Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler - Anwendungsbeispiele PDF

Dieses Übungsbuch enthält 222 Anwendungsbeispiele aus Elektrotechnik, Maschinenbau, Bauingenieurwesen, Physik und Chemie. In den ausführlich und vollständig durchgerechneten Lösungen wird gezeigt, wie man die im Studium erworbenen mathematischen Kenntnisse auf Fragestellungen aus Naturwissenschaft und Technik erfolgreich anwendet. Ein Anhang stellt die zugrundeliegenden physikalischen Formeln bereit und ist mit farblichem Papier schnell aufzufinden. In der aktuellen Auflage wurden an etlichen Stellen Texte und Formeln für eine noch bessere Verständlichkeit ergänzt.

Autor Lothar Papula | Wolfgang Ehringer | Alexander Fandakov

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Lothar Papula

Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele 222 Aufgabenstellungen mit ausführlichen Lösungen 8. Auflage

Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele

Das sechsbändige Lehr- und Lernsystem Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler umfasst neben dem Buch mit Anwendungsbeispielen die folgenden Bände: Papula, Lothar Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium Mit 643 Abbildungen, 500 Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 352 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2 Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium Mit 345 Abbildungen, 300 Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 324 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3 Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung Mit 550 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 285 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen Mathematische Formelsammlung Für Ingenieure und Naturwissenschaftler Mit über 400 Abbildungen, zahlreichen Rechenbeispielen und einer ausführlichen Integraltafel Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Klausur- und Übungsaufgaben 632 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung

Lothar Papula

Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele 222 Aufgabenstellungen mit ausführlichen Lösungen 8., überarbeitete Auflage

Lothar Papula Wiesbaden, Deutschland

ISBN 978-3-658-24881-9 ISBN 978-3-658-24882-6 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-24882-6 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 1990, 1992, 1994, 2000, 2004, 2012, 2015, 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Verantwortlich im Verlag: Thomas Zipsner Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Vorwort

Die Darstellung anwendungs- und praxisorientierter mathematischer Methoden in Vorlesungen und bungen gehrt zum festen Bestandteil des Grundstudiums der naturwissenschaftlich-technischen Disziplinen. Entwicklung und Erwerb der Fhigkeit, die vermittelten mathematischen Kenntnisse auf Aufgabenstellungen aus Naturwissenschaft und Technik erfolgreich anwenden zu knnen, sind ein wesentliches Ziel der Grundausbildung und Voraussetzung fr ein erfolgreiches Studium. Das vorliegende Werk „ Mathematik fr Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele “ enthlt 222 ausschließlich anwendungsorientierte Aufgaben, die ausfhrlich formuliert und vollstndig gelst werden (Lsungen mit allen Zwischenschritten). Die ausgewhlten Aufgabenstellungen entstammen den speziellen Grundvorlesungen der naturwissenschaftlich-technischen Disziplinen wie Elektrotechnik, Maschinenbau, Bauingenieurwesen, Physik und Chemie. In diesen Beispielen wird gezeigt, wie man die erworbenen mathematischen Kenntnisse erfolgreich auf Aufgabenstellungen aus Naturwissenschaft und Technik anwendet. Dieses Anwendungsbuch folgt dabei im Aufbau und der Stoffauswahl weitgehend dem bewhrten dreibndigen Lehrwerk „ Mathematik fr Ingenieure und Naturwissenschaftler “ des Autors. Die beim selbstndigen Lsen der als bungsaufgaben formulierten Anwendungsbeispiele bentigten physikalischen Grundlagen sind im farbig gedruckten Anhang einzeln aufgefhrt. Das Anwendungsbuch ist daher unabhngig von weiterer physikalischer Literatur verwendbar. Der allen Anwendungsbeispielen gemeinsame Aufbau wird in der nachfolgenden Anleitung ausfhrlich beschrieben. Die insgesamt 13 Kapitel sind wie folgt nach Stoffgebieten geordnet:

Vektorrechnung Funktionen und Kurven Differentialrechnung Integralrechnung Taylor- und Fourier-Reihen Komplexe Zahlen und Funktionen Lineare Algebra Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen Gewhnliche Differentialgleichungen Fehler- und Ausgleichsrechnung Fourier-Transformationen Laplace-Transformationen Vektoranalysis

VI

Vorwort

Zur 8. Auflage In der aktuellen Auflage wurden an etlichen Stellen Texte und Formeln fr eine noch bessere Verstndlichkeit ergnzt.

Eine Bitte des Autors Fr Hinweise und Anregungen bin ich stets dankbar. Sie sind eine unverzichtbare Voraussetzung und Hilfe fr die permanente Verbesserung dieses Werkes.

Ein Wort des Dankes . . . . . . an alle Fachkollegen und Studierenden, die durch Anregungen und Hinweise zur Verbesserung dieses Werkes beigetragen haben, . . . an den Cheflektor Herrn Thomas Zipsner fr seine engagierte und immer frderliche Zusammenarbeit bei der Realisierung der vorliegenden Auflage. Wiesbaden, im Herbst 2018

Lothar Papula

Anleitung Der Aufbau der als bungsaufgaben formulierten Anwendungsbeispiele erfolgt nach einem einheitlichen Schema, wie in dem nachfolgenden Musterbeispiel dargestellt. Im Lsungsteil gegebene Hinweise auf Formeln beziehen sich auf die Mathematische Formelsammlung fr Ingenieure und Naturwissenschaftler des Autors.

Musterbeispiel

Naturwissenschaftlichtechnisches Thema Bentigte mathematische Kenntnisse Formulierung der Aufgabe, in der Regel von einem Bild mit weiteren Informationen begleitet. In einigen Fllen erfolgt ein zustzlicher spezieller Lsungshinweis. Verweise auf die Lehrbcher des Autors und die bentigten physikalischen Grundlagen im Anhang. Ausfhrliche Lsung der Aufgabe mit smtlichen Zwischenschritten unter Angabe der verwendeten Formeln (aus der Formelsammlung des Autors) und der bentigten physikalischen Grundlagen aus dem Anhang dieses Buches.

Beachten Sie ferner die speziellen Hinweise am Anfang der Kapitel.

Inhaltsverzeichnis I Vektorrechnung Beispiel

Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet

Seite

1

Kraftzerlegung am Keil

Zerlegung eines Vektors in Komponenten

1

2

Zusammengesetzte Bewegung einer Fhre

Vektoraddition

2

3

Krftegleichgewicht an einem belasteten Rollensystem

Vektoraddition

3

4

Zweifach gelagerte Welle bei Belastung

Komponentenrechnung

4

5

Stabkrfte (Reaktionskrfte) in einem Ausleger

Vektoraddition

5

6

Schwerpunkt eines Massenpunktsystems

Vektoraddition

7

7

berlagerung elektrischer Felder

Vektoraddition

8

8

Kraftwirkung zwischen stromdurchflossenen Leitern

Vektorprodukt

10

9

Stabkrfte (Reaktionskrfte) in einem belasteten Dreibein

Rumliche Vektoraddition, Gaußscher Algorithmus

11

10

Arbeit an einer Punktladung in einem elektrischen Feld

Skalarprodukt

14

11

Durchbiegung eines Balkens bei Belastung durch mehrere Krfte

Skalarprodukt

15

12

Moment einer Kraft in einem Kugelgelenk

Vektorprodukt, Richtungswinkel

17

13

Umfangsgeschwindigkeit einer rotierenden Zylinderscheibe

Vektorprodukt, Ableitung eines Vektors

18

14

Drehmoment einer stromdurchflossenen Leiterschleife in einem Magnetfeld

Vektorprodukt

19

15

Krftefreie Bewegung eines Elektrons in einem elektromagnetischen Feld

Vektorprodukt, Richtungswinkel

20

16

Fachwerk im statischen Gleichgewicht Vektoraddition, Vektorprodukt, lineares Gleichungssystem

21

X

Inhaltsverzeichnis

17

Komplanare Kraftvektoren

Vektoraddition, Richtungswinkel, Spatprodukt

24

18

Spannungsstoß in einer Leiterschleife infolge elektromagnetischer Induktion

Vektor- und Spatprodukt

25

19

Bewegung von Ladungstrgern in einem Magnetfeld

Ableitungen eines Vektors, Skalar- und Spatprodukt

27

II Funktionen und Kurven Beispiel

Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet

Seite

1

Reihenschaltung aus n gleichen Spannungsquellen

Diskrete Funktion

29

2

Zeitversetzter freier Fall zweier Kugeln

Lineare Funktion

30

3

Zugspannung in einem rotierenden Stab

Quadratische Funktion

32

4

Sortiervorrichtung

Parameterdarstellung, quadratische Funktion

33

5

Aufeinander abrollende Zahnrder (Epizykloide)

Parameterdarstellung einer Kurve

34

6

Fallbeschleunigung innerhalb und außerhalb eines Erdkanals

Lineare Funktion, gebrochenrationale Funktion

38

7

Verteilung der Stromdichte in einem stromdurchflossenen Hohlzylinder

Gebrochenrationale Funktion

40

8

Kapazitt eines Kondensators mit geschichtetem Dielektrikum

Gebrochenrationale Funktion

41

9

Magnetfeld in der Umgebung einer stromdurchflossenen elektrischen Doppelleitung

Gebrochenrationale Funktion

42

10

Kennlinie einer Glhlampe

Interpolationsformel von Newton, kubische Funktion, Horner-Schema

45

11

Doppelschieber

Parameterdarstellung, Kegelschnittgleichung

47

12

Rollbewegung einer Zylinderwalze lngs einer schiefen Ebene

Wurzelfunktion

49

13

Ballistisches Pendel

Zusammengesetzte Funktion

50

Inhaltsverzeichnis

XI

14

Momentane (zeitabhngige) Leistung eines Wechselstroms

Sinus- und Kosinusfunktionen

52

15

berlagerung gleichfrequenter Schwingungen gleicher Raumrichtung

Sinus- und Kosinusfunktionen

54

16

Lissajous-Figuren

Parameterdarstellung, Sinus- und Kosinusfunktionen, Wurzelfunktionen

56

17

Schwebungen

Trigonometrische Funktionen

58

18

Fliehkraft- oder Zentrifugalkraftregler

Trigonometrische Funktionen, Arkuskosinusfunktion

60

19

Ladestrom in einer RC-Parallelschaltung

Exponentialfunktion (Abklingfunktion)

62

20

RC-Glied mit Rampenspannung

Exponentialfunktion (Sttigungsfunktion)

64

21

Aperiodischer Grenzfall einer Schwingung

Kriechfunktion (Exponentialfunktion)

65

22

Barometrische Hhenformel

Logarithmusfunktion

66

23

Zusammenhang zwischen FallHyperbelfunktionen geschwindigkeit und Fallweg unter Bercksichtigung des Luftwiderstandes

68

III Differentialrechnung Beispiel

Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet

Seite

1

Induktionsspannung in einer Leiterschleife

Elementare Differentiation

70

2

Elektronenstrahl-Oszilloskop

Elementare Differentiation, Tangentengleichung

71

3

Querkraft- und Momentenverlauf lngs eines belasteten Trgers

Elementare Differentiation

73

4

Rotierende Zylinderscheibe in einer zhen Flssigkeit

Differentiation (Kettenregel)

75

5

Kurbeltrieb

Differentiation (Kettenregel)

76

6

Zusammenhang zwischen Fallbeschleunigung und Fallweg unter Bercksichtigung des Luftwiderstandes

Differentiation (Kettenregel)

78

XII

Inhaltsverzeichnis

7

Periodische Bewegung eines Massenpunktes

Differentiation eines zeitabhngigen Ortsvektors

80

8

Rollkurve oder gewhnliche Zykloide

Differentiation eines zeitabhngigen Ortsvektors

82

9

Linearisierung einer HalbleiterKennlinie

Linearisierung einer Funktion

84

10

Linearisierung der Widerstandskennlinie eines Thermistors (Heißleiters)

Linearisierung einer Funktion

86

11

Kritische Daten eines realen Gases

Sattelpunkt

88

12

Wurfparabel eines Wasserstrahls

Extremwertaufgabe

91

13

Scheibenpendel mit minimaler Schwingungsdauer

Extremwertaufgabe

93

14

Leistungsanpassung eines Verbraucher- Extremwertaufgabe widerstandes

95

15

Resonanzfall bei einer erzwungenen Schwingung

Extremwertberechnung

97

16

Optimale Beleuchtung eines Punktes durch eine Lichtquelle

Extremwertaufgabe

99

17

Gaußsche Normalverteilung

Extremwerte, Wendepunkte

101

18

Elektrische Feldstrke in der Umgebung einer elektrischen Doppelleitung

Kurvendiskussion

104

19

Ungestrte berlagerung zeitabhngiger Impulse

Kurvendiskussion

106

20

berlagerung von Sinusschwingungen gleicher Raumrichtung, aber unterschiedlicher Frequenz

Kurvendiskussion

110

21

Fallgeschwindigkeit mit und ohne Grenzwertregel von Bernoulli und Bercksichtigung des Luftwiderstandes de L’Hospital

113

22

Erwungene Schwingung im Resonanzfall

115

23

Eintauchtiefe einer Boje in Salzwasser Tangentenverfahren von Newton

118

24

Freihngendes Seil (Seilkurve, Kettenlinie)

120

Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital

Tangentenverfahren von Newton

Inhaltsverzeichnis

XIII

IV Integralrechnung Beispiel

Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet

Seite

1

Induktionsspannung in einer in einem Magnetfeld rotierenden Metallscheibe

123

2

Rollbewegung einer Kugel lngs einer Elementare Integrationen schiefen Ebene (Grundintegrale)

124

3

Oberflchenprofil einer rotierenden Flssigkeit

Elementare Integration (Grundintegral)

126

4

Resultierende eines ebenen parallelen Krftesystems

Elementare Integrationen (Grundintegrale)

127

5

Querkraft und Biegemoment lngs eines Balkens mit linear ansteigender Last (Dreieckslast)

Elementare Integrationen (Grundintegrale)

129

6

Fliehkraft- oder Zentrifugalkraftregler

Elementare Integration (Grundintegral)

130

7

Massentrgheitsmoment eines Rotationskrpers mit elliptischem Querschnitt

Elementare Integration (Grundintegral)

133

8

Zugstab mit konstanter Zugspannung

Elementare Integrationen (Grundintegrale)

134

9

Magnetischer Fluss durch eine Leiterschleife

Elementare Integrationen (Grundintegrale)

135

10

Kapazitt eines Koaxialkabels

Elementare Integration (Grundintegral)

137

11

bergangswiderstand einer Kugel

Elementare Integration (Grundintegral)

138

12

Arbeit im Gravitationsfeld der Erde

Elementare Integration (Grundintegral)

140

13

Elektrischer Widerstand eines kegelstumpffrmigen Kontaktes

Integration mittels Substitution

141

14

Freier Fall unter Bercksichtigung des Integration mittels Substitution Luftwiderstandes

143

15

Aufladung eines Kondensators in einem RC-Schaltkreis

Integration mittels Substitution

145

16

Rotation einer Scheibe in einer Flssigkeit

Integration mittels Substitution

147

Elementare Integration (Grundintegral)

XIV

Inhaltsverzeichnis

17

Kapazitt einer elektrischen Doppelleitung

Integration mittels Substitution

149

18

Effektivwert eines Wechselstroms

Integration mittels Substitution

150

19

Bogenlnge einer Epizykloide

Integration mittels Substitution

152

20

Fallgesetze bei Bercksichtigung des Luftwiderstandes

Integration mittels Substitution

155

21

Mittlere Geschwindigkeit von Gasmoleklen

Partielle Integration

156

22

Durchschnittliche Leistung eines Wechselstroms in einem RL-Schaltkreis

Integration mittels Substitution bzw. partieller Integration

159

23

Induktivitt einer elektrischen Doppelleitung

Integration durch Partialbruchzerlegung des Integranden, Integration mittels Substitution

162

24

Schwingungsdauer eines Fadenpendels Numerische Integration nach Simpson

164

V Taylor- und Fourier-Reihen Beispiel

Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet

Seite

1

Fallgeschwindigkeit mit und ohne Grenzwertbestimmung mittels Bercksichtigung des Luftwiderstandes Reihenentwicklung

167

2

Elektrischer Widerstand zwischen zwei koaxialen Zylinderelektroden (Hohlzylinder)

Potenzreihenentwicklung, Nherungspolynome

169

3

Temperaturabhngigkeit der Dichte eines Festkrpers

Potenzreihenentwicklung, lineare Nherungsfunktion

171

4

Magnetische Feldstrke in der Mitte einer stromdurchflossenen Zylinderspule

Potenzreihenentwicklung, Nherungspolynom

172

5

Temperaturabhngigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft

Potenzreihenentwicklung, lineare Nherungsfunktion

174

6

Spiegelgalvanometer

Potenzreihenentwicklung, lineare Nherungsfunktion

176

7

Kapazitt einer elektrischen Doppelleitung

Potenzreihenentwicklung, Nherungsformel

177

Inhaltsverzeichnis

XV

8

Relativistische Masse und Energie eines Elektrons

Potenzreihenentwicklung, Nherungspolynom

179

9

RC-Schaltung mit Rampenspannung

Potenzreihenentwicklung, Nherungsfunktionen

180

10

Freihngendes Seil (Seilkurve, Kettenlinie)

Lsen einer Gleichung mittels Reihenentwicklung, Nherungsparabel

182

11

Gaußsche Normalverteilung

Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden

184

12

Schwingungsdauer eines Fadenpendels Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden

186

13

Fourier-Zerlegung einer periodischen Folge rechteckiger Spannungsimpulse

Fourier-Reihe, Amplitudenspektrum

190

14

Fourier-Reihe einer Kippspannung (Sgezahnimpuls)

Fourier-Reihe in reller Form

194

15

Fourier-Zerlegung eines „ angeschnittenen “ Wechselstroms

Fourier-Reihe in reller Form

196

16

Fourier-Reihe einer Kippschwingung

Fourier-Reihe in komplexer und reeller Form

200

VI Komplexe Zahlen und Funktionen Beispiel

Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet

Seite

1

Resonanz im Parallelschwingkreis

Komplexe Rechnung

203

2

Ohmscher Spannungsteiler

Komplexe Rechnung

204

3

Berechnung des komplexen Widerstandes eines Netzwerkes

Komplexe Rechnung

206

4

Wechselstrommessbrcke

Komplexe Rechnung

208

5

Wechselstromparadoxon

Komplexe Rechnung

210

6

Komplexer Wechselstromkreis

Komplexe Rechnung

212

7

berlagerung gleichfrequenter Schwingungen gleicher Raumrichtung

Komplexe Zeiger, Zeigerdiagramm

215

8

Leitwertortskurve einer RC-Parallelschaltung

Ortskurve einer parameterabhngigen 218 komplexen Grße

9

Widerstands- und Leitwertortskurve einer RL-Reihenschaltung

Ortskurven parameterabhngiger komplexer Grßen

219

XVI

Inhaltsverzeichnis

VII Lineare Algebra Beispiel

Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet

Seite

1

Widerstands- und Kettenmatrix eines lineare Vierpols

Matrix, Determinante einer Matrix

221

2

Vierpolgleichungen fr ein symmetrisches T-Glied

Matrizenrechnung, inverse Matrix

223

3

Symmetrische p-Schaltung

Multiplikation von Matrizen

226

4

Kettenschaltung von Vierpolen

Multiplikation von Matrizen

227

5

Durchbiegung eines Trgers bei Belastung durch mehrere Krfte (Superpositionsprinzip)

Multiplikation von Matrizen (Falk-Schema)

228

6

Eigenkreisfrequenzen einer Biegeschwingung

Determinantengleichung

230

7

Elektromagnetische Induktion in Dreireihige Determinante einem durch ein Magnetfeld bewegten elektrischen Leiter

232

8

Kritische Drehzahlen einer zweifach gelagerten Welle

Homogenes lineares Gleichungssystem, Determinantengleichung

233

9

Widerstandsmessung mit der Wheatstoneschen Brcke

Homogenes lineares Gleichungssystem, Determinanten

236

10

Torsionsschwingungen einer Welle

Dreireihige Determinante

238

11

Verzweigter Stromkreis

Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Cramersche Regel

239

12

Beschleunigte Massen in einem Rollensystem

Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Cramersche Regel

241

13

Berechnung der Zweigstrme in einem elektrischen Netzwerk

Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Cramersche Regel

243

14

Netzwerkanalyse nach dem Maschenstromverfahren

Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Gaußscher Algorithmus

244

15

Berechnung der Zweigstrme in einem elektrischen Netzwerk

Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Gaußscher Algorithmus (Matrizenform)

247

16

Berechnung der Strme in einer Netzmasche

Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Gaußscher Algorithmus

249

17

Modifizierter Gerber-Trger

Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Gaußscher Algorithmus

251

18

Normalschwingungen eines diatomaren 2-dimensionales Eigenwertproblem Molekls (Zwei-Teilchen-Schwinger)

254

Inhaltsverzeichnis

XVII

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen Beispiel

Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet

Seite

1

Potential und elektrische Feldstrke im elektrostatischen Feld zweier Punktladungen

258

2

Statisch unbestimmt gelagerter Balken Partielle Ableitungen

260

3

Temperaturverteilung lngs eines Metallstabes (eindimensionale Wrmeleitungsgleichung)

Partielle Ableitungen

263

4

Kapazitt einer Kondensatorschaltung

Totales oder vollstndiges Differential

265

5

Schwingungsgleichung der Mechanik

Totales oder vollstndiges Differential

267

6

Thermodynamische Zustandsfunktionen

Totales Differential, wegunabhngiges Linienintegral

268

7

Selbstinduktivitt einer elektrischen Doppelleitung

Linearisierung einer Funktion

270

8

Leistungsanpassung beim Wechselstromgenerator

Extremwertafgabe

273

9

Eine Anwendung des Gaußschen Fehlerintegrals

Extremwertaufgabe

277

10

Flcheninhalt und Flchenschwerpunkt eines Kreisabschnittes (Kreissegmentes)

Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten

281

11

Magnetischer Fluss durch eine Leiterschleife

Doppelintegral in Polarkoordinaten

284

12

Stromstrke in einem Leiter bei ortsabhngiger Stromdichte

Doppelintegral in Polarkoordinaten

285

13

Gaußsche Normalverteilung

Doppelintegral in Polarkoordinaten

287

14

Schwerpunkt, Hauptachsen und Hauptflchenmomente 2. Grades (Hauptflchentrgheitsmomente) einer trapezfrmigen Flche

Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten

291

15

Volumen und Schwerpunkt eines Tetraeders

Dreifachintegrale in kartesischen Koordinaten

296

Partielle Ableitungen 1. Ordnung

XVIII

Inhaltsverzeichnis

16

Massentrgheitsmoment eines Speichenrades

Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten

299

17

Schwerpunkt eines rotationssymmetrischen Krpers mit elliptischem Querschnitt und zylindrischer Bohrung

Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten

301

18

Massentrgheitsmomente eines homogenen Kegels

Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten

304

19

Silo (Großspeicher) mit inhomogener Fllmasse

Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten

310

20

Kugelsymmetrische Ladungsverteilung Dreifachintegral in Kugelkoordinaten 313 in einer Kugel

IX Gewhnliche Differentialgleichungen Beispiel

Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet

Seite

1

Raketengleichung

Dgl 1. Ordnung vom Typ y 0 ¼ f ðxÞ (Integration mittels Substitution)

315

2

RL-Schaltkreis mit einer Gleichstromquelle

Homogene lineare Dgl 1. Ordnung (Trennung der Variablen)

319

3

Seilkrfte und Seilreibung

Homogene lineare Dgl 1. Ordnung (Trennung der Variablen)

322

4

Fallbewegung einer Kugel in einer zhen Flssigkeit

Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Variation der Konstanten)

323

5

RC-Schaltkreis mit einer Gleichspannungsquelle

Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Variation der Konstanten)

327

6

RC-Wechselstromkreis

Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Aufsuchen einer partikulren Lsung)

330

7

Biegelinie eines beidseitig eingespannten Balkens bei konstanter Streckenlast

Dgl. 2. Ordnung vom Typ y 00 ¼ f ðxÞ (direkte Integration)

334

8

Knicklast nach Euler

Homogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung)

336

9

Radialbewegung einer Masse in einer geraden, rotierenden Fhrung

Homogene lineare Dgl 2. Ordnung

338

Inhaltsverzeichnis

XIX

10

Elektromagnetischer Schwingkreis

Homogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung)

340

11

Biegeschwingung einer elastischen Blattfeder

Homogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung)

342

12

Scheibenpendel (physikalisches Pendel)

Homogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung)

345

13

Vertikale Schwingungen eines Krpers Homogene lineare Dgl 2. Ordnung in einer Flssigkeit (gedmpfte Schwingung)

347

14

Schwingung eines rotierenden Federpendels

Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung, Aufsuchen einer partikulren Lsung)

349

15

Drehspulinstrument

Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung, Aufsuchen einer partikulren Lsung)

352

16

Erzwungene mechanische Schwingung Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung 356 (erzwungene Schwingung, Aufsuchen einer partikulren Lsung)

17

Gleichung einer Seilkurve (Kettenlinie)

Nichtlineare Dgl 2. Ordnung (Substitutionsmethode, Trennung der Variablen)

359

18

Torsionsschwingungen einer zweifach besetzten elastischen Welle

System linearer Dgln 2. Ordnung

361

19

Elektronenbahn im homogenen Magnetfeld

System linearer Dgln 2. Ordnung

363

20

2-stufige chemische Reaktion vom Typ X ! Y ! Z

System homogener linearer Dgln 1. Ordnung, Matrizeneigenwertproblem, Lineares Gleichungssystem

367

X Fehler- und Ausgleichsrechnung Beispiel

Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet

Seite

1

Widerstandsmoment eines kreisringfrmigen Rohrquerschnittes gegen Torsion (Verdrehung)

Maximale Messunsicherheit (Maximalfehler, maximaler oder grßtmglicher Fehler)

372

2

Kombinierte Parallel-Reihenschaltung elastischer Federn

Maximale Messunsicherheit (Maximalfehler, maximaler oder grßtmglicher Fehler)

374

XX

Inhaltsverzeichnis

3

Selbstinduktivitt einer elektrischen Doppelleitung

Fehlerfortpflanzung nach Gauß

376

4

Wirkleistung eines Wechselstroms

Maximale Messunsicherheit (Maximalfehler, maximaler oder grßtmglicher Fehler)

378

5

Widerstandsmessung mit der Wheatstoneschen Brcke

Mittelwert und Standardabweichung des Mittelwertes (mittlerer Fehler des Mittelwertes), Fehlerfortpflanzung nach Gauß

380

6

Massentrgheitsmoment eines dnnen Stabes

Auswertung von Messreihen, Fehlerfortpflanzung nach Gauß

382

7

Widerstandskennlinie eines Thermistors (Heißleiters)

Ausgleichskurve (Exponentialfunktion)

384

8

Kennlinie eines nichtlinearen Widerstandes (Glhlampe)

Ausgleichskurve (kubische Funktion) 386

XI Fourier-Transformationen Beispiel

Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet

Seite

1

Spektraldichte eines cos 2 -Impulses

Fourier-Integral, Fourier-KosinusTransformation

390

2

Amplituden- und Phasengang eines DT1-Regelkreisgliedes

Fourier-Transformation, Frequenzspektrum

392

3

Beidseitig gedmpfte (amplitudenmodulierte) Sinusschwingung

Fourier-Integral, Fourier-SinusTransformation

394

4

Spektraldichte (Frequenzspektrum) eines modulierten Rechteckimpulses

Fourier-Integral, Dmpfungssatz (Frequenzverschiebungssatz)

397

5

Impulsantwort eines PT1-bertragungssystems

Inverse Fourier-Transformation, Zeitverschiebungssatz, Faltungssatz

400

6

Lineares zeitinvariantes bertragungs- Inverse Fourier-Transformation system (LTI-System)

403

7

bertragungsverhalten einer RC-Schaltung

Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung, Ableitungssatz fr Originalfunktionen, inverse FourierTransformation

404

8

Fourier-Analyse einer gedmpften mechanischen Schwingung

Fourier-Integral, Amplituden- und Phasenspektrum

408

Inhaltsverzeichnis 9

Frequenzgang und Impulsantwort eines linearen bertragungssystems

XXI

Inverse Fourier-Transformation, Faltungsprodukt (Faltungsintegral), Partialbruchzerlegung

412

XII Laplace-Transformationen Beispiel

Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet

Seite

1

Ausschaltvorgang in einem RL-Schaltkreis

Homogene lineare Dgl 1. Ordnung (Ableitungssatz fr Originalfunktionen)

416

2

RC-Wechselstromkreis

Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Ableitungssatz fr Originalfunktionen, Faltungssatz)

418

3

RL-Schaltkreis mit Rampenspannung

Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Ableitungssatz fr Originalfunktionen)

422

4

RC-Schaltkreis mit einem rechteckigen Spannungsimpuls

Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Ableitungssatz fr Originalfunktionen, 1. Verschiebungssatz)

424

5

Rohrzuckerinversion

Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Ableitungssatz fr Originalfunktionen)

428

6

Bewegung einer Masse im Erdkanal

Homogene lineare Dgl 2. Ordnung (Ableitungssatz fr Originalfunktionen)

430

7

Schwingung eines rotierenden Federpendels

Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung (Ableitungssatz fr Originalfunktionen)

432

8

Erzwungene mechanische Schwingung Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung im Resonanzfall (Ableitungssatz fr Originalfunktionen)

435

9

Erzwungene Schwingung eines mechanischen Systems

Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung 436 (Ableitungssatz fr Originalfunktionen)

Elektromagnetischer Reihenschwingkreis

Integro-Differentialgleichung (Ableitungs- und Integrationssatz fr Originalfunktionen)

10

439

XXII

Inhaltsverzeichnis

11

Spannungsbertragung bei einem Vierpol

System linearer Dgln 1. Ordnung 442 (Ableitungssatz fr Originalfunktionen, Partialbruchzerlegung der Bildfunktion)

12

Gekoppelte mechanische Schwingungen

System linearer Dgln 2. Ordnung (Ableitungssatz fr Originalfunktionen)

447

XIII Vektoranalysis Beispiel

Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet

Seite

1

Temperaturverteilung auf einer dnnen Zylinderscheibe

Niveaulinien (quipotentiallinien), Gradient

452

2

Quellstrmung einer Flssigkeit

Niveaulinien, Gradient

454

3

Potential und Feldstrke des elektrischen Feldes in der Umgebung einer homogen geladenen Kugel

quipotentialflche (Niveauflche), Gradient

456

4

Geschwindigkeitsfeld einer rotierenden Rotation Kugel

458

5

Zusammenhang zwischen der elektrischen Feldstrke und der rumlichen Ladungsdichte in einem elektrischen Feld (Maxwellsche Gleichung)

Divergenz, Rotation

460

6

Kugel- oder radialsymmetrische Vektorfelder (Zentralfelder)

Divergenz, Rotation

461

7

Elektrisches Feld in der Umgebung eines homogen geladenen Zylinders

Divergenz, Rotation

463

8

Staupunktstrmung einer Flssigkeit

Rotation, Divergenz, Gradient, Differentialgleichung (Trennung der Variablen)

465

9

Stationre (zeitunabhngige) Wrmeleitung durch eine Rohrwand

Laplace-Gleichung, Differentialgleichung (Trennung der Variablen)

469

Gravitationspotential und Fallbeschleunigung

Gradient, Laplace-Gleichung (Potentialgleichung)

471

10

Inhaltsverzeichnis

XXIII

11

Potential und Feldstrke des elektrischen Feldes im Innenraum eines homogen geladenen Zylinders

Gradient, Potentialgleichung (Laplace-Gleichung)

473

12

Wirbelfreies Geschwindigkeitsfeld einer ebenen Strmung

Divergenz, Rotation, Gradient

475

13

Magnetfeld eines stromdurchflossenen linearen Leiters

Linienintegral

478

14

Elektrisches Feld einer Linienquelle

Gradient, Rotation, Linienintegral

480

15

Magnetische Feldstrke in der Achse eines stromdurchflossenen kreisfrmigen Leiters

Linienintegral

484

16

Gravitationspotential der Erde

Rotation, Konservatives Feld, Linienintegral

486

17

Fluss eines elektrischen Feldes durch eine geschlossene Oberflche

Oberflchenintegral, Volumenintegral, 488 Integralsatz von Gauß

18

Fluss eines Zentralfeldes durch eine konzentrische Kugeloberflche

Divergenz, Oberflchenintegral, Integralsatz von Gauß

19

Elektrische Ladung und Ladungsdichte Integralsatz von Gauß, einer homogen geladenen Kugel Oberflchenintegral

493

20

Magnetfeld in der Umgebung eines stromdurchflossenen zylindrischen Leiters

495

Rotation, Integralsatz von Stokes

Anhang: Physikalische Grundlagen

491

I Vektorrechnung Beispiel 1:

Kraftzerlegung am Keil Zerlegung eines Vektors in Komponenten

Zerlegen Sie gemß Bild I-1 die am Keil angreifende Kraft ~ vom Betrag F ¼ 5 kN in die beiden NormalkomponenF ~N 1 und F ~N 2 : ten F

F

a) zeichnerische Lsung, F N1

b) rechnerische Lsung.

F N2 Keil 20°

Bild I-1 Lehrbuch: Bd. 1, II.2.1

Lsung: ~N 1 und F ~N 2 a) Bild I-2 zeigt in einer Skizze, wie sich die beiden Normalkomponenten F ~ vektoriell zum (vorgegebenen) Kraftvektor F addieren. Da sie aus Symmetriegrnden den gleichen Betrag haben, ist das zugehrige Krftedreieck gleichschenklig. Daher gilt: ~¼ F ~N 1 þ F ~N 2 , F

FN 1 ¼ FN 2 ¼ FN ,

a ¼ 80 ,

b ¼ 20

Aus der gegebenen Seite F ¼ 5 kN und den bekannten Winkeln konstruieren wir das Krftedreieck und lesen die gesuchten Werte ab (Bild I-3): FN 1 ¼ FN 2 14,4 kN

4 ,4 F N1 ≈ 1

F N1

b

Bild I-2

80°

20°

a a

F N1

kN

F N2

b

F

a a

1 kN

F = 5 kN

FN 2 ≈ 1 4 ,4

Bild I-3

80°

kN

F

F N2

b) Aus dem Krftedreieck folgt mit FN 1 ¼ FN 2 ¼ FN unter Verwendung des Kosinussatzes F 2 ¼ FN2 þ FN2 2 FN FN cos b ¼ 2 FN2 2 FN2 cos b ¼ 2 ð1 cos bÞ FN2 und somit FN2 ¼

F2 2 ð1 cos bÞ

)

F 5 kN FN ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 14,4 kN 2 ð1 cos bÞ 2 ð1 cos 20 Þ

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24882-6_1

2

I Vektorrechnung

Beispiel 2:

Zusammengesetzte Bewegung einer Fhre Vektoraddition

Eine Fhre bewegt sich mit der Eigengeschwindigkeit v 0 ¼ 4 m=s (relativ zum Fluss) vom Uferpunkt A aus auf krzestem Wege zum gegenberliegenden Flussufer (Punkt B; Bild I-4).

B

Ufer

v0

a) Unter welchem Winkel a muss die Fhre gegen die Strmung gesteuert werden, wenn die Geschwindigkeit der Strmung den Betrag v S ¼ 1 m=s hat?

Strömung

y

Fluss

vr

a Fähre Ufer

b) Wie groß ist dann die resultierende Geschwindigkeit v r der Fhre?

x

vs A

Bild I-4 Lehrbuch: Bd. 1, II.2.2.2

Lsung: a) Der krzeste Weg ist die geradlinige Verbindung senkrecht zur Strmungsrichtung des Flusses (Weg A––B ). Dazu muss die resultierende Geschwindigkeit ~ v r , die sich aus der v S vektoriell zusammenEigengeschwindigkeit ~ v 0 und der Strmungsgeschwindigkeit ~ setzt, in Richtung des Verbindungsweges A––B liegen. Die Geschwindigkeitsvektoren besitzen in dem skizzierten Koordinatensystem die folgende Komponentendarstellung (siehe Bild I-5): y vS 0 v 0 sin a ~ ~ ~ v0 ¼ , vr ¼ , vS ¼ v 0 cos a 0 vr v0 þ ~ v S folgt dann Aus der Vektorgleichung ~ vr ¼ ~ 0 vS v 0 sin a v 0 sin a þ v S ¼ ¼ þ v 0 cos a v 0 cos a 0 vr

v0 v 0y

a

oder (in Komponentenschreibweise) (I)

0 ¼ v 0 sin a þ v S

v 0x

(II) v r ¼ v 0 cos a

x

Bild I-5 Aus Gleichung (I) lsst sich der gesuchte Winkel a berechnen: vS vS 1 m=s 1 sin a ¼ ) a ¼ arcsin ¼ arcsin ¼ arcsin ¼ 14,48 v0 v0 4 m=s 4 b) Fr die resultierende Geschwindigkeit der Fhre erhalten wir damit aus Gleichung (II) v r ¼ v 0 cos a ¼ 4

m m cos 14,48 ¼ 3,87 s s

I Vektorrechnung

Beispiel 3:

3

Krftegleichgewicht an einem belasteten Rollensystem Vektoraddition

Bild I-6 zeigt ein symmetrisch aufgebautes System mit den drei Massen m 1 ¼ m 2 ¼ 2 m und m 3 ¼ 3 m, die durch ein ber zwei feste Rollen fhrendes Seil miteinander verbunden sind 1). Welcher Winkel a stellt sich im Gleichgewichtszustand ein?

S1

S2

aa

m1 = 2 m G1

m2 = 2 m G 1 = 2 mg

G 2 = 2 mg

G2 m3 = 3 m G 3 = 3 mg

G3

Bild I-6

Lehrbuch: Bd. 1, II.2.2.2

Physikalische Grundlagen: A1

Lsung: Aus Symmetriegrnden sind die Seilkrfte S~1 und S~2 betragsmßig gleich groß: S 1 ¼ S 2 ¼ 2 m g (die Gewichtskrfte der Massen m 1 ¼ m 2 ¼ 2 m werden durch das Seil lediglich umgelenkt). Im statischen Gleichgewicht [ A1 ] wird die Gewichts~3 durch die beiden kraft G Seilkrfte gerade kompensiert (Bild I-7a)). Es gilt dann die Vektorgleichung ~3 ¼ ~ 0 S~1 þ S~2 þ G

y S2

S2

S1

S1

S 1y S 1x S1

a)

G3

a a

S 2y

a a S 2x

x

S2

b)

G3

Bild I-7

Mit dem in Bild I-7b) eingefhrten Koordinatensystem lautet die Komponentendarstellung der drei Kraftvektoren wie folgt (Berechnung der Komponenten aus den angedeuteten rechtwinkligen Dreiecken):

1)

Die drei Massen werden aus Scheiben gleicher Masse m zusammengesetzt, sie bestehen demnach aus zwei bzw. drei solcher Scheiben.

4

I Vektorrechnung

S~1 ¼

S 1 sin a

¼

2 m g sin a

S 1 cos a 2 m g cos a 0 0 ~3 ¼ ¼ G G3 3mg

, S~2 ¼

S 2 sin a

¼

S 2 cos a

2 m g sin a

2 m g cos a

,

Somit ist im Gleichgewichtszustand 2 m g sin a 2 m g sin a 0 ~ ~ ~ S1 þ S2 þ G3 ¼ þ þ ¼ 2 m g cos a 2 m g cos a 3mg 0 0 ¼ ¼ 4 m g cos a 3 m g 0 Dies fhrt in der Komponentendarstellung zu der Indentitt 0 ¼ 0 (1. Vektorkomponente) und der skalaren Gleichung 4 m g cos a 3 m g ¼ 0 (2. Vektorkomponente), aus der sich der gesuchte Winkel a berechnen lsst: cos a ¼

3mg ¼ 0,75 4mg

a ¼ arccos 0,75 ¼ 41,4

)

S2

Zeichnerische Lsung

1 cm

S2

Wir konstruieren das gleichschenklige Krftedreieck, dessen drei Seiten S 1 , S 2 , G 3 sich wie 2 : 2 : 3 oder 1 : 1 : 1,5 verhalten und lesen fr den gesuchten Winkel den Wert a 41 ab (Bild I-8).

S1 = S2 ^ = 5 cm ^ 7,5 cm G3 =

G3

S1 S1

a G3

Bild I-8

Beispiel 4:

Zweifach gelagerte Welle bei Belastung Komponentenrechnung

Bild I-9 zeigt eine zweifach gelagerte Welle, die durch ~1 und F ~2 (senkrecht zur Welzwei parallele Krfte F le) belastet wird. Bestimmen Sie durch Komponentenrechnung die in den Lagern A und B auftreten~B . ~A und F den Krfte F a ¼ 0,5 m ; F1 ¼ 10 kN ;

F2 ¼ 40 kN

y F1

A

a

F2

a

FA

Bild I-9 Lehrbuch: Bd. 1, II.2.1 und II.2.2

Physikalische Grundlagen: A1

a

B FB

x

I Vektorrechnung

5

Lsung: ~A und F ~B haben die in Bild I-9 skizzierten Richtungen und lassen sich Die Lagerkrfte F aus den folgenden statischen Gleichgewichtsbedingungen [ A1 ] bestimmen: P 1. Bedingung: Fi y ¼ 0 ( y-Komponenten der Krfte) 2) FA F1 F2 þ FB ¼ 0 P 2. Bedingung: Mi z ¼ 0 (z-Komponenten der Momente) 3) (I)

(II)

F1 a F2 2 a þ FB 3 a ¼ 0

(Bezugspunkt: A)

Gleichung (II) lsen wir nach FB auf und erhalten FB ¼

F1 a þ F2 2 a F1 þ 2 F2 10 kN þ 2 40 kN 90 kN ¼ ¼ ¼ 30 kN ¼ 3a 3 3 3

Mit diesem Wert folgt aus Gleichung (I) fr die Auflagerkraft FA : FA ¼ F1 þ F2 FB ¼ 10 kN þ 40 kN 30 kN ¼ 20 kN Die Lagerkrfte betragen somit im Gleichgewichtszustand FA ¼ 20 kN und FB ¼ 30 kN.

Beispiel 5:

Stabkrfte (Reaktionskrfte) in einem Ausleger Vektoraddition

Bild I-10 zeigt einen aus zwei Stben S A und S B bestehenden Ausleger. Im Gelenk S greift unter einem Winkel von a ¼ 30 ~ vom Begegen die Vertikale eine Kraft F trag F ¼ 10 kN an. Bestimmen Sie die in den Stben auftretenden Reaktionskrfte ~B . ~A und F (Zugkrfte, Druckkrfte) F

y a B

S x

a FA

b

a ¼ 4 m; b ¼ 3 m

FB

F

A

Bild I-10

2)

3)

Die x-Komponenten verschwinden, ebenso die z-Komponenten, da alle Krfte in der x, y-Ebene liegen. Die y-Komponenten sind zugleich die Betrge der Krfte. Die brigen Komponenten verschwinden, da die Momente senkrecht zur x, y-Ebene stehen.

6

I Vektorrechnung

Lsungshinweis: Setzen Sie die Reaktionskrfte in der aus Bild I-10 ersichtlichen Weise zunchst als Zugkrfte an. Das Eigengewicht der Stbe bleibt dabei unbercksichtigt. Lehrbuch: Bd. 1, II.2.2

Physikalische Grundlagen: A1

Lsung: Wir beschreiben zunchst die beiden Stbe durch Vektoren im eingezeichneten x, y-Koordinatensystem: a 4 a 4 ! ! SA ¼ ¼ m, SB ¼ ¼ m b 3 0 0 ~B sind dann zu ihrem jeweiligen Stabvektor parallel (kollineare ~A und F Die Stabkrfte F Vektoren). Somit gilt 4 4 ~A ¼ l ! ~B ¼ m ! F SA ¼ l SB ¼ m m, F m 3 0 Die auf das Gelenk S einwirkende ußere Kraft ist 5 F sin a 10 kN sin 30 ~ ¼ F ¼ kN ¼ 10 kN cos 30 8,66 F cos a Im statischen-Gleichgewicht [ A1 ] ist dann ~B þ F ~¼~ ~A þ F 0 F und somit 4 4 5 l mþm mþ kN ¼ 3 0 8,66 4 m l 4 m m þ 5 kN 0 ¼ ¼ kN 3 m l 8,66 kN 0 oder bei komponentenweiser Schreibweise 4 m l 4 m m þ 5 kN 3 m l

¼ 0 kN

8,66 kN ¼ 0 kN

Dieses gestaffelte System aus zwei linearen Gleichungen mit den beiden Unbekannten l und m lsst sich mhelos von unten nach oben lsen (zunchst die untere Gleichung lsen): 3 m l ¼ 8,66 kN

)

l ¼ 2,89

kN m

kN 5 kN ¼ 4 m m ¼ 4 m l 5 kN ¼ 4 m 2,89 m ¼ 11,56 kN 5 kN ¼ 16,56 kN

)

m ¼ 4,14

kN m

I Vektorrechnung

7

Die Stabkrfte lauten somit (einschließlich ihrer Betrge) wie folgt: pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 4 11,56 ~A ¼ 2,89 kN m¼ kN , FA ¼ 11,56 2 þ 8,67 2 kN ¼ 14,45 kN , F m 3 8,67 16,56 kN 4 ~ FB ¼ 4,14 m ¼ kN , FB ¼ 16,56 kN m 0 0 ~B ist (wie angenommen) eine Zugkraft, F ~A dagegen wegen l < 0 eine Druckkraft. Der F Stab S B ist daher ein Zugstab, der Stab S A dagegen ein Druckstab.

Beispiel 6:

Schwerpunkt eines Massenpunktsystems Vektoraddition

In den Ecken A, B und C eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlnge 2 a befinden sich jeweils gleiche Punktmassen m. Bestimmen Sie den Schwerpunkt S dieses Massenpunktsystems und zeigen Sie, dass dieser von jeder der drei Ecken gleich weit entfernt ist (Bild I-11).

y m

B

rB

2a

2a

S m C rC

yS

rS 0

m rA A

x

2a

Bild I-11

Lehrbuch: Bd. 1, II.2.2

Physikalische Grundlagen: A2

Lsung: Wir bestimmen zunchst die Ortsvektoren der drei Eckpunkte A, B und C sowie den Ortsvektor des Schwerpunktes S, der aus Symmetriegrnden auf der y-Achse liegen muss. Sie lauten: a 0 a 0 pﬃﬃﬃ , ~ ~ ~ ~ rA ¼ , rB ¼ , rS ¼ rC ¼ 0 a 3 0 yS COB berechnet Die Ordinate y B von B haben wir dabei aus dem rechtwinkligen Dreieck p ﬃﬃﬃ (Satz des Pythagoras): a 2 þ y 2B ¼ 4 a 2 ) y 2B ¼ 3 a 2 ) y B ¼ a 3 Die Lage des Schwerpunktes lsst sich allgemein aus der Vektorgleichung [ A2 ] bestimmen: X X rS ¼ ri mi~ mi ~

8

I Vektorrechnung

(~ ri ist der Ortsvektor der Masse mi , summiert wird ber alle zum System gehrenden Massenpunkte). In unserem Fall erhalten wir unter Beachtung von m 1 ¼ m 2 ¼ m 3 ¼ m die Vektorgleichung 3 m~ rS ¼ m~ rA þ m~ rB þ m~ rC

oder

3~ rS ¼ ~ rA þ ~ rB þ ~ rC

und damit 3~ rS ¼

a 0

þ

0 pﬃﬃﬃ a 3

þ

a 0

¼

0 pﬃﬃﬃ a 3

0 a pﬃﬃﬃ 3 3

~ rS ¼

oder

!

a pﬃﬃﬃ 3. 3 Die Abstnde des Schwerpunktes S von den drei Ecken A, B und C betragen rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ a pﬃﬃﬃ 2ﬃ 1 2 4 2 2 pﬃﬃﬃ 2 2 2 2 S A ¼ S C ¼ a þ yS ¼ a þ 3 ¼ a þ a ¼ a ¼ a 3 3 3 3 3 Die Schwerpunktskoordinaten lauten daher: x S ¼ 0 , y S ¼

S B ¼ yB yS ¼ a

pﬃﬃﬃ a pﬃﬃﬃ 2 pﬃﬃﬃ 3 a 3 3 ¼ 3 3

und sind somit (wie behauptet) gleich.

Beispiel 7:

berlagerung elektrischer Felder Vektoraddition

In den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlnge 2 a befinden sich jeweils gleiche (positive) Punktladungen Q (Bild I-12). Zeigen Sie, dass eine im Schwerpunkt S angebrachte Probeladung q krftefrei bleibt.

Q3 = Q r3

2a r1 S

q

Q1 = Q

2a r2 Q2 = Q

2a

Bild I-12 Lsungshinweis: Bei der Lsung dieser Aufgabe drfen Sie auf die Ergebnisse aus dem Beispiel 6 dieses Kapitels zurckgreifen. Das System befindet sich in einem Medium mit der Dielektrizittskonstanten e. Lehrbuch: Bd. 1, II.2.2.2

Physikalische Grundlagen: A3

I Vektorrechnung

9

Lsung: r i ist der Abstand des Schwerpunktes S von der Ladung Q i ¼ Q (mit i ¼ 1, 2, 3Þ. Nach Beispiel 6 hat dann der Schwerpunkt von jeder der drei Ladungen den gleichen Abstand r : r1 ¼ r2 ¼ r3 ¼ r ¼

2 pﬃﬃﬃ a 3 3

d. h. der Schwerpunkt S liegt von jeder der drei Ladungen gleich weit entfernt. Diese La~2 ~1 , E dungen erzeugen daher im Schwerpunkt elektrische Felder, deren Feldstrkevektoren E ~ und E 3 [ A3] betragsmßig bereinstimmen (Bild I-13a)): E1 ¼ E2 ¼ E3 ¼ E ¼

Q 3Q ¼ 2 4 p e0 e r 16 p e 0 e a 2

y Q3 E1 + E 2 = – E 3 E1 E2

30°

S

30°

60°

E1 60° x

E3 60°

E2 Q1

E3

Q2

a)

b)

Bild I-13

Die geometrische Addition der drei Feldstrkevektoren ergibt den Nullvektor (Bild I-13b)), das resultierende Feld im Schwerpunkt S verschwindet somit. Die im Schwerpunkt angebrachte Probeladung q bleibt daher krftefrei. Zum selben Ergebnis fhrt die Rechnung. Die Komponentendarstellung der Feldstrkevektoren lautet gemß Bild I-13a) E cos 30 E cos 30 0 ~1 ¼ ~2 ¼ ~3 ¼ E , E , E E sin 30 E sin 30 E Ihre Vektorsumme ergibt den Nullvektor: E cos 30 E cos 30 þ 0 ~2 þ E ~3 ¼ ~1 þ E E ¼ E sin 30 þ E sin 30 E 0 0 0 ¼ ¼ ¼ ¼~ 0 E E 2 E sin 30 E 0 |ﬄﬄ{zﬄﬄ} 1=2

10

I Vektorrechnung

Beispiel 8:

Kraftwirkung zwischen stromdurchflossenen Leitern Vektorprodukt

Zwei parallele lineare elektrische Leiter (Drhte) mit der Lnge l und dem gegenseitigen Abstand a werden von Strmen gleicher Strke I und gleicher Richtung durchflossen. Das System befindet sich im Vakuum (Permeabilitt m ¼ 1). ~ bzw. magnetische Flussdichte B ~ erzeugt jeder der a) Welche magnetische Feldstrke H beiden Leiter am Ort des anderen Leiters? ~ wirken die beiden Leiter aufeinander? b) Mit welcher Kraft F Lehrbuch: Bd. 1, II.3.4.1

Physikalische Grundlagen: A4, A5, A6

Lsung: a) Bild I-14 zeigt das vom Leiter L 1 in seiner Umgebung erzeugte Magnetfeld. Die magnetischen Feldlinien sind konzentrische Kreise um die Leiterachse mit der eingezeichneten Richtung 4). Die magneti~ [ A4 ] besitzt im Absche Feldstrke H stand r von der Leiterachse den Betrag I1 I H ðrÞ ¼ ¼ , 2pr 2pr

y

H(a) bzw. B(a) F L1

r > 0

Die am Ort des anderen Leiters (Leiter L 2 am Ort x ¼ a) erzeugte magnetische Feldstrke bzw. magnetische Flussdichte [ A5 ] ist somit betragsmßig H ðaÞ ¼

I 2pa

L2 a

x

magnetische Feldlinie

Bild I-14

bzw. B ðaÞ ¼ m 0 m H ðaÞ ¼ m 0 1

I m I ¼ 0 2pa 2pa

Umgekehrt erzeugt Leiter L 2 am Ort des Leiters L 1 ein Magnetfeld gleicher Strke, jedoch entgegengesetzter Richtung. b) Leiter L 2 erfhrt im Magnetfeld des Leiters L 1 die Kraft [ A6 ] ~ ¼ I 2 ð~ ~Þ ¼ I ð~ ~Þ F lB lB Sie ist senkrecht zum Leiter L 1 gerichtet (siehe Bild I-14). 4)

Die Strme fließen in Richtung der positiven z-Achse, die aus der Papierebene senkrecht nach oben zeigt.

I Vektorrechnung

11

0 1 0 1 0 0 B C C 5) ~¼ B Mit ~ l ¼ @ 0 A und B @B ðaÞA folgt daraus schließlich l 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 01 0 0 0 0 m I B C C B C B C B C ~ ¼ IB F @ 0 A @B ðaÞA ¼ I l B ðaÞ @ 0 A @ 1 A ¼ I l 0 @ 0 0 A ¼ 2pa 00 l 0 1 0 0 0 1 1 1 1 m0 l I 2 B m0 l I 2 B C m lI2 C ~ ¼ ex @ 0A ¼ @0A ¼ 0 2pa 2pa 2pa 0 0 |{z} ~ ex ~ e x ist dabei der Einheitsvektor (Basisvektor) in Richtung der positiven x-Achse. Wir interpretieren dieses Ergebnis wie folgt: Leiter L 2 erfhrt eine Kraft in Richtung auf Leiter L 1, umgekehrt gilt das gleiche. Zwischen zwei parallelen, von Strmen gleicher Strke und gleicher Richtung durchflossenen Leitern besteht somit eine Anziehungskraft m lI2 vom Betrag F ¼ 0 . 2pa

Beispiel 9:

Stabkrfte (Reaktionskrfte) in einem belasteten Dreibein Rumliche Vektoraddition, Gaußscher Algorithmus

In dem in Bild I-15 dargestellten Dreibein, dessen Stbe S A, S B und S C gelenkig gelagert ~ sind, greift im Gelenk S eine Gewichtskraft G vom Betrag G ¼ 18 kN an. Welche Reaktions~B und ~A , F krfte (Zugkrfte, Druckkrfte) F ~ FC treten in den drei Stben auf? A ¼ ð2; 1; 0Þ m ; C ¼ ð1; 2; 0Þ m ;

B ¼ ð 1; 1; 0Þ m ;

z 2

S FB

FC

G

1

C

FA 1

B 2

y

2 x

S ¼ ð0; 0; 2Þ m

A

Bild I-15 Lsungshinweis: Setzen Sie die Reaktionskrfte in der aus Bild I-15 ersichtlichen Weise zunchst als Zugkrfte an. Das Eigengewicht der Stbe bleibt unbercksichtigt. Lehrbuch: Bd. 1, II.3.2 und I.5.2 5)

Physikalische Grundlagen: A1

Die Leiter verlaufen parallel zur z-Achse (L 1 liegt sogar in dieser Achse).

12

I Vektorrechnung

Lsung: Die drei Stbe knnen wie folgt durch Vektoren beschrieben werden: 0 1 0 1 0 1 0 1 20 2 1 0 1 ! ! B C B C B C B C SA ¼ @1 0A m ¼ @ 1A m, SB ¼ @ 1 0Am ¼ @ 1Am, 02 2 02 2 0 1 0 1 10 1 ! B C B C SC ¼ @2 0A m ¼ @2A m 02 2 ~A , F ~B und F ~C sind dann zu ihrem jeweiligen Stabvektor parallel (kollineare Die Stabkrfte F Vektoren). Somit gilt 0 1 0 1 2 1 B C B C ~B ¼ m ! ~A ¼ l ! SA ¼ l @ 1A m, F SB ¼ m @ 1A m, F 2 0

2 1

1 ! B C ~ FC ¼ n S C ¼ n @ 2 A m 2 Im statischen Gleichgewicht [ A1 ] ist dann ~¼~ ~A þ F ~B þ F ~C þ G F 0 und somit 0

0 1 0 B C B C B C B C B C l @ 1A m þ m @ 1A m þ n @2A m þ @ 0 A kN ¼ @ 0 A kN 2 2 2 18 0 2

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

oder bei komponentenweiser Schreibweise 2m l 1m m þ 1m n

¼ 0 kN

1m l þ 1m m 2m n

¼ 0 kN

2 m l 2 m m 2 m n 18 kN ¼ 0 kN Dies ist ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten l, m und n. Wir lsen das System mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus (die Ausgangsgleichungen sind grau unterlegt) 6) :

6)

Bei der Durchfhrung der Rechnung verzichten wir der besseren bersicht wegen auf die Angabe der Einheiten. Die Lsungen fr l, m und n sind dann jeweils mit der Einheit kN/m zu versehen. Die dritte Gleichung wurde noch durch 2 geteilt, das absolute Glied auf die rechte Seite gebracht.

I Vektorrechnung

2 E1

13

l

m

n

ci

Zeilensumme

2

1

1

0

2

2

2

4

0

0

1

1

2

0

0

1

1

1

9

6

1

1

2

0

0

3

5

0

2

0

3

9

6

E1

1 E1

Gleichungen des gestaffelten Systems

)

3m þ 5n ¼ 0

)

3n ¼ 9

)

l5þ 6 ¼ 0 3m

15 ¼ 0

)

l ¼ 1

)

m ¼ 5

!

l þ m 2n ¼ 0

!

Das gestaffelte System

n ¼ 3

lsst sich sukzessiv von unten nach oben lsen (Pfeilrichtung) und besitzt die folgende Lsung: l ¼ 1

kN , m

m ¼ 5

kN , m

n ¼ 3

kN m

Die Stabkrfte sind somit (entgegen der Annahme) Druckkrfte: 0 1 0 1 2 2 C B C ~A ¼ 1 kN B F @ 1 A m ¼ @ 1 A kN , m 2 2 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FA ¼ ð 2Þ 2 þ ð 1Þ 2 þ 2 2 kN ¼ 3 kN 0 ~B ¼ 5 kN B F @ m

1

1

1

1

0

5

1

B C C 1 A m ¼ @ 5 A kN , 10 2 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FB ¼ 5 2 þ ð 5Þ 2 þ 10 2 kN ¼ 12,25 kN 0

0

3

1

B C C ~C ¼ 3 kN B F @ 2 A m ¼ @ 6 A kN , m 6 2 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FC ¼ ð 3Þ 2 þ 6 2 þ 6 2 kN ¼ 9 kN

14

I Vektorrechnung

Beispiel 10:

Arbeit an einer Punktladung in einem elektrischen Feld Skalarprodukt

Eine positive Punktladung Q ¼ 10 7 C soll in dem konstanten elektrischen Feld mit dem 0 1 1 V C ~¼ B Feldstrkevektor E vom Punkt P 1 ¼ ð 2; 3; 4Þ m aus geradlinig lngs @ 3 A 10 6 m 5 0 1 2 B C des Richtungsvektors ~ a ¼ @ 1 A m um 6 m in positiver Richtung in den Punkt P 2 verschoben werden (Bild I-16). 2 a) Welche Arbeit W wird dabei an der Punktladung verrichtet?

P1

b) Welchen Winkel j bildet der an der Punkt~ mit dem ladung angreifende Kraftvektor F Verschiebungsvektor ~ s?

Bild I-16 Lehrbuch: Bd. 1, II.3.3

F

Ladung Q

r1

s = P1 P2

f a

P2 r2

0

Physikalische Grundlagen: A10

Lsung: a) Durch Normierung erhalten wir aus dem Richtungsvektor ~ a den Einheitsvektor gleicher Richtung: 1 0 1 1 0 0 2=3 2 2 1 1 1 B C B C C B ~ ~ ea ¼ a ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ @ 1 A m ¼ @ 1 A ¼ @ 1=3 A j~ aj 3 2 2 2 2 þ ð 1Þ þ 2 m 2=3 2 2 ! Der Verschiebungsvektor ~ s ¼ P 1 P 2 hat die gleiche Richtung, jedoch die 6-fache Lnge. Somit ist 1 0 1 0 4 2=3 ! C B C B ~ s ¼ P1 P2 ¼ 6 m ~ e a ¼ 6 m @ 1=3 A ¼ @ 2 A m 2=3

4

Die vom Feld verrichtete Arbeit ist definitionsgemß das skalare Produkt aus dem Kraft~ ¼ QE ~ [ A10 ] und dem Verschiebungsvektor ~ vektor F s:

I Vektorrechnung

15

0

1

0

1

4

1

V B B C C ~~ ~Þ ~ ~~ W ¼ F s ¼ ðQ E s ¼ Q ðE s Þ ¼ 10 7 C @ 3 A 10 6 @ 2 A m ¼ m 5 4 ¼ 10 1 ð4 þ 6 þ 20Þ Nm ¼ 3 Nm ~ und ~ b) Wir berechnen zunchst die bentigten Betrge der Vektoren F s: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ~j ¼ j Q E ~j ¼ Q j E ~j ¼ 10 7 C 1 2 þ ð 3Þ 2 þ 5 2 10 6 V ¼ jF m ¼ 5,916 10 1 N 0,592 N qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ j~ s j ¼ 4 2 þ ð 2Þ 2 þ 4 2 m ¼ 6 m Fr den gesuchten Winkel zwischen Kraftvektor und Verschiebungsvektor folgt damit aus ~~ dem Skalarprodukt W ¼ F s: ~~ ~j j~ W ¼ F s ¼ jF s j cos j cos j ¼

)

~~ F s W 3 Nm ¼ ¼ ¼ 0,8446 ~ ~ 0,592 N 6 m j F j j~ sj j F j j~ sj

)

j ¼ arccos 0,8446 ¼ 32,4

Beispiel 11:

Durchbiegung eines Balkens bei Belastung durch mehrere Krfte Skalarprodukt

Ein homogener Balken auf zwei Sttzen wird in der aus Bild I-17 ersichtlichen Weise durch drei Krfte F1 , F2 und F3 belastet (Krfte senkrecht zum Balken). Die von der Einzelkraft Fi in der Balkenmitte hervorgerufene Durchbiegung y i ist dabei der einwirkenden Kraft direkt proportional: y i ¼ a i F i ði ¼ 1, 2, 3Þ. Der Proportionalittsfaktor a i beschreibt die durch die Einheitskraft F i ¼ 1 bewirkte Durchbiegung und wird als Einflusszahl bezeichnet. Nach dem Superpositionsprinzip der Mechanik addieren sich die von den Einzelkrften hervorgerufenen Durchbiegungen zur Gesamtdurchbiegung y. In dem vorliegenden Belastungsfall lauten die Berechnungsformeln fr die drei Einflusszahlen wie folgt: a1 ¼ a3 ¼

11 l 3 , 768 E I

a2 ¼

l3 48 E I

l: Balkenlnge; E : Elastizittsmodul; I : Flchentrgheitsmoment; E I : konstante Biegesteifigkeit des Balkens

16

I Vektorrechnung

a) Zeigen Sie: Die Gesamtdurchbiegung y ¼ y ðxÞ lsst sich durch ein skalares Produkt darstellen.

F1

b) Wie groß ist die von den drei Krften F1 ¼ 4 kN, F2 ¼ 2 kN und F3 ¼ 5 kN in der Mitte des Balkens hervorgerufene Durchbiegung y bei einer Balkenlnge von l ¼ 1 m und einer Biegesteifigkeit von E I ¼ 3 10 10 N mm 2 ?

l 4

F2

F3

l 4

l 4

y y

l 4

l x

Biegelinie y = y ( x )

Bild I-17

Lehrbuch: Bd. 1, II.3.3.1

Lsung: a) Es ist y ¼ y 1 þ y 2 þ y 3 ¼ a 1 F1 þ a 2 F2 þ a 3 F3 Diese Summe lsst sich auch als skalares Produkt aus dem Einflusszahlenvektor 0 1 0 1 a1 F1 B C B C ~ a ¼ @ a 2 A und dem Belastungsvektor ~ f ¼ @ F2 A auffassen: a3

F3 0 1 a1 F1 B C B C a~ f y ¼ a 1 F1 þ a 2 F2 þ a 3 F3 ¼ @ a 2 A @ F2 A ¼ ~ a3 F3 0

1

b) Mit den Einflusszahlen a1 ¼ a3 ¼ a2 ¼

11 l 3 11 ð10 3 mmÞ 3 mm ¼ 4,7743 10 4 ¼ , 768 E I N 768 3 10 10 N mm 2

l3 ð10 3 mmÞ 3 mm ¼ 6,9444 10 4 ¼ 48 E I N 48 3 10 10 N mm 2

und den in die Einheit Newton (N) umgerechneten Einzelkrften ergibt sich die folgende Durchbiegung: 0 1 0 0 1 1 0 1 4 4,7743 4,7743 4 B C C C B C 4 mm B 3 1 B ~ y ¼ ~ a f ¼ 10 @ 6,9444 A 10 N @ 2 A ¼ 10 @ 6,9444 A @ 2 A mm ¼ N 5 4,7743 4,7743 5 ¼ 10 1 ð19,0972 þ 13,8888 þ 23,8715Þ mm ¼ 5,69 mm

I Vektorrechnung

Beispiel 12:

17

Moment einer Kraft in einem Kugelgelenk Vektorprodukt, Richtungswinkel

Im Endpunkt eines Stabes A B, der in einem Kugelgelenk A gelagert ist, greift die konstante Kraft 0 1 1 C ~¼ B F @ 1,5 A N an (Bild I-18). 2 ! Welches Moment M erzeugt diese Kraft im Kugelgelenk A? Bestimmen Sie ferner den Betrag M und die drei Richtungswinkel a, b und g des Mo! mentenvektors M . A ¼ ð0; 0; 1Þ m ;

B ¼ ð 1; 1; 1,5Þ m

Lehrbuch: Bd. 1, II.3.4.1 und II.3.3.3

z m

F B

1

Stab

1,5

–1 Kugelgelenk A 1

x m

y m

Bild I-18 Physikalische Grundlagen: A7

Lsung:

! Definitionsgemß erhalten wir fr das auf das Kugelgelenk A bezogene Moment M [ A7 ] die folgende Komponentendarstellung: 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 ! C B C B C B C ~¼ B M ¼~ rAB F @ 1 0 A @ 1,5 A Nm ¼ @ 1 A @ 1,5 A Nm ¼ 0

1,5 1 1 0

2

0,5

2

1

2 þ 0,75 2,75 B C B C ¼ @ 0,5 þ 2 Nm ¼ A @ 1,5 A Nm 1,5 þ 1 2,5 Der Betrag des Momentes ist somit pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ M ¼ 2,75 2 þ 1,5 2 þ 2,5 2 Nm ¼ 4,01 Nm Die Richtungswinkel a, b und g mit den drei Koordinatenachsen ergeben sich zu cos a ¼

Mx 2,75 Nm ¼ 0,6858 ¼ 4,01 Nm M

)

a ¼ arccos 0,6858 ¼ 46,7

cos b ¼

My 1,5 Nm ¼ ¼ 0,3741 M 4,01 Nm

)

b ¼ arccos 0,3741 ¼ 68,0

cos g ¼

Mz 2,5 Nm ¼ ¼ 0,6234 M 4,01 Nm

)

g ¼ arccos 0,6234 ¼ 51,4

18

I Vektorrechnung

Beispiel 13:

Umfangsgeschwindigkeit einer rotierenden Zylinderscheibe Vektorprodukt, Ableitung eines Vektors

Eine dnne Zylinderscheibe vom Radius R rotiert in der aus Bild I-19 ersichtlichen Weise mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit w um ihre Symmetrieachse (z-Achse). Die Bewegung eines Punktes P auf dem Umfang der Scheibe lsst sich dann durch den Ortsvektor 0 1 R cos ðw tÞ B C ~ r ðtÞ ¼ @ R sin ðw tÞ A , t 0

z

v

M

R v ( t)

c

P r ( t)

beschreiben ðc ¼ O M Þ. Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor ~ v ðtÞ dieses Punktes auf zwei verschiedene Arten und zwar 0

a) als vektorielles Produkt aus dem Winkelgeschwindigkeits~ und dem Ortsvektor ~ vektor w r ðtÞ [ A8 ], b) durch Differentiation des Ortsvektors ~ r ðtÞ nach der Zeit t. Lehrbuch: Bd. 1, II.3.4.1 und Bd. 3, I.1.2

Bild I-19

Physikalische Grundlagen: A8

Lsung: ~ hat die Komponenten w x ¼ w y ¼ 0 und w z ¼ w a) Der Winkelgeschwindigkeitsvektor w (siehe Bild I-19). Somit ist nach [ A8 ] 0 1 0 1 0 1 0 R cos ðw tÞ 0 w R sin ðw tÞ B C B C B C ~~ ~ v ðtÞ ¼ w r ðtÞ ¼ @ 0 A @ R sin ðw tÞ A ¼ @ w R cos ðw tÞ 0 A ¼ w 0

00

c 1

0

1

sin ðw tÞ w R sin ðw tÞ C B C B ¼ @ w R cos ðw tÞ A ¼ w R @ cos ðw tÞ A 0 0 Der Betrag der Geschwindigkeit ist konstant: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v ðtÞ ¼ j ~ v ðtÞ j ¼ w R ½ sin ðw tÞ 2 þ ½ cos ðw tÞ 2 þ 0 2 ¼ ¼ wR

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sin 2 ðw tÞ þ cos 2 ðw tÞ ¼ w R ¼ const: |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 1

I Vektorrechnung

19

b) Durch komponentenweise Differentiation unter Verwendung der Kettenregel folgt (in bereinstimmung mit dem unter a) erzielten Ergebnis) 0 1 1 0 1 0 sin ðw tÞ w R sin ðw tÞ R cos ðw tÞ d d B B C C C B ~ v ðtÞ ¼ ~ r ðtÞ ¼ @ R sin ðw tÞ A ¼ @ w R cos ðw tÞ A ¼ w R @ cos ðw tÞ A dt dt 0 0 c

Beispiel 14:

Drehmoment einer stromdurchflossenen Leiterschleife in einem Magnetfeld Vektorprodukt

Bild I-20 zeigt eine vom Strom I durchflossene rechteckige Leiterschleife mit der Flche A, die um eine zur Zeichenebene senkrechte Achse D drehbar gelagert ist (Leiterschleife senkrecht zur Zeichenebene). Sie erfhrt in einem homogenen Magnetfeld mit dem Flussdichte~Þ. Der Flchenvektor A ~ steht dabei senkrecht ~ das Drehmoment ! ~ A vektor B M ¼ I ðB zur Leiterschleife, seine Lnge entspricht dem Flcheninhalt A der Leiterschleife. Bestimmen Sie das Drehmoment fr I ¼ 10 A, A ¼ 0,1 m2 , B ¼ 2 T (in x-Richtung) in der durch den Winkel a ¼ 30 festgelegten augenblicklichen Position.

Leiterschleife D

B

z y

a

x A magnetische Feldlinie

Bild I-20 Lehrbuch: Bd. 1, II.3.4.1

Lsung: ~ besitzen in dem gewhlten Koordinatensystem die folgende Kom~ und A Die Vektoren B ponentendarstellung (Drehachse ¼ z-Achse, senkrecht zur Zeichenebene nach oben gerichtet): 0 1 0 1 2 2 Vs B C B C Vs ~ B ¼ @0A T ¼ @0A 2 1 T ¼ 1 Tesla ¼ 1 2 m m 0 0 0

A cos a

1

0

cos a

1

0

cos 30

1

0

0,866

1

C B C C C B B ~¼ B A @ A sin a A ¼ A @ sin a A ¼ 0,1 @ sin 30 A m 2 ¼ 0,1 @ 0,5 A m 2 0 0 0 0

20

I Vektorrechnung

Der Drehmomentvektor lautet damit 1 0 0 1 0,866 2 Vs ! C B C ~Þ ¼ 10 0,1 B ~ A M ¼ I ðB @ 0 A @ 0,5 A A 2 m 2 ¼ m 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0,866 00 0 B C B C B C B C ¼ @ 0 A @ 0,5 A AVs ¼ @ 0 0 A Nm ¼ @ 0 A Nm ð1 AVs ¼ 1 NmÞ 0 0 1 0 1 ! Der Vektor M liegt in der z-Achse in negativer Richtung (d. h. nach unten orientiert), sein ! Betrag ist M ¼ j M j ¼ 1 Nm.

Beispiel 15:

Krftefreie Bewegung eines Elektrons in einem elektromagnetischen Feld Vektorprodukt, Richtungswinkel

Ein Elektron wird mit der Geschwindigkeit ~ v in ein zeitlich und rumlich konstantes elektro~ und der magnetischen Flussdichte B ~ magnetisches Feld mit der elektrischen Feldstrke E eingeschossen und erfhrt dort die Kraft [ A9, A10 ] ~ ¼ eE ~ e ð~ ~Þ ¼ e ðE ~þ ~ ~Þ F v B vB

ðe : ElementarladungÞ

~)? a) Unter welchen Voraussetzungen bleibt das Elektron krftefrei (bei vorgegebenem ~ v und B ~ in diesem Sonderfall beWelche Eigenschaften muss der elektrische Feldstrkevektor E sitzen? b) Wie lauten Betrag E und die drei Richtungswinkel a, b und g des elektrischen Feldstr0 1 0 1 1 1 C Vs B Cm ~¼ B ~ im unter a) genannten Fall fr ~ und B kevektors E v ¼ 200 @ 1 A @1A 2 ? s m 2 1 Lehrbuch: Bd. 1, II.3.4.1 und II.3.3.3

Physikalische Grundlagen: A9, A10

Lsung: ~¼~ a) Im krftefreien Fall ist F 0 und somit ~þ ~ ~Þ ¼ ~ e ðE vB 0

)

~ gilt dann Fr die Feldstrke E ~ ¼ ð~ ~Þ ¼ B ~ ~ E vB v

~þ ~ ~¼~ E vB 0

I Vektorrechnung

21

Dies aber bedeutet (siehe Bild I-21) 7) : ~ steht senkrecht auf den Vektoren B ~ und ~ 1. E v. ~j ¼ j B ~ ~ 2. j E v j, d. h. der Betrag der elektrischen Feldstrke ist somit gleich dem Flcheninhalt A ~ und ~ des von den Vektoren B v aufgespannten Parallelogramms. ~, ~ ~ bilden in dieser Reihen3. Die Vektoren B v und E folge ein rechtshndiges System. 0

E = B ×v

A = E = B ×v

v

B

Bild I-21

0 0 1 1 0 1 1 2 3 1 B B B C B C Vs m C V C V ~¼ B ~ ~ bÞ E v ¼ 200 @ 1 A @ 1 A 2 ¼ 200 @ 2 1 A ¼ 200 @ 1 A m s m m 2 1þ1 2 1 1

1

Die Feldstrke besitzt damit den folgenden Betrag: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ~j ¼ 200 ð 3Þ 2 þ 1 2 þ 2 2 V ¼ 748,3 V E ¼ jE m m ~ mit den drei KoordinatenFr die Richtungswinkel a, b und g des Feldstrkevektors E achsen ergeben sich die folgenden Werte: cos a ¼

Ex 600 V=m ¼ ¼ 0,8018 E 748,3 V=m

)

a ¼ arccos ð 0,8018Þ ¼ 143,3

cos b ¼

Ey 200 V=m ¼ ¼ 0,2673 E 748,3 V=m

)

b ¼ arccos 0,2673 ¼ 74,5

cos g ¼

Ez 400 V=m ¼ 0,5345 ¼ 748,3 V=m E

)

g ¼ arccos 0,5345 ¼ 57,7

Beispiel 16:

Fachwerk im statischen Gleichgewicht Vektoraddition, Vektorprodukt, lineares Gleichungssystem

~1 , F ~2 und F ~3 in der angegeDas in Bild I-22 dargestellte Fachwerk wird durch die Krfte F ~A und F ~B und deren Betrge FA benen Weise belastet. Wie groß sind die Auflagerkrfte F und FB im statischen Gleichgewichtszustand [ A1 ]? a ¼ 5 m;

b ¼ 4 m;

F1 ¼ 20 kN ;

F2 ¼ 30 kN ;

F3 ¼ 10 kN ;

a ¼ 30

Annahme: Die Komponenten der Auflagerkrfte wirken jeweils in positiver Richtung. 7)

~ ~ ~¼~ Im Sonderfall B v ¼~ 0 ist E 0. Das Elektron bewegt sich dann parallel zum Magnetfeld und erfhrt ~ verschwinden. somit keine Lorentzkraft [ A9 ]. Daher muss auch E

22

I Vektorrechnung

F2

y

a F1

Fachwerk

a

a 2c

a

a

F3 a

a

c

c

Gleitlager B

F Ax x

Festlager A

F Ay b

b

b

b

F By

Bild I-22 Lehrbuch: Bd. 1, II.3.2.2, II.3.4.1 und I.5.2

Physikalische Grundlagen: A1

Lsung: Der besseren bersicht wegen werden bei den Zwischenrechnungen alle Einheiten weggelassen (Kraftkomponenten in der Einheit kN, Lagekoordinaten in der Einheit m). Die Kraftvektoren lauten in der Komponentendarstellung (alle z-Komponenten verschwinden): 0 1 0 1 0 0 C B C ~1 ¼ B F @ F1 A ¼ @ 20 A , 0 0

0

F2 cos a

1

0

30 cos 30

0

1

25,98

1

B C C B C ~2 ¼ B F @ F2 sin a A ¼ @ 30 sin 30 A ¼ @ 15 A , 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 10 F3 FA x 0 B C C C C ~A ¼ B ~3 ¼ B ~B ¼ B F F 0A, F @ 0 A ¼ @ @ FA y A , @ FB y A 0 0 0 0 P ~i ¼ ~ 1. Gleichgewichtsbedingung [ A1 ]: F 0 ~A þ F ~1 þ F ~2 þ F ~3 þ F ~B ¼ ~ F 0 ) 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 10 25,98 0 FA x C B C B C B C C B B 0 A þ @ FB y A ¼ @ FA y A þ @ 20 A þ @ 15 A þ @ 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 FA x þ 25,98 10 FA x þ 15,98 0 B C B C B C ¼ @ FA y 20 15 þ FB y A ¼ @ FA y þ FB y 35 A ¼ @ 0 A 0

0

0

I Vektorrechnung

23

2. Gleichgewichtsbedingung [ A1 ]:

P! Mi ¼ ~ 0

Bezugspunkt (Pol) ist das Auflager A, d. h. der Nullpunkt des Koordinatensystems. Alle Momente liegen in der z-Richtung, so dass smtliche x- und y-Komponenten verschwinden 8). Die bentigten Ortsvektoren der Angriffspunkte der Krfte lauten: 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 b 2b 3b 4 8 12 B C B B C C B C B C B C ~ ~ ~ r1 ¼ @ c A ¼ @ 3 A , r2 ¼ @ 2 c A ¼ @ 6 A , r3 ¼ @ c A ¼ @ 3 A , 0 0

1

0 0

0

0

0

0

1

4b 16 B C B C ~ rB ¼ @ 0 A ¼ @ 0 A 0 0 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ (unter Bercksichtigung von c ¼ a 2 b 2 ¼ 5 2 4 2 ¼ 25 16 ¼ 9 ¼ 3 nach dem Satz des Pythagoras, siehe Bild I-22). Damit erhalten wir aus der 2. Gleichgewichtsbedingung die folgende Vektorgleichung: ! ! ! ! ~1 Þ þ ð~ ~2 Þ þ ð~ ~3 Þ þ ð~ ~B Þ ¼ ~ M 1 þ M 2 þ M 3 þ M B ¼ ð~ r1 F r2 F r3 F rB F 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 4 0 8 25,98 12 10 16 0 B C B C C B C B C B C B C B C B 0 A þ @ 0 A @ FB y A ¼ @ 3 A @ 20 A þ @ 6 A @ 15 A þ @ 3 A @ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 00 00 0 0 0 0 B C B C B C B C ¼ @ 0 0A þ @ 0 0 A þ @0 0A þ @ 0 0 A ¼ 16 F B y 0

80 0 120 155,88 0 þ 30 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 B C B C B C B C ¼ @ 0A þ @ 0 A þ @ 0A þ @ 0 A ¼ 16 F B y 80 275,88 30 0 0 1 0 0 B B C 0 0 ¼ @ A ¼ @ 0

1

0 1 0 C B C A ¼ @0A 325,88 þ 16 F B y 0

80 275,88 þ 30 þ 16 F B y

Berechnung der Auflagerkrfte Aus den beiden vektoriellen Gleichgewichtsbedingungen erhalten wir drei skalare Gleichungen: (I) (II) (III) 8)

FA x

þ 15,98 ¼ 0

)

FA x ¼ 15,98

¼ 0

)

FA y ¼

14,63

16 FB y 325,88 ¼ 0

)

FB y ¼

20,37

FA y þ FB y 35

" "

Alle Kraft- und Ortsvektoren liegen in der x, y-Ebene, die erzeugten Momente stehen somit senkrecht auf dieser Ebene und haben nur eine z-Komponente (die folgende Rechnung wird diese Aussage besttigen).

24

I Vektorrechnung

Dieses bereits gestaffelte lineare Gleichungssystem wird von unten nach oben gelst (Pfeilrichtung) und besitzt unter Bercksichtigung der Einheiten die eindeutige Lsung FA x ¼ 15,98 kN ,

FA y ¼ 14,63 kN ,

FB y ¼ 20,37 kN

Die Auflagerkrfte haben somit die folgenden Betrge: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FA ¼ FA2 x þ FA2 y þ 0 2 ¼ ð 15,98Þ 2 þ 14,63 2 þ 0 2 kN ¼ 21,67 kN , FB ¼ FB y ¼ 20,37 kN

Beispiel 17:

Komplanare Kraftvektoren Vektoraddition, Richtungswinkel, Spatprodukt

An einem Massenpunkt greifen gleichzeitig die drei folgenden Krfte an: 0 1 0 1 0 1 5 2 11 C C C ~1 ¼ B ~2 ¼ B ~3 ¼ B F F F @2A N, @ 1A N, @ 4A N 1 4 11 a) Bestimmen Sie den Betrag FR und die drei Richtungswinkel a, b und g der resultieren~R . den Kraft F b) Zeigen Sie: Die drei Einzelkrfte liegen in einer Ebene, sind demnach komplanar. Lehrbuch: Bd. 1, II.3.2.2, II.3.3.3 und II.3.5

Lsung: a) Die resultierende Kraft lautet in der Komponentendarstellung wie folgt: 0 1 0 1 0 1 5 2 11 C B C B C ~R ¼ F ~1 þ F ~2 þ F ~3 ¼ B F @2A N þ @ 1A N þ @ 4A N ¼ 1 0

5 2 þ 11

1

4 0

14

1

B C B C ¼ @2 þ 1 4A N ¼ @ 5A N 1 þ 4 þ 11 16 Der Betrag dieser Kraft ist qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FR ¼ 14 2 þ ð 5Þ 2 þ 16 2 N ¼ 21,84 N

11

I Vektorrechnung

25

Fr die drei Richtungswinkel ergeben sich folgende Werte: cos a ¼

FR x 14 N ¼ ¼ 0,6410 FR 21,84 N

)

a ¼ arccos 0,6410 ¼ 50,1

cos b ¼

FR y 5 N ¼ ¼ 0,2289 FR 21,84 N

)

b ¼ arccos ð 0,2289Þ ¼ 103,2

cos g ¼

FR z 16 N ¼ ¼ 0,7326 FR 21,84 N

)

g ¼ arccos 0,7326 ¼ 42,9

b) Die drei Einzelkrfte liegen in einer Ebene, wenn ihr Spatprodukt verschwindet: Dies ist der Fall, da 5 2 1 ~1 F ~2 F ~3 ¼ 2 ½F 1 4 N3 ¼ 0 N3 11 4 11 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Determinante D ¼ 0

Die Berechnung der Determinante erfolgt dabei nach der Regel von Sarrus:

–5 –2 – 2

–1

11 –4

–1

–5

–2

–4 – 2 – 1 11

11 –4

D ¼ 55 88 þ 8 ð11 80 þ 44Þ ¼ 25 ð 25Þ ¼ 25 þ 25 ¼ 0

Beispiel 18:

Spannungsstoß in einer Leiterschleife infolge elektromagnetischer Induktion Vektor- und Spatprodukt

Eine dreieckige Leiterschleife mit den Ecken P 1 , P 2 und P 3 wird von einem homogenen Magnetfeld mit der mag~ durchflutet (Bild I-23). Wie groß netischen Flussdichte B Ð ist der Spannungsstoß U dt, der durch Induktion in der Leiterschleife beim Einschalten des Magnetfeldes zur Zeit t ¼ 0 entsteht?

P 3 ¼ ð0; 0; 0,1Þ m ;

P 2 ¼ ð0; 0,3; 0Þ m ; 0 1 0 C Vs ~¼ B B @ 0A 2 m 10 Bild I-23

B Leiterschleife

1 P3

A P2

b=P

P 1 ¼ ð0,2; 0; 0Þ m ;

z P3

P1 x

y

a=

P1

P2

26

I Vektorrechnung

~ [ A11 ] durch ~ A Lsungshinweis: Berechnen Sie zunchst den magnetischen Fluss F ¼ B die Leiterschleife und daraus mit Hilfe des Induktionsgesetzes [ A12 ] den Spannungsstoß. Lehrbuch: Bd. 1, II.3.4.1 und II.3.5

Physikalische Grundlagen: A11, A12

Lsung: ~, der zur Dreiecksflche senkrecht orientiert Wir bestimmen zunchst den Flchenvektor A ist und dessen Lnge (Betrag) dem Flcheninhalt A des Dreiecks entspricht 9). Bild I-24 zeigt das aus den Seitenvektoren 0 1 0 1 0 0,2 0,2 ! B C B C ~ a ¼ P 1 P 2 ¼ @ 0,3 0 A m ¼ @ 0,3 A m 0 und

0

P3

0

b

0

0

0,2

1

0

! B C B b~ ¼ P 1 P 3 ¼ @ 0 0 A m ¼ @ 0,1 0

0,2

1

C 0 Am 0,1

P2

a

P1

Bild I-24

konstruierte Parallelogramm. Es enthlt das gegebene Dreieck P 1 P 2 P 3 und ist von doppelter Flche. Der Flcheninhalt des Parallelogramms ist andererseits durch den Betrag des Vektorproduktes ~ a b~ gegeben. Dieser Vektor steht definitionsgemß senkrecht zur Paralleloberflche und so~ ist daher mit auch senkrecht zur Flche des Dreiecks P 1 P 2 P 3 . Der gesuchte Vektor A ~ ~ dem Vektorprodukt a b parallel, besitzt jedoch nur die halbe Lnge: ~ ¼ 1 ð~ A a b~Þ 2 Damit erhalten wir fr den magnetischen Fluss [ A11 ] 1 ~ ~ ~¼ 1 B ~ A ~ ð~ F ¼ B a b~Þ ¼ ½B ~ a b 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 2 ~~ Spatprodukt ½ B a b~

AusÐdem Induktionsgesetz [ A12 ] folgt zunchst U dt ¼ dF und nach beidseitiger Integration U dt ¼ F. Der Spannungsstoß betrgt somit 0 0 10 ð 1 ~ ~ 1 1 Vs U dt ¼ F ¼ ½B ~ a b ¼ 0,2 0,3 0 2 m 2 ¼ 0,6 Vs ¼ 0,3 Vs m 2 2 2 0,2 0 0,1 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Determinante D ¼ 0,6

9)

~ ist ein Normalenvektor der Ebene, die das Dreieck P 1 P 2 P 3 enthlt. Der Vektor A

I Vektorrechnung

27

Die Determinante D wurde dabei nach der Regel von Sarrus berechnet:

10

0

10

–0,2 0,3 0 –0,2 0

0

0

–0,2 0,3

0,1 –0,2 0

D ¼ 0 þ 0 þ 0 ð 0,6 þ 0 þ 0Þ ¼ 0,6

Beispiel 19:

Bewegung von Ladungstrgern in einem Magnetfeld Ableitungen eines Vektors, Skalar- und Spatprodukt

Elektronen, die schief, d. h. unter einem spitzen oder stumpfen Winkel gegen die Feldrichtung in ein homogenes Magnetfeld eingeschlossen werden, bewegen sich auf einer schraubenlinienfrmigen Bahn, die durch den zeitabhngigen OrtsB z vektor 1 0 R cos ðw tÞ C B ~ t 0 r ðtÞ ¼ @ R sin ðw tÞ A , ct Elektron

beschrieben werden kann (Bild I-25; die magnetischen Feldlinien verlaufen parallel zur z-Achse). a) Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor ~ v ðtÞ sowie den Beschleunigungsvektor ~ a ðtÞ und zeigen Sie die besonderen Eigenschaften dieser Vektoren. b) Welche Arbeit W verrichtet die im Magnetfeld mit der ~ auf das Elektron einwirkende LorentzFlussdichte B ~L ¼ e ð~ ~Þ an diesem? kraft F vB

0 x

y R

Bild I-25

e: Elementarladung; R > 0, c > 0

Lehrbuch: Bd. 1, II.3.3.1, II.3.4.1, II.3.5 und Bd. 3, I.1.2

Physikalische Grundlagen: A9

Lsung: a) Durch ein- bzw. zweimaliges Differenzieren des Ortsvektors ~ r ðtÞ nach dem Zeitparameter t mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir die gesuchten Vektoren. Sie lauten: 0 1 0 1 R cos ðw tÞ w R sin ðw tÞ d d B C B C ~ ~ v ðtÞ ¼ r ðtÞ ¼ @ R sin ðw tÞ A ¼ @ w R cos ðw tÞ A dt dt ct c

28

I Vektorrechnung

0

w R sin ðw tÞ

1

0

w 2 R cos ðw tÞ

1

d d B B C C ~ v ðtÞ ¼ @ w R cos ðw tÞ A ¼ @ w 2 R sin ðw tÞ A ¼ dt dt c 0 0 1 cos ðw tÞ B C 2 ¼ w R @ sin ðw tÞ A 0

~ a ðtÞ ¼

Wir zeigen noch, dass beide Vektoren zeitunabhngige Betrge besitzen, d. h. Geschwindigkeit ~ v und Beschleunigung ~ a bleiben whrend der gesamten Bewegung betragsmßig konstant, ndern aber laufend ihre Richtung: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ j~ v j ¼ ½ w R sin ðw tÞ 2 þ ½ w R cos ðw tÞ 2 þ c 2 ¼ ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w 2 R 2 sin 2 ðw tÞ þ w 2 R 2 cos 2 ðw tÞ þ c 2 ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w 2 R 2 ½ sin 2 ðw tÞ þ cos 2 ðw tÞ þ c 2 ¼ w 2 R 2 þ c 2 ¼ const: |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 1 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ j~ a j ¼ w 2 R cos 2 ðw tÞ þ sin 2 ðw tÞ þ 0 2 ¼ w 2 R 1 ¼ w 2 R 1 ¼ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 1 ¼

¼ w 2 R ¼ const: Darberhinaus verschwindet die z-Komponente des Beschleunigungsvektors. Der Vektor ~ a liegt daher in einer zur z-Achse senkrechten Ebene und ist stets auf diese Achse gerichtet (Zentripetalbeschleunigung infolge der als Zentripetalkraft wirkenden Lorentz-Kraft!). b) Im Zeitintervall dt bewegt sich das Elektron in der Tangentenrichtung, d. h. in Richtung des Geschwindigkeitsvektors ~ v um das Wegelement d~ r ¼~ v dt weiter. Die dabei von der einwirkenden Lorentzkraft verrichtete Arbeit dW ist definitionsgemß das Skalarprodukt aus Kraft- und Verschiebungsvektor: ~~ ~Þ ~ ~L d~ vB v dt ¼ 0 r ¼ e ð~ vB v dt ¼ e ½ ~ dW ¼ F |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} ~~ 0 ½~ vB v ~Þ ~ ~~ ð~ v B v ist dabei das Spatprodukt ½ ~ vB v und dieses verschwindet, da es zwei gleiche Vektoren enthlt. Die Lorentzkraft verrichtet somit am Elektron keine Arbeit.

II Funktionen und Kurven Beispiel 1: Reihenschaltung aus n gleichen Spannungsquellen Diskrete Funktion

Bild II-1 zeigt eine Reihenschaltung aus n gleichen Spannungsquellen und einem Verbraucherwiderstand R a . Jede der Spannungsquellen liefert die konstante Quellenspannung U q und hat den inneren Widerstand R i . Bestimmen Sie die Abhngigkeit der Stromstrke I von der Anzahl n der Spannungsquellen und skizzieren Sie den Verlauf dieser diskreten Funktion I ¼ I ðnÞ. Gegen welchen Grenzwert strebt die Stromstrke I, wenn man die Anzahl der Spannungsquellen beliebig vergrßert? 1. Quelle Uq

Ri

+–

2. Quelle Uq

Ri

+–

I

n-te Quelle Uq

Ri

+–

Ra

Lehrbuch: Bd. 1, III.4.1.1

Bild II-1 Physikalische Grundlagen: A13, A14

Lsung: Wir fassen zunchst die n gleichen Spannungsquellen zu einer Ersatzspannungsquelle mit der Quellenspannung U 0 ¼ n U q und dem Innenwiderstand R 0 ¼ n R i zusammen [ A13 ] (Bild II-2). Nach den Kirchhoffschen Regeln der Reihenschaltung [ A13 ] betrgt der Gesamtwiderstand der Schaltung Rg ¼ R0 þ Ra ¼ n Ri þ Ra Fr die Stromstrke I erhlt man damit nach dem Ohmschen Gesetz [ A14 ] I ¼ I ðnÞ ¼

U0

R0

+–

I

Ra

Bild II-2

U0 n Uq ¼ Rg n Ri þ Ra

n ist dabei eine diskrete Variable, die nur positive ganzzahlige Werte annehmen kann: n ¼ 1, 2, 3, . . . Diese diskrete Funktion (Punktfolge) strebt fr n ! 1 gegen den folgenden Grenzwert: © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24882-6_2

30

II Funktionen und Kurven

I max ¼ lim

n!1

n Uq n Ri þ Ra

0

1

B Uq C C ¼ Uq ¼ Uq ¼ lim B n!1 @ Ri þ 0 Ri R aA Ri þ n

(sog. Kurzschlussstrom, man erhlt ihn fr R a ¼ 0, d. h. bei fehlendem Verbraucherwiderstand R a ). Bild II-3 zeigt den Verlauf dieser streng monoton wachsenden Funktion.

I I max

Bild II-3 5

10

15

n

Beispiel 2: Zeitversetzter freier Fall zweier Kugeln Lineare Funktion Zwei Kugeln fallen im luftleeren Raum im zeitlichen Abstand von 2 s aus gleicher Hhe und jeweils aus der Ruhe heraus. Wie verndert sich der Abstand d der beiden Kugeln im Laufe der Zeit t? Skizzieren Sie den Verlauf dieser Weg-Zeit-Funktion. Welchen Abstand voneinander haben die Kugeln nach 5 s gemeinsamer Fallzeit? Erdbeschleunigung: g 10 m=s 2 Lehrbuch: Bd. 1, III.5.2

Physikalische Grundlagen: Al7

Lsung: Den von der ersten Kugel bis zum Startpunkt der zweiten Kugel zurckgelegten Weg und die dabei erreichte Geschwindigkeit erhalten wir aus den Fallgesetzen [ A17 ] s ðtÞ ¼

1 gt2 2

und

v ðtÞ ¼ g t

zu s ð2 sÞ ¼

1 m 10 2 ð2 sÞ 2 ¼ 20 m 2 s

und

v ð2 sÞ ¼ 10

m m 2 s ¼ 20 s2 s

II Funktionen und Kurven

31

Die zweite Kugel startet zur Zeit t ¼ 0 1). Bild II-4 zeigt Lage und Geschwindigkeit beider Kugeln zu diesem Zeitpunkt. Kugel 1

Kugel 2

Kugel 1: s 1 ð0Þ ¼ 20 m m v 1 ð0Þ ¼ 20 s

20

Kugel 2: s 2 ð0Þ ¼ 0 m m v 2 ð0Þ ¼ 0 s

v0 s m

Bild II-4 m und s der Anfangslage s 0 ¼ s 1 ð0Þ ¼ 20 m aus. Der in den folgenden t Sekunden zurckgelegte Weg wird nach der Gleichung Kugel 1 fhrt eine Fallbewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 ¼ v 1 ð0Þ ¼ 20

s 1 ðtÞ ¼

1 m m g t 2 þ v 0 t þ s 0 ¼ 5 2 t 2 þ 20 t þ 20 m 2 s s

berechnet. In der gleichen Zeit hat Kugel 2 den Weg s 2 ðtÞ ¼

1 m gt2 ¼ 5 2 t2 2 s

zurckgelegt. Der Abstand beider Kugeln zu diesem Zeitpunkt betrgt somit d ¼ d ðtÞ ¼ s 1 ðtÞ s 2 ðtÞ ¼ ¼ 5

m m m m t 2 þ 20 t þ 20 m 5 2 t 2 ¼ 20 t þ 20 m 2 s s s s

und nimmt daher im Laufe der Zeit linear zu (Bild II-5). Nach 5 s gemeinsamer Fallzeit betrgt der Abstand d ð5 sÞ ¼ 20

m 5 s þ 20 m ¼ s

¼ ð100 þ 20Þ m ¼ 120 m

d m 100 80 60 40 20 1

Bild II-5 1)

Wir beginnen mit der Zeitmessung von neuem.

2

3

4

t s

32

II Funktionen und Kurven

Beispiel 3: Zugspannung in einem rotierenden Stab Quadratische Funktion Ein homogener zylindrischer Stab der Lnge l rotiert nach Bild II-6 mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit w um die eingezeichnete Achse. a) Bestimmen Sie die durch die Zentrifugalkrfte hervorgerufene Zugspannung s an einer beliebigen Schnittstelle x und skizzieren Sie den Spannungsverlauf lngs des Stabes. b) An welcher Schnittstelle erreicht die Zugspannung ihren Maximalwert?

y

Drehachse

c) Welchen Wert darf die Winkelgeschwindigkeit nicht berschreiten, wenn die aus materialtechnischen Grnden hchstzulssige Zugspannung s 0 betrgt?

v

Schnittstelle

Stab

s

A x

A: Querschnittsflche des Stabes r: konstante Dichte des Stabmaterials

l

Bild II-6 Lehrbuch: Bd. 1, III.5.3

Physikalische Grundlagen: A15, A16

Lsung: a) Die an der Schnittstelle x nach außen wirkende Zentrifugalkraft lsst sich wie folgt elementar berechnen. Beitrge liefern alle rechts von der Schnittstelle liegenden Massenelemente, d. h. insgesamt der in Bild II-7 dunkelgrau unterlegte Teil des Stabes mit der Lnge l x und der Masse Dm ¼ r DV ¼ r A ðl xÞ.

y

Drehachse

v l–x Fz

S

A x

xs

l

x

Bild II-7 Der Schwerpunkt dieses Teilstckes liegt aus Symmetriegrnden genau in der Mitte, d. h. an der Stelle xS ¼ x þ

lx 2x þ l x xþl 1 ¼ ¼ ¼ ðl þ xÞ 2 2 2 2

Die in dem Schwerpunkt S angreifende Zentrifugalkraft [ A15 ] betrgt somit F Z ¼ Dm w 2 x S ¼ r A ðl xÞ w 2 ¼

1 r A w 2 ðl 2 x 2 Þ 2

1 1 ðl þ xÞ ¼ r A w 2 ðl xÞ ðl þ xÞ ¼ 2 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 3: Binom

II Funktionen und Kurven

33

Fr die Zugspannung an der Stelle x erhalten wir damit definitionsgemß [ A16 ] 1 r A w 2 ðl 2 x 2 Þ FZ 1 2 ¼ s ðxÞ ¼ ¼ r w 2 ðl 2 x 2 Þ , A A 2 Die Zugspannung nimmt daher von der Drehachse aus nach außen hin nach einer quadratischen Funktion ab ( parabelfrmiger Verlauf nach Bild II-8).

0 x l s smax

b) Die Zugspannung erreicht ihren grßten Wert an der Stelle x ¼ 0, d. h. in der Drehachse: smax ¼ s ð0Þ ¼

1 r w2 l2 2

l

c) Die maximale Zugspannung smax in der Drehachse darf den hchstzulssigen Wert s 0 nicht berschreiten: smax s 0 ,

d: h:

x

Bild II-8

1 r w2 l2 s0 2

Aus dieser Bedingung erhalten wir fr die Winkelgeschwindigkeit w den Maximalwert sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2s0 wmax ¼ r l2 der nicht berschritten werden darf.

Beispiel 4: Sortiervorrichtung Parameterdarstellung, quadratische Funktion Bild II-9 zeigt das Prinzip einer einfachen Sortiervorrichtung. Eine Kugel verlsst im Punkt A ihre (waagerechte) Bahn mit der Horizontalgeschwinm digkeit v 0 ¼ 1 und soll den im Punkt s B ¼ ðx 0 ; y 0 Þ postierten Behlter erreichen. An welcher Stelle x 0 muss dieser Behlter stehen, wenn die Hhendifferenz y 0 ¼ 1 m betrgt?

v0

A

v0 x

x0 x

y

B = ( x0 ; y0 ) y0 y

Bild II-9

Behälter

34

II Funktionen und Kurven

Lsungshinweis: Behandeln Sie die Bewegung als einen waagerechten Wurf im luftleeren Raum mit der Erd- oder Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m=s 2 : Lehrbuch: Bd. 1, III.1.2.4 und III.5.3

Physikalische Grundlagen: A17

Lsung: Die Kugel beschreibt eine sog. Wurfparabel mit der Parameterdarstellung x ¼ v0 t ,

y ¼

1 gt2 2

ðt 0 : ZeitparameterÞ

(in x-Richtung: Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit v 0 ; in y-Richtung: freier Fall [ A17 ]). Wir lsen die erste Gleichung nach dem Zeitparameter t auf und setzen den gefundenen Ausdruck t ¼ x=v 0 in die zweite Gleichung ein: 2 1 1 x 1 x2 g 2 ¼ x2 , x 0 y ¼ gt ¼ g g 2 ¼ 2 2 v0 2 2 v 20 v0 Dies ist die Gleichung der Bahnkurve der Kugel in expliziter Form. Fr den auf dieser Kurve liegenden Punkt B ¼ ðx 0 ; y 0 Þ gilt somit y0 ¼

g x 20 2 v 20

Aus dieser Beziehung erhalten wir fr die gesuchte Ortskoordinate x 0 den folgenden Wert: vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u u 2 u 2 ð1 m=sÞ 2 1 m u 2 v0 y0 t x0 ¼ ¼ t ¼ 0,45 m g 9,81 m=s 2

Beispiel 5: Aufeinander abrollende Zahnrder (Epizykloide) Parameterdarstellung einer Kurve Bild II-10 zeigt in vereinfachter Darstellung ein in der Getriebelehre hufig auftretendes Problem: Auf der Außenseite eines (festen) Zahnrades mit dem Radius R 0 „rollt“ ein zweites Zahnrad mit dem Radius R ab. a) Wie lautet die Parameterdarstellung der als Epizykloide bezeichneten Kurve, die ein Punkt P auf dem Umfang des abrollenden Zahnrades bei dieser Bewegung beschreibt? Der Punkt P soll sich dabei zu Beginn der Abrollbewegung in der Position P 0 befinden, als Parameter whle man den sog. Drehwinkel t. b) Zeichnen Sie die Epizykloide fr R 0 ¼ 3 und R ¼ 1 im Winkelbereich 0 t 360 (entspricht einem vollen Umlauf) mit der Schrittweite Dt ¼ 10 .

II Funktionen und Kurven

y

35

t: Drehwinkel

abrollendes Zahnrad

a: Wlzwinkel

b M R

t A

a

P

B

R0

y

v

t 0

P0 C

u

x

D

x

festes Zahnrad

Bild II-10

Lehrbuch: Bd. 1, III.1.2.4

Lsung: a) Zwischen den Koordinaten des Punktes P ¼ ðx; yÞ und den Koordinaten des Mittelpunktes M ¼ ðu; vÞ des abrollenden Zahnrades besteht der folgende Zusammenhang: ðIÞ

x ¼ u þ CD ¼ u þ MA,

y ¼ v PA

Die Koordinaten u und v lassen sich dabei aus dem rechtwinkligen Dreieck OCM bestimmen. Aus cos t ¼

OC u ¼ R0 þ R OM

sin t ¼

und

CM v ¼ R0 þ R OM

folgt dann ðIIÞ

u ¼ ðR 0 þ RÞ cos t

und

v ¼ ðR 0 þ RÞ sin t

Die Strecken M A und P A erhalten wir aus dem rechtwinkligen Dreieck AMP. Es gilt sin b ¼

PA PA ¼ R PM

und

cos b ¼

MA MA ¼ R PM

und somit P A ¼ R sin b

und

M A ¼ R cos b

36

II Funktionen und Kurven

Aus a þ b þ t ¼ 180

und somit

b ¼ 180 ða þ tÞ

folgt weiter unter Verwendung der Additionstheoreme (siehe Formelsammlung, Abschnitt III.7.6.1) P A ¼ R sin b ¼ R sin ½ 180 ða þ tÞ ¼ ¼ R ½ sin 180 cos ða þ tÞ cos 180 sin ða þ tÞ ¼ R sin ða þ tÞ |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} 0 1 M A ¼ R cos b ¼ R cos ½ 180 ða þ tÞ ¼ ¼ R ½ cos 180 cos ða þ tÞ þ sin 180 sin ða þ tÞ ¼ R cos ða þ tÞ |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} 1 0 Drehwinkel t und Wlzwinkel a sind dabei noch ber die sog. Abrollbedingung _ _ d: h: R0 t ¼ R a P0 B ¼ P B , miteinander verknpft (die beiden Bgen sind in Bild II-10 dick gezeichnet). Somit ist R0 R0 R0 R0 þ R a ¼ t t und aþt ¼ t þt ¼ þ1 t ¼ R R R R Fr die Strecken P A und M A folgt dann R0 þ R ðIIIÞ P A ¼ R sin t , R

M A ¼ R cos

R0 þ R t R

Wir setzen die Beziehungen (II) und (III) in die Gleichungen (I) ein und erhalten die gewnschte Parameterdarstellung in der Form R0 þ R x ¼ x ðtÞ ¼ u þ M A ¼ ðR 0 þ RÞ cos t R cos t R ðt 0Þ R0 þ R y ¼ y ðtÞ ¼ v P A ¼ ðR 0 þ RÞ sin t R sin t R b) Die Parametergleichungen lauten mit den vorgegebenen Werten der beiden Radien wie folgt: x ðtÞ ¼ 4 cos t cos ð4 tÞ y ðtÞ ¼ 4 sin t sin ð4 tÞ

ð0 t 360 Þ

II Funktionen und Kurven

37

Wertetabelle (Schrittweite: Dt ¼ 10 ) t

0

10

20

30

40

50

60

x

3

3,17

3,59

3,96

4,00

3,51

y

0

0,05

0,38

1,13

2,23

110

120

130

140

t x

100

70

80

90

2,50

1,19 0,07

1

3,41

4,33

4,74

4,58

4

150

160

170

180

190

1,46 1,54 1,50 1,63 2,12 2,96 3,93 4,71

y

3,30

2,77

2,60

2,72

2,91

2,87

2,35

1,34

t

200

210

220

230

240

250

260

270

5 4,71 0 1,34 280

290 1,19

x

3,93 2,96 2,12 1,63 1,50 1,54 1,46

1 0,07

y

2,35 2,87 2,91 2,72 2,60 2,77 3,30

4 4,58 4,74

t

300

310

320

330

340

350

x

2,50

3,51

4,00

3,96

3,59

3,17

3

4,33 3,41 2,23 1,13 0,38 0,05

0

y

Wir erhalten die in Bild II-11 dargestellte aus drei deckungsgleichen Bgen bestehende geschlossene Kurve (Epizykloide).

360

y

Epizykloide

=3 R0 t

R=

P P0

Bild II-11

1

x

38

II Funktionen und Kurven

Beispiel 6: Fallbeschleunigung innerhalb und außerhalb eines Erdkanals Lineare Funktion, gebrochenrationale Funktion Bild II-12a) zeigt die Erdkugel mit einem durch den Erdmittelpunkt verlaufenden Kanal. Welche Fallbeschleunigung (Erdbeschleunigung) g erfhrt eine Masse m, die sich a) außerhalb des Erdkanals, b) innerhalb des Erdkanals befindet in Abhngigkeit von der augenblicklichen Position, d. h. dem Abstand r zwischen der Masse und dem Erdmittelpunkt 0? c) Skizzieren Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen der Fallbeschleunigung g und der Relativkoordinate x ¼ r=R im Bereich 0 x < 1 . Erdkanal

Erdkanal

R: Erdradius

m

m

g 0 : Erdbeschleunigung an der Erdoberflche

R

R

r

M: Erdmasse

r r 0

0

M* a) Erdkugel (Masse M)

b) Erdkugel (Masse M)

Bild II-12

Lsungshinweis: Verwenden Sie das Gravitationsgesetz [ A18 ]. Befindet sich die Masse m innerhalb des Erdkanals, so kommt fr die Gravitation nur der in Bild II-12b) grau unterlegte Teil der Erdkugel zur Wirkung (konzentrische Kugel vom Radius r). Die Erdkugel selbst wird als ein homogener Krper mit der konstanten Dichte r angesehen. Lehrbuch: Bd. 1, III.5.2 und III.6

Physikalische Grundlagen: A18

Lsung: a) Die Gewichtskraft ist gleich der Gravitationskraft [ A18 ]. Daher gilt fr r R (also außerhalb der Erdkugel) mg ¼ g

mM r2

und somit

g ¼ g ðrÞ ¼ g

M 1 ¼ gM 2 , r2 r

r R

Die Fallbeschleunigung nimmt außerhalb der Erdkugel umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung r vom Erdmittelpunkt nach außen hin ab (siehe hierzu auch Bild II-13).

II Funktionen und Kurven

39

b) Innerhalb des Erdkanals ist die Erdmasse M durch die Masse M * der in Bild II-12b) grau unterlegten konzentrischen Kugel zu ersetzen. Diese Masse berechnet sich wie folgt: M* ¼ rV * ¼ r

4 4 r3 M r3 pr3 ¼ r p R3 3 ¼ 3 3 R R3 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} M

ðmit R 3 erweitertÞ

Sie ist noch abhngig vom Abstand r ð0 r RÞ. Fr die Fallbeschleunigung im Erdkanal erhalten wir damit in Abhngigkeit von der Abstandskoordinate den funktionalen Zusammenhang g ðrÞ ¼ g M *

1 M r3 1 gM ¼ g 2 ¼ 3 r, r2 r R R3

0 r R

Im Erdkanal wchst demnach die Fallbeschleunigung g proportional mit dem Abstand r (siehe Bild II-13). c) Die Funktion g ¼ g ðrÞ wird somit fr r 0 durch die Gleichungen 8 9 gM > > > r 0 r R > > > > > < R3 = g ðrÞ ¼ f u¨ r > > > > > > > > :gM 1 ; R r < 1 2 r beschrieben. Mit der Relativkoordinate x ¼ r=R wird hieraus unter Bercksichtigung von gM g 0 ¼ g ðRÞ ¼ 2 die Funktion R 8 9 0 x 1 > g0 x > > > < = ¨ f u r g ðxÞ ¼ > > > > : g0 1 1 x < 1; 2 x Nebenrechnung: g ¼

gM gM r r ¼ 2 ¼ g0 x 3 R R R |{z} |{z} g0 x

g ¼ gM

1 g M R2 ¼ 2 2 ¼ g0 2 r R r |{z}

g0

2 2 R 1 1 ¼ g0 ¼ g0 2 r x x |{z}

1=x

40

II Funktionen und Kurven

Die Erdbeschleunigung erreicht ihren Maximalwert g 0 an der Erdoberflche, d. h. fr x ¼ 1: g ð1Þ ¼ g 0 . Der Funktionsverlauf ist in Bild II-13 dargestellt. g g0 g~x

g~

1 x2

Bild II-13 1

2

Innerhalb

Außerhalb

des Erdkanals

des Erdkanals

3

x

Beispiel 7: Verteilung der Stromdichte in einem stromdurchflossenen Hohlzylinder Gebrochenrationale Funktion Bild II-14 zeigt im Querschnitt einen Hohlzylinder der Lnge l mit dem Innenradius r i und dem Außenradius r a . Durch das leitende Zylindermaterial fließt dabei von innen nach außen ein konstanter Strom der Strke I. Bestimmen und skizzieren Sie den Verlauf der Stromdichte S in radialer Richtung.

S

S

ra

r

S ri

S

Bild II-14

Lehrbuch: Bd. 1, III.6

Leitender Hohlzylinder

Physikalische Grundlagen: A19

Lsung: Aus Symmetriegrnden verluft das elektrische Feld im Zylindermaterial axialsymmetrisch. Der Betrag des Stromdichtevektors S~ kann daher nur vom Abstand r zur Symmetrieachse des Leiters abhngen: S ¼ S ðrÞ. Durch jede zum Zylindermantel konzentrische Zylinderflche fließt der gleiche Strom I. Dies gilt somit auch fr den in Bild II-14 gestrichelt gezeichneten konzentrischen Zylinder mit dem Radius r und der Mantelflche A ¼ 2 p r l.

II Funktionen und Kurven

41

Die Stromdichte S ðrÞ betrgt daher an dieser Stelle definitionsgemß [ A19 ]

S Si

I I I 1 S ðrÞ ¼ ¼ ¼ , A 2prl 2pl r

S~

ri r ra und nimmt somit von innen nach außen ab. Bild II-15 zeigt den Verlauf dieser gebrochenrationalen Stromdichtefunktion.

1 r

Sa

ri

ra

r

Bild II-15

Beispiel 8: Kapazitt eines Kondensators mit geschichtetem Dielektrikum Gebrochenrationale Funktion Bild II-16 zeigt einen Plattenkondensator mit einem geschichteten Dielektrikum.

I

II

a) Welche Kapazitt C besitzt der Kondensator in Abhngigkeit von der Schichtdicke x des eingebrachten Dielektrikums? Skizzieren Sie diese Funktion.

Dielektrikum e>1

Luft ( e = 1)

x

d–x

b) Untersuchen Sie die Sonderflle (Grenzflle) x ¼ 0 und x ¼ d . A: Plattenflche; d: Plattenabstand; e: Dielektrizittskonstante; e 0 : elektrische Feldkonstante

d

Bild II-16 Lehrbuch: Bd. 1, III.6

Physikalische Grundlagen: A20, A21

Lsung: a) Wir knnen den Kondensator als eine Reihenschaltung zweier Kondensatoren I und II ansehen. Diese besitzen dann folgende Kapazitten [ A20 ]: e0 e A Kondensator I : C1 ¼ (Plattenabstand: x) x e0 A Kondensator II : C2 ¼ (Plattenabstand: d x) d x

42

II Funktionen und Kurven

Bei Reihenschaltung gilt fr die Gesamtkapazitt C nach [ A21] 1 1 1 C2 þ C1 C1 þ C2 þ ¼ ¼ ¼ C1 C2 C1 C2 C C1 C2

oder

C ¼

C1 C2 C1 þ C2

Wir erhalten daher e 20 e A 2 e0 e A e0 A e0 e A x ðd xÞ x d x ¼ ¼ C ¼ C ðxÞ ¼ e0 e A e0 A e 0 A ½ e ðd xÞ þ x e ðd xÞ þ x þ x d x x ðd xÞ Die Abhngigkeit der Gesamtkapazitt C ðxÞ von der Schichtdicke x ist somit durch die echt gebrochenrationale Funktion C ðxÞ ¼

e0 e A , e ðd xÞ þ x

C C(d)

0 x d C(0)

gegeben (siehe Bild II-17). Bild II-17

d

x

e0 e A e0 A ¼ ed d Dieser Fall entspricht einem Kondensator ohne Dielektrikum, die Kapazitt erreicht ihren kleinsten Wert (siehe Bild II-17). e0 e A e0 A Sonderfall x ¼ d : C ðdÞ ¼ ¼ e ¼ e C ð0Þ ðmit e > 1Þ d d Der Kondensator ist vollstndig mit dem Dielektrikum ausgefllt und erreicht somit seinen grßten Kapazittswert (siehe Bild II-17).

b) Sonderfall x ¼ 0: C ð0Þ ¼

Beispiel 9: Magnetfeld in der Umgebung einer stromdurchflossenen elektrischen Doppelleitung Gebrochenrationale Funktionen Bild II-18 zeigt im Querschnitt eine stromdurchflossene elektrische Doppelleitung, bestehend aus zwei langen parallelen Leitern (Drhten) L 1 und L 2 mit konstanter Querschnittsflche. Der Durchmesser der Leiter soll dabei gegenber dem Leiterabstand d ¼ 2 a vernachlssigbar klein sein. Die Strme in den beiden Leitungen haben die gleiche Strke I, fließen jedoch in entgegengesetzte Richtungen.

II Funktionen und Kurven

43

Bestimmen Sie den Verlauf der magnetischen Feldstrke H

y

a) lngs der Verbindungslinie der beiden Leiterquerschnitte (x-Achse),

H = H1 + H2 H2

b) lngs der Mittelsenkrechten dieser Verbindungsstrecke ( y-Achse).

L1

x

–a

Die Strme fließen parallel zur z-Achse (steht senkrecht zur Zeichenebene), im Leiter L 1 nach oben, im Leiter L 2 nach unten.

L2

H1

r1 = a + x

a

x

r2 = a – x

Bild II-18

Lehrbuch: Bd. 1, III.6

Physikalische Grundlagen: A4

Lsung: a) Der vom Strom I durchflossene linke Leiter L 1 erzeugt am Ort x, d. h. im Abstand r 1 ¼ a þ x von seiner Leitermitte ein Magnetfeld der Strke [ A4 ] H 1 ðxÞ ¼

I I ¼ 2 p r1 2 p ða þ xÞ

~1 verluft parallel zur y-Achse). (der Feldvektor H An der gleichen Stelle, d. h. im Abstand r 2 ¼ a x von seiner Leitermitte erzeugt der rechte Leiter L 2 ein Magnetfeld der Strke [ A4 ] H 2 ðxÞ ¼

I I ¼ 2 p r2 2 p ða xÞ

Beide Felder haben gleiche Richtung (parallel zur y-Achse), die Betrge ihrer Feldstrken addieren sich somit. Das durch berlagerung entstandene Magnetfeld besitzt demnach an der Stelle x eine resultierende Feldstrke vom Betrag I I þ ¼ 2 p ða þ xÞ 2 p ða xÞ I 1 1 I axþaþx ¼ þ ¼ ¼ 2p a þ x ax 2 p ða þ xÞ ða x Þ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 3: Binom : a 2 x 2

H ðxÞ ¼ H 1 ðxÞ þ H 2 ðxÞ ¼

¼

I 2a Ia 1 ¼ , 2 2 2 2p a x p a x2

j x j 6¼ a

Bild II-19 zeigt den Verlauf dieser achsensymmetrischen und echt gebrochenrationalen Funktion.

44

II Funktionen und Kurven

Zwischen den beiden Leitern nimmt die Feldstrke in Richtung Leiter zu, wird dann an den Orten der Leiter, d. h. den Stellen x 1 ¼ a und x 2 ¼ a unendlich groß (Polstellen!) und fllt dann nach außen hin gegen Null ab, wobei sich gleichzeitig die Richtung ~ beschreiben wir durch das Vorzeides Feldstrkevektors umkehrt (die Richtung von H chen: H > 0 fr j x j < a, H < 0 dagegen fr j x j > a; siehe Bild II-20). H

y H=

I pa

L1 –a

H

L1

L2 x

a

–a

H

Bild II-19

L2 a

H

x

Bild II-20

~1 und H ~2 eines Punktes P der y-Achse liegen jetzt spiegelb) Die Feldstrkenvektoren H symmetrisch zur y-Achse, ihre Betrge sind somit gleich groß (Bild II-21). Beide Leiter liefern daher (dem Betrage nach) den gleichen Beitrag zur Gesamtfeldstrke H. ~ liegt in der y-Achse in positiver Richtung. Den Der resultierende Feldstrkevektor H ~2 auf die ~1 und H Betrag H erhalten wir durch Projektion der Feldstrkevektoren H y-Achse. Diese Projektionen sind nichts anderes als die y-Komponenten H 1 y und H 2 y ~1 und H ~2 , wobei aus Symmetriegrnden H 1 y ¼ H 2 y ist (die Komder Vektoren H ponenten in Richtung der x-Achse heben sich auf). Somit gilt H ¼ H 1 y þ H 2 y ¼ H 1 y þ H 1 y ¼ 2 H 1 y ¼ 2 H 1 cos a (mit H 1 y ¼ H 1 cos a, siehe Vektorparal~2 in Bild II-21). ~1 und H lelogramm aus H

y

Die Feldstrke H 1 betrgt nach [ A4 ] H1

H2

aa

Aus dem rechtwinkligen Dreieck L 1 O P in Bild II-21 entnehmen wir die Beziehungen a cos a ¼ r1

H 1y = H 2y

H

I H1 ¼ 2 p r1

und

r 12

2

¼ a þy

P y

r1

L1

r2

a

2

–a

Bild II-21

L2

a a

0

a

a

x

II Funktionen und Kurven

45

~ lngs der y-Achse Damit erhalten wir fr den Betrag H der magnetischen Feldstrke H die folgende Abhngigkeit von der Koordinate y: H ¼ H ðyÞ ¼ 2 H 1 cos a ¼ 2

I a aI 1 aI 1 ¼ ¼ 2 p r1 r1 p r 12 p a2 þ y2

Bild II-22 zeigt den Verlauf der magnetischen Feldstrke lngs der y-Achse. Die Funktion H ðyÞ ist spiegelsymmetrisch und echt gebrochenrational. Das Maximum liegt bei y ¼ 0, mit zunehmender Entfernung wird die Feldstrke kleiner und verschwindet schließlich in großer Entfernung, d. h. fr y ! 1. ~ Die Richtung des Feldstrkevektors H ist dabei fr alle Punkte der y-Achse die gleiche.

H H max =

I

pa

y

Bild II-22

Beispiel 10: Kennlinie einer Glhlampe Interpolationsformel von Newton, kubische Funktion, Horner-Schema Eine Glhlampe stellt einen nichtlinearen Widerstand dar, d. h. das Ohmsche Gesetz der Proportionalitt zwischen Spannung U und Stromstrke I ist hier nicht erfllt. Aus einer Messung sind die folgenden (I; U)-Wertepaare bekannt: I A

0

0,1

0,2

0,4

U V

0

21

48

144

Bestimmen Sie aus diesen vier Einzelmessungen ein Nherungspolynom 3. Grades fr die Kennlinie U ¼ f ðIÞ der Glhlampe a) mit Hilfe der Interpolationsformel von Newton, b) durch einen geeigneten Ansatz unter Bercksichtigung der in diesem Fall vorhandenen speziellen Symmetrieeigenschaft der Kennlinie. c) Welcher Spannungsabfall ist nach der unter a) bestimmten Kennlinie bei einer Stromstrke von I ¼ 0,3 A zu erwarten (Berechnung mit Hilfe des Horner-Schemas)? Lehrbuch: Bd. 1, III.5.4, III.5.5 und III.5.6.2

46

II Funktionen und Kurven

Lsung: a) Der Lsungsansatz nach der Interpolationsformel von Newton lautet (I in A, U in V): U ¼ a 0 þ a 1 ðI I 0 Þ þ a 2 ðI I 0 Þ ðI I 1 Þ þ a 3 ðI I 0 Þ ðI I 1 Þ ðI I 2 Þ Die Koeffizienten a 0 , a 1 , a 2 und a 3 berechnen wir nach dem Steigungs- oder Differenzenschema:

Lsung: a0 ¼ 0 a 1 ¼ 210 a 2 ¼ 300 a 3 ¼ 1000

U ¼ 0 þ 210 ðI 0Þ þ 300 ðI 0Þ ðI 0,1Þ þ 1000 ðI 0Þ ðI 0,1Þ ðI 0,2Þ ¼ ¼ 210 I þ 300 I ðI 0,1Þ þ 1000 I ðI 2 0,3 I þ 0,02Þ ¼ ¼ 210 I þ 300 I 2 30 I þ 1000 I 3 300 I 2 þ 20 I ¼ 1000 I 3 þ 200 I Somit gilt unter Bercksichtigung der Einheiten V V U ¼ 1000 3 I 3 þ 200 I A A

U V 200

Bild II-23 zeigt den Verlauf dieser Kennlinie. 100

20

Bild II-23 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

I A

b) Die gesuchte Kennlinie U ¼ f ðIÞ muss punktsymmetrisch zum Nullpunkt verlaufen! Begrndung: Der Widerstand der Glhlampe ist temperaturabhngig und nimmt mit der Stromstrke zu. Andererseits ist die Wrmeentwicklung im Widerstand nur von der Strke des Stromes, nicht jedoch von der Stromrichtung abhngig. In dem Lsungsansatz fr die Kennlinie knnen daher nur ungerade Potenzen auftreten (bei einer nderung der Stromrichtung ndert sich lediglich die Richtung der abfallenden Spannung).

II Funktionen und Kurven

47

Der Lsungsansatz lautet somit: U ¼ aI3 þ bI Zur Bestimmung der beiden Koeffizienten a und b bentigen wir daher nur zwei der vier vorgegebenen Wertepaare, wobei das erste Wertepaar (0; 0) den Lsungsansatz automatisch erfllt. Wir entscheiden uns fr das zweite und dritte Wertepaar 2) und erhalten folgende Bestimmungsgleichungen fr a und b: Uð0,1Þ ¼ 21

)

0,001 a þ 0,1 b ¼ 21

Uð0,2Þ ¼ 48

)

0,008 a þ 0,2 b ¼ 48

Wir multiplizieren die obere Gleichung mit 2 und addieren sie zur unteren Gleichung: 0,002 a 0,2 b ¼ 42 þ 0,008 a þ 0,2 b ¼ 48 ¼

0,006 a

6

)

a ¼ 1000

Fr b folgt dann aus der oberen Gleichung: 0,001 1000 þ 0,1 b ¼ 21

)

0,1 b ¼ 21 1 ¼ 20

)

b ¼ 200

Wir erhalten die bereits aus Lsungsteil a) bekannte Kennlinie mit der Gleichung U ¼ 1000

V V I 3 þ 200 I A3 A

c) Horner-Schema fr I ¼ 0,3 A:

1000 I ¼ 0,3

0 200 300

0

90

87

1000 300 290

87 |{z}

Lsung: U ¼ 87 V

U ð0,3Þ

Beispiel 11: Doppelschieber Parameterdarstellung, Kegelschnittgleichung Bild II-24 zeigt einen Doppelschieber, d. h. eine Stange der Lnge l, deren Endpunkte A und B lngs zweier aufeinander senkrechter Geraden gefhrt werden. Untersuchen Sie, wie sich ein beliebiger Punkt P auf der Stange, der vom Endpunkt A den Abstand d ¼ n l mit 0 < n < 1 besitzt, bewegt und bestimmen Sie die dabei beschriebene Bahnkurve 2)

Das vierte Wertepaar msste dann streng genommen ebenfalls die Kennliniengleichung erfllen. Infolge der unvermeidlichen Messfehler knnen aber geringe Abweichungen auftreten.

48

II Funktionen und Kurven

a) in der Parameterform mit dem eingezeichneten Winkel a als Parameter,

y

b) in der impliziten Form unter Verwendung der kartesischen Koordinaten x und y.

B

Stange P

a

D

d=

x

nl

y

a C

Bild II-24

A

x

Lehrbuch: Bd. 1, III.1.2.4 und III.8.3

Lsung: a) Aus den beiden rechtwinkligen (und hnlichen) Dreiecken A P C und P B D folgt unmittelbar: PC y Dreieck A P C: sin a ¼ ¼ nl PA PD x x ¼ ¼ l nl ð1 nÞ l PB Durch Auflsung dieser Gleichungen nach den Koordinaten x bzw. y erhalten wir die gesuchte Parameterdarstellung in der Form Dreieck P B D:

cos a ¼

x ¼ ð1 nÞ l cos a

ðParameter a mit 180 a 180 Þ

y ¼ n l sin a

b) Wir lsen die Parametergleichungen nach der jeweiligen trigonometrischen Funktion auf und setzen die gefundenen Ausdrcke in den „trigonometrischen Pythagoras“ cos 2 a þ sin 2 a ¼ 1 ein: x , ð1 nÞ l

cos 2 a þ sin 2 a ¼

sin a ¼ x2 ½ ð1 nÞ l

2

y nl þ

y2 ðn lÞ

2

y

¼ 1

Dies ist die Gleichung einer Ursprungsellipse mit den Halbachsen a ¼ ð1 nÞ l und b ¼ n l (Bild II-25). Im Sonderfall n ¼ 0,5 liegt P in der Stabmitte und bewegt sich auf einem Ursprungskreis mit dem Radius r ¼ 0,5 l.

B Stange

b = nl

cos a ¼

P

y x

a = (1 – n) l

Bild II-25

A

x

II Funktionen und Kurven

49

Beispiel 12: Rollbewegung einer Zylinderwalze lngs einer schiefen Ebene Wurzelfunktion Eine homogene Zylinderwalze mit der Masse m und dem Radius r rollt aus der Ruhe heraus eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel a herab (Bild II-26; A: Startpunkt der Bewegung). Bestimmen Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen der Endgeschwindigkeit v 0 , die der Schwerpunkt S der Walze am Fußpunkt B der schiefen Ebene erreicht und der dabei durchlaufenen Wegstrecke s ¼ A B. Skizzieren Sie den Verlauf dieser Funktion v 0 ¼ v 0 ðsÞ.

Zylinderwalze

s=

S

AB A

v0

v0

h

a B

Bild II-26 Lsungshinweis: Verwenden Sie den Energieerhaltungssatz [ A22 ] und beachten Sie, dass sich die Gesamtbewegung aus einer Translation des Walzenschwerpunktes S (kinetische und potentielle Energie) und einer Rotation der Walze um ihren Schwerpunkt (Rotationsenergie) zusammensetzt. Die Rollreibung soll dabei vernachlssigt werden. Das Massentrgheitsmoment der Zylinderwalze bezglich der Zylinderachse (Schwerpunktachse) ist 1 JS ¼ m r 2. 2 Lehrbuch: Bd. 1, III.7.2

Physikalische Grundlagen: A8, A22

Lsung: Wir lsen das Problem durch Anwendung des Energieerhaltungssatzes [ A22 ]. Zu Beginn (Position A) besitzt die Walze ausschließlich potentielle Energie: E 1 ¼ Epot ¼ m g h Diese geht nach und nach in kinetische Energie des Schwerpunktes S und in Rotationsenergie der rotierenden Walze ber. Am Fußpunkt der schiefen Ebene (Position B) ist daher E 2 ¼ Ekin þ Erot ¼

1 1 1 1 m v 20 þ J S w 20 ¼ m v 20 þ m r 2 w 20 2 2 2 4

w 0 ist dabei die Winkelgeschwindigkeit der Drehbewegung der Walze um ihren Schwerpunkt S im Fußpunkt B der schiefen Ebene. Nach dem Energieerhaltungssatz [ A22 ] gilt E 2 ¼ E 1 und somit 1 1 m v 20 þ m r 2 w 20 ¼ m g h 2 4

oder

1 2 1 2 2 v0 þ r w0 ¼ g h 2 4

50

II Funktionen und Kurven

Wir bercksichtigen noch die Beziehungen sin a ¼

h , s

h ¼ s sin a

und

v0 ¼ w0 r ,

und erhalten zunchst 1 2 1 2 v 0 2 1 2 1 2 ¼ v0 þ r v þ v ¼ g s sin a r 2 4 2 0 4 0

w0 ¼

v0 r

3 2 v ¼ g s sin a 4 0

oder

und daraus schließlich die gesuchte Beziehung rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ g s sin a g sin a g sin a pﬃﬃ v 0 ¼ v 0 ðsÞ ¼ 2 ¼ 2 s ¼ 2 s, 3 3 3

s 0

Die Endgeschwindigkeit v 0 des Walzenschwerpunktes S am Fußpunkt der schiefen Ebene pﬃﬃ ist somit s proportional. Der funktionale Zusammenhang der beiden Grßen ist in Bild II-27 dargestellt (Wurzelfunktion).

v0 v0 ~ s

Bild II-27 s

Beispiel 13: Ballistisches Pendel Zusammengesetzte Funktion 0

a l

Bild II-28 zeigt ein sog. ballistisches Pendel, mit dessen Hilfe man unbekannte Geschossgeschwindigkeiten bestimmen kann. Das Geschoss mit der Masse m trifft mit der (noch unbekannten) Geschwindigkeit v 0 auf einen als Pendelkrper dienenden Holz-, Sand- oder Bleiblock der Masse M und bleibt darin stecken. Das Pendel der Lnge l wird dabei um den Winkel a ausgelenkt. Wie lautet der funktionale Zusammenhang zwischen der Geschossgeschwindigkeit v 0 und dem Ausschlagwinkel a? Skizzieren Sie diese Funktion.

l–h

h M+m

v0

M

m

Bild II-28 Lehrbuch: Bd. 1, III.7.2 und III.9.2

Physikalische Grundlagen: A22, A23, A24

II Funktionen und Kurven

51

Lsung: Block und Geschoss bewegen sich unmittelbar nach dem Einschlag mit der gemeinsamen Geschwindigkeit v 1 . Ihre kinetische Energie wird dabei nach und nach vollstndig in potentielle Energie umgesetzt. Nach Erreichen der maximalen Hhe h (Umkehrpunkt der Bewegung) gilt somit nach dem Energieerhaltungssatz [ A22 ] 1 ðM þ mÞ v 21 ¼ ðM þ mÞ g h 2

v 21 ¼ 2 g h

oder

Die erreichte (maximale) Hhe h lsst sich noch durch den Ausschlagswinkel a ausdrcken: cos a ¼

lh l

)

l cos a ¼ l h

)

h ¼ l l cos a ¼ l ð1 cos aÞ

Damit erhalten wir fr die Geschwindigkeit v 1 im tiefsten Punkt der Pendelbewegung den folgenden Ausdruck: pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v 1 ¼ 2 g h ¼ 2 g l ð1 cos aÞ Aus dieser Beziehung kann mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes [ A24 ] die gesuchte Geschossgeschwindigkeit v 0 bestimmt werden. Es gilt fr den Gesamtimpuls [ A23 ] vor dem Stoß:

p1 ¼ m v0 þ M 0 ¼ m v0

nach dem Stoß: p 2 ¼ ðM þ mÞ v 1 Somit folgt aus p 1 ¼ p 2 m v 0 ¼ ðM þ mÞ v 1

oder

v0 ¼

M þm v1 m

und unter Bercksichtigung der bereits weiter oben aufgestellten Beziehung pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v 1 ¼ 2 g l ð1 cos aÞ schließlich der gesuchte Zusammenhang zwischen der Geschossgeschwindigkeit v 0 und dem Ausschlagwinkel a: v 0 ¼ v 0 ðaÞ ¼

M þ m pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 g l ð1 cos aÞ , m

a 0

Diese Abhngigkeit ist in Bild II-29 graphisch dargestellt.

Bild II-29

v0

a

52

II Funktionen und Kurven

Beispiel 14: Momentane (zeitabhngige) Leistung eines Wechselstroms Sinus- und Kosinusfunktionen Ein sinusfrmiger Wechselstrom i ðtÞ ¼ i 0 sin ðw tÞ ,

t 0

erzeugt in einem ohmschen Widerstand R eine momentane (zeitabhngige) Leistung nach der Gleichung p ðtÞ ¼ R i 2 ðtÞ ¼ R i 20 sin 2 ðw tÞ ,

t 0

i 0 : Scheitelwert; w: Kreisfrequenz des Wechselstroms a) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf dieser Funktion ohne Erstellung einer Wertetabelle, indem Sie den Kurvenverlauf von p ðtÞ mittels einer geeigneten trigonometrischen Umformung auf den Verlauf der als bekannt vorausgesetzten Kosinusfunktion y 1 ¼ cos ð2 w tÞ zurckfhren. b) Bestimmen Sie aus den bekannten Eigenschaften dieser Kosinusfunktion smtliche Nullstellen, relativen Extremwerte und Wendepunkte der Funktion p ðtÞ. Lehrbuch: Bd. 1, III.9.5.1

Lsung: a) Mit Hilfe der aus der Formelsammlung (Abschnitt III.7.6.4) entnommenen trigonometrischen Formel sin 2 ðxÞ ¼

1 ½ 1 cos ð2 xÞ 2

erhalten wir mit x ¼ w t fr die Momentanleistung des Wechselstroms den Ausdruck p ðtÞ ¼ R i 20 sin 2 ðw tÞ ¼ R i 20

1 ½1 cos ð2 w tÞ ¼ R I 2 ½1 cos ð2 w tÞ 2

pﬃﬃﬃ (I ¼ i 0 = 2 : Effektivwert des Wechselstroms). Den zeitlichen Verlauf dieser Funktion bestimmen wir schrittweise wie folgt. Zunchst zeichnen wir die Kosinusfunktion y 1 ¼ cos ð2 w tÞ mit der Schwingungsdauer (Periode) T ¼ p=w (Bild II-30a)). Durch Spiegelung an der Zeitachse wird daraus die Kurve mit der Gleichung y 2 ¼ y 1 ¼ cos ð2 w tÞ (siehe Bild II-30a)).

