Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive

Studien zur theoretischen und empirischen Forschung in der Mathematikdidaktik

Frank Reinhold

Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive Eine empirische Studie in Jahrgangsstufe 6

Studien zur theoretischen und empirischen Forschung in der Mathematikdidaktik Reihe herausgegeben von G. Greefrath, Münster, Deutschland S. Schukajlow, Münster, Deutschland H.-S. Siller, Würzburg, Deutschland

In der Reihe werden theoretische und empirische Arbeiten zu aktuellen didaktischen Ansätzen zum Lehren und Lernen von Mathematik – von der vorschulischen Bildung bis zur Hochschule – publiziert. Dabei kann eine Vernetzung innerhalb der Mathematikdidaktik sowie mit den Bezugsdisziplinen einschließlich der Bildungsforschung durch eine integrative Forschungsmethodik zum Ausdruck gebracht werden. Die Reihe leistet so einen Beitrag zur theoretischen, strukturellen und empirischen Fundierung der Mathematikdidaktik im Zusammenhang mit der Qualifizierung von wissenschaftlichem Nachwuchs.

Weitere Bände in der Reihe http://www.springer.com/series/15969

Frank Reinhold

Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive Eine empirische Studie in Jahrgangsstufe 6 Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Kristina Reiss

Frank Reinhold TUM School of Education Technische Universität München München, Deutschland Dissertation Technische Universität München, 2018 Erstgutachterin: Prof. Dr. Kristina Reiss Zweitgutachterin: Prof. Dr. Hedwig Gasteiger Drittgutachterin: Prof. Dr. Tina Seidel Tag der Disputation: 20.07.2018

ISSN 2523-8612  (electronic) ISSN 2523-8604 Studien zur theoretischen und empirischen Forschung in der Mathematikdidaktik ISBN 978-3-658-23923-7 ISBN 978-3-658-23924-4  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-23924-4 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen National­ bibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informa­ tionen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Geleitwort Die Digitalisierung hat sich zwar in kürzester Zeit zum aktuellen Schlagwort entwickelt, doch die Frage, wie sie tatsächlich in der Schule umgesetzt wird, ist alles andere als beantwortet. Hier setzt die Arbeit von Frank Reinhold an. Seine Dissertation „Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive“ ist ein wichtiger Beitrag zu diesem Forschungsbereich. Die Dissertation ist eingebettet in das Forschungsprojekt ALICE:Bruchrechnen, welches ein Kooperationsprojekt zwischen Mathematik und Mathematikdidaktik an der Technischen Universität München ist. Ein erstes Ziel war es dabei, eine Lernumgebung für TabletPCs zu entwickeln, die wesentliche Erkenntnisse der Lehr-Lern-Forschung der letzten Jahre und Jahrzehnte aufgreift – sowohl der Psychologie als auch der Mathematikdidaktik. Ein zweites Ziel war es, diese Lernumgebung zu evaluieren und sie mit anderen Formen des Mathematikunterrichts zu vergleichen. Von beiden Zielen handelt die vorliegende Arbeit. Frank Reinhold nimmt zunächst unterschiedliche Forschungsstränge in den Blick und verbindet so disziplinäres Wissen zu einer interdisziplinären Einheit. Er betrachtet Theorien und Ergebnisse der allgemeinen Lehr-Lern-Forschung – vorrangig zu Bedingungen des Lernens und zum Umgang mit digitalen Medien beim Lernen – genauso wie das in der Mathematikdidaktik gut untersuchte Gebiet der Didaktik der Bruchrechnung. In systematischer Weise werden Theorien und Ergebnisse insbesondere aus der Pädagogischen Psychologie mit grundlegenden Theorien und Ergebnissen der Mathematikdidaktik im Hinblick auf einen konkreten Unterrichtsinhalt in Beziehung setzt. Das Ergebnis sind wohlbegründete Grundlagen einer Lernumgebung zum Bruchrechnen. Es schließt sich ein empirischer Teil an, in dem zwei Studien zur Wirksamkeit einer in einem größeren Team selbst entwickelten Lernumgebung für das Bruchrechnen vorgestellt werden, die an Gymnasien bzw. Mittelschulen – in Bayern sind das die früheren Hauptschulen – durchgeführt wurden. Dabei wurde im regulären Unterricht mit dem Tablet-PC, einer daran orientierten Papier-und-Bleistift-Umgebung bzw. mit dem regulären Schulbuch gearbeitet. Die Voraussetzungen sowie die Durchführung der Studien werden präsentiert, die Ergebnisse nachvollziehbar beschrieben. Ein für die Lehr-Lern-Forschung sinnvolles Studiendesign, fachdidaktisches Inhaltswissen sowie der Einsatz geeigneter statistischer Analysemethoden werden hier verbunden. Die quantitativen Ergebnisse werden weiter durch Beispiele ergänzt, die nicht nur die Art und Weise der Kodierung von Antworten erläutern, sondern auch Aufschluss über das Arbeiten der Schülerinnen und Schüler geben. Ähnlich werden auch von den Schülerinnen und Schülern verwendete Strategien explizit gemacht und in Bezug zu den unterschiedlichen Lernumgebungen – digital und traditionell – gesetzt. Besonders interessant ist zum

vi

Geleitwort

einen der Vergleich zwischen leistungsstärkeren und leistungsschwächeren Kindern aus den unterschiedlichen Schularten und zum anderen der Fokus auf die Bedeutung von Visualisierungen für den erfolgreichen Umgang mit Bruchzahlen. Beide Aspekte sind geeignet, praxisnahe Konsequenzen für den täglichen Unterricht mit digitalen Medien – insbesondere mit Tablet-PCs – aufzuzeigen und daher gerade aus fachdidaktischer Perspektive von besonderer Bedeutung. Die Arbeit baut Brücken insbesondere zwischen allgemeiner und fachspezifischer LehrLern-Forschung sowie zwischen fachdidaktischer Forschung und schulischer Praxis. Sie verbindet eine theoretische Fundierung mit Ideen der Umsetzung in eine interaktive und digitale Lernumgebung und mit der Evaluation dieser Lernumgebung. Sie ist von hoher Praxisrelevanz, denn die aus den Ergebnissen abgeleiteten Handlungsempfehlungen können direkt in einem modernen Unterricht mit digitalen Medien – auch über die Mathematik hinaus – berücksichtigt werden. Sie ist damit ein Beitrag zum Diskurs, wie der Prozess der Digitalisierung des Unterrichts gelingen kann.

München im August 2018 Kristina Reiss

Für meine Familie

Danksagung Ich möchte mich bei allen Menschen bedanken, die in den letzten Jahren zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Allen voran bedanke ich mich bei meiner Betreuerin Frau Professorin Dr. Kristina Reiss für ihr entgegengebrachtes Vertrauen und die immerwährende Unterstützung während der einzelnen Phasen meiner Promotion. Weiter gilt mein Dank meiner Zweitgutachterin Frau Professorin Dr. Hedwig Gasteiger für ihre konstruktiven Hinweise für die Erstellung der Monographie. Darüber hinaus möchte ich meiner Drittgutachterin Frau Professorin Dr. Tina Seidel für ihr Interesse an meiner Arbeit danken. Ganz herzlich möchte ich mich bei allen Beteiligten im Forschungsprojekt ALICE:Bruchrechnen bedanken. Ich bedanke mich bei Stefan Hoch und Bernhard Werner für die kollegiale, gute und stets freundschaftliche Zusammenarbeit. Mein Dank gilt auch Herrn Professor Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert für seine Hilfsbereitschaft und zahlreiche Ideen zur Umsetzung und Gestaltung interaktiver Inhalte. Das Projekt wurde unter dem Namen „Lernen mit dem Tablet-PC: Eine Einführung in das Bruchrechnen für Klasse 6“ von der Heinz Nixdorf Stiftung im Zeitraum von Januar 2015 bis Dezember 2018 gefördert. Für die finanzielle Unterstützung, die die Realisierung des gesamten Forschungsprojektes ermöglicht hat, möchte ich mich ebenfalls bedanken. Darüber hinaus bedanke ich mich bei allen Kolleginnen und Kollegen am Heinz NixdorfStiftungslehrstuhl für Didaktik der Mathematik der Technischen Universität München für stets offene Ohren, gute Ratschläge, konstruktive Kritik und aufbauende Worte sowie die Unterstützung bei der Durchführung des Projektes. An dieser Stelle möchte ich auch dem gesamten Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik der Ludwig-Maximilians-Universität München, dabei besonders Herrn Professor Dr. Stefan Ufer, für die stets anregenden Diskussionen im gemeinsamen Oberseminar danken. Weiter bin ich dankbar für die Unterstützung, die ich während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter der Technischen Universität München und als Lehrer am Wilhelm-Hausenstein-Gymnasium München seitens meiner Schule, insbesondere von Herrn OStD Wolfgang Hansjakob, erfahren durfte. Ich möchte mich auch beim Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst sowie beim Staatlichen Schulamt München für die Genehmigung zur Durchführung der Studie an Gymnasien und Mittelschulen bedanken. Weiter gilt mein Dank den zahlreichen Lehrkräften sowie Schülerinnen und Schülern für ihre Teilnahme an der Studie. Mein abschließender Dank gilt meiner Familie, insbesondere meiner Frau Vanessa Mindl, die mich in den letzten Jahren stets begleitet hat und ohne deren Rückhalt diese Arbeit nicht möglich gewesen wäre.

Inhaltsverzeichnis Einleitung

1

I

5

1

Theoretischer Teil Entwicklung mathematischen Verständnisses

1.1 1.2

1.3 1.4 1.5 2

Piagets Theorie der kognitiven Entwicklung . . . . . . . . . . 1.1.1 Stadientheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Assimilation und Akkommodation . . . . . . . . . . Conceptual Change-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Arten von Conceptual Change . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Bedingungen für einen Konzeptwechsel . . . . . . . . 1.2.3 Weiterentwicklung der ursprünglichen Theorie . . . . 1.2.4 Kritische Betrachtung der Conceptual Change-Theorie Grundvorstellungen mathematischer Inhalte . . . . . . . . . . 1.3.1 Rolle von Grundvorstellungen . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Kritische Auseinandersetzung mit Grundvorstellungen Diskurs zwischen Fachdidaktik und Psychologie . . . . . . . . Synthese fachdidaktischer und psychologischer Perspektiven . .

7

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Problemfeld Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Formale Definition der rationalen Zahlen . . . . . . . . . 2.1.2 Brüche im Kontext der Schule . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Typische Schülerfehler im Bereich der Bruchrechnung . . . 2.1.4 Unzureichend ausgebildete Grundvorstellungen . . . . . . Natural Number Bias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Dimensionen des Natural Number Bias . . . . . . . . . . 2.2.2 Kongruente und inkongruente Aufgaben . . . . . . . . . 2.2.3 Dual-Processing als Erklärung für den Natural Number Bias Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias . 2.3.1 Konzept Teil vom Ganzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Konzept Erweitern und Kürzen . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Größenvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

2.1

2.2

2.3

7 8 10 11 12 14 15 17 20 21 24 25 27 31

31 33 34 36 39 41 41 46 48 51 53 67 76

xii 3

Inhaltsverzeichnis Instruktionspsychologie

3.1

3.2 3.3

3.4

4

85

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Zusammenfassung des aktuellen Forschungsstands . . . . . . . . . Modell zur Entwicklung digitaler Lernumgebungen . . . . . . . . Forschungsfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Entwicklung des Bruchzahlbegriffs . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Wirksamkeit multimedialer und digitaler Lernumgebungen

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Interaktive Unterrichtsmedien

4.1 4.2

4.3

4.4

5

Gedächtnismodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Drei-Speicher-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Theorie der dualen Kodierung . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Arbeitsgedächtnismodell . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Schema-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cognitive Load-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Unterschiedliche Arten kognitiver Belastung . . . . . . . 3.2.2 Effekte im Zusammenhang mit kognitiver Belastung . . . Kognitive Theorie des multimedialen Lernens . . . . . . . . . . 3.3.1 Annahmen der Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Kognitive Prozesse beim multimedialen Lernen . . . . . 3.3.3 Kognitive Belastung beim multimedialen Lernen . . . . 3.3.4 Prinzipien des multimedialen Lernens . . . . . . . . . . Integratives Modell des Text- und Bildverstehens . . . . . . . . . 3.4.1 Formen der Repräsentation . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Integrative Verarbeitung von Texten und Bildern . . . . . 3.4.3 Effekte integrativer Verwendung von Texten und Bildern Digitale Medien im Mathematikunterricht . . . . . . . . . . . . Embodied Cognition-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Embodied Cognition und kognitive Belastung . . . . . . 4.2.2 Embodiment in digitalen Lernumgebungen . . . . . . . 4.2.3 Wirksamkeit von Embodiment im Mathematikunterricht Adaptivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Adaptivität und kognitive Belastung . . . . . . . . . . . 4.3.2 Adaptivität in digitalen Lernumgebungen . . . . . . . . 4.3.3 Wirksamkeit adaptiver Systeme im Mathematikunterricht Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Feedback und kognitive Belastung . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Feedback in digitalen Lernumgebungen . . . . . . . . . 4.4.3 Wirksamkeit von Feedback . . . . . . . . . . . . . . . .

135

Forschungsstand und Fragestellung

5.1 5.2 5.3

85 86 87 90 92 94 95 97 107 109 111 113 114 120 122 125 127 135 137 138 143 146 147 148 150 153 154 155 159 162 165

165 167 169 169 170

Inhaltsverzeichnis

II 6

Empirischer Teil

173

Design und Methode der Studie

6.1 6.2

6.3 6.4

6.5 6.6

7

xiii

Erhebungsdesign und Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Design der Studie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Beschreibung der Stichproben . . . . . . . . . . . . . . Unterrichtsmaterial und Geräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 ALICE:Bruchrechnen als gemeinsames Forschungsprojekt 6.2.2 Inhalte der digitalen und multimedialen Lernumgebung . 6.2.3 Inhaltsvalidität der Lernumgebung . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Verwendete elektronische Geräte . . . . . . . . . . . . . Erhebungsinstrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Pretest zu Vorerfahrungen des Bruchzahlbegriffs . . . . . 6.3.2 Posttest zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffs . . . . . . Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Pilotierung der digitalen Lernumgebung . . . . . . . . . 6.4.2 Pilotierung der Erhebungsinstrumente . . . . . . . . . . 6.4.3 Ablauf der Interventionsstudie . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4 Realisierung des Treatments . . . . . . . . . . . . . . . Codierung und Beurteilung von Schülerantworten . . . . . . . . 6.5.1 Bewertung geschlossener und offener Aufgabenformate . 6.5.2 Kodierung von Strategien beim Größenvergleich . . . . . Statistische Auswertungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Interne Konsistenz der Skalen und Subskalen . . . . . . 6.6.2 Korrelationsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Gruppenvergleiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175

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Evaluation der Testinstrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Pretest als Maß für Vorerfahrungen zum Bruchzahlbegriff . 7.1.2 Posttest als Maß für die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs . Begründung der statistischen Auswertungsmethode . . . . . . . . 7.2.1 Vergleich der Schularten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Effekte der Intervention an Gymnasien . . . . . . . . . . . 7.2.3 Effekte der Intervention an Mittelschulen . . . . . . . . . Vergleich der Schularten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Entwicklung des Bruchzahlbegriffs . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Visualisierungen und arithmetischen Aufgaben . . . . . . 7.3.3 Geschlechterunterschiede . . . . . . . . . . . . . . . . . . Effekte der Intervention an Gymnasien . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen . . . . . . . 7.4.2 Arithmetische Fähigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Ergebnisse der Studie

7.1 7.2

7.3

7.4

175 176 178 182 183 189 200 202 202 203 204 212 212 212 214 218 221 221 224 226 226 229 229 235

235 235 238 249 249 250 252 254 254 256 257 259 261 262

xiv

Inhaltsverzeichnis 7.5

8

7.4.3 Fähigkeit geeignete Strategien zu erläutern . . Effekte der Intervention an Mittelschulen . . . . . . . 7.5.1 Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen 7.5.2 Arithmetische Fähigkeiten . . . . . . . . . . 7.5.3 Fähigkeit geeignete Strategien zu erläutern . .

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Ziele der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung und Interpretation der Ergebnisse . . . . . . . . . . 8.2.1 Entwicklung des Bruchzahlbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Wirksamkeit multimedialer und digitaler Lernumgebungen . . Kritische Diskussion der durchgeführten Studie . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Güte der entwickelten Erhebungsinstrumente . . . . . . . . . 8.3.2 Reflexion des methodischen Vorgehens der Studie . . . . . . . Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Implikationen der Arbeit für den Mathematikunterricht . . . . 8.4.2 Offene Fragestellungen und weiterführende Forschungsansätze

. . . . . . . . . .

Diskussion und Fazit

8.1 8.2 8.3 8.4

275

Literatur A

275 277 277 279 287 288 290 297 297 300 305

Anhang

A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6 A.7

263 268 269 270 271

Bruchrechnen in den Common Core State Standards . . . . . . . . . . Zeitlicher Ablauf des Forschungsprojektes . . . . . . . . . . . . . . . Verwendete Erhebungsinstrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Implementierungen in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Weitere Tabellen zur internen Konsistenz der Skalen . . . . . . . . . . Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Untersuchung von Gruppenunterschieden im Pretest an Mittelschulen

327

. . . . . . .

328 329 330 343 345 349 357

Tabellenverzeichnis 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17

Typische Verwendungen von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Typische Fehler beim Umgang mit Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . Überblick über vier Dimensionen des Natural Number Bias . . . . . . . . . Kongruente und inkongruente Aufgaben bzgl. eines Natural Number Bias . Anteil, Ganzes und Bruchteil in unterschiedlichen gängigen Darstellungen . Brüche auf dem Zahlenstrahl: Einteilung und Länge . . . . . . . . . . . . . Typische Fehler beim Arbeiten mit dem Zahlenstrahl . . . . . . . . . . . . Konzept Teil vom Ganzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einbettung natürlicher Zahlen in die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . Altersgerechter Zugang zur Dichte am Zahlenstrahl . . . . . . . . . . . . . Konzept Erweitern und Kürzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transitive Strategie zum Größenvergleich von Brüchen . . . . . . . . . . . Residuale Strategie zum Größenvergleich von Brüchen . . . . . . . . . . . Größe-der-Stücke Strategie zum Größenvergleich von Brüchen . . . . . . . Verwendung ikonischer Darstellungen als Größenvergleichsstrategie . . . . Unterscheidung eigenschafts- und regelbasierter Größenvergleichsstrategien Konzept Größenvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

36 38 45 48 55 63 63 68 73 75 76 78 79 80 81 82 83

3.1 Arten kognitiver Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.2 Effekte der Cognitive Load-Theorie nach Sweller . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.3 Prinzipien der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens nach Mayer . . 121 4.1 Taxonomie für den Grad an Embodiment in digitalen Lernumgebungen . . . 145 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11

Design der vorliegenden Studie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Überblick über Schülerinnen und Schüler . . . . . . . . . . . . . . . . . . Überblick über die Geschlechterverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Überblick über die Inhalte des entwickelten Lehrwerkes . . . . . . . . . . . Lehrplaninhalt Brüche im bayerischen Schulsystem . . . . . . . . . . . . . Überblick über die Aufgabeninhalte des Pretests . . . . . . . . . . . . . . . Überblick über die Aufgabeninhalte des Posttests . . . . . . . . . . . . . . Ergebnisse der Pilotierung der Erhebungsinstrumente . . . . . . . . . . . . Überblick über die Erhebungszeiträume und die Zeiträume der Intervention Beobachterübereinstimmung bei der Codierung der Itemlösungen . . . . . Beobachterübereinstimmung bei der Codierung der Strategien . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

178 180 182 200 201 203 207 213 218 223 225

xvi

Tabellenverzeichnis

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13

Interne Konsistenz & deskriptive Analyse des Pretests . . . . . . . . . . . Interne Konsistenz & deskriptive Analyse des Posttests . . . . . . . . . . Beschreibung der Skalen und Subskalen der Erhebungsinstrumente . . . . Ergebnisse der Überprüfung der Skalen im Posttest (Gymnasium) . . . . . Ergebnisse der Überprüfung der Skalen im Posttest (Mittelschule) . . . . . Deskriptive Analyse der Ergebnisse im Pre- und Posttest (Schularten) . . . Deskriptive Analyse der Ergebnisse im Posttest (Geschlechterunterschiede) Deskriptive Analyse der Ergebnisse im Pretest (Gymnasium, Gruppen) . . Deskriptive Analyse der Ergebnisse im Posttest (Gymnasium, Gruppen) . Deskriptive Analyse der Items zum Erläutern von Strategien (Gymnasium) Mittlere Nutzung von Größenvergleichsstrategien (Gymnasium) . . . . . Deskriptive Analyse der Ergebnisse beim Größenvergleich (Gymnasium) . Deskriptive Analyse der Ergebnisse im Posttest (Mittelschule) . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

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236 239 248 251 252 255 257 260 261 263 264 267 269

A.1 A.2 A.3 A.4 A.5

Lehrplaninhalt Brüche: Common Core State Standards . . . . . . . . . . Interne Konsistenz der Items mit Subitems . . . . . . . . . . . . . . . . Interne Konsistenz & deskriptive Analyse der Skalen des Posttests . . . . . Interne Konsistenz & deskriptive Analyse der Subskalen (Visualisierungen) Interne Konsistenz & deskriptive Analyse der Subskalen (Arithmetik) . . .

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. . . . .

328 345 346 347 348

Abbildungsverzeichnis 1.1 1.2 1.3

Rolle von Grundvorstellungen im Modellierungskreislauf . . . . . . . . . . 23 Grundvorstellungen als Bindeglied zwischen verschiedenen Darstellungen . . 23 Modell: Entwicklung von Lernumgebungen für den Mathematikunterricht . 29

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Bruch als Trias aus Anteil, Ganzem und Bruchteil . . . . . . . . . . . Notwendige Teilschritte zur Bestimmung eines Bruchteils . . . . . . Der Bruch 43 als Teil mehrerer Ganzer enaktiv und ikonisch . . . . . . Äquivalenz von Teil eines Ganzen und Teil mehrerer Ganzer . . . . . Hybridmodell zur ikonischen Darstellung eines Bruches . . . . . . . Bestimmung eines Bruchteils an nichtunterteilten kont. Darstellungen Erweitern des Bruches 21 mit 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erweitern und Kürzen als Verfeinern und Vergröbern der Einteilung . Umwandlung eines unechten Bruches in eine gemischte Zahl . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

53 56 58 59 65 66 70 71 74

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Drei-Speicher-Modell nach Atkinson und Shiffrin . . . . . . . . . . . . . Theorie der dualen Kodierung nach Paivio . . . . . . . . . . . . . . . . . Modell eines mehrkomponentigen Arbeitsgedächtnisses nach Baddeley . . . Kognitive Theorie des Multimedialen Lernens nach Mayer . . . . . . . . . Deskriptive und depiktionale Darstellungen von 73 . . . . . . . . . . . . . Integratives Modell des Text- und Bildverstehens nach Schnotz und Bannert

. . . . . .

87 89 92 113 125 127

5.1

Modell: Entwicklung digitaler Lernumgebungen in der Mathematikdidaktik . 168

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8

Exemplarische Darstellung des adaptiven Feedbacksystems . . . . . . . . . Exemplarische Darstellung der Handschrifterkennung . . . . . . . . . . . Exemplarische Aufgaben zum Teil vom Ganzen (mit & ohne Unterteilung) Exemplarischer Vergleich der beiden Lernumgebungen (Teil eines Ganzen) . Exemplarische explorative Aufgabe zum Subkonzept Teil mehrerer Ganzer . Exemplarische Aufgaben zum Erweitern (ikonisch und symbolisch) . . . . Exemplarischer Vergleich der beiden Lernumgebungen (Dichte) . . . . . . Exemplarischer Vergleich der beiden Lernumgebungen (Größenvergleich) .

. . . . . . . .

185 187 190 192 194 195 197 199

7.1 7.2 7.3 7.4

Exemplarische Schülerfehler in den Aufgaben A01 und A08 im Posttest Faktorenanalyse des Posttests auf Skalenebene . . . . . . . . . . . . . . Faktorenanalyse der Skala Visualisierung im Posttest . . . . . . . . . . Faktorenanalyse der Skala Arithmetik im Posttest . . . . . . . . . . . .

. . . .

241 242 243 244

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

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xviii

Abbildungsverzeichnis

7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18

Exemplarische Schülerlösung zu Aufgabe A02 im Posttest . . . . . . . Exemplarische Schülerlösungen zu Aufgabe A17 im Posttest . . . . . . Zusammenhang zwischen Pretest und Posttest . . . . . . . . . . . . . Zusammenhang zwischen Pretest und Posttest an Gymnasien . . . . . Zusammenhang zwischen Pretest und Posttest an Mittelschulen . . . . Zusammenhang zwischen den Skalen Arithmetik und Visualisierungen Mittlere Lösungsraten im Posttest an beiden Schularten . . . . . . . . Exemplarische Schülerfehler in der Aufgabe A10 im Posttest . . . . . . Verwendung von Strategien zum Größenvergleich am Gymnasium . . . Mittelwertvergleiche der Interventionsgruppen an Gymnasien . . . . . Exemplarische Schülerlösung zu Aufgabe A16 im Posttest . . . . . . . . Verwendung von Strategien zum Größenvergleich an Mittelschulen . . Exemplarischer Schülerfehler in der Aufgaben A17 im Posttest . . . . . Mittelwertvergleiche der Interventionsgruppen an Mittelschulen . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

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245 247 250 251 253 256 259 262 265 268 271 272 273 274

A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6 A.7 A.8 A.9 A.10

Zeitlicher Ablauf des Forschungsprojektes . . . . . . Mittelwerte Pretest im Schulartvergleich . . . . . . Mittelwerte Pretest im Gruppenvergleich . . . . . . Mittelwerte Posttest im Schulartvergleich . . . . . . Mittelwerte Posttest im Gruppenvergleich . . . . . Mittelwerte Skala Visualisieren im Schulartvergleich Mittelwerte Skala Visualisieren im Gruppenvergleich Mittelwerte Skala Arithmetik im Schulartvergleich . Mittelwerte Skala Arithmetik im Gruppenvergleich . Lösungsraten im Pretest an der Mittelschule . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

329 349 350 351 352 353 354 355 356 357

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Zusammenfassung Die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs gilt als schwieriger Teilbereich der mathematischen Grundbildung. Im Forschungsprojekt ALICE:Bruchrechnen wurde untersucht, inwieweit der Einsatz von Tablet-PCs einen Einfluss auf den Anfangsunterricht der Bruchrechnung hat. Dafür wurde ein digitales Lehrbuch (iBook) zur Verwendung auf iPads vor dem Hintergrund fachdidaktischer und psychologischer Theorien und Erkenntnisse entwickelt. In diesem iBook wird besonderer Wert auf interaktive und adaptive Aufgaben gelegt, die einen Wechsel mathematischer Darstellungsformen nicht nur erlauben, sondern auch einfordern, und die an konzeptuellem Verständnis orientiert sind. Zur Evaluation nahmen N = 736 Sechstklässlerinnen und Sechstklässler (476 am Gymnasium und 260 an der Mittelschule) in drei Gruppen an einer 15-stündigen Interventionsstudie teil. Eine iPad-Gruppe arbeitete mit dem iBook auf iPads und eine Arbeitsbuchgruppe mit einer gedruckten Version des Lehrbuchs (Experimentalgruppen). Zur Kontrolle von Effekten durch das fachdidaktisch aufbereitete Unterrichtsmaterial arbeitete eine Kontrollgruppe mit konventionellen Schulbüchern. Es zeigten sich Unterschiede in Bezug auf die Effektivität des Einsatzes von Tablet-PCs zwischen den Schulformen. Am Gymnasium erzielten beide Experimentalgruppen signifikant bessere Ergebnisse in einem Posttest als die Kontrollgruppe, η2p = .03, jedoch zeigten sich keine signifikanten Unterschiede zwischen den beiden Experimentalgruppen. Weiter beschränkten sich diese Unterschiede dabei auf Aufgaben, in denen vornehmlich mit ikonischen Darstellungen von Brüchen operiert werden musste, η2p = .07, während sich kein signifikanter Effekt für arithmetische Aufgaben zeigte. Dies zeigt, dass Schülerinnen und Schüler beim Erwerb des Bruchzahlbegriffs von Wechseln zwischen verschiedenen Darstellungen prinzipiell profitieren können. Dahingegen erzielten an der Mittelschule die Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppe signifikant bessere Ergebnisse als die Lernenden in beiden anderen Gruppen, η2p = .08. Insbesondere bewiesen die Kinder, die mit iPads unterrichtet wurden, sowohl bessere Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen, η2p = .07, als auch bessere arithmetische Fähigkeiten, η2p = .06. Dies lässt vermuten, dass die Verwendung interaktiver und adaptiver Inhalte auf Tablet-PCs insbesondere für leistungsschwächere Kinder von Vorteil sein kann.

Abstract Fractional arithmetic is one of the key areas of mathematical literacy and known to be difficult for students. The research project ALICE:fractions aimed at understanding the use of tablet PCs in the classroom when teaching initial fraction concepts. Therefore, a digital textbook (iBook) for use on an iPad was developed. The development took into account theories and insights from both mathematics education and instructional psychology. In this iBook, interactive and adaptive exercises are emphasized. They focus on transitions between different mathematical representations and address a conceptual understanding of fractions. During a fifteen-lessons intervention N = 736 sixth grade students participated in an intervention study (476 in German Gymnasium – high education track – and 260 in German Mittelschule – low education track). Students were assigned to one of three groups. An iPad group worked with the iPad-assisted learning environment (i.e. iBook), a paper-copy group received the same material as regular paper-based book (treatment groups). To control for effects of the specifically designed learning environment, a control group used conventional textbooks. Differences between the type of school regarding the effectiveness of the use of tablet PCs were found. At Gymnasium, both treatment groups scored significantly better in a posttest than the control group, η2p = .03. However, there was no significant difference between the treatment groups. Furthermore, these differences were limited to tasks where students had to operate on iconic representations of fractions, η2p = .07, whereas no significant effect was found on arithmetic tasks. This shows that students can benefit from transitions between different representations during the development of a conceptual knowledge of fractions. However, at Mittelschule, students from the iPad group achieved significant better results than learners from both other groups, η2p = .08. In particular, children who were taught with iPads showed enhanced abilities to operate with visualizations, η2p = .07, as well as better arithmetical skills, η2p = .06. This suggests that especially low-achieving students can benefit from using interactive and adaptive content on tablet PCs.

Einleitung Und merk dir ein für allemal Den wichtigsten von allen Sprüchen: Es liegt Dir kein Geheimnis in der Zahl, Allein ein großes in den Brüchen.1 Johann Wolfgang von Goethe

Die Bruchrechnung gilt als schwieriger Teilbereich der mathematischen Grundbildung (z. B. Behr, Harel, Post & Lesh, 1993; Hart, 1989; Hasemann & Mangel, 1999). Insbesondere kann die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs eine große Hürde für Schülerinnen und Schüler aller Altersgruppen darstellen (z. B. Behr, Lesh, Post & Silver, 1983; Vamvakoussi & Vosniadou, 2004; Winter, 1999). Dabei besteht fachdidaktisch weitgehend Konsens darüber, dass die konkrete Manipulation geeigneter mathematischer Objekte – insbesondere der Wechsel zwischen unterschiedlichen Darstellungen von Brüchen – individuelle Denkprozesse geeignet unterstützen kann (z. B. Lamon, 2012; Lesh, Post & Behr, 1987; Padberg & Wartha, 2017). Eine Möglichkeit stellt hier die Verwendung interaktiver Lernumgebungen unter Rückgriff auf digitale Medien und insbesondere Tablet-PCs dar, durch die derartige Lerngelegenheiten im Unterricht realisiert werden können. Digitale Medien stellen für die heutige Generation von Schülerinnen und Schülern einen wichtigen Teilbereich ihres alltäglichen Lebens dar (z. B. Herzig, 2016; Prensky, 2001). In Deutschland werden digitale Medien im Regelunterricht jedoch aktuell und im internationalen Vergleich noch eher selten eingesetzt (Eickelmann, Gerick & Bos, 2014; Sälzer & Reiss, 2016). Darüber hinaus ist bislang nur wenig zur Wirkung digitaler Medien im Allgemeinen und Tablet-PCs im Speziellen bekannt, auch wenn bisherige Ergebnisse vielversprechend erscheinen (z. B. Hillmayr, Ziernwald, Reinhold, Hofer & Reiss, eingereicht; SteenbergenHu & Cooper, 2014). Konkret fehlt es an empirischen Untersuchungen zur Wirksamkeit ihres Einsatzes im mathematischen Regelunterricht (z. B. Schmidt-Thieme & Weigand, 2015). Insbesondere ist derzeit unklar, wie sich der Einsatz von Tablet-PCs konkret auf die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs bei tendenziell leistungsschwächeren und eher leistungsstärkeren Schülerinnen und Schülern auswirkt. Dieser Frage widmet sich die vorliegende Arbeit im Rahmen des gemeinsamen Forschungsprojektes ALICE:Bruchrechnen. Dabei werden konkret die nachfolgenden Ziele formuliert: 1 Aus:

„Faust, Paralipomenon 22“. Den Spruch richtet Mephistopheles in der Hexenküche an Faust. Er entstammt den Aufzeichnungen Goethes und ist nicht Teil des endgültigen Werkes.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 F. Reinhold, Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive, Studien zur theoretischen und empirischen Forschung in der Mathematikdidaktik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-23924-4_1

2

Einleitung

1. Die Modellbildung zur Entwicklung interaktiver und digitaler Lernumgebungen für den Einsatz im Mathematikunterricht. 2. Die gemeinsame Entwicklung einer digitalen Lernumgebung für den Anfangsunterricht der Bruchrechnung zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe in Form eines interaktiven und digitalen Schulbuchs (iBook) für iPads. 3. Die Konzeption und Durchführung einer Evaluation der entwickelten Lernumgebung unter Rückgriff auf Methoden der empirischen Bildungsforschung. Die Arbeit gliedert sich in zwei Teile. Im theoretischen Teil werden die Grundlagen für die Gestaltung digitaler Lernumgebungen exemplarisch am Beispiel des Bruchzahlbegriffs dargestellt. In Kapitel 1 werden aufbauend auf Piagets Theorie der kognitiven Entwicklung mit der Conceptual Change-Theorie und der Idee von Grundvorstellungen mathematischer Inhalte eine psychologische und eine fachdidaktische Perspektive für die Entwicklung mathematischen Verständnisses im Allgemeinen und das Lernen von Mathematik im Bereich der Bruchrechnung im Speziellen aufgezeigt. Das Kapitel schließt mit einem Diskurs zwischen Fachdidaktik und Psychologie. Hier wird ein Modell vorgeschlagen, wie die Synthese der beiden wissenschaftlichen Perspektiven gewinnbringend bei der Gestaltung von Lernumgebungen für den Mathematikunterricht umgesetzt werden kann. In Kapitel 2 werden bisherige Erkenntnisse und Handlungsempfehlungen für den Anfangsunterricht der Bruchrechnung dargestellt und auf der Basis dieses Modells zum Teil neu bewertet. Dabei wird angenommen, dass sich der Bruchzahlbegriff in drei Konzepten – hier namentlich Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen und Größenvergleich – erfassen lässt, deren Ausbildung im Unterricht durch die Vermittlung spezifischer Inhalte geeignet unterstützt werden kann. Kapitel 3 fokussiert auf instruktionspsychologische Theorien zur Informationsverarbeitung beim Menschen. Auf der Basis des Drei-Speicher-Modells werden die Cognitive Load-Theorie, die kognitive Theorie des multimedialen Lernens und das integrative Modell des Text- und Bildverständnisses erläutert. Insbesondere wird in dieser Arbeit von einer begrenzten Arbeitsgedächtniskapazität und der getrennten Verarbeitung von Texten und Bildern in unterschiedlichen kognitiven Systemen ausgegangen. Hier werden Bezüge zum Lerngegenstand des Bruchzahlbegriffs hergestellt und auf der Basis bisheriger empirischer Befunde Handlungsempfehlungen für die Entwicklung geeigneter Lernumgebungen für die sechste Jahrgangsstufe abgeleitet. In Kapitel 4 werden empirische Ergebnisse zum Einsatz digitaler Medien im Unterricht – speziell dem Mathematikunterricht – aufgezeigt. Dabei wird dargestellt, wie die Verwendung passender Gesten im Sinne einer Embodied Cognition-Theorie, die adaptive Anpassung des Schwierigkeitsgrades von Aufgaben an das individuelle Leistungsniveau von Schülerinnen und Schülern sowie erklärendes und auf konkrete Schülerantworten bezogenes Feedback zur kognitiven Entlastung beim Arbeiten mit digitalen Lernumgebungen auf Tablet-PCs beitragen kann. Der theoretische Teil schließt mit Kapitel 5, in dem der bisherige Forschungsstand zum Bruchzahlbegriff sowie dem Lernen mit multimedialen und digitalen Lernumgebungen zusammengefasst wird. Hier wird auf der Basis der vorhergehenden Kapitel ein Modell zur Entwicklung digitaler

Einleitung

3

Lernumgebungen in der Mathematikdidaktik mit den drei Teilbereichen Inhalt, Design und Implementierung vorgeschlagen, das exemplarisch am Beispiel des Bruchzahlbegriffs dargestellt wird. Darauf aufbauend werden konkrete Forschungsfragen für den nachfolgenden empirischen Teil dieser Arbeit formuliert und – soweit möglich – Vermutungen theoriebasiert aufgestellt. Der zweite Teil der Arbeit zielt auf die Beantwortung der Forschungsfragen. In Kapitel 6 wird das methodische Vorgehen der durchgeführten Studie an Gymnasien und Mittelschulen erläutert. Dabei wird das Unterrichtsmaterial in Form eines interaktiven und digitalen iBooks zum Einsatz auf iPads sowie in Form eines gedruckten und papierbasierten Arbeitsbuches vorgestellt, das auf der Basis des vorgeschlagenen Modells entwickelt wurde. Weiter werden die Erhebungsinstrumente, die eine Entwicklung des Bruchzahlbegriffs auf der Basis von Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen und arithmetischen Fähigkeiten erfassen sollen, dargestellt. Anschließend wird die konkrete Durchführung der Studie, die Codierung und Beurteilung von Schülerantworten sowie die verwendeten statistischen Auswertungsmethoden beschrieben. Die Ergebnisse der Studie werden in Kapitel 7 dargestellt. Nach einer Evaluation der Testinstrumente und einer Begründung der statistischen Auswertungsmethoden auf der Basis der vorliegenden empirischen Ergebnisse werden zunächst die Resultate der Schülerinnen und Schüler im Vergleich zwischen den beiden Schularten Gymnasium und Mittelschule aufgezeigt. Im Anschluss werden die Effekte der Intervention für tendenziell leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler am Gymnasium und eher leistungsschwächere Mittelschülerinnen und Mittelschüler getrennt voneinander berichtet. Dabei werden konkrete Unterschiede zwischen den beiden untersuchten Schülergruppen in der Wirkung des iPads dargestellt. Die vorliegende Arbeit schließt mit einer Diskussion der empirisch gewonnenen Ergebnisse in Kapitel 8. Hier werden nochmals die Ziele der Arbeit wiederholt. Im Anschluss daran werden die Resultate der Studie bezogen auf die konkreten Forschungsfragen zusammengefasst und vor dem theoretischen Hintergrund interpretiert. Daraufhin wird die durchgeführte Studie einer kritischen Diskussion unterzogen. Zuletzt werden auf der Basis der Ergebnisse konkrete Handlungsempfehlungen und Implikationen für den Mathematikunterricht und die mathematikdidaktische Forschung formuliert. Diese umfassen den Anfangsunterricht der Bruchrechnung im Speziellen und den Einsatz digitaler Medien im Mathematikunterricht im Allgemeinen. Teile dieser Arbeit wurden bereits in Form deutschsprachiger und englischsprachiger Konferenzbeiträge publiziert (Reinhold, Hoch, Werner, Richter-Gebert & Reiss, 2017a, 2017b; Reinhold, Reiss, Hoch, Werner & Richter-Gebert, 2018; Reinhold, Hoch, Werner, Richter-Gebert & Reiss, in Druck). Auf die Publikationen wird an den entsprechenden Stellen verwiesen.

Teil I

Theoretischer Teil

1 Entwicklung mathematischen Verständnisses: Fachdidaktische und psychologische Perspektiven Gerade die Positionierung der Mathematikdidaktik zwischen Mathematik und Erziehungswissenschaft/Psychologie birgt großes Potential für die Gestaltung von Lernmaterialien und Lernumgebungen. Vollstedt, Ufer, Heinze und Reiss (2015, S. 573) Überblick

In diesem Kapitel werden fachdidaktische und psychologische Perspektiven über die Entwicklung des Verständnisses abstrakter mathematischer Konzepte diskutiert. Dabei wird aufbauend auf Piagets Theorie der kognitiven Entwicklung (Abschnitt 1.1) die Conceptual Change-Theorie (Abschnitt 1.2), insbesondere ihre Interpretation im Sinne des Rahmentheorieansatzes, als psychologische Perspektive erläutert und ihre Bedeutung für das Lernen von Mathematik kritisch diskutiert. Im Anschluss wird mit der Betrachtung von Grundvorstellungen (Abschnitt 1.3) ein fachdidaktischer Blickwinkel vorgestellt, der vor allem in der deutschsprachigen Literatur stark vertreten ist. Darüber hinaus werden bisherige Versuche aufgezeigt und hinterfragt, die beiden genannten Theorien zu vereinigen (Abschnitt 1.4). Das Kapitel schließt mit der Vorstellung eines Modells zur Synthese fachdidaktischer und psychologischer Perspektiven (Abschnitt 1.5), das eine theoretische Grundlage dieser Arbeit bildet.

1.1 Piagets Theorie der kognitiven Entwicklung Die Erkenntnisse von Jean Piaget über die frühkindliche kognitive Entwicklung können noch immer als grundlegend für unterschiedliche Theorien zur Entwicklung mathematischen Denkens bezeichnet werden (Reiss & Hammer, 2013). Piaget selbst erforschte im Bezug auf die Mathematik die Entwicklung des Zahlbegriffs (z. B. Hasemann & Gasteiger, 2014; Piaget & Szeminska, 1941/1972) und des räumlichen Denkens im Zuge der euklidischen Geometrie (z. B. Hattermann, Kadunz, Rezat & Sträßer, 2015; Piaget, Inhelder & © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 F. Reinhold, Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive, Studien zur theoretischen und empirischen Forschung in der Mathematikdidaktik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-23924-4_2

8

1 Entwicklung mathematischen Verständnisses

Szeminska, 1973/1975; Piaget & Inhelder, 1948/1999). Darüber hinaus halten seine Ansätze bis heute Einzug in zahlreiche Teilbereiche der Mathematikdidaktik (z. B. Aebli, 1985; Dubinsky, 2002; Jahnke & Ufer, 2015; Ojose, 2008; Reiss & Hammer, 2013; E. C. Wittmann, 1985). Piagets Theorie ist eine Stadientheorie, die auf der Annahme einer invarianten Sequenz von vier Entwicklungsstufen basiert, die jeder Mensch durchläuft (Sodian, 2012). Auf diese Phasen der kognitiven Entwicklung wird in diesem Abschnitt mit einem konkreten Bezug zum mathematischen Denken eingegangen. Im Sinne Piagets wird Lernen hier nicht ausschließlich im Sinne eines Reiz-Reaktions-Schemas verstanden, sondern vielmehr als aktive Auseinandersetzung der oder des Lernenden mit seiner Umwelt (Mietzel, 2007). Wissen wird dabei durch die Prozesse der Assimilation und Adaption erworben (Sodian, 2012). Dieser konstruktive Wissenserwerb bildet die Basis zahlreicher aktueller Lerntheorien, vor allem auch in der Mathematikdidaktik (Reiss & Hammer, 2013). Das Gelernte ist in diesem Zusammenhang mehr ein Abbild des gegenwärtigen Verständnisses der oder des Lernenden von der Welt als eine Beschreibung der tatsächlichen Beschaffenheit der Welt (Bond, 2012). Aus heutiger Sicht wird auf der Grundlage weiterführender empirischer Erkenntnisse Piagets Theorie jedoch in vielen Bereichen kritisch hinterfragt. Für eine detaillierte Auseinandersetzung mit den zentralen Kritikpunkten an Piagets Theorie zur kognitiven Entwicklung des Kindes sei an dieser Stelle auf die Arbeit von Lourenço und Machado (1996) allgemein und die Arbeit von Dehaene (1997/1999) speziell im Bezug zur Mathematikdidaktik verwiesen. Exemplarisch werden an dieser Stelle nur einige dieser Kritikpunkte genannt. So wird etwa seine Methode der klinischen Interviews an meist nicht zufällig ausgewählten Kindern kritisch hinterfragt (z. B. Braine, 1962). Weiter wird kritisiert, dass Piaget die Denkleistung von Kindern im Allgemeinen unterschätzt habe (z. B. Dehaene, 1997/1999; Mietzel, 2007; Sodian, 2012). Darüber hinaus werden auch seine konkreten Implikationen für das Lehren und Lernen von Mathematik zum Teil kritisiert, unter anderem da ein striktes Festhalten an den von Piaget angenommenen Entwicklungsstufen zu einer Überforderung der Lernenden im Unterricht führen kann (z. B. Dehaene, 1997/1999; Weaver, 1972). Trotz der Kritik stellt die Beschreibung der vier Phasen kognitiver Entwicklung weiterhin einen wesentlichen Beitrag zum Verständnis frühkindlicher Entwicklung dar (Beilin, 1992; Feldman, 2004; Flavell, 1996), da sie insbesondere „noch immer als einziger zusammenhängender Ansatz für eine Erklärung der Denkentwicklung angesehen werden kann“ (Reiss & Hammer, 2013, S. 29; siehe z. B. auch Sodian, 2012).

1.1.1 Stadientheorie In der folgenden Charakterisierung der vier Hauptstadien geistiger Entwicklung stellen die angegebenen Altersbereiche die von Piaget im Original formulierten Altersangaben dar (Piaget & Inhelder, 1967/2004). Vor dem Hintergrund weiterer psychologischer Erkenntnisse müssen diese konkreten Angaben jedoch relativiert werden und können lediglich als

1.1 Piagets Theorie der kognitiven Entwicklung

9

grobe Grenzen verstanden werden, die sich insbesondere von Kind zu Kind unterscheiden und auch fließend ineinander übergehen können (z. B. Sodian, 2012). 1. Sensomotorische Phase (0-2 Jahre): Die erste Entwicklungsstufe ist durch die Erfahrungen eines Kindes geprägt, die es mit seinen Sinnesorganen und auf Grund seiner motorischen Bewegungen sammelt. Intelligenz tritt in dieser Stufe in Form motorischer Aktivität als Reaktion auf sensorische Reize auf (Sodian, 2012). Diese Phase kognitiver Entwicklung unterteilt Piaget in sechs Stufen, auf die in dieser Arbeit nicht näher eingegangen wird. Empirische Belege legen nahe, dass Kinder in diesem Stadium bereits ein Verständnis für (natürliche) Zahlen und das Zählen entwickeln (Fuson, 1988). 2. Präoperationale Phase (2-7 Jahre): Das kindliche Denken wird in der zweiten Stufe der kognitiven Entwicklung vornehmlich durch Wahrnehmungen beherrscht. Es wird angenommen, dass Kinder nun auf der Basis konkreter beobachteter Handlungen stabile interne Repräsentationen bilden können (Sodian, 2012). Diese Phase ist auch geprägt durch Übergeneralisierungen, die zu Denkfehlern führen, sowie einen kindlichen Egozentrismus im Sinne der Schwierigkeit, sich eine Szene aus der Sicht einer anderen Person vorzustellen (Gerrig, 2014/2015). Weiter wird angenommen, dass Kindern in diesem Stadium die Umkehrung von Operationen nicht gelingen, und sie etwa noch keinen Zusammenhang zwischen der Rechnung 5 + 4 = 9 und ihrer Umkehrung 9 − 4 = 5 herstellen können (Ojose, 2008). 3. Konkret-operationale Phase (7-12 Jahre): Die dritte Phase ist dadurch gekennzeichnet, dass das Denken mehr und mehr durch Logik an Stelle von Wahrnehmung beeinflusst wird. Konkrete Denkoperationen werden dadurch möglich (Mietzel, 2007) und man geht davon aus, dass Kinder nun in der Lage sind, die Reihenfolge kognitiver Verarbeitungsschritte umzukehren (Gerrig, 2014/2015). Weiter wird angenommen, dass Kinder in dieser Entwicklungsstufe nach logischen Regeln denken können, wenn diese einen engen Zusammenhang zu konkreten, also real erfahrbaren, Aktivitäten aufweisen (Mietzel, 2007). Für die Mathematikdidaktik bedeutet dies unter anderem, dass konkrete Hands-on1 -Aktivitäten sowie der beständige Wechsel zwischen unterschiedlichen Repräsentationsebenen in diesem Zusammenhang gewinnbringend für die Entwicklung mathematischen Verständnisses sein können (Burns & Silbey, 2000; Ojose, 2008). 4. Formal-operationale Phase (ab 12 Jahren): Der Beginn der vierten Phase ist geprägt durch die Entwicklung der Fähigkeit zum hypothetischen logischen Denken (Mietzel, 2007). Man geht davon aus, dass Menschen in der formal-operationalen Phase dazu in der Lage sind, Probleme systematisch und auf einer hypothetischen Ebene zu lösen sowie insbesondere konkrete logische Schlussfolgerungen auf ähnliche Problemstellungen übertragen 1 Mit

Hands-on-Aktivitäten sind hier Lerngelegenheiten gemeint, in denen Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit gegeben wird, geeignete Objekte konkret – und insbesondere mit ihren Händen – zu manipulieren.

10

1 Entwicklung mathematischen Verständnisses zu können (Sodian, 2012). Weiter wird angenommen, dass sich der erfolgreiche Übergang von der dritten zur vierten Stufe durch die Analyse der Lösung unterschiedlicher Aufgaben feststellen lässt, von denen an dieser Stelle exemplarisch Piagets Test zum verbalen Denken genannt wird: Dieser Test umfasst Wortprobleme der Struktur „Wenn A > B und A < C , welcher der drei A, B und C ist dann am größten?“ Hier ordnet man ein Kind der konkret-operationalen Phase zu, wenn ihm der korrekte Schluss auf C nur dann gelingt, wenn es sich um sichtbare und real vorhandene Objekte handelt. Kann das Kind sich hingegen die richtige Lösung ohne konkretes Anschauungsmaterial im Kopf erarbeiten, so spricht man ihm die Fähigkeit zum formal-operativen Denken zu (Gerrig, 2014/2015; Piaget, 1961/1969). Dies ermöglicht im Mathematikunterricht die Behandlung abstrakter Probleme, wie etwa die Lösung algebraischer Gleichungen, auch ohne Realkontextbezug (Ojose, 2008).

Grundannahme der Theorie der kognitiven Entwicklung nach Piaget ist dabei die Invarianz der Reihenfolge dieser Entwicklungsstufen (Sodian, 2012). Wie bereits kurz dargestellt kann sich das Entwicklungstempo jedoch von Kind zu Kind unterscheiden, sodass die angegebenen Altersangaben als grobe Richtlinien und nicht als absolute Grenzen interpretiert werden sollen (Lourenço & Machado, 1996). Aus heutiger psychologischer Sicht werden darüber hinaus diese vier Stufen nicht als strikt voneinander getrennt angesehen, sondern eher fließende Übergänge zwischen den Phasen angenommen (Lourenço & Machado, 1996; Sodian, 2012). Piaget verstand die geistige Entwicklung – und damit verbunden den Übergang von einer Entwicklungsstufe in die nächste – als einen Anpassungsprozess des Menschen an die Gegebenheiten der Welt, der durch die Prozesse der Assimilation und Akkommodation geschieht (Gerrig, 2014/2015; Mietzel, 2007; Piaget & Inhelder, 1967/2004; Sodian, 2012), auf die im nächsten Abschnitt eingegangen wird.

1.1.2 Assimilation und Akkommodation Nach Piaget ist Wissen in Schemata unterteilt (z. B. Gerrig, 2014/2015). Diese individuell unterschiedlichen Grundbausteine des Wissens und Verhaltens bestehen sowohl aus eng miteinander vernetzten Begriffen, als auch aus reproduzierbaren Handlungsabläufen, die sich einen gemeinsamen Bedeutungskern teilen und dadurch in sich logisch sind (Mietzel, 2007; Piaget & Inhelder, 1967/2004). Menschen rufen spezifische Schemata ab, um beobachtete Phänomene zu verstehen und geeignet auf sie zu reagieren (z. B. Gerrig, 2014/2015). Beispielsweise kann ein Kind vor dem schulischen Geometrieunterricht bereits ein Schema Viereck entwickelt haben, das die Eigenschaften ‚hat vier Ecken‘ und ‚hat vier Seiten‘ und die Handlung ‚kann mit einem Lineal gezeichnet werden‘ enthält. Dieses Schema kann auch reale Objekte wie ‚Fenster‘ oder ‚Türen‘ beinhalten. Dadurch, dass in der realen Welt viele Vierecke tatsächlich Rechtecke sind, kann dem Schema auch die Eigenschaft ‚hat vier rechte Winkel‘ zugeordnet sein. Es ist ein Aspekt der kognitiven Entwicklung eines Menschen, dass diese Schemata in ihrer Anzahl und Komplexität zunehmen (z. B. Mietzel, 2007). Piaget und Inhelder (1967/

1.2 Conceptual Change-Theorie

11

2004) gehen dabei davon aus, dass die Entwicklungen durch zwei unterschiedliche – grundsätzlich aktive – Handlungen erfolgen können: Der Prozess der Assimilation bezeichnet das Einordnen neuer Informationen in ein bereits bestehendes Schema. Hierbei werden neue Wahrnehmungen teilweise angepasst und verallgemeinert, um sie in ein passendes Schema eingliedern zu können (z. B. Gerrig, 2014/2015). Lässt sich jedoch eine Beobachtung auch nach einer eventuellen Modifikationen in kein bestehendes Schema assimilieren, entsteht ein kognitiver Konflikt, der nur dadurch gelöst werden kann, dass ein bereits bestehendes Schema modifiziert oder ein neues Schema ausgebildet wird. In diesem Prozess der Akkommodation passt sich also umgekehrt der Lernende an die veränderten Gegebenheiten der Welt an (z. B. Sodian, 2012). Piaget geht weiter davon aus, dass Kinder während ihrer kognitiven Entwicklung notwendigerweise nach einem Gleichgewichtszustand zwischen Assimilation und Akkommodation streben – also einem ausgeglichenen Verhältnis von Anpassungen der Welt an eigene Schemata und umgekehrt. Einseitiges Assimilieren würde die Unterscheidung ähnlicher Objekte erschweren, einseitiges Akkommodieren das Erkennen von Gemeinsamkeiten unterschiedlicher Objekte (z. B. Mietzel, 2007). Auf das Schema Viereck bezogen, können Rechteck und Quadrat problemlos in das bestehende Schema assimiliert werden. Für Trapeze, Parallelogramme oder Rauten muss das bestehende Schema modifiziert werden: Vierecke mit rechten Winkeln bilden eine Unterkategorie von allgemeinen Vierecken. Darüber hinaus können innerhalb des Schemas Viereck weitere Kategorien gebildet werden, etwa über gleiche Seitenlängen, oder parallele Seiten. Das primitive und auf Alltagserfahrungen beruhende ursprüngliche Schema kann sich so sowohl über Assimilations- als auch über Akkomodationsprozesse hin zu einer korrekten geometrischen Interpretation weiterentwickeln.

1.2 Conceptual Change-Theorie Piagets grundlegende Erkenntnisse über die frühkindliche kognitive Entwicklung bilden das Fundament für zahlreiche weitere psychologische Entwicklungen. In vielen Bereichen des Lernens kann Piagets Interpretation von frühkindlichen Lernprozessen als das Streben nach einem Gleichgewicht von Assimilation und Akkommodation jedoch an ihre Grenzen stoßen. In diesem Zusammenhang kann der durch Kuhn (1970) geprägte Begriff der wissenschaftlichen Revolution (en.: scientific revolution) als Einleitung eines Paradigmenwechsels in der Lernpsychologie bezeichnet werden: In bestimmten – meist naturwissenschaftlichen – Fachgebieten ist ein Wissenszuwachs durch eine bloße Anreicherung von Wissen und das Anknüpfen an Vorwissen nicht mehr möglich. Tiefgreifenderes Verständnis für komplexe Phänomene erfordert ein zum Teil radikales Um- und Überdenken bestehender Wissenskonzepte. Bestimmtes Vorwissen kann sich für einen Lernprozess gar als hinderlich erweisen, wenn an ihm strikt festgehalten wird. Diese Gedanken leiten die Entwicklung einer neuen Theorie ein, die – entgegen Piagets Idee der Akkommodation – den Fokus nicht auf etwaig vorhandene logische Strukturen legt, sondern sich mit den konkreten Konzepte und Ideen befasst, die den Vorstellungen und Fehlvorstellungen von Schülerin-

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1 Entwicklung mathematischen Verständnisses

nen und Schülern tatsächlich zu Grunde liegen (Driver & Easley, 1978). Dies bildet den Ausgangspunkt der Conceptual Change-Theorie, insbesondere im Bereich des mathematischnaturwissenschaftlichen Unterrichts (Duit, 1999; Posner, Strike, Hewson & Gertzog, 1982; M. Schneider, Vamvakoussi & Van Dooren, 2012; Vosniadou, 1994). Conceptual Change beschreibt Lernprozesse in Bereichen, in denen eine fundamentale Neuordnung des Vorwissens notwendig ist, um neues Wissen zu verstehen: We use the term Conceptual Change for learning in such domains where the pre-instructional conceptual structures of the learners have to be fundamentally restructured in order to allow understanding of the intended knowledge ... . (Duit & Treagust, 2003, S. 673) Ein oft zitiertes Beispiel, das diesen Sachverhalt verdeutlicht, beschreibt die Probleme von Grundschülerinnen und Grundschülern bei der Entwicklung eines wissenschaftlich tragfähigen Konzepts der kugelförmigen Erde sowie insbesondere die Schwierigkeiten, die die Vorstellung einer flachen Erde in diesem Lernprozess mit sich bringt (Vosniadou, 1994). Jedoch beschränken sich derartige Probleme nicht auf den Bereich der Physik. Vor allem auch in der Mathematik können Lerngegenstände identifiziert werden, die strukturell ähnliche Probleme zwischen bestehendem Vorwissen und dem neu zu vermittelndem Wissen aufweisen. Insbesondere stellen Zahlbereichserweiterungen und die damit verbundene neue, bzw. veränderte Rolle von Zahlen ein Problemfeld dar, in der die Conceptual ChangeTheorie vielversprechende Ansätze für die Interpretation von Fehlern liefern kann (z. B. Van Hoof, Vandewalle, Verschaffel & Van Dooren, 2015; Vamvakoussi & Vosniadou, 2004).

1.2.1 Arten von Conceptual Change Im Zuge der bisherigen Entwicklung der Conceptual Change-Theorie haben sich der Rahmentheorieansatz (Vosniadou, 1994) und der Kategorisierungsansatz (Chi, 1992) als grundlegend unterschiedliche Strömungen ausgebildet. Der Rahmentheorieansatz (en.: framework theory) von Vosniadou (1994) geht davon aus, dass Menschen bereits in der frühen Kindheit stimmige Erklärungssysteme – mentale Modelle2 – für ihre alltäglichen Beobachtungen ausbilden. Diese subjektiven Rahmentheorien (en.: frameworks) sind untereinander stark vernetzt und verbinden tatsächliche Erfahrungen mit ontologischen3 und epistemologischen4 Überzeugungen (Lehtinen, Hak2 Unter mentalen

Modellen werden individuelle interne Repräsentationen meist komplexer Sachverhalte verstanden, die Wissen analog repräsentieren (Johnson-Laird, 1983/1990). Sie können im Sinne des integrativen Modells des Text- und Bildverstehens als depiktionale interne Repräsentationen verstanden werden (Schnotz und Bannert, 1999, 2003; siehe auch Abschnitt 3.4 für eine ausführliche Darstellung). 3 Als ontologisch werden Überzeugungen davon verstanden, wie Wissenskonzepte nach bestimmten individuell unterschiedlichen Kriterien klassifiziert und zueinander in Beziehung gesetzt werden. Tiefgehendere Ontologien enthalten darüber hinaus auch axiomatische Beschränkungen von Konzepten, die ihre Gültigkeitsbereiche charakterisieren (Pirnay-Dummer, 2012). 4 Als epistemologisch werden konkrete persönliche Überzeugungen über spezielle Dimensionen von Wissen bezeichnet, wie etwa dessen Gewissheit, Einfachheit, Ursprung und Berechtigung (Schraw, Olafson & VanderVeldt, 2012).

1.2 Conceptual Change-Theorie

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karainen & Palonen, 2014; Stark, 2003; Vosniadou, 2001). Dabei werden zwei Arten von Konzeptwechseln unterschieden: Lässt sich das neue Wissen konsistent in bestehende Rahmentheorien eingliedern, so spricht man von einer Anreicherung (en.: enrichment5 ) der bestehenden Rahmentheorie. Dies kann als ein weitgehend leicht zu bewerkstelligenden Lernprozess für Schülerinnen und Schüler bezeichnet werden (Vosniadou, 1994). Eine komplexere Überarbeitung (en.: revision5 ) einer gefestigten Rahmentheorie erscheint dann notwendig, wenn neue Informationen diskrepant zu bisher tragfähigen Konzepten sind. Es erscheint plausibel davon auszugehen, dass sich bestehende Rahmentheorien als sehr resistent gegenüber diesen Überarbeitungen (Vosniadou & Brewer, 1992) erweisen können, nicht zuletzt da ihre Grundlage ontologische und epistemologische Überzeugungen sind (Stark, 2003). Infolgedessen wird angenommen, dass ein solcher Überarbeitungsprozess – weg von einem bestehenden Konzept und hin zu einem neuen, tragfähigen Konzept – nur langsam und schrittweise erfolgen kann. Gelingt diese Überarbeitung jedoch nicht und werden stattdessen in bestehenden Konzepten inkonsistente Erkenntnisse eingegliedert, so können synthetische Modelle entstehen (z. B. Vosniadou & Skopeliti, 2013). Diese werden als Grund für vielfältige Fehlvorstellungen gesehen: [M]any misconceptions are formed precisely because learners have the tendency to enrich their prior knowledge with new information even when this information is totally incompatible with what they already know. (Vosniadou & Vamvakoussi, 2006, S. 58) Der Rahmentheorieansatz ist Grundlage zahlreicher empirischer Untersuchungen in der Mathematikdidaktik (z. B. Merenluoto & Lehtinen, 2000, 2002b; Merenluoto, 2003; Vamvakoussi & Vosniadou, 2004), insbesondere der Didaktik der Bruchrechnung (z. B. Obersteiner, Van Hoof und Verschaffel, 2013; Obersteiner, Van Hoof, Verschaffel und Van Dooren, 2015; Prediger, 2008; Van Hoof et al., 2015; siehe auch Abschnitt 2.2 für eine detaillierte Darstellung). Der in der mathematikdidaktischen Forschung weniger verbreitete Kategorisierungsansatz (en.: ontological shift theory) von Chi (1992) folgt einem anderen Zugang zu Konzeptwechseln. Hier wird angenommen, dass Lernende erworbene Konzepte in genau einer ontologischen Kategorien verorten: Dinge (en.: matter), Prozesse (en.: events) und mentale Zustände (en.: abstractions), die jeweils noch in Subkategorien unterteilt sind (Chi, 1992). Weiter wird davon ausgegangen, dass durch diese Zuordnung allen Konzepten auch die Charakteristika der übergeordneten Kategorie zugesprochen werden (Stark, 2003). Ordnen Kinder etwa den elektrischen Strom zunächst fälschlicherweise als „Ding“ und nicht als Prozess ein, so kann dies dazu führen, dass sie ihm auch materielle Eigenschaften zuweisen (Chi, Slotta & de Leeuw, 1994), z. B. eine Farbe. Chi (1992) spricht dann von Conceptual 5 Die

hier aufgeführten englischen Begriffe entsprechen den von Vosniadou (1994) verwendeten Begrifflichkeiten. Unterschiedliche Autoren benennen diese Konzeptwechsel jedoch grundlegend verschieden. So wird der Begriff enrichment auch weak knowledge restructuring, assimilation oder conceptual capture genannt. Für revision werden die Synonyme strong knowledge restructuring, radical knowledge restructuring, accommodation oder conceptual exchange gebraucht (Duit & Treagust, 2003, S. 672).

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1 Entwicklung mathematischen Verständnisses

Change, wenn ein Konzept, das zunächst in einer der drei ontologischen Kategorien verortet ist, entweder innerhalb dieser Kategorie in eine andere Subkategorie verschoben oder sogar in eine der anderen Kategorien übergeführt werden muss, um Fehlattribuierungen dieser Art zu vermeiden. Insbesondere fokussiert der Kategorisierungsansatz auf derartige ontologische Unterschiede von Konzepten (Vosniadou & Skopeliti, 2013). Er liefert daher vielversprechende Erklärungen für Probleme von Schülerinnen und Schülern in weiten Teilen des naturwissenschaftlichen Unterrichts, in denen sich konkrete Fehlvorstellungen etwa auf die fehlerhafte Attribuierung materieller Eigenschaften auf nicht-materielle Konzepte zurückführen lassen, wie etwa den Fachbereich Physik (z. B. Chi et al., 1994). Jedoch erscheint der Kategorisierungsansatz aus ebendiesem Grund für die Mathematikdidaktik – insbesondere im Zusammenhang mit Zahlbereichserweiterungen – weniger gewinnbringend, da sich belegbare Schwierigkeiten der Lernenden hier nicht alleine durch die Zuordnung in ontologische Kategorien erklären lassen, wie im weiteren Verlauf dieser Arbeit ausgeführt wird (vgl. Abschnitt 2.2). Daher wird der Kategorisierungsansatz hier nicht tiefgehender betrachtet. Für einen detaillierteren Vergleich dieser beiden unterschiedlichen Ausrichtungen der Conceptual Change-Theorie sei an dieser Stelle auf die Arbeiten von Stark (2003) und Lehtinen et al. (2014) verwiesen.

1.2.2 Bedingungen für einen Konzeptwechsel Der Prozess des Konzeptwechsels hat sich in empirischen Studien als äußerst herausfordernd herausgestellt (z. B. Vamvakoussi & Vosniadou, 2004). Selbst nach langjährigem und wiederholtem Umgang mit adäquaten Konzepten scheinen Menschen bei mathematischen Entscheidungsfindungen durch frühere, längst überholte Konzepte beeinflusst zu werden (Obersteiner et al., 2013). Daher stellt sich die Frage, wie die Abkehr von nicht mehr tragfähigen Konzepten gelingen kann, insbesondere wenn sie sich im alltäglichen Leben häufig als praktikabel erwiesen haben. In diesem Zusammenhang formulieren Posner et al. (1982) vier Bedingungen, die einen Konzeptwechsel bei Schülerinnen und Schülern begünstigen können: 1. Unzufriedenheit mit etablierten Konzepten: Schülerinnen und Schüler sollen die Grenzen ihrer bisher stets tragfähigen Konzepte selbst erfahren, d. h. sie sollen sich mit Aufgaben konfrontiert sehen, die unter Verwendung ihrer bewährten Konzepte nicht lösbar sind. Diese erste Bedingung hat große Ähnlichkeit mit der Erzeugung eines kognitiven Konfliktes im Sinne Piagets. 2. Verständlichkeit der neuen Konzepte: Die neuen Konzepte sollen den Schülerinnen und Schülern derart vermittelt werden, dass sie die ihnen zugrunde liegenden meist vielfältigen Möglichkeit erkennen und begreifen können. 3. Glaubwürdigkeit der neuen Konzepte: Die neu dargebotenen Konzepte müssen den Schülerinnen und Schülern von Anfang an plausibel erscheinen. Dies bedeutet einerseits, dass ihre Verwendung zu einer Lösung von bisher nicht lösbaren Problemen führen

1.2 Conceptual Change-Theorie

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soll und andererseits, dass sie Anknüpfungspunkte zu persönlichen Erfahrungen der Schülerinnen und Schülern aufweisen sollen. 4. Einsetzbarkeit der neuen Konzepte in einem breiteren Kontext: Es soll sich den Schülerinnen und Schülern erschließen, dass die neuen Konzepte die Möglichkeit eröffnen, sich mit weiteren und tiefergehenden Fragestellungen zu beschäftigen. Diese Bedingungen bilden den Rahmen für konkrete Interventionsmaßnahmen, die in der Conceptual Change-Theorie zu verorten sind.

1.2.3 Weiterentwicklung der ursprünglichen Theorie Die Conceptual Change-Theorie in der ursprünglichen Form nach Posner et al. (1982) ist ein psychologischer Ansatz um Denkstrukturen und Lernprozesse zu beschreiben, der international insbesondere in der empirischen Bildungsforschung Grundlage für Forschungsfragen und Interventionsstudien bildet. Im Zuge wissenschaftlicher Diskussionen wird die Conceptual Change-Theorie aus der Perspektive unterschiedlicher Fachdisziplinen auch kritisch betrachtet (Vosniadou, 2007). Im Folgenden werden exemplarisch einige dieser Kritikpunkte und ihre Auswirkungen speziell auf das wissenschaftliche Feld der mathematikdidaktischen Forschung diskutiert. Aufgrund des weitläufigen Disputs über Conceptual Change kann an dieser Stelle jedoch kein Anspruch auf Vollständigkeit erhoben werden. Für eine weiterführende Auseinandersetzung mit Kritik an der ursprünglichen Theorie sei auf die Arbeit von Vosniadou (2007) verwiesen. Der von Posner et al. (1982) formulierte Grundgedanke der ursprünglichen Conceptual Change-Theorie beschreibt den Prozess der Veränderung von Wissensstrukturen als rein kognitiv. Aus der Sicht einer situierten Lerntheorie wird dieser Prozess gerade in konkreten Unterrichtssituationen jedoch nicht als individuell und rein kognitiv betrachtet, sondern vielmehr als komplexer sozio-kultureller Vorgang gesehen, der durch die Interaktionen mit Mitschülern, kulturelle Hintergründe und den schulischen Kontext beeinflusst werden kann (Caravita & Halldén, 1994). Insbesondere die Grundannahme von Posner et al. (1982), Schülerinnen und Schüler würden sich in Unterrichtssituationen wie rein rational denkende Forscherinnen und Forscher verhalten, wird aus einer motivational-orientierten Perspektive als einseitig und unzureichend kritisiert: The assumption that students approach their classroom learning with a rational goal of making sense of the information and coordinating it with their prior conceptions may not be accurate. Students may have many social goals in the classroom context besides learning ... which can short circuit any in-depth intellectual engagement. (Pintrich, Marx & Boyle, 1993, S. 173) Weiter wird in diesem Zusammenhang aus einer situierten Perspektive auf das Unterrichtsgeschehen angenommen, dass ein ausschließlich kognitiv vollzogener Konzeptwechsel nur temporär geschieht und erst mit einem Wechsel der zu Grunde liegenden Einstellung

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1 Entwicklung mathematischen Verständnisses

gegenüber ursprünglich vorhandenen Überzeugungen ein Wechsel zu einem elaborierten Konzept dauerhaft erfolgen kann (Sinatra & Dole, 1998). Zusammenfassend lassen sich diese Kritikpunkte als eine Forderung danach beschreiben, die Conceptual Change-Theorie um den Einfluss affektiver Strukturen neben kognitiven Merkmalen zu erweitern. Der Rahmentheorieansatz kann als Weiterentwicklung in diesem Sinn bezeichnet werden: Konzepte sind in dieser Auffassung mit epistemologischen Überzeugungen verbunden, die neben der Präsentation eines einzelnen unlösbaren Problems ebenfalls kontrastiert werden müssen, damit Schülerinnen und Schüler die Ungültigkeit eines bestehenden Konzeptes akzeptieren können. In diesem Zusammenhang werden persönlichen Meinungen und Einstellungen gegenüber den früheren wie den intendierten Konzepten eine zentrale Rolle für das Gelingen von Konzeptwechseln eingeräumt (Stark, 2003; Vosniadou, 2007) Darüber hinaus wird auch die Defizit-Ausrichtung der Conceptual Change-Theorie kritisiert, die zu zwei grundlegenden Kritikpunkten führt. So wird etwa Kritik an der Auffassung von Vorwissen als Fehlvorstellungen geübt, die dem Lernprozess im Weg stehen können, ersetzt werden sollen und sich als resistente Fehlvorstellungen nur schwer korrigieren lassen. Dies widerspricht der Idee des Konstruktivismus6 , in dem Vorwissen eine nützliche Rolle als Basis und Ausgangspunkt von Lernprozessen zugewiesen wird (Smith, diSessa & Roschelle, 1994). Auch in diesem Zusammenhang kann der Rahmentheorieansatz als Weiterentwicklung der ursprünglichen Conceptual Change-Theorie interpretiert werden, in dem die notwendigerweise zu überarbeitenden Konzepte nicht als Fehlvorstellungen, sondern als bereichsspezifische und laienhafte Theorien aufgefasst werden: The framework theory approach also considers Conceptual Change as domain specific theory change. Unlike the classical approach, however, the theories that need to be changed are not students’ misconceptions, but the naïve, intuitive, domain-specific theories constructed on the basis of everyday experience under the influence of lay culture. (Vosniadou, 2007, S. 58) Insbesondere wird im Rahmentheorieansatz zwischen vorgefassten Meinungen (en.: preconceptions) und tatsächlichen Fehlvorstellungen (en.: missconceptions) unterschieden. Dabei bezeichnen vorgefasste Meinungen erste Ideen, die Schülerinnen und Schüler auf der Basis ihrer alltäglichen Erfahrungen laienhaft entwickeln, um beobachtete Phänomene zu erklären bevor sie in diesem Thema unterrichtet werden. Im Gegensatz dazu können Schülerinnen und Schüler Fehlvorstellungen zu einem Phänomen nach dem Unterricht entwickeln, etwa wenn sie zu ihren vorgefassten Meinungen inkonsistente Erkenntnisse in ihre bestehenden Konzepte eingliedern, ohne diese zu überarbeiten und so ein synthetisches Modell der Wirklichkeit entwickeln (Vosniadou, 2012). 6 Eine Grundannahme konstruktivistischer

Lerntheorien ist, dass die Ausbildung von Verständnis über die Vernetzung neuer Informationen mit dem Vorwissen der Lernenden geschieht. Individuellem Wissen, persönlichen Überzeugungen und Fähigkeiten wird dabei eine besondere Rolle zugeschrieben. (Gogus, 2012)

1.2 Conceptual Change-Theorie

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1.2.4 Kritische Betrachtung der Conceptual Change-Theorie aus einer mathematikdidaktischen Perspektive Auch wenn – wie im vorhergehend Abschnitt dargelegt – einige der Kritikpunkte an der Conceptual Change-Theorie durch Vosniadous Weiterentwicklung hin zum Rahmentheorieansatz entkräftet werden können, bleiben weitere kritische Äußerungen, die insbesondere auf den Bereich der Mathematikdidaktik weitreichende Auswirkungen haben können, dadurch zunächst unbeantwortet. Die für diese Arbeit zentral erscheinenden Punkte werden nachfolgend dargestellt und diskutiert. Die Conceptual Change-Theorie beschreibt die Notwendigkeit der Überarbeitung bestehender Konzepte, die aus einer elaborierteren Perspektive als falsch zu bezeichnen sind. Jedoch erweisen sich im Zuge des Lernens wissenschaftlicher Sachverhalte frühere Konzepte zum Teil nicht als allgemein ungültig, sondern vielmehr als in einem breiteren Kontext nicht mehr gültig. Dies trifft im Fachbereich Mathematik unter anderem auf Konzepte zu, die Schülerinnen und Schüler im Laufe ihrer Ausbildung intendiert entwickeln. Dieser Unterscheidung von allgemein ungültigen und nur eingeschränkt gültigen ursprünglichen Konzepten wird in bisherigen Untersuchungen zur Conceptual Change-Theorie nicht immer die notwendige Bedeutung zugewiesen (Pozo, Sanz & Gomez, 1999; Spada, 1994). Fehler können unter diesem Gesichtspunkt nicht nur dann geschehen, wenn Schülerinnen und Schüler grundlegend falsche Konzepte verwenden, sondern darüber hinaus auch, wenn sie bestehende Konzepte fälschlicherweise über ihren eingeschränkten Gültigkeitsbereich hinaus verwenden. Insbesondere erscheint es plausibel anzunehmen, dass sich eingeschränkt gültige Konzepte gerade deshalb als resistent gegen Veränderung erweisen, weil sie sich im Alltag als funktional zeigen und nur in einem neuen und breiteren – meist schulischen und wissenschaftlichen Kontext – ihre Tragfähigkeit verlieren (Smith et al., 1994). Dieser Sachverhalt kann durch die direkte Gegenüberstellung zweier häufig diskutierter Konzeptwechsel aus den Bereichen der Mathematik und der Physik verdeutlicht werden. Ein Grund für Fehler, die in Folge der Zahlbereichserweiterung von den natürlichen Zahlen zu den rationalen Zahlen auftreten können, ist die Übergeneralisierung der Vorstellung „Multiplizieren vergrößert“ (Stafylidou & Vosniadou, 2004). Es ist etwa 21 · 41 = 81 und damit der Wert des Produktes kleiner als beide Faktoren. „Multiplizieren vergrößert“ kann daher nicht als tragfähiges Konzept für die Multiplikation von Brüchen bezeichnet werden. Jedoch behält es – auch nach der Überarbeitung in ein für die Multiplikation von Bruchzahlen gültiges Konzept – seine Gültigkeit für natürliche Faktoren. Dieses Beispiel unterscheidet sich daher grundlegend von klassischen Beispielen für Konzeptwechsel in der naturwissenschaftlichen Bildung: Die frühkindliche und naive Vorstellung einer flachen Erde, die auf der Grundlage alltäglicher Beobachtungen erwächst und im Zuge des Physikunterrichts durch die Vorstellung einer kugelförmigen Erde als Planet im Universum ersetzt werden soll, erweist sich danach auch in einem eingeschränkten Kontext als ungültig (Vosniadou & Brewer, 1992). Dieser Vergleich zeigt, dass der Konzeptwechsel im Fachbereich der Mathematik als weit anspruchsvollerer Prozess bezeichnet werden kann als in naturwissenschaftlichen Unterrichtsfächern.

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1 Entwicklung mathematischen Verständnisses

Eine solche Verwendung bestehender Konzepte über ihren Gültigkeitsbereich hinaus kann gerade im Zuge der Zahlbereichserweiterung von den natürlichen Zahlen hin zu rationalen Zahlen ein zentrales Problem der Lernenden darstellen. Diese Problematik beschränkt sich insbesondere nicht auf den „im Alltag kaum relevanten Bereich der rationalen und reellen Zahlen“ (Stark, 2003, S. 137) sondern kann in weitreichenden Folgen für die Entwicklung mathematischen Verständnisses resultieren. Hierfür liegen etwa zahlreiche empirische Belege vor, auf die im nächsten Kapitel detailliert eingegangen wird (z. B. Obersteiner et al., 2013; Obersteiner et al., 2015; Prediger, 2008; Van Hoof et al., 2015; Vamvakoussi & Vosniadou, 2004). Es erscheint daher im Zuge des Mathematikunterrichts nicht ausreichend, Konzepte verständlich und glaubwürdig zu vermitteln. Vielmehr kann es sich als gewinnbringend erweisen, die Gültigkeitsbereiche der bestehenden und intendierten Konzepte verständlich und glaubwürdig einzuschränken und voneinander zu trennen, um eine mögliche Ausbildung synthetischer Modelle zu verhindern. In diesem Zusammenhang kann ein Ziel einer umfassenden mathematischen Ausbildung sein, unterschiedliche mentale Repräsentationen zu fördern und die Schülerinnen und Schüler dabei zu unterstützen, die Grenzen der Gültigkeit dieser einzelnen Repräsentationen zu erkennen, um sie so in geeigneten Kontexten erfolgreich verwenden zu können (Spada, 1994). Dieser Sachverhalt wird von der Conceptual Change-Theorie – auch in ihrer Interpretation im Sinne des Rahmentheorieansatzes als Teilaspekt tiefgehend entwickelter ontologischer Überzeugungen – zwar identifiziert, aber bisher eher unzureichend in der für die Mathematikdidaktik notwendigen Relevanz erfasst: Der Rahmentheorieansatz liefert zwar einen profunden psychologischen Hintergrund für die Interpretation von Schülerfehlern, der die Notwendigkeit unterstreicht, diese eingeschränkten Gültigkeitsbereiche mathematischer Konzepte im Unterricht konkret zu thematisieren. Offen bleibt jedoch die Frage, wie diese Abgrenzung in konkreten Unterrichtssituationen geschehen soll. Bisherige Arbeiten zur Conceptual Change-Theorie innerhalb der Mathematikdidaktik fokussieren mehr auf die Diagnose von Schülerfehlern, als auf eine ebensolche konkrete Entwicklung von Lernumgebungen: Zwar lassen sich aus der Conceptual Change Theorie [sic] Hinweise für die Gestaltung von Lernumgebungen ableiten, sie stellt aber keinen Leitfaden für deren Entwicklung dar. Vielmehr liegt deren Bedeutung stärker bei der Gestaltung von Interventionsstudien, bei denen sich methodische und didaktische Entscheidungen für Begriffsentwicklungen theoriegestützt begründen lassen. (Weigand, 2015, S. 263) Hier erscheinen fachdidaktische Erkenntnisse als vielversprechende Ergänzung dieser psychologischen Sichtweise. Unter dem Gesichtspunkt eingeschränkter Gültigkeitsbereiche kann auch der Erzeugung eines kognitiven Konfliktes als initialem Faktor des Conceptual Change-Prozesses eine zum Teil veränderte Rolle zukommen. So zeigen Untersuchungen, dass die Konfrontation mit Informationen, die bisherigen Überzeugungen widersprechen, bei Schülerinnen und Schülern nicht zwangsläufig zur notwendigen Überarbeitung eines bestehenden Konzeptes

1.2 Conceptual Change-Theorie

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führt. Insbesondere konnten weitere gängige Schülerstrategien zum Umgang mit diesen Informationen identifiziert werden, wie etwa das Ignorieren oder gar Bezweifeln dieser Fakten, das Ausschließen dieser Fakten aus dem Kontext bestehender Konzepte (Chinn & Brewer, 1993) sowie die Ausbildung synthetischer Modelle (Vosniadou & Skopeliti, 2013). Diese kritischen Äußerungen erscheinen im Kontext der Mathematikdidaktik von Bedeutung: Versteht man Konzeptwechsel mathematischer Inhalte nicht ausschließlich als Überarbeitung bestehender Konzepte, sondern insbesondere als Einschränkung der Gültigkeit bestehender Konzepte auf bestimmte Voraussetzungen in Verbindung mit der Ausbildung intendierter Konzepte, die einen weitläufigeren Gültigkeitsbereich haben, so kann sich auch die Rolle von kognitiven Konflikten zu Beginn des Lehr-Lernprozesses verändern. Sie sollen so konstruiert sein und derart thematisiert werden, dass sie die Unzufriedenheit mit den etablierten Konzepten (Posner et al., 1982) nicht in einer allgemeinen Ungültigkeit dieser Konzepte begründen, sondern vielmehr den Fokus der Schülerinnen und Schüler auf die veränderten mathematischen Rahmenbedingungen legen, die dazu führen, dass bestehende Konzepte in breiteren Kontexten nicht mehr gültig sind (Limón, 2001). Der Rahmentheorieansatz geht auf die dargestellte Notwendigkeit zwar ein, indem fundamentale Veränderungen der Vorstellungen von Schülerinnen und Schülern sowie ihrer ontologischen und epistemologischen Überzeugungen als notwendige Voraussetzungen gelungener Konzeptwechsel bezeichnet werden (Vosniadou, 2012), jedoch liefern bisherige empirische Untersuchungen hierzu nur unzureichend Antworten darauf, wie dies im Detail geschehen kann oder soll. Ein weiterer Kritikpunkt am Rückgriff auf die Conceptual Change-Theorie innerhalb mathematikdidaktischer Forschung und Entwicklung hebt den dialektischen Unterschied in der Beschaffenheit mathematischer Konzepte hervor (z. B. Prediger, 2008), der zunächst am bereits verwendeten Beispiel der Multiplikation erläutert werden soll. Ergebnisse empirischer Untersuchungen zeigen, dass ‚Multiplizieren vergrößert‘ (z. B. Stafylidou & Vosniadou, 2004) und ‚Multiplizieren bedeutet wiederholtes Addieren‘ (z. B. Padberg & Büchter, 2015) zwei gängige Konzepte zur Multiplikation vor der Behandlung der rationalen Zahlen sind. Beide Konzepte entstammen den Erfahrungen der Schülerinnen und Schüler im Umgang mit natürlichen Zahlen. Beide Konzepte verlieren ihre allgemeine Gültigkeit im Kontext rationaler Zahlen. So ist etwa 21 · 41 = 81 und damit – wie bereits erwähnt – das Ergebnis des Produktes kleiner als seine beiden Faktoren. Ebenso lässt sich der Vorgang dieser Multiplikation nicht als wiederholtes Addieren interpretieren. Der Multiplikator 21 kann nicht mehr verwendet werden, um Teilmengen zu zählen, da er keine natürliche Zahl ist und damit nicht kardinal interpretiert werden kann. Jedoch besteht ein grundlegender Unterschied dieser beiden Konzepte in ihrer Beschaffenheit: ‚Multiplizieren vergrößert‘ beschreibt eine mathematische Regel, während ‚Multiplizieren bedeutet wiederholtes Addieren‘ eine übliche Vorstellung dieser mathematischen Operation darstellt (Prediger, 2008), die als – meist ikonische – Beschreibung des Vorgangs der Multiplikation verwendet wird, um dieser abstrakten Rechenoperation in der Primarstufe eine Bedeutung zuzuordnen (Padberg & Büchter, 2015). Trotz der Diskrepanz dieser beiden ursprünglichen Konzepte erweisen sie sich in empirischen Untersuchungen als eng miteinander verbunden. Insbe-

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1 Entwicklung mathematischen Verständnisses

sondere konnte gezeigt werden, dass Schülerinnen und Schüler ein Konzeptwechsel hin zu einem tragfähigen Konzept für die Multiplikation von Brüchen eher gelingt, wenn sie beide früheren Konzepte überarbeitet haben (z. B. Barash & Klein, 1996; Fischbein, Deri, Nello & Marino, 1985). Unter diesem Gesichtspunkt kann eine einseitige Konzentration auf die Überarbeitung regelbasierter Konzepte als eher unzureichend bezeichnet werden. Vielmehr sollen im Zuge der Entwicklung tragfähiger Konzepte im Bereich der Mathematik auch individuelle Vorstellungen der Schülerinnen und Schüler, die ihre Interpretation bestehender mathematischer Vorgänge widerspiegeln, berücksichtigt werden (Prediger, 2008). Diesen individuellen Vorstellungen wurde in bisherigen Arbeiten zur Entwicklung eines Bruchzahlverständnisses im Zuge des Rahmentheorieansatzes nur unzureichend Beachtung geschenkt (z. B. Prediger, 2008; Pintrich et al., 1993). Zusammenfassend lassen sich die folgenden offenen Punkte für die Anwendung der Conceptual Change-Theorie im Sinne des Rahmentheorieansatzes innerhalb von Forschung und Entwicklung der Mathematikdidaktik formulieren: Eine Interpretation von Konzeptwechseln im Sinne der Einschränkung von Gültigkeitsbereichen und Ausarbeitung neuer weitreichenderer Konzepte wurde in bisherigen Arbeiten kaum mit der für die Mathematikdidaktik notwendigen Relevanz betrachtet. Weiter lassen sich aus der Theorie selbst heraus eher unzureichend konkreten Lernziele formulieren, wie diese neuen Konzepte aussehen können, bzw. wie sie vermittelt werden sollen und wie eine solche Trennung von Gültigkeitsbereichen verständlich gemacht werden kann. Dies sollte jedoch nicht als Mangel der Conceptual Change-Theorie aufgefasst werden, sondern dürfte vielmehr auf ihre breite psychologische Ausrichtung zurückzuführen sein, die unabhängig von Unterrichtsfächern oder gar konkreten Themenbereichen Schwierigkeiten beim Lernen erklären kann. Weiter werden individuelle Vorstellungen mathematischer Konzepte zwar innerhalb der Theorie erfasst, jedoch wurde in bisherigen Forschungsarbeiten der Fokus eher auf mathematische Regeln und nicht auf diese Vorstellungen gelegt. Die Bedeutung dieser individuellen Vorstellungen kann aus einer fachdidaktischen Perspektive jedoch hervorgehoben werden. Zur Ausarbeitung konkreter Unterrichtssituationen erscheint es daher plausibel, die Conceptual Change-Theorie um eine auf die Mathematik und ihre Fachdidaktik bezogene Perspektive zu ergänzen. An dieser Stelle können etwa präzise formulierte Grundvorstellungen als gewinnbringende mathematikdidaktische Ergänzungen interpretiert werden. Begriffsklärung

Im weiteren Verlauf der Arbeit ist mit Conceptual Change stets die Interpretation im Sinne des Rahmentheorieansatzes von Vosniadou (1994) gemeint.

1.3 Grundvorstellungen mathematischer Inhalte In diesem Abschnitt wird die eben angesprochene intuitive Dimension mathematischen Wissens im Sinne von individuellen Vorstellungen zu abstrakten Inhalten genauer betrachtet. Sie umfasst Ideen und Ansichten bezüglich mathematischer Begriffe und Prozesse sowie

1.3 Grundvorstellungen mathematischer Inhalte

21

die mentalen Modelle, die Menschen nutzen um mathematische Konzepte und formale Operationen mit Bedeutung zu füllen (Fischbein, 1982; Fischbein et al., 1985; Fischbein, 2002). Im Fokus der Mathematikdidaktikerinnen und -didaktiker, die den Begriff Grundvorstellungen (vom Hofe, 1995) vornehmlich im deutschsprachigen Raum geprägt haben, liegt unter anderem die Formulierung ebensolcher konkreter intuitiver Vorstellungen mathematischer Inhalte – im Kontrast zur eben vorgestellten Conceptual Change-Theorie. Grundvorstellungen beschreiben „Elemente der Vermittlung bzw. . . . Objekte des Übergangs zwischen der Welt der Mathematik und der individuellen Begriffsbildung des Lernenden“ (vom Hofe, 1995, S. 98). Dabei wird die Terminologie der Grundvorstellung gleichermaßen für zwei verschiedene Aspekte des Wissens verwendet. Auf der einen Seite bezeichnet man als Grundvorstellungen normativ angemessene Interpretationen mathematischer Inhalte, die in der Absicht vermittelt werden, die Ebene formalen mathematischen Denkens mit Verständnis zu füllen und mit realen Kontexten zu verbinden. Im Bereich der Bruchrechnung lassen sich zahlreiche intendierte Grundvorstellungen formulieren, allen voran die Interpretation eines Bruches als Teil vom Ganzen, auf die im Abschnitt 2.3 detailliert eingegangen wird. Auf der anderen Seite werden damit deskriptiv die konkreten und meist intuitiven Vorstellungen mathematischer Konzepte beschrieben, die Schülerinnen und Schüler tatsächlich besitzen. Im eben verwendeten Kontext der Bruchrechnung kann etwa eine naive Vorstellung eines Viertels als ‚Viertelstunde‘ – und damit stets mit der Zahl 15 verbunden – als deskriptive Grundvorstellung bezeichnet werden (Padberg, 2002b). Insbesondere können normative und deskriptive Grundvorstellungen mehr oder weniger stark voneinander abweichen (z. B. vom Hofe, 1995; vom Hofe, Kleine, Blum & Pekrun, 2005), wie auch das eben dargelegte Beispiel demonstriert. Dabei kann der Begriff der Grundvorstellung als deutlich enger gefasst bezeichnet werden, als der Begriff des Konzeptes im vorhergehenden Abschnitt. Eine normative Grundvorstellung ist als eine konkrete Veranschaulichung eines abstrakten mathematischen Inhalts zu verstehen. Grundvorstellungen liegen dabei häufig in ikonischer Repräsentation vor und können meist prozessorientiert vermittelt werden. Unter anderem lässt sich ihre Ausbildung als mentales Modell präzise als konzeptuelles Lernziel formulieren.

1.3.1 Rolle von Grundvorstellungen Die Ausbildung normativer Grundvorstellungen nimmt eine zentrale Rolle in der Entwicklung tragfähiger mathematischer Konzepte ein. Sie ist geprägt durch den Aufbau dreier Dimensionen von Grundvorstellungen, die entscheidend für ein Verständnis mathematischer Inhalte sein können (vom Hofe, 1995; vom Hofe et al., 2005): 1. Sinnkonstituierung: Der Aufbau eines Sinngehalts mathematischer Konzepte auf der Basis von vertrauten Kontexten und persönlichen Erfahrungen. 2. Anschaulichkeit: Die Erzeugung verallgemeinerter mentaler Darstellungen, die Denken in einer formal-operativen Art und Weise ermöglichen können.

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1 Entwicklung mathematischen Verständnisses

3. Anwendungsbezug: Die Fähigkeit, ein Konzept auf die Realität zu übertragen, indem die ihm zu Grunde liegenden Strukturen in Realkontexten erkannt werden bzw. indem reale Begebenheiten mit Hilfe mathematischer Strukturen modelliert werden. In diesem Zusammenhang wird im Rahmen von Grundvorstellungen den Gedanken einer Ausschließlichkeit in dem Sinne vertreten, dass mathematisches Modellieren im allgemeinen und der Wechsel zwischen mathematischen Darstellungsebenen im speziellen nur dann gelingen kann, „wenn mentale Objekte [Grundvorstellungen] vorhanden sind, die diese Übertragungen ermöglichen“ (Kleine, Jordan & Harvey, 2005, S. 226). Die mathematikdidaktische Erforschung von Grundvorstellungen kann damit, im Gegensatz zur Conceptual Change-Theorie, nicht als defizit-orientierte, sondern vielmehr als ziel- und prozessorientierte Ausrichtung verstanden werden, die konkrete konzeptuelle Lernziele – Grundvorstellungen – vorgibt, deren Ausbildung weitreichendes mathematisches Verständnis im Kontrast zu bloßem mathematischen Können ermöglicht (z. B. Padberg & Wartha, 2017; vom Hofe et al., 2005): Without GVs [Grundvorstellungen] however mathematical operation becomes a lifeless formalism which is cut from the areas of application and reality. (vom Hofe et al., 2005, S. 2) Diese allgemeine Aussage kann insbesondere im Bereich der Bruchrechnung als weitgehend empirisch belegbar bezeichnet werden (z. B. Barash & Klein, 1996; Bell, Greer, Grimison & Mangan, 1989; Prediger, 2008; Wartha, 2005), wie im nächsten Kapitel unter Rückgriff auf diese Untersuchungen detailliert dargestellt wird. Die eben angesprochene Rolle von Grundvorstellungen beim Zusammenwirken von Mathematik und Realität illustriert der Modellierungskreislauf (z. B. vom Hofe et al., 2005; Wartha & Güse, 2009), der exemplarisch an Hand von Abbildung 1.1 in Verbindung mit dem nachfolgenden Beispiel dargestellt werden soll. Dabei stellt Darstellungsebene A die Realität und Darstellungsebene B die Mathematik dar. Falls beispielsweise die konkrete Situation „Paul besitzt 15 Euro. Seine Oma schenkt ihm zum Geburtstag 20 Euro. Wie viel Geld hat Paul jetzt?“ betrachtet wird, wird diese zunächst durch die Grundvorstellung ‚Addieren als Hinzufügen‘ mathematisiert. Dies führt zum Modell 15 + 20. In der formalen arithmetischen Operation 15 + 20 = 35 wird dieses Modell verarbeitet. Dies führt zum Ergebnis 35. Mit Hilfe der Grundvorstellung ‚Maßzahl und Größe‘ wird dieses Ergebnis als 35 Euro interpretiert. In Konsequenz muss Paul 35 Euro besitzen. Die Gültigkeit wird im Zusammenhang mit der konkreten Situation validiert. In diversen Teilgebieten der Mathematik, insbesondere im Bereich der Bruchrechnung, wird dieser Modellierungskreislauf auf die innermathematischen Problemstellungen des Wechsels zwischen unterschiedlichen Darstellungsformen bzw. Repräsentationen mathematischer Inhalte verallgemeinert (vom Hofe & Jordan, 2009; Wartha & Güse, 2009). Im Zuge dieser Arbeit wird von dieser verallgemeinerten Darstellung des Modellierungskreislaufes ausgegangen. Darüber hinaus wird meist nicht der gesamte Modellierungskreislauf betrachtet, sondern der Fokus auf die Prozesse des Mathematisierens und Interpretierens

1.3 Grundvorstellungen mathematischer Inhalte

verarbeiten

Modell

Ergebnisse

hematisieren mat

Darstellungsebene B

interpretieren

Grundvorstellung

23

Darstellungsebene A

Situation

Grundvorstellung

Konsequenzen

validieren

Abbildung 1.1. Rolle von Grundvorstellungen im Modellierungskreislauf (nach Wartha & Güse, 2009, S. 262).

gelegt (Stölting, 2008; vom Hofe & Jordan, 2009). In diesen Übersetzungsprozessen werden Grundvorstellungen als „notwendige Voraussetzung für das Überwinden der Schnittstelle zwischen verschiedene[n] Darstellungsformen (zum Beispiel ikonisch und symbolisch)“ (Wartha & Güse, 2009, S. 262) verstanden, was in Abbildung 1.2 schematisch dargestellt ist. Dabei sind am Beispiel des Bruches 73 auf symbolischer Ebene die Schreibweise mit Bruchstrich sowie die Sprechweise ‚drei Siebtel‘ im oberen Teil der Abbildung dargestellt. Im unteren Teil der Abbildung finden sich auf der bildhaften Ebene exemplarische Darstellungen im Kreis- und Rechteckmodell sowie auf dem Zahlenstrahl und als diskrete Menge. Die vermittelnde Rolle von Grundvorstellungen zwischen diesen Repräsentationsebenen ist durch Pfeile illustriert. Symbole schriftlich

mündlich

3 7

drei Siebtel

Grundvorstellung

0

1

Bilder, Gegenstände, Materialien

Abbildung 1.2. Grundvorstellungen als Bindeglied zwischen ikonischen und symbolischen Darstellungen von Brüchen (nach Padberg & Wartha, 2017, S. 1).

24

1 Entwicklung mathematischen Verständnisses

Begriffsklärung

Im weiteren Verlauf dieser Arbeit sind mit Grundvorstellungen stets normative Grundvorstellungen nach vom Hofe et al. (2005) gemeint, die im Unterricht intendiert als „tragfähige flexible mentale Modelle zu mathematischen Inhalten“ (Padberg & Wartha, 2017, S. 3) vermittelt werden. Ziel ist dabei, die Ebene formalen mathematischen Denkens – insbesondere den Wechsel zwischen unterschiedlichen Repräsentationen ein und desselben mathematischen Objektes (Wartha & Güse, 2009) – mit Verständnis zu füllen.

1.3.2 Kritische Auseinandersetzung mit Grundvorstellungen Die Entwicklung und Vermittlung von Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als wissenschaftliche Erkenntnismethode ist innerhalb der Mathematikdidaktik trotz seiner Anschaulichkeit und Praktikabilität in konkreten Unterrichtssituationen nicht unumstritten (Reiss, Reinhold & Strohmaier, akzeptiert). Ein vorrangig psychologischer Kritikpunkt, der unter anderem erklären kann, warum Grundvorstellungen nur selten Anschluss an Forschungsarbeiten außerhalb des deutschsprachigen Raumes finden, ist seine „weitgehende[] Theoriefreiheit“ (Ullmann, 2015, S. 14), die Ullmann (2015) mit den frühen Veröffentlichungen von vom Hofe (1995) begründet: Konkret fehle es dem Grundvorstellungsansatz an einer fundierten Erklärung für den Prozess des Verstehens von Mathematik. Er fokussiere – unter Begründung durch Erfahrungen aus der Praxis des Mathematikunterrichts – auf das Ergebnis ausgebildeter mentaler Modelle mathematischer Inhalte, was die Formulierung konzeptueller und prozessorientierter Lernziele ermöglichen könne. Unter dem Gesichtspunkt fundierter Forschung auf dem Gebiet der Entwicklung mathematischen Verständnisses, die das Ziel verfolgt weitreichende Aussagen über den Lern- und Verstehensprozess von Schülerinnen und Schülern treffen zu können, erscheint dies jedoch zum Teil unzureichend. Jedoch sollte im Zuge dieser Kritik nicht verkannt werden, dass sich Grundvorstellungen als weitgehend praktikabel für die Unterrichtspraxis erwiesen haben und konkrete fachliche und inhaltliche Ziele zur Ausgestaltung wirksamen Mathematikunterrichts vorgeben können (z. B. Padberg & Büchter, 2015; Padberg & Wartha, 2017). Weiter basieren diese als normative Grundvorstellungen formulierten Lernziele zum Großteil auf empirisch gewonnenen Erkenntnissen zur Verbesserung von Lernprozessen im Mathematikunterricht (z. B. Pekrun et al., 2006; vom Hofe & Jordan, 2009; vom Hofe & Wartha, 2005; Wartha & Güse, 2009; G. Wittmann, 2006), auf die im nachfolgenden Kapitel näher eingegangen wird. Der Beitrag von Grundvorstellungen für die Mathematikdidaktik als „Wissenschaft mit betont praktischem Bezug“ (Reiss & Ufer, 2009, S. 211) sollte daher auch vor dem Gesichtspunkt einer eher unzureichenden Einordnung in bestehende psychologische Theorien nicht relativiert werden. Vielmehr können Grundvorstellungen eine Möglichkeit darstellen, psychologische Erkenntnisse über die Entwicklung mathematischen Verständnisses und daraus resultierende Anforderungen für das Gelingen von Lernprozessen in den Mathematikunterricht zu integrieren und in konkreten Unterrichtsstunden geeignet umzusetzen. Insbesondere in Verbindung mit der Conceptual Change-Theorie, die auf die Ausbildung

1.4 Diskurs zwischen Fachdidaktik und Psychologie

25

wissenschaftlich tragfähiger Konzepte fokussiert, können Grundvorstellungen als Moderatoren zwischen fachwissenschaftlich korrekten und für Lernende angemessen aufbereiteten Konzepten verstanden werden: Grundvorstellungen gründen auf konkreten mathematischen Arbeitsweisen, die sich zum Teil direkt in mathematische Denkweisen übersetzen lassen. Diese können im Unterricht zumeist unmittelbar verwendet werden, um abstrakten mathematischen Inhalten eine Bedeutung zuzuweisen. Gerade im Fach Mathematik sind solche Unterschiede zwischen wissenschaftlich korrekten und abstrakten Konzepten sowie altersgerechten und fachlich angemessenen Konzepten in der Schulpraxis zum Teil fundamental (Reiss & Ufer, 2009; Vollstedt et al., 2015), was am Beispiel der Bruchrechnung im nächsten Kapitel verdeutlicht wird (vgl. Abschnitt 2.1.1). Dies unterstreicht die Relevanz von Grundvorstellungen für die Formulierung und Gestaltung der Lerninhalte im Fach Mathematik – auch in Verbindung mit psychologischen Theorien. In den nachfolgenden Abschnitten werden daher zunächst bisherige Ansätze, Grundvorstellungen und die Conceptual Change-Theorie zusammenzuführen, kritisch diskutiert. Im Anschluss daran wird aufbauend auf den in diesem Kapitel dargelegten Punkten ein Modell zur Synthese von Grundvorstellungen und der Conceptual Change-Theorie entwickelt, das die Grundlage dieser Arbeit bildet.

1.4 Diskurs zwischen Fachdidaktik und Psychologie In den beiden vorhergehenden Abschnitten 1.2 und 1.3 sind ein psychologischer und ein fachdidaktischer Zugang zur Beschreibung der Entwicklung mathematischen Verständnisses vorgestellt und kritisch diskutiert worden. Bisherige Forschungsarbeiten zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffes fokussieren jedoch meist entweder einen psychologischen oder einen fachdidaktischen Zugang. Insbesondere lassen sich Arbeiten finden, die ihre theoretischen Grundlagen entweder in der Conceptual Change-Theorie oder im Rahmen anschaulicher Vorstellungen zu Bruchzahlen – im deutschsprachigen Raum auch Grundvorstellungen – begründet sehen. Vor dem Hintergrund einer ganzheitlichen Vermittlung eines Bruchzahlbegriffs und der Untersuchung seiner Entwicklung bei Schülerinnen und Schülern der frühen Sekundarstufe erscheint es darüber hinaus jedoch plausibel, eine Verbindung beider Perspektiven anzustreben und als Basis für konkrete Interventionsstudien zu nutzen. Bisherige Ansätze zu einer Zusammenführung der Conceptual Change-Theorie und Grundvorstellungen entstammen vornehmlich der deutschsprachigen mathematikdidaktischen Forschung, was sich unter anderem dadurch erklären lässt, dass in diesem wissenschaftlichen Umfeld beide Perspektiven als etabliert bezeichnet werden können (z. B. Hafner, 2012; Kleine et al., 2005; Padberg & Wartha, 2017; Prediger, 2008; Weigand, 2015). Dabei wurde bisher zum einen die mathematikdidaktische Perspektive um die Notwendigkeit erweitert, bereits bestehende Grundvorstellungen zu verändern um normative Grundvorstellungen ausbilden zu können. So sprechen etwa Padberg und Wartha (2017) im Kontext der Bruchrechnung von bereits etablierten „Grundvorstellungen aus dem Bereich der natürlichen Zahlen“ (S. 4), die nicht zum Verständnis von Bruchzahlen beitragen und

26

1 Entwicklung mathematischen Verständnisses

bei falscher Aktivierung zu Fehlern führen können. Weiter wird argumentiert, dass bestehenden und in einem breiten Kontext nicht mehr gültigen Grundvorstellungen, die sich jedoch über eine lange Zeit hinweg als tragfähig erwiesen haben, auf Dauer nur normative Grundvorstellungen entgegengestellt werden können (Padberg & Wartha, 2017). Insbesondere lasse sich dies nicht durch die Vermittlung syntaktischen Wissens um Regeln alleine erreichen (Winter, 1999). Hierbei wird also ein zentraler Aspekte der Conceptual ChangeTheorie aufgegriffen und weitgehend in den bestehenden Kontext von Grundvorstellungen eingegliedert. Zum anderen finden sich Arbeiten, die die Conceptual Change-Theorie vollständig innerhalb eines fachdidaktischen Rahmens von Grundvorstellungen einordnen (z. B. Hafner, 2012; Kleine et al., 2005). Dabei wird die Ausbildung von Grundvorstellungen allgemein als Konstruktion mentaler Strukturen oder Expansion, bzw. Überarbeitung bestehender mentaler Strukturen interpretiert, die „durch entsprechende didaktische Maßnahmen gezielt gefördert“ (Hafner, 2012, S. 23) werden kann. Hierbei werden also Konzeptwechsel weitgehend als Teilaspekt der Ausbildung von Grundvorstellungen aufgefasst (Kleine et al., 2005). Diese beiden Ansätze können damit als Bemühungen interpretiert werden, die Conceptual Change-Theorie in einen bereits bestehenden mathematikdidaktischen Kontext von Grundvorstellungen mathematischer Inhalte zu integrieren. Vor dem Hintergrund der unterschiedlichen Ausrichtungen der beiden Perspektiven – Grundvorstellungen als fachdidaktische Grundlage zur Formulierung normativer Lernziele, bzw. der Conceptual Change-Theorie als psychologische Theorie zur Diagnose und Erklärung von Problemen – kann sich jedoch ein weiteres Vorgehen als ebenfalls plausibel dargestellen: Betrachtet man beide Persepktiven als unterschiedlich motivierte wissenschaftliche Ausrichtungen, kann eine einseitige Verortung einer Perspektive in der anderen nicht notwendig erscheinen. Vielmehr können sie aufgrund ebendieser verschiedenen Sichtweisen zum Teil unterschiedliche Erkenntnisse über die Entwicklung mathematischen Verständnisses liefern, deren jeweilige Berücksichtigung zu einer Verbesserung von Lernprozessen im Mathematikunterricht beitragen können. In diesem Sinn können psychologische Erkenntnisse als zusätzliche Grundlage für die Entwicklung fachdidaktischer Ansätze genutzt werden, um Synergien, die durch das Zusammenwirken beider wissenschaftlicher Forschungsbereiche entstehen, adäquat nutzen zu können: Aufgabe [der Fachdidaktik] ist es hier, die allgemeinen Erkenntnisse aus Psychologie und Erziehungswissenschaften auf die konkreten fachlichen Gegebenheiten zu spezialisieren und somit zu einer fachdidaktischen Theoriebildung in der Unterrichtsmethodik beizutragen, die es ermöglicht, Entscheidungen für oder gegen instruktionale Ansätze oder Methoden sicher und fundiert zu treffen. Ein wichtiger Teilbereich ist das Wissen über ungünstige oder falsche Konzeptbildungen, die im Rahmen des individuellen Lernprozesses auftreten können, sowie Lehrmethoden, die diesen entgegenwirken

1.5 Synthese fachdidaktischer und psychologischer Perspektiven

27

oder wenigstens kompensatorische Wirkung haben können. (Reiss & Ufer, 2009, S. 209) Solche nicht (mehr) tragfähigen Konzepte offenbaren sich insbesondere im Bereich der Bruchrechnung, wo trotz einer profunden mathematischen Ausbildung – insbesondere auch vor dem Hintergrund voll ausgebildeter Grundvorstellungen – der Umgang mit Brüchen durch intuitive Vorstellungen von natürlichen Zahlen kontrastiert sein kann (vgl. Abschnitt 2.2). Dies lässt sich durch vornehmlich auf Inhalte fokussierende fachdidaktische Ansätze wie Grundvorstellungen alleine nur eher unzureichend interpretieren. Hier bietet die Conceptual Change-Theorie ergänzend einen Erklärungsansatz, der die Ebene der Inhalte um die Ebene allgemeiner und fachunabhängiger lernpsychologischer Erkenntnisse erweitern kann. In diesem Zusammenhang erscheint eine Synthese fachdidaktischer und psychologischer Perspektiven plausibel, die vereinzelt auch von anderen Forschergruppen empfohlen wird (z. B. Obersteiner, Dresler, Bieck & Moeller, in Druck; Obersteiner, Reiss & Heinze, 2018; Verschaffel, Van Dooren & Star, 2017).

1.5 Synthese fachdidaktischer und psychologischer Perspektiven Wie in den vorhergehenden Abschnitten dargestellt, können sich bei der Auseinandersetzung mit der Entwicklung mathematischen Verständnisses aus einer ausschließlich fachdidaktischen oder psychologischen Sichtweise heraus folgende Probleme ergeben: Einerseits kann eine einseitig psychologische Perspektive im Sinne der Conceptual Change-Theorie aus fachdidaktischer Sicht auf Grund der defizit-orientierten Ausrichtung und der damit verbundenen Fokussierung auf die Ursachen von Problemen insbesondere im Fach Mathematik eher unzureichend praxisnahe Hinweise für die Konzeption geeigneter Lernumgebungen liefern (vgl. Abschnitt 1.2.4). Andererseits können aus einer einseitig fachdidaktischen Perspektive – mit einem konkreten Fokus auf Grundvorstellungen – durch eine Konzentration auf Inhalte und die Formulierung normativer Lernziele eher unzureichend individuelle psychologische Lernvoraussetzungen beachtet werden, insbesondere vor dem Hintergrund intuitiv wirkender Fehlvorstellungen (vgl. Abschnitt 1.3.2). Es erscheint daher plausibel diesen Problemen einer einseitigen fachdidaktischen oder psychologischen Betrachtung durch eine Synthese der beiden Positionen zu begegnen (vgl. Abschnitt 1.4). In diesem Zusammenhang können die Conceptual Change-Theorie und Grundvorstellungen als Ansätze zweier verschiedener wissenschaftlicher Ausrichtungen betrachtet werden, die insbesondere auch unterschiedliche Bereiche der Entwicklung mathematischen Verständnisses in den jeweiligen Fokus von Untersuchung rücken. Das an dieser Stelle vorgeschlagene Modell kann als Umsetzung einer solchen Synthese von Mathematikdidaktik und Psychologie verstanden werden. Dabei werden zunächst im Sinne der Conceptual Change-Theorie die Probleme eines mathematischen Lerngegenstandes sowie die intendierten Lernziele als normative Grundvorstellungen identifiziert.

28

1 Entwicklung mathematischen Verständnisses

Anschließend werden unter Berücksichtigung beider Positionen instruktionale Ansätze zur Vermittlung von Mathematik entwickelt. Diese drei Dimensionen der Problemdiagnose, Zielformulierung und Vermittlung bilden die Basis des Modells, das schematisch in Abbildung 1.3 dargestellt ist und im Folgenden ausführlich erläutert wird: 1. Problemdiagnose: Die Conceptual Change-Theorie (Vosniadou, 1994) kann als fundierter psychologischer Hintergrund zur Beschreibung und Erklärung von Problemen von Schülerinnen und Schülern beim Lernen mathematischer Konzepte verstanden werden. Sie liefert ein theoriegeleitetes Gerüst für die Interpretation der Herkunft von Fehlern, die beim Umgang mit diesen Konzepten auftreten können, das sich als empirisch belegbar erwiesen hat. 2. Zielformulierung: Grundvorstellungen (vom Hofe, 1995) können als zuverlässiger und vielfach erprobter fachdidaktischer Rahmen zur konkreten Vermittlung mathematischer Inhalte interpretiert werden. Insbesondere beschreibt die Conceptual Change-Theorie als breiter psychologischer Rahmen einen Weg hin zu fachlich korrekten Konzepten, der im Zuge schulischen Mathematikunterrichts nicht zwingend angemessen erscheinen mag (z. B. Reiss & Ufer, 2009). Hier können im Kontext von Grundvorstellungen konkrete konzeptuelle Lernziele auf adäquatem und altersgerechtem Niveau formuliert werden, die einen Weg zur Entwicklung eines angemessenen Verständnisses mathematischer Inhalte – auch vor dem Hintergrund empirischer Untersuchungen – darstellen können. 3. Vermittlung: Den gemeinsamen Grundgedanken beider Theorien bildet die Entwicklung tragfähiger Konzepte mathematischer Inhalte durch die Ausbildung verständlicher, glaubwürdiger und einsetzbarer (Posner et al., 1982) – oder anders formuliert – sinnkonstituierter, anschaulicher und anwendungsbezogener (vom Hofe et al., 2005) mentaler Modelle von abstrakten mathematischen Konzepten. Diese Überschneidung bildet die Grundlage für die Verbindung von Fachdidaktik und Psychologie: Basis für den Wechsel weg von bestehenden und nicht mehr tragfähigen Konzepten bilden normative und am Prozess orientierte Grundvorstellungen. Insbesondere erscheinen ikonische Repräsentationen besonders geeignet, um Einschränkungen von Gültigkeitsbereichen bestehender Konzepte zu illustrieren. Diese Art der Vermittlung kann auf der Grundlage bisheriger empirisch gewonnener Erkenntnisse in der Mathematikdidaktik die Basis für die Gestaltung und Umsetzung erfolgreicher Lernumgebungen sein. Das Modell zur Entwicklung und Evaluation von Lernumgebungen für den Mathematikunterricht als Synthese fachdidaktischer und psychologischer Perspektiven berücksichtigt die zu Beginn des Abschnitts wiederholten möglichen Problemen einseitig psychologischoder fachdidaktisch-motivierter Forschungsansätze dergestalt, dass es beide Perspektiven mit Fokus auf ihre jeweiligen Ausrichtungen und Ziele betrachtet und berücksichtigt. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit soll untersucht werden, ob sich das Modell als wirksame theoretische Basis sowohl für die konkrete Gestaltung einer Lernumgebung sowie deren Evaluation – speziell im Bereich des Anfangsunterrichts der Bruchrechnung – erweisen

1.5 Synthese fachdidaktischer und psychologischer Perspektiven Problemdiagnose

Conceptual Change

Vermittlung

Tragfähige Konzepte mathematischer Inhalte

Psychologie

29

Zielformulierung

Grundvorstellungen

Mathematikdidaktik

Abbildung 1.3. Modell zur Entwicklung und Evaluation von Lernumgebungen für den Mathematikunterricht als Synthese fachdidaktischer und psychologischer Perspektiven.

kann. Aufbauend auf diesem Modell werden in allen weiteren Kapiteln nachfolgende Formulierungen verwendet. Zusammenfassung und Begriffsklärung

Einseitige fachdidaktische oder psychologische Betrachtungen des Lernens im Bereich der Mathematik können mit spezifischen Problemen verbunden sein. Die beiden Perspektiven schließen jedoch in keiner Weise die Berücksichtigung der jeweils anderen Domäne aus, sondern weisen weitreichende Überschneidungen auf, sodass sie als sich gegenseitig bereichernd aufgefasst werden können. Durch eine Synthese beider Blickwinkel kann eine theoretisch fundierte und praxisrelevante Basis für empirische Forschungsarbeiten innerhalb der Mathematikdidaktik geschaffen werden, die die Grundlage für diese Arbeit bildet. Dabei werden im Rahmen dieser Arbeit zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffes die folgenden Bezeichnungen im Sinne von Grundvorstellungen sowie der Conceptual Change-Theorie verwendet: Wissenskonzepte, die sich im Kontext von Bruchzahlen als nicht (mehr) tragfähig erweisen und daher überarbeitet werden müssen, werden im Sinne des Rahmentheorieansatzes synonym als bestehende oder ursprüngliche Konzepte bezeichnet. Diese ursprünglichen Konzepte können dabei sowohl Regeln (z. B. „Multiplizieren vergrößert“) als auch Vorstellungen (z. B. „Multiplizieren bedeutet wiederholtes Addieren“) sein. Insbesondere erscheint es auf der Grundlage empirischer Belege zur Ähnlichkeit bestehender Regeln wie Vorstellungen plausibel davon auszugehen, dass auch diesen – zum Teil individuellen – Vorstellungen ontologische und epistemologische Überzeugungen zu Grunde liegen können und sie sich damit neben Regeln ebenfalls in den Rahmentheorieansatzes eingliedern lassen. Eine derartige Interpretation von Vorstellungen im Rahmen der Conceptual Change-Theorie ist auch in anderen Studien bereits verfolgt worden (z. B. Obersteiner et al., 2015). Der Prozess des Konzeptwechsels wird dabei als Akzeptieren

30

1 Entwicklung mathematischen Verständnisses

einer Einschränkung des Gültigkeitsbereiches ursprünglicher Konzepte unter gleichzeitiger Ausbildung eines tragfähigen Konzeptes verstanden, das in einem erweiterten Kontext Gültigkeit besitzt. Dabei wird angenommen, dass sich diese im Sinne der Conceptual Change-Theorie verständlichen und glaubwürdigen Konzepte, die im Laufe des Lehr-Lern-Prozesses vermittelt werden sollen, in spezifische Subkonzepte gliedern lassen. Einige dieser Subkonzepte weisen dabei insbesondere im Bereich der Bruchrechnung weitreichende Ähnlichkeit mit Grundvorstellungen auf, deren Vermittlung als normative Lernziele formuliert werden kann. Dies wird im Verlauf des nächsten Kapitels erläutert. Weiter wird angenommen, dass Schülerinnen und Schüler zum Teil ihre ursprünglichen Konzepte über ihren Gültigkeitsbereich hinaus verwenden können, falls ihnen diese notwendigen Konzeptwechsel nicht vollständig gelingen. Dies wird als Übergeneralisierung bezeichnet, deren Ursache in der Ausbildung synthetische Modelle liegen kann.

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung Insgesamt gilt die Bruchrechnung nach wie vor als leidiges Kapitel der Schulmathematik für alle Betroffenen: für Schüler, wenn sie sich mangels Verständnis an die zahlreichen und leicht verwechselbaren Regeln klammern und dennoch scheitern; für Lehrer, wenn sie trotz hohem Übungsaufwand herbe Enttäuschungen erleben; für Eltern, wenn sie ihren Kindern nicht helfen können. Winter (1999, S. 6)

Überblick

In diesem Kapitel wird die Bruchrechnung auf der Grundlage von empirisch gewonnenen Erkenntnissen als herausforderndes Teilgebiet der Schulmathematik betrachtet. Dazu wird zunächst auf der Basis mathematikdidaktischer Ergebnisse über die Beschaffenheit von Brüchen das Problemfeld der Bruchrechnung im schulischen Kontext beschrieben (Abschnitt 2.1). Im Anschluss daran wird der Natural Number Bias als mögliche Ursache für zahlreiche Probleme bei der Zahlbereichserweiterung von den natürlichen Zahlen zu den Brüchen diskutiert (Abschnitt 2.2). Auf der Grundlage dieser sowohl fachdidaktisch als auch psychologisch gewonnenen Erkenntnisse werden schließlich drei mehrschichtige Konzepte von Brüchen dargestellt, deren Ausbildung dazu beitragen kann, diesen Übergang von natürlichen Zahlen zu Brüchen für Schülerinnen und Schüler plausibel zu gestalten und gleichzeitig den Einfluss eines Natural Number Bias zu minimieren (Abschnitt 2.3).

