Zeigen Sie anhand einer Kontoabrechnung, wie sich die Durchführung des Projektes in der Situation ohne und mit Steuern auf das Endvermögen auswirken würde. Analysieren Sie darauf aufbauend jeweils die Auswirkungen der Besteuerung auf die Verzinsungskraft (VK) einerseits sowie die Zinsbelastung (ZB) andererseits und kommentieren Sie Ihre Ergebnisse!

5.6.5

Abschließende und weiterführende Überlegungen

In den vorangegangenen Abschnitten hat sich gezeigt, dass sowohl die projektindividuelle Vorteilhaftigkeit als auch die Rangfolge konkurrierender Investitionsprojekte durch steuerliche Aspekte beeinﬂusst werden können. Dabei kann man in allgemeiner Form nicht einmal Aussagen darüber treﬀen, ob die Einbeziehung von Steuern die Vorteilhaftigkeit eines Projektes verringert oder gar erhöht; wie wir schon in 7 Abschn. 5.6.4.2 anhand der vier möglichen „Konstellationen“ gesehen haben, ist dabei vielmehr „alles möglich“. Planungskonzepte, in denen steuerliche Aspekte nicht konsequent erfasst werden, bergen somit die Gefahr in sich,

systematisch zu Fehlentscheidungen zu führen. Dies gilt erst recht für das tatsächlich existierende Steuersystem, das ja in vielerlei Hinsicht deutlich komplexer als die in unserer modellhaften Analyse unterstellte Welt einer einfachen proportionalen Gewinnsteuer ist. Von besonderem Interesse ist dabei die als Steuerparadoxon bekannte Konstellation, in der ein zunächst unvorteilhaftes Projekt gerade durch die Einbeziehung von Steuern vorteilhaft wird. Im 7 Abschn. 5.6.4 haben Sie verschiedene Erklärungsansätze für dieses auf den ersten Blick ja wirklich paradox erscheinende Phänomen kennengelernt. Im Kern laufen diese Ansätze alle darauf hinaus, zwei entgegengesetzte Eﬀekte einander gegenüberzustellen: 4 Die Besteuerung als solche mindert zunächst die dem Investor aus dem Projekt verbleibenden Rückﬂüsse und führt insoweit zu einer mehr oder weniger starken Verringerung der Zielgröße. In der Kapitalwertanalyse manifestiert sich das in Form des Volumeneffektes. 4 Auf der anderen Seite wirkt sich die steuerliche Behandlung von Zinserträgen und -aufwendungen tendenziell zu Gunsten der Projektdurchführung aus. Bei der Kapitalwertanalyse haben Sie dies als Zinseffekt kennengelernt. Wie wir auch schon gesehen haben, kann es dabei dazu kommen, dass der Zinseﬀekt den Volumeneﬀekt übertrifft, es im Endeﬀekt also zu einer steuerlich bedingten Erhöhung des Kapitalwertes kommt. Wenn diese Steigerung dann auch noch größer ist als der Betrag des ursprünglich negativen Ausgangskapitalwertes, dann kommt es zu dem sogenannten Steuerparadoxon. Mit dem Auftreten dieser Konstellation ist bei gegebenen Steuer- und Zinssätzen tendenziell umso eher zu rechnen, 4 je geringer der Abstand der beiden Kurven K 0 .r/ und K 0 .r/ ist und je stärker er mit steigendem Zinssatz abnimmt (! tendenziell geringer Volumeneﬀekt) und 4 je steiler die Kurve K 0 .r/ verläuft (! tendenziell großer Zinseﬀekt).

201 5.6 Einfluss von Steuern auf Investitionsentscheidungen

Der erste Teileﬀekt ist umso stärker ausgeprägt, je später der zeitliche Schwerpunkt der Steuerbelastungen liegt, und wird durch das Auftreten anfänglicher Steuerentlastungen zusätzlich begünstigt. Der zweite Eﬀekt fällt umso deutlicher aus, je später der Einzahlungsschwerpunkt der Zahlungsreihe (nach Steuern) liegt. Die hier angesprochenen Zusammenhänge sind keineswegs nur von theoretischer Bedeutung, sondern von unmittelbarer praktischer Relevanz. Einen empirischen Beleg für den Versuch, die dem Steuerparadoxon zugrundeliegenden Zusammenhänge praktisch zu nutzen, stellen die sogenannten Abschreibungsgesellschaften dar. Bei diesen Konstruktionen werden mehrere reale Projekte und projektbezogene Finanzierungsmaßnahmen so miteinander verknüpft, dass in den ersten Jahren 4 gar keine oder nur relativ niedrige Einzahlungsüberschüsse anfallen, 4 zugleich jedoch projektbezogene Verluste ausgewiesen werden und somit zunächst Steuereinsparungen entstehen. Diese Projektbündel werden zumeist in eine speziell für diesen Zweck gegründete Gesellschaft eingebracht, deren Anteile sich auf mehrere (zumeist private) Investoren verteilen. Dabei wird in aller Regel eine Konstruktion gewählt, die dazu führt, dass die zunächst bei der Gesellschaft entstehenden Verluste von den einzelnen Gesellschaftern bei ihrer privaten Steuererklärung geltend gemacht werden können. Die Steuereinsparungen kommen somit den einzelnen Investoren unmittelbar nach Maßgabe ihrer individuellen steuerlichen Gegebenheiten zugute. Ein wesentliches Instrument, um die so anrechenbaren Verluste zu „erzeugen“, besteht dabei in der „Gestaltung“ der steuerlich ansetzbaren Zinsaufwendungen und insbesondere der Abschreibungen – daher auch die Bezeichnung „Abschreibungsgesellschaften“. Investitionstheoretisch gesehen würden diese Projekte „vor Steuern“ typischerweise einen negativen Kapital- oder Endwert aufweisen, also eigentlich nicht lohnen. Ihre Attraktivität ergibt sich vielmehr erst aus den speziﬁschen steuerlichen

5

Eﬀekten und ist für die privaten Investoren tendenziell umso größer, je höher deren prozentuale Belastung mit Einkommenssteuer, Solidaritätszuschlag sowie ggf. auch noch Kirchensteuer ist. Ein zweites Beispiel für die praktische Umsetzung der für das Steuerparadoxon maßgeblichen Zusammenhänge ﬁnden Sie in den sog. steuerlichen Abschreibungserleichterungen. Wie Sie sicherlich wissen, besteht ein Instrument der staatlichen Wirtschaftspolitik darin, Unternehmen etwa aus ökologischen oder strukturpolitischen Gründen dazu anzureizen, Investitionen vorzunehmen, auf die sie sich ohne die entsprechende Förderung nicht eingelassen hätten. Neben direkten Investitionszuschüssen und der Bereitstellung zinsvergünstigter Darlehen (vgl. 7 Abschn. 5.3) besteht ein häuﬁg genutztes Subventionierungsinstrument darin, den Unternehmen die Möglichkeit zu geben, die aus der Investition resultierenden Abschreibungen im Vergleich zu dem „Normalfall“ nach einem bestimmten Modus vorzuverlagern. Durch eine solche Maßnahme wird zwar die gesamte Summe der Steuerzahlungen nicht verändert, deren Zahlungsschwerpunkt wird jedoch zeitlich nach hinten verlagert, was tendenziell eine Erhöhung des Kapitalwertes bewirkt. Übungsaufgabe 5.8 gibt Ihnen die Gelegenheit, sich diesen Eﬀekt selbst etwas eingehender vor Augen zu führen und dabei zugleich die zuvor vermittelten Analysemethoden noch einmal zu wiederholen. ?Übungsaufgabe 5.8 Ein Investitionsprojekt führt ohne Berücksichtigung von Steuern zu der Zahlungsreihe (600; 231; 231; 231). Der Kalkulationszinssatz vor Steuern beträgt 8 %, der Steuersatz 40 %, der Zinssatz nach Steuern mithin 4,8 %. a. Berechnen Sie zunächst den Kapitalwert vor Steuern. b. Leiten Sie für den Fall linearer Abschreibung die Zahlungsreihe „nach Steuern“ her und ermitteln Sie den zugehörigen Kapitalwert.

202

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

c. Abweichend von Teilaufgabe b. gilt für die Abschreibung folgende Sonderregelung: 50 % der Investitionssumme können im ersten Jahr als „Sonderabschreibung“ angesetzt werden; der Restbetrag wird in drei gleichen Raten in den Jahren 1, 2 und 3 abgeschrieben; im ersten Jahr können also insgesamt 400 abgeschrieben werden und in den beiden Folgejahren jeweils 100. Leiten Sie auch für diesen Fall die Zahlungsreihe nach Steuern ab und bestimmen Sie den Kapitalwert. d. Analysieren Sie die Unterschiede in den für die beiden Abschreibungsvarianten ermittelten Ergebnissen.

5

5.7

Zusammenfassung

Bei der Beurteilung von Investitionsprojekten können erwartete Preissteigerungen wie folgt berücksichtigt werden: 4 Zunächst werden die mit den realwirtschaftlich vorgesehenen Aktivitäten verbundenen Zahlungsströme auf der Basis der im Planungszeitpunkt maßgeblichen Preisverhältnisse ermittelt. 4 Danach werden diese Ausgangsdaten um die erwarteten Lohn- und Preisänderungen korrigiert.

Investitionsketten sind dadurch gekennzeichnet, dass ein Projekt bei unveränderter Zahlungsreihe mehrfach nacheinander durchgeführt wird. Für die Vorteilhaftigkeitsanalyse ist der Umstand von besonderer Bedeutung, dass die projektspeziﬁsche Annuität mit der Annuität der gesamten Kette übereinstimmt. Projektindividuelle Entscheidungen sowie Auswahlentscheidungen über Ketten gleicher Gesamtlaufzeit können dementsprechend einfach auf der Basis der projektspeziﬁschen Annuitäten getroﬀen werden. Kann ein Projekt in verschiedenen Laufzeitvarianten durchgeführt werden, eröﬀnet sich über das Konzept der Diﬀerenzzahlungsreihe eine vereinfachte Möglichkeit zur Bestimmung der optimalen Projektlaufzeit. Um steuerliche Aspekte sachgerecht in Investitionskalküle einzubeziehen, sind in einer Nebenrechnung zunächst die aus dem Projekt resultierenden Gewinn- oder Verlustbeiträge und daraus resultierend die steuerlichen Be- oder Entlastungen zu ermitteln. Für die um die entsprechenden steuerlichen Effekte ergänzten Zahlungsreihen können dann die schon aus 7 Kap. 4 bekannten Kennzahlen mit der weiteren Maßgabe ermittelt werden, dass auch die Kalkulationszinssätze an die aus der Zinsbesteuerung resultierenden Konsequenzen angepasst werden. Für die Analyse der aus der Besteuerung resultierenden Eﬀekte ist insbesondere das sog. Steuerparadoxon von Interesse, d. h. die Möglichkeit, dass ein ohne Steuern nicht lohnendes Projekt gerade durch die Besteuerung vorteilhaft wird.

Auf der Basis der so modiﬁzierten Zahlungsreihen können Investitionsprojekte dann nach den aus 7 Kap. 4 bekannten Methoden beurteilt werden. Stehen spezielle Finanzierungsmöglichkeiten zur Verfügung, die nur bei Durchfüh- 5.8 Wiederholungsfragen rung des betrachteten Projektes in Anspruch genommen werden können, sind die unmittelbar projektbezogenen Zahlungsgrößen um 1. Welche Gründe können dafür sprechen, die maßgeblichen Zahlungsreihen zunächst auf die mit dem speziellen Finanzierungsprojekt der Basis der im Planungszeitpunkt gegeverbundenen Ein- und Auszahlungen zu ergänbenen Preisverhältnisse zu ermitteln und zen. Für die so ergänzte Zahlungsreihe können erst in einem zweiten Schritt die erwarteten dann die schon aus 7 Kap. 4 bekannten KennPreisänderungen in die Rechnung einzubezahlen ohne weitere Modiﬁkationen ermittelt ziehen? Lösung 7 Abschn. 5.2 werden.

203 5.8 Wiederholungsfragen

2. Ist es möglich, im Zeitablauf variierende Preisänderungen zu erfassen? Lösung 7 Abschn. 5.2 3. Führt die Einbeziehung von Preisänderungen im Vergleich zur Situation stabiler Preise generell zu einer Erhöhung oder einer Verminderung des Kapitalwertes? Lösung 7 Abschn. 5.2 4. Was ist im Zusammenhang mit Preisänderungen unter dem „Realzinssatz“ zu verstehen? Lösung 7 Abschn. 5.2 5. Welche beiden Möglichkeiten kennen Sie, um den Kapitalwert im Falle einheitlicher Preissteigerungsraten für alle Einﬂussfaktoren zu ermitteln? Lösung 7 Abschn. 5.2 6. Was ist im Zusammenhang mit Projektﬁnanzierungen unter einem „zinsverbilligten Darlehen“ zu verstehen? Lösung 7 Abschn. 5.3 7. Welche beiden Möglichkeiten bestehen, um die Vorteilhaftigkeit eines Projektes zu beurteilen, das zumindest zu einem Teil unter Rückgriﬀ auf ganz spezielle Finanzierungsmöglichkeiten realisiert werden kann, die nur im Zusammenhang mit der Projektdurchführung genutzt werden können? Lösung 7 Abschn. 5.3 8. Was ist unter einer „Investitionskette“ zu verstehen? Lösung 7 Abschn. 5.4 9. Welche Möglichkeit besteht, den Kapitalwert einer Investitionskette (KK) auf vereinfachte Weise zu berechnen, wenn der Kapitalwert des zugrundeliegenden Projekts (K) bekannt ist? Lösung 7 Abschn. 5.4

10. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Annuität einer Investitionskette und der Annuität des Einzelprojektes? Lösung 7 Abschn. 5.2 11. Wie kann die projektindividuelle Vorteilhaftigkeit einer Investitionskette recht einfach festgestellt werden? Lösung 7 Abschn. 5.2 12. Worin besteht die einfachste Möglichkeit, aus mehreren Investitionsketten mit gleicher Gesamtlaufzeit die optimale zu bestimmen? Lösung 7 Abschn. 5.2 13. Wie ist bei der Auswahl zwischen mehreren Investitionsketten mit unterschiedli-

5

chen Gesamtlaufzeiten zu verfahren? Lösung 7 Abschn. 5.2 14. Was ist unter einem „Nutzungsdauerproblem“ zu verstehen? Lösung 7 Abschn. 5.5 15. Was wird in „Nutzungsdauer“-Modellen typischerweise über die zeitliche Entwicklung der „laufenden“ Einzahlungsüberschüsse sowie der „Resterlöse“ unterstellt? Lösung 7 Abschn. 5.5 16. Eine Möglichkeit zur Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer bestünde darin, für alle möglichen Laufzeiten explizit die Kapitalwerte zu ermitteln – welche einfachere Möglichkeit eröﬀnet das Konzept der Diﬀerenzzahlungsreihe? Lösung 7 Abschn. 5.5 17. Folgt aus der Ermittlung der optimalen Nutzungsdauer mit Hilfe der Diﬀerenzzahlungsreihe zwangsläuﬁg, dass das Projekt in dieser Laufzeitvariante vorteilhaft ist? Lösung 7 Abschn. 5.5 18. Durch welche Annahmen über das Steuersystem, das ﬁnanzielle Umfeld sowie den Zusammenhang zwischen Zahlungsund Gewinnreihe ist das „Standardmodell der Besteuerung“ gekennzeichnet? Lösung 7 Abschn. 5.5 19. Welche Rechenschritte sind erforderlich, um aus der Zahlungsreihe „vor“ Steuern die Zahlungsreihe „nach“ Steuern herzuleiten? Lösung 7 Abschn. 5.5 20. Welche Zusammenhänge bestehen zwischen den Summen aller Zahlungen „vor“ und „nach“ Steuern, aller Gewinne sowie aller Steuerzahlungen? Lösung 7 Abschn. 5.5 21. Wie ist der Kalkulationszinssatz bei der Einbeziehung von Steuern zu modiﬁzieren? Lösung 7 Abschn. 5.5 22. Wie ist die Modiﬁkation des Kalkulationszinssatzes in Abhängigkeit davon zu begründen, ob sich der Investor in Szenario I oder Szenario II beﬁndet? Lösung 7 Abschn. 5.5 23. In welcher Größenbeziehung können die Kapitalwerte „vor“ und „nach“ Steuern stehen? Lösung 7 Abschn. 5.5 24. Welches Phänomen bezeichnet man als „Steuerparadoxon“? Lösung 7 Abschn. 5.5

204

5

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

25. Was versteht man unter dem „Volumeneffekt“ und was unter dem „Zinseﬀekt“? Lösung 7 Abschn. 5.5 26. Welche Bedingungen müssen mit Blick auf den „Volumeneﬀekt“ und den „Zinseﬀekt“ erfüllt sein, damit das Steuerparadoxon eintritt? Lösung 7 Abschn. 5.5 27. Wie verändern sich „Verzinsungskraft“ und „Zinsbelastung“ durch die Besteuerung? Lösung 7 Abschn. 5.5 28. Worin kann die Wirkung sogenannter „steuerlicher Abschreibungserleichterungen“ bestehen? Lösung 7 Abschn. 5.5 5.9

Lösungen

In unserem Fall muss KF nun mindestens so hoch sein, dass der ursprünglich negative Kapitalwert (K D 2;71) überkompensiert wird. Also muss FQ mindestens so groß sein, dass die Relation 0;1268 FQ > 2;71

FQ > 21;37

. Tab. 5.14 zeigt die Ermittlung der jährlichen Zahlungssalden. Daraus ergibt sich für den Kapitalwert: K D 100 C 36;35 1;061

folgt. Beschränkt man sich auf ganzzahlige Prozentsätze, müsste die Förderquote also mindestens 22 % der Investitionssumme betragen, damit die Durchführung des geförderten Projektes noch lohnt.

1 Übungsaufgabe 5.3

Die jetzt unterstellte Art der Preis- und Lohnentwicklung führt also dazu, dass der Kapitalwert gegenüber dem Ausgangswert von 1,70 deutlich gesteigert wird. 1 Übungsaufgabe 5.2

KF .FQ/ D 12;68 .FQ=100/ D 0;1268 FQ :

erfüllt ist, woraus sofort

1 Übungsaufgabe 5.1

C 32;53 1;062 C 55;05 1;063 D 9;46 :

Dementsprechend gilt für den Kapitalwert mit einer Förderquote in Höhe von FQ ganz allgemein:

a. Für die fraglichen Kennzahlen gilt: K D 100 C 10 RBF .3 J:I 5 %/ C 100 1;054 D 9;503 e D 9;503 ANF .4 J:I 5 %/ D 9;503 0;2820 D 2;680:

Aus dem der Übungsaufgabe unmittelbar vorb. Unter Rückgriﬀ auf Formel (5.4) ergibt sich angegangenen Text wissen wir, dass sich der zu zunächst: 10 % ermittelte Kapitalwert des Förderkredites bei einer Förderquote von 60 % auf KK .5/ D 9;503 1 1;0520 = 1 1;054 D 9;503 3;5145 KF .FQ D 60 %/ D 7;61 D 33;398 : beläuft. Wird nun die Förderquote FQ geändert, ändert sich auch der Kapitalwert KF proRein schematisch könnte daraus die Annuiportional zu FQ. So würde etwa für den Extät unter Anwendung der schon aus 7 Kap. 4 tremfall einer Förderquote von 100 % gelten: bekannten Grundformel (4.12) wie folgt bestimmt werden: KF .FQ D 100 %/ eK .5/ D KK .5/ ANF .20 J:I 5 %/ D KF .FQ D 60 %/ .100=60/ D 7;61 .10=6/ D 12;68 : D 33;398 0;0802 D 2;680 :

205 5.9 Lösungen

5

. Tabelle 5.14 Ermittlung jährlicher Zahlungssalden (ÜA 5.1) tD0

tD1

tD2

tD3

145 1;031 D 149;35

160 1;032 D 169;74

175 1;033 D 191;23

Einzahlungen Laufende Erlöse (3 %)

25 1;023 D 26;53

Liquidationserlös (2 %) Auszahlungen Anlage

100

Energieverbrauch (4 %)

50 1;041 D 52;00

60 1;042 D 64;90

70 1;043 D 78;74

Materialeinsatz (1 %)

20 1;011 D 20;20

25 1;012 D 25;50

30 1;013 D 30;91

Personal (2 %)

40 1;021 D 40;80

45 1;022 D 46;82

50 1;023 D 53;06

36,35

32,53

55,05

Summe

100

Unter Rückgriﬀ auf Formel (5.5) hätten Sie mit demselben Ergebnis aber auch direkt schreiben können: eK .5/ D e D 2;680 : c. (1) Es gibt verschiedene Möglichkeiten festzustellen, wie viele Durchläufe erforderlich wären, damit der Kapitalwert den Wert von 50 überschreitet: Überlegen und Probieren: Bei fünf Durchläufen beträgt der Kapitalwert 33,4. Mit jedem weiteren Durchlauf erhöht sich KK, als Folge des Abzinsungseﬀektes jedoch um weniger als den „einfachen“ Kapitalwert von 9,503. Somit dürften zumindest noch drei weitere Durchläufe erforderlich sein, um den Wert von 50 zu erreichen. Also berechnen wir zunächst einmal KK .8/ und erhalten: KK .8/ D 9;503 1 1;0532 = 1 1;054 D 9;503 4;4565 D 42;35 :

Die drei zusätzlichen Durchläufe führen also nur zu einer Erhöhung des Kapitalwertes der Kette um 42;35 33;398 D 8;952. Da drei weitere Durchläufe eine noch geringere Steigerung bringen, probieren wir es einmal

mit insgesamt 13 Durchläufen und erhalten: KK .13/ D 9;503 1 1;0552 = 1 1;054 D 9;503 5;1941 D 49;3595 : Also versuchen wir es noch einmal für insgesamt 14 Durchläufe. Hier ergibt sich: KK .14/ D 9;503 1 1;0556 = 1 1;054 D 9;503 5;2732 D 50;110 : Ein Kapitalwert von mehr als 50 würde also erst bei 14 Durchläufen, also einer Gesamtlaufzeit von 56 Jahren, erreicht. Formelmäßige Lösung: Alternativ zu dem

vorstehenden „handgestrickten“ Verfahren, kann natürlich auch versucht werden, eine Lösung für die Gleichung KK .m/ D 9;503 1 1;054m = 1 1;054 D 50 zu ﬁnden. Dies führt zunächst zu: 1 1;054m D 50 1 1;054 =9;503 :

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

206

Bestimmt man den rechten Term nume-1 Übungsaufgabe 5.5 risch, so erhält man den Wert von 0,93285. Der für die Besteuerung von Zinserträgen Mithin lautet die zu lösende Gleichung: maßgebliche Steuersatz würde sich von 30 % auf 1;2 30 % D 36 % erhöhen. Für Unterneh 4m men A wäre der modiﬁzierte Kalkulationszins1 1;05 D 0;93285 : satz somit nach der Formel

5

Daraus folgt weiter:

rA0 D 4 .1 0;36/ D 4 0;64 D 2;56 %

1;054m D 0;06715 :

zu bestimmen, reduzierte sich also von zunächst 2,8 % im Fall der „Normalbesteuerung“ auf nunmehr 2,56 %. Der in diesem Fall für die Erfassung von Zinsaufwendungen maßgebliche Steuersatz würde sich von 30 % auf 15 % halbieren. Für den Kalkulationszinssatz nach Steuern bei Unternehmen B ergibt sich somit:

Durch logarithmieren ergibt sich dann: 4m ln .1;05/ D ln .0;06715/ , m D ln .0;06715/ = .4 ln .1;05// , m D 13;84:

rB0 D 9 .1 0;15/ D 9 0;85 D 7;65 % :

Das bereits hergeleitete Ergebnis wird alUnternehmen B müsste in diesem Fall also, statt so bestätigt: Das Projekt müsste 14 Mal wie bisher mit 6,3 %, nunmehr mit 7,65 % als hintereinander durchgeführt werden, daKalkulationszinssatz rechnen. mit der Kapitalwert der entsprechenden „Kette“ den Wert von 50 übersteigt. 1 Übungsaufgabe 5.6 (2) Wie Sie wissen, stimmt die Annuität a. . Tab. 5.16 und . Tab. 5.17 verdeutlichen einer „Kette“ mit der „einfachen“ Annuidie Herleitung der Zahlungsgrößen nach tät des zugrundliegenden Projektes überein. Steuern. Auch nach noch so vielen Wiederholungen Auf der Basis eines Kalkulationszinssatzes wird die Annuität des betrachteten Projekvon 7 % ergibt sich für die fraglichen Kapites also nie den schon bekannten Wert von talwerte vor Steuern: 2,680 überschreiten. KA0 D 80 C 40 1;071 C 1;072 1 Übungsaufgabe 5.4 C 10 1;073 C 1;074 D 8;11 Die zur Ermittlung der Zahlungsreihe „nach KB0 D 80 C 112 1;074 D 5;44: Steuern“ notwendigen Berechnungen zeigt . Tab. 5.15.

. Tabelle 5.15 Ermittlung der Zahlungsreihe „nach Steuern“ (ÜA 5.4) t

0

et ˛t

0

1

2

15

et

80

40

40

10

10

25

25

˛t

80

20

20

20

20

10

10

10

gt D et ˛t

0

20

20

10

10

3

3

3

S t D 0;4 g t

0

8

8

4

4

18

e 0t

80

32

32

14

14

3

100 35

35

35

100 25

25

gt D et ˛t

0 10

S t D 0;3 g t

0

D et St

3

100 32

Projekt A t

2

e 0t

1

. Tabelle 5.16 Projekt A: Zahlungsreihe „nach Steuern“ (ÜA 5.6)

32

32

4

D et St

3

4

5

207 5.9 Lösungen

. Tabelle 5.17 Projekt B: Zahlungsreihe „nach Steuern“ (ÜA 5.6)

K 0B D 80 C 8 1;0421 C 1;0422 C 1;0423 C 75;2 1;0424 D 5;91:

Projekt B t

0

et

80

1

2

3

4

Auch nach Steuern bleiben beide Projekte projektindividuell vorteilhaft. Allerdings wirkt sich die Einbeziehung von Steuern ˛t 80 20 20 20 20 recht unterschiedlich aus. Bei Projekt A gt D et ˛t 0 20 20 20 92 wird der Kapitalwert fast halbiert; Projekt B weist demgegenüber nach Steuern sogar S t D 0;4 g t 0 8 8 8 36,8 einen etwas höheren Kapitalwert auf. Dae 0t D e t S t 80 8 8 8 75,2 bei kommt es zudem zu einer Änderung der Rangfolge der beiden Projekte untereinander, so dass Projekt B unter Einbeziehung von Steuern das günstigere Projekt darstellt. Beide Projekte sind also projektindividub. Für Projekt B haben die beiden Kapitalwertell vorteilhaft. Da sich die beiden Projekfunktionen den in . Abb. 5.5 dargestellten te jedoch annahmegemäß ausschließen, ist Verlauf. Projekt A in der Situation ohne Steuern ein1. Der senkrecht nach unten weisende deutig vorzuziehen. Pfeil verdeutlicht den Volumeneﬀekt Beachtet man weiter, dass für den Kalkulati(Verminderung des Kapitalwerts als 0 onszinssatz nach Steuern r D 7.10;4/ D Folge der steuerlichen Belastung). Die 4;2 % gilt, so gilt für die Kapitalwerte nach Folge der beiden nach links oben fühSteuern: renden Pfeile verdeutlicht den Zinseffekt (Erhöhung des Kapitalwerts durch Reduzierung des KalkulationszinssatK 0A D 80 C 32 1;0421 C 1;0422 zes). 3 4 C 14 1;042 C 1;042 2. Die Ordinatenschnittpunkte geben die D 4;43 einfache Summe aller (nicht abgezins0

0

0

112

K 40

32

30 19, 2

20 10 0 2% 10

4% Zinseffekt

6%

8% Volumeneffekt

20 . Abb. 5.5 Kapitalwertfunktionen „mit“ und „ohne Steuern“ (ÜA 5.6)

10%

12%

r

K 0 (r) K (r)

208

5

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

ten) Projektzahlungen vor bzw. nach Steuern an (hier kurz als E 0 bzw. E 0 bezeichnet). Die Diﬀerenz dieser beiden Werte gibt dementsprechend die Summe aller (nicht abgezinsten) Steuerzahlungen (S) an. Dementsprechend gelten für unser Projekt B die Werte E 0 D 32, E 0 D 19;2 sowie S D 3219;2 D 12;8. 3. Der vertikale Abstand zwischen den beiden Kurven K 0 .r/ und K 0 .r/ entspricht der Summe aller mit dem jeweiligen Zinssatz abgezinsten Steuerzahlungen, dem sog. Steuerbarwert (SB). So gilt bei einem Zinssatz von 4 %: KB0 .4 %/ D 80 C 112 1;044 D 15;74 K 0B .4 %/ D 80 C 8 1;041 C 1;042 C 1;043 C 75;2 1;044 D 6;48 SBB .4 %/ D 8 1;041 C 1;042 C 1;043 C 36;8 1;044 D 9;26: Wie Sie sehen, stimmt der so ermittelte Steuerbarwert exakt mit der Diﬀerenz der beiden Kapitalwerte überein: K 0 K 0 D 15;74 6;48 D 9;26 D SB : Die Reihe der Steuerzahlungen (8; 8; 8; 36,8) weist nur einen Vorzeichenwechsel von nach C auf, entspricht also dem schon aus 7 Abschn. 4.2.1.1 bekannten Typ der sog. Normalinvestition. Dementsprechend nimmt der Barwert aller Steuerzahlungen SBB .r/ im Bereich der hier interessierenden Zinssätze (bis etwa 10 %) mit steigendem r als Folge des immer stärker wirkenden Abzinsungseﬀektes ständig ab. c. Der Volumeneﬀekt entspricht jeweils der Diﬀerenz der beiden zu 7 % ermittelten Kapitalwerte vor und nach Steuern. Für die

beiden Kapitalwerte nach Steuern gilt: K 0A

D 80 C 32 1;071 C 1;072 C 14 1;073 C 1;074 D 0;03 K 0B D 80 C 8 1;071 C 1;072 C 1;073 C 75;2 1;074 D 1;64: Für die Volumeneﬀekte der beiden Projekte gilt dann weiter: VEA D KA0 .7 %/ K 0A .7 %/ D 8;11 .0;03/ D 8;14

VEB D KB0 .7 %/ K 0B .7 %/ D 5;44 .1;64/ D 7;08: Der Volumeneﬀekt fällt bei Projekt A stärker aus. Für die jeweiligen Zinseﬀekte gilt: ZEA D K 0A .4;2 %/ K 0A .7 %/ D 4;43 .0;03/ D 4;46 ZEB D K 0B .4;2 %/ K 0B .7 %/ D 5;91 .1;64/ D 7;55: Der Zinseﬀekt fällt bei Projekt B oﬀensichtlich deutlich stärker aus. Im Vergleich zu Projekt A „proﬁtiert“ Projekt B also in zweifacher Weise von der Einbeziehung der Besteuerung: Zum einen „leidet“ Projekt B weniger unter der steuerlichen Belastung (! niedrigerer VE-Wert), zum anderen wirkt sich die Reduzierung des Kalkulationszinssatzes bei Projekt B stärker aus (! höherer ZE-Wert). Bildet man nun jeweils die Diﬀerenz zwischen Zins- und Volumeneﬀekt, so gilt: ZEA VEA D 4;46 8;14 D 3;68 ZEB VEB D 7;55 7;08 D 0;47: Insgesamt ergibt sich durch den Übergang zur Besteuerung für Projekt B gegenüber Projekt A also eine relative „Verbesserung“

209 5.9 Lösungen

von 4,15. In der Situation ohne Steuern betrug der „Rückstand“ von Projekt B gegenüber Projekt A allerdings nur KA0 KB0 D 8;11 5;44 D 2;67: Dieser „Rückstand“ wird durch die dargestellten Unterschiede in den jeweiligen steuerlichen Eﬀekten somit (deutlich) überkompensiert. 1 Übungsaufgabe 5.7

a. Für die Endwerte ergibt sich: EW 0 D 80 1;074 C 40 1;073 C 1;072 C 10 .1;07 C 1/ D 10;63 EW 0 D 80 1;0424 C 32 1;0423 C 1;0422 C 14 .1;042 C 1/ D 5;23: Das Projekt bleibt also auch im Steuerfall projektindividuell vorteilhaft; allerdings verringert sich der Endwert deutlich. b. Für Szenario I führt die Endvermögensanalyse zu folgenden Ergebnissen: Nicht-Steuerfall

Für die bei Unterlassen bzw. Durchführung des Projektes erzielbaren Endvermögenswerte gilt: EV 0U D 80 1;074 D 104;86 EV P0 D 40 1;073 C 1;072 C 10 .1;07 C 1/ D 115;50:

5

Steuerfall

Führt das Unternehmen das Projekt nicht durch, so führt die jetzt per Saldo nur noch zu 4,2 % verzinsliche Anlage zu einem Endvermögen von: EV 0U D 80 1;0424 D 94;31 : Bei Durchführung des Projektes wird demgegenüber folgendes Endvermögen erzielt: EV P0 D 32 1;0423 C 1;0422 C 14 .1;042 C 1/ D 99;54 : Die Diﬀerenz zwischen diesen beiden Werten entspricht mit 99;54 94;31 D 5;23 wieder (jetzt ohne Rundungsdivergenz) dem oben schon für EW 0 ermittelten Wert. Vergleich

Sowohl bei Unterlassen als auch bei Durchführung des Projektes führt die Besteuerung (naheliegenderweise) zu einer Verminderung des Endvermögens. Den Vermögensrückgang gegenüber der Situation ohne Steuern haben wir oben schon als Steuerlast (SL) kennengelernt. Für die entsprechenden Werte gilt in unserem konkreten Fall: SLU D EV 0U EV 0U D 104;86 94;31 D 10;55 SLP D EVP0 EV P0 D 115;50 99;54 D 15;96:

Im Gegensatz zu dem in 7 Abschn. 5.6.4.3 b. betrachteten Fall fällt die am EndvermöBei beiden Alternativen erreicht der Invesgen gemessene Steuerbelastung bei Durchtor also eine absolute Vermögenssteigerung. führung des Projektes jetzt allerdings höher Allerdings fällt diese mit 104;86 80 D aus als bei der Unterlassensalternative. Mit24;86 bei der verzinslichen Anlage niedrihin führt der Übergang zu der Besteuerung ger aus als bei der Durchführung des Proauch zu einer Verminderung des Endwerjektes mit 115;50 80 D 35;50. Die Diftes, so wie wir das in Aufgabenteil a. ja auch ferenz an Vermögenszunahme in Höhe von schon gesehen haben. 35;50 24;86 D 10;64 entspricht bis auf eine geringfügige Rundungsdivergenz dem c. Für Szenario II führt die Endvermögensanalyse zu folgenden Ergebnissen: soeben bestimmten Endwert EW 0 .

210

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

. Tabelle 5.18 Kontoentwicklung im Fall ohne Steuern (ÜA 5.7) Jahr

5

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsbelastung

1

80,00

5,60

40,00

45,60

2

45,60

3,19

40,00

8,79

3

8,79

0,62

10,00

0,59

4

0,59

0,04

10,00

10,63

9,37

100,00

SUMMEN

Projektzahlung

Kontostand

–

. Tabelle 5.19 Kontoentwicklung im Fall mit Steuern (ÜA 5.7) Jahr

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsbelastung

Projektzahlung

Kontostand

1

80,00

3,36

32,00

51,36

2

51,36

2,16

32,00

21,52

3

21,52

0,90

14,00

8,42

4

8,42

0,35

14,00

5,23

6,77

92,00

SUMMEN

Bei Verzicht auf das Projekt kommt es insoweit zu keiner zusätzlichen Belastung des Kreditkontos. Mit und ohne Steuern gilt also einfach: EV 0U D EV 0U D 0 : Die Entwicklung der Kreditbelastung im Fall der Projektdurchführung kann am anschaulichsten wieder anhand eines Abrechnungskontos verdeutlicht werden. Nicht-Steuerfall

Für den Fall ohne Steuern ergibt sich gemäß . Tab. 5.18 folgende Kontoentwicklung: Das schon aus der Endwertberechnung bekannte Ergebnis wird bestätigt: Die Durchführung des Projektes würde dazu führen, dass die Kreditbelastung am Ende der Projektlaufzeit um 10,63 niedriger sein würde als bei Verzicht auf das Projekt.

–

Steuerfall

Bezieht man die steuerlichen Eﬀekte sofort in die Verzinsung sowie die Projektzahlungen mit ein, so ergibt sich für den Fall mit Steuern gemäß . Tab. 5.19 folgende Kontoentwicklung: Wie nicht anders zu erwarten, wird auch hier das schon aus der Endwertberechnung bekannte Ergebnis bestätigt: Auch im Steuerfall ist die am Ende vorhandene Kreditbelastung bei Durchführung des Projektes um den Endwert von 5,23 geringer, als das bei Investitionsverzicht der Fall wäre. Vergleich

Wie wir gesehen haben, führt das Projekt sowohl in der Situation ohne Steuern als auch unter Berücksichtigung von Steuern zu einer Minderung der am Ende der Projektlaufzeit vorhandenen Kreditbelastung. Genau wie in Szenario I bleibt das Projekt

5

211 5.9 Lösungen

also auch unter Einbeziehung von Steuern projektindividuell vorteilhaft. Allerdings ist dieser „Vorteil“ im Steuerfall nicht einmal mehr halb so groß wie in der Situation ohne Steuern. Im Gegensatz zu dem im 7 Abschn. 5.6.4.3 b. betrachteten Fall führt die Einbeziehung von Steuern jetzt also auch in Szenario II zu einer eﬀektiven Vermögensminderung. Die für diese Minderung maßgeblichen Eﬀekte lassen sich anhand der beiden Kenngrößen VK und ZL etwas näher erläutern. Ein Blick in die . Tab. 5.18 und . Tab. 5.19 zeigt, dass für die Verzinsungskraft die Werte 0

VK D 20 sowie VK D 12 0

. Tabelle 5.20 Bestimmung der Zahlungsreihe e 0 (ÜA 5.7) t

0

1

2

3

et

600

231

231

231

˛t

600

200

200

200

gt D et ˛t

0

31

31

31

S t D 0;4 g t

0

12,4

12,4

12,4

600

218,6

218,6

218,6

e 0t

D et St

. Tabelle 5.21 Bestimmung der Zahlungsreihe e 00 (ÜA 5.7) t

0

et

600

˛t

600

1

2

3

231

231

231

400

100

100

gelten. Die Verzinsungskraft geht also um gt D et ˛t 0 169 131 131 8,00 zurück, was genau der Summe aller Steuerzahlungen entspricht. S t D 0;4 g t 0 67,6 52,4 52,4 Als Folge der steuerlichen Absetzbarkeit der 0 et D et St 600 298,6 178,6 178,6 Kreditzinsen geht allerdings auch die insgesamt entstehende Zinsbelastung zurück. Ein weiterer Blick in die . Tab. 5.18 und b. Die fragliche Zahlungsreihe e 0 kann mit . Tab. 5.19 zeigt, dass hier Hilfe von . Tab. 5.20 bestimmt werden. Für den Kapitalwert nach Steuern ergibt 0 0 ZB D 9;37 sowie ZB D 6;77 sich dann: gilt. Die Zinsbelastung wird also nur um K 0 .4;8 %/ 9;37 6;77 D 2;60 reduziert. D 600 C 218;6RBF .3 J:I 4;8 %/ Stellt man die bei der Verzinsungskraft einD 2;46 : tretende „Verschlechterung“ der entsprechenden „Verbesserung“ bei der ZinsbelasRelativ zur Unterlassensalternative verbestung gegenüber, so errechnet sich per Saldo sert sich die Investition durch die Einbeein steuerbedingter Rückgang des Endverziehung der Besteuerung zwar um 4;69 mögens um 8;00 2;60 D 5;40, was, 2;46 D 2;23, sie bleibt jedoch unvorteilwiederum nicht überraschend, genau der haft. Diﬀerenz der eingangs schon berechneten b. Die fragliche Zahlungsreihe e 00 bestimmt Endwerte entspricht: sich jetzt wie in . Tab. 5.21 angegeben. Für den Kapitalwert gilt jetzt: 0 0 EW EW D 10;63 5;23 D 5;40: K 00 D 600 C 298;6 1;0481 1 Übungsaufgabe 5.8 C 178;6 1;0482 C 1;0483 a. Für den Kapitalwert vor Steuern ergibt sich: D 2;70 : K 0 .8 %/ D 600 C 231 RBF .3 J:I 8 %/ D 4;69 :

d. Unter den geänderten Abschreibungsmodalitäten wird die Investition nun vorteil-

Kapitel 5 Erweiterungen des Grundmodells

212

was genau der Diﬀerenz zwischen den beiden Nach-Steuer-Kapitalwerten K 00 D 2;70 und K 0 D 2;46 entspricht.