II Funktionen und Kurven

53

Verschieben wir nun die Zeitachse noch um eine Einheit nach unten, so erhalten wir das Bild der Funktion

y 1

p 2v

y3 ¼ y2 þ 1 ¼ –1

¼ 1 cos ð2 w tÞ

y2

y1

p

v

3p 2v

2p

3p 2v

2p

v

t

a)

(Bild II-30b)). Eine Maßstabsnderung auf der y-Achse (alle Ordinatenwerte werden mit der Konstanten R I 2 multipliziert) fhrt schließlich zu der gesuchten Kurve mit der Funktionsgleichung

y y3

2 1

y ¼ R I 2 y3 ¼

p 2v

b)

2

¼ R I ½1 cos ð2 w tÞ Die Periode dieser Funktion ist T ¼ p=w (Bild II-30c)).

p

v

t

v

y 2 RI 2

y = p(t)

RI 2

Bild II-30 c)

p p 3p 4v 2v 4v

tk ¼ k

p w

ðk ¼ 0, 1, 2, . . .Þ

Relative Minima: t k ¼ k

p w

ðk ¼ 0, 1, 2, . . .Þ

b) Nullstellen:

Relative Maxima: t k ¼ Wendepunkte:

tk ¼

p

5p 3p 7p 2p

v 4v 2v 4v v

p p p þk ¼ ð1 þ 2 kÞ 2w w 2w

ðk ¼ 0, 1, 2, . . .Þ

p p p þk ¼ ð1 þ 2 kÞ 4w 2w 4w

ðk ¼ 0, 1, 2, . . .Þ

Nullstellen und relative Minima fallen dabei zusammen.

t

54

II Funktionen und Kurven

Beispiel 15: berlagerung gleichfrequenter Schwingungen gleicher Raumrichtung Sinus- und Kosinusfunktionen Durch ungestrte berlagerung (Superposition) der beiden gleichfrequenten mechanischen Schwingungen gleicher Raumrichtung p

2 und y 2 ¼ 10 cm cos p s 1 t þ p y 1 ¼ 8 cm sin p s 1 t 4 3 entsteht eine resultierende Schwingung der gleichen Frequenz. Bestimmen Sie die Amplitude A > 0 und den Phasenwinkel j dieser in der Sinusform y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A sin ðp s 1 t þ jÞ ,

t 0s

darzustellenden Gesamtschwingung a) zeichnerisch anhand des (reellen) Zeigerdiagramms, b) durch (reelle) Rechnung. Anmerkung: In Kapitel VI, bung 7 wird dieses Beispiel im Komplexen gelst. Lehrbuch: Bd. 1, III.9.5.3

Lsung: a) Wir zeichnen zunchst im Zeigerdiagramm die zugehrigen Zeiger ein und ergnzen sie zu einem Parallelogramm (Bild II-31). Der Zeiger der resultierenden Schwingung ist die Hauptdiagonale dieses Parallelogramms. Amplitude A und Phasenwinkel j lassen sich dann (im Rahmen der Zeichengenauigkeit) unmittelbar ablesen: A 11,1 cm ,

+ cos

f ≈ 254° 30°

+ sin

45°

A 1 = 8 cm

A 2 = 10 cm y2

A ≈ 11,1 cm

j 254

y1

y

Bild II-31 b) Die Kosinusschwingung y 2 muss zunchst in die Sinusform gebracht werden (Drehung um den Winkel p=2 im Gegenuhrzeigersinn): 2 2 p y 2 ¼ 10 cm cos p s 1 t þ p ¼ 10 cm sin p s 1 t þ p þ ¼ 3 3 2 7 p ¼ 10 cm sin p s 1 t þ 6

II Funktionen und Kurven

55

p 7 Mit A 1 ¼ 8 cm, A 2 ¼ 10 cm, j 1 ¼ und j 2 ¼ p erhalten wir fr die resul4 6 tierende Schwingung folgende Amplitude: A ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ A 21 þ A 22 þ 2 A 1 A 2 cos ðj 2 j 1 Þ ¼

sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 7 p 2 2 ¼ ð8 cmÞ þ ð10 cmÞ þ 2 8 cm 10 cm cos p þ ¼ 11,07 cm 6 4 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 17 p 12

Die Berechnung des Phasenwinkels j erfolgt aus der Gleichung tan j ¼

A 1 sin j 1 þ A 2 sin j 2 ¼ A 1 cos j 1 þ A 2 cos j 2

p

7 þ 10 cm sin 8 cm sin p 4 6 ¼ ¼ 3,5483 p

7 8 cm cos þ 10 cm cos p 4 6 Nach dem Zeigerdiagramm (Bild II-31) liegt der resultierende Zeiger im 3. Quadrant. Somit ist, wie aus Bild II-32 ersichtlich, j ¼ arctan 3,5483 þ p ¼ 4,4377 ¼ 254,3 der gesuchte Phasenwinkel 3). Die Gleichung der resultierenden Schwingung lautet daher: y ¼ y 1 þ y 2 ¼ 11,07 cm sin ðp s 1 t þ 4,4377Þ ,

y

–

p 2

t 0s

y = 3,5483

p 2

p

3 p 2

f

y = tan f arctan 3,5483 arctan 3,5483 + p

3)

Bild II-32

Die Parallele zur j-Achse mit der Gleichung y ¼ 3,5483 schneidet die Tangenskurve im 1. Quadrant an der Stelle arctan 3,5483. Die gesuchte Schnittstelle im 3. Quadrant liegt von dieser Stelle um eine Periodenlnge, d. h. um p entfernt.

56

II Funktionen und Kurven

Beispiel 16: Lissajous-Figuren Parameterdarstellung, Sinus- und Kosinusfunktionen, Wurzelfunktionen Lissajous-Figuren entstehen durch ungestrte berlagerung zweier aufeinander senkrecht stehender harmonischer Schwingungen, deren Frequenzen in einem rationalen Verhltnis zueinander stehen. Sie lassen sich beispielsweise auf einem Oszillograph durch Anlegen von sinus- oder kosinusfrmigen Wechselspannungen an die beiden Ablenkkondensatoren realisieren. a) Bestimmen Sie den Verlauf der von einem Elektronenstrahl auf dem Oszillographenschirm gezeichneten Lissajous-Figur mit der Parameterdarstellung x ¼ a sin ðw tÞ ,

y ¼ b sin ð2 w tÞ ,

t 0

fr a ¼ 4 cm, b ¼ 3 cm und w ¼ 1 s 1 durch schrittweise Berechnung der Koordinap s. ten mit der Schrittweite Dt ¼ 12 b) Durch welche Funktionen in expliziter Form lsst sich diese Kurve beschreiben? Lehrbuch: Bd. 1, III.1.2.4, III.9.5.1 und III.7.2

Lsung: a) Mit den vorgegebenen Werten lautet die Parameterdarstellung der Lissajous-Figur x ¼ 4 cm sin ð1 s 1 tÞ ,

y ¼ 3 cm sin ð2 s 1 tÞ ,

t 0s

Die Schwingungen in der x- und y-Richtung erfolgen mit den Schwingungsdauern (Perioden) T x ¼ 2 p s und T y ¼ p s. Die kleinste gemeinsame Periode ist somit T ¼ 2 p s, d. h. nach Durchlaufen eines Periodenintervalls dieser Lnge ist die Lissajous-Figur geschlossen, der Elektronenstrahl zeichnet die gleiche Figur von neuem. Wertetabelle (Schrittweite: Dt ¼ ðp=12Þ s) Bei der Berechnung der x- und y-Werte knnen wir uns wegen der Symmetrieeigenschaften der Sinusfunktion auf die folgenden Teilintervalle beschrnken (diese Werte sind in der Tabelle grau unterlegt): x-Werte: 0 t=s p=2; t s x cm y cm

y-Werte: 0 t=s p=4

0

p 12

2

p 12

0

1,04

2

2,83

3,46

3,86

4

0

1,50

2,60

3

2,60

1,50

0

3

p 12

4

p 12

5

p 12

6

p 12

II Funktionen und Kurven t s x cm y cm t s x cm y cm t s x cm y cm

7

p 12

57

8

p 12

p 12

10

2,83

2

9

3,86

3,46

1,50

2,60

3

p 12

16

14

p 12

2

15

2,83

2,60

3

p 12

22

2,83 3

21

p 12

p 12

2,60 p 12

17

p 12

p 12

12

1,04

0

1,04

1,50

0

1,50

p 12

19

11

18

p 12

p 12

13

20

p 12

p 12

3,46

3,86

4

3,86

3,46

2,60

1,50

0

1,50

2,60

p 12

2p

2

1,04

0

2,60

1,50

0

23

y 3

A

–4

Bild II-33 zeigt den Verlauf der Lissajous-Figur mit dem Startpunkt A und eingezeichnetem Durchlaufsinn der Kurve (in Pfeilrichtung).

4

x

–3

Bild II-33 b) Mit Hilfe trigonometrischer Umformungen bringen wir die y-Schwingung zunchst auf die folgende Form: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ y ¼ b sin ð2 w tÞ ¼ 2 b sin ðw tÞ cos ðw tÞ ¼ 2 b sin ðw tÞ 1 sin 2 ðw tÞ (Formelsammlung, Abschnitt III.7.6.3 und Abschnitt III.7.5). Die Gleichung der x-Schwingung lsen wir nach sin ðw tÞ auf und setzen den gefundenen Ausdruck sin ðw tÞ ¼ x=a in diese Gleichung ein: rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ x 2 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ x 2b a2 x2 2b ¼ 2 x a2 x2 y ¼ 2b ¼ 1 x 2 a a a a a (mit j x j a). Fr die speziellen Werte a ¼ 4 cm und b ¼ 3 cm wird daraus schließlich y ¼

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 3 x 16 cm 2 x 2 , 8 cm

j x j 4 cm

Die Bahnkurve des Elektronenstrahls wird somit durch zwei zur x-Achse spiegelsymmetrische Wurzelfunktionen beschrieben (Bild II-33; oberes Vorzeichen: 1. und 3. Quadrant, unteres Vorzeichen: 2. und 4. Quadrant).

58

II Funktionen und Kurven

Beispiel 17: Schwebungen Trigonometrische Funktionen Schwebungen sind Schwingungen mit einer periodisch an- und abschwellenden Amplitude. Sie entstehen durch ungestrte berlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Raumrichtung vom Typ 4) y 1 ¼ A sin ðw 1 tÞ

und

y 2 ¼ A sin ðw 2 tÞ

ðt 0Þ

deren Frequenzen bzw. Kreisfrequenzen ðw 1 , w 2 ) in einem ganzzahligen Teilerverhltnis zueinander stehen und sich nur geringfgig voneinander unterscheiden. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Schwebung und zeichnen Sie den Schwingungsverlauf fr w 1 ¼ 20 s 1 ,

w 2 ¼ 18 s 1

und

A ¼ 5 cm :

Lsungshinweis: Die Funktionsgleichung der Schwebung lsst sich mit Hilfe trigonometrischer Formeln als ein Produkt aus einer Kosinus- und einer Sinusfunktion mit unterschiedlichen Perioden darstellen (siehe Formelsammlung, Abschnitt III.7.6.5). Zeichenhilfe: Erstellen Sie zunchst eine Wertetabelle mit der Schrittweite Dt ¼ ðp=76Þ s. Lehrbuch: Bd. 1, III.9.5.1

Lsung: Die resultierende Schwingung wird durch die Gleichung y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A sin ðw 1 tÞ þ A sin ðw 2 tÞ ¼ A ½ sin ðw 1 tÞ þ sin ðw 2 tÞ beschrieben. Die in der Klammer stehende Summe lsst sich unter Verwendung der aus der Formelsammlung (Abschnitt III.7.6.5) entnommenen trigonometrischen Formel x þ x

x x

x x

x þ x

1 2 1 2 1 2 1 2 cos ¼ 2 cos sin sin x 1 þ sin x 2 ¼ 2 sin 2 2 2 2 wie folgt umformen (wir setzen dabei x 1 ¼ w 1 t und x 2 ¼ w 2 t): w t w t

w t þ w t

1 2 1 2 sin ¼ y ¼ 2 A cos 2 2 w w

w þ w

1 2 1 2 ¼ 2 A cos t sin t 2 2 Mit den Abkrzungen Dw ¼

4)

w1 w2 2

und

w ¼

w1 þ w2 2

Der Einfachheit halber werden folgende Annahmen gemacht: Die Schwingungen stimmen in ihren Amplituden berein ðA 1 ¼ A 2 ¼ AÞ, ihre Phasenwinkel sind beide gleich Null ðj 1 ¼ j 2 ¼ 0Þ.

II Funktionen und Kurven

59

erhalten wir schließlich eine resultierende Schwingung der Form y ¼ 2 A cos ðDw tÞ sin ðw tÞ ¼ A* ðtÞ sin ðw tÞ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} A* ðtÞ mit der zeitabhngigen Amplitude A* ðtÞ ¼ 2 A cos ðDw tÞ (siehe hierzu Bild II-34). Es handelt sich offensichtlich um eine nahezu harmonische Schwingung mit der Kreisw1 þ w2 frequenz w ¼ (arithmetischer Mittelwert aus w 1 und w 2 ) und der Frequenz 2 w f1 þ f 2 ¼ , wobei f1 und f 2 die Frequenzen der Einzelschwingungen bedeuten. f ¼ 2p 2 Die Schwingungsdauer betrgt 2p 2p 4p 4p 4p ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ w w1 þ w2 w1 þ w2 2p 2p 1 1 2p þ þ 2 T1 T2 T1 T2 2 2 2 T1 T2 ¼ ¼ ¼ T1 þ T2 T2 þ T1 T1 þ T2 T1 T2 T1 T2

T ¼

T 1 und T 2 sind dabei die Schwingungsdauern der beiden Einzelschwingungen. Die zeitabhngige Amplitude A* ðtÞ ¼ 2 A cos ðDw tÞ ndert sich infolge der vergleichsweise kleinen Kreisfrequenz Dw w nur sehr langsam. Die sogenannte Schwebungsfrequenz betrgt f S ¼ f1 f 2 , die Periodendauer der Schwebung, d. h. der zeitliche Abstand zweier benachbarter Amplitudenmaxima ist somit TS ¼

1 1 1 1 T1 T2 ¼ ¼ ¼ ¼ 1 1 fS f1 f 2 T2 T1 T2 T1 T1 T2 T1 T2

Bild II-34 zeigt den Verlauf der Schwebungen fr die vorgegebenen Werte w 1 ¼ 20 s 1 , w 2 ¼ 18 s 1 und A ¼ 5 cm. Die Gleichung der Schwebung lautet dabei mit Dw ¼ 1 s 1 und w ¼ 19 s 1 wie folgt: y ¼ 10 cm cos ð1 s 1 tÞ sin ð19 s 1 tÞ ,

t 0s

Die Periodendauer der eigentlichen Schwingung ist T ¼ 0,33 s, die Periodendauer der Schwebung betrgt T S ¼ p s ¼ 3,14 s ðT S ¼ 9,5 TÞ. y

Periode der Schwebung: T S = p s = 3,14 s

10 20 10

30

50 40

60 70

80

90

p 76

–10

Bild II-34

·t

60

II Funktionen und Kurven

Beispiel 18: Fliehkraft- oder Zentrifugalkraftregler Trigonometrische Funktionen, Arkuskosinusfunktion Bild II-35 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Fliehkraft- oder Zentrifugalkraftreglers. Die beiden Arme der Lnge l ¼ 2 a werden dabei als nahezu masselos angenommen, die anhngenden punktfrmigen Massen m rotieren mit der Winkelgeschwindigkeit w um die eingezeichnete Drehachse. Zu jedem Wert der Winkelgeschwindigkeit w gehrt genau ein Winkel j, unter dem sich infolge der nach außen wirkenden Zentrifugalkrfte die Arme gegenber der Drehachse einstellen. Bestimmen und skizzieren Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen dem Winkel j und der Winkelgeschwindigkeit w und zeigen Sie, dass zum Abheben der Arme eine Mindestwinkelgeschwindigkeit w 0 ntig ist. ~Z : Zentrifugalkraft F ~: Gewichtskraft G ~r : resultierende Kraft F

Drehachse

v

a

a

a

ff

a

a

a

m

m r

r

Fz

f Fr G

Bild II-35

Lehrbuch: Bd. 1, III.9 und III.10.3

Physikalische Grundlagen: Al5

Lsung: ~ vom Betrag Auf jede der beiden Punktmassen m wirkt neben der Gewichtskraft G ~ G ¼ m g noch eine nach außen gerichtete Zentrifugalkraft FZ vom Betrag FZ ¼ m w 2 r ein, wobei r der senkrechte Abstand der Masse von der Drehachse ist [ A15 ]. Die dynamische Gleichgewichtslage ist erreicht, wenn die aus beiden Krften gebildete resultierende ~r in Verlngerung des jeweiligen Armes wirkt. Aus dem Krfteparallelogramm nach Kraft F Bild II-35 folgt dann unmittelbar tan j ¼

FZ m w2 r w2 r ¼ ¼ G mg g

II Funktionen und Kurven

61

Mit den Beziehungen sin j ¼

r , 2a

d: h:

r ¼ 2 a sin j

und

tan j ¼

sin j cos j

(gewonnen aus dem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse 2a und der dem Winkel j gegenberliegenden Kathete r) folgt hieraus tan j ¼

sin j w 2 2 a sin j ¼ cos j g

und somit

cos j ¼

g 2 a w2

Wir lsen diese Gleichung nach j auf und erhalten die gesuchte Beziehung in Form der Arkusfunktion g

j ¼ arccos 2 a w2 Der kleinstmgliche Winkel ist j ¼ 0 . Zu ihm gehrt die folgende Winkelgeschwindigkeit w 0: rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ g g 2 cos 0 ¼ 1 ¼ ) 2 a w ¼ g ) w ¼ 0 0 2a 2 a w 20 Erst ab einer Winkelgeschwindigkeit oberhalb von w 0 bewegen sich die Arme erstmals nach außen. Der grßtmgliche Winkel j max ¼ 90 wird dabei (theoretisch) fr w ! 1 erreicht. Bild II-36 zeigt den Zusammenhang zwischen dem Winkel j und der Winkelgeschwindigkeit w, der auch durch die Gleichung 2 g

g 1 1 w0 2 2 ¼ arccos w 0 2 ¼ arccos ¼ ¼ arccos j ¼ arccos 2 2aw 2a w w w2 |{z} w 20 w 2 0 ¼ arccos , w w0 w beschrieben werden kann. Die Abbildung lsst deutlich erkennen, dass mit zunehmender Winkelgeschwindigkeit auch die Winkel zunehmen. Dies ist aus physikalischer Sicht einleuchtend, da die fr das Abheben verantwortliche Zentrifugalkraft selbst mit der Winkelgeschwindigkeit wchst!

f 90° 50° 10°

v0

Bild II-36

2 v0

3 v0

v

62

II Funktionen und Kurven

Beispiel 19: Ladestrom in einer RC-Parallelschaltung Exponentialfunktion (Abklingfunktion) An die in Bild II-37 dargestellte RC-Parallelschaltung mit den ohmschen Widerstnden R 1 und R 2 und einem Kondensator mit der Kapazitt C wird zum Zeitpunkt t ¼ 0 durch Schließen des Schalters S eine Gleichspannung U ¼ 100 V angelegt. Der Ladestrom i im Hauptkreis besitzt dann den folgenden zeitlichen Verlauf: i ðtÞ ¼ i 1 ðtÞ þ i 2 ðtÞ ¼

U U t þ e t, R1 R2

t 0

a) Bestimmen Sie die beiden ohmschen Widerstnde R 1 und R 2 , die Zeitkonstante t sowie die Kapazitt C aus den drei Messwerten i ðt ¼ 0 sÞ ¼ 15 A ,

ðt ¼ R 2 C : ZeitkonstanteÞ

i2

C

R2

i

i ðt ¼ 1 sÞ ¼ 5,2 A ,

R1

i1

i 1 ¼ i ðt ! 1Þ ¼ 5 A 5) t=0

und zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstrke i. b) Nach welcher Zeit t 1 hat der Ladestrom i um genau 10 % seines Anfangswertes abgenommen?

S U

Bild II-37

Lehrbuch: Bd. 1, III.11.3.1

Lsung: a) Aus dem Anfangswert i ðt ¼ 0 sÞ ¼ 15 A und dem Endwert i 1 ¼ 5 A lassen sich die beiden Widerstnde wie folgt berechnen: i1 ¼ 5 A ðe

t t

! 0

)

100 V 100 V 100 V þ 0 ¼ ¼ 5A R1 R2 R1

5)

R1 ¼

100 V ¼ 20 W 5A

f u¨ r t ! 1Þ

i ðt ¼ 0 sÞ ¼ 15 A 5A þ

)

100 V ¼ 15 A R2

) )

100 V 100 V 100 V 100 V þ e0 ¼ ¼ 15 A þ R1 R2 20 W R2 100 V ¼ 10 A R2

)

R2 ¼

100 V ¼ 10 W 10 A

Dieser Wert wird nach unendlich langer Zeit erreicht (Endwert der Stromstrke fr t ! 1).

)

II Funktionen und Kurven

63

Somit erhalten wir als Zwischenergebnis: i ðtÞ ¼

100 V 100 V t t þ e t ¼ 5 A þ 10 A e t 20 W 10 W

Die Zeitkonstante t bestimmen wir aus dem Messwert i ðt ¼ 1 sÞ ¼ 5,2 A: i ðt ¼ 1 sÞ ¼ 5,2 A 10 A e

1s t

1 s

)

5 A þ 10 A e t ¼ 5,2 A ) 1s ) e t ¼ 0,02 logarithmieren )

¼ 0,2 A

1s ¼ ln 0,02 ¼ 3,9120 t

)

t ¼

1s ¼ 0,2556 s 3,9120

Fr die Kapazitt C folgt dann aus t ¼ R 2 C : C ¼

t 0,2556 s ¼ ¼ 0,02556 F ¼ 25,56 mF R2 10 W

Der Ladestrom i ðtÞ gengt damit folgendem Zeitgesetz (mit t 0 s): i ðtÞ ¼ 5 A þ 10 A e ¼ 5 A þ 10 A

t 0,2556 s

i A 15

¼

13,5

3,9120 t s e

10

Bild II-38 zeigt den Verlauf dieser Funktion (Abklingfunktion). 5

Bild II-38 t1

0,5

1

t s

b) Zur Zeit t 1 betrgt die Stromstrke i ðt ¼ t 1 Þ ¼ 13,5 A (90 % des Anfangswertes, siehe hierzu auch Bild II-38). Somit gilt: 5 A þ 10 A e

3,9120 t 1 s

¼ 13,5 A

Wir isolieren die e-Funktion und lsen anschließend die Exponentialgleichung durch Logarithmierung: 3,9120 t 1 3,9120 t 1 s s ¼ 8,5 A ) e ¼ 0,85 logarithmieren ) 10 A e

3,9120 t 1 ¼ ln 0,85 ¼ 0,1625 s

)

t1 ¼

0,1625 s ¼ 0,0415 s ¼ 41,5 ms 3,9120

64

II Funktionen und Kurven

Beispiel 20: RC-Glied mit Rampenspannung Exponentialfunktion (Sttigungsfunktion) An ein RC-Glied wird zum Zeitpunkt t ¼ 0 durch Schließen des Schalters S eine linear ansteigende Spannung u ¼ k t angelegt 6) (Bild II-39). Die am ohmschen Widerstand R abfallende Spannung u R strebt dabei nach dem Zeitgesetz

t t 0 u R ðtÞ ¼ k t 1 e t , C

R

gegen den Endwert u R ðt ! 1Þ ¼ k t.

uR

C : Kapazitt; t ¼ RC : Zeitkonstante a) Skizzieren Sie diese Sttigungsfunktion im Zeitintervall 0 t=s 8 f u¨ r

t=0

R ¼ 200 kW , C ¼ 10 mF und S

k ¼ 50 V=s bei einer Schrittweite von Dt ¼ 0,25 s.

u = kt

b) Nach welcher Zeit t 1 wird 50 % des Endwertes erreicht? Bild II-39 Lehrbuch: Bd. 1, III.11.3.2

Lsung: a) Zeitkonstante: t ¼ R C ¼ 200 kW 10 mF ¼ 2 10 5 W 10 5 F ¼ 2 s

V t t u R ðtÞ ¼ 50 2 s 1 e 2 s ¼ 100 V 1 e 2 s , t 0s s Wertetabelle (Schrittweite: Dt ¼ 0,25 s) t s uR V

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

2

2,25

2,5

0

11,75 22,12 31,27 39,35 46,47 52,76 58,31 63,21 67,53 71,35

t 2,75 3 3,25 3,5 3,75 4 4,25 4,5 4,75 5 5,25 s uR 74,72 77,69 80,31 82,62 84,66 86,47 88,06 89,46 90,70 91,79 92,76 V t 5,5 5,75 6 6,25 6,5 6,75 7 7,25 7,5 7,75 8 s uR 93,61 94,36 95,02 95,61 96,12 96,58 96,98 97,34 97,65 97,92 98,17 V 6)

Man bezeichnet eine solche Spannung auch als Rampenspannung.

II Funktionen und Kurven

65

Bild II-40 zeigt, wie die am ohmschen Widerstand abfallende Spannung mit der Zeit ansteigt und asymptotisch ihrem Endwert u R ðt ! 1 sÞ ¼ 100 V entgegen strebt.

uR V 100

50

Bild II-40

10 1

2 t1

3

4

5

6

7

8

t s

b) Zur Zeit t 1 betrgt die Spannung u R ðt ¼ t 1 Þ ¼ 50 V (50 % des Endwertes, siehe hierzu auch Bild II-40). Somit gilt: t

t 1 1 100 V 1 e 2 s ¼ 50 V ) 1 e 2 s ¼ 0,5 Wir isolieren die e-Funktion und lsen die Exponentialgleichung anschließend durch Logarithmierung: t t1 1 e 2 s ¼ 0,5 ln ) ¼ ln 0,5 ¼ 0,6931 ) t 1 ¼ 1,386 s 2s

Beispiel 21: Aperiodischer Grenzfall einer Schwingung Kriechfunktion (Exponentialfunktion) Das in Bild II-41 skizzierte schwingungsfhige mechanische System, bestehend aus einer Masse m ¼ 0,5 kg und einer elastischen Feder mit der Federkonstanten c ¼ 128 N/m, wird in einer zhen Flssigkeit so stark gedmpft, dass gerade der aperiodische Grenzfall eintritt. Das System ist daher infolge zu großer Energieverluste zu keiner echten Schwingung mehr fhig. Das Weg-Zeit-Gesetz dieser Kriechbewegung lsst sich dabei, wenn die Bewegung zum Zeitpunkt t ¼ 0 s aus der Ruhe heraus mit einer anfnglichen Auslenkung von x (0 s) ¼ 20 cm beginnt, durch die folgende Funktionsgleichung beschreiben:

16 cm t þ 20 cm e s t x ðtÞ ¼ 320 s

Elastische Feder

Gleichgewichtslage x (t ) Pendelmasse m Dämpfung

Bild II-41

66

II Funktionen und Kurven

Skizzieren Sie dieses Weg-Zeit-Gesetz im Zeitintervall 0 t=s 0,4 mit Hilfe einer Wertetabelle (Schrittweite: Dt ¼ 0,02 s). Lehrbuch: Bd. 1, III.11.3.4

Lsung: Wertetabelle (Schrittweite: Dt ¼ 0,02 s) t s x cm

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

20

19,17

17,30

15,01

12,68

10,50

8,56

6,90

5,50

4,36

3,42

0,22

0,24

0,26

0,28

0,30

0,32

0,34

0,36

0,38

0,40

2,68

2,08

1,61

1,24

0,95

0,73

0,56

0,43

0,32

0,25

Bild II-42 zeigt deutlich, wie die Masse in kurzer Zeit aus der Anfangslage x ð0 sÞ ¼ 20 cm in die Gleichgewichtslage (Ruhelage) x ¼ 0 cm zurckkehrt (Kriechfall).

x cm

t s x cm

20

10

2

Bild II-42 0,1

0,2

0,3

0,4

t s

Beispiel 22: Barometrische Hhenformel Logarithmusfunktion Zwischen Luftdruck p und Hhe h (gemessen gegenber dem Meeresniveau) gilt unter der Annahme konstanter Lufttemperatur der folgende Zusammenhang (sog. barometrische Hhenformel ): p ðhÞ ¼ p 0 e

h 7991 m

,

h 0m

( p 0 ¼ 1,013 bar: Luftdruck an der Erdoberflche). In Bild II-43 ist der Verlauf dieser Funktion dargestellt (die Hhenangabe erfolgt dabei in der Einheit km).

II Funktionen und Kurven

67

a) Geben Sie die Hhe h als Funktion des Luftdruckes p an (bergang zur Umkehrfunktion) und skizzieren Sie diesen Funktionsverlauf. b) In welcher Hhe h 1 ist der Luftdruck auf die Hlfte seines Maximalwertes p 0 gesunken?

p p0

p0 2

Bild II-43 1

h1

10

15

h km

Lehrbuch: Bd. 1, III.12.2

Lsung: a) Zunchst wird die e-Funktion isoliert, anschließend wird die Gleichung logarithmiert: p h p p h 7991 m e ¼ ) ¼ ln ) h ¼ 7991 m ln p0 7991 m p0 p0 Die gesuchte Beziehung lautet somit: p p h ¼ h ð pÞ ¼ 7991 m ln ¼ 7,991 km ln p0 p0 Der Verlauf dieser streng monoton fallenden Logarithmusfunktion ist in Bild II-44 dargestellt. b) Der Druck p 1 ¼ p 0 =2 wird in der Hhe p 0 =2 1 h 1 ¼ h ð p 0 =2Þ ¼ 7991 m ln 5539 m ¼ 7991 m ln p0 2 erreicht (siehe auch Bild II-44). In der Hhe h 1 ¼ 5539 m 5,54 km ist somit der Luftdruck nur noch halb so groß wie an der Erdoberflche (Meeresniveau).

h km 20

10 h1 2 0,1

Bild II-44

0,5

1

p p0

68

II Funktionen und Kurven

Beispiel 23: Zusammenhang zwischen Fallgeschwindigkeit und Fallweg unter Bercksichtigung des Luftwiderstandes Hyperbelfunktionen Wird beim freien Fall der Luftwiderstand durch eine dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit v proportionale Reibungskraft kv 2 bercksichtigt, so erhlt man die folgenden komplizierten Zeitabhngigkeiten fr den Fallweg s und die Fallgeschwindigkeit v 7) : " !# rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ m gk s ðtÞ ¼ ln cosh t k m ðmit t 0Þ ! rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ mg gk v ðtÞ ¼ tanh t k m m: Masse des aus der Ruhe frei fallenden Krpers; k > 0: Reibungskoeffizient; g: Erdbeschleunigung Wie lautet die Abhngigkeit der Fallgeschwindigkeit v vom Fallweg s? Skizzieren Sie den Verlauf dieser Funktion v ¼ v ðsÞ. Lsungshinweis: Die Zeitvariable t der beiden Fallgesetze s ðtÞ und v ðtÞ lsst sich unter Verwendung bestimmter hyperbolischer Beziehungen eliminieren (siehe Formelsammlung, Abschnitt III.11.2). Lehrbuch: Bd. 1, III.13.1

Lsung: Der besseren bersicht wegen fhren wir zunchst die Abkrzung a ¼ gesetze lauten dann: rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ m mg s ðtÞ ¼ ln ½ cosh ða tÞ und v ðtÞ ¼ tanh ða tÞ k k

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ gk ein. Die Fallm

Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz lsst sich unter Verwendung der aus der Formelsammlung (Abschnitt III.11.2) entnommenen hyperbolischen Beziehung sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 sinh x cosh 2 x 1 1 cosh x 1 ¼ 1 tanh x ¼ ¼ ¼ cosh x cosh x cosh 2 x cosh 2 x auch wie folgt darstellen ðx ¼ a tÞ:

7)

Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v ðtÞ wurde bereits im Lehrbuch hergeleitet (siehe Bd. 1, Abschnitt V.10.1.1, Beispiel 2). In Kapitel IV, Beispiel 20 zeigen wir, wie man aus dem Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v ðtÞ mittels Integration das Weg-Zeit-Gesetz s ðtÞ erhlt.

II Funktionen und Kurven

69

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ mg mg 1 v ðtÞ ¼ tanh ða tÞ ¼ 1 2 k k cosh ða tÞ Nun lsen wir das Weg-Zeit-Gesetz durch Entlogarithmierung nach der hyperbolischen Funktion cosh ða tÞ auf: ln ½ cosh ða tÞ ¼

k s m

k

cosh ða tÞ ¼ e m s

)

Die gewnschte Beziehung zwischen der Fallgeschwindigkeit v und dem Fallweg s erhalten wir dann durch Einsetzen dieses Ausdruckes in das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz: ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ mg u 1 mg 1 mg 2k u v ðsÞ ¼ u1 1 2k ¼ 1 e ms 2 ¼ k k k k t ems em s Nach unendlich langer Fallstrecke ðs ! 1Þ erreicht die Fallgeschwindigkeit ihren Endwert v E . Er betrgt: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ mg mg 2k s 2k m v E ¼ lim v ðsÞ ¼ lim ¼ 1e ms ¼ 1e lim s!1 s!1 s!1 k k

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ mg mg mg 2k ¼ lim 1 e m s ¼ 1 ¼ s!1 k k k |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 1 Gewicht (Gravitationskraft) und Luftwiderstand sind jetzt im Gleichgewicht: m g ¼ k v 2E Der Krper flltrmit ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃder konstanten Endgeschwinmg digkeit v E ¼ . Das Fallgesetz v ðsÞ lsst k sich damit auch in der Form

v vE

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v ðsÞ ¼ v E

1e

2k s m

,

s 0

darstellen. Bild II-45 zeigt den Verlauf dieser Funktion.

s

Bild II-45

III Differentialrechnung Beispiel 1: Induktionsspannung in einer Leiterschleife Elementare Differentiation Eine u-frmig gebogene Leiterschleife wird von einem homogenen Magnetfeld der Fluss~ senkrecht durchflutet (Bild III-1). dichte B Auf der Leiterschleife gleitet in der eingezeichneten Weise ein Leiter, dessen Geschwindigkeit v aus der Ruhe heraus mit der Zeit t linear ansteigt. Bestimmen Sie die nach dem Induktionsgesetz [ A12 ] in der Leiterschleife induzierte Spannung U.

s0

l

Leiterschleife

s v

U B

t = 0 Leiter

t

Bild III-1

l: Breite der Leiterschleife; s0 : Anfangslage des Leiters zu Beginn der Bewegung, d. h. zur Zeit t ¼ 0 Lehrbuch: Bd. 1, IV.1.3

Physikalische Grundlagen: A11, A12

Lsung: Der Leiter bewegt sich aus der Ruhe heraus mit linear ansteigender Geschwindigkeit, unterliegt demnach einer konstanten Beschleunigung a. Somit ist v ¼ a t und der vom Leiter in 1 der Zeit t zurckgelegte Weg betrgt s ¼ a t 2 . Die vom Magnetfeld zu diesem Zeitpunkt 2 durchflutete Flche A (in Bild III-1 grau unterlegt) ist ein Rechteck mit den Seitenlngen l 1 und s0 þ s ¼ s0 þ a t 2 und dem Flcheninhalt 2 U 1 A ¼ l ðs 0 þ sÞ ¼ l s 0 þ at2 2 Der magnetische Fluss [ A11 ] durch diese Flche ist dann 1 ~jÞ F ¼ B A ¼ B l s0 þ at2 ðmit B ¼ j B 2 Nach dem Induktionsgesetz [ A12 ] betrgt die in der Bild III-2 Leiterschleife induzierte Spannung dF d 1 d 1 U ¼ ¼ B l s0 þ at2 s0 þ at2 ¼ ¼ Bl dt dt 2 dt 2 ¼ B l ð0 þ a tÞ ¼ B l a t ¼ ðconst:Þ t

ðmit B l a ¼ const:Þ

Die Induktionsspannung steigt somit mit der Zeit linear an (Bild III-2). © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24882-6_3

t

III Differentialrechnung

71

Beispiel 2: Elektronenstrahl-Oszilloskop Elementare Differentiation, Tangentengleichung Beim Elektronenstrahl-Oszilloskop werden die von einer Glhkathode ausgesandten Elektronen zunchst auf eine konstante Geschwindigkeit v0 beschleunigt und treten dann senkrecht zu den elektrischen Feldlinien in einen auf die Spannung U aufgeladenen Plattenkondensator ein, wo sie aus ihrer ursprnglichen Richtung abgelenkt werden (Bild III-3).

y C Elektron

d v0 2

m0

d 2

B

P

a

b

y

A x

x

E l

Schirm s

Bild III-3 d: Plattenabstand; l: Lnge der Kondensatorplatten; e: Elementarladung des Elektrons; m0 : Ruhemasse des Elektrons a) Unter welchem Ablenkwinkel a (gegenber der Eintrittsrichtung, also der x-Richtung gemessen) verlassen die Elektronen den Kondensator? b) Im Abstand s hinter dem Kondensator befindet sich ein Auffangschirm fr die Elektronen. Wie groß ist die seitliche Ablenkung b der Elektronen auf diesem Schirm, gemessen gegenber der ursprnglichen Flugbahn vor dem Eintritt in den Kondensator? Lsungshinweis: Bestimmen Sie zunchst die Bahnkurve der Elektronen innerhalb des Plattenkondensators. Lehrbuch: Bd. 1, IV.1.3 und IV.3.1

Physikalische Grundlagen: A10, A25, A27

Lsung: a) Die Elektronenbewegung im Plattenkondensator setzt sich aus zwei voneinander unabhngigen Teilbewegungen zusammen. In der x-Richtung bewegt sich das Elektron mit der konstanten Geschwindigkeit v 0 , der im Zeitraum t in dieser Richtung zurckgelegte Weg betrgt somit x ¼ v0 t (der Eintritt des Elektrons in das Kondensatorfeld erfolgt im Punkt A zur Zeit t ¼ 0). In der y-Richtung wird das Elektron infolge des elektrischen Feldes mit der Feldstrke E ¼ U=d nach oben (in Richtung der positiv geladenen Kondensatorplatte) beschleunigt [ A25 ].

72

III Differentialrechnung

Das Feld wirkt dabei mit der Kraft Fe ¼ e E ¼ ðe UÞ=d auf das Elektron ein [ A10 ]. Fr die konstante Elektronenbeschleunigung a folgt aus dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ]: m 0 a ¼ Fe ¼ e E ¼

eU d

)

a ¼

eU m0 d

Der in der Zeit t in y-Richtung zurckgelegte Weg betrgt daher y ¼

1 1 eU eU t2 ¼ t2 at2 ¼ 2 2 m0 d 2 m0 d

Die Parameterdarstellung der vom Elektron durchlaufenen Bahnkurve lautet somit innerhalb des Plattenkondensators x ¼ v0 t ,

y ¼

eU t2 , 2 m0 d

t 0

Durch Eliminierung des Zeitparameters t erhalten wir hieraus die parabelfrmige Bahnkurve mit der Gleichung 1) 2 eU x eU y ¼ ¼ x2 , 0 x l 2 m0 d v0 2 m 0 d v 20 Im Punkt B mit den Koordinaten xB ¼ l ,

yB ¼

eU e U l2 l2 ¼ 2 2 m0 d v0 2 m 0 d v 20

verlsst das Elektron den Kondensator und bewegt sich nun bis zum Auftreffen auf dem Schirm geradlinig auf der Bahntangente des Punktes B 2). Die 1. Ableitung der Bahnkurve an dieser Stelle ist definitionsgemß der Tangens des gesuchten Ablenkwinkels a: d eU eU eU 2 y0 ¼ x 2x ¼ x ) ¼ 2 2 dx 2 m 0 d v 0 2 m0 d v0 m 0 d v 20 tan a ¼ y 0 ðx ¼ lÞ ¼

eU eU l l ¼ m 0 d v 20 m 0 d v 20

Durch Auflsung nach a folgt hieraus der gesuchte Ablenkwinkel: eUl a ¼ arctan m 0 d v 20

1)

2)

Die 1. Parametergleichung wird nach t aufgelst, der gefundene Ausdruck t ¼ x=v 0 anschließend in die 2. Gleichung eingesetzt. Dies gilt nur unter der Voraussetzung y B < d=2, die Kondensatorspannung U muss daher die Bedingung m 0 d 2 v 20 erfllen! Ansonsten trifft das Elektron auf die obere Kondensatorplatte. U < e l2

III Differentialrechnung

73

b) Das Elektron bewegt sich von B nach C geradlinig auf der Kurventangente des Punktes B. Diese lautet in der Punkt-Steigungsform wie folgt: y yB ¼ y 0 ðx B Þ ¼ y 0 ðx ¼ lÞ x xB

y )

e U l2 2 m 0 d v 20 eU l ¼ xl m 0 d v 20

Wir lsen diese Gleichung nach y auf: y

e U l2 eU l eUl e U l2 ¼ ðx lÞ ¼ x 2 2 2 m0 d v0 m0 d v0 2 m0 d v0 m 0 d v 20

y ¼

eU l e U l2 e U l2 eU l e U l2 x þ ¼ x ¼ 2 2 2 2 m0 d v0 m0 d v0 m0 d v0 2 m0 d v0 2 m 0 d v 20

)

eUl eUl eU l 2x l ¼ ð2 x lÞ , 2 m 0 d v 20 2 m 0 d v 20 2 m 0 d v 20

¼

l x lþs

Im Auftreffpunkt C ¼ ðl þ s ; bÞ ist dann b ¼ y ðx ¼ l þ sÞ ¼ ¼

eU l eUl ½ 2 ðl þ sÞ l ¼ ð2 l þ 2 s lÞ ¼ 2 2 m0 d v0 2 m 0 d v 20

eUl e U l ðl þ 2 sÞ ðl þ 2 sÞ ¼ 2 m 0 d v 20 2 m 0 d v 20

Beispiel 3: Querkraft- und Momentenverlauf lngs eines belasteten Trgers Elementare Differentiation Der in Bild III-4a) skizzierte einseitig eingespannte Trger der Lnge l wird durch eine konstante Streckenlast q ðxÞ ¼ q 0 und zustzlich am freien Ende durch eine Kraft F belastet. Die Gleichung der elastischen Linie (Biegelinie) lautet dann im Intervall 0 x l wie folgt: y ðxÞ ¼

1 ½ q 0 ðx 4 4 l x 3 þ 6 l 2 x 2 Þ 4 F ðx 3 3 l x 2 Þ 24 E I

(Bild III-4b)).

q(x) = q 0

E I : konstante Biegesteifigkeit des Trgers E:

Elastizittsmodul

I:

Flchenmoment des Trgerquerschnitts

F l a)

Bestimmen und skizzieren Sie den Verlauf des Biegemomentes M b ðxÞ und der Querkraft Q ðxÞ lngs des Trgers.

y y b)

Bild III-4

l

x Biegelinie y(x)

x

74

III Differentialrechnung

Lsungshinweis: Gehen Sie bei der Lsung der Aufgabe von der Biegegleichung [ A28 ] aus, die den Zusammenhang zwischen dem Biegemoment M b ðxÞ und der Biegelinie y ðxÞ herstellt. Lehrbuch: Bd. 1, IV.1.3

Physikalische Grundlagen: A28, A29

Lsung: Nach der Biegegleichung [ A28 ] besteht der folgende Zusammenhang zwischen dem Biegemoment M b ðxÞ und der Biegelinie y ðxÞ: M b ðxÞ ¼ E I y00 ðxÞ Mit den Ableitungen 1 ½ q 0 ð4 x 3 12 l x 2 þ 12 l 2 xÞ 4 F ð3 x 2 6 l xÞ ¼ 24 E I 1 ¼ ½ q 0 ðx 3 3 l x 2 þ 3 l 2 xÞ 3 F ðx 2 2 l xÞ 6EI 1 ½ q 0 ð3 x 2 6 l x þ 3 l 2 Þ 3 F ð2 x 2 lÞ ¼ y00 ðxÞ ¼ 6EI 1 1 ¼ ½ q 0 ðx 2 2 l x þ l 2 Þ 2 F ðx lÞ ¼ ½ q 0 ðx lÞ 2 2 F ðx lÞ 2EI 2 E I |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} ðx lÞ 2 y 0 ðxÞ ¼

erhalten wir daraus fr das Biegemoment den folgenden Ausdruck: 1 M b ðxÞ ¼ E I y00 ðxÞ ¼ E I ½ q 0 ðx lÞ 2 2 F ðx lÞ ¼ 2EI 1 ¼ 0 x l ½ q 0 ðx lÞ 2 2 F ðx lÞ , 2 Der parabelfrmige Verlauf des Biegemomentes lngs des Trgers ist in Bild III-5 dargestellt. Zwischen der Querkraft Q ðxÞ und dem Biegemoment M b ðxÞ besteht die Beziehung Q ðxÞ ¼ M b0 ðxÞ [ A29 ]. Somit gilt im Intervall 0 x l: Q ðxÞ ¼ M b0 ðxÞ ¼

1 ½ 2 q0 ðx lÞ 2F ¼ q 0 ðx lÞ þ F ¼ q 0 ðl xÞ þ F 2

Die Querkraft nimmt daher lngs des Trgers linear ab (Bild III-6). Mb Q

l

x

q0 l + F

F

q l2 – 0 + Fl 2

Bild III-5

l

Biegemoment M b ðxÞ

Bild III-6

Querkraft Q ðxÞ

x

III Differentialrechnung

75

Beispiel 4: Rotierende Zylinderscheibe in einer zhen Flssigkeit Differentiation (Kettenregel) Eine Zylinderscheibe rotiert in einer zhen Flssigkeit nach dem „Weg-Zeit-Gesetz“ j ðtÞ ¼

1 ln ðk w 0 t þ 1Þ , k

t 0

j ist dabei der Drehwinkel zur Zeit t (Bild III-7), k und w 0 sind positive Konstanten. a) Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Winkelgeschwindigkeit w ¼ j_ und der Winkelbeschleunigung a ¼ w_ ¼ j. __ Welche physikalische Bedeutung hat die Konstante w 0 ? b) Welcher funktionale Zusammenhang besteht zwischen der Winkelbeschleunigung a und der Winkelgeschwindigkeit w? Welche physikalische Bedeutung kommt dabei der Konstanten k zu?

f A rotierende Scheibe

Bild III-7 Lehrbuch: Bd. 1, IV.2.5

Physikalische Grundlagen: A30

Lsung: a) Unter Verwendung der Kettenregel erhalten wir fr die Winkelgeschwindigkeit [ A30 ] d 1 1 1 w0 w ¼ j_ ¼ ln ðk w 0 t þ 1Þ ¼ k w0 ¼ dt k k k w0 t þ 1 k w0 t þ 1 Die Konstante w 0 ist die Winkelgeschwindigkeit zu Beginn der Drehbewegung, d. h. zur Zeit t ¼ 0: w ð0Þ ¼ w 0 . Fr die Winkelbeschleunigung a folgt durch nochmalige Differentiation unter Verwendung der Kettenregel [ A30 ] d w0 d a ¼ w_ ¼ j __ ¼ dt k w t þ 1 ¼ w 0 dt ðk w 0 t þ 1Þ 1 ¼ 0 ¼ w 0 ð 1Þ ðk w 0 t þ 1Þ 2 k w 0 ¼

k w 20 ðk w 0 t þ 1Þ 2

Der zeitliche Verlauf von w und a ist in den Bildern III-8 und III-9 dargestellt. a

v v0

t

Bild III-8 t

2

– k v0

Bild III-9

76

III Differentialrechnung

b) Die Gleichung fr die Winkelbeschleunigung a lsst sich wie folgt umstellen: 2 k w 20 w 20 w0 ¼ k ¼ k ¼ k w2 a ¼ k w0 t þ 1 ðk w 0 t þ 1Þ 2 ðk w 0 t þ 1Þ 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} w Physikalische Deutung: Die rotierende Scheibe wird verzgert (negative Winkelbeschleunigung!), Verzgerung und Bremskraft (Reibungskraft) sind dem Quadrat der Winkelgeschwindigkeit proportional. Die Konstante k ist somit der Reibungskoeffizient.

Beispiel 5: Kurbeltrieb Differentiation (Kettenregel) Mit dem in Bild III-10 dargestellten Kurbeltrieb lsst sich eine Kreisbewegung in eine (periodische) geradlinige Bewegung umwandeln und umgekehrt. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf a) des Kolbenweges x,

Kurbel

b) der Kolbengeschwindigkeit v und der Kolbenbeschleunigung a bei gleichmßiger Drehung der Kurbel (Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w).

D Kolben 0

v

l

r f

a

x A

B

C

x

r+l

l: Lnge der Schubstange r : Radius der Kurbel Bild III-10

Lsungshinweis: Drcken Sie zunchst den Kolbenweg x durch den Winkel j aus und entwickeln Sie den dabei auftretenden Wurzelausdruck mit Hilfe der Binomischen Reihe. Durch Abbruch dieser Reihe nach dem zweiten Glied erhalten Sie eine Nherungsfunktion fr x, mit der Sie dann weiterarbeiten. Lehrbuch: Bd. 1, IV.2.5 und VI.3.2.3

Lsung: a) Aus Bild III-10 entnehmen wir fr den Kolbenweg x ¼ OC AC ¼ r þ l ðAB þ BCÞ ¼ r þ l AB BC Weiter folgt aus den beiden rechtwinkligen Dreiecken A B D und B C D cos a ¼

AB l

)

A B ¼ l cos a

cos j ¼

BC r

)

B C ¼ r cos j

III Differentialrechnung

77

Somit ist x ¼ r þ l A B B C ¼ r þ l l cos a r cos j Der Hilfswinkel a lsst sich noch durch den Winkel j ausdrcken. Zunchst folgt durch Anwendung des Sinussatzes (Formelsammlung, Abschnitt I.6.6) im Dreieck A C D sin a r ¼ ¼ l sin j l

oder

sin a ¼ l sin j

(l ¼ r=l ist das sog. Schubstangenverhltnis). Aus dem „trigonometrischen Pythagoras“ cos 2 a þ sin 2 a ¼ 1 erhalten wir dann unter Bercksichtigung dieser Beziehung qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ cos a ¼ 1 sin 2 a ¼ 1 l 2 sin 2 j Der Kolbenweg betrgt somit in Abhngigkeit vom Winkel j qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ x ¼ r þ l l 1 l 2 sin 2 j r cos j Den Wurzelausdruck entwickeln wir mit Hilfe der Binomischen Reihe pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 1 2 1 z ¼ ð1 zÞ 1=2 ¼ 1 z z ... 2 8 (Formelsammlung, Abschnitt VI.3.4). Mit z ¼ l 2 sin 2 j folgt hieraus durch Abbruch der Reihe nach dem zweiten Glied 3) : qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 2 1 l 2 sin 2 j 1 l sin 2 j 2 Damit erhalten wir fr den Kolbenweg die folgende Nherungsfunktion: 1 2 l sin 2 j r cos j ¼ x ¼ r þll 1 2 ¼ r þllþ

1 1 l l 2 sin 2 j r cos j ¼ r þ l l 2 sin 2 j r cos j ¼ 2 2

1 1 ðl lÞ l sin 2 j r cos j ¼ r þ r l sin 2 j r cos j ¼ 2 |{z} 2 r l 2 sin j ¼ r 1 cos j þ 2

¼ r þ

(aus l ¼ r=l folgt l l ¼ r). Wegen der gleichmßigen Drehung der Kurbel ist j ¼ w t und das Weg-Zeit-Gesetz fr den Kolben lautet damit l 2 t 0 x ðtÞ ¼ r 1 cos ðw tÞ þ sin ðw tÞ , 2 3)

Diese Nherung ist in der Praxis meist gerechtfertigt, da l 2 sin 2 j 1 ist.

78

III Differentialrechnung

Bild III-11 zeigt den Verlauf dieser periodischen Funktion im Periodenintervall 0 t 2 p=w.

x 2r

Bild III-11

p v

2p v

t

b) Aus dem Weg-Zeit-Gesetz x ðtÞ erhalten wir durch Differentiation nach der Zeit t unter Verwendung der Kettenregel das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v ðtÞ ¼ x_ ðtÞ ¼ r ð0 þ w sin ðw tÞ þ l w sin ðw tÞ cos ðw tÞÞ ¼ l ¼ r w sin ðw tÞ þ sin ð2 w tÞ , t 0 2 Dabei haben wir von der trigonometrischen Formel sin ð2 w tÞ ¼ 2 sin ðw tÞ cos ðw tÞ Gebrauch gemacht (Formelsammlung, Abschnitt III.7.6.3). Durch nochmalige Differentiation nach der Zeit (abermals nach der Kettenregel ) folgt fr die Beschleunigung x ðtÞ ¼ r w ðw cos ðw tÞ þ l w cos ð2 w tÞÞ ¼ a ðtÞ ¼ v_ ðtÞ ¼ __ ¼ r w 2 ðcos ðw tÞ þ l cos ð2 w tÞÞ ,

t 0

Beispiel 6: Zusammenhang zwischen Fallbeschleunigung und Fallweg unter Bercksichtigung des Luftwiderstandes Differentiation (Kettenregel) Wird beim freien Fall der Luftwiderstand in Form einer dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit v proportionalen Reibungskraft k v 2 bercksichtigt, so erhlt man die folgende funktionale Abhngigkeit der Fallgeschwindigkeit v vom Fallweg s 4) : sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ 2 k s mg v ðsÞ ¼ s 0 1 e m , k m: Masse des aus der Ruhe heraus frei fallenden Krpers; g: Erdbeschleunigung an der Erdoberflche; k > 0: Reibungskoeffizient 4)

Diese Beziehung wird in Kapitel II, bung 23 aus den Zeitabhngigkeiten von v und s und in Kapitel IV, bung 14 durch Integration des Newtonschen Grundgesetzes hergeleitet.

III Differentialrechnung

79

Leiten Sie hieraus unter Verwendung der Kettenregel den funktionalen Zusammenhang zwischen der Fallbeschleunigung a und dem Fallweg s her und skizzieren Sie diese Funktion. Welches Ergebnis erhlt man im Grenzfall k ! 0 (luftleerer Raum)? Lehrbuch: Bd. 1, IV.2.5

Lsung:

dv , wobei die Geschwindigkeit v ber den Weg s von der dt Zeit t abhngt (zusammengesetzte Funktion). Nach der Kettenregel folgt dann dv dv ds dv dv ds ¼ ¼ v ¼ v mit v ¼ a ¼ dt ds dt ds ds dt |{z} v

Es ist definitionsgemß a ¼

Wir differenzieren nun die vorgegebene Funktion v ðsÞ unter Verwendung der Kettenregel nach der Variablen s und erhalten sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ ! 2ks dv d mg 1 mg 2k 2ks ¼ 1e m ¼ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ k m e m ¼ ds ds k 2ks mg 1 e m 2 k |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} v 2ks 2ks 1 g ¼ 2g e m ¼ e m 2v v Die gesuchte Beziehung zwischen der Fallbeschleunigung a und dem Fallweg s lautet somit: a ¼ v

2ks 2ks dv g ¼ v e m ¼ g e m , ds v

Die Fallbeschleunigung ist keine Konstante mehr, sondern nimmt infolge des Luftwiderstandes mit zunehmendem Fallweg nach einem Exponentialgesetz gegen null ab (Bild III-12).

s 0 a g

Bild III-12 s

Sonderfall k ! 0 (luftleerer Raum): 2ks 2s a ¼ lim g e m ¼ g lim e m k ¼ g e 0 ¼ g 1 ¼ g k!0

k!0

Die Fallbeschleunigung (Erdbeschleunigung) ist im luftleeren Raum eine Konstante.

80

III Differentialrechnung

Beispiel 7: Periodische Bewegung eines Massenpunktes Differentiation eines zeitabhngigen Ortsvektors Die Bewegung eines Massenpunktes in der x, y-Ebene erfolge auf der durch den von der Zeit t abhngigen Ortsvektor ! a sin 2 ðw tÞ ~ r ðtÞ ¼ , t 0 b cos 2 ðw tÞ beschriebenen Bahn (a, b und w sind positive Konstanten). a) Wie lautet die Gleichung der Bahnkurve in der expliziten Form y ¼ y ðxÞ? Untersuchen Sie die wesentlichen Eigenschaften dieser Bewegung. b) Wie lauten Geschwindigkeitsvektor ~ v ðtÞ und Beschleunigungsvektor ~ a ðtÞ, wie groß sind ihre Betrge? In welchen Punkten erreichen sie ihren kleinsten bzw. grßten Wert? Lehrbuch: Bd. 1, IV.2.5 und Bd. 3, I.1.2

Lsung: a) Die Koordinaten x ¼ a sin 2 ðw tÞ und y ¼ b cos 2 ðw tÞ sind periodische Funktionen der Zeit mit der Periode p ¼ p=w. Daher ist auch die Gesamtbewegung periodisch mit p ¼ p=w. Wir lsen die Koordinatengleichungen nach der jeweiligen trigonometrischen Funktion auf und setzen die gefundenen Ausdrcke in den „trigonometrischen Pythagoras“ ein (Formelsammlung, Abschnitt III.7.5): sin 2 ðw tÞ þ cos 2 ðw tÞ ¼

x y þ ¼ 1 a b

Die Bahnkurve ist somit ein Geradenstck mit den Achsenabschnitten a und b (Bild III-13). In expliziter Form lautet die Geradengleichung y ¼

b ðx aÞ , a

0 x a

Der Massenpunkt bewegt sich dabei in der Zeit T ¼ p ¼ p=w vom „Startpunkt“ A aus bis zum Punkt B und zurck zum Punkt A. Dann beginnt die periodische Bewegung von neuem. Die Bewegung kann daher als eine Schwingung zwischen den extremen Lagen A und B mit der Schwingungsdauer T ¼ p=w aufgefasst werden.

y t=0 A t=T

1 M t = 4T

b t=

3 T 4

t= a

Bild III-13

B

1 T 2 x

III Differentialrechnung

81

b) Unter Verwendung der Kettenregel folgt durch komponentenweise Differentiation: ! ! 2 a w sin ðw tÞ cos ðw tÞ a sin 2 ðw tÞ d ~ v ðtÞ ¼ ~ ¼ r_ ðtÞ ¼ ¼ dt b cos 2 ðw tÞ 2 b w cos ðw tÞ sin ðw tÞ ! ! a a w sin ð2 w tÞ , t 0 ¼ w sin ð2 w tÞ ¼ b b w sin ð2 w tÞ ð2 sin ðw tÞ cos ðw tÞ ¼ sin ð2 w tÞ, siehe Formelsammlung, Abschnitt III.7.6.3) qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v ðtÞ ¼ j ~ v ðtÞ j ¼ w j sin ð2 w tÞ j a 2 þ ð bÞ 2 ¼ w a 2 þ b 2 j sin ð2 w tÞ j ! " !# a a d d ~ a ðtÞ ¼ ~ ¼ w v_ ðtÞ ¼ w sin ð2 w tÞ ½ sin ð2 w tÞ ¼ dt dt b b ! ! a a 2 cos ð2 w tÞ 2 w ¼ 2 w cos ð2 w tÞ ¼ w b b qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ a ðtÞ ¼ j ~ a ðtÞ j ¼ 2 w 2 j cos ð2 w tÞ j a 2 þ ð bÞ 2 ¼ 2 w 2 a 2 þ b 2 j cos ð2 w tÞ j Wir untersuchen nun die Bewegung im Periodenintervall 0 t T mit T ¼ p=w. Die Umkehrpunkte A und B und die Mitte M werden dabei zu den folgenden Zeiten erreicht (siehe hierzu Bild III-13): Zeit t

0

1 T 4

1 T 2

3 T 4

T

Punkt

A

M

B

M

A

Bild III-14 zeigt den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit v. Sie ist in beiden Umkehrpﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ punkten ðA, BÞ jeweils null und erreicht ihren Maximalwert v max ¼ w a 2 þ b 2 in der Bahnmitte M. Bei der Beschleunigung ist es genau umgekehrt (Bild III-15). In den pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ beiden Umkehrpunkten erreicht sie ihren grßten Wert a max ¼ 2 w 2 a 2 þ b 2 , in der Mitte ist sie null. v

a M

v max A

M

a max

B 1 T 4

Bild III-14

1 3 T T 2 4 T = p /v

A

B

A T

M t

1 T 4

Bild III-15

1 3 T T 2 4 T = p /v

A

M T

t

82

III Differentialrechnung

Beispiel 8: Rollkurve oder gewhnliche Zykloide Differentiation eines zeitabhngigen Ortsvektors Ein Rad vom Radius R rollt auf einer Geraden mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w. Bei dieser Bewegung beschreibt ein Punkt P auf dem Umfang des abrollenden Rades (Kreises) eine als Rollkurve oder gewhnliche Zykloide bezeichnete periodische Bahnkurve (Bild III-16). y v 2R y

Zykloide

P R a M C f R x

0

A

abrollendes Rad

B

2 pR

x

Bild III-16 a) Beschreiben Sie diese ebene Kurve durch einen vom „Wlzwinkel“ j ¼ w t bzw. vom Zeitparameter t abhngigen Ortsvektor ~ r ðtÞ. b) Wie lauten Geschwindigkeitsvektor ~ v ðtÞ und Beschleunigungsvektor ~ a ðtÞ? c) Zu welchen Zeiten erreicht die Geschwindigkeit dem Betrage nach ihren kleinsten bzw. grßten Wert? Welchen Punkten der Zykloide entsprechen diese Zeiten? Hinweis: Die Rollbewegung des Rades beginnt zur Zeit t ¼ 0, der Punkt P befindet sich dann im Koordinatenursprung. Lehrbuch: Bd. 1, IV.2.5 und Bd. 3, I.1.2

Lsung: a) Fr die Koordinaten x und y des Punktes P erhalten wir aus Bild III-16 die folgenden Beziehungen: x ¼ OA ¼ OB AB ¼ OB CM

ðAB ¼ CMÞ

y ¼ AP ¼ AC þ CP ¼ BM þ CP ¼ R þ CP

ð A C ¼ B M ¼ RÞ

Aus der Abrollbedingung folgt fr die Strecke O B:

_

OB ¼ BP ¼ Rj (diese Strecken sind im Bild dick gezeichnet). Die Strecken C M und C P lassen sich aus dem rechtwinkligen Dreieck M P C berechnen ( M P ¼ R; a ist ein Hilfswinkel ):

III Differentialrechnung

83

cos a ¼

CM CM ¼ R MP

)

C M ¼ R cos a

sin a ¼

CP CP ¼ R MP

)

C P ¼ R sin a

Mit a ¼ j 90 und unter Verwendung der Additionstheoreme (siehe Formelsammlung, Abschnitt III.7.6.1) wird hieraus C M ¼ R cos a ¼ R cos ðj 90 Þ ¼ ¼ R ðcos j cos 90 þ sin j sin 90 Þ ¼ R sin j |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} 0 1 C P ¼ R sin a ¼ R sin ðj 90 Þ ¼ ¼ R ðsin j cos 90 cos j sin 90 Þ ¼ R cos j |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} 0 1 Die Parameterdarstellung der Rollkurve mit dem Wlzwinkel j als Parameter lautet damit ) x ¼ O B C M ¼ R j R sin j ¼ R ðj sin jÞ j 0 y ¼ R þ C P ¼ R R cos j ¼ R ð1 cos jÞ Mit j ¼ w t wird daraus der zeitabhngige Ortsvektor ! ! ! w t sin ðw tÞ R ðw t sin ðw tÞÞ x ðtÞ ~ , ¼ R ¼ r ðtÞ ¼ 1 cos ðw tÞ R ð1 cos ðw tÞÞ y ðtÞ

t 0

b) Wir differenzieren (unter Verwendung der Kettenregel) den Ortsvektor ~ r ðtÞ komponentenweise nach der Zeit t und erhalten den Geschwindigkeitsvektor ! ! 1 cos ðw tÞ w w cos ðw tÞ ~ ¼ wR v ðtÞ ¼ ~ r_ ðtÞ ¼ R sin ðw tÞ 0 þ w sin ðw tÞ mit dem Betrag v ðtÞ ¼ j ~ v ðtÞ j ¼ w R ¼ wR

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ½ 1 cos ðw tÞ 2 þ sin 2 ðw tÞ ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 2 cos ðw tÞ þ cos 2 ðw tÞ þ sin 2 ðw tÞ ¼ w R 2 2 cos ðw tÞ ¼ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}

1 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ

w t w t

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ

¼ 2 w R sin ¼ w R 2½ 1 cos ðw tÞ ¼ w R 4 sin 2

2 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} w t 2 sin 2 2

84

III Differentialrechnung

Die trigonometrischen Umrechnungen wurden der Formelsammlung entnommen (Abschnitt III.7.5 bzw. III.7.6.4). Durch nochmalige (komponentenweise) Differentiation mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir aus v ðtÞ den Beschleunigungsvektor ! ! 0 þ w sin ðw tÞ sin ðw tÞ ~ ¼ w2 R a ðtÞ ¼ ~ v_ ðtÞ ¼ w R w cos ðw tÞ cos ðw tÞ dessen Betrag zeitlich konstant ist: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ a ðtÞ ¼ j ~ a ðtÞ j ¼ w 2 R sin 2 ðw tÞ þ cos 2 ðw tÞ ¼ w 2 R 1 ¼ w 2 R |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 1

w t

c) Der Geschwindigkeitsbetrag v ðtÞ ¼ 2 w R sin

ist eine periodische Funktion mit 2 2p der Periode p ¼ (Bild III-17). w v 2 vR

p

2p

3p

4p

5p

6p

v

v

v

v

v

v

Bild III-17 t

Der kleinste bzw. grßte Wert wird zu den folgenden Zeiten erreicht: Minimum Maximum

v min ¼ 0: v max ¼ 2 w R:

9 2p 2p > > ¼ k = w w p 2p p > > ; ¼ þk ¼ ð1 þ 2 kÞ w w w

t1k ¼ 0 þ k t2k

ðk ¼ 0, 1, 2, . . .Þ

Der Punkt P des abrollenden Rades befindet sich dann in seiner tiefsten bzw. hchsten Lage.

Beispiel 9: Linearisierung einer Halbleiter-Kennlinie Linearisierung einer Funktion Die Strom-Spannung-Kennlinie eines Halbleiters mit p n-bergang lsst sich bei Raumtemperatur durch die Gleichung U I ðUÞ ¼ I S e 25 mV 1 beschreiben (I: Stromstrke; I S : Sperrstrom; U: Spannung).

III Differentialrechnung

85

a) Linearisieren Sie diese Kennlinie in der Umgebung der „Arbeitsspannung“ U 0 ¼ 20 mV fr den Sperrstrom I S ¼ 1 mA. b) Welchen Stromwert liefert die linearisierte Kennlinie fr U ¼ 23 mV, wie groß ist der exakte Wert? Wie groß ist die prozentuale Abweichung des Nherungswertes vom exakten Wert? Lehrbuch: Bd. 1, IV.3.2

Lsung: a) Bild III-18 zeigt den Verlauf der Kennlinie U I ðUÞ ¼ 1 mA e 25 mV 1

I mA 3

U 40. im Spannungsbereich 40 mV

2 1,2255 1

Die „Koordinaten“ des Arbeitspunktes A betragen: U 0 ¼ 20 mV

– 40

I 0 ¼ I ðU 0 ¼ 20 mVÞ ¼ 20 mV ¼ 1 mA e 25 mV 1 ¼

– 20

A

10 20 30 40 –1

U mV

Bild III-18

¼ ðe 0,8 1Þ mA ¼ 1,2255 mA Die Steigung der Kurventangente in A erhalten wir ber die 1. Ableitung der Funktion I ¼ I ðUÞ mit Hilfe der Kettenregel: U

I 0 ðUÞ ¼ 1 mA e 25 mV I 0 ðU 0 ¼ 20 mVÞ ¼

U 1 1 mA ¼ e 25 mV 25 mV 25 mV

)

20 mV 1 mA 1 mA mA e 25 mV ¼ e 0,8 ¼ 0,0890 25 mV 25 mV mV

Die Tangente lautet somit in der Punkt-Steigungsform wie folgt: I I0 ¼ I 0 ðU 0 Þ U U0

)

I 1,2255 mA mA ¼ 0,0890 U 20 mV mV

Diese Gleichung lsen wir nach I auf und erhalten die gewnschte linearisierte Funktion in der Hauptform: I 1,2255 mA ¼ 0,0890 I ¼ 0,0890

mA mA ðU 20 mVÞ ¼ 0,0890 U 1,7800 mA mV mV

mA U 0,5545 mA mV

)

86

III Differentialrechnung

Fr Spannungen in der unmittelbaren Umgebung der Arbeitsspannung U 0 ¼ 20 mV gilt somit nherungsweise U mA I ðUÞ ¼ 1 mA e 25 mV 1 0,0890 U 0,5545 mA mV (sog. linearisierte Kennlinie).

23 mV b) Exakter Wert: I ðU ¼ 23 mVÞ ¼ 1 mA e 25 mV 1 ¼ ðe 0,92 1Þ mA ¼ 1,5093 mA ¨ N aherungswert: I ðU ¼ 23 mVÞ 0,0890

mA 23 mV 0,5545 mA ¼ 1,4925 mA mV

Abweichung ðabsolutÞ: DI ¼ 1,4925 mA 1,5093 mA ¼ 0,0168 mA Abweichung ðprozentualÞ:

DI 0,0168 mA 100 % ¼ 100 % ¼ 1,11 % I exakt 1,5093 mA

Die linearisierte Kennlinie liefert somit einen um rund 1,11 % zu kleinen Wert.

Beispiel 10: Linearisierung der Widerstandskennlinie eines Thermistors (Heißleiters) Linearisierung einer Funktion Ein Thermistor oder Heißleiter ist ein Halbleiter, dessen elektrischer Widerstand R mit zunehmender absoluter Temperatur T nach der Gleichung b

R ðTÞ ¼ a e T

ða > 0, b > 0 ; T in Kelvin ¼ KÞ

abnimmt (gute Leitfhigkeit im „heißen“ Zustand, schlechte Leitfhigkeit im „kalten“ Zustand). a) Linearisieren Sie diese Funktion in der Umgebung der „Arbeitstemperatur“ T0 ¼ 373,15 K

f u¨ r

a ¼ 0,1 W

und

b ¼ 2500 K :

b) Berechnen Sie den Wert des Temperaturkoeffizienten a ¼

Lehrbuch: Bd. 1, IV.3.2

1 dR bei dieser Temperatur. R dT

III Differentialrechnung

87

Lsung: a) Bild III-19 zeigt den Verlauf der Kennlinie R ðTÞ ¼ 0,1 W e

2500 K T

im Temperaturbereich 320 K T 430 K, d. h. fr Temperaturen zwischen ca. 47 C und ca. 157 C. Die „Koordinaten“ des Arbeitspunktes A lauten:

R V 250

T 0 ¼ 373,15 K R 0 ¼ R ðT 0 ¼ 373,15 KÞ ¼ 2500 K e 373,15 K

¼ 0,1 W ¼ 0,1 e

6,6997

200

¼

150

W ¼ 100 81,22

¼ 81,22 W

A

50

Bild III-19 320

350 373,15

400

430

T K

Die Steigung der Kurventangente in A ist die 1. Ableitung der Funktion R ¼ R ðTÞ an der Stelle T 0 ¼ 373,15 K. Die Kettenregel liefert: 2500 K 2500 K dR 2500 K 250 W K R 0 ðTÞ ¼ e T ) ¼ 0,1 W e T ¼ 2 2 dT T T R 0 ðT 0 ¼ 373,15 KÞ ¼

250 W K ð373,15 KÞ

2500 K

2

e 373,15 K ¼ 1,458

W K

Die Gleichung der Tangente im Arbeitspunkt A lautet somit in der Punkt-Steigungsform R R0 ¼ R 0 ðT 0 Þ T T0

)

R 81,22 W W ¼ 1,458 T 373,15 K K

bzw. in der Hauptform R ¼ 1,458

W W ðT 373,15 KÞ þ 81,22 W ¼ 1,458 T þ 625,28 W K K

In der Umgebung der „Arbeitstemperatur“ T 0 ¼ 373,15 K gilt dann nherungsweise R ¼ 0,1 W e

2500 K T

1,458

(sog. linearisierte Kennlinie).

W T þ 625,28 W K

88

III Differentialrechnung

b) Unter Bercksichtigung der Ergebnisse aus dem Lsungsteil a) folgt fr den Temperaturkoeffizient bei der Temperatur T 0 ¼ 373,15 K W

1,458 1 dR

1 R 0 ðT 0 Þ 0 K ¼ 0,0180 K 1 a ¼ ¼ R ðT 0 Þ ¼ ¼ 81,22 W R 0 dT T ¼ T 0 R 0 R0

Beispiel 11: Kritische Daten eines realen Gases Sattelpunkt In der Thermodynamik wird der Zustand eines Gases durch die drei Zustandsvariablen p (Druck), V (Volumen) und T (absolute Temperatur) beschrieben. Fr 1 Mol eines idealen Gases gilt die bekannte Zustandsgleichung p V ¼ R T (R: allgemeine Gaskonstante). Die Isothermen (Kurven gleicher Temperatur), in einem p, V-Diagramm dargestellt, sind streng monoton fallende (rechtwinklige) Hyperbeln (Bild III-20a)). Die Praxis jedoch lehrt, dass sich ein Gas insbesondere bei tiefen Temperaturen (in der Nhe der Verflssigungstemperatur) deutlich anders verhlt als ein ideales Gas. Der Grund liegt auf der Hand: Beim idealen Gas bleibt sowohl das Eigenvolumen der Gasmolekle als auch die Wechselwirkung (Anziehung) der Gasmolekle untereinander unbercksichtigt. Von van der Waals stammt die folgende (nach ihm benannte) modifizierte Zustandsgleichung, die das Verhalten realer Gase in guter Nherung beschreibt: a ðf u¨ r 1 Mol; V > bÞ p þ 2 ðV bÞ ¼ R T V a und b sind dabei artspezifische (positive) Konstanten, die experimentell ermittelt werden mssen. Der Korrekturterm a=V 2 beschreibt dabei die Wechselwirkung (Anziehung) zwischen den Gasmoleklen (sog. Binnendruck), whrend der Term b das Eigenvolumen der Gasmolekle bercksichtigt (sog. Kovolumen). Der Verlauf der Isothermen eines sog. van der Waalsschen Gases ist im Bild III-20b) dargestellt. Bei hinreichend tiefer Temperatur lsst sich ein (reales) Gas bekanntlich durch Komprimieren verflssigen (bergang von der gasfrmigen in die flssige Phase). Oberhalb einer bestimmten Temperatur, kritische Temperatur TK genannt, ist dies jedoch nicht mehr mglich. Die zugehrige Isotherme unterscheidet sich dabei von allen anderen Isothermen dadurch, dass sie einen Wendepunkt mit einer waagerechten Tangente, also einen sog. Sattelpunkt besitzt (Punkt K in Bild III-20b), kritischer Punkt genannt). Der Verlauf der brigen Isothermen ist sehr unterschiedlich. Fr T > T K verlaufen die Isothermen monoton fallend, fr sehr hohe Temperaturen nahezu hyperbelfrmig wie bei einem idealen Gas. In diesem Temperaturbereich ist kein Phasenbergang mglich (es existiert nur der gasfrmige Zustand). Fr Temperaturen, die unterhalb der kritischen Temperatur liegen ðT < T K Þ gilt dagegen: Jede Isotherme hat sowohl ein relatives Minimum als auch ein relatives Maximum und verluft hier „schleifenfrmig“ (siehe Bild III-20b)). Das Gas geht in diesem Bereich durch Komprimieren nach und nach in den flssigen Zustand ber (2-Phasenbereich, in Bild III-20b) grau unterlegt) 5). 5)

In Wirklichkeit verluft die Isotherme im 2-Phasenbereich parallel zur V-Achse (konstanter Druck). Diese Parallele wird so gelegt, dass die beiden in Bild III-20b) dunkelgrau markierten Teilflchen zwischen der „van der Waals-Schleife“ und dieser Geraden gleich groß sind.

III Differentialrechnung

89

p

p

K T > TK

T3 T1

T4

T = TK

T5

T2

Sättigungsgebiet

V

V a)

T < TK

b)

Bild III-20 Isothermen eines Gases a) Ideales Gas ðT 1 < T 2 < T 3 < T 4 < T 5 Þ b) Van der Waalssches Gas (K : kritischer Punkt; T K : kritische Temperatur) Bestimmen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung die kritischen Daten p K , V K und T K , d. h. die Werte der drei Zustandsvariablen im kritischen Punkt K. Lehrbuch: Bd. 1, IV.3.4.2

Lsung: Wir lsen die van der Waalsche Zustandsgleichung nach p auf: a RT a p þ 2 ðV bÞ ¼ R T ) p ¼ 2 V V b V Die durch den kritischen Punkt K verlaufende Isotherme gehrt zur Temperatur T ¼ T K . Der Druck p ist auf dieser Isotherme nur vom Volumen V abhngig, d. h. eine Funktion der Zustandsvariable V: p ¼ p ðVÞ ¼

R TK a 2 ¼ R T K ðV bÞ 1 a V 2 V V b

Der kritische Punkt ist der Sattelpunkt der Isotherme. Um ihn zu berechnen, bentigen wir die ersten drei Ableitungen der Funktion p ¼ p ðVÞ . Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir der Reihe nach:

90

III Differentialrechnung

dp d ¼ ½ R T K ðV bÞ 1 a V 2 ¼ R T K ð 1Þ ðV bÞ 2 1 a ð 2Þ V 3 ¼ dV dV ¼ R T K ðV bÞ 2 þ 2 a V 3 ¼

R TK ðV bÞ 2

þ

2a V3

d 2p d ¼ ½ R T K ðV bÞ 2 þ 2 a V 3 ¼ 2 dV dV ¼ R T K ð 2Þ ðV bÞ 3 1 þ 2 a ð 3Þ V 4 ¼ ¼ 2 R T K ðV bÞ 3 6 a V 4 ¼

2 R TK ðV bÞ

3

6a V4

d 3p d ¼ ½ 2 R T K ðV bÞ 3 6 a V 4 ¼ 3 dV dV ¼ 2 R T K ð 3Þ ðV bÞ 4 1 6 a ð 4Þ V 5 ¼ ¼ 6 R T K ðV bÞ 4 þ 24 a V 5 ¼

6 R TK ðV bÞ

4

þ

24 a V5

In einem Sattelpunkt mssen die ersten beiden Ableitungen verschwinden (notwendige Bedingungen fr einen Sattelpunkt). Wir erhalten zwei Bestimmungsgleichungen fr die kritischen Werte von Volumen und Temperatur: dp ¼ 0 dV

)

d 2p ¼ 0 dV 2

)

R TK ðV bÞ 2

2 R TK ðV bÞ

3

þ

2a ¼ 0 V3

6a ¼ 0 V4

(I)

2 a ðV bÞ 2 V3 3 a ðV bÞ 3 ¼ V4

R TK ¼

(II) R T K

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}

Diese Gleichungen lsen wir nach dem gemeinsamen Term R T K auf und erhalten dann durch Gleichsetzen eine Gleichung, aus der sich das kritische Volumen V K berechnen lsst:

2 a ðV bÞ 2 3 a ðV bÞ 3 ¼ 3 V V4 2 V ¼ 3 ðV bÞ ¼ 3 V 3 b

)

) )

2 a ðV bÞ 2 V 4 ¼ 3 a ðV bÞ 3 V 3 V ¼ 3b

)

)

VK ¼ 3 b

Diesen (kritischen) Wert setzen wir fr V in Gleichung (I) ein und berechnen aus dieser Gleichung die kritische Temperatur T K :

III Differentialrechnung

R TK ¼

91

2 a ðV K bÞ 2 2 a ð3 b bÞ 2 2 a 4 b2 8a ¼ ¼ ¼ 3 3 3 27 b 27 b VK ð3 bÞ

)

TK ¼

8a 27 b R

Den kritischen Druck p K bestimmen wir aus der van der Waalschen Zustandsgleichung, indem wir fr V und T die bereits bekannten kritischen Werte einsetzen:

pK

R TK a ¼ 2 ¼ VK b VK ¼

8a 8a a a 4a a 27 b R 27 b ¼ ¼ ¼ 2 2 2 9 b 27 b 9 b2 3b b 2 b ð3 bÞ

R

4a 3a a ¼ 2 27 b 27 b 2

Wir mssen noch prfen, ob auch das hinreichende Kriterium fr einen Sattelpunkt erfllt ist. Die 1. und 2. Ableitung von p nach V verschwinden fr V ¼ V K und T ¼ T K . Die 3. Ableitung an dieser Stelle ist (wie gefordert) von null verschieden: 8a

6R d 3 p

6 R TK 24 a 24 a 27 b R ¼ þ 5 ¼ þ ¼ 4 4 dV 3 ðV ¼ V K , T ¼ T K Þ V ð3 b bÞ ðV K bÞ ð3 bÞ 5 K 16 a 16 a 24 a 24 a a 8a 9b 9b ¼ þ ¼ þ ¼ þ ¼ 4 5 4 5 5 16 b 243 b 243 b 9 b 81 b5 ð2 bÞ ¼

9a þ 8a a ¼ 6¼ 0 5 81 b 81 b 5

Die kritischen Daten eines van der Waalschen Gases lauten somit wie folgt: pK ¼

a , 27 b 2

VK ¼ 3 b ,

TK ¼

8a 27 b R

Beispiel 12: Wurfparabel eines Wasserstrahls Extremwertaufgabe Bild III-21 zeigt einen bis zur Hhe H mit Wasser gefllten Zylinder. In der Tiefe h (von der als unvernderlich angenommenen Wasseroberflche h ¼ 0 aus gerechnet) befindet sich eine seitliche ffnung, aus der das Wasser in waagerechter Richtung mit der nach der Forpﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 g h berechneten Geschwindigkeit austritt. mel v 0 ¼ An welcher Stelle A des Gefßes muss man diese ffnung anbringen, damit der seitlich austretende Wasserstrahl den Boden an einer mglichst weit entfernten Stelle B (in horizontaler Richtung gemessen) trifft?

92

III Differentialrechnung

Wasseroberfläche (h = 0) h A

x

xW x

Zylinder mit Wasser

H

v 0 = 2 gh

y

Öffnung

H–h Wasserstrahl B xW

Erdboden y

Bild III-21 Lsungshinweis: Die Bewegung eines Wasserstrahlteilchens kann in guter Nherung als ein waagerechter Wurf im luftleeren Raum betrachtet werden (siehe hierzu auch Beispiel 4 in Kapitel II). Lehrbuch: Bd. 1, IV.3.5

Physikalische Grundlagen: A17

Lsung: Die Koordinaten eines Wasserstrahlteilchens zur Zeit t lauten 6) : x ¼ v0 t ,

y ¼

1 gt2 , 2

t 0

Wir eliminieren den Zeitparameter t und erhalten als Gleichung des Wasserstrahls die Wurfparabel 2 1 1 x g g x2 2 2 ¼ x ¼ ¼ gt2 ¼ g x , x 0 y ¼ 2 2 v0 2 2gh 4h 2 v 20 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 g h Þ: ðunter Bercksichtigung von v 0 ¼ In diese Gleichung setzen wir die Koordinaten des Auftreffpunktes B ¼ ðx W ; H hÞ ein und lsen nach x W auf: H h ¼

x 2W 4h

)

x 2W ¼ 4 h ðH hÞ

)

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ x W ¼ 2 h ðH hÞ ,

0 h H

Erwartungsgemß hngt die „Wurfweite“ x W noch von der Lage der Austrittsffnung, d. h. von h ab. Der Maximalwert wird erreicht, wenn die „Zielfunktion“ z ðhÞ ¼ h ðH hÞ ¼ H h h 2 ,

0 h H

ihr Maximum annimmt, d. h. der unter der Wurzel stehende Ausdruck h ðH hÞ seinen grßtmglichen Wert erreicht. 6)

Die Bewegung in der x-Richtung erfolgt mit der konstanten Geschwindigkeit v 0 , in der y-Richtung gelten die Gesetze des freien Falls [ A17 ].

III Differentialrechnung

93

Mit den bentigten Ableitungen z 0 ðhÞ ¼ H 2 h

und

z 00 ðhÞ ¼ 2 < 0

folgt aus der notwendigen Bedingung z 0 ðhÞ ¼ 0 H 2h ¼ 0

und somit

h ¼ H=2

Ferner ist z 00 ðh ¼ H=2Þ ¼ 2 < 0, so dass auch das hinreichende Kriterium fr ein Maximum erfllt ist. Die Wurfweite x W erreicht somit ihren grßtmglichen Wert, wenn die Austrittsffnung genau in der Mitte des Gefßes liegt. Sie betrgt dann sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ H H H H H ¼ 2 x W , max ¼ x W ðh ¼ H=2Þ ¼ 2 H ¼ 2 ¼ H 2 2 2 2 2

Beispiel 13: Scheibenpendel mit minimaler Schwingungsdauer Extremwertaufgabe Bild III-22 zeigt ein Scheibenpendel (auch physikalisches Pendel genannt) mit einer homogenen Kreisscheibe vom Radius R und der Masse m als schwingenden Krper. Die Schwingung erfolgt dabei um die eingezeichnete Achse A (senkrecht zur Zeichenebene) mit der nach der Formel sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ JA T ¼ 2p mgx

Scheibenpendel A x S R

berechneten Schwingungsdauer. g ¼ 9,81 m=s 2 : Erdbeschleunigung; x: Abstand des Schwerpunktes S von der Achse A; J A : Massentrgheitsmoment der Scheibe, bezogen auf die Achse A

Bild III-22

Fr welchen Wert der Abstandskoordinate x schwingt dieses Pendel mit der kleinstmglichen Schwingungsdauer T ? Lsungshinweis: Das Massentrgheitsmoment J A lsst sich nach dem Satz von Steiner [ A31 ] bestimmen. Das dabei bentigte Massentrgheitsmoment der Scheibe bezglich der 1 zur Achse A parallelen Schwerpunktachse S betrgt J S ¼ m R 2. 2 Lehrbuch: Bd. 1, IV.3.4.1 und IV.3.5

Physikalische Grundlagen: A31

94

III Differentialrechnung

Lsung: Zunchst berechnen wir das Massentrgheitsmoment J A mit Hilfe des Satzes von Steiner [ A31 ]: JA ¼ JS þ m x2 ¼

1 1 m ðR 2 þ 2 x 2 Þ m R2 þ m x2 ¼ m ðR 2 þ 2 x 2 Þ ¼ 2 2 2

Fr die Schwingungsdauer T gilt somit in Abhngigkeit vom Abstand x: vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u u m ðR 2 þ 2 x 2 Þ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u JA R2 þ 2 x2 t 2 T ¼ T ðxÞ ¼ 2 p ¼ 2p ¼ 2p ¼ mgx mgx 2gx sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 4 p 2 ðR 2 þ 2 x 2 Þ 2 p2 R2 þ 2 x2 2p2 R2 þ 2 x2 ¼ ¼ ¼ 2gx g x g x T ðxÞ wird minimal, wenn die unter der Wurzel stehende Hilfsfunktion („Zielfunktion“) z ðxÞ ¼

R2 þ 2 x2 , x

0 < x R

ihr Minimum erreicht. Die bentigten Ableitungen dieser Funktion lauten (unter Verwendung der Quotientenregel): z 0 ðxÞ ¼

4 x x 1 ðR 2 þ 2 x 2 Þ 4 x2 R2 2 x2 2 x2 R2 ¼ ¼ 2 2 x x x2

z 00 ðxÞ ¼

4 x x 2 2 x ð2 x 2 R 2 Þ 4 x3 4 x3 þ 2 R2 x 2 R2 x 2 R2 ¼ ¼ ¼ x3 x4 x4 x4

Aus der notwendigen Bedingung z 0 ðxÞ ¼ 0 folgt 2 x2 R2 ¼ 0 x2

)

2 x2 R2 ¼ 0

)

x 1=2 ¼

1 pﬃﬃﬃ 2 R 0,707 R 2

Wegen x > 0 kommt nur der positive, im Intervall 0 < x R liegende Wert infrage. Da pﬃﬃﬃ 1 pﬃﬃﬃ 2 R2 2 R2 8 4 2 00 p ﬃﬃ ﬃ > 0 z x1 ¼ ¼ 2R ¼ ¼ 3 ¼ pﬃﬃﬃ R 2 1 2R 1 pﬃﬃﬃ 2 2 R3 2R 8 2 ist, besitzt die Zielfunktion an dieser Stelle ein Minimum. Die Schwingungsdauer T des physikalischen Scheibenpendels wird somit am kleinsten, wenn der Abstand zwischen der Achse 1 pﬃﬃﬃ A und dem Schwerpunkt S genau x ¼ 2 R 0,707 R betrgt. Sie besitzt dann den 2 folgenden noch vom Scheibenradius R abhngigen Wert:

III Differentialrechnung

95

sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 pﬃﬃﬃ 2p2 u R2 þ R2 2 p2 2 2 R2 u ¼ T x ¼ 2R ¼ t pﬃﬃﬃ ¼ pﬃﬃﬃ ¼ 1 2 g g 2R 2R 2 sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ 8p2 8p2 ¼ pﬃﬃﬃ R ¼ pﬃﬃﬃ R 2,3856 R ðR in m, T in sÞ 2g 2 9,81

T min

Beispiel 14: Leistungsanpassung eines Verbraucherwiderstandes Extremwertaufgabe Bild III-23 zeigt einen vernderlichen Verbraucherwiderstand R a , der von einer Spannungsquelle mit der konstanten Quellenspannung U 0 und dem Innenwiderstand R i gespeist wird. Bei Kurzschluss (d. h. R a ¼ 0) und Leerlauf (d. h. R a ! 1) erfolgt keine Leistungsaufnahme. Dazwischen gibt es fr den Verbraucherwiderstand R a einen Wert, bei dem er die grßtmgliche Energie aufnimmt (sog. Leistungsanpassung). Bestimmen Sie diesen Extremwert.

I

U0

Ri

Ra

U

Bild III-23

Lsungshinweis: Stellen Sie zunchst die vom Verbraucherwiderstand R a aufgenommene Leistung P [ A33 ] als eine Funktion von R a dar und bestimmen Sie dann das Maximum dieser Funktion. Lehrbuch: Bd. 1, IV.3.5

Physikalische Grundlagen: A13, A14, A32, A33

Lsung: Der Gesamtwiderstand der Reihenschaltung [ A13 ] ist R g ¼ R a þ R i , nach dem Ohmschen Gesetz [ A14 ] fließt somit ein Strom der Strke I ¼

U0 U0 ¼ Rg Ra þ Ri

Die am Verbraucher liegende Spannung U ist dann nach der Maschenregel [ A32 ] U ¼ U0 Ri I (R i I ist der Spannungsabfall am Innenwiderstand der Spannungsquelle). Somit betrgt die vom Verbraucherwiderstand R a aufgenommene Leistung [ A33 ]

96

III Differentialrechnung

P ¼ U I ¼ ðU 0 R i IÞ I ¼ ¼

Ri U0 Ra þ Ri

U0

U0 Ra þ Ri

¼

Ra U0 þ Ri U0 Ri U0 U0 Ra U0 U0 Ra ¼ ¼ U 02 Ra þ Ri Ra þ Ri Ra þ Ri Ra þ Ri ðR a þ R i Þ2

Sie hngt noch von R a ab, d. h. P ¼ f ðR a Þ. Wir bestimmen das Maximum dieser Funktion dP d 2P aus den hinreichenden Bedingungen ¼ 0 und < 0. Die dabei bentigten AbleidR a dR 2a tungen lauten (unter Verwendung der Quotienten- und Kettenregel): dP 1 ðR a þ R i Þ 2 2 ðR a þ R i Þ 1 R a ðR a þ R i Þ ½ ðR a þ R i Þ 2 R a ¼ U 02 ¼ U 02 ¼ 4 dR a ðR a þ R i Þ 4 ðR a þ R i Þ ¼ U 02

Ra þ Ri 2 Ra ðR a þ R i Þ

3

¼ U 02

Ri Ra ðR a þ R i Þ 3

3 2 d 2P 2 1 ðR a þ R i Þ 3 ðR a þ R i Þ 1 ðR i R a Þ ¼ U ¼ 0 dR 2a ðR a þ R i Þ 6

¼ U 02 ¼ U 02

ðR a þ R i Þ 2 ½ ðR a þ R i Þ 3 ðR i R a Þ ðR a þ R i Þ 6 2 Ra 4 Ri ðR a þ R i Þ

4

¼ 2 U 02

¼ U 02

Ra Ri 3 Ri þ 3 Ra ðR a þ R i Þ 4

Ra 2 Ri ðR a þ R i Þ 4

Damit erhalten wir: dP ¼ 0 dR a

)

U 02

Ri Ra ðR a þ R i Þ 3

¼ 0

)

Ri Ra ¼ 0

)

Ra ¼ Ri

d 2P Ri 2 Ri Ri Ri U2 ðR a ¼ R i Þ ¼ 2 U 02 ¼ 2 U 02 ¼ 2 U 02 ¼ 03 < 0 4 4 4 2 dR a 16 R i 8 Ri ðR i þ R i Þ ð2 R i Þ Maximale Leistungsaufnahme erfolgt somit fr R a ¼ R i, d. h. wenn der Verbraucherwiderstand mit dem Innenwiderstand der Spannungsquelle bereinstimmt. Bild III-24 zeigt die Verbraucherleistung P als Funktion des Verbraucherwiderstandes R a . Der Maximalwert der Leistung betrgt P max ¼ P ðR a ¼ R i Þ ¼ U 02

Ri ðR i þ R i Þ

2

¼ U 02

Ri ð2 R i Þ

2

¼ U 02

Ri U2 ¼ 0 2 4 Ri 4 Ri

¼

III Differentialrechnung

97

P 2

Max

U0 4R i

Bild III-24 2R i

Ra = R i

3R i

4R i

Ra

Beispiel 15: Resonanzfall bei einer erzwungenen Schwingung Extremwertberechnung Ein schwingungsfhiges mechanisches System (Modell: elastisches Federpendel oder FederMasse-Schwinger) mit der Masse m und der Eigenkreisfrequenz w 0 wird durch eine periodisch von der Zeit t abhngige ußere Kraft mit der Gleichung F ðtÞ ¼ F 0 sin ðw tÞ ,

t 0

zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Das System schwingt dann nach Ablauf einer gewissen Einschwingphase mit der von außen aufgezwungenen Erregerkreisfrequenz w, wobei die Schwingungsamplitude A noch wie folgt von dieser Kreisfrequenz abhngt: A ¼ A ðwÞ ¼

F0 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ , m ðw 2 w 20 Þ 2 þ 4 d 2 w 2

w > 0

(d > 0: Dmpfungsfaktor). Bei welcher Kreisfrequenz w R grßtmglicher Amplitude (sog. Resonanzfall )?

schwingt das System mit

Lehrbuch: Bd. 1, IV.3.4.1

Lsung: Die Amplitude A erreicht genau dann ihren grßtmglichen Wert, wenn der unter der Wurzel stehende von der Kreisfrequenz w abhngige Ausdruck (auch „Zielfunktion“ genannt) z ðwÞ ¼ ðw 2 w 20 Þ 2 þ 4 d 2 w 2 ,

w > 0

seinen kleinsten Wert annimmt. Zur Berechnung dieses Extremwertes bentigen wir die ersten beiden Ableitungen. Sie lauten (unter Verwendung der Ketten- bzw. Produktregel):

98

III Differentialrechnung

z 0 ðwÞ ¼ 2 ðw 2 w 20 Þ 2 w þ 4 d 2 2 w ¼ 4 w ðw 2 w 20 Þ þ 4 w 2 d 2 ¼ ¼ 4 w ðw 2 w 20 þ 2 d 2 Þ z 00 ðwÞ ¼ 4 ðw 2 w 20 þ 2 d 2 Þ þ 2 w 4 w ¼ 4 ðw 2 w 20 þ 2 d 2 Þ þ 4 2 w 2 ¼ ¼ 4 ðw 2 w 20 þ 2 d 2 þ 2 w 2 Þ ¼ 4 ð3 w 2 w 20 þ 2 d 2 Þ Aus der fr einen Extremwert notwendigen Bedingung z 0 ðwÞ ¼ 0 folgt dann 4 w ðw 2 w 20 þ 2 d 2 Þ ¼ 0 und weiter wegen w > 0 w 2 w 20 þ 2 d 2 ¼ 0

)

w 2 ¼ w 20 2 d 2

)

w 1=2 ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w 20 2 d 2

(reelle Lsungen nur fr schwache Dmpfung, d. h. w 20 > 2 d 2 ). Es kommt jedoch nur die positive Lsung w 1 infrage. Fr diesen Wert ist die 2. Ableitung positiv: z 00 ðw ¼ w 1 Þ ¼ 4 ð3 w 21 w 20 þ 2 d 2 Þ ¼ 4 ½ 3 ðw 20 2 d 2 Þ w 20 þ 2 d 2 ¼ ¼ 4 ð3 w 20 6 d 2 w 20 þ 2 d 2 Þ ¼ 4 ð2 w 20 4 d 2 Þ ¼ 8 ðw 20 2 d 2 Þ ¼ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} w 21 2 ¼ 8 w1 > 0 ein relatives Minimum. Der Resonanzfall tritt Die Zielfunktion z ðwÞ besitzt daher fr wq 1 ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ somit bei der Kreisfrequenz w R ¼ w 1 ¼ w 20 2 d 2 ein (sog. Resonanzkreisfrequenz). Die Schwingungsamplitude erreicht dann ihren grßtmglichen Wert A max ¼ A ðw ¼ w R Þ ¼

F0 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ m ðw 2R w 20 Þ 2 þ 4 d 2 w 2R

¼

F0 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ m ðw 20 2 d 2 w 20 Þ 2 þ 4 d 2 ðw 20 2 d 2 Þ

¼

F0 F0 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ m 4 d 4 þ 4 d 2 ðw 20 2 d 2 Þ m 4 d 2 ðd 2 þ w 20 2 d 2 Þ

¼

F0 F0 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ m 2 d w 20 d 2 2 m d w 20 d 2

III Differentialrechnung

99

Bild III-25 zeigt den Verlauf der Amplitudenfunktion A ¼ A ðwÞ (sog. Resonanzkurve). Infolge der Dmpfung liegt die Resonanzstelle w R stets unterhalb der Eigenkreisfrequenz w 0 !

A A max F0 2

m v0

Bild III-25

2 v0

v0 vR

3 v0

v

Beispiel 16: Optimale Beleuchtung eines Punktes durch eine Lichtquelle Extremwertaufgabe Ein fester Punkt A auf einer ebenen Bhne wird durch eine in der Hhe verstellbare punktfrmige Lichtquelle L mit der konstanten Lichtstrke I 0 beleuchtet (Bild III-26). Die von der Lichtquelle L im Punkt A erzeugte Beleuchtungsstrke B gengt dabei dem Lambertschen Gesetz B ¼

I 0 cos a r2

ðI 0 > 0, r > 0Þ

Lichtquelle

L a

Dabei ist a der Einfallswinkel des Lichtes (gegen die Vertikale gemessen) und r der Abstand zwischen der Lichtquelle und dem Punkt A. In welcher Hhe h ber der Bhne muss man die Lichtquelle anbringen, damit der Punkt A optimal beleuchtet wird, die Beleuchtungsstrke B somit im Punkt A ihren grßtmglichen Wert erreicht?

r

h

A 0

a

Bühne

Bild III-26

Lsungshinweis: Stellen Sie zunchst die Beleuchtungsstrke B als eine nur von der Hhe h abhngige Funktion dar (die Abstandsgrße a ist vorgegeben). Lehrbuch: Bd. 1, IV.3.4.1 und IV.3.5

Lsung: Aus dem rechtwinkligen Dreieck OAL folgt cos a ¼

h r

und

r2 ¼ a2 þ h2

oder

r ¼ ða 2 þ h 2 Þ 1=2

100

III Differentialrechnung

Damit erhalten wir fr die Beleuchtungsstrke B die folgende Abhngigkeit von der Hhe h der Lichtquelle ber der Bhne: h I0 I 0 cos a h h h r ¼ I B ¼ B ðhÞ ¼ ¼ ¼ I0 3 ¼ I0 , 0 2 2 2 2 r r rr r ða þ h 2 Þ 3=2

h 0

Die fr die Bestimmung des Extremwertes (Maximums) bentigten Ableitungen lauten (unter Verwendung der Quotienten- und Kettenregel): 3 ða 2 þ h 2 Þ 1=2 2 h h 2 ¼ ða 2 þ h 2 Þ 3

1 ða 2 þ h 2 Þ 3=2 B 0 ðhÞ ¼ I 0 ¼ I0

ða 2 þ h 2 Þ 1=2 ða 2 þ h 2 Þ 3 h 2 ða 2 þ h 2 Þ 1=2

¼ I0

ða 2 þ h 2 Þ 3 ða 2 þ h 2 Þ 1=2 ½ a 2 þ h 2 3 h 2 ða 2 þ

h 2 Þ 6=2

4 h ða 2 þ h 2 Þ 5=2 00

B ðhÞ ¼ I 0 ¼ I0 ¼ I0 ¼ I0

¼ I0

¼

a2 2 h2 ða 2 þ h 2 Þ 5=2

5 ða 2 þ h 2 Þ 3=2 2 h ða 2 2 h 2 Þ 2 ¼ ða 2 þ h 2 Þ 5

4 h ða 2 þ h 2 Þ 3=2 ða 2 þ h 2 Þ 5 h ða 2 þ h 2 Þ 3=2 ða 2 2 h 2 Þ ða 2 þ h 2 Þ 5 h ða 2 þ h 2 Þ 3=2 ½ 4 ða 2 þ h 2 Þ 5 ða 2 2 h 2 Þ ða 2 þ h 2 Þ 10=2 h ð 4 a 2 4 h 2 5 a 2 þ 10 h 2 Þ

¼ 3 I0

h 2 Þ 7=2

ða 2 þ

¼ I0

¼

¼

h ð6 h 2 9 a 2 Þ ða 2 þ h 2 Þ7=2

¼

h ð2 h 2 3 a 2 Þ ða 2 þ h 2 Þ 7=2

Aus der notwendigen Bedingung B 0 ðhÞ ¼ 0 folgt dann I0

a2 2 h2 ða 2 þ

h 2 Þ 5=2

¼ 0

)

a2 2 h2 ¼ 0

)

h 1=2 ¼

1 pﬃﬃﬃ 2a 2

wobei nur der positive Wert als Lsung infrage kommt. Wegen

B 00

1 pﬃﬃﬃ h1 ¼ 2a 2

¼ 3 I0

1 pﬃﬃﬃ 1 pﬃﬃﬃ 2 a ða 2 3 a 2 Þ 2 a ð 2 a 2 Þ 2 2 ¼ 3 I0 ¼ 1 2 7=2 3 2 7=2 2 a þ a a 2 2

III Differentialrechnung

101

pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ 2 I0 a3 3 2 I0 a3 3 2 I0 a3 ﬃﬃﬃﬃ ﬃ r pﬃﬃﬃ ¼ ¼ ¼ ¼ 27 3 a 7 27 6 3 3 2 3 3 2 1=2 pﬃﬃﬃ a a a a 8 2 2 2 8 2 pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ 8 2 3 2 I0 16 I 0 16 3 I 0 pﬃﬃﬃ ¼ ¼ pﬃﬃﬃ ¼ < 0 4 4 27 a 4 27 3 a 9 3a 1 pﬃﬃﬃ erreicht die Beleuchtungsstrke im Punkt A bei der Hhe h ¼ 2 a 0,707 a ihren 2 grßtmglichen Wert. Er betrgt 3

B max

1 pﬃﬃﬃ 2a p ﬃﬃ ﬃ 1 ¼ B h ¼ ¼ 2 a ¼ I0 2 2 1 2 3=2 2 a a þ 2 1 pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ 2 a I0 2 I0 2 I0 2 rﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ pﬃﬃﬃ ¼ 1=2 ¼ 3 3 2 3 3 2 3 2 pﬃﬃﬃ a 3a a a a 2 2 2 2

1 pﬃﬃﬃ 2 a I0 2 ¼ 3 2 3=2 a 2 pﬃﬃﬃ 2 I0 2 3 I0 ¼ pﬃﬃﬃ ¼ 9 a2 3 3 a2

Beispiel 17: Gaußsche Normalverteilung Extremwerte, Wendepunkte Messwerte und Messfehler einer Grße x unterliegen in der Regel der sog. Gaußschen Normalverteilung mit der Verteilungsdichtefunktion 7) 1 1 j ðxÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ e 2 2p s

2

ðx s mÞ

,

1 < x < 1

und den beiden Kennwerten (Parametern) m (Mittelwert oder Erwartungswert)

und s (Standardabweichung).

a) Bestimmen Sie die Extremwerte und Wendepunkte der Verteilungskurve und zeigen Sie, dass diese durch die beiden Kennwerte eindeutig festgelegt sind. b) Skizzieren Sie den Verlauf dieser Funktion. Lehrbuch: Bd. 1, IV.3.4.1 und IV.3.4.2

7)

Siehe hierzu Band 3, Abschnitt II.6.4.1

102

III Differentialrechnung

Lsung: a) Ableitungen 1. bis 3. Ordnung Wir differenzieren j ðxÞ nach der Kettenregel und erhalten 1 1 j 0 ðxÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ e 2 2p s

2

ðx s mÞ

1 1 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ðx mÞ e 2 2p s3

x m 1 1 2 ¼ 2 s s 2

ðx s mÞ

Durch nochmalige Differentiation unter Verwendung von Produkt- und Kettenregel folgt " 2 2 x m 1 1 12 ðx s mÞ 12 ðx s mÞ 00 j ðxÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1e þe 2 2 s 2p s3 " # 2 1 1 ðx mÞ 2 12 ðx s mÞ e 1 ¼ ðx mÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ s s2 2p s3 1 1 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ½ s 2 ðx mÞ 2 e 2 5 2p s

2

ðx s mÞ

und schließlich (wiederum nach der Produkt- und Kettenregel): " 2 2 1 1 xm 1 xm 000 2 ðx mÞ 1 e 2 ð s Þ þ e 2 ð s Þ j ðxÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2p s5 x m 1 1 2 ½ s 2 ðx mÞ 2 ¼ 2 s s 2

1 1 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ðx mÞ e 2 2p s5

ðx s mÞ

1 1 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ðx mÞ e 2 2p s5

ðx s mÞ

2

2

1 ½ s 2 ðx mÞ 2 s2

2 s 2 s 2 þ ðx mÞ 2 ¼ s2

1 1 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ðx mÞ ½ 3 s 2 ðx mÞ 2 e 2 7 2p s

2

ðx s mÞ

Extremwerte: j 0 ðxÞ ¼ 0, j 00 ðxÞ 6¼ 0 2

j 0 ðxÞ ¼ 0

)

xm ¼ 0

)

1 1 xm pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ðx mÞ e 2 ð s Þ ¼ 0 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 2p s3 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 6¼ 0 6¼ 0 x1 ¼ m

)

¼

III Differentialrechnung

103

1 1 j 00 ðx 1 ¼ mÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ s 2 e 0 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ < 0 5 2p s 2p s3

)

relatives Maximum an der Stelle x 1 ¼ m 1 Maximum : Max ¼ m ; pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2p s Das relative Maximum ist zugleich auch das absolute Maximum, seine Lage ist eindeutig durch den Kennwert m bestimmt. Wendepunkte: j 00 ðxÞ ¼ 0, j 000 ðxÞ 6¼ 0 2

j 00 ðxÞ ¼ 0

)

1 1 xm pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ½ s 2 ðx mÞ 2 e 2 ð s Þ ¼ 0 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 2p s5 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 6¼ 0 6¼ 0

s 2 ðx mÞ 2 ¼ 0

)

ðx mÞ 2 ¼ s 2

)

x m ¼ s

)

)

x 2=3 ¼ m s 1 1 j 000 ðx 2=3 ¼ m sÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ð sÞ ð3 s 2 s 2 Þ e 2 7 2p s

ð ssÞ

2

¼

1 1 2s3 2 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ e 2 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ e 2 6¼ 0 2p s7 2p s4

)

Wendepunkte bei x 2=3 ¼ m s 1 Wendepunkte: W 1=2 ¼ m s ; pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2pe s Die Lage der beiden Wendepunkte ist damit eindeutig durch die beiden Kennwerte m und s bestimmt. b) Die Dichtefunktion der Normalverteilung besitzt ein (absolutes) Maximum bei x 1 ¼ m und zwei symmetrisch zum Maximum liegende Wendepunkte bei x 2=3 ¼ m s, jedoch keine Nullstellen. Symmetrieachse ist die Parallele zur j-Achse durch das Maximum (Gerade x ¼ m), fr große j x j strebt die Funktion asymptotisch gegen die x-Achse (j ¼ 0 ist Asymptote im Unendlichen). Bild III-27 zeigt den Verlauf dieser Funktion.

f(x) Max

1 2 p·s W2

x3 = m – s

Bild III-27

W1

x1 = m

x2 = m + s

x

104

III Differentialrechnung

Beispiel 18: Elektrische Feldstrke in der Umgebung einer elektrischen Doppelleitung Kurvendiskussion Die in Bild III-28 im Querschnitt skizzierte Doppelleitung besteht aus zwei parallelen Leitern (Drhten) L 1 und L 2 der Lnge l, die entgegengesetzt gleichstark aufgeladen sind (Ladung: Q). Der Leiterabstand betrgt d ¼ 2 a, der Leiterradius soll vernachlssigbar klein sein. Das System befindet sich in Luft.

y L1

+Q

P

–a

x r1 = a + x

L2

E1 – Q E2

a

x

r2 = a – x

Bild III-28 a) Ermitteln Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen dem Betrag der elektrischen ~ und der Ortskoordinate x eines Punktes P auf der Verbindungslinie der Feldstrke E beiden Leiterquerschnitte. b) Diskutieren Sie den Verlauf der unter a) hergeleiteten (gebrochenrationalen) Funktion E ¼ E ðxÞ (Symmetrie, Nullstellen, Pole, vertikale Asymptoten, relative Extremwerte, Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen, Skizze des Funktionsverlaufs). Lsungshinweis: Gehen Sie zunchst von dem elektrischen Feld einer Linienquelle aus [ A34 ]. Das gesuchte Feld entsteht durch ungestrte berlagerung der beiden Einzelfelder. Die Dielektrizittskonstante von Luft ist e 1. Lehrbuch: Bd. 1, IV.3.6

Physikalische Grundlagen: A34

Lsung: a) Leiter L 1 erzeugt aufgrund seiner positiven Ladung ein axial nach außen gerichtetes elektrisches Feld, Leiter L 2 dagegen aufgrund seiner negativen Ladung ein axial nach innen gerichtetes elektrisches Feld. Die von den beiden Leitern im Punkt P ¼ ðx; 0Þ erzeugten ~2 sind somit gleichgerichtet (siehe Bild III-28). L 1 er~1 und E Feldstrkevektoren E zeugt in P, d. h. im Abstand r 1 ¼ a þ x ein Feld der Strke [ A34 ] E 1 ðPÞ ¼

Q Q ¼ 2 p e0 l r1 2 p e 0 l ða þ xÞ

Die vom Leiter L 2 in P, d. h. im Abstand r 2 ¼ a x erzeugte Feldstrke ist dem Betrage nach E 2 ðPÞ ¼

Q Q ¼ 2 p e0 l r2 2 p e 0 l ða xÞ

III Differentialrechnung

105

~1 und E ~2 addieren sich somit in P: Die Betrge der beiden Feldstrkevektoren E Q Q þ ¼ 2 p e 0 l ða þ xÞ 2 p e 0 l ða xÞ Q 1 1 Q axþaþx ¼ þ ¼ ¼ 2 p e0 l a þ x ax 2 p e 0 l ða þ xÞ ða x Þ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 3: Binom : a 2 x 2 Q 2a aQ 1 ¼ ¼ 2 p e0 l a2 x2 p e0 l a2 x2

E ðPÞ ¼ E 1 ðPÞ þ E 2 ðPÞ ¼

Diese Beziehung bleibt auch gltig fr j x j > a, der resultierende Feldstrkevektor hat dort jedoch die entgegengesetzte Richtung ðE < 0Þ. Die elektrische Feldstrke lngs der Verbindungslinie der beiden Leiter lsst sich demnach durch die von der Ortskoordinate x abhngige echt gebrochenrationale Funktion E ðxÞ ¼ E ðPÞ ¼

aQ 1 , p e0 l a2 x2

j x j 6¼ a

beschreiben. b) Symmetrie: E ðxÞ ist eine gerade Funktion: E ð xÞ ¼ E ðxÞ wegen ð xÞ 2 ¼ ðxÞ 2 ¼ x 2 . Nullstellen: Sind nicht vorhanden (der Zhler von E ðxÞ ist ungleich null). Pole: a 2 x 2 ¼ 0 ) x 1=2 ¼ a (Pole mit Vorzeichenwechsel in der Mitte der Leiterquerschnitte) Vertikale Asymptoten: x ¼ a In den Polstellen, d. h. in der Mitte der beiden Leiterquerschnitte wird die elektrische Feldstrke unendlich groß. Ableitungen (unter Verwendung der Ketten- bzw. Quotientenregel): E ðxÞ ¼

aQ 1 aQ ¼ ða 2 x 2 Þ 1 p e0 l a2 x2 p e0 l

E 0 ðxÞ ¼

aQ 2aQ x ð 1Þ ða 2 x 2 Þ 2 ð 2 xÞ ¼ p e0 l p e 0 l ða 2 x 2 Þ 2

E 00 ðxÞ ¼

2 a Q 1 ða 2 x 2 Þ 2 2 ða 2 x 2 Þ ð 2 xÞ x ¼ p e0 l ða 2 x 2 Þ 4

¼

2 a Q ða 2 x 2 Þ ða 2 x 2 þ 4 x 2 Þ 2 a Q 3 x2 þ a2 ¼ 4 2 2 p e0 l p e 0 l ða 2 x 2 Þ 3 ða x Þ

Die 3. Ableitung wird nicht bentigt, da E 00 ðxÞ stets ungleich null ist (Zhler des Bruches a 2 ). Daher kann es keine Wendepunkte geben!

106

III Differentialrechnung

Relative Extremwerte: E 0 ðxÞ ¼ 0 , E 00 ðxÞ 6¼ 0 E 0 ðxÞ ¼ 0

)

2aQ x ¼ 0 p e 0 l ða 2 x 2 Þ 2

2 a Q a2 2Q ¼ > 0 p e0 l a6 p e0 l a3 Q Minimum : Min ¼ 0 ; p e0 a l E 00 ðx 3 ¼ 0Þ ¼

)

x ¼ 0

)

x3 ¼ 0

)

relatives Minimum bei x 3 ¼ 0

Wendepunkte: Sind nicht vorhanden, da stets E 00 ðxÞ 6¼ 0 ist. Verhalten im Unendlichen: Die Funktion ist echt gebrochenrational und nhert sich somit fr x ! 1 asymptotisch der x-Achse. Die Feldstrke verschwindet also im Unendlichen. Skizze des Funktionsverlaufs: siehe Bild III-29.

E

E=

L1

+Q

Q pe 0 al

Min

L2

–Q

–a

x

a

Bild III-29

Beispiel 19: Ungestrte berlagerung zeitabhngiger Impulse Kurvendiskussion Auf einem Oszillograph wird der sinusfrmige Impuls y 1 ¼ 2 sin t mit dem linearen Impuls y 2 ¼ t zur berlagerung gebracht (Bild III-30). Diskutieren Sie den zeitlichen Verlauf des Gesamtimpulses y ¼ y 1 þ y 2 ¼ 2 sin t þ t fr t 0 (Nullstellen, relative Extremwerte, Wendepunkte, Skizze des Funktionsverlaufs).

y 5 y2 = t

4 3 2

y 1 = 2 · sin t

1

–1

1

–2

Bild III-30 Lehrbuch: Bd. 1, IV.3.6

p

2p

3p

t

III Differentialrechnung

107

Lsung: Nullstellen: y ¼ 0

)

2 sin t þ t ¼ 0

oder

2 sin t ¼ t

)

t0 ¼ 0

Es gibt, wie aus Bild III-31 unmittelbar ersichtlich, keine weiteren Nullstellen (die Kurven y ¼ 2 sin t und y ¼ t schneiden sich nur an der Stelle t 0 ¼ 0). Ableitungen der Funktion: y 0 ¼ 2 cos t þ 1 ,

y 00 ¼ 2 sin t ,

y 000 ¼ 2 cos t

Relative Extremwerte: y 0 ¼ 0, y 00 6¼ 0 y0 ¼ 0

)

2 cos t þ 1 ¼ 0

cos t ¼ 0,5

oder

Die im Intervall t 0 liegenden Lsungen dieser trigonometrischen Gleichung bestimmen wir anhand einer Skizze (Schnittpunkte der Kurven y ¼ cos t und y ¼ 0,5; siehe Bild III-32). y

y

2

1

y = 2 · sin t

y = cos t

1

–1

1

p

2p

t

p

– 0,5

–2 y = –t

3p

t

y = – 0,5

–1

–3

2p

arccos (– 0,5)

–4

2 p – arccos (– 0,5)

Bild III-31

Bild III-32

Wir lsen die Gleichung cos t ¼ 0,5 0 t p liegende Lsung: cos t ¼ 0,5

)

nach

t 1 ¼ arccos ð 0,5Þ ¼

t

auf und erhalten die im Intervall

2p 3

Wegen der Periodizitt der Kosinusfunktion folgen weitere Lsungen im Abstand von jeweils einer Periode 2 p : t1k ¼

2p þ k 2p 3

ðk ¼ 0, 1, 2, . . .Þ

Diese Lsungen sind in Bild III-32 durch kurze Pfeile gekennzeichnet. Eine weitere Lsung 2p 4p liegt aus Symmetriegrnden bei t 2 ¼ 2 p arccos ð 0,5Þ ¼ 2 p ¼ . Wegen der 3 3 Periodizitt sind auch t2k ¼

4p þ k 2p 3

ðk ¼ 0, 1, 2, . . .Þ

Lsungen der Gleichung cos t ¼ 0,5. Sie entsprechen den langen Pfeilen in Bild III-32.

108

III Differentialrechnung

Wir prfen nun das Verhalten der 2. Ableitung an den Stellen t 1 k bzw. t 2 k : 2p 00 y ðt 1 k Þ ¼ 2 sin t 1 k ¼ 2 sin þ k 2p ¼ 3 2p ¼ 1,732 < 0 ) relative Maxima ¼ 2 sin 3 An den Stellen t 1 k liegen somit relative Maxima. Die zugehrigen Ordinaten sind 2p 2p y 1 k ¼ 2 sin t 1 k þ t 1 k ¼ 2 sin þ k 2p þ þ k 2p ¼ 3 3 2p 2p þ þ k 2 p ¼ 3,826 þ k 2 p ¼ 2 sin 3 3 Die ersten Maxima lauten somit 2p k ¼ 0: Max 1 ¼ ; 3,826 ¼ ð2,094; 3,826Þ 3 8p ; 10,110 ¼ ð8,378; 10,110Þ k ¼ 1: Max 2 ¼ 3 14 p k ¼ 2: Max 3 ¼ ; 16,393 ¼ ð14,661; 16,393Þ 3 An den Stellen t 2 k ist die 2. Ableitung dagegen positiv: 4p 4p 00 þ k 2 p ¼ 2 sin ¼ 1,732 > 0 y ðt 2 k Þ ¼ 2 sin t 2 k ¼ 2 sin 3 3 Dort liegen demnach relative Minima. Die zugehrigen Ordinatenwerte sind 4p 4p y 2 k ¼ 2 sin t 2 k þ t 2 k ¼ 2 sin þ k 2p þ þ k 2p ¼ 3 3 4p 4p þ þ k 2 p ¼ 2,457 þ k 2 p ¼ 2 sin 3 3 Die ersten Minima lauten daher 4p k ¼ 0: Min 1 ¼ ; 2,457 ¼ ð4,189; 2,457Þ 3 10 p ; 8,740 ¼ ð10,472; 8,740Þ k ¼ 1: Min 2 ¼ 3 16 p ; 15,023 ¼ ð16,755; 15,023Þ k ¼ 2: Min 3 ¼ 3

III Differentialrechnung

109

Wendepunkte: y 00 ¼ 0, y 000 6¼ 0 y 00 ¼ 0

)

2 sin t ¼ 0

)

sin t ¼ 0

Lsungen dieser Gleichung sind die bei t3k ¼ k p

ðk ¼ 0, 1, 2, . . .Þ

liegenden Nullstellen der Sinusfunktion. Die 3. Ableitung ist dort (wie verlangt) von null verschieden: 8 9 k ¼ 0, 2, 4, . . . = = Alle Wendepunkte liegen auf der Winkelhalbierenden k ¼ 1 : W 2 ¼ ðp; pÞ ¼ ð3,142; 3,142Þ > ; des 1: Quadranten ð y ¼ tÞ k ¼ 2 : W 3 ¼ ð2 p; 2 pÞ ¼ ð6,283; 6,283Þ k ¼ 0 : W 1 ¼ ð0; 0Þ

Funktionsverlauf Der zeitliche Verlauf des Impulses y ¼ 2 sin t þ t

fr

y

t 0

ist in Bild III-33 dargestellt. Die Kurve oszilliert um die Winkelhalbierende y ¼ t.

Max W

15

Winkelhalbierende y=t

Min W

Max 10

W Min W

5

Max W Min

Bild III-33 W

5

10

15

t

110

III Differentialrechnung

Beispiel 20: berlagerung von Sinusschwingungen mit gleicher Raumrichtung, aber unterschiedlicher Frequenz Kurvendiskussion Die durch die Gleichungen y 1 ¼ sin t und y 2 ¼ sin ð2 tÞ beschriebenen Sinusschwingungen gleicher Raumrichtung und gleicher Amplitude (¼ 1), aber unterschiedlicher Frequenz (Frequenzverhltnis 1 : 2) werden ungestrt zur berlagerung gebracht (Bild III-34).

y

y 1 = sin t

1

0

p

2p t

–1

Diskutieren Sie den zeitlichen Verlauf der Gesamtschwingung

y 2 = sin ( 2 t )

Bild III-34

y ¼ y 1 þ y 2 ¼ sin t þ sin ð2 tÞ

im Zeitintervall t 0 (Periode, Nullstellen, relative Extremwerte, Wendepunkte, Skizze des Funktionsverlaufs). Lehrbuch: Bd. 1, IV.3.6

Lsung: Periode: Die Einzelschwingungen y 1 und y 2 besitzen die Perioden (Schwingungsdauern) T 1 ¼ 2 p bzw. T 2 ¼ p. Somit ist die kleinste gemeinsame Periode T ¼ 2 p zugleich auch die Periode der Gesamtschwingung. Wir knnen uns daher bei allen weiteren berlegungen auf das Periodenintervall 0 t 2 p beschrnken. Nullstellen: y ¼ 0

)

sin t þ sin ð2 tÞ ¼ 0

)

sin t ¼ 0 sin t ð1 þ 2 cos tÞ ¼ 0 1 þ 2 cos t ¼ 0

sin t þ 2 sin t cos t ¼ 0

oder

)

cos t ¼ 0,5

ðsin ð2 tÞ ¼ 2 sin t cos t, siehe Formelsammlung, Abschnitt III:7:6:3Þ Die Gleichung zerfllt somit in zwei Teilgleichungen: sin t ¼ 0

)

t1 ¼ 0 ;

t2 ¼ p ;

cos t ¼ 0,5 ðsiehe Bild III-35Þ t 4 ¼ arccos ð 0,5Þ ¼

y 2 p – arccos (– 0,5)

t3 ¼ 2 p

)

1

arccos (– 0,5)

2p 3

t 5 ¼ 2 p arccos ð 0,5Þ ¼ 2 p

2p 4p ¼ 3 3

Bild III-35

p

2p

– 0,5 y = – 0,5 –1

y = cos t

t

III Differentialrechnung

111

Nullstellen (neu nummeriert): N 1 ¼ ð0; 0Þ ;

N 2 ¼ ð2 p=3; 0Þ ;

N 3 ¼ ðp; 0Þ ;

N 4 ¼ ð4 p=3; 0Þ ;

N 5 ¼ ð2 p; 0Þ

Ableitungen: y 0 ¼ cos t þ 2 cos ð2 tÞ ;

y 00 ¼ sin t 4 sin ð2 tÞ ;

y 000 ¼ cos t 8 cos ð2 tÞ Relative Extremwerte: y 0 ¼ 0, y 00 6¼ 0 y0 ¼ 0

)

cos t þ 2 cos ð2 tÞ ¼ 0

)

cos t þ 4 cos 2 t 2 ¼ 0

cos t þ 2 ð2 cos 2 t 1Þ ¼ 0

) )

cos 2 t þ 0,25 cos t 0,5 ¼ 0

Dabei haben wir die trigonometrische Formel cos ð2 tÞ ¼ 2 cos 2 t 1 verwendet (siehe Formelsammlung, Abschnitt III.7.6.3). Mit Hilfe der Substitution z ¼ cos t erhalten wir hieraus eine quadratische Gleichung mit folgenden Lsungen: pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ z 2 þ 0,25 z 0,5 ¼ 0 ) z 1=2 ¼ 0,125 0,125 2 þ 0,5 ¼ 0,125 0,718 ) z 1 ¼ 0,593 ,

z 2 ¼ 0,843

Nach Rcksubstitution ergeben sich zwei einfache trigonometrische Gleichungen, deren Lsungen wir anhand der Bilder III-36 und III-37 als Schnittpunkte der Kosinuskurve mit Parallelen zur t-Achse wie folgt bestimmen: ) cos t ¼ z 1 ¼ 0,593 ) t 6 ¼ arccos 0,593 ¼ 0,936 siehe Bild III-36 t 7 ¼ 2 p arccos 0,593 ¼ 5,347 ) cos t ¼ z 2 ¼ 0,843 ) t 8 ¼ arccos ð 0,843Þ ¼ 2,574 siehe Bild III-37 t 9 ¼ 2 p arccos ð 0,843Þ ¼ 3,710

y

y

arccos (– 0,843) 2 p – arccos (– 0,843)

1

1

y = 0,593

0,593 y = cos t p

2p

p

t

2p y = cos t

2 p – arccos 0,593

– 0,843

–1

y = – 0,843

arccos 0,593

Bild III-36

Bild III-37

t

112

III Differentialrechnung

Wie verhlt sich die zweite Ableitung an den Stellen t 6 bis t 9 ? y 00 ðt 6 ¼ 0,936Þ ¼ 4,625 < 0

)

relatives Maximum bei

t 6 ¼ 0,936

y 00 ðt 7 ¼ 5,347Þ ¼

4,625 > 0

)

relatives Minimum bei

t 7 ¼ 5,347

y 00 ðt 8 ¼ 2,574Þ ¼

3,089 > 0

)

relatives Minimum bei

t 8 ¼ 2,574

y 00 ðt 9 ¼ 3,710Þ ¼ 3,089 < 0

)

relatives Maximum bei

t 9 ¼ 3,710

Wir erhalten somit im Periodenintervall 0 t 2 p zwei Maxima und zwei Minima: Maxima :

Max 1 ¼ ð0,936; 1,760Þ ;

Max 2 ¼ ð3,710; 0,369Þ

Minima :

Min 1 ¼ ð2,574; 0,369Þ ;

Min 2 ¼ ð5,347; 1,760Þ

Wendepunkte: y 00 ¼ 0, y 000 6¼ 0 y 00 ¼ 0 ) sin t 4 sin ð2 tÞ ¼ 0 ) sin t 8 sin t cos t ¼ 0 sin t ¼ 0 sin t ð1 þ 8 cos tÞ ¼ 0 1 þ 8 cos t ¼ 0

oder

)

cos t ¼ 0,125

Dabei haben wir wiederum die trigonometrische Formel sin ð2 tÞ ¼ 2 sin t cos t verwendet (Formelsammlung, Abschnitt III.7.6.3). Wir beschftigen uns nun mit den Lsungen der erhaltenen Teilgleichungen: sin t ¼ 0

)

t 10 ¼ 0 ;

t 11 ¼ p ;

cos t ¼ 0,125 ðsiehe Bild III-38Þ

)

t 12 ¼ 2 p y

arccos (– 0,125)

t 13 ¼ arccos ð 0,125Þ ¼ 1,696

2 p – arccos (– 0,125) 1

t 14 ¼ 2 p arccos ð 0,125Þ ¼ 4,587 p – 0,125

2p y = – 0,125

–1

Bild III-38 Die 3. Ableitung ist an den Stellen t 10 bis t 14 von null verschieden: y 000 ðt 10 ¼ 0Þ ¼ 9 6¼ 0 ;

y 000 ðt 11 ¼ pÞ ¼ 7 6¼ 0 ;

y 000 ðt 12 ¼ 2 pÞ ¼ 9 6¼ 0 ;

y 000 ðt 13 ¼ 1,696Þ ¼ 7,875 6¼ 0 ;

y 000 ðt 14 ¼ 4,587Þ ¼ 7,875 6¼ 0

y = cos t

t

III Differentialrechnung

113

Somit gibt es im Periodenintervall 0 t 2 p genau fnf Wendepunkte (von links nach rechts geordnet): W 1 ¼ ð0; 0Þ ;

W 2 ¼ ð1,696; 0,744Þ ;

W 4 ¼ ð4,587; 0,744Þ ;

W 3 ¼ ðp; 0Þ ;

W 5 ¼ ð2 p; 0Þ

(W 1 , W 3 und W 5 sind zugleich Nullstellen) Funktionsverlauf

y

Bild III-39 zeigt den zeitlichen Verlauf der Gesamtschwingung y ¼ sin t þ sin ð2 tÞ im Periodenintervall 0 t 2 p .

2

Max

1

W W

–1

Bild III-39

1

Max W 4

2 Min

W 5

2p

t

W

–2

Min

Beispiel 21: Fallgeschwindigkeit mit und ohne Bercksichtigung des Luftwiderstandes Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital Zwischen der Fallgeschwindigkeit v und dem Fallweg s besteht bei Bercksichtigung des Luftwiderstandes der folgende funktionale Zusammenhang 8): sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2ks mg 1 e m pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2ks v ¼ 1e m , s 0 ¼ mg k k m: Masse des aus der Ruhe heraus frei fallenden Krpers; g: Erdbeschleunigung; k > 0: Reibungskoeffizient Zeigen Sie mit Hilfe der L’Hospitalschen Regel, dass man aus dieser Beziehung durch den Grenzbergang k ! 0 das bekannte Fallgesetz fr den luftleeren Raum pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v ¼ 2gs, s 0 erhlt. Anmerkung: In Kapitel V, Beispiel 1 wird diese Aufgabe durch Reihenentwicklung gelst. Lehrbuch: Bd. 1, VI.3.3.3 8)

Diese Beziehung wird in Kapitel II, Beispiel 23 aus den Zeitabhngigkeiten von v und s und in Kapitel IV, Beispiel 14 durch Integration des Newtonschen Grundgesetzes hergeleitet.

114

III Differentialrechnung

Lsung: Mit Hilfe der bekannten Rechenregeln fr Grenzwerte (siehe Formelsammlung, Abschnitt III.3.3) erhalten wir zunchst vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 0 1 u u 2ks 2s k m 1e m 1 e pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ A v ¼ lim m g ¼ m g t lim @ k!0 k!0 k k Der Grenzwert unter der Wurzel fhrt dabei zu dem unbestimmten Ausdruck 0 1 2s k 2s m 1 e A ! 0 da e m k ! e 0 ¼ 1 f u¨ r k ! 0 lim @ k!0 k 0 auf den die Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital anwendbar ist: 2s 0 1 2s k d 2s k 2 s m 0 e 1e m 1 e m kA m ¼ ¼ lim dk lim @ ¼ lim d k!0 k!0 k!0 1 k ðkÞ dk 2s 2s 2s 2s 2s 2s k ¼ lim e m lim e m k ¼ 1 ¼ ¼ k!0 m m k!0 m m |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} e0 ¼ 1 Das Fallgesetz geht damit ber in vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 0 1 u rﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u 2s k pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ m 1 e 2s 2s pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ @ A v ¼ m g t lim ¼ mg ¼ mg ¼ 2gs k!0 k m m Bild III-40 zeigt die Abhngigkeit der Fallgeschwindigkeit v vom Fallweg s im luftleeren Raum und unter Bercksichtigung des Luftwiderstandes 9).

v ohne Luftwiderstand

vE mit Luftwiderstand

Bild III-40 s

9)

Bei Bercksichtigung des Luftwiderstandes strebt die Fallgeschwindigkeit gegen den Endwert v E ¼ (Endgeschwindigkeit nach unendlich langer Fallstrecke). Das Fallgesetz lsst sich dann auch in der Form qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v ¼ v ðsÞ ¼ v E

2k

1 e m s ,

s 0

darstellen (siehe hierzu auch Kapitel II, Beispiel 23).

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ mg k

III Differentialrechnung

115

Beispiel 22: Erzwungene Schwingung im Resonanzfall Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital Ein schwach gedmpftes schwingungsfhiges mechanisches System mit dem Dmpfungsfaktor d und der Eigenkreisfrequenz w 0 (des ungedmpften Systems) wird von außen durch eine periodische Kraft mit derselben Kreisfrequenz w 0 zu erzwungenen Schwingungen angeregt. In Kapitel IX, Beispiel 16 wird gezeigt, dass das Weg-Zeit-Gesetz dieser Resonanzschwingung wie folgt lautet 10) : F0 sin ðw 0 tÞ e d t sin ðw d tÞ x ðtÞ ¼ , t 0 2md !0 wd qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ m: Schwingmasse; w d ¼ w 20 d 2 ; x ðtÞ: Auslenkung zur Zeit t Bestimmen Sie hieraus durch die Grenzwertbildung d ! 0 das entsprechende Weg-Zeit-Gesetz x 0 ðtÞ der ungedmpften Schwingung. Lehrbuch: Bd. 1, VI.3.3.3

Lsung: Beim Grenzbergang d ! 0 ist zu beachten, dass die Kreisfrequenz w d noch von d abqﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ hngt: w d ¼ w 20 d 2 . Wir erhalten zunchst den folgenden unbestimmten Ausdruck: F0 sin ðw 0 tÞ e d t sin ðw d tÞ x 0 ðtÞ ¼ lim x ðtÞ ¼ lim ¼ d!0 d!0 2 m d w0 wd 2 3 sin ðw 0 tÞ e d t sin ðw d tÞ 6 7 F0 w0 wd 7 ! 0 lim 6 ¼ 4 5 2 m d!0 d 0 Denn fr d ! 0 gilt qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ edt ! e0 ¼ 1 , w d ¼ w 20 d 2 ! w 0 , qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w 20 d 2 t ! sin ðw 0 tÞ sin ðw d tÞ ¼ sin und der Zhler des Bruches strebt somit ebenfalls gegen 0: sin ðw 0 tÞ e d t sin ðw d tÞ sin ðw 0 tÞ 1 sin ðw 0 tÞ sin ðw 0 tÞ sin ðw 0 tÞ ! ¼ ¼ 0 w0 wd w0 w0 w0 10)

Die Anregung des Systems erfolgt durch die zeitabhngige periodische Kraft F ðtÞ ¼ F 0 cos ðw 0 tÞ, die Anfangswerte der Bewegung sind x ð0Þ ¼ 0 und v ð0Þ ¼ x_ ð0Þ ¼ 0.

116

III Differentialrechnung

0 “ ist die Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital anwendbar 0 11) und fhrt zunchst zu

Wegen der Form „

sin ðw 0 tÞ e d t sin ðw d tÞ F0 w0 wd x 0 ðtÞ ¼ lim ¼ d 2 m d!0 ½d dd F0 d e d t sin ðw d tÞ F0 d e d t sin ðw d tÞ lim lim ¼ ¼ ¼ 2 m d ! 0 dd 2 m d ! 0 dd wd wd |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} z ðdÞ F0 d F0 ¼ lim lim z 0 ðdÞ ½ z ðdÞ ¼ 2 m d ! 0 dd 2 m d!0 d dd

Bevor wir diesen Grenzwert bestimmen, muss die Ableitung der in der eckigen Klammer stehenden Funktion qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dt e sin w 20 d 2 t e d t sin ðw d tÞ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ z ðdÞ ¼ ¼ wd w 20 d 2 gebildet werden (differenziert wird nach d). Sie erfolgt nach der Quotientenregel, wobei die Zhlerfunktion nach der Produktregel zu differenzieren ist. Wir setzen daher der besseren bersicht wegen: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dt dt ¨ sin w 20 d 2 t ¼ a b Z ahler : u ¼ e sin ðw d tÞ ¼ e |ﬄ{zﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} a b qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Nenner : v ¼ w d ¼ w 20 d 2 Somit ist z ¼

u ab ¼ v v

mit

a ¼ e d t , b ¼ sin

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w 20 d 2 t ,

v ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w 20 d 2

Die gesuchte Ableitung z 0 ¼ z 0 ðdÞ wird dann nach der Quotientenregel in Verbindung mit der Produktregel gebildet, wobei stets nach der Variablen d zu differenzieren ist: z0 ¼ 11)

u0 v v0 u v2

mit

u ¼ ab,

u0 ¼ a0 b þ b0 a

Die Ableitung des ersten Summanden im Zhler des Bruches verschwindet (dieser ist von d unabhngig), whrend die Ableitung des Nenners den Wert eins ergibt.

III Differentialrechnung

117

Wir bilden daher zunchst unter Verwendung der Kettenregel die bentigten Ableitungen a 0 , b 0 , u 0 und v 0 : d ½ e d t ¼ e d t ð tÞ ¼ t e d t dd qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ d 0 2 2 ¼ cos w 20 d 2 t b ¼ sin w0 d t dd a0 ¼

1 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ð 2 dÞ t ¼ 2 w 20 d 2

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ d t cos w 20 d 2 t d t cos ðw d tÞ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ ¼ wd w 20 d 2 u 0 ¼ a 0 b þ b 0 a ¼ t e d t sin ðw d tÞ ¼ t e

dt

d cos ðw d tÞ sin ðw d tÞ þ !d

d t cos ðw d tÞ edt ¼ !d

¼

t edt ½ w d sin ðw d tÞ þ d cos ðw d tÞ wd qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ d 1 d d 0 w 20 d 2 ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ð 2 dÞ ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ v ¼ dd wd 2 w 20 d 2 w 20 d 2 ¼

Die gesuchte Ableitung z 0 ¼ z 0 ðdÞ lautet damit wie folgt: z 0 ¼ z 0 ðdÞ ¼ ¼

u0 v v0 u ¼ v2

t edt d ½ w d sin ðw d tÞ þ d cos ðw d tÞ w d þ e d t sin ðw d tÞ !d wd ¼ w 2d

t e d t ½ w d sin ðw d tÞ þ d cos ðw d tÞ þ ¼

w 2d

¼

d w d t sin ðw d tÞ þ d t cos ðw d tÞ sin ðw d tÞ wd qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Beim Grenzbergang d ! 0 und somit w d ¼ w 20 d 2 ! w 0 und e d t ! e 0 ¼ 1 wird hieraus 1 t sin ðw 0 tÞ lim z 0 ¼ lim z 0 ðdÞ ¼ 2 ½ w 0 t sin ðw 0 tÞ ¼ d!0 d!0 w0 w0 edt ¼ w 2d

d e d t sin ðw d tÞ wd

118

III Differentialrechnung

Das gesuchte Weg-Zeit-Gesetz bei fehlender Dmpfung besitzt damit die Gestalt F0 F0 t sin ðw 0 tÞ F0 x 0 ðtÞ ¼ lim z 0 ðdÞ ¼ t sin ðw 0 tÞ ¼ 2 m d!0 2m 2 m w0 w0 Bild III-41 zeigt den zeitlichen Verlauf dieser ungedmpften erzwungenen Schwingung im Resonanzfall. Die Schwingungsamplituden nehmen dabei rasch zu und zerstren somit im Laufe der Zeit das System.

x0 x=

F0 t 2 m v0

t

x=–

Bild III-41

F0 t 2 m v0

Beispiel 23: Eintauchtiefe einer Boje in Salzwasser Tangentenverfahren von Newton Wie tief taucht eine kugelfrmige Boje mit dem Radius R ¼ 45 cm in Salzwasser der Dichte r S ¼ 1,03 g=cm 3 ein, wenn die Dichte der Boje r B ¼ 0,7 g=cm 3 betrgt (Bild III-42)?

