Lezioni di Analisi Matematica, Con Esercizi Svolti e Proposti


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La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

CALOGERO VINti

LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA (Con Esercizi svolti e proposti) Parte I I EDIZIONE 1981

Galmo Editria via Pinturicchio 55, Perugia ul. 07 5 - 28655

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

EDIZIONE 1981

Copq!Ught

I98I

by GALENO EDITRICE Perugia

le copie non firmate dall 'autore si ritengono contraffatte

STAMPATO IN ITALIA - PRINTED IN ITALY tipo offset cornicchia - ponte s an giovanni - perugia

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

IX "

Capitolo INFINITESI~1I

E

-1-

INFINITI

Infin ites imi . Sia

un so ttoins ieme di

A

mulazione per A Un 'appli cazione x che tende a x

'[L :

_:_:a_ Siano per

A

f

--t

.......

un punto di accu-

R

f

l a diremo un i nfinitesimo per tencte a zero per x che tende

A

( in ta l

X

~

J3J

g

R

che ten de a

X

A

quando

--t

e

R

--t

R

ca~o

entrambi in f initesimi f

e

g

si chiamano

infinitesimi simultanei ) Spesso interessa conoscere la ra ,.... "':.::::::=-pidita del rimpjccol i mento dj tm jofjnitesimo risoetto aiJ:"d::-" ~.

tro e a guesto scopo si pongona J e segqenti defjnjzjonj\. l(x ) del punto x tale 0 0 con x i= x , risulti

Suppon iamo che esista un intorno che per ogn i

x

9(x) ::/: 0 con x i= x 0

Ha senso all ora cons iderare per 09ni i 1 rapport_o_ _-r-

E

I(x

0

)

0

x E I(x ), 0

.......

e se esi s te in R i 1 1 i mite di ta 1 e rapporto quando de a xo si possono presenta re i seguenti tre cas i 10

i m

)

X

30)

--t

x 0

l i m

X

--t

xo

If (X )I

)I It(X )I

=

0

19 (X

19 (X

)I

= 17>:9]

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

z o)

1 i m X --t xo

If (X )I 19 (X)

I

X ten

-

=

+CO

- 2Nel primo caso diremo che f e un i nfinitesimo d'ordine su periore rispetto a g ; nel secondo caso che f e un infin itesimo d'ordine inferio re rispetto a g nel terzoche f e g sono dell o stesso ord~ne . Quando il l i mite, che

f

non esiste diremo

e g sono i nfinitesimi non confrontabil i

A -t R h A -tR g Se f A -tR so no tre infinitesimi s imultanei per X che tende a xo ' facil mente si vede che: Se f e dello stesso or:dj oe dj g e g e dello stesso o~:dj ne di h risulta f dello stesso ordine di h ' Se f e dello stesso ordine di g e q e d'o r: djne superio~ (i nferio re ) r i spetto ad h r i sulta f d ' ord ine superiore (i nferiore) ri spetto ad h Se f e d ' ordine s uperiore (inferiore) r i spetto a g e g e dello s tesso ord i ne di h , risu l ta f d'ordine superiore (inferiore) rispetto ad h Se f e d'ordine superiore (inferi ore) ri spetto a g e g e d' ord ine superiore (in feriore) r i s petto ad h risulta f

~ ' ord~--s_u_p_e~r~i-o_r_ e~ (~ in~f~e-r~i~o-r-e~)~ r~ ,s-p-e~t~t~o--a-d~~h------------~

Se e f = g h , sJne f e i l prodotto di due infinitesi mi, risulta f d ' ord ine superiore rispetto ad uno dei fattori · f , g se questo fatt0re e di verso da zero per ogni x di un intorno di x0 , ad eccezione al piu di x0 Peri l confrontd degli in f inite simi simultanei l a seguente proposizione .

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e i mportante

- 3-

1 . (principi a della sostituz ione degli infinites imi) . Nel passare al limite nel rapporto di due infinitesimi simultane i, possono aggiungersi , s ia a1 numeratore che a1 denomi " natore, deg1i infinitesimi di ordine rispettivamente }~~Jj.9 re , e possono tog1 i ers i , s ia a1 numeratore che a1 denominate~=re, deg1i infinitesimi che nei confronti dei rimanenti sono pure rispettivamente di ordine superiore . La dimostrazione e semp1i ce. Siano infatti f ' g , n , h deg1i infinitesimi per X che tende a X e per ogni X di 0 un i ntorno I (x ) di X co n X t= X risulti 0 0 ' 0 f(x) t= 0 , g(x) t= 0 Si ponga f

1

=

f + rf

'

h

91

=

g + g .

h)

Ovviamente e g 1 sono infinites i mi simu1tane i per x che tende a x0 e ino1tre f.h e d'ordine superiore rispetto a f e g . h e d'ordine s uperiore rispetto a g Si ha per ogni x con X =f= X 0

f 1(x)

f(x) + f( x). h( x)

g1 (x)

g(x) + g( x).n(x)

-- -

f(x)

+ h(x)

g(x)

+ n( x)

=

e da questa, po iche

+ h( x)

1 i m X

-t

che se uno dei due rapporti

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X 0

=

1 + h( x) f 1(X)

f( x)

91 (X)

g( x)

segue ammette 1i

- 4-

mite quando x te nde a x0 anche 1 'a ltro ammette 1 i mite per x che tende a x0 e ri s ulta f(x) 1 i m

=

g(x)

X ----+ X 0

cioe 1 'asserto Osservazione Sia no f , g infinite simi s imultanei per x che tende a x0 Si s uol dire che f e di ord ine ari spe_! to a g , con a E R + , quando f e dell o stesso ordine di ga Si suol dire che f e d'ordine maggiore o ugual e ad a (minore o ugual e ad a ) ri spetto a 9 co n a E R + qua n' ' do f e d' ordine maggiore o uguale di ga (minore o uguale di ga Esempi l )

Le appli cazioni

X ----+ l

x ---.sin x

X ----+ X

x ----.. x si n -

- COS X

sono infinitesi mi per

X

che tendo a zero 2)

l

Le applicazio ni

X ---+ X

so no infinitesimi per

X

X---+

che t ende a

Le applicazioni X ---+X tes i mi dell o stesso ordine quando

3)

Sappiamo infatt i

Cap . VI o , n. 9

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

X ---+

l l og x

+ co

so no i nf i ni Sin X t ende a zero.

XX

x2

che

x

- 5-

sin x

l i m X -+ 0

=

X

2 Per x che tende a zero l'infinitesimo X -+ S i n X d ' ordi ne superi ore r i spetto a X Basta osservare che si n2 x = s i n X s in x e d' ordine s uperiore ri s petto a s in x e s in x e un infini tesimo de ll a stesso ordine di X

4)

5)

Siano

-

f

e g

m g ( x) = b x ,

le app li cazi oni definite da

n, m. E lN ,

a, b E R ,

con

a

-=1=

f( x ) = a xn

0 , b

-=/=

0

Esse sono infinitesi mi simul tane i pe r x che tende a zero. Se e n > m r i s u lta f d ' -i-A·e---stlfle..ri are ri s pe...tio a g. perche e a n- m

D

ed

a b

X

n- m

X

e un i nfin i tesimo per

X

che tende a zero

Ovviamente ~s~e~e~~n~=~ mL-_fL__~e--Y g~~~Li~~

s tes so ordine 6)

Le applicaz i oni

g( x) = x tend e a zero

f

e g

co n f(x) = x s in so no i nf i ni t esimi non pa rago nab ili quando

e

X

X i

--x sin

Infatt i i l rapporto

'X .......

non ammette limi te i n R

quando

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X

=

I X ~~ s in

x te nde a zero

-67)

l i m

=

X-+ 0

l i m X -+ 0

El-

Co nfro ntiamo gli definiti da f(x) =

i l]fi n ~te s i ~i,

2 x - 2x+l

f( x) =

X -+ +co e qui ndi

~( x)

e di

f

l ; m X -++ CO

=

0

per

-

X g(x) =

c ~e

tende a + co ' ,~

111

---

2x + 3

Si ha ; m

X

5x 3 e un infinit esi 2 x 2 ed X sin X

X perche per x che tende a zero, mo d'ord i ne superi ore r i spetto a X e d'ord i ne superi ore r i spetto ad X 8)

l i m x -+ 0

=

X 2x + l ,.._ v~

0

'~~t~

ordi ne superi ore ri spetto a g

Per x che ten de a zero l ' i nfi ni tes i mo d ' ordine 2 rispet t o a X -+ X Si ha i nfatti 9)

X

~

m -+ 0

Infi niti .

=

-

x E R un punto di accu Sia A un sottoinsieme di R e 0 mulazione per A A -+ R l a di remo un infi ni to per X Un ' appl i cazi one f qua ndo @ t ende a + co pe r X che ten che tend e a de a x 0 Ovvi amente se f e un infinito per x che tende a x 0

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- 7l'appl i cazione ~p i ii

1/f

xo

xo A ---+ R g A ---+ lR due i nfi ni ti s imulf Siano tane i , cioe entramb i infini ti quando x tende a x If (x 0 quando Se esiste in R i l li mi te del raprorto lg ('X ).1 x tende a x0 s i possono veri ficare i seguen t i tre casi

)I

If( X) I

10 ) 1 i m X ---+ X 0

30 )

1 i m X ---+

xo

=

lg(.x) jo

::.h•\.

'

If ( x.)

I,

=

20 )

0

lf (x) j ~'f

l i m

=

X --+ X 0

\u

+CO

19 (X) I

k > 0

jg( x) l'

•Ne 1 primo caso diremo che f e un infinite d'ordine i nferi ore rispetto a g ne l seco ndo caso che f e un infinite nel terzo caso che f e d ' ordine superiore r i spetto a g g so no dello stesso ordine Quando i l limite, che f

If (x)

1 i m x --+ xo

e g so no i nfi ni ti

I

non esiste diremo

jg ( x) I

fno!i"

"'=='

co nf rontabi 111

.

La definizione di infinite d'ordine maggi ore o ugual e ad a E R + rispetto ad un altro i nfini te simultaneo e l a stessa di que ll a posta per gli infinitesimi. Se

f

A ---+ R

g

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A ---+ lR

h

A --+ R

- 8-

sono tre inf i niti si mu l ta nei per x che tende a

anche

qu i facilmente si prova che : Se f e della stesso ordine di g e g e della s tesso ordine di h , r i s ulta f dell a stesso ord ine di h Se f e del l a s tes so ordi ne di g e g e d'ordine s uperi Q re (inferiore) rispetto ad h ri sulta f d' ordine s uperi o re (inferiore) r i spetto ad h Se f e d'ord i ne s uperi ore (i nferiore) r i spetto a g e g e dell a stesso ordine di h r i sul ta f d'ordine s uperi ore (infe riore) ri spetto ad h Se

f e d' ord ine superi ore (i nferi ore) r i s petto a g e g e d ' ordine superiore (i nferi ore) r i spetto ad h r i s ulta f d'ordine superiore (inferi ore) ri spetto ad h Se e f = g . h cioe f e il prodotto di due infiniti, ri sulta f d' or dine s upe riore ri spetto a uno dei due fatt ori g , h Infine per gl i i nfin iti vale il principi a della sosti tuzi one de~li infiniti (la cui dimost ra zione e ana l oga a quella data per il principia di sosti t uzio ne degli i nfini tes i mi ) che s i libella nel seguente modo Teorema 2 . (Pri ncipi a della sostituzi one degl i inf initi ) Ne l passare al limite nel rapporto di due infiniti s i multanei possono aggiungersi, sia al numeratore che al de nomina re, degli infini ti di ordine rispettivamente infe r i ore , e posso no togliersi , s ia al numeratore che al denominatore , degli infiniti che nei co nfronti dei r imanenti sono pure

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-9-

rispettivamente d'ordine inferiore . Esempi 2 Le app1icazioni X ----+ X , x ----+ 2x + Sx 2 sono infiniti quando x tende a + ro e sono de11o ~~~dULe_ ~~che per i1 pr in cipio~a sostitu zione degli infiniti e

1)

; m X

~ +CO

2x /

+:J "

l i m X

=

1

5

~+co

(s i tenga presente che 1'infinito X----+ 2x e d'ordine infe 2 r i ore ri spetto a 11' i nfi nito x ----+ Sx ) ~0\'J -M,.~ s; (lEJ po Lt'v ) ~~vX ----+ 2) Le applicazioni x ----. . 12 so no i nfiSln X X niti per x che tende a zero e l a prima e d'ordine inferiore rispetto all a seconda perche 0 / 1/x sin x 1 i m l ; m =0 = ( 1 i m si n X ) 2 X ----+ 0 1/ sin x X ----+ 0 X----+ 0 X

1

Immediatamente si vede che il secondo infinito r i spetto al prima 3)

Le applicazioni

X ----+

e

d'ordine

X

infiniti per x che tende a zero, non sono paragonabili .

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2

~

-10-

Sull'ordine di infinitesimo e infinito di alcune applicazioni di fondamentale importanza . di :R in :R e un infini1) L'applicazione to quando x tende a + co e mostreremo che e un i nfi ni t o di ordine superiore a gualunque potenza con n i otero ~ positivo Sappiamo che (n. 6

----

-

= n=o

e da questa per quindi Si ha allora

x > 0

segue

e

> x /(n+l)! l i m

=

+

co

e di conseguenza

~rto. ~

L•applicazione precedente , x ~ ex, e un i nfi ni tes i mo ~ ndo x tende a - co e noi mo st reremo che e un i nfi ni te simo d'ordine superiare a qualunque poteoza con n intero positivo . Per x < 0 si ha infatti

(}t ,

e da questa, tenendo presente che

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1 i m X -+ +CO

=

+

co

-11-

segue

l i m

e quindi l'asserto .

0

=

X -+- CO

3) Co nsideriamo l'applicazione x -+log x di :R +in R , che e un infinito per x che tende a + co , e facciamo vedere che1 e un.-» infinito d•ordine jnferiore a q11~G@ x" potenza con n intero pos iti vo . Si ha

e posto

(log x) / x A

=

log x

si sc rive

=

log x

y

= (

1

xn

~: ) ~ I·

log x

Da questa, poiche

+ co

=

presente che

e tenendo segue

l i m X

-+

+

CO

log x 1

=

0

X ;:;

e qui ndi 1 •asserto . L'applicazione precedente, X -+ log X , e pure un infinito per x che tende a zero, e facciamo vedere che e un infinito di ordine inferiore a qualunque potenza ~"l ( -~ \ ~ con n intero pos1t1vo .

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-12-

y

Posto

= l /x

s i ha

e da questa, poiche per s ul ta

y

1 ; m X-+ +co

che tende a zero dalla destra ri

+ co

che ten de a ( 1og x)

x

I xn

.!.

=

e tenendo presente che seg ue

0

l og x

1 i m x -+ o+

0

=

I

(~)"

e qui ndi 1' asserto .

5) con

L'appli cazi one A = { x E R

x -+ 1 I 109 x

> 1 } , che tende a + co e mo striamo che ~ine inferiore a qualunque potenza s itivo . X

di

e Un e un

in

A

R+

infinitesimo per

X

infinites imo di or-

- n

x

co n

n

i ntero oo

Si ha infatti

1og1 x

I x)

(1 k

=

e da questa 1 •asserto pe rche

x~

l i m +co

X -+

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I l og

x

( 1og x)

j

xk

=

0

-1 3S V ·Q L T I

ES ERCI Z I 1)

e

x-o

Provarecheper

2

d'ord i ne

rispetto a

X

l'infinitesimo ~X

x -

1- cos x



Si ha i nfatti

1- cos x 2

2

=

X

4

sin

2

x

z

2

1

z

=

X

1

s in

zx

2

(z)

1

=

2

2

si n

X

( z )' 2

X

e da questa 1-co s x

1 i m X -

0

X

2

1

=

2

e qui ndi 1 ' asserto

2)

Confrontare l'infinites imo

per

x -

+ co ,

j(2Vx+ VX)

x -

con l'infinites imo

X

-

1

Si ha

I vx

=

Ma per

1e a pp 1.i ca zion i + co sono infiniti e allora, poiche x -

x3 -

X -

d'oraine inferiore a

x

2

-Vx , peril

stituzione degli infiniti risulta

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VX ,

1/X e

un infinito

principia della so -

- 141 i m

3,.-

2 J;x +

1 i m

=

VX

=

x ~+ oo

Gli infinitesimi dati sono quindi della stesso ordine . x --. tang x

Confrontare 1 infinitesimo con 1 i nfi nites i mo X --+ X 1

3)

per

X --+

0

1

Si ha

tang x

1 i m X --+

0

1 i m X --+ 0

=

X

. 1jcos

s in x

x

=

X

e quindi i due infinitesimi sono del l a stesso ordine 2

2

Conf ro nta re 1 i nfi nites i mo X --+ X + X tang X per X --+ 0 co n Adoperando i l pri ncipi a de ll a sosti t uzi one degli infinitesimi s i ha

4)

I

2

l i m X --+

0

x 2 ta ng

X + 2

x + 2x

x

=

3

l i m X --+ 0

=

e quindi so no della stesso ordi ne . Per quali valori de l parametro a E :R ' s imo f per X - 0 definito da

5)

f{x)

=

a Vx 3 +

2l

+

(1-a) (tg

risulta d ' ordine superiore rispetto ad

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vx ) X

--+

1 ' infinite-

Vsi n x g{x)

=

X

?

-1 5-

Occorre determinare

a in modo che f m = 0 X -+ 0 g

(

Si ha f = g

a

3

+ 2x 2

+

( 1-a) ( tg 1/X"" )

Vsin x

=

X

X

vx-:;:2

a

=

Vx

+ (1 - a) tg

V}(

1/X"" e poiche i X

---+

m

~=

0

Vx

m

f

1 i m X

---+

=

0

risulta

X-+ 0

=

Dovra qui ndi avers i

6)

aj/2 + 1 - a

~

a

V2

+ 1 - a = 0 cioe '

1

a = 1-

V2

Ca 1co 1are 1 i m X---+ 0

~

( 1- co s____;_x;_j_)_s.:. . ,_n_x_+ · _ _:t.zL_g2_:x_ 2 Vsin x + x cos x + x log (l+x) 2

Si osservi che X ---+ (1-cos x) sin x ed X ---+ tg X 5 so no infinites imi d'ordine superi ore r i spetto a X---+ j/X 2 ed X ---+ X COS X X ---+ X 109 ( l+x) sono infini tesim i d'ordine s uperiore ri spetto a X---+ VsTYlX

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-1 6-

Appli cando all ora il principia di sostituzione degli infinitesimi il limite richiesto

dato da

~

5

Vi Vsir1X

l i m X----t 0

)

w · Vs

X;

2

=

l i m X----t 0

-

10 _

= +

_

i n5 x

co

----r

..X!