. Tabelle 5.22 Bestimmung der Differenz e 00t e 0t (ÜA 5.7)

5

t

0

1

e 00t

600

298,6

178,6

178,6

e 0t

600

218,6

218,6

218,6

40

40

e 00t e 0t

˙0

2

80

3

haft. Der Grund dafür liegt darin, dass die Steuerbelastungen (bei unveränderter Gesamtsumme) zeitlich nach hinten verlagert werden und es zunächst (in t D 1) sogar zu Steuereinsparungen kommt. Dies erkennt man deutlich, wenn man die in . Tab. 5.22 abgebildete Diﬀerenz zwischen den beiden Nach-Steuer-Zahlungsreihen e 00 und e 0 betrachtet. Der geänderte Abschreibungsmodus läuft also letztendlich auf einen zinslosen „Steuerkredit“ in Höhe von 80 im Zeitpunkt t D 1 hinaus, der in zwei gleichen Raten in den Zeitpunkten t D 2 und t D 3 zu tilgen ist. Auf der Basis eines Nach-Steuer-Zinssatzes von 4,8 % beläuft sich der auf den Zeitpunkt t D 0 bezogene „Wert“ dieses Kredites auf: 80 1;0481 40 1;0482 C 1;0483 D 5;16 ;

Literatur 1.

2.

3.

4. 5. 6. 7. 8.

Bitz, M. (2005). Investition. In M. Bitz, M. Domsch, R. Ewert & F. W. Wagner (Hrsg.), Vahlens Kompendium der Betriebswirtschaftslehre 5. Aufl. (Bd. 1, S. 105– 171). München: Franz Vahlen. Bitz, M., & Ewert, J. (2014). Übungen in Betriebswirtschaftslehre (8. Aufl.). München: Franz Vahlen. insbes. Kapitel 3, C (Projektbewertung unter Berücksichtigung von Steuereffekten) und E (Ausgewählte Sonderprobleme) Bitz, M., Ewert, J., & Terstege, U. (2018) Investition – Multimediale Einführung in finanzmathematische Entscheidungskonzepte (3. Aufl.). Wiesbaden: Springer Gabler. insbes. Kapitel 5 Blohm, H., Lüder, K., & Schaefer, Chr. (2012). Investition (10. Aufl.). München: Franz Vahlen. Breuer, W. (2011). Investition I – Entscheidungen bei Sicherheit (4. Aufl.). Wiesbaden: Gabler. Hax, H. (1985). Investitionstheorie (5. Aufl.). Würzburg, Wien: Physica. Hering, Th. (2017). Investitionstheorie (5. Aufl.). München: De Gruyter. Kruschwitz, L. (2014). Investitionsrechnung (14. Aufl.). Berlin, New York: De Gruyter.

213

Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen 6.1

Vorbemerkungen und Einordnung – 215

6.2

Amortisationsdauer – 216

6.2.1 6.2.2

Definition und Ermittlung – 216 Analyse, ökonomische Interpretation und Kennzahlenkritik – 219

6.3

Interner Zinsfuß und verwandte Größen – 222

6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 6.3.5

Definition und Ermittlung – 222 Formale Analyse – 226 Ökonomische Interpretation – 228 Entscheidungsregel und Kennzahlenkritik – 230 Exkurs: Renditevergleiche bei Finanzanlagen und Krediten – 234

6.4

Kennzahlen auf Basis periodisierter Durchschnittsgrößen – 236

6.4.1 6.4.2 6.4.3

Ausgangspunkt der „statischen Verfahren“ – 236 Kostenvergleichsrechnung als Referenzbeispiel – 238 Andere Praktikerverfahren und zusammenfassende Kennzahlenkritik – 242

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 U. Terstege, M. Bitz, J. Ewert, Investitionsrechnung klipp & klar, WiWi klipp & klar, https://doi.org/10.1007/978-3-658-20992-6_6

6

6.5

Zusammenfassung – 244

6.6

Wiederholungsfragen – 245

6.7

Lösungen – 245 Literatur – 250

215 6.1 Vorbemerkungen und Einordnung

Lernziele dieses Kapitels 4 Die investitionstheoretischen Kennzahlen Amortisationsdauer und interner Zinsfuß formal und verbal definieren, für konkrete Beispielfälle berechnen und im Hinblick auf ihre ökonomische Aussagefähigkeit interpretieren und beurteilen können 4 Mögliche Abweichungen und Widersprüche zwischen den auf Amortisationsdauern bzw. internen Zinsfüßen und den auf Kapitalwerten basierenden Entscheidungen erläutern und inhaltlich einordnen können 4 Argumente kennen und artikulieren können, die (insbesondere bei Auswahlentscheidungen) gegen die Anwendung der Kennzahlen Amortisationsdauer und interner Zinsfuß sprechen 4 Statische Investitionsrechnungsverfahren von den klassischen finanzmathematischen Verfahren abgrenzen und die konzeptionellen Unterschiede herausstellen können 4 Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen unterschiedlichen statischen Verfahren benennen und die zugehörigen Kennzahlen für konkrete Beispielfälle berechnen und im Hinblick auf ihre ökonomische Aussagefähigkeit interpretieren und beurteilen können 4 Argumente kennen und artikulieren können, die gegen die Anwendung der statischen Verfahren der Investitionsrechnung bei Investitionsentscheidungen sprechen

6.1

Vorbemerkungen und Einordnung

In 7 Abschn. 4.2 haben wir uns ausführlich mit den drei Kennzahlen Endwert, Kapitalwert und Annuität beschäftigt und uns verdeutlicht, dass sich diese drei Kennzahlen auf absolute Vermögensänderungen beziehen und damit einen eindeutigen Bezug zur Endvermögensmaximierung aufweisen, wenn ein Investor unter Berücksichtigung seiner individuellen Finanzlage in der Lage ist, 4 die für zukünftige Perioden maßgeblichen Kalkulationszinssätze eindeutig abzuschätzen und

6

4 die Durchführung des zu beurteilenden Projekts selbst keinen Einﬂuss auf die Finanzlage des Investors in einzelnen Perioden hat. Unter diesen Voraussetzungen geben ein positiver Kapital- oder Endwert bzw. eine positive Annuität jeweils exakt den Geldbetrag an, den ein Investor im Zeitpunkt t D 0 oder t D T bzw. in den Zeitpunkten t D 1; 2; : : : ; T im Falle der Durchführung des betrachteten Investitionsprojektes entnehmen kann, ohne sein für den Fall des Investitionsverzichtes erreichbares Endvermögen zu verändern. Kapitalwert, Endwert und Annuität bilden also – bedingt durch unterschiedliche Bezugszeitpunkte bzw. -räume – in jeweils spezieller Weise Endvermögensdiﬀerenzen ab. Eine etwas andere Schreibweise der Formeln (4.16), (4.9) und (4.12) macht diesen Zusammenhang in Formel (6.1) nochmals zusammenfassend deutlich. EW D .EVP EVU / Bezugszeitpunkt t D T K D .EVP EVU / .1 C r/T Bezugszeitpunkt t D 0 e D .EVP EVU / .1 C r/T ANF.T I r/ Bezugszeitraum t D 1 bis t D T (6.1)

Um diese Endvermögensdiﬀerenzen sachgerecht durch die Kennzahlen Endwert, Kapitalwert und Annuität abzubilden, müssen bei der Berechnung dieser Kennzahlen alle mit einem zu beurteilenden Investitionsprojekt verbundenen unmittelbaren monetären Konsequenzen (vgl. 7 Abschn. 4.1.1) und die sich aus dem ﬁnanziellen Umfeld des Investors mittelbar ergebenden Konsequenzen (vgl. 7 Abschn. 4.1.2) zeitpunkt- und betragsgenau erfasst werden. Gelingt dies, so handelt es sich bei den Kennzahlen Kapitalwert, Endwert und Annuität um vermögensmessende zielkonforme Ersatzzielgrößen für die originäre Zielsetzung Endvermögensmaximierung. Die in den nachfolgenden Abschnitten behandelten Kennzahlen Amortisationsdauer

216

6

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

(vgl. 7 Abschn. 6.2), interner Zinsfuß (vgl. 7 Abschn. 6.3) und die aus periodisierten Erfolgsgrößen abgeleiteten Kennzahlen (vgl. 7 Abschn. 6.4) weisen bei allen nachfolgend noch zu verdeutlichenden Unterschieden die Gemeinsamkeit auf, dass sie, anders als Kapitalwert, Endwert und Annuität, keinen eindeutigen Bezug zur Endvermögensmaximierung aufweisen und ihre Verwendung nur in noch näher zu beschreibenden Ausnahme- bzw. Spezialfällen zu Entscheidungen führen, die mit der Endvermögensmaximierung kompatibel sind. Es handelt sich also im Allgemeinen um keine zielkonformen Ersatzzielgrößen für die originäre Zielsetzung Endvermögensmaximierung. Von der generellen Anwendung dieser Kennzahlen ist folglich zumindest immer dann abzuraten, wenn der Investor nach Endvermögensmaximierung oder einer daraus ableitbaren Zielgröße (vgl. 7 Abschn. 2.2.2) strebt. Aber warum behandeln wir diese „nicht empfehlenswerten“ Kennzahlen dann überhaupt in diesem Lehrbuch? Zwei Gründe sprechen dafür: 4 Zum einen handelt es sich bei der Amortisationsdauer, dem internen Zinsfuß und den aus periodisierten durchschnittlichen Erfolgsgrößen abgeleiteten Kennzahlen um Kennzahlen, die – soweit für uns erkennbar – in der Praxis wegen ihrer (vordergründigen) Anschaulichkeit recht häuﬁg zur Beurteilung von Investitionsprojekten herangezogen werden. Wegen dieser praktischen Relevanz erscheint es uns geboten, diese „sonstigen“ Kennzahlen etwas eingehender zu untersuchen und Ihnen die konzeptionellen Besonderheiten (und Schwächen) und die mit ihrem Einsatz verbundene Gefahr von Fehlentscheidungen aufzuzeigen. 4 Zum anderen können Kennzahlen wie die Amortisationsdauer oder der interne Zinsfuß ökonomisch als spezielle kritische Werte interpretiert werden, deren Kenntnis in bestimmten Entscheidungssituationen, insbesondere bei der Ableitung von Investitionsentscheidungen unter Unsicherheit, trotzdem hilfreich sein kann. Wir werden darauf bei der Vorstellung der Kennzahlen

und insbesondere in 7 Kap. 7 noch näher eingehen.

6.2 6.2.1

Amortisationsdauer Definition und Ermittlung

Als Amortisationsdauer t einer Investition bezeichnen wir (ausgehend vom Entscheidungszeitpunkt t D 0) den Zeitraum bis zu dem Zeitpunkt, in dem der Barwert aller bis dahin angefallenen Einzahlungen erstmalig größer ist als der Barwert aller bis dahin angefallenen Auszahlungen. Diese Deﬁnition der Amortisationsdauer gilt für Investitionsprojekte mit beliebigen Zahlungsstrukturen, also auch für Investitionsprojekte, deren Zahlungsreihen möglicherweise mehrere Vorzeichenwechsel aufweisen. Bevor wir uns mit dieser Kennzahl und den aus dem ermittelten Kennzahlenwert ableitbaren Aussagen ausführlicher beschäftigen, zeigen wir Ihnen in Beispiel 6.1 zunächst für den Fall einer Normalinvestition, also einer Investition mit positivem Nominalwert und genau einem Vorzeichenwechsel, auf, wie diese Kennzahl für beliebige Zahlungsreihen ermittelt bzw. errechnet werden kann. 777 Beispiel 6.1 Gegeben sei eine Investition, die in den Zeitpunkten t D 0 bis t D 6 folgende Zahlungssalden aufweist: e0 D 100I

e1 D 20I

e2 D 50I

e4 D 30I

e5 D 25I

e6 D 15 :

e3 D 40I

Die Amortisationsdauer dieser Investition kann bei einem Zinssatz von z. B. 6 % wie in . Tab. 6.1 bestimmt werden. Wir berechnen in . Tab. 6.1 nacheinander jeweils den Kapitalwert für den Fall, dass die betrachtete Zahlungsreihe bereits unmittelbar nach Eintritt des Zeitpunktes t D 0, t D 1, t D 2 usw. abbrechen würde, und stellen so fest, bei

6

217 6.2 Amortisationsdauer

. Tabelle 6.1 Bestimmung der Amortisationsdauer (Weg 1) Pt

t

et

e t q t

0

100

100

1

20

18,87

118,87

2

50

44,50

74,37

3

40

33,58

40,79

4

30

23,76

17,03

5

25

18,68

1,65

6

15

D0

e q

. Tabelle 6.2 Bestimmung der Amortisationsdauer (Weg 2) Jahr

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsbelastung

Projektzahlung

Kontostand

1

100,00

6,00

20,00

126,00

2

126,00

7,56

50,00

83,56

3

83,56

5,01

40,00

48,57

4

48,57

2,91

30,00

21,48

5

21,48

1,29

25,00

2,23

100

6

welchem gedachten Abbruchtermin sich erstmalig ein positiver Kapitalwert ergibt. Im vorliegenden Beispielsfall wäre das also im Zeitpunkt t D 5 der Fall; d. h., die Amortisationsdauer der betrachteten Investition beträgt bei einem Zinssatz von 6 % genau t D 5 Jahre. Durch die aus 7 Kap. 2 und 7 Kap. 4 bekannte Abbildung der mit einem Investitionsprojekt verbundenen direkten und indirekten Vermögenseffekte auf einem Projektkonto kann die durch . Tab. 6.1 beschriebene – möglicherweise auf Sie sehr formal wirkende – Vorgehensweise zur Bestimmung der Amortisationsdauer eines Investitionsprojektes besonders anschaulich ökonomisch verdeutlicht werden. Dazu unterstellen wir eine Ausgangssituation, in der der Investor aktuell und in den kommenden sechs Jahren stets einen Kontokorrentkredit zu einem konstant bleibenden Jahreszinssatz von 6 % in Anspruch nimmt, gehen also von dem Ihnen bereits aus 7 Abschn. 4.1.2 bekannten Szenario II aus. . Tab. 6.2 stellt die auf die Projektdurchführung bezogene Kontoentwicklung in den Zeitpunkten von t D 0 bis t D 6 dar. Bei Betrachtung der Kontostände der einzelnen Zeitpunkte erkennen wir, dass bei dem unterstellten Zinssatz von r D 6 % erstmals im Zeitpunkt t D 5 ein positiver Kontostand auftritt. Die Amortisationsdauer gibt also für unser Szenario II an, bis zu welchem Zeitpunkt t (hier t D 5) die mit dem Investitionsprojekt verbundenen Einzahlungsüberschüsse mindes-

15,00

tens anhalten müssen, damit alle im Zusammenhang mit der Projektdurchführung aufgenommenen Kredite in vollem Umfang getilgt und verzinst werden können und dem Investor erstmals in Verbindung mit der Projektrealisierung eine nicht kreditfinanzierte Entnahmemöglichkeit (hier: C2;23) offensteht. Der „Überschuss“ von 2,23 aus . Tab. 6.2 entspricht dabei (bis auf Rundungsdifferenzen) dem in . Tab. 6.1 ausgewiesenen Wert von 1,65 aufgezinst auf den Zeitpunkt t D 5. 999

>Merke Die Amortisationsdauer gibt an, bis zu welchem Zeitpunkt t Einzahlungsüberschüsse aus einem Investitionsprojekt anfallen müssen, damit die Summe der diskontierten Einzahlungsüberschüsse erstmals die Summe der vor t anfallenden diskontierten Auszahlungsüberschüsse übersteigt, also der Kapitalwert positiv wird.

?Übungsaufgabe 6.1 Bestimmen Sie die Amortisationsdauer der in Beispiel 6.1 betrachteten Zahlungsreihe (100; 20; 50; 40; 30; 25; 15) für einen Zinssatz von 2 % sowie für einen Zinssatz von 10 %.

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

218

Formal ist die gesuchte Größe t im Fall eines konstanten Kalkulationszinssatzes r also als das kleinstmögliche t zu bestimmen, das die in Formel (6.2) formulierte Bedingung erfüllt. K .t 1/ 0 < K .t / ,

1 tX

t D0

. Tabelle 6.3 Amortisationsdauer und Kalkulationszinssatz r

4%

6%

8%

10 % 12 %

t

10

11

13

16

20 < t < 30

t

e t .1 C r/

0<

t X

e t .1 C r/t

t D0

(6.2)

6 Die beiden Summenausdrücke in Formel (6.2) entsprechen den Kapitalwerten der Investition für die beiden Fälle, dass die Investitionszahlungsreihe gedanklich in den Zeitpunkten t 1 bzw. t „abgebrochen“ würde. Die Amortisationsdauer bezeichnet also den Zeitraum bis zu dem ersten Zeitpunkt, zu dem der Kapitalwert des Investitionsprojektes erstmals positiv wird. Die Höhe dieses positiven Kapitalwertes ist für die ermittelte Kennzahl t irrelevant. Auf diesen Aspekt werden wir bei der Analyse der Kennzahl Amortisationsdauer noch genauer eingehen. In dem Spezialfall, dass die Zahlungsreihe der Investition aus einer Anfangsauszahlung a0 (a0 D e0 ) und einem Strom über T Perioden hinweg konstanter jährlicher Einzahlungsüberschüsse e besteht, vereinfacht sich die Formel zur Bestimmung der Amortisationsdauer zu Formel (6.3). a0 C e RBF .t 1I r/ 0 < a0 C e RBF .t I r/ a0 , RBF .t 1I r/ < RBF .t I r/ (6.3) e Da der Rentenbarwertfaktor mit steigendem t wächst, kann in diesem Spezialfall aus einer Tabelle von Rentenbarwertfaktoren die gesuchte Amortisationsdauer t sehr einfach ermittelt werden, indem man feststellt, für welches t der Rentenbarwertfaktor zum ersten Mal größer wird als der Quotient a0 =e. Für diesen speziellen Fall ist also ein explizites und sukzessives Berechnen der Kapitalwerte für fortschreitende Projektlaufzeiten nicht erforderlich. Beispiel 6.2 verdeutlicht diese Vorgehensweise.

777 Beispiel 6.2 Gilt etwa e0 D 100, e D 13 und T D 20, so kann die Amortisationsdauer recht einfach aus der im Anhang befindlichen 7 Tab. A.3 abgelesen werden. Für einen Zinssatz von 4 % etwa erkennen wir, dass der Rentenbarwertfaktor für t D 9 mit 7,4353 noch gerade kleiner ist als der Quotient von a0 =e D 100=13 D 7;6923 und für t D 10 mit 8,1109 größer als dieser Quotient ist. Der Kapitalwert des Investitionsprojekts wäre beim Zinssatz von r D 4 % also erstmals positiv, wenn der jährliche Einzahlungsüberschuss in Höhe von 13 mindestens 10 Jahre anhält. Wie Sie aus der 7 Tab. A.3 weiterhin unmittelbar ablesen können, gelten des Weiteren die in . Tab. 6.3 angegebenen Amortisationsdauern in Abhängigkeit von dem jeweils zugrunde gelegten Zinssatz. Für einen Zinssatz von 12 % ergibt sich mit einem Wert von t D 23, der aus der 7 Tab. A.3 nicht unmittelbar abgelesen werden kann, für die Amortisationsdauer ein höherer Wert als die Laufzeit der Investition überhaupt ausmacht. Das heißt, bei einem Zinssatz von 12 % ergibt sich für die betrachtete Investition mit einer Laufzeit von 20 Jahren überhaupt kein positiver Kapitalwert. Die betrachtete Investition würde sich bei einem Zinssatz von 12 % nie amortisieren. Stiege der Zinssatz auf einen Wert von 13 % oder höher, so würde sich die Investition selbst für den Fall einer unendlichen Laufzeit nicht amortisieren, wie Sie sich selbst leicht klarmachen können. Für r D 13 % reichen die jährlichen Rückflüsse aus der Investition ja gerade aus, um in Szenario II jeweils am Jahresende die fälligen Zinsen zu zahlen. Eine Tilgung des Ursprungskredits wäre aus den Projektrückflüssen nicht möglich. Ein positiver Kontostand würde auf dem Projektkonto folglich niemals auftreten können. 999

219 6.2 Amortisationsdauer

?Übungsaufgabe 6.2 Gehen Sie von einer Investition aus, für deren Zahlungsreihe gilt: e0 D 100, e t D 10, für t D 1; 2; 3 und e t D 8, für t D 4; 5; : : : ; 20. Bestimmen Sie die Amortisationsdauer dieser Investition für einen Zinssatz von 5 %.

6

Für Investitionen der „Klasse (C)“ gilt also Formel (6.4). t T ) K > 0 ) EV P > EV U

(6.4)

Unterstellt man für Investitionen der „Klasse (C)“ zusätzlich, dass der Investor aktuell und zumindest bis zum errechneten Amortisationszeitpunkt stets einen Kontokorrentkredit in Anspruch nimmt, so kann die Amortisa6.2.2 Analyse, ökonomische tionsdauer ökonomisch sehr anschaulich wie Interpretation und folgt umschrieben werden: Kennzahlenkritik Die Amortisationsdauer gibt dann an, bis zu welchem Zeitpunkt die EinzahlungsüberZur besseren Nachvollziehbarkeit unserer schüsse mindestens anhalten müssen, damit Überlegungen bietet es sich erneut an, die der Investor nach vollständiger Tilgung und Kennzahl Amortisationsdauer zunächst im Verzinsung der zur Projektdurchführung aufKontext einer projektindividuellen Entscheigenommenen Kredite allein durch die Projektdung und erst anschließend im Kontext von rückﬂüsse einen Vermögensüberschuss im VerAuswahlentscheidungen zu analysieren. gleich zur Unterlassensalternative erzielt. 1 Projektindividuelle Entscheidung

Beschränken wir uns bezüglich der Interpretation zunächst einmal auf den Fall solcher Investitionen, für die sich wie in Beispiel 6.1 ein Amortisationszeitpunkt t T bestimmen lässt und für deren Zahlungssalden nach dem ermittelten Amortisationszeitpunkt gilt: e t 0 für alle t > t , die also nach dem ermittelten Amortisationszeitpunkt keine Auszahlungsüberschüsse mehr aufweisen. Die Amortisationsdauer einer Investition dieser „Klasse (C)“, zu der deﬁnitionsgemäß im Fall ihrer Amortisation auch die Ihnen bereits bekannten Normalinvestitionen gehören, gibt an, bis zu welchem Zeitpunkt die Einzahlungsüberschüsse mindestens anhalten müssen, damit sich für die betrachtete Investition ein positiver Kapitalwert ergibt. Nach dem Amortisationszeitpunkt anfallende Zahlungen können bei Investitionen der „Klasse (C)“ den Kapitalwert des Projektes deﬁnitionsgemäß nur noch erhöhen, so dass der Kapitalwert eines Investitionsprojektes der „Klasse (C)“ auch bei Berücksichtigung aller nach dem Amortisationszeitpunkt zu berücksichtigenden Zahlungssalden zwingend positiv bleibt.

>Merke Normalinvestitionen, die sich während der Projektlaufzeit amortisieren, weisen zwingend einen positiven Kapitalwert auf und sind damit projektindividuell vorteilhaft.

Handelt es sich hingegen um ein Projekt, bei dem nach dem berechneten Amortisationszeitpunkt noch Auszahlungsüberschüsse auftreten können („Klasse ()“), für das also gilt: e t < 0 für mindestens ein t > t , so können nach dem ermittelten Amortisationszeitpunkt anfallende Auszahlungen dazu führen, dass sich bei Berücksichtigung aller Projektzahlungen – trotz zwischenzeitlicher „Amortisation“ – insgesamt ein negativer Kapitalwert für das Projekt ergibt, insoweit also gerade kein Vermögensüberschuss im Vergleich zur Unterlassensalternative erzielt wird. Für Investitionen der „Klasse ()“ gilt also, dass für t T keineswegs sichergestellt ist, dass sich das betrachtete Projekt bei Berücksichtigung aller Projektzahlungen tatsächlich amortisiert. Beispiel 6.3 verdeutlicht für ein Projekt der „Klasse ()“ das angesprochene Problem.

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

220

. Tabelle 6.4 Bestimmung der Amortisationsdauer (Weg 2) Jahr

6

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsbelastung

Projektzahlung

Kontostand

1

100,00

6,00

20,00

126,00

2

126,00

7,56

50,00

83,56

3

83,56

5,01

40,00

48,57

4

48,57

2,91

30,00

21,48

5

21,48

1,29

25,00

2,23

6

2,23

0,13

10,00

7,64

777 Beispiel 6.3

. Tabelle 6.5 Zahlungsreihen alternativer Investitionsprojekte e0

e1

e2

e3

X

100

121

0

Y

100

0

242

Z

100

0

0

0

1.464,10

dem Typ einer Normalinvestition entsprechen, können bei Berücksichtigung aller Projektzahlungen auch einen negativen Kapitalwert aufweisen und sind damit (trotz zwischenzeitlicher Amortisation) nicht zwingend vorteilhaft. Aus der Existenz einer Amortisationsdauer t T kann dann also nicht auf die Vorteilhaftigkeit des Projektes geschlossen werden.

Betrachtet sei nochmals das in Beispiel 6.1 untersuchte Projekt der „Klasse (C)“ mit der Zahlungsreihe (100; 20; 50; 40; 30; 25; 15). Wir 1 Auswahlentscheidung unterstellen nun jedoch, dass bei sonst unverStehen (neben der Unterlassensalternative) änderten Projektzahlungen im Zeitpunkt t D mehrere einander ausschließende Investitions6 kein Einzahlungsüberschuss von 15 sondern projekte zur Auswahl, so kann die Orientierung stattdessen ein Zahlungsdefizit von 10 eintritt, der Entscheidung an der Kennziﬀer Amortigehen also nun von einem Projekt der „Klassationsdauer generell zu Fehlentscheidungen se ()“ mit folgender Zahlungsreihe aus (100; führen, selbst dann, wenn alle zur Auswahl 20; 50; 40; 30; 25; 10). Bestimmt man nun wie stehenden Alternativen zur „Klasse (C)“ gehöin Beispiel 6.1 die Amortisationsdauer auf Weg 2 ren. Beispiel 6.4 verdeutlicht die grundsätzliche (vgl. . Tab. 6.4), so wird deutlich, dass das ProProblematik. jekt nach wie vor eine Amortisationsdauer von t D 5 < T D 6 aufweist, jetzt aber bei 777 Beispiel 6.4 Berücksichtigung aller Projektzahlungen einen Ausgegangen sei von drei Investitionsprojekten negativen Endkontostand von C6 D 7;64 aufX, Y und Z, die durch die in . Tab. 6.5 angegeweist und damit unter der Zielsetzung Endverbenen Zahlungsreihen gekennzeichnet werden mögensmaximierung projektindividuell unvorkönnen. teilhaft ist. 999 Berechnet man nun gemäß Formel (6.2) für die drei betrachteten Projekte bei einem KalkuNur in dem betrachteten Spezialfall einer lationszinssatz von 10 % die AmortisationsdauInvestition der „Klasse (C)“ stellt die Amorti- ern und gemäß Formel (4.6) die Kapitalwerte der sationsdauer also bei projektindividueller Be- drei Projekte, so ergeben sich folgende Werte:

trachtung eine äquivalente Ersatzzielgröße für den Kapitalwert und damit für das EndvertX D 1 < tY D 2 < tZ D 3 mögen dar. KZ D 1:000 > KY D 100 > 0 > KX D 10: >Merke Investitionen, die sich während der Projektlaufzeit amortisieren und die nicht

Das gemessen am Kapitalwert schlechteste der drei Projekte, also Projekt X, weist die geringste Amortisationsdauer auf. 999

221 6.2 Amortisationsdauer

Ginge man im Falle einer Auswahlentscheidung von der intuitiv naheliegenden Möglichkeit aus, dasjenige Projekt zu präferieren, das die kürzeste Amortisationszeit aufweist, so würde die Befolgung dieser Entscheidungsregel im Beispielfall zu einer nicht zielkonformen Entscheidung führen. Projekt X, also das gemessen am erreichbaren Endvermögen schlechteste der drei Projekte, würde als Optimalalternative ausgewiesen werden. Eine Orientierung der Entscheidung an einer Entscheidungsregel, die Investitionsprojekte mit längerer Amortisationsdauer systematisch schlechter bewertet als Projekte mit kürzerer Amortisationsdauer, führt allgemein nicht zu zielkonformen Entscheidungen, wie Beispiel 6.4 zeigt. Verallgemeinern wir nun die durch die Beispiele 6.3 und 6.4 gewonnenen Erkenntnisse, so lässt sich festhalten: 4 Gehört im Falle einer projektindividuellen Vorteilhaftigkeitsbetrachtung das zu beurteilende Projekt nicht der „Klasse (C)“ an, so kann die Wahl dieses Projektes trotz t T dazu führen, dass der Investor sich für ein Investitionsprojekt entscheidet, das zu einem geringeren Endvermögen als die Unterlassensalternative führt, er also eine Fehlentscheidung trifft. 4 Würde man sich bei der Wahl zwischen einander ausschließenden Investitionsalternativen allein nach der kürzeren Amortisationsdauer richten, so würden dadurch Investitionsprojekte, deren Einzahlungsschwerpunkt später liegt, systematisch schlechter bewertet als Projekte mit relativ schnellem Mittelrückﬂuss. Die Orientierung an der kürzeren Amortisationsdauer führte somit tendenziell zu Fehlentscheidungen – auch dann, wenn wie in Beispiel 6.4 alle zur Auswahl stehenden Investitionsprojekte der „Klasse (C)“ angehören. >Merke Die Minimierung der Amortisationsdauer ist bei Auswahlentscheidungen keine sinnvolle Zielsetzung.

6

Die Untauglichkeit der Amortisationsdauer als generelles Entscheidungskriterium ergibt sich bereits zwingend aus der Konstruktion dieser Kennzahl. Die Amortisationsdauer weist ganz oﬀensichtlich keinen unmittelbaren Bezug zu den Vermögensänderungen auf, die die Investition im Vergleich zum Investitionsverzicht aufweist, da 1. alle mit einem Investitionsprojekt verbundenen Zahlungen jenseits des individuellen Amortisationszeitpunktes t gänzlich vernachlässigt werden und 2. die konkrete Höhe des mit der Projekteinzahlung im Zeitpunkt t erreichten Vermögensvorteils und damit die Höhe des in t erreichten Kapitalwertes des betrachteten Investitionsprojektes letztlich unberücksichtigt bleibt. Da jedoch alle Zahlungen eines Investitionsprojektes die primäre Zielgröße Endvermögen beeinﬂussen, kann sowohl die Vernachlässigung einzelner Projektzahlungen als auch die unzureichende Berücksichtigung der Höhe des in t erreichten Vermögensüberschusses zu Fehlentscheidungen führen. Die Verwendung der Amortisationsdauer als Entscheidungskriterium leuchtet allerdings selbst bei projektindividueller Betrachtung und in dem oben beschriebenen Spezialfall einer Investition der „Klasse (C)“ nicht unmittelbar ein, da der Kapitalwert eines Investitionsprojektes auf jeden Fall erheblich einfacher zu ermitteln ist als dessen Amortisationsdauer, zu deren Ermittlung i. d. R. ja mehrere Kapitalwertberechnungen durchzuführen sind. Unter der von uns bisher vorausgesetzten Annahme sicherer Erwartungen ist die Amortisationsdauer als investitionstheoretische Kennzahl folglich überﬂüssig, da sie für einen Investor, der der Zielsetzung Endvermögensmaximierung folgt, keinerlei entscheidungsrelevante Zusatzinformationen generiert und abgesehen von Ausnahmefällen allenfalls zufällig zu zielkonformen Investitionsentscheidungen führt. Eine gewisse Bedeutung kann der Kennzahl Amortisationsdauer allenfalls im Zusam-

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

222

menhang mit ihrer Interpretation als kritischer Wert bei Investitionsentscheidungen im Fall der Unsicherheit zukommen. Darauf werden wir in 7 Kap. 7 noch ausführlicher eingehen.

Interner Zinsfuß und verwandte Größen

6.3

6

6.3.1

Definition und Ermittlung

Als internen Zinsfuß r einer Zahlungsreihe e0 ; : : : ; eT bezeichnet man den kritischen Wert des Kalkulationszinssatzes r, auf dessen Basis sich für den Kapitalwert der Zahlungsreihe gerade der Wert Null ergibt. Der interne Zinsfuß entspricht also einer Nullstelle der Kapitalwertfunktion einer Zahlungsreihe und ist in der graphischen Darstellung der Kapitalwertfunktion (vgl. dazu 7 Abschn. 4.2) durch einen Schnittpunkt der Kapitalwertfunktion mit der Abszisse gekennzeichnet. Formal ist der interne Zinsfuß r also als der Wert von r zu bestimmen, für den die Gleichung (6.5) gilt. K .r / D

T X

e t .1 C r /t D 0

t D0

, K .r / D e0 C e1 q 1 C e2 q 2 C e3 q 3 C : : : C eT q T D 0; mit qW D 1 C r (6.5)

>Merke Der interne Zinsfuß eines Investitionsprojektes ist als Nullstelle der Kapitalwertfunktion des Investitionsprojektes definiert.

777 Beispiel 6.5 1. Betrachtet sei zunächst eine Investition, bei der auf eine einzige Auszahlung in t D 0 nur eine einzige Einzahlung im Zeitpunkt t D T folgt, die also z. B. durch die Zahlungsreihe (10; 0; 0; 0; 0; 20) abgebildet werden kann. Eine solche Struktur der Zahlungsreihe ist insbesondere charakteristisch für den Kauf von Zero-Bond-Anleihen, also für Anleihen, bei denen sämtliche Zahlungen des Emittenten für Zins und Tilgung in einer Summe am Ende der Anleihelaufzeit erfolgen. Für eine solche Investition ergibt sich r gemäß Formel (6.5) aus: e0 C eT .1 C r /T D 0 : Formt man diese Gleichung nun nach r um, so ergibt sich allgemein:

r D

r T

eT 1D e0

r T

eT 1I a0

mit a0 WD e0 : Für die Zahlungsreihe (10; 0; 0; 0; 0; 20) ergibt sich damit ein Wert für den internen Zinsfuß in Höhe von 14,87 %, wie nachfolgende Rechnung zeigt:

r Wie insbesondere die zweite Gleichung in (6.5) 5 20 1 D 0;1487 : D r verdeutlicht, kann der interne Zinsfuß für In10 vestitionsprojekte mit Laufzeiten von mehr als zwei Perioden nur implizit, also durch Anwen- 2. Betrachtet sei nun eine Investition, bei der auf eine einzige Auszahlung in Höhe von a0 dung numerischer Approximationsverfahren, (a0 D e0 ) in den Zeitpunkten t D 1 bis bestimmt werden. Nur in Sonderfällen kann Gleichung (6.5) explizit nach r aufgelöst wert D T 1 Einzahlungen in konstanter Höden. Drei Sonderfälle, bei denen die spezielle he von e1 D e2 D : : : D eT 1 D z a0 Struktur der Zahlungsreihe des Investitionsund im Zeitpunkt T eine Schlusseinzahlung projektes die explizite Bestimmung von r zuin Höhe von eT D .1 C z/ a0 erfolgen, die lässt, behandelt Beispiel 6.5. also z. B. für e0 D 10 und z D 0;1 durch die

223 6.3 Interner Zinsfuß und verwandte Größen

Zahlungsreihe (10; 1; 1; 1; 1; 11) abgebildet werden kann. Eine solche Struktur der Zahlungsreihe ist insbesondere charakteristisch für Kuponanleihen mit jährlich nachschüssiger Zinsauszahlung und endfälliger Rückzahlung zum Emissionskurs. Für eine solche Investition ergibt sich r gemäß Formel (6.5) aus: a0 C a0 z RBF .T I r / C a0 .1 C r /T D 0 : Die Umformung dieser Gleichung führt über h i a0 .1 C r /T 1 T

1 .1 C r / D0 C a0 z rh i

z , a0 a0 1 .1 C r /T D 0 r zu einem eindeutigen internen Zinsfuß in Höhe von: r D z: Für die Zahlungsreihe (10; 1; 1; 1; 1; 11) errechnet sich so als interner Zinsfuß r D 10 %. 3. Betrachtet sei als letzter Sonderfall eine Investition, die nur in den Zeitpunkten t D 0, t D 1 und t D 2 Zahlungen aufweist, die also z. B. durch die Zahlungsreihe (200; 210; 23) abgebildet werden kann. Für diese Investition ergibt sich r gemäß Formel (6.5) aus: 1

e0 C e1 .1 C r /

2

C e2 .1 C r /

D 0:

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung führt zu: s e1 e1 2 e2 ˙ 1 r1;2 D 2e0 2e0 e0 und für die Zahlungsreihe (200; 210; 23) zu D r1;2

210 2 .200/ s 2 23 210 1 ˙ 2 .200/ 200

D 0;475 ˙ 0;625 :

6

Es errechnen sich zunächst zwei interne Zinsfüße von 15 % und 110 %. Da die Zahlungsreihe (200; 210; 23) dem Typ einer Normalinvestition entspricht, hat das Projekt aber nur genau einen positiven internen Zinsfuß, hier: r D 15 %. Der zunächst ebenfalls errechnete Wert r D 110 % ist nicht weiter zu beachten, da er außerhalb des Bereichs ökonomisch relevanter Zinssätze liegt. Auf die Problematik mehrerer interner Zinsfüße werden wir in 7 Abschn. 6.3.2 noch zurückkommen. 999

?Übungsaufgabe 6.3 Bestimmen Sie für Projekt I (1.000; 660; 484) und Projekt II (200; 0; 0; 0; 414,72) jeweils den internen Zinsfuß.