Boje FA S2

Wasseroberfläche

S1 h G

S 1 : Schwerpunkt der Boje; S 2 : Schwerpunkt der eingetauchten Kugelkappe, im Bild grau unterlegt Bild III-42 Lsungshinweis: Die Eintauchtiefe h gengt (wie sich zeigen wird) einer kubischen Gleichung. Lsen Sie diese nach dem Newtonschen Tangentenverfahren. Lehrbuch: Bd. 1, IV.3.7.2

Physikalische Grundlagen: A35

Lsung: Im Gleichgewichtszustand wird die nach unten gerichtete Gewichtskraft G, die im Schwerpunkt S 1 der kugelfrmigen Boje angreift, durch den nach oben gerichteten Auftrieb F A , der im Schwerpunkt S 2 der (eingetauchten) Kugelkappe angreift, kompensiert 12).

12)

Im Gleichgewichtszustand liegen Gewichtskraft und Auftriebskraft in einer gemeinsamen Wirkungslinie. Die beiden Schwerpunkte S 1 (Kugel) und S 2 (Kugelkappe) liegen dann bereinander.

III Differentialrechnung

119

Das Gewicht der Boje betrgt dabei 4 4 3 G ¼ m g ¼ rB V g ¼ rB pR g ¼ p rB g R3 3 3 4 p R 3 : Volumen der kugelfrmigen Boje . Nach dem Archimedischen Prinzip V ¼ 3 [ A35 ] ist der Auftrieb FA gleich dem Gewicht der verdrngten Salzwassermenge (d. h. gleich dem Gewicht der in Bild III-42 grau unterlegten Kugelkappe, wre diese mit Salzwasser gefllt!): FA ¼ mK g ¼ rS VK g (m K ¼ r S V K : Masse der mit Salzwasser gefllten Kugelkappe; V K : Volumen der Kugelkappe). Aus der Formelsammlung (Abschnitt I.8.14) entnehmen wir fr das Volumen der Kugelkappe die Formel VK ¼

1 1 p h 2 ð3 R hÞ ¼ p ð3 R h 2 h 3 Þ 3 3

Somit ist FA ¼ r S V K g ¼ r S

1 1 p ð3 R h 2 h 3 Þ g ¼ p r S g ð3 R h 2 h 3 Þ 3 3

Aus der Gleichgewichtsbedingung G ¼ FA erhalten wir damit fr die Eintauchtiefe h die folgende kubische Bestimmungsgleichung: 4 1 p rB g R3 ¼ p r S g ð3 R h 2 h 3 Þ 3 3

)

h3 3 R h2 þ

4 rB R3 ¼ 0 rS

Nach Einsetzen der Werte fr die Grßen R, r B und r S lautet diese Gleichung wie folgt: h 3 1,35 h 2 þ 0,24772 ¼ 0

ð h in mÞ

Die gesuchte Lsung muss aus physikalischen Grnden im Intervall 0 < h 2 R ¼ 0,9 liegen. Eine Nherungslsung beschaffen wir uns, indem wir die Gleichung zunchst geringfgig umstellen

y y = 1,35 h 2 – 0,24772

y = h3

0,5

h 3 ¼ 1,35 h 2 0,24772 und dann zeichnerisch den Schnittpunkt der beiden Funktionen (Kurven) y ¼ h 3 und y ¼ 1,35 h 2 0,24772 bestimmen. Anhand der Skizze (Bild III-43) whlen wir als Startwert fr das Newtonsche Tangentenverfahren h 0 ¼ 0,55 (die Schnittstelle liegt zwischen 0,5 und 0,6).

0,1 – 0,1

0,1

1 h 0 ≈ 0,55

Bild III-43

h

120

III Differentialrechnung

Die Newton-Iteration liefert dann mit f ðhÞ ¼ h 3 1,35 h 2 þ 0,24772 ,

f 0 ðhÞ ¼ 3 h 2 2,7 h

nach der lterationsformel hn ¼ hn1

f ðh n 1 Þ f 0 ðh n 1 Þ

ðn ¼ 1, 2, 3, . . .Þ

bereits nach zwei Schritten eine auf vier Nachkommastellen genaue Nherungslsung: n

hn1

f ðh n 1 Þ

f 0 ðh n 1 Þ

hn

1

0,55

0,005 720

0,577 500

0,559 905

2

0,559 905

0,000 030

0,571 263

0,559 958

Ergebnis: h ¼ 0,559 958 0,56 Die Eintauchtiefe betrgt somit rund h ¼ 0,56 m ¼ 56 cm.

Beispiel 24: Freihngendes Seil (Seilkurve, Kettenlinie) Tangentenverfahren von Newton Bild III-44 zeigt ein freihngendes Seil mit einer Spannweite von 2 l ¼ 20 m und dem Durchhang h ¼ 1 m. Die Hhe der beiden Trger betrgt H ¼ 8 m. Die Funktionsgleichung dieser Seilkurve (auch Kettenlinie genannt) ist dann in der Form x þ b, l x l y ¼ a cosh a darstellbar. Berechnen Sie die beiden Kurvenparameter a > 0 und b.

y P1

P2 h

H Seil

l

l

x

Bild III-44 Lsungshinweis: Sie stoßen beim Lsen dieser Aufgabe auf eine transzendente Gleichung, die exakt nicht lsbar ist. Bestimmen Sie die Nherungslsung dieser Gleichung nach dem Newtonschen Tangentenverfahren mit einer Genauigkeit von vier Stellen nach dem Komma.

III Differentialrechnung

121

Anmerkung: Diese Aufgabe wird in Kapitel V, Beispiel 10 mit Hilfe der Reihenentwicklung nherungsweise gelst. Lehrbuch: Bd. 1, IV.3.7.2

Lsung: Die Seilkurve schneidet die y-Achse bei y ð0Þ ¼ a cosh 0 þ b ¼ a 1 þ b ¼ a þ b Zwischen Trgerhhe H, Durchhang h und diesem Schnittpunkt besteht dann nach Bild III-44 der folgende Zusammenhang: y ð0Þ þ h ¼ H

)

aþbþh ¼ H

Der Kurvenparameter b ist somit durch den Kurvenparameter a eindeutig bestimmt: b ¼ H ha Die Bestimmungsgleichung fr a erhalten wir auf folgende Weise. Der Aufhngepunkt P 1 mit den Koordinaten x 1 ¼ l und y 1 ¼ H liegt auf der Seilkurve. Daher ist l l H ¼ a cosh þ b ¼ a cosh þH ha a a und somit a cosh

l ¼ aþh a

Wir dividieren diese Bestimmungsgleichung fr den Kurvenparameter a noch durch a selbst und setzen dann die gegebenen Werte ein: l h 10 m 1m cosh ¼ 1þ oder cosh ¼ 1þ a a a a 10 m geht diese Gleichung schließlich ber in Mit der Substitution z ¼ a cosh z ¼ 1 þ 0,1 z ¼ 0,1 z þ 1 , z > 0 ðda a > 0Þ Eine Nherungslsung erhalten wir, indem wir die Kurven y ¼ 0,1 z þ 1 und y ¼ cosh z zum Schnitt bringen. Der Schnittpunkt liegt dabei nach Bild III-45 in der Nhe von z 0 ¼ 0,2 13). Dieser Wert dient uns als Startwert fr die 1. Iteration nach Newton. Wir lsen jetzt die auf die spezielle Form f ðzÞ ¼ cosh z 0,1 z 1 ¼ 0 gebrachte Gleichung nach dem Tangentenverfahren von Newton. 13)

Ein weiterer Schnittpunkt liegt exakt bei z ¼ 0. Er scheidet jedoch wegen a > 0 und somit auch z > 0 aus.

122

III Differentialrechnung

Die Iterationsformel lautet: zn ¼ zn1

y

f ðz n 1 Þ f 0 ðz n 1 Þ

y = cosh z

ðn ¼ 1, 2, 3, . . .Þ 1,05

0

ð f ðzÞ ¼ sinh z 0,1Þ. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.

y = 0,1 z + 1 1

Bild III-45 –0,1

0,1

0,3 z 0 ≈ 0,2

n

zn1

f ðzn 1 Þ

f 0 ðz n 1 Þ

zn

1 2

0,2 0,199 339

0,000 067 0,000 000

0,101 336 0,100 662

0,199 339 0,199 339

Ergebnis: z ¼ 0,199 339

)

a ¼

10 m 10 m ¼ ¼ 50,1658 m z 0,199 339

Fr den noch unbekannten Parameter b erhalten wir den folgenden Wert: b ¼ H h a ¼ ð8 1 50,1658Þ m ¼ 43,1658 m Die Gleichung der Seilkurve (Kettenlinie) lautet somit: y ¼ 50,1658 m cosh ð0,0199 m 1 xÞ 43,1658 m ,

10 m x 10 m

z

IV Integralrechnung Beispiel 1: Induktionsspannung in einer in einem Magnetfeld rotierenden Metallscheibe Elementare Integration (Grundintegral) Eine Metallscheibe vom Radius R rotiert in einem ho~ mit der konmogenen Magnetfeld der Flussdichte B stanten Winkelgeschwindigkeit w um die Feldrichtung (senkrecht zur Zeichenebene, siehe Bild IV-1). Bestimmen Sie die ber zwei Schleifkontakte abgreifbare Induktionsspannung U zwischen der Scheibenmitte M und dem Scheibenrandpunkt P durch Anwendung des Induktionsgesetzes [ A37 ].

v

P

v Leiterelement dr

M

r R B

Bild IV-1

Lehrbuch: Bd. 1, V.5

Rotierende Metallscheibe

Physikalische Grundlagen: A8, A37

Lsung: Wir betrachten das in Bild IV-1 eingezeichnete, in radialer Richtung im Abstand Drehachse M liegende Leiterelement der Lnge dr. Es bewegt sich mit der Bahngeschwindigkeit [ A8 ] v ¼ w r senkrecht durch das Magnetfeld mit der ~. Nach dem Induktionsgesetz [ A37 ] wird in diesem Leiterelement Flussdichte B nung vom Betrag dU ¼ B v dr ¼ B w r dr

r von der konstanten konstanten eine Span-

~jÞ ðmit B ¼ j B

induziert. Die zwischen Scheibenmitte M und Scheibenrandpunkt P abgreifbare Induktionsspannung erhlt man dann durch Summierung, d. h. Integration der Beitrge aller zwischen M und P gelegener Leiterelemente. Die gesuchte Induktionsspannung betrgt somit U ¼

ðR

dU ¼ B w

r¼0

ðR 0

r dr ¼ B w

1 2 r 2

R ¼ Bw 0

1 2 1 R ¼ B w R2 2 2

und ist konstant.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24882-6_4

124

IV Integralrechnung

Beispiel 2: Rollbewegung einer Kugel lngs einer schiefen Ebene Elementare Integrationen (Grundintegrale) Eine homogene Vollkugel mit der Masse m und dem Radius r rollt (ohne zu gleiten) eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel a hinab (Bild IV-2). a) Beschreiben Sie die Bewegung des Kugelschwerpunktes S durch den zeitlichen Verlauf von Beschleunigung a , Geschwindigkeit v und Ortskoordinate x.

y

x

b) Mit welcher von der Zeit t abhngigen Winkelgeschwindigkeit w erfolgt die Drehung der Kugel um ihren Schwerpunkt S ?

Kugel S r

FH

FR a G a x

Bild IV-2

schiefe Ebene

Lsungshinweis: Die Bewegung erfolgt aus der Anfangslage x ðt ¼ 0Þ ¼ 0 und aus der Ruhe heraus. Gehen Sie bei der Lsung dieser Aufgabe von dem Newtonschen Grundgesetz ~R lsst sich aus dem Grundgesetz der Dreh[ A27 ] aus. Die konstante Haftreibungskraft F bewegung [ A36 ] bestimmen. Das Massentrgheitsmoment der Kugel bezglich der Schwer2 punktachse betrgt J ¼ m r 2. 5 Lehrbuch: Bd. 1, V.5

Physikalische Grundlagen: A7, A27, A36

Lsung: a) Auf den Schwerpunkt S, dessen Lage wir nach Bild IV-2 durch die Koordinate x beschreiben, wirken die folgende Krfte ein (Kraftkomponenten in x-Richtung): 1. Die Hangabtriebskraft 1) FH ¼ m g sin a; 2. Die konstante Haftreibungskraft F R . Nach dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ] gilt dann m a ¼ m __ x ¼ FH FR ¼ m g sin a FR

1)

ðBeschleunigung a ¼ __ xÞ

Sie ist die Komponente der Gewichtskraft G ¼ m g lngs der schiefen Ebene und lsst sich aus dem eingezeichneten Krftedreieck bestimmen.

IV Integralrechnung

125

Zugleich erfolgt eine Drehung der Kugel um ihren Schwerpunkt S, hervorgerufen durch das Moment M ¼ r FR der Haftreibungskraft FR [ A7 ]. Nach dem Grundgesetz der Drehbewegung [ A36 ] gilt dann Jj __ ¼ M ¼ r FR (die Winkelbeschleunigung j __ ist die zweite Ableitung des zeitabhngigen Drehwinkels j nach der Zeit t). Zwischen dem Drehwinkel j und der Schwerpunktskoordinate x besteht ferner die lineare Abrollbedingung x ¼ r j, aus der man durch zweimalige Differentiation nach der Zeit t die Beziehung

__x ¼ r j__

oder

j __ ¼

__x r

gewinnt. Wir setzen diesen Ausdruck in das Grundgesetz der Drehbewegung ein und er2 m r 2 eine Gleichung, die wir nach der Hafthalten unter Bercksichtigung von J ¼ 5 reibungskraft F auflsen: R

Jj __ ¼

2 __x ¼ 2 m r x ¼ r F mr2 __ R 5 r 5

)

FR ¼

2 x m __ 5

Diesen Ausdruck setzen wir in das Newtonsche Grundgesetz ein: 2 2 m __ x ¼ m g sin a x : m ) __ x ¼ g sin a m __ __x 5 5 Durch Auflsen dieser Gleichung nach __ x erhalten wir fr die Beschleunigung des Kugelschwerpunktes den konstanten Wert

__x ¼

5 g sin a 7

Die Integration dieser Gleichung fhrt unter Bercksichtigung der Anfangsgeschwindigkeit v ðt ¼ 0Þ ¼ 0 zu dem folgenden linearen Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz (die Integrationsvariable bezeichnen wir mit t): v ðtÞ ¼ x_ ¼

ðt

5 __x dt ¼ 7 g sin a

0

ðt

1 dt ¼

h it 5 ¼ g sin a t 0 7

5 g sin a t 7

0

Nochmalige Integration liefert das Weg-Zeit-Gesetz (Anfangswert: x ðt ¼ 0Þ ¼ 0): x ðtÞ ¼

ðt

5 v dt ¼ g sin a 7

0

5 1 2 g sin a t ¼ ¼ 7 2

ðt 0

5 1 2 t t dt ¼ ¼ g sin a t 7 2 0

5 g sin a t 2 14

126

IV Integralrechnung

b) Aus der Abrollbedingung x ¼ r j folgt durch Differenzieren nach der Zeit t x_ ¼ r j _

oder

v ¼ rw

ðmit v ¼ x_ und w ¼ j _Þ

Somit ist unter Beachtung von Lsungsteil a) v 5 g sin a ¼ t w ¼ wðtÞ ¼ r 7r d. h. die Winkelgeschwindigkeit wchst wie die Geschwindigkeit linear mit der Zeit.

Beispiel 3: Oberflchenprofil einer rotierenden Flssigkeit Elementare Integration (Grundintegral ) Bild IV-3 zeigt einen ebenen Schnitt durch die Symmetrieachse eines mit Wasser gefllten zylindrischen Gefßes vom Radius R, das mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit w um die Zylinderachse rotiert. Welches Profil nimmt die Wasseroberflche im dynamischen Gleichgewichtszustand an?

y

v

Tangente in P

y = y(x)

FZ

x P a

Zylinderachse (Symmetrieachse): y-Achse

a

FR G

x

R

Zylindergefäß mit Wasser

Bild IV-3 Lsungshinweis: Die auf ein in der Wasseroberflche liegendes Masseteilchen (Punkt P) einwirkende Gesamtkraft steht im dynamischen Gleichgewichtszustand senkrecht zur Wasseroberflche. Lehrbuch: Bd. 1, V.5

Physikalische Grundlagen: A15

Lsung: Wir betrachten ein Masseteilchen m im Punkt P ¼ ðx; yÞ der stabilisierten Wasseroberflche (Bild IV-3). Es unterliegt dem Einfluss zweier Krfte. Senkrecht nach unten wirkt das ~ vom Betrag G ¼ m g, nach außen die Zentrifugalkraft F ~Z vom Betrag Gewicht G ~R zusammen, die FZ ¼ m w 2 x [ A15 ]. Beide Krfte setzen sich zu einer Resultierenden F im Gleichgewichtszustand senkrecht zur Wasseroberflche, d. h. senkrecht zur eingezeichneten Tangente an die gesuchte Schnittkurve y ¼ y ðxÞ verlaufen muss 2). 2)

Andernfalls gbe es eine tangentiale Kraftkomponente, die das Wasserteilchen entgegen der Annahme verschieben wrde.

IV Integralrechnung

127

Der Steigungswinkel a der Tangente in P ist zugleich der Winkel zwischen der Gewichts~ und der Resultierenden F ~R . Aus dem Krftedreieck erhalten wir die Beziehung kraft G tan a ¼

FZ m w2 x w2 ¼ x ¼ G g mg

Andererseits ist tan a definitionsgemß die Steigung der Kurventangente und somit identisch mit der 1. Ableitung der (noch unbekannten) Schnittkurve y ¼ y ðxÞ. Aus der Beziehung y 0 ¼ tan a ¼

w2 x g

erhalten wir dann durch Integration die gesuchte Gleichung der Schnittkurve: ð ð w2 w2 1 2 w2 2 y ¼ y 0 dx ¼ x dx ¼ x þC x þC ¼ g g 2g 2 Diese Parabel verluft nach unserer Wahl des Koordinatensystems durch den Koordinatenursprung, somit hat die Integrationskonstante den Wert C ¼ 0. Die Wasseroberflche selbst besitzt daher das Profil eines Rotationsparaboloids mit der Funktionsgleichung 3) y ¼

w2 2 r , 2g

0 r R

ðr : ZylinderkoordinateÞ

Beispiel 4: Resultierende eines ebenen parallelen Krftesystems Elementare Integrationen (Grundintegrale) Ein homogener Balken der Lnge l wird nach Bild IV-4 durch eine linear ansteigende Streckenlast (Dreieckslast) q ðxÞ beansprucht. Bestimmen Sie die ~R nach Grße (Beresultierende Kraft F trag) und Lage (Wirkungslinie). Bild IV-4

FR

q(x)

dF

0

x

q0

xR dx

l

x

Balkenelement

Lsungshinweis: Gehen Sie zunchst von dem eingezeichneten Balkenelement dx aus und bestimmen Sie die auf dieses Element einwirkende Kraft vom Betrag dF sowie das von dieser Kraft erzeugte Moment vom Betrag dM [ A7 ]. Lehrbuch: Bd. 1, V.5 3)

Physikalische Grundlagen: A7

Die Wasseroberflche ist eine Rotationsflche, die durch Drehung der Parabel um die Zylinderachse entsteht. Dabei wird die Koordinate x zum Radius der Drehbewegung und geht somit in die Zylinderkoordinate r ber (r : senkrechter Abstand des Punktes P von der Symmetrieachse).

128

IV Integralrechnung

Lsung: An der Stelle x wirkt auf das eingezeichnete Balkenelement der Lnge dx eine Kraft vom Betrag dF ¼ q ðxÞ dx. Mit der im Intervall 0 x l linear ansteigenden Streckenlast q0 (Dreieckslast) q ðxÞ ¼ x erhalten wir somit 4) l q0 dF ¼ q ðxÞ dx ¼ x dx l und durch Summation, d. h. Integration ber smtliche Balkenelemente zwischen x ¼ 0 und x ¼ l schließlich den Betrag der resultierenden Kraft: FR ¼

ðl

q0 dF ¼ l

x¼0

ðl

x dx ¼

q0 l

1 2 x 2

l

0

¼ 0

q0 1 2 q0 l l ¼ l 2 2

Die Wirkungslinie der Resultierenden FR wird durch die Koordinate x R eindeutig festgelegt. Wir bestimmen sie wie folgt. Die an der Stelle x einwirkende Kraft dF erzeugt bezglich des Koordinatenursprungs 0 ein Moment vom Betrag [ A7 ] dM ¼ x dF ¼ x q ðxÞ dx ¼ x

q0 q0 2 x dx ¼ x dx l l

Durch Summation, d. h. Integration in den Grenzen von x ¼ 0 bis x ¼ l erhlt man hieraus das Gesamtmoment M ¼

ðl

q0 dM ¼ l

x¼0

ðl

q0 x dx ¼ l 2

0

1 3 x 3

l ¼ 0

q0 1 3 q0 l2 l ¼ l 3 3

Dieses Moment erzeugt auch die im Abstand x R angreifende resultierende Kraft FR : M ¼ x R FR ¼ x R

q0 l 2

Somit ist M ¼ xR

q0 l q0 l2 ¼ 3 2

und damit

xR ¼

2 l 3

q0 l 2 greift daher im Abstand x R ¼ l vom linken Randpunkt an. 2 3 Ihre Richtung ist die der Einzelkrfte (senkrecht zum Balken).

Die Resultierende FR ¼

4)

Die Streckenlast q ðxÞ steigt im Intervall 0 x l gleichmßig (d. h. linear) von q ðx ¼ 0Þ ¼ 0 auf q ðx ¼ lÞ ¼ q 0 an. Die Steigung der Geraden betrgt somit q 0 =l.

IV Integralrechnung

129

Beispiel 5: Querkraft und Biegemoment lngs eines Balkens mit linear ansteigender Last (Dreieckslast) Elementare Integrationen (Grundintegrale) Bild IV-5 zeigt einen zweifach gelagerten homogenen Balken der Lnge l, der durch die linear ansteigende Streckenlast (Dreieckslast) q0 q ðxÞ ¼ x, l

q(x) q0 x=0

0 x l

x l

senkrecht zum Balken belastet wird. Bestimmen Sie den Verlauf von Querkraft Q ðxÞ und Biegemoment M b ðxÞ lngs des Balkens [ A29 ]. Lehrbuch: Bd. 1, V.5

Bild IV-5

Physikalische Grundlagen: A29

Lsung: Zwischen der Streckenlast q ðxÞ, der Querkraft Q ðxÞ und dem Biegemoment M b ðxÞ besteht der folgende Zusammenhang [ A29 ]: ð ð Q ðxÞ ¼ q ðxÞ dx , M b ðxÞ ¼ Q ðxÞ dx Daraus erhalten wir fr diesen speziellen Belastungsfall die Gleichungen ð ð q0 q0 1 2 q0 2 Q ðxÞ ¼ q ðxÞ dx ¼ x dx ¼ x þ C1 ¼ x þ C1 2 l l 2l ð ð q0 2 q0 1 3 M b ðxÞ ¼ Q ðxÞ dx ¼ x þ C 1 dx ¼ x þ C1 x þ C2 ¼ 2l 2l 3 ¼

q0 3 x þ C1 x þ C2 6l

In den beiden Lagern, d. h. an den Stellen x ¼ 0 und x ¼ l verschwindet das Biegemoment: M b ðx ¼ 0Þ ¼ M b ðx ¼ lÞ ¼ 0. Aus diesen Randbedingungen lassen sich die beiden Integrationskonstanten C 1 und C 2 leicht bestimmen: M b ðx ¼ 0Þ ¼ 0

)

0 þ 0 þ C2 ¼ 0

M b ðx ¼ lÞ ¼ 0

)

)

C1 ¼

)

q0 3 l þ C1 l þ 0 ¼ 0 6l q0 l 6

C2 ¼ 0 )

q0 l2 þ C1 l ¼ 0 6

130

IV Integralrechnung

Somit gilt im Intervall 0 x l: Q ðxÞ ¼

q0 2 q0 l 3 q0 x2 þ q0 l2 q 0 ð3 x 2 l 2 Þ q0 ¼ ¼ x þ ¼ ð3 x 2 l 2 Þ 2l 6 6l 6l 6l

q0 3 q0 l q0 x3 þ q0 l2 x q 0 ðx 3 l 2 xÞ x þ x ¼ ¼ ¼ 6l 6 6l 6l q0 3 ðx l 2 xÞ ¼ 6l

M b ðxÞ ¼

Der Verlauf beider Funktionen ist in den Bildern IV-6 und IV-7 dargestellt. Q Mb

q0 l 6

3 q0 l 2 27 l 3

–

l

Max

x

q0 l 3

l 3

Bild IV-6 Querkraft Q ðxÞ

l

x

Bild IV-7 Biegemoment M b ðxÞ

Beispiel 6: Fliehkraft- oder Zentrifugalkraftregler Elementare Integration (Grundintegral ) Bild IV-8 zeigt einen Fliehkraft- oder Zentrifugalkraftregler, der mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit w um die eingezeichnete Achse rotiert. Infolge der nach außen wirkenden Zentrifugalkrfte stellen sich beide Arme unter einem Winkel j gegen die Drehachse ein. a) Wie lautet der funktionale Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit w und dem Winkel j ? b) Bei welcher Winkelgeschwindigkeit w 0 heben die Arme erstmals ab? l ¼ 2 a: Lnge eines Arms; m: Masse eines Arms; A: konstante Querschnittsflche eines Arms; r: konstante Dichte

IV Integralrechnung

131

Beziehungen (siehe Bild IV-8): Drehachse

u a v cos j ¼ x r sin j ¼ x

v

sin j ¼

Gelenk (Pol)

ff

v

a u

u ¼ a sin j

)

v ¼ x cos j

)

r ¼ x sin j

S

r

Arm

x

)

dx

dF Z

G Massenelement dm

Bild IV-8

Lehrbuch: Bd. 1, V.5

Physikalische Grundlagen: A7, Al5

Lsung: a) Im dynamischen Gleichgewichtszustand heben sich die von Schwerkraft und Zentrifugalkraft hervorgerufenen Momente in ihrer Wirkung auf. Die im Schwerpunkt S im Abstand a vom Gelenk (Pol) angreifende Gewichtskraft G ¼ m g erzeugt das Moment [ A7 ] M G ¼ G u ¼ m g a sin j

ðu ¼ a sin jÞ

Bei der Berechnung des durch die Zentrifugalkraft erzeugten Momentes gehen wir von einem im Abstand x vom Pol liegenden Massenelement dm aus. Es unterliegt der Zentrifugalkraft [ A15 ] dFZ ¼ ðdmÞ w 2 r wobei r der senkrechte Abstand von der Drehachse ist. Mit dm ¼ r dV ¼ r A dx folgt dFZ ¼ ðr A dxÞ w 2 r ¼ r A w 2 r dx (dV ¼ A dx ist das Volumen des Massenelementes dm). Das von dieser Kraft erzeugte Moment [ A7 ] betrgt dMZ ¼ ðdFZ Þ v ¼ ðr A w 2 r dxÞ v ¼ r A w 2 r v dx Mit r ¼ x sin j und v ¼ x cos j erhalten wir schließlich dMZ ¼ r A w 2 ðx sin jÞ ðx cos jÞ dx ¼ r A w 2 sin j cos j x 2 dx

132

IV Integralrechnung

Durch Summation, d. h. Integration ber alle Beitrge zwischen den Grenzen x ¼ 0 und x ¼ 2 a ergibt sich das Gesamtmoment der Zentrifugalkrfte zu MZ ¼

2ða

2

dM Z ¼ r A w sin j cos j

x¼0

¼ r A w 2 sin j cos j ¼

¼

2ða

x 2 dx ¼

0

1 3 x 3

2a

¼ r A w 2 sin j cos j

0

8 3 a ¼ 3

8 4 r A a 3 w 2 sin j cos j ¼ ðr A 2 aÞ a 2 w 2 sin j cos j ¼ 3 3 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} m 4 m a 2 w 2 sin j cos j 3

(m ¼ r A 2 a ist die Masse eines Arms). Aus der Gleichgewichtsbedingung M Z ¼ M G folgt die gewnschte Beziehung zwischen w und j: 4 m a 2 w 2 sin j cos j ¼ m g a sin j 3

)

3 m g a sin j 3g ¼ ) 2 4 m a sin j cos j 4 a cos j sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 3g w ¼ w ðjÞ ¼ , 0 j < 90 4 a cos j w2 ¼

b) Die Arme heben erstmals ab, wenn die Winkelgeschwindigkeit den Wert rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 3g 3g 3g w 0 ¼ w ðj ¼ 0 Þ ¼ ¼ ¼ 4 a cos 0 4a 1 4a berschreitet. Bild IV-9 zeigt den Verlauf der Winkelgeschwindigkeit w in Abhngigkeit vom Winkel j.

v

v0

Bild IV-9 10°

50°

90°

f

IV Integralrechnung

133

Beispiel 7: Massentrgheitsmoment eines Rotationskrpers mit elliptischem Querschnitt Elementare Integration (Grundintegral ) Bild IV-10 zeigt einen homogenen Rotationskrper mit elliptischem Querschnitt. Er entsteht durch Drehung einer Ellipse mit den Halbachsen a und b um die y-Achse. a) Berechnen Sie das Massentrgheitsmoment J y dieses Krpers bezglich der Rotationsachse in Abhngigkeit vom Parameter h, der die halbe Hhe des Rotationskrpers beschreibt ð0 h bÞ.

y

b) Welche Werte ergeben sich aus a) fr die Massentrgheitsmomente eines Rotationsellipsoids und einer Kugel vom Radius R?

b h

r: konstante Dichte des Rotationskrpers

h

x

a

Bild IV-10

Lehrbuch: Bd. 1, V.5 und V.10.9.3

Lsung: a) Definitionsgemß ist ðh

1 Jy ¼ pr 2

ðh

1 x dy ¼ pr 2 2 4

4

x dy ¼ p r

y¼0

y¼h

ðh

x 4 dy

y¼0

wobei x ¼ g ðyÞ die Gleichung der rotierenden Kurve ist. Wir erhalten sie, indem wir die Ellipsengleichung nach der Variablen x bzw. nach x 2 auflsen: 2 2 x2 y2 y2 a2 2 2 2 2 b y þ ¼ 1 ) x ¼ a 1 ðb y 2 Þ ¼ a ¼ a2 b2 b2 b2 b2 Damit wird a4 Jy ¼ p r 4 b

ðh

p r a4 ðb y Þ dy ¼ b4 2

2 2

0

p r a4 ¼ b4

2 2 3 1 5 b y b y þ y 3 5 4

ðh

ðb 4 2 b 2 y 2 þ y 4 Þ dy ¼

0

h

p r a4 ¼ b4 0

2 2 3 1 5 4 b h b h þ h 3 5

134

IV Integralrechnung

b) Fr den Sonderfall h ¼ b erhalten wir ein Rotationsellipsoid mit dem Massentrgheitsmoment p r a4 2 5 1 5 p r a4 2 1 5 5 JRotationsellipsoid ¼ b þ b 1 b b þ ¼ ¼ 3 5 3 5 b4 b4 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 8=15 8 4 ¼ pra b 15 Die Kugel vom Radius R wiederum ist der Sonderfall eines Rotationsellipsoids fr a ¼ b ¼ R: JKugel ¼

8 8 p r R4 R ¼ p r R5 15 15

Beispiel 8: Zugstab mit konstanter Zugspannung Elementare Integrationen (Grundintegrale) Bild IV-11 zeigt einen Zugstab mit einer ortsabhngigen Querschnittsflche A, der am oberen Ende gelagert ist und am unteren Ende durch eine konstante Kraft F 0 belastet wird. Wie ist die Querschnittsflche A in Abhngigkeit von der Koordinate x zu whlen, damit die Zugspannung s an jeder Schnittstelle den gleichen Wert besitzt?

Massenelement dm

l:

Zugstab

Lnge des Zugstabes

dF =

s dA

x dx

dG = (dm)g

l

A0

A 0 : Querschnittsflche am unteren Ende r: konstante Dichte des Zugstabes

F0 x

Bild IV-11 Lehrbuch: Bd. 1, V.5

Physikalische Grundlagen: A1, A16

Lsung: Das in Bild IV-11 eingezeichnete (dunkelgrau unterlegte) Massenelement dm ¼ r dV ¼ r A dx befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Zugkraft dF ¼ d ðs AÞ ¼ s dA die Gewichtskraft dG ¼ ðdmÞ g ¼ r g A dx in ihrer Wirkung aufhebt [ A16, Al ]. Somit gilt s dA þ r g A dx ¼ 0 5)

oder

s dA ¼ r g A dx 5)

Das Minuszeichen bringt zum Ausdruck, dass die beiden Krfte in entgegengesetzte Richtungen weisen.

IV Integralrechnung

135

Wir formen diese Gleichung noch geringfgig um (Trennung der beiden Variablen A und x einschließlich ihrer Differentiale) dA rg ¼ dx A s und integrieren anschließend beide Seiten, wobei wir die Integrationskonstante zweckmßigerweise in der „logarithmischen“ Form ln C ansetzen: ð ð dA rg rg ¼ 1 dx ) ln A ¼ x þ ln C ) A s s A rg ln A ln C ¼ ln ¼ x C s Durch Entlogarithmierung folgt rg A ¼ e s x C

oder

A ¼ A ðxÞ ¼ C e

rg s x

Die Integrationskonstante C bestimmen wir aus dem Randwert A ðx ¼ lÞ ¼ A 0 : A ðx ¼ lÞ ¼ A 0

)

C e

rg s l

¼ A0

)

C ¼ A0 e

rg s l

Die Querschnittsflche des Zugstabes ndert sich damit nach dem Exponentialgesetz A ðxÞ ¼ A 0 e

rg s l

e

rg s x

¼ A0 e

rg s ðl xÞ

Der Stabquerschnitt nimmt daher von oben nach unten exponentiell ab (Bild IV-12). Die Zugspannung besitzt dabei an jeder Stelle den gleichen Wert s ¼ F 0 =A 0 .

,

0 x l A

A0

r gl ·e s

A0

Bild IV-12 l

x

Beispiel 9: Magnetischer Fluss durch eine Leiterschleife Elementare Integrationen (Grundintegrale) Die in Bild IV-13 dargestellte Anordnung zeigt einen geradlinigen, vom Gleichstrom I in der angegebenen Richtung durchflossenen Leiter und eine rechteckige Leiterschleife mit den Seiten a und b. Die Seite b ist dabei parallel zum Leiter. Beide Leiter liegen in einer gemeinsamen Ebene, ihr (krzester) Abstand ist R, das Medium ist Luft mit der Permeabilitt m 1.

136

IV Integralrechnung

a) Bestimmen Sie den vom Magnetfeld des Stromes erzeugten magnetischen Fluss F durch die Leiterschleife.

dr

r

b) Wie groß ist der arithmetische Mittelwert ~ innerB der magnetischen Flussdichte B halb der Leiterschleife?

I

Leiterschleife Leiter R

b B a Flächenelement dA

Bild IV-13

Lehrbuch: Bd. 1, V.5

Physikalische Grundlagen: A4, A5, A38

Lsung: a) Der Strom I erzeugt ein Magnetfeld, dessen Feldlinien als konzentrische Kreise um die Stromrichtung verlaufen. Das Feld besitzt dabei im senkrechten Abstand r von der Leiterachse die magnetische Feldstrke vom Betrag [ A4 ] H ¼ H ðrÞ ¼

I , 2pr

r > 0

und somit die magnetische Flussdichte [ A5 ] B ¼ B ðrÞ ¼ m 0 m H ¼ m 0 1

I m I ¼ 0 , 2pr 2pr

r > 0

Die Leiterschleife wird von diesem Feld senkrecht durchflutet. Der magnetische Fluss [ A38 ] durch das eingezeichnete (dunkelgrau unterlegte) Flchenelement dA ¼ b dr betrgt daher dF ¼ B dA ¼

m0 I m Ib 1 b dr ¼ 0 dr 2pr 2p r

Den Gesamtfluss F erhalten wir durch Summierung, d. h. Integration ber smtliche Flchenelemente zwischen r ¼ R und r ¼ R þ a: F ¼

Rð þa r¼R

¼

dF ¼

m0 I b 2p

Rð þa

iRþa 1 m Ib h ln r ¼ dr ¼ 0 R r 2p

R

m0 I b m Ib Rþa ½ ln ðR þ aÞ ln R ¼ 0 ln , 2p 2p R

(unter Verwendung der Rechenregel ln

u v

¼ ln u ln vÞ

R > 0

IV Integralrechnung

137

b) Der arithmetische, d. h. lineare Mittelwert der magnetischen Flussdichte B ¼ B ðrÞ im Intervall R r R þ a der Lnge a ist definitionsgemß 1 B ¼ a

Rð þa r¼R

¼

1 m0 I B ðrÞ dr ¼ a 2p

Rð þa

iRþa 1 m I h ¼ dr ¼ 0 ln r R r 2pa

R

m0 I m I Rþa ½ ln ðR þ aÞ ln R ¼ 0 ln 2pa 2pa R

Ein Vergleich mit dem Ergebnis aus Lsungsteil a) zeigt, dass der magnetische Fluss F durch die Leiterschleife das Produkt aus dem arithmetischen Mittelwert B der magnetischen Flussdichte und der Flche A ¼ a b der Leiterschleife ist: m0 I Rþa m0 I b Rþa BA ¼ ln ab ¼ ln ¼ F 2pa R 2p R

Beispiel 10: Kapazitt eines Koaxialkabels Elementare Integration (Grundintegral ) Ein Koaxialkabel der Lnge l besteht aus zwei leitenden koaxialen Zylinderflchen mit den Radien r 1 und r 2 . Der Raum zwischen dem Innen- und Außenleiter ist mit einem Isolator der Dielektrizittskonstanten e ausgefllt (Bild IV-14 zeigt den Querschnitt des Kabels). Welche Kapazitt C besitzt das Koaxialkabel?

E

E

r2

r

E r1

E

Bild IV-14

Isolator Innenleiter

Außenleiter

Lsungshinweis: Gehen Sie zunchst von der berlegung aus, dass der Innenleiter eine gleichmßig ber den Zylindermantel verteilte positive Ladung Q trage. Berechnen Sie dann ~ im Innern des Koaxialkabels in Abhngigkeit von den Betrag der elektrischen Feldstrke E der Ortskoordinate r und daraus die Spannung U zwischen den beiden leitenden Zylinderflchen. Lehrbuch: Bd. 1, V.5

Physikalische Grundlagen: A34, A39, A40

138

IV Integralrechnung

Lsung: Die Ladung Q erzeugt ein zylindersymmetrisches elektrisches Feld (im Schnitt senkrecht zur Zylinderachse ist das elektrische Feld radialsymmetrisch). Der Betrag der elektrischen Feld~ hat daher auf einer zum Innenleiter koaxialen Zylinderflche berall den gleichen strke E Wert (siehe gestrichelte Linie in Bild IV-14). Im senkrechten Abstand r von der Symmetrieachse gilt fr die Feldstrke E [ A34 ] E ¼ E ðrÞ ¼

Q Q 1 ¼ , 2 p e0 e l r 2 p e0 e l r

r1 r r2

Die Spannung [ A39 ] zwischen dem Innen- und Außenleiter ist dann dem Betrage nach U ¼

rð2 r1

Q E ðrÞ dr ¼ 2 p e0 e l

rð2 r1

h i r2 1 Q ¼ dr ¼ ln r r1 r 2 p e0 e l

Q Q r2 ¼ ðln r 2 ln r 1 Þ ¼ ln 2 p e0 e l 2 p e0 e l r1 Das Koaxialkabel besitzt damit die folgende Kapazitt [ A40 ]: C ¼

Q ¼ U

Q 2pe el ¼ 0 Q r2 r2 ln ln r1 r1 2 p e0 e l

Beispiel 11: bergangswiderstand einer Kugel Elementare Integration (Grundintegral ) Bild IV-15 zeigt (im Querschnitt) eine Anordnung aus zwei konzentrischen Kugelelektroden mit den Radien r 1 und r 2 . Der Zwischenraum ist mit einem Material der Leitfhigkeit j ausgefllt. a) Welche Spannung U liegt zwischen den beiden Elektroden, wenn von innen nach außen ein Strom der konstanten Strke I fließt? Welchen Widerstand R besitzt diese Anordnung?

S

S

r

b) Welchen bergangswiderstand R Kugel besitzt eine Kugel vom Radius r ?

S r1

leitendes Material

Bild IV-15

r2

S Innenleiter

Außenleiter

IV Integralrechnung

139

Lsungshinweis: Bestimmen Sie zunchst die Betrge der Stromdichte S~ und der elektri~ in der Kugel in Abhngigkeit von der Abstandskoordinate r und daraus schen Feldstrke E die Spannung U zwischen den beiden Kugelelektroden. Der bergangswiderstand einer Kugel ist der Widerstand bei unendlich weit entfernter Gegenelektrode. Lehrbuch: Bd. 1, V.5

Physikalische Grundlagen: A14, A19, A39, A41

Lsung: a) Wegen der Radialsymmetrie des elektrischen Feldes besitzt der Stromdichtevektor S~ in jedem Punkt einer zu den Kugelelektroden konzentrischen Kugeloberflche den gleichen Betrag. Durch die Oberflche A ¼ 4 p r 2 der im Bild eingezeichneten (gestrichelten) Kugel vom Radius r fließt der konstante Strom I. Somit ist der Betrag der Stromdichte im Abstand r nach [ A19 ] S ðrÞ ¼

I I , ¼ A 4pr2

r1 r r2

Aus der Beziehung S ¼ j E [ A41 ] folgt fr den Betrag der elektrischen Feldstrke E ðrÞ ¼

S ðrÞ I I 1 ¼ ¼ 2, 2 j 4pjr 4pj r

r1 r r2

Die Spannung zwischen den beiden Kugelelektroden betrgt dann [ A39 ] U ¼

rð2

I E ðrÞ dr ¼ 4pj

r1

¼

I 4pj

rð2

1 1 dr ¼ r2 4pj

r1

rð2 r1

r 2 dr ¼

1 4pj

r1 1

r2 ¼ r1

1 I 1 1 I 1 1 I r2 r1 ¼ þ ¼ ¼ r1 r2 r r1 4 p j r2 r1 4 p j r1 r2 4pj r2

Fr den gesuchten Widerstand erhalten wir damit nach dem ohmschen Gesetz [ A14 ] I r2 r1 U 1 r2 r1 4pj r1 r2 R ¼ ¼ ¼ I 4pj I r1 r2 b) Wir setzen zunchst r 1 ¼ r und r 2 ¼ x und bilden dann den Grenzbergang fr x ! 1. Er fhrt zu dem folgenden bergangswiderstand einer Kugel vom Radius r : x r 1 xr 1 1 ¼ RKugel ¼ lim ¼ lim x!1 4 p j rx 4 p j r x!1 x 1 r 1 1 ¼ lim 1 ¼ 1 ¼ 4 p j r x!1 x 4pjr 4pjr |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 1

140

IV Integralrechnung

Beispiel 12: Arbeit im Gravitationsfeld der Erde Elementare Integration (Grundintegral ) Welche Arbeit W ist aufzuwenden, um eine an der Erdoberflche befindliche Masse m aus dem Einflussbereich der Erde heraus zu bringen (Bild IV-16)? Mit welcher Geschwindigkeit v 0 muss dieser Krper daher von der Erdoberflche abgeschossen werden?

∞

r

Erdradius: r 0 ¼ 6370 km

F

Gravitationskonstante: g ¼ 6,67 10 Erdmasse: M ¼ 5,98 10

24

11

2

Nm / kg

2

FG

kg

m

Lsungshinweis: Benutzen Sie bei der Berechnung der Arbeit das Gravitationsgesetz [ A18 ].

r0 M

Erdkugel

Bild IV-16

Lehrbuch: Bd. 1, V.5 und V.10.6

Physikalische Grundlagen: A18

Lsung: Die gegen das Gravitationsfeld der Erde aufzubringende Arbeit ist definitionsgemß durch das Arbeitsintegral 6) W ¼

1 ð r0

~ d~ F r ¼

1 ð

F ðrÞ dr

r0

~ eine Kraft ist, die der Gravitationskraft F ~G [ A18 ] stets das Gleichgegegeben, wobei F wicht hlt. Daher ist ~G j ¼ g F ðrÞ ¼ j F

mM 1 ¼ gmM 2 , r2 r

r r0

Wir berechnen mit dieser ortsabhngigen Kraft das Arbeitsintegral und erhalten W ¼

1 ð r0

F ðrÞ dr ¼ g m M

1 ð r0

1 dr ¼ g m M r2

1 ð

r

2

r0

r1 dr ¼ g m M 1

1 ¼ r0

1 1 1 gmM ¼ gmM 0 þ ¼ ¼ gmM r r0 r0 r0 6)

Die Anziehungskraft durch die Erdkugel verschwindet erst in großer Entfernung von der Erdoberflche ðr ! 1Þ. Daher ist die Integration von r ¼ r 0 bis hin zu r ¼ 1 zu erstrecken.

IV Integralrechnung

141

Diese Arbeit (Energie) muss der Masse m beim Verlassen der Erdoberflche in Form von kinetischer Energie zugefhrt werden. Aus Ekin ¼ W folgt dann 1 gmM 2gM 1 2 2 2 oder v0 ¼ mit Ekin ¼ m v0 ¼ m v0 2 r0 r0 2 Die auch als Fluchtgeschwindigkeit bezeichnete Abschussgeschwindigkeit der Masse betrgt daher sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2gM 2 6,67 10 1 1 Nm 2 kg 2 5,98 10 2 4 kg v0 ¼ ¼ ¼ r0 6,37 10 6 m ¼ 11 191 m=s 11,19 km=s und ist (unabhngig von der Masse) fr alle Krper gleich.

Beispiel 13: Elektrischer Widerstand eines kegelstumpffrmigen Kontaktes Integration mittels Substitution Ein homogener elektrischer Kontakt besitzt die Gestalt eines Kegelstumpfes (Bild IV-17). Wie groß ist sein ohmscher Widerstand R? r 1 , r 2 : Radien der begrenzenden Kreisflchen des Kegelstumpfes l: Lnge des Kontaktes

y

l B Zylinderscheibe

A r1

r2 y l

r: konstanter spezifischer Widerstand

x

dx

Bild IV-17 Lehrbuch: Bd. 1, V.8.1

Physikalische Grundlagen: A42

Lsung: Wir zerlegen den Kegelstumpf durch ebene Schnitte senkrecht zur Symmetrieachse (x-Achse) in eine große Anzahl nahezu zylinderfrmiger Scheiben. In Bild IV-17 ist eine solche (hauchdnne) Scheibe mit dem Radius r ¼ y und der Hhe (Dicke) dx grau unterlegt. Ihr ohmscher Widerstand ist demnach [ A42 ] dR ¼ r

dx p y2

142

IV Integralrechnung

Der Zusammenhang zwischen den Koordinaten x und y ist dabei durch die Gleichung der eingezeichneten Mantellinie A B gegeben, die durch Rotation um die x-Achse den Kegelstumpf erzeugt. Ihre Funktionsgleichung lautet y ¼

r2 r1 x þ r1 , l

0 x l

(Steigung: m ¼ ðr 2 r 1 Þ=l; Achsenabschnitt auf der y-Achse: r 1 ; siehe Bild IV-17). Damit erhalten wir fr den Widerstand der Zylinderscheibe dR ¼ r

¼

dx r dx r dx ¼ ¼ 2 ¼ r2 r1 p y2 p p ðr 2 r 1 Þ x þ r 1 l 2 x þ r1 l l

r l2 dx p ½ ðr 2 r 1 Þ x þ r 1 l 2

Summation, d. h. Integration ber smtliche Zylinderscheiben zwischen x ¼ 0 und x ¼ l fhrt schließlich zu dem Gesamtwiderstand R ¼

ðl

r l2 dR ¼ p

x¼0

ðl

1 ½ ðr 2 r 1 Þ x þ r 1 l 2

0

dx

Dieses Integral lsen wir mittels der folgenden Substitution, wobei die Grenzen mitsubstituiert werden: du ¼ r2 r1 , dx

u ¼ ðr 2 r 1 Þ x þ r 1 l ,

dx ¼

1 du r2 r1

Untere Grenze: x ¼ 0

)

u ¼ r1 l

x ¼ l

)

u ¼ ðr 2 r 1 Þ l þ r 1 l ¼ r 2 l r 1 l þ r 1 l ¼ r 2 l

Obere Grenze: Somit ist r l2 R ¼ p

ðl 0

r l2 dx ¼ p ½ ðr 2 r 1 Þ x þ r 1 l 2

r l2 ¼ p ðr 2 r 1 Þ

1

rð2 l

u

2

r l2 du ¼ p ðr 2 r 1 Þ

r1 l

rð2 l

1 1 du ¼ 2 u r2 r1

r1 l

u1 1

r2 l

r l2 ¼ p ðr 2 r 1 Þ r1 l

r l2 1 1 r l2 r1 l þ r2 l ¼ ¼ þ ¼ r2 l r1 l r1 r2 l2 p ðr 2 r 1 Þ p ðr 2 r 1 Þ ¼

r ðr 2 r 1 Þ l rl ¼ p ðr 2 r 1 Þ r1 r2 p r1 r2

1 u

r2 l ¼ r1 l

IV Integralrechnung

143

Beispiel 14: Freier Fall unter Bercksichtigung des Luftwiderstandes Integration mittels Substitution Wird beim freien Fall der Luftwiderstand in Form einer dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit v proportionalen Reibungskraft k v 2 bercksichtigt, so gilt nach dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ] m a ¼ m g k v2 m: Masse des frei fallenden Krpers; a: Beschleunigung; g: Erdbeschleunigung; k > 0: Reibungskoeffizient. Leiten Sie aus dieser Gleichung durch Integration die Abhngigkeit der Fallgeschwindigkeit v vom Fallweg s fr den Anfangswert v ðs ¼ 0Þ ¼ 0 her. dv . Die Newtonds sche Gleichung lsst sich dann unter Bercksichtigung dieser Beziehung integrieren.

Lsungshinweis: Zeigen Sie zunchst die Gltigkeit der Beziehung a ¼ v

Lehrbuch: Bd. 1, V.8.1

Physikalische Grundlagen: A27

Lsung: Wir lsen zunchst die Newtonsche Bewegungsgleichung nach der Fallbeschleunigung a auf: a ¼ g

k 2 k m g v ¼ v2 m m k

Aus der allgemeingltigen Beziehung a ¼

dv dv ds ds dv dv ¼ ¼ ¼ v dt dt ds dt ds ds

mit v ¼

ds dt

folgt durch Umstellung a ds ¼ v dv

oder seitenvertauscht

v dv ¼ a ds

In diese Gleichung setzen wir fr die Beschleunigung a den weiter oben gefundenen Ausdruck ein und erhalten v dv ¼

k mg v 2 ds m k

oder

v dv k ¼ ds mg m v2 k

Beide Seiten werden nun integriert, wobei wir noch zur Abkrzung a ¼ m g=k setzen: ð ð v dv k k ¼ 1 ds ¼ s þ C1 a v2 m m

144

IV Integralrechnung

Das Integral der linken Seite lsen wir durch die Substitution u ¼ a v2 ,

du ¼ 2v dv

oder

v dv ¼

1 du 2

und erhalten 7) ð ð ð v dv 1 du 1 1 1 1 ¼ ¼ du ¼ ln j u j þ C 2 ¼ ln ða v 2 Þ þ C 2 a v2 2 u 2 u 2 2 Somit ist

1 k ln ða v 2 Þ þ C 2 ¼ s þ C1 2 m

ln ða v 2 Þ ¼

oder

2k sþC m

ðmit C ¼ 2 ðC 1 C 2 ÞÞ. Bevor wir diese Gleichung nach v auflsen, bestimmen wir aus dem Anfangswert v ðs ¼ 0Þ ¼ 0 die Integrationskonstante C: v ðs ¼ 0Þ ¼ 0

)

ln a ¼ C

)

C ¼ ln a

Die gesuchte Funktion lautet damit in impliziter Form wie folgt: ln ða v 2 Þ ¼

2k s þ ln a m

Wir fassen die logarithmischen Terme noch zusammen a v2 2k ln ða v 2 Þ ln a ¼ ln ¼ s a m und entlogarithmieren diese Gleichung 2k a v2 ¼ e m s a 2k

v2 ¼ a a e m s

2k

a v2 ¼ a e m s 2k s m ¼ a 1e

)

)

Durch Auflsen nach der Variablen v erhalten wir das gewnschte Fallgesetz. Es lautet (unter Bercksichtigung von a ¼ m g=k): sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ 2k mg mg 2k s 2k s m m v ðsÞ ¼ a 1 e 1e 1 e m s ¼ ¼ k k Nach unendlich langem Fallweg s strebt die Fallgeschwindigkeit v schließlich gegen ihren Endwert rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ mg mg mg 2k s 2k s v E ¼ lim v ðsÞ ¼ lim ¼ 1e m ¼ lim 1 e m s!1 s!1 s!1 k k k |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 1 7)

Es gilt m g > k v 2 und somit a > v 2 , da Reibungskrfte stets der Bewegungsrichtung entgegen wirken (also keine Beschleunigung verursachen knnen). Daher drfen die Betragsstriche in der logarithmischen Funktion weggelassen werden.

IV Integralrechnung

145

Das Fallgesetz lsst sich damit auch in der Form qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v ðsÞ ¼ v E

2k

1 e m s ,

v vE

s 0

darstellen. Bild IV-18 zeigt den Verlauf dieser Funktion. Bild IV-18 s

Beispiel 15: Aufladung eines Kondensators in einem RC-Schaltkreis Integration mittels Substitution In der in Bild IV-19 skizzierten RC-Schaltung fließt nach Schließen des Schalters S zur Zeit t ¼ 0 der folgende Ladestrom: t

i ðtÞ ¼ i 0 e R C ,

t 0

R: ohmscher Widerstand; C: Kapazitt R

U 0 : angelegte Gleichspannung; i 0 ¼ i ðt ¼ 0Þ a) Ermitteln Sie den zeitlichen Verlauf der Kondensatorladung q ðtÞ, wenn der Kondensator zu Beginn ðZeitpunkt t ¼ 0Þ energielos, d. h. ungeladen ist.

C

q(t)

i

t=0

b) Welche Energie W wird bis zur Beendigung des Aufladevorgangs im ohmschen Widerstand R umgesetzt (Stromarbeit [ A44 ] von t ¼ 0 bis t ! 1)?

S U0

Bild IV-19 Lehrbuch: Bd. 1, V.8.1

Physikalische Grundlagen: A43, A44

Lsung: a) Es ist definitionsgemß i ðtÞ ¼ q_ ðtÞ und somit [ A43 ] q ðtÞ ¼

ðt

q_ ðtÞ dt ¼

0

(t : Integrationsvariable)

ðt 0

i ðtÞ dt ¼ i 0

ðt 0

t

e R C dt

146

IV Integralrechnung

Wir lsen dieses Integral mit Hilfe der folgenden Substitution (die Grenzen werden mitsubstituiert): z ¼

t , RC

dz 1 ¼ , dt RC

dt ¼ R C dz

Untere Grenze: t ¼ 0

)

z ¼ 0

Obere Grenze: t ¼ t

)

z ¼

t RC

Damit ist ðt

q ðtÞ ¼ i 0

t e RC

dt ¼ i 0

t=R ð C

z

e ð R C dzÞ ¼ R C i 0

t=R ð C

0

0

e z dz ¼

0

h i t=R C t t ¼ R C i0 ez ¼ R C i0 eRC 1 ¼ R C i0 1 eRC 0

Mit dem Endwert q 0 ¼ R C i 0 , der (theoretisch) nach unendlich langer Zeit erreicht wird, lsst sich diese Gleichung auch in der Form t q ðtÞ ¼ q 0 1 e R C , t 0

q q0

schreiben. Wir erhalten den in Bild IV-20 dargestellten zeitlichen Verlauf fr die Kondensatorladung q ðtÞ, die im Laufe der Zeit vom Anfangswert 0 auf den Endwert q 0 ansteigt.

t

Bild IV-20 Kondensatorladung q ðtÞ

b) Der Energieumsatz im ohmschen Widerstand R ist durch das Arbeitsintegral (Stromarbeit) [ A44 ] W ¼ R

1 ð

2

½ i ðtÞ dt ¼ R

0

1 ð

h

i0

t e RC

i2

dt ¼

0

R i 20

1 ð

e

2t RC

dt

0

gegeben, das wir durch die folgende Substitution lsen (die Grenzen werden wiederum mitsubstiuiert): z ¼

2t , RC

dz 2 ¼ , dt RC

dt ¼

Untere Grenze: t ¼ 0

)

z ¼ 0

Obere Grenze: t ¼ 1

)

z ¼ 1

RC dz 2

IV Integralrechnung

147

Damit ist W ¼

R i 20

1 ð

2t eRC

dt ¼

0

¼

R i 20

ð1

z

e

RC dz 2

R 2 C i 20 ¼ 2

0

ð1

e z dz ¼

0

R 2 C i 20 h z i 1 R 2 C i 20 R 2 C i 20 e ¼ ð0 1Þ ¼ 0 2 2 2

der gesuchte Energieumsatz im ohmschen Widerstand R ðe z ! 0 fr z ! 1Þ.

Beispiel 16: Rotation einer Scheibe in einer Flssigkeit Integration mittels Substitution Eine Zylinderscheibe vom Radius r rotiert in einer Flssigkeit mit einer nach dem Zeitgesetz v ðtÞ ¼ v 0 e k t ,

t 0

exponentiell abnehmenden Umfangsgeschwindigkeit v (Bild IV-21). v 0 : maximale Geschwindigkeit (zur Zeit t ¼ 0Þ y

k > 0: Reibungsfaktor

v v

Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Winkelgeschwindigkeit w und des Drehwinkels j fr den Anfangswert j ð0Þ ¼ 0.

t>0 r f

t=0 x

Bild IV-21

Lehrbuch: Bd. 1, V.8.1

rotierende Zylinderscheibe

Physikalische Grundlagen: A8, A30

Lsung: Aus der Beziehung v ¼ w r [ A8 ] erhalten wir das Zeitgesetz der Winkelgeschwindigkeit w. Es lautet: w ¼ w ðtÞ ¼

v v ðtÞ 0 e k t ¼ w 0 e k t, ¼ r r

t 0

Dabei ist w 0 ¼ v 0 =r der Maximalwert der Winkelgeschwindigkeit. Er wird zur Zeit t ¼ 0 angenommen: w ðt ¼ 0Þ ¼ w 0 . Die Winkelgeschwindigkeit w nimmt wie die Umfang-

148

IV Integralrechnung

geschwindigkeit v im Laufe der Zeit exponentiell ab (Bild IV-22; beide Grßen sind einander proportional ). Wegen j_ ¼ w [ A30 ] liefert die Integration der Gleichung w ¼ w ðtÞ die gesuchte Zeitabhngigkeit des Drehwinkels j: j ðtÞ ¼

ðt

j_ dt ¼

0

ðt

ðt

w dt ¼ w 0

0

e k t dt

ðt : IntegrationsvariableÞ

0

Dieses Integral lsen wir durch die Substitution du ¼ k, dt

u ¼ kt,

dt ¼

Untere Grenze: t ¼ 0

)

u ¼ 0

Obere Grenze: t ¼ t

)

u ¼ kt

du k

wie folgt: j ðtÞ ¼ w 0

ðt e

kt

dt ¼ w 0

0

¼

ðk t

u

e

ðk t du w0 e u du ¼ ¼ k k

0

0

w0 h u ikt w0 kt w0 e ¼ 1Þ ¼ ðe ð1 e k t Þ , 0 k k k

t 0

Der Maximalwert des Drehwinkels j ist erreicht, wenn die rotierende Scheibe zur Ruhe gekommen ist (theoretisch ist dies der Fall nach unendlicher Zeit, d. h. fr t ! 1). Er ist durch den Grenzwert jmax ¼ lim j ðtÞ ¼ lim t!1

t!1

w0 w0 w0 w0 ð1 e k t Þ ¼ lim ð1 e k t Þ ¼ 1 ¼ k k t!1 k k |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 1

gegeben. Bild IV-23 zeigt den zeitlichen Verlauf des Drehwinkels j (Sttigungsfunktion).

v

f

v0

v0 k

t

Bild IV-22 Winkelgeschwindigkeit w ðtÞ

t

Bild IV-23 Drehwinkel j ðtÞ

IV Integralrechnung

149

Beispiel 17: Kapazitt einer elektrischen Doppelleitung Integration mittels Substitution Die in Bild IV-24 dargestellte elektrische Doppelleitung besteht aus zwei parallelen Leitern (Drhten) L 1 und L 2 mit der Lnge l und dem Leiterradius R (ebener Schnitt senkrecht zur Doppelleitung). Der Leiterabstand betrgt d ¼ 2 a. Welche Kapazitt C besitzt diese Doppelleitung unter den Voraussetzungen l d und d R im Medium Luft mit der Dielektrizittskonstanten e 1?

y

–a+R L1

+Q –a

a–R P

E

x a+x

a–x

–Q

L2

a

x

Bild IV-24 Lsungshinweis: Bei der Lsung dieser Aufgabe drfen Sie auf die Ergebnisse aus Beispiel 18, Kapitel III zurckgreifen (Berechnung der elektrischen Feldstrke E lngs der Verbindungslinie der Leiterquerschnitte). Aus der Feldstrke E lsst sich dann die Spannung U zwischen den beiden Leitern und daraus die Kapazitt C der Doppelleitung bestimmen. Lehrbuch: Bd. 1, V.8.1

Physikalische Grundlagen: A39, A40

Lsung: Trgt der linke Leiter L 1 die positive Ladung Q 1 ¼ Q und der rechte Leiter L 2 die negative Ladung Q 2 ¼ Q, so betrgt die elektrische Feldstrke E im Punkt P auf der Verbindungslinie der beiden Leiterquerschnitte nach den Ergebnissen aus Beispiel 18, Kapitel III (mit e ¼ 1) Q 1 1 E ðPÞ ¼ E ðxÞ ¼ þ , a < x < a 2 p e0 l a þ x ax Die Spannung zwischen den beiden Leitern ist dann definitionsgemß durch das Integral U ¼

a ðR aþR

Q E ðxÞ dx ¼ 2 p e0 l

a ðR

1 1 þ dx aþx ax

aþR

gegeben [ A39 ]. Wir lsen die beiden Teilintegrale zunchst unbestimmt mit Hilfe der Substitutionen u ¼ a þ x,

du ¼ 1, dx

dx ¼ du

v ¼ a x,

dv ¼ 1, dx

dx ¼ dv

bzw:

wie folgt:

150

IV Integralrechnung

ð

ð ð ð ð 1 1 1 1 1 1 dx þ dx ¼ þ dx ¼ du dv ¼ aþx ax aþx ax u v |ﬄﬄ{zﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ} u v u a þ x ¼ ln j u j ln j v j ¼ ln ¼ ln v ax Somit liegt zwischen den beiden Leitern die Spannung 8) Q h a þ x i a R Q 2a R R 8) ¼ ¼ ln ln ln U ¼ 2 p e0 l a x aþR 2 p e0 l R 2a R Q 2a R Q 2a R ¼ ¼ 2 ln ln 2 p e0 l R p e0 l R Fr die Kapazitt erhalten wir damit nach der Definitionsformel [ A40 ] den Ausdruck C ¼

Q ¼ U

Q pe l ¼ 0 Q 2a R 2a R ln ln p e0 l R R

Fr 2 a R (wie vorausgesetzt) und somit 2 a R 2 a erhalten wir die Nherungsformel C

p e0 l 2a ln R

Beispiel 18: Effektivwert eines Wechselstroms Integration mittels Substitution Der in Bild IV-25 skizzierte Wechselstrom wird durch die Gleichung 1 i ðtÞ ¼ i 0 cos 2 ðw tÞ , t 0 2

i i0 2

beschrieben. Wie groß ist sein Effektivwert I ? i 0 > 0: doppelter Scheitelwert des Stroms w > 0: Kreisfrequenz

T= i – 0 2

p

v

t

Bild IV-25

Lehrbuch: Bd. 1, V.8.1 und V.10.7 8)

1 2a R Der in der eckigen Klammer stehende Ausdruck ist vom Typ ln a ln mit a ¼ und lsst sich a R wie folgt umformen (siehe Formelsammlung, Abschnitt I.2.6): 1 2a R ln a ln ¼ ln a ðln 1 ln aÞ ¼ ln a ð0 ln aÞ ¼ 2 ln a ¼ 2 ln a R

IV Integralrechnung

151

Lsung: Zunchst formen wir die Funktionsgleichung mit Hilfe der trigonometrischen Formel cos 2 x ¼

1 1 1 ½ 1 þ cos ð2 xÞ ¼ þ cos ð2 xÞ 2 2 2

(siehe Formelsammlung, Abschnitt III.7.6.4) wie folgt um (mit x ¼ w t): 1 1 1 1 i0 i ðtÞ ¼ i 0 cos 2 ðw tÞ ¼ i0 þ cos ð2 w tÞ ¼ cos ð2 w tÞ 2 2 2 2 2 Der Strom ist somit ein kosinusfrmiger Wechselstrom mit dem Scheitelwert i 0 =2, der Kreisfrequenz w 0 ¼ 2 w und der Periode T ¼ 2 p=w 0 ¼ p=w. Der Effektivwert I ist dann definitionsgemß durch das Integral vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u u u ðT ðT u u u 2 ðT u1 u1 ui 2 I ¼ t ½ i ðtÞ dt ¼ t i 2 ðtÞ dt ¼ t 0 cos 2 ð2 w tÞ dt T T 4T 0

0

0

gegeben (quadratischer Mittelwert). Wir berechnen nun das unter der Wurzel stehende Integral. Mit Hilfe der bereits weiter oben angefhrten trigonometrischen Formel (jetzt mit x ¼ 2 w t) lsst sich das unter der Wurzel stehende Integral wie folgt umwandeln: ðT

1 2

cos 2 ð2 w tÞ dt ¼

0

ðT

½ 1 þ cos ð4 w tÞ dt ¼

1 2

0

ðT

1 dt þ

0

1 2

ðT

cos ð4 w tÞ dt ¼

0

ðT ðT 1 h iT 1 1 1 ¼ þ t cos ð4 w tÞ dt ¼ T þ cos ð4 w tÞ dt 0 2 2 2 2 0

0

Das verbliebene Integral lsen wir durch die Substitution a ¼ 4wt,

da ¼ 4w, dt

dt ¼

da 4w

Untere Grenze: t ¼ 0

)

a ¼ 0

Obere Grenze: t ¼ T

)

a ¼ 4wT ¼ 4w

p ¼ 4p w

wie folgt: ðT

cos ð4 w tÞ dt ¼

0

4ðp

0

¼

cos a

da 4w

¼

1 4w

4ðp

cos a da ¼

i4p 1 h ¼ sin a 0 4w

0

1 1 ½ sin ð4 pÞ sin 0 ¼ ð0 0Þ ¼ 0 4w 4w

152

IV Integralrechnung

Somit ist ðT

1 1 cos ð2 w tÞ dt ¼ T þ 2 2 2

0

ðT

cos ð4 w tÞ dt ¼

1 1 1 T þ 0 ¼ T 2 2 2

0

Der Effektivwert des Wechselstroms betrgt daher vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃ u 2 ðT 2 i 1 i 20 i0 u i0 0 I ¼ t cos 2 ð2 w tÞ dt ¼ T ¼ ¼ pﬃﬃﬃ 0,354 i 0 4T 4T 2 8 2 2 0

Beispiel 19: Bogenlnge einer Epizykloide Integration mittels Substitution Auf der Außenseite eines (festen) Zahnrades mit dem Radius R 0 „rollt“ ein zweites Zahnrad mit dem Radius R in der aus Bild IV-26 ersichtlichen Weise ab. Die dabei von einem Punkt P auf dem Umfang des abrollenden Zahnrades beschriebene Kurve heißt Epizykloide und lsst sich durch die Parametergleichungen a x ðtÞ ¼ a cos t R cos t R a t y ðtÞ ¼ a sin t R sin R

y Bogen der Länge s abrollendes Zahnrad R R0

P

t P0

beschreiben ðt 0; a ¼ R 0 þ RÞ 9). Welche Lnge s hat der Bogen, der bei einer vollen Umdrehung des abrollenden Rades entsteht?

a

B

x

festes Zahnrad

Bild IV-26

Lsungshinweis: Das Verhltnis m ¼ R 0 =R soll ganzzahlig sein. Die Epizykloide besteht dann aus genau m Bgen und ist in sich geschlossen. Lehrbuch: Bd. 1, V.8.1 und V.10.4

9)

In Kapitel II, Beispiel 5 wird diese Parameterdarstellung der Epizykloide hergeleitet.

IV Integralrechnung

153

Lsung: Fr die Berechnung der Bogenlnge s steht die aus Band 1, Abschnitt V.10.4 bekannte Integralformel xð2

s ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 þ ðy 0 Þ 2 dx

x1

zur Verfgung. Unter Bercksichtigung von y0 ¼

dy y_ ¼ dx x_

und

dx ¼ x_ , dt

dx ¼ x_ dt

wird daraus das Integral ﬃ tð2 sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ tð2 sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2ﬃ ﬃ ðt 2 sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ y_ y_ 2 y_ 2 s ¼ 1 þ 2 x_ dt ¼ 1þ x_ dt ¼ 1 þ 2 x_ 2 dt ¼ x_ x_ x_ t1

¼

tð2

t1

t1

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ x_ 2 þ y_ 2 dt

t1

mit zunchst noch unbekannten Integrationsgrenzen t 1 und t 2 . Wir berechnen zunchst den unter der Wurzel stehenden Ausdruck und bringen ihn mit Hilfe trigonometrischer Umformungen auf eine fr die weitere Rechnung bequemere Form: h a i a a x_ ¼ a ð sin tÞ R sin t ¼ a sin t þ a sin t ¼ R R R ¼ a ½ sin t þ sin ðb tÞ h a i a a y_ ¼ a cos t R cos t ¼ a cos t a cos t ¼ R R R ¼ a ½ cos t cos ðb tÞ ( jeweils mit der vorbergehenden Abkrzung b ¼ a=R) x_ 2 þ y_ 2 ¼ a 2 ½ sin t þ sin ðb tÞ 2 þ a 2 ½ cos t cos ðb tÞ 2 ¼ ¼ a 2 ½ sin 2 t 2 sin t sin ðb tÞ þ sin 2 ðb tÞ þ þ cos 2 t 2 cos t cos ðb tÞ þ cos 2 ðb tÞ ¼ ¼ a 2 ½ ðsin 2 t þ cos 2 t Þ þ ðsin 2 ðb tÞ þ cos 2 ðb tÞ Þ 2 ðsin t sin ðb tÞ þ cos t cos ðb tÞ Þ ¼ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} cos ðt b tÞ ¼ cos ðb t tÞ 1 1 2 2 2 2 bt t ¼ a ½ 2 2 cos ðb t tÞ ¼ 2 a ½1 cos ðb t tÞ ¼ 4 a sin 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 2 sin 2

bt t 2

154

IV Integralrechnung

(trigonometrische Umformungen: siehe Formelsammlung, Abschnitte III.7.5, III.7.6.1 und III.7.6.4.) Mit b ¼ a=R und a ¼ R 0 þ R lsst sich der Winkel der Sinusfunktion auch wie folgt ausdrcken: bt t 1 1 a 1 aR 1 R0 þ R R ¼ ðb 1Þ t ¼ 1 t ¼ t ¼ t ¼ 2 2 2 R 2 R 2 R 1 R0 R0 t ¼ t ¼ 2 R 2R Somit gilt: 2

2

2

x_ þ y_ ¼ 4 a sin

2

R0 t 2R

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ R0 2 2 x_ þ y_ ¼ 2 a sin t 2R

)

Damit erhalten wir fr die gesuchte Bogenlnge das Integral s ¼

tð2

ðt 2 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ R0 2 2 x_ þ y_ dt ¼ 2 a sin t dt 2R

t1

t1

Die Integrationsgrenzen lassen sich aus der Abrollbedingung

_ _ P0 B ¼ P B ,

R0 t ¼ R a

d: h:

t ¼

oder

R a R0

bestimmen. Der vollen Umdrehung des abrollenden Rades entspricht der Winkelbereich 0 a 2 p. Dabei durchluft der Parameter t alle Werte von t 1 ¼ 0 bis hin zu t 2 ¼ 2 p R=R 0 . Somit ist s ¼ 2a

2pð R=R 0

sin

R0 t dt 2R

0

Mit der Substitution (die Grenzen werden mitsubstituiert) u ¼

R0 t, 2R

du R0 ¼ , dt 2R

Untere Grenze: t ¼ 0 Obere Grenze: t ¼

)

2pR R0

2R du R0

dt ¼ u ¼ 0 )

u ¼

R0 2 p R ¼ p 2R R0

wird daraus schließlich s ¼ 2a

ðp 0

¼

sin u

2R 4aR du ¼ R0 R0

ðp

sin u du ¼

ip 4aR h cos u ¼ 0 R0

0

4aR 4aR 8aR 8 ðR 0 þ RÞ R ð cos p þ cos 0Þ ¼ ð1 þ 1Þ ¼ ¼ R0 R0 R0 R0

IV Integralrechnung

155

Beispiel 20: Fallgesetze bei Bercksichtigung des Luftwiderstandes Integration mittels Substitution Wird beim freien Fall der Luftwiderstand durch eine dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit v proportionale Reibungskraft k v 2 bercksichtigt, so erhlt man das folgende Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz (Bild IV-27) 10) : rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ! rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ mg gk v v ðtÞ ¼ tanh t , t 0 k m v E

m: Masse des aus der Ruhe heraus frei fallenden Krpers g: Erdbeschleunigung k > 0: Reibungskoeffizient

t

Bild IV-27

Bestimmen Sie hieraus das Weg-Zeit-Gesetz s ¼ s ðtÞ fr den Anfangswert s ðt ¼ 0Þ ¼ 0. Lehrbuch: Bd. 1, V.8.1

Lsung: Wir fhren zunchst der besseren bersicht wegen die folgenden Abkrzungen ein: rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ mg gk a ¼ und b ¼ k m Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz lautet dann v ðtÞ ¼ a tanh ð b tÞ ,

t 0

Durch Integration dieser Gleichung gewinnen wir das Weg-Zeit-Gesetz: ð ð ð sinh ð b tÞ s ðtÞ ¼ v ðtÞ dt ¼ a tanh ð b tÞ dt ¼ a dt cosh ð b tÞ Dieses Integral lsen wir mittels Substitution: u ¼ cosh ð b tÞ ,

10)

du ¼ b sinh ð b tÞ , dt

dt ¼

du b sinh ð b tÞ

Dieses Gesetz wurde bereits in Band 1, Abschnitt V.10.1.1 hergeleitet (Beispiel 2). Der Endwert der Fallrﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ mg geschwindigkeit (nach unendliche langer Fallzeit, d. h. fr t ! 1) betrgt v E ¼ : k

156

IV Integralrechnung

Somit ist s ðtÞ ¼ a ¼

ð

sinh ð b tÞ dt ¼ a cosh ð b tÞ

ð

sinh ð b tÞ du a ¼ u b sinh ð b tÞ b

ð

1 du ¼ u

a a ln j u j þ C ¼ ln ½ cosh ð b tÞ þ C b b

Aus dem Anfangswert s ðt ¼ 0Þ ¼ 0 bestimmen wir die Integrationskonstante C: a a ln ½ cosh 0 þ C ¼ ln 1 þ C ¼ 0 ) b b |{z} |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} 1 0 Das Weg-Zeit-Gesetz lautet damit " rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ! # a m gk s ðtÞ ¼ ln ½ cosh ð b tÞ ¼ ln cosh t , t 0 b k m s ðt ¼ 0Þ ¼ 0

Nebenrechnung: rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ mg a k ¼ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ b gk m

)

C ¼ 0

vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ umg rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u k mg m m2 m u ¼ ¼ t gk ¼ k gk k2 k m

Bild IV-28 zeigt den Verlauf dieser komplizierten Funktion.

s

Bild IV-28 t

Beispiel 21: Mittlere Geschwindigkeit von Gasmoleklen Partielle Integration Die Molekle eines Gases bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten, die sich infolge von Zusammenstßen auch noch laufend ndern. Dabei treten alle Geschwindigkeiten zwischen v ¼ 0 und v ¼ 1 mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auf, die durch die sog. Maxwell-Boltzmannsche Verteilungsfunktion m 3=2 m v2 v2 e2kT , v 0 F ðvÞ ¼ 4 p 2pkT beschrieben wird. m: Moleklmasse; k: Boltzmannsche Konstante; T: absolute Temperatur des Gases.

IV Integralrechnung

157

Die Grße F ðvÞ dv gibt dabei denjenigen Bruchteil von Moleklen an, deren Geschwindigkeitsbetrag zwischen v und v þ dv liegt (entspricht dem Flcheninhalt des grau unterlegten Streifens, siehe Bild IV-29) 11).

F(v) F(v) dv

v v + dv

v

Bild IV-29

a) Mit welcher mittleren (durchschnittlichen) Geschwindigkeit v ¼

1 ð

v F ðvÞ dv

0

bewegen sich die Gasmolekle? b) Wie groß ist diese Geschwindigkeit fr ein Helium-Gas der Temperatur J ¼ 800 C? m He ¼ 6,646 577 10 2 7 kg; k ¼ 1,380 622 10 2 3 Nm=K Hinweis: T ¼ J þ 273,15

(T in K ¼ Kelvin, J in C)

Lehrbuch: Bd. 1, V.8.2 und V.9.1

Lsung:

m 3=2 erhalten wir zunchst 2pkT 1 1 ð ð ð m 3=2 1 2 m v2 mv 2 v ¼ v F ðvÞ dv ¼ 4 p v v e 2 k T dv ¼ a v 2 e 2 k T v dv 2pkT

a) Mit der Abkrzung a ¼ 4 p

0

0

0

Dieses Integral lsen wir mittels der folgenden Substitution: x ¼

11)

m v2 , 2kT

v2 ¼

2kT x, m

dx mv ¼ , dv kT

Untere Grenze: v ¼ 0

)

x ¼ 0

Obere Grenze: v ¼ 1

)

x ¼ 1

Die (noch temperaturabhngige!) Funktion F ðvÞ ist normiert, d. h.

1 ð 0

v dv ¼

F ðvÞ dv ¼ 1.

kT dx m

158

IV Integralrechnung

v ¼ a

1 ð

m v2

v 2 e 2 k T v dv ¼ a

ð1

0

2kT kT x ex dx ¼ m m

0

2ak2 T 2 ¼ m2

ð1

x e x dx ¼

2ak2 T 2 I m2

0

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I Das Integral I lsst sich dabei durch partielle Integration wie folgt lsen: I ¼

ð1 0

I ¼

ð1

x e x dx ¼ ? # # a b0 a ¼ x, x

x e dx ¼

ð1

0

¼

h

x ex

i1 0

b 0 ¼ ex 0

a b dx ¼

h

a0 ¼ 1,

) ab

i1 0

0

0

ð1

ð1

1 e x dx ¼

h

x ex

i1 0

0

¼

h

x ex

i1 0

ð1

h

ex

b ¼ ex a 0 b dx ¼

e x dx ¼

0

i1 0

¼ ð0 0Þ ð0 1Þ ¼ 1

ðe x ! 0 und x e x ! 0 jeweils f u¨ r x ! 1Þ Somit erhalten wir fr die mittlere Geschwindigkeit der Gasmolekle den folgenden Ausdruck: m 3=2 k 2 T 2 2ak2 T 2 2ak2 T 2 k2 T 2 I ¼ 1 ¼ 2 a ¼ 2 4 p ¼ 2pkT m2 m2 m2 m2 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ m 1=2 k 2 T 2 m 4kT m 16 k 2 T 2 m ¼ 8p ¼ ¼ ¼ 2 2pkT 2pkT m m 2pkT m2 2pkT rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 8kT ¼ pm

v ¼

b) Es ist T ¼ ð800 þ 273,15Þ K ¼ 1073,15 K und somit sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 8 1,380 662 10 2 3 Nm=K 1073,15 K m km v He ¼ ¼ 2383 2,38 p 6,646 577 10 2 7 kg s s

IV Integralrechnung

159

Beispiel 22: Durchschnittliche Leistung eines Wechselstroms in einem RL-Schaltkreis Integration mittels Substitution bzw. partieller Integration Der in Bild IV-30 dargestellte RL-Wechselstromkreis wird durch Anlegen einer Wechselspannung u ¼ u ðtÞ von einem kosinusfrmigen Wechselstrom mit der Gleichung i ðtÞ ¼ i 0 cos ðw tÞ ,

i

R

L

uR

uL

t 0

t=0 S

u

durchflossen. R: ohmscher Widerstand; L: Induktivitt; i 0 : Scheitelwert des Stroms; w: Kreisfrequenz

Bild IV-30

Berechnen Sie die durchschnittliche Leistung P dieses Stroms whrend einer Periode T ¼ 2 p=w. Lsungshinweis: Die angelegte Wechselspannung u ðtÞ lsst sich aus der Maschenregel [ A32 ] bestimmen. Lehrbuch: Bd. 1, V.8.1, V.8.2 und V.10.7 Physikalische Grundlagen: A14, A32, A45, A46

Lsung: Die am ohmschen Widerstand R und an der Induktivitt L liegenden Teilspannungen u R und u L addieren sich nach der Maschenregel [ A32 ] zur Gesamtspannung u. Unter Bercksichtigung des ohmschen Gesetzes [ A14 ] und des Induktionsgesetzes [ A45 ] gilt dann u ¼ uR þ uL ¼ R i þ L

di dt

Die momentane Leistung p ist dann nach der Definitionsformel [ A46 ] durch den Ausdruck di di p ¼ ui ¼ Ri þ L i ¼ R i2 þ L i dt dt gegeben. Mit i ¼ i 0 cos ðw tÞ

und

di ¼ i 0 ½ sin ðw tÞ w ¼ w i 0 sin ðw tÞ dt

folgt weiter p ¼ R i2 þ L i

di ¼ R i 20 cos 2 ðw tÞ þ L i 0 cos ðw tÞ ð w i 0 Þ sin ðw tÞ ¼ dt

¼ R i 20 cos 2 ðw tÞ w L i 20 sin ðw tÞ cos ðw tÞ

160

IV Integralrechnung

Damit erhalten wir fr die durchschnittliche Leistung P whrend der Periode T ¼ 2 p=w die Integraldarstellung [ A46 ] ðT

1 P ¼ T

w p dt ¼ 2p

ðT

0

½ R i 20 cos 2 ðw tÞ w L i 20 sin ðw tÞ cos ðw tÞ dt ¼

0

w R i 20 ¼ 2p

ðT

w 2 L i 20 cos ðw tÞ dt 2p 2

0

ðT

sin ðw tÞ cos ðw tÞ dt

0

In beiden Integralen fhren wir zunchst die folgende Substitution durch (die Grenzen werden mitsubstituiert): da ¼ w, dt

a ¼ wt,

da w

dt ¼

Untere Grenze: t ¼ 0

)

a ¼ 0

Obere Grenze: t ¼ T

)

a ¼ wT ¼ w

2p ¼ 2p w

Somit ist P ¼

w R i 20 2p

2ðp

cos 2 a

da w 2 L i 20 2p w

0

¼

R i 20 2p

2ðp 0

2ðp

sin a cos a

da ¼ w

0

cos 2 a da

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I1

w L i 20 2p

2ðp

sin a cos a da ¼

R i 20 w L i 20 I1 I2 2p 2p

0

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I2

Berechnung der Integrale I1 und I2 Wir integrieren zunchst unbestimmt und lassen dabei die (spter nicht bentigten) Integrationskonstanten fort. (1) Berechnung des Integrals I 1 (mittels partieller Integration) ð ð cos 2 a da ¼ cos a cos a da # # u v0 u ¼ cos a , v 0 ¼ cos a ) u 0 ¼ sin a , v ¼ sin a ð ð ð cos 2 a da ¼ u v 0 da ¼ u v u 0 v da ¼ ¼ cos a sin a

ð

ð sin aÞ sin a da ¼ sin a cos a þ

ð

sin 2 a da

IV Integralrechnung

161

Mit sin 2 a ¼ 1 cos 2 a („trigonometrischer Pythagoras“) und anschließendem „Rckwurf“ folgt weiter ð ð ð 2 2 cos a da ¼ sin a cos a þ sin a da ¼ sin a cos a þ ð1 cos 2 aÞ da ¼ ¼ sin a cos a þ

ð

1 da

ð

ð

2

cos a da ¼ sin a cos a þ a cos 2 a da |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}

)

,, R¨uckwurf ‘‘ auf die linke Seite

2

ð

I1 ¼

cos 2 a da ¼ sin a cos a þ a 2ðp

cos 2 a da ¼

ð

)

1 ðsin a cos a þ aÞ 2

cos 2 a da ¼ 2p

0

¼

1 ðsin a cos a þ aÞ 2

¼ 0

1 1 ½ sin ð2 pÞ cos ð2 pÞ þ 2 p sin 0 cos 0 0 ¼ 2p ¼ p |ﬄﬄﬄﬄ ﬄ {zﬄﬄﬄﬄ ﬄ } 2 |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} 2 |ﬄ{zﬄ} |ﬄ{zﬄ} 1 1 0 0

(2) Berechnung des Integrals I 2 (mittels Substitution) dz dz ¼ cos a , da ¼ da cos a ð ð ð dz 1 2 1 sin a cos a da ¼ z cos a ¼ z dz ¼ z ¼ sin 2 a cos a 2 2

z ¼ sin a ,

I2 ¼

2ðp 0

sin a cos a da ¼

1 sin 2 a 2

2p ¼ 0

1 ½ sin 2 ð2 pÞ sin 2 0 ¼ 0 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ} 0 0

Die Durchschnittsleistung des Wechselstroms whrend einer Periode betrgt damit P ¼

R i 20 w L i 20 R i 20 w L i 20 R i 20 I1 I2 ¼ p 0 ¼ 2p 2p 2p 2p 2

Wegen I 2 ¼ 0 findet der Energieumsatz ausschließlich im ohmschen Widerstand statt (sog. Wirkleistung).

162

IV Integralrechnung

Beispiel 23: Induktivitt einer elektrischen Doppelleitung Integration durch Partialbruchzerlegung des Integranden, Integration mittels Substitution Bild IV-31 zeigt im Querschnitt eine von einem konstanten Strom I durchflossene elektrische Doppelleitung der Lnge l. Der Durchmesser 2 R der Leiter soll dabei gegenber dem Leiterabstand 2 a vernachlssigbar klein sein. Bei entgegengesetzter Stromrichtung erzeugen die Leiterstrme auf der Verbindungslinie der Leiterquerschnitte (x-Achse) ein resultierendes Magnetfeld mit einer ortsabhngigen magnetischen Feldstrke vom Betrag 12) Ia 1 H ðxÞ ¼ , 2 p a x2

y H(x) L2

L1 x

–a+R

a–R

dx a

x

a

Bild IV-31

aþR x aR

Das Magnetfeld ist dabei senkrecht zur x-Achse und somit parallel zur y-Achse gerichtet. Berechnen Sie die Induktivitt L dieser Doppelleitung nach der Formel L ¼ F=I. Dabei ist F der magnetische Fluss [ A38 ] durch die rechteckige Flche zwischen den beiden Leitern (diese Flche steht senkrecht zur Papierebene). Lsungshinweis: Das Magnetfeld innerhalb der Leiter bleibt unbercksichtigt. Die Doppelleitung befindet sich in Luft (Permeabilitt m 1). Lehrbuch: Bd. 1, V.8.1 und V.8.3

Physikalische Grundlagen: A5, A38

Lsung: Wir betrachten einen schmalen in der Ebene der beiden Leiter liegenden Flchenstreifen mit der Lnge l und der Breite dx (Bild IV-31; Streifen senkrecht zur Papierebene). Er besitzt den Flcheninhalt dA ¼ l dx und wird infolge der geringen Streifenbreite von dem nahezu konstanten Magnetfeld der Strke H ðxÞ bzw. der magnetischen Flussdichte B ðxÞ senkrecht durchflutet. Der magnetische Fluss dF durch diesen Streifen ist dann definitionsgemß [ A38, A5 ] dF ¼ B ðxÞ dA ¼ m 0 m H ðxÞ dA ¼ m 0 1

Ia 1 m Ial 1 l dx ¼ 0 dx 2 2 2 p a x p a x2

Durch Summation, d. h. Integration ber alle in der Flche liegenden Streifen in den Grenzen von x ¼ a þ R bis x ¼ a R erhalten wir den Gesamtfluss F ¼

a ðR

dF ¼

m0 I a l p

x¼aþR 12)

Siehe hierzu Beispiel 9 aus Kapitel II.

a ðR aþR

1 2 m0 I a l dx ¼ a2 x2 p

a ðR 0

1 dx a2 x2

IV Integralrechnung

163

Die Integralberechnung erfolgt mittels Partialbruchzerlegung des echt gebrochenrationalen Integranden. Nullstellen des Nenners: a 2 x 2 ¼ 0 Partialbruchzerlegung (Ansatz):

a2

)

x1=2 ¼ a

1 1 C1 C2 ¼ 2 ¼ þ 2 2 x xa xþa x a

Hauptnenner: ðx aÞ ðx þ aÞ ¼ x 2 a 2 Bestimmung der Konstanten C 1 und C 2 : x2

1 1 C1 C2 C 1 ðx þ aÞ þ C 2 ðx aÞ ¼ ¼ þ ¼ 2 ðx aÞ ðx þ aÞ ðx aÞ ðx þ aÞ a xa xþa

)

1 ¼ C 1 ðx þ aÞ þ C 2 ðx aÞ Wir setzen fr x der Reihe nach die Werte der beiden Nennernullstellen ein: x ¼ a

1 ¼ C1 2 a þ C2 0 ¼ 2 a C1

)

x ¼ a

1 ¼ C 1 0 þ C 2 ð 2 aÞ ¼ 2 a C 2

C1 ¼ )

1 2a

C2 ¼

1 2a

Somit ist 1 C1 C2 1 1 1 1 1 ¼ þ ¼ þ ¼ a2 x2 2a x a 2a x þ a 2a xa xþa

1 1 xþa xa

und F ¼

2 m0 I a l p

a ðR

1 2 m0 I a l 1 dx ¼ a2 x2 p 2a

0

¼

m0 I l p

a ðR 0

a ðR

1 1 dx ¼ xþa xa

0

1 1 dx xþa xa |ﬄﬄ{zﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ} u v

Die Teilintegrale lassen sich mit den Substitutionen u ¼ x þ a, dx ¼ du und v ¼ x a, dx ¼ dv leicht lsen. Sie fhren auf die Stammfunktionen ln j u j ¼ ln j x þ a j und ln j v j ¼ ln j x a j. Wir erhalten damit fr den magnetischen Fluss iaR m Il h m I l h x þ a i a R F ¼ 0 ln j x þ a j ln j x a j ¼ 0 ¼ ln 0 p p xa 0 a 2a R m0 I l m0 I l 2a R ¼ ln ln ln ln 1 ¼ ¼ |{z} p R a p R 0 m Il 2a R ¼ 0 ln p R

164

IV Integralrechnung

Die Induktivitt der Doppelleitung betrgt somit F m0 l 2a R L ¼ ¼ ln I p R

Beispiel 24: Schwingungsdauer eines Fadenpendels Numerische Integration nach Simpson Das in Bild IV-32 skizzierte Fadenpendel (mathematische Pendel) mit der Fadenlnge l und der angehngten Masse m schwingt fr kleine Auslenkwinkel j nahezu harmonisch zwischen den beiden Umkehrpunkten A und B, wobei die Schwingungsdauer T aus der Nherungsgleichung sﬃﬃﬃﬃﬃ l T ¼ 2p g berechnet werden kann. Die exakte Berechnung der Schwingungsdauer erfolgt nach der komplizierten Integralformel sﬃﬃﬃﬃﬃ p=2 ð l 1 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ du T ¼ 4 g 1 l 2 sin 2 u 0

ðmit l ¼ sin ðj 0 =2ÞÞ

g: Erdbeschleunigung

0

j 0 : maximaler Auslenkwinkel Das darin auftretende sog. elliptische Integral 1. Gattung ist elementar nicht lsbar. Berechnen Sie dieses Integral und damit die Schwingungsdauer fr einen maximalen Auslenkwinkel von j 0 ¼ 60 numerisch nach der Simpsonschen Formel fr 2 n ¼ 8 einfache Streifen und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Nherungslsung.

l

f0 f

B

A m

Bild IV-32 Anmerkung: Dieses Integral wird in Kapitel V, Beispiel 12 durch Reihenentwicklung des Integranden und anschließende gliedweise Integration nherungsweise gelst. Lehrbuch: Bd. 1, V.8.4.2

IV Integralrechnung

165

Lsung: l ¼ sin ðj 0 =2Þ ¼ sin 30 ¼ 0,5 p=2 ð

I ¼

0

1 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ du ¼ ? 1 0,25 sin 2 u

Schrittweite: h ¼ ðp=2Þ=8 ¼ p=16

k

uk

0

0

„Erstrechnung“ mit h ¼ p=16

„Zweitrechnung“ mit h* ¼ 2 h ¼ p=8

1 y k ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 0,25 sin 2 u k

1 y k ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 0,25 sin 2 u k

1,000 000

1

1

p 16

2

2

p 16

3

3

p 16

4

4

p 16

5

5

p 16

6

6

p 16

7

7

p 16

8

8

p 16

1,000 000 1,004 792 1,018 824

1,018 824

1,040 969 1,069 045

1,069 045

1,099 522 1,127 508

1,127 508

1,147 445 1,154 701 2,154 701 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} S0

1,154 701 4,292 728 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} S1

3,215 377 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} S2

2,154 701 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} S *0

2,146 332 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} S *1

1,069 045 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} S *2

166

IV Integralrechnung

„Erstrechnung“ mit der Schrittweite h ¼ p=16:

Ih ¼

p=2 ð 0

1 h pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ du ¼ ð S 0 þ 4 S 1 þ 2 S 2 Þ ¼ 2 3 1 0,25 sin u

¼ ð2,154 701 þ 4 4,292 728 þ 2 3,215 377Þ

p ¼ 1,685 750 48

„Zweitrechnung“ mit der doppelten Schrittweite h* ¼ 2 h ¼ p=8: h* ¼ I h* ¼ I 2 h ¼ ð S *0 þ 4 S *1 þ 2 S *2 Þ 3 ¼ ð2,154 701 þ 4 2,146 332 þ 2 1,069 045Þ

p ¼ 1,685 742 24

Fehlerabschtzung: DI ¼

1 1 1 ðI h I h* Þ ¼ ðI h I 2 h Þ ¼ ð1,685 750 1,685 742Þ ¼ 0,5 10 6 15 15 15

Fr die Schwingungsdauer erhalten wir damit die exakte Formel sﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃ l l l l T ¼ 4 Ih ¼ 4 1,685 750 ¼ 6,743 000 ¼ 6,743 g g g g Die Nherungsformel sﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃ l l l T ¼ 2p ¼ 6,283 185 6,283 g g g liefert einen um rund 6,8 % zu kleinen Wert.

V Taylor- und Fourier-Reihen Beispiel 1: Fallgeschwindigkeit mit und ohne Bercksichtigung des Luftwiderstandes Grenzwertbestimmung mittels Reihenentwicklung In Kapitel IV (Beispiel 14) wird fr die Fallgeschwindigkeit v die folgende Abhngigkeit vom Fallweg s hergeleitet: sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ mg 2k s v ¼ v ðsÞ ¼ 1e m , s 0 k Diese Beziehung gilt unter der Voraussetzung, dass der Luftwiderstand R dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit proportional ist: R ¼ k v 2 : m: Masse des aus der Ruhe heraus frei fallenden Krpers; g: Erdbeschleunigung; k > 0: Reibungskoeffizient Zeigen Sie mit Hilfe der Reihenentwicklung, dass man aus dieser Beziehung pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃmittels Grenzbergang k ! 0 das bekannte Fallgesetz fr den luftleeren Raum v ¼ 2 g s erhlt. Anmerkung: In Kapitel III (Beispiel 21) wird diese Aufgabe mit Hilfe der Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital gelst. Lehrbuch: Bd. 1, VI.3.3.3

Lsung: Die direkte Ausfhrung des Grenzberganges k ! 0 fhrt zu einem unbestimmten Aus2k

druck 1). Wir entwickeln daher zunchst die Exponentialfunktion e m s in eine Potenzreihe, wobei wir von der bekannten Mac Laurinschen Reihe der e-Funktion ausgehen (siehe Formelsammlung, Abschnitt VI.3.4): ex ¼ 1 þ Mit x ¼ 2k

x x2 x3 x2 x3 þ þ þ ... ¼ 1 þ x þ þ þ ... 1! 2! 3! 2 6

2k s wird hieraus die (alternierende) Reihe m

e m s ¼ 1

1)

2k 2k2 4k3 3 s þ ... s þ 2 s2 m m 3 m3

0 Der Ausdruck unter der Wurzel strebt fr k ! 0 gegen den unbestimmten Ausdruck „ “ (siehe hierzu auch 0 Beispiel 21 in Kapitel III).

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24882-6_5

168

V Taylor- und Fourier-Reihen

Somit ist 2k

1 e m

s

¼ 1 ¼

1

2k 2k2 4k3 3 s þ . . . ¼ s þ 2 s2 m m 3 m3

2k 2k2 4k3 3 s þ ... s 2 s2 þ m m 3 m3

und die Abhngigkeit der Fallgeschwindigkeit v vom Fallweg s lsst sich damit auch in der Form sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ mg 2k 2k2 2 4k3 3 v¼ s þ ... ¼ s 2 s þ k m m 3 m3 sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ k 2 2k2 3 ¼ 2g s s þ s þ ... m 3 m2 darstellen. Der Grenzbergang k ! 0, d. h. der bergang zum freien Fall im luftleeren Raum (der Luftwiderstand R verschwindet fr k ! 0), bereitet nun keine Schwierigkeiten mehr und fhrt zu dem aus dem Physikunterricht bekannten Fallgesetz sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ k 2 2k2 3 s þ ... ¼ 2g s s þ v ¼ lim k!0 m 3 m2 sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ k 2 2k2 3 ¼ 2 g lim s s þ s þ . . . ¼ 2gs k!0 3 m2 m |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} s Bild V-1 zeigt die Abhngigkeit der Fallgeschwindigkeit vom Fallweg im luftleeren Raum und unter Bercksichtigung des Luftwiderstandes 2).

v ohne Luftwiderstand

vE mit Luftwiderstand

Bild V-1 s 2)

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ mg , der k (theoretisch) nach unendlich langer Fallstrecke erreicht wird. Das Fallgesetz lsst sich dann auch in der Form qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ

Bei Bercksichtigung des Luftwiderstandes strebt die Fallgeschwindigkeit gegen den Endwert v E ¼

v ¼ vE

2k

1 e m s ,

s 0

darstellen (siehe hierzu auch Kapitel II, Beispiel 23).

V Taylor- und Fourier-Reihen

169

Beispiel 2: Elektrischer Widerstand zwischen zwei koaxialen Zylinderelektroden (Hohlzylinder) Potenzreihenentwicklung, Nherungspolynome Der elektrische Widerstand R zwischen zwei koaxialen Zylinderelektroden wird nach der Formel 1 ra R ¼ ln , ra > ri 2pjl ri berechnet (Querschnitt siehe Bild V-2). r i : Innenradius; r a : Außenradius; l: Lnge der Elektroden; j: Leitfhigkeit des Materials zwischen den Elektroden a) Drcken Sie den Widerstand R zunchst durch die ra ri (positive) Grße x ¼ aus und entwickeln ri Sie anschließend die Funktion R ðxÞ in eine Mac Laurinsche Reihe.

ra

d

ri

b) Leiten Sie anschließend aus der unter a) gewonnenen Reihenentwicklung fr den Sonderfall x 1, d. h. d ¼ r a r i r i Nherungsformeln 1. und 2. Ordnung zur Berechnung des Widerstandes R her.

Bild V-2

leitender Hohlzylinder (Leitfähigkeit k )

Lehrbuch: Bd. 1, VI.3.2.1 und VI.3.3.1

Lsung: a) Es ist ra r a þ ðr i r i Þ r i þ ðr a r i Þ ri ra ri ¼ ¼ ¼ þ ¼ 1þx ri ri ri ri ri und somit R ðxÞ ¼

1 ln ð1 þ xÞ , 2pjl

x > 0

Wir setzen nun f ðxÞ ¼ ln ð1 þ xÞ und entwickeln diese Funktion nach Mac Laurin in eine Potenzreihe:

170

V Taylor- und Fourier-Reihen

f ðxÞ ¼ ln ð1 þ xÞ f 0 ðxÞ ¼

)

1 ¼ ð1 þ xÞ 1 1þx

f ð0Þ ¼ ln 1 ¼ 0

)

f 0 ð0Þ ¼ 1

f 00 ðxÞ ¼ ð1 þ xÞ 2

)

f 00 ð0Þ ¼ 1

f 000 ðxÞ ¼ 2 ð1 þ xÞ 3 .. .

)

f 000 ð0Þ ¼ 2 .. .

Somit ist f ðxÞ ¼ ln ð1 þ xÞ ¼ f ð0Þ þ

f 0 ð0Þ 1 f 00 ð0Þ 2 f 000 ð0Þ 3 x þ x þ x þ ... ¼ 1! 2! 3!

¼ 0þ

1 1 1 2 2 3 x x þ x þ ... ¼ 1! 2! 3!

¼ x

1 2 1 3 x þ x þ ... 2 3

ð0 < x 1Þ

und die Widerstandsformel lsst sich damit auch durch die Reihe 1 1 1 2 1 3 R ðxÞ ¼ ln ð1 þ xÞ ¼ x x þ x þ ... 2pjl 2pjl 2 3

ð0 < x 1Þ

darstellen. ra ri d ¼ lautet die Reihenentwicklung wie folgt: ri ri " # 1 d 1 d 2 1 d 3 R ðdÞ ¼ þ þ ... 2pjl ri 2 ri 3 ri

b) Mit x ¼

ð0 < d r i Þ

Fr x 1, d. h. d r i lassen sich hieraus durch Abbruch nach dem 1. bzw. 2. Reihenglied die gewnschten Nherungsformeln 1. bzw. 2. Ordnung gewinnen. Sie lauten: 1 d ¨ 1: N aherung : R 2pjl ri " # 1 d 1 d 2 ¨ 2: N aherung : R 2pjl ri 2 ri

V Taylor- und Fourier-Reihen

171

Beispiel 3: Temperaturabhngigkeit der Dichte eines Festkrpers Potenzreihenentwicklung, lineare Nherungsfunktion Die Dichte r eines Festkrpers hngt wie folgt von der Temperatur J ab: r ðJÞ ¼

r0 1 þ gJ

Dabei ist r 0 die Dichte bei J 0 ¼ 0 C und g der rumliche Ausdehnungskoeffizient. a) Beschreiben Sie die Temperaturabhngigkeit der Dichte r durch eine lineare Nherungsfunktion. In welcher Grßenordnung liegt der dabei entstandene prozentuale Fehler? b) Wie groß ist die mit dieser Nherungsfunktion berechnete prozentuale Abnahme der Dichte r fr eine Stahlkugel, wenn diese von J 0 ¼ 0 C auf J 1 ¼ 100 C erwrmt wird (g ¼ 3,3 10 5 = C)? Lehrbuch: Bd. 1, VI.3.2.3 und VI.3.3.1

Lsung: a) Wir gehen von der Binomischen Formel 1 ¼ ð1 þ xÞ 1 ¼ 1 x þ x 2 þ . . . 1þx

ð j x j < 1Þ

aus (siehe Formelsammlung, Abschnitt VI.3.4). Mit x ¼ g J wird daraus 1 ¼ 1 g J þ ðg JÞ 2 þ . . . 1 þ gJ

ð j g J j < 1Þ

und die Temperaturabhngigkeit der Dichte lsst sich daher auch durch die Potenzreihe r ðJÞ ¼

r0 1 ¼ r 0 ð1 g J þ ðg JÞ 2 þ . . .Þ ¼ r0 1 þ gJ 1 þ gJ

beschreiben. Fr j g J j 1 drfen wir diese Reihe nach dem ersten nichtkonstanten Glied, hier also nach dem linearen Glied abbrechen 3) und erhalten die folgende lineare Nherungsfunktion: r ðJÞ ¼ r 0 ð1 g JÞ Der dabei entstandene absolute Fehler Dr liegt in der Grßenordnung des nichtbercksichtigten quadratischen Reihengliedes (die Nherungsformel liefert einen zu kleinen Wert): Dr r 0 ðg JÞ 2 3)

Die Bedingung j g J j 1 ist in der Praxis erfllt, da g in der Grßenordnung ð10 6 . . . 10 5 Þ K 1 liegt.

172

V Taylor- und Fourier-Reihen

Der entsprechende prozentuale Fehler betrgt somit nherungsweise Dr r 0 ðg JÞ 2 ðg JÞ 2 100 % ¼ 100 % 100 % ¼ r 0 ð1 g JÞ 1 gJ r b) r 1 ¼ r ðJ 1 Þ ¼ r 0 ð1 g J 1 Þ Die Dichtenderung betrgt Dr ¼ r 1 r 0 ¼ r 0 ð1 g J 1 Þ r 0 ¼ r 0 ð1 g J 1 1Þ ¼ r 0 g J 1 Die Dichte nimmt somit um den Wert r 0 g J 1 ab. Daraus ergibt sich der folgende Wert fr die prozentuale Abnahme der Dichte: Dr r0 g J1 100 % ¼ g J 1 100 % ¼ r 100 % ¼ r 0 0 ¼ 3,3 10 5 ð CÞ 1 100 C 100 % ¼ 0,33 %

Beispiel 4: Magnetische Feldstrke in der Mitte einer stromdurchflossenen Zylinderspule Potenzreihenentwicklung, Nherungspolynom Eine aus N Windungen bestehende Zylinderspule mit der Lnge l und dem Durchmesser d wird von einem Strom der Strke I durchflossen. Das magnetische Feld besitzt dann in der Mitte der Zylinderspule eine magnetische Feldstrke vom Betrag H ¼

NI 1 sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 l d 1þ l

a) Leiten Sie fr den Fall d l (d. h. fr eine im Verhltnis zum Durchmesser lange Spule) durch Reihenentwicklung des Wurzelausdruckes eine erste Nherungsformel zur Berechnung der magnetischen Feldstrke H her. b) In welcher Grßenordnung liegt dabei der prozentuale Fehler der nach der Nherungsformel berechneten magnetischen Feldstrke H, wenn der Durchmesser der Spule 10 % der Spulenlnge betrgt? Lehrbuch: Bd. 1, VI.3.2.3 und VI.3.3.1

V Taylor- und Fourier-Reihen

173

2 d 1 a) Wir setzen x ¼ und entwickeln die Funktion pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ ð1 þ xÞ 1=2 nach der l 1þx Binomischen Formel (siehe Formelsammlung, Abschnitt VI.3.4):

Lsung:

1 1 1 13 2 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ ¼ ð1 þ xÞ 1=2 ¼ 1 xþ x þ ... ¼ 1=2 2 24 1þx ð1 þ xÞ ¼ 1

1 3 2 xþ x þ ... 2 8

ð j x j < 1Þ

Somit ist 1 sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 ¼ d 1þ l

2 ! 1=2 d 1 d 2 3 d 4 1þ ¼ 1 þ þ ... l 2 l 8 l

und NI 1 NI H ¼ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 ¼ l l d 1þ l

1 1 2

! 2 d 3 d 4 þ þ ... l 8 l

Durch Abbruch dieser fr d < l gltigen Reihenentwicklung nach dem 2. Glied erhalten wir eine erste Nherungsformel zur Berechnung der magnetischen Feldstrke H. Sie lautet: ! NI 1 d 2 N I 2 l2 d2 N I ð2 l 2 d 2 Þ H ¼ ¼ ¼ 1 2 l2 l 2 l l 2 l3 b) Der absolute Fehler DH liegt in der Grßenordnung des ersten weggelassenen Reihengliedes und betrgt somit nherungsweise (die Nherungsformel liefert einen zu kleinen Wert): NI 3 d 4 DH ¼ l 8 l Der prozentuale Fehler ist daher

DH 100 % ¼ H NI l

4 d 3 d 4 l 8 l 100 % 2 ! 100 % ¼ 1 d 2 1 d 1 1 2 l 2 l

NI 3 l 8

174

V Taylor- und Fourier-Reihen

Fr das vorgegebene Verhltnis DH 100 % ¼ H

d ¼ 0,1 erhalten wir einen prozentualen Fehler von l

3 0,1 4 8 100 % ¼ 0,0038 % 0,004 % 1 1 0,1 2 2

Die Nherungsformel liefert einen nur um rund 0,004% zu kleinen Wert.

Beispiel 5: Temperaturabhngigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft Potenzreihenentwicklung, lineare Nherungsfunktion Die Temperaturabhngigkeit der Schallgeschwindigkeit c in Luft wird durch die Funktionsgleichung sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ m J c ðJÞ ¼ 331 1þ s 273,15 C beschrieben (J: Temperatur in C). Entwickeln Sie diesen Wurzelausdruck mit Hilfe der allgemeinen Binomischen Formel in eine Potenzreihe und leiten Sie daraus durch Reihenabbruch eine lineare Nherungsformel zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit c her. Der dabei entstandene prozentuale Fehler soll fr den Temperaturbereich 0 C J 40 C grßenordnungsmßig abgeschtzt werden. Lehrbuch: Bd. 1, VI.3.2.3 und VI.3.3.1

Lsung: Wir setzen x ¼

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ J und entwickeln die Wurzel 1 þ x nach der allgemeinen Bino 273,15 C

mischen Formel n

ð1 þ xÞ ¼ 1 þ

n 1

1

x þ

n 2

x2 þ . . .

(siehe Formelsammlung, Abschnitt VI.3.4) fr n ¼ 1=2: 0 1 0 1 1 1 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 þ x ¼ ð1 þ xÞ 1=2 ¼ 1 þ @ 2 A x 1 þ @ 2 A x 2 þ . . . 1 2 Die Binomialkoeffizienten haben dabei die folgenden Werte: 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 2 @2A ¼ 2 ¼ 1 , @2A ¼ 2 ¼ 12 1 2 8 1 2

ðj x j 1Þ

V Taylor- und Fourier-Reihen

175

Somit ist pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 1 2 1þx ¼ 1þ x x þ ... 2 8

ðj x j 1Þ

und die Temperaturabhngigkeit der Schallgeschwindigkeit c lsst sich daher auch durch die folgende Potenzreihe beschreiben: " # 2 1 J 1 J m þ ... c ðJÞ ¼ 331 1 þ 2 273,15 C 8 273,15 C s J zwi273,15 C schen den Werten 0 und 0,1464 und kann somit als klein gegenber 1 betrachtet werden. Durch Reihenabbruch nach dem 2. Glied erhalten wir dann die gewnschte lineare Nherungsformel. Sie lautet: 1 J m J m c ðJÞ ¼ 331 1 þ ¼ 331 1 þ 2 273,15 C s 546,3 C s Im Temperaturintervall 0 C J 40 C bewegt sich die Grße x ¼

Der absolute Fehler Dc liegt dabei in der Grßenordnung des ersten weggelassenen Reihengliedes 4) : 2 1 J m Dc 331 8 273,15 C s Bei der Hchsttemperatur von J ¼ 40 C ergeben sich fr die Schallgeschwindigkeit c und ihren absoluten Fehler Dc somit folgende Werte: 40 C m m c ¼ 331 1 þ ¼ 355,24 , 546,3 C s s 2 1 40 C m m Dc ¼ 331 ¼ 0,89 8 273,15 C s s Der prozentuale Fehler betrgt demnach nherungsweise m Dc s 100 % ¼ m 100 % ¼ 0,25 % 0,3 % c 355,24 s 0,89

Die lineare Nherungsformel liefert daher im Temperaturbereich von 0 C bis 40 C einen um hchstens 0,3% zu großen Wert fr die Schallgeschwindigkeit c.

4)

Die Nherungsformel liefert einen zu großen Wert.

176

V Taylor- und Fourier-Reihen

Beispiel 6: Spiegelgalvanometer Potenzreihenentwicklung, lineare Nherungsfunktion Ein Spiegelgalvanometer ist ein empfindliches Drehspulmessgert fr Gleichstrom. Die Spule ist dabei an einem dnnen Metallband aufgehngt und mit einem Spiegel zwecks Ablesung der vom Messstrom hervorgerufenen Drehung verbunden. Ein auf den Spiegel fallender Lichtstrahl erfhrt bei einer Drehung des Spiegels um den Winkel j eine Ablenkung um den doppelten Winkel (Bild V-3). Dies bewirkt auf einer im Abstand a zum Spiegel angebrachten Skala eine Verschiebung des reflektierten Lichtstrahls um die Strecke x gegenber der Nulllage (stromloses Messgert, Bild V-3a)).

Spiegel

Spiegel

reflektierter Lichtstrahl

f

f f

a

reflektierter Lichtstrahl

a

einfallender Lichtstrahl a)

0

einfallender Lichtstrahl

Skala

b)

0

Skala

x

Bild V-3 a) Welcher funktionale Zusammenhang besteht zwischen dem Drehwinkel j und der Verschiebung x auf der Skala? b) Leiten Sie aus dieser Beziehung mittels Reihenentwicklung eine lineare Abhngigkeit zwischen den Grßen j und x her und schtzenSie den durch Reihenabbruch entstandenen x prozentualen Fehler grßenordnungsmßig ab Rechenbeispiel: 0,1 . a Lehrbuch: Bd. 1, VI.3.2.3 und VI.3.3.1

Lsung: a) Aus Bild V-3b) folgt zunchst (aus dem eingezeichneten rechtwinkligen Dreieck) tan ð2 jÞ ¼

x a

und daraus durch Umkehrung die gesuchte Beziehung 2 j ¼ arctan

x

a

oder

j ¼

x

1 arctan 2 a

V Taylor- und Fourier-Reihen

177

b) Wir greifen auf die als bekannt vorausgesetzte Mac Laurinsche Reihe von arctan z zurck (siehe Formelsammlung, Abschnitt VI.3.4): arctan z ¼ z

1 3 1 5 z þ z þ ... 3 5

ð j z j 1Þ

x wird daraus a x

x 1 x 3 1 x 5 ¼ arctan þ þ ... a a 3 a 5 a

Mit z ¼

ðx aÞ

Damit erhalten wir fr den Drehwinkel j die folgende Reihenentwicklung: x

1 1 x 1 x 3 1 x 5 ¼ þ þ ... ðx aÞ arctan j ¼ 2 a 2 a 3 a 5 a Durch Abbruch dieser Reihe nach dem ersten Glied ergibt sich die gewnschte lineare Nherungsformel: j ¼

1 x

2 a

Der absolute Fehler Dj ist dabei von der Grßenordnung des ersten weggelassenen Reihengliedes (die lineare Nherungsformel liefert einen zu großen Wert.): Dj

1 1 x 3 1 x 3 ¼ 2 3 a 6 a

Somit betrgt der prozentuale Fehler rund 1 x 3 Dj 1 x 2 6 a 100 % ¼ 100 % 100 % ¼

1 x j 3 a 2 a x 1 0,1 ist der prozentuale Fehler kleiner als % d. h. die lineare a 3 Nherungsformel liefert in diesem Bereich einen um rund 0,33% zu großen Wert fr den Drehwinkel j.

Rechenbeispiel: Fr

Beispiel 7: Kapazitt einer elektrischen Doppelleitung Potenzreihenentwicklung, Nherungsformel Die in Bild V-4 im Querschnitt dargestellte elektrische Doppelleitung besteht aus zwei parallelen Leitern (Drhten) mit der Lnge l und dem Leiterradius R. Der Mittelpunktsabstand der beiden Leitungen betrgt d ¼ 2 a. Die Kapazitt dieser Anordnung berechnet sich dann nach der folgenden relativ komplizierten Formel:

178

V Taylor- und Fourier-Reihen

C ¼

p e0 l 13 sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 a R A5 ln 4 @1 þ 1 R a 2

0

Leiter

Leiter

R

R d = 2a

e 0 : elektrische Feldkonstante Bild V-4 Leiten Sie hieraus mittels Reihenentwicklung eine fr R a (d. h. dnne Drhte in großem Abstand) gltige Nherungsformel zur Berechnung der Kapazitt her. Lsungshinweis: Entwickeln Sie zunchst den Wurzelausdruck unter Verwendung der Binomischen Formel in eine Potenzreihe und brechen Sie diese dann nach dem ersten nicht konstanten Glied ab. Lehrbuch: Bd. 1, VI.3.2.3 und VI.3.3.1

Lsung: Wir entwickeln den Wurzelausdruck mit Hilfe der Binomischen Formel pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 11 2 1 1 2 x x ... ¼ 1 x x ... 1 x ¼ ð1 xÞ 1=2 ¼ 1 2 24 2 8 2 R (mit j x j 1; siehe Formelsammlung, Abschnitt VI.3.4). Mit x ¼ wird hieraus a sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 R 1 R 2 1 R 4 1 ¼ 1 ... ðR aÞ a 2 a 8 a Durch Abbruch dieser Reihe nach dem ersten nichtkonstanten Glied, d. h. hier also nach dem quadratischen Glied erhalten wir die Nherung sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 R 1 R 2 R2 1 1 ¼ 1 2 a2 a 2 a und somit fr die Kapazitt der Doppelleitung die folgende fr R a gltige Nherungsformel: C

¼

p e0 l p e0 l p e0 l ¼ ¼ ¼ 2 2 a R a R 2a R ln 2 ln ln 1þ1 R 2 a2 R R 2a 2 a2

p e0 l 2 4 a R2 ln 2aR

V Taylor- und Fourier-Reihen

179

Beispiel 8: Relativistische Masse und Energie eines Elektrons Potenzreihenentwicklung, Nherungspolynom Die Masse m eines Elektrons ist keine absolute, sondern eine noch von der Elektronengeschwindigkeit v abhngige Grße. Sie nimmt mit der Geschwindigkeit nach der sog. relativistischen Formel wie folgt zu: m0 m ¼ m ðvÞ ¼ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v 2ﬃ 1 c Dabei ist m 0 ¼ m ðv ¼ 0Þ die Ruhemasse des Elektrons und c 300 000 km=s die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Die kinetische Energie des Elektrons wird dann nach der Formel E kin ¼ ðm m 0 Þ c 2 berechnet. Zeigen Sie mit Hilfe der Reihenentwicklung, dass dieser Ausdruck fr sehr kleine Elektronengeschwindigkeiten, d. h. fr v c in die aus der Elementarphysik bereits 1 bekannte Formel E kin ¼ m 0 v 2 bergeht. 2 Lehrbuch: Bd. 1, VI.3.2.3 und VI.3.3.1

Lsung: Wir gehen von der als bekannt vorausgesetzten Binomischen Reihe 1 1 1 13 2 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ ¼ ð1 xÞ 1=2 ¼ 1 þ xþ x þ ... ¼ 1=2 2 24 1x ð1 xÞ ¼ 1þ

1 3 2 xþ x þ ... 2 8

ðj x j < 1Þ

aus (siehe Formelsammlung, Abschnitt VI.3.4). Mit x ¼ nchst 1 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v 2ﬃ ¼ 1 c

1

v 2 1=2 c

¼ 1þ

v 2 c

erhalten wir hieraus zu-

1 v 2 3 v 4 þ þ ... 2 c 8 c

ðv < cÞ

und damit die folgende Potenzreihenentwicklung fr die relativistische Masse: m0 m ðvÞ ¼ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v 2ﬃ ¼ m 0 1 c

v 2 1=2 1 v 2 3 v 4 1 ¼ m0 1 þ þ þ ... c 2 c 8 c

180

V Taylor- und Fourier-Reihen

Durch Abbruch der Reihe nach dem ersten nichtkonstanten Glied, d. h. hier also nach dem quadratischen Glied ergibt sich die fr v c gltige Nherungsformel 1 v 2 v2 m ðvÞ m 0 1 þ ¼ m0 1 þ 2 c 2 c2 Fr die kinetische Energie folgt daraus v2 m0 v2 2 2 E kin ¼ ðm m 0 Þ c m 0 1 þ m0 c2 ¼ m0 c ¼ m0 þ 2 c2 2 c2 ¼

m0 v2 1 c2 ¼ m0 v2 2 c2 2

Dies ist die bereits aus der Schulphysik bekannte Formel fr die kinetische Energie, die somit eine nur fr kleine Geschwindigkeiten, d. h. fr v c zulssige Nherung darstellt!

Beispiel 9: RC-Schaltung mit Rampenspannung Potenzreihenentwicklung, Nherungsfunktionen An die in Bild V-5 dargestellte RC-Schaltung wird zur Zeit t ¼ 0 durch Schließen des Schalters S eine linear mit der Zeit ansteigende sog. Rampenspannung u ¼ k t angelegt. Die Kondensatorspannung u C ðtÞ wchst dabei im Laufe der Zeit vom Anfangswert u C ðt ¼ 0Þ ¼ 0 aus nach dem folgenden Zeitgesetz: h t i , t 0 u C ðtÞ ¼ k t t 1 e t

R

C

uC ( t )

i

t=0 S u = kt

R: ohmscher Widerstand; C : Kapazitt; k > 0: Konstante; t ¼ R C : Zeitkonstante Bild V-5

a) Zeigen Sie mittels Reihenentwicklung, dass die Kondensatorspannung u C ðtÞ in der Anfangsphase, d. h. fr t t nahezu quadratisch mit der Zeit t ansteigt. b) Wie verhlt sich die Kondensatorspannung fr t t? Lehrbuch: Bd. 1, V1.3.2.3 und VI.3.3.1

Lsung: a) Aus der als bekannt vorausgesetzten Reihenentwicklung von e x in der Form ex ¼ 1

x x2 1 2 þ ... ¼ 1 x þ þ x þ ... 2! 1! 2

ðj x j < 1Þ

V Taylor- und Fourier-Reihen

181

(siehe Formelsammlung, Abschnitt VI.3.4) erhalten wir mit x ¼ t=t die Potenzreihe t

et ¼ 1

t 1 t 2 t t2 þ ... ¼ 1 þ ... þ þ t 2 t t 2t2

Fr t t, d. h. t=t 1 darf diese Reihe nach dem quadratischen Glied abgebrochen werden: t

et 1

t t2 þ 2t2 t

Diese Nherung setzen wir in das Zeitgesetz der Kondensatorspannung ein und erhalten h t i t t2 u C ðtÞ ¼ k t t 1 e t k t t 1 1 ¼ þ 2t2 t

t t2 t t2 ¼ k t t 11þ ¼ k t t ¼ t t 2t2 2t2 t2 t2 k 2 t ¼ k ¼ ¼ k t t þ 2t 2t 2t Die Kondensatorspannung u C ðtÞ steigt somit in der Anfangsphase quadratisch mit der Zeit t an (Bild V-6a)). t

b) Fr t t und somit t=t 1 gilt e t 0 und daher h t i u C ðtÞ ¼ k t t 1 e t k ½ t t ð1 0Þ ¼ k ðt tÞ ¼ k t k t Die Kondensatorspannung wchst somit fr t t nur noch linear mit der Zeit (Bild V-6b)).

uC

uC

uC ~ t 2

t

Bild V-6

a)

uC ~ ( t – t)

–kt b)

t

182

V Taylor- und Fourier-Reihen

Beispiel 10: Freihngendes Seil (Seilkurve, Kettenlinie) Lsen einer Gleichung mittels Reihenentwicklung, Nherungsparabel Bild V-7 zeigt ein freihngendes Seil mit der Spannweite 2 l ¼ 20 m und dem Durchhang h ¼ 1 m. Die Hhe der beiden Trger betrgt H ¼ 8 m. Die Funktionsgleichung dieser Seilkurve (auch Kettenlinie genannt) ist dann in der Form x

þ b, l x l y ¼ a cosh a darstellbar.

y P2

P1 h H Seil

l

l

x

Bild V-7 a) Wie lauten die allgemeinen Bestimmungsgleichungen fr die Kurvenparameter a und b? b) Die unter a) gefundene transzendente Gleichung fr den Parameter a ist exakt nicht lsbar. Lsen Sie diese Gleichung nherungsweise durch Reihenentwicklung der in ihr auftretenden transzendenten Funktion und Abbruch dieser Reihe nach dem ersten nichtkonstanten Glied. Unter welcher Voraussetzung fhrt diese Nherung zu einem „vernnftigen“ Ergebnis? Zeigen Sie, dass diese Bedingung im vorliegenden Fall erfllt ist. Welche Nherungswerte besitzen somit die beiden Kurvenparameter a und b? c) Zeigen Sie, dass die Seilkurve im vorliegenden Fall eine nahezu parabelfrmige Gestalt besitzt und bestimmen Sie die Gleichung dieser Nherungsparabel. Anmerkung: In Kapitel III, Beispiel 24 wird diese Aufgabe numerisch nach dem Newtonschen Tangentenverfahren gelst. Lehrbuch: Bd. 1, VI.3.2.3

Lsung: a) Die Seilkurve schneidet die y-Achse bei y ð0Þ ¼ a cosh 0 þ b ¼ a 1 þ b ¼ a þ b Zwischen Trgerhhe H, Durchhang h und diesem Schnittpunkt besteht dann nach Bild V-7 der folgende Zusammenhang: y ð0Þ þ h ¼ H

)

aþbþh ¼ H

Der Kurvenparameter b ist somit durch den Kurvenparameter a eindeutig bestimmt: b ¼ H ha

V Taylor- und Fourier-Reihen

183

Die Bestimmungsgleichung fr a erhalten wir auf folgende Weise. Der Aufhngepunkt P 1 mit den Koordinaten x 1 ¼ l und y 1 ¼ H liegt auf der Seilkurve. Daher ist l l H ¼ a cosh þ b ¼ a cosh þH ha a a und somit l a cosh ¼ aþh a Dies ist die gesuchte (transzendente) Bestimmungsgleichung fr den Kurvenparameter a. b) Aus der Formelsammlung (Abschnitt VI.3.4) entnehmen wir die Mac Laurinsche Reihe fr cosh x: cosh x ¼ 1 þ

x2 x4 1 2 1 4 þ þ ... ¼ 1 þ x þ x þ ... 2 24 2! 4!

ðj x j < 1Þ

Mit x ¼ l=a folgt hieraus durch Abbruch nach dem ersten nichtkonstanten Glied, d. h. hier also nach dem quadratischen Glied 2 l 1 l l2 cosh ¼ 1þ 1þ 2 a2 a 2 a Die (seitenvertauschte) transzendente Bestimmungsgleichung fr a geht damit in die lineare Nherungsgleichung l2 l2 l2 aþh ¼ a 1þ oder h ¼ ¼ a þ 2 a2 2a 2a ber und besitzt die Nherungslsung a ¼

l2 2h

Der Abbruch der Reihe nach dem quadratischen Glied ist jedoch nur sinnvoll, wenn l=a 1 und somit l a ist. Dies ist immer dann der Fall, wenn wie in diesem Beispiel h l ist ðh ¼ 1 m, l ¼ 10 m ) h lÞ. Die Nherungslsung fr die Kurvenparameter a und b lautet daher fr die vorgegebenen Werte wie folgt 5): a ¼

l2 ð10 mÞ 2 ¼ ¼ 50 m , 2h 2 1m

b ¼ H h a ¼ ð8 1 50Þ m ¼ 43 m

Die Seilkurve wird somit durch die Gleichung y ¼ 50 m cosh ð0,02 m 1 xÞ 43 m ,

10

x 10 m

beschrieben. 5)

Das Tangentenverfahren von Newton fhrt zu dem genaueren Ergebnis a ¼ 50,1658 m, b ¼ 43,1658 m (siehe Kapitel III, Beispiel 24).

184

V Taylor- und Fourier-Reihen

x c) Fr 1, d. h. j x j a darf die Reihenentwicklung der Hyperbelfunktion a x

nach dem quadratischen Glied abgebrochen werden 6) : cosh a x

1 2 Substitution 1 x 2 1 1þ cosh z 1 þ ! cosh ¼ 1þ x2 z 2 a 2 a 2 a2 z ¼ x=a Die Gleichung der Seilkurve geht dabei ber in x

1 1 2 2 þb a 1þ y ¼ a cosh x þb ¼ aþ x þb ¼ 2 a 2a 2a ¼

1 2 x þaþb 2a

Dies ist die Gleichung einer nach oben geffneten achsensymmetrischen Parabel mit dem Scheitelpunkt S ¼ ð0; a þ bÞ. Mit den gefundenen Werten fr a und b erhalten wir y ¼ 50 m cosh ð0,02 m 1 xÞ 43 m 0,01 m 1 x 2 þ 7 m

Beispiel 11: Gaußsche Normalverteilung Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden Die Messwerte und Messfehler einer Grße x unterliegen in der Regel der sog. Gaußschen Normalverteilung mit der Verteilungsdichtefunktion 1 1 j ðxÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ e 2 2p s

ðx s mÞ

2

f(x)

ð 1 < x < 1; Bild V-8Þ: m: Mittelwert oder Erwartungswert s : Standardabweichung Bild V-8

m– s

m

m+ s

x

Die Wahrscheinlichkeit P dafr, dass ein Messwert in das Intervall a x b fllt, ist dabei durch das Integral ðb xm 2 1 1 P ða x bÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ e 2 ð s Þ dx 2p s a

gegeben. Zeigen Sie: Rund 68,3 % aller Messwerte liegen zwischen m s und m þ s (entspricht der grau unterlegten Flche in Bild V-8). 6)

Diese Bedingung ist wegen j x j l und l a erfllt.

V Taylor- und Fourier-Reihen

185

Lsungshinweis: Fhren Sie zunchst eine geeignete Integralsubstitution durch und berechnen Sie dann das anfallende Integral mittels Reihenentwicklung des Integranden und einer sich anschließenden gliedweisen Integration. Lehrbuch: Bd. 1, VI.3.3.2

Lsung: Wir bringen zunchst das gesuchte Wahrscheinlichkeitsintegral 1 P ðm s x m þ sÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2p s

mð þs

e

1 2

ðx s mÞ

2

dx

ms

(in Bild V-8 durch die grau unterlegte Flche bildlich dargestellt) mit Hilfe der Substitution t ¼

xm , s

dt 1 ¼ , dx s

dx ¼ s dt

Untere Grenze: x ¼ m s

)

Obere Grenze: x ¼ m þ s

)

ms m s ¼ ¼ 1 s s mþs m s ¼ ¼ 1 t ¼ s s

t ¼

in eine etwas bersichtlichere Form: P ð m s x m þ sÞ ¼ P ð 1 t 1Þ ¼ 1 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2p s

ð1 e

1 t2 2

1

1 s dt ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2p

Der Integralwert entspricht dabei der Flche unter der standardisierten Gaußschen Verteilungsdichtefunktion 1 1 2 y ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ e 2 t im Bereich ihrer beiden Wende2p punkte an den Stellen t 1=2 ¼ 1 (Bild V-9).

ð1 e

1 t2 2

dt

1

y

Bild V-9 –1

1

Wegen der Spiegelsymmetrie zur y-Achse ist 1 P ð 1 t 1Þ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2p

ð1 1

1 2 e 2t

2 dt ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2p

ð1 e 0

1 t2 2

dt

t

186

V Taylor- und Fourier-Reihen

Dieses Integral lsen wir wie folgt. Ausgehend von der als bekannt vorausgesetzten Mac Laurinschen Reihe der Exponentialfunktion in der Form z1 z2 z3 z4 z5 þ þ þ þ þ ... 1! 2! 3! 4! 5!

ez ¼ 1 þ

ðj z j < 1Þ

(siehe Formelsammlung, Abschnitt VI.3.4) erhalten wir mit Hilfe der Substitution z ¼ die Potenzreihe des Integranden f ðtÞ ¼ e

1 t2 2

¼ 1

1 2 e 2t :

1 2 t 2

t2 t4 t6 t8 t10 þ þ þ ... 2 1! 4 2! 8 3! 16 4 ! 32 5 !

Diese Reihe konvergiert bestndig und darf daher gliedweise integriert werden. Somit ist P ð 1 t 1Þ ¼ 2 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2p 2 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2p 2 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2p 2 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2p

ð1 1

t2 t4 t6 t8 t10 þ þ þ . . . dt ¼ 2 1! 4 2! 8 3! 16 4 ! 32 5 !

0

1 t3 t5 t7 t9 t 11 þ þ þ ... ¼ 3 2 1! 5 4 2! 7 8 3! 9 16 4 ! 11 32 5 ! 0 1 1 1 1 1 þ þ þ ... ¼ 3 2 1! 5 4 2! 7 8 3! 9 16 4 ! 11 32 5 ! 1 1 1 1 1 þ þ þ . . . ¼ 0,6827 0,683 6 40 336 3456 42 240

t 1 1

Wie behauptet liegen bei einer normalverteilten Grße x rund 68,3 % aller Messwerte im sog. s-Bereich m s x m þ s um den Mittelwert m.

Beispiel 12: Schwingungsdauer eines Fadenpendels Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden Das in Bild V-10 dargestellte Fadenpendel (mathematische Pendel) mit der Fadenlnge l und der angehngten Masse m schwingt fr kleine Auslenkungswinkel j nahezu harmonisch zwischen den beiden Umkehrpunkten A und B, wobei die Schwingungsdauer T aus der Nherungsgleichung sﬃﬃﬃﬃﬃ l T ¼ 2p g berechnet werden kann.

V Taylor- und Fourier-Reihen

187

Die exakte Berechnung von T erfolgt nach der komplizierten Integralformel sﬃﬃﬃﬃﬃ p=2 ð 0 l 1 T ¼ 4 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ du g 1 l 2 sin 2 u 0

l

f0 f

g: Erdbeschleunigung j 0 : maximaler Auslenkungswinkel l ¼ sin ðj 0 =2Þ

B

A m

Bild V-10 Das darin auftretende sog. elliptische Integral 1. Gattung ist elementar nicht lsbar. Berechnen Sie dieses Integral und damit die Schwingungsdauer T nherungsweise fr den maximalen Auslenkwinkel j 0 ¼ 60 durch Reihenentwicklung des Integranden und anschließende gliedweise Integration auf drei Dezimalstellen nach dem Komma genau. Die dabei anfallenden Integrale drfen mit Hilfe einer Integraltafel berechnet werden. Anmerkung: Dieses Integral wird in Kapitel IV, Beispiel 24 numerisch nach dem SimpsonVerfahren gelst. Lehrbuch : Bd. 1, VI.3.3.2

Lsung: Wir gehen von der Binomischen Reihe 1 1 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ ¼ ð1 xÞ 1=2 ¼ 1=2 1x ð1 xÞ ¼ 1þ

1 13 2 135 3 1357 4 13579 5 xþ x þ x þ x þ x þ ... 2 24 246 2468 2 4 6 8 10

1 aus (siehe Formelsammlung, Abschnitt VI.3.4). Mit l ¼ sin ðj 0 =2Þ ¼ sin 30 ¼ und 2 1 2 2 2 x ¼ l sin u ¼ sin u wird hieraus 4 1 1 1 13 1 sin 2 u þ sin 4 u þ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 1 þ 2 4 2 4 16 1 1 sin 2 u 4 135 1 1357 1 þ sin 6 u þ sin 8 u þ 2 4 6 64 2 4 6 8 256 þ ¼ 1þ

13579 1 sin 1 0 u þ . . . ¼ 2 4 6 8 10 1024

1 3 5 35 63 sin 2 u þ sin 4 u þ sin 6 u þ sin 8 u þ sin 1 0 u þ . . . 8 128 1024 32 768 262 144

188

V Taylor- und Fourier-Reihen

Damit erhalten wir fr das elliptische Integral die folgende Darstellung:

ðp=2 I ¼ 0

¼

1 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ du ¼ 1 1 sin 2 u 4

p=2 ð

1 3 5 35 63 2 4 6 8 10 1 þ sin u þ sin u þ sin u þ sin u þ sin u þ . . . du ¼ 8 128 1024 32 768 262 144

0

¼

p=2 ð

1 1 du þ 8

0

p=2 ð

3 sin u du þ 128 2

0

|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} p=2

p=2 ð

5 sin u du þ 1024 4

0

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I1 35 þ 32 768

p=2 ð

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I2

63 sin u du þ 262 144 8

0

sin 6 u du þ

0

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I3

sin 1 0 u du þ . . . ¼

0

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I4 ¼

p=2 ð

p=2 ð

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I5

p 1 3 5 35 63 þ I1 þ I2 þ I3 þ I4 þ I5 þ . . . 2 8 128 1024 32 768 262 144

Auswertung der Integrale (unter Verwendung der Integraltafel der Formelsammlung): I1 ¼

p=2 ð

sin 2 u du ¼

u sin ð2 uÞ 2 4

0

¼

p p 00þ0 ¼ 4 4

p=2 ¼ 0

p sin p sin 0 0þ ¼ 4 4 4

ðIntegral Nr: 205Þ

Die brigen Integrale lassen sich mit Hilfe der Rekursionsformel (Integral Nr. 207) p=2 ð 0

p=2 p=2 ð sin n 1 u cos u n1 sin u du ¼ þ sin n 2 u du ¼ n n 0 0 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 0 n

n1 ¼ n

p=2 ð

sin n 2 u du

0

wie folgt schrittweise auf das Integral I 1 ¼ p=4 zurckfhren (n ¼ 4, 6, 8, 10) 7): 7)

Begrndung: Der Zhler sin n 1 u cos u verschwindet sowohl an der oberen Grenze (wegen cos ðp=2Þ ¼ 0) als auch an der unteren Grenze (wegen sin 0 ¼ 0 und somit auch sin n 1 0 ¼ 0).