2.1 Problemfeld Bruchrechnung Die Bruchrechnung gilt im Allgemeinen als ein schwieriger Teilbereich der mathematischen Grundbildung (z. B. Winter, 1999). In den letzten Jahrzehnten haben zahlreiche Studien weltweit versucht, Einblicke in vorherrschende Probleme von Schülerinnen und Schülern im Umgang mit Bruchzahlen zu gewinnen und ihre Ursachen zu beschreiben. Insbesondere haben groß angelegte Längsschnittuntersuchungen zu einem Verständnis des Lehr- und © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 F. Reinhold, Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive, Studien zur theoretischen und empirischen Forschung in der Mathematikdidaktik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-23924-4_3

32

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

Lernprozesses im Bereich der rationalen Zahlen beigetragen. Hier erscheinen vor allem drei Forschungsprojekte bedeutend: Das Projekt Children’s Mathematical Frameworks (z. B. Hart, 1989) wurde in den 1970er Jahren in England durchgeführt und verfolgte unter anderem das Ziel, Lösungsprozesse und -strategien von Schülerinnen und Schülern unterschiedlicher Altersstufen bei Aufgaben mit Brüchen zu untersuchen. Durch die sehr große Stichprobe und den Einsatz von Interviews und quantitativen Forschungsmethoden konnten wichtige Ergebnisse gewonnen werden. So wurden insbesondere die fehlerhafte Übertragung von Mustern bestimmter Rechenregeln von Brüchen auf andere Rechenregeln – z. B. die Übergeneralisierung der Additionsregel auf die Multiplikation, die etwa zu fehlerhaften Lösungen wie 73 · 75 = 157 führen kann – als eine Ursache für Schülerfehler identifiziert und unterschiedliche Anschauungen von Bruchzahlen – in den von Hart (1981) gewählten Begrifflichkeiten etwa als Name eines Teils oder als Division zweier ganzer Zahlen – als Lerngegenstände herausgestellt. Weiter trugen die Ergebnisse des Rational Number Projects (z. B. Behr et al., 1993), das in den 1980er und 1990er Jahren in den Vereinigten Staaten von Amerika durchgeführt wurde, maßgeblich dazu bei, die Entwicklung des Bruchzahlbegriffes insbesondere unter Berücksichtigung individueller Vorstellungen von Kindern zu erfassen. Auch in diesem Projekt wurde mit Schülerinnen- und Schülerinterviews sowie schriftlichen Tests gearbeitet und aufgestellte Theorien konsequent evaluiert und präzisiert. Konkrete Handlungsempfehlungen der Forscherinnen und Forscher des Rational Number Projects haben bis heute einen bedeutenden Einfluss auf die Entwicklung des Mathematikcurriculums in den USA. Auch in Deutschland steht der Bruchzahlbegriff traditionell im Fokus mathematikdidaktischer Forschungsarbeit (z. B. Hasemann & Mangel, 1999; Padberg & Wartha, 2017; Pekrun et al., 2006; Winter, 1999). So führte etwa bereits Hasemann (1981) im Kontext der Bruchrechnung Probleme von Schülerinnen und Schülern darauf zurück, dass sie Rechenregeln verwendeten, ohne diese verstanden zu haben. Er bezeichnete „nicht die Schwierigkeit der Rechenregeln, sondern das Fehlen adäquater Vorstellungen vom Bruchzahlbegriff“ (Hasemann & Mangel, 1999, S. 138) als das zentrale Problem mit der Bruchrechnung. Weiter sei hier exemplarisch für die Forschungsarbeit im deutschsprachigen Raum das Projekt zur Analyse der Leistungsentwicklung in Mathematik PALMA (z. B. Pekrun et al., 2006) genannt, das im Anschluss an die erste PISA-Erhebung von 2002 bis 2007 durchgeführt wurde. Hier wurde innerhalb einer längsschnittlichen Untersuchung die Leistungsentwicklung von Schülerinnen und Schülern in Deutschland untersucht. Im Zuge dessen wurde unter anderem der Bruchzahlbegriff in den Kontext von Grundvorstellungen eingeordnet, wodurch die Bedeutung tragfähiger mentaler Modelle in der Bruchrechendidaktik weiter hervorgehoben wurde. Zentrale Ergebnisse der eben genannten Forschungsprojekte bilden in dieser Arbeit zusammen mit Erkenntnissen aus Einzelstudien der deutschsprachigen und internationalen mathematikdidaktischen Forschung die Basis für eine inhaltliche Auseinandersetzung mit Brüchen als Lerngegenstand der frühen Sekundarstufe1 . In diesem Zusammenhang kann 1 Im weiteren Verlauf dieser Arbeit werden Brüche stets als Lerngegenstand der frühen Sekundarstufe be-

zeichnet, was auf die Durchführung der Interventionsstudie in Bayern zurückzuführen ist. Hier stellt die

2.1 Problemfeld Bruchrechnung

33

die Bruchrechnung aus einer fachdidaktischen Perspektive als weitreichend erforschtes Gebiet innerhalb der Mathematikdidaktik bezeichnet werden. Eher losgelöst von diesen fachdidaktischen und inhaltlichen Fragestellungen rückte die Bruchrechnung etwa seit der Jahrtausendwende im Rahmen der Conceptual Change-Theorie in den Blickwinkel aktueller psychologischer Forschung im Kontext der Entwicklung mathematischen Verständnisses (z. B. Vamvakoussi & Vosniadou, 2004). Hier wird der Übergang von Konzepten natürlicher Zahlen zu Konzepten rationaler Zahlen aus einer kognitionspsychologischen Perspektive heraus untersucht. Ergebnisse dieser psychologischen Forschung liefern zusätzliche Erklärungsansätze für Probleme von Schülerinnen und Schülern bei der Zahlbereichserweiterung von natürlichen Zahlen zu Brüchen. Diese Erkenntnisse können bestehende inhaltliche Forderungen der Mathematikdidaktik entweder bestärken oder eine Neuordnung fachdidaktischer Ansätze anregen. Diese Arbeit widmet sich vor dem Hintergrund des in Abbildung 1.3 schematisch dargestellten Modells zur Synthese von fachdidaktischen sowie psychologischen Erkenntnisse und Theorien einer umfassenden Betrachtung beider wissenschaftlicher Perspektiven. Zentraler Inhalt dieses Kapitels ist dabei die Auseinandersetzung mit bestehenden fachdidaktischen Erkenntnissen zur Entwicklung eines Bruchzahlbegriffs vor dem Hintergrund der Conceptual Change-Theorie, verbunden mit dem Ziel das Forschungsfeld der Bruchrechendidaktik gegebenenfalls zu erweitern. Dazu werden in diesem Abschnitt ausgehend von der formalen Definition der rationalen Zahlen als mathematische Grundlage für die Bruchschreibweise zunächst für die Schulmathematik relevante Charakteristika von Brüchen genannt. Daraufhin werden typische Fehler im Bereich der Bruchrechnung erläutert. Der Abschnitt schließt mit einem fachdidaktisch motivierten Erklärungsansatz durch unzureichend ausgebildete Grundvorstellungen, vor dem jedoch einige spezifische Probleme nicht umfassend erklärt erscheinen. Daher folgt mit der detaillierten Erläuterung eines Natural Number Bias im Sinne der Conceptual Change-Theorie ergänzend ein psychologischer Erklärungsansatz im nächsten Abschnitt.

2.1.1 Formale Definition der rationalen Zahlen Den formalen Hintergrund für die Bruchrechnung bildet der algebraische Körper der rationalen Zahlen Q, der an dieser Stelle nur knapp erläutert wird. Dabei wird insbesondere auf Beweise mathematischer Sätze verzichtet. Ausgehend von der auf der Menge Z × Z \ {0} definierten Äquivalenzrelation (a, b) ∼ (x, y) :⇔ a · y = b · x Bruchrechnung einen maßgeblichen Teil des Curriculums der sechsten Jahrgangsstufe dar (ISB, 2009), die in Bayern als Teil der Sekundarstufe I aufgefasst wird. Diese Zuordnung ist selbst in Deutschland nicht eindeutig – etwa werden in Brandenburg die Jahrgangsstufen 1–6 zur Primarstufe zusammengefasst, wodurch das zentrale Thema dieser Arbeit als Inhalt der Primarstufe zu bezeichnen wäre. Auch international ist dieser Lerngegenstand nicht einheitlich der Sekundarstufe zuzuordnen, was auf unterschiedliche Lehrpläne zurückzuführen ist (z. B. CCSSI, 2010).

34

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

ist die Menge der rationalen Zahlen Q definiert als die Menge aller Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation   Q := Z × Z \ {0} ∼. Der Bruchschreibweise ba liegt dabei diese formale Definition von Q zu Grunde. So ist etwa der Bruch 35 ein Repräsentant der Äquivalenzklasse    3 := [(3, 5)] = (x, y) ∈ Z × Z \ {0} : 3 · y = 5 · x . (2.1) 5 Die beiden Operationen der Addition ⊕ und der Multiplikation , definiert durch [(a, b)] ⊕ [(x, y)] := [(a · y + b · x, b · y)] und [(a, b)] [(x, y)] := [(a · x, b · y)], machen das Tripel (Q, ⊕, ) schließlich zu einem algebraischen Körper. Dieser formal einwandfreie und rein syntaktische Zugang stellt den gängigen Weg der Einführung von Bruchzahlen in der Hochschulmathematik dar. Er kann jedoch im Zusammenhang mit der im vorhergehenden Kapitel beschriebenen Entwicklung mathematischen Verständnisses nicht als Basis für einen gelungenen Schulunterricht adaptiert werden (Bigalke, 1975; Padberg, 2009). Dennoch stellt er eine wichtige Grundlage für Forscherinnen und Forscher sowie Lehrkräfte dar, da er den Blick dafür öffnen kann, dass Unterschiede zwischen den natürlichen Zahlen und den rationalen Zahlen kein reines Phänomen der Schulmathematik sind. Dieser syntaktische Ansatz zeigt, dass diese Unterschiede sich nicht nur aus dem Kontext der Verwendung von Brüchen in alltäglichen und schulischen Problemen ergeben, sondern bereits ihren unterschiedlichen algebraischen Definitionen und Eigenschaften inhärent sind: Das Tripel (N, +, ·) ist ein kommutativer Halbring, das Tripel (Q, ⊕, ) ein Körper. Die sich aus ebendiesen algebraischen Unterschieden ergebenden Diskrepanzen zwischen natürlichen Zahlen und Bruchzahlen können ein zentrales Problem im Umgang mit Brüchen darstellen, was im Verlauf dieses Kapitels detailliert ausgearbeitet wird (vgl. Abschnitt 2.2.1). Begriffsklärung

In dieser Arbeit werden die Begriffe Bruch und Bruchzahl synonym für die Darstellung einer positiven rationalen Zahl in Bruchschreibweise verwendet. Insbesondere sind damit nicht reelle Zahlen in Bruchschreibweise – etwa π2 oder √1 – gemeint. 2

2.1.2 Brüche im Kontext der Schule Im Gegensatz zur formalen Definition von Bruchzahlen als Repräsentanten von Äquivalenzklassen wie in (2.1) steht im schulischen Fokus des Anfangsunterrichts der Bruchrechnung international zumeist seine konkrete Interpretation als Anteil eines Ganzen (z. B.

2.1 Problemfeld Bruchrechnung

35

Charalambous & Pitta-Pantazi, 2005; Kieren, 1976; Padberg & Wartha, 2017; Pitkethly & Hunting, 1996; Winter, 1999). Aufbauend auf dieser initialen Vorstellung des Anteils werden üblicherweise zahlreiche weitere Eigenschaften von Brüchen sowie ihre Verwendung in unterschiedlichen Bereichen des schulischen wie täglichen Lebens entwickelt (z. B. CCSSI, 2010; ISB, 2009). Dabei unterscheiden sich curriculare Ansätze zum Teil grundlegend, nicht nur in der Reihenfolge und Art der behandelten Themen, sondern auch in ihrem Fokus auf formal-algorithmisches Arbeiten. Darüber hinaus werden Inhalte der Bruchrechnung international nicht einheitlich in den selben Jahrgangsstufen unterrichtet (vgl. Abschnitt 6.2.3), was insbesondere bei der Berücksichtigung internationaler Forschungsarbeiten zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffes beachtenswert erscheint. Für die Schulmathematik im deutschsprachigen Raum liefern etwa Padberg und Wartha (2017) einen umfassenden Überblick über die „unterschiedlichen Verwendungssituationenen bei Brüchen“ (S. 19): Brüche können Anteile eines konkreten Ganzen bezeichnen. Sie werden als Maßzahlen einer messbaren Größe genutzt. Ihnen kommt die Rolle eines mathematischen Operators zu. Sie beschreiben innere Teilverhältnisse. Sie können den Wert eines Quotienten sowie die Lösung linearer Gleichungen bezeichnen. Brüche werden als Skalenwerte verwendet und können quasikardinal als Maßzahlen bezüglich eines bestimmten Stammbruches aufgefasst werden. Eine Übersicht der typischen Verwendungen von Brüchen mit einer detaillierteren Beschreibung sowie konkreten Beispielen ist in Tabelle 2.1 dargestellt. Die Vielzahl unterschiedlicher Rollen von Brüchen alleine kann Unsicherheiten und Probleme im Umgang mit ihnen erklären (Padberg & Wartha, 2017). Darüber hinaus ergibt sich für Schülerinnen und Schüler innerhalb ihrer mathematischen Bildung an dieser Stelle ein entscheidender Einschnitt. Bei der Zahlbereichserweiterung von den natürlichen Zahlen zu den rationalen Zahlen durchläuft das Konzept Zahl grundlegende ontologische und epistemologische Veränderungen: Es verliert viele bisher immanente Bedeutungen, allen voran das Zählen. Andere Aspekte, etwa die Interpretation als Maßzahl einer messbaren Größe, bleiben erhalten. Zudem gewinnt es etliche neue Bedeutungen, wie die eines multiplikativen Operators im Sinne der Von-Deutung (z. B. Malle, 2004). Diese Unterschiede zwischen natürlichen Zahlen und Bruchzahlen werden im Verlauf des Kapitels – sowohl aus fachdidaktischer als auch aus psychologischer Sicht – als empirisch belegbarer Grund für Schwierigkeiten im Umgang mit Brüchen dargestellt. Weiter sind diese Schwierigkeiten mit rationalen Zahlen nicht auf den Umgang mit gemeinen Brüchen beschränkt. Vielmehr können sich ähnliche und weitere Probleme auch bei der Verwendung anderer gleichwertiger Schreibweisen, etwa Dezimalbrüchen oder Prozentangaben, ergeben. Diese zusätzlichen Hürden verschiedener Notationen von rationalen Zahlen sind für sich selbst genommen ein weitläufiges Feld, das nicht Gegenstand dieser Arbeit ist und auf das daher auch im Verlauf dieses Kapitels nicht näher eingegangen wird. Für eine ausführliche Darstellung eines fachdidaktisch aufbereiteten Zugangs zur Vermittlung von Dezimalbrüchen kann an dieser Stelle auf das Buch von Padberg und Wartha (2017) verwiesen werden.

36

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

Tabelle 2.1 Typische Verwendungen von Brüchen in unterschiedlichen Situationen und Kontexten der Schulmathematik (nach Padberg & Wartha, 2017, S. 19-21). Verwendung

Beschreibung

Beispiel

Anteil

Bruch als Anteil eines konkreten Ganzen Bruch als Maßzahl einer messbaren Größe Bruch ba als Anweisung „Teile durch b und multipliziere mit a“. a Bruch a+b als Bruchangabe zum inneren Teilverhältnis a : b

Paul hat 5 Äpfel, 3 davon sind rot. Also sind 35 von Pauls Äpfeln rot. 1 3 2 h, 4 kg

Maßzahl Operator Verhältnis

Quotient Lösung linearer Gleichungen Skalenwert Quasikardinalität

Bruch ba als Wert des Quotienten mit Dividend a und Divisor b Bruch als Element der Lösungsmenge einer linearen Gleichung Bruch als (nicht eindeutige) Bezeichnung einer Stelle auf einer Skala Bruch ba als Größe mit Maßzahl a und Einheit b1

3 4

von 12 = (12 : 4) · 3

Mischt man Apfelsaft und Wasser im Verhältnis 2 : 3, so ist 25 der Mischung Apfelsaft. 3 : 5 = 35 7·x =3 ⇒ L=

3 7

Tankanzeige, Zahlenstrahl Addition gleichnamiger Brüche: 3 Siebtel + 2 Siebtel = 5 Siebtel

Um mögliche Schwierigkeiten im Umgang mit gemeinen Brüchen zu konkretisieren, werden im nächsten Abschnitt zunächst exemplarisch einige typische Fehler diskutiert, die im Zuge der Entwicklung eines Bruchzahlverständnisses beobachtet werden können.

2.1.3 Typische Schülerfehler im Bereich der Bruchrechnung Die Analyse von Fehlern und Fehlermustern ist ein gängiger Prozess der mathematikdidaktischen Forschung, die nicht nur Informationen über die Schwierigkeit bestimmter Aufgaben liefern kann, sondern auch Aufschluss über die spezifischen Quellen von Schülerfehlern sowie die Struktur von Fehlermustern geben kann. Weiter gelten Fehleranalysen als eine relevante Quelle zur Beschreibung von Denkprozessen von Schülerinnen und Schülern und bilden die Grundlage für die Ausarbeitung von Distraktoren in Leistungstests (Eichelmann, Narciss, Schnaubert & Melis, 2011; Padberg, 1983, 1996; G. Wittmann, 2007). Dabei können drei Kategorien von Fehlern unterschieden werden (Padberg, 1996; Radatz, 1980): 1. Flüchtigkeitsfehler: Flüchtigkeitsfehler geschehen individuell und entstehen aus Unachtsamkeit. Macht man eine Person auf einen solchen Fehler aufmerksam, so ist sie in der Lage, Fehler dieser Art augenblicklich zu korrigieren.

2.1 Problemfeld Bruchrechnung

37

2. Systematische Fehler: Unter systematischen Fehler versteht man Fehler, die ein und derselben Person bei bestimmten Aufgabentypen wiederholt unterlaufen. Sie deuten auf ein unzureichendes Verständnis des mathematischen Sachverhaltes hin. 3. Typische Fehler: Typische Fehler sind abhängig von bestimmten Themenkomplexen und werden von unterschiedlichen Personen in verschiedenen Situationen begangen. Sie sind Indikatoren für domänenspezifische Schwierigkeitsfaktoren eines bestimmten Themengebietes. In einem Review dokumentieren Eichelmann et al. (2011) auf der Basis von 33 nationalen wie internationalen Studien zur Bruchrechnung insgesamt 58 typische Fehler, die in verschiedenen Interventionsstudien festgestellt werden konnten, in denen vornehmlich kalkülorientierte und formale Items die Fragebögen dominiert haben. Nachfolgend werden exemplarisch einige dieser typischen Fehler dargestellt, die im Kontext dieser Arbeit relevant erscheinen. Sie können insbesondere unterschiedlichen Teilbereichen des Bruchrechenunterrichts zugeordnet werden und lassen auf spezifische Schwierigkeitsfaktoren beim Umgang mit Bruchzahlen schließen. In der folgenden Auflistung werden diese Fehlerstrategien in dieser Arbeit über die bestehende Literatur hinaus um repräsentative Namen ergänzt. Bei der Verwendung ikonischer Repräsentationen von Brüchen neigen Schülerinnen und Schüler zu einer Teil-zu-Teil-Strategie, bei der die Anzahl markierter Teile in Beziehung zur Anzahl nicht-markierter Teile gesetzt wird, statt korrekterweise zur Gesamtzahl der Teile. Bei der Anzahl-der-Teile-Strategie geben Schülerinnen und Schüler ausschließlich die Anzahl der markierten Teile als kardinale natürliche Zahl an; die Gesamtzahl aller vorhandenen Teile wird ignoriert. Folgen Schülerinnen und Schüler einer Flächen-stattTeile-Strategie, so betrachten sie bei ikonischen Darstellungen lediglich die Anzahl der vorhandenen Teilflächen ohne Berücksichtigung etwaiger unterschiedlicher Größen dieser Teilflächen. Beim Erweitern und Kürzen treten Fehler üblicherweise im Zusammenhang mit den Rechenoperationen Addition und Subtraktion auf. An dieser Stelle werden jedoch exemplarisch Fehler betrachtet, die losgelöst von diesen arithmetischen Operationen beobachtet werden können. Folgen Schülerinnen und Schüler einer Additives-Erweitern-Strategie, so werden Zähler und Nenner nicht mit der selben Zahl multipliziert, sondern addiert. Von der Kürzungszahl-im-Ergebnis-Strategie kann gesprochen werden, wenn im gekürzten Ergebnis an der Stelle des Zählers oder des Nenners nicht das korrekte Ergebnis der Division, sondern die Zahl, die in der Aufgabenstellung als Kürzungszahl vorgegeben wird, steht. Als Kürzen-von-Ziffern-Strategie werden in dieser Arbeit Fehler bezeichnet, in denen Zähler und Nenner nicht als Zahlen, sondern als Ziffernfolgen aufgefasst werden und gleiche Ziffern im Ergebnis eliminiert werden. Beim Größenvergleich lassen sich exemplarisch folgende Fehlertypen identifizieren. Bei der Kleinerer-Nenner-Strategie betrachten Schülerinnen und Schüler ausschließlich die Nenner zweier Brüche. Es wird der Bruch als größer interpretiert, der größere Stücke besitzt;

38

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

die Anzahl der Stücke wird ignoriert. Genau umgekehrt wird bei der Größerer-NennerStrategie derjenige Bruch als größer identifiziert, der den größeren Nenner hat. Folgen Schülerinnen und Schüler der Größerer-Zähler-Strategie, so identifizieren sie den Bruch als den größeren, der mehr Stücke besitzt; die Größe der Stücke wird ignoriert. Bei der Lücken-Strategie (en.: gap thinking) wird der Bruch als größer bezeichnet, dem weniger Stücke zum Ganzen fehlen – unabhängig von deren Größe (Gómez, Silva & Dartnell, 2017). Ein Überblick über diese zehn exemplarisch genannten typischen Fehler beim Umgang mit Brüchen sowie konkrete Beispiele dazu, wie diese Fehler in typischen Aufgabensituationen in Erscheinung treten können, ist Tabelle 2.2 zu entnehmen. Tabelle 2.2 Typische Fehler bei der Verwendung ikonischer Repräsentationen, beim Erweitern und Kürzen und beim Größenvergleich von Brüchen (nach Eichelmann, Narciss, Schnaubert & Melis, 2011, S. 41-46). Bereich

Fehlerstrategie

Beispiel

Ikonische Repräsentationen

Teil-zu-Teil Anzahl-der-Teile Flächen-statt-Teile

Erweitern und Kürzen

Additives-Erweitern Kürzungszahl-im-Ergebnis Kürzen-von-Ziffern

4 4+2 7 = 7+2 4 1 8 = 4 26 2 65 = 5

Größenvergleich

Kleinerer-Nenner Größerer-Nenner Größerer-Zähler Lücken

2 5 2 7 6 7 2 3

→ 24 →4 → 35 =

6 9

> 47 , weil 5 < 7. > 35 , weil 7 > 5. > 45 , weil 6 > 5. > 23 25 , weil nur 1 Stück zum Ganzen fehlt.

Daraus lassen sich zusammenfassend die folgenden zentralen Punkte ableiten: Typische Fehler können insbesondere nicht nur bei der Bruchrechnung auftreten, sondern lassen sich bereits bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs – insbesondere beim Übersetzen ikonischer Repräsentationen in symbolisch dargestellte Bruchzahlen, beim Erweitern und Kürzen sowie beim Größenvergleich von Brüchen – finden. Sie finden sich in unterschiedlichen Jahrgangsstufen bei Schülerinnen und Schülern in verschiedenen Ländern (Eichelmann et al., 2011). Zahlreichen dieser Fehler kann ein mangelndes Verständnis der angewendeten Rechenverfahren zu Grunde liegen (Eichelmann et al., 2011), das etwa durch eine zu einseitig kalkülorientierte Einführung der Bruchzahlen erklärt werden kann (Barash & Klein, 1996; Bell et al., 1989; Winter, 1999), deren Folge aus fachdidaktischer Sicht unzureichend ausgeprägte Grundvorstellungen von Brüchen und deren Operationen sein können (z. B. Malle, 2004; Padberg & Wartha, 2017; vom Hofe et al., 2005; Wartha, 2007). Dieser Gedanke wird in den folgenden Abschnitten konkretisiert und diskutiert: Während sich einige dieser typischen Fehler durch die mangelnde Ausbildung von Grundvorstellungen erklären lassen

2.1 Problemfeld Bruchrechnung

39

(vgl. Abschnitt 2.1.4), können andere auf den Natural Number Bias (vgl. Abschnitt 2.2) zurückgeführt werden.

2.1.4 Unzureichend ausgebildete Grundvorstellungen als eine Ursache für Fehler Vor dem Hintergrund von Grundvorstellungen mathematischer Inhalte können zwei Aufgabentypen unterschieden werden: Formale Rechenaufgaben, die durch die Anwendung einer gelernten Regel gelöst werden können sowie Aufgaben – üblicherweise kontextualisiert oder mit einem Wechsel von einer ikonischen zu einer symbolischen Repräsentation verbunden – für die angenommen wird, dass zur Lösung das Aktivieren einer Grundvorstellung notwendig ist (vom Hofe et al., 2005). Diesen Gedanken führen Padberg und Wartha (2017) fort und unterscheiden in Folge das bloße Können eines mathematischen Lerngegenstandes als erfolgreiche Reproduktion eines regelbasierten Arbeitens im Gegensatz zum tief gehenden Verständnis dieses Lerngegenstandes: Von „Verstehen“ kann gesprochen werden, wenn Grundvorstellungen aktiviert werden. Dies kann untersucht werden, indem Übersetzungen in andere Darstellungen eingefordert werden. Gelingt die Bearbeitung einer mathematischen Fragestellung ... auf einer Darstellungsebene sicher, dann wird der Inhalt beherrscht. Verstanden ist der Inhalt hingegen, wenn er auch auf anderen Darstellungsebenen bearbeitet werden kann ... . Ist eine Übersetzung nicht möglich, dann wird der Inhalt höchstens „gekonnt“, nicht aber verstanden [Hervorhebungen im Original]. (Padberg & Wartha, 2017, S. 2) Es erscheint plausibel anzunehmen, dass ein in dieser Art definiertes Verständnis mathematischer Inhalte notwendige Voraussetzung für die erfolgreiche Bearbeitung von Modellierungsaufgaben und Aufgaben mit Repräsentationswechseln sowie für mathematisches Argumentieren und Kommunizieren darstellen kann. Daher stellt sich die Frage, wie der Aufbau von Grundvorstellungen als tragfähige mentale Modelle von Brüchen unterstützt werden kann. Die Beantwortung gestaltet sich in der Art schwierig, dass sich die empirische Überprüfung der bei Schülerinnen und Schülern tatsächlich vorhandenen Grundvorstellungen als komplexes Unterfangen erweist (Kleine et al., 2005; vom Hofe et al., 2005). Dennoch haben Ergebnisse verschiedener Forschungsarbeiten gezeigt, dass ein einseitig auf Arithmetik ausgerichteter Unterricht den Aufbau solcher Grundvorstellungen nicht umfassend unterstützen kann. An dieser Stelle werden exemplarisch zwei Belege genannt, die für die Bruchrechnung zentral erscheinen. In einer Studie in der siebten Jahrgangsstufe wurde beobachtet, dass Schülerinnen und Schüler selbst dann an den Aussagen „Multiplizieren vergrößert“ und „Dividieren verkleinert“ festgehalten haben, nachdem sie vorher arithmetische Aufgaben korrekt gelöst haben, die diesen Aussagen grundlegend widersprechen (Barash & Klein, 1996). Dieser Beleg lässt vermuten, dass die Schülerinnen und Schüler formales Rechnen und das konzeptuelle

40

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

Verständnis dieser beiden Operationen als voneinander losgelöste Lerngegenstände aufgefasst haben. Insbesondere scheint der Aufbau einer Vorstellung der Multiplikation von Brüchen als Operation, die vergrößern oder verkleinern kann, nicht durch die Bearbeitung arithmetischer Aufgaben zu gelingen, die diese Tatsache repräsentieren. Weiter konnte in einer groß angelegten Studie mit Schülerinnen und Schülern unterschiedlicher Altersgruppen gezeigt werden, dass Textaufgaben zur Multiplikation von Brüchen einen höheren Schwierigkeitsgrad aufweisen, wenn der erste Faktor ein Bruch und keine natürliche Zahl ist (Bell et al., 1989). Dies spricht dafür, dass einige Schülerinnen und Schüler durch einen einseitig syntaktischen Mathematikunterricht kein neues und für Brüche tragfähiges mentales Modell für die Multiplikation entwickelt haben, sondern an der bestehenden Vorstellung „Multiplizieren als wiederholtes Addieren“ aus dem Bereich der natürlichen Zahlen festhalten. War darüber hinaus aus dem Kontext der Aufgabe ersichtlich, dass sich das Ergebnis vergrößern muss, wurde unabhängig vom tatsächlich korrekten Rechenweg häufiger eine Multiplikation als eine Division durchgeführt. Dies lässt vermuten, dass die manifeste Vorstellung „Multiplizieren vergrößert“ einen größeren Einfluss auf die Wahl der Rechenoperation hat als der Kontext (Bell et al., 1989). Diese empirisch belegbare Disparität zwischen formalem Rechnen mit Bruchzahlen und einem konzeptuellen Verständnis dafür, wie Bruchzahlen bzw. Rechenoperationen mit rationalen Zahlen funktionieren, legt nahe, dass der Aufbau von Grundvorstellungen von Brüchen ein komplexes Unterfangen ist, das insbesondere nicht durch arithmetisches Arbeiten im Unterricht alleine bewerkstelligt werden kann (z. B. Winter, 1999). Zusammenfassend können Grundvorstellungen, über die in Kapitel 1 dargestellte Formulierung normativer Lernziele hinaus, als fundierte und anerkannte Grundlage für die Erklärung von typischen Schülerfehler in bestimmten Bereichen der Bruchrechnung bezeichnet werden. So sind fehlerhafte Lösungen in Aufgaben mit Realkontexten durch unzureichend ausgebildete Grundvorstellungen interpretierbar, die als Bindeglied zwischen realen Situationen und formalen mathematischen Operationen verstanden werden können (z. B. Wartha, 2005, 2007). Weiter erscheint es plausibel, Fehler bei der Übersetzung zwischen ikonischen und symbolischen Darstellungen von Brüchen – etwa die Anzahl-der-TeileStrategie – ebenfalls auf unzureichend ausgebildete Grundvorstellungen zurückzuführen (z. B. Stölting, 2008; vom Hofe & Jordan, 2009). Jedoch können rein formale Fehlerstrategien – wie etwa die Kleinerer-Nenner-Strategie – durch Grundvorstellungen eher unzureichend erklärt werden: Eine Annahme im Kontext von Grundvorstellungen ist gerade, dass derartige formale Aufgaben auch ohne anschauliche Grundvorstellungen auf einer rein syntaktischen Ebene erfolgreich gelingen können (z. B. Padberg & Wartha, 2017; vom Hofe et al., 2005). Weiter sprechen empirische Belege dafür, dass Schülerinnen und Schüler formales Rechnen und konzeptuelles Verständnis mathematischer Inhalte im Bereich der Bruchrechnung eher voneinander losgelöst betrachten (z. B. Barash & Klein, 1996). Aus diesem Grund erscheint es eher fraglich, ob Schülerinnen und Schüler in rein arithmetischen Aufgaben – etwa dem Erweitern des Bruches 47 mit 2 – spontan tatsächlich auf eine anschauliche, meist ikonische Grundvorstellung zurückgreifen. Darüber hinaus treten typische Fehler im Bereich der Bruchrechnung international

2.2 Natural Number Bias

41

weitgehend ähnlich auf (Eichelmann et al., 2011). Sie können daher als domänenspezifische Schwierigkeitsfaktoren bezeichnet werden, die insbesondere unabhängig von curricularen Voraussetzungen oder auch dem Alter der Lernenden auftreten können. In diesem Zusammenhang erscheint es plausibel, mögliche Ursachen dieser vielfältigen Schwierigkeiten nicht alleine auf einer inhaltlichen und fachdidaktischen Ebene zu untersuchen, sondern auch psychologische Aspekte des Lernens von Mathematik zu berücksichtigen.

2.2 Natural Number Bias Ein zusätzlicher Erklärungsansatz für die eben erläuterten konkreten Fehler, der den Kontext von Grundvorstellungen an entsprechenden Stellen gewinnbringend ergänzen kann, kann im Rahmen der Conceptual Change-Theorie formuliert werden. Grundlage für die Erklärung der mannigfaltigen Schwierigkeiten, die bei der Zahlbereichserweiterung von den natürlichen Zahlen zu den rationalen Zahlen nachgewiesen werden können, ist dabei die Annahme eines Natural Number Bias (z. B. Ni & Zhou, 2005; Vamvakoussi & Vosniadou, 2010). Er beschreibt eine gegenüber Veränderung weitgehend resistente Tendenz von Schülerinnen und Schülern im Umgang mit Brüchen auf Konzepte natürlicher Zahlen – insbesondere das Zählschema – zurückzugreifen (Ni & Zhou, 2005): The whole [natural] number bias2 thus refers to a robust tendency to use the single-unit counting scheme to interpret instructional data on fractions. This bias causes children’s difficulty to perceive whole numbers as decomposable units. (S. 28) Im Verlauf dieses Abschnittes werden zunächst vier Dimensionen eines Natural Number Bias identifiziert. Im Anschluss daran wird die Struktur gängiger Aufgaben diskutiert, die üblicherweise zur empirischen Untersuchung dieses Bias verwendet werden. Zuletzt wird die aktuelle Diskussion über den Ursprung des Natural Number Bias aufgegriffen und der Erklärungsansatz im Sinne der Dual-Processing-Theorie erläutert.

2.2.1 Dimensionen des Natural Number Bias Es lassen sich vier Dimensionen innerhalb der Zahlbereichserweiterung von natürlichen zu rationalen Zahlen ausmachen, in denen bestehende Konzepte zur Interpretation von Zahlen grundlegender Veränderung bedürfen. Schülerinnen und Schüler unterliegen in diesen vier Dimensionen Dichte (en.: density), Darstellung (en.: representation), Größe (en.: size) und Operationen (en.: operations) häufig einem Natural Number Bias in dem Sinn, dass sie im Umgang mit Brüchen auf nicht mehr tragfähige Vorstellungen von natürlichen 2 In dieser frühen Veröffentlichung prägen Ni und Zhou (2005) den Begriff des Bias für Probleme dieser

Art. Im Laufe der Entwicklung dieser Idee setzte sich in der Fachwissenschaft jedoch die Terminologie Natural Number Bias gegenüber des ursprünglichen Whole Number Bias durch. In dieser Arbeit wird auf die heute übliche Bezeichnung Natural Number Bias zurückgegriffen.

42

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

Zahlen zurückgreifen (z. B. Stafylidou & Vosniadou, 2004; Vamvakoussi, Van Dooren & Verschaffel, 2012). Die in diesen Dimensionen grundlegenden Unterschiede zwischen natürlichen Zahlen und Brüchen werden an dieser Stelle ausführlich erläutert und ihr Einfluss auf die Leistung von Lernenden durch exemplarische empirische Belege validiert. 2.2.1.1 Dichte

Die natürlichen Zahlen sind diskret geordnet. Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger. Sie können als Kardinalzahlen aufgefasst werden und damit zum Zählen verwendet werden. Insbesondere beschreiben sie sinnvolle Antworten auf die Frage: „Wie viele?“. Im Unterschied dazu verliert das Konzept eines Vorgängers oder Nachfolgers bei Brüchen seine Bedeutung. Rationale Zahlen sind nicht diskret geordnet, sondern bilden eine dichte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen R. Sie beschreiben keine Anzahlen, sondern Anteile. Zu Problemen kann es kommen, wenn die Idee einer diskreten Ordnung von Zahlen auch im Zusammenhang mit Brüchen verwendet wird. Eine Studie mit Neuntklässlerinnen und Neuntklässlern in Griechenland offenbarte etwa Schwierigkeiten der Schülerinnen und Schüler zu akzeptieren, dass zwischen zwei vermeintlich aufeinander folgenden Brüchen – z. B. 38 und 48 – unendlich viele weitere Brüche liegen (Vamvakoussi & Vosniadou, 2004). Die Forschergruppe attestiert hier Schülerinnen und Schülern, Brüche in diesem Zusammenhang nicht-intendiert quasikardinal aufzufassen und somit die diskrete Ordnung natürlicher Zahlen auf Bruchzahlen zu übergeneralisieren, was die Entwicklung des Konzepts von Dichte einschränkt. Diese Ergebnisse ließen sich nicht nur in anderen Klassenstufen (Vamvakoussi & Vosniadou, 2010), sondern auch im Vergleich von griechischen mit flämischen Schülerinnen und Schülern (Vamvakoussi, Christou, Mertens & Van Dooren, 2011) replizieren, was für die Existenz eines weitgehend alters- und erfahrungsunabhängigen Bias spricht, der auch vor dem Hintergrund unterschiedlicher curricularer Ansätze nachzuweisen ist. Diese dargelegten Probleme mit dem Konzept der Dichte können als Erklärungsansatz für die im vorhergehenden Abschnitt 2.1 erläuterten typischen Fehler im Bereich der Verwendung ikonischer Repräsentationen und auch des Erweiterns und Kürzens gesehen werden. So kann etwa eine Flächen-statt-Teile-Strategie, bei der nur die Anzahl der Flächen, nicht aber ihre Größe betrachtet wird, auf quasikardinales Denken zurückgeführt werden. Die Flächen werden hierbei schlicht gezählt. Weiter kann etwa die Additives-Erweitern-Strategie, bei der zu Zähler und Nenner die selbe Zahl addiert wird, durch eine Übergeneralisierung der diskreten Ordnung erklärt werden: Werden Zähler und Nenner unabhängig voneinander als natürliche Zahlen aufgefasst, so kann für Lernende das Erzeugen wertgleicher Brüche durch Vergrößern beider Zahlen um den selben Wert unter Umständen plausibler erscheinen, als das Vergrößern um den selben Faktor. 2.2.1.2 Darstellung

Natürliche Zahlen sind in ihrer symbolischen Darstellung eindeutig. Auf dem Zahlenstrahl wird jeder Position genau eine natürliche Zahl zugeordnet. Rationale Zahlen sind bereits in

2.2 Natural Number Bias

43

ihrer symbolischen Schreibweise als Brüche nicht mehr eindeutig und lassen sich darüber hinaus zusätzlich in dezimaler Schreibweise notieren. Sie lassen sich durch Erweitern und Kürzen in unendlich viele, wertgleiche Darstellungen überführen. Ebenso befinden sich auf dem Zahlenstrahl an ein und derselben Stelle unendlich viele symbolisch verschiedene aber wertgleiche Brüche. Grund hierfür ist die formale Definition eines Bruches als Repräsentant einer Äquivalenzklasse, die in Abschnitt 2.1.1 zu Beginn dieses Kapitels erläutert wurde. Kinder erweisen sich hier als „natural-number-biased“ (Vamvakoussi et al., 2012, S. 353), wenn sie Schwierigkeiten mit dem Verständnis haben, dass verschiedene symbolische Repräsentationen ein und dieselbe Zahl bezeichnen können. In diesem Zusammenhang offenbarte eine Studie mit Schülerinnen und Schülern der siebten, neunten und elften Jahrgangsstufe eine Neigung, symbolische Repräsentationen – Brüche oder Dezimalzahlen – nicht zu vermischen. In Fragen nach Zahlen innerhalb vorgegebener Intervalle tendierten die Schülerinnen und Schüler dazu, Zahlen stets in der Repräsentation anzugeben, in der auch die Intervallgrenzen angegeben waren. Insbesondere hatte die Art der Repräsentation, in der die Intervallendpunkte angegeben waren – Brüche, Dezimalzahlen oder natürliche Zahlen – einen Einfluss auf ihre Urteile über die Anzahl der Elemente innerhalb der Intervalle (Vamvakoussi & Vosniadou, 2010). Diese Auffassung von Dezimalzahlen und Brüchen als Darstellungen konzeptuell unterschiedlicher mathematischer Objekte konnte selbst bei Studenten noch nachgewiesen werden (DeWolf, Bassok & Holyoak, 2015). Eine solche Schwierigkeit verschiedene symbolische Darstellungen als wertgleich zu begreifen, kann als ein Erklärungsansatz für typische Fehler im Bereich des Erweiterns und Kürzens aufgefasst werden. 2.2.1.3 Größe

Der Größenvergleich natürlicher Zahlen ist auf Grund ihrer diskreten Ordnung und ihrer Kardination einfach. Bei rationalen Zahlen, insbesondere bei Brüchen, gestaltet sich dieser Prozess erheblich schwieriger. Ohne die Existenz eines kleinsten positiven Bruches kann ein Vergleich nicht auf Anzahlen beruhen, sondern muss auf der Grundlage von Anteilen geschehen. Sowohl Zähler als auch Nenner zweier Brüche müssen für einen gelungenen Größenvergleich herangezogen werden. Fassen Schülerinnen und Schüler Bruchzahlen jedoch nicht als holistische mathematische Objekte auf, sondern ihre Komponenten – Zähler und Nenner – losgelöst voneinander als natürliche Zahlen, und bildet darüber hinaus dies die Grundlage ihres Größenvergleiches, spricht man von einem Natural Number Bias. Diese Art des Natural Number Bias im Bereich des Größenvergleichs bildet die Basis zahlreicher Untersuchungen, von denen hier exemplarisch nur einige zentral erscheinende Ergebnisse genannt werden sollen. So konnte in einer Studie zur Beschreibung des numerischen Wertes eines Bruches festgestellt werden, dass ein nicht unerheblicher Teil der untersuchten Schülerinnen und Schülern im Alter von 10 bis 16 Jahren die Auffassung vertrat, dass sich der Wert eines Bruches vergrößert, wenn der Zähler oder der Nenner vergrößert wird (Stafylidou & Vosniadou, 2004).

44

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

Aufbauend auf dieser Feststellung konnte gezeigt werden, dass Kinder der Primar- und Sekundarstufe Brüche mit gleichem Nenner häufiger korrekt vergleichen als Brüche mit gleichem Zähler (Meert, Grégoire & Noël, 2010; Stafylidou & Vosniadou, 2004). Betrachtet man darüber hinaus korrekte Lösungen zum Größenvergleich von Brüchen, so bearbeiten Kinder Aufgaben mit gleichem Nenner zum Teil schneller als Aufgaben mit gleichem Zähler (Meert et al., 2010; Van Hoof, Lijnen, Verschaffel & Van Dooren, 2013). Dieser Befund behält selbst für angehende Ingenieurinnen und Ingenieure (Gómez et al., 2017) und Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler, die im Bereich der Hochschulmathematik tätig sind (Obersteiner et al., 2013), seine Gültigkeit. Wenngleich diese beiden Personengruppe nahezu alle Aufgaben zum Größenvergleich auf Grund ihrer ausgeprägten mathematischen Bildung korrekt lösen können, lassen sich dennoch signifikante Unterschiede in der Bearbeitungszeit zwischen den beiden Aufgabentypen feststellen (Gómez et al., 2017; Obersteiner et al., 2013). Vor dem Hintergrund der zahlreichen empirischen Belege kann der Natural Number Bias daher als fundierte Erklärung für typische Fehler im Bereich des Größenvergleichs bezeichnet werden. 2.2.1.4 Operationen

Neben den bereits in Abschnitt 1.2 ausführlich beschriebenen Konzepten „Multiplizieren vergrößert“ und „Multiplizieren bedeutet wiederholtes Addieren“ verlieren auch die durch eine vorhergehende Behandlung natürlicher Zahlen aufgebauten Konzepte der Addition, Subtraktion und Division ihre Tragfähigkeit für rationale Zahlen. Unter einem Natural Number Bias werden hier die grundlegenden Schwierigkeiten von Lernern verstanden, diese konzeptuell grundlegend veränderten arithmetischen Operationen korrekt durchführen und interpretieren zu können. In einer Studie konnte gezeigt werden, dass Achtklässlerinnen und Achtklässlern den Wahrheitsgehalt von Aussagen zur Multiplikation und Division von Brüchen häufiger korrekt beurteilen, wenn diese Aussagen zu den Vorstellungen „Multiplizieren vergrößert“ und „Dividieren verkleinert“ passen, als wenn sie diesen ursprünglichen Konzepten widersprechen. Insbesondere konnte dieses Ergebnis mit Schülerinnen und Schülern der zehnten und zwölften Jahrgangsstufe repliziert werden (Van Hoof et al., 2015). Ähnliche Ergebnisse zeigen sich für Kinder der achten Klasse (Obersteiner et al., 2015). Jedoch erwiesen sich Hochschulmathematikerinnen und -mathematiker als frei von einer derartigen Beeinflussung durch Konzepte natürlicher Zahlen im Bereich arithmetischer Operationen, was durch Expertise und die damit verbundene grundlegend andere strukturelle Vorgehensweise in den gestellten Aufgaben erklärt werden kann (Obersteiner et al., 2015). Dies lässt vermuten, dass man einem intuitiv wirkenden Natural Number Bias durch elaborierte und tragfähige Konzepte von Bruchzahlen geeignet entgegenwirken kann, was als Perspektive für den Mathematikunterricht in der frühen Sekundarstufe interpretiert werden kann.

2.2 Natural Number Bias

45

Begriffsklärung

Unter dem Natural Number Bias wird nach Ni und Zhou (2005) eine Tendenz von Schülerinnen und Schülern verstanden, Konzepte zu natürlichen Zahlen auf Bruchzahlen zu übergeneralisieren. Dabei wird angenommen, dass eine Ursache für einen solchen Natural Number Bias im Zuge der Zahlbereichserweiterung nicht vollständig vollzogene Konzeptwechsel darstellen können (z. B. Vamvakoussi et al., 2012). Diese erscheinen dabei vor dem Hintergrund der Conceptual Change-Theorie insbesondere in den vier Dimensionen Dichte, Darstellung, Größe oder Operationen – in denen sich maßgebliche Unterschiede zwischen natürlichen und rationalen Zahlen beschreiben lassen – notwendig (z. B. Obersteiner et al., 2015). Während angenommen werden kann, dass die Dimension der Operationen innerhalb der Domäne der Bruchrechnung von zentraler Bedeutung sein kann, erscheinen die ersten drei Dimensionen der Dichte, Darstellung und Größe insbesondere bedeutsam für den Anfangsunterricht des Bruchzahlbegriffes, insbesondere für die Entwicklung eines Bruchzahlverständnisses. Folglich liegen im Fokus dieser Arbeit die ersten drei Dimensionen des Natural Number Bias. Eine Übersicht über die eben dargelegten maßgeblichen Unterschiede natürlicher und rationaler Zahlen sind in Tabelle 2.3 zusammenfasst und nach der jeweiligen Dimension des Natural Number Bias geordnet. Tabelle 2.3 Überblick über vier Dimensionen des Natural Number Bias und die zu Grunde liegenden Unterschiede zwischen natürlichen Zahlen und Brüchen. Dimension

Natürliche Zahlen

Brüche

Dichte

Diskret geordnet. Jede Zahl hat genau einen Nachfolger. Beschreiben Anzahlen.

Rationale Zahlen sind eine dichte Teilmenge der reellen Zahlen. Keine diskrete Ordnung mehr möglich. Beschreiben Anteile.

Darstellung

Symbolische Darstellung und Darstellung auf dem Zahlenstrahl ist eindeutig.

Symbolische Darstellung und Darstellung auf dem Zahlenstrahl ist nicht eindeutig. Existenz wertgleicher Brüche.

Größe

Existenz einer kleinsten Zahl. Größenvergleich über Anzahlen und Mengen möglich.

Fehlen einer Einheit. Größenvergleich von Anteilen nötig. Interpretation von Brüchen als holistische Objekte bestehend aus Zähler und Nenner notwendig.

Operationen

Multiplizieren vergrößert. Dividieren verkleinert. Multiplizieren kann als wiederholte Addition verstanden werden. Dividieren kann als Aufteilen verstanden werden. Etc.

Multiplizieren und Dividieren vergrößert oder verkleinert. Multiplizieren als wiederholte Addition nur, wenn der erste Faktor eine natürliche Zahl ist. Dividieren als Aufteilen nur, wenn der Divisor eine natürliche Zahl ist. Etc.

46

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

An dieser Stelle ist anzumerken, dass sich ähnliche Auflistungen von Unterschieden im Verständnis von Zahlen, die bei der Zahlbereichserweiterung von natürlichen Zahlen zu rationalen Zahlen relevant sind, auch in internationalen mathematikdidaktischen Aufsätzen ohne konkreten Bezug auf die Conceptual Change-Theorie wiederfinden lassen (z. B. Behr et al., 1983; Hartnett & Gelman, 1998; Streefland, 1984; Winter, 1999, 2004). Sie weisen dabei nicht nur strukturelle Ähnlichkeit mit den von Stafylidou und Vosniadou (2004) dargestellten Unterschieden auf, sondern gleichen sich zum Teil auch in der Annahme einer intuitiven Kontrastierung des Umgangs mit Brüchen durch Rückgriff auf Konzepte natürlicher Zahlen. So spricht etwa Winter (1999) von einer Prägung der Schülerinnen und Schüler „in dem Sinne, daß [sic] ihre arithmetischen Kompetenzen auf ungefragten, quasi archetypischen, intuitiv tief verankerten Überzeugungen [bezüglich natürlicher Zahlen] beruhen“ (S. 18). Diese Tatsache kann die Vereinbarkeit einer psychologischen und fachdidaktischen Sichtweise auf die Entwicklung des Bruchzahlbegriffes sowie die Relevanz eines Modells zur Synthese beider Perspektiven für die mathematikdidaktische Forschung (vgl. Abschnitt 1.5) hervorheben.

2.2.2 Kongruente und inkongruente Aufgaben Erkenntnisse über die Existenz eines Natural Number Bias unabhängig von der konkreten Dimension werden durch die Verwendung von Testitems gewonnen, die eine spezielle Struktur aufweisen. Sie werden derart konstruiert, dass sie einer von zwei Kategorien zugeordnet werden können: Aufgaben, die eine Schülerin oder ein Schüler trotz eines stabil ausgeprägten Natural Number Bias grundsätzlich korrekt lösen kann, werden als kongruent bezeichnet, wohingegen Aufgaben, die in Folge eines Natural Number Bias wahrscheinlich falsch gelöst werden, als inkongruent bezeichnet werden (z. B. Obersteiner et al., 2013). Üblicherweise werden diese Items zu diagnostischen Zwecken mit einer dichotomen Antwortauswahl, etwa der Frage nach der Gültigkeit einer Aussage, versehen. In diesem Zusammenhang ist etwa die Aussage „Zwischen 71 und 67 liegen mehr als zwei Zahlen.“ kongruent. Sowohl Schülerinnen und Schüler, die auf Grund des Natural Number Bias den Brüchen eine quasikardinale Struktur attestieren, als auch Schülerinnen und Schüler, die bereits ein Verständnis für Dichte ausgeprägt haben, sollten die Gültigkeit der Aussage korrekterweise bejahen. Im Gegensatz dazu ist die Aussage „Zwischen 131 und 133 liegen mehr als 3000 Zahlen.“ inkongruent. Man kann davon ausgehen, dass quasikardinal denkende Kinder zwischen diesen beiden Brüchen lediglich den Bruch 132 finden und in Konsequenz die Gültigkeit der Aussage fälschlicherweise verneinen sollten. Verfügen Kinder jedoch bereits über eine erste Vorstellung von Dichte, in dem Sinn, dass zwischen zwei Brüchen unendlich viele weitere Brüche liegen, sollten sie die Aussage als gültig bezeichnen (Vamvakoussi et al., 2012). Ähnliche Aufgaben lassen sich auch zu den anderen Dimensionen des Natural Number Bias formulieren. So lassen sich allgemein alle Größenvergleichsaufgaben, bei denen die beiden Brüche einen gemeinsamen Nenner haben, als kongruent bezeichnen, wohingegen Brüche mit gleichem Zähler zu inkongruenten Aufgaben führen (z. B. Obersteiner et al., 2013).

2.2 Natural Number Bias

47

Begriffsklärung

Aufgaben im Bereich der Bruchrechnung, die trotz Rückgriff auf übergeneralisierte Konzepte natürlicher Zahlen – also einem ausgeprägten Natural Number Bias – dennoch korrekt gelöst werden können, werden als kongruent bezeichnet. Demgegenüber werden Aufgaben zu Bruchzahlen, von denen erwartet werden kann, dass sie in Folge der Verwendung übergeneralisierter Konzepte natürlicher Zahlen vorwiegend falsch gelöst werden, als inkongruent bezeichnet. Unter der Annahme eines zu Grunde liegenden Natural Number Bias, der die Bearbeitung von Aufgaben der Bruchrechnung beeinflusst, sollten kongruente Items nicht nur höhere Lösungsraten als inkongruente Items aufweisen, sondern auch im Fall korrekter Antworten schneller gelöst werden können. Diesen Annahmen folgen die im vorhergehenden Abschnitt erläuterten Studien. Sie können vor dem Hintergrund zahlreicher empirischer Belege als weitgehend bestätigt bezeichnet werden. Eine plausible Fortführung dieses Gedankens ist die Formulierung offener Aufgaben neben für Untersuchungen innerhalb der Conceptual Change-Theorie typischen geschlossenen Aufgaben mit dichotomen Antwortmustern. So kann etwa die Aufgabe „Gib eine Zahl an, die zwischen 95 und 97 liegt.“ ebenfalls als kongruent in dem Sinn bezeichnet werden, dass selbst Schülerinnen und Schülern, die von einen Natural Number Bias beeinflusst werden, die Angabe von 96 als Lösung des Problems gelingen kann. Konsequent können daher die beiden Aufgaben „Gib zwei verschiedenen Zahlen an, die zwischen 95 und 97 liegen.“ sowie „Gib eine Zahl an, die zwischen 95 und 96 liegt.“ aus eben genannten Gründen als inkongruent bezeichnet werden. In der erstgenannten Aufgabe sollten ausschließlich quasikardinal denkende Kinder nur noch eine, nicht aber die geforderten zwei Lösungen finden. In der zweiten Aufgabe sollte ihnen mit einem quasikardinalen Ansatz keine Lösung der Aufgabe mehr möglich sein. Dieser Gedanke lässt sich fortsetzen: Innerhalb der Dimension der Operationen können Aufgaben wie „Berechne 3 · 51 .“ als kongruent bezeichnet werden, da sie – wie vom Arbeiten mit natürlichen Zahlen gewohnt – als wiederholte Addition aufgefasst werden können. Bereits das Vertauschen der Faktoren führt zu einer inkongruenten Aufgabe, die nicht mehr als wiederholte Addition interpretiert werden kann, da der erste Faktor 51 keine natürliche Zahl mehr ist (Obersteiner et al., 2015) – wobei diese Inkongruenz etwa durch die Anwendung des Kommutativgesetzes aufgelöst werden kann. Eine Übersicht über exemplarische kongruente und inkongruente Aufgaben zu verschiedenen Dimensionen des Natural Number Bias ist in Tabelle 2.4 dargestellt. Dabei werden sowohl geschlossene, als auch offene Beispiele genannt. Führt man den ursprünglich diagnostisch motivierten Gedanken einer derartigen Einteilung von Aufgaben in kongruent und inkongruent logisch fort, so lassen sich daraus fachdidaktische Empfehlungen für die konkrete Gestaltung einer Lernumgebung oder Unterrichtssituation formulieren. Zum einen lassen sich inkongruente Aufgaben zu Beginn einer Lernsituation unter Anleitung durch die Lehrkraft dazu nutzen, kognitive Konflikte zu erzeugen, die bei Schülerinnen und Schülern eine Unzufriedenheit mit bestehenden Konzepten wecken können. Zum anderen lassen sich die Grenzen der Gültigkeit bestehen-

48

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

Tabelle 2.4 Beispiele für kongruente und inkongruente Aufgaben innerhalb der vier Dimensionen eines Natural Number Bias (nach Vamvakoussi, Van Dooren & Verschaffel, 2012, S. 354). Dimension

Kongruent

Inkongruent 1 7

6 7

Dichte

Gibt es zwischen und mehr als 2 Zahlen? Gib eine Zahl an, die zwischen 95 und 97 liegt.

Darstellung

Gib 0,5 in der Bruchschreibweise an.

Größe Operationen

Welcher Bruch ist größer, 25 oder 35 ? Kann 2 · x größer sein als 2?

Gibt es zwischen 131 und 133 mehr als 3000 Zahlen? Gib zwei verschiedene Zahlen an, die zwischen 95 und 97 liegen. Gib eine Zahl an, die zwischen 95 und 96 liegt. Gibt es mehr als 500 Möglichkeiten, den Bruch 23 zu schreiben? Welcher Bruch ist größer, 81 oder 31 ? Kann 2 · x kleiner sein als 2?

der Konzepte durch die direkte Gegenüberstellung ähnlich formulierter kongruenter und inkongruenter Aufgaben offenlegen. Darüber hinaus lassen sich diese Grenzen durch das Einfordern von Begründungen für eingeschränkte Gültigkeitsbereiche gezielt herausarbeiten. Weiter kann die Aufgabe, selbst derartige kongruente und inkongruente Aufgaben zu entwickeln, am Ende einer Unterrichtssituation als komplexe Lernzielkontrolle eingesetzt werden, die Einblick in das zu Grunde liegende Verständnis der Schülerinnen und Schüler erlauben kann. Diese beiden Faktoren – Unzufriedenheit mit bestehenden Konzepten und Grenzen ihrer Gültigkeit – sind in Kapitel 1 als grundlegend für die Entwicklung mathematischen Verständnisses im Kontext der Conceptual Change-Theorie identifiziert worden. In diesem Sinn können solche kongruenten und inkongruenten Aufgaben als Bereicherung für mathematikdidaktische Überlegungen im Allgemeinen und konkrete Unterrichtssituationen im Speziellen bezeichnet werden.

2.2.3 Dual-Processing als Erklärung für den Natural Number Bias Auch wenn die Existenz eines Natural Number Bias, wie in den vorhergehenden Abschnitten ausführlich erläutert, als weitgehend empirisch gesichert gelten kann, ist sein Ursprung die Grundlage weitreichender Diskussion (z. B. Ni & Zhou, 2005; Mix, Huttenlocher & Levine, 2002; Rips, Bloomfield & Asmuth, 2008; siehe auch Vamvakoussi et al., 2012). Insbesondere werden hierbei unterschiedliche Erklärungsansätze formuliert, die einen wissenschaftlichen Diskurs über die mögliche Ursache des Natural Number Bias bestimmen (Ni & Zhou, 2005). Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler interpretieren den Natural Number Bias dabei ... 1. als Folge einer angeborenen Fähigkeit ausschließlich Mengen mit einer diskreten Anzahl von Elementen erfassen zu können (en.: innate constraint hypothesis). Dabei wird angenommen, dass diese angeborene Fähigkeit zu einer Bevorzugung von Konzepten

2.2 Natural Number Bias

49

natürlicher Zahlen gegenüber tragfähigen Konzepten von Bruchzahlen führen kann (z. B. Gallistel & Gelman, 1992). 2. im Sinne der Dual-Processing-Theorie als Resultat eines umfassenden Ausbildung von Konzepten natürlicher Zahlen – auch im Rahmen der Schulbildung – vor der Behandlung von Brüchen. Dabei wird angenommen, dass diese Konzepte intuitiv aktiviert werden, (DeWolf & Vosniadou, 2011; Obersteiner et al., 2013; Vamvakoussi et al., 2012). Der zweiten genannten Theorie folgend wird in dieser Arbeit der Natural Number Bias als Resultat intuitiven Denkens interpretiert3 . Grundlage für diese Annahme bilden dabei die im Folgenden dargelegten empirischen Befunde, die eher im Einklang mit der DualProcessing-Theorie als mit der Annahme angeborener Fähigkeiten zur Erfassung diskreter Anzahlen von Elementen einer Menge erscheinen. Grundannahme der Dual-Processing-Theorie ist, dass Menschen über zwei unterschiedlich funktionierende kognitive Systeme verfügen: Ein intuitives System, das Entscheidungen schnell, automatisiert und auf der Basis von Intuitionen trifft sowie ein analytisch denkendes System, das langsam auf Grund aufwändiger Gedankengänge elaborierte Entscheidungen trifft (Vamvakoussi et al., 2012). Weiter wird angenommen, dass Entscheidungen zunächst grundsätzlich intuitiv getroffen werden. Im Fall kongruenter Aufgaben sind diese Entscheidungen korrekt, im Fall inkongruenter Aufgaben erweisen sie sich jedoch als falsch. Mit konkretem Bezug auf den Größenvergleich von Brüchen beschreiben Obersteiner et al. (2013) dieses Phänomen wie folgt: Because children have developed and internalized substantial knowledge about natural numbers long before they learn rational numbers, the magnitudes of the natural numbers involved may be processed automatically, and rapidly lead to a (correct or incorrect) representation of the fraction. (S. 394) Diese Aussage lässt sich auf alle Dimensionen des Natural Number Bias verallgemeinern: Da Kinder im Zuge ihrer alltäglichen Erfahrungen und ihrer frühen schulischen Ausbildung erhebliches Wissen über natürliche Zahlen erworben und verinnerlicht haben, erscheint es plausibel davon auszugehen, dass dieses Wissen ihre Vorstellung von Zahlen im Allgemeinen 3 An dieser Stelle ist anzumerken, dass die Innate-Constraint-Theorie nicht den einzigen alternativen Ansatz

neben der Dual-Processing-Theorie zur Erklärung des Natural Number Bias darstellt. Jedoch erscheint eine Auseinandersetzung mit allen vorherrschenden Theorien im Rahmen dieser Arbeit aufgrund ihrer Vielzahl kaum in einer umfassenden Tiefe möglich. Infolgedessen wurde die Innate-Constraint-Theorie als exemplarischer alternativer Erklärungsansatz ausgewählt, da sie mit der Annahme angeborener Fähigkeiten zur Erfassung diskreter Mengen dem Ansatz der Dual-Processing-Theorie – der den Umgang mit natürlichen Zahlen als erlernt und verinnerlicht annimmt – diametral entgegengesetzt erscheint. Für eine tiefgehendere Auseinandersetzung mit weiteren Theorien zum Ursprung eines Natural Number Bias sei auf den Artikel von Ni und Zhou (2005) verwiesen. Weiter liefern Mix et al. (2002) einen umfassenden Einblick in die Diskussion gängiger Theorien zur Erfassung von Mengen bei Kleinkindern sowie Rips et al. (2008) eine Darstellung und Diskussion vorherrschender Theorien zur Entwicklung des Zahlbegriffes bei Kindern.

50

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

prägen kann. Diese intuitive Vorstellung von Zahlen kann also auch im Bezug auf Bruchzahlen zunächst die Grundlage für Entscheidungen darstellen. Werden Schülerinnen und Schüler nun mit einer inkongruenten Aufgabe konfrontiert, kann dies zu zwei möglichen Konsequenzen führen: Entweder geben sie infolge intuitiver Vorstellungen von natürlichen Zahlen eine falsche Antwort, oder das analytische System korrigiert diese intuitiv fehlerhafte Entscheidung im Sinne tragfähiger Konzepte zu Bruchzahlen. Insbesondere können Fehler dadurch geschehen, dass entweder nachhaltig an Intuitionen festgehalten wird, oder das Einschreiten des analytischen Systems versagt (Vamvakoussi et al., 2012). Insgesamt können drei bereits genannte empirische Befunde als im Einklang mit der Dual-Processing-Theorie als Ursache für den Natural Number Bias bezeichnet werden: 1. Schülerinnen und Schüler unterschiedlicher Altersstufen erzielen bei der Bearbeitung von kongruenten Aufgaben bessere Ergebnisse, als bei der Bearbeitung von inkongruenten Aufgaben (z. B. Vamvakoussi & Vosniadou, 2004, 2010; Vamvakoussi et al., 2011). Vor dem Hintergrund, dass kongruente Aufgaben auch ohne Korrektur durch das analytische System rein auf der Basis intuitiver Vorstellungen von natürlichen Zahlen korrekt bearbeitet werden können, erscheint dies passend zur Dual-Processing-Theorie. 2. Betrachtet man ausschließlich korrekte Lösungen, so zeigt sich, dass die Lösung inkongruenter Aufgaben mehr Zeit in Anspruch nimmt, als die Lösung kongruenter Aufgaben (z. B. Meert et al., 2010; Van Hoof et al., 2013). Auch wenn dieser Befund mit dem Alter nachlässt (Vamvakoussi et al., 2012), lässt er sich auch bei jungen Erwachsenen noch nachweisen (DeWolf & Vosniadou, 2011). Dieses Ergebnis erscheint insbesondere im Einklang mit einer Theorie, die von einer intuitiven Kontrastierung tragfähiger Konzepte von Bruchzahlen durch ursprüngliche Konzepte von natürlichen Zahlen ausgeht. Unter der Annahme, dass zur korrekten Lösung inkongruenter Aufgaben zunächst mögliche intuitive Fehlentscheidungen durch ein analytisch denkendes kognitives System korrigiert werden müssen, erscheinen längere Bearbeitungszeiten plausibel. Insbesondere erscheint dieser Befund nicht in einer ähnlich plausiblen Art und Weise passend zur Annahme angeborener Fähigkeiten zur Erfassung von diskreten Mengen. 3. Darüber hinaus lässt sich der Natural Number Bias nicht vollständig auf mangelnde mathematische Expertise zurückführen. Zwar lösen angehende Ingenieurinnen und Ingenieure (Gómez et al., 2017) sowie Hochschulmitarbeiterinnen und -mitarbeiter aus dem Fachbereich Mathematik (Obersteiner et al., 2013; Obersteiner et al., 2015) Aufgaben zu rationalen Zahlen nahezu vollständig korrekt, unabhängig davon ob diese kongruent oder inkongruent sind. Jedoch benötigen selbst diese Personen für die Lösung inkongruenter Aufgaben mehr Zeit. Aus den bereits im zweiten Punkt genannten Gründen erscheinen auch diese empirischen Ergebnisse eher im Einklang mit der DualProcessing-Theorie als mit der Innate-Constraint-Theorie.

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

51

Begriffsklärung

Der Theorie von Vamvakoussi et al. (2012) folgend wird in dieser Arbeit als Ursache für den Natural Number Bias eine Kontrastierung tragfähiger Konzepte von Bruchzahlen durch ursprüngliche Konzepte von natürlichen Zahlen im Sinne der Dual-ProcessingTheorie verstanden. Dabei wird insbesondere angenommen, dass eine derartige Kontrastierung intuitiv geschieht. Ausgebildete tragfähige Konzepte von Bruchzahlen erscheinen in diesem Sinn zum einen notwendig, um intuitive Fehlentscheidungen zu erkennen und diese zum anderen elaboriert korrigieren zu können. Zusammenfassend können sich durch die Berücksichtigung der Conceptual ChangeTheorie weiterführende Einsichten über die Probleme von Schülerinnen und Schülern bei der Einführung des Bruchzahlbegriffes ergeben. Der Natural Number Bias kann dabei einen weitreichenden Blick auf die Ursache der in Abschnitt 2.1 diskutierten typischen Fehler in der Bruchrechnung geben. Er kann als psychologischer Erklärungsansatz für die fachdidaktisch motivierte Erkenntnis interpretiert werden, dass die Bruchrechnung ein „anspruchsvoller Lernstoff [ist], der nicht beliebig durch ‚methodische Aufbereitung‘ vereinfacht und nicht durch didaktische Fehlerverhütungsstrategien sowie tüchtigeres Üben des formalen Rechnens erfolgreicher gelehrt und gelernt werden kann“ (Winter, 1999, S. 2). Dabei kann die Conceptual Change-Theorie in Bezug auf typische Schülerfehler in der Bruchrechnung als Ergänzung zur fachdidaktischen Perspektive unzureichend ausgebildeter Grundvorstellungen verstanden werden. Sie erweitert diesen vorrangig durch Inhalte geprägten fachdidaktischen Erklärungsansatz um die Ebene epistemologischer Überzeugungen der Schülerinnen und Schüler darüber, dass sich Zahlen grundsätzlich wie natürliche Zahlen verhalten. Diese Ebene kann den erfolgreichen regelhaften Umgang mit Brüchen im Sinne eines Natural Number Bias intuitiv kontrastieren, was eine plausible Erklärung für rein formale Fehlerstrategien – wie etwa die Kleinerer-Nenner-Strategie – darstellen kann. Vor dem Hintergrund der Dual-Processing-Theorie als möglicher Ursache für eine solche intuitive Kontrastierung wird auch aus psychologischer Perspektive die Ausbildung von Grundvorstellungen im Anfangsunterricht der Bruchrechnung als Wissensbasis tragfähiger Konzepte von Bruchzahlen hervorgehoben – nicht nur, um den Wechsel zwischen unterschiedlichen Repräsentationsformen zu ermöglichen, sondern vor allem auch, um erkennen zu können, in welchen Situationen intuitive Vorstellungen von natürlichen Zahlen durch elaborierte Konzepte von Brüchen korrigiert werden müssen. Es erscheint plausibel anzunehmen, dass diese Vermittlung tragfähiger Konzepte nicht durch eine einseitig auf arithmetische Basisfertigkeiten konzentrierende Ausbildung gelingen kann.

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias Die Bruchrechnung kann als weitreichend erforschtes Teilgebiet innerhalb der Mathematikdidaktik bezeichnet werden (vgl. Abschnitt 2.1). Die drei bereits zu Beginn dieses Kapitels

52

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

erwähnten Projekte – Children’s Mathematical Frameworks (z. B. Hart, 1989), Rational Numbers Project (z. B. Behr et al., 1993) und PALMA (z. B. Pekrun et al., 2006) – haben wichtige Erkenntnisse zum Lehren und Lernen von Brüchen beigetragen. Die Ergebnisse und Handlungsempfehlungen dieser groß angelegten Forschungsprojekte können als breiter fachlicher Rahmen für die Didaktik der Bruchrechnung aufgefasst werden, der darüber hinaus durch die Ergebnisse verschiedener internationaler Einzelbeiträge ergänzt werden kann. Innerhalb dieses Rahmens besteht zum einen weitgehend Konsens über bestimmte Auffassungen von Brüchen als schulischem Lerngegenstand – etwa dazu, im Anfangsunterricht der Bruchrechnung primär die Ausbildung eines Verständnisses für Bruchzahlen zu fördern und arithmetische Basisfähigkeiten im Umgang mit Brüchen zunächst als sekundär einzustufen (z. B. Behr et al., 1993; Padberg & Wartha, 2017; Winter, 1999). Zum anderen existieren jedoch auch unterschiedliche fachwissenschaftlich elaborierte Standpunkte zur konkreten Erarbeitung des Bruchzahlbegriffes – angefangen bei der Komplexität der zu Grunde liegenden Modelle, bis hin zur Bezeichnung identischer, oder äußerst ähnlicher Facetten eines Bruches. So werden grundlegende Vorstellungen von Brüchen in unterschiedlicher Literatur etwa als Konzepte (z. B. Behr et al., 1983; Kieren, 1976), Konstrukte (z. B. Behr et al., 1993; Charalambous & Pitta-Pantazi, 2005), Gesichter (z. B. Winter, 1999), Aspekte (z. B. Padberg & Wartha, 2017) oder Grundvorstellungen (z. B. Malle, 2004; vom Hofe & Wartha, 2005) bezeichnet. Im Zusammenhang mit den im vorhergehenden Abschnitt 2.2 dargestellten psychologischen Erkenntnissen über eine mögliche intuitive Kontrastierung elaborierter und tragfähiger Konzepte von Bruchzahlen durch ursprüngliche Konzepte von natürlichen Zahlen im Sinne eines Natural Number Bias erscheint es notwendig, diese breite und zum Teil heterogene fachdidaktische Wissensbasis über Brüche als Lerngegenstand detailliert zu betrachten und gegebenenfalls neu einzuordnen oder an geeigneter Stelle zu ergänzen. Begriffsklärung

Im Sinne des in Abschnitt 1.5 vorgeschlagenen Modells zur Entwicklung von Lernumgebungen in der Mathematikdidaktik aus fachdidaktischen und psychologischen Gesichtspunkten werden im weiteren Verlauf dieser Arbeit die folgenden Begriffe verwendet: Vor dem Hintergrund der Conceptual Change-Theorie werden intendiert auszubildende komplexe kognitive Strukturen als Basis für ein weitreichendes Verständnis des Bruchzahlbegriffes als Konzepte bezeichnet. Dabei wird angenommen, dass im wesentlichen zwei Faktoren die Ausbildung dieser Konzepte bei Schülerinnen und Schülern im Mathematikunterricht gewinnbringend unterstützen können. Zum einen die Vermittlung konkreter fachlicher Inhalte der Bruchrechnung – insbesondere unter Rückgriff auf ikonische Darstellungen – die als Subkonzepte bezeichnet werden und von denen angenommen wird, dass sie sich als normative Lernziele formulieren lassen. Zum anderen die altersgerechte und plausible Darstellung der Grenzen der Gültigkeit ursprünglich vorhandener Konzepte von natürlichen Zahlen, die als präventive Maßnahme zur Minimierung eines Natural Number Bias verstanden werden kann. Im Zuge einer einheitlichen Darstellung werden dabei im Folgenden bei Bezug auf bereits bestehende Literatur ebenfalls

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

53

die soeben erläuterten Begriffe genutzt. Insbesondere wird weitgehend auf das konkrete Zitieren der in den Originalen verwendeten Begriffe – wie etwa Konstrukte, Gesichter, Aspekte oder Grundvorstellungen – verzichtet. Unter Rückgriff auf empirisch gewonnenen Erkenntnisse der letzten Jahrzehnte werden im weiteren Verlauf dieses Kapitels drei für diese Arbeit relevant erscheinenden Konzepte Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen und Größenvergleich vorgestellt und erörtert. Dabei werden die ihnen zugrunde liegenden Subkonzepte in Form konkreter Inhalte dargestellt, die als zentrale Lerngegenstände für einen Mathematikunterricht in der frühen Sekundarstufe verstanden werden können. Diese fachlichen Inhalte werden dabei nicht nur auf der Basis bestehender Literatur vorgestellt, sondern insbesondere auch vor dem Hintergrund der Conceptual Change-Theorie für den konkreten Unterricht reichhaltiger problematisiert und im direkten Bezug zum Natural Number Bias diskutiert.

2.3.1 Konzept Teil vom Ganzen Die Vorstellung eines Bruches als Anteil von einem Ganzen kann als zentral für die Entwicklung des Bruchzahlbegriffes bezeichnet werden (z. B. Kieren, 1976). Dabei kann ein Bruch als eine Trias aus Anteil, Ganzem und Bruchteil verstanden werden (Schink & Meyer, 2013), was konkret am Beispiel 23 von 18 = 12 erläutert werden soll: Ausgangspunkt ist das Ganze 18, von dem nur ein gewisser Teil genommen werden soll. Der Anteil 23 stellt dabei die Beziehung zwischen dem Bruchteil 12 und dem Ganzen her. Diese hier symbolisch dargelegte Trias ist in Abbildung 2.1 ikonisch mit Hilfe diskreter Mengen dargestellt. Trias:

2 3

von 18 = 12

2 3 Ganzes

Anteil

Bruchteil

Abbildung 2.1. Bruch als Trias aus Anteil, Ganzem und Bruchteil in ikonischer Repräsentation als diskrete Menge am Beispiel 23 von 18 = 12 (nach Schink & Meyer, 2013, S. 2).

54

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

2.3.1.1 Subkonzept Teil eines Ganzen

Als Basis des Subkonzeptes Teil eines Ganzen kann ein Verständnis für Anteile in Bruchschreibweise als holistische mathematische Objekte – bestehend aus Zähler und Nenner – bezeichnet werden. Der Nenner gibt dabei an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wird, während der Zähler vorgibt, wie viele dieser Teile zu nehmen sind. Diese Anteilsvorstellung erscheint grundlegend für die Ausbildung weiterer Subkonzepte und Konzepte von Brüchen (Behr et al., 1983; Charalambous & Pitta-Pantazi, 2005). Dies kann als ein Grund dafür angesehen werden, dass weitgehend Konsens darüber besteht, diese Vorstellung an den Anfang eines Bruchrechencurriculums zu stellen – sowohl international (z. B. CCSSI, 2010; siehe auch Cramer, Post & delMas, 2002; Kieren, 1995; Marshall, 1993) als auch in Deutschland (z. B. ISB, 2009; siehe auch Padberg & Wartha, 2017; Winter, 1999). Gängige Darstellungen4 , auf die dabei zurückgegriffen wird, sind kontinuierliche Flächen, allen voran Kreis- und Rechteckdiagramme, diskrete Mengen und numerische Ganze in symbolischer Schreibweise. Insbesondere kann neben dem reinen Darbieten einer Darstellung vor allem der beständige Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungen – insbesondere auch der Wechsel zwischen ikonischen und symbolischen Repräsentationen – gewinnbringend zur Entwicklung des Anteilsverständnisses beitragen (Cramer et al., 2002; Padberg & Wartha, 2017). In Tabelle 2.5 sind am Beispiel des Anteils 43 die Trias aus Anteil, Ganzem und Bruchteil in ebendiesen übliche Darstellungen abgebildet. Weiter wird dort auch die Bezeichnung des resultierenden Bruchteils in Abhängigkeit von der Art der Darstellung in exemplarisch ausgewählter deutschsprachiger Literatur aufgeführt. Diese Übersicht kann die folgenden beiden zentral erscheinenden Punkte verdeutlichen: 1. Der von Schink und Meyer (2013) geprägte Begriff der Trias für das Zusammenspiel aus Anteil, Ganzem und Bruchteil ist plausibel. Bei kontinuierlichen Flächen, diskreten Mengen und Zahlen ungleich eins kann ein Bruchteil nur in Verbindung mit dem Ganzen verständlich interpretiert werden. Einzig der Bruchteil im Kreisdiagramm lässt intuitiv den Schluss auf ein Ganzes als vollen Kreis zu. 2. Darüber hinaus werden in der Literatur in Abhängigkeit von der gewählten Darstellungsform, bzw. unterschiedlichen gewählten Repräsentationsarten auch verschiedene Bezeichnungen für einen resultierenden Bruchteil verwendet. Etwa unterscheidet Malle (2004) Teil und relativen Anteil, während Padberg und Wartha (2017) zwischen Anteil eines Ganzen und dem Resultat einer multiplikativen Handlungsanweisung, bei der der Anteil 43 als Operator 5 verstanden werden kann, differenzieren. Die Grenzen erscheinen hierbei fließend. 4 Als Darstellungen werden hier unterschiedliche Arten der Darbietung von Ganzen und Bruchteilen verstan-

den, z. B. Kreis- und Rechteckdiagramme oder formale Symbole. Insbesondere können Darstellungen in unterschiedlichen Repräsentationen – ikonisch oder symbolisch – nach Bruner (1960/1970) vorliegen. 5 An dieser Stelle müssen die beiden Begriffe „Operation“ als Dimension des Natural Number Bias (vgl. Abschnitt 2.2.1) und „Operator“ als Grundvorstellung von Bruchzahlen (z. B. Padberg & Wartha, 2017) unterschieden werden. Mit Operationen sind die konkreten arithmetische Operationen Addieren, Sub-

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

55

Tabelle 2.5 Anteil, Ganzes und Bruchteil in unterschiedlichen gängigen Darstellungen am Beispiel 43 sowie unterschiedliche Bezeichnungen für den resultierenden Bruchteil in exemplarisch ausgewählter deutschsprachiger Literatur. Art des Ganzen Zahl = 1

Ganzes

Bruchteil

Bezeichnung und Autoren

1

3 4

Teil (Malle, 2004) Bruchzahl (Padberg & Wartha, 2017) Teil einer nicht-kontextualisierten Einheit (Schink & Meyer, 2013)

Kontinuierliche Fläche

Teil (Malle, 2004) Anteil eines Ganzen (Padberg & Wartha, 2017) Anteil eines kontinuierlichen Ganzen (Schink, 2013) a

Diskrete Menge Zahl , 1, Vielfaches des Nenners

12

9a

Relativer Anteil (Malle, 2004) Anteil eines Ganzen (Padberg & Wartha, 2017) Anteil eines diskreten Ganzen (Schink, 2013) Relativer Anteil (Malle, 2004) Resultat der multiplikativen Handlungsanweisungen „ 43 von 12“ (Padberg & Wartha, 2017)

Anmerkung. a An dieser Stelle offenbart sich eine diffizile Eigenheit der deutschen Sprache, die leicht zu einem Problem in konkreten Unterrichtssituationen werden kann: Bei diskreten Mengen und symbolischen Ganzen wird der Anteil in Bruchschreibweise angegeben, wohingegen der daraus resultierende Bruchteil in nahezu allen Fällen eine natürliche Zahl ist.

Betrachtet man den zweiten Punkt näher, so fällt auf, dass es sich dabei nicht nur um unterschiedliche Begriffe, sondern auch um verschiedene Bündelungen der Aufgabentypen handelt. Malle (2004) trennt zwischen Ganzen, die als ein Objekt dargestellt werden können, und Ganzen, die als mehrere Objekte aufgefasst werden müssen. Dabei kann das mentale Modell Teil „bei gröberer Betrachtung als ein Spezialfall dieser Grundvorstellung [relativer Anteil] angesehen werden“ (S. 4). Padberg und Wartha (2017) unterscheiden hingegen zwischen ikonisch und symbolisch repräsentierten Ganzen, die jedoch als eng miteinander verbunden bezeichnet werden: Diese Grundvorstellungen [Anteil und Operator] hängen eng zusammen, da der Operatoraspekt eine Verallgemeinerung des Anteilaspekts darstellt, dessen sichere Handhabung zusätzliche Kompetenzen wie proportionale Zuordnungen und rechnerische Fertigkeiten erfordert. Umgekehrt kann ein trahieren, Multiplizieren und Dividieren gemeint. Die Vorstellung eines Bruches xy als Operator hingehen ist losgelöst von arithmetischen Operationen als multiplikative Handlungsaufforderung: „Teile in y gleich große Stücke, nimm x Stücke davon“ zu verstehen. Im Fall formal-symbolischer Ganzer kann sie als Einschränkung von Multiplikationsaufgaben verstanden werden, bei denen der erste Faktor ein Bruch und der zweite Faktor ein Vielfaches des Nenners dieses Bruches – und insbesondere eine natürliche Zahl – ist. Üblicherweise wird sie im Unterricht zunächst nicht als Multiplikation motiviert und daher auch nicht mit einem Malpunkt, sondern einem von als „Rechenzeichen“ notiert.

56

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung Bruch als Anteil auch als spezieller Operator verstanden werden, der sich auf die jeweilige Einheit bezieht. (Wartha & Güse, 2009, S. 264)

Allen dargestellten Auffassungen ist gemein, dass unabhängig von der Grenze der Kategorisierungen eine Anschauung stets als Spezialfall der anderen verstanden wird. Dies erscheint vor dem Hintergrund der Bestimmung eines Bruchteils „ ba von einem Ganzen“ plausibel: Das Vorgehen geht grundsätzlich mit drei aufeinander folgenden Schritten einher. Zunächst wird das Ganze identifiziert. Anschließend wird es in b gleich große Teile zerlegt (en.: partitioning) (Pothier & Sawada, 1983). Von diesen Teilen werden a Stücke genommen. Das Resultat ergibt den gesuchten Bruchteil (Padberg & Wartha, 2017). Diesem Vorgehen liegt eine operative Vorgehensweise zu Grunde. Es ist dabei insbesondere unabhängig davon, ob das Ganze ikonisch kontinuierlich, ikonisch diskret, oder formal symbolisch angegeben wird (Baturo & Cooper, 1999), was in Abbildung 2.2 am Beispiel von 23 dargestellt ist. ikonisch, kontinuierlich

ikonisch, diskret

formal, symbolisch

Identifizieren des Ganzen

6

Zerlegen in drei gleich große Teile

6:3=2

Nehmen von zwei solchen Teilen

2·2=4

Abbildung 2.2. Notwendige Teilschritte zur Bestimmung eines Bruchteils am Beispiel von 23 in ikonischer und symbolischer Repräsentation.

Diese Überlegung kann daher eine andere Interpretation der Anteilsvorstellung motivieren, die an dieser Stelle vorgeschlagen werden soll: Eine Unterscheidung unterschiedlicher Vorstellungen auf der Grundlage der Darstellung, in der das Ganze angegeben ist, erscheint vor dem Gesichtspunkt identisch ablaufender Prozesse bei der Bestimmung eines Bruchteils nicht notwendig. Vielmehr kann der Umgang mit diversen unterschiedlichen Ganzen als ein und die selbe operative Vorgehensweise, jedoch in verschiedenen Darstellungen oder auf anderen Repräsentationsebenen (Bruner, 1960/1970) aufgefasst werden. In diesem Zusammenhang erscheint es plausibel, eine Einführung der Bruchzahlen über ikonisch kontinuierliche Darstellungen vorzunehmen und mittels ikonisch diskreter Darstellungen zu formal symbolischen Problemstellungen überzugehen: So kann nach Bruner (1960/1970) angenommen werden, dass die Entwicklung des Denkens mit unterschiedlichen Repräsentationsebenen verbunden ist. Weiter geht man davon aus, dass gerade für

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

57

Kinder das Arbeiten in einer enaktiven Ebene mit konkreten Handlungen gewinnbringend sein kann, bevor mit ikonischen (d. h. bildhaften) und darauf aufbauend mit symbolischen Darstellungen gearbeitet wird (Reiss & Hammer, 2013). Insbesondere ist diese Reihenfolge in der Verwendung unterschiedlicher Repräsentationen identisch zu im Sinne traditioneller und fachdidaktisch motivierter Curricula zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffes. Diese theoretische Überlegung einer Bündelung der Anteilsvorstellung für ikonische und symbolisch Ganze zu ein und demselben Subkonzept erscheint auch vor dem Hintergrund empirischer Untersuchungen plausibel. In einer groß angelegten Studie mit Schülerinnen und Schülern der fünften und sechsten Jahrgangsstufe wurde das Modell von Behr et al. (1983) validiert. Dieses Modell weist weitreichende Ähnlichkeiten zu den soeben zitierten fachdidaktischen Theorien auf und geht darüberhinaus davon aus, dass ein Verständnis von Brüchen als Anteile notwendige Voraussetzung für ein Verständnis von Brüchen als Operatoren ist. Auf der Basis einer Strukturgleichungsmodellierung zeigte sich eine Faktorladung nahe 100 % zwischen den Konstrukten Anteil und Operator (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2005). Dies unterstützt den hier dargelegten Gedanken, eine Vorstellung von Brüchen als Anteile bzw. multiplikative Handlungsanweisungen nicht als voneinander getrennte Subkonzepte, sondern vielmehr ein und dasselbe Subkonzept Teil vom Ganzen zu interpretieren, das im Sinne Bruners (1960/1970) zunächst auf der Basis ikonischer und anschließend symbolischer Repräsentationen aufgebaut werden kann. Jedoch kann insbesondere vor dem Hintergrund der Conceptual Change-Theorie ein grundsätzliches Problem bei dieser operativ aufgefassten Anteilsvorstellung, insbesondere im Zusammenhang mit diskreten Ganzen identifiziert werden: Grundlage sind stets Zählstrategien (Carraher, 1993). Die Übergeneralisierung des Zählaspektes von natürlichen Zahlen auf Brüche wurde jedoch als einer der maßgeblichen Faktoren für einen Natural Number Bias in Verbindung mit zahlreichen Problemen von Schülerinnen und Schülern identifiziert (vgl. Abschnitt 2.2.1). Es erscheint daher plausibel zu hinterfragen, ob eine einseitig auf Zählstrategien basierende Einführung von Bruchzahlen die Entwicklung tragfähiger Konzepte für die Bruchrechnung tatsächlich geeignet unterstützen kann (Mamede, Nunes & Bryant, 2005; Moss, 2005; Vamvakoussi et al., 2012). Offen bleibt die Frage, ob weitere Subkonzepte im Unterricht vermittelt werden können, die nicht ausschließlich auf Zählstrategien beruhen und damit der Gefahr einer Übergeneralisierung des Zählens entgegenwirken können. Im Folgenden werden daher zusätzliche Subkonzepte des Konzeptes Teil vom Ganzen vorgestellt, namentlich der Teil mehrerer Ganzer, das Maß auf dem Zahlenstrahl und die Größenordnung eines Bruches, die unterschiedliche Ansätze bieten diesem Problem zu begegnen. 2.3.1.2 Subkonzept Teil mehrerer Ganzer

Das Subkonzept Teil mehrerer Ganzer baut auf der Vorstellung „Dividieren als gerechtes Verteilen“ auf, das in der Primarstufe häufig zur Einführung der Division verwendet wird (Padberg & Benz, 2011; Padberg & Büchter, 2015). Dieses Subkonzept kann analog zur Division in der Primarstufe gut enaktiv vermittelt werden, da der Vorstellung eine

58

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

konkrete Handlung – das Verteilen – zugrunde liegt (Lamon, 1996, 2012), was als Vorteil bezeichnet werden kann. Speziell kann hier auf reale Kontexte, wie Pizzen, Schokoladenriegel oder Schokoladentafeln sowie Bonbontüten zurückgegriffen werden (z. B. Streefland, 1991, 1993), die nach einer enaktiven Betrachtung plausibel in die gängigen ikonischen Darstellungen Kreisdiagramm, Balken, Rechteckdiagramm und diskrete Menge übergeführt werden können. Exemplarisch ist dies für den Bruch 43 als konkrete Verteilungssituation von drei Schokoriegeln an vier Kinder und ikonisch als 41 von drei Balken in Abbildung 2.3 dargestellt. Enaktiv

3 Schokoriegel werden an 4 Kinder verteilt.

Ikonisch

1 4

von 3 Balken

Abbildung 2.3. Der Bruch 43 als Teil mehrerer Ganzer als Verteilung von drei Schokoriegeln an vier Personen (nach Padberg, 2009, S. 36) und als 41 von drei Balken.

Trotz des eher intuitiven Zugangs über gerechte Verteilungssituationen müssen Kinder hier zunächst akzeptieren, dass „mehrere Ganze ... das neue [Hervorhebung im Original] Ganze bilden, das gerecht verteilt werden soll“ (Padberg & Wartha, 2017, S. 28). Es ist daher nachvollziehbar, dass sich dieses Subkonzept für Schülerinnen und Schüler empirisch als schwieriger erweist, als das Subkonzept Teil eines Ganzen (Neumann, 1997). Dies kann die Relevanz dafür, in konkreten Unterrichtssituationen explizit auf die Abgrenzung zum zumeist vorher vermittelten Subkonzept des Teils eines Ganzen zu achten, unterstreichen: Eine Tüte mit acht Bonbons sind nicht mehrere Ganze, vielmehr wird die Tüte als das Ganze betrachtet. Gleiches gilt für die ikonische Darstellung diskreter Mengen, in denen die Menge als das Ganze interpretiert wird. Auch symbolisch wird eine Zahl, etwa 8, formal als ein Ganzes betrachtet. Beim Subkonzept Teil mehrerer Ganzer geht es hingegen um die explizite Betrachtung mehrerer identischer Ganzer, etwa drei gleich großen Pizzen, drei Tüten mit je acht Bonbons, drei identisch unterteilten Rechtecke oder schließlich formal-symbolisch 3 · 8 (Lamon, 2012, S. 21-24). Die Akzeptanz der Äquivalenz der beiden Subkonzepte Teil eines Ganzen und Teil mehrerer Ganzer kann als ein weiterer Schritt auf dem Weg zu einem ganzheitlichen Verständnis von Bruchzahlen verstanden werden (Padberg, 2009).

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

59

Diese Äquivalenz ist formal eine direkte Folge der Eigenschaften der Multiplikation auf der Menge der rationalen Zahlen a 1 · x = · (ax) b b

(2.2)

und kann im Kontext der Verteilung der Schokolade aus Abbildung 2.3 altersgerecht etwa wie folgt formuliert werden: „Es ist egal, ob ich 43 von einem Schokoriegel, oder je 41 von drei Schokoriegeln bekomme.“ Eine mögliche ikonische Repräsentation, die als Beispiel für ein intendiertes mentales Modell für diesen formalen Sachverhalt gelten kann, ist in Abbildung 2.4 in Form von Kreisdiagrammen dargestellt. Es kann angenommen werden, dass die Ausbildung dieser Vorstellung der Äquivalenz durch die konkrete Gegenüberstellung ähnlicher Abbildungen im Unterricht unterstützt werden kann. 3 4

3 4

vom Kreis

von einem Kreis 1 4

von drei Kreisen

Abbildung 2.4. Äquivalenz von Teil eines Ganzen und Teil mehrerer Ganzer am Beispiel von 43 eines Kreises und 41 dreier Kreise.

Dieses Subkonzept Teil mehrerer Ganzer kann das Konzept Teil vom Ganzen nicht nur auf den realen Kontext des Verteilens erweitern, sondern darüber hinaus neue arithmetische Möglichkeiten eröffnen, die zuvor nicht lösbare Probleme dargestellt haben. Bei formalsymbolisch repräsentierten Ganzen kann sich durch die Betrachtung eines Bruches als Teil mehrerer Ganzer – vgl. Gleichung (2.2) – konsequent die Reihenfolge der arithmetischen Operationen verändern: Zunächst wird multipliziert, anschließend dividiert. Insbesondere lassen sich daher ohne die explizite Einführung der Multiplikation eines Bruches mit einer natürlichen Zahl auch Aufgaben lösen, bei denen das Ganze kein Vielfaches des Nenners ist: Das Subkonzept Teil mehrerer Ganzer kann Schülerinnen und Schülern ohne Vorwissen über das Erweitern und Kürzen von Brüchen auch die Lösung von Aufgaben ermöglichen, in denen das Produkt aus Zähler und Ganzem ein Vielfaches des Nenners ist, z. B. 2 1 von 15 = von 30 = 5 6 6 Hier können alleine auf der Basis einer enaktiv motivierten Vorstellung des Verteilens bereits komplexere arithmetische Probleme gelöst werden, ohne formale Rechenregeln für das Kürzen, das Erweitern oder gar das Multiplizieren von Brüchen zu formulieren. Darüber hinaus ermöglicht diese Betrachtungsweise eine Abgrenzung der natürlichen Zahlen von den Brüchen. Divisionsaufgaben a : b sind auf der Menge der natürlichen

60

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

Zahlen N nur dann lösbar, wenn der Dividend a ein Vielfaches des Divisors b, und insbesondere a > b ist. Aufbauend auf enaktiven Aufgaben wie „Verteile drei Pizzen gerecht an vier Personen.“ lässt sich das Ergebnis der formal-symbolischen Divisionsaufgabe 3 : 4 auf der Menge der rationalen Zahlen Q plausibel als 43 motivieren. Brüche ermöglichen also auch die Bearbeitung eines bisher unlösbaren arithmetischen Problems: Divisionsaufgaben, bei der eine kleinere durch eine größere Zahl dividiert werden soll, und insbesondere der Dividend kein Vielfaches des Divisors sein muss – oder allgemein a : b = ba für alle a, b ∈ N (Padberg & Wartha, 2017, S. 30) – sind unter Rückgriff auf das Konzept Teil vom Ganzen lösbar. Diese Eigenschaft von Brüchen wird international auch als Quotient bezeichnet (z. B. Behr et al., 1993; Moss, 2005). An dieser Stelle kann insbesondere der Mehrwert des in Abbildung 1.3 (S. 29) schematisch dargestellten Modells zur Synthese von fachdidaktischen und psychologischen Perspektiven auf die Entwicklung tragfähiger Konzepte im Bereich der Bruchrechnung illustriert werden. Bettet man den eben dargestellten Lerninhalt in eine Unterrichtssequenz ein, kann eine solche Sequenz alle Bedingungen zur Unterstützung eines erfolgreichen Konzeptwechsels (vgl. Abschnitt 1.2.2) erfüllen: Am Anfang steht die ursprünglich auf N nicht lösbare arithmetische Aufgabe 3 : 4. Zur Lösung dieses Problems wird ein neues Konzept benötigt. An diese Stelle tritt die Vorstellung Teil mehrerer Ganzer als Subkonzept des Konzeptes Teil vom Ganzen. Dieser Aspekt kann glaubwürdig vermittelt werden, da er auf der bereits bekannten Vorstellung der Division als gerechtem Verteilen aufgebaut werden kann. Eine enaktive Verteilung von drei Schokoriegeln an vier Kinder sowie mögliche zugehörige ikonische Darstellungen (vgl. Abbildung 2.3) unterstreichen die Verständlichkeit dieses neuen Konzeptes. Nach diesen Betrachtungen liegt der Schluss nahe, der anfangs unlösbaren Aufgabe 3 : 4 als Ergebnis den Bruch 43 zuzuordnen. Eine abschließende Verallgemeinerung dieser exemplarischen Aufgabe kann für Schülerinnen und Schüler die Möglichkeit eröffnen, sich neuen arithmetischen Problemen erfolgreich zu stellen: Mit Hilfe von Brüchen lassen sich Ergebnisse für bisher unlösbare Divisionsaufgaben formulieren. Die dargestellten Punkte verdeutlichen, dass das Subkonzept Teil mehrerer Ganzer kognitive Prozesse einfordern kann, die über bloßes Zählen hinaus gehen. Dies kann unter anderem den aufgeführten empirischen Befund erklären, dass Aufgaben zum Teil mehrerer Ganzer für Schülerinnen und Schüler schwieriger zu lösen sind als Aufgaben zum Teil eines Ganzen. Dennoch machen neben diesen zusätzlichen Prozessen weiterhin Zählstrategien einen gewissen Teil der Lösungsstrategien aus. 2.3.1.3 Subkonzept Maß auf dem Zahlenstrahl

Auf den ersten Blick kann der Zahlenstrahl6 neben dem Kreis- und Rechteckmodell sowie diskreten Mengen zunächst als eine weitere ikonische Darstellung eines Bruches im Sinne 6 Da im Zuge dieser Arbeit lediglich positive Bruchzahlen betrachtet werden, wird stets vom Zahlenstrahl

gesprochen. Erweitert man den betrachteten Zahlenraum um negative Brüche, spricht man in der deutschen Literatur von einer Zahlengeraden. Die hier dargelegten Überlegungen gelten analog auch für Brüche auf der Zahlengeraden.

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

61

des soeben dargestellten Subkonzeptes Teil eines Ganzen erscheinen. Ein differenzierterer Blick kann jedoch grundlegende Unterschiede zwischen diesen Subkonzepten eröffnen (Bright, Behr, Post & Wachsmuth, 1988). So ist neben dem bereits ausführlich dargelegten Anteilsvorstellung ein weiteres Subkonzept von Bruchzahlen notwendig, um Aufgaben zum Zahlenstrahl korrekt lösen zu können – insbesondere dann, wenn die Anzahl der Teilstücke, in die die Einheit des Zahlenstrahls unterteilt ist, nicht passend zum Nenner des Bruches erscheint (Behr et al., 1983): Diese Einheit – als Synonym für das Ganze auf dem Zahlenstrahl – lässt sich, sobald sie einmal festgelegt wurde, in eine beliebige Anzahl kongruenter Teile zerlegen. Ein Bruch ba kann in diesem Sinn als Maß (en.: measure) für a von insgesamt b kongruenten Teilen dieser Einheit interpretiert werden (Kieren, 1976, S. 124; siehe auch Behr et al., 1993; Kieren, 1976; Wong & Evans, 2008). In diesem Zusammenhang identifiziert Kieren (1976, S. 125) drei Erkenntnisse, die Lernende bei einer stufenweisen Entwicklung des Subkonzeptes Maß auf dem Zahlenstrahl unterstützen können: 1. Beliebige Unterteilung der Einheit: Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass die Einheit auf dem Zahlenstrahl unabhängig von der konkreten Unterteilung ist. Dies bedeutet auch, dass diese Einheit in beliebig viele kongruente Stücke unterteilt werden kann. Dieser Punkte kann insbesondere als Schritt hin zu einer altersgerechten Interpretation der Dichte der rationalen Zahlen verstanden werden. 2. Interpretation der Einheit als Ganzes: Schülerinnen und Schüler sollen verstehen, dass die Vorstellung eines Bruches als Teil vom Ganzen auch auf den Zahlenstrahl anwendbar ist. Zudem sollen sie erkennen, dass sich durch unterschiedliche Unterteilungen der Einheit äquivalente Bruchzahlen an ein und der selben Stelle des Zahlenstrahls ergeben können. Dies legt insbesondere nahe, dass dieses Subkonzept Maß auf dem Zahlenstrahl in konkreten Unterrichtssituationen erst nach der Entwicklung des Konzeptes Erweitern und Kürzen (vgl. Abschnitt 2.3.2) behandelt werden soll. 3. Geordnete Reihenfolge von Bruchzahlen: Schülerinnen und Schüler sollen ein Verständnis dafür entwickeln, dass Brüche nicht nur Teile von Ganzen sind, sondern auch als Zahlen verstanden werden können und insbesondere in aufsteigender Reihenfolge angeordnet werden können. Dies kann als notwendige Voraussetzung für die Ausbildung des Konzeptes Größenvergleich (vgl. Abschnitt 2.3.3) verstanden werden und legt nahe, den Zahlenstrahl im Unterricht vor dem Größenvergleich zu behandeln. Diese Punkte unterstreichen, welche komplexen Eigenschaften der Darstellung von Brüchen auf dem Zahlenstrahl inhärent sind. Ein höherer Schwierigkeitsgrad von Aufgaben zum Zahlenstrahl im Vergleich zu anderen ikonischen Darstellungen zeigt sich auch in empirischen Untersuchungen: In einer Synthese von Studien zur Bruchrechenkompetenz Mitte der 1970er Jahre konnte festgestellt werden, dass Schülerinnen und Schüler in allen betrachteten Studien deutlich größere Schwierigkeiten hatten, Brüche auf dem Zahlenstrahl einzuzeichnen, als sie in Rechteck-, Kreisdiagrammen oder diskreten Mengen zu repräsentieren (Payne, 1976). Weiter konnte in einer Studie mit Schülerinnen und Schülern der fünften

62

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

und siebten Jahrgangsstufe gezeigt werden, dass die Fähigkeit Brüche am unterteilten Balken repräsentieren zu können als grundlegende Voraussetzung dafür bezeichnet werden kann, Brüche auch am Zahlenstrahl repräsentieren zu können (Hannula, 2003). Insbesondere lassen sich die Variation der Einteilung und der Länge nach Novillis-Larson (1980) als zwei schwierigkeitsgenerierende Merkmale für das Eintragen eines echten Bruches auf dem Zahlenstrahl bezeichnen7 . Den geringsten Schwierigkeitsgrad weisen dabei Aufgaben auf, bei denen der Zahlenstrahl exakt die Länge 1 hat und die Unterteilung der Einheit dem Nenner des einzutragenden Bruches entspricht. Ausgehend von dieser im weiteren Verlauf als Grundaufgabe bezeichneten Anforderung, die durch bloßes Zählen gelöst werden kann und als weitgehend ähnlich zu einer Vorstellung Teil vom ganzen Balken bezeichnet werden kann, können die beiden angesprochenen Dimensionen variiert werden. Die Ergebnisse von Novillis-Larson (1980) lassen vermuten, dass sich der Schwierigkeitsgrad erhöhen kann, wenn entweder die Einteilung der Einheit nicht mehr dem Nenner des Bruches entspricht – unabhängig davon ob der Zahlenstrahl feiner oder gröber als nötig unterteilt wird – oder die Länge des Zahlenstrahls über die Einheit hinaus geht. Es erscheint plausibel anzunehmen, dass eine gleichzeitige Variation beider Dimensionen Einteilung und Länge zu einem höheren Schwierigkeitsgrad der Aufgabe führen kann, als eine Variation in nur einer Dimension. Die sechs Aufgabentypen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades, die sich durch derartige Variationen ergeben, sind am Beispiel des Bruches 43 in Tabelle 2.6 dargestellt. Die aufgeführten schwierigkeitsgenerierenden Merkmale lassen sich nicht nur durch niedrigere Lösungsraten belegen, sondern auch durch typische Fehler, die in diesem Zusammenhang von Schülerinnen und Schülern begangen werden. An dieser Stelle werden drei Fehlerstrategien genannt, die grundlegend unterschiedliche Auswirkungen auf die Lösung verschiedener Variationen von Problemen auf dem Zahlenstrahl haben. Bei der Strichestatt-Lücken-Strategie zählen Schülerinnen und Schüler konsequent die Markierungen des Zahlenstrahls und nicht die Stücke (Bright et al., 1988; Mitchell & Horne, 2008). Diese Fehlerstrategie führt dazu, dass beim Eintragen auf dem Zahlenstrahl ein Bruch links von der korrekten Position gesetzt wird und beim Ablesen dementsprechend die Zahl im Zähler größer ist, als beim korrekten Bruch. Insbesondere führt diese Strategie grundsätzlich zu falschen Lösungen bei jedweder Art Aufgaben zum Zahlenstrahl. Verwendet ein Kind die Einteilung-ignoriert-Strategie, so markiert es einen Bruch unabhängig vom Nenner rein auf der Grundlage des Zählers (Baturo & Cooper, 1999). Passt die Einteilung des Zahlenstrahls zum Nenner des Bruches, so werden Aufgaben trotz dieser fehlerbehafteten Strategie 7 Neben den beiden diskutierten schwierigkeitsgenerierenden Merkmalen Einteilung

und Länge findet sich in vielen Publikation auch die Betrachtung lediglich eines Stückes des Zahlenstrahls als weiteres Merkmal schwierigerer Aufgaben. Dabei wird insbesondere nicht die gesamte Einheit, sondern nur ein Teil davon abgebildet. Dies kann bereits bei der Betrachtung des Zahlenstrahls mit ausschließlich natürlichen Zahlen, der nicht bei Null beginnt, zu einem erheblichen Anstieg des Schwierigkeitsgrades – selbst bei Schülerinnen und Schülern der fünften Jahrgangsstufe – führen (Bragg & Outhred, 2000). Aus diesem Grund wird in dieser Arbeit im Zuge der initialen Entwicklung eines Bruchzahlbegriffs auf diese Variation verzichtet. Sie kann jedoch eine herausfordernde Weiterentwicklung der hier diskutierten Aufgaben zum Zahlenstrahl für den weiterführenden Bruchrechenunterricht darstellen.

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

63

Tabelle 2.6 Brüche auf dem Zahlenstrahl in unterschiedlichen Aufgabentypen, die sich durch Variation der beiden Dimensionen Einteilung und Länge ergeben. Einteilung

Länge entspricht Einheit

Länge größer als Einheit

3 4

entspricht dem Nenner

0

3 4 1

0

3 4

Vielfaches des Nenners

0

1

0

3 4

zu grob

0

1

2

1

2

1

2

3 4

3 4 1

0

Anmerkung. Bei der Darstellung von unechten Brüchen entfällt in Konsequenz die Dimension der Länge des Zahlenstrahls in dem Sinn, dass er zur korrekten Darstellung stets über die 1 hinausgehen muss.

korrekt gelöst. Dabei es ist unerheblich, ob die Länge des Zahlenstrahls der Einheit entspricht oder nicht. Bei der Länge-ignoriert-Strategie betrachten Schülerinnen und Schüler den gesamten abgebildeten Zahlenstrahl als das Ganze und ignorieren somit die Einheit des Zahlenstrahls (Payne, 1986). Folglich können Aufgaben, bei denen der Zahlenstrahl exakt eine Einheit lang ist, dennoch korrekt gelöst werden. Die Einteilung des Zahlenstrahls ist dabei unerheblich. Es ist denkbar, dass diese Fehlerstrategien auch in Kombination auftreten können. Eine Übersicht über diese fehlerbehafteten Strategien sowie die durch sie resultierende Lösbarkeit verschiedener Aufgaben zum Zahlenstrahl ist in Tabelle 2.7 dargestellt.

Tabelle 2.7 Typische Fehler beim Arbeiten mit dem Zahlenstrahl am Beispiel des Bruches 43 sowie die Lösbarkeit der Grundaufgabe (Länge entspricht der Einheit, Unterteilung der Einheit entspricht dem Nenner des Bruches) sowie Variationen bezüglich Länge und Einteilung. Fehlerstrategie Striche-statt-Lücken Einteilung-ignoriert Länge-ignoriert

Beispiel 3 4 0

1

3 4 0

1

3 4 0

1

2

Grundaufgabe

Variation Länge

Variation Einteilung

nicht lösbar

nicht lösbar

nicht lösbar

lösbar

lösbar

nicht lösbar

lösbar

nicht lösbar

lösbar

64

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

Diese Punkte verdeutlichen, dass das Subkonzept Maß auf dem Zahlenstrahl das Konzept Teil vom Ganzen um kognitive Anforderungen erweitert, die über das reine Abzählen hinausgehen, sobald die Einteilung der Einheit nicht mehr dem Nenner des Bruches, oder die Länge des Zahlenstrahls nicht mehr seiner Einheit entspricht. Dieser Erweiterung des Bruchzahlbegriffs liegen nach Kieren (1976) drei Erkenntnisse zugrunde – konkret die beliebige Unterteilung der Einheit des Zahlenstrahls, die Interpretation der Einheit als Ganzes und die geordnete Reihenfolge von Bruchzahlen. Insbesondere erscheinen diese Erkenntnisse eng verbunden mit drei der Dimensionen des Natural Number Bias – konkret der Dichte, der Darstellung und der Größe. Es ist damit plausibel, den Zahlenstrahl im Sinne der Conceptual Change-Theorie insbesondere als diagnostisches Werkzeug zu verwendet (z. B. Merenluoto, 2003). Weiter kann ihm auch aus fachdidaktischer Sicht weitreichende Bedeutung als profundes Werkzeug zur Überwindung des Natural Number Bias zugesprochen werden: Er kann genutzt werden, um die Ausbildung einer altersgerechten Auffassung von rationalen Zahlen als dichte Teilmenge der reellen Zahlen geeignet zu unterstützen. In diesem Zusammenhang kommt dem Konzept Erweitern und Kürzen (vgl. Abschnitt 2.3.2) eine wichtige Rolle zu. 2.3.1.4 Subkonzept Größenordnung

Angesichts replizierbarer empirischer Belege kann davon ausgegangen werden, dass sich in der frühkindlichen Entwicklung die Fähigkeit Größenordnungen verschiedener kontinuierlicher Mengen – etwa Flüssigkeitssäulen – zu unterschieden bereits vor der Fähigkeit zu zählen entwickelt. In einer Studie mit Säuglingen im Alter von sechs bis acht Monaten konnte festgestellt werden, dass diese vornehmlich auf die Veränderung der Seitenlänge von Quadraten, nicht aber auf die Anzahl der Quadrate reagierten (Clearfield & Mix, 1999). Diese Ergebnisse konnten in nachfolgenden Untersuchungen und strengeren wissenschaftlichen Kriterien weitgehend repliziert werden (Clearfield & Mix, 2001; Feigenson, Carey & Spelke, 2002)8 . Vor diesem Hintergrund der frühkindlichen Entwicklung einer Sensibilität für verschiedene Größenordnung erscheint es daher eher unzureichend ausschließlich solche ikonische Darstellungen von Brüchen im Unterricht zu verwenden, die maßgeblich auf Zählstrategien zurückgreifen. Im Folgenden werden daher weitere ikonische Darstellungen diskutiert, die auf eine intuitive Fähigkeit zum Erfassen von Bruchzahlen zielen und von denen insbesondere angenommen werden kann, dass sie nicht durch Zählen verarbeitet werden können. In dieser Arbeit wird hierfür der Begriff der Größenordnung (en.: magnitude) eines Bruches verwendet, der stets im Zusammenhang mit einer weiteren Darstellung des Ganzen verstanden werden muss. Es erscheint plausibel, dass diese vornehmlich intuitive Vorstellung der Größenordnung eines Bruches in Verbindung mit diskreten Mengen nicht ausgebildet werden kann. Weiter 8 Die genannten empirischen Befunden können darüber hinaus als nicht im Einklang mit der in Abschnitt

2.2.3 kurz dargestellten Innate-Constraint-Theorie als alternativem Erklärungsansatz für den Natural Number Bias bezeichnet werden: In der Theorie wird gerade angenommen, dass die Fähigkeit zum Erfassen konkreter Anzahlen der Elemente einer Menge angeboren wäre und Säuglinge daher insbesondere vor der Erfassung von Anteilen diskrete Anzahlen wahrnehmen können.

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

65

erscheinen auch in gleich große Stücke unterteilte kontinuierliche Darstellungen unpassend, da durch die bereits vorgegebene Unterteilung intuitiv erneut Zählstrategien aktiviert werden können. Diese Darstellungen sind im engeren Sinne der Wortbedeutung zwar nicht diskret, können aber als diskretisierbar bezeichnet werden (DeWolf et al., 2015). Daher sind zusätzliche Darstellungen notwendig, um die Ausbildung des Subkonzeptes Größenordnung geeignet unterstützen zu können. Eine erste Möglichkeit ist das Modell von Carraher (1993), das auf einer Darstellung zweier Balken unterschiedlicher Länge beruht. Dabei wird einer der Balken als Referenz definiert und entspricht formal einem Intervall [0; 1]. Diese beiden Balken werden nun ins Verhältnis zueinander gesetzt, sodass der zweite Balken   bezüglich des Referenzbalkens einem Intervall 0; ba entspricht. Altersgerecht wird dieser zweite Balken durch das Ende des Intervalls identifiziert: Er ist ba des Referenzbalkens. Die hier vorgestellte Repräsentation ist am Beispiel des Bruches 25 in Abbildung 2.5 zunächst mit (links) und ohne (rechts) Zahlenstrahl als zusätzliche Referenz dargestellt. mit Zahlenstrahl

ohne Zahlenstrahl

Referenzbalken Darstellung von

2 5 0

1

Abbildung 2.5. Hybridmodell zur ikonischen Darstellung eines Bruches ohne Möglichkeit zum Rückgriff auf Zählstrategien, mit (links) und ohne (rechts) Zahlenstrahl als zusätzlicher Referenz am Beispiel des Bruches 25 (nach Carraher, 1993, S. 285, 287).

Diese Darstellungen haben weitreichende Ähnlichkeit zur Arbeit mit CuisenaireStäbchen (z. B. Lamon, 2012) und finden sich bereits bei Kieren (1976), der sie neben dem Zahlenstrahl als typische Repräsentation für den Maßaspekt von Brüchen aufführt. Jedoch geht Carraher (1993) einen Schritt weiter und bezeichnet dieses Modell als Hybridmodell in dem Sinn, dass es zugleich die Interpretation eines Bruches als Verhältnis und als Maß adressiert. Insbesondere ergibt sich nach der Entfernung des Zahlenstrahls als zusätzlicher Referenz ein Aufgabentyp, der sich nicht mehr durch Zählen von Stücken lösen lässt, sondern nur durch das zu Grunde liegende Verhältnis der beiden Längen zueinander: By suppressing the number line altogether we can work in a non-metric space, with no unit of measure, in which the lengths of line segments are mutually defined according to their relative magnitude. (Carraher, 1993, S. 285) An dieser Stelle ist anzumerken, dass die ursprüngliche Intention dieser Aufgaben nicht die Entwicklung eines intuitiven Verständnisses für die Größenordnung eines Bruches ist. Stattdessen steht nach Carraher (1993, 1997) das Verhältnis der beiden Balken zueinander im Vordergrund. Wenn der zweite Balken genau ba des ersten Balkens ist, dann lässt sich ein kleinstes gemeinsames Segment finden, in das beide Balken ganzzahlig zerlegt werden können: Dieses Segment erhält man, wenn man den Referenzbalken in a gleich große Stücke,

66

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

oder den zweiten Balken in b gleich große Stücke teilt. Dieser sehr formale Zugang entspricht jedoch nicht dem in dieser Arbeit intendierten Zweck von Aufgaben dieser Art. Vielmehr können aufbauend auf dem Gedanken einer kontinuierlichen, nicht-diskretisierbaren Referenzgröße Aufgabenformate entwickelt werden, die nicht das Ziel verfolgen, numerisch exakte Ergebnisse zu erhalten, sondern eine intuitive und ausreichend genaue Vorstellung der Größenordnung eines Bruches bezüglich einer solchen Referenzgröße auszubilden (Hoch, Reinhold & Reiss, 2016). Hierfür erscheinen der nicht-unterteilte Balken, aber auch der Kreis, geeignete Referenzgrößen zu sein, da sie den Schülerinnen und Schülern bereits aus diskretisierbaren Darstellungen bekannt sind und das Ganze auf den ersten Blick zu erfassen ist. Aufbauend auf Carrahers (1993) Darstellung übereinanderliegender Balken zur Bestimmung des Bruches als Verhältnis der beiden Balken sind kontinuierliche Darstellungen, die die Ausbildung des Subkonzepts Größenordnung unterstützen können, exemplarisch für den Bruch 25 in Abbildung 2.6 dargestellt. Anteil des Balkens B am Balken A A B

etwa

2 5

des Balkens

etwa

2 5

des Kreises

2 5

Abbildung 2.6. Anteilsvorstellung im Hybridmodell (links) und approximative Darstellung konkreter Bruchteile am nichtunterteilten kontinuierlichen Balken (mittig) und Kreis (rechts), exemplarisch im Sinne einer Vorstellung der Größenordnung des Bruches 25 (nach Hoch, Reinhold & Reiss, 2016, S. 430).

Bereits Behr et al. (1983) führen diese nicht-unterteilten kontinuierlichen ikonischen Darstellungen als Ergänzung diskretisierbarer Darstellungen auf9 . Auch im Sinne der Conceptual Change-Theorie kann dem Subkonzept der Größenordnung eines Bruches eine weitreichende Bedeutung für die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs zugeschrieben werden (z. B. Vamvakoussi & Vosniadou, 2010). Insbesondere kommt der Fähigkeit, die Größenordnung eines Bruches intuitiv einschätzen zu können, vor allem im Bereich des Größenvergleichs von Brüchen eine bedeutende Rolle zu (z. B. Meert et al., 2010). Dies lässt sich nicht nur theoretisch plausibilisieren, sondern deckt sich darüber hinaus mit empirisch gewonnenen Ergebnissen. So zeigt sich etwa in einer Studie mit Viertklässlerinnen und Viertklässlern, dass sich typische Schülerfehler beim Größenvergleich nicht durch eine mangelnde Fähigkeit im Umgang mit diskretisierbaren Darstellungen zurückführen lassen. Jedoch erweist sich die Fähigkeit, die Größenordnung eines Bruches abschätzen zu können, sehr wohl als erklärende Variable für diese Fehler, die aufgrund eines Natural Number Bias geschehen können (Malone & Fuchs, 2016). Dies unterstreicht die fachdidaktische Bedeutung der 9 Es kann sich die Frage eröffnen, ob Schülerinnen und Schüler nicht auch bei derartigen kontinuierlichen

Darstellungen gerade nicht auf eine intuitive Größenordnung eines Bruches, sondern erneut auf Zählschemata zurückgreifen, indem sie zunächst eine Unterteilung in gleiche große Stücke vornehmen. Wie sich zeigt, kann diesem Arbeitsverhalten jedoch mit der Verwendung digitaler Unterrichtsmedien bei geeigneter Implementierung erfolgreich entgegengewirkt werden (Hoch, Reinhold, Werner, Reiss & Richter-Gebert, 2017).

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

67

Ausbildung dieses zusätzlichen Subkonzeptes auch vor dem psychologischen Hintergrund einer Minimierung des Einflusses eines Natural Number Bias. Zusammenfassung zum Konzept Teil vom Ganzen

In der vorliegenden Arbeit wird das Konzept Teil vom Ganzen als grundlegende Voraussetzung für die Entwicklung eines Bruchzahlbegriffes bei Schülerinnen und Schülern verstanden. Dabei kann die Auffassung eines Bruches als Trias – bestehend aus Anteil, Ganzem und Bruchteil – als zentral bezeichnet werden. Weiter wird angenommen, dass die Ausbildung dieses Konzeptes durch die Vermittlung von vier Subkonzepten geeignet unterstützt werden kann. Zu diesen zählen konkret: Brüche als Teil eines Ganzen – insbesondere im Sinn eines flexiblen Umgangs mit unterschiedlichen Darstellungen von Brüchen sowie der zu Grunde liegenden operativen Vorgehensweise zur Bestimmung von Bruchteilen (vgl. Abschnitt 2.3.1.1); Brüche als Teil mehrerer Ganzer – sowie die Äquivalenz dieser beiden Subkonzepte (vgl. Abschnitt 2.3.1.2); Brüche als Maß auf dem Zahlenstrahl – auch im Sinn einer altersgerechten Interpretation der Dichte der rationalen Zahlen (vgl. Abschnitt 2.3.1.3); und die Größenordnung eines Bruches – die einen Umgang mit nicht unterteilten kontinuierlichen Darstellungen ohne Rückgriff auf Zählstrategien ermöglicht (vgl. Abschnitt 2.3.1.4). Eine Übersicht über ikonische und symbolische Darstellungen, die aufgrund bestehender fachdidaktischer wie psychologischer Befunde zur Vermittlung dieser Subkonzepte geeignet erscheinen, ist in Tabelle 2.8 (S. 68) aufgeführt.

2.3.2 Konzept Erweitern und Kürzen Ausgehend von einer ersten konkreten Vorstellung davon, was unter einem Bruch zu verstehen ist, werden im Anschluss traditionell wertgleiche Brüche betrachtet. Hier stehen Erweitern und Kürzen üblicherweise als syntaktische Rechenoperationen im Vordergrund. Jedoch kann ihrer semantischen Bedeutung Relevanz für die Entwicklung eines Bruchzahlverständnisses beigemessen werden: Die Dimensionen Darstellung und Dichte sind als zwei der vier Dimensionen des Natural Number Bias identifiziert worden (vgl. Abschnitt 2.2.1). Vor dem Hintergrund eines als intuitiv ablaufend angenommenen Natural Number Bias kann daher davon ausgegangen werden, dass eine Konzentration auf die namentlich gleichen arithmetischen Operationen10 einen Konzeptwechsel in den genannten Dimensionen nicht ausreichend unterstützen kann. Vielmehr kann es zur Entwicklung eines tragfähigen Konzepts beitragen, im Mathematikunterricht vorab die Entwicklung einer intuitiven Vorstellung des Erweiterns und Kürzens zu unterstützen (Hart, 1987), auf deren Basis im Anschluss kalkülorientierte Aufgaben durchgeführt und veranschaulicht werden können 10 Von

einem formalen Standpunkt aus können Erweitern und Kürzen nicht nur als arithmetische Operationen verstanden, sondern als inhärente Eigenschaft der Definition eines Bruches als Repräsentant einer Äquivalenzklasse wie in (2.1) aufgefasst werden. Diese syntaktische Betrachtung erscheint aus den in Abschnitt 2.1.1 dargestellten Gründen jedoch als weitgehend unpassender Zugang für die frühe Sekundarstufe, weshalb sie an dieser Stelle nicht näher betrachtet wird.

68

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

Tabelle 2.8 Überblick über ikonische und symbolische Darstellungen am Beispiel des Anteils 43 , die zur Vermittlung der Subkonzepte zum Konzeptes Teil vom Ganzen geeignet erscheinen. Darstellung

Eigenschaften

Kontinuierlich

mit Einteilung, Anzahl der Stücke entspricht dem Nenner

Teil eines Ganzen

Teil mehrerer Ganzer

mit Einteilung, Anzahl der Stücke ist Vielfaches des Nenners

nicht sinnvolla

ohne Einteilung Diskret

Anzahl entspricht dem Nenner

Anzahl ist Vielfaches des Nenners

3 4

Zahlenstrahl

Einteilung entspricht dem Nenner

Symbolisch

Einteilung ist Vielfaches des Nenners Ganzes entspricht dem Nenner

3 4

Ganzes ist Vielfaches des Nenners

3 4

0

1

3 4 0

1

nicht sinnvolla nicht sinnvolla

von 4 = 3 · 1 = 3

3 4

von 8 = 3 · 2 = 6

3 4

von 4 =

1 4

von 12 = 3

von 8 =

1 4

von 24 = 6

Anmerkung. An dieser Stelle werden als ikonische Repräsentationen im kontinuierlichen Fall Rechteckdiagramme und im diskreten Fall Kreise verwendet. Ebenso lassen sich die hier dargestellten Bruchteile auch mit Hilfe von Kreisdiagrammen und beliebigen diskreten Objekten veranschaulichen. a Der Grundgedanke des Hybridmodells von Carraher (1993) ist die Entwicklung einer Vorstellung zur Größe eines Anteils. Auf dem Zahlenstrahl ist die 1 stets als konkretes Ganzes zu verstehen. Daher erscheinen beide Repräsentation nur in der Interpretation als Teil eines Ganzen sinnvoll.

