La cultura è un bene dell'umanità (
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CALOGERO VINti
LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA (Con Esercizi svolti e proposti) Parte I I EDIZIONE 1981
Galmo Editria via Pinturicchio 55, Perugia ul. 07 5 - 28655
La cultura è un bene dell'umanità (
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EDIZIONE 1981
Copq!Ught
I98I
by GALENO EDITRICE Perugia
le copie non firmate dall 'autore si ritengono contraffatte
STAMPATO IN ITALIA - PRINTED IN ITALY tipo offset cornicchia - ponte s an giovanni - perugia
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IX "
Capitolo INFINITESI~1I
E
-1-
INFINITI
Infin ites imi . Sia
un so ttoins ieme di
A
mulazione per A Un 'appli cazione x che tende a x
'[L :
_:_:a_ Siano per
A
f
--t
.......
un punto di accu-
R
f
l a diremo un i nfinitesimo per tencte a zero per x che tende
A
( in ta l
X
~
J3J
g
R
che ten de a
X
A
quando
--t
e
R
--t
R
ca~o
entrambi in f initesimi f
e
g
si chiamano
infinitesimi simultanei ) Spesso interessa conoscere la ra ,.... "':.::::::=-pidita del rimpjccol i mento dj tm jofjnitesimo risoetto aiJ:"d::-" ~.
tro e a guesto scopo si pongona J e segqenti defjnjzjonj\. l(x ) del punto x tale 0 0 con x i= x , risulti
Suppon iamo che esista un intorno che per ogn i
x
9(x) ::/: 0 con x i= x 0
Ha senso all ora cons iderare per 09ni i 1 rapport_o_ _-r-
E
I(x
0
)
0
x E I(x ), 0
.......
e se esi s te in R i 1 1 i mite di ta 1 e rapporto quando de a xo si possono presenta re i seguenti tre cas i 10
i m
)
X
30)
--t
x 0
l i m
X
--t
xo
If (X )I
)I It(X )I
=
0
19 (X
19 (X
)I
= 17>:9]
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z o)
1 i m X --t xo
If (X )I 19 (X)
I
X ten
-
=
+CO
- 2Nel primo caso diremo che f e un i nfinitesimo d'ordine su periore rispetto a g ; nel secondo caso che f e un infin itesimo d'ordine inferio re rispetto a g nel terzoche f e g sono dell o stesso ord~ne . Quando il l i mite, che
f
non esiste diremo
e g sono i nfinitesimi non confrontabil i
A -t R h A -tR g Se f A -tR so no tre infinitesimi s imultanei per X che tende a xo ' facil mente si vede che: Se f e dello stesso or:dj oe dj g e g e dello stesso o~:dj ne di h risulta f dello stesso ordine di h ' Se f e dello stesso ordine di g e q e d'o r: djne superio~ (i nferio re ) r i spetto ad h r i sulta f d ' ord ine superiore (i nferiore) ri spetto ad h Se f e d ' ordine s uperiore (inferiore) r i spetto a g e g e dello s tesso ord i ne di h , risu l ta f d'ordine superiore (inferiore) rispetto ad h Se f e d'ordine superiore (inferi ore) ri spetto a g e g e d' ord ine superiore (in feriore) r i s petto ad h risulta f
~ ' ord~--s_u_p_e~r~i-o_r_ e~ (~ in~f~e-r~i~o-r-e~)~ r~ ,s-p-e~t~t~o--a-d~~h------------~
Se e f = g h , sJne f e i l prodotto di due infinitesi mi, risulta f d ' ord ine superiore rispetto ad uno dei fattori · f , g se questo fatt0re e di verso da zero per ogni x di un intorno di x0 , ad eccezione al piu di x0 Peri l confrontd degli in f inite simi simultanei l a seguente proposizione .
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e i mportante
- 3-
1 . (principi a della sostituz ione degli infinites imi) . Nel passare al limite nel rapporto di due infinitesimi simultane i, possono aggiungersi , s ia a1 numeratore che a1 denomi " natore, deg1i infinitesimi di ordine rispettivamente }~~Jj.9 re , e possono tog1 i ers i , s ia a1 numeratore che a1 denominate~=re, deg1i infinitesimi che nei confronti dei rimanenti sono pure rispettivamente di ordine superiore . La dimostrazione e semp1i ce. Siano infatti f ' g , n , h deg1i infinitesimi per X che tende a X e per ogni X di 0 un i ntorno I (x ) di X co n X t= X risulti 0 0 ' 0 f(x) t= 0 , g(x) t= 0 Si ponga f
1
=
f + rf
'
h
91
=
g + g .
h)
Ovviamente e g 1 sono infinites i mi simu1tane i per x che tende a x0 e ino1tre f.h e d'ordine superiore rispetto a f e g . h e d'ordine s uperiore rispetto a g Si ha per ogni x con X =f= X 0
f 1(x)
f(x) + f( x). h( x)
g1 (x)
g(x) + g( x).n(x)
-- -
f(x)
+ h(x)
g(x)
+ n( x)
=
e da questa, po iche
+ h( x)
1 i m X
-t
che se uno dei due rapporti
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X 0
=
1 + h( x) f 1(X)
f( x)
91 (X)
g( x)
segue ammette 1i
- 4-
mite quando x te nde a x0 anche 1 'a ltro ammette 1 i mite per x che tende a x0 e ri s ulta f(x) 1 i m
=
g(x)
X ----+ X 0
cioe 1 'asserto Osservazione Sia no f , g infinite simi s imultanei per x che tende a x0 Si s uol dire che f e di ord ine ari spe_! to a g , con a E R + , quando f e dell o stesso ordine di ga Si suol dire che f e d'ordine maggiore o ugual e ad a (minore o ugual e ad a ) ri spetto a 9 co n a E R + qua n' ' do f e d' ordine maggiore o uguale di ga (minore o uguale di ga Esempi l )
Le appli cazioni
X ----+ l
x ---.sin x
X ----+ X
x ----.. x si n -
- COS X
sono infinitesi mi per
X
che tendo a zero 2)
l
Le applicazio ni
X ---+ X
so no infinitesimi per
X
X---+
che t ende a
Le applicazioni X ---+X tes i mi dell o stesso ordine quando
3)
Sappiamo infatt i
Cap . VI o , n. 9
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X ---+
l l og x
+ co
so no i nf i ni Sin X t ende a zero.
XX
x2
che
x
- 5-
sin x
l i m X -+ 0
=
X
2 Per x che tende a zero l'infinitesimo X -+ S i n X d ' ordi ne superi ore r i spetto a X Basta osservare che si n2 x = s i n X s in x e d' ordine s uperiore ri s petto a s in x e s in x e un infini tesimo de ll a stesso ordine di X
4)
5)
Siano
-
f
e g
m g ( x) = b x ,
le app li cazi oni definite da
n, m. E lN ,
a, b E R ,
con
a
-=1=
f( x ) = a xn
0 , b
-=/=
0
Esse sono infinitesi mi simul tane i pe r x che tende a zero. Se e n > m r i s u lta f d ' -i-A·e---stlfle..ri are ri s pe...tio a g. perche e a n- m
D
ed
a b
X
n- m
X
e un i nfin i tesimo per
X
che tende a zero
Ovviamente ~s~e~e~~n~=~ mL-_fL__~e--Y g~~~Li~~
s tes so ordine 6)
Le applicaz i oni
g( x) = x tend e a zero
f
e g
co n f(x) = x s in so no i nf i ni t esimi non pa rago nab ili quando
e
X
X i
--x sin
Infatt i i l rapporto
'X .......
non ammette limi te i n R
quando
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X
=
I X ~~ s in
x te nde a zero
-67)
l i m
=
X-+ 0
l i m X -+ 0
El-
Co nfro ntiamo gli definiti da f(x) =
i l]fi n ~te s i ~i,
2 x - 2x+l
f( x) =
X -+ +co e qui ndi
~( x)
e di
f
l ; m X -++ CO
=
0
per
-
X g(x) =
c ~e
tende a + co ' ,~
111
---
2x + 3
Si ha ; m
X
5x 3 e un infinit esi 2 x 2 ed X sin X
X perche per x che tende a zero, mo d'ord i ne superi ore r i spetto a X e d'ord i ne superi ore r i spetto ad X 8)
l i m x -+ 0
=
X 2x + l ,.._ v~
0
'~~t~
ordi ne superi ore ri spetto a g
Per x che ten de a zero l ' i nfi ni tes i mo d ' ordine 2 rispet t o a X -+ X Si ha i nfatti 9)
X
~
m -+ 0
Infi niti .
=
-
x E R un punto di accu Sia A un sottoinsieme di R e 0 mulazione per A A -+ R l a di remo un infi ni to per X Un ' appl i cazi one f qua ndo @ t ende a + co pe r X che ten che tend e a de a x 0 Ovvi amente se f e un infinito per x che tende a x 0
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- 7l'appl i cazione ~p i ii
1/f
xo
xo A ---+ R g A ---+ lR due i nfi ni ti s imulf Siano tane i , cioe entramb i infini ti quando x tende a x If (x 0 quando Se esiste in R i l li mi te del raprorto lg ('X ).1 x tende a x0 s i possono veri ficare i seguen t i tre casi
)I
If( X) I
10 ) 1 i m X ---+ X 0
30 )
1 i m X ---+
xo
=
lg(.x) jo
::.h•\.
'
If ( x.)
I,
=
20 )
0
lf (x) j ~'f
l i m
=
X --+ X 0
\u
+CO
19 (X) I
k > 0
jg( x) l'
•Ne 1 primo caso diremo che f e un infinite d'ordine i nferi ore rispetto a g ne l seco ndo caso che f e un infinite nel terzo caso che f e d ' ordine superiore r i spetto a g g so no dello stesso ordine Quando i l limite, che f
If (x)
1 i m x --+ xo
e g so no i nfi ni ti
I
non esiste diremo
jg ( x) I
fno!i"
"'=='
co nf rontabi 111
.
La definizione di infinite d'ordine maggi ore o ugual e ad a E R + rispetto ad un altro i nfini te simultaneo e l a stessa di que ll a posta per gli infinitesimi. Se
f
A ---+ R
g
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A ---+ lR
h
A --+ R
- 8-
sono tre inf i niti si mu l ta nei per x che tende a
anche
qu i facilmente si prova che : Se f e della stesso ordine di g e g e della s tesso ordine di h , r i s ulta f dell a stesso ord ine di h Se f e del l a s tes so ordi ne di g e g e d'ordine s uperi Q re (inferiore) rispetto ad h ri sulta f d' ordine s uperi o re (inferiore) r i spetto ad h Se f e d'ord i ne s uperi ore (i nferiore) r i spetto a g e g e dell a stesso ordine di h r i sul ta f d'ordine s uperi ore (infe riore) ri spetto ad h Se
f e d' ord ine superi ore (i nferi ore) r i s petto a g e g e d ' ordine superiore (i nferi ore) r i spetto ad h r i s ulta f d'ordine superiore (inferi ore) ri spetto ad h Se e f = g . h cioe f e il prodotto di due infiniti, ri sulta f d' or dine s upe riore ri spetto a uno dei due fatt ori g , h Infine per gl i i nfin iti vale il principi a della sosti tuzi one de~li infiniti (la cui dimost ra zione e ana l oga a quella data per il principia di sosti t uzio ne degli i nfini tes i mi ) che s i libella nel seguente modo Teorema 2 . (Pri ncipi a della sostituzi one degl i inf initi ) Ne l passare al limite nel rapporto di due infiniti s i multanei possono aggiungersi, sia al numeratore che al de nomina re, degli infini ti di ordine rispettivamente infe r i ore , e posso no togliersi , s ia al numeratore che al denominatore , degli infiniti che nei co nfronti dei r imanenti sono pure
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-9-
rispettivamente d'ordine inferiore . Esempi 2 Le app1icazioni X ----+ X , x ----+ 2x + Sx 2 sono infiniti quando x tende a + ro e sono de11o ~~~dULe_ ~~che per i1 pr in cipio~a sostitu zione degli infiniti e
1)
; m X
~ +CO
2x /
+:J "
l i m X
=
1
5
~+co
(s i tenga presente che 1'infinito X----+ 2x e d'ordine infe 2 r i ore ri spetto a 11' i nfi nito x ----+ Sx ) ~0\'J -M,.~ s; (lEJ po Lt'v ) ~~vX ----+ 2) Le applicazioni x ----. . 12 so no i nfiSln X X niti per x che tende a zero e l a prima e d'ordine inferiore rispetto all a seconda perche 0 / 1/x sin x 1 i m l ; m =0 = ( 1 i m si n X ) 2 X ----+ 0 1/ sin x X ----+ 0 X----+ 0 X
1
Immediatamente si vede che il secondo infinito r i spetto al prima 3)
Le applicazioni
X ----+
e
d'ordine
X
infiniti per x che tende a zero, non sono paragonabili .
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2
~
-10-
Sull'ordine di infinitesimo e infinito di alcune applicazioni di fondamentale importanza . di :R in :R e un infini1) L'applicazione to quando x tende a + co e mostreremo che e un i nfi ni t o di ordine superiore a gualunque potenza con n i otero ~ positivo Sappiamo che (n. 6
----
-
= n=o
e da questa per quindi Si ha allora
x > 0
segue
e
> x /(n+l)! l i m
=
+
co
e di conseguenza
~rto. ~
L•applicazione precedente , x ~ ex, e un i nfi ni tes i mo ~ ndo x tende a - co e noi mo st reremo che e un i nfi ni te simo d'ordine superiare a qualunque poteoza con n intero positivo . Per x < 0 si ha infatti
(}t ,
e da questa, tenendo presente che
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1 i m X -+ +CO
=
+
co
-11-
segue
l i m
e quindi l'asserto .
0
=
X -+- CO
3) Co nsideriamo l'applicazione x -+log x di :R +in R , che e un infinito per x che tende a + co , e facciamo vedere che1 e un.-» infinito d•ordine jnferiore a q11~G@ x" potenza con n intero pos iti vo . Si ha
e posto
(log x) / x A
=
log x
si sc rive
=
log x
y
= (
1
xn
~: ) ~ I·
log x
Da questa, poiche
+ co
=
presente che
e tenendo segue
l i m X
-+
+
CO
log x 1
=
0
X ;:;
e qui ndi 1 •asserto . L'applicazione precedente, X -+ log X , e pure un infinito per x che tende a zero, e facciamo vedere che e un infinito di ordine inferiore a qualunque potenza ~"l ( -~ \ ~ con n intero pos1t1vo .
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-12-
y
Posto
= l /x
s i ha
e da questa, poiche per s ul ta
y
1 ; m X-+ +co
che tende a zero dalla destra ri
+ co
che ten de a ( 1og x)
x
I xn
.!.
=
e tenendo presente che seg ue
0
l og x
1 i m x -+ o+
0
=
I
(~)"
e qui ndi 1' asserto .
5) con
L'appli cazi one A = { x E R
x -+ 1 I 109 x
> 1 } , che tende a + co e mo striamo che ~ine inferiore a qualunque potenza s itivo . X
di
e Un e un
in
A
R+
infinitesimo per
X
infinites imo di or-
- n
x
co n
n
i ntero oo
Si ha infatti
1og1 x
I x)
(1 k
=
e da questa 1 •asserto pe rche
x~
l i m +co
X -+
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I l og
x
( 1og x)
j
xk
=
0
-1 3S V ·Q L T I
ES ERCI Z I 1)
e
x-o
Provarecheper
2
d'ord i ne
rispetto a
X
l'infinitesimo ~X
x -
1- cos x
•
Si ha i nfatti
1- cos x 2
2
=
X
4
sin
2
x
z
2
1
z
=
X
1
s in
zx
2
(z)
1
=
2
2
si n
X
( z )' 2
X
e da questa 1-co s x
1 i m X -
0
X
2
1
=
2
e qui ndi 1 ' asserto
2)
Confrontare l'infinites imo
per
x -
+ co ,
j(2Vx+ VX)
x -
con l'infinites imo
X
-
1
Si ha
I vx
=
Ma per
1e a pp 1.i ca zion i + co sono infiniti e allora, poiche x -
x3 -
X -
d'oraine inferiore a
x
2
-Vx , peril
stituzione degli infiniti risulta
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VX ,
1/X e
un infinito
principia della so -
- 141 i m
3,.-
2 J;x +
1 i m
=
VX
=
x ~+ oo
Gli infinitesimi dati sono quindi della stesso ordine . x --. tang x
Confrontare 1 infinitesimo con 1 i nfi nites i mo X --+ X 1
3)
per
X --+
0
1
Si ha
tang x
1 i m X --+
0
1 i m X --+ 0
=
X
. 1jcos
s in x
x
=
X
e quindi i due infinitesimi sono del l a stesso ordine 2
2
Conf ro nta re 1 i nfi nites i mo X --+ X + X tang X per X --+ 0 co n Adoperando i l pri ncipi a de ll a sosti t uzi one degli infinitesimi s i ha
4)
I
2
l i m X --+
0
x 2 ta ng
X + 2
x + 2x
x
=
3
l i m X --+ 0
=
e quindi so no della stesso ordi ne . Per quali valori de l parametro a E :R ' s imo f per X - 0 definito da
5)
f{x)
=
a Vx 3 +
2l
+
(1-a) (tg
risulta d ' ordine superiore rispetto ad
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vx ) X
--+
1 ' infinite-
Vsi n x g{x)
=
X
?
-1 5-
Occorre determinare
a in modo che f m = 0 X -+ 0 g
(
Si ha f = g
a
3
+ 2x 2
+
( 1-a) ( tg 1/X"" )
Vsin x
=
X
X
vx-:;:2
a
=
Vx
+ (1 - a) tg
V}(
1/X"" e poiche i X
---+
m
~=
0
Vx
m
f
1 i m X
---+
=
0
risulta
X-+ 0
=
Dovra qui ndi avers i
6)
aj/2 + 1 - a
~
a
V2
+ 1 - a = 0 cioe '
1
a = 1-
V2
Ca 1co 1are 1 i m X---+ 0
~
( 1- co s____;_x;_j_)_s.:. . ,_n_x_+ · _ _:t.zL_g2_:x_ 2 Vsin x + x cos x + x log (l+x) 2
Si osservi che X ---+ (1-cos x) sin x ed X ---+ tg X 5 so no infinites imi d'ordine superi ore r i spetto a X---+ j/X 2 ed X ---+ X COS X X ---+ X 109 ( l+x) sono infini tesim i d'ordine s uperiore ri spetto a X---+ VsTYlX
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-1 6-
Appli cando all ora il principia di sostituzione degli infinitesimi il limite richiesto
dato da
~
5
Vi Vsir1X
l i m X----t 0
)
w · Vs
X;
2
=
l i m X----t 0
-
10 _
= +
_
i n5 x
co
----r
..X!
V
4
3x 7) Determinare l' ordine dell'infinitesi mo X ----t X+ l X ----t 0 r i spetto a X ----t X per Occorre determinare un numero a E R + , se esiste,tale che i l l i mite
l i m X ----t 0
sia finito e diverso da zero Si ha l i m X --t 0
=
l i m
X ----t 0
~ + a X
g
X+ l
3 X4 =
=
l i m X ----t 0
l ; m X ----t 0
x5 a (x+l)
f tJ
=
x-4-sa l
lx + ll
e poiche per X----t 0 il denomi nato re IX + l I tende ad x-4sa I i l numeratore 13 avra per li mite ne zero ne + co se e so lo se 4 - 5a = 0 cio~ a = 54 8) Determinare l'ordine dell'infinitesimo per x ----t 0 rispetto a x ----t x
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3
x----tVJts in 3 x ,
-1 7. 3 Poiche X --+ S ln X e dello stesso ordine di 33 l'infinites imo x --+ Vx 4 • sin x e dello s tesso ordine I 13 33 ci oe x --+ x 3 e dell 'i nfi nites i mo x --+ j/x"' X 13 quindi l' ordine r i chiesto e 3 2
Determi nare l'ordine dell'infinito X --+ f (X) = X + per X -++ co rispetto all'infinito X --+ g(x) = Detto a un rea le posit i vo, si consideri il limite 9)
1 i m
X
2
+
X COS
xa
X -+ +co
X
=
1 i m
2-a
X
x -+ + co
+
1 i m X -++ CO
X
COS X X
e ta 1e 1i mite e fi nito e di verso da zero se e solo se ·_a L'ordine richiesto e 2 10)
X COS X ,
a-1
= 2 .
Ca l co lare 1 i m
X + • X2 + l Og X
x + ex
X -++ CO
Poi che da quanta s 'e detto al n. 3 x --+ log x e un in1 finito d' ordine inferiore a qualunque potenza xn ed x --+ ex e un infinito d'ordine superiore a qualunque potenza xn adoperando il principia della sostituzione degli infiniti il limite richiesto e dato da 1 i m
x2
=
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0
-1 8Confrontare l'in finito + X -+ 0 co n l 'i nfi nit o
ll) per
X
.
-+f(x) =x l og x + cotg 2 X -+ g(x) = l I X
X
E' f (x)
2
log x
X COS
g(x)
-+ l I X 3 super i ore a
e
un infini te d ' ord i ne inferi ore a X-+ x2 e un in f ini tesimo d ' ordine
mentre
X
s i ha
X -+ s i n X
l og x
l i m x-+ o+
sin x
?
X -+ log X
Po i che
=
~
X
+
=
0
1 i m
'·
X -+
x3
X
2 cos x
o+
s in
=
0
X
e di conseguenza f(x) 1 i m
X-+ L' i nfi nito nito
e
g
o+
g(x)
0
qui ndi d 'ordi ne s uperi ore ri s petto all 'i nfi-
f
E S ERC I Z I 1)
=
P R0 P 0 S T I
Determinare l' ordine di infi ni tesimo delle app l icazioni
?
X -+ X X
quando
~
vx --, 3
3
X -+
x1
l
X -+ X s in x -+ x + ta ng x
·1
-+
X -
x
tende a zero, rispetto all'infinitesimo
s in
X
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X
-+
X •
-192)
Determinare l'ordine di infinitesimo dell e app li cazioni: X
quando
X
-+
X
+VX)
l I (l
-+
rispetto a ll'infi nites i mo
+ co
-+
lj/X
x -+l lx 3) X
Determinare l'ordine di infinite delle applicazioni -+
X
4
X
quando
X
-+
X -+
rispetto a ll'in finito
-++ co ,
X
-+
I x"
X
-+
I x s in x
quando
X
X
-+
X
I Vx X
-+
X
I s in x
-+ 2
I tang x
tende a zero, rispetto all 'i nfinito
-+
X
l I
X
Determinare l' ordine di infinites imo delle applicazioni -+
X
X
COS X
--+
s in 2x
rispetto a ll'infinites imo
quando
6)
-+ x + log x
l(
Determinare l'ordine di infinite delle applicazioni
4)
5)
vx
Confrontare tra l oro le seguent i copp ie di infinitesimi x -+ 0
quando l a.
X
-+ x + s in
2a.
X
--+
3a.
X
--+
x sin
X
X
- cos
X
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X
--+
X
--+
X
-+
tg
2
X
-
s i n2 x
l - cos tg 2 x +
X3
X
.
- 20-
7)
Confrontare tra lora le seguenti coppie di infiniti
3a.
X
-4
+ co
X
-4
X + X
x
3
X
-4
2
109
X
l og x + x
Per quali valori di
8)
X -4
0
-4
-4
X -
ex
X
-4
X +
l og
X
-4 X 3+
R
E
-a 2 x2
X -4
per x
a
X
X
2x
l'infinitesimo
+ 3 si n x . tg x
e
d'ordine superiore al secondo r i spetto a
?
X
Adoperando il principia di sos tituzione degli inf initesimi calcolare i 1i mit i
9)
1 i m X -4
0
(9 +x 4 +cos 5x
1 i m X -4
x tang x
+
x"'
X 3_
tang
X
X + X
1 i m X -4 o+
3 X +
5x
x +
2
2
109 +
+
3
0
X
X +
X 3
s in x
x4- cos
tg x
s in
X
•
X
1 i m X -4
sin 3 x
sin x
+
2
0
X
+
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sin
X
Sln tg2
2
X X
tang
X
- 2110)
Adoperando il princi,Pio della sos tituzione degli in f i-
n it i ca l col a re i l i mit i e l i m X -+ + co
l i m X -+ -
co
X
e
+
3X
+
X3
+
X
e
l og x
X
xs + x2 cos ( l /x ) 3 2 X + X tg ( l I X) X
log
3x loq x
X
+ x2
x3 + x co t g x
cotg x + x- 2l og x
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-22-
Capi tola
DE R I VA Z I 0 NE
LA
I .
I N
Definizioni e prime propri eta .