V Taylor- und Fourier-Reihen

I2 ¼

p=2 ð

3 sin u du ¼ 4 4

0

I3 ¼

sin 2 u du ¼

3 3 p I1 ¼ 4 4 4

0

p=2 ð

5 sin u du ¼ 6 6

p=2 ð

5 5 3 p 35 p I2 ¼ ¼ 6 6 4 4 46 4

sin 4 u du ¼

0

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I2

p=2 ð

7 sin u du ¼ 8 8

0

I5 ¼

p=2 ð

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I1

0

I4 ¼

189

p=2 ð

sin 6 u du ¼

7 7 35 p 357 p I3 ¼ ¼ 8 8 46 4 468 4

0

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I3

p=2 ð

sin

10

9 u du ¼ 10

p=2 ð

0

sin 8 u du ¼

0

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I4 9 9 357 p 3579 p ¼ I4 ¼ ¼ 10 10 4 6 8 4 4 6 8 10 4 Somit ist I ¼ ¼

p 1 3 5 35 63 þ I1 þ I2 þ I3 þ I4 þ I5 þ . . . ¼ 2 8 128 1024 32 768 262 144 p 1 p 3 3 p 5 35 p 35 35 7 p þ þ þ þ þ 2 8 4 128 4 4 1024 4 6 4 32 768 4 6 8 4 þ

p ¼ 4

63 35 79 p þ ... ¼ 262 144 4 6 8 10 4

1 9 25 1225 3969 2þ þ þ þ þ þ ... ¼ 8 512 8192 2 097 152 33 554 432

¼

p ð2 þ 0,125 þ 0,017 578 þ 0,003 052 þ 0,000 584 þ 0,000 118 þ . . .Þ ¼ 4

p ð2,146 332Þ 1,686 4

Fr die Schwingungsdauer folgt damit sﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃ l l l I 4 1,686 ¼ 6,744 T ¼ 4 g g g

190

V Taylor- und Fourier-Reihen

Beispiel 13: Fourier-Zerlegung einer periodischen Folge rechteckiger Spannungsimpulse Fourier-Reihe, Amplitudenspektrum Bild V-11 zeigt eine periodische Folge rechteckiger Spannungsimpulse u ðtÞ der Breite 2 a und der Strke (Hhe) u^ mit der Periode T und der Kreisfrequenz w 0 ¼ 2 p=T.

u u=u

Wie lautet die Fourier-Zerlegung

u=0

a) in reeller Darstellung,

–a

b) in komplexer Darstellung?

a

t

T=

2p v0

c) Bestimmen Sie das Amplitudenspektrum fr den Sonderfall a ¼ T=4. Bild V-11 Lehrbuch: Bd. 2, II.2.1

Lsung: a) Wir whlen als Periodenintervall a < t < T a. Der Spannungsimpuls wird dort durch die Funktion 8 9 a < t < a > > < u^ = u ðtÞ ¼ f u¨ r > > : ; 0 a < t < T a beschrieben. Da diese Funktion gerade ist (Spiegelsymmetrie zur u-Achse), enthlt die Fourier-Reihe keine Sinusglieder. Daher verschwinden alle Koeffizienten b n der Sinusschwingungen: b n ¼ 0 (fr n ¼ 1, 2, 3, . . .Þ. Die Fourier-Reihe reduziert sich somit auf u ðtÞ ¼

1 X a0 a n cos ðn w 0 tÞ þ 2 n¼1

Wir berechnen zunchst den Gleichspannungsanteil (Koeffizient a 0 ) und anschließend die Koeffizienten der Kosinusglieder. Berechnung des Fourierkoeffizienten a0 2 a0 ¼ T

ð

2 u ðtÞ dt ¼ T

ðT Þ

¼

4 u^ a w 0 2 u^ a w 0 ¼ 2p p

ða

2 u^ dt ¼ 2 u^ T

a

2p T ¼ w0

ða 0

1 dt ¼

4 u^ h i a 4 u^ a t ¼ ¼ 0 T T

V Taylor- und Fourier-Reihen

191

Berechnung der Fourierkoeffizienten a n (n ¼ 1, 2, 3, . . .) (Integral Nr. 228 mit a ¼ n w 0 ; w 0 T ¼ 2 p) 2 an ¼ T

ð

2 u ðtÞ cos ðn w 0 tÞ dt ¼ T

u^ cos ðn w 0 tÞ dt ¼

a

ðT Þ

2 ¼ 2 u^ T

ða

cos ðn w 0 tÞ dt ¼

0

¼

ða

ia 4 u^ sin ðn w 0 tÞ a 4 u^ h ¼ ¼ sin ðn w 0 tÞ 0 T n w0 n w0 T 0 |ﬄ{zﬄ} 2p

4 u^ 2 u^ sin ðn w 0 aÞ ½ sin ðn w 0 aÞ sin 0 ¼ n 2p p n |ﬄ{zﬄ} 0

Die Fourier-Reihe der Impulsfolge nimmt damit die folgende reelle Gestalt an: u ðtÞ ¼

1 1 X X u^ a w 0 a0 2 u^ sin ðn w 0 aÞ a n cos ðn w 0 tÞ ¼ cos ðn w 0 tÞ ¼ þ þ p n 2 p n¼1 n¼1

1 u^ a w 0 2 u^ X sin ðn w 0 aÞ þ cos ðn w 0 tÞ ¼ p p n¼1 n u^ a w 0 2 u^ sin ðw 0 aÞ sin ð2 w 0 aÞ ¼ þ cos ðw 0 tÞ þ cos ð2 w 0 tÞ þ p p 1 2 sin ð3 w 0 aÞ þ cos ð3 w 0 tÞ þ . . . 3

¼

b) Darstellung der Fourier-Reihe von u ðtÞ in komplexer Form: u ðtÞ ¼

1 X

c n e j n w0 t

n¼1

Die komplexen Koeffizienten c n lassen sich aus den bereits bekannten Koeffizienten a n und b n der reellen Darstellung wie folgt berechnen: 2 u^ sin ðn w 0 aÞ ; p n

a0 ¼

2 u^ a w 0 ; p

c0 ¼

u^ a w 0 1 1 2 u^ a w 0 a0 ¼ ¼ 2 2 p p

cn ¼

1 1 1 2 u^ sin ðn w 0 aÞ u^ sin ðn w 0 aÞ ða n j b n Þ ¼ an ¼ ¼ 2 2 2 p n p n

cn ¼

an ¼

bn ¼ 0

ðn ¼ 1, 2, 3, . . .Þ

u^ sin ðn w 0 aÞ 1 1 ða n þ j b n Þ ¼ c *n ¼ c n ¼ an ¼ p 2 2 n

192

V Taylor- und Fourier-Reihen

Man beachte, dass alle Fourierkoeffizienten reell sind und die Beziehung c n ¼ c n besteht! Fourier-Zerlegung in komplexer Form Wir zerlegen die Fourier-Reihe zunchst wie folgt in zwei Teilsummen: u ðtÞ ¼

1 X

c n e j n w0 t ¼ c 0 þ

n¼1

1 X

c n e j n w0 t þ

n¼1

1 X

c n e j n w0 t

n¼1

In diesem Beispiel besteht kein Unterschied zwischen den Fourierkoeffizienten c n und c n : cn ¼ cn ¼

u^ sin ðn w 0 aÞ p n

ðn ¼ 1, 2, 3, . . .Þ

Die komplexe Fourier-Reihe der rechteckigen Impulsfolge lautet damit: u ðtÞ ¼ c 0 þ

1 X

c n e j n w0 t þ

n¼1

¼ c0 þ

1 X

1 X

c n e j n w0 t ¼

n¼1

c n ðe j n w 0 t þ e j n w 0 t Þ ¼

n¼1

¼

1 u^ a w 0 u^ X sin ðn w 0 aÞ þ ðe j n w 0 t þ e j n w 0 t Þ p p n¼1 n

Kontrolle: Zwischen der (reellen) Kosinusfunktion und der komplexen Exponentialfunktion besteht der folgende Zusammenhang (siehe Formelsammlung, Abschnitt VIII.7.3.2): cos x ¼

ejx þ ejx 2

)

e j x þ e j x ¼ 2 cos x

Mit x ¼ n w 0 t ist dann e j n w 0 t þ e j n w 0 t ¼ 2 cos ðn w 0 tÞ und die komplexe Fourier-Reihe geht in die aus Lsungsteil a) bereits bekannte reelle Form ber: u ðtÞ ¼

1 u^ a w 0 u^ X sin ðn w 0 aÞ þ ðe j n w 0 t þ e j n w 0 t Þ ¼ p n¼1 p n |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 2 cos ðn w 0 tÞ

¼

1 u^ a w 0 u^ X sin ðn w 0 aÞ þ 2 cos ðn w 0 tÞ ¼ p n¼1 p n

¼

1 u^ a w 0 2 u^ X sin ðn w 0 aÞ þ cos ðn w 0 tÞ p p n¼1 n

V Taylor- und Fourier-Reihen

193

T w0 T 2p p ist w 0 a ¼ ¼ ¼ und somit 4 4 4 2 9 p

> ¼ sin ¼ 1 > > > 2 > > > > > ¼ sin ðpÞ ¼ 0 = Viererzyklus : 1; 0; 1; 0 > 3 > ¼ sin p ¼ 1> > > 2 > > > > ; ¼ sin ð2 pÞ ¼ 0 p

5 ¼ sin p ¼ sin ¼ 1 2 2 .. .

c) Im Sonderfall a ¼ sin ðw 0 aÞ sin ð2 w 0 aÞ sin ð3 w 0 aÞ sin ð4 w 0 aÞ sin ð5 w 0 aÞ

Die Sinuswerte wiederholen sich in einem regelmßigen Viererzyklus: 1, 0, –– 1, 0; 1, 0, ––1, 0; . . . . Somit treten nur Oberschwingungen auf, deren Kreisfrequenzen ein ungeradzahliges Vielfaches der Kreisfrequenz w 0 der Grundschwingung sind. Die ersten Glieder der Fourier-Reihe lauten damit u ðtÞ ¼

¼

u^ 2 u^ þ 2 p

1 1 1 cos ðw 0 tÞ cos ð3 w 0 tÞ þ cos ð5 w 0 tÞ þ . . . 1 3 5

1 u^ 2 u^ X ð 1Þ n þ 1 þ cos ½ ð2 n 1Þ w0 t

2 p n ¼ 1 ð2 n 1Þ

Das zugehrige Amplitudenspektrum ist in Bild V-12 dargestellt. Amplitude 2u p u 2

Bild V-12 0 1

3

5

7

9

11 v / v 0

¼

194

V Taylor- und Fourier-Reihen

Beispiel 14: Fourier-Reihe einer Kippspannung (Sgezahnimpuls) Fourier-Reihe in reeller Form Die in Bild V-13 skizzierte Kippspannung mit der Periode T lsst sich im PeriT 3 odenintervall < t < T durch die 2 2 Gleichung

u u

T 2

2 u^ uðtÞ ¼ t 2 u^ T

T

3 T 2

t

–u Periodenintervall

beschreiben.

Bild V-13

a) Wie lautet die Fourier-Zerlegung dieser nichtsinusfrmigen Wechselspannung in reeller Darstellung? b) Zeichnen Sie das zugehrige Amplitudenspektrum. Lehrbuch: Bd. 2, II.2.1

Lsung: a) Die Funktion u ðtÞ ist ungerade, die Fourier-Reihe kann daher nur Sinusglieder enthalten. Somit gilt a n ¼ 0 fr n ¼ 0, 1, 2, . . . und die Entwicklung reduziert sich wie folgt auf die Sinusglieder: 1 X 2p uðtÞ ¼ b n sin ðn w 0 tÞ w0 ¼ T n¼1 Berechnung der Fourierkoeffizienten b n (n ¼ 1, 2, 3, . . .) ð

2 bn ¼ T

2 u ðtÞ sin ðn w 0 tÞ dt ¼ T

ðT Þ

4 u^ ¼ 2 T

3 T=2 ð

T=2

3 T=2 ð

2 u^ t 2 u^ sin ðn w 0 tÞ dt ¼ T

T=2

4 u^ t sin ðn w 0 tÞ dt T

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I1

3 T=2 ð

sin ðn w 0 tÞ dt ¼

4 u^ 4 u^ I1 I2 T2 T

T=2

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I2

Die Auswertung der Integrale I 1 und I 2 erfolgt mit Hilfe der Integraltafel der Formelsammlung unter Bercksichtigung von w 0 T ¼ 2 p.

V Taylor- und Fourier-Reihen

195

Integral I 1 (Integral Nr. 208 mit a = n w 0 ) I1 ¼

3 T=2 ð

t sin ðn w 0 tÞ dt ¼

T=2

sin ðn w 0 tÞ t cos ðn w 0 tÞ 2 2 n w0 n w0

3 T=2 ¼ T=2

3 w0 T 3T 3 w0 T w0 T T w0 T sin n sin n cos n cos n 2 2 2 2 2 2 ¼ þ ¼ 2 2 2 2 n w0 n w0 n w0 n w0 ¼

sin ðn 3 pÞ 3 T cos ðn 3 pÞ sin ðn pÞ T cos ðn pÞ þ 2 n w0 2 n w0 n 2 w 20 n 2 w 20

Dabei gilt: sin ðn 3 pÞ ¼ 0 ,

sin ðn pÞ ¼ 0 ,

cos ðn 3 pÞ ¼ cos ½ n ð2 p þ pÞ ¼ cos ðn 2 p þ n pÞ ¼ cos ðn pÞ Das 1. und 3. Glied verschwinden somit und wir erhalten unter Bercksichtigung von w 0 ¼ 2 p=T und cos ðn 3 pÞ ¼ cos ðn pÞ: I1 ¼ ¼

3 T cos ðn pÞ T cos ðn pÞ 3 T cos ðn pÞ þ T cos ðn pÞ þ ¼ ¼ 2 n w0 2 n w0 2 n w0

2 T cos ðn pÞ T cos ðn pÞ T 2 cos ðn pÞ ¼ ¼ 2 n w0 n w0 2pn

Integral I 2 (Integral Nr. 204 mit a = n w 0 ) I2 ¼

3 T=2 ð

sin ðn w 0 tÞ dt ¼

cos ðn w 0 tÞ n w0

T=2

3 T=2 ¼ T=2

3 w0 T w0 T cos n þ cos n 2 2 cos ðn 3 pÞ þ cos ðn pÞ ¼ ¼ ¼ n w0 n w0 ¼

cos ðn pÞ þ cos ðn pÞ 0 ¼ ¼ 0 n w0 n w0

(unter Bercksichtigung von w 0 T ¼ 2 p und cos ðn 3 pÞ ¼ cos ðn pÞÞ Fourier-Zerlegung Damit erhalten wir fr die Fourierkoeffizienten b n den Formelausdruck 4 u^ 4 u^ 4 u^ T 2 cos ðn pÞ 4 u^ 2 u^ cos ðn pÞ bn ¼ 2 I1 I2 ¼ 2 0 ¼ T T T 2pn T p n

196

V Taylor- und Fourier-Reihen

Unter Beachtung von 8 9 n ¼ ungerade > > > : ; 1 n ¼ gerade ergeben sich abwechselnd positive und negative Koeffizienten: bn ¼

2 u^ cos ðn pÞ 2 u^ ð 1Þ n 2 u^ ð 1Þ n þ 1 ¼ ð 1Þ 1 ¼ p n p n p n

Die Fourier-Reihe lautet somit wie folgt: 1 2 u^ X ð 1Þ n þ 1 sin ðn w 0 tÞ ¼ n p n¼1 2 u^ 1 1 ¼ sin ðw 0 tÞ sin ð2 w 0 tÞ þ sin ð3 w 0 tÞ þ . . . p 2 3

u ðtÞ ¼

b) Das zugehrige Amplitudenspektrum ist in Bild V-14 dargestellt.

Amplitude 2u p

Bild V-14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 v / v 0

Beispiel 15: Fourier-Zerlegung eines „ angeschnittenen “ Wechselstroms Fourier-Reihe in reeller Form Bild V-15 zeigt einen „angeschnittenen“ Wechselstrom, dessen Zeitabhngigkeit im Periodenintervall 0 t T durch die Gleichung 8 9 T > > > i^ cos ðw 0 tÞ 0 t > > < = 4> i ðtÞ ¼ f u¨ r > > > > T > > : 0 t T; 4 beschrieben wird ðw 0 ¼ 2 p=T : KreisfrequenzÞ.

i i

i = i · cos ( v 0 t ) i=0 T 4

–i

Bild V-15

T

t

V Taylor- und Fourier-Reihen

197

Wie lautet die Fourier-Zerlegung dieser Funktion in reeller Darstellung? Lehrbuch: Bd. 2, II.2.1

Lsung: Es ist i ðtÞ ¼

1 X a0 ½ a n cos ðn w 0 tÞ þ b n sin ðn w 0 tÞ

þ 2 n¼1

Bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten beachten wir, dass w 0 T ¼ 2 p ist. Bei den Integrationen knnen wir uns auf das Intervall 0 t T=4 beschrnken, da der Strom im restlichen Periodenintervall verschwindet. Berechnung des Fourierkoeffizienten a 0 ðIntegral Nr. 228 mit a ¼ w 0 ; w 0 T ¼ 2 p; sin 0 ¼ 0; sin ðp=2Þ ¼ 1Þ 2 a0 ¼ T

ð

2 i^ i ðtÞ dt ¼ T

0

ðT Þ

¼

T=4 ð

2 i^ sin ðw 0 tÞ T=4 cos ðw 0 tÞ dt ¼ ¼ T w0 0

i T=4 i^ i^ 2 i^ h 2 i^ sin ðw 0 tÞ sin ðp=2Þ ¼ ¼ ½ sin ðw 0 T=4Þ sin 0 ¼ 0 p |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} p w0 T 2p |ﬄ{zﬄ} |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} 0 1 p=2

Berechnung der Fourierkoeffizienten a n (n ¼ 1, 2, 3, . . .) 2 an ¼ T

ð

2 i^ i ðtÞ cos ðn w 0 tÞ dt ¼ T

T=4 ð

cos ðw 0 tÞ cos ðn w 0 tÞ dt

0

ðT Þ

Wir mssen die Flle n ¼ 1 und n > 1 unterscheiden. n ¼ 1

(Integral Nr. 229 mit a ¼ w 0 ; w 0 T ¼ 2 p; sin 0 ¼ sin p ¼ 0)

2 i^ a1 ¼ T

T=4 ð

cos 2 ðw 0 tÞ dt ¼

0

2 i^ T

t sin ð2 w 0 tÞ þ 2 4 w0

T=4 ¼ 0

¼

2 i^ T sin ðw 0 T=2Þ sin 0 2 i^ T sin p 2 i^ T 0 þ þ þ0 ¼ ¼ ¼ T 8 4 w0 4 w0 T 8 4 w0 T 8

¼

i^ 2 i^ T ¼ 4 T 8

198

V Taylor- und Fourier-Reihen

n > 1

(Integral Nr. 252 mit a ¼ w 0 und b ¼ n w 0 ; w 0 T ¼ 2 p; sin 0 ¼ 0)

2 i^ an ¼ T

T=4 ð

cos ðw 0 tÞ cos ðn w 0 tÞ dt ¼

0

¼

2 i^ sin ½ ðn 1Þ w 0 t

sin ½ ðn þ 1Þ w 0 t T=4 þ ¼ T 2 ðn 1Þ w 0 2 ðn þ 1Þ w 0 0

2 i^ sin ½ ðn 1Þ w 0 t

sin ½ ðn þ 1Þ w 0 t T=4 ¼ þ 2 w0 T n1 nþ1 0 i^ sin ½ ðn 1Þ w 0 T=4

sin ½ ðn þ 1Þ w 0 T=4

sin 0 sin 0 þ ¼ ¼ 2p n1 nþ1 n1 nþ1 i^ sin ½ ðn 1Þ p=2

sin ½ ðn þ 1Þ p=2

þ ¼ ¼ 2p n1 nþ1

¼

¼

i^ ðn þ 1Þ sin ½ ðn 1Þ p=2 þ ðn 1Þ sin ½ ðn þ 1Þ p=2

¼ 2p ðn 1Þ ðn þ 1Þ

¼

i^ ðn þ 1Þ sin ½ ðn 1Þ p=2 þ ðn 1Þ sin ½ ðn þ 1Þ p=2

¼ 2p n2 1

Wegen ðn þ 1Þ

p p p p p ¼ ðn 1 þ 2Þ ¼ ðn 1Þ þ2 ¼ ðn 1Þ þp 2 2 2 2 2

und sin ða þ pÞ ¼ sin a ist h h i h pi p pi ¼ sin ðn 1Þ þ p ¼ sin ðn 1Þ sin ðn þ 1Þ 2 2 2 Der Fourierkoeffizient a n ðn > 1Þ lsst sich somit auch wie folgt schreiben: an ¼

i^ ðn þ 1Þ sin ½ðn 1Þ p=2 ðn 1Þ sin ½ ðn 1Þ p=2

¼ n2 1 2p

¼

i^ ½ ðn þ 1Þ ðn 1Þ sin ½ðn 1Þ p=2

¼ 2p n2 1

¼

i^ ðn þ 1 n þ 1Þ sin ½ðn 1Þ p=2

i^ 2 sin ½ðn 1Þ p=2

¼ ¼ 2p 2p n2 1 n2 1

¼

i^ sin ½ðn 1Þ p=2

p n2 1

V Taylor- und Fourier-Reihen

199

Berechnung der Fourierkoeffizienten b n (n ¼ 1, 2, 3, . . .) ð

2 bn ¼ T

ðT Þ

2 i^ i ðtÞ sin ðn w 0 tÞ dt ¼ T

T=4 ð

cos ðw 0 tÞ sin ðn w 0 tÞ dt

0

Wir mssen wiederum die Flle n ¼ 1 und n > 1 unterscheiden. n ¼ 1

ðIntegral Nr. 254 mit a ¼ w 0 ; w 0 T ¼ 2 p; sin 0 ¼ 0; sin ðp=2Þ ¼ 1Þ

2 i^ b1 ¼ T

T=4 ð 0

¼ n > 1

T=4 2 i^ sin 2 ðw 0 tÞ cos ðw 0 tÞ sin ðw 0 tÞ dt ¼ ¼ T 2 w0 0

i^ i^ i^ 2 i^ sin 2 ðp=2Þ ¼ 12 ¼ ½ sin 2 ðw 0 T=4Þ sin 2 0 ¼ 2p 2p 2p 2 w0 T

(Integral Nr. 285 mit a ¼ n w 0 und b ¼ w 0 ; w 0 T ¼ 2 p; cos 0 ¼ 1)

2 i^ bn ¼ T

T=4 ð 0

2 i^ cos ðw 0 tÞ sin ðn w 0 tÞ dt ¼ T

T=4 ð

sin ðn w 0 tÞ cos ðw 0 tÞ dt ¼

0

2 i^ cos ½ ðn þ 1Þ w 0 t

cos ½ ðn 1Þ w 0 t T=4 ¼ ¼ T 2 ðn þ 1Þ w 0 2 ðn 1Þ w 0 0 2 i^ cos ½ ðn þ 1Þ w 0 t

cos ½ ðn 1Þ w 0 t T=4 ¼ ¼ þ 2 w0 T nþ1 n1 0 cos ½ ðn 1Þ w 0 T=4

cos 0 cos 0 i^ cos ½ ðn þ 1Þ w 0 T=4

¼ þ ¼ nþ1 n1 nþ1 n1 2p i^ cos ½ ðn þ 1Þ p=2

cos ½ ðn 1Þ p=2

1 1 ¼ þ ¼ 2p nþ1 n1 nþ1 n1 ¼

i^ ðn 1Þ cos ½ ðn þ 1Þ p=2 þ ðn þ 1Þ cos ½ ðn 1Þ p=2 ðn 1Þ ðn þ 1Þ ¼ 2p ðn þ 1Þ ðn 1Þ

¼

i^ ðn 1Þ cos ½ ðn þ 1Þ p=2 þ ðn þ 1Þ cos ½ ðn 1Þ p=2 2 n 2p n2 1

p p ¼ ðn 1Þ þ p und cos ða þ pÞ ¼ cos a gilt: 2 2 h h i h pi p pi ¼ cos ðn 1Þ þ p ¼ cos ðn 1Þ cos ðn þ 1Þ 2 2 2

Wegen ðn þ 1Þ

200

V Taylor- und Fourier-Reihen

Der Fourierkoeffizient b n ðn > 1Þ lsst sich somit auch wie folgt schreiben: bn ¼

i^ ðn 1Þ cos ½ ðn 1Þ p=2 þ ðn þ 1Þ cos ½ ðn 1Þ p=2 2 n ¼ 2p n2 1

¼

i^ ½ ðn 1Þ þ ðn þ 1Þ cos ½ ðn 1Þ p=2 2 n ¼ 2p n2 1

¼

i^ ð n þ 1 þ n þ 1Þ cos ½ ðn 1Þ p=2 2 n ¼ n2 1 2p

¼

i^ 2 cos ½ ðn 1Þ p=2 2 n i^ n cos ½ ðn 1Þ p=2

¼ 2 2p p n 1 n2 1

Die Fourier-Reihe des „angeschnittenen“ Wechselstroms besitzt somit die folgende Gestalt: i ¼

¼

1 X a0 ½ a n cos ðn w 0 tÞ þ b n sin ðn w 0 tÞ ¼ þ 2 n¼1 1 sin ½ ðn 1Þ p= 2

i^ i^ i^ X cos ðn w 0 tÞ þ þ cos ðw 0 tÞ þ n2 1 2p 4 p n¼2

þ

1 n cos ½ ðn 1Þ p= 2

i^ i^ X sin ðn w 0 tÞ sin ðw 0 tÞ þ n2 1 2p p n¼2

Anmerkung: Die Fourier-Koeffizienten der Kosinusanteile verschwinden fr n ¼ 3, 5, 7, . . . , d. h. die entspechenden Oberschwingungen fehlen in der Fourier-Zerlegung.

Beispiel 16: Fourier-Reihe einer Kippschwingung Fourier-Reihe in komplexer und reller Form Die in Bild V-16 skizzierte Kippschwingung mit der Gleichung y ðtÞ ¼

y0 t, T

0 t < T

y y0

soll als komplexe Fourier-Reihe dargestellt werden. Leiten Sie anschließend aus der komplexen Form die reelle Darstellungsform her.

T

Bild V-16 Lehrbuch: Bd. 2, II.2.1

2T

t

V Taylor- und Fourier-Reihen

201

Lsung: In komplexer Darstellung gilt 1 X

y ðtÞ ¼

c n e j n w0 t

n¼1

mit den komplexen Fourier-Koeffizienten ðT

1 cn ¼ T

y ðtÞ e

j n w0 t

1 dt ¼ T

0

ðT

y0 y0 t e j n w 0 t dt ¼ 2 T T

0

ðT

t e j n w 0 t dt

0

Bei der Berechnung der Koeffizienten mssen die Flle n ¼ 0 und n ¼ 6 0 unterschieden werden. n ¼ 0 y0 c0 ¼ 2 T

ðT

y0 t e dt ¼ 2 T

0

0

ðT

t dt ¼

y0 T2

0

1 2 t 2

T ¼ 0

y0 1 2 y0 T ¼ 2 T 2 2

n 6¼ 0

(Integral Nr. 313 mit a ¼ j n w 0 ; w 0 T ¼ 2 p; cos ðn 2 pÞ ¼ 1; sin ðn 2 pÞ ¼ 0; j 2 ¼ 1) " #T ðT y0 y j n w t 1 0 0 c n ¼ 2 t e j n w 0 t dt ¼ 2 e j n w0 t ¼ T T j 2 n 2 w 20 0

0

y0 ¼ 2 T ¼

¼

ðj n w 0 t þ 1Þ e j n w0 t n 2 w 20

y0 n2

ðw 0 T Þ 2 |ﬄ{zﬄ} 2p

T ¼ 0

h iT y0 j n w0 t ð j n w t þ 1Þ e ¼ 0 0 n 2 w 20 T 2

½ ð j n w 0 T þ 1Þ e j n w 0 T e 0 ¼

y0 ½ ð j n 2 p þ 1Þ e j n 2 p 1

4 p2 n2

Unter Verwendung der Eulerschen Formel e j j ¼ cos j þ j sin j mit j ¼ n 2 p gilt e j n 2 p ¼ cos ðn 2 pÞ þ j sin ðn 2 pÞ ¼ 1 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 0 1 und somit cn ¼ ¼

y0 y0 ½ ð j n 2 p þ 1Þ e j n 2 p 1 ¼ ½ ð j n 2 p þ 1Þ 1 1 ¼ 4 p2 n2 4 p2 n2 y0 y0 y0 y0 1 ð j n 2 p þ 1 1Þ ¼ jn2p ¼ j ¼ j 2 2 2 2 4p n 4p n 2pn 2p n

202

V Taylor- und Fourier-Reihen

Damit erhalten wir fr die Kippschwingung die folgende Fourier-Zerlegung in komplexer Form (zunchst wird die Fourier-Reihe in Teilsummen zerlegt): y ðtÞ ¼

1 X n¼1

¼

1 X

c n e j n w0 t

n¼1

¼ c0 þ

1 X

1 X c n e j n w0 t þ c 0 e j 0 w0 t þ c n e j n w0 t ¼ |ﬄﬄ{zﬄﬄ} n¼1 n¼1 e0 ¼ 1 1 X þ c0 þ c n e j n w0 t ¼

c n e j n w0 t ¼

n¼1 1 X

ðc n e j n w 0 t þ c n e j n w 0 t Þ ¼

n¼1

¼ c0 þ

1 X

ðc n e j n w 0 t c n e j n w 0 t Þ ¼

n¼1

¼ c0 þ

1 X

c n ðe j n w 0 t e j n w 0 t Þ ¼

n¼1

n y0 y0 X 1 þj ðe j n w 0 t e j n w 0 t Þ 2 2 p n¼1 n

Dabei haben wir beachtet, dass in diesem konkreten Fall c n ¼ c n gilt. Denn ersetzen wir in dem Formelausdruck fr den Fourierkoeffizienten c n formal n durch n, so tritt ein Vorzeichenwechsel ein: cn ¼ j

y0 y0 y0 n!n ! c n ¼ j ¼ j ¼ cn 2pn 2 p ð nÞ 2pn

bergang von der komplexen in die reelle Form Wir verwenden den Zusammenhang zwischen der (reellen) Sinusfunktion und der komplexen Exponentialfunktion (siehe Formelsammlung, Abschnitt VIII.7.3.2): sin x ¼

ejx ejx 2j

)

e j x e j x ¼ 2 j sin x

Mit x ¼ n w 0 t folgt dann aus der komplexen Fourier-Reihe die gewnschte reelle Reihe: y ðtÞ ¼

¼

1 y0 y0 X 1 ðe j n w 0 t e j n w 0 t Þ ¼ þj 2 2 p n¼1 n |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 2 j sin ðn w 0 tÞ 1 1 X y0 y0 X 1 y0 y0 1 2 j sin ðn w 0 tÞ ¼ sin ðn w 0 tÞ ¼ þj þj 2j n 2 2 p n¼1 n 2 2p n¼1

1 1 y0 y0 X 1 y0 y0 X 1 þ j2 sin ðn w 0 tÞ ¼ sin ðn w 0 tÞ ¼ 2 p n¼1 n 2 p n¼1 n y0 y0 1 1 1 ¼ sin ðw 0 tÞ þ sin ð2 w 0 tÞ þ sin ð3 w 0 tÞ þ . . . 2 3 2 p 1

¼

VI Komplexe Zahlen und Funktionen Beispiel 1: Resonanz im Parallelschwingkreis Komplexe Rechnung Der in Bild VI-1 skizzierte Parallelschwingkreis mit dem ohmschen Widerstand R ¼ 10 W, der Induktivitt L ¼ 0,2 H und der Kapazitt C ¼ 10 mF wird durch eine Wechselstromquelle mit dem Effektivwert I ¼ 10 A und der variablen Kreisfrequenz w zu elektromagnetischen Schwingungen angeregt.

IC

IR

L

I

a) Bei welcher Kreisfrequenz w 0 tritt der Resonanzfall ein? Wie groß ist dann der komplexe Gesamtwiderstand Z ?

R

C

S t=0

b) Welche Spannung U liegt dann an den drei Schaltelementen R, L und C? c) In welchem Verhltnis zueinander stehen dann die Strme I C und I L ? Wie groß sind diese?

I

IL

Bild VI-1

Lsungshinweis: Im Resonanzfall sind Gesamtstrom I und angelegte Spannung U in Phase. Lehrbuch: Bd. 1, VII.2

Physikalische Grundlagen: A13, A50, A52, A53

Lsung: a) Im Resonanzfall sind Gesamtstrom I und Spannung U phasengleich. Dies aber kann nach dem ohmschen Gesetz [ A52 ] in der Form I ¼ Y U nur dann eintreten, wenn der komplexe Leitwert Y der Gesamtschaltung reell ist, d. h. einen verschwindenden Imaginrteil besitzt: Im ðYÞ ¼ 0. Nach den Kirchhoffschen Regeln [ A13 ] addieren sich bei einer Parallelschaltung die Einzelleitwerte [ A53 ] zum Gesamtleitwert. Daher gilt Y ¼ YR þ YC þ YL ¼

1 1 1 1 þ j wC j ¼ þ j wC R wL R wL |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Im ðYÞ

und im Resonanzfall somit Im ðYÞ ¼ w 0 C

1 ¼ 0 w0 L

oder

w 20 ¼

1 LC

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24882-6_6

204

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

Die Resonanzkreisfrequenz betrgt demnach fr die vorgegebenen Werte von L und C : 1 1 w 0 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 707,11 s 1 LC 0,2 H 10 10 6 F

ð1 mF ¼ 10 6 FÞ

Leitwert Y und Gesamtwiderstand Z sind dann reelle Grßen mit den folgenden Werten: Y ¼

1 1 ¼ ¼ 0,1 S , R 10 W

Z ¼

1 ¼ R ¼ 10 W Y

ðS ¼ Siemens ¼ 1=WÞ

b) An allen drei Schaltelementen R, L und C liegt die gleiche Spannung U (Parallelschaltung). Sie betrgt nach dem ohmschen Gesetz [ A52 ]: U ¼ Z I ¼ 10 W 10 A ¼ 100 V ( U und I sind phasengleich; wir setzen j u ¼ j i ¼ 0.) c) An den Schaltelementen R, L und C liegt jeweils die gleiche Spannung U. Im Resonanzfall erhalten wir fr die durch Induktivitt L bzw. Kapazitt C fließenden Strme nach dem ohmschen Gesetz [ A52 ]: IL ¼ YL U ¼ j

1 U U ¼ j w0 L w0 L

I C ¼ Y C U ¼ j w0 C U Ihre Summe aber verschwindet, da im Resonanzfall Im ðYÞ ¼ 0 ist: U 1 I C þ I L ¼ j w0 C U j U ¼ 0 ¼ j w0 C w0 L w0 L |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Im ðYÞ ¼ 0 Somit ist I L ¼ I C , d. h. die Strme sind entgegengesetzt gleich groß (gleiche Betrge, Phasendifferenz ¼ 180 ). Sie werden durch die folgenden Gleichungen beschrieben:

I C ¼ j w 0 C U ¼ j 707,11 s 1 10 10 6 F 100 V ¼ j 0,707 A ¼ 0,707 A e j 90

I L ¼ I C ¼ j 0,707 A ¼ 0,707 A e j 270 ¼ 0,707 A e j 90 Die beiden Strme haben somit den Effektivwert I C ¼ I L ¼ 0,707 A :

Beispiel 2: Ohmscher Spannungsteiler Komplexe Rechnung Der in Bild VI-2 dargestellte ohmsche Spannungsteiler enthlt die ohmschen Teilwiderstnde R 1 ¼ 400 W und R 2 ¼ 100 W sowie eine Wechselspannungsquelle mit dem Effektivwert U ¼ 220 V und der Frequenz f ¼ 50 Hz.

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

205

Berechnen Sie die am Teilwiderstand R 2 abfallende Spannung U 2 a) im unbelasteten Zustand, R1

b) im belasteten Zustand nach dem Zuschalten eines Kondensators mit der Kapazitt C ¼ 20 mF.

Zuschalten der Kapazität C

U

1 mF ¼ 10 6 F

S

U2

R2

C

t=0

S ¼ Siemens ¼ 1=W Bild VI-2

Lehrbuch: Bd. 1, VII.2

Physikalische Grundlagen: A13, A53

Lsung: Der Spannungsabfall an einem Teilwiderstand ist diesem direkt proportional. a) Im unbelasteten Zustand gilt die Proportion U 2 : U ¼ R 2 : ðR 1 þ R 2 Þ. Daher fllt am Teilwiderstand R 2 die Spannung U2 ¼

R2 100 W U ¼ 220 V ¼ 44 V R1 þ R2 400 W þ 100 W

ab. U 2 und U sind dabei phasengleich (es sind nur ohmsche Widerstnde vorhanden). b) Durch Zuschalten des Kondensators entsteht eine Parallelschaltung aus R 2 und C mit dem komplexen Leitwert [ A13, A53 ] Y 2 ¼ Y R2 þ Y C ¼ ¼

1 1 þ j wC ¼ þ j ð2 p f Þ C ¼ R2 R2

1 þ j 2 p 50 Hz 20 10 6 F ¼ ð0,01 þ j 0,0063Þ S 100 W

Darstellung in der Exponentialform Y 2 ¼ Y 2 e j j (siehe Skizze): pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Y 2 ¼ j Y 2 j ¼ 0,01 2 þ 0,0063 2 S ¼ 0,0118 S tan j ¼

0,0063 S ¼ 0,63 0,01 S

Im ( z )

)

Y2

j ¼ arctan 0,63 ¼ 32,21 Y 2 ¼ Y 2 e j j ¼ 0,0118 S e j 32,21 Der komplexe Widerstand betrgt somit:

Y2

f 0,01

0,0063

Re ( z )

206

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

Z2 ¼

1 1 j 32,2 ¼ ¼ ¼ 84,75 W e Y2 0,0118 S e j 32,2

¼ 84,75 W ½ cos ð 32,2 Þ þ j sin ð 32,2 Þ ¼ ð71,71 j 45,16Þ W Damit besitzt die Schaltung den folgenden komplexen Gesamtwiderstand [ A13 ]: Z g ¼ R 1 þ Z 2 ¼ 400 W þ 71,71 W j 45,16 W ¼ ð471,71 j 45,16Þ W Komplexer Gesamtwiderstand in der Exponentialdarstellung Z g ¼ Z g e j j : qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Z g ¼ j Z g j ¼ 471,71 2 þ ð 45,16Þ 2 W ¼ 473,87 W tan j ¼

45,16 W ¼ 0,0957 471,71 W

)

j ¼ arctan ð 0,0957Þ ¼ 5,5

Z g ¼ Z g e j j ¼ 473,87 W e j 5,5

Der Spannungsabfall U 02 bei kapazitiver Belastung wird aus der Proportion U 02 : U ¼ Z 2 : Z g berechnet. Wir erhalten jetzt

U

0 2

Z 84,75 W e j 32,2 j 26,7 ¼ 2 U ¼ 220 V ¼ 39,35 V e Zg 473,87 W e j 5,5

Am ohmschen Widerstand R 2 fllt somit eine Wechselspannung mit dem Effektivwert U 02 ¼ 39,35 V ab, die der angelegten Wechselspannung in der Phase um 26,7 nacheilt.

Beispiel 3: Berechnung des komplexen Widerstandes eines Netzwerkes Komplexe Rechnung Das in Bild VI-3 skizzierte elektrische Netzwerk mit den ohmschen Widerstnden R 1 ¼ 100 W, R 2 ¼ 50 W und R 3 ¼ 100 W, den Kapazitten C 1 ¼ 20 mF und C 3 ¼ 10 mF und der Induktivitt L 2 ¼ 0,1 H wird von einem Wechselstrom der Kreisfrequenz w ¼ 500 s 1 durchflossen. Berechnen Sie den komplexen Widerstand Z dieses Netzwerkes. Wie groß sind Wirkwiderstand R und Blindwiderstand X? R2 R1

L2

C1

R3

Lehrbuch: Bd. 1, VII.2

C3

1 mF ¼ 10 6 F

Bild VI-3

Physikalische Grundlagen: A13, A53

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

207

Lsung: Bild VI-4 verdeutlicht die einzelnen Schritte zur Berechnung des Gesamtwechselstromwiderstandes (komplexen Widerstandes) Z. Z2 Z1

Z1

Z 23

b)

a)

Z3 Z

Bild VI-4

c)

1. Schritt (Bild VI-4a)) Nach den Gesetzen der Reihenschaltung [ A13 ] addieren sich in jedem der drei Zweige die Teilwiderstnde zum jeweiligen Gesamtwiderstand: Z 1 ¼ R1 j

1 1 ¼ 100 W j ¼ 1 20 10 6 F w C1 500 s

¼ 100 W j 100 W ¼ ð100 100 jÞ W Z 2 ¼ R 2 þ j w L 2 ¼ 50 W þ j 500 s 1 0,1 H ¼ 50 W þ j 50 W ¼ ð50 þ 50 jÞ Z 3 ¼ R3 j

1 1 ¼ 100 W j ¼ 1 w C3 500 s 10 10 6 F

¼ 100 W j 200 W ¼ ð100 200 jÞ W 2. Schritt (Bild VI-4b)) Bei der Parallelschaltung [ A13 ] addieren sich die Kehrwerte der beiden Einzelwiderstnde Z 2 und Z 3 zum Kehrwert des Gesamtwiderstandes Z 2 3 : 1 1 1 Z þ Z3 ¼ þ ¼ 2 Z 23 Z2 Z3 Z2 Z3 Z 23 ¼ ¼

)

Z 23 ¼

Z2 Z3 Z2 þ Z3

ð50 þ 50 jÞ W ð100 200 jÞ W 50 ð1 þ jÞ 100 ð1 2 jÞ ¼ W ¼ ð50 þ 50 jÞ W þ ð100 200 jÞ W 150 150 j 50 100 ð1 2 j þ j þ 2 Þ 100 ð3 jÞ 100 ð3 jÞ ð1 þ jÞ W ¼ W ¼ W ¼ 150 ð1 jÞ 3 ð1 jÞ 3 ð1 jÞ ð1 þ jÞ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 3: Binom

100 ð3 þ 3 j j þ 1Þ 100 ð4 þ 2 jÞ 100 ð4 þ 2 jÞ W¼ W ¼ W ¼ 2 2 3 ð1 þ 1Þ 6 3 ð1 j Þ 50 200 100 ¼ ð4 þ 2 jÞ W ¼ þ j W 3 3 3 ¼

208

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

3. Schritt (Bild VI-4c)) Die Widerstnde Z 1 und Z 2 3 sind in Reihe geschaltet und werden daher addiert. Somit ist der komplexe Gesamtwiderstand des Netzwerkes [ A13 ] 200 100 Z ¼ Z 1 þ Z 2 3 ¼ ð100 100 jÞ W þ þ j W ¼ 3 3 200 100 500 200 ¼ 100 þ W þ 100 j þ j W ¼ W jW ¼ 3 3 3 3 500 200 j W ¼ ð166,67 66,67 jÞ W ¼ 3 3 Der Wirkwiderstand betrgt R ¼ Re ðZÞ ¼ 166,67 W, der Blindwiderstand X ¼ Im ðZÞ ¼ 66,67 W. Der Betrag des komplexen Widerstandes, kurz auch als Scheinwiderstand bezeichnet, ist qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 2 Z ¼ j Z j ¼ R þ X ¼ 166,67 2 þ ð 66,67Þ 2 W ¼ 179,51 W

Beispiel 4: Wechselstrommessbrcke Komplexe Rechnung Mit der in Bild VI-5 dargestellten Brckenschaltung lsst sich ein unbekannter komplexer Widerstand Z 1 ¼ Z x wie folgt bestimmen: Bei vorgegebenen (komplexen) Widerstnden Z 2 und Z 3 wird der stetig vernderbare komplexe Widerstand Z 4 so eingestellt, dass der Brckenzweig A–B stromlos wird. Das in die Brcke geschaltete Wechselstromamperemeter mit dem (bekannten) Innenwiderstand Z 5 dient dabei lediglich als Nullindikator. a) Wie lautet die sog. Abgleichbedingung, d. h. die Bedingung fr die Stromlosigkeit des Brckenzweiges A–B?

I1

b) In einem konkreten Fall haben die festen Widerstnde Z 2 und Z 3 folgende Werte: Z 2 ¼ 10 W j 2 W ,

Z1 = Zx

Z3

Brücke A

S

I5

A

II

Z2

Z5

B

Z 4 (variabel)

t=0

Z4 ¼ 5W þ j 2W eingestellt wird. Welchen Wert besitzt dann der (zunchst noch unbekannte) Widerstand Z x ?

I3 I

U

Z3 ¼ 8W þ j 6 W Die Brcke A–B wird dabei genau dann stromlos, wenn der variable Widerstand Z 4 auf den Wert

I3

I

I

Bild VI-5

I2

I4

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

209

Lsungshinweis: Wenden Sie die Maschenregel [ A32 ] auf die beiden eingezeichneten Maschen (I) und (II) an und setzen Sie anschließend I 5 ¼ 0. Lehrbuch: Bd. 1, VII.2

Physikalische Grundlagen: A32, A52

Lsung: a) Wir nehmen zunchst an, dass durch das Amperemeter der Strom I 5 fließt. Fr die eingezeichneten Maschen (I) und (II) gilt dann nach der Maschenregel [ A32 ] unter Beachtung der im Bild vorgegebenen Umlaufsrichtungen (I)

Z1 I1 þ Z5 I5 Z3 I3 ¼ 0

(II) Z 2 I 2 Z 4 I 4 Z 5 I 5 ¼ 0 Der Abgleich, d. h. die Einstellung des variablen komplexen Widerstandes Z 4 erfolgt nun so, dass I 5 ¼ 0 wird (stromloser Brckenzweig). In diesem Fall ist I2 ¼ I1

und

I4 ¼ I3

und die Maschengleichungen lauten jetzt Z1 I1 Z3 I3 ¼ 0

oder

Z1 I1 ¼ Z3 I3

(II) Z 2 I 1 Z 4 I 3 ¼ 0

oder

Z2 I1 ¼ Z4 I3

(I)

Wir dividieren nun seitenweise die obere Gleichung (I) durch die untere Gleichung (II): Z1 I1 Z I3 ¼ 3 Z2 I1 Z4 I3

)

Z1 Z ¼ 3 Z2 Z4

oder

Z1 Z4 ¼ Z2 Z3

Aus dieser Abgleichbedingung erhalten wir fr den unbekannten Widerstand Z 1 ¼ Z x : Zx Z4 ¼ Z2 Z3

)

Zx ¼

Z2 Z3 Z4

Liegen die Widerstnde in der Exponentialform Z i ¼ j Z i j e j j i vor ði ¼ 2, 3, 4Þ, so lautet die Lsung der gestellten Aufgabe wie folgt: Z x ¼ j Z x j e j jx ¼

j Z 2 j e j j2 j Z 3 j e j j3 jZ2 j jZ3 j ¼ e j ðj 2 þ j 3 j 4 Þ j Z 4 j e j j4 jZ4 j

b) Wir stellen die Widerstnde Z 2 , Z 3 und Z 4 zunchst in der Exponentialform dar: Z 2 ¼ 10 W j 2 W ¼ Z 2 e j j 2 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Z 2 ¼ j Z 2 j ¼ 10 2 þ ð 2Þ 2 W ¼ 10,198 W tan j 2 ¼

2 W ¼ 0,2 10 W

)

j 2 ¼ arctan ð 0,2Þ ¼ 11,31

Z 2 ¼ 10 W j 2 W ¼ Z 2 e j j 2 ¼ 10,198 W e j 11,31

210

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

Analog erhlt man fr die beiden brigen Widerstnde: Z 3 ¼ 8 W þ j 6 W ¼ 10 W e j 36,87

Z 4 ¼ 5 W þ j 2 W ¼ 5,385 W e j 21,80

Der gesuchte komplexe Widerstand Z x besitzt damit nach der Abgleichbedingung den folgenden Wert:

Zx ¼ ¼

Z2 Z3 ð10,198 W e j 11,31 Þ ð10 W e j 36,87 Þ ¼ ¼ Z4 5,385 W e j 21,80 10,198 W 10 W e j ð 11,31 þ 36,87 21,80 Þ ¼ 18,938 W e j 3,76 ¼ 5,385 W

¼ 18,938 W ðcos 3,76 þ j sin 3,76 Þ ¼ ð18,897 þ j 1,242Þ W 18,90 W þ j 1,24 W

Beispiel 5: Wechselstromparadoxon Komplexe Rechnung Der in Bild VI-6 dargestellte Wechselstromkreis enthlt die ohmschen Widerstnde R und R x und einen zu R x parallel geschalteten Kondensator mit der Kapazitt C. Beim Anlegen einer Wechselspannung U mit der Kreisfrequenz w I , dessen fließt der Gesamtstrom Effektivwert I durch das zugeschaltete Wechselstrommessgert A gemessen wird 1). Zeigen Sie: Der ohmsche Widerstand R x lsst sich so whlen, dass die Stromanzeige unabhngig ist von der Stellung des Schalters S (geschlossen oder offen; sog. Wechselstromparadoxon).

R A I I1

I

Rx U

I2 C

S

I

Bild VI-6 Lehrbuch: Bd. 1, VII.2 1)

Physikalische Grundlagen: A13, A52, A53

Der Innenwiderstand R i des Gertes ist im Widerstand R bereits enthalten.

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

211

Lsung: Die an den Schaltkreis angelegte Wechselspannung U ist unabhngig davon, ob der Schalter S offen oder geschlossen ist. Daher gilt nach dem ohmschen Gesetz [ A52 ] U ¼ Z I ¼ Z 0 I 0 ¼ constant Dabei sind Z und I der komplexe Gesamtwiderstand bzw. der komplexe Gesamtstrom bei offenem Schalter, Z 0 und I 0 die entsprechenden Grßen bei geschlossenem Schalter. Das Wechselstrommessgert zeigt den Effektivwert der Stromstrke an. Somit muss, falls das Wechselstromparadoxon existiert, I ¼ I 0 sein, d. h. der Betrag (Effektivwert) der Gesamtstromstrke muss dann von der Schalterstellung unabhngig sein. Dies aber ist bei konstanter Wechselspannung nur mglich, wenn sich der Betrag des komplexen Gesamtwiderstandes ebenfalls nicht ndert. Die gesuchte Bedingung lautet somit: jZ 0 j ¼ jZ j

j Z 0 j2 ¼ j Z j2

oder

Wir berechnen nun fr beide Schalterstellungen den jeweiligen komplexen Gesamtwiderstand. (1) Offener Schalter R und C sind in Reihe geschaltet, die Einzelwiderstnde addieren sich. Der komplexe Gesamtwiderstand betrgt daher [ Al3, A53 ]: Z ¼ Rj

1 wCR j ¼ wC wC

Sein Betrag ist wCR j Z j ¼ wC

j jwCR jj ¼ ¼ jwCj

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ðw C RÞ 2 þ ð 1Þ 2 wC

¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w2 C2 R2 þ 1 wC

(2) Geschlossener Schalter Wir berechnen zunchst den komplexen Leitwert Y p und daraus den komplexen Widerstand Z p der Parallelschaltung aus R x und C. Es ist Y p ¼ Y Rx þ Y C ¼

1 1 þ j w C Rx þ j wC ¼ Rx Rx

(bei Parallelschaltung [ A13 ] addieren sich die einzelnen Leitwerte zum Gesamtleitwert [ A53 ]): Zp ¼

1 Rx ¼ Yp 1 þ j w C Rx

Dieser Widerstand ist mit R in Reihe geschaltet, die Widerstnde addieren sich daher. Somit betrgt der komplexe Gesamtwiderstand bei geschlossenem Schalter [ A13 ] Z0 ¼ R þ Zp ¼ R þ ¼

Rx R ð1 þ j w C R x Þ þ R x ¼ ¼ 1 þ j w C Rx 1 þ j w C Rx

R þ j w C R Rx þ Rx ðR þ R x Þ þ j w C R R x ¼ 1 þ j w C Rx 1 þ j w C Rx

212

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

Sein Betrag ist ðR þ R x Þ þ j w C R R x 0 ¼ j ðR þ R x Þ þ j w C R R x j ¼ jZ j ¼ 1 þ j w C Rx j 1 þ j w C Rx j qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ðR þ R x Þ 2 þ ðw C R R x Þ 2 ðR þ R x Þ 2 þ w 2 C 2 R 2 R 2x qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ ¼ 1 þ w 2 C 2 R 2x 1 þ ðw C R x Þ 2 (3) Bestimmung des Widerstandes R x Aus der Bedingung j Z 0 j ¼ j Z j und somit j Z 0 j 2 ¼ j Z j 2 folgt dann: ðR þ R x Þ 2 þ w 2 C 2 R 2 R 2x w2 C2 R2 þ 1 ¼ 2 2 2 w2 C 2 1 þ w C Rx w 2 C 2 ½ ðR þ R x Þ 2 þ w 2 C 2 R 2 R 2x ¼ ð1 þ w 2 C 2 R 2x Þ ðw 2 C 2 R 2 þ 1Þ w 2 C 2 ðR þ R x Þ 2 þ w 4 C 4 R 2 R 2x ¼ w 2 C 2 R 2 þ 1 þ w 4 C 4 R 2 R 2x þ w 2 C 2 R 2x w 2 C 2 ðR þ R x Þ 2 ¼ w 2 C 2 R 2 þ 1 þ w 2 C 2 R 2x w 2 C 2 ðR þ R x Þ 2 w 2 C 2 R 2 w 2 C 2 R 2x ¼ 1 w 2 C 2 ½ ðR þ R x Þ 2 R 2 R 2x ¼ w 2 C 2 ðR 2 þ 2 R R x þ R 2x R 2 R 2x Þ ¼ 1 w2 C2 2 R Rx ¼ 2 w2 C2 R Rx ¼ 1

)

Rx ¼

1 2 w2 C2 R

Bei dieser Wahl des ohmschen Widerstandes R x zeigt das Wechselstrommessgert bei offenem und geschlossenem Schalter jeweils denselben Effektivwert des Gesamtstromes an. Die Strme bei offenem bzw. geschlossenem Schalter unterscheiden sich dann lediglich in ihrem Phasenwinkel!

Beispiel 6: Komplexer Wechselstromkreis Komplexe Rechnung Der in Bild VI-7 dargestellte Wechselstromkreis mit den ohmschen Widerstnden R 1 ¼ 4 W und R 2 ¼ 6 W sowie den Induktivitten L 2 ¼ 20 mH und L 3 ¼ 60 mH wird durch eine Wechselspannung U mit dem Effektivwert U ¼ 10 V und der Kreisfrequenz w ¼ 100 s 1 gespeist. Berechnen Sie a) den komplexen Gesamtwiderstand Z der Schaltung, b) die Effektivwerte smtlicher Strme und Teilspannungen, c) die komplexe Scheinleistung S sowie Wirkleistung P und Blindleistung Q.

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

213 L2

R2

I2 R1

U 23 U1 I3

I

L3

I t=0

S U

Bild VI-7

Lehrbuch: Bd. 1, VII.2

Physikalische Grundlagen: A13, A52, A53, A54

Lsung: a) Bild VI-8 verdeutlicht die einzelnen Schritte zur Berechnung des komplexen Gesamtwiderstandes Z der Gesamtschaltung. Z2 Z1

Z1

Z 23

b)

a)

Z3 Z

Bild VI-8

c)

1. Schritt (Bild VI-8a)) [ A13, A53 ]: R 2 und L 2 sind in Reihe geschaltet, die Widerstnde addieren sich also zum Ersatzwiderstand Z 2 . Z 1 ¼ R1 ¼ 4 W Z 2 ¼ R 2 þ j w L 2 ¼ 6 W þ j 100 s 1 0,02 H ¼ 6 W þ j 2 W ¼ ð6 þ 2 jÞ W pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Z 2 ¼ j Z 2 j ¼ 6 2 þ 2 2 W ¼ 6,325 W tan j ¼

2W ¼ 0,3333 6W

)

j ¼ arctan 0,3333 ¼ 18,43

Z 2 ¼ ð6 þ 2 jÞ W ¼ Z 2 e j j ¼ 6,325 W e j 18,43

Z 3 ¼ j w L 3 ¼ j 100 s 1 0,06 H ¼ j 6 W ¼ 6 W e j 90

214

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

2. Schritt (Bild VI-8b)) [ A13 ]: Z 2 und Z 3 sind parallel geschaltet, sie werden zum Ersatzwiderstand Z 2 3 zusammengefasst (die Kehrwerte der Widerstnde addieren sich zum Kehrwert von Z 2 3 ). 1 1 1 Z þ Z3 ¼ þ ¼ 2 Z 23 Z2 Z3 Z2 Z3

)

Z 23 ¼

Z2 Z3 Z2 þ Z3

Z 2 þ Z 3 ¼ ð6 þ 2 jÞ W þ j 6 W ¼ ð6 þ 8 jÞ W pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ j Z 2 þ Z 3 j ¼ 6 2 þ 8 2 W ¼ 10 W tan j ¼

8W ¼ 1,3333 6W

)

j ¼ arctan 1,3333 ¼ 53,13

Z 2 þ Z 3 ¼ ð6 þ 8 jÞ W ¼ j Z 2 þ Z 3 j e j j ¼ 10 W e j 53,13

Z 23 ¼ ¼

Z2 Z3 6,325 W e j 18,43 6 W e j 90 ¼ ¼ Z2 þ Z3 10 W e j 53,13 6,325 W 6 W e j ð18,43 þ 90 53,13 Þ ¼ 3,795 W e j 55,30 ¼ 10 W

¼ 3,795 W ðcos 55,30 þ j sin 55,30 Þ ¼ ð2,160 þ 3,120 jÞ W 3. Schritt (Bild VI-8c)) [ A13 ]: Z 1 und Z 2 3 sind in Reihe geschaltet, sie addieren sich zu Z. Z ¼ Z 1 þ Z 2 3 ¼ R 1 þ Z 2 3 ¼ 4 W þ ð2,160 þ 3,120 jÞ W ¼ ¼ ð6,160 þ 3,120 jÞ W pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Z ¼ j Z j ¼ 6,160 2 þ 3,120 2 W ¼ 6,905 W tan j ¼

3,120 W ¼ 0,5065 6,160 W

)

j ¼ arctan 0,5065 ¼ 26,86

Der gesuchte komplexe Gesamtwiderstand der Schaltung lautet somit:

Z ¼ ð6,160 þ 3,120 jÞ W ¼ Z e j j ¼ 6,905 W e j 26,86

b) Wir berechnen zunchst den Gesamtstrom I nach dem ohmschen Gesetz [ A52 ]: I ¼

U 10 V j 26,86 ¼ ¼ 1,448 A e Z 6,905 W e j 26,86

Fr die Teilspannungen U 1 und U 2 3 folgt damit

U 1 ¼ R 1 I ¼ 4 W 1,448 A e j 26,86 ¼ 5,792 V e j 26,86 ¼ ¼ 5,792 V ½ cos ð 26,86 Þ þ j sin ð 26,86 Þ ¼ ð5,167 2,617 jÞ V U 1 þ U 23 ¼ U

(Kirchhoffsche Regeln [ A13 ])

)

U 2 3 ¼ U U 1 ¼ 10 V ð5,167 2,617 jÞ V ¼ ð4,833 þ 2,617 jÞ V

VI Komplexe Zahlen und Funktionen U23 ¼ j U 23 j ¼ tan j ¼

215

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 4,833 2 þ 2,617 2 V ¼ 5,496 V

2,617 V ¼ 0,5415 4,833 V

)

j ¼ arctan 0,5415 ¼ 28,43

U 2 3 ¼ ð4,833 þ 2,617 jÞ V ¼ U 2 3 e j j ¼ 5,496 V e j 28,43

Die Berechnung der Teilstrme I 2 und I 3 erfolgt mit Hilfe des ohmschen Gesetzes [ A52 ]:

I2 ¼

U 23 5,496 V e j 28,43 5,496 V ¼ e j ð28,43 18,43 Þ ¼ 0,869 A e j 10 ¼ Z2 6,325 W e j 18,43 6,325 W

I3 ¼

U 23 5,496 V e j 28,43 5,496 V ¼ ¼ e j ð28,43 90 Þ ¼ 0,916 A e j 61,57 j 90 Z3 6W e 6W

Es ergeben sich somit fr die Strme und Teilspannungen folgende Effektivwerte: I 2 ¼ 0,869 A , U 1 ¼ 5,792 V ,

I 3 ¼ 0,916 A ,

I ¼ 1,448 A

U 2 3 ¼ 5,496 V

c) Aus der Definitionsformel der komplexen Scheinleistung [ A54 ] folgt ð I * ist konjugiert komplex zu IÞ:

S ¼ U I * ¼ 10 V 1,448 A e j 26,86 ¼ 14,48 W e j 26,86 ¼ ¼ 14,48 W ðcos 26,86 þ j sin 26,86 Þ ¼ ð12,918 þ 6,542 jÞ W Fr Wirk- und Blindleistung ergeben sich daraus die Werte P ¼ Re ðSÞ ¼ 12,918 W

und

Q ¼ Im ðSÞ ¼ 6,542 W

Beispiel 7: berlagerung gleichfrequenter Schwingungen gleicher Raumrichtung Komplexe Zeiger, Zeigerdiagramm Durch ungestrte Superposition der beiden gleichfrequenten mechanischen Schwingungen gleicher Raumrichtung mit den Gleichungen p 2 1 1 y 1 ¼ 8 cm sin p s t t þ p und y 2 ¼ 10 cm cos p s 4 3 entsteht eine resultierende Schwingung der gleichen Frequenz. Bestimmen Sie Amplitude A > 0 und Phasenwinkel j dieser in der Sinusform y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A sin ðp s 1 t þ jÞ darzustellenden Gesamtschwingung mit Hilfe der komplexen Rechnung.

216

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

Anmerkung: In Kapitel II, Beispiel 15 wird diese Aufgabe im reellen Zeigerdiagramm gelst. Lehrbuch: Bd. 1, VII.3.1.2

Lsung: Vor der Durchfhrung der komplexen Rechnung mssen wir die Schwingung y 2 als Sinusschwingung darstellen. Aus dem Zeigerdiagramm nach Bild VI-9 folgt unmittelbar: 2 1 t þ p ¼ y 2 ¼ 10 cm cos p s 3 2 p 1 t þ p þ ¼ ¼ 10 cm sin p s 3 2 7 p ¼ 10 cm sin p s 1 t þ 6

Im ( y )

10 cm · cos ( p s –1· t ) 120° 210°

Re ( y ) –1

y2

10 cm · sin ( p s · t )

Bild VI-9 Die Berechnung der Amplitude A und des Phasenwinkels j der resultierenden Schwingung erfolgt in drei Schritten. (1) bergang von der reellen Form zur komplexen Form Den beiden Einzelschwingungen y 1 und y 2 sowie der resultierenden Schwingung y werden wie folgt komplexe Zeiger zugeordnet 2) : p p y 1 ! y 1 ¼ 8 cm e j ðw t 4 Þ ¼ 8 cm e j 4 e j w t ¼ A 1 e j w t |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} A1

7 7 y 2 ! y 2 ¼ 10 cm e j w t þ 6 p ¼ 10 cm e j 6 p e j w t ¼ A 2 e j w t |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} A2 y ! y ¼ A e j ðw t þ jÞ ¼ ðA e j j Þ e j w t ¼ A e j w t |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} A Die komplexen Schwingungsamplituden der beiden Einzelschwingungen lauten somit: h p pi p þ j sin ¼ 5,6569 cm j 5,6569 cm A 1 ¼ 8 cm e j 4 ¼ 8 cm cos 4 4 7 7 7 j6p A 2 ¼ 10 cm e ¼ 10 cm cos p þ j sin p ¼ 8,6603 cm j 5 cm 6 6 2)

Wir setzen vorbergehend zur Abkrzung w ¼ p s 1 .

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

217

(2) Addition der komplexen Amplituden Die komplexen Einzelamplituden A 1 und A 2 addieren sich geometrisch nach der Parallelogrammregel zur komplexen Amplitude A der resultierenden Schwingung (Bild VI-10). Aus der Abbildung entnehmen wir fr Amplitude A und Phasenwinkel j die folgenden Werte: A 11,1 cm ,

Im ( z )

f ≈ 254° 30°

45°

Re ( z )

A 2 = 10 cm

A2

j 254

A 1 = 8 cm

A ≈ 11,1 cm

Die komplexe Rechnung ist naturgemß wesentlich genauer. Wir erhalten zunchst fr die resultierende komplexe Amplitude A:

A1

A = A1 + A2

Bild VI-10

A ¼ A 1 þ A 2 ¼ ð5,6569 cm j 5,6569 cmÞ þ ð 8,6603 cm j 5 cmÞ ¼ ¼ ð5,6569 8,6603Þ cm þ j ð 5,6569 5Þ cm ¼ 3,0034 cm j 10,6569 cm Die Umrechnung der komplexen Amplitude A aus der kartesischen Form in die Exponentialform erfolgt am bequemsten anhand von Bild VI-11 ber den Satz des Pythagoras und den Hilfswinkel a: pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ A ¼ 3,0034 2 þ 10,6569 2 cm ¼ 11,07 cm 3,0034 cm tan a ¼ ¼ 0,2818 10,6569 cm a ¼ arctan 0,2818 ¼ 15,74

Im ( z ) f Re ( z ) a A

)

10,6569 cm

j ¼ 270 a ¼ 270 15,74 ¼ 254,26 ¼ b 4,438 A

A ¼ A e j j ¼ 11,07 cm e j 4,438

3,0034 cm

Der komplexe Zeiger der resultierenden Schwingung lautet also mit w ¼ p s 1 : y ¼ A e j w t ¼ ð11,07 cm e j 4,438 Þ e j ðp s

1

tÞ

Bild VI-11

¼ 11,07 cm e j ðp s

1

t þ 4,438Þ

(3) Rcktransformation aus der komplexen Form in die reelle Form Die reelle Form der resultierenden Sinusschwingung erhalten wir als Imaginrteil des komplexen Zeigers: y ¼ Im ð yÞ ¼ Im ð11,07 cm e j ðp s

1

t þ 4,438Þ

Þ ¼

¼ Im ð11,07 cm ½ cos ðp s 1 t þ 4,438Þ þ j sin ðp s 1 t þ 4,438Þ Þ ¼ ¼ 11,07 cm sin ðp s 1 t þ 4,438Þ

218

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 8: Leitwertortskurve einer RC-Parallelschaltung Ortskurve einer parameterabhngigen komplexen Grße Die in Bild VI-12 dargestellte RC-Parallelschaltung besteht aus einem ohmschen Widerstand mit dem festen Wert R ¼ 10 W und einem dazu parallel geschalteten Drehkondensator, dessen Kapazitt C sich stetig von 0 mF bis zum Maximalwert 100 mF verndern lsst. Bestimmen Sie die Leitwertortskurve Y ðCÞ dieser Schaltung bei einer Kreisfrequenz von w ¼ 100 s 1 und beschriften Sie diese Kurve mit den zugehrigen Werten der Kapazitt C. Lehrbuch: Bd. 1, VII.4.2

R

C

Bild VI-12

Physikalische Grundlagen: A13, A53

Lsung: Bei Parallelschaltung addieren sich die Einzelleitwerte zum Gesamtleitwert [ A13 ]. Die Gleichung der Netzwerkfunktion Y ðCÞ lautet somit Y ðCÞ ¼

1 1 þ jwC ¼ þ j 100 s 1 C ¼ 0,1 S þ j 100 s 1 C R 10 W

ð0 mF C 100 mF; S ¼ Siemens ¼ 1=WÞ Die Ortskurve des komplexen Leitwertes ist eine Parallele zur imaginren Achse, die durch die beiden Randpunkte mit den Parameterwerten C 1 ¼ 0 mF und C 2 ¼ 100 mF begrenzt wird (Bild VI-13). Die Ortsvektoren der beiden Randpunkte lauten ðmit 1 mF ¼ 10 6 FÞ:

Im ( Y ) S 0,01

100 90 Y2

Y 1 ¼ Y ðC 1 ¼ 0 mFÞ ¼ 0,1 S

70

Y 2 ¼ Y ðC 2 ¼ 100 mFÞ ¼ ¼ 0,1 S þ j 100 s 1 10 4 F ¼

80

60 0,005

50

C mF

40 Y(C)

¼ 0,1 S þ j 10 2 S ¼

30 20

¼ ð0,1 þ 0,01 jÞ S

10

Die Beschriftung der Leitwertortskurve ist linear, da der Imaginrteil von Y ðCÞ der Kapazitt C proportional ist.

Y1

Bild VI-13

0 0,1

Re ( Y ) S

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 9:

219

Widerstands- und Leitwertortskurve einer RL-Reihenschaltung Ortskurven parameterabhngiger komplexer Grßen

Eine Reihenschaltung aus dem ohmschen Widerstand R ¼ 2 W und der lnduktivitt L ¼ 2 mH liegt an einem Wechselspannungsgenerator, dessen Kreisfrequenz w im Bereich von 0 s 1 bis 1200 s 1 stetig vernderbar ist (Bild VI-14). Bestimmen Sie

R

L

a) die Widerstandsortskurve Z ðwÞ, b) die Leitwertortskurve Y ðwÞ dieses Netzwerkes und beschriften Sie beide Kurven mit den zugehrigen Werten der Kreisfrequenz w. Lehrbuch: Bd. 1, VII.4.2 und VII.4.4

Bild VI-14

Physikalische Grundlagen: A13, A53

Lsung: a) Die Gleichung der Netzwerkfunktion Z ðwÞ lautet [ A13 ]: Z ðwÞ ¼ R þ j w L ¼ 2 W þ j 0,002 H w ,

0 s 1 w 1200 s 1

Die zugehrige Widerstandsortskurve ist eine Parallele zur imaginren Achse, die durch die beiden Randpunkte mit den Parameterwerten w 1 ¼ 0 s 1 und w 2 ¼ 1200 s 1 und den zugehrigen Ortsvektoren Z 1 ¼ Z ðw 1 ¼ 0 s 1 Þ ¼ 2 W und Z 2 ¼ Z ðw 2 ¼ 1200 s 1 Þ ¼ ¼ 2 W þ j 0,002 H 1200 s 1 ¼

Im ( Z ) V

1200 1100 1000

2 Z2

¼ 2 W þ j 2,4 W

900 800

begrenzt wird.

700

Beschriftung der Widerstandsortskurve

600

Da der induktive Widerstand w L der Kreisfrequenz w proportional ist, wird die Gerade zwischen den beiden Randpunkten w 1 ¼ 0 s 1 und w2 ¼ 1200 s 1 linear geteilt (Bild VI-15).

v s –1

500

1 Z (v)

400 300 200 100 0

1

Bild VI-15

Z1

2

Re ( Z ) V

220

VI Komplexe Zahlen und Funktionen

b) Die Leitwertortskurve erhalten wir durch Inversion der Widerstandsortskurve. Sie wird durch die Gleichung Y ðwÞ ¼ ¼

1 1 R jwL R jwL ¼ ¼ ¼ ¼ 2 Z ðwÞ R þ jwL ðR þ j w LÞ ðR j w LÞ R ðj w LÞ 2 R jwL R jwL 2 W j 0,002 H w ¼ 2 ¼ R þ w2 L2 R2 j2 w2 L2 4 W 2 þ 4 10 6 H 2 w 2

beschrieben (mit 0 s 1 w 1200 s 1 ). Der Nenner R þ j w L wurde dabei durch Erweiterung des Bruches mit der konjugiert komplexen Zahl R j w L reell gemacht. In der zeichnerischen Darstellung erhalten wir nach den Inversionsregeln (siehe Band 1, Abschnitt VII.4.4.2) eine Ortskurve, die Teil eines Kreises ist, der durch den Nullpunkt geht und dessen Mittelpunkt auf der reellen Achse liegt. Den Kreisdurchmesser bestimmen wir wie folgt: Zum kleinsten Wert des Widerstandes, der fr w ¼ 0 s 1 angenommen wird, gehrt der grßte Wert des Leitwertes: Z min ¼ Z ðw ¼ 0 s 1 Þ ¼ 2 W ! Y max ¼ Y ðw ¼ 0Þ ¼

1 1 ¼ ¼ 0,5 S 2W Z min

ðS ¼ Siemens ¼ 1=WÞ Dieser Wert ist zugleich der gesuchte Kreisdurchmesser. Der Radius des Kreises betrgt somit r ¼ 0,25, der Mittelpunkt ist M ¼ ð0,25; 0Þ (siehe Bild VI-16). Beschriftung der Leitwertortskurve Fr jeden Wert des Parameters w gilt: Widerstandszeiger Z ðwÞ und Leitwertzeiger Y ðwÞ liegen spiegelsymmetrisch bezglich der reellen Achse (sie unterscheiden sich lediglich in ihrer Lnge). Die Beschriftung der Leitwertortskurve erhalten wir daher, indem wir zunchst die Skala Im ( Z ) Im ( Y ) der Widerstandsortskurve an S V der reellen Achse spiegeln, die Spiegelpunkte mit dem Ur1200 Widerstandsortskurve Z ( v ) sprung geradlinig verbinden 1000 2 und dann diese Verbindungs800 linien durch rckwrtige Ver600 v lngerung mit der Leitwertorts1 400 s –1 kurve zum Schnitt bringen Re ( Z ) 200 (Bild VI-16). V 1 4 3 0 0,125

0 0, 25 200

0,375

0,5 0

Re ( Y ) S

200

400 – 0,125 600 400

800 – 0,25

Bild VI-16

1200

1000 1200

800

600

v s –1

Leitwertortskurve Y ( v )

VII Lineare Algebra Beispiel 1: Widerstands- und Kettenmatrix eines linearen Vierpols Matrix, Determinante einer Matrix Die Vierpolgleichungen des in Bild VII-1 dargestellten linearen passiven Vierpols lauten in der sog. Widerstandsform U1 Z11 Z12 I1 ¼ mit Z21 ¼ Z12 U2 Z21 Z22 I2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Widerstandsmatrix Z

I2

I1

U 1 : Eingangsspannung

U1

I 1 : Eingangsstrom

U2

U 2 : Ausgangsspannung I 2 : Ausgangsstrom Eingang

Ausgang

Bild VII-1 a) Bestimmen Sie hieraus die sog. Kettenmatrix A, die die Abhngigkeit der Eingangsgrßen U 1 , I 1 von den Ausgangsgrßen U 2 , I 2 beschreibt. b) Welchen Wert besitzt die Determinante der Kettenmatrix A? Lehrbuch: Bd. 2, I.2.2 und I.3.2

Physikalische Grundlagen: A47

Lsung: a) Die vorgegebenen Vierpolgleichungen lauten ausgeschrieben unter Bercksichtigung der symmetrischen Widerstandsmatrix Z ðZ 2 1 ¼ Z 1 2 Þ wie folgt: U1 ¼ Z11 I1 þ Z12 I2 U2 ¼ Z21 I1 þ Z22 I2 ¼ Z12 I1 þ Z22 I2 Wir lsen zunchst die zweite Gleichung nach I 1 auf 1) : Z12 I1 ¼ U2 Z22 I2

)

I1 ¼

1 Z22 1 Z22 U2 I2 ¼ U2 þ ð I 2 Þ Z12 Z12 Z12 Z12

Dies ist bereits eine der beiden Vierpolgleichungen in der Kettenform.

1)

Definitionsgemß sind U 1 und I 1 Funktionen von U 2 und I 2 [ A47 ].

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24882-6_7

222

VII Lineare Algebra

Die zweite Gleichung erhalten wir durch Einsetzen dieser Beziehung in die erste Gleichung der Widerstandsform: 1 Z22 U1 ¼ Z11 I1 þ Z12 I2 ¼ Z11 U2 I2 þ Z12 I2 ¼ Z12 Z12 Z11 Z11 Z22 Z11 Z11 Z22 U2 I2 þ Z12 I2 ¼ U2 þ Z12 ¼ I2 ¼ Z12 Z12 Z12 Z12 ¼

Z11 Z 2 Z11 Z22 Z11 Z 1 1 Z 2 2 Z 12 2 U2 þ 12 I2 ¼ U2 I2 Z12 Z12 Z12 Z12

Im Zhler des letzten Bruches steht genau die Determinante der Widerstandsmatrix Z: Z11 Z12 ¼ Z11 Z22 Z 2 det Z ¼ 12 Z12 Z22 Somit gilt: U1 ¼

Z11 det Z Z11 det Z U2 I2 ¼ U2 þ ð I 2 Þ Z12 Z12 Z12 Z12

Die Vierpolgleichungen in der Kettenform werden somit durch die Matrizengleichung 0 1 0 1 0 1 Z 1 1 det Z U1 U2 B Z12 Z12 C B C C B C B @ A ¼ B A C@ @ 1 A Z22 I1 I2 Z12 Z12 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Kettenmatrix A

beschrieben. Die Koeffizientenmatrix ist dabei definitionsgemß die gesuchte Kettenmatrix A [ A47 ]. b) Es ist det A ¼

Z11 Z12

det Z Z12

1 Z12

Z22 Z12

Z11 1 1 ¼ Z12 Z12 1

det Z 1 ¼ 2 ðZ 1 1 Z 2 2 det ZÞ ¼ Z12 Z22

¼

Z 1 1 Z 2 2 det Z Z 1 1 Z 2 2 ðZ 1 1 Z 2 2 Z 12 2 Þ ¼ ¼ Z 12 2 Z 12 2

¼

Z 1 1 Z 2 2 Z 1 1 Z 2 2 þ Z 12 2 Z2 ¼ 12 2 ¼ 1 2 Z12 Z12

VII Lineare Algebra

223

Beispiel 2: Vierpolgleichungen fr ein symmetrisches T-Glied Matrizenrechnung, inverse Matrix Bild VII-2 zeigt einen Vierpol in Form eines symmetrisch ausgebildeten T-Gliedes mit den ohmschen Widerstnden R 1 ¼ 10 W (zweimal) und R 2 ¼ 20 W. Die Eingangsgrßen sind U 1 und I 1 , die Ausgangsgrßen U 2 und I 2 .

R1

I1

U1

I

R1

R2

I2

II

U2

I1 + I2

Bild VII-2 a) Bestimmen Sie Widerstandsmatrix Z, Leitwertmatrix Y und Kettenmatrix A dieses Vierpols. Welchen Wert besitzt die Determinante der Kettenmatrix A? b) Wie lauten die Spannungswerte U 1 und U 2 fr I 1 ¼ 0,5 A und I 2 ¼ 2 A? c) Welche Strme U 2 ¼ 5 V?

I1

und

I2

fließen bei den Gleichspannungen

U 1 ¼ 10 V und

d) Die Ausgangsgrßen besitzen die Werte U 2 ¼ 10 V, I 2 ¼ 0,1 A. Welche Werte besitzen die zugehrigen Eingangsgrßen U 1 und I 1 ? Lsungshinweis: Die Widerstandsform U ¼ Z I des symmetrischen T-Gliedes erhalten Sie durch Anwendung der Maschenregel [ A32 ] auf die beiden in Bild VII-2 nher gekennzeichneten Maschen. Lehrbuch: Bd. 2, I.3.2 und I.4.2

Physikalische Grundlagen: A32, A47

Lsung: a) Widerstandsmatrix Z Die Anwendung der Maschenregel [ A32 ] auf die beiden eingezeichneten Maschen (I) und (II) fhrt zu den folgenden Gleichungen: (I)

R 1 I 1 þ R 2 ðI 1 þ I 2 Þ U 1 ¼ 0

(II) R 1 I 2 R 2 ðI 1 þ I 2 Þ þ U 2 ¼ 0 Durch Auflsen dieser Gleichungen nach den Grßen U 1 und U 2 erhalten wir die gesuchten Beziehungen. Sie lauten (sog. Widerstandsform des symmetrischen T-Gliedes): U 1 ¼ R 1 I 1 þ R 2 ðI 1 þ I 2 Þ ¼ R 1 I 1 þ R 2 I 1 þ R 2 I 2 ¼ ðR 1 þ R 2 Þ I 1 þ R 2 I 2 U 2 ¼ R 1 I 2 þ R 2 ðI 1 þ I 2 Þ ¼ R 1 I 2 þ R 2 I 1 þ R 2 I 2 ¼ R 2 I 1 þ ðR 1 þ R 2 Þ I 2

224

VII Lineare Algebra

In der Matrizenform: R2 U1 R1 þ R2 I1 ¼ U2 R2 R1 þ R2 I2 |{z} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |{z} U I Widerstandsmatrix Z

oder

U ¼ ZI

Fr die symmetrische Widerstandsmatrix Z erhalten wir damit nach Einsetzen der Werte R2 R1 þ R2 10 W þ 20 W 20 W 30 W 20 W ¼ ¼ Z¼ R2 R1 þ R2 20 W 10 W þ 20 W 20 W 30 W Leitwertmatrix Y [ A47 ] Die Leitwertmatrix Y ist die Inverse der Widerstandsmatrix Z: C11 C21 C11 C12 1 1 1 Y ¼ Z ¼ ¼ det Z det Z C12 C22 C12 C11 Dabei ist C i k das algebraische Komplement des Widerstandselementes Z i k in det Z ði, k ¼ 1, 2Þ. Aus Symmetriegrnden ist hier Z 2 2 ¼ Z 1 1 und Z 2 1 ¼ Z 1 2 und somit C 2 2 ¼ C 1 1 und C 2 1 ¼ C 1 2 . Die Berechnung der Grßen det Z, C 1 1 und C 1 2 fhrt dann zu den folgenden Werten: 30 W 20 W ¼ 30 W 30 W 20 W 20 W ¼ ð900 400Þ W 2 ¼ 500 W 2 det Z ¼ 20 W 30 W 30 W 20 W 1þ1 ¼ 30 W , C 1 1 ¼ ð 1Þ 20 W 30 W C 1 2 ¼ ð 1Þ

1þ2

30 W 20 W

20 W ¼ 20 W 30 W

(die grau markierten Zeilen und Spalten in den beiden Determinanten werden gestrichen) Die symmetrische Leitwertmatrix lautet damit 30 W 20 W 0,06 S 0,04 S 1 Y ¼ ¼ ðS ¼ Siemens ¼ 1=WÞ 20 W 30 W 0,04 S 0,06 S 500 W 2 Kettenmatrix A [ A47 ] Wir gehen von der Widerstandsform U ¼ Z I und somit U1 30 W 20 W I1 U 1 ¼ 30 W I 1 þ 20 W I 2 ¼ oder 20 W 30 W U2 I2 U 2 ¼ 20 W I 1 þ 30 W I 2 aus und lsen die untere Gleichung nach I 1 auf: I1 ¼

U 2 30 W I 2 1 30 W U2 I 2 ¼ 0,05 S U 2 þ 1,5 ð I 2 Þ ¼ 20 W 20 W 20 W

VII Lineare Algebra

225

Dies ist bereits eine der beiden gesuchten Beziehungen in der Kettenform. Die zweite Gleichung folgt durch Einsetzen dieser Beziehung in die obere Gleichung der Widerstandsform: U 1 ¼ 30 W I 1 þ 20 W I 2 ¼ 30 W ð0,05 S U 2 1,5 I 2 Þ þ 20 W I 2 ¼ ¼ 1,5 U 2 45 W I 2 þ 20 W I 2 ¼ 1,5 U 2 þ 25 W ð I 2 Þ Die Vierpolgleichungen des symmetrischen T-Gliedes lauten somit in der Kettenform 2) ! ! ! U2 U1 1,5 25 W U 1 ¼ 1,5 U 2 þ 25 W ð I 2 Þ oder ¼ 0,05 S 1,5 I 1 ¼ 0,05 S U 2 þ 1,5 ð I 2 Þ I1 I2 Die gesuchte Kettenmatrix A hat daher die folgende Gestalt: ! 1,5 25 W A ¼ 0,05 S 1,5 Ihre Determinante besitzt den Wert 1,5 25 W det A ¼ ¼ 1,5 1,5 0,05 S 25 W ¼ 2,25 1,25 ¼ 1 0,05 S 1,5 Die Kettenform lautet somit: ! ! U1 U2 ¼ A ¼ I1 I2

1,5

25 W

0,05 S

1,5

!

U2

!

I2

b) Aus der Widerstandsform U ¼ Z I folgt durch Einsetzen der Stromwerte I 1 ¼ 0,5 A und I 2 ¼ 2 A: ! ! ! ! ! 55 V 30 W 0,5 A þ 20 W 2 A 0,5 A U1 30 W 20 W ¼ ¼ ¼ 70 V 20 W 0,5 A þ 30 W 2 A 2A 20 W 30 W U2 Somit ist U 1 ¼ 55 V und U 2 ¼ 70 V. c) Durch Einsetzen der Spannungswerte U 1 ¼ 10 V und U 2 ¼ 5 V in die Leitwertform I ¼ Y U [ A47 ] erhalten wir ! ! ! ! 0,06 S 10 V 0,04 S 5 V 10 V 0,06 S 0,04 S I1 ¼ ¼ ¼ 0,04 S 10 V þ 0,06 S 5 V 5V 0,04 S 0,06 S I2 ! 0,4 A 0,6 A 0,2 A ¼ ¼ 0,4 A þ 0,3 A 0,1 A Die Stromstrken betragen somit I 1 ¼ 0,4 A und I 2 ¼ 0,1 A. 2)

U 1 und I 1 sind definitionsgemß Funktionen von U 2 und I 2 [ A47 ].

226

VII Lineare Algebra

d) Aus der Kettenform

U1

¼ A

U2

erhalten wir mit I1 I2 I 2 ¼ 0,1 A die gesuchten Eingangsgrßen U 1 und I 1 [ A47 ]:

U1 I1

¼ ¼

1,5

25 W

0,05 S

1,5

15 V 2,5 V 0,5 A 0,15 A

¼

10 V

¼ 0,1 A 12,5 V

U 2 ¼ 10 V

und

1,5 10 V þ 25 W ð 0,1 AÞ

¼

0,05 S 10 V þ 1,5 ð 0,1 AÞ

0,35 A

Die Eingangswerte lauten somit U 1 ¼ 12,5 V und I 1 ¼ 0,35 A.

Beispiel 3: Symmetrische p-Schaltung Multiplikation von Matrizen Die in Bild VII-3 dargestellte symmetrische p-Schaltung entsteht durch Kettenschaltung [ A48 ] eines p-Halbgliedes mit einem Querwiderstand. a) Bestimmen Sie aus den vorgegebenen Kettenmatrizen A 1 und A 2 der beiden Einzelglieder die Kettenmatrix A der Gesamtschaltung. b) Die Ausgangsgrßen U 2 und I 2 besitzen die Werte U 2 ¼ 20 V und I 2 ¼ 1 A. Wie groß sind Eingangsspannung U 1 und Eingangsstrom I 1 ? Z 1 ¼ 10 W ;

1. Vierpol ( p -Halbglied)

2. Vierpol (Querwiderstand)

I1

I2 Z2

U1

Z1

Z1

U2

Z2 ¼ 5 W ;

Y 1 ¼ 1=Z 1 ¼ 0,1 S

A1 =

Bild VII-3

Lehrbuch: Bd. 2, I.2.6.3

1 Z2 Y 1 (1 + Y 1 Z 2)

A2 =

1 0 Y1 1

Physikalische Grundlagen: A47, A48

Lsung: a) Bei der Kettenschaltung multiplizieren sich die Kettenmatrizen der Einzelglieder [ A48 ]. Wir erhalten somit fr die Kettenmatrix A der symmetrischen p-Schaltung 1 Z2 1 0 A ¼ A1 A2 ¼ ¼ Y1 1 þ Y1 Z2 Y1 1 Z2 Z2 1 þ Y1 Z2 1 þ Y1 Z2 ¼ ¼ Y 1 þ ð1 þ Y 1 Z 2 Þ Y 1 1 þ Y 1 Z 2 Y 1 ð2 þ Y 1 Z 2 Þ 1 þ Y 1 Z 2

VII Lineare Algebra

227

Mit den vorgegebenen Werten lautet diese Matrix dann wie folgt: 1 þ 0,1 S 5 W 5W 1,5 5W A ¼ ¼ 0,1 S ð2 þ 0,1 S 5 WÞ 1 þ 0,1 S 5 W 0,25 S 1,5 b) Zwischen den Eingangs- und Ausgangsgrßen besteht der folgende Zusammenhang (sog. Kettenform [ A47 ]): ! ! ! ! U1 U2 1,5 5W 20 V ¼ A ¼ ¼ I1 I2 0,25 S 1,5 1 A ! ! 25 V 1,5 20 V þ 5 W ð 1 AÞ 30 V 5 V ¼ ¼ ¼ 5 A 1,5 A 3,5 A 0,25 S 20 V þ 1,5 ð 1 AÞ Die Eingangsspannung betrgt somit U 1 ¼ 25 V, der Eingangsstrom I 1 ¼ 3,5 A.

Beispiel 4: Kettenschaltung von Vierpolen Multiplikation von Matrizen Bild VII-4 zeigt, wie man durch Kettenschaltung [ A48 ] dreier Vierpole, nmlich zweier Lngswiderstnde Z 1 und Z 3 sowie eines Querwiderstandes Z 2 ein unsymmetrisches T-Glied erhlt.

1. Vierpol Z1

Lehrbuch: Bd. 2, I.2.6.3

3. Vierpol Z3

Z2

a) Bestimmen Sie aus den angegebenen Kettenmatrizen A 1 , A 2 und A 3 der drei Einzelvierpole die Kettenmatrix A des T-Gliedes. b) Wie lautet diese Matrix fr ein symmetrisches T-Glied mit Z 1 ¼ 10 W, Z 2 ¼ 20 W und Z 3 ¼ 10 W? Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Resultat aus Beispiel 2, Teil a) in diesem Kapitel.

2. Vierpol

A1 =

1 Z1 0 1

A2 =

1 0 Y2 1

A3 =

1 Z3 0 1

Y2 = 1 Z2

Bild VII-4

Physikalische Grundlagen: A47, A48

Lsung: a) Bei der Kettenschaltung multiplizieren sich die Kettenmatrizen der Einzelglieder [ A48 ]. Somit gilt fr die Kettenmatrix A des unsymmetrischen T-Gliedes 1 Z1 1 0 1 Z3 A ¼ A1 A2 A3 ¼ 0 1 Y2 1 0 1

228

VII Lineare Algebra

Die Multiplikationen werden dabei definitionsgemß von links nach rechts ausgefhrt. Wir erhalten demnach schrittweise 1 Z1 1 0 1 þ Y2 Z1 Z1 A1 A2 ¼ ¼ 0 1 Y2 1 Y2 1 1 þ Y2 Z1 Z1 1 Z3 A ¼ ðA 1 A 2 Þ A 3 ¼ ¼ Y2 1 0 1 1 þ Y 2 Z 1 ð1 þ Y 2 Z 1 Þ Z 3 þ Z 1 ¼ ¼ Y2 Y2 Z3 þ 1 1 þ Y 2 Z 1 Z 1 þ ð1 þ Y 2 Z 1 Þ Z 3 ¼ Y2 1 þ Y2 Z3 b) Fr Z 3 ¼ Z 1 erhalten wir ein symmetrisches T-Glied mit der Kettenmatrix 1 þ Y 2 Z 1 Z 1 þ ð1 þ Y 2 Z 1 Þ Z 1 1 þ Y 2 Z 1 Z 1 ð2 þ Y 2 Z 1 Þ A ¼ ¼ Y2 1 þ Y2 Z1 1 þ Y2 Z1 Y2 Sie lautet fr die speziellen Werte Z 1 ¼ Z 3 ¼ 10 W, Z 2 ¼ 20 W und Y 2 ¼ 1=Z 2 ¼ 1=ð20 WÞ ¼ 0,05 S in bereinstimmung mit dem Ergebnis aus Beispiel 2, Teil a) wie folgt: 1 þ 0,05 S 10 W 10 W ð2 þ 0,05 S 10 WÞ 1,5 25 W A ¼ ¼ 0,05 S 1 þ 0,05 S 10 W 0,05 S 1,5

Beispiel 5: Durchbiegung eines Trgers bei Belastung durch mehrere Krfte (Superpositionsprinzip) Multiplikation von Matrizen (Falk-Schema) Ein homogener Trger (z. B. ein Balken) auf zwei Sttzen wird in der aus Bild VII-5 ersichtlichen Weise durch drei Krfte F1 , F2 und F3 belastet. Die dabei an den Orten der Krfteeinwirkungen, d. h. an den Stellen x 1 , x 2 und x 3 hervorgerufenen Durchbiegungen sind y 1 , y 2 und y 3 .

F1

l/4

Bild VII-5

F3

l/4 x1 y1

y

F2

l/4

l/4

x2

x3 y2

y3

Biegelinie y = y ( x )

l

x

VII Lineare Algebra

229

Zwischen den einwirkenden Krften und den von ihnen hervorgerufenen Durchbiegungen besteht dann der folgende Zusammenhang: 0

y1

1

0

a11

a12

a13

1

0

F1

1

B C B C B C @ y 2 A ¼ @ a 2 1 a 2 2 a 2 3 A @ F2 A y3 a31 a32 a33 F3 |{z} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |{z} y f A

oder

y ¼ Af

Dabei ist y der Durchbiegungsvektor, f der Belastungsvektor und die Koeffizientenmatrix A die Matrix der sog. Einflusszahlen a i k ði, k ¼ 1, 2, 3Þ 3). In diesem speziellen Belastungsfall ist die Matrix A symmetrisch und besitzt die folgende Struktur: 0

9

B A ¼ l @ 11

11

7

1

C 16 11 A ¼ l A*

l ¼

mit

7 11 9 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} A*

l3 768 E I

l: Lnge des Trgers; E I : konstante Biegesteifigkeit des Trgers; E : Elastizittsmodul; I : Flchentrgheitsmoment Wie groß sind die von den Krften F1 ¼ 2 kN, F2 ¼ 4 kN und F3 ¼ 3 kN hervorgerufenen Durchbiegungen y 1 , y 2 und y 3 bei einem Trger mit der Lnge l ¼ 1 m und der Biegesteifigkeit E I ¼ 5 10 10 N mm 2 ? Lehrbuch: Bd. 2, I.2.6.3

Lsung: Aus y ¼ A f ¼ ðl A*Þ f ¼ l ðA* fÞ folgt nach Einsetzen der vorgegebenen Werte (l ¼ 1 m ¼ 10 3 mm; die Krfte mssen in der Einheit N ¼ Newton eingesetzt werden): 0

y1

1

0 3

3

9

0 1 2 C B C 11 A @ 4 A 10 3 N ¼ 9 3

11

7

ð10 mmÞ B C B @ y2 A ¼ @ 11 16 768 5 10 10 N mm 2 7 11 y3 0

1

0 1 2 B C B C 2 ¼ 2,6042 10 mm @ 11 16 11 A @ 4 A 7 11 9 3 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |{z} A* f 3)

9

11

7

1

Die Einflusszahl a i k ist die an der Stelle x i hervorgerufene Durchbiegung, wenn der Trger nur an der Stelle x k durch die Einheitslast F k ¼ 1 (ohne Einheit) belastet wird. Nach dem Superpositionsprinzip der Mechanik addieren sich dann die von verschiedenen Krften am gleichen Ort hervorgerufenen Durchbiegungen.

230

VII Lineare Algebra

Das Matrizenprodukt A* f berechnen wir nach dem Falk-Schema: 2 4

f

3 11

7

83

ð18 þ 44 þ 21 ¼ 83Þ

11

16

11

119

ð22 þ 64 þ 33 ¼ 119Þ

7

11

9

85

ð14 þ 44 þ 27 ¼ 85Þ

9 A*

A* f Somit ist 0 1 0 1 0 1 y1 83 2,16 B C B C B C @ y 2 A ¼ 2,6042 10 2 mm @ 119 A ¼ @ 3,10 A mm y3 85 2,21 Die von den einwirkenden Krften an den Stellen x 1 ¼ 0,25 m, x 2 ¼ 0,5 m und x 3 ¼ 0,75 m hervorgerufenen Durchbiegungen betragen daher der Reihe nach y 1 ¼ 2,16 mm ,

y 2 ¼ 3,10 mm ,

y 3 ¼ 2,21 mm :

Beispiel 6: Eigenkreisfrequenzen einer Biegeschwingung Determinantengleichung Der in Bild VII-6 dargestellte elastische Balken ist am linken Ende fest eingespannt und trgt in der angegebenen Weise zwei gleiche Punktmassen m 1 ¼ m 2 ¼ m. Infolge seiner Elastizitt ist er zu Biegeschwingungen fhig. A m1

Balken

m2

A, B: Umkehrpunkte der Biegeschwingung C: Gleichgewichtslage des Balkens

C

l

l

B

Bild VII-6

VII Lineare Algebra

231

Die Kreisfrequenzen w dieser Eigenschwingungen lassen sich aus der Determinantengleichung 5 2 ða w 2 Þ w 3EI 2 mit a ¼ ¼ 0 5 2 m l3 ða 8 w 2 Þ w 2 bestimmen. E I : konstante Biegesteifigkeit des Balkens: E : Elastizittsmodul; I : Flchentrgheitsmoment; 2 l: Balkenlnge Berechnen Sie diese Eigenkreisfrequenzen. Lehrbuch: Bd. 2, I.3.2

Lsung: Die Berechnung der 2-reihigen Determinante fhrt zu der folgenden algebraischen Gleichung 4. Grades in der Unbekannten w: 25 4 25 4 w ¼ a2 8 a w2 a w2 þ 8 w4 w ¼ 0 4 4 7 4 36 4 2 oder w4 w 9 a w2 þ a2 ¼ 0 a w2 þ a ¼ 0 4 7 7 ða w 2 Þ ða 8 w 2 Þ

)

Wir lsen diese biquadratische Gleichung mit Hilfe der Substitution z ¼ w 2 und erhalten 36 4 2 az þ a ¼ 0 ) 7 7 s ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 18 18 4 2 18 324 2 4 2 ¼ a a a ¼ a a a ¼ 7 7 7 7 49 7 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 296 18 324 28 2 18 296 2 18 a ¼ ¼ a a ¼ a a ¼ a 7 7 49 7 49 7 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 18 296 18 17,2047 ¼ a ¼ a 7 7

z2 z 1=2

Somit: z 1 ¼ 5,0292 a , z 2 ¼ 0,1136 a Bei der Rcksubstitution ist zu beachten, dass fr w aus physikalischen Grnden nur positive Werte infrage kommen. Demnach gibt es genau zwei Eigenschwingungen mit den Kreisfrequenzen rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃ 3EI EI w 1 ¼ z 1 ¼ 5,0292 a ¼ 5,0292 ¼ 3,8843 m l3 m l3 und pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃ w 2 ¼ z 2 ¼ 0,1136 a ¼

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 3EI EI 0,1136 ¼ 0,5838 3 ml m l3

232

VII Lineare Algebra

Beispiel 7: Elektromagnetische Induktion in einem durch ein Magnetfeld bewegten elektrischen Leiter Dreireihige Determinante Ein homogenes Magnetfeld mit einer magnetischen Flussdichte vom Betrag B ¼ 2 Vs=m 2 besitzt die Orientierung der z-Achse eines rumlichen kartesischen Koordinatensystems. In diesem Feld wird ein metallischer Leiter mit der konstanten Geschwindigkeit v ¼ 0,1 m=s in Richtung der Raumdiagonale eines achsenparallelen Wrfels bewegt (Bild VII-7). Die dabei im Leiter induzierte elektrische Feldstrke ~ ist nach dem Induktionsgesetz das vektorielle ProE dukt aus dem Geschwindigkeitsvektor ~ v und dem ~ der magnetischen Flussdichte: Vektor B

z 1

v Leiter

Berechnen Sie dieses Vektorprodukt nach der Determinantenmethode.

Raumdiagonale 1

y

1 x

~¼ ~ ~ E vB

B

Würfel der Kantenlänge a = 1

Bild VII-7

Lehrbuch: Bd. 1, II.3.4.1 und Bd. 2, I.3.3

Lsung: ~¼ ~ ~ Das Vektorprodukt E v B ~ ey ex ~ ~ ~ E ¼~ v B ¼ vx vy Bx By

ist formal durch die dreireihige Determinante ~ e z vz Bz

e y, ~ e z : Einheitsvektoren in Richtung der drei Koordinatenachsen). Aus Symdarstellbar (~ e x, ~ metriegrnden sind alle drei Geschwindigkeitskomponenten gleich und zwar pﬃﬃﬃ v x ¼ v y ¼ v z ¼ v= 3 ~ hat nur in der z-Richtung eine nichtverschwindende Komponente: Der Vektor B Bx ¼ By ¼ 0 ,

Bz ¼ B

Somit ist

~ ex p ﬃﬃﬃ ~ ~ E ¼~ v B ¼ v= 3 0

~ ~ ey ez pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ v= 3 v= 3 0

B

~ ex ~ ey ~ e z vB vB ¼ pﬃﬃﬃ 1 1 1 ¼ pﬃﬃﬃ D 3 3 0 0 1 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} D

VII Lineare Algebra

233

Die 3-reihige Determinante D berechnen wir nach der Regel von Sarrus: ~ ex

~ ey

~ ez

~ ex

~ ey

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

D ¼ 1~ e x þ 0~ e y þ 0~ e z ð0~ ez þ 0~ e x þ 1~ e y Þ ¼ 1~ e x 1~ e y þ 0~ ez Das induzierte elektrische Feld wird somit durch den folgenden Feldstrkevektor beschrieben: 1 0 1 vB vB vB B C ~¼ p ~¼ p ﬃﬃﬃ D ¼ pﬃﬃﬃ ð1~ ﬃﬃﬃ @ 1 A E e y þ 0~ e zÞ oder E e x 1~ 3 3 3 0 ~ besitzt keine Komponente in z-Richtung, d. h. in Richtung des Magnetfeldes ðE ~? B ~Þ. E Mit den gegebenen Werten erhalten wir schließlich 0 1 0 1 m Vs 1 1 0,1 2 2 pﬃﬃﬃ V B C C spﬃﬃﬃ m B ~¼ ~j ¼ 0,115 V 2 ¼ 0,163 V E jE @1A, @ 1 A ¼ 0,115 m m m 3 0 0

Beispiel 8: Kritische Drehzahlen einer zweifach gelagerten Welle Homogenes lineares Gleichungssystem, Determinantengleichung Die in Bild VII-8 dargestellte zweifach gelagerte Welle trgt in den angegebenen Abstnden zwei Zylinderscheiben gleicher Masse (m 1 ¼ m 2 ¼ m). Rotiert die Welle mit der Winkelgeschwindigkeit w um ihre Lngsachse, so treten an den Scheiben Zentrifugalkrfte 4) auf, die zu einer Verbiegung der Welle fhren. An den Orten der Scheiben sind diese seitlichen Auslenkungen durch die Gleichungen y 1 ¼ a 1 1 F1 þ a 1 2 F2 y 2 ¼ a 2 1 F1 þ a 2 2 F2 gegeben. 4)

Zum Beispiel infolge der Exzentrizitt der Scheiben.

m1

m2 Zylinderscheibe

Welle

a

a

v a a) a

2a y2

y1 F1

y b)

Bild VII-8

3a

F2

x verbogene Welle (Momentanaufnahme)

234

VII Lineare Algebra

F1 und F2 sind dabei die auf die Scheibenmassen m 1 und m 2 einwirkenden Zentrifugalkrfte [ A15 ] F1 ¼ m 1 w 2 y 1 ¼ m w 2 y 1

und

F2 ¼ m 2 w 2 y 2 ¼ m w 2 y 2

Die Koeffizienten a i k sind reziproke Federkonstanten und werden als Einflusszahlen bezeichnet. Aus Symmetriegrnden ist fr den hier behandelten Belastungsfall a 1 1 ¼ a 2 2 ¼ a und a 1 2 ¼ a 2 1 ¼ b. Die Auslenkungen gengen somit dem homogenen linearen Gleichungssystem y 1 ¼ a F1 þ b F2 ¼ a m w 2 y 1 þ b m w 2 y 2 y 2 ¼ b F1 þ a F2 ¼ b m w 2 y 1 þ a m w 2 y 2 oder (nach Ordnen der Glieder): (I) ða m w 2 1Þ y 1 þ (II)

b m w2 y2 ¼ 0

b m w 2 y 1 þ ða m w 2 1Þ y 2 ¼ 0

In der Matrizenschreibweise lautet das Gleichungssystem: ! y1 0 a m w2 1 b m w2 ¼ oder 2 2 y2 0 bmw amw 1 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |{z} |{z} A y 0 a ¼

Ay ¼ 0

4 a3 7 a3 ; b ¼ ; E I : konstante Biegesteifigkeit der Welle; 3a: Lnge der Welle 9EI 18 E I

a) Bestimmen Sie die kritischen Drehzahlen der Welle, d. h. diejenigen Drehzahlen (bzw. Winkelgeschwindigkeiten), fr die das lineare Gleichungssystem nichttriviale Lsungen besitzt. b) Was lsst sich ber die Auslenkungen der Welle bei diesen kritischen Drehzahlen aussagen? Lehrbuch: Bd. 2, I.5.4.2

Physikalische Grundlagen: A15

Lsung: a) Das homogene lineare Gleichungssystem A y ¼ 0 ist bekanntlich nur dann nichttrivial lsbar, wenn die Koeffizientendeterminante det A verschwindet. Die kritischen Winkelgeschwindigkeiten gengen somit der folgenden Gleichung 4. Grades: a m w2 1 b m w 2 det A ¼ ¼ ða m w 2 1Þ 2 b 2 m 2 w 4 ¼ 0 b m w2 a m w2 1 Wir lsen diese biquadratische Gleichung wie folgt, wobei fr w aus physikalischen Grnden nur positive Werte infrage kommen:

VII Lineare Algebra

235

ða m w 2 1Þ 2 ¼ b 2 m 2 w 4 j Wurzelziehen a m w2 b m w2 ¼ 1 w2 ¼

)

)

a m w2 1 ¼ b m w2

w 2 ða m b mÞ ¼ 1

1 1 ¼ am bm m ða bÞ

)

)

)

1 w 1=2 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ m ða bÞ

Es gibt demnach zwei kritische Winkelgeschwindigkeiten. Sie lauten unter Bercksichtigung von ab ¼

4 a3 7 a3 8 a3 7 a3 8 7 a3 ¼ ¼ 18 9EI 18 E I 18 E I EI

wie folgt: w 1=2

1 1 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ ¼ m ða bÞ 8 7 a3 m 18 EI

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 18 EI 87 m a3

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 18 EI EI w1 ¼ ¼ 1,0954 3 15 ma m a3 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃ EI EI w 2 ¼ 18 ¼ 4,2426 m a3 m a3 Die zugehrigen kritischen Drehzahlen sind ð f ¼ w=ð2 pÞÞ: rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w1 EI w2 EI und f2 ¼ f1 ¼ ¼ 0,1743 ¼ 0,6752 3 2p 2p ma m a3 b) Kritische Winkelgeschwindigkeit w 1 Wir setzen in das homogene lineare Gleichungssystem fr w den kritischen Wert 1 w 1 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ein und erhalten aus Gleichung (I): m ða þ bÞ am bm ða m w 21 1Þ y 1 þ b m w 21 y 2 ¼ 1 y1 þ y2 ¼ 0 ) m ða þ bÞ m ða þ bÞ a b a ða þ bÞ b 1 y1 þ y2 ¼ y1 þ y2 ¼ aþb aþb aþb aþb

b ð y 1 þ y 2 Þ ¼ 0

)

¼

ða a bÞ y 1 þ b y 2 b y1 þ b y2 ¼ ¼ aþb aþb

¼

b ð y 1 þ y 2 Þ ¼ 0 aþb

y 1 þ y 2 ¼ 0 ðda b 6¼ 0Þ

) )

y1 ¼ y2

236

VII Lineare Algebra

Gleichung (II) fhrt zum selben Ergebnis. Bei der kritischen Winkelgeschwindigkeit w 1 erfahren die Scheiben somit Auslenkungen gleicher Grße und Richtung (Bild VII-9 zeigt eine Momentanaufnahme). Die absolute Grße der Auslenkung jedoch bleibt unbestimmt!

a

2a y1

3a

y2

x

y

Bild VII-9

Kritische Winkelgeschwindigkeit w 2 Die 1. Gleichung des homogenen linearen Gleichungssystems liefert fr den kritischen 1 Wert w 2 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ die folgende Beziehung zwischen den Auslenkungen y 1 und m ða bÞ y 2 der beiden Zylinderscheiben 5) : ða m w 22 1Þ y 1 þ b m w 22 y 2 ¼

am bm 1 y1 þ y2 ¼ 0 m ða bÞ m ða bÞ

)

a b a ða bÞ b 1 y1 þ y2 ¼ y1 þ y2 ¼ ab ab ab ab

b ðy 1 þ y 2 Þ ¼ 0

)

¼

ða a þ bÞ y 1 þ b y 2 b y1 þ b y2 ¼ ¼ ab ab

¼

b ðy 1 þ y 2 Þ ¼ 0 ab

)

y 1 þ y 2 ¼ 0 ðda b 6¼ 0Þ

)

y2 ¼ y1

Wir folgern: Bei der grßeren der beiden kritischen Winkelgeschwindigkeiten erfahren die beiden Scheiben entgegengesetzt gleich große Auslenkungen, deren absolute Grße jedoch y2 a ebenfalls unbestimmt bleibt (Bild VII-10 zeigt eine Momentanaufnahme). y1 2a 3a x Bild VII-10

y

Beispiel 9: Widerstandsmessung mit der Wheatstoneschen Brcke Homogenes lineares Gleichungssystem, Determinanten Die in Bild VII-11 dargestellte Wheatstonesche Brckenschaltung enthlt drei feste ohmsche Widerstnde R 1 ¼ 10 W, R 2 ¼ 20 W und R 3 ¼ 5 W sowie einen variablen Widerstand R x . Wie muss dieser Widerstand eingestellt werden, damit die „Brcke“ B––D stromlos wird? 5)

Die 2. Gleichung fhrt zu derselben Aussage.

VII Lineare Algebra

237

R1

I1

R2

B

I2

IB I

A

I

A

I3

R3

D

II

Ri

Rx

I

C

Ix

Bild VII-11

Lsungshinweis: Stellen Sie zunchst die Maschengleichungen [ A32 ] der beiden in Bild VII-11 nher gekennzeichneten Maschen auf. Das in die Brcke geschaltete Amperemeter dient lediglich als Nullindikator, die Grße des Innenwiderstandes R i dieses Messinstrumentes ist dabei fr die Lsung dieser Aufgabe ohne Bedeutung. Lehrbuch: Bd. 2, I.5.4.2

Physikalische Grundlagen: A32

Lsung: Wir nehmen zunchst an, dass die Brcke B––D vom Strom I B durchflossen wird. Durch Anwendung der Maschenregel [ A32 ] auf die eingezeichneten Maschen I und II folgt dann: ðIÞ

R1 I1 þ Ri IB R3 I3 ¼ 0

ðIIÞ

R2 I2 Rx Ix Ri IB ¼ 0

Der variable Widerstand R x wird nun so eingestellt, dass die Brcke stromlos wird. Dann aber ist I B ¼ 0 und somit I 2 ¼ I 1 und I x ¼ I 3 . Die Maschengleichungen gehen dann ber in ðIÞ

R1 I1 R3 I3 ¼ 0

ðIIÞ

R2 I1 Rx I3 ¼ 0

oder

R1

R3

R2 Rx |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} A

I1 I3

¼

0 0

Dieses homogene lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten I 1 und I 3 ist nur dann nichttrivial lsbar, wenn die Koeffizientendeterminante D ¼ det A verschwindet 6). Aus dieser Bedingung erhalten wir die gewnschte Beziehung (auch Abgleichbedingung genannt): det A ¼

Rx ¼ 6)

R1

– R3

R2

––R x

¼ R1 Rx þ R2 R3 ¼ 0

R2 R3 20 W 5 W ¼ ¼ 10 W R1 10 W

Der triviale Fall I 1 ¼ I 3 ¼ 0 ist physikalisch ohne Bedeutung.

)

238

VII Lineare Algebra

Beispiel 10: Torsionsschwingungen einer Welle Dreireihige Determinante Bild VII-12 zeigt eine elastische Welle mit konstantem Durchmesser, die in symmetrischer Anordnung drei starre Zylinderscheiben vom gleichen Massentrgheitsmoment J 1 ¼ J 2 ¼ J 3 ¼ J trgt. Werden die Scheiben gegeneinander verdreht, so treten infolge der elastischen Rckstellmomente Torsionsschwingungen um die Wellenachse auf.

Zylinderscheibe Welle

J1

J2

J3

Bild VII-12 Die Kreisfrequenzen w dieser Eigenschwingungen (auch Eigenkreisfrequenzen genannt) lassen sich dabei aus der folgenden Determinantengleichung berechnen: ð w 2 J þ cÞ c 0 2 D ¼ ¼ 0 c c ð w J þ 2 cÞ 2 0 c ð w J þ cÞ c: Federkonstante des Rckstellmomentes; Welle nahezu masselos Wie lauten diese Eigenkreisfrequenzen? Lehrbuch: Bd. 2, I.3.3

Lsung: Zunchst berechnen wir die 3-reihige Determinante nach der Regel von Sarrus: ð w 2 J þ cÞ

c 2

c

ð w J þ 2 cÞ

c

c

ð w 2 J þ cÞ

0 2

0

2

ð w 2 J þ cÞ c

c 2

ð w J þ 2 cÞ

0

2

D ¼ ð w J þ cÞ ðw J þ 2 cÞ þ 0 þ 0 ½ 0 þ c 2 ð w 2 J þ cÞ þ c 2 ð w 2 J þ cÞ ¼ ¼ ð w 2 J þ cÞ 2 ð w 2 J þ 2 cÞ 2 c 2 ð w 2 J þ cÞ ¼ ¼ ð w 2 J þ cÞ ½ ð w 2 J þ cÞ ð w 2 J þ 2 cÞ 2 c 2 ¼ ¼ ð w 2 J þ cÞ ½ w 4 J 2 2 c w 2 J c w 2 J þ 2 c 2 2 c 2 ¼ ¼ ð w 2 J þ cÞ ðw 4 J 2 3 c w 2 JÞ ¼ ð w 2 J þ cÞ ðw 2 J 3 cÞ w 2 J

c

VII Lineare Algebra

239

Die gesuchten Eigenkreisfrequenzen gengen somit der Gleichung 6. Grades ð w 2 J þ cÞ ðw 2 J 3 cÞ w 2 J ¼ 0 Aus physikalischen Grnden ist w > 0, sodass diese Gleichung nur erfllt ist, wenn entweder der erste Faktor oder der zweite Faktor oder beide Faktoren verschwinden. Wir erhalten daher zwei Gleichungen mit insgesamt zwei Lsungen. Sie lauten: rﬃﬃﬃﬃﬃ c 2 w J þ c ¼ 0 ) w1 ¼ J rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 3c 2 w J 3 c ¼ 0 ) w2 ¼ J pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Das System p besitzt ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃsomit genau zwei Eigenschwingungen mit den Kreisfrequenzen w 1 ¼ c=J und w 2 ¼ 3 c=J .

Beispiel 11: Verzweigter Stromkreis Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Cramersche Regel Der in Bild VII-13 skizzierte verzweigte Stromkreis mit den ohmschen Widerstnden R 1 , R 2 und R 3 wird durch eine Gleichspannungsquelle mit der Quellenspannung U q gespeist. Bestimmen Sie die drei Zweigstrme I 1 , I 2 und I 3 mit Hilfe der Cramerschen Regel.

R3

I3

II t=0 A I2

S

R2

B

Uq I

I1

Bild VII-13

R1

Lsungshinweis: Durch Anwendung der Knotenpunktregel [ A50 ] und der Maschenregel [ A32 ] erhalten Sie ein lineares Gleichungssystem fr die drei unbekannten Zweigstrme I 1 , I 2 und I 3 . Lehrbuch: Bd. 2, I.5.4.3

Physikalische Grundlagen: A32, A50

Lsung: Durch Anwendung der Knotenpunktregel [ A50 ] auf den Knotenpunkt A und der Maschenregel [ A32 ] auf die eingezeichneten Maschen I und II erhalten wir das folgende inhomogene lineare Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den drei Unbekannten I 1 , I 2 und I 3 :

240

VII Lineare Algebra

ðAÞ ðIÞ

I1 þ

I2

R1 I1 R2 I2

ðIIÞ

¼ 0

I3

þ Uq ¼ 0

R2 I2 þ R3 I3 Uq ¼ 0

Es lautet in der Matrizenform 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 I1 B B C B C C 0 A @ I2 A ¼ @ Uq A @ R1 R2 Uq 0 R2 R3 I3 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} A

ðA : KoeffizientenmatrixÞ

Wir berechnen zunchst die Koeffizientendeterminante D ¼ det A mit Hilfe der Regel von Sarrus:

–1

1 –1

– R1 – R2 –0

–1

1

– R1 – R2

0

R2 – R3

–0

– R2

D ¼ R 2 R 3 þ 0 þ R 1 R 2 ð0 þ 0 R 1 R 3 Þ ¼ R 1 R 2 þ R 1 R 3 þ R 2 R 3 Analog werden die nach der Cramerschen Regel bentigten Hilfsdeterminanten D 1 , D 2 und D 3 bestimmt: 0 1 1 0 ¼ R2 Uq R2 Uq þ R3 Uq ¼ R3 Uq D1 ¼ Uq R2 Uq R2 R3 1 D2 ¼ R1 0 1 D3 ¼ R1 0

0 Uq Uq 1 R2 R2

1 0 ¼ R 3 U q þ R 1 U q ¼ ðR 1 þ R 3 Þ U q R3 Uq ¼ R2 Uq R2 Uq þ R1 Uq ¼ R1 Uq Uq 0

Die Berechnungsformeln fr die drei Zweigstrme lauten daher der Reihe nach wie folgt: I1 ¼

D1 R3 Uq ¼ ; D R1 R2 þ R1 R3 þ R2 R3

I3 ¼

D3 R1 Uq ¼ D R1 R2 þ R1 R3 þ R2 R3

I2 ¼

D2 ðR 1 þ R 3 Þ U q ¼ ; D R1 R2 þ R1 R3 þ R2 R3

VII Lineare Algebra

241

Beispiel 12: Beschleunigte Massen in einem Rollensystem Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Cramersche Regel Das in Bild VII-14 skizzierte System enthlt in symmetrischer Anordnung drei Massen m 1 ¼ m 2 ¼ m und m 3 ¼ 2 m, die durch ein ber Rollen fhrendes Seil miteinander verbunden sind. Bestimmen Sie die Beschleunigungen a 1 , a 2 und a 3 dieser Massen sowie die im Seil wirkende konstante Seilkraft F S unter Verwendung der Cramerschen Regel. Lsungshinweis: Wenden Sie das Newtonsche Grundgesetz [ A27 ] auf die einzelnen Massen an. Seil und Rollen werden dabei als masselos angenommen, Reibungskrfte vernachlssigt.

m

m

m1

m2

m

a

m

Bild VII-14 Lehrbuch: Bd. 2, I.5.4.3

m3

Physikalische Grundlagen: A27

Lsung: Aus Symmetriegrnden erfahren die Massen m 1 und m 2 die gleiche Beschleunigung. Somit ist a 1 ¼ a 2 . An jeder Stelle des Seils wirkt die gleiche Seilkraft F S . Nach dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ] folgt dann fr die einzelnen Massen: Masse m1 ¼ m bzw. Masse m2 ¼ m Die Seilkraft F S wirkt der Schwerkraft G 1 ¼ m 1 g ¼ m g entgegen. Daher gilt m a1 ¼ m g FS

m a1 þ FS ¼ m g

oder

Masse m3 ¼ 2 m Der Schwerkraft G 3 ¼ m 3 g ¼ 2 m g wirkt insgesamt die von vier Seilstcken erzeugte Kraft 4 F S entgegen (Beitrag eines jeden Seilstcks: F S ). Somit ist 2 m a3 ¼ 2 m g 4 FS

oder

m a3 þ 2 FS ¼ m g

Damit haben wir zwei Gleichungen fr die drei Unbekannten a 1 , a 3 und F S . Die noch fehlende dritte Gleichung erhalten wir durch die folgende berlegung: Bewegt sich die mittlere Masse m 3 ¼ 2 m um eine Lngeneinheit nach oben, so senken sich in der gleichen Zeit (bei undehnbarem und straffem Seil) die beiden ußeren Massen m 1 ¼ m 2 ¼ m um jeweils

242

VII Lineare Algebra

zwei Lngeneinheiten. Diese berlegung gilt fr jede Phase der Bewegung. Daher muss die Beschleunigung der beiden ußeren Massen doppelt so groß sein wie die Beschleunigung der mittleren Masse. Sie erfolgt jedoch in entgegengesetzter Richtung. Somit ist a1 ¼ a2 ¼ 2 a3

und somit

a1 þ 2 a3 ¼ 0

Die Beschleunigungen a 1 und a 3 sowie die Seilkraft F S gengen daher dem inhomogenen linearen Gleichungssystem 0 1 0 1 0 1 þ FS ¼ m g m a1 m 0 1 mg a1 B C B C B C m a3 þ 2 FS ¼ m g oder @ 0 m 2 A @ a3 A ¼ @ m g A ¼ 0 1 2 0 FS a1 þ 2 a3 0 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Koeffizientenmatrix A

Wir lsen dieses System nach der Cramerschen Regel. Die dabei bentigte Koeffizientendeterminante D ¼ det A sowie die drei Hilfsdeterminanten D 1 , D 2 und D 3 werden nach der Regel von Sarrus berechnet. Wir erhalten: m 0 1 m 0 1 m 0 D ¼ det A ¼ 0 m 2 0 m 2 0 m 1 2 0 1 2 0 1 2 D ¼ 0 þ 0 þ 0 ðm þ 4 m þ 0Þ ¼ 5 m Analog werden die mg D1 ¼ m g 0

drei Hilfsdeterminanten berechnet: 0 1 m 2 ¼ 2mg 4mg ¼ 2mg 2 0

m mg D2 ¼ 0 m g 1 0 m 0 D3 ¼ 0 m 1 2

1 2 ¼ 2mg mg ¼ mg 0 m g m g ¼ ðm 2 g þ 2 m 2 gÞ ¼ 3 m 2 g 0

Nach der Cramerschen Regel ist dann a1 ¼

D1 2mg ¼ 0,4 g ; ¼ 5m D

FS ¼

D3 3 m2 g ¼ ¼ 0,6 m g D 5m

a3 ¼

D2 mg ¼ 0,2 g; ¼ 5m D

VII Lineare Algebra

243

Die drei Massen erfahren somit der Reihe nach die Beschleunigungen a 1 ¼ a 2 ¼ 0,4 g (jeweils nach unten) und a 3 ¼ 0,2 g (nach oben). Die Seilkraft betrgt F S ¼ 0,6 m g, das sind 60 % des Gewichtes der Masse m 1 ¼ m bzw. m 2 ¼ m.

Beispiel 13: Berechnung der Zweigstrme in einem elektrischen Netzwerk Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Cramersche Regel Das in Bild VII-15 skizzierte elektrische Netzwerk enthlt neben den beiden ohmschen Widerstnden R 1 ¼ 6 W und R 2 ¼ 4 W eine Spannungsquelle mit der Quellenspannung U q ¼ 10 V sowie eine Stromquelle, die den konstanten Quellenstrom I q ¼ 2 A liefert. Berechnen Sie die beiden Zweigstrme I 1 und I 2 unter Verwendung von Determinanten (Cramersche Regel).

Bild VII-15 Lehrbuch: Bd. 2, I.5.4.3

R2 Uq

I2

I2 R1 A

I1

I1

Iq

B Iq

Iq

Physikalische Grundlagen: A32, A50

Lsung: Die beiden Knotenpunkte A und B liefern genau eine (unabhngige) Gleichung. Wir wenden die Knotenpunktregel [ A50 ] auf den Knotenpunkt A an: I1 þ I2 Iq ¼ 0 Die zweite bentigte Gleichung erhalten wir durch Anwendung der Maschenregel [ A32 ] auf die im Bild eingezeichnete Masche: R1 I1 þ Uq þ R2 I2 ¼ 0 Das inhomogene lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten I1 þ I2 ¼ Iq Iq 1 1 I1 oder ¼ R1 I1 þ R2 I2 ¼ Uq Uq I2 R1 R2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} A lsen wir mit Hilfe der Cramerschen Regel. Die Koeffizientendeterminante besitzt den Wert D ¼ det A ¼

1

1

– R1

–R 2

¼ R 2 þ R 1 ¼ R 1 þ R 2 ¼ 6 W þ 4 W ¼ 10 W

244

VII Lineare Algebra

Die beiden Hilfsdeterminanten D 1 und D 2 werden analog berechnet: Iq 1 ¼ R 2 I q þ U q ¼ 4 W 2 A þ 10 V ¼ 8 V þ 10 V ¼ 18 V D 1 ¼ Uq R2 1 Iq ¼ U q þ R 1 I q ¼ 10 V þ 6 W 2 A ¼ 10 V þ 12 V ¼ 2 V D2 ¼ R1 Uq Damit besitzen die Zweigstrme I 1 und I 2 die folgenden Werte: I1 ¼

D1 18 V ¼ ¼ 1,8 A , D 10 W

I2 ¼

D2 2V ¼ ¼ 0,2 A D 10 W

Beispiel 14: Netzwerkanalyse nach dem Maschenstromverfahren Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Gaußscher Algorithmus Das in Bild VII-16 dargestellte elektrische Netzwerk enthlt sechs ohmsche Widerstnde R 1 ¼ R 2 ¼ R 3 ¼ 10 W, R 4 ¼ 15 W, R 5 ¼ 5 W und R 6 ¼ 25 W sowie drei Gleichspannungsquellen mit den Quellenspannungen U q 1 ¼ 65 V, U q 2 ¼ 95 V und U q 3 ¼ 130 V. Berechnen Sie die Zweigstrme I 1 bis I 6 nach dem Maschenstromverfahren [ A51 ] unter Verwendung des Gaußschen Algorithmus. R3

I3 C I2 I6

U q3 II

R6

U q2 I II R2

I3

I4

I4

A I1

I6 D I5

R4

R5

I III

R1

U q1

Lehrbuch: Bd. 1, I.5.2 und Bd. 2, I.5.2

I5

I2 B I1

Bild VII-16 Physikalische Grundlagen: A32, A51

VII Lineare Algebra

245

Lsung: Wir lsen die Aufgabe schrittweise wie folgt [ A51 ]: (1) Einfhrung der Maschenstrme Das Netzwerk enthlt k ¼ 4 Knotenpunkte und z ¼ 6 Zweige. Somit gibt es m ¼ z ðk 1Þ ¼ 6 3 ¼ 3 unabhngige Maschen und ebensoviele unabhngige Maschenstrme. Wir whlen die in Bild VII-16 eingezeichneten Maschen I, II und III und ordnen ihnen der Reihe nach die fiktiven Maschenstrme I I , I II und I III zu. (2) Aufstellung der Maschengleichungen nach der Maschenregel [ A32 ] Masche I (ADCA) ðR 3 þ R 4 þ R 6 Þ I I þ R 4 I III þ R 6 I II U q 3 ¼ 0 Masche II (BDCB) ðR 2 þ R 5 þ R 6 Þ I II R 5 I III þ R 6 I I U q 2 ¼ 0 Masche III (ADBA) ðR 1 þ R 4 þ R 5 Þ I III R 5 I II þ R 4 I I U q 1 ¼ 0 Die drei Maschenstrme gengen somit dem folgenden inhomogenen linearen Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten: ðR 3 þ R 4 þ R 6 Þ I I þ

þ

R 4 I III

¼ Uq3

R6 II

þ ðR 2 þ R 5 þ R 6 Þ I II

R 5 I III

¼ Uq2

R4 II

R 6 I II R 5 I II

þ ðR 1 þ R 4 þ R 5 Þ I III ¼ U q 1

(3) Berechnung der Maschenstrme nach dem Gaußschen Algorithmus Nach Einsetzen der Werte fr die Widerstnde und Quellenspannungen erhalten wir das Gleichungssystem (ohne Einheiten) 9 ð10 þ 15 þ 25Þ I I þ 25 I II þ 15 I III ¼ 130 > 50 I I þ 25 I II þ 15 I III ¼ 130 = 25 I I þ ð10 þ 5 þ 25Þ I II 5 I III ¼ 95 ) 25 I I þ 40 I II 5 I III ¼ 95 > ; 15 I I 5 I II þ ð10 þ 15 þ 5Þ I III ¼ 65 15 I I 5 I II þ 30 I III ¼ 65 oder (nach Krzen durch den gemeinsamen Faktor 5) 9 10 I I þ 5 I II þ 3 I III ¼ 26 > = alle Str¨ome in der Einheit Ampere 5 I I þ 8 I II I III ¼ 19 > ; 3 I I I II þ 6 I III ¼ 13

246

VII Lineare Algebra

Wir verwenden beim Lsen das elementare Rechenschema aus Band 1, Abschnitt I.5.2. II

I II

3 E1

10 15

5 24

3 3

26 57

44 93

E1

5

8

1

19

31

6 E1

3 30

1 48

6 6

13 114

21 186

E2

25

29

83

137

47 38,28

127 109,56

207 180,84

8,72

17,44

26,16

1,32 E 2

33 33

I III

ci

Zeilensumme

Das gestaffelte Gleichungssystem lautet somit (von unten nach oben gelst): 5 I I þ 8 I II I III ¼ 19 25 I I þ 29 I II 8,72 I II

¼ 83

) 5 þ 16 I III ¼ 19 ) I III ¼ 2 ) 25 I I þ 58 ¼ 83

¼ 17,44

) II ¼ 1 ) I II ¼ 2

" "

Die (fiktiven) Maschenstrme haben damit folgende Werte: II ¼ 1 A ;

I II ¼ 2 A ;

I III ¼ 2 A

(4) Berechnung der Zweigstrme Die (realen) Zweigstrme I 1 bis I 6 entstehen durch berlagerung gewisser Maschenstrme. Aus Bild VII-16 folgt unmittelbar: I 1 ¼ I III ¼ 2 A I 4 ¼ I I þ I III ¼ 1 A þ 2 A ¼ 3 A I 2 ¼ I II ¼ 2 A I 5 ¼ I II I III ¼ 2 A 2 A ¼ 0 A I 3 ¼ I I ¼ 1 A I 6 ¼ I I þ I II ¼ 1 A þ 2 A ¼ 3 A Der Widerstand R 5 ist somit stromlos.

VII Lineare Algebra

247

Beispiel 15: Berechnung der Zweigstrme in einem elektrischen Netzwerk Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Gaußscher Algorithmus (Matrizenform) Bild VII-17 zeigt ein aus drei Zweigen bestehendes elektrisches Netzwerk mit vier ohmschen Widerstnden R 1 ¼ 1 W, R 2 ¼ 2 W, R 3 ¼ 3 W und R 4 ¼ 5 W sowie den beiden Spannungsquellen mit den Quellenspannungen U q 1 ¼ 10 V und U q 2 ¼ 20 V. Berechnen Sie die drei Zweigstrme I 1 , I 2 und I 3 mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus in Matrizenform.

R3 U q2

II I3

I3

A I1

B I2

R4

I1

I

I1

Bild VII-17

I2

R2

R1

I1 U q1

Lsungshinweis: Die Anwendung der Knotenpunktregel [ A50 ] bzw. der Maschenregel [ A32 ] auf die in Bild VII-17 gekennzeichneten Knotenpunkte bzw. Maschen fhrt zu einem linearen Gleichungssystem fr die gesuchten Zweigstrme. Lehrbuch: Bd. 2, I.5.2

Physikalische Grundlagen: A32, A50

Lsung: Die beiden Knotenpunkte A und B liefern durch Anwendung der Knotenpunktregel [ A50 ] genau eine unabhngige Gleichung: ðAÞ

I1 þ I2 I3 ¼ 0

Aus den beiden Maschen I und II erhalten wir nach der Maschenregel [ A32 ] unter Bercksichtigung des eingezeichneten Umlaufsinns zwei weitere unabhngige Gleichungen: ðIÞ

R1 I1 þ R2 I2 R4 I1 þ Uq1 ¼ 0

)

ðR 1 þ R 4 Þ I 1 þ R 2 I 2 þ U q 1 ¼ 0

ðIIÞ

R2 I2 R3 I3 þ Uq2 ¼ 0

)

R2 I2 þ R3 I3 Uq2 ¼ 0

Die drei Zweigstrme gengen somit dem inhomogenen linearen Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den drei Unbekannten I 1 , I 2 und I 3 I1 þ

I2

ðR 1 þ R 4 Þ I 1 þ R 2 I 2

I3 ¼

0

¼ Uq1

R2 I2 þ R3 I3 ¼

Uq2

248

VII Lineare Algebra

oder (in der Matrizenform) 0 1 0 1 0 1 0 I1 1 1 1 B C B C B C 0 A @ I2 A ¼ @ Uq1 A @ ðR 1 þ R 4 Þ R 2 0 R2 R3 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} R

I3

|{z}

I

oder

RI ¼ U

Uq2 |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} U

Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen lsst sich die erweiterte Koeffizientenmatrix ðR j UÞ in die Trapezform bringen (Gaußscher Algorithmus). Das lineare Gleichungssystem R I ¼ U geht dabei in das gestaffelte System R * I ¼ U * ber, das dann sukzessiv von unten nach oben gelst werden kann. Zeilenumformungen in der erweiterten Koeffizientenmatrix ðR j UÞ Nach Einsetzen der Zahlenwerte (ohne Einheiten) folgt (Z i : i-te Zeile): 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 B B C C ðR j UÞ ¼ @ 6 2 0 10 A þ 6 Z 1 ) @ 0 8 6 10 A ) 0 2 3 20 ð 4Þ 0 2 3 20 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |{z} R U 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 B C B C ) @0 8 6 10 A ¼ ðR * j U *Þ 8 6 10 A @0 0 0 18 90 0 8 12 80 þ Z 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |{z} U* R* Das gestaffelte System lautet somit 0 1 0 1 0 1 I1 1 1 1 0 B C B C B C R* I ¼ U* oder @ 0 8 6 A @ I 2 A ¼ @ 10 A 0

0 18

I3

90

Wir lsen es sukzessiv von unten nach oben: I1 þ

I2

I3 ¼

0

)

I 1 þ 2,5 5 ¼ 0 ) I 1 ¼ 2,5

8 I 2 6 I 3 ¼ 10

)

8 I 2 30 ¼ 10

18 I 3 ¼ 90

)

I3 ¼ 5

Die drei Zweigstrme besitzen damit folgende Werte: I 1 ¼ 2,5 A ;

I 2 ¼ 2,5 A ;

I3 ¼ 5 A

) I 2 ¼ 2,5

" "

VII Lineare Algebra

249

Beispiel 16: Berechnung der Strme in einer Netzmasche Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Gaußscher Algorithmus Bild VII-18 zeigt eine viereckige Netzmasche mit den ohmschen Widerstnden R 1 ¼ 1 W, R 2 ¼ 2 W, R 3 ¼ 5 W, R 4 ¼ 2 W und der Quellenspannung U q ¼ 19 V. Die in den Knotenpunkten A und B zufließenden Strme betragen I A ¼ 2 A und I B ¼ 1 A, der im Knotenpunkt C abfließende Strom I C ¼ 1 A. Berechnen Sie den Knotenstrom I D sowie die vier Zweigstrme I 1 bis I 4 mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus.

IA

R1

I1

I1

A

ID D

Uq

I2

I4 R4

R2 I4

I2

C

B IB

Bild VII-18

I3

R3

I3

IC

Lsungshinweis: Die bentigten Beziehungen zwischen den Strmen erhalten Sie durch Anwendung der Knotenpunktregel [ A50 ] bzw. der Maschenregel [ A32 ]. Lehrbuch: Bd. 1, I.5.2 und Bd. 2, I.5.2

Physikalische Grundlagen: A32, A50

Lsung: Fr die Gesamtschaltung (Netzmasche) muss die Summe der zufließenden Strme gleich der Summe der abfließenden Strme sein (der Knotenstrom I D wird als abfließend angenommen): IA þ IB ¼ IC þ ID

oder

ID ¼ IA þ IB IC

Somit ist mit den vorgegebenen Werten ID ¼ IA þ IB IC ¼ 2 A þ 1 A 1 A ¼ 2 A Die vier Knotenpunkte liefern drei unabhngige Knotenpunktgleichungen. Wir whlen die Knotenpunkte A, B und C. Nach der Knotenpunktregel [ A50 ] gilt dann ðAÞ

I1 I2 þ IA ¼ 0

ðBÞ

I2 I3 þ IB ¼ 0

ðCÞ

I3 I4 IC ¼ 0

Die vierte bentigte Gleichung erhalten wir durch Anwendung der Maschenregel [ A32 ] auf die Gesamtmasche ABCDA: R1 I1 R2 I2 R3 I3 R4 I4 þ Uq ¼ 0

250

VII Lineare Algebra

Die Zweigstrme gengen somit dem folgenden inhomogenen linearen Gleichungssystem mit vier Gleichungen und den vier Unbekannten I 1 , I 2 , I 3 und I 4 : I1 þ

¼

I2 I2

IA

¼ IB

I3 I3

I4 ¼

IC

R1 I1 þ R2 I2 þ R3 I3 þ R4 I4 ¼

Uq

Einsetzen der Werte ergibt (alle Strme in der Einheit Ampere): I1 þ

¼

I2 I2

2

¼ 1

I3 I3

I4 ¼

1

I 1 þ 2 I 2 þ 5 I 3 þ 2 I 4 ¼ 19 Wir lsen dieses System mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus in elementarer Form (siehe Band 1, Abschnitt I.5.2). I1

I2

I3

I4

ci

1

1

0

0

2

4

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1 1

2 1

5 0

2 0

19 2

27 4

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

3 3

5 3

2 0

21 3

31 3

E3

1

1

1

1

8 E3

8 8

2 8

24 8

34 8

10

16

26

E1

1 E1 E2

3 E2

Zeilensumme

Das gestaffelte System besteht aus den Gleichungen E 1 , E 2 und E 3 sowie der letzten Gleichung und lautet somit

VII Lineare Algebra

251

I1 þ I2

¼

I2 I3

2

)

¼ 1 )

I3 I4 ¼

1

10 I 4 ¼

16

)

I 1 þ 1,6 ¼

2

)

I 1 ¼ 0,4

I 2 2,6 ¼ 1

)

I 2 ¼ 1,6

I 3 1,6 ¼

)

I 3 ¼ 2,6

)

I 4 ¼ 1,6

1

" " "

Es lsst sich schrittweise von unten nach oben lsen. Die Zweigstrme I 1 bis I 4 besitzen daher die folgenden Werte: I 1 ¼ 0,4 A ;

I 2 ¼ 1,6 A ;

I 3 ¼ 2,6 A ;

I 4 ¼ 1,6 A

Beispiel 17: Modifizierter Gerber-Trger Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Gaußscher Algorithmus Der in Bild VII-19 skizzierte modifizierte Gerber-Trger wird in der angegebenen Weise durch zwei Einzelkrfte F1 und F2 belastet. Bestimmen Sie die Auflagerkrfte FA , F B und FC sowie die im Gelenk G auftretende Gelenkkraft FG aus den statischen Gleichgewichtsbedingungen [ A1 ]. l

l

l/2

a ¼ 45

l/2 F2

B

a

F1 ¼ 50 kN

Träger

F1

A

l ¼ 4m

l

Gelenk G

F2 ¼ 20 kN C

l/2

a)

F A · sin a

F1

F Gx FB

F Gy F Gy

F A · cos a

F2

F Gx F Cx b)

Lehrbuch: Bd. 1, I.5.2 und Bd. 2, I.5.2

F Cy

Bild VII-19

Physikalische Grundlagen: A1, A7

252

VII Lineare Algebra

Lsung: Zunchst zerlegen wir den Gerber-Trger in der aus Bild VII-19 ersichtlichen Weise durch einen Schnitt im Gelenk G in zwei Teile und wenden dann auf jedes der beiden Teilstcke die statischen Gleichgewichtsbedingungen [ Al ] an. Dies fhrt, wie wir noch sehen werden, zu sechs linearen Gleichungen mit den sechs unbekannten Krften bzw. Kraftkomponenten FA , FB , FG x , FG y , FC x und FC y . Linkes Teilstck (Teilbild b)) Die Summe der Kraftkomponenten in x- bzw. y-Richtung verschwindet ebenso wie die Summe aller Momente [ A7 ] bezglich des (ausgewhlten) Lagerpunktes A [ A1 ]: P ð1Þ Fx ¼ 0 : F A sin a FG x ¼ 0 P ð2Þ Fy ¼ 0 : FA cos a þ FB þ FG y F1 ¼ 0 P

M ðAÞ ¼ 0 :

FB l þ FG y 2 l F1

l ¼ 0 2

ð3Þ

Rechtes Teilstck (Teilbild b)) Wiederum gilt: Die Summe der Kraftkomponenten in x- bzw. y-Richtung verschwindet ebenso wie die Summe aller Momente [ A7 ] bezglich des (ausgewhlten) Gelenkpunktes G [ Al ]: P Fx ¼ 0 : F G x FC x F2 ¼ 0 ð4Þ P Fy ¼ 0 : FG y þ FC y ¼ 0 ð5Þ P

M ðGÞ ¼ 0 :

l þ FCy l ¼ 0 2

FC x

ð6Þ

Nach Einsetzen der gegebenen Werte (ohne Einheiten) erhalten wir das folgende inhomogene lineare Gleichungssystem (alle Krfte in der Einheit kN): FA (1)

0,7071

(2)

0,7071

(3)

FB

FG x

FG y

FC x

FC y

1 1

1

4

8

(4)

1

1 1

(5)

1 2

(6)

4

Aus den Gleichungen (1), (5) und (6) erhalten wir der Reihe nach ð1Þ

0,7071 FA FG x ¼ 0

)

FG x ¼ 0,7071 FA

ð5Þ

FG y þ FC y ¼ 0

)

FG y ¼ FC y

ð6Þ

2 FC x þ 4 FC y ¼ 0

)

FC x ¼ 2 FC y

2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

FA

3

2

0

3

7 6 7 7 6 7 FB 7 6 50 7 7 6 7 7 6 7 6 100 7 FGx 7 7 6 7 7 ¼ 6 7 6 20 7 FGy 7 7 6 7 7 6 7 7 6 7 FCx 7 6 07 5 4 5 0 FCy

VII Lineare Algebra

253

Unter Bercksichtigung dieser Beziehungen gewinnen wir aus den verbliebenen Gleichungen (2), (3) und (4) das folgende inhomogene lineare Gleichungssystem mit den Unbekannten FA , FB und FC y : ð2Þ

0,7071 FA þ FB þ

ð3Þ ð4Þ

FC y ¼ 50

4 FB þ 8 FC y ¼ 100 2 FC y ¼ 20

0,7071 FA

Wir lsen dieses System nach dem Gaußschen Algorithmus in elementarer Form (siehe Band 1, Abschnitt I.5.2).