Wie bereits ausgeführt, lässt sich die Gleichung (6.5) allgemein nicht explizit nach r auﬂösen. Zur Ermittlung des internen Zinsfußes beliebiger Zahlungsreihen können Sie im konkreten Fall einen Taschenrechner mit spezieller Lösungsfunktion für die Bestimmung von Nullstellen oder auch Tabellenkalkulationsprogramme wie z. B. Excel benutzen. Solche Programme verwenden zur Nullstellenbestimmung spezielle Approximationsverfahren, die letztlich die gesuchte Nullstelle mit beliebiger Genauigkeit numerisch bestimmen. Beispiel 6.6 verdeutlicht eine diesbezügliche Anwendung von Excel. 777 Beispiel 6.6 Betrachtet sei nochmals das bereits aus Beispiel 4.2 bekannte Projekt 1 (100; 30; 40; 50). Nachfolgend verdeutlichen wir Ihnen die einfache Vorgehensweise zur Bestimmung des internen Zinsfußes des Projektes 1 mittels Anwendung der IKV-Funktion von MS Excel. In die Zellen A1 bis A4 tragen wir die Zahlungsgrößen (100; 30; 40; 50) des Projektes 1 ein; darunter rufen wir die IKV-Funktion auf und geben dort den maßgeblichen Zellbereich ein. Im „Text“-Format erhalten wir so das in dem linken Feld wiedergegebene Bild. Stellen wir die Zelle A6 nun auf das „Prozent“-Format um, so wird der interne Zinsfuß angegeben (hier auf vier Stellen nach dem Komma genau).

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

224

A

A

1

100

1

100

2

30

2

30

3

40

3

40

4

50

4

50

5 6

5 D IKV(A1 : A4)

6

8,8963

999

6 >Merke

Der interne Zinsfuß eines Investitionsprojektes lässt sich nur für spezielle Strukturen der Zahlungsreihe analytisch exakt berechnen. Er kann jedoch unabhängig von der Struktur der zugrundeliegenden Zahlungsreihe mit beliebiger Genauigkeit approximativ ermittelt werden.

Um Sie mit der prinzipiellen Vorgehensweise solcher Approximationsverfahren vertraut zu machen und Sie damit in die Lage zu versetzen, interne Zinsfüße beliebiger Zahlungsreihen auch ohne „Rechnerhilfe“ bestimmen zu können, wollen wir Ihnen im Folgenden eine formal wenig anspruchsvolle und inhaltlich leicht nachvollziehbare Approximationsmethode vorstellen, mit deren Hilfe der interne Zinsfuß aller Arten von Zahlungsreihen mit beliebiger Genauigkeit bestimmt werden kann. Wie . Abb. 6.1 verdeutlicht, verläuft die Kapitalwertfunktion von Projekt 1 (100; 30; 40; 50), deren Nullstelle wir suchen, zwischen beliebigen Zinssätzen mehr oder weniger stark „bauchig“. Die Lösungsidee bei der vorzustellenden Approximationsmethode besteht nun darin, für alternative Zinssätze r jeweils den zugehörigen Kapitalwert zu bestimmen und dabei die gesuchte Nullstelle zunächst „einzukreisen“, d. h., zwei Zinssätze rP und rN mit K.rP / > 0 und K.rN / < 0 zu ﬁnden, die möglichst nahe neben der gesuchten Nullstelle liegen. Verbindet man die beiden Punkte (rP , KP ) und (rN , KN ) durch eine Gerade, so kann deren Ab-

szissenschnittpunkt rQ1 als erste Näherung für den gesuchten Wert r angesehen werden. Der so gefundene erste Näherungswert rQ1 liegt bei der hier betrachteten Normalinvestition umso näher an dem exakten Wert r , je enger die Nullstelle im Vorfeld schon eingekreist worden ist. Die Bestimmung von rQ1 bereitet keine größeren formalen Probleme, da letztlich nur die Nullstelle einer Geraden (Funktion ersten Grades), von der zwei Punkte bekannt sind und die damit eindeutig festgelegt ist, zu bestimmen ist. Für rQ1 ergibt sich Formel (6.6). rQ1 D

rN KP rP KN KP KN

(6.6)

Beispiel 6.7 verdeutlicht die Anwendung der Approximationsmethode unter Verwendung von Formel (6.6). 777 Beispiel 6.7 Für unsere Investition 1 (100; 30; 40; 50), die – wie in Beispiel 6.6 errechnet – einen internen Zinsfuß von r D 8;8963 % aufweist, könnten z. B. auf Basis der Ausgangszinssätze rP D 5 % und rN D 15 % die Kapitalwerte KP D C8;04 und KN D 10;79 ermittelt worden sein. Gemäß Formel (6.6) ergibt sich damit als erste Näherung für r : rQ1 D

0;15 8;04 0;05 .10;79/ D 0;092698 : 8;04 .10;79/

Als erste Näherung für den internen Zinsfuß erhalten wir also den Wert 9,27 % (vgl. . Abb. 6.1). Hätten wir in unserem Beispiel als Ausgangszinssätze rP 0 D 8 % und rN 0 D 10 % gewählt und dadurch mit KP 0 D C1;76 und KN 0 D 2;10 die Nullstelle der Kapitalwertfunktion bereits im Vorfeld näher eingegrenzt, so hätte sich als erste Näherung für r mit rQ1 D 0;0891 bereits ein Wert ergeben, der bis auf marginale Abweichungen dem gesuchten Wert von r D 0;088963 entspricht. 999

Häuﬁg ist die gemäß Formel (6.6) bestimmte erste Näherung schon eine hinlängliche Approximation für r . Will man zu einem genaueren

6

225 6.3 Interner Zinsfuß und verwandte Größen

. Abb. 6.1 Approximation des internen Zinsfußes durch graphische Interpolation

K 20

10

(rP , K P )

8, 04

r1

9, 27%

0 5% r*

15%

(rN, K N)

10 10, 79

Wert (einer besseren Approximation) gelangen, so kann z. B. wie folgt fortgefahren werden: Es wird zunächst der rQ1 entsprechende Kapitalwert K.Qr1 / errechnet. Je nachdem, ob K.Qr1 / positiv oder negativ ist, wird der bisherige Zinssatz rP bzw. rN durch rQ1 sowie KP bzw. KN durch K.Qr1 / ersetzt und erneut ein Approximationswert rQ2 nach Formel (6.6) bestimmt. Dieser Zyklus kann beliebig oft wiederholt werden, so dass der interne Zinsfuß r stets in der gewünschten Genauigkeit approximiert werden kann. Je enger die Nullstelle bereits im ersten Approximationsschritt durch rP bzw. rN eingekreist worden ist, umso weniger Approximationsschritte sind notwendig, um r mit der gewünschten Genauigkeit zu bestimmen. ?Übungsaufgabe 6.4 Führen Sie für unsere Beispielinvestition 1 (100; 30; 40; 50) auf Basis der Ausgangszinssätze rP D 5 % und rN D 15 % den nächsten Approximationszyklus durch und bestimmen Sie rQ2 .

r

8,8963%

Im allgemeinen Fall sind die Ausgangswerte rP bzw. rN für den ersten Approximationsschritt durch probeweise Kapitalwertberechnungen auf Basis unterschiedlicher Zinssätze zu ermitteln. Für „spezielle“ Zahlungsreihen lassen sich Ausgangswerte rP bzw. rN jedoch auch ohne explizite Berechnungen bestimmen. Als Beispiel einer solchen „speziellen“ Zahlungsreihe wird im folgenden Beispiel 6.8 eine Investition betrachtet, bei der auf eine einzige Auszahlung im Zeitpunkt t D 0 in allen zukünftigen Zeitpunkten t D 1; 2; : : : ; T konstante Einzahlungen in Höhe von e folgen. Für diese Investition ergibt sich r gemäß Formel (6.5) aus: e0 C e RBF.T I r / D 0. Nach einfacher Umformung ergibt sich mit RBF .T I r / D

1 .1 C r /T e0 D r e

ein Ausdruck, der sich zwar nur in Sonderfällen explizit nach r auﬂösen lässt, jedoch zur Festlegung von Startwerten für die appro-

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

226

ximative Bestimmung des internen Zinsfußes genutzt werden kann. 777 Beispiel 6.8 Eine Investition bedingt eine Anfangsauszahlung von 150 und erbringt 12 Jahre lang einen gleichbleibenden Einzahlungsüberschuss von jährlich 20. Es gilt also: e0 D 150; e D 20; T D 12. Mithin muss der interne Zinsfuß r der Bedingung

6

RBF .12 J:I r / D

.150/ D 7;5 20

genügen. D. h., wir müssen den Zinssatz bestimmen, bei dem der Rentenbarwertfaktor für 12 Jahre dem Wert 7,5 möglichst nahe kommt. Durch einen Blick in die im Anhang befindliche 7 Tab. A.3 erkennt man, dass der gesuchte Zinssatz r zwischen 4 8 % (RBF.12 J:I 8 %/ D 7;5361) und 4 9 % (RBF.12 J:I 9 %/ D 7;1607) liegt. Als Startwerte des Approximationsverfahrens können wir folglich für rP den Wert rP D 0;08 und für rN den Wert rN D 0;09 festlegen. 999

?Übungsaufgabe 6.5

Bestimmen Sie für die aus 7 Abschn. 6.2.1 bereits bekannte Investition (e0 D 100; e t D 13, für t D 1; 2; : : : ; 20), deren Amortisationsdauer wir in Beispiel 6.2 für unterschiedliche Zinssätze bereits bestimmt haben, unter ausschließlicher Nutzung der Tabelle der Rentenbarwertfaktoren die ungefähre Höhe des internen Zinsfußes.

6.3.2

Formale Analyse

In Beispiel 6.6 haben wir das nachfolgend als Investition a1 bezeichnete Projekt 1 (100; 30; 40; 50) betrachtet, das dem Typ einer Normalinvestition entspricht. Kapitalwertfunktionen von Investitionen dieses Typs weisen im relevanten Zinsbereich genau eine Nullstelle, also einen eindeutigen internen Zinsfuß auf (vgl. 7 Abschn. 4.2.1.1). In Beispiel 6.5 hatten wir beim Sonderfall (3) bereits gesehen, dass sich für die dort

betrachtete Normalinvestition mit zweijähriger Laufzeit rechnerisch zwei interne Zinsfüße ergeben. Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung mit einem Wert von 110 % mussten wir jedoch nicht weiter betrachten, da ein Wert des internen Zinsfußes, der 100 % unterschreitet, ökonomisch nicht sinnvoll interpretiert werden kann. Für eine ebenfalls zweijährige Investition a2 (1:000; 2.300; 1:320), mit einer vom Typ einer Normalinvestition abweichenden Zahlungsreihe, errechnen sich mit r1 D 10 % und r2 D 20 % zwei positive interne Zinsfüße. Für eine Investition a3 (13:333;33; 44.000; 48:366;67; 17.710) mit einer ebenfalls vom Typ einer Normalinvestition abweichenden Zahlungsreihe, ergeben sich gemäß Formel (6.5) mit r1 D 5 %, r2 D 10 % und r3 D 15 % drei interne Zinsfüße, wie sich durch Berechnung der zugehörigen Kapitalwerte einfach überprüfen lässt. Andererseits gibt es auch Zahlungsreihen, für die sich überhaupt kein interner Zinsfuß bestimmen lässt. Um diese Möglichkeit aufzuzeigen, brauchen wir nur anzunehmen, dass bei Investition a2 bei sonst unveränderten Zahlungssalden die Anfangsauszahlung um z. B. 5 erhöht wird, so dass für die modiﬁzierte Zahlungsreihe von a20 gilt: e0 D 1:005; e1 D 2:300; e2 D 1:320. Durch die Verschiebung der Kapitalwertfunktion um 5 Einheiten nach unten verschiebt sich das Maximum der Kapitalwertfunktion ebenfalls um 5 Einheiten nach unten und wird negativ, so dass in diesem Fall überhaupt keine Nullstelle der Kapitalwertfunktion existiert. . Abb. 6.2 verdeutlicht den Verlauf der Kapitalwertfunktionen der vier Investitionen a1 , a2 , a20 und a3 . ?Übungsaufgabe 6.6 Angenommen, Sie als endvermögensmaximierender Investor hätten sich zwischen den Investitionsalternativen a1 , a2 , a3 oder der Unterlassensalternative zu entscheiden. Geben Sie unter ausschließlicher Berücksichtigung der in . Abb. 6.2 enthaltenen Informationen zu den drei Investitionen an, in welchem Bereich jeweils der für den Investor relevante Kredit- oder Anla-

6

227 6.3 Interner Zinsfuß und verwandte Größen

K 20

10

1,89 0

5%

10%

15%

r

20%

3,11

K 2 (r) K 2 (r)

10

20

K 3 (r) K1 (r)

. Abb. 6.2 Kapitalwertfunktionen und interne Zinsfüße

gezinssatz liegen muss, damit a1 bzw. a2 bzw. a3 bzw. die Unterlassensalternative U die Optimalalternative für einen endvermögensmaximierenden Investor darstellt.

. Abb. 6.2 verdeutlicht, dass unterschiedliche Zahlungsreihen keinen, genau einen oder aber auch mehr als einen internen Zinsfuß aufweisen können. Aber woran können wir erkennen, wie viele interne Zinsfüße ein Investitionsprojekt aufweist? Nach der sogenannten „kartesischen Zeichenregel“, die wir hier nicht beweisen werden, gilt: Die Zahl der internen Zinsfüße, die größer als 100 % sind, ist gleich der Zahl der Vorzeichenwechsel in der Zahlungsreihe oder um eine gerade Zahl kleiner. Ein Projekt mit der Zahlungsreihe e0 D 100; e1 D 20; e2 D 20; e3 D 10; e4 D

50; e5 D 50; e6 D 30; e7 D 40, in der oﬀenbar fünfmal das Vorzeichen wechselt, hätte dementsprechend im Bereich r > 100 % entweder fünf oder drei oder nur genau einen internen Zinsfuß. Über die Anzahl interner Zinsfüße mit positivem Vorzeichen trifft die kartesische Zeichenregel keine Aussage. Aus der kartesischen Zeichenregel folgt für Normalinvestitionen, also für Investitionen mit positivem Nominalwert, die nach anfänglichen Auszahlungsüberschüssen anschließend nur noch zu Einzahlungsüberschüssen führen und folglich deﬁnitionsgemäß nur einen Vorzeichenwechsel in der Zahlungsreihe aufweisen, dass sich im Bereich (r > 100 %) stets genau ein eindeutiger interner Zinsfuß ergibt, der zudem zwingend ein positives Vorzeichen aufweist.

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

228

>Merke Investitionsprojekte können keinen, einen oder mehr als einen internen Zinsfuß im ökonomisch relevanten Bereich aufweisen. Anhaltspunkte für die Anzahl möglicher interner Zinsfüße ergeben sich aus der Anzahl der Vorzeichenwechsel der Zahlungsreihe. Normalinvestitionen weisen zwingend genau einen internen Zinsfuß mit positivem Vorzeichen auf.

6

. Tabelle 6.6 Kontodarstellung bei Kreditfinanzierung mit r D r Jahr

1 2 3

6.3.3

Ökonomische Interpretation

Zur Verdeutlichung des ökonomischen Gehaltes des internen Zinsfußes beschränken wir uns nachfolgend auf die Betrachtung von Normalinvestitionen und unterstellen zunächst, dass der Investor aktuell und während der gesamten Laufzeit der betrachteten Investition stets einen Kontokorrentkredit mit einem konstanten Kreditzinssatz r in Anspruch nimmt (Szenario II). Würden die jeweiligen Salden des Projektkontos, das man sich zum Zwecke der besseren Anschaulichkeit erneut als projektbezogenes Unterkonto des Kontokorrentkontos vorstellen kann, jeweils zum Kreditzinssatz r verzinst, so erhält man als Schlusssaldo dieses Kontos – wie Ihnen ja aus 7 Abschn. 4.2.2.1 bekannt ist – den Endwert. Rechnet man das Konto nun auf der Basis von r ab, so muss sich für den Schlusssaldo gemäß Formel (6.5) ein Wert von ˙0 ergeben. Beispiel 6.9 verdeutlicht diesen Zusammenhang. 777 Beispiel 6.9 Zur Verdeutlichung sei die Zahlungsreihe der Investition a4 (80; 12; 50; 66) betrachtet, für die r D 0;1 gilt. Für das entsprechende „Projektkonto“ ergibt sich somit bei einem Zinssatz von r D r die in . Tab. 6.6 dargestellte Entwicklung. Würde der für die Abrechnung des Projektkontos relevante Zinssatz r also gerade dem internen Zinsfuß des Projektes in Höhe von r D 10 % entsprechen, so könnte dieses Konto durch die nachfolgenden Einzahlungen bis zum Ende der Projektlaufzeit gerade exakt ausgeglichen

SUMME

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsbelastung

80,00

Projekt- Kontozahlung stand

8,00

12,00

100,00

100,00 10,00

50,00

60,00

66,00

0

60,00

6,00

240,00 24,00

–

–

werden. Für r > r D 10 % verbliebe am Ende noch ein Negativsaldo; für r < r D 10 % würde sich ein positives Endguthaben errechnen. Die Höhe des während der Projektlaufzeit von 3 Jahren im Jahresdurchschnitt in Anspruch genommenen Kredites ergibt sich als einfacher Durchschnitt der Kontostände der Zeitpunkte t D 1, 2 und 3 und beträgt 240=3 D 80. Die im Jahresdurchschnitt zu tragende Zinsbelastung errechnet sich analog als Durchschnitt der jährlichen Zinsbelastungen und beträgt im vorliegenden Fall also 24=3 D 8. Der Quotient dieser beiden Größen, der die durchschnittliche Zinsbelastung der durch das Investitionsprojekt durchschnittlich verursachten Kreditinanspruchnahme angibt, beträgt im vorliegenden Fall 8=80 D 10 % und stimmt also genau mit dem internen Zinsfuß überein. 999

Der im Beispiel 6.9 verdeutlichte Sachverhalt lässt sich für den Fall der bisher untersuchten Kreditﬁnanzierung (Szenario II) zu der in folgendem Merksatz ausgedrückten Interpretation verallgemeinern: >Merke Würden alle Auszahlungen einer Normalinvestition durch Kreditaufnahme gedeckt, so gibt der interne Zinsfuß den Kreditzinssatz an, bei dem die nachfolgenden Einzahlungen gerade ausreichen, um die anfangs aufgenommenen Kreditbeträge zu tilgen und zu verzinsen. In diesem Sinne kann der interne Zinsfuß

6

229 6.3 Interner Zinsfuß und verwandte Größen

als kritischer Wert für die Höhe maximal akzeptabler Kreditzinsen angesehen werden.

. Tabelle 6.7 Kontodarstellung bei Projektverzicht mit r D r Jahr

In Abweichung zum bisher betrachteten Szenario II, in dem der Investor während der gesamten Laufzeit der betrachteten Investition stets einen Kontokorrentkredit mit einem konstanten Kreditzinssatz r in Anspruch nimmt, sei nun angenommen, der Investor verfüge (unabhängig von der Durchführung des Investitionsprojektes) stets über freie ﬁnanzielle Mittel, die er jeweils als Festgeld für ein Jahr zum Zinssatz r anlegen kann (Szenario I). In Szenario I verzichtet der Investor im Falle der Investitionsdurchführung auf die alternative Verwendung dieser Mittel; es entstehen ihm folglich Opportunitätskosten in Form entgehender Zins- und Zinseszinseinzahlungen. Zur Verdeutlichung des Zusammenhangs zwischen der Höhe des internen Zinsfußes und der Höhe entstehender Opportunitätskosten betrachten wir im folgenden Beispiel 6.10 nochmals die Investition a4 (80; 12; 50; 66). 777 Beispiel 6.10 Zur Veranschaulichung der uns interessierenden Zusammenhänge bietet es sich an, die Vermögensentwicklung des Investors zunächst getrennt für die beiden Fälle Investitionsverzicht (vgl. . Tab. 6.7) und Investitionsdurchführung (vgl. . Tab. 6.8) kontenmäßig abzubilden. Dabei gehen wir lediglich zur Vereinfachung davon aus, dass der Investor im Zeitpunkt t D 0 über liquide Mittel in Höhe von genau 100 verfügt. Für diesen Fall wird für Investition a4 (80; 12; 50; 66) exemplarisch gezeigt, dass bei einer Verzinsung der jeweiligen Salden der Konten in Höhe von r gerade gilt: EV P D EV U . Berechnet man die Konten auf Basis eines beliebigen Zinssatzes r < r ab, so ergibt sich: EV P > EV U . Rechnet man die Konten auf Basis eines beliebigen Zinssatzes r > r ab, so ergibt sich: EV P < EV U . Nur für r D r führt die Kontoabrechnung zum Ergebnis EV P D EV U . Der interne Zinsfuß gibt im Falle der Finanzierung aus liquiden Mitteln also an, welche „Opportunitätskostenbelastung“ das betrachtete Investi-

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsbe- Projekt- Kontolastung zahlung stand

1

100,00

10,00

0

110,00

2

110,00

11,00

0

121,00

3

121,00

12,10

0

133,10

SUMME

331,00

33,10

–

–

. Tabelle 6.8 Kontodarstellung bei Projektdurchführung mit r D r Jahr

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsbe- Projekt- Kontolastung zahlung stand

1

20,00

2,00

12

10,00

2

10,00

1,00

50

61,00

3

61,00

6,10

66

133,10

SUMME

91,00

9,10

–

–

tionsprojekt gerade noch verkraften könnte, ohne im Vergleich zur Unterlassensalternative unvorteilhaft zu werden. Bildet man jeweils die Differenz zwischen allen in . Tab. 6.7 und . Tab. 6.8 ausgewiesenen korrespondierenden Zahlungssalden, so ergeben sich exakt die in Beispiel 6.9 für den Fall der Kreditfinanzierung ausgewiesenen Zahlungssalden. Die für Zinsbelastungen und Kontostände gemäß . Tab. 6.6 ausgewiesenen Werte sind im Falle der Finanzierung aus liquiden Mitteln jedoch anders zu interpretieren. 4 Die in . Tab. 6.6 als Zinsbelastungen ausgewiesenen Werte geben jetzt an, auf welche Zinseinzahlung der Investor im Zeitpunkt t verzichtet, wenn er an Stelle der Unterlassensalternative die Investitionsalternative realisiert. Der Durchschnitt dieser Werte kann demzufolge als durchschnittlich ent-

230

6

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

gehende Zinseinzahlung bei Projektrealisie>Merke rung interpretiert werden. Der interne Zinsfuß gibt bei Finanzierung 4 Die in . Tab. 6.6 ausgewiesenen Kontoaus vorhandenen liquiden Mitteln im stände geben jetzt an, um welchen Betrag Sinne eines kritischen Wertes an, welche der Kontostand bei Projektrealisierung den „Opportunitätskostenbelastung“ ein InKontostand bei Projektverzicht im Zeitpunkt vestitionsprojekt gerade noch verkraften t unterschreitet. Insoweit gibt der Durchkönnte, ohne im Vergleich zur Unterlasschnitt dieser Werte im Falle der Finanziesensalternative unvorteilhaft zu werden. rung aus liquiden Mitteln an, in welcher durchschnittlichen Höhe im Falle der Investitionsdurchführung vorhandene liquide Mit6.3.4 Entscheidungsregel und tel der alternativ möglichen Anlage auf eiKennzahlenkritik nem zum Zinssatz r D r verzinslichen Konto entzogen werden. Auch hier bietet es sich zur besseren Nach4 Der Quotient dieser beiden Größen, der im vollziehbarkeit unserer Überlegungen an, die Fall der Kreditfinanzierung als die durchKennzahl interner Zinsfuß zunächst im Konschnittliche Zinsbelastung der durch das text einer projektindividuellen Entscheidung Investitionsprojekt durchschnittlich verurund erst anschließend im Kontext von Aussachten Kreditinanspruchnahme interprewahlentscheidungen zu analysieren. tiert werden konnte, kann im Fall der Finanzierung aus liquiden Mitteln als „durch1 Projektindividuelle Entscheidung schnittliche Verzinsung der durch die InvesEin Investitionsprojekt scheint projektindivitition durchschnittlich gebundenen Mittel“ duell betrachtet genau dann vorteilhaft zu sein, interpretiert werden, die allerdings nur dann wenn seine Rendite den Kalkulationszinssatz erreicht wird, wenn die Zwischenanlage der übersteigt, d. h. wenn die maximal verkraftbaInvestitionsrückflüsse gerade zum Zinssatz ren Finanzierungskosten oder Opportunitäts999 r erfolgt.

kosten höher sind als die tatsächlich in Rechnung zu stellenden. Formal lässt sich dies in der Der im Beispiel 6.10 verdeutlichte Sachverhalt Entscheidungsregel für projektindividuelle lässt sich für den Fall der dort untersuchten FiBetrachtungen laut Relation (6.7) ausdrücken. nanzierung aus liquiden Mitteln (Szenario I) zu den in den beiden folgenden Merksätzen ausger > r (6.7) drückten Interpretationen verallgemeinern: >Merke Der interne Zinsfuß einer Normalinvestition gibt für einen Investor mit durchgängig verfügbaren und zum Alternativzinssatz r D r anlegbaren finanziellen Mitteln an, welche „Belastung mit Opportunitätskosten“ das betrachtete Investitionsprojekt gerade noch verkraften könnte, ohne im Vergleich zur Unterlassensalternative unvorteilhaft zu werden. In diesem Sinne kann der interne Zinsfuß als kritischer Wert für die maximale Höhe der Verzinsung einer Alternativanlage angesehen werden.

Anhand der graphischen Verdeutlichung der Kapitalwertfunktionen in . Abb. 6.2 lässt sich erkennen, dass sich aus r > r (r < r) nur dann eindeutig auf das Vorzeichen des Kapitalwertes schließen lässt, wenn die Kapitalwertfunktion genau einen internen Zinsfuß aufweist. Diese Bedingung ist für Normalinvestitionen deﬁnitionsgemäß immer gegeben (vgl. K1 .r/ in . Abb. 6.2). Für Normalinvestitionen gilt also Relation (6.8). r > r , K > 0 , EVp > EV U

(6.8)

Für andere Investitionen als Normalinvestitionen ist diese Bedingung hingegen nicht

231 6.3 Interner Zinsfuß und verwandte Größen

zwingend erfüllt und können Widersprüche zwischen Formel (6.7) und dem Ziel der Endvermögensmaximierung auftreten, wie z. B. die Kapitalwertfunktionen K2 .r/ und K3 .r/ in . Abb. 6.2 deutlich machen. So liegen beide internen Zinsfüße von Projekt a2 (r1 D 10 % und r2 D 20 %) oberhalb eines Kalkulationszinssatzes von r D 5 %. Trotzdem würde Projekt a2 bei einem Kalkulationszinssatz von r D 5 % aber einen negativen Kapitalwert liefern, im Sinne der originären Zielsetzung Endvermögensmaximierung also unvorteilhaft sein. Projekt a3 würde demgegenüber bei einem Kalkulationszinssatz von r D 8 % einen negativen Kapitalwert aufweisen, obwohl zwei der drei internen Zinsfüße von Projekt a3 (r1 D 5 %, r2 D 10 % und r3 D 15 %) größer als 8 % sind und bei einem Kalkulationszinssatz von r = 12 % hingegen einen positiven Kapitalwert aufweisen, obwohl zwei der drei internen Zinsfüße kleiner als 12 % sind. Liegt also keine Normalinvestition vor, so kann aus r > r, ohne Kenntnis des genauen Verlaufes der Kapitalwertfunktion und damit der Kenntnis aller internen Zinsfüße des zu beurteilenden Investitionsprojektes, also nicht mehr unmittelbar auf K > 0 und damit EVP > EV U geschlossen werden. Die Eignung des internen Zinsfußes als Kriterium für projektindividuelle Entscheidungen bleibt damit im Kern auf Normalinvestitionen beschränkt. 1 Auswahlentscheidungen

In der Praxis und bedauerlicherweise vereinzelt sogar in Lehrbüchern zur Investitionstheorie ﬁnden sich auch Entscheidungsregeln für Auswahlentscheidungen auf Basis der Kennzahl des internen Zinsfußes oder vergleichbarer relativer Größen, die – wohl einer sehr vordergründigen Betrachtung folgend – einem Investor empfehlen, aus dem Katalog aller sich ausschließenden Investitionsalternativen diejenige auszuwählen, die den höchsten internen Zinsfuß aufweist. Bereits hier sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass eine solche Entscheidungsregel trotz ihrer scheinbaren Plausibilität im Allgemeinen nicht kompatibel mit der Endvermö-

6

gensmaximierung ist und die Befolgung dieser Entscheidungsregel demzufolge zu Fehlentscheidungen führen kann – selbst dann, wenn alle zur Auswahl stehenden Investitionsalternativen Normalinvestitionen sind. Wo genau liegt also das Problem bei der Anwendung dieser Entscheidungsregel? Es ist daran zu erinnern, dass es sich bei dem internen Zinsfuß r um eine relative Größe handelt, wie insbesondere unsere ökonomischen Interpretationen in den Beispielen 6.9 und 6.10 und die dort berechneten Quotienten aus durchschnittlichen Zinsbelastungen bzw. Zinsgutschriften und durchschnittlichen Kontoständen verdeutlichen. Ein Vergleich derartiger Relativgrößen führt im Kontext von Auswahlentscheidungen jedoch nur dann zu allgemein sinnvollen Ergebnissen, wenn die Bezugsbasen der Relativzahlen, also die jeweiligen „Mittelbindungen“ der zu vergleichenden Investitionsprojekte, übereinstimmen. Die Relevanz der Bezugsbasis beim Vergleich relativer Größen kann in überspitzter Form Beispiel 6.11 deutlich machen. 777 Beispiel 6.11 Angenommen, Sie interessieren sich dafür, welches von zwei Ländern A oder B die höhere Anzahl von Bewohnern aufweist, die eine bestimmte Eigenschaft aufweisen, z. B. ein Fahrrad besitzen. Sie erfahren nun, dass 25 % der Bewohner von Land A und „nur“ 20 % der Bewohner von Land B die interessierende Eigenschaft aufweisen. Aus der Information über die beiden relativen Größen 25 % und 20 % für Land A bzw. Land B würden Sie jetzt offensichtlich nicht folgern, dass Land A die größere Anzahl an Fahrradbesitzern aufweist. Hier ist offensichtlich, dass der Schluss nur dann zulässig wäre, wenn sich die beiden relativen Größen auf die gleiche Bezugsbasis, hier also auf die gleiche Gesamtbevölkerungszahl beziehen würden. Ist die Gleichheit der Bezugsbasis nicht sichergestellt, so führt ein Vergleich von Relativzahlen recht deutlich „in die Irre“, wie Sie sich leicht verdeutlichen können, wenn Sie sich als Land A z. B. Deutschland und als Land B z. B. China vorstellen. 999

232

6

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

In vielen Entscheidungssituationen ist die Notwendigkeit der Berücksichtigung des Vorliegens sinnvoller Vergleichsbedingungen beim Vergleich relativer Größen – wie in unserem Beispiel 6.11 – oﬀenkundig. Bei Auswahlentscheidungen über Investitionen wird jedoch beim Vergleich interner Zinsfüße, also beim Vergleich relativer Größen, implizit unterstellt, dass die Vergleichsbedingungen für den sinnvollen Vergleich mittels relativer Größen gegeben sind. Dies ist jedoch keineswegs sichergestellt. Im Falle von Auswahlentscheidungen stimmen die „Mittelbindungen“ der zur Auswahl stehenden Investitionen im Allgemeinen gerade nicht überein und folglich weisen die internen Zinsfüße der zur Auswahl stehenden Investitionen im Allgemeinen unterschiedliche Bezugsbasen auf und sind daher nicht (sinnvoll) miteinander vergleichbar. Anders als bei projektindividuellen Entscheidungen, können sich dabei Fehlentscheidungen nicht erst für Investitionsprojekte mit beliebigen Zahlungsreihen ergeben, sondern auch bereits bei einer Auswahl aus verschiedenen Normalinvestitionen. Und selbst für den scheinbaren „Idealfall“ einer Auswahlentscheidung zwischen Normalinvestitionen mit identischen Anfangsauszahlungen und identischen Laufzeiten folgt aus rA > rB keinesfalls zwingend KA .r/ > KB .r/. Das folgende Beispiel 6.12 verdeutlicht die Grundproblematik eines Vorteilhaftigkeitsvergleiches im Rahmen von Auswahlentscheidungen für diesen „Idealfall“. 777 Beispiel 6.12 Den Zahlungsreihen zweier Projekte a5 (200; 210; 23) und a6 (200; 0; 250) entsprechen die in . Abb. 6.3 dargestellten Kapitalwertfunktionen. Projekt a6 weist zwar mit 11,8 % gegenüber 15 % bei Projekt a5 den niedrigeren internen Zinsfuß auf, führt bei Kalkulationszinssätzen unterhalb von ca. 8,1 % aber dennoch zu dem höheren Kapitalwert. So gilt etwa bei einem Kalkulationszinssatz von 6 %: K6 D 22;5 > K5 D 18;6. Zur Auflösung dieses scheinbaren Widerspruches bietet es sich an, die Vermögensent-

. Tabelle 6.9 Kontodarstellung bei Durchführung von Projekt a5 Jahr

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsgut- Projektschrift zahlung r D 6%

1

0

2

210,00

0

Kontostand

210

210,00

23

245,60

12,60

. Tabelle 6.10 Kontodarstellung bei Durchführung von Projekt a6 Jahr

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsgut- Projektschrift zahlung r D 6%

1

0

0

0

2

0

0

250

Kontostand 0 250,00

wicklung des Investors in Abhängigkeit vom gewählten Projekt jeweils kontenmäßig wie in . Tab. 6.9 und . Tab. 6.10 abzubilden. Dabei gehen wir von Szenario I und einem Kalkulationszinssatz von r D 6 % aus und unterstellen lediglich zur Vereinfachung, dass der Investor im Zeitpunkt t D 0 über liquide Mittel in Höhe von genau 200 verfügt. Bei dem für unseren Investor relevanten Zinssatz von 6 % führt Projekt a6 mit einem Endkontostand von 250 zu einem höheren Endvermögen als Projekt a5 mit 245,60. Aus . Tab. 6.9 ist erkennbar, dass die Höhe des bei Projekt a5 erreichbaren Endkontostandes maßgeblich von der Höhe des Anlagezinssatzes r und damit von der Höhe der erzielbaren Zinsgutschriften abhängt. Der mit Projekt a6 erzielbare Endkontostand ist demgegenüber unabhängig von r, da der gesamte Rückfluss dieses Investitionsprojektes erst am Ende seiner Laufzeit anfällt. Die Höhe von r fließt aber gar nicht in die Berechnung der Kennzahl interner Zinsfuß ein. Gingen wir davon aus, dass die Rückflüsse von 210 bei Durchführung von Projekt a5 in der zweiten Periode zu

6

233 6.3 Interner Zinsfuß und verwandte Größen

. Abb. 6.3 Kapitalwertfunktionen der Projekte a5 und a6

K 50

33

K5

K6

14 r5* 0 5%

8,1% 10% * 6

r

15% 11,8%

15% r K 5 (r)

K 6 (r)

einem Zinssatz von r > 8;1 % angelegt werden könnten, so würde Projekt a5 mit einem Endkontostand von mehr als 250 zu einem höheren 999 Endvermögen als Projekt a6 führen.

Wie wir bereits in 7 Abschn. 6.3.3 verdeutlicht haben, gibt der interne Zinsfuß in seiner Interpretation als kritischer Wert die maximale Belastbarkeit eines Investitionsprojektes mit Finanzierungskosten (bzw. Opportunitätskosten) an. Beispiel 6.12 verdeutlicht, dass die bei den beiden Projekten a5 und a6 bestehenden Unterschiede in dieser „maximalen Belastbarkeit“ unmittelbar noch gar nichts darüber aussagen, welches der beiden Projekte auf der Basis der tatsächlich maßgeblichen Finanzierungskosten (bzw. Opportunitätskosten) am günstigsten ist. Wie Sie zwischenzeitlich gelernt haben, ist für eine sachgerechte Entscheidung einerseits die Berücksichtigung aller Projektzahlungen und andererseits die Berücksichtigung der Auswirkungen der Investitionsdurchführung im ﬁnanziellen Umfeld des Investors notwendig. Da der interne Zinsfuß das ﬁnanzielle Umfeld des Investors überhaupt nicht berücksichtigt, kann der interne Zinsfuß konzeptionsbedingt zu Entscheidungen führen, die mit

der Endvermögensmaximierung nicht vereinbar sind. Folgt man einer Entscheidungsregel, die die Wahl des Projektes mit dem maximalen internen Zinsfuß empﬁehlt, dann werden Entscheidungen systematisch verzerrt, und zwar 4 zu Ungunsten von Projekten mit hohem Mitteleinsatz, langer Anlaufphase und dementsprechend spätem Mittelrückﬂuss, 4 zu Gunsten von Projekten mit geringem Mitteleinsatz und schnellem Mittelrückﬂuss. Im ersten Fall ist die Bezugsbasis für einen eventuell relativ niedrigen internen Zinsfuß eine vergleichsweise hohe Mittelbindung (so in unserem Beispiel 6.12 bei Projekt a6 ), während sich ein hoher interner Zinsfuß im zweiten Fall nur auf eine deutlich geringere Basis bezieht (so bei Projekt a5 ). Die fehlende Eignung des internen Zinsfußes für Auswahlentscheidungen wird noch deutlicher, wenn man sich vor Augen führt, dass sich Kapitalwertfunktionen zweier Investitionsprojekte, selbst bei Normalinvestitionen, mehrfach schneiden können. Aus diesem Grunde führen auch in der Literatur vorge-

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

234

6

schlagene Vorgehensweisen, laut denen auf Basis des internen Zinsfußes der Diﬀerenzzahlungsreihe zweier zur Auswahl stehender Investitionsprojekte über die (zumindest relative) Vorteilhaftigkeit eines der beiden Projekte entschieden werden können soll, wiederum nur in Sonderfällen zu mit der Zielsetzung einer Endvermögensmaximierung kompatiblen Entscheidungen. Die nachfolgende Übungsaufgabe 6.7 ermöglicht es Ihnen, sich die Problematik von Auswahlentscheidungen auf Basis des internen Zinsfußes noch einmal selbst zu verdeutlichen. ?Übungsaufgabe 6.7 Einem Investor stehen im Entscheidungszeitpunkt t D 0 zwei Investitionsprojekte a7 und a8 sowie die Unterlassensalternative zur Auswahl. Die beiden Investitionsprojekte sind mit folgenden Zahlungssalden verbunden: a7 W

e0 D 10:000I

e1 D 0I

e2 D 13:200 a8 W

e0 D 10:000I

e1 D 12:000:

Geben Sie an, in welchem Bereich jeweils der für den Investor relevante Kreditoder Anlagezinssatz liegen muss, damit a7 bzw. a8 bzw. die Unterlassensalternative U die Optimalalternative für einen endvermögensmaximierenden Investor darstellt, und geben Sie darauf aufbauend an, unter welchen Voraussetzungen eine auf den internen Zinsfuß gestützte Auswahlentscheidung im vorliegenden Fall zu einem mit dem Kapitalwertkriterium übereinstimmenden bzw. zu einem davon abweichenden Ergebnis führen würde.