In tutto il capitol a considereremo funzioni definite in una parte di R e a valori in R , cioe funz i on i rea li di va r i at,ile reale Sia f un'applicazione di in R , ove e un int r ~a-l lo di R con punti inter~ J:":.Rir~t~ o tutto R Fi ss ato un punt~~ s i cons ideri l' app li cazione
-
-
~
GJ
J
f(x) X
---+
X- X 0
~ in incr~e ll a
di
app li cazi one che si ch i arna rapporto f a partire dal punto x0 (e definita dal rapporto tra l'incremento ..della f e (]Uello della vari a IR
-JUl-e____, X l . L'applicazione i 1 1i mite,
f
s i dice derivab ile in
0
0
se esiste in e in tal case
1 i m X ---+ X
x
X - X0
ques to limite si ch i ama la de rivata (prima) dell a f in La derivata in x0 si suole denotare con uno dei s imboli
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R
- 23 -
e adoperando i 1 cambiamento di variab il e si puo scri ve,re
-
D f(x 0 ) - f
I (
XQ)
L applicazione 1
x
f
s e es i s t e i n
0 ~rt ire
-
df
dx (xo)
X -
X
X 0
=
h
1 T
1 i m h- 0
s i dice derivabile R
...!.i..!.. 1_._ 1
m !.'-'iut 0 1
e oppure
f
I (
XQ)
f
I (
XQ) <
0
0
Se invece e f (x 0 ) = 0 l a tangent e in T( x0 , 0) al grafi co de11 app li cazione x -. f(x) co inci de con 1 as se x e qu i nd i dopo i l r i ba l tamento che S 1 e operata tale 1
1
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1
- 53 -
tangente si muta in se stessa e ri sulta ta ngente i n T al grafi co della x - I f(x) J Esiste dunque l a deri vata, D lf(xo)
o 1 f ( x0 ) 1
I, ed e o
Esami niamo i nf ine il caso che ~ sia tale che f( x) = 0 ed x0 non s i a int~~ I Tale punt o x sara di accumul az i one da des tra o da sin stra pe r Si supponga che x0 s i a di ac cumul az i one da s i ni stra per I ana l ogamente s i procede se x e di accumulazione da des tra 0 per I . Pos to. U = (x 0 , 0) , la tange nte in U al l a x - lf(x) \ esi ste ed ha per coeff i cien te ang ol are f ' (x ) o - f ' (x 0 ) 0 Seco ndo che e f ' (x ) < 0 opp ut~e f ' (x ) > 0 0 0 Ba sta tener presente che se e f ' (x ) < 0 , in un i ntorno 0 a sini s tra di x gra fi ci del l e due ap pli cazioni
-
0
x Jf( x) I x - f (x) co incidono , mentre see f ' (x ) > 0 l'uno e il ribaltamento de ll ' al tro. 0
11 l ettore provi il ri sul tato ottenu to adoperando soltant o i l concetto di derivata come li mite di un rapporto incremen tal e .
3)
Ca l col are
I 1 di agramma di
ra : .;eM 15
>0 Lo
D x -
I s in x
Isin x I
I
(.)
e
de~
~ 'K -= e.o~ )(
to dall a c;eguente figu -
~ 1ift2AUr1 ~ )(~ ~ -~0rGl
(?;>J )(
2AA i Z1t-v ~ ~"S.
-~YV
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t\ t
~
- 54y
x ~ lsi n xI
- 31r.. ... ___ _., ~ - 2 n
n ' , .....
____..,. x
2n
~
~
3n
X
s in x
Te nen do presente il rag i onamento fatto nell'esercizio precedente s i ha Nei punti deri vat a d i
es_se ndo
s i·n x
e
data da
ed COS X
per
0 I sin x I = - cos x
per
0 I s in xI
=
=I=
0 ,
es i ste l a
2kn < x < (2k+l)n, Yk E Z (2k+l )n< x< (2k+2)n, Y k
E
Nei punti x = kn, essendo s in kn= 0 et 0 sin kn= = cos kn =1= 0 l a de r i vata di x ~ js in xI non esi ste; esi s tono in tali punti l e deri vate de stra e s i ni s tra e sono date da 0+ js in xl =
0
ls in xi =
t
~
COS X
f)er
X
= ( 2k + 1 ) n
COS X
f)er
X
= 2 kn
COS X
per
X
= ( 2k + 1 )n
- COS X
per
X
= 2 kn
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Z
-55Far vedere che se
4)
derivabile ri-
~
sulta
~q
lf(x)J
=
+Pxif
nei punti
plicazione composta delle
x ove
x -.
Si osservi che l 1 app l i cazi one
Ma
e
I -. R
f
log
z = l ogy,
f( x) # 0
I f ( x) I e l
I
ap -
y=lf(x)l
e >
f 1 (X)
se
f( x)
- f 1 (X)
se
f(x) < 0
Dlf(x)l=
0
e qu indi adoperando il teorema di derivazione delle funzi oni composte s i ha, per
x # 0 ,
G
1 D log lf (x) I= - - . D If (X )I=
lf{.x )I
l If{ X)I
. f 1 (X)
- -l -
f 1 (X)
If (X )I
se
f (x) > 0 = f {x) < 0
se
~~
_f~L f (X}
5)
Calco lare l e derivate delle segue nti funzioni
x -. l og
I si n x I
Tenendo presente l esercizio 1
D log I s i n x I =
COS X
s in x
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4)
si ha
nei punti
x ove
s in x # 0
-56D l og
Ix
2 -
5x + 6
I=
2x - 5 2
x ave
nei punti
.
x - 5x + 6
2
x - 5x + 6 =I 0 •
Il lettore determini tali punti 6)
x •
Calcolare
D log a rctang x Osserviamo che l'applicazione x --+ arcotang x della
y --+ tg y
l'inversa
in un intervallo in cui quest'ultima
strettamente monotona peres. in L'applicazione
e
z, z[
]-
x--+ arcotang x
e
quindi definita in
e 1R
J
ed e arcotang x > 0 soltanto per x E 0, + co [ • Ne segue che 1a funzi one x --+ 1og a rcotang x e defi nita in
J0,
Essendo
+ co [ • D arcotang x. = 1 / (1
D log arctang x
=
arctang x 7)
t .. x
2 ),
•
.
2
Vx
E
IR,
si ha
V
X E]
0 , + co [ .
+ X
Calcolare le derivate delle applicazioni cos x X --+ e
Applicando il teorema di derivazione delle funzioni compo-
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-57 ste s i ha =
e co 5 x ( - s i n x)
=
2s in x (cos x) l og 2
Ca lcol are l e derivate del l e seguenti appl i cazion i 2 X sin x X ---+ X X -+ X
8)
Si ha X
X
2
=
s in x
X
sinx elog x
=
e
=
s in x 1og x
e qu indi D
X
0
X
=
X
2 =
2 e log x ( 2 x 1og X
s in x = es in x. log x Xs1n
x ( COS
X
log
X +
x2
log
(cos
X
X +
si xn x )
Ta li derivate esistono nei punti Perc he? 9)
Calco l are
Poiche
La cultura è un bene dell'umanità (
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2
~)=
XX
si n x
X + -X
x
E
R
)
(2
X
1og
X + X)
=
con
X
> 0 .
-58-
xls in xj
e ls in xl log x
=
s i ha D x ls in xl- 0 e ls in xllog x = e ls in xl.log x (l og x. Dl s 1· n x 1 + si tenga presente l'esercizio 3) in quali punti x esiste tale derivata. Calcolare 2
3
D a rcotang cos x
2
Appli cando ripetutamente il teorema di derivazione delle funz i oni di funzioni s i ha :
s in
VX
(cosVX) .
D arcotang2 cos3 x2 = 2 arcotang cos3 x2 .
2
. 3 cos
Ma in quali punti
X
E
/.
R
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X
e s i precisi
=
10)
Is in xI '
(- s in / ) . 2x es i stono tali derivate?
- 59-
E S E RC I Z I
P R0 P 0 S T I
Calco l are le derivate delle funz i on i definite dalle seguenti 1eg9 i, prec i sando in qua 1i r>unti x E R ta 1 i derivate esistono . 1)
JIM
x2 xr+l
- COS X COS X
log Ieos x.l ,
log ( x + vx)
+
X
X + 1 x2 + 1
arcos in
arcotan0
a reo tang
l og tang
Vx
lo~l sin
_x_ 2 I 1 - x
VX
3
log4 tang (si n ~)cos .fX
in xlcos xi
2
l x -5x+6l 2
log ~
2)
IX
IX + 1I
V sin
3
+ 5x
I
tan0 l logVX
vcosx
I
arcosin 3 Vcos3 x
Caloo l are le derivate delle seguenti funzioni: x
-+
sinh x
x
-+
cosh x
x
-+
tangh x
x
-+
cotangh x
e dire in quali pun t i
x
E
La cultura è un bene dell'umanità (
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R
tali derivate es i sto no.
•
- 60-
XI"
Capitola TEO REM I
~·
FUNZIONI
SULLE
DERI VA BILI
Cresce nz a e de crescenza lo ca li
Si consideri un'applicazione f : I ---+ R , ove e un interva ll o di R con punti interni o una semiretta di R o tutto R . La f l a diremo non decrescente in un punta I se es i ste un intorno U di x tale che
foE J ·---
0
-
f(x)
~
f(x ) -
La
f
~=v==~x~~-E~~L~t~~n=2J-I.., - - la f s i dira rispetti ...,...--vamente crescente o decrescen t e i n (* ) '
(* * )
e
n] ,
Si osservi che se 1a f non decrescente ,in rrJ! con V intorno di x (ved i definiz.i one del Cap. IV ' , n .l 2), 0 t~a vi ceve r r i s ul ta ovv i a mente f non decresce nte in x 0 sa la non decrescenza in un punta non
de ~cenza
in
V n I ,
con
X . --.Q__,
Ad es . l ' appl i ca zione definita da
La cultura è un bene dell'umanità (
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V
orportuno i ntorno di
-61-
per per per i1 cui grafico
e que11o
x > 0 x = 0 x < 0
in figura
y=g{ x )
/
y=- x'
e non decrescente v di x in cui
ne1 punto zero e non esiste a1cun intorno " essa e non decrescente . 1a n crescenza, 1a crescenza e 1a de ~eMa__j__IJ__JJ n pun to esp e!.._mono de~ propri eta local i ~ mentre l a non decrescenza, la non crescenza, l a crescenza e la decrescenza introdotte in un sottoi nsieme di R IV 0, n.l2) esprimono delle proprieta-globali
---
Ill
~32
decrescente o crescente i n
La cultura è un bene dell'umanità (
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x E I . 0 ri sulta
-62f 1 (x ) 0
in
-
0 , mentre se ri s ulta f x )
~
x
0
(
Poniamoci nel caso in
x
~
0
che~ s i a
non decrescente o crescente
(nell 1 altro caso l a dimost razi one e analo a
Es i ste allora un i ntorno ( .• ) ,
e non crescente o decrescente 0 .
f
1
U di
x
per cui s ussistono le
0
e da que ste segue immedi atamente che
(**)
~
Il limite,
0
,
V x E Unl
che per ipotesi
l i m X
--4-
R
x0
X -
X
0
non puo es sere di
virtu del teorema dell
pe+ma-r:~e.n.z_a
co n ~ uen za
negatj vo in
del segno , e quindi l ' as
_e..tl_Q_._
Questo teorema s i puo in parte invertire , s us si ste ci oe il seguente [ieorema Se e f se e f
n I (
I (
[f=~
Sia
> 0 Xo) < 0
Esami n.i amo il caso
f
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Si ha quindi : 1
f( x) - f ( xo )
0
X
0
0
X
derivabile in
X -
0
E I.
crescente in xo , ment re decre scente in X
f
f 1 (X ) > 0
l i m --4-
lR (
--4-
ri sulta ri sul ta
X0)
X
I
xo
> 0
- 63e peri l teorema della permanenza del segno esiste un interno U di x0 ta l e che
* ) , (* •)
e da questa seguono i mmedi atame nte 1e ( ave ~ in esse le disuguag lianze so no in senso_st~o co l si mbol o
-<
Abbiamo detto che il Teorema s i puo inOsservazione . vertire in parte, invers i one Q lle sta~c;.s.a_--~~~----~ dal Teorema 2 • . e questa perche dal l'ipotes i ~ -'~(_ x~~ 0 ) -=___o____no_n__s_i~p_u_o__,_·n~ generale dedurre l a non crescenza o l a non decrescenza della \ f in xJ. Ba sta ad esempi o cons iderare la x -+ x 2 che ha derivata nulla nel punta zero.
--
---
Esempi 1)
In
quali Jp~u~n~t~i--~ x~E~Eu___~l~ a~ f~IJ~ n z~,~·o~n-e--d.~e~f-i~n~i~ ta~c~o~n~l~a
e crescente o
Gx) ~ x'-
53
dec res_c_e_ n~ te ~?~ . ------
Poiche l a f unzione e derivabi l e per ogni ado per are il Teo rema 2 . Si ha f ' (x)
=
2X
-
5
'":>
::>
0 ta 1e che If x) I ~ M , lf x '-~~--~~~~--~------~~~seg ue immedi atamente 1 1 asserto. 1
(
Fi ssati ad arbitrio due punti x1 , x2 per il teorema del valore medio si ha
=
f
I (
S)
s)
e poi che f 1( > 0 seg ue ~ < f (x ) e qui ndi 2 1 1 asserto. Se 1 1 ipotes i f 1 (x) > 0 s i sostitui sce con f 1 (x) < 0 analogamente s i prova che f ris ulta decrescente in [a,b) . Se infine 1 1 ipotesi f 1 (x) > 0 s i sostituisce con f 1 {X) ~ 0 opp ure con f 1 (x) ~ 0 r i sult a f rispetti vamente non dec re scente o non crescente.
Osservazione . I l teorema 9 ci da maggiori informaz i oni del Teorema 2 Cosi nell 1 esempio 1) del n. 1 pos si amo dire che la f crescente in +co [ mentre e decrescente in
J-
co ,
i]
[i ,
Mentre nell 1 esemp i o 2)
t e in · :R •
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del n.
e
e crescen
- 75 -
@
I teoremi di L'Hospital . .
In questo numero ci occuperemo del l a ricerca del l i mi te del cioe di eapporto di du io al l imite si resen che con un 0 co che si chiamano forme indeforma
0
co
proposizion i gener~ limiti in questione possono an-
non
che non esistere. ~oremi di L'Hospital che ora esporremo forniscono, a vol te, uno strumento per l'analisi di queste forme indeterminate. 11 lettore ricordi ~.c~h~e~q~u~a~lc~h~e~p~a~r~t~i~c~o~l•a=re=-f•o~r~m~a~i~n~d~e~te~ rm ~,~ · 0 ~ ata e stata studiata al n. 9 de l Cap . Vl ~
Teorema mi nata
L;egola di L' Hospital per l a forma indeter-
g: [a,b] Siano f: [a,b] - t R , cazioni continue nell ' int.e rvallo ch i uso
lR [a,b]
-t
due app l i, deriva-
lfSfqH)
bil i nell ' aperto ]a,b [ e ta l i che Inoltre sia g'( x) # 0 V' x E] a,b [ . ste in ""' lR i 1 1i mite f' ( x) i m+ x -t a 9 ( X) I
esiste pure in
lR
i 1 1imite
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=OJ · . ora se esi-
-761 i m+ x - a
]
K
f( x)
.b
@.:.-
g(x)
e ri sult_g. f( x)
m+ x -a
-g( x)
=
1 i m+ x - a
f 1 (X) 9 I ( X)
Per ogni X ~ a < x ~ b ~ ri sulta g( x) =1= g(a) = 0 perche in caso contra rio~ per i l Teorema di Rolle~ es i sterebbe un punto per cui gl(£)=0 in E ) a~ x [ contraddizi one con 1 .ipotesi 9 ( x) =1=0 ~ V x E la~b[. Possiamo allora app l icare la formula di Cauchy e sc rivere
s
1
f( x)
f( x) - f(a) =
g(x)
1
f
I (
=
g( x) - g(a)
gI
(
S)
s)
con
s
E ]
a~x [
Ma per x che tende ad a + 0 risu l ta £- a + O e 1 1 quindi da quest ultima relazione e da ll ipotesi che esiste 1 in R i l l imite~ 1 i m+ f (x) segue 1 1 asserto. 1 x -a g (x) Osservazi one . Anal oga _e 1 1 asserzione del- teorema quando il limite per x che tende ad a e inteso da sinistra e qu i ndi anche in senso ordi nari o. La proposizione poi si estende al caso che il punta a sia - co oppure + co e l e ipotesi f(a) = g(a) = 0 si sostitui scono rispettivamente con
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-77l i m
X-+
f(x)
=
f( x)
=
- CO
1 i m X-+ +co
l i m X-+ - co
g(x)
=
0
1 i m
g{x)
=
0
X -+
oppure
+CO
Di queste estension i omettiamo la dimos t raz i one.
LllJ ·
:f eorema (regola di L'Hospital per l a forma indeterminata co I co ) Siano
f : ] a,b]
;;-;;;;-;- derivabili
-+
lR
g : ]a,b]-+ R du e appli ca co n g ' ( x ) ~ 0 , V ~- E j a , bJ.
,
i~
Sia pOl + co
f{ X) =
Se esiste in anche in
-R
l i m+
g (X) =
+ co
x -... a
-R
1
i 1 1 imite, X -+
i 1 1 i mite 1 i m+
X-+ a
m+.· a
...___-
f( x}
f {X~
'
-- J g (X) I
esiste
g{x)
e si ha 1 i m+
X -+ a
f( x) g( x)
=
1 i m+ x -... a
Di questo teorema omettiamo la dimostrazione e osserv iamo che analoga e 1 'asserzione quando il limite per x che tende ad a e inteso da sinistra e ~uindi anche in sense ordinaria. Suss i stono poi le estensioni di questa proposizione ai casi a = co
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- 78-
Esemp i Ca 1co 1are
1)
- COS X
1 i m X ---t 0
X
:>
X ---t Le funz ioni - COS X x - l sodd i sfa no l e ipotes i de l Teorema 10 s i a in [ O,b ) che in [c , o] e s in x ten de po i che il rapporto delle l ora derivate, 2 X 1 a quando x tende a zero, s i ha
2
- COS X
1 i m X ---t 0
2)
X
2
=
2
Ca 1co 1are l og x -X
1 i m + X ---t 0
te funz i ani x - log x sodd i sfa no le ipox - x te s i del Teorema 11 in ]0 ,1 ] e poi che il rapporto delle l ora deri vate e l /x -1 /x
-2
=
il l imi te cercato esi s te ed
- X
e
zero.
Mettiamo in evidenza la circosta nza che nei Oss ervazi one . teoremi di L 1 Hos pital dall 1 es i stenza del limite del rapporto delle derivate s i pa ssa all 1 es istenza del limite del rappor-
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- 79to delle funzion i , rna non vi ceversa . Cioe puo esistere il li mi te del rapporto di due funz ioni sen za che esista i l l imite de l rapporto delle loro derivate. Ad esempio s i considerino l e app li caz ioni f,g definite dal le per
x i= 0
per
x
= 0
Esiste i l limite de l loro rapporto f(x) g( x)
1 i m X -t
0
1 i m
=
X
-t
x si n
0
=
0 ,
X
rna non esiste il limi te de l rapporto delle l oro derivate, i m X
-t
0
f 1 (X)
perche
e
g I (X) f 1 (X)
=
2 x sin -
X
g I (X)
cos -
X
Si facc i a ben attenzi one qu i nd i ad appl i care i teoremi di L Hspita l e anche a non adoperarli i n modo meccanico perche i n tal caso spesso all ontanano dal fine proposto. Cos1 ad es. se si vuole ca l co l are il limi te, 1 i m e- x / (1/x) , 1
X ~
+CO
adopera ndo i teoremi di L Hospital il rapporto de ll e derie- x vate e e adoperando ancora L Hospital s i pass a 1
1
1 I/
a considerare l 1 espressione
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
e
-X
e cos1 cont inuando
-80senza ven i rne mai a capo. e
Mentre se s i os se rva che
-x s i ha irTITlediata
=
l /x mente, senza app li care L' Hospital, perche sappi amo che
e
X
per
X
-++
e
co
to d ' ord ine superiore a qua 1unque potenza
6 .
0
=
n
x
un infini
( n. 3
de 1
Ricerca di a1tri 1imiti con i teoremi di L'Hospita1 .
Ne1 numero precedente forme indeterminate
CX)
e queste come ora vedremo si riconducono a11 e precedenti studiate a1 n. 5 . Si ano f: I-+:R, x0 E R un punto di accumu1 azi one per seg uenti cas i
~ Se
Forma i ndetermi nata 1 i m
f(x)
0
due app1icazi oni , e I , ed esami ni amo i
co
1 i m g(x) X -+ X X-+ xo 0 un di retto passaggio a1 1 i mite ne 1 prodotto s i ha 1a forma indeterminata 0 . =
0
CX)
Se si osserva che
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
= + -
con
CX)
f(x)
g(x)
-81 f g
f
=
1
g
=
g
f
si e ricondotti allo studio de l l imi te del rapporto di due infinitesimi o di due infiniti che conducono alle forme ina co determi nate e quindi si possono adoperare 0 co i teo rem i cl i L' Hospita l Esempio Per calcolare 1 i m 0+
X
log
X
X -+
si osservi che X
l og
=
X
log x -1 X
e quin di app li cando L' Hosp i ta l si ha 1 i m X-+ o+
=
X
1 i m+ 0
l og
-
X
1 i m X -+ o+
=
X
=
log x -X
=
1 i m+
X -+
0
0
X -+
Forma indeterminata + -
co - co
+ m 9 ( X) = X -+ x X -+ x 0 0 con un di retto passagg i o al li mi te nell a di fferenza f(x) - g(x) si otti ene la forma indetermi nata co -
Se
1 i
m
f(x)
=
co
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
co
co
1/x = - l /x 2
- 82-
Si osservi che f(x) - g{x)
= (
~
-
+)
1
f.g
e quindi si e ricondotti alla ricerca de l li mi te de l rapporto di due infi nites i mi che si puo studiare co l teorema di L' Hosp i tal. Esempio Calcolare 1 i m
(l -
X-+ 0
cotg x )
X
Poiche
( l - cotg x )
= ( -
x
-
tang x - x x tang x
=
X)
- cotg x
cotg x
X
adoperando due vo l te la rego l a di L'Hosp i ta l si ha x1~
~
=1 i m X-+
0
=1 i m x-+
0
(
~
cos2 x tang X 2 si n
+
=
X
cos 2x
X cos 2 cos x - si n 2x
X
+
1
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
tang x - x x tang x
1 i m X-+ 0
- cotang x ) =
=
s i n2 x
1 i m x-+
0
0
sin
x
COS X+ X
=
=
- 83 co 0 1 ,co
Forme indeterminate Se 1 'app 1i caz i one tenza
e pos i ti va ha sensa cons i dera re 1a po-
f
f( x)g(x) e con un diretto passaggio al limite si hanna queste forme indeterminate quanco si verifica una del l e seg uen ti condizioni a)
i m x-. X
f(x) = 0
1 i m
0
b)
0
1 i m xo
f(x) =
1 i m
f( x) = +CO
1 i m
X _.
c)
X _. X
g(x) = 0
X _. X
+ g(x) = - co
X _. X
0
1 i m x-. X
0
Po i che l a potenza
g(x) = 0
0
IIj
si puo sc ri vere:
fg =
e g(x). log f( x)
basta studiare il 1i mite di g(x)
l og f( x)
che so tto una delle co ndizi oni a) , b) , c) e il prodotto di un infinitesimo per un infinito e quindi si e r icondot ti al caso 1° . Esempio l.a l colare
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
- 841 i m X-+ o+
X
1 i m+
X
X
Si ha 1 i m X -+ o+
=
0
X -+
e poiche
X
e
m+
X
1 i m+
X
X -+
ri sulta
X-+
log
X
log
X
0
=
X
e
0
X
e0
=
=
0
Osservazione 11 lettore osservi che nell ' adoperare i teoremi di L'Hospital sia al n. 5 che in questo numero, abb iamo a vo 1te portato d~ gli esemp i ai qua1i si poteva dare una ri sposta senza ques ti teoremi . Nell'esempi o 1 ) de 1 n. 5 poiche e -
CO S X
=
2
si n 2 x 2
x2
=
x2
1
2
(
sin 2X X
z
si ha subito 1 i m X -+ 0
Per 1 ' esempio 2) del n. si ha immediatamente che
-
1
COS X
x2
r
=
2
5 e per i 1 primo esempio del n. 6
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
-85-
log x
1 i m x ..-. 0 +
1
=
0
-
X
e questo perche sappiamo (n. 3 del Cap. IX 0 ) che log x , per X__. 0+ , e Un inf inito d'ordine inferiore a qualun1 ) 1. que potenza ( x n • t-----..=~n consiglio quindi :
evitare il piQ possibile l'uso delle regole di L'Hospital e adoperarle solo quando per altra via non si arriva al r i sultato richiesto
-
ES ERC I Z I
S V0 L T I
1) Determi nare gli intervalli di crescenza e di decrescen za della f unzione definita con la l egge f(x)
=
l on
jx 2 - 5x +
Tale funzione e definita in tutto R 2 X E lR per cui X - 5x + 6 = 0 Tali punti so no xl = 2 , x2 = 3 La
f
e
poi derivabile, tranne in
~
2x - 5 2 X - 5x + 6
Si osservi che ·
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
61 tranne che ·per g 1i
~ , ~2 0
per
X
2x - 5 < 0
per
X
<
x2 - 5x + 6 > 0
pe r
X
< 2 ·.
per
2
<
2
x - 5x + 6 < 0
> 2" 5
z e per
X
> 3
< 3
X
Ri ass umendo co n uno specchi et to s i ha __. 2x - 5
- -
- -
0+
~~ ~ ---- --
2
_ _+____
Jf
---4· - - -
x 2 - 5x+6>0
e qui ndi
~--
5 -
-
_] -
x 2 - 5x \
-
3
- -
-
+..:_____
_ L __ _ _
6 < 0
x 2 - 5x + 6 > 0
e
f ' (x) > 0
per
2
<
f ' (x) < 0
p.er
X
< 2
X
< 52
e per
3 < X
5 e per 2 <
X
< 3
Adoperando i 1 Teorema 9 s i ha che gl i i nte r val li di ere sce nz a dell a f so no
J
2'
~]
J
3 '
+
co [
me ntre gl i in t ervalli di decrescenza sono
]- co, z[
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
}
[~'
3 [
- 87 -
2) Determinare gl i interval li di crescenza e di decrescenza della applicazione definita da {ryx )
= 2
sin x -
Q
Ta l e funz i one e deri vab ile in ogni f'( x)
=
X
E :R
e
s i ha
2 cos x -
E' 2
COS
X -
ci oe
l > 0
-
j
+ 2k n < x <
COS X -
l
< 0
per
COS X
1 + 2kn
l
> 2
, V k
E
Z
mentre e 2
ci oe
} + 2k n < x <
per Ri sulta quindi
f
j
rC+
COS
X
< .l_ 2
, V k
2kn
E
crescente neg1i interva lli
[- J + 2k n
j
,
+ 2 k:t
J
, V k E Z
men tre e decrescente ne g1 i interva l1i [1+2kn , 3)
Ca l co 1are
, V k E Z
i n + 2k n]
seguenti 1i mi t i l i m X --+
0
l i m X --+ 0
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
x - sin x X 3
x - arcosi n x X 3
Z
- 88-
Entrambi quest i 1i miti, con un passaggi o diretto conducono a1 1a forma indeterminata Adoperando 1a rego 1a di L'Hospita1 (i1 1ettore controlli che si puo adoperare) s i ha:
g
X - si n X x3
m X
-+ 0
X
=
-+ 0 1 i m x -+ 0
=
3 X2
1 -
x - a rcos in X = X3
1 i m
- cos X
1 i m X -+ 0
=
1 i m X-+ 0
6
vl -x~ 2
3 X
V1 - x2 3 X2 1
=1 i m X -+ 0
4)
=
V1 - x2
Ma i 1 pri mo fattore nell'ultimo membro ha per 1.i fllite quind i basta ca 1co1are con L'Ho sp i ta l il li mite 1 i m X -+ 0
-1
6
111="7
Ca l co l are
-
= X
1 i m -+0
= 6
seg uenti l i miti 1 i m x-+ a+ 1 i m X
-+ o+
l og sin x cotg x l og (ex -1 } l og x
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
X V1 - x2 6 X
=
e
:ntrambi questi 1i miti cond ucono con un passaggio diretto co tlla forma indeterminata co tdoperando l a rego l a di- L'Hospital s i ha COS i m log sin x = 1 i m+ s 1 n x ~ o+ cotg X x- 0 - s i n2 X
X
m (- s i n x cos x )=0 = 1 i a+ x-
ex -4
X
l og(e x-1) = 1 i m+1og X X -o
m o+
e -1
=1 ; m
x- o+
-
X
po i che i 1 1i mite del prima fat tore :on L'Hospital !