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

69

(Prediger, 2006). Insbesondere erscheinen in diesem Zusammenhang die beiden deutschen Begriffe Erweitern und Kürzen bisweilen ungünstig, da sie als alltagssprachlich gebrauchte Begriffe nicht die fachsprachliche Intention wiedergeben: Außerhalb eines mathematischen Kontextes verbinden Schülerinnen und Schüler mit Erweitern eine Vergrößerung, mit Kürzen meist eine Verkleinerung, während die arithmetischen Operationen die Größe der Zahl unverändert lassen (Padberg & Wartha, 2017). Zur Unterstützung der Ausbildung des Konzeptes Erweitern und Kürzen erscheint die Vermittlung der in diesem Abschnitt dargestellten vier Subkonzepte Verfeinern und Vergröbern, Einbettung der natürlichen Zahlen, Gemischte Schreibweise und Dichte gewinnbringend. 2.3.2.1 Subkonzept Verfeinern und Vergröbern

Im Rahmen dieser Arbeit kann Erweitern als eine Verfeinerung der vorgegebenen Einteilung und analog Kürzen als eine Vergröberung der vorgegebenen Einteilung verstanden werden (Malle, 2004; Winter, 1999). Dieses Subkonzept erscheint vor allem für ikonische Darstellungen von Brüchen sinnvoll, die kontinuierlich und unterteilt sind, was als eine Begründung dafür interpretiert werden kann, dass diese traditionell zur Erarbeitung der formalen arithmetischen Operationen Erweitern und Kürzen verwendet werden (z. B. Padberg & Wartha, 2017). Auch an dieser Stelle eignen sich enaktive Zugänge zur Unterstützung der Entwicklung der eben genannten Vorstellung, etwa das wiederholte Falten von Papier (z. B. Prediger, 2006), das Zerbrechen von Schokolade (z. B. Streefland, 1991) oder das Zerschneiden einer Pizza (z. B. Winter, 2004). Die genannten Beispiele zeigen, dass es gerade vor dem Hintergrund enaktiver Aufgaben sinnvoll erscheint, das Erweitern vor dem Kürzen zu betrachten. Ausgehend von konkreten Handlungen lassen sich diese Vorgänge an den üblichen ikonischen Darstellungen formalisieren. Dies kann schließlich den Übergang zu einem syntaktischen Arbeiten mit den beiden Operationen bilden. Eine exemplarische Entwicklung der Gleichwertigkeit der Brüche 21 und 24 , ausgehend vom nochmaligen Halbieren einer halben Pizza, über die Verfeinerung der Einteilung an einem Kreisdiagramm, hin zu der Multiplikation des Zählers und des Nenners mit dem Faktor 2 wird im nächsten Absatz in Verbindung mit Abbildung 2.7 erläutert. Der gleichbleibende Anteil vom Ganzen ist das zentrale Merkmal dieser Verfeinerungsoperation. Im dargestellten Beispiel liegt auf dem linken Teller eine halbe Pizza, auf dem rechten zwei Viertel11 . In Verbindung mit der ikonischen Darstellung am Kreisdiagramm lassen sich die Brüche konkret benennen: Offensichtlich sind 21 und 24 gleichwertig in dem Sinn, dass sie ein und denselben Anteil vom Ganzen beschreiben, denn „unterteilen wir 11 An dieser Stelle ist gerade bei der Verwendung von Aufgaben mit Realkontext Vorsicht geboten, was an

zwei auf den ersten Blick ähnlich anmutenden Aufgaben erläutert werden soll. Das Halbieren einer halben Pizza ist ein geeigneter Kontext, um die Äquivalenz von 21 und 24 hervorzuheben. Das gerechte Verteilen einer halben Pizza an zwei Kinder erscheint hingegen an dieser Stelle kontraproduktiv, da sich der Anteil verändert.

70

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung Enaktiv

Ikonisch

Eine halbe Pizza wird nochmals halbiert.

Die Einteilung am Kreisdiagramm wird verfeinert.

Abbildung 2.7. Erweitern des Bruches 21 mit 2 als nochmaliges Halbieren einer halben Pizza (links) und als Verfeinern der Einteilung im Kreisdiagramm (rechts).

die Ausgangsfläche doppelt so oft, so ist jede Teilfläche nur halb so groß, also müssen wir doppelt so viele Teilstücke zusammenfassen [Hervorhebungen im Original]“ (Padberg & Wartha, 2017, S. 44). Der Zugang zur Gleichwertigkeit dieser Bruchzahlen wird hier rein über das Benennen der ikonisch repräsentierten Brüche hergestellt, nicht über eine arithmetische Operation. Vielmehr kann der Vergleich der beiden als gleichwertig identifizierten Bruchzahlen nach ihrer Identifikation als Grundlage für einen syntaktischen Zugang dienen: Wird die Ausgangsfläche in doppelt so viele Stücke unterteilt, wie ursprünglich vorhanden waren – also der Nenner mit zwei multipliziert – müssen für einen gleichwertigen Anteil auch doppelt so viele Stücke genommen werden – also muss analog der Zähler mit zwei multipliziert werden. Dies kann als Zugang zum Erweitern als formale arithmetische Operation zur Erzeugung wertgleicher Brüche bezeichnet werden. Ein analoger Zugang führt zum Kürzen eines Bruches als Vergröbern der Einteilung, also als Umkehrung des Erweiterns und schließlich als Division von Zähler und Nenner durch ein und dieselbe Zahl. Dabei ist zentral, dass die Unterteilung einer Pizza zwar beliebig verfeinert werden kann, eine mögliche Vergröberung allerdings von der ursprünglichen Unterteilung abhängt. Aufbauend auf dieser Erkenntnis lässt sich eine grundsätzliche Unterscheidung zwischen dem Erweitern und dem Kürzen durch weitere ikonische Beispiele und den direkten Vergleich der beiden Operationen auch syntaktisch formulieren: Ein Bruch ba kann mit jeder natürlichen Zahl erweitert werden, aber nur mit gemeinsamen Teilern von a und b gekürzt werden. Insbesondere können Brüche ba als vollständig gekürzt bezeichnet werden, wenn a und b teilerfremd sind (z. B. Padberg & Wartha, 2017). Diese Unterscheidung kann als letzter Schritt hin zu einer formalen Erarbeitung dieser beiden Operationen gesehen werden und kann die Vermittlung des Subkonzeptes Erweitern und Kürzen als Verfeinern und Vergröbern abschließen. Eine Übersicht über die dafür genutzten Ideen des Verfeinerns bzw. Vergröberns auf der Bedeutungsebene, hin zur Multiplikation bzw. Division von Zähler und Nenner mit ein und derselben Zahl, ist in Abbildung 2.8 exemplarisch am Ausgangsbruch 68 dargestellt. Eines der vorrangigen Ziele dieses Zugangs ist dabei die Akzeptanz der Schülerinnen und Schüler, dass ein und derselbe Anteil in konkreten Situationen durch verschiedene Unterteilungen beschrieben werden kann (z. B. Prediger, 2006), insbesondere auch auf formal-symbolischer Ebene durch Brüche mit verschiedenen Zählern und Nennern. Vor

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias Kürzen Gröbere Einteilung

Vergröbern

Erweitern Ursprüngliche Einteilung

Weniger & größere Stücke

6:2 8:2

=

3 4

Zähler & Nenner durch 2

71

Verfeinern

Feinere Einteilung

Mehr & kleinere Stücke

6 8

Zähler & Nenner mal 2

6 ·2 8 ·2

=

12 16

Abbildung 2.8. Erweitern und Kürzen als Verfeinern und Vergröbern der Einteilung, in der semantischen Ebene (oben), in ikonischer Darstellung (mittig) und formal-symbolisch (unten), am Beispiel des Bruches 68 am unterteilten Quadrat.

dem Hintergrund der Conceptual Change-Theorie stellt dieses Akzeptieren als affektiver Faktor einen wichtigen Schritt zu einem gelungenen Konzeptwechsel dar: Weg vom Gedanken der eindeutigen symbolischen Darstellung einer Zahl und hin zur Interpretation von Erweitern und Kürzen als arithmetische Operationen zur Erzeugung wertgleicher – aber dennoch symbolisch unterschiedlicher – Brüche. Dies kann unter anderem als altersgerechte Interpretation der Definition eines Bruches als Repräsentant einer Äquivalenzklasse bezeichnet werden. 2.3.2.2 Subkonzept Einbettung der natürlichen Zahlen

Gerade in diesem Zusammenhang kann die Einbettung der natürlichen Zahlen in diesen für Schülerinnen und Schüler zu diesem Zeitpunkt neuen Kontext der Bruchzahlen eine wichtige Rolle spielen. Sie kann die Glaubwürdigkeit der neuen Konzepte in dem Sinn unterstreichen, dass sie sich als verträglich mit den bis zum Zeitpunkt des Bruchrechenunterrichts verwendeten natürlichen Zahlen zeigen. Insbesondere existieren diese natürlichen Zahlen auch im Kontext von Brüchen weiter: Sie können als Scheinbrüche mit Nenner 1 notiert werden oder als Brüche, bei denen der Zähler ein ganzzahliges Vielfaches des Nenners ist (Winter, 2004): 1=

1 3 13 = = , 1 3 13

3=

3 9 39 = = . 1 3 13

Somit verlieren auch die natürlichen Zahlen im Kontext von Brüchen ihre eindeutige symbolische Darstellung. Hier kann nicht angenommen werden, dass diese Einbettung bei Schülerinnen und Schülern von selbst geschieht, wie die Analyse typischer Schülerfehler im Bereich aller vier Grundrechenarten offenbart. So erwiesen sich in einer Studie mit über 800 Realschülerinnen und Realschülern unter anderem bei der Addition Aufgaben als schwieriger, in denen

72

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

sowohl Brüche als auch natürliche Zahlen vorkamen. Aufgaben, in denen ausschließlich Brüche vorkamen, wurden von den Schülerinnen und Schülern stets häufiger korrekt gelöst (Padberg, 1986). Betrachtet man Aufgaben wie 2 + 43 und 27 + 35 kann dieser Befund auf den ersten Blick unplausibel erscheinen: So muss für die zweite Aufgabe zunächst ein gemeinsamer Nenner der beiden Brüche gefunden werden, woraufhin im Anschluss die Brüche erweitert werden müssen, bevor schließlich ihre Zähler addiert werden können. In der ersten Aufgabe hingegen würde bereits 2 43 ein vollständig korrektes Ergebnis darstellen, das sich ohne Rechenaufwand augenblicklich finden lassen kann (Winter, 2004). Es kann sich daher die Frage ergeben, warum die empirisch ermittelte Aufgabenschwierigkeit der ersten Aufgabe höher ist, als die der zweiten. Bei genauerer Betrachtung lassen sich typische Schülerfehler bei Aufgaben ähnlich zu 2 + 43 auf drei Einbettungsfehler reduzieren, konkret: a = a1 , a = aa und a = ba wobei b der Nenner des zweiten Summanden ist (Padberg, 1986). Offensichtlich können die beiden zuerst genannten Einbettungsfehler allgemein geschehen, während der dritte Fehler nur im Verbindung mit einer konkreten Rechenaufgabe auftreten kann. Die Einordnung der Studie in den damaligen schulischen Kontext, geprägt durch formales, syntaktisches und vor allem regelhaftes Operieren mit Brüchen, kann daher die bereits wiederholt geäußerte Forderung nach der Vermittlung eines grundlegenden Verständnisses für Bruchzahlen – und insbesondere auch der Rolle, die den natürlichen Zahlen in diesem Zusammenhang zuteil wird – vor dem formalen Rechnen unterstreichen. Wie bereits mehrfach erläutert kann eine einseitig symbolische Betrachtung von natürlichen Zahlen und Brüchen hierfür vor dem Hintergrund gelungener Konzeptwechsel als weitgehend ungeeignet bezeichnet werden. Vielmehr erscheint es plausibel, auch an dieser Stelle ausführlich mit den gewohnten ikonischen Darstellungen vor einer symbolischen Betrachtung zu arbeiten. Neben der Identifikation der natürlichen Zahlen auf einem Zahlenstrahl mit Brüchen (Winter, 2004) kann hier ein Zugang über Kreis- und Rechteckdiagramme bei Schülerinnen und Schülern zum intendierten Verständnis beitragen. Eine mögliche solche Darstellung und Gegenüberstellung verschiedener ikonischer und symbolischer Darstellungen ist in Tabelle 2.9 exemplarisch für die beiden natürlichen Zahlen 1 und 2 aufgezeigt. Vor dem Hintergrund des Fehlertyps a = aa bei der Einbettung der natürlichen Zahlen kann weiter die exemplarische Betrachtung eines Ganzen – also der Einbettung der 1 in die Welt der Brüche – nicht als ausreichend bezeichnet werden: Für diesen Spezialfall führt die Fehlerstrategie gerade zu einem korrekten Ergebnis. Daher erscheint die Betrachtung weiterer natürlicher Zahlen, etwa im Zusammenhang mit der gemischten Schreibweise, notwendig. 2.3.2.3 Subkonzept Gemischte Schreibweise

Im bisherigen Verlauf des Kapitels wurden vor dem Hintergrund einer Anteilsvorstellung stets echte bzw. gemeine Brüche ba mit a < b betrachtet. In diesem Abschnitt wird die Erweiterung des Bruchzahlbegriffes auf Brüche mit a ≥ b dargestellt. Auch wenn solche unechten Brüche bereits im Zuge der Ausbildung einer Anteilsvorstellung thematisiert

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

73

Tabelle 2.9 Einbettung der natürlichen Zahlen 1 und 2 in die rationalen Zahlen, dargestellt in ikonischer Repräsentation am Rechteck- und Kreisdiagramm sowie in formaler Notation mit Symbolen. Zahl

Ikonisch, Rechteckdiagramm

Ikonisch, Kreisdiagramm

Formal, symbolisch

Ein Ganzes

1=

1 1

=

2 2

=

6 6

Zwei Ganze

2=

2 1

=

4 2

=

12 6

werden können (z. B. Padberg & Wartha, 2017), erscheint ihre explizite Betrachtung vor dem Hintergrund der Einbettung der natürlichen Zahlen als Subkonzept des Konzeptes Erweitern und Kürzen sinnvoll (z. B. Cramer, Behr, Post & Lesh, 1997/2009; Post, Cramer, Behr, Lesh & Harel, 1993). Ihre Rolle zur Beschreibung von mehr als einem Ganzen wird durch die gemischte Schreibweise verdeutlicht. Hier wird der unechte Bruch als Kombination aus einer natürliche Zahl, die die Anzahl der vollen Ganzen angibt, und einem echten Bruch, der den Anteil von einem weiteren Ganzen beschreibt, notiert. Dabei lässt sich ausgehend von einem unechten Bruch – z. B. 113 – die natürliche Zahl auf einer semantischen Ebene über die Frage „Wie oft passt der Nenner in den Zähler?“ erhalten. Die übrigen Stücke werden durch den echten Bruch erfasst. Formal kann dieses Vorgehen als Division mit Rest interpretiert werden, bei der der Rest gerade dem Zähler des echten Bruches entspricht – im Beispiel 11 : 3 = 3 R 2, also 113 = 3 23 . Zentrales Ziel der Vermittlung stellt dabei jedoch nicht ausschließlich die Fähigkeit dar, unechte Brüche in gemischte Zahlen und umgekehrt umwandeln zu können, sondern vorrangig auch das Verständnis dafür, das Brüche mehr als ein Ganzes beschreiben können. Daher erscheinen für den initialen Zugang ikonische Darstellungen unechter Brüche und gemischter Zahlen – vornehmlich in Kreisdiagrammen (z. B. Cramer et al., 1997/2009; Lamon, 2012) – besser geeignet als die syntaktische soeben dargestellte Division mit Rest. Dabei können auf der Grundlage der ikonischen Repräsentationen zunächst die Ganzen als volle Kreise vom Rest getrennt und anschließend als natürliche Zahlen interpretiert werden – im Beispiel 113 = 93 + 23 = 3 23 . Dieser Weg kann die Semantik des Lerngegenstandes hervorheben und gleichzeitig die Einbettung natürlicher Zahlen in die Menge der rationalen Zahlen, wie auch die Gleichwertigkeit der beiden Schreibweisen illustrieren. Abbildung 2.9 zeigt eine solche Umwandlung des unechten Bruches 113 in eine gemischte Zahl mit Hilfe von Kreisdiagrammen. Dieser Zugang über Kreisdiagramme in der eben dargestellten Form kann weiter die semantische Bedeutung des Zahlzeichens 3 23 unterstreichen, die auch auf sprachlicher Ebene als „Drei Ganze und zwei Drittel“ gut zu erkennen ist. Die gemischte Schreibweise stellt

74

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung + Unechter Bruch

11 3

9 3

=3

2 3

Gemischte Zahl 3 23

Abbildung 2.9. Umwandlung eines unechten Bruches in eine gemischte Zahl in ikonischer Repräsentation an Kreisdiagrammen am Beispiel 113 = 3 23 .

eine Kurzschreibweise für die Addition 3 + 23 und damit eine mathematisch eher untypische Notation dar, da in der Algebra üblicherweise das Fehlen eines Rechenzeichens als Multiplikation und nicht als Addition verstanden wird. Auch wenn die symbolische Darstellung ab = a · b zu diesem Zeitpunkt noch keine Relevanz für Schülerinnen und Schüler besitzt, sollte dennoch die Bedeutung der Schreibweise 3 23 = 3 + 23 im Unterricht thematisiert werden, um Problemen geeignet vorzubeugen. Trotz dieser aus algebraischer Sicht eher fragwürdigen Notation kann die gemischte Schreibweise weitreichende Vorteile in diversen Teilgebieten der Bruchrechnung bieten, wie etwa dem Arbeiten mit dem Zahlenstrahl, dem Größenvergleich, der Addition und Subtraktion sowie bei der Einführung der Dezimalzahlen, sodass ihre Integration in ein Anfangscurriculum der Bruchrechnung gewinnbringend erscheint (z. B. Padberg & Wartha, 2017). 2.3.2.4 Subkonzept Dichte

Aufbauend auf den in Abschnitt 2.3.1.3 dargelegten Gedanken zum Arbeiten mit dem Zahlenstrahl kann diesem im Zusammenhang mit der Ausbildung des Konzepts Erweitern und Kürzen eine zusätzliche Bedeutung beigemessen werden. Der Zahlenstrahl kann als geeignetes Hilfsmittel zur altersgerechten Vermittlung der Dichte der rationalen Zahlen (z. B. Saxe et al., 2007) sowie als diagnostisches Instrument zur Untersuchung dieses Subkonzepts im Kontext der Conceptual Change-Theorie (z. B. Merenluoto & Lehtinen, 2002a; Merenluoto, 2003) verstanden werden. Dabei erscheint der Zahlenstrahl insbesondere gut geeignet, um den an dieser Stelle maßgeblichen Unterschied zwischen natürlichen Zahlen und Brüchen zu illustrieren: Zwischen zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen liegt auf dem Zahlenstrahl keine weitere natürliche Zahl. Sie sind diskret geordnet und haben genau einen Nachfolger. Ordnet man jedoch Brüche auf dem Zahlenstrahl an, so lassen sich durch eine Verfeinerung der Einteilung des Zahlenstrahl beliebig viele Brüche zwischen zwei vorgegebenen Brüchen finden. Als Ziel der Vermittlung dieses Subkonzeptes soll hier nicht die Entwicklung einer mathematisch einwandfreien Interpretation von rationalen Zahlen als dichte Teilmenge der reellen Zahlen verstanden werden, sondern vielmehr eine altersgerechte und semantische Vorstellung des Dichteaspekts: Schülerinnen und Schüler sollen akzeptieren, dass zwischen zwei vorgegebenen Brüchen beliebig viele weitere Brüche liegen können. Diese aus einer elaborierten Perspektive trivial wirkende Aussage kann für Schülerinnen und Schüler verschiedener Altersgruppen keinesfalls als selbstverständlich angenommen werden und daher auch nicht automatisch vorausgesetzt werden (Merenluoto, 2003; Vamvakoussi & Vosniadou, 2004; Vosniadou & Vamvakoussi, 2006).

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

75

Es erscheint dabei plausibel, dass sich dieses elementare Verständnis von Dichte gut an Aufgaben einüben lässt, die bezüglich der Dimension der Dichte des Natural Number Bias als inkongruent bezeichnet werden können (vgl. Abschnitt 2.2.2) – beispielsweise der Bestimmung einer Zahl, die zwischen 41 und 24 liegt. Wie bereits dargestellt wurde kann vor dem Hintergrund der Conceptual Change-Theorie angenommen werden, dass Schülerinnen und Schüler bei der Lösung des Problems – insbesondere auf einer formalsymbolischen Ebene – dazu tendieren können, 24 intuitiv als Nachfolger von 41 aufzufassen, was eine korrekte Lösung des Problems eher unwahrscheinlich macht. Dieser als kognitiv anspruchsvoll zu bezeichnende Teil der Aufgabe zunächst zu akzeptieren, dass eine solche Zahl überhaupt existiert, kann etwa durch eine ikonische Darstellung des Problems am Zahlenstrahl aufgelöst werden: Da zwischen den beiden Brüchen in dieser Darstellung ‚Platz‘ ist, kann den Lernenden glaubwürdig vermittelt werden, dass dort ein weiterer Bruch liegen kann. Wird die Einteilung verfeinert, so wird dieser gesuchte Bruch bereits durch eine Markierung festgelegt. Notwendig ist nur noch das Benennen dieses Bruches. Basierend auf dieser Aufgabe kann sukzessive die Idee von einem dazwischen liegenden Bruch zu beliebig vielen dazwischen liegenden Brüchen weiterentwickelt werden: Soll mehr als eine Zahl in dem Zwischenraum platziert werden, so ist eine stärkere Verfeinerung der Unterteilung notwendig. Das soeben vorgestellte Subkonzept Dichte ist in Tabelle 2.10 an ebendiesen Beispielen mit exemplarischen Lösungen unter Rückgriff auf den Zahlenstrahl dargestellt. Tabelle 2.10 Subkonzept Dichte am Zahlenstrahl als altersgerechte Interpretation der Dichte rationaler Zahlen exemplarisch an zwei inkongruenten Aufgaben. Aufgabe Gib eine Zahl an, die zwischen 41 und 24 liegt.

Gib zwei Zahlen an, die zwischen 41 und 24 liegen.

Bearbeitung am Zahlenstrahl 1 8 0

2 8 1 4

3 8

4 8 2 4

5 8

6 8

Mögliche Lösung

7 8

3 4

1

Der Bruch 38 liegt zwischen und 24 .

1

Die Brüche 124 und zwischen 41 und 24 .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 0

1 4

2 4

3 4

5 12

1 4

liegen

Diese elementare Vorstellung der Dichte der rationalen Zahlen stellt das letzte Subkonzept des in dieser Arbeit als Erweitern und Kürzen bezeichneten Konzeptes dar. Zusammenfassung zum Konzept Erweitern und Kürzen

In der vorliegenden Arbeit wird das Konzept Erweitern und Kürzen als weiterführende Ausbildung des Bruchzahlbegriffs bei Schülerinnen und Schülern in der frühen Sekundarstufe verstanden. Dabei erscheint zunächst die Vermittlung semantische Inhalte der beiden Operationen Erweitern und Kürzen im Sinne des Subkonzeptes Verfeinern und

76

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

Vergröbern notwendig – insbesondere im Sinne konkreter Verfeinerungen bzw. Vergröberungen der Einteilung ikonisch dargestellter Bruchteile sowie darauf aufbauend einer Interpretation der formalen arithmetischen Operationen als Möglichkeit zur Erzeugung wertgleicher Bruchzahlen (vgl. Abschnitt 2.3.2.1). Weiter wird angenommen, dass die Ausbildung dieses Konzeptes durch die Vermittlung von drei weiteren Subkonzepten geeignet unterstützt werden kann. Zu diesen zählen konkret: Die Einbettung natürlicher Zahlen in den Kontext von Brüchen – verbunden mit der Vermittlung einer Glaubwürdigkeit der Konzepte von Bruchzahlen in dem Sinn, dass sie sich auch als verträglich mit natürlichen Zahlen erweisen (vgl. Abschnitt 2.3.2.2); die gemischte Schreibweise für unechte Brüche – auch unter Gesichtspunkt einer plausiblen Vermittlung der Tatsache, dass Brüche mehr als ein Ganzes beschreiben können (vgl. Abschnitt 2.3.2.3); und eine altersgerechte Interpretation der Dichte rationaler Zahlen – insbesondere unter Rückgriff auf ikonische Darstellungen am Zahlenstrahl (vgl. Abschnitt 2.3.2.4). Eine Übersicht über gängige ikonische und symbolische Darstellungen, die aufgrund bestehender fachdidaktischer wie psychologischer Befunde zur Vermittlung dieser genannten Subkonzepte geeignet erscheinen, ist in Abbildung 2.11 aufgeführt. Tabelle 2.11 Subkonzepte des Konzepts Erweitern und Kürzen in ikonischer und symbolischer Repräsentation. Subkonzept

Ikonisch

Symbolisch

Verfeinern und Vergröbern

1 2

=

1·3 2·3

=

3 6

4 6

=

4:2 6:2

=

2 3

Einbettung natürlicher Zahlen

1=

1 1

=

8 8

Gemischte Schreibweise

7 6

=

6 6

+

1 6

3 8

liegt zwischen 41 und 24 .

Dichte

1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8 0

1 4

2 4

3 4

1

= 1 61

Anmerkung. An dieser Stelle wird als ikonische Repräsentationen das Kreisdiagramm verwendet. Natürlich lassen sich die hier dargestellten Bruchteile auch mit Hilfe des Rechteckmodells als weiterer kontinuierlicher Darstellung veranschaulichen.

2.3.3 Größenvergleich Aufbauend auf dem Erweitern und seltener dem Kürzen von Bruchzahlen zur Erzeugung nennergleicher Brüche wird im Mathematikunterricht üblicherweise der Größenvergleich

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

77

entwickelt. Hier werden traditionell formale Regeln aufgestellt, die diesen Vergleich zu einem algorithmischen Arbeitsablauf machen, der keiner Semantik mehr folgen muss. Nachfolgend wird eine alternative Einführung des Größenvergleichs zweier Bruchzahlen dargestellt, die insbesondere vor dem Hintergrund der Conceptual Change-Theorie plausibel erscheint: In Abschnitt 2.2.1 wurde die Größe von Brüchen als Dimension des Natural Number Bias identifiziert, auf deren Grundlage typische Schülerfehler im Bereich des Größenvergleichs von Brüchen erklärt werden können12 . Ursächlich ist dabei die oftmals fehlerhafte Interpretation eines Bruches als zwei voneinander losgelöste natürlicher Zahlen – dem Zähler und dem Nenner (Meert et al., 2010), wohingegen für einen gelungenen Größenvergleich die Auffassung von Brüche als holistische Symbole notwendig erscheint (Obersteiner et al., 2013). Tatsächlich zeigt sich, dass Schülerinnen und Schüler, die in Größenvergleichsaufgaben gute Leistungen erzielen, über eine Vielzahl von unterschiedlichen Vergleichsstrategien verfügen, die sie flexibel und an die konkrete Problemstellung angepasst einsetzen können (Clarke & Roche, 2009). Basis dieser Strategien sind dabei zum Teil spezifische Eigenschaften des zu vergleichenden Bruchpaares, die unter Rückgriff auf ein zugrunde liegendes Verständnis für die Größenordnung beider Brüche offengelegt werden können (DeWolf & Vosniadou, 2015; Meert et al., 2010). Strategien dieser Art werden auch von Mathematikexpertinnen und -experten zum Größenvergleich von Brüchen verwendet, die damit weitaus höhere Lösungsraten in Vergleichsaufgaben erzielen können als Schülerinnen und Schüler (Obersteiner et al., 2013). Vor diesem Hintergrund erscheinen curriculare Forderungen nach einer Vermittlung solcher Größenvergleichsstrategien bereits im Anfangsunterricht der Bruchrechnung plausibel (z. B. Clarke & Roche, 2009; Obersteiner et al., 2013; Post & Cramer, 1987). Derartige Strategien finden sich sowohl als Ergebnisse von Studien, meist aus Interviews mit Schülerinnen und Schülern gewonnen (Behr & Post, 1986; Clarke & Roche, 2009; Post, Behr & Lesh, 1986; Post & Cramer, 1987), als auch in fachdidaktischen Leitfäden (Lamon, 2012; Padberg & Wartha, 2017). Basierend auf der in Abschnitt 2.1.4 definierten Unterscheidung vom Verstehen und Können mathematischer Inhalte werden in dieser Arbeit eigenschaftsbasierte Strategien, in denen ein Vergleich semantisch begründet wird, von regelbasierten Strategien, in denen der Vergleich rein durch die Anwendung einer formalen Regel geschieht, voneinander unterschieden (Reinhold et al., 2018). 2.3.3.1 Subkonzept Eigenschaftsbasierte Vergleichsstrategien

Transitive Vergleichsstrategien basieren auf dem Bezug zu einer Zahl, die offensichtlich zwischen den zu vergleichenden Brüchen (en.: benchmark) liegt (z. B. Post et al., 1986). Sie folgen damit formal der Logik „Ist a < b und zugleich b < c, dann ist auch a < c.“ Um diesen Strategien mit einem altersgerechten Bedeutungsinhalt zu vermitteln, erscheint es plausibel bestimmte Bezugszahlen exemplarisch zu betrachten. Hierfür stellen Bezüge zu ein Halb und einem Ganzen geeignete Vorgehensweisen dar. Offensichtlich schränkt eine 12 Der in diesem Abschnitt 2.3.3 dargestellte theoretische Rahmen ist in eingeschränkter Form bereits an

anderer Stelle veröffentlicht worden (Reinhold et al., 2018).

78

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

solche exemplarische Betrachtung spezieller Bezugszahlen die Anwendbarkeit transitiver Vergleichsstrategien auf eine bestimmte Klasse von Bruchpaaren ba11 und ba22 ein, die sich formal erfassen lässt: 1. Bezugszahl ein Halb: Für einen Größenvergleich basierend auf einem Bezug zu 21 muss für die beiden Brüche gelten, dass a1 < b21 und zugleich a2 > b22 ist. Dies kann in dieser formalen Form nicht als altersgerechter Lerngegenstand bezeichnet werden. Vielmehr sollte hier das Ziel der Rückgriff auf die Größenordnung beider Brüche, aufbauend auf diesem syntaktischen Zusammenhang, sein: Ein Bruch, der weniger als die Hälfte eines Ganzen beschreibt, ist stets kleiner als ein Bruch, der mehr als Hälfte eines Ganzen beschreibt. 2. Bezugszahl Eins: Ein ähnlicher Gedankengang liegt dem Vergleich basierend auf einem Bezug zu 1 zugrunde, der stets dann erfolgreich durchgeführt werden kann, wenn für die beiden Brüche a1 < b1 und zugleich a2 > b2 gilt. Auch hier sollte nicht die formale Syntax das Lernziel darstellen, sondern ebenfalls seine Semantik: Unechte Brüche beschreiben mehr als ein Ganzes und sind daher stets größer als echte Brüche, die nur einen Teil vom Ganzen beschreiben. Diese auf der Größenordnung der beiden zu vergleichenden Brüche beruhenden semantischen Inhalte transitiver Strategien können durch Rückgriff auf ikonische Darstellungen hervorheben werden. Es kann angenommen werden, dass eine solche ikonische Gegenüberstellung zweier Brüche zum Zweck des Größenvergleichs nicht nur hilfreich ist, um die Gültigkeitsbereiche dieser beiden Strategien einzugrenzen, sondern auch eine intuitive Vorstellung der Größenordnung eines Bruches weiter schulen kann. Geeignete Darstellungen sind in Tabelle 2.12 sowohl für den Bezug zu 21 , als auch den Bezug zu 1 an je einem Beispiel abgebildet. Tabelle 2.12 Transitive Strategie zum Größenvergleich von Brüchen für die Bezugszahlen und mit exemplarischer semantischer Argumentation.

1 2

und 1 in ikonischer Darstellung

Bezug

Aufgabe

Ikonischa

Semantische Argumentation

1 2

2 5

2 5

2 5

< 47 , weil

2 5

<

8 9

< 76 , weil

8 9

< 1 und

und

4 7

1 2

und

4 7

> 21 .

4 7

1

8 9

und

7 6

8 9

7 6

> 1.

7 6

Anmerkung. a Neben den hier exemplarisch verwendeten kontinuierlichen Balkendiagrammen sind zur Illustration dieser Strategien auch Kreisdiagramme geeignet.

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

79

Bei der residualen Vergleichsstrategie wird ebenfalls ein Bezug zur 1 hergestellt, allerdings ausgehend von der Tatsache, dass beide Brüche weniger als ein Ganzes beschreiben. Basis des Größenvergleichs sind die Teilstücke, die den beiden Brüchen jeweils zum Ganzen fehlen (z. B. Post & Cramer, 1987). Diese Strategie ist grundsätzlich für den Vergleich zweier beliebiger echter Brüche geeignet. Jedoch kann sie sich vor allem für Brüche der Form a−1 a und b−1 , denen jeweils ein Stück zum Ganzen fehlt, als vorteilhaft erweisen. Empirisch zeigt b sich dennoch, dass sie meist nur von sehr guten Schülerinnen und Schülern verwendet wird (Clarke & Roche, 2009). Als Grund dafür kann die hohe Komplexität der Strategie genannt werden: Verglichen werden nicht die eigentlichen Brüche, sondern ihre Differenz von 1. Der Bruch, dem mehr zur 1 fehlt, ist im Vergleich kleiner. Weiter ist anzumerken, dass diese korrekte Vergleichsstrategie große Ähnlichkeit zur fehlerhaften Lücken-Strategie aufweist, bei der die Anzahl der zum Ganzen fehlenden Teile, nicht aber die Größe der fehlenden Stücke betrachtet wird (vgl. Abschnitt 2.1.3). Dies kann die gebotene Sorgfalt bei der Behandlung dieser Vergleichsstrategie im Unterricht hervorheben und auch hier die Notwendigkeit unterstreicht, den Größenvergleich auf der Grundlage dieser Strategie mit ikonischen Darstellungen zu illustrieren. Exemplarisch ist ein solcher Vergleich in ikonischer Darstellung und semantischer Form in Tabelle 2.13 abgebildet. Tabelle 2.13 Residuale Strategie zum Größenvergleich von Brüchen mit Bezug zu einem Ganzen in ikonischer Darstellung und mit exemplarischer semantischer Argumentation. Bezug

Aufgabe

Ikonischa

Semantische Argumentation

Ganzes

6 7

6 7

6 8 7 < 9 , weil je ein Stück zum Ganzen fehlt und 91 < 71 .

und

8 9

8 9

Anmerkung. a Neben dem hier exemplarisch verwendeten kontinuierlichen Balkendiagramm ist zur Illustration dieser Strategie auch ein Kreisdiagramm oder der Zahlenstrahl geeignet.

Die Größe-der-Stücke Strategie ist eng verbunden mit der Interpretation eines Bruches als Teil eines kontinuierlichen Ganzen. Sie basiert auf der Bedeutung des Nenners in diesem Zusammenhang: Kleinere Nenner haben größere Stücke zur Folge (z. B. Post & Cramer, 1987). Diese eigenschaftsbasierte Strategie kann – jeweils mit unterschiedlichen Begründungen – für nennergleiche oder zählergleiche Brüche verwendet werden. 1. Anzahl der Stücke gleicher Größe: Nennergleiche Brüche haben insbesondere eine identische Unterteilung. Ihre Stücke sind gleich groß und mehr gleich große Stücke resultieren in einem größeren Anteil. 2. Größe der Stücke gleicher Anzahl: Zählergleiche Brüchen haben insbesondere gleich viele Stücke. Da die Stücke des Bruches mit dem kleineren Nenner größer sind, beschreibt er den größeren Anteil.

80

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

Offensichtlich bietet diese Strategie die semantische Grundlage für regelbasierte Größenvergleiche von Brüchen, die nachfolgend erläutert werden. Im Sinne einer intendierten Ausbildung hin zu einem flexiblen Nutzen verschiedener Größenvergleichsstrategien kann auch an dieser Stelle die Illustration der beiden Sachverhalte durch ikonische Darstellungen als gewinnbringend bezeichnet werden. Beide Aspekte der Größe-der-Stücke Strategie sind in Tabelle 2.14 an je einem Beispiel in Kreisdiagrammen veranschaulicht dargestellt. Tabelle 2.14 Größe-der-Stücke Strategie zum Größenvergleich von Brüchen mit Bezug auf die unterschiedliche Anzahl gleich großer Stücke oder die unterschiedliche Größe gleich vieler Stücke in ikonischer Darstellung und mit exemplarischer semantischer Argumentation. Bezug

Aufgabe

Ikonischa

Semantische Argumentation

Anzahl

4 7

4 7

4 6 7 < 7 , weil die Stücke jeweils gleich groß sind, aber 4 Stück weniger sind als 6 Stück.

und

6 7

6 7

Größe

5 7

und

5 9

5 7

5 5 7 > 9 , weil jeweils gleich viele Stücke genommen werden, aber Siebtel größer sind als Neuntel.

5 9

Anmerkung. a Neben den hier exemplarisch verwendeten kontinuierlichen Kreisdiagrammen sind zur Illustration dieser Strategie auch Balkendiagramme geeignet.

In allen bisher vorgestellten Strategien wurde eine ikonische Darstellung als Hilfsmittel zur Illustration der Semantik der jeweiligen Strategie verwendet. Unabhängig davon kann jedoch jede dieser Darstellungen als weitere Größenvergleichsstrategie verstanden werden (z. B. Lamon, 2012). In diesem Fall geschieht der Größenvergleich nicht mehr wie bisher dargestellt auf der Grundlage verbalisierter semantischen Begründungen, sondern einzig unter Bezug auf die Größe der beiden Flächenstücke, bzw. auf die Lage der beiden Brüche auf dem Zahlenstrahl: Es ist derjenige Bruch größer, bei dem bezüglich ein und desselben ikonischen Ganzen mehr markiert ist, bzw. der auf einem Zahlenstrahl mit identischer Einheit weiter rechts liegt. Diese beiden Strategien sind in Tabelle 2.15 an je einem Beispiel abgebildet. 2.3.3.2 Subkonzept Regelbasierte Vergleichsstrategien

Im Gegensatz zu eigenschaftsbasierten Strategien, bei denen spezifische Charakteristika der beiden vorgegebenen Brüche für einen Vergleich genutzt werden, bilden vertraute Regeln und Algorithmen die Grundlage für regelbasierte Vergleichsstrategien. Traditionell werden diese Regeln aufbauend auf der Größe-der-Stücke Strategie formalisiert:

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

81

Tabelle 2.15 Verwendung ikonischer Darstellungen als Größenvergleichsstrategie mit Bezug auf die Größe des Flächenstücks und die Lage auf dem Zahlenstrahl. Bezug

Aufgabe

Ikonischa

Argumentation auf Basis der Darstellungen

Größe des Flächenstücks

2 3

3 4

2 3 3 3 < 4 , weil bei 4 am identischen Balken mehr markiert ist.

und

3 4

2 3

Lage auf dem Zahlenstrahl

2 3

und

3 4

3 4 0 0

1

2 3

2 3 3 3 < 4 , weil 4 auf dem Zahlenstrahl weiter rechts liegt.

1

Anmerkung. a Neben den hier exemplarisch verwendeten kontinuierlichen Balkendiagrammen sind zur Illustration dieser Strategie auch Rechteck- und Kreisdiagramme geeignet.

1. Gleicher-Nenner Strategie: Zwei Brüche werden durch Erweitern oder Kürzen auf den gleichen Nenner gebracht. Anschließend werden die neuen Zähler verglichen. Der Bruch, der jetzt den größeren Zähler hat, ist größer. 2. Gleicher-Zähler Strategie: Zwei Brüchen werden analog durch Erweitern oder Kürzen auf den gleichen Zähler gebracht. Anschließend werden die neuen Nenner verglichen. Der Bruch, der jetzt den kleineren Nenner hat, ist größer. Dabei kann die erste Regel als kongruent in dem Sinne bezeichnet werden, dass sie zu einem Konzept der Größe von natürlichen Zahlen passend erscheint. Schwieriger gestaltet sich die zweite Regel. Bei Brüchen mit gleichem Zähler ist gerade der Bruch größer, der den kleineren Nenner besitzt – ein zu natürlichen Zahlen inkongruentes Verhalten. Es erscheint daher plausibel, dass sich Vergleichsaufgaben mit nennergleichen Brüchen in verschiedenen Studien als einfacher erweisen, als Vergleichsaufgaben mit zählergleichen Brüchen, wie an anderer Stelle bereits ausführlich diskutiert wurde (vgl. Abschnitt 2.2). Insbesondere erscheinen zwei Punkte bei einer derartigen – im Mathematikunterricht durchaus üblichen – syntaktischen Formulierung problematisch. Die Regeln funktionieren algorithmisch und sind in der vorliegenden Form völlig bedeutungsfrei formuliert. Insbesondere kann gerade die Inkongruenz der Gleicher-Zähler Strategie zu Verwirrung und schließlich auch Schülerfehlern führen. Darüber hinaus werden die Brüche im Kontext dieser Regeln nicht als holistische Symbole für eine konkrete Zahl betrachtet, sondern vielmehr Zähler und Nenner getrennt voneinander behandelt: Im jeweils ersten Schritt konzentriert man sich auf eines der beiden Symbole, im zweiten Schritt wird der Vergleich ausschließlich anhand der Größe der anderen Zahl vollzogen. Vor dem Hintergrund eines Natural Number Bias, der ursächlich aufgrund der isolierten Betrachtung von Zähler und Nenner als natürlichen Zahlen zu falschen Ergebnissen führen kann, können diese

82

2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

Vergleichsstrategien in der hier formulierten Form daher problematisch erscheinen. Sie reduzieren das Problem des Größenvergleichs von Brüchen durch eine algorithmische Vorgehensweise auf exakt eine solche isolierte Betrachtung der Zähler oder Nenner. Es erscheint daher fragwürdig, ob die alleinige Vermittlung regelbasierter Strategien – oder gar lediglich der Gleicher-Nenner-Strategie – einen Konzeptwechsel im Bezug auf die Größe von Brüchen geeignet unterstützen kann. Diesem Gedankengang folgend werden in der vorliegenden Arbeit die eigenschaftsbasierte Größe-der-Stücke Strategie und die hier thematisierten regelbasierten Strategien trotz ihrer identischen formalen mathematischen Grundlage als konzeptuell unterschiedlich aufgefasst. Eine Unterscheidung kann insbesondere hinsichtlich der Art der Begründung vorgenommen werden. Eine semantische Argumentation bezogen auf die Größe oder die Anzahl von Stücken wird dabei als eigenschaftsbasiert bezeichnet, während eine Argumentation, die rein der formalen Regel folgt, als regelbasiert bezeichnet wird. Zur Illustration dieser grundlegenden Unterschiede sind die angesprochenen Strategien in Tabelle 2.16 exemplarisch an jeweils ein und demselben Beispiel gegenübergestellt aufgeführt. Tabelle 2.16 Unterscheidung eigenschafts- und regelbasierter Strategien zum Größenvergleich von Brüchen auf der Grundlage einer semantischen, bzw. formalisierten Begründung. Bezug

Aufgabe

Eigenschaftsbasierte Begründung

Regelbasierte Begründung

Anzahl

4 7

<

6 7

Größe

5 7

>

5 9

Weil die Stücke jeweils gleich groß sind, aber 6 Stück mehr sind als 4 Stück. Weil jeweils gleich viele Stücke genommen werden, aber Siebtel größer sind als Neuntel.

Weil bei gleichnamigen Brüchen der Bruch mit dem größeren Zähler größer ist. Weil bei zählergleichen Brüchen der Bruch mit dem kleineren Nenner größer ist.

2.3.3.3 Subkonzept Flexibler Umgang mit verschiedenen Strategien

Nach der Betrachtung der vorgestellten eigenschaftsbasierten und regelbasierten Strategien zum Größenvergleich von Brüchen kann ein weiterer grundlegender Unterschied zwischen diesen beiden Typen aufgeführt werden. Während sich zwei beliebige Brüche unabhängig von ihrer Beschaffenheit mittels der Gleicher-Nenner oder Gleicher-Zähler Strategie vergleichen lassen, können eigenschaftsbasierte Strategien nur dann einen Vorteil bieten, wenn die zu vergleichenden Brüche spezielle, jeweils unterschiedliche Charakteristika aufweisen (Clarke & Roche, 2009). So ist es etwa nicht möglich, die beiden Brüche 31 und 25 transitiv mit Bezug zu 21 zu vergleichen, da beide Brüche kleiner als 21 sind. Darüber hinaus müssen diese Charakteristika von Schülerinnen und Schülern zunächst erkannt werden, wofür neben einem elaborierten Bruchzahlverständnis (Sowder, 1988) auch eine gut ausgebildete Vorstellung der Größenordnung von Brüchen (Post et al., 1986) notwendig erscheint.

2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias

83

Gerade diese zunächst aufwendig erscheinenden Voraussetzungen können jedoch als weitreichender Vorteil eigenschaftsbasierter gegenüber regelbasierter Strategien bezeichnet werden. Es kann davon ausgegangen werden, dass diese beiden Aspekte nicht nur notwendig für einen flexiblen Umgang mit diesen Strategien sind, sondern sich umgekehrt im Sinne der Vermittlung eines Subkonzeptes als flexibler Umgang mit verschiedenen Strategien auch ausbilden lassen. Weiter erscheint es plausibel anzunehmen, dass Schülerinnen und Schüler, die eigenschaftsbasiert argumentieren, ein tiefgreifenderes Verständnis für die Größenordnung von Brüchen besitzen, als Schülerinnen und Schüler, die regelbasiert argumentieren. Diese Vermutung ist bereits formuliert worden, (z. B. Clarke & Roche, 2009), jedoch bisher nicht umfassend empirisch untersucht worden. Zusammenfassung zum Konzept Größenvergleich

In der vorliegenden Arbeit wird das Konzept Größenvergleich als weiterführende Ausbildung des Bruchzahlbegriffs bei Schülerinnen und Schülern in der frühen Sekundarstufe verstanden. Dabei wird angenommen, dass die Ausbildung dieses Konzeptes durch die Vermittlung von drei Subkonzepten geeignet unterstützt werden kann. Zu diesen zählen konkret: die Kenntnis eigenschaftsbasierter Größenvergleichsstrategien – insbesondere transitiver und residualer Strategien sowie Rückgriffe auf die Größe der Stücke oder ikonische Darstellungen der zu vergleichenden Brüche (vgl. Abschnitt 2.3.3.1); die Kenntnis regelbasierter Strategien zum Größenvergleich von Brüchen – als Möglichkeit zwei beliebige Brüche unabhängig von ihren Eigenschaften zu vergleichen, jedoch verbunden mit der Einstellung, dass dies keinesfalls immer den einfachst möglichen Weg darstellt (vgl. Abschnitt 2.3.3.2); und der flexible Umgang mit diversen Größenvergleichsstrategien – die insbesondere jeweils für ein Paar von Brüchen auf Basis ihrer Größenordnung geeignet ausgewählt werden müssen (vgl. Abschnitt 2.3.3.3). Eine Übersicht über unterschiedTabelle 2.17 Überblick über eigenschaftsbasierte und regelbasierte Strategien zum Vergleich von Brüchen, die zur Vermittlung der Subkonzepte zum Konzept Größenvergleich geeignet erscheinen. Art

Vergleichsstrategie

Beispiel

Eigenschaftsbasiert

Bezugszahl 21 (transitiv) Bezugszahl 1 (transitiv) Bezugszahl 1 (residual) Größe der Stücke Ikonische Darstellung

2 5 8 9 6 7 5 7 2 3

< 47 , weil 25 < 21 und 47 > 21 . < 76 , weil 98 < 1 und 76 > 1. < 98 , weil je ein Stück zum Ganzen fehlt und 91 < 71 . > 95 , weil Siebtel größer sind als Neuntel. < 43 , weil 43 auf dem Zahlenstrahl weiter rechts liegt.

Regelbasiert

Gleicher Zähler

5 5 10 < 7 , weil bei Brüchen mit gleichem Zähler der Bruch mit dem kleineren Nenner größer ist. 3 5 8 < 8 , weil bei gleichnamigen Brüchen der Bruch mit dem größeren Zähler größer ist.

Gleicher Nenner

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2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung liche eigenschafts- und regelbasierten Vergleichsstrategien, die aufgrund bestehender fachdidaktischer wie psychologischer Befunde zur Unterstützung der Ausbildung dieses Konzeptes geeignet erscheinen, ist in Tabelle 2.17 aufgeführt. Zusammenfassung des Kapitels

Schülerinnen und Schüler haben zum Teil große Schwierigkeiten ein konzeptuelles Verständnis für Bruchzahlen aufzubauen. Grund dafür können zum einen unzureichend ausgebildete Grundvorstellungen von Bruchzahlen sein, die für einen Wechsel zwischen unterschiedlichen Darstellungen von Brüchen notwendig erscheinen. Zum anderen kann die jahrelange und ausführliche Behandlung natürlicher Zahlen im Alltag wie im Mathematikunterricht bei Schülerinnen und Schülern zu einem Natural Number Bias führen, der den erfolgreichen Umgang mit rationalen Zahlen auf einer intuitiven Ebene kontrastieren kann. Um gleichermaßen den beiden genannten problematischen Faktoren begegnen zu können, können drei tragfähige Konzepte zu Bruchzahlen formuliert werden, deren Ausbildung durch die konkrete Vermittlung bestimmter Inhalte im Mathematikunterricht unterstützt werden kann. Zu diesen zählen konkret: Die Interpretation von Brüchen als Teil vom Ganzen, die als elaborierte Anteilsvorstellung bezeichnet werden kann; die Auffassung von Erweitern und Kürzen als Verfeinern und Vergröbern der vorgegebenen Einteilung eines Bruches sowie als arithmetische Operationen zur Erzeugung wertgleicher Brüche; und der Größenvergleich von Bruchzahlen im Sinne eines flexiblen Umgang sowohl mit eigenschafts- als auch mit regelbasierten Vergleichsstrategien. In der hier vorgestellten Form fokussieren die zur Ausbildung dieser Konzepte notwendigerweise zu vermittelnden Inhalte auf die Semantik der Lerngegenstände, nicht auf syntaktischen Regeln. Insbesondere wird angenommen, dass die Entwicklung eines Bruchzahlbegriffs in der hier vorgeschlagenen Form durch die Verwendung verschiedener Darstellungen sowie insbesondere dem beständigen und angeleiteten Wechsel zwischen unterschiedlichen ikonischen Darstellungen sowie zwischen verschiedenen Repräsentationsebenen im Unterricht geeignet unterstützt werden kann. Es erscheint vor dem Hintergrund zahlreicher empirischer Belege plausibel, dass ein derartiger Zugang die Grundlage für einen gelungenen Anfangsunterricht der Bruchrechnung bilden kann, der zu einem tiefgreifenden Verständnis des Bruchzahlbegriffes führen kann.

3 Instruktionspsychologie: Gestaltung multimedialer Lernumgebungen Without knowledge of human cognitive processes, instructional design is blind. Sweller, Ayres und Kalyuga (2011, S. v)

Überblick

Bei der Gestaltung und Evaluation von Lernumgebungen können psychologische Erkenntnisse über Gedächtnisprozesse beim Menschen berücksichtigt werden. Grundlage aktueller Theorien zur Informationsverarbeitung beim Menschen bildet das DreiSpeicher-Modell in Verbindung mit der Theorie der dualen Kodierung, dem Arbeitsgedächtnismodell und der Schema-Theorie, die kognitive Prozesse innerhalb der drei Systeme erklären können (Abschnitt 3.1). Aufbauend auf der Annahme einer beschränkten Kapazität des Arbeitsgedächtnisses wird in Abschnitt 3.2 die Cognitive Load-Theorie mit ihren weitreichenden Implikationen für die Gestaltung von Lernumgebungen im allgemeinen thematisiert. Daraufhin wird in Abschnitt 3.3 die kognitive Theorie des multimedialen Lernens ergänzend zur Cognitive Load-Theorie betrachtet, in der von getrennten Verarbeitungskapazitäten für multimodal dargebotene und unterschiedlich repräsentierte Lerngegenstände ausgeht und damit als bedeutsam insbesondere für die Entwicklung multimedialer Lernumgebung bezeichnet werden kann. Das Kapitel schließt mit der Betrachtung des integrativen Modells des Text- und Bildverstehens, bei dem von strukturell unterschiedlichen internen Repräsentationen und verschiedenen kognitiven Prozessen bei der Verarbeitung von Texten und Bildern ausgegangen wird (Abschnitt 3.4).

3.1 Gedächtnismodelle: Theorien zur Informationsverarbeitung beim Menschen Basis der Theorien zum Lernen mit verschiedenen Unterrichtsmedien bilden Gedächtnismodelle, die aus neurowissenschaftlicher und psychologischer Perspektive Erklärungsansätze für die Informationsverarbeitung beim Menschen (en.: human cognitive architecture) liefern. Grundlage dafür bildet in der vorliegenden Arbeit das Drei-Speicher-Modell von © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 F. Reinhold, Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive, Studien zur theoretischen und empirischen Forschung in der Mathematikdidaktik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-23924-4_4

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3 Instruktionspsychologie

Atkinson und Shiffrin (1968), das von einer Unterteilung des menschlichen Gedächtnisses in ein Ultrakurzzeit-, ein Kurzzeit- sowie ein Langzeitgedächtnis aus geht. Hierauf aufbauend werden die Prozesse innerhalb dieser drei Speicher im Rahmen der Theorie der dualen Kodierung von Paivio (1990), des Arbeitsgedächtnismodells von Baddeley (2000) und der Schema-Theorie von Bartlett (1932/1995) beschrieben. Diese Theorien und Modelle können als Ergänzungen zum Drei-Speicher-Modell verstanden werden und bilden die Grundlage für die im weiteren Verlauf des Kapitels vorgestellten instruktionspsychologischen Theorien. An dieser Stelle sei vermerkt, dass innerhalb der Fachwissenschaften reger Diskurs über die in diesem Abschnitt vorgestellten Theorien herrscht1 . Jedoch können die ausgewählten Modelle insbesondere für die Erklärung von Prozessen beim Lehren und Lernen mit multimedialen und digitalen Lernumgebungen als tragfähig bezeichnet werden. Daher wird in dieser Arbeit nicht auf alternative oder konträre Theorien und Modelle eingegangen.

3.1.1 Drei-Speicher-Modell Das Drei-Speicher-Modell (en.: multi-store model) von Atkinson und Shiffrin (1968) beschreibt Lernen als den Fluss von Informationen durch zwei temporäre Speicher hin zu einem permanenten Speicher. In der Theorie wird davon ausgegangen, dass bestimmte Stimuli, Reizinformationen, zunächst auf ein sensorisches Register (en.: sensory register) treffen, das diese Reize nur für den Bruchteil einer Sekunde aufrechterhalten kann. Informationen, denen ein Individuum keine Beachtung schenkt, zerfallen in dieser Zeitspanne sofort. Durch die Fokussierung auf bestimmte Reize können diese enkodiert werden und gelangen somit in ein Kurzzeitgedächtnis (en.: short-term store), das etwa 7 ± 2 solcher Informationseinheiten (en.: chunks) gleichzeitig aufrecht erhalten kann (Miller, 1956). Insbesondere wird angenommen, dass sowohl die Kapazität des Kurzzeitgedächtnisses als auch der Zeitraum, in dem es Chunks speichern kann, begrenzt sind. Dies hat unter anderem zur Folge, dass einzelne Informationen durch neu eintreffende Informationen ersetzt werden können, bevor sie gespeichert werden. Es wird weiter angenommen, dass durch den Kontrollprozess der Wiederholung (en.: rehearsal) Chunks innerhalb des Kurzzeitgedächtnisses aufrecht erhalten werden können. Durch entsprechende Umkodierung (en.: coding) und Elaboration (en.: semantic elaboration) können Informationseinheiten in das Langzeitgedächtnis (en.: long-term store) sowohl abgespeichert als auch aus ihm abgerufen werden. Die Kapazität dieses Langzeitgedächtnisses wird als unbegrenzt angenommen. Jedoch können Informationen hier ebenfalls zerfallen, wenn notwendige Abrufhinweise fehlen. Eine schematische Darstellung dieses von Atkinson und Shiffrin (1968) postulierten Informationsflusses durch die drei Speicher des menschlichen Gedächtnisses ist in Abbildung 3.1 dargestellt. Dabei repräsentieren die drei Rechtecke die drei Speicher. Mögliche Wege, die Informationen innerhalb des Verarbeitungsprozesses durchlaufen können, sind durch Pfeile 1 Eine strukturierte Übersicht über weitere und alternative Erklärungsansätze der Informationsverarbeitung

beim Menschen liefert etwa Reed (2012).

3.1 Gedächtnismodelle

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dargestellt. Die Kontrollprozesse sind in Form eines Quadrates mit abgerundeten Ecken abgebildet. Kontrollprozesse (Wiederholung, Umkodierung, Elaboration)

Reizinformation

Sensorisches Register (visuell, auditiv, haptisch)

Transfer Aufmerksamkeit

Kurzzeitgedächtnis Abruf

Zerfall von nicht beachteter Information

Interferenz und Ersetzung durch neu eintreffende Information

Langzeitgedächtnis (episodisch, semantisch, prozedural)

Interferenz oder Zerfall von Spuren bei fehlenden Abrufhinweisen

Abbildung 3.1. Schematische Darstellung des von Atkinson und Shiffrin (1968) vorgeschlagenen Drei-SpeicherModells zur Erklärung des Prozesses der Informationsverarbeitung beim Menschen (nach Goschke, 1996, S. 372).

Auch wenn vor dem Hintergrund aktueller neurowissenschaftlicher und psychologischer Erkenntnisse einige Annahmen von Atkinson und Shiffrin lediglich als eingeschränkt gültig bezeichnet werden können, stellt die Unterteilung des Gedächtnisses in drei unterschiedliche Bereiche die Basis heutiger Gedächtnismodelle dar und hat weiterhin Einfluss auf die Entwicklung von Theorien.

3.1.2 Theorie der dualen Kodierung Im Zuge der Theorie der dualen Kodierung (en.: dual coding) von Paivio (1990) wird davon ausgegangen, dass Menschen mit zwei unterschiedlichen Arten interner Repräsentationen – verbalen und nonverbalen – operieren können. Die von Paivio vorgeschlagene Theorie beschreibt die in Abschnitt 3.1.1 vorgestellten Speicher, als zweigeteilt in zwei voneinander unabhängige kognitive Systeme (Thomas, 2017). Dabei operiert ein verbales System mit sprachlichen Informationen, die visuell, auditiv oder artikulatorisch kodiert sein können und sequentiell verarbeitet werden. Diese einzelnen wortähnlichen Kodierungen werden Logogene genannt und werden als willkürliche Bezeichnungen für konkrete Gegenstände oder Ereignisse verstanden (J. M. Clark & Paivio, 1991) – z. B. ist das Wort „Tisch“ durch eine gesellschaftliche Konvention, die Sprache, mit dem Gegenstand verbunden, den es repräsentiert. Ein zweites nonverbales System hingegen operiert mit bildhaften Informationen,

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3 Instruktionspsychologie

etwa ikonischen Darstellungen, Gerüchen, Handlungen oder Geräuschen, die insbesondere nicht sequentiell sondern simultan verarbeitet werden können. Diese kleinsten mentalen Bilder oder Eindrücke werden als Imagene bezeichnet (Paivio, 1990) – z. B. weist ein Bild eines Tisches strukturelle Ähnlichkeiten mit dem zu repräsentierenden Objekt auf. Eine Annahme der Theorie der dualen Kodierung ist, dass es sich bei diesen beiden kognitiven System um getrennte und voneinander unabhängige Systeme handelt, in denen ein und dasselbe Objekt jedoch zeitgleich sowohl im verbalen, als auch im nonverbalen System repräsentiert sein kann (Obersteiner, 2012). Insbesondere kann angenommen werden, dass Wissen, das in beiden Speichern repräsentiert ist, mit höherer Wahrscheinlichkeit abgerufen werden kann als Wissen, das lediglich in einem der beiden Speicher repräsentiert ist (Thomas, 2017). Zudem geht man davon aus, dass sich beide Systeme in ihren zugrunde liegenden Eigenschaften voneinander unterscheiden. So haben nach Paivio (1990) zum einen Logogene eine willkürliche Beschaffenheit – stehen also in keiner strukturell ähnlichen Beziehung zu dem Gegenstand, den sie repräsentieren – und sind im verbalen System als diskrete Instanzen gespeichert, die zueinander in Beziehung stehen. Zum anderen werden Imagene als strukturell ähnlich mit dem repräsentieren Objekt aufgefasst, die im nonverbalen System hierarchisch als Teile von größeren Zusammenhängen repräsentiert sind. Weiter nimmt Paivio (1990) an, dass die Unterschiede der beiden kognitiven Systeme sich nicht nur auf die Repräsentation von Wissen im Gedächtnis beschränken, sondern auch die Verarbeitungsprozesse von Informationen beeinflussen können. Es wird davon ausgegangen, dass ein verbaler Stimulus im sensorischen Register eher ein Logogen im verbalen System als ein Imagen im nonverbalen System anregt und umgekehrt. Im Detail beschreibt die Theorie der dualen Kodierung drei unterschiedliche Arten von Verarbeitungsprozessen (J. M. Clark & Paivio, 1991): 1. Repräsentationstreue Prozesse: Als repräsentationstreu (en.: representational) wird der Prozess der Verarbeitung eines äußeren Reizes durch das sensorische Register bezeichnet, der je nach Art und Beschaffenheit des Reizes zu einer Interpretation im verbalen oder nonverbalen System führt. Ein verbaler Stimulus regt ein Logogen an, ein nonverbaler Stimulus ein Imagen. 2. Referentielle Prozesse: Referentielle (en.: referential) Prozesse stellen die Verbindungen zwischen den beiden kognitiven Systemen dar. Ist ein Objekt in beiden Systemen repräsentiert, kann das zugehörige Logogen das entsprechende Imagen anregen und umgekehrt. 3. Assoziative Prozesse: Unter assoziativen (en.: associative) Prozessen werden Verarbeitungen innerhalb eines der beiden kognitiven Systeme verstanden. Ein aktiviertes Logogen kann ein übergeordnetes oder gleichgestelltes Logogen anregen und dadurch Sinnzusammenhänge herstellen oder nutzen. Analog können diese Prozesse auch im nonverbalen System geschehen, auch wenn von einer anderen Strukturierung der Imagene ausgegangen wird.

3.1 Gedächtnismodelle

89

Insbesondere wird angenommen, dass zur erfolgreichen Bewältigung bestimmter Aufgaben einer oder alle dieser Prozesse notwendig sind. Eine schematische Darstellung der Theorie der dualen Kodierung sowie der erläuterten Verarbeitungsprozesse ist in Abbildung 3.2 zu sehen. Dabei sind das sensorische Register sowie das verbale System als Rechtecke, das nonverbale System als Rechteck mit abgerundeten Ecken dargestellt. Repräsentationstreue Prozesse sind als vertikal verlaufende Pfeile abgebildet, die das sensorische Register mit je einem der beiden Systeme verbinden. Die beiden horizontal verlaufenden Pfeile zwischen den Systemen stellen exemplarische referentielle Prozesse dar. Assoziative Prozesse sind im verbalen System als Pfeile zwischen diskreten Logogenen repräsentiert. Im nonverbalen System sind sie als Mengendiagramm dargestellt, um die angenommene hierarchische Strukturierung von Imagenen hervorzuheben. verbale Stimuli

nonverbale Stimuli

sensorisches Register repräsentationstreue Prozesse

repräsentationstreue Prozesse

verbales System: Logogene

nonverbales System: Imagene

referentielle Prozesse

assoziative Prozesse

assoziative Prozesse

verbale Antworten

nonverbale Antworten

Abbildung 3.2. Schematische Darstellung der Theorie der dualen Kodierung mit den drei angenommenen unterschiedlichen Verarbeitungsprozessen (nach Paivio, 1990, S. 67).

Im Zuge empirischer Untersuchungen zur Gültigkeit der Theorie der dualen Kodierung wurde festgestellt, dass ähnlich dargebotene verbale und nonverbale Stimuli zu unterschiedlichen Behaltensleistungen beim Menschen führen können. So liegen etwa empirische Belege dafür vor, dass Menschen beim freien verbalen Reproduzieren2 (en.: free verbal recall) mehr Objekte benennen können, wenn die Darbietung in Bildform und nicht in Wortform 2 Unter freiem

verbalen Reproduzieren versteht man eine gängige psychologische Untersuchungsmethode, bei denen Personen eine Reihe von Begriffen für eine bestimmte Zeit präsentiert wird und sie diese im Anschluss in beliebiger Reihenfolge verbal wiedergeben müssen.

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3 Instruktionspsychologie

geschehen ist (z. B. Paivio, 1971). Dieses Phänomene wird als Effekt der Überlegenheit von Bildern (en.: picture superiority effect) (Hockley, 2008; Paivio & Csapo, 1973) bezeichnet. Die Grundlage für einen Erklärungsansatz bildet dabei die Annahme von Paivio und Csapo (1973), dass referentielle Prozesse zwischen den beiden kognitiven Systemen bei initial aktivierten Imagenen häufiger ausgelöst werden können, als bei Logogenen: Man geht davon aus, dass Bilder in hohem Maße auch Bezeichnungen aktivieren können, wohingegen Worte in geringerem Maß gleichzeitig bildhafte Vorstellungen aktivieren können (Weidenmann, 2002). Weiter zeigt sich diese Überlegenheit von Bildern nicht nur in referentiellen Prozessen, sondern auch in assoziativen Prozessen (Hockley, 2008). Einen ähnlichen, jedoch umfassenderen Erklärungsansatz für dieses Phänomen liefert das integrative Modell des Text- und Bildverständnisses von Schnotz und Bannert (2003), das in Abschnitt 3.4 dieser Arbeit detailliert dargestellt wird. Diese empirischen Befunde können erneut die in Kapitel 1 formulierte Forderung nach der Förderung ikonischer mentaler Modelle im Sinne des Grundvorstellungsansatzes im Mathematikunterricht der frühen Sekundarstufe unterstreichen, die in Kapitel 2 für den Anfangsunterricht der Bruchrechnung konkretisiert wurde. Darüber hinaus kann die Theorie der dualen Kodierung als eine wesentliche Grundlage für die kognitive Theorie des multimedialen Lernens, die in Abschnitt 3.3 als Basis für die Entwicklung von multimedialen Lernumgebungen vorgestellt wird, bezeichnet werden.

3.1.3 Arbeitsgedächtnismodell Als Arbeitsgedächtnis (en.: working memory) (Baddeley, 1992, 2000) wird ein Speicher mit beschränkter Kapazität innerhalb des menschlichen Gedächtnisses bezeichnet, der Informationen temporär aufrechterhalten und verändern kann, um somit Prozesse des Verstehens, des Lernens sowie des logischen Denkens zu ermöglichen: The term working memory is used ... to refer to a limited capacity system allowing the temporary storage and manipulation of information necessary for such complex tasks as comprehension, learning and reasoning. (Baddeley, 2000, S. 418) Das Arbeitsgedächtnismodell von Baddeley (1992) kann dergestalt als Weiterentwicklung des Modells eines Kurzzeitgedächtnisses in Atkinsons und Shiffrins (1968) Drei-SpeicherModell verstanden werden, dass Baddeley nicht einen einzigen, sondern einen mehrkomponentigen Speicher (en.: multi-component working memory) annimmt, in dem unterschiedliche Komponenten verschiedene Prozesse ermöglichen. In der ursprünglichen Version des Arbeitszeitgedächtnismodells werden drei Instanzen angenommen (Baddeley, 1992): 1. Visuell-räumlicher Notizblock: Der Notizblock (en.: visuospatial sketchpad) erhält optisch wahrnehmbare und räumlich fassbare Informationen sowie kinästhetische Komponenten – Bewegungsempfindungen – für wenige Augenblicke aufrecht.

3.1 Gedächtnismodelle

91

2. Phonologische Schleife: Die phonologische Schleife (en.: phonological loop) verarbeitet auditive Informationen. Es wird angenommen, dass die phonologische Schleife aus zwei unterschiedlichen Komponenten besteht. Zum einen kann ein phonologischer Speicher (en.: phonological store) phonologische Informationen für einen kurzen Zeitraum von wenigen Sekunden abspeichern. Zum andern kann eine artikulatorische Komponente (en.: articulatory rehearsal component) durch mentale Wiederholung der Laute phonologische Informationen aufrechterhalten und Worte und Bilder durch eine konkrete Benennung in phonologische Informationen umwandeln. 3. Zentrale Exekutive: Die zentrale Exekutive (en.: central executive) wird als Schnittstelle zwischen dem Arbeitsgedächtnis und dem Langzeitgedächtnis verstanden. Zu ihren Funktionen zählt dabei etwa das Fokussieren von Aufmerksamkeit sowie das Steuern von Übersetzungsprozessen zwischen dem visuell-räumlichen Notizblock und der phonologischen Schleife. Diese Aufteilung eines Arbeitsgedächtnisses in drei unterschiedliche Instanzen, das insbesondere zwei voneinander getrennte Verarbeitungssysteme für unterschiedliche äußere Reize annimmt, weist weitreichende Ähnlichkeit mit der Theorie der dualen Kodierung nach Paivio (1990) auf, die im vorhergehenden Abschnitt erläutert wurde. Jedoch besteht nach Mayer (2009) ein Unterschied zwischen den beiden Theorien in der postulierten Aufteilung von Informationen auf die beiden jeweils unterschiedlichen kognitiven Systeme: Im Arbeitsgedächtnismodell nach Baddeley (1992) wird eine Trennung der Verarbeitungsprozesse in Folge unterschiedlicher Sinneswahrnehmungen (en.: sensory modalities) angenommen. Der visuell-räumliche Notizblock verarbeitet Informationen, die durch die Augen aufgenommen wurden, während die phonologische Schleife Informationen verarbeitet, die durch die Ohren aufgenommen wurden. Im Gegensatz dazu wird in der Theorie der dualen Kodierung nach Paivio (1990) eine Unterscheidung zwischen den Arten der Repräsentation von Informationen (en.: presentation modes) angenommen. Dieser Unterschied zwischen den beiden Theorien wird am Beispiel von gelesenen oder gehörten Wörtern deutlich: Während man im Arbeitsgedächtnismodell davon ausgeht, dass gelesenen (Augen) und gehörte (Ohren) Wörter in unterschiedlichen kognitiven Systemen verarbeitet werden, geht man in der Theorie der dualen Kodierung davon aus, dass Wörter (verbal) unabhängig von ihrer Darbietung innerhalb eines kognitiven Systems verarbeitet werden. In einer überarbeiteten Version des Modells schlägt Baddeley (2000) eine weitere Instanz des Arbeitsgedächtnisses vor. Es wird angenommen, dass ein episodischer Puffer (en.: episodic buffer) multimodal sowohl mit visuellen als auch phonologischen Informationen operieren kann und Informationen aus dem Langzeitgedächtnis abrufen und in sinnzusammenhängenden größeren Chunks verarbeiten und kurzfristig speichern kann (en.: chunking). Dies kann unter anderem empirische Befunde erklären, die dafür sprechen, dass beim freien verbalen Reproduzieren von sinnzusammenhängenden Wörtern statt der von Miller (1956) postulierten 7 ± 2 Chunks bis zu 16 Wörter gleichzeitig aufrecht erhalten werden können (Baddeley, Vallar & Wilson, 1987). Darüber hinaus stellt der episodische Puffer ein Modell

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3 Instruktionspsychologie

dafür dar, wie der Abruf von Informationen aus dem Langzeitgedächtnis konzeptualisiert werden kann. Das von Baddeley (2000) vorgeschlagene mehrkomponentige Arbeitsgedächtnismodell in seiner überarbeiteten Version ist in Abbildung 3.3 schematisch dargestellt. Die zentrale Exekutive als übergeordnetes Steuerungsorgan ist als Ellipse illustriert. Die drei getrennt voneinander existierenden temporären Speicher sind in Rechtecken abgebildet. Wissen in diesen weiß hinterlegten Flächen kann als fließend (en.: fluid) in dem Sinn bezeichnet werden, dass diese Speicher eine geringe Kapazität aufweisen und Informationen nur über eine kurze Zeit aufrecht erhalten können. Weiter sind teile des Langzeitgedächtnisses, in dem Wissen beständig abgespeichert (en.: crystallized) ist, in einem blauen Rechteck dargestellt. Postulierte Wege, den Informationen innerhalb des Gedächtnismodells nehmen können, sind durch Pfeile repräsentiert. Insbesondere steuert die zentrale Exekutive den Informationsaustausch zwischen den drei temporären Speichern. Weiter wird angenommen, dass diese Speicher Wissen mit jeweils unterschiedlichen Teilen des Langzeitgedächtnisses austauschen können. Zentrale Exekutive

Visuell-räumlicher Notizblock

Episodischer Puffer

Phonologische Schleife

Visuelle Semantik

Episodisches Langzeitgedächtnis

Sprachzentrum

Abbildung 3.3. Schematische Darstellung des Modells eines mehrkomponentigen Arbeitsgedächtnisses (nach Baddeley, 2000, S. 421). Teile des Langzeitgedächtnisses sind in farbig hinterlegt.

3.1.4 Schema-Theorie Versteht man die Theorie der dualen Kodierung nach Paivio (1990) und das Arbeitsgedächtnismodell nach Baddeley (2000) als Ergänzungen zum Drei-Speicher-Modell, die insbesondere die Prozesse der Informationsverarbeitung beim Menschen im Bezug auf die temporäre Speicherung und Verarbeitung von Wissen über die von Atkinson und Shiffrin (1968) vorgeschlagenen Ansätze hinaus erläutern können, so kann die Schema-Theorie eine Interpretation dafür liefern, in welcher Art Wissen permanent im Langzeitgedächtnis gespeichert ist. Sie weist dabei weitreichende Überschneidungen mit dem soeben beschriebenen Prozess des Chunkings im Sinne eines episodischen Puffers aufweist. Die Schema-Theorie

3.1 Gedächtnismodelle

93

geht auf Ansätze von Piaget (1923/1928) und Bartlett (1932/1995) zurück, wobei Schemata Netzwerke von Wissenseinheiten bezeichnen, die durch die aktive Anordnung von Erfahrungen entstehen und – wann immer notwendig – als holistisches Gebilde aktiviert werden können, um einen Menschen in die Lage zu versetzen, auf äußere Einflüsse geeignet zu reagieren (Bartlett, 1932/1995): „Schema“ refers to an active organisation of past reactions, or of past experiences, which must always be supposed to be operating in any well-adapted organic response. That is, whenever there is any order or regularity of behaviour, a particular response is possible only beacause it is related to other similar responses which have been serially organised, yet which operate, not simply as individual members coming one after another, but as a unitary mass. (S. 201) Bereits in Abschnitt 1.1.2 ist ein mögliches Schema für den Begriff des Vierecks vor der konkreten Behandlung im Geometrieunterricht exemplarisch aufgeführt worden. Es wird angenommen, dass solche Schemata nicht nur das Wissen im Langzeitgedächtnis vernetzen, sondern auch im Arbeitsgedächtnis als einzelnes Element, bestehend aus mehreren zusammengehörigen Einzelinformationen, verarbeitet werden können (Chi, Glaser & Rees, 1982). Dies erscheint vor allem vor dem Hintergrund einer postulierten begrenzten Kapazität des Arbeitsgedächtnisses (vgl. 3.1.3) relevant und soll am folgenden Beispiel von Sweller et al. (2011) illustriert werden: Es kann angenommen werden, dass Menschen mit einem mittleren Schulabschluss üblicherweise ein Schema zur Lösung der Aufgabe „ ba = c. Löse nach a auf“, entwickelt haben, das beinhaltet, dass Aufgaben dieser Art durch die Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit b gelöst werden können. Mit wachsender Expertise kann dieses Schema die mühelose Lösung von derartigen Aufgaben ermöglichen. Insbesondere können mit zunehmender Erfahrung auch Aufgaben als zu diesem Schema zugehörig erkannt werden, die nicht identisch zur ursprünglichen Aufgabe ba = c sind, sondern nur gewisse Ähnlichkeiten aufweisen – z. B. Aufgaben, die in Realkontexte eingebettet sind und zur Lösung einen Modellierungsprozess benötigen. Darüber hinaus wird angenommen, dass die Akquise elaborierter Schemata mit erheblichem kognitiven Aufwand verbunden ist und sich durch wiederholtes Üben bewerkstelligen lässt (Sweller et al., 2011). Weiter zeigen empirische Belege, dass mit zunehmender Übung Schemata immer seltener bewusst aktiviert werden müssen, sondern vielmehr automatisch aktiviert (en.: automation) und zum größten Teil mühelos genutzt werden können (G. Cooper & Sweller, 1987; W. Schneider & Shiffrin, 1977; Shiffrin & Schneider, 1977). Das Lesen, also der Erwerb von Schemata zur automatisierten Interpretation von Buchstaben und Worten, stellt ein Beispiel dar, das diesen Sachverhalt geeignet illustrieren kann (Sweller, 2002). Diese Schemata als Repräsentationseinheiten von Wissen im Langzeitgedächtnis können als weitreichend ähnlich mit den in Abschnitt 1.2 dargelegten Konzepten im Sinne der Conceptual Change-Theorie und insbesondere den Rahmentheorien nach Vosniadou (1994)

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3 Instruktionspsychologie

bezeichnet werden. Insbesondere können durch augenscheinliche Ähnlichkeiten zwischen Aufgaben und bereits akquirierten Schemata diese fälschlicherweise aktiviert werden und demzufolge zu falschen kognitiven Prozessen führen (Sweller et al., 2011): When we attempt to solve a problem by using an inappropriate schema because the problem looks as though it belongs to a particular category of problems but does not belong to that category, .. . they [schemata] also can prevent us from seeing what would otherwise be obvious. (S. 23) Für den in dieser Arbeit betrachteten Lerngegenstand des Bruchzahlbegriffs erscheint gerade auch dieser Aspekt von Bedeutung. Er unterstreicht vor einem weiteren psychologischen Hintergrund die Möglichkeit der Übergeneralisierung von Eigenschaften natürlicher Zahlen auf Brüche, was in Abschnitt 2.2 im Sinne eines Natural Number Bias als zentrales Problem bei der Zahlbereichserweiterung identifiziert wurde. Die in Abschnitt 2.3 entwickelten Konzepte von Bruchzahlen können im Sinne der soeben dargestellten Theorie gleichermaßen als Schemata bezeichnet werden, deren Inhalt die vernetzten Subkonzepte bilden.

3.2 Cognitive Load-Theorie Zur fundierten Bewertung der Güte instruktionaler Ansätze erscheint es plausibel, auf psychologische Erkenntnisse und Theorien zur Informationsverarbeitung beim Menschen zurückzugreifen. Insbesondere kann ein theoretischer Rahmen, der empirisch gewonnene Erkenntnisse über Verarbeitungsprozesse berücksichtigt, eine wissenschaftliche Basis sowohl für die Hypothesenbildung bei der Untersuchung von Lehr-Lern-Prozessen als auch für die Interpretation von gewonnenen Ergebnissen bilden (Sweller, van Merrienboer & Paas, 1998; Sweller et al., 2011). Einen umfassenden solchen Ansatz liefert die Cognitive Load-Theorie (Chandler & Sweller, 1991; Paas, Renkl & Sweller, 2003; Paas & Sweller, 2014; Sweller, 1988, 1989; Sweller et al., 1998; Sweller et al., 2011; van Merriënboer & Sweller, 2005). Eine Grundannahme dieser Theorie ist dabei die beschränkte Verarbeitungskapazität des Arbeitsgedächtnisses (Sweller et al., 2011), die in Abschnitt 3.1.3 als zentrale Annahme des mehrkomponentigen Arbeitsgedächtnismodells nach Baddeley (1998) identifiziert wurde. Weiter kann die Cognitive Load-Theorie als im Einklang mit der Dual-Processing-Theorie bezeichnet werden (Feldon, 2007), in der von einem intuitiven und einem analytisch denkenden kognitiven System ausgegangen wird und die in Abschnitt 2.2.3 als Erklärungsansatz für einen Natural Number Bias beim Umgang mit Brüchen vorgestellt wurde. In diesem Abschnitt werden, aufbauend auf den Erklärungsansätzen zur Informationsverarbeitung beim Menschen aus Abschnitt 3.1, zunächst drei Arten kognitiver Belastung (en.: cognitive load) unterschieden und im Anschluss empirisch untersuchte Effekte zur Effektivität von Lernumgebungen dargestellt, die einen Rahmen für das instruktionale Design von Lernumgebungen bilden können.

3.2 Cognitive Load-Theorie

95

3.2.1 Unterschiedliche Arten kognitiver Belastung Im Rahmen der Cognitive Load-Theorie geht man von drei unterschiedlichen Arten kognitiver Belastung aus, die einen Einfluss auf konkrete Lernprozesse haben können (Sweller et al., 2011): 1. Intrinsische kognitive Belastung: Eine intrinsische kognitive Belastung (en.: intrinsic cognitive load) wird durch den Lerngegenstand selbst induziert und kann als Maß für seine Komplexität verstanden werden: Ein Lerngegenstand kann entweder isoliert oder aber nur in Verbindung mit weiteren Informationen verstanden werden. Man spricht in diesem Zusammenhang von einer niedrigen oder hohen Elementinteraktivität (en.: element interacitivity). So können etwa Substantive einer Fremdsprache unabhängig voneinander gelernt werden, während die notwendigen Schritte zum Lösen einer mathematischen Gleichung im Zusammenhang gelernt werden müssen (Sweller, 2010). Es wird angenommen, dass sich mit zunehmender Elementinteraktivität eines Lerngegenstands auch die intrinsische kognitive Belastung beim Lernen des Materials erhöht – und damit auch die Lernschwierigkeit zunehmen kann. Weiter geht man davon aus, dass Personen mit entsprechendem Vorwissen die intrinsische kognitive Belastung eines Lerngegenstandes durch die Aktivierung von und die Einordnung in bereits bestehende Schemata verringern können (van Merriënboer & Sweller, 2005). Für die intrinsische kognitive Belastung spielen also zum einen die Komplexität des Lerngegenstandes selbst und zum andern das Vorwissen der Lernenden eine Rolle. Insbesondere nimmt man im Rahmen der Cognitive Load-Theorie an, dass sich diese Art der kognitiven Belastung nicht durch unterschiedliche Arten der Darbietung des Lerngegenstandes verändern lässt (Sweller, 2010): Intrinsic cognitive load ... is concerned with the natural complexity of information that must be understood and material that must be learned, unencumbered by instructional issues such as how the information should be presented or in what activities learners should engage to maximise [sic] learning. (S. 124) 2. Irrelevante kognitive Belastung: Grundlage für irrelevante kognitive Belastung (en.: extraneous cognitive load) ist die Verarbeitung von Informationen, die für das Erfassen eines Lerngegenstandes innerhalb einer konkreten Lernumgebung zwar notwendig sind, sich jedoch für ein Verständnis des Lerngegenstandes an sich als nicht gewinnbringend erweisen (Paas & Sweller, 2014). Beispiele hierfür sind die ungeeignete Platzierung von Bildern und den dazugehörigen Texten, die räumliche Trennung zusammengehöriger Informationen etwa durch einen Seitenumbruch sowie die Verwendung zusätzlicher Illustrationen, die lediglich der optischen Gestaltung des Materials dienen. Sie können damit weder zur Akquise neuer Schemata, noch zur Automatisierung bestehender Schemata beitragen und werden somit als hinderlich für den Lernprozess angenommen (Sweller, 1994). Weiter geht man davon aus, dass irrelevante kognitive Belastung insbesondere durch eine Veränderung der Darbietung von Informationen und des Designs

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3 Instruktionspsychologie einer Lernumgebung variiert werden kann, wodurch sie auch Gegenstand von empirischen Untersuchungen zur Verwendung digitaler Unterrichtsmedien darstellt (Paas & Sweller, 2014).

3. Lernbezogene kognitive Belastung: Während eine intrinsische kognitive Belastung als notwendig und eine irrelevante kognitive Belastung als hinderlich für die Akquise von Wissen angenommen wird, geht man davon aus, dass sich eine lernbezogene Belastung (en.: germane cognitive load) förderlich auf Lernprozesse auswirken kann. Als Beispiel hierfür kann der beständige und angeleitete Wechsel zwischen unterschiedlichen Repräsentationen von Bruchzahlen genannt werden. Basierend auf der Grundlage empirischer Erkenntnisse wird dabei angenommen, dass eine gezielte Steuerung der Aufmerksamkeit der Lernenden auf den Lerngegenstand – z. B. durch die Darstellung von Zusammenhängen oder durch die konkrete Formulierung von weiterführenden Zusatzfragen – erreicht werden kann (Sweller et al., 1998). Als Voraussetzung dafür wird angenommen, dass die Kapazität des Arbeitsgedächtnisses nicht bereits durch intrinsische und irrelevante kognitive Belastung erreicht oder überschritten ist, sodass zusätzliche Ressourcen zur Verfügung stehen, die für lernbezogene Aktivitäten verwendet werden können und etwa die Konstruktion oder Automatisierung von Schemata unterstützen können (van Merriënboer & Sweller, 2005). An dieser Stelle ist insbesondere anzumerken, dass sich diese drei Arten kognitiver Belastung nicht nur wie dargestellt theoretisch voneinander trennen lassen, sondern auch empirisch durch das Messen von Bearbeitungszeiten, der wahrgenommenen Schwierigkeit einer Aufgabe sowie des wahrgenommenen Aufwands, der zur Bearbeitung einer Aufgabe notwendig erscheint, unterschieden werden können (DeLeeuw & Mayer, 2008). Eine Grundannahme der Cognitive Load-Theorie ist, dass sich intrinsische, irrelevante und lernbezogene kognitive Belastung zu einer Gesamtbelastung addieren, die während des Lernprozesses aufgebracht werden muss (van Merriënboer & Sweller, 2005). Vor dem Hintergrund eines Arbeitsgedächtnisses mit beschränkter Kapazität wird davon ausgegangen, dass Lernprozesse nur dann erfolgreich geschehen können, wenn die Summe aus intrinsischer und irrelevanter kognitiver Belastung geringer ist, als die Verarbeitungskapazität des Arbeitsgedächtnisses. Aus diesen Annahmen werden im Rahmen der Cognitive LoadTheorie zwei Zielvorgaben für die Gestaltung von Lernumgebungen (en.: instructional design) formuliert. Sie sollen so beschaffen sein, dass sie zum einen eine irrelevante und für das Lernen hinderliche kognitive Belastung minimieren können und zum anderen die Lernenden dahingehend motivieren können, verfügbare kognitive Ressourcen tatsächlich zur Akquise von Wissen und zur Herstellung von Zusammenhängen zu nutzen (Chandler & Sweller, 1991; Sweller et al., 1998). Insbesondere werden geeignet aufbereitete Lernumgebungen für Inhalte mit hoher Elementinteraktivität als relevant angenommen. Gerade bei komplexen Lerngegenstände, denen eine hohe intrinsische kognitive Belastung inhärent ist, kann die Kapazität des Arbeitsgedächtnisses schnell erreicht oder überschritten werden, wenn zusätzliche kognitive

3.2 Cognitive Load-Theorie

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Belastung durch ungeeignet gestaltete Lernumgebungen auftritt (Paas & Sweller, 2014). Dies erscheint gerade vor dem Hintergrund dieser Arbeit, die sich mit der Akquise grundlegender Konzepte von Brüchen auseinandersetzt, von Bedeutung. In Kapitel 2 wurde zum einen der hohe Grad der notwendigen Vernetzung einzelner Subkonzepte der zu vermittelnden Konzepte Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen sowie Größenvergleich dargestellt. Zum anderen wurde dargelegt, dass sich Wissen über natürliche Zahlen als hinderlich für den Erwerb von Konzepten von Brüchen erweisen kann. Diese beiden Punkte – hohe Elementinteraktivität und fehlendes oder gar hinderliches Vorwissen der Lernenden – werden als ursächlich für hohe intrinsische kognitive Belastung angenommen (Sweller & Chandler, 1994; Sweller, 2010), sodass der Aufbau der in Abschnitt 2.3 formulierten Konzepten von Brüchen als komplexer und anspruchsvoller Lerngegenstand auch im Sinne der Cognitive Load-Theorie bezeichnet werden kann. Ein Überblick über die hier dargestellten unterschiedlichen Arten kognitiver Belastung sowie eine exemplarische Einbettung von Aspekten von Brüchen in diesen Kontext ist in Tabelle 3.1 dargestellt. Als Beispiel dient dafür das Konzept Teil vom Ganzen. Tabelle 3.1 Überblick über die drei Arten kognitiver Belastung hinsichtlich ihrer Auswirkungen auf die Akquise von Wissen, ihrer möglichen Veränderbarkeit durch die Präsentation des Lerngegenstandes sowie einem konkreten Beispiel aus dem Bereich der Bruchrechnung. Art

Auswirkung Veränderbarkeit

Intrinsisch

notwendig

Irrelevant

hinderlich

Lernbezogen förderlich

Beispiel

Nein, dem Lerngegenstand inhärent, jedoch abhängig vom Vorwissen.

Für den Aufbau eines elaborierten Konzeptes von Brüchen als Teil vom Ganzen erscheint ein Verständnis zahlreicher Subkonzepte notwendig, das auf intuitiver Ebene von einem Natural Number Bias kontrastiert sein kann. Ja, abhängig von der Qualität Überladene Buchseiten, vom Lerngegender Lernumgebung. stand ablenkende Designelemente sowie weitere Merkmale von insbesondere digitalen Lernumgebungen, die im Verlauf des Kapitels diskutiert werden. Ja, durch gezielte HerstelDie Aktivierung unterschiedlicher menlung von Zusammenhängen, taler Modelle durch die Darstellung eines jedoch nur wenn freie ResBruches in unterschiedlichen Repräsentasourcen im Arbeitsgedächtnis tionen sowie der beständige, angeleitete zur Verfügung stehen. Wechsel zwischen Repräsentationen.

3.2.2 Effekte im Zusammenhang mit kognitiver Belastung Mit der Identifikation der grundlegenden Konzepte von Brüchen als kognitiv anspruchsvollen Lerngegenständen im Kontext kognitiver Belastung gehen hohe Anforderungen an eine

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3 Instruktionspsychologie

geeignete Lernumgebung einher, die bei deren Entwicklung berücksichtigt werden sollen. Nachfolgend werden Effekte, die im Zuge der Cognitive Load-Theorie empirisch untersucht wurden, dargestellt, die ebendiese Anforderungen an die Gestaltung von Lernumgebungen präzisieren können. Aufgrund der weitreichenden und langjährigen Forschungsarbeit im Zuge der Cognitive Load-Theorie können zu den Effekten im Rahmen dieser Arbeit nur einzelne empirische Belege exemplarisch genannte werden. Umfassende Überblicke über die Ergebnisse der letzten Jahre liefern beispielsweise Sweller et al. (2011). Die Zusammenfassung der beobachteten Effekte richtet sich an dieser Stelle nach Sweller (2012). 3.2.2.1 Worked Example-Effekt

Ein Lösungsbeispiel (en.: worked example) stellt Lernenden eine vollständige Lösung einer Aufgabe zur Verfügung, die nach Teilschritten gegliedert ist und alle notwendigen Schritte enthält (Ayres, 2012). Der Worked Example-Effekt beschreibt empirische Befunde, die nahelegen, dass gerade Lernende ohne entsprechendes Vorwissen mehr von Lösungsbeispielen, als von analog formulierten Problemlöseaufgaben3 profitieren können. So konnte für den Bereich der Algebra gezeigt werden, dass das Arbeiten mit Lösungsbeispielen im Vergleich zum Arbeiten mit Problemlöseaufgaben nicht nur zu besseren Ergebnissen führen kann, sondern darüber hinaus der Prozess der Akquise von Lösungsschemata schneller gelingen kann (G. Cooper & Sweller, 1987). Weiter konnte gezeigt werden, dass die paarweise Darstellung eines Lösungsbeispiels und einer analog zu bearbeitenden Aufgaben für einen gelungenen Lernprozess vorteilhafter sein kann, als die Präsentation unterschiedlicher Lösungsbeispiele ausschließlich zu Beginn einer Unterrichtssequenz, gefolgt von einer längeren Übungsphase ohne entsprechende Lösungsbeispiele (Trafton & Reiser, 1993). Die Verwendung von Lösungsbeispielen kann zur Reduzierung einer irrelevanten kognitiven Belastung führen, die sich für unerfahrene Lernende durch die sonst zusätzlich zur Konzentration auf den Lerngegenstand notwendige Lösung des Problems ergeben kann (Ayres, 2012). 3.2.2.2 Problem Completion-Effekt

Der Problem Completion-Effekt weist weitreichende Ähnlichkeit mit dem Worked Example-Effekt auf. Jedoch wird in diesem Fall mit unvollständigen Lösungsbeispielen (en.: completion problems) gearbeitet, die nicht von Anfang an einen vollständigen Lösungsweg aufzeigen, sondern noch Aspekte eines Problemlöseprozesses beinhalten. Es wird angenommen, dass die Arbeit mit unvollständigen Lösungsbeispielen von Schülerinnen und Schülern eine aktivere Einbindung in den Lernprozess einfordert als die Arbeit mit vollständigen Lösungsbeispielen (Sweller et al., 2011). Unter anderem können abgestufte Lösungshilfen4 3 Als Problem wird in der Mathematik eine Aufgabe bezeichnet, bei der der Lösungsweg nicht von Anfang an

offensichtlich ist. Unter einer Problemlösung versteht man die intensive Beschäftigung mit einer solchen Aufgaben, ohne vorher bereits zu wissen, mit welchen Mechanismen, Algorithmen oder mathematischen Inhalten diese Aufgabe zu lösen ist (Reiss & Hammer, 2013, S. 56). 4 Beim Arbeiten mit abgestuften Lösungshilfen haben Schülerinnen und Schüler die Möglichkeit, selbstreguliert Hilfen zum Lösungsprozess einer Aufgaben in hierarchischer Reihenfolge sortiert in Anspruch

3.2 Cognitive Load-Theorie

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(Reiss & Hammer, 2013) und heuristische Lösungsbeispiele5 (Reiss & Renkl, 2002) als derartige unvollständige Lösungsbeispiele bezeichnet werden. Man spricht vom Problem Completion-Effekt, wenn das Arbeiten mit derartig gestalteten Lösungsbeispielen zu einem besseren Ergebnis führt, als das Arbeiten mit klassischen Problemlöseaufgaben, was innerhalb der Mathematik etwa für den Bereich elementarer statistischer Konzepte gezeigt werden konnte (Paas, 1992). Die Verwendung unvollständiger Lösungsbeispiele kann durch die gezielte Steuerung der Aufmerksamkeit der Lernenden auf bestimmte Elemente der Lösung einer Aufgabe zu einer Erhöhung lernbezogener kognitiver Belastung führen. 3.2.2.3 Split-Attention-Effekt

Es wird angenommen, dass Lernende verschiedene Informationen, die in wechselseitiger Abhängigkeit zueinander stehen, getrennt verarbeiten müssen, wenn diese innerhalb einer Lernumgebung räumlich oder zeitlich voneinander getrennt dargestellt werden. Werden diese Informationen hingegen kombiniert präsentiert – also insbesondere ohne räumliche oder zeitliche Trennung – können sie als eine einzige ganzheitliche Informationsquelle wahrgenommen werden (Ayres & Cierniak, 2012). Man spricht vom Split-Attention-Effekt, wenn integrativ gestaltete Lernumgebungen zu einem besseren Lernerfolg führen, als Lernumgebungen, in denen zusammengehörige Informationen isoliert voneinander dargestellt sind, was etwa im Bereich der Geometrie gezeigt werden konnte (Tarmizi & Sweller, 1988). Mit anderen Worten beschreibt dieser Effekt das empirisch beobachtete Phänomen, dass sich eine integrative Darstellung zweier voneinander abhängigen Informationen innerhalb einer Lernumgebung als gewinnbringender erweist, als wenn diese beiden Informationen aufgrund räumlicher oder zeitlicher Trennung zunächst mental zusammengeführt werden müssen (Sweller, 2012). Der Split-Attention-Effekt beschreibt damit eine Reduktion irrelevanter kognitiver Belastung, die sich aus einer unzureichend gestalteten Lernumgebung ergeben kann (Ayres & Cierniak, 2012). 3.2.2.4 Modality-Effekt

Innerhalb der in Abschnitt 3.1 vorgestellten Theorien zur Informationsverarbeitung beim Menschen geht man davon aus, dass das Arbeitsgedächtnis aus zwei voneinander getrennten kognitiven Systemen besteht, die insbesondere über eigene Kapazitäten verfügen (Sweller et al., 2011). Im Rahmen der Cognitive Load-Theorie unterscheidet man üblicherweise ein visuelles und einen auditives System, analog zum visuell-räumlichen Notizblock und der phonologischen Schleife im Arbeitsgedächtnismodell von Baddeley (1992), das in Abschnitt zu nehmen. Dabei soll ein erster Hinweis lediglich das Problem verdeutlichen während der letzte Hinweis den entscheidenden Lösungsgedanken eröffnet (Reiss & Hammer, 2013, S. 44). Alle abgestuften Lösungshilfen ergeben zusammen ein vollständiges Lösungsbeispiel. 5 Als heuristische Lösungsbeispiele werden Lösungsbeispiele verstanden, die zwischen den einzelnen notwendigen Schritten eines Lösungsprozesses die Möglichkeit einer eigenen Exploration bestimmter Aspekte eines Problems zulassen und insbesondere auch erfordern. Damit bilden heuristische Lösungsbeispiele den Prozess einer Problemlösung besser ab, als klassische Lösungsbeispiele (Reiss & Renkl, 2002, S. 32).

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3 Instruktionspsychologie

3.1.3 vorgestellt wurden. Der Modality-Effekt tritt ein, wenn sich die Darstellung von Informationen in audiovisueller Form als überlegen gegenüber einer Darstellung in rein visueller Form erweist (Low, 2012). Wie beim soeben dargelegten Split-Attention-Effekt ist eine Voraussetzung dafür, dass der Effekt seine positive Wirkung zeigen kann, dass die dargebotenen Informationen nur im Zusammenhang und nicht getrennt voneinander nachvollzogen werden können. So konnte in mehreren Studien gezeigt werden, dass Viertklässlerinnen und Viertklässler sowie Achtklässlerinnen und Achtklässler, die im Fachbereich Geometrie mit audiovisuellen Lösungsbeispielen gearbeitet haben, zur Lösung ähnlicher Probleme weniger Zeit benötigten als Schülerinnen und Schüler, die mit ausschließlich visuell dargebotene Lösungsbeispielen gearbeitet haben (Mousavi, Low & Sweller, 1995). Dieser Vorteil multimodaler Darbietung von Informationen konnte in weiteren Studien repliziert werden. Eine gute Übersicht über bisherige empirisch gewonnene Erkenntnisse zum Modality-Effekt liefern beispielsweise Sweller et al. (2011, S. 131). Der Modality-Effekt kann innerhalb der Cognitive Load-Theorie nur indirekt erklärt werden – als Verringerung irrelevanter kognitiver Belastung durch die Erhöhung der Arbeitsgedächtniskapazität aufgrund unterschiedlicher Modalitäten der Informationsquellen (Low, 2012). Ein alternativer Erklärungsansatz für diesen Effekt wird im Abschnitt 3.3 im Zuge der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens vorgestellt. 3.2.2.5 Redundancy-Effekt

Die zentrale Voraussetzung für die beiden soeben beschriebenen Effekte – dem SplitAttention-Effekt und dem Modality-Effekt – ist eine Abhängigkeit der getrennt dargestellten Informationen derart, dass sie notwendigerweise gemeinsam betrachtet werden müssen, um korrekt interpretiert werden zu können. Im Gegensatz dazu beschreibt der Redundancy-Effekt einen Nachteil instruktionaler Ansätze, in denen identische Informationen mehrmals dargeboten werden (Jin, 2012). So konnte in zwei Studien mit Auszubildenden im ersten Lehrjahr gezeigt werden, dass das Wissen um den Aufbau von und den Umgang mit elektrischen Schaltskizzen von Lernenden nicht nur schneller akquiriert werden konnte, sondern sie auch bessere Ergebnisse in einem Test erzielten, wenn das Lernmaterial ausschließlich aus beschrifteten Diagrammen bestand und der Inhalt des Diagramms nicht noch zusätzlich in prosaischer Form dargeboten wurde. Ähnliche Ergebnisse zeigten sich für den Biologieunterricht der neunten Jahrgangsstufe (Chandler & Sweller, 1991). Im Rahmen der Cognitive Load-Theorie kann angenommen werden, dass die Darbietung redundanter Informationen zu zusätzlicher irrelevanter kognitiver Belastung führt, was sich nachteilig für den Lernerfolg auswirken kann (Jin, 2012). An dieser Stelle ist hervorzuheben, dass sich das in den eben dargestellten Studien verwendete Material grundlegend von den in Abschnitt 2.3 ausgearbeiteten Konzepten von Brüchen in folgender Art und Weise unterscheidet. Während im Material aus den Fachbereichen Elektrotechnik und Biologie die Beschriftung der Diagramme im Fließtext lediglich wiederholt wurde (Sweller et al., 2011), soll mit der Vermittlung der konkreten Subkonzepte von Brüchen unter anderem ein steter Repräsentationswechsel zwischen ikonischen und

3.2 Cognitive Load-Theorie

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symbolischen Darstellungen angeleitet werden. Es kann daher angenommen werden, dass es sich bei den Konzepten von Bruchzahlen nicht um redundante Informationen zu Brüchen in lediglich unterschiedlicher Darbietung handelt, sondern tatsächlich um konzeptuell unterschiedliche Lerngegenstände, die für einen elaborierten Bruchzahlbegriff jeweils alle notwendig sind. Auf diesen Aspekt wird in Abschnitt 3.4 im Rahmen des integrativen Modells des Text- und Bildverstehens nochmals eingegangen. 3.2.2.6 Expertise Reversal-Effekt

Man spricht vom Expertise Reversal-Effekt, wenn bestimmte instruktionale Ansätze für Lernende ohne entsprechendes Vorwissen zu einem stärkeren Lernerfolg führen, als für Lernenden mit diesem Vorwissen oder sie sich für die zweite Gruppe sogar als nachteilig erweisen (Kalyuga, 2012). Eine strukturierte Übersicht mit quantitativen Belegen für einen Expertise Reversal-Effekt liefert beispielsweise Kalyuga (2007). Im Rahmen der Cognitive Load-Theorie wird dieser Effekt als zusätzliche irrelevante kognitive Belastung für Lernende mit Vorwissen interpretiert, die darauf zurückgeführt werden kann, dass notwendige Informationen für Lernende ohne entsprechendes Vorwissen für Experten nicht nur redundant sind, sondern darüber hinaus mit bereits vorhandenen Schemata abgeglichen werden müssen (Sweller et al., 2011). Da im Fokus dieser Arbeit der Anfangsunterricht der Bruchrechnung steht, kann davon ausgegangen werden, dass dieser Effekt keine zentrale Bedeutung für den untersuchten Lerngegenstand einnehmen wird. Es ist zu erwarten, dass die Mehrheit der Schülerinnen und Schüler zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe über kein oder nur sehr wenig Wissen zu Brüchen verfügt, das über laienhaftes Alltagswissen hinaus geht (Padberg, 2002a; Padberg & Wartha, 2017). 3.2.2.7 Guidance Fading-Effekt

Der Guidance Fading-Effekt kann als Spezialfall des Expertise Reversal-Effektes bezeichnet werden. Er beschreibt die Effektivität einer schrittweisen Abnahme der Anleitung der Lernenden – z. B. von Lösungsbeispielen über unvollständige Lösungsbeispiele hin zu Problemlöseaufgaben – gegenüber Lernsituationen, in denen konsequent mit Lösungsbeispielen gearbeitet wird (Renkl, 2012). Lernsituationen, die mit einer solchen sukzessiven Abstufung der Anleitung der Schülerinnen und Schüler arbeiten, berücksichtigen den Wissenszuwachs der Lernenden während einer Lernsituation (Sweller et al., 2011), entweder global für alle Schülerinnen und Schüler oder auch adaptiv und individuell auf den Lernfortschritt einzelner Schülerinnen und Schüler angepasst (Renkl, 2012; vgl. auch Abschnitt 4.3). Einen Überblick über Studien, die empirische Belege für die Überlegenheit von Lernumgebungen mit global abnehmender Anleitung der Lernenden während einer Unterrichtsphase liefern, geben etwa Renkl und Atkinson (2003). Gerade in der Diskussion um digitale und interaktive Unterrichtsmedien eröffnet sich die Möglichkeit der Berücksichtigung individueller Lernfortschritte: Software kann so gestaltet werden,

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3 Instruktionspsychologie

dass der Lernfortschritt der Schülerinnen und Schüler während einer Unterrichtsphase gemessen und dokumentiert werden kann und im Anschluss der Grad der Anleitung adaptiv bestimmt werden kann. In zwei Studien mit Schülerinnen und Schülern der neunten und zehnten Jahrgangsstufe konnte gezeigt werden, dass im Fachbereich Geometrie die Verwendung intelligenter Tutorensysteme (en.: intelligent tutoring system)6 mit adaptiver Abstufung der Lösungshilfen zu einem höheren Lernerfolg führen kann, als das Arbeiten in Lernumgebungen, in denen der Grad der Anleitung global abnimmt oder während der Lernsituation konstant hoch bleibt (Salden, Aleven, Renkl & Schwonke, 2009). Dieser Aspekt hat insbesondere weitreichende Bedeutung für die Entwicklung interaktiver Lernumgebungen und wird in Abschnitt 4.3 vertieft. Im Rahmen der Cognitive Load-Theorie wird der Guidance Fading-Effekt als besondere Ausprägung des Expertise Reversal-Effekts betrachtet, der bei Schülerinnen und Schülern auf Grund des Wissenszuwachses während einer Lernsituation individuell auftreten kann (Renkl, 2012). 3.2.2.8 Imagination-Effekt

Man spricht vom Imagination-Effekt, wenn Schülerinnen und Schüler, die aufgefordert werden sich Konzepte von Lerngegenständen oder Arbeitsabläufe vorzustellen, bessere Lernerfolge erzielen, als Lernende, die diese Konzepte in Form konkreter Inhalte oder Arbeitsabläufe etwa als Lösungsbeispiele präsentiert bekommen (Ginns, 2012). In mehreren Studien mit Schülerinnen und Schülern der siebten und achten Jahrgangsstufe wurde gezeigt, dass beim Erlernen von Arbeitsabläufen zur Verwendung von Computerprogrammen die Aufforderung zum Vorstellen der notwendigen Schritte zu besseren Lernfortschritten führt, als die Aufforderung zum bloßen Nachvollziehen der Schritte anhand von Lösungsbeispielen. Jedoch wurde weiter gezeigt, dass sich dieser Effekt hauptsächlich für Lernende mit entsprechendem Vorwissen besteht und sich für Schülerinnen und Schüler mit wenigem bis keinem Vorwissen sogar ins Gegenteil umkehren kann (G. Cooper, Tindall-Ford, Chandler & Sweller, 2001). Es wird daher angenommen, dass für eine lernförderliche Wirkung instruktionaler Ansätze, die auf dem Vorstellen bestimmter Konzepte beruhen, Schülerinnen und Schüler auf bereits bestehende Schemata im Langzeitgedächtnis zurückgreifen müssen und diese Ansätze daher für Lernende ohne Vorwissen nicht wirkungsvoll sind (Sweller et al., 2011): In order to imagine a procedure or concept, learners must be able to process that procedure or concept in working memory. The act of processing in working memory should assist in transfer to the long-term memory store, but since working memory is limited in accordance with the narrow limits of change principle, for novices, imagining a procedure or concept may be difficult or impossible, rendering imagination instructions relatively ineffective. (S. 184) 6 Als intelligente

Tutorensysteme werden adaptive Programme verstanden, die die Auswahl der Aufgaben nicht anhand einer vorab ermittelten Einschätzung der Nutzer auswählt, sondern die notwendigen Messungen während der Bearbeitung der Aufgaben durchführt und den Schwierigkeitsgrad oder die Auswahl der Aufgaben daraufhin anpasst (Tsai & Hsu, 2012).

3.2 Cognitive Load-Theorie

103

In den Rahmen der Cognitive Load-Theorie kann dieser Effekt für die beiden angesprochenen Lerngruppen getrennt eingeordnet werden: Während die Aufforderung zur Vorstellung von Konzepten bei Lernenden mit Vorwissen zu einer lernbezogenen kognitiven Belastung im dem Sinn führen kann, dass bereits vorhandene Schemata aktiviert werden, kann sie bei Schülerinnen und Schülern ohne entsprechendes Vorwissen zu irrelevanter kognitiver Belastung führen, weil notwendige Schemata nicht vorhanden sind. Wie in diesem Abschnitt bereits dargelegt, kann davon ausgegangen werden, dass Schülerinnen und Schüler zu Beginn des Bruchrechenunterrichts nur über wenig bis kein Vorwissen zu Bruchzahlen verfügen. Daher kann angenommen werden, dass sich ein Zugang über instruierte Vorstellungen der Konzepte von Brüchen gegenüber tatsächlichen Darstellungen dieser Konzepte in ikonischer oder symbolischer Repräsentation lediglich für sehr leistungsstarke Schülerinnen und Schüler als gewinnbringend erweisen kann. 3.2.2.9 Goal-Free-Effekt

Im Rahmen der Cognitive Load-Theorie spricht man von geschlossenen Problemlöseaufgaben (en.: goal-specific problems), wenn das Ziel der Aufgabe klar formuliert und insbesondere den Schülerinnen und Schülern bekannt ist. Als offenen Problemlöseaufgaben (en.: goalfree) werden hingegen Aufgaben bezeichnet, die keine eindeutige Zielvorgabe besitzen, sondern lediglich eine Richtung möglicher Ziele vorgeben7 (Sweller et al., 2011). Man spricht vom Goal-Free-Effekt, wenn sich instruktionale Ansätze, in denen mit offenen Aufgaben gearbeitet wird, als lernwirksamer erweisen, als solche, in denen mit geschlossenen Aufgaben gearbeitet wird (Paas & Kirschner, 2012). Dabei legen empirische Belege nahe, dass Lernenden bei der Bearbeitung von offenen Aufgaben eher zu vorwärts gerichteten Lösungsstrategien (en.: history-cued strategy) greifen, während sie sich bei geschlossenen Aufgaben eher vom Ziel rückwärts (en.: means-ends analysis) zum Ausgangspunkt des Problems bewegen (z. B. Sweller, 1988). Man geht davon aus, dass eine solche rückwärts gerichtete Problemlösestrategie zu einer hohen kognitiven Belastung führen kann und sich damit negativ auf den Lernerfolg auswirken kann: Während des Lösungsprozesses müssen gleichzeitig der Ausgangspunkt des Problems, die Zielvorgabe und eine Verbindung dieser beiden Gegebenheiten im Arbeitsgedächtnis aufrecht erhalten werden (Sweller et al., 2011). Bei offenen Aufgaben erscheint diese Vorgehensweise jedoch nicht möglich, da keine Zielvorgabe vorhanden ist. Der Goal-Free-Effekt kann als weitreichend empirisch belegt bezeichnet werden. So führte in drei Studien mit Schülerinnen und Schülern der neunten und zehnten Jahrgangsstufe ein Zugang zur Trigonometrie über offene Problemstellungen etwa zu höheren Lösungsraten in einem Posttest, als ein Zugang über geschlossene Problemstellungen (Owen & Sweller, 1985). Darüber hinaus konnte in einer Studie mit Zehntklässlerinnen und Zehntklässlern im Fachgebiet Trigonometrie gezeigt werden, dass die Schülerinnen und Schüler, die in 7 Aufgaben können insbesondere im Mathematikunterricht offen oder geschlossen formuliert werden. Dabei

wird angenommen, dass offene Aufgaben eher zum Explorieren anregen, während geschlossene Aufgaben eher kalkülorientierte Lösungen initiieren (Reiss & Hammer, 2013).

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3 Instruktionspsychologie

einer Lernumgebung mit offenen Aufgaben gearbeitet hatten, weniger Fehler begangen haben, die auf grundlegende Verständnisschwierigkeiten zurückzuführen sind, als Schülerinnen und Schüler, die mit geschlossenen Aufgabenformaten gelernt hatten (Sweller, 1988). Eine Übersicht über weitere Belege für den Goal-Free-Effekt im allgemeinen findet sich beispielsweise bei Sweller et al. (2011, S. 91-93), ein Überblick über Belege für eine hohe irrelevante kognitive Belastung durch rückwärts gerichtete Problemlösestrategien im speziellen liefert Sweller (1988). In der Diskussion um den Goal-Free-Effekt ist anzumerken, dass sich auf der Grundlage der bisherigen empirischen Belege ein effektiver Einsatz offener Problemstellungen – verbunden mit dem Ziel, vorwärts gerichtete Explorationsstrategien anzuleiten – nur dann als gewinnbringend erweisen kann, wenn die Anzahl möglicher Vorgehensweisen als beschränkt zu bezeichnen ist (Sweller et al., 2011): Studies ... indicate that a goal-free strategy is effective in transformation problems with a limited problem space that involves only a limited number of possible moves. In situations with a more extensive problem space, goal-free problems are less likely to be useful because of the large number of possible moves available. (S. 97) Für das in dieser Arbeit zentrale Thema des Anfangsunterrichts der Bruchrechnung können sich daher relevante Aspekte in Verbindung mit offenen Aufgabenstellungen ergeben. Auf der Basis der bereits mehrfach dargestellten hohen Komplexität des Lerngegenstandes und der fehlenden Vorerfahrung der Lernenden kann davon ausgegangen werden, dass in vielen Ausgangssituationen die Anzahl möglicher Lösungswege nicht als beschränkt angenommen werden kann. Vielmehr können sich durch offen formulierte Aufgaben nicht nur zahlreiche fachlich korrekte Wege zum Umgang mit einer Problemstellung ergeben, sondern auch für Bruchzahlen ungeeignete oder ungültige Vorgehensweisen. Beispielsweise kann ein erfolgreicher Umgang mit Bruchzahlen – selbst bei strukturierter Anleitung – durch intuitive Vorstellungen zu natürlichen Zahlen kontrastiert sein, wie in Abschnitt 2.2 dargestellt wurde. Im Zusammenhang mit offenen Problemstellungen kann sich dadurch das Problem ergeben, dass Schülerinnen und Schüler durch eine fehlende konkrete Zielvorgabe eher auf ebendiese Vorstellungen natürlicher Zahlen zurückgreifen, die im allgemeinen ihre Gültigkeit für rationale Zahlen verlieren. Darüber hinaus wurde in Abschnitt 2.3 der angeleitete und beständige Wechsel zwischen verschiedenen ikonischen Darstellungen sowie zwischen ikonischen und symbolischen Repräsentationen von Brüchen als eine Möglichkeit zur Ausbildung geeigneter Konzepte von Bruchzahlen dargestellt, die als weitgehend empirisch belegt bezeichnet werden kann. Es ist jedoch fraglich, ob sich bei der Verwendung offener Aufgabenstellungen ein solcher angeleiteter Wechsel geeignet umsetzen lässt, oder sich Schülerinnen und Schüler nicht auf unterschiedliche, sondern eher auf stets ein und dieselben Darstellungen von Brüchen beschränken werden. Diese fachdidaktischen Aspekte sollen bei der Verwendung von Explorationsaufgaben in der Bruchrechnung neben den lernpsychologischen Erkenntnissen der Cognitive Load-Theorie zusätzlich beachtet werden, um zum einen Übergeneralisierungen geeignet vorbeugen zu können und zum anderen die Ausbildung von Konzepten von Bruchzahlen unterstützen zu können.

3.2 Cognitive Load-Theorie

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3.2.2.10 Element Interactivity-Effekt

Es wird angenommen, dass Lerngegenständen mit hoher Elementinteraktivität eine hohe intrinsische kognitive Belastung inhärent ist (Sweller & Chandler, 1994). In Abschnitt 3.2.1 wurde darauf aufbauend die Reduktion irrelevanter kognitiver Belastung als eine Zielvorgabe der Cognitive Load-Theorie für die Gestaltung von Lernumgebungen formuliert. Diese Vorgabe erscheint vor dem Hintergrund einer beschränkten Kapazität des Arbeitsgedächtnisses insbesondere für komplexe Lerngegenstände relevant: Es wird angenommen, dass bei niedriger intrinsischer Belastung selbst unter hoher irrelevanter Belastung erfolgreiches Lernen möglich sein kann, wenn die kognitive Gesamtbelastung nicht überschritten wird (Sweller, 2012). In diesem Zusammenhang spricht man vom Element Interactivity-Effekt, wenn sich für Lerngegenstände mit niedriger Elementinteraktivität die bisher beschriebenen Effekte zur Reduktion irrelevanter Belastung nicht als vorteilhaft für den Lernprozess erweisen (Sweller, 2010; Sweller & Chandler, 1994). Wie in diesem Abschnitt jedoch bereits mehrfach dargestellt ist anzunehmen, dass die Akquise von Konzepten von Bruchzahlen mit hoher intrinsischer kognitiver Belastung verbunden sein kann. Daher ist zu erwarten, dass der Element Interactivity-Effekt für den in dieser Arbeit behandelten Lerngegenstand keine weitreichende Bedeutung hat und die Zielvorgabe einer Reduktion irrelevanter Belastung durch geeignet gestaltete Lernumgebungen weiter als zentral angesehen werden soll. Gute Übersichten über empirische Befunde zum Element Interactivity-Effekt in Verbindung mit jeweils einzelnen weiteren Effekten der Cognitive Load-Theorie liefern etwa Sweller (2010) und Sweller et al. (2011, S. 194-199). 3.2.2.11 Isolated-Interacting Elements-Effekt

Die Additivität der drei Arten kognitiver Belastung zu einer Gesamtbelastung wurde bereits als eine Grundannahme der Cognitive Load-Theorie identifiziert. Die meisten der bisher vorgestellten Effekte basieren auf der Annahme, dass sich durch eine Reduktion der irrelevanten kognitiven Belastung die für das Lernen notwendige Gesamtbelastung so weit senken lässt, dass die Kapazität des Arbeitsgedächtnisses nicht überschritten wird. Es wird jedoch angenommen, dass insbesondere Lerngegenstände existieren, die für Schülerinnen und Schüler ohne Vorwissen zu einer so hohe intrinsische kognitive Belastung führen können, dass diese alleine bereits die Kapazität des Arbeitsgedächtnisses übersteigt und somit effektives Lernen zum Teil nicht möglich ist (Sweller et al., 2011). Man spricht vom Isolated-Interacting Elements-Effekt, wenn sich für derartige Lerngegenstände eine zunächst isolierte Darstellung von Subkonzepten mit anschließender Verbindung zu einem Gesamtkonzept als wirkungsvollerer intruktionaler Ansatz erweist, als den Lerngegenstand von Anfang an als Gesamtkonzept darzustellen (Blayney, Kalyuga & Sweller, 2009). In zwei Studien mit Achtklässlerinnen konnte an algebraischen Gleichungsumformungen gezeigte werden, dass Schülerinnen, die im Unterricht mit isoliert dargestellten Umformungsschritten gearbeitet hatten, in einem Posttest bessere Ergebnisse erzielen konnten, als Schülerinnen, die mit Lösungsbeispielen gearbeitet hatten, in denen die einzelnen Umformungsschritte als aufeinanderfolgende Schritte einer vollständigen Gleichungsumformung

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3 Instruktionspsychologie

dargestellt wurden. Jedoch zeigte sich dieser Effekt vorrangig für Schülerinnen mit niedrigen Mathematikkenntnissen und kehrte sich in der zweiten Studie für Schülerinnen mit hohen Mathematikkenntnissen sogar ins Gegenteil um (Ayres, 2006). Diese Interaktion eines Isolated-Interacting Elements-Effektes mit den Vorkenntnissen der Lernenden konnte in einer Studie mit Betriebswirtschaftsstudentinnen und -studenten für den Fachbereich Rechnungswesen repliziert werden. Lernende ohne entsprechendes Vorwissen profitierten von einer Intervention, in der der Lerngegenstand zunächst isoliert (en.: isolated) und erst anschließend im Zusammenhang (en.: interacting) präsentiert wurde, wohingegen sich für Lernende mit Vorwissen eine Darstellung des Lerngegenstandes im Zusammenhang von Beginn der Intervention an als vorteilhafter erwies (Blayney et al., 2009). Analog zum Imagination-Effekt kann diese Abhängigkeit eines Isolated-Interacting Elements-Effekt dadurch erklärt werden, dass die Präsentation eines komplexen Lerngegenstandes im Zusammenhang für Experten zu einer lernbezogenen kognitiven Belastung führen kann. Lernenden ohne Vorwissen hingegen können sich dadurch mit einer erhöhten irrelevanter kognitiver Belastung konfrontiert sehen, die sich nachteilig auf den Lernerfolg auswirken und durch die Präsentation des Lerngegenstandes zunächst in isolierter Form vermieden werden kann. Es kann angenommen werden, dass dieser Effekt in hohem Maße eine Bedeutung für das Erlernen grundlegender Konzepte von Bruchzahlen besitzt. In Abschnitt 2.3 wurden die Konzepte Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen und Größenvergleich als komplexe und mehrschichtige Konzepte von Brüchen erarbeitet, die sich durch die Vermittlung konkreter Subkonzepte geeignet ausbilden lassen können, um der Übergeneralisierung von Vorstellungen zu natürlichen Zahlen im Sinne eines Natural Number Bias entgegenzuwirken. Diese Subkonzepte zeichnen sich gerade durch ein hohes Maß an Vernetzung unterschiedlicher ikonischer und symbolischer Darstellungen in Verbindung mit semantischen Bedeutungen aus. Es ist daher zu erwarten, dass allein die intrinsische kognitive Belastung eines jeden der drei Gesamtkonzepte die Kapazität des Arbeitsgedächtnisses eines Großteils der Schülerinnen und Schüler in der sechsten Jahrgangsstufe überschreiten kann. Aus diesem Grund erscheint es notwendig, einzelne Subkonzepte im Mathematikunterricht zunächst schrittweise und isoliert darzubieten und erst nach und nach in die dargestellten Zusammenhänge einzugliedern. Dies kann die Bedeutung der Cognitive Load-Theorie als psychologische Grundlage für instruktionale Entscheidungen innerhalb des Bruchrechenunterrichts hervorheben. Als Ziel kann hier nicht nur die Reduktion irrelevanter kognitiver Belastung verstanden werden, sondern darüber hinaus auch die geeignete Aufteilung komplexer und vernetzter Inhalte, um das Erlernen der beschriebenen Konzepte vor dem Hintergrund einer beschränkten Arbeitsgedächtniskapazität überhaupt weitgehend zu ermöglichen. 3.2.2.12 Variability-Effekt

Aufeinanderfolgende Lösungsbeispiele innerhalb einer Lernumgebung können sich in verschiedenen Dimensionen voneinander unterscheiden. So weisen etwa Beispiele im Fachbereich Mathematik, die sich lediglich in den verwendeten Zahlen unterscheiden, eine niedrige Variabilität auf, während man bei Beispielen, die unterschiedliche Lösungswege für

3.3 Kognitive Theorie des multimedialen Lernens

107

ein und dasselbe Problem illustrieren, von einer hohe Variabilität spricht (Sweller et al., 2011). Man spricht vom Variability-Effekt, wenn sich instruktionale Ansätze hoher Variabilität gegenüber Ansätzen niedriger Variabilität beim Lösen von Transferaufgaben als wirksamer erweisen, obwohl sie zu einer erhöhten intrinsischen kognitiven Belastung führen können (Sweller, 2012). In einer Studie mit Berufsschülerinnen und Berufsschülern konnte gezeigt werden, dass sich bei der Behandlung geometrischer Grundbegriffe ein Variability-Effekt insbesondere bei der Verwendung von Lösungsbeispielen zeigen kann (Paas & Van Merriënboer, 1994). Im Rahmen der Cognitive Load-Theorie kann der Variability-Effekt dadurch erklärt werden, dass in Lernumgebungen mit niedriger irrelevanter kognitiver Belastung freie Ressourcen des Arbeitsgedächtnisses auftreten können, und eine Vergrößerung der intrinsischen Belastung durch eine Erhöhung der Variabilität der verwendeten Beispiele daher weitgehend nicht zu einer Überbelastung führt (Sweller et al., 2011) Im Kontext der Entwicklung eines Bruchzahlbegriffs kann der angeleitete Wechsel zwischen unterschiedlichen Darstellungen von Bruchzahlen als ein Beispiel für einen instruktionalen Ansatz mit hoher Variabilität bezeichnet werden. Wird etwa zur Darstellung eines Bruches als Teil eines Ganzen nicht nur auf eine einzige ikonische Darstellung zurückgegriffen, sondern beständig zwischen üblichen ikonischen Darstellungen – Kreis-, Rechteckund Balkendiagramm sowie Zahlenstrahl (vgl. Abschnitt 2.3.1.1) – gewechselt, ist anzunehmen, dass sich dadurch zwar die intrinsische Belastung für die Lernenden erhöht, sie jedoch ein weitreichenderes Verständnis für Brüche entwickeln können. Die eben aufgeführten Effekte, die im Laufe der Forschung im Bereich der Cognitive Load-Theorie festgestellt und empirisch untersucht wurden, sind in Tabelle 3.2 (S. 108) in übersichtlicher Form mit einer kurzen Beschreibung des jeweiligen Effektes nochmals aufgeführt.