V

4

3x 7) Determinare l' ordine dell'infinitesi mo X ----t X+ l X ----t 0 r i spetto a X ----t X per Occorre determinare un numero a E R + , se esiste,tale che i l l i mite

l i m X ----t 0

sia finito e diverso da zero Si ha l i m X --t 0

=

l i m

X ----t 0

~ + a X

g

X+ l

3 X4 =

=

l i m X ----t 0

l ; m X ----t 0

x5 a (x+l)

f tJ

=

x-4-sa l

lx + ll

e poiche per X----t 0 il denomi nato re IX + l I tende ad x-4sa I i l numeratore 13 avra per li mite ne zero ne + co se e so lo se 4 - 5a = 0 cio~ a = 54 8) Determinare l'ordine dell'infinitesimo per x ----t 0 rispetto a x ----t x

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3

x----tVJts in 3 x ,

-1 7. 3 Poiche X --+ S ln X e dello stesso ordine di 33 l'infinites imo x --+ Vx 4 • sin x e dello s tesso ordine I 13 33 ci oe x --+ x 3 e dell 'i nfi nites i mo x --+ j/x"' X 13 quindi l' ordine r i chiesto e 3 2

Determi nare l'ordine dell'infinito X --+ f (X) = X + per X -++ co rispetto all'infinito X --+ g(x) = Detto a un rea le posit i vo, si consideri il limite 9)

1 i m

X

2

+

X COS

xa

X -+ +co

X

=

1 i m

2-a

X

x -+ + co

+

1 i m X -++ CO

X

COS X X

e ta 1e 1i mite e fi nito e di verso da zero se e solo se ·_a L'ordine richiesto e 2 10)

X COS X ,

a-1

= 2 .

Ca l co lare 1 i m

X + • X2 + l Og X

x + ex

X -++ CO

Poi che da quanta s 'e detto al n. 3 x --+ log x e un in1 finito d' ordine inferiore a qualunque potenza xn ed x --+ ex e un infinito d'ordine superiore a qualunque potenza xn adoperando il principia della sostituzione degli infiniti il limite richiesto e dato da 1 i m

x2

=

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0

-1 8Confrontare l'in finito + X -+ 0 co n l 'i nfi nit o

ll) per

X

.

-+f(x) =x l og x + cotg 2 X -+ g(x) = l I X

X

E' f (x)

2

log x

X COS

g(x)

-+ l I X 3 super i ore a

e

un infini te d ' ord i ne inferi ore a X-+ x2 e un in f ini tesimo d ' ordine

mentre

X

s i ha

X -+ s i n X

l og x

l i m x-+ o+

sin x

?

X -+ log X

Po i che

=

~

X

+

=

0

1 i m



X -+

x3

X

2 cos x

o+

s in

=

0

X

e di conseguenza f(x) 1 i m

X-+ L' i nfi nito nito

e

g

o+

g(x)

0

qui ndi d 'ordi ne s uperi ore ri s petto all 'i nfi-

f

E S ERC I Z I 1)

=

P R0 P 0 S T I

Determinare l' ordine di infi ni tesimo delle app l icazioni

?

X -+ X X

quando

~

vx --, 3

3

X -+

x1

l

X -+ X s in x -+ x + ta ng x

·1

-+

X -

x

tende a zero, rispetto all'infinitesimo

s in

X

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X

-+

X •

-192)

Determinare l'ordine di infinitesimo dell e app li cazioni: X

quando

X

-+

X

+VX)

l I (l

-+

rispetto a ll'infi nites i mo

+ co

-+

lj/X

x -+l lx 3) X

Determinare l'ordine di infinite delle applicazioni -+

X

4

X

quando

X

-+

X -+

rispetto a ll'in finito

-++ co ,

X

-+

I x"

X

-+

I x s in x

quando

X

X

-+

X

I Vx X

-+

X

I s in x

-+ 2

I tang x

tende a zero, rispetto all 'i nfinito

-+

X

l I

X

Determinare l' ordine di infinites imo delle applicazioni -+

X

X

COS X

--+

s in 2x

rispetto a ll'infinites imo

quando

6)

-+ x + log x

l(

Determinare l'ordine di infinite delle applicazioni

4)

5)

vx

Confrontare tra l oro le seguent i copp ie di infinitesimi x -+ 0

quando l a.

X

-+ x + s in

2a.

X

--+

3a.

X

--+

x sin

X

X

- cos

X

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

X

--+

X

--+

X

-+

tg

2

X

-

s i n2 x

l - cos tg 2 x +

X3

X

.

- 20-

7)

Confrontare tra lora le seguenti coppie di infiniti

3a.

X

-4

+ co

X

-4

X + X

x

3

X

-4

2

109

X

l og x + x

Per quali valori di

8)

X -4

0

-4

-4

X -

ex

X

-4

X +

l og

X

-4 X 3+

R

E

-a 2 x2

X -4

per x

a

X

X

2x

l'infinitesimo

+ 3 si n x . tg x

e

d'ordine superiore al secondo r i spetto a

?

X

Adoperando il principia di sos tituzione degli inf initesimi calcolare i 1i mit i

9)

1 i m X -4

0

(9 +x 4 +cos 5x

1 i m X -4

x tang x

+

x"'

X 3_

tang

X

X + X

1 i m X -4 o+

3 X +

5x

x +

2

2

109 +

+

3

0

X

X +

X 3

s in x

x4- cos

tg x

s in

X



X

1 i m X -4

sin 3 x

sin x

+

2

0

X

+

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

sin

X

Sln tg2

2

X X

tang

X

- 2110)

Adoperando il princi,Pio della sos tituzione degli in f i-

n it i ca l col a re i l i mit i e l i m X -+ + co

l i m X -+ -

co

X

e

+

3X

+

X3

+

X

e

l og x

X

xs + x2 cos ( l /x ) 3 2 X + X tg ( l I X) X

log

3x loq x

X

+ x2

x3 + x co t g x

cotg x + x- 2l og x

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-22-

Capi tola

DE R I VA Z I 0 NE

LA

I .

I N

Definizioni e prime propri eta .

In tutto il capitol a considereremo funzioni definite in una parte di R e a valori in R , cioe funz i on i rea li di va r i at,ile reale Sia f un'applicazione di in R , ove e un int r ~a-l lo di R con punti inter~ J:":.Rir~t~ o tutto R Fi ss ato un punt~~ s i cons ideri l' app li cazione

-

-

~

GJ

J

f(x) X

---+

X- X 0

~ in incr~e ll a

di

app li cazi one che si ch i arna rapporto f a partire dal punto x0 (e definita dal rapporto tra l'incremento ..della f e (]Uello della vari a IR

-JUl-e____, X l . L'applicazione i 1 1i mite,

f

s i dice derivab ile in

0

0

se esiste in e in tal case

1 i m X ---+ X

x

X - X0

ques to limite si ch i ama la de rivata (prima) dell a f in La derivata in x0 si suole denotare con uno dei s imboli

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

R

- 23 -

e adoperando i 1 cambiamento di variab il e si puo scri ve,re

-

D f(x 0 ) - f

I (

XQ)

L applicazione 1

x

f

s e es i s t e i n

0 ~rt ire

-

df

dx (xo)

X -

X

X 0

=

h

1 T

1 i m h- 0

s i dice derivabile R

...!.i..!.. 1_._ 1

m !.'-'iut 0 1

e oppure

f

I (

XQ)

f

I (

XQ) <

0

0

Se invece e f (x 0 ) = 0 l a tangent e in T( x0 , 0) al grafi co de11 app li cazione x -. f(x) co inci de con 1 as se x e qu i nd i dopo i l r i ba l tamento che S 1 e operata tale 1

1

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

1

- 53 -

tangente si muta in se stessa e ri sulta ta ngente i n T al grafi co della x - I f(x) J Esiste dunque l a deri vata, D lf(xo)

o 1 f ( x0 ) 1

I, ed e o

Esami niamo i nf ine il caso che ~ sia tale che f( x) = 0 ed x0 non s i a int~~ I Tale punt o x sara di accumul az i one da des tra o da sin stra pe r Si supponga che x0 s i a di ac cumul az i one da s i ni stra per I ana l ogamente s i procede se x e di accumulazione da des tra 0 per I . Pos to. U = (x 0 , 0) , la tange nte in U al l a x - lf(x) \ esi ste ed ha per coeff i cien te ang ol are f ' (x ) o - f ' (x 0 ) 0 Seco ndo che e f ' (x ) < 0 opp ut~e f ' (x ) > 0 0 0 Ba sta tener presente che se e f ' (x ) < 0 , in un i ntorno 0 a sini s tra di x gra fi ci del l e due ap pli cazioni

-

0

x Jf( x) I x - f (x) co incidono , mentre see f ' (x ) > 0 l'uno e il ribaltamento de ll ' al tro. 0

11 l ettore provi il ri sul tato ottenu to adoperando soltant o i l concetto di derivata come li mite di un rapporto incremen tal e .

3)

Ca l col are

I 1 di agramma di

ra : .;eM 15

>0 Lo

D x -

I s in x

Isin x I

I

(.)

e

de~

~ 'K -= e.o~ )(

to dall a c;eguente figu -

~ 1ift2AUr1 ~ )(~ ~ -~0rGl

(?;>J )(

2AA i Z1t-v ~ ~"S.

-~YV

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

t\ t

~

- 54y

x ~ lsi n xI

- 31r.. ... ___ _., ~ - 2 n

n ' , .....

____..,. x

2n

~

~

3n

X

s in x

Te nen do presente il rag i onamento fatto nell'esercizio precedente s i ha Nei punti deri vat a d i

es_se ndo

s i·n x

e

data da

ed COS X

per

0 I sin x I = - cos x

per

0 I s in xI

=

=I=

0 ,

es i ste l a

2kn < x < (2k+l)n, Yk E Z (2k+l )n< x< (2k+2)n, Y k

E

Nei punti x = kn, essendo s in kn= 0 et 0 sin kn= = cos kn =1= 0 l a de r i vata di x ~ js in xI non esi ste; esi s tono in tali punti l e deri vate de stra e s i ni s tra e sono date da 0+ js in xl =

0

ls in xi =

t

~

COS X

f)er

X

= ( 2k + 1 ) n

COS X

f)er

X

= 2 kn

COS X

per

X

= ( 2k + 1 )n

- COS X

per

X

= 2 kn

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

Z

-55Far vedere che se

4)

derivabile ri-

~

sulta

~q

lf(x)J

=

+Pxif

nei punti

plicazione composta delle

x ove

x -.

Si osservi che l 1 app l i cazi one

Ma

e

I -. R

f

log

z = l ogy,

f( x) # 0

I f ( x) I e l

I

ap -

y=lf(x)l

e >

f 1 (X)

se

f( x)

- f 1 (X)

se

f(x) < 0

Dlf(x)l=

0

e qu indi adoperando il teorema di derivazione delle funzi oni composte s i ha, per

x # 0 ,

G

1 D log lf (x) I= - - . D If (X )I=

lf{.x )I

l If{ X)I

. f 1 (X)

- -l -

f 1 (X)

If (X )I

se

f (x) > 0 = f {x) < 0

se

~~

_f~L f (X}

5)

Calco lare l e derivate delle segue nti funzioni

x -. l og

I si n x I

Tenendo presente l esercizio 1

D log I s i n x I =

COS X

s in x

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

4)

si ha

nei punti

x ove

s in x # 0

-56D l og

Ix

2 -

5x + 6

I=

2x - 5 2

x ave

nei punti

.

x - 5x + 6

2

x - 5x + 6 =I 0 •

Il lettore determini tali punti 6)

x •

Calcolare

D log a rctang x Osserviamo che l'applicazione x --+ arcotang x della

y --+ tg y

l'inversa

in un intervallo in cui quest'ultima

strettamente monotona peres. in L'applicazione

e

z, z[

]-

x--+ arcotang x

e

quindi definita in

e 1R

J

ed e arcotang x > 0 soltanto per x E 0, + co [ • Ne segue che 1a funzi one x --+ 1og a rcotang x e defi nita in

J0,

Essendo

+ co [ • D arcotang x. = 1 / (1

D log arctang x

=

arctang x 7)

t .. x

2 ),



.

2

Vx

E

IR,

si ha

V

X E]

0 , + co [ .

+ X

Calcolare le derivate delle applicazioni cos x X --+ e

Applicando il teorema di derivazione delle funzioni compo-

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-57 ste s i ha =

e co 5 x ( - s i n x)

=

2s in x (cos x) l og 2

Ca lcol are l e derivate del l e seguenti appl i cazion i 2 X sin x X ---+ X X -+ X

8)

Si ha X

X

2

=

s in x

X

sinx elog x

=

e

=

s in x 1og x

e qu indi D

X

0

X

=

X

2 =

2 e log x ( 2 x 1og X

s in x = es in x. log x Xs1n

x ( COS

X

log

X +

x2

log

(cos

X

X +

si xn x )

Ta li derivate esistono nei punti Perc he? 9)

Calco l are

Poiche

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

2

~)=

XX

si n x

X + -X

x

E

R

)

(2

X

1og

X + X)

=

con

X

> 0 .

-58-

xls in xj

e ls in xl log x

=

s i ha D x ls in xl- 0 e ls in xllog x = e ls in xl.log x (l og x. Dl s 1· n x 1 + si tenga presente l'esercizio 3) in quali punti x esiste tale derivata. Calcolare 2

3

D a rcotang cos x

2

Appli cando ripetutamente il teorema di derivazione delle funz i oni di funzioni s i ha :

s in

VX

(cosVX) .

D arcotang2 cos3 x2 = 2 arcotang cos3 x2 .

2

. 3 cos

Ma in quali punti

X

E

/.

R

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

X

e s i precisi

=

10)

Is in xI '

(- s in / ) . 2x es i stono tali derivate?

- 59-

E S E RC I Z I

P R0 P 0 S T I

Calco l are le derivate delle funz i on i definite dalle seguenti 1eg9 i, prec i sando in qua 1i r>unti x E R ta 1 i derivate esistono . 1)

JIM

x2 xr+l

- COS X COS X

log Ieos x.l ,

log ( x + vx)

+

X

X + 1 x2 + 1

arcos in

arcotan0

a reo tang

l og tang

Vx

lo~l sin

_x_ 2 I 1 - x

VX

3

log4 tang (si n ~)cos .fX

in xlcos xi

2

l x -5x+6l 2

log ~

2)

IX

IX + 1I

V sin

3

+ 5x

I

tan0 l logVX

vcosx

I

arcosin 3 Vcos3 x

Caloo l are le derivate delle seguenti funzioni: x

-+

sinh x

x

-+

cosh x

x

-+

tangh x

x

-+

cotangh x

e dire in quali pun t i

x

E

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

R

tali derivate es i sto no.



- 60-

XI"

Capitola TEO REM I



FUNZIONI

SULLE

DERI VA BILI

Cresce nz a e de crescenza lo ca li

Si consideri un'applicazione f : I ---+ R , ove e un interva ll o di R con punti interni o una semiretta di R o tutto R . La f l a diremo non decrescente in un punta I se es i ste un intorno U di x tale che

foE J ·---

0

-

f(x)

~

f(x ) -

La

f

~=v==~x~~-E~~L~t~~n=2J-I.., - - la f s i dira rispetti ...,...--vamente crescente o decrescen t e i n (* ) '

(* * )

e

n] ,

Si osservi che se 1a f non decrescente ,in rrJ! con V intorno di x (ved i definiz.i one del Cap. IV ' , n .l 2), 0 t~a vi ceve r r i s ul ta ovv i a mente f non decresce nte in x 0 sa la non decrescenza in un punta non

de ~cenza

in

V n I ,

con

X . --.Q__,

Ad es . l ' appl i ca zione definita da

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

V

orportuno i ntorno di

-61-

per per per i1 cui grafico

e que11o

x > 0 x = 0 x < 0

in figura

y=g{ x )

/

y=- x'

e non decrescente v di x in cui

ne1 punto zero e non esiste a1cun intorno " essa e non decrescente . 1a n crescenza, 1a crescenza e 1a de ~eMa__j__IJ__JJ n pun to esp e!.._mono de~ propri eta local i ~ mentre l a non decrescenza, la non crescenza, l a crescenza e la decrescenza introdotte in un sottoi nsieme di R IV 0, n.l2) esprimono delle proprieta-globali

---

Ill

~32

decrescente o crescente i n

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

x E I . 0 ri sulta

-62f 1 (x ) 0

in

-

0 , mentre se ri s ulta f x )

~

x

0

(

Poniamoci nel caso in

x

~

0

che~ s i a

non decrescente o crescente

(nell 1 altro caso l a dimost razi one e analo a

Es i ste allora un i ntorno ( .• ) ,

e non crescente o decrescente 0 .

f

1

U di

x

per cui s ussistono le

0

e da que ste segue immedi atamente che

(**)

~

Il limite,

0

,

V x E Unl

che per ipotesi

l i m X

--4-

R

x0

X -

X

0

non puo es sere di

virtu del teorema dell

pe+ma-r:~e.n.z_a

co n ~ uen za

negatj vo in

del segno , e quindi l ' as

_e..tl_Q_._

Questo teorema s i puo in parte invertire , s us si ste ci oe il seguente [ieorema Se e f se e f

n I (

I (

[f=~

Sia

> 0 Xo) < 0

Esami n.i amo il caso

f

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

Si ha quindi : 1

f( x) - f ( xo )

0

X

0

0

X

derivabile in

X -

0

E I.

crescente in xo , ment re decre scente in X

f

f 1 (X ) > 0

l i m --4-

lR (

--4-

ri sulta ri sul ta

X0)

X

I

xo

> 0

- 63e peri l teorema della permanenza del segno esiste un interno U di x0 ta l e che

* ) , (* •)

e da questa seguono i mmedi atame nte 1e ( ave ~ in esse le disuguag lianze so no in senso_st~o co l si mbol o

-<

Abbiamo detto che il Teorema s i puo inOsservazione . vertire in parte, invers i one Q lle sta~c;.s.a_--~~~----~ dal Teorema 2 • . e questa perche dal l'ipotes i ~ -'~(_ x~~ 0 ) -=___o____no_n__s_i~p_u_o__,_·n~ generale dedurre l a non crescenza o l a non decrescenza della \ f in xJ. Ba sta ad esempi o cons iderare la x -+ x 2 che ha derivata nulla nel punta zero.