>Merke Der interne Zinsfuß ist im Allgemeinen keine geeignete Kennzahl, um Investitionsentscheidungen abzuleiten, die zum maximalen Endvermögen führen.

6.3.5

Exkurs: Renditevergleiche bei Finanzanlagen und Krediten

Im 7 Abschn. 6.3.4 haben wir die grundlegenden Schwächen des internen Zinsfußes als Kriterium für die Entscheidung über konkurrierende Investitionsalternativen angesprochen. Obwohl darüber im einschlägigen Schrifttum inzwischen auch weitgehende Übereinstimmung besteht, spielen dem internen Zinsfuß vergleichbare Kennzahlen, wie z. B. die Eﬀektivrendite einer Finanzanlage oder der Eﬀektivzinssatz eines Kredites, in der Praxis bei der Beurteilung von Finanzinvestitionen oder von Finanzierungsangeboten immer noch eine zentrale Rolle. Häuﬁg wird argumentiert, die Angabe der Eﬀektivrendite einer Finanzanlage oder der Eﬀektivverzinsung eines Kredites diene dazu, Vergleichbarkeit zwischen verschiedenen Finanzanlagen bzw. verschiedenen Kreditangeboten herzustellen und dadurch die Entscheidung für das eine oder das andere Angebot zu erleichtern. Über diese Interpretation und Zweckbestimmung von Rendite- und Eﬀektivzinsangaben scheint in der Finanzpraxis weithin Konsens zu herrschen. So wird z. B. in § 6 Abs. 1 PAngV (Preisangabenverordnung) einem Kreditgeber sogar die Verpﬂichtung auferlegt, bei der Vergabe von Verbraucherdarlehen eine Kennzahl anzugeben, die die Bezeichnung „eﬀektiver Jahreszins“ tragen muss und die Zweckbestimmung aufweist, „als Maß für das Verhältnis von Gesamtkosten und Nettodarlehensbetrag“ zu dienen. Diese verpﬂichtend anzugebende Kennzahl ist letztlich nichts anderes als der interne Zinsfuß einer Zahlungsreihe, in der alle mit dem Kredit aus Sicht des Kreditnehmers verbundenen Ein- und Auszahlungen erfasst werden. Nichtsdestoweniger zwingen konzeptionelle Überlegungen der Art, wie wir sie im 7 Abschn. 6.3.4 schon im Hinblick auf den internen Zinsfuß als investitionstheoretische Kennzahl angestellt haben, diese Sichtweise grundlegend in Zweifel zu ziehen. Verdeutlicht man sich, dass es sich auch bei der Ef-

6

235 6.3 Interner Zinsfuß und verwandte Größen

fektivrendite einer Finanzanlage letztlich um den internen Zinsfuß einer durch den aktuellen Kaufkurs eines Wertpapiers einerseits sowie Zins- und Tilgungsversprechen andererseits bestimmten Zahlungsreihe handelt, liegt die Vermutung nahe, dass es auch bei der Beurteilung von Kreditangeboten und Finanzanlagen zu Fehlentscheidungen kommen kann, wenn man sich dabei ausschließlich an dem Eﬀektivzinssatz oder der Eﬀektivrendite orientiert. Beispiel 6.13 zeigt die Möglichkeit von Fehlentscheidungen selbst beim Vergleich von Kreditangeboten mit übereinstimmenden Kreditsummen und Kreditlaufzeiten. 777 Beispiel 6.13 Betrachten wir dazu einen Kredit über 600 mit einer Laufzeit von 6 Jahren, der zu 100 % ausgezahlt wird. Zur Auswahl stehen folgende Kreditangebote: A. Tilgung in einer Summe am Ende der Kreditlaufzeit und jährlich nachschüssige Zinszahlungen über jeweils 48 (endfälliges Darlehen). B. Tilgung durch 6 jährlich nachschüssige Raten über jeweils 100 sowie jährlich nachschüssige Zinszahlung in Höhe von 7,5 % auf die jeweilige Restschuld zu Periodenbeginn (Ratendarlehen). Wie man sich leicht überzeugt, weist Kreditangebot A eine Effektivverzinsung bzw. einen internen Zinsfuß von exakt 8,00 % und Kreditangebot B eine Effektivverzinsung bzw. einen internen Zinsfuß von exakt 7,5 % auf. Nach gängiger Interpretation wäre Kreditangebot B also gemessen am Effektivzinssatz eindeutig „günstiger“ und damit angesichts der zusätz-

lichen Übereinstimmung in Laufzeit und Volumen auch eindeutig als vorteilhaft zu empfehlen. Vergleicht man nun aber die beiden aus der Sicht des Kreditnehmers dargestellten Zahlungsreihen und bildet man die Differenzen zwischen den jeweiligen jährlichen Zahlungen, so ergibt sich das in . Tab. 6.11 dargestellte Bild. In den ersten fünf Jahren führt das Ratendarlehen B also zu höheren Belastungen als das endfällige Darlehen A. Weiter sei nun angenommen, der betrachtete Kreditnehmer beanspruche ständig einen Kontokorrentkredit in wechselnder Höhe, wobei sich auch die dargestellten „Zahlungsspitzen“ zwischen den beiden Darlehensvarianten A und B zu Gunsten bzw. zu Lasten des Kontokorrentkredites auswirken. Höhere bzw. niedrigere Belastungen aus originär zu entrichtenden Zinsund Tilgungszahlungen führen in diesem Fall auch zu höheren bzw. niedrigeren Inanspruchnahmen des Kontokorrentkredites und den damit verbundenen Zins- und Zinseszinseffekten. Würde Darlehen B aufgenommen, so müsste im Vergleich zur Entscheidung für A der Kontokorrentkredit also fünf Jahre lang in Höhe von insgesamt 410 .97 C 89;50 C 82 C 74;50 C 67/ zusätzlich in Anspruch genommen werden; anschließend erfolgte eine Entlastung von insgesamt 540,50. Aus dem Vergleich dieser beiden Beträge allein kann allerdings noch nicht unmittelbar auf die Vorteilhaftigkeit der einen oder der anderen Finanzierungsvariante geschlossen werden. Vielmehr sind zusätzlich die aus den Bewegungen auf dem Kontokorrentkonto entstehenden Zins- und Zinseszinseffekte zu berücksichtigen. Dies geschieht am einfachsten, indem man alle Zahlungsspitzen auf den Endzeitpunkt t D 6 aufzinst. Der so gefundene Endwert

. Tabelle 6.11 Differenzzahlungsreihe der Kreditangebote A und B tD0

tD1

tD2

tD3

tD4

tD5

tD6

48

48

48

48

648

A:

600

48

B:

600

145

137,50

130

122,50

115

107,50

97

89,50

82

74,50

67

540,50

B ./. A:

236

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

EW gibt den Betrag an, um den der Kontokorrentkredit am Ende weniger (C) oder mehr () belastet ist, wenn das Unternehmen sich für das Ratendarlehen B statt für das endfällige Darlehen A entscheidet. Je nachdem, welchen Wert man für den maßgeblichen Zwischenfinanzierungszinssatz unterstellt, erhält man nach der Formel EW B:=:A D 97 q 5 89;50 q 4 82 q 3

6

74;50 q 2 67 q C 540;50 folgende Endwerte: EW B:=:A .r D 8;0 %/ D 13;66 EW B:=:A .r D 8;5 %/ D 5;48 EW B:=:A .r D 8;8 %/ D 0;51 EW B:=:A .r D 8;9 %/ D 1;15 EW B:=:A .r D 9;0 %/ D 2;82 EW B:=:A .r D 10;0 %/ D 19;74: Bei einem Kontokorrentzinssatz von mehr als 8,9 % stellt also das endfällige Darlehen A die günstigere Kreditvariante dar, bei einem Kontokorrentzinssatz unter 8,8 % hingegen das Ratendarlehen B. 999

Finanzierungsangeboten, müssen nicht nur alle mit der zu beurteilenden Aktivität verbundenen unmittelbaren monetären Konsequenzen (vgl. 7 Abschn. 4.1.1) berücksichtigt und zeitpunkt- und betragsgenau erfasst werden, sondern darüber hinaus auch die sich aus dem ﬁnanziellen Umfeld des Investors bzw. Kreditnehmers mittelbar ergebenden Konsequenzen (vgl. 7 Abschn. 4.1.2). Bei der ausschließlichen Fokussierung auf den Vergleich von Effektivrenditen bzw. Eﬀektivzinsen bzw. allgemein beim Vergleich von internen Zinsfüßen werden zwar alle mit der zu beurteilenden Aktivität verbundenen unmittelbaren Zahlungskonsequenzen berücksichtigt, die aus dem ﬁnanziellen Umfeld eines Anlegers oder Kreditnehmers resultierenden mittelbaren ﬁnanziellen Konsequenzen bleiben jedoch gänzlich unberücksichtigt. Das erkennt man schon daran, dass der Kalkulationszinssatz, zu dem der Anleger oder Kreditnehmer Anpassungsmaßnahmen in seinem ﬁnanziellen Umfeld vornimmt, in die Berechnung der Renditekennzahl erst gar nicht eingeht. 6.4

Kennzahlen auf Basis periodisierter Durchschnittsgrößen

Je nachdem, zu welchem Sollzinssatz die zwischen den beiden Finanzierungsvarianten auftauchenden Zahlungsspitzen ausgeglichen wer6.4.1 Ausgangspunkt der den können, erweist sich also Variante A oder „statischen Verfahren“ Variante B als besser. >Merke Man kann sich keineswegs darauf verlassen, die günstigste Finanzierungsvariante auszuwählen, wenn man sich ausschließlich an den Effektivzinssätzen der Kreditangebote orientiert.

Dieses Ergebnis dürfte Sie jedoch nicht mehr besonders überraschen. Für die Beurteilung der Vermögenseﬀekte von Aktivitäten, deren monetäre Eﬀekte sich in Zahlungsreihen niederschlagen, also nicht nur bei der Beurteilung von Realinvestitionen, sondern auch bei der Beurteilung von Finanzinvestitionen und von

Bei den in 7 Kap. 4 vorgestellten und untersuchten Kennzahlen Kapitalwert, Endwert und Annuität haben wir die monetären Konsequenzen von Investitionsprojekten durch deren zeitliche Folge von Ein- und Auszahlungsüberschüssen abgebildet und die Investitionsentscheidung damit letztlich als eine zielgerichtete Auswahl aus alternativ verfügbaren Zahlungsreihen deﬁniert. Für diese zielgerichtete Auswahl war jeweils eine exakte Prognose aller ﬁnanziellen Konsequenzen der zur Auswahl stehenden Alternativen erforderlich sowie eine Abschätzung der für zukünftige Perioden relevanten Kalkulationszinssätze.

237 6.4 Kennzahlen auf Basis periodisierter Durchschnittsgrößen

Angesichts der vergleichsweise hohen informatorischen Anforderungen dieser theoretisch fundierten ﬁnanzmathematischen Verfahren, liegt die Versuchung nahe, sich bei Investitionsentscheidungen in der praktischen Anwendung einfacherer Verfahren zu bedienen, bei denen insbesondere die informatorischen Anforderungen bzw. die Informationsbeschaﬀungskosten geringer sind. In der Praxis wird daher zum Teil auf Informationen zurückgegriﬀen, die im betrieblichen Rechnungswesen von Unternehmen traditionell ohnehin erfasst werden oder aus diesen abgeleitet werden können. Die nachfolgend als statische Verfahren (der Investitionsrechnung) oder als Praktikerverfahren (der Investitionsrechnung) bezeichneten Verfahren arbeiten dementsprechend nicht mit Ein- und Auszahlungsgrößen, sondern mit Kosten- und Leistungsgrößen bzw. mit Ertrags- und Aufwandsgrößen. Dies allein ist zunächst kein grundsätzliches Problem. Wie Sie sich sicherlich noch erinnern, sind wir in 7 Abschn. 4.2.3 ja bereits ausführlich darauf eingegangen, dass man unter bestimmten Voraussetzungen auch auf der Basis von Aufwands- und Ertragsgrößen zu „vernünftigen“ Aussagen über die Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten gelangen kann und haben dort mit dem „Lücke-Theorem“ ein Verfahren zur Ableitung zielkonformer Entscheidungen auf der Basis von Aufwands- und Ertragsgrößen kennengelernt. Ein weiteres (namensgebendes) Merkmal der nachfolgend vorgestellten statischen Verfahren ist die Vernachlässigung des exakten zeitlichen Anfalls der im Rechenverfahren berücksichtigten Größen. Ausgangspunkt aller statischen Verfahren ist nämlich die Grundidee bzw. -annahme, dass die wirtschaftliche Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investition auf Basis der Betrachtung einer für die gesamte Nutzungsdauer der Investition repräsentativen einzelnen Teilperiode (i. d. R. ein Jahr) erfolgen kann. Zwischen den Investitionsperioden diﬀerierende monetäre Konsequenzen (Kosten, Leistungen, Erträge, Aufwendungen) unterschiedlicher Investitionsalternativen ha-

6

ben folglich bei den statischen Verfahren der Investitionsrechnung keinen Einﬂuss auf das Vergleichsergebnis. Die statischen Verfahren fokussieren auf Ziele, die dem Denken des traditionellen Rechnungswesens entstammen, wie z. B. die Minimierung von Kosten oder von Amortisationszeiten bzw. die Maximierung von Gewinnen oder Renditen. Den zugrundeliegenden Zielgrößen entsprechend lassen sich die Kostenvergleichsrechnung, die Amortisationsvergleichsrechnung, die Gewinnvergleichsrechnung und die Rentabilitätsvergleichsrechnung unterscheiden. Im folgenden 7 Abschn. 6.4.2 werden wir uns ausführlich mit der Kostenvergleichsrechnung auseinandersetzen, die sogenannten „repräsentativen“ Kosten und ihre Ermittlung verdeutlichen, dabei die impliziten Prämissen der Kostenvergleichsrechnung herausarbeiten und anhand dieser Methode exemplarisch aufzeigen, dass die statischen Investitionsrechnungsverfahren lediglich in bestimmten (noch näher zu erläuternden) Ausnahmefällen zu Investitionsentscheidungen führen, die mit der Endvermögensmaximierung kompatibel sind. Da die ausführlich behandelten Kostengrößen zugleich Eingangsgrößen der Kennzahlenermittlung bei den anderen genannten statischen Verfahren sind und die bei der Kostenvergleichsrechnung diskutierten Probleme damit auch zwangsläuﬁg Probleme der anderen statischen Verfahren sind, können wir uns im 7 Abschn. 6.4.3 dann darauf beschränken, die Amortisationsvergleichsrechnung, die Gewinnvergleichsrechnung und die Rentabilitätsvergleichsrechnung in ihren wichtigsten Merkmalen kurz zu skizzieren und auf weitergehende methodische Schwächen dieser statischen Verfahren der Investitionsrechnung hinzuweisen. >Merke Statische Verfahren der Investitionsrechnung (Praktikerverfahren) beurteilen die Vorteilhaftigkeit eines Investitionsprojektes auf Basis der Daten einer als repräsentativ angesehenen Teilperi-

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

238

ode und beziehen sich in der Regel auf Zielgrößen, die aus dem traditionellen Rechnungswesen abgeleitet werden, wie z. B. die Kostenminimierung oder die Gewinn- oder Rentabilitätsmaximierung.

6.4.2

6

Kostenvergleichsrechnung als Referenzbeispiel

Anwendern einer Kostenvergleichsrechnung wird allgemein empfohlen, von zwei oder mehreren Alternativen diejenige zu realisieren, die pro Zeiteinheit (Jahr) die niedrigsten Kosten verursacht. Durch den direkten Kostenvergleich wird der Anwendungsbereich dieser Methode implizit auf Investitionsalternativen mit quantitativ und qualitativ vergleichbarem Output beschränkt, d. h. es sind nur Alternativen vergleichbar, die zu identischen Erlösen oder sonstigen positiven Ergebnisgrößen führen. Beispiel 6.14 verdeutlicht zunächst die Vorgehensweise der Kostenvergleichsrechnung.

II, die sich im Output nicht unterscheiden. Zur Beurteilung der Alternativen stehen Informationen zur Verfügung, die einerseits den Angeboten der Lieferanten der Anlagen, andererseits dem internen Rechnungswesen der Unternehmung entstammen und in . Tab. 6.12 zusammengestellt sind. Wie man den Beispieldaten unmittelbar entnehmen kann, weist Anlage I die deutlich höheren (einmaligen) Anschaffungskosten auf, führt jedoch in jedem Jahr der Nutzung zu niedrigeren (laufenden) Betriebskosten BK: BK I D P I C E I C mI X D 39:000 < BK II D P II C E II C mII X D 51:000 : Um die aus unterschiedlichenAnschaffungskosten resultierenden unterschiedlichen Kostenbelastungen zu erfassen, werden diese bei der Ermittlung der jährlichen Gesamtkostenbelastung zunächst „periodisiert“, um den durchschnittlichen pro Jahr aus dem Anlageneinsatz resultierenden Wertverzehr WV zu ermitteln. Dazu wird jeweils die Differenz zwischen Anschaffungskosten A und Liquidationserlös L linear auf die Gesamteinsatzdauer T aufgeteilt. Es gilt also:

777 Beispiel 6.14 Es ist über die Anschaffung einer neuen Produktionsanlage zu entscheiden. Nach einer unter technischen Gesichtspunkten durchgeführten Vorauswahl verbleiben zwei Anlagen I und

WV D

AL : T

Neben dem periodisierten Wertverzehr pro Jahr werden bei der Kostenvergleichsrechnung die

. Tabelle 6.12 Ausgangsdaten der Kostenvergleichsrechnung Anlage I

Anlage II

100.000

50.000

2. Nutzungsdauer T (Jahre)

5

5

3. Liquidationserlös L (Euro)

10.000

5.000

4. Auslastung X (Stück/Jahr)

5.000

5.000

12.000

18.000

3

4

12.000

13.000

10

10

1. Anschaffungskosten A (Euro)

5. Personalkosten P (Euro/Jahr) 6. Materialkosten m (Euro/Stück) 7. Energiekosten E (Euro/Jahr) 8. Kalkulatorischer Zinssatz r (% p. a.)

6

239 6.4 Kennzahlen auf Basis periodisierter Durchschnittsgrößen

. Abb. 6.4 Ermittlung der durchschnittlichen Mittelbindung

Mittelbindung

A

A L L 2

A L 2

L

t

0

durch den Mitteleinsatz verursachten („Kapital“-)Kosten KK berücksichtigt. Diese auf ein Jahr bezogenen Kosten errechnen sich aus dem Produkt einer unter Berücksichtigung der Gesamteinsatzzeit errechneten durchschnittlichen Mittelbindung und dem kalkulatorischem Zinssatz r. Es gilt also: KK D

ACL r: 2

. Abb. 6.4 verdeutlicht, dass bei der Berechnung der Kapitalkosten nicht nur der Zinssatz r eine kalkulatorische Größe darstellt, sondern auch die Höhe der durch den Term .A C L/=2 ausgedrückten durchschnittlichen Mittelbindung. Die Höhe der durchschnittlich durch die Investition gebundenen Mittel wird unter der Annahme „kalkuliert“, dass z. B. eine Darlehensaufnahme in Höhe des Anschaffungspreises des Investitionsprojektes erfolgt, ein Teil dieses Darlehens, der betraglich der Differenz zwischen Anschaffungskosten und Liquidationserlös des Investitionsprojektes entspricht, also .A L/, während der Projektlaufzeit kontinuierlich getilgt wird, und der andere Teil dieses Darlehens, der betraglich dem Liquidationserlös entspricht, also L, erst in voller Höhe am Ende der Projektlaufzeit getilgt wird. Fasst man die genannten Kostenkomponenten zusammen, so ergeben sich die der Vorteilhaftigkeitsbeurteilung zugrundeliegenden Peri-

t

T

t

odenkosten PK aus Formel (6.9). PK D BK C WV C KK ACL AL C r D BK C T 2 r 1 CLr C D BK C .A L/ T 2

(6.9)

Für unseren Beispielfall ergeben sich folglich für Anlage I und Anlage II Periodenkosten in Höhe von PK I D 39:000 C 18:000 C 5:500 D 62:500 und PK II D 51:000 C 9:000 C 2:750 D 62:750. Unter Kostengesichtspunkten ist demnach Anlage I der Anlage II knapp vorzuziehen. 999

Wie Beispiel 6.14 gezeigt hat, werden bei einer Auswahlentscheidung gemäß der Kostenvergleichsrechnung zunächst die Gesamtkosten pro Periode für alle zur Auswahl stehenden Alternativen ermittelt. Dabei ﬂießen in die Gesamtkosten nicht nur die laufenden jährlichen Betriebskosten ein, sondern zusätzlich auch Kostenkomponenten, die die mit unterschiedlich hohen Anschaﬀungskosten der Maschinen verbundenen „Zusatzkosten“ berücksichtigen. Um die Qualität einer Auswahlentscheidung gemäß der Kostenvergleichsrechnung in Hinblick auf die Zielsetzung Endvermögensmaximierung zu überprüfen, wollen wir im Folgenden die Beziehung zwischen dem Ihnen bereits bekannten ﬁnanzmathematisch exakten und zielkonformen Annuitätenkriteri-

240

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

. Tabelle 6.13 Approximation des Annuitätenfaktors innerhalb der Kostenvergleichsrechnung

6

r D 3%

r D 7%

(1=T C r=2)

ANF.T I r/ (1=T C r=2)

ANF.T I r/ (1=T C r=2)

ANF.T I r/

T D4

0,2650

0,2690

0,2850

0,2952

0,3050

0,3223

T D5

0,2150

0,2184

0,2350

0,2439

0,2550

0,2706

T D6

0,1817

0,1846

0,2017

0,2098

0,2217

0,2364

T D7

0,1579

0,1605

0,1779

0,1856

0,1979

0,2122

T D8

0,1400

0,1425

0,1600

0,1675

0,1800

0,1943

um und der Kostenvergleichsrechnung untersuchen. Dazu unterstellen wir, dass die Betriebskosten BK über den gesamten Investitionszeitraum für jede einzelne Periode in konstanter Höhe anfallen und jeweils auch in dieser Periode auszahlungswirksam sind. Unter dieser Voraussetzung errechnet sich die ﬁnanzmathematisch exakte Auszahlungsannuität – wie Ihnen ja aus 7 Abschn. 4.2.1.2 bekannt ist – gemäß Formel (6.10). a D BK C A ANF .T I r/ L .1 C r/T ANF .T I r/ (6.10) Nach einer nicht ganz trivialen Umformung, die wir Ihnen hier ersparen wollen, vereinfacht sich Formel (6.10) zu Formel (6.11). a D BK C .A L/ ANF .T I r/ CLr

(6.11)

Vergleichen wir nun die Formeln (6.9) und (6.11) so erkennen wir, dass bei der Kostenvergleichsrechnung der mit der Anfangsauszahlung verbundene „Kapitaldienst“ – statt ﬁnanzmathematisch exakt durch den Annuitätenfaktor – mit Hilfe des Summenausdrucks (1=T C r=2) bestimmt wird. Eine Überprüfung dieser beiden Ausdrücke zeigt, dass grundsätzlich ANF.T I r/ > .1=T C r=2/ gilt, beide Ausdrücke im Bereich üblicher Zinssätze und Laufzeiten (bis etwa 10 % und 10 Jahre) stets in der gleichen Größenordnung liegen

r D 11 %

und die Diﬀerenz absolut umso kleiner ist, je niedriger der zugrunde gelegte Zinssatz und je höher bei gegebenem Zinssatz die Laufzeit ist. . Tab. 6.13 verdeutlicht diese Zusammenhänge für ausgewählte Zinssätze und Laufzeiten. Die Kostenvergleichsrechnung kann also unter der Annahme konstanter und jeweils auch periodenbezogen auszahlungswirksamer Betriebskosten als eine Näherungsmethode für das ﬁnanzmathematisch exakte Annuitätenkriterium angesehen werden. Bedingt durch die unzulängliche Zinseszinserfassung werden innerhalb der Kostenvergleichsrechnung Investitionsprojekte mit hoher Anfangsauszahlung (wie im Beispiel 6.14 Anlage I) im Vergleich zu Projekten mit geringerer Anfangsauszahlung „zu günstig“ dargestellt. Allein daraus können schon Fehlentscheidungen resultieren, wie ein Vergleich der Ergebnisse unserer Investitionen aus Beispiel 6.14 verdeutlicht. Dort ergibt sich bei Anwendung der Kostenvergleichsrechnung gemäß Formel (6.9) mit PK I D 62:500 < PK II D 62:750 eine Entscheidung zu Gunsten der Anlage I und bei Anwendung des exakten Annuitätenkriteriums gemäß Formel (6.11) mit aI D 63:742 > a II D 63:371 eine Entscheidung zu Gunsten der Anlage II, die die in Hinblick auf die Zielsetzung einer Endvermögensmaximierung allein richtige Entscheidung ist. Berücksichtigt man ferner, dass in zeitlicher Hinsicht Kosten und Auszahlungen nicht immer übereinstimmen, dass die meisten Kosten-

6

241 6.4 Kennzahlen auf Basis periodisierter Durchschnittsgrößen

. Tabelle 6.14 Übersicht über Betriebskosten je Periode für Anlage I und II BK II

BK I Fall 1

Fall 2

Fall 1

Fall 2

1. Jahr

33.000

45.000

49.000

53.000

2. Jahr

36.000

42.000

50.000

52.000

3. Jahr

39.000

39.000

51.000

51.000

4. Jahr

42.000

36.000

52.000

50.000

5. Jahr

45.000

33.000

53.000

49.000

arten während einer mehrjährigen Nutzungsphase in unterschiedlichem Umfang schwanken oder aber auch systematisch steigen oder fallen können und dass im Rahmen der Kostenvergleichsrechnung die durch den Mitteleinsatz verursachten Kosten rein kalkulatorische Größen sind, so werden die Grenzen deutlich, innerhalb derer die Kostenvergleichsrechnung als hinreichend genaue Approximation des ﬁnanzmathematisch exakten und zielkonformen Annuitätenkriteriums angesehen werden kann. Beispiel 6.15 verdeutlicht einige der angesprochenen Probleme. 777 Beispiel 6.15 Wir gehen erneut von den Daten des Beispiels 6.14 aus. Dort wurde für die in der Vergleichsrechnung berücksichtigten jährlichen Betriebskosten von folgenden Durchschnittswerten ausgegangen: BK I D 39:000 und BK II D 51:000. Die für die Berechnung der Periodengesamtkosten benötigten repräsentativen Werte für die Betriebskosten je Periode sollen sich nun in Fall 1 als Durchschnittswerte aus einer Reihe jährlich ansteigender Kosten und in Fall 2 als Durchschnittswerte aus einer Reihe sich jährlich verringernder Kosten ergeben, wie . Tab. 6.14 verdeutlicht. Als repräsentativ für die jährlichen Betriebskosten wird also die Kostensituation im Jahr 3 angesehen. Unabhängig vom betrachteten Fall gilt bei Anwendung der Kostenvergleichsrechnung also nach wie vor die aus Beispiel 6.14 bekannte Relation PK I D 62:500 < PK II D 62:750. Errechnen wir nun die exakten Auszah-

lungsannuitäten für die Fälle 1 und 2 unter der Voraussetzung, dass die Betriebskosten im jeweils gleichen Jahr auch zahlungswirksam werden, so erkennen wir, dass diese nicht mehr den in Beispiel 6.14 auf der Basis repräsentativer Werte ermittelten Werten von aI D 63:742 > a II D 63:371 entsprechen, je nach betrachtetem Fall nach unten oder oben von diesen Werten abweichen können und sich nun in Fall 1 (anders als in Fall 2) nicht mehr der Kauf von Anlage II, sondern der Kauf von Anlage I als die unter der Zielsetzung Endvermögensmaximierung optimale Entscheidung herausstellt. Für die exakten Werte der Ausgabeannuitäten ergibt sich in den beiden Fällen:1 Fall 1 aI D 100:000 C 33:000 1;11 C 36:000 1;12 C 39:000 1;13 C 42:000 1;14 C 35:000 1;15 ANF .5 J:I 10 %/ D 63:173 a II D 50:000 C 49:000 1;11 C 50:000 1;12 C 51:000 1;13 C 52:000 1;14 C 48:000 1;15 ANF .5 J:I 10 %/ D 63:182

1

Dabei ist zu beachten, dass in den Zahlungssaldo der fünften Periode neben den mit den Betriebskosten verbundenen Auszahlungen jeweils auch die mit dem Verkauf der Anlage einhergehenden Einzahlungen eingehen.

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

242

Fall 2 a D 100:000 C 45:000 1;11 C 42:000 1;12 I

C 39:000 1;13 C 36:000 1;14 C 23:000 1;15 ANF .5 J:I 10 %/ D 64:312 a II D 50:000 C 53:000 1;11 C 52:000 1;12 C 51:000 1;13 C 50:000 1;14 C 44:000 1;15 ANF .5 J:I 10 %/

6

D 63:561:

999

>Merke Eine mit der Zielsetzung Endvermögensmaximierung kompatible Entscheidung erfordert im Allgemeinen die zeitpunktund betragsgenaue Berücksichtigung aller relevanten Projektzahlungen. Berechnungen auf der Basis von durchschnittlichen (repräsentativen) Erfolgs- oder aber auch Zahlungsgrößen führen allenfalls zufällig zu zielkonformen Ergebnissen.

6.4.3

Andere Praktikerverfahren und zusammenfassende Kennzahlenkritik

Ist der bewertete Output der zur Auswahl stehenden Alternativen nicht identisch, unterscheidet sich der Output der Alternativen also in qualitativer und/oder quantitativer Hinsicht, so macht ein Kostenvergleich in aller Regel keinen Sinn, da es wenig problemadäquat erscheint, von Kostenminimierung als letztem Ziel unternehmerischen Handelns auszugehen. Dann wäre immer die vollständige Einstellung aller unternehmerischen Aktivitäten optimal. Die nachfolgend in ihren wesentlichen Grundzügen vorgestellten anderen Praktikerverfahren, also die Gewinn-, Rentabilitätsund Amortisationsvergleichsrechnung, beziehen die den einzelnen Investitionsalternativen zurechenbaren Erträge bzw. Leistungen explizit in den Vorteilhaftigkeitsvergleich ein, heben also die für die Kostenvergleichsrechnung fundamentale Prämisse identischer Ertragsstrukturen auf und erweitern somit den Anwendungs-

bereich auf den Vergleich von Investitionsalternativen mit beliebigen Ertragsstrukturen. Ausgangspunkt aller drei Verfahren bleibt jedoch – wie bei der Kostenvergleichsrechnung – eine wirtschaftliche Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investition auf Basis der Betrachtung einer für die gesamte Nutzungsdauer der Investition repräsentativen einzelnen Teilperiode. Anwendern einer Gewinnvergleichsrechnung wird allgemein empfohlen, die Investitionsalternative auszuwählen, die im Vergleich zu den anderen Alternativen den höchsten durchschnittlichen (repräsentativen) Gewinn pro Periode aufweist. Dabei wird als Gewinn die positive Diﬀerenz zwischen den bewerteten Leistungen und den analog zur Kostenvergleichsrechnung zu ermittelnden Kosten verstanden. Eine Investition ist gemäß diesem Kriterium projektindividuell als vorteilhaft anzusehen, wenn ihr Gewinn den Wert Null oder einen exogen vorgegebenen Mindestgewinn übersteigt. Im Zuge einer Auswahlentscheidung soll dementsprechend die Alternative mit dem höchsten Periodengewinn realisiert werden, sofern dieser positiv ist oder einen vorgegebenen Mindestgewinn übersteigt. Der so ermittelte durchschnittliche Gewinn einer Investition kann als Approximation der Annuität einer Investition angesehen werden. Neben den im 7 Abschn. 6.4.2 vorgetragenen Bedenken gegen die Verwendung von Investitionskalkülen, die im Rahmen von mehrperiodigen Entscheidungen auf wie auch immer ermittelte repräsentative Werte zurückgreifen, gelten daher für Auswahlentscheidungen auf Basis eines Gewinnvergleiches die gegen die Annuitätenmethode vorgebrachten Bedenken in analoger Form. Auf die Bedeutung von Laufzeitunterschieden der zur Auswahl stehenden Investitionsalternativen für die sinnvolle Anwendung der Annuitätenmethode sind wir in 7 Abschn. 4.2.2.2 ja bereits ausführlich eingegangen. Bei der Rentabilitätsvergleichsrechnung wird der durchschnittliche Periodengewinn eines Investitionsprojekts zunächst ins Verhältnis zu den durch die Investition durchschnittlich gebundenen Mitteln gesetzt. Die Höhe der

243 6.4 Kennzahlen auf Basis periodisierter Durchschnittsgrößen

6

durchschnittlich gebundenen Mittel wird dabei analog zur Ermittlung bei der Kostenvergleichsrechnung bestimmt (vgl. zur Interpretation und zur Ermittlung Beispiel 6.14). 4 Als Gewinngröße kann einerseits der innerhalb der Gewinnvergleichsrechnung ermittelte durchschnittliche Periodengewinn angesetzt werden. Da bei dieser Gewinngröße bereits die durch den Einsatz ﬁnanzieller Mittel verursachten Kosten durch den Ansatz kalkulatorischer Zinsen berücksichtigt sind, ist eine Alternative projektindividuell als vorteilhaft anzusehen, wenn sie nach Verrechnung aller kalkulatorischen Kosten eine positive Rendite erwirtschaftet. Eine so ermittelte (Netto-) Rendite kann dann als die über die Verrechnung der kalkulatorischen Zinsen hinausgehende zusätzliche Verzinsung der durchschnittlich durch die Investition gebundenen Mittel angesehen werden. 4 Wird die Gewinngröße hingegen nicht um kalkulatorische Zinsen vermindert, so ergibt sich durch den Ansatz dieser modiﬁzierten Gewinngröße unmittelbar die Verzinsung der durch die Investition durchschnittlich gebundenen Mittel. Zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investitionsalternative wird diese Renditekennzahl analog zum Kriterium des internen Zinsfußes mit einer extern vorzugebenden Mindestrendite verglichen. Die bei der Rentabilitätsvergleichsrechnung ermittelte (Brutto-)Rendite einer Investition kann als Approximation des internen Zinsfußes eines Investitionsprojektes angesehen werden und stellt wie dieser lediglich eine relative Größe dar. Betrachten wir Auswahlentscheidungen auf der Basis von Rentabilitätsvergleichsrechnungen, gelten folglich die gegen die Methode des internen Zinsfußes vorgebrachten konzeptionellen Bedenken in analoger Form (vgl. 7 Abschn. 6.3.4).

satz durch die aus der Investition resultierenden „Überschüsse“ wiedergewonnen wird. Zur Ermittlung der statischen Amortisationsdauer werden im einfachsten Fall die Überschüsse der durchschnittlichen jährlichen Erträge über die durchschnittlichen laufenden Betriebskosten einer Investitionsalternative so lange aufaddiert, bis diese Summe erstmalig den ursprünglichen Mitteleinsatz übersteigt. In einer anderen Variante werden die durchschnittlichen jährlichen Erträge nicht nur um die durchschnittlichen laufenden Betriebskosten, sondern zusätzlich um die durchschnittlichen kalkulatorischen Zinsen auf die durchschnittlich durch die Investition gebundenen Mittel vermindert. Eine Investition soll unabhängig von der betrachteten Variante des Kriteriums projektindividuell als vorteilhaft anzusehen sein, wenn ihre Amortisationsdauer geringer als die Investitionslaufzeit ist und eine möglicherweise exogen vorgegebene Maximaldauer unterschreitet. Im Zuge einer Auswahlentscheidung soll dementsprechend die Alternative realisiert werden, die einerseits die kürzeste Amortisationsdauer aufweist, andererseits eine extern vorgegebene Höchstamortisationsdauer nicht überschreitet. Insbesondere in der zweitgenannten Variante kann das Amortisationsvergleichsverfahren oﬀensichtlich als Approximation der ﬁnanzmathematisch exakt bestimmten Amortisationsdauer (vgl. 7 Abschn. 6.2.2) angesehen werden. Neben den Problemen, die aus der Verwendung von Durchschnittsgrößen beim Amortisationsvergleichsverfahren resultieren, gelten die dort für das ﬁnanzmathematisch exakt ermittelte Kalkül vorgetragenen konzeptionellen Bedenken in gleicher Weise auch für die Amortisationsvergleichsrechnung. Die diesen Abschnitt abschließende Übungsaufgabe 6.8 widmet sich der konkreten Anwendung der Kosten-, der Gewinn- und der Rentabilitätsvergleichsrechnung.