3.3 Kognitive Theorie des multimedialen Lernens Multimediale Instruktionen enthalten nach Mayer (2014a) Wörter und Bilder um Lernprozesse zu unterstützen. Diese können insbesondere mit Hilfe unterschiedlicher Medien transportiert werden – Bücher und iPads stellen Beispiele dar. Dabei können Wörter in gesprochener oder geschriebener Form, Bilder statisch oder dynamisch wiedergegebene werden: A multimedia instructional message is a communication containing words and pictures intended to foster learning. The communication can be delivered using any medium, including paper (i.e., book-based communications) and computers (i.e., computer-based communications), or even face to face (i.e., face-to-face communications). Words can include printed words (such as you are now reading) or spoken words (such as in a narration); pictures can include static graphics – such as illustrations, charts, and photos – or dynamic graphics – such as animation and video clips. (Mayer, 2014a, S. 44)

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3 Instruktionspsychologie

Tabelle 3.2 Übersicht über im Zuge der Cognitive Load-Theorie erklärte Effekte, die sich positiv oder negativ auf das Lernen auswirken können (nach Sweller, 2012, S. 603-604). Effekt

Beschreibung des Effektes

Anpassung von Übungsaufgaben an vorher präsentierte Lösungsbeispiele kann einen positiven Einfluss auf den Lernerfolg haben. Problem Comple- Unvollständige Lösungsbeispiele, in denen nur entscheition dende Teile der Lösung vorgegeben sind, können einen positiven Einfluss auf den Lernerfolg haben. Split-Attention Räumliche oder zeitliche Trennung von Informationen, die für eine erfolgreiche Problemlösung zusammengeführt werden müssen, können sich negativ auf den Lernerfolg auswirken. Modality Audiovisuelle Präsentationen können besser verarbeitet werden, als ausschließlich visuelle Präsentationen. Redundancy Die Darbietung redundanter Informationen, die für eine Problemlösung nicht notwendig sind, kann sich negativ aus den Lernerfolg auswirken. Expertise Reversal An Lernende ohne Vorwissen angepasste Lernumgebungen können sich negativ auf den Lernerfolg von Lernenden mit entsprechendem Vorwissen auswirken. Guidance Fading Nimmt der Grad der Hilfestellung mit steigender Expertise der Lernenden ab, kann sich dies positiv auf den Lernerfolg auswirken. Imagination Wenn Lernende sich einen Lösungsprozess vorstellen müssen, anstatt ihn zu erlernen, kann sich dies positiv auf den Lernerfolg auswirken. Worked Example

Goal-Free

Element Interactivity

IsolatedInteracting Elements Variability

Literatura Ayres (2012)

Sweller, Ayres und Kalyuga (2011) Ayres und Cierniak (2012)

Low (2012) Jin (2012)

Kalyuga (2012)

Renkl (2012)

Ginns (2012)

Offene und geschlossene Aufgabenstellungen können zu unterschiedlichen Vorgehensweisen beim Lösen von Problemen führen. Lerngegenstände unterscheiden sich darin, ob sie unabhängig voneinander (z. B. Vokabeln) oder nur im Zusammenhang mit anderen (z. B. Lösung math. Gleichungen) gelernt werden können. Bei starkem Zusammenhang von Lerngegenständen kann es positiv für den Lernerfolg sein, einzelne Elemente zunächst isoliert und danach im Zusammenhang zu präsentieren.

Paas und Kirschner (2012)

Die Darstellung ein und desselben Lerngegenstands in verschiedenen Repräsentationen kann sich positiv auf den Lernerfolg auswirken.

Sweller, Ayres und Kalyuga (2011)

Sweller (2010)

Blayney, Kalyuga und Sweller (2009)

Anmerkung. a Bei den exemplarisch angegebenen Quellen handelt es sich meist um Sekundärliteratur, in der die Effekte jeweils übersichtlich zusammengefasst werden und auf empirische Belege verwiesen wird. Verweise auf Primärliteratur zu den Effekten finden sich innerhalb von Abschnitt 3.2.2.

3.3 Kognitive Theorie des multimedialen Lernens

109

Begriffsklärung

Im weiteren Verlauf der Arbeit werden die nachfolgenden Begriffe im Sinne der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens (Mayer, 2009, 2014a) verwendet. Eine Lernumgebung kann multimedial oder interaktiv, bzw. digital sein. Unter multimedialen Instruktionen werden Lernumgebungen verstanden, die sowohl Texte als auch Bilder verwenden, um Wissensinhalte zu transportieren. Sie können insbesondere papierbasiert oder elektronischer Art sein. Darüber hinaus werden in dieser Arbeit Lernumgebungen stets dann als interaktiv, bzw. synonym als digital bezeichnet, wenn Schülerinnen und Schüler mit computerbasierten Anwendungen – etwa auf Tablet-PCs und konkret iPads – interagieren. Die kognitive Theorie des multimedialen Lernens (en.: cognitive theory of multimedia learning) nach Mayer (2009, 2014a) bildet dabei ein umfassendes theoretisches Gerüst für multimediale instruktionale Ansätze, in der bestimmte Aspekte der Cognitive Load-Theorie auf den Bereich multimedialer Lernumgebungen fokussiert werden. In den folgenden Abschnitten werden zunächst die Annahmen der Theorie erläutert. Anschließend werden kognitive Prozesse beim multimedialen Lernen dargestellt und die dabei angenommene kognitive Belastung in den Rahmen der Cognitive Load-Theorie eingegliedert. Zuletzt werden empirische Erkenntnisse der im Rahmen dieser Theorie durchgeführten Untersuchungen und die daraus resultierenden Implikationen für die Gestaltung multimedialer Lernumgebungen aufgeführt und im Kontext der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs diskutiert.

3.3.1 Annahmen der Theorie Der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens liegen drei Annahmen zur Informationsverarbeitung beim Menschen zugrunde (Mayer, 2009, 2014a), die in diesem Abschnitt dargestellt und in den Kontext dieses Kapitels eingebettet werden. 1. Existenz zweier Verarbeitungskanäle: Es wird angenommen, dass zur Aufnahme und Interpretation von Informationen im menschlichen Gedächtnis zwei voneinander getrennte kognitive Systeme (en.: dual channel assumption) zur Verfügung stehen. Diese Annahme kann als konsistent mit der Theorie der dualen Kodierung nach Paivio (1990) und dem Arbeitsgedächtnismodell nach Baddeley (1998) bezeichnet werden, die in diesem Kapitel bereits vorgestellt wurden. Dabei ist anzumerken, dass innerhalb der beiden Theorien die Trennung der Verarbeitungsprozesse unterschiedlich konzeptualisiert wird, wie in Abschnitt 3.1.3 dargestellt wurde: Während Paivio die Kanäle nach der Art der Repräsentation der Informationen (Worte oder Bilder) unterscheidet, nimmt Baddeley eine Trennung nach Sinneswahrnehmungen (visuelle oder auditive Reize) an. Diese beiden unterschiedlichen Perspektiven werden in der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens integrativ betrachtet. Mayer (2014a) schlägt vor, dass das sensorische Register bei der Aufnahme von Informationen zwischen visuellen und auditiven Reizen

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3 Instruktionspsychologie

(en.: sensory modalities) unterscheidet, während das Arbeitsgedächtnis bei der Verarbeitung von Informationen diese aufgrund unterschiedlicher Repräsentationen (en.: representation modes) trennen kann: For purposes of the cognitive theory of multimedia learning, I have opted for a compromise in which I use the sensory-modality approach to distinguish between visually presented material ... and auditorily presented material ... , as well as a representation-mode approach to distinguish between the construction of pictorially based and verbally based models in working memory. (Mayer, 2014a, S. 48) Weiter wird angenommen, dass durch Aufbringung kognitiver Ressourcen Informationen aus einem der beiden Kanäle in den anderen übertragen oder in beiden Kanälen gleichzeitig repräsentiert sein kann (Mayer, 2014a). Dies kann als konsistent zur Annahme referentieller Prozesse bezeichnet werden, die innerhalb der Theorie der dualen Kodierung eine zentrale Bedeutung einnehmen (vgl. Abschnitt 3.1.2). 2. Beschränkte Kapazität des Arbeitsgedächtnisses: Weiter wird angenommen, dass die Kapazität des Arbeitsgedächtnisses beim Menschen beschränkt ist (en.: limited capacity assumption) und insbesondere beide kognitiven Systeme über getrennte und voneinander unabhängige Kapazitäten verfügen (Mayer, 2009). Diese Beschränkung eines Arbeitsgedächtnisses stellt ebenfalls die grundlegende Annahme der Cognitive Load-Theorie von Chandler und Sweller (1991) und des Arbeitsgedächtnismodells von Baddeley (1998) dar. Darüber hinaus ist die Annahme getrennter Kapazitäten konsistent mit den empirischen Beobachtungen zum Modality-Effekt (vgl. Abschnitt 3.2.2) und kann an dieser Stelle den Erklärungsansatz der Cognitive Load-Theorie ergänzen: Es wird angenommen, dass selbst bei einer Überbelastung eines der beiden Kanäle die Kapazität des anderen Kanals genutzt werden kann, wenn Lerngegenstände in unterschiedlicher sensorischer Modalität oder anderer Repräsentation dargestellt werden (Mayer, 2009). 3. Aktive Verarbeitung: Lernen wird in der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens als ein aktiver Prozess verstanden, in dem die Schülerinnen und Schüler eine zentrale Rolle einnehmen. Diese Annahme ist konsistent mit konstruktivistischen Lerntheorien, etwa Piagets Theorie der kognitiven Entwicklung, die in Abschnitt 1.1 diskutiert wurde. Darüber hinaus geht Mayer (2009, 2014a) davon aus, dass für ein gewinnbringendes Lernen ein hohes Maß an kognitiver Verarbeitung innerhalb der beiden Kanäle stattfinden muss (en.: active processing assumption). Diese Annahme ist konsistent zur Theorie des generativen Lernens8 (en.: generative learning theory) nach Wittrock (1989, 1992) und basiert auf der SOI-Theorie (en.: selecting-organizing-integrating) des aktiven Lernens 8 In Wittrocks Theorie

des generativen Lernens wird angenommen, dass Lernenden eine aktive Rolle im Lernprozess einnehmen. Das Model fokussiert dabei nicht auf den Eigenschaften der Lerngegenstände, sondern auf Lernprozessen, wie etwa Aufmerksamkeit (en.: attention), motivationalen Prozesse, wie etwa Interesse (en.: motivation), Konzepten, Vorstellungen und Vorwissen (en.: knowledge and preconception) sowie einem zentralen Prozess der Generierung von Wissen (en.: generation), zu dem etwa Analogien,

3.3 Kognitive Theorie des multimedialen Lernens

111

(Mayer, 1999, 2002): Dabei werden drei unterschiedliche und aufeinander folgende kognitive Prozesse in einer Lernsituation angenommen. Zunächst trifft eine Schülerin oder ein Schüler durch Konzentration auf dargebotenes Material eine Auswahl dessen, was sie oder er lernen möchte (en.: selecting). Dies geschieht im sensorischen Register. Anschließend wird das Material im Arbeitsgedächtnis mental organisiert und in eine kohärente Struktur gebracht (en.: organizing). Es wird angenommen, dass die Eingliederung des Materials in bereits bestehende Schemata (en.: integrating) danach dann gelingen kann, wenn die mentale Organisation zu Wissensrepräsentationen führt, die sich an vorhandenes Wissen im Langzeitgedächtnis anknüpfen lassen. Die Annahme dieser drei kognitiven Prozesse kann als konsistent zum Drei-Speicher-Modell von Atkinson und Shiffrin (1968) bezeichnet werden, das in Abschnitt 3.1.1 zur Erklärung der Informationsverarbeitung beim Menschen vorgestellt wurde.

3.3.2 Kognitive Prozesse beim multimedialen Lernen Neben den soeben dargestellten Annahmen zur Informationsverarbeitung beim Menschen können aufbauend auf der SOI-Theorie sowie der Annahme getrennter kognitiver Systeme zur Aufnahme und Verarbeitung unterschiedlich repräsentierter Informationen im Rahmen der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens fünf unterschiedliche kognitive Prozesse unterschieden werden (Mayer, 2014a): 1. Wortselektion: Beim Prozess der Wortselektion (en.: selecting words) werden präsentierte Worte (en.: words) zunächst als sensorische Reize im sensorischen Register kodiert und in das Arbeitsgedächtnis übertragen. Dabei geschieht die initiale Verarbeitung im sensorischen Register, von dem angenommen wird, dass es über die geringste Kapazität der drei unterschiedlichen Speicher verfügt und Informationen nur für den Bruchteil einer Sekunde aufrecht erhalten kann. Daher erscheint es notwendig, dass die oder der Lernende eine Selektion relevanter Worte durchführt, indem sie oder er die Aufmerksamkeit auf eine bestimmte Auswahl dieser Reizinformationen richtet. Weiter geht man davon aus, dass Wortinformationen auf der Grundlage ihrer unterschiedlichen sensorischen Modalitäten in verschiedenen Kanälen verarbeitet werden: Werden Worte als gesprochener Text dargeboten, werden die Reizinformationen im auditiven Kanal kodiert und im Arbeitsgedächtnis zunächst als Klänge (en.: sounds) repräsentiert. Werden Worte hingegen in geschriebener Form – etwa als Text in einem Buch oder auf dem Bildschirm eines Tablet-PCs – dargeboten, werden sie im visuellen Kanal verarbeitet und sind dementsprechend im Arbeitsgedächtnis zunächst in Form von Abbildungen (en.: images) dargestellt. 2. Bildselektion: Ebenso wie die eben dargestellte Wortselektion ist auch die Bildselektion (en.: selecting images) mit einem Wechsel der Informationen vom sensorischen Register Metaphern und Zusammenfassungen gezählt werden (Wittrock, 1992). Die Theorie ist den konstruktivistischen Lerntheorien zuzuordnen.

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3 Instruktionspsychologie

in das Arbeitsgedächtnis verbunden. Dabei wird angenommen, dass präsentierte Bilder (en.: pictures) als visuelle Reize im visuellen Kanal kodiert werden und daher im Arbeitsgedächtnis zunächst ausschließlich als Abbildungen vorhanden sind. Auch hier wird angenommen, dass eine Auswahl relevanter Bilder aufgrund der beschränkten Kapazität sowohl des sensorischen Registers als auch des Arbeitsgedächtnisses erfolgt. 3. Wortorganisation: Im Rahmen der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens wird angenommen, dass innerhalb des Arbeitsgedächtnis ein auditiver Kanal existiert, der vom sensorischen Register als Klänge kodierte Informationen verarbeitet. In diesem Verarbeitungsprozess der Wortorganisation (en.: organizing words) werden verschiedenen wahrgenommene Klänge in Bezug zueinander gestellt. Er ist auf die Verbindung der Klänge mit einem Bedeutungsinhalt ausgerichtet. Man geht davon aus, dass derartige Verbindung zunächst nur eine rudimentäre Struktur aufweisen, da insbesondere die Kapazität des Arbeitsgedächtnisses begrenzt ist und in diesem Prozess noch nicht an bereits bestehendes Wissen angeknüpft wird. Mayer (2014a) bezeichnet die entstandenen Sinnstrukturen als verbales Modell (en.: verbal model). 4. Bildorganisation: Analog zum Prozess der Wortorganisation geht man von einem entsprechenden Prozess der Bildorganisation (en.: organizing words) aus, in dem die vom sensorischen Register weitergegebenen Abbildungen im visuellen Kanal des Arbeitsgedächtnisses zu piktoralen Modellen (en.: pictorial model) enkodiert werden. Dabei wird angenommen, dass der visuelle Kanal zwar ebenfalls in seiner Kapazität beschränkt ist, jedoch auf andere kognitive Ressourcen als der auditive Kanal zurückgreift. 5. Integration: Im Prozess der Integration (en.: integration) werden verbale und piktorale Modelle miteinander verknüpft und in einen gemeinsamen Sinnzusammenhang gebracht. Diese Erzeugung eines Bedeutungsinhaltes kann insbesondere dadurch unterstützt werden, dass neben Informationen aus beiden kognitiven Kanälen auch Informationen aus entsprechenden Schemata im Langzeitgedächtnis abgerufen werden können. Man geht davon aus, dass in diesem Prozess gleichermaßen beide kognitiven Kanäle beansprucht werden. Aufgrund der Belastung beider Kanäle sowie der Verknüpfung von Informationen aus dem Arbeitsgedächtnis mit bestehenden Schemata im Langzeitgedächtnis wird angenommen, dass die Integration mit einer hohen kognitiven Belastung einher geht. Innerhalb der dargestellten fünf unterschiedlichen Prozesse, die Mayer (2014a) beim Lernen mit multimedialen Inhalten vorschlägt, verändern sich insbesondere auch die Repräsentationen von Informationen während des Lernens. Worte und Bilder einer multimedialen Präsentation werden dabei zunächst als sensorische Reize vom sensorischen Register wahrgenommen und dort zu Klängen oder Bildern kodiert. Es wird angenommen, dass diese zweite Form der Repräsentation noch in unstrukturierter Form im Arbeitsgedächtnis vorliegt und erst durch die Prozesse der Wort- und Bildorganisation zu geordneten internen Repräsentationen (en.: mental model) organisiert werden. Diese internen Repräsentationen

3.3 Kognitive Theorie des multimedialen Lernens

113

unterscheiden sich von Klängen und Bildern insbesondere derart, dass sie bereits mit ersten Bedeutungsinhalten verbunden sind. An dieser Stelle weist die kognitive Theorie des multimedialen Lernens Überschneidungen mit den in Abschnitt 1.3 dargestellten Annahmen im Kontext von Grundvorstellungen auf, in dem mentalen Modellen eine zentrale Rolle für ein Verständnis abstrakter mathematischer Inhalte zugeschrieben wird. Es wird angenommen, dass diese internen Repräsentationen durch Integration von Vorwissen aus dem Langzeitgedächtnis nicht nur weiter an Bedeutung gewinnen können, sondern durch diesen kognitiv fordernden Prozess auch in das Langzeitgedächtnis zum permanenten Abruf aufgenommen werden können. Dabei geht Mayer (2009) davon aus, dass Wissen im Langzeitgedächtnis in Schemata gespeichert ist und schließt damit an die in den Abschnitten 3.1.4 und 3.2 dargestellte Schema- und Cognitive Load-Theorie an. Die Prozesse, die innerhalb der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens angenommen werden, sind in Abbildung 3.4 schematisch dargestellt. Dabei sind die drei Speicher des menschlichen Gedächtnisses als große Rechtecke dargestellt, die externe multimediale Präsentation als großes Rechteck mit abgerundeten Ecken. Die kognitiven Prozesse sind als Pfeile abgebildet und mit den in diesen Kapiteln verwendeten Bezeichnungen beschriftet. Die unterschiedlichen Arten der Repräsentation von Wissen sowie die beiden Sinnesorgane zur Aufnahme von sensorischen Reizen sind als kleine Rechtecke dargestellt. Multimediale Präsentation

Sensorisches Register

Worte

Ohren

Arbeitsgedächtnis Wortselektion

Klänge

Wortorganisation

Langzeitgedächtnis

Verbales Modell Integration

Bilder

Augen

Bildselektion

Abbildungen

Bildorganisation

Vorwissen

Piktorales Modell

Abbildung 3.4. Schematische Darstellung der Kognitiven Theorie des Multimedialen Lernens (nach Mayer, 2014a, S. 52, Übers. zum Teil nach Zumbach, 2010).

3.3.3 Kognitive Belastung beim multimedialen Lernen Aufbauend auf der Annahme einer beschränkten Kapazität des Arbeitsgedächtnisses werden innerhalb der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens Einflussfaktoren identifiziert und untersucht, die zu einer Überbelastung des kognitiven Systems von Schülerinnen und Schülern beim Lernen führen können (Mayer, 2009, 2014a; Mayer & Moreno, 2002, 2003). Dabei werden drei Arten der Verarbeitung von Informationen unterschieden, in denen es aus jeweils unterschiedlichen Gründen – analog zur Unterscheidung intrinsischer, irrelevanter und lernbezogener kognitiver Belastung im Sinne der Cognitive Load-Theorie – zu einer Überbelastung des kognitiven Systems kommen kann (Mayer, 2014a):

114

3 Instruktionspsychologie

1. Essentielle Verarbeitungsprozesse: Als essentielle Verarbeitungsprozesse (en.: essential processing) bezeichnet Mayer (2014a) die Verarbeitung von dargebotenen Informationen durch Selektion und Organisation relevanter Aspekte hin zu internen Repräsentationen. Es wird angenommen, dass die kognitive Belastung dieses Prozesses insbesondere abhängig von der Komplexität des Lerngegenstandes ist. Diese als essentiell bezeichneten Verarbeitungen gehen damit mit einer intrinsischen kognitiven Belastung im Sinne der Cognitive Load-Theorie nach Chandler und Sweller (1991) einher. 2. Irrelevante Verarbeitungsprozesse: Verarbeitungsprozesse, die das instruktionale Ziel nicht unterstützen, werden als irrelevant (en.: extraneous processing) bezeichnet. Man geht davon aus, dass diese aufgrund von unzureichender Gestaltung der Lernumgebung auftreten können. Die dabei auftretenden kognitive Belastung kann daher als irrelevant im Sinne der Cognitive Load-Theorie bezeichnet werden (vgl. Abschnitt 3.2.1). 3. Generative Verarbeitungsprozesse: Unter generativen Verarbeitungsprozessen (en.: generative processing) werden kognitive Aktivitäten verstanden, deren Ziel in der Verbindung der aufgenommenen Informationen mit Bedeutungsinhalten liegt. Es wird angenommen, dass hier die Motivation der Schülerinnen und Schüler sowie ihre Lernbereitschaft eine Rolle spielt. Im Sinne der Cognitive Load-Theorie spricht man von lernbezogener kognitiver Belastung, die mit diesem von Mayer (2009, 2014a) angenommenem Verarbeitungsprozess einhergeht.

3.3.4 Prinzipien des multimedialen Lernens Die Prinzipien (en.: principles) multimedialen Lernens weisen weitreichende Ähnlichkeit mit den von Sweller (2012) zusammengefassten Effekten auf, die im Zuge der Forschung innerhalb der Cognitive Load-Theorie beobachtet werden konnten (vgl. Abschnitt 3.2.2, bzw. Tabelle 3.2). Einige dieser Prinzipien können darüber hinaus als deckungsgleich mit entsprechenden Effekten der Cognitive Load-Theorie bezeichnet werden und werden daher an dieser Stelle nicht erneut ausführlich erläutert, sondern nur in der tabellarischen Übersicht am Ende des Abschnitts genannt. Dabei werden Bezüge zu den analog formulierten Effekten aus Abschnitt 3.2.2 angegeben. Anders als Sweller et al. (2011) formuliert Mayer (2009, 2014a) diese Prinzipien nicht als beobachtete empirische Ergebnisse, sondern verbunden mit drei klar definierten Anforderungen an die Gestaltung multimedialer Lernumgebungen: Zur Minimierung irrelevanter Verarbeitungsprozesse (en.: minimize extraneous processing), zur Organisation essentieller Verarbeitungsprozesse (en.: manage essential processing) und zur Förderung generativer Verarbeitungsprozesse (en.: foster generative processing). 3.3.4.1 Prinzipien zur Minimierung irrelevanter Verarbeitungsprozesse

Im Rahmen der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens wird – analog zur Cognitive Load-Theorie – davon ausgegangen, dass Lernprozesse nur dann erfolgreich geschehen

3.3 Kognitive Theorie des multimedialen Lernens

115

können, wenn die Kapazität des Arbeitsgedächtnisses ausreicht, um sowohl essentielle als auch irrelevante Verarbeitungsprozesse zu bewerkstelligen (Mayer, 2014a). Man nimmt an, dass durch die gezielte Veränderung einzelner Elemente einer Lernumgebung die Belastung durch irrelevante Verarbeitungsprozesse verringert werden kann (Mayer & Fiorella, 2014; Sweller et al., 2011, siehe auch). Insbesondere wurde in empirischen Studien untersucht, ob vor diesem Hintergrund bestimmte Strategien bei der Erstellung multimedialer Lernumgebungen einen positiven Einfluss auf den Lernerfolg haben können. 1. Coherence-Prinzip: Unter dem Begriff Coherence-Prinzip wird die Empfehlung verstanden, in multimedialen Lernumgebungen auf interessante, aber für die Erreichung des intendierten Lernziels irrelevante Inhalte zu verzichten. Diese Handlungsempfehlung gründet auf einer Vielzahl von Einzelstudien, in denen sich die Vermeidung diverser irrelevanter Inhalte als positiv für den Lernerfolg von Schülerinnen und Schülern erwiesen hat. Dabei wurden in ähnlichen Studiendesigns unter anderem zusätzliche illustrierende Textabschnitte oder Videos zu Naturphänomenen sowie die Verwendung von Hintergrundmusik in digitalen Lernumgebungen untersucht und die Ergebnisse jeweils mit Kontrollgruppen verglichen, die mit entsprechenden Lernumgebungen ohne diese zusätzlichen Inhalte gearbeitet haben. Hier zeigen die Ergebnisse der Einzelstudien ein klares Bild auf, das für eine Reduzierung interessanter jedoch für die Erreichung eines konkreten Lernziels irrelevanter multimedialer Inhalte spricht (Mayer & Fiorella, 2014). 2. Signaling-Prinzip: Im Gegensatz zum Coherence-Prinzip liegt beim Signaling-Prinzip der Fokus nicht auf der Vermeidung irrelevanter Inhalte, sondern auf einer Reduktion irrelevanter Verarbeitungsprozesse. Die theoretische Basis bilden dabei die initialen Prozesse der Wort- und Bildselektion (vgl. Abschnitt 3.3.2) innerhalb der Theorie von Mayer (2009, 2014a). Es wird angenommen, dass der Fokus der Lernenden durch geeignete Hervorhebung relevanter Inhalte innerhalb einer Lernumgebung auf ebendiese Inhalte konzentriert werden kann (Mayer & Fiorella, 2014). Dabei wurden in einer Vielzahl empirischer Studien die Wirksamkeit textbasierter und bildbasierte Hinweise untersucht. Es zeigte sich eine höhere Wirksamkeit von Lernumgebungen, in denen durch Nebensätze auf zentrale Lerninhalte und Bilder hingewiesen wurde oder in denen relevante Worte durch Farbeinsatz entsprechend hervorgehoben wurden (textbasierte Hinweise). Darüber hinaus zeigten sich analog positive Effekte bei der Verwendung bildbasierter Hinweise, etwa Pfeilen, die auf zentrale Inhalte eines Textes oder einer Abbildung hindeuten sowie die farbige Markierung dieser Passagen auch innerhalb von Bildern. Die im Rahmen der kognitiven Theorie multimedialen Lernens hierzu durchgeführten Untersuchungen unterstreichen weitreichend die Forderung nach einem Signaling-Prinzip bei der Ausarbeitung multimedialer Lernumgebungen (van Gog, 2014). 3.3.4.2 Prinzipien zur Organisation essentieller Verarbeitungsprozesse

Darüber hinaus gehen Mayer und Pilegard (2014) davon aus, dass eine Überbelastung des kognitiven Systems nicht nur durch irrelevante Verarbeitungsprozesse, sondern auch durch

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3 Instruktionspsychologie

essentielle Verarbeitungsprozesse alleine eintreten kann, wenn komplexe Lerngegenstände vorliegen. Dies kann analog zu der von Sweller et al. (2011) formulierten Annahme einer hohen intrinsischen kognitiven Belastung in Folge einer hohen Elementinteraktivität eines komplexen Lerngegenstandes zu verstanden werden. Innerhalb der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens wurden dabei über die bereits in Abschnitt 3.2.2 vorgestellten Effekte hinaus weitere Einflussfaktoren zur Reduzierung essentieller Verarbeitungsprozesse empirisch untersucht, die an dieser Stelle dargestellt werden. 1. Segmenting- und Pre-training-Prinzip: Es werden zwei mögliche zugrunde liegende Ursachen für eine hohe Komplexität bestimmter Lerngegenstände unterschieden. Zum einen kann sich das Erlernen bestimmter Inhalte deshalb als schwierig erweisen, weil es sich um mehrschichtige und in hohem Maß vernetzte Konzepte handelt, die im Zusammenhang gelernt werden müssen, wie in Abschnitt 3.2.2.11 am Beispiel der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs dargestellt wurde. Zum anderen kann sich ein hohes Maß an Elementinteraktivität jedoch auch dadurch ergeben, dass zur Akquise von Wissen auch zusätzlich der Erwerb neuer Fachbegriffe notwendig ist. Wird etwa bei der Vermittlung einer Anteilsvorstellung von Brüchen auf die Begriffe Zähler und Nenner zurückgegriffen, so stellen diese ebenfalls zu erlernenden Inhalte dar. In beiden Fällen kann analog zum Isolated-Interacting Elements-Effekt der Cognitive Load-Theorie angenommen werden, dass eine Segmentierung der Lerngegenstände entsprechende Lernprozesse unterstützten kann. Dabei unterscheiden Mayer und Pilegard (2014) anders als Sweller et al. (2011) diese beiden möglichen Ursachen für ein hohes Maß an Elementinteraktivität und sprechen im ersten Fall vom Segmenting-Prinzip, im zweiten Fall vom Pre-trainingPrinzip. Für beide untersuchten Prinzipien zeigen sich weitreichend ähnliche empirische Ergebnisse zu Untersuchungen innerhalb der Cognitive Load-Theorie. Eine strukturierte Darbietung komplexer Lerngegenstände kann sich in beiden Fällen positiv auf den Lernerfolg auswirken (Mayer & Pilegard, 2014). Es ist anzumerken, dass sich bei den bisherigen empirischen Untersuchungen sowohl des Segmenting-Prinzips als auch des Pre-training-Prinzips positive Effekte eher dann ergeben, wenn Schülerinnen und Schüler über geringes Vorwissen verfügen (Mayer & Pilegard, 2014). Diese Beobachtung können ebenfalls als analog zu Ergebnissen der Forschung im Rahmen der Cognitive Load-Theorie bezeichnet werden. Auch hier zeigt sich der Isolated-Interacting ElementsEffekt für Experten meist in deutlich geringerem Maß als für Lernende mit geringem Vorwissen (vgl. Abschnitt 3.2.2.11). 2. Modality- und Multimedia-Prinzip: Wie bereits dargestellt geht man im Zuge der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens nicht nur von einer beschränkten Kapazität des Arbeitsgedächtnisses aus, sondern nimmt darüber hinaus getrennte Verarbeitungskanäle für visuelle und auditive Reize analog zum Arbeitsgedächtnismodell nach Baddeley (1998) sowie für verbale und piktorale Modelle analog zur Theorie der dualen Kodierung nach Paivio (1990) an (vgl. Abschnitt 3.3.1). Insbesondere kann die Annahme getrennter kognitiver Kapazitäten sowohl für unterschiedliche sensorische Modalitäten

3.3 Kognitive Theorie des multimedialen Lernens

117

(Low & Sweller, 2014) als auch für verschiedene Repräsentationen (Butcher, 2014) als weitgehend belegt bezeichnet werden. Vor diesem Hintergrund kann Mayers (2014a) Theorie durch ebendiese Annahme getrennter Verarbeitungskapazitäten als Ergänzung der Erklärungsansätze der Cognitive Load-Theorie für den bereits in Abschnitt 3.2.2 dargestellten Modality-Effekt aufgefasst werden. Weiter können die empirischen Ergebnisse, die im Zuge der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens beobachtet werden konnten, die als Modality-Prinzip formulierte Forderung nach audiovisuellen Darbietungen gegenüber rein visuellen Darbietungen in Lernumgebungen untermauern (Mayer & Pilegard, 2014). Darüber hinaus geht man davon aus, dass Darstellungen von Lerninhalten mit Abbildungen und Texten einen Vorteil gegenüber instruktionalen Designs haben, die lediglich auf Texte zurückgreifen (Mayer, 2014a). Diese zweite Forderung wird als Multimedia-Prinzip bezeichnet und kann durch weitreichende empirische Belege sowohl für statische Bilder, als auch für animierte Bilder innerhalb einer digitalen Lernumgebung als fundiert bezeichnet werden (Butcher, 2014). Weiter knüpft das integrative Modell des Text- und Bildverstehens, das in Abschnitt 3.4 vorgestellt wird, an ebendieser Stelle an. Dabei gehen Schnotz und Bannert (2003) unter anderem davon aus, dass Texte und Bilder nicht nur im Arbeitsgedächtnis in unterschiedlichen kognitiven Systemen mit getrennter Kapazität verarbeitet werden, sondern auch im Langzeitgedächtnis in strukturell unterschiedlichen Schemata repräsentiert sein können.

3.3.4.3 Prinzipien zur Förderung generativer Verarbeitungsprozesse

Mayer (2014c) schlägt vor, bei der Überlegungen zur Förderung generativer Prozesse beim Arbeiten mit multimedialen Lernumgebungen zwischen zwei Arten von Unterstützungen zu unterscheiden. Zum einen können Lernumgebungen so gestaltet werden, dass die kognitive Gesamtbelastung reduziert wird und so eine aktive Verarbeitung für die Schülerinnen und Schüler ermöglicht wird – und sich damit im Kontext der Cognitive Load-Theorie eine lernbezogene kognitive Belastung ergeben kann. Zum anderen nimmt Mayer (2014c) an, dass durch geeignete soziale Stimuli (en.: social cues) die Bereitschaft der Lernenden erhöht werden kann, sich mit kognitiv anspruchsvollen Aktivitäten auseinanderzusetzen. Dieser zweite Punkt kann als Ergänzung der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens um einen motivationalen und affektiven Aspekt verstanden werden, der in einer Diskussion rein um kognitive Lernprozesse zunächst eine eher untergeordnete Rolle zugewiesen wurde (Mayer, 2014b). Jedoch kann angenommen werden, dass Motivation einen Einfluss auch auf kognitive Prozesse haben kann, in dem Sie das Maß reguliert, in welchem Schülerinnen und Schüler bereit dazu sind lernbezogene kognitive Belastung auf sich zu nehmen (Moreno & Mayer, 2007). Im Zuge dessen fasst Mayer (2014c) drei motivationale Prinzipien zusammen, die empirisch belegt Einfluss auf den Lernerfolg von Schülerinnen und Schülern innerhalb multimedialer Lernumgebungen haben können. Diese sozialen Stimuli werden im Folgenden dargestellt. Darüber hinaus werden anschließend drei zusätzliche kognitive Prinzipien er-

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3 Instruktionspsychologie

läutert, die im Gegensatz dazu der Erhöhung einer lernbezogenen Belastung im klassischen Sinn verstanden werden können. 1. Personalization-, Voice- und Embodiment-Prinzip: Man geht davon aus, dass geeignete soziale Stimuli innerhalb einer Lernumgebung motivierend auf Schülerinnen und Schüler wirken können und somit einen positiven Einfluss auf ihre Lernbereitschaft haben können (Mayer, 2014c). Konkret werden drei Handlungsempfehlungen genannt, die als gewinnbringend für den Lernerfolg bezeichnet werden können (Mayer, 2014a): Die Darbietung von Texten innerhalb einer Lernumgebung im Konversationsstil (Personalization-Prinzip), die Verwendung echter und menschlicher Stimmen bei narrativen Elementen (Voice-Prinzip) sowie den Rückgriff auf menschenähnliche Figuren als Akteure innerhalb interaktiver Umgebungen (Embodiment-Prinzip). Hierbei ist jedoch besonderes Augenmerk darauf zu richten, dass die drei Prinzipien nicht widersprüchlich zum bereits angesprochenen Coherence-Prinzips ausgerichtet sind. Es geht weniger um eine Ergänzung von Lernumgebungen durch zusätzliche und für den Lernerfolg irrelevante Inhalte, als um die Art und Weise wie bestehende und notwendige Inhalte gewinnbringend dargestellt werden können. Die empirischen Ergebnisse zur Wirksamkeit der drei Prinzipien beruhen vornehmlich auf Interventionen, in denen bereits in eine Lernumgebung implementierte Strukturen in entsprechender Form verändert wurden. Dabei wurden etwa bereits bestehende Texte formal und im Konversationsstil gegenübergestellt, bereits eingefügte und von Computerstimmen gesprochene narrative Elemente von echten Menschen vertont und bereits implementierte Akteure mit keinen bis wenigen Gesten durch Akteure mit menschenähnlichen Gesten ersetzt (Mayer, 2014c). Somit kann davon ausgegangen werden, dass bei korrekter Umsetzung des Personalization-, des Voice- und des Embodiment-Prinzips9 keine irrelevante kognitive Belastung in Folge einer Verletzung des Coherence-Prinzips entsteht, sondern sich vielmehr eine lernbezogene kognitive Belastung ergeben kann, die motivierend auf Schülerinnen und Schüler wirken kann und in einer höheren Bereitschaft zur Auseinandersetzung mit dem Lerngegenstand resultieren kann. 2. Guided Discovery-Prinzip: Es wird angenommen, dass in Fächern mir vornehmlich experimentellem Inhalt Schülerinnen und Schüler durch selbstständiges Entdecken bessere Lernerfolge erzielen können, als durch direkte Instruktion (de Jong & Lazonder, 2014). Dabei zeigen bisherige empirische Ergebnisse jedoch, dass ein ungesteuertes Entdecken zu Problemen im Lernprozess führen kann. Ein in naturwissenschaftlichen Unterrichtsfächern verbreitetes Prinzip der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens ist das 9 An

dieser Stelle ist darauf hinzuweisen, dass zwischen dem soeben knapp dargestellten EmbodimentPrinzip und der im nachfolgenden Kapitel vorgestellten Embodied Cognition-Theorie (vgl. Abschnitt 4.2) konzeptuelle Unterschiede bestehen: Mayer (2014c) fasst den Begriff Embodiment sehr eng und fordert eine menschenähnliche Darstellung der Akteure innerhalb interaktiver Lernumgebungen. Die Embodied Cognition-Theorie (M. Wilson, 2002) hingegen stellt einen lernpsychologischen Rahmen dafür vor, inwieweit sich ein realitätsnaher Umgang der Schülerinnen und Schüler mit einer Lernumgebung positiv auf den Lernerfolg auswirken kann. Dabei werden insbesondere natürliche Gesten der Lernenden zur Kommunikation mit digitalen Medien diskutiert.

3.3 Kognitive Theorie des multimedialen Lernens

119

Guided Discovery-Prinzip, bei dem im Rahmen von fünf Phasen des naturwissenschaftlichen Entdeckens durch gezielte Hilfen und Feedback die Lernenden bei der Suche nach Erkenntnissen angeleitet werden (de Jong & Lazonder, 2014). Dieses Prinzip hat bisher nur wenig Beachtung innerhalb der Mathematikdidaktik gefunden. Hier stellen abgestufte Lösungshilfen sowie unvollständige Lösungsbeispiele, die durch einen Problem Completion-Effekt motiviert sind, eher verbreitete Instruktionsformen dar. 3. Self-explanation-Prinzip: Man geht davon aus, dass sich generative Prozesse etwa dadurch ausbilden lassen, dass Schülerinnen und Schüler während des Lernprozesses dazu aufgefordert werden, sich den neu zu erlernenden Inhalt selbst zu erklären (Wylie & Chi, 2014). Diese zusätzliche kognitive Belastung in Folge des Self-explanation-Prinzips kann als lernbezogene Belastung bezeichnet werden, wenn die Erläuterungen der Lernenden dazu führen, dass Wissensinhalte vermehrt untereinander und mit bereits bestehenden Schemata vernetzt werden. Jedoch zeigen empirische Ergebnisse auch, dass sich nicht alle Lerngegenstände in gleichem Maße für diese Form der Instruktion eigenen. Insbesondere für Konzepte, in denen sich Wissen nicht ohne Weiteres regelhaft akquirieren lässt und es vermehrt gilt, Ausnahmen als solche zu identifizieren, kann eine Umsetzung des Self-explanations-Prinzips zu vergleichsweise längeren Lernzeiträumen sowie schließlich zu häufigeren Übergeneralisierungen führen, als traditionelle Instruktion sowie das Lesen von Lehrbuchtexten (Williams, Lombrozo & Rehder, 2013). Der für diese Arbeit zentrale Bereich des Anfangsunterrichts der Bruchrechnung kann als Lerngegenstand mit weitreichenden Lernschwierigkeiten bezeichnet werden, bei dem sich selbst trotz geschulter Führung durch Lehrkräfte häufig Übergeneralisierungen in Form synthetischer Modelle ausbilden können (vgl. Kapitel 2). Aus diesem Grund erscheint das Self-explanation-Prinzip für den in dieser Arbeit untersuchten Lerngegenstand nur bedingt gewinnbringend. Insbesondere sollen Arbeitsanweisungen, die zur Selbsterklärung anregen sollen, mit großer Sorgfalt dahingehend geplant werden, mögliche Übergeneralisierungen und typische Schülerfehler nicht zusätzlich zu unterstützen. 4. Drawing-Prinzip: Man geht davon aus, dass Schülerinnen und Schüler dazu in der Lage sind, verbale Modelle im Arbeitsgedächtnis durch generative Prozesse in piktorale Modelle umwandeln zu können (Mayer, 2014a). Weiter nimmt man an, dass Lerngegenstände, die im Arbeitsgedächtnis sowohl verbal, als auch piktoral repräsentiert sind, leichter erinnert werden können, als wenn sie ausschließlich verbal repräsentiert sind (Mayer, 2014a). Das Drawing-Prinzip gründet auf diesen beiden Annahmen. Dabei wird das aktive Zeichnen verbal aufgenommener Lerninhalte als ein solcher generativer Prozess verstanden, der unter der Prämisse geeigneter Instruktion zu einer Verbesserung des Lernprozesses führen kann (Leutner & Schmeck, 2014). Dabei ist jedoch anzumerken, dass dieser positive Effekt bisher nur in Paper-Pencil-Lernumgebungen nachgewiesen werden konnte und bei komplexen Lerngegenständen ohne geeignete Unterstützung des Zeichenprozesses zum gegenteiligen Effekt einer irrelevanten kognitiven Belastung führen kann (Leutner & Schmeck, 2014). Aus diesen Gründen erscheint das Drawing-

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3 Instruktionspsychologie

Prinzip für diese Arbeit, die zum Ziel unter anderem die Entwicklung einer interaktiven Lernumgebung zum Bruchzahlbegriff unter Rückgriff auf digitale Unterrichtsmedien hat, als nur bedingt gewinnbringend.

Die Aufteilung der zwölf Prinzipien multimedialen Lernens nach Mayer (2009, 2014a) ist in Tabelle 3.3 zusammenfassend dargestellt. Dabei wird insbesondere zwischen den Anforderungen an die Gestaltung multimedialer Lernumgebungen differenziert. Weiter werden neben den soeben im Detail dargestellten Prinzipien auch diejenigen Prinzipien genannt, die über analoge Entsprechungen innerhalb der Effekte der Cognitive Load-Theorie verfügen. Dabei wird konkret Bezug auf diese Effekte genommen.

3.4 Integratives Modell des Text- und Bildverstehens Zu Beginn dieses Kapitels wurde im Rahmen der Theorie der dualen Kodierung nach Paivio (1990) der Effekt der Überlegenheit von Bildern gegenüber Texten thematisiert (vgl. Abschnitt 3.1.2). Interpretationsgrundlage für diesen Effekt bildet dabei die Annahme, dass „verbale und piktorale Informationen in unterschiedlichen kognitiven Subsystemen verarbeitet“ (Schnotz & Bannert, 1999, S. 218) werden. Weiter geht man davon aus, dass Worte oftmals ausschließlich als Logogene im verbalen System enkodiert werden, während Bilder zwar initial im nonverbalen System als Imagene enkodiert sind, jedoch häufig referentielle Prozesse zwischen den kognitiven Systemen auslösen können und somit gleichermaßen auch als Logogene vorhanden sein können (vgl. Abschnitt 3.1.2). Im Zuge einer umfassenden Beschreibung des Effektes erscheint eine solche additive Begründung, die auf der Annahme gründen, dass doppelt kodierte Informationen leichter abrufbar sind, als einfach kodierte Informationen, jedoch nur bedingt ausreichend (Schnotz & Bannert, 1999). Das integrative Modell des Text- und Bildverständnisses (en.: integrated model of text and picture comprehension) erweitert diesen Erklärungsansatz um die Aspekte unterschiedlicher Repräsentationen von Informationen, die verwendeten Zeichensysteme und zu Grunde liegende Darstellungsprinzipien (Schnotz, 2014; Schnotz & Bannert, 1999, 2003). Es fokussiert auf die internen Repräsentationen beim Lernen von Texten und Bildern und weist weitreichende Überschneidungen mit den beiden bisher vorgestellten Theorie von Chandler und Sweller (1991) sowie Mayer (2009, 2014a) auf. In diesem Abschnitt werden zunächst verschiedene Formen externer und interner Repräsentationen thematisiert. Im Anschluss daran wird das Modell in schematischer Form dargestellt und erläutert. Zuletzt werden Effekte der integrativen Verwendung von Texten und Bildern sowie die damit verbundenen Implikationen für die Gestaltung multimedialer Lernumgebungen aufgeführt, die in Beziehung zu den Erkenntnissen der Cognitive Load-Theorie und der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens gesetzt werden.

3.4 Integratives Modell des Text- und Bildverstehens

121

Tabelle 3.3 Übersicht über die Prinzipien der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens sowie der ihnen jeweils zugrunde liegenden Ziel für die Gestaltung multimedialer Lernumgebungen (nach Mayer, 2014a, S. 61-64). Ziel

Prinzipa

Minimierung Coherence irrelevanter Verarbeitungs- Signaling prozesse Redundancya

Spatial Contiguitya Temporal Contiguitya Organisation Segmentinga essentieller Verarbeitungsprozesse Pre-traininga

Modalitya

Multimedia

Förderung Personalizagenerativer tion Verarbeitungs- Voice prozesse Embodiment Guided Discovery Selfexplanation Drawing

Beschreibung der Technik

Literaturb

Die Verwendung irrelevanter Inhalte sollte vermieden werden. Essentielle Teile innerhalb einer Lernumgebung sollten hervorgehoben werden. Gesprochener Text sollte in Anwendungen nicht gleichzeitig als geschriebener Text dargeboten werden (vgl. Redundancy-Effekt). Zu Abbildungen gehörende Texte sollten in der Nähe der entsprechenden Abbildungen platziert werden (vgl. Split-Attention-Effekt).

Mayer und Fiorella (2014) van Gog (2014) Kalyuga und Sweller (2014)

Zu Abbildungen gehörende verbale Erklärungen sollten zeitgleich mit den entsprechenden Abbildungen dargeboten werden (vgl. Split-Attention-Effekt).

Mayer und Fiorella (2014)

Die Präsentation komplexer Inhalte sollte in Teilen dargeboten werden (vgl. Isolated-Interacting ElementsEffekt). Schlüsselbegriffe eines Lerngegenstandes sollten vor dem Unterricht erläutert werden (vgl. IsolatedInteracting Elements-Effekt). Audiovisuelle Darbietungen sollten gegenüber rein visuellen Darbietungen bevorzugt werden (vgl. Modality-Effekt). Darstellungen mit Bildern und Texten sollten gegenüber Darbietungen ausschließlich mit Text bevorzugt werden. Texte innerhalb einer Lernumgebung sollten im Konversationsstil dargeboten werden. Bei narrativen Elementen einer Lernumgebung sollte auf menschliche Stimmen zurückgegriffen werden. Figuren innerhalb einer digitalen Lernumgebung sollten menschenähnliche dargestellt werden.

Mayer und Pilegard (2014)

Lernende sollten während der Arbeit mit einer Lernumgebung Lösungshinweise und Feedback erhalten können. Lernende sollten dazu aufgefordert werden, sich den Inhalt einer Unterrichtsstunde gegenseitig zu erklären. Lernenden sollten dazu aufgefordert werden, Bilder zum Inhalt einer Unterrichtsstunde anzufertigen.

de Jong und Lazonder (2014) Wylie und Chi (2014) Leutner und Schmeck (2014)

Mayer und Fiorella (2014)

Mayer und Pilegard (2014) Low und Sweller (2014) Butcher (2014)

Mayer (2014c) Mayer (2014c) Mayer (2014c)

Anmerkung. a Für die gekennzeichneten Prinzipien finden sich analoge Entsprechungen innerhalb der Effekte der Cognitive Load-Theorie (vgl. Abschnitt 3.2.2). b Bei den exemplarisch angegebenen Quellen handelt es sich um Sekundärliteratur, in der die Prinzipien jeweils übersichtlich zusammengefasst werden und auf empirische Belege verwiesen wird.

122

3 Instruktionspsychologie

3.4.1 Formen der Repräsentation Im Rahmen des integrativen Modells des Text- und Bildverständnisses werden zwei verschiedene Arten der Repräsentation von Informationen unterschieden: Deskriptionale und depiktionale Repräsentationen. Unter deskriptionalen Repräsentationen werden symbolische Darstellungen verstanden, die strukturell keine Ähnlichkeit mit dem Gegenstand besitzen, den sie beschreiben. Sie werden ausschließlich durch gesellschaftliche Konventionen – etwa die Sprache – mit dem zu beschreibenden Gegenstand verknüpft (Peirce, 1906). Als solche deskriptionale Repräsentationen können etwa Texte bezeichnet werden. Wird ein Text verwendet, um einen Sachverhalt zu beschreiben, so dienen Nomen der Nennung des Gegenstandes, die „durch Adjektive spezifiziert [werden] und durch Verben und Präpositionen zueinander in Beziehung gesetzt“ (Schnotz & Bannert, 1999, S. 220) werden. Demzufolge enthalten Deskriptionen explizite Relationszeichen (Palmer, 1978). Demgegenüber stehen depiktionale Repräsentationen, die aus ikonischen Zeichen bestehen und insbesondere weitreichende strukturelle Ähnlichkeiten mit dem bezeichneten Gegenstand besitzen (Schnotz & Bannert, 1999). Hierzu sind realistische Bilder sowie Diagramme zu zählen. Sie kommen ohne expliziten Relationszeichen aus, da die ihnen inhärente Struktur bereits eine Beziehung zum Dargestellten herstellt. Depiktionale Darstellungen werden demzufolge auch als intrinsische Repräsentationen bezeichnet (Palmer, 1978). Im Gegensatz zur kognitiven Theorie des multimedialen Lernens wird im integrativen Modell des Text- und Bildverständnisses angenommen, dass diese Unterscheidung in deskriptive und depiktionale Repräsentationen sowohl bei externen Darstellungen – also der Darbietung eines Lerngegenstandes – als auch bei internen Darstellungen – also im kognitiven System des Menschen enkodierten Formen von Informationen – als tragfähig zu bezeichnen ist (Schnotz & Bannert, 1999, 2003). Mayer (2009, 2014a) nimmt hingegen an, dass eine Unterscheidung von dargebotenen Informationen eher auf der Grundlage verschiedener sensorischer Modalitäten zielführend ist und eine Trennung in verschiedene Repräsentationen insbesondere erst innerhalb des Arbeitsgedächtnisses stattfindet (vgl. Abschnitt 3.3.1). 3.4.1.1 Repräsentationen beim Lesen von Texten

Man geht davon aus, dass Menschen beim Lesen von Texten hin zu einem Verständnis der im Text repräsentierten Inhalte die folgenden unterschiedlichen interne Repräsentationen des Textes entwickeln müssen, die aufeinander aufbauen und sich insbesondere gegenseitig bedingen (Graesser, Millis & Zwaan, 1997): 1. Ebene der Textoberfläche: Eine Repräsentation auf der Ebene der Textoberfläche (en.: text surface representation) enthält alle grammatikalischen und lexikalischen Informationen des Textes (Schnotz & Bannert, 1999). Verfügt ein Mensch ausschließlich über diese Form der Repräsentation so ist anzunehmen, dass er zwar in der Lage ist den Inhalt des Textes wiederzugeben, jedoch noch kein Verständnis für seinen Inhalt entwickelt hat (Schnotz, 2014).

3.4 Integratives Modell des Text- und Bildverstehens

123

2. Proportionale Ebene: Weiter wird angenommen, dass ein solches semantische Verständnis für den Inhalt des Textes aufbauend auf der Textoberfläche auf der Ebene der Textbasis (en.: propositional representation) entwickelt wird. Eine derartige propositionale Repräsentation kann konzeptuelle Ideen über den Inhalt des Textes enthalten und damit insbesondere unabhängig von den spezifischen grammatikalischen und lexikalischen Merkmalen des gelesenen Textes sein (Schnotz, 2014). 3. Modellebene: Darüber hinaus geht man davon aus, dass aufbauend auf dieser Textbasis Leserinnen und Leser ein mentales Modell (en.: mental model) der Inhalte des Textes konstruieren können. Darunter werden Wissensrepräsentationen verstanden, deren Struktur analog zum dargestellten Inhalt sind, und die als eingeschränkte Abbildung der Wirklichkeit bezeichnet werden können (Johnson-Laird, 1983/1990). Empirische Belege lassen vermuten, dass sich diese unterschiedlichen Formen der Repräsentation voneinander trennen und unterscheiden lassen (z. B. Kintsch, Welsch, Schmalhofer & Zimny, 1990; Schmalhofer & Glavanov, 1986). 3.4.1.2 Repräsentationen beim Verstehen von Bildern

Es wird angenommen, dass zur Entwicklung eines Verständnisses eines Bildes auch unterschiedliche mentale Repräsentationen des Inhalts des Bildes erstellt werden müssen, die sich ebenfalls gegenseitig bedingen und sukzessive entwickelt werden (Kosslyn, 2005; Lowe, 1996): 1. Ebene der Bildoberfläche: Man geht davon aus, dass Menschen zunächst ein internes Abbild des betrachteten Bildes auf der Ebene der Bildoberfläche entwickeln. Diese visuelle Vorstellung (en.: perceptual representation) des Bildes kann die Wiedergabe spezifischer Charakteristika des Bildes ermöglichen und somit etwa Aussagen über die verwendeten Farben oder die Anordnung von Balken in einem Diagramm – also der Beschaffenheit der piktoralen Darstellung – erlauben (Schnotz & Bannert, 1999). 2. Modellebene: Weiter wird angenommen, dass Menschen auf der Basis einer solchen Bildoberflächenrepräsentation ein mentales Modell entwickeln können, das als interne Repräsentation des Inhalts des betrachteten Bildes verstanden werden kann. Insbesondere geht man davon aus, dass diese mentalen Modelle den Inhalt eines Bildes in Form analoger Strukturen – also ohne explizite Relationszeichen – repräsentieren können(Johnson-Laird, 1983/1990). 3. Proportionale Ebene: Aufbauend darauf können Menschen anhand der am mentalen Modell ablesbaren Informationen eine Repräsentation des Bildinhaltes auf proportionaler Ebene kreieren (Schnotz & Bannert, 1999). Man nimmt an, dass diese internen Repräsentationen – im Gegensatz zu mentalen Modellen – explizite Relationszeichen, wie etwa Symbole oder Wörter, nutzen, um einzelne Informationen des Bildes zueinander in Beziehung zu setzen.

124

3 Instruktionspsychologie

Zusammenfassung und Begriffsklärung

Die vorliegende Arbeit folgt den an dieser Stelle zusammengefassten Annahmen des integrativen Modells des Text- und Bildverstehens (Schnotz & Bannert, 1999, 2003). Wissen kann extern oder intern repräsentiert sein. Unter externen Repräsentationen werden dargebotene Informationen in Lernumgebungen – etwa in Form von deskriptiven Texten, bzw. depiktionalen Bildern oder interaktiven Anwendungen – verstanden. Sie werden initial vom sensorischen Register verarbeitet. Als interne Repräsentationen werden Informationen innerhalb des menschlichen Gedächtnisses bezeichnet. Es wird angenommen, dass eine Unterscheidung deskriptiver und depiktionaler Repräsentationen auch bei internen Repräsentationen vorgenommen werden kann (Schnotz, 2014): Hier lassen sich deskriptive proportionale Repräsentationen und depiktionale mentale Modelle unterscheiden. Proportionalen Repräsentationen nutzen Symbolstrukturen, um den Wissensinhalt darzustellen – etwa 43 als Symbol für ein Ganzes, das in vier gleich große Teile geteilt wird, von dem drei genommen werden. Mentalen Modellen ist hingegen eine zum Inhalt analoge Struktur inhärent, sodass keine expliziten Relationszeichen notwendig sind, um einen Bezug zum Inhalt eines Bildes oder eines Textes herzustellen (Johnson-Laird, 1983/1990; Kosslyn, 1994; Schnotz, 2014) – etwa die Vorstellung einer kreisförmigen Pizza mit vier gleich großen Stücken, von denen nur noch drei vorhanden sind. Insbesondere können sowohl externe als auch interne Repräsentationen entweder deskriptiv oder depiktional sein. Die Unterscheidung in deskriptive und depiktionale Repräsentationsformen ist in der nachfolgenden Abbildung 3.5 am Beispiel des Bruches 73 dargestellt. Dabei wurde exemplarisch die Darstellung von 73 als Teil von einer ganzen Pizza gewählt. An dieser Stelle kann nochmals der Unterschied in den Annahmen von Schnotz und Bannert (1999, 2003) im Vergleich zu Mayer (2009, 2014a) verdeutlicht werden. Während man im integrativen Modell des Text- und Bildverständnisses davon ausgeht, dass die beiden Darstellungen des Bruches 73 als Darbietungen grundsätzlich auf der Grundlage ihrer Repräsentationsform (links: deskriptiv, rechts: depiktional) zu unterscheiden sind, wird im Rahmen der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens angenommen, dass es sich zunächst bei beiden Darstellungen in der abgebildeten Form um visuelle Darstellungen handelt. Erst die Darbietung der links dargestellten deskriptiven Repräsentationen für 73 in auditiver – also gesprochener – Form ermöglicht eine Unterscheidung in sensorisch unterschiedliche (dann entsprechend links: auditive, rechts visuelle) Formen der Darstellung. An dieser Stelle ist auf die weitreichende Ähnlichkeit der Unterscheidung von deskriptiven und depiktionalen Darstellungen eines spezifischen Lerngegenstandes mit anderen in dieser Arbeit bereits diskutierten Theorien hinzuweisen. So gibt es Überschneidungen zwischen dieser Unterteilung und der von Paivio (1990) vorgeschlagenen Unterscheidung in Logogene und Imagene im Rahmen der Theorie der dualen Kodierung (vgl. Abschnitt 3.1.2). Darüber hinaus weisen auch die der Mathematikdidaktik zuzuordnenden Grundvorstellungen (vgl. Abschnitt 1.3.1) mit ihrer Unterscheidung in abstrakte – meist durch Symbole

3.4 Integratives Modell des Text- und Bildverstehens Deskriptive Repräsentation

125 Depiktionale Repräsentation

Prosaisch als Text: „Auf dem Teller liegen drei Siebtel einer Pizza.“ Symbolisch mit Text: „ 37 einer Pizza.“

Abbildung 3.5. Deskriptive (links) und depiktionale (rechts) Darstellungen von 73 als Teil einer ganzen Pizza.

repräsentierte – Darstellungen mathematischer Inhalte sowie semantischen – meist ikonischen – Darstellungen, die diesen abstrakten Inhalten eine Bedeutung verleihen können, weitreichende Ähnlichkeit mit dem eben vorgestellten Modell auf. Dies wird insbesondere beim Vergleich der beiden Abbildungen 1.2 und 3.5 deutlich. Wartha und Güse (2009) sprechen von Grundvorstellungen als vermittelnden Instanzen zwischen ikonischen und symbolischen Darstellungen mathematischer Inhalte. Schnotz und Bannert (1999, 2003) beschränken sich dabei nicht auf mathematische Inhalte, sondern geben einen weitreichenderen Rahmen vor, der damit insbesondere eine instruktionspsychologische Erklärung für die Wirksamkeit von Grundvorstellungen im Lehr-Lernprozess geben kann.

3.4.2 Integrative Verarbeitung von Texten und Bildern Schnotz und Bannert (1999, 2003) schlagen auf der Basis der vorgenommenen Unterscheidungen von deskriptiven und depiktionalen Darstellungen externer wie interner Repräsentationen ein kognitives Modell vor, in dem Texte und Bilder in unterschiedlichen Kanälen verarbeitet werden. Im deskriptionalen Zweig werden Texte verarbeitet. Es wird angenommen, dass Menschen zunächst durch subsemantische Verarbeitung Inhalte auf der Ebene der Textoberfläche verinnerlichen. Hierbei werten verbale Organisationsprozesse die syntaktischen und morphologischen Eigenschaften der Textoberfläche aus. Durch semantische Verarbeitung, d. h. die konzeptuelle Organisation durch geeignete Aktivierung von Schemata aus dem Langzeitgedächtnis, können auf der Basis dieser Textoberfläche die Inhalte des Textes als propositionale Repräsentation verstanden werden. Im depiktionalen Zweig hingegen werden grundlegend andere Prozesse angenommen. Hier geht man davon aus, dass zunächst auf der Grundlage der Wahrnehmung eines Bildes eine interne visuelle Vorstellung des Bildes generiert wird. Dabei spielen piktoriale Organisationsprozesse eine Rolle, die neben den sensorischen Daten auch interne Wissensstrukturen zur Generierung einer visuellen Vorstellung einbeziehen können. Aufbauend auf dieser intern gespeicherten Wahrnehmung des Bildes wird durch thematische Selektion ein mentales Modell erzeugt, das ein Verstehen des Bildinhaltes ermöglicht (Schnotz & Bannert, 1999). Darüber hinaus wird angenommen, dass die interne Vorstellung des Bildes auf visuelle Eigenschaften beschränkt ist, während ein mentales Modell auch andere sensorische Informationen – insbesondere etwa Gesten – enthalten kann (Schnotz, 2014). Dieser Aspekt

126

3 Instruktionspsychologie

wird im Rahmen der Embodied Cognition-Theorie, die in Abschnitt 4.2 diskutiert wird, ausführlich erläutert. Weiter geht man davon aus, dass mentale Modelle – wie propositionale Repräsentationen – zusätzliche Informationen enthalten können, die die visuelle Vorstellung des Bildes nicht enthält, sondern erst durch konzeptuelle Organisation aus bestehenden Schemata im Langzeitgedächtnis ergänzt werden (Schnotz, 2014). Auf der Basis einer proportionalen Repräsentation des Inhaltes eines Textes kann durch entsprechende Modellkonstruktion ein mentales Modell generiert werden. Umgekehrt kann durch Modellinspektion aufbauend auf einem mentalen Modell des semantischen Inhaltes eines Bildes eine proportionale Repräsentation erzeugt werden. Sowohl beim Textverstehen als auch beim Bildverstehen können also der deskriptive und der depiktionale Kanal wechselwirken. Es wird angenommen, dass beim Textverstehen eine despriktive Repräsentation, beim Bildverstehen jedoch eine depiktionale Repräsentation den Ausgangspunkt darstellt (Schnotz, 2002). Es erscheint daher insbesondere plausibel davon auszugehen, dass Bilder zur Ausbildung von Konzepten von Bruchzahlen – die insbesondere mentale Modelle mathematischer Inhalte als Subkonzepte enthalten können – gut geeignet sind, da sie bereits depiktional repräsentiert sind und analoge Strukturen zur Darstellung des Inhaltes verwenden. Dies kann eine Verwendung der in Abschnitt 2.3 vorgestellten ikonischen Darstellungen im Unterricht auch auf der Basis instruktionspsychologischer Theorien hervorheben, um abstrakte Konzepte von Bruchzahlen mit semantischen Inhalten zu verbinden. In Abbildung 3.6 ist das Modell der integrativen Verarbeitung von Texten und Bildern schematisch abgebildet. Dabei ist der deskriptionale Kanal links, der depiktionale Kanal rechts dargestellt. Externe und interne Repräsentationen sind als Rechtecke abgebildet, Verarbeitungsprozesse als Pfeile und Organisationsprozesse oval. Die gestrichelten und diagonal verlaufenden Pfeile vervollständigen die schematische Darstellung und weisen darauf hin, dass im Rahmen des integrativen Modells angenommen wird, dass unter Umständen und in seltenen Fällen visuelle Vorstellungen direkt propositionale Repräsentationen erzeugen können, bzw. analog Textoberflächenrepräsentationen direkt mentale Modelle hervorrufen können (Schnotz & Bannert, 2003). Das soeben dargestellte Modell der integrativen Verarbeitung von Texten und Bildern kann zum einen als Erweiterung des innerhalb der Theorie der dualen Kodierung (Paivio, 1990) verwendeten Modells (vgl. Abbildung 3.2) verstanden werden. Ergänzend zu Paivios (1990) Ansatz wird davon ausgegangen, dass sowohl beim Verstehen von Texten als auch beim Verstehen von Bildern unterschiedliche und aufeinander aufbauende mentale Repräsentationen des Lerngegenstandes generiert werden (Schnotz, 2014). Zum anderen erweitert es das in Abbildung 3.4 illustrierte Modell der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens (Mayer, 2014a). Während in Mayers (2014a) Theorie davon ausgegangen wird, dass die Verarbeitung von Texten und Bildern zwar in getrennten kognitiven Systemen erfolgt, jedoch weitgehend parallele Prozesse in diesen beiden Systemen stattfinden, nimmt man beim hier erläuterten integrativen Modell an, dass die Verarbeitungsprozesse innerhalb des Text- und des Bildkanals unterschiedlich sind, da „Texte und Bilder auf verschiedenen Zei-

3.4 Integratives Modell des Text- und Bildverstehens

127

konzeptuelle Organisation

propositionale Repräsentation

Modellkonstruktion mentales Modell

Text

piktoriale Organisation

Wahrnehmung

verbale Organisation

Abbildung analoger Strukturen

thematische Selektion

semantische Verarbeitung

visuelle Wahrnehmung/ Vorstellung

Textoberflächenrepräsentation

subsemantische Verarbeitung

Analyse von Symbolstrukturen

Modellinspektion

Bild/ Diagramm

Abbildung 3.6. Schematische Darstellung eines integrativen Modells des Text- und Bildverstehens (nach Schnotz und Bannert, 2003, S. 145, Übers. nach Schnotz und Bannert, 1999).

chensystemen basieren und ganz unterschiedliche Repräsentationsprinzipien verwenden“ (Schnotz & Bannert, 1999, S. 221).

3.4.3 Effekte integrativer Verwendung von Texten und Bildern: Implikationen für die Gestaltung von Lernumgebungen Die positiven wie negativen Effekte, die sich durch das integrative Modell des Text- und Bildverstehens erklären lassen, können als weitreichend deckungsgleich mit den Effekten, die im Rahmen von Untersuchungen zur Cognitive Load-Theorie empirisch festgestellt wurden (vgl. Tabelle 3.2), bezeichnet werden. Weiter weisen auch die Implikationen für die Gestaltung multimedialer Lernumgebungen große Ähnlichkeit mit den Prinzipien, die innerhalb der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens formuliert wurden (vgl. Tabelle 3.3), auf. Namentlich sind an dieser Stelle der Multimedia-Effekt, der Redundancy-Effekt, der Split-Attention-Effekt sowie damit verbunden das Spatial Contiguity- sowie das Temporal Contiguity-Prinzip, der Modality-Effekt und das Coherence-Prinzip zu nennen, die

128

3 Instruktionspsychologie

im Rahmen des in diesem Abschnitt vorgestellten Modells in nahezu identischer Weise begründet werden können, wie bereits in den Abschnitten 3.2 und 3.3 (Schnotz, 2014). Darüber hinaus kann das integrative Modell des Text- und Bildverstehens Informationen zum einen über den Einfluss der Lesekompetenz, zum anderen über den Einfluss unterschiedlicher Charakteristika von Bildern auf den Lernprozess liefern. Diese Aspekte werden in den nachfolgenden Abschnitten erläutert und schließen damit das Kapitel über instruktionspsychologische Ansätze in der vorliegenden Arbeit. 3.4.3.1 Einfluss der Lesekompetenz

Im von Schnotz und Bannert (1999, 2003) vorgeschlagenen Modell wird angenommen, dass Textverständnis und Bildverständnis unterschiedliche kognitive Prozesse zur Generierung proportionaler Repräsentationen und mentaler Modelle darstellen. Insbesondere für Schülerinnen und Schüler mit Problemen in einem der beiden Verarbeitungskanäle kann dem zweiten Kanal daher eine wichtige Bedeutung beim Wissenserwerb zukommen. So kann angenommen werden, dass Kinder mit Leseschwierigkeiten von der Verwendung von Bildern mehr profitieren, als Schülerinnen und Schüler ohne Schwierigkeiten beim Lesen (Schnotz, 2014). Einen guten Überblick über Studien zur Untersuchung der Wirksamkeit von Bildern auf die Behaltensleistung von Lernenden mit Leseschwierigkeiten liefert etwa Mastropieri und Scruggs (1989). 3.4.3.2 Einfluss des Vorwissens

Es wird angenommen, dass das Vorwissen der Lernenden für konzeptuelle Organisationsprozesse zur Ausbildung mentaler Modelle ebenfalls eine Rolle spielt. Es erscheint daher plausibel davon auszugehen, dass für Schülerinnen und Schüler ohne entsprechendes Vorwissen die Integration von Bildern in einen Text einen größeren positiven Effekt auf die Ausbildung mentaler Modelle haben kann, als für Kinder mit entsprechendem Vorwissen (Schnotz, 2014). Diese spezielle Ausprägung des Expertise Reversal-Effektes kann durch das in Abbildung 3.6 schematisch dargestellte Modell weitreichend erklärt werden. Schülerinnen und Schülern mit entsprechendem Vorwissen kann es leichter fallen, auf der Basis eines Textes über die Vernetzung einer deskriptiven proportionalen Repräsentation des Inhalts des Textes mit geeignetem Vorwissen auch ein entsprechendes depiktionales mentales Modell eines Lerngegenstandes zu generieren als Kindern ohne dieses Vorwissen. Wird neben dem Text nun auch eine analoge Repräsentation des Lerngegenstandes in Form eines Bildes dargeboten, kann dies insbesondere Kindern ohne entsprechendes Vorwissen zur Generierung eines solchen mentalen Modells verhelfen. Es erscheint plausibel, dass Schülerinnen und Schüler, die sich auch ohne eine depiktionale Darstellung des Lerninhaltes ein mentales Modell auf Grund ihres Vorwissens erarbeiten können, durch ein ihnen zusätzlich zur Verfügung stehendes Bild gegebenenfalls nicht in diesem Maß profitieren können. Aus diesem Grund erscheint für die in dieser Arbeit zentrale Entwicklung des Bruchzahlbegriffs die Verwendung bildhafter Darstellungen auch vor dem Hintergrund eines

3.4 Integratives Modell des Text- und Bildverstehens

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integrativen Modells des Text- und Bildverstehens wichtig. Wie bereits an mehreren Stellen in diesem Kapitel genannt wurde, ist davon auszugehen, dass Schülerinnen und Schüler zu Beginn des Bruchrechenunterrichts über sehr wenig bis kein Vorwissen zu Brüchen und Anteilen verfügen, das über laienhaftes Alltagswissen hinausgeht (Padberg, 2002b; Padberg & Wartha, 2017). Es erscheint daher plausibel anzunehmen, dass ein Großteil der Kinder für eine intendierte Ausbildung mentaler Modelle mathematischer Inhalte – etwa in Form der in Abschnitt 2.3 dargestellten Subkonzepte von Bruchzahlen – nicht auf Vorwissen zurückgreifen können und daher im besonderen Maß von analog repräsentierten ikonischen Darstellungen profitieren können. 3.4.3.3 Einfluss der Sequenzierung

Gerade bei komplexen Lerngegenständen kann davon ausgegangen werden, dass zusätzliche bildhafte Darstellungen zur Illustration eines zugehörigen Textes zu einer kognitiven Überbelastung im Sinne der Cognitive Load-Theorie für Lernende führen können. Im Rahmen des integrativen Modells der Text- und Bildverarbeitung gibt Schnotz (2014) eine klare Handlungsempfehlung für die Darstellung von Bildern in dieser Situation vor dem korrespondierenden Text. Aufbauend auf empirischen Belege eines Sequenzing-Effekts – also der Wirksamkeit einer solchen Anordnung von Bildern vor entsprechenden Texten im Vergleich zur umgekehrten Reihenfolge (Kulhavy, Stock & Caterino, 1994) – kann darüber hinaus von einer strukturgebenden Funktion (en.: scaffolding function) von Bildern für die Entwicklung interner Repräsentationen gesprochen werden. Selbst dann, wenn Bilder nur für eine sehr kurze Zeit betrachtet werden, kann dies weitreichende Einflüsse auf die Konstruktion mentaler Modelle haben, da im Gegensatz zum Textverstehen kognitiv kein Wechsel zwischen deskriptiver und depiktionaler Darstellungen erfolgen muss (Schnotz, 2014). So geht man auf der Grundlage von Ergebnissen einer Eye-Tracking Studie davon aus, dass Bilder durch ihre mit dem Lerngegenstand weitgehend ähnliche Repräsentation der Ausbildung mentaler Modelle eine entsprechende Struktur vorgeben können (Eitel, Scheiter & Schüler, 2012). Werden mentale Modelle zudem ausschließlich auf der Basis von Texten ausgebildet – also im hier dargestellten Modell insbesondere über den Weg deskriptiver interner und externer Repräsentationen (vgl. Abbildung 3.6) – ist es wahrscheinlich, dass ein derartiges mentales Modell sich von einem auf Grundlage von Bildern konstruierten Modell unterscheidet und damit auch Unterschiede zum ursprünglichen Lerngegenstand haben kann (Schnotz, 2014). Dieser Einfluss der Sequenzierung bei komplexen und vielschichtigen Lerngegenständen, zu denen etwa die in Abschnitt 2.3 vorgestellten Konzepte von Brüchen sowie ihre Subkonzepte zu zählen sind, kann als instruktionspsychologische Empfehlung dafür verstanden werden, bei der Einführung zentraler Inhalte nicht alleine auf verbal durch eine Lehrkraft vorgetragene Erläuterungen oder Erklärungen in Form von Texten zurückzugreifen, sondern vielmehr ikonische Darstellungen für die initiale Auseinandersetzung mit diesen Inhalten zu nutzen. Diese Handlungsempfehlung kann als weitgehend analog zu den von Bruner (1960/1970) oder den Vertretern von Grundvorstellungen (z. B. vom

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3 Instruktionspsychologie

Hofe et al., 2005) vorgeschlagenen Vorgehensweisen bezeichnet werden und kann damit erneut fachdidaktische Forderungen aus einer psychologischen Perspektive, die über die Mathematikdidaktik hinaus geht, untermauern. 3.4.3.4 Einfluss der Passung der gewählten Visualisierung

Innerhalb der Theorie der dualen Kodierung (Paivio, 1990) und der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens (Mayer, 2009, 2014a) wird von einem generellen Effekt der Überlegenheit von Bildern gegenüber Texten ausgegangen, wie an den entsprechenden Stellen dieser Arbeit dargestellt wurde (vgl. Abschnitte 3.1.2 und 3.3). Diese Annahme erscheint vor dem Hintergrund empirischer Ergebnisse in dieser allgemeinen Form nicht haltbar. In diesem Zusammenhang spielt zum einen das Multimedia-Prinzip (vgl. Abschnitt 3.3.4.2) eine zentrale Rolle, in dem auf der Grundlage empirischer Befunde der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens keine einseitige Verwendung von Bildern, sondern vielmehr eine gleichzeitige und vernetzte Verwendung von Bildern und Texten empfohlen wird (Mayer, 2014a). Zum anderen geht auch Schnotz (2014) nicht von einer allgemeinen Überlegenheit von Bildern aus, sondern nimmt einen Mehrwert nur dann an, wenn die verwendeten Abbildungen in einer zum Lerngegenstand passenden Art der Visualisierung dargestellt sind. So konnte in einer Studie mit Studierenden gezeigt werden, dass für die Entwicklung geeigneter internen Repräsentationen die Form der instruktional verwendeten Abbildungen eine weitreichende Rolle spielt. Ein Effekt der Überlegenheit von Bildern konnte nur festgestellt werden, wenn verwendete Bilder weitreichende strukturelle Ähnlichkeiten mit den intendierten mentalen Modellen aufwiesen. Im Fall struktureller Unterschiede zwischen den verwendeten Bildern und den intendierten mentalen Modellen zeigten Abbildungen sogar eine negative Wirkung auf die Konstruktion passender interner depiktionaler Wissensrepräsentationen (Schnotz & Bannert, 2003). Zur Klärung dieser Ergebnisse erscheint der Kontext der Theorie der dualen Kodierung sowie der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens nur unzureichend geeignet. Hier kann das in diesem Abschnitt vorgestellte integrative Modell des Text- und Bildverstehens eine umfassende Ergänzung zu den diskutierten Theorien bieten, die insbesondere weitreichende Konsequenzen für die Gestaltung von multimedialen Lernumgebungen haben kann. Durch die Annahme einer Verarbeitung depiktional repräsentierter Darstellungen als Abbildung analoger Strukturen kann davon ausgegangen werden, dass die Struktur der instruktional verwendeten Bilder an ein generiertes mentales Modell vererbt werden kann (en.: structure mapping) und bereits bestehende strukturell ähnliche Schemata aktivieren kann, was als Erklärungsansatz für die Ergebnisse der dargestellten Studie aufgefasst werden kann (Schnotz, 2014). Dies lässt sich am Beispiel der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs etwa in folgender Weise illustrieren. Das Kreisdiagramm und der Zahlenstrahl wurden in Abschnitt 2.3.1 als geeignete ikonische Darstellungen zur Visualisierung des Konzepts Teil vom Ganzen identifiziert. Auch wenn es sich bei beiden Darstellungen um depiktionale Repräsentationen von Bruchzahlen handelt, weisen sie grundlegend unterschiedliche Strukturen auf: Das Kreisdia-

3.4 Integratives Modell des Text- und Bildverstehens

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gramm als rundes Objekt mit einer Unterteilung in gleich große Kreissegmente, von denen eine bestimmte Anzahl markiert ist; im Gegensatz zum Zahlenstrahl als einem – eigentlich ins Unendliche reichenden – Pfeil mit einer Unterteilung in gleich große Streckenabschnitte, an dem ein Bruch durch die Markierung einer bestimmten Position repräsentiert wird. Vor dem Hintergrund einer Verarbeitung von depiktionalen Darstellungen analog zu ihrer inhärenten Struktur können daher beide Darstellungen nicht als im gleichen Maß zur Verfolgung spezifischer Unterrichtsziele geeignet bezeichnet werden. So erscheint etwa der Zahlenstrahl im Vergleich zum Kreisdiagramm eher ungeeignet, um die Ausbildung eines mentalen Modells des Subkonzeptes Teil mehrerer Ganzer (vgl. Abschnitt 2.3.1.2) zu unterstützen, da am Zahlenstrahl die Einheit gerade als ein konkretes Ganzes zu verstehen ist. Auf der anderen Seite erscheint der Zahlenstrahl geeigneter zur Visualisierung eines Bruches als Maß (vgl. Abschnitt 2.3.1.3), gerade weil ihm der Gedanke einer solchen konkreten Einheit, die in eine beliebige Anzahl kongruenter Teile zerlegt werden kann, zugrunde liegt (Kieren, 1976). Dieses Subkonzept kann insbesondere bei bereits vorunterteilten Kreisdiagrammen nicht auf ebendiese plausible Art illustriert werden. Dies kann die strikte Zuteilung spezifischer ikonischer Darstellungen zu unterschiedlichen Subkonzepten des Konzepts Teil vom Ganzen (vgl. Abschnitt 2.3.1) sowie die mathematikdidaktische Forderung nach einem beständigen und angeleiteten Wechsel zwischen unterschiedlichen Darstellungen von Brüchen (Padberg & Wartha, 2017) gerade im Anfangsunterricht der Bruchrechnung zur Ausbildung geeigneter Konzepte hervorheben. Wichtig erscheint vor diesem instruktionspsychologischen Hintergrund nicht nur, dass ikonische Darstellungen zur Visualisierung abstrakter mathematischer Inhalte verwendet werden, sondern insbesondere auch, welche. Auf der einen Seite können Schülerinnen und Schüler mit wenig Vorwissen von passenden ikonischen Darstellungen profitieren, da sie mentale Modelle auf der Basis analoger Strukturen ausbilden können. Auf der anderen Seite können unpassend gewählte ikonische Darstellungen die Ausbildung intendierter mentaler Modelle bei Lernenden mit ausreichend Vorwissen jedoch auch negativ beeinflussen (Schnotz, 2014): Well-designed pictures are not only important for learners with low prior knowledge who need pictorial support for mental model construction. They are also important for learners with high prior knowledge, because mental model construction can be negatively affected by inappropriate forms of visualization. (S. 93) Zusammenfassung

Kognitionspsychologische und neurowissenschaftliche Erkenntnisse können die Basis dafür bilden, die Prozesse bei der Informationsverarbeitung beim Menschen zu konzeptualisieren. Werden Kenntnisse über dabei ablaufende kognitive Prozesse, insbesondere über empirisch belegbare Schwierigkeiten von Schülerinnen und Schülern bei der Akquise von Wissen sowie geeignete Unterstützungsmaßnahmen, bei der Entwicklung instruktionaler Ansätze berücksichtigt, kann dies eine grundlegende Qualität der gestalteten

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3 Instruktionspsychologie

Lernumgebungen sichern. Das Drei-Speicher-Modell mit Ergänzung durch die Theorie der dualen Kodierung, das Arbeitsgedächtnismodell sowie die Schema-Theorie liefert dabei einen grundlegenden konzeptuellen Rahmen für ablaufende Prozesse innerhalb des menschlichen Gedächtnisses. Hier erscheinen insbesondere die beiden Annahmen einer beschränkten Kapazität des Arbeitsgedächtnisses sowie getrennter Verarbeitungskanäle für visuelle und auditive Reizinformationen bzw. textbasierter und bildbasierter interner Repräsentationen zentral. Sie bilden die Basis für weiterführende und spezifische instruktionspsychologische Theorien. Innerhalb der Cognitive Load-Theorie wird davon ausgegangen, dass Lernprozesse mit einer kognitiver Belastung des Arbeitsgedächtnisses einhergehen. Diese kann durch die Komplexität des Lerngegenstandes (intrinsisch), durch die Gestaltung einer Lernumgebung (irrelevant) sowie durch generative Prozesse (lernbezogen), wie etwa die Konstruktion von Schemata, hervorgerufen werden. Es wird angenommen, dass sich diese drei Arten kognitiver Belastung zueinander addieren und Lernprozesse nur dann erfolgreich möglich sind, wenn die Gesamtbelastung die Kapazität des Arbeitsgedächtnisses nicht übersteigt. Dabei können insbesondere auch individuelle Unterschiede, wie etwa das Vorwissen der Lernenden, eine entscheidende Rolle spielen. Gerade für die in dieser Arbeit untersuchte Entwicklung des Bruchzahlbegriffes in der sechsten Jahrgangsstufe, die nicht nur aus fachdidaktischer sondern auch aus psychologischer Sicht als komplexer Lerngegenstand bezeichnet werden kann, erscheinen zahlreiche empirisch belegte Effekte der Cognitive Load-Theorie relevant für die Ausarbeitung geeigneter Lernumgebungen. Die kognitive Theorie des multimedialen Lernens ergänzt den theoretischen Rahmen der Cognitive Load-Theorie um die Annahme getrennter Verarbeitungssysteme und erweitert damit den konzeptuellen Rahmen auf multimediale Lernumgebungen. Dabei werden Lernumgebungen dann als multimedial bezeichnet, wenn sie gleichzeitig Texte und Bilder verwenden, um Wissen zu vermitteln. Sie können dabei als Bücher oder in Form interaktiver Inhalte – etwa auf Tablet-PCs oder konkret iPads – dargeboten werden und beschränken sich insbesondere nicht auf digitale Unterrichtsmedien. Für die Entwicklung einer Lernumgebung, in der Konzepte von Brüchen auf der Basis ikonischer Darstellungen vermittelt werden sollen, die zum Ziel haben abstrakten mathematischen Inhalten eine semantische Bedeutung zuzuweisen, erscheinen weitere und durch diese Theorie motivierte Implikationen für die Gestaltung bedeutend. Das zuletzt diskutierte integrative Modell des Text- und Bildverständnisses hebt die Unterschiede zwischen deskriptiven und depitkionalen Repräsentationen von Inhalten hervor. Dabei wird angenommen, dass bei Texten ein Bezug zum Lerngegenstand über Konventionen zunächst hergestellt werden muss, während diese Beziehung bildhaften Darstellungen bereits inhärent ist. Zur Verarbeitung können daher weitgehend analoge Strukturen abgebildet werden, was die empirisch belegbare Überlegenheit von multimedialen Lernumgebungen gegenüber ausschließlich textbasierten Lernumgebungen erklären kann. Hier wird weiter ein Zusammenhang zwischen der Passung eines Bildes und den konkreten interner Repräsentationen angenommen, die die Schülerinnen

3.4 Integratives Modell des Text- und Bildverstehens

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und Schüler entwickeln sollen. Das Modell liefert daher für die Entwicklung des Bruchzahlbegriffes nicht nur einen relevanten Rahmen dafür, dass ikonische Darstellungen im Unterricht verwendet werden sollen, sondern insbesondere auch welche ikonischen Darstellungen für welchen Zweck als gewinnbringend bezeichnet werden können.

4 Interaktive Unterrichtsmedien: Neue Chancen für die Entwicklung mathematischer Konzepte Die große Herausforderung für den Mathematikunterricht besteht nun darin, diese digitalen Medien als Werkzeuge für ein besseres oder erweitertes Verständnis von Mathematik zu nutzen. Schmidt-Thieme und Weigand (2015, S. 470) Überblick

Digitale Medien werden im Unterricht zu unterschiedlichen Zwecken eingesetzt. Das Kapitel beginnt mit einer kurzen Übersicht über bisherige empirische Untersuchungen zu einem solchen Medieneinsatz im Mathematikunterricht, wobei auch auf die Ergebnisse von Metaanalysen zurückgegriffen wird 4.1. Im Anschluss werden drei Möglichkeiten von Tablet-PCs dargestellt, die über die in Kapitel 3 dargestellten Vorteile multimedialer Lernumgebungen hinaus Lernprozesse weiter unterstützen können. Durch die berührungsempfindliche Touchscreen-Oberfläche können Anwendungen in interaktiven Lernumgebungen so gestaltet sein, dass sie durch passende Fingerbewegungen bedient werden können, von denen im Rahmen der Embodied Cognition-Theorie angenommen wird, dass sie Denkprozesse anregen können (Abschnitt 4.2). Weiter können Aufgaben in einer solchen Lernumgebung so implementiert werden, dass sie zum einen sich in ihren Anforderungen adaptiv an das individuelle Leistungsniveau einer Schülerin oder eines Schülers anpassen können (Abschnitt 4.3) und zum anderen auf falsche wie richtige Schülerantworten differenziert und automatisiert eingehen und entsprechendes Feedback geben können (Abschnitt 4.4).

4.1 Digitale Medien im Mathematikunterricht Die Mathematikdidaktik kann auf eine lange Tradition der Verwendung digitaler Unterrichtsmedien zurückblicken (z. B. Reiss, Hoch, Reinhold, Richter-Gebert & Werner, 2017; Schmidt-Thieme & Weigand, 2015). Während sich der Computereinsatz im Sinne der Verwendung als Tutee, also als einer algorithmisch zu bedienenden Maschine, zu einem eigenen © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 F. Reinhold, Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive, Studien zur theoretischen und empirischen Forschung in der Mathematikdidaktik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-23924-4_5

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4 Interaktive Unterrichtsmedien

Unterrichtsfach – der Informatik – emanzipiert hat, werden im Mathematikunterricht seit nunmehr fast 40 Jahren digitale Medien häufiger in den beiden anderen von Taylor (1980) beschriebenen Einsatzmöglichkeiten verwendet. Zum einen als Tutor, also als Lernprogramm, mit dessen Hilfe in mehr oder weniger elaborierten Drill and Practice-Verfahren1 bestimmte Lerngegenstände – etwa grundlegende Rechenfertigkeiten – eingeübt werden sollen, zum anderen als Tool, also als unterstützendes Element zur Vereinfachung oder Visualisierung mathematischer Sachverhalte – vom simplen Taschenrechner bis hin zur komplexen dynamischen Geometriesoftware (Reiss et al., 2017). So haben etwa bereits Lesh et al. (1987) im Zuge des Rational Number Project (vgl. Abschnitt 2.1) die weitreichenden Möglichkeiten, die sich durch einen Computereinsatz und entsprechende Software für die Entwicklung des Bruchzahlbegriffes ergeben können, aufgeführt. Sie heben hierbei insbesondere mögliche Vorteile durch effiziente Übungsformen zum beständigen Wechsel zwischen unterschiedlichen Darstellungen hervor. In Folge des rasanten technologischen Fortschritts der letzten Jahrzehnte wurden rudimentäre Programme, „die mehr oder minder das Arbeiten mit Papier und Bleistift imitierten“ (Reiss et al., 2017, S. 94), durch immer komplexere digitale Lernumgebungen ersetzt, die zum Teil interaktiv, adaptiv und immersiv arbeiten können. Diese Entwicklung wird von empirischen Erhebungen begleitet und dokumentiert, verbunden mit dem Ziel, die Frage nach einer Wirksamkeit von interaktiven Unterrichtsmedien im Mathematikunterricht zu klären. Hierbei erscheinen jedoch pauschale Antworten aufgrund der zum Teil sehr speziellen Bedingungen einzelner Studien sowie heterogener Untersuchungsergebnisse kaum möglich (Herzig, 2014). Weitgehend valide Aussagen hierzu können jedoch durch Metaanalysen gewonnen werden, die bestehende Einzelstudien zum Einsatz digitaler Medien zusammenfassen und unter spezifischen Fragestellungen statistisch auswerten. Diese zeigen großteils vielversprechende Ergebnisse (z. B. Hattie, 2009; Hillmayr et al., eingereicht; Steenbergen-Hu & Cooper, 2014) und lassen die Annahme zu, dass der Einsatz interaktiver Lernumgebungen im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht insbesondere dann gewinnbringend sein kann, wenn traditionelle Unterrichtsmethoden durch digitale Medien ergänzt werden (Hillmayr et al., eingereicht). Dennoch „hat sich gerade auf dem Gebiet der digitalen Medien in den letzten Jahren gezeigt, dass es vor allem an langfristigen empirischen Untersuchungen im Klassenraum fehlt“ (Schmidt-Thieme & Weigand, 2015, S. 486). Insbesondere ist vergleichsweise wenig über die Wirksamkeit von Tablet-PCs – speziell des iPads – in konkreten Unterrichtssituationen im Fach Mathematik bekannt (Hillmayr et al., eingereicht). Bisherige kontrolliert durchgeführte Studien zur Verwendung von iPads fokussieren dabei eher auf drei Untersuchungsschwerpunkte außerhalb des Regelunterrichts, konkret auf ... 1 Unter Drill

and Practice-Programmen werden Lernumgebungen verstanden, in denen Übungsaufgaben zu einem Thema aufeinanderfolgend und ohne weitere Erläuterungen dargeboten werden. Sie eignen sich etwa dafür, bereits vorhandenes Wissen durch Wiederholen und Üben zu festigen (Kerres & Nattland, 2009).

4.2 Embodied Cognition-Theorie

137

1. die Förderung von Kindern mit sonderpädagogischem Förderbedarf (Luiselli & Fischer, 2016), etwa der Beschulung von Schülerinnen und Schülern mit Autismus-SpektrumStörung (O’Malley, Lewis, Donehower & Stone, 2014); 2. den Einflusses eines zum Regelunterricht zusätzlichen Übungsangebotes (z. B. Ross & Bruce, 2009); und 3. die Wirkung von Digital Game-based Learning2 , nicht nur auf die Leistung von Schülerinnen und Schülern (z. B. Blair, 2014; Carr, 2012; Chang, Evans, Kim, Norton & Samur, 2015), sondern insbesondere auch deren Selbstkonzept sowie ihrer Einstellung gegenüber dem Fach Mathematik (z. B. Riconscente, 2013). In allen drei genannten Bereichen lassen die zitierten Studien den Schluss zu, dass interaktive Lernumgebungen auf Tablet-PCs gewinnbringend in den Mathematikunterricht eingebracht werden können, um spezifische Schülergruppen geeignet zu fördern. Jedoch fehlen bisher umfassendere Untersuchungen und insbesondere größer angelegte Feldstudien, die sich mit der Fragestellung auseinandersetzen, ob Tablet-PCs im Allgemeinen und iPads im Speziellen eine ähnliche positive Wirkung auf kognitive Fähigkeiten auch bei einem Einsatz im Regelunterricht entfalten kann. Eine denkbare Einsatzmöglichkeit in diesem Sinn stellen etwa interaktive Lehrbücher dar, die mittels entsprechender Software auf iPads realisiert werden können. Sie können auf der Grundlage der in Kapitel 3 dargestellten Implikationen instruktionspsychologischer Theorien für die Gestaltung multimedialer Lernumgebungen entworfen und entwickelt werden. Darüber hinaus ergeben sich durch das Medium selbst weitere Möglichkeiten der Implementierung von Inhalten, die über multimediale Präsentationen hinaus gehen. Hier erscheinen insbesondere die Embodied Cognition-Theorie sowie Theorien zur Adaptivität und zu Feedback zentral, die im Verlauf dieses Kapitels detailliert dargestellt und in den bestehenden kognitionspsychologischen Hintergrund eingebettet werden.

4.2 Embodied Cognition-Theorie Der Embodied Cognition-Theorie liegt die Idee zugrunde, dass nicht alleine das Gehirn für die menschliche Kognition verantwortlich ist, sondern auch weitere Teile des menschlichen Körpers Denkprozesse beeinflussen können (M. Wilson, 2002). Auch wenn diese Idee im Vergleich mit anderen in dieser Arbeit dargestellten psychologischen Theorien als relativ junger Forschungsansatz bezeichnet werden kann (Glenberg, 2010), messen bereits Piaget und Inhelder (1967/2004) motorischen Aktivitäten in der frühkindlichen Phase weitreichende Bedeutung für den Erkenntnisgewinn und die Entwicklung von Intelligenz bei (vgl. Abschnitt 1.1.1). Zudem erscheint gerade auch in der Mathematikdidaktik eine enaktive – also 2 Unter Digital Game-based Learning versteht man die Verwendung von interaktiven Anwendungen, die die

Eigenschaften von Video- und Computerspielen verwenden, um motivierende und immersive Szenarien zu schaffen, verbunden mit dem Ziel spezifische Lernziele zu erreichen (de Freitas, 2007).

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4 Interaktive Unterrichtsmedien

eine konkret handelnde – Erarbeitung mathematischer Inhalte im Sinne von Bruner (1960/ 1970) gewinnbringend. Hier wird der intermodale Transfer zwischen enaktiver, ikonischer und symbolischer Repräsentationsebene als vorteilhaft bei der Begriffsentwicklung erachtet, insbesondere dann, wenn die unterschiedlichen Repräsentationen zusammenpassen und somit Verknüpfungen entstehen können, die sich gegenseitig unterstützen können (Reiss & Hammer, 2013). In diesem Zusammenhang kann die Embodied Cognition-Theorie als psychologischer Rahmen verstanden werden, der konkreten körperlichen Erfahrungen eine zentrale Rolle im Lernprozess beimisst (M. Wilson, 2002) und insbesondere die notwendige Passung enaktiver Lerninhalte mit den zu erlernenden Konzepten hervorhebt (Johnson-Glenberg, Birchfield, Tolentino & Koziupa, 2014). Jedoch kann Embodied Cognition in der Fachliteratur nicht als eindeutig definierter Begriff bezeichnet werden (A. Clark, 1999; Glenberg, 2010; M. Wilson, 2002; siehe auch Black, Segal, Vitale & Fadjo, 2012; Gallese & Lakoff, 2005; Gangopadhyay & Kiverstein, 2009; Kiverstein & Clark, 2009; Núñez, Edwards & Matos, 1999), wodurch eine initiale Begriffsklärung sowie eine Einordnung dieser Arbeit in eine der vorherrschenden Forschungsrichtungen notwendig erscheint. Daher wird in diesem Abschnitt zunächst der Begriff Embodied Cognition explizit geklärt und in die in Kapitel 3 vertretene Darstellung der Informationsverarbeitung beim Menschen eingeordnet sowie insbesondere im Rahmen der Reduzierung kognitiver Belastung diskutiert. Anschließend wird die zugrunde liegende Idee im Zusammenhang mit interaktiven Lernumgebungen und digitalen Unterrichtsmedien – insbesondere iPads – dargestellt und ein Überblick über die Ergebnisse der bisherigen Forschung in diesem Gebiet – insbesondere im Bereich der Mathematikdidaktik – gegeben.

4.2.1 Embodied Cognition und kognitive Belastung Unterschiedliche Ausrichtungen und Interpretationen von Embodied Cognition lassen sich in zwei Dimensionen kategorisieren: Zum einen nach der Art und Weise, wie sie sich in den bestehenden Hintergrund traditioneller kognitionspsychologischer Theorien (vgl. Kapitel 3) einordnen lassen (A. Clark, 1999), zum anderen welche Annahmen mit dem Selbstverständnis der Ausrichtungen unterschiedlicher Embodied Cognition-Theorien für Lehr-Lernprozesse einhergehen (M. Wilson, 2002). So unterscheidet A. Clark (1999) zwischen einer einfachen und einer radikalen Form von Embodiment (en.: simple und radical embodiment). Die einfache Form der Embodied Cognition-Theorie wird dabei als im Einklang mit traditionellen kognitionspsychologischen Theorien verstanden. Hierbei wird untersucht, inwiefern reale körperliche Erfahrungen interne Repräsentationen anregen oder auch einschränken können, verbunden mit dem Ziel, den konkreten Einfluss körperlicher Erfahrungen auf die Entwicklung interner Repräsentationen – deskriptiver proportionaler Repräsentationen sowie depiktionaler mentaler Modelle – zu identifizieren (A. Clark, 1999):

4.2 Embodied Cognition-Theorie

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[Simple embodiement] concentrates attention on an inner representational resource . .. and is exploring the ways in which usefulness in the guidance of real-world action can both constrain and inform the nature of inner representations and processing. ... [T]he goal is to give an account of the inner representational realm, but one informed by the evolutionary and developmental roles of bodily experience. (S. 348-349) Im Gegensatz dazu bezeichnet A. Clark (1999) Forschungsausrichtungen innerhalb der Embodied Cognition-Theorie als radikal, wenn eine oder mehrere der folgenden Aussagen getroffen werden: 1. Zum Verständnis des komplexen Zusammenspiels von Gehirn, Körper und realer Welt werden neue analytische Instrumente sowie Forschungsmethoden benötigt. 2. Die traditionelle Vorstellung von internen Repräsentationen, wie mentalen Modellen, erscheint unzureichend oder gar unnötig. 3. Typische Interpretationen des kognitiven Systems, insbesondere die Unterscheidung zwischen getrennten Verarbeitungssystemen – etwa im Sinne eines Arbeitsgedächtnismodells (vgl. Abschnitt 3.1.3) oder der Theorie der dualen Kodierung (vgl. Abschnitt 3.1.2) – verhindert den Blick auf mögliche alternative Erklärungsansätze für die Informationsverarbeitung beim Menschen. Im Zuge dieser Arbeit, in der die Entwicklung des Bruchzahlbegriffes unter kognitionspsychologischen und fachdidaktischen Gesichtspunkten untersucht werden soll und daher explizit auf die in Kapitel 3 dargestellten traditionellen Theorien zurückgegriffen wird, erscheint daher nur eine Interpretation von Embodied Cognition im Sinne der einfachen Form möglich. In diesem Zusammenhang können insbesondere zwei der von M. Wilson (2002) dargestellten grundlegenden Annahmen einer Embodied Cognition-Theorie als passend für eine Untersuchung der Bedeutung körperlicher Erfahrungen auf die Ausbildung interner Repräsentationen bezeichnet werden, die nachfolgend dargestellt werden. 4.2.1.1 Abladen kognitiver Belastung

Innerhalb der Embodied Cognition-Theorie gehen einige Forscherinnen und Forscher davon aus, dass Menschen in der Lage sind, auftretende kognitive Belastung zum Teil auszulagern (en.: off-load of cognitive work onto the environment). Ein Beispiel hierfür ist etwa die Verwendung der eigenen Finger für Zähl- oder Rechenprozesse (M. Wilson, 2002) – ein sensomotorischer Prozess, dessen Ausbildung insbesondere durch die Verwendung geeigneter interaktiver Programme unterstützt werden kann (Sinclair & Heyd-Metzuyanim, 2014). Dass Menschen auch in komplexeren Aufgaben tatsächlich auf derartige Strategien zur Auslagerung kognitiver Prozesse zurückgreifen, legen etwa die Ergebnisse der folgenden

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4 Interaktive Unterrichtsmedien

Erhebungen nahe. So konnte in einer Studie mit dem Spiel Tetris3 festgestellt werden, dass Menschen eher dazu neigen, die herabfallenden geometrischen Formen zur Lösung des Problems (hier das Bilden einer vollständigen Linie am unteren Ende des Bildschirms) tatsächlich beständig zu rotieren und über den Bildschirm zu bewegen, als diese explorativen Rotationen und Translationen mental zu vollführen und anschließend nur das Ergebnis umzusetzen (Kirsh & Maglio, 1994). Ein vergleichbares Ergebnis zeigte sich bei einer Untersuchung eines anderen interaktiven Spiels, bei dem auf einem Bildschirm dargestellte bunte geometrische Figuren bestehend aus einzelnen Blöcken unter Zeitdruck repliziert werden mussten. Hierbei wählte die Mehrheit der Untersuchungspersonen eine Strategie, bei der sie zunächst Blöcke alleine aufgrund ihrer Farbe in einer Arbeitsfläche grob anordneten und anschließend die konkrete geometrische Zielposition zu replizieren versuchten. Dabei ergab die Analyse von Blickbewegungen weiter, dass Menschen eher dazu neigen, sich Farbe und Position getrennt voneinander merken und nicht beides zugleich. Die Wahl dieser Strategie wird durch die Autoren derart interpretiert, dass Menschen in dieser konkreten Aufgabe eher zu Strategien neigen, die mit einem minimalen kognitiven Aufwand verbunden sind – und insbesondere häufig zusätzliche kognitive Belastung durch das gleichzeitige Erinnern von Farbe und Position durch eine grobe Sortierung auf einer Arbeitsfläche zu vermeiden versuchen (Ballard, Hayhoe, Pook & Rao, 1997). Aufgrund derartiger Ergebnisse erscheint es plausibel, eine in diesem Sinn verstandene Embodied Cognition-Theorie in den bestehenden Rahmen der Cognitive Load-Theorie einzubetten (Paas & Sweller, 2011; Skulmowski & Rey, 2017), um insbesondere auch neue Möglichkeiten für die Mathematikdidaktik zu eröffnen (Tran, Smith & Buschkuehl, 2017). Dies lässt spezifische Fragestellungen etwa danach zu, ob das Beobachten oder das selbstständige Durchführen von Handbewegungen die Akquise komplexer Schemata unterstützen und die kognitive Belastung reduzieren kann (Paas & Sweller, 2011). Auch hier erscheinen Ergebnisse etwa der nachfolgend dargestellten empirischen Untersuchungen vielversprechend. So zeigt etwa eine Studie mit zehnjährigen Kindern, dass diese höhere Leistungen im freien verbalen Reproduzieren willkürlicher Wörter nach Additionsaufgaben aufweisen, wenn sie Finger- und Handbewegungen während des Rechnens verwenden dürfen, als wenn sie aufgefordert werden, keine Gesten zur Hilfe zu nehmen (Goldin-Meadow, Nusbaum, Kelly & Wagner, 2001). Dieses Ergebnis ließ sich mit Erwachsenen und Aufgaben, in denen quadratische Terme faktorisiert werden sollten, replizieren (Goldin-Meadow et al., 2001). Die Ergebnisse dieser Studien können derart interpretiert werden, dass Gesten eine gewisse verknüpfende Funktion (en.: linking function) erfüllen, also kognitive Belastung dadurch 3 Im Spiel Tetris müssen unterschiedliche und einzeln herabfallende geometrische Formen (sog.: Tetrazoids)

geeignet über einen Bildschirm bewegt werden. Ziel des Spiels ist es, diese Tetrazoids so anzuordnen, dass sich am unteren Ende des Bildschirmes vollständige – also lückenlose – Linien ergeben. Dabei können sie um 90◦ gegen den Uhrzeigersinn gedreht und nach rechts oder links bewegt werden. Weiter fallen die Tetrazoids in einer gewissen Zeit vom oberen Ende zum unteren Ende des Bildschirms, bis sie auf ein Hindernis treffen. Vollständige Linien verschwinden vom Bildschirm. Endet der freie Fall eines Tetrazoids, erscheint am oberen Ende des Bildschirms das nächste. Das Spiel endet, wenn auf der Spielfläche kein Platz für das nächste Tetrazoid mehr verfügbar ist (Kirsh & Maglio, 1994, S. 516).

4.2 Embodied Cognition-Theorie

141

reduzieren können, dass sie Gesprächsinhalte mit real vorhandenen Objekten – etwa Zahlen auf einer Tafel – verbinden können (Ping & Goldin-Meadow, 2010). Jedoch geht man davon aus, dass die kognitiv entlastende Funktion von Gesten über eine einfache Verbindung von Worten und präsenten Objekten hinaus geht. In einer Studie wurden neunjährige Kinder dazu aufgefordert, ihre Gedankengänge bei der Auseinandersetzung mit Piagets Aufgaben zur Invarianz von Flüssigkeitsmengen4 (en.: Piagetian liquid conservation task) darzulegen. Dabei wurden die Kinder zum einen gebeten, während ihrer Erläuterungen Gesten zu verwenden oder ihre Hände still zu halten. Zum anderen wurden die Gefäße nach der Durchführung des Experimentes entweder auf dem Tisch behalten oder vom Tisch entfernt. Zudem wurden den Kindern willkürliche Worte genannt, die sie nach ihren Erklärungen frei verbal reproduzieren sollten. Es zeigte sich, dass sich Kinder zum Teil an mehr Worte erinnern konnten, wenn sie Gesten verwenden durften, als wenn sie aufgefordert wurden, diese zu unterbinden – unabhängig davon, ob sich die Gläser zum Zeitpunkt der Erläuterungen auf dem Tisch befunden hatten, oder nicht (Ping & GoldinMeadow, 2010). Diese Ergebnisse können derart interpretiert werden, dass die kognitiv entlastende Funktion von Gesten über die Verknüpfung präsenter Objekte mit dem Gesprochenen hinaus geht. Es ist plausibel anzunehmen, dass Handbewegungen auch dazu dienen können, Gesprächsinhalte mit internen Repräsentationen von Wissensinformationen über Objekte, die nicht (mehr) real vorhanden sind, zu verknüpfen. 4.2.1.2 Entkoppelte Nutzung automatisierter Handlungsschemata

Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler gehen davon aus, dass einzelne rein kognitive Prozesse auf bestehende – insbesondere automatisierte – motorische Handlungsschemata zurückgreifen können (en.: body based off-line cognition). Auch in diesem Fall kann das Zählen und Rechnen mit den eigenen Fingern als illustratives Beispiel dienen. Entwickelt sich das Verständnis für Zähl- und Rechenprozesse weiter, so nimmt der – anfänglich meist noch notwendige – konkrete Rückgriff auf Fingerbewegungen stetig ab, bis die Handlung vollständig kognitiv durchgeführt werden kann. Es kann jedoch angenommen werden, dass die konkreten motorischen Handlungen, die Kinder in diesem Fall explizit mit dem Abzählen oder Rechnen in Verbindung bringen, als mentale Aktivitäten weiter bestehen und Zähl- und Rechenprozesse weiter unterstützen können, bis diese vollständig automatisiert durchgeführt werden können (M. Wilson, 2002). Man geht davon aus, dass diese internen Repräsentationen, die ursprünglich für konkrete Handlungen – hier konkret Fingerbewegungen zum Zählen oder Rechnen – ausgebildet wurden, weiter bestehen bleiben und losgelöst von ihrem ursprünglichen Zweck Denkprozesse unterstützen können (M. Wilson, 2002): 4 Bei

Piagets Aufgaben zur Invarianz von Flüssigkeitsmengen werden Kindern üblicherweise zwei gleich große und identisch gefüllte Bechergläser vorgestellt und der Inhalt eines der Bechergläser vor den Augen des Kindes in ein anders geformtes Gefäß (z. B. schmaler und höher) umgefüllt. Von Interesse ist dabei, ob Kinder ihre Aussage zur Äquivalenz der Flüssigkeitsmengen in beiden Gefäßen verändern, oder nicht (z. B. Gerrig, 2014/2015).

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4 Interaktive Unterrichtsmedien If ... mental activity can be employed successfully to assist a task such as counting, a new vista of cognitive strategies opens up. .. . Mental structures that originally evolved for perception or action appear to be co-opted and run “off-line,” decoupled from the physical inputs and outputs that were their original purpose, to assist in thinking and knowing. (S. 633)

Diese Annahme wird sowohl durch empirische Ergebnisse aus unterschiedlichen Forschungsrichtungen als auch durch theoretische Überlegungen untermauert (z. B. Barsalou, 2008; M. Wilson, 2002). So lassen Untersuchungen mit Gehörgeschädigten den Schluss zu, dass das Arbeitsgedächtnis auch sensomotorische Informationen verarbeitet und speichert. In diesem Zusammenhang zeigen sich etwa höhere Behaltensleistungen bei Symbolen der Gebärdensprache, wenn sich diese in der Art der Handbewegungen grundlegend voneinander unterscheiden, als wenn sie auf ähnlichen Handbewegungen beruhen (M. Wilson & Emmorey, 1997). Weiter stellt M. Wilson (2002) einen Bezug zwischen automatisierten Prozessen – im Sinne mühelos abrufbarer kognitiver Schemata (vgl. Abschnitt 3.1.4) – und elaborierten internen Repräsentationen, die insbesondere konkrete Situationen und Handlungen enthalten können, her. Als Beispiel werden geübte Autofahrerinnen und Autofahrer gewählt, die etwa bei Kurvenfahrten mühelos auf bestimmte Gegebenheiten reagieren können, obwohl diese zum Teil nicht explizit Teil bestehender Schemata sind. Hier kann davon ausgegangen werden, dass elaborierte Schemata, die auf Situationen und motorischen Aktivitäten beruhen, adaptiv auf ähnliche Situationen angepasst werden können. Darüber hinaus ist es plausibel, die in Abschnitt 3.4 aufgeführten empirischen Belege für eine Überlegenheit passender gegenüber unpassender bildhafter Darstellung zur Entwicklung mentaler Modelle auf sensomotorische Prozesse zu generalisieren. Auch sensomotorische Aktivitäten können in diesem Sinn in bestimmten Situationen als depiktionale Repräsentationen verstanden werden, die in einer analogen Beziehung zu den damit verbundenen Wissensinhalten stehen können. So zeigen unterschiedliche Untersuchungen, dass Menschen in der Regel auf positiv konnotierte Worte schneller reagieren, wenn ihre Antwort in Form einer Bewegung zum eigenen Körper hin, als einer Bewegung vom eigenen Körper weg – und analog für negativ konnotierte Worte umgekehrt – gegeben werden soll (z. B. Barsalou, Niedenthal, Barbey & Ruppert, 2003; Chen & Bargh, 1999; Markman & Brendl, 2005). Diese Ergebnisse können als Indiz zum einen für eine Unterscheidung passender von unpassenden Gesten, zum anderen für eine Überlegenheit passender Gesten gegenüber unpassender Gesten im Sinne der Ausbildung interner Repräsentationen unter Rückgriff auf analoge Strukturen interpretiert werden (vgl. Abschnitt 3.4). Weitere empirische Ergebnisse, die für eine derartige entkoppelte Nutzung von Handlungsschemata sprechen, trägt etwa Barsalou (2008) übersichtlich zusammen. 4.2.1.3 Begriffsklärung und Verortung der Arbeit

Die beiden in den vorhergehenden Abschnitten dargestellten Annahmen können als verträglich mit einer einfachen Form von Embodiment im Sinne von A. Clark (1999) bezeichnet

4.2 Embodied Cognition-Theorie

143

werden. Darüber hinaus erscheinen sie konsistent zu den traditionellen Annahmen eines beschränkten Arbeitsgedächtnisses (vgl. Abschnitt 3.1.3), der Möglichkeit einer Reduzierung von Cognitive Load (vgl. Abschnitt 3.2) sowie einer Überlegenheit passender gegenüber unpassender depiktionaler Darstellungen für die Entwicklung interner Repräsentationen (vgl. Abschnitt 3.4), die als zentrale Resultate des vorhergehenden Kapitels 3 festgestellt wurden. Eine im Sinne dieser beiden Annahmen verstandene Beteiligung des Körpers an der Entwicklung interner Repräsentationen kann daher die Begriffe Embodied Cognition und Embodiment in den bestehenden kognitionspsychologischen Kontext dieser Arbeit einbetten. Auf die Darstellung weiterer und insbesondere radikalerer Formen von Embodied Cognition wird daher an dieser Stelle verzichtet. Eine gute Übersicht über alternative Zugänge und Theorien liefern etwa A. Clark (1999) oder M. Wilson (2002). Begriffsklärung

Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird Embodied Cognition sowie der Begriff Embodiment im Sinne von A. Clark (1999) als einfache Form (en.: simple embodiment) und damit im Einklang mit den traditionellen kognitions- und instruktionspsychologischen Theorien verstanden, die in Kapitel 3 dargestellt wurden. Weiter wird im Sinne von M. Wilson (2002) davon ausgegangen, dass zum einen Menschen dazu in der Lage sind, kognitive Belastung abzuladen – etwa in Form von passenden Gesten oder Fingerbewegungen – und dass darüber hinaus Handlungsschemata rein kognitive Prozesse losgelöst von ihren ursprünglichen sensomotorischen Zwecken unterstützen können. An dieser Stelle ist darauf hinzuweisen, dass die nachfolgend zitierten Autoren den Begriff Embodiment nicht zwingend in der soeben definierten Form gebrauchen, sondern durchaus unterschiedlichen Forschungsrichtungen einer Embodied Cognition-Theorie zuordenbar sind. Ergebnisse der zitierten Studien werden daher bisweilen vor dem Hintergrund der in dieser Arbeit vertretenen Interpretation von Embodiment in einem kognitionspsychologischen Sinn neu beurteilt und die daraus resultierenden Implikationen für die Gestaltung interaktiver Lernumgebungen zum Teil neu bewertet.

4.2.2 Embodiment in digitalen Lernumgebungen Digitale Lernumgebungen können auf verschiedene Arten und Weisen Möglichkeiten für körperliche Beteiligung am Lernprozess bieten. Denkbar sind etwa Eingaben durch Fingerbewegungen auf einem Touchscreen, oder auch die Beteiligung des gesamten Körpers in Augmented Reality-Umgebungen5 . Es ergeben sich damit weitreichend unterschiedliche Möglichkeiten der Umsetzung von Implikationen einer Embodied Cognition-Theorie in interaktiven Lernumgebungen. Daher erscheint es plausibel, zwischen unterschiedlichen 5 Im Gegensatz zu virtuellen

Umgebungen, in denen Nutzer eine vollständig synthetische Welt ohne jegliche realen Bezüge wahrnehmen, werden in Augmented Reality-Umgebungen künstliche Inhalte in die reale Lebenswelt integriert. Während in virtuellen Umgebungen die Realität ersetzt wird, wird sie in Augmented Reality-Umgebungen lediglich um bestimmte Objekte ergänzt (Azuma, 1997).

144

4 Interaktive Unterrichtsmedien

Arten körperlicher Beteiligung innerhalb verschiedener Anwendungen zu unterscheiden. Als Grundlage dafür kann etwa die von Johnson-Glenberg et al. (2014) vorgeschlagene Taxonomie für den Grad an Embodiment in digitalen Lernumgebungen dienen, in der die folgenden drei Dimensionen betrachtet werden: 1. Motorische Beteiligung: Die erste Dimension beschreibt, in wie fern unterschiedliche Teile des Körpers motorisch am Lernprozess teilhaben können (en.: motoric engagement). Die vorgeschlagene Skala reicht von einer ortsgebundenen Eingabe von Informationen über zusätzliche Hardware (z. B. Tastatur und Maus) hin zu einer Beteiligung des gesamten Körpers nahezu ohne räumliche Begrenzung. 2. Passung der Gesten: Die zweite Dimension kategorisiert, in wie fern die verwendeten Gesten und Handlungen semantisch zu den damit verbundenen Resultaten innerhalb der digitalen Anwendung passen (en.: gestural congruency mapping). Zur Unterscheidung zwischen passenden und unpassenden Gesten kann an dieser Stelle das Beispiel des gleichmäßigen Verteilens von Schokolade an vier Kinder dienen. Diese Handlung kann in interaktiven Lernumgebungen selbst bei ähnlicher multimedialer Aufbereitung – etwa eine Darstellung der vier Personen durch typische Verpackungen von Schokoriegeln, auf denen Schokoladenstücke entsprechend platziert werden müssen (vgl. Abbildung 2.3) – auf unterschiedliche Art und Weise implementiert werden. So kann in einem Computerprogramm auf eine Maus zurückgegriffen werden, durch deren Bewegung sich die Position eines Cursors auf einem Bildschirm verändert und etwa das Drücken und gedrückt Halten der Maustaste zur Aktivierung eines Schokoladenstückes führen kann, das anschließend durch die Bewegung der Maus auf dem Bildschirm verschoben werden kann. Im Gegensatz dazu ist das Verschieben eines Schokoladenstückes auf einem Tablet-PC mit Touchscreen durch die Berührung des dargestellten Stückes mit nachfolgender Fingerbewegung über den Touchscreen denkbar. In diesem Fall erscheint es plausibel, die erste Implementierung als vergleichsweise unpassend zur simulierten Handlung – also dem tatsächlichen enaktiven Verteilen echter Schokoladenstücke an reale Personen – in dem Sinn zu bezeichnen, dass weder die Gesten (hier: das Drücken und gedrückt Halten einer Taste), noch die Visumotorik (hier: die Augen folgen dem Cursor auf dem Bildschirm, nicht der Hand auf der Maus) Ähnlichkeiten mit der simulierten Handlung aufweisen. Im Gegensatz dazu erscheint die zweite Implementierungsmöglichkeit vergleichsweise passender: Zwar muss das simulierte Schokoladenstück nicht gegriffen, jedoch mit dem Finger tatsächlich berührt werden. Weiter kann die Blickbewegung sowohl der eigenen Hand als auch gleichzeitig dem Schokoladenstück auf dem Touchscreen folgen. 3. Grad der Immersion: Es wird angenommen, dass verschiedene Personen identische interaktive Lernumgebungen und -szenarien als unterschiedlich immersiv wahrnehmen können (en.: perception of immersion). Dennoch schlagen Johnson-Glenberg et al. (2014) eine Kategorisierung digitaler Anwendungen nach ihrer prinzipiellen Möglichkeit der

4.2 Embodied Cognition-Theorie

145

Erzeugung immersiver Lernerlebnisse vor. Die Autorinnen und Autoren gehen davon aus, dass Computer, Smartphones und Tablet-PCs aufgrund der kleinen Bildschirmgrößen ein vergleichsweise geringes Potential für Immersion bieten. Demgegenüber stehen Smartboards mit eher großen Touchscreens und Augmented Reality-Umgebungen. Darüber hinaus gehen die Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler davon aus, dass greifbare Objekte (en.: tangible manipulatives) den Grad einer wahrgenommenen Immersion neben der Bildschirmgröße weiter erhöhen können. Die von Johnson-Glenberg et al. (2014) vorgeschlagenen Taxonomie ist in Tabelle 4.1 dargestellt. In der vorliegenden Form sind die drei Dimensionen jeweils vierfach gestuft. Dabei stellt Grad 1 das niedrigste Maß und Grad 4 das höchste Maß an Embodiment in den jeweiligen Dimensionen dar. Die Tabelle enthält darüber hinaus typische Hardware, die mit den jeweiligen Graden assoziiert werden können. Tabelle 4.1 Taxonomie für den Grad an Embodiment in digitalen Lernumgebungen (nach Johnson-Glenberg, Birchfield, Tolentino & Koziupa, 2014, S. 89-91). Dimension

Grad 1

Grad 2

Typische Hardware

Kleiner Bildschirm, beobachtend

Kleiner Bildschirm, interaktiv

Motorische Beteiligung

ortsgebunden

Passung der Gesten

keine Verwendung passender Gesten

Grad der Immersion

keine Interaktivität, keine wahrgenommene Immersion

Grad 3

Grad 4

Großer Bildschirm oder Interface zur Messung von Bewegungen ortsgebunden volle Beteiligung des Körpers möglich, aber üblicherweise an einem Ort Verwendung passen- Verwendung pasder Gesten möglich sender Gesten notwendig

Augmented Reality mit Bewegungssensorik

hohes Maß an Interaktivität, durch Bildschirmgröße bedingt geringe Immersion

immersives Erlebnis sehr wahrscheinlich

immersives Erlebnis möglich

umfassende Bewegungen des gesamten Körpers Verwendung passender Gesten mit greifbaren Objekten

Es ist darauf hinzuweisen, dass diese Taxonomie zunächst zur Beschreibung und Charakterisierung interaktiver Lernumgebungen genutzt werden kann. Mit ihr geht nur eine tendenzielle Bewertung einher, ob spezielle digitale Anwendungen vor dem Hintergrund einer Embodied Cognition-Theorie als gewinnbringend eingeschätzt werden können. Jedoch erscheinen zunächst lediglich für die Dimension der Passung von Gesten empirische Ergebnisse, die die Annahme einer Überlegenheit passender gegenüber unpassender Gesten plausibel erscheinen lassen, verlässlich (vgl. Abschnitt 4.2.1). Eher fraglich erscheint, ob sich allgemeine Aussagen über den Zusammenhang zwischen einer wahrgenommenen

146

4 Interaktive Unterrichtsmedien

Immersion oder einer umfassenden Beteiligung des gesamten Körpers und dem Lernerfolg vor dem Hintergrund bisheriger empirischer Untersuchungen formulieren lassen. Dennoch bildet die in Tabelle 4.1 dargestellte Taxonomie eine Grundlage dafür, interaktive Lernumgebungen im weiten Forschungsgebiet einer Embodied Cognition-Theorie zu verorten und so den Begriff Embodiment für konkrete digitale Anwendungen zu spezifizieren.