--

---

Esempi 1)

In

quali Jp~u~n~t~i--~ x~E~Eu___~l~ a~ f~IJ~ n z~,~·o~n-e--d.~e~f-i~n~i~ ta~c~o~n~l~a

e crescente o

Gx) ~ x'-

53

dec res_c_e_ n~ te ~?~ . ------

Poiche l a f unzione e derivabi l e per ogni ado per are il Teo rema 2 . Si ha f ' (x)

=

2X

-

5

'":>

::>

0 ta 1e che If x) I ~ M , lf x '-~~--~~~~--~------~~~seg ue immedi atamente 1 1 asserto. 1

(

Fi ssati ad arbitrio due punti x1 , x2 per il teorema del valore medio si ha

=

f

I (

S)

s)

e poi che f 1( > 0 seg ue ~ < f (x ) e qui ndi 2 1 1 asserto. Se 1 1 ipotes i f 1 (x) > 0 s i sostitui sce con f 1 (x) < 0 analogamente s i prova che f ris ulta decrescente in [a,b) . Se infine 1 1 ipotesi f 1 (x) > 0 s i sostituisce con f 1 {X) ~ 0 opp ure con f 1 (x) ~ 0 r i sult a f rispetti vamente non dec re scente o non crescente.

Osservazione . I l teorema 9 ci da maggiori informaz i oni del Teorema 2 Cosi nell 1 esempio 1) del n. 1 pos si amo dire che la f crescente in +co [ mentre e decrescente in

J-

co ,

i]

[i ,

Mentre nell 1 esemp i o 2)

t e in · :R •

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

del n.

e

e crescen

- 75 -

@

I teoremi di L'Hospital . .

In questo numero ci occuperemo del l a ricerca del l i mi te del cioe di eapporto di du io al l imite si resen che con un 0 co che si chiamano forme indeforma

0

co

proposizion i gener~ limiti in questione possono an-

non

che non esistere. ~oremi di L'Hospital che ora esporremo forniscono, a vol te, uno strumento per l'analisi di queste forme indeterminate. 11 lettore ricordi ~.c~h~e~q~u~a~lc~h~e~p~a~r~t~i~c~o~l•a=re=-f•o~r~m~a~i~n~d~e~te~ rm ~,~ ·­ 0 ~ ata e stata studiata al n. 9 de l Cap . Vl ~

Teorema mi nata

L;egola di L' Hospital per l a forma indeter-

g: [a,b] Siano f: [a,b] - t R , cazioni continue nell ' int.e rvallo ch i uso

lR [a,b]

-t

due app l i, deriva-

lfSfqH)

bil i nell ' aperto ]a,b [ e ta l i che Inoltre sia g'( x) # 0 V' x E] a,b [ . ste in ""' lR i 1 1i mite f' ( x) i m+ x -t a 9 ( X) I

esiste pure in

lR

i 1 1imite

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

=OJ · . ora se esi-

-761 i m+ x - a

]

K

f( x)

.b

@.:.-

g(x)

e ri sult_g. f( x)

m+ x -a

-g( x)

=

1 i m+ x - a

f 1 (X) 9 I ( X)

Per ogni X ~ a < x ~ b ~ ri sulta g( x) =1= g(a) = 0 perche in caso contra rio~ per i l Teorema di Rolle~ es i sterebbe un punto per cui gl(£)=0 in E ) a~ x [ contraddizi one con 1 .ipotesi 9 ( x) =1=0 ~ V x E la~b[. Possiamo allora app l icare la formula di Cauchy e sc rivere

s

1

f( x)

f( x) - f(a) =

g(x)

1

f

I (

=

g( x) - g(a)

gI

(

S)

s)

con

s

E ]

a~x [

Ma per x che tende ad a + 0 risu l ta £- a + O e 1 1 quindi da quest ultima relazione e da ll ipotesi che esiste 1 in R i l l imite~ 1 i m+ f (x) segue 1 1 asserto. 1 x -a g (x) Osservazi one . Anal oga _e 1 1 asserzione del- teorema quando il limite per x che tende ad a e inteso da sinistra e qu i ndi anche in senso ordi nari o. La proposizione poi si estende al caso che il punta a sia - co oppure + co e l e ipotesi f(a) = g(a) = 0 si sostitui scono rispettivamente con

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-77l i m

X-+

f(x)

=

f( x)

=

- CO

1 i m X-+ +co

l i m X-+ - co

g(x)

=

0

1 i m

g{x)

=

0

X -+

oppure

+CO

Di queste estension i omettiamo la dimos t raz i one.

LllJ ·

:f eorema (regola di L'Hospital per l a forma indeterminata co I co ) Siano

f : ] a,b]

;;-;;;;-;- derivabili

-+

lR

g : ]a,b]-+ R du e appli ca co n g ' ( x ) ~ 0 , V ~- E j a , bJ.

,

i~

Sia pOl + co

f{ X) =

Se esiste in anche in

-R

l i m+

g (X) =

+ co

x -... a

-R

1

i 1 1 imite, X -+

i 1 1 i mite 1 i m+

X-+ a

m+.· a

...___-

f( x}

f {X~

'

-- J g (X) I

esiste

g{x)

e si ha 1 i m+

X -+ a

f( x) g( x)

=

1 i m+ x -... a

Di questo teorema omettiamo la dimostrazione e osserv iamo che analoga e 1 'asserzione quando il limite per x che tende ad a e inteso da sinistra e ~uindi anche in sense ordinaria. Suss i stono poi le estensioni di questa proposizione ai casi a = co

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 78-

Esemp i Ca 1co 1are

1)

- COS X

1 i m X ---t 0

X

:>

X ---t Le funz ioni - COS X x - l sodd i sfa no l e ipotes i de l Teorema 10 s i a in [ O,b ) che in [c , o] e s in x ten de po i che il rapporto delle l ora derivate, 2 X 1 a quando x tende a zero, s i ha

2

- COS X

1 i m X ---t 0

2)

X

2

=

2

Ca 1co 1are l og x -X

1 i m + X ---t 0

te funz i ani x - log x sodd i sfa no le ipox - x te s i del Teorema 11 in ]0 ,1 ] e poi che il rapporto delle l ora deri vate e l /x -1 /x

-2

=

il l imi te cercato esi s te ed

- X

e

zero.

Mettiamo in evidenza la circosta nza che nei Oss ervazi one . teoremi di L 1 Hos pital dall 1 es i stenza del limite del rapporto delle derivate s i pa ssa all 1 es istenza del limite del rappor-

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 79to delle funzion i , rna non vi ceversa . Cioe puo esistere il li mi te del rapporto di due funz ioni sen za che esista i l l imite de l rapporto delle loro derivate. Ad esempio s i considerino l e app li caz ioni f,g definite dal le per

x i= 0

per

x

= 0

Esiste i l limite de l loro rapporto f(x) g( x)

1 i m X -t

0

1 i m

=

X

-t

x si n

0

=

0 ,

X

rna non esiste il limi te de l rapporto delle l oro derivate, i m X

-t

0

f 1 (X)

perche

e

g I (X) f 1 (X)

=

2 x sin -

X

g I (X)

cos -

X

Si facc i a ben attenzi one qu i nd i ad appl i care i teoremi di L Hspita l e anche a non adoperarli i n modo meccanico perche i n tal caso spesso all ontanano dal fine proposto. Cos1 ad es. se si vuole ca l co l are il limi te, 1 i m e- x / (1/x) , 1

X ~

+CO

adopera ndo i teoremi di L Hospital il rapporto de ll e derie- x vate e e adoperando ancora L Hospital s i pass a 1

1

1 I/

a considerare l 1 espressione

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

e

-X

e cos1 cont inuando

-80senza ven i rne mai a capo. e

Mentre se s i os se rva che

-x s i ha irTITlediata

=

l /x mente, senza app li care L' Hospital, perche sappi amo che

e

X

per

X

-++

e

co

to d ' ord ine superiore a qua 1unque potenza

6 .

0

=

n

x

un infini

( n. 3

de 1

Ricerca di a1tri 1imiti con i teoremi di L'Hospita1 .

Ne1 numero precedente forme indeterminate

CX)

e queste come ora vedremo si riconducono a11 e precedenti studiate a1 n. 5 . Si ano f: I-+:R, x0 E R un punto di accumu1 azi one per seg uenti cas i

~ Se

Forma i ndetermi nata 1 i m

f(x)

0

due app1icazi oni , e I , ed esami ni amo i

co

1 i m g(x) X -+ X X-+ xo 0 un di retto passaggio a1 1 i mite ne 1 prodotto s i ha 1a forma indeterminata 0 . =

0

CX)

Se si osserva che

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

= + -

con

CX)

f(x)

g(x)

-81 f g

f

=

1

g

=

g

f

si e ricondotti allo studio de l l imi te del rapporto di due infinitesimi o di due infiniti che conducono alle forme ina co determi nate e quindi si possono adoperare 0 co i teo rem i cl i L' Hospita l Esempio Per calcolare 1 i m 0+

X

log

X

X -+

si osservi che X

l og

=

X

log x -1 X

e quin di app li cando L' Hosp i ta l si ha 1 i m X-+ o+

=

X

1 i m+ 0

l og

-

X

1 i m X -+ o+

=

X

=

log x -X

=

1 i m+

X -+

0

0

X -+

Forma indeterminata + -

co - co

+ m 9 ( X) = X -+ x X -+ x 0 0 con un di retto passagg i o al li mi te nell a di fferenza f(x) - g(x) si otti ene la forma indetermi nata co -

Se

1 i

m

f(x)

=

co

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

co

co

1/x = - l /x 2

- 82-

Si osservi che f(x) - g{x)

= (

~

-

+)

1

f.g

e quindi si e ricondotti alla ricerca de l li mi te de l rapporto di due infi nites i mi che si puo studiare co l teorema di L' Hosp i tal. Esempio Calcolare 1 i m

(l -

X-+ 0

cotg x )

X

Poiche

( l - cotg x )

= ( -

x

-

tang x - x x tang x

=

X)

- cotg x

cotg x

X

adoperando due vo l te la rego l a di L'Hosp i ta l si ha x1~

~

=1 i m X-+

0

=1 i m x-+

0

(

~

cos2 x tang X 2 si n

+

=

X

cos 2x

X cos 2 cos x - si n 2x

X

+

1

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

tang x - x x tang x

1 i m X-+ 0

- cotang x ) =

=

s i n2 x

1 i m x-+

0

0

sin

x

COS X+ X

=

=

- 83 co 0 1 ,co

Forme indeterminate Se 1 'app 1i caz i one tenza

e pos i ti va ha sensa cons i dera re 1a po-

f

f( x)g(x) e con un diretto passaggio al limite si hanna queste forme indeterminate quanco si verifica una del l e seg uen ti condizioni a)

i m x-. X

f(x) = 0

1 i m

0

b)

0

1 i m xo

f(x) =

1 i m

f( x) = +CO

1 i m

X _.

c)

X _. X

g(x) = 0

X _. X

+ g(x) = - co

X _. X

0

1 i m x-. X

0

Po i che l a potenza

g(x) = 0

0

IIj

si puo sc ri vere:

fg =

e g(x). log f( x)

basta studiare il 1i mite di g(x)

l og f( x)

che so tto una delle co ndizi oni a) , b) , c) e il prodotto di un infinitesimo per un infinito e quindi si e r icondot ti al caso 1° . Esempio l.a l colare

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 841 i m X-+ o+

X

1 i m+

X

X

Si ha 1 i m X -+ o+

=

0

X -+

e poiche

X

e

m+

X

1 i m+

X

X -+

ri sulta

X-+

log

X

log

X

0

=

X

e

0

X

e0

=

=

0

Osservazione 11 lettore osservi che nell ' adoperare i teoremi di L'Hospital sia al n. 5 che in questo numero, abb iamo a vo 1te portato d~ gli esemp i ai qua1i si poteva dare una ri sposta senza ques ti teoremi . Nell'esempi o 1 ) de 1 n. 5 poiche e -

CO S X

=

2

si n 2 x 2

x2

=

x2

1

2

(

sin 2X X

z

si ha subito 1 i m X -+ 0

Per 1 ' esempio 2) del n. si ha immediatamente che

-

1

COS X

x2

r

=

2

5 e per i 1 primo esempio del n. 6

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-85-

log x

1 i m x ..-. 0 +

1

=

0

-

X

e questo perche sappiamo (n. 3 del Cap. IX 0 ) che log x , per X__. 0+ , e Un inf inito d'ordine inferiore a qualun1 ) 1. que potenza ( x n • t-----..=~n consiglio quindi :

evitare il piQ possibile l'uso delle regole di L'Hospital e adoperarle solo quando per altra via non si arriva al r i sultato richiesto

-

ES ERC I Z I

S V0 L T I

1) Determi nare gli intervalli di crescenza e di decrescen za della f unzione definita con la l egge f(x)

=

l on

jx 2 - 5x +

Tale funzione e definita in tutto R 2 X E lR per cui X - 5x + 6 = 0 Tali punti so no xl = 2 , x2 = 3 La

f

e

poi derivabile, tranne in

~

2x - 5 2 X - 5x + 6

Si osservi che ·

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

61 tranne che ·per g 1i

~ , ~2 0

per

X

2x - 5 < 0

per

X

<

x2 - 5x + 6 > 0

pe r

X

< 2 ·.

per

2

<

2

x - 5x + 6 < 0

> 2" 5

z e per

X

> 3

< 3

X

Ri ass umendo co n uno specchi et to s i ha __. 2x - 5

- -

- -

0+

~~ ~ ---- --

2

_ _+____

Jf

---4· - - -

x 2 - 5x+6>0

e qui ndi

~--

5 -

-

_] -

x 2 - 5x \

-

3

- -

-

+..:_____

_ L __ _ _

6 < 0

x 2 - 5x + 6 > 0

e

f ' (x) > 0

per

2

<

f ' (x) < 0

p.er

X

< 2

X

< 52

e per

3 < X

5 e per 2 <

X

< 3

Adoperando i 1 Teorema 9 s i ha che gl i i nte r val li di ere sce nz a dell a f so no

J

2'

~]

J

3 '

+

co [

me ntre gl i in t ervalli di decrescenza sono

]- co, z[

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

}

[~'

3 [

- 87 -

2) Determinare gl i interval li di crescenza e di decrescenza della applicazione definita da {ryx )

= 2

sin x -

Q

Ta l e funz i one e deri vab ile in ogni f'( x)

=

X

E :R

e

s i ha

2 cos x -

E' 2

COS

X -

ci oe

l > 0

-

j

+ 2k n < x <

COS X -

l

< 0

per

COS X

1 + 2kn

l

> 2

, V k

E

Z

mentre e 2

ci oe

} + 2k n < x <

per Ri sulta quindi

f

j

rC+

COS

X

< .l_ 2

, V k

2kn

E

crescente neg1i interva lli

[- J + 2k n

j

,

+ 2 k:t

J

, V k E Z

men tre e decrescente ne g1 i interva l1i [1+2kn , 3)

Ca l co 1are

, V k E Z

i n + 2k n]

seguenti 1i mi t i l i m X --+

0

l i m X --+ 0

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

x - sin x X 3

x - arcosi n x X 3

Z

- 88-

Entrambi quest i 1i miti, con un passaggi o diretto conducono a1 1a forma indeterminata Adoperando 1a rego 1a di L'Hospita1 (i1 1ettore controlli che si puo adoperare) s i ha:

g

X - si n X x3

m X

-+ 0

X

=

-+ 0 1 i m x -+ 0

=

3 X2

1 -

x - a rcos in X = X3

1 i m

- cos X

1 i m X -+ 0

=

1 i m X-+ 0

6

vl -x~ 2

3 X

V1 - x2 3 X2 1

=1 i m X -+ 0

4)

=

V1 - x2

Ma i 1 pri mo fattore nell'ultimo membro ha per 1.i fllite quind i basta ca 1co1are con L'Ho sp i ta l il li mite 1 i m X -+ 0

-1

6

111="7

Ca l co l are

-

= X

1 i m -+0

= 6

seg uenti l i miti 1 i m x-+ a+ 1 i m X

-+ o+

l og sin x cotg x l og (ex -1 } l og x

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

X V1 - x2 6 X

=

e

:ntrambi questi 1i miti cond ucono con un passaggio diretto co tlla forma indeterminata co tdoperando l a rego l a di- L'Hospital s i ha COS i m log sin x = 1 i m+ s 1 n x ~ o+ cotg X x- 0 - s i n2 X

X

m (- s i n x cos x )=0 = 1 i a+ x-

ex -4

X

l og(e x-1) = 1 i m+1og X X -o

m o+

e -1

=1 ; m

x- o+

-

X

po i che i 1 1i mite del prima fat tore :on L'Hospital !

1i m ''

-· 0

X X

e -1

Cal col are

=

1 i m X-

e

0

e

ex

X

e X-1

ba s ta ca l co l are

=

X

1i mit i i

X

1 i m+ X- 0

tg x . e

1 i m X 1

( 1 - x) . tan g

:Tt X

2

:ntrambi questi li miti conducono con un passaggio di retto 3lla forma indeterminata 0 . co ~doperando la regola di L'Hospital dopo che il prima s i ri co mentre il secondo :onduce al l a f orma indeterminata co

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

'

'

-90-

a11a

fo~ma

0

indeterminata

I

I

1 i m+

-o

X

tg

ex =

X

1

- ex

=

1 i m+ 0

X ·- t

-

1

2

X

=

sin 2 x

- x) tg n x

(1

2

1 i m+ X-+ 0

=

( si :

-

1 i m 1 X

X

)

1

-

X -+1 •

1

nx

?.