Die Amortisationsvergleichsrechnung (payoﬀ-Methode) ermittelt den Zeitraum bis zu dem Zeitpunkt, an dem der ursprünglich zur Investitionsdurchführung benötigte Mittelein-

MONA beabsichtigt, für ihr Transportunternehmen ein neues Fahrzeug zu erwerben. Nach einer unter technischen Gesichtspunkten und Einsatzgesichtspunkten

?Übungsaufgabe 6.8

244

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

. Tabelle 6.15 Ausgangsdaten der Vergleichsrechnung zu Übungsaufgabe 6.8

1. Anschaffungskosten (Euro) 2. Nutzungsdauer (Jahre) 3. Liquidationserlös in t D 4 (Euro) 4. Fahrleistung (km/Jahr) 5. Betriebskosten (Euro/1.000 km)

6

6. Fixe Kosten (Euro/Jahr) 7. Kalkulatorischer Zinssatz (% p. a.)

Typ A

Typ B

Typ C

18.000

25.000

30.000

4

4

4

2.000

5.000

6.000

24.000

27.000

30.000

270

220

190

3.000

2.750

2.000

10

10

10

werden. Während die Amortisationsdauer angibt, bis zu welchem Zeitpunkt Einzahlungsüberschüsse aus einem Investitionsprojekt mindestens anfallen müssen, damit der Kapitalwert eines betrachteten Projektes erstmalig positiv wird, gibt der interne Zinsfuß an, welche Finanzierungs- bzw. Opportunitätskostenbelastung ein Investitionsprojekt gerade noch verkraften kann, ohne im Vergleich zur Unterlassensalternative unvorteilhaft zu werden. Beide Kennzahlen weisen keinen unmittelbaren Bezug zur Zielsetzung Endvermögensmaximierung auf und ihre Anwendung führt aufgrund konzeptionsbedingter Schwächen auch nur in Ausnahmefällen zu zielkonformen Entscheidungen. Insbesondere bei Auswahlentscheidungen können Fehlentscheidungen auftreten, so dass von der Anwendung dieser beiden Kennzahlen insbesondere im Kontext von Auswahlentscheidungen dringend abgeraten wird. Die projektindividuelle Vorteilhaftigkeit von Normalinvestitionen lässt sich hingegen eindeutig auf Basis beider Kennzahlen bestimmen. Die sogenannten statischen Verfahren der Investitionsrechnung, die häuﬁg auch als Praktikerverfahren bezeichnet werden, beurteilen die Vorteilhaftigkeit eines Investitionsprojekts auf der Basis der Daten einer als repräsen6.5 Zusammenfassung tativ angesehenen Teilperiode und beziehen sich auf Zielgrößen, die aus dem traditionellen Die investitionstheoretischen Kennzahlen Rechnungswesen abgeleitet werden, wie z. B. Amortisationsdauer und interner Zinsfuß kön- die Kostenminimierung oder die Rentabilitätsnen als spezielle kritische Werte interpretiert oder Gewinnmaximierung. Auch die Anwendurchgeführten Vorauswahl verbleiben drei Fahrzeugtypen A, B und C, die durch die in . Tab. 6.15 zusammengestellten Daten gekennzeichnet sind. Je 1.000 gefahrene Kilometer erhält MONA von ihren Auftraggebern bei Typ A einen Umsatzerlös in Höhe von 680 €, bei Typ B in Höhe von 670 € und bei Typ C in Höhe von 630 €. a. Ermitteln Sie für jeden Typ (für jede Investitionsalternative) die Periodenkosten, den Periodengewinn sowie die Rendite und stellen Sie fest, welche Alternative dem entsprechenden Zielkriterium nach als die Vorteilhafteste anzusehen ist. b. Gehen Sie davon aus, dass die Betriebskosten, die fixen Kosten und die Umsatzerlöse zum Ende der jeweiligen Periode in gleicher Höhe zahlungswirksam sind und die Anschaffungsauszahlungen jeweils im Zeitpunkt t D 0 anfallen. Ermitteln Sie für einen Zinssatz von 10 % die Kapitalwerte aller drei Alternativen. c. Für welchen Fahrzeugtyp sollte sich MONA entscheiden? Begründen Sie Ihre Antwort.

245 6.7 Lösungen

6

als kritischer Wert interpretieren? Lösung dung von Praktikerverfahren, wie die Kosten-, 7 Abschn. 6.3.4 die Amortisations-, die Gewinn- oder die Rentabiltätsvergleichsrechnung, führt aufgrund ih- 9. Warum sollte ein Kreditnehmer sich nicht rer konzeptionellen Schwächen nur in Ausnahautomatisch für das Kreditangebot mit mefällen zu Entscheidungen, die mit der Zieldem niedrigsten Eﬀektivzinssatz entscheisetzung Endvermögensmaximierung vereinbar den? Lösung 7 Abschn. 6.3.5 sind, da bei diesen Verfahren keine zeitpunkt- 10. Durch welche beiden grundsätzlichen Unund betragsgenaue Berücksichtigung beurteiterschiede können die statischen Verfahlungsrelevanter Größen erfolgt. Diese Verfahren der Investitionsrechnung von den klasren sollten daher nicht zur Beurteilung der sischen (ﬁnanzmathematischen) InvestitiVorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten heronskalkülen abgegrenzt werden? Lösung angezogen werden. 7 Abschn. 6.4.1 11. Warum führen Berechnungen auf der Basis von durchschnittlichen Erfolgs- oder Zahlungsgrößen allenfalls zufällig zu 6.6 Wiederholungsfragen zielkonformen Entscheidungen? Lösung 7 Abschn. 6.4.2 1. Welche beiden Gründe sprechen dafür, sich 12. Wodurch unterscheiden sich die Gewinnauch mit Kennzahlen zu beschäftigen, von vergleichsrechnung und die Rentabilitätsderen Anwendung letztlich abgeraten wird? vergleichsrechnung und warum wird von Lösung 7 Abschn. 6.1 der Anwendung beider Methoden dringend abgeraten? Lösung 7 Abschn. 6.4.2 2. Welche Beziehungen bestehen zwischen dem Vorzeichen des Kapitalwertes eines Investitionsprojektes und dessen Amortisati6.7 Lösungen onsdauer? Lösung 7 Abschn. 6.2.1 3. Warum sind Normalinvestitionen, die sich während der Projektlaufzeit amortisie-1 Übungsaufgabe 6.1 ren, projektindividuell vorteilhaft? Lösung Für einen Zinssatz von 2 % ergibt sich als Lösung (über Weg 1) eine Amortisationsdauer 7 Abschn. 6.2.2 4. Warum ist die Minimierung der Amorti- von t .r D 0;02/ D 5 Jahre. . Tab. 6.16 fasst sationsdauer bei Auswahlentscheidungen die Ergebnisse zusammen. Für einen Zinssatz von 10 % ergibt sich keine sinnvolle Zielsetzung? Lösung als Lösung (über Weg 1), dass sich das Pro7 Abschn. 6.2.2 5. Welche Beziehungen bestehen zwischen dem Kapitalwert eines Investitionsprojektes und dessen internem Zinsfuß? Lösung . Tabelle 6.16 Lösungstabelle 1 (ÜA 6.1) 7 Abschn. 6.3.1 Pt t et e t q t 6. Warum weisen Normalinvestitionen geD0 e q nau einen internen Zinsfuß auf, der 0 100 100 100 zudem zwingend positiv ist? Lösung 1 20 19,61 119,61 7 Abschn. 6.3.2 2 50 48,06 71,55 7. Warum ist der interne Zinsfuß insbesondere im Kontext von Auswahlentscheidungen 3 40 37,69 33,86 keine geeignete Kennzahl, um zielkonforme 4 30 27,72 6,14 Investitionsentscheidungen abzuleiten? Lösung 7 Abschn. 6.3.4 5 25 22,64 16,50 8. Wie lässt sich der interne Zinsfuß (in Sze6 15 nario I und in Szenario II) ökonomisch

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

246

. Tabelle 6.17 Lösungstabelle 2 (ÜA 6.1)

6

. Tabelle 6.19 Lösungstabelle 4 (ÜA 6.1)

Pt

t

et

e t q t

e q

0

100

100

1

20

18,18

2

50

41,32

76,86

3

40

30,05

46,81

4

30

20,49

5

25

6

15

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

ZinsbeProjektlastung zahlung r D 10 %

Kontostand

1

100,00

10,00

20,00

130,00

26,32

2

130,00

13,00

50,00

93,00

15,52

10,80

3

93,00

9,30

40,00

62,30

8,47

2,33

4

62,30

6,23

30,00

38,53

5

38,53

3,85

25,00

17,38

6

17,38

1,74

15,00

4,12

D0

100 118,18

. Tabelle 6.18 Lösungstabelle 3 (ÜA 6.1) Jahr

Jahresanfang

Jahresende

Kontostand

Zinsbelastung r D 2%

Projektzahlung

Kontostand

1

100,00

2,00

20,00

122,00

2

122,00

2,44

50,00

74,44

3

74,44

1,49

40,00

35,93

4

35,93

0,72

30,00

6,65

5

6,65

0,13

25,00

18,22

6

Jahr

15,00

jekt während der Laufzeit von 6 Jahren nicht amortisiert. Bei Berücksichtigung aller Projektzahlungen beträgt der Kapitalwert 2;33, wie . Tab. 6.17 zeigt. Die (unter Berücksichtigung des späteren Bezugszeitpunktes) identischen Ergebnisse lassen sich auch auf Weg 2 errechnen, wie . Tab. 6.18 und . Tab. 6.19 zeigen. 1 Übungsaufgabe 6.2

Gesucht ist nun der Wert für t , für den erstmals gilt: K > 0. K>0, 100 C 10 RBF .3 J:I 5 %/ C 8 RBF ..t 3/ J:I 5 %/ 1;053 > 0 , 100 C 10 2;7232 C 8 0;8638 RBF ..t 3/ J:I 5 %/ > 0 , RBF ..t 3/ J:I 5 %/ 100 10 2;7232 D 10;53: > 8 0;8638 Aus der im Anhang beﬁndlichen 7 Tab. A.3 ist für r D 5 % ablesbar: RBF.15 J:I 5 %/ D 10;3797 und RBF.16 J:I 5 %/ D 10;8378. Damit der Kapitalwert des Investitionsprojektes erstmalig positiv wird, muss (ab dem 4. Jahr) an jedem Jahresende mindestens 16 Jahre lang (also von t D 4 bis t D 19) ein Einzahlungsüberschuss von 8 erzielt werden. Die Amortisationsdauer t beträgt folglich 19 Jahre.

Der Kapitalwert dieses Investitionsprojekts er1 Übungsaufgabe 6.3 gibt sich für 4 t 20 aus: Für Projekt I (1:000; 660; 484) ergibt sich r gemäß Formel (6.5) aus: K D 100 C 10 RBF .3 J:I 5 %/ C 8 RBF ..t 3/ J:I 5 %/ 1;053 :

e0 C e1 .1 C r /1 C e2 .1 C r /2 D 0:

247 6.7 Lösungen

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung führt zu: s e1 2 e2 e 1 D ˙ 1 r1;2 2e0 2e0 e0

6

Als zweite Näherung für den internen Zinsfuß erhalten wir also bei Ausgangszinssätzen der ersten Näherung von rP D 5 % und rN D 15 % den Wert rQ1 D 8;919 %, der nur geringfügig vom exakten Wert r D 8;8963 % abweicht.

und damit zu r1;2 D

1 Übungsaufgabe 6.5 660 Der interne Zinsfuß r muss die Bedingung 2 .1:000/ s 2 .100/ 660 484 RBF .20 J:I r / D D 7;6923 ˙ 13 2 .1:000/ 1:000

1 D 0;67 ˙ 0;77 : Es errechnen sich interne Zinsfüße von 10 % und 144 %. Da die Zahlungsreihe von Projekt I dem Typ einer Normalinvestition entspricht, hat Projekt I genau einen positiven internen Zinsfuß, hier: r D 10 %. Für Projekt II (200; 0; 0; 0; 414,72) ergibt sich nach Umformung von Formel (6.5) im Falle von genau zwei Projektzahlungen allgemein: r eT 1 r D T e0 q und im konkreten Fall: r D 4 414;72 200 1 D 0;20. Der interne Zinsfuß von Projekt II lautet also: r D 20 %. 1 Übungsaufgabe 6.4

erfüllen. Wir müssen folglich den Zinssatz bestimmen, bei dem der Rentenbarwertfaktor für 20 Jahre dem Wert 7,6923 möglichst nahe kommt. Durch einen Blick in die im Anhang beﬁndlichen 7 Tab. A.3 erkennt man, dass der gesuchte Zinssatz r zwischen 4 10 % .RBF .20 J:I 10 %/ D 8;5136/ und 4 12 % .RBF .20 J:I 12 %/ D 7;4694/ liegt. Der Abstand zwischen dem Zielwert von 7,6923 und RBF.20 J:I 12 %/ D 7;4694 ist mit 0,2229 deutlich geringer als der Abstand zwischen dem Zielwert von 7,6923 und RBF.20 J:I 10 %/ D 8;5136. Daraus kann mit einer gewissen Unschärfe abgeschätzt werden, dass der interne Zinsfuß deutlich näher bei 12 % als bei 10 % liegt und im Bereich von ungefähr 11,6 % liegen dürfte. Berechnen wir nun auf Basis unserer Schätzung den Kapitalwert des Projektes für r D 0;116, so erhalten wir mit K.r D 0;116/ D 0;4107 einen Wert, der schon recht nahe beim Zielwert von Null liegt. Der gesuchte interne Zinsfuß liegt also knapp unterhalb von 11,6 %. Vergleicht man unseren Schätzwert von „knapp 11,6 %“ mit dem exakten Wert für den internen Zinsfuß von r D 11;54 %, so erscheint unsere Abschätzung recht „brauchbar“.

Für Projekt 1 (100; 30; 40; 50) ergeben sich auf Basis der Ausgangszinssätze rP D 5 % und rN D 15 % als erste Näherung für r : rQ1 D 9;2698 % (vgl. Beispiel 6.7). Zur Bestimmung von rQ2 wird zunächst K.Qr1 / bestimmt. Es ergibt sich: K.Qr1 / D K.r D 0;092698/ D 0;7199. Da K.Qr1 / negativ ist, wird im zweiten Approximationsschritt KN .r D 0;15/ D 10;79 durch KN 0 .r D 0;092698/ D 0;7199 und rN D 15 % durch rN 0 D 0;092698 ersetzt. Die Werte für KP und rP bleiben unverändert. Damit ergibt sich als1 Übungsaufgabe 6.6 Zu bestimmen ist jeweils, welche der genannten zweite Näherung: Alternativen bei jeweils vorgegebenem Kalku0;092698 8;04 0;05 .0;7199/ lationszinssatz den maximalen positiven KarQ2 D 8;04 .0;7199/ pitalwert aufweist. Aus . Abb. 6.2 ergibt sich damit unter Berücksichtigung der für die drei D 0;08919:

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

248

Projekte bereits bekannten internen Zinsfüße unmittelbar: Für 0 r < 0;08896 gilt:

a1 ist Optimalalternative

Für 0;08896 r 0;1 gilt:

U ist Optimalalternative

Für 0;1 < r < 0;2 gilt:

a2 ist Optimalalternative

Für r 0;2 gilt:

U ist Optimalalternative.

6 1 Übungsaufgabe 6.7

Investition a7 weist einen Nominalwert von N7 D C3:200 und einen internen Zinsfuß von r r7

D 14;89 % D

2

13:200 1 10:000

!

auf. Investition a8 weist einen Nominalwert von N8 D 2:000 und einen internen Zinsfuß von r8

12:000 D 20 % D 1 10:000

a7

ist Optimalalternative 0 r < 0;10 für

a7 oder a8

ist Optimalalternative r D 0;10 für

a8

ist Optimalalternative 0;10 < r < 0;20 für

U

ist Optimalalternative r 0;20. für

Würde sich ein Investor bei Auswahlentscheidungen nach dem internen Zinsfuß richten und jeweils das Projekt mit dem höchsten r Wert wählen, so würde er sich für r < 0;2 für die Alternative a8 und für r 0;2 für die Unterlassensalternative entscheiden. Wie man aus obiger Abbildung erkennt, führt die auf den internen Zinsfuß gestützte Auswahlentscheidung nur für Kalkulationszinssätze in Höhe von r 0;1 zu einem mit dem Kapitalwertkriterium übereinstimmenden Ergebnis. Für 0 r < 0;1 ergibt sich hingegen ein klarer Widerspruch zum Kapitalwertkriterium; der Investor würde bei Wahl des Projektes a8 ein Projekt realisieren, das einen niedrigeren Kapitalwert als Projekt a7 aufweist, und damit eine Entscheidung treﬀen, die nicht mit der Endvermögensmaximierung kompatibel ist.

auf. Aus N7 > N8 und r7 < r8 folgt, dass die beiden Kapitalwertfunktionen zumindest einen Schnittpunkt im Bereich positiver Zins-1 a. sätze aufweisen müssen. Für jeden möglichen Schnittpunkt zweier Kapitalwertfunktionen muss an der Stelle r D rK gelten: K7 D K8 bzw. K7 K8 D 0. Der Ausdruck auf der linken Seite der letzten Gleichung ist aber nichts anderes als der Kapitalwert der Diﬀerenzzahlungsreihe, für den also gelten muss: K7;8 D 0. Bildet man die Diﬀerenzzahlungsreihe der Investitionsalternativen a7 und a8 , so ergibt sich eine Zahlungsreihe, die nur einen einzigen internen Zinsfuß bei r D 10 % aufweist. Daraus folgt, dass die beiden Projekte a7 und a8 nur bei einem Zinsfuß von r D 10 % einen identischen Kapitalwert (K7 D K8 D 909;09) aufweisen (vgl. . Abb. 6.5). Aus dem Verlauf der Kapitalwertfunktionen der Alternativen a7 und a8 ergibt sich:

Übungsaufgabe 6.8

Für die Periodenkosten der drei Alternativen gilt: PK A D BK A C WV A C KK A 18:000 2:000 D 9:480 C 4 18:000 C 2:000 C 0;1 2 D 14:480 PK B D BK B C WV B C KK B 25:000 5:000 D 8:690 C 4 25:000 C 5:000 C 0;1 2 D 15:190

6

249 6.7 Lösungen

K 3200

2000

K7

K8

909

r8* 0 5%

r

20%

10% r7*

20%

K 8 (r)

14,9% K 7 (r)

. Abb. 6.5 Kapitalwertfunktionen der Investitionen a7 und a8 (ÜA 6.7)

PK C D BK C C WV C C KK C 30:000 6:000 D 7:700 C 4 30:000 C 6:000 C 0;1 2 D 15:500: Für den Periodenumsatz U der drei Fahrzeugtypen gilt: U D 680 24 D 16:320 A

Für die Rendite R der drei Fahrzeugtypen, also für den Quotienten aus Periodengewinn und durchschnittlicher Mittelbindung (vgl. zur Ermittlung der durchschnittlichen Mittelbindung Formel (6.9)), gilt: RA D 1:840=10:000 D 18;4 % RB D 2:900=15:000 D 19;3 % RC D 3:400=18:000 D 18;9 %:

Fahrzeugtyp A weist die geringsten Periodenkosten auf. Fahrzeugtyp C weist den U C D 630 30 D 18:900: höchsten Periodengewinn auf. Fahrzeugtyp B weist die höchste Rendite auf. Da sich Für den Periodengewinn G der drei Fahrder Output der drei Typen unterscheidet, zeugtypen gilt: sind die Periodenkosten nicht unmittelbar vergleichbar. Berechnet man die Kosten je A A A G D U PK D 16:320 14:480 1.000 km Fahrleistung, so ergeben sich mit D 1:840 516,67 (Euro/1.000 km) für Typ C die geringsten leistungsbezogenen Kosten. G B D U B PK B D 18:090 15:190 b. Ermittelt man für die drei Typen auf Basis D 2:900 der zugehörigen Zahlungsreihen die KapiG C D U C PK C D 18:900 15:500 talwerte beim Zinssatz r D 10 %, so ergibt D 3:400: sich: U B D 670 27 D 18:090

250

Kapitel 6 Entscheidungsregeln auf Basis sonstiger investitionstheoretischer Kennzahlen

maximieren, so ist ohnehin die Kapitalwertmethode das geeignete Verfahren, um zu einer eindeutigen und zieladäquaten Entscheidung zu gelangen. MONA sollte sich folglich für den Fahrzeugtyp C entscheiden.

Typ A

K D 18:000 C 6:840 RBF .3 J:I 10 %/ C 8:840 1;14 D 5:048;23 Typ B

K D 25:000 C 9:400 RBF .3 J:I 10 %/ C 14:400 1;14 D 8:212;25

Literatur 1.

6

Typ C

K D 30:000 C 11:200 RBF .3 J:I 10 %/ C 17:200 1;14 D 9:601;11: Fahrzeugtyp C führt zu dem höchsten Kapitalwert und damit auch zum maximal erreichbaren Endvermögen. c. Die statischen Verfahren führen im Beispielfall zu unterschiedlichen Empfehlungen. Bedingt durch einen unterschiedlich hohen Mitteleinsatz und unterschiedliche Leistungsmengen, lassen sich auf Basis der statischen Verfahren keine eindeutigen Aussagen bezüglich der Vorteilhaftigkeit der einen oder anderen Investitionsalternative ableiten. Beabsichtigt MONA, ihr Endvermögen im Zeitpunkt T D 4 zu

2.

3. 4. 5. 6. 7. 8.

Bitz, M., & Ewert, J. (2014). Übungen in Betriebswirtschaftslehre (8. Aufl.). München: Franz Vahlen. insbes. Kapitel 3, B (Investitionstheoretische Kennzahlen zur Projektbewertung) und E (Ausgewählte Sonderprobleme) Bitz, M., Ewert, J., & Terstege, U. (2018) Investition – Multimediale Einführung in finanzmathematische Entscheidungskonzepte (3. Aufl.). Wiesbaden: Springer Gabler. insbes. Kapitel 4 Blohm, H., Lüder, K., & Schaefer, Chr. (2012). Investition (10. Aufl.). München: Franz Vahlen. Breuer, W. (2011). Investition I – Entscheidungen bei Sicherheit (4. Aufl.). Wiesbaden: Gabler. Hax, H. (1985). Investitionstheorie (5. Aufl.). Würzburg, Wien: Physica. Hering, Th. (2017). Investitionstheorie (5. Aufl.). München: De Gruyter. Kruschwitz, L. (2014). Investitionsrechnung (14. Aufl.). Berlin, New York: De Gruyter. Witten, P., & Zimmermann, H. G. (1977). Zur Eindeutigkeit des internen Zinssatzes und seiner numerischen Bestimmung. ZfB, 47, 99–114.

251

Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen 7.1

Problemstellung – 253

7.2

Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen – 255

7.2.1 7.2.1.1 7.2.1.2 7.2.1.3 7.2.2 7.2.2.1 7.2.2.2 7.2.2.3 7.2.2.4 7.2.2.5

Sensitivitätsanalysen – 255 Überblick – 255 Kritische Werte und Wertekombinationen – 255 Alternativrechnungen – 258 Wahrscheinlichkeitsgestützte Analyse von Einzelrisiken – 262 Überblick – 262 Starre Planung bei stochastischer Unabhängigkeit – 264 Starre Planung bei stochastischer Abhängigkeit – 266 Flexible Planung – 267 Zwischenergebnis – 270

7.3

Investitionsentscheidungen bei Unsicherheit – 271

7.3.1 7.3.2

Überblick – 271 Risikozuschlagsmethode und Sicherheitsäquivalentmethode(n) – 272 Sonstige Entscheidungskonzepte – 277 Wahrscheinlichkeitskonzepte – 277 Erwartungswertkonzepte – 278 --Konzepte – 280 Zusammenfassende Einordnung – 285

7.3.3 7.3.3.1 7.3.3.2 7.3.3.3 7.3.3.4

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 U. Terstege, M. Bitz, J. Ewert, Investitionsrechnung klipp & klar, WiWi klipp & klar, https://doi.org/10.1007/978-3-658-20992-6_7

7

7.4

Zusammenfassung – 285

7.5

Wiederholungsfragen – 286

7.6

Lösungen – 287 Literatur – 292

253 7.1 Problemstellung

Lernziele dieses Kapitels 4 Ansätze zur Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen und zur Ableitung von Investitionsentscheidungen kennen und voneinander abgrenzen können 4 Kritische Werte bzw. Wertekombinationen für vorgegebene Entscheidungssituationen bestimmen können sowie singuläre und multiple Alternativrechnungen durchführen und die Ergebnisse durch Zustandsbäume und Risikoprofile in übersichtlicher Form abbilden können 4 Wahrscheinlichkeitsgestützte Risikoanalysen für vorgegebene Entscheidungssituationen durchführen können und die wesentlichen Unterschiede zwischen starren und flexiblen Planungsansätzen kennen und erläutern können 4 Konzeptionelle Stärken und Schwächen sowie (reale) Anwendungsprobleme wahrscheinlichkeitsgestützter Alternativrechnungen kennen und vor dem Hintergrund der letztlich entscheidungsrelevanten Gesamtrisikoposition eines Unternehmens einordnen können 4 Die Risikozuschlags- und die Sicherheitsäquivalentmethode kennen und in vorgegebenen Entscheidungssituationen anwenden können sowie begründen können, warum bei Anwendung dieser beiden Methoden bewertungsrelevante Aspekte mehrperiodiger unsicherer Ergebnisverteilungen „konstruktionsbedingt“ nicht berücksichtigt werden können 4 Wahrscheinlichkeitskonzepte, Erwartungswertkonzepte und --Konzepte als pragmatisch begründete Entscheidungskonzepte kennen, voneinander abgrenzen und bezogen auf vorgegebene Entscheidungssituationen anwenden können 4 Erläutern können, warum es das theoretisch richtige Verfahren zur Ableitung von Investitionsentscheidungen unter Unsicherheit nicht gibt und warum es die Aufgabe der Unternehmensführung ist, festzulegen, nach welchen Methoden und mit welchem Gewicht Risikoüberlegungen in konkrete Investitionsentscheidungen einbezogen werden sollen

7.1

7

Problemstellung

Bisher wurde Unsicherheit explizit aus unseren Überlegungen zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit von Investitionsprojekten ausgespart. Dadurch war es uns möglich, zunächst für eine vereinfachte Ausgangssituation wichtige investitionstheoretische Kennzahlen in ihrer grundlegenden Konzeption darzustellen und zu analysieren. Im praktischen Anwendungsfall stellen die für Investitionskalküle benötigten Zukunftsdaten jedoch grundsätzlich unsichere Größen dar. Mithin werden Verfahren benötigt, die die den maßgeblichen Zukunftsgrößen anhaftende Unsicherheit und die damit verbundene Gefahr, möglicherweise auch „schlechte“ Ergebnisse zu realisieren, in die Investitionsrechnung einbeziehen. Solche Verfahren werden wir Ihnen im Folgenden zumindest in ihren konzeptionellen Grundzügen vorstellen. Dabei werden wir zunächst durchgängig von der in Beispiel 7.1 beschriebenen Ausgangssituation ausgehen. 777 Beispiel 7.1 Die ÖKO-GMBH erwägt aufgrund neuer gesetzlicher Umweltschutzauflagen für landwirtschaftlich genutzte Fahrzeuge die Anschaffung einer Produktionsanlage zur Fertigung von Katalysatoren für Traktoren. Der mit der Projektplanung beauftragte Abteilungsleiter MÜLLER kommt zu dem Ergebnis, dass die sofortige Anschaffung einer geeigneten Produktionsanlage zu einem voraussichtlichen Anschaffungspreis von ˛0 D e0 D 1:000:000 vorteilhaft sei, da bei den zu erwartenden Absatzmengen, Absatzpreisen und Produktionskosten schon bei einer zweijährigen Nutzungsdauer der Anlage unter Berücksichtigung der aktuell sehr günstigen Finanzierungsmöglichkeiten und des erwarteten Liquidationserlöses der Anlage ein jährlicher Überschuss von fast 40.000 bzw. ein Kapitalwert von mehr als 70.000 erzielt werden könnte. Auf Nachfrage des Geschäftsführers KLUG gibt MÜLLER zunächst einen Einblick in die seiner Planung zugrundeliegenden Daten und führt aus, dass er bei einer jährlichen maximalen Produktionsleis-

254

7

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

tung der Produktionsanlage von 1.000 Katalysatoren davon ausgehe, dass in beiden Jahren jeweils x D 750 Katalysatoren zu variablen Produktionskosten von k D 250 je Stück hergestellt und zu einem Verkaufspreis von p D 900 je Stück veräußert werden können. Nach zwei Jahren sollte die Produktionsanlage wegen des Auslaufens der staatlichen Förderung für landwirtschaftlich genutzte Fahrzeuge und der voraussichtlichen Sättigung des Marktes liquidiert werden. Abschließend führt MÜLLER noch aus, dass er von einem Liquidationserlös in Höhe von L D 200:000 ausgehen würde und er mit einem Zinssatz von r D 6 % kalkuliert habe, der den aktuellen Finanzierungskosten des Unternehmens entspräche. Rechnerisch ergäbe sich folglich unter der aus seiner Sicht zutreffenden Voraussetzung, dass die angegebenen Kosten und Erlöse stets zum Jahresende auch zahlungswirksam werden, für den jährlichen Überschuss e D .p k/ x a0 L .1 C r/T ANF .T I r/ D .900 250/ 750 .1:000:000 200:000 0;8900/ 0;5454 D 39:181;20 und für den Kapitalwert .900 250/ 750 1;06 .900 250/ 750 C 200:000 C 1;062

K D 1:000:000 C

D 71:778;21: Nachdem KLUG die vorgelegte Berechnung überprüft und deren rechnerische Richtigkeit festgestellt hat, überkommen ihn Zweifel, ob er auf Basis der ihm vorliegenden Informationen und der darauf aufbauenden Berechnungen tatsächlich die anstehende Investitionsentscheidung treffen kann und treffen sollte. Er erinnert sich, im Handbuch der Unternehmenskunde gelesen zu haben, dass die für Investitionskalküle benötigten Zukunftsdaten im praktischen Anwendungsfall grundsätzlich unsichere Größen

darstellen. Er bittet daher MÜLLER darum, ihm in systematischer Form darzustellen, welche „Risiken“ und „Chancen“ für das Unternehmen mit der Realisierung des geplanten Projektes verbunden sind und ihm so die Unsicherheitsstruktur des Projektes zu verdeutlichen. Zusätzlich bittet er MÜLLER darum, ihm nachvollziehbar zu begründen, warum die Durchführung des vorgeschlagenen Projektes auch unter Berücksichtigung aller Risiken und Chancen vorteilhaft ist. 999

Für die folgende Darstellung entsprechender Ansätze zur Einbeziehung von Unsicherheit in Investitionskalküle empﬁehlt sich die Trennung 4 zwischen Ansätzen, die primär dazu dienen, Unsicherheitsstrukturen zu verdeutlichen, die dem Entscheider zunächst also nur dazu verhelfen sollen, sich einen möglichst guten Überblick über die mit der Investitionsdurchführung verbundenen Risiken und Chancen zu verschaﬀen, und 4 Ansätzen, die der modellmäßigen Ableitung von Investitionsentscheidungen dienen, die dem Entscheider also dabei helfen sollen, in einer konkreten durch Unsicherheit gekennzeichneten Entscheidungssituation zielkonforme Investitionsentscheidungen zu treﬀen. Ansätze, die in erster Linie der Verdeutlichung der Unsicherheit dienen, werden auch als Verfahren der Unsicherheitsanalyse (bzw. Risikoanalyse) bezeichnet. Im folgenden 7 Abschn. 7.2 werden wir Ihnen grundlegende Verfahren der Unsicherheitsanalyse vorstellen und deren Anwendung jeweils für die im Beispiel 7.1 beschriebene Entscheidungssituation verdeutlichen. Im Anschluss daran widmen wir uns im 7 Abschn. 7.3 der Frage, wie die Ergebnisse der Unsicherheitsanalyse dann in die Entscheidung über die Durchführung oder Ablehnung eines Investitionsprojektes oder die Auswahl aus mehreren einander ausschließenden Projekten einbezogen werden können. Dabei werden wir herausarbeiten, dass das entscheidungs-

255 7.2 Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen

theoretische Schrifttum zwar etliche Vorschläge zu unterschiedlichen Entscheidungskonzepten und auch Ausführungen zu den mit ihren Anwendungen verbundenen Implikationen enthält, es aber „das eine theoretisch fundierte Entscheidungskonzept“ für mehrperiodige Entscheidungen unter Unsicherheit nicht gibt und auch nicht geben kann. Aus diesem Grunde werden wir darauf verzichten, Ihnen axiomatisch fundierte Konzepte zu präsentieren. Stattdessen werden wir Ihnen zwei in der Literatur besonders intensiv diskutierte Verfahren und zusätzlich einige in erster Linie pragmatisch begründete Entscheidungskonzepte vorstellen, mittels derer Risikoüberlegungen in konkrete Investitionsentscheidungen einbezogen werden können. 7.2

Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen

7.2.1

7

analysiert, wie stark sich ein ursprünglich ermittelter Ergebniswert (z. B. der Kapitalwert) erhöht oder vermindert, wenn in Abweichung vom deterministischen Ansatz der Wert eines Parameters oder die Werte mehrerer Parameter in bestimmter vorgegebener Weise verändert werden. Zum anderen können auch für einzelne Parameter oder Parameterkombinationen sogenannte kritische Werte bzw. kritische Wertekombinationen ermittelt werden, die jeweils angeben, bis zu welchem kritischen Wert ein einzelner Parameter oder eine Kombination von Parametern (gleichzeitig) von ihren Ursprungswerten abweichen dürfen, ohne dass die für den deterministischen Ansatz gefundene Lösung, also die projektindividuelle Vorteilhaftigkeit eines betrachteten Investitionsprojektes beim Vergleich mit der Unterlassensalternative bzw. die Rangfolge konkurrierender Projekte im Falle von Auswahlentscheidungen, ihre Gültigkeit verliert.

Sensitivitätsanalysen >Merke

7.2.1.1

Überblick

Verfahren der Sensitivitätsanalyse sind dadurch gekennzeichnet, dass zunächst im Rahmen eines deterministischen Ansatzes, also auf der Basis als quasi sicher angenommener Eingangsparameter, investitionstheoretische Kennzahlen berechnet werden, mittels derer über die Vorteilhaftigkeit eines Investitionsprojektes entschieden werden kann. In einem zweiten Schritt – der eigentlichen Sensitivitätsanalyse – wird dann in systematischer Form untersucht, wie sich die zunächst gefundene Lösung verändert, wenn für einzelne (oder mehrere) der dort als sicher unterstellten Parameter andere Werte angesetzt werden. Wird nur jeweils ein Parameter variiert, so handelt es sich um eine einfache bzw. singuläre Sensitivitätsanalyse, werden gleichzeitig zwei oder mehr Parameter variiert, so handelt es sich um eine multiple Sensitivitätsanalyse. Sensitivitätsanalysen können zum einen in Form von Alternativrechnungen durchgeführt werden. Bei Alternativrechnungen wird

Sensitivitätsanalysen können in zwei verschiedenen Varianten durchgeführt werden, zum einen durch Alternativrechnungen, zum anderen durch die Berechnung kritischer Werte oder kritischer Wertekombinationen.