4.2.3 Wirksamkeit von Embodiment im Mathematikunterricht In diesem Abschnitt werden neben den bisher dargestellten Forschungsergebnissen zur Begründung der Embodied Cognition-Theorie weitere Ergebnisse präsentiert, die für die Verwendung digitaler Unterrichtsmedien im Mathematikunterricht sprechen. Dabei werden insbesondere Studien berücksichtigt, in denen die Kommunikation zwischen den Schülerinnen und Schülern sowie den interaktiven Anwendungen durch weitgehend passende Gesten erfolgt. So konnten etwa Black et al. (2012) in einer Studie mit Schülerinnen und Schülern der ersten und zweiten Jahrgangsstufe zeigen, dass sich eine Verwendung passender Gesten beim Lösen von Additionsaufgaben positiv auswirken kann. Schülerinnen und Schüler, die die Aufgaben auf dem Touchscreen eines iPads gelöst haben, erzielten bessere Ergebnisse als Schülerinnen und Schüler, die die selben Aufgaben in einer ähnlich programmierten Lernumgebung auf Computern gelöst haben. Dabei mussten die Ergebnisse in ikonischer Form – als die korrekte Anzahl farbig markierter Blöcke – angegeben werden. Auf dem iPad geschah die Eingabe durch Antippen der Blöcke, auf dem Computer mussten diese mit Hilfe einer Maus angeklickt werden. Black et al. (2012) interpretieren die Überlegenheit der Lernumgebung auf einem Touchscreen-Gerät durch die in den vorhergehenden Abschnitten erläuterte Passung von Gesten. Das Markieren auf dem iPad mittels Fingerbewegungen scheint die der kognitiven Aufgabe der Addition passendere konkrete Handlung zu sein, als die weitgehend künstliche Eingabe über eine Maus, was zu besseren Ergebnissen in den Additionsaufgaben führen kann. In einer ähnlichen Studie6 mit Schülerinnen und Schülern der ersten und zweiten Jahrgangsstufe, bei der das Markieren von Zahlen auf einem Zahlenstrahl untersucht wurde, konnte Segal (2011) feststellen, dass eine Passung der verwendeten Gesten (hier: das Ziehen eines Balkens von der Null an bis zur gewünschten Position als passend gegenüber einem einfachen Tippen auf die gewünschte Position als unpassend interpretierten Eingabe) zu besseren Ergebnissen führte. Darüber hinaus konnte gezeigt werden, dass Kinder die Aufgaben zudem schneller korrekt gelöst haben, wenn die Eingabe durch passende Gesten erfolgte. Dieses letzte Ergebnis zeigte sich sowohl für die Eingabe auf dem iPad mittels Fingerbewegungen als auch auf dem Computer mittels einer Maus (Segal, 2011). Gerade auch dieses zweite Ergebnis einer schnelleren Bearbeitung von Aufgaben, wenn passende statt unpassende Gesten zur Eingabe verwendet werden können, erscheint konsis6 Aus den beiden zitierten Veröffentlichungen geht nicht eindeutig hervor, ob es sich bei den beiden Unter-

suchungen um ähnliche Stichproben, oder um ein und die selbe Studie handelt (vgl. Black et al., 2012; Segal, 2011).

4.3 Adaptivität

147

tent mit den in Abschnitt 4.2.1 getroffenen Annahmen einer Embodied Cognition-Theorie. Geht man davon aus, dass die konkrete Verwendung von Gesten zum einen die kognitive Belastung reduzieren kann und zum anderen passende Gesten implizit interne Repräsentationen durch analoge Strukturen aktivieren können, so erscheint es plausibel, dass Lösungsprozesse, die auf derartige Gesten zurückgreifen, nicht nur häufiger zu korrekten Antworten führen können, sondern darüber hinaus auch kürzere Arbeitszeiten in Anspruch nehmen können. Ein ähnlicher Effekt einer geringeren Arbeitszeit konnte auch in einer Studie mit Schülerinnen und Schülern einer Highschool gezeigt werden. Dabei arbeiteten die Jugendlichen mit einer Lernumgebung, bei der die Lösung algebraischer Gleichungssysteme eingeübt werden sollte. Während eine Gruppe von Schülerinnen und Schülern ihre Antworten in einem Textfeld über eine Computertastatur eingeben musste, konnte die zweite Gruppe ihre Antworten mit Hilfe eines elektronischen Stiftes (en.: stylus) handschriftlich in ein dafür vorgesehenes Feld eingeben. Es zeigten sich keine signifikanten Unterschiede zwischen den Leistungen der beiden Gruppen in einem Prä- und einem Posttest, allerdings benötigten die Schülerinnen und Schüler der Stylus-Gruppe erheblich weniger Zeit für die gesamte Übungssequenz. Dieses Ergebnis – vergleichsweise identische Leistung bei etwa nur der Hälfte der aufgewendeten Lernzeit – kann als Indiz für einen effektiveren Lernprozess durch die Verwendung handschriftlicher Eingaben an Stelle von Eingaben mittels einer Tastatur interpretiert werden (Anthony, Yang & Koedinger, 2007). Die dargestellten Untersuchungen zur Wirksamkeit passender Gesten und handschriftlicher Eingabe von Ergebnissen in digitalen Lernumgebungen können als Schritt in Richtung einer konkreten Umsetzung einer kognitiv-motivierten Embodied Cognition-Theorie im Mathematikunterricht bezeichnet werden. Hierzu geben etwa Tran et al. (2017) einen Überblick über mögliche Forschungsschwerpunkte, die in diesem relativ jungen Forschungsgebiet in den nächsten Jahren denkbar erscheinen.

4.3 Adaptivität Der professionelle Umgang mit Heterogenität innerhalb einer Klasse, in dem Sinne, Schülerinnen und Schüler unterschiedlicher Leistungsniveaus gleichermaßen zu fördern, kann als „wesentliche Herausforderung für einen erfolgreichen Unterricht“ (Reiss & Hammer, 2013, S. 97) bezeichnet werden. Für diesen Zweck erscheinen Aufgabenformate, die sich an individuelle Unterschiede der Lernenden anpassen können, gewinnbringend. Derartige Anpassungen können auf unterschiedliche Art und Weise geschehen, etwa durch die Implementierung geeigneter Strukturen in digitalen Lernumgebungen. Dabei ist zwischen adaptierbaren und adaptiven Systemen zu unterscheiden (Leutner, 2002): 1. Adaptierbarkeit: Adaptierbare Lernumgebungen7 lassen eine Steuerung der Lerninhalte (z. B. das Schwierigkeitsniveau oder die Auswahl von Aufgabentypen) und damit 7 Nach Cronbach (1967; zitiert nach Leutner, 2002, S. 119-121) wird Adaption im Sinne einer hier dargestellten

Adaptierbarkeit auch als Makro-Adaption, bzw. im Sinne von Adaptivität als Mikro-Adaption bezeichnet.

148

4 Interaktive Unterrichtsmedien

die Anpassung des Systems an die Lernende oder den Lernenden durch die Eingabe spezifischer Parameter zu. Denkbar sind etwa Fragen nach dem Alter, der besuchten Klassenstufe oder der Einschätzung der eigenen Fähigkeiten im Fach Mathematik zu Beginn einer Lernsituation, die Einfluss auf Aufgabenwahl, Schwierigkeit oder auch Anzahl der präsentierten Aufgaben haben können. Als Einschränkung adaptierbarer Lernumgebungen kann insbesondere die Tatsache bezeichnet werden, dass Ergebnisse der Schülerinnen und Schüler während des Arbeitens mit der Software keinen Einfluss auf die weiteren Lehrmaßnahmen innerhalb des Systems haben. Daher findet in adaptierbaren Systemen keine Anpassung an individuelle Lernvoraussetzungen im eigentlichen Sinn statt (Leutner, 1992). 2. Adaptivität: Adaptive Lernumgebungen7 sind so gestaltet, dass sie selbstständig auf veränderte Bedingungen der Lernenden (z. B. sinkende Lösungsraten) reagieren können und entsprechende Anpassungen (z. B. geringere Aufgabenschwierigkeit) vornehmen können. Im Gegensatz zu adaptierbaren Systemen wird die zu Beginn des LehrLernprozesses vorgenommene Anpassung der Lernumgebung in kurzen Zeitabständen und andauernd überprüft und aktualisiert (Leutner, 2002). Zur Regulierung sind Personenparameter notwendig, die zum einen als über den Zeitraum des Lernprozesses veränderlich angenommen werden und sich zum anderen in kurzen Zeitabständen wiederholt messen lassen (Leutner, 1992). Es erscheint plausibel anzunehmen, dass etwaige Vorteile, die sich durch eine Anpassung interaktiver Lernumgebungen an individuelle Unterschiede der Lernenden im Bezug auf Lernzuwachs oder Motivation ergeben können, bei adaptiven Systemen einen größeren Einfluss haben können, als bei adaptierbaren Systemen. Begriffsklärung

Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird Adaption stets im Sinne einer Adaptivität, bzw. Mikro-Adaption nach Leutner (2002) verstanden, bei der insbesondere die Eingaben von Schülerinnen und Schülern während des Arbeitens mit einer interaktiven Lernumgebung (z. B. falsche oder richtige Antworten) automatisiert zu Veränderungen der Parameter dieser Lernumgebung (z. B. Veränderung des Schwierigkeitsgrades) führen können. In diesem Abschnitt wird ein in dieser Art definierter Begriff von Adaptivität zunächst in den Kontext der in Kapitel 3 vorgestellten kognitionspsychologischen Theorien eingebettet. Im Anschluss daran werden Möglichkeiten adaptiver Inhalte in digitalen Lernumgebungen vorgestellt und vor dem Hintergrund empirischer Erkenntnisse diskutiert. Der Abschnitt schließt mit einer Diskussion exemplarisch ausgewählter Studien zur Wirksamkeit von adaptiven Systemen im Mathematikunterricht.

4.3.1 Adaptivität und kognitive Belastung In Abschnitt 3.2.1 wurden neben der Elementinteraktivität eines Lerngegenstandes auch individuelle Voraussetzungen – allen voran das Vorwissen der Lernenden – als Einflussfakto-

4.3 Adaptivität

149

ren für intrinsische kognitive Belastung dargestellt. Diese werden als weitgehend konstante Formen kognitiver Belastung angesehen, die sich insbesondere nicht durch eine Veränderung der Präsentation des Lerngegenstandes verringern lassen (vgl. Abschnitt 3.2.1). Jedoch wurden ebenso Effekte der Cognitive Load-Theorie identifiziert, die nahelegen, dass insbesondere das bereits angesprochene Vorwissen der Lernenden einen regulatorischen Einfluss auf das Maß intrinsischer kognitiver Belastung haben kann. Hier stellen etwa der Expertise Reversal-Effekt sowie der Guidance Fading-Effekt (vgl. Abschnitt 3.2.2) Erkenntnisse dar, die dafür sprechen, dass die kognitive Belastung bei ein und derselben Aufgabe durch individuelle Unterschiede beeinflusst werden kann. Es erscheint plausibel anzunehmen, dass adaptive Lernumgebungen hier einen gewinnbringenden Ansatz darstellen können, insbesondere die intrinsische kognitive Belastung komplexer Lerngegenstände für einzelne Schülerinnen und Schüler zu reduzieren. So erbrachten etwa Schülerinnen und Schüler der neunten und zehnten Jahrgangsstufe bessere Ergebnisse in einem Geometrietest, nachdem sie mit einer adaptiven Lernumgebung in Form eines intelligenten Tutorensystems gearbeitet hatten, als die Schülerinnen und Schüler, deren Lernumgebung den Schwierigkeitsgrad konstant gehalten oder global erhöht hatte (Salden et al., 2009) – wie an anderer Stelle in dieser Arbeit bereits ausgeführt wurde (vgl. Abschnitt 3.2.2.7). Dieses Resultat kann derart interpretiert werden, dass eine adaptive Anpassung des Schwierigkeitsgrades in interaktiven Lernumgebungen individuell unterschiedlichen Lernvoraussetzungen von Schülerinnen und Schülern gerecht werden kann und damit positiven Einfluss auf die Leistung einer Lerngruppe haben kann. Es kann damit die zu Beginn des Abschnittes zitierte Forderung nach einem professionellen Umgang mit Heterogenität im Mathematikunterricht unterstreichen und zugleich einen Ansatz dafür liefern, wie eine solche Auseinandersetzung unter Verwendung digitaler Unterrichtsmedien auch für große Klassengrößen erfolgreich umgesetzt werden kann. Die nachfolgend zitierte Studie zeigt, dass sich dieser Ansatz nicht nur in der Schule, sondern auch in der Erwachsenenbildung als wirksam erweisen kann. So erwies sich in einer Studie mit Studienanfängerinnen und Studienanfängern der Ingenieurwissenschaften eine adaptive Lernumgebung als vorteilhafter zum Erlernen der Funktionsweise elektrischer Schaltungen. Studierende, die mit einer interaktiven Lernumgebung gearbeitet haben, welche ihnen notwendige Lösungsschritte und Hinweise angepasst an ihre vorhergehenden Leistungen zur Verfügung gestellt hat, erzielten bessere Ergebnisse in einem Posttest, als Studierende, die mit vollständigen oder unvollständigen Lösungsbeispielen gearbeitet haben (Moreno, Reisslein & Delgoda, 2006). Der Effekt zeigte sich insbesondere stärker bei Aufgaben, die über eine reine Reproduktion der Wissensinhalte der Intervention hinaus gingen, was dafür sprechen kann, dass die Studierenden durch die adaptive Lernumgebung ein größeres Verständnis nicht nur für die spezifischen Lösungsprozesse, sondern für die Probleme an sich erworben haben (Moreno et al., 2006). Diese Punkte erscheinen auch für den in dieser Arbeit untersuchten Lerngegenstand eines Bruchzahlbegriffes relevant. Ziel ist die Ausbildung eines fundierten Wissens über drei Konzepte von Bruchzahlen (vgl. Abschnitt 2.3), das Schülerinnen und Schüler unter anderem dazu befähigen soll, Fehlern aufgrund eines Natural Number Bias elaboriert ent-

150

4 Interaktive Unterrichtsmedien

gegenwirken zu können. Vor dem Hintergrund der Conceptual Change-Theorie, in der man davon ausgeht, dass Kinder und Jugendliche bestehende Konzepte insbesondere dann gegen komplexe und neu zu erlernende Konzepte austauschen können, wenn diese verständlich, glaubwürdig und direkt einsetzbar sind (vgl. Abschnitt 1.2.2), erscheinen in diesem Zusammenhang adaptive Aufgabenschwierigkeiten vielversprechend. Es ist denkbar, dass eine Verständlichkeit und eine wahrgenommene Einsetzbarkeit der neu zu erlernenden Konzepte durch eine zu hohe Aufgabenschwierigkeit kontrastiert sein kann. Weiter erscheint es plausibel, dass eine zu niedrige Aufgabenschwierigkeit die Akquise der Konzepte von Bruchzahlen als nicht notwendig erscheinen lassen kann, etwa wenn sich einfache Aufgaben auch ohne diese Konzepte lösen lassen. In beiden Fällen können adaptive Lernumgebungen genutzt werden, um das Aufgabenniveau an die individuellen Voraussetzungen der Schülerinnen und Schüler anzupassen und flexibel zu verändern.

4.3.2 Adaptivität in digitalen Lernumgebungen Adaptive Anpassungen in interaktiven Lernumgebungen geschehen automatisiert (Leutner, 2002). Dabei sind unterschiedliche Ansätze zur Diagnose der individuellen Fertigkeiten der Schülerinnen und Schüler, bzw. der zu einem bestimmten Zeitpunkt vorhandenen kognitiven Belastung denkbar. Nachfolgend werden zunächst mögliche Verfahren zur Einschätzung des individuellen Leistungsniveaus der Schülerinnen und Schüler dargestellt sowie unterschiedliche Zielsetzung adaptiver Förderung unterschieden. Der Abschnitt schließt mit einer Betrachtung der Adaption der Aufgabenschwierigkeit als gängige Implementierungen in interaktiven Lernumgebungen. 4.3.2.1 Maße für individuelle Unterschiede

Als weitgehend zuverlässiges und einfach zu realisierendes Verfahren ist das Erreichen bestimmter Kompetenzstufen durch das Lösen spezifischer Aufgaben (z. B. Kashihara & Oppermann, 2000) zu nennen. Hierbei liegt die Annahme zugrunde, dass Schülerinnen und Schüler mit einer höheren Leistungsfähigkeit Aufgaben mit einer höheren Wahrscheinlichkeit korrekt lösen, als Kinder mit geringerer Leistungsfähigkeit. Dies macht die Lösungsrate, bzw. das Bewältigen oder Scheitern an spezifischen Items, als Grundlage für adaptive Anpassungen plausibel. Hier sind unterschiedliche Variationen denkbar – etwa ob das falsche Lösen von Aufgaben die zugeordnete Kompetenz verringert oder nicht. Neben dieser als traditionell zu bezeichnenden Art der Einschätzung von Schülerinnen und Schülern greifen adaptive Lernumgebungen bisweilen auf andere Maße zurück. Hier sind etwa die Veränderung der Pupillengröße oder die Lesegeschwindigkeit beim Lesen von Texten (z. B. Schultheis & Jameson, 2004) oder auch die Interaktion der Lernenden mit Spielfiguren in dafür konzipierten Lernspielen (z. B. Kickmeier-Rust & Albert, 2010) Optionen, die Grundlage von Untersuchungen darstellen. Es ist jedoch anzumerken, dass diese Umsetzungen zum einen erheblich aufwendiger zu realisieren sind, zum anderen eher geeignet sind die vorherrschende kognitive Belastung als die Kompetenz eines Lernenden

4.3 Adaptivität

151

abzubilden und darüber hinaus zumindest die Pupillengröße als nicht vollständig verlässlich bezeichnet werden muss (Schultheis & Jameson, 2004). 4.3.2.2 Art der Zielsetzung

Neben verschiedenen Maßen für individuelle Unterschiede können sich adaptive Systeme weiter in der mit ihrem Einsatz verbundenen Zielsetzung unterscheiden. Hierbei können die folgenden drei Modelle die Grundlage für adaptive Lernumgebungen darstellen (Salomon, 1972): 1. Fördermodell: Bei streng hierarchisch strukturierten Lerngegenständen kann davon ausgegangen werden, dass spezifische Inhalte nur dann gelernt und verstanden werden können, wenn das dafür notwendige Vorwissen vorhanden ist. Ein Ansatz adaptiver Förderung ist, in diesem Zusammenhang etwaige individuell vorhandene Wissenslücken zu identifizieren und sie durch zusätzliche Lehrmaßnahmen zu schließen (en.: remedial approach), um notwendige Lernvoraussetzungen für die eigentlichen Inhalte zu schaffen (Leutner, 2002). 2. Kompensationsmodell: Erscheint ein Förderansatz aus unterschiedlichen Gründen in der für die individuelle Förderung zur Verfügung stehenden Zeit nicht realisierbar, etwa weil sich die Vorwissenslücken als zu groß erweisen oder Lernende eine zu geringe Motivation für eine umfassende Aufarbeitung ihrer Defizite aufweisen, so sind kompensatorische (en.: compensatory model) Maßnahmen denkbar (Leutner, 2002). In diesem Modell wird davon ausgegangen, dass zum Erlernen notwendiges Vorwissen durch geeignete Hilfestellungen substituiert werden kann und der Lerngegenstand erfolgreich gelernt werden kann, obwohl vorhandene Vorwissenslücken bestehen bleiben (Salomon, 1972). Insbesondere unterscheiden sich das Fördermodell und das Kompensationsmodell dahingehend, dass im ersten Modell angenommen wird, dass die Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler bezüglich des Vorwissens während des Erlernens des eigentlichen Lerngegenstandes zunehmen kann, während man im zweiten Modell davon ausgeht, dass sich das Vorwissen nicht verändert. 3. Präferenzmodell: Lassen sich spezifische Lernvoraussetzungen einzelner Schülerinnen und Schüler erkennen, die für das Erlernen eines Lerngegenstandes besonders geeignet erscheinen, so können diese individuell ausgewählt und in eine Lernumgebung integriert werden (en.: preferential model). Hier erscheinen neben Präferenzen für unterschiedliche Arten der Informationsverarbeitung – visuell oder auditiv (Salomon, 1972), bzw. deskriptiv oder depiktional – vor dem Hintergrund des in dieser Arbeit untersuchten Lerngegenstandes auch Präferenzen für verschiedene Darstellungen von Brüchen denkbar. Während die ersten beiden Ansätze als defizit-orientiert bezeichnet werden können, orientiert sich der Präferenzansatz nicht an Wissenslücken, sondern an bestimmten vorhandenen Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler.

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4 Interaktive Unterrichtsmedien

Es ist anzumerken, dass für die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs im Sinne komplexer und mehrschichtiger Konzepte, die insbesondere aufeinander aufbauen und weitreichende Überschneidungen aufweisen (vgl. Abschnitt 2.3), eine adaptive Lernumgebung im Sinne des Kompensationsmodells eher ungeeignet erscheint, um tragfähige Konzepte im Sinne der Conceptual Change-Theorie langfristig zu vermitteln. Vielmehr ist es plausibel anzunehmen, dass sich eine adaptive Förderung zur Schließung von Vorwissenslücken sowie ein Rückgriff auf von den Schülerinnen und Schülern individuell präferierte ikonische Darstellungen als gewinnbringend gegenüber traditionellem Unterricht erweisen kann. 4.3.2.3 Adaption der Aufgabenschwierigkeit als mögliche Implementierung

Eine adaptive Förderung kann auf unterschiedliche Art und Weise in digitale Lernumgebungen implementiert werden. Eine Möglichkeit stellt die Adaption der Schwierigkeit von Aufgaben an individuelle Voraussetzungen der Lernenden dar. Sie geht meist einher mit einer Einstufung der Schülerinnen und Schüler anhand ihrer Leistungen in bestimmten Items. Eine übliche Vorgehensweise ist die Zuordnung von Aufgaben zu bestimmten Schwierigkeitsniveaus und die auf eine Schülerantwort folgende Reaktion des Programms. Litchfield, Driscoll und Dempsey (1990) schlagen etwa eine Implementierung vor, die eine Schülerin oder einen Schüler nach der Bewältigung einer Aufgabe eines spezifischen Schwierigkeitsniveaus sofort in das nächst höhere Niveau heben und nach Scheitern an einer Aufgabe in das nächst niedrigere Niveau senken. Dieses Vorgehen erwies sich in einer Studie mit Studierenden des Fachbereiches Biologie als wirksamer gegenüber einem nicht-adaptiven und kontinuierlichen Anstieg des Schwierigkeitsniveaus zum Erlernen der Auswirkungen von Drogenmissbrauch auf den menschlichen Körper. Studierende, die mit der adaptiven Lernumgebung gearbeitet hatten, benötigten weniger Aufgaben und eine geringere Unterrichtszeit, um den selben Wissensstand zu erreichen, wie Studierende, die mit der nicht-adaptiven Version des verwendeten Programmes gearbeitet hatten (Litchfield et al., 1990). Ein ähnliches Ergebnis konnten Sampayo-Vargas, Cope, He und Byrne (2013) für das Erlernen spanischer Substantive zeigen. In der Studie zeigten Siebtklässlerinnen und Siebtklässler, die mit einer adaptiven Version einer Lernumgebung gearbeitet hatten, bessere Behaltensleistungen der neu zu erlernenden Worte, als die Jugendlichen, deren sonst identische Lernumgebung ein konstant ansteigendes Schwierigkeitsniveau aufwies. Für ein derartiges Vorgehen ist es jedoch notwendig entsprechende Kriterien für die Schwierigkeit der zu verwendenden Aufgaben zu finden. Neben empirisch gewonnenen Aufgabenschwierigkeiten etwa in Form von rasch-skalierten Aufgaben (Leutner, 2002), erscheinen für diesen Zweck auch schwierigkeitsgenerierende Merkmale praktikabel. In diesem Zusammenhang kann angenommen werden, dass Aufgaben ein und desselben Typs (z. B. Addition von Brüchen) für Schülerinnen und Schüler in der Regel leichter zu lösen sind, wenn sie weniger Möglichkeiten für typische Schülerfehler bieten oder weniger Schritte zur Lösung notwendig sind (z. B. Addition gleichnamiger gegenüber ungleichnamiger Brüche). Insbesondere lassen sich in diesem Fall Kriterien zur automatisierten Generierung von Aufgaben für ein spezifisches Schwierigkeitsniveau erstellen. Ein derartiges Vorgehen

4.3 Adaptivität

153

erscheint für die Bruchrechnung im Allgemeinen und den Umgang mit Bruchzahlen im Speziellen umsetzbar, da typische Schülerfehler für bestimmte Aufgabentypen als weitgehend erforscht bezeichnet werden können (z. B. Eichelmann et al., 2011) und gerade bei arithmetischen Aufgaben die Anzahl notwendiger Schritte für bestimmte Aufgaben konkret angegeben werden kann. Allerdings zeigt das Ergebnis einer Studie von Ku, Harter, Liu, Thompson und Cheng (2007) mit Jugendlichen, dass ein derartiger positiver Effekt einer adaptiven Aufgabenschwierigkeit im Fachbereich Mathematik durch die Vorkenntnisse der Schülerinnen und Schüler beeinflusst sein kann. So erzielten in der durchgeführten Studie zwar Jugendliche mit geringen Vorkenntnissen dann bessere Ergebnisse, wenn sie mit einer Lernumgebung mit adaptiver Aufgabenschwierigkeit gearbeitet haben. Jedoch zeigte sich bei Schülerinnen und Schülern mit weitreichenden Vorkenntnissen kein Unterschied zwischen den beiden Experimentalgruppen. Dieses Ergebnis kann dergestalt interpretiert werden, dass im Fach Mathematik unter Umständen lediglich leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler von einer Adaption der Aufgabenschwierigkeit profitieren können. Auf die Darstellung weiterer Implementierungsmöglichkeiten wird an dieser Stelle verzichtet. Eine gute Übersicht über andere Arten adaptiver Förderung in interaktiven Lernumgebungen liefert etwa Leutner (2002).

4.3.3 Wirksamkeit adaptiver Systeme im Mathematikunterricht In den bisher in diesem Abschnitt zitierten Studien wurden einzelne Aspekte adaptiver Förderung auf ihre Wirksamkeit untersucht. Im Zuge der Entwicklung digitaler Lernumgebungen erscheinen vor allem solche Lernumgebungen gewinnbringend, deren Adaptionsvermögen umfassenderen Einfluss auf den individuellen Lernprozess von Schülerinnen und Schülern haben kann. In diesem Zusammenhang erweisen sich intelligente Tutorensysteme8 über verschiedene Unterrichtsfächer – insbesondere Mathematik – hinweg als lernförderliche Arten adaptiver digitaler Lernumgebungen (Hillmayr, Reinhold, Ziernwald & Reiss, 2017; Ma, Adesope, Nesbit & Liu, 2014; Steenbergen-Hu & Cooper, 2014). Ein solches intelligentes Tutorensystem untersuchten etwa Arroyo et al. (2014) im Fach Mathematik über mehrere Jahre hinweg in siebten und achten Klassen. Das Programm greift auf einen virtuellen Tutor zurück, der Schülerinnen und Schüler bei der Lösung von Problemlöseaufgaben unterstützen kann. Dafür stehen Hinweise – etwa das Markieren spezifischer für die Lösung des Problems notwendiger Informationen in einem Text oder das Zeichnen von ikonischen Darstellungen zur Illustration abstrakter mathematischer Begriffe – und Lösungsbeispiele zur Verfügung, die audiovisuell dargeboten werden können. Es kann daher davon ausgegangen werden, dass die Implikationen der in Kapitel 3 8 Unter

intelligenten Tutorensystemen versteht man digitale Lernumgebungen, in denen der Computer an bestimmten Stellen die Rolle der Lehrkraft übernimmt. Meist werden Lerninhalte dabei in kleinen Wissenseinheiten dargeboten. Intelligente Tutorensysteme arbeiten insbesondere adaptiv im Bezug etwa auf die Aufgabenschwierigkeit, das Lerntempo oder individuelle Rückmeldungen auf Schülerlösungen (Kerres & Nattland, 2009).

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4 Interaktive Unterrichtsmedien

aufgeführten Theorien zur Gestaltung multimedialer Lernumgebungen in diesem exemplarisch dargestellten intelligenten Tutorensystem geeignet umgesetzt wurden. Die Ergebnisse zeigen einen über die verschiedenen Jahre hinweg weitgehend gleichbleibenden Trend, der darauf schließen lässt, dass Schülerinnen und Schüler von der Nutzung des Programmes profitieren können. So zeigten die Lernenden, die mit dem Tutorensystem gearbeitet hatten, nicht nur bessere Ergebnisse in standardisierten Tests, sondern auch eine höhere Lernbereitschaft als Schülerinnen und Schüler derselben Schulen, die während des Schuljahres keinen Zugang zum Tutorensystem hatten (Arroyo et al., 2014). Die Ergebnisse der soeben zitierten Studie können als exemplarisch für bisher durchgeführte Untersuchungen zur Wirksamkeit von intelligenten Tutorensystemen bezeichnet werden, was durch die Ergebnisse dreier Metaanalysen hervorgehoben werden kann. So konnte in einer Metaanalyse zur Wirksamkeit von digitalen Unterrichtsmedien im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht in der Sekundarstufe mit 80 Einzeluntersuchungen festgestellt werden, dass von allen untersuchten interaktiven Lernumgebungen intelligente Tutorensysteme den stärksten positiven Einfluss auf die Leistung der Schülerinnen und Schüler hatten (Hillmayr et al., 2017). Darüber hinaus konnte in einer zweiten Metaanalyse zum Einfluss von intelligenten Tutorensystemen auf die Lernleistung von Schülerinnen und Schülern mit 107 Einzelstudien gezeigt werden, dass insbesondere im Fach Mathematik ein positiver Effekt durch adaptive Lernumgebungen erwartet werden kann (Ma et al., 2014). Zudem konnte in einer dritten Metaanalyse mit 39 Einzelstudien zur Effektivität intelligenter Tutorensysteme gezeigt werden, dass dieser positive Einfluss in den zugrunde liegenden Studien sowohl gegenüber traditionellem Unterricht als auch gegenüber Unterricht mit nicht-adaptiven Computerprogrammen bestand (Steenbergen-Hu & Cooper, 2014). Diese empirischen Ergebnisse können dahingehend interpretiert werden, dass adaptive Systeme innerhalb digitaler Lernumgebungen im Fach Mathematik gewinnbringend eingesetzt werden können, um Schülerinnen und Schüler individuell zu fördern.

4.4 Feedback Neben der soeben dargestellten Adaption der Aufgabenschwierigkeit an das individuelle Leistungsniveau der Schülerinnen und Schüler geben intelligente Tutorensystem meist auch differenziertes und auf die konkreten Antworten der Lernenden bezogenes Feedback. Derartige Rückmeldungen – allgemein zum Lernfortschritt oder speziell zur Lösung einzelner Aufgaben – stellen eine weitere Möglichkeit dar, individuellen Unterschieden in einer heterogenen Lerngruppe gerecht zu werden. Unter einem solchen Feedback versteht man die Darbietung von Informationen durch eine weitere Person oder eine digitale Lernumgebung, die sich auf Aspekte der Leistung oder des Verständnisses einzelner Personen beziehen (Hattie & Timperley, 2007)9 : 9 In

dieser Arbeit wird der Begriff Feedback ausschließlich als externes Feedback im Sinne der an dieser Stelle genannten Definition von Hattie und Timperley (2007, S. 81) verstanden, das für die Entwicklung

4.4 Feedback

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Feedback is conceptualized as information provided by an agent (e.g., teacher, peer, book, parent, self, experience [or computer program]) regarding aspects of one’s performance or understanding. ... Feedback thus is a “consequence” of performance. (S. 81) In diesem Abschnitt wird zunächst der in der Literatur sehr unterschiedliche Begriff Feedback spezifiziert und anschließend eingeschränkt sowie damit in den bestehenden Kontext der in Kapitel 3 dargestellten Kognitionspsychologie eingebettet. Im Anschluss daran werden unterschiedliche Funktionen, die mit gezieltem Feedback verfolgt werden können, erläutert und ihre Umsetzbarkeit in digitalen Lernumgebungen diskutiert. Da insbesondere auch empirische Ergebnisse zu Feedback als weitreichend heterogen bezeichnet werden können und sich zum Teil erheblich widersprechen (Hattie & Timperley, 2007; siehe auch Butler & Winne, 1995; Kulhavy & Stock, 1989), erscheint es plausibel, zuletzt empirische Belege für die Wirksamkeit von Feedback nicht anhand von Einzelstudien aufzuzeigen, sondern auf die Ergebnisse von Metaanalysen zurückzugreifen. Dadurch können in diesem heterogenen Forschungsfeld verlässlichere Ergebnisse erwartet werden, als auf der Grundlage einzelner und exemplarisch ausgewählter Studien. Darüber hinaus lassen sich durch die Betrachtung von Metastudien insbesondere Kriterien und Einflussfaktoren für einen gewinnbringenden Einsatz von Feedback im Unterricht finden, die als Implikationen für die Implementierung von Rückmeldungen zu Schülerleistungen in interaktiven Lernumgebungen betrachtet werden können.

4.4.1 Feedback und kognitive Belastung Rückmeldungen auf Schülerleistungen können auf unterschiedliche Aspekte der Äußerungen von Schülerinnen und Schülern eingehen. In diesem Abschnitt werden zunächst vier typische Arten von Feedback voneinander abgegrenzt und im Anschluss geklärt, wie der Begriff Feedback in dieser Arbeit verstanden wird. Dieser Begriff wird daraufhin im den bestehenden kognitionspsychologischen Kontext verortet und insbesondere im Rahmen der Cognitive Load-Theorie diskutiert. 4.4.1.1 Arten von Feedback

Auf der Basis der von Hattie (2009) veröffentlichten Second Order-Metaanalyse10 konnten Hattie und Timperley (2007) insgesamt 74 Metaanalysen identifiziert werden, die sich bis interaktiver Lernumgebungen bedeutsam erscheint. Im Gegensatz dazu wird der Begriff in der Literatur zum Teil auch für internes Feedback – also Rückmeldungen zum Lernprozess, den sich Schülerinnen und Schüler individuell selbst geben – verwendet. Einen guten Überblick über die Theorie zu internem Feedback liefern etwa Butler und Winne (1995). 10 Es ist anzumerken, dass die von John Hattie durchgeführte Analyse, bei der die Ergebnisse von verschiedenen Metaanalysen zusammengefasst wurden (en.: second order meta-analysis), nicht ohne Kritik ist. Insbesondere wird das statistische Vorgehen, etwa die Verrechnung unterschiedlicher Werte von Cohens d, kritisiert (z. B. Bergeron, 2017). Trotz dieser methodischen Kritik stellt die von Hattie (2009) durchgeführte Second Order-Metaanalyse heute eine der umfassendsten Analysen zum Thema Unterricht dar,

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4 Interaktive Unterrichtsmedien

zu diesem Zeitpunkt mit Feedback in Unterrichtssituationen beschäftigt haben. Die betrachteten Studien operationalisieren Feedback dabei unterschiedlich und lassen sich jeweils in eine der folgenden vier unterschiedlichen Kategorien einordnen (Hattie & Timperley, 2007): 1. Feedback zur Lösung einer Aufgabe: Rückmeldungen von Lehrkräften, Mitschülerinnen und Mitschülern oder auch Computerprogrammen können sich auf die Lösung einer Aufgabe (en.: about the task) beziehen. Derartiges Feedback kann Informationen darüber enthalten, ob eine Aufgabe richtig oder falsch gelöst wurde oder in wie fern eine Lösung als vollständig bezeichnet werden kann (Hattie & Timperley, 2007). Da diese Art der Rückmeldung ergebnisbezogen geäußert wird, kann sie auch als korrigierendes Feedback (en.: corrective feedback) bezeichnet werden (Moreno, 2004; Moreno, Reisslein & Ozogul, 2009). Solches Feedback erfolgt meist kurz und prägnant. Es wird angenommen, dass diese Rückmeldungen insbesondere zu falschen Lösungen von Aufgaben dann bessere Wirkungen erzielen können, wenn konkrete Fehlvorstellungen von Schülerinnen und Schülern zu Fehlern führen, als wenn diese aus mangelndem Vorwissen heraus resultieren (Hattie & Timperley, 2007). 2. Feedback zum Prozess der Bearbeitung einer Aufgabe: Rückmeldungen zum Bearbeitungsprozess einer Aufgabe (en.: processing of the task) sind meist detaillierter als korrigierendes Feedback. Sie beziehen sich auf individuelle Vorstellungen und insbesondere auch Fehlvorstellungen der Lernenden und setzen diese in Bezug zum Lerngegenstand. Ziel ist dabei nicht ausschließlich eine Rückmeldung über die Qualität der Antwort, sondern darüber hinaus das Hinweisen auf eventuell vorhandene Fehlvorstellungen sowie das Aufzeigen geeigneter Denkprozesse, um die Entwicklung tiefgehenderen Verständnisses des Lerngegenstandes zu unterstützen (Hattie & Timperley, 2007). Ein Feedback dieser Art geschieht zumeist prozessbezogen und wird – ob seines Detailreichtums im direkten Vergleich zur bloßen Korrektur falscher oder Bestätigung richtiger Antworten – auch als erklärendes Feedback (en.: explanatory feedback) bezeichnet (Moreno, 2004). Es wird angenommen, dass derartige Rückmeldungen insbesondere dazu geeignet sind, das Schließen von Vorwissenslücken zu unterstützen und auch dann einen positiven Effekt haben können, wenn Bezug auf korrekte Schülerantworten genommen wird, was in den Abschnitten 4.4.2 und 4.4.3 ausführlicher erörtert wird. 3. Feedback zur Selbstregulierung: An Schülerinnen und Schüler gerichtete Rückmeldungen können auch selbstregulierende Prozesse (en.: self-regulation) unterstützen. Derartiges Feedback kann etwa zum Ziel haben folgende Aspekte einer Selbtregulierung der Lernenden zu erhöhen: Die Fähigkeit, den eigenen Leistungsstand abschätzen zu können; die Bereitschaft, korrigierendes oder erklärendes Feedback anzunehmen und umzusetzen; die Fähigkeit, die Korrektheit eigener Aussagen einzuschätzen; sowie die Befähigung dazu, an entsprechender Stelle im Lernprozess Hilfe zu suchen und zu erbeten der weitreichende Bedeutung für die Deutung und theoretische Aufbereitung einzelner Aspekte von Unterricht – hier etwa Feedback – beigemessen werden kann.

4.4 Feedback

157

(Hattie & Timperley, 2007, S. 94). In digitalen Lernumgebungen, in denen insbesondere die Möglichkeit besteht, die Schülerleistung innerhalb einer Aufgabe mit deskriptiven statistischen Mitteln zu verfolgen, sind in diesem Sinn etwa Rückmeldungen vorstellbar, die eine Folge richtiger Lösungen hervorheben, oder eine falsche Antwort im Kontext bisheriger Lösungsraten relativieren können, um etwa die Motivation der Lernenden aufrecht erhalten zu können. Einblendungen wie „Du hast sechs Aufgaben in Folge richtig gelöst.“ oder „Du hast während deiner Bearbeitung nur eine Aufgabe falsch bearbeitet.“ erscheinen hier denkbar, um die Selbstwirksamkeit von Schülerinnen und Schülern positiv zu beeinflussen. 4. Feedback zur Person selbst: Die von Hattie und Timperley (2007) zuletzt genannte Kategorie von Feedback enthält Wertungen über die Person an sich (en.: self as a person). Derartige Rückmeldungen beziehen sich weder konkret auf Antworten der Lernenden, noch werden damit gezielt selbstregulatorische Prozesse unterstützt. In diese Kategorie fallen etwa Aussagen wie „Guter Junge!“, bzw. „Gutes Mädchen!“oder „Schade!“. Feedback dieser Art kann aus den eben genannten Gründen vor allem bei abwertenden Äußerungen aus pädagogischer Sicht als unangemessen bezeichnet werden und zeigt auch auf der Grundlage der Ergebnisse der dargestellten Metaanalyse – selbst bei Lob – keine bis nur geringe Wirkung (Hattie & Timperley, 2007). Zusammenfassend können die ersten beiden Arten von Feedback als Rückmeldungen zu konkreten Aufgaben bezeichnet werden, verbunden mit dem Ziel kognitive Prozesse zu initiieren – etwa die Diskrepanz zwischen einer intendierten Aufgabenlösung und einer unzureichenden Bearbeitung durch eine Schülerin oder einen Schüler aufzuzeigen und individuelle Wissenslücken zu schließen. Im Gegensatz dazu wird Feedback zur Selbstregulierung eher verbunden mit dem Ziel eingesetzt affektive Personenmerkmale, etwa Motivation oder Selbstwirksamkeit, positiv zu beeinflussen. Wie bereits dargestellt können wertende Rückmeldungen zur Person selbst, die insbesondere unabhängig von konkreten Aufgaben geschehen, nicht als angemessene oder wirksame Arten von Feedback bezeichnet werden. 4.4.1.2 Begriffsklärung und Zusammenhang mit kognitiver Belastung

Im Kontext dieser Arbeit, in der die Entwicklung des Bruchzahlbegriffes insbesondere unter kognitionspsychologischen Gesichtspunkten untersucht werden soll, erscheinen gerade die ersten beiden im vorhergehenden Abschnitt dargestellten Arten von Feedback gewinnbringend für die Entwicklung geeigneter Lernumgebungen. Dies motiviert die nachfolgende Einschränkung des Begriffes auf diese beiden Kategorien. Begriffsklärung

Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird Feedback stets als externes Feedback verstanden, das von einer Lehrkraft oder einem Computerprogramm an Schülerinnen und Schüler gegeben wird und als direkte Reaktion auf die teilweise Bearbeitung oder vollständige

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4 Interaktive Unterrichtsmedien

Lösung einer Aufgabe erfolgt. Feedback dieser Art kann nach Hattie und Timperley (2007) zum einen bezogen auf die Lösung einer Aufgabe (korrigierend) oder den Prozess der Bearbeitung (erklärend) einer Aufgabe sein. Dabei wird angenommen, dass korrigierendes Feedback dazu geeignet ist, auf konkrete Fehlvorstellungen aufmerksam zu machen sowie Rückmeldung über korrekte Antworten zu geben. Weiter wird davon ausgegangen, dass erklärendes Feedback Schülerinnen und Schüler dabei unterstützen kann, vorhandene Vorwissenslücken zu schließen und Fehlvorstellungen zu korrigieren und hilfreich dafür sein kann, tiefgehenderes Verständnis zu entwickeln sowie die Vernetzung bereits vorhandener Schemata zu unterstützen (Hattie & Timperley, 2007; siehe auch Moreno, 2004). Insbesondere erklärendem Feedback kann vor dem Hintergrund der in Kapitel 3 dargestellten Theorien zur Informationsverarbeitung beim Menschen eine weitreichende Bedeutung zugesprochen werden. Im Zuge der Cognitive Load-Theorie wird angenommen, dass das Erlernen komplexer Lerngegenstände vor allem dann in Folge einer Überbelastung des kognitiven Systems scheitern kann, wenn Schülerinnen und Schüler nicht über das notwendige Vorwissen verfügen (vgl. Abschnitt 3.2). Diese Annahme erscheint gerade auch für die Entwicklung des Bruchzahlbegriffes relevant, bei der davon ausgegangen werden kann, dass Schülerinnen und Schüler über kein oder nur wenig substantielles Vorwissen zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe verfügen (Padberg, 2002a; Padberg & Wartha, 2017). Aufbauend hierauf formuliert Moreno (2004) eine Hypothese dafür, wie in digitalen Lernumgebungen unter Rückgriff auf adaptives erklärendes Feedback dieser Überbelastung entgegen gewirkt werden kann (en.: guided feedback hypothesis). Dabei nimmt die Wissenschaftlerin an, dass die Suche nach Erklärungen danach, warum die eigenen Antworten auf konkrete Aufgaben korrekt oder inkorrekt sind, zu einer irrelevanten kognitiven Belastung führen kann. Nach Moreno (2004) kann ein Grund hierfür sein, dass vor allem leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern während der Akquise des Lerngegenstandes das notwendige Wissen für derartige Erklärungen fehlen kann. Die Wissenschaftlerin schlägt vor, dass eine Darbietung in Form von erklärendem Feedback – sowohl bei richtigen als auch bei falschen Antworten – diese kognitive Belastung reduzieren kann und sich damit Kapazitäten zur Ausbildung oder Automatisierung von Schemata eröffnen können, die förderlich für den Lernprozess sein können (Moreno, 2004): Low prior-knowledge students learn best from discovery-based multimedia environments when pedagogical agents guide them with explanatory feedback during the process of meaning making. Explanatory feedback reduces the extraneous cognitive load that results from having novice students search for a plausible explanation to the correctness or incorrectness of their problem solutions in discovery environments. This, in turn, frees capacity for schema acquisition and automation, which eventually promotes learning. (S. 102) Im Zuge dieser Hypothese wurde untersucht, ob in digitalen Lernumgebungen, in denen mit erklärendem Feedback gearbeitet wird, bessere Ergebnisse in Posttests erzielt werden

4.4 Feedback

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können, als in vergleichbaren Lernumgebungen, die auf korrigierendes Feedback zurückgreifen. Ergebnisse aus einer Untersuchung mit Studierenden der Psychologie lassen den Schluss zu, dass für das Erlernen grundlegender Kenntnisse aus dem Fachbereich Biologie die Verwendung von erklärendem Feedback in der Tat gewinnbringender sein kann, als ausschließlich korrigierendes Feedback. Studierende zeigten sowohl in Reproduktionsaufgaben, als auch in Transferaufgaben bessere Ergebnisse in einem Posttest, wenn sie während des Lernens von einem Computerprogramm Rückmeldung zum Prozess der Bearbeitung ihrer Aufgaben erhalten haben (Moreno, 2004). Die Ergebnisse dieser Studie ließen sich mit einer zweiten Gruppe von Psychologiestudentinnen und -studenten weitgehend replizieren. Die Studierenden, die mit erklärendem Feedback gearbeitet haben, zeigten nicht nur bessere Ergebnisse in Transferaufgaben, ihnen unterliefen weiter signifikant weniger Fehler in einem Posttest (Moreno, 2004). Neben den soeben aufgeführten empirischen Ergebnissen lassen weitere Untersuchungen die Vermutung plausibel erscheinen, dass erklärendes Feedback die kognitive Belastung bei der Akquise neuen Wissens senken kann. So erwies sich etwa in einer Untersuchung mit Studierenden der Ingenieurswissenschaften eine Lernumgebung zu elektrischen Schaltungen, in der erklärendes Feedback während der Bearbeitung komplexer Aufgaben nach jedem Teilschritt gegeben wurde, als vorteilhafter gegenüber einer Lernumgebung, in der erklärendes Feedback erst nach der Bearbeitung der gesamten Aufgabe gegeben wurde. Studierende, die Feedback nach jedem Teilschritt erhalten haben, erzielten bessere Werte in einem Posttest, als Studierende, die mit der zweiten Lernumgebung gearbeitet haben (Moreno et al., 2009). Die Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler interpretieren das Ergebnis dahingehend, dass zur Verarbeitung von erklärendem Feedback am Ende einer Aufgabe der gesamte Lösungsprozess im Arbeitsgedächtnis repräsentiert sein muss, während für Feedback nach jedem Teilschritt nur ein entsprechender Teil des Prozesses aktiv verarbeitet werden muss, wodurch die kognitive Gesamtbelastung reduziert werden kann. Weiter konnten Baek und Jung (2007) in einer Studie mit Zehntklässlerinnen und Zehntklässlern zeigen, dass adaptives erklärendes Feedback in digitalen Lernumgebungen bei naturwissenschaftlichen Lerngegenständen gewinnbringender sein kann, als standardisiertes erklärendes Feedback. In einem Posttest erzielten diejenigen Schülerinnen und Schüler bessere Ergebnisse, die während des Lernprozesses adaptives Feedback auf ihre Antworten erhalten haben, als die Lernenden, denen die Lösung der Aufgaben jeweils nach der Bearbeitung in Form standardisierter – und insbesondere von den Antworten der Lernenden unabhängiger – Erklärungen präsentiert worden ist. Diese beiden Ergebnisse sprechen insbesondere für einen möglichen positiven Einfluss von adäquat dargebotenem erklärenden Feedback auf die kognitive Belastung beim Erlernen neuer Lerngegenstände.

4.4.2 Feedback in digitalen Lernumgebungen Im vorhergehenden Abschnitt wurde Feedback als Vorgehen dargestellt, das kognitive Prozesse bei der Akquise neuer Lerngegenstände geeignet unterstützen und die kognitive

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4 Interaktive Unterrichtsmedien

Belastung in Lernprozessen senken kann. Aufbauend auf diesen Annahmen werden nun mögliche Umsetzungen diskutiert, wie automatisiertes Feedback in digitalen Lernumgebungen adaptiv erzeugt werden kann. Es erscheint dabei plausibel, direkt Bezug zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffs zu nehmen, die Gegenstand dieser Arbeit ist. Nach Butler und Winne (1995) lassen sich fünf unterschiedliche Funktionen und Zielsetzungen unterscheiden, die mit Rückmeldungen auf Schüleräußerungen einhergehen: 1. Bestätigung korrekten Verständnisses: Erweist sich das Verständnis der Schülerinnen und Schüler als konsistent zum Lernziel, kann dies durch Feedback kommuniziert werden. Hierfür erscheint korrigierendes Feedback als Antwort auf richtige Lösungen der Lernenden geeignet. Dies kann adaptiv in Form eines Vergleichs der Schülerantwort mit der tatsächlichen Lösung geschehen. Darüber hinaus erscheint auch bei korrekten Schülerlösungen erklärendes Feedback vor dem Hintergrund der Cognitive Load-Theorie vielversprechend. Löst eine Schülerin oder ein Schüler eine Aufgabe richtig, kann davon ausgegangen werden, dass notwendige Schemata bereits im Langzeitgedächtnis abgespeichert sind und daher Ressourcen für weiterführende kognitive Prozesse zur Verfügung stehen. Durch erklärendes Feedback in Form zusätzlicher Informationen können generative Verarbeitungsprozesse, verbunden mit lernbezogener kognitiver Belastung initiiert werden. Für die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs sind hier etwa Darstellungen des Ergebnisses in einer anderen Repräsentationsebene, bzw. einer anderen ikonischen Darstellung denkbar. 2. Bereitstellen notwendiger aber fehlender Informationen: Schülerinnen und Schüler können in mehrschrittigen Aufgaben dann auf Probleme stoßen, wenn notwendiges Wissen für die Lösung einzelner Teilschritte nicht vorhanden ist. Dies kann eine Herausforderung für die Umsetzung digitaler Lernumgebungen, insbesondere die Implementierung von Aufgaben, für die mehrere Schritte notwendig erscheinen, darstellen. Können Lernende aufgrund eines Problems in einem der Teilschritte die Aufgabe nicht lösen, so kann auch keine (fehlerhafte) Eingabe eines Gesamtergebnisses erwartet werden, auf die adaptiv reagiert werden könnte. An dieser Stelle erscheint die Implementierung abgestufter Lösungshilfen (vgl. Abschnitt 3.2.2.2) für mehrschrittige Aufgaben zielführend, durch die Lernende selbstgesteuert Hinweise zu einzelnen Teilschritten abrufen können. Ein solches erklärendes Feedback in Form von Hinweisen während des Bearbeitungsprozesses einer Aufgabe kann vor dem Hintergrund empirischer Untersuchungen als wirksam bezeichnet werden (Moreno et al., 2009; siehe auch Hattie & Timperley, 2007). Solche mehrschrittigen Aufgaben treten im Bereich der in Abschnitt 2.3 dargestellten Konzepte von Bruchzahlen unter anderem bei arithmetischen Aufgaben auf. Exemplarisch kann an dieser Stelle die Berechnung des ursprünglichen Ganzen bei gegebenem Anteil und Bruchteil genannt werden, bei der abgestufte Lösungshilfen sinnvoll erscheinen und aufgrund der vorherrschenden Systematik gut automatisiert implementiert werden können.

4.4 Feedback

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3. Korrektur fehlerhafter Vorstellungen: Automatisierte Rückmeldungen auf falsche Antworten von Schülerinnen und Schülern können dann eine Herausforderung darstellen, wenn nicht nur korrigierendes, sondern erklärendes Feedback gegeben werden soll. Während im vorhergehenden Fall davon ausgegangen wird, dass sich die Lernenden über das Fehlen notwendiger Informationen bewusst sind und daher bestimmte Aufgaben nicht vollständig bearbeiten können, nimmt man hier an, dass Fehlvorstellungen zu falschen Lösungen von Aufgaben führen können. Als Ziel adaptiver Rückmeldung in diesem Fall kann daher die Rekonstruktion der ursprünglich zugrunde liegenden Fehlvorstellung einer Schülerin oder eines Schülers aus der gegebenen fehlerhaften Antwort angesehen werden. Hierbei kann bei Bruchzahlen zum einen auf eine Vielzahl gut dokumentierter typischer Schülerfehler (vgl. Abschnitt 2.1.3) zurückgegriffen werden, die vergleichsweise sichere Aussagen über vorhandene Fehlvorstellungen bei spezifischen falschen Antworten zulassen. So lässt sich etwa eine Flächen-statt-Teile-Strategie weitgehend sicher durch charakteristische falsche Antworten bei Aufgaben zur Benennung ikonisch repräsentierter Anteile identifizieren. Darüber hinaus liefern Forschungsergebnisse zum Natural Number Bias (vgl. Abschnitt 2.2) eine weitere Quelle für typische Fehler, die bei einzelnen Aufgaben zu erwarten sind. Hier ist etwa vorstellbar, bei fehlerhaften Antworten zu Größenvergleichsaufgaben mit inkongruenten Bruchpaaren grundsätzlich davon auszugehen, dass die Schülerin oder der Schüler durch Vorstellungen zu natürlichen Zahlen beeinflusst wird und entsprechend Feedback zu geben. Auch wenn in diesem Fall Feedback nicht als adaptiv bezeichnet werden kann, ist auf der Grundlage fachdidaktischer Überlegungen zu erwarten, dass durch die Berücksichtigung eines Natural Number Bias dennoch eine adäquate Erklärung dafür gegeben werden kann, warum die Schülerantwort falsch ist. 4. Anpassung teilweise korrekter Lösungen: Liegen teilweise korrekte Schülerlösungen vor, kann korrigierendes und erklärendes Feedback kombiniert werden, um zum einen der oder dem Lernenden eine Rückmeldung über den korrekten Teil der Aufgabenbearbeitung zu geben und zum anderen die Diskrepanz zwischen der Schülerlösung und der intendierten Lösung aufzuzeigen und zu plausibilisieren. An dieser Stelle kann exemplarisch das vollständige Kürzen von Brüchen aufgeführt werden, bei dem eine Implementierung von Feedback dieser Art gewinnbringend erscheint. Hier können Schülerlösungen korrekt, falsch oder teilweise richtig – also nur zum Teil, aber nicht vollständig gekürzt – sein. Dementsprechend kann Feedback so implementiert werden, dass das teilweise Kürzen automatisiert zunächst als korrekt verifiziert wird und anschließend der fehlende Schritt erläutert wird. 5. Initiieren notwendiger Konzeptwechsel: Die Entwicklung des Bruchzahlbegriffes kann als Lernprozess bezeichnet werden, der durch vorhandenes Wissen über natürliche Zahlen auf einer intuitiven Ebene kontrastiert sein kann (vgl. Abschnitt 2.2). Es ist zu erwarten, dass sich ein nicht zu vernachlässigender Teil der von Schülerinnen und Schülern begangenen Fehler auf einen Natural Number Bias zurückführen lässt. Im

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Kontext der Conceptual Change-Theorie erscheint es daher zielführend, auf notwendige Konzeptwechsel beim Übergang von den natürlichen zu den Bruchzahlen auch in Form von automatisiertem Feedback hinzuweisen. Exemplarisch kann hier auf das zum dritten Punkt genannte Beispiel einer automatisierten Rückmeldung auf falsche Antworten beim Größenvergleich inkongruenter Bruchpaare verwiesen werden.

4.4.3 Wirksamkeit von Feedback Die Beschreibung unterschiedlicher Funktionen von Feedback sowie die aufgeführten Beispiele zur Umsetzung in digitalen Lernumgebungen können dahingehend interpretiert werden, dass eine geeignete Umsetzung dieser Ziele mehrheitlich nur mit erklärendem Feedback realisierbar erscheint. Dies kann als weiterer Erklärungsansatz für die höhere Wirksamkeit von erklärendem gegenüber korrigierendem Feedback interpretiert werden, für die die in Abschnitt 4.4.1 dargestellten empirischen Ergebnisse sprechen. Aufgrund der weitgehend heterogenen Lage empirischer Befunde zur Wirksamkeit von Feedback im Unterricht (Hattie & Timperley, 2007; siehe auch Butler & Winne, 1995; Kulhavy & Stock, 1989), wird an dieser Stelle – wie bereits angemerkt – auf die exemplarische Nennung weiterer Einzelstudien verzichtet. Vielmehr erscheint ein Bezug auf Metaanalysen zur Beantwortung der Frage nach weiteren Einflussfaktoren von Feedback gewinnbringend. Hier können die von Hattie und Timperley (2007) unter Rückgriff auf die Studie von Hattie (2009) zusammengefassten Ergebnisse als umfassende Analyse zu Feedback im Unterricht bezeichnet werden. Die Wissenschaftler kommen zu dem Schluss, dass Feedback allgemein einen vergleichsweise hohen positiven Einfluss auf die Leistung von Schülerinnen und Schülern haben kann11 . Darüber hinaus identifizieren die Forscher Einflussfaktoren, die eine positive Wirkung von Feedback verstärken können. Hierbei erscheinen vor allem die folgenden beiden Faktoren für die Gestaltung interaktiver Lernumgebungen relevant: 1. Zeitpunkt der Darbietung: Hattie und Timperley (2007) identifizieren den Zeitpunkt, wann Rückmeldungen an Schülerinnen und Schüler adressiert werden sollen, als zentralen Untersuchungsgegenstand von Forschungen zur Wirksamkeit von Feedback. Ein Ergebnis der Forscher ist dabei, dass bei zahlreichen Studien und Metaanalysen zu dieser Fragestellung nicht zwischen korrigierendem und erklärendem Feedback unterschieden wird. Weiter führen die Wissenschaftler an, dass Diskrepanzen zwischen den Ergebnissen der Metaanalysen bestehen, die eine solche Unterscheidung berücksichtigen, weshalb die Frage danach, ob korrigierendes und erklärendes Feedback direkt nach der 11

Hattie und Timperley (2007) geben für Feedback im allgemeinen eine mittlere Effektstärke von d = 0.79 an. Jedoch wird das methodische Vorgehen von Hattie und Timperley (2007), insbesondere die Berechnung der Effektstärken, zum Teil vehement kritisiert (z. B. Bergeron, 2017), was bei einer Interpretation beachtet werden muss. Da im Fall von Feedback jedoch der Rahmen der berücksichtigten Metaanalysen sehr eng gefasst ist, erscheint es plausibel der Einschätzung von Hattie und Timperley (2007) zu folgen und Feedback – unabhängig von einem konkreten Zahlenwert – bei geeigneter Darbietung einen vergleichsweise hohen positiven Einfluss auf Schulleistung beizumessen.

4.4 Feedback

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Bearbeitung einer Aufgabe oder verzögert dargeboten werden soll, nicht abschließend beantwortet wird. Auf der Grundlage der in Kapitel 3 dargestellten Theorien zur Informationsverarbeitung beim Menschen erscheint jedoch eher eine sofortige Rückmeldung plausibel. Hier geben der Split-Attention-Effekt im Rahmen der Cognitive Load-Theorie (vgl. Abschnitt 3.2.2.3) sowie das Temporal Contiguity-Prinzip im Rahmen der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens eindeutige Handlungsempfehlungen für die Implementierung von Feedback in digitalen Lernumgebungen vor. Es kann angenommen werden, dass die kognitive Belastung bei der Verarbeitung von korrigierendem wie erklärendem Feedback niedriger ist, wenn die Bearbeitung der Aufgabe und die Rückmeldung zur Lösung oder zum Bearbeitungsprozess zeitlich nicht voneinander getrennt sind. 2. Positives und negatives Feedback: Sowohl positivem, als auch negativem Feedback kann vor dem Hintergrund zahlreicher wissenschaftlicher Untersuchungen eine Wirkung auf Schülerleistungen zugesprochen werden (Hattie & Timperley, 2007). Hier erscheint es sinnvoll, zwischen korrigierendem und erklärendem Feedback zu unterscheiden. So erweist sich etwa positives Feedback in beiden Fällen meist gewinnbringend. Eine kurze und prägnante Bestätigung einer korrekten Schülerleistung kann Gewissheit darüber vermitteln, dass die individuellen Vorstellungen mit den intendierten Vorstellungen übereinstimmen. Darüber hinaus können ausführlichere Erklärungen aufbauend auf korrekten Antworten zu generativen Verarbeitungsprozessen und lernbezogener kognitiver Belastung führen (vgl. Abschnitt 4.4.1). Allerdings erscheinen negative Rückmeldungen über Schülerleistungen nur in Form von erklärendem Feedback gewinnbringend um fehlerhafte Vorstellungen zu korrigieren, teilweise korrekte Lösungen anzupassen oder notwendige Konzeptwechsel zu initiieren (vgl. Abschnitt 4.4.1). Ausschließlich korrigierendes Feedback ohne derartige zusätzliche Informationen kann bei falschen Antworten hingegen nur als wenig hilfreich bezeichnet werden. Den Schülerinnen und Schülern kann dabei keine dieser – für die Entwicklung tragfähiger Konzepte notwendigen – Informationen zur individuellen Lösung vermittelt werden und somit auch kein Erkentnisgewinn bei den Lernenden erwartet werden. Diese beiden Punkte schließen die Betrachtung um Rückmeldungen zu Schülerlösungen. Zusammenfassend kann auf der Grundlage der in diesem Abschnitt diskutierten Studien angenommen werden, dass Feedback in digitalen Lernumgebungen Lernprozesse geeignet unterstützen kann. Insbesondere erklärendem Feedback kann die Möglichkeit zugesprochen werden, irrelevante kognitive Belastung bei Schülerinnen und Schülern mit geringem Vorwissen senken zu können, Fehlvorstellungen aufzeigen zu können und notwendige Konzeptwechsel initiieren zu können. Zusammenfassung

Der Einsatz digitaler Medien im Mathematikunterricht kann unter bestimmten Voraussetzungen und zur Erreichung spezifischer und sehr konkreter Ziele als gewinnbringend

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4 Interaktive Unterrichtsmedien

bezeichnet werden. Dennoch lässt sich aufgrund der komplexen Sachlage keine pauschale Antwort auf die Frage nach der Wirksamkeit digitaler Medien formulieren. Zudem mangelt es im Moment insbesondere an großangelegte Feldstudien, die den Einsatz digitaler Medien – etwa Tablet-PCs und konkret iPads – im Regelunterricht untersuchen. Ergebnisse aktueller Studien lassen jedoch vermuten, dass Tablet-PCs insbesondere aus drei Gründen einen positiven Einfluss auf Lernprozesse haben können und zu einer niedrigeren kognitiven Belastung bei der Akquise von Wissen führen können. Durch die Interaktion der Lernenden mit den Geräten mittels Touchscreen kann bei der Entwicklung von Lernumgebungen besonderes Augenmerk auf eine Passung von Fingerbewegungen und mentalen Prozessen (z. B. das Halbieren einer kreisförmigen Pizza durch eine geradlinige Fingerbewegung durch deren Mittelpunkt) gelegt werden. Es kann im Rahmen einer einfachen Embodied Cognition-Theorie angenommen werden, dass sich Schülerinnen und Schüler in spezifischen Lernprozessen durch derartige passende Gesten mit einer niedrigeren kognitiven Belastung konfrontiert sehen können. Zudem kann davon ausgegangen werden, dass automatisierte motorische Schemata auch rein kognitive Prozesse unterstützen können, selbst wenn die konkreten Handlungen nicht explizit durchgeführt werden. Darüber hinaus können interaktive Lernumgebungen so gestaltet werden, dass sie den Schwierigkeitsgrad von Übungen adaptiv auf das individuelle Leistungsniveau einzelner Schülerinnen und Schüler anpassen können und auch während des Arbeitens flexibel auf eine Änderung der Schülerleistung reagieren können. Es kann angenommen werden, dass eine solche Anpassung der Aufgabenschwierigkeit einer Überbelastung beim Erlernen komplexer mathematischer Konzepte vorbeugen kann. Weiter können Übungsaufgaben in digitale Lernumgebungen derart implementiert werden, dass sie auf Schülerantworten flexibel, automatisiert und augenblicklich reagieren können und differenziertes Feedback zur Bearbeitung der Aufgabe geben können. Hier kann angenommen werden, dass zum einen erklärende Rückmeldungen zu falschen Schülerantworten zu einer notwendigen Überarbeitung bestehender Fehlkonzepte führen können und zum anderen vernetzende Rückmeldungen auf korrekte Antworten dazu führen können, dass freie Kapazitäten für generative Prozesse aufgewendet werden.

5 Forschungsstand und Fragestellung In Bezug auf die Wirkung und Eignung verschiedener instruktionaler Ansätze für verschiedene Kompetenz- und Inhaltsbereiche können die Fachdidaktiken auf eine breite Palette von Ergebnissen aus der Instruktionspsychologie zurückgreifen. Reiss und Ufer (2009, S. 209)

Überblick

In diesem Kapitel werden die im theoretischen Teil der Arbeit dargestellten wissenschaftlichen Erkenntnisse im Hinblick auf die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs im Speziellen sowie das Lernen mit multimedialen und digitalen Lernumgebungen im Allgemeinen zusammengefasst (vgl. Abschnitt 5.1). Anschließend wird auf der Basis dieser Ergebnisse ein Modell zur Entwicklung digitaler Lernumgebungen in der Mathematikdidaktik vorgeschlagen, das für die Ausbildung tragfähiger Konzepte von Bruchzahlen konkret formuliert wird (vgl. Abschnitt 5.2). Zuletzt werden die daraus für die empirische Untersuchung dieser Arbeit resultierenden Forschungsfragen formuliert und soweit möglich Vermutungen auf der Basis der dargestellten Theorien formuliert (vgl. Abschnitt 5.3).

5.1 Zusammenfassung des aktuellen Forschungsstands Bei der Entwicklung von Lernumgebungen für den Mathematikunterricht können fachdidaktische und psychologische Perspektiven gleichermaßen berücksichtigt werden. Dadurch kann möglichen spezifischen Problemen eines einseitig auf Inhalte, bzw. auf individuelle Lernvoraussetzungen gerichteten Blickwinkels geeignet begegnet werden. Bei der Betrachtung des Bruchzahlbegriffs stellen Grundvorstellungen und die Conceptual Change-Theorie praxisnah erprobte und wissenschaftlich fundierte Ausrichtungen dar, deren Synthese für die Entwicklung geeigneter Lernumgebungen gewinnbringend erscheint (vgl. Kapitel 1). Dabei kann die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs im Allgemeinen als weitgehend gut erforschtes Teilgebiet der Mathematikdidaktik bezeichnet werden. Dennoch erscheint eine Bewertung gängiger instruktionaler Ansätze für den Anfangsunterricht der Bruchrechnung vor dem Hintergrund eines intuitiv ablaufenden Natural Number Bias – der die gegenüber Veränderung weitgehend resistente Tendenz von Schülerinnen und Schülern beschreibt, im Umgang mit Bruchzahlen auf in diesem Kontext nicht mehr tragfähige © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 F. Reinhold, Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive, Studien zur theoretischen und empirischen Forschung in der Mathematikdidaktik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-23924-4_6

166

5 Forschungsstand und Fragestellung

Konzepte natürlicher Zahlen zurückzugreifen – notwendig. In diesem Zusammenhang lassen sich auf der Basis bisheriger fachdidaktischer Erkenntnisse zur Bruchrechnung drei Konzepte von Bruchzahlen formulieren: Das Konzept Teil vom Ganzen, das Konzept Erweitern und Kürzen sowie das Konzept Größenvergleich. Es wird angenommen, dass ihre Ausbildung im Regelunterricht durch die Vermittlung konkreter fachlicher Inhalte geeignet unterstützt werden kann, wobei ikonischen Darstellungen von Bruchzahlen sowie dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungen und Repräsentationen große Bedeutung beigemessen wird. Diese zu vermittelnden Lerninhalte werden in der vorliegenden Arbeit als Subkonzepte bezeichnet (vgl. Kapitel 2). In dieser Arbeit wird im Rahmen der Cognitive Load-Theorie angenommen, dass Lernen im Allgemeinen nur dann erfolgreich gelingen kann, wenn die kognitive Belastung in einer konkreten Lernsituation die Arbeitsgedächtniskapazität der Schülerinnen und Schüler nicht übersteigt. In diesem Zusammenhang kann die Entwicklung eines Bruchzahlbegriffs als komplexer Lerngegenstand – verbunden mit einer hohen intrinsischen kognitiven Belastung – für Schülerinnen und Schüler der frühen Sekundarstufe bezeichnet werden. Demzufolge sollten Lernumgebungen dahingehend optimiert werden, die irrelevante kognitive Belastung minimal zu halten und unterschiedliche Verarbeitungen des Lerngegenstandes zu ermöglichen. Hier wird im Zuge der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens davon ausgegangen, dass Texte und Bilder in unterschiedlichen Kanälen verarbeitet werden können, die über begrenzte aber getrennte Kapazitäten verfügen. Darüber hinaus wird vor dem Hintergrund des integrativen Modells des Text- und Bildverstehens angenommen, dass multimedial dargebotene Informationen nicht nur getrennt voneinander verarbeitet werden können, sondern weiter zu unterschiedlichen internen Wissensrepräsentationen führen können (vgl. Kapitel 3). In diesem Zusammenhang kann der Einsatz digitaler Unterrichtsmedien diskutiert werden. Mit Blick auf die Verwendung passender Gesten bei der Bearbeitung von Aufgaben auf Touchscreens im Sinne einer einfachen Embodied Cognition-Theorie kann der Einsatz von Tablet-PCs (hier konkret: iPads) gewinnbringend erscheinen. Weiter können digitale Lernumgebungen so gestaltet werden, dass sie den Schwierigkeitsgrad von Übungsaufgaben adaptiv an das individuelle Leistungsniveau der Schülerinnen und Schüler anpassen. Darüber hinaus ist es möglich Schülerinnen und Schülern während der Arbeit mit interaktiven Lernumgebungen auf ihre Antworten angepasstes erklärendes Feedback zu geben und somit individuelle Lernprozesse geeignet zu unterstützen. Diese Punkte können die Verwendung digitaler Medien im Regelunterricht gewinnbringend erscheinen lassen (vgl. Kapitel 4). Für die Frage nach der Wirksamkeit digitaler Medien im Mathematikunterricht liegen zwar einzelne empirische Ergebnisse vor, jedoch lässt sich aufgrund unterschiedlicher Untersuchungsbedingungen sowie teilweise sehr heterogener Untersuchungsergebnisse keine belastbare Antwort – insbesondere nicht für den Lerngegenstand des Bruchzahlbegriffs – finden. Insbesondere fehlt es derzeit vor allem auch an empirischen Untersuchungen zum Einsatz digitaler Lernumgebungen im Regelunterricht. Darüber hinaus ermöglicht das traditionelle Zwei-Gruppen-Design, das in Interventionsstudien zumeist zugrunde gelegt wird, bei der Interpretation von Treatmenteffekten keine Unterscheidung zwischen dem

5.2 Modell zur Entwicklung digitaler Lernumgebungen

167

Einfluss digitaler Medien im Speziellen und einer fachdidaktischen und psychologischen Aufbereitung des verwendeten Unterrichtsmaterials im Allgemeinen. Dennoch greifen bisherige empirische Studien zumeist auf den Vergleich einer Experimentalgruppe mit einer Kontrollgruppe, die traditionell unterrichtet wurde, zurück. Dies erscheint aus den eben genannten Gründen eher unzureichend für eine umfassende Beantwortung der Frage nach der Wirksamkeit digitaler Medien im Mathematikunterricht.

5.2 Modell zur Entwicklung digitaler Lernumgebungen in der Mathematikdidaktik Um den soeben dargestellten kritischen Punkten bezüglich der Konzeption einer empirischen Untersuchung der Wirksamkeit von Tablet-PCs im Mathematikunterricht geeignet zu begegnen, wird an dieser Stelle ein Modell zur Entwicklung digitaler Lernumgebungen in der Mathematikdidaktik vorgestellt. Das vorgeschlagene Modell besitzt drei Dimensionen, die den soeben zusammengefassten Kapiteln der vorliegenden Arbeit entsprechen: 1. Inhalt: Aus einer fachdidaktischen Sicht erscheint der konkrete Inhalt zentral für die Entwicklung jedweder Lernumgebung (z. B. Schmidt-Thieme & Weigand, 2015). Insbesondere sollen Entscheidungen bei der Entwicklung digitaler Lernumgebungen stets auch die zu vermittelnden Inhalte und die damit verbundenen Ziele berücksichtigen. In der hier dargestellten Form wird das Modell exemplarisch am Beispiel des Bruchzahlbegriffs vorgestellt. Hier geben bisherige Erkenntnisse der Bruchrechendidaktik – etwa im deutschsprachigen Raum verbreitete praxisnahe Grundvorstellungen – einen konkreten Rahmen zu vermittelnder Inhalte vor. Diese wurden im Hinblick auf Erkenntnisse der Conceptual Change-Theorie – insbesondere dem Natural Number Bias – zum Teil neu bewertet und zu drei Konzepten von Bruchzahlen zusammengefasst. 2. Design: Bei der Gestaltung der Lernumgebung sowie einzelner Aufgaben sollen Erkenntnisse der Kognitions- und Instruktionspsychologie berücksichtigt werden. Dabei gibt die Cognitive Load-Theorie einen Rahmen vor, der eine möglichst schlichte Gestaltung von Lernumgebungen im Sinn einer Reduktion irrelevanter kognitiver Belastung befürwortet. Die kognitive Theorie des multimedialen Lernens sowie das integrative Modell des Text- und Bildverständnisses ergänzen die Anforderungen an die Gestaltung von Lernumgebungen um ein ausgewogenes Verhältnis aus Texten und Bildern – oder im Kontext von Bruchzahlen symbolischen und ikonischen Darstellungen. 3. Implementierung: Interaktive Inhalte sollen so umgesetzt werden, dass Schülerinnen und Schüler bei der Interaktion mit digitalen Medien weitgehend auf natürliche Gesten im Sinne einer Embodied Cognition-Theorie zurückgreifen können. Dies kann etwa durch die Verwendung von Touchscreen-Technologien, Handschrifterkennung sowie die Vermeidung zusätzlicher Eingabegeräte wie Maus, Tastatur oder Stylus umgesetzt werden. Darüber hinaus erweisen sich im Vergleich vor allem intelligente Tutorensysteme

168

5 Forschungsstand und Fragestellung

als wirksam, was für eine Implementierung adaptiver Schwierigkeitsanpassung sowie individuellem erklärendem Feedback spricht. Diese drei Dimensionen sind explizit nicht losgelöst voneinander zu verstehen. Vielmehr sollen bei konkreten Entscheidungen bezüglich der Entwicklung digitaler Lernumgebung Aspekte unterschiedlicher Dimensionen gleichermaßen betrachtet werden. Exemplarisch soll dies an nachfolgenden Beispielen illustriert werden: Bei der Implementierung adaptiver Anpassung des Schwierigkeitsgrades bestimmter Aufgaben können empirisch gewonnene Erkenntnisse bezüglich schwierigkeitsgenerierender Merkmale berücksichtigt werden. Bei der Gestaltung von automatisiertem Feedback kann darauf geachtet werden, Erklärungen in depiktionaler Form darzubieten. Bei der Formulierung von Texten kann neben dem fachlichen Hintergrund auch eine klare und adressatengerechte Sprache verwendet werden, die keine zusätzliche irrelevante kognitive Belastung erzeugt. Das Modell ist schematisch in Abbildung 5.1 exemplarisch für die Entwicklung tragfähiger Konzepte von Bruchzahlen dargestellt. Dabei sind die drei Dimensionen als Segmente eines geschlossenen Kreisrings repräsentiert. Die intendierten Interaktionen zwischen den Dimensionen sind durch überlappende Enden der drei Segmente symbolisiert. I n h alt Conceptual Natural Grundvor- Change Number stellungen Bias

en tie ru

n

g

Multimedia Lernen Feedback

Text- & Bildverständnis

n

le m

Embodied Cognition

Cognitive Load

sig

Imp

Entwicklung tragfähiger Konzepte von Bruchzahlen unterstützen

De

Adaptivität

Abbildung 5.1. Modell zur Entwicklung digitaler Lernumgebungen in der Mathematikdidaktik mit den drei Teilbereichen Inhalt, Design und Implementierung, exemplarisch am Beispiel des Bruchzahlbegriffs dargestellt.

In dieser Arbeit wird davon ausgegangen, dass sich ein möglicher Mehrwert digitaler Medien aus der Dimension Implementierung ergibt. Insbesondere erscheint es möglich, einen solchen Einfluss digitaler Medien über die fachdidaktische Aufbereitung des Materials hinaus empirisch zu untersuchen, indem nach dem Modell generierte digitale Lernumgebungen nach ihrer Entwicklung in eine papierbasierte Form überführt werden – etwa als

5.3 Forschungsfragen

169

Arbeitsbuch ausgedruckt werden. Dadurch erscheinen insbesondere weiterführende Forschungsfragen möglich, die in bisherigen Untersuchungen nur eingeschränkt beantwortet werden konnten.

5.3 Forschungsfragen Auf der Basis der in den vorhergehenden Kapiteln dargestellten fachdidaktischen und psychologischen Theorien sowie dem vorgeschlagenen Modell als Grundlage zur Entwicklung digitaler Lernumgebungen in der Mathematikdidaktik lassen sich die nachfolgenden für diese Arbeit relevanten Fragestellungen formulieren. Diese beziehen sich zum einen auf die Reproduktion und Validierung bisheriger Ergebnisse zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffs und zum anderen auf die bisher weitgehend unbeantwortete Frage nach der Wirksamkeit multimedialer und digitaler Lernumgebungen im mathematischen Regelunterricht.

5.3.1 Entwicklung des Bruchzahlbegriffs Die Bruchrechnung kann aus fachdidaktischer Sicht als weitgehend gut erforschtes Gebiet bezeichnet werden (vgl. Kapitel 1 und 2). Durch die zusätzliche Betrachtung der Conceptual Change-Theorie als psychologische Perspektive und insbesondere einer Berücksichtigung des Natural Number Bias als potentielle Ursache für typische Schülerfehler sollten sich bisherige empirische Erkenntnisse zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffs einerseits reproduzieren und andererseits um weitere Erkenntnisse ergänzen lassen. (i) Lassen sich die drei in Abschnitt 2.3 für den Anfangsunterricht der Bruchrechnung vorgeschlagenen Konzepte Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen und Größenvergleich in einem Leistungstest geeignet abbilden? Es wird vermutet, dass sich a priori formulierte Zuweisungen der Items eines Leistungstest zum Bruchzahlbegriff zu einem der drei Konzepte Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen und Größenvergleich durch eine konfirmatorische Faktorenanalyse bestätigen lassen. (ii) Existiert ein Zusammenhang zwischen der Fähigkeit mit ikonischen Darstellungen von Bruchzahlen zu operieren und arithmetischen Basisfähigkeiten im Umgang mit Brüchen? Unterscheidet sich dieser Zusammenhang für leistungsstärkere und leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler? Es wird vermutet, dass Ergebnisse in Aufgaben, in denen ikonische Darstellungen von Brüchen verändert, in andere ikonische Darstellungen umgewandelt oder in eine symbolische Darstellung übersetzt werden müssen, positiv mit den Ergebnissen von Aufgaben, in denen mit symbolisch repräsentierten Brüchen rechnerisch operiert werden muss, korrelieren. Weiter wird vermutet, dass eine solche positive Korrelation weitgehend unabhängig davon ist, ob die Schülerinnen und Schüler im Allgemeinen leistungsstärker oder leistungsschwächer sind.

170

5 Forschungsstand und Fragestellung

5.3.2 Wirksamkeit multimedialer und digitaler Lernumgebungen Empirisch gewonnene Erkenntnisse der Instruktionspsychologie lassen vermuten, dass geeignet aufbereitete multimediale Lernumgebungen zum einen den Erwerb mathematischer Konzepte unterstützen und zum anderen die kognitive Belastung beim Lernen verringern können (vgl. Kapitel 3). Es kann daher angenommen werden, dass ihre Verwendung zu einem besseren Lernerfolg führen kann. Darüber hinaus können geeignete interaktive Inhalte in digitalen Lernumgebungen ebenfalls zu anschaulicheren Darstellungen sowie zu einer Verringerung der kognitiven Belastung in Lernprozessen beitragen und somit bessere Lernerfolge ermöglichen (vgl. Kapitel 4). (iii) Lässt sich die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe mit einer digitalen Lernumgebung besser fördern, als mit traditionellen Schulbüchern? Lassen sich etwaige Effekte auf eine multimediale Aufbereitung im Sinne von Kapitel 3 oder auf eine interaktive und digitale Aufbereitung und die Verwendung von Tablet-PCs (konkret: iPads) im Sinne von Kapitel 4 zurückführen? Es wird vermutet, dass Schülerinnen und Schüler, die im Regelunterricht mit einer digitalen Lernumgebung auf Tablet-PCs im oben genannten Sinn gearbeitet haben, in einem Posttest die besten Ergebnisse erzielen. Weiter wird vermutet, dass Lernende, die mit einer papierbasierten Variante einer derartigen Lernumgebung gearbeitet haben, zwar nicht das Leistungsniveau der Schülerinnen und Schüler erreichen, die mit Tablet-PCs gearbeitet haben, sie aber dennoch Lernende übertreffen, die mit traditionellen Schulbüchern unterrichtet wurden. (iv) Sind die im Sinne von Forschungsfrage (iii) formulierten Effekte abhängig davon, ob Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen von Bruchzahlen oder arithmetische Fähigkeiten adressiert werden? Ein positiver Einfluss multimedial oder digital aufbereiteter Inhalte wird insbesondere für die Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen vermutet. Für den Einfluss multimedialer oder digitaler Lernumgebungen auf arithmetische Fähigkeiten erscheint vor dem Hintergrund der in dieser Arbeit dargestellten Theorien keine begründete Vermutungen möglich, sodass der Frage explorativ nachgegangen wird. (v) Beeinflusst ein fachdidaktisch aufbereitetes Curriculum in Verbindung mit einer im Sinn von Forschungsfrage (iii) verstandenen Verwendung multimedialer oder digitaler Lernumgebungen im Anfangsunterricht der Bruchrechnung die Entwicklung eines konzeptuellen Verständnisses für den Größenvergleich von Bruchzahlen im Vergleich zum traditionellen Unterricht? Es wird vermutet, dass Lernende, die mit fachdidaktisch und multimedial aufbereiteten Inhalten gearbeitet haben, häufiger eigenschaftsbasierte Strategien zum Größenvergleich von Bruchzahlen verwenden, während traditionell unterrichtete Schülerinnen und Schüler eher auf regelbasierte Strategien zurückgreifen. Ein zusätzlicher

5.3 Forschungsfragen

171

positiver Effekt von Tablet-PCs ist vor dem Hintergrund der aufgeführten Theorien zunächst nicht unmittelbar zu begründen, weshalb dieser Einfluss explorativ untersucht wird. (vi) Sind zu erwartende Effekte multimedialer und digitaler Lernumgebungen zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe im Sinn der Forschungsfragen (iii), (iv) und (v) für tendenziell leistungsstärkere und tendenziell leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler identisch? Eine begründete Vermutung erscheint auf der Basis instruktionspsychologischer Theorien in unterschiedliche Richtungen möglich. Daher werden spezifische Effekte für unterschiedliche Schülergruppen explorativ untersucht. Zusammenfassung

Bei der Entwicklung und Gestaltung digitaler Lernumgebungen in der Mathematikdidaktik sollen neben fachdidaktisch motivierten inhaltlichen Anforderungen auch Aspekte der Instruktionspsychologie sowie Möglichkeiten zur Implementierung interaktiver Features gleichermaßen berücksichtigt werden. Zur Darstellung und Zusammenfassung dieser Forderung wird ein Modell für die Entwicklung digitaler Lernumgebung in der Mathematikdidaktik vorgeschlagen. Aus den im theoretischen Teil dieser Arbeit dargestellten Theorien und Erkenntnissen lassen sich konkrete Forschungsfragen – zum einen die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs und zum anderen die Wirksamkeit multimedialer und digitaler Lernumgebungen betreffend – formulieren, deren Beantwortung im empirischen Teil der Arbeit nachgegangen wird.

Teil II

Empirischer Teil

6 Design und Methode der Studie Wirkungen von digitalen Medien im Unterricht entfalten sich unter jeweils spezifischen (Kontext-) Bedingungen. Es erscheint daher sinnvoll, nicht das technische Artefakt in den Mittelpunkt von Forschung zu stellen, sondern die Entwicklung und Erprobung bzw. Evaluation von pädagogischen Handlungskonzepten bzw. didaktischen Szenarien, in denen technische Artefakte das Erreichen pädagogisch sinnvoller Ziele unterstützen. Herzig (2014, S. 22)

Überblick

Das Kapitel umfasst eine detaillierte Darstellung der Feldstudie an Gymnasien und Mittelschulen, die zum Zweck der Beantwortung der im vorhergehenden Kapitel gestellten Forschungsfragen durchgeführt wurde. Dabei wird zunächst das der Studie zugrunde liegende Design erläutert und die Stichprobe beschrieben (vgl. Abschnitt 6.1). Anschließend wird die Entwicklung der verwendeten digitalen Lernumgebung in Form eines iBooks sowie einer papierbasierten Kopie in Form eines Arbeitsbuches als gemeinsame Arbeit des Autors und weiteren Mitgliedern des Forschungsprojektes ALICE:Bruchrechnen vorgestellt (vgl. Abschnitt 6.2). Die zum Zwecke der Quantifizierung erwarteter auftretender Effekte verwendeten Erhebungsinstrumente werden daraufhin vorgestellt (vgl. Abschnitt 6.3). Im Anschluss daran wird die Durchführung der Studie (vgl. Abschnitt 6.4) sowie die Codierung und Beurteilung der Schülerantworten im Pretest und Posttest (vgl. Abschnitt 6.5) erläutert. Das Kapitel schließt mit einer Vorstellung der in dieser Arbeit verwendeten statistischen Auswertungsmethoden, die zur Ermittlung der im nächsten Kapitel beschriebenen Ergebnisse der Studie verwendet wurden (vgl. Abschnitt 6.6).

6.1 Erhebungsdesign und Stichproben In diesem Abschnitt wird ein Überblick über das der Studie zugrunde liegende Erhebungsdesign sowie die beiden untersuchten Stichproben tendenziell leistungsstärkerer und eher leistungsschwächerer Schülerinnen und Schüler gegeben. Dabei wird detailliert auf die Zuteilung der Schülerinnen und Schüler zu den Interventionsgruppen eingegangen. Darüber © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 F. Reinhold, Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive, Studien zur theoretischen und empirischen Forschung in der Mathematikdidaktik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-23924-4_7

176

6 Design und Methode der Studie

hinaus werden die durch das Zuteilungsverfahren resultierenden Gruppen deskriptiv in Bezug auf Größe, ihre Geschlechterverteilung und ihre Klassenstärken analysiert und jeweils ein Vergleich der Teilstichproben durchgeführt.

6.1.1 Design der Studie Zum Zweck der quantitativen Untersuchung der im vorhergehenden Kapitel formulierten Forschungsfragen wurden Daten im Zuge einer Interventionsstudie mit Pre- und Posttest und Kontrollgruppe erhoben. Zur Erfassung von Effekten auf den Regelunterricht wurde dabei ein quasi-experimentelles Design mit Zuteilung von Schulklassen zu spezifischen Interventionsgruppen zugrunde gelegt, deren Realisierung in Abschnitt 6.1.2 dargestellt wird. Dabei wurden Einflüsse des entwickelten Unterrichtsmaterials sowie der Verwendung des iPads untersucht: 1. Material: Es können Effekte durch das im Sinne der Kapitel 2 und 3 nach fachdidaktischen und psychologischen Kriterien aufbereitete Material erwartet werden. Die beiden entwickelten Lernumgebungen (iBook und Arbeitsbuch, vgl. Abschnitt 6.2) fokussieren auf notwendige Konzeptwechsel bei der Zahlbereichserweiterung von natürlichen Zahlen zu Bruchzahlen, um einer intuitiven Kontrastierung durch einen Natural Number Bias vorzubeugen. Weiter ist das erstellte Material im Bezug auf den beständigen und angeleiteten Wechsel zwischen unterschiedlichen Repräsentationen von Bruchzahlen abgestimmt auf fachdidaktische Forderungen zum Bruchrechenunterricht. Darüber hinaus wurde das Lehrwerk vor dem Hintergrund der Cognitive Load-Theorie als multimediales Material erstellt, verbunden mit dem Ziel, irrelevante kognitive Belastung bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffes im Regelunterricht zu minimieren. 2. Medium: Es können Effekte durch die Verwendung einer digitalen Lernumgebung auf Tablet-PCs (hier konkret: iPads) erwartet werden. Mit Hinblick auf interaktive Inhalte, einer Interaktion zwischen Lernenden und Lernumgebung mittels passende Gesten auf einem berührungsempfindlichen Touchscreen, einer adaptiven Anpassung der Aufgabenschwierigkeiten an das individuelle Leistungsniveau der Schülerinnen und Schüler sowie Feedback auf spezifische Schülerantworten, kann ein Effekt durch den Einsatz digitaler Unterrichtsmedien erwartet werden (vgl. Kapitel 4). Zur Unterscheidung dieser beiden möglichen Einflussfaktoren lag der Studie dabei ein konstruktiver Forschungsansatz (en.: constructive research strategy) (Collins, Dziak & Li, 2009; Perri et al., 1988; West, Aiken & Todd, 1993; West & Aiken, 1997; G. T. Wilson, 1978) mit drei Interventionsgruppen zugrunde, der nachfolgend erläutert wird: • iPad-Gruppe: Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppe arbeiteten im Regelunterricht mit dem aufbereiteten Material in Form eines interaktiven Lehrbuches auf iPads. Sie erhielten damit die Möglichkeit in vollem Umfang (vgl. Abbildung 5.1, S. 168) von der entwickelten Lernumgebung zu profitieren.

6.1 Erhebungsdesign und Stichproben

177

• Arbeitsbuchgruppe: Schülerinnen und Schüler der Arbeitsbuchgruppe arbeiteten während des Unterrichts mit einer papierbasierten und als Buch gedruckten Form des entwickelten Materials ohne Rückgriff auf digitale Medien1 . Dabei kann insbesondere der Inhalt als weitgehend identisch2 bezeichnet werden. Sie konnten daher nicht von den in das iBook implementierten zusätzlichen Möglichkeiten digitaler Medien (hier: interaktive Inhalte, passende Fingerbewegungen, adaptive Aufgabenschwierigkeit und individuelles Feedback) profitieren. • Kontrollgruppe: Die Kontrollgruppe wurde unter Rückgriff auf traditionelle Lehrbücher und ohne digitale Medien1 unterrichtet, sodass weder von einem Einfluss durch das entwickelte Material, noch durch die Verwendung des iPads als Unterrichtsmedium ausgegangen werden kann. Ein derartiger konstruktiver Forschungsansatz, der mit den drei verwendeten Interventionsgruppen in Tabelle 6.1 nochmals übersichtlich zusammengefasst ist, erscheint zur Beantwortung der Forschungsfragen und der Unterscheidung der beiden möglichen Einflussfaktoren Material und Medium, bzw. iPad geeignet3 . Weiter wurden mögliche Einflüsse des Materials sowie des Mediums auf Schülergruppen mit unterschiedlichen Voraussetzungen untersucht. Dabei wurde eine Unterscheidung leistungsstärkerer und leistungsschwächerer Schülerinnen und Schüler durch eine Untersuchung von Lernenden an zwei verschiedenen Schultypen – Gymnasien und Mittelschulen4 – operationalisiert. Grundlage für diese Operationalisierung sind Ergebnisse standardisierter 1 Insbesondere standen den Schülerinnen und Schülern der Arbeitsbuch- und Kontrollgruppe keine iPads,

andere Tablet-PCs oder Computer zur Verfügung, mit denen sie selbst arbeiten konnten. Es kann jedoch nicht ausgeschlossen werden, dass sich während der Intervention auch in den Unterrichtsräumen der der Arbeitsbuch- oder Kontrollgruppe zugeteilten Klassen vereinzelt etwa Beamer, Dokumentenkameras oder interaktive Whiteboards befanden, die durch die Lehrkräfte verwendet wurden. Allerdings entspricht ein hypothetischer Einsatz digitaler Medien auf diese Art nicht der dieser Arbeit zugrunde liegenden Definition des Arbeitens mit interaktiven Lernumgebungen (vgl. Kapitel 4). 2 Die Vergleichbarkeit der verwendeten Lehrwerke wird in Abschnitt 6.2.2 detailliert dargestellt. 3 Der vorgestellte konstruktive Forschungsansatz kann auch als unvollständiges 2 × 2 Design bezeichnet werden (Döring & Bortz, 2016). Insbesondere fehlt der Studie eine vierte Interventionsgruppe (kein aufbereitetes Material, jedoch iPads als Unterrichtsmedium). Eine solche Gruppe erweist sich jedoch aus Ermangelung vergleichbarer interaktiver Lernumgebungen als nicht realisierbar. Etwaige Effekte des iPads sind daher nicht als Haupteffekte, sondern stets als Effekte des Mediums unter der Voraussetzung des aufbereiteten Materials zu interpretieren. Da das Ziel dieser Arbeit nicht eine pauschale Antwort zur Wirksamkeit digitaler Medien im Allgemeinen ist – und eine Beantwortung dieser Frage mit einer einzigen exemplarischen Studie auch nicht möglich erscheint (vgl. Abschnitt 4.1) – kann angenommen werden, dass sich das unvollständige Design nicht als nachteilig erweist, sondern zur Beantwortung der Fragen geeignet ist. 4 Das bayerische Regelschulsystem unterscheidet bei weiterführenden Schulen zwischen Mittelschulen, Realschulen und Gymnasien. Der Begriff Mittelschule bezeichnet dabei den bis zum Schuljahr 2011/2012 als Hauptschule betitelten Schultyp zur Vorbereitung auf einen Mittelschulabschluss nach Jahrgangsstufe 9, bzw. der mittleren Reife nach Jahrgangsstufe 10 (KM Bayern, 2017). Das Gymnasium vermittelt in einer – zum Zeitpunkt der Durchführung der Studie – achtjährigen Ausbildung eine vertiefte allgemeine Bildung zur Erlangung der allgemeinen Hochschulreife (KM Bayern, 2012).

178

6 Design und Methode der Studie

Tabelle 6.1 Design der vorliegenden Studie nach einem konstruktiven Forschungsansatz mit gestuftem Treatment und zwei Experimentalgruppen sowie einer Kontrollgruppe. Gruppe Kontrollgruppe Arbeitsbuchgruppe iPad-Gruppe

aufbereitetes Material

Medium iPad

nein ja ja

nein nein ja

Tests aufgrund derer angenommen wird, dass im Fach Mathematik Schülerinnen und Schüler der Mittelschule als eher leistungsschwächer und Lernende am Gymnasium als tendenziell leistungsstärker bezeichnet werden können (z. B. Götz, Lingel & Schneider, 2013; Hammer et al., 2016; Sälzer, Reiss, Schiepe-Tiska, Prenzel & Heinze, 2013). Da daher von maßgeblichen Leistungsunterschieden zwischen den beiden Schülergruppen ausgegangen werden kann, werden die beiden Erhebungen zum Teil getrennt voneinander ausgewertet und die jeweiligen Ergebnisse anschließend vergleichend diskutiert. Begriffsklärung

Im weiteren Verlauf der Arbeit werden die drei Interventionsgruppen im Rahmen eines konstruktiven Forschungsansatzes als iPad-Gruppe, Arbeitsbuchgruppe und Kontrollgruppe bezeichnet (vgl. Tabelle 6.1). Der Begriff Experimentalgruppen umfasst in dieser Arbeit die iPad- und Arbeitsbuchgruppe. Weiter sind unter Einflüssen durch das Material derartige Effekte zu verstehen, die durch die fachdidaktisch aufbereiteten Konzepte zur Bruchrechnung (vgl. Kapitel 2) und instruktionspsychologisch motivierte Handlungsempfehlungen zur Gestaltung multimedialer Lernumgebungen (hier im Sinne von Mayer (2009, 2014a): mit Texten und Bildern; vgl. Kapitel 3) erklärt werden sollen. Einflüsse, die darüber hinaus durch interaktive Inhalte in digitalen Lernumgebungen, passende Fingerbewegungen, eine adaptive Anpassung der Aufgabenschwierigkeit auf das individuelle Leistungsniveau der Schülerinnen und Schüler oder individuelles Feedback auf Schülerantworten erklärt werden sollen (vgl. Kapitel 4), werden kurz als Einflüsse durch das digitale Medium, bzw. konkret das iPad betitelt.

6.1.2 Beschreibung der Stichproben Insgesamt waren N = 1108 Schülerinnen und Schüler der sechsten Jahrgangsstufe in 45 unterschiedlichen Klassen an der Durchführung der Feldstudie an Gymnasien und Mittelschulen im Großraum München5 beteiligt. Davon besuchten 808 Sechstklässlerinnen und Sechstklässler in 29 verschiedenen Klassen das Gymnasium. Die 300 Mittelschülerinnen und Mittelschüler verteilten sich auf 16 Klassen. 5 Ein einziges Gymnasium, das mit zwei Klassen an der Studie beteiligt war, befindet sich in Augsburg. Es

kann davon ausgegangen werden, dass dies für die Interpretation der Ergebnisse nicht relevant ist, da Augsburg und München als strukturell weitgehend ähnliche Gebiete bezeichnet werden können.

6.1 Erhebungsdesign und Stichproben

179

Die Lernenden wurden für die Untersuchung des Regelunterrichts klassenweise den drei Interventionsgruppen zugeteilt. Eine nicht vollständig randomisierte Verteilung der Klassen auf die drei Interventionsgruppen erschien notwendig, da die Anzahl der iPads (und damit die Anzahl der Klassen, die mit iPads arbeiten konnten) begrenzt war. Eine vollständig zufällige Verteilung der sechs iPad-Klassen auf die teilnehmenden Schulen hätte daher zu einer Häufung von iPads an einzelnen Schulen führen können, wodurch eine Interpretation der Ergebnisse durch eventuell auftretende kontrastierende Effekte durch die Schulen hätte erschwert sein können. Die Zuteilung erfolgte daher nach folgendem teil-randomisierten Schema: (1) Den Schulen mit drei oder mehr teilnehmenden Klassen wurde zunächst eine iPadKlasse zugeteilt. Die übrigen iPad-Klassen wurden zufällig auf die Schulen mit zwei oder einer teilnehmenden Klasse verteilt. (2) Anschließend wurden an Schulen mit drei oder mehr teilnehmenden Klassen die Klassen ohne iPads im gleichen Verhältnis zufällig der Arbeitsbuch- und Kontrollgruppe zugeteilt. (3) Im nächsten Schritt wurden an Schulen mit zwei teilnehmenden Klassen, die im Schritt (1) eine iPad-Klasse zugeteilt bekommen hatten, die übrigen Klasse gleichmäßig der Arbeitsbuch- oder der Kontrollgruppe zugewiesen. (4) In Schulen mit zwei teilnehmenden Klassen, die in Schritt (1) keine iPads erhielten, wurde je eine Klasse der Arbeitsbuchgruppe, die andere Klasse der Kontrollgruppe zugeteilt. (5) Zuletzt wurden die Klassen der Schulen mit nur einer teilnehmenden Klasse derart der Arbeitsbuch- bzw. Kontrollgruppe zugeteilt, dass die Anzahl der Klassen in beiden Gruppen sowohl am Gymnasium als auch an den Mittelschulen weitgehend gleich war. Die anschließende Verteilung der Klassen auf die den Schulen zugeteilten Interventionsgruppen oblag aus organisatorischen Gründen sowie zum Zweck der Anonymisierung der Ergebnisse den jeweiligen Schulen selbst. Damit ergibt sich die im mittleren Teil der Tabelle 6.2 unter der Überschrift „Teilnahme an der Studie“ dargestellte Verteilung der Schülerinnen und Schüler auf die entsprechenden Interventionsgruppen. 6.1.2.1 Größe der Interventionsgruppen

Die ursprüngliche Stichprobengröße reduzierte sich für die in dieser Arbeit dargestellte Auswertung vor allem am Gymnasium erheblich. Zum einen sind für einen geringen Teil der Ausfälle das fehlende Einverständnis zur Teilnahme an den Erhebungen sowohl der Erziehungsberechtigten als auch der Kinder selbst und darüber hinaus das krankheitsbedingte Fehlen einzelner Kinder an einem der beiden Testterminen verantwortlich. Als Hauptgrund

180

6 Design und Methode der Studie

Tabelle 6.2 Überblick über Schülerinnen und Schüler der Studie an Gymnasien und Mittelschulen, die insgesamt an der Studie teilgenommen haben (links) und in denen das Treatment realisiert wurde (rechts). Teilnahme an der Studie

Realisierung des Treatments

Schulart

Gruppe

N

Pre

Post

beide

N

Pre

Post

beide

Gymnasium

iPad-Gruppe Arbeitsbuchgruppe Kontrollgruppe

172 337 299

163 331 285

159 320 266

156 318 263

172 194 163

163 189 154

159 183 138

156 182 138

Gesamt

808

779

745

737

529

506

480

476

iPad-Gruppe Arbeitsbuchgruppe Kontrollgruppe

111 100 89

109 87 87

107 71 82

105 64 82

111 84 72

109 71 70

107 71 67

105 64 67

Gesamt

300

283

260

251

284

250

245

236

1108

1062

1005

988

813

756

725

712

Mittelschule

Gesamt

Anmerkung. N = Anzahl der Schülerinnen und Schüler in den beteiligten Klassen; Pre = Pretest mitgeschrieben; Post = Posttest mitgeschrieben; beide = Sowohl Pretest als auch Posttest mitgeschrieben

für die erhebliche Reduzierung der Stichprobengröße ist jedoch die zum Teil erhebliche Abweichung von der vorab als Rahmenbedingung festgelegten Unterrichtszeit in einzelnen Klassen zu nennen, auf die in Abschnitt 6.4.4 detailliert eingegangen wird. Um repräsentative Aussagen zur Beantwortung der Forschungsfragen zu ermöglichen, wurden daher einzelne Klassen vollständig aus der Analyse ausgeschlossen. Eine Übersicht über die Verteilung der Schülerinnen und Schüler auf die drei Interventionsgruppen sowie ihre Teilnahme an Pre- und Posttest ist dem rechten Teil der Tabelle 6.2 unter der Überschrift „Realisierung des Treatments“ zu entnehmen. Für die beiden Schularten ergeben sich damit folgende für die Auswertung der Ergebnisse verwendete Größen der Interventionsgruppen: 1. Gymnasium: Insgesamt liegen die Ergebnisse von N = 476 Schülerinnen und Schülern am Gymnasium vor, die sowohl am Pretest, als auch am Posttest teilgenommen haben. Die Zuteilung der Klassen zu den Interventionsgruppen im Rahmen der durchgeführten Feldstudie führt damit zu 159 Kindern in der iPad-Gruppe, 183 Kindern in der Arbeitsbuchgruppe und 138 Kindern in der Kontrollgruppe. Damit unterscheidet sich die Größe der Interventionsgruppen am Gymnasium signifikant, χ2 (2) = 6.17, p < .05. Dieser Umstand wird im Rahmen der Wahl der statistischen Auswertungsmethoden aufgegriffen und diskutiert (vgl. Abschnitt 6.6.2). 2. Mittelschule: Aus statistischen Gründen konnten die Ergebnisse des Pretests an der Mittelschule nicht als Kovariate in einer Kovarianzanalyse der Posttestwerte verwendet werden (vgl. Abschnitt 7.2.3). Daher werden für die Auswertung der Ergebnisse an der

6.1 Erhebungsdesign und Stichproben

181

Mittelschule all die Schülerinnen und Schüler berücksichtigt, die am Posttest teilgenommen haben. Dies führt zu einer für die Auswertung relevanten Gesamtstichprobe an Mittelschulen von N = 245 Sechstklässlerinnen und Sechstklässlern, von denen 107 Kinder der iPad-Gruppe, 71 Kinder der Arbeitsbuchgruppe und 67 Kinder der Kontrollgruppe zugeteilt waren. Auch hier zeigt sich ein signifikanter Unterschied in der Größe der Interventionsgruppen, χ2 (2) = 11.89, p < .01, der ebenfalls in Abschnitt 6.6.2 vor dem Hintergrund statistischer Auswertungen diskutiert wird. Alle nachfolgenden Aussagen beziehen sich – wenn nicht ausdrücklich anders dargestellt – auf die zur Auswertung verwendeten Stichproben mit N = 476 Schülerinnen und Schülern am Gymnasium, bzw. N = 245 Schülerinnen und Schülern an der Mittelschule. 6.1.2.2 Geschlechterverteilung

Unter den N = 721 für die Auswertung berücksichtigten Kindern befanden sich 399 Jungen und 320 Mädchen6 , und damit signifikant mehr Jungen als Mädchen, χ2 (1) = 8.68, p < .01. Diese Beobachtung ist für beide Schularten ähnlich: 1. Gymnasium: In der Stichprobe am Gymnasium ist der Häufungsunterschied zwischen den 260 Jungen und den 214 Mädchen6 signifikant, χ2 (1) = 4.46, p < .05. Darüber hinaus unterscheiden sich auch die drei Interventionsgruppen hinsichtlich der Geschlechterverteilung signifikant, H (2) = 11.08, p < .01. Diese Unterschiede bestehen zwischen der iPad-Gruppe und der Kontrollgruppe, p < .05, sowie zwischen der Arbeitsbuchgruppe und der Kontrollgruppe, p < .01. 2. Mittelschule: Auch der Häufungsunterschied zwischen den 139 Jungen und den 106 Mädchen in der Mittelschule ist signifikant, χ2 (1) = 4.44, p < .05. Jedoch ist die Geschlechterverteilung in den drei Interventionsgruppen an der Mittelschule nicht signifikant unterschiedlich, H (2) = 3.65, p = .16. Weiter erweist sich der Unterschied in der Geschlechterverteilung zwischen Gymnasium und Mittelschule als nicht signifikant, χ2 (1) = 0.23, p = .63. Einen Überblick über die genaue Verteilung der weiblichen Schülerinnen und männlichen Schüler auf die drei Interventionsgruppen liefert Tabelle 6.3. 6.1.2.3 Klassengröße

Durch die unterschiedlichen Zielsetzungen der Ausbildung an Gymnasien und Mittelschulen in Bayern (KM Bayern, 2012, 2017) sind auch Unterschiede in den Klassengrößen zwischen den beiden Schulformen zu erwarten. Eine Bestimmung einer durchschnittlichen Klassengröße für die Gesamtstichprobe erscheint daher nicht sinnvoll. Für die beiden Schularten ist hinsichtlich der Anzahl der Schülerinnen und Schüler in den entsprechenden Klassen Folgendes zu bemerken. 6 Zwei Kinder am Gymnasium gaben ihr Geschlecht in keinem der beiden Tests an.

182

6 Design und Methode der Studie

Tabelle 6.3 Überblick über die Geschlechterverteilung in den Interventionsgruppen an Gymnasien und Mittelschulen. weiblich

männlich

nA

Schulart

Gruppe

N

abs.

rel.

abs.

rel.

abs.

rel.

Gymnasium

iPad-Gruppe Arbeitsbuchgruppe Kontrollgruppe

156 182 138

65 71 78

42 % 39 % 57 %

90 111 59

58 % 61 % 43 %

1 0 1

< 1% 0% < 1%

Gesamt

476

214

45 %

260

55 %

2

< 1%

iPad-Gruppe Arbeitsbuchgruppe Kontrollgruppe

107 71 67

50 24 35

47 % 34 % 52 %

57 47 32

53 % 66 % 48 %

0 0 0

0% 0% 0%

Gesamt

245

106

43 %

139

57 %

0

0%

721

320

44 %

399

55 %

2

< 1%

Mittelschule

Gesamt

Anmerkung. N = Gruppengröße; abs. = Anzahl der Schülerinnen bzw. Schüler; rel. = Anteil der Schülerinnen bzw. Schüler bezogen auf die jeweilige Zeile; nA = ohne Angabe des Geschlechts

1. Gymnasium: Die 476 Schülerinnen und Schüler verteilten sich auf 19 unterschiedliche Klassen an elf verschiedenen Gymnasien. Die durchschnittliche Klassengröße betrug knapp 28 Schülerinnen und Schüler (M = 27.8, SD = 2.5). Der Unterschied der Klassenstärken zwischen den drei Interventionsgruppen ist nicht signifikant, H (2) = 1.43, p = .49. 2. Mittelschule: Die 245 Schülerinnen und Schüler verteilten sich auf 14 unterschiedliche Klassen an sieben verschiedenen Mittelschulen. Die durchschnittliche Klassengröße betrug hier nur knapp 19 Schülerinnen und Schüler (M = 19.1, SD = 2.8). Der Unterschied der Klassenstärken zwischen den drei Interventionsgruppen ist auch an der Mittelschule nicht signifikant, H (2) = 2.76, p = .25. Im Durchschnitt befanden sich demzufolge knapp neun Schülerinnen und Schüler mehr in einer Klasse am Gymnasium als in Klassen an der Mittelschule. Dieser Unterschied in den Klassengrößen zwischen den Schulformen ist signifikant, t(26.8) = 9.33, p < .001.

6.2 Unterrichtsmaterial und Geräte In diesem Abschnitt werden neben den beiden in den Experimentalgruppen verwendeten Lernumgebungen auch die im Zuge der Intervention verwendeten Geräte beschrieben. Dabei wird zunächst die Arbeit an der Entwicklung des iBooks als gemeinsames Forschungsprojekt dargestellt und die unterschiedlichen Aufgabengebiete der am Projekt beteiligten Doktoranden aufgezeigt. Im Anschluss daran wird der Inhalt der digitalen Lernumgebung

6.2 Unterrichtsmaterial und Geräte

183

sowie der papierbasierten Version detailliert beschrieben und exemplarisch auf Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen den beiden Lernumgebungen hingewiesen. Darauf folgend wird die Inhaltsvalidität des entwickelten Unterrichtsmaterials vor dem Hintergrund geltender Curricula in Bayern diskutiert. Zuletzt werden die im Erhebungszeitraum verwendeten elektronischen Geräte benannt und beschrieben.

6.2.1 ALICE:Bruchrechnen als gemeinsames Forschungsprojekt Das Projekt ALICE:Bruchrechnen war ein unter dem Namen „Lernen mit dem Tablet-PC: Eine Einführung in das Bruchrechnen für Klasse 6“ von der Heinz Nixdorf-Stiftung im Zeitraum von Januar 2015 bis Dezember 2018 gefördertes Forschungsprojekt7 . Ziel des Projektes war die Entwicklung einer digitalen Lernumgebung für den Anfangsunterricht der Bruchrechnung zum Einsatz im Regelunterricht der sechsten Jahrgangsstufe sowie deren Evaluation mittels empirischer Untersuchungen. Grundlage für die Entwicklung der Lernumgebung als digitales und interaktives Buch (iBook) war dabei das in Abbildung 5.1 (S. 168) dargestellte theoriegestützte Modell, das sich in die drei Teilbereiche Inhalt, Design und Implementierung gliedert (vgl. Abschnitt 5). Dabei orientiert sich der Inhalt der Lernumgebungen an den in Kapitel 2 vorgeschlagenen Konzepten von Bruchzahlen, von denen angenommen wird, dass sie durch die Vermittlung konkreter Subkonzepte zur ganzheitlichen Entwicklung eines Bruchzahlbegriffs bei Schülerinnen und Schülern der sechsten Jahrgangsstufe beitragen können. Explizit wird der Inhalt der Lernumgebung in Abschnitt 6.2.2 beschrieben. Als theoretische Basis für das Design der Lernumgebung wurde auf die in Kapitel 3 ausführlich dargestellten Theorien zurückgegriffen. Insbesondere stand sowohl aus fachdidaktischer als auch aus psychologischer Sicht die Verwendung ikonischer Darstellungen von Brüchen im Fokus der Entwicklung. Weiter wurde zum Zweck der Minimierung irrelevanter kognitiver Belastung weitgehend auf lange Textpassagen innerhalb der Lernumgebung verzichtet sowie zentrale Inhalte einzeln auf (elektronischen) Buchseiten dargestellt. Zuletzt bilden die in Kapitel 4 dargestellten Theorien die Grundlage für die Implementierung der Inhalte in eine digitale Lernumgebung. Als zentrale Element sind hier die entwickelten interaktiven und adaptiven Elemente der digitalen Lernumgebung (vgl. Abschnitt 6.2.1.1) sowie die entwickelte Handschrifterkennung zur Eingabe von Ziffern und Zahlen (vgl. Abschnitt 6.2.1.2) zu nennen. Für die technische Umsetzung des iBooks wurde auf die frei verfügbare Gestaltungssoftware für digitale Bücher iBooks Author (Apple Inc., 2017) zurückgegriffen, die insbesondere die Möglichkeit bietet, interaktive Inhalte in Form von HTML5-Umgebungen – im weiteren Verlauf der Arbeit kurz Widgets genannt – in iBooks einzubinden. 7 Das Akronym ALICE

steht für Adaptive Learning In a Computer-supported Environment. Die Betreuung des Forschungsprojektes ALICE:Bruchrechnen oblag Frau Professorin Kristina Reiss vom Heinz-Nixdorf Stiftungslehrstuhl für Didaktik der Mathematik sowie Herrn Professor Jürgen Richter-Gebert vom Lehrstuhl für Geometrie und Visualisierung der Technischen Universität München. Neben dem Autor waren weiter die beiden Doktoranden Stefan Hoch und Bernhard Werner am Forschungsprojekt beteiligt.

184

6 Design und Methode der Studie

6.2.1.1 Technische Aspekte bei der Entwicklung des iBooks (1): Gestaltung der interaktiven Inhalte (Stefan Hoch)

Die digitale Lernumgebung verfügt über insgesamt 88 interaktive und von Hoch (in Vorb.) entwickelte Widgets, die sich in explorative Aufgaben und Übungsaufgaben gliedern lassen. Dabei kommt im Projekt ALICE:Bruchrechnen bei der Implementierung größtenteils CindyJS (von Gagern, Kortenkamp, Richter-Gebert & Strobel, 2016) und zum Teil JavaScript zum Einsatz. Hier werden neue Items innerhalb von Übungsaufgaben automatisiert nach unterschiedlichen Algorithmen generiert, die insbesondere adaptiv die Aufgabenschwierigkeit an das individuelle Leistungsniveau der Schülerin oder des Schülers anpassen (vgl. Abschnitt 4.3). Grundlage für diese adaptive Anpassung ist dabei die Lösung vorhergehender Items innerhalb einer Aufgabe (vgl. Hoch et al., 2016, für eine Darstellung der Realisierung der Adaptivität in der interaktiven Lernumgebung). Darüber hinaus erhalten Lernende bei der Arbeit mit der digitalen Lernumgebung erklärendes Feedback sowohl zu korrekten als auch zu falschen Bearbeitungen einzelner Aufgaben (vgl. Abschnitt 4.4), das ihnen augenblicklich nach der Bearbeitung angepasst an ihre Lösung präsentiert wird. Dabei wurden unterschiedliche Algorithmen zur Identifikation von typischen Schülerfehlern sowie geeigneten Erklärungen unter Rückgriff auf ikonische Darstellungen von Brüchen entwickelt. Exemplarisch kann hier das bei Aufgaben zum Größenvergleich eingesetzte Feedback-Tool genannt werden, das automatisiert auf der Grundlage der Eigenschaften der beiden zu vergleichenden Bruchzahlen eine geeignete eigenschaftsbasierte Strategie für den Größenvergleich auswählt, die – soweit möglich – auf arithmetische Operationen verzichtet. Dies ist in Abbildung 6.1 am Beispiel der Brüche 23 und 78 illustriert. Hier wählt das Feedback-Tool als Strategie den transitiven Vergleich mit Bezugszahl 1 unter Rückgriff auf ikonische Darstellungen am Balkendiagramm, was im konkreten Fall der beiden Bruchzahlen eine weitgehend plausible Strategie darstellt. Weiter können Schülerinnen und Schüler in einigen Widgets im Sinne eines Problem Completion-Effekts der Cognitive Load-Theorie auf abgestufte Lösungshilfen zurückgreifen, wenn sie Probleme bei der Lösung vornehmlich mehrschrittiger arithmetischer Aufgaben haben. Zusätzlich können diese Widgets Prozessdaten (z. B. Lösung korrekt oder nicht, Bearbeitungszeit, Art der Aufgabe, Fingerbewegungen, etc.) während der Intervention aufzeichnen, die weitreichende Informationen über den Ablauf der Unterrichtsstunden und das individuelle Arbeitsverhalten der Schülerinnen und Schüler mit dem interaktiven Lehrwerk im Regelunterricht liefern können. Die Auswertung der aufgezeichneten Prozessdaten ist nicht Teil der vorliegenden Arbeit. Eine erste Analyse der während der Intervention erhobenen Daten innerhalb der iPad-Gruppe liefern etwa Hoch, Reinhold, Werner, Richter-Gebert und Reiss (2018a) für eine Auswertung der Aufgabenlösungen unterschiedlicher Widgets in Bezug auf die Bearbeitungszeiten der iPad-Gruppe an Gymnasien mittels linearer Regression sowie Hoch, Reinhold, Werner, Richter-Gebert und Reiss (2018b) für eine mögliche Interpretation der Fingerbewegungen der Schülerinnen und Schüler an Gymnasien beim Lösen von Aufgaben am nicht vorunterteilten Kreis und Balken. Für eine detaillierte Darstellung der hier knapp zusammengefassten technischen

6.2 Unterrichtsmaterial und Geräte

185

Abbildung 6.1. Exemplarische Darstellung des adaptiven Feedbacksystems in Widget 75: Eine Schülerin oder ein Schüler markiert den falschen Bruch (oben) und erhält daraufhin detailliertes aufgabenbezogenes Feedback (unten).

186

6 Design und Methode der Studie

Umsetzungen bei der Entwicklung des iBooks sowie die Analyse der Prozessdaten der iPad-Gruppen sei an dieser Stelle auf Hoch (in Vorb.) verwiesen. 6.2.1.2 Technische Aspekte bei der Entwicklung des iBooks (2): Eingaben durch Handschrifterkennung (Bernhard Werner)

Die digitale Lernumgebung verfügt über eine von Werner (in Vorb.) entwickelte Handschrifterkennung für Ziffern und Zahlen. Entgegen gängiger Offline-Verfahren greift das in der digitalen Lernumgebung eingesetzte Verfahren nicht auf den Abgleich der Eingabe mit bestehenden Ziffernmustern nach entsprechender initialer Aufbereitung zurück, sondern als Online-Verfahren auf geometrische Eigenschaften der Eingaben der Schülerinnen und Schüler – im Folgenden Strokes genannt. Der Fokus liegt dabei nicht ausschließlich auf dem Aussehen des eingegebenen Symbols, sondern mehr auf dem Eingabeprozess und dem Kurvenverlauf des Strokes. Abbildung 6.2 stellt exemplarisch an der Eingabe der Zahl 20 die Übersetzung der Schülerhandschrift in eine in LATEX gerenderte Zeichenkette dar. Mathematische Grundlagen für die Interpretation der Strokes sind dabei Gauss-Filter zur initialen Aufbereitung der Strokes vor einer weiterführenden Verarbeitung mittels Fuzzy-Logik für den Abgleich der Eigenschaften eines Strokes mit a priori klassifizierter Eigenschaften der arabischen Ziffern. Für eine ausführliche Darstellung der hier knapp zusammengefassten Inhalte sei an dieser Stelle auf Werner (in Vorb.) verwiesen. Zusammenfassung

Als digitale und interaktive Lernumgebung wurde ein iBook zur Verwendung auf iPads entwickelt, in dem Widgets nicht nur adaptiv arbeiten und erklärendes Feedback geben, sondern zur Interaktion zwischen Lernenden und Lernumgebung auf weitgehend passende Gesten im Sinne einer Embodied Cognition-Theorie zurückgreifen. Im Kontext der Taxonomie für den Grad an Embodiment (Johnson-Glenberg et al., 2014, siehe auch Abschnitt 4.2.2) kann das iBook insgesamt im Grad 2 verortet werden. Insbesondere wird selbst in arithmetischen Aufgaben auf handschriftliche Eingaben der Ergebnisse ohne zusätzliche Eingabegeräte wie etwa elektronische Stifte (Stylus) zurückgegriffen, auch um den Grad der Immersion der digitalen Lernumgebung selbst in Aufgaben dieser Art weitgehend aufrecht zu erhalten. Die Funktionalität des iBooks wurde im Rahmen des gymnasialen Regelunterrichts ein Jahr vor der Durchführung der Studie pilotiert (vgl. Abschnitt 6.4.1). 6.2.1.3 Inhaltliche Aspekte bei der Entwicklung des iBooks

Basis für die Benennung der Inhalte stellen die zum Zeitpunkt der Studie geltenden Curricula in Bayern dar (ISB, 2004, 2007, 2009, siehe auch Abschnitt 6.2.3), die vor dem Hintergrund der in den Kapiteln 2, 3 und 4 zum Zweck dieser Untersuchung ausgewählt, strukturiert und aufbereitet wurden8 . Dabei spielten neben fachdidaktischen und psycholo8 Die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs erscheint unter anderem auch deshalb für eine empirische Untersu-

chung im Rahmen einer Feldstudie an unterschiedlichen Schulformen des dreigliedrigen Schulsystems

6.2 Unterrichtsmaterial und Geräte

187

Abbildung 6.2. Exemplarische Darstellung der Handschrifterkennung in Widget W17: Eine Schülerin oder ein Schüler notiert handschriftlich den Bruchteil 20 im dafür vorhergesehenen Feld (oben) und die korrekt interpretierte Eingabe wird als Ziffernfolge umgesetzt (unten).