.

s1n T

n 2

1 i m

= X

I

e

J<

= +

X

~1

Sln

2

zn n

co

=

cotg n2 x •

-

1 i m

6)

=

cotg x

0

- 2

1

X

=

i m

-

ex

1 i m+ X

I

si ha

0

X

=

2 n

T

Calcolare il limi te 1 i m -t 0

( -, -_-c_o_s_x

X

~. )

che conduce con un passaggio diretto al l a forma indeterminata co - co Ma e 2 1 -

COS X

=

x2 - 2 + 2 cos x x 2 (1 - cos x)

e poiche quest'u ltima espress i one, con un passaggio diretto

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-91-

0 0 , adope ran do

al limite I conduce alla forma indeterminata L'Hospital si ha 1 1m 0

x-

0

(

l --

1-cos x

X-

2x - 2 sin x 0 2x( l-cos x)+x s in x

= 1 i m ---------------- = 2 X -

0

X-

0

X2 (

=

1 - COS X)

2 - 2

COS X

1 i m = X- 0 2( 1-cos x)+ 4 x s in x + x2cos x

2 sin x 2 6 si n x + 6 x si n x - x si n x

m

= l

x2 - 2 + 2 cos x

1 i m

2 CO S X

= l i m X - 0

12 cos x - 8 x sin x - x2cos x

=

6

Ca l co l are

7)

1 i m

X

- X

x- 1 che con un passaggio diretto al limite conduce all a forma 00 indeterminata 1 . Si ha · 1

X

.,--:-x

=

e log x

1 ,.:X

Basta a 11 ora cal co l are

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

=

e

l og

X

1-

X

-92 log x

1 i m

1 - X

X--tl

e per esso, con l a rego l a di L'Hospita l , s i ha l og x

1 i m

X --t

I 1 1i mite richiesto

-

1 i m 1 X

8)

1 i m

=

1 - X

X--t l

X

=

1

-

1

X

e qu i nd i 1 1-X

=

-1 e

=

-1 e

Calcol are 1 1. m+ X --t

(ex-

l )x

0

che con un diretto passaggio al limite conduce alla forma indeterminata 0° Si ha . (e x _ 1 ) x

=

e x 1og (ex- 1 )

e quindi basta calcolare i1 l imite del l' espressione xlog(ex-

1) =

log (ex1 -X

che adopera ndo L' Hospita1 ci da

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

1)

- 93-

1 i m+ X -

log(ex - 1) 1

0

m+

1 i

=

X-

X

e

X

=

0

2

1 i

=

X-

m 0

+

- X

ex

rna il primo fattore de ll'u ltimo fllembro ha per l i mite qu indi basta ca l co l are con L'Hospital l i m+ X

-o

Conc ludendo

e

-

2 X

X

-

1

=

ex

0

X -

0

e l i m+ X

9)

- 2x

l i m+

=

l ,

-o

(e

X

-

l )X =

eo

=

Ca 1co 1are

l i m+ X- 0

(

_X l )tg

X

che con un passaggio diretto al li mite co ndu ce al la forma i ndete rmi nata oo 0 Poiche e 1og x tgx l og l X cotg x e = e

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-94basta calco lare, con L1 Hosp ital, il limite 1 i m+ X ---t 0



- 1og

x cotg x

2

S ln X

1 i m X ---t 0

=

=

0

X

Si ha quindi 1 i m+ x- ---t 0

(

_xl )tg x

=

ESERCI Z I

P R0 P 0 S T I

1 ) Cal co l are g 1i intervalli di crescenza e decrescenza delle funzioni definite dalle seguenti 1egg i f(x)

=

f(x)

2 X -

3x + 2

2 X -

7x + 12

f( x)

=

l og

f(x)

=

log

f( x)

=

f(x)

=

7

f(x)

=

s in

IX 2_ IX 2_

3x + 2 I 7x + 121

x 2- 3x + 2 X X

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

2

+

X -

1 2

- 3x + 3 X

+

COS X

+ 1

-952)

Calco l are

limiti (forma indetermi nata 1 i m X--t lt

4

1 i m X --t 1

1 i m

s i n 2x - 1 2 sin x -

V2

X - 1

Vx - 1 x sin x

X --t 0

3)

Ca l co lare i limiti

Ca 1co 1are

COS X

( forma

indetermi nata

l og si n x 1og t ang x

1 i m+ X--t 0

l og x cotg x

X --t1

4)

-

1 i m+ X --t 0

1 i m

1 i m+ X --t

0

~

~

)

0 .

oo

log (1 - x } cotg ( 1 - X)

limiti ( forma i ndeterminata 1 i m X --t 1

g)

1 og

x .

1 og 1 og

log x . tg x

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

x

)

-962

1 i m

(2 - x) log (4 - x )

X--+ 2

5)

Ca 1co 1are i 1 i mit i ( forma indeterminata 1 i m X--+ 0 1 i m x --+ 1 1 i

Cal co l are

2

-

cotg x )

X

( 10: X

z co~

1og x

(

)

t9 X )

Ill

X --+n

6)

(7 x

1i mit i ( fo nna ind eterminata

1 i m+ X-+ 0 1 i m

CO-CO

(s in x) 2

(4 - X )

00)

tg X

2- x

x --+ 2

1 1 i m+

X

TOgX

X--+ 0

7)

Ca 1co 1are

forma i ndetermi nata

1 i mit i

1 i m X--+ 0

( 1 + tg x) cotg x

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

l eo

-971 i m x - o+ 1 i m+ x- 0

8)

. 2 ) ( 1 + Sln X

-X

( 1 - sin x) log x

Ca 1co 1are i 1 i miti ( forma indeterminata 1 i m X ..... +co 1 i m+ X

-a

1 i m

X

x2

( cotg x) s in x

X

-X

X-++CO

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

co

0

-98-

Capitola

FORMULE I .

01

TAYLOR - APPLICAZIONI

Formule di Tayl or .

Abbiamo vista al n. 5 del Cap . e derivabile in un punto X E 0

Jet)~

XII 0

xo

che se una l!_ : I ~ R possiamo scrivere

f ( X + h) = f ( xo) + h . f ( X ~) + h . E ( X , h) v h E f[:t,t~\ F~·>- t'(Yo) •"' ; '-'c(> 0, 0 0 e avente derivat~ (n+l ) - es ima nel punto x0 , suss i ste la f ormula h2

h +1!

Les~

cn+l (x 0

,

h)

+-

2!

f'' (x )+ ...... + 0

un inf inites imo con

h

~

0 .

Osservaz i one Questa f ormu l a di Taylor suss i ste anche per h < 0 CJUan do le co ndizioni espresse da l teorema so no verifi cate i n [x+h , x0 J . 0 L' espress i one

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-1 01hn+ 1 ( n+ 1 ) !



si chi ama res to ne l l a forma di Pea no e rappresenta l'errore the si commette auando al posto di

f(x + h}

s i prende i l

0

valore del pol inomi o f(x

Teorema Sia

f

0

)

+ __h__ f'(x ) + . . . ... . 0 1! ~Formula di Taylor con il resto di Laarange~.

2.

una funzione a va l ori rea l i dotata di derivate con-

tinue fino all ' ordine h > 0 ,

con

n nell'intervallo

[x

0

e dotata di derivata d ' ordine

ma ne 11 'i nterva 11 o J x0 , x + h [ 0 Esiste un numero rea l e 1} , con

x0 +

h ]

(n+l) - es i-

< 1J < 1

0

,

tale che

valga l a formu l a

h2

f(x +h) = f(x) + __h_ f'(x) + - f " ( xo) + ....... + 0 0 1! 0 2! +

hn

n!

( ) f n (x ) + 0

hn-f4

( 1) f n+ (x + 1J h)

(n +l )!

0

Anche qui l a formula di Tay l or s us s i ste con

h < 0

se le

con dizioni di va lidi ta del teorema so no so ddi s fatte in

e l ' es.press i one hn+ 1 ( n+1 ) !

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

~aqranqe

-1 02 di ces i resto nella forma di Lagrange. Osservazione Le formu l e di Taylor stabil i te sop ra, quando in esse s i pone h = X- X si scri vono 0 X- X (x - xo) 2 0 f( x) = f ( xo) + f Xo) + f" ( xo) + . ... + I (

2!

1!

ove i 1 res to (X

()

r~~. Rn

-

Rn )

X

e

dato da

n+1

o

=

( n+ 1 ) !

oppu re da (x - x )n+l 0

( n+ 1 ) !

co n {} opportuno numero in ] 0,1 [· , secondo che questo resto e nella form Ne ll a letteratura la form ula di Taylor si s uol e chiamare f crrmul a di Mac l auri n Esempi 1)

Scrivere l a formul a di Maclaurin, con il resto di La-

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-103-

grange, arrestata al nono termine, de ll a funzione x ~ f( x) = sin x Cio e possibile farl o perche l a funzione x ~ sin x am mette derivate di qua lunque ordine in ogni intervallo del rea l e. f (X)

.Essendo

I

cos X

=

11

f

tfsJ( x) = s i n x sin x

=

x3

xs

Se si osse rva che per 6

X

s in ({}. x) ~

xs

~

_ 1_

0,000024801587.3 0 l,~

=

8!

ross iamo dire che,per ogni ango l o dal l a sin

X =

X -

x3

xs

-+- 3! 5!

compreso tra 0 e

X

X

7! ~uattro

cifre deci-

Se nel precedente esempio si sostituisce la fu nzi one ~ sin x con 1a x ~ cos x s i ha

COS

X =

1- -

x2 2!

+-

x~

4!

x6 x8 - - + - c o s (tf . x) 6!

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

8!

1'C

4'

7 .

si ottengono valori di sin x co n a l meno mal i esatte. 2) x

sin x , ..• .. ,

+ - sin· ({}. x) 7! 8!

0

8!

=

s i ha

x7

-

X - -+3! 5!

(x )

-1 04 -

dalla

e cos'i,per CO S X =

1 -

x2 2!

si ottengono valori di cima li

x"

XG

4!

6!

+-

cos x con almena quattro cifre de-

~satte.

Ricerca di massimi e minimi locali . Per un 1 app 1i cazi one f : I ~ R ci proponi amo di s tab i lire dei criteri per l a determinazione dei pun ti di ma ss imo (mi nima) l oca le che siano interni ad I\. Sappiamo (Teorema 3 del Cap . Xl 0 ) che se x~ nterno ad e un punta di massimo (o minima) locale per la f e se in xo la f e derivabile risu l ta f (X0) = 0~ Ma dal fatto che in un punta x interne ad I la f s ia 0 y.e..~ con f 1 ( X ) = 0 non s i r>uo in generale dire • Q -cht: x0 t: un punta di massi mo (o inimo) loca:.- 1""::--r-----e.l Questa circostanza l'abbiaiTioliies sa in evidenza, come osse F vazione al Teorema 3 del Cap. X I ~ con degli esemr>i. Un pri ma criteria per stabi li re se un punta x , interno 0 ad I , e di mass imo (o minima) l ocal e e dato dal seguente 1

-

[ reorema '

derivabile in un i ntorno u = (X 0 - h X0 + h ] del pun to xo e sia f (x ) =O ' -~ Se per X E u ' con X < X e f (X) > 0 mentre

3J-

5ia

c:

I

1

1

0

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-1 05 -

per x0

~

x E u , con x > x e 0 un punto di mass imo l oca l e.

f ' (x) < 0

Se i nvece per x E U , con X < X 0 mentre per X E L/ , COn X > X 0 l ora x e un pu nto di mi ni mo loca l e . 0

a 11 ora

e

f ' {x) < 0 f'( x) > 0 al-

Limitiamoci a provare il teorema nel pri mo caso ; la di mo s t raz i one e analoga nel secondo caso . La f e derivabile in (x 0 - h, x0 ) e qui ndi essa e conti nua ~ inolt re e f ' (x) > 0 per x E ] xa- h, xa [ e di co nseguenza , peril Tearema 9 del Cap. Xl 0 , r i sul ta f crescente in [x 0 - h, x0 ] . Analagamente si prava che f e decrescente in [ xa ' xo + h J e qui ndi i l punta xo e un punta di massima locale. Esemp i o Determi nare mass imi e minimi l acali della funziane de f inita con la legge ,--f (x)

= \

2x

3 -

3 x

2.

- l 2x

Ta l e funziane ammette derivata di qual sivog lia ard ine.

fr"> ~ 12

E'

(I

e quindi f'( x)

=

0

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per

xl

= -1

)

r..-;.-<

-1 06-

In vi rtu del Teorema 3 del Cap . Xl gli eventuali punti di mass imo e minima l ocale possono essere x =-1 , x = 2 1 2 Dall'esame del trinomio 6x 2 - 6x - 12 si ha che 0

6x 2 - 6x - 12 > 0 6x 2 - 6x- 12 < 0

per per

< -1 e per -1 < x < 2 X

X

> 2

x1=-l e un punto di massimo locale, Ne segue che i l punto mentre i 1 punto x2= 2 e un punto di minima locale. Osservazione. 11 cri teria dato si basa sul fatto che la de rivata f ' (x) ~bia di segno in vicinanza del suo z ~ )x quando si passa dalla sini stra al la destra di x 0 Ma anche senza questo cambi amento di segno , nel qual caso i 1 criteri o non fun9ona, i 1 pun to ~ puo essere di mass ima o minima lo ca le} . s·i consideri ad es. l' app li cazione definita da g(x)

per

X

per

x = 0

# 0

=

0

G R]

Questa funzione e derivabile i n ogni E e inoltre (applicando l a definizione di derivata) e g'(O) = 0 . Il punto zero e un punto di minima loca l e e facilmente s i vede (si osservi il grafico de ll a g) che in prossimita di x = 0 e al~a sua s ini stra l a g'( x) assume valori sia di 0 segno positivo che negativo e cos1 anche in prossimita di x = 0 all a sua destra. 0

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-1 07 Quando avviene che e difficoltoso stab ilire se l a derivata ~ camb ia di segno in vi ci nanza di un suo zero x0 passando dalla sini stra alla destra di x , s i adopera il 0 seguente criter i a .

f;remi, n.

Sia f un 1 applicaz i one che ammetta in un intorno U = (X - h , x + h] del punto x le deri vate 0 0 0 1 fino all ordine n-1 e inoltre abbia l a derivata n- es ima /~ in Supponiamo inoltre che sia

=

f(n -1 )(xo)

All ora l ocale scente f(n)(x 0

=

0 ' /G (n)(xo) =F

f (x 1

~

0

) =

f (x 11

0

) = ... . .. =

.

se n e dispari il punto x none ne di mas simo 0 ne di minima l oc ale e la f e crescente o decrein x secondo che e f(n) (x ) > 0 oppu re ) < ~ o

Se in vece n e par i il punto x0 e di mass i mo locale quando f (n)(x ) < 0 , mentre x e un punto di mini 0 ma l oca le quand~ f(n )(x ) > 0 . 0

Si puo infatti scrive re la formula di Taylor con il res to di Peano e per l e ipotes i fatte e data da [

(* )

f (x+k) 0 con

Poiche

8

=

kn f (X ) +o n!

[ f (n)(xo) +

E

n ( xo ' k)

J'

k ---+ 0

e

Ik I ~ ··fl n ( xo ' k)

e un i nfinites imo con

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-1 08poiche

e

f(n)(x ) # 0

a

possiamo determinare (peril teo-

rema della permanenza del segno) un I > 0 tale che per ogni k, con lk I~ k, r i sulti f(n)( x ) + s (x , k) =I= 0 e della stesso segno di o n o f(n)( x ) . Ne l ca~o 'l' n_d_i_s_p_a-n~ . . . poiche per k > 0 e kn> 0 e per

k 0 quando 0 0 O 0 e qu i ndi i 1 pun to X = 3 ~ un pun to di minima locale • Faci lmente s i vede che si arriva all o stesso r i s ultato ado peran do il Teorema 3 , ci oe s turliando il segno di 2

/"f(x) = 5x (x -l )(x - 3)

·J

Osservazione . Abbiamo dato due criteri per determinare i punti di mass i mo e minimo l oca li. Attenz i one a non adoperarli in modo meccani co bi sogna sempre prima co ntroll are se sono soddi sfatte le i pft] tesi sotto l e quali ha senso usarli . Cos1 ad es . se s i vogli ono dete rminare i pun t i di mi nimo l oca le dell ' apr> li caz i ~ ne definita da f( x) = js in xI non ha senso ador>erare l 'uno o l' altro dei due criteri perch~ come s i vede costru en do il grafico de ll a f , in questi punti di minimo local e, che sono tutt i quel li de l t i po x = ~ con h E Z ~~ f non e de ri vabile~ Inf ine vogliamo notare che quando per una app li caz i one f : [a,b] -+ R s i sono determi nat i i punti di ma ss i mo loca le e minimo l ocale , interni ad [a,b] confrontando i val ori che la f assume in questi punti con i val ori chela f ass ume ag li estremi de ll'i ntervall o [a,b] s i trovano i mass imi e i minimi asso luti.

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-111-

Esemp io Relativamente al l a funz ione definita da [ f(x) = 2 .; - 3 -l -1 2 x

]

per 1a qua l_e abbi amo vista che ha un so l punta di massimo locale (x= -1) e un sol pun to di mini ma locale (X = 2) ' determin are il mas simo asso luto e mini ma assoluto nel l'in tervallo [-3,3] . Calcoliamo i va l ori della f mi dell'intervallo [- 3,3] Si ha

E~ )

=

nel punto

l r;;)4 ·

7

-1

f ( 3 ) = -9

e agli estre

\1 ·

Di conseguenza i l mass i mo asso luto della f in f:3,3] e 7 e qui ndi i 1 punto x = -1 e non so 1tanto pun to di rna~ si mo locale rna anche punto di mass imo assoluto in [:- 3,3]. E' poi f (2) = -20 e quindi da l co nfronto tra f(2} = - 20 , seg ue che la re -45 che

---=::..

3.

f ( - 3) = - 45 f

e

f(3)

=

-9

ha per minimo asso lu to in t3,3] il valo ass unto in x = -3 .

-- --

\ Convess i ta, co ncavi t a, fle :

.\

Sia data un'applicazione f I -R e s uppon iamo che s i a derivabile in un punto xo i nterno ad I

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-11 2-

De not i amo con

lx - _.

J

9p (x) 0

l 1 applicaz i one tangente all a curva -e , grafi co de ll a P ( x , f( x ) ) . x _. f( x) , nel punto 0 0 Diremo che nel punto P0 la curva e e concava verso l al to

=

1

quan do es i ste in · I

l

f (X) - 9p (X) 0

un i ntorno

>!)