7.2.1.2

Kritische Werte und Wertekombinationen

a) Singuläre kritische Werte Beispiele für (singuläre) kritische Werte haben sie bereits im Zusammenhang mit den ökonomischen Interpretationen der in den 7 Kap. 4 und 7 Kap. 6 vorgestellten klassischen investitionstheoretischen Kennzahlen kennengelernt. So gibt z. B. 4 ein positiver Endwert an, um welchen Betrag der Zahlungssaldo des letzten betrachteten Zeitpunktes maximal vermindert werden dürfte, 4 ein positiver Kapitalwert an, um welchen Betrag die Anschaﬀungsauszahlung maximal erhöht werden dürfte und

256

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

4 eine positive äquivalente Annuität an, um welchen jährlich gleichen Betrag die jährlichen Einzahlungen maximal vermindert oder die jährlichen Auszahlungen maximal erhöht werden dürften,

7

ohne dass die betrachtete Investition projektindividuell unvorteilhaft wird. Entsprechend gibt der interne Zinsfuß einer Normalinvestition den Höchstsatz des Kalkulationszinssatzes, also den Höchstsatz der gerade noch tolerierbaren Finanzierungs- oder Opportunitätskosten, an. In unserem Beispiel 7.1 hängt die Höhe der im deterministischen Kalkül berechneten beurteilungsrelevanten Kennzahl von insgesamt zehn Parametern ab: der Höhe der Anschaffungsauszahlung a0 (a0 D e0 ), den in den Zeitpunkten t D 1 und t D 2 abgesetzten Mengen x1 und x2 , den erzielbaren Absatzpreisen p1 und p2 , den variablen Kosten k1 und k2 , der Höhe des Liquidationserlöses L sowie der Höhe der Periodenzinssätze r1 und r2 . Im nachfolgenden Beispiel 7.2 und der zugehörigen Übungsaufgabe 7.1 werden anknüpfend an die Ausgangssituation des Beispiels 7.1 für ausgewählte potentiell unsichere Parameter zugehörige singuläre kritische Werte berechnet und ökonomisch interpretiert. Anschließend wird im Beispiel 7.3 die Vorgehensweise bei der Berechnung ausgewählter kritischer Wertekombinationen verdeutlicht. 777 Beispiel 7.2 Berücksichtigen wir die Anfangsauszahlung und den (als konstant angenommenen) Periodenzinssatz als sichere Größen, dann errechnet sich der Kapitalwert unseres Beispielprojektes aus: Q xQ 2 .pQ2 kQ2 / C L xQ 1 .pQ1 kQ1 / C : KQ D e0 C 2 .1 C r/ .1 C r/ Die variablen Kosten kQ1 und kQ2 , die Absatzmengen xQ 1 und xQ 2 , die Absatzpreise pQ1 und pQ2 sowie Q verbleiben als unsicheder Liquidationserlös L re Größen. Die Tilden () verdeutlichen, dass es sich um unsichere Größen, d. h. Zufallsvariablen, handelt. Um jeweils den singulären kritischen Wert einer dieser sieben Variablen zu

bestimmen, werden gedanklich für alle anderen (hier neun Parameter) die Ursprungsdaten gemäß Beispiel 7.1 angesetzt und wird dann ermittelt, für welchen Wert der betrachteten Variablen der Kapitalwert des Investitionsprojektes gerade Null wird. Für die uns zunächst interessierenden sechs Zufallsgrößen kQ1 , kQ2 , xQ 1 , xQ 2 und pQ1 und pQ2 erhält man bei Beachtung der Vorgaben folgende sechs Bestimmungsgleichungen: .900 kQ1 / 1;06 750 .900 250/ C 200:000 C 1;062 .900 250/ 1:000:000 C 750 1;06 Q 750 .900 k2 / C 200:000 C 1;062 .900 250/ 1:000:000 C xQ 1 1;06 750 .900 250/ C 200:000 C 1;062 .900 250/ 1:000:000 C 750 1;06 xQ 2 .900 250/ C 200:000 C 1;062 .pQ1 250/ 1:000:000 C 750 1;06 750 .900 250/ C 200:000 C 1;062 .900 250/ 1:000:000 C 750 1;06 750 .pQ2 250/ C 200:000 : C 1;062

0 D 1:000:000 C 750

0D

0D

0D

0D

0D

Aus der Auflösung dieser Gleichungen ergeben sich als kritische Werte: k1 D 351;45I

k2 D 357;53I

x1 D 632;95I

x2 D 625;92I

p1 D 798;55I

p2 D 792;47:

Damit das betrachtete Investitionsprojekt vorteilhaft bleibt, dürften die variablen Stückkosten bei jeweils isolierter Betrachtung den Planwert von 250 in der ersten (zweiten) Periode folglich höchstens um 101 (107), d. h. um ca. 40 %

257 7.2 Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen

überschreiten. Die Absatzmenge darf den Planwert von 750 höchstens um 117 (124), d. h. um ca. 16 % unterschreiten und der Absatzpreis darf den Planwert von 900 höchstens um 101 (107), d. h. um ca. 11 % unterschreiten. 999

?Übungsaufgabe 7.1 Gehen Sie von den Daten des Beispiels 7.2 aus. Ermitteln Sie den kritischen Wert für den Liquidationserlös.

b) Kritische Wertekombinationen Multiple Parametervariationen können sich grundsätzlich auf beliebige Kombinationen gleichzeitig als unsicher unterstellter Parameter beziehen. Insbesondere können sie sich auf die Unsicherheit mehrerer Parameter zu einem Zeitpunkt und auf die Unsicherheit der Entwicklung eines Parameters im Zeitablauf beziehen. Diese beiden Varianten von Kombinationen unsicherer Parameter werden wir im folgenden Beispiel 7.3 und der anschließenden Übungsaufgabe 7.2 verdeutlichen bzw. behandeln. Dabei wird deutlich werden, dass es – anders als bei den zuvor behandelten singulären kritischen Werten – nicht mehr einen eindeutigen kritischen Wert gibt, sondern jeweils eine unendlich große Anzahl kritischer Wertekombinationen, abhängig von der Anzahl gleichzeitig als unsicher unterstellter Parameter also unendlich viele Wertepaare, Wertetripel, usw. Bereits bei drei gleichzeitig als unsicher berücksichtigten Parametern lassen sich diese kritischen Wertekombinationen nicht mehr anschaulich darstellen. Da es bei der Unsicherheitsanalyse aber gerade um die Veranschaulichung von Unsicherheitsstrukturen geht, ist die Bestimmung von kritischen Wertekombinationen für mehr als zwei gleichzeitig als unsicher unterstellte Parameter in der Regel wenig zweckmäßig. Aus diesem Grunde beschränken wir uns nachfolgend auf die Ermittlung sogenannter kritischer Wertepaare.

ersten Periode (d1 D p1 k1 ) und die Absatzmenge der ersten Periode x1 gleichzeitig von den ursprünglichen Plandaten (d1 D 900 250 D 650 und x1 D 750) abweichen dürfen, ohne dass der Kapitalwert des Investitionsprojektes negativ wird, so kann dies anhand der Relation dQ1 1;06 750 .900 250/ C 200:000 C 1;062

0 D 1:000:000 C xQ 1

überprüft werden. Durch Auflösen dieser Relation erhält man als Funktion für diese spezielle kritische Wertekombination: 411:415;09 dQ1 D xQ 1

bzw.

xQ 1 D

411:415;09 : dQ1

Verdeutlichen lässt sich der Aussagegehalt dieser Relation numerisch durch eine Wertetabelle (vgl. . Tab. 7.1) oder graphisch durch eine Kurve (vgl. . Abb. 7.1). Dabei lassen sich die Werte in . Tab. 7.1 wie folgt interpretieren: Weist der Deckungsbeitrag einen vorgegeben Wert auf (z. B. d1 D 600), so muss die für das kritische Wertepaar (600; x1 ) zugehörige Absatzmenge den angegebenen kritischen Wert (x1 D 685) überschreiten, damit der Kapitalwert bei im Vergleich zur Ausgangssituation unveränderten Werten aller anderen Parameter positiv bleibt. Entsprechend geben in . Abb. 7.1 alle oberhalb der durchgezogenen Linie liegenden Punk-

. Tabelle 7.1 Kritische Wertepaare d1

x1 (gerundet)

400

1029

450

914

500

823

550

748

777 Beispiel 7.3

600

685

Fragt man sich in Fortsetzung unserer Überlegungen zu Beispiel 7.2, in welchem maximalen Ausmaß der sogenannte Deckungsbeitrag der

650

633

700

588

7

258

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

. Abb. 7.1 Kritische Wertepaare

Kapazitätsgrenze

d1 K

1000

0

K

K

600

7

0

36.401

K

411 K

0

te diejenigen Wertepaare (d1 ; x1 ) an, die zu einem positiven Kapitalwert führen. 999

?Übungsaufgabe 7.2 Abweichend von den Annahmen im Beispiel 7.3 sei angenommen, dass nur der Deckungsbeitrag der zweiten Periode und der Liquidationserlös in t D 2 unsichere Größe sind. Ermitteln Sie für diesen Fall unter Beibehaltung aller anderen Werte der Ausgangssituation des Beispiels 7.1 die Funktion kritischer Wertepaare (d2 ; L) und stellen Sie diese tabellarisch und graphisch dar.

Kritische Werte und kritische Wertekombinationen können nicht nur bei projektindividuellen Entscheidungen zur Entscheidungsunterstützung herangezogen werden. Auch bei Auswahlentscheidungen ist es möglich, für verschiedene Parameter kritische Werte oder Wertekombinationen zu berechnen, bei denen die zunächst ermittelte Rangfolge der Alternativen wechselt. Einen solchen kritischen Wert haben Sie in 7 Abschn. 4.2.2.2 mit dem internen Zinsfuß der Diﬀerenzzahlungsreihe zweier In-

411

685 750

0

97.326

1000

x1

vestitionsprojekte ja bereits kennengelernt. Zur Erinnerung: Der interne Zinsfuß der Diﬀerenzzahlungsreihe zweier Investitionsprojekte gibt an, bei welchem Zinssatz der Kapitalwert der Diﬀerenzzahlungsreihe das Vorzeichen wechselt und damit auch die relative Vorteilhaftigkeit zwischen den beiden Projekten wechselt. 7.2.1.3

Alternativrechnungen

Im Unterschied zur Ermittlung kritischer Werte oder kritischer Wertekombinationen, 4 bei deren Ermittlung ausgehend von einem vorgegebenen Wert für eine investitionstheoretische Kennzahl untersucht wird, bis zu welchem kritischen Wert ein einzelner Parameter oder eine Kombination von Parametern (gleichzeitig) von ihren Ursprungswerten abweichen dürfen, ohne dass die für den deterministischen Ansatz gefundene Lösung, also die projektindividuelle Vorteilhaftigkeit bzw. die Rangfolge konkurrierender Projekte, ihre Gültigkeit verliert, 4 wird bei den singulären und multiplen Alternativrechnungen analysiert, wie sich eine

259 7.2 Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen

investitionstheoretische Kennzahl, z. B. der Kapitalwert, ändert, wenn für unsichere Eingangsdaten verschiedene Werte vorgegeben werden, im deterministischen Planungsansatz vorgegebene Parameterwerte also in vorgegebenem Ausmaß systematisch variiert werden. Während also bei der Ermittlung kritischer Werte der Kennzahlenwert vorgegeben wird und die maximal zulässige Veränderung eines oder mehrerer Einﬂussparameter bestimmt wird, werden bei Alternativrechnungen für die Einﬂussparameter unterschiedliche Werte vorgegeben und die daraus resultierende Veränderung der investitionstheoretischen Kennzahl bestimmt. Eine einfache und soweit erkennbar auch praktisch angewandte Methode zur Durchführung von multiplen Alternativrechnungen stellt die sogenannte Drei-Punkte-Methode dar. Bei dieser Methode werden für jede berücksichtigte unsichere Einﬂussgröße neben den wahrscheinlichsten Werten, die als quasi sichere Werte häuﬁg den Ausgangswert im deterministischen Planungsansatz darstellen, jeweils eine vom wahrscheinlichsten Wert nach unten bzw. nach oben abweichende Wertausprägung festgelegt. Diese beiden Wertausprägungen sollen die Streubreite möglicher Parameterwerte abbilden und resultieren häuﬁg aus Schätzungen, bei denen pessimistische bzw. optimistische Annahmen herangezogen werden. In Beispiel 7.4 und der zugehörigen Übungsaufgabe 7.3 werden anknüpfend an die Ausgangssituation des Beispiels 7.1 zunächst für ausgewählte Einﬂussgrößen singuläre und anschließend multiple Alternativrechnungen durchgeführt und darauf aufbauend verdeutlicht, wie die abgeleiteten Ergebnisse durch einen Zustandsbaum oder durch ein Risikoprofil graphisch in übersichtlicher Form abgebildet werden können. 777 Beispiel 7.4 Zunächst sei unterstellt, dass – bei sicheren Werten für alle übrigen aus Beispiel 7.1 bekannten Parameter – die Größe d2 , also der Deckungs-

beitrag je Stück der Periode 2, als unsicher angesehen wird. Im Rahmen einer Drei-PunkteSchätzung werden für den Deckungsbeitrag der zweiten Periode folgende Werte als alternativ möglich unterstellt: d2 W

500; 650 oder 700 :

Gemäß der Gleichung K D 1:000:000 C C

750 .900 250/ 1;06

750 dQ2 C 200:000 1;062

errechnen sich folgende (auf jeweils volle Tausend gerundeten) Kapitalwerte: K.d2 D 500/ D 28:000 K.d2 D 650/ D 72:000 K.d2 D 700/ D 105:000: Als Ergebnis dieser singulären Alternativrechnung ergibt sich im Beispiel, dass sich bei Realisierung des pessimistisch geschätzten Wertes für den Deckungsbeitrag der zweiten Periode ein negativer Kapitalwert ergeben würde, das Projekt also unvorteilhaft würde. Vereinfacht man die oben angegebene Gleichung, so erkennt man in K D 362:095;05 C 667;50 dQ2 eine lineare Funktion, die in der graphischen Abbildung gemäß . Abb. 7.2 neben den drei bereits bekannten Wertepaaren insbesondere auch den kritischen Wert für d2 erkennen lässt und damit gegenüber der Drei-PunkteMethode zusätzliche Informationen liefert. Diese „Erweiterung“ der Darstellungsmöglichkeiten und des Informationsgehaltes von Alternativrechnungen durch Kapitalwertfunktionen ist jedoch auf singuläre Alternativrechnungen beschränkt. Im Weiteren sei unterstellt, dass – bei weiterhin sicheren Werten für alle übrigen Parameter – nicht nur die Größe d2 , sondern auch die Größe

7

260

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

. Abb. 7.2 Kapitalwert als Funktion des Deckungsbeitrags d2

K 105.000 72.000 500 – 28.000

542

650 700

d2

7 – 362.095

d1 als unsicher angesehen wird. Für den Deckungsbeitrag der ersten Periode werden ebenfalls im Wege einer Drei-Punkte-Schätzung folgende Werte als alternativ möglich unterstellt: d1 W

. Tabelle 7.2 Kapitalwerte bei multipler Alternativrechnung d1

d2

550

500

99.000

550

650

1.000

550

700

34.000

650

500

28.000

650

650

72.000

650

700

105.000

750

500

42.000

750

650

143.000

750

700

176.000

550; 650 oder 750 :

Aus der Kombination dieser drei d1 -Werte mit den drei zuvor angegebenen d2 -Werten errechnen sich gemäß der Gleichung 750 dQ1 750 dQ2 C 200:000 C K D 1:000:000 C 1;06 1;062 neun Kapitalwerte. . Tab. 7.2 weist zeilenweise für alle neun möglichen Konstellationen der Deckungsbeiträge die zugehörigen Kapitalwerte – erneut jeweils auf volle Tausend gerundet – explizit aus. . Abb. 7.3 bietet eine graphische Verdeutlichung der aus der Kombination der Schätzwerte resultierenden möglichen Kapitalwerte. Da in . Abb. 7.3 für alle möglichen Zustände die vom jeweiligen Zustand abhängigen Ergebniswerte abgebildet werden, wird eine solche Darstellung auch als Zustandsbaum bezeichnet. Die in . Tab. 7.2 bzw. . Abb. 7.3 angegebenen Kapitalwerte können zur Verdeutlichung der mit der Durchführung des unsicheren

K

Projektes verbundenen Verlustrisiken und Erfolgschancen – wie in . Abb. 7.4 verdeutlicht – zu einem sogenannten Risikoprofil zusammengefasst werden. Dabei wird in . Abb. 7.4 als Referenzgröße für die Trennung von Erfolgschancen und Verlustrisiken die Höhe des Vermögens des Investors im Zeitpunkt t D 0 ohne Durchführung des betrachteten Projektes verwendet. Zustände mit negativem Kapitalwert sind dem-

7

261 7.2 Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen

e0

1.000.000

d1

d2

K

550

500

99.000

650

650

700

1.000

34.000

500

28.000

750

650

700

500

650

700

72.000

105.000

42.000

143.000

176.000

. Abb. 7.3 Zustandsbaum bei multipler Alternativrechnung kumulierte relative Häufigkeit

100%

E

50%

E

Erfolgspotential

V

Verlustpotential

V 99.000

28.000

0

72.000 105.000 143.000 176.000

K

1.000 34.000 42.000

. Abb. 7.4 Risikoprofil zur Verdeutlichung von Verlustrisiken und Erfolgschancen

zufolge mit Verlustrisiken verbunden und Zustände mit positiven Kapitalwerten mit Gewinnchancen, so dass die mit V bezeichnete Fläche in . Abb. 7.4 die Verlustrisiken (bzw. das Verlustpotential) und die mit E bezeichnete Fläche die Erfolgschancen (bzw. das Erfolgspotential) des Beispielprojektes verdeutlichen. Die Abszissenwerte der neun „Stufen“ der abgebildeten Treppenkurve entsprechen den in . Tab. 7.2 ausgewiesenen neun Kapitalwerten. Die Höhe der Stufen verdeutlicht deren relative Häufigkeit, gemessen an der Zahl möglicher Kapitalwerte. Wir werden in 7 Abschn. 7.2.2 bei der Be-

handlung wahrscheinlichkeitsgestützter Analysen erneut auf diese Darstellungsform als Risikoprofil zurückkommen und dann sehen, dass bei Berücksichtigung von Wahrscheinlichkeiten die Höhe der Treppenstufen anders zu interpretieren ist. 999

>Merke Verlustrisiken und Erfolgschancen von Investitionsprojekten lassen sich optisch durch sogenannte Risikoprofile verdeutlichen.

262

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

?Übungsaufgabe 7.3

7

Abweichend zu den Annahmen im Beispiel 7.4 sei angenommen, dass nur der Deckungsbeitrag der zweiten Periode und der Liquidationserlös in t D 2 unsichere Größen sind. Für den Deckungsbeitrag der zweiten Periode gelten weiterhin die bereits bekannten alternativen Werte: d2 : 500, 650 oder 700. Für den Liquidationserlös in t D 2 seien alternativ Werte von 100.000, 200.000 oder 300.000 angenommen. Ermitteln Sie für diesen Fall unter Beibehaltung aller anderen Werte der Ausgangssituation des Beispiels 7.1 die Häufigkeitsverteilung des Kapitalwertes und verdeutlichen Sie graphisch die Verlustrisiken und Erfolgschancen. Runden Sie dabei Ihre Ergebnisse auf volle Tausend.

Es ist unmittelbar einsichtig, dass die Verdeutlichung alternativer Entwicklungen mit Zustandsbäumen bei zunehmender Anzahl als unsicher angesehener Parameter einerseits sowie der für diese Parameter jeweils als möglich erachteten Zahl von Wertausprägungen andererseits schnell einen sehr großen Rechenaufwand erfordert. Unterstellt man z. B. für ein dreiperiodiges Investitionsprojekt, dass drei als unsicher angesehene Parameter in jeder der drei Perioden jeweils drei mögliche Ausprägungen aufweisen können, wären bereits rund 20.000 (D 33 3 ) Kapitalwerte zu berechnen und abzubilden. Für derartige Situationen können bei der Berechnung der möglichen Kapitalwerte Simulationsverfahren eine Lösungshilfe darstellen. Bei diesen Verfahren werden den unsicheren Parametern jeweils Zufallszahlen zugeordnet und durch künstliche Zufallsexperimente eine zufällige Stichprobe möglicher Kombinationen der unsicheren Parameterwerte generiert, für die dann die möglichen Kapitalwerte errechnet und zu Häuﬁgkeitsverteilungen zusammengefasst werden. Dadurch lassen sich auch in komplexen Unsicherheitssituationen aussagefähige Risikoproﬁle erstellen. Die Erstellung eines Zustandsbaumes dürfte in derartigen Situationen hingegen wenig sinnvoll sein. Im konkreten Fall ist folglich immer abzuwägen, ob eine ge-

wählte Darstellungsform der Ergebnisse tatsächlich den beabsichtigten Überblick über die mit der Durchführung eines Investitionsprojektes verbundenen Risiken und Chancen ermöglicht. 7.2.2

7.2.2.1

Wahrscheinlichkeitsgestützte Analyse von Einzelrisiken Überblick

Wie in Beispiel 7.4 aufgezeigt wurde, wird bei „einfachen“ Alternativrechnungen und den daraus ableitbaren „einfachen“ Risikoproﬁlen durch die alleinige Berücksichtigung relativer Häuﬁgkeiten implizit davon ausgegangen, dass alle Ausprägungen der berücksichtigten unsicheren Parameter jeweils voneinander unabhängig sind und für den Entscheider die gleiche Wahrscheinlichkeit aufweisen, er also (implizit) davon ausgeht, dass z. B. die Deckungsbeitragspaare (550; 700) und (750; 500) aus seiner „ex ante Perspektive“ die gleiche Realisierungswahrscheinlichkeit von p D 1=9 aufweisen. Insoweit kann z. B. die in . Abb. 7.4 eingetragene Treppenkurve auch als Verteilungsfunktion auf der Basis „naiver“ Wahrscheinlichkeiten, d. h. unter der Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit aller möglichen Zustände interpretiert werden. In formaler Hinsicht wollen wir eine Wahrscheinlichkeit als eine einem zukünftigen Ereignis E zugeordnete Zahl p.E/ deﬁnieren, die einen Wert zwischen 0 und 1 bzw. zwischen 0 % und 100 % annehmen kann. Möglicherweise vorliegende „bessere Informationen“ über die Eintrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlicher Wertausprägungen der unsicheren Parameter werden vernachlässigt und durch eine Pauschalannahme (Gleichwahrscheinlichkeit) ersetzt. „Bessere Informationen“ können z. B. daraus resultieren, dass sich verfügbares Expertenwissen in entsprechenden Wahrscheinlichkeitsangaben niederschlägt. Dabei kann die Zuordnung einer Wahrscheinlichkeit zu einer zukünftig für möglich gehaltenen Wertausprägung eines Parameters oder einer Kombinati-

263 7.2 Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen

on von Wertausprägungen mehrerer Parameter als Aussage darüber verstanden werden, mit welcher relativen Häuﬁgkeit eine bestimmte Wertausprägung der betrachteten Parameter vermutlich auftreten würde, wenn der die effektiv eintretenden Werte bestimmende „Zufallsprozess“ – der bei real zu treﬀenden Investitionsentscheidungen wohl überwiegend nur in Ansätzen bekannt sein dürfte – sehr häuﬁg wiederholt werden könnte. Bei dieser Interpretation sollten Sie sich darüber im Klaren sein, dass sich relative Häuﬁgkeiten immer auf expost-Auswertungen empirischer Beobachtungen beziehen, während eine Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu möglichen Zuständen immer aus einer „ex ante Perspektive“ erfolgt. Der Verzicht auf die Berücksichtigung von Wahrscheinlichkeiten im Rahmen „einfacher“ singulärer und multipler Alternativrechnungen kann (bedingt) gerechtfertigt werden, wenn man den methodischen Ansatz von Sensitivitätsanalysen und die mit ihrer Anwendung intendierten Aussagen berücksichtigt. Bei Sensitivitätsanalysen handelt es sich ja um entscheidungsvorbereitende ex-ante-Analysen, deren primärer Zweck darin besteht, einem Entscheider einen gewissen Einblick in die „Struktur der Sicherheits- bzw. Unsicherheitsspielräume“ verschiedener Parameter zu geben. Welche Konsequenzen der Entscheider aus den Ergebnissen der Sensitivitätsanalysen im Hinblick auf die anstehende Investitionsentscheidung zieht, bleibt jedoch letztlich oﬀen. Der Vorteil von Sensitivitätsanalysen, auch ohne Wahrscheinlichkeitsschätzungen auszukommen, bedeutet jedoch zwingend dann einen Verzicht auf entscheidungsrelevante Informationen, wenn zumindest subjektive Wahrscheinlichkeitsurteile des Entscheiders über entscheidungsrelevante Einﬂussfaktoren und möglicherweise bestehende stochastische Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Einﬂussfaktoren vorliegen. Ist dies der Fall, so sollte die mit der Sensitivitätsanalyse eingeleitete entscheidungsvorbereitende ex-ante-Analyse unter Einbeziehung dieser zusätzlichen Informationen erweitert werden, die „einfachen“ singulären und multiplen Alternativrechnun-

7

gen also zu einer wahrscheinlichkeitsgestützten Analyse ausgebaut werden. >Merke Wahrscheinlichkeitsgestützte Analysen bauen auf Sensitivitätsanalysen auf und berücksichtigen zusätzlich subjektive Wahrscheinlichkeitsurteile des Entscheiders und mögliche stochastische Wechselwirkungen zwischen unsicheren Entscheidungsparametern.

Wie bei den bisher betrachteten multiplen Alternativrechnungen werden dabei für die jeweils berücksichtigten unsicheren Parameter alternative Wertausprägungen vorgegeben. Diese werden jedoch im Rahmen der wahrscheinlichkeitsgestützten Analyse von Einzelrisiken zusätzlich mit diskreten Wahrscheinlichkeitsangaben versehen. Wir gehen im Folgenden von der „heroischen“ Annahme aus, dass für die jeweils betrachteten Projekte und die mit ihrer Durchführung verbundenen Konsequenzen für jeden betrachteten Zeitpunkt sowohl die alternativ möglichen Werte aller als unsicher betrachteten Einﬂussfaktoren (Parameter) als auch die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten bekannt sind und jeweils durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer endlichen Zahl von Ergebnismöglichkeiten beschrieben werden können. Unter dieser Voraussetzung lassen sich wahrscheinlichkeitsgestützte Analysen zunächst danach diﬀerenzieren, ob sie stochastische Interdependenzen bzw. Abhängigkeiten zwischen den Wahrscheinlichkeitsverteilungen der einzelnen Parameter vernachlässigen (unbedingte Wahrscheinlichkeitsangaben bzw. stochastische Unabhängigkeit) oder sie explizit erfassen (bedingte Wahrscheinlichkeitsangaben oder stochastische Abhängigkeit). Zum anderen lassen sich wahrscheinlichkeitsgestützte Analysen danach diﬀerenzieren, ob sie die Möglichkeit berücksichtigen, während der Laufzeit des Investitionsprojektes unter Berücksichtigung neuer Informationen über die zwischenzeitlich tatsächlich eingetretene Wertausprägung einer oder mehrerer Ein-

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

264

ﬂussgrößen (z. B. in unserem Beispiel 7.1 über die tatsächlich realisierte Höhe des Deckungsbeitrags d1 oder die tatsächlich realisierte Absatzmenge x1 im Zeitpunkt t D 1) mit darauf konkret bezogenen Folgeentscheidungen ﬂexibel zu reagieren (flexible Planung) oder unabhängig von der tatsächlich eingetretenen Wertausprägung stets die gleichen Folgeaktivitäten unterstellen (starre Planung). >Merke

7

Ansätze der flexiblen Planung berücksichtigen anders als Ansätze der starren Planung die Möglichkeit, dass der Entscheider während der Laufzeit des Investitionsprojektes Folgeentscheidungen unter Berücksichtigung zwischenzeitlich erlangter neuer Erkenntnisse über im Entscheidungszeitpunkt t D 0 noch unsichere Einflussgrößen treffen kann.

Wir werden uns nachfolgend wieder mit Bezug auf unser Beispiel 7.1 zunächst auf die Verdeutlichung von Ansätzen der starren Planung konzentrieren und in den 7 Abschn. 7.2.2.2 und 7 Abschn. 7.2.2.3 zeigen, wie einfache Risikoproﬁle zu wahrscheinlichkeitsgestützten Risikoproﬁlen erweitert werden können. Abschließend werden wir dann im 7 Abschn. 7.2.2.4 auf die Grundkonzeption ﬂexibler Planungsansätze eingehen. 7.2.2.2

Starre Planung bei stochastischer Unabhängigkeit

777 Beispiel 7.5 Wir gehen von den aus Beispiel 7.4 bereits bekannten Daten aus und unterstellen erneut, dass lediglich die Deckungsbeiträge dQ1 und dQ2 als unsichere Größen anzusehen sind und für diese im Entscheidungszeitpunkt t D 0 mit dQ1 : 550, 650 oder 750 und dQ2 : 500, 650 oder 700 unveränderte Drei-Punkte-Schätzungen vorliegen. Anders als im Beispiel 7.4 gehen wir jetzt aber nicht von der impliziten Annahme aus, dass alle Ausprägungen der berücksichtigten unsicheren Parameter (und darüber hinaus aufgrund der unterstellten Annahme der stochastischen Unabhän-

. Tabelle 7.3 Unabhängige Wahrscheinlichkeitsverteilungen d1

p(d1 )

d2

p(d2 )

550

0,2

500

0,4

650

0,6

650

0,5

750

0,2

700

0,1

gigkeit auch alle Parameterkombinationen) für den Entscheider die gleiche Wahrscheinlichkeit aufweisen, sondern unterstellen, dass der Entscheider den einzelnen Wertausprägungen der Deckungsbeiträge die in . Tab. 7.3 ausgewiesenen unbedingten Eintrittswahrscheinlichkeiten p zuordnet. Damit unterstellen wir zunächst, dass die Höhe des in der ersten Periode erzielten Deckungsbeitrags keine Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung der in der zweiten Periode erwarteten Deckungsbeiträge hat, die beiden berücksichtigten Zufallsvariablen also stochastisch unabhängig sind. Unter dieser Annahme können die bereits aus Beispiel 7.4 und . Tab. 7.2 bekannten Ergebnisse für die neun Kapitalwerte übernommen werden. Den neun Kapitalwerten ordnet der Entscheider – jetzt aber anders als im Beispiel 7.4 – nicht mehr die jeweils gleichen, son-

. Tabelle 7.4 Kapitalwerte bei unabhängigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen d1

p.d1 /

d2

p.d1 / K

p

550

0,2

500

0,4

99.000 0,08

550

0,2

650

0,5

1.000 0,10

550

0,2

700

0,1

34.000 0,02

650

0,6

500

0,4

28.000 0,24

650

0,6

650

0,5

72.000 0,30

650

0,6

700

0,1

105.000 0,06

750

0,2

500

0,4

42.000 0,08

750

0,2

650

0,5

143.000 0,10

750

0,2

700

0,1

176.000 0,02

7

265 7.2 Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen

e0

1.000.000 0, 6

0, 2

d1

550 0, 4

d2

99.000

K p (K)

8%

650 0,1

0,5

500

0, 2

0, 4 0,5

650

700

1.000

34.000

10%

2%

500

750 0,1

0, 4 0,5

0,1

650

700

500

650

700

28.000

72.000

105.000

42.000

143.000

176.000

24%

30%

6%

8%

10%

2%

. Abb. 7.5 Zustandsbaum bei unabhängigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen kumulierte Wahrscheinlichkeit

100%

E

50%

E

Erfolgspotential

V

Verlustpotential

V 99.000

28.000

0 34.000 72.000 105.000 143.000 176.000 1.000 42.000

K

. Abb. 7.6 Risikoprofil bei unabhängigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen

dern differenzierte Wahrscheinlichkeiten zu, die sich wegen der Annahme stochastischer Unabhängigkeit beider unsicherer Parameter jeweils einfach als Produkt der für die möglichen d1 - und d2 -Werte vorgegebenen Eintrittswahrscheinlichkeiten ergeben. Unter Berücksichtigung der (unabhängigen) Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Deckungsbeiträge gemäß . Tab. 7.3 ergibt sich dann die in . Tab. 7.4 ausgewiesene Wahrscheinlichkeitsverteilung des

(auf volle Tausend abgerundeten) Kapitalwertes unseres Beispielprojektes. Die in . Tab. 7.4 angegebenen Kapitalwerte können – wie Sie es bereits aus Beispiel 7.4 kennen – wieder als Zustandsbaum (vgl. . Abb. 7.5) oder zur Verdeutlichung der mit der Durchführung des unsicheren Projektes verbundenen Verlustrisiken und Erfolgschancen als Risikoprofil (vgl. . Abb. 7.6) graphisch abgebildet werden.

266

7

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

An den Kanten des Zustandsbaums in . Abb. 7.5 sind jetzt im Unterschied zu . Abb. 7.3 zusätzlich die jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Ausprägungen der beiden Zufallsgrößen dQ1 und dQ2 angegeben und zu den möglichen neun Kapitalwerten werden deren Eintrittswahrscheinlichkeiten ausgewiesen, die sich jeweils als Produkt der „Kantenwahrscheinlichkeiten“ errechnen. Bei dem Risikoprofil in . Abb. 7.6 sind im Unterschied zu . Abb. 7.4 als Ordinatenwerte statt der (kumulierten) relativen Häufigkeiten die (kumulierten) Eintrittswahrscheinlichkeiten abgetragen. Die Höhe der im Risikoprofil abgebildeten Stufen verdeutlicht dadurch nicht mehr die relative Häufigkeit des Eintritts eines Kapitalwertes bestimmter Höhe, sondern die zugehörige Eintrittswahrscheinlichkeit. Die mit V bezeichnete Fläche in . Abb. 7.6 verdeutlicht erneut die Verlustrisiken und die mit E bezeichnete Fläche die Erfolgschancen des Beispielprojektes. In 7 Abschn. 7.3.3.2 werden wir uns der Frage widmen, welche Möglichkeiten bestehen, die mit diesen Flächen verbundenen Informationen in Entscheidungskonzepten zu berücksichtigen. 999

7.2.2.3

Starre Planung bei stochastischer Abhängigkeit

Die Verwendung unbedingter Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist zwar mit rechentechnischen Vereinfachungen verbunden, erweist sich aber zumindest dann als nicht sachgerecht, wenn der Entscheider stochastische Zusammenhänge zwischen einzelnen Einﬂussgrößen annimmt und in der Lage ist, diese in diﬀerenzierenden (bedingten) Wahrscheinlichkeitsverteilungen zum Ausdruck zu bringen. So könnte es in der von uns betrachteten Beispielsituation für den Entscheider naheliegen, darüber nachzudenken, ob seine Drei-Punkte-Schätzungen für die Höhe und die Wahrscheinlichkeit möglicher Deckungsbeiträge d2 in t D 2 tatsächlich unabhängig davon sind, welche Höhe der mögliche Deckungsbeitrag d1 in t D 1 erreicht, oder ob nicht viel mehr davon auszuge-

hen ist, dass die konkrete Höhe und/oder Wahrscheinlichkeit, einen hohen Deckungsbeitrag in t D 2 zu erzielen, sehr wohl davon abhängt, ob in der ersten Periode ein hoher Deckungsbeitrag von 750 oder ein niedriger Deckungsbeitrag von nur 550 erzielt werden kann. In Beispiel 7.6 betrachten wir exemplarisch eine Situation, in der der Entscheider in der Lage ist, seine Erwartungen bezüglich der möglichen Ausprägungen der Höhe und Wahrscheinlichkeit des Deckungsbeitrages d2 in diﬀerenzierenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen zum Ausdruck zu bringen. 777 Beispiel 7.6 Unser Entscheider geht nach wie vor von der aus Beispiel 7.5 bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung des Deckungsbeitrags d1 der ersten Periode aus. Anders als in Beispiel 7.5 unterstellt, kommt er jedoch zu dem Ergebnis, dass Höhe und Wahrscheinlichkeit des Deckungsbeitrags d2 von der Höhe des Deckungsbeitrags d1 abhängt, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Deckungsbeiträge also nicht stochastisch unabhängig sind. Ausgehend von seiner grundsätzlichen Annahme, dass bei hohem (niedrigem) Deckungsbeitrag d1 tendenziell eher mit höheren (niedrigen) Deckungsbeiträgen und größeren Wahrscheinlichkeiten für höhere (niedrige) Deckungsbeiträge d2 auszugehen ist, kommt er nach gründlicher Überlegung zu der in . Tab. 7.5 wiedergegebenen bedingten Wahrscheinlichkeitsschätzung und der daraus abgeleiteten Wahrscheinlichkeitsverteilung des (auf volle Tausend gerundeten) Kapitalwertes. Dabei gibt der Ausdruck p.d2 j d1 / jeweils die (bedingte) Wahrscheinlichkeit dafür an, dass d2 einen bestimmten Wert aufweist, wenn d1 in der Vorperiode den jeweils zugeordneten Wert aufgewiesen hat. Auch die in . Tab. 7.5 angegebenen Kapitalwerte können – wie Sie es bereits aus den Beispielen 7.4 und 7.5 kennen – wieder als Zustandsbaum oder zur Verdeutlichung der Verlustrisiken und Erfolgschancen als Risikoprofil graphisch abgebildet werden. Darauf wollen wir hier jedoch verzichten. 999

267 7.2 Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen

7.2.2.4

. Tabelle 7.5 Kapitalwerte bei abhängigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen d1

p.d1 / d2

p.d2 j d1 / K

550

0,2

500

0,3

99.000

0,06

550

0,4

66.000

0,08

600

0,3

32.000

0,06

500

0,3

28.000

0,18

650

0,5

72.000

0,30

700

0,2

105.000

0,12

600

0,3

109.000

0,06

650

0,6

143.000

0,12

700

0,1

176.000

0,02

650

750

0,6

0,2

p

?Übungsaufgabe 7.4 Abweichend zu den Annahmen in Beispiel 7.6 sei angenommen, dass der Entscheider von den in nachfolgender Tabelle zusammengefassten bedingten Wahrscheinlichkeitsschätzungen ausgeht: d1

p.d1 /

d2

p.d2 j d1 /

550

0,2

500

0,4

550

0,5

600

0,1

500

0,4

650

0,5

700

0,1

600

0,4

650

0,5

700

0,1

650

750

0,6

0,2

Ermitteln Sie für diesen Fall unter Beibehaltung aller anderen Werte der Ausgangssituation des Beispiels 7.1 die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Kapitalwertes und verdeutlichen Sie graphisch die Verlustrisiken und Erfolgschancen.