188

6 Design und Methode der Studie

gischen Theorien zum Bruchzahlbegriff auch instruktionspsychologische Annahmen sowie Überlegungen zur geeigneten Implementierung passender Inhalte eine weitreichende Rolle, die nachfolgend exemplarisch anhand einiger konkreter Beispiele erläutert werden. Das während der Intervention verwendete digitale Lehrbuch (Hoch, Reinhold, Werner, Reiss & Richter-Gebert, 2018b) umfasst die Subkonzepte der drei in Abschnitt 2.3 vorgestellten Konzepte Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen und Größenvergleich. Der Inhalt verteilt sich in sieben Kapiteln auf insgesamt 55 zweispaltigen Seiten. Die Kapitel sind jeweils für eine Unterrichtszeit von zwei Unterrichtsstunden ausgelegt. Dabei wurden Implikationen der Cognitive Load-Theorie (z. B. Sweller et al., 2011, siehe auch Abschnitt 3.2) sowie der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens (z. B. Mayer, 2014a, siehe auch Abschnitt 3.3) für die Gestaltung multimedialer Lernumgebungen berücksichtigt. So wurden etwa die Seiten des iBooks im Sinne des Coherence-Prinzips weitgehend frei von irrelevanten Inhalten gestaltet. Als zentral zu bezeichnende Inhalte wurden im Sinne des Signaling-Prinzips durch wiederkehrende Elemente (z. B. Farbeinsatz, Typographie, Rahmen, etc.) hervorgehoben und die Inhalte vor dem Hintergrund der Minimierung eines Natural Number Bias im Sinne des Isolated Interacting Elements-Effektes geeignet strukturiert und verteilt. Vor dem Hintergrund eines Variability-Effektes sowie des integrativen Modells des Text- und Bildverstehens (z. B. Schnotz, 2014, siehe auch Abschnitt 3.4) steht die fachdidaktisch formulierte Forderung nach einem beständigen und angeleiteten Wechsel zwischen unterschiedlichen Darstellungen von Brüchen – der Wechsel zwischen ikonischen und symbolischen Repräsentationen wie auch der Wechsel zwischen verschiedenen ikonischen Darstellungen – im Fokus der gesamten Lernumgebung. Die Entwicklung des gedruckten Arbeitsbuches im Format DIN A5 als zweite, multimediale und papierbasierte Lernumgebung zur hauptsächlichen Verwendung in der zweiten Experimentalgruppe (Arbeitsbuchgruppe) kann als Reduktion des entwickelten iBooks um die in Kapitel 4 dargestellten Möglichkeiten digitaler Medien (hier konkret: Embodiment, Adaptivität und Feedback) sowie jedweder interaktiver Inhalte verstanden werden. Neben einem weitgehend identischen Layout auf 110 Buchseiten9 verfügt das Arbeitsbuch analog zum iBook über 88 Aufgaben, die auf der Basis der Widgets nach der Fertigstellung der digitalen Lernumgebung erstellt wurden. Dabei verfügen Aufgaben zumeist über bis zu sechs Unteraufgaben, deren Schwierigkeitsgrad jeweils – anlog zum Prozedere in traditionellen Schulbüchern – ansteigend gewählt wurde. Insbesondere stehen der internationalen Fachöffentlichkeit die final nach der Durchführung der Interventionsstudien überarbeiteten Versionen der beiden Lernumgebungen zur Verfügung (Hoch, Reinhold, Werner, Reiss & Richter-Gebert, 2018a, 2018b). geeignet, da zum Zeitpunkt der Durchführung geltende Curricula die in Abschnitt 2.3 detailliert aufbereiteten Inhalte in weitgehend ähnlicher Art und Weise zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe verorten (ISB, 2004, 2007, 2009). Insbesondere erscheint dadurch nicht nur eine Erhebung an Gymnasien und Mittelschulen, sondern auch die Realisierung einer Kontrollgruppe, in denen Schülerinnen und Schülern anhand gängiger Schulbücher weitgehend identische Inhalte vermittelt werden, möglich. 9 Es ergibt sich für das Arbeitsbuch die doppelte Seitenanzahl wie für das iBook, da im iBook zweispaltige Doppelseiten, im Arbeitsbuch klassisch Buchseiten fortlaufend nummeriert werden (vgl. Abbildungen 6.4, 6.7 und 6.8).

6.2 Unterrichtsmaterial und Geräte

189

Zusammenfassung und Begriffsklärung

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird die digitale und interaktive Lernumgebung zur Verwendung auf iPads kurz als iBook bezeichnet. Das iBook stellt das in der iPad-Gruppe verwendete Unterrichtsmaterial dar. Darüber hinaus wird die multimediale und papierbasierte Version der Lernumgebung, die zum Zweck einer Verwendung in der zweiten Experimentalgruppe in Buchform in den Druck gegeben wurde, als Arbeitsbuch bezeichnet.

6.2.2 Inhalte der digitalen und multimedialen Lernumgebung In der nachfolgend dargestellten Beschreibung der Inhalte beziehen sich die Seitenzahlen auf die in der Intervention verwendeten Auflagen des iBooks und des Arbeitsbuches. Weiter werden neben der Beschreibung der Inhalte der jeweiligen Kapitel auch das iBook und das Arbeitsbuch an einigen Stellen exemplarisch gegenübergestellt10 . 6.2.2.1 Kapitel 1 – Eine Pizza wird geteilt

Thema des ersten Kapitels sind das Subkonzept Teil eines Ganzen unter Rückgriff auf ikonische Ganze (vgl. Abschnitt 2.3.1.1) sowie das Subkonzept Größenordnung (vgl. Abschnitt 2.3.1.4). Dabei wird auf die Verwendung diskreter und kontinuierlicher Ganzer am Kreis-, Rechteck- und Balkenmodell zurückgegriffen. Insbesondere werden Kreis und Rechteck durch die schülernahen Realkontexte runde Pizza und rechteckige Schokolade initial vorgestellt. Weiter werden die Begriffe Bruch, Zähler, Nenner und Bruchstrich unter Rückgriff auf 38 am Kreis- und 127 am Rechteckmodell eingeführt. Es wird darüber hinaus bereits dargestellt, dass Brüche auch mehr als ein Ganzes beschreiben können. Exemplarisch werden an dieser Stelle die beiden zunächst ähnlich erscheinenden Aufgaben W09 und W10 vorgestellt. In Widget W09 sollen Schülerinnen und Schüler an einem vorunterteilten Kreis den angegebenen Bruchteil markieren (vgl. Abbildung 6.3, oben). Durch die Vorunterteilung des Kreises sind dabei Lösungen unter Rückgriff auf Zählstrategien im Sinne des Subkonzeptes Teil eines Ganzen möglich. Der Arbeitsauftrag in Widget W10 ist zwar identisch, jedoch wird das Ganze hier als Kreis ohne Unterteilung dargestellt (vgl. Abbildung 6.3, unten). Die Aufgabe adressiert daher die Vorstellung der Schülerinnen und Schüler von einer Größenordnung der entsprechenden Bruchzahlen. Insbesondere können die Lernenden zur Lösung der Aufgabe nicht mehr auf Zählstrategien zurückgreifen, sondern müssen andere Lösungsstrategien entwickeln11 . 10 Das iBook (Hoch, Reinhold, Werner, Reiss & Richter-Gebert, 2018b) ist am Gymnasium in der 2. und an

Mittelschulen in der 3. Auflage verwendet worden. Das Arbeitsbuch (Hoch, Reinhold, Werner, Reiss & Richter-Gebert, 2018a) wurde am Gymnasium in der 1. und an Mittelschulen in der 2. Auflage verwendet. Die jeweiligen Überarbeitungen umfassen dabei lediglich marginale Änderungen, etwa die Verbesserung von Tippfehlern, sodass die verwendeten Auflagen als identisch bezeichnet werden können. 11 Für eine weitreichende Darstellung der unterschiedlichen Vorgehensweisen in der Bearbeitung von Aufgabe W09 von Schülerinnen und Schülern am Gymnasium wird an dieser Stelle auf Hoch, Reinhold, Werner, Richter-Gebert und Reiss (2018b) verwiesen.

190

6 Design und Methode der Studie

Abbildung 6.3. Exemplarische Aufgaben zum Teil vom Ganzen: Fokus auf die unterschiedlichen Subkonzepte Teil eines Ganzen am vorunterteilten Kreis in Aufgabe W09 (oben) und Größenordnung am kontinuierlichen Kreis in Aufgabe W10 (unten).

6.2 Unterrichtsmaterial und Geräte

191

Das Kapitel umfasst im iBook 14 Widgets, darunter vier explorative Aufgaben zur Motivation der Inhalte sowie zehn Aufgaben zur Einübung des vermittelten Stoffes, die sich auf acht Seiten des elektronischen Schulbuchs verteilen. Alle 14 Widgets wurden für das Arbeitsbuch in papierbasierter Form adaptiert. Der Inhalt des Kapitels ist dort auf 18 Seiten dargestellt. 6.2.2.2 Kapitel 2 – Den Anteil von etwas berechnen

Im zweiten Kapitel liegt der Fokus auf der arithmetischen Berechnung je eines der drei Elemente Bruchteil, Anteil oder Ganzem. Im Sinne des Subkonzeptes Teil eines Ganzen in formal, symbolischer Form sind in diesem Kapitel in allen gestellten Aufgaben die Ganzen durch den Nenner des Bruchteils teilbar, um Schülerinnen und Schülern ein operatives Vorgehen – wie in Abbildung 2.2 (S. 56) dargestellt – zu ermöglichen. Motiviert wird dieses Vorgehen durch eine explorative Aufgabe zum Wasserstand einer Karaffe mit 1000 ml Fassungsvermögen, die den Übergang zwischen diesem zweiten und dem vorhergehenden ersten Kapitel fließend gestalten soll. Am Beispiel von einem 43 Meter als drei Viertel von einer einen Meter langen Strecke wird der Sachverhalt in einem weiteren schülernahen Realkontext nochmals dargestellt. Anschließend wird die Berechnung des ursprünglichen Ganzen zunächst vor dem Hintergrund von Stammbrüchen thematisiert und daraufhin mittels des 43 Meters formalisiert. Daraufhin schließen sich Aufgaben zu anderen Kontexten an. Dabei wird sukzessive von Stammbrüchen zu echten Brüchen, deren Nenner nicht 1 entspricht, übergegangen. Die Inhalte sind im iBook in insgesamt acht Widgets, darunter vier explorative Aufgaben und vier Übungsaufgaben, auf sechs Seiten aufgeführt. Im Arbeitsbuch fasst das Kapitel zwölf Seiten, wobei auf identische Kontexte zur Exploration sowie weitreichend identische Übungsaufgaben zurückgegriffen wird. Ein Vergleich zwischen iBook und Arbeitsbuch exemplarische für Inhalte dieses Kapitels ist in Abbildung 6.4 dargestellt. Dabei soll an dieser Stelle insbesondere auf die nahezu identische Seitenaufteilung, die identischen Textpassagen sowie die Ähnlichkeit zwischen Aufgabe W19 in beiden Versionen der Lernumgebung hingewiesen werden. Insbesondere enthalten die im Arbeitsbuch (unten) dargestellten Aufgaben W19a bis W19d alle vier Kontexte, die in Widget W19 im iBook (oben) implementiert wurden und dort zufällig ausgewählt werden. 6.2.2.3 Kapitel 3 – Pizza und Schokolade verteilen

Kapitel 3 der Lernumgebung widmet sich der Vermittlung des Subkonzeptes Teil mehrerer Ganzer (vgl. Abschnitt 2.3.1.2). Dabei wird in der Hinführung zum Thema auf konkrete Verteilungssituationen von Pizza und Schokolade zurückgegriffen (z. B. Streefland, 1991, 1993). Exemplarisch für diese kontextualisierten Explorationsaufgaben kann an dieser Stelle Widget W23 gelten. Schülerinnen und Schüler sehen sich darin mit der Situation konfrontiert, nacheinander eine, zwei und drei Pizzen an jeweils vier Personen gerecht zu verteilen. Dabei könne im Sinne einer Passung von Gesten im Rahmen einer Embodied CognitionTheorie Pizzen durch eine Fingerbewegung diagonal durch die dargestellte Pizza in Stücke

192

6 Design und Methode der Studie

Den Anteil von etwas berechnen

Bruchzahlen und Bruchteile

Und umgekehrt ...? Wenn 13 einer Schulstunde 15 min dauert, wie lange ist dann eine ganze Schulstunde? 15 min · 3 = 45 min

Merke Brüche mit Zähler 1 z. B. 13 , brüche.

1 2

oder

1 7




heißen Stamm-

Wie du gerade gesehen hast, lässt sich das ursprüngliche Ganze sehr einfach berechnen, wenn der Anteil ein Stammbruch ist. Aufgabe 19

Gib das Ergebnis an.

1 4

a)

eines Baumstamms ist 3 Meter lang. Wie lang ist der ganze Baumstamm?

b)

1 6

einer Reise dauert 8 Tage. Wie lange dauert die ganze Reise?

c)

1 5

einer Müslipackung wiegt 80 Gramm. Wie schwer ist die ganze Müslipackung?

d)

1 3

Wir überlegen uns wieder mit einer Strecke, wie man vorgehen muss, wenn der Anteil kein Stammbruch ist.

Meter

Tage

Gramm eines Films dauert 25 Minuten. Wie lange dauert der ganze Film? Minuten 26

27

Abbildung 6.4. Exemplarischer Vergleich der beiden Lernumgebungen im Kontext des Subkonzeptes Teil eines Ganzen in der digitalen Variante als iBook (oben) und der papierbasierten Variante als Arbeitsbuch (unten).

6.2 Unterrichtsmaterial und Geräte

193

zerschnitten werden. Eine Veränderung der Position der Pizzastücke auf dem Bildschirm ist durch Fingerbewegungen möglich, die innerhalb der Stücke beginnen. Dabei wird im Fall des Zerschneidens der Pizza auf dem Touchscreen ein Messer, im Fall des Bewegens der Stücke eine menschliche Hand dargestellte. Die beschriebene Funktionalität ist in Abbildung 6.5 dargestellt. Im Arbeitsbuch müssen die Stücke der Pizza auf abgebildete Teller gezeichnet werden. Insbesondere ist die Anordnung der Teller sowie der Pizzen in beiden Lernumgebungen identisch. Ziel der Aufgabe ist an dieser Stelle ein explorativer Zugang zur Äquivalenz von 43 von einer Pizza und 41 von drei Pizzen (vgl. Abbildung 2.4, S. 59). Mittels der bereits im vorhergehenden Kapitel verwendeten einen Meter langen Strecke wird das operative Vorgehen formalisiert. Anschließend wird dargestellt, dass sich das Ergebnis in Aufgaben der Form 75 von 21 bei Vertauschung der Rechenoperationen Division durch den Nenner und Multiplikation mit dem Zähler nicht verändert, was daraufhin in arithmetischen Aufgaben zur Berechnung von Bruchteilen thematisiert wird. Dabei ist allen Übungsaufgaben in diesem Kapitel gemein, dass nicht das Ganze durch den Nenner des Anteils teilbar ist, sondern erst das Produkt aus Zähler des Anteils und Ganzen. Insbesondere ist zu erwarten, dass Schülerinnen und Schüler bei der Bearbeitung der Aufgaben an dieser Stelle noch nicht auf das Kürzen von Brüchen zurückgreifen können. Das Kapitel schließt mit einer Interpretation von Brüchen als Ergebnis eines Quotienten zweier beliebiger natürlicher Zahlen. Die Inhalte werden in acht Widgets auf sechs Seiten im iBook und dementsprechend zwölf Seiten im Arbeitsbuch dargestellt. Davon sind vier Aufgaben explorativ. Bei den restlichen vier Aufgaben handelt es sich um Übungsaufgaben. 6.2.2.4 Kapitel 4 – Verschiedene Brüche mit gleichem Wert

Thema des vierten Kapitels ist das Subkonzept Erweitern und Kürzen als Verfeinern und Vergröbern einer vorgegebenen Einteilung sowie die gleichnamigen arithmetischen Operationen zur Erzeugung wertgleicher Brüche mit unterschiedlicher symbolischer Darstellung (vgl. Abschnitt 2.3.2.1). Dabei wurde als erste Aufgabe das wiederholte Falten von Papier, das zu 43 gefärbt ist, als explorativer Ansatz gewählt. Da insbesondere eine adäquate Umsetzung dieser initialen enaktiven Aufgabe mit digitalen Medien weitgehend ungeeignet erscheint und die Aufgabe im Regelunterricht unter Rückgriff auf alltägliches Material eher einfach realisiert werden kann, wird sowohl in der digitalen als auch in der papierbasierten Lernumgebung an dieser Stelle das wiederholte Falten von Papier mit anschließender Benennung der neu entstandenen Bruchteile als konkreter Arbeitsauftrag gestellt. Im Anschluss daran wird sukzessive das formale Vorgehen beim Erweitern und Kürzen erarbeitet. Es ist zu erwähnen, dass hierbei der sichere Umgang mit ikonischen Darstellungen nicht ausschließlich als plausible Hinführung an das Erweitern und Kürzen in symbolischer Schreibweise, sondern als eigener Lerngegenstand verstanden wird. Ein angeleiteter Wechsel zwischen unterschiedlichen Repräsentationen von Brüchen, etwa die Interpretation von 36 2 54 = 3 als Vergröbern der vorgegebenen Einteilung, stellt auch in diesem Kapitel ein zentrales Merkmal dar. Dies kann exemplarisch auch durch die in Abbildung 6.6 aufgeführten beiden Widgets W43 und W45 illustriert werden. Sowohl Inhalt als auch Darstellung sowie

194

6 Design und Methode der Studie

Abbildung 6.5. Exemplarische explorative Aufgabe zum Subkonzept Teil mehrerer Ganzer in Widget W23: Eine Schülerin oder ein Schüler löst den Arbeitsauftrag, eine Pizza gerecht an vier Personen zu verteilen, durch Zerschneiden der Pizzen (oben) und anschließendes Verschieben der Stücke (unten).

6.2 Unterrichtsmaterial und Geräte

195

Abbildung 6.6. Exemplarische Aufgaben zum Erweitern als Verfeinern einer Einteilung: Für einen weitgehend ähnlichen Arbeitsauftrag wird in Widget W43 auf ikonische Darstellungen (oben) und in Widget W45 auf symbolische Darstellungen (unten) zurückgegriffen.

196

6 Design und Methode der Studie

Eingabe der Lösung werden in beiden Lernumgebungen in weitgehend identischer Art und Weise realisiert. Dabei soll jeweils die Frage beantwortet werden, mit welcher Zahl der dargestellte Bruch – dargestellt im Rechteckdiagramm (Widget W43, oben), bzw. in symbolischer Schreibweise (Widget W45, unten) – erweitert wurde, wobei Erweitern in beiden Fällen als Verfeinern der Einteilung interpretiert werden kann. Insbesondere greift das erklärende Feedback in Widget W43 auf symbolische Notation, in Widget W45 auf ikonische Darstellungen zurück – sowohl im Fall korrekter wie inkorrekter Lösungen. Darüber hinaus erfolgt in diesem Kapitel eine Einbettung der natürlichen Zahlen in den Kontext der Bruchzahlen (vgl. Abschnitt 2.3.2.2). Das Kapitel ist mit insgesamt 23 Widgets, darunter vier explorative Aufgaben, das umfassendste Kapitel der Lernumgebung. Die Inhalte sind im iBook auf neun Seiten, im Arbeitsbuch auf 18 Seiten dargestellt.

6.2.2.5 Kapitel 5 – Brüche auf dem Zahlenstrahl

Im Fokus des fünften Kapitels liegen Brüche als Maß auf dem Zahlenstrahl (vgl. Abschnitt 2.3.1.3) sowie anhand der Darstellung auf dem Zahlenstrahl das Erweitern als Zugang zur Dichte (vgl. Abschnitt 2.3.2.4). Dabei wird zu Beginn die Darstellung am Zahlenstrahl durch das Abrollen einer Kreislinie sowie das „Schrumpfen“ eines Balkendiagramms in vertikaler Richtung altersgerecht motiviert. Ziel des Kapitels ist eine sukzessive Befähigung zum Umgang mit dem Zahlenstrahl, insbesondere das Ablesen sowie das Markieren von Bruchzahlen. Hier wird zu Beginn auf Aufgaben zurückgegriffen, in denen sowohl die Länge des Zahlenstrahls seiner Einheit entspricht als auch die Einteilung des Zahlenstrahls passend zum Nenner des jeweiligen Bruches ist. Daraufhin wird zunächst ausschließlich die Länge des Zahlenstrahls, im Anschluss daran ausschließlich seine Einteilung variiert und zuletzt Variationen in beiden schwierigkeitsgenerierenden Dimensionen gleichzeitig vorgenommen (vgl. Tabelle 2.6, S. 63). Dabei wird in Verbindung mit Variationen der Einteilung das Subkonzept Dichte in Form einer Notwendigkeit der Verfeinerung der vorgegebenen Einheit thematisiert. Exemplarisch werden an dieser Stelle erneut die beiden Lernumgebungen gegenübergestellt. Abbildung 6.7 zeigt einen Ausschnitt des Kapitels im iBook (oben) und den entsprechenden Seiten im Arbeitsbuch (unten). Dabei kann wie zuvor auf die weitgehend identische Seitenaufteilung – links der zentrale Inhalt in prosaischer Form, rechts zwei Übungsaufgaben – hingewiesen werden. Hierbei ist zu erwarten, dass die für Aufgaben W62 und W63 ausgewählten Teilaufgaben im Arbeitsbuch auch bei einer Bearbeitung der Widgets im iBook in weitgehend ähnlicher Art und Weise auftreten können: Die Länge des Zahlenstrahls entspricht seiner Einheit, die Einteilung ist für die gesuchten Bruchzahlen zu grob und Hilfslinien sind durch die im Hintergrund liegende Karomusterung vorgegeben. Die Inhalte des Kapitels werden in insgesamt 13 Widgets, darunter fünf explorative Aufgaben sowie acht Übungsaufgaben, auf acht Seiten im iBook und auf 16 Seiten im Arbeitsbuch dargestellt.

6.2 Unterrichtsmaterial und Geräte

197

Brüche auf dem Zahlenstrahl

Merke Wenn die Einteilung auf dem Zahlenstrahl nicht ausreicht, muss sie verfeinert werden:

Bruchzahlen und Bruchteile

Aufgabe 62

Markiere den Bruch auf dem Zahlenstrahl.

a)

5 6

0

b)

5 8

0

c)

9 14

0

d)

1 6

0

e)

7 8

0

Aufgabe 63

1

1

1

1

1

Gib den markierten Bruch an.

a) 0

1

b) 0

1

c) 0

1

d) 0

1

e) 0 72

1 73

Abbildung 6.7. Exemplarischer Vergleich der beiden Lernumgebungen im Kontext des Subkonzeptes Dichte in der digitalen Variante als iBook (oben) und der papierbasierten Variante als Arbeitsbuch (unten).

198

6 Design und Methode der Studie

6.2.2.6 Kapitel 6 – Mehr als ein Ganzes

Kapitel 6 der Lernumgebung ist unechten Brüchen und dem Subkonzept Gemischte Schreibweise (vgl. Abschnitt 2.3.2.3) gewidmet. Thematisiert wird dabei auch erneut die Einbettung der natürlichen Zahlen in den Kontext der Bruchzahlen (vgl. Abschnitt 2.3.2.2) mit Augenmerk auf Brüche, die mehr als ein Ganzes darstellen. Dabei werden zunächst die Begriffe unechter Bruch, echter Bruch und gemischte Zahl am Zahlenstrahl motiviert und zur Vermittlung der zentralen Inhalte auf Darstellungen ähnlich Abbildung 2.9 (S. 74) zurückgegriffen. Das Kapitel verfügt über insgesamt sieben interaktive Widgets, darunter zwei explorative Aufgaben und fünf Übungsaufgaben. Im iBook sind die Inhalte auf sechs Seiten, im Arbeitsbuch auf zehn Seiten dargestellt. Kapitel 6 ist damit das kürzeste Kapitel der beiden entwickelten Lernumgebungen.

6.2.2.7 Kapitel 7 – Welcher Bruch ist größer?

Im letzten Kapitel 7 werden eigenschaftsbasierte und regelbasierte Vergleichsstrategien zum Größenvergleich von Brüchen thematisiert. Dabei werden analog zur Darstellung in Abschnitt 2.3.3 initial eigenschaftsbasierte Strategien unter Auswahl geeigneter Bruchzahlpaare vermittelt. Zunächst wird hier in direktem Anschluss an das vorhergehende Kapitel zu unechten Brüchen mit transitiven Vergleichsstrategien unter Rückgriff auf die Bezugszahl 1 begonnen. Aufbauend auf einer explorativen Aufgabe am Zahlenstrahl wird die Eigenschaft größer oder kleiner als ein Ganzes als eine einem Bruch inhärente Eigenschaft formuliert. Hierbei muss zunächst für einen einzelnen Bruch entschieden werden, ob er links oder rechts von der 1 liegt. Anschließend wird dieser Sachverhalt auf den Größenvergleich eines unechten und eines echten Bruches übertragen und vor dem Hintergrund ikonischer Darstellungen am Balkendiagramm als elaborierte Vergleichsstrategie für derartige Bruchpaare thematisiert – exemplarisch an einer Seite im iBook und den zugehörigen Buchseiten im Arbeitsbuch in Abbildung 6.8 gegenübergestellt. Hier entsprechen die im Arbeitsbuch gedruckten Teilaufgaben W75a bis W75e exakt den Items, die im iBook in Widget W75 nacheinander dargestellt werden. Im Anschluss wird Brüchen mit der Eigenschaft weniger oder mehr als die Hälfte eine zweite inhärente Eigenschaft zugeordnet, die – analog zum in Abbildung 6.8 skizzierten Verfahren – zu einer transitiven Vergleichsstrategie mit Bezugszahl 21 ausgebaut wird. Zudem werden eigenschaftsbasierte Strategien mit Bezug auf die Größe oder die Anzahl der Stücke etabliert, die im Anschluss darüber hinaus die Basis für die Vermittlung regelbasierter Strategien bilden. Das Kapitel verfügt über 15 interaktive Aufgaben, darunter vier explorative Aufgaben und elf Übungsaufgaben. Diese befinden sich im iBook auf elf, im Arbeitsbuch auf 23 Seiten. Einen zusammenfassenden Überblick über die Inhalte der entwickelten Lernumgebungen liefert Tabelle 6.4 mit konkreten Verweisen auf die Seitenzahlen im iBook und im Arbeitsbuch sowie einer Darstellung der jeweils adressierten Inhaltsbereiche.

6.2 Unterrichtsmaterial und Geräte

199

Welcher Bruch ist größer?

Bruchzahlen und Bruchteile

Nutze die Strategie, um die Aufgabe zu lösen:

Merke Unechte Brüche z. B.

6 5

sind mehr als ein Ganzes.

Sie sind immer größer als echte Brüche z. B.

.

Aufgabe 75

Welcher Bruch ist größer? Kreuze an.

a)

⇤

4 7

⇤

5 4

6 5

b)

4 ⇤ 5

⇤

9 8

7 8

c)

⇤

3 2

⇤

7 8

d)

13 ⇤ 12

⇤

27 30

e)

⇤

15 17

⇤

5 4

Also ist

90

7 8

6 7 > 5 8

91

Abbildung 6.8. Exemplarischer Vergleich der beiden Lernumgebungen im Kontext des Subkonzeptes Eigenschaftsbasierte Vergleichsstrategien mit Bezugszahl 1 in der digitalen Variante als iBook (oben) und der papierbasierten Variante als Arbeitsbuch (unten).

200

6 Design und Methode der Studie

Tabelle 6.4 Überblick über die Inhalte des entwickelten Lehrwerkes mit Vergleich zwischen iBook und Arbeitsbuch. Kapitel

Inhaltsbereiche

1 Eine Pizza wird geteilt 2 Den Anteil von etwas berechnen 3 Pizza und Schokolade verteilen 4 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert 5 Brüche auf dem Zahlenstrahl 6 Mehr als ein Ganzes 7 Welcher Bruch ist größer?

Anz. Aufg.

iBook

Arbeitsbuch

Teil eines Ganzen, ikonisch, kontinuierlich & diskret (Abschn. 2.3.1.1); Größenordnung (Abschn. 2.3.1.4) Teil eines Ganzen, formal, symbolisch (Abschn. 2.3.1.1) Teil mehrerer Ganzer (Abschn. 2.3.1.2)

14

2–9

2–19

8

10–15

20–31

8

16–21

32–43

Erweitern und Kürzen als Verfeinern und Vergröbern (Abschn. 2.3.2.1); Einbettung der natürlichen Zahlen (Abschn. 2.3.2.2) Maß auf dem Zahlenstrahl (Abschn. 2.3.1.3); Erweitern als Zugang zur Dichte (Abschn. 2.3.2.4) Gemischte Schreibweise (Abschn. 2.3.2.3); Einbettung der natürlichen Zahlen (Abschn. 2.3.2.2) Größenvergleich von Brüchen (Abschn. 2.3.3)

23

22–30

44–61

13

31–38

62–77

7

39–44

78–87

15

45–55

88–110

Anmerkung. Inhaltsbereiche des Kapitels mit Bezug auf die entsprechenden Abschnitte in Kapitel 2; Anz. Aufg. = Anzahl Aufgaben; Seitenzahlen: iBook = Seitenzahlen in der digitalen Lernumgebung, Arbeitsbuch = Seitenzahlen in der multimedialen und papierbasierten Lernumgebung

6.2.3 Inhaltsvalidität der Lernumgebung Vor dem Hintergrund der Durchführung einer Evaluation der entwickelten Lernumgebung im Regelunterricht der sechsten Jahrgangsstufe – insbesondere unter Rückgriff auf eine mit traditionellen Schulbüchern unterrichtete Kontrollgruppe12 – erscheint eine Überprüfung der Passung des Inhalts der entwickelten Lernumgebungen an zum Zeitpunkt der Durchführung der Studie geltenden Curricula notwendig. Dabei ist anzumerken, dass der Lehrplan für Gymnasien (ISB, 2009) umfassender formuliert ist als der Lehrplan für Mittelschulen (ISB, 2004). Weiter enthält das Curriculum der Mittelschule keine Angaben über die empfohlene Unterrichtszeit zur Vermittlung der intendierten Inhalte, sodass an dieser Stelle auf die Empfehlung aus dem Realschullehrplan zurückgegriffen wird. Daher wird im Folgenden auch auf den Lehrplan für Realschulen (ISB, 2007) Bezug genommen, obwohl die Studie nicht an diesem Schultyp durchgeführt wurde. Bezogen auf den In12 An

Gymnasien wurden in Klassen der Kontrollgruppe die Schulbücher bsv Mathematik 6 (Feuerlein, Joerchel & Stauch, 2004), delta neu 6 (Eisentraut & Schätz, 2009), Fokus Mathematik 6 (Focht-Schmidt, Schuster & Wagner, 2004) und Lambacher Schweizer Mathematik 6 (Schmid & Weidig, 2004) verwendet. Kontrollgruppenklassen an der Mittelschule griffen auf Lernstufen Mathematik 6 (Leppig, 2005), Formel 6 Mathematik (Sailer, Vollath & Weidner, 2010) und zum Teil auf Bruchrechnen in kleinen Schritten (Bettner & Dinges, 2008) zurück.

6.2 Unterrichtsmaterial und Geräte

201

halt der ersten Unterrichtsstunden der sechsten Jahrgangsstufe erscheinen die Curricula weitreichend ähnlich, an manchen Stellen sogar identisch. Eine Überprüfung der Inhaltsvalidität der entwickelten Lernumgebungen – sowohl in der Variante als digitales iBook, als auch als multimediales, gedrucktes Arbeitsbuch – wird auf der Basis einer Gegenüberstellung der Tabellen 6.4 und 6.5 vorgenommen. Tabelle 6.5 enthält dazu neben den konkreten Teilbereichen auch die in den Curricula der Schularten explizit benannten Lerninhalte. Zum Zweck eines einfacheren Vergleichs sind alle in Abschnitt 6.2.2 aufgeführten Inhaltsbereiche der Lernumgebungen in blauer Farbe hervorgehoben. Der Tabelle kann entnommen werden, dass die entwickelten Lernumgebungen Tabelle 6.5 Übersicht über die zu vermittelnden Inhalte zu Brüchen nach den gültigen Lehrplänen der sechsten Jahrgangsstufe für bayerische Mittelschulen (ISB, 2004, S. 159), Realschulen (ISB, 2007, S. 178) und Gymnasien (ISB, 2009, S. 29-31) unter Angabe der empfohlenen Unterrichtszeit. Schulart

Teilbereich

Mittelschule Bruchzahlen

Realschule

Menge Q+0 der positiven rationalen Zahlen Rechnen mit positiven rationalen Zahlen

Gymnasium Bruchteile und Bruchzahlen Addition und Subtraktion Multiplikation und Division Rechnen mit rationalen Zahlen

Inhalt

UE

Bruchzahlbegriff aufbauen durch: konkrete Handlungen, zeichnerische — Darstellungen, Rückgriff auf verschiedene Modelle; Bruch als Quotient; Unterscheidung: echter Bruch, unechter Bruch; unechte Brüche als gemischte Zahlen darstellen; Erweitern und Kürzen; Bruchzahlen ordnen; Bruchzahlen addieren und subtrahieren; Bruchzahlen multiplizieren; Bruchzahlen durch natürliche Zahlen dividieren; durch Bruchzahlen dividieren Brüche: Bruchteile von Größen, Einführung des Begriffs Bruch mit 13 Zähler und Nenner; positive rationale Zahlen als Wert eines Quotienten; Erweitern und Kürzen; gleichnamige Brüche; Größenvergleich von positiven rationalen Zahlen Addition und Subtraktion; Multiplikation und Division; Verbindung 22 der Grundrechenarten, auch mit Potenzen; Rechengesetze; Anwendung der Bruchrechnung in Realkontexten Bruchteile und ihre Veranschaulichung, auch in Kreisdiagrammen; Erweitern und Kürzen; spezielle Anteile in alternativer Schreibweise als Prozentsätze; Menge Q+ der positiven rationalen Zahlen: Brüche auf dem Zahlenstrahl; Brüche als Wert eines Quotienten Addition und Subtraktion von Brüchen und gemischten Zahlen allgemein; insbesondere Einführung des Begriffes des kleinsten gemeinsamen Vielfachen Multiplikation von Brüchen allgemein; Division von Brüchen allgemein Größenvergleich rationaler Zahlen; Rechenregeln für das Rechnen mit rationalen Zahlen; Verbindung der vier Grundrechenarten

13

10 15 14

Anmerkung. Für diese Arbeit zentrale Inhalte sind kursiv hervorgehoben; UE = empfohlene Zeitvorgabe in Unterrichtseinheiten laut Curriculum; im Lehrplan der Mittelschule werden keine Zeitvorgaben genannt

202

6 Design und Methode der Studie

jeweils alle Teilbereiche bis zum Beginn der Bruchrechnung enthalten. Lediglich die im gymnasialen Lehrplan zu Beginn des Bruchrechenunterrichts verortete alternative Schreibweise als Prozentsätze ist nicht Inhalt des iBooks oder des Arbeitsbuches. Darüber hinaus wird der Größenvergleich im Vergleich zum gymnasialen Lehrplan vor eine Behandlung der Bruchrechnung gezogen, was auch in traditionellen Schulbüchern gängige Praxis ist. Daher wird in dieser Arbeit angenommen, dass das iBook sowie das Arbeitsbuch inhaltsvalide vor dem Hintergrund der in Deutschland (hier konkret: Bayern) gültigen Curricula ist und ein geeignetes Lehrwerk darstellt, um die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs in den drei Schulformen zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe im Unterricht zu unterstützen. Ein exemplarischer Vergleich mit Inhalten anderer und außerhalb Deutschlands gültiger Curricula kann Anhang A.1 (S. 328) entnommen werden.

6.2.4 Verwendete elektronische Geräte Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppe arbeiteten während der Intervention jeweils mit einem der nachfolgenden beiden unterschiedlichen Typen elektronischer Geräte: • Apple iPad (5. Generation, 2017) mit einem 9.7 Zoll Touchscreen und 128 GB Speicherkapazität, Modellbezeichnung des Herstellers: MP2J2FD/A • Apple iPad Air (2. Generation, Ende 2014) mit einem 9.7 Zoll Touchscreen und 64 GB Speicherkapazität, Modellbezeichnung des Herstellers: MH182FD/A Dabei sind die beiden unterschiedlichen Modelle zum Zweck der Verwendung der interaktiven Lernumgebung weitgehend identisch. Insbesondere sind keine Leistungsunterschiede zwischen den beiden Modellen zu erwarten. Zur Organisation der Geräte standen den Lehrkräften der iPad-Gruppe während des Interventionszeitraums je ein Ergotron Tablet-Managementwagen mit einem Fassungsvermögen von 32 iPads (Modellbezeichnung des Herstellers: DM32-1004-2) zur Verfügung. Dieser Wagen ermöglicht ein gleichzeitiges und einfach zu realisierendes Laden der Geräte sowie einen sicheren Transport und eine platzsparende Aufbewahrung im Klassenraum.

6.3 Erhebungsinstrumente Es wurden Tests vor und nach der Intervention durchgeführt, wobei auf standardisierte, schriftliche Gruppentests zurückgegriffen wurde. Eine detaillierte Beschreibung des Ablaufs der Erhebungen wird in Abschnitt 6.4.3.3 dargestellt. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird die Erhebung vor der Durchführung der Intervention als Pretest, die nach Abschluss der Intervention als Posttest bezeichnet. Für diese Testungen wurden insbesondere grundlegend unterschiedliche Testhefte verwendet, die im Verlauf dieses Abschnittes vorgestellt werden. Zum Zweck einer Abbildung des Erfolges der Intervention im Rahmen des Regelunterrichts an Gymnasien und Mittelschulen wurden die beiden verwendeten Testinstrumente so

6.3 Erhebungsinstrumente

203

entwickelt, dass sie die individuellen Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler nahe an curricularen Anforderungen der sechsten Jahrgangsstufe abbilden. Die Erhebungsinstrumente wurden unter anderem vor diesem Hintergrund pilotiert (vgl. Abschnitt 6.4.2).

6.3.1 Pretest zu Vorerfahrungen des Bruchzahlbegriffs Der Pretest umfasst insgesamt elf Aufgaben in einem Testheft von vier Seiten. Er ist in Anlehnung an Padbergs (2002a) Test zu Anschaulichen Vorerfahrungen zum Bruchzahlbegriff und zu einfachen Rechenoperationen mit Brüchen in Modellierungskontexten konzipiert und enthält ausgewählte Items des Originaltestheftes in leicht modifizierter Form. Die Zielsetzung ist eine Erhebung von Vorstellungen zu Bruchzahlen vor einer ersten Auseinandersetzung mit Brüchen im Schulunterricht. Eine Übersicht über die einzelnen Items des Pretests, ihre konkreten Aufgabeninhalte sowie weitere Informationen über die Art ihrer Darbietung und des im Zentrum der Aufgabe stehenden Konzepts ist in Tabelle 6.6 dargestellt. Tabelle 6.6 Überblick über die Aufgabeninhalte des Pretests. Item

Aufgabeninhalt

B01 B02 B03 B04 B05 B06 B07 B08 B09 B10 B11

Bestimmen eines Bruchteils Benennen eines Anteils Ablesen vom Zahlenstrahl Bestimmen eines Anteils Bestimmen eines Bruchteils Benennen eines Anteils Kürzen von Brüchen Bestimmen eines Anteils Bestimmen eines Anteils Ursprüngliches Ganzes bestimmen Vergleich von Brüchen

Subitems

Format

Konzept

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4

o o o o o o g o o o g

TvG TvG TvG TvG TvG TvG EuK TvG TvG TvG GV

Anmerkung. Format: o = offen, g = geschlossen; Konzept: TvG = Teil vom Ganzen, EuK = Erweitern und Kürzen, GV = Größenvergleich

Der Test enthält in sechs der elf Aufgaben sogenannte Alltagsbrüche wie etwa 43 , 21 oder auch 31 , von denen angenommen werden kann, dass Schülerinnen und Schüler eine konkrete Größenvorstellung – gestützt durch Erfahrungen aus dem alltäglichen Leben – bereits vor dem Bruchrechenunterricht besitzen können (Padberg & Wartha, 2017). In den übrigen fünf Items wird auf Brüche wie etwa 23 und 51 zurück gegriffen, bei denen eine solche konkrete Größenvorstellung durch alltägliche Erfahrungen nicht unbedingt erwartet werden kann (Padberg, 2002b). Insgesamt sind neun Aufgaben offen gestellt, zwei Items liegen in geschlossener Form als Multiple Choice-Aufgaben vor. Da davon ausgegangen

204

6 Design und Methode der Studie

werden kann, dass Schülerinnen und Schüler zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe im Allgemeinen über wenig substantielles Wissen zu Bruchzahlen verfügen, das über laienhaftes Alltagswissen hinausgeht (Padberg, 2002b; Padberg & Wartha, 2017), liegt das Konzept Teil vom Ganzen mit neun der elf Items im Fokus des Pretests. Da erwartet werden kann, dass sich tragfähige Konzepte zum Erweitern und Kürzen sowie zum Größenvergleich nicht ohne Anleitung durch eine Lehrkraft im Mathematikunterricht aus alltäglichen Erfahrungen selbst entwickeln können (Padberg, 2002b; Padberg & Wartha, 2017), werden diese Konzepte im Pretest nur in jeweils einer einzigen Aufgabe adressiert. Der Pretest wurde den Schülerinnen und Schülern im Zuge der Interventionsstudie in einem vierseitigen Testheft präsentiert. Die Verteilung der einzelnen Items auf die drei Aufgabenseiten des Testheftes geschah weitgehend zufällig, wobei auf eine möglichst ökonomische Nutzung der Seiten geachtet wurde. Der in dieser Form entwickelte Pretest ist auf eine Durchführungsdauer von 15 Minuten ausgelegt. Das vollständige in der Studie verwendete Testheft ist Anhang A.3 zu entnehmen. Eine Evaluierung des Pretests vor dem Hintergrund bestehender Testgütekriterien wird in Abschnitt 7.1.1 vorgenommen.

6.3.2 Posttest zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffs Der Posttest enthält insgesamt 21 Items, von denen acht zum Zwecke einer genaueren Messung des zu untersuchenden mathematischen Gegenstandes über je zwei bis fünf Subitems verfügen. Insbesondere werden dabei Items verwendet, deren Lösung unterschiedliche mathematische Fähigkeiten erfordern, die im Folgenden erläutert und in Beziehung zu den Zielvorgaben eines kompetenzorientierten Mathematikunterrichts im Sinne der Bildungsstandards (KMK, 2003) gesetzt werden. 1. Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen: Aufgaben zum Umgang mit Visualisierungen ist in dieser Arbeit charakteristisch, dass zur Lösung mit ikonischen Darstellungen operiert werden muss. Dies umfasst konkret Aufgaben, in denen ein Bruch in ikonischer Darstellung entweder in symbolische Darstellung oder eine andere ikonische Darstellung überführt werden muss. Weiter werden dazu Items gezählt, in denen eine ikonische Repräsentation eines Bruches verändert werden muss, das Resultat aber in der selben Repräsentation vorliegt, wie zu Beginn der Aufgabe – etwa bei Aufgaben zum graphischen Kürzen oder Erweitern von Brüchen sowie das Arbeiten mit dem Zahlenstrahl als spezielle ikonische Darstellung. Aus einer curricularen Perspektive stellt dies einen Teilbereich der Kompetenz Mathematische Darstellungen verwenden dar (KMK, 2003), die unter anderem die Anforderungen, ikonische Darstellungen erstellen oder verändern zu können sowie zwischen verschiedenen Darstellungsformen wechseln zu können, umfasst (Leiß & Blum, 2010). 2. Arithmetische Fähigkeiten: Unter Aufgaben, die arithmetische Fähigkeiten adressieren, werden in dieser Arbeit Items verstanden, die sich durch die Anwendung arithmetischer Basisfertigkeiten – wie etwa den Grundrechenarten oder Kenntnissen über das

6.3 Erhebungsinstrumente

205

Einmaleins – lösen lassen. Hierzu werden etwa die nachfolgend exemplarisch genannten Aufgabentypen gezählt, die aus dem Bereich der in Abschnitt 2.3 dargestellten Konzepte von Bruchzahlen als Lerngegenstand der frühen Sekundarstufe stammen: Das Berechnen eines Bruchteils eines symbolisch dargestellten Ganzen, das Bestimmen eines ursprünglichen Ganzen bei vorgegebenem Anteil und Bruchteil in symbolischer Form, das Erweitern und Kürzen von Brüchen durch Multiplikation bzw. Division von Zähler und Nenner mit ein und derselben natürlichen Zahl sowie auch den Größenvergleich zweier symbolisch dargestellter Bruchzahlen unter Rückgriff auf regelbasierte Strategien. Im Zuge curricularer Anforderungen an den Mathematikunterricht sind diese Fähigkeiten der Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen zuzuordnen, die insbesondere die Kenntnis mathematischer Definitionen, Regeln und Algorithmen sowie das formal korrekte Arbeiten mit einfachen Termen umfasst (KMK, 2003). Es wird angenommen, dass hierfür etwa durch Üben „entlastende Routinen ausgebildet werden, die das Erkennen von Zusammenhängen und Strukturen erleichtern und das Betreiben von Mathematik ... ‚werkzeughaft‘ unterstützen können“ (Leiß & Blum, 2010, S. 47). 3. Fähigkeit geeignete Strategien zu erläutern: In Items dieser Art werden Kinder dazu aufgefordert, die von ihnen gewählte Lösungsstrategie verständlich darzulegen. Insbesondere werden keine formalen Einschränkungen für diese Erklärungen angegeben, sodass Lösungen in Form eines Fließtextes, unter Rückgriff auf mathematische Symbolik oder durch Verwendung ikonischer Darstellungen möglich sind. Diese Fähigkeit wird in den hier vorliegenden Testheften ausschließlich im Bezug zum Größenvergleich von Brüchen verwendet. Dabei wird als Adressat explizit ein Mitschüler angegeben. Fähigkeiten, die zur Bearbeitung dieser Aufgaben notwendig sind, werden in den Bildungsstandards in der Kompetenz Mathematisch kommunizieren zusammengefasst. Sie umfasst etwa die Anforderungen, Lösungswege und eigene Überlegungen in verständlicher Art und Weise darstellen zu können (KMK, 2003) sowie die adressatenbezogene und kohärente Präsentation eines mathematischen Sachverhaltes (Leiß & Blum, 2010). Begriffsklärung

Im weiteren Verlauf der Arbeit werden die aus der dargestellten Dreiteilung resultierenden Skalen dementsprechend mit den Begriffen Visualisierungen, Arithmetik und Erklären bezeichnet, bzw. in Abbildungen und Tabellen mit Visual., Arith. und Erkl. abgekürzt. Vor dem Hintergrund bestehender Modelle und Theorien zur Entwicklung mathematischen Verständnisses im Allgemeinen (vgl. Kapitel 1) und zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffes im Speziellen (vgl. Kapitel 2) wird in dieser Arbeit der folgende Standpunkt vertreten: Schülerinnen und Schüler können auch dann in der Lage sein auf arithmetische Fertigkeiten fokussierende Aufgaben vollständig korrekt zu lösen, wenn sie nur über oberflächliches Wissen von Bruchzahlen verfügen, das eher auf Regeln und Formalismen beruht. Darüber

206

6 Design und Methode der Studie

hinaus kann ein tiefgehenderes Verständnis des Bruchzahlbegriffs hilfreich sein, um typische Schülerfehler in reinen Rechenaufgaben – etwa in Folge einer intuitive Kontrastierung durch einen Natural Number Bias – zu vermeiden. Jedoch erscheint ein solches Verständnis nicht zwingend notwendig dafür, Aufgaben dieser Art vollständig korrekt lösen zu können. Demgegenüber wird angenommen, dass Kinder für eine erfolgreiche Bewältigung von Aufgaben, die den Umgang mit Visualisierungen oder das Erläutern von geeigneten Lösungsstrategien einfordern, über tragfähige Konzepte zum Bruchzahlbegriff verfügen müssen und insbesondere regelhaftes und syntaktisches Wissen über Brüche alleine nicht ausreicht, um zu einer akzeptablen Lösung zu gelangen (vgl. Abschnitt 2.1.4). Eine Entwicklung eines geeigneten Testinstruments für den Posttest erscheint dabei auch deshalb notwendig, da bisher verfügbare standardisierte Bruchrechentests in deutscher Sprache (z. B. Götz et al., 2013; Padberg, 1995) weitgehend auf arithmetische Basisfertigkeiten fokussieren und einen Wechsel zwischen unterschiedlichen Repräsentationen vordergründig im Bereich des Konzeptes Teil vom Ganzen einfordern. Darüber hinaus sind bestehende Tests für eine Prüfung am Ende der sechsten Jahrgangsstufe konzipiert, also nach einer Behandlung der Bruchrechnung im Mathematikunterricht. Entscheidend für die Fragestellung der in dieser Arbeit dargestellten Untersuchung erscheint jedoch der Leistungsstand und die Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler nach einer ersten und vergleichsweise kurzfristigen Auseinandersetzung mit dem Bruchzahlbegriff – insbesondere also zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe nach den ersten Unterrichtswochen. Aus diesen Gründen wurde der Posttest im Rahmen des Forschungsprojektes nahezu vollständig selbst entwickelt. Lediglich für die Skala Arithmetik wurde vereinzelt auf Items aus Padbergs (1995) Diagnostischen Test: Bruchzahlbegriff und Rechenoperationen mit gemeinen Brüchen sowie auf eine Aufgabe aus dem DEMAT 6+ (Götz et al., 2013) zurückgegriffen. Analog zum Pretest ist in Tabelle 6.7 eine Übersicht über die einzelnen Items des Posttests, ihre spezifischen Aufgabeninhalte sowie weitere Informationen über die Art ihrer Darbietung, den adressierten Fähigkeiten und des im Zentrum der Aufgabe stehenden Konzepts dargestellt. Das vollständige in der Studie verwendete achtseitigen Testheft liegt der Arbeit in Anhang A.3 bei. Er ist in der vorliegenden Form für eine Bearbeitung innerhalb von 55 Minuten ausgelegt. Eine Evaluierung des Posttest wird in Abschnitt 7.1.2 vorgenommen.

6.3.2.1 Skala Visualisierungen

Wie bereits ausführlich dargestellt sollen mit den Items der Skala Visualisierungen die Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler im Umgang mit Visualisierungen getestet werden. Die Skala umfasst insgesamt elf Aufgaben, von denen zwei über je vier bzw. fünf Subitems zur genaueren Messung des zugrunde liegenden Inhaltes verfügen. Zur Lösung von sechs Items ist das Konzept Teil vom Ganzen zentral, für drei Items ist das Konzept Erweitern und Kürzen von Bedeutung und bei zwei Items liegt das Konzept Größenvergleich im Fokus. Zur Validierung der auf der Basis dieser drei Konzepte durchgeführten Entwicklung der Items

6.3 Erhebungsinstrumente

207

Tabelle 6.7 Überblick über die Aufgabeninhalte des Posttests. Item

Aufgabeninhalt

A01 A02 A03 A04 A05 A06 A07 A08 A09 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 A21

Kürzen von Brüchen Ursprüngliches Ganzes bestimmen Bestimmen eines Anteils Bestimmen eines Bruchteils Kürzen von Brüchen Bestimmen eines Anteils Erweitern von Brüchen Gemeinsamen Nenner finden Kürzen von Brüchen Erweitern von Brüchen Ursprüngliches Ganzes bestimmen Bestimmen eines Anteils Bestimmen eines Bruchteils Eintragen am den Zahlenstrahl Vergleich von Anteilen Bestimmen eines Bruchteils Vergleich von Brüchen Ablesen vom Zahlenstrahl Vergleich von Brüchen Vergleich von Brüchen Vergleich von Brüchen

Subitems

Format

Skala

Konzept

3 1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 1 2 4 2 1 1 1 5 4

o o g o g o o o g o g o o o g o o o o g g

Arith. Arith. Visual. Arith. Visual. Visual. Arith. Arith. Visual. Visual. Arith. Visual. Visual. Visual. Visual. Arith. Erkl. Visual. Erkl. Arith. Visual.

EuK TvG TvG TvG EuK TvG EuK EuK EuK EuK TvG TvG TvG TvG GV TvG GV TvG GV GV GV

Anmerkung. Format: o = offen, g = geschlossen; Skala: Visual. = Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen, Arith. = Arithmetische Fähigkeiten, Erkl. = Fähigkeiten geeignete Strategien zu erklären; Konzept: TvG = Teil vom Ganzen, EuK = Erweitern und Kürzen, GV = Größenvergleich

wird im Zuge der Auswertung der Ergebnisse in Abschnitt 7.1.2 eine konfirmatorische Faktorenanalyse durchgeführt. 1. Subskala Teil vom Ganzen: In den sechs Items dieser Subskala ist stets ein Wechsel zwischen ikonischer und symbolischer Repräsentation notwendig. Die Schülerinnen und Schüler müssen dabei bei zwei Aufgaben ikonisch repräsentierte Brüche symbolisch benennen und in den übrigen vier Aufgaben symbolisch repräsentierte Brüche in einer vorgegebenen ikonischen Repräsentation darstellen. Dabei wird in zwei Items auf das Kreisdiagramm, in einem Item auf das Balkendiagramm, in einem weiteren Item auf eine diskrete Menge und in den zwei übrigen Items auf den Zahlenstrahl zurückgegriffen, sodass alle der in Kapitel 2 erläuterten ikonischen Darstellungen von Bruchzahlen im Posttest berücksichtigt werden. Exemplarisch für diese Subskala wird an dieser Stelle Item A18 (vgl. Anhang A.3, S. 341) vorgestellt. Vorgegeben ist ein Zahlenstrahl mit einer in Siebtel unterteilten Einheit,

208

6 Design und Methode der Studie

auf dem Brüche bis einschließlich 167 dargestellt werden können. Die Schülerinnen und Schüler sollen den durch einen Pfeil repräsentierten Bruch 47 ablesen und in Bruchschreibweise angeben. Diese Aufgabe kann daher im Sinne der in Abschnitt 2.3.1.3 vorgestellten Erläuterungen als kognitiv anspruchsvolle Aufgabe bezeichnet werden, da unter anderem die Länge des dargestellten Zahlenstrahls über die Einheit hinaus geht. Insbesondere können daher Fehler auf der Basis einer Striche-statt-Lücken-Strategie sowie einer Länge-ignoriert-Strategie erwartet werden (vgl. Tabelle 2.7, S. 63). Darüber hinaus stellen Brüche mit Nenner sieben keine gängigen Alltagsbrüche dar (Padberg, 2002b; Padberg & Wartha, 2017), sodass ein elaboriertes Wissen zum Bruchzahlbegriff zur Lösung der Aufgabe notwendig erscheint. 2. Subskala Erweitern und Kürzen: Die drei Items dieser Subskala adressieren ein Verständnis von Erweitern und Kürzen im Sinne eines Verfeinerns und Vergröberns einer vorgegebenen Einteilung (vgl. Abschnitt 2.3.2.1). Demzufolge thematisieren diese Aufgaben die Veränderung einer vorgegebenen ikonischen Darstellung von Bruchzahlen – in zwei Items muss eine solche dargestellte Veränderung korrekt interpretiert werden, im dritten Item muss diese Veränderung selbst durchgeführt werden. Zwei der Aufgaben behandeln das Kürzen von Brüchen, eine Aufgabe das Erweitern. Dabei wird in zwei Items auf eine Darstellung im Rechteckmodell, in einem Item auf eine Darstellung im Kreismodell zurück gegriffen. Exemplarisch für diese Subskala wird Item A05 (vgl. Anhang A.3, S. 337) detailliert vorgestellt. In dieser Aufgabe soll das Kürzen mit zwei am Beispiel eines im Rechteckmodell darstellten Bruches korrekt als Vergröberung der Einteilung interpretiert werden. Der 16 Ausgangsbruch 24 ist in einem 8 × 3-Stücke großen Rechteck dargestellt, von dem die oberen zwei Zeilen grau markiert sind. Den Schülerinnen und Schülern werden fünf Antwortmöglichkeiten präsentiert, die sich von der Ausgangsdarstellung lediglich in der Einteilung und/oder der schraffierten Fläche unterscheiden, nicht aber in der Größe des Rechtecks. Neben der korrekten Darstellung von 128 entsprechen die vier Distraktoren gängigen Schülerfehlvorstellungen. In einer Darstellung wird der Bruch nicht mit zwei gekürzt, sondern mit zwei erweitert – was zu einer feineren Unterteilung und demzufolge 32 48 führt. In einem Distraktor wird der Bruch nicht mit 2, sondern vollständig gekürzt, was zu einer Darstellung von 23 führt. In den beiden restlichen Distraktoren wird der repräsentierte Anteil, nicht jedoch die Unterteilung des Rechtecks verändert. Dabei kann davon ausgegangen werden, dass Schülerinnen und Schüler, die den Bruch 8 24 wählen, das Kürzen mit zwei fälschlicherweise als Division durch zwei interpretieren. 14 Einer Wahl der Antwort 24 kann eine fehlerhafte Interpretation von Kürzen mit zwei als Subtraktion von zwei Teilen zugrunde liegen. Es wird angenommen, dass zur korrekten Lösung des Items eine elaborierte Vorstellung von Kürzen als Verfeinern einer vorgegebenen Einteilung notwendig ist, die insbesondere über die Kenntnis arithmetischer Fähigkeiten hinaus geht.

6.3 Erhebungsinstrumente

209

3. Subskala Größenvergleich: Die beiden Items dieser Subskala enthalten jeweils vier Subitems im geschlossenen Single Choice-Format mit je zwei möglichen Antworten. In einem Item muss entschieden werden, ob in unterschiedlichen ikonischen Darstellungen mehr oder weniger als der symbolisch angegebene Bruch markiert ist. In der zweiten Aufgabe müssen die Schülerinnen und Schüler entscheiden, ob verschiedene symbolisch angegebene Bruchzahlen links oder rechts von einer auf dem Zahlenstrahl markierten Position liegen. Es ist daher insbesondere in beiden Items notwendig, zwischen ikonischer und symbolischer Repräsentation von Bruchzahlen zu wechseln. Exemplarisch für diese Subskala wird Item A15 (vgl. Anhang A.3, S. 340) vorgestellt. Ziel der Aufgabe ist es, in vier Subitems eine Entscheidung dafür zu treffen, ob in den unterschiedlichen ikonischen Darstellungen jeweils mehr oder weniger als 49 der Fläche grau gefärbt ist. Dabei wird auf vier verschiedene Anteile in vier unterschiedliche Darstellungen zurückgegriffen: 31 am in Drittel unterteilten Kreis, 41 am nicht-unterteilten Balken, 2 3 3 am in Drittel unterteilten gleichseitigen Dreieck sowie 6 am in Sechstel unterteilten regelmäßigen Sechseck. Zur Lösung der Aufgabe sind unterschiedliche Strategien denkbar. Neben dem konkreten Benennen der ikonisch dargestellten Brüche mit anschließendem Größenvergleich ist die Aufgabe etwa auch durch eine altersgerechte Vorstellung von der Größenordnung des Bruches 49 als etwas weniger als die Hälfte intuitiv lösbar. 6.3.2.2 Skala Arithmetik

Items der Skala Arithmetik adressieren arithmetische Basisfähigkeiten im Umgang mit Bruchzahlen, für die insbesondere Kenntnisse der vier Grundrechenarten sowie des Einmaleins notwendig sind. Die Skala umfasst insgesamt acht Aufgaben, von denen fünf zum Zweck einer genaueren Messung des mathematischen Gegenstands über je zwei bis fünf Subitems verfügen. Zur Lösung von vier Items ist das Konzept Teil vom Ganzen von Bedeutung, bei drei Items liegt das Konzept Erweitern und Kürzen im Fokus und bei einem Item ist das Konzept Größenvergleich von Bedeutung. Zur Validierung der dadurch entstehenden Subskalen wird im Zuge der Auswertung der Ergebnisse in Abschnitt 7.1.2 eine konfirmatorische Faktorenanalyse durchgeführt. 1. Subskala Teil vom Ganzen: Die vier Items dieser Subskala fokussieren auf ein Verständnis eines Bruches als Trias aus Anteil, Ganzem und Bruchteil in formal-symbolischer Darstellung (vgl. Abbildung 2.1, S. 53). Dabei muss in einer Aufgabe der Bruchteil, in einer Aufgabe der Nenner des Anteils und in zwei Aufgaben das ursprüngliche Ganze bestimmt werden. Es wird davon ausgegangen, dass diese Items unter anderem mit Kenntnissen über Rechenregeln vollständig lösbar sind. Exemplarisch für diese Subskala wird an dieser Stelle Item A16 (vgl. Anhang A.3, S. 340) vorgestellt. Die Aufgabe besteht aus zwei Subitems, in denen jeweils der Bruchteil vom Ganzen berechnet werden muss, konkret 35 von 45 und 47 von 42. Ausgehend vom Kenntnisstand der Schülerinnen und Schüler zum Zeitpunkt der Erhebungen erscheinen

210

6 Design und Methode der Studie

prinzipiell zwei Vorgehensweisen zur Lösung denkbar. Zum einen die Division des Ganzen durch den Nenner des Bruches mit anschließender Multiplikation des Ergebnisses mit dem Zähler des Bruches, zum anderen die umgekehrte Vorgehensweise mit initialer Multiplikation und anschließender Division. Insbesondere sind für die erstgenannte Lösungsstrategie nur Kenntnisse des kleinen Einmaleins, für die zweitgenannte Strategie Kenntnisse des großen Einmaleins – bzw. schriftliche Nebenrechnungen – notwendig. Eine Interpretation des Von-Operators als konkrete Multiplikationsvorschrift mit nachfolgender Lösung der Aufgabe als ba · c = a·c b erscheint eher unwahrscheinlich, da die Multiplikation von Brüchen mit natürlichen Zahlen zum Erhebungszeitpunkt noch nicht im Unterricht thematisiert wurde. Die beiden Subitems können in weitgehend identischer Art und Weise gelöst werden. 2. Subskala Erweitern und Kürzen: Die drei Items dieser Subskala verfügen über je zwei bzw. drei Subitems und fokussieren auf Erweitern und Kürzen als arithmetischen Rechenoperationen zur Erzeugung wertgleicher Brüche (vgl. Abbildung 2.8, S. 71). Dabei müssen in einem Item Brüche vollständig gekürzt werden, in einem Item ein gemeinsamer Nenner zweier angegebener Brüche durch Erweitern bestimmt werden und in einem Item fehlende Zähler bzw. Nenner so ergänzt werden, dass die dargestellten Aussagen korrekt sind. Insbesondere sind in allen Aufgaben lediglich Grundkenntnisse des kleinen Einmaleins notwendig. Exemplarisch für diese Subskala wird Item A01 (vgl. Anhang A.3, S. 336) vorgestellt. 18 21 In drei Subitems sollen dargestellte Brüche vollständig gekürzt werden, konkret 72 , 63 7 und 7 . Neben der vollständigen Lösung erscheinen dabei insbesondere in den ersten beiden Subitems auch nur teilweise korrekte Lösungen möglich, indem die Brüche zwar nicht vollständig, jedoch korrekt gekürzt werden. Durch das offene Aufgabenformat erscheinen für das dritte Item auch Schülerantworten wie „Geht nicht!“ möglich, die etwa durch eine Fehlinterpretation der syntaktischen Kürzungsregel erklärt werden können. Hier zeigte die Pilotierung des Posttests (vgl. Abschnitt 6.4.2), dass Antworten dieser Art tatsächlich zu erwarten sind. 3. Subskala Größenvergleich: Diese Subskala besteht lediglich aus Item A20 (vgl. Anhang A.3, S. 342). Die Aufgabe beinhaltet fünf Subitems, in welchen das korrekte Relationssymbol zwischen zwei vorgegebene Brüche notiert werden muss, konkret: 3 5 < , 7 7

4 4 > , 5 7

3 5 = , 9 15

20 9 > 21 10

und

15 16 > . 13 17

In Bezug auf einen Natural Number Bias ist dabei lediglich das erste Subitem kongruent zum Größenvergleich bei natürlichen Zahlen, während die restlichen Subitems inkongruent sind (vgl. Abschnitt 2.2.2). Insbesondere können hier verschiedene typische Schülerfehler beim Größenvergleich erwartet werden. Darüber hinaus erscheinen die letzten beiden Subitems unter Rückgriff auf eigenschaftsbasierte Vergleichsstrategien einfacher zu lösen als unter Verwendung regelbasierter Vergleichsstrategien. So sind etwa

6.3 Erhebungsinstrumente

211

16 für einen Größenvergleich von 15 13 und 17 unter Rückgriff auf gleiche Nenner Kenntnisse des großen Einmaleins oder schriftliche Multiplikationen notwendig, während die Aufgabe mittels einer transitiven Strategie mit der Bezugszahl 1 ebenfalls lösbar ist.

6.3.2.3 Skala Erklären

Die Skala Erklären umfasst Aufgaben, die auf die Fähigkeit geeignete Strategien zu erläutern fokussiert. Aus testökonomischen Gründen besteht sie lediglich aus zwei Items, in denen Schülerinnen und Schüler aufgefordert werden, ihr Vorgehen beim Größenvergleich von Brüchen an zwei inkongruenten Beispielen zwei fiktiven Mitschülern Tom und Paul begründet und verständlich zu erläutern13 . Ziel der Auswertung beider Items ist dabei nicht nur die Bewertung einer korrekten oder inkorrekten Lösung, sondern insbesondere auch die Identifizierung der konkret verwendeten Größenvergleichsstrategie bei korrekten Lösungen im Sinne des in Abschnitt 2.3.3 vorgestellten Konzepts Größenvergleich (vgl. Abschnitt 6.5.2 zur Kodierung der Strategien). Nachfolgend werden beide Items der Skala detailliert vorgestellt. 1. Item A17: In der ersten Aufgabe A17 (vgl. Anhang A.3, S. 341) muss zunächst bestimmt werden, welcher der Brüche 98 und 76 größer ist bzw. ob die Brüche gleich groß sind. Dabei ist die Aufgabe inkongruent zum Größenvergleich natürlicher Zahlen, da sowohl bei einem einseitigen Vergleich der Zähler als auch bei einem einseitigen Vergleich der Nenner in Folge eines Natural Number Bias davon auszugehen ist, dass Schülerinnen und Schüler fälschlicherweise 98 als den größeren der beiden Brüche identifizieren würden. Im zweiten Teil der Aufgabe soll dem fiktiven Mitschüler Tom die eigene Entscheidung darüber, welcher der beiden Brüche größer ist, erklärt werden. Hier kann erwartet werden, dass Schülerinnen und Schüler neben einer regelbasierten Lösung unter Rückgriff auf gleiche Nenner oder gleich Zähler auch auf transitive Strategien mit Bezugszahl 1 zurückgreifen werden. Auch erscheinen Lösungen mit Bezug auf konkrete ikonische Darstellungen der beiden Brüche wahrscheinlich, da Neuntel und Sechstel gut am Kreis oder Balken visualisiert werden können. 2. Item A19: In der zweiten Aufgabe A19 (vgl. Anhang A.3, S. 341) ist die Aussage eines fiktiven Mitschülers Uli, 58 sei kleiner als 105 , weil 8 kleiner sie als 10, als falsch deklariert. Die Anforderung an die Schülerinnen und Schüler in Item A19 ist, Uli plausibel zu erläutern, warum 58 > 105 gilt. Dabei ist die Größenvergleichsaufgabe erneut inkongruent, da bei einer Interpretation der Nenner als natürliche Zahlen in Folge eines Natural 13 Im Zuge einer curriculumnahen Testung könnten die beiden Items wohl auch der Kompetenz Mathe-

matisch argumentieren zugeordnet werden, da eigene Lösungswege begründet werden müssen (KMK, 2003). Mit Blick auf die Kodierung und Auswertung der Items, in denen der Schwerpunkt auf der Art der gewählten Strategie liegt – und damit maßgeblich vom Wortlaut der Erläuterungen bzw. den gewählten Darstellungen abhängt – ist für die Fragestellung dieser Arbeit jedoch eine Zuordnung zur Kompetenz Mathematisch kommunizieren eher geeignet.

212

6 Design und Methode der Studie

Number Bias Schülerinnen und Schüler Ulis Aussage fälschlicherweise als korrekte klassifizieren würden – eine Antwort, die auf der Grundlage der Pilotierung des Posttests (vgl. Abschnitt 6.4.2) durchaus von einigen Schülerinnen und Schülern zu erwarten ist. Denkbar sind hier semantische oder formalisierte Begründung aufgrund des gleichen Zählers der Brüche (vgl. Tabelle 2.16, S. 82) sowie ein Vergleich unter Bezug zu 21 oder unter Rückgriff auf geeignete ikonische Darstellungen. Weiter ist hier auch ein Vergleich durch ein Erweitern der Brüche auf einen gemeinsamen Nenner möglich.

6.4 Durchführung Im Verlauf dieses Abschnitts werden die einzelnen Schritte der Studie, angefangen bei der Pilotierung der interaktiven Lernumgebung sowie der Erhebungsinstrumente hin zur Durchführung der beiden Erhebungen an Gymnasien im Schuljahr 2016/2017 und Mittelschulen im Schuljahr 2017/2018, dargestellt. Eine vollständige Übersicht des zeitlichen Ablaufs des gesamten Forschungsprojektes liegt dieser Arbeit in Anhang A.2 bei.

6.4.1 Pilotierung der digitalen Lernumgebung Im Zeitraum von September bis Oktober 2015 wurde eine erste Version der digitalen Lernumgebung im Regelunterricht Mathematik in einer sechsten Klasse an einem Gymnasium pilotiert. Dabei arbeiteten die Kinder jeweils paarweise an einem iPad. Dieser erste Test diente vornehmlich der Identifizierung von Fehlern im iBook, Fehlern in der Programmierung der Widgets (vgl. Hoch, in Vorb., zur Programmierung der Widgets), der Verbesserung der Handschrifterkennung (vgl. Werner, in Vorb., zur Entwicklung der Handschrifterkennung) sowie einer nicht-standardisierten Rückmeldung der Schülerinnen und Schüler zum Umgang mit den Geräten und der Lernumgebung. Die Erkenntnisse, die in dieser Pilotierung gewonnen wurden, führten zur weitreichend überarbeiteten zweiten Auflage des digitalen Unterrichtswerks (Hoch, Reinhold, Werner, Reiss & Richter-Gebert, 2018b). Einige Ergebnisse der Pilotierung der digitalen Lernumgebung wurden im Rahmen eines gemeinsamen Konferenzbeitrages publiziert (Hoch et al., 2016).

6.4.2 Pilotierung der Erhebungsinstrumente Im September 2015 wurden die beiden entwickelten Erhebungsinstrumente, die in Abschnitt 6.3 vorgestellt wurden, an zwei Gymnasien im Einverständnis mit den Schulleitern, den Lehrkräften und den Schülerinnen und Schüler sowie ihren Erziehungsberechtigten pilotiert. Die Teilnahme an der Pilotierung der schriftlichen Tests erfolgte für die Schülerinnen und Schüler unbenotet und auf freiwilliger Basis. Die Durchführung der Erhebungen oblag dabei den Lehrkräften der jeweiligen Klassen. Die Kinder wurden vor den Erhebungen in mündlicher und schriftlicher Form über den Zweck des Tests sowie die freiwillige und unbenotete Teilnahme informiert.

6.4 Durchführung

213

Die Pilotierung des Pretests erfolgte mit 142 Schülerinnen und Schülern am Ende der fünften Jahrgangsstufe. Dabei kann angenommen werden, dass diese Kinder zum Zeitpunkt der Pilotierung über einen weitreichend ähnlichen Kenntnisstand zu Bruchzahlen verfügten wie Kinder vor der Intervention zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe. Dabei konnte die interne Konsistenz des Pretests mit elf Items als akzeptabel bezeichnet werden, ω = .81. Die Schülerinnen und Schüler lösten die Aufgaben im Mittel zu 54 % (SD = .24) korrekt. Zur Pilotierung des Posttests konnten die Antworten von 257 Schülerinnen und Schülern am Ende der sechsten Jahrgangsstufe verwendet werden. Hierbei ist davon auszugehen, dass diese Kinder über zum Teil deutlich elaboriertere Kenntnisse zu Bruchzahlen verfügen als Kinder nach Ende der Intervention, da sie nicht nur einige Wochen, sondern bereits ein ganzes Schuljahr mit Brüchen im Mathematikunterricht gearbeitete hatten. Die ursprüngliche Version des Posttests wies bei einem Umfang von 19 Items eine gute interne Konsistenz auf, ω = .88. Im Mittel lösten die Schülerinnen und Schüler am Ende der sechsten Jahrgangsstufe die Aufgaben zu 69 % (SD = .24) korrekt. Eine detaillierte Übersicht über die Ergebnisse der Pilotierungen der beiden Erhebungsinstrumente ist in Tabelle 6.8 dargestellt. Neben einer deskriptiven Skalenanalyse finden sich dort auch gängige Kennwerte zur Interpretation der internen Konsistenz der Skalen. Vor diesem Hintergrund können auch die drei Skalen Visualisierungen, Arithmetik und Erklären im Posttest als akzeptable bezeichnet werden (vgl. Abschnitt 6.6.1 für eine Grundlage zur Interpretation von McDonalds Omega). Tabelle 6.8 Ergebnisse der Pilotierung der Erhebungsinstrumente mit Angaben zur internen Konsistenz der Skalen sowie deskriptiver Skalenanalyse. Interne Konsistenz

Deskriptive Analyse

Erhebung

N

Skala

k

ω

95% CI

r

M

SD

Min

Max

v

Pretest

142

Gesamt

11

.81

[.77, .85]

—

.54

.24

.09

1.00

0.08

Gesamt

19a

.88

[.83, .91]

—

.69

.24

.00

.99 −1.59

8 8 2

.71 .80 .64

[.62, .77] [.75, .85] [.56, 1.0]

.24 .41 .42

.64 .70 .75

.25 .27 .36

.00 .00 .00

1.00 −1.04 .98 −1.19 1.00 −1.10

Posttest

247

Visualisierungen Arithmetik Erklären

Anmerkung. Erhebung = Erhebungsinstrument; N = Stichprobenumfang; Internen Konsistenz: k = Skalenlänge, ω = McDonalds Omega, 95% CI = 95 % Konfidenzintervall; r = Mittlere Inter-Item-Korrelation; Deskriptive Analyse: M = Mittelwert; SD = Standardabweichung, Min = Minimalwert, Max = Maximalwert, v = Schiefe; Skala: Visualisierungen = Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen, Arithmetik = Arithmetische Fähigkeiten, Erklären = Fähigkeiten geeignete Strategien zu erläutern; a Ein Item im pilotierten Posttest konnte keiner Skala zugeordnet werden und wurde für die Studie entfernt.

Die Ergebnisse der Pilotierung beider Erhebungsinstrumente dienten keiner Publikation sondern ausschließlich der Bewertung des Pre- und Posttests nach gängigen Gütekriterien sowie der Ausarbeitung der finalen Testhefte und Kodiermanuale. Infolge dieser Bewertung

214

6 Design und Methode der Studie

wurden geringe sprachliche Veränderungen an beiden Tests vorgenommen. Im Pretest wurden zwei Items entfernt, Item B10 neu hinzugenommen und die Reihenfolge der Aufgabe angepasst. Ein Item aus dem Posttest wurde in den Pretest als Item B07 verschoben, da dort vorrangig anschauliche Vorerfahrungen zum Bruchzahlbegriff geprüft wurden. Weiter wurde der Posttest wie folgt verändert: Item A03 wurde von einem offenen in ein geschlossenes Aufgabenformat überführt. Ein Item wurde aus dem Posttest entfernt. Die Reihenfolge der Aufgaben wurde geringfügig modifiziert. Darüber hinaus wurde der Test um die Items A14, A15 und A21 ergänzt und demzufolge die Bearbeitungszeit um zehn Minuten auf insgesamt 55 Minuten angehoben.

6.4.3 Ablauf der Interventionsstudie Vor der Durchführung der Interventionsstudie wurde die Genehmigung des Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst (KM Bayern) für die Durchführung an Gymnasien bzw. des Staatlichen Schulamts München für die Durchführung an Mittelschulen eingeholt14 . 6.4.3.1 Anwerbung der Schulen und Freiwilligkeit der Teilnahme

Die Teilnahme an der Studie war für die entsprechende Schulen und Lehrkräfte freiwillig. Insgesamt wurden im Zuge der Anwerbung von Schulen 49 Gymnasien und 44 Mittelschulen im Raum München postalisch über die Durchführung der Studie sowie die freiwillige Teilnahme an der Intervention informiert. Dabei wurde insbesondere darauf hingewiesen, dass die Teilnahme einer Schule an der Studie nicht zwangsläufig mit einer Auswahl einer der Klassen der Schule in die iPad-Gruppe einhergeht, sondern eine Zuteilung der Interventionsgruppen seitens der Forschungsgruppe geschieht. Auf dieses initiale Schreiben meldeten sich 33 % der Gymnasien (13 Zusagen, 3 Absagen) und 25 % der Mittelschulen (8 Zusagen, 3 Absagen) zurück. Der Unterschied im Anteil an Rückmeldungen ist zwischen den beiden untersuchten Schulformen nicht signifikant, χ2 (1) = 0.34, p = .56. Die Schulleitungen der Schulen, die Lehrkräfte sowie die Erziehungsberechtigten der Schülerinnen und Schüler, deren Lehrkräfte sich mit ihren Klassen für eine Teilnahme an der Studie entschieden hatten, wurden in detaillierten und individuellen Informationsschreiben über die Art und die konkrete Zielsetzung der Studie aufgeklärt. Diese Aufklärung enthielt für die Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppe sowie deren Erziehungsberechtigte insbesondere detaillierte Informationen darüber, dass die iPads anonymisiert nicht-personenbezogene Daten zur Nutzung der Geräte (sog. Prozessdaten, z. B. Lösungsraten, Bearbeitungszeiten, etc.) während des Mathematikunterrichts aufzeichnen würden (vgl. hierzu im Detail die Arbeit von Hoch, in Vorb.). Eine Teilnahme an den schriftlichen Erhebungen erfolgte für die Schülerinnen und Schüler unbenotet und auf freiwilliger Ba14 Die Durchführung der Studie wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissen-

schaft und Kunst für Gymnasien unter dem Geschäftszeichen X.7-BO5106/141/8 bzw. dem Staatlichen Schulamt München für Mittelschulen unter dem Geschäftszeichen SchR III / Erh106/1 genehmigt.

6.4 Durchführung

215

sis15 . Die Kinder wurden vor der Durchführung der schriftlichen Tests jeweils mündlich und schriftlich über diesen Umstand aufgeklärt. Ein Ethikvotum war für die Durchführung der Studie nach geltenden nationalen wie internationalen Standards nicht notwendig16 . 6.4.3.2 Schulung der Lehrkräfte

Vor Beginn der Intervention wurden die an der Studie teilnehmenden Lehrkräfte zu einer 90minütigen Informationsveranstaltung an die Technische Universität München eingeladen. Dieser Einladung folgten 15 der 29 Lehrkräfte an Gymnasien und alle 16 Lehrkräfte an Mittelschulen. Dabei wurden die Lehrkräfte erneut über die Zielsetzung und den Ablauf der Studie informiert und die für eine objektive Auswertung der Ergebnisse notwendigen Rahmenbedingungen dargestellt. Insbesondere wurden alle teilnehmenden Lehrkräfte über den Stundenumfang der Intervention von 15 Unterrichtsstunden sowie die konkreten Lernziele, die in dieser Zeit erreicht werden sollten, unterrichtet. Diese Schulung und Sensibilisierung der Lehrkräfte für die Teilnahme an einer empirischen Untersuchung erfolgte für Lehrerinnen und Lehrer aller Interventionsgruppen gemeinsam. Die Inhalte und der Ablauf der Informationsveranstaltungen für Lehrkräfte an Gymnasien im Schuljahr 2016/2017 und an Mittelschulen im Schuljahr 2017/2018 waren dabei identisch. Weiter erhielt jede an der Studie teilnehmende Lehrkraft eine 20-seitige Handreichung mit detaillierten Informationen zur Durchführung des Unterrichts während des Interventionszeitraums. Diese Handreichung war für Lehrkräfte aller Interventionsgruppen identisch. Insbesondere umfasste ihr Inhalt alle notwendigen Informationen der 90-minütigen Schulung und enthielt neben der Darstellung der Ziele der Studie sowie der konkreten Lernziele, die innerhalb des Interventionszeitraums erreicht werden sollten, Angaben zur Verwendung des iBooks bzw. des Arbeitsbuchs in den beiden Experimentalgruppen. Dabei wurden für spezifische Lernziele konkret Buchseiten und Aufgabennummern im iBook bzw. Arbeitsbuch angegeben. Es kann davon ausgegangen werden, dass es Lehrkräften der Kontrollgruppe durch die Lektüre der Handreichung nicht möglich war, den intendierten Unterricht in den Experimentalgruppen ohne das entsprechend aufbereitete Material zu adaptieren. 15 Da die Interventionsstudie im Rahmen des Regelunterrichts im Fach Mathematik über mehrere Wochen

hinweg genehmigt und durchgeführt wurde, konnten Schülerinnen und Schüler lediglich die Teilnahme an den Erhebungen sowie die Auswertung der Daten ihrer iPads, nicht jedoch die Teilnahme am Unterricht verweigern. Aufgrund der curriculumnahen Aufbereitung des Materials ist anzunehmen, dass eine Teilnahme am Mathematikunterricht im Zuge der Intervention Schülerinnen und Schülern der Experimentalgruppen nicht zum Nachteil gereicht. 16 Nach geltenden Standards der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) wird für Studien in sozialwissenschaftlichen Fächern – zu denen die empirische Bildungsforschung innerhalb der Mathematikdidaktik zu zählen ist – dann ein Ethikvotum benötigt, „wenn den untersuchten Personen Risiken zugemutet werden, die Untersuchung mit hohen (körperlichen oder emotionalen) Belastungen verbunden ist und/oder wenn die Untersuchten nicht restlos über Ziele und Verfahren der Studie aufgeklärt werden“ (DFG, Stand vom 01.12.2009). Da mit keinen derartigen Risiken zu rechnen war und sowohl Lehrkräfte, Schülerinnen und Schüler als auch deren Erziehungsberechtigten in vollem Umfang über die Art und Zielsetzung der Studie umfassend informiert wurden, war ein Ethikvotum daher nicht notwendig.

216

6 Design und Methode der Studie

In der Regel wurden die Tests von Mitarbeitern des Projektes nach einem standardisierten Leitfaden durchgeführt. Musste aus organisatorischen Gründen bei der Durchführung der schriftlichen Erhebungen auf die entsprechenden Lehrkräfte der Klassen zurückgegriffen werden, wurde ihnen der zweiseitige standardisierte Testleitfaden zum wortgetreuen Verlesen vor der Durchführung der Erhebungen zum Geleit an die Hand gegeben. Insbesondere kann davon ausgegangen werden, dass alle an der Studie beteiligten Lehrkräfte über die Relevanz einer objektiven Durchführung der Erhebungen ausreichend instruiert waren. Darüber hinaus erhielten Lehrerinnen und Lehrer der iPad-Gruppe am Tag der Anlieferung der Geräte eine etwa 30-minütige Einführung in die Handhabung der Geräte sowie des iPad-Wagens. 6.4.3.3 Durchführung der Intervention und der Erhebungen

Der Zeitraum der Studie umfasste sowohl an Gymnasien als auch an Mittelschulen die ersten Unterrichtswochen der sechsten Jahrgangsstufe. Die Erhebungen erfolgten vollständig anonymisiert mittels Personencodes. Die Intervention begann für alle Schülerinnen und Schüler unabhängig von ihrer Interventionsgruppe mit dem 15-minütigen Pretest, der zu Beginn der ersten der 15 Unterrichtsstunden sowohl an Gymnasien als auch an Mittelschulen von den Lehrkräften der jeweiligen Klassen selbst als schriftlicher Test durchgeführt wurde. Dabei standen den Schülerinnen und Schülern keine Hilfsmittel zur Verfügung. Die Lehrkräfte wurden mehrmals instruiert, keine Fragen während des Tests zu beantworten und sich wortgetreu an die Anweisungen der standardisierten Testinstruktionen zu halten, sodass eine objektive Durchführung der Erhebungen erwartet werden kann. Auf den Pretest folgend wurden die Schülerinnen und Schüler im Zuge des Regelunterrichts an ihrer Schule im Fach Mathematik unterrichtet. Dabei wird für die drei Interventionsgruppen von der folgenden Unterrichtsmethodik ausgegangen: • iPad-Gruppe: Allen Schülerinnen und Schülern der iPad-Gruppe wurde für die Dauer der Intervention je ein eigenes iPad zur Verfügung gestellt. Da die Geräte für den Zeitraum der Studie in den Schulen verbleiben mussten, wurde darüber hinaus jedem Kind ein gedrucktes Exemplar des Arbeitsbuches für die Arbeit zu Hause zur Verfügung gestellt. Lehrkräfte sowie Schülerinnen und Schüler wurden vorab darüber informiert, dass sie die Arbeitsbücher nach der Studie behalten durften, um einen möglichst flexiblen Einsatz der iPads im Regelunterricht zu ermöglichen. Die Lehrkräfte wurden angewiesen, zur Vermittlung des Stoffes auf die Inhalte des iBooks zurückzugreifen und insbesondere bei Explorationen zu Beginn einer Unterrichtseinheit sowie in Übungsphasen die interaktiven Widgets zu nutzen. Weiter wurden die Lehrerinnen und Lehrer instruiert, die Geräte in jeder Stunde für mindestens die Hälfte der Unterrichtszeit zu verwenden. Darüber hinaus wurde ihnen offen gestellt, wie der konkrete Einsatz der iPads in ihrem Unterricht erfolgte – insbesondere wurden keine konkreten Instruktionen für die Arbeit im Klassenverband bzw. Einzel- oder Partnerarbeit gegeben.

6.4 Durchführung

217

• Arbeitsbuchgruppe: Allen Schülerinnen und Schülern der zweiten Experimentalgruppe wurde jeweils ein gedrucktes Exemplar des Arbeitsbuches zur Verfügung gestellt. Auch hier wurden Lehrkräfte sowie Schülerinnen und Schüler vorab darüber informiert, dass die Arbeitsbücher auch nach der Studie im Besitz der Kinder verbleiben durften. Die Lehrkräfte wurden angewiesen, zur Vermittlung des Stoffes allen voran die Inhalte des Arbeitsbuches zu nutzen und bei Explorationen zu Beginn einer Unterrichtseinheit sowie in Übungsphasen auf die gedruckten Aufgaben zurückzugreifen. Auch in der Arbeitsbuchgruppe wurden keine Instruktionen zu intendierten Sozialformen während des Mathematikunterrichts vorgegeben. • Kontrollgruppe: Es wird davon ausgegangen, dass weder Lehrerinnen und Lehrer noch Schülerinnen und Schüler der Kontrollgruppe während des Zeitraums der Intervention Zugang zum iBook oder dem Arbeitsbuch hatten. Die Lehrkräfte wurden über die Lernziele für die 15 Unterrichtsstunden informiert und instruiert auch im Zeitraum der Studie gemäß ihrer üblichen Vorgehensweise zu unterrichten. In allen teilnehmenden Klassen wurde in der auf die letzte der 15 Unterrichtsstunden folgenden Mathematikstunde der 55-minütige Posttest durchgeführt. Dabei wurde bei den Erhebungen an Gymnasien im Schuljahr 2016/2017 auf die Unterstützung durch die Lehrkräfte der entsprechenden Klassen zurückgegriffen17 . Die Erhebungen an Mittelschulen im darauffolgenden Schuljahr 2017/2018 wurden von wissenschaftlichen Mitarbeitern des Heinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhls für Didaktik der Mathematik durchgeführt. Eine Übersicht über die Erhebungszeiträume sowie die Zeiträume der Intervention an Gymnasien und Mittelschulen ist in Tabelle 6.9 dargestellt. Dabei ergeben sich sowohl für die Durchführung der Studie an Gymnasien als auch für die Durchführung an Mittelschulen im darauf folgenden Jahr jeweils zwei Erhebungsphasen. Grund dafür ist die Verfügbarkeit der iPads: Wie in Abschnitt 6.2.4 dargestellt wurde, standen zur Durchführung der Studie knapp 100 iPads sowie drei iPad-Wagen zur Verfügung. Um eine größere Stichprobe sowohl an Gymnasien als auch an Mittelschulen zu erhalten, wurde die Studie mit jeweils sechs iPad-Klassen in beiden Schularten durchgeführt. Demzufolge wurden zunächst jeweils drei Klassen mit Geräten ausgestattet. Die Lehrkräfte der iPad-Klassen, die erst in der zweiten Erhebungsphase mit den Geräten arbeiten konnten, erklärten sich bereits vor der Zuteilung dazu bereit, keinen Bruchrechenunterricht vor Beginn der Intervention durchzuführen, sodass von keiner Beeinträchtigung der Verlässlichkeit der Ergebnisse durch diesen Umstand ausgegangen wird. Vor dem Hintergrund einer groß angelegten Feldstudie, in der insbesondere keine vollständige Standardisierung des durchgeführten Unterrichts in 45 unterschiedlichen Klassen über 15 Unterrichtsstunden hinweg möglich erscheint, wurde die Entscheidung zu Gunsten einer größeren Stichprobe getroffen. 17 Es erscheint plausibel davon auszugehen, dass Gymnasiallehrkräfte weitreichende Erfahrungen mit stan-

dardisierten Prüfungen – insbesondere durch die Durchführung der jährlichen und zentral gestellten schriftlichen Abiturprüfungen – haben und daher die Testung durch die Lehrkräfte keinen Einfluss auf die Ergebnisse der Erhebung hat.

218

6 Design und Methode der Studie

Tabelle 6.9 Überblick über die Erhebungszeiträume der Studie sowie die Zeiträume der Intervention an Gymnasien und Mittelschulen. Schulart

Phasea

N

Erhebung

Dauer

Zeitraumb

Gymnasium

A

397

Pretest Intervention Posttest

15 Minuten 15 × 45 Minuten 55 Minuten

13.09. bis 16.09.2016 13.09. bis 13.10.2016 13.10. bis 21.10.2016

B

79

Pretest Intervention Posttest

15 Minuten 15 × 45 Minuten 55 Minuten

12.10. bis 13.10.2016 14.10. bis 18.11.2016 21.11. bis 22.11.2016

C

196

Pretest Intervention Posttest

15 Minuten 15 × 45 Minuten 55 Minuten

12.09. bis 15.09.2017 18.09. bis 06.10.2017 09.10. bis 11.10.2017

D

49

Pretest Intervention Posttest

15 Minuten 15 × 45 Minuten 55 Minuten

06.10. bis 09.10.2017 09.10. bis 27.10.2017 26.10. bis 27.10.2017

Mittelschule

Anmerkung. N = Stichprobenumfang; a Um mehr Klassen mit iPads ausstatten zu können, wurde die Intervention in jeweils zwei Phasen durchgeführt. Vor den Erhebungsphasen B und D wurde kein Bruchrechenunterricht durchgeführt. b Die Zeiträume der Erhebungsphasen unterscheiden sich auf Grund von Ferien und unterschiedlichen Stundentafeln an Gymnasien und Mittelschulen.

6.4.4 Realisierung des Treatments Im Zuge der Untersuchung eines möglichen Einflusses des erstellten Materials sowie darüber hinaus des verwendeten Mediums im Regelunterricht der sechsten Jahrgangsstufe erscheint eine Überprüfung der Einhaltung der Rahmenbedingungen der Unterrichtszeit von 15 Schulstunden sowie der speziellen unterschiedlichen Handlungsanweisungen in den beiden Experimentalgruppen für eine valide Auswertung der Ergebnisse notwendig. Zu diesem Zweck wird in der vorliegenden Studie auf unterschiedliche standardisiert sowie teilstandardisiert gewonnenen Ergebnisse zurückgegriffen. 6.4.4.1 Unterrichtszeit während der Intervention

Für die Festlegung der Unterrichtszeit zur Vermittlung des in Abschnitt 6.2.2 dargestellten Stoffumfangs im Rahmen einer Feldstudie erscheint das zum Zeitpunkt der Durchführung der Erhebung geltende Curriculum18 maßgeblich. In allen weiterführenden Schulen in Bayern steht dabei eine Entwicklung des Bruchzahlbegriffs in diesem Sinn am Beginn 18 Zum Zeitpunkt der Durchführung der Studie war an Gymnasien der Lehrplan für das achtjährige Gymna-

sium vom August 2004 in der Fassung vom August 2009 (ISB, 2009), an Realschulen der Lehrplan für die sechsstufige Realschule vom August 2007 (ISB, 2007) sowie an Mittelschulen der Lehrplan für die Hauptschule in Bayern ohne M-Zug vom Juli 2004 (ISB, 2004) gültig.

6.4 Durchführung

219

der sechsten Jahrgangsstufe. Dabei sind die zu vermittelnden Inhalte mehr oder weniger ausführlich, jedoch für alle Schularten weitgehend identisch formuliert und weisen weitreichende Überschneidungen mit den in dieser Arbeit intendiert zu vermittelnden Inhalten auf (vgl. Abschnitt 6.2.3, siehe auch ISB, 2004, 2007, 2009). Dabei wird im Gymnasiallehrplan eine Unterrichtszeit von etwa 15 Unterrichtsstunden19 für eine derartige Unterrichtssequenz vorgeschlagen. Der Mittelschullehrplan (ISB, 2004) sieht zwar weitgehend identische Inhalte und Lernziele wie das Curriculum für Gymnasien vor, verzichtet jedoch auf eine explizite Angabe einer angemessenen Unterrichtszeit. Daher wurde zur Festlegung des Interventionszeitraums in dieser Studie auch auf den Lehrplan für Realschulen (ISB, 2007) zurückgegriffen, obwohl keine Intervention an dieser Schulart durchgeführt wurde. An Realschulen ist eine Unterrichtszeit von lediglich 13 Unterrichtsstunden vorgesehen. Infolgedessen wird angenommen, dass der intendierte Interventionszeitraum von 15 Unterrichtsstunden verträglich mit den geltenden Curricula der untersuchten Schularten ist. Zur Auswertung der Ergebnisse wurden nur Schülerinnen und Schüler aus Klassen einbezogen, in denen diese Zeitvorgabe angemessen umgesetzt wurde. Es wird dabei angenommen, dass der zu vermittelnde Stoffumfang in allen drei Interventionsgruppen bei einer tatsächlichen Unterrichtszeit von 13 bis 16 Unterrichtsstunden zwischen den beiden Erhebungen sinnvoll zu bewältigen ist. Dieses Kriterium zur Realisierung des Treatments führte sowohl an Gymnasien als auch an Mittelschulen zu einer erheblichen Reduktion der zur Auswertung herangezogenen Stichprobe: 1. Gymnasium: An Gymnasien resultiert das erläuterte Kriterium zur Überprüfung der Realisierung des Treatments in einer Reduktion der Stichprobe auf 476 Schülerinnen und Schüler. Die tatsächliche Unterrichtszeit während der Intervention zwischen Preund Posttest beträgt nach der Einschränkung etwa 15 Unterrichtsstunden (M = 15.2, SD = 1.1). Der Unterschied in den Unterrichtszeiten der einzelnen Klassen ist zwischen den drei Interventionsgruppen nicht signifikant, H (2) = 3.85, p = .15. 2. Mittelschule: Auch an Mittelschulen müssen im Zuge einer validen Auswertung der Ergebnisse zwei Klassen aufgrund wesentlicher Abweichungen von der vorgegebenen Unterrichtszeit aus der Stichprobe ausgeschlossen werden. Dies führt zu einer für die Auswertung relevanten Anzahl von 247 Schülerinnen und Schülern, die während der Intervention im Mittel ebenfalls 15 Unterrichtsstunden lang unterrichtet wurden (M = 15.3, SD = 0.83). Auch hier ist der Unterschied in den Unterrichtszeiten der einzelnen Klassen zwischen den drei Interventionsgruppen nicht signifikant, H (2) = 1.09, p = .58. Darüber hinaus gaben die Lehrkräfte der für die Auswertung berücksichtigten Schülerinnen und Schüler an, den vorgegebenen Stoff vollständig bearbeitet zu haben. Diese 19 Tatsächlich ordnet der gymnasiale Lehrplan den Größenvergleich von Brüchen nicht einer initialen Entwick-

lung des Bruchzahlbegriffs zu, wofür eine Unterrichtszeit von 13 Unterrichtsstunden vorgeschlagen wird (ISB, 2009). Ergänzt man den Größenvergleich von Brüchen in diese Sequenz so ist eine Unterrichtszeit von 15 Unterrichtsstunden verträglich mit dem gymnasialen Curriculum (vgl. Tabelle 6.5, S. 201).

220

6 Design und Methode der Studie

Angaben erfolgten am Gymnasium in der iPad-Gruppe in Form standardisierter Interviews nach der Intervention, in der Arbeitsbuch- und Kontrollgruppe in Form teilstandardisierter mündlicher Befragungen. An der Mittelschule wurden die Befragungen der Lehrkräfte aller drei Interventionsgruppen in Form standardisierter Interviews durchgeführt20 . Auf der Grundlage dieser Angaben der Lehrerinnen und Lehrer der 723 für die Auswertung berücksichtigten Schülerinnen und Schüler wird im Sinne einer vollständigen Vermittlung des intendierten Stoffes im Regelunterricht von einer adäquaten Realisierung des Treatments ausgegangen. 6.4.4.2 Anforderungen an den Unterricht in den Experimentalgruppen

Neben der Unterrichtszeit ist in den Experimentalgruppen eine Überprüfung der Umsetzung der in Abschnitt 6.4.3.3 dargestellten Instruktionen für Lehrkräfte der iPad- und der Arbeitsbuchgruppe notwendig, um etwaige Effekte des Mediums sowie des Materials geeignet interpretieren zu können. Dabei wird von einer Realisierung des intendierten Unterrichts in der Arbeitsbuchgruppe ausgegangen, wenn im Unterricht weitgehend auf Inhalte des Arbeitsbuches zurückgegriffen wurde und insbesondere nahezu alle darin enthaltenen Aufgaben bearbeitet worden sind. Die sieben Lehrkräfte der Arbeitsbuchgruppe an Gymnasien sowie die vier Lehrkräfte an Mittelschulen gaben an, diese Vorgaben im Rahmen der Ihnen zur Verfügung gestellten Handreichung vollständig erfüllt zu haben. Diese Rückmeldung geschah an Gymnasien in Form teilstandardisierter mündlicher Befragungen, an Mittelschulen im Zuge standardisierter Interviews. In der iPad-Gruppe wird von einer erfolgreichen Implementation ausgegangen, wenn die Geräte im Mathematikunterricht regelmäßig verwendet wurden sowie – ähnlich zur Arbeitsbuchgruppe – zur Vermittlung des neuen Stoffes auf die Inhalte des iBooks zurückgegriffen wurde und eine angemessene Bearbeitung der Übungsaufgaben durch die Schülerinnen und Schüler statt fand. Sowohl die sechs Gymnasiallehrkräfte als auch die sechs Mittelschullehrkräfte gaben an, diesen Anforderungen vollständig nachgekommen zu sein. Die Rückmeldungen hierzu wurden sowohl an Gymnasien als auch an Mittelschulen im Rahmen der standardisierten Interviews erfragt. Darüber hinaus standen zur Beurteilung der mit dem iBook unterrichteten Klassen auch die Daten der elektronischen Geräte für eine Beurteilung der Nutzung des iPads im Unterricht zur Verfügung. Auch auf der Grundlage dieser Prozessdaten wird davon ausgegangen, dass diese Instruktionen sowohl von den Gymnasiallehrkräften als auch von den Mittelschullehrkräften adäquat umgesetzt wurden (vgl. Hoch, in Vorb., zur konkreten Auswertung der Prozessdaten). Zusammenfassend wird auf der Grundlage der dargestellten Umsetzung des intendierten Unterrichts in den Experimentalgruppen in der zur Auswertung herangezogenen Stichprobe an Gymnasien und Mittelschulen von einer adäquaten Realisierung des Treatments im 20 Die Ergebnisse der qualitativen Befragungen werden in dieser Arbeit ausschließlich an dieser Stelle zur

Validierung des durchgeführten Unterrichts während der Intervention herangezogen und insbesondere nicht systematisch ausgewertet.

6.5 Codierung und Beurteilung von Schülerantworten

221

Zuge des schulischen Regelunterrichts ausgegangen. Demzufolge werden bei der statistischen Auswertung der durchgeführten Studie valide Ergebnisse erwartet.

6.5 Codierung und Beurteilung von Schülerantworten Sowohl Pretest als auch Posttest an Gymnasien und Mittelschulen wurden vollständig von zwei unabhängigen Beobachtern codiert. Die für die Codierung verwendeten Manuale wurden im Zuge der Pilotierung der Erhebungsbögen (vgl. Abschnitt 6.4.2) erstellt und optimiert. Abweichungen der durch dieses Vorgehen resultierenden Codierungen wurden durch zwei wissenschaftliche Mitarbeiter, die am Forschungsprojekt beteiligt waren, einzeln gesichtet und anhand des Codiermanuals vor der Auswertung der Ergebnisse der Studie erneut beurteilt. In diesem Abschnitt wird zunächst die Beobachterübereinstimmung der ordinalskalierten Items zur Bestimmung der Lösungsraten in den Erhebungsinstrumenten zwischen den jeweiligen Codierungen quantifiziert und auf der Grundlage geltender wissenschaftlicher Standards bewertet. Im Zuge dessen wird auch die Bildung der Gesamtscores des Pre- und Posttest sowie der Skalen Visualisierungen, Arithmetik und Erklären erläutert. Zuletzt wird die Übereinstimmung der beiden Beobachter bei zwei im Bezug auf Lösungsstrategien nominalskalierter Items dargestellt und beurteilt.

6.5.1 Bewertung geschlossener und offener Aufgabenformate Für die Bewertung geschlossener wie offener Aufgabenformate beider Erhebungsinstrumente werden vier Arten von Items unterschieden. 1. Dichotom codierte Items: In der Regel werden Items und Subitems in beiden Erhebungsinstrumenten dichotom codiert, wobei eine falsche Lösung mit 0 und eine korrekte Lösung mit 1 bewertet wird. 2. Items mit möglichen teilweise richtigen Lösungen: In einzelnen Items und Subitems ist eine teilweise korrekte Lösung denkbar. Darunter sind Lösungen zu verstehen, die Ansätze einer elaborierten Lösung erkennen lassen, jedoch von einer vollständig korrekten Lösung – etwa durch einen fehlenden finalen Lösungsschritt – abweichen. Exemplarisch kann hier das in Abschnitt 6.3.2 beschriebene Item A01 genannt werden, bei dem etwa 18 der Bruch 72 vollständig gekürzt werden soll. Hier erscheint es plausibel bei Schülerant9 worten wie 28 , 123 oder 36 auf ein zugrunde liegendes Verständnis des arithmetischen Vorgangs des Kürzens zu schließen, auch wenn alle drei genannten Antworten von der intendierten Lösung 41 abweichen. Solche teilweise korrekten Lösungen werden in den Items A01, A10 und A16 mit 0.5 bewertet. 3. Items mit offenen Subitems: Zum Zweck einer genaueren Messung einzelner Aufgabeninhalte verfügen Items zum Teil über Subitems (vgl. Abschnitt 6.3). Für diese Items wird ein Summenscore gebildet, der anschließend durch die Anzahl der Subitems dividiert wird, sodass auch hier Werte zwischen 0 und 1 erreicht werden können.

222

6 Design und Methode der Studie

4. Items mit geschlossenen Subitems: Die Items B11, A15, A20 und A21 verfügen über geschlossene Subitems, in denen jeweils nur zwei mögliche Antworten vorgegeben sind. Dementsprechend können diese Aufgaben mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % durch bloßes Raten korrekt gelöst werden. Um die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Lösung durch Raten zu verringern, werden richtige Antworten mit 1, falsche und fehlende Antworten mit −1 bewertet und zum jeweiligen Summenscore der vier Items addiert. Dieses Vorgehen kann als weitgehend übliche Item-Ratekorrektur bei Single Choice-Aufgaben mit zwei Antwortmöglichkeiten bezeichnet werden (Aiken & Williams, 1978). Analog zum Vorgehen bei Items mit offenen Subitems wird dieser Summenscore durch die jeweilige Anzahl der Subitems dividiert, sodass Werte zwischen −1 und 1 erreicht werden können. Im Anschluss werden negative Scores auf 0 gesetzt, sodass Werte zwischen 0 und 1 möglich sind. Es wird angenommen, dass diese um etwaige zufällig korrekt ausgewählte Antwortmöglichkeiten korrigiert sind. Auf der Basis der Pilotierung der beiden Erhebungen wird davon ausgegangen, dass die Zeitvorgaben von 15 Minuten für den Pretest und 55 Minuten für den Posttest ausreichend für die vollständige Bearbeitung der Testhefte durch Schülerinnen und Schüler zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe sind. Infolgedessen werden fehlende Antworten stets als falsch bewertet. Durch das beschriebene Vorgehen beinhaltet der Pretest zehn dichotom codierte Items sowie eine Aufgabe, in dem Schülerinnen und Schüler auch Werte zwischen den Intervallgrenzen 0 und 1 erreichen können. Der Posttest beinhaltet zwölf dichotom codierte Items sowie neun Aufgaben, in denen auch Werte zwischen 0 und 1 möglich sind. Die Güte dieser derart durchgeführten unabhängigen Codierung der beiden Erhebungsinstrumente durch jeweils zwei Beobachter kann durch die Berechnung der Intra-KlassenKorrelationskoeffizienten (ICCs) als Maße für die Reliabilität der Beurteilungen bewertet werden. Dabei können ICCs Werte zwischen 0 und 1 annehmen, wobei ein hoher Wert für eine gute Übereinstimmung der beiden Beurteilungen spricht. Üblicherweise werden dabei Werte um .70 als akzeptable Übereinstimmung und Werte größer .90 als exzellente Übereinstimmung unterschiedlicher Beurteilungen bezeichnet (Cicchetti, 1994; Koo & Li, 2016; siehe auch Döring & Bortz, 2016)21 . Da von weitreichend unterschiedlichen Ergebnissen an Gymnasien und Mittelschulen ausgegangen wird (vgl. Kapitel 5), werden die ICCs im Folgenden für die Schularten getrennt berichtet und beurteilt. 1. Gymnasium: Die Codierung der Testhefte beider Erhebungsinstrumente wurde am Gymnasium vollständig von zwei wissenschaftlichen Mitarbeitern, die in das Forschungsprojekt involviert waren – im Folgenden Beobachter A und B genannt – durchgeführt. Zur Berechnung des Intra-Klassen-Korrelationskoeffizienten wurde dabei im Pretest 21 Koo und Li (2016, S. 158) und Cicchetti (1994, S. 286) bezeichnen Werte größer als .90 im Zusammenhang

mit Intra-Klassen-Korrelationskoeffizienten als exzellent (en.: excellent). Dabei schlagen Koo und Li (2016) eine Beurteilung von ICCs auf der Basis der unteren Grenze der Konfidenzintervalle vor. Nach Döring und Bortz (2016, S. 347) kann bereits ab einem ICC-Wert von .70 von einer hohen Reliabilität gesprochen werden.

6.5 Codierung und Beurteilung von Schülerantworten

223

auf 20 % der für die Auswertung berücksichtigten Teilstichprobe zurückgegriffen. Die Reliabilität der Beurteilung des Pretests kann hier mit einem errechneten Wert von .97 als sehr gut bezeichnet werden. Grundlage zur Berechnung des ICC für den Posttest bildet ein Datensatz mit N = 530 Schülerinnen und Schülern. Auch hier kann die Beurteilung der Antworten der Schülerinnen und Schüler im Posttest als sehr gut bei einem Wert von .97 bezeichnet werden. 2. Mittelschule: Aufgrund der weitreichenden Übereinstimmungen der beiden Codierungen bei der Erhebung an Gymnasien wurde die Codierung an Mittelschulen im darauf folgenden Schuljahr mit Hilfe einer studentischen Hilfskraft (Beobachter D) durchgeführt. Dabei codierte Beobachter D die erhobenen Daten vollständig, was 282 Testheften beim Pretest sowie 260 Testheften beim Posttest entspricht. Die zweite Codierung wurde von einem von drei wissenschaftlichen Mitarbeitern des Lehrstuhls – Beobachter A, B und C – durchgeführt.Die Reliabilität der Beurteilung beider Erhebungsinstrumente ist auf der Grundlage dieser Codierungen ebenfalls sehr gut: Betrachtet man die gewichteten Mittelwerte der ICCs der drei Beobachterpaare ergibt sich für den Pretest ein Wert von .96, für den Posttest ein Wert von .94. Einen Überblick über die Beobachterübereinstimmung der Items zur Bestimmung der Gesamtscores in beiden Erhebungsinstrumenten liefert Tabelle 6.10. Neben den berechneten ICCs sind dort ebenfalls die konkreten Stichprobengrößen der von den vier Beobachterpaaren durchgeführten Codierungen sowie die 95% Konfidenzintervalle der Intra-KlassenKorrelationskoeffizienten dargestellt. Tabelle 6.10 Überblick über die Beobachterübereinstimmung bei der Codierung der Itemlösungen in beiden Erhebungsinstrumenten. Pretest

Posttest

Schulart

Beobachter

N

ICC

95% CI

N

ICC

95% CI

Gymnasium

A und B

98

.97

[.96, .97]

530

.97

[.97, .97]

Mittelschule

A und D B und D C und D

86 103 93

.96 .97 .96

[.96, .97] [.96, .97] [.95, .96]

142 32 86

.94 .95 .93

[.94, .94] [.95, .96] [.92, .93]

Gew. Mittelwert

282

.96

—

260

.94

—

Anmerkung. N = Stichprobenumfang; Beobachterübereinstimmung: ICC = Intra-KlassenKorrelationskoeffizient, 95% CI = 95 % Konfidenzintervall.

Zur Bildung der Gesamtscores in den beiden Erhebungsinstrumenten sowie den Scores der Skalen Visualisierungen, Arithmetik und Erklären wurden die erreichten Punktzahlen entsprechend addiert. Um eine einfachere Interpretation sowie eine bessere Lesbarkeit und

224

6 Design und Methode der Studie

Vergleichbarkeit der auf dieser Art errechneten Ergebnisse zu gewährleisten, werden im weiteren Verlauf der Arbeit diese Scores durch die Skalenlängen dividiert und als Lösungsraten – entweder als Prozentwerte oder als auf zwei Dezimalen gerundete Dezimalbrüche – angegeben.

6.5.2 Kodierung von Strategien beim Größenvergleich Zur Erfassung verwendeten Größenvergleichsstrategien innerhalb der Skala Erklären des Posttests (vgl. Abschnitt 6.3.2.3) werden die Antworten der beiden Items A17 und A19 zusätzlich nominalskaliert. Dabei wird aufgrund von vorgegebenen Kriterien entschieden, welche Strategie den spezifischen Schülerantworten zugrunde liegt. Der Kriterienkatalog im Codiermanual orientiert sich dabei an der Unterscheidung verschiedener regelbasierter und eigenschaftsbasierter Strategien, die im Zuge der Vorstellung des Konzeptes Größenvergleich in Abschnitt 2.3.3 dargestellt wurde (vgl. Tabelle 2.17, S. 83). Konkret sollen die folgenden eigenschaftsbasierten Strategien unterschieden werden: Der Rückgriff auf eine geeignete ikonische Darstellung der beiden zu vergleichenden Bruchzahlen, der Bezug zu der Größe der Stücke sowie die Verwendung von 1 oder 21 als Bezugszahl. Weiter sollen die beiden regelbasierten Strategien unterschieden werden, bei denen die Brüche zum Zweck des Größenvergleichs auf den gleichen Nenner oder Zähler gebracht werden. Darüber hinaus sollen grundlegend falsche Antworten von den soeben erläuterten Antworten unterschieden werden, sodass sich eine Nominalskala mit sieben verschiedenen Kategorien ergibt, zwischen denen sich die Beobachter bei der Beurteilung einer Schülerlösung entscheiden müssen. Die Übereinstimmung der beiden Beobachtungen als Maß für die Reliabilität der Bewertung kann für derartige Variablen mittels der Berechnung von Cohens Kappa (κ) quantifiziert werden (Cohen, 1960; siehe auch Döring & Bortz, 2016; Landis & Koch, 1977). Dabei kann bei Werten von κ > .40 die Reliabilität der Beurteilungen als akzeptabel bezeichnet werden22 (Döring & Bortz, 2016; Landis & Koch, 1977). Im Folgenden werden die Kappa-Werte für die soeben beschriebene nominale Auswertung der beiden Größenvergleichsitems der Skala Erklären bei der Erhebung an Gymnasien sowie an Mittelschulen dargestellt und beurteilt. Dabei erfolgte die unabhängige Codierung durch jeweils zwei Beobachter identisch zur Codierung im vorhergehenden Abschnitt. 1. Gymnasium: Die Reliabilität der Codierung sowohl von Item A17 als auch von Item A19 bei der Erhebung an Gymnasien durch die Beobachter A und B kann als gut eingestuft werden (κ = .92 und κ = .86). Basis für diese Quantifizierung bildet dabei erneut der Datensatz der 560 Schülerinnen und Schüler, der bereits im vorgehenden Abschnitt verwendet wurde. 22 Für die Interpretation von Cohens Kappa gelten international zwar weitgehend ähnliche, jedoch nicht

identische Interpretationsrichtlinien. So können nach Landis und Koch (1977, S. 165) bereits Werte von κ = .21 bis κ = .40 als angemessen (en.: fair) bezeichnet werden, Werte ab κ = .81 als nahezu perfekt (en.: almost perfect). Döring und Bortz (2016, S. 346) bezeichnen hingegen Werte zwischen κ = .40 und κ = .60 als gerade noch ausreichend und Werte größer als κ = .75 als gute Messgenauigkeiten.

6.5 Codierung und Beurteilung von Schülerantworten

225

2. Mittelschule: Auf der Grundlage der Auswertung der Codierung von jeweils 282 unterschiedlichen Schülerantworten erscheint auch die Reliabilität der Kategorisierung der verwendeten Strategien beim Größenvergleich von Brüchen akzeptabel bis gut. Item A17 weißt mit einem über die drei Beobachterpaare gewichtet gemittelten Wert von κ = .73 eine weitgehend gute Übereinstimmung auf. Die Übereinstimmung in Item A19 kann an der Mittelschule mit einem gewichteten Mittel von κ = .58 als akzeptabel bezeichnet werden.

Eine Übersicht über die Beobachterübereinstimmung der nominalskalierten Items zur Interpretation von Strategien beim Größenvergleich, insbesondere mit Blick auf die konkreten von den Beobachterpaaren kategorisierten Teilstichproben sowie 95% Konfidenzintervalle für die Kappa-Werte, liefert Tabelle 6.11. Tabelle 6.11 Überblick über die Beobachterübereinstimmung bei der Codierung der Strategien beim Größenvergleich in den Items A17 und A19 im Posttest. Item A17

Item A19

Schulart

Beobachter

N

κ

95% CI

κ

95% CI

Gymnasium

A und B

530

.92

[.89, .95]

.86

[.82, .89]

Mittelschule

A und D B und D C und D

142 32 86

.77 .77 .84

[.61, .93] [.53, 1.0] [.70, .99]

.64 .93 .51

[.47, .80] [.80, 1.0] [.31, .70]

Gew. Mittelwert

260

.73

—

.58

—

Anmerkung. N = Stichprobenumfang; Beobachterübereinstimmung: κ = Cohens Kappa, 95% CI = 95% Konfidenzintervall.

Zur Quantifizierung der auf diese Art qualitativ gewonnenen Ergebnisse über die Wahl einer Strategie beim Größenvergleich zweier Brüche werden Summenscores der beiden Items gebildet. Dabei werden für diese Auswertung nur Antworten von Schülerinnen und Schülern berücksichtigt, die beide Aufgaben korrekt gelöst haben. Ein im Sinn dieses Abschnitts regelbasierter Vergleich wird mit 0 und ein eigenschaftsbasierter Vergleich mit 1 codiert, sodass auf dieser Skala die Werte 0, 1 und 2 erreichbar sind. Hierbei bedeutet ein Gesamtscore von 0 demzufolge, dass die Schülerin oder der Schüler beide Items A17 und A19 korrekt gelöst hat und in beiden Lösungen auf regelbasierte Vergleichsstrategien zurückgegriffen hat; ein Score von 2 entspricht einer korrekten Bearbeitung beider Aufgaben unter zweimaligem Rückgriff auf eigenschaftsbasierte Strategien.

226

6 Design und Methode der Studie

6.6 Statistische Auswertungsmethoden In diesem Abschnitt werden die zur Auswertung der erhobenen Daten verwendeten statistischen Verfahren vorgestellt. Dabei werden zunächst Methoden zur Erfassung der internen Konsistenz von Skalen beschrieben und die Entscheidung gegen eine Verwendung von Cronbachs Alpha (α) zugunsten von McDonalds Omega (ω) motiviert. Anschließend werden zwei Methoden zur Korrelationsanalyse dargestellt. Weiter werden zwei Methoden zum Vergleich unterschiedlicher Interventionsgruppen sowie ihre jeweiligen statistischen Voraussetzungen vorgestellt. Die Analyse und Auswertung der Daten erfolgte vollständig mittels R (R Core Team, 2008). Zur Aufbereitung und Verarbeitung der Datensätze kam dabei das reshape-Package (Wickham, 2007, 2017) zum Einsatz. Zum Zwecke deskriptiver Datenanalysen wurde auf das Rmisc-Package (Hope, 2013) zurückgegriffen. Abbildungen wurden mit Hilfe des ggplot2-Packages (Wickham, 2009; Wickham & Chang, 2016) in Verbindung mit dem scales-Package (Wickham, 2016) sowie dem RColorBrewer-Package (Neuwirth, 2014) erstellt. Im weiteren Verlauf des Abschnitts wird jeweils nach der Beschreibung der statistischen Methoden kurz auf die zur Realisierung konkret genutzten R-Packages eingegangen.

6.6.1 Interne Konsistenz der Skalen und Subskalen Cronbachs Alpha kann als das zur Überprüfung der internen Konsistenz psychometrischer Skalen traditionell verwendete Maß bezeichnet werden (Sijtsma, 2008). Jedoch kann eine Interpretation von α in Verbindung mit Schulleistungstests sowohl aus einer statistischen Perspektive (T. J. Dunn, Baguley & Brunsden, 2013; siehe auch McNeish, 2017; Sijtsma, 2008; Trizano-Hermosilla & Alvarado, 2016) als auch aus einer fachdidaktischen Perspektive (Schecker, 2014) bisweilen ungeeignet erscheinen. Insbesondere erweist sich α als relativ wenig robust gegen die Verletzung der Voraussetzung essentiell τ-äquivalenter Items23 , die insbesondere für psychometrische Skalen häufig nicht erfüllt ist (T. J. Dunn et al., 2013). Gerade vor dem Hintergrund der in Abschnitt 6.3 beschriebenen Erhebungsinstrumente, die die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs – insbesondere mit Blick auf unterschiedliche notwendige mathematische Fähigkeiten sowie verschiedener Konzepte von Brüchen – abbilden sollen, erscheint eine Annahme essentieller τ-Äquivalenz nicht plausibel. Vielmehr kann davon ausgegangen werden, dass die elf Items des Pretests sowie die 21 Items des Posttests als kongenerische Items, die die ihnen zugrunde liegende Konstrukte jeweils in unterschiedlichem Ausmaß messen (Döring & Bortz, 2016), bezeichnet werden können. Aus diesem Grund erscheinen Messungen der internen Konsistenz der Skalen und Subskalen 23 Items

einer Skala erfüllen dann die Voraussetzung essentieller τ-Äquivalenz, wenn sie weitgehend den selben Anteil an wahrer Varianz aufweisen (Döring & Bortz, 2016). Anschaulich kann dies dahingehend interpretiert werden, dass essentiell τ-äquivalente Items in einer Faktorenanalyse nahezu identische Faktorladungen zum zu messenden Konstrukt aufweisen müssen (McNeish, 2017), was insbesondere in psychometrischen Tests zur Messung eines Lernerfolgs weitgehend schwierig zu realisieren und darüber hinaus auch zumeist nicht intendiert (Schecker, 2014) erscheint.