E1

1 E1

FA

FB

FC y

ci

Zeilensumme

0,7071

1

1

50

52,7071

4

8

100

1

2 1

20 50

4 4

8 12

100 120

112 136

1

3

30

34

4

20

24

0,7071 0,7071

4 E2 E2

112 18,7071 52,7071

Das gestaffelte System (bestehend aus den Gleichungen E 1 , E 2 und der letzten Gleichung) 0,7071 FA þ FB þ

FC y ¼

50

)

0,7071 FA þ 15 þ 5 ¼ 50

FB 3 FC y ¼ 30

)

FB 15 ¼ 30

4 FC y ¼ 20

)

FC y ¼ 5

)

)

FA ¼ 42,4

FB ¼ 15

lsst sich sukzessiv von unten nach oben lsen und besitzt die Lsung FA ¼ 42,4, FB ¼ 15 und FC y ¼ 5 (in kN). Die gesuchten Lager- und Gelenkkrfte betragen somit FA ¼ 42,4 kN ,

FB ¼ 15 kN

FC x ¼ 2 FC y ¼ 2 5 kN ¼ 10 kN , FC y ¼ 5 kN , qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FC ¼ FC2 x þ FC2 y ¼ 10 2 þ 5 2 kN ¼ 11,2 kN FG x ¼ 0,7071 FA ¼ 0,7071 42,4 kN ¼ 30 kN , FG y ¼ F C y ¼ 5 kN , qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ FG ¼ FG2 x þ FG2 y ¼ 30 2 þ 5 2 kN ¼ 30,4 kN

" "

254

VII Lineare Algebra

Beispiel 18: Normalschwingungen eines diatomaren Molekls (Zwei-Teilchen-Schwinger) 2-dimensionales Eigenwertproblem Als Modell fr ein diatomares Molekl vom Typ X 2 wie z. B. H 2 oder O 2 dient ein schwingungsfhiges System aus zwei identischen Massenpunkten m 1 ¼ m 2 ¼ m, die durch eine elastische Feder mit der Federkonstanten c gekoppelt sind (Bild VII-20). c

m1

m2 x

x1

x2

Bild VII-20

Von besonderer Bedeutung sind dabei die sog. Normalschwingungen, bei der beide Massen (Bindungspartner) harmonisch mit der gleichen Kreisfrequenz w lngs der Systemachse (x-Achse) schwingen. Die Koordinaten x 1 und x 2 beschreiben die augenblickliche Lage der Massen; sie sind periodische Funktionen der Zeit t mit der Schwingungsdauer T ¼ 2 p=w und gengen nach Newton [ A27 ] dem folgenden Differentialgleichungssystem: m 1 __ x 1 ¼ m __ x 1 ¼ c ðx 1 x 2 Þ m 2 __ x 2 ¼ m __ x 2 ¼ c ðx 2 x 1 Þ a) Stellen Sie dieses System in der Matrizenform dar. b) Zeigen Sie, dass der Lsungsansatz x i ¼ A i e j w t ðA i : Amplitude; i ¼ 1, 2Þ auf ein Eigenwertproblem fhrt und bestimmen Sie die Eigenwerte und zugehrigen Eigenvektoren. Wie lsst sich das Ergebnis physikalisch deuten? Lehrbuch: Bd. 2, I.7.2

Physikalische Grundlagen: A27

Lsung: a) Wir bringen zunchst die beiden Differentialgleichungen auf die folgende Form:

__x 1 __x 2

¼ w 20 ðx 1 x 2 Þ ¼ w 20 x 1 þ w 20 x 2 ¼

w 20

ðx 2 x 1 Þ ¼

w 20

x1

Vertauschen der beiden Seiten liefert dann: w 20 x 1 þ w 20 x 2 ¼ __ x1 w 20 x 1 w 20 x 2 ¼ __ x2

w 20

x2

(w 20 ¼ c=mÞ

VII Lineare Algebra

255

Dieses lineare Gleichungssystem knnen wir auch in der Matrizenform darstellen: ! w 20 w 20 x1 __x 1 x ¼ oder K x ¼ __ 2 2 x2 w0 w0 __x 2 |{z} |{z} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} x K __x Der Vektor x enthlt die beiden Ortskoordinaten x 1 und x 2 , der Vektor __ x die zweiten Ableitungen dieser Koordinaten nach der Zeit, K ist die Koeffizientenmatrix, in diesem Zusammenhang hufig auch als Strukturmatrix bezeichnet. b) Aus dem Lsungsansatz x i ¼ A i e j w t folgt durch Differentiation nach der Zeit t mit Hilfe der Kettenregel: x_ i ¼ ðj wÞ A i e j w t ,

__x i

¼ ðj wÞ 2 A i e j w t ¼ w 2 A i e j w t ¼ w 2 x i |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} xi

(mit i ¼ 1, 2 und j 2 ¼ 1Þ. Somit gilt __ x ¼ w 2 x und K x ¼ __ x ¼ w2 x ¼ l x

ðmit l ¼ w 2 Þ

Dieses lineare Gleichungssystem lsst sich auch in der Form K x l x ¼ K x l E x ¼ ðK l EÞ x ¼ 0 darstellen (E: 2-reihige Einheitsmatrix). Diese Matrizengleichung beschreibt ein zweidimensionales Eigenwertproblem. Die gesuchten Lsungen x sind somit die Eigenvektoren der Strukturmatrix K zum Eigenwert l ¼ w 2 . Bevor wir uns mit den Lsungen nher beschftigen, knnen wir das Eigenwertproblem noch wie folgt vereinfachen. Mit ! A1 x1 A1 ejwt ¼ ¼ ejwt ¼ u ejwt x ¼ j w t x2 A2 A2 e |{z}

u

geht die Matrizengleichung ðK l EÞ x ¼ 0 in eine entsprechende zeitunabhngige Gleichung fr den Amplitudenvektor u ber: ðK l EÞ x ¼ ðK l EÞ u e j w t ¼ 0 j : e j w t 6¼ 0

)

ðK l EÞ u ¼ 0

Der Vektor u enthlt nur die gesuchten Amplituden A 1 und A 2 der Normalschwingung, hngt aber im Gegensatz zum Vektor x nicht mehr von der Zeit ab. Berechnung der Eigenwerte Die Eigenwerte sind die Lsungen der charakteristischen Gleichung det ðK l EÞ ¼ 0: ð w 2 lÞ w 20 2 0 ¼ ð w 20 lÞ w 40 ¼ 0 ) w 20 ð w 20 lÞ

256

VII Lineare Algebra

ðw 20 þ lÞ 2 ¼ w 40 l 1 ¼ 2 w 20 ,

)

w 20 þ l ¼ w 20

l ¼ w 20 w 20

)

)

l2 ¼ 0

Damit ergeben sich folgende Kreisfrequenzen ðl ¼ w 2 mit w > 0 aus physikalischen Grnden): pﬃﬃﬃ l 1 ¼ w 21 ¼ 2 w 20 ) w 21 ¼ 2 w 20 ) w 1 ¼ 2 w 0 l 2 ¼ w 22 ¼ 0

)

w2 ¼ 0

ðkeine SchwingungÞ

Berechnung der Eigenvektoren Die zugehrigen Eigenvektoren werden aus dem homogenen linearen Gleichungssystem ðK l EÞ u ¼ 0 berechnet. l 1 ¼ 2 w 20

ðK l 1 EÞ u ¼ ðK þ 2 w 20 EÞ u ¼ 0

ð w 20 þ 2 w 20 Þ

w 20

w 20 ! 1 1 1 1

A1 þ A2 ¼ 0

!

w 20

ð w 20 þ 2 w 20 Þ ! ! A1 0 ¼ ) 0 A2 )

A1

!

w 20

¼

A2 1

1

1

1

w 20

w 20 w 20 !

!

A1

¼

A2

!

A1

!

A2 A1 þ A2 A1 þ A 2

¼

0 0

! ¼

0

) !

0

)

A2 ¼ A1

Der zum Eigenwert l 1 ¼ 2 w 20 gehrige Eigenvektor besitzt somit die folgenden Komponenten: pﬃﬃ pﬃﬃ pﬃﬃ x 1 ¼ A 1 e j 2 w0 t , x 2 ¼ A 2 e j 2 w0 t ¼ A1 e j 2 w0 t ) x 2 ¼ x 1 Physikalische Deutung: Beide Massen (Bindungspartner) schwingen mit gleicher Amplipﬃﬃﬃ tude in Gegenphase mit der Kreisfrequenz w ¼ 2 w 0 (siehe Bild VII-21) x1

x2

x1

x2

bzw. m1

m2

m1

m2

Bild VII-21 Normalschwingung eines diatomaren Molekls in Gegenphase l2 ¼ 0

ðK l 2 EÞ u ¼ ðK 0 EÞ u ¼ K u ¼ ! ! ! 1 1 A1 w 20 w 20 2 ¼ w0 1 1 A2 w 20 w 20 ! ! ! 1 1 A1 A1 þ A2 ¼ ¼ 1 1 A2 A1 A 2

0 A1 A2 ! 0 0

! ¼

0 0

! )

) A1 þ A2 ¼ 0 ) A2 ¼ A1

VII Lineare Algebra

257

Zum Eigenwert l 2 ¼ 0 gehrt somit der Eigenvektor mit den folgenden Komponenten: x1 ¼ A1 ej0t ¼ A1 ,

x2 ¼ A2 ej0t ¼ A1 ej0t ¼ A1

)

x1 ¼ x2

Physikalische Deutung: Dieser Eigenvektor beschreibt keine Schwingung, sondern eine (Translationsbewegung) des Systems lngs der Systemachse (x-Achse). Somit gibt es nur eine einzige Normalschwingung, bei der beide Massen (Bindungspartpﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ner) mit gleicher Amplitude in Gegenphase mit der Winkelgeschwindigkeit w ¼ 2 c=m schwingen. Anmerkung: Um die Schwingunsamplitude und die Translation zu bestimmen, bentigt man weitere Informationen ber das schwingungsfhige System z. B. in Form von Anfangsbedingungen.

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen Hinweis: Alle in den Lsungen angegebenen Integralnummern beziehen sich auf die Integraltafel der Mathematischen Formelsammlung des Autors (gelbe Seiten; Angabe der Nummer und der Parameterwerte, z. B. Integral 313 mit a ¼ 2).

Beispiel 1: Potential und elektrische Feldstrke im elektrostatischen Feld zweier Punktladungen Partielle Ableitungen 1. Ordnung Gegeben sind zwei entgegengesetzt gleich große Punktladungen Q 1 ¼ þ Q und Q 2 ¼ Q im Abstand 2 a ðQ > 0). y

a) Bestimmen Sie das elektrostatische Potential V sowie den elektrischen Feld ~ ¼ E x in einem beliestrkevektor E Ey bigen Punkt P ¼ ðx; yÞ des resultierenden elektrischen Feldes (Bild VIII-1). b) Zeigen Sie: Die y-Achse liegt in einer sog. quipotentialflche [ A55 ].

y

E1 P

r1

E E2 x

Q1 = Q a

r2 Q2 = – Q

x

a

Bild VIII-1

Lsungshinweis: Gehen Sie von dem elektrostatischen Potential einer Punktladung aus [ A56 ]. Das resultierende elektrische Feld entsteht dann durch ungestrte berlagerung der beiden Einzelfelder. Das System befindet sich in Luft (Dielektrizittskonstante e 1). Lehrbuch: Bd. 2, III.2.1

Physikalische Grundlagen: A55, A56, A57

Lsung: a) Eine Punktladung Q * erzeugt im Abstand r das Potential [A56] VQ * ¼

Q* , 4 p e0 r

r > 0

Das von den Punktladungen Q 1 ¼ þ Q und Q 2 ¼ Q im Punkt P erzeugte Potential betrgt somit: © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24882-6_8

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

259

Q1 Q2 þQ Q þ ¼ þ ¼ 4 p e0 r1 4 p e0 r2 4 p e0 r1 4 p e0 r2 Q Q Q 1 1 ¼ ¼ 4 p e0 r1 4 p e0 r2 4 p e0 r1 r2

V ðPÞ ¼ V Q 1 þ V Q 2 ¼

Die Abstnde r 1 und r 2 lassen sich nach Bild VIII-1 mit Hilfe des Satzes von Pythagoras durch die Koordinaten x und y des Punktes P wie folgt ausdrcken: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 2 r 2 ¼ ða xÞ 2 þ y 2 r 1 ¼ ða þ xÞ þ y , Damit lautet die Potentialfunktion Q 1 1 V ðPÞ ¼ V ðx; yÞ ¼ ¼ 4 p e0 r1 r2 0 ¼

1

Q B 1 1 C @qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ A 4 p e0 2 2 ða þ xÞ þ y 2 ða xÞ þ y 2

~ sind die mit 1 multiplizierten partielDie Komponenten der elektrischen Feldstrke E len Ableitungen 1. Ordnung dieser Potentialfunktion [ A57 ]. Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir fr die x-Komponente: 0 13 2 E x ðx; yÞ ¼

@V @ 6 Q B 1 1 C7 ¼ @qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ A 5 ¼ 4 @x @x 4 p e 0 2 2 ða þ xÞ þ y 2 ða xÞ þ y 2

i Q @ h ½ ða þ xÞ 2 þ y 2 1=2 ½ ða xÞ 2 þ y 2 1=2 ¼ 4 p e 0 @x Q 1 ¼ ½ ða þ xÞ 2 þ y 2 3=2 2 ða þ xÞ 1 4 p e0 2 1 2 2 3=2 2 ða xÞ ð 1Þ ¼ ½ ða xÞ þ y 2 " # Q aþx ax ¼ þ 4 p 0 ½ ða þ xÞ 2 þ y 2 3=2 ½ ða xÞ 2 þ y 2 3=2

¼

Analog folgt fr die y-Komponente E y : 2 0 E y ðx; yÞ ¼

13

@V @ 6 Q B 1 1 C7 ¼ 4 @qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ A 5 ¼ @y @y 4 p 0 2 2 ða þ xÞ þ y 2 ða xÞ þ y 2

260

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

i Q @ h ½ ða þ xÞ 2 þ y 2 1=2 ½ ða xÞ 2 þ y 2 1=2 ¼ 4 p 0 @y Q 1 ¼ ½ ða þ xÞ 2 þ y 2 3=2 2 y 4 p 0 2 1 ½ ða xÞ 2 þ y 2 3=2 2 y ¼ 2 " # Q y y ¼ 4 p 0 ½ ða þ xÞ 2 þ y 2 3=2 ½ ða xÞ 2 þ y 2 3=2

¼

b) Lngs der y-Achse ist x ¼ 0 und somit E x ð0; yÞ ¼

Qa 1 2 2 p 0 ½ a þ y 2 3=2

y E1

und P

E y ð0; yÞ ¼ 0

E

y

~ steht Der elektrische Feldstrkevektor E daher senkrecht auf der y-Achse, und diese liegt somit in einer quipotentialflche 1) (Bild VIII-2).

E2 Q2 = – Q

Q1 = Q

x

Bild VIII-2

Beispiel 2: Statisch unbestimmt gelagerter Balken Partielle Ableitungen Bild VIII-3 zeigt einen beidseitig eingespannten homogenen Balken der Lnge l, belastet mit einer konstanten Streckenlast q. Bestimmen Sie die beiden Auflagerkrfte F A und F B sowie das Einspannmoment M 0 . q = const.

M0

A FA

Balken l

B FB

M0

x

Bild VIII-3

1)

Diese quipotentialflche ist eine Ebene senkrecht zur Zeichenebene. Sie enthlt die y-Achse und die aus der Zeichenebene senkrecht nach oben gerichtete z-Achse. Das Potential der quipotentialflche ist V ¼ 0.

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

261

Lsungshinweis: Das System ist statisch unbestimmt, d. h. die statischen Gleichgewichtsbedingungen [ A1 ] reichen in diesem Fall nicht aus, um die drei Unbekannten F A , F B und M 0 berechnen zu knnen. Die fehlende Gleichung erhlt man durch eine Betrachtung der Formnderung des Balken nach dem Satz von Castigliano [ A58 ]. Die Biegesteifigkeit EI des Balkens wird dabei als konstant angenommen. Lehrbuch: Bd. 2, III.2.1 und III.2.2

Physikalische Grundlagen: A1, A7, A58

Lsung: Aus Symmetriegrnden verteilt sich die Gesamtlast F ¼ q l gleichmßig auf beide Auflager (F A ¼ F B ). Aus der statischen Gleichgewichtsbedingung [ A1 ] folgt dann FA þ FB F ¼ 0

FA þ FB q l ¼ 0

oder

und weiter unter Bercksichtigung von F A ¼ F B : ql 2 Das noch unbekannte Einspannmoment M 0 lsst sich jedoch aus den statischen Gleichgewichtsbedingungen [ A1 ] nicht berechnen. Das System ist somit (einfach) statisch unbestimmt. Bei der Lsung des Problems mssen daher Formnderungen des Balkens bercksichtigt werden. Nach Castigliano [ A58 ] stellt sich das Einspannmoment M 0 dabei so ein, dass die durch die Gleichung FA þ FA q l ¼ 2 FA q l ¼ 0

W ¼

ðl

M b2 ðxÞ 1 dx ¼ 2EI 2EI

0

ðl

)

FA ¼ FB ¼

M b2 ðxÞ dx

0

definierte Formnderungsarbeit ein Minimum annimmt. Dabei ist M b ðxÞ das Biegemoment an der Schnittstelle x (Bild VIII-4). qx Balken M0

x 2 ql FA = 2

0

x

l

x

Bild VIII-4

Es setzt sich aus den folgenden drei Einzelmomenten [ A7 ] zusammen: 1. Dem Einspannmoment M 0 ; 2. Dem von der Auflagerkraft F A erzeugten Moment ql x; 2 3. Dem von der konstanten Streckenlast q im Intervall von 0 bis x erzeugten Moment 2) x q 2 Mx ¼ q x ¼ x : 2 2 MA ¼ FA x ¼

2)

Die in diesem Intervall von der Streckenlast q erzeugte Kraft q x greift in der Intervallmitte, d. h. an der Stelle x=2 an (siehe Bild VIII-4).

262

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

Somit ist M b ðxÞ ¼ M 0 þ M A þ M x ¼ M 0 þ

ql q 2 x x , 2 2

0 x l

und die Formnderungsarbeit ist durch das Integral 1 W ¼ 2EI

ðl

M b2

1 ðxÞ dx ¼ 2EI

0

ðl

ql q 2 M0 þ x x 2 2

2 dx

0

gegeben. Das (noch unbekannte) Einspannmoment M 0 erhalten wir dann nach dem Satz von @W ¼ 0. Daraus folgt zunchst Castigliano [ A58 ] aus der Bedingung @M 0 2l 3 2 ð @W 1 @ 4 ql q 2 ¼ M0 þ dx 5 ¼ 0 x x @M 0 2 E I @ M0 2 2 0

und somit (nach Multiplikation mit der positiven Konstanten 2 E I ) 2l 3 2 ð @ 4 ql q 2 M0 þ dx 5 ¼ 0 x x @M 0 2 2 0

wobei die Differentiation mit der Integration vertauscht werden darf: ðl

@ @M 0

ql q 2 2 M0 þ dx ¼ 0 x x 2 2

0

Wir bilden nun mit Hilfe der Kettenregel die bentigte partielle Ableitung unter dem Integral: @ ql q 2 2 ql q 2 M0 þ ¼ 2 M0 þ x x x x ð 1Þ ¼ @M 0 2 2 2 2 ql q 2 ¼ 2 M0 xþ x 2 2 Somit erhalten wir die folgende Bestimmungsgleichung fr das Einspannmoment M 0 : ðl ql q 2 2 M0 xþ x dx ¼ 0 j : 2 2 2

)

0

ðl ql q 2 M0 xþ x dx ¼ 0 2 2 0

Wir integrieren und lsen schließlich die Gleichung nach der Unbekannten M 0 auf: ql 2 q 3 l q l3 q l3 3 q l3 2 q l3 M0 x ¼ M0 l x þ x þ ¼ M0 l þ ¼ 4 6 4 6 12 12 0 ¼ M0 l

q l3 ¼ 0 12

)

M0 ¼

q l2 12

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

263

Wegen @W @ 1 q l3 M0 l ¼ ¼ @M 0 @M 0 E I 12 1 @ q l3 1 l ¼ ¼ M0 l l ¼ > 0 12 E I @M 0 EI EI

@ 2W @ ¼ 2 @M 0 @M 0

handelt es sich um das gesuchte Minimum. Damit sind smtliche Reaktionsgrßen bestimmt und die Lsung der Aufgabe lautet wie folgt: FA ¼ FB ¼

ql , 2

M0 ¼

q l2 12

Beispiel 3: Temperaturverteilung lngs eines Metallstabes (eindimensionale Wrmeleitungsgleichung) Partielle Ableitungen Bei einem dnnen homogenen zylindrischen Metallstab (z. B. aus Kupfer) der Lnge L mit konstantem Querschnitt ist eine Wrmebertragung nur in Richtung der Stabachse mglich, wenn die Oberflche (Mantelflche) vllig wrmeisoliert ist. Die Temperaturverteilung ist dabei vom Ort x und der Zeit t abhngig, also eine Funktion T ¼ Tðx; tÞ dieser Variablen. In einem konkreten Fall erhlt man die folgende Temperaturverteilung: p 2 T ðx; tÞ ¼ T 0 e ðp=LÞ a t sin x , 0 x L; t 0 L a > 0: Temperaturleitfhigkeit (eine Materialkonstante); T 0 > 0 Zeigen Sie, dass diese Verteilung der eindimensionalen Wrmeleitungsgleichung @T @ 2T ¼ a @t @x 2 gengt. Skizzieren und kommentieren Sie den Temperaturverlauf lngs des Stabes zu verschiedenen Zeiten (insbesondere auch zur Zeit t ¼ 0). Lehrbuch: Bd. 2, III.2.1 und III.2.2

Physikalische Grundlagen: A65

Lsung: Wir setzen k ¼ p=L und bilden die bentigten partiellen Ableitungen der Temperaturverteilungsfunktion nach der Variablen t bzw. x: p 2 2 T ðx; tÞ ¼ T 0 e ðp=LÞ a t sin x ¼ T 0 e a k t sin ðk xÞ L

264

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

@T 2 2 ¼ T 0 e a k t ð a k 2 Þ sin ðk xÞ ¼ a k 2 T 0 e a k t sin ðk xÞ @t @T 2 2 ¼ T 0 e a k t ½ cos ðk xÞ k ¼ k T 0 e a k t cos ðk xÞ @x @ 2T 2 2 ¼ k T 0 e a k t ½ sin ðk xÞ k ¼ k 2 T 0 e a k t sin ðk xÞ 2 @x Dann gilt: @T @ 2T 2 2 ¼ a k 2 T 0 e a k t sin ðk xÞ ¼ a ½ k 2 T 0 e a k t sin ðk xÞ ¼ a @t @x 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} @ 2T @x 2 Die Temperaturverteilungsfunktion T ðx; tÞ ist somit eine Lsung der eindimensionalen Wrmeleitungsgleichung. Pysikalische Interpretation Bild VIII-5 zeigt die sinusfrmige Temperaturverteilung lngs des Stabes zu verschiedenen Zeiten. Der zeitabhngige Exponentialfaktor in der Verteilungsfunktion (streng monoton fallende Funktion) bewirkt an jeder Stelle des Stabes eine im Laufe der Zeit zunehmende Abkhlung. In den beiden Randpunkten des Stabes hat die Temperatur zu jeder Zeit t den Wert 0 (der Faktor sin ðk xÞ in der Temperaturverteilungsfunktion T ðx; tÞ verschwindet an diesen Stellen): T ðx ¼ 0; tÞ ¼ 0

und

T ðx ¼ L; tÞ ¼ 0

Verteilung zu Beginn (t ¼ 0): T ðx; t ¼ 0Þ ¼ T 0 |{z} e 0 sin ðk xÞ ¼ T 0 sin ðk xÞ 1 T t=0

T0 t1 t2 t3

L

x

Bild VIII-5 Temperaturverteilung lngs des Stabes zu verschiedenen Zeiten ðt 1 < t 2 < t 3 Þ

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

265

Beispiel 4: Kapazitt einer Kondensatorschaltung Totales oder vollstndiges Differential Die in Bild VIII-6 dargestellte Schaltung enthlt drei Drehkondensatoren, deren Kapazitten zunchst auf die festen Werte C 1 ¼ 100 mF, C 2 ¼ 150 mF und C 3 ¼ 250 mF eingestellt werden. Berechnen Sie die Gesamtkapazitt C und deren nderung DC, wenn die Einzelkapazitten der Reihe nach um DC 1 ¼ 2 mF, DC 2 ¼ 1 mF und DC 3 ¼ 3 mF gendert werden

C1 C3

C2

a) durch exakte Rechnung, b) durch Nherungsrechnung mit Hilfe des totalen Differentials. Lehrbuch: Bd. 2, III.2.4

Bild VIII-6

Physikalische Grundlagen: A21

Lsung: a) Wir berechnen zunchst die Gesamtkapazitt C. Die Einzelkapazitten C 1 und C 2 sind parallel geschaltet und addieren sich somit zur Kapazitt [ A21 ] C 12 ¼ C 1 þ C 2 Diese Ersatzkapazitt ist mit C 3 in Reihe geschaltet. Daher addieren sich die Kehrwerte von C 12 und C 3 zum Kehrwert der gesuchten Gesamtkapazitt C [ A21 ]: 1 1 1 1 1 C3 þ C1 þ C2 C1 þ C2 þ C3 þ ¼ þ ¼ ¼ ¼ C C 12 C3 C1 þ C2 C3 ðC 1 þ C 2 Þ C 3 ðC 1 þ C 2 Þ C 3 Durch Kehrwertbildung folgt daraus fr die Gesamtkapazitt C ¼

ðC 1 þ C 2 Þ C 3 ð100 þ 150Þ mF 250 mF ¼ ¼ 125 mF C1 þ C2 þ C3 ð100 þ 150 þ 250Þ mF

Die Drehkondensatoren besitzen nach den vorgegebenen nderungen nunmehr folgende Kapazittswerte: C 1 ! C 1* ¼ C 1 þ DC 1 ¼ ð100 þ 2Þ mF ¼ 102 mF C 2 ! C 2* ¼ C 2 þ DC 2 ¼ ð150 1Þ mF ¼ 149 mF C 3 ! C 3* ¼ C 3 þ DC 3 ¼ ð250 þ 3Þ mF ¼ 253 mF Die Gesamtkapazitt C * der Schaltung ist nunmehr C* ¼

ðC 1* þ C 2*Þ C 3* ð102 þ 149Þ mF 253 mF ¼ 125,998 mF ¼ ð102 þ 149 þ 253Þ mF C 1* þ C 2* þ C 3*

266

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

Sie hat sich somit um DC ¼ C * C ¼ ð125,998 125Þ mF ¼ 0,998 mF 1 mF vergrßert. b) Das totale Differential der Funktion C ¼ C ðC 1 ; C 2 ; C 3 Þ ¼

ðC 1 þ C 2 Þ C 3 C1 þ C2 þ C3

lautet dC ¼

@C @C @C dC 1 þ dC 2 þ dC 3 @C 1 @C 2 @C 3

Wir bilden nun mit Hilfe der Quotientenregel die bentigten partiellen Ableitungen 1. Ordnung: @C 1 C 3 ðC 1 þ C 2 þ C 3 Þ 1 ðC 1 þ C 2 Þ C 3 ¼ ¼ @C 1 ðC 1 þ C 2 þ C 3 Þ 2 ¼

C 3 ðC 1 þ C 2 þ C 3 C 1 C 2 Þ ðC 1 þ C 2 þ C 3 Þ 2

¼

C 32 ðC 1 þ C 2 þ C 3 Þ 2

Aus Symmetriegrnden ist @C C 32 ¼ @C 2 ðC 1 þ C 2 þ C 3 Þ 2 Fr die partielle Ableitung 1. Ordnung nach der Variablen C 3 erhalten wir @C ðC 1 þ C 2 Þ 1 ðC 1 þ C 2 þ C 3 Þ 1 ðC 1 þ C 2 Þ C 3 ¼ ¼ @C 3 ðC 1 þ C 2 þ C 3 Þ 2 ¼

ðC 1 þ C 2 Þ ðC 1 þ C 2 þ C 3 C 3 Þ ðC 1 þ C 2 þ C 3 Þ 2

¼

ðC 1 þ C 2 Þ 2 ðC 1 þ C 2 þ C 3 Þ 2

Somit ist dC ¼

¼

C 32 dC 1 ðC 1 þ C 2 þ C 3 Þ

2

þ

C 32 dC 2 ðC 1 þ C 2 þ C 3 Þ

2

þ

ðC 1 þ C 2 Þ 2 dC 3 ðC 1 þ C 2 þ C 3 Þ 2

¼

C 32 ðdC 1 þ dC 2 Þ þ ðC 1 þ C 2 Þ 2 dC 3 ðC 1 þ C 2 þ C 3 Þ 2

Die Differentiale dC 1 , dC 2 und dC 3 sind die vorgegebenen (kleinen) nderungen der Einzelkapazitten: dC 1 ¼ DC 1 ¼ 2 mF ,

dC 2 ¼ DC 2 ¼ 1 mF ,

dC 3 ¼ DC 3 ¼ 3 mF

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

267

Das totale Differential dC gibt dann nherungsweise die nderung der Gesamtkapazitt an. Somit gilt DC dC ¼

¼

C 32 ðDC 1 þ DC 2 Þ þ ðC 1 þ C 2 Þ 2 DC 3 ðC 1 þ C 2 þ C 3 Þ 2

250 2 ð2 1Þ þ ð100 þ 150Þ 2 3 ð100 þ 150 þ 250Þ

2

mF ¼

¼

250 2 ð1 þ 3Þ mF ¼ 1 mF 500 2

Die Nherungsrechnung fhrt hier zum gleichen Ergebnis wie die exakte Rechnung.

Beispiel 5: Schwingungsgleichung der Mechanik Totales oder vollstndiges Differential Das aus einer elastischen Feder mit der Federkonstanten c und einer angehngten Schwingmasse m bestehende Federpendel (Feder-Masse-Schwinger) kann als Modell einer ungedmpften harmonischen Schwingung angesehen werden (Bild VIII-7). Leiten Sie aus dem Energieerhaltungssatz der Mechanik [ A22 ] mit Hilfe des totalen Differentials die Differentialgleichung dieser Schwingung (auch Schwingungsgleichung genannt) her. x ¼ x ðtÞ: Auslenkung zur Zeit t (Lagekoordinate der Pendelmasse) Bild VIII-7

Lehrbuch: Bd. 2, III.2.4

elastische Feder

Gleichgewichtslage x (t) Pendelmasse m

Physikalische Grundlagen: A22

Lsung: Ist x ¼ x ðtÞ die Auslenkung und v ¼ v ðtÞ die Geschwindigkeit des Federpendels zur Zeit t, so gilt nach dem Energieerhaltungssatz der Mechanik [ A22 ] E ðv; xÞ ¼

1 1 m v2 þ c x 2 ¼ const: 2 2

Wir bilden nun das totale Differential dieser von v und x abhngigen (konstanten) Funktion: dE ¼

@E @E 1 1 dv þ dx ¼ m 2 v dv þ c 2 x dx ¼ m v dv þ c x dx @v @x 2 2

268

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

Wegen E ¼ const: ist die Energienderung dE und somit das totale Differential gleich null: dE ¼ 0

)

m v dv þ c x dx ¼ 0

Diese Gleichung dividieren wir formal durch das Zeitdifferential dt und beachten dabei, dass dx dv definitionsgemß x ist: ¼ x_ ¼ v und ¼ v_ ¼ __ dt dt dv dx x þ cxv ¼ 0 þ cx ¼ 0 oder m v __ mv dt dt Durch Ausklammern des gemeinsamen Faktors v folgt weiter v ðm __ x þ c xÞ ¼ 0 Da v 6¼ 0 ist (sonst wrde keine Schwingung vorliegen) muss der Klammerausdruck verschwinden. Dies fhrt zu der als Schwingungsgleichung bekannten Differentialgleichung einer ungedmpften harmonischen Schwingung: m __ x þ cx ¼ 0

oder

__x þ

w 20 x ¼ 0

ðmit w 20 ¼ c=mÞ

Die allgemeine Lsung dieser Differentialgleichung lautet im brigen wie folgt: x ¼ x ðtÞ ¼ C 1 sin ðw 0 tÞ þ C 2 cos ðw 0 tÞ ¼ A sin ðw 0 t þ jÞ Sie beschreibt eine ungestrte berlagerung (Superposition) gleichfrequenter Sinus- und Kosinusschwingungen, die auch als eine resultierende Sinusschwingung mit der Amplitude A, der Kreisfrequenz w 0 und dem Phasenwinkel j darstellbar ist (siehe hierzu Band 2, Abschnitt IV.4.1.2). Die Konstanten C 1 und C 2 bzw. A und j werden in der Regel durch vorgegebene Anfangsbedingungen festgelegt.

Beispiel 6: Thermodynamische Zustandsfunktionen Totales Differential, wegunabhngiges Linienintegral In der Thermodynamik werden die Eigenschaften makroskopischer Systeme durch sog. Zustandsfunktionen f ðT; VÞ zweier unabhngiger Zustandsvariablen T (absolute Temperatur) und V (Volumen) beschrieben ðT > 0, V > 0Þ. Diese Zustandsfunktionen sind eindeutige Funktionen von T und V, d. h. die whrend eines Prozesses eintretende nderung einer Zustandsfunktion hngt nicht von der Prozessfhrung ab, sondern nur von den Werten der beiden unabhngigen Zustandsvariablen im Anfangs- und Endzustand. Zeigen Sie, dass das Differential dF ¼ dU d ðT SÞ der freien Energie F ¼ F ðT; VÞ eines idealen Gases vollstndig ist und bestimmen Sie diese Funktion.

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

269

Lsungshinweis: U ist die innere Energie, S die Entropie des Gases. Beide Funktionen hngen von T und V ab und gehren zu den thermodynamischen Zustandsfunktionen. Lehrbuch: Bd. 2, III.2.4 und Bd. 3, I.7.4

Lsung: U, S und F sind Funktionen von T und V und es gilt dann (nach der Produktregel): dF ¼ dU d ðT SÞ ¼ dU ðdT S þ dS TÞ ¼ dU T dS S dT Mit den vollstndigen Differentialen dU ¼

@U @U dT þ dV @T @V

und

dS ¼

@S @S dT þ dV @T @V

folgt weiter: @U @U dF ¼ dU T dS S dT ¼ dT þ dV T @T @V

@S @S dT þ dV @T @V

S dT ¼

@U @U @S @S dT þ dV T dT T dV S dT ¼ @T @V @T @V @U @S @U @S ¼ T S dT þ T dV @T @T @V @V

¼

Das Differential dF der freien Energie F ðT; VÞ ist vollstndig, wenn die Beziehung @ @U @S @ @U @S T S ¼ T @V @T @T @T @V @V und somit @ 2U @ 2S @S @ 2U @S @ 2S T ¼ 1 T ¼ @T @V @T @V @V @V @T @V @V @T ¼

@ 2U @ 2S @S T @V @T @V @T @V

gilt (sog. Integrabilittsbedingung, siehe Bd. 3, Abschnitt I.7.4). Die Ausdrcke auf beiden Seiten dieser Gleichung stimmen berein, da U und S als thermodynamische Zustandsfunktionen den Satz von Schwarz erfllen, d. h. den Beziehungen @ 2U @ 2U ¼ @T @V @V @T

und

@ 2S @ 2S ¼ @T @V @V @T

gengen. Fr die freie Energie F ðT; VÞ erhlt man somit durch Integration: ð ð F ðT; VÞ ¼ dF ¼ ½ dU d ðT SÞ ¼ U ðT; VÞ T S ðT; VÞ þ const:

270

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

Beispiel 7: Selbstinduktivitt einer elektrischen Doppelleitung Linearisierung einer Funktion Eine elektrische Doppelleitung besteht aus zwei parallelen Leitern (Drhten) mit der Lnge l und dem Leiterradius r. Der Mittelpunktsabstand der beiden Leiter betrgt a (Bild VIII-8; Querschnitt der Doppelleitung). Leiter

Leiter

r

r a

Bild VIII-8 Die Selbstinduktivitt L dieser Doppelleitung in Luft wird dabei nach der folgenden Formel berechnet: m a r 1 L ¼ L ðl; r; aÞ ¼ 0 l ln þ p r 4 m 0 ¼ 4 p 10 7 Vs=Am: magnetische Feldkonstante a) Linearisieren Sie diese Funktion in der Umgebung des „Arbeitspunktes“ l 0 ¼ 3 km, r 0 ¼ 2 mm und a 0 ¼ 30 cm, d. h. leiten Sie eine lineare Funktionsgleichung her, aus der sich die nderung DL der Selbstinduktivitt L bei kleinen nderungen Dl, Dr und Da der drei unabhngigen Grßen l, r und a berechnen lsst. b) Berechnen Sie mit dieser linearisierten Funktion die absolute nderung DL der Selbstinduktivitt L, wenn die Lnge der Doppelleitung um 1 % vergrßert, der Leiterradius um 1 % verkleinert und gleichzeitig der Mittelpunktsabstand um 2 % vergrßert wird. Vergleichen Sie diesen Nherungswert mit der tatschlichen nderung DL exakt . Lehrbuch: Bd. 2, III.2.5.2

Lsung: a) Bei geringen nderungen der drei unabhngigen Variablen gilt nherungsweise der folgende lineare Zusammenhang zwischen den Grßen L, l, r und a: @L @L @L DL ¼ Dl þ Dr þ Da @l 0 @r 0 @a 0 (linearisierte Funktion mit Hilfe des totalen Differentials). Der Index „0“ kennzeichnet dabei den „Arbeitspunkt“ l 0 , r 0 , a 0 . Wir bilden nun die bentigten partiellen Ablei tungen 1. Ordnung unter Verwendung der Kettenregel und der Rechenregel u ¼ ln u ln v fr Logarithmen . ln v

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

271

Sie lauten der Reihe nach wie folgt: @L @ m0 a r 1 m0 a r 1 @ ¼ þ ¼ þ ðlÞ ¼ l ln ln @l @l p r 4 p r 4 @l m0 a r 1 m0 a r 1 ¼ þ 1 ¼ þ ln ln p r 4 p r 4 a r @L @ m0 a r 1 m0 @ 1 þ þ ¼ ¼ ln ¼ l ln l @r @r p r 4 p @r r 4 m @ 1 m 1 1 ¼ 0 l ln ða rÞ ln r þ ¼ 0 l ð 1Þ þ0 ¼ p @r 4 p ar r m 1 1 m 1 1 m r þar ¼ 0 l ¼ 0 l þ ¼ 0 l ¼ p ar r p ar r p ða rÞ r m0 a m al ¼ 0 l p ða rÞ r p ða rÞ r @L @ m0 a r 1 m0 @ 1 ¼ þ ¼ ln ða rÞ ln r þ ¼ l ln l @a @a p r 4 p @a 4 m0 1 m 1 m l ¼ 10þ0 ¼ 0 l ¼ 0 l p ar p ar p ar ¼

Im Arbeitspunkt besitzen diese Ableitungen folgende Werte (alle Lngengrßen wurden in mm umgerechnet): Vs 4 p 10 7 @L 300 mm 2 mm 1 Vs Am ln ¼ þ ¼ 2,102 10 6 p @l 0 2 mm 4 Am Vs 4 p 10 7 @L 300 mm 3 10 6 mm Vs Am ¼ ¼ 0,604 027 p @r 0 ð300 mm 2 mmÞ 2 mm Am Vs 4 p 10 7 @L 3 10 6 mm Vs Am ¼ ¼ 0,004 027 p @a 0 300 mm 2 mm Am Die linearisierte Funktion nimmt damit die folgende Gestalt an: DL ¼ ð2,102 10 6 Dl 0,604 027 Dr þ 0,004 027 DaÞ

Vs Am

Alle in dieser Gleichung auftretenden Grßen sind Relativkoordinaten, d. h. die auf den Arbeitspunkt bezogenen nderungen von l, r, a und L.

272

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

b) Nherungsrechnung Die linearisierte Funktion liefert mit den vorgegebenen nderungen 3) Dl ¼ 30 m , Dr ¼ 0,02 mm ¼ 2 10 5 m , Da ¼ 0,6 cm ¼ 6 10 3 m den Nherungswert h DL ¼ 2,102 10 6 30 m 0,604 027 ð 2 10 5 mÞ þ i Vs Vs Vs ¼ 0,000 099 m ¼ 0,000 099 ¼ Am Am A Vs ¼ 0,000 099 H ¼ 0,099 mH 1 ¼ 1H A þ 0,004 027 6 10 3 m

Die Selbstinduktivitt L nimmt somit nherungsweise um DL ¼ 0,099 mH zu. Exakte Rechnung Die Selbstinduktivitt der vorgegebenen Doppelleitung betrgt fr die vorgegebenen Werte l 0 ¼ 3 km ¼ 3 10 3 m, r ¼ 2 mm und a ¼ 30 cm ¼ 300 mm: Vs Am

4 p 10 7 L0 ¼

p

300 mm 2 mm 1 Vs 3 10 m ln þ ¼ 0,006 305 ¼ 2 mm 4 A 3

¼ 0,006 305 H ¼ 6,305 mH Die Grßen l, r und a besitzen nach den vorgenommenen nderungen nunmehr die folgenden Werte: l 1 ¼ l 0 þ Dl ¼ 3000 m þ 30 m ¼ 3030 m ¼ 3,03 10 3 m r 1 ¼ r 0 þ Dr ¼ 2 mm 0,02 mm ¼ 1,98 mm a 1 ¼ a 0 þ Da ¼ 30 cm þ 0,6 cm ¼ 30,6 cm ¼ 306 mm Die Selbstinduktivitt betrgt jetzt 4 p 10 7 L1 ¼

p

¼ 0,006 404

Vs Am

306 mm 1,98 mm 1 þ ¼ 3,03 10 3 m ln 1,98 mm 4

Vs ¼ 0,006 404 H ¼ 6,404 mH A

Damit ergibt sich fr die exakte nderung der Selbstinduktivitt der Wert DL exakt ¼ L 1 L 0 ¼ 6,404 mH 6,305 mH ¼ 0,099 mH in bereinstimmung mit der Nherungsrechnung! 3)

Aus Dimensionsgrnden werden alle Werte auf die Einheit Meter umgerechnet.

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

273

Beispiel 8: Leistungsanpassung beim Wechselstromgenerator Extremwertaufgabe Ein Wechselstromgenerator mit dem komplexen Innenwiderstand Z i ¼ R i þ j X i liefert eine konstante Quellenspannung U mit dem Effektivwert U. Ein zum Zeitpunkt t ¼ 0 angeschlossener Verbraucher mit dem stetig vernderbaren komplexen Widerstand Z a ¼ R a þ j X a soll so abgestimmt werden, dass die von ihm aufgenommene Wirkleistung P [ A60 ] einen maximalen Wert erreicht (sog. Leistungsanpassung; Bild VIII-9). Wie sind Wirkwiderstand R a und Blindwiderstand X a des Verbrauchers zu whlen? Z i = R i + jX i

U

I

Z a = R a + jX a

I t=0 S

I

Bild VIII-9

Lsungshinweis: Die Stromstrke I lsst sich aus dem ohmschen Gesetz der Wechselstromtechnik [ A52 ] bestimmen. Die Wirkleistung P [ A60 ] ist dann als eine Funktion der beiden unabhngigen Variablen R a und X a darstellbar. Lehrbuch: Bd. 2, III.2.5.4

Physikalische Grundlagen: A13, A52, A60

Lsung: Der Gesamtwiderstand der Reihenschaltung [ A13 ] ist Z ¼ Z a þ Z i ¼ R a þ j X a þ R i þ j X i ¼ ðR a þ R i Þ þ j ðX a þ X i Þ Nach dem Ohmschen Gesetz der Wechselstromtechnik [ A52 ] betrgt dann die Stromstrke I ¼

U U U ¼ ¼ ðR a þ R i Þ þ j ðX a þ X i Þ Z Za þ Zi

Die vom Verbraucher aufgenommene Wirkleistung ist definitionsgemß [ A60 ] P ¼ Ra I 2 Dabei ist I der Effektivwert der Stromstrke. Mit I2 ¼ I I* ¼

U U* ¼ ðR a þ R i Þ þ j ðX a þ X i Þ ðR a þ R i Þ j ðX a þ X i Þ

274

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

¼

U U* ¼ ½ ðR a þ R i Þ þ j ðX a þ X i Þ ½ ðR a þ R i Þ j ðX a þ X i Þ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}

3: Binom : ða þ bÞ ða bÞ ¼ a 2 b 2 mit a ¼ ðR a þ R i Þ , b ¼ j ðX a þ X i Þ

¼

U2 2

2

ðR a þ R i Þ j ðX a þ X i Þ

2

U2

¼

2

ðR a þ R i Þ þ ðX a þ X i Þ 2

folgt schließlich: P ¼ P ðR a ; X a Þ ¼ R a I 2 ¼

Ra U 2 ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2

( U U * ¼ U 2 ). Dabei sind I * und U * die zu I und U konjugiert komplexen Grßen. Wirkwiderstand R a und Blindwiderstand X a sind nun (bei vorgegebenen Werten fr U, R i und X i ) so zu bestimmen, dass die Wirkleistung P ¼ P ðR a ; X a Þ ihren grßtmglichen Wert annimmt. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe fr eine von zwei unabhngigen Variablen abhngige Funktion. Bestimmung der bentigten partiellen Ableitungen Die fr die Extremwertberechnung bentigten partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung erhalten wir mit Hilfe der Quotienten- und Kettenregel. Sie lauten: " # @P @ Ra U 2 ¼ ¼ @R a @R a ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 @ ¼ U @R a 2

¼ U2 ¼ U2 ¼ U2

"

Ra ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2

# ¼

1 ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 2 ðR a þ R i Þ 1 R a ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 2 R 2a þ 2 R a R i þ R 2i þ ðX a þ X i Þ 2 2 R 2a 2 R a R i ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 2

¼

¼

R 2i R 2a þ ðX a þ X i Þ 2 ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 2

@P @ ¼ ½ R a U 2 ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 1 ¼ @X a @X a ¼ U 2 Ra

@ ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 1 ¼ @X a

¼ U 2 R a ð 1Þ ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 2 2 ðX a þ X i Þ 1 ¼ ¼ 2U2

R a ðX a þ X i Þ ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 2

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

275

" # @P @ R 2i R 2a þ ðX a þ X i Þ 2 2 ¼ U ¼ @R a @R a ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 2 " # @ R 2i R 2a þ ðX a þ X i Þ 2 2 ¼ U ¼ @R a ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 2 2 h i2 2 2 2 R ðR þ R Þ þ ðX þ X Þ a a i a i 6 ¼ U2 4 h i4 ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2

@ 2P @ ¼ 2 @R a @R a

2

¼ 2U2

h

3 i ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 2 ðR a þ R i Þ 1 ½ R 2i R 2a þ ðX a þ X i Þ 2 7 5 ¼ h i4 ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2

R a ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 þ 2 ðR a þ R i Þ ½ R 2i R 2a þ ðX a þ X i Þ 2 ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 3

Der grau unterlegte Faktor ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 wurde dabei gekrzt. Im Zhler des Bruches nehmen wir noch die folgenden Umformungen vor: R a ðR a þ R i Þ 2 þ R a ðX a þ X i Þ 2 þ 2 ðR a þ R i Þ ð R 2i R 2a Þ þ 2 ðR a þ R i Þ ðX a þ X i Þ 2 ¼ |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} 3: Binom : ðR i þ R a Þ ðR i R a Þ

¼ R a ðR a þ R i Þ 2 þ R a ðX a þ X i Þ 2 þ 2 ðR a þ R i Þ 2 ðR i R a Þ þ 2 ðR a þ R i Þ ðX a þ X i Þ 2 ¼ ¼ R a ðR a þ R i Þ 2 þ 2 ðR a þ R i Þ 2 ðR i R a Þ þ R a ðX a þ X i Þ 2 þ 2 ðR a þ R i Þ ðX a þ X i Þ 2 Ausklammern des gemeinsamen Faktors ðR a þ R i Þ 2 (1. und 2. Summand) bzw. ðX a þ X i Þ 2 (3. und 4. Summand) fhren zu ½ R a þ 2 ðR i R a Þ ðR a þ R i Þ 2 þ ½ R a þ 2 ðR a þ R i Þ ðX a þ X i Þ 2 ¼ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 2 Ri Ra 3 Ra þ 2 Ri ¼ ð2 R i R a Þ ðR a þ R i Þ 2 þ ð3 R a þ 2 R i Þ ðX a þ X i Þ 2 Somit gilt: @ 2P ð2 R i R a Þ ðR a þ R i Þ 2 þ ð3 R a þ 2 R i Þ ðX a þ X i Þ 2 2 ¼ 2 U @R 2a ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 3 Analog findet man fr die restlichen partiellen Ableitungen 2. Ordnung: @ 2P ðR a þ R i Þ 2 3 ðX a þ X i Þ 2 ¼ 2 U 2 Ra 2 @X a ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 3

276

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

@ 2P @ 2P ðX a þ X i Þ ½ ðR a þ R i Þ ðR i 3 R a Þ þ ðX a þ X i Þ 2 ¼ ¼ 2U2 @R a @X a @X a @R a ½ ðR a þ R i Þ 2 þ ðX a þ X i Þ 2 3 Extremwertberechnung Aus den notwendigen Bedingungen

@P @P ¼ 0 und ¼ 0 erhalten wir folgende Lsung: @R a @X a

@P ¼ 0 @X a

)

R a ðX a þ X i Þ ¼ 0

@P ¼ 0 @R a

)

R 2i R 2a þ ðX a þ X i Þ 2 ¼ 0 |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} 0

)

Xa þ Xi ¼ 0 )

)

Xa ¼ Xi

R 2i ¼ R 2a

)

Ra ¼ Ri

Wir prfen, ob auch das hinreichende Kriterium fr einen relativen Extremwert erfllt ist. Dazu berechnen wir zunchst die bentigten Werte der partiellen Ableitungen 2. Ordnung an der Stelle R a ¼ R i , X a ¼ X i (die grau unterlegten Ausdrcke verschwinden): @ 2P ð2 R i R i Þ ðR i þ R i Þ 2 þ ð3 R i þ 2 R i Þ ð X i þ X i Þ 2 2 ¼ 2 U ¼ @R 2a ½ ðR i þ R i Þ 2 þ ð X i þ X i Þ 2 3 ¼ 2U2

R i ð2 R i Þ 2 ð2 R i Þ

6

¼

2 U 2 Ri ð2 R i Þ

4

¼

2 U 2 Ri U2 ¼ 4 16 R i 8 R 3i

@ 2P ðR i þ R i Þ 2 3 ð X i þ X i Þ 2 2 U 2 R i ð2 R i Þ 2 U2 2 ¼ 2 U R ¼ ¼ i @X a2 8 R 3i ½ ðR i þ R i Þ 2 þ ð X i þ X i Þ 2 3 ð2 R i Þ 6 @ 2P ð X i þ X i Þ ½ ðR i þ R i Þ ðR i 3 R i Þ þ ð X i þ X i Þ 2 ¼ 2U2 ¼ 0 @R a @X a ½ ðR i þ R i Þ 2 þ ð X i þ X i Þ 2 3 Wegen D ¼

2 2 @ 2P @ P @ 2P U2 U2 U4 ¼ > 0 02 ¼ 3 3 2 2 @R a @X a @R a @X a 8 Ri 8 Ri 64 R 6i

und @ 2P U2 ¼ < 0 @R 2a 8 R 3i liegt ein relatives Maximum vor. Die Leistungsaufnahme des Verbrauchers ist somit optimal, wenn R a ¼ R i und X a ¼ X i und somit Z a ¼ Z i* ist, d. h. der Verbraucherwiderstand muss zum Innenwiderstand des Generators konjugiert komplex sein. Die Blindwiderstnde von Verbraucher und Generator kompensieren sich somit im Falle der Leistungsanpassung, die Leistung erreicht dann ihren Maximalwert P max ¼ P ðR a ¼ R i ; X a ¼ X i Þ ¼

Ri U 2 2

ðR i þ R i Þ þ ð X i þ X i Þ

2

¼

Ri U 2 U2 ¼ 2 4 Ri 4 Ri

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

277

Beispiel 9: Eine Anwendung des Gaußschen Fehlerintegrals Extremwertaufgabe In der Technik (insbesondere in der Elektrotechnik) stellt sich hufig das Problem, eine nichtsinusfrmige periodische Funktion y ðtÞ mit der Periode T durch ein trigonometrisches Polynom m-ten Grades vom Typ y m ðtÞ ¼

m X a0 þ ½ a k cos ðk w 0 tÞ þ b k sin ðk w 0 tÞ 2 k¼1

nherungsweise zu ersetzen (w 0 ¼ 2 p=T : Kreisfrequenz der Grundschwingung; w k ¼ k w 0 : Kreisfrequenzen der harmonischen Oberschwingungen). Ein Maß fr den dabei begangenen Fehler liefert das sog. Gaußsche Fehlerintegral F ¼

ðT

½ y ðtÞ y m ðtÞ 2 dt

0

a) Bestimmen Sie die noch unbekannten Koeffizienten a 0 , a 1 , . . . , a m , b 1 , b 2 , . . . , b m des trigonometrischen Nherungspolynoms y m ðtÞ so, dass das Fehlerintegral einen mglichst kleinen Wert annimmt. b) Zeigen Sie, dass die unter a) berechneten Koeffizienten genau die Fourierkoeffizienten der Fourier-Reihe von y ðtÞ sind. Was folgern Sie daraus? Lsungshinweis: Betrachten Sie das Gaußsche Fehlerintegral als eine Funktion der 2 m þ 1 unabhngigen Variablen a 0 , a 1 , . . . , a m , b 1 , b 2 , . . . , b m . Bei der Lsung dieser Extremwertaufgabe drfen Sie ferner auf die folgenden bestimmten Integrale zurckgreifen: Ik ¼

ðT

cos ðk w 0 tÞ dt ¼

0

Ikn ¼

ðT

sin ðk w 0 tÞ dt ¼ 0

ðk ¼ 1, 2, . . . , mÞ

0

ðT

cos ðk w 0 tÞ cos ðn w 0 tÞ dt ¼

0

¼

ðT

( sin ðk w 0 tÞ sin ðn w 0 tÞ dt ¼

T=2

0

I k*n ¼

ðT

cos ðk w 0 tÞ sin ðn w 0 tÞ dt ¼

0

Lehrbuch: Bd. 2, III.2.5.4

0

ðT 0

f u¨ r

k 6¼ n

)

k ¼ n

sin ðk w 0 tÞ cos ðn w 0 tÞ dt ¼ 0

278

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

Lsung: a) Das Gaußsche Fehlerintegral wird als eine Funktion der insgesamt 2 m þ 1 unabhngigen Variablen a 0 , a 1 , . . . , a m , b 1 , b 2 , . . . , b m betrachtet: F ða 0 ; a 1 ; . . . ; a m ; b 1 ; b 2 ; . . . ; b m Þ ¼

ðT

½ y ðtÞ y m ðtÞ 2 dt ¼

0

¼

ðT h

y ðtÞ

0

m i2 X a0 ½ a k cos ðk w 0 tÞ þ b k sin ðk w 0 tÞ dt 2 k¼1

Die fr ein Minimum notwendigen Bedingungen lauten dann @F @F @F @F @F @F ¼ ¼ ... ¼ ¼ ¼ ¼ ... ¼ ¼ 0 @a 0 @a 1 @a m @b 1 @b 2 @b m d. h. smtliche partiellen Ableitungen 1. Ordnung mssen verschwinden. Bei der Bildung der bentigten Ableitungen (mit Hilfe der Kettenregel) beachten wir, dass Differentiation und Integration vertauschbar sind, d. h. die Differentiation darf „unter“ dem Integralzeichen ausgefhrt werden. Berechnung des Koeffizienten a 0 @F ¼ @a 0

ðT 0

¼

m i 1 X a0 2 y ðtÞ ½ a k cos ðk w 0 tÞ þ b k sin ðk w 0 tÞ dt ¼ 2 2 k¼1

h

ðT h 0

y ðtÞ

m i X a0 ½ a k cos ðk w 0 tÞ þ b k sin ðk w 0 tÞ dt ¼ 0 2 k¼1

Wir spalten das Integral in Teilintegrale auf und lsen die Gleichung dann nach a 0 auf: 0 1 ðT ðT ðT ðT m X a0 @a k cos ðk w 0 tÞ dt þ b k sin ðk w 0 tÞ dtA ¼ 0 y ðtÞ dt þ 1 dt þ 2 k¼1 0 0 0 0 |ﬄ ﬄ{zﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} T Ik ¼ 0 Ik ¼ 0 Smtliche Glieder der Summe von k ¼ 1 bis k ¼ m verschwinden wegen I k ¼ 0 fr k ¼ 1, 2, . . . , m. Aus dem verbliebenen Ausdruck lsst sich der gesuchte Koeffizient a 0 wie folgt berechnen:

ðT 0

a0 T ¼ 0 y ðtÞ dt þ 2

)

2 a0 ¼ T

ðT 0

y ðtÞ dt

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

279

Berechnung der Koeffizienten a n (n ¼ 1, 2, . . . , m) @F ¼ @a n

ðT

m h i a0 X 2 y ðtÞ ½ a k cos ðk w 0 tÞ þ b k sin ðk w 0 tÞ ½ cos ðn w 0 tÞ dt ¼ 2 k¼1

0

ðT h

¼ 2

y ðtÞ cos ðn w 0 tÞ þ

a0 cos ðn w 0 tÞ þ 2

0

þ

i ½ a k cos ðk w 0 tÞ cos ðn w 0 tÞ þ b k sin ðk w 0 tÞ cos ðn w 0 tÞ dt ¼ 0

m X k¼1

Wir dividieren durch 2 und spalten das Integral in Teilintegrale auf:

ðT

a0 y ðtÞ cos ðn w 0 tÞ dt þ 2

0

þ

ðT

cos ðn w 0 tÞ dt þ

0 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I k ¼ 0 ðmit k ¼ nÞ

m X

0 @a k

k¼1

cos ðk w 0 tÞ cos ðn w 0 tÞ dt þ b k

0

y ðtÞ cos ðn w 0 tÞ dt þ

m X

ðT

1 sin ðk w 0 tÞ cos ðn w 0 tÞ dtA ¼

0

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I k*n ¼ 0

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Ikn

ðT

¼

ðT

ak Ikn ¼ 0

k¼1

0

Die Integrale I k n verschwinden bis auf I n n ¼ T=2. Damit folgt fr den Koeffizienten a n :

ðT

T y ðtÞ cos ðn w 0 tÞ dt þ a n ¼ 0 2

)

2 an ¼ T

0

ðT

y ðtÞ cos ðn w 0 tÞ dt

0

Berechnung der Koeffizienten b n (n ¼ 1, 2, . . . , m) @F ¼ @b n

ðT 0

m h i a0 X 2 y ðtÞ ½ a k cos ðk w 0 tÞ þ b k sin ðk w 0 tÞ ½ sin ðn w 0 tÞ dt ¼ 2 k¼1

¼ 2

ðT h

y ðtÞ sin ðn w 0 tÞ þ

a0 sin ðn w 0 tÞ þ 2

0

þ

m X k¼1

i ½ a k cos ðk w 0 tÞ sin ðn w 0 tÞ þ b k sin ðk w 0 tÞ sin ðn w 0 tÞ dt ¼ 0

280

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

Wir dividieren durch 2 und spalten das Integral in Teilintegrale auf:

ðT

y ðtÞ sin ðn w 0 tÞ dt þ

a0 2

0

þ

ðT

sin ðn w 0 tÞ dt þ

0

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I k ¼ 0 ðmit k ¼ nÞ

m X

0 @a k

k¼1

ðT

cos ðk w 0 tÞ sin ðn w 0 tÞ dt þ b k

0

¼

y ðtÞ sin ðn w 0 tÞ dt þ

m X

1 sin ðk w 0 tÞ sin ðn w 0 tÞ dtA ¼

0

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I k*n ¼ 0 ðT

ðT

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Ikn

bk Ikn ¼ 0

k¼1

0

Wegen I k n ¼ 0 fr k 6¼ n und I n n ¼ T=2 folgt schließlich fr den Koeffizienten b n :

ðT

T y ðtÞ sin ðn w 0 tÞ dt þ b n ¼ 0 2

)

2 bn ¼ T

0

ðT

y ðtÞ sin ðn w 0 tÞ dt

0

b) Die Berechnungsformeln fr die Koeffizienten des trigonometrischen Nherungspolynoms m-ten Grades lauten nach den Ergebnissen aus Teil a): ðT

2 a0 ¼ T

y ðtÞ dt

0

2 an ¼ T

ðT 0

bn ¼

2 T

ðT 0

9 > > > > y ðtÞ cos ðn w 0 tÞ dt > > > > = > > > > > y ðtÞ sin ðn w 0 tÞ dt > > > ;

n ¼ 1, 2, . . . , m

Sie stimmen, wie ein Vergleich zeigt, mit den entsprechenden Fourierkoeffizienten der Fourier-Reihe von y ðtÞ berein (siehe Band 2, Abschnitt II.2.1, Formel (II-57) bzw. Formelsammlung, Abschnitt VI.4.2). Wir folgern: Von allen mglichen trigonometrischen Polynomen m-ten Grades vom Typ y m ðtÞ ¼

m X a0 ½ a k cos ðk w 0 tÞ þ b k sin ðk w 0 tÞ þ 2 k¼1

liefert dasjenige die bestmgliche Nherung fr y ðtÞ, dessen Koeffizienten mit den entsprechenden Fourierkoeffizienten von y ðtÞ bereinstimmen.

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

281

Beispiel 10: Flcheninhalt und Flchenschwerpunkt eines Kreisabschnittes (Kreissegmentes) Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten Bild VIII-10 zeigt ein Kreissegment aus dnnem homogenen Blech mit dem Radius R und dem Zentriwinkel j ¼ 2 a. Berechnen Sie unter ausschließlicher Verwendung von Doppelintegralen in kartesischen Koordinaten

y y0 S P

a) den Flcheninhalt A,

R yu

R

b) die Lage des Flchenschwerpunktes S.

aa

c) Untersuchen Sie den Sonderfall j ¼ p.

0

x

a y P′

x

Bild VIII-10

Lehrbuch: Bd. 2, III.3.1.3

Lsung: Wir bestimmen zunchst die bentigten Integrationsgrenzen unter Verwendung kartesischer Koordinaten. Aus dem rechtwinkligen Dreieck OP 0 P erhalten wir fr die Koordinaten des Punktes P ¼ ðx; yÞ die folgenden Beziehungen: x y sin a ¼ ) x ¼ R sin a , cos a ¼ ) y ¼ R cos a R R Das Kreissegment wird somit unten p von der zur x-Achse parallelen Geraden y u ¼ R cos a ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ und oben von der Kreislinie y 0 ¼ R 2 x 2 berandet. Die Kurvenschnittpunkte liegen bei x 1=2 ¼ R sin a. Damit ergeben sich folgende Integrationsgrenzen: pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ R2 x2

y-Integration :

Von

y ¼ R cos a

bis

y ¼

x-Integration :

Von

x ¼ R sin a

bis

x ¼ R sin a

a) Das Doppelintegral fr den Flcheninhalt lautet unter Bercksichtigung der Spiegelsymmetrie zur y-Achse: pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Rð sin a R 2ð x 2 Rð sin a R 2ð x 2 ðð A ¼ 1 dA ¼ 1 dy dx ¼ 2 1 dy dx ðAÞ

x ¼ R sin a y ¼ R cos a

x¼0

y ¼ R cos a

282

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

Innere Integration (nach der Variablen y): pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ R 2ð x 2 h i pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ R2 x2 1 dy ¼ y ¼ R 2 x 2 R cos a y ¼ R cos a

y ¼ R cos a

ußere Integration (nach der Variablen x): Rð sin a

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ð R 2 x 2 R cos aÞ dx ¼

x¼0

R sin a x pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 2 2 2 R cos a x ¼ x R x þ R arcsin ¼ 2 R 0 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 1 2 ¼ R sin a R 2 R 2 sin 2 a þ R arcsin ðsin aÞ R 2 cos a sin a ¼ 2 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} a qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 1 2 ¼ R sin a R 2 ð1 sin 2 aÞ þ R a R 2 cos a sin a ¼ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 2 2 cos 2 a 1 2 1 2 R sin a cos a þ R a R 2 sin a cos a ¼ 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ¼ R a R sin a cos a ¼ R a sin ð2 aÞ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 2 2 2 2 1 ðsiehe Formelsammlung, III:7:6:3Þ sin ð2 aÞ 2 ð pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ (Berechnung des Integrals R 2 x 2 dx nach Integral Nr. 141 mit a ¼ R) Die Flche betrgt somit 1 2 1 1 A ¼ 2 R a sin ð2 aÞ ¼ R 2 a sin ð2 aÞ 2 2 2 ¼

oder (unter Bercksichtigung von a ¼ j=2) j 1 1 2 A ¼ R2 sin j ¼ R ðj sin jÞ 2 2 2 b) Der Schwerpunkt S liegt aus Symmetriegrnden auf der y-Achse (Symmetrieachse). Somit ist x S ¼ 0. Fr die Schwerpunktsordinate y S gilt dann unter Bercksichtigung der Spiegelsymmetrie des Kreissegmentes bezglich der y-Achse: pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Rð sin a R 2ð x 2 ðð 1 1 y dA ¼ y dy dx ¼ yS ¼ A 1 2 R a sin ð2 aÞ x ¼ R sin a y ¼ R cos a ðAÞ 2

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

¼

2 1 2 R a sin ð2 aÞ 2

Rð sin a

283

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ R 2ð x 2

y dy dx y ¼ R cos a

x¼0

Innere Integration (nach der Variablen y): pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ R 2ð x 2 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 2 1 2 R x 1 h 2i R 2 x 2 y y dy ¼ ¼ ¼ y y ¼ R cos a 2 2 y ¼ R cos a y ¼ R cos a

¼

¼

1 1 ðR 2 x 2 R 2 cos 2 aÞ ¼ ½ R 2 ð1 cos 2 a Þ x 2 ¼ 2 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} sin 2 a 1 ðR 2 sin 2 a x 2 Þ 2

ußere Integration (nach der Variablen x): Rð sin a

1 1 ðR 2 sin 2 a x 2 Þ dx ¼ 2 2

1 3 R sin a x x 3 2

2

x¼0

1 ¼ 2

R sin a ¼ 0

1 3 1 3 3 3 3 R sin a R sin a ¼ R sin 3 a 3 3

Fr die Schwerpunktskoordinate y S erhalten wir damit yS ¼

R2

2 1 3 2 R sin 3 a R sin 3 a ¼ 3 1 1 3 a a sin ð2 aÞ sin ð2 aÞ 2 2

oder (unter Bercksichtigung von a ¼ j=2) yS ¼

2 R sin 3 ðj=2Þ 2 R sin 3 ðj=2Þ 4 R sin 3 ðj=2Þ ¼ ¼ 3 3 ðj sin jÞ 1 1 ðj sin jÞ 3 j sin j 2 2 2

Anmerkung: Bei einem Blech der Strke (Dicke) h liegt die Hhenkoordinate (z-Koordinate) des Schwerpunktes bei z S ¼ h=2. Fr ein hauchdnnes Blech ðh ! 0Þ gilt z S ¼ 0. 1 c) Im Sonderfall j ¼ p erhalten wir einen Halbkreis mit der Flche A ¼ p R 2 und 2 4R den Schwerpunktskoordinaten x S ¼ 0 und y S ¼ ¼ 0,424 R. 3p

284

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

Beispiel 11: Magnetischer Fluss durch eine Leiterschleife Doppelintegral in Polarkoordinaten Eine kreisfrmig gebogene Leiterschleife vom Radius R wird senkrecht von einem Magnetfeld durchflutet, dessen magnetische Flussdichte B nach der Gleichung 2

B ðrÞ ¼ B 0 e r ,

y

r 0

magnetische Feldlinie (senkrecht zur Zeichenebene)

R

in radialer Richtung nach außen hin abnimmt (Bild VIII-11).

x B

r: Abstand vom Kreismittelpunkt; B 0 > 0 Bestimmen Sie den magnetischen Fluss F durch die Leiterschleife mittels Doppelintegration.

Lehrbuch: Bd. 2, III.3.1.2.2

Leiterschleife

Bild VIII-11

Physikalische Grundlagen: A38

Lsung: Der magnetische Fluss F durch die Leiterschleife ist definitionsgemß durch das Doppelintegral ðð B ðrÞ dA F ¼ ðAÞ

gegeben [ A38 ]. In Polarkoordinaten ist dA ¼ r dr dj, die Integrationsgrenzen lauten dann: r-Integration : Von

r ¼ 0

bis

r ¼ R

j-Integration : Von

j ¼ 0

bis

j ¼ 2p

Somit ist F ¼

2ðp

ðR

B0 e

r2

r dr dj ¼ B 0

j¼0 r¼0

2ðp

ðR

2

r e r dr dj

j¼0 r¼0

Innere Integration (nach der Variablen r): ðR Das innere Integral r¼0

2

r e r dr lsen wir durch die folgende Substitution:

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen du ¼ 2r, dr

u ¼ r2 ,

dr ¼

du 2r

Untere Grenze:

r ¼ 0

)

u ¼ 0

Obere Grenze :

r ¼ R

)

u ¼ R2

ðR

2

r e r dr ¼

ðR 2

r eu

du 2r

1 ¼ 2

ðR 2

u¼0

r¼0

¼

285

e u du ¼

1 h u i R 2 e ¼ 0 2

0

1 R2 1 2 1 ¼ e 1 eR 2 2

ußere Integration (nach der Variablen j): 2ðp

2ðp h i2 p 1 1 1 2 R2 R2 dj ¼ j 1 dj ¼ ¼ 1e 1e 1 eR 0 2 2 2

j¼0

0

1 2 2 ¼ 1 eR 2 p ¼ p 1 eR 2 Der magnetische Fluss durch die kreisfrmige Leiterschleife betrgt somit F ¼ B0

2ðp

ðR

2 2 r e r dr dj ¼ B 0 p 1 e R

j¼0 r¼0

Beispiel 12: Stromstrke in einem Leiter bei ortsabhngiger Stromdichte Doppelintegral in Polarkoordinaten Der in Bild VIII-12 skizzierte elektrische Leiter besitzt einen kreisringfrmigen Querschnitt mit dem Innenradius r i und dem Außenradius r a . Er wird in seiner Lngsrichtung von einem Strom durchflossen, dessen Stromdichte S~ dem Betrage nach von innen nach außen hin nach der Gleichung S ðrÞ ¼ S 0

ear , r

ri r ra

abnimmt. r : senkrechter Abstand von der Symmetrieachse (z-Achse); S 0 > 0; a > 0 Berechnen Sie die Stromstrke I durch ein Doppelintegral.

286

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

y

Stromdichtevektor S (senkrecht zur Zeicheneben) S

ra ri

S

x

S Leiterquerschnitt (Kreisring)

Bild VIII-12

Lehrbuch: Bd. 2, III.3.1.2.2

Physikalische Grundlagen: A61

Lsung: Definitionsgemß [ A61 ] ist die Stromstrke durch das Doppelintegral ðð ðð I ¼ dI ¼ S dA ðAÞ

ðAÞ

gegeben. Wegen der Kreissymmetrie verwenden wir zweckmßigerweise Polarkoordinaten r und j. Das Flchenelement ist dA ¼ r dr dj, die Integrationsgrenzen lauten (siehe Bild VIII-12): r-Integration : Von

r ¼ ri

bis

j-Integration : Von

j ¼ 0

bis j ¼ 2 p

r ¼ ra

Die Stromstrke lsst sich damit durch das folgende Doppelintegral berechnen: I ¼

ðð

S ðrÞ r dr dj ¼

2ðp

rða

S0

ear r dr dj ¼ S 0 r

j ¼ 0 r ¼ ri

ðAÞ

2ðp

rða

e a r dr dj

j ¼ 0 r ¼ ri

Wir lsen dieses Integral durch zwei nacheinander auszufhrende gewhnliche Integrationen. Innere Integration (nach der Variablen r): Das innere Integral lsen wir durch die folgende Substitution: u ¼ ar ,

du ¼ a, dr

dr ¼

du a

Untere Grenze :

r ¼ ri

)

u ¼ a ri

Obere Grenze :

r ¼ ra

)

u ¼ a ra

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen rða

ð a ra

e a r dr ¼

r ¼ ri

eu

du a

¼

1 a

u ¼ a ri

¼

ð a ra

e u du ¼

287

1 h u i a r a ¼ e a ri a

a ri

1 a ra 1 e a r i Þ ¼ ðe a r i e a r a Þ ðe a a

ußere Integration (nach der Variablen j): 2ðp

1 a ri 1 e a r a Þ dj ¼ ðe a r i e a r a Þ ðe a a

j¼0

¼

2ðp

1 dj ¼

0

h i2 p 1 a ri 1 2 p a ri e a raÞ j ¼ ðe a r i e a r a Þ 2 p ¼ e a raÞ ðe ðe 0 a a a

Die Stromstrke betrgt damit I ¼ S0

rða

2ðp

2 p S 0 a ri e a raÞ ðe a

e a r dr dj ¼

j ¼ 0 r ¼ ri

Beispiel 13: Gaußsche Normalverteilung Doppelintegral in Polarkoordinaten Messwerte und Messfehler einer physikalisch-technischen Grße t sind im Regelfall normalverteilt, d. h. sie unterliegen der Gaußschen Normalverteilung mit der Dichtefunktion j ðtÞ ¼ N e

1 2

2

ðt s mÞ

,

1 < t < 1

und den beiden Kennwerten (Parametern) m (Mittel- oder Erwartungswert) und s (Standardabweichung) 4). Der Faktor N in der Dichtefunktion wird dabei so gewhlt, dass die Gesamtflche unter der Gaußschen Kurve den Wert 1 erhlt: 1 ð 1

4)

j ðtÞ dt ¼ N

1 ð

e

1 2

2

ðt s mÞ

dt ¼ 1

1

Eine ausfhrliche Darstellung der Gaußschen Normalverteilung finden Sie in Band 3, Abschnitt II.6.4.1.

288

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

Man bezeichnet diesen Vorgang als Normierung, den Faktor N daher folgerichtig als Normierungsfaktor. Dieses Vorgehen hat einen tieferen Grund: Im Falle der Normierung ist die Wahrscheinlichkeit P dafr, dass man bei einer Messung der Grße t einen zwischen a und b liegenden Messwert erhlt, durch die Flche unter der Gaußkurve im Intervall a t b, d. h. durch das Integral

P ða t bÞ ¼

ðb

f( t ) P (a ≤ t ≤ b)

f( t )

a

t

Bild VIII-13

j ðtÞ dt ¼ N

a

b

ðb e

1 2

2

ðt s mÞ

dt

a

gegeben (grau unterlegte Flche in Bild VIII-13). Bestimmen Sie den Normierungsfaktor N unter Beachtung des Lsungshinweises. Lsungshinweis: Das uneigentliche Integral ist elementar nicht lsbar. Es lsst sich jedoch mit einem (zunchst vielleicht etwas sonderbar erscheinenden) „mathematischen Trick“ mit Hilfe eines Doppelintegrals schrittweise wie folgt lsen: t m durch. Sie fhrt auf die bersichtlichere (1) Fhren Sie zunchst die Substitution x ¼ s Gleichung Ns

1 ð

1 2 e 2 x dx ¼ 1

1

(2) Quadrieren Sie jetzt diese Gleichung und fhren Sie in den beiden (identischen) Integralen der linken Seite formal unterschiedliche Bezeichnungen fr die Integrationsvariable ein (z. B. x und y) 5). Sie erhalten dann die Gleichung 01 1 01 1 ð ð 1 2 1 2 N2 s2 @ e 2 x dxA @ e 2 y dyA ¼ 1 1

1

Das Produkt der beiden Integrale lsst sich durch ein Doppelintegral in kartesischen Koordinaten darstellen, wobei ber die gesamte x, y-Ebene zu integrieren ist. (3) Lsen Sie dieses Doppelintegral, in dem Sie jetzt zu Polarkoordinaten bergehen und berechnen Sie anschließend aus der Gleichung den Normierungsfaktor N. Lehrbuch: Bd. 2, III.3.1.2.2

5)

Der Wert der Integrale bleibt davon unberhrt.

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

289

Lsung: Wir gehen in der vorgeschlagenen Weise vor. t m dx 1 , ¼ , (1) Substitution: x ¼ s dt s

dt ¼ s dx

Untere Grenze :

t ¼ 1

)

x ¼ 1

Obere Grenze :

t ¼ 1

)

x ¼ 1

N

1 ð

1 e 2

2

ðt s mÞ

dt ¼ N

1

1 ð

1 e 2

1 ð

x 2 s dx ¼ N s

1

1 2 e 2 x dx ¼ 1

1

(2) Quadrieren der Gleichung und Umbenennen der Integrationsvariablen des zweiten (rechten) Integrals (x ! y): 01 1 01 1 ð ð 1 2 1 2 N2 s2 @ e 2 x dxA @ e 2 y dyA ¼ 1 1

1

Darstellung des Integralproduktes als Doppelintegral: 2

1 ð

1 ð

2

N s

1 2 1 2 e 2 x e 2 y dy dx ¼

x¼1 y¼1

2

2

¼ N s

1 ð

1 ð

1 2 2 e 2 ðx þ y Þ dy dx ¼ 1

x¼1 y¼1

(3) bergang zu den Polarkoordinaten r und j: x2 þ y2 ¼ r2

)

1 2 2 1 2 e 2 ðx þ y Þ ¼ e 2 r

dA ¼ dy dx

)

dA ¼ r dr dj

Die Integration erfolgt dabei ber die gesamte x, y-Ebene. Somit lauten die Integrationsgrenzen (in Polarkoordinaten ausgedrckt): r-Integration :

Von

r ¼ 0 bis

j-Integration : Von j ¼ 0

r ¼ 1

bis j ¼ 2 p

Damit erhalten wir das folgende Doppelintegral in Polarkoordinaten: 2ðp

1 ð

1 2 e 2 r r dr dj

j¼0 r¼0

Wir lsen dieses Integral durch zwei (gewhnliche) Integrationen.

290

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

Innere Integration (nach der Variablen r): 1 ð 1 2 Das innere Integral e 2 r r dr wird durch die Substitution r¼0

u ¼

1 2 r , 2

du ¼ r, dr

dr ¼

du r

Untere Grenze :

r ¼ 0

)

u ¼ 0

Obere Grenze :

r ¼ 1

)

u ¼ 1

wie folgt gelst: 1 ð

1 e 2

r 2 r dr ¼

r¼0

ð1

ð1 h i1 du e r e u du ¼ e u ¼ ¼ 0 r u

u¼0

0 u

¼ ð0 1Þ ¼ 1

ðe ! 0

f u¨ r u ! 1Þ

ußere Integration (nach der Variablen j): 2ðp

1 dj ¼

h i2p j ¼ 2p 0

j¼0

Somit ist 2

2

N s

1 ð

1 ð

1 2 2 e 2 ðx þ y Þ dy dx ¼

x¼1 y¼1

¼ N2 s2

2ðp

1 ð

1 2 e 2 r r dr ¼ N 2 s 2 2 p ¼ 1

j¼0 r¼0

und der Normierungsfaktor besitzt den Wert 1 N ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2p s Die normierte Dichtefunktion der Gaußschen Normalverteilung lautet damit: 1 1 j ðtÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ e 2 2p s

ðt s mÞ

2

,

1 < t < 1

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

291

Beispiel 14: Schwerpunkt, Hauptachsen und Hauptflchenmomente 2. Grades (Hauptflchentrgheitsmomente) einer trapezfrmigen Flche Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten Bestimmen Sie fr die in Bild VIII-14 skizzierte trapezfrmige Flche folgende Grßen mittels Doppelintegration:

3a

a) Die Lage des Flchenschwerpunktes S ¼ ðx S ; y S Þ, b) die axialen Flchenmomente I x und I y sowie das gemischte Flchenmoment I x y (auch Zentrifugalmoment genannt), c) die entsprechenden Flchenmomente I x , I h , und I x h , bezogen auf die Achsen eines durch den Schwerpunkt S gehenden x, h-Parallelkoordinatensystems, unter Verwendung des Satzes von Steiner [ A62 ], d) die beiden Hauptachsen u und v sowie die Hauptflchenmomente I u und I v [ A63 ].

h

y

v 2a f a

u

S x yS

yS

xS

2a

x

Bild VIII-14

u, v: Hauptachsen der Flche; j: Winkel zwischen der Hauptachse u und der x- bzw. x-Achse Lsungshinweis: Die Berechnungsformel fr das gemischte Flchenmoment (Zentrifugalmoment) I x y lautet: Ixy ¼

ðð

x y dA ¼

ðAÞ

ðð x y dy dx ðAÞ

Lehrbuch: Bd. 2, III.3.1.3

Physikalische Grundlagen: A62, A63

Lsung:

ða þ 3 aÞ 2 a ¼ 4 a 2 und 2 wird unten von der x-Achse und oben von der Geraden y ¼ x þ a berandet. Damit ergeben sich fr die anfallenden Doppelintegrale folgende Integrationsgrenzen:

Das trapezfrmige Flchenstck hat den Flcheninhalt A ¼

y-Integration :

Von y ¼ 0

x-Integration :

Von x ¼ 0 bis

bis

y ¼ xþa x ¼ 2a

292

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

a) Berechnung der Schwerpunktskoordinate x S 1 xS ¼ A

ðð

1 x dA ¼ 4 a2

2ða

xð þa

x dy dx x¼0 y¼0

ðAÞ

Innere Integration (nach der Variablen y): xð þa

xþ ða

x dy ¼ x

h ixþa 1 dy ¼ x y ¼ x ðx þ aÞ ¼ x 2 þ a x y¼0

y¼0

y¼0

ußere Integration (nach der Variablen x): 2ða

2

ðx þ a xÞ dx ¼

1 3 1 x þ a x2 3 2

x¼0

2 a ¼ 0

8 3 a þ 2 a3 ¼ 3

8 3 6 3 14 3 a þ a ¼ a 3 3 3

¼ Somit ist xS ¼

2ða

1 4 a2

xð þa

x dy dx ¼

1 14 3 7 a ¼ a 4 a2 3 6

x¼0 y¼0

Berechnung der Schwerpunktskoordinate y S 1 yS ¼ A

ðð

1 y dA ¼ 4 a2

2ða

xð þa

y dy dx x¼0 y¼0

ðAÞ

Innere Integration (nach der Variablen y): xð þa

y dy ¼

1 2 y 2

x þ a

y¼0

¼ y¼0

1 1 ðx þ aÞ2 ¼ ðx 2 þ 2 a x þ a 2 Þ 2 2

ußere Integration (nach der Variablen x): 1 2

2ða

ðx 2 þ 2 a x þ a 2 Þ dx ¼

x¼0

1 3 x þ a x2 þ a2 x 3

2 a ¼ 0

8 3 1 8 3 3 3 3 ¼ ¼ a þ 4a þ 2a a þ 6a 3 2 3 1 8 3 18 3 1 26 3 13 3 a þ a a ¼ a ¼ ¼ 2 3 3 2 3 3 1 ¼ 2

1 2

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

293

Somit ist 1 yS ¼ 4 a2

2ða

xð þa

y dy dx ¼

1 13 3 13 a ¼ a 4 a2 3 12

x¼0 y¼0

Der Schwerpunkt liegt im Punkt S ¼

7 13 a; a . 6 12

b) Berechnung des axialen Flchenmomentes I x Ix ¼

ðð

2

y dA ¼

2ða

xð þa

y 2 dy dx

x¼0 y¼0

ðAÞ

Innere Integration (nach der Variablen y): xð þa

y 2 dy ¼

1 3 y 3

x þ a

y¼0

¼ y¼0

1 1 ðx þ aÞ3 ¼ ðx 3 þ 3 a x 2 þ 3 a 2 x þ a 3 Þ 3 3

ußere Integration (nach der Variablen x): 2ða

1 3

ðx 3 þ 3 a x 2 þ 3 a 2 x þ a 3 Þ dx ¼

1 3

1 4 3 2 2 x þ a x3 þ a x þ a3 x 4 2

x¼0

¼ Somit ist I x ¼

2 a ¼ 0

1 20 4 ð4 a 4 þ 8 a 4 þ 6 a 4 þ 2 a 4 Þ ¼ a 3 3

20 4 a . 3

Berechnung des axialen Flchenmomentes I y 6) Iy ¼

ðð

2

x dA ¼

2ða

xð þa

x 2 dy dx

x¼0 y¼0

ðAÞ

Innere Integration (nach der Variablen y): xð þa y¼0

6)

2

2

x dy ¼ x

xð þa

h ix þ a 1 dy ¼ x 2 y ¼ x 2 ðx þ aÞ ¼ x 3 þ a x 2 y¼0

y¼0

Aus Symmetriegrnden ist I y ¼ I x . Der bung halber wollen wir jedoch auf die direkte Berechnung nach der Definitionsformel nicht verzichten.

294

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

ußere Integration (nach der Variablen x): 2ða

3

2

ðx þ a x Þ dx ¼

1 4 1 x þ a x3 4 3

2 a 0

x¼0

¼

¼ 4 a4 þ

8 4 a ¼ 3

12 4 8 4 20 4 a þ a ¼ a 3 3 3

20 4 a und I y ¼ I x , wie bereits weiter vorne erkannt. 3

Somit ist I y ¼

Berechnung des gemischten Flchenmomentes (Zentrifugalmomentes) I x y Ixy ¼

ðð

2ða

x y dA ¼

xþ ða

x y dy dx x¼0 y¼0

ðAÞ

Innere Integration (nach der Variablen y): xð þa

x y dy ¼ x

y¼0

xð þa

y dy ¼ x

1 2 y 2

x þ a

y¼0

¼

¼ y¼0

1 h 2 ix þ a 1 ¼ x y x ðx þ aÞ2 ¼ y¼0 2 2

1 1 x ðx 2 þ 2 a x þ a 2 Þ ¼ ðx 3 þ 2 a x 2 þ a 2 xÞ 2 2

ußere Integration (nach der Variablen x): 2ða

1 2

ðx 3 þ 2 a x 2 þ a 2 xÞ dx ¼

1 2

1 4 2 1 2 2 x þ a x3 þ a x 4 3 2

x¼0

16 4 4 4 ¼ 4a þ a þ 2a 3 1 18 4 16 4 1 ¼ a þ a ¼ 2 3 3 2 1 ¼ 2

Somit ist I x y ¼

1 2

2 a ¼ 0

16 4 4 ¼ 6a þ a 3

34 4 17 4 a ¼ a 3 3

17 4 a . 3

c) Nach dem Satz von Steiner [ A62 ] gilt I x ¼ I x þ A y 2S

und somit

I x ¼ I x A y 2S

Damit erhalten wir fr das gesuchte axiale Flchenmoment I x : 2 20 4 13 20 4 169 2 20 4 169 4 2 Ix ¼ a 4a a ¼ a 4 a2 a ¼ a a ¼ 3 12 3 144 3 36 ¼

240 4 169 4 71 4 a a ¼ a 36 36 36

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

295

Analog werden die Flchenmomente I h und I x h bestimmt: I y ¼ I h þ A x 2S

oder I h ¼ I y A x 2S 2 20 4 7 20 4 49 4 60 4 49 4 11 4 2 Ih ¼ a 4a a ¼ a a ¼ a a ¼ a 3 6 3 9 9 9 9 Ixy ¼ Ixh þ A xS yS Ixh ¼

und somit

Ixh ¼ Ixy A xS yS

17 4 7 13 17 4 91 4 102 4 91 4 11 4 a 4 a2 a a ¼ a a ¼ a a ¼ a 3 6 12 3 18 18 18 18

d) Die Hauptachsen u und v entstehen durch Drehung des x, h-Koordinatensystems um den Winkel j, der aus der Gleichung tan ð2 jÞ ¼

2 Ixh Ix Ih

berechnet werden kann [ A63 ]. Wir erhalten die folgende Lsung: 11 4 11 11 a 11 36 44 18 9 9 tan ð2 jÞ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ 71 4 11 4 71 44 27 9 27 27 a a 36 9 36 36 36 2

¼ 1,6296

)

2 j ¼ arctan ð 1,6296Þ ¼ 58,47

)

j ¼ 29,23

Die Hauptachsen u und v entstehen somit durch Drehung der Schwerpunktskoordinatenachsen x und h um den Winkel 29,23 im Uhrzeigersinn! Fr die beiden Hauptflchenmomente I u und I v ergeben sich folgende Werte [ A63 ]: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 I x þ I h ðI x I h Þ2 þ 4 I x2 h ¼ I u=v ¼ 2 2 3 s ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 4 71 4 11 4 71 4 11 4 2 11 4 2 5 ¼ ¼ þ4 a þ a a a a 2 36 9 36 9 18 2 s ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ3 2 1 4 71 þ 44 4 71 44 2 8 22 ¼ a þ4 a8 5 ¼ a 2 36 36 36 2 3 s ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2ﬃ 1 4 115 4 27 2 22 a4 5 ¼ ¼ þ4 a 2 36 36 36

296

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

1 ¼ 2 ¼

"

115

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ # pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 27 2 þ 4 22 2 1 a4 ¼ 115 2665 a 4 ¼ 36 72

1 ð115 51,624Þ a 4 ¼ ð1,597 0,717Þ a 4 72

I u ¼ ð1,597 þ 0,717Þ a 4 ¼ 2,314 a 4 I v ¼ ð1,597 0,717Þ a 4 ¼ 0,880 a 4

Beispiel 15: Volumen und Schwerpunkt eines Tetraeders Dreifachintegrale in kartesischen Koordinaten Bild VIII-15 zeigt einen homogenen Krper in Gestalt eines Tetraeders (dreiseitige Pyramide). Bestimmen Sie unter ausschließlicher Verwendung von Dreifachintegralen

z a

C Tetraeder

a) das Volumen V, b) den Schwerpunkt S ¼ ðx S ; y S ; z S Þ dieses Krpers.

B a

y

a x

A

Bild VIII-15 Lehrbuch: Bd. 2, III.3.2.3

Lsung: Wir bestimmen zunchst die Integrationsgrenzen der anfallenden Dreifachintegrale. Der „Boden“ des Tetraeders liegt in der x, y-Ebene mit der Gleichung z ¼ 0, die ebene „Deckelflche“ ist das gleichseitige Dreieck ABC. Die Gleichung der Ebene, die dieses Dreieck enthlt, kann wegen der vorhandenen Symmetrie in der besonders einfachen Form x þ y þ z þd ¼ 0

oder

z ¼ x y d

angesetzt werden. Die noch fehlende Konstante d lsst sich dann leicht durch Einsetzen der Koordinaten eines der drei Punkte, z. B. des Punktes A ¼ ða; 0; 0Þ in diese Gleichung bestimmen. Dies fhrt zu 0 ¼ a 0 d ¼ a d

)

d ¼ a

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

297

Somit ist z ¼ x y þ a die Gleichung der ebenen „Deckelflche“. Die Schnittkurve dieser Ebene mit der x, y-Ebene ist die Gerade y ¼ x þ a (sie verluft durch die Punkte A und B, siehe Bild VIII-15). Damit ergeben sich folgende Integrationsgrenzen: z-Integration :

Von

z ¼ 0

bis z ¼ x y þ a

y-Integration :

Von

y ¼ 0

bis y ¼ x þ a

x-Integration :

Von

x ¼ 0

bis x ¼ a

a) Die Volumenberechnung erfolgt durch das Dreifachintegral V ¼

ððð

ða

dV ¼

xðþ a x ðy þ a

1 dz dy dx x¼0

ðVÞ

y¼0

z¼0

in drei nacheinander auszufhrenden Integrationsschritten. 1. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen z): x ðy þ a

1 dz ¼

h i x y þ a z ¼ x y þ a ¼ ð x þ aÞ y z¼0

z¼0

2. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen y): xðþ a

½ ð x þ aÞ y dy ¼

ð x þ aÞ y

1 2 y 2

y¼0

¼ ð x þ aÞ ð x þ aÞ ¼

x þ a ¼ y¼0

1 1 ð x þ aÞ 2 ¼ ð x þ aÞ 2 ð x þ aÞ 2 ¼ 2 2

1 1 ð x þ aÞ 2 ¼ ðx 2 2 a x þ a 2 Þ 2 2

3. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen x): ða

1 2

ðx 2 2 a x þ a 2 Þ dx ¼

1 2

x¼0

1 ¼ 2

1 3 x a x2 þ a2 x 3 1 3 a a3 þ a3 3

Somit ist V ¼

ða x¼0

xðþ a x ðy þ a y¼0

z¼0

1 dz dy dx ¼

1 3 a 6

a ¼ 0

¼

1 1 3 1 3 a ¼ a 2 3 6

298

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

b) Bei der Berechnung der Schwerpunktskoordinaten beachten wir, dass diese aus Symmetriegrnden bereinstimmen: x S ¼ y S ¼ z S . Es gengt daher, die Schwerpunktskoordinate x S zu berechnen: 1 xS ¼ V

ððð

6 x dV ¼ 3 a

xðþ a x y ð þa

ða

x dz dy dx x¼0

ðVÞ

y¼0

z¼0

1. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen z): x ðy þ a

x dz ¼ x

x ðy þ a

h i x y þ a 1 dz ¼ x z ¼ x ð x y þ aÞ ¼ z¼0

z¼0

z¼0

¼ x ½ ð x þ aÞ y ¼ x ð x þ aÞ x y 2. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen y): xðþ a

½ x ð x þ aÞ x y dy ¼

1 x ð x þ aÞ y x y2 2

y¼0

¼ x ð x þ aÞ ð x þ aÞ ¼

x þ a ¼ y¼0

1 1 x ð x þ aÞ 2 ¼ x ð x þ aÞ 2 x ð x þ aÞ 2 ¼ 2 2

1 1 1 x ð x þ aÞ 2 ¼ x ðx 2 2 a x þ a 2 Þ ¼ ðx 3 2 a x 2 þ a 2 xÞ 2 2 2

3. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen x): ða

1 2

1 ðx 2 a x þ a xÞ dx ¼ 2 3

2

2

1 4 2 1 2 2 x a x3 þ a x 4 3 2

x¼0

1 ¼ 2 ¼

1 4 2 4 1 4 a a þ a 4 3 2

1 ¼ 2

3 4 8 4 6 4 a a þ a 12 12 12

1 1 4 1 4 a ¼ a 2 12 24

Somit ist 6 xS ¼ 3 a

ða x¼0

und S ¼

xðþ a x ðy þ a

6 1 4 1 a ¼ a a 3 24 4

z¼0

y¼0

1 1 1 a; a; a 4 4 4

x dz dy dx ¼

der gesuchte Schwerpunkt des Tetraeders.

a ¼ 0

¼

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

299

Beispiel 16: Massentrgheitsmoment eines Speichenrades Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten Bild VIII-16 zeigt ein homogenes Speichenrad der Dicke h, dessen Speichen als masselos angenommen werden.

y

a) Bestimmen Sie das Massentrgheitsmoment J Rad dieses Rades bezglich der Drehachse (z-Achse, senkrecht aus der Zeichenebene nach oben ragend).

R4

R3 R2

b) Wie groß ist das Massentrgheitsmoment J Scheibe einer homogenen Zylinderscheibe mit dem Radius R bei gleicher Dicke und gleichem Material? Behandeln Sie diese Teilaufgabe als einen Sonderfall von a). Bild VIII-16

R1

Speiche

x

Nabe

Kranz

R 1 , R 2 : Innen- bzw. Außenradius der Nabe; R 3 , R 4 : Innen- bzw. Außenradius des Kranzes; r: konstante Dichte des Materials Lehrbuch: Bd. 2, III.3.2.3.3

Lsung: a) Wir verwenden zweckmßigerweise Zylinderkoordinaten. Die Integralformel zur Berechnung eines Massentrgheitsmomentes lautet dann J ¼ r

ððð

r 3 dz dr dj

ðVÞ

Die Grundflche des Speichenrades legen wir in die x, y-Ebene. Die „Deckelflche“ befindet sich dann in der oberhalb dieser Ebene gelegenen Parallelebene mit der Gleichung z ¼ h. Das gesuchte Massentrgheitsmoment des Speichenrades setzt sich additiv aus den Massentrgheitsmomenten von Nabe und Kranz zusammen, die wir nun einzeln berechnen. Massentrgheitsmoment der Nabe Die Integrationsgrenzen lauten: z-Integration :

Von

z ¼ 0

bis

z ¼ h

r-Integration :

Von

r ¼ R1

bis

r ¼ R2

j-Integration : Von j ¼ 0

bis j ¼ 2p

300

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

Somit ist J Nabe ¼ r

2ðp

Rð2

ðh

j ¼ 0 r ¼ R1

r 3 dz dr dj

z¼0

Die Integralberechnung kann in der blichen Weise in drei nacheinander auszufhrenden Integrationsschritten erfolgen. Etwas einfacher ist jedoch der folgende Lsungsweg. Da der Integrand r 3 nur von der Variablen r, nicht aber von j und z abhngt und smtliche Integrationsgrenzen Konstanten sind, lsst sich das Dreifachintegral auch als Produkt dreier gewhnlicher Integrale darstellen:

J Nabe ¼ r

2ðp

Rð2

ðh

j ¼ 0 r ¼ R1

3

r dz dr dj ¼ r

z¼0

2ðp

1 dj

j¼0

Rð2

3

r dr

r ¼ R1

ðh 1 dz z¼0

Wir erhalten fr dieses Produkt aus drei Grundintegralen den folgenden Wert: J Nabe ¼ r

2 p j

j¼0

¼ r ð2 p 0Þ ¼ r 2p

1 4 r 4

R 2

h z

r ¼ R1

1 4 1 4 R2 R 4 4 1

¼

z¼0

ðh 0Þ ¼

1 p ðR 42 R 41 Þ h ¼ r h ðR 42 R 41 Þ 4 2

Das Massentrgheitsmoment der Nabe betrgt damit J Nabe ¼ r

p p h ðR 42 R 41 Þ ¼ r h ðR 42 R 41 Þ 2 2

Massentrgheitsmoment des Kranzes Die Integrationsgrenzen sind die gleichen wie bei der Nabe mit Ausnahme der Integration in radialer (axialer) Richtung. Diese erfolgt beim Kranz von r ¼ R 3 bis r ¼ R 4 . Somit ist J Kranz ¼ r

2ðp

Rð4

j ¼ 0 r ¼ R3

ðh

r 3 dz dr dj

z¼0

Die Durchfhrung der einzelnen Integrationen verluft wie bei der Nabe und fhrt zu folgendem Endergebnis: J Kranz ¼

p r h ðR 44 R 43 Þ 2

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

301

Massentrgheitsmoment des Speichenrades Das gesuchte Massentrgheitsmoment des Speichenrades betrgt damit J Rad ¼ J Nabe þ J Kranz ¼ ¼

p p r h ðR 42 R 41 Þ þ r h ðR 44 R 43 Þ ¼ 2 2

p r h ðR 42 þ R 44 R 41 R 43 Þ 2

b) Fr den Sonderfall R 1 ¼ 0, R 2 ¼ R 3 erhlt man ein Zylinderrad (eine Zylinderscheibe) mit dem Radius R ¼ R 4 . Das Massentrgheitsmoment fhrt dann auf die aus dem Lehrbuch bereits bekannte Formel 7) J Scheibe ¼ ¼

p p r h ðR 43 þ R 4 0 R 43 Þ ¼ r h R4 ¼ 2 2 1 1 ðr p R 2 hÞ R 2 ¼ m R2 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 2 m ¼ rV

V ¼ p R 2 h ist dabei das Volumen, m ¼ r p R 2 h die Masse des Zylinderrads.

Beispiel 17: Schwerpunkt eines rotationssymmetrischen Krpers mit elliptischem Querschnitt und zylindrischer Bohrung Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten Bild VIII-17 zeigt im Lngsschnitt einen homogenen Rotationskrper mit einem elliptischem Querschnitt und einer zylindrischen Bohrung in Achsenrichtung (z-Achse).

z c

zylindrische Bohrung

a, b: Halbachsen der elliptischen Querschnittsflche c: Radius der Bohrung ð0 < c < aÞ

Rotationskörper

zS S

Wo liegt der Schwerpunkt S dieses Krpers? Wie verschiebt sich der Schwerpunkt im Grenzfall c ! 0 (keine Bohrung)?

x b

Ellipse a

Bild VIII-17 Lehrbuch: Bd. 2, III.3.2.2.2 und III.3.2.3.2 7)

Siehe hierzu Band 1, Abschnitt V.10.9.1 (1. Beispiel).

302

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

Lsung: Wegen der Rotationssymmetrie verwenden wir zweckmßigerweise Zylinderkoordinaten. Fr die anfallenden Dreifachintegrale mssen zunchst die Integrationsgrenzen bestimmt werden. Die obere Begrenzungsflche des Rotationskrpers entsteht durch Drehung der Ellipse mit der Gleichung x2 z2 þ 2 ¼ 1 2 a b

z ¼

oder

b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ a2 x2 , a

c x a

um die z-Achse. Die kartesische Koordinate x wird dabei zur Zylinderkoordinate r. Die b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ a 2 r 2 , c r a. Die „BodenGleichung dieser Rotationsflche lautet damit z ¼ a flche“ ist Teil der x, y-Ebene z ¼ 0. Die Werte der Zylinderkoordinate r bewegen sich dabei zwischen r ¼ c und r ¼ a. Somit lauten die Integrationsgrenzen wie folgt: b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ a2 r2 a

Von

z ¼ 0

bis

z ¼

r-Integration : Von

r ¼ c

bis

r ¼ a

j-Integration : Von

j ¼ 0

bis j ¼ 2p

z-Integration :

Fr die Bestimmung des Schwerpunktes bentigen wir das Rotationsvolumen, das wir daher zuerst berechnen. Volumenberechnung (Volumenelement dV ¼ r dz dr dj)

V ¼

ððð

dV ¼

2ðp

ða

b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 2 a að r

r dz dr dj j¼0 r¼c

ðVÞ

z¼0

1. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen z): ﬃ b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 2 2 2 ﬃ a að r a að r h i b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 2 b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ a a r r dz ¼ r 1 dz ¼ r z ¼ r a2 r2 ¼ z¼0 a z¼0

z¼0

¼

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ b r a2 r2 a

2. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen r): b a

ða r

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ a 2 r 2 dr ¼ ?

r¼c

Wir lsen dieses Integral mit der folgenden Substitution: u ¼ a2 r2 ,

du ¼ 2r, dr

dr ¼

du 2r

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen Untere Grenze :

r ¼ c

)

u ¼ a2 c2

Obere Grenze :

r ¼ a

)

u ¼ a2 a2 ¼ 0

b a

ða

ð0

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ b r a 2 r 2 dr ¼ a

r¼c

pﬃﬃﬃ r u

du b ¼ 2r 2a

u ¼ a2 c2

b ¼ 2a

a2 ð c2

u

1=2

b 3a

pﬃﬃﬃ u du ¼

a2 c2

b du ¼ 2a

2 3=2 u 3

0

¼

ð0

303

a 2 c 2 ¼ 0

b 2 h pﬃﬃﬃﬃﬃ3 ia 2 c 2 ¼ u 0 2a 3

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ða 2 c 2 Þ 3

3. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen j): b 3a

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2ðp qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ h i2 p b 1 dj ¼ ¼ ða 2 c 2 Þ 3 ða 2 c 2 Þ 3 j 0 3a j¼0

¼

b 3a

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2pb ða 2 c 2 Þ 3 2 p ¼ ða 2 c 2 Þ 3 3a

Das Volumen des Rotationskrpers betrgt somit qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2pb V ¼ ða 2 c 2 Þ 3 3a Berechnung des Schwerpunktes S Der Schwerpunkt S ¼ ðx S ; y S ; z S Þ liegt wegen der Rotationssymmetrie auf der z-Achse. Daher gilt x S ¼ y S ¼ 0. Die Berechnung der z-Koordinate erfolgt durch das Dreifachintegral ﬃ b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 2 2ðp ða a að r ððð 1 3a qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ zS ¼ z dV ¼ z r dz dr dj V 2 c 2Þ 3 2 p b ða r ¼ c j¼0 z¼0 ðVÞ 1. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen z): ﬃ ﬃ b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 2 2 2 a að r a að r b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 2 b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 2 a a r 1 h 2 i a a2 r2 z r dz ¼ r z dz ¼ r ¼ ¼ z r z z¼0 2 2 z¼0 z¼0

z¼0

¼

1 b2 b2 b2 2 2 r ða r Þ ¼ ða 2 r r 3 Þ r 2 ða 2 r 2 Þ ¼ a 2 a2 2 a2 2

304

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

2. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen r): ða

b2 2 a2

ða 2 r r 3 Þ dr ¼

b2 2 a2

1 2 2 1 4 a r r 2 4

r¼c

a ¼ c

1 4 1 4 1 2 2 1 4 ¼ a a a c þ c 2 4 2 4 b2 1 4 1 2 2 1 4 b2 a4 2 a2 c2 þ c4 c þ ¼ a a c ¼ ¼ 2 2a 2 a2 4 4 2 4 2

¼

¼

b 2 a2

b2 b2 b 2 ða 2 c 2 Þ 2 4 2 2 4 2 2 2 ða 2 a c þ c Þ ¼ ða c Þ ¼ 8 a 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 8 a2 8 a2 2 2 2 2: Binom : ða c Þ

3. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen j): b 2 ða 2 c 2 Þ 2 8 a2

2ðp

1 dj ¼

b 2 ða 2 c 2 Þ 2 h i2 p b 2 ða 2 c 2 Þ 2 ¼ 2p ¼ j 0 8 a2 8 a2

j¼0

¼

p b 2 ða 2 c 2 Þ 2 4 a2

Somit ist zS ¼

¼

3a p b 2 ða 2 c 2 Þ 2 3 b ða 2 c 2 Þ 4=2 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ ¼ 4 a2 8 a ða 2 c 2 Þ 3=2 2 p b ða 2 c 2 Þ 3 3 b ða 2 c 2 Þ 1=2 3 b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ a2 c2 8a 8a

Grenzfall c ! 0 (Rotationskrper ohne Bohrung) Im Grenzfall c ! 0 erhalten wir die obere Hlfte eines Rotationsellipsoids mit dem Volu2 p a 2 b. Der Schwerpunkt des Rotationskrpers verschiebt sich auf der z-Achmen V ¼ 3 3 se weiter nach oben und liegt jetzt bei z S ¼ b. 8

Beispiel 18: Massentrgheitsmomente eines homogenen Kegels Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten Bild VIII-18 zeigt einen homogenen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius R und der Hhe H, dessen Rotationsachse in die z-Achse fllt. Bestimmen Sie fr diesen Krper mittels Dreifachintegration das jeweilige Massentrgheitsmoment J

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen a) bezglich eines Durchmessers der kreisfrmigen Grundflche,

z

b) bezglich einer zu diesem Durchmesser parallelen Schwerpunktachse,

A

c) bezglich einer zum Durchmesser der kreisfrmigen Grundflche parallelen Achse durch die Kegelspitze (Punkt A),

H

305

S R

d) bezglich der Rotationsachse (z-Achse)

y

r: konstante Dichte des Kegels

x

Bild VIII-18 Lsungshinweise: Zu a): Wegen der Rotationssymmetrie ist das Massentrgheitsmoment fr jeden Durchmesser gleich. Stellen Sie zunchst die Integralformeln fr J x und J y auf und addieren Sie diese. Durch bergang zu Zylinderkoordinaten lsst sich dann das Dreifachintegral leicht lsen. Zu b) und c): Verwenden Sie die Ergebnisse aus a) im Zusammenhang mit dem Satz von Steiner [ A31 ] (Abstand des Schwerpunktes S von der Grundflche: z S ¼ H=4). Lehrbuch: Bd. 2, III.3.2.2.2 und III.3.2.3.3

Physikalische Grundlagen: A31

Lsung: a) Wir gehen bei unseren berlegungen von einem im Kegel gelegenen Volumenelement dV mit der Masse dm ¼ r dV aus, dessen rumliche Lage gemß Bild VIII-19 durch den Punkt P ¼ ðx; y; zÞ beschrieben wird. Der senkrechte pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃAbstand ﬃ zur x-Achse ist r x ¼ y 2 þ z 2 (Satz des Pythagoras). Dieses Element liefert damit definitionsgemß den Beitrag

z z rz

P

Jx ¼

ððð ðVÞ

d Jx ¼ r

ððð ðVÞ

ðy 2 þ z 2 Þ dV

ry

rx 0 z

d J x ¼ r x2 dm ¼ r ðy 2 þ z 2 Þ dV zum Massentrgheitsmoment des Kegels bezglich der x-Achse. Durch Summation ber smtliche Volumenelemente im Kegelvolumen, d. h. Integration wird hieraus das Dreifachintegral

Volumenelement dV

x

x x

Bild VIII-19

y

y

y

306

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

Analoge berlegungen fhren bei der y-Achse als Bezugsachse auf das Dreifachintegral Jy ¼

ððð

d Jy ¼ r

ðVÞ

ððð

ðx 2 þ z 2 Þ dV

ðVÞ

Aus Symmetriegrnden ist J x ¼ J y . Wir addieren die beiden Integrale und fassen sie zu einem Integral zusammen: Jx þ Jy ¼ Jx þ Jx ¼ 2 Jx ¼ r

ððð

2

2

ðy þ z Þ dV þ r

ðVÞ

¼ r

ððð

ððð

ðx 2 þ z 2 Þ dV ¼

ðVÞ

ðx 2 þ y 2 þ 2 z 2 Þ dV

ðVÞ

Beim bergang zu den Zylinderkoordinaten r, j und z wird daraus unter Bercksichtigung von x 2 þ y 2 ¼ r 2 und dV ¼ r dz dr dj 2 Jx ¼ r

ððð

ðr 2 þ 2 z 2 Þ r dz dr dj

ðVÞ

(r z ist der senkrechte Abstand des Volumenelementes dV von der z-Achse und damit identisch mit der Zylinderkoordinate r, siehe Bild VIII-19). Somit ist Jx ¼

1 r 2

ððð

ðr 2 þ 2 z 2 Þ r dz dr dj ¼

ðVÞ

1 r 2

ððð

ðr 3 þ 2 r z 2 Þ dz dr dj

ðVÞ

Festlegung der Integrationsgrenzen (siehe Bild VIII-20) H Der Kegel entsteht durch Rotation der Geraden z ¼ ðx RÞ, 0 x R um die R z-Achse. Dabei wird aus der kartesischen Koordinate x die Zylinderkoordinate r. Seine H Mantelflche wird somit durch die Funktionsgleichung z ¼ ðr RÞ, 0 r R R beschrieben und bildet die obere Begrenzungsflche des Kegels. Die „Bodenflche“ ist Teil der x, y-Ebene z ¼ 0. Die Projektion des Kegels in diese Ebene fhrt zu der Kreisflche 0 r R, 0 j 2 p. Damit ergeben sich folgende Integrationsgrenzen: H z-Integration : Von z ¼ 0 bis z ¼ ðr RÞ R r-Integration : Von

r ¼ 0

bis

r ¼ R

j-Integration : Von

j ¼ 0

bis j ¼ 2p

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen z

307

z A

H z = – H (x – R) R

z = – H (r – R) R

H S R

R

x

y

a)

b)

z=0

x

Bild VIII-20

Integralberechnung (Massentrgheitsmoment J x ) Die Integralformel fr das gesuchte Massentrgheitsmoment J x lautet somit 1 r 2

Jx ¼

2ðp

ðR

j¼0 r¼0

H ðr RÞ Rð

ðr 3 þ 2 r z 2 Þ dz dr dj

z¼0

1. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen z): H ðr RÞ Rð

3

2

ðr þ 2 r z Þ dz ¼

2 r zþ r z3 3 3

z¼0

H ðr RÞ R

¼

z¼0

3 H 2 H ¼ r ðr RÞ þ r ðr RÞ ¼ R 3 R H 2 H3 ¼ r 3 ðr RÞ þ r 3 ðr RÞ 3 ¼ R 3 R 3

¼

H 4 2H3 r ðr 3 3 R r 2 þ 3 R 2 r R 3 Þ ¼ ðr R r 3 Þ 3 R3 R

¼

H 4 2H3 4 ðr 3 R r 3 þ 3 R 2 r 2 R 3 rÞ ðr R r 3 Þ 3 R3 R

2. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen r): ðR

H 4 2H3 4 3 2 2 3 ðr 3 R r þ 3 R r R rÞ dr ¼ ðr R r 3 Þ R 3 R3

r¼0

¼

H R

1 5 1 r Rr4 5 4

2H3 3 R3

1 5 3 1 3 2 r R r4 þ R2 r3 R r 5 4 2

R ¼ 0

308

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

¼

H R

¼

H R

¼

H R

¼

1 5 3 5 1 5 R R þ R5 R ¼ 5 4 2 4 5 5 5 2H3 4 5 15 5 20 5 10 5 þ ¼ R R R R R R 3 R 3 20 20 20 20 20 20 1 5 2H3 1 5 1 1 R R H R4 þ H 3 R2 ¼ ¼ 3 3R 20 20 20 30 1 5 1 5 R R 5 4

2H3 3 R3

3 2 1 H R4 þ H 3 R2 ¼ H R 2 ð3 R 2 þ 2 H 2 Þ 60 60 60

3. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen j): 1 H R 2 ð3 R 2 þ 2 H 2 Þ 60

2ðp

1 dj ¼

h i2 p 1 ¼ H R 2 ð3 R 2 þ 2 H 2 Þ j 0 60

j¼0

¼

1 1 H R 2 ð3 R 2 þ 2 H 2 Þ 2 p ¼ p H R 2 ð3 R 2 þ 2 H 2 Þ 60 30

Somit ist 1 1 1 r p H R 2 ð3 R 2 þ 2 H 2 Þ ¼ r p H R 2 ð3 R 2 þ 2 H 2 Þ ¼ 2 30 60 1 1 1 2 r p R H ð3 R 2 þ 2 H 2 Þ ¼ m ð3 R 2 þ 2 H 2 Þ ¼ 20 3 20 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} m ¼ rV

Jx ¼

das gesuchte Massentrgheitsmoment des Kegels, bezogen auf einen beliebigen Durch1 messer der kreisfrmigen Grundflche. Dabei ist V ¼ p R 2 H das Volumen und 3 1 m ¼ rV ¼ r p R 2 H die Masse des Kegels. 3 b) Wir whlen als Durchmesser die x-Achse. Die dazu parallele Schwerpunktachse hat den Abstand z S ¼ H=4 (Bild VIII-21). z

zur Schwerpunktachse parallele Achse

A

d= H

3 H 4

Schwerpunktachse

S zS

zS = H 4 R

Bild VIII-21 x

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

309

Aus dem Satz von Steiner [ A31 ] folgt dann fr das gesuchte Massentrgheitsmoment J S bezglich dieser Schwerpunktachse: J x ¼ J S þ m z 2S

)

1 1 m ð3 R 2 þ 2 H 2 Þ mH2 ¼ 20 16

5 1 m ð3 R 2 þ 2 H 2 Þ mH2 ¼ m 4 ð3 R 2 þ 2 H 2 Þ 5 H 2 ¼ 80 80 1 3 m ð12 R 2 þ 8 H 2 5 H 2 Þ ¼ m ð12 R 2 þ 3 H 2 Þ ¼ m ð4 R 2 þ H 2 Þ 80 80

J S ¼ J x m z 2S ¼ 4 80 1 ¼ 80

¼

c) Die beiden Parallelachsen durch Kegelspitze A und Schwerpunkt S verlaufen nach Bild H 3 VIII-21 im Abstand d ¼ H z S ¼ H ¼ H. Aus dem Satz von Steiner [ A31 ] 4 4 folgt dann unter Verwendung der Ergebnisse aus Lsungsteil b): 3 9 m ð4 R 2 þ H 2 Þ þ mH2 ¼ 80 16 45 3 m ð4 R 2 þ H 2 Þ þ mH2 ¼ m ð4 R 2 þ H 2 þ 15 H 2 Þ ¼ 80 80 3 m ð4 R 2 þ 16 H 2 Þ ¼ m ðR 2 þ 4 H 2 Þ 20

JA ¼ JS þ m d2 ¼ 3 80 3 ¼ 80 ¼

d) Der Abstand r z eines im Kegel gelegenen Massenelementes dm ¼ r dV von der Drehachse (z-Achse) ist die Zylinderkoordinate r (Bild VIII-19). Somit gilt definitionsgemß d J z ¼ r z2 dm ¼ r 2 dm ¼ r r 2 dV und Jz ¼

ððð

d Jz ¼ r

ðVÞ

ððð

r 2 dV

ðVÞ

Wir verwenden wiederum Zylinderkoordinaten, die Integrationsgrenzen sind die gleichen wie unter a): Jz ¼ r

2ðp

H ðr RÞ Rð

ðR

r 2 r dz dr dj ¼ r

z¼0

j¼0 r¼0

H ðr RÞ Rð

ðR

2ðp

r 3 dz dr dj

z¼0

j¼0 r¼0

1. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen z): H ðr RÞ Rð

3

3

r dz ¼ r

z¼0

H ðr RÞ Rð

h i H R 1 dz ¼ r z 3

z¼0

ðr RÞ

H ¼ r ðr RÞ ¼ R

z¼0

¼

H 3 H r ðr RÞ ¼ ðr 4 R r 3 Þ R R

3

310

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

2. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen r): H R

ðR

H ðr R r Þ dr ¼ R 4

3

1 5 1 r Rr4 5 4

r¼0

R ¼ 0

1 5 1 5 H 4 5 5 5 ¼ ¼ R R R R 5 4 R 20 20 H 1 5 1 ¼ ¼ R H R4 R 20 20 H ¼ R

3. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen j): 2ðp

1 H R4 20

1 dj ¼

h i2 p 1 1 1 ¼ H R4 j H R4 2 p ¼ p H R4 0 20 20 10

j¼0

Somit ist 1 1 3 Jz ¼ r p H R4 ¼ p r H R4 ¼ 10 10 10

Dabei ist V ¼

1 r p R2 H 3 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} m ¼ rV

R2 ¼

3 m R2 10

1 1 p R 2 H das Volumen und m ¼ r V ¼ r p R 2 H die Masse 3 3

des Kegels.

Beispiel 19: Silo (Großspeicher) mit inhomogener Fllmasse Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten Ein Silo (Großspeicher) in zylindrischer Form ist bis zum oberen Rand mit fein zermahlenem Gestein der Dichte r 0 gefllt (Bild VIII-22a)). Infolge der Schwerkraft nimmt die Dichte r der Fllung jedoch geringfgig von oben nach unten zu 8).

z r = r0

H

r0 < r < r1 H r = r1 R R a)

b)

Bild VIII-22 8)

Beim Fllen des Silos wird jede Schicht durch das Gewicht der ber ihr liegenden Schichten verdichtet.

r

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

311

a) Welche Masse m befindet sich in dem Silo? b) Wo liegt der Schwerpunkt S der Fllung? c) Behandeln Sie den Sonderfall r ¼ const: (keine Verdichtung der Gesteinsfllung). Innenmaße des Silos: Radius R, Hhe H; Maximalwert der Dichte am Boden: r 1 > r 0 Lsungshinweis: Gehen Sie von der realistischen Annahme einer linearen Dichtenderung lngs der Symmetrieachse des Silos aus. Lehrbuch: Bd. 2, III.3.2.2.2 und III.3.2.3

Physikalische Grundlagen: A69

Lsung: Wir gehen von dem linearen Ansatz r ¼ r ðzÞ ¼ r 1 a z aus (die Dichte nimmt in der z-Richtung linear ab und zwar vom Maximalwert r 1 am Boden bis zum Minimalwert r 0 am oberen Rand, siehe Bild VIII-22b)). Die Konstante a bestimmen wir aus der Randbedingung r ðz ¼ HÞ ¼ r 0 (die oberste Schicht erfhrt keine Verdichtung): r ðz ¼ HÞ ¼ r 0

)

r1 a H ¼ r0

)

a ¼

r1 r0 H

Somit gilt fr die Dichteverteilung lngs der Symmetrieachse (z-Achse): r1 r0 z, H

r ¼ r ðzÞ ¼ r 1 a z ¼ r 1

0 z H

Fr die Berechnung von Masse und Schwerpunkt durch Dreifachintegrale bentigen wir noch die Integrationsgrenzen. Sie lauten in Zylinderkoordinaten r, j und z wie folgt: Von

z ¼ 0

bis

z ¼ H

r-Integration : Von

r ¼ 0

bis

r ¼ R

j-Integration : Von

j ¼ 0

bis j ¼ 2p

z-Integration :

Volumenelement in Zylinderkoordinaten: dV ¼ r dz dr dj a) Berechnung der Masse [A69] m ¼

ððð

dm ¼

ðmÞ

ððð

2ðp

r dV ¼

ðR

ðH

ðr 1 a zÞ r dz dr dj

j¼0 r¼0 z¼0

ðVÞ

Das Dreifachintegral lsst sich als Produkt dreier gewhnlicher Integrale darstellen, da der Integrand unabhngig vom Winkel j ist, der 1. Faktor ðr 1 a zÞ nur von z, der 2. Faktor ðrÞ nur von r abhngt und alle Integrationsgrenzen konstant sind: m ¼

2ðp j¼0

1 dj

ðR r¼0

r dr

ðH z¼0

ðr 1 a zÞ dz ¼

312

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

¼ ¼ ¼ ¼ ¼

H 1 2 R 1 2 j r1 z ¼ r az j¼0 2 2 r¼0 z¼0 1 2 1 1 R a H 2 ¼ p R2 H r1 aH ¼ r1 H ½2p 2 2 2 1 r1 r0 1 p R2 H r1 H ¼ p R2 H r1 ðr 1 r 0 Þ ¼ H 2 2 1 1 1 1 2 2 p R H r1 ¼ pR H ¼ r þ r r þ r 2 1 2 0 2 1 2 0

h

i2p

1 1 ðr þ r 1 Þ p R 2 H p R 2 H ðr 1 þ r 0 Þ ¼ p R 2 H ðr 0 þ r 1 Þ ¼ 0 2 2 2

b) Berechnung des Schwerpunktes S [A69] Aus Symmetriegrnden liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse (z-Achse), somit ist x S ¼ 0 und y S ¼ 0. Fr die z-Koordinate gilt: zS ¼

1 m

ððð

r z dV ¼

1 m

2ðp

ðR

ðH

ðr 1 a zÞ z r dz dr dj

j¼0 r¼0 z¼0

ðVÞ

Das Dreifachintegral lsst sich wiederum als Produkt dreier gewhnlicher Integrale berechnen: 2ðp

ðR

ðH

ðr 1 a zÞ z r dz dr dj ¼

j¼0 r¼0 z¼0

h i2p j

2ðp

1 dj

j¼0

R

ðR r¼0

ðH

r dr

z¼0

H

1 2 1 1 ¼ r r1 z2 a z3 2 2 3 r¼0 z¼0 1 2 1 1 1 ¼ ½2p R r1 H 2 a H 3 ¼ p R2 H 2 2 2 3 2 1 1 r1 r0 1 H ¼ p R2 H 2 r r ¼ p R2 H 2 H 2 1 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ¼ pR H ¼ pR H r r þ r r þ 2 1 3 1 3 0 6 1 ¼

¼

j¼0

ðr 1 z a z 2 Þ dz ¼

1 ð2 r 0 þ r 1 Þ p R 2 H 2 p R 2 H 2 ðr 1 þ 2 r 0 Þ ¼ 6 6

r1

1 aH 3

¼

1 ðr 1 r 0 Þ 3 2 ¼ r 6 0

¼

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

313

Somit gilt fr die Schwerpunktskoordinate z S : 1 ð2 r 0 þ r 1 Þ p R 2 H 2 1 ð2 r 0 þ r 1 Þ p R 2 H 2 ¼ ¼ 6 6 m ðr 0 þ r 1 Þ p R 2 H 2 ð2 r 0 þ r 1 Þ H 2 r0 þ r1 ¼ ¼ H 3 ðr 0 þ r 1 Þ 3 ðr 0 þ r 1 Þ

zS ¼

c) Unter der Annahme konstanter Dichte r ¼ r 0 gilt r 1 ¼ r 0 und somit fr die Fllmasse m ¼

ðr 0 þ r 0 Þ p R 2 H ¼ r 0 p R 2 H ¼ r 0 V Silo 2

Dabei ist V Silo ¼ p R 2 H das Volumen des zylindrischen Großspeichers. Auch der Schwerpunkt verschiebt sich (er muss wegen der Symmetrie auf halber Hhe liegen): zS ¼

2 r0 þ r0 3 r0 1 H ¼ H ¼ H 3 ðr 0 þ r 0 Þ 6 r0 2

Er hat sich weiter nach oben verschoben, denn es gilt: 1 2 r0 þ r1 H H > 3 ðr 0 þ r 1 Þ 2

,

3 ðr 0 þ r 1 Þ > 2 ð2 r 0 þ r 1 Þ 3 r1 2 r1 > 4 r0 3 r0

1 2 r0 þ r1 > 3 ðr 0 þ r 1 Þ 2 , ,

,

3 r0 þ 3 r1 > 4 r0 þ 2 r1

,

r1 > r0

Beispiel 20: Kugelsymmetrische Ladungsverteilung in einer Kugel Dreifachintegral in Kugelkoordinaten Im Innenraum einer Kugel vom Radius R befindet sich ein elektrisches Feld, erzeugt durch eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung mit der rumlichen Ladungsdichte r ðrÞ ¼ k r, wobei r der Abstand vom Kugelmittelpunkt und k eine positive Konstante bedeuten. Welche Ladung Q befindet sich in der Kugel? Lehrbuch: Bd. 3, I.6.3

Lsung: Die im Innern der Kugel befindliche Ladung ist definitionsgemß durch das Dreifachintegral Q ¼

ððð ðVÞ

gegeben.

r ðrÞ dV

314

VIII Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Variablen

Wir verwenden zweckmßigerweise Kugelkoordinaten r, J und j. Der Integrationsbereich lautet dann (Kugel vom Radius R): r-Integration :

Von

r ¼ 0

bis

r ¼ R

J-Integration :

Von

J ¼ 0

bis

J ¼ p

j-Integration : Von

j ¼ 0

bis

j ¼ 2p

Mit der Ladungsdichte r ðrÞ ¼ k r und dem Volumenelement dV ¼ r 2 sin J dr dJ dj ist Q ¼

ððð

2ðp

r ðrÞ dV ¼

ðp

ðR

k r r 2 sin J dr dJ dj ¼

j¼0 J¼0 r¼0

ðVÞ

ðp

2ðp

¼ k

ðR

r 3 sin J dr dJ dj

j¼0 J¼0 r¼0

Da der Integrand r 3 sin J ein Produkt ist, dessen Faktoren nur von r (Faktor r 3 ) bzw. J (Faktor sin J) abhngen, lsst sich das Dreifachintegral auch als Produkt dreier gewhnlicher Integrale darstellen: Q ¼ k

2ðp

ðp

1 dj

j¼0

sin J dJ

ðR

r 3 dr ¼

r¼0

J¼0

1 4 R ¼ k j cos J ¼ r j¼0 J¼0 4 r¼0 1 4 1 4 R R ¼ k p R4 ¼ k ð2 pÞ ð cos p þ cos 0 Þ ¼ k 2p 2 4 4 |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} |ﬄ{zﬄ} 1 1 h

i2p

h

ip

IX Gewhnliche Differentialgleichungen Hinweis: Alle in den Lsungen angegebenen Integralnummern beziehen sich auf die Integraltafel der Mathematischen Formelsammlung des Autors (gelbe Seiten; Angabe der Nummer und der Parameterwerte, z. B. Integral 313 mit a ¼ 2). Die Abkrzung Dgl bedeutet Differentialgleichung.

Beispiel 1 : Raketengleichung Dgl 1. Ordnung vom Typ y 0 ¼ f ðxÞ (Integration mittels Substitution) Der Antrieb einer senkrecht nach oben startenden Rakete erfolgt nach dem Rckstoßprinzip durch Treibstoffgase, die nach der Verbrennung mit hoher Geschwindigkeit zum Erdboden hin ausgestoßen werden (Bild IX-1). Bei der mathematischen Behandlung dieses Problems werden dabei die folgenden Begriffe und Grßen bentigt: u: v: m:

Ausstrmgeschwindigkeit der Gase Geschwindigkeit der Rakete Massenstrom (in der Zeiteinheit ausgestoßene Masse an Treibstoffgasen) m R : Masse der Rakete ohne Treibstoff (Endmasse) m T : Masse des mitgefhrten und schließlich verbrauchten Treibstoffs m 0 : Startmasse der Rakete ðm 0 ¼ m R þ m T Þ t : Brennschlussdauer (in dieser Zeit, vom Start aus gerechnet, wird die mitgefhrte Treibstoffmenge vollstndig verbraucht)

h

v Rakete

u Erdboden ( h= 0 )

Bild IX-1 a) Bestimmen Sie Hhe h und Geschwindigkeit v der Rakete zur Zeit t, wenn die Bewegung zum Zeitpunkt t ¼ 0 von der Erdoberflche aus und aus der Ruhe heraus erfolgt. b) Welche Hhe hat die Rakete unmittelbar nach Brennschluss erreicht, wie groß ist dann ihre Geschwindigkeit? c) Welche Hhe H erreicht die Rakete maximal? Lsungshinweis: Die Ausstrmgeschwindigkeit u der Gase und der Massenstrom m werden whrend der gesamten Brennzeit t als konstant angenommen. Die Rakete erfhrt dann die konstante Schubkraft FSchub ¼ m u. Ebenso wird die Erdbeschleunigung g als eine Kon© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24882-6_9

316

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

stante angesehen, Reibungskrfte bleiben unbercksichtigt. Die Dgl der Raketenbewegung (auch Raketengleichung genannt) erhalten Sie aus dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ]. Lehrbuch: Bd. 2, IV.1.5

Physikalische Grundlagen: A27

Lsung: a) Durch die ausstrmenden Gase erfhrt die Rakete nach dem Rckstoßprinzip die konstante Schubkraft FSchub ¼ m u. Ihr wirkt die Schwerkraft (das Gewicht) G ¼ m g entgegen. Somit gilt nach dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ] m a ¼ FSchub G ¼ m u m g Die Rakete erfhrt daher die nach oben gerichtete Beschleunigung a ¼ v_ ¼

mu g > 0 m

m

sofern die Schubkraft m u das anfngliche Gewicht m 0 g bersteigt! Dabei ist zu beachten, dass die Gesamtmasse m der Rakete in der Zeit vom Start bis zum Brennschluss t linear abnimmt und zwar vom Anfangswert m 0 ¼ m R þ m T auf den Endwert m R (Bild IX-2): m ¼ m ðtÞ ¼ m 0 m t ,

0 t t

m t ist dabei die in der Zeit Treibstoffmasse.

t

m0 mR

t

t

Bild IX-2

verbrauchte

Die Raketengeschwindigkeit v gengt somit der Dgl 1. Ordnung v_ ¼

mu mu g ¼ g m m0 m t

die durch direkte Integration lsbar ist. Wir erhalten zunchst ð ð ð mu 1 v ¼ v_ dt ¼ g dt ¼ m u dt g t m0 m t m0 m t Mit Hilfe der Substitution dz ¼ m, dt

z ¼ m0 m t ,

dt ¼

dz m

folgt weiter v ¼ mu

ð

1 z

dz m

gt ¼ u

ð

1 dz g t ¼ u ln j z j g t þ C 1 z

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

317

Nach Rcksubstitution ergibt sich v ðtÞ ¼ u ln ðm 0 m tÞ g t þ C 1 Die Integrationskonstante C 1 wird aus der Anfangsgeschwindigkeit v ð0Þ ¼ 0 berechnet: v ð0Þ ¼ 0

)

u ln m 0 þ C 1 ¼ 0

)

C 1 ¼ u ln m 0

Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der Raketenbewegung bis zum Brennschluss t lautet damit wie folgt: v ðtÞ ¼ u ln ðm 0 m tÞ g t þ u ln m 0 ¼ m0 m t gt ¼ u ½ ln ðm 0 m tÞ ln m 0 g t ¼ u ln m0 Durch Integration dieser Gleichung gewinnt man das Weg-Zeit-Gesetz der Rakete fr den gleichen Zeitraum: ð ð ð m0 m t h ðtÞ ¼ v ðtÞ dt ¼ u ln dt g t dt ¼ m0 ð m0 m t 1 1 ¼ u ln gt2 ¼ u I gt2 dt m0 2 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I Das unbestimmte Integral I lsst sich zunchst mit Hilfe der Substitution z ¼

m0 m t , m0

dz m , ¼ dt m0

dt ¼

m0 dz m

vereinfachen und anschließend mit Hilfe der Integraltafel der Formelsammlung wie folgt lsen (Integral Nr. 332): ð ð ð m0 m t m0 m0 I ¼ ln dz ¼ ln z dz ¼ dt ¼ ln z m0 m m ¼

m0 z ðln z 1Þ þ C 2 m

Durch Rcksubstitution folgt m0 m0 m t m0 m t I ¼ ln 1 þ C2 ¼ m0 m0 m m0 m t m0 m t ¼ ln 1 þ C2 m m0 und somit h ðtÞ ¼ u I

1 u ðm 0 m tÞ gt2 ¼ 2 m

ln

m0 m t 1 gt2 1 u C2 m0 2

318

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Aus der Anfangshhe h ð0Þ ¼ 0 lsst sich die Integrationskonstante C 2 bestimmen: u m0 u m0 h ð0Þ ¼ 0 ) ð ln 1 1Þ u C 2 ¼ u C2 ¼ 0 ) m |{z} m 0 m0 m0 m0 u þ C2 ¼ 0 ) þ C 2 ¼ 0 ðda u 6¼ 0Þ ) C 2 ¼ m m m Die Rakete befindet sich daher zum Zeitpunkt t t in der Hhe u ðm 0 m tÞ m0 m t u m0 1 h ðtÞ ¼ ln gt2 1 þ m m m0 2 b) Im Zeitpunkt des Brennschlusses, d. h. zur Zeit t ¼ t ist der gesamte Treibstoff m T ¼ m 0 m R verbraucht (siehe hierzu auch Bild IX-2): m ðtÞ ¼ m 0 m t ¼ m R Fr die Brennschlussdauer t folgt hieraus m0 mR m t ¼ m0 mR ) t ¼ m Die Raketenhhe betrgt dann unter Bercksichtigung von m R ¼ m 0 m t : u ðm 0 m tÞ m0 m t u m0 1 h ðtÞ ¼ ln gt2 ¼ 1 þ m m0 m 2 u mR mR u m0 1 m0 mR 2 ¼ ¼ ln g 1 þ m m0 m 2 m u mR mR m0 1 m0 mR 2 ¼ 1 ln g þ m m0 mR 2 m Die Rakete erreicht im Augenblick des Brennschlusses, d. h. zur Zeit t ¼ t ihre grßte Geschwindigkeit. Sie betrgt m0 m t mR m0 mR v max ¼ v ðtÞ ¼ u ln ¼ g t ¼ u ln g m0 m0 m m0 m0 mR ¼ u ln g mR m c) Nach Erreichen der Brennschlussdauer t fllt die Schubkraft FSchub ¼ m u weg und die Rakete unterliegt nur noch der (als weiterhin konstant angenommenen) Schwerkraft G ¼ m g. Die Bewegung der Rakete kann daher von diesem Zeitpunkt an modellmßig als ein Wurf senkrecht nach oben mit der „Anfangsgeschwindigkeit“ v ðtÞ und der „Anfangshhe“ h ðtÞ interpretiert werden (Bild IX-3). Bild IX-3

h v ( t)

h ( t)

Brennschluss t=t Rakete

Start t = 0

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

319

Somit gilt fr den Zeitraum t t : h ðtÞ ¼ h ðtÞ þ v ðtÞ ðt tÞ

1 g ðt tÞ 2 , 2

t t

Dabei bedeuten: h ðtÞ:

Anfangshhe zur Zeit t ¼ t

v ðtÞ ðt tÞ: Im Zeitintervall t t > 0 aufgrund der konstanten Anfangsgeschwindigkeit v ðtÞ zurckgelegter Weg nach oben 1 2 g ðt tÞ : Fallstrecke im Zeitintervall t t > 0 2 Fr das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz im gleichen Zeitraum gilt dann v ðtÞ ¼ h_ ðtÞ ¼ 0 þ v ðtÞ ð1 0Þ

1 g 2 ðt tÞ 1 ¼ v ðtÞ g ðt tÞ 2

Die Rakete erreicht ihren hchsten Punkt (Umkehrpunkt) zur Zeit t ¼ T, wenn die Geschwindigkeit den Wert null besitzt. Aus der Bedingung v ðTÞ ¼ h_ ðTÞ ¼ 0 folgt dann: v ðTÞ ¼ 0

)

g T ¼ v ðtÞ þ g t

v ðtÞ g ðT tÞ ¼ v ðtÞ g T þ g t ¼ 0 )

T ¼

)

v ðtÞ þ g t v ðtÞ ¼ þt g g

Die maximal erreichbare Hhe betrgt somit: 1 g ðT tÞ 2 ¼ 2 2 v ðtÞ 1 v ðtÞ ¼ h ðtÞ þ v ðtÞ þt t g þt t ¼ g 2 g v ðtÞ 1 v ðtÞ 2 v 2 ðtÞ 1 v 2 ðtÞ ¼ h ðtÞ þ g ¼ ¼ h ðtÞ þ v ðtÞ g 2 g g 2 g

H ¼ hmax ¼ h ðTÞ ¼ h ðtÞ þ v ðtÞ ðT tÞ

¼ h ðtÞ þ

1 v 2 ðtÞ v 2 ðtÞ ¼ h ðtÞ þ 2 g 2g

Fr t > T fllt die Rakete (aus der Ruhe heraus) nach den Gesetzen des freien Falls.