1i m ''
-· 0
X X
e -1
Cal col are
=
1 i m X-
e
0
e
ex
X
e X-1
ba s ta ca l co l are
=
X
1i mit i i
X
1 i m+ X- 0
tg x . e
1 i m X 1
( 1 - x) . tan g
:Tt X
2
:ntrambi questi li miti conducono con un passaggio di retto 3lla forma indeterminata 0 . co ~doperando la regola di L'Hospital dopo che il prima s i ri co mentre il secondo :onduce al l a f orma indeterminata co
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
'
'
-90-
a11a
fo~ma
0
indeterminata
I
I
1 i m+
-o
X
tg
ex =
X
1
- ex
=
1 i m+ 0
X ·- t
-
1
2
X
=
sin 2 x
- x) tg n x
(1
2
1 i m+ X-+ 0
=
( si :
-
1 i m 1 X
X
)
1
-
X -+1 •
1
nx
?.
.
s1n T
n 2
1 i m
= X
I
e
J<
= +
X
~1
Sln
2
zn n
co
=
cotg n2 x •
-
1 i m
6)
=
cotg x
0
- 2
1
X
=
i m
-
ex
1 i m+ X
I
si ha
0
X
=
2 n
T
Calcolare il limi te 1 i m -t 0
( -, -_-c_o_s_x
X
~. )
che conduce con un passaggio diretto al l a forma indeterminata co - co Ma e 2 1 -
COS X
=
x2 - 2 + 2 cos x x 2 (1 - cos x)
e poiche quest'u ltima espress i one, con un passaggio diretto
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
-91-
0 0 , adope ran do
al limite I conduce alla forma indeterminata L'Hospital si ha 1 1m 0
x-
0
(
l --
1-cos x
X-
2x - 2 sin x 0 2x( l-cos x)+x s in x
= 1 i m ---------------- = 2 X -
0
X-
0
X2 (
=
1 - COS X)
2 - 2
COS X
1 i m = X- 0 2( 1-cos x)+ 4 x s in x + x2cos x
2 sin x 2 6 si n x + 6 x si n x - x si n x
m
= l
x2 - 2 + 2 cos x
1 i m
2 CO S X
= l i m X - 0
12 cos x - 8 x sin x - x2cos x
=
6
Ca l co l are
7)
1 i m
X
- X
x- 1 che con un passaggio diretto al limite conduce all a forma 00 indeterminata 1 . Si ha · 1
X
.,--:-x
=
e log x
1 ,.:X
Basta a 11 ora cal co l are
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
=
e
l og
X
1-
X
-92 log x
1 i m
1 - X
X--tl
e per esso, con l a rego l a di L'Hospita l , s i ha l og x
1 i m
X --t
I 1 1i mite richiesto
-
1 i m 1 X
8)
1 i m
=
1 - X
X--t l
X
=
1
-
1
X
e qu i nd i 1 1-X
=
-1 e
=
-1 e
Calcol are 1 1. m+ X --t
(ex-
l )x
0
che con un diretto passaggio al limite conduce alla forma indeterminata 0° Si ha . (e x _ 1 ) x
=
e x 1og (ex- 1 )
e quindi basta calcolare i1 l imite del l' espressione xlog(ex-
1) =
log (ex1 -X
che adopera ndo L' Hospita1 ci da
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
1)
- 93-
1 i m+ X -
log(ex - 1) 1
0
m+
1 i
=
X-
X
e
X
=
0
2
1 i
=
X-
m 0
+
- X
ex
rna il primo fattore de ll'u ltimo fllembro ha per l i mite qu indi basta ca l co l are con L'Hospital l i m+ X
-o
Conc ludendo
e
-
2 X
X
-
1
=
ex
0
X -
0
e l i m+ X
9)
- 2x
l i m+
=
l ,
-o
(e
X
-
l )X =
eo
=
Ca 1co 1are
l i m+ X- 0
(
_X l )tg
X
che con un passaggio diretto al li mite co ndu ce al la forma i ndete rmi nata oo 0 Poiche e 1og x tgx l og l X cotg x e = e
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
-94basta calco lare, con L1 Hosp ital, il limite 1 i m+ X ---t 0
•
- 1og
x cotg x
2
S ln X
1 i m X ---t 0
=
=
0
X
Si ha quindi 1 i m+ x- ---t 0
(
_xl )tg x
=
ESERCI Z I
P R0 P 0 S T I
1 ) Cal co l are g 1i intervalli di crescenza e decrescenza delle funzioni definite dalle seguenti 1egg i f(x)
=
f(x)
2 X -
3x + 2
2 X -
7x + 12
f( x)
=
l og
f(x)
=
log
f( x)
=
f(x)
=
7
f(x)
=
s in
IX 2_ IX 2_
3x + 2 I 7x + 121
x 2- 3x + 2 X X
La cultura è un bene dell'umanità (
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2
+
X -
1 2
- 3x + 3 X
+
COS X
+ 1
-952)
Calco l are
limiti (forma indetermi nata 1 i m X--t lt
4
1 i m X --t 1
1 i m
s i n 2x - 1 2 sin x -
V2
X - 1
Vx - 1 x sin x
X --t 0
3)
Ca l co lare i limiti
Ca 1co 1are
COS X
( forma
indetermi nata
l og si n x 1og t ang x
1 i m+ X--t 0
l og x cotg x
X --t1
4)
-
1 i m+ X --t 0
1 i m
1 i m+ X --t
0
~
~
)
0 .
oo
log (1 - x } cotg ( 1 - X)
limiti ( forma i ndeterminata 1 i m X --t 1
g)
1 og
x .
1 og 1 og
log x . tg x
La cultura è un bene dell'umanità (
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x
)
-962
1 i m
(2 - x) log (4 - x )
X--+ 2
5)
Ca 1co 1are i 1 i mit i ( forma indeterminata 1 i m X--+ 0 1 i m x --+ 1 1 i
Cal co l are
2
-
cotg x )
X
( 10: X
z co~
1og x
(
)
t9 X )
Ill
X --+n
6)
(7 x
1i mit i ( fo nna ind eterminata
1 i m+ X-+ 0 1 i m
CO-CO
(s in x) 2
(4 - X )
00)
tg X
2- x
x --+ 2
1 1 i m+
X
TOgX
X--+ 0
7)
Ca 1co 1are
forma i ndetermi nata
1 i mit i
1 i m X--+ 0
( 1 + tg x) cotg x
La cultura è un bene dell'umanità (
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l eo
-971 i m x - o+ 1 i m+ x- 0
8)
. 2 ) ( 1 + Sln X
-X
( 1 - sin x) log x
Ca 1co 1are i 1 i miti ( forma indeterminata 1 i m X ..... +co 1 i m+ X
-a
1 i m
X
x2
( cotg x) s in x
X
-X
X-++CO
La cultura è un bene dell'umanità (
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co
0
-98-
Capitola
FORMULE I .
01
TAYLOR - APPLICAZIONI
Formule di Tayl or .
Abbiamo vista al n. 5 del Cap . e derivabile in un punto X E 0
Jet)~
XII 0
xo
che se una l!_ : I ~ R possiamo scrivere
f ( X + h) = f ( xo) + h . f ( X ~) + h . E ( X , h) v h E f[:t,t~\ F~·>- t'(Yo) •"' ; '-'c(> 0, 0 0 e avente derivat~ (n+l ) - es ima nel punto x0 , suss i ste la f ormula h2
h +1!
Les~
cn+l (x 0
,
h)
+-
2!
f'' (x )+ ...... + 0
un inf inites imo con
h
~
0 .
Osservaz i one Questa f ormu l a di Taylor suss i ste anche per h < 0 CJUan do le co ndizioni espresse da l teorema so no verifi cate i n [x+h , x0 J . 0 L' espress i one
La cultura è un bene dell'umanità (
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-1 01hn+ 1 ( n+ 1 ) !
-·
si chi ama res to ne l l a forma di Pea no e rappresenta l'errore the si commette auando al posto di
f(x + h}
s i prende i l
0
valore del pol inomi o f(x
Teorema Sia
f
0
)
+ __h__ f'(x ) + . . . ... . 0 1! ~Formula di Taylor con il resto di Laarange~.
2.
una funzione a va l ori rea l i dotata di derivate con-
tinue fino all ' ordine h > 0 ,
con
n nell'intervallo
[x
0
e dotata di derivata d ' ordine
ma ne 11 'i nterva 11 o J x0 , x + h [ 0 Esiste un numero rea l e 1} , con
x0 +
h ]
(n+l) - es i-
< 1J < 1
0
,
tale che
valga l a formu l a
h2
f(x +h) = f(x) + __h_ f'(x) + - f " ( xo) + ....... + 0 0 1! 0 2! +
hn
n!
( ) f n (x ) + 0
hn-f4
( 1) f n+ (x + 1J h)
(n +l )!
0
Anche qui l a formula di Tay l or s us s i ste con
h < 0
se le
con dizioni di va lidi ta del teorema so no so ddi s fatte in
e l ' es.press i one hn+ 1 ( n+1 ) !
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
~aqranqe
-1 02 di ces i resto nella forma di Lagrange. Osservazione Le formu l e di Taylor stabil i te sop ra, quando in esse s i pone h = X- X si scri vono 0 X- X (x - xo) 2 0 f( x) = f ( xo) + f Xo) + f" ( xo) + . ... + I (
2!
1!
ove i 1 res to (X
()
r~~. Rn
-
Rn )
X
e
dato da
n+1
o
=
( n+ 1 ) !
oppu re da (x - x )n+l 0
( n+ 1 ) !
co n {} opportuno numero in ] 0,1 [· , secondo che questo resto e nella form Ne ll a letteratura la form ula di Taylor si s uol e chiamare f crrmul a di Mac l auri n Esempi 1)
Scrivere l a formul a di Maclaurin, con il resto di La-
La cultura è un bene dell'umanità (
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-103-
grange, arrestata al nono termine, de ll a funzione x ~ f( x) = sin x Cio e possibile farl o perche l a funzione x ~ sin x am mette derivate di qua lunque ordine in ogni intervallo del rea l e. f (X)
.Essendo
I
cos X
=
11
f
tfsJ( x) = s i n x sin x
=
x3
xs
Se si osse rva che per 6
X
s in ({}. x) ~
xs
~
_ 1_
0,000024801587.3 0 l,~
=
8!
ross iamo dire che,per ogni ango l o dal l a sin
X =
X -
x3
xs
-+- 3! 5!
compreso tra 0 e
X
X
7! ~uattro
cifre deci-
Se nel precedente esempio si sostituisce la fu nzi one ~ sin x con 1a x ~ cos x s i ha
COS
X =
1- -
x2 2!
+-
x~
4!
x6 x8 - - + - c o s (tf . x) 6!
La cultura è un bene dell'umanità (
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8!
1'C
4'
7 .
si ottengono valori di sin x co n a l meno mal i esatte. 2) x
sin x , ..• .. ,
+ - sin· ({}. x) 7! 8!
0
8!
=
s i ha
x7
-
X - -+3! 5!
(x )
-1 04 -
dalla
e cos'i,per CO S X =
1 -
x2 2!
si ottengono valori di cima li
x"
XG
4!
6!
+-
cos x con almena quattro cifre de-
~satte.
Ricerca di massimi e minimi locali . Per un 1 app 1i cazi one f : I ~ R ci proponi amo di s tab i lire dei criteri per l a determinazione dei pun ti di ma ss imo (mi nima) l oca le che siano interni ad I\. Sappiamo (Teorema 3 del Cap . Xl 0 ) che se x~ nterno ad e un punta di massimo (o minima) locale per la f e se in xo la f e derivabile risu l ta f (X0) = 0~ Ma dal fatto che in un punta x interne ad I la f s ia 0 y.e..~ con f 1 ( X ) = 0 non s i r>uo in generale dire • Q -cht: x0 t: un punta di massi mo (o inimo) loca:.- 1""::--r-----e.l Questa circostanza l'abbiaiTioliies sa in evidenza, come osse F vazione al Teorema 3 del Cap. X I ~ con degli esemr>i. Un pri ma criteria per stabi li re se un punta x , interno 0 ad I , e di mass imo (o minima) l ocal e e dato dal seguente 1
-
[ reorema '
derivabile in un i ntorno u = (X 0 - h X0 + h ] del pun to xo e sia f (x ) =O ' -~ Se per X E u ' con X < X e f (X) > 0 mentre
3J-
5ia
c:
I
1
1
0
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-1 05 -
per x0
~
x E u , con x > x e 0 un punto di mass imo l oca l e.
f ' (x) < 0
Se i nvece per x E U , con X < X 0 mentre per X E L/ , COn X > X 0 l ora x e un pu nto di mi ni mo loca l e . 0
a 11 ora
e
f ' {x) < 0 f'( x) > 0 al-
Limitiamoci a provare il teorema nel pri mo caso ; la di mo s t raz i one e analoga nel secondo caso . La f e derivabile in (x 0 - h, x0 ) e qui ndi essa e conti nua ~ inolt re e f ' (x) > 0 per x E ] xa- h, xa [ e di co nseguenza , peril Tearema 9 del Cap. Xl 0 , r i sul ta f crescente in [x 0 - h, x0 ] . Analagamente si prava che f e decrescente in [ xa ' xo + h J e qui ndi i l punta xo e un punta di massima locale. Esemp i o Determi nare mass imi e minimi l acali della funziane de f inita con la legge ,--f (x)
= \
2x
3 -
3 x
2.
- l 2x
Ta l e funziane ammette derivata di qual sivog lia ard ine.
fr"> ~ 12
E'
(I
e quindi f'( x)
=
0
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per
xl
= -1
)
r..-;.-<
-1 06-
In vi rtu del Teorema 3 del Cap . Xl gli eventuali punti di mass imo e minima l ocale possono essere x =-1 , x = 2 1 2 Dall'esame del trinomio 6x 2 - 6x - 12 si ha che 0
6x 2 - 6x - 12 > 0 6x 2 - 6x- 12 < 0
per per
< -1 e per -1 < x < 2 X
X
> 2
x1=-l e un punto di massimo locale, Ne segue che i l punto mentre i 1 punto x2= 2 e un punto di minima locale. Osservazione. 11 cri teria dato si basa sul fatto che la de rivata f ' (x) ~bia di segno in vicinanza del suo z ~ )x quando si passa dalla sini stra al la destra di x 0 Ma anche senza questo cambi amento di segno , nel qual caso i 1 criteri o non fun9ona, i 1 pun to ~ puo essere di mass ima o minima lo ca le} . s·i consideri ad es. l' app li cazione definita da g(x)
per
X
per
x = 0
# 0
=
0
G R]
Questa funzione e derivabile i n ogni E e inoltre (applicando l a definizione di derivata) e g'(O) = 0 . Il punto zero e un punto di minima loca l e e facilmente s i vede (si osservi il grafico de ll a g) che in prossimita di x = 0 e al~a sua s ini stra l a g'( x) assume valori sia di 0 segno positivo che negativo e cos1 anche in prossimita di x = 0 all a sua destra. 0
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-1 07 Quando avviene che e difficoltoso stab ilire se l a derivata ~ camb ia di segno in vi ci nanza di un suo zero x0 passando dalla sini stra alla destra di x , s i adopera il 0 seguente criter i a .
f;remi, n.
Sia f un 1 applicaz i one che ammetta in un intorno U = (X - h , x + h] del punto x le deri vate 0 0 0 1 fino all ordine n-1 e inoltre abbia l a derivata n- es ima /~ in Supponiamo inoltre che sia
=
f(n -1 )(xo)
All ora l ocale scente f(n)(x 0
=
0 ' /G (n)(xo) =F
f (x 1
~
0
) =
f (x 11
0
) = ... . .. =
.
se n e dispari il punto x none ne di mas simo 0 ne di minima l oc ale e la f e crescente o decrein x secondo che e f(n) (x ) > 0 oppu re ) < ~ o
Se in vece n e par i il punto x0 e di mass i mo locale quando f (n)(x ) < 0 , mentre x e un punto di mini 0 ma l oca le quand~ f(n )(x ) > 0 . 0
Si puo infatti scrive re la formula di Taylor con il res to di Peano e per l e ipotes i fatte e data da [
(* )
f (x+k) 0 con
Poiche
8
=
kn f (X ) +o n!
[ f (n)(xo) +
E
n ( xo ' k)
J'
k ---+ 0
e
Ik I ~ ··fl n ( xo ' k)
e un i nfinites imo con
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-1 08poiche
e
f(n)(x ) # 0
a
possiamo determinare (peril teo-
rema della permanenza del segno) un I > 0 tale che per ogni k, con lk I~ k, r i sulti f(n)( x ) + s (x , k) =I= 0 e della stesso segno di o n o f(n)( x ) . Ne l ca~o 'l' n_d_i_s_p_a-n~ . . . poiche per k > 0 e kn> 0 e per
k 0 quando 0 0 O 0 e qu i ndi i 1 pun to X = 3 ~ un pun to di minima locale • Faci lmente s i vede che si arriva all o stesso r i s ultato ado peran do il Teorema 3 , ci oe s turliando il segno di 2
/"f(x) = 5x (x -l )(x - 3)
·J
Osservazione . Abbiamo dato due criteri per determinare i punti di mass i mo e minimo l oca li. Attenz i one a non adoperarli in modo meccani co bi sogna sempre prima co ntroll are se sono soddi sfatte le i pft] tesi sotto l e quali ha senso usarli . Cos1 ad es . se s i vogli ono dete rminare i pun t i di mi nimo l oca le dell ' apr> li caz i ~ ne definita da f( x) = js in xI non ha senso ador>erare l 'uno o l' altro dei due criteri perch~ come s i vede costru en do il grafico de ll a f , in questi punti di minimo local e, che sono tutt i quel li de l t i po x = ~ con h E Z ~~ f non e de ri vabile~ Inf ine vogliamo notare che quando per una app li caz i one f : [a,b] -+ R s i sono determi nat i i punti di ma ss i mo loca le e minimo l ocale , interni ad [a,b] confrontando i val ori che la f assume in questi punti con i val ori chela f ass ume ag li estremi de ll'i ntervall o [a,b] s i trovano i mass imi e i minimi asso luti.
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-111-
Esemp io Relativamente al l a funz ione definita da [ f(x) = 2 .; - 3 -l -1 2 x
]
per 1a qua l_e abbi amo vista che ha un so l punta di massimo locale (x= -1) e un sol pun to di mini ma locale (X = 2) ' determin are il mas simo asso luto e mini ma assoluto nel l'in tervallo [-3,3] . Calcoliamo i va l ori della f mi dell'intervallo [- 3,3] Si ha
E~ )
=
nel punto
l r;;)4 ·
7
-1
f ( 3 ) = -9
e agli estre
\1 ·
Di conseguenza i l mass i mo asso luto della f in f:3,3] e 7 e qui ndi i 1 punto x = -1 e non so 1tanto pun to di rna~ si mo locale rna anche punto di mass imo assoluto in [:- 3,3]. E' poi f (2) = -20 e quindi da l co nfronto tra f(2} = - 20 , seg ue che la re -45 che
---=::..
3.
f ( - 3) = - 45 f
e
f(3)
=
-9
ha per minimo asso lu to in t3,3] il valo ass unto in x = -3 .
-- --
\ Convess i ta, co ncavi t a, fle :
.\
Sia data un'applicazione f I -R e s uppon iamo che s i a derivabile in un punto xo i nterno ad I
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-11 2-
De not i amo con
lx - _.
J
9p (x) 0
l 1 applicaz i one tangente all a curva -e , grafi co de ll a P ( x , f( x ) ) . x _. f( x) , nel punto 0 0 Diremo che nel punto P0 la curva e e concava verso l al to
=
1
quan do es i ste in · I
l
f (X) - 9p (X) 0
un i ntorno
>!)
U de l pu nto
X
P0 I
la curva ~ e convessa verso 1 alun intorno ll del punto x0 tale 1
che
N&fj (x) - g~ (x):
X
X
<
XQ
X
> xo
X
< xo
o-
0
oppu re 0
f( x) - gP. (x) >0 0
I
'
u u
Y /r\
f
-n-t-- - - - - - ' v - -- - --;i>0
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X
- 114-
Osserv i amo che pos t o lf(x) = f(x) - 9r, ( x) 0
e
se l a -6'
ft..rfl}-
i n P0
concava verso l' alto l a F(x)
ha i n
un mini mo l oca l e me ntre se l a -G e i n P0 conves..:!J ~~rso l ' alto la, LF(x O ha in x0 un mass imo locale . Di conseg uenza se i n x es i ste l a deri vata seconda , 0 f " (x ) , si ha : x
\
~
Se
0
in P la --(; e concava verso l'a l to r i sulta f" (x ) 0 mentre s: e convessa verso l' alto r i sul ta f " (x) ~ 0
~
0,
0
'!"
Basta osservare che se fosse (x ) < 0 , po i che F( x) 0 si annu l la i n x ed e F ' (x ) = 0 g "p (x ) = 0 , si 0 0 0 0 avrebbe F " (x ) < 0 e qu i ndi x sarebbe un punta di 0 0 massimo re l at i ve per F(x) e l a -e non sarebbe concava verso 1 'alto in Po Anal ogamente si prova l a s~co n~~rte .d e ll ~ osizione. I /A/ Vlf. I LA Viceversa se e f 11 (X ) > 0 ~ --(% e n P0 concava 0 verso 1 ' alto ment r e se e f (X ) < 0 la -g e i n Po 0 convessa verso 1 ' alto .
t
11
Ne l pri ma caso infatt i , essendo F(X ) = 0
F' (x) = 0
0
F " (x) > 0
0
0
I
po i che F (X) es i ste i n un i nt orno di X , dato che esiste 0 i n un i ntorno di xo l a f 1 (X) , per formu l a di Tay l or con i 1 res t o di Pea no s i ha I
F( xo + k )
=
~ 2!
[
F II (X ) +
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0
8
2
( xo
, k )]
-11 5-
che scrivesi f(x + h) - 9n (x +h) = 0
r-0
o
e ragionando ana l ogamente a come s ' e fatto nel provare il Teorema 4 , dopa l a ( * ) quando n e pari , s i deduce che in un intorno di lx0 e l f ( x + h} - 9p 0
0
(
x0 + h) > 0
Analogamente s i prova il secondo caso. Da quanta detto seg ue poi : Se esiste f"(x) e la -e ha in Po un punta di fles so 0 ci o perc he in caso co ntrari o l a ~ risulta f " (x)=O 0 sarebbe in P0 concava o convessa verso l ' alto. conseguenza se f ammette derivata prima e seQQnd~ flessi si trovano tra gli zeri della derivata seconda. Se pero x e uno zero di f 11 ( x) non e detto che l a -e 0 ha in P0 un flesso. Ad es. la f = x 4 ha derivata secon da che s i~ annulla in x = 0 ma in P0 = (0 ,0 ) la -e non 0 ha un flesso . Per la ricerca dei punti di flesso riesce util e la seguente proposizione la cui dimostraz i one la l asciamo al lettore i n dicandogli di tenere presente i l Teorema 9 del Cap. XI o per l a F .
~i
Se f 11 (X 0 )= 0 ed f (X) cambia di segno i n prossi mita di X quando X pass a dalla s i nistra ctl l a destra di 0 X al l ora la -e ha in Po un flesso 0 II
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-11 6Se riesce difficoltoso stabilire che f (x) cambia di segno in vi cinanza di un suo zero x0 o nel caso che tale cambiamento non sussista, adoperando il Teorema 4 si ha: 11
Se in un i ntorno [ xo - h ' xo + h ] del pun to X0 esistono l e derivate fino all'ordine n - 1 della f e inoltre -f(n)( x ) e ri s ulta i n X es i ste 1a deri vata 0 0
f"(x 0 )
=
f
11
' (x) = 0
allora se n e dispari la ~ ha in P0 un flesso, mentre se n e pari l a -g e i n P0 concava o convessa verso l'alto secondo che f(n)( x~ e positiva o negativa . Esempio Considerare la funzione
e sia La f
-~
la curva diagramma di essa . ammette derivate di qualunque ordine e si ha f'(x)
=
f (x)= 11
x 3 - 6x 2 + 9x + 1 3x 2 - 12x + 9 = 3(x-l)(x-3) ]
cont!