6.6 Statistische Auswertungsmethoden

227

der Erhebungsinstrumente mittels McDonalds Omega, in Verbindung mit einer konfirmatorischen Faktorenanalyse sowie der Bestimmung der mittleren Inter-Item-Korrelationen für Skalen geringer Länge eher geeignet. Diese statistischen Methoden werden nachfolgend näher beschrieben. 6.6.1.1 McDonalds Omega

Anders als bei der Berechnung von Cronbachs Alpha wird zur Bestimmung von McDonalds Omega (McDonald, 1981, 1999) nicht auf die spezifischen Inter-Item-Korrelationen einer Skala zurückgegriffen, sondern initial eine Faktorenanalyse der Skala durchgeführt und im Anschluss auf die spezifischen Faktorladungen der einzelnen Items zur Berechnung des ω-Koeffizienten zurückgegriffen (vgl. McNeish, 2017, für eine ausführliche Darstellung der Berechnung von McDonalds Omega). Demzufolge kann ω im Gegensatz zu α als weitgehend verlässliches Maß für die Schätzung der internen Konsistenz eines psychometrischen Tests mit kongenerischen Items bezeichnet werden (T. J. Dunn et al., 2013; McNeish, 2017). Der in dieser Art berechnete ω-Koeffizient kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen, die analog zu α interpretiert werden können: Dabei können Werte von ω = .70 und besser als weitgehend akzeptabel zum Zwecke wissenschaftlicher Untersuchungen bezeichnet werden (Nunnally & Bernstein, 1994). Weiter wird vorgeschlagen, neben den ω-Koeffizienten auch deren 95% Konfidenzintervalle zu berichten und auf der Grundlage dieser Daten eine Interpretation der Skalen im Kontext des Forschungsanliegens durchzuführen (Kelley & Pornprasertmanit, 2016; siehe auch T. J. Dunn et al., 2013; McNeish, 2017). Zur Berechnung von ω unter gleichzeitiger Bestimmung der Konfidenzintervalle mittels Bootstrapping-Verfahren wurde im Zuge dieser Arbeit auf das MBESS-Package (Kelley, 2018) zurückgegriffen. 6.6.1.2 Konfirmatorische Faktorenanalyse

Im Zuge einer Evaluation des in Abschnitt 6.3.2 dargestellten Posttests, in dem unter anderem zwischen unterschiedlichen mathematischen Fähigkeiten sowie unterschiedlicher zur Lösung der Aufgaben notwendiger Konzepte von Bruchzahlen differenziert werden soll, erscheint neben der Angabe von ω als Maß für die interne Konsistenz auch eine konfirmatorische Faktorenanalyse der Skalen gewinnbringend. Dabei wird in dieser Arbeit angenommen, dass die in Abschnitt 6.3.2 getroffene Unterscheidung zwischen Aufgaben, die vordergründig Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen (hier konkret: Wechsel zwischen unterschiedlichen ikonischen Darstellungen, bzw. zwischen ikonischen und symbolischen Repräsentationen notwendig) bzw. arithmetische Fähigkeiten (hier konkret: symbolisch repräsentierte Aufgaben, die unter Rückgriff auf arithmetische Basisfähigkeiten wie etwa das kleine Einmaleins zu lösen sind) adressieren, plausibel ist. Weiter wird angenommen, dass diese Skalen jeweils in die drei Subskalen Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen und Größenvergleich – analog zu den in Kapitel 2 vorgeschlagenen Konzepten von Bruchzahlen – zerfallen. Diese Vermutungen werden mittels einer konfirmatorischen Faktorenanalyse zusätzlich zur Bestimmung des ω-Koeffizienten der jeweiligen Subskalen überprüft. Dabei wird

228

6 Design und Methode der Studie

angenommen, dass sich die gesamte Varianz einer Variablen aus drei Varianzanteilen zusammensetzt: Einer gemeinsamen Varianz, die die Variablen mit anderen Variablen gemeinsam hat; einer spezifischen Varianz, die spezifische Besonderheiten der Variablen erfasst; sowie einer Fehlervarianz (Bortz & Schuster, 2010, S. 427). Eine Faktorenanalyse bestimmt im Allgemeinen, welche gemeinsamen Faktoren die gemeinsame Varianz erklären können. Eine konfirmatorische Faktorenanalyse beruht dabei auf Maximum-Likelihood-Schätzungen gemeinsamer und spezifischer Varianzparameter, unter der die Wahrscheinlichkeit einer empirische gewonnenen Korrelationsmatrix maximiert wird (Bortz & Schuster, 2010, S. 430; siehe auch Jöreskog, 1967, für eine ausführliche Darstellung der statistischen Grundlagen der Maximum-Likelihood-Schätzungen). Dabei wird insbesondere die Anzahl der Faktoren (hier konkret: Subskalen), die sich durch theoriegestützte Überlegungen ergeben, a priori vorgegeben. Zur Bewertung einer sich in dieser Art ergebenden Zerlegung einer Skala in Faktoren werden Faktorladungen β herangezogen, die die Korrelation einer Variable (hier konkret: Items) mit einem Faktor wiedergeben (Bortz & Schuster, 2010, S. 393). Dabei kann die Berechnung einer spezifischen Stabilität FS eines Faktors die Grundlage für eine Gütebewertung bilden (Guadagnoli & Velicer, 1988; siehe auch Bortz & Schuster, 2010, S. 396). Die Autoren schlagen dazu folgende Formel vor:   1 FS = 1 − 1.10 · √ − 0.12 · βmin + 0.066 , (6.1) n wobei n die Größe der Stichprobe bezeichnet, auf deren Grundlage die konfirmatorische Faktorenanalyse durchgeführt wird und βmin der geringsten Faktorladung entspricht, die bei einer Interpretation des Faktors berücksichtigt werden soll. Dabei sollen Faktorstrukturen mit einer Stabilität FS < .80 nicht interpretiert werden, wohingegen bei FS ≥ .90 von einer guten Faktorstruktur gesprochen werden kann, die insbesondere als weitgehend unabhängig von der zugrunde liegenden Stichprobe bezeichnet werden kann (Bortz & Schuster, 2010, S. 397; siehe auch Guadagnoli & Velicer, 1988, für eine ausführliche Begründung der Interpretationsgrundlage der FS-Werte unter Rückgriff auf statistische Untersuchungen). Basierend auf diesen Überlegungen erscheinen für große Stichproben von N > 400 auch Faktoren, die über Variablen mit vergleichsweise geringe Faktorladungen von β ≥ .20 verfügen, interpretierbar24 . Im Zuge dieser Arbeit wurde zur Realisierung konfirmatorischer Faktorenanalysen auf das lavaan-Package zurückgegriffen (Rosseel, 2012; Rosseel et al., 2017). Zur Bestimmung der Stabilität einer Faktorstruktur wurde eine Funktion zur Berechnung von FS auf der Grundlage der Formel (6.1) eigens in R implementiert (vgl. Anhang A.4, für den konkreten R-Code der Implementierung). 6.6.1.3 Mittlere Inter-Item-Korrelationen

Im Zuge einer umfassenden Bewertung der Subskalen mit zum Teil eher geringer Skalenlänge werden abschließend mittlere Inter-Item-Korrelationen als Maß für die interne 24 Konkret ergibt sich für n

= 400 und einen Faktor, bei dem die Variable mit der geringsten Faktorladung über β = .20 verfügt, eine Stabilität der Faktorstruktur von FS = .90, was nach Guadagnoli und Velicer (1988) als ausreichend für eine Interpretation des Faktors bezeichnet werden kann.

6.6 Statistische Auswertungsmethoden

229

Konsistenz der Subskalen berechnet. Dabei werden Skalen mit Werten zwischen .20 und .40 üblicherweise als akzeptabel bezeichnet (Piedmont, 2014). Für die Berechnung der mittleren Inter-Item-Korrelationen wurde im Zuge dieser Arbeit auf das psych-Package (Revelle, 2017) zurückgegriffen.

6.6.2 Korrelationsanalyse Zur Bestimmung und Quantifizierung etwaiger Zusammenhänge zwischen Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen und arithmetischen Fähigkeiten wird vornehmlich auf die Berechnung von Produkt-Moment-Korrelationen (r) nach Pearson zurückgegriffen, zu deren Berechnung die Kovarianz zweier Variablen durch das Produkt ihrer Standardabweichungen dividiert wird. Dabei können als statistische Voraussetzungen zur Durchführung einer Korrelationsanalyse mittels r intervallskalierte Daten, für die eine Normalverteilung angenommen werden kann, angeführt werden. Zur Überprüfung der Normalverteilungsannahme wird dabei auf den Shapiro-Wilk-Test nach Royston (1982) zurückgegriffen, der bei großen Stichproben dem üblichen Kolmogorov-Smirnov-Test vorgezogen werden kann. Da dennoch aufgrund hoher Stichprobengrößen von signifikanten Abweichungen von der Normalverteilungsannahme bei statistischen Tests auszugehen ist, werden zusätzlich Histogramme zur Beurteilung der vorliegenden Verteilungen in den Datensätzen verwendet. Dies stellt ein gängiges Vorgehen zur Überprüfung vorliegender Normalverteilungen in psychometrischen Tests dar (z. B. Bortz & Schuster, 2010). Da sich weiter der Signifikanztest für Korrelationsanalysen mittels Pearsons r als weitgehend robust sowohl gegenüber der Verletzung der Normalverteilungsannahme erweist (z. B. Bortz & Schuster, 2010), kann davon ausgegangen werden, dass bei geringen Abweichungen von normalverteilten Daten r noch zuverlässige Ergebnisse liefert. Erscheint auch auf der Grundlage einer Betrachtung der Histogramme die Annahme normalverteilter Daten nicht gerechtfertigt, wird zum Zweck einer Korrelationsanalyse Rangkorrelationen (ρ) nach Spearman berechnet. Dabei können r und ρ folgendermaßen interpretiert werden: Werte um r = .10 werden als geringe (en.: small) Korrelationen interpretiert, Werte um r = .30 als mittlere oder mäßige (en.: medium) Korrelationen und Werte ab r = .50 als hohe (en.: large) Korrelationen eingestuft (Cohen, 1992). Im Zuge dieser Arbeit wurde Signifikanztests für Korrelationsanalysen sowie die Bestimmung der Konfidenzintervalle von r auf das stats-Package, das in R bereits implementiert ist, zurückgegriffen.

6.6.3 Gruppenvergleiche Zur Quantifizierung etwaiger Unterschiede in der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs an den beiden untersuchten Schulformen sowie der Effekte des Treatments an Gymnasien als auch an Mittelschulen werden Unterschiedshypothesen statistisch überprüft. Dabei kann der Vergleich zwischen den Schularten als Zweigruppenplan, der Vergleich der drei Interventionsgruppen dementsprechend als Mehrgruppenplan bezeichnet werden. Es wird jeweils untersucht, in welcher Art und Weise Zusammenhänge zwischen abhängigen Varia-

230

6 Design und Methode der Studie

blen (hier: Posttest, Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen, etc.) und dem Faktor Schulart (Gymnasium, Mittelschule), bzw. dem Faktor Gruppe (iPad-Gruppe, Arbeitsbuchgruppe, Kontrollgruppe) bestehen. Dabei können für den dreifach gestuften Faktor Gruppe A-Posteriori-Einzelvergleiche durchgeführt werden, um im Falle eines signifikanter Overall-Unterschieds untersuchen zu können, welche Interventionsgruppen sich tatsächlich voneinander unterscheiden (Döring & Bortz, 2016). Zu diesem Zweck werden in der vorliegenden Arbeit zwei unterschiedliche Verfahren verwendet, die sich insbesondere in ihren statistischen Voraussetzungen unterscheiden, konkret die Kovarianzanalyse sowie der Kruskal-Wallis-Test. 6.6.3.1 Kovarianzanalyse

Zur Realisierung der soeben erläuterten Gruppenvergleiche erscheinen zunächst sowohl für den Faktor Schulart als auch für den Faktor Gruppe jeweils einfaktorielle Kovarianzanalysen als F -Test geeignet25 . Dabei wird varianzanalytisch untersucht, inwiefern sich Mittelwertunterschiede in einer abhängigen Variable durch verschiedene Ausprägungen in einem Faktor erklären lassen, wobei der Einfluss einer Kovariate (hier: Pretest) auf die abhängige Variable weitgehend neutralisiert wird (vgl. Bortz & Schuster, 2010, für eine detaillierte Darstellung der mathematischen Realisierung der Untersuchung von Mittelwertunterschieden auf der Grundlage varianzanalytischer Methoden). Dabei wird die Nullhypothese überprüft, dass die Schülerinnen und Schüler der drei Interventionsgruppen derselben Grundgesamtheit angehören. Diese Nullhypothese kann dahingehend interpretiert werden, dass sich in Bezug auf eine abhängige Variable die Mittelwerte der Schülerinnen und Schüler keiner der drei Interventionsgruppen paarweise signifikant voneinander unterscheiden, wenn statistisch für Einflüsse des Pretests kontrolliert wird. Hierbei ist insbesondere zu beachten, dass in Folge einer Ablehnung dieser Nullhypothese zunächst nur angenommen werden kann, dass sich die drei Interventionsgruppen signifikant voneinander unterscheiden. In diesem Fall werden zur Quantifizierung der Effekte des Treatments a posteriori Einzelvergleiche durchgeführt, um Aussagen über signifikante Unterschiede zwischen den einzelnen Gruppen treffen zu können. In dieser Arbeit wird zur Post-hoc-Analyse Tukeys-HSD-Test (en.: honest significant difference) verwendet (vgl. Tukey, 1949, für eine detaillierte Darstellung der zugrunde liegenden Berechnungen). Um hierbei die Stärke der Effekte zu quantifizieren und zu interpretieren wird als Effektstärkemaß das partielle Eta-Quadrat (η2p ) angegeben. Dabei gibt η2p den Anteil der Varianz an, die durch den untersuchten Faktor erklärt werden kann, und kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Als Interpretationsrichtlinien können dabei Werte um η2p = .01 als schwache Effekte (en.: small), Werte um η2p = .06 als mittlere oder mäßige Effekte (en.: 25 Vor der Hintergrund der in Kapitel 5 formulierten Fragen erscheint es insbesondere nicht zielführend, die

beiden Faktoren zu einer zweifaktoriellen Kovarianzanalyse zu kombinieren, da begründete Zweifel daran bestehen, dass Schülerinnen und Schüler an Gymnasien und Schülerinnen und Schüler an Mittelschulen in Bezug auf die Leistung aus der gleichen Grundgesamtheit stammen.

6.6 Statistische Auswertungsmethoden

231

medium) und Werte größer als η2p = .14 als starke Effekte (en.: large) bezeichnet werden (Cohen, 1992). Die Kovarianzanalyse stellt ein statistisches Verfahren mit weitreichenden Voraussetzungen dar. Im Folgenden werden die Annahmen mit Bezug auf Bortz und Schuster (2010, S. 212-214, 311-314) dargestellt und – soweit möglich – für die durchgeführte Studie global beantwortet sowie ihr Einfluss auf die Verlässlichkeit der Ergebnisse diskutiert. 1. Unabhängige Fehlerkomponenten: Im Zuge der durchgeführten Studie wird davon ausgegangen, dass die Beeinflussung der Messwerte durch Fehlereffekte unabhängig ist, da Schülerinnen und Schüler jeweils nur einer einzigen Interventionsgruppe zugeordnet wurden. 2. Homogene Fehlervarianzen: Eine Voraussetzung der Kovarianzanalyse ist, dass sich die Varianzen der abhängigen Variable innerhalb der Faktoren nicht signifikant voneinander unterscheiden. Varianzhomogenität lässt sich unter Rückgriff auf den Levene-Test empirisch verifizieren und wird insbesondere in Kapitel 7 für jede Skala zu Beginn der Auswertung überprüft. 3. Normalverteilte Fehlerkomponenten: Das varianzanalytische Modell nimmt an, dass die Messwerte der abhängigen Variablen innerhalb der Faktoren jeweils normalverteilt sind. Insbesondere wird die Normalverteilung für die gesamte Stichprobe nicht vorausgesetzt. Wie in Abschnitt 6.6.2 dargestellt, kann die Normalverteilungsannahme mittels des Shapiro-Wilk-Tests überprüft und unter Rückgriff auf Histogramme beurteilt werden. 4. Homogene Steigungen der Regressionsgeraden: Eine Annahme des Modells ist, dass der Einfluss der Kovariate auf die abhängige Variable innerhalb der unterschiedenen Faktoren gleich ist, also insbesondere kein Interaktionseffekt zwischen Kovariate und dem Faktor auf die abhängige Variable besteht. Aufschluss über etwaige Interaktionseffekt kann eine geeignete varianzanalytische Untersuchung geben sowie der Rückgriff auf die visuelle Darstellung der Regressionsgeraden liefern. Es ist dabei festzuhalten, dass sich die Kovarianzanalyse als weitgehend robust gegen Verletzungen der ersten drei Voraussetzungen verhält. Hier raten etwa Bortz und Schuster (2010) dann zu einem parameterfreien Test, wenn mehrere Voraussetzungen gleichzeitig nicht erfüllt sind. Insbesondere kann eine Abweichung von der Normalverteilungsannahme bei großen Stichproben weitgehend vernachlässigt werden, wobei alle im Zuge dieser Arbeit untersuchten Stichproben mit N > 200 als eher groß bezeichnet werden können. Weiter wird angenommen, dass eine Abweichung von der Varianzhomogenität bei großen Stichproben nur dann nicht unerheblich ist, wenn die untersuchten Gruppen sich hinsichtlich ihrer Größe stark unterscheiden (Glass, Peckham & Sanders, 1972). Dabei schlägt Richard (2016) vor, Untersuchungsgruppen dann als weitgehend gleich groß zu bezeichnen, wenn das Verhältnis θ der größten zur kleinsten Teilstichprobe kleiner als 1.5 ist. Dies ist am Gymnasium der Fall (θ = 1.32). Für die Mittelschulen kann jedoch nicht von weitgehend

232

6 Design und Methode der Studie

gleichen Gruppengrößen ausgegangen werden (θ = 1.60). Auch für den Vergleich der Schulformen liegen ungleich große Stichproben am Gymnasium und an der Mittelschule vor (θ = 2.02). Darüber hinaus kann eine Kovarianzanalyse dann eher ungeeignete Ergebnisse liefern, wenn die Steigungen der Regressionen der untersuchten Gruppen heterogen, die Stichproben ungleich groß und darüber hinaus die Normalverteilungsannahme grundlegende verletzt ist (Levy, 1980). Zudem ist eine effektive Reduktion von Fehlervarianzen unter Rückgriff auf eine Kovariate – die insbesondere über eine weitgehend zufällige Fehlervarianzreduktion hinaus geht – nur dann zu erwarten, wenn ein Zusammenhang zwischen Kovariate und abhängiger Variable auch vor dem Ergebnis empirischer Daten zu rechtfertigen ist (Bortz & Schuster, 2010). Aufschluss darüber kann etwa eine Korrelationsanalyse liefern. Auf der Basis dieser Darstellung wird für eine Verwendung der Kovarianzanalyse folgende Entscheidungsregel festgelegt: Es wird angenommen, dass sich selbst bei Verletzung einzelner Voraussetzungen durch die großen Stichproben zuverlässige Ergebnisse einer Kovarianzanalyse ergeben. Jedoch können die zum Teil unterschiedlich großen Gruppengrößen zu nicht intendierten Verzerrungen der Ergebnisse führen, falls weitere Voraussetzungen verletzt sind. Daher wird zu Beginn von Kapitel 7 vor der Untersuchung von Gruppenunterschieden der Zusammenhang zwischen Kovariate und abhängiger Variable untersucht. In den Fällen, in denen der Zusammenhang nicht zufriedenstellend erscheint und damit keine sinnvolle Fehlervarianzreduktion zu erwarten ist, wird zur Untersuchung von Gruppenunterschieden auf den Kruskal-Wallis-Test als parameterfreien Test zurück gegriffen. Im Zuge dieser Arbeit wurde zur Realisierung der Kovarianzanalysen das stats-Package verwendet. Der Levene-Test sowie die Berechnungen der Effektstärken der Kovarianzanalyse wurden unter Rückgriff auf das heplots-Package (Fox, Friendly & Monette, 2016) durchgeführt. Für die Durchführung von Post-Hoc-Analysen mittels Tukey-HSD-Test wurde das multcomp-Package (Hothorn, Bretz & Westfall, 2008) genutzt. 6.6.3.2 Kruskal-Wallis-Test

Neben der soeben dargestellten Entscheidungsregel zur Verwendung der Kovarianzanalyse erscheint auch im Fall einer grundlegenden Verletzung der Normalverteilungsannahme – nicht nur auf der Grundlage des Shapiro-Wilk-Tests, sondern insbesondere auch auf Basis der Histogramme in Form von Decken- oder Bodeneffekten sowie kurzen Skalen – eine parameterfreie Schätzmethode notwendig. Der Kruskal-Wallis-Test (Kruskal & Wallis, 1952; siehe auch Montgomery, 2012) kann hierfür eine geeignete statistische Methode darstellen, da er insbesondere für Zweigruppenpläne als auch für Mehrgruppenpläne eingesetzt werden kann. Auch wenn zur Berechnung der Teststatistik H nicht auf varianzanalytische Methoden zurückgegriffen wird, sondern Rangsummen verglichen werden (vgl. Kruskal & Wallis, 1952, für eine ausführliche Beschreibung der Berechnungsgrundlagen), kann der Kruskal-Wallis-Test als parameterfreier Test für Mittelwertunterschiede in Interventionsgruppen interpretiert werden (Montgomery, 2012). Analog zur Kovarianzanalyse können

6.6 Statistische Auswertungsmethoden

233

im Falle signifikanter Gruppenunterschiede A-Posteriori-Einzelvergleiche eingesetzt werden, um die tatsächlich signifikant unterschiedlichen Gruppen zu identifizieren. Im Zuge dieser Arbeit wird dabei der Dunn-Test mit Bonferroni-Korrektur eingesetzt (vgl. O. J. Dunn, 1964, für eine ausführliche Darstellung der Berechnungsgrundlage). Um eine Vergleichbarkeit der Effekte bei den Messungen von Gruppenunterschieden herzustellen, wird für die Quantifizierung der mittels Kruskal-Wallis-Tests gewonnenen Ergebnisse ebenfalls η2p als Effektstärkemaß berichtet. Dabei wird darauf zurückgegriffen, dass zur Überprüfung der Signifikanz ein Chi-Quadrat-Test durchgeführt wird, dessen pWert sich unter Angabe der Anzahl der getesteten Gruppen sowie der Stichprobengröße in einen F -Wert überführen lässt. Auf der Basis einer in dieser Art gewonnenen Abschätzung für den F -Wert lässt sich mittels der folgenden Formel das partielle Eta-Quadrat berechnen (Cohen, 1969; siehe auch Lakens, 2013): η2p =

F (df1 , df2 ) · df1 F (df1 , df2 ) · df1 + df2

(6.2)

Dabei bezeichnen df1 und df2 die beiden Freiheitsgrade der F -Verteilung. Sie lassen sich mit der Anzahl der unterschiedenen Gruppen k sowie der Stichprobengröße n folgendermaßen berechnen: df1 = k − 1,

df2 = n − k.

Zur Durchführung von Kruskal-Wallis-Tests wurde im Zuge dieser Arbeit auf das statsPackage zurückgegriffen. Post-Hoc-Analysen mittels Dunn-Test wurden unter Rückgriffe auf das PMCMR-Package (Pohlert, 2014) durchgeführt. Zur Schätzung des Effektstärke wurde eine Funktion zur Berechnung von η2p aus der Teststatistik des Kruskal-Wallis-Tests auf der Grundlage der Formel (6.2) eigens in R implementiert (vgl. Anhang A.4, für den konkreten R-Code der Implementierung). Zusammenfassung

Zur Beantwortung der in Kapitel 5 formulierten Forschungsfragen wurde eine Feldstudie im Rahmen des mathematischen Regelunterrichts an Gymnasien und Mittelschulen durchgeführt. Das quasi-experimentelle Design folgte dabei einem konstruktiven Forschungsansatz. Die insgesamt 1108 teilnehmenden Schülerinnen und Schüler verteilten sich klassenweise auf drei verschiedene Interventionsgruppen. Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppe arbeiteten während der 15-stündigen Intervention mit einer digitalen Lernumgebung in Form eines iBooks, das auf der Basis der in den vorhergehenden Kapiteln dargestellten theoretischen Überlegungen zum Einsatz digitaler Unterrichtsmedien im Mathematikunterricht im Zuge des Forschungsprojektes ALICE:Bruchrechnen vom Autor dieser Arbeit in Zusammenarbeit mit zwei weiteren Doktoranden – Stefan Hoch und Bernhard Werner – entwickelt wurde. Zur Kontrolle angenommener Einflüsse durch

234

6 Design und Methode der Studie

die Aufbereitung des Materials vor fachdidaktischen und psychologischen Hintergründen arbeiteten Schülerinnen und Schüler der Arbeitsbuchgruppe mit einer multimedialen und gedruckten Form der entwickelten Lernumgebung, deren Inhalt identisch zum iBook war. Den beiden Experimentalgruppen gegenüber stand eine Kontrollgruppe, die mit traditionellen Schulbüchern unterrichtet wurde. Zur Quantifizierung der Effekte des Treatments wurden ein Pretest vor der 15stündigen Unterrichtssequenz sowie ein Posttest danach als schriftliche Paper-PencilTests durchgeführt. Die beiden Erhebungsinstrumente wurden zum Zweck einer curriculumnahen Testung von Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen, arithmetischen Fähigkeiten und Fähigkeiten geeignete Strategien zu erläutern entwickelt und pilotiert. Die Antworten der Schülerinnen und Schüler wurden vollständig doppelt codiert. Zum Zweck einer objektiven Beantwortung der Forschungsfragen wurden Klassen, in denen eine Umsetzung der Vorgaben – allen voran der Unterrichtszeit – nicht erfüllt scheint, von der Auswertung der Ergebnisse ausgeschlossen. Dies reduziert den Stichprobenumfang für die im folgenden Kapitel dargestellten statistischen Auswertungen auf 721 Schülerinnen und Schüler (N = 476 an Gymnasien und N = 245 an Mittelschulen). Für die im nächsten Kapitel folgende Darstellung der Ergebnisse der Studie wurde auf gängige statistische Auswertungsmethoden zurückgegriffen.

7 Ergebnisse der Studie Today’s teachers have to learn to communicate in the language and style of their students. This doesn’t mean changing the meaning of what is important, or of good thinking skills. But it does mean going faster, less step-by step, more in parallel, with more random access, among other things. Prensky (2001, S. 4) Überblick

In diesem Kapitel werden die Ergebnisse der soeben beschriebenen Studie an Gymnasien und Mittelschulen dargestellt. Dabei werden zunächst die Testinstrumente auf der Basis anerkannter statistischer Gütekriterien evaluiert (vgl. Abschnitt 7.1). Im Anschluss daran werden die statistischen Auswertungsmethoden zur Quantifizierung der TreatmentEffekte unter Rückgriff auf empirische Ergebnisse ausgewählt und begründet (vgl. Abschnitt 7.2). Daraufhin werden im Hinblick auf die Operationalisierung tendenziell leistungsschwächerer und eher leistungsstärkerer Schülerinnen und Schüler durch unterschiedliche Schulformen die Ergebnisse von Lernenden an Gymnasien und Mittelschulen verglichen (vgl. Abschnitt 7.3). Zuletzt folgt die Quantifizierung der Treatment-Effekte an Gymnasien (vgl. Abschnitt 7.4) und an Mittelschulen (vgl. Abschnitt 7.5).

7.1 Evaluation der Testinstrumente In diesem Abschnitt werden die beiden zum Zweck der Beantwortung der Forschungsfragen erstellten Erhebungsinstrumente vor dem Hintergrund gängiger statistischer Gütekriterien einer kritischen Betrachtung unterzogen. Zur Beurteilung der Güte der Testinstrumente werden neben McDonalds Omega als Maß für die interne Konsistenz einer Skala auch Ergebnisse konfirmatorischer Faktorenanalysen sowie typische Itemkennwerte der Erhebungen an Gymnasien und Mittelschulen berichtet. Dabei wird zunächst der Pretest, im Anschluss daran der Posttest beurteilt.

7.1.1 Pretest als Maß für Vorerfahrungen zum Bruchzahlbegriff Der Pretest dient dem Zweck einer Messung von Vorerfahrungen zum Bruchzahlbegriff. Er wurde im Hinblick auf eine Verwendung als Kovariate zur Quantifizierung der Effekte des © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 F. Reinhold, Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive, Studien zur theoretischen und empirischen Forschung in der Mathematikdidaktik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-23924-4_8

236

7 Ergebnisse der Studie

Treatments in allen beteiligten Klassen vor Beginn der Intervention schriftlich durchgeführt. Eine initiale Beurteilung der internen Konsistenz der Skala erscheint daher angemessen. Ermittelte Kenndaten zur Bewertung der internen Konsistenz des Pretests sowie eine deskriptive Analyse der Skala und der enthaltenen Items ist Tabelle 7.1 zu entnehmen. Für die dargestellten Ergebnisse wird auf drei unterschiedliche Stichproben zurückgegriffen. Die interne Konsistenz wird unter Rückgriff auf die Antworten aller 779 Schülerinnen und Schülern am Gymnasium zurückgegriffen, da insbesondere die in Abschnitt 6.1.2.1 dargestellten Ausschlusskriterien für die Beurteilung des Erhebungsinstruments im Allgemeinen eher irrelevant erscheinen. Die Bestimmung der spezifischen Itemschwierigkeiten erfolgt für Gymnasien und Mittelschule getrennt. Hierfür werden nur die Antworten der Schülerinnen und Schüler betrachtet, in deren Klassen von einer Realisierung des Treatments ausgegangen wird (vgl. Abschnitt 6.4.4). Der Pretest verfügt über ein Item B11, das zum Zweck einer genaueren Messung des zugrunde liegenden mathematischen Konstrukts auf vier Subitems zurückgreift. Dieses Item kann als weitgehend konsistent bezeichnet werden, ω = .80. Insgesamt weisen auch die vier Subitems eine sehr hohe Ähnlichkeit zueinander auf, r = .47 (vgl. dazu auch Tabelle A.2, Anhang A.5). Tabelle 7.1 Interne Konsistenz der Skala und deskriptive Analyse der Items im Pretest für Gymnasien und Mittelschulen. Deskriptive Analyse Interne Konsistenz, n = 779

Gym. N = 476

MS N = 250

Erhebung

k

ω

95% CI

FS

Item

β

M

SD

M

SD

Pretest

10a

.82

[.80, .83]

.94

B01 B02 B03 B04 B05 B06 B07 B08 B09 B10 B11

.22 .26 .22 .25 .35 .20 .09 .30 .29 .26 .27

.63 .62 .24 .31 .37 .76 .77 .36 .45 .58 .51

.48 .49 .43 .46 .48 .43 .42 .48 .50 .49 .45

.26 .46 .03 .09 .06 .49 .43 .22 .28 .15 .09

.44 .50 .17 .29 .24 .50 .50 .41 .45 .36 .25

Anmerkung. Erhebung = Erhebungsinstrument; Interne Konsistenz: n = Beobachtungen, k = Skalenlänge, ω = McDonalds Omega, 95% CI = 95 % Konfidenzintervall, FS = Stabilität des Faktors; β = Standardisierte Faktorladung; Deskriptive Analyse: Gym. = Gymnasium, MS = Mittelschule, N = Stichprobenumfang; M = Mittelwert; SD = Standardabweichung; a Item B07 wurde aufgrund einer Faktorladung von β < .10 zur Auswertung aus dem Pretest entfernt.

7.1 Evaluation der Testinstrumente

237

Die Reliabilität des Pretests ist mit ω = .82 gut akzeptabel. Die in Abschnitt 6.6.1 dargestellte theoretische Begründung der Wahl von McDonalds Omega statt Cronbachs Alpha als Reliabilitätsmaß hält einer empirischen Überprüfung stand: Mit standardisierten Faktorladungen der berücksichtigten Items zwischen β = .09 und β = .35 erscheint eine Annahme essentieller τ-Äquivalenz nicht gerechtfertigt. Item B07 weist mit einer Faktorladung von β < .10 eine sehr geringe Zugehörigkeit zur Skala auf, die insbesondere vor dem Hintergrund der vergleichsweise hohen Faktorladungen der restlichen Items für einen Ausschluss des Items aus der Auswertung der Daten spricht1 . Die geringe Zugehörigkeit zur Gesamtskala kann etwa dadurch zustande kommen, dass in Item B07 als einzigem Item des Pretests auf einen realen Kontext zurückgegriffen wird, während die restlichen Items die Fachinhalte rein innermathematisch adressieren. Darüber hinaus ist in Item B07 das Konzept Erweitern und Kürzen zentral, während die restlichen Items weitgehend auf das Konzept Teil vom Ganzen fokussieren. Die dargestellten Gründen rechtfertigen einen Ausschluss des Items zum Zweck der Untersuchung von Vorerfahrungen zum Bruchzahlbegriff. Das sich dadurch ergebende Erhebungsinstrument mit zehn kongenerischen Items weist eine Faktorstabilität von FS = .94 auf, was als Indiz für eine sehr gute Faktorstruktur gewertet werden kann. Der Pretest kann damit als weitgehend reliables Testinstrument bezeichnet werden. Die empirisch gewonnenen Itemschwierigkeiten unter Berücksichtigung der für die Auswertung relevanten 476 Schülerinnen und Schüler am Gymnasium und 250 Schülerinnen und Schüler an der Mittelschule liegen am Gymnasium zwischen .24 und .76 (M = .48, SD = .17) und an der Mittelschule zwischen .03 und .49 (M = .21, SD = .16). Insbesondere existiert an der Mittelschule kein Item, das von mehr als der Hälfte der Schülerinnen und Schüler korrekt gelöst wird. Weiter ergeben sich an der Mittelschule in vier Items Itemschwierigkeiten kleiner als .10. Nur zwei Items werden von über 30 % der Schülerinnen und Schüler korrekt gelöst. Dies lässt bereits Schwierigkeiten des Testinstruments in Bezug auf eine Verwendung als Maß für Vorerfahrungen zum Bruchzahlbegriff an Mittelschulen aufgrund des vergleichsweise hohen Schwierigkeitsgrades vermuten, die in Abschnitt 6.6.2 näher ausgeführt werden. Sowohl am Gymnasium als auch an der Mittelschule stellt Item B03 das schwierigste Item im Pretest dar. Im Mittel lösen nur 24 % der Gymnasiastinnen und Gymnasiasten die Aufgabe zum Ablesen vom Zahlenstrahl korrekt. An der Mittelschule wird das Item – bei einer Itemschwierigkeit von lediglich .03 – weitgehend gar nicht beantwortet. Ebenfalls erweist sich an beiden Schularten Item B06, in dem drei von vier markierten Kreise als 43 benannt werden mussten, mit Itemschwierigkeiten von .76 am Gymnasium und .49 an Mittelschulen als die einfachste Aufgabe des Pretests. Im Mittel lösen Gymnasiastinnen und Gymnasiasten den Pretest zu 48 % (SD = 29), Mittelschülerinnen und Mittelschüler lediglich zu 21 % (SD = 21) korrekt. 1 Insbesondere

handelt es sich bei Item B07 um exakt das Item, das in der Pilotierung der Erhebungsinstrumente noch Teil des Posttests war und aufgrund ähnlicher Ergebnisse für die Studie in den Pretest verschoben wurde. Vor diesem Hintergrund erscheint ein Ausschluss des Items aus der Auswertung ebenfalls plausibel.

238

7 Ergebnisse der Studie

7.1.2 Posttest als Maß für die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs Der Posttest dient einer curriculumnahen Testung der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs. Die Ergebnisses dieses in allen an der Studie beteiligten Klassen nach der Intervention durchgeführten schriftlichen Tests stellen das ausschlaggebende Kriterium für eine Beurteilung der Effekte des Treatments in Bezug auf die Leistungen der Schülerinnen und Schüler dar. Eine ausführliche Beurteilung des Erhebungsinstruments im Hinblick auf die interne Konsistenz der unterschiedlichen Skalen Visualisierungen, Arithmetik und Erklären vor der eigentlichen Auswertung der Ergebnisse erscheint daher notwendig. Einen Überblick über die statistischen Kenndaten der internen Konsistenz der Skalen sowie eine deskriptive Analyse der einzelnen Items liefert Tabelle 7.2. Dabei wird analog zur Bewertung des Pretests auf drei unterschiedliche Stichproben zurückgegriffen. Ergebnisse zur Beurteilung der internen Konsistenz werden auf der Basis aller 745 an der Erhebung teilnehmenden Gymnasiastinnen und Gymnasiasten gewonnen. Für die Ermittlung spezifischer Itemschwierigkeiten werden erneut nur die Schülerinnen und Schüler an Gymnasien und Mittelschulen betrachtet, in deren Klassen von einer Realisierung des Treatments ausgegangen wird (vgl. Abschnitt 6.4.4). Im Posttest verfügen insgesamt acht der 21 Items über zwei bis fünf Subitems. Sieben dieser acht Items sind unter Berücksichtigung ihrer vergleichsweise sehr kurzen Skalenlängen mit Reliabilitäten zwischen ω = .49 und ω = .94 sowie mittleren Inter-Item-Korrelationen größer .20 weitgehend konsistent (vgl. dazu auch Tabelle A.2, Anhang A.5). Lediglich Item A20 erscheint mit einer Reliabilität von ω = .40 und einer mittleren Inter-Item-Korrelation von r = .15 bei einer Skalenlänge von fünf Subitems eher problematisch. Vor dem Hintergrund dieser empirisch gewonnenen Werte ist zu vermuten, dass die fünf Subitems nicht ausreichen, um Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler darin, die Größe zweier symbolisch angegebener Brüche zu vergleichen, vollständig zu erfassen. Da eine Wiederholung der Messung an Gymnasien aus testökonomischen Gründen zur Korrektur dieses Umstandes nicht umsetzbar ist und aus Gründen der Objektivität eine Veränderung des Erhebungsinstruments für die Testung an Mittelschulen nicht zielführend erscheint, wird das Item trotz der eher ungünstigen internen Konsistenz dennoch als Maß für ebendiese Fähigkeit verwendet2 . Ergebnisse, die sich aus der isolierten Auswertung von Item A20 ergeben, werden jedoch vor diesem Hintergrund eher vorsichtig interpretiert. Die Reliabilität des Posttests ist mit ω = .82 ebenfalls gut akzeptabel. Die Items weisen standardisierte Faktorladungen zwischen β = .26 und β = .65 auf, was zum einen zu einer sehr gute Faktorstruktur von FS = .92 führt und zum anderen als Beleg dafür verstanden werden kann, dass es sich bei den Aufgaben um kongenerische Items handelt, die eine Entwicklung des Bruchzahlbegriffs in unterschiedlichen Dimensionen und in unterschiedlichen Ausprägungen messen. Dies ist passend zur Gestaltung des Erhebungsinstruments. 2 In der zweiten Erhebung an Mittelschulen wurde aus den soeben dargestellten Gründen ein elektronisch

durchgeführter Delayed-Test mit insgesamt 24 nach unterschiedlichen Kriterien ausgewählten und bereits in einer englischsprachigen Studie verwendeten Items zum Größenvergleich von Brüchen durchgeführt, dessen Auswertung jedoch nicht Teil der vorliegenden Arbeit ist.

7.1 Evaluation der Testinstrumente

239

Tabelle 7.2 Interne Konsistenz der Skalen und deskriptive Analyse der Items im Posttest für Gymnasien und Mittelschulen. Deskriptive Analyse Interne Konsistenz, n = 745

Gym. N = 476

MS N = 245

Erhebung/Skala

k

ω

95% CI

FS

Item

β

M

SD

M

SD

Posttest

21

.82

[.80, .84]

.92

A01 A02 A03 A04 A05 A06 A07 A08 A09 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 A21

.40 .34 .26 .42 .29 .28 .65 .38 .32 .45 .52 .27 .36 .61 .30 .50 .59 .55 .43 .58 .46

.69 .76 .85 .40 .73 .55 .55 .58 .83 .56 .60 .74 .82 .60 .69 .66 .70 .68 .63 .52 .52

.31 .42 .36 .49 .44 .50 .31 .47 .37 .45 .49 .44 .39 .40 .39 .45 .46 .47 .48 .36 .41

.15 .25 .46 .11 .27 .22 .16 .10 .39 .13 .09 .49 .36 .21 .23 .20 .16 .19 .18 .11 .09

.27 .43 .50 .31 .44 .41 .20 .28 .49 .31 .29 .50 .48 .29 .37 .38 .37 .39 .39 .20 .22

Anmerkung. Erhebung = Erhebungsinstrument; Interne Konsistenz: n = Beobachtungen, k = Skalenlänge, ω = McDonalds Omega, 95% CI = 95 % Konfidenzintervall, FS = Stabilität des Faktors; β = Standardisierte Faktorladung; Deskriptive Analyse: Gym. = Gymnasium, MS = Mittelschule, N = Stichprobenumfang; M = Mittelwert; SD = Standardabweichung

240

7 Ergebnisse der Studie

Insgesamt ist der Posttest von Gymnasiastinnen und Gymnasiasten gut zu bewältigen: Die empirisch gewonnenen Itemschwierigkeiten liegen hier zwischen .40 und .85 (M = .65, SD = .12). Insbesondere wird Item A04 als einzige Aufgabe von weniger als der Hälfte der Schülerinnen und Schüler am Gymnasium korrekt gelöst. In dieser Aufgabe muss der Nenner eines Anteils bei vorgegebenem Ganzen und Bruchteil bestimmt werden, was eine schwierige Aufgabe für Lernende zu Beginn des Bruchrechenunterrichts darstellen kann. Weiter stellen die Items A03, A09 und A13 mit Lösungsraten von über 80 % für Gymnasiastinnen und Gymnasiasten die einfachsten Aufgaben im Posttest dar. Für Mittelschülerinnen und Mittelschüler zeigt sich bezogen auf das Gesamtergebnis erwartungsgemäß ein anderes Bild. Der Test ist hier für viele Lernende erheblich anspruchsvoller. Die Itemschwierigkeiten liegen zwischen .09 und .49 (M = .22, SD = .12). Keine der Aufgaben wird von über der Hälfte der Schülerinnen und Schüler korrekt gelöst. Die Aufgaben A03 und A12 sind für Mittelschülerinnen und Mittelschüler mit Lösungsraten über 40 % am einfachsten, wohingegen die Items A11 und A21 mit Itemschwierigkeiten unter 10 % komplexe Aufgaben für diese Schülergruppe darstellen. Insbesondere fallen zum Teil Unterschiede in den Itemschwierigkeiten zwischen den Schularten auf. Exemplarisch können hier etwa die Items A01 und A08 genannt werden, die eine Diskrepanz in der mittleren Lösungsrate von über .50 aufweisen. Bei beiden Aufgaben wird das Konzept Erweitern und Kürzen adressiert, was auf eine allgemeine Schwierigkeit im Umgang mit diesem Konzept an Mittelschulen hindeuten kann. Diese Schwierigkeiten zeigen sich hier vor allem bei den algorithmischen Operationen, was an zwei exemplarisch ausgewählten Schülerfehlern dargestellt wird: Beim Kürzen von Brüchen werden Zähler und Nenner durch unterschiedliche natürliche Zahlen dividiert und zum Teil subtrahiert (vgl. Abbildung 7.1, oben). Bei der Bildung eines gemeinsamen Nenners in Aufgabe A08 werden zum Teil die Zähler und die Nenner der beiden angegebenen Brüche schlicht addiert (vgl. Abbildung 7.1, unten). Insgesamt wird der Test am Gymnasium im Mittel zu 65 % (SD = .20), an der Mittelschule lediglich zu 22 % (SD = .15) korrekt gelöst. 7.1.2.1 Skalenebene des Posttests

Es wird angenommen, dass der Posttest in die drei Skalen Visualisierungen, Arithmetik und Erklären zerfällt (vgl. Abschnitt 6.3.2), was durch eine konfirmatorische Faktorenanalyse überprüft wird. Das Modell des Posttests mit den drei unterschiedlichen Dimensionen Visualisierungen, Arithmetik und Erklären ist dabei akzeptabel, CFI = .890 und RMSEA = .044. Das volle dreifaktorielle Modell weist einen signifikant höheren Fit zu den Daten auf als eine einfaktorielle Lösung, χ2 (3) = 42.53, p < .001, sowie eine dreifaktorielle Lösung, die keine Kovarianzen zwischen den drei latenten Faktoren erlaubt, χ2 (3) = 663.61, p < .001. Die Faktorladungen bewegen sich zwischen .27 und .67. Das dreifaktorielle konfirmatorisch überprüfte Modell ist in Abbildung 7.2 (S. 242) der einfaktoriellen Lösung graphisch gegenübergestellt. Dabei werden die Zuordnungen zu den Skalen durch Pfeile repräsentiert. Die Beschriftung der Pfeile entspricht den standardisierten Faktorladungen im jeweiligen Modell. Auf dieser Grundlage kann davon ausgegangen werden, dass die

7.1 Evaluation der Testinstrumente

241

Abbildung 7.1. Exemplarisch ausgewählte Schülerfehler in den Aufgaben A01 (oben) und A08 (unten) im Posttest, die auf grundlegende Schwierigkeiten beim Erweitern und Kürzen hindeuten.

Items des Posttests wie in Abschnitt 6.3.2 dargestellt je einer der Skalen Visualisierungen, Arithmetik und Erklären zuzuordnen sind. 7.1.2.2 Skala Visualisierung

Die Skala Visualisierungen umfasst elf Items, in denen entweder ein Wechsel zwischen ikonischer und symbolischer Repräsentation, ein Wechsel zwischen unterschiedlichen ikonischen Darstellungen, oder eine Veränderung der vorgegebenen ikonischen Darstellung notwendig ist. Die Reliabilität der Skala ist mit ω = .67 noch ausreichend (vgl. Tabelle A.3, Anhang A.5). Insbesondere spricht die sehr gute Faktorstabilität von FS = .93 dafür, dass eine Auswertung der Skala plausible Ergebnisse liefert. Dabei liegen die standardisierten Faktorladungen der Skala Visualisierungen zwischen β = .27 und β = .66. Auf der Basis der theoriebasierten Entwicklung des Erhebungsinstrumentes wird angenommen, dass zur Lösung der Items der Skala Visualisierungen jeweils eines von drei in Abschnitt 2.3 dargestellten Konzepten von Bruchzahlen Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen oder Größenvergleich zentral ist. Demzufolge sollte eine Faktorstruktur, in der die Items denjenigen Konzepten, denen sie in Tabelle 6.7 (S. 207) zugeordnet werden, einer konfirmatorischen Faktorenanalyse standhalten. Abbildung 7.3 (S. 243) zeigt das zugrunde liegende Modell. Dargestellt sind hier zum einen die Faktorladungen zur Skala Visualisierungen (links) sowie die intendierte Zuordnung zu den Konzepten von Bruchzah-

242

7 Ergebnisse der Studie

A03 A05 A06 A09 A10

Post.

.26 .29 .28 .32 .45 .27 .36 .61 .30 .55 .46 .40 .34 .42 .65 .38 .52 .55 .58 .59 .43

A12 A13 A14

.28 .29 .29 .33 .46 .27 .37 .65 .41 .60 .46

Visual.

.42 .33 .44 .67 .40 .54 .53 .58

Arithm.

.67 .49

Erkl.

A15 A18 A21 A01 A02 A04 A07 A08 A11 A16 A20 A17 A19

Abbildung 7.2. Faktorenanalyse des Posttests auf Skalenebene. CFI = .890; RMSEA = .044, 90% CI [.039, .049]. Skala: Visual. = Fähigkeit im Umgang mit Visualisierungen, Arithm. = Arithmetische Fähigkeiten, Erkl. = Fähigkeiten geeignete Strategien zu erläutern.

7.1 Evaluation der Testinstrumente

243

len als Pfeile mit durchgezogenen Linien (rechts). Die Beschriftung der Pfeile entspricht den standardisierten Faktorladungen. A03 A06 A12

Visual.

.28 .29 .27 .37 .66 .60 .29 .33 .46 .41 .46

A13 A14

.26 .25 .23 .33 .73 .70

TvG

.40 .44 .58

EuK

.46 .48

GV

A18 A05 A09 A10 A15 A21

Abbildung 7.3. Faktorenanalyse der Skala Visualisierung im Posttest. CFI = .915; RMSEA = .048, 90% CI [.037, .059]. Skala: Visual. = Fähigkeit im Umgang mit Visualisierungen; Konzept: TvG = Teil vom Ganzen, EuK = Erweitern und Kürzen, GV = Größenvergleich.

Das Modell der Skala Visualisierungen mit den drei unterschiedlichen Dimensionen Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen und Größenvergleich ist gut akzeptabel, CFI = .915 und RMSEA = .048. Das volle dreifaktorielle Modell weist dabei einen signifikant höheren Fit zu den Daten auf als eine Lösung mit nur einem Faktor, χ2 (2) = 50.797, p < .001. Darüber hinaus zeigt das Modell einen signifikant höheren Fit zu den Daten als eine dreifaktorielle Lösung, die keine Kovarianzen zwischen den drei latenten Faktoren zulässt, χ2 (3) = 237.13, p < .001. Die Faktorladungen bewegen sich zwischen β = .23 und β = .73. Anzumerken ist hier, dass sich diese starken Schwankungen der Faktorladungen insbesondere beim Faktor Teil vom Ganzen ergeben. Hier weisen die beiden Aufgaben zum Zahlenstrahl (Items A14 und A18) mit standardisierten Faktorladungen von β > .70 erheblich stärkere Ausprägungen auf als die restlichen Items. Vor dem Hintergrund dieser Ergebnisse kann die Annahme unterschiedlicher den Items zugrunde liegender Konzepte von Bruchzahlen, die in Forschungsfrage (i) als Vermutung formuliert ist, weitgehend bestätigt werden. 7.1.2.3 Skala Arithmetik

Die Skala Arithmetik umfasst insgesamt acht Items, in denen auf der Basis symbolischer Darstellungen von Bruchzahlen rechnerische Operationen durchgeführt werden müssen. Die Reliabilität der Skala ist mit ω = .71 ausreichend, (vgl. Tabelle A.3, Anhang A.5). Auch vor dem Hintergrund der sehr guten Faktorstabilität von FS = .93 mit Faktorladungen

244

7 Ergebnisse der Studie

zwischen β = .33 und β = .67 kann erwartet werden, dass eine Betrachtung der Skala verlässliche Ergebnisse liefert. Für die Skala Arithmetik wird ebenfalls ein Zerfall in die drei inhaltlich motivierten Subskalen Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen sowie Größenvergleich auf der Basis der theoriebasierten Entwicklung der Items angenommen (vgl. Tabelle 6.7, S. 207). Diese vermutete Zuordnung der Items wird analog zum vorhergehenden Abschnitt mittels konfirmatorischer Faktorenanalyse einer empirischen Überprüfung unterzogen. Dabei zeigt sich der in Abbildung 7.4 dargestellte Zusammenhang. Auch hier sind auf der linken Seite die standardisierten Faktorladungen zur Gesamtskala Arithmetik und auf der rechten Seite die Zuteilung zu den drei Konzepten von Bruchzahlen dargestellt. A02 A04

Visual.

.33 .44 .54 .53 .42 .67 .40 .58

A11

.27 .50 .64 .64

TvG

.46 .69 .42

EuK

1.00

GV

A16 A01 A07 A08 A20

Abbildung 7.4. Faktorenanalyse der Skala Arithmetik im Posttest. CFI = .981; RMSEA = .034, 90% CI [.015, .052]. Skala: A. = Arithmetische Fähigkeiten; Interpretation der Faktoren: TvG = Teil vom Ganzen, EuK = Erweitern und Kürzen, GV = Größenvergleich; Höhere Faktorladungen zu nicht-erwarteten Faktoren sind gestrichelt eingezeichnet..

Das Ergebnis der Faktorenanalyse stützt die inhaltlich motivierte Zuordnung der Items zu einem zentral zugrunde liegenden Konzept von Bruchzahlen. Das Modell der Skala Arithmetik mit den drei unterschiedlichen Dimensionen Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen und Größenvergleich ist sehr gut akzeptabel, CFI = .981 und RMSEA = .034. Das volle dreifaktorielle Modell weist hier ebenfalls einen signifikant höheren Fit zu den Daten auf als eine einfaktorielle Lösung, χ2 (2) = 33.36, p < .001, sowie eine dreifaktorielle Lösung, die keine Kovarianzen zwischen den drei latenten Faktoren erlaubt, χ2 (3) = 356.87, p < .001. Insgesamt liegen die standardisierten Faktorladungen zwischen β = .27 und β = .69. Auffällig ist hier Item A02, das zum theoretisch angenommenen Faktor eine vergleichsweise geringe Faktorladung von β = .27 aufweist. In dieser Aufgabe muss das ursprüngliche Ganze bei vorgegebenem Anteil und Bruchteil bestimmt werden. Dabei ist anzumerken, dass diese Aufgabe als einziges Item des Posttests in einen realen Kontext (Bestimmung der Gesamtzahl der Schülerinnen und Schüler einer Schulklasse bei vorgegebener Anzahl der Mädchen sowie des relativen Anteils der Mädchen in der Klasse) eingebettet ist.

7.1 Evaluation der Testinstrumente

245

Weiter stellt der vorgegebene Anteil mit 23 eher einen Alltagsbruch dar, als etwa der Anteil 27 in der ähnlichen kontextfreien Aufgabe A11. Da weiter diese beiden – theoretisch analog zu lösenden – Items nur schwach positiv miteinander korrelieren, ρ(743) = .13, p < .001, ist zu vermuten, dass der Realkontext in Aufgabe A02 Schülerinnen und Schüler trotz mangelnder arithmetischer Fähigkeiten im Umgang mit Bruchzahlen dennoch zu einer korrekten Lösung in dieser Aufgabe befähigen kann. Dieser Erklärungsansatz erscheint auch vor dem Hintergrund der höheren Lösungsraten in Item A02 als in Item A11 – sowohl an Gymnasien als auch an Mittelschulen – plausibel (vgl. Tabelle 7.2, S. 239). Exemplarisch kann an dieser Stelle die Lösung eines Mittelschülers dargestellt werden, der die Aufgabe durch eine ikonische Darstellung am Kreisdiagramm korrekt löst (vgl. Abbildung 7.5).

Abbildung 7.5. Exemplarische Schülerlösung zu Aufgabe A02 im Posttest mit Rückgriff auf eine ikonische Darstellung am Kreisdiagramm.

Die empirischen Daten unterstützen die theoretische und inhaltlich vorgenommene Einteilung der Items anhand der zentralen Konzepte von Bruchzahlen und können somit als Bestätigung der Vermutung zu Forschungsfrage (i) auch für den Bereich arithmetischer Fähigkeiten interpretiert werden. 7.1.2.4 Skala Erklären

Die Skala Erklären umfasst zwei Items, in denen Schülerinnen und Schüler ihr Vorgehen beim Größenvergleich von Brüchen plausibel erläutern sollen. Die Reliabilität der sehr kurzen Skala ist mit einer mittleren Inter-Item-Korrelation von r = .33 und mit einer Faktorstabilität von .95 akzeptabel (vgl. Tabelle A.3, Anhang A.5). Insbesondere stehen im Fokus der Auswertung dieser beiden Items nicht ausschließlich die Lösungsraten. Vielmehr wird ein ein eher qualitativer Vergleich der verwendeten Strategien, auf die Schülerinnen und Schüler zurückgreifen, um zu einer richtigen Lösung zu gelangen, angestrebt. Weiter

246

7 Ergebnisse der Studie

ist zu bemerken, dass die Aufgabe einem fiktiven Schüler eine geeignete Strategie zum Größenvergleich zweier Brüche in eigenen Worten zu erläutern, Schülerinnen und Schülern am Gymnasium erheblich einfacher fällt als Mittelschülerinnen und Mittelschülern. So lösen 70 % der Gymnasiastinnen und Gymnasiasten Aufgabe A17 korrekt, wohingegen das Item nur von 16 % der Lernenden an der Mittelschule richtig beantwortet wird. Für die zweite Aufgabe A19 der Skala ergeben sich ähnliche Diskrepanzen zwischen den beiden Schularten (vgl. Tabelle 7.2, S. 239). Dennoch zeigt sich, dass Schülerinnen und Schüler die offen formulierte Aufgabe wie erwartet unter Rückgriff auf unterschiedliche Strategien lösen. Insbesondere finden sich unter den korrekten Antworten sowohl regelbasierte Vergleichsstrategien wie auch eigenschaftsbasierte Vergleichsstrategien. So schreibt etwa eine Schülerin: „Ich bringe beide Brüche auf den gleichen Nenner und welcher zähler (sic) größer ist, ist auch der Bruch größer.“ Der Erklärung folgt eine arithmetische Lösung der Aufgabe unter Rückgriff auf den Nenner 54 (vgl. Abbildung 7.6, unten). Weiter schreibt ein Schüler: „ 76 sind mehr als ein ganzes (sic). 98 ist weniger als ein ganzes (sic). Also muss 76 größer sein!“ Dies wird als Verwendung einer transitiven Strategie mit Bezugszahl 1 bewertet (vgl. Abbildung 7.6, oben). Abschließende Beschreibung der Skalen und Subskalen

Die beiden zum Zweck der Studie konzipierten Erhebungsinstrumente weisen vor dem Hintergrund empirischer Skalenanalysen akzeptable Reliabilität auf. Insbesondere deuten sich bereits bei dieser deskriptiven Skalenanalyse Unterschiede zwischen Schülerinnen und Schülern am Gymnasium sowie an der Mittelschule an. Es erscheint daher weiterhin plausibel, nach einer finalen Quantifizierung dieser Unterschiede mögliche Effekte des Treatments – insbesondere einen Einfluss digitaler Medien – in den beiden Schularten getrennt voneinander zu untersuchen. Darüber hinaus ist auf der Grundlage der vorhergehend dargestellten konfirmatorischen Faktorenanalysen in Verbindung mit den berichteten Reliabilitätskoeffizienten und inhaltlichen Überlegungen zu erwarten, dass nicht nur der Posttest insgesamt, sondern auch die beiden Skalen Visualisierungen, Arithmetik und Größenvergleich verlässliche Aussagen über die zu testenden mathematischen Konstrukte erlauben. Insbesondere bestätigt sich die inhaltliche Zuteilung der Items zu den zur Lösung notwendigen Konzepte von Bruchzahlen Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen und Größenvergleich, die in Abschnitt 6.3.2 im Zuge der Beschreibung der Entwicklung der Items formuliert wurde (Forschungsfrage (i)). Die daraus resultierenden Subskalen werden aufgrund ihrer kurzen Skalenlänge nicht für eine quantitative Auswertung herangezogen. Jedoch können die dargestellten Ergebnisse dahingehend interpretiert werden, dass das entwickelte Erhebungsinstrument für den Posttest alle für die durchgeführte Studie relevanten Konzepte von Bruchzahlen erfasst. Die Ergebnisse der Abschätzungen der internen Konsistenz sowie der deskriptiven Analysen für Gymnasien und Mittelschulen sind in Tabelle 7.3 (S. 248) nochmals zusammengefasst. Dabei wird zusätzlich zu den bereits beschriebenen Daten noch die Schiefe v der Verteilungen angegeben. Histogramme dieser Verteilungen können Anhang A.6 entnommen werden.

7.1 Evaluation der Testinstrumente

247

Abbildung 7.6. Exemplarische Schülerlösungen zu Aufgabe A17 im Posttest unter Rückgriff auf einen gemeinsamen Nenner (regelbasiert, oben) und der Bezugszahl 1 (eigenschaftsbasiert, unten).

745

Posttest

745

745 745 745

745

745 745 745

2

4 3 1

8

6 3 2

11

21

10

k

.93

— .94 .94

.93

.92

.94

FS

.51

—

.62 .90 .51 .94 .40a .96

.71

.56 .47 .41

.67

.82

.82

ω

.33

.35 .27 .15 a

—

.18 .23 .22

—

—

—

r

476

476 476 476

476

476 476 476

476

476

476

N

.66

.55 .60 .52

.59

.71 .71 .60

.69

.65

.48

M

.39

.37 .26 .36

.24

.24 .29 .31

.21

.20

.29

SD

.00

.00 .00 .00

.04

.00 .00 .00

.00

.05

.00

Min

Gymnasium

0.12

v

1.00 −0.63

1.00 −0.25 1.00 −0.25 1.00 0.05

1.00 −0.21

1.00 −0.72 1.00 −0.80 1.00 −0.41

1.00 −0.66

1.00 −0.46

1.00

Max

245

245 245 245

245

245 245 245

245

245

250

N

Deskriptive Analyse

.17

.13 .14 .11

.15

.32 .26 .16

.28

.22

.21

M

.30

.24 .16 .20

.16

.24 .30 .22

.18

.15

.21

SD

.00

.00 .00 .00

.00

.00 .00 .00

.00

.00

.00

Min

Mittelschule

1.00

1.00 .89 1.00

.91

1.00 1.00 1.00

.86

.89

.90

Max

1.56

1.98 1.51 2.22

1.59

0.60 0.85 1.20

0.60

1.13

0.95

v

Anmerkung. Erhebung = Erhebungsinstrument, Skala: Visualisierung = Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen, Arithmetik = Arithmetische Fähigkeiten, Erklären = Fähigkeit geeignete Strategien zu erläutern, Subskala: Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen, Größenvergleich; Interne Konsistenz: n = Beobachtungen, k = Skalenlänge, ω = McDonalds Omega, FS = Stabilität des Faktors, r = Mittlere Inter-Item-Korrelation; Deskriptive Analyse: N = Stichprobenumfang, M = Mittelwert; SD = Standardabweichung, Min = Minimalwert, Max = Maximalwert, v = Schiefe; a Da die Subskala Größenvergleich der Skala Arithmetik im Posttest nur über ein Item verfügt, beziehen sich die angegebenen Werte auf die Beurteilung dieses Items A20 mit seinen fünf Subitems.

Erklären

Teil vom Ganzen Erweitern und Kürzen Größenvergleich

Arithmetik

Teil vom Ganzen Erweitern und Kürzen Größenvergleich

745

797

Pretest

Visualisieren

n

Erhebung/Skala/Subskala

Interne Konsistenz

Tabelle 7.3 Beschreibung der Skalen und Subskalen der Erhebungsinstrumente für Gymnasien und Mittelschulen.

248 7 Ergebnisse der Studie

7.2 Begründung der statistischen Auswertungsmethode

249

7.2 Begründung der statistischen Auswertungsmethode der Treatment-Effekte In diesem Abschnitt wird die Wahl der statistischen Auswertungsmethoden zur Quantifizierung der Treatment-Effekte dargestellt und begründet. Dabei werden auf der Grundlage der in Abschnitt 6.6.3 aufgeführten Diskussion über die Stabilität der Kovarianzanalyse gegenüber der Verletzung einer oder mehrerer mathematischer Voraussetzungen der Zusammenhang zwischen Kovariate (hier: Lösungsrate im Pretest) und abhängiger Variable (hier: Lösungsrate im Posttest) sowie die Homogenität der Steigung der Regressionsgeraden als ausschlaggebende Kriterien für eine Entscheidung verwendet. Dies erfolgt analog zur Reihenfolge der nachfolgenden Darstellung der Ergebnisse zunächst für den Vergleich der beiden Schularten miteinander und anschließend für den Vergleich der drei Interventionsgruppen an Gymnasien und Mittelschulen.

7.2.1 Vergleich der Schularten Aufgrund unterschiedlicher Klassengrößen an Gymnasien und Mittelschulen führt das dieser Arbeit zugrunde liegende Forschungsdesign zu erheblichen Unterschieden im Stichprobenumfang zwischen beiden Schularten. Mit 476 vollständigen Datensätzen, bestehend aus Pretest-Score und Posttest-Score, liegen über doppelt so viele Daten von Schülerinnen und Schülern an Gymnasien, wie von Schülerinnen und Schülern an der Mittelschule vor (N = 236). Für die Verteilung der Posttest-Werte zeigt der Shapiro-Wilk-Test signifikante Abweichungen von der Normalverteilung an, ps < .001. Mit Blick auf die Histogramme (vgl. Abbildung A.4, Anhang A.6) kann jedoch für das Gymnasium von weitgehend normalverteilten Daten ausgegangen werden. Für die Mittelschule erscheint die Verteilung zwar erheblich schief, aber auch hier spricht das Histogramm nicht für Decken- oder Bodeneffekte, die eine Auswertung mittels Kovarianzanalyse verzerren könnten. Für die Gesamtstichprobe – bestehend sowohl aus Schülerinnen und Schülern am Gymnasium als auch an der Mittelschule – ergibt sich eine starke positive Korrelation zwischen den Ergebnissen im Pretest und den Ergebnissen im Posttest, r(710) = .63, p < .001. Die Steigung der Regressionsgeraden erscheint auf der Grundlage von Abbildung 7.7 weitgehend homogen3 . Die für Gymnasien dunkelblau und für Mittelschulen hellblau eingezeichneten Geraden verlaufen nahezu parallel durch das Streudiagramm. Aufgrund dieser beiden zentralen Merkmale kann zur Quantifizierung der Unterschiede zwischen Schülerinnen und Schülern an Gymnasien und an Mittelschulen nach der Interventionszeit eine Kovarianzanalyse durchgeführt werden. Da in den beiden Ausprä3 Trotz

der weitgehend parallel verlaufenden Regressionsgeraden zeigt eine ANCOVA einen minimalen signifikanten Interaktionseffekt zwischen der Kovariate Pretest-Score und dem Faktor Schulart, F (1, 708) = 8.35, p < .01, η2p = .01. Dieser Einfluss eines Interaktionseffekts wird auf der Basis der graphischen Analyse anhand der Streudiagramme sowie der sehr geringen Effektstärke jedoch vernachlässigt. Jedoch deutet sich an dieser Stelle bereits ein Problem des Pretests für die Schülergruppe an Mittelschulen an, das im nachfolgenden Abschnitt 7.2.3 diskutiert wird.

250

7 Ergebnisse der Studie

75% beide Schularten

Lösungsrate im Posttest

100%

50%

Schulart Gymnasium Mittelschule

25%

0% 0%

25% 50% 75% Lösungsrate im Pretest

100%

Abbildung 7.7. Zusammenhang zwischen Pretest und Posttest für Gymnasien und Mittelschulen; Punkte entsprechen der Leistung einzelner Schülerinnen oder Schüler. Grau hinterlegt ist das 95%-Konfidenzintervall der Regressionsgeraden.

gungen Gymnasium und Mittelschule des Faktors Schulart unterschiedliche Varianzen vorliegen, F (1, 710) = 34.18, p < .001, werden Auswertungen mittels White-Korrektur für varianzinhomogene Daten durchgeführt.

7.2.2 Effekte der Intervention an Gymnasien Mit Blick auf die drei Interventionsgruppen am Gymnasium ist festzuhalten, dass die Stichproben mit einem Verhältnis der größten zur kleinsten Gruppe von θ < 1.5 als ausreichend gleich groß bezeichnet werden können (vgl. Abschnitt 6.6.3). Effekte der Intervention sollen sowohl für den gesamten Posttest, als auch für die beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik berichtet werden. Eine Analyse dieser Skalen hinsichtlich der für die Kovarianzanalyse notwendigen Voraussetzungen erscheint daher notwendig. Dabei liefert Tabelle 7.4 eine Übersicht über die ermittelten statistischen Kenngrößen der Shapiro-Wilk-Tests zur Überprüfung der Normalverteilungsannahme bezogen auf die einzelnen Interventionsgruppen, über die Korrelation der jeweiligen Skala mit den Ergebnissen im Pretest sowie die Ergebnisse der Levene-Tests zur Überprüfung der Varianzhomogenität. Für den gesamten Posttest sowie die Skalen Visualisierungen und Arithmetik zeigt der Shapiro-Wilk-Test signifikante Abweichungen von der Normalverteilung jeweils für alle drei Interventionsgruppen an. Dies kann jedoch mit Blick auf die Histogramme relativiert werden (vgl. Abbildungen A.5, A.7 und A.9, jeweils linke Spalte). Insbesondere lassen die Histogramme weder für den gesamten Posttest, noch für die einzelnen Skalen Visualisierungen und Arithmetik Decken- oder Bodeneffekte vermuten, sodass auf Grund der relativ großen Stichprobe durch die Verletzung der Normalverteilungsannahme keine Verzerrung der Ergebnisse zu erwarten sind. Weiter korrelieren sowohl der Posttest als auch die beiden

7.2 Begründung der statistischen Auswertungsmethode

251

Tabelle 7.4 Ergebnisse der Überprüfung der Skalen im Posttest an Gymnasien hinsichtlich der Normalverteilungsannahme, der Korrelation mit dem Posttest sowie der Varianzhomogenität zwischen den Interventionsgruppen. Posttest Gruppe (Gymnasium)

N

W

iPad-Gruppe Arbeitsbuchgruppe Kontrollgruppe

156 182 138

.97∗∗

Gesamt

476

—

.95∗∗∗ .98∗

r — — —

Visualisierungen F

W

— — —

.95∗∗∗

.57∗∗∗ 5.92∗∗

r — — —

.94∗∗∗ .98∗ —

Arithmetik

F

W

r

F

— — —

.98∗∗

— — —

— — —

.53∗∗∗ 4.97∗∗

.95∗∗∗ .97∗∗ —

.51 ∗∗∗ 4.88∗∗

Anmerkung. N = Gruppengröße; W = Shapiro-Wilk-Test zur Überprüfung der Normalverteilungsannahme; r = Pearson-Korrelation der Skala mit dem Pretest; F = Levene-Test zur Überprüfung der Varianzhomogenität; Subskala im Posttest: Visualisierungen = Fähigkeiten im Umgang mit Visual., Arithmetik = Arithmetische Fähigkeiten. ∗ p < .05, ∗∗ p < .01, ∗∗∗ p < .001

Skalen Visualisierungen und Arithmetik stark mit den Pretest-Scores, jeweils r > .50, sodass von einer adäquaten Fehlervarianzreduktion durch die Verwendung der Pretest-Scores als Kovariate in den jeweiligen Kovarianzanalysen auszugehen ist. Darüber hinaus zeigt sich kein Interaktionseffekt zwischen der Kovariate Pretest und dem Faktor Gruppe in Bezug auf den Posttest als die zu untersuchende abhängigen Variablen, F (2, 470) = 2.23, p = .11. Dies spiegelt sich auch in den drei weitgehend gleich gerichteten Regressionsgeraden im Streudiagramm in Abbildung 7.8 wider. Hier sind die Lösungsraten im Pretest gegen die Lösungsraten im Posttest aufgetragen. Punkte, Dreiecke und Quadrate entsprechenden

75% Gruppe Gymnasium

Lösungsrate im Posttest

100%

50%

iPad-Gruppe Arbeitsbuchgruppe Kontrollgruppe

25%

0% 0%

25% 50% 75% Lösungsrate im Pretest

100%

Abbildung 7.8. Zusammenhang zwischen Pretest und Posttest an Gymnasien; Punkte, Dreiecke und Quadrate entsprechen der Leistung einzelner Schülerinnen oder Schüler.

252

7 Ergebnisse der Studie

den Leistungen der Schülerinnen und Schüler der drei Interventionsgruppen. Analoge Ergebnisse ergeben sich hier für die Skalen Visualisierungen und Arithmetik, jeweils p > .05. Im Hinblick auf die hier dargestellten Ergebnisse wird eine Auswertung der Ergebnisse mittels Kovarianzanalyse und dem Pretest-Score als Kovariate für den Posttest – sowohl in Bezug auf das gesamte Erhebungsinstrument als auch für die beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik – durchgeführt. Da in den Ausprägungen des Faktors Gruppe in keinem der drei Fälle Varianzhomogenität vorliegt, werden die Analysen mittels White-Korrektur bei vorliegender Heteroskedastizität durchgeführt.

7.2.3 Effekte der Intervention an Mittelschulen Durch die Kontrolle der Realisierung des Treatments ergeben sich an der Mittelschule für die abschließend betrachtete Stichprobe erhebliche Unterschiede in den Gruppengrößen mit einem Verhältnis der größten zur kleinsten Gruppe von θ > 1.5. Auch an der Mittelschule sollen Effekte des Treatments sowohl in Bezug auf den gesamten Posttest als auch in Bezug auf die beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik dargestellt und interpretiert werden. Eine Übersicht über die empirisch gewonnenen statistischen Kenngrößen – analog zur vorhergehenden Betrachtung an Gymnasien – liefert Tabelle 7.5. Tabelle 7.5 Ergebnisse der Überprüfung der Skalen im Posttest an Mittelschulen hinsichtlich der Normalverteilungsannahme, der Korrelation mit dem Pretest sowie der Varianzhomogenität zwischen den Interventionsgruppen. Posttest

Visualisierungen

Arithmetik

Gruppe (Mittelschule)

N

W

ρ

F

W

ρ

F

W

ρ

F

iPad-Gruppe Arbeitsbuchgruppe Kontrollgruppe

105 64 67

.95∗∗∗ .86∗∗∗ .93∗∗

— — —

— — —

.96∗∗ .94∗∗ .93∗∗

— — —

— — —

.90∗∗∗ .74∗∗∗ .86∗∗∗

— — —

— — —

Gesamt

236

—

.26∗∗∗ 4.69∗

—

.18 ∗∗ 4.79∗∗

—

.29∗∗∗ 6.23∗∗

Anmerkung. N = Gruppengröße; W = Shapiro-Wilk-Test zur Überprüfung der Normalverteilungsannahme; ρ = Spearman-Korrelation der Skala mit dem Pretest; F = Levene-Test zur Überprüfung der Varianzhomogenität; Subskala im Posttest: Visualisierungen = Fähigkeiten im Umgang mit Visual., Arithmetik = Arithmetische Fähigkeiten. ∗ p < .05, ∗∗ p < .01, ∗∗∗ p < .001

Erneut zeigt der Shapiro-Wilk-Test signifikante Abweichungen von der Normalverteilungsannahme der empirisch gewonnenen Verteilung in allen drei Skalen und über alle Interventionsgruppen hinweg. Auch ein Blick auf die entsprechenden Histogramme (vgl. Abbildungen A.5, A.7 und A.9, jeweils rechte Spalte) relativiert diesen Umstand nicht. So deuten die Darstellungen der Verteilungen an, dass in keiner der drei Skalen das volle Spektrum der Schülerfähigkeiten an der Mittelschule ausgeschöpft wird. Insbesondere liegen Bodeneffekte vor, die sich am stärksten in der Skala Arithmetik in einer stark rechts-

7.2 Begründung der statistischen Auswertungsmethode

253

schiefen Verteilung der Schülerantworten widerspiegeln. In Verbindung mit den stark ungleichen Gruppengrößen können damit verlässliche Aussagen einer Kovarianzanalyse in dieser Stichprobe nicht garantiert werden. Darüber hinaus zeigt sich nur ein geringer Zusammenhang zwischen den Ergebnissen der Schülerinnen und Schüler im Pretest und ihren Ergebnissen im Posttest sowie den beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik, jeweils ρ < .30. Dies lässt den Schluss zu, dass durch eine Berücksichtigung der Pretest-Scores als Kovariate keine sinnvolle Fehlervarianzreduktion an der Mittelschule zu erwarten ist (Bortz und Schuster, 2010; siehe auch Abschnitt 6.6.3). Diese Annahme wird durch die unterschiedlichen Steigungen in den Regressionsgeraden der drei Interventionsgruppen zusätzlich bestätigt, was in Abbildung 7.9 exemplarisch für den gesamten Posttest dargestellt ist und sich statistisch als signifikanter Interaktionseffekt zwischen der Kovariate Pretest und dem Faktor Gruppe ergibt, F (2, 230) = 7.17, p < .001. Da zudem auch keine Varianzhomogenität für die Ergebnisse der Skalen vorliegt, kann eine Auswertung mittels Kovarianzanalyse im Speziellen sowie varianzanalytischen Methoden im Allgemeinen für die Stichprobe an der Mittelschule nicht mehr gerechtfertigt werden. Stattdessen wird hier – wie im vorhergehenden Kapitel beschrieben – der Kruskal-Wallis-Test als parameterfreie Schätzmethode zur Quantifizierung von Treatmenteffekten auf allen Skalenebenen eingesetzt.

75% Gruppe Mittelschule

Lösungsrate im Posttest

100%

50%

iPad-Gruppe Arbeitsbuchgruppe Kontrollgruppe

25%

0% 0%

25% 50% 75% Lösungsrate im Pretest

100%

Abbildung 7.9. Zusammenhang zwischen Pretest und Posttest an Mittelschulen; Punkte, Dreiecke und Quadrate entsprechen der Leistung einzelner Schülerinnen oder Schüler.

Im Hinblick auf eine intendierte Kontrolle von Vorerfahrungen, die die Entwicklung eines Bruchzahlbegriffs während der Intervention im Regelunterricht beeinflussen können, ist eine weitere Betrachtung des Pretests an Mittelschulen nicht mehr zielführend. Vor dem Hintergrund der dargestellten Ergebnisse ist anzunehmen, dass sich solche etwaig vorhandenen Vorerfahrungen an der Mittelschule nicht geeignet durch den Pretest operationalisieren

254

7 Ergebnisse der Studie

lassen. Da der Pretest sich jedoch sowohl am Gymnasium (vgl. Abschnitt 7.2.2) als auch für die Gesamtstichprobe – bestehend aus Schülerinnen und Schüler beider Schularten (vgl. Abschnitt 7.2.1) – als wirksamer Prädiktor für die Ergebnisse im Posttest erwiesen hat, wird die soeben dargestellte Problematik, die sich bei einer ausschließlichen Betrachtung von Schülerinnen und Schülern der Mittelschule ergibt, folgendermaßen gedeutet: Es wird angenommen, dass die untersuchten Schülerinnen und Schüler an der Mittelschule vor der Durchführung der Intervention im Allgemeinen – und insbesondere unabhängig von der Zugehörigkeit zu einer der drei Interventionsgruppen – über kein substantielles Wissen zu Bruchzahlen verfügen, das ihnen zur Ausbildung eines elaborierten Bruchzahlbegriffs helfen könnte. Damit erscheint eine weiterführende Analyse des Pretests, etwa mit Blick auf mögliche Gruppenunterschiede zwischen den drei Interventionsgruppen, nicht zielführend. Auf eine Darstellung der Auswertung wird daher an dieser Stelle verzichtet (vgl. Anhang A.7 für eine Betrachtung der Ergebnisse des Pretests an Mittelschulen im Gruppenvergleich).

7.3 Vergleich der Schularten Dieser Abschnitt widmet sich der Operationalisierung tendenziell leistungsschwächerer und eher leistungsstärkerer Schülerinnen und Schüler durch eine Betrachtung von Lernenden am Gymnasium und an der Mittelschule. Dabei werden die Ergebnisse des Posttests varianzanalytisch untersucht und im Anschluss daran der Zusammenhang zwischen Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen und arithmetischen Fähigkeiten analysiert. Weiter wird die Frage nach möglichen Geschlechterunterschieden in den Ergebnissen des Posttests beantwortet.

7.3.1 Entwicklung des Bruchzahlbegriffs an Gymnasien und Mittelschulen Es wird angenommen, dass Schülerinnen und Schüler am Gymnasium nach einer fünfzehnstündigen Behandlung von Bruchzahlen im Regelunterricht eine elaboriertere Vorstellung des Bruchzahlbegriffs entwickelt haben als Kinder an der Mittelschule. In diesem Fall sollten die 476 Schülerinnen und Schüler am Gymnasium sowohl im gesamten Posttest als auch in den beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik des Tests höhere Leistungen erzielen als die 236 Kinder an Mittelschulen4 . Wie Tabelle 7.6 zu entnehmen ist, kann diese Vermutung bestätigt werden. Dabei ist auf den Umstand hinzuweisen, dass Sechstklässlerinnen und Sechstklässler am Gymnasium bereits im Pretest signifikant bessere Leistungen erzielen als Kinder an der Mittelschule, F (1, 710) = 207.54, p < .001, η2p = .19. 4 Da für eine Fehlervarianzreduktion im Schulartvergleich eine Berücksichtigung des Pretests als Kovariate

gewinnbringend erscheint (vgl. Abschnitt 7.2.1) werden an dieser Stelle die 236 Mittelschülerinnen und Mittelschüler betrachtet, die sowohl den Pretest als auch den Posttest mitgeschrieben haben. Im weiteren Verlauf des Kapitels wird bei isolierten Auswertungen der Ergebnisse der Mittelschule auf den Datensatz der 245 Schülerinnen und Schüler zurückgegriffen, die mindestens an der Posttest-Erhebung teilgenommen haben (vgl. Abschnitt 6.1.2).

7.3 Vergleich der Schularten

255

Tabelle 7.6 Deskriptive Analyse der Ergebnisse im Pre- und Posttest im Vergleich der beiden Schularten Gymnasium und Mittelschule. Skalen Posttest Pretest

Posttest

Visual.

Arith.

Schulart

N

M

SD

M

SD

M

SD

M

SD

Gymnasium Mittelschule

476 236

.48 .21

.29 .21

.65 .22

.20 .15

.69 .28

.21 .18

.59 .15

.24 .16

Gesamt

712

.39

.29

.51

.28

.55

.28

.45

.30

Anmerkung. N = Gruppengröße; M = Mittelwert; SD = Standardabweichung; Skalen im Posttest: Visual. = Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen, Arith. = Arithmetische Fähigkeiten

Um Unterschiede zwischen den Teilnehmerinnen und Teilnehmern unterschiedlicher Schularten in Bezug auf die Leistung im Posttest sowie seinen beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik zu quantifizieren, werden Kovarianzanalysen durchgeführt. Dabei werden die individuelle Leistung im Pretest als Kovariate verwendet5 . Es zeigt sich ein starker signifikanter Haupteffekt der Schulart auf die Leistung im Posttest, F (1, 709) = 505.02, p < .001, η2p = .44. Schülerinnen und Schüler am Gymnasium bauen also ihren Wissensvorsprung gegenüber den Mittelschülerinnen und Mittelschülern – bezogen auf den Bruchzahlbegriff – während der Intervention noch aus. Insbesondere stellt sich die Frage, ob diese Wissensunterschiede für arithmetische Fähigkeiten und Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen gleichermaßen vorhanden sind. Auch hier zeigen die Ergebnisse aus Tabelle 7.6, dass die Schülergruppe am Gymnasium deutlich höhere Lösungsraten bezüglich der beiden Skalen des Posttests erzielen. Kovarianzanalytische Verfahren liefern ähnliche Ergebnisse für beide Skalen. So ergibt sich ein starker signifikanter Haupteffekt der Schulart auf die Scores der Skala Visualisierungen, F (1, 709) = 359.88, p < .001, η2p = .37 sowie die Scores der Skala Arithmetik, F (1, 709) = 406.67, p < .001, η2p = .36, jeweils unter Berücksichtigung des Vorwissens. Die Leistungsunterschiede zwischen den untersuchten Schülergruppen an Gymnasien und Mittelschulen zeigen sich also sowohl in Aufgaben, die den Umgang mit ikonischen Darstellungen von Bruchzahlen erfordern als auch in Aufgaben, zu deren Lösung vornehmlich arithmetische Basisfähigkeiten notwendig sind. Die vorgenommene Operationalisierung tendenziell leistungsschwächerer und eher leistungsstärkerer Schülerinnen und Schüler durch die Betrachtung unterschiedlicher Schularten erscheint somit zum Zweck dieser Studie gerechtfertigt: Im Mittel erzielen Gymnasiastinnen und Gymnasiasten sowohl im Pretest als auch im Posttest signifikant bessere Ergebnisse als Mittelschülerinnen und Mittelschüler. 5 Unterschiede

zwischen den Interventionsgruppen in der Kovariate stellen prinzipiell kein statistisches Problem für eine Auswertung mittels Kovarianzanalyse dar (Bortz & Schuster, 2010).

256

7 Ergebnisse der Studie

7.3.2 Visualisierungen und arithmetischen Aufgaben Die dargestellten Effekte bezogen auf die Fähigkeit mit ikonischen Darstellungen von Bruchzahlen zu operieren und arithmetischen Basisfähigkeiten im Umgang mit Brüchen sind weitgehend gleich stark. Es ergibt sich eine Varianzaufklärung von 36 % im einen Fall und 37 % im anderen Fall. Dies lässt unter anderem auch einen starken Zusammenhang zwischen diesen beiden Fähigkeiten vermuten, nach dem in Forschungsfrage (ii) gefragt wird. Ein Zusammenhang zwischen beiden Fähigkeiten lässt sich mittels Korrelationsanalyse der beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik im Posttest untersuchen. In Abbildung 7.10 zeigt sich der angenommene positive Zusammenhang sowohl am Gymnasium (links) als auch an der Mittelschule (rechts) zunächst in der Verteilung der Punkte im Streudiagramm der beiden Skalen. Dabei sind die Lösungsraten der Skala Visualisierungen gegen die Lösungsraten der Skala Arithmetik aufgetragen. Punkte entsprechen der Leistung einzelner Schülerinnen und Schüler. Insbesondere ergeben sich für beide Schularten positive Steigungen der Regressionsgeraden. Gymnasium

Mittelschule

Lösungsrate Skala Arithmetik

100%

75%

50%

25%

0% 0%

25%

50%

75% 100% 0% 25% Lösungsrate Skala Visualisierungen

50%

75%

100%

Abbildung 7.10. Zusammenhang zwischen arithmetischen Fähigkeiten und Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen im Posttest für Gymnasien (links) und Mittelschulen (rechts). Punkte entsprechen der Leistung einzelner Schülerinnen oder Schüler. Grau hinterlegt ist das 95%-Konfidenzintervall der Regressionsgeraden.

Am Gymnasium zeigt sich eine starke positive Korrelation zwischen den Skalen Visualisierungen und Arithmetik, r(474) = .62, p < .001. Für die Quantifizierung am der Mittelschule wird auf die Rangkorrelation nach Spearman zurückgegriffen, da sich für die Skala Arithmetik gravierende Abweichungen von der Normalverteilungsannahme und insbesondere Bodeneffekte ergeben (vgl. Abbildung A.8, rechts, Anhang A.6). Es zeigt sich ein mittlerer, tendenziell starker positiver Zusammenhang zwischen Fähigkeiten im Um-

7.3 Vergleich der Schularten

257

gang mit Visualisierungen von Bruchzahlen und arithmetischen Fähigkeiten, ρ(243) = .46, p < .001. Diese Ergebnisse sind passend zur formulierten Vermutung. Desweiteren kann Abbildung 7.10 entnommen werden, dass sich trotz einer gerechtfertigten Operationalisierung leistungsschwächerer und leistungsstärkerer Schülerinnen und Schüler durch die Betrachtung zweier Schulformen (vgl. Abschnitt 7.3.1) dennoch vereinzelt Überschneidungen der Schülergruppen bezogen auf ihre Leistungen ergeben. So existieren sowohl am Gymnasium einzelne Schülerinnen und Schüler, deren individuelles Leistungsniveau im Posttest als vergleichsweise niedrig zu bezeichnen ist (vgl. Abbildung 7.10, links), als auch einzelne Schülerinnen und Schüler an der Mittelschule, die sehr gute Ergebnisse im Posttest erzielen (vgl. Abbildung 7.10, rechts). Aussagen bezogen auf Schülerinnen und Schüler an Gymnasien und Mittelschulen sind daher als Aussagen über die mittlere Leistung der entsprechenden Schülergruppen zu verstehen.

7.3.3 Geschlechterunterschiede Mit Blick auf die unterschiedliche Geschlechterverteilung in den Interventionsgruppen sowohl am Gymnasium als auch an der Mittelschule (vgl. Abschnitt 6.1.2.2) erscheint eine Analyse möglicher Unterschiede zwischen Mädchen und Jungen bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs notwendig. Insbesondere sollten keine signifikanten Unterschiede in den Ergebnissen des Posttests zwischen Mädchen und Jungen bestehen. Tabelle 7.7 bestätigt, dass Mädchen und Jungen sowohl am Gymnasium als auch an der Mittelschule im Posttest weitgehend identische Ergebnisse erreichen. Tabelle 7.7 Deskriptive Analyse der Ergebnisse im Posttest im Vergleich zwischen Mädchen und Jungen an Gymnasien (links) und Mittelschulen (rechts). Posttest

Posttest

Schulart

Geschlecht

N

M

SD

Schulart

Geschlecht

N

M

SD

Gymnasium

Mädchen Jungen

214 260

.64 .66

.20 .20

Mittelschule

Mädchen Jungen

106 139

.22 .21

.16 .14

Gesamt

476

.65

.20

Gesamt

245

.22

.15

Anmerkung. N = Gruppengröße; M = Mittelwert; SD = Standardabweichung

Zur Quantifizierung etwaiger Geschlechterunterschiede – auch mit Hinblick auf mögliche Interaktionseffekte mit anderen Variablen – wird auf varianzanalytische Verfahren zurückgegriffen. Dabei lassen sich die folgenden Resultate für Schülerinnen und Schüler an den beiden unterschiedlichen Schularten feststellen. 1. Gymnasium: In der Auswertung am Gymnasium zeigt sich kein signifikanter Interaktionseffekt der Kovariate Pretest mit dem Faktor Geschlecht auf die Ergebnisse im Posttest,

258

7 Ergebnisse der Studie

F (1, 462) = 1.31, p = .25. Der Einfluss des Vorwissens auf den Erfolg der Intervention ist daher für Mädchen und Jungen weitgehend identisch. Weiter existiert keine signifikante Interaktion zwischen dem Faktor Geschlecht und dem Treatment, F (2, 462) = 0.61, p = .54. Eine Arbeit mit dem iPad oder dem Arbeitsbuch im Regelunterricht zeigt daher für Mädchen und Jungen ähnliche Ergebnisse bezogen auf das jeweilige Resultat im Posttest. Darüber hinaus lässt sich kein signifikanter Haupteffekt des Geschlechts feststellen, F (1, 462) = 2.05, p = .12. Mädchen und Jungen erzielen daher ähnliche Ergebnisse in der schriftlichen Leistungserhebung nach den 15 Unterrichtsstunden. 2. Mittelschule: An der Mittelschule zeigen sich bezogen auf mögliche Geschlechterunterschiede ähnliche Ergebnisse wie am Gymnasium. Es lässt sich kein signifikanter Interaktionseffekt zwischen dem Faktor Geschlecht und dem Faktor Gruppe auf die Ergebnisse im Posttest finden, F (2, 239) = 0.16, p = .85. Weiter zeigt sich auch kein signifikanter Haupteffekt des Geschlechts, F (1, 239) = 0.04, p = .84. Auch an der Mittelschule erzielen Mädchen und Jungen also vergleichbare Ergebnisse, unabhängig von der zugeteilten Interventionsgruppe. Damit erweist sich der Faktor Geschlecht weder am Gymnasium noch an der Mittelschule als Prädiktor für die Resultate im Posttest, sodass eine Verzerrung der Ergebnisse durch die ungleiche Geschlechterverteilung in den Interventionsgruppen weitgehend ausgeschlossen werden kann. Zusammenfassung zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffs an beiden Schularten

Eine Operationalisierung tendenziell leistungsschwächerer und eher leistungsstärkerer Schülerinnen und Schüler durch die Betrachtung unterschiedlicher Schularten erscheint auch auf der Grundlage der empirischen Ergebnisse dieser Studie gerechtfertigt: Schülerinnen und Schüler am Gymnasium erzielen bereits im Pretest signifikant bessere Ergebnisse als Lernende an Mittelschulen. Die Gymnasiastinnen und Gymnasiasten können ihren ursprünglichen Leistungsvorsprung bis zum Posttest noch weiter ausbauen. Weiter besteht in beiden Schularten eine mittlere bis starke positive Korrelation zwischen den Ergebnissen der beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik, was die Vermutung zu Forschungsfrage (ii) bestätigt. Darüber hinaus zeigen statistische Auswertungen, dass weder am Gymnasium noch an der Mittelschule das Geschlecht eines oder einer Lernenden einen Prädiktor für die Leistung nach der Intervention darstellt, was die unterschiedliche Geschlechterverteilung in den Interventionsgruppen relativiert. Ein Vergleich der Lösungsraten im Posttest insgesamt sowie in den beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik von Lernenden am Gymnasium mit Lernenden an Mittelschulen ist in Abbildung 7.11 in Säulendiagrammen nochmals gegenübergestellt.

7.4 Effekte der Intervention an Gymnasien

259

Erhebung

Skalen im Posttest

100%

75%

69%

Lösungsrate

beide Schularten

65%

59%

50%

28%

25%

22% 15%

0% Posttest

Visualisierungen Schulart

Gymnasium

Arithmetik

Mittelschule

Abbildung 7.11. Mittlere Lösungsraten im Posttest an beiden Schularten im Vergleich. Die Fehlerbalken entsprechen den 95 %-Konfidenzintervallen. Skalen im Posttest: Visualisierungen = Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen, Arithmetik = Arithmetische Fähigkeiten.

7.4 Effekte der Intervention an Gymnasien Da sich das im Pretest geprüfte Vorwissen am Gymnasium als prädiktiv für die Leistung nach der Intervention erweist (vgl. Abschnitt 7.2.2), wird eine Untersuchung möglicher Vorwissensunterschiede zwischen den Interventionsgruppen durchgeführt. Hier wird erwartet, dass aufgrund der relativ großen Gruppengrößen und des quasi-experimentellen Designs der Studie keine Unterschiede im Bereich anschaulicher Vorerfahrungen zum Bruchzahlbegriff zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe bestehen. Schülerinnen und Schüler aller Interventionsgruppen sollten im Pretest hinreichend ähnliche Ergebnisse erzielen. Die erreichten Ergebnisse sind in Tabelle 7.8 abgebildet. Hier zeigt sich zunächst eine tendenziell höhere Leistung der Schülerinnen und Schüler beider Experimentalgruppen im Vergleich zur Kontrollgruppe, die jedoch statistisch nicht relevant ist. In einer Varianzanalyse des Pretest-Scores als abhängige Variable zeigt sich kein signifikanter Haupteffekt des Faktors Gruppe, F (2, 473) = 1.57, p = .21. Schülerinnen und Schüler aller drei Interventionsgruppen verfügen demnach über hinreichend ähnliches Vorwissen zu Bruchzahlen. In den nachfolgenden Analysen wird dennoch für das individuelle Vorwissen der Lernenden kontrolliert. Forschungsfrage (iii) bezieht sich auf mögliche Unterschiede bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs von Schülerinnen und Schülern, die mit einer digitalen Lernumgebung auf iPads, mit einer multimedialen Lernumgebung als Arbeitsbuch oder mit traditionellen

260

7 Ergebnisse der Studie

Tabelle 7.8 Deskriptive Analyse der Ergebnisse im Pretest am Gymnasium im Vergleich der drei Interventionsgruppen. Pretest Schulart

Gruppe

N

M

SD

Gymnasium

iPad-Gruppe Arbeitsbuchgruppe Kontrollgruppe

156 182 138

.50 .50 .45

.29 .29 .29

Gesamt

476

.48

.29

Anmerkung. N = Gruppengröße; M = Mittelwert; SD = Standardabweichung

Schulbüchern unterrichtet wurden6 . Dabei wird eine Verwendung des iPads im Regelunterricht als vorteilhaft gegenüber gedruckten Materialien angenommen. Weiter wird angenommen, dass sich eine papierbasierte und äquivalent aufbereitete Variante der Lernumgebung als Arbeitsbuch ebenfalls als vorteilhaft gegenüber traditionellen Schulbüchern erweist. Die Ergebnisse der 476 Schülerinnen und Schüler an Gymnasien, die in Tabelle 7.9 sowohl für den gesamten Posttest als auch die beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik dargestellt sind, zeigen jedoch, dass diese Annahmen nur eingeschränkt gültig ist. Zwar erreichen Schülerinnen und Schüler beider Experimentalgruppen höhere Ergebnisse im Posttest sowie seinen beiden Skalen, jedoch erzielen Lernende der Arbeitsbuchgruppe die höchsten Ergebnisse. Dabei ist der Unterschied zu Lernenden der iPad-Gruppe nur marginal. Eine Kovarianzanalyse zeigt einen schwachen aber signifikanten Haupteffekt des Faktors Gruppe auf die Ergebnisse im Posttest unter Kontrolle für die Ergebnisse im Pretest, F (2, 472) = 5.89, p < .01, η2p = .03. Ein Post-Hoc-Test zeigt, dass sich zwar beide Experimentalgruppen – die iPad-Gruppe und die Arbeitsbuchgruppe – hinsichtlich der Ergebnisse im Posttest signifikant von der Kontrollgruppe unterscheiden, p < .05 und p < .01, sich jedoch keine Unterschiede zwischen den beiden Experimentalgruppen finden lassen, p = .74. Auf der Grundlage dieser Ergebnisse kann angenommen werden, dass die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs durch die in Kapitel 2 dargestellten fachdidaktischen Überlegungen sowie eine multimediale Aufbereitung im Sinne der in Kapitel 3 dargestellten instruktionspychologischen Theorien am Gymnasium geeignet unterstützt werden kann. Jedoch zeigt sich der durch die in Kapitel 4 aufgeführten Theorien motivierte zusätzliche positive Effekt durch den Einsatz interaktiver und adaptiver Inhalte auf iPads für diese Schülergruppe nicht. 6 Die in diesem Abschnitt 7.4 dargestellten Ergebnisse wurden in eingeschränkter Form und in englischer

Sprache bereits als Konferenzbeitrag publiziert (Reinhold et al., 2017b). Insbesondere war zum Zeitpunkt der Veröffentlichung die Auswertung der Skala Erklären noch nicht vollständig abgeschlossen, sodass sich minimal unterschiedliche statistische Werte in der vorliegenden sowie der vorhergehenden Veröffentlichung finden. Diese marginalen Unterschiede führen jedoch zu identischen Gesamtergebnissen.

7.4 Effekte der Intervention an Gymnasien

261

Tabelle 7.9 Deskriptive Analyse der Ergebnisse im Posttest sowie den beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik am Gymnasium im Vergleich der drei Interventionsgruppen. Skalen Posttest Posttest

Visual.

Arith.

Schulart

Gruppe

N

M

SD

M

SD

M

SD

Gymnasium

iPad-Gruppe Arbeitsbuchgruppe Kontrollgruppe

156 182 138

.67 .68 .59

.17 .20 .22

.72 .73 .60

.18 .19 .22

.59 .61 .58

.21 .25 .25

Gesamt

476

.65

.20

.69

.21

.59

.24

Anmerkung. N = Gruppengröße; M = Mittelwert; SD = Standardabweichung; Skalen im Posttest: Visual. = Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen, Arith. = Arithmetische Fähigkeiten

7.4.1 Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen Forschungsfrage (iv) bezieht sich auf mögliche Unterschiede in der Förderung von Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen und arithmetischen Fähigkeiten. Dabei wird angenommen, dass sich die Verwendung des iPads sowie des Arbeitsbuches positiv auf den Erwerb von Fähigkeiten auswirkt, ikonische Darstellungen von Bruchzahlen zu verändern oder symbolisch zu repräsentieren. Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppe sollten also die höchsten Ergebnisse auf der Skala Visualisierungen erzielen, gefolgt von Lernenden der Arbeitsbuchgruppe und schließlich der Kontrollgruppe. Die empirisch gewonnenen Ergebnisse der drei Interventionsgruppen bezüglich der beiden Skalen können Tabelle 7.9 entnommen werden. Die dort dargestellten Resultate zeigen, dass auch diese Vermutung am Gymnasium nicht vollständig bestätigt werden kann. Schülerinnen und Schüler beider Experimentalgruppen erreichen nahezu die selben Scores und heben sich damit deutlich von den Lernenden der Kontrollgruppe ab. Insbesondere zeigt eine Kovarianzanalyse der Ergebnisse der Skala Visualisierungen mit den Pretest-Scores als Kovariate einen mittelstarken signifikanten Haupteffekt des Faktors Gruppe, F (2, 472) = 16.49, p < .001, η2p = .07. Eine Post-Hoc-Analyse bestätigt hier das mit Blick auf Tabelle 7.9 gewonnene Bild. Schülerinnen und Schüler der Experimentalgruppen erzielen signifikant bessere Ergebnisse als Lernende der Kontrollgruppe, jeweils p < .001, jedoch lässt sich kein statistisch relevanter Unterschied zwischen der iPad-Gruppe und der Arbeitsbuchgruppe feststellen, p = .83. Es muss daher angenommen werden, dass der Vorteil der beiden Experimentalgruppen gegenüber der Kontrollgruppe bezogen auf Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen eher von einer fachdidaktischen und multimedialen Aufbereitung als tatsächlich von der Verwendung interaktiver Inhalte auf iPads herrührt. Trotz der hohen Lösungsraten am Gymnasium, insbesondere bei Aufgaben, die auf Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen von Bruchzahlen fokussieren, lassen einzelne Schülerfehler auf konzeptuelle Verständnisschwierigkeiten – auch in dieser tendenziell

262

7 Ergebnisse der Studie

leistungsstärkeren Schülergruppe – schließen. Exemplarisch sind zwei solche Fehler bei Item A10 in Abbildung 7.12 dargestellt. In der Aufgabe soll der im Reckteckdiagramm dargestellte Bruch 31 zeichnerisch mit 3 erweitert werden, also entweder die vorgegebene Darstellung durch das Einzeichnen von Linien zu 93 verändert oder eine adäquate neue Darstellung von 93 gezeichnet werden. Den dargestellten Schülerantworten 33 (Abbildung 7.12, oben) und 63 (Abbildung 7.12, unten) können verschiedene Fehlvorstellungen zugrunde liegen. Es kann angenommen werden, dass beide Lernenden eine rein syntaktische Vorstellung von „Erweitern mit 3“ als multiplikative arithmetische Operation verinnerlicht haben. Insbesondere scheint ihnen beiden ein allgemeineres konzeptuelles Verständnis dafür zu fehlen, dass sich der Anteil beim Erweitern nicht verändert.

Abbildung 7.12. Exemplarisch ausgewählte Schülerfehler in der Aufgaben A10, die auf konzeptuelle Verständnisschwierigkeiten beim Erweitern und Kürzen hindeuten: Es verändert sich der markierte Anteil am Rechteck.

7.4.2 Arithmetische Fähigkeiten Mit Blick auf die im vorhergehenden Abschnitt dargestellten Ergebnisse stellt sich die Frage, ob die Verwendung des iPads im Regelunterricht einen Effekt auf die Entwicklung arithmetischer Fähigkeiten im Umgang mit Bruchzahlen hat. Die in Tabelle 7.9 dargestellten Ergebnisse lassen vermuten, dass sich die Interventionsgruppen hinsichtlich ihrer Rechenfähigkeiten nicht unterscheiden. Tatsächlich zeigt eine Kovarianzanalyse keinen signifikanten

7.4 Effekte der Intervention an Gymnasien

263

Einfluss des Faktors Gruppe auf die Ergebnisse der Skala Arithmetik, F (2, 472) = 0.32, p = .73. Weder die Verwendung des iPads noch des Arbeitsbuches zeigt am Gymnasium einen Effekt auf arithmetische Fähigkeiten. Dies erscheint vor allem vor dem Hintergrund bemerkenswert, dass der Fokus der entwickelten Lernumgebungen auf ikonischen Darstellungen und nicht auf Rechenfertigkeiten gelegt wurde. Diese Zielsetzung wirkt sich jedoch am Gymnasium nicht nachteilig auf den Erwerb arithmetischer Fähigkeiten im Umgang mit Brüchen aus.

7.4.3 Fähigkeit geeignete Strategien zu erläutern Forschungsfrage (v) zielt auf die Untersuchung etwaiger Unterschiede eines konzeptuellen Verständnisses für den Größenvergleich von Bruchzahlen7 . Zunächst wird untersucht, ob das entwickelte Unterrichtsmaterial in digitaler Form auf dem iPad oder in multimedialer Form als gedrucktes Arbeitsbuch einen positiven Einfluss auf die Fähigkeit, geeignete Strategien zum Größenvergleich zweier inkongruenter Brüche zu erläutern, hat. Dazu werden die Lösungsraten der Interventionsgruppen bezüglich der Skala Erklären im Posttest betrachtet. Sowohl in Item A17 als auch in Item A19 erzielen die Schülerinnen und Schüler zwar marginal bessere Ergebnisse als die Lernenden der Kontrollgruppe, wie Tabelle 7.10 zu entnehmen ist. Dieser Unterschied erweist sich jedoch als nicht signifikant, H (2) = 2.39, p = .30. Tabelle 7.10 Deskriptive Analyse der beiden Items zum Erläutern geeigneter Strategien beim Größenvergleich von Brüchen A17 und A19 sowie der Skala Erklären am Gymnasium im Vergleich der Interventionsgruppen. Item A17

Item A19

Erkl.

Schulart

Gruppe

N

M

SD

M

SD

M

SD

Gymnasium

iPad-Gruppe Arbeitsbuchgruppe Kontrollgruppe

156 182 138

.72 .74 .63

.45 .44 .48

.63 .63 .62

.48 .48 .49

.67 .68 .62

.38 .39 .39

Gesamt

476

.70

.46

.63

.48

.66

.39

Anmerkung. N = Gruppengröße; M = Mittelwert; SD = Standardabweichung; Skalen im Posttest: Erkl. = Fähigkeiten geeignete Strategien zu erläutern

Dieses Ergebnis führt zu der Frage, ob die Schülerinnen und Schüler der unterschiedlichen Interventionsgruppen auf verschiedene Strategien beim Größenvergleich zurückgreifen. Die Verwendung von eigenschaftsbasierter und regelbasierter Strategien, die in den Items A17 und A19 jeweils zu richtigen Lösungen geführt haben, sind in Abbildung 7.13 für die 7 Die

in diesem Abschnitt 7.4.3 dargestellten Ergebnisse für Schülerinnen und Schüler am Gymnasium wurden bereits in ausführlicher Form als englischsprachiger Konferenzbeitrag publiziert (Reinhold et al., 2018).

264

7 Ergebnisse der Studie

Interventionsgruppen getrennt dargestellt. Die vertikal angeordneten Balken entsprechen jeweils allen korrekten Lösungen der Aufgabe in der jeweiligen Interventionsgruppe. Dabei sind eigenschaftsbasierte Strategien in Blautönen und regelbasierte Strategien in Orangetönen repräsentiert und geben die entsprechenden Anteile an den korrekten Antworten an. Die Abbildung zeigt, dass Lernende der iPad- und der Arbeitsbuchgruppe in beiden Aufgaben häufiger auf eigenschaftsbasierte Vergleichsstrategien zurückgreifen als Schülerinnen und Schüler der Kontrollgruppe. In Item A17 ( 98 vs. 76 ) nutzen über 80 % der Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppe den transitiven Vergleich mit 1 als Strategie, wohingegen lediglich 50 % der Lernenden der Kontrollgruppe in ihrer Antwort darauf zurückgreifen, dass ein Bruch größer und ein Bruch kleiner als 1 ist. In Item A19 ( 58 vs. 105 ) erscheinen Benchmarking-Strategien weitgehend gleich über alle drei Interventionsgruppen verteilt. Schülerinnen und Schüler beider Experimentalgruppen verwenden jedoch häufiger die Größe der Stücke als Größenvergleichsstrategie als Lernende der Kontrollgruppe. Insbesondere ist es bemerkenswert, dass über 15 % der Schülerinnen und Schüler der Kontrollgruppe, die die Aufgabe korrekt lösen, die beiden Brüche zum Vergleich auf einen gemeinsamen Nenner bringen, obwohl bereits identische Zähler vorliegen. Um diese qualitativ gewonnenen Unterschiede zu quantifizieren werden im weiteren Verlauf dieses Abschnitts nur die Antworten der 244 Schülerinnen und Schüler analysiert, die beide Items korrekt gelöst haben. Betrachtet man die Anzahl der Verwendung eigenschaftsbasierter Strategien, so erreicht die iPad-Gruppe den höchsten Wert, gefolgt von der Arbeitsbuchgruppe (vgl. Tabelle 7.11). Tabelle 7.11 Mittlere Nutzung eigenschaftsbasierter Größenvergleichsstrategien am Gymnasium im Vergleich der Interventionsgruppen in den Items A17 und A19 sowie deren Summe auf der Skala Erklären. Item A17

Item A19

Erkl.

Schulart

Gruppe

N

M

SD

M

SD

M

SD

Gymnasium

iPad-Gruppe Arbeitsbuchgruppe Kontrollgruppe

81 100 63

.85 .73 .51

.36 .45 .50

.79 .79 .52

.41 .41 .50

1.64 1.52 1.03

0.62 0.63 0.86

Gesamt

244

.71

.45

.72

.45

1.43

0.73

Anmerkung. N = Gruppengröße; M = Mittelwert; SD = Standardabweichung; Skalen im Posttest: Erkl. = Fähigkeiten geeignete Strategien zu erläutern. Berücksichtigt wurden die Antworten von Schülerinnen und Schülern, die sowohl Item A17 als auch Item A19 vollständig korrekt gelöst haben

Dieses Ergebnis erscheint passend zur Annahme, dass eine geeignete Darbietung eigenschaftsbasierter Größenvergleichsstrategien im Regelunterricht mit Rückgriff auf multimedial aufbereitetes Material die Tendenz, bei Vergleichen von Bruchzahlen auf eigenschaftsbasierte Strategien zurückzugreifen, positiv beeinflussen kann. Das Ergebnis lässt sich als signifikanter und mittelstarker Effekt des Treatments auf die Anzahl der verwendeten

7.4 Effekte der Intervention an Gymnasien

265

Item A17 (8/9 vs. 7/6)

Item A19 (5/8 vs. 5/10)

100%

75%

50%

25%

0% iPadGruppe

Arbeitsbuchgruppe

Merkmalsbasiert

iPadGruppe

Kontrollgruppe

Arbeitsbuchgruppe

Kontrollgruppe

Regelbasiert

Bild als Ergänzung

Gleicher Zähler

Größe der Stücke

Gleicher Nenner

Vergleich mit 1 Vergleich mit 1/2

Abbildung 7.13. Verwendung unterschiedlicher Strategien zum Größenvergleich inkongruenter Bruchzahlpaare am Gymnasium im Vergleich der Interventionsgruppen. Berücksichtigt wurden pro Item jeweils N = 244 Antworten von Schülerinnen und Schülern, die sowohl Item A17 als auch Item A19 vollständig korrekt gelöst haben.

266

7 Ergebnisse der Studie

eigenschaftsbasierten Größenvergleiche quantifizieren, H (2) = 23.10, p < .001, η2p = .09. Tatsächlich verwenden Schülerinnen und Schüler beider Experimentalgruppen signifikant häufiger Strategien, in denen spezifische Charakteristika der zu vergleichenden Bruchzahlen notwendig sind, als Lernende der Kontrollgruppe, jeweils p < .001. Auch an dieser Stelle zeigt sich jedoch kein statistisch relevanter Unterschied zwischen der iPad- und der Arbeitsbuchgruppe, p = .55. Daher kann angenommen werden, dass der häufigere Rückgriff auf eigenschaftsbasierte Strategien in den Experimentalgruppen eher durch die aus fachdidaktischer und kognitionspsychologischer Perspektive elaborierte Aufbereitung des Unterrichtsmaterials als durch die Verwendung adaptiver und interaktiver Inhalte auf dem iPad hervorgerufen wird. Zuletzt stellt sich die Frage, ob ein vorhandenes Repertoire an unterschiedlichen Größenvergleichsstrategien einen positiven Einfluss auf die Fähigkeit, Bruchzahlen zu vergleichen, hat. In diesem Fall sollten Schülerinnen und Schüler, die in den beiden Items A17 und A19 nicht ausschließlich auf regelbasierte Strategien zurückgreifen, bessere Ergebnisse in anderen Aufgaben zum Vergleich von Bruchzahlen erreichen, als Lernende, die in den Items A17 und A19 stets regelbasiert vorgehen. Im Zuge dessen wird die Anzahl der Verwendung eigenschaftsbasierter Strategien, die zu einer korrekten Lösung führt, als neue Gruppierungsvariable instrumentalisiert (vgl. Abschnitt 6.5.2, für eine ausführliche Erläuterung des methodischen Vorgehens). Als abhängige Variablen stehen im Zuge dieser Analyse die Subskalen zum Größenvergleich der Skalen Visualisierungen und Arithmetik des Posttests zur Verfügung. An dieser Stelle ist jedoch anzumerken, dass die nachfolgend präsentierten Ergebnisse auf Grund der sich ergebenden stark unterschiedlichen Gruppengrößen sowie der vergleichsweise kurzen Skalen eher vorsichtig interpretiert werden müssen und vornehmlich Tendenzen für weiterführende Forschung aufzeigen können. In diesem Zusammenhang ist Tabelle 7.12 zu entnehmen, dass Schülerinnen und Schüler, die in den Aufgaben der Skala Erklären mindestens einmal auf eigenschaftsbasierte Strategien zurückgreifen, höhere Lösungsraten in anderen Größenvergleichsaufgaben des Posttests erzielen, als Lernende, die die Aufgaben zum Erläutern geeigneter Strategien zwar korrekt, aber unter Verwendung regelbasierter Strategien lösen. Dies erscheint passend zur Annahme. Tatsächlich hat die Anzahl der mittels eigenschaftsbasierter Strategien gelösten Aufgaben nur zum Teil einen signifikanten Effekt auf die Lösungsrate weiterer Größenvergleichsaufgaben. Es zeigt sich zwar ein mittelstarker Effekt in Bezug auf Aufgaben, in denen ikonische Darstellungen adressiert werden, H (2) = 12.85, p < .01, η2p = .05, jedoch kein statistisch relevanter Effekt in Bezug auf rein symbolisch dargestellte Größenvergleichsaufgaben, H (2) = 4.12, p = .13. Insbesondere ergeben sich keine Unterschiede zwischen den Schülergruppen, die einmal oder mehrmals auf eigenschaftsbasierte Strategien zurückgreifen, p = 1.00. Auch wenn diese Ergebnisse wie bereits beschrieben nur vorsichtig zu interpretieren sind, erscheint der signifikante Effekt dennoch bemerkenswert, da die betrachteten Schülerinnen und Schüler insgesamt ihr tiefgehendes Verständnis des Größenvergleichs zweier Bruchzahlen bereits in den Aufgaben der Skala Erklären unter Beweis gestellt hatten. Vor diesem Hintergrund kann angenommen werden, dass ein breites Repertoire an Vergleichsstrategien tatsächlich eher zu einem elaborierteren konzeptuellen

7.4 Effekte der Intervention an Gymnasien

267

Tabelle 7.12 Deskriptive Analyse der Ergebnisse in Größenvergleichsaufgaben am Gymnasium und der Einfluss eines Repertoires an Strategien. V.-GV

A.-GV

Schulart

Gruppierungsvariable

N

M

SD M

SD

Gymnasium

Kein Rückgriff auf eigenschaftsbasierte Strategien Einmaliger Rückgriff auf eigenschaftsbasierte Strategien Verwendung eigenschaftsbasierter Strategien in beiden Items

35 .51 68 .69 141 .72

.31 .57 .28 .71 .24 .65

.37 .29 .32

Gesamt

244 .68

.27 .65

.32

Anmerkung. N = Gruppengröße; M = Mittelwert; SD = Standardabweichung; Skalen im Posttest: Erkl. = Fähigkeiten geeignete Strategien zu erläutern. Berücksichtigt wurden die Antworten von Schülerinnen und Schülern, die sowohl Item A17 als auch Item A19 vollständig korrekt gelöst haben

Verständnis des Größenvergleichs führen kann, als die ausschließliche Konzentration auf regelbasierte Strategien. Zusammenfassung der Effekte der Intervention an Gymnasien

Die im Rahmen der Forschungsfragen (iii) bis (v) formulierten Vermutungen lassen sich für die tendenziell leistungsstarke Schülergruppe am Gymnasium durch empirische Untersuchungen nur bedingt bestätigen. Schülerinnen und Schüler beider Experimentalgruppen (iPad-Gruppe und Arbeitsbuchgruppe) erzielen in einem Posttest signifikant bessere Ergebnisse als Lernende der Kontrollgruppe (Forschungsfrage (iii)). Dieser Leistungsvorsprung zeigt sich insbesondere in höheren Lösungsraten bezüglich Aufgaben, in denen ikonische Darstellungen von Bruchzahlen verändert oder in symbolische Darstellungen umgewandelt werden müssen. Ein signifikanter Effekt des Treatments auf arithmetische Fähigkeiten lässt sich jedoch in der untersuchten Stichprobe nicht finden (Forschungsfrage (iv)). Weiter zeigen Schülerinnen und Schüler beider Experimentalgruppen im Posttest ein elaborierteres konzeptuelles Verständnis des Größenvergleichs von Bruchzahlen, als Lernende der Kontrollgruppe (Forschungsfrage (v)). Insbesondere ergeben sich keine statistisch relevanten Leistungsunterschiede zwischen den beiden Experimentalgruppen. Im Zuge des der Studie zugrunde liegenden konstruktiven Forschungsansatzes mit einer iPad- und einer Arbeitsbuchgruppe lassen die Ergebnisse vermuten, dass der Unterschied der beiden Experimentalgruppen gegenüber der Kontrollgruppe am Gymnasium auf die aus fachdidaktischer und kognitionspsychologischer Sicht elaborierte Aufbereitung des Material und nicht auf die Verwendung adaptiver und interaktiver Inhalte auf iPads zurückzuführen ist. Ein Vergleich der Lösungsraten im Posttest insgesamt sowie in den beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik der Schülerinnen und Schüler der drei Interventionsgruppen am Gymnasium ist in Abbildung 7.14 nochmals gegenübergestellt.

268

7 Ergebnisse der Studie Erhebung

Skalen im Posttest

100%

67%

72%

68%

73% 60%

59%

59%

61%

58%

50%

Gymnasium

Lösungsrate

75%

25%

0% Posttest

Visualisierungen Gruppe

iPad-Gruppe

Arbeitsbuchgruppe

Arithmethik Kontrollgruppe

Abbildung 7.14. Mittelwertvergleiche der Interventionsgruppen an Gymnasien im Posttest. Die Fehlerbalken entsprechen den 95 %-Konfidenzintervallen. Skalen im Posttest: Visualisierungen = Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen, Arithmetik = Arithmetische Fähigkeiten.

7.5 Effekte der Intervention an Mittelschulen In Abschnitt 7.2.3 wurde ausführlich dargestellt, dass sich das im Pretest erhobene Wissen an der Mittelschule als weitgehend nicht prädiktiv für die Ergebnisse im Posttest erweist. Auf der Basis der vorgenommenen Analysen der Daten wird in dieser Arbeit daher davon ausgegangen, dass die untersuchten Mittelschülerinnen und Mittelschüler über kein substantielles und anschauliches Vorwissen zu Bruchzahlen verfügen, das die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe im Regelunterricht unterstützen kann – unabhängig von der Zuteilung zu einer der drei Interventionsgruppen (vgl. Anhang A.7, für eine ausführliche Auswertung des nicht-prädiktiven Pretests). Daher wird in den nachfolgenden Auswertungen der Ergebnisse der Studie nicht für die im Pretest erzielten Resultate kontrolliert. Es ist darauf hinzuweisen, dass dieser Umstand die Vergleichbarkeit der Ergebnisse an Mittelschulen mit den Resultaten an Gymnasien marginal beeinflussen kann. In Forschungsfrage (vi) liegt der Fokus auf möglichen Unterschieden in den Effekten der Intervention zwischen tendenziell leistungsstarken und leistungsschwachen Schülerinnen und Schülern8 . In Abschnitt 7.3 wurde dargestellt, dass die untersuchten Gymnasiastinnen und Gymnasiasten tatsächlich tendenziell leistungsstärker sind als die untersuchten Mittelschülerinnen und Mittelschülern. Daher werden nun die zuvor am Gymnasium 8 Unterschiede zwischen den untersuchten Schülerinnen und Schülern an Gymnasien und Mittelschulen

wurden in deutlich eingeschränkter Form bereits als Konferenzbeitrag diskutiert (Reinhold et al., in Druck).

7.5 Effekte der Intervention an Mittelschulen

269

durchgeführten Analysen an dieser Stelle erneut für Mittelschulen vorgenommen, um die Forschungsfragen (iii) bis (v) mit Blick auf eine tendenziell leistungsschwächere Schülergruppe zu beantworten. Die Reihenfolge ist dabei analog zu Abschnitt 7.4, sodass die Ergebnisse dahingehend knapp zusammengestellt werden. Bezogen auf die zur Beantwortung von Forschungsfrage (iii) zu untersuchenden Ergebnisse der Schülerinnen und Schüler der drei Interventionsgruppen im Posttest zeichnet sich an den Mittelschulen ein anderes Bild ab als an den Gymnasien. Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppe erzielen bessere Ergebnisse als Lernende der Arbeitsbuch- und der Kontrollgruppe (vgl. Tabelle 7.13). Tabelle 7.13 Deskriptive Analyse der Ergebnisse im Posttest sowie den beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik an Mittelschulen im Vergleich der drei Interventionsgruppen. Skalen Posttest Posttest

Visual.

Arith.

Schulart

Gruppe

N

M

SD

M

SD

M

SD

Mittelschule

iPad-Gruppe Arbeitsbuchgruppe Kontrollgruppe

107 71 67

.26 .19 .17

.16 .15 .11

.33 .26 .21

.19 .17 .14

.19 .12 .10

.17 .16 .10

Gesamt

245

.22

.15

.28

.18

.15

.16

Anmerkung. N = Gruppengröße; M = Mittelwert; SD = Standardabweichung; Skalen im Posttest: Visual. = Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen, Arith. = Arithmetische Fähigkeiten

Tatsächlich ist der Einfluss des Treatments auf die Resultate im Posttest als abhängige Variable signifikant, H (2) = 19.01, p < .001, η2p = .08, wobei sich ein mittlerer Effekt ergibt. Im direkten Gegensatz zum Gymnasium bestehen signifikante Unterschiede jedoch zwischen den beiden Experimentalgruppen, p < .01, sowie der iPad-Gruppe und der Kontrollgruppe, p < .001. Weiter ergeben sich keine statistisch relevanten Unterschiede zwischen der Arbeitsbuch- und der Kontrollgruppe, p = .99. An der Mittelschule erweist sich daher die Darbietung der Inhalte in interaktiver und adaptiver Form auf iPads als das ausschlaggebende Kriterium für einen besseren Unterrichtserfolg während der 15-stündigen Intervention. Dies steht in direktem Gegensatz zu den Ergebnissen am Gymnasium, wo die fachdidaktische und instruktionspsychologische Aufbereitung der Inhalte den entscheidenen Einflussfaktor darstellen.

7.5.1 Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen Mit Blick auf Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen lassen die in Tabelle 7.13 dargestellten Ergebnisse der entsprechenden Skala zunächst die in Forschungsfrage (iv) angenommene Stufung der Ergebnisse vermuten. Tatsächlich erzielen Schülerinnen und Schüler der

270

7 Ergebnisse der Studie

iPad-Gruppe hier die höchsten Ergebnisse, gefolgt von Lernenden der Arbeitsbuchgruppe und anschließend Kindern der Kontrollgruppe. Quantitativ ergibt sich ein mittelstarker und signifikanter Haupteffekt des Faktors Gruppe auf die Ergebnisse der Skala Visualisierungen, H (2) = 16.77, p < .001, η2p = .07. Eine Post-Hoc-Analyse zeigt jedoch, dass zwar die Unterschiede zwischen der iPad- und der Arbeitsbuchgruppe sowie die Unterschiede zwischen der iPad- und der Kontrollgruppe statistisch relevant sind, p < .05 und p < .001, jedoch Arbeitsbuch- und Kontrollgruppe nicht signifikant voneinander verschieden sind, p = .35. Bezogen auf den Umgang mit ikonischen Darstellungen von Bruchzahlen erweist sich an Mittelschulen damit ebenfalls das digitale Lernmedium ausschlaggebend, während die Aufbereitung des Materials keinen Einfluss auf den Lernerfolg der untersuchten Schülerinnen und Schüler zeigt.