U de l pu nto

X

P0 I

la curva ~ e convessa verso 1 alun intorno ll del punto x0 tale 1

che

N&fj (x) - g~ (x):

X

X

<

XQ

X

> xo

X

< xo

o-

0

oppu re 0

f( x) - gP. (x) >0 0

I

'

u u

Y /r\

f

-n-t-- - - - - - ' v - -- - --;i>0

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X

- 114-

Osserv i amo che pos t o lf(x) = f(x) - 9r, ( x) 0

e

se l a -6'

ft..rfl}-

i n P0

concava verso l' alto l a F(x)

ha i n

un mini mo l oca l e me ntre se l a -G e i n P0 conves..:!J ~~rso l ' alto la, LF(x O ha in x0 un mass imo locale . Di conseg uenza se i n x es i ste l a deri vata seconda , 0 f " (x ) , si ha : x

\

~

Se

0

in P la --(; e concava verso l'a l to r i sulta f" (x ) 0 mentre s: e convessa verso l' alto r i sul ta f " (x) ~ 0

~

0,

0

'!"

Basta osservare che se fosse (x ) < 0 , po i che F( x) 0 si annu l la i n x ed e F ' (x ) = 0 g "p (x ) = 0 , si 0 0 0 0 avrebbe F " (x ) < 0 e qu i ndi x sarebbe un punta di 0 0 massimo re l at i ve per F(x) e l a -e non sarebbe concava verso 1 'alto in Po Anal ogamente si prova l a s~co n~~rte .d e ll ~ osizione. I /A/ Vlf. I LA Viceversa se e f 11 (X ) > 0 ~ --(% e n P0 concava 0 verso 1 ' alto ment r e se e f (X ) < 0 la -g e i n Po 0 convessa verso 1 ' alto .

t

11

Ne l pri ma caso infatt i , essendo F(X ) = 0

F' (x) = 0

0

F " (x) > 0

0

0

I

po i che F (X) es i ste i n un i nt orno di X , dato che esiste 0 i n un i ntorno di xo l a f 1 (X) , per formu l a di Tay l or con i 1 res t o di Pea no s i ha I

F( xo + k )

=

~ 2!

[

F II (X ) +

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0

8

2

( xo

, k )]

-11 5-

che scrivesi f(x + h) - 9n (x +h) = 0

r-0

o

e ragionando ana l ogamente a come s ' e fatto nel provare il Teorema 4 , dopa l a ( * ) quando n e pari , s i deduce che in un intorno di lx0 e l f ( x + h} - 9p 0

0

(

x0 + h) > 0

Analogamente s i prova il secondo caso. Da quanta detto seg ue poi : Se esiste f"(x) e la -e ha in Po un punta di fles so 0 ci o perc he in caso co ntrari o l a ~ risulta f " (x)=O 0 sarebbe in P0 concava o convessa verso l ' alto. conseguenza se f ammette derivata prima e seQQnd~ flessi si trovano tra gli zeri della derivata seconda. Se pero x e uno zero di f 11 ( x) non e detto che l a -e 0 ha in P0 un flesso. Ad es. la f = x 4 ha derivata secon da che s i~ annulla in x = 0 ma in P0 = (0 ,0 ) la -e non 0 ha un flesso . Per la ricerca dei punti di flesso riesce util e la seguente proposizione la cui dimostraz i one la l asciamo al lettore i n dicandogli di tenere presente i l Teorema 9 del Cap. XI o per l a F .

~i

Se f 11 (X 0 )= 0 ed f (X) cambia di segno i n prossi mita di X quando X pass a dalla s i nistra ctl l a destra di 0 X al l ora la -e ha in Po un flesso 0 II

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-11 6Se riesce difficoltoso stabilire che f (x) cambia di segno in vi cinanza di un suo zero x0 o nel caso che tale cambiamento non sussista, adoperando il Teorema 4 si ha: 11

Se in un i ntorno [ xo - h ' xo + h ] del pun to X0 esistono l e derivate fino all'ordine n - 1 della f e inoltre -f(n)( x ) e ri s ulta i n X es i ste 1a deri vata 0 0

f"(x 0 )

=

f

11

' (x) = 0

allora se n e dispari la ~ ha in P0 un flesso, mentre se n e pari l a -g e i n P0 concava o convessa verso l'alto secondo che f(n)( x~ e positiva o negativa . Esempio Considerare la funzione

e sia La f

-~

la curva diagramma di essa . ammette derivate di qualunque ordine e si ha f'(x)

=

f (x)= 11

x 3 - 6x 2 + 9x + 1 3x 2 - 12x + 9 = 3(x-l)(x-3) ]

cont!

;;;"~

f (X) > 0 per ogni X , Essendo < 1_\ oppure p X > 3 la -e nei punti di asci ssa X < 1 e in ri vo 1ge la concavita verso 1 'a 1 CJuelli di ascissa [x > to. 11

31,

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- 117 -

Essendo poi f ( x) < 0 nei punt i P di asc i ssa 11

per ogn i X

E

x

E

) 1, 3(

] 1 ,3 [

l a -G

ri vo l ge l a co nves -

s i ta ve r so 1 a lto . Inf ine punt i di asci ssa X= 1 X= 3 so no dei f l ess i ' per 1a e ques t a pe r che f" s i annu l1 a s i a i n X=1 che in x = 3 e camb i a di segno s i a in pr oss i mita di X = 1 che in pros s i mi ta di x =3 1

-c

As in tot i .

4 .

£.: 3

Si a I ~n app 1i cazi one e pre nd i amo i n es ame quei punti jx0 E F. ~ , se es i s t ono , con almena una delle seguent i pro pri et a :

a)

X

0

E

R

1

1 i m

con

f (x)

=

+

oppu r e con

co

X -+ X+ 0

1 i m )(.,

f(x)

=

+

EG

x -+ x-

o

~)

co n

x

0

di ac cumu1 azi one pe r

I1J

e x E R un pu nto Si a l a c urva di ag ramma del l a 0 che go de di un a almena del l e propri et a a ) , p) Diremo che una retta r e un as i nt ot o de ll a per X

e

c he t ende a x (da ll a s i ni stra za d(x) che un gene r i co punto de a zero al tendere di de stra)

x ad

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o des tra) se l a di s t an P E -e ha dal l a r ten x

0

(da ll a sini s tra o da l la

-11 8-

Se x gode della proprieta a) i mmediatamente si vede 0 che l a retta x = x e un asintoto della~ per x che tende Bas ta dalla te nde

a x osse rvare che la di s tanza di un punto P ( x, f(x) ) retta x = x0 e lx ·- x0 1 e quindi quando x a x s i ha l x - x0 I --.. 0

-r----------~----~ x1 X

0

y

0

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X

0

X

- 119-

y

y

--~----~~----}

0

0

X

X

y y

0

X

---1----------4-~------~-~

0

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X

-1 20 -

'R]

Prendiamo ora in esame un punto 1x0 e che go da de ll a propr i eta ~ ) e s upponi amo ad es . che s i a x = + co ; 0 ana l ogame nte s i procede per x = - co 0 Se e 1 i m