Beispiel 2: RL-Schaltkreis mit einer Gleichstromquelle Homogene lineare Dgl 1. Ordnung (Trennung der Variablen) Eine Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand R und einer Induktivitt L wird von einer Gleichstromquelle mit dem konstanten Strom I 0 gespeist und zur Zeit t ¼ 0 durch Schließen des Schalters S kurzgeschlossen (Bild IX-4).

320

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Bestimmen Sie

L

R

a) den zeitlichen Verlauf der Stromstrke i im RLZweig,

uR

i

b) den zeitlichen Verlauf der am Widerstand R und an der Induktivitt L liegenden Teilspannungen u R und u L .

uL t=0 S

I0

Gleichstromquelle

Bild IX-4 Lsungshinweis: Die Dgl des RL-Schaltkreises erhalten Sie durch Anwendung der Maschenregel [ A32 ]. Lehrbuch: Bd. 2, IV.2.2

Physikalische Grundlagen: A14, A32, A45

Lsung: a) Nach der Maschenregel [ A32 ] ist uR þ uL ¼ 0

uL þ uR ¼ 0

oder

di [ Induktionsgesetz A45 ] und u R ¼ R i [ Ohmsches Gesetz A14 ] wird dt hieraus die homogene lineare Dgl 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Mit u L ¼ L

L

di þ Ri ¼ 0 dt

oder

di R þ i ¼ 0 dt L

Diese Dgl lsen wir wie folgt durch „Trennung der Variablen“: di R ¼ i dt L

di R ¼ dt i L

)

oder

1 1 di ¼ dt i t

ðt ¼ L=R : ZeitkonstanteÞ. Beiderseitige Integration liefert ð ð 1 1 t di ¼ 1 dt ) ln i ¼ þ ln K i t t und somit ln i ln K ¼ ln

i t ¼ K t

Durch Entlogarithmierung folgt hieraus schließlich i t ¼ e t K

oder

i ¼ K e

t t

Die Integrationskonstante K wird aus dem Anfangswert i ðt ¼ 0Þ ¼ I 0 berechnet: i ðt ¼ 0Þ ¼ I 0

)

K e0 ¼ K 1 ¼ I0

)

K ¼ I0

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

321

Die Stromstrke i im RL-Zweig nimmt somit im Laufe der Zeit exponentiell ab: i ðtÞ ¼ I 0 e

t t

R

¼ I0 eL t ,

t 0

Bild IX-5 zeigt den zeitlichen Verlauf dieser Abklingfunktion. i I0

Bild IX-5 t

b) Aus dem ohmschen Gesetz [ A14 ] erhalten wir fr die Teilspannung u R das Zeitgesetz u R ðtÞ ¼ R i ðtÞ ¼ R I 0 e

t t

R

¼ R I0 eL t ,

t 0

Die an der Induktivitt L abfallende Spannung u L erhalten wir aus dem Induktionsgesetz [ A45 ] unter Verwendung der Kettenregel: i d i ðtÞ d h 1 t t u L ðtÞ ¼ L ¼ L I0 e t ¼ L I0 e t ¼ dt dt t R R t t t 0 ¼ R I0 e t ¼ R I0 eL t , ¼ L I0 e t L Mit dem Strom i klingen auch die beiden Teilspannungen u R und u L exponentiell mit der Zeit auf den Wert 0 ab (Bild IX-6). Sie sind ferner zu jedem Zeitpunkt entgegengesetzt gleich groß. u RI 0 uR ( t )

t uL ( t ) – RI 0

Bild IX-6

322

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Beispiel 3: Seilkrfte und Seilreibung Homogene lineare Dgl 1. Ordnung (Trennung der Variablen) Eine arretierte Zylinderscheibe wird in der aus Bild IX-7 ersichtlichen Weise von einem biegsamen Seil umschlungen, das am rechten Ende durch eine Gewichtskraft G ¼ m g belastet wird. a) Mit welcher Kraft F0 muss man am linken Seilende einwirken, um ein Abgleiten der Masse m zu verhindern, wenn der Haftreibungskoeffizient den Wert m 0 ¼ 0,5 besitzt? b) Wie groß darf die am rechten Seilende befestigte Last F werden, wenn man das linke Seilende mit der Kraft F 0 ¼ 100 N festhlt und das Seil die Zylinderscheibe genau 2,5 mal umschlingt?

Zylinderscheibe S f Seil F0 m G

Bild IX-7

Lsungshinweis: Infolge der Haftreibung zwischen Seil und Zylinderscheibe ist die Seilkraft S nicht konstant, sondern eine noch vom Zentriwinkel j abhngige Grße S ¼ S ðjÞ. Im Gleichgewichtszustand gengt dabei die Seilkraft der Dgl dS ¼ m0 S dj

Lehrbuch: Bd. 2, IV.2.2

Lsung: a) Wir lsen zunchst die Dgl der winkelabhngigen Seilkraft nach der Methode „Trennung der Variablen“: ð ð dS dS 1 1 ¼ m0 S ) ¼ dS ¼ m 0 dj ) dS ¼ m 0 1 dj ) dj S S S S ¼ m0 j ln S ¼ m 0 j þ ln C ) ln S ln C ¼ ln C Entlogarithmierung fhrt schließlich zu S ¼ e m0 j C

S ¼ C e m0 j

oder

Die Integrationskonstante bestimmt: S ðj ¼ 0Þ ¼ F 0

)

C

wird dabei aus dem Anfangswert C 1 ¼ F0

)

C ¼ F0

S ðj ¼ 0Þ ¼ F 0

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

323

Somit wchst die Seilkraft S exponentiell mit dem „Umschlingwinkel“ j nach der Gleichung S ðjÞ ¼ F 0 e m 0 j Am rechten Seilende, d. h. fr j ¼ p ist S ðj ¼ pÞ ¼ F 0 e m 0 p ¼ G Aus dieser Beziehung folgt ðmit m 0 ¼ 0,5Þ F 0 ¼ e m 0 p G ¼ e 0,5 p G ¼ 0,208 G Ein Abgleiten der Masse m wird somit verhindert, wenn die am linken Seilende wirkende Seilkraft rund 21 % des am rechten Seilende angehngten Gewichtes betrgt. b) Der „Umschlingwinkel“ ist jetzt Seilende kann daher den Wert

j ¼ 2,5 2 p ¼ 5 p. Die Belastung F am rechten

F ¼ S ðj ¼ 5 pÞ ¼ F 0 e m 0 5 p ¼ 100 N e 0,5 5 p ¼ 100 N e 2,5 p ¼ ¼ 257 597 N 257,6 kN erreichen.

Beispiel 4: Fallbewegung einer Kugel in einer zhen Flssigkeit Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Variation der Konstanten) Eine homogene Kugel mit dem Radius r und der Dichte r K wird in einer zhen Flssigkeit mit der Dichte r F und der Zhigkeit h aus der Ruhe heraus frei fallengelassen (Bild IX-8). Bestimmen Sie aus dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ]

Anfangslage FR

s(0) = 0

FA Kugel

a) das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v ¼ v ðtÞ, b) das Weg-Zeit-Gesetz s ¼ s ðtÞ

G

unter Bercksichtigung des Auftriebs [ A35 ] und der Stokesschen Reibung [ A59 ].

s

Bild IX-8

Lehrbuch: Bd. 2, IV.2.5.3.1

Physikalische Grundlagen: A27, A35, A59

324

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Lsung: a) Auf die Kugel wirken nach Bild IX-8 folgende Krfte ein (m: Masse der Kugel; g: Erdbeschleunigung; V K ¼ 4 p r 3 =3: Kugelvolumen): 1. Die nach unten gerichtete Schwerkraft G ¼ m g; 2. Der nach oben gerichtete Auftrieb [ A35 ] FA ¼ r F V K g; 3. Die nach oben gerichtete Stokessche Reibungskraft [ A59 ] F R ¼ 6 p h r v. Nach dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ] gilt dann fr die beschleunigende Kraft m a ¼ G FA FR ¼ m g r F V K g 6 p h r v und somit fr die Beschleunigung rF VK g 6phr rF VK 6phr a ¼ g v ¼ g 1 v m m m m Mit a ¼ v_ und m ¼ r K V K ¼ 4 p r K r 3 =3 wird daraus eine inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten fr die Geschwindigkeit v: rF VK 6phr rF 9h v_ ¼ g 1 v ¼ v ¼ g 1 3 rK VK rK 4 p r K r =3 2 rK r 2 ¼

ðr K r F Þ g 9h v rK 2 rK r2

Zur Abkrzung und der besseren bersicht wegen setzen wir noch a ¼

9h 2 rK r2

ðr K r F Þ g rK

und

b ¼

oder

v_ þ a v ¼ b

und erhalten die Dgl v_ ¼ b a v

die wir durch „Variation der Konstanten“ lsen 1). Zunchst wird die zugehrige homogene Dgl v_ þ a v ¼ 0 mit dem Lsungsansatz v ¼ K e l t , v_ ¼ l K e l t gelst: l K e l t þ a K e l t ¼ ðl þ aÞ K e l t ¼ 0 |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} 6¼ 0

)

lþa ¼ 0

)

l ¼ a

Somit ist v ¼ K e a t die allgemeine Lsung der homogenen Dgl. Fr die inhomogene Dgl wird daher der Lsungsansatz v ¼ K ðtÞ e a t gewhlt (K wird durch die Funktion K ðtÞ ersetzt; Variation der Konstanten). 1)

Die Dgl ist auch durch „Trennung der Variablen“ oder durch „Aufsuchen einer partikulren Lsung“ lsbar.

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

325

Mit der Ableitung v_ ¼ K_ ðtÞ e a t a K ðtÞ e a t

ðProdukt- und KettenregelÞ

erhalten wir dann durch Einsetzen des Lsungsansatzes und seiner Ableitung in die inhomogene Dgl v_ þ a v ¼ b die folgende Dgl 1. Ordnung fr die noch unbekannte Faktorfunktion K ðtÞ: K_ ðtÞ e a t a K ðtÞ e a t þ a K ðtÞ e a t ¼ b |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 0

)

K_ ðtÞ e a t ¼ b

)

K_ ðtÞ ¼ b e a t Durch unbestimmte Integration folgt (Integral Nr. 312 mit a ¼ a) ð ð 1 b K ðtÞ ¼ K_ ðtÞ dt ¼ b e a t dt ¼ b eat þ C1 ¼ eat þ C1 a a Somit lautet die allgemeine Lsung der inhomogenen Dgl wie folgt: b b eat þ C1 eat ¼ eat eat þ C1 eat ¼ v ¼ K ðtÞ e a t ¼ a a |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} e0 ¼ 1 ¼

b þ C1 eat a

Die Integrationskonstante C 1 bestimmen wir aus der Anfangsgeschwindigkeit v ð0Þ ¼ 0: v ð0Þ ¼ 0

)

b b þ C1 1 ¼ þ C1 ¼ 0 a a

)

C1 ¼

b a

Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der Fallbewegung der Kugel in einer zhen Flssigkeit lautet damit v ðtÞ ¼

b b b eat ¼ ð1 e a t Þ , a a a

t 0

Die Kugel erreicht dabei (theoretisch nach unendlich langer Zeit, d. h. fr t ! 1) die Endgeschwindigkeit v E ¼ lim v ðtÞ ¼ lim t!1

t!1

b b b ð1 e a t Þ ¼ ð1 0Þ ¼ ¼ a a a

ðr K r F Þ g rK ðr K r F Þ g 2 r K r 2 2 ðr K r F Þ g r 2 ¼ ¼ ¼ 9h 9h rK 9h 2 rK r2

326

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Die Zeitabhngigkeit der Sinkgeschwindigkeit v kann daher auch durch die Gleichung v ðtÞ ¼ v E ð1 e

at

Þ,

v

1/ a

Tangente in t = 0

vE

t 0

beschrieben werden (Bild IX-9).

Bild IX-9 t

b) Das Weg-Zeit-Gesetz s ¼ s ðtÞ erhalten wir durch Integration der bereits bekannten Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v ¼ v ðtÞ ¼ s_ ðtÞ: ð ð s ðtÞ ¼ v ðtÞ dt ¼ v E ð1 e a t Þ dt ¼ ¼ vE

ð

1 dt

ð e

at

dt

1 at ¼ vE t þ þ C2 e a

(Integral Nr. 312 mit a ¼ a). Die Integrationskonstante C 2 bestimmen wir aus dem Anfangswert s ð0Þ ¼ 0: 1 1 1 þ C2 ¼ vE þ C2 ¼ 0 ) s ð0Þ ¼ 0 ) v E a a 1 þ C2 ¼ 0 a

ðda v E 6¼ 0Þ

)

C2 ¼

1 a

Das Weg-Zeit-Gesetz lautet somit im Zeitraum t 0 wie folgt: 1 1 b a t þ eat 1 b s ðtÞ ¼ v E t þ eat ¼ ¼ 2 ða t þ e a t 1Þ a a a a a Bild IX-10 zeigt den Verlauf dieser Funktion, die fr großes t nahezu linear verluft ðda e a t ! 0 f u¨ r t ! 1Þ : s ðtÞ

b ða t þ 0 1Þ ¼ a2

¼

b ða t 1Þ ¼ a2

¼

b b t 2 a a

s

s = s( t ) Asymptote für t → ∞

Bild IX-10 t

b – a2

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

327

Beispiel 5: RC-Schaltkreis mit einer Gleichspannungsquelle Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Variation der Konstanten) Die in Bild IX-11 dargestellte RC-Reihenschaltung mit dem ohmschen Widerstand R und einem Kondensator mit der Kapazitt C wird zum Zeitpunkt t ¼ 0 ber einen Schalter S an eine Spannungsquelle mit der konstanten Spannung U 0 angeschlossen. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf a) der am Kondensator liegenden Teilspannung u C ,

C

b) der Stromstrke i,

R

c) der am ohmschen Widerstand R liegenden Teilspannung u R ,

uR

wenn der Kondensator im Einschaltaugenblick t ¼ 0 energielos, d. h. ungeladen ist.

uC

i t=0 S

Bild IX-11

U0

Lsungshinweis: Durch Anwendung der Maschenregel [ A32 ] auf den RC-Schaltkreis lsst sich eine Dgl fr die am Kondensator abfallende Teilspannung u C gewinnen. Lehrbuch: Bd. 2, IV.2.5.3.1

Physikalische Grundlagen: A14, A32, A40, A43

Lsung: a) Aus der Maschenregel [ A32 ] folgt uR þ uC U0 ¼ 0

oder

uR þ uC ¼ U0

Nach dem ohmschen Gesetz [ A14 ] ist u R ¼ R i, wobei sich die Stromstrke i noch wie folgt durch die Kondensatorspannung u C ausdrcken lsst [ A43 ]: i ¼

dq d du C ¼ ½ C uC ¼ C ¼ C u_ C dt dt dt

(q: Kondensatorladung; q ¼ C u C [ A40 ]). Daher gilt fr die am ohmschen Widerstand liegende Teilspannung u R ¼ R i ¼ R C u_ C ¼ t u_ C mit der Zeitkonstanten t ¼ R C. Die Maschenregel fhrt damit auf die folgende inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: t u_ C þ u C ¼ U 0

oder

u_ C þ

1 U0 uC ¼ t t

Wir lsen diese Dgl durch „Variation der Konstanten“.

328

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Die zugehrige homogene Dgl u_ C þ

1 uC ¼ 0 t

wird bekanntlich durch den Exponentialansatz uC0 ¼ K elt ,

u_ C 0 ¼ l K e l t

gelst (mit K 2 R): u_ C 0 þ

1 K uC0 ¼ l K elt þ elt ¼ t t

1 lþ K elt ¼ 0 t |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} 6¼ 0

)

l ¼

1 t

Somit ist uC0 ¼ K e

t t

die Lsung der homogenen Dgl. Fr die inhomogene Dgl whlen wir daher den Lsungsansatz u C ¼ K ðtÞ e

t t

wobei K ðtÞ eine noch unbekannte, zeitabhngige Funktion bedeutet (Variation der Konstanten). Mit diesem Ansatz und der zugehrigen Ableitung (unter Verwendung von Produkt- und Kettenregel) 1 K ðtÞ t t t t u_ C ¼ K_ ðtÞ e t þ e t K ðtÞ ¼ K_ ðtÞ e t e t t t gehen wir in die inhomogene Dgl ein: u_ C þ

1 K ðtÞ K ðtÞ U0 t t t u C ¼ K_ ðtÞ e t e t þ e t ¼ t t t t |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 0

K_ ðtÞ e

t t

¼

U0 t

)

K_ ðtÞ ¼

)

t U0 et t

Durch unbestimmte Integration erhalten wir hieraus die gesuchte Faktorfunktion K ðtÞ: ð ð t t t U0 U0 K ðtÞ ¼ K_ ðtÞ dt ¼ e t dt ¼ t et þ K1 ¼ U0 et þ K1 t t (Integral Nr. 312 mit a ¼ 1=t; K 1 2 R). Somit ist t t t t t t u C ¼ K ðtÞ e t ¼ U 0 e t þ K 1 e t ¼ U 0 e t e t þ K 1 e t ¼ |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} e0 ¼ 1 ¼ U0 þ K1 e

t t

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

329

Die Integrationskonstante K 1 bestimmen wir aus dem Anfangswert u C ð0Þ ¼ 0 (der Kondensator ist zu Beginn ungeladen): u C ð0Þ ¼ 0

)

U0 þ K1 1 ¼ U0 þ K1 ¼ 0

)

K1 ¼ U0

Die Kondensatorspannung gengt daher dem folgenden Zeitgesetz: t t t 0 u C ðtÞ ¼ U 0 U 0 e t ¼ U 0 1 e t , Bild IX-12 zeigt den Verlauf dieser Sttigungsfunktion, die asymptotisch gegen den Endwert U 0 strebt.

uC

t

Tangente in t = 0

U0

Bild IX-12 t

b) Fr die Stromstrke i ergibt sich damit fr t 0 die folgende Zeitabhngigkeit: i d h d t t ¼ C U0 U0 1 e t 1e t ¼ dt dt 1 C U0 C U0 t t t ¼ C U0 0 e t e t ¼ e t ¼ ¼ t RC t

i ðtÞ ¼ C u_ C ðtÞ ¼ C

¼

U0 t t e t ¼ I0 e t , R

t 0

ðI 0 ¼ U 0 =RÞ. Der Strom i nimmt daher im Laufe der Zeit exponentiell ab (Bild IX-13). c) Die am ohmschen Widerstand liegende Spannung u R klingt ebenfalls mit der Zeit exponentiell ab (Bild IX-14). Aus dem ohmschen Gesetz [ A14 ] folgt nmlich u R ðtÞ ¼ R i ðtÞ ¼ R I 0 e

t t

¼ U0 e

t t

i

uR

I0

U0

t

Bild IX-13 Stromstrke i ðtÞ

,

t 0

ðmit U 0 ¼ R I 0 Þ

t

Bild IX-14 Teilspannung u R ðtÞ

330

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Beispiel 6: RC-Wechselstromkreis Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Aufsuchen einer partikulren Lsung) An eine Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand R und einem Kondensator mit der Kapazitt C wird zum Zeitpunkt t ¼ 0 eine sinusfrmige Wechselspannung mit der Gleichung u ðtÞ ¼ u^ sin ðw tÞ angelegt (Bild IX-15). Wie lautet der zeitliche Verlauf

C R

a) der Kondensatorspannung u C , b) der Stromstrke i, c) der am ohmschen Widerstand R abfallenden Teilspannung u R ,

uR

uC

i

wenn der Kondensator im Einschaltaugenblick t ¼ 0 energielos, d. h. ungeladen ist? Bild IX-15

t=0 S u

Lsungshinweis: Die Anwendung der Maschenregel [ A32 ] auf den RC-Wechselstromkreis liefert eine Dgl fr die Kondensatorspannung u C . Anmerkung: Diese Aufgabe wird in Kapitel XII, Beispiel 2 mit Hilfe der Laplace-Transformation gelst. Vergleichen Sie die beiden doch sehr unterschiedlichen Lsungsmethoden miteinander und bilden Sie sich somit ein eigenes Urteil ber deren Leistungsfhigkeit. Lehrbuch: Bd. 2, IV.2.5.3.2

Physikalische Grundlagen: A14, A32, A40, A43

Lsung: a) Nach der Maschenregel [ A32 ] ist uR þ uC u ¼ 0

oder

uR þ uC ¼ u

Fr die Teilspannung u R gilt ferner nach dem ohmschen Gesetz [ A14 ] u R ¼ R i. Die Stromstrke i lsst sich dabei noch wie folgt durch die Kondensatorspannung u C ausdrcken [ A43 ]: i ¼

dq d d uC ¼ C u_ C ¼ ½ C uC ¼ C dt dt dt

(q: Kondensatorladung; q ¼ C u C [ A40 ]). Somit ist u R ¼ R i ¼ R C u_ C ¼ t u_ C wobei wir noch die Zeitkonstante t ¼ R C eingefhrt haben.

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

331

Die Maschengleichung fhrt damit zu der folgenden inhomogenen linearen Dgl 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: t u_ C þ u C ¼ u^ sin ðw tÞ Wir lsen diese Dgl durch „Aufsuchen einer partikulren Lsung“. Zunchst wird die zugehrige homogene Dgl t u_ C þ u C ¼ 0 gelst. Ihre mit dem Exponentialansatz u C 0 ¼ K e l t gewonnene Lsung lautet uC0 ¼ K e

t t

ðmit K 2 RÞ

Fr die partikulre Lsung u C p der inhomogenen Dgl whlen wir aufgrund der sinusfrmigen Strfunktion u ¼ u^ sin ðw tÞ den Lsungsansatz u C p ¼ C 1 sin ðw tÞ þ C 2 cos ðw tÞ (siehe Band 2, Abschnitt IV.2.6, Tabelle 1). Mit diesem Ansatz und der zugehrigen Ableitung u_ C p ¼ w C 1 cos ðw tÞ w C 2 sin ðw tÞ gehen wir in die inhomogene Dgl ein und erhalten t ½ w C 1 cos ðw tÞ w C 2 sin ðw tÞ þ C 1 sin ðw tÞ þ C 2 cos ðw tÞ ¼ ¼ t w C 1 cos ðw tÞ t w C 2 sin ðw tÞ þ C 1 sin ðw tÞ þ C 2 cos ðw tÞ ¼ ¼ u^ sin ðw tÞ Ordnen der Glieder fhrt zu der Gleichung ðC 1 w t C 2 Þ sin ðw tÞ þ ðw t C 1 þ C 2 Þ cos ðw tÞ ¼ u^ sin ðw tÞ Auf der rechten Seite dieser Gleichung ergnzen wir noch den verschwindenden Kosinusterm 0 cos ðw tÞ: ðC 1 w t C 2 Þ sin ðw tÞ þ ðw t C 1 þ C 2 Þ cos ðw tÞ ¼ ¼ u^ sin ðw tÞ þ 0 cos ðw tÞ Durch Koeffizientenvergleich der Sinus- bzw. Kosinusterme gewinnen wir hieraus das folgende lineare Gleichungssystem fr die noch unbekannten Konstanten C 1 und C 2 : ðIÞ ðIIÞ

C 1 w t C 2 ¼ u^ w t C1 þ

C2 ¼ 0

Aus Gleichung (II) folgt zunchst C 2 ¼ w t C 1 . Diesen Ausdruck setzen wir in Gleichung (I) ein und erhalten fr C 1 : C 1 w t ð w t C 1 Þ ¼ C 1 þ ðw tÞ 2 C 1 ¼ C 1 ½ 1 þ ðw tÞ 2 ¼ u^ C1 ¼

u^ 1 þ ðw tÞ 2

)

332

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Damit ist auch C 2 bestimmt: C2 ¼ w t C1 ¼ w t

u^ 1 þ ðw tÞ 2

¼

u^ w t 1 þ ðw tÞ 2

Die partikulre Lsung besitzt daher die folgende Gestalt: uCp ¼ ¼

u^ 1 þ ðw tÞ

2

u^ 1 þ ðw tÞ 2

sin ðw tÞ

u^ w t 1 þ ðw tÞ 2

cos ðw tÞ ¼

½ sin ðw tÞ w t cos ðw tÞ

Die allgemeine Lsung der inhomogenen Dgl lautet damit u C ðtÞ ¼ u C 0 þ u C p ¼ K e

t t

þ

u^ 1 þ ðw tÞ 2

½ sin ðw tÞ w t cos ðw tÞ

Die Integrationskonstante K bestimmen wir aus der Anfangsbedingung u C ð0Þ ¼ 0 (der Kondensator ist zu Beginn ungeladen): u C ð0Þ ¼ 0

K

)

u^ w t 1 þ ðw tÞ

2

K 1þ

¼ 0

u^ ½ sin 0 w t cos 0 ¼ 0 |ﬄ{zﬄ} 1 þ ðw tÞ 2 |ﬄ{zﬄ} 1 0

)

K ¼

)

u^ w t 1 þ ðw tÞ 2

Die Kondensatorspannung u C besitzt daher den folgenden zeitlichen Verlauf: u C ðtÞ ¼

u^ w t 1 þ ðw tÞ

2

e

t t

þ

u^ 1 þ ðw tÞ 2

½ sin ðw tÞ w t cos ðw tÞ ,

t 0

Die in der eckigen Klammer stehende Funktion beschreibt die berlagerung zweier gleichfrequenter Sinus- und Kosinusfunktionen und ist auch als phasenverschobene Sinusfunktion gleicher Frequenz in der Form sin ðw tÞ w t cos ðw tÞ ¼ A sin ðw t jÞ darstellbar. Im Zeigerdiagramm nach Bild IX-16 sind die beiden Schwingungskomponenten y 1 ¼ sin ðw tÞ und y 2 ¼ w t cos ðw tÞ durch (reelle) Zeiger bildlich dargestellt. Amplitude A und Nullphasenwinkel j lassen sich + cos dann wie folgt aus dem rechtwinkligen Dreieck bey1 1 rechnen: + sin f

y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A sin ðw t jÞ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ A 2 ¼ 1 2 þ ðw tÞ 2 ) A ¼ 1 þ ðw tÞ 2 wt tan j ¼ ¼ wt 1

vt

A

vt

y2

)

1

j ¼ arctan ðw tÞ Bild IX-16

y

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

333

Somit ist sin ðw tÞ w t cos ðw tÞ ¼ A sin ðw t jÞ ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 1 þ ðw tÞ 2 sin ðw t arctan ðw tÞÞ und die Spannung am Kondensator gengt dem Zeitgesetz qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u^ w t u^ t t þ e 1 þ ðw tÞ 2 sin ðw t jÞ ¼ u C ðtÞ ¼ 1 þ ðw tÞ 2 1 þ ðw tÞ 2 ¼

u^ w t 1 þ ðw tÞ

2

e

t t

u^ þ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sin ðw t jÞ 1 þ ðw tÞ 2

mit j ¼ arctan ðw tÞ > 0. Die Kondensatorspannung u C enthlt somit einen exponentiell abklingenden „flchtigen“ Anteil, der nach einer kurzen „Einschwingphase“ praktisch keine Rolle mehr spielt (siehe Bild IX-17) und einen „stationren“ Anteil, der eine u^ sinusfrmige Wechselspannung mit dem Scheitelwert u^ 0 ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ , der Kreis1 þ ðw tÞ 2 frequenz w und dem Nullphasenwinkel j ¼ arctan ðw tÞ darstellt (Bild IX-18) 2). u C0 u CP

u vt 1 + ( vt ) 2

u0

f v t

– u0

T = 2p

v

t

Bild IX-17 „Flchtiger“ Anteil

Bild IX-18 „Stationrer“ Anteil

b) Aus der zu Beginn hergeleiteten Beziehung i ¼ C u_ C erhalten wir damit fr die Stromstrke i den folgenden zeitlichen Verlauf: 2 3 i ðtÞ ¼ C u_ C ðtÞ ¼ C

2)

u^ w t u^ d 6 7 t e t þ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sin ðw t jÞ 5 ¼ 4 2 dt 1 þ ðw tÞ 2 1 þ ðw tÞ

Der „flchtige“ Anteil ist die Lsung der homogenen Dgl, der „stationre“ Anteil die partikulre Lsung der inhomogenen Dgl. Die angelegte Wechselspannung eilt dabei dem stationren Anteil um den Winkel j ¼ arctan ðw tÞ voraus.

334

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

2 6 ¼ C4

¼

u^ w t

1 þ ðw tÞ 2 u^ w C

1 þ ðw tÞ

2

t e t

e

t t

1 t

3 u^ 7 þ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ cos ðw t jÞ w 5 ¼ 2 1 þ ðw tÞ

u^ w C þ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ cos ðw t jÞ , 1 þ ðw tÞ 2

t 0

Der „stationre“ Anteil ist ein (kosinusfrmiger) Wechselstrom mit dem Scheitelwert u^ w C i^0 ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ , der Kreisfrequenz w und dem Nullphasenwinkel j ¼ arctan ðw tÞ. 1 þ ðw tÞ 2 c) Aus dem ohmschen Gesetz [ A14 ] erhalten wir fr die am ohmschen Widerstand R liegende Teilspannung u R die folgende Zeitabhngigkeit (mit t ¼ R C): u R ðtÞ ¼ R i ðtÞ ¼

¼

u^ w R C 1 þ ðw tÞ

u^ w t 1 þ ðw tÞ

2

e

t t

2

e

t t

u^ w R C þ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ cos ðw t jÞ ¼ 1 þ ðw tÞ 2

u^ w t þ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ cos ðw t jÞ , 1 þ ðw tÞ 2

t 0

Beispiel 7: Biegelinie eines beidseitig eingespannten Balkens bei konstanter Streckenlast Dgl 2. Ordnung vom Typ y 00 ¼ f (x) (direkte Integration) Bestimmen Sie die Gleichung der Biegelinie [ A28 ] eines beidseitig eingespannten homogenen Balkens der Lnge l bei konstanter Streckenlast q und konstanter Biegesteifigkeit E I (Bild IX-19). An welcher Stelle ist die Durchbiegung am grßten?

F S = qx q = const. M0 A

S x/2

M0

x y

FA

B

x

FB l

Biegelinie y ( x )

y

Bild IX-19 Lsungshinweis: Ermitteln Sie zunchst das Biegemoment M b ðxÞ an der Schnittstelle x. Beachten Sie dabei das Auftreten eines Einspannmomentes M 0 an den beiden Einspannstellen x ¼ 0 und x ¼ l. Lehrbuch: Bd. 2, IV.1.5

Physikalische Grundlagen: A1, A7, A28

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

335

Lsung: Wir bestimmen zunchst das Biegemoment M b ðxÞ an der Schnittstelle x. Es setzt sich wie folgt aus drei Teilmomenten zusammen: 1. Infolge der Einspannung tritt beiderseits ein (statisch unbestimmtes) Einspannmoment M 0 auf. 2. Die Gesamtbelastung des Balkens ist F ¼ q l und verteilt sich gleichmßig auf die beiden Lager A und B. Fr die Lagerkrfte gilt somit aufgrund der statischen Gleichgewichtsbedingungen [ A1 ] FA ¼ FB ¼

ql 2

Die Lagerkraft FA erzeugt damit an der Stelle x das Moment [ A7 ] M A ¼ FA x ¼

ql x 2

3. Ein weiteres Moment entsteht durch die konstante Streckenlast q. Der Balken wird dabei im Bereich vom Auflager A bis zur Schnittstelle x durch die Kraft FS ¼ q x gleichmßig belastet (grau unterlegtes Teilstck in Bild IX-19). Diese Kraft greift aus Symmetriegrnden genau in der Mitte dieser Strecke, d. h. im Schwerpunkt S des Teilstckes und somit im Abstand x=2 von der Schnittstelle x an, und erzeugt daher das Moment [ A7 ] M S ¼ FS

x x q 2 ¼ qx ¼ x 2 2 2

Damit erhalten wir das folgende Biegemoment: M b ðxÞ ¼ M 0 þ M A þ M S ¼ M 0 þ

ql q 2 x x , 2 2

0 x l

Die Biegegleichung, d. h. die Dgl der Biegelinie lautet dann (fr kleine Durchbiegungen) nherungsweise [ A28 ] wie folgt: M b ðxÞ 1 1 ql q 2 y 00 ¼ ¼ M b ðxÞ ¼ M0 þ x x EI EI EI 2 2 Diese Dgl lsst sich durch zweimalige (unbestimmte) Integration leicht lsen: ð ð 1 ql q 2 0 00 y ¼ y dx ¼ M0 þ x x dx ¼ EI 2 2 1 ql 2 q 3 M0 x þ x x þ C1 ¼ EI 4 6 ð ð 1 ql 2 q 3 0 y ¼ y dx ¼ M0 x þ x x þ C 1 dx ¼ EI 4 6 1 M0 2 ql 3 q 4 x x þ C1 x þ C2 x þ ¼ EI 12 24 2

336

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Die Integrationskonstanten C 1 und C 2 sowie das Einspannmoment M 0 bestimmen wir aus den folgenden Anfangsbedingungen: y ð0Þ ¼ y ðlÞ ¼ 0

ðkeine Durchbiegung in den beiden LagernÞ

y 0 ð0Þ ¼ y 0 ðlÞ ¼ 0

ðwaagerechte Tangenten in den beiden LagernÞ

Sie liefern drei Bestimmungsgleichungen fr die drei Unbekannten 3) : y ð0Þ ¼ 0

)

y 0 ð0Þ ¼ 0

)

y ðlÞ ¼ 0

)

1 C2 ¼ 0 EI

)

C2 ¼ 0

1 C1 ¼ 0 ) C1 ¼ 0 EI 1 M0 2 q l4 q l4 l þ ¼0 EI 2 12 24

)

M0 2 2 q l4 q l4 l þ ¼ 0 2 24

)

M0 2 q l4 l ¼ 2 24

)

)

M0 ¼

)

M0 2 q l4 q l4 l þ ¼0 2 12 24

M0 2 q l4 l þ ¼ 0 2 24 q l2 12

Die Biegelinie lautet damit 1 q l2 2 ql 3 q 4 q x þ ¼ x x ðl 2 x 2 2 l x 3 þ x 4 Þ ¼ y ðxÞ ¼ 24 EI 12 24 24 E I ¼

q ðx 4 2 l x 3 þ l 2 x 2 Þ , 24 E I

0 x l

Die grßte Durchbiegung erfolgt aus Symmetriegrnden genau in der Balkenmitte. Sie betrgt 4 l q l l4 l4 q l4 q l4 y max ¼ y ¼ þ ¼ ¼ 2 24 E I 16 24 E I 16 4 4 384 E I

Beispiel 8: Knicklast nach Euler Homogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung) Lange, schlanke Stbe, die in axialer Richtung durch Druckkrfte belastet werden, knnen bereits vor berschreiten der Materialfestigkeit ein seitliches Ausbiegen zeigen, das bis zur Zerstrung der Stbe fhren kann. Man bezeichnet diesen Vorgang als Knickung. In diesem Beispiel soll das Verhalten eines beidseitig gelenkig gelagerten Stabes der Lnge l untersucht werden, der durch eine Druckkraft F axial belastet wird (Bild IX-20). 3)

Wir bentigen nur drei der vier Bedingungen. Wir whlen y ð0Þ ¼ 0, y 0 ð0Þ ¼ 0 und y ðlÞ ¼ 0. Die vierte Randbedingung ist dann aus Symmetriegrnden automatisch erfllt.

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

337

Bestimmen Sie die Eulersche Knickkraft FK , bei der die Zerstrung des Stabes infolge seitlichen Ausknickens erstmals einsetzt.

F

A

Stab

x y

y

B l

F x

Biegelinie y ( x )

E I : konstante Biegesteifigkeit des Stabes Bild IX-20

Lsungshinweis: Bestimmen Sie zunchst das Biegemoment M b ðxÞ und untersuchen Sie dann, unter welchen Voraussetzungen die sog. Biegegleichung, d. h. die Dgl der Biegelinie [ A28 ] nichttriviale Lsungen besitzt. Lehrbuch: Bd. 2, IV.3.3 und IV.4.1.2

Physikalische Grundlagen: A7, A28

Lsung: Die axiale Druckkraft F erzeugt an der Schnittstelle x die ortsabhngige Durchbiegung y ¼ y ðxÞ und somit (bezglich des linken Auflagerpunktes A) ein Biegemoment [ A7 ] vom Betrag M b ðxÞ ¼ F y Die Dgl der Biegelinie, d. h. die sog. Biegegleichung lautet dann [ A28 ] y 00 ¼

M b ðxÞ F ¼ y EI EI

oder

y 00 þ

F y ¼ 0 EI

Wir setzen noch zur Abkrzung a 2 ¼ F=ðE IÞ und erhalten die als Schwingungsgleichung bezeichnete homogene lineare Dgl 2. Ordnung y 00 þ a 2 y ¼ 0 Ihre allgemeine Lsung ist nach Band 2, Abschnitt IV.4.1.2 in der Form y ¼ C 1 sin ða xÞ þ C 2 cos ða xÞ darstellbar. In den beiden Randpunkten (Auflager A und B an den Stellen x ¼ 0 und x ¼ l) ist die Durchbiegung jeweils null: y ð0Þ ¼ y ðlÞ ¼ 0 . Dies fhrt zu dem folgenden homogenen linearen Gleichungssystem fr die beiden Integrationskonstanten C 1 und C 2 : y ð0Þ ¼ 0

y ðlÞ ¼ 0

)

C 1 sin 0 þ C 2 cos 0 ¼ C 1 0 þ C 2 1 ¼ 0

)

0 C1 þ 1 C2 ¼ 0

)

C 1 sin ða lÞ þ C 2 cos ða lÞ ¼ 0

)

sin ða lÞ C 1 þ cos ða lÞ C 2 ¼ 0

Eine nichttriviale Lsung, d. h. eine von C 1 ¼ C 2 ¼ 0 verschiedene Lsung existiert bekanntlich nur dann, wenn die Koeffizientendeterminante des Gleichungssystems verschwindet 4) : 4)

Fr C 1 ¼ C 2 ¼ 0 ist y ¼ 0 (keine Durchbiegung und somit kein seitliches Ausknicken).

338

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

0

sin ða lÞ

¼ 0 cos ða lÞ 1 sin ða lÞ ¼ sin ða lÞ ¼ 0 cos ða lÞ

1

Diese Bedingung ist nur erfllbar fr a l ¼ k p und somit a ¼ k p=l (mit k 2 Z). Unter Bercksichtigung von a 2 ¼ F=ðE IÞ folgt hieraus fr die Druckkraft 2 kp p2 E I F ¼ E I a2 ¼ E I ¼ k2 ðk 2 ZÞ l l2 Die kleinstmgliche Druckkraft, bei der seitliches Ausbiegen, d. h. Knickung eintritt, erhlt man fr k ¼ 1 5). Die gesuchte Eulersche Knickkraft betrgt somit FK ¼

p2 E I l2

Die Biegelinie besitzt dann die Gestalt eines Sinusbogens mit der Gleichung p A y ¼ C 1 sin x , 0 x l l C1 (siehe Bild IX-21). y = C 1 · sin

Bild IX-21

y

B l

x

px l

Denn das lineare Gleichungssystem fr die beiden Integrationskonstanten C 1 und C 2 besitzt fr k ¼ 1 und damit a l ¼ p die spezielle Form 0 C1 þ 1 C2 ¼ 0 ðsin pÞ C 1 þ ðcos pÞ C 2 ¼ 0 C 1 1 C 2 ¼ 0 und wird fr C 2 ¼ 0 und beliebige Werte von C 1 gelst. Die Konstante C 1 bleibt somit unbestimmt!

Beispiel 9: Radialbewegung einer Masse in einer geraden, rotierenden Fhrung Homogene lineare Dgl 2. Ordnung Bild IX-22 zeigt eine mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w rotierende Zylinderscheibe vom Radius R, auf der sich eine Masse m in einer radialen Fhrungsschiene reibungsfrei nach außen bewegt. 5)

Fr k ¼ 1 erhalten wir dieselbe Lsung, da F k 2 ist. Die Knickung erfolgt lediglich in der Gegenrichtung (also nach oben), die Gestalt der Biegelinie bleibt jedoch erhalten. Wir knnen uns somit auf die positiven k-Werte beschrnken ðk 2 N*Þ.

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

339

a) Wie lautet das Weg-Zeit-Gesetz r ¼ r ðtÞ sowie das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v ¼ r_ ðtÞ dieser Radialbewegung fr die Anfangswerte r ð0Þ ¼ a, v ð0Þ ¼ 0?

v v

Schiene m r

a

b) Nach welcher Zeit t verlsst die Masse die Scheibe?

M R

rotierende Zylinderscheibe

Bild IX-22 Lsungshinweis: Die Dgl der Radialbewegung erhalten Sie aus dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ]. Lehrbuch: Bd. 2, IV.3.3

Physikalische Grundlagen: A15, A27

Lsung: a) Fr die radiale Bewegung ist die Zentrifugalkraft [ A15 ] FZ ¼ m w 2 r verantwortlich. Nach dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ] gilt dann r ¼ m w2 r m a ¼ m __

__r

oder

w2 r ¼ 0

ðmit a ¼ __ rÞ

Dies ist eine homogene lineare Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Sie wird durch den Exponentialansatz r ¼ elt ,

r_ ¼ l e l t ,

__r ¼

l2 elt ¼ l2 r

gelst und fhrt zu der charakteristischen Gleichung l2 w2 ¼ 0 mit den Lsungen l 1=2 ¼ w. Die allgemeine Lsung der Dgl lautet damit r ¼ C1 ewt þ C2 ewt Die Integrationskonstanten C 1 und C 2 bestimmen wir aus den beiden Anfangswerten: r ð0Þ ¼ a

)

C1 1 þ C2 1 ¼ C1 þ C2 ¼ a

r_ ¼ w C 1 e w t w C 2 e w t ¼ w ðC 1 e w t C 2 e w t Þ r_ ð0Þ ¼ 0

)

w ðC 1 1 C 2 1Þ ¼ w ðC 1 C 2 Þ ¼ 0

)

C1 C2 ¼ 0

ðda w 6¼ 0Þ

)

C2 ¼ C1

340

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Aus den Gleichungen C 1 þ C 2 ¼ a und C 2 ¼ C 1 folgt dann C1 þ C1 ¼ 2 C1 ¼ a

)

C1 ¼ C2 ¼

1 a 2

Das Weg-Zeit-Gesetz der Bewegung lautet somit im Zeitintervall 0 t t : r ðtÞ ¼

1 1 ewt þ ewt a ewt þ a ewt ¼ a ¼ a cosh ðw tÞ 2 2 2

Durch Differentiation nach der Zeit t erhalten wir hieraus das Zeitgesetz der Radialgeschwindigkeit: v ðtÞ ¼ r_ ðtÞ ¼ a w sinh ðw tÞ ,

0 t t

Der zeitliche Verlauf beider Funktionen im Intervall 0 t t ist in den Bildern IX-23 und IX-24 dargestellt. r

v

R

v ( t)

a

t

t

t

Bild IX-23 Weg-Zeit-Gesetz

t

Bild IX-24 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz

b) Im Zeitpunkt t ist r ðtÞ ¼ R (die Masse befindet sich am Rand der Scheibe) und somit a cosh ðw tÞ ¼ R

oder

cosh ðw tÞ ¼

R a

Durch Umkehrung erhalten wir hieraus schließlich die gesuchte Zeitgrße t : R 1 R w t ¼ arcosh ) t ¼ arcosh a w a

Beispiel 10: Elektromagnetischer Schwingkreis Homogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung) Ein Kondensator mit der Kapazitt C ¼ 1 mF wird zunchst durch eine Spannungsquelle auf die Spannung U 0 ¼ 100 V aufgeladen (Bild IX-25). Zum Zeitpunkt t ¼ 0 wird der Kondensator durch Umlegen des Schalters S von der Spannungsquelle getrennt und einer Spule mit der Induktivitt L ¼ 1 H zugeschaltet.

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

341

Beschreiben Sie die im L C-Stromkreis entstehende elektromagnetische Schwingung durch den Verlauf der Stromstrke i ¼ i ðtÞ in Abhngigkeit von der Zeit t.

t=0 S

U0

uC

L

C

uL

i

Bild IX-25

Lsungshinweis: Die Dgl der elektromagnetischen Schwingung erhalten Sie aus der Maschenregel [ A32 ]. Lehrbuch: Bd. 2, IV.3.3 und IV.4.2.2

Physikalische Grundlagen: A32, A40, A43, A45

Lsung: Nach der Maschenregel [ A32 ] ist uL þ uC ¼ 0 Mit u L ¼ L L

di q [ A45 ] und u C ¼ [ A40 ] wird hieraus dt C

di q þ ¼ 0 dt C

oder

di 1 þ q ¼ 0 dt LC

(q: Kondensatorladung). Wir differenzieren diese Gleichung gliedweise nach der Zeit t, bedq achten dabei die Beziehung i ¼ [ A43 ] und erhalten schließlich die folgende Dgl einer dt freien, ungedmpften elektromagnetischen Schwingung: d 2i 1 dq d 2i 1 2 2 þ þ w i ¼ 0 mit w ¼ ¼ 0 oder dt 2 L C dt dt 2 LC Diese Schwingungsgleichung besitzt bekanntlich die allgemeine Lsung i ðtÞ ¼ K 1 sin ðw tÞ þ K 2 cos ðw tÞ (siehe Band 2, Abschnitt IV.4.2.2). Die Integrationskonstanten K 1 und K 2 lassen sich aus den folgenden Anfangsbedingungen bestimmen: 1. Der Strom i ist zu Beginn der Schwingung, d. h. zur Zeit t ¼ 0 gleich null: i ð0Þ ¼ 0; 2. Die Kondensatorspannung hat zu Beginn den Wert u C ð0Þ ¼ U 0 . Aus der Maschengleichung folgt dann fr den Zeitpunkt t ¼ 0: di di U0 þ U0 ¼ 0 ) ¼ u L ð0Þ þ u C ð0Þ ¼ L L dt t ¼ 0 dt t ¼ 0

342

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Fr die Integrationskonstanten ergeben sich aus diesen Anfangswerten dann folgende Werte: i ð0Þ ¼ 0

)

K 1 sin 0 þ K 2 cos 0 ¼ K 1 0 þ K 2 1 ¼ 0 þ K 2 ¼ 0

)

K2 ¼ 0

di d ¼ ½ K 1 sin ðw tÞ þ K 2 cos ðw tÞ ¼ w K 1 cos ðw tÞ w K 2 sin ðw tÞ ¼ dt dt ¼ w ½ K 1 cos ðw tÞ K 2 sin ðw tÞ di U0 ) w ½ K 1 cos 0 K 2 sin 0 ¼ w ðK 1 1 K 2 0Þ ¼ ¼ L dt t ¼ 0 rﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ U0 U0 U0 L C C ¼ w K1 ¼ ¼ U0 ) K1 ¼ ¼ L L wL L Im L C-Schwingkreis fließt somit der sinusfrmige Wechselstrom rﬃﬃﬃﬃﬃ C i ðtÞ ¼ U 0 t 0s sin ðw tÞ ¼ i 0 sin ðw tÞ ¼ i 0 sin ðw t þ pÞ , L rﬃﬃﬃﬃ C 1 mit dem Scheitelwert i 0 ¼ U 0 , der Kreisfrequenz w ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ und dem NullphasenL L C winkel j ¼ p. Nach Einsetzen der vorgegebenen Werte erhalten wir schließlich i ðtÞ ¼ 0,1 A sin ð1000 s 1 t þ pÞ , Der zeitliche Verlauf dieser Schwingung ist in Bild IX-26 dargestellt.

t 0s i A 0,1

t s – 0,1

T= p s 500

Bild IX-26

Beispiel 11: Biegeschwingung einer elastischen Blattfeder Homogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung) Eine einseitig fest eingespannte elastische Blattfeder der Lnge l trgt am anderen Ende eine Masse m und wird durch seitliches Auslenken in Biegeschwingungen versetzt (Bild IX-27).

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

343

a) Wie lautet die Dgl dieser Schwingung? b) Bestimmen Sie die Lsung der Schwingungsgleichung fr die Anfangswerte y ð0Þ ¼ y 0 und v ð0Þ ¼ y_ ð0Þ ¼ 0.

y

B Blattfeder

y0 m C

y ¼ y ðtÞ: Auslenkung zur Zeit t A, B: Umkehrpunkte der Schwingung C: Gleichgewichtslage der Feder

y0 l

A

Bild IX-27 Lsungshinweis: Verwenden Sie bei der Bestimmung der Rckstellkraft FR der Blattfeder den folgenden Sachverhalt: Ein einseitig eingespannter elastischer Trger (wie die Blattfeder), der am freien Ende durch eine Kraft F belastet wird, erfhrt dort die Durchbiegung y ¼ F l 3 =ð3 E IÞ (E I : konstante Biegesteifigkeit des Trgers; E : Elastizittsmodul; I : Flchentrgheitsmoment). Die Dgl der Biegeschwingung erhalten Sie dann aus dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ]. Lehrbuch: Bd. 2, IV.3.3 und IV.4.1.2

Physikalische Grundlagen: A27

Lsung: a) Bild IX-28 zeigt die Lage der Blattfeder zum Zeitpunkt t, die Auslenkung der Masse m zu dieser Zeit ist durch die Koordinate y gegeben.

y m FR

y

Bild IX-28 Die auf die Masse einwirkende, rcktreibende Kraft FR ist (betragsmßig) gleich jener ußeren Kraft F, die am freien Ende der Blattfeder die Durchbiegung y hervorrufen wrde. Zwischen dieser Kraft und der von ihr erzeugten Durchbiegung besteht aber laut Lsungshinweis der folgende Zusammenhang: y ¼

F l3 3EI

oder

F ¼

3EI y l3

Somit ist FR ¼ F ¼

3EI y l3

(die Rckstellkraft FR wirkt der Durchbiegung y entgegen). Die Federkonstante c der Blattfeder hat daher den Wert

3EI

FR

3EI c ¼

¼

3

¼ 3 l l y

344

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Nach dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ] gilt dann (mit a ¼ __ y) m a ¼ m __ y ¼ FR ¼

3EI y l3

oder

__y ¼

3EI y m l3

Wir stellen diese homogene lineare Dgl 2. Ordnung noch geringfgig um und erhalten die bekannte Schwingungsgleichung in der Form 3EI 3EI 2 2 oder w ¼ : __y þ m l 3 y ¼ 0 __y þ w y ¼ 0 m l3 b) Die allgemeine Lsung dieser Dgl ist aus Band 2, Abschnitt IV.4.1.2 bekannt. Sie lautet y ¼ C 1 sin ðw tÞ þ C 2 cos ðw tÞ Die beiden Integrationskonstanten C 1 und C 2 bestimmen wir aus den Anfangswerten y ð0Þ ¼ y 0 und v ð0Þ ¼ y_ ð0Þ ¼ 0: y ð0Þ ¼ y 0 ) C 1 sin 0 þ C 2 cos 0 ¼ C 1 0 þ C 2 1 ¼ 0 þ C 2 ¼ y 0 )

C2 ¼ y0

y_ ¼ w C 1 cos ðw tÞ w C 2 sin ðw tÞ ¼ w C 1 cos ðw tÞ C 2 sin ðw tÞ y_ ð0Þ ¼ 0

)

w ðC 1 cos 0 C 2 sin 0Þ ¼ w ðC 1 1 C 2 0Þ ¼ w C 1 ¼ 0

)

C1 ¼ 0

ðda w 6¼ 0Þ

Die Biegeschwingung verluft daher harmonisch nach der Gleichung y ðtÞ ¼ y 0 cos ðw tÞ ,

t 0

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 3EI mit der Schwingungsamplitude y 0 und der Kreisfrequenz w ¼ bzw. der Schwinrﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ m l3 3 2p ml gungsdauer T ¼ (siehe Bild IX-29). ¼ 2p 3EI w y y0 T 2 T – y0

t

Bild IX-29

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

345

Beispiel 12: Scheibenpendel (physikalisches Pendel) Homogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung) Eine homogene Zylinderscheibe mit der Masse m und dem Radius R schwingt um eine Achse A, die parallel zur Symmetrieachse (Zylinderachse) durch den Scheibenumfang verluft (Bild IX-30). a) Wie lautet die Dgl dieser Schwingung? b) Lsen Sie die Schwingungsgleichung fr kleine Winkel j unter den Anfangsbedingungen j ð0Þ ¼ j 0 und j_ ð0Þ ¼ 0.

A R S

A: Drehachse (senkrecht zur Zeichenebene)

f x

S: Schwerpunkt (¼ Mittelpunkt der Scheibe) G

j: Auslenkwinkel zur Zeit t

Scheibenpendel

Bild IX-30

Lsungshinweis: Das Massentrgheitsmoment der Scheibe bezglich der Symmetrieachse 1 m R 2 . Das bentigte Massentrgheitsmoment J A (Schwerpunktachse) betrgt J S ¼ 2 bezglich der Drehachse A lsst sich dann aus dem Steinerschen Satz [ A31 ] bestimmen. Die Dgl der Schwingung erhalten Sie aus dem Grundgesetz der Drehbewegung [ A36 ]. Lehrbuch: Bd. 2, IV.3.3 und IV.4.1.2

Physikalische Grundlagen: A7, A31, A36

Lsung: a) Das im Schwerpunkt S angreifende Gewicht G ¼ m g erzeugt ein rcktreibendes Moment [ A7 ] M R ¼ G x ¼ m g ðR sin jÞ ¼ m g R sin j ðsin j ¼ x=R

)

x ¼ R sin j; siehe Bild IX-30Þ

Aus dem Grundgesetz der Drehbewegung [ A36 ] folgt JA a ¼ JA j __ ¼ M R ¼ m g R sin j

oder

j __ þ

mgR sin j ¼ 0 JA

Dabei ist a die Winkelbeschleunigung ða ¼ jÞ __ und J A das Massentrgheitsmoment der Scheibe bezglich der Drehachse A. Dieses lsst sich nach dem Steinerschen Satz [ A31 ] wie folgt berechnen: JA ¼ JS þ m R2 ¼

1 3 m R2 þ m R2 ¼ m R2 2 2

346

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Die Pendelbewegung gengt somit der nichtlinearen Dgl 2. Ordnung j __ þ

mgR sin j ¼ 0 3 m R2 2

j __ þ

oder

2g sin j ¼ 0 3R

b) Fr kleine Winkel 6) ist sin j j und die Dgl des Scheibenpendels geht dann ber in eine homogene lineare Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, die unter der Bezeichnung Schwingungsgleichung allgemein bekannt ist: 2g 2g 2 2 j j w0 ¼ oder __ þ 3 R j ¼ 0 __ þ w 0 j ¼ 0 3R Ihre allgemeine Lsung lautet (siehe Band 2, Abschnitt IV.4.1.2) j ðtÞ ¼ C 1 sin ðw 0 tÞ þ C 2 cos ðw 0 tÞ Die beiden Integrationskonstanten C 1 und C 2 bestimmen wir aus den Anfangsbedingungen j ð0Þ ¼ j 0 und j_ ð0Þ ¼ 0: j ð0Þ ¼ j 0

)

C 1 sin 0 þ C 2 cos 0 ¼ C 1 0 þ C 2 1 ¼ 0 þ C 2 ¼ j 0

)

C2 ¼ j0

j_ ¼ w 0 C 1 cos ðw 0 tÞ w 0 C 2 sin ðw 0 tÞ ¼ w 0 C 1 cos ðw 0 tÞ C 2 sin ðw 0 tÞ j_ ð0Þ ¼ 0

)

w 0 ðC 1 cos 0 C 2 sin 0Þ ¼ w 0 ðC 1 1 C 2 0Þ ¼ 0

)

w0 C1 ¼ 0

)

C1 ¼ 0

ðda w 0 6¼ 0Þ

Das Scheibenpendel schwingt somit fr kleine Auslenkwinkel j nahezu harmonisch nach der Gleichung j ðtÞ ¼ j 0 cos ðw 0 tÞ ,

t 0

Bild IX-31 zeigt den zeitlichen Verlauf dieser Schwingung mit dem maximalen Auslenkrﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2g und der Schwingungswinkel (der Winkelamplitude) j 0 , der Kreisfrequenz w 0 ¼ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 3R 3R . dauer T ¼ 2 p 2g f

f0 T 2

Bild IX-31 T

t

– f0

6)

Fr Winkel unter 14 betrgt der maximale prozentuale Fehler rund 1 %, fr Winkel unter 20 rund 2 %.

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

347

Beispiel 13: Vertikale Schwingungen eines Krpers in einer Flssigkeit Homogene lineare Dgl 2. Ordnung (gedmpfte Schwingung) Ein homogener zylindrischer Krper mit der Masse m und der Querschnittsflche A taucht in eine Flssigkeit der Dichte r zur Hlfte ein. Zur Zeit t ¼ 0 wird der Krper aus der Ruhe heraus kurz nach unten angestoßen und beginnt dann um die Gleichgewichtslage zu schwingen. Die augenblickliche Position des schwingenden Krpers soll durch die Schwerpunktskoordinate x beschrieben werden (siehe Bild IX-32). a) Wie lautet die Dgl dieser Schwingung unter Bercksichtigung des Auftriebs [ A35 ] und einer der Geschwindigkeit v proportionalen (schwachen) Reibungskraft? b) Lsen Sie diese Schwingungsgleichung fr die Anfangswerte x ð0Þ ¼ 0 und v ð0Þ ¼ v 0 > 0.

A x Flüssigkeitsoberfläche x=0

S FR

x

S

zylindrischer Körper

x DV

FA

k : Reibungskoeffizient r: Dichte der Flssigkeit

x

Bild IX-32 Lsungshinweis: Die Schwingungsgleichung lsst sich aus dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ] herleiten. Lehrbuch: Bd. 2, IV.3.3 und IV.4.1.3

Physikalische Grundlagen: A27, A35

Lsung: a) In der Gleichgewichtslage ðx ¼ 0Þ wird die Gewichtskraft G ¼ m g gerade durch die nach oben gerichtete Auftriebskraft kompensiert. Der Schwerpunkt S des Krpers liegt dann genau in der Flssigkeitsoberflche (siehe Bild IX-32). Durch das kurze Anstoßen nach unten taucht der Krper weiter unter und erfhrt daher eine zustzliche Auftriebskraft FA nach oben, die von der augenblicklichen Eintauchtiefe abhngt und als rcktreibende Kraft wirkt. Nach dem Archimedischen Prinzip [ A35 ] entspricht diese zustzliche Auftriebskraft FA dem Gewicht der verdrngten Flssigkeitsmenge vom Volumen DV ¼ A x und der Masse Dm ¼ r DV ¼ r A x (in Bild IX-32 dunkelgrau unterlegt). Somit ist FA ¼ Dm g ¼ r DV g ¼ r ðA xÞ g ¼ r g A x (das Minuszeichen bringt dabei zum Ausdruck, dass der Auftrieb dem Gewicht entgegen wirkt).

348

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Die in der gleichen Richtung wirkende Reibungskraft setzen wir in der Form FR ¼ k v ¼ k x_

ðmit v ¼ x_Þ

x) an. Nach dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ] gilt dann (mit a ¼ __ x ¼ FA þ FR m a ¼ m __

oder

m __ x ¼ r g A x k x_

Wir bringen diese homogene lineare Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten noch auf eine spezielle Form: x þ k x_ þ r g A x ¼ 0 oder m __ __x þ 2 d x_ þ w 20 x ¼ 0 k rgA 2 d ¼ ; w0 ¼ . Dies ist die Dgl einer freien (schwach) gedmpften Schwingung. 2m m b) Die allgemeine Lsung dieser Dgl lsst sich in der Form x ðtÞ ¼ C e dt sin ðw d t þ j d Þ darstellen (siehe Band 2, Abschnitt IV.4.1.3.1 und IV.4.1.3.4). Darin bedeuten: d:

Dmpfungsfaktor oder Abklingkonstante

wd :

Eigenkreisfrequenz des gedmpften Systems

C, j d : Integrationskonstanten, die aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden mssen ðC > 0; 0 j d < 2 pÞ Die Eigenkreisfrequenz w d ist dabei durch den Ausdruck qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w d ¼ w 20 d 2 gegeben. Die Integrationskonstanten C und j d bestimmen wir aus den vorgegebenen Anfangsbedingungen wie folgt: x ð0Þ ¼ 0

)

C 1 sin j d ¼ 0

)

sin j d ¼ 0

ðda C > 0Þ

Als Lsungen kommen wegen 0 j d < 2 p nur die Winkel j d ¼ 0 und j d ¼ p infrage. Eine Entscheidung darber treffen wir etwas spter anhand einer weiteren Bedingung. Zunchst aber erfllen wir noch die zweite Anfangsbedingung v ð0Þ ¼ x_ ð0Þ ¼ v 0 . Die bentigte Ableitung x_ ðtÞ erhalten wir mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel: x_ ðtÞ ¼ C ½ e dt ð dÞ sin ðw d t þ j d Þ þ e dt cos ðw d t þ j d Þ w d ¼ ¼ C e dt ½ d sin ðw d t þ j d Þ þ w d cos ðw d t þ j d Þ x_ ð0Þ ¼ v 0

)

C 1 ½ d sin j d þ w d cos j d ¼ C w d cos j d ¼ v 0 |ﬄﬄ{zﬄﬄ} 0

(der Faktor sin j d verschwindet fr die mglichen Winkelwerte j d ¼ 0 und j d ¼ p)

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

349

Da C, w d und v 0 positive Grßen sind, gilt dies auch fr den Faktor cos j d. Damit kommt von den beiden zunchst mglichen Winkelwerten j d ¼ 0 und j d ¼ p nur der erste Wert infrage. Somit ist j d ¼ 0 7). Fr die Integrationskonstante C erhalten wir dann den folgenden Wert: C w d cos 0 ¼ C w d 1 ¼ C w d ¼ v 0

)

v0 wd

C ¼

Der eingetauchte Krper schwingt daher gedmpft nach der Gleichung x ðtÞ ¼

v0 e dt sin ðw d tÞ , wd

t 0

mit dem Dmpfungsfaktor d ¼ k=ð2 mÞ und der Kreisfrequenz rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rgA k2 4rgAm k2 4rgAm k2 2 2 wd ¼ w0 d ¼ ¼ ¼ 4 m2 4 m2 m 2m Bild IX-33 zeigt den zeitlichen Verlauf dieser Schwingung.

x

t Periodenintervall T = 2p

vd

Bild IX-33

Beispiel 14: Schwingung eines rotierenden Federpendels Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung, Aufsuchen einer partikulren Lsung) Ein zylindrisches Hohlrohr rotiert mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit w 0 in einer horizontalen Ebene. In dem Rohr befindet sich ein Federpendel mit der Masse m und der Federkonstanten c (Bild IX-34). Die Lnge der Feder im entspannten Zustand ist l. Zum Zeitpunkt t ¼ 0 besitzt das Federpendel die Auslenkung x 0 und ist relativ zum Rohr in Ruhe.

Drehachse

v0

x Hohlrohr

m l

cos 0 ¼ 1 > 0, aber cos p ¼ 1 < 0.

x x=0

Bild IX-34 7)

Feder

350

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Nach welchem Weg-Zeit-Gesetz x ¼ x ðtÞ erfolgt die Schwingung des rotierenden Federpendels bei Vernachlssigung der Reibungskrfte? Lsungshinweis: Die Dgl der Schwingung erhalten Sie aus dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ]. Die Federmasse wird als vernachlssigbar angesehen. Lehrbuch: Bd. 2, IV.3.4 und IV.4.1

Physikalische Grundlagen: A15, A27

Lsung: Auf das rotierende Pendel wirken folgende Krfte ein: 1. Die nach außen gerichtete Zentrifugalkraft [ A15 ] FZ ¼ m w 20 r ¼ m w 20 ðl þ xÞ; 2. Die rcktreibende elastische Kraft der Feder (Rckstellkraft) FR ¼ c x. x) Nach dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ] gilt dann (mit a ¼ __ x ¼ FZ þ FR ¼ m w 20 ðl þ xÞ c x ¼ m w 20 l þ m w 20 x c x m a ¼ m __ Wir stellen diese Gleichung noch wie folgt um: m __ x þ c x m w 20 x ¼ m __ x þ ðc m w 20 Þ x ¼ m w 20 l c m w 20 x__ þ x þ w 2 x ¼ w 20 l x ¼ w 20 l ) __ m

) c m w 20 w2 ¼ m

Dies ist eine inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Wir lsen sie nach der Methode „Aufsuchen einer partikulren Lsung“ (Band 2, Abschnitt IV.3.4). Die zugehrige homogene Dgl

__x þ w 2 x

¼ 0

ist die bekannte Schwingungsgleichung und besitzt die allgemeine Lsung x h ¼ C 1 sin ðw tÞ þ C 2 cos ðw tÞ Die Strfunktion der inhomogenen Dgl ist die konstante Funktion g ðtÞ ¼ w 20 l ¼ const. Daher whlen wir fr die partikulre Lsung der inhomogenen Dgl den Lsungsansatz 8) x p ¼ A ¼ const: ,

x_ p ¼ 0 ,

__x p

¼ 0

Durch Einsetzen in die inhomogene Dgl erhalten wir dann 0 þ w 2 A ¼ w 20 l

)

w 2 A ¼ w 20 l

)

A ¼

w 20 l w2

w 20 l die gesuchte partikulre Lsung und die allgemeine Lsung der inhow2 mogenen Dgl lautet wie folgt: Somit ist x p ¼

8)

Lsungsansatz nach Band 2, Abschnitt IV.3.4, Tabelle 2.

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

351

x ðtÞ ¼ x h þ x p ¼ C 1 sin ðw tÞ þ C 2 cos ðw tÞ þ

w 20 l w2

Die Berechnung der beiden Integrationskonstanten C 1 und C 2 erfolgt aus den Anfangsbedingungen x ð0Þ ¼ x 0 , v ð0Þ ¼ x_ ð0Þ ¼ 0: x ð0Þ ¼ x 0

)

C 1 sin 0 þ C 2 cos 0 þ

)

C2 þ

w 20 l ¼ x0 w2

)

w 20 l w 20 l ¼ C 0 þ C 1 þ ¼ x0 1 2 w2 w2

C2 ¼ x0

w 20 l w2

x_ ðtÞ ¼ w C 1 cos ðw tÞ w C 2 sin ðw tÞ ¼ w C 1 cos ðw tÞ C 2 sin ðw tÞ x_ ð0Þ ¼ 0

)

w ðC 1 cos 0 C 2 sin 0Þ ¼ w ðC 1 1 C 2 0Þ ¼ 0

)

w C1 ¼ 0

)

C1 ¼ 0

ðda w 6¼ 0Þ

Das rotierende Federpendel schwingt somit harmonisch nach der Gleichung x ðtÞ ¼

w2 l x 0 02 w

cos ðw tÞ þ

w 20 l , w2

t 0

Amplitude A, Kreisfrequenz w und Schwingungsdauer T betragen dabei der Reihe nach w2 l w 2 x 0 w 20 l A ¼ x 0 02 ¼ , w w2 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2p m T ¼ ¼ 2p w c m w 20

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ c m w 20 w ¼ , m

Bild IX-35 zeigt den zeitlichen Verlauf dieser harmonischen Schwingung. x x0 v02 l

2A

v2

2 v02 l v2

– x0

Bild IX-35 T = 2p

v

t

352

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Beispiel 15: Drehspulinstrument Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung, Aufsuchen einer partikulren Lsung) Bild IX-36 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Drehspulinstrumentes zur Messung von Gleichstrom. Das Magnetfeld im Luftspalt zwischen den ußeren Polschuhen und dem inneren (festgehaltenen) Weicheisenzylinder verluft nahezu radial und der Betrag der magnetischen Fluss~ darf in diesem Spalt als nadichte B hezu konstant angenommen werden. Um den Zylinder ist eine rechteckige Leiterschleife drehbar gelagert (Lnge: l; Breite: 2 r). Sie wird durch eine Spiralfeder in Ruhestellung gehalten.

Leiterschleife

Luftspalt

Polschuh

S

N

Weicheisenzylinder

Polschuh

Spiralfeder

Bild IX-36

~ Fließt ein konstanter Messstrom I durch die Leiterschleife, so erfhrt diese im Magnetfeld B ! ~ eine Kraft F und somit ein Drehmoment M . Das System ist dabei so stark gedmpft, dass der mit der Drehachse starr verbundene Zeiger asymptotisch seiner Endlage zustrebt (Drehung um den Winkel j aus der Ruhelage j ¼ 0). a) Durch welche Dgl wird diese aperiodische Zeigerbewegung beschrieben? b) Wie lautet die Lsung dieser Schwingungsgleichung fr die Anfangswerte j ð0Þ ¼ 0 und j_ ð0Þ ¼ 0? Lsungshinweis: Das Rckstellmoment M R der Spiralfeder ist dem Drehwinkel j proportional (Federkonstante: c > 0), die Dmpfung des Systems wird durch ein der Winkelgeschwindigkeit j_ proportionales Drehmoment M D beschrieben (Reibungskoeffizient: k > 0). Das als bekannt vorausgesetzte Massentrgheitsmoment der Leiterschleife ist J. Die Dgl der aperiodischen Bewegung erhalten Sie aus dem Grundgesetz der Drehbewegung [ A36 ]. Lehrbuch: Bd. 2, IV.3.4 und IV.4.1.3.2

Physikalische Grundlagen: A6, A7, A36

Lsung: a) Die stromdurchflossene Leiterschleife erfhrt ein Gesamtmoment, das sich aus den folgenden drei Teilmomenten zusammensetzt: 1. Ein stromdurchflossener Leiter erfhrt in einem Magnetfeld eine Kraft [ A6 ]. Von Bedeutung sind in unserem Beispiel allerdings nur die beiden im Luftspalt liegenden Lngsseiten der Leiterschleife 9). Sie erfahren eine Kraft vom Betrag F ¼ B I l. Der 9)

In den Lngsseiten der Leiterschleife fließt der Strom senkrecht zu den magnetischen Feldlinien, in den beiden brigen Teilen jedoch parallel zum Magnetfeld.

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

353

Kraftvektor steht dabei sowohl auf dem Magnetfeld als auch zur Stromrichtung senkrecht und verluft somit auch senkrecht zum Dreharm der Lnge r. Diese Kraft erzeugt somit das konstante Drehmoment [ A7 ] M ¼ Fr ¼ BI lr ¼ BlrI 2. Die Rckstellkraft der Spiralfeder erzeugt nach Voraussetzung ein dem Drehwinkel j proportionales Rckstellmoment MR ¼ c j

ðc : FederkonstanteÞ

3. Die Dmpfung wird nach Voraussetzung durch ein der Winkelgeschwindigkeit j_ proportionales Drehmoment beschrieben: M D ¼ k j_

ðk : ReibungskoeffizientÞ

Nach dem Grundgesetz der Drehbewegung [ A36 ] gilt dann (mit a ¼ jÞ __ J a ¼ M þ MR þ MD

)

Jj __ ¼ B l r I c j k j_

(J: Massentrgheitsmoment der Leiterschleife). Wir bringen diese inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten noch auf eine bersichtlichere Gestalt: Jj __ þ k j_ þ c j ¼ B l r I j __ þ 2 d j_ þ w 20 j ¼

BlrI J

)

k c BlrI j_ þ j ¼ J J J k c d ¼ ; w 20 ¼ 2J J j __ þ

)

b) Wir lsen die in a) hergeleitete Schwingungsgleichung durch „Aufsuchen einer partikulren Lsung“ (Band 2, Abschnitt IV.3.4). Zuerst wird die zugehrige homogene Dgl j __ þ 2 d j_ þ w 20 j ¼ 0 gelst. Mit dem Lsungsansatz (Exponentialansatz) j __ ¼ l 2 e l t folgt dann

j ¼ e l t , j_ ¼ l e l t

l 2 e l t þ 2 d l e l t þ w 20 e l t ¼ 0 Wir dividieren durch e l t 6¼ 0 und erhalten die charakteristische Gleichung l 2 þ 2 d l þ w 20 ¼ 0 mit den reellen Lsungen 10) qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ l 1=2 ¼ d d 2 w 20 ¼ d m |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} m2 10)

Wegen der vorausgesetzten starken Dmpfung ist d > w 0 und somit m 2 ¼ d 2 w 20 > 0.

und

354

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Da m < d ist, sind beide Lsungen negativ: l 1=2 < 0. Die allgemeine Lsung der homogenen Dgl setzt sich somit aus zwei streng monoton fallenden e-Funktionen zusammen: j 0 ¼ C 1 e l 1 t þ C 2 e l 2 t ¼ C 1 e ð d þ mÞ t þ C 2 e ð d mÞ t Eine partikulre Lsung j p der inhomogenen Dgl gewinnen wir durch den Lsungsansatz j p ¼ A ¼ const ,

j_ p ¼ 0 ,

j __ p ¼ 0

BlrI konstant ist (Band 2, Abschnitt IV.3.4, Tabelle 2). J Durch Einsetzen in die inhomogene Dgl folgt dann (mit w 20 ¼ c=J) da die Strfunktion g ðtÞ ¼

0 þ 0 þ w 20 A ¼

BlrI J

)

w 20 A ¼

BlrI J

)

A ¼

BlrI w 20

J

¼

BlrI BlrI ¼ c c J J

Somit ist die konstante Funktion jp ¼ A ¼

BlrI c

eine partikulre Lsung der gegebenen Schwingungsgleichung. Die allgemeine Lsung besitzt somit die Gestalt j ðtÞ ¼ j 0 þ j p ¼ C 1 e ð d þ mÞ t þ C 2 e ð d mÞ t þ

BlrI c

Die beiden Integrationskonstanten C 1 und C 2 lassen sich aus den Anfangsbedingungen wie folgt bestimmen: j ð0Þ ¼ 0

)

C1 1 þ C2 1 þ

BlrI ¼ 0 c

)

C1 þ C2 þ

j_ ðtÞ ¼ ð d þ mÞ C 1 e ð d þ mÞ t þ ð d mÞ C 2 e ð d mÞ t j_ ð0Þ ¼ 0

)

ð d þ mÞ C 1 1 þ ð d mÞ C 2 1 ¼ 0

)

ð d þ mÞ C 1 ðd þ mÞ C 2 ¼ 0

Das lineare Gleichungssystem C1 þ

C2 ¼

BlrI c

ð d þ mÞ C 1 ðd þ mÞ C 2 ¼ 0 lsen wir nach der Cramerschen Regel (Band 2, Abschnitt I.5.4.3).

BlrI ¼ 0 c

ðKettenregel !Þ

IX Gewhnliche Differentialgleichungen Mit der Koeffizientendeterminante

1 1 D ¼

ð d þ mÞ ðd þ mÞ

355

¼ ðd þ mÞ ð d þ mÞ ¼

¼ d m þ d m ¼ 2m und den beiden Hilfsdeterminanten

ðB l r IÞ=c 1

D1 ¼

0 ðd þ mÞ

1

D2 ¼

ð d þ mÞ

ðd þ mÞ B l r I

,

¼

c

ðB l r IÞ=c

ð d þ mÞ B l r I

¼

c 0

erhalten wir schließlich D1 C1 ¼ ¼ D

ðd þ mÞ B l r I ðd þ mÞ B l r I c ¼ , 2m 2cm

D2 C2 ¼ ¼ D

ð d þ mÞ B l r I ð d þ mÞ B l r I c ¼ 2m 2cm

Die gesuchte Lsung lautet damit ðd þ mÞ B l r I ð d þ mÞ B l r I BlrI e ð d þ mÞ t e ð d mÞ t þ ¼ 2cm 2cm c BlrI mþd md ð d þ mÞ t ð d mÞ t ¼ 1 e e , t 0 c 2m 2m

j ðtÞ ¼

Der zeitliche Verlauf dieser aperiodischen Bewegung ist in Bild IX-37 dargestellt. Die Dmpfung des Drehspulinstrumentes lsst sich dabei so einstellen, dass die beiden Exponentialfunktionen rasch gegen null abklingen und der Endwert (Messwert) j E somit schnell erreicht wird 11) : BlrI mþd md 1 e ð d þ mÞ t e ð d mÞ t ¼ j E ¼ lim j ðtÞ ¼ lim t!1 t!1 c 2m 2m ¼

BlrI BlrI Blr ð1 0 0Þ ¼ ¼ I I c c c

Der Zeiger des Messinstrumentes strebt somit in kurzer Zeit asymptotisch gegen seinen Endwert j E . Wegen j E I ist die Skala linear unterteilt. 11)

Da d > m gilt ð d mÞ < 0.

356

IX Gewhnliche Differentialgleichungen f

Endwert des Zeigerausschlags

fE

Bild IX-37 t

Anmerkung: Die Lsung lsst sich damit auch in der folgenden Form darstellen: mþd md ð d þ mÞ t ð d mÞ t j ðtÞ ¼ j E 1 ¼ e e 2m 2m jE md dt m þ d mt mt me ¼ ¼ e þ e m 2 2 j m d m d emt þ emt þ emt emt ¼ ¼ E m edt 2 2 2 2 m jE emt þ emt emt emt dt m me þd ¼ ¼ m 2 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} cosh ðm tÞ sinh ðm tÞ jE dt ¼ ð m cosh ð m tÞ þ d sinh ð m tÞÞ ½m e m

Beispiel 16: Erzwungene mechanische Schwingung Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung (erzwungene Schwingung, Aufsuchen einer partikulren Lsung) Ein schwach gedmpftes schwingungsfhiges mechanisches System mit dem Dmpfungsfaktor d und der Eigenkreisfrequenz w 0 (des ungedmpften Systems) wird von außen durch eine periodische Kraft mit derselben Kreisfrequenz w 0 zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Lsen Sie die Schwingungsgleichung

__x þ 2 d x_ þ

w 20 x ¼ a cos ðw 0 tÞ

ðmit d < w 0 Þ

fr die Anfangswerte x ð0Þ ¼ 0 und v ð0Þ ¼ x_ ð0Þ ¼ 0. x ¼ x ðtÞ: Auslenkung des Systems zur Zeit t; F ¼ F 0 cos ðw 0 tÞ: periodische ußere Kraft mit F0 > 0; m: Schwingungsmasse; a ¼ F 0 =m Lehrbuch: Bd. 2, IV.3.4 und IV.4.1.4

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

357

Lsung: Wir lsen zunchst die zugehrige homogene Dgl

__x þ 2 d x_ þ

w 20 x ¼ 0

x ¼ l2 elt durch den Lsungsansatz (Exponentialansatz) x ¼ e l t , x_ ¼ l e l t und __ und erhalten die Gleichung l 2 e l t þ 2 d l e l t þ w 20 e l t ¼ 0 Division durch e l t 6¼ 0 fhrt schließlich zu der charakteristischen Gleichung l 2 þ 2 d l þ w 20 ¼ 0 Diese besitzt bei der vorausgesetzten schwachen Dmpfung ðd < w 0 Þ konjugiert komplexe Lsungen: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ l 1=2 ¼ d d 2 w 20 ¼ d ðw 20 d 2 Þ ¼ d w 2d ¼ d j w d |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} < 0 w 2d > 0 Wir erhalten somit eine gedmpfte Schwingung mit der Gleichung x 0 ðtÞ ¼ e d t ½ C 1 sin ðw d tÞ þ C 2 cos ðw d tÞ

mit

wd ¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w 20 d 2

(siehe Band 2, Abschnitt IV.4.1.3.1). Eine partikulre Lsung x p dor inhomogenen Schwingungsgleichung findet man mit dem Lsungsansatz x p ¼ A sin ðw 0 tÞ þ B cos ðw 0 tÞ ðsiehe Band 2, Abschnitt IV.3.4, Tabelle 2; Strfunktion: g ðtÞ ¼ a cos ðw 0 tÞÞ. Mit diesem Ansatz und den zugehrigen Ableitungen x_ p ¼ w 0 A cos ðw 0 tÞ w 0 B sin ðw 0 tÞ

__x p

¼ w 20 A sin ðw 0 tÞ w 20 B cos ðw 0 tÞ

gehen wir in die inhomogene Dgl ein: w 20 A sin ðw 0 tÞ w 20 B cos ðw 0 tÞ þ 2 d ½ w 0 A cos ðw 0 tÞ w 0 B sin ðw 0 tÞ þ þ w 20 ½ A sin ðw 0 tÞ þ B cos ðw 0 tÞ ¼ a cos ðw 0 tÞ

)

w 20 A sin ðw 0 tÞ w 20 B cos ðw 0 tÞ þ 2 d w 0 A cos ðw 0 tÞ 2 d w 0 B sin ðw 0 tÞ þ þ w 20 A sin ðw 0 tÞ þ w 20 B cos ðw 0 tÞ ¼ a cos ðw 0 tÞ

358

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Diese Gleichung reduziert sich wie folgt: 2 d w 0 A cos ðw 0 tÞ 2 d w 0 B sin ðw 0 tÞ ¼ a cos ðw 0 tÞ þ 0 sin ðw 0 tÞ Auf der rechten Seite haben wir dabei den verschwindenden Sinusterm 0 sin ðw 0 tÞ addiert. Durch Koeffizientenvergleich der Kosinus- bzw. Sinusterme beiderseits lassen sich dann die gesuchten Koeffizienten A und B bestimmen: a und 2 d w0 B ¼ 0 ) B ¼ 0 2 d w0 A ¼ a ) A ¼ 2 d w0 Somit lautet die partikulre Lsung a xp ¼ sin ðw 0 tÞ 2 d w0 Die allgemeine Lsung der inhomogenen Schwingungsgleichung ist dann die Summe aus x 0 und x p : a sin ðw 0 tÞ x ðtÞ ¼ x 0 þ x p ¼ e d t ½ C 1 sin ðw d tÞ þ C 2 cos ðw d tÞ þ 2 d w0 Die beiden Integrationskonstanten C 1 und C 2 berechnen wir aus den Anfangsbedingungen x ð0Þ ¼ 0 und x_ ð0Þ ¼ 0 wie folgt: x ð0Þ ¼ 0

)

1 ½ C 1 sin 0 þ C 2 cos 0 þ

C1 0 þ C2 1 þ

a 0 ¼ 0 2 d w0

)

a sin 0 ¼ 0 2 d w0

0 þ C2 þ 0 ¼ 0

Zwischenergebnis: x ðtÞ ¼ C 1 e d t sin ðw d tÞ þ

)

) C2 ¼ 0

a sin ðw 0 tÞ 2 d w0

Die bentigte Ableitung x_ ðtÞ erhalten wir mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel: x_ ðtÞ ¼ C 1 ½ e d t ð dÞ sin ðw d tÞ þ cos ðw d tÞ w d e d t þ ¼ C 1 e d t ½ d sin ðw d tÞ þ w d cos ðw d tÞ þ x_ ð0Þ ¼ 0

)

a cos ðw 0 tÞ 2d

a cos 0 ¼ 0 2d a C1 wd þ ¼ 0 ) 2d

C 1 1 ½ d sin 0 þ w d cos 0 þ

C1 ½ d 0 þ wd 1 þ

a 1 ¼ 0 2d

)

Die erzwungene Schwingung wird somit durch die Gleichung a a e d t sin ðw d tÞ þ sin ðw 0 tÞ ¼ 2 d wd 2 d w0 a sin ðw 0 tÞ e d t sin ðw d tÞ ¼ , t 0 2d w0 wd

x ðtÞ ¼

beschrieben.

a cos ðw 0 tÞ w 0 ¼ 2 d w0

) C1 ¼

a 2 d wd

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

359

Sie besitzt den in Bild IX-38 dargestellten Verlauf. x a 2 dv 0

Bild IX-38 t

Im Laufe der Zeit stabilisiert sich diese Schwingung, da der zweite Term exponentiell gegen null abklingt, zu einer reinen Sinusschwingung mit der Kreisfrequenz w 0 und der Schwingungsa (siehe Bild IX-39): amplitude A ¼ 2 d w0 a sin ðw 0 tÞ x x ðtÞ 0 ¼ 2d w0 a ¼ sin ðw 0 tÞ 2 d w0

A

ðt 1=dÞ t –A T = 2p

v0

Bild IX-39

Beispiel 17: Gleichung einer Seilkurve (Kettenlinie) Nichtlineare Dgl 2. Ordnung (Substitutionsmethode, Trennung der Variablen) Die Kurvengleichung y ¼ y ðxÞ eines an zwei Punkten A und B befestigten freihngenden Seiles, das ausschließlich durch sein Eigengewicht belastet wird, gengt der nichtlinearen Dgl 2. Ordnung qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ q 1 1 þ ðy 0 Þ 2 ¼ 1 þ ðy 0 Þ 2 y 00 ¼ FH k q:

y A

Seilkurve y = y ( x )

Eigengewicht des Seils pro Lngeneinheit

FH : Konstante Horizontalkomponente der Seilkraft k ¼ FH =q

B

–a

Bild IX-40

a

x

360

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Bestimmen Sie die Gleichung dieser Seilkurve (auch Kettenlinie genannt) bei symmetrischer Aufhngung und einer Spannweite von 2 a (Bild IX-40). Lsungshinweis: Die Dgl der Seilkurve lsst sich mit Hilfe der Substitution u ¼ y 0 auf eine elementar lsbare Dgl 1. Ordnung zurckfhren. Lehrbuch: Bd. 2, IV.2.2

Lsung: Durch die Substitution u ¼ y0 ,

u 0 ¼ y 00

berfhren wir die Dgl der Seilkurve in eine solche 1. Ordnung: 1 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ2 du 1 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ2 u0 ¼ 1þu ¼ 1þu oder k dx k Diese Dgl lsst sich durch „Trennung der Variablen“ leicht lsen (Grundintegrale!): ð ð du 1 1 1 1 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ du ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ du ¼ dx ) 1 dx ) k k 1 þ u2 1 þ u2 1 þ u2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Integral Nr: 123 mit a ¼ 1 arsinh u ¼

1 x x þ C1 ¼ þ C1 k k

Wir lsen diese Funktionsgleichung nach der Variablen u auf und erhalten x u ¼ sinh þ C1 k Da die Seilkurve bei symmetrischer Aufhngung im tiefsten Punkt, d. h. an der Stelle x ¼ 0 eine waagerechte Tangente besitzt, ist y 0 ð0Þ ¼ u ð0Þ ¼ 0. Aus dieser Eigenschaft berechnen wir die Integrationskonstante C 1 : u ð0Þ ¼ 0

)

sinh C 1 ¼ 0

)

C 1 ¼ arsinh 0 ¼ 0

Die 1. Ableitung der Seilkurve lautet somit x u ¼ y 0 ¼ sinh k Durch Integration dieser Gleichung erhalten wir die gesuchte Seilkurve (Integral Nr. 349 mit a ¼ 1=k): ð ð x x dx ¼ k cosh þ C2 y ¼ y 0 dx ¼ sinh k k ber die Integrationskonstante C 2 knnen wir frei verfgen, da sie lediglich eine Verschiebung der Seilkurve lngs der y-Achse bewirkt. Wir whlen daher zweckmßigerweise das Koordinatensystem so, dass C 2 ¼ 0 wird. Die Seilkurve schneidet dann die y-Achse bei y ð0Þ ¼ k cosh 0 ¼ k 1 ¼ k.

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

361

Damit ist die Gleichung der Seilkurve (auch Kettenlinie genannt) eindeutig bestimmt. Sie lautet wie folgt: x , a x a y ðxÞ ¼ k cosh k

Beispiel 18: Torsionsschwingungen einer zweifach besetzten elastischen Welle System linearer Dgln 2. Ordnung Bild IX-41 zeigt einen einfachen Torsionsschwinger, bestehend aus einer nahezu masselosen elastischen Welle mit zwei gleichen starren Zylinderscheiben vom Massentrgheitsmoment J. Ein solches System lsst sich zu sog. Torsionsschwingungen anregen, z. B. dadurch, dass man die Scheiben gegeneinander verdreht. Die zeitabhngigen Drehwinkel j 1 und j 2 der beiden Scheiben gengen dabei zu jedem Zeitpunkt t 0 dem folgenden System zweier miteinander gekoppelter linearer Dgln 2. Ordnung:

Scheibe 1

v

Scheibe 2 Welle

v

Jj __ 1 þ c ðj 1 j 2 Þ ¼ 0 Jj __ 2 þ c ðj 2 j 1 Þ ¼ 0 Bild IX-41 c > 0 ist die Torsionsfederkonstante der elastischen Welle, c ðj 1 j 2 Þ und c ðj 2 j 1 Þ sind die jeweiligen Rckstellmomente der elastischen Welle 12). Bestimmen Sie die Eigenschwingungen dieses Torsionsschwingers mit den zugehrigen Eigenkreisfrequenzen w mit Hilfe des folgenden Lsungsansatzes: j 1 ðtÞ ¼ A 1 sin ðw tÞ ,

j 2 ðtÞ ¼ A 2 sin ðw tÞ

(A 1 > 0, A 2 > 0: maximale Drehwinkel) Lsungshinweis: Der vorgegebene Lsungsansatz fhrt zu einem linearen Gleichungssystem fr die Grßen A 1 und A 2 . Die Eigenkreisfrequenzen des Torsionsschwingers ergeben sich aus der Forderung, dass dieses Gleichungssystem nichttrivial lsbar sein soll. Lehrbuch: Bd. 2, IV.3 und IV.7.2

12)

Diese sind dem jeweiligen relativen Drehwinkel proportional. Die Dgln selbst erhlt man aus dem Grundgesetz der Drehbewegung [ A36 ].

362

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Lsung: Mit dem vorgegebenen Lsungsansatz und den zugehrigen Ableitungen j_ 1 ¼ w A 1 cos ðw tÞ ,

j __ 1 ¼ w 2 A 1 sin ðw tÞ

j_ 2 ¼ w A 2 cos ðw tÞ ,

j __ 2 ¼ w 2 A 2 sin ðw tÞ

gehen wir in das Dgl-System ein und erhalten J w 2 A 1 sin ðw tÞ þ c ðA 1 A 2 Þ sin ðw tÞ ¼ 0 J w 2 A 2 sin ðw tÞ þ c ðA 2 A 1 Þ sin ðw tÞ ¼ 0 Wir krzen beide Gleichungen noch durch sin ðw tÞ und ordnen anschließend die Glieder. Dies fhrt zu dem homogenen linearen Gleichungssystem ðc J w 2 Þ A 1

c A2 ¼ 0

c A 1 þ ðc J w 2 Þ A 2 ¼ 0 das nur dann nichttrivial lsbar ist (d. h. von A 1 ¼ A 2 ¼ 0 verschiedene Lsungen hat), wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet:

ðc J w 2 Þ

c

¼ ðc J w 2 Þ 2 c 2 ¼ 0 ) ðc J w 2 Þ 2 ¼ c 2 )

2

c ðc J w Þ c J w2 ¼ c

)

J w2 ¼ c c

)

w2 ¼

c c J

Wir erhalten zunchst folgende Lsungen: w2 ¼ 0 2c w ¼ J 2

ðoberes VorzeichenÞ

)

ðunteres VorzeichenÞ

w 1=2 ¼ 0 )

w 3=4

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2c ¼ J

Da w eine Kreisfrequenz darstellt, kommen jedoch als Lsungen nur positive Werte infrage. rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2c . Es gibt somit genau eine Eigenschwingung mit der Eigenkreisfrequenz w 0 ¼ w 3 ¼ J Diesen Wert setzen wir in das homogene lineare Gleichungssystem ein und erhalten fr die Koeffizienten A 1 und A 2 zwei identische Gleichungen 2c cJ A 1 c A 2 ¼ ðc 2 cÞ A 1 c A 2 ¼ c A 1 c A 2 ¼ 0 J 2c c A1 þ c J A 2 ¼ c A 1 þ ðc 2 cÞ A 2 ¼ c A 1 c A 2 ¼ 0 J Somit gilt c A 1 c A 2 ¼ c ðA 1 þ A 2 Þ ¼ 0 mit der Lsung A 2 ¼ A 1 .

)

A1 þ A2 ¼ 0

ðda c 6¼ 0Þ

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

363

Die gesuchte Lsung lautet somit fr t 0 wie folgt 13) : j 1 ðtÞ ¼ A 1 sin ðw 0 tÞ ¼ j 0 sin ðw 0 tÞ j 2 ðtÞ ¼ A 1 sin ðw 0 tÞ ¼ A 1 sin ðw 0 t þ pÞ ¼ j 0 sin ðw 0 t þ pÞ Die Scheiben schwingen somit mit gleicher Winkelamplitude, d. h. mit dem gleichen maximalen Drehwinkel j 0 , jedoch in Gegenphase (Phasenverschiebung: 180 bzw. p, siehe Bild IX-42). Die Kreisfrequenz dieser pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ Eigenschwingung betrgt w 0 ¼ 2 c=J .

f f0

f1 ( t )

t – f0

f2 ( t ) T = 2p

v0

Bild IX-42

Beispiel 19: Elektronenbahn im homogenen Magnetfeld System linearer Dgln 2. Ordnung Ein Elektron mit der Ruhemasse m 0 und der Elementarladung e bewegt sich in einem homogenen Magnetfeld mit dem Fluss0 1 0 B ~¼ @ 0 C dichtevektor B A. Zu Beginn der Bewegung ðt ¼ 0Þ B0 befindet sich das Elektron im Koordinatenursprung, der Ge0 1 v0 B C schwindigkeitsvektor zu dieser Zeit ist ~ v ð0Þ ¼ @ 0 A mit v 0 > 0 (siehe Bild IX-43). v0 a) Wie lautet die Dgl der Elektronenbewegung?

z

B

v0 Elektron

v(0)

y v0 x

Bild IX-43

b) Bestimmen Sie den Ortsvektor ~ r ¼~ r ðtÞ und den Geschwindigkeitsvektor ~ v ¼~ v ðtÞ der Elektronenbahn. Wie lsst sich das Ergebnis physikalisch deuten? Lsungshinweis: Die Schwerkraft darf infolge der geringen Elektronenmasse vernachlssigt werden. Das Elektron unterliegt somit ausschließlich der Lorentz-Kraft [ A9 ]. Die Dgl der Bewegung erhalten Sie aus dem Newtonschen Grundgesetz in vektorieller Form [ A27 ]. Lehrbuch: Bd. 2, IV.3 13)

Physikalische Grundlagen: A9, A27

Um deutlich zu machen, dass A 1 der maximale Drehwinkel ist, setzen wir A 1 ¼ j 0. Der Wert von j 0 wird durch die Anfangsbedingungen festgelegt (bleibt somit in diesem Beispiel unbestimmt).

364

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Lsung: a) Das Elektron erfhrt im Magnetfeld die Lorentz-Kraft [ A9 ] (unter Bercksichtigung von ~ r_ ): v ¼~ 0 1 0 1 0 x_ B B C ~L ¼ e ð~ ~Þ ¼ e @ y_ A @ 0 C ~Þ ¼ e ð~ F r_ B v B A ¼ z_ B0 0 1 0 0 1 1 0 1 x_ y_ 0 y_ 0 B C B B C C B C ¼ e B 0 @ y_ A @ 0 A ¼ e B 0 @ 0 x_ A ¼ e B 0 @ x_ A z_ 00 0 1

__r ) Aus dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ] folgt dann (mit ~ a ¼~ __r ¼ F~L ) m0 ~ a ¼ m0 ~ 1 0 0 1 y_ __x C B B C m 0 @ __ y A ¼ e B 0 @ x_ A __z

oder

0

1 0 0 1 y_ __x C B B C y A ¼ w @ x_ A @ __ 0 __z

ðmit w ¼ e B 0 =m 0 Þ. In der Komponentenschreibweise lautet dieses System aus drei gekoppelten Dgln 2. Ordnung wie folgt:

__x ¼ w y_ __y ¼ w x_ __z ¼ 0

ðIÞ ðIIÞ ðIIIÞ

b) Wir lsen dieses System linearer Dgln 2. Ordnung fr die vorgegebenen Anfangswerte des Orts- und Geschwindigkeitsvektors. Dgl (III) lsst sich durch 2-malige Integration direkt lsen: ð ð z_ ¼ __ z dt ¼ 0 dt ¼ C 1 z ¼

ð

z_ dt ¼ C 1

ð

1 dt ¼ C 1 t þ C 2

Aus den Anfangswerten z ð0Þ ¼ 0 und z_ ð0Þ ¼ v 0 bestimmen wir die beiden Integrationskonstanten C 1 und C 2 : z ð0Þ ¼ 0

)

C1 0 þ C2 ¼ 0 þ C2 ¼ 0

z_ ð0Þ ¼ v 0

)

C1 ¼ v0

)

C2 ¼ 0

Somit gilt fr die z-Komponente der Elektronenbewegung z ðtÞ ¼ v 0 t Die Ortskoordinaten x und y sind durch die Dgln (I) und (II) miteinander gekoppelt. Wir integrieren zunchst Dgl (II) beiderseits und erhalten: ð ð __y dt ¼ w x_ dt ) y_ ¼ w x þ K 1

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

365

Die Integrationskonstante K 1 lsst sich dabei aus den Anfangswerten x ð0Þ ¼ 0 und y_ ð0Þ ¼ 0 bestimmen: w 0 þ K1 ¼ 0 þ K1 ¼ 0

)

K1 ¼ 0

Somit ist y_ ¼ w x Diesen Ausdruck setzen wir in die Dgl (I) ein und erhalten eine homogene lineare Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten fr die Ortskoordinate x:

__x ¼

w y_ ¼ w ðw xÞ ¼ w 2 x

oder

__x þ w 2 x

¼ 0

Die allgemeine Lsung dieser Schwingungsgleichung ist bekanntlich in der Form x ¼ A sin ðw tÞ þ B cos ðw tÞ darstellbar (Band 2, Abschnitt IV.4.1.2). Die Koeffizienten A und B lassen sich dabei aus den Anfangswerten x ð0Þ ¼ 0 und x_ ð0Þ ¼ v 0 leicht bestimmen: x ð0Þ ¼ 0 ) )

A sin 0 þ B cos 0 ¼ 0 0þB ¼ 0

)

)

A0þB1 ¼ 0

B ¼ 0

x_ ðtÞ ¼ w A cos ðw tÞ w B sin ðw tÞ ¼ w A cos ðw tÞ B sin ðw tÞ x_ ð0Þ ¼ v 0 ) w ðA cos 0 B sin 0Þ ¼ v 0 ) w ðA 0Þ ¼ v 0

)

)

w A ¼ v0

w ðA 1 B 0Þ ¼ v 0 )

A ¼

v0 w

Somit erhalten wir fr die Ortskoordinate x das Zeitgesetz v 0 x ðtÞ ¼ sin ðw tÞ w Den zeitlichen Verlauf der Ortskoordinate y bestimmen wir aus der Beziehung y_ ¼ w x durch Einsetzen des gefundenen Ausdrucks und anschließender Integration: v 0 sin ðw tÞ ¼ v 0 sin ðw tÞ y_ ¼ w x ¼ w w ð ð v cos ðw tÞ 0 y ¼ y_ dt ¼ v 0 sin ðw tÞ dt ¼ v 0 þ K2 ¼ cos ðw tÞ þ K 2 w w (Integral Nr. 204 mit a ¼ w). Die Integrationskonstante K 2 wird aus dem Anfangswert y ð0Þ ¼ 0 berechnet: v v 0 0 cos 0 þ K 2 ¼ 0 ) 1 þ K2 ¼ 0 y ð0Þ ¼ 0 ) w w v0 v0 þ K2 ¼ 0 ) K2 ¼ ) w w

366

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

Fr die y-Koordinate erhalten wir damit die folgende Zeitabhngigkeit: v v0 v0 0 cos ðw tÞ þ y ðtÞ ¼ ¼ ½ 1 cos ðw tÞ w w w Die Elektronenbewegung im homogenen Magnetfeld wird damit durch den zeitabhngigen Ortsvektor 0 1 sin ðw tÞ v v0 B 0 C ~ r ðtÞ ¼ wt t 0 z ðtÞ ¼ v 0 t ¼ @ 1 cos ðw tÞ A , w w wt beschrieben. Durch komponentenweise Differentiation dieser Vektorgleichung nach der Zeit t gewinnen wir den Geschwindigkeitsvektor 0 0 0 1 1 1 w cos ðw tÞ cos ðw tÞ cos ðw tÞ v0 B v0 B B C C C ~ v ðtÞ ¼ ~ r_ ðtÞ ¼ w @ sin ðw tÞ A ¼ v 0 @ sin ðw tÞ A @ w sin ðw tÞ A ¼ w w w 1 1 Physikalische Deutung (1) Projiziert man die durch den Ortsvektor ~ r ðtÞ beschriebene Bahnkurve in die x, y-Ebene, so erhlt man eine Kreisbahn mit dem Radius R ¼ v 0 =w. Um dies zu zeigen, lsen wir die beiden Koordinatengleichungen v 0 sin ðw tÞ ¼ R sin ðw tÞ x ¼ x ðtÞ ¼ w v0 y ¼ y ðtÞ ¼ ½ 1 cos ðw tÞ ¼ R ½ 1 cos ðw tÞ w zunchst nach der jeweiligen trigonometrischen Funktion auf und setzen die Ausdrcke anschließend in den „trigonometrischen Pythagoras“ ein (Formelsammlung, Abschnitt III.7.5): sin ðw tÞ ¼

x , R

y ¼ 1 cos ðw tÞ R

)

sin 2 ðw tÞ þ cos 2 ðw tÞ ¼

x2 ðR yÞ 2 þ ¼ 1 R2 R2

x 2 þ ðR yÞ 2 ¼ R 2

oder

cos ðw tÞ ¼ 1

y Ry ¼ R R

)

x 2 þ ðy RÞ 2 ¼ R 2

Dies aber ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt M ¼ ð0; RÞ und dem Radius R (Bild IX-44). Das Elektron bewegt sich dabei aus der Anfangsposition A ¼ ð0; 0Þ mit der Winkelgeschwindigkeit w gegen den Uhrzeigersinn.

y v R M

Bild IX-44 A

x

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

367

(2) Die Elektronenbewegung in der Feldrichtung (z-Richtung) verluft gleichfrmig mit der konstanten Geschwindigkeit v z ¼ v 0 . (3) Das Elektron bewegt sich somit insgesamt auf einer Schraubenlinie um das Magnetfeld (Rotation um die Feldrichtung und gleichzeitige Translation in Feldrichtung).

Beispiel 20: 2-stufige chemische Reaktion vom Typ X ! Y ! Z System homogener linearer Dgln 1. Ordnung, Matrizeneigenwertproblem, Lineares Gleichungssystem Eine chemische Reaktion verlaufe in zwei Stufen nach dem Schema X ! Y ! Z, d. h. ein Molekl der Sorte X wird zunchst in ein Molekl der Sorte Y und dieses schließlich in ein Molekl der Sorte Z umgewandelt. Bezeichnet man die Moleklkonzentrationen zur Zeit t der Reihe nach mit c X ðtÞ, c Y ðtÞ, c Z ðtÞ, so kennzeichnen ihre Differentialquotienten c_ X ðtÞ, c_ Y ðtÞ und c_ Z ðtÞ die Konzentrationsnderungen der drei Stoffe in der Zeiteinheit. Die 2-stufige chemische Reaktion lsst sich dann durch das folgende System homogener linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschreiben (in Matrizenform): 0 10 1 0 1 k1 c_ X 0 0 cX B CB C B C c k 0 ¼ k @ A @ cY A @ _Y A 1 2 c_ Z cZ 0 k2 0 k 1 > 0 und k 2 > 0 sind dabei stoffabhngige sog. Geschwindigkeitskonstanten ðk 1 6¼ k 2 Þ. a) Interpretieren Sie die drei Differentialgleichungen. Welche Annahmen liegen den Gleichungen zugrunde? b) Bestimmen Sie die Konzentrationen der drei Stoffe (Moleklsorten) in Abhngigkeit von der Zeit fr die Anfangsbedingungen c X ð0Þ ¼ a, c Y ð0Þ ¼ 0, c Z ð0Þ ¼ 0 (Anfangskonzentrationen zur Zeit t ¼ 0; a > 0). c) Wann kommt die chemische Reaktion zum Stillstand, welche Werte besitzen dann die Moleklkonzentrationen? Lehrbuch: Bd. 2, I.7.3 und IV.7.1

Lsung: a) 1. Dgl: c_ X ¼ k 1 c X Die Konzentrationsnderung pro Zeiteinheit der Moleklsorte X ist der augenblicklichen Konzentration dieser Sorte proportional (eine durchaus plausible Annahme, denn je mehr Molekle vorhanden sind, umso grßer ist die Anzahl der umgewandelten Molekle; das Minuszeichen kennzeichnet die Abnahme der Konzentration durch die Umwandlung X ! Y ).

368

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

2. Dgl: c_ Y ¼ k 1 c X k 2 c Y Zwei Prozesse bestimmen die Konzentrationsnderung pro Zeiteinheit der Sorte Y : der Term k 1 c X beschreibt die Umwandlung von X in Y (Zunahme der Konzentration), der Term k 2 c Y die Umwandlung von Y in Z (Abnahme der Konzentration). 3. Dgl: c_ Z ¼ k 2 c Y Die Zunahme der Konzentration pro Zeiteinheit der Moleklsorte Z ist der augenblicklichen Konzentration der Moleklsorte Y proportional. b) Mit den Vektoren bzw. Matrizen 0 1 0 1 c_ X cX B C B C c ¼ @ cY A , c_ ¼ @ c_ Y A , cZ c_ Z

0 B K ¼ @

k1 k1

0 k2

0

k2

0

1

C 0A 0

lsst sich die 2-stufige chemische Reaktion X ! Y ! Z auch in der Kurzform K c ¼ c_ darstellen. Wir lsen diese Matrizengleichung durch den Ansatz 0 1 0 1 0 1 A1 A1 A1 B C lt B C B C lt lt c_ ¼ @ A 2 A l e ¼ l @ A 2 A e ¼ l c c ¼ @ A2 A e , A3

A3

A3 |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} c (A 1 , A 2 , A 3 sind reelle Konstanten). Die Gleichung K c ¼ c_ fhrt dann auf das folgende Eigenwertproblem: K c ¼ c_ ¼ l c ¼ l E c

)

K c l E c ¼ ðK l EÞ c ¼ 0

(E: 3-reihige Einheitsmatrix; c ¼ E c). Da die Komponenten des Lsungsvektors c den gemeinsamen Exponentialfaktor e l t besitzen, knnen wir die Eigenwertgleichung noch durch diesen Faktor dividieren und erhalten schließlich das folgende Eigenwertproblem: 0 1 A1 B C ðK l EÞ a ¼ 0 mit a ¼ @ A2 A A3 Den gesuchten Lsungsvektor c erhalten wie dann durch (komponentenweise) Multiplikation des Eigenvektors a mit dem zugehrigen Exponentialfaktor e l t, d. h. c ¼ a e l t . Berechnung der Eigenwerte der Koeffizientenmatrix K Die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix K werden aus der charakteristischen Gleichung

ð k 1 lÞ 0 0

ð k 2 lÞ 0 ¼ k1 det ðK l EÞ ¼

0 k2 l

¼ ð k 1 lÞ ð k 2 lÞ ð lÞ ¼ 0 berechnet. Sie lauten: l 1 ¼ k 1 , l 2 ¼ k 2 , l 3 ¼ 0. Hinweis: Die Matrix K l E ist eine untere Dreiecksmatrix, die Determinante dieser Matrix daher das Produkt der Diagonalelemente.

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

369

Berechnung der Eigenvektoren der Koeffizientenmatrix K Die Berechnung der zugehrigen Eigenvektoren erfolgt aus dem homogenen linearen Gleichungssystem ðK l EÞ a ¼ 0. Eigenwert l 1 ¼ k 1 0 0 0 B @ k 1 ð k 2 þ k 1 Þ 0

k2

ðK l 1 EÞ a ¼ ðK þ k 1 EÞ a ¼ 0 10 1 0 1 0 1 A1 0 0 0 CB C B C B C 0 A @ A 2 A ¼ @ k 1 A 1 þ ðk 1 k 2 Þ A 2 A ¼ @ 0 A 0 k1 A3 k2 A2 þ k1 A3

Komponentenschreibweise fhrt zu zwei Gleichungen mit drei Unbekannten: k 1 A 1 þ ðk 1 k 2 Þ A 2

¼ 0

k2 A2

þ k1 A3 ¼ 0

Eine der drei Unbekannten ist frei whlbar, wir whlen A 2 und setzen A 2 ¼ 1. Fr die brigen Unbekannten erhalten wir dann die folgenden Werte: k 1 A 1 þ ðk 1 k 2 Þ 1 ¼ 0 k2 1 þ k1 A3 ¼ 0

)

)

k1 A1 þ k1 k2 ¼ 0

k2 þ k1 A3 ¼ 0

)

)

A3 ¼

A1 ¼

k2 k1 k1

k2 k1

Der zum Eigenwert l 1 ¼ k 1 gehrige Eigenvektor lautet somit (unter Bercksichtigung des zugehrigen Exponentialfaktors e k 1 t ): 0 1 0 1 ðk 2 k 1 Þ=k 1 k2 k1 1 B B C k1 t C 1 ¼ c1 ¼ @ Ae @ k 1 A e k1 t k1 k 2 =k 1 k2 Eigenwert l 2 ¼ k 2 0 ð k 1 þ k 2 Þ 0 B 0 k1 @ 0

k2

ðK l 2 EÞ a ¼ ðK þ k 2 EÞ a ¼ 0 10 1 0 1 0 1 ðk 2 k 1 Þ A 1 0 0 A1 CB C B C B C 0 A @ A2 A ¼ @ k1 A1 A ¼ @0A 0 k2 A3 k2 A2 þ k2 A3

In Komponentenschreibweise: ðk 2 k 1 Þ A 1

¼ 0

)

A1 ¼ 0

k1 A1

¼ 0

)

A1 ¼ 0

k2 A2 þ k2 A3 ¼ 0

)

k 2 ðA 2 þ A 3 Þ ¼ 0

)

A3 ¼ A2

Aus den ersten beiden Gleichungen folgt jeweils A 1 ¼ 0, aus der dritten Gleichung A 3 ¼ A 2 . Dabei knnen wir ber A 2 oder A 3 frei verfgen. Wir whlen A 2 und

370

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

setzen A 2 ¼ 1. Somit ist A 3 ¼ A 2 ¼ 1. Der zum Eigenwert l 2 ¼ k 2 gehrige Eigenvektor lautet somit (unter Bercksichtigung des zugehrigen Exponentialfaktors e k 2 t ): 0 1 0 B C c 2 ¼ @ 1 A e k2 t 1 Eigenwert l 3 ¼ 0 0 k1 0 B k k2 @ 1 0 k2

ðK l 3 EÞ a ¼ ðK 0 EÞ a ¼ K a ¼ 0 0 1 0 1 10 1 k1 A1 0 0 A1 B C B C CB C 0 A @ A2 A ¼ @ k1 A1 k2 A2 A ¼ @ 0 A 0 0 A3 k2 A2

In Komponentenschreibweise: k1 A1

¼ 0

)

A1 ¼ 0

)

A2 ¼ 0

k1 A1 k2 A2 ¼ 0 k2 A2 ¼ 0

Aus der 1. Gleichung folgt A 1 ¼ 0, aus der 3. Gleichung A 2 ¼ 0. Die 2. Gleichung ist fr diese Werte erfllt. Die Unbekannte A 3 ist in den drei Gleichungen berhaupt nicht enthalten und daher frei whlbar. Wir setzen daher A 3 ¼ 1 und erhalten den folgenden (zeitunabhngigen) Eigenvektor zum Eigenwert l 3 ¼ 0: 0 1 0 1 0 0 B C 0t B C c3 ¼ @ 0 A e ¼ @ 0 A ðe 0 t ¼ 1 ist der zugeh¨orige ExponentialfaktorÞ 1

1

Berechnung der zeitabhngigen Moleklkonzentrationen Der gesuchte allgemeine Lsungsvektor c ist als Linearkombination der drei Eigenvektoren c 1 , c 2 , c 3 darstellbar (A, B, C sind reelle Konstanten): c ¼ A c1 þ B c2 þ C c3 ¼ 1 1 0 0 1 0 0 0 k2 k1 A B C k2 t C k1 t B B C e e ¼ k þ B 1 þ C A A @ @0A @ 1 k1 k2 1 1 In komponentenweiser Darstellung: c X ðtÞ ¼

A A ðk 2 k 1 Þ ðk 2 k 1 Þ e k 1 t ¼ e k1 t k1 k1

c Y ðtÞ ¼

A k 1 e k1 t þ B 1 e k2 t ¼ A e k1 t þ B e k2 t k1

c Z ðtÞ ¼

A A k 2 k1 t ð k 2 Þ e k 1 t þ B ð 1Þ e k 2 t þ C 1 ¼ e B e k2 t þ C k1 k1

IX Gewhnliche Differentialgleichungen

371

Aus den vorgegebenen Anfangswerten c X ð0Þ ¼ a, c Y ð0Þ ¼ c Z ð0Þ ¼ 0 lassen sich die noch unbekannten Koeffizienten A, B, C wie folgt bestimmen: c X ð0Þ ¼ a

)

A ðk 2 k 1 Þ 1 ¼ a k1

c Y ð0Þ ¼ 0

)

A1þB1 ¼ AþB ¼ 0

c Z ð0Þ ¼ 0

)

)

)

A ¼

a k1 k2 k1

)

B ¼ A ¼

a k1 k2 k1

A k2 A k2 1B1þC ¼ BþC ¼ 0 k1 k1 A k2 a k1 k2 a k1 C ¼ þB ¼ ¼ k1 k 1 ðk 2 k 1 Þ k2 k1 ¼

a k2 a k1 a k2 a k1 a ðk 2 k 1 Þ ¼ ¼ ¼ a k2 k1 k2 k1 k2 k1 k2 k1

Die gesuchte Lsung lautet somit (unter Bercksichtigung von B ¼ A bei der Zwischenrechnung): c X ðtÞ ¼

A ðk 2 k 1 Þ a k 1 ðk 2 k 1 Þ e k1 t ¼ e k1 t ¼ a e k1 t k1 k 1 ðk 2 k 1 Þ

c Y ðtÞ ¼ A e k 1 t þ B e k 2 t ¼ A e k 1 t A e k 2 t ¼ A ðe k 1 t e k 2 t Þ ¼ ¼ c Z ðtÞ ¼ ¼ ¼ ¼

a k1 ðe k 1 t e k 2 t Þ k2 k1 A k2 A k2 e k1 t B e k2 t þ C ¼ e k1 t þ A e k2 t þ a ¼ k1 k1 k2 A e k1 t þ e k2 t þ a ¼ k1 a k1 k 2 e k1 t þ k 1 e k2 t þa ¼ k2 k1 k1 a ðk 1 e k 2 t k 2 e k 1 t Þ þ a k2 k1

c) Die 2-stufige chemische Reaktion kommt zum Stillstand, wenn alle Molekle der Sorte X ber das „ Zwischenprodukt “ Y in die Sorte Z (Endprodukt) umgewandelt worden sind. Dies ist (theoretisch) nach unendlich langer Reaktionszeit der Fall: c X ðt ¼ 1Þ ¼ lim c X ¼ lim a e k 1 t ¼ 0 t!1

t!1

a k1 ðe k 1 t e k 2 t Þ ¼ 0 k2 k1 a k2 t k1 t ¼ lim ðk 1 e k2 e Þþa ¼ a t!1 k2 k1

c Y ðt ¼ 1Þ ¼ lim c Y ¼ lim t!1

c Z ðt ¼ 1Þ ¼ lim c Z t!1

t!1

(alle Exponentialfunktionen sind streng monoton fallend und gehen fr t ! 1 gegen null). Erwartungsgemß sind dann keine Molekle der Sorten X und Y mehr vorhanden ðc X ð1Þ ¼ c Y ð1Þ ¼ 0Þ, sondern nur noch Molekle der Sorte Z ðc Z ð1Þ ¼ aÞ.

X Fehler- und Ausgleichsrechnung Hinweise zur Fehlerrechnung 1) Wir verwenden die in der DIN-NORM 1319 empfohlenen Bezeichnungen, obwohl sich diese in der Praxis nur sehr langsam durchzusetzen scheinen. Um Missverstndnisse zu vermeiden, setzen wir die jeweiligen „alten“ (aber noch weitgehend blichen) Bezeichnungen in Klammern. 2) Bei der Fehlerfortpflanzung nach Gauß wird das Messergebnis einer unabhngigen, d. h. direkt gemessenen Grße x stets in der Form x ¼ x Dx vorgegeben. Dabei ist x der (arithmetische) Mittelwert und Dx die sog. Messunsicherheit, fr die man blicherweise die Standardabweichung des Mittelwertes heranzieht. 3) Bei der „linearen Fehlerfortpflanzung“ unter Verwendung des totalen oder vollstndigen Differentials werden fr die meist unbekannten Messunsicherheiten der unabhngigen Grßen Schtzwerte verwendet (sog. „berschlagsrechnungen“).

Beispiel 1: Widerstandsmoment eines kreisringfrmigen Rohrquerschnittes gegen Torsion (Verdrehung) Maximale Messunsicherheit (Maximalfehler, maximaler oder grßtmglicher Fehler) Das Widerstandsmoment eines Rohres mit einem kreisringfrmigen Querschnitt gegen Verdrehung (Torsion) wird nach der Formel W t ¼ W t ðd; DÞ ¼

p D4 d4 16 D

berechnet, wobei d und D den Innen- bzw. Außendurchmesser des Rohres bedeuten (Bild X-1). Eine Messung dieser Grßen ergab dabei folgende Werte: d ¼ ð60,5 0,4Þ mm ,

D ¼ ð75,2 0,5Þ mm

Bestimmen Sie das Widerstandsmoment des Rohres. Wie groß ist die absolute bzw. prozentuale maximale Messunsicherheit (d. h. der absolute bzw. prozentuale Maximalfehler)?

d D

Bild X-1 Lehrbuch: Bd. 2, III.2.5.5 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24882-6_10

X Fehler- und Ausgleichsrechnung

373

Lsung: Fr das Widerstandsmoment erhalten wir den (arithmetischen) Mittelwert 4

W t ¼ W t ð d; D Þ ¼

4

p D d p ð75,2 mmÞ4 ð60,5 mmÞ4 ¼ ¼ 75,2 mm 16 16 D

¼ 4,852 10 4 mm 3 Die Berechnung der absoluten maximalen Messunsicherheit (d. h. des absoluten Maximalfehlers) erfolgt definitionsgemß nach der Formel @W t @W t Dd þ DD DW t, max ¼ @d @D Die dabei bentigten partiellen Ableitungen bestimmen wir mit Hilfe der Potenz- bzw. Quotientenregel. Sie lauten: @W t @ p D4 d 4 p 4d3 p d3 ¼ ¼ ¼ @d D D @d 16 16 4 D @W t @ p D4 d 4 p 4 D 3 D 1 ðD 4 d 4 Þ ¼ ¼ ¼ @D D @D 16 16 D2 ¼

p 4 D4 D4 þ d 4 p 3 D4 þ d4 ¼ D2 D2 16 16

Somit ist DW t, max

p 3 D4 þ d4 p d3 @W t @W t ¼ DD Dd þ Dd þ DD ¼ ¼ 2 16 4 D @d @D D ¼

p ð60,5 mmÞ 3 p 3 ð75,2 mmÞ 4 þ ð60,5 mmÞ 4 0,5 mm ¼ 0,4 mm þ 4 16 75,2 mm ð75,2 mmÞ 2

¼ 2,82 10 3 mm 3 Damit erhalten wir fr das Widerstandsmoment das folgende (indirekte) Messergebnis: W t ¼ W t DW t, max ¼ 4,852 10 4 mm 3 2,82 10 3 mm 3 ¼ ¼ 48,52 10 3 mm 3 2,82 10 3 mm 3 ¼ ð48,52 2,82Þ 10 3 mm 3 Die prozentuale maximale Messunsicherheit (d. h. der prozentuale Maximalfehler) betrgt 3 3 DW t, max 100 % ¼ 2,82 10 mm 100 % 5,8 % W 48,52 10 3 mm 3 t

374

X Fehler- und Ausgleichsrechnung

Beispiel 2: Kombinierte Parallel-Reihenschaltung elastischer Federn Maximale Messunsicherheit (Maximalfehler, maximaler oder grßtmglicher Fehler) Bild X-2 zeigt eine kombinierte Parallel-Reihenschaltung dreier elastischer Federn, deren Federkonstanten nach Angabe des Herstellers der Reihe nach die Werte c 1 ¼ 500 N=cm , c 2 ¼ 300 N=cm und

c 3 ¼ 200 N=cm

c1

haben bei einer Toleranz (Genauigkeit) von jeweils 1 %. Berechnen Sie die Federkonstante c der Ersatzfeder [ A26 ] und die absolute bzw. prozentuale maximale Messunsicherheit (d. h. den absoluten bzw. prozentualen Maximalfehler) dieser Grße.

c2

c3

Bild X-2 Lehrbuch: Bd. 2, III.2.5.5

Physikalische Grundlagen: A26

Lsung: Bei einer Parallelschaltung addieren sich die Federkonstanten [ A26 ]. Wir drfen daher die Federn c 1 und c 2 durch eine Feder mit der Federkonstanten c 1 2 ¼ c 1 þ c 2 ersetzen. Diese wiederum ist mit c 3 in Reihe geschaltet. Daher addieren sich diesmal die Kehrwerte der einzelnen Federkonstanten zum Kehrwert der Federkonstanten c der Ersatzfeder [ A26 ]: 1 1 1 1 1 c1 þ c2 þ c3 þ ¼ þ ¼ ¼ c c12 c3 c1 þ c2 c3 ðc 1 þ c 2 Þ c 3 c ¼ c ðc 1 ; c 2 ; c 3 Þ ¼

)

ðc 1 þ c 2 Þ c 3 c1 þ c2 þ c3

Die Ersatzfeder besitzt somit die Federkonstante N N N 500 þ 300 200 cm cm cm ðc 1 þ c 2 Þ c 3 N ¼ 160 c ¼ c ðc 1 ; c 2 ; c 3 Þ ¼ ¼ cm c1 þ c2 þ c3 N N N 500 þ 300 þ 200 cm cm cm Die absolute maximale Messunsicherheit (d. h. der absolute Maximalfehler) wird nach der Formel @c @c @c Dc max ¼ Dc 1 þ Dc 2 þ Dc 3 @c 1 @c 2 @c 3 berechnet. Wir bilden zunchst mit Hilfe der Quotientenregel die bentigten partiellen Ableitungen 1. Ordnung:

X Fehler- und Ausgleichsrechnung @c @ ¼ @c 1 @c 1 ¼

ðc 1 þ c 2 Þ c 3 c1 þ c2 þ c3

375

¼

1 c 3 ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ 1 ðc 1 þ c 2 Þ c 3 ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ 2

c 1 c 3 þ c 2 c 3 þ c 23 c 1 c 3 c 2 c 3 ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ 2

¼

¼

c 23 ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ 2

@c c 23 ¼ ðaus Symmetriegr¨unden!Þ @c 2 ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ 2 @c @ ðc 1 þ c 2 Þ c 3 ðc 1 þ c 2 Þ 1 ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ 1 ðc 1 þ c 2 Þ c 3 ¼ ¼ ¼ @c 3 @c 3 c 1 þ c 2 þ c 3 ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ 2 ¼

¼

ðc 1 þ c 2 Þ ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ ðc 1 þ c 2 Þ c 3 ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ 2 ðc 1 þ c 2 Þ ðc 1 þ c 2 þ c 3 c 3 Þ ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ 2

¼

¼

ðc 1 þ c 2 Þ ðc 1 þ c 2 Þ ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ 2

¼

ðc 1 þ c 2 Þ 2 ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ 2

Mit Dc 1 ¼ 5 N=cm, Dc 2 ¼ 3 N=cm und Dc 3 ¼ 2 N=cm erhalten wir fr die absolute maximale Messunsicherheit (d. h. den absoluten Maximalfehler) den folgenden Wert: @c @c @c Dc 1 þ Dc 2 þ Dc 3 ¼ Dc max ¼ @c 1 @c 2 @c 3 ðc þ c Þ 2 c 23 c 23 1 2 ¼ Dc Dc Dc þ þ ¼ 1 2 3 ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ 2 ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ 2 ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ 2 ¼

c 23 Dc 1 þ c 23 Dc 2 þ ðc 1 þ c 2 Þ 2 Dc 3 2

¼

c 23 ðDc 1 þ Dc 2 Þ þ ðc 1 þ c 2 Þ 2 Dc 3

ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ ðc 1 þ c 2 þ c 3 Þ 2 N 2 N N N N 2 N 200 5 2 þ3 þ 500 þ 300 cm cm cm cm cm cm N ¼ 1,6 ¼ 2 cm N N N þ 300 þ 200 500 cm cm cm

¼

Die prozentuale maximale Messunsicherheit (d. h. der prozentuale Maximalfehler) ist dann N 1,6 Dc max cm 100 % ¼ 1 % c 100 % ¼ N 160 cm N Messergebnis: c ¼ c Dc max ¼ ð160 1,6Þ cm

376

X Fehler- und Ausgleichsrechnung

Beispiel 3: Selbstinduktivitt einer elektrischen Doppelleitung Fehlerfortpflanzung nach Gauß Eine elektrische Doppelleitung besteht aus zwei paLeiter rallelen Leitern (Drhten) mit der Lnge l und dem r Leiterradius r. Der Mittelpunktabstand der beiden Leiter betrgt a (Bild X-3). Die Selbstinduktivitt L dieser Doppelleitung in Luft wird dabei nach der Formel Bild X-3 m a r 1 L ¼ L ðl; r; aÞ ¼ 0 l ln þ p r 4 Vs berechnet magnetische Feldkonstante: m 0 ¼ 4 p 10 7 . Am

Leiter r a

a) Welche Selbstinduktivitt L besitzt eine Doppelleitung, deren Dimensionen wie folgt gemessen wurden? l ¼ ð2000 10Þ m ;

r ¼ ð2 0,05Þ mm ;

a ¼ ð30 0,3Þ cm

b) Wie groß ist die absolute bzw. prozentuale Messunsicherheit des Mittelwertes von L (d. h. der absolute bzw. prozentuale mittlere Fehler des Mittelwertes von L)? Lehrbuch: Bd. 3, IV.4

Lsung:

m0 ar 1 a) L ¼ L ðl; r; aÞ ¼ l ln þ ¼ p r 4 Vs 4 p 10 7 300 mm 2 mm 1 Vs Am ¼ þ ¼ 0,004 203 ¼ 2000 m ln 2 mm 4 A p Vs ¼ 0,004 203 H ¼ 4,203 mH 1 ¼ 1H A b) Definitionsgemß gilt fr die absolute Messunsicherheit des Mittelwertes (d. h. den absoluten mittleren Fehler des Mittelwertes) nach Gauß: sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 2 2ﬃ @L @L @L Dl þ Dr þ Da DL ¼ @l @r @a Wir bilden die bentigten partiellen Ableitungen unter Verwendung der Kettenregel: @L @ m0 a r 1 m a r 1 @ ¼ þ ¼ 0 ln þ ðlÞ ¼ l ln @l @l p r 4 r 4 @l p

X Fehler- und Ausgleichsrechnung ¼

377

m0 a r 1 m a r 1 þ 1 ¼ 0 ln þ ln r 4 r 4 p p

@L @ ¼ @r @r

m0 a r 1 m @ 1 þ l ln ¼ 0 l ln ða rÞ ln r þ ¼ p p r 4 @r 4

m0 1 1 m0 1 1 ¼ l l ð 1Þ þ0 ¼ þ ¼ p p ar r ar r m0 r þar m a m al l ¼ 0 l ¼ 0 ¼ p p p ða rÞ r ða rÞ r ða rÞ r @L @ ¼ @a @a ¼

m0 l p

m0 a r 1 m @ 1 þ ¼ 0 l ln ða rÞ ln r þ ¼ l ln r 4 @a 4 p p

1 m l 10þ0 ¼ 0 ar p ar

Durch Einsetzen der Mittelwerte l ¼ 2000 m ¼ 2 10 6 mm, r ¼ 2 mm und a ¼ 30 cm ¼ ¼ 300 mm folgt daraus weiter @L m ðl; r; aÞ ¼ 0 p @l

ln

ar 1 þ ¼ r 4

4 p 10 7 ¼

p

Vs 300 mm 2 mm 1 Vs Am þ ¼ 2,1016 10 6 ln 2 mm 4 Am

@L m al ðl; r; aÞ ¼ 0 ¼ @r p ða rÞ r ¼ 0,4027

4 p 10 7

Vs Am

p

300 mm 2 10 6 mm ¼ ð300 mm 2 mmÞ 2 mm

Vs Am

@L m l ðl; r; aÞ ¼ 0 ¼ @a p ar

4 p 10 7 p

Vs Am

2 10 6 mm Vs ¼ 2,6846 10 3 300 mm 2 mm Am

Damit erhalten wir fr die absolute Messunsicherheit (d. h. den mittleren Fehler) des Mittelwertes der Selbstinduktivitt L (mit Dl ¼ 10 m, Dr ¼ 0,05 mm ¼ 5 10 5 m und Da ¼ 0,3 cm ¼ 3 10 3 m): s ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 2 2ﬃ @L @L @L ¼ DL ¼ Dl þ Dr þ Da @l @r @a

378

X Fehler- und Ausgleichsrechnung

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Vs ð2,1016 10 6 10Þ 2 þ ð 0,4027 5 10 5 Þ 2 þ ð2,6846 10 3 3 10 3 Þ 2 ¼ A qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Vs ¼ ð2,1016 10 5 Þ 2 þ ð 2,0135 10 5 Þ 2 þ ð0,80538 10 5 Þ 2 ¼ A qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Vs Vs ¼ 3,0199 10 5 ¼ ¼ ½ 2,1016 2 þ ð 2,0135Þ 2 þ 0,80538 2 ð10 5 Þ 2 A A

¼

¼ 3,0199 10 5 H 0,030 mH Dies entspricht einer prozentualen Messunsicherheit (d. h. einem prozentualen mittleren Fehler) von DL 0,030 mH L 100 % ¼ 4,203 mH 100 % 0,71 % Messergebnis: L ¼ L DL ¼ ð4,203 0,030Þ mH

Beispiel 4: Wirkleistung eines Wechselstroms Maximale Messunsicherheit (Maximalfehler, maximaler oder grßtmglicher Fehler) Die Wirkleistung eines sinusfrmigen Wechselstroms lsst sich nach der Formel P ¼ U I cos j berechnen. Dabei sind U und I die Effektivwerte von Wechselspannung und Wechselstrom und j der Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung a) Berechnen Sie zunchst den sog. Leistungsfaktor l ¼ cos j und dessen absolute Messunsicherheit (d. h. dessen absoluten Maximalfehler) Dl max fr einen Wechselstromkreis, bei dem die Grßen U, I und P wie folgt gemessen wurden: U ¼ ð200 2Þ V ;

I ¼ ð5 0,1Þ A ;

P ¼ ð800 20Þ W

b) Bestimmen Sie aus der Lsung a) den zugehrigen Phasenwinkel j und dessen absolute Messunsicherheit (d. h. dessen absoluten Maximalfehler) Dj max . Lehrbuch: Bd. 2, III.2.5.5

Lsung: a) Aus P ¼ U I cos j ¼ U I l folgt l ¼ l ðU; I; PÞ ¼ l ¼ l ðU; I; PÞ ¼

P 800 W ¼ ¼ 0,8 200 V 5 A UI

P und somit UI

X Fehler- und Ausgleichsrechnung

379

Fr die Berechnung der absoluten maximalen Messunsicherheit (d. h. des absoluten Maximalfehlers) Dl max bentigen wir noch die folgenden partiellen Ableitungen 1. Ordnung: @l @ P P @ P P ¼ ¼ ðU 1 Þ ¼ ð 1Þ U 2 ¼ 2 @U @U U I I @U I U I @l @ P P ðaus Symmetriegr¨undenÞ ¼ ¼ @I @I U I U I2 @l @ P 1 @ 1 1 ¼ ¼ ðPÞ ¼ 1¼ @P @P U I U I @P UI UI Definitionsgemß gilt dann @l @l @l Dl max ¼ DU þ DI þ DP ¼ @U @I @P 1 P P ¼ 2 DU þ DI þ DP 2 UI U I UI Damit ergibt sich eine absolute maximale Messunsicherheit (d. h. ein absoluter Maximalfehler) von Dl max ¼

800 W 2 V 2

ð200 VÞ 5 A

þ

800 W 0,1 A 200 V ð5 AÞ

2

þ

20 W ¼ 0,044 200 V 5 A

Messergebnis: l ¼ l D l max ¼ 0,8 0,044 b) Wir lsen die Gleichung l ¼ cos j nach j auf und erhalten j ¼ arccos l. Zum Leistungsfaktor l ¼ 0,8 gehrt somit der Phasenwinkel j ¼ arccos 0,8 ¼ 0,6435 (im Bogenmaß). Zwischen den absoluten maximalen Messunsicherheiten (d. h. den absoluten Maximalfehlern) von j und l besteht dabei der folgende Zusammenhang 1) : @j dj Dj max ¼ D l max ¼ D l max @l dl Mit der Ableitung dj d 1 ¼ ðarccos lÞ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ dl dl 1 l2 folgt daraus Dj max

1 Dl max 0,044 ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Dl max ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 0,0733 2 2 1 0,8 2 1l 1l

Messergebnis: j ¼ j Dj max ¼ 0,6435 0,0733 1)

oder

j ¼ 36,9 4,2

j hngt nur von l ab, ist also eine Funktion von einer Variablen: j ¼ j ðlÞ. Das totale Differential, das der Berechnung der absoluten Messunsicherheit (d. h. des absoluten Maximalfehlers) zugrunde liegt, reduziert sich somit auf einen Summand. Ferner besteht kein Unterschied zwischen der partiellen und der gewhnlichen Ableitung.

380

X Fehler- und Ausgleichsrechnung

Beispiel 5: Widerstandsmessung mit der Wheatstoneschen Brcke Mittelwert und Standardabweichung des Mittelwertes (mittlerer Fehler des Mittelwertes), Fehlerfortpflanzung nach Gauß Mit der in Bild X-4 dargestellten Wheatstoneschen Brcke lsst sich ein unbekannter elektrischer Widerstand R x bequem bestimmen. Bei vorgegebenem Widerstand R wird der Schleifkontakt S solange auf dem homogenen Schleifdraht der Lnge l verschoben, bis die Brcke A–S stromlos ist: I A ¼ 0 2). Der Schleifkontakt S teilt dabei den Schleifdraht im Verhltnis x : ðl xÞ. Der Widerstand R x lsst sich dann aus der Proportion R x : R ¼ x : ðl xÞ berechnen:

Rx

R

A A IA = 0

Schleifdraht

S x

l–x

u

x Rx ¼ R lx

Bild X-4

In einem speziellen Versuch erhielt man bei einer Schleifdrahtlnge von l ¼ 100 cm und einem festen Widerstand von R ¼ 600 W die folgende aus zehn Einzelmessungen gleicher Genauigkeit bestehende Messreihe fr die Positionsgrße x des Schleifkontaktes: i

1

2

3

4

5

6

7

8

xi cm

40,0

40,2

39,8

39,7

40,3

40,1

39,8

39,9

9

10

40,4 39,8

a) Berechnen Sie zunchst den Mittelwert x und die Standardabweichung des Mittelwertes (d. h. den mittleren Fehler des Mittelwertes), die als Maß fr die Messunsicherheit dienen soll. b) Welcher Messwert (Mittelwert) ergibt sich daraus fr den unbekannten Widerstand R x und mit welcher Messunsicherheit (d. h. welchem mittleren Fehler) DR x ist diese Grße versehen? Lehrbuch: Bd. 3, IV.3 und IV.4

Lsung: a) Zunchst berechnen wir den Mittelwert x, dann die Abweichungen x i x vom Mittelwert x und schließlich deren Quadrate. 2)

Das in die Brcke A–S geschaltete Amperemeter A dient lediglich als Nullindikator.

X Fehler- und Ausgleichsrechnung

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P

381

xi cm

xi x cm

ðx i xÞ 2 cm 2

40,0 40,2 39,8 39,7 40,3 40,1 39,8 39,9 40,4 39.8

0,0 0,2 0.2 0.3 0,3 0,1 0,2 0,1 0,4 0,2

0,00 0,04 0,04 0,09 0,09 0.01 0,04 0,01 0,16 0,04

400

0

0,52

Arithmetischer Mittelwert: n P

x ¼

10 P

xi

i¼1

n

¼

xi

i¼1

10

¼

400 cm ¼ 40 cm 10

Standardabweichung des Mittelwertes (d. h. mittlerer Fehler des Mittelwertes): vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ uP uP u 10 u n 2 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ðx i xÞ ðx xÞ 2 u u ti ¼ 1 i ti ¼ 1 0,52 cm 2 Dx ¼ s x ¼ ¼ ¼ ¼ n ðn 1Þ 10 ð10 1Þ 90 ¼ 0,076 cm 0,08 cm b) Der Widerstand R x ist als eine Funktion der Lnge x aufzufassen: R x ¼ R x ðxÞ. Sein Messwert (Mittelwert) betrgt damit R x ¼ R x ðxÞ ¼ R

x 40 cm ¼ 600 W ¼ 400 W lx 100 cm 40 cm

Die Messunsicherheit des Mittelwertes (d. h. der mittlere Fehler des Mittelwertes) wird dann nach der Formel dR x Dx DR x ¼ dx berechnet. Mit der nach der Quotientenregel gebildeten Ableitung dR x d x d x 1 ðl xÞ ð 1Þ x ¼ R ¼ R ¼ R ¼ dx lx dx l x dx ðl xÞ 2 ¼ R

lxþx ðl xÞ

2

¼ R

l ðl xÞ

2

¼

Rl ðl xÞ 2

erhalten wir schließlich Rl 600 W 100 cm Dx 0,08 cm 1,3 W DR x ¼ ¼ 2 ðl xÞ ð100 cm 40 cmÞ 2 Messergebnis: R x ¼ R x DR x ¼ ð400 1,3Þ W

382

X Fehler- und Ausgleichsrechnung

Beispiel 6: Massentrgheitsmoment eines dnnen Stabes Auswertung von Messreihen, Fehlerfortpflanzung nach Gauß Das Massentrgheitsmoment J eines dnnen homogenen Zylinderstabes bezglich einer durch den Schwerpunkt S gehenden und senkrecht zur Stabachse verlaufenden Bezugsachse wird nach der Formel J ¼ J ðm; lÞ ¼

1 m l2 12

berechnet (Bild X-5). m: Masse des Stabes l: Lnge des Stabes

Bezugsachse Stab S l

Bild X-5 In einem Experiment wurden dabei fr die Masse m und die Lnge l des Stabes die folgenden Messwerte ermittelt (jeweils zehn Einzelmessungen gleicher Genauigkeit): i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

mi g

119,5

119,2

121,0

119,7

120,3

120,4

119,8

120,4

119,2 120,5

li cm

20,2

19,9

19,7

19,7

20,0

19,6

20,2

20,5

19,8

20,4

a) Werten Sie die beiden Messreihen in der blichen Weise aus (Angabe des jeweiligen Mittelwertes und der zugehrigen Standardabweichung des Mittelwertes, d. h. des mittleren Fehlers des Mittelwertes). b) Welcher Mittelwert ergibt sich daraus fr das Massentrgheitsmoment J, wie groß ist die Messunsicherheit (d. h. der mittlere Fehler) dieser Grße? Lehrbuch: Bd. 3, IV.3 und IV.4

Lsung: a) Auswertung der beiden Messreihen: Zunchst werden die Mittelwerte m und l berechnet, dann die Abweichungen der einzelnen Messwerte vom jeweiligen Mittelwert und schließlich deren Abweichungsquadrate.