;;;"~
f (X) > 0 per ogni X , Essendo < 1_\ oppure p X > 3 la -e nei punti di asci ssa X < 1 e in ri vo 1ge la concavita verso 1 'a 1 CJuelli di ascissa [x > to. 11
31,
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- 117 -
Essendo poi f ( x) < 0 nei punt i P di asc i ssa 11
per ogn i X
E
x
E
) 1, 3(
] 1 ,3 [
l a -G
ri vo l ge l a co nves -
s i ta ve r so 1 a lto . Inf ine punt i di asci ssa X= 1 X= 3 so no dei f l ess i ' per 1a e ques t a pe r che f" s i annu l1 a s i a i n X=1 che in x = 3 e camb i a di segno s i a in pr oss i mita di X = 1 che in pros s i mi ta di x =3 1
-c
As in tot i .
4 .
£.: 3
Si a I ~n app 1i cazi one e pre nd i amo i n es ame quei punti jx0 E F. ~ , se es i s t ono , con almena una delle seguent i pro pri et a :
a)
X
0
E
R
1
1 i m
con
f (x)
=
+
oppu r e con
co
X -+ X+ 0
1 i m )(.,
f(x)
=
+
EG
x -+ x-
o
~)
co n
x
0
di ac cumu1 azi one pe r
I1J
e x E R un pu nto Si a l a c urva di ag ramma del l a 0 che go de di un a almena del l e propri et a a ) , p) Diremo che una retta r e un as i nt ot o de ll a per X
e
c he t ende a x (da ll a s i ni stra za d(x) che un gene r i co punto de a zero al tendere di de stra)
x ad
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o des tra) se l a di s t an P E -e ha dal l a r ten x
0
(da ll a sini s tra o da l la
-11 8-
Se x gode della proprieta a) i mmediatamente si vede 0 che l a retta x = x e un asintoto della~ per x che tende Bas ta dalla te nde
a x osse rvare che la di s tanza di un punto P ( x, f(x) ) retta x = x0 e lx ·- x0 1 e quindi quando x a x s i ha l x - x0 I --.. 0
-r----------~----~ x1 X
0
y
0
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X
0
X
- 119-
y
y
--~----~~----}
0
0
X
X
y y
0
X
---1----------4-~------~-~
0
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X
-1 20 -
'R]
Prendiamo ora in esame un punto 1x0 e che go da de ll a propr i eta ~ ) e s upponi amo ad es . che s i a x = + co ; 0 ana l ogame nte s i procede per x = - co 0 Se e 1 i m
la rett a
x
-+
+co
y
=
k
f(x) = k
e un asintoto alla -c per
lnfatti l a di s tanza che un punto retta
~~~\":,
y=
k
e
1 f(xl- k 1
ha dal l a
lf(x)- k
=
~
y .Y = k
0
X
y ;1\
y
0
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x .... +co .
- 121-
y =k
0
Se
X
e
[X 1~ \ m00
f(
X) =
+ "'
J,
al lora se es i ste un asi ntoto all a -e per + ee~ ta l e as intoto sara ovviamente un a retta non pa r all ela a nes suno d~i due ass i cartesiani. Se ta l e as intoto quin di es i ste sara una retta di equazione
[x ...
(* )
f.v= mx
+
n ~L
Q
Ma l a di sta nza d(x) ha da ta l e re t ta e d(x) e qui ndi se 1a
I co n
m# 0
!.
che un gener i co punta
f (x} -m x -n Vl + m2
=
( * ) e un
1X 1-++ i m co
,
d(x)
-
asintoto do vra essere =
0
r
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P ( x, f (x) )
-1 22 e di conseguenza (••)
lim
(f(x)
mx -n ) = 0
X -++ co
Da quest ' ultima, a maggi or ragione seg ue f( x) - mx - n
l ; m X -+
+ co
( f (:) - m -
= l ; m X -+ +CO
e poiche
=
X
-n ) = X
0
e n
l i m
=
-
X -+ +CO
0
X
dalla pr ecedent e seg ue f{x}
l i m X -+ +co
6
Qu i ndi , ne l caso
= m
X
f( X) =
+
x ~co
un as i ntoto per i
(o)
-+
X
f(x}
m
X -+ +CO
e tale l i mite
e
(* *) i
( 0 0) X
e
=
m
X
il coeffi cie nte angolare dell ' asin t oto.
Se ci o accade, dall a
Tale asintoto
se es i ste
es i ste fi nito i l li mite
co
+
007
111
-+ +CO
segue ( f ( x) - m x
~
dunqu e indi viduate dalla
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(o) , (oo)
.
-1 23 Vic eversa s i vede fac i lmente, s empre nell'ipotesi - co 1 i m f( X) = + che se esistono f ini ti X -+ +co (o ) , ( o o ) ,
1i mit i
1a ret t a
.rs~-y-=-~ . con
m ed
n
ett i
mente da ll e
(o), (oo), e un
asintoto a ll a curva per Conc ludendo: Nell' i potesi
f-~
'-l_ x l_..._i_+_mco __
=
~ '@!
l,
un as intoto alla
curva -e per x ... + co es i ste so l o quando es i s tono i n R limiti (o) (oo) e l a retta
E mx+ nj individuata con
numeri
------~~~~----~~
da ll e
(o) , (oo)
m, n
forn i ti rispettivamente
rappre senta l'a s intoto rich i esto .
Esemp i 1)
Si cons i deri l a curva x
-->
f( x)
-e;
=
E£l
grafi co de ll a applicaz i one
e s i determinino gl i asi ntoti. C' e un so l punto x0 = 1 ad
qui ndi
x
0
x
=
che gode della propri eta e un as i ntoto per
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x
a)
ed e
che ten de
-1 24Si ha poi
m
i
f(x) = +
1 i m
co
X -+ +CO
f(x) = -
co
X -+- co
e quindi 1a curv a pu6 ammettere un as intoto per e un as intoto per X -+ - co E'
1 i m
f( x )
X -+ +CO
X
i
~
1
111 X -+- CO
x2 +
1 i m
=
X -++ co
X -+- CO
X
=
-
m
=
-
m
X 2- X
2 X +
1 i m
=
1
1
2 X - X
ed i no ltre 1 i m
( f (X)
- mx)
=
X -+ +CO
=
1 i m X -+ +CXJ
1 i m
1 i m X -+ +CO
X + 1 -X - 1
-
=
(f(x)-m x)=
X -+- co
(
X2+
X
X )
n
1 i m X -+- CO
X +
=
X -1
La re tta y =
X
+ 1
e quin di un as intoto si a per X
-+ -
co
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=
-
x --. +
co
che per
n
-1 25-
~~;
~
consideri la curva
t
grafi co della
-@
~ ~ si ~
e si determinino gli asintoti. Non esistono punti Si ha poi
x0
sin x
=
l i m X -++
che godono della proprieta a) . sin x
l i m
0
X -+-c:o
X
=
0
X
e quindi la retta y = 0 e un asintoto sia per x che tende a + co che per x che tende a - oo
ti----------------------s _v_~L ~ S E !___ _C_ I_ Z_I_ _ _
1)
T
Stud i are il grafico della funzione
t:!(x) =
~
-
x'
+
Tale funzion e e definita in tutto qual sivoglia ordine.
x'
f , con
~
lR e ammette derivate di
[•
f
1
( X)
= x 3- 3x 2 + 2x = x(x2 - 3x
e gli zeri sono
X
=0
+
X .--
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2) = x(x - l)( x - 2) X
=2
-1 26-
e negativa a sini stra Immediatamente si vede che f' ( x) di x = 0 , posit i va tra 0 e negativa tra e 2 e positiva a destra di 2 Nei punti 0 e 2 l a funzione ha quindi du e minimi relativ i mentre nel punto ha un mass i mo re l at ivo. Si ha i no 1t re f(O)
=
0
f( l)
=
~
f(2)
=
0
Determiniamo i punti di concavita , convessita e i punti di flesso. E'
f 11 ( x) = 3x2 - 6x + 2 e da questa segue che xl
=
3
- 113
3
f"(x)= 0 e per
Dal segno de l trinomio f 11 (X) > 0
per
f"(x) < 0
per
f"(x) = 0
per
per
3 + V3 x2 = - - r f 11 (x)= X < xl
3x2 - 6x + 2 e per
segue che
X > x2
xl O
per
-1 < x < 1
f'( x) < 0
per
X<
e per
-1
x >1
Pertanto f(x) e dec rescente neg1i intervalli ]-co, -1] e [1, +co [, mentre e crescente in f-1 ,1] Ne1 punto -1 si ha un minimo re1ativo, mentre ne1 punto 1 s i ha un rna s s i mo re 1at i vo e d e f ( - 1 ) = - 1 , f ( 1 ) = 1 . Si ha poi
; m
f (x) = 0
1 i m
X -++CO
e quindi
f(x) = 0
X-+ - co
y =0
e un asintoto.
Tenendo infine presente che e f(x) >0 per f( x) < 0 per X< 0 , i1 diagramma della f
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I
X> 0 ed e quindi
- 1?.9-
.Y
-1
/a
3)
Studiare il grafi co de ll a funzione data con l a legge f (X) =
Tale .funzione e defi nita in R ' tranne nei runti X = -1 ed x = +l nei qua l i il denomi natore x2 - l s i annull a Si ha f(x) = - oo
i m X -+ -
l
l i m x-+ 1
Le rette
1 i m+ -I
f(x) = + oo
l i m+
f( x)
X -+
f(x)
= -
oo
X-+ l x
=
l , x
=·
- 1 so no qui ndi as i ntoti.
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= + oo
I
- 130-
Derivando si ha f ' (x) =
Tal e deri vata te. E' po i i m
e
sempre negativa e quindi 1a
f (x) = 0
1 i m X -+ - co
X -++ CO
e quindi la re tta y = 0 Tenendo presente che e per per per per per
f(x) < 0 f(x) > 0 f(x)
=0
f (x) 0
i 1 di ag r amma
e un
e
e
f
f{x)
=
decrescen-
0
asintoto.
X < -1
-1 < X < 0 X
=
0
0
1
y
-1
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X
~tudiare
- 131 -
il grafi co de l la funz i one f , con f( x)
~
= ~
-l_ale funzione e definita Si ha f(x) = f(- x) e rispetto all'asse de ll e E' f ' (x) = e quindi f'o i che e
f'(x)
=
0
.
in tutto R ed e sempre pos iti va . quindi i l di agramma e simmetrico y
- 2x . e
- xz
sol t anto per
x =0 .
f'(x)>O
per
-co< x < 0
f ' (x) < 0
per
O< x 0
X 1 i m = +c x -+ 1+ l og x
- 133-
f ' (x)4r.
il quadrate que l rettangolo che
9) Tra i t r apez i isosceli inscritti in un semicerchio tro vare quell o di area massima.
/
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-137-
H / /
r/
/
/
/
X
Indichiamo con Si ha H C = r cos 1 'area
x la misura dell 'angola 0 H = r sin x
X
del trapezia f(x)
=
B
0
A
B0 C
e quindi
e data da
r 2 sin x (1 + cos x)
Facilmente si vede che il massimo assoluto di tal~ fun zione e per tale valore il trapezia isi realizza per x = soscele diventa un semiesagono regolare.
q
10) Tra tutti i parallelepipedi a base quadrata per cui la somma dei tre spigoli vale k determinare quello di volume massimo . Si denoti con x la misura di uno dei due spigoli uguali. Sara allora k - 2x la misura del terzo spigolo. Il volume e ~unque espresso da
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-1 38f (X) =
con
X2 ( k
2 X)
k 0 ~X ~"2"
Facilmente si vede che il massimo assoluto si realizza per x = 1k e quindi il paral l elepi pedo richiesto e il cubo.
ES ERCI Z I
P R0 P 0 S T I
Determinare in R massimi e minimi relativi delle funzioni defi nite con le l eggi 1)
f(x) = 2 ~ - x
f (x) =
f( x) =
cos 2x + 2cosx
f(x) = si n x + cos x
f(x) =
cos 2x + cos 2 x
f(x)=
x -l ogx
2) Determinare gli as i ntoti delle curve che sono il grafico del l e applicazioni date con l e leggi
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.-1 39,
f( x) = f(x)
2x 3+ xz x2 -
f( x) =
X
2x 2+ 5 x2- 4x + 3
=
x3+
f(x)
=
x4+ x3 x3+
Studi are i 1 grafi co delle app li cazioni definite con le leggi:
3)
f(x) =
X
f( x) =
X+ xlj -
f( x) =
X 1og
f (x) =
x sin 2x
f( x) =
X e s in x
X -
f(x) =
1og x
X
X
f (x) = COS 2 X + 2 COS f( x) = sin x f(x) =
COS X
xz
log x
X
f(x) =
excos x
f(x) = COS 2 X - sin 2x
f( x) =
3 Sin
f{x) = x tang x
f(x) =
log
X
+ 4 COS
X
Ix2 - x I
4) Tra tutti i rettangol i di dato perimetro trovare quell o di area mass ima.
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-140-
5) Tra tutti i triangoli rettangoli l a cui somma dei cateti e k trovare quello di ipotenusa minima. 6) Tra tutti i triangoli i sosce li inscritti in una circon ferenza trovare quello di area mass ima . 7) Tra tutti i cilindri inscritti in un a sfera determinare quello di area massima e quello di volume massimo . Per quali valori di 8) legge
k la fun zione definita con la
ha un massimo e un minimo relative?
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Capitola
N U ME R I I .
XIII 0
C 0 MP L E S S I
Definizioni .
L'es i genza di introdurre i numeri comp l ess i e do vuta al fa! to che diverse operaz i oni sui oume r j reali non sempre sono .IQQssibi W Cos'i e impossibil e l'estrazione J!:i rad i ce di 0 1:.... ,di oe pad di uo numero oegati vo, n,Q_n sempre ha sensa cans iderare la potenza con esponente ~i onale di un numero ne~ tivo, e imposs ibile co nsiderare l ogaritmi in base negativa e anche in base posit i va non esiste il logaritmo di un nume ro negativo, non sempre un'equazione algebrica a coefficien ti rea l i e dotata di radici o zeri (s i pensi ad x 2+ 1 = 0). ~lo scopo di elimina re questa carenza si amplia 1 ' insieme dei oumeri real i , si i ntroducana ciae de i nuovi numeri. rrAe chiameremo numeri complessi , numeri che comprendono cnme.:s < caso pa r ticolare i numeri rea l i e sono tali che nel loro in sieme r i s ultano semp re possibil i le operazi oni predette.
-
~
~
Chi ameremo numeri complessi l e coppi e ordina te (a,b) di 2 numeri reali, cioe gli el ementi di W R x R coppie che sottoporremo ad opportune rega l e di ca l col o. L'insieme dei numeri comp less i s i suo l e denotare con Una cop nia del t i po (a,O) , cioe con il secondo nu ~ul l o verra co ns i derata identi ca con i l numero rea l e a si scr 1 ~-------------------------------I
(a,O)
=
a
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-142In particolare
(0,0)
=
0 e il numero complesso reale nul-
l 0.
In questo senso i numeri complessi comprendono come caso parti co l are i numeri real i . Due numeri complessi a = (a,b) § = (c,d) si diranno uguali se e so lo se a = c , b = d , e quindi 1•ugua..Q_lianza a = 8 gode delle propri eta rifl essiva, si mmetri ca e trans itiva, cioe se a , ~, y so no tre numeri compl essi s i ha
--J__-~
-
a = a a = ~ a
rNYhJ
f~W~
=>
= ~.~ =
*. Le
~
= a
y
=>
o~erazri
a
=
y
sui numeri comp l essi .
Si ch1ama addiz ione l •operazi one defi nita da
= (a + c, b +d)
rra,b)+{c ,d)
7
~--~[--------------------·
e il numero complesso (a+ c, b +d) si chiama somma dei _due numeri comp l essi (a,b), (c,d) Questa operaz ione e sempre possibile e a risultato uni co e gode delle Droprieta commutativa e associativa, cioe se a, ~ , y sono compless i si ha
l
a +
'"'-~ a
fJ
":f -~
~ + a]
+ y
=
a
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=f-ntfY[J
-143-
Inoltre se i numeri complessi a , p sono real i , la loro somma nel senso indicato coincide con il numero reale che da essi si ottiene con l'operazioAe di addizion per 1 numeri reali .
~Si
chi am~ moltipl icaz i one l 'operazione definita da
(;,b {.1c,d)
=
(ac - bd , be +ad)
~omplesso
e il dei due numeri complessi Questa operazione e sem re possibi l e e a risul tato unico e gode del l e proprieta commu at1va e assoc i at i va e inoltre va le la proprieta ~s tribut i va del prodotto rispetto alla som ma . C1oe se a ' 8 ' y so~o dei numeri complessi si ha ).
b n-=ttY)( p
a
pY
=
a
y)
Suss i ste il .seguente teorema sull' annull amen to del prodotto ~meri comp1essi che noi ci limitiamo ad enuncia re.
[I1prodotto
di due numeri compl essi si annu ll a solo e qu~ ~o uno almeno dei due numeri e nullo. ~ / Dati due numeri complessi (a,b) , (c,d) si chiama diffe~ renza tra 1"1 numero complesso ( a,b) e il numero complesso (c,d) il numero comp l esso ( x ,y) che sommato ? (c,d) di a (a,b) :
&6)-(c~)= (xt)
(c d ')i (;c
y) =
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-144-
(c,d) + (x,y)
=
(a,b)
(c+x,d+y)=
(a,b)
cioe
Da quest'ultima, per la definizione di uguaglianza se9ue
t x=a - e ~ L'operazione di sottrazione eos1 definita e sempre poss i bi le e a risultato unico. La differenza tra (a,b) e (e,d) l a indieheremo (a,b) - (e,d) . In partieolare ehiameremo opposto di (a,b) ~1 n11mero eomplesso (X ,y) ehe somma to ad (a,b) dia (0,0) . L'opposto di (a,b si denota ed e
\ - (a,b)
=
(-a,-6}
1
Chiameremo quoziente del numero eompl esso a = (a ,b) g_e..r:_ il nume_ro_c.omp-1-e.s_s..Q_fl = (e,d) quel numero eomplesso ,..----_(X ,y) e he mol.tip.lj_£~!Q_e~r-1L.dia_a._ Si ha allora
---
(e,d). (x,y)
=
(ex- dy ,ey + dx)
(a,b)
=
(a,b)
e da quest'ultima, in virtu della definizione di uguaglianza, segue ex - dy
=
a
ey + dx
=
b
(olo) _, (
che chiamas i forma ,t trigonometricCI- del numero
comrlesso
a +i b . Dato un numero comp lesso a+ib, ilsuomoduloe Q = Va 2 +tf, e, se esso e di verso da zero, il s uo argo mento e determinato dalle ./1 a / s int} = b cos '!?- =
~
Si osservi che un numero complesso reale ha per argomento, a meno di multip li di 2n-:, zero on-:, a seconda che i l
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-1 50-
numero e positivo o negativo; un numero comp1esso che sia i mmagi nari o puro ha per a rgomento, a me no di multi p1i di 21r , o oppure a seconda che il coefficien te di i e positivo o negati vo .
lJ!- ,
T
5.
Potenze ne1 campo complesso
Si a z un numero co mp1esso ed n in intero pos i tivo maggi ore di 1 La po t enza zn s i defini sce, ana1ogamente a quanta si fa in R, come i1 prodotto di n fattori ugua 1i a z Si pone e se e z :;6 0 s i pone z ?= 1 . Se n e un intero negativo ed e z :;6 0 s i definisce zn come 1 'i nverso di z-n . Co n z :;6 0 s i a no Q e 1} ri spetti vamente i1 modu l o e 1' argomento di z . Si ha faci 1mente che
[e (cos 1f + i s in che chiamasi
1} )]
n
Y n
E
Z
formula di Mo i vre .
Oefi ni amo ora 1a radi ce n- esi rna [di un numero compl esso l z, con n > 0 . Ch i amiamo radice n- esima di z ogni numero complesso x che sodd i sfa 1a n
X = Z
Se te
e x
z
=
=
0
0
1' unica soluzione ·~
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e uvviamen-
-1 51 Suppo ni amo
z =P 0
e denotiamo
modulo e l ' argomento di
z
z ,
e (cos'!?-
=
Q e {} rispettivamente i1
+ i sin'!?-) .
Se x = r(coscp+ i si n cp) e un numero compl esso che soddisfa la ( *) si deve avere. a dopera ndo la formula di -----Moivre,
-
e (cos '!?- + i
rn (cos n cp + i sin n cp ) =
s i n '!?- )
e da questa seguono n r =
e
n fJ> = '!?- + 2k n- .
Dall a prima si ha n
r
=
+ VQ
cp
=
* + 2kn-
e da ll a seconda
n
1f k
E
Z
Se qui nd:i X e un numero co mpl esso che soddi s fa la n i l s uo modulo deve essere +Vee il suo argomento uno + 2kn1f k E Z dei numeri n Immediatame nte po i s i ve de che ogni numero complesso del tipo detto soddisfa la (*) e quindi 1e radici n- esime z = e (cos '!?- + i s in'!?-) so no date da del numero comp l esso + VQ- (cos ~ n2 kn- + i s in 't?+ n2 kn-) , 1f k E Z
*
Fac il mente si ve de poi che le radici distinte sono n e s i otte ngono ad es. attribuendoa k i va lo r i 0, l, 2,.,n- l.
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-1 52Definite 1e radici n-esime di un numero complesso z si m int rod uce la potenza z" , con m ed n i nteri positivi, come uno qualunque dei comp1ess i ( z k )m, avendo denotato I con z" un a qualunque radice n-esima di z
t,
Si pone poi z - ~ = ( zW quando e z =1: 0 e sempre con m ed n interi positivi. Suss i ste inf ine per x ed y comple ss i ed n intero positive il seg uente sviluppo del binomio di Newton che si prova con lo stesso procedimento adoperato nel campo reale
(X + Y) n= X n +(n) 1 X n-1 y +(n) 2 X n- 2y 2 + ... +(n-n1) xy n-1 + y n Osservazione La definizi one di serie e quanta si e detto ai numeri 1 ,2,3 del Cap. VIII 0 s i estende immediatamente al1e seri e a valori in R2 , cioe alle serie a termin i complessi. Anche Teoremi 9, 10, 11 del Cap. Vlll 0 sussi stono, intendendo per co nvergenza assoluta l a co nverge nza de ll a serie dei moduli. lnfine il N. 7 del Cap . Vll l 0 si estende pure al l e serie a termini compl es si. Le nozioni poi di derivata e di derivate s uccessive e que l l e di differenziale e differenziali successivi si estendono e le regale di deripure alle applicazioni vazione relative alla somma, all a differenza, al prodotto, al quoziente e all e funzi oni di funz i oni continuano a s ussistere inalterate.
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-153-
Se poi ad es.
e
n f(x) = a0 x + . .... +a n- 1x +a n con x E a: , aiea: , 1a f risu1ta derivabi1e esi ha n-1 f'(x) = n a0 x + .... . + an _1 e questa derivata si ottiene con 1a stessa rego 1a di deri vazione peri polinomi nel campo reale . Inoltre, sempre per tale funzione, esistono le deri vate di ogni ordine e si ha
f
(n)
(x) = n! a
per
0
p> n
Esempi Sc ri vere sot to forma trigonometrica i 1 numero comples so + i ~· b _V3 E' = 1 Q =Vi"+3= 2 ' s in*= Q-2 cos *= ... Q 2" Risulta quindi * = ~ e percio
1)
1 + i ~ 2)
=
2 (cos
-f
+ i si n
1- ) .
Ca1colare
Poi che 1 + i ha per modu l o ~ e argomento dici distinte sono W(cos
-f + i sin i)
ilz(cos
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T
J; + i sin
1e ra-
~)
.
-154-
E S E RC I Z I 1)
S V0 L T I
Ca 1co 1are 1e seg uenti operazioni
(2 - 3i) + ( -2 + 2i) (3 - i) (2 + 4i) 2 + 3i + ;
Si ha subito (2
3; ) + (- 2 + 2; )
=
(3
; ) (2 + 4i )
6 + 12i - 2i - 4i 2 = 10 + 10i
2 + 3i + ;
=
=
-i
(2 + 3i) ( 1 - i ) ( l +i)( 1 - i )
=
2 - 2i + 3i - 3i 2 = - 5 +;2 2 2
Dire se es i stono va 1ori reali della x peri quali il numero 4+x+ix r i sult i compl esso reale. 4x -
2)
Supposto
x rea l e si ha
4+x+ix 4x - i =
=
(4 + X + i X) (4x + i) ( 4x - i) ( 4x + i)
16x + 4 i + 4x 2 + i x + 4x2j + Fx
=
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=
=
-1 55Tale numero per essere reale dovra avere nu ll o il coeffi ci ente della , ci oe: 4
x
+
+
4x2 = 0
e noiche questa equazione non am~ette so l uzioni rea l i, la risoos ta al quesito e ne9ativa. Determi nare se esi s tono val ori real i per x per cui X + 2 + i X r i s u1t i i mma gi na r i o il numero como l es so
3)
X
puro. Suppos t o X
X
+ 2 + i X
X
+ i
reale si ha : =
+
(X +
x) (x - i ) + i ) (x - i )
2 +
(X
x + 2x - 2i + i x2 - i 2 x
=
=
x2 - x - 2
+ i
=
X 2t
Tal e numero ris ulta i mmagi nari o puro se cioe se X =
0 , e ques to s i ha ner
=
X
=0
1
0 o per
-3 .