la rett a

x

-+

+co

y

=

k

f(x) = k

e un asintoto alla -c per

lnfatti l a di s tanza che un punto retta

~~~\":,

y=

k

e

1 f(xl- k 1

ha dal l a

lf(x)- k

=

~

y .Y = k

0

X

y ;1\

y

0

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x .... +co .

- 121-

y =k

0

Se

X

e

[X 1~ \ m00

f(

X) =

+ "'

J,

al lora se es i ste un asi ntoto all a -e per + ee~ ta l e as intoto sara ovviamente un a retta non pa r all ela a nes suno d~i due ass i cartesiani. Se ta l e as intoto quin di es i ste sara una retta di equazione

[x ...

(* )

f.v= mx

+

n ~L

Q

Ma l a di sta nza d(x) ha da ta l e re t ta e d(x) e qui ndi se 1a

I co n

m# 0

!.

che un gener i co punta

f (x} -m x -n Vl + m2

=

( * ) e un

1X 1-++ i m co

,

d(x)

-

asintoto do vra essere =

0

r

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P ( x, f (x) )

-1 22 e di conseguenza (••)

lim

(f(x)

mx -n ) = 0

X -++ co

Da quest ' ultima, a maggi or ragione seg ue f( x) - mx - n

l ; m X -+

+ co

( f (:) - m -

= l ; m X -+ +CO

e poiche

=

X

-n ) = X

0

e n

l i m

=

-

X -+ +CO

0

X

dalla pr ecedent e seg ue f{x}

l i m X -+ +co

6

Qu i ndi , ne l caso

= m

X

f( X) =

+

x ~co

un as i ntoto per i

(o)

-+

X

f(x}

m

X -+ +CO

e tale l i mite

e

(* *) i

( 0 0) X

e

=

m

X

il coeffi cie nte angolare dell ' asin t oto.

Se ci o accade, dall a

Tale asintoto

se es i ste

es i ste fi nito i l li mite

co

+

007

111

-+ +CO

segue ( f ( x) - m x

~

dunqu e indi viduate dalla

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(o) , (oo)

.

-1 23 Vic eversa s i vede fac i lmente, s empre nell'ipotesi - co 1 i m f( X) = + che se esistono f ini ti X -+ +co (o ) , ( o o ) ,

1i mit i

1a ret t a

.rs~-y-=-~ . con

m ed

n

ett i

mente da ll e

(o), (oo), e un

asintoto a ll a curva per Conc ludendo: Nell' i potesi

f-~

'-l_ x l_..._i_+_mco __

=

~ '@!

l,

un as intoto alla

curva -e per x ... + co es i ste so l o quando es i s tono i n R limiti (o) (oo) e l a retta

E mx+ nj individuata con

numeri

------~~~~----~~

da ll e

(o) , (oo)

m, n

forn i ti rispettivamente

rappre senta l'a s intoto rich i esto .

Esemp i 1)

Si cons i deri l a curva x

-->

f( x)

-e;

=

E£l

grafi co de ll a applicaz i one

e s i determinino gl i asi ntoti. C' e un so l punto x0 = 1 ad

qui ndi

x

0

x

=

che gode della propri eta e un as i ntoto per

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x

a)

ed e

che ten de

-1 24Si ha poi

m

i

f(x) = +

1 i m

co

X -+ +CO

f(x) = -

co

X -+- co

e quindi 1a curv a pu6 ammettere un as intoto per e un as intoto per X -+ - co E'

1 i m

f( x )

X -+ +CO

X

i

~

1

111 X -+- CO

x2 +

1 i m

=

X -++ co

X -+- CO

X

=

-

m

=

-

m

X 2- X

2 X +

1 i m

=

1

1

2 X - X

ed i no ltre 1 i m

( f (X)

- mx)

=

X -+ +CO

=

1 i m X -+ +CXJ

1 i m

1 i m X -+ +CO

X + 1 -X - 1

-

=

(f(x)-m x)=

X -+- co

(

X2+

X

X )

n

1 i m X -+- CO

X +

=

X -1

La re tta y =

X

+ 1

e quin di un as intoto si a per X

-+ -

co

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=

-

x --. +

co

che per

n

-1 25-

~~;

~

consideri la curva

t

grafi co della

-@

~ ~ si ~

e si determinino gli asintoti. Non esistono punti Si ha poi

x0

sin x

=

l i m X -++

che godono della proprieta a) . sin x

l i m

0

X -+-c:o

X

=

0

X

e quindi la retta y = 0 e un asintoto sia per x che tende a + co che per x che tende a - oo

ti----------------------s _v_~L ~ S E !___ _C_ I_ Z_I_ _ _

1)

T

Stud i are il grafico della funzione

t:!(x) =

~

-

x'

+

Tale funzion e e definita in tutto qual sivoglia ordine.

x'

f , con

~

lR e ammette derivate di

[•

f

1

( X)

= x 3- 3x 2 + 2x = x(x2 - 3x

e gli zeri sono

X

=0

+

X .--

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2) = x(x - l)( x - 2) X

=2

-1 26-

e negativa a sini stra Immediatamente si vede che f' ( x) di x = 0 , posit i va tra 0 e negativa tra e 2 e positiva a destra di 2 Nei punti 0 e 2 l a funzione ha quindi du e minimi relativ i mentre nel punto ha un mass i mo re l at ivo. Si ha i no 1t re f(O)

=

0

f( l)

=

~

f(2)

=

0

Determiniamo i punti di concavita , convessita e i punti di flesso. E'

f 11 ( x) = 3x2 - 6x + 2 e da questa segue che xl

=

3

- 113

3

f"(x)= 0 e per

Dal segno de l trinomio f 11 (X) > 0

per

f"(x) < 0

per

f"(x) = 0

per

per

3 + V3 x2 = - - r f 11 (x)= X < xl

3x2 - 6x + 2 e per

segue che

X > x2

xl O

per

-1 < x < 1

f'( x) < 0

per

X<

e per

-1

x >1

Pertanto f(x) e dec rescente neg1i intervalli ]-co, -1] e [1, +co [, mentre e crescente in f-1 ,1] Ne1 punto -1 si ha un minimo re1ativo, mentre ne1 punto 1 s i ha un rna s s i mo re 1at i vo e d e f ( - 1 ) = - 1 , f ( 1 ) = 1 . Si ha poi

; m

f (x) = 0

1 i m

X -++CO

e quindi

f(x) = 0

X-+ - co

y =0

e un asintoto.

Tenendo infine presente che e f(x) >0 per f( x) < 0 per X< 0 , i1 diagramma della f

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I

X> 0 ed e quindi

- 1?.9-

.Y

-1

/a

3)

Studiare il grafi co de ll a funzione data con l a legge f (X) =

Tale .funzione e defi nita in R ' tranne nei runti X = -1 ed x = +l nei qua l i il denomi natore x2 - l s i annull a Si ha f(x) = - oo

i m X -+ -

l

l i m x-+ 1

Le rette

1 i m+ -I

f(x) = + oo

l i m+

f( x)

X -+

f(x)

= -

oo

X-+ l x

=

l , x



- 1 so no qui ndi as i ntoti.

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= + oo

I

- 130-

Derivando si ha f ' (x) =

Tal e deri vata te. E' po i i m

e

sempre negativa e quindi 1a

f (x) = 0

1 i m X -+ - co

X -++ CO

e quindi la re tta y = 0 Tenendo presente che e per per per per per

f(x) < 0 f(x) > 0 f(x)

=0

f (x) 0

i 1 di ag r amma

e un

e

e

f

f{x)

=

decrescen-

0

asintoto.

X < -1

-1 < X < 0 X

=

0

0

1

y

-1

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X

~tudiare

- 131 -

il grafi co de l la funz i one f , con f( x)

~

= ~

-l_ale funzione e definita Si ha f(x) = f(- x) e rispetto all'asse de ll e E' f ' (x) = e quindi f'o i che e

f'(x)

=

0

.

in tutto R ed e sempre pos iti va . quindi i l di agramma e simmetrico y

- 2x . e

- xz

sol t anto per

x =0 .

f'(x)>O

per

-co< x < 0

f ' (x) < 0

per

O< x 0

X 1 i m = +c x -+ 1+ l og x

- 133-

f ' (x)4r.

il quadrate que l rettangolo che

9) Tra i t r apez i isosceli inscritti in un semicerchio tro vare quell o di area massima.

/

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-137-

H / /

r/

/

/

/

X

Indichiamo con Si ha H C = r cos 1 'area

x la misura dell 'angola 0 H = r sin x

X

del trapezia f(x)

=

B

0

A

B0 C

e quindi

e data da

r 2 sin x (1 + cos x)

Facilmente si vede che il massimo assoluto di tal~ fun zione e per tale valore il trapezia isi realizza per x = soscele diventa un semiesagono regolare.

q

10) Tra tutti i parallelepipedi a base quadrata per cui la somma dei tre spigoli vale k determinare quello di volume massimo . Si denoti con x la misura di uno dei due spigoli uguali. Sara allora k - 2x la misura del terzo spigolo. Il volume e ~unque espresso da

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-1 38f (X) =

con

X2 ( k

2 X)

k 0 ~X ~"2"

Facilmente si vede che il massimo assoluto si realizza per x = 1k e quindi il paral l elepi pedo richiesto e il cubo.

ES ERCI Z I

P R0 P 0 S T I

Determinare in R massimi e minimi relativi delle funzioni defi nite con le l eggi 1)

f(x) = 2 ~ - x

f (x) =

f( x) =

cos 2x + 2cosx

f(x) = si n x + cos x

f(x) =

cos 2x + cos 2 x

f(x)=

x -l ogx

2) Determinare gli as i ntoti delle curve che sono il grafico del l e applicazioni date con l e leggi

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.-1 39,

f( x) = f(x)

2x 3+ xz x2 -

f( x) =

X

2x 2+ 5 x2- 4x + 3

=

x3+

f(x)

=

x4+ x3 x3+

Studi are i 1 grafi co delle app li cazioni definite con le leggi:

3)

f(x) =

X

f( x) =

X+ xlj -

f( x) =

X 1og

f (x) =

x sin 2x

f( x) =

X e s in x

X -

f(x) =

1og x

X

X

f (x) = COS 2 X + 2 COS f( x) = sin x f(x) =

COS X

xz

log x

X

f(x) =

excos x

f(x) = COS 2 X - sin 2x

f( x) =

3 Sin

f{x) = x tang x

f(x) =

log

X

+ 4 COS

X

Ix2 - x I

4) Tra tutti i rettangol i di dato perimetro trovare quell o di area mass ima.

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-140-

5) Tra tutti i triangoli rettangoli l a cui somma dei cateti e k trovare quello di ipotenusa minima. 6) Tra tutti i triangoli i sosce li inscritti in una circon ferenza trovare quello di area mass ima . 7) Tra tutti i cilindri inscritti in un a sfera determinare quello di area massima e quello di volume massimo . Per quali valori di 8) legge

k la fun zione definita con la

ha un massimo e un minimo relative?

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

Capitola

N U ME R I I .

XIII 0

C 0 MP L E S S I

Definizioni .

L'es i genza di introdurre i numeri comp l ess i e do vuta al fa! to che diverse operaz i oni sui oume r j reali non sempre sono .IQQssibi W Cos'i e impossibil e l'estrazione J!:i rad i ce di 0 1:.... ,di oe pad di uo numero oegati vo, n,Q_n sempre ha sensa cans iderare la potenza con esponente ~i onale di un numero ne~ tivo, e imposs ibile co nsiderare l ogaritmi in base negativa e anche in base posit i va non esiste il logaritmo di un nume ro negativo, non sempre un'equazione algebrica a coefficien ti rea l i e dotata di radici o zeri (s i pensi ad x 2+ 1 = 0). ~lo scopo di elimina re questa carenza si amplia 1 ' insieme dei oumeri real i , si i ntroducana ciae de i nuovi numeri. rrAe chiameremo numeri complessi , numeri che comprendono cnme.:s < caso pa r ticolare i numeri rea l i e sono tali che nel loro in sieme r i s ultano semp re possibil i le operazi oni predette.

-

~

~

Chi ameremo numeri complessi l e coppi e ordina te (a,b) di 2 numeri reali, cioe gli el ementi di W R x R coppie che sottoporremo ad opportune rega l e di ca l col o. L'insieme dei numeri comp less i s i suo l e denotare con Una cop nia del t i po (a,O) , cioe con il secondo nu ~ul l o verra co ns i derata identi ca con i l numero rea l e a si scr 1 ~-------------------------------I

(a,O)

=

a

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-142In particolare

(0,0)

=

0 e il numero complesso reale nul-

l 0.

In questo senso i numeri complessi comprendono come caso parti co l are i numeri real i . Due numeri complessi a = (a,b) § = (c,d) si diranno uguali se e so lo se a = c , b = d , e quindi 1•ugua..Q_lianza a = 8 gode delle propri eta rifl essiva, si mmetri ca e trans itiva, cioe se a , ~, y so no tre numeri compl essi s i ha

--J__-~

-

a = a a = ~ a

rNYhJ

f~W~

=>

= ~.~ =

*. Le

~

= a

y

=>

o~erazri

a

=

y

sui numeri comp l essi .

Si ch1ama addiz ione l •operazi one defi nita da

= (a + c, b +d)

rra,b)+{c ,d)

7

~--~[--------------------·

e il numero complesso (a+ c, b +d) si chiama somma dei _due numeri comp l essi (a,b), (c,d) Questa operaz ione e sempre possibile e a risultato uni co e gode delle Droprieta commutativa e associativa, cioe se a, ~ , y sono compless i si ha

l

a +

'"'-~ a

fJ

":f -~

~ + a]

+ y

=

a

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=f-ntfY[J

-143-

Inoltre se i numeri complessi a , p sono real i , la loro somma nel senso indicato coincide con il numero reale che da essi si ottiene con l'operazioAe di addizion per 1 numeri reali .

~Si

chi am~ moltipl icaz i one l 'operazione definita da

(;,b {.1c,d)

=

(ac - bd , be +ad)

~omplesso

e il dei due numeri complessi Questa operazione e sem re possibi l e e a risul tato unico e gode del l e proprieta commu at1va e assoc i at i va e inoltre va le la proprieta ~s tribut i va del prodotto rispetto alla som ma . C1oe se a ' 8 ' y so~o dei numeri complessi si ha ).

b n-=ttY)( p

a

pY

=

a

y)

Suss i ste il .seguente teorema sull' annull amen to del prodotto ~meri comp1essi che noi ci limitiamo ad enuncia re.

[I1prodotto

di due numeri compl essi si annu ll a solo e qu~ ~o uno almeno dei due numeri e nullo. ~ / Dati due numeri complessi (a,b) , (c,d) si chiama diffe~ renza tra 1"1 numero complesso ( a,b) e il numero complesso (c,d) il numero comp l esso ( x ,y) che sommato ? (c,d) di a (a,b) :

&6)-(c~)= (xt)

(c d ')i (;c

y) =

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-144-

(c,d) + (x,y)

=

(a,b)

(c+x,d+y)=

(a,b)

cioe

Da quest'ultima, per la definizione di uguaglianza se9ue

t x=a - e ~ L'operazione di sottrazione eos1 definita e sempre poss i bi le e a risultato unico. La differenza tra (a,b) e (e,d) l a indieheremo (a,b) - (e,d) . In partieolare ehiameremo opposto di (a,b) ~1 n11mero eomplesso (X ,y) ehe somma to ad (a,b) dia (0,0) . L'opposto di (a,b si denota ed e

\ - (a,b)

=

(-a,-6}

1

Chiameremo quoziente del numero eompl esso a = (a ,b) g_e..r:_ il nume_ro_c.omp-1-e.s_s..Q_fl = (e,d) quel numero eomplesso ,..----_(X ,y) e he mol.tip.lj_£~!Q_e~r-1L.dia_a._ Si ha allora

---

(e,d). (x,y)

=

(ex- dy ,ey + dx)

(a,b)

=

(a,b)

e da quest'ultima, in virtu della definizione di uguaglianza, segue ex - dy

=

a

ey + dx

=

b

(olo) _, (

che chiamas i forma ,t trigonometricCI- del numero

comrlesso

a +i b . Dato un numero comp lesso a+ib, ilsuomoduloe Q = Va 2 +tf, e, se esso e di verso da zero, il s uo argo mento e determinato dalle ./1 a / s int} = b cos '!?- =

~

Si osservi che un numero complesso reale ha per argomento, a meno di multip li di 2n-:, zero on-:, a seconda che i l

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-1 50-

numero e positivo o negativo; un numero comp1esso che sia i mmagi nari o puro ha per a rgomento, a me no di multi p1i di 21r , o oppure a seconda che il coefficien te di i e positivo o negati vo .

lJ!- ,

T

5.

Potenze ne1 campo complesso

Si a z un numero co mp1esso ed n in intero pos i tivo maggi ore di 1 La po t enza zn s i defini sce, ana1ogamente a quanta si fa in R, come i1 prodotto di n fattori ugua 1i a z Si pone e se e z :;6 0 s i pone z ?= 1 . Se n e un intero negativo ed e z :;6 0 s i definisce zn come 1 'i nverso di z-n . Co n z :;6 0 s i a no Q e 1} ri spetti vamente i1 modu l o e 1' argomento di z . Si ha faci 1mente che

[e (cos 1f + i s in che chiamasi

1} )]

n

Y n

E

Z

formula di Mo i vre .

Oefi ni amo ora 1a radi ce n- esi rna [di un numero compl esso l z, con n > 0 . Ch i amiamo radice n- esima di z ogni numero complesso x che sodd i sfa 1a n

X = Z

Se te

e x

z

=

=

0

0

1' unica soluzione ·~

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e uvviamen-

-1 51 Suppo ni amo

z =P 0

e denotiamo

modulo e l ' argomento di

z

z ,

e (cos'!?-

=

Q e {} rispettivamente i1

+ i sin'!?-) .

Se x = r(coscp+ i si n cp) e un numero compl esso che soddisfa la ( *) si deve avere. a dopera ndo la formula di -----Moivre,

-

e (cos '!?- + i

rn (cos n cp + i sin n cp ) =

s i n '!?- )

e da questa seguono n r =

e

n fJ> = '!?- + 2k n- .

Dall a prima si ha n

r

=

+ VQ

cp

=

* + 2kn-

e da ll a seconda

n

1f k

E

Z

Se qui nd:i X e un numero co mpl esso che soddi s fa la n i l s uo modulo deve essere +Vee il suo argomento uno + 2kn1f k E Z dei numeri n Immediatame nte po i s i ve de che ogni numero complesso del tipo detto soddisfa la (*) e quindi 1e radici n- esime z = e (cos '!?- + i s in'!?-) so no date da del numero comp l esso + VQ- (cos ~ n2 kn- + i s in 't?+ n2 kn-) , 1f k E Z

*

Fac il mente si ve de poi che le radici distinte sono n e s i otte ngono ad es. attribuendoa k i va lo r i 0, l, 2,.,n- l.

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-1 52Definite 1e radici n-esime di un numero complesso z si m int rod uce la potenza z" , con m ed n i nteri positivi, come uno qualunque dei comp1ess i ( z k )m, avendo denotato I con z" un a qualunque radice n-esima di z

t,

Si pone poi z - ~ = ( zW quando e z =1: 0 e sempre con m ed n interi positivi. Suss i ste inf ine per x ed y comple ss i ed n intero positive il seg uente sviluppo del binomio di Newton che si prova con lo stesso procedimento adoperato nel campo reale

(X + Y) n= X n +(n) 1 X n-1 y +(n) 2 X n- 2y 2 + ... +(n-n1) xy n-1 + y n Osservazione La definizi one di serie e quanta si e detto ai numeri 1 ,2,3 del Cap. VIII 0 s i estende immediatamente al1e seri e a valori in R2 , cioe alle serie a termin i complessi. Anche Teoremi 9, 10, 11 del Cap. Vlll 0 sussi stono, intendendo per co nvergenza assoluta l a co nverge nza de ll a serie dei moduli. lnfine il N. 7 del Cap . Vll l 0 si estende pure al l e serie a termini compl es si. Le nozioni poi di derivata e di derivate s uccessive e que l l e di differenziale e differenziali successivi si estendono e le regale di deripure alle applicazioni vazione relative alla somma, all a differenza, al prodotto, al quoziente e all e funzi oni di funz i oni continuano a s ussistere inalterate.

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-153-

Se poi ad es.

e

n f(x) = a0 x + . .... +a n- 1x +a n con x E a: , aiea: , 1a f risu1ta derivabi1e esi ha n-1 f'(x) = n a0 x + .... . + an _1 e questa derivata si ottiene con 1a stessa rego 1a di deri vazione peri polinomi nel campo reale . Inoltre, sempre per tale funzione, esistono le deri vate di ogni ordine e si ha

f

(n)

(x) = n! a

per

0

p> n