X Fehler- und Ausgleichsrechnung mi g

mi m g

ðm i mÞ 2 g2

li cm

li l cm

ðl i lÞ 2 cm 2

119,5 119,2 121,0 119,7 120,3 120,4 119,8 120,4 119,2 120,5

0,5 0,8 1,0 0,3 0,3 0,4 0,2 0,4 0,8 0,5

0,25 0,64 1,00 0,09 0,09 0,16 0,04 0,16 0,64 0,25

20,2 19,9 19,7 19,7 20,0 19,6 20,2 20,5 19,8 20,4

0,2 0,1 0.3 0.3 0,0 0,4 0,2 0,5 0,2 0,4

0,04 0,01 0,09 0,09 0,00 0,16 0,04 0,25 0,04 0,16

1200,0

0,0

3,32

200,0

0,0

0,88

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P

383

Mittelwerte von Masse m und Lnge l: n P

m ¼

i¼1

l ¼

i¼1

n

10

10 P

li ¼

mi

i¼1

¼

n n P

10 P

mi

li

i¼1

10

¼

¼

1200 g ¼ 120 g , 10

200 cm ¼ 20 cm 10

Messunsicherheiten der beiden Mittelwerte (Standardabweichungen oder mittlere Fehler der Mittelwerte): vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ uP uP u 10 u n 2 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ðm mÞ ðm mÞ 2 u u i t i¼1 i t i¼1 3,32 g 2 ¼ 0,192 g 0,2 g ¼ ¼ Dm ¼ n ðn 1Þ 10 ð10 1Þ 90 vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ uP uP u 10 u n 2 rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ðl i lÞ ðl l Þ 2 u u ti ¼ 1 i t i¼1 0,88 cm 2 Dl ¼ ¼ 0,099 cm 0,1 cm ¼ ¼ n ðn 1Þ 10 ð10 1Þ 90 Messergebnisse: m ¼ m Dm ¼ ð120 0,2Þ g ,

l ¼ l Dl ¼ ð20 0,1Þ cm

b) Fr den Mittelwert J des Massentrgheitsmomentes erhalten wir den Wert J ¼ J ðm; l Þ ¼

1 1 2 ml ¼ 120 g ð20 cmÞ 2 ¼ 4000 g cm 2 12 12

Fr die Berechnung der Messunsicherheit (d. h. des mittleren Fehlers) DJ bentigen wir noch die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Funktion J ðm; lÞ. Sie lauten:

384

X Fehler- und Ausgleichsrechnung

@J @ ¼ @m @m

1 m l2 12

¼

@J @ 1 1 ¼ m l2 ¼ ml @l @l 12 6

1 2 l , 12

Damit erhalten wir nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz die folgende Messunsicherheit (d. h. den folgenden mittleren Fehler) fr das Massentrgheitsmoment J: sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 2 2 2 @J @J 1 2 1 ¼ ¼ l Dm þ m l Dl Dm þ Dl DJ ¼ @m @l 12 6 sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 2 1 1 2 ¼ ¼ ð20 cmÞ 0,2 g þ 120 g 20 cm 0,1 cm 12 6 ¼ 40,55 g cm 2 41 g cm 2 Das „Messergebnis“ fr das Massentrgheitsmoment lautet damit J ¼ J DJ ¼ ð4000 41Þ g cm 2 Die prozentuale Messunsicherheit (d. h. der prozentuale mittlere Fehler) betrgt rund 1 %.

Beispiel 7: Widerstandskennlinie eines Thermistors (Heißleiters) Ausgleichskurve (Exponentialfunktion) Ein Thermistor oder Heißleiter ist ein Halbleiter, dessen elektrischer Widerstand R mit zunehmender absoluter Temperatur T nach der Gleichung B

R ðTÞ ¼ A e T ,

T > 0

stark abnimmt (gute Leitfhigkeit im „heißen“ Zustand, schlechte Leitfhigkeit im „kalten“ Zustand). Bestimmen Sie mit den Methoden der Ausgleichsrechnung die Parameter A und B fr einen Heißleiter, bei dem die folgenden Messwerte gefunden wurden (J: Temperatur des Heißleiters in C): J C

R W

20

40

60

80

100

510

290

178

120

80

Zeichnen Sie die Ausgleichskurve mitsamt den vorgegebenen Messwerten (Messpunkten). Lsungshinweise: (1) Beachten Sie, dass die Temperaturwerte zunchst aus der Einheit C in die Einheit Kelvin (K) umzurechnen sind. Die Umrechnungsformel lautet T ¼ J

K C

þ 273,15 K

X Fehler- und Ausgleichsrechnung

385

(2) Fhren Sie das Problem auf den aus Band 3, Abschnitt IV.5.3 bekannten Fall der Ausgleichsgeraden zurck, indem Sie die Gleichung zunchst beidseitig logarithmieren und anschließend durch Einfhrung von geeigneten Hilfsvariablen auf die Geradenform y ¼ a x þ b bringen. Lehrbuch: Bd. 3, IV.5

Lsung: Die logarithmierte Gleichung B B B B ln R ¼ ln A e T ¼ ln A þ ln e T ¼ ln A þ ln e ¼ ln A þ 1 ¼ T T B 1 ¼ ln A þ ¼ B þ ln A T T 1 erhlt mit y ¼ ln R, x ¼ , a ¼ B und b ¼ ln A die gewnschte Form y ¼ a x þ b. T Die Umrechnung der Variablen J bzw. T und R in die Hilfsvariablen x und y erfolgt nach dem folgenden Schema (ohne Einheiten): J ! T ¼ J þ 273,15 ! x ¼ 1=T R ! y ¼ ln R Die Berechnung der Koeffizienten a und b erfolgt dabei mit Hilfe des folgenden Rechenschemas (Formeln fr a und b: siehe Band 3, Abschnitt IV.5.3): i

Ti

xi 10 3

yi

x 2i 10 6

xi yi 10 3

1

293,15

3,4112

6,2344

11,6363

21,2668

2

313,15

3,1934

5,6699

10,1978

18,1063

3

333,15

3,0017

5,1818

9,0102

15,5542

4

353,15

2,8317

4,7875

8,0185

13,5568

5 P

373,15

2,6799

4,3820

7,1819

11,7433

15,1179

26,2556

46,0447

80,2274

In den nachfolgenden Summen wird jeweils von i ¼ 1 bis i ¼ 5 summiert. Wir berechnen zunchst den Nenner D in den Formeln der beiden Koeffizienten: P P D ¼ n x 2i ð x i Þ 2 ¼ 5 46,0447 10 6 ð15,1179 10 3 Þ 2 ¼ 1,6726 10 6 a ¼ ¼

n

P

P P x i y i ð x iÞ ð y iÞ ¼ D

5 80,2274 10 3 15,1179 10 3 26,2556 ¼ 2515,52 1,6726 10 6

386

X Fehler- und Ausgleichsrechnung

b ¼ ¼

P P P P ð x 2i Þ ð y i Þ ð x i Þ ð x i y i Þ ¼ D 46,0447 10 6 26,2556 15,1179 10 3 80,2274 10 3 ¼ 2,3548 1,6726 10 6

Fr die Parameter A und B ergeben sich somit folgende Werte: ln A ¼ b

)

A ¼ e b ¼ e 2,3548 ¼ 0,0949 ðin WÞ

B ¼ a ¼ 2515,52 ðin KÞ Die Widerstandskennlinie des Heißleiters wird damit durch die Gleichung R ðTÞ ¼ 0,0949 W e

2515,52 K T

R V 700 600

oder R ðJÞ ¼ 0,0949 W e

2515,52 C J þ 273,15 C

beschrieben.

500 400 300

Bild X-6 zeigt den Verlauf dieser Kennlinie im Temperaturbereich 10 C J 110 C. Die vorgegebenen Messwerte sind als Punkte eingezeichnet.

200 100 20

40

60

80 100

u °C

Bild X-6

Beispiel 8: Kennlinie eines nichtlinearen Widerstandes (Glhlampe) Ausgleichskurve (kubische Funktion) Eine Glhlampe stellt einen nichtlinearen Widerstand dar, d. h. ihr Widerstand ist keine Konstante, sondern noch vom durchflossenen Strom abhngig. Die Spannung-Strom-Kennlinie U ¼ f ðIÞ einer Glhlampe verluft somit nicht geradlinig, lsst sich aber in guter Nherung durch eine kubische Funktion vom Typ U ¼ f ðIÞ ¼ a I 3 þ b I beschreiben, wobei die noch unbekannten Koeffizienten a und b aus n vorliegenden Messpunkten ðI k ; U k Þ ðk ¼ 1, 2, . . . , nÞ mit Hilfe der Ausgleichsrechnung bestimmt werden knnen 3). 3)

Die Kennlinie ist punktsymmetrisch, da eine Umkehrung der Stromrichtung lediglich eine Richtungsumkehr der abfallenden Spannung bewirkt.

X Fehler- und Ausgleichsrechnung

387

a) Bestimmen Sie zunchst nach dem Gaußschen Prinzip der kleinsten Quadratsumme diejenige kubische Ausgleichskurve, die sich diesen Messwerten „optimal“ anpasst. Gehen Sie dabei analog vor wie im Lehrbuch bei der Herleitung der Ausgleichsgeraden (siehe Band 3, Abschnitt IV.5.3). b) Fr eine spezielle Glhlampe wurde die folgende Messreihe ermittelt (fnf Einzelmessungen): k

1

2

3

4

5

Ik A

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Uk V

51

101

174

288

446

Berechnen Sie die Koeffizienten a und b der kubischen Ausgleichskurve und zeichnen Sie diese. Lehrbuch: Bd. 3, IV.5

Lsung: a) Der Abstand eines Messpunktes P k ¼ ðI k ; U k Þ von der Ausgleichskurve U ¼ f ðIÞ ¼ a I 3 þ b I betrgt nach Bild X-7 v k ¼ U k f ðI k Þ ¼ U k ða I k3 þ b I k Þ ¼ U k a I k3 b I k

ðk ¼ 1, 2, . . . , nÞ

ðv k > 0, falls P k oberhalb der Kennlinie liegt, sonst v k 0Þ Wir quadrieren und addieren und erhalten die Summe der Abstandsquadrate, die noch von den beiden Parametern a und b abhngt: S ða; bÞ ¼

n X k¼1

v 2k ¼

n X

ðU k a I k3 b I k Þ 2

k¼1

Diese werden nach Gauß nun so bestimmt, dass die Funktion S ða; bÞ ein Minimum annimmt. Daher mssen die beiden partiellen Ableitungen 1. Ordnung verschwinden. Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir die folgenden sog. Normalgleichungen: n X @S ðU k a I k3 b I k Þ ð I k3 Þ ¼ 0 ¼ 2 @a k¼1

U

U = f(I) Uk

Pk vk = Uk – f ( Ik )

f ( Ik )

n X @S ðU k a I k3 b I k Þ ð I k Þ ¼ 0 ¼ 2 @b k¼1

Ik

Bild X-7

I

388

X Fehler- und Ausgleichsrechnung

Sie fhren zu dem inhomogenen linearen Gleichungssystem P P P ð I k6 Þ a þ ð I k4 Þ b ¼ U k I k3 P P P ð I k4 Þ a þ ð I k2 Þ b ¼ Uk Ik das wir nach der Cramerschen Regel lsen (summiert wird jeweils von k ¼ 1 bis k ¼ nÞ. Die dabei bentigten Determinanten lauten: Koeffizientendeterminante P P 4 Ik I k6 D ¼ P P I k4 I k2

D: P P P 2 ¼ ð I k6 Þ ð I k2 Þ ð I k4 Þ

Hilfsdeterminante D 1 : P P 4 U k I k3 Ik P P 2 P P 4 3 D1 ¼ P P 2 ¼ ð U k I k Þ ð I k Þ ð U k I k Þ ð I k Þ Uk Ik Ik Hilfsdeterminante D 2 : P P U k I k3 I k6 D2 ¼ P P I4 Uk Ik k

P P P P ¼ ð I k6 Þ ð U k I k Þ ð I k4 Þ ð U k I k3 Þ

Das lineare Gleichungssystem besitzt dann die folgende Lsung: a ¼

D1 , D

b ¼

D2 D

ðD 6¼ 0Þ

b) Aus der vorliegenden Messreihe ermitteln wir die bentigten Potenzen und Potenzprodukte der Messgrßen I und U und stellen diese Werte in einer Tabelle zusammen: k

Ik A

Uk V

I k2 A2

I k4 A4

I k6 A6

Uk Ik VA

U k I k3 VA 3

1

0,2

51

0,04

0,0016

0,000 064

10,2

0,408

2

0,3

101

0,09

0,0081

0,000 729

30,3

2,727

3

0,4

174

0,16

0,0256

0,004 096

69,6

11,136

4

0,5

288

0,25

0,0625

0,015 625

144,0

36,000

5 P

0,6

446

0,36

0,1296

0,046 656

267,6

96,336

0,90

0,2274

0,067 170

521,7

146,607

X Fehler- und Ausgleichsrechnung

389

Fr die Determinanten ergeben sich damit die folgenden Werte: P P P D ¼ ð I k6 Þ ð I k2 Þ ð I k4 Þ 2 ¼ ¼ ð0,067 170 A 6 Þ ð0,90 A 2 Þ ð0,2274 A 4 Þ 2 ¼ 0,008 742 A 8 P P P P D 1 ¼ ð U k I k3 Þ ð I k2 Þ ð U k I k Þ ð I k4 Þ ¼ ¼ ð146,607 VA 3 Þ ð0,90 A 2 Þ ð521,7 VAÞ ð0,2274 A 4 Þ ¼ 13,311 720 VA 5 P P P P D 2 ¼ ð I k6 Þ ð U k I k Þ ð I k4 Þ ð U k I k3 Þ ¼ ¼ ð0,067 170 A 6 Þ ð521,7 VAÞ ð0,2274 A 4 Þ ð146,607 VA 3 Þ ¼ 1,704 157 VA 7 Somit ist a ¼

D1 13,311 720 VA 5 V ¼ 1522,73 3 , ¼ D 0,008 742 A 8 A

b ¼

D2 1,704 157 VA 7 V ¼ 194,94 ¼ 8 D A 0,008 742 A

Die gesuchte U-I-Kennlinie der Glhlampe lautet damit wie folgt: U ¼ f ðIÞ ¼ a I 3 þ b I ¼ 1522,73

V V I 3 þ 194,94 I 3 A A

Ihr Verlauf ist in Bild X-8 dargestellt und zeigt deutlich die gute bereinstimmung mit den vorgegebenen Messwerten (als Punkte eingetragen).

U V

400

300

200

100

Bild X-8 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

I A

XI Fourier-Transformationen Hinweis: Alle in den Lsungen angegebenen Nummern fr Integrale bzw. Fourier-Transformationen beziehen sich auf die Integraltafel bzw. Fourier-Transformationstabelle (Tabelle 1) der Mathematischen Formelsammlung des Autors. Die Abkrzung Dgl bedeutet Differentialgleichung.

Beispiel 1: Spektraldichte eines cos 2 -Impulses Fourier-Integral, Fourier-Kosinus-Transformation Bestimmen Sie die Spektraldichte des in Bild XI-1 skizzierten zeitabhngigen cos 2 -Impulses mit der Funktionsgleichung ( jtj T A cos 2 ðw 0 tÞ f(t) f ðtÞ ¼ f u¨ r jtj > T 0 A

A > 0; w 0 > 0: Kreisfrequenz T ¼ p=ð2 w 0 Þ

–T

Bild XI-1

T

t

Lehrbuch: Bd. 2, V.1.2 und V.2.1

Lsung: Die Spektraldichte F ðwÞ ist die Fourier-Transformierte des Impulses f ðtÞ, d. h. es ist F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg. Wegen der Spiegelsymmetrie der Kurve ( f ðtÞ ist eine gerade Funktion) knnen wir F ðwÞ mit Hilfe der Fourier-Kosinus-Transformation bestimmen: F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg ¼ 2 Fc ðwÞ ¼ 2

1 ð

f ðtÞ cos ðw tÞ dt ¼

0

¼ 2A

ðT

cos 2 ðw 0 tÞ cos ðw tÞ dt

0

Unter Verwendung der trigonometrischen Formel cos 2 x ¼

1 ½ 1 þ cos ð2 xÞ 2

mit

x ¼ w0 t

(siehe Formelsammlung, Abschnitt III.7.6.4) lsst sich das Integral in zwei Teilintegrale zerlegen: © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24882-6_11

XI Fourier-Transformationen 1 F ðwÞ ¼ 2 A 2

ðT

391

½ 1 þ cos ð2 w 0 tÞ cos ðw tÞ dt ¼

0

0T 1 ðT ð ¼ A @ cos ðw tÞ dt þ cos ð2 w 0 tÞ cos ðw tÞ dtA ¼ A ðI 1 þ I 2 Þ 0

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I1

0

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I2

Auswertung der Teilintegrale mit der Integraltafel (Integral Nr. 228 mit a ¼ w und Integral Nr. 252 mit a ¼ 2 w 0 , b ¼ w) und unter Bercksichtigung von sin 0 ¼ 0: I1 ¼

ðT 0

I2 ¼

ðT

cos ðw tÞ dt ¼

sin ðw tÞ w

T ¼ 0

cos ð2 w 0 tÞ cos ðw tÞ dt ¼

sin ðw TÞ sin 0 sin ðw TÞ ¼ w w w sin ½ ð2 w 0 wÞ t sin ½ ð2 w 0 þ wÞ t þ 2 ð2 w 0 wÞ 2 ð2 w 0 þ wÞ

0

T ¼ 0

¼

sin ½ ð2 w 0 wÞ T sin ½ ð2 w 0 þ wÞ T sin 0 sin 0 þ ¼ 2 ð2 w 0 wÞ 2 ð2 w 0 þ wÞ 2 ð2 w 0 wÞ 2 ð2 w 0 þ wÞ

¼

sin ½ ð2 w 0 wÞ T sin ½ ð2 w 0 þ wÞ T þ 2 ð2 w 0 wÞ 2 ð2 w 0 þ wÞ

Den Zhler der beiden Teilbrche knnen wir noch mit Hilfe des Addionstheorems des Sinus vereinfachen (unter Bercksichtigung von 2 w 0 T ¼ p): sin ½ ð2 w 0 wÞ T ¼ sin ð2 w 0 T w TÞ ¼ sin ðp w TÞ ¼ ¼ sin p cos ðw TÞ cos p sin ðw TÞ ¼ ¼ 0 cos ðw TÞ ð 1Þ sin ðw TÞ ¼ sin ðw TÞ sin ½ ð2 w 0 þ wÞ T ¼ sin ðw TÞ ;

)

sin ½ ð2 w 0 wÞ T ¼ sin ðw TÞ

Somit ist I2 ¼

sin ðw TÞ sin ðw TÞ 2 ð2 w 0 wÞ 2 ð2 w 0 þ wÞ

Die Spektraldichte lautet damit wie folgt (fr w 6¼ 0, w 6¼ 2 w 0 Þ: sin ðw TÞ sin ðw TÞ sin ðw TÞ F ðwÞ ¼ A ðI 1 þ I 2 Þ ¼ A þ ¼ w 2 ð2 w 0 wÞ 2 ð2 w 0 þ wÞ 1 1 1 þ sin ðw TÞ ¼ A w 2 ð2 w 0 wÞ 2 ð2 w 0 þ wÞ

392

XI Fourier-Transformationen

Der Kurvenverlauf der Spektraldichte F ðwÞ ist in Bild XI-2 dargestellt. An den Stellen w ¼ 0 und w ¼ 2w 0 ist F ðwÞ nicht definiert, besitzt dort jedoch die folgenden Grenzwerte:

F(␻)

F ð0Þ ¼ A T ,

AT

F ð 2 w 0 Þ ¼ A T=2

(mit der Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital berechnet). Nullstellen: 4 w 0 , 6 w 0 , 8 w 0 , . . . – 4 ␻0 = – 2π T

4␻0 = 2 π T

␻

Bild XI-2 Spektraldichte des cos 2 -Impulses

Beispiel 2: Amplituden- und Phasengang eines DT 1 -Regelkreisgliedes Fourier-Transformation, Frequenzspektrum Die Impulsantwort eines DT 1 -Regelkreisgliedes, d. h. die Reaktion des bertragungssystems auf einen Dirac-Impuls d ðtÞ im Eingang lautet wie folgt: g ðtÞ ¼ K d ðtÞ

t K e T s ðtÞ T

t : Zeit; s ðtÞ: Sprungfunktion; K > 0: bertragungsfaktor; T > 0: Zeitkonstante Bestimmen Sie zunchst den Frequenzgang (das Frequenzspektrum) G ðwÞ des Systems und daraus den Amplituden- und Phasengang. Lehrbuch: Bd. 2, V.1.2 und V.4.1

Physikalische Grundlagen: A68

Lsung: Der Frequenzgang (das Frequenzspektrum) G ðwÞ ist die Fourier-Transformierte der Impulsantwort g ðtÞ [ A68 ]: K t G ðwÞ ¼ F f g ðtÞg ¼ F K d ðtÞ e T s ðtÞ ¼ T o n t K K 1 ¼ K F fd ðtÞg F e T s ðtÞ ¼ K 1 ¼ T |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} T 1 |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} þ j w 1 T 1 1 þ jw T

XI Fourier-Transformationen

¼ K T

393

K

1 þ jw T

¼ K

K ¼ K 1 þ jwT

1

1 1 þ jwT

¼

1 þ jwT 1 jK wT ¼ K ¼ 1 þ jwT 1 þ jwT Die Transformationen wurden der Tabelle 1 entnommen (Nr. 18 und Nr. 9 mit a ¼ 1=TÞ. Der Amplitudengang (das Amplitudenspektrum) A ðwÞ ist der Betrag des Frequenzganges G ðwÞ [ A68 ]: jK wT K jwj T K T jwj ¼ j j K w T j ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ﬃ ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ A ðwÞ ¼ j G ðwÞ j ¼ 1 þ jwT j1 þ jwT j 2 1 þ ðw TÞ 1 þ ðw TÞ 2 A ( v)

Bild XI-3 zeigt den Verlauf des Amplitudenganges A ðwÞ.

K

Bild XI-3 Amplitudengang eines DT 1 -Regelkreisgliedes

v

Der Phasengang j ðwÞ ist das Argument (der Winkel) des Frequenzganges G ðwÞ [ A68 ]. Die komplexe Funktion G ðwÞ muss daher zunchst auf die kartesische Form gebracht werden (Zerlegung in Real- und Imaginrteil; j 2 ¼ 1 beachten): G ðwÞ ¼

¼

jK wT j K w T ð1 j w TÞ j K w T j 2 K ðw TÞ 2 ¼ ¼ ¼ 1 þ jwT ð 1 þ j w TÞ ð1 j w T Þ 1 j 2 ðw TÞ 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 3: Binom : 1 j 2 ðw TÞ 2 j K w T þ K ðw TÞ 2 1 þ ðw TÞ

2

¼

K ðw TÞ 2 1 þ ðw TÞ

2

þj

K ðw TÞ 1 þ ðw TÞ 2

Der Phasenwinkel j ¼ j ðwÞ wird nach [ A68 ] aus der Gleichung K ðw TÞ Im ½ G ðwÞ K ðw TÞ 1 þ ðw TÞ 2 1 1 þ ðw TÞ 2 tan j ¼ ¼ ¼ ¼ 2 2 2 Re ½ G ðwÞ wT 1 þ ðw TÞ K ðw TÞ K ðw TÞ 1 þ ðw TÞ 2 wie folgt berechnet: tan j ¼

1 wT

)

j ¼ j ðwÞ ¼ arctan

1 wT

394

XI Fourier-Transformationen

Der Verlauf des Phasengangs j ðwÞ ist in Bild XI-4 dargestellt.

f ( v) p 2

v

Bild XI-4 Phasengang eines DT 1 -Regelkreisgliedes

–

p 2

Beispiel 3: Beidseitig gedmpfte Sinusschwingung (amplitudenmodulierte Sinusschwingung) Fourier-Integral, Fourier-Sinus-Transformation Die in Bild XI-5 skizzierte beidseitig gedmpfte (amplitudenmodulierte) mechanische Sinusschwingung wird durch die Gleichung x ðtÞ ¼ e d j t j sin ðw 0 tÞ ,

1 < t < 1

ðd < w 0 Þ

beschrieben. x ðtÞ: Auslenkung zur Zeit t; d > 0: Dmpfungsfaktor; w 0 > 0: Kreisfrequenz x(t)

t

Bild XI-5 Bestimmen Sie auf dem direkten Wege ber das Fourier-Integral das Frequenzspektrum X ðwÞ sowie das Amplitudenspektrum A ðwÞ ¼ j X ðwÞ j dieser Schwingung. Lehrbuch: Bd. 2, V.1.2 und V.2.2

XI Fourier-Transformationen

395

Lsung: x ðtÞ ist eine ungerade Funktion (punktsymmetrischer Kurvenverlauf). Daher lsst sich das gesuchte Frequenzspektrum X ðwÞ ¼ F fx ðtÞg mit Hilfe der Fourier-Sinus-Transformation bestimmen: 1 ð x ðtÞ sin ðw tÞ dt ¼ X ðwÞ ¼ 2 j Fs ðwÞ ¼ 2 j 0

¼ 2j

1 ð

e d t sin ðw 0 tÞ sin ðw tÞ dt

0

(fr t 0 gilt j t j ¼ t und somit e d j t j ¼ e d t ). Mit Hilfe der trigonometrischen Formel i 1 h cos ðw 0 t w tÞ cos ðw 0 t þ w tÞ ¼ 2 i 1 h cos ½ ðw 0 wÞ t cos ½ ðw 0 þ wÞ t ¼ 2

sin ðw 0 tÞ sin ðw tÞ ¼

(siehe Formelsammlung, Abschnitt III.7.6.6) folgt weiter (Aufspaltung des Integrals in zwei Teilintegrale): X ðwÞ ¼ 2 j

1 ð

i 1 h cos ½ ðw 0 wÞ t cos ½ ðw 0 þ wÞ t dt ¼ 2

edt

0

01 1 1 ð ð ¼ j @ e d t cos ½ ðw 0 wÞ t dt e d t cos ½ ðw 0 þ wÞ t dtA ¼ 0 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ ﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I1

0 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I2

¼ j ðI 1 I 2 Þ Auswertung der Teilintegrale I 1 und I 2 mit der Integraltafel ( Integral Nr. 324 mit a ¼ d und b ¼ w 0 w bzw. b ¼ w 0 þ w): I1 ¼

1 ð

e d t cos ½ ðw 0 wÞ t dt ¼

0

" ¼

h

edt d 2 þ ðw 0 wÞ 2

¼

d cos ½ ðw 0 wÞ t þ ðw 0 wÞ sin ½ ðw 0 wÞ t

i

#1

e0

d ½ d cos 0 þ ðw 0 wÞ sin 0 ¼ 2 |ﬄ{zﬄ} |ﬄ{zﬄ} d þ ðw 0 wÞ 2 d þ ðw 0 wÞ 1 0 2

¼ 0

2

Hinweis: Wegen e d t ! 0 fr t ! 1 verschwindet die Stammfunktion an der oberen Grenze.

396

XI Fourier-Transformationen

Analog : I 2 ¼

1 ð

e d t cos ½ ðw 0 þ wÞ t dt ¼

0

d d 2 þ ðw 0 þ wÞ 2

Damit erhalten wir das folgende Frequenzspektrum: X ðwÞ ¼ j ðI 1 I 2 Þ ¼ j

¼ jd

¼ jd

¼ jd

¼ jd

¼ j

d d 2 þ ðw 0 wÞ 2

1 2

d þ ðw 0 wÞ

2

1

d

!

d 2 þ ðw 0 þ wÞ 2 ! ¼

d þ ðw 0 þ wÞ 2 2

d 2 þ ðw 0 þ wÞ 2 d 2 ðw 0 wÞ 2 ½ d 2 þ ðw 0 wÞ 2 ½ d 2 þ ðw 0 þ wÞ 2

¼

d 2 þ w 20 þ 2 w 0 w þ w 2 d 2 w 20 þ 2 w 0 w w 2 ½ d 2 þ ðw 0 wÞ 2 ½ d 2 þ ðw 0 þ wÞ 2 4 w0 w ½ d þ ðw 0 wÞ 2 ½ d 2 þ ðw 0 þ wÞ 2 2

¼

¼

¼

4 d w0 w ½ d þ ðw 0 wÞ 2 ½ d 2 þ ðw 0 þ wÞ 2 2

Amplitudenspektrum [ A68 ] Das Amplitudenspektrum A ðwÞ ist der Betrag des Frequenzspektrums X ðwÞ: A ðwÞ ¼ j X ðwÞ j ¼

4 d w0 j w j ½ d þ ðw 0 wÞ 2 ½ d 2 þ ðw 0 þ wÞ 2 2

Das Minimum dieser spiegelsymmetrischen Funktion liegt bei w 1 ¼ 0, die beiden Maxima in der Nhe von w 2=3 ¼ w 0 (siehe Bild XI-6). A ( v)

–v 0

v0

v

Bild XI-6 Amplitudenspektrum einer beidseitig gedmpften Sinusschwingung

XI Fourier-Transformationen

397

Beispiel 4: Spektraldichte (Frequenzspektrum) eines modulierten Rechteckimpulses Fourier-Integral, Dmpfungssatz (Frequenzverschiebungssatz) Der in Bild XI-7 skizzierte mit einer Kosinusfunktion modulierte zeitabhngige Rechteckimpuls lsst sich durch die Gleichung ( ) cos ðw 0 tÞ jtj a f ðtÞ ¼ f u¨ r 0 jtj > a beschreiben (w 0 > 0: Kreisfrequenz): f(t) 1

–a

a

t

Bild XI-7 Bestimmen Sie die Spektraldichte (das Frequenzspektrum) F ðwÞ des Impulses f ðtÞ a) auf direktem Wege ber das Fourier-Integral, b) aus der als bekannt vorausgesetzten Fourier-Transformierten des Rechteckimpulses unter Verwendung des Dmpfungssatzes (Frequenzverschiebungssatzes). c) Skizzieren Sie den Verlauf der Spektraldichte F ðwÞ und das zugehrige Amplitudenspektrum A ðwÞ ¼ j F ðwÞ j. Lsungshinweis: Die Fourier-Transformierte des Rechteckimpulses entnehmen Sie der Transformationstabelle (Tabelle 1). Lehrbuch: Bd. 2, V.1.2, V.2.1 und V.4.4

Lsung: Die Spektraldichte F ðwÞ ist die Fourier-Transformierte des modulierten Rechteckimpulses f ðtÞ, d. h. es gilt F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg. a) Da f ðtÞ eine gerade Funktion ist (spiegelsymmetrischer Kurvenverlauf), lsst sich die Fourier-Transformierte von f ðtÞ ber die Fourier-Kosinus-Transformation berechnen:

398

XI Fourier-Transformationen

F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg ¼ 2 Fc ðwÞ ¼ 2

1 ð

f ðtÞ cos ðw tÞ dt ¼

0

¼ 2

ða

cos ðw 0 tÞ cos ðw tÞ dt ¼ 2

0

ða

cos ðw tÞ cos ðw 0 tÞ dt ¼

0

|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Integral Nr: 252 mit a ¼ w, b ¼ w 0 sin ½ ðw w 0 Þ t sin ½ ðw þ w 0 Þ t a ¼ 2 ¼ þ 2 ðw w 0 Þ 2 ðw þ w 0 Þ 0 ¼

sin ½ ðw w 0 Þ a sin ½ ðw þ w 0 Þ a sin 0 sin 0 þ ¼ w w0 w þ w0 w w0 w þ w0

¼

sin ½ ðw w 0 Þ a sin ½ ðw þ w 0 Þ a þ w w0 w þ w0

b) Ausgangspunkt ist der in Bild XI-8 skizzierte Rechteckimpuls mit der Gleichung ( ) 1 jtj a r ðtÞ ¼ s ðt þ aÞ s ðt aÞ ¼ f u¨ r 0 jtj > a und der Fourier-Transformierten R ðwÞ ¼ F fr ðtÞg ¼

r(t)

2 sin ðw aÞ w

1

Bild XI-8 –a

a

t

(aus der Tabelle 1 entnommen, Nr. 2). Die Gleichung des mit der Kosinusfunktion cos ðw 0 tÞ modulierten Rechteckimpulses r ðtÞ lsst sich dann auch wie folgt schreiben, wobei wir die Kosinusfunktion noch durch komplexe Exponentialfunktionen nach der Gleichung cos x ¼

1 ðe j x þ e j x Þ 2

mit

x ¼ w0 t

ausdrcken (siehe Formelsammlung, Abschnitt VIII.7.3.2): 1 jw0 t þ e j w 0 t r ðtÞ ¼ e 2 þ r ðtÞ e j w 0 t , jtj a

f ðtÞ ¼ cos ðw 0 tÞ r ðtÞ ¼ ¼

1 r ðtÞ e j w 0 t 2

Die beiden Summanden in der Klammer beschreiben mit e j w 0 t bzw. e j w 0 t modulierte Rechteckimpulse, deren Fourier-Transformierte nach dem Dmpfungs- oder Frequenz-

XI Fourier-Transformationen

399

verschiebungssatz der Fourier-Transformation aus der (bekannten) Fourier-Transformierten des Rechteckimpulses durch Frequenzverschiebung hervorgehen. Somit gilt (in bereinstimmung mit dem Ergebnis aus Teil a)): 1 r ðtÞ e j w 0 t þ r ðtÞ e j w 0 t F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg ¼ F ¼ 2 1 F fr ðtÞ e j w 0 t g þ F fr ðtÞ e j w 0 t g ¼ ¼ 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} R ðw w 0 Þ R ðw þ w 0 Þ 1 R ðw w 0 Þ þ R ðw þ w 0 Þ ¼ 2 1 2 sin ½ ðw w 0 Þ a 2 sin ½ ðw þ w 0 Þ a ¼ þ ¼ 2 w w0 w þ w0 ¼

¼

sin ½ ðw w 0 Þ a sin ½ ðw þ w 0 Þ a þ w w0 w þ w0

c) Bild XI-9 zeigt den Verlauf der Spektraldichte F ðwÞ. F ( v)

Bild XI-9 Spektraldichte F ðwÞ – v0

v0

v

Das Amplitudenspektrum wird durch die Gleichung sin ½ ðw w 0 Þ a sin ½ ðw þ w 0 Þ a A ðwÞ ¼ j F ðwÞ j ¼ þ w w0 w þ w0 beschrieben (siehe Bild XI-10). A ( v)

Bild XI-10 Amplitudenspektrum A ðwÞ – v0

v0

v

400

XI Fourier-Transformationen

Beispiel 5: Impulsantwort eines PT1-bertragungssystems Inverse Fourier-Transformation, Zeitverschiebungssatz, Faltungssatz Durch die Gleichung G ðwÞ ¼

K e j w TL , 1 þ jwT

1 < w < 1

wird der Frequenzgang eines PT1-Regelkreisgliedes beschrieben. K > 0: bertragungsfaktor; T > 0: Zeitkonstante; T L > 0: Laufzeit; w: Kreisfrequenz Bestimmen Sie die Impulsantwort g ðtÞ dieses bertragungssystems, d. h. die Reaktion des Systems auf einen Dirac-Impuls als Eingangssignal a) unter Verwendung der Transformationstabelle (Tabelle 1) und des Verschiebungssatzes (Zeitverschiebungssatzes), b) mit Hilfe des Faltungssatzes. Lehrbuch: Bd. 2, V.1.3, V.4.3 und V.4.7

Physikalische Grundlagen: A68

Lsung: Der Frequenzgang G ðwÞ ist die Fourier-Transformierte der Impulsantwort g ðtÞ. Somit gilt: G ðwÞ ¼ F fg ðtÞg

und

g ðtÞ ¼ F 1 fG ðwÞg

a) Wir zerlegen G ðwÞ wie folgt in ein Produkt aus zwei Faktoren: G ðwÞ ¼ F fg ðtÞg ¼ mit F ðwÞ ¼

K e j w TL K ¼ e j w T L ¼ F ðwÞ e j w T L 1 þ jwT 1 þ jwT

K 1 þ jwT

Der linke Faktor F ðwÞ ist die Bildfunktion (Fourier-Transformierte) einer zunchst noch unbekannten Originalfunktion (Zeitfunktion) f ðtÞ, d. h. es ist F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg: Damit gilt: G ðwÞ ¼ F fg ðtÞg ¼ F ðwÞ e j w T L ¼ F f f ðtÞg e j w T L Aus dem Zeitverschiebungssatz folgt dann, dass der Frequenzgang G ðwÞ die FourierTransformierte der um T L verschobenen Originalfunktion f ðtÞ ist: G ðwÞ ¼ F fg ðtÞg ¼ F ðwÞ e j w T L ¼ F f f ðt T L Þg Aus dieser Gleichung folgt (inverse Fourier-Transformation): g ðtÞ ¼ F 1 fG ðwÞg ¼ f ðt T L Þ

XI Fourier-Transformationen

401

Die noch unbekannte Zeitfunktion f ðtÞ bestimmen wir aus der bekannten Bildfunktion F ðwÞ mit Hilfe der Tabelle 1 (inverse Fourier-Transformation): 1 K 1 ¼ ) 1 T 1 þ jw T þ jw T T 8 9 8 9 > > > > > T : T 1 þ j w> ; : 1 þ j w> ; T T F f f ðtÞg ¼ F ðwÞ ¼

¼

K ¼ K 1 þ jwT

K t e T s ðtÞ T

ðNr. 9 mit a ¼ 1=TÞ. Die Impulsantwort des P T 1 -bertragungssystems lautet somit: g ðtÞ ¼ f ðt T L Þ ¼

t TL K e T s ðt T L Þ T

Der Verlauf dieser Funktion ist in Bild XI-11 dargestellt.

g(t) K T

Bild XI-11 Impulsantwort eines PT1-bertragungssystems TL

t

b) Der Frequenzgang G ðwÞ lsst sich wie folgt als Produkt zweier Bildfunktionen G 1 ðwÞ und G 2 ðwÞ darstellen: G ðwÞ ¼

¼

mit

K e j w TL ¼ K 1 þ jwT

e j w TL K e j w TL ¼ ¼ 1 T 1 þ j w T þ jw T T

K 1 K G 1 ðwÞ G 2 ðwÞ e j w TL ¼ T 1 T þ jw T

G 1 ðwÞ ¼

1 1 þ jw T

und

G 2 ðwÞ ¼ e j w T L :

Durch inverse Fourier-Transformation folgt dann mit Hilfe des Faltungssatzes: K g ðtÞ ¼ F 1 fG ðwÞg ¼ F 1 G 1 ðwÞ G 2 ðwÞ ¼ T ¼

K K F 1 fG 1 ðwÞ G 2 ðwÞg ¼ g 1 ðtÞ g 2 ðtÞ T T

402

XI Fourier-Transformationen

Die gesuchte Impulsantwort g ðtÞ ist demnach (vom konstanten Faktor K=T abgesehen) das Faltungsprodukt zweier zunchst noch unbekannter Zeitfunktionen (Originalfunktionen) g 1 ðtÞ und g 2 ðtÞ, deren Fourier-Transformierte jedoch bekannt sind: F fg 1 ðtÞg ¼ G 1 ðwÞ ¼

1 , 1 þ jw T

F fg 2 ðtÞg ¼ G 2 ðwÞ ¼ e j w T L

Die beiden Zeitfunktionen lassen sich aus der Transformationstabelle (Tabelle 1) leicht bestimmen: 8 9 > > < = 1 t 1 1 fG 1 ðwÞg ¼ F ¼ e T s ðtÞ g 1 ðtÞ ¼ F 1 > > : þ j w; T (Fourier-Transformation Nr. 9 mit a ¼ 1=TÞ g 2 ðtÞ ¼ F 1 fG 2 ðwÞg ¼ F 1 fe j w T L g ¼ F 1 fe j T L w g ¼ d ðt T L Þ (Fourier-Transformation Nr. 20 mit a ¼ T L ) Wir berechnen jetzt das Faltungsprodukt (Faltungsintegral) g 1 ðtÞ g 2 ðtÞ. Definitionsgemß gilt: g 1 ðtÞ g 2 ðtÞ ¼

1 ð

g 1 ðuÞ g 2 ðt uÞ du ¼

1

1 ð

e

u T

s ðuÞ d ðt u T L Þ du

1

Die Diracsche Deltafunktion d ðt u T L Þ lsst sich unter Bercksichtigung ihrer Symmetrieeigenschaft noch wie folgt umschreiben: d ðt u T L Þ ¼ d ð ðt u T L ÞÞ ¼ d ð t þ u þ T L Þ ¼ d ðu t þ T L Þ ¼ ¼ d ðu ðt T L ÞÞ ¼ d ðu aÞ |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} a (mit a ¼ t T L ). Somit ist g 1 ðtÞ g 2 ðtÞ ¼

1 ð

u e T

s ðuÞ d ðu aÞ du ¼

1

¼

1 ð

1 ð

d ðu aÞ e

u T

s ðuÞ du ¼

1

d ðu aÞ f ðuÞ du

ðmit f ðuÞ ¼ e

u T

s ðuÞÞ

1

Dieses Integral ist kein Integral im herkmmlichen Sinne, sondern ein sog. „verallgemeinertes Integral“. Die Auswertung erfolgt daher nach der sog. Ausblendvorschrift

XI Fourier-Transformationen ðb

403

( d ðu aÞ f ðuÞ du ¼

a

f ðaÞ

a a b

f u¨ r

)

alle u¨ brigen a

0

In unserem Fall liegt der Parameter a ¼ t T L im Integrationsintervall (d. h. zwischen 1 und þ 1) und die Integralauswertung fhrt zu dem folgenden Ergebnis: 1 ð

g 1 ðtÞ g 2 ðtÞ ¼

d ðu aÞ f ðuÞ du ¼ f ðaÞ ¼ e

a T

s ðaÞ ¼

1

¼ e

t TL T

s ðt T L Þ

Die Impulsantwort lautet somit wie folgt (in bereinstimmung mit dem Ergebnis aus Teil a)): g ðtÞ ¼

t TL K K g 1 ðtÞ g 2 ðtÞ ¼ e T s ðt T L Þ T T

Beispiel 6: Lineares zeitinvariantes bertragungssystem (LTI-System) Inverse Fourier-Transformation Das bertragungsverhalten eines LTI-Systems lsst sich durch die sog. Impulsantwort, d. h. die Reaktion des Systems auf einen Dirac-Stoß als Eingangssignal, vollstndig charakterisieren. Das in Bild XI-12 skizzierte System besitzt die bertragungsfunktion (den Frequenzgang) G ðwÞ ¼

1 2 þ jRCw

R

ue ( t )

C

R

ua ( t )

Bild XI-12 R: ohmscher Widerstand; C : Kapazitt; w: Kreisfrequenz; u e ðtÞ: Eingangsspannung; u a ðtÞ: Ausgangsspannung Bestimmen Sie die Impulsantwort g ðtÞ ¼ u a ðtÞ des bertragungssystems unter Verwendung der Transformationstabelle (Tabelle 1). Lehrbuch: Bd. 2, V.1.3

Physikalische Grundlagen: A68

404

XI Fourier-Transformationen

Lsung: Der Frequenzgang G ðwÞ ist die Fourier-Transformierte der Impulsantwort g ðtÞ [ A68 ]: G ðwÞ ¼ F fg ðtÞg ¼

1 ¼ 2 þ jRCw

RC

1 2 þ jw RC

Aus dieser Gleichung gewinnen wir durch Rcktransformation (d. h. inverse Fourier-Transformation) mit Hilfe der Transformationstabelle (Tabelle 1) die gesuchte Impulsantwort g ðtÞ des Systems: 8 9 8 9 > > > > > > < = < = 1 1 1 ¼ g ðtÞ ¼ F 1 fG ðwÞg ¼ F 1 F 1 ¼ 2 > > > > 2 RC : ; > > :R C ; þ jw þ jw RC RC ¼

1 2t e R C s ðtÞ RC

ðNr. 9 mit a ¼ 2=ðR CÞÞ

Bild XI-13 zeigt den Verlauf der exponentiell abklingenden Impulsantwort g ðtÞ ¼ u a ðtÞ.

g(t) 1 RC

Bild XI-13 Impulsantwort des bertragungssystems t

Beispiel 7: bertragungsverhalten einer RC-Schaltung Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung, Ableitungssatz fr Originalfunktionen, inverse Fourier-Transformation Das in Bild XI-14 skizzierte bertragungssystem enthlt einen ohmschen Widerstand R und einen Kondensator mit der Kapazitt C (RC-Schaltung). Eingangssignal ist die angelegte Eingangsspannung u e ¼ u e ðtÞ, Ausgangssignal der Spannungsabfall u a ¼ u a ðtÞ am Kondensator. i

R uR

ue ( t )

uC

C

ua ( t )

Bild XI-14

XI Fourier-Transformationen

405

a) Leiten Sie aus der Maschenregel [ A32 ] die Differentialgleichung fr u a ðtÞ her. b) Unterwerfen Sie diese Differentialgleichung der Fourier-Transformation und bestimmen Sie die bertragungsfunktion (den Frequenzgang) G ðwÞ des Systems. Wie lautet das zugehrige Amplitudenspektrum A ðwÞ? c) Bestimmen Sie die Impulsantwort g ðtÞ sowie die Sprungantwort h ðtÞ des bertragungsgliedes. Lsungshinweis: Die Sprungantwort h ðtÞ lsst sich durch Integration aus der Impulsantwort g ðtÞ bestimmen: h ðtÞ ¼

ðt

g ðzÞ dz

1

Lehrbuch: Bd. 2, V.1.3 und V.4.5.1

Physikalische Grundlagen: A14, A32, A40, A68

Lsung: a) Fließt der Strom i ¼ i ðtÞ, so ist u R ¼ R i der Spannungsabfall am ohmschen Widerstand R (Ohmsches Gesetz [ A14 ]). Aus der Maschenregel [ A32 ] folgt dann: uR þ ua ue ¼ 0

oder

R i þ ua ¼ ue

ðu a ¼ u C Þ

Die Stromstrke i ist dabei die zeitliche Ableitung der Kondensatorladung q ¼ C u a 1) : i ¼

dq d d ua ¼ ðC u a Þ ¼ C ¼ C u_ a dt dt dt

Wir setzen diesen Ausdruck in die Maschengleichung ein und erhalten die gesuchte Differentialgleichung fr die Ausgangsspannung u a : R C u_ a þ u a ¼ u e

oder

t u_ a þ u a ¼ u e

(mit der Zeitkonstanten t ¼ R C ). Es handelt sich dabei um eine inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. b) Die Dgl wird gliedweise unter Verwendung des Ableitungssatzes fr Originalfunktionen der Fourier-Transformation unterworfen. Mit U e ðwÞ ¼ F fu e ðtÞg

und

U a ðwÞ ¼ F fu a ðtÞg

erhalten wir: t ð j wÞ U a ðwÞ þ U a ðwÞ ¼ U e ðwÞ

)

ð j w tÞ U a ðwÞ þ U a ðwÞ ¼ U e ðwÞ

)

U a ðwÞ ¼ 1)

ð1 þ j w tÞ U a ðwÞ ¼ U e ðwÞ

1 U e ðwÞ ¼ G ðwÞ U e ðwÞ 1 þ jwt

Definitionsgemß gilt C ¼

q q ¼ und somit q ¼ C u a [ A40 ]. uC ua

)

406

XI Fourier-Transformationen

Die gesuchte bertragungsfunktion, d. h. der Frequenzgang des bertragungssystems lautet somit wie folgt: 1 1 1 ¼ ¼ 1 þ jwt 1 þ jwRC 1 þ jRCw

G ðwÞ ¼

Das Amplitudenspektrum A ðwÞ ist der Betrag des Frequenzganges [ A68 ]: 1 1 1 ¼ ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ A ðwÞ ¼ j G ðwÞ j ¼ 1 þ jRCw j1 þ jRCwj 1 þ ðR C wÞ 2 Bild XI-15 zeigt den Verlauf dieser Funktion. A ( v) 1

v

Bild XI-15 Amplitudenspektrum eines RC-bertragungsgliedes

c) Die Impulsantwort g ðtÞ ¼ u a ðtÞ ist die Reaktion des bertragungssystems auf das Eingangssignal u e ðtÞ ¼ d ðtÞ (angelegter Spannungsstoß in Form eines Dirac-Stoßes). Mit U e ðwÞ ¼ F fd ðtÞg ¼ 1 (siehe Tabelle 1, Nr. 18) gilt daher: U a ðwÞ ¼ G ðwÞ U e ðwÞ ¼ ¼

1 1 U e ðwÞ ¼ F fd ðtÞg ¼ 1 þ jRCw 1 þ jRCw

1 1 1 ¼ 1 þ jRCw 1 þ jRCw

Durch Rcktransformation (inverse Fourier-Transformation) folgt nach Tabelle 1 ðNr. 9 mit a ¼ 1=ðR CÞÞ: 1 u a ðtÞ ¼ g ðtÞ ¼ F 1 fU a ðwÞg ¼ F 1 ¼ 1 þ jRCw 8 9 8 9 > > > > > > < < = = 1 1 1 ¼ ¼ F 1 F 1 ¼ > > > 1 RC : 1 þ j w> > ; :R C ; þ jw > RC RC ¼

1 t e R C s ðtÞ RC

XI Fourier-Transformationen

407

Der Spannungsabfall am Kondensator klingt somit im Laufe der Zeit exponentiell auf null ab (siehe Bild XI-16)

ua ( t ) 1 RC

Bild XI-16 Spannungsabfall am Kondensator (Impulsantwort) t

Die Sprungantwort h ðtÞ ist die Reaktion des bertragungssystems auf das Eingangssignal u e ðtÞ ¼ s ðtÞ (zur Zeit t ¼ 0 wird die konstante Spannung u e ¼ 1 angelegt, siehe Bild XI-17a)). Sie lsst sich durch Integration aus der inzwischen bekannten Impulsantwort g ðtÞ wie folgt bestimmen [ A68 ] (z: Integrationsvariable): u a ðtÞ ¼ h ðtÞ ¼

ðt

g ðzÞ dz ¼

1

2

ðt

ðt

1 1 z e R C s ðzÞ dz ¼ RC RC

e

1

z e RC

z RC

dz ¼

0

3t

it 1 h R C h z it 7 z ¼ ¼ ¼ R C e RC e RC 5 1 0 0 RC RC RC 0 t t t t 0 ¼ e RC 1 ¼ e RC þ 1 ¼ 1 e RC , ¼

1 6 4 RC

Schreibweise unter Verwendung der Sigmafunktion (Sprungfunktion): t u a ðtÞ ¼ 1 e R C s ðtÞ Die Spannung am Kondensator steigt somit vom Anfangswert u a ð0Þ ¼ 0 im Laufe der Zeit auf den Endwert u a ð1Þ ¼ 1 an (siehe Bild XI-17b)) ue ( t )

ua ( t ) 1

1

t a)

t b)

Bild XI-17 Sprungantwort eines RC-bertragungsgliedes a) Eingangssignal (Einheitssprung) u e ðtÞ ¼ s ðtÞ b) Ausgangssignal (Sttigungsfunktion) u a ðtÞ ¼

1e

t RC

s ðtÞ

408

XI Fourier-Transformationen

Beispiel 8: Fourier-Analyse einer gedmpften mechanischen Schwingung Fourier-Integral, Amplituden- und Phasenspektrum Durch die Gleichung x ðtÞ ¼ e d t sin ðw 0 tÞ s ðtÞ

ðmit d < w 0 Þ

wird eine gedmpfte Schwingung in einem mechanischen Schwingkreis (Feder-MasseSchwinger) beschrieben (Bild XI-18). d > 0: Dmpfungsfaktor; w 0 > 0: Kreisfrequenz; s ðtÞ: Sprungfunktion; x ðtÞ: von der Zeit t abhngige Auslenkung x(t)

t

Bild XI-18 a) Bestimmen Sie das Frequenzspektrum X ðwÞ dieser Schwingung auf dem direkten Wege ber das Fourier-Integral. b) Welches Amplituden- und Phasenspektrum liefert die Fourier-Analyse? Lehrbuch: Bd. 2, V.1.2

Physikalische Grundlagen: A68

Lsung: a) Das Frequenzspektrum [ A68 ]:

X ðwÞ

X ðwÞ ¼ F fx ðtÞg ¼

1 ð

ist die Fourier-Transformierte der Zeitfunktion x ðtÞ

x ðtÞ e

jwt

dt ¼

1

¼

1 ð

e

dt

sin ðw 0 tÞ 1 e

1 ð

e d t sin ðw 0 tÞ s ðtÞ e j w t dt ¼

1 jwt

0

ðs ðtÞ ¼ 0 f u¨ r t < 0 , s ðtÞ ¼ 1 f u¨ r t 0Þ

dt ¼

1 ð

0

e d t sin ðw 0 tÞ e j w t dt

XI Fourier-Transformationen

409

Die Sinusfunktion drcken wir noch mit Hilfe der Formel 1 ðe j w 0 t e j w 0 t Þ 2j

sin ðw 0 tÞ ¼

durch komplexe Exponentialfunktionen aus (siehe Formelsammlung, Abschnitt VIII.7.3.2): 1 X ðwÞ ¼ 2j

1 ð

e d t ðe j w 0 t e j w 0 t Þ e j w t dt ¼

0

1 2j

¼

1 ð 0

1 ¼ 2j

1 ð

e d t e j w 0 t e j w t e d t e j w 0 t e j w t dt ¼ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} j ðw w 0 Þ t e e j ðw þ w 0 Þ t

0

1 ¼ 2j

1 ð

e d t e j ðw w 0 Þ t e d t e j ðw þ w 0 Þ t |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} e ½ d þ j ðw w 0 Þ t e ½ d þ j ðw þ w 0 Þ t

dt ¼

e ½ d þ j ðw w 0 Þ t e ½ d þ j ðw þ w 0 Þ t dt

0

Der besseren bersicht wegen setzen wir vorbergehend a ¼ d þ j ðw w 0 Þ

b ¼ d þ j ðw þ w 0 Þ

und

und erhalten: 1 X ðwÞ ¼ 2j

1 ð

ðe a t

0

01 1 1 ð ð 1 1 @ e a t dt e b t Þ dt ¼ e b t dtA ¼ ðI 1 I 2 Þ 2j 2j 0 0 |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} I1 I2

Auswertung der Teilintegrale I 1 und I 2 mit der Integraltafel (Nr. 312 mit a ¼ a bzw. a ¼ b ): I1 ¼

1 ð

e a t dt ¼

eat a

0

1 ¼ 0

01 1 1 ¼ ¼ a a d þ j ðw w 0 Þ

Hinweis: Wegen d > 0 und somit e d t ! 0 fr t ! 1 verschwindet die Stammfunktion an der oberen Integralgrenze (t ¼ 1): lim e a t ¼ lim e ½ d þ j ðw w 0 Þ t ¼ lim e d t e j ðw w 0 Þ t ¼ 0

t!1

Analog: I 2 ¼

t!1

1 ð

0

e b t dt ¼

t!1

1 1 ¼ b d þ j ðw þ w 0 Þ

410

XI Fourier-Transformationen

Damit erhalten wir das folgende Frequenzspektrum ð j 2 ¼ 1 beachtenÞ: 1 1 1 1 X ðwÞ ¼ ðI 1 I 2 Þ ¼ ¼ 2j 2 j d þ j ðw w 0 Þ d þ j ðw þ w 0 Þ ¼

¼

¼

¼

1 d þ j ðw þ w 0 Þ d j ðw w 0 Þ ¼ 2 j ½ d þ j ðw w 0 Þ ½ d þ j ðw þ w 0 Þ 1 j w þ j w0 j w þ j w0 ¼ 2 2 j d þ j d ðw þ w 0 Þ þ j d ðw w 0 Þ þ j 2 ðw w 0 Þ ðw þ w 0 Þ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 3: Binom : w 2 w 20 1 2 j w0 ¼ 2 j d 2 þ j d ðw þ w 0 þ w w 0 Þ ðw 2 w 20 Þ w0 w0 ¼ d 2 þ 2 j d w w 2 þ w 20 ðd þ j wÞ2 þ w 20 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 1: Binom: : ðd þ j wÞ 2

b) Das Amplitudenspektrum A ðwÞ ist der Betrag des Frequenzspektrums X ðwÞ: w0 w0 ¼ A ðwÞ ¼ j X ðwÞ j ¼ ¼ 2 ðd þ j wÞ 2 þ w 20 j d þ 2 j d w w 2 þ w 20 j ¼

w0 w0 ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 j ðd 2 þ w 20 w 2 Þ þ j 2 d w j ðd þ w 20 w 2 Þ 2 þ 4 d 2 w 2

Bild XI-19 zeigt den Verlauf des Amplitudenspektrums. Das Minimum liegt bei w 1 ¼ 0, qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ die beiden Maxima an den Stellen w 2=3 ¼ w 20 d 2 :

A ( v)

–

v02 – d 2

v02 – d 2

v

Bild XI-19 Amplitudenspektrum einer (schwach) gedmpften Schwingung ðd < w 0 Þ

XI Fourier-Transformationen

411

Um das Phasenspektrum j ðwÞ zu bestimmen, mssen wir das Frequenzspektrum X ðwÞ zunchst in die kartesische Form bringen: X ðwÞ ¼

¼

¼

w0 2

ðd þ j wÞ þ

w 20

¼

w0 ¼ d þ 2 j d w w 2 þ w 20 2

w0 w0 w 0 ða j bÞ ¼ ¼ ¼ 2 a þ jb ða þ j bÞ ða j bÞ ðd þ w Þ þ j 2dw |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄ{zﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 3: Binom : a 2 j 2 b 2 b a 2

w 20

w0 a j w0 b w0 a j w0 b w0 a w0 b þj 2 ¼ ¼ 2 þ b2 a2 þ b2 a a þ bﬄ}2 a2 j2 b2 |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ Re ½ X ðwÞ Im ½ X ðwÞ

(mit a ¼ d 2 þ w 20 w 2 und b ¼ 2 d w) Der Phasenwinkel (das Argument) j der komplexen Funktion X ðwÞ wird aus der folgenden Gleichung berechnet [ A68 ]: w0 b Im ½ ðX ðwÞ w0 b a2 þ b2 b a2 þ b2 tan j ¼ ¼ 2 ¼ ) ¼ w0 a Re ½ X ðwÞ a þ b2 a w0 a a2 þ b2 ! b b 2dw j ¼ arctan ¼ arctan ¼ arctan a a d 2 þ w 20 w 2 Phasenspektrum: j ðwÞ ¼ arctan

2dw 2 d þ w 20 w 2

!

Der Kurvenverlauf ist in Bild XI-20 dargestellt (Sprungunstetigkeiten bei w 1=2 ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ w 20 þ d 2 ). f ( v)

–

v02 + d 2

Bild XI-20 Phasenspektrum einer gedmpften Schwingung

v02 + d 2

v

412

XI Fourier-Transformationen

Beispiel 9: Frequenzgang und Impulsantwort eines linearen bertragungssystems Inverse Fourier-Transformation, Faltungsprodukt (Faltungsintegral), Partialbruchzerlegung Der Frequenzgang eines bestimmten linearen bertragungssystems wird durch die echt gebrochenrationale Funktion G ðwÞ ¼

1 ða þ j wÞ ð b þ j wÞ

ða > 0; b > 0; a 6¼ Þ

beschrieben (w: Kreisfrequenz). Wie reagiert dieses System auf einen „Dirac-Impuls“ d ðtÞ im Eingang? Bestimmen Sie die sog. Impulsantwort g ðtÞ a) unter Verwendung des Faltungsproduktes (Faltungsintegrals), b) mit Hilfe der Partialbruchzerlegung von G ðwÞ und Rcktransformation (inverse FourierTransformation). Lsungshinweis: Der Frequenzgang G ðwÞ ist die Fourier-Transformierte der Impulsantwort g ðtÞ [ A68 ]. Lehrbuch: Bd. 2, V.1.3, V.4.7 und V.5.1

Physikalische Grundlagen: A68

Lsung: Die Impulsantwort g ðtÞ lsst sich aus dem Frequenzgang G ðwÞ durch Rcktransformation (inverse Fourier-Transformation) gewinnen: G ðwÞ ¼ F fg ðtÞg

g ðtÞ ¼ F 1 fG ðwÞg

)

a) Wir zerlegen zunchst den Frequenzgang G ð wÞ in ein Produkt aus zwei Faktoren G 1 ðwÞ und G 2 ðwÞ: 1 1 1 G ðwÞ ¼ ¼ ¼ G 1 ðwÞ G 2 ðwÞ ða þ j wÞ ð b þ j wÞ a þ jw b þ jw |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} G 1 ðwÞ G 2 ðwÞ Die zugehrigen Originalfunktionen g 1 ðtÞ und g 2 ðtÞ der beiden Faktoren ermitteln wir aus der Transformationstabelle (Tabelle 1, Nr. 9 mit a ¼ a bzw. a ¼ b): G 1 ðwÞ ¼

1 a þ jw

g 1 ðtÞ ¼ e a t s ðtÞ

G 2 ðwÞ ¼

1 b þ jw

g 2 ðtÞ ¼ e b t s ðtÞ

XI Fourier-Transformationen

413

Nach dem Faltungssatz lsst sich die gesuchte Impulsantwort g ðtÞ aus dem Faltungsprodukt der Originalfunktionen g 1 ðtÞ und g 2 ðtÞ ermitteln: g ðtÞ ¼ g 1 ðtÞ g 2 ðtÞ ¼

1 ð

g 1 ðuÞ g 2 ðt uÞ du ¼

1 1 ð

¼

e a u s ðuÞ e b ðt uÞ s ðt uÞ du ¼

1 1 ð

¼

e a u e b t e b u s ðuÞ s ðt uÞ du ¼

1

¼ e

bt

1 ð

e ðb aÞ u s ðuÞ s ðt uÞ du

1

Bevor wir das Faltungsintegral berechnen, mssen wir klren, welchen Wert das Produkt s ðuÞ s ðt uÞ im Integranden annimmt. s ðuÞ ist die Sprungfunktion (Einheitssprung) mit s ðuÞ ¼ 1 fr u 0 und s ðuÞ ¼ 0 im Intervall u < 0 (siehe Bild XI-21a)). Der zweite Faktor s ðt uÞ ist die zunchst an der vertikalen Achse gespiegelte und dann um die Strecke t nach rechts verschobene Sprungfunktion: Spiegelung

Verschiebung

! s ð u þ tÞ ¼ s ðt uÞ s ðuÞ ! s ð uÞ Spiegelung und Verschiebung sind in Bild XI-21 anschaulich dargestellt. s( u )

s( – u )

1

1

u

a)

b)

u

s( t – u ) 1

c)

t

u

Bild XI-21 Zur Spiegelung und Verschiebung der Sprungfunktion (Einheitssprung) s ðuÞ a) s ðuÞ b) s ð uÞ c) s ðt uÞ

414

XI Fourier-Transformationen

Das Produkt s ðuÞ s ðt uÞ verschwindet berall dort, wo einer der beiden Faktoren verschwindet, d. h. also fr u < 0 bzw. u > t. Im „berlappungsbereich“ 0 u t haben beide Faktoren und somit auch das Produkt den Wert 1 (siehe Bild XI-22). f(u)

s( u )

1

s( t – u )

Bild XI-22 t

u

0≤u≤t

Somit gilt: ( s ðuÞ s ðt uÞ ¼

1 f u¨ r 0

0 u t alle u¨ brigen u

Damit verschwindet der Integrand des Faltungsintegrals außerhalb des Intervalls 0 u t, d. h. die Integration beschrnkt sich auf das Intervall von u ¼ 0 bis u ¼ t : g ðtÞ ¼ e b t

ðt

e ðb aÞ u 1 du ¼ e b t

0

¼ ebt ¼

ðt

e ðb aÞ u du ¼ e b t

e ðb aÞ u ba

0

t ¼ 0

e ðb aÞ t 1 e b t e ðb aÞ t e b t ebt ebtat ebt ¼ ¼ ¼ ba ba ba

ebtþbtat ebt eat ebt ¼ ba ba

Diese Gleichung gilt nur fr t 0, fr negative t verschwindet g ðtÞ. Mit Hilfe der Sprungfunktion s ðtÞ lsst sich die Impulsantwort auch wie folgt darstellen: g ðtÞ ¼

eat ebt 1 at e b t s ðtÞ e s ðtÞ ¼ ba ba

b) Vor der Rcktransformation wird der Frequenzgang G ðwÞ wie folgt in Partialbrche zerlegt: G ðwÞ ¼

1 A B A ð b þ j wÞ þ B ða þ j wÞ ¼ þ ¼ ða þ j wÞ ð b þ j wÞ a þ jw b þ jw ða þ j wÞ ð b þ j wÞ

Die Brche stimmen im Nenner berein und mssen somit auch im Zhler bereinstimmen: A ð b þ j wÞ þ B ða þ j wÞ ¼ 1

)

bA þ jwA þ aB þ jwB ¼ 1

ð b A þ a BÞ þ j w ðA þ BÞ ¼ 1 ¼ 1 þ j 0

)

XI Fourier-Transformationen

415

Auf der rechten Seite haben wir den Summand j 0 ¼ 0 ergnzt. Durch Vergleich von Real- und Imaginrteil beiderseits erhalten wir zwei einfache Gleichungen fr die unbebekannten Konstanten A und B: (I)

bA þ aB ¼ 1

(II) w ðA þ BÞ ¼ 0 j : w 6¼ 0

)

AþB ¼ 0

)

B ¼ A

Einsetzen von B ¼ A in Gleichung (I) fhrt zu: (I) b A þ a B ¼ b A a A ¼ ð b aÞ A ¼ 1 1 B ¼ A ¼ ba

)

A ¼

1 , ba

Somit gilt (unter Bercksichtigung von B ¼ A bei der Zwischenrechnung): A B A A A A þ ¼ þ ¼ ¼ a þ jw b þ jw a þ jw b þ jw a þ jw b þ jw 1 1 1 1 1 ¼ A ¼ a þ jw b þ jw b a a þ jw b þ jw

G ðwÞ ¼

Durch Rcktransformation unter Verwendung der Transformationstabelle (Tabelle 1) erhalten wir schließlich aus G ðwÞ die gesuchte Impulsantwort g ðtÞ in bereinstimmung mit dem Ergebnis aus Teil a): 1 1 1 g ðtÞ ¼ F 1 fG ðwÞg ¼ F 1 ¼ b a a þ jw b þ jw 1 1 1 F 1 F 1 ¼ ¼ ba a þ jw b þ jw |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Nr: 9 mit a ¼ a Nr: 9 mit a ¼ b ¼

1 at 1 at s ðtÞ e b t s ðtÞ ¼ e b t s ðtÞ e e ba ba

XII Laplace-Transformationen Hinweis: Alle in den Lsungen angegebenen Nummern fr Integrale bzw. Laplace-Transformationen beziehen sich auf die Integraltafel bzw. Laplace-Transformationstabelle der Mathematischen Formelsammlung des Autors. Die Abkrzung Dgl bedeutet Differentialgleichung.

Beispiel 1: Ausschaltvorgang in einem RL-Schaltkreis Homogene lineare Dgl 1. Ordnung (Ableitungssatz fr Originalfunktionen)

An eine Spule mit dem ohmschen Widerstand R und der Induktivitt L wird zunchst eine konstante Spannung U angelegt. Nach einer gewissen Zeit fließt dann in diesem Kreis ein Gleichstrom der Strke I ¼ U=R . Zum Zeitpunkt t ¼ 0 wird die Spule durch Umlegen des Schalters S von der Spannungsquelle getrennt und gleichzeitig mit dem ohmschen Widerstand R 0 verbunden. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstrke i im Zeitintervall t 0 mit Hilfe der Laplace-Transformation.

R0 u R0 S

t=0

M

R

L

uR

uL

i

U

Bild XII-1

Lsungshinweis: Die Dgl fr die Stromstrke i erhalten Sie durch Anwendung der Maschenregel [ A32 ] auf die in Bild XII-1 eingezeichnete Masche M. Lehrbuch: Bd. 2, VI.2.5.1 und VI.5.1.2

Physikalische Grundlagen: A14, A32, A45

Lsung : Fr t 0 gilt nach der Maschenregel [ A32 ] u R þ u L þ u R0 ¼ 0 Mit den aus dem ohmschen Gesetz [ A14 ] bzw. dem Induktionsgesetz [ A45 ] gewonnenen Beziehungen uR ¼ R i ,

u R0 ¼ R 0 i

und

uL ¼ L

di dt

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24882-6_12

XII Laplace-Transformationen

417

erhalten wir hieraus die folgende homogene lineare Dgl I. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: Ri þ L

di þ R0 i ¼ 0 dt

oder

di R þ R0 i ¼ 0 þ L dt

Wir fhren noch die Zeitkonstante t ¼ L=ðR þ R 0 Þ ein. Das Ansfangswertproblem lsst sich dann in der Form di 1 þ i ¼ 0, dt t

Anfangswert: i ð0Þ ¼

U R

darstellen. Die Lsung erfolgt dabei in drei Schritten. (1) Transformation vom Original- in den Bildbereich (Laplace-Transformation) unter Verwendung des Ableitungssatzes fr Originalfunktionen l fi ðtÞg ¼ I ðsÞ U 1 s I ðsÞ þ I ðsÞ ¼ l f0g ¼ 0 R t (2) Lsung im Bildbereich Wir lsen die algebraische Gleichung nach der Bildfunktion I ðsÞ auf: 1 U U 1 sþ I ðsÞ ¼ ) I ðsÞ ¼ 1 t R R sþ t (3) Rcktransformation vom Bild- in den Originalbereich (inverse Laplace-Transformation) 1 Die Bildfunktion ist vom allgemeinen Typ F ðsÞ ¼ . Aus der Laplace-Transformasa tionstabelle entnehmen wir (Nr. 3 mit a ¼ 1=tÞ: 8 9 8 9 > > > > > > > R R :R s þ ; :s þ ; t t Die Stromstrke i klingt somit im Laufe der Zeit vom Anfangswert i ð0Þ ¼ U=R exponentiell gegen null ab (Abklingfunktion, siehe Bild XII-2).

i U R

Bild XII-2 t

418

XII Laplace-Transformationen

Beispiel 2: RC-Wechselstromkreis Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Ableitungssatz fr Originalfunktionen, Faltungssatz) An eine Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand R und einem Kondensator mit der Kapazitt C wird zum Zeitpunkt t ¼ 0 durch Schließen des Schalters S eine sinusfrmige Wechselspannung mit der Gleichung u ðtÞ ¼ u^ sin ðw tÞ angelegt (Bild XII-3). Bestimmen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung u C , wenn der Kondensator im Einschaltaugenblick t ¼ 0 energielos, d. h. ungeladen ist.

R uR i

C

uC

t=0 S u

u^: Scheitelwert der Spannung; w: Kreisfrequenz Bild XII-3 Lsungshinweis: Leiten Sie zunchst aus der Maschenregel [ A32 ] die Dgl fr die Kondensatorspannung u C her und lsen Sie diese dann mit Hilfe der Laplace-Transformation unter Verwendung des Faltungssatzes. Anmerkung: Diese Aufgabe wird in Kapitel IX, Beispiel 6 mit der klassischen Methode „Aufsuchen einer partikulren Lsung“ gelst. Lehrbuch: Bd. 2, VI.2.5.1, VI.2.7 und VI.5.1.2

Physikalische Grundlagen: A14, A32, A40

Lsung : Nach der Maschenregel [ A32 ] gilt uR þ uC u ¼ 0

oder

uR þ uC ¼ u

Ferner ist nach dem ohmschen Gesetz [ A14 ] u R ¼ R i, wobei die Stromstrke i mit der Kondensatorladung q und der Kondensatorspannung u C noch wie folgt verknpft ist: i ¼

dq d d uC ¼ C u_ C ¼ ðC u C Þ ¼ C dt dt dt

(q ¼ C u C [ A40 ]). Somit gilt u R ¼ R i ¼ R C u_ C ¼ t u_ C

(t ¼ R C : Zeitkonstante)

Die Maschengleichung geht dabei unter Bercksichtigung von u ¼ u^ sin ðw tÞ in die folgende inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ber: t u_ C þ u C ¼ u^ sin ðw tÞ

oder

u_ C þ

u^ 1 sin ðw tÞ uC ¼ t t

XII Laplace-Transformationen

419

Zu Beginn, d. h. zur Zeit t ¼ 0 ist der Kondensator ungeladen: u C ð0Þ ¼ 0. Wir lsen dieses Anfangswertproblem schrittweise wie folgt. (1) Transformation vom Original- in den Bildbereich (Laplace-Transformation) unter Verwendung des Ableitungssatzes fr Originalfunktionen l fu C ðtÞg ¼ U C ðsÞ ½ s U C ðsÞ 0 þ

1 U C ðsÞ ¼ l t ¼

u^ sin ðw tÞ ¼ t

u^ u^ w l fsin ðw tÞg ¼ t t s2 þ w2

(Laplace-Transformation Nr. 24 mit a ¼ w) (2) Lsung im Bildbereich Die algebraische Gleichung wird nach der Bildfunktion U C ðsÞ aufgelst: u^ 1 w sþ 2 ) U C ðsÞ ¼ t s þ w2 t 0 1 u^ u^ w B 1 C F1 ðsÞ F2 ðsÞ U C ðsÞ ¼ @ ¼ 1A t t s2 þ w2 s þ |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} t |ﬄﬄ{zﬄﬄ} F1 ðsÞ F2 ðsÞ (3) Rcktransformation vom Bild- in den Originalbereich (inverse Laplace-Transformation) Es ist u C ðtÞ ¼ l

1

fU C ðsÞg ¼ l

1

u^ u^ F1 ðsÞ F2 ðsÞ ¼ l 1 fF1 ðsÞ F2 ðsÞg t t

Nach dem Faltungssatz gilt weiter u^ u^ u C ðtÞ ¼ ð f 1 ðtÞ f 2 ðtÞÞ ¼ t t

ðt

f 1 ðxÞ f 2 ðt xÞ dx

0

wobei f 1 ðtÞ und f 2 ðtÞ die zunchst noch unbekannten Originalfunktionen der beiden Bildfunktionen F1 ðsÞ und F2 ðsÞ bedeuten. Diese aber lassen sich anhand der LaplaceTransformationstabelle leicht bestimmen: w 1 1 f 1 ðtÞ ¼ l 1 fF1 ðsÞg ¼ l 1 2 ¼ w l ¼ s þ w2 s2 þ w2 ¼ w

sin ðw tÞ ¼ sin ðw tÞ w

ðNr: 24 mit a ¼ wÞ

420

XII Laplace-Transformationen

f 2 ðtÞ ¼ l 1 fF2 ðsÞg ¼ l 1

8 > <

9 > =

1

> :s þ 1 > ; t

¼ e

t t

ðNr: 3 mit a ¼ 1=tÞ

Fr die gesuchte Originalfunktion u C ðtÞ erhalten wir damit die Integraldarstellung u^ u^ u C ðtÞ ¼ ð f 1 ðtÞ f 2 ðtÞÞ ¼ t t

ðt

f 1 ðxÞ f 2 ðt xÞ dx ¼

0

u^ ¼ t

ðt

sin ðw xÞ

tx e t

u^ dx ¼ t

0

¼

u^ t e t t

ðt

t

x

sin ðw xÞ e t e t dx ¼

0

ðt

x

e t sin ðw xÞ dx

0

(sog. Faltungsintegral). Die Auswertung des Integrals soll hier mit der Integraltafel der Formelsammlung erfolgen. Das Integral ist dabei vom Integraltyp Nr. 322: ð h i eax e a x sin ðb xÞ dx ¼ 2 a sin ðb xÞ b cos ðb xÞ 2 a þb Mit a ¼ 1=t und b ¼ w folgt hieraus fr das Faltungsintegral (ohne den Faktor vor dem Integral): 3t 2 x ðt x t e 1 7 6 e t sin ðw xÞ dx ¼ 4 sin ðw xÞ w cos ðw xÞ 5 ¼ 1 t 2 þw 0 t2 0 t x sin ðw xÞ w t cos ðw xÞ 1 ¼ et ¼ t 1 þ w2 t2 0 t2 h x it t2 t ½ sin ðw xÞ w t cos ðw xÞ e ¼ ¼ 0 t ½ 1 þ ðw tÞ 2 h t i t t ½ sin ðw tÞ w t cos ðw tÞ 1 ð0 w t 1Þ ¼ e ¼ 1 þ ðw tÞ 2 i h t t ¼ e t ½ sin ðw tÞ w t cos ðw tÞ þ w t 2 1 þ ðw tÞ Fr die Kondensatorspannung erhalten wir damit die fr t 0 gltige Zeitabhngigkeit u^ t u C ðtÞ ¼ e t t

ðt

x

e t sin ðw xÞ dx ¼

0

i h t u^ t t t ½ sin ðw tÞ w t cos ðw tÞ þ w t ¼ e t ¼ e t 1 þ ðw tÞ 2

XII Laplace-Transformationen ¼

u^ 1 þ ðw tÞ 2

421

e

t t

h

t

e t ½ sin ðw tÞ w t cos ðw tÞ þ w t

i

¼

h

i t u^ w t t t e t e t ½ sin ðw tÞ w t cos ðw tÞ þ e t ¼ 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} 1 þ ðw tÞ 1 þ ðw tÞ e0 ¼ 1 u^ u^ w t t ¼ ½ sin ðw tÞ w t cos ðw tÞ þ e t 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 2 1 þ ðw tÞ 1 þ ðw tÞ A sin ðw t jÞ

¼

u^

2

Wie in Kapitel IX, Beispiel 6 bereits gezeigt wurde, lsst sich der trigonometrische Ausdruck, der eine berlagerung frequenzgleicher Sinus- und Kosinusschwingungen darstellt, in die folgende phasenverschobene Sinusschwingung gleicher Frequenz umformen: qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sin ðw tÞ w t cos ðw tÞ ¼ A sin ðw t jÞ ¼ 1 þ ðw tÞ 2 sin ðw t arctan ðw tÞÞ Somit liegt am Kondensator die Spannung qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ u^ u^ w t t u C ðtÞ ¼ 1 þ ðw tÞ 2 sin ðw t arctan ðw tÞÞ þ e t ¼ 2 2 1 þ ðw tÞ 1 þ ðw tÞ u^ u^ w t t ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sin ðw t arctan ðw tÞÞ þ e t, 2 2 1 þ ðw tÞ 1 þ ðw tÞ

t 0

Sie enthlt einen exponentiell rasch gegen null abklingenden „flchtigen“ Anteil (2. Summand, streng monoton fallende Exponentialfunktion), der nach einer kurzen „Einschwingphase“ praktisch keine Rolle mehr spielt (siehe Bild XII-4) und einen „stationren“ Anteil (1. Summand), der eine sinusfrmige Wechselspannung mit dem Scheitelwert u^ u^ 0 ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ und dem Nullphasenwinkel j ¼ arctan ðw tÞ beschreibt, wobei die 1 þ ðw tÞ 2 Frequenz die der angelegten Wechselspannung ist (Bild XII-5). u u

u0

u vt 1 + ( vt ) 2

f v

t

Periodenintervall T = 2p

v

t

Bild XII-4 „Flchtiger“ Anteil

Bild XII-5 „Stationrer“ Anteil

422

XII Laplace-Transformationen

Beispiel 3: RL-Schaltkreis mit Rampenspannung Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Ableitungssatz fr Originalfunktionen) An eine Spule mit dem ohmschen Widerstand R und der Induktivitt L wird zum Zeitpunkt t ¼ 0 durch Schließen des Schalters S eine mit der Zeit t linear ansteigende Spannung mit der Gleichung

R

L

uR

uL

i

u ðtÞ ¼ k t ,

t 0

ðk > 0Þ t=0

angelegt (Bild XII-6). Bestimmen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation den zeitlichen Verlauf der Stromstrke i im Zeitintervall t 0, wenn der Stromkreis zu Beginn, d. h. zur Zeit t ¼ 0 stromlos ist.

S u = kt

Bild XII-6

Lsungshinweis: Die Anwendung der Maschenregel [ A32 ] auf den R L-Schaltkreis fhrt auf eine Dgl fr die Stromstrke i, die sich mit Hilfe der Laplace-Transformation lsen lsst. Lehrbuch: Bd. 2, VI.2.5.1 und VI.5.1.2

Physikalische Grundlagen: A14, A32, A45

Lsung : Fr t 0 gilt nach der Maschenregel [ A32 ] uR þ uL u ¼ 0

oder

uR þ uL ¼ u

Dabei ist u ¼ k t und ferner nach dem ohmschen Gesetz [ A14 ] u R ¼ R i und nach dem di Induktionsgesetz [ A45 ] u L ¼ L . Die Maschengleichung fhrt dann zu der folgenden dt inhomogenen linearen Dgl 1. Ordnung: Ri þ L

di ¼ kt dt

oder

di R k þ i ¼ t dt L L

Wir fhren noch die Zeitkonstante t ¼ L=R ein. Das Anfangswertproblem lautet dann di 1 k þ i ¼ t, dt t L

Anfangswert: i ð0Þ ¼ 0

und wird schrittweise wie folgt gelst. (1) Transformation vom Original- in den Bildbereich (Laplace-Transformation) unter Verwendung des Ableitungssatzes fr Originalfunktionen l fi ðtÞg ¼ I ðsÞ ½ s I ðsÞ 0 þ

1 k k k 1 I ðsÞ ¼ l t ¼ l ftg ¼ 2 t L L L s

ðNr: 4Þ

XII Laplace-Transformationen

423

(2) Lsung im Bildbereich Wir lsen die algebraische Gleichung nach der Bildfunktion I ðsÞ auf: 1 k 1 I ðsÞ ¼ 2 sþ t L s

)

k L

I ðsÞ ¼

1

s2 s þ

1 t

(3) Rcktransformation vom Bild- in den Originalbereich (inverse Laplace-Transformation) 1 Die Bildfunktion ist vom allgemeinen Typ F ðsÞ ¼ 2 . Aus der Laplace-Transs ðs aÞ formationstabelle entnehmen wir (Nr. 11 mit a ¼ 1=tÞ: 8 > > > > > > > = < = 1 k 1 1 1 1 ¼ l ¼ i ðtÞ ¼ l fI ðsÞg ¼ l > > 1 > 1 > L L > > > > : ; :s 2 s þ ; s2 s þ t t k ¼ L

¼

e

t t

þ

t 1 t

1 t2

t k t2 t t k t2 t e t þ t t ¼ e t þ 1 ¼ ¼ L L t t

kt

t t t þt e t , L

t 0

Der zeitliche Verlauf der Stromstrke i ist in Bild XII-7 wiedergegeben. Fr große t-Werte, d. h. fr t t ist der Stromverlauf nahezu linear: i ðtÞ

kt ðt tÞ , L

t t

i t

Begrndung: Die Exponentialfunktion e t ist wegen t > 0 fr große t-Werte vernachlssigbar klein und strebt fr t ! 1 gegen null.

i ~ ( t – t)

–

k t2 L

Bild XII-7

Asymptote für t

t

t

424

XII Laplace-Transformationen

Beispiel 4: RC-Schaltkreis mit einem rechteckigen Spannungsimpuls Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Ableitungssatz fr Originalfunktionen, 1. Verschiebungssatz) An eine Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand R und einem Kondensator mit der Kapazitt C wird zum Zeitpunkt t ¼ 0 durch Schließen des Schalters S ein rechteckiger Spannungsimpuls mit der Gleichung 8 9 0 t a> > < U0 = u ðtÞ ¼ f u¨ r ða > 0Þ > > : ; 0 t > a angelegt (Bild XII-8). Bestimmen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation unter Verwendung des 1. Verschiebungssatzes den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung u C .

R uR i

C

uC

t=0 S u

Bild XII-8

Lsungshinweis: Die Dgl fr die Kondensatorspannung u C erhalten Sie mit Hilfe der Maschenregel [ A32 ]. Lehrbuch: Bd. 2, VI.2.3.1, VI.2.5.1 und VI.5.1.2

Physikalische Grundlagen: A14, A32, A40

Lsung : Nach der Maschenregel [ A32 ] ist uR þ uC u ¼ 0

oder

uR þ uC ¼ u

Fr den im Schaltkreis fließenden Strom der Strke i gilt unter Bercksichtigung der Kondensatorladung q ¼ C u C [ A40 ]: i ¼

dq d d uC ¼ C u_ C ¼ ðC u C Þ ¼ C dt dt dt

Nach dem ohmschen Gesetz [ A14 ] betrgt die am ohmschen Widerstand R abfallende Spannung u R ¼ R i ¼ R C u_ C ¼ t u_ C (t ¼ R C : Zeitkonstante). Die Maschengleichung geht damit ber in t u_ C þ u C ¼ u

oder

u_ C þ

1 u uC ¼ t t

Dies ist eine inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten mit der Anfangsbedingung u C ð0Þ ¼ 0 (der Kondensator ist zu diesem Zeitpunkt ungeladen). Den von außen angelegten Rechteckimpuls nach Bild XII-9a) knnen wir auch als Differenz zweier zeitlich versetzter Sprungimpulse auffassen (Bild XII-9b)):

XII Laplace-Transformationen

425

u ¼ u ðtÞ ¼ u 1 ðtÞ u 2 ðtÞ 8 9 t < 0= < 0 mit u 1 ðtÞ ¼ f u¨ r : ; U0 t 0

u 2 ðtÞ ¼

und

8 < 0 :

f u¨ r

U0

9 t < a= t a

;

oder unter Verwendung der Sprungfunktion (Sigmafunktion) u 1 ðtÞ ¼ U 0 s ðtÞ

und

u 2 ðtÞ ¼ U 0 s ðt aÞ

(Sprungstellen bei t ¼ 0 bzw. t ¼ a, siehe Bild XII-9b)).

Bild XII-9 Rechteckimpuls als Differenz zweier zeitlich versetzter Sprungimpulse Die Lsung dieser Anfangswertaufgabe erfolgt in drei Schritten. (1) Transformation vom Original- in den Bildbereich (Laplace-Transformation) unter Verwendung des Ableitungssatzes fr Originalfunktionen l fu C ðtÞg ¼ U C ðsÞ ½ s U C ðsÞ 0 þ

1 U C ðsÞ ¼ l t

u ðtÞ t

¼

1 l fu ðtÞg t

Dabei ist l fu ðtÞg ¼ l fu 1 ðtÞ u 2 ðtÞg ¼ l fu 1 ðtÞg l fu 2 ðtÞg ¼ ¼ l fU 0 s ðtÞg l fU 0 s ðt aÞg ¼ U 0 l fs ðtÞg U 0 l fs ðt aÞg ¼ 1 1 1 eas 1 eas as ¼ U0 ¼ U0 U0 e ¼ U0 s s s s s (Laplace-Transformation Nr. 2 in Verbindung mit dem 1. Verschiebungssatz, Verschiebung auf der Zeitachse um a nach rechts). Somit gilt ½ s U C ðsÞ 0 þ

1 1 1 eas U0 1 eas ¼ U C ðsÞ ¼ U0 s t s t t

(2) Lsung im Bildbereich Wir lsen die algebraische Gleichung nach der Bildfunktion U C ðsÞ auf: 1 U0 1 eas U0 1 eas sþ U C ðsÞ ¼ ) U C ðsÞ ¼ 1 t t s t s sþ t

426

XII Laplace-Transformationen

(3) Rcktransformation vom Bild- in den Originalbereich (inverse Laplace-Transformation) 8 9 8 9 > > > > > > > > > 1 > 1 > t t > > > > : ; :s s þ ; s sþ t t 8 9 > > > > < U0 1 eas = 1 ¼ ¼ l > 1 1 > t > > :s s þ ; s sþ t t 8 9 8 9 > > > > > > > < = < eas > = U0 1 U 0 ¼ ¼ l1 l1 > > 1 > 1 > t t > > > > :s s þ ; :s s þ ; t t |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} F ðsÞ e a s F ðsÞ ¼

U0 U0 l 1 fF ðsÞg l 1 fe a s F ðsÞg t t

Die Originalfunktion f ðtÞ zur Bildfunktion F ðsÞ entnehmen wir der Laplace-Transformationstabelle (Nr. 5 mit a ¼ 1=t): 8 9 > > > > t < =

1 e t 1 t 1 1 ¼ f ðtÞ ¼ l fF ðsÞg ¼ l ¼ t 1e t 1 > 1 > > > :s s þ ; t t Nach dem 1. Verschiebungssatz ist dann l 1 fe a s F ðsÞg ¼ f ðt aÞ Somit erhalten wir bei der Rcktransformation des zweiten Summanden eine um a nach rechts verschobene Funktion: 8 9 > > > < eas > =

ta 1 as 1 ¼ t 1 e t , F ðsÞg ¼ l l fe t a > 1 > > > :s s þ ; t Die gesuchte Kondensatorspannung u C ðtÞ entsteht somit durch berlagerung zweier zeitlich versetzter Teilspannungen u C 1 ðtÞ und u C 2 ðtÞ, deren Gleichungen wie folgt lauten:

U0 U0 t t l 1 fF ðsÞg ¼ t 1 e t ¼ U0 1 e t , u C 1 ðtÞ ¼ t 0 t t u C 2 ðtÞ ¼

U0 U0

ta ¼ l 1 fe a s F ðsÞg ¼ t 1 e t t t

XII Laplace-Transformationen

ta ¼ U0 1 e t ,

427

t a

Mit Hilfe der Sprungfunktion lassen sich die Teilspannungen auch wie folgt beschreiben:

t u C 1 ðtÞ ¼ U 0 1 e t s ðtÞ

ta u C 2 ðtÞ ¼ U 0 1 e t s ðt aÞ Bild XII-10 zeigt den zeitlichen Verlauf dieser Teilspannungen. Wir beschftigen uns jetzt mit der Gesamtlsung: uC U0

u C1

u C2

Bild XII-10 a

t

Im Zeitintervall 0 t a liefert nur u C 1 ðtÞ einen Beitrag:

t 0 t a u C ðtÞ ¼ u C 1 ðtÞ ¼ U 0 1 e t , Vom Zeitpunkt t ¼ a an gilt dagegen

t ta u C ðtÞ ¼ u C 1 ðtÞ u C 2 ðtÞ ¼ U 0 1 e t U 0 1 e t ¼

ta t ta t ¼ U0 1 e t 1 þ e t ¼ U0 e t e t ¼

t

a a t t ¼ U0 e t et e t ¼ U0 et 1 e t ,

t a

Zusammengefasst erhalten wir den folgenden Spannungsverlauf am Kondensator:

8 9 t > > t 1 e 0 t a U 0 > > < = u C ðtÞ ¼ ¨ f u r

> > > > : U e at 1 e tt t a; 0

428

XII Laplace-Transformationen

Bild XII-11 zeigt den zeitlichen Spannungsverlauf am Kondensator. Die Spannung steigt zunchst nach einer Sttigungsfunktion bis zum Maximalwert

a u C ðaÞ ¼ U 0 1 e t

uC U0 u C (a) u C1 u C1 – u C2

im Zeitpunkt t ¼ a an und fllt anschließend im Laufe der Zeit exponentiell gegen null ab.

a

t

Bild XII-11

Beispiel 5: Rohrzuckerinversion Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung ( Ableitungssatz fr Originalfunktionen) Die Inversion des Rohrzuckers liefert ein wichtiges Beispiel fr eine chemische Reaktion 1. Ordnung. Sie wird durch die folgende inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben: x_ ¼ k ða xÞ

oder

x_ þ k x ¼ k a

Dabei bedeuten: a: Anzahl der Rohrzuckermolekle zu Beginn der chemischen Reaktion ðZeitpunkt t ¼ 0Þ x ¼ x ðtÞ: Umsatzvariable (Anzahl der invertierten Molekle pro Zeiteinheit) zur Zeit t k > 0: Geschwindigkeitskonstante der chemischen Reaktion Somit ist a x die Anzahl der Rohrzuckermolekle zur Zeit t. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Umsatzvariablen x unter Verwendung der Laplace-Transformation. Hinweis: Bei der Herleitung dieser Dgl geht man davon aus, dass die Anzahl dx der im Zeitintervall dt invertierenden Rohrzuckermolekle sowohl der augenblicklichen Anzahl a x als auch dem Zeitintervall dt direkt proportional ist: d x ða xÞ dt

oder

dx ¼ x_ ða xÞ dt

Durch Einfhren des Proportionalittsfaktors k > 0 entsteht aus dieser Proportion die obige Dgl. Lehrbuch: Bd. 2, VI.2.5.1 und VI.5.1.2

XII Laplace-Transformationen

429

Lsung : Zu Beginn der chemischen Reaktion. d. h. zur Zeit t ¼ 0 hat noch kein Umsatz stattgefunden. Somit gilt x ð0Þ ¼ 0. Wir lsen das vorliegende Anfangswertproblem schrittweise wie folgt. (1) Transformation vom Original- in den Bildbereich (Laplace-Transformation) unter Verwendung des Ableitungssatzes fr Originalfunktionen l fx ðtÞg ¼ X ðsÞ ½ s X ðsÞ 0 þ k X ðsÞ ¼ l fk ag ¼ k a l f1g ¼ k a

1 s

ðNr: 2Þ

(2) Lsung im Bildbereich Wir lsen die Gleichung nach der Bildfunktion X ðsÞ auf: ðs þ kÞ X ðsÞ ¼ k a

1 s

)

X ðsÞ ¼ k a

1 s ðs þ kÞ

(3) Rcktransformation vom Bild- in den Originalbereich (inverse Laplace-Transformation) x ðtÞ ¼ l

1

¼ ka

fX ðsÞg ¼ l

1

ka

1 1 1 ¼ ka l ¼ s ðs þ kÞ s ðs þ kÞ

ekt 1 ¼ a ðe k t 1Þ k

(Laplace-Transformation Nr. 5 mit a ¼ k) Die Umsatzvariable x hngt damit wie folgt von der Zeit t ab: x ðtÞ ¼ a ðe k t 1Þ ¼ a ð1 e k t Þ ,

t 0

Nach (theoretisch) unendlich langer Zeit ðt ! 1Þ ist die Rohrzuckerinversion abgeschlossen. Der Umsatz betrgt dann erwartungsgemß (alle Rohrzuckermolekle wurden umgewandelt): x ðt ! 1Þ ¼ lim x ðtÞ ¼ lim a ð1 e k t Þ ¼ a ð1 0Þ ¼ a t!1

t!1

Bild XII-12 zeigt den Verlauf dieser „Sttigungsfunktion“.

x a

x = a (1 – e – kt)

Bild XII-12 t

430

XII Laplace-Transformationen

Beispiel 6: Bewegung einer Masse im Erdkanal Homogene lineare Dgl 2. Ordnung ( Ableitungssatz fr Originalfunktionen) Bild XII-13 zeigt die Erdkugel mit einem durch den Erdmittelpunkt verlaufenden Kanal. Zur Zeit t ¼ 0 wird aus der Ruhe heraus eine Punktmasse m von der Erdoberflche aus in den Erdkanal fallengelassen. Die augenblickliche Position dieser Masse lsst sich durch die eingezeichnete Koordinate x ¼ x ðtÞ beschreiben (Abstand der Punktmasse vom Erdmittelpunkt, nach oben hin positiv gerechnet).

x R

m

x

M(x)

R

Mittelpunkt

a) Wie lautet die Dgl dieser Bewegung? Erdkanal

b) Bestimmen Sie mit Hilfe der LaplaceTransformation das Weg-Zeit-Gesetz x ¼ x ðtÞ der Bewegung. Bild XII-13

R: Erdradius; r: konstant angenommene Dichte der Erdkugel; g: Gravitationskonstante Lsungshinweis: Reibungskrfte sollen unbercksichtigt bleiben. Fr die Bewegung der Punktmasse ist ausschließlich die Gravitationskraft verantwortlich [ A18 ]. Die Anziehung der Punktmasse in der durch die Koordinate x eindeutig beschriebenen Position erfolgt dabei durch die Masse M ðxÞ der „reduzierten“ Erdkugel vom Radius r ¼ j x j, in Bild XII-13 grau unterlegt! Diese Masse nimmt zunchst ab und dann nach dem Erreichen des Erdmittelpunktes wieder zu. Bestimmen Sie zunchst die Abhngigkeit der „reduzierten“ Erdmasse M ðxÞ von der Lagekoordinate x. Lehrbuch: Bd. 2, VI.2.5.1 und VI.5.1.3

Physikalische Grundlagen: A18, A27

Lsung : a) Zunchst bestimmen wir die reduzierte Erdmasse M ðxÞ ¼ r V ðxÞ, wobei r die konstante Dichte der Erdkugel und V ðxÞ das von der Koordinate x abhngende Volumen der „reduzierten“ Erdkugel mit dem Radius r ¼ j x j bedeuten: M ðxÞ ¼ r V ðxÞ ¼ r

4 4 4 pr3 ¼ r p j x j3 ¼ p r j x j3 3 3 3

Die Punktmasse m erfhrt dann nach dem Gravitationsgesetz von Newton [ A18 ] die folgende Anziehungskraft (der Schwerpunkt der „reduzierten“ Erdmasse liegt im Erdmittelpunkt):

XII Laplace-Transformationen

F ¼ F ðxÞ ¼ g

431

m M ðxÞ j x j2

m ¼ g

4 p r j x j3 4 3 ¼ pgrm jxj 2 3 jxj

ðmit j x j RÞ Die Kraft F ðxÞ ist also betragsmßig dem Abstand j x j direkt proportional. Sie ist stets auf den Mittelpunkt der Erde gerichtet. Die Richtung der Kraft wird blicherweise durch ein Vorzeichen geregelt. Fr x > 0 drfen wir j x j durch x ersetzen, die Kraft ist aber der positiven Zhlrichtung entgegengerichtet und muss daher ein negatives Vorzeichen tragen. Diese Regelung gilt auch fr x < 0 . Damit erhalten wir den folgenden Zusammenhang zwischen der Gravitationskraft F ðxÞ und der Lagekoordinate x: F ðxÞ ¼

4 pgrm x, 3

R x R

Kontrolle (siehe hierzu Bild XII-14): x > 0

)

F ðxÞ < 0

)

F ðxÞ

ist nach unten gerichtet (Bild XII-14a))

x < 0

)

F ðxÞ > 0

)

F ðxÞ

ist nach oben gerichtet (Bild XII-14b)))

m Erdkanal F

x>0

x=0

x=0 F Erdkanal

x 0 vorausgesetzt __x þ w x ¼ w 0 l m Anfangsbedingungen: x ð0Þ ¼ x 0 , v ð0Þ ¼ x_ ð0Þ ¼ 0 Wir lsen dieses Anfangswertproblem in drei Schritten. (1) Transformation vom Original- in den Bildbereich (Laplace-Transformation) unter Verwendung des Ableitungssatzes fr Originalfunktionen l fx ðtÞg ¼ X ðsÞ ½ s 2 X ðsÞ s x 0 0 þ w 2 X ðsÞ ¼ l fw 20 l g ¼ w 20 l l f1g ¼ w 20 l

1 s

(Laplace-Transformation Nr. 2) (2) Lsung im Bildbereich s 2 X ðsÞ s x 0 þ w 2 X ðsÞ ¼ ðs 2 þ w 2 Þ X ðsÞ s x 0 ¼ w 20 l ðs 2 þ w 2 Þ X ðsÞ ¼ x 0 s þ w 20 l X ðsÞ ¼ x 0

1 s

1 s

)

)

s 1 þ w 20 l s2 þ w2 s ðs 2 þ w 2 Þ

(3) Rcktransformation vom Bild- in den Originalbereich (inverse Laplace-Transformation) s 1 2 x ðtÞ ¼ l 1 fX ðsÞg ¼ l 1 x 0 2 þ w l ¼ 0 s þ w2 s ðs 2 þ w 2 Þ s 1 1 2 1 ¼ ¼ x0 l þ w0 l l s2 þ w2 s ðs 2 þ w 2 Þ |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} F1 ðsÞ F2 ðsÞ ¼ x 0 l 1 fF1 ðsÞg þ w 20 l l 1 fF2 ðsÞg

434

XII Laplace-Transformationen

Fr die beiden Bildfunktionen F1 ðsÞ und F2 ðsÞ entnehmen wir der Laplace-Transformationstabelle der Formelsammlung folgende Originalfunktionen: s l 1 fF1 ðsÞg ¼ l 1 2 ¼ cos ðw tÞ ðNr: 25 mit a ¼ wÞ s þ w2 1 1 cos ðw tÞ l 1 fF2 ðsÞg ¼ l 1 ðNr: 36 mit a ¼ wÞ ¼ 2 2 s ðs þ w Þ w2 Die Schwingung des rotierenden Federpendel wird somit durch das folgende Weg-ZeitGesetz beschrieben ðt 0Þ: x ðtÞ ¼ x 0 l 1 fF1 ðsÞg þ w 20 l l 1 fF2 ðsÞg ¼ 1 cos ðw tÞ ¼ w2 w2 l

¼ x 0 cos ðw tÞ þ 02 1 cos ðw tÞ ¼ w ¼ x 0 cos ðw tÞ þ w 20 l

w2 l w2 l ¼ x 0 cos ðw tÞ þ 02 02 cos ðw tÞ ¼ w w

w 20 l w2 l x 0 2 cos ðw tÞ þ 02 w w

Mit der Abkrzung K ¼ w 20 l=w 2 lsst sich diese Gleichung auch wie folgt schreiben: x ðtÞ ¼ ðx 0 K Þ cos ðw tÞ þ K ¼ A cos ðw tÞ þ K , |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} A

t 0

Es handelt sich also um eine harmonische Kosinusschwingung, der sich eine konstante Auslenkung (Summand K ) berlagert. Kreisfrequenz w, Schwingungsdauer T, Amplitude A ¼ x 0 K und die Konstante K hngen dabei noch wie folgt von den bekannten Grßen c, m, l, w 0 und x 0 ab: rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ c m w 20 2p m w ¼ , , T ¼ ¼ 2p w m c m w 20 K ¼

w 20 l w 20 l m l w 20 ¼ , ¼ 2 2 w c m w 20 c m w0 m

A ¼ x0 K ¼ x0

m l w 20 c m w 20

Bild XII-16 zeigt den zeitlichen Verlauf dieser harmonischen Schwingung. x x0 v02 l

2A

v2

2 v02 l v2

– x0 T = 2p

v

Bild XII-16 t

XII Laplace-Transformationen

435

Beispiel 8: Erzwungene mechanische Schwingung im Resonanzfall Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung ( Ableitungssatz fr Originalfunktionen) Ein ungedmpftes schwingungsfhiges mechanisches System mit der Eigenkreisfrequenz w 0 wird durch eine ußere periodische Kraft mit derselben Kreisfrequenz w 0 zu erzwungenen Schwingungen angeregt (Resonanzfall). Lsen Sie die Schwingungsgleichung

__x þ w 20 x

¼ a 0 cos ðw 0 tÞ

ðmit a 0 > 0 und w 0 > 0Þ

fr die Anfangswerte x ð0Þ ¼ 0 und v ð0Þ ¼ x_ ð0Þ ¼ 0 mit Hilfe der Laplace-Transformation. Dabei sind x ¼ x ðtÞ und v ¼ v ðtÞ Lagekoordinate und Geschwindigkeit der schwingenden Masse zur Zeit t 1). Lehrbuch: Bd. 2, VI.2.5.1 und VI.5.1.3

Lsung : Die Lsung dieses Anfangswertproblems erfolgt in drei Schritten. (1) Transformation vom Original- in den Bildbereich (Laplace-Transformation) unter Verwendung des Ableitungssatzes fr Originalfunktionen l fx ðtÞg ¼ X ðsÞ ½ s 2 X ðsÞ s 0 0 þ w 20 X ðsÞ ¼ l fa 0 cos ðw 0 tÞg ¼ ¼ a 0 l fcos ðw 0 tÞg ¼ a 0

s s 2 þ w 20

(Laplace-Transformation Nr. 25 mit a ¼ w 0 Þ (2) Lsung im Bildbereich Die algebraische Gleichung wird nach der Bildfunktion X ðsÞ aufgelst: s 2 X ðsÞ þ w 20 X ðsÞ ¼ ðs 2 þ w 20 Þ X ðsÞ ¼ a 0 X ðsÞ ¼ a 0

s s 2 þ w 20

)

s ðs 2

þ w 20 Þ 2

(3) Rcktransformation vom Bild- in den Originalbereich (inverse Laplace-Transformation) Die Bildfunktion ist vom allgemeinen Typ F ðsÞ ¼ Nr. 38). Wir erhalten daher mit a ¼ w 0 1)

s

(Laplace-Transformation þ a 2Þ 2 die folgende Originalfunktion: ðs 2

Die erregende Kraft ist F ðtÞ ¼ F0 cos ðw 0 tÞ. Sie erzeugt eine maximale Beschleunigung von a 0 ¼ F0 =m, wobei m die schwingende Masse bedeutet.

436

XII Laplace-Transformationen

( x ðtÞ ¼ l

1

¼ a0

fX ðsÞg ¼ l

1

a0

s

)

ðs 2 þ w 20 Þ 2

t sin ðw 0 tÞ a0 ¼ t sin ðw 0 tÞ , 2 w0 2 w0

Der zeitliche Verlauf dieser Schwingung ist in Bild XII-l7 dargestellt. Die a0 „Schwingungsamplitude“ A ¼ t 2 w0 vergrßert sich dabei proportional mit der Zeit t. Das schwingende System wird somit allmhlich zerstrt, es kommt zur sog. Resonanzkatastrophe.

( ¼ a0 l

)

s

1

¼

ðs 2 þ w 20 Þ 2

t 0

x x=

a0 t 2v0

t

x=–

a0 t 2v0

Bild XII-17

Beispiel 9: Erzwungene Schwingung eines mechanischen Systems Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung (Ableitungssatz fr Originalfunktionen) Bild XII-18 zeigt ein schwingungsfhiges mechanisches System, bestehend aus zwei gleichen, mit einer Fundamentplatte fest verbundenen elastischen Federn und einer Masse m. Die Verbindung der Federn mit der Masse erfolgt dabei ber ein biegsames, jedoch nicht dehnbares Seil, das ber eine Zylinderscheibe gespannt ist. Die Fundamentplatte fhrt in vertikaler Richtung eine periodische Bewegung nach der Gleichung y ðtÞ ¼ y 0 sin ðw tÞ ,

t 0

Zylinderscheibe r

f

Seil

x(t) m

ðy 0 > 0Þ

aus und erregt das System zu erzwungenen Schwingungen. a) Wie lautet die Dgl dieser Schwingung?

Einzelfeder

b) Bestimmen Sie die Lsung der Schwingungsgleichung fr die Anfangswerte x ð0Þ ¼ 0, v ð0Þ ¼ x_ ð0Þ ¼ 0 mit Hilfe der Laplace-Transformation. y ðtÞ: Lagekoordinate der schwingenden Fundamentplatte zur Zeit t w: Kreisfrequenz der Schwingung

y(t) schwingende Fundamentplatte

Bild XII-18

XII Laplace-Transformationen

437

x ðtÞ: Lagekoordinate der Masse zur Zeit t; c: Federkonstante der beiden Einzelfedern; r : Radius der Zylinderscheibe; J S : Massentrgheitsmoment der Zylinderscheibe; j ðtÞ: Drehwinkel der Zylinderscheibe zur Zeit t Lsungshinweis: Ersetzen Sie zunchst das Federsystem durch eine Ersatzfeder [ A26 ]. Die Rckstellkraft des Federsystems bzw. der Ersatzfeder erzeugt ein Rckstellmoment M R , das der augenblicklichen relativen Auslenkung der beiden Federn proportional ist. Reibungskrfte sollen unbercksichtigt bleiben, der Resonanzfall wird ausgeschlossen. Die Dgl der erzwungenen Schwingung erhalten Sie dann aus dem Grundgesetz der Drehbewegung [ A36 ]. Lehrbuch: Bd. 2, VI.2.5.1 und VI.5.1.3

Physikalische Grundlagen: A7, A26, A36

Lsung : a) Die beiden parallelgeschalteten Federn knnen durch eine Feder mit der doppelten Federkonstanten c * ¼ 2 c ersetzt werden [ A26 ]. Die Ortskoordinate der Masse m zur Zeit t bezeichnen wir mit x (gemessen gegenber der Gleichgewichtslage). Zu dieser Zeit hat die Fundamentplatte die Ortskoordinate y, sodass die Ersatzfeder um die Strecke x y gedehnt bzw. gestaucht ist. Die elastische Rckstellkraft der Feder ist somit nach dem Hookeschen Gesetz F R ¼ c * ðx yÞ ¼ 2 c ðx yÞ. Sie erzeugt am Hebelarm r das Rckstellmoment [ A7 ] M R ¼ r F R ¼ 2 r c ðx yÞ ¼ 2 r c x þ 2 r c y ¼ 2 r c x þ 2 r c y 0 sin ðw tÞ Nach dem Grundgesetz der Drehbewegung [ A36 ] gilt dann J a ¼ Jj __ ¼ M R ¼ 2 r c x þ 2 r c y 0 sin ðw tÞ ða ¼ j __ : WinkelbeschleunigungÞ. Das Massentrgheitsmoment J des Systems setzt sich dabei additiv aus dem Massentrgheitsmoment J S der Scheibe und dem Massentrgheitsmoment J m ¼ m r 2 der Masse m zusammen: J ¼ JS þ Jm ¼ JS þ m r2 Fr die Umfanggeschwindigkeit v der Scheibe gilt die Beziehung v ¼ x_ ¼ r j, _ woraus durch Differentiation

__x ¼ r j__

j __ ¼

oder

__x r

folgt. Die Bewegung der Masse wird daher durch die folgende Schwingungsgleichung beschrieben: Jj __ ¼ ðJ S þ m r 2 Þ

__x r

¼ 2 r c x þ 2 r c y 0 sin ðw tÞ

Wir dividieren noch durch r und stellen die Gleichung geringfgig um: JS __x þ m ðJ S þ m r 2 Þ 2 þ 2 c x ¼ __x þ 2 c x ¼ 2 c y 0 sin ðw tÞ r2 r |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} m*

)

438

XII Laplace-Transformationen

m * __ x þ 2 c x ¼ 2 c y 0 sin ðw tÞ

oder

__x þ

2c 2 c y0 sin ðw tÞ x ¼ * m* m

m * ist dabei die sog. reduzierte Masse. Mit den Abkrzungen w 20 ¼

2c m*

2 c y0 m*

k ¼

und

lsst sich diese inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten auch wie folgt schreiben:

__x þ

w 20 x ¼ k sin ðw tÞ

b) Das Anfangswertproblem

__x þ

w 20 x ¼ k sin ðw tÞ ,

Anfangswerte: x ð0Þ ¼ 0, x_ ð0Þ ¼ 0

wird schrittweise wie folgt gelst. (1) Transformation vom Original- in den Bildbereich (Laplace-Transformation) unter Verwendung des Ableitungssatzes fr Originalfunktionen l f x ðtÞg ¼ X ðsÞ ½ s 2 X ðsÞ s 0 0 þ w 20 X ðsÞ ¼ l fk sin ðw tÞg ¼ k l fsin ðw tÞg ¼ ¼ k

w 1 ¼ kw 2 s2 þ w2 s þ w2

ðNr: 24 mit a ¼ wÞ

(2) Lsung im Bildbereich Wir lsen die Gleichung nach der Bildfunktion X ðsÞ auf: s 2 X ðsÞ þ w 20 X ðsÞ ¼ ðs 2 þ w 20 Þ X ðsÞ ¼ k w X ðsÞ ¼ k w

ðs 2

þ

1 s2 þ w2

)

1 ðs 2 þ w 2 Þ

w 20 Þ

(3) Rcktransformation vom Bild- in den Originalbereich (inverse Laplace-Transformation) 1 1 1 x ðtÞ ¼ l fX ðsÞg ¼ l kw 2 ¼ ðs þ w 20 Þ ðs 2 þ w 2 Þ 1 ¼ k w l1 ðs 2 þ w 20 Þ ðs 2 þ w 2 Þ 1 . Aus der ðs 2 þ a 2 Þ ðs 2 þ b 2 Þ Laplace-Transformationstabelle entnehmen wir die folgende Lsung (Nr. 43 mit a ¼ w 0 und b ¼ w):

Die Bildfunktion ist vom allgemeinen Typ F ðsÞ ¼

XII Laplace-Transformationen x ðtÞ ¼ k w l 1 ¼

1 w 0 sin ðw tÞ w sin ðw 0 tÞ ¼ ¼ kw 2 2 2 2 ðs þ w 0 Þ ðs þ w Þ w 0 w ðw 20 w 2 Þ

k w 0 ðw 20

439

w 2Þ

w 0 sin ðw tÞ w sin ðw 0 tÞ ,

t 0

Die erzwungene Schwingung der Masse m beschreibt somit eine berlagerung zweier Sinusschwingungen mit den Kreisfrequenzen w 0 (Eigenkreisfrequenz des Systems) und w (Kreisfrequenz des Erregers, d. h. der schwingenden Fundamentplatte; w 6¼ w 0 ).

Beispiel 10: Elektromagnetischer Reihenschwingkreis Integro-Differentialgleichung ( Ableitungs- und Integrationssatz fr Originalfunktionen) Der in Bild XII-19 dargestellte elektromagnetische Reihenschwingkreis enthlt eine Spule mit der Induktivitt L und dem ohmschen Widerstand R sowie einen Kondensator mit der Kapazitt C. Bestimmen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation unter Verwendung des Ableitungs- und des Integrationssatzes fr Originalfunktionen den zeitlichen Verlauf der Stromstrke i unter der Voraussetzung, dass zum Zeitpunkt t ¼ 0 durch Schließen des Schalters S eine konstante Spannung U 0 angelegt wird und der Reihenschwingkreis in diesem Augenblick energielos ist.

R

L

uR

uL

C

uC

i

t=0 S U0

Bild XII-19

Lsungshinweis: Die Anwendung der Maschenregel [ A32 ] auf den Reihenschwingkreis fhrt zu einer Integro-Differentialgleichung fr die Stromstrke i. Lehrbuch: Bd. 2, VI.2.5.1 und VI.2.6.1

Physikalische Grundlagen: A14, A32, A40, A43, A45

Lsung : Nach der Maschenregel [ A32 ] ist uR þ uL þ uC U0 ¼ 0

oder

uR þ uL þ uC ¼ U0

Fr die Teilspannungen u R , u L und u C gelten dabei folgende Beziehungen [ A14, A45, A40 ]: uR ¼ R i ,

uL ¼ L

di , dt

uC ¼

q C

440

XII Laplace-Transformationen

Die Kondensatorladung q ist das Zeitintegral der Stromstrke i ¼ i ðtÞ [ A43 ]. Da der Reihenschwingkreis zum Einschaltzeitpunkt t ¼ 0 energielos ist, gilt q ð0Þ ¼ 0. Somit ist q ¼

ðt

i ðtÞ dt

und

q 1 1 ¼ q ¼ C C C

uC ¼

0

ðt

i ðtÞ dt

0

Die Maschenregel [ A32 ] fhrt damit zu der folgenden Integro-Differentialgleichung: di 1 Ri þ L þ dt C

ðt

i ðtÞ dt ¼ U 0

0

Wir dividieren diese Gleichung durch L , vertauschen noch die ersten beiden Glieder und erhalten schließlich mit den Abkrzungen d ¼

R 2L

und

w 20 ¼

1 LC

das Anfangswertproblem di þ 2 d i þ w 20 dt

ðt

i ðtÞ dt ¼

U0 , L

i ð0Þ ¼ 0

0

(der Schwingkreis ist zu Beginn energielos, daher fließt in diesem Augenblick kein Strom). Die Lsung dieser Aufgabe mit Hilfe der Laplace-Transformation erfolgt in drei Schritten. (1) Transformation vom Original- in den Bildbereich (Laplace-Transformation) l fi ðtÞg ¼ I ðsÞ Unter Verwendung des Ableitungs- und des Integrationssatzes fr Originalfunktionen erhalten wir aus der Integro-Dgl die algebraische Gleichung I ðsÞ U0 U0 U0 1 ½ s I ðsÞ 0 þ 2 d I ðsÞ þ w 20 ¼ l ¼ l f1g ¼ s L L L s (Laplace-Transformation Nr. 2) (2) Lsung im Bildbereich Wir multiplizieren diese Gleichung mit s und lsen sie dann nach der Bildfunktion I ðsÞ auf: s 2 I ðsÞ þ 2 d s I ðsÞ þ w 20 I ðsÞ ¼ ðs 2 þ 2 d s þ w 20 Þ I ðsÞ ¼ I ðsÞ ¼

U0 L

)

U0 1 2 L s þ 2 d s þ w 20

(3) Rcktransformation vom Bild- in den Originalbereich (inverse Laplace-Transformation) Die Rcktransformation soll unter Verwendung der Laplace-Transformationstabelle der Formelsammlung erfolgen. Zunchst ist

XII Laplace-Transformationen

441

U0 1 2 ¼ L s þ 2 d s þ w 20 U0 1 U0 ¼ l1 2 l 1 fF ðsÞg ¼ 2 L L s þ 2 d s þ w0 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} F ðsÞ

i ðtÞ ¼ l 1 fI ðsÞg ¼ l 1

Die Bildfunktion F ðsÞ bringen wir noch durch quadratische Ergnzung des Nenners auf eine spezielle Form (wir addieren und subtrahieren zugleich d 2 ): s 2 þ 2 d s þ w 20 ¼ s 2 þ 2 d s þ w 20 þ d 2 d 2 ¼ ¼ ðs 2 þ 2 d s þ d 2 Þ þ ðw 20 d 2 Þ ¼ ðs þ dÞ 2 þ w 2d |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄ} w 2d 1: Binom : ðs þ dÞ 2 F ðsÞ ¼

1 1 ¼ s 2 þ 2 d s þ w 20 ðs þ dÞ 2 þ w 2d

ðmit w 2d ¼ w 20 d 2 Þ 1

(Nr. 28). Mit a ¼ w d ðs bÞ 2 þ a 2 und b ¼ d erhalten wir damit fr den zeitlichen Verlauf der Stromstrke i die Gleichung ( ) U0 U 1 U 0 e d t sin ðw d tÞ 0 ¼ ¼ l 1 fF ðsÞg ¼ l1 i ðtÞ ¼ L L L wd ðs þ dÞ 2 þ w 2d Diese Funktion ist somit vom allgemeinen Typ

¼

U0 e d t sin ðw d tÞ , L wd

t 0

In dem Reihenschwingkreis fließt also ein im Laufe der Zeit t exponentiell abklingender Wechselstrom (siehe Bild XII-20). Es handelt sich somit um eine gedmpfte elektromagnetische Schwingung mit dem Dmpfungsfaktor d ¼ R = 2 L und der Kreisfrequenz rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 R2 2 2 . wd ¼ w0 d ¼ 4 L2 LC

i

Bild XII-20 t Periodenintervall T = 2p

vd

442

XII Laplace-Transformationen

Beispiel 11: Spannungsbertragung bei einem Vierpol System linearer Dgln 1. Ordnung ( Ableitungssatz fr Originalfunktionen, Partialbruchzerlegung der Bildfunktion) Unter einem Vierpol versteht man ein elektrisches Netzwerk mit einem Eingangs- und einem Ausgangsklemmenpaar. Der in Bild XII-21 dargestellte Vierpol enthlt einen ohmschen Widerstand R und eine Induktivitt L. An die Eingangsklemmen wird zum Zeitpunkt t ¼ 0 die sinusfrmige Wechselspannung u e ðtÞ ¼ u^ sin ðw tÞ ,

R

i

uR ue

uL

I

L

II

ua

t 0 i

angelegt. u^ > 0: Scheitelwert; w > 0: Kreisfrequenz

Bild XII-21

Bestimmen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation den zeitlichen Verlauf der Ausgangsspannung u a ðtÞ, wenn das Netzwerk im Einschaltzeitpunkt t ¼ 0 stromlos ist. Lsungshinweis: Die Anwendung der Maschenregel [ A32 ] auf die beiden in Bild XII-21 gekennzeichneten Maschen fhrt zu einem System aus zwei gekoppelten linearen Dgln 1. Ordnung fr die Stromstrke i und die Ausgangsspannung u a . Unterwerfen Sie dieses System der Laplace-Transformation und eliminieren Sie die Bildfunktion I ðsÞ der Stromstrke i ðtÞ. Zerlegen Sie die Bildfunktion U a ðsÞ der Ausgangsspannung u a ðtÞ vor der Rcktransformation zunchst in Partialbrche. Lehrbuch: Bd. 2, VI.2.5.1, VI.4.1 und VI.5.1.2

Physikalische Grundlagen: A14, A32, A45

Lsung : Die Maschenregel [ A32 ] liefert fr die beiden eingezeichneten Maschen (I) und (II) und den vorgegebenen Umlaufsinn die folgenden Gleichungen: ðIÞ ðIIÞ

uL þ uR ue ¼ 0 uL þ ua ¼ 0

oder

uL þ uR ¼ ue

oder

uL ¼ ua

Die Teilspannungen u R und u L gengen dabei den physikalischen Gesetzen uR ¼ R i

und

uL ¼ L

di dt

(ohmsches Gesetz [ A14 ] bzw. Induktionsgesetz [ A45 ]).

XII Laplace-Transformationen

443

Die Maschengleichungen lauten damit unter Bercksichtigung der Eingangsspannung u e ¼ u^ sin ðw tÞ und der Stromlosigkeit zu Beginn 9 di > ðIÞ L þ R i ¼ u^ sin ðw tÞ > = dt Anfangswert: i ð0Þ ¼ 0 > di > ; ðIIÞ L ¼ ua dt Dies sind zwei gekoppelte lineare Dgln 1. Ordnung fr die (noch unbekannten) Funktionen i ¼ i ðtÞ und u a ¼ u a ðtÞ. Wir lsen sie mit Hilfe der Laplace-Transformation wie folgt. (1) Transformation vom Original- in den Bildbereich (Laplace-Transformation) unter Verwendnung des Ableitungssatzes fr Originalfunktionen l fi ðtÞg ¼ I ðsÞ , ðIÞ

l fu a ðtÞg ¼ U a ðsÞ

L ½ s I ðsÞ 0 þ R I ðsÞ ¼ l f^ u sin ðw tÞg ¼ u^ l fsin ðw tÞg ¼ ¼ u^

ðIIÞ

s2

w þ w2

ðNr: 24 mit a ¼ wÞ

L ½ s I ðsÞ 0 ¼ U a ðsÞ

(2) Lsung im Bildbereich Zunchst ordnen wir die beiden Gleichungen: ðIÞ

L s I ðsÞ þ R I ðsÞ ¼ ðL s þ RÞ I ðsÞ ¼

ðIIÞ

L s I ðsÞ ¼ U a ðsÞ

u^ w s2 þ w2

Gleichung (I) wird nun nach I ðsÞ aufgelst und anschließend geringfgig umgeformt: I ðsÞ ¼

u^ w ¼ ðL s þ RÞ ðs 2 þ w 2 Þ

u^ w u^ w ¼ R 1 L sþ L sþ ðs 2 þ w 2 Þ ðs 2 þ w 2 Þ L t

(t ¼ L=R: Zeitkonstante). Diesen Ausdruck setzen wir in Gleichung (II) ein und erhalten fr U a ðsÞ: U a ðsÞ ¼ L s I ðsÞ ¼ L s

u^ w s ¼ u^ w 1 1 L sþ sþ ðs 2 þ w 2 Þ ðs 2 þ w 2 Þ t t

(3) Rcktransformation vom Bild- in den Originalbereich (inverse Laplace-Transformation) Es ist

u a ðtÞ ¼ l 1 fU a ðsÞg ¼ l 1

8 > > < > > :

9 > > =

s u^ w ¼ > 1 ; sþ ðs 2 þ w 2 Þ> t

444

XII Laplace-Transformationen

¼ u^ w l 1

8 > > <

9 > > =

s ¼ u^ w l 1 fF ðsÞg > > 1 > > : sþ ðs 2 þ w 2 Þ; t |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} F ðsÞ

Vor der Rcktransformation zerlegen wir die echt gebrochenrationale Bildfunktion F ðsÞ wie folgt in Partialbrche (A, B und C sind Konstanten): F ðsÞ ¼

1 sþ t

s ðs 2 þ w 2 Þ

¼

A 1 sþ t

þ

B þ Cs s2 þ w2

Wir bringen die Brche zunchst auf den Hauptnenner (Nenner der linken Seite): 1 A ðs 2 þ w 2 Þ þ ðB þ C sÞ s þ s t ¼ 1 1 sþ sþ ðs 2 þ w 2 Þ ðs 2 þ w 2 Þ t t Ein Vergleich der Zhler auf beiden Seiten fhrt auf die Gleichung 1 s ¼ A ðs 2 þ w 2 Þ þ ðB þ C sÞ s þ t oder (seitenvertauscht) 1 ðs 2 þ w 2 Þ A þ s þ ðB þ C sÞ ¼ s t Die drei Konstanten A, B und C lassen sich dabei durch Einsetzen spezieller Werte fr die Bildvariable s wie folgt bestimmen ðwir whlen der Reihe nach s ¼ 1=t, s ¼ 0 und s ¼ 1=tÞ: 1 1 1 1 þ w2 t2 1 2 s ¼ þ w A ¼ ) ) A ¼ 2 2 t t t t t

s ¼ 0

s ¼

1 t

A ¼

1 t2 t ¼ t 1 þ w2 t2 1 þ ðw tÞ 2

w2 A þ

1 B ¼ 0j t t

w2 t A þ B ¼ 0 ) ! t w2 t2 ðw tÞ 2 2 2 B ¼ w tA ¼ w t ¼ ¼ 1 þ ðw tÞ 2 1 þ ðw tÞ 2 1 þ ðw tÞ 2 1 2 1 1 2 þw Aþ Bþ C ¼ t2 ) t2 t t t 1 ð1 þ w 2 t 2 Þ A þ 2 t B þ C ¼ t ) t )

XII Laplace-Transformationen

445

½ 1 þ ðw tÞ 2 A þ 2 t B þ 2 C ¼ t

)

2 C ¼ t ½ 1 þ ðw tÞ 2 A 2 t B

)

2

2 C ¼ t ½ 1 þ ðw tÞ

¼ t þ

½ 1 þ ðw tÞ 2 t 1 þ ðw tÞ 2

¼ t þt C ¼ t

2 t ðw tÞ 2 1 þ ðw tÞ 2

t ðw tÞ 2 1 þ ðw tÞ 2

¼

!

t

2t

1 þ ðw tÞ 2 2 t ðw tÞ 2

1 þ ðw tÞ 2

¼ 2t

ðw tÞ 2 1 þ ðw tÞ 2

¼

¼

2 t ðw tÞ 2

)

1 þ ðw tÞ 2

t þ t ðw tÞ 2 t ðw tÞ 2 1 þ ðw tÞ 2

¼

t 1 þ ðw tÞ 2

Die Konstanten A und B lassen sich noch wie folgt durch die Konstante C ausdrcken (der grau markierte Ausdruck ist die Konstante C): A ¼

t 1 þ ðw tÞ

¼ C,

2

B ¼

ðw tÞ 2 1 þ ðw tÞ

2

¼ w2 t

t 1 þ ðw tÞ 2

¼ w2 t C

Die Partialbruchzerlegung der Bildfunktion F ðsÞ hat damit die folgende Gestalt: F ðsÞ ¼ sþ 2 6 ¼ C4 Somit ist

1 t

s

¼

ðs 2 þ w 2 Þ

A sþ

1 t

þ

3

2

C w2 t C þ C s ¼ þ 1 s2 þ w2 sþ t 3

2

1 sþ

B þ Cs ¼ s2 þ w2

1 t

þ

w t þ s7 t 1 w2 t þ s 7 6 þ 2 5 ¼ 4 5 2 2 2 1 s þw s þ w2 1 þ ðw tÞ sþ t 8 > <

39 > t 1 w t þ s 7= 6 1 1 u a ðtÞ ¼ u^ w l fF ðsÞg ¼ u^ w l þ 2 5 ¼ 2 4 1 > s þ w2 > :1 þ ðw tÞ ; sþ t 8 9 > > < = 2 u^ w t 1 w t s 1 ¼ ¼ l þ þ > s2 þ w2 s 2 þ w 2> 1 þ ðw tÞ 2 : sþ 1 ; t 8 9 2 > > < u^ w t 1 = 1 6 1 2 1 ¼ l t l þ w þ 4 > s2 þ w2 1 þ ðw tÞ 2 :s þ 1> ; t 3 s 7 þ l1 2 5 s þ w2 2

2

446

XII Laplace-Transformationen

Die dabei auftretenden Bildfunktionen der rechten Seite sind der Reihe nach vom all1 1 gemeinen Typ ( Nr. 24 mit a ¼ w) und ( Nr. 3 mit a ¼ 1=t), 2 sa s þ a2 s ( Nr. 25 mit a ¼ w). Die gesuchte Lsung lautet daher wie folgt: s2 þ a2 u^ w t sin ðw tÞ t t þ w2 t e þ cos ðw tÞ ¼ u a ðtÞ ¼ w 1 þ ðw tÞ 2

u^ w t t t þ w t sin ðw tÞ þ cos ðw tÞ ¼ ¼ e 1 þ ðw tÞ 2

u^ w t t ¼ w t sin ðw tÞ þ cos ðw tÞ e t ¼ 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 1 þ ðw tÞ K sin ðw t þ jÞ ¼

u^ w t 1 þ ðw tÞ 2

t K sin ðw t þ jÞ e t

Die gleichfrequenten Summanden u 1 ¼ w t sin ðw tÞ und u 2 ¼ cos ðw tÞ ¼ 1 cos ðw tÞ lassen sich noch mit Hilfe des (reellen) Zeigerdiagramms zu einer phasenverschobenen Sinusschwingung gleicher Frequenz zusammenfassen: u ¼ u 1 þ u 2 ¼ w t sin ðw tÞ þ 1 cos ðw tÞ ¼ K sin ðw t þ jÞ Aus dem Zeigerdiagramm XII-22 folgt dann unmittelbar (Satz des Pythagoras): qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ + cos 2 2 u = u1 + u2 K ¼ 1 þ ðw tÞ ) K ¼ 1 þ ðw tÞ 2 u2 K 1 1 1 1 tan j ¼ ) j ¼ arctan wt wt f vt

u1

Bild XII-22 Die Ausgangsspannung u a ðtÞ besitzt daher den folgenden zeitlichen Verlauf: u a ðtÞ ¼ ¼

u^ w t 1 þ ðw tÞ

2

u^ w t 1 þ ðw tÞ 2

K sin ðw t þ jÞ e

t t

¼

qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ t 1 þ ðw tÞ 2 sin ðw t þ jÞ e t ¼

u^ w t u^ w t t e t, ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sin ðw t þ jÞ 2 1 þ ðw tÞ 1 þ ðw tÞ 2

t 0

+ sin

XII Laplace-Transformationen

447

Unter Bercksichtigung von t ¼ L=R wird daraus schließlich (bitte nachrechnen) w L u^ R w L u^ R u a ðtÞ ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sin ðw t þ jÞ e L t, 2 2 R þ ðw LÞ R 2 þ ðw LÞ 2

t 0

R > 0. Nach einer gewissen „Einschwingphase“ spielt der durch wL die streng monoton fallende Exponentialfunktion beschriebene „flchtige“ Anteil keine nennenswerte Rolle mehr und es verbleibt der folgende „stationre“ Anteil: mit j ¼ arctan

w L u^ u a ðtÞ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ sin ðw t þ jÞ , R 2 þ ðw LÞ 2

t t ¼ L=R

Die Ausgangsspannung u a ðtÞ eilt somit der angelegten Eingangsspannung u e ðtÞ in der R Phase um den Nullphasenwinkel j ¼ arctan voraus (Bild XII-23). Der ScheitelwL w L u^ wert betrgt u^ a ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ , die Kreisfrequenz w ist die der Eingangsspannung. R 2 þ ðw LÞ 2 ua ua

Bild XII-23 f v

t Periodenintervall T = 2p

v

Beispiel 12: Gekoppelte mechanische Schwingungen System linearer Dgln 2. Ordnung ( Ableitungssatz fr Originalfunktionen) Unter einem harmonischen Oszillator versteht man ein Federpendel mit der Masse m und der Federkonstanten c (Feder-Masse-Schwinger). Das in Bild XII-24 dargestellte schwingungsfhige System besteht aus zwei gleichen harmonischen Oszillatoren, die durch eine Feder mit der Federkonstanten c k miteinander gekoppelt sind. Bei einer Anregung dieses Systems (z. B. durch Anstoßen einer Masse oder Dehnen einer Feder) entstehen sog. gekoppelte Schwingungen.

448

XII Laplace-Transformationen

c

I

II

ck

m

c

m

II

I

x2

x1

Bild XII-24 a) Durch welche Dgln lassen sich die Schwingungen der beiden Massen beschreiben? b) Lsen Sie diese Dgln fr die Anfangswerte x 1 ð0Þ ¼ 0 ,

x_ 1 ð0Þ ¼ v 0

und

x 2 ð0Þ ¼ 0 ,

x_ 2 ð0Þ ¼ v 0

mit Hilfe der Laplace-Transformation und deuten Sie das Ergebnis. Lsungshinweis: Die Dgln fr die zeitabhngigen Auslenkungen x 1 ¼ x 1 ðtÞ und x 2 ¼ x 2 ðtÞ der beiden Massen erhalten Sie aus dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ]. Lehrbuch: Bd. 2, VI.2.5.1 und VI.5.1.3

Physikalische Grundlagen: A27

Lsung : a) Auf jede der beiden Massen wirken gleichzeitig zwei Rckstellkrfte ein. Die linke Feder erzeugt infolge ihrer Dehnung um die Strecke x 1 die rcktreibende Kraft F1 ¼ c x 1 , whrend die Kopplungsfeder infolge ihrer Stauchung um die Strecke Dx ¼ x 1 x 2 mit der Rckstellkraft F2 ¼ c k Dx ¼ c k ðx 1 x 2 Þ auf die Masse I einwirkt (in Bild XII-24 wurde x 1 > x 2 angenommen). Nach dem Newtonschen Grundgesetz [ A27 ] gilt dann ðIÞ

m a 1 ¼ m __ x 1 ¼ F1 þ F2 ¼ c x 1 c k ðx 1 x 2 Þ ¼ c x 1 c k x 1 þ c k x 2

ðIÞ

m __ x 1 þ ðc þ c k Þ x 1 ¼ c k x 2

oder

(a 1 ¼ __ x 1 : Beschleunigung der Masse I). Analoge berlegungen fhren bei der Masse II zu der Bewegungsgleichung ðIIÞ

m __ x 2 þ ðc þ c k Þ x 2 ¼ c k x 1

(__ x 2 : Beschleunigung der Masse II). Wir dividieren beide Gleichungen noch durch die Masse m und erhalten schließlich mit den Abkrzungen a ¼

c þ ck m

und

b ¼

ck m

ða > b > 0Þ

XII Laplace-Transformationen

449

das folgende System aus zwei gekoppelten linearen Dgln 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: ðIÞ

__x 1

þ a x1 ¼ b x2

ðIIÞ

__x 2

þ a x2 ¼ b x1

b) Das Anfangswertproblem ðIÞ ðIIÞ

__x 1 __x 2

þ a x1 ¼ b x2

)

Anfangswerte: x 1 ð0Þ ¼ 0 ,

þ a x2 ¼ b x1

x 2 ð0Þ ¼ 0 ,

x_ 1 ð0Þ ¼ v 0 x_ 2 ð0Þ ¼ v 0

wird schrittweise wie folgt gelst. (1) Transformation vom Original- in den Bildbereich (Laplace-Transformation) unter Verwendung des Ableitungssatzes fr Originalfunktionen l fx 1 ðtÞg ¼ X 1 ðsÞ ,

l fx 2 ðtÞg ¼ X 2 ðsÞ

ðIÞ

½ s 2 X 1 ðsÞ s 0 v 0 þ a X 1 ðsÞ ¼ b X 2 ðsÞ

ðIIÞ

½ s 2 X 2 ðsÞ s 0 þ v 0 þ a X 2 ðsÞ ¼ b X 1 ðsÞ

Nach Ordnen der Glieder folgt weiter ðs 2 þ aÞ X 1 ðsÞ

ðIÞ ðIIÞ

b X 2 ðsÞ ¼ v 0

b X 1 ðsÞ þ ðs 2 þ aÞ X 2 ðsÞ ¼ v 0

oder – in der Matrizenform – ! ðs 2 þ aÞ b b ðs 2 þ aÞ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Koeffizientenmatrix A

X 1 ðsÞ X 2 ðsÞ

¼

v0

v0

Dies ist ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten X 1 ðsÞ und X 2 ðsÞ. (2) Lsung im Bildbereich Wir lsen dieses System nach der Cramerschen Regel. Die dabei bentigte Koeffizientendeterminante D ¼ det A sowie die beiden Hilfsdeterminanten D 1 und D 2 lauten wie folgt: 2 ðs þ aÞ b ¼ ðs 2 þ aÞ 2 b 2 ¼ D ¼ det A ¼ 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} b ðs þ aÞ 3: Binom : a 2 b 2 ¼ ða þ bÞ ða bÞ

mit a ¼ s 2 þ a , b ¼ b

¼ ½ ðs 2 þ aÞ þ b ½ ðs 2 þ aÞ b ¼ ðs 2 þ a þ bÞ ðs 2 þ a bÞ

450

XII Laplace-Transformationen

v0 D 1 ¼ v0

¼ v 0 ðs 2 þ aÞ v 0 b ¼ v 0 ðs 2 þ a bÞ 2 ðs þ aÞ b

2 ðs þ aÞ D 2 ¼ b

v 0 ¼ v 0 ðs 2 þ aÞ þ v 0 b ¼ v 0 ðs 2 þ a bÞ v 0

Nach der Cramerschen Regel ist dann X 1 ðsÞ ¼

D1 v 0 ðs 2 þ a bÞ v0 ¼ 2 ¼ 2 ¼ D ðs þ a þ bÞ ðs 2 þ a bÞ s þaþb

¼ v0

s2

1 1 ¼ v0 2 þ ða þ bÞ s þ w2

Dabei wurde zur Abkrzung w 2 ¼ a þ b gesetzt. Analog erhalten wir fr die zweite Bildfunktion: X 2 ðsÞ ¼

D2 v 0 ðs 2 þ a bÞ v0 ¼ 2 ¼ 2 ¼ D ðs þ a þ bÞ ðs 2 þ a bÞ s þaþb

¼ v0

s2

1 1 ¼ v0 2 s þ w2 þaþb

ðmit w 2 ¼ a þ bÞ

(3) Rcktransformation vom Bild- in den Originalbereich (inverse Laplace-Transformation) 1 Beide Bildfunktionen sind vom allgemeinen Typ F ðsÞ ¼ 2 (Nr. 24). Wir s þ a2 erhalten daher mit a ¼ w die folgenden Originalfunktionen: 1 1 1 l ¼ v ¼ x 1 ðtÞ ¼ l 1 fX 1 ðsÞg ¼ l 1 v 0 2 0 s þ w2 s2 þ w2

v sin ðw tÞ 0 sin ðw tÞ ¼ w w 1 1 1 x 2 ðtÞ ¼ l 1 fX 2 ðsÞg ¼ l 1 v 0 2 l ¼ v ¼ 0 s þ w2 s2 þ w2 ¼ v0

¼ v0

v

v sin ðw tÞ 0 0 sin ðw tÞ ¼ sin ðw t þ pÞ ¼ w w w

(unter Bercksichtigung der Beziehung sin ðx þ pÞ ¼ sin x mit x ¼ w tÞ Die Auslenkungen der beiden Massen unterscheiden sich somit nur im Vorzeichen, d. h. es gilt zu jedem Zeitpunkt x 2 ðtÞ ¼ x 1 ðtÞ. Beide Massen schwingen bei dieser sog. Normalschwingung mit gleicher Amplitude rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ v0 v0 v0 v0 m A ¼ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ v 0 w c þ 2 ck c þ ck ck aþb c þ 2 ck þ m m m

XII Laplace-Transformationen

451

und gleicher Kreisfrequenz rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ c þ ck ck c þ 2 ck w ¼ aþb ¼ þ ¼ m m m bzw. gleicher Schwingungsdauer 2p 2p T ¼ ¼ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 2 p w c þ 2 ck m

rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ m c þ 2 ck

jedoch in Gegenphase (Phasenverschiebung ¼ p, siehe Bild XII-25). x(t) x 1( t )

v0

x 2( t )

v

Bild XII-25 t v – v0

T = 2p

v

Bild XII-26 verdeutlicht nochmals diesen speziellen Typ einer gekoppelten Schwingung, bei der die Kopplungsfeder maximal beansprucht wird. I

II

I bzw.