4) Determinare il modulo e 1 ' argomento dei seguenti numer i comp l es s i: 2
V3
+ 2
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1 -
V3 i
-156-
Per il g =
numero complesso s i ha
~rima
V12
si n tJ
+ 4
=
1
cos
2"
1} =
e quindi Q
=
4
tJ
=
T
+2kn
Per il secondo numero si ha Q
= V1
s in tJ
+3
cos
=
1}
1
= z
e C]Uindi Q
=
5)
V3
2
t}
=
Scrivere
seguenti numeri compless i
+ i
V3
V3
+ i
V3
- i ,
sotto forma trigonometri ca . Per i 1 prima di tali numeri complessi s i ha Q
=
V3
+
E' qui ndi
V3
+
=
t}
=
sin tJ
2 =
1C
o-
2 ( cos
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.n-
=
1
z
+ 2 k .n-
o-
+ i si n
cost}
=
e s i ha
-T )
V3
-z
- i
/
-1 57Per i l secondo s i ha l s init = 7 cos it = 5 E' qui ndi it = "61C+ e s i ha 2 k;c 5 +i = 2 (cos "61C+ i s in 1C) Q
=2
V3
-z-
i
- V3
Per il terzo si ha Q
E' dunque
\13
-z-
e qui ndi ¥1C + 2 k;c (cos ¥1C + i s in ¥1C)
it =
+i = 2
Per il quarto infine Q
cos it = ~
. it = -z l s1n
=2
e
. it = - l s1n 2
=2
E' qu i ndi
- J/3- i
it =
i 1C+
= 2 (co s
J;3 - z-
cos it =
e si ha
2 k;c
7
61C+ i
~ 1C)
s in
3
6)
Ca l col are nel campo comples so
Po i che -1 ha per modulo ci cubi che di s tinte di -1 cos
;c +
2k;c 3
+ i sin
;c+
3
V-1
e per a rgomento
1C
so no 2K ;c
--~----
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k
=
0,1,2.
'
l e ra di-
-158-
E S ERC I Z I 1)
P R0 P 0 S T I
Esegui re 1e seguenti operazi oni:
(3+2i)(4-3i) 2 3i 4 + 2i
1 -
i
( 5 + 3i) + (7 - 4i) 1 + i
7-
1 - i
2) Trovare , se esistono , va1ori rea1i di i1 quoziente x-2+x i x - 3-Si e rea1e.
x per
qua1i
3) Trovare, se es i stono, va1ori rea1i di x per cui i1 numero (x -i + 2i x)(x + 3i) e rea 1e. 4) Determinare numeri comp1essi so ddi sfacenti 1a condi zione 1 V3 . . . )2 ( x+ 1y = -z + T , Scrivere sotto forma tri gonometrica i seguenti numeri comp 1essi: 1 1-i 1 + i
5)
2i
6)-
4i C~1 co1are ne1 campo comp1esso
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1-
V3 i
~rito1 o XI~ SVILUPPI
lJJ.
IN
SERlE
DI
TAYLOR
Condizioni per l o s vilurro in seri e di Tayl or
Per un apn1icazione f a va 1ori rea 1i definita in [x0 , x0 + h], con h > 0 , opou r e i n [ x0 + h , x0 ] co n h < 0 , e che ammetta 1e der i vate di qual s ivogli a ordin e poss i amo scrivere rer ------------~----~og ni intero n l a fo rmu 1a di Tay l or, 1
( 1")
I
=
f ( x ) + _h_ f o 1!
n
I (
x ) + .... + _h_ n! o
f (n) ( x
o
) +R n
ave Rn e il resto in un a delle forme che abb ia mo de t t o nel Ca p. Xll 0 (Teoremi 1 2 1 proponiamo di stab ili re sotto quali condizioni va l e lo sviluppo in serie di Tay lor (2)
~ n) (x ) + .. . .. f( x +h)-_ f (x) + h- f (x )+ .... +hn -f o o l! o n! o 1
e basta ovviamente limitarci al caso Suss i ste il seg uente:
h > 0 .
-J
[eor;a liT. Se f : [ x0 , x0 + h ] - R ammette de r~ vate di guals i voqlia ordine , condizione necessa r i a e s ufflciente affinche val~ ~ l a (2) e che r i s ulti
' lim" ~=0\ . n
-+
+co
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J
-160-
Infatti se va l e l a~
t
1 i m
n -+ +co
~ f(~ ( x0 )
s i ha ner la
L
n-++ oo
0
=
n
1 ; m
f ( x + h)
~ f(PJ( x ) J1.I
p=o
con
0
1 i m Rn = 0 n -+ +co da 11a ( 1 ) ser~ue
(1 )
Rn
=
p!
p=o
i m n-++co
cioe
0
=
vi ceversa se
f(x 0 + h)
cioe l a
(2)
Di amo ora de ll e co ndizioni sot to 1e (]Ua 1i e 1 i m R = 0 e qu i ndi, rer il teorema stab ilito, n n -+ +co va l e lo sviluppo (2) in serie di Taylor.
*
2J.
[±eo rema Se f: [x 0 , x0 + h] --+ .R ammette le derivate di qualsivoalia ordi ne ed esiste un reale M > 0 c::::-:> tale che ~
n
lfn
M '
E]N
,
e C]Uindi val e la (2) . Scri tto i l resto l a maggiorazione ~
l
Rn
l h In+1
(n+l)!
t·1
~e ll a
n+ 1
------'
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forma di La9range si ha s ubjto
=
lh Mln+l (n + 1)!
-1 61Ma
Ih r~ In+ 1
e
i1 termine
J
(n + 1 )-esimo dell a ser i e
( n + 1) !
esronenzi al e ~uando i n essa si ronga x= lhMI ,equin di oer la convorgenza della seri e esronenziale s1 ha
-c--
--
= 0 • e di cor.seguenza
1 i m n -+ +co
e
2
Caso oarticolare de l Teorema
1 i m n .... +co
R = n
~~
il seg uente
ITeo rem a 3 \ . f [x 0 , x+h ]-+ lR ammette der i Se 0 va te di ~ ual s i vog lia ordine · ed es i ste un nume ro rea le L ::.> 0 ta l e che V
all ora r i sulta [ n 1~\":o
n
E
R0
:N "
Osservazione . Se nell a (2) serie di Taylor si scri ve:
,
01
e
~ui nd i
s i rone
X+ 0
h =
(2)
X ,
la
(x - x )n
X - X
f( X) =
va l e 1a
f(xo) + _ _ _ o f ' ( xo ) + . . . . . + _ _ _ o f(n) ( x ) + ... n!
1!
ci da
e questa per
x xn ~) f(O) + - f'(O) + .. . .. . + - f (0) + ..... . 1
n!
che s i suol e chiamare serie di Mac-Laurin .
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o
-162-
~
Al cuni svil uppi i n serie di Taylor . Svilu rpo di
l)
(seri e esronenziale)
L' app li cazione x ~ ex ammette derivate di qualsivogl ia ordi ne e poiche comunque si fissino x , h e R con --~ · h > 0 , ne ll'i nterva ll o [x , x + h] sono soddisfatte i n modo ovvi o l e condi zion i de l Teorema 3 , vale la ( 2) che per X = 0 ed h = X si scri ve /
0
e
X
/
n + _ x_ + n!
2
=
+-x-+_x_+ l! 2!
. .. .. . .
Le stesse cons i deraz i oni valgono in [x 0 + h, x L V x , 0 0 h E R , h < 0 e qui nd i lo sv ilu pro di ex in se_!je di Mac-Laur in s.11ss is te per ogn i x E R Si ritrova cos, un r i sultato stabilito ne1 Cap . Vlll 0 n. 4 esempi o 3) .
l(
I
2)
~>(I
Sv i l uppi di
sin x
e
cos x
_;j)J.!t le appli cazioni x ~ sin x , x ~ cos x , aiTillettono xideri vate di qualsivog li a ordine e poi che queste derivate o valore assol uto non superano l va l e, ner i 1 Teorema 3 , -• 1a ( 2) . Qua l unq ue sia x si hanno quindi gli sviluppi in serie di Mac-Lauri n.
:x""'
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s in x
=
x - {(
COS X
3)
=
x3
xs +- +
3!
5!
2
4
2!
4!
( 2n + 1 ) !
- - x +x- + . . .... + (- 1) n
Svil up po di
x2 n
+ .. . .. .
( 2n)!
l og( l + x)
(serie loga r itmica)
La funz i one x __. log (l + x) e defi nita rer -1 < X •. essa ammette le derivate di qualsivoglia ordine e si prova che il suo resto Rn nella formula di Mac-Laur in tende a quando -1 < x ~ 1 zero per n -+ +co Sussiste qui ndi l o svilurpo in serie di Mac-Laurin, rer -1 < X ~ ___.log( l + x)
4)
t
x -
x2
~
x3 + --3-- -
Sviluppo in seri e di
x4
~
+ .... + (-1)
n+l l --~ ~ -- + +~ . . .... j
-
~x)a I (serie binomiale)
.
L'applicazione x __. ( l + x )a con -1 < x , e comunq ue si f i ssi a rea l e, ammette derivate di qual sivoglia ord i ne . .==-.;- c:::::. Si prova che il suo resto R nella formu la di Mac-Lau r in tende a zero a l di vergere di n rer -1 < x < 1 e quind i si ha lo svilu pro in serie di Mac-Laurin, per -1 0. Con il metoda dell e corde si trova il prima valore a1 che e a1 = 2,0942 .... e che approssima l o zero per di fetto .
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-202Con ; 1 metoda delle tangenti s·; trova i 1 prima va 1ore che e bl
=
bl
2,0945
che appross i rna lo zero per eccesso. Se quind i
Ct
e l o zero dell' equazi one, ri sulta 2,0942
<
<
2,0945
e un valore approssimato per difetto a meno di 10- 3 di tale zero e 2,094 . Se si vuo l e una migliore approssimazione della radice a si applicano i due metodi determinando a 2 e b2 e cos1 di seguito.
E S ERC I Z I
P R0 P 0 S T I
1) Determinare il mas s imo comune divisore tra le seguent i coppie di polinomi:
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-2032)
Trovare gl i zeri multip li delle seg uenti equazioni:
.
x5 +
x~ -
4x 3 - 4x 2 + 4x + 4
=
0
x ~ - 2(l+ i )x 3 +2{2+3 i )x 2 - 8ix+8i
x6 + 4x 5 -
lO x ~ -
24x 3 + 13x 2 + 44x + 20
0
= =
0
3)
Trovare l e eventua li radi ci razionali delle equa"Zioni:
4)
Determinare gli zeri dell e eq ua zi on i: =
0
sapendo che ciascun a ha una ra dice doppia.
5)
Se
f{ x)
f =
determinare
e
defi nita da
2x 3 - ( A+ 8)x 2 + 2 (5 + 2i )x- 5 A A in modo che f{ x)
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s i annul li per x
=
- 2046)
Determinare gl i zeri del l a equazione x4 - (2 + 2i) x 3 + 6i x2 + (6 - 2i) x - 1- 2 i
=
0
sapendo che ha una rad i ce tripla.
7)
Far vedere che 1 ' equazione x5 - 8x - 1
=
0
ha tre radi ci rea 1i e calcolarne un valore appross imato a 2 meno di 10- con i l metoda delle corde e delle tangenti.
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Capitola L 1 INTEGRAZIONE
I .
SECONDO
Divisioni e funzioni a gradinata .
l
Una divisione [£J di un intervallo [a,b] c R J, con a < b , e un ins ieme finito di punti , D = i = 0,1, . .. , n-1. X = b con x = a x.1 < x.1 +1 n 0
'
Una divisione D di [a,b] d~compone (a,b] in un numero finito di intervalli (xk-l, xk] , k = 1 . ~ ,_n_, ciascuno dei quali, insieme al s uo aperto, dicesi inte rval lo f associato a D ~· / In tutto il capitola cons ide reremo funzioni definite in in tervall i chiusi [la,b] c _R J ed a valori in R . Una funzione g : [a,b] ~ R si dice a gradinata se esi ste una divisione di [.a ,b tale che in ciascun inter! all o aperto associato a D la g e costante (non si pone alcuna restrizione sui valori della funzione negli estremi deg l1--nntervafrt=associati a D). Una tale divisione chiamasi divisione ammissibile per la funzione a gradinata g .
y
•
0
a
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b
X
- 206-
Ovviamente una funzione a gradinata ammette i nfinite divi si on i ammiss i bil i.
0] .
Si a
L' integrale di una funzione a gr ad inata e sue pronri eta .
[i :
D = {x , 0
[a,b] __... RJ un a fu nzi one a gradinata e x1 , . .. , xn - l, xn} una di vi si one ammi ssib il e
per essa. Si chiama
i ntegra l e (definite) del l a g in
f.~
denota con
~~
( 1)
f
1
9 ( X) d X =
,
t h-
[a,b ] , e s i
i1 numero
Xk-1)
9 ( Sk) ,
-~ Sk E] Xk-1, Xk [ ~
Questa defi nizione e ben posta, nerche f acil me nte s i mostra che non dipende dalla divisione amm i ssibile. Ese1npi o
Sia
g
9( X) =
[ 1 ' 5] __.R
defin i ta da
[G) , i
[ [i , 4 J
3
se
X E
-2
se
X E
6
se
X E ]
4
{VJ
3(l -1) +(-2) (4 - i )+6
(5 - 4)
A11 ora
{g (x ) d x =
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=ill·
- 207Mettiamo ora in eviden za a lc une proprieta dell ' integrale defi nito.
)g
fj reorema 1 ! Si ano 1 : [a,b) --+ R, g2 : [•,b] due funz i on i a grad inata e k un a costant e r eale. Risu lta (a ) (8 ) (y )
J.il·
f~ f.
g1(x)dx
=
m
91 (X) + 92 (X) ] dX
--+
R
{ g1(x)dx =
[
g 1( X) dx
+
{ g2 (X) dx
0
g1(x) dx
.;;
f. g2( x) dx
se
g 1(x) .;;g2 (x) , Y x
E
[a, b].
La (a ) e ovvia : basta adoperare l a definizione d'integra. l e. Perle ( 13 ) , (y ) s i cons ideri un a divi s ione ammi ss ibile s ia per g1 che per 9 2 e s i 'adoperi la definizi one d'integra l e.
~ .;; J. La dimostrazione zioni a
b
g( x )dx .;; M (b- a)
e
immediata : basta cons iderare le due fun-
grytn~ta ~ 1 (x) = ~ ·
- ,
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G2( x ) = ~
Y x
-->
[a,b] ,
-208ed applicare la
! reorema nata e
I[
J· c
del Teorema l .
(y )
Sia g ] a ,b ( ;
E
[ a,b] s i ha
~
1 c
g ( x)dx
=
R
una funzione a gradi-
b
f. g( x)dx
g( x)dx +
Si consideri una divisione ammissibile per g che contenga il punto c . Basta a ll ora osserva re che tale di vi s.iDne e l'unione di due divisioni a11111issibili per 9 e rela-
~ive rispettivamente agli i ntervalli
~c~ [c,b] perche
allora l' asserto segue dalla ~ inizione d'integrale..._ Da questo teorema segue immediatamente che: Se g : [a,b] ~ R . e a gradinata risulta b
J. g(x)dx ~
~ I Integrali
lfPi.
L
i=o
I
g( x)dx
inferiore e superiore di una funzione
l i mi ta ta p
Sia
xi+t
n-t
=:::~ : [a ~~ Rj una fun zione ~mita!S:- Denotiamo
con-~ l'.i.Q_s i eme de ll e funzi oni a gradinata tal1 che L= (x)
~ f( Xj} , V x
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E
[a,b]
;
JS\: [r:a',"l=:b-=tJ-~~ljnr
denotiamo poi
-209l 'ins ieme delle funzioni a gradinata tali che f[(x) ~t(x] , V x E [a,bl . Questi due insiemi ~ono non vuo~che la f e ]imitatg · ~
y
. 0
a
X
y
y = t( X)
0
a
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b
X
'
- 210Si chiama
integra le inferi ore
de nota con
x) dx
.f'f(
\J
=
f (x)dx
Si ch ia ma denota co n
de ll a
b
~ ~ ~f
f (x )d x
--------
in
[a , b], e si
f
in
[a , b], e s i
il numero
f.
b
s(x)dx
integra l e sune ri o re
*
f
della
il numero
i n f t E Tf
f.
b
t(x)dx ~
Po i che f e l i mitata esi s tono m , M E R tali che m ~ f ( x ) ~ t~1 , V x e [ a , b ] , e qui nd i e : s ( x ) ~ t~ , V x e [a, b] , per ogni s E Sf e r1 ~t(x) , V x e[a,b] , per ogni t E Tf ; perci o, per i 1 Teorema 2 · -~ j integral i ~ e s ureri ore arparten9ono ad lR . Non
e detto
c he gli integ ra li infer i ore e s uperiore coinc i da
no. Esemp io . Cons ideriamo una funzione de l t ipo qua l e ad es . f: [0,1 ] ~ R definita da f( x)
=
2
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se
X E
se
X
{j"; r~
Q
ElR- Q
- -· l
c E Ja,b [ ,
che in
.
b
[a ,b)
f
f( x)dx
c
Infatti dall ' integra
1 1
del fTeorema
6:Us egue ch e
.1
.1
a
c
a
b
f(x) dx +
f(x)dx
•
in virtu
1"
f(x)dx +
c
1•
a
tenuto conto de l Teorema
f(x)dx
c
4 ,
si deduce
0
=
e qui ndi 1 ' asserto.
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- 221 -
Da questo teorema seg ue immediatamente che: [a , b) --. R e limitata ed integrabile in [a,b) , V { x , x , ... , xn } , con a = x < x < x < .... 0 1 1 2 0 = b risulta f integrabile in [X;, xi +l ] , i =O ,l, ... n-1 e si ha
Se f a 11 ora
~-----=====--::
j [
f( x)dx
=
~
[';;x)dx
a
:lreor~
o
9].
f : [a, b) -.]R Se e limitata ed e incon c E ]a , b[, tegrabile sia in [a, c] che in [c,b] essa risulta i ntegrabi 1e in [a,b) e si ha
J.
i
b --~----~~--------~------~ f(x)dx
=
J. f(x)dx
+
f(x)dx
Si deduce subito tenuto conto del Teorema 6 . Si ha poi immediatamente la seguente genera li zzazione: Siano dati una funzione f [a , b) --. R 1 i mita ta , ed un insieme { XO, X1 , ... xn } , con a = x0 < x1 < . . . .. . < X = b Se f e integrabil e in ogni 11 = 0, l , . . . , n-1 , [x., x.1 +1 ] r i sul ta f i ntegrabi1 le in [a , b] e si ha b
J f(x)dx
=
a
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- 222-
~
Criteri d'integrabilita
~a
10 }
Cond i zione necessaria e suffic i ente affinchc
una funz i one
f:
e
£
c he per ogni
> 0 esistano due fun z ioni
J
[a ,b ~ R ,
s0
:
t
E Tf ,
0
[a ,b ] ~ R , 1i mitata, s i a integrabi 1e t
0
1
1
s 0 (x)dx <
Prov iamo pri ma 1a parte necess ari a. corri spo nd e~za
1
t
0
E Tf
ad
0
£
f
-[H<
1 b
integrabi-
s E Sf 0
1 b
t 0 (x)dx <
s 0 (x)dx ,;
a
a
f( x)dx +
a
(; da queste seg ue 1 'ass~ Per 1a parte s uffi ci ente si osserv i che b
e
ta 1 i che b
a
Po iche
> 0 es i s tono una
£
1
b
f (x)dx
s E Sf
a
a
ed una
con
b
\(x)dx
1e, in
,
ta 1 i che b
( 4)
(a , b] ~ R
:
a gr a din ata
b
f s (x)dx ,;~!. f (x)dx ,; 0
1 b
f (x) dx ,;
f.
b
t 0 (x)d x
a
e qu i ndi
1 -.1 b
f(x)dx
a
b
f( x) dx <
£
a
e da q uesta l'asserto per l'arbitrari e ta di
La cultura è un bene dell'umanità (
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£
~
- 223-
Questa criteria d'integrabilita puo l ib8llarsi' nella seguente forma: Teorema
11 .
Condi zione necessaria e suffi ciente affinche
una funz i one f : [a,b) - t .R , li111itnta, s i a integrabi l e e che per ogni E: > 0 4Ji_sta una divi s i one di [a,b) ta l e chela som111a dei prodotti dell ' ampiezza di ci ascun in terval lo associato alla di visione per l 'osci llazi one della funzio ne nell'aperto dello stesso i ntervallo s i a minure di E: (Per oscill azio ne di una funzione in un i ntervallo s ·i intende la differenza tra l'e st remo superi ore e l ' estre111o inreri o re della funzione nell 'i nterva ll o stesso) . Proviamo la parte necessaria. Essendo f integrabi l e suss i ste l a (4) del Teorema 10 ; s i denot i con L} = { x , x , . . . , xn } una di vis i one di 1 0
[a ,~ ]
ammiss i bi 1e s i a per
s~
t~
che per
Posto
c. 1.
=
i n f X E ) Xi _ l
f( x)
L. = 1
, Xi (
s u p X E ) X;_
f(x)
1 , X; [
s i ha ovvi a me nte s0
(
5; ) ~ [
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n
i =l
( x; - x; _1 ) . ' e; ~
- 224con
S·1
E
Jx.1- 1 , x.[ 1
Da questa relazione e dall a
(4)
del Teorema
10
segue
al l ora
e qui ndi l ' asserto tenendo con to che t a l' osci ll az ione della
f
L. 1
e.1
rarpresen-
nell ' aperto ] xi - l, xi [
Per 1a parte s uffi ci ente si osservi che per ogni es i ste una divisione tal e che
D
=
{ x , x 0
1, .. . , xn}
e: > 0
[_,,I]
di
n
(5)
L (x;- xi-l
) ( L; -
e; )
< e: ,
I = 1
co n il s i gni f i ca te gia dettu rer ~1 e ~ Considerate le due funz i oni a gra ~ 1nata UJ s e 0 in [a ,b] dal l e Ci -
i n f t E
J X;_ l
f ( t)
t
E
per
S U 11 E Xi_ l
J
f( X.) 1
La cultura è un bene dell'umanità (
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J X;_ l , Xi ( , i
=
l , 2 , .. ,
, X; (
f (X; )
l; -
, f" X
·~definite
f(t), Y X
E
X = X·
1
i=O,l, .. ,
)Xi-l'X;(, i = 1, 2, ..
,1
, X; ( !')e r
X = Xi , i = 0, l , . . , I
(
-225la
( 5)
si scri ve
1 b
t 0 (x)dx
f.
b
n
s 0 (x)dx
=
.e.1. )
I= 1
a
e qui ndi per i 1 Teorema
L (X; - X; -1 ) ( Li -
10
<
£
seg ue l' asserto.
Clas s i di funzi on i i ntegrabi 1i .
12).
f. eorema integrab ile .
Se
f
[a,b] --. :R
e
continua risulta
"" t?"t Tear? 1)..}6- J.:. t C' v-..... La co nt inuita dell a L!J in [a ,b] impli ca l a un1forme tinuita e qui ndi in corrispondenza t@ e: /(b- a:)-=;co n e:
:< ,
c~ -
;*q_,
es i ste un 6 (£) > 0 tale che in ogni intervall o di [a,b] di ampiezza non maggiore di o l'osc ill azione dell a f ri sulta minore di e: /( b-a) . Relati.varre nte a ll ora ad una divi s ione If'~=- {x , x , ... ,xn } 0
1
con xi- xi-l ~ o i = 1 , 2 , . .. ,n ~s~attajl a condizione suffi ciente del Teorema 11 di 1 ' asserto . di
[a,b]
r::Teorema
13
Se
f
[ a,b] --. lR
i ntegrabil e
La cultura è un bene dell'umanità (
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e
, e sode quin-
mo noto na ri s ulta
- 226-
t1
~
x·1-
x·~-1
b
Supponiamo ad es. ~ non decre scente e consideriamo una di visionedi [a,b], D= { x0 , x1 , ... , xn}, con b-a x.- x. = i = l, 2 , ... ,n 1 1- 1 n Le due funzioni a gradinata s 0 e t 0 de f i ni te i n [a , bJ dalle i=l,2, ... ,n
per
f(b)
V
x
X E
per
f (a)
=
b
J X;_ l
, Xi
i = l, 2 , ... ,n
J
x =a
sono tali che
,(;
0
b~a
(x)dx -
;::0 (x)dx =
[ f(a) + f 0.1J +•••
b- a n
\ [f(xj).;t-f( x2 ) +; •• + f(t =
b-a n
[f(b )-f(a
In corrispondenza ad £ > 0 basta allora scegl iere 1 1 int perche risult ro n in modo che b~a [f(b)-f(a)] 0
es i stono
s
E .