7.5.2 Arithmetische Fähigkeiten Auch bei arithmetisch zu lösenden Aufgaben erzielen an der Mittelschule die Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppe die besten Ergebnisse, auch wenn die Lösungsrate mit lediglich 15 % insgesamt als sehr niedrig bezeichnet werden muss (vgl. Tabelle 7.13). Die Histogramme der Skala Arithmetik deuten für Mittelschülerinnen und Mittelschüler Bodeneffekte an, sodass die Ergebnisse vor diesem Hintergrund nur vorsichtig interpretiert werden (vgl. Abbildung A.9, rechts, Anhang A.6). Es ergibt sich ein mittlerer Effekt des Einflusses des Treatments auf die Lösungsraten in arithmetischen Aufgaben zum Bruchzahlbegriff, H (2) = 13.90, p < .001, η2p = .06. PostHoc-Analysen zeigen analog zu den soeben betrachteten Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen, dass die Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppe signifikant bessere Ergebnisse erzielen als Lernende der Arbeitsbuchgruppe, p < .01, sowie Lernende der Kontrollgruppe, p < .05. Darüber hinaus ist der Unterschied zwischen der Arbeitsbuchgruppe und der Kontrollgruppe nicht statistisch relevant, p = 1.00. Im Gegensatz zur Schülergruppe am Gymnasium ist also an der Mittelschule ein Einfluss des Treatments auch auf arithmetische Fähigkeiten nachzuweisen. Insbesondere erscheint die interaktive Aufbereitung der digitalen Lernumgebungen im Sinne der in Kapitel 4 dargestellten Theorien ausschlaggebend für einen besseren Lernerfolg, und nicht allein die fachdidaktische Aufbereitung der Inhalte als multimediale Lernumgebung mit Fokus auf ikonische Repräsentationen von Brüchen. Weiter ist anzumerken, dass vereinzelt Schülerinnen und Schüler an der Mittelschule bei der Bearbeitung arithmetischer Aufgaben auf konkrete ikonische Darstellungen zurückgreifen. Dies wird an der exemplarisch ausgewählten Lösung eines Schülers deutlich, der in Item A16 bei der Bestimmung der Anteile 35 von 45 und 47 von 42 durch den Rückgriff auf adäquat angeordnete diskrete Mengen zu den korrekten Lösungen 27 und 24 gelangt (vgl. Abbildung 7.15).

7.5 Effekte der Intervention an Mittelschulen

271

Abbildung 7.15. Exemplarisch ausgewählte Schülerlösung zu Aufgabe A16 im Posttest mit Rückgriff auf eine ikonische Darstellung mit diskreten Mengen.

7.5.3 Fähigkeit geeignete Strategien zu erläutern Eine Beantwortung der Forschungsfrage (v) erscheint für die tendenziell leistungsschwache Schülergruppe an der Mittelschule nur eingeschränkt möglich, da zur Codierung der Strategien lediglich auf korrekte Schülerantworten zurückgegriffen wird. Allerdings lösen insgesamt nur 17 Schülerinnen und Schüler beide Items A17 und A19 korrekt, was einem Anteil von lediglich 7 % der Stichprobe entspricht. Da eine quantitative Auswertung bei einer resultierenden Stichprobengröße von N = 17 und einer dreifach gestuften Ausprägung des Faktors Gruppe nicht belastbar erscheint, werden die Ergebnisse an dieser Stelle nur qualitativ diskutiert. Für die in Abbildung 7.16 dargestellten tatsächlich für eine korrekte Lösung der Items verwendete Art der Größenvergleichsstrategie wurde daher auch – anders als am Gymnasium – nicht lediglich auf die Schülerinnen und Schüler zurückgegriffen, die beide Items korrekt gelöst haben, sondern die Aufgaben unabhängig voneinander ausgewertet. Somit ergeben sich insgesamt 39 korrekte Antworten für Item A17 sowie 45 korrekte Antworten für Item A19, die sich weitgehend gleich auf die drei Interventionsgruppen verteilen. Insbesondere ergeben sich keine signifikanten Unterschiede in der Lösungsrate der beiden Aufgaben zwischen den Interventionsgruppen, H (2) = 4.24, p = .12 und H (2) = 2.21, p = .33. Die in Abbildung 7.16 dargestellte Verwendung eigenschaftsbasierter (Blautöne) und regelbasierter (Orangetöne) Strategien für den Größenvergleich von Bruchzahlen lassen vermuten, dass insbesondere Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppe auf eigenschaftsbasierte Strategien zurückgreifen, während regelbasierte Strategien eher in den beiden anderen Interventionsgruppen vorkommen. Diese Aussage lässt sich mit den erhobenen Daten jedoch nicht quantifizieren, sondern wird lediglich als Tendenz festgestellt. Insbesondere erscheint vor dem Hintergrund der geringen resultierenden Stichprobengröße keine Aussage über einen etwaigen Vorteil eines breiten Repertoires an Vergleichsstrategien mög-

272

7 Ergebnisse der Studie

Item A17 (8/9 vs. 7/6)

Item A19 (5/8 vs. 5/10)

100%

75%

50%

25%

0%

iPadGruppe

Arbeitsbuchgruppe

Merkmalsbasiert

iPadGruppe

Kontrollgruppe

Arbeitsbuchgruppe

Kontrollgruppe

Regelbasiert

Bild als Ergänzung

Gleicher Zähler

Größe der Stücke

Gleicher Nenner

Vergleich mit 1 Vergleich mit 1/2

Abbildung 7.16. Verwendung unterschiedlicher Strategien zum Größenvergleich inkongruenter Bruchzahlpaare an Mittelschulen im Vergleich der Interventionsgruppen. Berücksichtigt wurden N = 39 Antworten in Item A17 und N = 45 Antworten in Item A19 von Schülerinnen und Schülern, die das jeweilige Item vollständig korrekt gelöst haben.

7.5 Effekte der Intervention an Mittelschulen

273

lich, sodass Forschungsfrage (v) für die Lernenden der Mittelschule nicht abschließend beantwortet werden kann. Weiter zeigen sich bei Schülerinnen und Schülern der Mittelschule konkrete Anzeichen für einen ausgeprägten Natural Number Bias, wie etwa in der exemplarisch ausgewählten Antwort einer Schülerin, die in Abbildung 7.17 dargestellt ist. Sie gibt an, dass 98 größer als 7 6 sei und begründet ihre Entscheidung mit den Worten: „Weil 8 und 9 größer sind als 7 und 6.“ Es kann angenommen werden, dass sie Schülerin Zähler und Nenner als voneinander losgelöste natürliche Zahlen interpretiert und einen Vergleich auf Basis der einzelnen Ziffern, nicht der beiden Brüche als holistischen Symbolen vornimmt.

Abbildung 7.17. Exemplarisch ausgewählter Schülerfehler in der Aufgaben A17 im Posttest, der auf einen ausgeprägten Natural Number Bias hindeutet.

Zusammenfassung der Effekte der Intervention an Mittelschulen

Auch an der Mittelschule lassen sich die im Zusammenhang mit den Forschungsfragen (iii) bis (v) aufgestellten Vermutungen nur zum Teil bestätigen. Insbesondere zeigen sich im Vergleich zum Gymnasium Unterschiede in der Wirkung der verschiedenen Treatment-Stufen des konstruktiven Forschungsansatzes. Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppe erzielen im Posttest signifikant bessere Ergebnisse als Lernende der Arbeitsbuch- oder der Kontrollgruppe (Forschungsfrage (iii)), wohingegen sich kein statistisch relevanter Unterschied der beiden zuletzt genannten Interventionsgruppen nachweisen lässt. Dieser Effekt ist für Aufgaben, in denen vornehmlich der Umgang mit ikonischen Repräsentationen adressiert wird, und Aufgaben, die auf arithmetische Fähig-

274

7 Ergebnisse der Studie

keiten fokussieren, weitgehend identisch (Forschungsfrage (iv)). Eine belastbare Aussage über eine unterschiedliche Entwicklung eines konzeptuellen Verständnisses des Größenvergleichs von Bruchzahlen lässt sich auf der Grundlage der empirisch gewonnenen Daten nicht treffen, da die Lösungsrate der Schülergruppe in den entsprechenden Aufgaben zu niedrig ist (Forschungsfrage (v)). Auf der Basis dieser Ergebnisse ist anzunehmen, dass für Mittelschülerinnen und Mittelschüler das fachdidaktisch aufbereitete multimediale Unterrichtsmaterial – anders als für tendenziell leistungsstärkere Gymnasiastinnen und Gymnasiasten – erst als interaktive und adaptive Lernumgebung auf dem iPad Vorteile gegenüber traditionellem Unterricht zu Tage fördern kann. Diese Darstellung der Unterschiede zwischen Schülerinnen und Schülern am Gymnasium und an der Mittelschule können als Antwort auf Forschungsfrage (vi) interpretiert werden. Ein Vergleich der Lösungsraten im gesamten Posttest sowie in den beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik der Mittelschülerinnen und Mittelschüler der drei Interventionsgruppen ist in Abbildung 7.18 zusammenfassend dargestellt. Erhebung

Skalen im Posttest

100%

Mittelschule

Lösungsrate

75%

50% 33%

25%

26%

26% 19%

17%

21%

19% 12%

10%

0% Posttest

Visualisierungen Gruppe

iPad-Gruppe

Arbeitsbuchgruppe

Arithmethik Kontrollgruppe

Abbildung 7.18. Mittelwertvergleiche der Interventionsgruppen an Mittelschulen im Posttest. Die Fehlerbalken entsprechen den 95 %-Konfidenzintervallen. Skalen im Posttest: Visualisierungen = Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen, Arithmetik = Arithmetische Fähigkeiten.

8 Diskussion und Fazit Children should repeat the learning process of mankind, not as it factually took place but rather as it would have done if people in the past had known a bit more of what we know now. Freudenthal (1991, S. 48)

Überblick

In diesem letzten Kapitel werden zunächst die grundlegenden Ziele der Arbeit – auch innerhalb des gemeinsamen Forschungsprojektes ALICE:Bruchrechnen – nochmals übersichtlich dargestellt (vgl. Abschnitt 8.1). Danach werden die sich daraus ergebenden Forschungsfragen rekapituliert und vor dem Hintergrund der empirischen Ergebnisse der durchgeführten Feldstudie soweit möglich beantwortet (vgl. Abschnitt 8.2). Im Anschluss daran wird die durchgeführte Studie mit Blick auf unterschiedliche Aspekte kritisch diskutiert (vgl. Abschnitt 8.3). Zuletzt werden ausgehend von der theoretischen Aufbereitung in Teil I sowie den Resultaten der empirischen Untersuchung in Teil II Implikationen für den Mathematikunterricht und die mathematikdidaktische Forschung abgeleitet (vgl. Abschnitt 8.4).

8.1 Ziele der Arbeit Untersuchungsschwerpunkt der vorliegenden Arbeit bilden zwei unterschiedliche Forschungsgegenstände: Die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs als fachdidaktische Herausforderung sowie die Wirksamkeit digitaler Lernumgebungen auf Tablet-PCs (hier konkret: iPads) im Regelunterricht bezogen auf die Leistung von Schülerinnen und Schülern im Kontext des Inhaltsbereichs der Bruchrechnung. Digitale Medien stellen einen wichtigen Bestandteil der Umwelt von Kindern außerhalb der Schule dar (z. B. Herzig, 2016). Diesem Umstand versucht die von Prensky (2001) geprägte Umschreibung der jetzigen Generation von Schülerinnen und Schülern als Digital Natives adäquat gerecht zu werden. Dennoch stellen repräsentative Untersuchungen bisweilen fest, dass in Deutschland digitale Medien im internationalen Vergleich noch relativ selten in den Schulunterricht integriert werden (Eickelmann et al., 2014; Sälzer & Reiss, 2016). Weiter besteht innerhalb der Wissenschaftsgemeinschaft weitgehend Konsens darüber, dass zum einen allgemein und pauschal gültige Aussagen zur Wirksamkeit digitaler Medien nicht möglich sind (z. B. Herzig, 2014) und es © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 F. Reinhold, Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive, Studien zur theoretischen und empirischen Forschung in der Mathematikdidaktik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-23924-4_9

276

8 Diskussion und Fazit

darüber hinaus auch derzeit noch an Interventionsstudien – vorrangig auch im Fachbereich Mathematik – zu den möglichen Effekten ihres Einsatzes im Regelunterricht fehlt (z. B. Schmidt-Thieme & Weigand, 2015). Insbesondere sprechen sich Bildungsforscherinnen und Bildungsforscher dafür aus, dass eine Diskussion um den Einsatz digitaler Medien stets inhaltsbezogen geführt werden und nicht die Verwendung der Geräte als Selbstzweck Gegenstand wissenschaftlicher Untersuchungen sein soll (z. B. Herzig, 2016). Ein Ziel des Forschungsprojektes ALICE:Bruchrechnen sowie vorrangiges Ziel dieser Arbeit ist ein Beitrag zur offenen Frage der Wirkung von Tablet-PCs im mathematischen Regelunterricht. Hierfür erscheint unter anderem das Thema der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe geeignet, da zum einen Bruchrechnen aus fachdidaktischer Sicht als eher gut erforschtes Gebiet bezeichnet werden kann (vgl. Kapitel 2) und zum anderen curriculare Anforderungen über alle Schularten hinweg hinreichend ähnlich und weitgehend im Konsens mit fachdidaktischen Empfehlungen formuliert sind, sodass schulartübergreifende Interventionsstudie realisiert werden können (vgl. Kapitel 6). Die Ziele dieser Arbeit lassen sich damit wie folgt formulieren: 1. Die gemeinsame Entwicklung einer digitalen Lernumgebung für den Anfangsunterricht der Bruchrechnung – genauer die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe – in Form eines interaktiven Schulbuchs für iPads im Forschungsprojekt ALICE:Bruchrechnen. Der Fokus dieser Arbeit liegt hier auf der Auswahl und Strukturierung der Inhalte aus fachdidaktischen und psychologischen Perspektiven zur Entwicklung des mathematischen Denkens im Allgemeinen (vgl. Kapitel 1) und des Bruchzahlbegriffs im Speziellen (vgl. Kapitel 2). 2. Die Modellbildung zur Entwicklung interaktiver und digitaler Lernumgebungen für den Einsatz im Mathematikunterricht, bei der sowohl instruktionspsychologische Theorien zum multimedialen Lernen, also einer integrativen Verwendung von Texten und Bildern (vgl. Kapitel 3), und Erkenntnisse zum Einsatz digitaler Medien in Lehr-Lern-Situationen (vgl. Kapitel 4) berücksichtigt werden. Hierzu verfolgt die vorliegende Arbeit das Ziel, Modelle zu generieren, die aufzeigen, wie die Synthese mathematikdidaktischer und psychologischer Theorien sowohl für rein inhaltliche Fragen (vgl. Abbildung 1.3, S. 29) als auch für die komplexere Frage nach der Gestaltung von multimedialen und digitalen Lernumgebungen (vgl. Abbildung 5.1, S. 168) gewinnbringend gelingen kann. 3. Die Konzeption und Durchführung einer Evaluation der entwickelten Lernumgebung unter Rückgriff auf Methoden der empirischen Bildungsforschung durch eine quasiexperimentelle Feldstudie an Gymnasien und Mittelschulen (vgl. Kapitel 6). Hierbei liegt der Fokus dieser Arbeit auch auf der Entwicklung geeigneter Testinstrumente, die den Leistungsstand der teilnehmenden Schülerinnen und Schüler adäquat erfassen können sowie dem Vergleich dreier Interventionsgruppen, um mögliche Wirkmechanismen der digitalen Lernumgebung identifizieren zu können (vgl. Kapitel 7).

8.2 Zusammenfassung und Interpretation der Ergebnisse

277

8.2 Zusammenfassung und Interpretation der Ergebnisse Nachfolgend werden die Ergebnisse der Studie in der Reihenfolge der formulierten Forschungsfragen zusammenfassend dargestellt, interpretiert und zu bisherigen Forschungsergebnissen in Bezug gesetzt.

8.2.1 Entwicklung des Bruchzahlbegriffs Die Forschungsfragen (i) und (ii) betreffen zum einen die Erfassung des Bruchzahlbegriffs in Form der in Abschnitt 2.3 vorgeschlagenen Konzepte, zum anderen den Zusammenhang zwischen Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen und arithmetischen Fähigkeiten. Zu Forschungsfrage (i): Konzepte von Bruchzahlen

Basierend auf einer Aufbereitung der zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe zu vermittelnden Inhalte zum Bruchzahlbegriff vor dem Hintergrund fachdidaktischer Erkenntnisse sowie empirischer Befunde zum Natural Number Bias wird in dieser Arbeit angenommen, dass sich der Bruchzahlbegriff in Form dreier Konzepte Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen und Größenvergleich erfassen lässt. Dabei wird weiter angenommen, dass sich die Ausbildung dieser Konzepte im Sinne der Conceptual Change-Theorie geeignet dadurch unterstützen lässt, dass im Regelunterricht entsprechende Subkonzepte in Form konkreter fachlicher Inhalte thematisiert und vermittelt werden (vgl. Kapitel 2). Diese Subkonzepte weisen dabei weitreichende Ähnlichkeit zum einen zu Grundvorstellungen von Brüchen (z. B. Malle, 2004; Padberg & Wartha, 2017) und zum anderen zu international unterschiedlich bezeichneten Lerngegenständen der Bruchrechendidaktik auf (z. B. Behr et al., 1983; Hart, 1981). Forschungsfrage (i) motiviert eine empirische Überprüfung dieser angenommenen Einteilung in Form einer konfirmatorischen Faktorenanalyse eines entwickelten Erhebungsinstruments, in dem Aufgaben mit Fokus auf je einem dieser drei Konzepte erstellt wurden. Faktorenanalysen konnten die a priori vorgenommene theoriebasierte Unterteilung weitgehend bestätigen. So wiesen Modelle mit den drei Faktoren Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen und Größenvergleich einen signifikant besseren Fit zu den Ergebnissen von 745 Gymnasiastinnen und Gymnasiasten sowohl in den Skalen Visualisierungen und Arithmetik auf, als einfaktorielle Modelle und als dreifaktorielle Modelle ohne Kovarianzen zwischen den Faktoren. Modellfitindizes liegen im akzeptablen bis sehr gut akzeptablen Bereich. Dabei ist das in dieser Arbeit vorgeschlagene Modell als gröber zu verstehen, als das von Behr et al. (1993) vorgeschlagene und von Charalambous und Pitta-Pantazi (2005) ausgewertete Modell. An dieser Stelle ist anzumerken, dass Forschungsfrage (i) eher als zusätzliches Maß für die Güte des entwickelten Erhebungsinstruments zu verstehen ist, denn als Antwort auf die Analysen der soeben zitierten Autorinnen und Autoren. Insbesondere erscheinen weitere Analysen mit zusätzlichen Items notwendig, um die Bedeutung von Brüchen als Maß auf dem Zahlenstrahl vollständig zu erfassen. Im Zuge dieser Arbeit wird der Zahlenstrahl – auch auf der Basis der empirischen Daten und der Auswertung der Faktorenanalysen – als Subkonzept des Konzepts Teil vom Ganzen

278

8 Diskussion und Fazit

und damit als spezielle ikonische Darstellung von Brüchen verstanden, wohingegen etwa Charalambous und Pitta-Pantazi (2005) ihn als eigenes Konzept versteht. Zu Forschungsfrage (ii): Zusammenhang zwischen Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen und arithmetischen Fähigkeiten

Zusammenhänge zwischen Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen und arithmetischen Fähigkeiten können aus unterschiedlichen wissenschaftlichen Perspektiven erwartet werden. Inhaltlich motivieren lässt sich die Annahme etwa durch fachdidaktische Überlegungen zu Grundvorstellungen von Brüchen (z. B. Padberg & Wartha, 2017), wobei angenommen wird, dass mentale Modelle zu Inhalten der Bruchrechnung internal insbesondere auch in Form geeigneter ikonischer Darstellungen vorliegen – exemplarisch kann hier die Grundvorstellung Teil eines Ganzen genannt werden (die in dieser Arbeit als Subkonzept des Konzepts Teil vom Ganzen verstanden wird, vgl. Kapitel 2). Unabhängig von konkreten Inhalten legen instruktionspsychologische Theorien nahe, dass Texte und Bilder zwar in getrennten kognitiven Systemen verarbeitet werden und darüber hinaus auch zu unterschiedlichen internen Repräsentationen führen können, aber ein Austausch zwischen diesen beiden Systemen möglich ist und die Systeme wechselwirken können (vgl. Kapitel 3). Auch aus diesem Grund erscheinen signifikante Zusammenhänge zwischen der Lösung ikonisch und symbolisch repräsentierter Aufgaben – wie in Forschungsfrage (ii) vermutet – denkbar. Hierfür kann etwa das integrative Modell des Text- und Bildverständnisses von Schnotz und Bannert (2003), das in Abbildung 3.6 (S. 127) dargestellt ist, die Grundlage für eine derartige Annahme bilden. In der vorliegenden Arbeit ergaben sich für den Bereich der Bruchzahlen zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe mittlere bis starke Korrelationen zwischen Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen und arithmetischen Fähigkeiten. Am Gymnasium waren diese Zusammenhänge mit r = .62 etwas höher als an der Mittelschule, ρ = .46, was zum Teil an den sehr niedrigen Lösungsraten der arithmetischen Aufgaben an der Mittelschule liegen könnte. Die Ergebnisse können dahingehend interpretiert werden, dass für leistungsstärkere Gymnasiastinnen und Gymnasiasten der Zusammenhang zwischen ikonischen und symbolischen Repräsentationen stärker ausgeprägt ist, als für leistungsschwächere Mittelschülerinnen und Mittelschüler, was durch ein insgesamt elaborierteres Verständnis des Bruchzahlbegriffs erklärt werden könnte. Ein rein statistischer Grund für die Unterschiede ist wegen der weitreichend unterschiedlichen Verteilung der Ergebnisse in den beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik zwischen den Schularten allerdings nicht auszuschließen. Unabhängig von etwaigen Unterschieden zwischen den Schularten erscheint der vergleichsweise hohe Korrelationskoeffizient bemerkenswert. Zwar können Zusammenhänge theoretisch angenommen und fundiert begründet werden, dennoch sind Werte um r = .50 vor dem Hintergrund bisheriger empirischer Arbeiten nicht selbstverständlich. So berichtet etwa Obersteiner (2012) signifikante Korrelationen von r = .25 zwischen visuell-räumlichen Fähigkeiten und arithmetischen Fähigkeiten für Schülerinnen und Schüler im ersten Schuljahr beim Erwerb grundlegender Additionsund Subtraktionsfertigkeiten. Zwar liegen etwa vier Schuljahre zwischen den untersuch-

8.2 Zusammenfassung und Interpretation der Ergebnisse

279

ten Schülergruppen der Studien, aber dennoch haben sie gemein, dass nicht vornehmlich Wissen aus dem Inhaltsbereich der Geometrie getestet wurde. Insbesondere kann der Lerngegenstand in der vorliegenden Studie als relativ komplex verstanden werden, sodass die von Obersteiner (2012) geäußerte Vermutung eines stärkeren Zusammenhangs zwischen visuell-räumlichen und arithmetischen Fähigkeiten für komplexere Lerngegenstände auf der Basis der hier vorliegenden Ergebnisse prinzipiell bestätigt werden kann1 . Das vorliegende Ergebnis kann als empirische Fundierung des im Zuge der Bruchrechendidaktik oftmals geforderten vermehrten Einsatzes ikonischer Darstellungen zur Visualisierung mathematischer Inhalte (z. B. Padberg & Wartha, 2017) verstanden werden. Fähigkeiten im Umgang mit ikonischen Darstellungen können dabei nicht nur als zusätzlicher Lernstoff, sondern als gewinnbringende Unterstützung auch zur Ausbildung arithmetischer Fähigkeiten im Umgang mit Bruchzahlen interpretiert werden. Ob es sich hierbei tatsächlich um einen kausalen Zusammenhang handelt, bei dem arithmetische Fähigkeiten auf der Basis eines elaborierten Umgangs mit ikonischen Darstellungen entwickelt werden können, kann unter Rückgriff auf die in dieser Arbeit erhobenen Daten jedoch nicht abschließend beantwortet werden.

8.2.2 Wirksamkeit multimedialer und digitaler Lernumgebungen Der zweite Teil der in der vorliegenden Arbeit gestellten Forschungsfragen widmet sich der Untersuchung der Wirksamkeit multimedialer und digitaler Lernumgebungen im Zusammenhang mit der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs im Regelunterricht der sechsten Jahrgangsstufe. Hierbei werden insbesondere unterschiedliche Wirkmechanismen für tendenziell leistungsstärkere und eher leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler untersucht, was in der vorliegenden Arbeit durch die Betrachtung Lernender unterschiedlicher Schulformen – Gymnasien und Mittelschulen – operationalisiert wird. Zu Forschungsfrage (iii): Einfluss multimedialer und digitaler Lernumgebungen auf die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs im Regelunterricht

Zur Beantwortung der grundlegenden Frage nach einem möglichen Mehrwert einer nach geltenden instruktionspsychologischen Standards entwickelten Lernumgebung – sowohl in papierbasierter als auch in digitaler Form – liegen dieser Arbeit begründete Vermutungen zugrunde. Zum einen lassen zahlreiche empirische Untersuchungen der Cognitive Load-Theorie sowie der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens vermuten, dass sich die kognitive Belastung beim Lernen komplexer Sachverhalten durch entsprechende Gestaltung einer Lernumgebung reduzieren lassen kann. Dies kann Kapazitäten im Arbeitsgedächtnis freisetzen, was Lernprozesse zunächst prinzipiell ermöglichen kann, sodass durch eine derartige instruktionspsychologische Aufbereitung ein höherer Lernerfolg bei den 1 An dieser Stelle ist darauf hinzuweisen, dass die in dieser Arbeit als Fähigkeiten

im Umgang mit Visualisierungen und die von Obersteiner (2012) als visuell-räumliche Fähigkeiten zwar ähnlich operationalisiert sind, aber auch wegen der unterschiedlichen Inhaltsbereiche nicht als identisch bezeichnet werden können.

280

8 Diskussion und Fazit

Schülerinnen und Schülern erwartet werden kann, die mit einer solchen Lernumgebung und nicht mit traditionellen Materialien gearbeitet haben (vgl. Kapitel 3). Darüber hinaus legen bisherige empirische Untersuchungen zum Einsatz digitaler Medien – vornehmlich in Laborstudien – nahe, dass auch der Rückgriff auf passende Gesten als Mittel der Kommunikation mit einer Lernumgebung, eine adaptive Anpassung des Schwierigkeitsgrades der Aufgaben einer Lernumgebung an das individuelle Leistungsniveau einer Schülerin oder eines Schülers sowie sofortiges und erklärendes Feedback in einer ähnlichen Art und Weise die kognitiven Belastung beim Lernen – unter anderem von Mathematik – senken kann (vgl. Kapitel 4). Bisher erscheint nur unzureichend erforscht, ob diese bekannten Effekte konkret bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs kumulativ wirken können. Weiter ist die Frage danach, inwiefern sich derartige Effekte auch im Regelunterricht in dieser Art zeigen, weitgehend unbeantwortet (z. B. Schmidt-Thieme & Weigand, 2015). Diese Arbeit widmet sich der Analyse möglicher Effekte einer im Sinne der genannten Theorien aufbereiteten Lernumgebung im Mathematikunterricht der sechsten Jahrgangsstufe vor dem fachlichen und inhaltlichen Hintergrund der Bruchzahlen. Hierfür wurde innerhalb des gemeinsamen Forschungsprojekts ALICE:Bruchrechnen eine digitale Lernumgebung nach dem in Abbildung 5.1 (S. 168) vorgeschlagenen Modell entwickelt und eine Interventionsstudie nach einem konstruktiven Forschungsansatz durchgeführt. Eine iPad-Gruppe arbeitete mit der digitalen Lernumgebung auf iPads, eine Arbeitsbuchgruppe arbeitete mit einer papierbasierten und gedruckten Form ebendieser Lernumgebung in Form von Arbeitsbüchern und eine Kontrollgruppe arbeitete mit traditionellen Schulbüchern und Materialien. Nach der im Zuge von Forschungsfrage (iii) formulierten Vermutung kumulativer Effekte sollten Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppe in einem Posttest die besten Ergebnisse erzielen, gefolgt von Lernenden der Arbeitsbuchgruppe. Für die traditionell unterrichtete Kontrollgruppe wurden die niedrigsten Ergebnisse erwartet. Die Resultate der an Gymnasien und Mittelschulen durchgeführten Untersuchung konnten diese Vermutung nur eingeschränkt bestätigen. Tatsächlich zeigte sich ein schwacher Effekt der Verwendung multimedialer und digitaler Lernumgebungen auf die Ergebnisse im Posttest an Gymnasien sowie ein mittlerer Effekt an Mittelschulen. Jedoch führten Post-Hoc-Analysen zu unterschiedlichen Ergebnissen mit Blick auf die tatsächlich voneinander verschiedenen Interventionsgruppen. So erzielten am Gymnasium beide Experimentalgruppen signifikant bessere Ergebnisse als die Kontrollgruppe, jedoch konnte kein zusätzlicher Effekt des iPads aus den empirisch gewonnenen Daten bestätigt werden. Anders zeigte sich der Unterschied in der Mittelschule zwischen der iPad-Gruppe und den beiden anderen Interventionsgruppen, wobei sich hier zwischen der Arbeitsbuchgruppe und der Kontrollgruppe keine statistisch relevanten Unterschiede zeigten. Dieses Ergebnis erscheint vor allem deshalb bemerkenswert und bedeutsam, da sich für tendenziell leistungsschwache und tendenziell leistungsstarke Schülerinnen und Schüler unterschiedliche Wirkmechanismen der Lernumgebung ableiten lassen. So kann angenommen werden, dass bei Gymnasiastinnen und Gymnasiasten bereits die fachdidaktisch motivierte multimediale Aufbereitung der Inhalte zu einer Steigerung der Leistung führte, während an der Mittelschule erst eine zusätzliche interaktive Aufbereitung für Tablet-PCs (hier konkret:

8.2 Zusammenfassung und Interpretation der Ergebnisse

281

iPads) im Sinne von Kapitel 4 die angenommenen Effekte zu Tage fördern konnte. Mögliche Interpretationen dieser Antwort auf Forschungsfrage (iii) werden im Rahmen von Frage (vi) nochmals aufgegriffen, ergänzt und diskutiert.

Zu Forschungsfrage (iv): Einfluss multimedialer und digitaler Lernumgebungen auf Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen und arithmetische Fähigkeiten

Bei der Gestaltung des Posttests wurde angenommen, dass sich die Items eindeutig einer Skala Visualisierungen, einer Skala Arithmetik und einer Skala Erklären zuordnen lassen. Diese Annahme konnte auf der Grundlage der empirischen Ergebnisse weitgehend bestätigt werden. Es stellt sich weiter die Frage, ob sich ein Einfluss multimedialer und digitaler Lernumgebungen auf die Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen auf der einen Seite und arithmetische Fähigkeiten auf der anderen Seite ähnlich auswirkt. Hier wurde eine positive Wirkung des Unterrichts in den Experimentalgruppen insbesondere auf die Skala Visualisierungen vermutet, eine etwaige Wirkung auf die Skala Arithmetik wurde explorativ untersucht. Es zeigte sich am Gymnasium ein mittlerer Effekt des Einsatzes der entwickelten Lernumgebungen auf die Lösungsraten der Skala Visualisierungen, wohingegen sich kein signifikanter Haupteffekt für die Skala Arithmetik finden ließ. Analog zur Beantwortung von Forschungsfrage (iii) ergaben sich die Unterschiede ausschließlich zwischen den beiden Experimentalgruppen und der Kontrollgruppe. Dieses Ergebnis erscheint vor allem deshalb bemerkenswert, weil in den Experimentalgruppen die Unterrichtszeit, in der vornehmlich Aufgaben mit arithmetischen Anforderungen bearbeitet und geübt wurden, zu Gunsten der Bearbeitung von Aufgaben, in denen vermehrt ikonische Darstellungen verändert werden mussten, im Vergleich zu traditionellem am Gymnasium ablaufenden Unterricht reduziert wurde. Dass die Gymnasiastinnen und Gymnasiasten der Experimentalgruppe bessere Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen bei weitgehend ähnliche arithmetische Fähigkeiten zeigten, stellt daher ein positives Ergebnis dar. Offensichtlich ist eine weitaus geringere Beschäftigung mit formalen Rechenaufgaben im Regelunterricht für die Schülergruppe ausreichend, um adäquate Fähigkeiten im Umgang mit symbolisch repräsentierten Brüchen auszubilden, vorausgesetzt die sich so ergebende Zeit wird sinnvoll dafür genutzt, den Lerngegenstand auf einer anderen Repräsentationsebene zu betrachten. Auch für die Antwort auf Forschungsfrage (iv) zeichnet sich nicht dasselbe Bild für Schülerinnen und Schüler der Mittelschule ab. So zeigten sich signifikante und mittelstarke Effekte auf beiden Skalen des Posttests, wobei sich jeweils nur die iPad-Gruppe signifikant von den anderen beiden Interventionsgruppen unterschied. Die erwartete Wirkung einer multimedialen Aufbereitung des Unterrichtsmaterials zeigte sich an der Mittelschule also erst in Verbindung mit dem Einsatz digitaler Medien. In diesem Fall konnten dann aber sowohl Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen als auch arithmetische Fähigkeiten gefördert werden. Dieses Ergebnis erscheint insbesondere deshalb bedeutsam, da der an Gymnasien beobachtete Effekt lediglich eine Förderung auf der Ebene ikonisch repräsentierter Brüche vermuten lässt.

282

8 Diskussion und Fazit

Zu Forschungsfrage (v): Einfluss multimedialer und digitaler Lernumgebungen auf die Entwicklung eines konzeptuellen Verständnisses für den Größenvergleich

Bei der Entwicklung des iBooks und des Arbeitsbuches wurde insbesondere auf der Basis der Ergebnisse von Clarke und Roche (2009) die Darstellung geeigneter Größenvergleichsstrategien gegenüber traditionellen deutschsprachigen Schulbüchern grob verändert2 . Die in der Intervention verwendeten Lernumgebungen fokussieren auf eine primäre Vermittlung eigenschaftsbasierter Vergleichsstrategien von Bruchzahlen. Darunter sind hier solche Strategien zu verstehen, die auf den beiden angegebenen Brüchen inhärenten Eigenschaften – z. B. mehr zu repräsentieren als die Hälfte – Bezug nehmen. Erst in einem zweiten Schritt werden übliche regelhafte Verfahren dargestellt und der sich dadurch zum Teil ergebende Mehraufwand auch explizit herausgestellt. Es stellt sich nun die Frage, ob eine derartige fachdidaktische Aufbereitung der Inhalte in Verbindung mit dem Einsatz multimedialer oder digitaler Lernumgebungen auch dazu führt, dass Schülerinnen und Schüler in Größenvergleichsaufgaben tatsächlich tendenziell eher auf eigenschaftsbasierte Strategien zurückgreifen, als traditionell unterrichtete Kinder (vgl. Forschungsfrage (v)). Zur Beantwortung dieser Frage wurden zwei Items entwickelt, in denen Schülerinnen und Schüler ihr Vorgehen beim Vergleichen inkongruenter Bruchzahlpaare einem imaginären Mitschüler erklären sollten. Als korrekt zu bezeichnende Antworten wurden nach einem Kriterienkatalog den in der Literatur dokumentierten Strategien zugeordnet. Es zeigte sich, dass an der Mittelschule jedoch keine belastbaren Aussagen getroffen werden konnten, da zu wenige Kinder die beiden Items korrekt beantwortet hatten. Im Folgenden werden daher die Ergebnisse der Gymnasiastinnen und Gymnasiasten dargestellt. Zunächst zeigte sich, dass die untersuchten Sechstklässlerinnen und Sechstklässler zum Vergleich zweier Bruchzahlen verschiedene Strategien nutzten – insbesondere auch eigenschaftsbasierte Strategien, denen inhärente Eigenschaften der Bruchpaare zu Grunde liegen. Die Verwendung des entwickelten Unterrichtsmaterials hatte sowohl in gedruckter Form als Arbeitsbuch, als auch in digitaler Form auf iPads einen mittelstarken positiven Einfluss auf die Ausbildung eines Repertoires an Vergleichsstrategien, die die Schülerinnen und Schüler flexibel einsetzen konnten. Ein Unterschied zwischen den beiden Experimentalgruppen konnte hier nicht festgestellt werden. Diese Ergebnisse lassen vermuten, dass ein flexibler Umgang mit unterschiedlichen Größenvergleichsstrategien – insbesondere beim Vergleich inkongruenter Bruchpaare – durch entsprechend fachdidaktisch aufbereitetes Unterrichtsmaterial in Verbindung mit einer multimedialen Präsentation geeignet im Regelunterricht unterstützt werden kann. Diese Inhalte weiter digital – etwa in Form eines iBook – darzubieten, scheint diesbezüglich jedoch keinen zusätzlichen positiven Effekt für tendenziell leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler zu haben. Tatsächlich zeigten sowohl Schülerinnen und Schüler, die im Unterricht mit iPads gearbeitet hatten, als auch Lernende, die mit dem Arbeitsbuch gearbeitet hatten, ein tiefgehendes Verständnis für den Größenvergleich von Bruchzahlen: Die Ergebnisse lassen vermuten, dass die Schülerinnen 2 Die Diskussion zu Forschungsfrage (v) bildet in weitgehend ähnlicher Art und Weise auch den Abschluss

einer englischsprachigen Veröffentlichung in Form eines Konferenzbeitrags (Reinhold et al., 2018).

8.2 Zusammenfassung und Interpretation der Ergebnisse

283

und Schüler vermehrt nach speziellen Eigenschaften des zu vergleichenden Bruchzahlpaares suchten, die arithmetische Operationen für den Größenvergleich obsolet machten. Dies kann als elaboriertes Vorgehen – insbesondere zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe nach lediglich 15 Unterrichtsstunden zur Bruchrechnung – verstanden werden. Somit lassen die spezifischen Ergebnisse der vorliegenden Studie bezüglich Forschungsfrage (v) die curricularen Vorschläge zum Größenvergleich (vgl. Abschnitt 2.3.3) plausibel erscheinen, die auch von anderen Gruppen vertreten werden (Clarke & Roche, 2009; Obersteiner et al., 2013). Weiter zeigten Schülerinnen und Schüler, die eigenschaftsbasierte Strategien zumindest in einer der beiden Aufgaben nutzten, dann signifikant bessere Ergebnisse in anderen Größenvergleichsaufgaben, wenn die zu vergleichenden Brüche zum Teil ikonisch repräsentiert waren – und das unabhängig davon, welcher Interventionsgruppe sie zugeteilt wurden. Dieses Ergebnis kann als Indiz dafür gesehen werden, dass ein flexibler Umgang mit unterschiedlichen Vergleichsstrategien einen positiven Einfluss auf die Lösung von Größenvergleichsaufgaben im Allgemeinen haben kann. Eine Konzentration des Unterrichts auf rein regelbasierte Strategien, wie das Bringen der Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, erscheint unter dem Gesichtspunkt dieser Ergebnisse nicht ausreichend für die Ausbildung eines elaborierten Bruchzahlbegriffs – auch wenn diese Strategie stets anwendbar ist. An dieser Stelle ist jedoch zu erwähnen, dass sich dieses Ergebnis konträr zu den Resultaten einer ähnlichen bisherigen Studie verhält. So konnten Geller, Son und Stigler (2017) für Studierende der Psychologie zeigen, dass diese insbesondere dann mehr Aufgaben korrekt lösten, wenn sie auf regelbasierte Strategien und nicht auf eigenschaftsbasierte Strategien zurück griffen. Die Ergebnisse erscheinen jedoch aus mehreren Gründen nicht vollends vergleichbar mit denen der vorliegenden Arbeit. Zum einen codierten Geller et al. (2017) die Wahl der Strategie sowohl in den korrekt gelösten Aufgaben als auch in den inkorrekt gelösten Aufgaben – eine methodische Entscheidung, die zweifelsohne zu weitreichend unterschiedlichen Ergebnissen wie die der vorliegenden Arbeit führen kann. Zum anderen untersuchten die Autorinnen und Autoren den Zusammenhang zwischen der Wahl der Strategie sowie der Lösungsrate in ein und denselben Aufgaben, während in der vorliegenden Arbeit der Blick auf die Ergebnisse in anderen Größenvergleichsaufgaben gerichtet wurde. Zudem kann die Unterteilung der von Geller et al. (2017) untersuchten 55 Studierenden in vier unterschiedliche Gruppen als statistisch eher fragwürdig erscheinen, wodurch Abhängigkeiten von der konkreten Stichprobe nicht auszuschließen sind. Der Altersunterschied zwischen den untersuchten Studierenden sowie den in dieser Arbeit betrachteten Sechstklässlerinnen und Sechstklässler kann ein weiterer Grund für die unterschiedlichen Ergebnisse sein. Zudem kann die untersuchte Itemzahl in beiden Studien als eher gering bezeichnet werden. Aus testökonomischen Gründen erscheint das in dieser Arbeit verwendete Format der Freitextantworten jedoch mit einer erheblich größeren Itemzahl nicht vertretbar, sodass über weitere methodische Realisierungen nachgedacht werden sollte.

284

8 Diskussion und Fazit

Zu Forschungsfrage (vi): Einfluss multimedialer und digitaler Lernumgebungen auf tendenziell leistungsstärkere sowie eher leistungsschwächere Lernende

Die Beantwortung von Forschungsfrage (vi) kann als Quintessenz der vorliegenden Arbeit und als ihr Beitrag zur Grundlagenforschung in der Mathematikdidaktik verstanden werden. Das Design der durchgeführten Studie ermöglicht nicht nur eine Unterscheidung zwischen Effekten des Materials und des Einsatzes des iPads, sondern insbesondere auch eine Beantwortung der Frage, ob tendenziell leistungsstärkere oder eher leistungsschwächere Lernende vom Einsatz digitaler Medien im Mathematikunterricht – konkret dem Bruchrechenunterricht zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe – stärker profitieren können3 . Aus fachdidaktischer Sicht erscheinen hier initial keine begründeten Vermutungen möglich. Vor dem Hintergrund der in Kapitel 3 dargestellten instruktionspsychologischen Theorien können Erwartungen sowohl in die eine als auch in die andere Richtung formuliert werden. Nimmt man einen kumulativen Effekt kognitiver Entlastung durch die Umsetzung des Materials in interaktiver Form auf Tablet-PCs an (vgl. Kapitel 4), so kann vermutet werden, dass gerade leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler durch digitale Medien profitieren können. Auf der Basis eines Expertise Reversal-Effekts könnte auch angenommen werden, dass sich die interaktive Darbietung auf einem Tablet-PC für leistungsstärkere Gymnasiastinnen und Gymnasiasten sogar lernhemmend erweisen kann (vgl. Abschnitt 3.2.2.6). Auf der anderen Seite könnte angenommen werden, dass sich der in das Feedback-System des iBooks integrierte beständige angeleitete Wechsel zwischen verschiedenen Repräsentationen von Brüchen bei leistungsstärkeren Schülerinnen und Schülern lernförderlich im Sinne eines Variability-Effekts erweisen kann und im Gegensatz dazu bei leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern zu zusätzlicher irrelevanter kognitiver Belastung führen kann (vgl. Abschnitt 3.2.2.12). Demnach könnte erwartet werden, dass sich der Einsatz von Tablet-PCs am Gymnasium positiver als an der Mittelschule erweist. Auf der Basis dieser weitreichend unterschiedlichen und dennoch allgemein plausiblen Annahmen erscheint eine explorative Untersuchung der beiden Schülergruppen gewinnbringend. Insbesondere zeigten sich in dieser Studie die bereits in der Beantwortung der vorhergehenden Forschungsfragen dargestellten weitreichenden Unterschiede in der Wirksamkeit des Materials sowie des Mediums für Lernende unterschiedlicher Schularten4 . Am Gymnasium erscheint eine fachdidaktische Aufbereitung der Inhalte vor dem Hintergrund bisheriger Forschungsarbeiten zur Bruchrechnung in Verbindung mit einer instruktionspsychologisch motivierten Gestaltung als multimediales Unterrichtswerk bereits ausreichend, um zu einer Leistungssteigerung bezogen auf Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen im Regelunterricht beizutragen. Beide Experimentalgruppen erzielten bessere Ergebnisse als die Kontrollgruppe, wenn der Blick auf die Skala Visualisierungen gerichtet wird. 3 Die Diskussion zu Forschungsfrage (vi) wurde in deutlich eingeschränkter Form bereits als Konferenzbeitrag

publiziert (Reinhold et al., in Druck).

4 Die hier dargestellten möglichen Gründe für die Ergebnisse der Interventionsstudie am Gymnasium wurden

bereits in Form eines englischsprachigen Konferenzbeitrags publiziert (Reinhold et al., 2017b). Unter anderem motivierten diese Ergebnisse sowie die Diskussion in der internationalen Fachöffentlichkeit die Durchführung der Studie an Mittelschulen.

8.2 Zusammenfassung und Interpretation der Ergebnisse

285

Ein zusätzlicher Effekt durch den Einsatz des iPads als digitales Unterrichtsmedium – hier konkret in Form passender Gesten im Sinne einer Embodied Cognition-Theorie, adaptiver Aufgabenschwierigkeit sowie individuellem erklärendem Feedback – konnte für die Schülergruppe am Gymnasium jedoch nicht festgestellt werden. Dies kann etwa dahingehend interpretiert werden, dass die Annahme einer zusätzlichen kognitive Entlastung durch den Einsatz digitaler Medien entweder verworfen werden sollte, oder für die Schülerinnen und Schüler am Gymnasium nicht notwendig ist. Gerade der letzte Punkt erscheint im Sinne der Cognitive Load-Theorie plausibel: Zum einen können die Gymnasiastinnen und Gymnasiasten als tendenziell leistungsstärker bezeichnet werden, sodass eine kognitive Entlastung durch multimediale Inhalte bereits zu Lernerfolgen führen könnte. Zum anderen lassen die Ergebnisse an der Mittelschule vermuten, dass dieser zusätzliche Effekt sehr wohl existiert – allerdings eher für eine tendenziell leistungsschwächere Schülergruppe. Dies erscheint auch vor dem Hintergrund der in Kapitel 1 aufgeführten Theorie der kognitiven Entwicklung nach Piaget (vgl. Abschnitt 1.1; siehe auch Piaget und Inhelder, 1967/2004) plausibel: So könnten leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler noch vermehrt auf konkrete und real erfahrbare Aktivitäten angewiesen sein, um ein Verständnis für abstrakte mathematische Begriffe entwickeln zu können. Hinweise dafür liefern etwa exemplarisch dargestellte Antworten von Schülerinnen und Schülern der Mittelschule, in denen zur Lösung arithmetischer Aufgaben auf konkrete ikonische Darstellungen zurückgegriffen wurde (vgl. Abbildung 7.5, S. 245 sowie Abbildung 7.15, S. 271). Diese Interpretation im Sinne der Theorie Piagets könnte erklären, warum insbesondere leistungsschwächere Lernende von Hands-On-Aktivitäten auf Tablet-PCs profitierten. Weiter könnte es sein, dass die leistungsstärkeren Schülerinnen und Schüler beim Arbeiten mit der entwickelten Lernumgebung dazu in der Lage sind, kognitive Ressourcen dafür zu erübrigen, sich Visualisierungen – etwa die stetige Veränderung einer ikonischen Darstellung einer Bruchzahl – im Sinne eines Imagination-Effekts mental vorzustellen, auch ohne diese interaktiven Inhalte konkret betrachten zu müssen (vgl. Abschnitt 3.2.2.8). Dies könnte erklären, dass eine interaktive Darbietung auf Tablet-PCs zum weitgehend gleichen Lernergebnis führte, wie eine multimediale Darbietung in gedruckter Form als Arbeitsbuch. Die Ergebnisse am Gymnasium erscheinen darüber hinaus auch im Kontext bisheriger Forschungsarbeiten passend. So berichten etwa auch Sander und Heiß (2014), dass sich insbesondere die Interaktivität einer Lernumgebung zum Erlernen der trigonometrischen Beziehungen am rechtwinkligen Dreieck nicht als ausschlaggebender Faktor für einen besseren Lernerfolg erweist. Weiter zeigten sich in einer Studie mit vornehmlich Elftklässlerinnen und Elftklässlern im Fachbereich Chemie, dass sich der positive Effekt digitaler Medien lediglich auf die Entwicklung des Umgangs mit Visualisierungen beschränkt und sich formale Fähigkeiten eher nicht gezielt fördern lassen (Stieff, 2011). Ein ähnliches Ergebnis konnte in der vorliegenden Studie zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffs für die leistungsstarke Schülergruppe am Gymnasium gefunden werden. Insbesondere lassen die Ergebnisse vermuten, dass alleine eine fachdidaktische Aufbereitung der Inhalte der Bruchrechnung für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler nicht grundsätzlich zu einer Leistungssteigerung beitragen kann. So zeigten sich keine Un-

286

8 Diskussion und Fazit

terschiede zwischen der Arbeitsbuchgruppe und der Kontrollgruppe in den Auswertungen der Mittelschule. Erst die interaktive Bearbeitung und die Umsetzung der Lernumgebung als iBook auf iPads führte zu einer messbaren Verbesserung der Leistungen nach der fünfzehnstündigen Intervention – im Vergleich zu traditionell unterrichteten Kindern. Dies erscheint auch passend zu drei Studien von Beal, Arroyo, Cohen und Woolf (2010), in welchen ausschließlich die leistungsschwächeren Sechstklässlerinnen und Sechstklässler durch den Einsatz eines Tutorensystems – also insbesondere durch eine adaptive Aufgabenschwierigkeit sowie sofortiges und erklärendes Feedback – für die Bruchrechnung profitierten. Auch in diesen Studien zeigten sich bei der leistungsstärkeren Schülergruppe keine positiven Effekte durch den Einsatz eines Tutorensystems. Weiter kann festgehalten werden, dass positive Effekte durch den Einsatz digitaler Medien auf der Basis weitgehend akzeptierter psychologischer Theorien zwar erwartet werden können, empirische Belege dafür jedoch nicht zwingend grundsätzlich zu erwarten sind. So zeigt sich etwa in der Metaanalyse von Hillmayr et al. (eingereicht) zur Wirksamkeit digitaler Medien im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht der Sekundarstufe, dass in kontrollierten Interventionsstudien mit Pretest, Posttest und einer Kontrollgruppe vornehmlich positive Effekte, aber vereinzelt durchaus auch keine signifikante Leistungssteigerung oder in seltenen Fällen sogar schlechtere Leistungen der mit interaktiven Unterrichtsmedien unterrichteten Schülerinnen und Schülern berichtet werden. So konnten konkret Perry und Steck (2015) in ihrer Studie mit 110 Schülerinnen und Schülern einen negativen Effekt des Einsatzes von iPads im Regelunterricht Mathematik gegenüber traditionell unterrichteten Lernenden im Fachgebiet Geometrie feststellen. Hierbei ist anzumerken, dass in der zitierten Studie die Lehrkraft der Interventionsgruppe motiviert wurde, verschiedene – als geeignet für die Unterstützung konzeptueller Vorstellungen abstrakter geometrischer Begriffe interpretierte – Apps zu verwenden, wohingegen in der hier vorliegenden Arbeit ein eigenes digitales Schulbuch vor dem Hintergrund fachdidaktischer und psychologischer Erkenntnisse zum Bruchzahlbegriff sowie zum Lernen mit multimedialen Lernumgebungen entwickelt wurde. Dementsprechend erscheinen die Ergebnisse nur bedingt vergleichbar. Darüber hinaus stellten etwa Pane, McCaffrey, Slaughter, Steele und Ikemoto (2010) in ihrer langzeitlichen Untersuchung von insgesamt knapp 700 Schülerinnen und Schülern über drei Jahre hinweg fest, dass sich das von ihnen entwickelte Tutorensystem zum Erwerb von Kenntnissen aus dem Bereich der Geometrie geringfügig nachteilig im Vergleich zum traditionellem Unterricht auswirkte. Dies kann unter anderem Fragen eröffnen, ob der in dieser Arbeit kurzfristig festgestellte Effekt in langzeitlichen Untersuchungen bestehen bleibt, verschwindet oder sich sogar ins Gegenteil umkehrt, wenn im Regelunterricht wieder ohne digitale Medien unterrichtet wird. Abschließend können die unterschiedlichen Ergebnisse an Gymnasien und Mittelschulen auf der Basis der in dieser Arbeit dargestellten mathematikdidaktischen und psychologischen Theorien folgendermaßen interpretiert werden: Sowohl tendenziell leistungsstarke als auch eher leistungsschwache Schülerinnen und Schüler könnten im Anfangsunterricht der Bruchrechnung von Wechseln zwischen verschiedenen Darstellungen – sowohl zwischen unterschiedlichen ikonischen Darstellungen als auch zwischen ikonischen und symboli-

8.3 Kritische Diskussion der durchgeführten Studie

287

schen Repräsentationen – profitieren, was vor dem Hintergrund bisheriger fachdidaktischer Erkenntnisse auch erwartet werden konnte. Die konsequente Einbeziehung anschaulicher Aspekte in den Regelunterricht zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe kann die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs unterstützen. Dies kann etwa durch die Verwendung geeigneter ikonischer Darstellungen im Sinne multimedialer Lernumgebungen in gedruckter, papierbasierter Form oder als interaktive und digitale Lernumgebungen realisiert werden. Dabei bieten interaktive Schulbücher – etwa als iBooks auf iPads – zusätzlich die Möglichkeit, diese anschaulichen Darstellungen interaktiv zu gestalten, bei der Interaktion mit der Lernumgebung auf passende Gesten zurückzugreifen, den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben adaptiv anzupassen und Schülerinnen und Schülern nach der Bearbeitung einzelner Aufgaben eine auf ihre Antwort individuell angepasste erklärende Rückmeldung zu geben. Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler erscheint es jedoch ausreichend, Inhalte multimedial aufzubereiten und anschließend bildhaft und in gedruckter Form zu präsentieren – vorausgesetzt die entwickelte Lernumgebung genügt gängigen instruktionspsychologischen Gestaltungsstandards. Ein zusätzlicher Mehrwert – bezogen auf eine Leistungssteigerung – lässt sich aus den Ergebnissen der durchgeführten Studie für diese leistungsstarke Schülergruppe nicht ableiten, wofür mögliche Erklärungsansätze bereits ausführlich dargestellt wurden. Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler erscheint eine soeben dargestellte interaktive Aufbereitung dieser anschaulichen Materialien unter Rückgriff auf digitale Medien – etwa das iPad – nicht nur gewinnbringend, sondern auch notwendig um den potentiellen Mehrwert von Visualisierungen im Regelunterricht der sechsten Jahrgangsstufe messbar erfassen zu können. Grund dafür könnte eine zusätzliche kognitive Entlastung der Lernenden durch die Verwendung digitaler Medien sein (vgl. Kapitel 4). Insbesondere ist bemerkenswert, dass eine fachdidaktische Aufbereitung der Inhalte – in Verbindung mit einer aus instruktionspsychologischer Sicht geeigneten Präsentation in Form eines gedruckten Arbeitsbuches – alleine nicht zu einer signifikanten Verbesserung der Leistung dieser leistungsschwächeren Schülergruppe führte. Erst die Verwendung von iPads ließ in der vorliegenden Studie zum Bruchzahlbegriff die positiven Effekte für Mittelschülerinnen und Mittelschüler erkennen.

8.3 Kritische Diskussion der durchgeführten Studie Dieser Abschnitt befasst sich mit einer krischen Auseinandersetzung der durchgeführten Studie, die für eine Interpretation der Ergebnisse und sich ergebende Implikationen für Unterricht und Forschung beachtet werden sollten. Zunächst werden die entwickelten Erhebungsinstrumente auf der Basis gängiger Gütekriterien bewertet. Anschließend wird das methodische Vorgehen der Studie diskutiert und auf Vorteile aber auch Einschränkungen hingewiesen.

288

8 Diskussion und Fazit

8.3.1 Güte der entwickelten Erhebungsinstrumente Zur Quantifizierung der Treatment-Effekte wurden für die durchgeführte Studie zwei unterschiedliche Erhebungsinstrumente konstruiert (vgl. Abschnitt 6.3). Dabei sollte der Pretest anschauliche Vorerfahrungen zum Bruchzahlbegriff – angelehnt an Padberg (2002a) – geeignet erfassen, die sich als prädiktiv für den individuellen Erfolg des Regelunterrichts zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe erweisen sollten. Weiter sollte der Posttest die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs sowohl allgemein, als auch auf drei unterschiedlichen Ebenen – den Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen, arithmetischen Fähigkeiten sowie Fähigkeiten geeignete Strategien zu erläutern – erfassen. Diese Ziele erscheinen auf der Basis der empirisch gewonnenen Daten weitgehend gut bis sehr gut erfüllt, wobei sich der Pretest an Mittelschulen jedoch als eher ungeeignetes Maß für die Erfassung eines prädiktiven Vorwissens gezeigt hat, was im Folgenden nochmals zusammengefasst wird. Zur Objektivität der Testinstrumente

Um eine objektive Auswertung beider Testinstrumente zu gewährleisten, wurden standardisierte Codiermanuale entwickelt und vor der Durchführung der Studie auf der Basis geeigneter Stichproben pilotiert (vgl. Abschnitt 6.4.2). Aufgrund dieser Pilotierungen wurden die Testhefte marginal verändert und die Codiermanuale zum Zweck einer objektiveren und ökonomischeren Auswertung optimiert. Die Testhefte der insgesamt über 1000 Schülerinnen und Schüler, die an den Erhebungen teilgenommen haben, wurden vollständig von jeweils zwei unabhängigen Personen ausgewertet. Die Interrater-Reliabilitäten bewegen sich sowohl für die Bewertung der Lösung einzelner Items (berechnet wurden ICCs) als auch für die Kategorisierung der Strategien in einzelnen Items (berechnet wurde Cohens Kappa) in beiden Erhebungsinstrumenten und an beiden untersuchten Schularten im gut bis sehr gut akzeptablen Bereich (vgl. Abschnitt 6.5). Dies erscheint vor allem vor dem Hintergrund bemerkenswert, dass sich die Ergebnisse der Schülerinnen und Schüler am Gymnasium eher im oberen Bereich der Skala, die Resultate der Lernenden an der Mittelschule eher im unteren Bereich der Skala befanden, sodass durchaus unterschiedliche Übereinstimmungskoeffizienten zwischen unabhängigen Beobachtern erwartet werden könnten. Insgesamt können die beiden Erhebungsinstrumente daher als objektive Tests bewertet werden. Zur Reliabilität der Testinstrumente

Zur Bewertung der Reliabilität der beiden entwickelten Erhebungsinstrumente wurde auf unterschiedliche Verfahren, zum Teil auch in Kombination, zurückgegriffen. Zunächst erscheint eine Quantifizierung der Reliabilität der Skalen mittels Cronbachs Alpha für die Testinstrumente eher ungeeignet: Bereits bei der Konzeption wurde darauf geachtet, dass einzelne Items zum einen auf ikonische zum anderen auf symbolische Darstellungen von Brüchen fokussieren und zudem unterschiedliche Konzepte von Bruchzahlen zur Lösung der Aufgaben notwendig sind. Daher wurde angenommen, dass es sich bei den Items des Pretests sowie den Items des Posttests um kongenerische Items handelt, die das zu messende

8.3 Kritische Diskussion der durchgeführten Studie

289

Konstrukt in unterschiedlicher Ausprägung abbilden. Insbesondere erschien daher bereits bei der Entwicklung der Items die Voraussetzung essentieller τ-Äquivalenz verletzt, die eine statistische Voraussetzung für die Verlässlichkeit von α-Werten darstellt – wobei sich Cronbachs Alpha als weitgehend nicht resistent gegenüber Verletzungen dieser Annahme verhält (z. B. McNeish, 2017). Daher wurde als Reliabilitätsmaß auf McDonalds Omega zurückgegriffen, das ein geeignetes Maß für mehrdimensionale Erhebungsinstrumente darstellt (z. B. T. J. Dunn et al., 2013; siehe auch Abschnitt 6.6.1). Es ergaben sich gut akzeptable Werte sowohl für den Pretest als auch für den Posttest (vgl. Abschnitt 7.1). Auf Skalenebene erscheinen die Skalen Arithmetik und Visualisierungen für eine quantitative Auswertung eines Schulleistungstests geeignet. Um weiter die Annahme kongenerische Items zu bestätigen sowie die Reliabilität der drei Skalen des Posttests zu überprüfen wurde eine konfirmatorische Faktorenanalyse des dreifaktoriellen Modells des Posttests durchgeführt (vgl. Abschnitt 7.1.2.1). Die empirisch gewonnenen standardisierten Faktorladungen sprechen dabei für die Annahme kongenerischer Items. Weiter wies das dreifaktorielle Modell einen besseren Fit zu den empirisch gewonnenen Daten auf als das einfaktorielle Modell. Dies lässt den Schluss zu, dass die Ergebnisse der beiden Erhebungsinstrumente sowie der beiden Skalen Visualisierungen und Arithmetik des Posttests verlässlich interpretiert werden können. Zur Validität der Testinstrumente

Der Pretest wurde auf der Basis eines bestehenden Tests zu anschaulichen Vorerfahrungen zum Bruchzahlbegriff (Padberg, 2002a) vor einer Betrachtung im Mathematikunterricht der frühen Sekundarstufe entwickelt. Ziel bei der Entwicklung war die Erfassung von Vorwissen, das sich prädiktiv für den individuellen Erfolg der Intervention erweisen sollte, um als Kovariate in varianzanalytischen Auswertungen für mögliche individuelle Vorwissensunterschiede zu kontrollieren. Dabei zeigte sich im Vergleich der beiden Schularten eine starke Korrelation der Ergebnisse im Pretest mit den Ergebnissen im Posttest sowie hinreichend parallele Steigungen der Regressionsgeraden für beide Schularten, sodass von einer angemessenen Fehlervarianzreduktion in der Auswertung ausgegangen wird (vgl. Abschnitt 7.2.1). Der Pretest kann daher für den Vergleich von Gymnasiastinnen und Gymnasiasten mit Mittelschülerinnen und Mittelschülern als valides Maß für das Vorwissen vor der fünfzehnstündigen Intervention bezeichnet werden. Mit Blick auf eine Quantifizierung der Effekte der Treatments an Gymnasien wurden in der vorliegenden Studie drei Interventionsgruppen unterschieden. Insgesamt ergab sich am Gymnasium eine starke Korrelation zwischen den Ergebnisse im Pretest und im Posttest sowie nahezu parallele Regressionsgeraden für die drei Gruppen, sodass auch für die leistungsstärkere Schülergruppe der Pretest ein weitgehend valides Maß für ein Vorwissen zum Bruchzahlbegriff – welches den Erfolg der Intervention für Lernende individuell beeinflussen kann – darstellt (vgl. Abschnitt 7.2.2). Dies bestätigte sich jedoch für die tendenziell leistungsschwächere Schülergruppe an Mittelschulen nicht (vgl. Abschnitt 7.2.3). Ergebnisse zwischen Pretest und Posttest korrelieren hier nur schwach positiv. Insbesondere ergaben sich starke Bodeneffekte im Pretest (vgl. Abbildung A.2, Anhang A.6). Zudem zeigten sich unterschiedlich gerichtete

290

8 Diskussion und Fazit

Regressionsgeraden im Vergleich der drei Interventionsgruppen, die sich insbesondere nicht fachdidaktisch erklären lassen. Vielmehr erscheint es plausibel, dass diese Ergebnisse der Tatsache geschuldet sind, dass in einzelnen Klassen der Arbeitsbuchgruppe der Test von weitgehend allen Schülerinnen und Schülern leer abgegeben wurde (vgl. Abbildung A.10, Anhang A.7). Somit stellt der Pretest – basierend auf den empirisch gewonnenen Ergebnissen – kein valides Maß für das Vorwissen zum Bruchzahlbegriff für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler dar, was auch der Tatsache der allgemein sehr niedrigen Lösungsraten der Mittelschülerinnen und Mittelschüler geschuldet sein könnte. Da eine gewinnbringende Fehlervarianzreduktion durch die Berücksichtigung der Pretest-Scores als Kovariate für die Schülergruppe an der Mittelschule daher nicht zu erwarten war, wurde auf diese statistische Korrektur verzichtet. Dies sollte bei der Betrachtung der Ergebnisse berücksichtigt werden. Grundlage für die Entwicklung des Posttests stellten die in Kapitel 2 vorgeschlagenen Konzepte von Bruchzahlen Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen und Größenvergleich dar. Im Zuge einer Evaluation des Regelunterrichts wurde der Test als curriculumnaher Schulleistungstest entworfen (vgl. Abschnitt 6.3.2). Insbesondere sollten Aufgaben der drei Skalen Visualisierungen, Arithmetik und Erklären dementsprechend auf die Kompetenzen Mathematische Darstellungen Verwenden, Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen und Kommunizieren der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren Schulabschluss (KMK, 2003) fokussieren. Jedes Item kann damit theoretisch genau einer der drei Skalen sowie einem der drei Konzepte zugewiesen werden (vgl. Tabelle 6.7, S. 207). Die sich in dieser Art und Weise ergebene theoretisch gestützte Zuteilung der Items wurde empirisch mit Hilfe zweier konfirmatorischer Faktorenanalysen überprüft. Dabei wurden in dreifaktoriellen Modellen jeweils die Items der Skalen Visualisierungen und Arithmetik den theoretisch zugrunde liegenden Konzepten zugewiesen. Sowohl für die Skala Visualisierungen (vgl. Abschnitt 7.1.2.2) als auch für die Skala Arithmetik (vgl. Abschnitt 7.1.2.3) ergaben sich dadurch bessere Fits zu den empirischen Daten, als mit einfaktoriellen Modellen. Die empirischen Daten erscheinen also passend zu den inhaltlich fachdidaktisch motivierten a priori Zuteilungen der Items. Ein Vergleich dieser Inhalte mit den Curricula der beiden untersuchten Schularten (vgl. Tabelle 6.5, S. 201) unterstreicht, dass der Posttest ein valides Erhebungsinstrument für die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs im Regelunterricht zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe darstellen kann.

8.3.2 Reflexion des methodischen Vorgehens der Studie Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde eine quasi-experimentelle Studie mit einem zugrunde liegenden konstruktiven Forschungsansatz durchgeführt. Dabei wurden insgesamt 1108 Schülerinnen und Schüler zweier Schularten klassenweise drei Interventionsgruppen zugeteilt. Lernende der iPad-Gruppe arbeiteten im Regelunterricht mit einer im Forschungsprojekt ALICE:Bruchrechnen gemeinsam entwickelten digitalen Lernumgebung auf iPads und Schülerinnen und Schüler der Arbeitsbuchgruppe nutzten eine papierbasierte Variante

8.3 Kritische Diskussion der durchgeführten Studie

291

der Lernumgebung mit weitgehend identischen Inhalten. Weiter wurden Kinder der Kontrollgruppe im Gegensatz zu Schülerinnen und Schülern der beiden Experimentalgruppen mit traditionellen Schulbüchern und Materialien unterrichtet. Zur Quantifizierung von Effekten, die einer Beantwortung der Forschungsfragen dienen sollten, wurden ein Pretest vor und ein Posttest nach einer fünfzehnstündigen Intervention durchgeführt. Durch dieses Forschungsdesign sowie die konkrete Durchführung und Umsetzung der Studie ergeben sich spezifische Vor- und Nachteile, die exemplarisch im Folgenden kritisch dargestellt werden. Zum konstruktiven Forschungsansatz

Ein konstruktiver Forschungsansatz im Sinne eines in Tabelle 6.1 (S. 178) zusammengefassten gestuften Treatments ermöglicht zwar prinzipiell eine getrennte Betrachtung der Effekte durch das Material und das Medium (vgl. Abschnitt 6.1), jedoch lässt sich damit kein isolierter Haupteffekt des Einsatzes digitaler Unterrichtsmedien ableiten. Der an der Mittelschule festgestellte positive Effekt interaktiver Unterrichtsmedien ist damit nur in Verbindung mit geeignetem fachdidaktisch konzipierten und instruktionspsychologisch aufbereitetem Material zu verstehen und nicht als genereller positiver Einfluss des Einsatzes von TabletPCs im Allgemeinen oder iPads im Speziellen zu interpretieren. Aus fachdidaktischer Sicht erscheint die Frage nach der Wirksamkeit digitaler Medien im Regelunterricht jedoch erst in Verbindung mit geeigneten Inhalten überhaupt relevant. Zudem ist vor dem Hintergrund bisheriger Studien zu erwarten, dass ein prinzipieller Einsatz digitaler Medien ohne Blick auf geeignete Inhalte für diesen Einsatz sich eher nicht leistungsförderlich auswirken kann (z. B. Perry & Steck, 2015). Somit kann der konstruktive Forschungsansatz im Zusammenhang mit Implikationen für die Mathematikdidaktik nicht nur als Einschränkung verstanden werden, sondern vielmehr als spezifische Entscheidung für eine inhaltsbezogene Forschung aus einer für die Mathematikdidaktik relevanten Perspektive. Weiter erscheint eine getrennte Betrachtung zwischen dem Einfluss eines aufbereiteten Unterrichtsmaterials und einem damit in Verbindung stehenden Einsatzes digitaler Medien zur Beantwortung der spezifischen Forschungsfragen notwendig. Gerade die unterschiedlichen Ergebnisse an Gymnasien und Mittelschulen können als Rechtfertigung für weitere Forschung mit drei statt den üblichen zwei Gruppen gesehen werden: Ein traditioneller Ansatz mit einer iPad-Gruppe und einer Kontrollgruppe, die ohne digitale Medien unterrichtet worden wäre, hätte in der vorliegenden Arbeit zu weitgehend identischen Ergebnissen für Schülerinnen und Schüler des Gymnasiums und der Mittelschule geführt. Erst die zusätzliche Berücksichtigung einer Arbeitsbuchgruppe zur Kontrolle von Effekten durch das aufbereitete Material ermöglichte die Wahrnehmung spezifischer Wirkmechanismen für leistungsstärkere und leistungsschwächere Lernende. Analoge Ergebnisse konnten etwa auch Sander und Heiß (2014) für die Trigonometrie zeigen. Dennoch ist bisher selbst in hochwertigen Studien im Pre-Post-Kontrollgruppendesign zur Wirksamkeit digitaler Medien hauptsächlich der Vergleich mit einer Kontrollgruppe üblich (Hillmayr et al., eingereicht).

292

8 Diskussion und Fazit

Zur Auswahl der Stichprobe und dem quasi-experimentellen Design

Kritisch angemerkt werden kann die Konzentration der Studie auf Schülerinnen und Schüler im Großraum München, die zu verzerrten Effekten führen könnte. Demgegenüber steht jedoch die Tatsache, dass der Blick nicht nur auf Lernende am Gymnasium, sondern auch an der Mittelschule gerichtet wurde, was in Verbindung mit den tendenziell großen Stichproben zu einer umfassenden Betrachtung sehr leistungsheterogener Schülerinnen und Schüler führte. Die Ergebnisse der Schulleistungstests zu Beginn und am Ende der Intervention bestätigen dieses Bild weitgehend. Zudem kann aufgeführt werden, dass in einem quasi-experimentellen Design Schülerinnen und Schüler nicht zufällig einer der drei Interventionsgruppen zugeteilt werden, sondern eine Vorauswahl durch die Zusammensetzung der Klassen getroffen wird, was zu Klasseneffekten führen könnte. Dem kann entgegnet werden, dass die Interventionsgruppen jeweils mindestens vier, zumeist sechs Schulklassen beinhaltet haben, sodass etwaige Klasseneffekte zwar denkbar sind, jedoch durchaus erwartet werden kann, dass diese die Ergebnisse nicht weitreichend verzerren würden. Zum anderen erscheint eine Untersuchung des Einsatzes digitaler Medien im Regelunterricht – ein vorrangiges Ziel der durchgeführten Studie – nur in Verbindung mit realen Schulklassen objektiv möglich. Ein Punkt, auf den an dieser Stelle erneut hingewiesen wird, ist der marginal unterschiedliche Beschulungszeitpunkt der Klassen der iPad-Gruppe. Aus ökonomischen Gründen wurden die knapp 100 iPads, die zur Durchführung der Studie zur Verfügung standen, sowohl am Gymnasium als auch an der Mittelschule zunächst für die Dauer der Intervention an drei Klassen und erst im Anschluss daran an drei weitere Klassen ausgehändigt. Die Lehrkräfte der iPad-Klassen der jeweils zweiten Phase erklärten sich bereit, in der Zeit von Schuljahresbeginn bis zum Erhalt der Geräte – ein Zeitraum von fünfzehn Unterrichtsstunden – in ihrem Mathematikunterricht keine Inhalte der Bruchrechnung zu vermitteln. Dennoch könnte dieses methodische Vorgehen zu möglichen Unterschieden zwischen den Klassen führen. Aufgrund der begrenzten Anzahl der Geräte wäre alternativ nur eine Durchführung mit halber Stichprobengröße denkbar gewesen. Hier wurde die Wahl zu Gunsten einer größeren Stichprobe getroffen. Zur Schulung der Lehrkräfte sowie der Lernenden

Eine vorhergehende Schulung der Lehrkräfte, die während einer Intervention mit digitalen Medien arbeiten sollen, kann die Wirksamkeit des Unterrichts erhöhen (Hillmayr et al., eingereicht). Im Zuge der hier berichteten Studie wurden 90-minütige Lehrertrainings für die Lehrkräfte aller Interventionsgruppen gemeinsam durchgeführt. Dabei lag das Hauptaugenmerk auf der Darstellung der Rahmenbedingungen für den durchzuführenden Unterricht sowie den Zielen der Studie (vgl. Abschnitt 6.4.3.2). An dieser Schulung nahmen zwar alle Lehrkräfte der Mittelschule, aber nicht alle Gymnasiallehrerinnen und Gymnasiallehrer teil. Zudem erhielten alle Lehrkräfte eine mehrseitige Handreichung zur Durchführung der Intervention in ihren Klassen. Jedoch zeigte sich, dass die klar formulierten objektiven Rahmenbedingungen nicht von allen Lehrkräften adäquat umgesetzt wurden. So konnten

8.3 Kritische Diskussion der durchgeführten Studie

293

zahlreiche Klassen für die Auswertung auf Grund von Abweichungen von der vorgegebenen Unterrichtszeit nicht berücksichtigt werden. An dieser Stelle könnte nun angemerkt werden, dass dieser Umstand nicht für ein generelles Gelingen der Schulung spräche und damit auch eine Realisierung des Treatments in den Klassen nicht grundsätzlich angenommen werden könnte. Hier wird davon ausgegangen, dass diejenigen Lehrkräfte, die sich an die zeitlichen Rahmenbedingungen gehalten haben, auch den Unterricht im Sinne der konzipierten Studie durchgeführt haben. Weiter erscheint zur Analyse des Regelunterrichts mit einer eher großen Stichprobe gerade eine vollständig standardisierte Durchführung einzelner Unterrichtsstunden nicht zwingend notwendig. Vielmehr zielte die Studie auf mögliche Effekte in realen Unterrichtssituationen, sodass von einer zusätzlichen Standardisierung – etwa durch geskripteten Unterricht oder Videographie der Unterrichtsstunden – explizit abgesehen wurde. Darüber hinaus wurden standardisierte Interviews mit den Lehrkräften nach der Intervention durchgeführt, in denen die Lehrerinnen und Lehrer angaben, sich an die Vorgaben der Handreichung gehalten zu haben5 . Zusätzliche können die während der Intervention gewonnenen Prozessdaten als Indiz dafür gewertet werden, dass der Unterricht in den iPad-Gruppen weitgehend wie vorgegeben durchgeführt wurde (Hoch, in Vorb.). Dennoch ist anzumerken, dass einige Lehrkräfte sowohl in den standardisierten Interviews als auch in halbstandardisierten Befragungen nach der Intervention angemerkt haben, dass der Unterricht mit iPads zwar unproblematisch zu gestalten, aber dennoch ungewohnt war. Dies kann für detailliertere Schulungen der Lehrkräfte vor der Teilnahme an Studien mit digitalen Medien sprechen, in denen etwa die zu verwendende Software explizit Gegenstand der Fortbildung ist. Zudem stellte der Unterricht im Zuge der Studie für alle Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppe den ersten Tableteinsatz im Fach Mathematik dar, bei dem sie über längere Zeiträume hinweg mit iPads arbeiten sollten. Hier könnte eine vorhergehende Anwenderschulung bewirken, dass die Lernenden die Funktionalität des iBooks in vollem Umfang eher erfassen, als im eigenständigen Arbeiten während des Mathematikunterrichts. Zwar zeigten sich in der Pilotierung der Lernumgebung keine offensichtlichen Probleme für Schülerinnen und Schüler der Zielgruppe, allerdings könnte eine solche Anwenderschulung vor der Durchführung des tatsächlichen Unterrichts vergleichbar einfach realisiert werden, sodass dies in ähnlichen Projekten in Betracht gezogen werden sollte. Zur Durchführung und Beobachtung des Unterrichts

Der im Zuge der Studie durchgeführte Unterricht wurde weitgehend von den Lehrkräften selbst konzipiert, entwickelt und ohne externe Beobachtung durchgeführt. Dazu standen den Lehrkräften der beiden Experimentalgruppen zwar eine verbindliche Reihenfolge der Inhalte sowie zu verwendende Kontexte zur Einführung neuer Begriffe zur Verfügung, jedoch oblag die tatsächliche Ausarbeitung der Stunden den unterrichtenden Lehrerinnen und Lehrern. Lernziele für die fünfzehnstündige Unterrichtssequenz, die abschließend im Posttest überprüft werden sollten, waren allen Lehrkräften der Studie bekannt und sie 5 Am Gymnasium wurden die Lehrkräfte der iPad-Gruppe interviewt, an der Mittelschule alle teilnehmenden

Lehrerinnen und Lehrer.

294

8 Diskussion und Fazit

wurden schriftlich über ihre Verbindlichkeit informiert. Hier könnte ein kleinschrittigeres und detailliertes Fassen der Unterrichtsstunden – etwa in Form konkreter Stundentranskripte – durchaus zu einer strengeren Parallelisierung des durchgeführten Unterrichts führen. Jedoch erscheint gerade ein solches Vorgehen eher ungeeignet zur Abbildung von Effekten auf den Regelunterricht: Da die Fragestellung der Arbeit explizit eine Wirksamkeit im realen Unterrichtsalltag an Gymnasien und Mittelschulen adressiert, erscheinen insbesondere Unterrichtsstunden interessant, in denen Lehrkräfte die Vorbereitung ihrer Mathematikstunden sowie die Integration digitaler Medien eigenständig konzipieren und durchführen. Vor dem Hintergrund des Alters der untersuchten Schülerinnen und Schüler wurde in dieser Studie darüber hinaus auf das Videographieren der Unterrichtssituationen verzichtet, um einen möglichst natürlichen Unterrichtsalltag in den Schulklassen abbilden zu können. Für andere Fragestellungen – etwa mit Blick auf Fragen bezüglich der ablaufenden Prozesse während des Unterrichts – kann eine derartige Parallelisierung des Unterrichts oder eine gezielte Beobachtung der Lehr-Lernsituationen jedoch gewinnbringend sein. Antworten hierzu können neben herkömmlichen Untersuchungsverfahren, wie etwa der Videographie oder der Transkription des Unterrichts durch Beobachterinnen und Beobachter, auch die in der iPad-Gruppe während des Unterrichts erhobenen Prozessdaten liefern, die damit insbesondere eine neue Perspektive für die empirische Unterrichtsforschung ermöglichen können (z. B. Hoch, Reinhold, Werner, Richter-Gebert & Reiss, 2018a).

Zur Durchführung der schriftlichen Tests

Es erscheint notwendig, an dieser Stelle erneut darauf hinzuweisen, dass aus organisatorischen Gründen bei der weitgehend zeitgleichen Durchführung des Posttests nach der vierten oder fünften Schulwoche in den 42 Klassen am Gymnasium6 auf die Hilfe der unterrichtenden Lehrkräfte zurückgegriffen werden musste. Die Objektivität der Durchführung der Tests wurde durch spezifische Leitfäden für die Erhebungen so gut als möglich gewahrt. Die Lehrkräfte wurden angewiesen, den Instruktionen wortgenau Beachtung zu schenken sowie die einleitenden Worte wortgetreu zu verlesen. Insbesondere erschienen Testleiterschulungen für die Lehrkräfte an Gymnasien nicht notwendig, da diese über Erfahrung mit standardisierten Schulleistungstests verfügen7 . Von einer objektiven Testung wird daher ausgegangen. 6 Insgesamt haben 45 Schulklassen an Gymnasien den Posttest geschrieben. Wie bereits dargestellt haben

drei Klassen die Intervention als iPad-Klassen erst nach den restlichen 42 Schulklassen durchgeführt, sodass diese nicht zeitgleich getestet werden mussten. 7 An bayerischen Gymnasien wird im Fach Mathematik neben der standardisierten Abiturprüfung am Ende der zwölften Jahrgangsstufe auch in der achten und zehnten Jahrgangsstufe der Bayerische Mathematiktest (BMT) durchgeführt, bei dem ähnliche Instruktionsmanuale verwendet werden, wie in der vorliegenden Studie.

8.3 Kritische Diskussion der durchgeführten Studie

295

Zur Operationalisierung tendenziell leistungsschwächerer sowie eher leistungsstärkerer Schülerinnen und Schüler durch die Betrachtung von Schülerinnen und Schülern an Gymnasien und Mittelschulen

In dieser Arbeit wurde auf der Basis bisheriger standardisierter Schulleistungstests sowie des zum Zeitpunkt der Studie vorliegenden dreigliedrigen Schulsystems vermutet, dass Schülerinnen und Schüler am Gymnasium zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe tendenziell leistungsstärker im Vergleich zu Mittelschülerinnen und Mittelschülern bezogen auf ihre Mathematikleistungen sind. Zur Überprüfung dieser Operationalisierung wurden die Ergebnisse der beiden Schülergruppen vor und nach der an beiden Schularten weitgehend identisch durchgeführten fünfzehnstündigen Intervention zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe verglichen. Gymnasiastinnen und Gymnasiasten erzielten bereits im Pretest signifikant bessere Ergebnisse als Lernende der Mittelschule. Auch im Posttest konnte dieser signifikante Leistungsunterschied – auch nach Kontrolle für die Ergebnisse im Pretest – festgestellt werden, was dafür spricht, dass die Schülerinnen und Schüler am Gymnasium ihren Leistungsvorsprung während der Intervention sogar noch ausbauen konnten. Hierbei handelt es sich jeweils um starke Effekte. Leistungsunterschiede dieser Art zwischen verschiedenen Schularten werden auch in anderen Studien berichtet. So zeigen sich etwa in den standardisierten Erhebungen der PISA-Studie am Ende der neunten Jahrgangsstufe starke Leistungsunterschiede8 zwischen Schülerinnen und Schülern an Gymnasien und an nicht gymnasialen Schularten (Hammer et al., 2016). Zur vorliegenden Untersuchung vergleichbar erscheinen auch die Ergebnisse des DEMAT 6+, in dem die Schülerleistungen am Ende der sechsten Jahrgangsstufe – und damit insbesondere auch zu Bruchzahlen – standardisiert untersucht und berichtet werden. Auch hier kann von starken Leistungsunterschieden9 zwischen Gymnasium und Mittelschule gesprochen werden (Götz et al., 2013). Bemerkenswert erscheint an dieser Stelle jedoch der Umstand, dass in der vorliegenden Studie weitgehend ähnlich starke Effekte wie im DEMAT 6+ gefunden wurden, obwohl zum einen für Vorwissensunterschiede kontrolliert wurde und zum anderen der Unterricht während der Intervention an beiden Schularten analog durchgeführt wurde, während bei den Erhebungen zum DEMAT 6+ lediglich randomisiert ausgewählte Schülerinnen und Schüler am Ende der sechsten Jahrgangsstufe getestet wurden. Insgesamt können damit die untersuchten Schülerinnen und Schüler am Gymnasium als tendenziell leistungsstärker als die betrachteten Mittelschülerinnen und 8 In

PISA 2015 wurden gymnasiale und nicht gymnasiale Schularten getrennt voneinander ausgewertet. Insbesondere sind damit Realschulen, Mittelschulen und integrierte Gesamtschulen unter dem Begriff der nicht gymnasialen Schularten zusammengefasst. Für den Unterschied zwischen den in dieser Art gefassten Schularten ergibt sich ein starker Effekt, d = 1.34 (vgl. Hammer et al., 2016, Grundlage für die Berechnung sind die Daten der Tabelle 6.3, S. 237). 9 Der zitierte starke Effekt zwischen den Schularten im DEMAT 6+ mit η2 = .48 geht auf einen Vergleich p von insgesamt fünf unterschiedlichen Schularten zurück, von denen das Gymnasium die höchsten Mittelwerte, die Mittelschule (im Original: Hauptschule) die geringsten Mittelwerte aufweist. Der Unterschied zwischen ausschließlich diesen beiden Schularten kann als starker Effekt bezeichnet werden, d = 2.68 (vgl. Götz et al., 2013, Grundlage für die Berechnung sind die Daten der Tabelle 5, S. 26).

296

8 Diskussion und Fazit

Mittelschüler bezeichnet werden, was die vorgenommene Operationalisierung gerechtfertigt erscheinen lässt. Jedoch kann gefragt werden, ob sich die in dieser Arbeit gefundenen positiven spezifischen Fördereffekte digitaler Medien für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler auch in heterogenen Lerngruppen zeigen, oder ob diese Effekte nur bei einer Beschulung leistungsschwächerer Lernender in einem dreigliedrigen Schulsystem auftreten. Dass sich die Ergebnisse auf leistungsschwächere und leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler im Allgemeinen übertragen lassen, erscheint zwar plausibel, jedoch können die vorliegenden Ergebnisse keine abschließende Antwort darauf liefern. Hier erscheint etwa ein Blick an integrierte Gesamtschulen gewinnbringend, um dieser Frage gezielt nachzugehen. Dies muss als eine Grenze der durchgeführten Erhebung bezeichnet werden. Zu möglichen geschlechterspezifischen Effekten

In den beiden bereits genannten standardisierten Erhebungen (PISA 2015 und DEMAT 6+) zeigten sich signifikante Geschlechterunterschiede bezogen auf die Mathematikleistung, die sich jedoch in der vorliegenden Studie nach der Intervention nicht ergaben. Ein Grund dafür könnte sein, dass insbesondere Schülerinnen der Experimentalgruppen vom Unterricht mit dem aufbereiteten Material profitiert haben. Zumindest für die iPad-Gruppe am Gymnasium zeigte eine Analyse der Prozessdaten, dass sich Mädchen während der Unterrichtsstunden in der Intervention signifikant länger mit den interaktiven Übungsaufgaben beschäftigten, als Jungen (Hoch, Reinhold, Werner, Richter-Gebert & Reiss, in Druck), was als intensiviere Auseinandersetzung mit den Lerngegenständen interpretiert werden kann. Gegen diese Erklärung kann jedoch sprechen, dass sich keine signifikanten Interaktionseffekte auf die Ergebnisse im Posttest zwischen dem Geschlecht der Lernenden und der Interventionsgruppe ergaben, sodass die Frage danach, ob das Treatment insbesondere Mädchen geeignet anspricht, nicht abschließend beantwortet werden kann. Hier erscheinen Folgestudien notwendig, um eine belastbare Antwort auf die Frage nach möglichen geschlechterspezifischen Einflüssen des Lernens mit digitalen Medien im Allgemeinen und Tablet-PCs im Speziellen geben zu können. Zur Annahme kognitiver Entlastung durch die integrative Verwendung von Texten und Bildern sowie interaktive Lernumgebungen

Die vorliegende Arbeit folgt weitreichend akzeptierten Annahmen der Cognitive LoadTheorie sowie der kognitiven Theorie des multimedialen Lernens, wonach Menschen über ein beschränktes Arbeitsgedächtnis verfügen und Lernen vornehmlich dann gelingen kann, wenn die Gesamtbelastung des kognitiven Systems nicht überschritten wird (vgl. Kapitel 3). Weiter wird angenommen, dass die Verwendung interaktiver Inhalte, die Nutzung zum Lerngegenstand passender Gesten im Sinne einer Embodied Cognition-Theorie, eine adaptive Anpassung des Schwierigkeitsgrades sowie individuelles und erklärendes Feedback die kognitive Belastung beim Lernen mit digitalen Medien entlasten können (vgl. Kapitel 4).

8.4 Ausblick

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Diese Annahmen erscheinen vor den Ergebnissen der dargestellten empirischen Untersuchung – insbesondere der stärkeren positiven Wirkung digitaler Medien auf die Leistung von tendenziell leistungsschwächeren Mittelschülerinnen und Mittelschülern – plausibel. Dennoch stellen sich die folgenden beiden Fragen zum theoretischen Fundament der Arbeit. Zunächst ist nicht auszuschließen, dass prinzipiell auch andere fundierte Erklärungsansätze durch die vorliegenden Ergebnisse ebenfalls gestützt werden könnten. So beschränkt sich diese Arbeit auf eine Betrachtung kognitiver Aspekte, gemessen an den Ergebnissen in Schulleistungstests vor und nach einer Intervention. Explizit unbeachtet bleiben hier motivationale und affektive Personenmerkmale – etwa die Selbstwirksamkeit von Schülerinnen und Schülern – die insbesondere bei Mittelschülerinnen und Mittelschülern durch die Verwendung digitaler Medien im Vergleich zu traditionellem Unterricht durchaus höher angenommen werden könnte. Weiter erscheint es nicht ausgeschlossen, dass sich durch multimedial aufbereitete mathematische Inhalte nicht nur kurzfristige, sondern auch langfristige positive Effekte zeigen können, die zu Synergieeffekten führen könnten – etwa einem elaborierteren Verständnis für die Division von Bruchzahlen. Diese Dimension lässt sich mit den vorliegenden Daten jedoch nicht erfassen. Hierfür erscheinen weitere Forschungsformate notwendig.

8.4 Ausblick Sowohl das theoretische Fundament der vorliegenden Arbeit als auch die Ergebnisse der empirischen Studie können als Beitrag zur Verbesserung des Mathematikunterrichts auf der einen Seite sowie als wissenschaftlicher Beitrag im Gebiet der Mathematikdidaktik und der Lernpsychologie auf der anderen Seite verstanden werden. Nachfolgend werden zunächst mögliche Implikationen für den Mathematikunterricht dargestellt. Die Arbeit schließt mit einer Betrachtung möglicher weiterführender Forschungsansätze mit Blick auf noch offene sowie sich durch die Arbeit ergebende Fragen.

8.4.1 Implikationen der Arbeit für den Mathematikunterricht Die folgenden Implikationen stellen einen Beitrag zur Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts dar und ergeben sich sowohl aus dem theoretischen Teil der Arbeit als auch aus den Ergebnissen der vorliegenden Studie. Zur Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung

In dieser Arbeit wird die Synthese fachdidaktischer und psychologischer Perspektiven zur Beschreibung der Entwicklung mathematischen Verständnisses als gewinnbringend dafür verstanden, die Entwicklung tragfähiger Konzepte mathematischer Inhalte geeignet zu unterstützen (vgl. Kapitel 1). Dies wurde exemplarisch am Beispiel der Bruchrechnung als weitreichend erforschtes Gebiet der Mathematikdidaktik ausgeführt. Hierzu wurde die Conceptual Change-Theorie als psychologischer Hintergrund zur Problemdiagnose im

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8 Diskussion und Fazit

Bereich der Bruchrechnung dargestellt. Dabei beschreibt der Natural Number Bias eine messbare und gegenüber Veränderungen weitgehend resistente Tendenz von Schülerinnen und Schülern im Umgang mit Brüchen auf Konzepte natürlicher Zahlen zurückzugreifen (vgl. Abschnitt 2.2). Zudem wurde argumentiert, dass zur Konzeption geeigneter Lernumgebungen zusätzlich praxisnahe Hinweise aus dem Gebiet der Mathematikdidaktik zwingend notwendig erscheinen. Hier wurden Grundvorstellungen im Sinne „tragfähige[r] flexible[r] mentale[r] Modelle zu mathematischen Inhalten“ (Padberg & Wartha, 2017, S. 3) als vielfach erprobter und praktikabler Rahmen für die Gestaltung von Mathematikunterricht – und insbesondere Bruchrechenunterricht – vorgestellt. Wie eine solche Synthese dieser beiden Perspektiven zu einer fachdidaktischen Aufbereitung zu vermittelnder mathematischer Inhalte führen kann, wurde in Kapitel 2 am Beispiel der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs dargestellt. Dabei wurden drei Konzepte von Bruchzahlen – Teil vom Ganzen, Erweitern und Kürzen sowie Größenvergleich – als intendiert auszubildende komplexe kognitive Strukturen als Basis für ein elaboriertes Verständnis für den Bruchzahlbegriff im Sinne der Conceptual Change-Theorie vorgestellt. Im Zuge dessen wurde angenommen, dass die Ausbildung dieser Konzepte durch die Vermittlung konkreter fachlicher Inhalte – in der vorliegenden Arbeit als Subkonzepte bezeichnet – bei gleichzeitiger altersgerechter Darstellung der Grenzen der Gültigkeit ursprünglicher Konzepte natürlicher Zahlen im Mathematikunterricht geeignet unterstützt werden kann. Insbesondere führte dies zu einer inhaltlich motivierten Forderung nach der vermehrten Verwendung ikonischer Darstellungen in allen Bereichen der Bruchrechnung. Weiter wurde dargestellt, dass eine derartige Forderung nicht nur auf einer solchen inhaltlichen Ebene plausibel erscheint, sondern sich auch weitgehend unabhängig von konkreten Inhalten auf einer kognitionspsychologischen Ebene als relevant für Lernen im Allgemeinen erweist (vgl. Kapitel 3) und unter anderem durch den Einsatz geeigneter digitaler Lernumgebungen im Regelunterricht umgesetzt werden kann (vgl. Kapitel 4). Insbesondere zeigen die Ergebnisse der vorliegenden Studie, dass für die Bruchrechnung Fähigkeiten im Umgang mit ikonischen Darstellungen unmittelbar mit arithmetischen Fähigkeiten auf symbolischer Ebene zusammenhängen – sowohl für leistungsstärkere als auch für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler. Dies unterstreicht die fachdidaktische Forderung nach einem beständigen und angeleiteten Wechsel zwischen unterschiedlichen ikonischen Darstellungen sowie zwischen ikonischen und symbolischen Repräsentationen von Brüchen während des gesamten Bruchrechenunterrichts, die auch von anderen Forschergruppen vertreten wird (z. B. Behr et al., 1983; Padberg & Wartha, 2017). Die Ergebnisse lassen weiter vermuten, dass ein im Sinne der Kapitel 1 und 2 aufbereitetes Curriculum alleine zu einer elaborierteren Entwicklung des Bruchzahlbegriffs bei leistungsstärkeren Schülerinnen und Schülern führen kann, als traditioneller Unterricht – unabhängig davon, ob digitale Medien zur Vermittlung eingesetzt wurden, oder nicht. Darüber hinaus geben die dargestellten Ergebnisse Anlass zur Vermutung, dass eine gewisse Reduktion der Unterrichtszeit zur Ausbildung arithmetischer Fähigkeiten am Anfang der sechsten Jahrgangsstufe zu Gunsten der Verwendung unterschiedlicher mathematischer Darstellungen zum Zweck der Förderung konzeptuellen Verständnisses nicht zu schlechteren arithmetischen Fähig-

8.4 Ausblick

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keiten der Schülerinnen und Schüler führt. Im Gegenteil bewiesen Gymnasiastinnen und Gymnasiasten der Experimentalgruppen in einem Posttest weitgehend identische arithmetische Fähigkeiten wie Schülerinnen und Schüler der Kontrollgruppe. An der Mittelschule erzielten die Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppe sogar bessere Ergebnisse auf der Skala Arithmetik verglichen mit den Resultaten anderer Interventionsgruppen. Ähnliche Ergebnisse berichten etwa auch Hofer, Schumacher, Rubin und Stern (2018) in einer Studie im Kontext des Physikunterrichts, in der in einer Experimentalgruppe der Anteil der Unterrichtszeit, die für die Bearbeitung arithmetisch zu lösender physikalischer Probleme verwendet wird, zu Gunsten der Ausbildung eines konzeptuellen Verständnisses der Newtonschen Mechanik im Vergleich zu einer Kontrollgruppe reduziert wurde. Auch dort bewiesen Schülerinnen und Schüler der Experimentalgruppe ein höheres konzeptuelles Verständnis für die physikalischen Sachverhalte als Lernende der Kontrollgruppe, ohne dass ihre Fähigkeiten im Umgang mit arithmetisch zu lösenden physikalischen Problemen beeinträchtigt war. Die Befunde der vorliegenden Arbeit können insgesamt dahingehend interpretiert werden, dass die vorgeschlagene Synthese fachdidaktischer und psychologischer Perspektiven für den Bruchrechenunterricht gewinnbringend ist. Für eine solche Synthese von Fachdidaktik und Psychologie zum Nutzen für den Mathematikunterricht und die mathematikdidaktische Forschung plädieren auch weitere Forschergruppen (z. B. Obersteiner et al., in Druck; Obersteiner et al., 2018; Verschaffel et al., 2017). Zum Einsatz digitaler Medien im Mathematikunterricht

In Kapitel 5 dieser Arbeit wurde ein Modell zur Entwicklung digitaler Lernumgebungen für die Mathematikdidaktik vorgeschlagen, das die drei Dimensionen Inhalt, Design und Implementierung umfasst (vgl. Abbildung 5.1, S. 168). Insbesondere erscheint aus einer mathematikdidaktischen Perspektive die Domäne der Inhalte zentral für jedwede Entscheidung im Zuge der Entwicklung interaktiver und digitaler Lernumgebungen. Die Umsetzung des Modells wurde exemplarisch am im gemeinsamen Forschungsprojekt ALICE:Bruchrechnen entwickelten interaktiven Schulbuch Bruchrechnen. Bruchzahlen & Bruchteile greifen & begreifen in Form eines iBooks für iPads dargestellt (Hoch, Reinhold, Werner, Reiss & Richter-Gebert, 2018b, siehe auch Abschnitt 6.2 für eine ausführliche Beschreibung der Inhalte und Funktionen der Lernumgebung). Dabei wurde unter anderem argumentiert, dass zeitgemäßer Einsatz digitaler Medien auf Interaktivität, Embodiment im Sinne einer Passung von Gesten zum Lerngegenstand, Adaptivität, und erklärendem Feedback basieren sollte (vgl. Kapitel 4). Die Ergebnisse der empirischen Studie können dahingehend interpretiert werden, dass sich für leistungsstärkere Gymnasiastinnen und Gymnasiasten die Verwendung derartig gestalteter digitaler Lernumgebungen auf Tablet-PCs zwar förderlich im Vergleich zu traditionellem Unterricht auswirken kann, sich jedoch ähnliche positive Effekte – zumindest kurzfristig – auch mit multimedialen gedruckten Arbeitsbüchern erzielen lassen. Jedoch sollte dieses Ergebnis nicht als Befund gegen den Einsatz digitaler Medien im mathematischen

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8 Diskussion und Fazit

Regelunterricht an Gymnasien interpretiert werden: Die untersuchten Schülerinnen und Schüler erzielten erstens bessere Ergebnisse als traditionell unterrichtete Kinder, zweitens ähnliche Ergebnisse wie Lernende der Arbeitsbuchgruppe und drittens sollten zusätzliche positive Effekte – etwa auf affektiver und motivationaler Ebene – nicht ausgeschlossen werden, die in Verbindung mit dem Einsatz digitaler Medien durchaus berichtet werden (z. B. Hillmayr et al., eingereicht), in der vorliegenden Arbeit jedoch nicht untersucht wurden. Der Einsatz von digitalen Medien im Allgemeinen und Tablet-PCs im Speziellen erscheint zudem für tendenziell leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler vorteilhaft. So zeigten sich die positiven Effekte der fachdidaktisch aufbereiteten Materialen an der Mittelschule erst in Verbindung mit dem Einsatz des iPads. Weiter beschränkten sich diese Effekte für Mittelschülerinnen und Mittelschüler nicht auf den Bereich von Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen, sondern konnten auch für arithmetische Fähigkeiten festgestellt werden. Dieser Befund erscheint unter anderem auch bildungspolitisch relevant, wenn über eine geeignete Ausstattung von Schulen diskutiert wird.

8.4.2 Offene Fragestellungen und weiterführende Forschungsansätze Aus einer wissenschaftlichen Perspektive ist zunächst der konstruktive Forschungsansatz mit drei Gruppen, wie in Tabelle 6.1 (S. 178) dargestellt, als gewinnbringende Alternative zum traditionell eher vorherrschenden Zweigruppenplan (eine Experimentalgruppe mit aufbereitetem Material und digitalen Medien, eine traditionell unterrichtete Kontrollgruppe) hervorzuheben. Die Ergebnisse der vorliegenden Studie – im Hinblick auf die unterschiedlichen Wirkmechanismen an Gymnasien und Mittelschulen – zeigen deutlich den Mehrwert einer Kontrolle für etwaige Effekte einer fachdidaktische Aufbereitung der Inhalte durch die Konzeption einer zweiten Experimentalgruppe, wenn die Wirksamkeit digitaler Medien untersucht werden soll. Neben dieser relevanten Erkenntnis für die empirische Bildungsforschung können exemplarisch die folgenden offenen Fragen formuliert werden, die zum einen durch diese Arbeit nicht beantwortet werden können oder sich zum anderen aus den Ergebnissen dieser Arbeit ergeben haben. Zu weiterführenden Analysen

Die erhobenen Daten können im Zuge weiterer Fragestellungen erneut ausgewertet werden. Zunächst wurden für die in dieser Arbeit dargestellten Ergebnisse nicht alle Testhefte der an der Studie beteiligten Schülerinnen und Schüler berücksichtigt: Aus Gründen einer vermeintlich nicht vergleichbaren Realisierung des Treatments wurden Klassen von der Auswertung ausgeschlossen, in denen die Unterrichtszeit zwischen Pre- und Posttest vom vorgegebenen Rahmen abwich. Hier stellt sich die Frage, ob eine höhere Unterrichtszeit tatsächlich messbare Einflüsse auf die Ergebnisse im Posttest hat und zu Verzerrungen der Effekte führen könnte – eine plausible Annahme, die zum Ausschluss von über 280 Schülerinnen und Schülern führte. Hier erscheinen lineare Regressionsmodelle – oder vor dem Hintergrund vornehmlich dichotom codierter Items auch generalisierte lineare

8.4 Ausblick

301

Mischmodelle (eng.: generalized linear mixed models, glmm) – geeignet, die insbesondere auch eine Untersuchung etwaiger Effekte auf Schüler-, Item- oder Klassenebene ermöglichen. Der Datensatz erscheint mit N = 1005 vollständig ausgefüllten Testheften ausreichend zur Analyse mehrerer möglicher Moderatoreffekte für die berichteten positiven Einflüsse des Materials und des Mediums auf die Leistung der Schülerinnen und Schüler. Weiter ist es möglich, die vorhandenen Testhefte im Hinblick auf gängige Schülerfehler der Bruchrechnung (z. B. Eichelmann et al., 2011, siehe auch Abschnitt 2.1.3) zu analysieren und so Aussagen über mögliche Effekte des Einsatzes digitaler Medien beziehungsweise fachdidaktisch aufbereiteter Materialen auf die Ausbildung von Fehlvorstellungen zu treffen. Hierbei gilt es auch zu überprüfen, ob das entwickelte Erhebungsinstrument für eine detailliertere Betrachtung von Schülerfehlvorstellungen geeignet ist. Zudem können die während der Intervention erhobenen Prozessdaten der Schülerinnen und Schüler der iPad-Gruppen am Gymnasium und an Mittelschulen für sich genommen sowie ihre möglichen Einflüsse auf die Lösungsraten im Posttest untersucht werden. Dies kann einen tiefgehenderen Einblick in die Wirkmechanismen digitaler Medien in der frühen Sekundarstufe offenbaren und stellt eine innovative Methode der empirischen Bildungsforschung dar, die insbesondere den Einsatz digitaler Medien im Schulunterricht auch aus wissenschaftlicher Sicht begründet motivieren kann (siehe hierzu im Detail Hoch, in Vorb., mit konkretem Bezug zu der in dieser Arbeit vorgestellten Studie an Gymnasien und Mittelschulen). Zu weiterführenden Forschungsfragen

Weiter eröffnen sich Forschungsfragen, zu deren Beantwortung die Konzeption und Durchführung weiterer Studien notwendig sind. So kann vor dem Hintergrund der vorliegenden Ergebnisse nicht abschließend geklärt werden, welcher Aspekt des Treatments für den positiven Einfluss digitaler Medien auf die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs tendenziell leistungsschwächerer Schülerinnen und Schüler hauptsächlich verantwortlich ist. Hier erscheinen zunächst alle der in Kapitel 4 aufgeführten Effekte ebenso möglich wie ein kumulativer Effekt, der sich erst durch ein komplexes Zusammenwirken des vorgeschlagenen Modells zur Entwicklung digitaler Lernumgebungen in der Mathematikdidaktik (vgl. Abbildung 5.1, S. 168) vollständig entfalten kann. Zudem könnten auch andere Gründe für den positiven Effekt verantwortlich sein. So gab ein Großteil der Mittelschülerinnen und Mittelschüler der iPad-Gruppe in halbstandardisierten Befragungen nach dem Posttest an, dass ihnen an den Unterrichtsstunden mit den iPads insbesondere gefallen habe, dass sie weniger schreiben mussten, als in traditionellen Mathematikstunden. Tatsächlich finden sich Belege dazu, dass der motorische Schreibprozess für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler zu zusätzlicher irrelevanter kognitiver Belastung führen kann (z. B. McCutchen, 1996) – etwa wenn er nicht vollständig automatisiert ist. Dies könnte durchaus auch den entscheidenen Grund für die unterschiedlichen Effekte des Einsatzes von iPads an Gymnasien und Mittelschulen darstellen. Ebenfalls könnte eine erhöhte wahrgenommene Selbstwirksamkeit – hervorgerufen etwa durch adaptive Aufgabenschwierigkeit und

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8 Diskussion und Fazit

erklärendes Feedback auch zu korrekt gelösten Items – Schülerinnen und Schüler dazu animieren, sich der anspruchsvollen Aufgabe einer Auseinandersetzung mit Bruchzahlen zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe zu stellen und generative Prozesse ermöglichen. Diese Fragen könnten etwa mit Hilfe der entwickelten Lernumgebung in experimentellen Studien außerhalb des Unterrichts und ausgewählten Schülerinnen und Schülern mit individuellem Förderbedarf beantwortet werden. Zudem stellt sich die Frage, ob diejenigen Schülerinnen und Schüler, die im entwickelten Leistungstest bessere Ergebnisse erzielten, auch tatsächlich weniger von einem intuitiv wirkenden Natural Number Bias beeinträchtigt werden, als Lernende mit niedrigeren Posttest-Scores. Hierzu eignen sich etwa Testformate, in denen neben der Lösung eines Items auch die Bearbeitungszeit erfasst wird. Insbesondere verfügt die im Forschungsprojekt ALICE:Bruchrechnen entwickelte Lernumgebung über den notwendigen Funktionsumfang, um sie auch als Testinstrument zu nutzen. Eine Auswertung eines für alle an der Studie beteiligten Mittelschülerinnen und Mittelschüler elektronisch auf iPads durchgeführten zusätzlichen Tests einige Wochen nach der Intervention kann hier mögliche erste Antworten liefern und als Pilotierung der Lernumgebung als Testinstrument verstanden werden. Darüber hinaus sollte das vorgeschlagene Modell zur Entwicklung digitaler Lernumgebungen in der Mathematikdidaktik (vgl. Abbildung 5.1, S. 168) vor einem anderen fachlichen Inhalt untersucht werden, um seine Validität außerhalb des Inhaltsbereichs der Bruchrechnung als allgemeines Modell zu evaluieren. Möglich erscheint hier etwa das Themengebiet linearer oder quadratischer Funktionen. Zum einen würde auf eine andere Altersgruppe fokussiert, zum anderen kann auch der Funktionsbegriff als fachdidaktisch weitreichend gut erforschter Gegenstand bezeichnet werden. Weiter wird Visualisierungen von Funktionen eine ebenso weitreichende Bedeutung für die Entwicklung eines elaborierten Funktionsbegriffs beigemessen, wie ikonischen Darstellungen bei der Bruchrechnung (z. B. Greefrath, Oldenburg, Siller, Ulm & Weigand, 2016). Dies würde vergleichbare Forschungsarbeiten ermöglichen, die einerseits das Modell evaluieren und andererseits einen fachdidaktischen Beitrag zum Funktionsbegriff liefern könnten. Schlussbemerkung

Die Diskussion um eine Digitalisierung des Schulunterrichts stellt eine zentrale und aktuelle bildungspolitische Frage dar. Es besteht dabei Konsens, dass digitale Medien nicht nur um ihrer selbst Willen Einzug in den Regelunterricht finden sollen. Vielmehr sollen fundierte Konzepte zum Lernen mit multimedialen und interaktiven Lernumgebungen sowie konkrete fachliche Inhalte die Basis für einen Einsatz digitaler Medien darstellen. Jedoch finden sich bisher zum Teil nur wenige fundierte wissenschaftliche Untersuchungen, die sich der Frage einer Wirksamkeit von Tablet-PCs im mathematischen Regelunterricht widmen. Im theoretischen Teil der vorliegenden Arbeit wird auf der Basis fachdidaktischer und psychologischer Perspektiven ein Modell vorgeschlagen, wie digitale Lernumgebungen in der Mathematikdidaktik auf der Basis dreier Dimensionen – Inhalt, Design und Implementierung – entwickelt werden können. Dabei werden exemplarisch die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs als Inhalt gewählt und gängige Handlungsemp-

8.4 Ausblick

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fehlungen auf der Basis aktueller wissenschaftlicher Befunde zum Teil neu bewertet. Daraufhin wird im empirischen Teil eine digitale Lernumgebung in Form eines iBooks zum Einsatz auf iPads für die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs evaluiert, die vor dem Hintergrund des vorgestellten Modells im Forschungsprojekt ALICE:Bruchrechnen entwickelt wurde. Dabei werden die Ergebnisse von 476 Schülerinnen und Schülern am Gymnasium und 245 Schülerinnen und Schülern an der Mittelschule analysiert. Hieraus ergeben sich Implikationen und Handlungsempfehlungen für den Mathematikunterricht und die mathematikdidaktische Forschung, die umfassend dargestellt werden. Die vorliegende Arbeit liefert dadurch einen differenzierten Blick auf die Wirkmechanismen von Tablet-PCs in der sechsten Jahrgangsstufe für leistungsschwächere und leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler, hebt die Forderung nach einem Wechsel zwischen unterschiedlichen Repräsentationen von Brüchen im Anfangsunterricht der Bruchrechnung hervor und zeigt Wege auf, wie digitale Medien gewinnbringend in den Regelunterricht integriert werden können.

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© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 F. Reinhold, Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive, Studien zur theoretischen und empirischen Forschung in der Mathematikdidaktik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-23924-4

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A Anhang

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328

A Anhang

A.1 Bruchrechnen in den Common Core State Standards Für einen Vergleich der entwickelten Lernumgebung mit internationalen Curricula wurden in dieser Arbeit die Common Core State Standards für das Fach Mathematik in den Vereinigten Staaten von Amerika (USA) ausgewählt (CCSSI, 2010). Hierbei erscheint die Verortung der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs zu Beginn der sechsten Jahrgangsstufe in Deutschland vergleichsweise spät. So sollen in den USA bereits in der dritten Jahrgangsstufe Brüche als Vielfache von Stammbrüchen in symbolischer Schreibweise und auf dem Zahlenstrahl thematisiert werden. Darüber hinaus erscheinen die im Zuge dieser Arbeit dargestellten deutschsprachigen Lehrpläne als eher knapp und mit einer Orientierung auf zu erwerbende Kompetenzen formuliert, während das Curriculum in den USA detaillierter gefasst ist und neben den konkreten in einer Jahrgangsstufe zu verwendenden Nennern eines Bruches bisweilen sogar zu nutzende Kontexte und Darstellungen explizit vorgibt. Ein Vergleich mit den Common Core State Standards ist auf der Basis von Tabelle A.1 möglich, in der ebenfalls zentrale Inhalte der entwickelten Lernumgebungen in blauer Farbe hervorgehoben sind. Insbesondere können die im Rahmen des Forschungsprojektes ALICE:Bruchrechnen entwickelten Lernumgebungen im Kontext der Common Core State Standards eher als passende Lehrwerke für den Primarbereich (hier konkret: Jahrgangsstufen drei und vier) bezeichnet werden. Tabelle A.1 Übersicht über die zu vermittelnden Inhalte zu Brüchen nach den Common Core State Standards für Mathematik (nach CCSSI, 2010, S. 21-51). Jgst.

Nenner

Inhalt

3

2, 3, 4, 6, 8

4

2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 100

5

unbeschränkt

6

unbeschränkt

Brüche als Vielfache von Stammbrüchen in symbolischer Schreibweise und auf dem Zahlenstrahl; Äquivalenz von Brüchen als Brüche mit gleichem Anteil oder identischer Position auf dem Zahlenstrahl; Einbettung natürlicher Zahlen als Brüche mit Nenner 1; Größenvergleich von Brüchen mit gleichem Zähler oder Nenner Äquivalenz von Brüchen durch Vergröbern und Verfeinern der Einteilung und arithmetisches Kürzen und Erweitern; Größenvergleich von Brüchen allgemein; Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche und gemischter Zahlen; Multiplikation eines Bruches mit einer natürlichen Zahl als wiederholte Addition Addition und Subtraktion allgemein; Brüche als Wert eines Quotienten; Brüche als multiplikativer Operator; Multiplikation von Brüchen allgemein insbesondere „Multiplizieren kann verkleinern“; Division von Stammbrüchen durch natürliche Zahlen als Verteilungssituationen; Division von natürlichen Zahlen durch Stammbrüche Division von Brüchen allgemein als Multiplikation mit dem Kehrbruch, Negative Brüche

Anmerkung. Jgst. = Jahrgangsstufe. Für diese Arbeit zentrale Inhalte sind kursiv hervorgehoben.

A.2 Zeitlicher Ablauf des Forschungsprojektes

329

A.2 Zeitlicher Ablauf des Forschungsprojektes Publikationen

Meilensteine Aug.

Beginn des Promotionsvorhabens

2015 Feb.

Beginn der Entwicklung der digitalen Lernumgebung

Sep.

Pilotierung der digitalen Lernumgebung (N = 30)

2016

Pilotierung der Erhebungsinstrumente (NPre = 142, NPost = 257) Jul. Aug. Sep.

Fertigstellung der Lernumgebung und Erhebungsinstrumente Beginn der Interventionsstudie an Gymnasien (N = 808)

2017

PME 2017 (Singapur): Reinhold et al. (2017a, 2017b)

Jul. Beginn der Interventionsstudie an Mittelschulen (N = 300)

Sep.

GDM 2018 (Paderborn): Reinhold et al. (in Druck) AERA 2018 (New York): Reinhold et al. (2018)

2018 Mär. Apr. Mai

Publikation des Materials: Hoch et al. (2018a, 2018b)

Abbildung A.1. Zeitlicher Ablauf des Forschungsprojektes mit Übersicht über bisherige Veröffentlichungen in Form von Konferenzbeiträgen zu Inhalten dieser Dissertation (links) und Meilensteinen des Projektes (rechts).

330

A Anhang

A.3 Verwendete Erhebungsinstrumente Die vollständigen an Gymnasien verwendeten Testhefte für Pre- und Posttest sind auf den folgenden Seiten abgebildet. Sie unterscheiden sich von den an Mittelschulen verwendeten Testheften lediglich im Geschäftszeichen in der Fußzeile der Titelseite, unter dem die Interventionsstudie vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst (Gymnasien) bzw. dem Städtischen Schulamt München (Mittelschulen) genehmigt wurde. Der vierseitige Pretest ist auf den Seiten 331 bis 334 abgebildet, der achtseitige Posttest auf den Seiten 335 bis 342.

A.3 Verwendete Erhebungsinstrumente

331

Heinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhl für Didaktik der Mathematik TUM School of Education Technische Universität München

Was weißt du schon über Brüche?

Schule: Klasse: Schülernummer: Datum: Geschlecht:

 Mädchen

 Junge

Die Bearbeitung der Aufgaben ist freiwillig und anonym. Bitte schreibe deinen Namen nicht auf dieses Heft.

Die Aufgaben in diesem Heft gehen über den Stoff der 6. Klasse. Es ist nicht schlimm, wenn du eine Frage nicht beantworten kannst. Sei dann bitte ehrlich und kreuze das Kästchen am Rand an.

X.7-BO5106/141/8

 Ich weiß es nicht.

332

A Anhang

Aufgabe 1

Kreise drei Viertel der Pizzen ein.

Aufgabe 2

Gib an, welcher Anteil des Balkens grau gefärbt ist.

Aufgabe 3

Auf dem Zahlenstrahl ist ein Bruch markiert. Gib ihn an.

 Ich weiß es nicht.

 Ich weiß es nicht.

Bruch:

 Ich weiß es nicht.

0

Aufgabe 4

 Ich weiß es nicht.

2

1

Markiere zwei Drittel des Kreises farbig.

A.3 Verwendete Erhebungsinstrumente

Aufgabe 5

333

Gib an, wie viel zwei Drittel von 36 Äpfeln sind.

 Ich weiß es nicht.

Aufgabe 6

Gib an, welcher Anteil der Kreise grau gefärbt ist.

 Ich weiß es nicht.

Aufgabe 7 de Pizzen.

Pizzabäcker Mario und Pizzabäcker Paolo backen gleich große run-

Mario teilt seine runden Pizzen in 6 gleich große Teile. Anja kauft 3 Teile. Paolo teilt seine runden Pizzen in 8 gleich große Teile. Tim kauft 4 Teile.

 Ich weiß

Hat eines der Kinder mehr Pizza gekauft? Wenn ja, welches? Kreuze an.

es nicht.

Aufgabe 8



Anja bekommt mehr.



Tim bekommt mehr.



Beide bekommen gleich viel.

Markiere zwei Fünftel der Kreise farbig.

 Ich weiß es nicht.

3

334

A Anhang

Aufgabe 9

Markiere ein Drittel des Balkens farbig.

 Ich weiß es nicht.

Aufgabe 10 Einkaufs.

Anja hat heute Äpfel gekauft. Im Bild siehst du drei Viertel ihres

Gib an, wie viele Äpfel Anja insgesamt gekauft hat.

 Ich weiß es nicht.

Aufgabe 11

 Ich weiß es nicht.

4

Kreuze jeweils die größere Zahl an.

a)



2 5

(2 Fünftel)



4 5

(4 Fünftel)

b)



1 3

(1 Drittel)



1 4

(1 Viertel)

c)



2 3

(2 Drittel)



2 5

(2 Fünftel)

d)



4 5

(4 Fünftel)



3 2

(3 Halbe)

A.3 Verwendete Erhebungsinstrumente

335

Heinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhl für Didaktik der Mathematik TUM School of Education Technische Universität München

Was weißt du über Brüche?

Schule: Klasse: Schülernummer: Datum:

 Mädchen

Geschlecht:

 Junge

Die Bearbeitung der Aufgaben ist freiwillig und anonym. Bitte schreibe deinen Namen nicht auf dieses Heft.

Bei manchen Aufgaben sind mehrere Antworten vorgegeben. Bei diesen Fragen ist immer nur eine Antwort richtig. Kreuze die richtige Antwort an.

Beispiel Wie viele Ecken hat ein Rechteck? Kreuze an.

 1

 2

 3

 4

 5

X.7-BO5106/141/8

336

A Anhang

Aufgabe 1

Kürze so weit wie möglich.

a)

18 = 72

b)

21 = 63

c)

7 = 7

2 Aufgabe 2 In der Klasse 6a sind 18 Mädchen. Das sind aller Kinder der Klasse. Bestimme, 3 wie viele Kinder insgesamt in der Klasse 6a sind.

Aufgabe 3

2

Welcher Anteil des Kreises ist grau markiert? Kreuze an.



6 8



7 10



7 12



6 7



6 10

A.3 Verwendete Erhebungsinstrumente

Aufgabe 4

337

Welche Zahl gehört in die Lücke? Setze ein. Platz für Nebenrechnungen:

2 von 30 = 12

Aufgabe 5 Bild an.

Der dargestellte Bruch soll zeichnerisch mit 2 gekürzt werden. Kreuze das richtige











3

338

A Anhang

3 des Kreises farbig. 5

Aufgabe 6

Markiere

Aufgabe 7

Ergänze die fehlenden Zahlen in den Kästen.

3 a)

=

Aufgabe 8

12 28

b)

6 = 8

4 = 3

Notiere einen gemeinsamen Nenner der Brüche in die Kästchen.

a)

Ein gemeinsamer Nenner von

2 5 und ist: 9 6

b)

Ein gemeinsamer Nenner von

3 7 und ist: 8 12

Aufgabe 9

c) 20

Mit welcher Zahl wurde der dargestellte Bruch gekürzt? Kreuze an.

 mit 6  mit 4  mit 3  mit 2  gar nicht

4

A.3 Verwendete Erhebungsinstrumente

339

Aufgabe 10

Erweitere den dargestellten Bruch zeichnerisch mit 3.

Aufgabe 11

Welche Zahl gehört in die Lücke? Kreuze an. 2 von 7

 14

 21

Aufgabe 12

Markiere

Aufgabe 13

Kreise

 28

= 14

 49

 56

1 des Balkens farbig. 3

2 der Pizzen ein. 3

5

340

A Anhang

Aufgabe 14

Trage die beiden Brüche

0

Aufgabe 15

1

2

Ist in den Bildern mehr oder weniger als

3

4

4 der Fläche grau gefärbt? Kreuze an. 9

a)

 mehr als

4 9

 weniger als

4 9

b)

 mehr als

4 9

 weniger als

4 9

c)

 mehr als

4 9

 weniger als

4 9

d)

 mehr als

4 9

 weniger als

4 9

Aufgabe 16

Berechne:

a)

3 von 45 = 5

b)

4 von 42 = 7

6

5 7 und an der richtigen Stelle auf dem Zahlenstrahl ein. 6 3

A.3 Verwendete Erhebungsinstrumente

Aufgabe 17

341

Tom möchte wissen, welcher der beiden Brüche

8 7 und größer ist. 9 6

a) Welcher Bruch ist größer? Kreuze an.



8 ist größer. 9



7 ist größer. 6



Beide Brüche sind gleich groß.

b) Schreibe eine Erklärung auf.

Aufgabe 18

Auf dem Zahlenstrahl ist ein Bruch markiert. Gib ihn in der Bruchschreibweise an. Bruch:

0

Aufgabe 19

1

Uli sagt: „Der Bruch

2

5 5 ist kleiner als der Bruch , weil 8 kleiner als 10 ist.“ 8 10

Erkläre Uli, warum das falsch ist.

7

342

A Anhang

Aufgabe 20 ein.

Vergleiche die Brüche. Trage das richtige Symbol „>“, „