II

Bild XII-26

XIII Vektoranalysis Hinweis: Alle in den Lsungen angegebenen Integralnummern beziehen sich auf die Integraltafel der Mathematischen Formelsammlung des Autors.

Beispiel 1: Temperaturverteilung auf einer dnnen Zylinderscheibe Niveaulinien (quipotentiallinien), Gradient Die 2-dimensionale Temperaturverteilung auf einer (wrmeleitfhigen) dnnen Zylinderscheibe wird durch die Gleichung T ðx; yÞ ¼

T0 , 1 þ x2 þ y2

0 x2 þ y2 R2

beschrieben (Bild XIII-1). y

R: Radius der Zylinderscheibe T 0 : konstante Temperatur in der Scheibenmitte

R x T0

Bild XIII-1 a) Bestimmen Sie die Kurven gleicher Temperatur. b) In welcher Richtung findet die grßte Temperaturnderung statt? Lehrbuch: Bd. 3, I.3.2 und I.4

Lsung : Wegen der Zylinder- bzw. Kreissymmetrie gehen wir zweckmßigerweise zu Polarkoordinaten r und j ber. Mit den Transformationsgleichungen x ¼ r cos j ,

y ¼ r sin j

und

x2 þ y2 ¼ r2

erhalten wir die folgende Abhngigkeit der Temperatur T von der Abstandskoordinate r : T ¼ T ðrÞ ¼

T0 , 1 þ r2

0 r R

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24882-6_13

XIII Vektoranalysis

453

a) Die Kurven gleicher (konstanter) Temperatur sind die Niveau- oder quipotentiallinien der Funktion T ¼ T ðrÞ: T ¼ const:

)

r 2 ¼ const:

)

r ¼ const:

Es handelt sich demnach um konzentrische Kreise um die Scheibenmitte ðr ¼ 0Þ mit Radien von r ¼ 0 (Scheibenmitte) bis hin zu r ¼ R (Scheibenrand, siehe Bild XIII-2).

y Niveaulinie T = const.

x

Bild XIII-2 b) Die grßte Temperaturnderung erfolgt in Richtung des Gradienten von T. Da die Temperatur nur von r, nicht aber vom Polarwinkel j abhngt, gilt (unter Verwendung der Kettenregel): @T @ T0 @ ~ ~ er ¼ T0 er ¼ grad T ¼ er ¼ ð1 þ r 2 Þ 1 ~ @r @ r 1 þ r2 @r er ¼ ¼ T 0 ð 1Þ ð1 þ r 2 Þ 2 2 r ~

2 T0 r ð1 þ r 2 Þ 2

~ er

~ e r ist dabei der radiale Einheitsvektor. Physikalische Deutung: Die grßte nderung erfhrt die Temperatur in radialer Richtung, T0 sie nimmt dabei von innen nach außen von T ðr ¼ 0Þ ¼ T 0 auf T ðr ¼ RÞ ¼ 1 þ R2 ab (siehe Bild XIII-3). T

T0

T0

Bild XIII-3 Temperaturverteilung auf einer Zylinderscheibe

1 + R2

R

r

454

XIII Vektoranalysis

Beispiel 2: Quellstrmung einer Flssigkeit Niveaulinien, Gradient Eine ebene Flssigkeitsstrmung mit dem Geschwindigkeitspotential F ¼ F ðx; yÞ ¼

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Q ln x 2 þ y 2 , 2p

x2 þ y2 > 0

beschreibt eine sog. Quellstrmung mit einer Quelle der Strke (Ergiebigkeit) Q > 0 im Koordinatenursprung. Sie ist ein Sonderfall der Potentialstrmung [ A66 ]. Bestimmen Sie a) die Potentiallinien (Niveaulinien) des Strmungsfeldes, b) das Geschwindigkeitsfeld ~ v ¼ grad F der strmenden Flssigkeit (in kartesischen und Polarkoordinaten), c) die Stromlinien (Feldlinien) des Geschwindigkeitsfeldes. Lehrbuch: Bd. 3, I.3.2 und I.4.1

Physikalische Grundlagen: A66

Lsung : a) Die Potentiallinien sind die Niveaulinien der Potentialfunktion: F ðx; yÞ ¼ const:

)

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Q ln x 2 þ y 2 ¼ const: 2p

)

x 2 þ y 2 ¼ const: ¼ C > 0 Wir erhalten konzentrische Kreise um die im Ursprung pﬃﬃﬃﬃ liegende Quelle mit den Radien R ¼ C > 0 (siehe Bild XIII-4).

y Potentiallinie F ( x ; y ) = const.

x

Quelle Q

Bild XIII-4 b) Die Geschwindigkeitskomponenten sind die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Potentialfunktion F, die wir zunchst noch auf eine fr das Differenzieren bequemere Form bringen: F ¼ ¼

pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ Q Q Q 1 ln x 2 þ y 2 ¼ ln ðx 2 þ y 2 Þ 1=2 ¼ ln ðx 2 þ y 2 Þ ¼ 2p 2p 2p 2 Q ln ðx 2 þ y 2 Þ 4p

XIII Vektoranalysis

455

Die gesuchten Ableitungen erhalten wir mit Hilfe der Kettenregel: @F @ Q Q @ 2 2 vx ¼ ¼ ln ðx þ y Þ ¼ ln ðx 2 þ y 2 Þ ¼ @x @x 4 p 4 p @x ¼

Q 1 Q x 2x ¼ 2 2 2 4p x þ y 2 p x þ y2

Analog: v y ¼

@F Q y ¼ @y 2 p x2 þ y2

Das Geschwindigkeitsfeld lautet damit in kartesischen Koordinaten wie folgt: Q x y ex þ vy ~ ey ¼ ~ ex þ 2 ~ ey , ~ v ¼ vx~ x2 þ y2 > 0 2 p x2 þ y2 x þ y2 In Polarkoordinaten ausgedrckt ðx 2 þ y 2 ¼ r 2 Þ : Q x y Q Q Q ~ ~ ~ ¼ e e r ¼ þ ðx~ e x þ y~ e yÞ ¼ ðr ~ e rÞ ¼ x y 2p r2 r2 2 p r 2 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 2pr2 2pr2 ~ r Q ~ r > 0 ¼ er , 2pr

~ v ¼

~ r ¼ r~ e r ist dabei der Ortsvektor des Punktes P ¼ ðx; yÞ, ~ e r der radiale Einheitsvektor. Lngs einer Potentiallinie, d. h. lngs eines konzentrischen Kreises um die Quelle ist die Strmungsgeschwindigkeit ~ v dem Betrage nach konstant: Q Q Q ~ v ¼ j~ v j ¼ e r ¼ j~ er j ¼ ¼ const: ðf u¨ r r ¼ const:Þ 2pr 2 p r |{z} 2pr 1 Q ~ c) Die Stromlinien sind die Feldlinien des Geschwindigkeitsfeldes ~ v ¼ e r . Da dieses 2pr Q besitzt, verlaufen die Stromlinien strahFeld nur eine Radialkomponente v r ¼ 2pr lenfrmig von der Quelle aus radial nach außen und zwar mit abnehmender Geschwindigkeit ðv r 1=rÞ. Potentiallinien und Stromlinien stehen somit aufeinander senkrecht, d. h. sie schneiden sich unter einem rechten Winkel (siehe Bild XIII-5). Stromlinie

Potentiallinie Q

Bild XIII-5

456

XIII Vektoranalysis

Beispiel 3: Potential und Feldstrke des elektrischen Feldes in der Umgebung einer homogen geladenen Kugel quipotentialflche (Niveauflche), Gradient Eine homogen geladene Kugel mit dem Radius R und der positiven Ladung Q besitzt im Außenraum das radialsymmetrische elektrische Potential V ¼ V ðrÞ ¼

Q , 4 p e0 r

r R

e 0 : elektrische Feldkonstante; r : Abstand vom Kugelmittelpunkt a) Bestimmen Sie die quipotentialflchen (Niveauflchen) des elektrischen Feldes. ~ ¼ grad V. b) Beschreiben Sie das elektrische Feld durch den Feldstrkevektor E Lehrbuch: Bd. 3, I.3.2 und I.4.1

Physikalische Grundlagen: A55, A57

Lsung : a) Auf einer quipotentialflche (Niveauflche) nimmt das Potential V einen konstanten (festen) Wert an: V ¼

Q ¼ const: 4 p e0 r

)

r ¼ const: ¼ C R

Die quipotentialflchen sind somit die Oberflchen konzentrischer Kugeln mit den Radien r ¼ C R (die Mittelpunkte der Kugeln fallen mit dem Mittelpunkt der geladenen Kugel zusammen). Bild XIII-6 zeigt einen ebenen Schnitt durch den Kugelmittelpunkt. Beim Verschieben einer Probeladung q auf einer dieser quipotentialflchen (Kugeloberflchen) wird somit keine Arbeit verrichtet. Äquipotentialfläche (Kugeloberfläche) R

geladene Kugel (Radius R, Ladung Q)

Bild XIII-6 b) In Kugelkoordinaten r, J und j besitzt der Gradient des elektrischen Potentials V eine besonders einfache Form, da V nur von r, nicht aber von den Winkelkoordinaten J und j abhngt (daher besteht kein Unterschied zwischen der partiellen und der gewhnlichen Ableitung): dV @V dV ~ ¼ grad V ¼ @V ~ ~ er ¼ er ¼ E @r dr @r dr ~ e r ist dabei der radiale Einheitsvektor.

XIII Vektoranalysis

457

Wir bestimmen noch die bentigte (gewhnliche) Ableitung von V nach r : dV d ¼ dr dr ¼

Q 4 p e0 r

Q d ¼ 4 p e 0 dr

1 Q d ¼ ðr 1 Þ ¼ r 4 p e 0 dr

Q Q ð 1Þ r 2 ¼ 4 p e0 4 p e0 r2

Somit ist Q ~ ¼ dV ~ ~ E er , er ¼ dr 4 p e0 r2

r R

die gesuchte elektrische Feldstrke im Außenraum der homogen geladenen Kugel. Das elektrische Feld ist (erwartungsgemß) radialsymmetrisch nach außen gerichtet, wobei der Betrag der Feldstrke Q Q Q ~j ¼ ~ E ¼ jE e er j ¼ , 4 p e r 2 r ¼ 4 p e r 2 j~ 4 p e0 r2 |{z} 0 0 1

r R

von innen nach außen proportional zu 1=r 2 abnimmt (siehe Bild XIII-7). E E Q 4 pe0R 2

R E ~ 12 r Kugel

R a)

b)

Bild XIII-7 Elektrisches Feld in der Umgebung einer homogen geladenen Kugel a) Radial- oder kugelsymmetrisches elektrisches Feld b) Der Betrag der elektrischen Feldstrke nimmt nach außen hin ab

r

458

XIII Vektoranalysis

Beispiel 4: Geschwindigkeitsfeld einer rotierenden Kugel Rotation Eine homogene Kugel vom Radius R rotiere mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit w 0 um einen Kugeldurchmesser (z-Achse). Bestimmen Sie das Geschwindigkeitsfeld der Massenpunkte auf der Kugeloberflche und zeigen Sie, dass es sich dabei um ein Wirbelfeld handelt. Die Rechnung soll a) in Kugelkoordinaten, b) in kartesischen Koordinaten durchgefhrt werden. Lehrbuch: Bd. 3, I.5.2.1 und I.6.3.3

Physikalische Grundlagen: A8

Lsung : a) Wir betrachten einen beliebigen Massenpunkt P !auf der Kugeloberflche, dessen blickliche Position durch den Ortsvektor ~ r ¼ M P beschrieben wird (M ist der mittelpunkt und zugleich der Koordinatenursprung, siehe Bild XIII-8). Er bewegt einer Ebene senkrecht zur Drehachse (z-Achse) auf einer Kreisbahn mit dem r ¼ r sin J mit konstanter Geschwindigkeit 1). z

sin J ¼

v0

r r ¼ j~ rj r

r ¼ r sin J

v

ð0 J pÞ

P r r

Kreisbahn

u M

1)

Bild XIII-8

Der Massenpunkt bewegt sich auf dem zum Winkel J gehrigen Breitenkreis.

augenKugelsich in Radius

XIII Vektoranalysis

459

Der Geschwindigkeitsvektor ~ v hat tangentiale Richtung, d. h. er hat nur eine Tangentiale j. komponente v j in Richtung des Tangenteneinheitsvektors ~ e j . Somit gilt: ~ v ¼ vj~ Diese Komponente lsst sich wie folgt bestimmen. Fr einen vollen Umlauf auf der Kreisbahn bentigt der Massenpunkt die Zeit T ¼ 2 p=w 0 , der dabei zurckgelegte Weg s entspricht dem Kreisumfang 2 p r. Somit gilt: vj ¼

s 2pr 2p 2p r ¼ w 0 r ¼ w 0 ðr sin JÞ ¼ w 0 r sin J ¼ ¼ r ¼ T T T 2p w0

Damit erhalten wir das folgende Geschwindigkeitsfeld fr die Massenpunkte auf der Kugeloberflche: ~ v ¼ vj~ e j ¼ ðw 0 r sin JÞ ~ ej ,

0 J p

Man beachte: ~ v hat die Komponenten v r ¼ 0, v J ¼ 0 und v j ¼ v j ðr; JÞ ¼ w 0 r sin J, d. h. v j ist nur von r und J, nicht aber von j abhngig. Wir bestimmen nun die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes ~ v (in Kugelkoordinaten): rot ~ v ¼

1 @ 1 @ er e J þ 0~ ej ¼ ðsin J v j Þ ~ ðr vj Þ ~ r sin J @J r @r

¼

1 @ 1 @ er eJ ¼ ðsin J w 0 r sin JÞ ~ ðr w 0 r sin JÞ ~ r sin J @J r @r

¼

w0 r @ w 0 sin J @ er eJ ¼ ðsin 2 JÞ ~ ðr 2 Þ ~ r sin J @J r @r

¼

w0 w 0 sin J ð2 sin J cos JÞ ~ er ð2 rÞ ~ eJ ¼ sin J r

¼ ð2 w 0 cos JÞ ~ e r ð2 w 0 sin JÞ ~ eJ ¼ ~ ¼ 2 w 0 ðcos J ~ ez ¼ 2 w e r sin J ~ e JÞ ¼ 2 w 0 ~ |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄ{zﬄﬄ} ~ ~ ez w Der in der Klammer stehende Ausdruck ist genau der Einheitsvektor ~ e z in Richtung der ~ ¼ w0~ e z ist die Winpositiven z-Achse (siehe Bd. 3, Abschnitt I.6.3.2). Der Vektor w kelgeschwindigkeit (siehe Bild XIII-8). Das Geschwindigkeitsfeld ist somit wegen ~ 6¼ ~ rot ~ v ¼ 2w 0 ein Wirbelfeld. ~ und ~ b) Der Geschwindigkeitsvektor ~ v ist das Vektorprodukt der Vektoren w r [ A8 ]: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 x 0y y B C B C B C B C ~~ ~ ez ~ r ¼ w0 @ 0 A @ y A ¼ w0 @ x 0 A ¼ w0 @ x A v ¼ w r ¼ w0 ~ 1

z

00

0

Da ~ v ein ebener Vektor ist ðv z ¼ 0, d. h. die z-Komponente verschwindet), verschwinden die x- und y-Komponenten der Rotation von ~ v automatisch: v Þy ¼ 0 ðrot ~ v Þ x ¼ ðrot ~

460

XIII Vektoranalysis

Fr die z-Komponente erhalten wir mit v x ¼ w 0 y und v y ¼ w 0 x: ðrot ~ v Þz ¼

@v y @v x @ @ ¼ ðw 0 xÞ ð w 0 yÞ ¼ w 0 ð w 0 Þ ¼ 2 w 0 6¼ 0 @x @y @x @y

Wegen ~ 6¼ ~ 0 e x þ ðrot ~ e y þ ðrot ~ e z ¼ 0~ ez ¼ 2 w v Þy ~ v Þz ~ e x þ 0~ ey þ 2 w0~ rot ~ v ¼ ðrot ~ v Þx ~ |ﬄﬄ{zﬄﬄ} ~ w ist das Geschwindigkeitsfeld ein Wirbelfeld.

Beispiel 5: Zusammenhang zwischen der elektrischen Feldstrke und der rumlichen Ladungsdichte in einem elektrischen Feld (Maxwellsche Gleichung) Divergenz, Rotation ~ im Innern einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius R Die elektrische Feldstrke E und der positiven Ladung Q nimmt nach der Gleichung ~¼ E

Qr ~ er , 4 p e0 R3

0 r R

von innen ðr ¼ 0Þ nach außen ðr ¼ RÞ dem Betrage nach linear zu. e 0 : elektrische Feldkonstante; r : Abstand vom Kugelmittelpunkt; ~ e r : Einheitsvektor in radialer Richtung ~ und der rumlichen Ladungsdichte r el a) Zeigen Sie: Zwischen der elektrischen Feldstrke E der homogen geladenen Kugel (Ladung pro Volumeneinheit) besteht die Beziehung 2) ~ ¼ r el =e 0 div E b) Ist das elektrische Feld im Innern der Kugel ein Wirbelfeld? Lehrbuch: Bd. 3, I.5 und I.6.3.3

Lsung : ~ besitzt Der in Kugelkoordinaten r, J und j dargestellte elektrische Feldstrkevektor E nur eine Radialkomponente E r , die beiden brigen Komponenten in den Winkelrichtungen J und j verschwinden: E r ¼ E r ðrÞ ¼ 2)

Qr , 4 p e0 R3

EJ ¼ Ej ¼ 0

Es handelt sich um eine der vier Maxwellschen Gleichungen, die die Grundlage der Elektrodynamik bilden. Diese spezielle Gleichung besagt, dass die Ladungen die Quellen und Senken des elektrischen Feldes sind (die Feldlinien beginnen und enden an den Ladungen).

XIII Vektoranalysis

461

~ erhalten wir (in Kugelkoordinaten): a) Fr die Divergenz der Feldstrke E 1 @ 1 @ Qr 2 2 ~ div E ¼ 2 ðr E r Þ ¼ 2 r ¼ r @r r @r 4 p e0 R3 ¼

1 Q @ 1 Q 3Q 3r2 ¼ ðr 3 Þ ¼ 2 2 3 3 r 4 p e0 R @r r 4 p e0 R 4 p e0 R3

Die Definitionsformel der Ladungsdichte r el liefert die Mglichkeit, die Ladung Q durch die (konstante) Ladungsdichte r el und den Kugelradius R auszudrcken: r el ¼

Ladung Q 3Q ¼ ¼ Volumen 4 p R3 4 p R3 3

)

3 Q ¼ 4 p R 3 r el

~ den folgenden Ausdruck (in berDamit erhalten wir fr die Divergenz der Feldstrke E einstimmung mit Maxwell): ~¼ div E

3Q 4 p R 3 r el r ¼ ¼ el 3 3 4 p e0 R e0 4 p e0 R

~ zunchst wie folgt (in b) Wegen E J ¼ 0 und E j ¼ 0 reduziert sich der Vektor rot E Kugelkoordinaten): ~¼ rot E

1 @E r 1 @E r ~ ~ eJ ej @J r sin J @j r

Da die Radialkomponente E r weder von j noch von J abhngt (sondern nur von der Abstandskoordinate r), verschwinden die partiellen Ableitungen von E r nach j bzw. J und es gilt somit: ~¼ rot E

1 1 e J 0~ ej ¼ ~ 0 0~ eJ 0~ ej ¼ 0 ~ r sin J r

Das elektrische Feld im Innern der Kugel ist daher wirbelfrei.

Beispiel 6: Kugel- oder radialsymmetrische Vektorfelder (Zentralfelder) Divergenz, Rotation In Naturwissenschaft und Technik spielen die kugel- oder radialsymmetrischen Vektorfelder eine besondere Rolle. Sie werden auch als Zentralfelder bezeichnet und lassen sich in der ~ ¼ f ðrÞ ~ allgemeinen Form F r darstellen, wobei f ðrÞ eine nur vom Abstand r zum Zentrum abhngige skalare Funktion bedeutet und ~ r der Ortsvektor eines Raumpunktes ist.

462

XIII Vektoranalysis

Beispiele fr Zentralfelder: Gravitationsfeld einer Masse (z. B. der Erde, siehe Bild XIII-9), elektrisches Feld einer Punktladung oder einer homogen geladenen Kugel

F r

Erde

Bild XIII-9 a) Zeigen Sie durch komponentenweise Rechnung in Kugelkoordinaten, dass ein Zentralfeld immer wirbelfrei ist. b) Welche speziellen Zentralfelder sind zugleich auch quellenfrei? Lehrbuch: Bd. 3, I.5 und I.6.3.3

Lsung : a) Wir zerlegen zunchst das Zentralfeld in Komponenten (unter Verwendung der symmetriegerechten Kugelkoordinaten r, J und j): ~ ¼ f ðrÞ ~ er F r ¼ f ðrÞ r ~ e r ¼ Fr ðrÞ ~ (mit Fr ðrÞ ¼ f ðrÞ r ¼ r f ðrÞ; ~ e r ist der radiale Einheitsvektor mit ~ r ¼ r~ e r ). Das radialsymmetrische Vektorfeld besitzt nur eine Radialkomponente Fr ¼ Fr ðrÞ ¼ r f ðrÞ, die restlichen beiden Komponenten dagegen verschwinden: FJ ¼ 0 und Fj ¼ 0. Bercksichtigen wir ferner, dass die Radialkomponente nur vom Abstand r, nicht aber von den Winkeln J und j abhngt, so erhalten wir fr die Komponenten der Rotation (in Kugelkoordinaten) das folgende Ergebnis: 1 @ @FJ 1 ~ ðrot F Þ r ¼ ðsin J Fj Þ ¼ ð0 0Þ ¼ 0 r sin J @J |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} @j r sin J |{z} 0 0 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 0 ~Þ J ¼ 1 ðrot F r

1 @Fr @ 1 1 1 ðr Fj Þ ¼ 0 0 ¼ ð0 0Þ ¼ 0 sin J @j @r |ﬄﬄ{zﬄﬄ} r sin J r |{z} |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} 0 0 0 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 0

XIII Vektoranalysis ~Þ j ¼ ðrot F

463

1 r

@ @Fr ðr FJ Þ @r |ﬄﬄ{zﬄﬄ} @J |{z} 0 0 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 0

¼

1 ð0 0Þ ¼ 0 r

~¼~ Alle drei Komponenten verschwinden, somit gilt rot F 0 und ein Zentralfeld ist daher stets wirbelfrei. b) Ein Zentralfeld mit der Radialkomponente Fr ðrÞ ¼ r f ðrÞ ist quellenfrei, wenn die Divergenz des Feldes verschwindet: ~¼ div F

1 @ ðr 2 Fr Þ ¼ 0 r 2 @r

)

@ ðr 2 Fr Þ ¼ 0 @r

Dies ist genau dann der Fall, wenn r 2 Fr eine Konstante ist. Wir erhalten somit folgendes Ergebnis: r 2 Fr ¼ r 2 r f ðrÞ ¼ r 3 f ðrÞ ¼ const:

)

f ðrÞ ¼

const: r3

Quellenfrei sind also die folgenden Zentralfelder: const: const: const: ~ ¼ f ðrÞ ~ F r ¼ ~ r ¼ r~ er ¼ ~ er r3 r3 r2 Der Betrag eines quellenfreien Zentralfeldes ist dabei dem Quadrat des Abstandes r um~j 1=r 2 . gekehrt proportional: F ¼ j F

Beispiel 7: Elektrisches Feld in der Umgebung eines homogen geladenen Zylinders Divergenz, Rotation Das elektrische Feld in der Umgebung eines langen homogen geladenen Zylinders ist axialoder zylindersymmetrisch und lsst sich in jeder Schnittebene senkrecht zur Zylinderachse (z-Achse) durch den (ebenen) Feldstrkevektor ~¼ E

r el R 2 e yÞ , ðx~ e x þ y~ 2 e 0 ðx 2 þ y 2 Þ

x2 þ y2 R2

beschreiben (Bild XIII-10) 3).

3)

Wegen der Zylindersymmetrie verschwindet die z-Komponente: E z ¼ 0. Daher knnen wir uns auf eine beliebige Schnittebene senkrecht zur Zylinderachse (z-Achse) beschrnken. Wir whlen als Schnittebene die x, y-Ebene (siehe hierzu auch Bild XIII-10).

464

XIII Vektoranalysis

e 0 : elektrische Feldkonstante y

R: Zylinderradius r el : konstante Ladungsdichte des Zylinders (Ladung pro Volumeneinheit)

E

R x Zylinder

Bild XIII-10 a) Beschreiben Sie das elektrische Feld im Außenraum des Zylinders durch den Feldstrke~ in Zylinder- bzw. Polarkoordinaten. vektor E b) Zeigen Sie, dass das elektrische Feld im Außenraum des Zylinders quellen- und wirbelfrei ist. Lehrbuch: Bd. 3, I.5 und I.6.1

Lsung : ~ verschwindet und somit ein ebenes a) Da die z-Komponente der elektrischen Feldstrke E Feld vorliegt, knnen wir den Feldstrkevektor auch in den (symmetriegerechten) Polarkoordinaten r und j ausdrcken. Mit den Transformationsgleichungen x ¼ r cos j , y ¼ r sin j , x2 þ y2 ¼ r2 und (siehe Bd. 3, Kap. I.6.1.2) ~ e x ¼ cos j ~ e r sin j ~ ej ,

~ e y ¼ sin j ~ e r þ cos j ~ ej

~ in erhalten wir dann die gewnschte (und einfache) Darstellung des Feldstrkevektors E e j : radialer bzw. tangentialer Einheitsvektor): Polarkoordinaten (~ e r, ~ ~¼ E

r el R 2 e yÞ ¼ ðx~ e x þ y~ 2 e 0 ðx 2 þ y 2 Þ

¼

r el R 2 e j Þ þ r sin j ðsin j ~ e r þ cos j ~ e jÞ ¼ r cos j ðcos j ~ e r sin j ~ 2 2 e0 r

¼

r el R 2 r ðcos 2 j ~ e r cos j sin j ~ e j þ sin 2 j ~ e r þ sin j cos j ~ e jÞ ¼ 2 e0 r2

¼

r el R 2 r R2 ~ e r ¼ el ðcos 2 j þ sin 2 jÞ ~ er , 2 e 0 r |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 2 e0 r 1

r R

XIII Vektoranalysis

465

Wegen der Zylinder- bzw. Kreissymmetrie existiert (erwartungsgemß) nur eine Radialkomponente: E r ¼ E r ðrÞ ¼

r el R 2 , 2 e0 r

r R

b) Wir berechnen zunchst die Divergenz und dann die Rotation des Feldes, das nur eine Radialkomponente E r , jedoch keine Tangentialkomponente E j besitzt (E j ¼ 0): 1 @ 1 @ r el R 2 1 @ r el R 2 ~ div E ¼ ðr E r Þ ¼ r ¼ ¼ 0 r @r r @r 2 e0 r r @r 2 e0 |ﬄﬄ{zﬄﬄ} const: Das elektrische Feld ist somit im Außenraum des geladenen Zylinders quellenfrei (im Außenraum befinden sich keine Ladungen). Bei einem ebenen Vektorfeld verschwinden bekanntlich die x- und y-Komponenten der Rotation automatisch. Fr die verbleibende z-Komponente erhalten wir, da E j ¼ 0 ist und E r nur von r, nicht aber von j abhngt (in der Polarkoordinatendarstellung): ~Þ z ¼ 1 @ ðr E j Þ @E r ¼ 1 ð0 0Þ ¼ 0 ðrot E r @r |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} r @j |{z} 0 0 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} 0 ~¼~ Somit gilt rot E 0 (alle drei Komponenten verschwinden), das elektrische Feld ist daher wirbelfrei. Fazit: Das elektrische Feld im Außenraum eines homogen geladenen Zylinders ist quellen- und wirbelfrei.

Beispiel 8: Staupunktstrmung einer Flssigkeit Rotation, Divergenz, Gradient, Differentialgleichung (Trennung der Variablen) Die in Bild XIII-11 skizzierte ebene Staupunktstrmung einer Flssigkeit lsst sich durch das Geschwindigkeitsfeld ax ~ v ¼~ v ðx; yÞ ¼ ða > 0 ; 1 < x < 1 ; y 0Þ ay beschreiben (der Staupunkt befindet sich im Koordinatenursprung).

466

XIII Vektoranalysis

y

Stromlinie

Staupunkt

Wand

x

Bild XIII-11 a) Zeigen Sie, dass es sich um ein quellen- und rotationsfreies Feld und somit um eine Potentialstrmung handelt [ A66 ]. b) Bestimmen Sie das Geschwindigkeitspotential F ¼ F ðx; yÞ und die zugehrigen Potentiallinien. c) Durch welche Gleichungen werden die in Bild XIII-11 skizzierten Stromlinien beschrieben? Hinweis: Die Potentialfunktion verschwindet im Staupunkt, d. h. F ðx ¼ 0; y ¼ 0Þ ¼ 0. Lehrbuch: Bd. 3, I.4.1 und I.5

Physikalische Grundlagen: A66

Lsung : a) Das ebene Geschwindigkeitsfeld ist quellenfrei, da die Divergenz von ~ v verschwindet: div ~ v ¼

@ vx @ vy @ @ þ ¼ ða xÞ þ ð a yÞ ¼ a a ¼ 0 @x @y @x @y

Es ist zugleich rotations- oder drehungsfrei, also wirbelfrei, da auch die Rotation von ~ v verschwindet. Denn als ebenes Vektorfeld verschwinden die x- und y-Komponenten der Rotation automatisch. Auch die 3. Komponente (z-Komponente) hat den Wert null: ðrot ~ v Þz ¼

@v y @v x @ @ ð a yÞ ða xÞ ¼ 0 0 ¼ 0 ¼ @x @y @x @y

Somit ist rot ~ v ¼~ 0 und das Geschwindigkeitsfeld wirbelfrei. Es handelt sich demnach um eine Potentialstrmung.

XIII Vektoranalysis

467

b) Es existiert also ein Potential F ¼ F ðx; yÞ mit ~ v ¼ grad F und somit vx ¼

@F ¼ ax @x

vy ¼

und

@F ¼ ay @y

Wir integrieren die erste Gleichung nach x und beachten dabei, dass die „Integrationskonstante“ noch von der zweiten Variablen y abhngen kann: ð ð @F 1 F ¼ dx ¼ a x dx ¼ a x 2 þ K ðyÞ @x 2 Die partielle Ableitung dieser Funktion nach y ist bereits bekannt (es ist die Geschwindigkeitskomponente v y ¼ a y). Daher gilt: @F @ 1 ¼ a x 2 þ K ðyÞ ¼ 0 þ K 0 ðyÞ ¼ K 0 ðyÞ ¼ a y @y @y 2 Durch unbestimmte Integration nach y folgt weiter: ð ð 1 a y2 þ C K 0 ðyÞ ¼ a y ) K ðyÞ ¼ K 0 ðyÞ dy ¼ ð a yÞ dy ¼ 2 Somit: F ¼

1 1 1 1 a x 2 þ K ðyÞ ¼ a x2 a y2 þ C ¼ a ðx 2 y 2 Þ þ C 2 2 2 2

Da das Potential im Staupunkt (Koordinatenursprung) verschwindet, hat auch die Integrationskonstante C den Wert null: F ðx ¼ 0; y ¼ 0Þ ¼ 0

)

1 a ð0 0Þ þ C ¼ 0 þ C ¼ 0 2

)

C ¼ 0

Das Potential des Geschwindigkeitsfeldes lautet daher: F ¼ F ðx; yÞ ¼

1 a ðx 2 y 2 Þ , 2

1 < x < 1,

y 0

Die Potentiallinien sind die quipotentiallinien der Potentialfunktion. Sie lassen sich aus der Bedingung F ðx; yÞ ¼ const: bestimmen und fhren auf die folgende Gleichung: 1 a ðx 2 y 2 Þ ¼ const: 2

bzw:

x 2 y 2 ¼ const:

Es handelt sich dabei um gleichseitige oder rechtwinklige Hyperbeln oberhalb der x-Achse (da y 0 ist, siehe Bild XIII-12).

468

XIII Vektoranalysis y

Potentiallinie

Staupunkt

Wand

x

Bild XIII-12 Potentiallinien einer ebenen Staupunktstrmung c) Der qualitative Verlauf der Stromlinien (Feldlinien) des Geschwindigkeitsfeldes ~ v ðx; yÞ ist uns bereits aus Bild XIII-11 bekannt. Sie lassen sich exakt aus der Gleichung ~ v d~ r ¼~ 0 bestimmen. Die Vektoren ~ v und d~ r mssen wir dabei als 3-dimensionale Vektoren darstellen (mit einer jeweils verschwindenden z-Komponente): ~ v d~ r ¼~ 0 ) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ax dx 00 0 0 B C B C B C B C B C 00 0 @ a y A @ dy A ¼ @ A ¼ @ A ¼ @0A 0 0 a x dy þ a y dx a x dy þ a y dx 0 a x dy þ a y dx ¼ 0 j : a

)

)

x dy þ y dx ¼ 0

Diese Differentialgleichung lsen wir durch Trennung der Variablen ðx 6¼ 0, y > 0Þ: x dy þ y dx ¼ 0 ð

dy ¼ y

ð

)

dy dx ¼ ) y x C ln j y j ¼ ln j x j þ ln j C j ¼ ln ) x x dy ¼ y dx

dx ) x C jCj K j y j ¼ y ¼ ¼ ¼ x jxj jxj

)

ðK > 0; wegen y > 0 gilt j y j ¼ yÞ

Die Stromlinien sind somit ebenfalls rechtwinklige Hyperbeln, sie schneiden die Potentiallinien des Strmungsfeldes unter einem rechten Winkel.

XIII Vektoranalysis

469

Beispiel 9: Stationre (zeitunabhngige) Wrmeleitung durch eine Rohrwand Laplace-Gleichung, Differentialgleichung (Trennung der Variablen) Bild XIII-13 zeigt den Querschnitt eines langen Rohres (Hohlzylinders) mit der Wandstrke d. Bringt man Innen- und Außenwand auf konstante, aber unterschiedliche Temperaturen, so findet eine Wrmestrmung lngs des Temperaturgeflles in radialer Richtung statt. Die Temperaturverteilung von innen nach außen gengt dabei der Laplace-Gleichung DT ¼ 0. r i , r a : Innen- bzw. Außenradius d ¼ r a r i : Wandstrke

ra

T i , T a : Innen- bzw. Außentemperatur

d

ðT a > T i Þ ri r Hohlzylinder (Rohr)

Innenwand ( r = r i )

Außenwand ( r = r a )

Bild XIII-13

Bestimmen Sie den Temperaturverlauf in der Rohrwand. Hinweis: Es wird vorausgesetzt, dass die Wandstrke im Vergleich zu den Krmmungsradien der beiden Wnde sehr klein ist. Der Wrmeleitungsprozess kann dann als ein 1-dimensionaler Prozess in radialer Richtung betrachtet werden, d. h. die Temperatur in der Rohrwand hngt nur vom senkrechten Abstand r zur Symmetrieachse des Hohlzylinders (z-Achse) ab: T ¼ T ðrÞ. Verwenden Sie daher Zylinder- bzw. Polarkoordinaten. Lehrbuch: Bd. 3, I.5.3.3, I.6.1.3 und I.6.2.3

Physikalische Grundlagen: A65

Lsung : Die Laplace-Gleichung lautet in Polar- bzw. Zylinderkoordinaten r und j wie folgt (da T nur von der einen Variablen r abhngt, besteht kein Unterschied zwischen den partiellen und den gewhnlichen Ableitungen): DT ¼

@ 2T 1 @T þ ¼ 0 @r 2 r @r

oder

T 00 ðrÞ þ

1 T 0 ðrÞ ¼ 0 r

470

XIII Vektoranalysis

Die Temperaturverteilung unterliegt dabei den Randbedingungen T ðr ¼ r i Þ ¼ T i und T ðr ¼ r a Þ ¼ T a . Zunchst verwandeln wir die vorliegende Differentialgleichung 2. Ordnung mit Hilfe der Substitution u ¼ u ðrÞ ¼ T 0 ðrÞ ,

u 0 ¼ u 0 ðrÞ ¼ T 00 ðrÞ

in eine Differentialgleichung 1. Ordnung, die dann durch Trennung der Variablen gelst werden kann: 1 1 du 1 T 0 ðrÞ ¼ 0 ) u 0 þ u ¼ 0 ) u0 ¼ ¼ u ) r r dr r ð ð du dr du dr C1 ¼ ) ¼ ) ln u ¼ ln r þ ln C 1 ¼ ln ) u r u r r T 00 ðrÞ þ

u ¼

C1 r

ðC 1 : positive KonstanteÞ

Durch Rcksubstitution T 0 ðrÞ ¼ u ðrÞ und einer sich anschließenden (unbestimmten) Integration folgt weiter: ð ð C1 1 ) T ðrÞ ¼ T 0 ðrÞ dr ¼ C 1 T 0 ðrÞ ¼ dr ¼ C 1 ln r þ C 2 r r Die noch unbekannten Integrationskonstanten C 1 und C 2 bestimmen wir aus den beiden Randwerten wie folgt: ) T ðr ¼ r a Þ ¼ T a ) ðIÞ C 1 ln r a þ C 2 ¼ T a T ðr ¼ r i Þ ¼ T i ) ðIIÞ C 1 ln r i þ C 2 ¼ T i Durch Differenzbildung erhalten wir dann eine Bestimmungsgleichung fr die Unbekannte C 1 : C 1 ln r a C 1 ln r i ¼ T a T i ) C 1 ðln r a ln r i Þ ¼ T a T i ra Ta Ti C 1 ln ¼ Ta Ti ) C1 ¼ ri ra ln ri

)

Aus Gleichung (II) folgt weiter: C 2 ¼ T i C 1 ln r i Damit erhalten wir in der Rohrwand die folgende Temperaturverteilung: T ðrÞ ¼ C 1 ln r þ C 2 ¼ C 1 ln r þ T i C 1 ln r i ¼ C 1 ðln r ln r i Þ þ T i ¼ r Ta Ti r ¼ C 1 ln ri r ra þ Ti ¼ þ Ti , ln ri ri ra ln ri

XIII Vektoranalysis

471

Bild XIII-14 zeigt den Verlauf dieser Verteilung. Die Temperatur nimmt dabei von innen nach außen zu und zwar von T i bis T a .

T Ta

Ti

Bild XIII-14 ri

ra

r

Beispiel 10: Gravitationspotential und Fallbeschleunigung Gradient, Laplace-Gleichung (Potentialgleichung) Das Gravitationsfeld der Erdkugel vom Radius R ist ein konservatives Zentralfeld und besitzt somit ein Potential F (auch Gravitationspotential genannt), das sich aus der Laplace-Gleichung (Potentialgleichung) DF ¼ 0 bestimmen lsst. a) Wie lautet diese kugel- oder radialsymmetrische Potentialfunktion F ¼ F ðrÞ? b) Bestimmen Sie durch Gradientenbildung aus dem Potential F die Erd- oder Fallbeschleunigung ~ g ¼ grad F. Hinweis: Das Potential F verschwindet im Unendlichen: F ðr ! 1Þ ¼ 0. Die Erdbeschleunigung an der Erdoberflche ðr ¼ RÞ hat den Betrag g 0 9,81 m=s 2 . Lehrbuch: Bd. 3, I.4.1, I.5.3.3 und I.6.3.3

Lsung : a) Wegen der Kugelsymmetrie des Feldes verwenden wir Kugelkoordinaten r, J und j. Das Gravitationspotential hngt dabei nur vom Abstand r zum Erdmittelpunkt, nicht aber von den Winkeln J und j ab: F ¼ F ðrÞ. Die Laplace-Gleichung (Potentialgleichung) reduziert sich damit auf 1 @ @F @ @F DF ¼ 2 r2 ¼ 0 ) r2 ¼ 0 r @r @r @r @r Der in der Klammer stehende Ausdruck muss eine Konstante sein, da die Ableitung verschwindet. Daher gilt: r2

@F dF ¼ r2 ¼ r 2 F 0 ðrÞ ¼ const: ¼ C 1 @r dr

(F hngt nur von der einen Variablen r ab, daher besteht kein Unterschied zwischen der partiellen und der gewhnlichen Ableitung)

472

XIII Vektoranalysis

Wir lsen diese einfache Differentialgleichung nach F 0 ðrÞ auf und integrieren dann unbestimmt: ð ð ð C1 1 F 0 ðrÞ ¼ 2 ) F ðrÞ ¼ F 0 ðrÞ dr ¼ C 1 dr ¼ C r 2 dr ¼ 1 r r2 ¼ C1

r1 C1 þ C2 ¼ þ C2 1 r

Im Unendlichen verschwindet das Potential: C1 F ðr ! 1Þ ¼ 0 ) lim þ C2 ¼ 0 þ C2 ¼ 0 r!1 r

)

C2 ¼ 0

Das Gravitationspotential lautet also wie folgt: F ðrÞ ¼

C1 , r

r R

Die Integrationskonstante C 1 bestimmen wir spter. b) Die Erdbeschleunigung ~ g besitzt wegen der Kugelsymmetrie des Gravitationsfeldes nur eine Radialkomponente g r . Es gilt ~ g ¼ grad F ¼

@F dF ~ ~ er er ¼ er ¼ gr ~ @r dr

und somit dF d gr ¼ ¼ dr dr

C1 r

¼ C 1 ð 1Þ r 2 ¼

d ¼ C1 dr

1 d ¼ C1 ðr 1 Þ ¼ r dr

C1 r2

An der Erdoberflche ðr ¼ RÞ hat die Radialkomponente den Wert g r ðr ¼ RÞ ¼ g 0 . Aus diesem speziellen Wert bestimmen wir die noch unbekannte Konstante C 1 : g r ðr ¼ RÞ ¼

C1 ¼ g0 R2

)

C1 ¼ g0 R2

Die Radialkomponente g r lautet damit wie folgt: gr ¼

C1 g0 R2 ¼ , 2 r r2

r R

Fr die Erd- oder Fallbeschleunigung gilt dann: ~ er ¼ g ¼ grad F ¼ g r ~

g0 R2 ~ er , r2

r R

Der Betrag g ¼ j ~ g j der Erdbeschleunigung ~ g nimmt dabei mit zunehmender Entfernung von der Erdoberflche wie folgt ab (siehe Bild XIII-15): 2 g0 R2 ¼ g0 R ¼ g0 R2 1 1 , g ¼ j~ g j ¼ j g r j ¼ r R 2 2 r r r2 r2

XIII Vektoranalysis

473

Das Gravitationspotential F lautet damit in Abhngigkeit vom Abstand r : F ðrÞ ¼

C1 g0 R2 1 1 , ¼ ¼ g0 R2 r r r r

r R

Der Betrag des Gravitationspotentials nimmt dabei mit zunehmender Entfernung von der Erdkugel ab (siehe Bild XIII-16): g

|F | g0 g 0R g ~ 12 r

R

| F | ~ r1

r

Bild XIII-15

R

r

Bild XIII-16

Beispiel 11: Potential und Feldstrke des elektrischen Feldes im Innenraum eines homogen geladenen Zylinders Gradient, Potentialgleichung (Laplace-Gleichung) Ein langer homogen geladener Zylinder mit dem Radius R und der konstanten (positiven) Ladungsdichte r el (Ladung pro Volumeneinheit) erzeugt ein axial- oder zylindersymmetrisches elektrisches Feld. a) Bestimmen Sie aus der Potentialgleichung [ A67 ] das elektrische Potential V des Feldes im Innern des Zylinders. b) Beschreiben Sie das elektrische Feld im Innenraum des Zylinders durch den elektrischen ~. Feldstrkevektor E Hinweis: Verwenden Sie symmetriegerechte Koordinaten, d. h. hier Zylinderkoordinaten r, j und z. Die Symmetrieachse des Zylinders fllt in die z-Achse. Das Potential V verschwindet auf dieser Achse, d. h. es gilt V ðr ¼ 0Þ ¼ 0. Lehrbuch: Bd. 3, I.4.1, I.5.3.3 und I.6.2.3

Physikalische Grundlagen: A57, A67

474

XIII Vektoranalysis

Lsung : a) Das Potential V des elektrischen Feldes hngt wegen der Zylindersymmetrie des Feldes nur von der Abstandskoordinate r ab (r ist der senkrechte Abstand zur Symmetrieachse): V ¼ V ðrÞ. Die Potentialgleichung [ A67 ] reduziert sich daher (in Zylinderkoordinaten) wie folgt: 1 @ @V r r ¼ el DV ¼ e0 r @r @r Wir multiplizieren die Gleichung mit r und beachten, dass die partiellen Ableitungen auch als gewhnliche Ableitungen geschrieben werden knnen, da V nur von einer Variablen (der Abstandskoordinate r) abhngt: d dV d r r ¼ ðr V 0 ðrÞÞ ¼ el r e0 dr dr dr Unbestimmte Integration beiderseits liefert dann: ð ð d r ðr V 0 ðrÞÞ dr ¼ el r dr ) dr e0 r V 0 ðrÞ ¼

r el 1 2 r r þ C 1 ¼ el r 2 þ C 1 e0 2 2 e0

Fr r ¼ 0 folgt aus dieser Gleichung: 0 þ C1 ¼ 0

)

C1 ¼ 0

Somit ist r V 0 ðrÞ ¼

r el r2 2 e0

bzw:

V 0 ðrÞ ¼

r el r 2 e0

(nach Division durch r). Wir integrieren abermals auf beiden Seiten: ð ð r r 1 r V ðrÞ ¼ V 0 ðrÞ dr ¼ el r dr ¼ el r 2 þ C 2 ¼ el r 2 þ C 2 2 e0 2 e0 2 4 e0 Auf der Zylinderachse (z-Achse) verschwindet das Potential: V ðr ¼ 0Þ ¼ 0

)

0 þ C2 ¼ 0

)

C2 ¼ 0

Das elektrische Potential im Innenraum des geladenen Zylinders lautet damit wie folgt: V ¼ V ðrÞ ¼

r el r2 , 4 e0

r R

b) Aus dem Potential V erhalten wir durch Bildung des Gradienten die gesuchte elektrische ~ [ A57 ]. Da das Potential nur von r, nicht aber von j und z abhngt, Feldstrke E erhalten wir das folgende Ergebnis:

XIII Vektoranalysis

475

dV d ~ ¼ grad V ¼ @V ~ ~ E er ¼ er ¼ @r dr dr ¼

r el er ¼ r2 ~ 4 e0

r el d r r e r ¼ el 2 r ~ e r ¼ el r ~ er , ðr 2 Þ ~ 4 e 0 dr 4 e0 2 e0

r R

Der Betrag der Feldstrke nimmt also linear mit zunehmenden Abstand r von der Zylinderachse zu (siehe Bild XIII-17): ~j ¼ r el r ~ E E ¼ jE e r ¼ 2e 0 r el r j~ er j ¼ 2 e0 |{z} 1 r el ¼ r r 2 e0

r el R 2e0

¼

E~r

Bild XIII-17 R

r

Beispiel 12: Wirbelfreies Geschwindigkeitsfeld einer ebenen Strmung Divergenz, Rotation, Gradient Das stationre Geschwindigkeitsfeld einer ebenen Strmung laute in Polarkoordinaten r und j wie folgt: ~ v ¼

1 ~ ej , r

r > 0

ð~ e j : tangentialer EinheitsvektorÞ

a) Bestimmen Sie die Stromlinien (Feldlinien) des Geschwindigkeitsfeldes. b) Zeigen Sie: Das Geschwindigkeitsfeld ist rotationsfrei (d. h. wirbelfrei). c) Wie lautet die Darstellung des Feldes in (ebenen) kartesischen Koordinaten? Prfen Sie, ob das Feld auch quellenfrei ist (Rechnung in kartesischen Koordinaten). d) Handelt es sich um eine Potentialstrmung? Bestimmen Sie gegebenenfalls das Potential des Feldes. Lehrbuch: Bd. 3, I.4.1, I.5 und I.6.1.3

Physikalische Grundlagen: A66

Lsung : a) Das Geschwindigkeitsfeld besitzt nur eine Tangentialkomponente v j ¼ v j ðrÞ ¼ 1=r. Die Bewegung eines Flssigkeitsteilchens erfolgt daher in tangentialer Richtung, d. h. auf einem Kreis und zwar mit der konstanten Geschwindigkeit v ¼ 1=r.

476

XIII Vektoranalysis

Die Stromlinien sind somit konzentrische Kreise um den Koordinatenursprung (siehe Bild XIII-18). Die Geschwindigkeit nimmt dabei dem Betrage nach in radialer Richtung nach außen hin ab (proportional zu 1=r).

y v

v

v

v v v x

v v v

v

v

v

Bild XIII-18

b) Da ein ebenes Geschwindigkeitsfeld vorliegt, tion von ~ v geben. Fr diese erhalten wir mit

1 @ @v r ðrot ~ v Þz ¼ ¼ ðr v j Þ @j r @r |{z}

0

kann es nur eine z-Komponente der Rotav r ¼ 0 und v j ¼ 1=r : 1 @ 1 1 @ 1 r ¼ ð1Þ ¼ 0 ¼ 0 r @r r r @r r |ﬄﬄ{zﬄﬄ} 0

Somit gilt rot ~ v ¼~ 0, das Geschwindigkeitsfeld ist wirbel- und damit rotationsfrei. c) Mit Hilfe der Transformationsgleichungen sin j ¼

y , r

cos j ¼

x , r

r2 ¼ x2 þ y2 ,

~ e j ¼ sin j ~ e x þ cos j ~ ey

erhalten wir die gewnschte Darstellung des Geschwindigkeitsfeldes in kartesischen Koordinaten: ~ v ¼ ¼

1 1 1 y x ~ e yÞ ¼ ej ¼ ð sin j ~ e x þ cos j ~ ~ ex þ ~ ey ¼ r r r r r 1 1 ð y~ e x þ x~ e yÞ ¼ 2 ð y~ e x þ x~ e yÞ 2 r x þ y2

XIII Vektoranalysis

477

Die Geschwindigkeitskomponenten lauten somit: y x , vy ¼ 2 vx ¼ 2 x þ y2 x þ y2 Das Feld ist quellenfrei, wenn die Divergenz von ~ v verschwindet. Die dabei bentigten partiellen Ableitungen erhalten wir mit Hilfe der Kettenregel (Substitution: u ¼ x 2 þ y 2 ): @v x @v y @ y @ x div ~ v ¼ þ ¼ 2 þ ¼ @x x þ y2 @y x 2 þ y 2 @x @y ¼ y

@ @ ðx 2 þ y 2 Þ 1 þ x ðx 2 þ y 2 Þ 1 ¼ @x @y

¼ y ð 1Þ ðx 2 þ y 2 Þ 2 2 x þ x ð 1Þ ðx 2 þ y 2 Þ 2 2 y ¼ ¼

2xy ðx 2

þ

y 2Þ 2

2xy ðx 2

þ y 2Þ 2

¼ 0

Das Geschwindigkeitsfeld ist somit quellenfrei. d) Das Geschwindigkeitsfeld ist quellen- und wirbelfrei und damit ein Potentialfeld, dessen Potential F (hier als Geschwindigkeitspotential bezeichnet) aus der Gleichung ~ v ¼ grad F wie folgt bestimmt werden kann [ A66 ]: ~ v ¼ grad F

)

@F y , ¼ vx ¼ 2 @x x þ y2

@F x ¼ vy ¼ 2 @y x þ y2

Wir integrieren die erste Gleichung: ð ð @F 1 1 x dx ¼ y F ¼ dx ¼ y arctan þ K ðyÞ ¼ 2 2 @x x þy y y |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Integral Nr: 29 mit a ¼ y ¼ arctan

x þ K ðyÞ y

Dabei haben wir bercksichtigt, dass die „Integrationskonstante“ noch von y abhngen kann (also eine Funktion von y ist). Jetzt differenzieren wir F mit Hilfe der Kettenregel partiell nach y, das Ergebnis ist die bereits bekannte Geschwindigkeitskomponente v y : @F @ x @ arctan ðx y 1 Þ þ K ðyÞ ¼ ¼ arctan þ K ðyÞ ¼ @y @y y @y ¼

¼

1 1þ

ðx y 1 Þ 2

x ð 1Þ y 2 þ K 0 ðyÞ ¼

1 x 0 2 2 þ K ðyÞ ¼ y x 1þ y

x x x þ K 0 ðyÞ ¼ 2 þ K 0 ðyÞ ¼ 2 þ K 0 ðyÞ 2 2 2 y x þ x þ y x 1 þ 2 y2 y

478

XIII Vektoranalysis

@F ¼ vy @y

)

x2

x x þ K 0 ðyÞ ¼ 2 2 þy x þ y2

)

K 0 ðyÞ ¼ 0

Aus K 0 ðyÞ ¼ 0 folgt K ðyÞ ¼ const:. Das Geschwindigkeitspotential lautet daher: x F ¼ F ðx; yÞ ¼ arctan þ const: y

Beispiel 13: Magnetfeld eines stromdurchflossenen linearen Leiters Linienintegral Durch einen langen zylindrischen Leiter mit dem Querschnittsradius R fließe in Lngsrichtung ein ber den Leiterquerschnitt gleichmßig verteilter Strom der Strke I 0 (Bild XIII-19; Zylinderachse (z-Achse) senkrecht zur Zeichenebene nach oben gerichtet). Er erzeugt ein ~. ringfrmiges Magnetfeld mit einer ortsabhngigen magnetischen Feldstrke H Bestimmen Sie die Abhngigkeit des Betra~ j der Feldstrke vom senkges H ¼ j H rechten Abstand r gegenber der Leitermitte (Leiterachse) M

R

a) innerhalb des Leiters, b) außerhalb des Leiters

M

mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes [ A64 ].

Bild XIII-19 Lehrbuch: Bd. 3, I.7

magnetische Feldlinien

Leiterquerschnitt

Physikalische Grundlagen: A19, A64

Lsung : Sowohl im Innen- als auch im Außenbereich des Leiters gilt: In jeder Ebene senkrecht zur Leiterachse (z-Achse) verlaufen die magnetischen Feldlinien wegen der Kreis- bzw. Zylindersymmetrie in Form von konzentrischen Kreisen um die Leiterachse, wobei der Betrag H des ~ lngs einer jeden Feldlinie konstant ist. H ist somit eine magnetischen Feldstrkevektors H reine Funktion der Abstandskoordinate r : H ¼ HðrÞ. a) Im Innenbereich 0 r R hat die Stromdichte S [ A19 ] wegen der gleichmßigen Stromverteilung an jeder Stelle des Leiters den gleichen Wert S ¼

Stromst¨arke I0 ¼ const: ¼ p R2 Querschnittsfl¨ache

XIII Vektoranalysis

479

Durch die in Bild XIII-20 dunkelgrau unterlegte Kreisflche vom Radius r und Flcheninhalt A ðrÞ ¼ p r 2 fließt somit ein Strom der Strke

H

dr R r

I0 I0 I ðrÞ ¼ S A ðrÞ ¼ pr2 ¼ 2 r2 p R2 R

M

Nach dem Durchflutungsgesetz [ A64 ] gilt dann: þ

K

I0 ~ d~ H r ¼ I ðrÞ ¼ 2 r 2 R

K

Bild XIII-20

Die Integration erfolgt dabei lngs einer magnetischen Feldlinie, d. h. lngs eines konzentrischen Kreises K vom Radius r. Der Verschiebungsvektor d~ r hat tangentiale Richtung ~. Daher gilt fr das skalare Produkt dieser Vektoren im wie auch der Feldstrkevektor H geschlossenen Linienintegral: ~ d~ H r ¼ H dr cos 0 ¼ H dr 1 ¼ H dr Beim Umlauf lngs der (konzentrischen) Kreisbahn K vom Radius r bleibt H konstant, der dabei zurckgelegte Weg entspricht dem Kreisumfang 2 p r. Somit ist þ

~ d~ H r ¼

K

þ

þ

I0 dr ¼ H 2 p r ¼ 2 r 2 R |ﬄ{zﬄ} 2pr

H dr ¼ H

K

und daher H ¼ H ðrÞ ¼

I0 r r, 2 p R2

0 r R

Die magnetische Feldstrke H nimmt also im Innern des Leiters proportional zum Leiterabstand r zu und zwar vom Minimalwert H ðr ¼ 0Þ ¼ 0 bis zum Maximalwert H ðr ¼ RÞ ¼ I 0 =ð2 p RÞ (siehe hierzu auch Bild XIII-21). b) Im Außenbereich des zylindrischen Leiters gilt: Durch jede Kreisflche vom Radius r R fließt der gleiche Strom I 0 . Nach dem Durchflutungsgesetz [ A64 ] gilt somit nach analogen berlegungen wie im Lsungsteil a) þ K

~ d~ H r ¼

þ

H dr ¼ H

K

þ

dr ¼ H 2 p r ¼ I 0

K

Die magnetische Feldstrke H nimmt damit außerhalb des Leiters nach der Gleichung H ¼ H ðrÞ ¼

I0 1 1 , r 2p r

r R

reziprok zum Abstand r ab (siehe Bild XIII-21).

480

XIII Vektoranalysis

H I0 2 pR H~1 r

H~r

Bild XIII-21 r

R Innenbereich

Außenbereich

Beispiel 14: Elektrisches Feld einer Linienquelle Gradient, Rotation, Linienintegral Das Potential des elektrischen Feldes in der Umgebung einer Linienquelle 4) lsst sich in Abhngigkeit vom (senkrechten) Abstand r zur Leitermitte durch die Gleichung l r V ¼ V ðrÞ ¼ ln , r > 0 2 p e0 r0 beschreiben. e 0 : elektrische Feldkonstante; l: Ladung pro Lngeneinheit; r 0 > 0: Lage des Bezugspunktes mit dem Nullpotential, d. h. V ðr 0 Þ ¼ 0 ~j a) Wie lauten die kartesischen Komponenten E x , E y und E z sowie der Betrag E ¼ j E ~ des elektrischen Feldstrkevektors E ? b) Zeigen Sie: Das elektrische Feld ist konservativ, d. h. die Arbeit beim Verschieben einer Ladung im Feld hngt nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges ab, nicht aber vom eingeschlagenen Weg. c) Welche Arbeit W wird beim Verschieben einer Ladung Q vom Punkt A zum Punkt B verrichtet, wenn die senkrechten Abstnde dieser Punkte von der Linienquelle r 1 bzw. r 2 betragen? Hinweis: Die Linienquelle liegt in der z-Achse. Beachten Sie die Zylindersymmetrie des elektrischen Feldes. Lehrbuch: Bd. 3, I.4.1, I.5.2 und I.7.3

4)

Physikalische Grundlagen: A10, A55, A57

Linienquelle: Extrem dnner (unendlich) langer zylindrischer Leiter mit homogener (konstanter) Ladungsverteilung.

XIII Vektoranalysis

481

Lsung : a) Die quipotentialflchen [ A55 ] des elektrischen Feldes sind wegen der Zylindersymmetrie koaxiale Zylinderflchen (Mantelflchen koaxialer Zylinder). Der elektrische Feld~ ist daher (bei einer angenommenen positiven Linienladung) radial nach strkevektor E außen gerichtet. Es gibt somit keine Komponente in Richtung der z-Achse, d. h. es ist ~ kann also als ebener Vektor aufgefasst werden. Jeder ebene E z ¼ 0. Der Vektor E Schnitt senkrecht zur Linienquelle (z-Achse) liefert das gleiche radialsymmetrische elektrische Feld (siehe Bild XIII-22; Schnittebene ist die x, y-Ebene, die z-Achse ist senkrecht zur Zeichenebene nach oben gerichtet). y E

P r y x

x

Äquipotentialfläche (koaxialer Zylindermantel)

Linienquelle (Querschnitt)

Bild XIII-22

~ ist der negative Gradient des Potentials V [ A57 ]: Die elektrische Feldstrke E @V @V ~ ¼ Ex~ ~ ~ E ex þ Ey~ e y ¼ grad V ¼ ex ey @x @y Die Feldstrkekomponenten E x und E y sind somit die mit 1 multiplizierten partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Potentialfunktion V ðrÞ ¼ V ðx; yÞ. Bevor wir diese Ableitungen bilden knnen, mssen wir das Potential in kartesischen Koordinaten ausdrcken. Den im Potential auftretenden logarithmischen Term bringen wir unter Verwendung der Beziehung pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ðSatz des PythagorasÞ r ¼ x 2 þ y 2 ¼ ðx 2 þ y 2 Þ 1=2 mit Hilfe der bekannten Rechenregeln fr Logarithmen auf eine fr das Differenzieren gnstigere Form: r 1 ln ln ðx 2 þ y 2 Þ ln r 0 ¼ ln r ln r 0 ¼ ln ðx 2 þ y 2 Þ 1=2 ln r 0 ¼ r0 2 Somit ist V ¼ V ðx; yÞ ¼

l r l 1 ln ln ðx 2 þ y 2 Þ ln r 0 ¼ 2 p e0 r0 2 p e0 2

482

XIII Vektoranalysis

Mit der Kettenregel erhalten wir hieraus die gesuchten Feldkomponenten E x und E y :

@V @ l 1 2 2 Ex ¼ ¼ ¼ ln ðx þ y Þ ln r 0 @x @x 2 p e0 2

l @ 1 l 1 1 2 2 2x 0 ¼ ¼ ln ðx þ y Þ ln r 0 ¼ 2 p e 0 @x 2 2 p e0 2 x2 þ y2 ¼

l x l x ¼ 2 p e0 x2 þ y2 2 p e0 r2

Analog: E y ¼

ðmit x 2 þ y 2 ¼ r 2 Þ

@V l y ¼ @y 2 p e0 r2

Der elektrische Feldstrkevektor lautet somit in kartesischen Koordinaten wie folgt: l x l y l ~ ~ ex þ ey ¼ ðx~ e x þ y~ e yÞ ¼ 2 p e0 r2 2 p e0 r2 2 p e0 r2 x x l l ¼ ¼ 2 2 2 2 p e0 r 2 p e 0 ðx þ y Þ y y

~ ¼ Ex~ E ex þ Ey~ ey ¼

Fr den Betrag der Feldstrke erhalten wir (in Polarkoordinaten): qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ l l l ~j ¼ E x2 þ E y2 ¼ x2 þ y2 ¼ r ¼ ¼ E ¼ jE 2 2 p e0 r 2 p e0 r2 2 p e0 r ¼

l 1 1 , 2 p e0 r r

r > 0

Er nimmt nach außen hin ab und zwar umgekehrt proportional zum Abstand r von der Leitermitte (z-Achse; siehe hierzu Bild XIII-23). E

E~1 r

Bild XIII-23 r

~ verschwindet. Bei einem ebenen b) Das elektrische Feld ist konservativ, wenn der Vektor rot E Feld wie in diesem Beispiel verschwinden bekanntlich die x- und y-Komponenten der Rotation automatisch. Die z-Komponente verschwindet, wenn die sog. Integrabilittsbedingung ~Þ z ¼ @E y @E x ¼ 0 ðrot E @x @y

oder

@E x @E y ¼ @y @x

XIII Vektoranalysis

483

erfllt ist. Die bentigten partiellen Ableitungen lauten (unter Verwendung der Kettenregel):

@E x @ l x l @ 2 x ðx 2 þ y 2 Þ 1 ¼ ¼ ¼ @y @y 2 p e 0 x þ y 2 2 p e0 @y l l xy x ð 1Þ ðx 2 þ y 2 Þ 2 2 y ¼ 2 2 p e0 p e 0 ðx þ y 2 Þ 2

@E y @ l y l xy Analog: 2 ¼ ¼ @x @x 2 p e 0 x þ y 2 p e 0 ðx 2 þ y 2 Þ 2 ¼

Die partiellen Ableitungen stimmen berein, das elektrische Feld ist somit konservativ. c) Das elektrische Feld ist konservativ, die Arbeit ist daher wegunabhngig, hngt also nur vom Anfangspunkt A und dem Endpunkt B ab. Wir whlen den in Bild XIII-24 skizzierten Weg C, der zunchst von A aus radial nach A * (Weg C 1 ) und von dort auf dem Kreisbogen vom Radius r 2 weiter nach B * verluft (Weg C 2 ). Der Punkt B * liegt dabei oberhalb oder unterhalb des Endpunktes B (in Richtung der z-Achse betrachtet) oder er fllt mit B zusammen. Bei der Verschiebung der Ladung Q von B * nach B (parallel zur z-Achse) wird keine Arbeit verrichtet, da B* beide Punkte in einer gemeinsamen quipotentialflche C2 (Zylinderflche) liegen. Die vom elektrischen Feld an der Ladung Q lngs des Weges C ¼ C 1 þ C 2 verA* richtete Arbeit W wird durch das Arbeitsintegral r2 ð ð ð C1 A ~ ~ ~ d~ r ¼ F d~ r þ F r ¼ W ¼ F d~ C

C1

E

C2

r1

¼ W1 þ W2

Linienquelle

~ die auf die Ladung einwirkende berechnet. Dabei ist F Kraft und d~ r das Wegelement in Richtung des Weges (Verschiebung der Ladung um d~ r in Wegrichtung).

Bild XIII-24

Arbeit W 1 lngs des Weges C 1 von A nach A * : Die Verschiebung der Ladung Q erfolgt in radialer Richtung (Feldrichtung). Daher gilt ~ ¼ QE ~ [ A10 ]: unter Bercksichtigung von F ~ d~ ~Þ d~ ~ d~ dW 1 ¼ F r ¼ ðQ E r ¼ Q ðE r Þ ¼ Q ðE dr cos 0 Þ ¼ Q E dr ¼ |ﬄﬄ{zﬄﬄ} 1 l 1 lQ 1 ¼ Q dr ¼ dr 2 p e0 r 2 p e0 r W1 ¼

ð C1

¼

dW 1 ¼

ð C1

lQ ~ d~ F r ¼ 2 p e0

rð2 r1

i r2 1 lQ h ¼ dr ¼ ln r r1 r 2 p e0

lQ lQ r2 ðln r 2 ln r 1 Þ ¼ ln 2 p e0 2 p e0 r1

484

XIII Vektoranalysis

Arbeit W 2 lngs des Weges C 2 von A * nach B * : Der Verschiebungsvektor d~ r hat diesmal tangentiale Richtung und steht damit senkrecht ~ und F ~ ¼ QE ~. Somit gilt auf diesem kreisfrmigen Wegstck: auf den Vektoren E ~ d~ ~Þ d~ ~ d~ r ¼ ðQ E r ¼ Q ðE r Þ ¼ Q ðE dr cos 90 Þ ¼ 0 dW 2 ¼ F |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} 0 Durch Aufsummieren (Integration) folgt schließlich: W2 ¼

ð

dW 2 ¼

C2

ð

~ d~ F r ¼ 0

C2

Die Verschiebung erfolgt auf diesem Teilstck erwartungsgemß ohne Arbeitsaufwand, da

_

der Kreisbogen A* B * in einer quipotentialflche liegt. Gesamtarbeit W ¼ W 1 þ W 2 : W ¼ W1 þ W2 ¼

lQ r2 lQ r2 ln ln þ0 ¼ 2 p e0 r1 2 p e0 r1

Beispiel 15: Magnetische Feldstrke in der Achse eines stromdurchflossenen kreisfrmigen Leiters Linienintegral Ein kreisfrmiger Leiter vom Radius R wird von einem konstanten Strom der Strke I durchflossen (Bild XIII-25; der Kreisring liegt in einer Ebene senkrecht zur Zeichenebene). a) Bestimmen Sie den Betrag H der ~ in eimagnetischen Feldstrke H nem Punkt P der Kreisringachse (x-Achse) durch Anwendung des Biot-Savartschen Gesetzes [ A49 ]. b) Wie stark ist das Magnetfeld in der Ringmitte M bzw. in großer Entfernung von der Ringmitte?

Leiterelement ds dH r

R I

a M x

x: Lagekoordinate des Punktes P ð 1 < x < 1Þ

P dH x

kreisförmiger Leiter

Bild XIII-25

Lehrbuch: Bd. 3, I.7.3

dH y

a

Physikalische Grundlagen: A49

x

XIII Vektoranalysis

485

Lsung : a) Wir betrachten ein im Kreisring gelegenes Leiterelement d~ s und einen Punkt P auf der Kreisringachse (das Leiterelement liegt in einer Ebene senkrecht zur Zeichenebene). ~ r ist der vom Leiterelement zum Punkt P fhrende Abstandsvektor der Lnge r ¼ j~ r j, mit x bezeichnen wir den Abstand des Punktes P vom Mittelpunkt M des Kreisringes (siehe Bild XIII-25). Das vom Strom I durchflossene Leiterelement d~ s erzeugt dann in P nach dem Biot-Savartschen Gesetz [ A49 ] ein magnetisches Feld mit dem Feldstrkevektor I d~ s ~ r 4p r3

~¼ dH vom Betrage

~j ¼ dH ¼ j d H

d~ I s 4p r3

~ r I j d~ s~ rj I j~ r d~ sj ¼ ¼ 4p r3 4p r3

Da die Vektoren ~ r und d~ s einen rechten Winkel miteinander bilden, gilt j~ r d~ s j ¼ j~ r j j d~ s j sin 90 ¼ r ds 1 ¼ r ds und somit dH ¼

I j~ r d~ sj I r ds I ¼ ds 3 ¼ 3 4p r 4p r 4pr2

Fr die Komponente dH x der magnetischen Feldstrke in Achsenrichtung (x-Richtung) erhalten wir dann unter Bercksichtigung der aus Bild XIII-25 ersichtlichen Beziehungen ~x j j dH dH x R R sin a ¼ ¼ und sin a ¼ ¼ ~ dH j~ r j r j dH j den folgenden Ausdruck: dH x ¼ dH sin a ¼

I R IR ds ¼ ds 4pr2 r 4pr3

Wegen der Kreissymmetrie gilt dann: In Achsenrichtung addieren sich die Beitrge dH x aller Leiterelemente, whrend sich die dazu senkrechten Komponenten dH y insgesamt in ihrer Wirkung aufheben 5). ~ im Achsenpunkt P besitzt daher nur eine Komponente Das resultierende Magnetfeld H H x in Achsenrichtung, d. h. es ist H ¼ H x . Durch Summation, d. h. Integration ber smtliche im Kreisring gelegenen Leiterelemente erhalten wir schließlich die resultierende magnetische Feldstrke im Achsenpunkt P (die Integration fhrt auf ein Linienintegral): þ þ þ IR IR IR I R2 I R2 1 3 ds ¼ ds ¼ 2 p R ¼ ¼ H ¼ dH x ¼ 2r3 2 4pr3 4pr3 4pr3 r |ﬄ{zﬄ} 2pR 5)

Die Komponenten dH y diametral gegenberliegender Leiterelemente haben entgegengesetzte Richtungen und heben sich somit paarweise auf.

486

XIII Vektoranalysis

þ Bercksichtigt haben wir dabei, dass das Linienintegral stromdurchflossenen Kreisringes entspricht. Die magnetische Feldstrke H lsst sich mit Hilfe der aus dem Satz des Pythagoras gewonnenen Beziehung r 2 ¼ R 2 þ x 2 (siehe Bild XIII-25) auch wie folgt durch die Koordinate x ausdrcken 6) : H ðxÞ ¼

ds dem Umfang 2 p R des

H

H(0) = I 2R

I R2 1 qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 2 ðR 2 þ x 2 Þ 3

ð 1 < x < 1Þ. Der Verlauf dieser Funktion ist in Bild XIII-26 dargestellt.

x

Bild XIII-26

b) In der Ringmitte ðx ¼ 0Þ erreicht die magnetische Feldstrke (betragsmßig) ihren grßten Wert: H max ¼ H ðx ¼ 0Þ ¼

I R2 1 I R2 1 I R2 1 I qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 3 ¼ 6 2 2 2 R 2 R 3 R ðR 2 Þ

In großer Entfernung von der Ringmitte, d. h. fr j x j R ist R 2 þ x 2 x 2 und fr die Feldstrke gilt dann (nherungsweise) H ðxÞ

I R2 1 I R2 1 , qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 2 2 j x j3 ðx 2 Þ 3

jxj R

Je weiter wir uns von der Ringmitte entfernen, umso schwcher wird das Magnetfeld (siehe Bild XIII-26).

Beispiel 16: Gravitationspotential der Erde Rotation, konservatives Feld, Linienintegral Im Gravitationsfeld der Erde erfhrt eine Masse m eine Anziehungskraft nach dem von Newton stammenden Gravitationsgesetz [ A18 ] ~ ¼ g mM ~ er , F r2

r R

g: Gravitationskonstante; M : Erdmasse; R: Erdradius; ~ e r : radialer Einheitsvektor; r : Abstand der Masse m vom Erdmittelpunkt 6)

Das Magnetfeld ist spiegelsymmetrisch zur Ebene des Kreisrings, daher kann die Koordinate x auch negative Werte annehmen.

XIII Vektoranalysis

487

a) Zeigen Sie, dass dieses Kraftfeld konservativ und somit ein Potentialfeld ist. b) Bestimmen Sie das Gravitationspotential F, d. h. diejenige Arbeit, die man an der Einheitsmasse m ¼ 1 verrichten muss, um diese aus dem Unendlichen in den Abstand r vom Erdmittelpunkt zu bringen ðr RÞ. Lehrbuch: Bd. 3, I.5.2, I.6.3.3 und I.7.4

Physikalische Grundlagen: A18

Lsung : ~ ist konservativ, wenn es a) Das kugelsymmetrische (radialsymmetrische) Gravitationsfeld F ~ ~ wirbelfrei ist, d. h. rot F ¼ 0 gilt. Der in Kugelkoordinaten r, J und j ausgedrckte ~ reduziert sich zunchst auf Vektor rot F ~¼ rot F

1 @Fr 1 @Fr ~ ~ eJ ej r sin J @j r @J

da das Gravitationsfeld nur eine Radialkomponente Fr besitzt: Fr ¼ g

mM , r2

FJ ¼ 0 ,

Fj ¼ 0

Fr hngt nur von r, nicht aber von den Winkeln J und j ab. Daher verschwinden die @Fr @Fr partiellen Ableitungen und und es gilt: @J @j 1 1 ~¼ rot F eJ 0 ~ ej ¼ ~ 0 0~ eJ 0~ ej ¼ 0 ~ r sin J r Das Gravitationsfeld ist somit wirbelfrei und konservativ. b) Das Gravitationspotential F ist definitionsgemß durch das wegunabhngige Linienintegral F ¼

ðr

m

r=

∞

~ d~ F r

1

m

gegeben, wobei wir die Integration in radialer Richtung ausfhren drfen (siehe Bild XIII-27). ~ ist dabei die Gravitationskraft fr die Einheitsmasse m ¼ 1: F 1 ~ ¼ g M ~ F er ¼ g M 2 ~ er 2 r r

r>R

R

~ und d~ Da die Vektoren F r gleiche Richtung haben, gilt Erde

~ d~ F r ¼ F dr cos 0 ¼ F dr 1 ¼ F dr Damit erhalten wir das folgende Gravitationspotential:

Bild XIII-27

488

XIII Vektoranalysis

F ¼

ðr

~ d~ F r ¼ gM

1

ðr

1 dr ¼ g M r2

1

ðr

r 2 dr ¼ g M

1

1 1 gM 1 ¼ gM ¼ gM þ0 ¼ , r 1 r r r

r1 1

r ¼ 1

r

r R

Der Betrag des Gravitationspotentials hngt nur vom Abstand r ab und nimmt mit zunehmendem Abstand proportional zu 1=r ab (siehe Bild XIII-28). |F | gM R |F | ~ 1 r

R

r

Bild XIII-28

Beispiel 17: Fluss eines elektrischen Feldes durch eine geschlossene Oberflche Oberflchenintegral, Volumenintegral, Integralsatz von Gauß Ein zylindrischer Leiter mit dem Querschnittsradius R, der Lnge (Hhe) H und der konstanten rumlichen Ladungsdichte r el > 0 (Ladung pro Volumeneinheit) erzeugt im Innenund Außenraum ein zylinder- oder axialsymmetrisches elektrisches Feld mit der elektrischen Feldstrke (in Zylinderkoordinaten) 8 r el r > > ~ er r R ðInnenraumÞ > > > < 2 e0 ~¼ E ~ðrÞ ¼ f u¨ r E > > 2 > r el R > > ~ er r > R ðAußenraumÞ : 2 e0 r e 0 : elektrische Feldkonstante; r: senkrechter Abstand eines Raumpunktes von der Zylinderachse (z-Achse); ~ e r : Einheitsvektor, senkrecht zur Zylinderachse nach außen gerichtet

XIII Vektoranalysis

489

Nach einer von Maxwell stammenden Beziehung sollte der Fluss dieses Feldes durch die (geschlossene) Oberflche eines koaxialen Zylinders mit dem Radius r > R den Wert Q=e 0 besitzen, wobei Q die Ladung des zylindrischen Leiters bedeutet 7). berprfen Sie diese Aussage a) auf direktem Wege ber das „Flussintegral“ (Oberflchenintegral), b) mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes. Hinweis: Wegen der vorgegebenen Symmetrie verwendet man zweckmßigerweise Zylinderkoordinaten r, j und z. Lehrbuch: Bd. 3, I.8 und I.9.1

Lsung : a) Der Fluss des elektrischen Feldes durch die Oberflche A des koaxialen Zylinders mit dem Radius r > R ist durch das Oberflchenintegral („Flussintegral“) ðð

~ N ~Þ dA ¼ ðE

ðAÞ

ðð

~ N ~ Þ dA ðE

ðMÞ

gegeben (M : Mantelflche des koaxialen Zylinders, siehe Bild XIII-29). E = E QeQ

koaxialer Zylinder (Radius r)

r R

geladener Zylinder (Radius R)

a)

koaxialer Zylinder

b)

geladener Zylinder (Querschnitt)

Bild XIII-29 Dabei haben wir bereits bercksichtigt, dass weder der „Boden“ noch der „Deckel“ des Zylinders Beitrge liefern, da das elektrische Feld keine Komponente in Achsenrichtung hat ðE z ¼ 0; es existiert nur eine senkrecht zur Achse gerichtete axiale Komponente E r 6¼ 0, siehe Bild XIII-29b)). Der Fluss des Feldes erfolgt also ausschließlich durch die Mantelflche M des koaxialen Zylinders.

7)

Es handelt sich bei dieser Beziehung um eine der vier Maxwellschen Gleichungen.

490

XIII Vektoranalysis

~ N ~ des Flussintegrals ist E ~ die elektrische Feldstrke auf der MantelflIm Integrand E ~ die Flchennormale, identisch mit che, also fr den Zylinderradius r ¼ r > R, und N dem nach außen gerichteten Einheitsvektor ~ e r . Wir erhalten damit fr das Skalarprodukt ~ N ~ auf der Mantelflche den konstanten Wert E r R2 r R2 ~ N ~¼ E ~ ~ E e r ¼ el e r Þ ¼ el ð~ er ~ 2 e 0 r |ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} 2 e0 r 1 Der Fluss des elektrischen Feldes durch die Oberflche des koaxialen Zylinders vom Radius r > R betrgt dann: ðð ðð ðð ðð r el R 2 r el R 2 ~ ~ ~ ~ ðE N Þ dA ¼ ðE N Þ dA ¼ dA ¼ dA ¼ 2 e0 r 2 e0 r ðAÞ

ðMÞ

ðMÞ

ðMÞ

|ﬄﬄ{zﬄﬄ} 2prH

r el R 2 r ðp R 2 HÞ r Vz Q 2 p r H ¼ el ¼ el ¼ 2 e0 r e0 e0 e0 ðð Dabei wurde bercksichtigt, dass das Oberflchenintegral dA die Mantelflche ¼

ðMÞ

M ¼ 2 p r H des koaxialen Zylinders beschreibt, V z ¼ p R 2 H Q ¼ r el V z die Ladung des zylindrischen Leiters ist.

das Volumen und

b) Der Integralsatz von Gauß ermglicht die Berechnung des gesuchten „Flussintegrals“ (Oberflchenintegrals) durch ein Volumenintegral (Dreifachintegral). Es gilt nach Gauß: ðð ððð ~ N ~ Þ dA ¼ ~ dV ðE div E ðAÞ

ðVÞ

Die Integration erfolgt dabei ber das Volumen V des koaxialen Zylinders vom Radius ~-Feldes und zwar getrennt fr r > R. Zunchst aber berechnen wir die Divergenz des E den Innen- bzw. Außenbereich des zylindrischen Leiters, beachten dabei, dass in beiden Fllen nur eine (von null verschiedene) axiale Feldkomponente E r existiert, whrend die beiden restlichen Komponenten E j und E z verschwinden ðE r 6¼ 0; E j ¼ E z ¼ 0Þ. Im Innenraum ðr RÞ gilt: 1 @ 1 @ ðr E r Þ ¼ r @r r @r r el r ¼ 2 r ¼ el 2 e0 r e0

~¼ div E

r

r el r 1 r el @ ðr 2 Þ ¼ ¼ 2 e0 r 2 e 0 @r

Im Außenraum ðr > RÞ dagegen verschwindet die Divergenz: 1 @ 1 @ r el R 2 1 @ r el R 2 1 ~ div E ¼ ðr E r Þ ¼ r 0 ¼ 0 ¼ ¼ r @r r @r r @r r 2 e0 r 2 e0 |ﬄﬄ{zﬄﬄ} const:

XIII Vektoranalysis

491

Fr die Integration bedeutet dies: Da die Divergenz im Außenraum des zylindrischen Leiters verschwindet, knnen wir den Integrationsbereich auf das Volumen V z des zylindrischen Leiters beschrnken (keine Beitrge außerhalb des Leiters, siehe hierzu Bild XIII-30). koaxialer Zylinder (Radius r > R) r

geladener Zylinder (Radius R)

R div E = 0

div E = 0

Bild XIII-30 Damit erhalten wir mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes den folgenden Fluss durch die Oberflche des koaxialen Zylinders: ðð

~ N ~Þ dA ¼ ðE

ðAÞ

ððð ðV z Þ

¼

~ dV ¼ div E

ððð

r el r dV ¼ el e0 e0

ðV z Þ

r el r Vz Q V z ¼ el ¼ e0 e0 e0

ððð

dV ¼

ðV z Þ

|ﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄ} Vz

ððð

Dabei haben wir bercksichtigt, dass das Dreifachintegral

dV das Volumen V z und ðV z Þ

Q ¼ r el V z die Ladung des zylindrischen Leiters darstellt. Fazit: Beide Berechnungen besttigen die Aussage (Maxwellsche Gleichung).

Beispiel 18: Fluss eines Zentralfeldes durch eine konzentrische Kugeloberflche Divergenz, Oberflchenintegral, Integralsatz von Gauß ~ ¼ r2~ r durch eine konzentrische Bestimmen Sie den Fluss des speziellen Zentralfeldes F Kugeloberflche vom Radius R a) auf direktem Wege ber ein Oberflchenintegral („Flussintegral“), b) mit Hilfe eines Volumenintegrals unter Verwendung des Integralsatzes von Gauß.

492

XIII Vektoranalysis

Hinweis: ~ r ist der Ortsvektor eines Raumpunktes, r sein Betrag. Verwenden Sie Kugelkoordinaten r, J und j. Lehrbuch: Bd. 3, I.5.1, I.6.3.3, I.8 und I.9.1

Lsung : Darstellung des Zentralfeldes in Kugelkoordinaten (mit ~ r ¼ r~ e r; ~ e r ist der Einheitsvektor in radialer Richtung): ~ ¼ r2~ F r ¼ r 2 ðr ~ e r ¼ Fr ~ er e rÞ ¼ r 3 ~ Das radialsymmetrische Vektorfeld besitzt nur die Radialkomponente Fr ¼ r 3 , die Komponenten FJ und Fj dagegen verschwinden: FJ ¼ Fj ¼ 0. ~ ¼ R3 ~ ~ ist a) Auf der Kugeloberflche gilt r ¼ R und somit F e r . Die Flchennormale N identisch mit dem radialen Einheitsvektor ~ e r . Damit erhalten wir fr den Fluss des Vek~ durch die Oberflche A der Kugel vom Radius R den folgenden Wert: torfeldes F ðð ðð ðð ðð 3 3 3 ~ ~ ðF N Þ dA ¼ R ð~ er ~ e r Þ dA ¼ R dA ¼ R dA ¼ |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} ðAÞ ðAÞ ðAÞ ðAÞ 1 |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} 4 p R2 ¼ R3 4 p R2 ¼ 4 p R5 ðð Denn das Oberflchenintegral dA entspricht der Kugeloberflche A ¼ 4 p R 2 . ðAÞ

b) Das gesuchte Flussintegral (Oberflchenintegral) lsst sich mit Hilfe des Integralsatzes ~ zurckfhren: von Gauß auf ein Volumenintegral der Divergenz von F ðð ððð ~ N ~ Þ dA ¼ ~ dV ðF div F ðAÞ

ðVÞ

~ erhalten wir (in Kugelkoordinaten), da F ~ nur die RadialkomFr das skalare Feld div F 3 ponente Fr ¼ r besitzt: ~ ¼ 1 @ ðr 2 Fr Þ ¼ 1 @ ðr 2 r 3 Þ ¼ 1 @ ðr 5 Þ ¼ 1 5 r 4 ¼ 5 r 2 div F r 2 @r r 2 @r r 2 @r r2 Die Integration erstreckt sich dabei ber das gesamte Volumen der Kugel vom Radius R. Der Integrationsbereich lautet somit: 0 r R,

0 J p,

Mit dem Volumenelement dV ¼ r 2 sin J dr dJ dj

0 j 2p

XIII Vektoranalysis

493

erhalten wir schließlich das folgende Dreifachintegral: ððð

~ dV ¼ div F

ðp

2ðp

ðR

5 r 2 r 2 sin J dr dJ dj ¼

j¼0 J¼0 r¼0

ðVÞ

¼ 5

ðp

2ðp

ðR

r 4 sin J dr dJ dj

j¼0 J¼0 r¼0

Dieses Integral kann auch als Produkt dreier gewhnlicher Integrale berechnet werden (der Integrand r 4 sin J ist ein Produkt aus zwei Faktoren r 4 und sin J, die nur von r bzw. J, d. h. einer einzigen Variablen abhngen): ððð

~ dV ¼ 5 div F

ðR

r dr

r¼0

ðVÞ

¼ 5 ¼ 5

4

ðp

sin J dJ

J¼0

2ðp

1 dj ¼

j¼0

ip h i2p 1 5 R h cos J j ¼ r 0 0 5 0

1 5 R ð cos p þ cos 0Þ 2 p ¼ R 5 ð1 þ 1Þ 2 p ¼ 4 p R 5 5

Das Ergebnis ist (natrlich) das gleiche wie im Lsungsteil a).

Beispiel 19: Elektrische Ladung und Ladungsdichte einer homogen geladenen Kugel Integralsatz von Gauß, Oberflchenintegral Das elektrische Feld in der Umgebung einer homogen geladenen Kugel vom Radius R lsst sich durch den elektrischen Feldstrkevektor ~¼ k ~ er , E r2

E

r R R

mit k > 0 beschreiben. r : Abstand vom Kugelmittelpunkt ~ e r : radialer Einheitsvektor

r

Kugel

Bild XIII-31 zeigt einen ebenen Schnitt durch das nach außen gerichtete Radialfeld (Schnitt durch den Kugelmittelpunkt). Bild XIII-31

494

XIII Vektoranalysis

Zwischen der (hier konstanten) Ladungsdichte r el der Kugel (Ladung pro Volumeneinheit) ~ besteht dabei nach Maxwell der und dem erzeugten elektrischen Feld mit der Feldstrke E folgende fundamentale Zusammenhang: ~ r el ¼ e 0 div E (e 0 : elektrische Feldkonstante). Bestimmen Sie die felderzeugende Ladung Q sowie die Ladungsdichte r el der Kugel unter Verwendung des Integralsatzes von Gauß. Lehrbuch: Bd. 3, I.8 und I.9.1

Lsung : Ein Volumenelement dV der geladenen Kugel enthlt die Ladung dQ ¼ r el dV. Wir summieren (d. h. integrieren) ber die Beitrge aller in der Kugel gelegenen Volumenelemente und erhalten fr die gesuchte Ladung Q der Kugel die folgende Integraldarstellung, wobei ~ bercksichtigen: wir noch die Maxwellsche Beziehung r el ¼ e 0 div E Q ¼

ððð

dQ ¼

ðVÞ

ððð

r el dV ¼

ðVÞ

ððð

~ dV ¼ e 0 e 0 div E

ðVÞ

ððð

~ dV div E

ðVÞ

~ im Innern der Kugel Da wir weder die Ladungsdichte r el noch die elektrische Feldstrke E kennen, knnen wir diese Dreifachintegrale nicht auf direktem Wege berechnen 8). Mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß jedoch lsst sich das letzte Dreifachintegral ber die Divergenz ~ auf ein Oberflchenintegral zurckfhren. Es gilt nmlich nach Gauß des Feldes E ððð ðVÞ

~ dV ¼ div E

ðð

~ N ~ Þ dA ðE

ðAÞ

~ ist Die Integration ist dabei ber Kugeloberflche zu erstrecken. Die Flchennormale N identisch mit dem radialen Einheitsvektor ~ e r. Auf der Kugeloberflche hat der Integrand des Oberflchenintegrals den folgenden konstanten Wert (es ist r ¼ R): k ~ N ~ ¼ k ð~ er ~ erÞ ¼ 2 E 2 R |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} R 1 Damit erhalten wir fr das Oberflchenintegral: ðð ðð ðð k k k ~ N ~ Þ dA ¼ ðE dA ¼ dA ¼ 2 4 p R 2 ¼ 4 p k R2 R2 R ðAÞ ðAÞ ðAÞ |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} 4 p R2

8)

Wir kennen nur die elektrische Feldstrke außerhalb der Kugel!

XIII Vektoranalysis

495

ðð Denn das Integral

dA beschreibt den Flcheninhalt der Kugeloberflche: A ¼ 4 p R 2 .

ðAÞ

Fr die Ladung Q und die Ladungsdichte r el ergeben sich somit folgende Formeln: Q ¼ e0

ððð

~ dV ¼ e 0 div E

~ N ~ Þ dA ¼ e 0 4 p k ¼ 4 p e 0 k ðE

ðAÞ

ðVÞ

r el ¼

ðð

Ladung Q 4 p e0 k 3 e0 k ¼ ¼ Kugelvolumen V R3 4 p R3 3

Beispiel 20: Magnetfeld in der Umgebung eines stromdurchflossenen zylindrischen Leiters Rotation, Integralsatz von Stokes Ein sehr langer zylindrischer Leiter mit dem Querschnittsradius R wird in Lngsrichtung e z durchflossen. Zwischen (z-Achse) von einem Strom der konstanten Stromdichte S~ ¼ S 0 ~ ~ des ring- bzw. kreisfrmigen Magnetfeldes und dem Stromder magnetischen Feldstrke H ~ ¼ S~ (es handelt sich dichtevektor S~ besteht die nach Maxwell benannte Beziehung rot H hierbei um eine der vier Maxwellschen Gleichungen aus der Elektrodynamik). Der Betrag H ~ hngt dabei aus Symmetriegrnden nur vom senkrechten der magnetischen Feldstrke H Abstand r zur Leiterachse (z-Achse) ab: H ¼ H ðrÞ. Bestimmen Sie diese Abhngigkeit a) im Innenraum des Zylinders ðr RÞ unter ausschließlicher Verwendung der Maxwell~ ¼ S~, schen Gleichung rot H b) im Außenraum des Zylinders ðr RÞ mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes. Hinweis: Verwenden Sie bei der Lsung dieser Aufgabe Zylinderkoordinaten r, j und z. Lehrbuch: Bd. 3, I.5.2, I.6.2.3 und I.9.2

Lsung : In jeder Schnittebene senkrecht zur Zylinderachse (z-Achse) verlaufen die (geschlossenen) magnetischen Feldlinien in Form von konzentrischen Kreisen um die Leiterachse. Der Feld~ besitzt daher nur eine Tangentialkomponente H j , jedoch keine Komponenstrkevektor H ten in radialer Richtung bzw. in Richtung der z-Achse (Leiterachse): H r ¼ H z ¼ 0 (siehe Bild XIII-32). Somit gilt: ~ ¼ Hj~ H ej

mit

~j ¼ H j H ¼ jH

496

XIII Vektoranalysis

Die Komponente H j und damit der Betrag H der magnetischen ~ hngen nur von Feldstrke H der Abstandskoordinate r, nicht aber von j und z ab:

H = H fe f magnetische Feldlinie

H ¼ H ðrÞ ¼ H j ðrÞ

R

elektrischer Leiter (Querschnittradius R)

Bild XIII-32 ~ wegen a) In Zylinderkoordinaten ausgedrckt reduziert sich die Rotation des Vektors H H r ¼ H z ¼ 0 und der Unabhngigkeit der Komponente H j von j und z auf 1 d ~ ¼ 1 @ ðr H j Þ ~ rot H ez ¼ ðr HÞ ~ ez r @r r dr

ðmit H j ¼ HÞ

(es besteht kein Unterschied zwischen der partiellen und der gewhnlichen Ableitung). Die Maxwellsche Gleichung fhrt dann im Innenraum des Leiters ðr RÞ zu einer einfachen Differentialgleichung, die wir durch Integration wie folgt lsen: ~ ¼ S~ ¼ S 0 ~ rot H ez

)

1 d ez ðr HÞ ~ ez ¼ S0 ~ r dr

)

1 d d ðr HÞ ¼ S 0 r ) ðr HÞ ¼ S 0 r ) r dr dr ð ð d 1 ðr HÞ dr ¼ S 0 r dr ) r H ¼ S0 r2 þ C1 dr 2 Auf der Leiterachse ist r ¼ 0 und somit C 1 ¼ 0. Damit erhalten wir fr den Betrag der magnetischen Feldstrke im Innenraum des Zylinders: H ¼ H ðrÞ ¼

1 S0 r , 2

H 1 S R 2 0

r R H~r

Die Strke des Magnetfeldes nimmt somit von innen nach außen linear zu: H r (siehe Bild XIII-33).

R

Bild XIII-33

r

XIII Vektoranalysis

497

b) Im Außenraum des zylindrischen Leiters ðr RÞ verwenden wir den Integralsatz von Stokes: þ

~ d~ H r ¼

K

ðð

~Þ N ~ dA ðrot H

ðAÞ

Dabei bedeuten (siehe Bild XIII-34):

magnetische Feldlinie K (Radius r )

dr H

K : Ringfrmige (kreisfrmige) magnetische Feldlinie mit dem Radius r

r

R

A: Kreisflche, von der Feldlinie K umrandet ~: Flchennormale (identisch N mit dem Einheitsvektor ~ ez in Richtung der Zylinderachse)

elektrischer Leiter (Querschnittradius R)

Bild XIII-34 Berechnung des Linienintegrals (sog. „Zirkulation“) ~ und d~ Die Vektoren H r verlaufen jeweils tangential und sind somit parallel (siehe Bild ~ d~ XIII-34). Somit gilt fr das Skalarprodukt H r im Linienintegral: ~ d~ H r ¼ H dr cos 0 ¼ H dr 1 ¼ H dr Die Tangentialkomponente H j ¼ H hngt nur von r ab und ist daher lngs der kreisfrmigen Feldlinie K konstant. Wir erhalten fr das als Zirkulation bezeichnete Linienintegral den folgenden Ausdruck: þ K

~ d~ H r ¼

þ K

H dr ¼ H

þ

dr ¼ H 2 p r ¼ 2 p r H

K

|ﬄ{zﬄ} 2pr

Dabei haben wir bercksichtigt, dass das geschlossene Linienintegral umfang 2 p r entspricht.

þ dr dem KreisK

Berechnung des Oberflchenintegrals (sog. „Wirbelfluss“) ~ ¼ S0~ ~¼ 0 e z , außerhalb dagegen rot H Innerhalb des zylindrischen Leiters gilt rot H (hier fließt kein Strom; siehe Bild XIII-35). Die fr den Wirbelfluss wirksame Flche beschrnkt sich daher auf die Querschnittsflche A * des Leiters. Somit erhalten wir den folgenden Wirbelfluss:

498

XIII Vektoranalysis

ðð

~Þ N ~ dA ¼ ðrot H

ðð

e zÞ ~ ðS 0 ~ e z dA ¼ S 0

ðA *Þ

ðAÞ

ðð

ðð

ð~ ez ~ e z Þ dA ¼ S 0 dA ¼ |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} ðA *Þ ðA *Þ 1 |ﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄ} p R2

¼ S0 p R2 ¼ p R2 S0 Bercksichtigt wurde dabei, dass ~ mit dem die Flchennormale N Einheitsvektor ~ e z identisch ist und ðð das Oberflchenintegral dA

magnetische Feldlinie K

r

ðA *Þ

R

die Querschnittsflche A * ¼ p R 2 des Leiters darstellt.

rot H = 0 elektrischer Leiter (Querschnittsfläche

rot H = 0

A* = p R 2)

Bild XIII-35 Integralsatz von Stokes þ K

~ d~ H r ¼

ðð

~Þ N ~ dA ðrot H

)

2 p r H ¼ p R2 S0

2 r H ¼ R2 S0

oder

ðAÞ

Damit erhalten wir im Außenraum ein Magnetfeld, dessen Strke nach der Gleichung H ¼ H ðrÞ ¼

R2 S0 R2 S0 1 1 ¼ , 2r 2 r r

r R

reziprok zum Abstand r nach außen hin abnimmt. Der Verlauf des Betrages H der ~ innermagnetischen Feldstrke H halb und außerhalb des Leiters ist in Bild XIII-36 dargestellt.

H 1 S R 2 0 H~1

H~r

r

Bild XIII-36 r

R Innenbereich

Außenbereich

Anhang: Physikalische Grundlagen A1

Statische Gleichgewichtsbedingungen a) Allgemeiner Fall ~1 , F ~2 , . . . , F ~n ist im GleichEin (ebenes oder rumliches) Krftesystem F ~ gewicht, wenn sowohl die Summe aller Krfte Fi als auch die Summe ! aller von diesen Krften erzeugten Momente M i verschwindet: n X

~i ¼ ~ F 0

n X

und

i¼1

~i ¼ ~ M 0

i¼1

Diesen beiden Vektorgleichungen entsprechen die folgenden sechs skalaren Gleichungen (Komponentengleichungen): n X

n X

Fi x ¼ 0 ,

i¼1 n X

Fi y ¼ 0 ,

i¼1

Mix ¼ 0 ,

i¼1

n X

Fi z ¼ 0 ,

i¼1

Miy ¼ 0 ,

i¼1

Fi x , Fi y , Fi z :

n X

n X

Miz ¼ 0

i¼1

Kraftkomponenten ði ¼ 1, 2, . . . , nÞ

M i x , M i y , M i z : Komponenten der Momente ði ¼ 1, 2, . . . , nÞ b) Krftesystem mit einem gemeinsamen Angriffspunkt Die Gleichgewichtsbedingung reduziert sich auf n X

~i ¼ ~ 0 F

i¼1

oder

(in der Komponentendarstellung) n X

n X

Fi x ¼ 0 ,

i¼1

A2

i¼1

Fi y ¼ 0 ,

n X

Fi z ¼ 0

i¼1

Schwerpunkt eines Massenpunktsystems Ein Massenpunktsystem enthalte n punktfrmige Massen m 1 , m 2 , . . . , m n , r 2, . . . , ~ r n festgelegt sei. deren rumliche Lage durch die Ortsvektoren ~ r 1, ~ Der Ortsvektor ~ r S des Schwerpunktes S gengt dann der Vektorgleichung n n P P rS ¼ ri mi ~ mi~ i¼1

i¼1

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24882-6

500

A3

Anhang: Physikalische Grundlagen

Elektrische Feldstrke in der Umgebung einer elektrischen Punktladung Eine elektrische Punktladung Q erzeugt im Abstand r ein elektrisches Feld mit der elektrischen Feldstrke vom Betrag E ¼

Q , 4 p e0 e r2

r > 0

e 0 : elektrische Feldkonstante; e: Dielektrizittskonstante des umgebenden Mediums

A4

Magnetische Feldstrke in der Umgebung eines stromdurchflossenen linearen Leiters Ein vom Strom I durchflossener linearer elektrischer Leiter erzeugt im senkrechten Abstand r von der Leiterachse ein magnetisches Feld mit der magnetischen Feldstrke vom Betrag H ¼

A5

I , 2pr

r > 0

Zusammenhang zwischen der magnetischen Flussdichte und der magnetischen Feldstrke ~ und der magnetischen Feldstrke Zwischen der magnetischen Flussdichte B ~ besteht der folgende Zusammenhang: H ~ ¼ m0 m H ~ B m 0 : magnetische Feldkonstante; m: Permeabilitt

A6

Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen linearen Leiter in einem Magnetfeld Ein vom Strom I durchflossener linearer elektrischer Leiter mit dem Ln~ genvektor ~ l erfhrt in einem Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte B die Kraft ~ ¼ I ð~ ~Þ F lB

vom Betrag

F ¼ I l B sin j

l ¼ j~ l j: Lnge des Leiters; j: Winkel zwischen Leiter und Magnetfeld

Anhang: Physikalische Grundlagen

A7

501

Moment einer Kraft ! ~, die in einem Punkt P mit dem Ortsvektor Das Moment M einer Kraft F ~ r angreift, ist definitionsgemß das Vektorprodukt aus dem Ortsvektor ~ r ~: und dem Kraftvektor F M = r ×F ! ~ M ¼~ r F Betrag des Momentes: ! ~j sin j ¼ M ¼ j M j ¼ j~ rj jF ¼ r F sin j

F

f

f

O

r

P

! Sonderfall: Die Komponenten M x und M y des Momentenvektors M ver~ in der x, y-Ebene liegen. schwinden, wenn Ortsvektor ~ r und Kraftvektor F Es verbleibt dann nur die z-Komponente M z ¼ x F y y F x .

A8

Zusammenhang zwischen der Bahn- und der Winkelgeschwindigkeit Die Bahngeschwindigkeit ~ v eines Massenpunktes, der mit der Winkel~ auf einer Kreisgeschwindigkeit w bahn um den Mittelpunkt M rotiert, ist das Vektorprodukt aus der Win~ und dem (aukelgeschwindigkeit w genblicklichen) Ortsvektor ~ r des Massenpunktes:

v

v Massenpunkt

M

~~ ~ v ¼ w r

r

O

A9

Kraftwirkung auf eine bewegte elektrische Punktladung in einem Magnetfeld (Lorentzkraft) Eine elektrische Punktladung q, die sich mit der Geschwindigkeit ~ v durch ~ bewegt, erfhrt dort die ein Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte B sog. Lorentzkraft ~Þ ~L ¼ q ð~ v B F

502

A 10

Anhang: Physikalische Grundlagen

Kraftwirkung auf eine elektrische Punktladung in einem elektrischen Feld Eine elektrische Punktladung q erfhrt in einem elektrischen Feld mit der ~ die Kraft elektrischen Feldstrke E ~ ¼ qE ~ F

A 11

vom Betrag

F ¼ jqj E

Magnetischer Fluss durch eine ebene Flche Wird eine ebene Flche mit dem Flcheninhalt A von einem homogenen ~ durchflutet, so Magnetfeld mit der (konstanten) magnetischen Flussdichte B ist der magnetische Fluss durch diese Flche durch das Skalarprodukt ~ ~ A F ¼ B ~ ein senkrecht auf der Flche stehender Vektor, dessen gegeben. Dabei ist A Betrag dem Flcheninhalt A entspricht. Sonderfall: Wird die Flche A senkrecht von einem Magnetfeld mit der konstanten Flussdichte B durchflutet, so ist F ¼ B A.

A 12

Induktionsgesetz Wird eine Leiterschleife mit N Windungen (Spule) von einem zeitlich vernderlichen magnetischen Fluss F ¼ F ðtÞ durchflutet, so entsteht durch elektromagnetische Induktion eine Induktionsspannung vom Betrag dF ¼ N F_ ðtÞ U ¼ N dt

A 13

Kirchhoffsche Regeln (Auszug) Die hier fr Gleichstromkreise formulierten Kirchhoffschen Regeln gelten sinngemß auch fr Wechselstromkreise, wenn man die Gleichstromgrßen durch die entsprechenden komplexen Wechselstromgrßen ersetzt. a) Gesetze der Reihenschaltung Die Einzelwiderstnde R 1 , R 2 , . . . , R n einer Reihenschaltung addieren sich zum Gesamtwiderstand R: R ¼ R1 þ R2 þ . . . þ Rn Die Teilspannungen U 1 , U 2 , . . . , U n an den Einzelwiderstnden R 1 , R 2 , . . . , R n addieren sich zur Gesamtspannung U (angelegte Spannung): U ¼ U1 þ U2 þ . . . þ Un

Anhang: Physikalische Grundlagen

503

b) Gesetze der Parallelschaltung Die Kehrwerte der Einzelwiderstnde R 1 , R 2 , . . . , R n einer Parallelschaltung addieren sich zum Kehrwert des Gesamtwiderstandes R: 1 1 1 1 þ þ ... þ ¼ R R1 R2 Rn Die Einzelleitwerte G 1 , G 2 , . . . , G n addieren sich zum Gesamtleitwert G: G ¼ G1 þ G2 þ . . . þ Gn (Leitwert ¼ Kehrwert des Widerstandes) An jedem der parallel geschalteten Stromzweige liegt dabei die gleiche Spannung U : U 1 ¼ U 2 ¼ . . . ¼ U n ¼ U ¼ const:

A 14

Ohmsches Gesetz Bei einem metallischen Leiter sind Stromstrke I und Spannung U einander proportional. Es gilt das ohmsche Gesetz R ¼

U ¼ const: I

R ist der ohmsche Widerstand des Leiters. Diese lineare Beziehung gilt auch fr zeitabhngige Strme und Spannungen und deren Effektivwerte.

A 15

Zentrifugalkraft Ein punktfrmiger Krper der Masse m, der sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit w auf einer Kreisbahn mit dem Radius r bewegt, erfhrt eine nach außen gerichtete Zentrifugalkraft vom Betrag FZ ¼ m w 2 r

A 16

Zugspannung in einem Zugstab Eine an einem Zugstab in axialer Richtung angreifende Kraft F erzeugt bei konstanter Querschnittsflche A an jeder Schnittstelle die Zugspannung F s ¼ A

F

A

s

F

504

A 17

Anhang: Physikalische Grundlagen

Fallgesetze im luftleeren Raum Fr Fallweg s und Fallgeschwindigkeit v gelten im luftleeren Raum folgende Zeitabhngigkeiten: 1 und v ¼ g t þ v0 g t2 þ v0 t þ s0 s ¼ 2 t : Zeit; g: Erdbeschleunigung; v 0 : Anfangsgeschwindigkeit; s 0 : Anfangsweg

A 18

Gravitationsgesetz von Newton Zwischen zwei punktfrmigen Massen m 1 und m 2 im gegenseitigen Abstand r wirkt stets eine Anziehungskraft (Gravitationskraft) vom Betrag m1 m2 , r > 0 F ¼ g r2 g: Gravitationskonstante

A 19

Definition der Stromdichte Die Stromdichte S~ ist ein Vektor, der die Verteilung des elektrischen Stroms in einem Leiter beschreibt und somit i. Allg. eine von Ort zu Ort verschiedene Grße darstellt. Die Richtung des Vektors S~ fllt mit der Strmungsrichtung zusammen, der Betrag der Stromdichte ist definitionsgemß S ¼

dI dA

Dabei ist dA ein Flchenelement senkrecht zur Strmungsrichtung und dI der durch dieses Flchenelement fließende Strom. Sonderfall: Bei gleichmßiger (homogener) Stromverteilung gilt S ¼

I ¼ const: A

I : Stromstrke; A: Querschnittsflche des Leiters

A 20

Kapazitt eines Plattenkondensators Ein Plattenkondensator mit der Plattenflche A (Flche einer Platte) und dem Plattenabstand d besitzt die Kapazitt C ¼

e0 e A d

e 0 : elektrische Feldkonstante; e: Dielektrizittskonstante des Isolators, mit dem der Kondensator vollstndig gefllt ist

Anhang: Physikalische Grundlagen

A 21

505

Reihen- und Parallelschaltung von Kondensatoren (Kapazitten) a) Reihenschaltung Die Kehrwerte der Einzelkapazitten C 1 , C 2 , . . . , C n einer Reihenschaltung addieren sich zum Kehrwert der Gesamtkapazitt C: 1 1 1 1 þ þ ... þ ¼ C C1 C2 Cn b) Parallelschaltung Die Einzelkapazitten C 1 , C 2 , . . . , C n einer Parallelschaltung addieren sich zur Gesamtkapazitt C: C ¼ C1 þ C2 þ . . . þ Cn

A 22

Energieerhaltungssatz der Mechanik In einem abgeschlossenen mechanischen System bleibt die Gesamtenergie E erhalten: E ¼ E pot þ E kin þ E sp þ E rot ¼ const: Es findet lediglich eine Umwandlung zwischen den einzelnen Energieformen statt. E pot ¼ m g h:

Potentielle Energie (Lageenergie)

E kin ¼

1 m v 2 : Kinetische Energie (Bewegungsenergie) 2

E sp ¼

1 c s2: 2

E rot ¼

1 J S w 2 : Rotationsenergie (bei Drehung um den Schwerpunkt S) 2

Spannungsenergie einer Feder

m: Masse; g: Erdbeschleunigung; h: Hhe; v: Geschwindigkeit; c: Federkonstante; s: Auslenkung der Feder; J S : Massentrgheitsmoment des rotierenden Krpers bezglich der Schwerpunktachse; w: Winkelgeschwindigkeit

A 23

Impuls einer punktfrmigen Masse Unter dem Impuls ~ p einer punktfrmigen Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit ~ v bewegt, versteht man definitionsgemß die Vektorgrße ~ p ¼ m~ v

vom Betrag

p ¼ mv

506

A 24

Anhang: Physikalische Grundlagen

Impulserhaltungssatz In einem abgeschlossenen mechanischen System ist der Gesamtimpuls ~ p, d. h. die Summe der Einzelimpulse ~ p i konstant: n X ! ~ ~ p i ¼ const: p ¼ i¼1

A 25

Elektrische Feldstrke in einem Plattenkondensator Wird ein Plattenkondensator mit dem Plattenabstand d auf die Spannung U aufgeladen, so besitzt das Kondensatorfeld die konstante elektrische Feldstrke vom Betrag E ¼

A 26

U d

Reihen- und Parallelschaltung von elastischen Federn a) Reihenschaltung Die Kehrwerte der Einzelfederkonstanten c 1 , c 2 , . . . , c n addieren sich zum Kehrwert der resultierenden Federkonstanten c (Federkonstante der Ersatzfeder): 1 1 1 1 þ þ ... þ ¼ c c1 c2 cn

c1

c2

cn

b) Parallelschaltung Die Einzelfederkonstanten c 1 , c 2 , . . . , c n addieren sich zur resultierenden Federkonstanten c (Federkonstante der Ersatzfeder): c ¼ c1 þ c2 þ . . . þ cn

c1

c2

cn

Anhang: Physikalische Grundlagen

A 27

507

Newtonsches Grundgesetz Ein Krper mit der konstanten Masse m erfhrt durch das gleichzeitige Ein~1 , F ~2 , . . . , F ~n eine Beschleunigung ~ wirken der Krfte F a, die nach dem n X ~¼ ~i proportional Newtonschen Grundgesetz der resultierenden Kraft F F i¼1 ist. Es gilt: n P ~i ¼ m ~ ~¼ F F a i¼1

A 28

Biegegleichung (Differentialgleichung einer Biegelinie) Fr kleine Durchbiegungen gengt die Biegelinie y ¼ y ðxÞ eines elastischen Balkens der Differentialgleichung 2. Ordnung y 00 ¼

M b ðxÞ EI

M b ðxÞ ist dabei das Biegemoment an der Stelle x: E I : Biegesteifigkeit des Balkens; E: Elastizittsmodul; I : Flchenmoment 2. Grades (Flchentrgheitsmoment) des Balkenquerschnitts

A 29

Zusammenhang zwischen Biegemoment, Querkraft und Streckenlast bei einem elastischen Balken Bei einem elastischen Balken bestehen zwischen dem Biegemoment M b ðxÞ, der Querkraft Q ðxÞ und der Streckenlast q ðxÞ die folgenden Beziehungen: Q ðxÞ ¼ M 0b ðxÞ , bzw. Q ðxÞ ¼

A 30

ð

q ðxÞ ¼ Q 0 ðxÞ ¼ M 00b ðxÞ

q ðxÞ dx ,

M b ðxÞ ¼

ð

Q ðxÞ dx

Zusammenhang zwischen Drehwinkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung Bei einer Drehbewegung lsst sich die augenblickliche Lage des rotierenden Massenpunktes durch einen zeitabhngigen Drehwinkel j ¼ j ðtÞ beschreiben. Durch ein- bzw. zweimalige Differentiation nach der Zeit t erhlt man daraus die Winkelgeschwindigkeit w ¼ w ðtÞ bzw. die Winkelbeschleunigung a ¼ a ðtÞ: w ðtÞ ¼ j_ ðtÞ ,

a ðtÞ ¼ w_ ðtÞ ¼ j __ ðtÞ

Die Punkte ber j und w kennzeichnen die Ableitung nach der Zeit t.

508

A 31

Anhang: Physikalische Grundlagen

Satz von Steiner fr Massentrgheitsmomente J ¼ JS þ m d2 J S : Massentrgheitsmoment bezglich der Schwerpunktachse J: Massentrgheitsmoment bezglich einer zur Schwerpunktachse parallelen Achse d: Abstand der beiden Achsen m: Masse des Krpers

A 32

Maschenregel In jeder Netzmasche ist die Summe der Spannungen gleich null: n X

Ui ¼ 0

ðU i : Teilspannung; i ¼ 1, 2, . . . , nÞ

i¼1

A 33

Leistung eines Gleichstroms Ein Gleichstrom der Strke I erzeugt in einem ohmschen Widerstand R die Leistung P ¼ U I ¼ RI2 U ¼ R I : Spannungsabfall am ohmschen Widerstand

A 34

Elektrische Feldstrke in der Umgebung eines geladenen linearen Leiters (Linienquelle) Ein linearer elektrischer Leiter mit der Lnge l und der Ladung Q erzeugt im senkrechten Abstand r von der Leiterachse ein elektrisches Feld mit der elektrischen Feldstrke vom Betrag E ¼

Q , 2 p e0 e l r

r > 0

e 0 : elektrische Feldkonstante; e: Dielektrizittskonstante des umgebenden Mediums. Diese Formel gilt auch fr den Außenraum eines geladenen Zylinders.

A 35

Archimedisches Prinzip (Auftrieb in einer Flssigkeit) Ein Krper erfhrt beim Eintauchen in eine Flssigkeit eine der Schwerkraft entgegen gerichtete Auftriebskraft. Diese ist gleich dem Gewicht der vom eingetauchten Krper verdrngten Flssigkeitsmenge.

Anhang: Physikalische Grundlagen

A 36

509

Grundgesetz der Drehbewegung ! Ein Krper rotiere infolge der von außen einwirkenden Momente M 1 , ! ! M 2 , . . . , M n mit der Winkelbeschleunigung ~ a um eine Achse. Die Winkeln X ! ! beschleunigung ist dann dem resultierenden ußeren Moment M ¼ Mi i¼1 proportional. Es gilt: n X ! ! M ¼ Mi ¼ J~ a i¼1

J : Massentrgheitsmoment des Krpers bezglich der Drehachse

A 37

Induktionsspannung in einem durch ein Magnetfeld bewegten elektrischen Leiter Wird ein elektrischer Leiter der Lnge l mit der konstanten Geschwindigkeit v senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen Magnetfeldes der konstanten Flussdichte B bewegt, so betrgt die im Leiter durch elektromagnetische Induktion erzeugte Spannung U ¼ Blv

A 38

Magnetischer Fluss durch eine ebene Flche Eine ebene Flche mit dem Flcheninhalt A werde senkrecht von einem Magnetfeld mit einer ortsabhngigen magnetischen Flussdichte vom Betrag B durchflutet. Der magnetische Fluss durch diese Flche ist dann durch das Doppelintegral ðð ðð dF ¼ B dA F ¼ ðAÞ

ðAÞ

gegeben. dF ¼ B dA ist dabei der magnetische Fluss durch das Flchenelement dA. Sonderfall: In einem homogenen Feld ist B ¼ const. und somit F ¼ B A.

510

A 39

Anhang: Physikalische Grundlagen

Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes mit Kreis- oder Zylindersymmetrie In einem elektrischen Feld mit Kreis- oder Zylindersymmetrie ist der Betrag ~ eine reine Funktion E ¼ E ðrÞ der Abstandsder elektrischen Feldstrke E koordinate r (senkrechter Abstand zur Symmetrieachse). Die Spannung U zwischen zwei Punkten P 1 und P 2 mit den Abstandskoordinaten r 1 und r 2 ist dann durch das Integral U ¼

rð2

E ðrÞ dr

r1

gegeben.

A 40

Definitionsgleichung der Kapazitt eines Kondensators Die Ladung Q eines Kondensators ist der angelegten Spannung U proportional. Seine Kapazitt C ist dann definitionsgemß durch die Gleichung C ¼

Q U

gegeben. Diese Beziehung gilt auch fr zeitabhngige Spannungen und Ladungen.

A 41

Zusammenhang zwischen der Stromdichte und der elektrischen Feldstrke in einem elektrischen Leiter In einem elektrischen Leiter mit der Leitfhigkeit j besteht zwischen der ~ der folgende ZusammenStromdichte S~ und der elektrischen Feldstrke E hang: ~ S~ ¼ j E

A 42

bzw:

S ¼ j S~j ¼ j E

Ohmscher Widerstand eines zylinderfrmigen Drahtes Ein zylinderfrmiger Draht mit der Lnge l und der Querschnittsflche A besitzt den ohmschen Widerstand R ¼ r

l A

r: spezifischer Widerstand des Drahtes

Anhang: Physikalische Grundlagen

A 43

511

Zusammenhang zwischen Stromstrke und Ladung In einem elektrischen Leiter besteht zwischen der zeitabhngigen Stromstrke i ðtÞ und der (ebenfalls zeitabhngigen) Ladung q ðtÞ der folgende Zusammenhang: ð d q ðtÞ bzw: q ðtÞ ¼ i ðtÞ dt ¼ q_ ðtÞ i ðtÞ ¼ dt

A 44

Stromarbeit bei zeitabhngiger Stromstrke Ein zeitabhngiger Strom i ðtÞ verrichtet in einem ohmschen Widerstand R im Zeitintervall t 1 t t 2 die Stromarbeit W ¼

tð2

p ðtÞ dt ¼ R

t1

ðt 2

2

½ i ðtÞ dt ¼ R

t1

ðt 2

i 2 ðtÞ dt

t1

p ðtÞ ¼ R i 2 ðtÞ ist dabei die zeitabhngige Momentanleistung.

A 45

Selbstinduktion in einer Spule Wird eine Spule mit der Induktivitt L von einem zeitlich vernderlichen Strom i ðtÞ durchflossen, so betrgt die in ihr durch elektromagnetische Induktion erzeugte Spannung u ðtÞ ¼ L

A 46

d i ðtÞ dt

Leistung eines periodischen Wechselstroms Der Momentantwert der Leistung eines periodischen Wechselstroms i ðtÞ bei der Spannung u ðtÞ betrgt p ðtÞ ¼ u ðtÞ i ðtÞ

ðf u¨ r t 0Þ

Die durchschnittliche Leistung whrend einer Periode T ¼ 2 p=w ist dann durch das Integral 1 P ¼ T

ðT 0

1 p ðtÞ dt ¼ T

ðT

u ðtÞ i ðtÞ dt

0

gegeben (w: Kreisfrequenz des Wechselstroms).

512

Vierpolgleichungen Unter einem Vierpol versteht man ein elektrisches Netzwerk mit einem Eingangsklemmenpaar und einem Ausgangsklemmenpaar. Zwischen den Eingangsgrßen (Eingangsspannung U 1 , Eingangsstrom I 1 ) und den Ausgangsgrßen (Ausgangsspannung U 2 , Ausgangsstrom I 2 ) bestehen dabei die folgenden Beziehungen: I1

I2

U1

Vierpol

U2

Eingang

Ausgang

oder

U ¼ ZI

oder

I ¼ YU

!

a) Widerstandsform U1 Z11 Z12 I1 ¼ U2 Z21 Z22 I2 |{z} |{z} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} U I Widerstandsmatrix Z

b) Leitwertform I1 Y11 Y12 U1 ¼ I2 Y21 Y22 U2 |{z} |{z} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} I U !

A 47

Anhang: Physikalische Grundlagen

1 Leitwertmatrix Y ¼ Z

c) Kettenform U1 I1

¼

A11

A12

A21 A22 |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} Kettenmatrix A

U2 I2

Anhang: Physikalische Grundlagen

A 48

513

Kettenschaltung von Vierpolen Bei der Kettenschaltung von n Vierpolen mit den Kettenmatrizen A 1 , A 2 , . . . , A n werden die Ausgangsklemmen des ersten Vierpols mit den Eingangsklemmen des zweiten Vierpols zusammengeschaltet usw. Die Kettenmatrizen der einzelnen Vierpole multiplizieren sich dabei zur Kettenmatrix A des Ersatzvierpols: A ¼ A1 A2 . . . An 1. Vierpol

A 49

2. Vierpol

n. Vierpol

Biot-Savartsches Gesetz Ein vom Strom I durchflossenes Leiterelement d~ s erzeugt im Punkt P ein Magnetfeld mit dem magnetischen Feldstrkevektor ~¼ dH

I d~ s~ r 3 4p r

(Biot-Savartsches Gesetz). Dabei ist ~ r der vom Leiterelement d~ s zum Punkt P fhrende Vektor der Lnge r. Durch Summation, d. h. Integration ber alle Leiterelemente des linienfrmigen dnnen Leiters erhlt man das Gesamtfeld im Punkt P.

A 50

dH I Leiter

P r

Leiterelement ds I

Knotenpunktregel In jedem Knotenpunkt ist die Summe der zu- und abfließenden Strme gleich null: n X

Ii ¼ 0

ðI i : Strom im i-ten Zweig; i ¼ 1, 2, . . . , nÞ

i¼1

Zufließende Strme werden dabei positiv, abfließende Strme negativ gerechnet.

514

A 51

Anhang: Physikalische Grundlagen

Maschenstromverfahren Die nebenstehende Abbildung zeigt den Streckenkomplex eines elektrischen Netzwerkes mit 5 Knotenpunkten und 8 Zweigen (Spannungsquellen, Widerstnde usw. wurden dabei nicht eingezeichnet).

I4

I3

C

I IV

I7

I III

I5

D

I6

I8

I II

A II I1

E

B

I2

In einem elektrischen Netzwerk mit k Knotenpunkten und z Zweigen gibt es genau m ¼ z ðk 1Þ unabhngige Maschen (im gezeichneten Beispiel gilt: k ¼ 5, z ¼ 8, m ¼ 8 ð5 1Þ ¼ 4Þ. Beim Maschenstromverfahren geht man schrittweise wie folgt vor: (1) Es werden m unabhngige Maschen ausgewhlt. Jeder dieser Maschen wird ein fiktiver Maschenstrom zugeordnet, dessen Richtung willkrlich festgelegt wird (im Beispiel sind dies die Maschenstrme I I bis I IV ). (2) Die Anwendung der Maschenregel [ A32 ] auf jede der m unabhngigen Maschen fhrt zu einem linearen Gleichungssystem mit m Gleichungen und ebensovielen unbekannten Maschenstrmen (im Beispiel: vier Gleichungen mit den vier unbekannten Maschenstrmen I I bis I IV ). (3) Berechnung der Maschenstrme z. B. mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus. (4) Die Zweigstrme lassen sich aus den (jetzt bekannten) Maschenstrmen berechnen. Gehrt dabei ein Zweig gleichzeitig zwei Maschen an, so ist der entsprechende Zweigstrom durch berlagerung der beiden zugehrigen Maschenstrme zu ermitteln (im Beispiel: die Zweigstrme I 1 bis I 4 sind mit den Maschenstrmen I I bis I IV identisch, whrend die Zweigstrme I 5 bis I 8 jeweils durch berlagerung zweier Maschenstrme entstehen: I 5 ¼ I IV I I , I 6 ¼ I III I II , I 7 ¼ I III I IV , I 8 ¼ I II I I ).

A 52

Ohmsches Gesetz der Wechselstromtechnik U ¼ Z I

bzw:

I ¼ Y U

U und I sind die komplexen Effektivwerte von Spannung und Strom, Z der komplexe Gesamtwiderstand und Y der komplexe Gesamtleitwert des Wechselstromkreises.

Anhang: Physikalische Grundlagen

A 53

515

Komplexe Wechselstromwiderstnde und Wechselstromleitwerte (Widerstands- und Leitwertgrßen) In einem Wechselstromkreis werden die drei Grundschaltelemente R (ohmscher Widerstand), C (Kapazitt) und L (Induktivitt) durch die folgenden komplexen Widerstands- bzw. Leitwertgrßen (komplexe Zeiger) dargestellt: Schaltelement

Komplexer Widerstand

Komplexer Leitwert

R

R

1 R

C L

A 54

j

1 wC

jwL

j wC j

1 wL

Komplexe Scheinleistung, Wirk- und Blindleistung eines sinusfrmigen Wechselstroms Sind U und I die komplexen Effektivwerte von Wechselspannung und Wechselstrom, so ist die komplexe Scheinleistung S ¼ U I* I * ist dabei die zu I konjugiert komplexe Grße. Wirkleistung P und Blindleistung Q sind der Real- bzw. Imaginrteil von S: P ¼ Re ð S Þ ) S ¼ U I * ¼ P þ jQ Q ¼ Im ð S Þ

A 55

quipotentialflche Unter einer quipotentialflche versteht man eine Flche im Raum, die alle Punkte eines elektrischen Feldes mit dem gleichen elektrostatischen Potential ~ steht dabei in jedem Punkt der quiverbindet. Der Feldstrkevektor E potentialflche senkrecht auf dieser Flche.

516

A 56

Anhang: Physikalische Grundlagen

Elektrostatisches Potential in der Umgebung einer elektrischen Punktladung Eine elektrische Punktladung Q erzeugt im Abstand r ein elektrisches Feld mit dem elektrostatischen Potential V ¼

Q , 4 p e0 e r

r > 0

e 0 : elektrische Feldkonstante; e: Dielektrizittskonstante des umgebenden Mediums

A 57

Zusammenhang zwischen der elektrischen Feldstrke und dem elektrostatischen Potential ~ bzw. den Komponenten E x , E y und Zwischen der elektrischen Feldstrke E E z der Feldstrke und dem elektrostatischen Potential V besteht der folgende Zusammenhang: ~ ¼ grad V E oder (in der Komponentendarstellung) Ex ¼

@V , @x

Ey ¼

@V , @y

Ez ¼

@V @z

Bei ebenen Problemen ist E z ¼ 0.

A 58

Satz von Castigliano (Anwendung auf einen statisch unbestimmt gelagerten Balken) Bei einem statisch unbestimmt gelagerten Balken ist die Anzahl m der statischen Gleichgewichtsbedingungen [ Al ] kleiner als die Anzahl n der unbekannten Auflagergrßen (Krfte und Momente). Die fehlenden n m Gleichungen erhlt man durch Bercksichtigung der Formnderung des Balkens. Nach Castigliano stellen sich die statisch unbestimmten Auflagergrßen (ihre Anzahl ist n m) stets so ein, dass die durch das Integral W ¼

ðl 0

½ M b ðxÞ 2 dx ¼ 2EI

ðl

M b2 ðxÞ dx 2EI

0

definierte Formnderungsarbeit ein Minimum annimmt. M b ðxÞ: Biegemoment des Balkens an der Stelle x; l: Lnge des Balkens; E I : Biegesteifigkeit des Balkens; E : Elastizittsmodul; I : Flchenmoment Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Formnderungsarbeit W nach den statisch unbestimmten Auflagergrßen mssen daher verschwinden und liefern die noch fehlenden n m Gleichungen.

Anhang: Physikalische Grundlagen

A 59

517

Stokessche Reibungskraft Eine Kugel vom Radius r, die sich mit der Geschwindigkeit v durch eine Flssigkeit mit der Viskositt (Zhigkeit) h bewegt, erfhrt dort nach Stokes die Widerstands- oder Reibungskraft vom Betrag FR ¼ 6 p h r v

A 60

Wirkleistung eines (sinusfrmigen) Wechselstroms Die von einem sinusfrmigen Wechselstrom mit dem Effektivwert I in einem ohmschen Widerstand R erzeugte Leistung betrgt P ¼ R I2

A 61

Stromstrke bei ortsabhngiger Stromdichte Wird ein linearer elektrischer Leiter mit der Querschnittsflche A von einem Strom mit der ortsabhngigen Stromdichte vom Betrag S durchflossen, so ist die Stromstrke I durch das Doppelintegral ðð ðð dI ¼ S dA I ¼ ðAÞ

ðAÞ

gegeben. dI ¼ S dA ist dabei der durch das Flchenelement dA fließende Strom.

A 62

Satz von Steiner fr Flchenmomente 2. Grades (Flchentrgheitsmomente) I ¼ IS þ A d2 IS: I: d: A:

Flchenmoment bezglich der Schwerpunktachse Flchenmoment bezglich einer zur Schwerpunktachse parallelen Achse Abstand der beiden Achsen Flcheninhalt

518

A 63

Anhang: Physikalische Grundlagen

Hauptachsen und Hauptflchenmomente einer Flche a) Hauptachsen Unter den Hauptachsen u, v einer homogenen Flche A versteht man zwei aufeinander senkrecht stehende Achsen durch den Flchenschwerpunkt S, fr die das gemischte Flchenmoment 2. Grades (auch Zentrifugalmoment genannt) I u v verschwindet. Sie entsteh hen durch Drehung des kartesischen v x, h-Koordinatensystems um den Winkel j, der sich aus der Gleichung tan ð2 jÞ ¼

2 Ixh Ix Ih

u

f

berechnen lsst. I x , I h und I x h sind dabei die Flchenmomente 2. Grades im x, h-Koordinatensystem.

S

x Fläche A

b) Hauptflchenmomente Die auf die Hauptachsen u, v bezogenen axialen Flchenmomente I u und I v heißen Hauptflchenmomente. Ihre Berechnung erfolgt nach der Formel qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 I u, v ¼ I x þ I h ðI x I h Þ 2 þ 4 I x2 h 2 wobei I x , I h und I x h die entsprechenden Flchenmomente 2. Grades im x, h-Koordinatensystem darstellen.

A 64

Durchflutungsgesetz (spezielle Form) In einem dnnen elektrischen Leiter beliebiger Form fließe ein Strom der Strke I. Er erzeugt ein Magnetfeld mit der ortsabhngigen magnetischen ~. Feldstrke H I Fr jede den Leiterstrom I umfassende geschlossene Kurve C ist dann das Linien~ integral der magnetischen Feldstrke H gleich der Stromstrke I : þ ~ d~ H r ¼ I

Leiter

C

I

geschlossene Kurve C

Anhang: Physikalische Grundlagen

A 65

519

Wrmeleitung a) Stationre Wrmeleitung Bei einem stationren, d. h. zeitunabhngigen Wrmetransport (Energietransport) gengt das ortsabhngige Temperaturfeld T der Laplace-Gleichung DT ¼ 0

ðD : Laplace-Operator)

b) Instationre Wrmeleitung Das Temperaturfeld T verndert sich im Laufe der Zeit t, hngt also vom Ort und der Zeit ab und gengt der Poisson-Gleichung a DT ¼

A 66

@T @t

ða > 0 : Temperaturleitf a¨ higkeitÞ

Potentialstrmung einer Flssigkeit a) Grundbegriffe Inkompressible Strmung: Die Dichte der Flssigkeit ndert sich nicht bei einer Drucknderung und konstant bleibender Temperatur. Stationre Strmung: Das Strmungsverhalten verndert sich nicht im Laufe der Zeit, d. h. das Geschwindigkeitsfeld der Strmung ist zeitunabhngig. Potentialstrmung: Die Strmung ist inkompressibel, reibungs- und drehungsfrei (wirbelfrei) sowie stationr. b) Ebene Potentialstrmung einer Flssigkeit Das Geschwindigkeitsfeld ~ v ¼~ v ðx; yÞ ¼ v x ðx; yÞ ~ e x þ v y ðx; yÞ ~ ey einer ebenen Potentialstrmung ist wirbel- und quellenfrei, d. h. es gilt rot ~ v ¼~ 0

und

div ~ v ¼ 0

Es besitzt ein Potential F ¼ F ðx; yÞ, auch Geschwindigkeitspotential genannt, das der sog. Potentialgleichung (Kontinuittsgleichung, LaplaceGleichung) DF ¼ 0

ðD : Laplace-Operator)

gengt. Das Geschwindigkeitsfeld der Strmung ist dann als Gradient des Potentials F darstellbar, d. h. die Geschwindigkeitskomponenten sind die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Potentialfunktion: ~ v ¼ grad F

,

vx ¼

@F @F , vy ¼ @x @y

520

Anhang: Physikalische Grundlagen

Stromlinien: Feldlinien des Geschwindigkeitsfeldes (Kurven, deren Tangenten in jedem Punkt der Flssigkeitsstrmung die dort vorhandene Geschwindigkeitsrichtung angeben).

A 67

Potentialgleichung (Poisson-Gleichung) Das elektrische Potential V eines elektrischen Feldes, das durch eine rumliche Ladungsverteilung mit der Ladungsdichte r el erzeugt wird, gengt der sog. Potentialgleichung (Poisson-Gleichung) r DV ¼ el e0 D: Laplace-Operator; e 0 : elektrische Feldkonstante

A 68

bertragungssysteme Ein zeitabhngiges Eingangssignal u ¼ u ðtÞ wird durch das bertragungssystem in ein zeitabhngiges Ausgangssignal v ¼ v ðtÞ umgewandelt: ¨ " v ðtÞ u ðtÞ " Ubertragungssystem Lineares System: c 1 u 1 þ c 2 u 2 ! c 1 v 1 þ c 2 v 2 u 1 , u 2 : Eingangssignale; v 1 , v 2 : entsprechende Ausgangssignale; c 1 , c 2 : Konstanten Zeitinvariantes System: u ðt t 0 Þ ! v ðt t 0 Þ Eine Verschiebung des Eingangssignals um die Zeitspanne t 0 bewirkt eine gleich große Verschiebung des Ausgangssignals. LTI-System (Linear Time Invariant): Lineares und zeitinvariantes bertragungssystem. Impulsantwort g ðtÞ: Reaktion des bertragungssystems auf einen DiracStoß (Impulsfunktion) d ðtÞ im Eingang. ¨ " Ubertragungssystem " v ¼ g ðtÞ u ¼ d ðtÞ Sprungantwort h ðtÞ: Reaktion des bertragungssystems auf eine Sprungfunktion s ðtÞ im Eingang. ¨ " Ubertragungssystem " v ¼ h ðtÞ u ¼ s ðtÞ Zusammenhang zwischen Impulsantwort g ðtÞ und Sprungantwort h ðtÞ: d h ðtÞ g ðtÞ ¼ ¼ h_ ðtÞ , dt

h ðtÞ ¼

ðt 1

g ðtÞ dt

Anhang: Physikalische Grundlagen

521

Zusammenhang zwischen den Fourier-Transformierten des Eingangs- und Ausgangssignals: F fv ðtÞg ¼ G ðwÞ F fu ðtÞg mit

F fu ðtÞg ¼ U ðwÞ

und

oder

V ðwÞ ¼ G ðwÞ U ðwÞ

F fv ðtÞg ¼ V ðwÞ

G ðwÞ ist der Frequenzgang (die bertragungsfunktion) des Systems und zugleich die Fourier-Transformierte der Impulsantwort g ðtÞ, d. h. es gilt G ðwÞ ¼ F fg ðtÞg

und

g ðtÞ ¼ F 1 fG ðwÞg

(die Impulsantwort g ðtÞ erhlt man aus dem Frequenzgang G ðwÞ mit Hilfe der inversen Fourier-Transformation). Amplitudengang (Amplitudenspektrum): A ðwÞ ¼ j G ðwÞ j Phasengang (Phasenspektrum): j ðwÞ ¼ arg ðG ðwÞÞ Frequenzgang: G ðwÞ ¼ A ðwÞ e j j ðwÞ Der Phasengang j ðwÞ lsst sich aus dem Real- und Imaginrteil des Frequenzgangs G ðwÞ wie folgt bestimmen: tan ½ j ðwÞ ¼

Im ½ G ðwÞ Re ½ G ðwÞ

Re ½ G ðwÞ : Realteil von G ðwÞ Im ½ G ðwÞ : Imaginrteil von G ðwÞ

A 69

Masse und Schwerpunkt eines rumlichen Krpers mit einer ortsabhngigen Dichte Bei ortsabhngiger Dichte r gilt: ððð ððð dm ¼ r dV Masse : m ¼ ðmÞ

ðVÞ

Schwerpunkt S ¼ ðx S ; y S ; z S Þ: ððð 1 r x dV xS ¼ m ðVÞ

Ersetzt man beiderseits x durch y bzw. z, so erhlt man analoge Formeln fr die beiden brigen Schwerpunktkoordinaten.

Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler - Anwendungsbeispiele

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