1
0
E
Sf ,
ta 1 i che
c i oe per ogn i
£
> 0
es i stono due pl urirettangoli
viduati dai grafici del l e
i
1
al tro contenuto in
E ,
aree r i s ulta minore di
£
Se invece
f , sempre limitata ed integrab il e in
mai pos i tiva, l 1 in s ieme E1 = { ( x ,y) : a ~ x ~ b
f(x) ~ y ~ 0 }
e pure quadrabile e l 1 area e data da
-j
b
f (x)dx
a
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[a , b] ,
e
- 233 -
Basta r ipetere le considerazioni precedenti relat i vamente all a funzione g;: [a,b] -+ R~ definita da g;(x) = - f(x) , che i ndividua un i nsieme E simmetrico di E' rispetto al l ' asse del l e x. Osserviamo che al pri~o criteri a d'integrabilita del n. 5 si puo dare l a seg uente interpretazione geometrica . Condizione necessaria e sufficiente affinche l'insieme E = { (x , y): a ~x ~b , 0 ~Y ~f(x)} sia quadrab i1e e che ad ogni E > 0 s i possa associ are un p1uri rettango l o , contenente il grafico de l ia f , di area mi nore di E
) Teorema 18 Se f : [a, b] grabile in [a,b] risu lta
-+
e
R
limitata ed inte-
r{ f(•~dx f t3 (•-·) t
(6)
=
*
do ve
a
--.
e un opportuno numero compreso tra I
..!)
~·
f (x)
i n f
X E
e
s u
(a , b]
Posta
r
XE(a,b]
e= X
i n f E(a,b)
f (X) ,
L=
La cultura è un bene dell'umanità (
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s u X E
r
(a,b)
f(x)
~
L
f(x) , risulta
- 234-
e. <
f(x)
<
V
L
X
E
(a,b)
e C]uindi
/ !~ < f
b
f(x)dx
.; l ib - a) \
f(x)dx
=
a
e da questa segue
f
b
a
con
[e < {}
Osservaz i one . al mena un punta quin di l a
(6)
<
{}.
(b - a)
J.
L
Nell 1 i potesi che f 5 E [a,b] ta l e che s i scri ve
s ia~tinua
/!u)
=
es i ste {} e
J
con 5 orrortu no runto di [a ,b] Quest 1 ul t i ma ugu ag li anza da l a seg uente interrretazione metrica, s upposto f(x) ~ 0 V x E [a,b]
ge~
L a rea de 11 ins i eflle E = { ( x ,y ) : a < x < b , 0 < y < f ( x) } e uguale a quella di un rettangolo ave nte per base 1 interva ll o [a,b] e al tezza uguale a f( s) 1
1
1
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- 235-
X
10 .
La f unzi one integra le
Sia f : [a ,b) ~ R le i n [a , b] . Essa risu l ta integrab ile x ~ b e quindi r i su lta F : [a ,b] ~ R dalla
una funzione li mitata ed i ntegrabi in ogni intervall o [a,x] defi nita l'appli ca zione l egge
con
X
F( x)
=
f f(t)dt a
L'applicazione F si chiama in [a,b] .
fun·zione integrale della
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
f
-236Per la funzione integrale sussistono le seguenti proprieta.
~eorema - 19 ].
La funzione integrale
Si fissi un punta x E [a,b] di [a, b] con x =F x Si ha
I
e sia
";(
t Q./
f(t)dt
_
I
f(t)dt
I f(t)dt
=
a
X
e quindi. peril teorema della media,
/!(x) - F( X)
"
1'f .
\ I 'o
-
+
a
x
L
)(
ff(t)dt
a
X
+
"
ff(t)dt
a
in (a,b).
x un generico punta
X
F(x)-F(x) =
e continua
F
(
f(t):-J
~
a
ove {} e un numero compreso tra 1 'estremo inferiore e l 'estremo s uperiore della f in [x • x] o in [ x . x] secondo che
e
t x
~
oppure
tx=< xJ .
s up I f( x) I ri s ulta ovviamente X E (a,b] I* I ~ r~ e quindi dalla precedente di suguaglianza segue l a maggiorazione
Posta
M
=
1 F ( x)
e da
que~ ta
J.a
- F (x)
1
~ M
1x
- x
contj O!Ji t a de]l a L
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
1
in
x
- 237 -
~
C::eorema 20 La f unzion e inte!)ra1 e F ammette derivata nei punti x E [a,b] ove f e continua, ed e ivi F'(x) = f(x)
Sia
x E [a,b]
un punto di continui ta__d.el]_a
mo visto,ne1 dimostrare i1 Teorema x '# x
x e [a , b] ,
con
( 7)
F ( x) - F (X) X -
f.
Abb i a-
19 , che per O!Jni
e
@
=
X
Ma ricordando i1 s ignifica'to di ' tt\ poiche f e continua ~ in X s i ha che quando X tende a X ri s ulta i m tt = f (x) e qui ndi da11a ( 7) seg ue che F e r
'
X --... X
derivabi l e in x
e si ha
F'(x)
=
f(x)
Se i n un pun to .:_x~.:::.E.J-: [ a::.,;,~b:.Jl__1:..:;a~..:..f___;e~d.ui_ ~cont inua 1a F puo ammettere o no derjya t a j n ta le pu nto 1= ne1 caso che 1' ammetta puo r i su 1tare F ' (x) - f( x ) oppure F ' ( x ) '# f ( x ) Osservazi one .
Il 1ustri amo q ue s te situazion i con degli esempi.
3
Sia
f
[-J,1] --... :R
f( X)
=
0
1' app1icaz i one definita da per
-1
~
X
< 0
per
0
~
x
~
Jtr-----
-- -t--La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
1
- 238La
F
e data
F(x)
da 0
per
-1
X
per
0
~ X
< 0
=
X ~
~
e none derivabi1e ne1 punto zero che e ptmto di djscpnti nui ta per 1a f . I
I
~
2)
I
~·I
Sia
[-1 , 1 ) -+R
f
n
definita da
= -n
per
X
per
X=/=n
f( x) =
n
E
I'J '
n
~
1
1
funzione e 1i mi ta ta, ha un'infinita numerabi1e di 1 Questa punti di di scontinuita e 1'i nsieme di CJUesti punti ha per di accumu1az i one so 1tanto 1o zero, e CJUi ndi e integrabjl e. E' X+ 1 e ne1 pun to zero di discontinu i ta F ( X) F 0) s i ha f(O) ~unto
-
=
I (
3)
=m =
Se ne ll' esempi o precedente s i altera 1a 1egge di defi-
nizione de lla f ~o 1 tanto i n zero, con f(O) =I= 1 punto zero e sempre di di scontin ui ta e poiche 1a F ne invariata s i ha i n questo caso F'(O) =I= f (G)
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
i1 r i ma -
- 239Primitive in sensa c l assico e f ormula fondamentale del ca l colo in tegrale . Data una funz i one n. 4) che s i chiama
f :
[a,b] --+ R
ricordiamo (Cap . Xl 0 , pri miti va in senso c l assico della f
__F__~[~a~·-b~ ] _-+ ___R____c~h_e~s~ ia~d~e~r~ i~ va~b~i~l~e__ i _n
ogni funzione
r,. .[.!:-a:. . .': ...:..b.:_ ) __:_ e _:.t..:..a 1-.:e_ ch__:e:. _ _ F -. ' (X~~ V x E [a , b ]_ . Ricordi amo ino l tre (Cap. Xl 0 , n. 4) che se F 1 : [a , b] --+ R , F : [a , b] --+ R sono primitive di una funz i one 2 [a,b] --+ R, esse di fferiscono oer una costa n;: . f
~Teorema 211 {Ill\
~R
[a, b]
e continua in a funzione integra 1e e una primitiva dell a f
Se
(a,b]
f :
E' conseguenza immediata del Teorema 20 .
-----
[a,b]--+ R
QGeorema 22}. Se f : e F e una primi tiva di
I
f
in
[a,b]
r i su l ta
NB
b
f(x)dx ." F(b) - F(a) ,
a
cioe l'inl:e0rale della
f
e dato dalla differenza dei val o-
r i de ll a primi tiva ag li estremi (La
(8)
e detta
[a, b]
e conti nua in
b
ed
formula fondamenta 1e
a del calcolo inte -
gra 1e)
I
X
Peri l Teorema
21 anche 1a f unzion e in tegrale
a
La cultura è un bene dell'umanità (
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f(t)dt ,
- 240-
e
un a primiti va della
k
E
f
in
[a,b] ;
es i s te percio un
X
R
per cui
quindi
F(a)
=
F( x) -
[ f(t)dt
=
k , V x
E
[a,b],e
a
k
Allora
1 X
F ( x)
F (a )
@
f ( t) dt
=
a
e da
~uesta
si ottiene l a
~ 1)
ponendo
(8)
X =
b
1t
Lcos 2
Ca l co lare
Essen do
s ·j n x
x dx .
una pri mitiva di
si ha
COS X
1t
['cos x
dx
=
1t
s in x 2
si n 0
=
0
2)
Ca 1co1are
[ ex dx
ex stessa una pri~itiva di
Essen do 1
1
e x d-x
e - 1
=
0
Si avvert e che l a diffe renza b i ndicata con [ F( x)]
F(b) - F(a )
vi ene ta 1volta
a
La form ul a fondamentale del cal col o i ntegra l e e va li da sotto i potesi piO gene rali, in quanto s i rrova i l seg uente
La cultura è un bene dell'umanità (
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-241-
iiTeorema 23 • Se f : [a,b] --+ R e limitata ed integrabile in """' [a,b] ed ammette una primitiva F allora ~ ---:suss i s te 1a (8)
s2>
+(~)~~= \=="(~) -
\== (Q-)
-
Osservazione . Non e detto che una funzione f : [a,b] --+ R che sia limitata ed integrabile ammetta primitive, e non e detto che una funzi one f : [a ,b] --+ R ' che ammetta primitiva sia integrabile. Illustriamo queste situazioni con degli esempi. Sia
f : [ 0' l ] -+R f( x) =
definita
da
0
per
0
~
2
per
X
=1
X
< l
L
La f e una funzione a gradinata e quindi integrabile. i Essa non puo ammettere una primitiva. Supponiamo infatti che esista una F pri mi ti va ·de 11 a Tale ogni
f
in
dovrebbe essere continua in
F X
E
]a, 1[
do vrebbe ri s u1 tare
[0, l] [o, 1] F(x)
e i nol tre per
= 0.
A11 ora in virtu del Teorema 7 del Cap. XI 0 1a F sarebbe costante in
[a, 1] ' cioe
La cultura è un bene dell'umanità (
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-242F(x)
V
k
=
e questa e un ass urdo perche Per i11ustrare i1 secondo caso defi nita da F : [0 , 1] - R x 2 si n F{x)
=
E
X
(0, 1)
F ' {1) ~i
=
0 =I f {1)
consideri 1a funzione
per
x2
re r
0
X
=0
Essa e derivabi1e in og ni punta di [ 0 , 1 ] e 1a sua de ri va defi ni t a da ta e 1a fu nzione f [0, 1] - R
f(x)
La
f
=
2 l 2 x sin -l - -cos x2 X X
per
x =I 0
0
per
x
I
non e i ntegrab i1 e pe r che
= 0
non e 1imi t ata .
,;(------
y. )
Integra l e indef i nito
un a funz i one 1i mitatct ed integrab i Si a f : [a , b] - R 1e in [a , b] . Si chiama integra 1e indefinite dell a f in [a , b] , e si de nota
J
f(x) dx
La cultura è un bene dell'umanità (
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-243la classe delle funzioni che si ottiene aggiungendo a
~t)dt
una costante arbitraria.
E' quindi per definizione
f f(x)dx
"
{f~ ,
V c
E
R
In virtO del Teorema 21 l'inte rale indefinite di una funzione continua f rappresenta la classe di tutte l e primiti ve della f Se f 1 : ~ .b] --+ R sono due funzio [a ,b] --+ R ' f2 : ni 1i..mj tate ed i ntegrabi 1i in [a ,b] per 1·e ( a) ( 8) ' ' de f Teorema I s1ha
f
k f 1 (x)dx
"
k
J
J
V k E R
t 1 (x)dx
[t1 (x) + f 2 ( x)] dx "
J
f 1 (x)dx
+
J
t 2 ( x )dx
Dalla stessa def inizione di integrale indefinite si deduce che per ogni intervallo [a 1 , b1] c: [a,b] vale l'ugu2_ glianza
1 b1
( 9)
f(x)dx
"
[ f f( x )dx
a1
r a1
La cultura è un bene dell'umanità (
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-244-
13 .
Tabell a degli integ ra li indefiniti di al cune funzioni .
Da quan t o detto nel numero precedente e tenuto conto della t abell a delle derivate data al Cap. xo si ha a x dx =
f f f f f v;-=-;z
axd x =
a+l
X
+c , \a =F-1 (
a + ax
exdx = ex + c
+c
l og a
sin x dx = -cos x + c
cos 2 x 1
f
dx = tang x + c
dX
= a rcos in x + c
dx = a rcotg x + c
1 : x2
J si nh x dx =
COS
hX +
La cultura è un bene dell'umanità (
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f f f f f Vh2 f f
-l dx = log lxl + c X
C
cos x dx = sin
s in 2 x 1
X
+
C
dx = - cotg x + c
dx = -a rcocos x + c
dx = - arcco tg x + c + x2
COSh X dx
= sinhx+c
-245-
f f
f
f
dx = tang h x + c COS
2
hX
dx = - cotg h x + c si n2 h x
G l m+1 [f(x)]mf 1(x)dx= Lf(x)J +c,m:;e - 1 m+1
f
(x-a)mdx= (x-a)m+1 + c,m#-1 m+ 1
}rx) -~ (x)
~ ~te;::~ ~rti per
due funzioni derivabi1i i n
[a, bJ
co ntinue.
f
Si ano
- - dx = 1ogj x-a j+ c
x- a
])
[a , b]
24 .
fl(x) dx= 1og jf( x) j+ c f(x)
-
f :
Teorema
f
J --.
~ ,b
g :
--. R ,
con de ri va te
Si ha a11ora f ( X) 9 ' ( X ) d X "
Per i 1 Teorema deri vabi 1e in
3
~e 1
[a,b]
b
X)
9(X
(fg)
f
-
~
VJ_
f ' ( X) 9 ( X ) dx
Cap. 10 1a funzione
f . g
risu1ta
e si ha
(fg) 1 (x) = f 1 (x) g( x) + f (x) g 1 (x) percio, poiche
)J -
[El
lR
1
,
f 1 g, fg 1
qu i ndi i ntegrabi 1 i, r i s u1 ta
La cultura è un bene dell'umanità (
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V x
E
[a,b]
sono funz i oni continue e
-246-
f
(fg)'(x)dx
J
f ' (x) g(x)dx +
=
J
f( x) g' (x)dx
cioe f (x) g(x) + c ~
=
J
f ' (x) g(x) dx +
J
f( x) g '· (x)dx
da quest a ugua gl ianza , co nglobando l a cos t ante additiva c
~ell 'integral e
_J
f' (x) g(x)dx
segue l a
(10) .
~
La (10) e detta formula d 1 integrazione per pa r t i per gli i nte g ra 1i i nde f i ni t i . Da ll a (10) seg ue immediatamente , in virtu dell a (9) del n. 12 la formula d 1 i ntegrazione per parti per gli i ntegrali definiti .
1 b
b
f (x) g ' (x) dx -
[ f( x ) g(x)J.-
f.
b
f ' (x) g(x) dx
a
Esempi 1)
J x ex dx
Ca 1co 1are
Si ha
J
x ex dx
=
J
x (ex)' dx
La cultura è un bene dell'umanità (
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= x ex -
J
ex dx
= x e x- ex+ c
-2472)
Cal col are
Se
n =1= - 1
f
n
x log x dx
J x" l og x dx s i ha =
n + l
J log x (xn+l )' dx --X
n
n =-1
J}
X
-X- - + c (n + l f
X
si ha
log xdx
=
l . x log x dx
=
3)
Calcolare
J
log x( log x) 'd x
= log'x
-
J}
log x dx
+ c
j b§Bdx
Si ha
. Jlog x dx =
X -
n+l
l og
da cui
f
log
n + l
n + l
+ l
Se
n+l
n+ l
=
Jlog x .(x)'dx = x logx-
= X log X
-
X
+
C •
\ La cultura è un bene dell'umanità (
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J
dx
=
- 248-
~
J s in x dx 2
Calcolare
Si ha
J
J
2
sin x dx •
J
sinx . s in.x dx • -
=
sinxcosx+ f cos 2 xdx•
=
s in xcosx - / s in 2 xdx + x+c
s in x . (cosx)'dx •
sinxcosx+ / (1 - sin 2 x)dx•
da cui
J s in ' x dx
X -
•
Sin
X
COS
X
+
C
I
2
avendo aggiunto l a costante add i tiva che era in c l usa ne ll'inte gral e indefinito trasportato a l primo membro .
Ca l co l are
5)
J x sin x dx
Si ha
f = -
X Sin X
X
COS
X
f
dx • + s in
X
X
+ C
La cultura è un bene dell'umanità (
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(COS X) ' dx • -
X
COS
X
+
f
COS
X
dx
=
-249/
Integrazione per sostituzione Teorema
25 .
tinua in
Siano ~
[a,b]
f :
[a ,b] --+ :R [c, d]--+ :R
g
una funzione conuna funzione deriva -
bile in
[c ,d] , con derivata continua, e supponiamo che,
se
=
m
i n f t E [c ,d]
g(t)
e
M
s ia
(11)
=
s u p t E ~,d]
g(t)
Si ha a 11 ora
[!
J
f(x)dx l =g(t)=
f [g(t)] g' (t) dt
x E [m,M]
Consideriamo, per ogni
la funzione inte -
gra le
F( x) e,posto
x
=f
J f~
•
~
g(t) ,
=
sia
I
g (tl
q, (t) = F [g(t)]
=
f(z)dz
a
La f unzi one
[c,d]
cont inua e derivabile, e poiche, peril Teorema
F ' ( x) P'(t)
=
f ( x) ,
= F ' [g(t)]
V x E [a, b] , g'(t)
=
20 ,
e
ivi
e
s i ha
f [g(t)] g'(t)
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
I
,
V t
E [c,d]
.
- 250Ne seg ue che, essen do 1a funzi one
E f~
contin ua e
qu i ndi integ ra bi 1e ,
f con Ma
f [g(t)] g'(t)dt
c
=
f
1
P ( t)dt = P (t) + c
costante arbitrari a.
e gUl
P (t) + c =
J f (z) dz + c =
[ J f(x)dx
Jx= g(t)
a
dove la nota zi one usa t a nell 'ulti mo memb ro indica che nell'i n tegrale inde f inite de lla f Si e pOStO X = g{t) ; ris ul ta quind i [ J f(x)dx] c i oe 1a
X=
g(t)
=
J f[g{t)] g ' {t) dt
( 11 ) .
Osservazione . Se la funzione 9 , ol tre a soddisfare alle ipotesi del Teorema 25 , e crescente o decrescente nell ' in terva ll o [c , d] , allora , peril Teorema 14 del Cap . Vll 0 , l a funz i one x = g{t) arrme tte inve rsa continua t = t(x) nell ' in te r va llo [m ,M ] Ponendo aliora t = t(x) nell a (11) , poiche g [t (x)]
=
x , lf x
E
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
[m ,M ]
s i otti ene
- 251 -
J
( 12 )
La
f(x) dx
( 11 )
e la
[ Jf [fJ (t) J g
"
I (
t) dt
J t=t( x)
( 12)
costit ui scono l e
formule d'in tegra -
zione per sostit uz ione per gli integra li in definit i Cons i deri amo due qua lu nq ue punt i x = g( t ) , 1 1
e sia no
f
x = g(t ) 2 2
t , t E [c,d] , t t 1 2 1 2 da ll a ( 11 ) seg ue
12
f [g(t)] g ' (t)dt"
I
I
9 ( 12)
J
=
9
f( x )dx
('!)
ci oe
f
12
f [ g(t)] g ' (t)dt
I
che e la f ormul a d'integraz ion e pe r sos t i tuz i one per gl i i ntegra li de f in iti .
Esemp i
1) Posto
Ca l col are X = COS t
J V1
- x2 dx
s i ha
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
- 252-
[J lfl7 ~
- f sin' t
dx L
f
eos; -
Ca 1co 1are
Posto
~
sin t dt
del n. 14
si ha il risultato.
dt
Ten uto conto dell' esempio 4)
2)
2
V 1- cos t
f
(a x + b )a dx , con
ax+ b = t ,
s i ha
~
a # 0 , a
U\
~~
[f (ax+b)ndL~ ~ ~tadt=~ ~a:~ X=
=1=
e qui ndi
+c
t-t:i ==al
Risulta all ora (ax+b)a +l a +1
3)
Pos t o
f e• x + b dx
Ca 1co 1are ax+ b = t
e qui ndi
I =
t-b a
x= -
Ri s ulta a 11 ora
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
---X
+ c
con a =I= 0 t-b = s i ha: a
-1
-253-
f 4)
Posto
eax+bd x = -a
Cal col are l + ex = t
e
f
ax+b
+ c
ex log (l +ex) dx x = log ( t - l )
e qui ndi
dx]
si ha
=
x = log ( t - l )
" J (t - 1 ) 1og t
. t
~1
dt
J 1og t
"
dt
e da questa segue il risultato tenendo presente l'esempio 3) del n. 14 .
@
Integra z i one di a 1cune funzi oni ra zion a 1 i di fo nna sempl i ce
In questo numero prendiamo in esame tre tipi di i ntegrali indefiniti ai quali, come vedremo nel numero seguente si / iconduce l'integrazione di una qualsiasi funzione razio t na 1e. ::::=:=---
a)
Cons ideriamo l ' integrale
positivo ed
real e.
f
La cultura è un bene dell'umanità (
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dx (x-a )n
con
n
i ntero
- 254Per
n#- 1
J (x-adx )n = e per
J
s i ha
J
-n (x- a ) d{X-cL) = - -n- 1
1 n- 1 + c ( x- a)
n=
dx x- a =
J d(xx -- anl
= 1og I x - n I + c
ove g1 i integra1i i ndefiniti vengono co nsiderati in un qua1unque in terva11o che non co ntenga i1 punto ~ = ~ . Esempi "'-----
l)
2)
b)
J J
dx = ( x- 2 )3 I
-3 + 1
(x- 2)
I + c
-3 + l
=
2(x - 2) 2
+ c
'---
dx X -
2
= 1og 1 x - 2 I
+ c
Cons ideriamo l ' i nteg ra 1e
J
rea 1i .
dx x2+ px + q
con
p
Distinguiamo tre casi: b1 ) L' equazione coincidenti.
x2+ px + q
La cultura è un bene dell'umanità (
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=
0
ha due radic i reali e
e q
- 255 Allora, denotato con a il valore comune di queste radic i , si ha x2 + px + q = (x- a )2 e l'integrale
f
dx 2 (x- a )
e
stato ca lcol ato in a)
x2 + px + q = 0 ha due radi ci reali e b2) L' equazi one dis ti nte, al ed a2 . A11 ora ri sulta x2+ px + q = ( x - a ) ( x - a ) e quindi si puo scri vere 1 2 x2+ px + q
=
=
(x-a 1 )(x-a 2 )
t
l-a2
( -x
~ al
x - a2
Percio, in ogni intervallo [a ,bJ che non contiene ne ne a2 si ha
f
dx X2+ px + q
=
al - a2
.:
a1 - a 2
[J
[ 1cg lx - a 1j
dx x -a1
1og jx - a 2 j
~
log
=
a l - a2
jx - al l lx
-j
+c
a21
Esempi
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
dx x - a2
J+c
=
J
=
) al
- 256-
x' - :: + +
J ~2
=
6 =
log
f (x~ J
Ix - 31
-x---2- ) dx
+ log
I x - 21
=
f
+
xd_\
+ c
X-
=
log lx-31 + c
2)
Calcolare
I X - 21
Jx
a2
x2 -
=
dx -
3x + l
x 2 - 3x +
Poiche gli zeri di 3 -
2
=
=
0
3 +
V5
2
V5
si ha
2
3x + l -
l
Vfs;
( X -
3 +
2
V5
b3 ) L'equazione x2 + px + q = 0 e coniugate a + i B, a ~ B
e quindi
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
X -
1 3 -
2
V55 ) e
quindi
ha due radici complesse Allora si ha
- 257-
f
f
dx -· 2 x + px + q
da cui, posto seg ue
dx (x - a ) 2+ 132
X
ex -- -
=t
13
, [ 8' =
[+
arcotg t + c ]
= X - 0'. )2 13 +
per 1a
f t'~
( 12 )
de 1 n . 15
=
l dt ] t = .X- 0'.
T
= -
X- 0'.
t= - 13-
1 x- a 13 arcot g - 13 - + c
e questo integra 1e i ndefi ni to s i puo co ns i derare i n un qua 1unque i nterva ll o
[a , b].
Esemp i o Ca l colare
J x 2- dx4x+l3
G1i zeri di 0'. 2 = 2 - 3i
x2- 4x + 13 = 0 e qu i nd i
x2- 4x + 13 = (X - 2 - 3i }(X - 2 + 3i )
f
dx 2 x - 4x+ l 3
=
9
f
0'.1 = 2 + 3i
so no
=
(x - 2) 2+ 9
dx
(Y )\
ed adoperando 1a sost i tuzio ne.