7

Flexible Planung

Die bisher dargestellten (starren) Planungsansätze vernachlässigen den Umstand, dass im Laufe eines mehrere Perioden umfassenden Investitionsprojektes 4 abhängig von dem zwischenzeitlich tatsächlich eingetretenen Projektverlauf und damit 4 abhängig von den tatsächlich realisierten Werten für im Zeitpunkt t D 0 zunächst noch unsicheren Einﬂussgrößen in Zeitpunkten t > 0 möglicherweise noch Folgeentscheidungen unter Berücksichtigung dann sicherer Informationen über Sachverhalte getroﬀen werden können, die im ursprünglichen Planungszeitpunkt t D 0 noch unsicher waren. Starre Planungsansätze gehen davon aus – und darauf ist auch die Bezeichnung „starr“ zurückzuführen –, dass alle Folgeentscheidungen des Investors bereits im ursprünglichen Planungszeitpunkt deﬁnitiv und unabhängig von der zwischenzeitlich eingetretenen Projektentwicklung feststehen. Das Grundanliegen der flexiblen Planung besteht demgegenüber darin, bereits im ursprünglichen Planungszeitpunkt explizit zu berücksichtigen, dass abhängig von der zwischenzeitlichen Entwicklung einzelner Einﬂussfaktoren mit unterschiedlichen Folgeentscheidungen und damit situations- bzw. zustandsabhängig auf Entwicklungen reagiert werden kann. Vom theoretischen Idealkonzept her verlangt das Prinzip der ﬂexiblen Planung vom Entscheider, eine Vielzahl von Eventualplänen aufzustellen, die für alle denkbaren Entwicklungen der berücksichtigten Einﬂussfaktoren jeweils die situations- bzw. zustandsabhängig optimalen Anpassungsentscheidungen enthalten. Das folgende an Beispiel 7.6 anknüpfende Beispiel 7.7 verdeutlicht das Grundprinzip ﬂexibler Planungsansätze. 777 Beispiel 7.7 Unser Entscheider geht nach wie vor von der aus Beispiel 7.6 bekannten bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilung der Deckungsbeiträge der

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

268

. Tabelle 7.6 Wahrscheinlichkeitsverteilung bedingter Deckungsbeiträge d1

p.d1 /

d2

p.d2 j d1 /

550

0,2

500

0,3

550

0,4

600

0,3

500

0,3

650

0,5

700

0,2

600

0,3

650

0,6

700

0,1

650

7

750

0,6

0,2

ersten und zweiten Periode aus. In . Tab. 7.6 ist diese Wahrscheinlichkeitsverteilung nochmals wiedergegeben. In den Beispielen 7.1 bis 7.6 wurde davon ausgegangen, dass das Investitionsprojekt für genau zwei Jahre betrieben wird. Geschäftsführer KLUG und Abteilungsleiter MÜLLER denken nun darüber nach, ob es nicht vielleicht doch vorteilhaft sein könnte, die Anlage bereits in t D 1 zu liquidieren, den für diesen Liquidationszeitpunkt erwarteten Liquidationserlös von 600.000 zu vereinnahmen und dafür auf die dann nicht mehr realisierbaren Einnahmen des Zeitpunktes t D 2 zu verzichten. Nach dem Rechenansatz Q tD1 D 600:000/ D 1:000:000 K.L C

750 dQ1 C 600:000 1;06

ergäben sich bei Liquidation in t D 1 dann neben den bereits aus Beispiel 7.6 bekannten Kapitalwerten K.L tD2 / die in der vorletzten Spalte von . Tab. 7.7 ausgewiesenen Kapitalwerte K.L tD1 /. Nach ausführlicher Analyse der beiden Verteilungen möglicher Kapitalwerte erkennen KLUG und MÜLLER, dass die vorzeitige Liquidation abhängig von der jeweils betrachteten Parameterkonstellation teils zu höheren, teils zu niedrigeren Kapitalwerten führt und

nur für einen Deckungsbeitrag in Höhe von d1 D 750 die vorzeitige Liquidation eindeutig zu schlechteren Ergebnissen führt als die Projektfortsetzung. MÜLLER schlägt vor, dass man sich ja nicht bereits in t D 0 auf eine starre Liquidationsstrategie, also entweder Liquidation oder Verzicht auf die Liquidation in t D 1, festlegen müsse, sondern die Liquidationsentscheidung jeweils flexibel in Abhängigkeit von dem in der ersten Periode tatsächlich realisierten Deckungsbeitrag treffen könne. Von den sechs überhaupt möglichen flexiblen Liquidationsstrategien (Liquidation nur bei einem realisierten Deckungsbeitrag von d1 D 550 bzw. d1 D 650 bzw. d1 D 750 oder bei realisierten Deckungsbeiträgen von d1 D 550 oder d1 D 650 bzw. d1 D 550 oder d1 D 750 bzw. d1 D 650 oder d1 D 750) erweisen sich die drei flexiblen Strategien, die eine Liquidation bei einem Deckungsbeitrag von d1 D 750 vorsehen, offensichtlich als unvorteilhaft, da eine Liquidation in t D 1 bei d1 D 750 immer zu einem niedrigeren Kapitalwert führt als die Projektfortsetzung (vgl. . Tab. 7.7). Von den verbleibenden drei flexiblen Strategien betrachten wir nachfolgend exemplarisch die Strategie, die Anlage nur dann in t D 1 zu liquidieren, wenn sich die pessimistische Prognose von d1 D 550 tatsächlich in t D 1 bewahrheitet. Die Ergebnisse dieser flexiblen Liquidationsstrategie (vgl. dazu die vorletzte Spalte in . Tab. 7.8) werden aus Gründen der Übersichtlichkeit zusammen mit den bereits bekannten Ergebnissen der starren Liquidationsstrategien (vgl. dazu die zweite und dritte Spalte) in . Tab. 7.8 ausgewiesen. Vergleicht man die drei Verteilungen möglicher Kapitalwerte aus . Tab. 7.8, so wird zum einen deutlich, dass es keine dominante Strategie in dem Sinne gibt, dass eine Strategie nie zu schlechteren Ergebnissen als eine andere Strategie und gleichzeitig zumindest für eine mögliche Entwicklung zu einem besseren Ergebnis führt. Zum anderen ist jedoch auch unschwer erkennbar, dass durch die von uns näher betrachtete flexible Liquidationsstrategie (im Vergleich zu den beiden starren Liquidationsstrategien)

7

269 7.2 Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen

. Tabelle 7.7 Kapitalwerte bei feststehender Liquidation in t D 1 (Starre Planung) d1

p.d1 /

d2

p.d2 j d1 /

550

0,2

500

0,3

550

650

750

0,6

0,2

K.L tD2 /

p

K.L tD1 /

p

99.000

0,06

45.000

0,20

0,4

66.000

0,08

600

0,3

32.000

0,06

500

0,3

28.000

0,18

26.000

0,60

650

0,5

72.000

0,30

700

0,2

105.000

0,12

600

0,3

109.000

0,06

97.000

0,20

650

0,6

143.000

0,12

700

0,1

176.000

0,02

. Tabelle 7.8 Kapitalwerte bei ausgewählten starren und flexiblen Liquidationsstrategien Strategie

Starr (zwei Jahre)

Starr (ein Jahr)

Flexibel (ein Jahr bei d1 D 550)

d1

K.L tD2 /

K.L tD1 /

1 D550 K.LdtD1 /

99.000

45.000

45.000

0,06

66.000

45.000

45.000

0,08

32.000

45.000

45.000

0,06

28.000

26.000

28.000

0,18

72.000

26.000

72.000

0,30

105.000

26.000

105.000

0,12

109.000

97.000

109.000

0,06

143.000

97.000

143.000

0,12

176.000

97.000

176.000

0,02

550

650

750

p

lichung der Verlustrisiken und Erfolgschancen als Risikoprofile graphisch abgebildet werden. Wir wollen hier auf die explizite Darstellung der Zustandsbäume verzichten und lediglich darauf hinweisen, dass ein um zwischenzeitliche Handlungsmöglichkeiten erweiterter Zustandsbaum im Kontext ﬂexibler PlaAuch die in . Tab. 7.8 angegebenen drei Ver- nungsansätze häuﬁg als Entscheidungsbaum teilungen möglicher Kapitalwerte können wie- bezeichnet wird. Auf die Darstellung eines Entder als Zustandsbäume oder zur Verdeut- scheidungsbaumes verzichten wir im Rahmen in jeweils mehreren Zuständen entweder die (bedingt) erwarteten Verluste vermindert oder die bedingt erwarteten Gewinne erhöht werden können. KLUG und MÜLLER vereinbaren daher, diese flexible Strategie bei der endgültigen Entscheidung „im Auge zu behalten“. 999

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

270

dieses einführenden Lehrbuches allerdings. In Übungsaufgabe 7.5 wollen wir Ihnen abschließend aber noch verdeutlichen, wie Risikoproﬁle beim Vergleich unterschiedlicher Verteilungen möglicher Kapitalwerte – also im Rahmen von Auswahlentscheidungen – genutzt werden können, um sich einen Überblick über Unterschiede der mit den zu vergleichenden Alternativen verbundenen Risiken und Chancen zu verschaﬀen. ?Übungsaufgabe 7.5

7

Gehen Sie von den in der zweiten und vierten Spalte der . Tab. 7.8 ausgewiesenen Verteilungen möglicher Kapitalwerte aus und bilden Sie die dort für den Fall des (starren) Verzichts auf die Liquidation in t D 1 bzw. der flexiblen Liquidationsstrategie ausgewiesenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen gemeinsam in der aus den . Abb. 7.4 und . Abb. 7.6 bekannten Darstellungsweise ab. Erläutern Sie anschließend, wie diese Darstellungsweise genutzt werden kann, um sich einen Überblick über Unterschiede der mit den zu vergleichenden Alternativen verbundenen Risiken und Chancen zu verschaffen.

7.2.2.5

Zwischenergebnis

Wahrscheinlichkeitsgestützte Alternativrechnungen der in ihren Grundzügen in den Beispielen 7.5 bis 7.7 verdeutlichten Art erlauben es dem Entscheider, sich ein recht präzises Bild von Art und Umfang der mit einem Projekt verbundenen Unsicherheit zu machen und dabei – wie wir gesehen haben – sowohl 4 stochastische (und auch sonstige) Wirkungszusammenhänge zwischen mehreren unsicheren Einﬂussgrößen zu berücksichtigen als auch 4 situationsabhängige zukünftige Handlungsmöglichkeiten explizit zu erfassen. Sie erlauben es, die aus Wirkungszusammenhängen und zukünftigen situationsabhängigen Handlungsmöglichkeiten resultierenden Auswirkungen auf die letztlich entscheidungsrelevante Zielgröße

rechnerisch zu erfassen und die mit der Projektdurchführung verbundenen Risiken und Chancen in überschaubarer Weise durch Risikoproﬁle abzubilden. Diese konzeptionellen Stärken wahrscheinlichkeitsgestützter Alternativrechnungen bedingen zugleich die mit ihrer praktischen Anwendung verbundenen Probleme, die zum einen in den informatorischen Voraussetzungen und zum anderen in der bei realen Problemen häuﬁg auftretenden großen Anzahl entscheidungsrelevanter unsicherer Einﬂussfaktoren liegen. Schon die Abschätzung unbedingter einfacher Wahrscheinlichkeitsverteilungen für eine größere Anzahl von Einﬂussfaktoren und erst recht die explizite Angabe stochastischer Abhängigkeiten dürfte in vielen Fällen an die Grenze des Praktizierbaren stoßen. Als mindestens genau so problematisch erweist sich bei realen Problemen der Versuch, zwischenzeitliche Handlungsmöglichkeiten in einem ﬂexiblen Planungsansatz zu erfassen, da dies die Formulierung einer Vielzahl von jeweils möglicherweise untereinander wiederum abhängigen Eventualplänen erfordert. Vom theoretischen Ansatz her ist es darüber hinaus sachgerecht, Erkenntnisse darüber zu gewinnen, wie sich die Realisierung eines betrachteten Projektes auf die Risikostruktur des gesamten Unternehmens auswirken würde, und dabei insbesondere auch stochastische Abhängigkeiten zwischen allen im Unternehmen sonst noch betriebenen Teilprojekten bei der letztlich zu treﬀenden Investitionsentscheidung zu berücksichtigen. Auch die konzeptionelle Bedeutung einer Vorgehensweise, innerhalb derer bei der Beurteilung von Investitionsprojekten über die in 7 Abschn. 7.2 vorgestellte projektspeziﬁsche Risikoanalyse hinaus sogenannte Risikodiversiﬁkationseﬀekte und die Auswirkungen eines geplanten Projektes auf die letztlich entscheidungsrelevante Gesamtrisikoposition des Unternehmens beachtet werden, dürfte unstrittig sein. Es ist jedoch zumindest fraglich, ob der Entscheider den mit der Anwendung dieser theoretisch sachgerechten Verfahren verbundenen hohen informatorischen Anforderungen überhaupt nachkom-

271 7.3 Investitionsentscheidungen bei Unsicherheit

men kann und/oder unter Berücksichtigung von Kostenaspekten nachkommen will.

7.3

7.3.1

Investitionsentscheidungen bei Unsicherheit Überblick

In den vorangegangenen Abschnitten haben wir uns mit der Analyse von Risikostrukturen beschäftigt. Die Frage, wie die Ergebnisse solcher Analysen dann in die Entscheidung über die Durchführung oder Ablehnung eines Investitionsprojektes oder die Auswahl aus mehreren einander ausschließenden Projekten einbezogen werden können, haben wir bislang nicht angesprochen. Das wollen wir nun nachholen. Zu beachten ist, dass die betriebswirtschaftliche Theorie hier die Grenzen dessen erreicht, was seriös von ihr erwartet werden kann. Denn für Entscheidungssituationen, in denen sinnvoller Weise auch Risikoaspekte mitberücksichtigt werden sollten, gibt es nicht das eine theoretisch fundierte Entscheidungskonzept. Das entscheidungstheoretische Schrifttum enthält zwar etliche Überlegungen zu unterschiedlichen Entscheidungskonzepten und den mit ihrer Anwendung verbundenen Implikationen. Es ist jedoch letztlich ganz allgemein – und auch über den hier primär behandelten Bereich der Investitionsplanung hinaus – eine originäre Aufgabe der Unternehmensführung, festzulegen bzw. nachgelagerten Instanzen vorzugeben, nach welchen Methoden und mit welchem Gewicht Risikoüberlegungen in konkrete Entscheidungen einbezogen werden sollen, ohne dass eine solche Festlegung aus theoretischer Sicht eindeutig als richtig oder falsch eingeordnet werden könnte. Vor diesem Hintergrund und angesichts der Zielsetzung dieses Lehrbuches, Ihnen einen ersten, leicht nachvollziehbaren und doch inhaltlich anspruchsvollen Einblick in die betriebswirtschaftliche Teildisziplin der Investitionstheorie zu bieten, werden wir darauf ver-

7

zichten, Ihnen einen detaillierten Überblick über alle im Schrifttum diskutierten Ansätze zu Entscheidungen unter Unsicherheit zu geben. Insbesondere werden wir nicht auf Ansätze eingehen, die häuﬁg in Form portefeuilletheoretischer Analysen versuchen, Risikoverbundeffekte zwischen allen im Unternehmen bereits realisierten und noch anstehenden Investitionsprojekten explizit zu berücksichtigen. Stattdessen werden wir uns überwiegend mit Ansätzen beschäftigen, mittels derer die aus Risikoanalysen abgeleitete Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Projektzahlungen (oder aus diesen abgeleitete Wahrscheinlichkeitsverteilungen von z. B. Kapitalwerten) zu risikotheoretischen Kennzahlen verdichtet werden können, auf deren Basis dann letztlich unter Berücksichtigung der individuellen Sicherheits- bzw. Risikopräferenzen eines Entscheiders projektindividuelle Vorteilhaftigkeitsentscheidungen oder Auswahlentscheidungen getroﬀen werden können. Dabei können sich die zu bewertenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf einzelne zu beurteilende Investitionsprojekte beziehen, sie können sich aber auch auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen eines ganzen Unternehmens unter Berücksichtigung oben skizzierter Risikoverbundeﬀekte beziehen. In 7 Abschn. 7.3.2 werden wir mit der Risikozuschlagsmethode und der Sicherheitsäquivalentmethode zunächst zwei im Schrifttum besonders intensiv diskutierte Methoden zur Ableitung von Investitionsentscheidungen unter Unsicherheit vorstellen und deren Anwendung beispielhaft erläutern. Darauf aufbauend werden wir dann verdeutlichen, warum diese beiden Konzepte nur unter sehr einschränkenden Annahmen, die häuﬁg gerade nicht den Rahmenbedingungen realer Investitionsentscheidungen unter Unsicherheit entsprechen, zu Investitionsentscheidungen führen, die die Sicherheits- bzw. Risikopräferenzen des Entscheiders sachgerecht abbilden. Im Kern geht es uns in diesem Abschnitt darum, Sie – auch ohne eine eigentlich notwendige intensive Erörterung präferenztheoretischer und entscheidungstheoretischer Grundlagen – für

272

7

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

dern, dass durch den modiﬁzierten KalProbleme zu sensibilisieren, die generell bei kulationszinssatz nicht nur die für den Investitionsentscheidungen unter Unsicherheit Entscheider relevanten Finanzierungskosauftreten und die durch bestimmte in der Liten abgebildet werden, sondern gleichzeitig teratur vorgeschlagene Lösungsansätze gerade auch seine individuellen Risiko- bzw. Sinicht in allgemeiner Form theoretisch fundiert cherheitspräferenzen. Diesen Weg wählt die gelöst werden können. In 7 Abschn. 7.3.3 werden wir Ihnen dann Risikozuschlagsmethode. in erster Linie pragmatisch begründete Ent- 4 Zum anderen besteht die Möglichkeit, durch Modifikation der Zahlungssalden scheidungskonzepte vorstellen, diese diskutieren und deren Anwendung beispielhaft vere t das Bewertungskalkül so abzuändern, deutlichen. Im 7 Abschn. 7.3.3.4 fassen wir die dass durch die modiﬁzierten Größen, die häuﬁg als Sicherheitsäquivalente SÄ t wesentlichen Ergebnisse nochmals zusammen. der unsicheren Zahlungen eQ t bezeichnet werden, individuelle Risiko- bzw. Sicherheitspräferenzen des Entscheiders 7.3.2 Risikozuschlagsmethode und berücksichtigt werden. Diesen Weg wählt Sicherheitsäquivalentdie Sicherheitsäquivalentmethode. Damethode(n) bei soll das Sicherheitsäquivalent einer Verteilung alternativ möglicher Ergebnisse Ausgangspunkt der beiden nachfolgend erläuder Höhe eines mit Sicherheit eintretenterten Ansätze ist die Ihnen zwischenzeitlich den Ergebniswertes entsprechen, den ein hinreichend bekannte Kapitalwertmethode, bei Entscheider unter Berücksichtigung seiner der die projektindividuelle Vorteilhaftigkeit eiindividuellen Risiko- bzw. Sicherheitspränes Investitionsprojektes unmittelbar aus dem ferenzen als äquivalent zur unsicheren Vorzeichen der unter Berücksichtigung von Verteilung alternativ möglicher Ergebnisse Zins- und Zinseszinseﬀekten auf den Entscheiansieht. Kann z. B. ein erwarteter zukünftidungszeitpunkt t D 0 umgerechneten Endverger Rückﬂuss aus einem Investitionsprojekt mögensdiﬀerenz EVP EVU abgeleitet weraus Sicht eines Entscheiders mit jeweils den kann. Dabei errechnete sich der Kapitalgleicher Wahrscheinlichkeit alle Werte zwiwert im Fall der Sicherheit aus der Summe aller schen einem Mindestrückﬂuss von 100 und auf den Zeitpunkt t D 0 diskontierten Projekteinem Höchstrückﬂuss von 200 annehmen, zahlungen. Die Ihnen bekannten Formeln (4.6) so könnte ein Entscheider, der Ergebnisund (6.1) bilden diese Zusammenhänge formal unsicherheiten negativ (positiv) bewertet, ab. dieser unsicheren Ergebnisverteilung unter Berücksichtigung seiner individuellen PräT T X X ferenzen ein Sicherheitsäquivalent von 125 e t q t D e t .1 C r/t (4.6) KD (175) zuordnen. t D0 t D0 K D .EVP EVU / .1 C r/T

(6.1)

Ausgehend von Formel (4.6) bestehen zunächst zwei Möglichkeiten, die mit der Unsicherheit zukünftiger Projektrückﬂüsse verbundenen subjektiven Risiko- bzw. Sicherheitspräferenzen eines Entscheiders in das Bewertungskalkül zu integrieren: 4 Zum einen besteht die Möglichkeit, durch eine Modifikation des Kalkulationszinssatzes r das Bewertungskalkül so abzuän-

Beide Methoden verdichten die auf einzelne Zeitpunkte bezogenen unsicheren Ergebnisverteilungen zunächst jeweils zeitpunktbezogen auf einen einzigen (zentralen) Wert, den sogenannten Erwartungswert t . In die Berechnung von t ﬂießen alle Informationen über die Höhen und die Wahrscheinlichkeiten der im betrachteten Zeitpunkt t möglichen Ergebnisse ein. Der (mathematische) Erwartungswert entspricht dann einfach dem Durch-

273 7.3 Investitionsentscheidungen bei Unsicherheit

schnitt der mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten einzelnen Ergebnismöglichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, ist also als gewichtetes arithmetisches Mittel deﬁniert. Nummeriert man die alternativ möglichen Ergebniswerte eines betrachteten Zeitpunktes t von 1 bis m durch und bezeichnet man die den entsprechenden Ergebniswerten e 1t ; e 2t ; : : : ; e m t zuzuordnenden Eintrittswahrscheinlichkeiten mit p 1t ; p 2t ; : : : ; p m t , so gilt für den Erwartungswert t Formel (7.1). t D e t D e 1t p 1t C e 2t p 2t C : : : m C em t pt m X j j D et pt

(7.1)

j D1

Um die Präferenzen eines risikoscheuen Entscheiders abzubilden, also die Risiko- bzw. Sicherheitspräferenzen eines Entscheiders, der in jedem Zeitpunkt t einen sicheren Geldbetrag in Höhe des Erwartungswertes e t gegenüber der zugehörigen unsicheren Zahlung eQ t präferiert, werden bei Anwendung der Risikozuschlagsmethode und der Sicherheitsäquivalentmethode dann jedoch unterschiedliche Modiﬁkationen an Formel (4.6) vorgenommen. Bei der Risikozuschlagsmethode wird die sichere Zahlung e t durch den Erwartungswert e t der unsicheren Rückﬂüsse im Zeitpunkt t ersetzt und der Kalkulationszinssatz r um einen konstanten Zuschlag erhöht. Der risikoadjustierte Kapitalwert eines Investitionsprojektes errechnet sich gemäß der Risikozuschlagsmethode folglich aus Formel (7.2). KD

T X

e t .1 C r C /t ;

mit > 0 (7.2)

t D0

Bei der Sicherheitsäquivalentmethode werden sämtliche unsicheren Zahlungsgrößen eQ t durch ihr Sicherheitsäquivalent SÄ t ersetzt, wobei SÄ t dem um einen Unsicherheitsabschlag UA t verminderten Erwartungswert e t der unsicheren Rückﬂüsse eQ t entspricht. Der risikoadjustierte Kapitalwert eines Investitions-

7

projektes errechnet sich gemäß der Sicherheitsäquivalentmethode folglich aus Formel (7.3). KD

T X

.e t UA t / .1 C r/t

t D0

D

T X

SÄ t .1 C r/t ;

(7.3)

t D0

mit UA t > 0. Beide Methoden bauen auf der für den Fall der Sicherheit theoretisch fundierten Kapitalwertmethode auf und sind einfach in der Anwendung. Daraus lässt sich wohl auch die vergleichsweise hohe Verbreitung dieser Verfahren erklären. Beide Verfahren erlauben jedoch nur eine recht grobe Erfassung der jeweilig zu bewertenden Unsicherheitsstrukturen und haben diverse – zum Teil unterschiedliche, zum Teil gemeinsame – Implikationen, die jeweils nur zu sehr speziellen Risiko- bzw. Sicherheitspräferenzen passen und daher auch nicht in Einklang mit möglicherweise vorhandenen übergeordneten Bewertungsvorstellungen eines Entscheiders stehen können. Insbesondere lassen es beide Verfahren nicht zu, stochastische Abhängigkeiten zwischen den unsicheren Zahlungen unterschiedlicher Perioden sachgerecht zu erfassen. Daher sind beide Methoden nur in Ausnahmefällen geeignet, die Risikobzw. Sicherheitspräferenzen eines Entscheiders im Kontext mehrperiodiger Entscheidungen unter Unsicherheit sachgerecht zu berücksichtigen. Wir können die angedeuteten Unzulänglichkeiten der beiden Methoden hier nicht im Detail erörtern, wollen Ihnen jedoch zumindest einige bewertungsrelevante Implikationen kurz skizzieren und anschließend beispielhaft verdeutlichen, warum es sich bei beiden Methoden letztlich nicht um theoretisch fundierte Bewertungsansätze handelt. Gehen wir zunächst auf einige bewertungsrelevante Implikationen beider Methoden ein. Zunächst ist festzustellen, dass die beiden rein additiven Funktionen gemäß Formeln (7.2) und (7.3) konstruktionsbedingt nicht zulas-

274

7

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

sen, etwaige bewertungsrelevante Abhängigkeiten zwischen den Zahlungen unterschiedlicher Zeitpunkte zu erfassen. Die Unsicherheit wird in beiden Kalkülen rein zeitpunktbezogen berücksichtigt. In Beispiel 7.8 werden wir zeigen, dass dies ein sehr einschränkendes „Konstruktionsmerkmal“ ist. Bei der Ermittlung des Kapitalwertes werden bei der Risikozuschlagsmethode alle e t in einheitlicher Weise mit dem risikoadjustierten Satz (r C ) abgezinst, wobei der daraus resultierende (und ja auch intendierte) Abwertungseﬀekt 4 einerseits mit zunehmender Höhe des Zuschlagfaktors ansteigt, 4 und andererseits bei gegebenem zusätzlich mit zunehmendem Abstand der zu bewertenden unsicheren Zahlung zum Bewertungszeitpunkt progressiv wächst. Im Vergleich mit der Sicherheitsäquivalentmethode impliziert ein konstanter Zuschlagsfaktor damit unter sonst gleichen Bedingungen im Zeitablauf abnehmende Sicherheitsäquivalente oder gleichbedeutend im Zeitablauf zunehmende Unsicherheitsabschläge. Diese Implikation, die ja keineswegs kompatibel zu den Präferenzen des Entscheiders sein muss, kann zwar bei der Anwendung der Risikozuschlagsmethode durch (im Zeitablauf tendenziell abnehmende) zeitpunktspeziﬁsche Zuschläge t vermieden werden. Formel (7.2) könnte also „abgeändert“ werden zu Formel (7.4). KD

T X

e t .1Cr C t /t ;

mit t > 0 (7.4)

t D0

Die seine tatsächlichen Risiko- und Sicherheitspräferenzen abbildende konkrete Festlegung der Zuschläge t dürfte den Entscheider bei der Bewertung realer Investitionsprojekte aber wohl regelmäßig überfordern. Ein allgemeines Konzept zur Ermittlung von Zuschlägen, die die letztlich entscheidungsrelevanten Sicherheits- bzw. Risikopräferenzen eines Entscheiders sachgerecht abbilden, existiert nicht. Letztlich sind diese Probleme aber exakt die gleichen Probleme, die sich einem Anwen-

der der Sicherheitsäquivalentmethode bei der Festlegung der periodenspeziﬁschen Unsicherheitsabschläge UA t stellen. In Beispiel 7.8 werden wir zeigen, dass zwischen den Risikozuschlägen t und den Unsicherheitsabschlägen UA t ein eineindeutiger Zusammenhang besteht, sich beide Methoden bei entsprechender Festlegung der Parameter UA t und t also ineinander überführen lassen und daher letztlich auch identische methodische Schwächen aufweisen. 777 Beispiel 7.8 Ein Investor hat sich im Zeitpunkt t D 0 zwischen den drei unsicheren Investitionsprojekten A, B oder C zu entscheiden, die bei jeweils identischer sicherer Anfangsauszahlung von a0 D e0 D 95 jeweils nach einem Jahr (nach zwei Jahren) mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu Einzahlungsüberschüssen von 0 oder 110 (0 oder 121) führen. Die Projekte A, B und C unterscheiden sich folglich weder in der Höhe noch in den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten der unsicheren Projektrückflüsse der beiden relevanten Zeitpunkte t D 1 und t D 2. Sie sollen jedoch unterschiedliche stochastische Zusammenhänge (Unabhängigkeit bzw. perfekte positive bzw. perfekte negative Korrelation) zwischen den Zahlungen der ersten und der zweiten Periode aufweisen, wie . Abb. 7.7 verdeutlicht. Da der Investor in t D 0 über Mittel in Höhe von genau 95 verfügt, die er alternativ zu 10 % p. a. sicher anlegen kann, überlegt er zunächst, ob sich die Investitionsprojekte bei Berücksichtigung der durchschnittlich erwarteten Rückflüsse als vorteilhaft erweisen. Er errechnet zunächst für die drei Projekte gemäß Formel (7.1) eine jeweils identisch hohe erwartete Einzahlung von e 1 D 55 und e 2 D 60;5 darauf aufbauend identisch hohe positive Kapitalwerte in Höhe von: KA D KB D KC D 95 C

60;5 55 C D 5: 1;1 1;12

Würde der Investor also Rückflussrisiken in seinem Bewertungskalkül nicht berücksichtigen, so wären alle drei Projekte identisch zu bewerten und wären projektindividuell vorteilhaft.

7

275 7.3 Investitionsentscheidungen bei Unsicherheit

t

t 1

0

t

A, B, C

p

0,5

p

0,5

p

0,5

p

0,5

2

A

B

C

121

121

0

0

121

0

121

0

121

0

0

121

110 p

0,5

95 p

0,5

0

. Abb. 7.7 Verteilung der Rückflüsse der Projekte A, B und C

Nach einiger Zeit des Nachdenkens und der Lektüre einschlägiger Ratgeber kommt der Investor zu dem Ergebnis, dass er unsichere Rückflüsse eigentlich nicht mag und dass die im bisherigen Kalkül als „Stellvertreter für die unsicheren Rückflüsse“ berücksichtigten durchschnittlichen Rückflüsse von e 1 D 55 und e 2 D 60;5 für ihn einen deutlich niedrigeren Wert haben als sichere Rückflüsse in Höhe von 55 bzw. 60,5. Nachdem er einige hypothetische Vergleiche zwischen den jeweils gleichwahrscheinlichen Rückflüssen von 110 und 0 bzw. 121 und 0 sowie alternativ hohen sicheren Geldbeträgen durchgespielt hat, kommt der Investor zu dem Ergebnis, dass er für diese speziellen Verteilungen einen Unsicherheitsabschlag von jeweils 10 % vom erwarteten Rückflussbetrag für angemessen hält, um seine Risikoscheu sachgerecht zu berücksichtigen. Unter dieser Vorgabe ergäben sich für die drei Projekte jeweils identische Unsicherheitsabschläge von UA1 D 5;5 bzw. UA2 D 6;05 und damit Sicherheitsäquivalente von SÄ1 D 49;5 bzw. SÄ2 D 54;45. Für die drei Kapitalwerte errechnet er anschließend gemäß Formel (7.3) identisch hohe negative Kapitalwerte von KA0 D KB0 D KC0 D 95 C D 5

54;45 49;5 C 1;1 1;12

und kommt letztlich zu dem Ergebnis, dass alle drei Projekte unter Berücksichtigung seiner Abneigung gegen Risiken unvorteilhaft sind. Zu exakt dem gleichen Ergebnis wäre der Investor auch gekommen, wenn er bei Anwendung der Risikozuschlagsmethode einen konstanten Risikozuschlag auf den Kalkulationszinssatz von D 0;0805 festgelegt hätte. Gemäß Formel (7.2) würde er bei diesem Zuschlag ebenfalls für alle drei Projekte identisch hohe Kapitalwerte von 5 errechnen, wie folgende Rechnung zeigt: KA00 D KB00 D KC00 D 95 C

60;5 55 C 1;1805 1;18052

D 5: Beide Methoden führen folglich bei geeignet festgelegten Unsicherheitsabschlägen UAt bzw. Zinszuschlägen t jeweils (isoliert betrachtet) zu exakt identischen Bewertungen der drei Projekte. Nachdem der Investor nun schon fast entschieden hat, keines der drei Projekte zu realisieren, überkommen ihn dann doch Zweifel daran, ob die von ihm zur Berücksichtigung seiner Risiko- bzw. Sicherheitspräferenzen angewandten Methoden tatsächlich alle für ihn entscheidungsrelevanten Aspekte auch sachgerecht erfasst haben. Er erinnert sich daran, dass er im Zusammenhang mit der Risikoanalyse ja schon

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

276

t

0

t 1

B

C

95

95

95

110

0

121

0

121

K

105

5

5

p (K)

25%

25%

25%

t

7

A

2

0

110

0

110

0

121

121

0

0

0

0

121

121

95

105

105

95

95

5

5

5

5

25%

25%

25%

25%

25%

25%

25%

25%

25%

. Abb. 7.8 Zustandsbäume und mögliche Kapitalwerte der Projekte A, B und C

gelernt hat, dass man abweichend von den Rechenvorschriften der Formeln (7.2) bis (7.4) ja zunächst auch einmal Kapitalwerte für jede überhaupt mögliche Projektentwicklung errechnen kann, und kommt für die drei Projekte A, B und C zu den in . Abb. 7.8 dargestellten Zustandsbäumen und daraus ersichtlichen Kapitalwertverteilungen, die ihn dann doch sehr nachdenklich machen. Anders als es die zuvor mittels Anwendung der Risikozuschlagsmethode oder der Sicherheitsäquivalentmethode abgeleiteten Ergebnisse suggerieren, sind die drei Projekte A, B und C keineswegs als exakt gleichwertig zu beurteilen, zumindest dann nicht, wenn der Beurteiler risikoscheu eingestellt ist. Ein risikoscheuer Entscheider wird sich im konkreten Fall unabhängig vom Ausmaß seiner individuellen Risikoscheu zwingend für Investitionsprojekt C entscheiden, da er bei Durchführung von Projekt C mit Sicherheit einen Endvermögenszuwachs im Vergleich zur Unterlassensalternative in Höhe von 6,05 (D 121 95 1;12 ) oder gleichbedeutend einen positiven Kapitalwert in Höhe von 5 erzielen wird. Dabei resultiert der sichere Rückfluss von 121 bei Projekt C entweder aus einem Investitionsrückfluss von 121 in t D 2 oder aus einem Investitionsrückfluss von 110 in t D 1, der dann in der zweiten Periode zu r= 10 % verzinslich angelegt werden kann. Aber auch die Projekte A und B weisen sehr unterschiedliche Verteilungen

der möglichen Kapitalwerte auf und ein risikoscheuer Investor müsste schon sehr spezielle Risiko- bzw. Sicherheitspräferenzen aufweisen, wenn er diese Verteilungen – wie es die Anwendung der Risikozuschlagsmethode oder der Sicherheitsäquivalentmethode als zwingendes Ergebnis impliziert – gleich bewerten würde. 999

>Merke Sowohl die Risikozuschlagsmethode als auch die Sicherheitsäquivalentmethode bieten keine Möglichkeit, stochastische Abhängigkeiten zwischen den unsicheren Zahlungen unterschiedlicher Perioden sachgerecht zu erfassen. Daher sind beide Methoden nur in Ausnahmefällen geeignet, die Risiko- bzw. Sicherheitspräferenzen eines Entscheiders im Kontext mehrperiodiger Entscheidungen unter Unsicherheit sachgerecht zu berücksichtigen.

Als Zwischenergebnis unserer bisherigen Überlegungen zur Bewertung von Investitionsprojekten unter Berücksichtigung der Unsicherheit können wir zunächst festhalten, dass es anscheinend mit zahlreichen Problemen verbunden ist, Entscheidungen auf der Basis von Methoden zu treﬀen, die – wie die Risikozuschlags- oder die Sicherheitsäquivalentmethode – versuchen, die Unsicherheit

7

277 7.3 Investitionsentscheidungen bei Unsicherheit

periodenbezogen in jeweils isolierter Form zu berücksichtigen und damit bewertungsrelevante Aspekte mehrperiodiger unsicherer Ergebnisverteilungen gar nicht berücksichtigen können. Zweckmäßiger scheint es, für Investitionsentscheidungen unter Unsicherheit Bewertungskalküle zu verwenden, die – wie wir im Zusammenhang mit der Risikoanalyse dargestellt haben – auf Kennzahlenverteilungen aufbauen, die ihrerseits wieder alle möglichen unsicheren Projektentwicklungen berücksichtigen. Wie solche Bewertungskalküle prinzipiell ausgestaltet werden können, werden wir uns im folgenden 7 Abschn. 7.3.3 etwas näher anschauen.

lichkeit die Verlustwahrscheinlichkeit überwiegt. Alternativ könnte man sich auch die Festlegung vorstellen, dass ein Projekt nur dann als vorteilhaft eingestuft werden soll, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit einen bestimmten Mindestwert p von z. B. 75 % oder 90 % überschreitet, also die Bedingung für die Vorteilhaftigkeit wie in Relation (7.6) zu deﬁnieren. p .K > 0/ > p

(7.6)

Analog könnte man sich im Fall von Auswahlentscheidungen das folgende zweistuﬁge Konzept vorstellen: 1. In einem ersten Schritt werden alle Projekte etwa nach einem der Kriterien (7.5) 7.3.3 Sonstige oder (7.6) auf ihre projektindividuelle VorEntscheidungskonzepte teilhaftigkeit überprüft. 2. Verbleiben danach noch mindestens zwei Projekte, so wird das mit der höchsten Er7.3.3.1 Wahrscheinlichkeitskonzepte folgswahrscheinlichkeit ausgewählt. Ist nach der Durchführung einer wahrscheinlichkeitsgestützten Risikoanalyse ein Projekt Sowohl die Kriterien (7.5) und (7.6) als auch einmal durch eine Wahrscheinlichkeitsverteidieses zweistuﬁge Auswahlverfahren stellen silung der bei seiner Durchführung möglichercherlich robuste und – bei einmal ermittelten weise realisierbaren Kapitalwerte beschrieben, Wahrscheinlichkeitsverteilungen – auch recht so besteht ein formal recht einfaches Koneinfach zu handhabende Entscheidungskonzept darin, zur Beurteilung der projektindivizepte dar. Sie weisen allerdings das konzepduellen Vorteilhaftigkeit unmittelbar auf diese tionelle Manko auf, dass dabei nur auf die Wahrscheinlichkeiten zurückzugreifen und daWahrscheinlichkeiten für gute oder schlechte bei zunächst die konkrete Höhe der alternativ Ergebnisse abgestellt wird, deren Höhe jedoch möglichen Ergebnisse unberücksichtigt zu lasgänzlich außer Acht bleibt. Das folgende Beisen. Bezeichnet man etwa spiel 7.9 verdeutlicht diese Problematik für eine 4 die Erfolgswahrscheinlichkeit, d. h. die Auswahlentscheidung. Wahrscheinlichkeit, einen positiven Kapitalwert zu erzielen, mit p.K > 0/ und 777 Beispiel 7.9: analog Zwei einander ausschließende Projekte A und B 4 die Verlustwahrscheinlichkeit, d. h. die seien durch die in .Tab. 7.9 und . Tab. 7.10 darWahrscheinlichkeit für einen negativen Kagestellten Wahrscheinlichkeitsverteilungen der pitalwert mit p.K < 0/, so könnte ein Kriterium etwa wie in Relation (7.5) lauten. p .K > 0/ > p .K < 0/

möglicherweise erzielbaren Kapitalwerte gekennzeichnet. Für die Erfolgs- und Verlustwahrscheinlichkeiten dieser beiden Projekte gilt offensichtlich:

(7.5)

Danach wäre ein Projekt also dann als vorteil- p .KA > 0/ D .18 % C 26 % C 20 % C 14 %/ D 78 % haft anzusehen, wenn die Erfolgswahrschein-

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

278

. Tabelle 7.9 Wahrscheinlichkeitsverteilung des Kapitalwertes von Projekt A KA

50

20

5

10

20

30

p.KA /

10 %

12 %

18 %

26 %

20 %

14 %

. Tabelle 7.10 Wahrscheinlichkeitsverteilung des Kapitalwertes von Projekt B KB

32

12

2

5

22

33

p.KB /

8%

12 %

12 %

27 %

21 %

20 %

und

7

p .KA < 0/ D .10 % C 12 %/ D 22 % p .KB > 0/ D .27 % C 21 % C 20 %/ D 68 % p .KB < 0/ D .8 % C 12 % C 12 %/ D 32 %: Da die Erfolgswahrscheinlichkeit in beiden Fällen die Verlustwahrscheinlichkeit deutlich überwiegt, wären beide Projekte nach Kriterium (7.5) projektindividuell als vorteilhaft anzusehen. Würde man sich dann für die endgültige Auswahl nur noch an der Höhe der Erfolgswahrscheinlichkeit orientieren, fiele die Entscheidung eindeutig auf Projekt A. Würde man hingegen die projektindividuelle Vorteilhaftigkeit nach Kriterium (7.6) beurteilen und p D 75 % setzen, so fiele Projekt B von Anfang an „durch das Raster“. Wenn man sich die beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen noch einmal näher anschaut, kann man allerdings durchaus daran zweifeln, ob Projekt A wirklich so eindeutig die bessere Wahl darstellt. Denn das schlechtmöglichste Ergebnis weist mit 50 einen deutlich höheren Verlust aus, als das bei Projekt B mit 32 der Fall ist; zudem ist die Eintrittswahrscheinlichkeit für diesen Maximalverlust mit 10 % auch noch höher als bei Projekt B mit nur 8 %. Einen ähnlichen Befund erhält man für das zweitschlechteste Ergebnis (20 mit 12 %) bei A gegenüber (12 mit ebenfalls 12 %) bei B. Auf der anderen Seite sind die beiden besten Ergebnisse bei A niedriger als bei B und treten zudem noch mit niedrigeren Wahrscheinlichkeiten ein. 999

?Übungsaufgabe 7.6

Gehen Sie von der aus 7 Abschn. 7.2.2.3 und Beispiel 7.6 bekannten und nachfolgend

nochmals angegebenen Verteilung möglicher Kapitalwerte aus und überprüfen Sie, ob das dort abgebildete Investitionsprojekt gemäß Kriterium (7.5) bzw. gemäß Kriterium (7.6) bei p D 0;75 projektindividuell vorteilhaft ist. K