Esempi Sc ri vere sot to forma trigonometrica i 1 numero comples so + i ~· b _V3 E' = 1 Q =Vi"+3= 2 ' s in*= Q-2 cos *= ... Q 2" Risulta quindi * = ~ e percio

1)

1 + i ~ 2)

=

2 (cos

-f

+ i si n

1- ) .

Ca1colare

Poi che 1 + i ha per modu l o ~ e argomento dici distinte sono W(cos

-f + i sin i)

ilz(cos

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T

J; + i sin

1e ra-

~)

.

-154-

E S E RC I Z I 1)

S V0 L T I

Ca 1co 1are 1e seg uenti operazioni

(2 - 3i) + ( -2 + 2i) (3 - i) (2 + 4i) 2 + 3i + ;

Si ha subito (2

3; ) + (- 2 + 2; )

=

(3

; ) (2 + 4i )

6 + 12i - 2i - 4i 2 = 10 + 10i

2 + 3i + ;

=

=

-i

(2 + 3i) ( 1 - i ) ( l +i)( 1 - i )

=

2 - 2i + 3i - 3i 2 = - 5 +;2 2 2

Dire se es i stono va 1ori reali della x peri quali il numero 4+x+ix r i sult i compl esso reale. 4x -

2)

Supposto

x rea l e si ha

4+x+ix 4x - i =

=

(4 + X + i X) (4x + i) ( 4x - i) ( 4x + i)

16x + 4 i + 4x 2 + i x + 4x2j + Fx

=

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=

=

-1 55Tale numero per essere reale dovra avere nu ll o il coeffi ci ente della , ci oe: 4

x

+

+

4x2 = 0

e noiche questa equazione non am~ette so l uzioni rea l i, la risoos ta al quesito e ne9ativa. Determi nare se esi s tono val ori real i per x per cui X + 2 + i X r i s u1t i i mma gi na r i o il numero como l es so

3)

X

puro. Suppos t o X

X

+ 2 + i X

X

+ i

reale si ha : =

+

(X +

x) (x - i ) + i ) (x - i )

2 +

(X

x + 2x - 2i + i x2 - i 2 x

=

=

x2 - x - 2

+ i

=

X 2t

Tal e numero ris ulta i mmagi nari o puro se cioe se X =

0 , e ques to s i ha ner

=

X

=0

1

0 o per

-3 .

4) Determinare il modulo e 1 ' argomento dei seguenti numer i comp l es s i: 2

V3

+ 2

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1 -

V3 i

-156-

Per il g =

numero complesso s i ha

~rima

V12

si n tJ

+ 4

=

1

cos

2"

1} =

e quindi Q

=

4

tJ

=

T

+2kn

Per il secondo numero si ha Q

= V1

s in tJ

+3

cos

=

1}

1

= z

e C]Uindi Q

=

5)

V3

2

t}

=

Scrivere

seguenti numeri compless i

+ i

V3

V3

+ i

V3

- i ,

sotto forma trigonometri ca . Per i 1 prima di tali numeri complessi s i ha Q

=

V3

+

E' qui ndi

V3

+

=

t}

=

sin tJ

2 =

1C

o-

2 ( cos

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.n-

=

1

z

+ 2 k .n-

o-

+ i si n

cost}

=

e s i ha

-T )

V3

-z

- i

/

-1 57Per i l secondo s i ha l s init = 7 cos it = 5 E' qui ndi it = "61C+ e s i ha 2 k;c 5 +i = 2 (cos "61C+ i s in 1C) Q

=2

V3

-z-

i

- V3

Per il terzo si ha Q

E' dunque

\13

-z-

e qui ndi ¥1C + 2 k;c (cos ¥1C + i s in ¥1C)

it =

+i = 2

Per il quarto infine Q

cos it = ~

. it = -z l s1n

=2

e

. it = - l s1n 2

=2

E' qu i ndi

- J/3- i

it =

i 1C+

= 2 (co s

J;3 - z-

cos it =

e si ha

2 k;c

7

61C+ i

~ 1C)

s in

3

6)

Ca l col are nel campo comples so

Po i che -1 ha per modulo ci cubi che di s tinte di -1 cos

;c +

2k;c 3

+ i sin

;c+

3

V-1

e per a rgomento

1C

so no 2K ;c

--~----

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k

=

0,1,2.

'

l e ra di-

-158-

E S ERC I Z I 1)

P R0 P 0 S T I

Esegui re 1e seguenti operazi oni:

(3+2i)(4-3i) 2 3i 4 + 2i

1 -

i

( 5 + 3i) + (7 - 4i) 1 + i

7-

1 - i

2) Trovare , se esistono , va1ori rea1i di i1 quoziente x-2+x i x - 3-Si e rea1e.

x per

qua1i

3) Trovare, se es i stono, va1ori rea1i di x per cui i1 numero (x -i + 2i x)(x + 3i) e rea 1e. 4) Determinare numeri comp1essi so ddi sfacenti 1a condi zione 1 V3 . . . )2 ( x+ 1y = -z + T , Scrivere sotto forma tri gonometrica i seguenti numeri comp 1essi: 1 1-i 1 + i

5)

2i

6)-

4i C~1 co1are ne1 campo comp1esso

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1-

V3 i

~rito1 o XI~ SVILUPPI

lJJ.

IN

SERlE

DI

TAYLOR

Condizioni per l o s vilurro in seri e di Tayl or

Per un apn1icazione f a va 1ori rea 1i definita in [x0 , x0 + h], con h > 0 , opou r e i n [ x0 + h , x0 ] co n h < 0 , e che ammetta 1e der i vate di qual s ivogli a ordin e poss i amo scrivere rer ------------~----~og ni intero n l a fo rmu 1a di Tay l or, 1

( 1")

I

=

f ( x ) + _h_ f o 1!

n

I (

x ) + .... + _h_ n! o

f (n) ( x

o

) +R n

ave Rn e il resto in un a delle forme che abb ia mo de t t o nel Ca p. Xll 0 (Teoremi 1 2 1 proponiamo di stab ili re sotto quali condizioni va l e lo sviluppo in serie di Tay lor (2)

~ n) (x ) + .. . .. f( x +h)-_ f (x) + h- f (x )+ .... +hn -f o o l! o n! o 1

e basta ovviamente limitarci al caso Suss i ste il seg uente:

h > 0 .

-J

[eor;a liT. Se f : [ x0 , x0 + h ] - R ammette de r~ vate di guals i voqlia ordine , condizione necessa r i a e s ufflciente affinche val~ ~ l a (2) e che r i s ulti

' lim" ~=0\ . n

-+

+co

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J

-160-

Infatti se va l e l a~

t

1 i m

n -+ +co

~ f(~ ( x0 )

s i ha ner la

L

n-++ oo

0

=

n

1 ; m

f ( x + h)

~ f(PJ( x ) J1.I

p=o

con

0

1 i m Rn = 0 n -+ +co da 11a ( 1 ) ser~ue

(1 )

Rn

=

p!

p=o

i m n-++co

cioe

0

=

vi ceversa se

f(x 0 + h)

cioe l a

(2)

Di amo ora de ll e co ndizioni sot to 1e (]Ua 1i e 1 i m R = 0 e qu i ndi, rer il teorema stab ilito, n n -+ +co va l e lo sviluppo (2) in serie di Taylor.

*

2J.

[±eo rema Se f: [x 0 , x0 + h] --+ .R ammette le derivate di qualsivoalia ordi ne ed esiste un reale M > 0 c::::-:> tale che ~

n

lfn

M '

E]N

,

e C]Uindi val e la (2) . Scri tto i l resto l a maggiorazione ~

l

Rn

l h In+1

(n+l)!

t·1

~e ll a

n+ 1

------'

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

forma di La9range si ha s ubjto

=

lh Mln+l (n + 1)!

-1 61Ma

Ih r~ In+ 1

e

i1 termine

J

(n + 1 )-esimo dell a ser i e

( n + 1) !

esronenzi al e ~uando i n essa si ronga x= lhMI ,equin di oer la convorgenza della seri e esronenziale s1 ha

-c--

--

= 0 • e di cor.seguenza

1 i m n -+ +co

e

2

Caso oarticolare de l Teorema

1 i m n .... +co

R = n

~~

il seg uente

ITeo rem a 3 \ . f [x 0 , x+h ]-+ lR ammette der i Se 0 va te di ~ ual s i vog lia ordine · ed es i ste un nume ro rea le L ::.> 0 ta l e che V

all ora r i sulta [ n 1~\":o

n

E

R0

:N "

Osservazione . Se nell a (2) serie di Taylor si scri ve:

,

01

e

~ui nd i

s i rone

X+ 0

h =

(2)

X ,

la

(x - x )n

X - X

f( X) =

va l e 1a

f(xo) + _ _ _ o f ' ( xo ) + . . . . . + _ _ _ o f(n) ( x ) + ... n!

1!

ci da

e questa per

x xn ~) f(O) + - f'(O) + .. . .. . + - f (0) + ..... . 1

n!

che s i suol e chiamare serie di Mac-Laurin .

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

o

-162-

~

Al cuni svil uppi i n serie di Taylor . Svilu rpo di

l)

(seri e esronenziale)

L' app li cazione x ~ ex ammette derivate di qualsivogl ia ordi ne e poiche comunque si fissino x , h e R con --~ · h > 0 , ne ll'i nterva ll o [x , x + h] sono soddisfatte i n modo ovvi o l e condi zion i de l Teorema 3 , vale la ( 2) che per X = 0 ed h = X si scri ve /

0

e

X

/

n + _ x_ + n!

2

=

+-x-+_x_+ l! 2!

. .. .. . .

Le stesse cons i deraz i oni valgono in [x 0 + h, x L V x , 0 0 h E R , h < 0 e qui nd i lo sv ilu pro di ex in se_!je di Mac-Laur in s.11ss is te per ogn i x E R Si ritrova cos, un r i sultato stabilito ne1 Cap . Vlll 0 n. 4 esempi o 3) .

l(

I

2)

~>(I

Sv i l uppi di

sin x

e

cos x

_;j)J.!t le appli cazioni x ~ sin x , x ~ cos x , aiTillettono xideri vate di qualsivog li a ordine e poi che queste derivate o valore assol uto non superano l va l e, ner i 1 Teorema 3 , -• 1a ( 2) . Qua l unq ue sia x si hanno quindi gli sviluppi in serie di Mac-Lauri n.

:x""'

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

s in x

=

x - {(

COS X

3)

=

x3

xs +- +

3!

5!

2

4

2!

4!

( 2n + 1 ) !

- - x +x- + . . .... + (- 1) n

Svil up po di

x2 n

+ .. . .. .

( 2n)!

l og( l + x)

(serie loga r itmica)

La funz i one x __. log (l + x) e defi nita rer -1 < X •. essa ammette le derivate di qualsivoglia ordine e si prova che il suo resto Rn nella formula di Mac-Laur in tende a quando -1 < x ~ 1 zero per n -+ +co Sussiste qui ndi l o svilurpo in serie di Mac-Laurin, rer -1 < X ~ ___.log( l + x)

4)

t

x -

x2

~

x3 + --3-- -

Sviluppo in seri e di

x4

~

+ .... + (-1)

n+l l --~ ~ -- + +~ . . .... j

-

~x)a I (serie binomiale)

.

L'applicazione x __. ( l + x )a con -1 < x , e comunq ue si f i ssi a rea l e, ammette derivate di qual sivoglia ord i ne . .==-.;- c:::::. Si prova che il suo resto R nella formu la di Mac-Lau r in tende a zero a l di vergere di n rer -1 < x < 1 e quind i si ha lo svilu pro in serie di Mac-Laurin, per -1 0. Con il metoda dell e corde si trova il prima valore a1 che e a1 = 2,0942 .... e che approssima l o zero per di fetto .

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-202Con ; 1 metoda delle tangenti s·; trova i 1 prima va 1ore che e bl

=

bl

2,0945

che appross i rna lo zero per eccesso. Se quind i

Ct

e l o zero dell' equazi one, ri sulta 2,0942

<

<

2,0945

e un valore approssimato per difetto a meno di 10- 3 di tale zero e 2,094 . Se si vuo l e una migliore approssimazione della radice a si applicano i due metodi determinando a 2 e b2 e cos1 di seguito.

E S ERC I Z I

P R0 P 0 S T I

1) Determinare il mas s imo comune divisore tra le seguent i coppie di polinomi:

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-2032)

Trovare gl i zeri multip li delle seg uenti equazioni:

.

x5 +

x~ -

4x 3 - 4x 2 + 4x + 4

=

0

x ~ - 2(l+ i )x 3 +2{2+3 i )x 2 - 8ix+8i

x6 + 4x 5 -

lO x ~ -

24x 3 + 13x 2 + 44x + 20

0

= =

0

3)

Trovare l e eventua li radi ci razionali delle equa"Zioni:

4)

Determinare gli zeri dell e eq ua zi on i: =

0

sapendo che ciascun a ha una ra dice doppia.

5)

Se

f{ x)

f =

determinare

e

defi nita da

2x 3 - ( A+ 8)x 2 + 2 (5 + 2i )x- 5 A A in modo che f{ x)

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

s i annul li per x

=

- 2046)

Determinare gl i zeri del l a equazione x4 - (2 + 2i) x 3 + 6i x2 + (6 - 2i) x - 1- 2 i

=

0

sapendo che ha una rad i ce tripla.

7)

Far vedere che 1 ' equazione x5 - 8x - 1

=

0

ha tre radi ci rea 1i e calcolarne un valore appross imato a 2 meno di 10- con i l metoda delle corde e delle tangenti.

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

Capitola L 1 INTEGRAZIONE

I .

SECONDO

Divisioni e funzioni a gradinata .

l

Una divisione [£J di un intervallo [a,b] c R J, con a < b , e un ins ieme finito di punti , D = i = 0,1, . .. , n-1. X = b con x = a x.1 < x.1 +1 n 0

'

Una divisione D di [a,b] d~compone (a,b] in un numero finito di intervalli (xk-l, xk] , k = 1 . ~ ,_n_, ciascuno dei quali, insieme al s uo aperto, dicesi inte rval lo f associato a D ~· / In tutto il capitola cons ide reremo funzioni definite in in tervall i chiusi [la,b] c _R J ed a valori in R . Una funzione g : [a,b] ~ R si dice a gradinata se esi ste una divisione di [.a ,b tale che in ciascun inter! all o aperto associato a D la g e costante (non si pone alcuna restrizione sui valori della funzione negli estremi deg l1--nntervafrt=associati a D). Una tale divisione chiamasi divisione ammissibile per la funzione a gradinata g .

y



0

a

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

b

X

- 206-

Ovviamente una funzione a gradinata ammette i nfinite divi si on i ammiss i bil i.

0] .

Si a

L' integrale di una funzione a gr ad inata e sue pronri eta .

[i :

D = {x , 0

[a,b] __... RJ un a fu nzi one a gradinata e x1 , . .. , xn - l, xn} una di vi si one ammi ssib il e

per essa. Si chiama

i ntegra l e (definite) del l a g in

f.~

denota con

~~

( 1)

f

1

9 ( X) d X =

,

t h-

[a,b ] , e s i

i1 numero

Xk-1)

9 ( Sk) ,

-~ Sk E] Xk-1, Xk [ ~

Questa defi nizione e ben posta, nerche f acil me nte s i mostra che non dipende dalla divisione amm i ssibile. Ese1npi o

Sia

g

9( X) =

[ 1 ' 5] __.R

defin i ta da

[G) , i

[ [i , 4 J

3

se

X E

-2

se

X E

6

se

X E ]

4

{VJ

3(l -1) +(-2) (4 - i )+6

(5 - 4)

A11 ora

{g (x ) d x =

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

=ill·

- 207Mettiamo ora in eviden za a lc une proprieta dell ' integrale defi nito.

)g

fj reorema 1 ! Si ano 1 : [a,b) --+ R, g2 : [•,b] due funz i on i a grad inata e k un a costant e r eale. Risu lta (a ) (8 ) (y )

J.il·

f~ f.

g1(x)dx

=

m

91 (X) + 92 (X) ] dX

--+

R

{ g1(x)dx =

[

g 1( X) dx

+

{ g2 (X) dx

0

g1(x) dx

.;;

f. g2( x) dx

se

g 1(x) .;;g2 (x) , Y x

E

[a, b].

La (a ) e ovvia : basta adoperare l a definizione d'integra. l e. Perle ( 13 ) , (y ) s i cons ideri un a divi s ione ammi ss ibile s ia per g1 che per 9 2 e s i 'adoperi la definizi one d'integra l e.

~ .;; J. La dimostrazione zioni a

b

g( x )dx .;; M (b- a)

e

immediata : basta cons iderare le due fun-

grytn~ta ~ 1 (x) = ~ ·

- ,

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

G2( x ) = ~

Y x

-->

[a,b] ,

-208ed applicare la

! reorema nata e

I[

J· c

del Teorema l .

(y )

Sia g ] a ,b ( ;

E

[ a,b] s i ha

~

1 c

g ( x)dx

=

R

una funzione a gradi-

b

f. g( x)dx

g( x)dx +

Si consideri una divisione ammissibile per g che contenga il punto c . Basta a ll ora osserva re che tale di vi s.iDne e l'unione di due divisioni a11111issibili per 9 e rela-

~ive rispettivamente agli i ntervalli

~c~ [c,b] perche

allora l' asserto segue dalla ~ inizione d'integrale..._ Da questo teorema segue immediatamente che: Se g : [a,b] ~ R . e a gradinata risulta b

J. g(x)dx ~

~ I Integrali

lfPi.

L

i=o

I

g( x)dx

inferiore e superiore di una funzione

l i mi ta ta p

Sia

xi+t

n-t

=:::~ : [a ~~ Rj una fun zione ~mita!S:- Denotiamo

con-~ l'.i.Q_s i eme de ll e funzi oni a gradinata tal1 che L= (x)

~ f( Xj} , V x

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

E

[a,b]

;

JS\: [r:a',"l=:b-=tJ-~~ljnr

denotiamo poi

-209l 'ins ieme delle funzioni a gradinata tali che f[(x) ~t(x] , V x E [a,bl . Questi due insiemi ~ono non vuo~che la f e ]imitatg · ~

y

. 0

a

X

y

y = t( X)

0

a

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

b

X

'

- 210Si chiama

integra le inferi ore

de nota con

x) dx

.f'f(

\J

=

f (x)dx

Si ch ia ma denota co n

de ll a

b

~ ~ ~f

f (x )d x

--------

in

[a , b], e si

f

in

[a , b], e s i

il numero

f.

b

s(x)dx

integra l e sune ri o re

*

f

della

il numero

i n f t E Tf

f.

b

t(x)dx ~

Po i che f e l i mitata esi s tono m , M E R tali che m ~ f ( x ) ~ t~1 , V x e [ a , b ] , e qui nd i e : s ( x ) ~ t~ , V x e [a, b] , per ogni s E Sf e r1 ~t(x) , V x e[a,b] , per ogni t E Tf ; perci o, per i 1 Teorema 2 · -~ j integral i ~ e s ureri ore arparten9ono ad lR . Non

e detto

c he gli integ ra li infer i ore e s uperiore coinc i da

no. Esemp io . Cons ideriamo una funzione de l t ipo qua l e ad es . f: [0,1 ] ~ R definita da f( x)

=

2

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

se

X E

se

X

{j"; r~

Q

ElR- Q

- -· l

c E Ja,b [ ,

che in

.

b

[a ,b)

f

f( x)dx

c

Infatti dall ' integra

1 1

del fTeorema

6:Us egue ch e

.1

.1

a

c

a

b

f(x) dx +

f(x)dx



in virtu

1"

f(x)dx +

c

1•

a

tenuto conto de l Teorema

f(x)dx

c

4 ,

si deduce

0

=

e qui ndi 1 ' asserto.

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 221 -

Da questo teorema seg ue immediatamente che: [a , b) --. R e limitata ed integrabile in [a,b) , V { x , x , ... , xn } , con a = x < x < x < .... 0 1 1 2 0 = b risulta f integrabile in [X;, xi +l ] , i =O ,l, ... n-1 e si ha

Se f a 11 ora

~-----=====--::

j [

f( x)dx

=

~

[';;x)dx

a

:lreor~

o

9].

f : [a, b) -.]R Se e limitata ed e incon c E ]a , b[, tegrabile sia in [a, c] che in [c,b] essa risulta i ntegrabi 1e in [a,b) e si ha

J.

i

b --~----~~--------~------~ f(x)dx

=

J. f(x)dx

+

f(x)dx

Si deduce subito tenuto conto del Teorema 6 . Si ha poi immediatamente la seguente genera li zzazione: Siano dati una funzione f [a , b) --. R 1 i mita ta , ed un insieme { XO, X1 , ... xn } , con a = x0 < x1 < . . . .. . < X = b Se f e integrabil e in ogni 11 = 0, l , . . . , n-1 , [x., x.1 +1 ] r i sul ta f i ntegrabi1 le in [a , b] e si ha b

J f(x)dx

=

a

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 222-

~

Criteri d'integrabilita

~a

10 }

Cond i zione necessaria e suffic i ente affinchc

una funz i one

f:

e

£

c he per ogni

> 0 esistano due fun z ioni

J

[a ,b ~ R ,

s0

:

t

E Tf ,

0

[a ,b ] ~ R , 1i mitata, s i a integrabi 1e t

0

1

1

s 0 (x)dx <

Prov iamo pri ma 1a parte necess ari a. corri spo nd e~za

1

t

0

E Tf

ad

0

£

f

-[H<

1 b

integrabi-

s E Sf 0

1 b

t 0 (x)dx <

s 0 (x)dx ,;

a

a

f( x)dx +

a

(; da queste seg ue 1 'ass~ Per 1a parte s uffi ci ente si osserv i che b

e

ta 1 i che b

a

Po iche

> 0 es i s tono una

£

1

b

f (x)dx

s E Sf

a

a

ed una

con

b

\(x)dx

1e, in

,

ta 1 i che b

( 4)

(a , b] ~ R

:

a gr a din ata

b

f s (x)dx ,;~!. f (x)dx ,; 0

1 b

f (x) dx ,;

f.

b

t 0 (x)d x

a

e qu i ndi

1 -.1 b

f(x)dx

a

b

f( x) dx <

£

a

e da q uesta l'asserto per l'arbitrari e ta di

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

£

~

- 223-

Questa criteria d'integrabilita puo l ib8llarsi' nella seguente forma: Teorema

11 .

Condi zione necessaria e suffi ciente affinche