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
t =
X -
3
2
s i ha
perc i o
- 258dx
=
=
4x + 13 '
j
= [
arc otg t + c ] t =
c)
e
Ri s u1ta
J
=
B
2
=
f
-B l og 2
+ c
Bx + C
dx
con
B ,
dove
2x + p
x 2 + px + q
rea 1i · +-~==-----....,_ Bx + C = ~ ( 2 x + p - p + 2C ) , 8
e qu i nd i
Bx + C dx = 2 x + px + q
-
2
-r
q
e l a der i vata di
f
ar cotg
T
Consideriamo 1 1 integra l e
C , p
j
=
x_2
X -
B 2
f
2 X + p + ( 2BC - p ) ---------------- dx
2x + p dx + ( c x + px + q 2
Ix z+ px
+ q
I+
_ B;
)
( C - B;)
e 1 1 ult i mo i ntegrale scritto
e
f f
dx xz+ px + q
=
dx xz+ px + q
gi a stato calcolato in
Si noti che 1 1 i ntegra 1e i ndef i nito
J x +Bx px+ C+ q
tenente le rad i c i de ll 1 equa z ione
dx
2
essere cons i de r ate in qu alun que i nterva ll o
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
=
[a , b]
x 2 + px + q
=
0
b) . puo
non con -
- 259Esempi
8
J
1)
3x + 4 dx 2 x - 5x + 6
=
3 2
2x + 3 - 5 + 5
f
dx
=
dx
=
x 2- 5x + 6 23
= -3
f
3 = -
23 log lx 2 - 5x + 6 I+ 2
2
2
2x - 5 dx 2 x - 5x + 6
+
2
e tenuto con to dell 1 esempio
f
3x + 4 dx x 2- 5x + 6
2)
xz- 4x + 13
2
+
f f
4x - 6
dx
x 2- 4x + 13
3
f f 1)
--r xz- 5x + 6 dx
xz- 5x + 6 del caso
1og lx 2- 5x + 61+
=l 2
dx
=
=2
f
=2
2 l og jx 2 -4x+l31 + 2
e tenuto conto dell 1 esempio del caso
f
23 IX - log 2 IX
2x- 3- 4 + 4 dx x 2- 4x + 13
b ) 3
f
J
-
3I
-
2I
+ c .
2x - 4 dx + 2
x - 4x+ l 3 dx
x2- 4x + 13
si ha
4x - 6 dx = 2 log lx 2-4 x+ l 3l + l arcotg 2 x -4x+ l 3 3
La cultura è un bene dell'umanità (
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si ha
b2)
x- 2 3
+ c .
- 260---- .'
una qualsiasi fu nzi one razionale
17 .
11 prob 1ema de 11 'i ntegrazi one di un a qua 1unque funzi one razionale Q~~~ con P{x) e Q{x) po l inomi a coefficien ti reali, e basato su formule di decomposizione che sussi stono perle stesse funzioni, formule che enunceremo tralasciando la dimostrazione.
,
Sia ~~~~ una funzione r az i onal e e supponiamo che P{x) e Q(x) non abb i ano divi sori comuni che non s iano delle costant i, e il grado di Q sia magg i ore od uguale ad Se il grado del polinomio P{x) e magg io re od uguale a quello di Q(x} detti D{ x) e R{x) i l quoziente ed i l ' res to della divi sione di P{ x) per Q{x) si ha ' ( 13)
I p(X)
=
D{x) Q{x) + R(x) [
co n R(x) po linomio di grado minore di que l lo di Potremo anche scri vere
~
=
D{ x)
+
Q{x)
F_(_xj_ Q(X)
Poiche D{x) e un polinomio sappi amo calcolare l ' integrale indefinite; di conseguenza i l ca l colo dell'integrale indefi ni to di
~f~~
e
ricondotto a quello di
*B
Osserviamo, prima di proseguire, che poiche abb iamo supposto
La cultura è un bene dell'umanità (
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- 261 P( x) e Q( x) privi di divisori comuni che non siano delle costanti, tali sono anche R(x) e Q( x) , . come risulta da 11 a ( 13) Per procedere_al calcolo de ll 'integrale indefi nito di ~ in un intervallo non contenente zeri di Q(x) useremo una decomposizione di ~ in f unzioni che sappiamo integr~ re. Se Q( x} =a oxn + a 1xn- 1 + . . . +a n- 1x +a n s i ha per Q( x) l a decomposizio ne (vedi Cap. xv• ) )J I
Q( X) = aO ( X- a l )
llr
\J2
( X- a 2 ) . . . . ( X- a r ) v2
(x 2+ p2x + qz) . .. . (x 2+ ps x + qs)
V1
( X2 + pl X + ql )
vs
dove i fattori lineari corri spondono al l e rad i ci reali del l ' equazione Q( x) = 0 ed i fattor i di secondo grado alle : c::::.o:m . :.:r.. pl.:.:e:.:s:.:s:.:e~e_: co::n..:..i:..::u:..:g~a...::t.::. e_d:::.:e:..l:._:l:_::a:..._::s_:: t::. e~ s s:::a::_:e:..::q~u~ a::..z.:_::. i~ 1c~.:::.op~p~1:....::e~dw.i~ra:::.;d~1.:...:.c::..i......::: ne.
a) ( 14 )
Sus site l a
formul a di decomoosizi one di Hermite
s r A.1 R(x ) + [ = [ i= 1 x - a 1. j=1 Q(x )
La cultura è un bene dell'umanità (
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B. x + c. J
l +
J
p. J
X+ q.
J
+
-262+ d
ax dove
A; , i = 1,2, ... ,r
3j, Cj , j.= 1, 2, ... , s
sono opportune costanti reali uni voca mente determinate e T(x) e un polinomio a coeffi cienti rea li di grado al piO inferiore di uno rispetto al grado del suo denominatore . (Nel caso che t utte le rad i ci di Q(x) siano semplici il polinomio T(x) e identi camente nullo Si osservi che per ca l co l are l a derivata a secondo membra della (14) co nviene scri vere l ' espressione tra parentesi quadre nella forma
ed app li care poi la regola di derivazione del prodotto di piO funz i oni. Per determinare l e costanti A., B., c. ed i coeffici enti 1 J J del polinomio T(x) si puo adoperare il metodo delle costanti indeterminate. Si eliminano i denominatori nella (14) e si otti ene un ' ugua gl i anza tra due pol inomi che deve essere un'identita . Di conseguenza uguagliando i coefficienti delle potenze de ll a x dell o stesso grado in tal i polinomi si ottiene un sistema di equaz i oni lineari che permette di determi nare in modo univoco le A;, Bj, Cj ed · i coeffi ci enti del polinomi o T(x)
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- 263-
Una volta operata la decomposizione de l la funz i one razional e mediante l a (14) possiamo agevo l mente ca l co l are l 1 inte grale indefinito
J~f~l
del secondo membro de l la
dx :
(14)
infatti 1 ' ult i mo termine
ha come integrale indefinito
T(x)
A.1
mentre 1e espression i no come visto in
B. x + J
x2+ p. x +q .
x - a1. e c)
a)
c.J
J
si i ntegr~
J
de l n. 16
Esempi 1)
Ca 1co 1are
Per l a
(14) =
X
2
(X -
1)
Al
-X
=
x2(x-l)
poniamo
A . 1
A2
d
+ -- + -X - 1 dx
A2 ·"
bo
cioe
X
b
- - + - - - -0-
x
x-1
i
da questa, moltip l icando ambo si ha
La cultura è un bene dell'umanità (
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membri per
x2(x- l ),
-264(A 1 + A2 )
=
2 X -
(A 1 + b0
)
+ b0
X
da cu i Al + A2 Al + b 0
b
0
=
0
=
0
I
e qui ndi
1
=
-1
=
AI A2
=
bo
=
Perc i o ri sulta =
-
x2 (x -l )
1
x-1
X
d
+ -
+
-
1
-
dx
X
e qui ndi
f +
2)
dx
=
x2 (x- l ) + c
-
X
=
f ~X f +
Essen do
(x 2 - 1 ) 2
X -
IX - 1 I IX I
lo g
Calco l are
-dx- + -1
f =
x2 + 1 (x 2-1 )2
1 + -X + c
dx
. A2 + X+ 1
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- 1og 1 x 1+ 1og I x-1 I+
=
X
(x- 1 ) 2 (x+ l ) 2 ,
+
ci oe
1
per l a b
d
dx
[
X
(14) poniamo
+ bl
(x~l )(x+l)
]
-265-
x2+ 1 (x-1) 2(x+1) 2
b0 x +.b1 (x-1) 2 (x+l )
Al + - A2 + _ _bo __:___ _ x+l (x-l)(x+l ) x-1
----- = -
b x + b1 0
(x-l)( x+l ) Da questa, mo l t i pli cando ambo i membri per
(x-1) 2 (x+l) 2 ,
s i ha
x2+ 1
= (A 1+ A2)x3 + (A 1- 3A 2- b0 )x 2- (A 1+ A2+ b1)x-
- A1+ A2- b0 Al Al Al -Al
+ + +
da cui
A2 3A 2 - b0
= 0
A2 + 2bl A2 - bo
= 0
=
=
1
Al = 0 A2 = 0 bo = - 1 a, = 0
e qui ndi
1
Perci o ri su l ta x2+ 1 (x- 1) 2(x+l ) 2
=
d dx
-x (x-l)(x+l )
e quindi
f
x' +
(x2 - 1 )2
dx =
X
(x-1 )(x+l )
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+ c
-266-
Ca 1co 1are
3)
Per l a
+l x( x2+ 1 ) 2
f poniamo
( 14)
X
+ dx x(x 2+ l ) 2 X
Al
=
s, x + c, x2+ 1
+
X
+ -d dx
cioe + x(x 2+ 1 ) 2 X
=
-
Al
B1X + Cl x2+ l
bo + -- x2+ 1
membri per
x(x 2+ 1) 2
+
X
Moltiplicando ambo
2b x2 + 2b x 0 1 (x 2+ 1 )2 si ottiene
da cui Al + s, = 0
Al = s, = -1 c, = l /2 bo· = l /2 bl = 1/2
c, -
bo = 0 2A 1+ B1 2bl = 0 c, + bo = l = 1 Al
e qui ndi
PercH risulta + = 2 x(x + l ) 2 X
X
+ -2x2+ 1
2(x + 1 )
e quindi
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+ 2
d dx
+ x2+
X
- 267-
f
J .!_ dx -
X+ 1 dx = 2 2 x{x + 1 )
.!_
X
2
f
2x - l dx +l 2 x 2+ l
1 1 l og lxl - - l og (x 2+ 1) + - arcotg X +l 2 2 2
=
b)
X+ x2+
X+ x2+
=
+ c
Sussiste poi anche la seguente formu l a di decompos izi o-
ne che ci 1imiti amo a riportare ne 1 caso in cu i g1 i zeri com p1ess i sia no semp l ici.
( 15)
R(x) A A1 1 Al,2 1' ).J 1 --' + + .... + 2 ( x-a ) JJ 1 Q(x) ( x-a 1 ) (x-a ) 1 1
...
Ar, 1
+
+
( x- a ) r +
b x + c 1 1 2 x+p x+q 1 1
dove I
Ar,2 ( x- a r) 2
b2x + c2
+
A r, ).J r (x- a ) JJ r r
+ . .. +
x2+ p2x + q2
+
b x + c 5
s X2+ psx + q s
b1 ' b2' . .. ' bs Al, 1 ' Al, 2 ' . .. ' Ar, IJ r ' so no cos tanti da determinare. c 1 , c2 ' .. . cs
'
Se in part i co 1are g1 i zeri di ( 16)
+ . ... +
+ ... .
R{x) A1, 1 --Q(x) ( x- a ) 1
+
Q{x)
Al 2
'
(x-a ) 2 1
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so no tutti rea 1i si ha: A
+ ... +
1 ).J 1
( x- a ) JJ ~ 1
+ .. .
- 268A
... . +
+
A
r, 2
r, lJ r
+ .. . . +
Peri l calcolo delle costa nti si procede come nel caso
a) .
Esempi l)
f
Calcol are
Pe r l a
(15)
2x + l dx 2 x(x+l) (x-1)
poni amo
2x + l x(x+l ) (x- 1)
-----~ 2
=
a
+
b
+
x+l
X
Molti plicando ambo i membri per 3
c
+
x- 1
d (X- l )
x(x+l)(x- 1)
2
2
2
si ottiene
2x + l = (a + b + c) x + ( d - 2b - a) x + ( d - c + b - a) x + a da cui a+b+c
= 0
d- 2b- a =
0
d-c+b - a=2
a
=
Pe rc iC) r i s ulta
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a e quindi
b c d
= l = - 4 3 =- 4 3 = 2
-269-
.. 2x + 1 -----= x(x+1 )(x- 1 )
2
4 (X+ 1 )
X
2x + 1 x (x+1)(x-1)
f
3
+
2
4(x-1 )
2(x- 1)
Si ha 2
dx = 1og lxl+ 1 1oglx+11- 3 1oglx- 114 4
1 X-T + c
3
- 2
2)
3
+
Ca 1co 1are
Per 1a
(15)
pon i amo
a + _b_ +
=
X
Mo l t i p1icando ambo (a +
=
C)
X 3+
membri per ( b + d)
X 2+
x 2 (x 2 + 1)
si ottiene
aX + b
da cui
a + c
=
0
b + d = 0
a
=
b
=
e qui ndi
0
PercH ri sulta
La cultura è un bene dell'umanità (
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a
=
b
=
c
=
0
d
=
-1
0
- 270-
x2(x2+ l )
=
xz
-2 X
+ l
e quindi
J xz (x dxz+ l )
18 .
=
a r cotg x + c
-X
Integrazi one di al cun e funzio ni i r raz i onali .
In ouesto numero esamine remo alc uni tipi di integra li l a cui funz i one i ntegranda puo essere razionalizzata mediante part~ col ari sostituzi oni. Con R ( x1 , x2 , . . . , xn ) den ote remo una funzi one raz i on a l e de ll e var iabil ~ ·: nd i cate. a)
Integra li del tipo
J
R ( xrl ,
rz
X
'
....
'
xr" ) dx
... . ' rn sono numeri razional i . ' Detto ~ il mi ni ma comune multiplo dei denominatori dell e frazi ani r 1 ' r z ' . . . . ' rn mediante l a sostituzio ne X = t ~ l 'i ntegrale co ns i derato s i tras forma in un inte gr~ le di una funzione raziona l e di t dove
rl
'
r2
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- 271 -
Esempio Calco l are l ' integrale Si ha =
qui ndi
dx
f
dx
e, posto
x = t
6
e
= 6t ' dt , l ' irotegra l e si trasforma in
~
t r, dt = 6 t 3+ t ·
t dt +
f
_!_2_ dt = 6 t+l
f f dt -
t d+\J
=
f 2t
1
(t 2- t + l - - -)dt= t+l
3 -
3t + 6t -
- 6 1og 1 t + 1 1 + c
L'integrale richiesto val e all ora 3
= 2 b)
Integrali de l tipo
d6ve
a , B , y , 6
a 6 - By
=I= 0
ed r I '
l ora attribui to in
6
j/X - 3 VX + 6 VX
6
- 6 l og I VX
+ 11 + c
sono quattro costanti tali che hanna i l sign ifi cate r 2 ' • • • ' rn
a)
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- 272Mediante la sos tituzione a x + B = y X + 0
tw
ove w ha l o stesso s ignificate che in
a), 1 1 i nteg r a l e con -
si derate s i r i conduce a 11 1 i ntegra le di un a funzio ne raziona 1e di
t
Come caso particolare s i hanna gli integral i del tipo
Si noti che gli integrali del t i po cons iderate in
a)
r i en -
trano come caso particolare in quel1i o ra considerati. Es empio X
Ca 1co 1are 1 1 integra 1e
Pos t a _x_
=t
2 ,
da cui
f (1x
l f2
x)
2
= t /( l + t
dx 2
e dx
)
= [? t /( 1 + f)J d1
- X
1 1 integra le si trasforma in 2
t + 1 - 1 dt 2 ( 1 + t 2)
=2
[j
d+tt 2 1
J
dt 2 ( l+e)
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J= 2 [a rcotg t
-
..!. (arcotg 2
=
t + _t_ )]+ 2 l +t
- 273-
~t2 + c. L' integra l e ric hi esto e dunq ue
= arcotg t - l
J(1 ~ j
(L 'integral e ·s ti tuzi one
0-
= a rcotg
dx
J ( 1 +dte ) tg z
=
so-
ed adoperando poi una i ntegrazi one per
pa rti come nell'Esempio
c)
s i puo calcolare mediante l a
2
t
Vx(l - x) + c
4)
de l n. 14 )
Integral i del tipo
J dove
2
R ( x , Va x + b x + c ) dx
a , b, c
Si noti che see
so no costanti. a= 0
l ' integrale r i entra in que lli
del tip~ b) ; see a 0 , b2 - 4ac = 0 l'in tegra l e di un a funz i one razionale
all ora s i ha
Esc ludiamo che sia a< 0 , b = t = 0 ~pp ure a < 0 , b ~ - 4ac ~ 0 perche in tali cas i la funzione integranda non risulterebbe reale . Se gli zeri, a e B , del trinomio a x2 + b x + c sono real i, supposto s i puo scrivere x i= a
Va x + b x + c 2
=
=
2
Va(x - a ) (x- B) = 1 / a(x- a ) (x - B) (x- a )
Y
jx - r£ j l ~ v~
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=
- 274e quindi l'integrale di venta
f R (x ,
[x- a[ v·:x~B~ ) dx
per cui rientra negli integrali del tipo
b)
e mediante l a
sostituz i one
~=t che e equivalente alla 2
(17)
Vax +bx+c
=
lx - a l t
l'integrale cons i derato si riconduce all'integrale di una funzione raziona l e di See
a > 0
t .
e gli zeri a e B sono complessi (e di con -
c > 0) s i puo effettuare una delle sostituzioni
segue nza e (18)
Va x 2 + b X+ c
(19)
Vax +bx+c
2
=
=
va
X + t
xt+VC
ciascuna delle quali permette di trasformare l'integrale dato in quel l o di una f un zione raziona l e. Le sos tituzioni
(18) , (19)
perate ne l caso c he e so no real i.
La cultura è un bene dell'umanità (
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possono ovviamente essere ado-
a >- 0 , c
~
0
ed a e B
- 275 Esempio Ca 1co 1are 1'i nt egra 1e
f
Vx
2
dx - 3x + 2
Poiche e a = 1 > 0 e g1i zeri a = 1 ' B = 2 c =2> 0 ' sono reali s i puo usare una qualunque del le sostituzi on i ( 17) , ( 18) , ( 19) .
Adopera ndo 1a
( 18 ), pone ndo ci oe
V/ - 3x
+ 2
X + t
=
da cui si ha 2
x - 3x + 2
=
2
2
x + 2t x + t ,
. 1'integral e s i tras f orma in _2
j
3 + 2t t +3t+2 e quindi dx
f
7
.
e + 3t + 2 dt 1
= _2
(3 + 2t )
=
-1 og
I 3 + 2 Vx
La cultura è un bene dell'umanità (
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j
2 -
X =
dt 3 + 2t
=
-1og j3+2t l+ c
3x + 2 - 2x
I+
c
- 276.d)
Integra 1i de 1 ti po
J
R
~ c x+b)
( x , Vax+b ,
Meciiante l a sostituzi one
dx
(oppure ~ c x + b = t )
Jlox +b = t
l ' integrale considerate si ri conduce ad un integral e de l t i po
c) .
Esempio Calcolare l'integrale
f lfX
Posto
= t,
Vx
--=='==--- d X
~~~ + 1
da cui
x = t
dx = 2t dt , l'i ntegrale
vc + 1
e quest ' ulti mo in tegrale cne re mediante 1a sosti tuzione
~del
vc + 1
dt +1
tipo =
c ) , s i pu6 c al co l a t + z
Integra li del tipo
Jxm (ax r dove
e t
si trasforma i n
e)
2
m, n, p
s tanti.
+ b)n dx
sono numeri raz i onali ed a m (a x11 + b)n dx L' e s pres s ione X
differenziale binomi o
) La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
e
b
de 11 e co-
s i dic e
-277Il ca 1co 1o de 11 'integra 1e in esame s i puo ri condurre a que 1l o di un integrale di una funzione raz i ona le se e so l o se e intero almeno uno dei tre numeri
n ' Se
m+
m+
+ n
p
p
n e intero, l'integrale considerate rientra negli inte-
grali di tipo
a) .
n non e i ntero, ci oe
Se
m+ 1
n
r
= -s
'
con
s > 0 ' ed e i ntero
si pone
p
= ts
a xP + b
m+
se invece e intero
in entrambi
+ n
p
s i pone
cas i le sosti t uzi oni i ndicate permettono di
trasformare l 'i ntegra l e di un differenzi a l e binomio in quello di un a funzione razionale . Esempio Calco l are l'integrale dx
m+
In questo caso e da c ui
dx =
p
t dt X
=0
e quindi s i pone
1 +x 2
l' integra l e s i trasforma in
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
= t2
- 278-
f =
t'
e-1 t
dt
=
J(
1 +
~~~ )dt
+~ f ( t ~ 1 - th) dt
= t +
~
It- 11 + c
log
fE+I j
1
= t+ -z
19.
+x x'
dx =
J,
+
I
dt
e-
=
1
1 log It- 11 + 7 1og I ~+ 1, + c
=
'
e qui ndi l'integra l e r i ch i es t o
J Vl
1 dt
=
1 + x'
+
e
~
log
I
C
lntegrazi one di a 1-~~-~fu n z_jE._~i_t:_rasc enden_tj_ _
Esami ni amo di versi integra li di funzion i trascendenti, olcu ni de i quali con opportune sostituzioni s i riconducono o in tegra 1i di fu nzi oni raz i on a 1i . Co n R (x 1 , x2 , ••• , xn) denotiamo una funzi one razi ono l e i ntera delle variabili indicate . a)
Integra 1i de 1 t i po
J
R
con
a , a,
pE
(a ax+p) R
a > O,a:;i:l
Mediante la sost i tuz ione
an.x+p =
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
dx
t
- 279s i r i con duce a una funzione raz ionale di t . Esempio Ca 1 co 1are 1 'integra 1 e
f Pos to
dx
4x/3 +T 4 x/3 + 1 = t , da cui
X = 3 (log 4 t - 1), d x =
3
dt,
t 1og 4
l'integrale s i trasforma i n
3
l094 e quindi per l ' integrale r ichiesto s i ha
f b)
dx 4-x7T+T
-
4
3 x!3 + 1 log
c
+
4
Integra 1e de 1 tipo
f
con
=
R
( a r, x , a r, x
+ a E R , a i= 1
ed
r.
1
,
.. .
' a
rn X
)
dx
raz ional i .
Detto 11 i l minirro comune multip l e dei denomi natori degli ri, con l a sos tituzione
l'integ rale s i t rasforma in un integra l e di una funzione ra zi ona l e di
t .
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
- 280Esempia Ca1calare 1 1 integra1e
2x
Posta
t
=
6
2x!2 dx 1 - 2x/3
J
e quindi
x
=6
1o g, jt
I,
dx
= t 16og 2 dt
1 1 integrale s i tra sfo rma in
j
6
log 2
e 1- e
dt
= -61ag 2
J
( -1
+ ) dt 1 + t'
Da questa, tenen do presente i 1 caso b - b ) de 1 n. 16 , 2 con fa cili ca l co li s i perviene al ca lcol o de11 integra 1e ri chi es to: 1
j c)
2 x/ 2 X/
1- 2
3
~
dx = _6
1og 2
(
1
- ~ 2 X + Z 1a9 6
-
Integrale del tipa
j R[aX. (;:: :; (l , (_a~fJ) r2 X
, •••• ,
ya +d
con
a
E :R
+, a
-=F
1 , e i n cu i
hanna il s i gn ificato del casa
ya
a , 1-'o , y , 11"' ,
b) del
(d_:~) rnJ dX X + ~
r 1' r 2 • · · · · r n
n. 18
Detta !J- il mi nima comune multip l a dei denamin a t ori de gli pasta
ri ,
1 1 i nte grale s i ricon duce all 1 integra1e di una funzione ra zi o
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
- 281nale di
t .
Es empio Ca l colare l'in tegra l e x = log
da cui
Pos to
2
dx =
e I e-
-1
l'i ntegra le s i trasforma in
dt
t( 1 - e) 2
l +t = log l -
- dt-
Jl - t
1
l - t
I+
c
e quindi l'integrale r i ch iesto vale
;;xJ VTJ 1
d)
--
dx
2 log
(Vex- 1
+
v;x)
+ c
Integra l e del tipo
J z
R (s in x, cos x) dx
Pos to
tg
= t
,
da cui
x = 2 a rco tg t ,
2 dx - - - dt 1+
e
e r i cordando c he X
2 t g "Z
sin x =
1
X
COS
X
=
1 + tg "Z l'integrale si r i co nduce ad un inte g rale di un a funz i one ra·Zi onale della
t .
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
- 282Esempio
f
Calcolare l 'i ntegra l e
dx -3-s-,-. n_x_+_4_c_o_s_x
Con l a posizione detta ta l e integrale s i tras forma in
f
dt 2 + 3t - 2t1
=
dt (1 +2 t )( l- 2t )
f
=
-1 1og l l + 2t 5 2 - t
I+ c
L'i ntegra l e data vale quindi X
f
dx 3 s in X + 4
= COS
+ 2 tg 2
1 - l og 5
X
2
+ c
X
tg 2
d I)
cos con Tale i ntegra l e s i ri conduce al caso ax+{J
e)
=
R (tg x) d x ,
Poiche
e
tg
X=
s in COS
tegra li de l tipo tg X
X X
d) ,
con l a pos i zi one
z
Integrale de l t i po
J
d)
J
R ( cotg x) dx ,
j R I tg x , cotg x I
s i puo procedere co me per gli inrna conviene porre l a sos tituzione
= t
Esempi o Ca l co l are l ' integral e
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
j
1 - tg' x
1 + tg
X
+ tg 7
dx X
- 283-
Da 11a
tg x = t
1
dx = -
segue
- dt
e quin di l' integrale
1 + t'
s i tras forma in
f
1 -
t'
dt
(1 +t+t')(1 +t')
Integrando ta l e f un zi one r az i ona l e (s i _te nga presente il n. 17) l'integrale rich i esto vale
f f)
1 - t 91 x d x = 1o g 11 + co s x s i n x 2 1 + tg X+ tg X
c
Integra li de l t i po
J R (sin'x ,
cos'x, sin 2x, cos 2x, tg x, cotg x) dx
Effett ua ndo la sos ti tuz i one te
I+
tg x = t ,
tg
I=
t
o pi Q co nve ni en t emen -
tale integral e s i trasforma i n un i ntegrale
di una f unz i one raz i ona l e di
t .