7.3.3.2

p

99.000

0,06

66.000

0,08

32.000

0,06

28.000

0,18

72.000

0,30

105.000

0,12

109.000

0,06

143.000

0,12

176.000

0,02

Erwartungswertkonzepte

Beispiel 7.9 zeigt, dass vieles dafür spricht, neben den reinen Eintrittswahrscheinlichkeiten auch die jeweilige Höhe der alternativ möglichen Ergebnisse in die Beurteilung einzubeziehen. Einen solchen Ansatz beinhalten u. a. die sogenannten Erwartungswertkonzepte. Wie Ihnen bereits aus 7 Abschn. 7.3.2 bekannt ist, stellt der (mathematische) Erwartungswert den Durchschnitt der mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten einzelnen Ergebnismöglichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung dar (vgl. Formel (7.1)). Im Schrifttum wird auch als Indikator für das

279 7.3 Investitionsentscheidungen bei Unsicherheit

aus allen Verlustrisiken und Erfolgschancen im Mittel zu erwartende Ergebnis interpretiert. Dabei ist zu beachten, dass eine abstrakte Kennzahl darstellt und keineswegs zwingend einen tatsächlich realisierbaren Ergebniswert oder den „am ehesten zu erwartenden“ oder das „am häuﬁgsten eintretende Ergebnis“ abbildet. So beträgt der Erwartungswert einer Lotterie, bei der Sie mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit Gewinne von 10, 20, 30 oder 40 erzielen können, 25, entspricht also einem Wert, der sich bei Teilnahme an dieser Lotterie gar nicht realisieren lässt. Berücksichtigt man bei der Berechnung des Erwartungswertes nicht wie in Formel (7.1) alle Ergebnismöglichkeiten, sondern nimmt eine Trennung zwischen Ergebnismöglichkeiten mit positiven und negativen Vorzeichen vor, wählt also als Trennlinie zwischen den als Gewinnen und Verlusten wahrgenommenen Ergebnissen den Wert Null, so können über die Ermittlung von dermaßen diﬀerenzierenden Erwartungswerten Kennzahlen deﬁniert werden, die das durchschnittliche Verlustrisiko VR und die durchschnittliche Erfolgschance EC quantiﬁzieren. Geht man davon aus, dass die entscheidungsrelevanten Ergebnismöglichkeiten die bei Investitionsdurchführung erzielbaren unsicheren Kapitalwerte sind, so lassen sich VR und EC durch Formel (7.7) quantiﬁzieren. X Kj pj und VR D Kj 0

Bitte beachten Sie, dass wir in Formel (7.7) die Größe VR als positiven Wert deﬁniert haben. Dies beachtend können Sie sich dann selbst schnell verdeutlichen, dass zwingend Formel (7.8) gilt. D EC VR

(7.8)

In 7 Abschn. 7.2.2.2 haben Sie in . Abb. 7.6 zwei mit E bzw. V bezeichnete Flächen kennengelernt, die die Erfolgschancen bzw. Verlustrisiken des dort betrachteten Beispielprojektes

7

optisch verdeutlichen sollten. Die Flächeninhalte dieser beiden Flächen lassen sich gemäß Formel (7.7) errechnen und entsprechen den Werten der Kennzahlen EC bzw. VR. Die Diﬀerenz der Flächeninhalte entspricht dem Erwartungswert . Ein einfaches und – soweit erkennbar – sowohl in der Praxis als auch in der Theorie häuﬁg angewandtes Verfahren könnte dann darin bestehen, für die Beurteilung der projektindividuellen Vorteilhaftigkeit das Kriterium (7.9) zu verwenden. > 0 bzw. gleichbedeutend EC > VR

(7.9)

Ein Projekt wäre diesem Ansatz zufolge also genau dann als vorteilhaft zu klassiﬁzieren, wenn der Erwartungswert der alternativ möglichen Kapitalwerte positiv ist. Analog dazu würde man sich bei der Auswahl zwischen mehreren einander ausschließenden Projekten für das Projekt mit dem höchsten -Wert entscheiden. Da bei diesem Ansatz positive und negative Ergebnismöglichkeiten letztlich gleichrangig gegenübergestellt werden, ohne die Risiken noch einmal gesondert zu gewichten, wird die in einem solchen Konzept zum Ausdruck kommende Einstellung häuﬁg auch als Risikoneutralität bezeichnet. Will der Entscheider im Rahmen von auf Erwartungswerten aufbauenden Entscheidungskonzepten zum Ausdruck bringen, dass er Verlustrisiken und Erfolgschancen gleicher Höhe aufgrund seiner individuellen Sicherheits- bzw. Risikopräferenz nicht symmetrisch (also gleich) bewertet, so kann er seine individuelle Präferenz durch Gewichtungen von VR und/oder EC zum Ausdruck bringen. Geht der Verlustindikator VR mit einem größeren (kleineren) Gewicht als der Erfolgsindikator EC in sein Gesamturteil ein, so wird die in einem solchen Konzept zum Ausdruck kommende Einstellung häuﬁg auch als Risikoscheu (Risikofreude) bezeichnet. Bezeichnet man den letztlich für die Entscheidung relevanten Kennzahlenwert als Präferenzwert PR und legt fest, dass nur solche Projekte projektindividuell vorteilhaft sind, de-

280

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

ren Präferenzwert positiv ist, so könnte als (Vorteilhaftigkeits-)Kriterium für einen risikoscheuen Entscheider im Falle einer projektindividuellen Entscheidung Bedingung (7.10) formuliert werden. PR D EC .1 C ˛/ VR > 0 oder gleichbedeutend PR D ˛ VR > 0 mit ˛ 0

7

(7.10)

Ein solches Entscheidungskonzept läuft also darauf hinaus, nur noch Projekte als vorteilhaft anzusehen, bei denen der um einen zu VR proportionalen Risikoabschlag verminderte Erwartungswert positiv ist. Bei der Auswahl zwischen mehreren einander ausschließenden Projekten würde man analog dazu das Projekt mit dem höchsten PR-Wert wählen. Der „Aversionsfaktor“ ˛ stellt dabei einen von dem Entscheider subjektiv festzulegenden Indikator für das Ausmaß dar, in dem die individuelle Risikoscheu in sein Kalkül Eingang ﬁnden soll. Für den Extremfall ˛ D 0 degeneriert dieses Konzept zu dem (risikoneutralen) -Prinzip gemäß Kriterium (7.9). Für ˛ > 0 stellt Kriterium (7.10) demgegenüber eine spezielle Erscheinungsform eines risikoscheues Entscheidungsverhalten abbildenden Entscheidungskonzeptes dar. Die folgende Übungsaufgabe gibt Ihnen Gelegenheit, sich die Kriterien (7.9) und (7.10) selbst etwas näher vor Augen zu führen. ?Übungsaufgabe 7.7

beiden Projekte untereinander, wenn statt des („risikoneutralen“) Kriteriums (7.9) das („risikoscheue“) Kriterium (7.10) (mit ˛ > 0) angewandt wird? 2. Wie groß dürfte der Faktor ˛ maximal werden, damit die Projekte auch bei Anwendung von Kriterium (7.10) projektindividuell vorteilhaft bleiben?

Wie wir zumindest in Ansätzen verdeutlicht haben, können bereits durch auf Erwartungswerte aufbauende Entscheidungskalküle in recht einfacher (jedoch speziell standardisierter) Form auch Risiko- bzw. Sicherheitspräferenzen des Entscheiders in die von ihm zu treﬀende Entscheidung einﬂießen. Kriterium (7.10) impliziert jedoch unabhängig von der konkreten Höhe des Aversionsfaktors ˛, dass der Entscheider einen mit 10 %iger Wahrscheinlichkeit eintretenden positiven (negativen) Kapitalwert in Höhe von X exakt so bewertet, wie einen mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 % eintretenden positiven (negativen) Kapitalwert in Höhe von 5 X. Rechnerisch gilt ja: X 0;1 D 0;02 .5 X/. Kriterium (7.10) limitiert also die Möglichkeiten, individuelle Risiko- bzw. Sicherheitspräferenzen im Entscheidungskalkül zu berücksichtigen. Abneigungen gegen insbesondere höhere Verluste können in einem allein auf Erwartungswerten aufbauenden Entscheidungskalkül nicht erfasst werden.

Betrachten Sie die beiden aus Beispiel 7.9 bekannten Projekte A und B.

7.3.3.3

a. Ermitteln Sie die Kennzahlen VR, EC und . Wie wären die beiden Projekte gemäß Kriterium (7.9) 1. projektindividuell 2. im Vergleich zueinander zu beurteilen? b. Wenn Sie richtig gerechnet haben, sind beide Projekte nach Kriterium (7.9) projektindividuell als vorteilhaft anzusehen. 1. Was ändert sich an der relativen Vorteilhaftigkeit im Vergleich der

Im entscheidungstheoretischen Schrifttum ﬁnden sich neben dem Erwartungswert weitere wahrscheinlichkeitstheoretische Kennzahlen, mittels derer wesentliche Charakteristika einer Wahrscheinlichkeitsverteilung erfasst werden können. Im Schrifttum – und soweit erkennbar auch zunehmend in der Praxis des Risikomanagements – genießt dabei die Varianz 2 bzw. deren Wurzel, die Standardabweichung , die weitaus größte Prominenz, wenn es um die kennzahlenmäßige Erfassung von Risikoaspekten geht.

- -Konzepte

7

281 7.3 Investitionsentscheidungen bei Unsicherheit

Die Varianz 2 einer Wahrscheinlichkeitsverteilung von Kapitalwerten wird berechnet, indem man 4 die Abweichungen der einzelnen Kapitalwerte (Kj ) vom Erwartungswert bestimmt, 4 die Diﬀerenzen quadriert, 4 diese Quadrate mit den zugehörigen Eintrittswahrscheinlichkeiten multipliziert und 4 die so gewonnenen Produkte addiert.

der Abweichungen sind dann aber letztendlich nur positive Ausdrücke zu addieren. Sind die Kapitalwerte in Euro gemessen, trägt auch der Erwartungswert die Dimension Euro. Die Varianz misst dann die Schwankung in der Dimension „Quadrat-Euro“, während die Standardabweichung die Schwankung wieder in der Dimension Euro abbildet. 999

Varianz und Standardabweichung verdeutlichen in komprimierter Form Ausmaß und Wahrscheinlichkeit möglicher Abweichungen Formal gilt bei m alternativ möglichen Kapital- vom „Mittelwert“ , stellen also zunächst Streuungsmaße dar. Bei der Varianz und der werten also die Deﬁnition (7.11). Standardabweichung handelt es sich folglich 2 D .K1 /2 p1 C .K2 /2 p2 um Maßzahlen für das Ausmaß aller Abweichungen vom Erwartungswert , also nicht nur 2 C : : : C .Km / pm der negativen. Dennoch werden 2 und häum X ﬁg (ohne auf diesen Sachverhalt und die daD .Kj /2 pj (7.11) raus abzuleitenden methodischen Schwächen j D1 explizit hinzuweisen) als Risikoindikatoren inFür die Standardabweichung gilt dann einfach terpretiert. Dieser Interpretation entsprechend wird im einschlägigen Schrifttum häuﬁg unterdie Relation (7.12). stellt, dass die betrachteten Wirtschaftssubjekte p (7.12) in dem Sinne risikoscheu eingestellt sind, dass D 2 sie bei der (hypothetischen) Auswahl aus meh777 Beispiel 7.10 reren Projekten Für das aus Beispiel 7.9 bekannte Investitions4 mit übereinstimmendem -Wert das mit projekt A gilt die bereits aus . Tab. 7.9 bekannte dem kleinsten -Wert und Wahrscheinlichkeitsverteilung. 4 bei übereinstimmendem -Wert das mit Für Projekt A errechnen sich nach den Fordem höchsten -Wert meln (7.1), (7.11) und (7.12) die folgenden Kennzahlenwerte: A D .50/ 0;1 C .20/ 0;12 C 5 0;18 C 10 0;26 C 20 0;2 C 30 0;14 D 4;3; D .50 4;3/2 0;1 C .20 4;3/2 0;12 2

C .5 4;3/2 0;18 C .10 4;3/2 0;26 C .20 4;3/2 0;2 C .30 4;3/2 0;14 D 516 sowie p D 516 D 22;72: Bei der Berechnung der Varianz ist zu beachten, dass sich für die einfachen Abweichungen vom Erwartungswert teils positive, teils negative Werte ergeben. Als Folge der Quadrierung

präferieren. Ein solches Wirtschaftssubjekt wird nur dann freiwillig bereit sein, zu einer Situation mit einem – an gemessen – höheren Risiko überzugehen, wenn damit zugleich eine Steigerung des Erwartungswertes verbunden ist. Folgt man diesem Ansatz, so besteht eine „klassische“ Form des - -Prinzips für einen risikoscheuen Investor analog zu Kriterium (7.10) darin, den Erwartungswert zur Ermittlung des letztlich maßgeblichen Präferenzwertes um einen zu proportionalen Risikoabschlag zu reduzieren, also als weiteres mögliches Kriterium für die projektindividuelle Vorteilhaftigkeit Relation (7.13) zu verwenden. PR D ˛ > 0 mit ˛ > 0

(7.13)

282

7

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

In Kriterium (7.13) gehen die Präferenzvorstellungen des Entscheiders – anders als man es vermuten könnte – aber nicht nur über die Höhe des gewählten Aversionskoeﬃzienten ˛ in die Berechnung des Präferenzwertes ein, sondern auch durch die spezielle Konstruktion des Risikoindikators . Kriterium (7.13) impliziert (wie wir gleich noch in Beispiel 7.11 sehen werden), dass ein durch einen negativen Kapitalwert abgebildeter Verlust zwingend in ganz spezieller Abhängigkeit von der Höhe des erwarteten Kapitalwertes bewertet wird, also bei der Berechnung des Risikoindikators ein umso höheres Gewicht erhält, je höher der „durchschnittliche Erfolg“ eines Investitionsprojektes ist. Zudem werden durch die in Formel (7.11) abgebildete „Quadrierung der Abweichungen“ die Auswirkungen dieser Implikation auf die Gesamtbewertung der Wahrscheinlichkeitsverteilung noch in sehr spezieller Weise verstärkt. Die „Quadrierung der Abweichungen“ bewirkt, dass sich z. B. ausgehend von einem negativen oder positiven Ergebnis in Höhe von X die Verdoppelung (Verdreifachung) dieses Ergebnisses bei der Berechnung des Risikoparameters mit (abhängig von der konkreten Höhe des Erwartungswertes ) bis zu vierfachem bzw. neunfachem Gewicht auswirkt. Wie bei den zuvor behandelten Konzepten lassen sich Entscheiderpräferenzen also auch in - -Konzepten wiederum nur in einer speziell standardisierten Form berücksichtigen. Ungeachtet ihrer weiten Verbreitung weist die Verwendung der Standardabweichung als Risikoindikator in dem hier untersuchten Zusammenhang eine weitere erhebliche Schwäche auf, die an folgendem einfachen Gedankenexperiment deutlich wird. Wird bei einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung der bestmögliche Ergebniswert gedanklich erhöht, so führt das nicht nur zu einer (naheliegenden) Steigerung des Erwartungswertes, sondern zugleich auch zu einer Erhöhung des (vermeintlichen) Risikoindikators . Wir werden diesen wenig plausiblen Eﬀekt gleich noch an Beispiel 7.11 verdeutlichen. Dieser Anstieg des

(vermeintlichen) Risikoindikators kann dann möglicherweise in Abhängigkeit von der konkreten Ausgestaltung einer auf den Parametern und aufbauenden Präferenzfunktion des durch Formel (7.13) verdeutlichten Typs dazu führen, dass der Präferenzwert der betrachteten Alternative sinkt, obwohl sich die Gesamtsituation des Entscheiders präferenzunabhängig verbessert. Ein Ausweg aus diesem Dilemma könnte in der Verwendung der sog. Semivarianz bestehen. Zur Ermittlung dieser Kennzahl werden – ähnlich wie bei der Berechnung der Kennzahl VR in Formel (7.7) nur die „negativen“ Ergebnismöglichkeiten in die Berechnung einbezogen. Zur konkreten Umsetzung dieses Ansatzes ist es erneut erforderlich festzulegen, was unter „negativen“ Ergebnissen verstanden werden soll. In der einschlägigen Literatur wird dazu in aller Regel auf den Erwartungswert als Trennlinie zurückgegriﬀen; nach diesem Ansatz würden in den von uns untersuchten Entscheidungsproblemen also alle Kapitalwerte, die kleiner als der Erwartungswert sind, als „negative“ Werte betrachtet und in die ansonsten analog zu den Formeln (7.11) und (7.12) erfolgende Bestimmung der Semivarianz einbezogen. Aber auch in dieser Variante kann es dazu kommen, dass eine ﬁktive Erhöhung des bestmöglichen Ergebniswertes zugleich zu einer Steigerung dieses Risikoindikators führt. Im hier untersuchten Zusammenhang ist es daher zweckmäßiger, die Semivarianz nicht auf den Erwartungswert , sondern einfach auf den Wert 0 zu normieren und wie in Relation (7.14) zu deﬁnieren. 2 .0/ D

X

.Kj 0/2 pj

Kj 0 (7.16) .0/B D

p 99;68 D 9;98:

Beispiel 7.11 verdeutlicht die Verwendung der Projekt A weist also für beide Risikokennzahbeiden Kriterien (7.13) und (7.16) und die zu- len jeweils einen höheren Wert auf; zudem fällt der Erwartungswert bei A kleiner aus als bei B. letzt angesprochenen Zusammenhänge. 777 Beispiel 7.11 Wir betrachten noch einmal die schon aus Beispiel 7.9 bekannten Projekte A und B. Um Ihnen das Rückblättern zu ersparen, haben wir die Wahrscheinlichkeitsverteilungen sowie die zugehörigen Erwartungswerte in den . Tab. 7.11 und . Tab. 7.12 noch einmal aufgeführt. Für Varianz und Semivarianz der beiden Projekte ergeben sich nach den Formeln (7.11) und (7.14) folgende Werte: A2 D .50 4;3/2 0;1 C .20 4;3/2 0;12 C .5 4;3/2 0;18 C .10 4;3/2 0;26 C .20 4;3/2 0;2 C .30 4;3/2 0;14 D 516;01 2 .0/A D .50/2 0;1 C .20/2 0;12 D 298

7

Somit ist Projekt B nach den beiden Kriterien (7.13) bzw. (7.16) auf jeden Fall besser einzustufen als Projekt A, und zwar ganz unabhängig davon, wie stark die durch den Parameter ˛ ausgedrückte Risikoscheu ausgeprägt ist. Die projektindividuelle Vorteilhaftigkeit hängt demgegenüber bei beiden Projekten von der Höhe des Aversionsfaktors ˛ ab. Nach dem „klassischen“ --Kriterium (7.13) sind die Projekte jeweils nur so lange vorteilhaft wie PRA D 4;3 ˛ 22;72 > 0

bzw.

PRB D 8;33 ˛ 18;88 > 0 gilt. Daraus folgt, dass für die „kritischen“ Werte ˛ des Risikofaktors die Relationen ˛A < 4;3=22;72 D 0;19 bzw. ˛B < 8;33=18;88 D 0;44

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

284

. Tabelle 7.13 (Neue) Wahrscheinlichkeitsverteilung des Kapitalwertes von Projekt B KB

32

12

2

5

22

40

p.KB /

8%

12 %

12 %

27 %

21 %

20 %

gelten. Bei Anwendung des auf die Semivarianz zurückgreifenden Kriteriums (7.16) erhält man für die kritischen Werte des Risikofaktors analog die Werte

7

˛A < 4;3=17;26 D 0;25 bzw. ˛B < 8;33=9;98 D 0;83: Solange der Risikofaktor ˛ nicht höher als mit 0,19 (0,25) angesetzt wird, bleiben beide Projekte also auch bei Anwendung von Kriterium (7.13) ((7.16)) vorteilhaft. Bei höheren ˛-Werten wird dann zunächst nur Projekt A unvorteilhaft, während Projekt B seine Vorteilhaftigkeit erst verliert, wenn für ˛ ein Wert von 0,44 (0,83) oder mehr angesetzt wird. Zum Abschluss wollen wir anhand unseres Beispiels noch kurz die Problematik verdeutlichen, die mit der Verwendung der „einfachen“ Standardabweichung als Risikoindikator verbunden sein kann. Dazu betrachten wir noch einmal Projekt B und nehmen nun an, dass der bestmögliche Kapitalwert – bei Konstanz aller übrigen Daten – nunmehr statt mit 33 mit 40 zu veranschlagen sei. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung hat dann das in . Tab. 7.13 wiedergegebene Aussehen. Für den Erwartungswert erhalten wir dann mit B0 D 32 0;08 12 0;12 2 0;12 C 5 0;27 C 22 0;21 C 40 0;2 D 9;73 einen um 1,4 höheren Wert als in der Ausgangssituation, in der ja bekanntlich B D 8;33 gegolten hatte. Das ist zunächst der Sache nach plausibel; denn wenn für eine Ergebnismöglichkeit bei Konstanz aller übrigen ein höherer Wert angesetzt wird, erhöht sich auch das „im Schnitt“

zu erwartende Ergebnis. Die eingetretene Änderung kann auch rechnerisch leicht nachvollzogen werden: Wenn ein mit einer Eintrittswahrscheinlichkeit von 20 % zu erwartender Ergebniswert von 33 auf 40 angehoben wird, so steigt der Erwartungswert um den mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multiplizierten Wertzuwachs, also um .40 33/ 0;2 D 1;4. Das alles erscheint also durchaus vernünftig. Anders verhält es sich demgegenüber mit der „einfachen“ Standardabweichung. Nach den einschlägigen Formeln (7.11) und (7.12) erhalten wir nämlich statt ursprünglich p B D 356;48 D 18;88 nunmehr mit p B0 D 433;40 D 20;82 einen höheren Wert. Als Indikator für die insgesamt bestehende Streuung der Ergebniswerte um den Erwartungswert herum ist dieser Befund durchaus nachvollziehbar: Mit der Erhöhung des bestmöglichen Ergebniswertes wird die Verteilung der möglichen Ergebniswerte insgesamt weiter „auseinander gerissen“, die „im Schnitt“ bestehenden Abweichungen vom Mittelwert werden größer. Nicht einleuchtend ist es demgegenüber, die Steigerung der Standardabweichung zugleich auch als ein Anzeichen für eine Zunahme des Risikos zu sehen. Denn die Gefahr „schlechter“ Ergebnisse, hier konkret also negativer Kapitalwerte, hat sich ja im Vergleich zur Ausgangssituation überhaupt nicht verändert. Dementsprechend behalten auch die übrigen Risikokennzahlen p.K < 0/, VR sowie .0/ ihre bisherigen Werte bei. 999

?Übungsaufgabe 7.8

Gehen Sie von der aus 7 Abschn. 7.2.2.3 und Beispiel 7.6 angegebenen und nachfolgend nochmals angegebenen Verteilung möglicher Kapitalwerte aus und überprüfen Sie, wie groß der Risikoaversionsparameter ˛ maximal sein darf, damit das betrachtete Investitionsprojekt gemäß Kriterium (7.13) bzw. gemäß Kriterium (7.16) projektindividuell vorteilhaft ist.

285 7.4 Zusammenfassung

K

7.3.3.4

p

99.000

0,06

66.000

0,08

32.000

0,06

28.000

0,18

72.000

0,30

105.000

0,12

109.000

0,06

143.000

0,12

176.000

0,02

Zusammenfassende Einordnung

Wie wir gesehen haben, können durch - Konzepte – anders als durch -Konzepte – auch Abneigungen gegen insbesondere höhere Verluste berücksichtigt werden. Aber auch in - -Konzepten lassen sich diesbezügliche Entscheiderpräferenzen wiederum nur in einer speziell standardisierten Form berücksichtigen. Alle vorgestellten Konzepte lassen sich auch auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen anwenden, die sich auf die Gesamtrisikoposition des Unternehmens beziehen, z. B. auf die Gesamtrisikoposition des Unternehmens im Fall des Unterlassens bzw. im Fall der Durchführung eines konkreten Investitionsprojektes. Alle vorgestellten Konzepte lassen sich zur weitergehenden Berücksichtigung spezieller Sicherheits- bzw. Risikopräferenzen auch mit sogenannten Satisfizierungsbedingungen verknüpfen, also mit Mindestbedingungen, die jedes Projekt zwingend erfüllen muss. Durch die Formulierung von Satisﬁzierungsbedingungen können in einer ersten Stufe des Entscheidungsprozesses alle Projekte ausgesondert werden, die diesen Bedingungen nicht gerecht werden. So könnte z. B. festgelegt werden, dass bei der letztlich nach einem der skizzierten Kriterien zu treﬀenden Entscheidung nur noch solche Projekte berücksichtigt

7

werden, bei denen eine vorgegebene maximale Verlusthöhe und/oder Verlustwahrscheinlichkeit nicht überschritten wird. >Merke Es bleibt eine originäre Aufgabe der Unternehmensführung, festzulegen, nach welchen Methoden und mit welchem Gewicht Risikoüberlegungen in konkrete Investitionsentscheidungen einbezogen werden sollen.

7.4

Zusammenfassung

Im praktischen Anwendungsfall stellen die für Investitionskalküle benötigten Zukunftsdaten grundsätzlich unsichere Größen dar. Mithin werden Verfahren benötigt, die die den maßgeblichen Zukunftsgrößen anhaftende Unsicherheit und die damit verbundene Gefahr, möglicherweise auch „schlechte“ Ergebnisse zu realisieren, in die Investitionsrechnung einbeziehen. Die vorgestellten Ansätze und Verfahren dienen einerseits der Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen, andererseits der Ableitung von Investitionsentscheidungen. Sensitivitätsanalysen in der Form von singulären und multiplen Alternativrechnungen oder durch die Ermittlung kritischer Werte oder kritischer Wertekombinationen erlauben es in Verbindung mit wahrscheinlichkeitsgestützten Erweiterungen der Sensitivitätsanalysen, auch stochastische Wirkungszusammenhänge zwischen mehreren unsicheren Einﬂussgrößen und situationsabhängige zukünftige Handlungsmöglichkeiten im Rahmen einer systematischen Risikoanalyse zu erfassen und dadurch die mit der Projektdurchführung verbundenen Risiken und Chancen in überschaubarer Weise durch Risikoproﬁle abzubilden. Den konzeptionellen Stärken wahrscheinlichkeitsgestützter Alternativrechnungen stehen bei der konkreten Umsetzung aufgrund ihrer hohen informatorischen Voraussetzungen jedoch insbesondere dann Probleme entgegen, wenn eine größere Zahl entscheidungsrelevanter unsicherer Einﬂussfaktoren und deren sto-

286

7

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

chastische Abhängigkeiten berücksichtigt werden sollen. Im Schrifttum vorgeschlagene Verfahren zur Ableitung von Investitionsentscheidungen unter Unsicherheit, wie die Risikozuschlagsmethode oder die Sicherheitsäquivalentmethode, sind aufgrund konzeptioneller Schwächen allgemein nicht geeignet, die Risiko- bzw. Sicherheitspräferenzen eines Entscheiders sachgerecht zu berücksichtigen. Als zweckmäßiger erwies sich daher, Entscheidungskonzepte für Investitionsentscheidungen unter Unsicherheit auf den aus der Risikoanalyse bekannten investitionstheoretischen Kennzahlen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen aufzubauen. Für in erster Linie pragmatisch begründete Entscheidungskonzepte wurde verdeutlicht, mit welchen Einschränkungen sich subjektive Risiko- bzw. Sicherheitspräferenzen in den untersuchten Konzepten berücksichtigen lassen, und begründet, warum es „das eine theoretisch fundierte Entscheidungskonzept“ für mehrperiodige Entscheidungen unter Unsicherheit nicht gibt, ja gar nicht geben kann, und warum es letztlich eine originäre Aufgabe der Unternehmensführung ist, festzulegen, nach welchen Methoden und mit welcher Gewichtung Risikoüberlegungen in konkrete Investitionsentscheidungen einbezogen werden sollen. 7.5

Wiederholungsfragen

1. Durch welche beiden Schritte lässt sich die Vorgehensweise bei der Durchführung von Sensitivitätsanalysen beschreiben? Lösung 7 Abschn. 7.2.1.1 2. Welcher grundsätzliche Unterschied besteht zwischen Alternativrechnungen und der Ermittlung kritischer Werte? Lösung 7 Abschn. 7.2.1.1 und 7 Abschn. 7.2.1.3 3. Mit welchen konkreten Fragestellungen lassen sich die klassischen investitionstheoretischen Kennzahlen Kapitalwert, Endwert, äquivalente Annuität und interner Zinsfuß als singuläre kritische Werte verdeutlichen? Lösung 7 Abschn. 7.2.1.2

4. Was genau wird in einem Zustandsbaum abgebildet und wodurch unterscheiden sich Zustandsbäume von Risikoproﬁlen? Lösung 7 Abschn. 7.2.1.3 5. Wodurch unterscheiden sich wahrscheinlichkeitsgestützte Risikoanalysen von klassischen Alternativrechnungen und die aus Alternativrechnungen abgeleiteten „naiven Risikoproﬁle“ von den aus wahrscheinlichkeitsgestützten Analysen abgeleiteten Risikoproﬁlen? Lösung 7 Abschn. 7.2.2.2 6. Wodurch unterscheiden sich Ansätze der starren Planung von Ansätzen der ﬂexiblen Planung? Lösung 7 Abschn. 7.2.2.4 7. Durch welche Vorgehensweise können Risikoproﬁle im Rahmen von Auswahlentscheidungen zur Verdeutlichung von Risiko- und Chancenunterschieden genutzt werden? Lösung 7 Abschn. 7.2.2.4 8. Durch welche Vorgehensweise wird bei der Risikozuschlagsmethode versucht, die Risiko- bzw. Sicherheitspräferenzen eines Entscheiders im Bewertungskalkül zu berücksichtigen? Lösung 7 Abschn. 7.3.2 9. Durch welche Vorgehensweise wird bei der Sicherheitsäquivalentmethode versucht, die Risiko- bzw. Sicherheitspräferenzen eines Entscheiders im Bewertungskalkül zu berücksichtigen? Lösung 7 Abschn. 7.3.2 10. Warum können bei der Risikozuschlagsmethode und der Sicherheitsäquivalentmethode mögliche bewertungsrelevante Abhängigkeiten zwischen den unsicheren Zahlungen verschiedener Perioden nicht berücksichtigt werden? Lösung 7 Abschn. 7.3.2 11. Wodurch unterscheiden sich Wahrscheinlichkeitskonzepte von Erwartungswertkonzepten? Lösung 7 Abschn. 7.3.3.1 und 7 Abschn. 7.3.3.2 12. Wie können in Erwartungswertkonzepten individuelle Risiko- bzw. Sicherheitspräferenzen eines Entscheiders berücksichtigt werden? Lösung 7 Abschn. 7.3.3.2 13. Warum kann es bei Anwendung von - Konzepten sinnvoll sein, an Stelle der Varianz eine speziell normierte Form der Semivarianz als Risikoindikator zu verwenden? Lösung 7 Abschn. 7.3.3.3

7

287 7.6 Lösungen

14. Existiert eine aus theoretischer Sicht eindeutig richtige Methode oder Vorgehensweise zur Berücksichtigung von Risikoüberlegungen bei Investitionsentscheidungen unter Unsicherheit? Lösung 7 Abschn. 7.3

Lösungen

7.6

1 Übungsaufgabe 7.1

Aus .900 250/ 0 D 1:000:000 C 750 1;06 750 .900 250/ C LQ C 1;062

L D 200:000 K 1;062 D 200:000 71:778;21 1;062 D 119:350: 1 Übungsaufgabe 7.2

Durch Auﬂösen der Relation

C

L

400

306.850

450

269.350

500

231.850

550

194.350

600

156.850

650

119.350

700

81.850

d2

L

K

500

100.000

117.000

500

200.000

28.000

500

300.000

61.000

650

100.000

17.000

650

200.000

72.000

650

300.000

161.000

700

100.000

16.000

700

200.000

105.000

700

300.000

194.000

750 .900 250/ 1;06

750 d2 C L 1;062

1 Übungsaufgabe 7.3

erhält man als Funktion für die kritischen Wertekombinationen (d2 ; L) 606:850 L bzw. 750 L D 606:850 750 d2 :

d2 D

d2

. Tabelle 7.15 Häufigkeitsverteilung des Kapitalwertes (ÜA 7.3)

folgt: L D 119:350. Da wir den Kapitalwert bereits berechnet haben, kann der kritische Wert L auch wie folgt ermittelt werden:

0 D 1:000:000 C

. Tabelle 7.14 Kritische Wertekombinationen (ÜA 7.2)

. Tab. 7.15 bildet eine Auswahl kritischer Wertepaare ab. Eine Möglichkeit der graphischen Verdeutlichung von Verlustrisiken und Erfolgschancen zeigt . Abb. 7.10.

1 Übungsaufgabe 7.4

. Tab. 7.14 bildet eine Auswahl kritischer Wertepaare ab. Eine Möglichkeit der graphischen Darstellung kritischer Wertepaare zeigt . Abb. 7.9.

. Tab. 7.16 zeigt in den beiden letzten Spalten die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Kapitalwertes. Eine Möglichkeit der graphischen Verdeutlichung von Verlustrisiken und Erfolgschancen zeigt . Abb. 7.11.

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

288

d2

1000

809 K

700

0

K

7

0

K

142

0

0

500.000

81.850

606.850

L

. Abb. 7.9 Kritische Wertekombinationen (ÜA 7.2)

kumulierte relative Häufigkeit

100%

E

50%

E

Erfolgspotential

V

Verlustpotential

V 117.000

0 28.000 17.000

61.000 16.000

. Abb. 7.10 Verlustrisiken und Erfolgschancen (ÜA 7.3)

105.000 72.000

161.000 194.000

K

7

289 7.6 Lösungen

kumulierte Wahrscheinlichkeit

100%

E

50%

E

Erfolgspotential

V

Verlustpotential

V 99.000

66.000 32.000

0 28.000

72.000 105.000

143.000 176.000 109.000

K

. Abb. 7.11 Verlustrisiken und Erfolgschancen (ÜA 7.4)

1 Übungsaufgabe 7.5

. Tabelle 7.16 Häufigkeitsverteilung des Kapitalwertes (ÜA 7.4) d1

p.d1 /

550 0,2

650 0,6

750 0,2

d2

p.d2 j d1 / K

p

500

0,4

99.000

0,08

550

0,5

66.000

0,10

600

0,1

32.000

0,02

500

0,4

28.000

0,24

650

0,5

72.000

0,30

700

0,1

105.000

0,06

600

0,4

109.000

0,08

650

0,5

143.000

0,10

700

0,1

176.000

0,02

In . Abb. 7.12 verdeutlicht der durchgezogene Verlauf der Treppenkurve das Risikoproﬁl der starren Strategie, das Projekt auf jeden Fall über zwei Jahre durchzuführen, und der gestrichelte Kurvenverlauf das Risikoproﬁl der ﬂexiblen Strategie, das Projekt dann und nur dann nach einem Jahr zu beenden, wenn das Projekt im ersten Jahr den schlechtesten der möglichen Verläufe genommen hat. Vergleicht man die beiden Risikoproﬁle, also das Risikoproﬁl der vorgegebenen starren Variante mit dem der vorgegebenen ﬂexiblen Variante, so wird deutlich, dass in unserem Beispiel durch eine ﬂexible Liquidationsstrategie (im Vergleich zur vorgegebenen starren Liquidationsstrategie) die (bedingt) erwarteten Verluste in zwei Situationen mit einer Gesamtwahrscheinlichkeit von insgesamt 14 % vermindert (gestrichelte Kurve verläuft unterhalb der durchgezogenen Kurve) und nur in einer Situation mit einer Wahrscheinlichkeit von 6 % erhöht werden (durchgezogene Kurve verläuft unterhalb der gestrichelten Kurve) und die bei Wahl der ﬂexiblen Strategie mögliche Verlustminderung gleichzeitig vom Betrag her höher ausfällt als die mögliche Verlusterhöhung.

Kapitel 7 Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen

290

kumulierte Wahrscheinlichkeit

100%

K KL 50%

K

7

KL

Zusatzverluste bei K Zusatzverluste bei K L 99.000

66.000 45.000

0 28.000

72.000 105.000

143.000 176.000 109.000

K

32.000 . Abb. 7.12 Risikoprofile betrachteter starrer und flexibler Strategien (ÜA 7.5)

1 Übungsaufgabe 7.6

Für die Erfolgs- und Verlustwahrscheinlichkeit des betrachteten Projektes gilt: p .K > 0/ D .30 % C 12 % C 6 % C 12 % C 2 %/ D 62 % und p .K < 0/ D .6 % C 8 % C 6 % C 18 %/ D 38 %: Da die Erfolgswahrscheinlichkeit die Verlustwahrscheinlichkeit deutlich überwiegt, wäre das Projekt nach Kriterium (7.5) projektindividuell als vorteilhaft anzusehen. Würde man hingegen die projektindividuelle Vorteilhaftigkeit nach Kriterium (7.6) beurteilen und p D 0;75 setzen, so wäre das Projekt unvorteilhaft.

ECA D .5 0;18 C 10 0;26 C 20 0;2 C 30 0;14/ D 11;70 A D ECA VRA D 11;70 7;40 D 4;30 VRB D .32 0;08 12 0;12 2 0;12/ D 4;24 ECB D .5 0;27 C 22 0;21 C 33 0;2/ D 12;57 B D ECB VRB D 12;57 4;24 D 8;33:

Bei Anwendung des „einfachen“ Kriteriums gemäß Formel (7.9) wären beide Projekte in der projektindividuellen Betrachtung also als vorteilhaft einzuschätzen. Im Vergleich untereinander wäre demgegenüber Projekt B eindeutig vorzuziehen. Im Vergleich zur Anwendung der allein an den Wahrscheinlichkeiten gestützten Kriterien (7.5) und (7.6) gelangen wir jetzt also 1 Übungsaufgabe 7.7 gerade zu dem entgegengesetzten Ergebnis. a. Wir erhalten folgende Werte für die gefragb. Zu 1.: Projekt B verfügt im Vergleich zu A ten Kennzahlen: sowohl über die höheren Erfolgschancen als auch über das kleinere Verlustrisiko. Mithin VRA D .50 0;1 20 0;12/ D 7;40

291 7.6 Lösungen

ist, wie wir schon gesehen haben, der „einfache“ Erwartungswert bei B größer als bei A. Diese Rangfolge bleibt erst recht erhalten, wenn noch um einen Risikoabschlag vermindert wird, der bei A ja größer ausfällt als bei B. Zu 2.: Projektindividuell sind die beiden Projekte so lange vorteilhaft wie PRA D 4;3 ˛ 7;4 > 0 bzw. PRB D 8;33 ˛ 4;24 > 0

2 .0/ D

X

7

.Kj 0/2 pj

Kj

Investitionsrechnung klipp & klar

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