Esempio Calcolare l ' integra l e Dalla tg x =t
s i ha
dx dx = dt 1+
t'
e l'integral e s i trasforma
in
c Pe r l'integrale richiesto va l e quindi la tg X dx = ~ l og (2 tg 7 x + 1) + c 7 s in x + l
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
- 284g)
Integrali del tipo
11 co n rr.,
#E
=
f eax
cos f3 x dx
I2
=
rea
X
Sin fJ
X
dx
J
R +
f
Integrando per pa r ti s i ha 1 rr.x . 11 = ~e Sln{J X --pa
1 rr.x
I2 = - ~ e
rr.
co s f3 x + ~
j
ax si nfJ x" dx =-e 1 ax s1n . f3 e
{3
1 ax ax co s f3 x dx = - ~ e cos
e
x - -a I
rr.x
I1
e
+ {31
(l. 2
( rr. COS fJ X + fJ Sin fJ X) + c
rr.x
e
I2 =~ (l.
( a s in
+
f3 x - f3 cos f3 x) + c
Esempi o Calcolare l'integ ra le Da lla
I
e
I 1 s i ha 2x
2x cos 5x dx = e 29
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
I
e
2x
cos 5x dx
(2 cos 5x + 5 sin 5x) + c
·a
fJ X + {f I l
Ri so lvendo queste due ultime re 1azi oni nelle incognite 12 si ha = --
f3 2
I1 ,
- 285ES ERC I Z I
1)
f
Ca 1co 1a re
S V0 LT I
arcosin x dx
Integrando per parti s i ha
J arco s in x dx = x a reo s i n = x arcosin x =
Jd( 1 - x
2
dx =
2
j d(l- x
2
+
)'
17
=
- x2 + c
J arcotg x dx
Ca 1co 1are
2)
X
= x arcosin x
)
( 1 - x2) '12
V1
x a reo s i n x +
1-
2
l
+
X
j
X -
Integrando per parti s i ha
Jarcotg x dx f
_1 2
2
d (1 + x 1+x
x arco t g x -
=
)
= x a reo t g x -
2
f
1 + x1
l
1o g ( 1 + x2 ) + c .
2
x
dx
=
x a reo t g x -
Calco l are
3)
Integrando per parti s i ha ·
f = X
X COS
tg
X
dx 1
= X
tg
X -
X
+
' d (cos x)
j
cos
-·
j t g x dx X
tg
X
X
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
+
= X
l og
tg
X -
I sco-;:; in x dx
. COS
X
+
C
=
- 286-
f
Ca 1co 1are
4)
x' s in x dx
Integrando per parti s i ha
J x'sin 5) Pos to
X
+ 2
=
x' cos X + 2x s in x
2
=
X COS X
x dx = - x' cos
1
+ 2x s in
Ca1co lare
V2x - 1
J sin
+ 2
X
X COS
COS X
X
x dx = dx
=
+ c
dx x lh x -1
f =
f
t
da cui
'
X =
1+
e
dx
e
2
t dt '
l 1 integra 1e s i tra sforma in
- 2
J
dt 1+
e
= 2 arcotg t + c
e quindi 1 1 integra1e ric hi esto 6)
Posta
Ca1co1are
e
2 arcotg
da cui
dx =
dt 2x
1 1 i ntegra1e s i tra
sfo rma in
f~ =- Vt
Ca 1co 1a re
e qui ndi.
+C
dx = -
V1 -
J I ex--=1
dx
x f Vl-7 7)
2x- 1 + c
. x dx ..f ~
1- x'= t ,
2
I
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
x' + c
-287 -
Vex - l
Posto
t ,
=
da cui
x=log(t'+l)
e
2t
dx=--dt, e+l
l'integrale si trasforma in
f~
2
1 - - - ) e+l
f (l
dt = 2
f+l
dt = 2 (t- arcotg t) + c
e quindi
f
Vex-
dx = 2 (
l
- x7 = t
Posto
- arcotg
~)
+ c
.
f x e-x' dx
Cal col are
8)
v~
dt dx = - 2x '
da cui
l'integra l e si tra-
sforma in dt = -
J 9)
x e
-x 1
l
2
dx = -
e
t
+ c
l
2
e
-x
e qui ndi 7
+ c
f Vx:_'
Ca lcolare l' integra l e
l
dx
Si tratta dell'integrale di un differenzia l e binomi o , cioe di un i ntegrale del tipo
Poiche
e
m+l __ 2 p
e) .
Si puo infatti scrivere
s i pon e
2 1 - 1 13 dx = - t (t + l ) dt 3
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
da cui l • integral e
si
- 288t r as forma in s
f f w:-1 X
I~ xs
10)
dx
2
-3
r(e
+ 1 ) dt =
i (r
+ t ) + c , e qui ndi
'
2 dx - - ( i[( x3-1 )3 .+ 3
-
v~ ) + c
3
Ca1co1are 1'integra1e
Si tratta dell'integra1e di un differe nzia1 e bi nom i o , ci oe di un integra1e
~e1
tipo
e) .
Si puO in fa t t i
scriv~re
dx = x- 2 ( 1 + /) - 213 dx x2 3V( 1 + x3)2 m+ 1 + n = -1 s i pone 1 + X - 3 = t 3 , da cui p 413 3 3 dt 1 ' i ntegra 1e s i x = (t - 1 )_,, e dx = - t 2 ( e-1 )-
Poiche
e
tras fo rma in
- s = -
dt
=
3~
-t + c
e quindi
+ c
X
11 )
Posto
Ca1 co1are 1'integra1 e e 2x = t . da cui
gra1 e si tra s forma in
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
f
dx 1 + e 2x
1 x=- 1og lt l , 2
1 dx = - dt 2t
1 ' i n te-
- 289-
e qu i ndi
f
= 2
1 +d:2x
12)
e
2x + c .
log
J Vex -
Ca 1co 1are 1 'integra 1e eX - 1 = t , ,
Posto
2t dx = - - dt
da cu1.
dx
e x = t' + 1 ,
X
=
1 'i ntegra1e si trasforma in
e+ 1
=2
f (1 - -e1+- 1 ) dt
= 2t - 2 arcotg t
+ c
e qui ndi
J~ex-
13)
1
dx
=
2 (
VTl - arcotg VTl) + dx
Ca1co 1are 1'integra1e
Pos to
tg ~
=
t
da cui
c
f 3- 4 x
=
COS X
2 arcotg t ,
2 dx = -=-- dt , +
e
1'integra1e si trasforma in 2
f
=
dt 1 7t - 1
1
Vi
, og
j
IV7
1 dx ~ 7 t- 1 t +1
I+
fV7
dt t +1
= -.1-
tn
1og
IV7 t
·
c
e quindi
f
dx 3- 4
COS X
1
= - - log
V7
Vi V7
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
t9
~ -1
tg ~ +·1
+ c
- ,
I -
-29014 )
f
Ca 1co 1are 1 ' integral e
Posto
tg
X =
t ,
da cui
s i n1 x 4 - CO S 1 X
a rcotg t
X =
dx dx
=
-
1
1+
tenuto conto che
s in 1 x
tg 1 x
=
co s 1 x =
-
1 + tg
1
1
-dt
e
e
1 ' i n-
1+t g x
X
tegrale s i trasforma in
f
t'dt (4t + 3)( 1 + t 1 ) 1
Integrando tale funzione razionale
f f
1
t'dt
(4t +3)(1 tt')
V3
=
(n.l 7)
a rcotg
2
2t
~
3
s i pe rvi ene a + arco tg t + c
e quindi
15)
·1!3 arcotg ~~ + si n' x dx = - --
4-
1
f
Calcolare l'integrale
Adoperando la
Jex/1
vi
2
COS X
12
del caso
s in 2x dx =
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
g)
4 ex/2 17
X
+ c
ex/1 s in 2x dx
del
n. 19
s i ha
( -zs 1 ln . 2x - 2 cos 2x) + c .
- 291ES ERC I Z I
1)
J
P R0 P 0 S T I
Ca1co1are per parti i seguenti integra1i i ndefi niti
dx
X COS X
Jxarcotgx dx, Js i nxcosx dx , fVJ7dx,
x a rc s i n x dx ,
J
V1 -
X
2
J
J
e x cos x dx ,
s in s x_ dx ,
Jvx
1og xdx
J/Xsin3xdx , Jx'ex dx , J x'cos x dx , J 1og' x dx, Jx' cos x dx , Jex sin x dx f x' 1og' x dx , J sine x x dx Ca 1co1are medi ante i 1 metoda di sos tituzione integra 1 i i ndefi niti
2)
JI J
X
a2 - x2
d
x
x e x' - 1 dx
J~2 COS
X
dx
dx /V1 + X 2
f vxvx
dx ex+e- x
J-x
_e_ dx
J J
ex dx 2x 1 +e
J
1 +X
f
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
4
dx
dx ~
x + xVx
seguenti
f v/-xex
dx ,
dx x( 1 + 1og 2 x)
J
f
X
(1 + x2)2
dx .
-2923)
Calcolare
seguenti integra1i indefiniti di funziot
raziona1i
f f f
x' + 1 3
f
dx ,
2
x -4 x +5x - 2
f
3 dx X- X
X 3
d
X
(X 2 +X+ 1)2
4)
J X (x 2
f
dx
2x' - 3x+1
f
dx
dx ,
(x 3 +1)'
5x - 2
X
Ca1co1are
X
X+
1
2
+1r
x+2
dx
x' - 5x + 6
dx
x ( 1 + x' )2
segue nti integrali i ndefiniti di funzion
i rrazi ona 1i
f f f
J 'f
dx
S/ 4
X
- X
X
V4x + 3
d
x
I x' + x + 1
J h ._·v~ vx
dx
X
dx
x
2x - 1
dx ,
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
J
~- x'+x+2
f
dx
/~ ~
J 1 1 + x• 4
dx
dx ,
f f f
1-~ dx , 1 + 11 - x'
·v;-~
IX
dx
3
dx X+
V/ - X+ 1
-293-
5)
Calcolare
seguenti integrali indefiniti di funzioni
trascendenti + e2x dx ! I ex
L
dx - 4 s in x
J(3e x + 5
e2x + I ) ' dx 2
f
t9
X
dx
s in 2x +
L
sin (2x+ l) + cos 1 (2x+l)
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
dx
J
cos' x s i nJ x dx .
!
- 294-
E S E RC I Z I
DI
(
I E P I L 0 G0
l.
Es e rci z i s u argome nt i dei Cap. IX 0 e
l)
Per
x-o ,
xo .
determi nare l'ordine di infinites imo , r
s petto a ll ' infinites i mo
x- x , de l le seguenti applicazi!
ni X X X
-- IR l
.
x s 1n
[3.
X
x tg 2 x
[3
x + s in 5x
[l
s
X X X X X
(<
.. X
X
X X
-- vx --
tg
X+ t g
l
X -
-
[7 / 5
X
[(
X 2
tg x
[5/2: [1
X
(l
-
cos x) + xl
[2:
(l
-
cos
+ xl
[3.
X )l
l . - cos {X)
[(
x + s i n 5x x2 t g x x + si n x
j/X
s in X - ~' 'T X •
x s i n3 x X+ tg X
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
[2:
- 2 ~5-
[2/5]
X -t J ,------
X
Vtg 1 x + xl
-t
2)
Per
x-+co ,
spetto a ll'infinito
[2/3] determinare l 'ordine di infin ito, ri x-tx, delle seguen ti app li caz ioni
X1 + 1 x + Sx
X
=
X
- lw
X
-
[1] [2/5]
4
x - sin x X+ 1
- !R -
[3]
s
X X X X X X X X
s in x
.[2/5] [5]
-
s 1 X + x, sinX
5xl + X cos X
[3]
x, + l og x
[2]
-
1 + Xl cos ..!_ X l og x
[2]
-
- vx XJ
-
-
1 + X log x
[3]
cos ..!_ + log x X
[1 /2]
COS -
X
xJ + l og 1 x X1+ 1
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
[1 /2 ]
-296-
$ X
x2 cos
---t
X
X
---t
X
---t
X
---t
X
---t
.lX
[1/ 5]
+ 1
. l s 1n -
log
X
j!x$ +
+ log 2 x
lo g
X
+
X
J
[3]
. -l s1n
X
[5/3]
X
[1]
2
Vx sin
~+
X
4
[2]
3) Adoperando il principia di sos tituzi one degli infinite simi veri fi care 1 i m X ---t
x, + t9
..._
0
s i n2 x 2X2 + X 2 s i n2 x X
=
2
5
X
X
X
1 i m
x1 + x4 sin x + tg 4 x
1 i m+
( l - cos x) tg x + XJ + xs
l i m+
lo9 x s in
---.o
---.0
---.o
l i m+ X
X
3
X X
X
+ x, + XJ
=
0
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
X
2
=
+ CO
=
( 1og x) sin 3 x + ( 1
---.0
X
+ x,
- cos xf
=
0
-297l ; m X--t
- co
1 i m X --t - CX)
-
1 i m+ X
-
0
V1 -
cos 2 3 X + x
v; + s in 3
X
X
= +ex:> + x3
2
t~ X
+ (1 -
s i.n
0
X
+
4
=V2
I
COS X ) 4
w + x2+ tg 2x
1 ; m X
= +ex:>
x2ex + e 2x = +ex:> e3x + e Sx
0
1 ; m+ X --t
2 ex e3x+ e5x X
=
0
X
Adoperando il principia di sostituzione degli infiniti veri fi care 3 e 5x + X + log X 1 i m = +ex:> e3 x + X7 + log 2x X -+ +ex:>
4)
1 i m
- +ex:>
X
e3 x + log 4 eX +
X
vx-
= +ex:>
I
-
1 i m+ X
0
1 i m X --+ - oo
-2 X ex + X -3 log X + X -5 x + x 2 x• + x2 J sin x J
e
= +ex:> =
+ex:>
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
-2981 +-X ex-•+ X -l
log
-
1 i m+ 0 X
-
X
+ex:>
1 i m x __. + oo
=
x7 + xl sin
X
+
=
0
X
x log 1 x + x2 3
0
+ xl cos X
XI>
1 i m
X
=
0
X CO S X
=
1 i m X
__.
+ex:>
i m X __.
0
=
+ex:> (s in x) -2 + x-· log X + X
=
+ex:>
+ CX)
Cal col are le derivate delle funzioni definite con seg uenti 1eggi
le
5)
f(x)
=
f(x)
=
f(x)
=
XJ -
VxX
1
w 5 sin
X
+ 4 tg
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
X
[f' (x)
1 = 3x
[f'(x)
=
[f'(x)
=
5
-
3'~] 3 ~-
5x COS
X
+ -
Vxl _
-J
4
COS
1
X
- 2994
f( x) =
Vx + 2 COS
X
s in x
f(x) = cos
X -
f( x) = e X
- 1og
l [f'(x) = 4W
[f'(x) = - (Sin
x2
[ f ' (x)
X
Si n X
f( x) =
X
COS
f(x) = s in
X
[f' (x) = COS
[f'(x)
ex _ ~]
=
X
x sin x]
X -
=l -
r '(x) = I
log X
X -
f( x) = ex + 2x +
X ))
[f'(x) = cos 2x]
X
f( x) = X - a rcos in x
f(x) = arcotg
+ COS
· [f' (x) = sin X + X COS x]
X
COS
x]
21 [f' (x) = - 4s cos 2 in 2x
f (x ) = tg X + cotg x f( x) =
X
2 sin
l
V1 -
x']
+ x2 -
~]
rf'(x) = eX + 2X lo g 2 + l ]
f(x) = 5x + arcos in x
[f'(x)
f(x) = 3X + log 3 x
[f (X) = 3x l og 3 +
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
1
= s ' l og5+ -
1
V1 -
~ X2
~ log e] 3
-300f(x) = tg x - 2 arcos'in x
f(x) -
X
f (x) =
xVX + cotg
+ 5 arcotg X
1
3
-
x
f(x) = sin x arcosin x [
1
f (x) = ( 1 + X
)
a rco tg x
f
1 (
MJ
sinxl . x) = cos x a reps 1 n x +
lf
1 (
x) = 2 x a reo t g x + 1]
fl(x) =
f(x) = - l og 1 x
[
f(x) = log x -
l 09 X + f(x) = - s in x f(x) = - - X log X
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
1
f (x) = [
X
log 1 1 log ,
e]
2 x(log x + l)'
X
J
c~s, x]
Sln X
l ogx+l] (x log x)'
-3013
f(x) =
f ( X) =
[ 3
f{ X) =
f' (X)
f'( x) =
X
+
COS
COS
X
f( x) =
f{x) =
f( X) =
X
1 +
v~
1 -
VX
X
3
-
?(X
2 + 1 )] (xl- 1)2
15 2 ] (4 - 5x)
[f '(
1 + -2
X
= -
[
4 - 5x f{x) =
1
f ,"( X) = _t x + 6 X + 1] 1 3 [ (X - 1 )
[
2x + 1
lx
If'{x)
l
=
X) =
1 - :, ]
lf '(X) =
:::' : ]
1
f'( x) =
ll W
x( 1 -
Vx ) J 2
- -h_-
4
2
Vx
\ 4x
J
VXJ
2
[f ' {x) = 2(3x + 4x) (6x + 4)] 3
f(x) =
(5x• + 2x )
f(x) =
arcotg 2 x
[f'{ x) = 3(5x•+ 2x )(20 x3 + 2)]
[ 3 ,----
f (x) =
V1+x
2
f '( x)
2
1 + x
l'f' () X
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
2
=
=
arcotg x]
31· (2x 1 +
X 2 )2
lJ
- 302 4
f(x)
= ~X
Vx
w
= --
f(x )
=
f(x) f(x)
f (x)
=
l og t g ( X +
x e l og
= sin
1
[f
ex
7)
(
x)
8
~x5 J
8
2 - 3x J Vx 3 x eX
3
f (x)
=
1
[f (x)
=
-
1
[ f (x) =
J
2 s in 2x
7
x2
= eX
[f 1 (X)
vi,
+
vx
4( [f (x)
f( x)
=
tg 1og ( 1 + x)
f(x)
=
log Is in x I
f (x}
=
l og
f( x )
=
l og tg ( ~
f( x)
::
1 arcotg X
tg
1
[ f (X) :
1
Vzx + 5
1
[f (X)
X
2
( 1 + 2 x' )]
= =
2
?.
V 2x
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
~)
+ x]
cos V zx +
sj
+ 5 1
cos 2 l og ( 1 + x) . l : x] [f 1 (X)
= cotg
x]
[f (X)
=
l
I
+
~
1
[f (X)
=
~ ~ ( x) =
s in xJ
co~
J
1 l +
x;J
- 303f(x) =
f(x)
1og ( x + V1 + x2 )
= s in log V1 +
f(x) =
x2
[ f ' (x)
[f ' (x)
X CO S
=
V1 : x'
log V1 + x' 1 +
[f' (x) =
Vsi n x
~ x1
CO S X
2 Vs in x]
4
f(x) =
[f' ( x) =
Vlo g2 x s
f(x) =
_ f( X) =
va rcos in 1
Vtg
X
[f' (x)
~
[f' (x)
a rcos in 4 x
f(x) =
l og s x
f(x) =
e3x + 5x
3
. ; log,
1 5 Varcos i n4 x
X
f(x) =
4
4 \!log~ x
~-
eJ
-~]
2 Vtg 3 x ·
co~';]
[ f ' (x) = 4 arcos i 2n'x] Vl - X [f' (x)
~
1
3 (log 5 x)
. .!.X
log 5
e]
7
f(x)
=
l/ 52x - 5x
J J
[f ' (x) = e3x2+ 5x (6x + 5)
J
2 [f ' (x) - 2-~· s 2 x_5 x (2.5 X-5X) logs]
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
- 304f( x) =
4.- --Vlog 2 x - log x
f( x ) =
log, (x - x2
f(x) =
eotg
f( x) =
)
Vx
[
Vs in log x
f
I (
f( x)
=
=
3
1
L
1(
x)
2
x) =
(
V1 - 1og 2 x
-~ l xj
tg a reo.~ in x 1 2 eos a t·cos in x .V1 - x2
= 3
2
J
1
2
f 1 (X) = 3 areotg log2 x . ··---- . .l l oge 2 l+log'x x [ 1
f( x)
f( X) = log lo g log x
f (x)
If L
If
Vx . 2 Vxj
2 ~ s in l og x
a reo s i n 1og x
tg a reo sin x
s in'
---:--======== . e_vs 1oa_x]
X) =
[ f ( x)
l
1
f 1 (X) =
=
f( x ) =
s in log\;~
x'
X
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
[f' (x) ~ x-J.->g-x-~;g-~o~-~] [f' ( ~ cos 1og l l+x
x)
[f'
(x)
~
2( l+x) ]
1
xX + 1 ( l og
X
+ J)
J
-305-
f(x ) = (l + x)Vx
f( x) = (xlog x)
t·(x) =
(l+x) l/X -1 . (l+x)lo9(1+x)+2x]
2Vx
-J
1 [f ' (x) = (xlog x)x log( x log x)+l+log x
X
2
f(x) = l 0 gs 1. n x ( 1 -
[ f 1 ( X)
COS X)
f(x) = 1og 2 X
[f' (x) =
= (
~
x)
J
log 2 log 2 X
[
vx
f 1 (x)
[f ' (x) = (
cotg x log x - log ~in xl =
log 2 x
VXl VX ( - 1-
4Vx
log x + -
-J]
1
21/X
6) Determinare 1 insieme di definizione delle derivate delle funzioni dell 1 esercizio 5) . 1
2.
0]
X
f(x) = logx sin x
f {x)
=
Ese rcizi s u argomenti dei Cap . Xl 0 e Xll 0
1) Determinare gli intervalli di crescenza e gli intervalli di decrescenza delle funzioni definite dalle seg ue~ ti leggi
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
- 306-
ere see i n
f ( x) = x1 - x - 2
f {x ) = 4 x
1 -
[
[ decresce in cresce
3x + 1
=
l
decresce in
c res ce i n [ dec resce in c res ce i n
f { X) =
;l
1 "2"].
[%. +".'J ;]
in
j cres ce in
- 2x 1 - 5x + 1
+ oo [
J - oo ,
J-
[ decresce in
f (x)
~.
a}
00 '
J-oo, -i}l [ - i , _:f +_
[ 0 , l ] , [ 2 , + oo [ ;
]-oo, 0] , [1, 2]
l
.
[- 2, 2]
]
[ decresce i n )- oo, -2 ] , [2 , +oo( . cresce f ( x) =
f( X) =
;J
[ de cres ce in [3 , +oo[
J- oo, 0]
4x1 - l4 x + 7 4x
f { X) =
in ] - oo, 2[ , ]2 , 3]
X
1 -
1
6x + 3
+ 5x - 50
x1 - 20x + l 00
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
[0 ' l J
j c resce
in
[2 , 10[
l decre s ce in ]-oo , 2]
[ 1 , +oo[ ; J
- 307-
f(x)
=
(x -
(x + 1)
f (X) = _
l
cres ce
1/ 2
in ] - co ,-5] , ] - 1, +oo[ ; l
cresce __:X ..;,.___
x2 +5x+6
in [- W,
[ decresce in
f ( x) =
=
-2 [,] -2,
J- oo,
-3· [ , J -3,-
i
[- 1, V- x
2
2x + 8
-
=x ~
f (x)
= XX
2]
[-4, -1 ]
r
in
cresce
Ldec res ce in ere see
V5 [V5 - 1
]- 2 ,
; l1
JI
X -
l
I
J
2]
in [1/e , +co[ ;
l J I
109
l
X
in
decre sce in
f ( x) = l og
;]
1J
[ deere see in ]0, l /e] cresce
~
[1 , +co[ ·
Jo ,
1]
. . [ cresce in J - oo , - 2[ , ]2 ,
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
l
]/6], 1!'5 ~+ oo ~
[ decresce in [-1 , oj ' [ 1, +co[
f( x )
f( x ) =
J/6] ,
in ]- co, - 1J , [0 , 1]
cresce
f(x)
J
decresce in [- 5 , -1 [
;l I J
+a-[]
- 308X
f(x) =
1og
f(x)
sin 2x - 10 s i n X + 6x
=
x - 1
[ cresce in ] 1, +a::>[]
XX
J
5n 2kn in [ n +2kn •j+ 3 [ere see dec res ce in t}+2kn' + 2kn]
J
f( X) = 2 COS X + X - 1
~
i n [ 2kn ,
c res ce
[ .p + 2kn , 2n
+ 2kn
+ 2kn
f ( x) = s i n x +
V3
Z
E
V k
Z
E
.p + 2kn J , V k
E
Z
E
Z
cos x + 1
cresce
in
[~ +
2kn
decresce in
f( x ) =
, Vk
J,
J,
dec res ce i n [ ~ + 2k n ,
']
, V k E Z
Vl x - 11
f (x) = arcotg ~ 1 - x1
La cultura è un bene dell'umanità (
[email protected])
[ 2kn
,
~ .+
, 2n + 2kn
[~
2kn
J
J,
, V k
E
+ 2kn , b7n + 2kn
Z
J
,Vk
~cres ce
in
[ l , + ex:. []
~ de cre s ce
in
] - oo , 1]
[ cresce
in
[-1'
0] l
decre s ce in
[0,
lJ
- 309cresce
in
[ decresce
in
f( x)
f (x)
•
2
s in x
= Sln X
[1J + 2kn
cresce in
[ ¥ + 2k.rr ,
z
,
+ 2kn
¥+ 2kn],
[-~, ~~]] [~ , 1]
J,
Vk E Z
de cresce in [2k n, i+2knJ, [;+2kn , ¥+ 2k.rr]
[¥ + 2kn
, 2n + 2k.rr
c res ce
f(x) = Vlog x
f(x)
=
lo