una funz i one f : [a,b) - t .R , li111itnta, s i a integrabi l e e che per ogni E: > 0 4Ji_sta una divi s i one di [a,b) ta l e chela som111a dei prodotti dell ' ampiezza di ci ascun in terval lo associato alla di visione per l 'osci llazi one della funzio ne nell'aperto dello stesso i ntervallo s i a minure di E: (Per oscill azio ne di una funzione in un i ntervallo s ·i intende la differenza tra l'e st remo superi ore e l ' estre111o inreri o re della funzione nell 'i nterva ll o stesso) . Proviamo la parte necessaria. Essendo f integrabi l e suss i ste l a (4) del Teorema 10 ; s i denot i con L} = { x , x , . . . , xn } una di vis i one di 1 0

[a ,~ ]

ammiss i bi 1e s i a per

s~

t~

che per

Posto

c. 1.

=

i n f X E ) Xi _ l

f( x)

L. = 1

, Xi (

s u p X E ) X;_

f(x)

1 , X; [

s i ha ovvi a me nte s0

(

5; ) ~ [

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

n

i =l

( x; - x; _1 ) . ' e; ~

- 224con

S·1

E

Jx.1- 1 , x.[ 1

Da questa relazione e dall a

(4)

del Teorema

10

segue

al l ora

e qui ndi l ' asserto tenendo con to che t a l' osci ll az ione della

f

L. 1

e.1

rarpresen-

nell ' aperto ] xi - l, xi [

Per 1a parte s uffi ci ente si osservi che per ogni es i ste una divisione tal e che

D

=

{ x , x 0

1, .. . , xn}

e: > 0

[_,,I]

di

n

(5)

L (x;- xi-l

) ( L; -

e; )

< e: ,

I = 1

co n il s i gni f i ca te gia dettu rer ~1 e ~ Considerate le due funz i oni a gra ~ 1nata UJ s e 0 in [a ,b] dal l e Ci -

i n f t E

J X;_ l

f ( t)

t

E

per

S U 11 E Xi_ l

J

f( X.) 1

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

J X;_ l , Xi ( , i

=

l , 2 , .. ,

, X; (

f (X; )

l; -

, f" X

·~definite

f(t), Y X

E

X = X·

1

i=O,l, .. ,

)Xi-l'X;(, i = 1, 2, ..

,1

, X; ( !')e r

X = Xi , i = 0, l , . . , I

(

-225la

( 5)

si scri ve

1 b

t 0 (x)dx

f.

b

n

s 0 (x)dx

=

.e.1. )

I= 1

a

e qui ndi per i 1 Teorema

L (X; - X; -1 ) ( Li -

10

<

£

seg ue l' asserto.

Clas s i di funzi on i i ntegrabi 1i .

12).

f. eorema integrab ile .

Se

f

[a,b] --. :R

e

continua risulta

"" t?"t Tear? 1)..}6- J.:. t C' v-..... La co nt inuita dell a L!J in [a ,b] impli ca l a un1forme tinuita e qui ndi in corrispondenza t@ e: /(b- a:)-=;co n e:

:< ,

c~ -

;*q_,

es i ste un 6 (£) > 0 tale che in ogni intervall o di [a,b] di ampiezza non maggiore di o l'osc ill azione dell a f ri sulta minore di e: /( b-a) . Relati.varre nte a ll ora ad una divi s ione If'~=- {x , x , ... ,xn } 0

1

con xi- xi-l ~ o i = 1 , 2 , . .. ,n ~s~attajl a condizione suffi ciente del Teorema 11 di 1 ' asserto . di

[a,b]

r::Teorema

13

Se

f

[ a,b] --. lR

i ntegrabil e

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

e

, e sode quin-

mo noto na ri s ulta

- 226-

t1

~

x·1-

x·~-1

b

Supponiamo ad es. ~ non decre scente e consideriamo una di visionedi [a,b], D= { x0 , x1 , ... , xn}, con b-a x.- x. = i = l, 2 , ... ,n 1 1- 1 n Le due funzioni a gradinata s 0 e t 0 de f i ni te i n [a , bJ dalle i=l,2, ... ,n

per

f(b)

V

x

X E

per

f (a)

=

b

J X;_ l

, Xi

i = l, 2 , ... ,n

J

x =a

sono tali che

,(;

0

b~a

(x)dx -

;::0 (x)dx =

[ f(a) + f 0.1J +•••

b- a n

\ [f(xj).;t-f( x2 ) +; •• + f(t =

b-a n

[f(b )-f(a

In corrispondenza ad £ > 0 basta allora scegl iere 1 1 int perche risult ro n in modo che b~a [f(b)-f(a)] 0

es i stono

s

E .

1

0

E

Sf ,

ta 1 i che

c i oe per ogn i

£

> 0

es i stono due pl urirettangoli

viduati dai grafici del l e

i

1

al tro contenuto in

E ,

aree r i s ulta minore di

£

Se invece

f , sempre limitata ed integrab il e in

mai pos i tiva, l 1 in s ieme E1 = { ( x ,y) : a ~ x ~ b

f(x) ~ y ~ 0 }

e pure quadrabile e l 1 area e data da

-j

b

f (x)dx

a

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

[a , b] ,

e

- 233 -

Basta r ipetere le considerazioni precedenti relat i vamente all a funzione g;: [a,b] -+ R~ definita da g;(x) = - f(x) , che i ndividua un i nsieme E simmetrico di E' rispetto al l ' asse del l e x. Osserviamo che al pri~o criteri a d'integrabilita del n. 5 si puo dare l a seg uente interpretazione geometrica . Condizione necessaria e sufficiente affinche l'insieme E = { (x , y): a ~x ~b , 0 ~Y ~f(x)} sia quadrab i1e e che ad ogni E > 0 s i possa associ are un p1uri rettango l o , contenente il grafico de l ia f , di area mi nore di E

) Teorema 18 Se f : [a, b] grabile in [a,b] risu lta

-+

e

R

limitata ed inte-

r{ f(•~dx f t3 (•-·) t

(6)

=

*

do ve

a

--.

e un opportuno numero compreso tra I

..!)



f (x)

i n f

X E

e

s u

(a , b]

Posta

r

XE(a,b]

e= X

i n f E(a,b)

f (X) ,

L=

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

s u X E

r

(a,b)

f(x)

~

L

f(x) , risulta

- 234-

e. <

f(x)

<

V

L

X

E

(a,b)

e C]uindi

/ !~ < f

b

f(x)dx

.; l ib - a) \

f(x)dx

=

a

e da questa segue

f

b

a

con

[e < {}

Osservaz i one . al mena un punta quin di l a

(6)

<

{}.

(b - a)

J.

L

Nell 1 i potesi che f 5 E [a,b] ta l e che s i scri ve

s ia~tinua

/!u)

=

es i ste {} e

J

con 5 orrortu no runto di [a ,b] Quest 1 ul t i ma ugu ag li anza da l a seg uente interrretazione metrica, s upposto f(x) ~ 0 V x E [a,b]

ge~

L a rea de 11 ins i eflle E = { ( x ,y ) : a < x < b , 0 < y < f ( x) } e uguale a quella di un rettangolo ave nte per base 1 interva ll o [a,b] e al tezza uguale a f( s) 1

1

1

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 235-

X

10 .

La f unzi one integra le

Sia f : [a ,b) ~ R le i n [a , b] . Essa risu l ta integrab ile x ~ b e quindi r i su lta F : [a ,b] ~ R dalla

una funzione li mitata ed i ntegrabi in ogni intervall o [a,x] defi nita l'appli ca zione l egge

con

X

F( x)

=

f f(t)dt a

L'applicazione F si chiama in [a,b] .

fun·zione integrale della

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

f

-236Per la funzione integrale sussistono le seguenti proprieta.

~eorema - 19 ].

La funzione integrale

Si fissi un punta x E [a,b] di [a, b] con x =F x Si ha

I

e sia

";(

t Q./

f(t)dt

_

I

f(t)dt

I f(t)dt

=

a

X

e quindi. peril teorema della media,

/!(x) - F( X)

"

1'f .

\ I 'o

-

+

a

x

L

)(

ff(t)dt

a

X

+

"

ff(t)dt

a

in (a,b).

x un generico punta

X

F(x)-F(x) =

e continua

F

(

f(t):-J

~

a

ove {} e un numero compreso tra 1 'estremo inferiore e l 'estremo s uperiore della f in [x • x] o in [ x . x] secondo che

e

t x

~

oppure

tx=< xJ .

s up I f( x) I ri s ulta ovviamente X E (a,b] I* I ~ r~ e quindi dalla precedente di suguaglianza segue l a maggiorazione

Posta

M

=

1 F ( x)

e da

que~ ta

J.a

- F (x)

1

~ M

1x

- x

contj O!Ji t a de]l a L

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

1

in

x

- 237 -

~

C::eorema 20 La f unzion e inte!)ra1 e F ammette derivata nei punti x E [a,b] ove f e continua, ed e ivi F'(x) = f(x)

Sia

x E [a,b]

un punto di continui ta__d.el]_a

mo visto,ne1 dimostrare i1 Teorema x '# x

x e [a , b] ,

con

( 7)

F ( x) - F (X) X -

f.

Abb i a-

19 , che per O!Jni

e

@

=

X

Ma ricordando i1 s ignifica'to di ' tt\ poiche f e continua ~ in X s i ha che quando X tende a X ri s ulta i m tt = f (x) e qui ndi da11a ( 7) seg ue che F e r

'

X --... X

derivabi l e in x

e si ha

F'(x)

=

f(x)

Se i n un pun to .:_x~.:::.E.J-: [ a::.,;,~b:.Jl__1:..:;a~..:..f___;e~d.ui_ ~cont inua 1a F puo ammettere o no derjya t a j n ta le pu nto 1= ne1 caso che 1' ammetta puo r i su 1tare F ' (x) - f( x ) oppure F ' ( x ) '# f ( x ) Osservazi one .

Il 1ustri amo q ue s te situazion i con degli esempi.

3

Sia

f

[-J,1] --... :R

f( X)

=

0

1' app1icaz i one definita da per

-1

~

X

< 0

per

0

~

x

~

Jtr-----

-- -t--La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

1

- 238La

F

e data

F(x)

da 0

per

-1

X

per

0

~ X

< 0

=

X ~

~

e none derivabi1e ne1 punto zero che e ptmto di djscpnti nui ta per 1a f . I

I

~

2)

I

~·I

Sia

[-1 , 1 ) -+R

f

n

definita da

= -n

per

X

per

X=/=n

f( x) =

n

E

I'J '

n

~

1

1

funzione e 1i mi ta ta, ha un'infinita numerabi1e di 1 Questa punti di di scontinuita e 1'i nsieme di CJUesti punti ha per di accumu1az i one so 1tanto 1o zero, e CJUi ndi e integrabjl e. E' X+ 1 e ne1 pun to zero di discontinu i ta F ( X) F 0) s i ha f(O) ~unto

-

=

I (

3)

=m =

Se ne ll' esempi o precedente s i altera 1a 1egge di defi-

nizione de lla f ~o 1 tanto i n zero, con f(O) =I= 1 punto zero e sempre di di scontin ui ta e poiche 1a F ne invariata s i ha i n questo caso F'(O) =I= f (G)

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

i1 r i ma -

- 239Primitive in sensa c l assico e f ormula fondamentale del ca l colo in tegrale . Data una funz i one n. 4) che s i chiama

f :

[a,b] --+ R

ricordiamo (Cap . Xl 0 , pri miti va in senso c l assico della f

__F__~[~a~·-b~ ] _-+ ___R____c~h_e~s~ ia~d~e~r~ i~ va~b~i~l~e__ i _n

ogni funzione

r,. .[.!:-a:. . .': ...:..b.:_ ) __:_ e _:.t..:..a 1-.:e_ ch__:e:. _ _ F -. ' (X~~ V x E [a , b ]_ . Ricordi amo ino l tre (Cap. Xl 0 , n. 4) che se F 1 : [a , b] --+ R , F : [a , b] --+ R sono primitive di una funz i one 2 [a,b] --+ R, esse di fferiscono oer una costa n;: . f

~Teorema 211 {Ill\

~R

[a, b]

e continua in a funzione integra 1e e una primitiva dell a f

Se

(a,b]

f :

E' conseguenza immediata del Teorema 20 .

-----

[a,b]--+ R

QGeorema 22}. Se f : e F e una primi tiva di

I

f

in

[a,b]

r i su l ta

NB

b

f(x)dx ." F(b) - F(a) ,

a

cioe l'inl:e0rale della

f

e dato dalla differenza dei val o-

r i de ll a primi tiva ag li estremi (La

(8)

e detta

[a, b]

e conti nua in

b

ed

formula fondamenta 1e

a del calcolo inte -

gra 1e)

I

X

Peri l Teorema

21 anche 1a f unzion e in tegrale

a

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

f(t)dt ,

- 240-

e

un a primiti va della

k

E

f

in

[a,b] ;

es i s te percio un

X

R

per cui

quindi

F(a)

=

F( x) -

[ f(t)dt

=

k , V x

E

[a,b],e

a

k

Allora

1 X

F ( x)

F (a )

@

f ( t) dt

=

a

e da

~uesta

si ottiene l a

~ 1)

ponendo

(8)

X =

b

1t

Lcos 2

Ca l co lare

Essen do

s ·j n x

x dx .

una pri mitiva di

si ha

COS X

1t

['cos x

dx

=

1t

s in x 2

si n 0

=

0

2)

Ca 1co1are

[ ex dx

ex stessa una pri~itiva di

Essen do 1

1

e x d-x

e - 1

=

0

Si avvert e che l a diffe renza b i ndicata con [ F( x)]

F(b) - F(a )

vi ene ta 1volta

a

La form ul a fondamentale del cal col o i ntegra l e e va li da sotto i potesi piO gene rali, in quanto s i rrova i l seg uente

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-241-

iiTeorema 23 • Se f : [a,b] --+ R e limitata ed integrabile in """' [a,b] ed ammette una primitiva F allora ~ ---:suss i s te 1a (8)

s2>

+(~)~~= \=="(~) -

\== (Q-)

-

Osservazione . Non e detto che una funzione f : [a,b] --+ R che sia limitata ed integrabile ammetta primitive, e non e detto che una funzi one f : [a ,b] --+ R ' che ammetta primitiva sia integrabile. Illustriamo queste situazioni con degli esempi. Sia

f : [ 0' l ] -+R f( x) =

definita

da

0

per

0

~

2

per

X

=1

X

< l

L

La f e una funzione a gradinata e quindi integrabile. i Essa non puo ammettere una primitiva. Supponiamo infatti che esista una F pri mi ti va ·de 11 a Tale ogni

f

in

dovrebbe essere continua in

F X

E

]a, 1[

do vrebbe ri s u1 tare

[0, l] [o, 1] F(x)

e i nol tre per

= 0.

A11 ora in virtu del Teorema 7 del Cap. XI 0 1a F sarebbe costante in

[a, 1] ' cioe

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-242F(x)

V

k

=

e questa e un ass urdo perche Per i11ustrare i1 secondo caso defi nita da F : [0 , 1] - R x 2 si n F{x)

=

E

X

(0, 1)

F ' {1) ~i

=

0 =I f {1)

consideri 1a funzione

per

x2

re r

0

X

=0

Essa e derivabi1e in og ni punta di [ 0 , 1 ] e 1a sua de ri va defi ni t a da ta e 1a fu nzione f [0, 1] - R

f(x)

La

f

=

2 l 2 x sin -l - -cos x2 X X

per

x =I 0

0

per

x

I

non e i ntegrab i1 e pe r che

= 0

non e 1imi t ata .

,;(------

y. )

Integra l e indef i nito

un a funz i one 1i mitatct ed integrab i Si a f : [a , b] - R 1e in [a , b] . Si chiama integra 1e indefinite dell a f in [a , b] , e si de nota

J

f(x) dx

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-243la classe delle funzioni che si ottiene aggiungendo a

~t)dt

una costante arbitraria.

E' quindi per definizione

f f(x)dx

"

{f~ ,

V c

E

R

In virtO del Teorema 21 l'inte rale indefinite di una funzione continua f rappresenta la classe di tutte l e primiti ve della f Se f 1 : ~ .b] --+ R sono due funzio [a ,b] --+ R ' f2 : ni 1i..mj tate ed i ntegrabi 1i in [a ,b] per 1·e ( a) ( 8) ' ' de f Teorema I s1ha

f

k f 1 (x)dx

"

k

J

J

V k E R

t 1 (x)dx

[t1 (x) + f 2 ( x)] dx "

J

f 1 (x)dx

+

J

t 2 ( x )dx

Dalla stessa def inizione di integrale indefinite si deduce che per ogni intervallo [a 1 , b1] c: [a,b] vale l'ugu2_ glianza

1 b1

( 9)

f(x)dx

"

[ f f( x )dx

a1

r a1

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-244-

13 .

Tabell a degli integ ra li indefiniti di al cune funzioni .

Da quan t o detto nel numero precedente e tenuto conto della t abell a delle derivate data al Cap. xo si ha a x dx =

f f f f f v;-=-;z

axd x =

a+l

X

+c , \a =F-1 (

a + ax

exdx = ex + c

+c

l og a

sin x dx = -cos x + c

cos 2 x 1

f

dx = tang x + c

dX

= a rcos in x + c

dx = a rcotg x + c

1 : x2

J si nh x dx =

COS

hX +

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

f f f f f Vh2 f f

-l dx = log lxl + c X

C

cos x dx = sin

s in 2 x 1

X

+

C

dx = - cotg x + c

dx = -a rcocos x + c

dx = - arcco tg x + c + x2

COSh X dx

= sinhx+c

-245-

f f

f

f

dx = tang h x + c COS

2

hX

dx = - cotg h x + c si n2 h x

G l m+1 [f(x)]mf 1(x)dx= Lf(x)J +c,m:;e - 1 m+1

f

(x-a)mdx= (x-a)m+1 + c,m#-1 m+ 1

}rx) -~ (x)

~ ~te;::~ ~rti per

due funzioni derivabi1i i n

[a, bJ

co ntinue.

f

Si ano

- - dx = 1ogj x-a j+ c

x- a

])

[a , b]

24 .

fl(x) dx= 1og jf( x) j+ c f(x)

-

f :

Teorema

f

J --.

~ ,b

g :

--. R ,

con de ri va te

Si ha a11ora f ( X) 9 ' ( X ) d X "

Per i 1 Teorema deri vabi 1e in

3

~e 1

[a,b]

b

X)

9(X

(fg)

f

-

~

VJ_

f ' ( X) 9 ( X ) dx

Cap. 10 1a funzione

f . g

risu1ta

e si ha

(fg) 1 (x) = f 1 (x) g( x) + f (x) g 1 (x) percio, poiche

)J -

[El

lR

1

,

f 1 g, fg 1

qu i ndi i ntegrabi 1 i, r i s u1 ta

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

V x

E

[a,b]

sono funz i oni continue e

-246-

f

(fg)'(x)dx

J

f ' (x) g(x)dx +

=

J

f( x) g' (x)dx

cioe f (x) g(x) + c ~

=

J

f ' (x) g(x) dx +

J

f( x) g '· (x)dx

da quest a ugua gl ianza , co nglobando l a cos t ante additiva c

~ell 'integral e

_J

f' (x) g(x)dx

segue l a

(10) .

~

La (10) e detta formula d 1 integrazione per pa r t i per gli i nte g ra 1i i nde f i ni t i . Da ll a (10) seg ue immediatamente , in virtu dell a (9) del n. 12 la formula d 1 i ntegrazione per parti per gli i ntegrali definiti .

1 b

b

f (x) g ' (x) dx -

[ f( x ) g(x)J.-

f.

b

f ' (x) g(x) dx

a

Esempi 1)

J x ex dx

Ca 1co 1are

Si ha

J

x ex dx

=

J

x (ex)' dx

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

= x ex -

J

ex dx

= x e x- ex+ c

-2472)

Cal col are

Se

n =1= - 1

f

n

x log x dx

J x" l og x dx s i ha =

n + l

J log x (xn+l )' dx --X

n

n =-1

J}

X

-X- - + c (n + l f

X

si ha

log xdx

=

l . x log x dx

=

3)

Calcolare

J

log x( log x) 'd x

= log'x

-

J}

log x dx

+ c

j b§Bdx

Si ha

. Jlog x dx =

X -

n+l

l og

da cui

f

log

n + l

n + l

+ l

Se

n+l

n+ l

=

Jlog x .(x)'dx = x logx-

= X log X

-

X

+

C •

\ La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

J

dx

=

- 248-

~

J s in x dx 2

Calcolare

Si ha

J

J

2

sin x dx •

J

sinx . s in.x dx • -

=

sinxcosx+ f cos 2 xdx•

=

s in xcosx - / s in 2 xdx + x+c

s in x . (cosx)'dx •

sinxcosx+ / (1 - sin 2 x)dx•

da cui

J s in ' x dx

X -



Sin

X

COS

X

+

C

I

2

avendo aggiunto l a costante add i tiva che era in c l usa ne ll'inte gral e indefinito trasportato a l primo membro .

Ca l co l are

5)

J x sin x dx

Si ha

f = -

X Sin X

X

COS

X

f

dx • + s in

X

X

+ C

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

(COS X) ' dx • -

X

COS

X

+

f

COS

X

dx

=

-249/

Integrazione per sostituzione Teorema

25 .

tinua in

Siano ~

[a,b]

f :

[a ,b] --+ :R [c, d]--+ :R

g

una funzione conuna funzione deriva -

bile in

[c ,d] , con derivata continua, e supponiamo che,

se

=

m

i n f t E [c ,d]

g(t)

e

M

s ia

(11)

=

s u p t E ~,d]

g(t)

Si ha a 11 ora

[!

J

f(x)dx l =g(t)=

f [g(t)] g' (t) dt

x E [m,M]

Consideriamo, per ogni

la funzione inte -

gra le

F( x) e,posto

x

=f

J f~



~

g(t) ,

=

sia

I

g (tl

q, (t) = F [g(t)]

=

f(z)dz

a

La f unzi one


[c,d]

cont inua e derivabile, e poiche, peril Teorema

F ' ( x) P'(t)

=

f ( x) ,

= F ' [g(t)]

V x E [a, b] , g'(t)

=

20 ,

e

ivi

e

s i ha

f [g(t)] g'(t)

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

I

,

V t

E [c,d]

.

- 250Ne seg ue che, essen do 1a funzi one

E f~

contin ua e

qu i ndi integ ra bi 1e ,

f con Ma

f [g(t)] g'(t)dt

c

=

f

1

P ( t)dt = P (t) + c

costante arbitrari a.

e gUl

P (t) + c =

J f (z) dz + c =

[ J f(x)dx

Jx= g(t)

a

dove la nota zi one usa t a nell 'ulti mo memb ro indica che nell'i n tegrale inde f inite de lla f Si e pOStO X = g{t) ; ris ul ta quind i [ J f(x)dx] c i oe 1a

X=

g(t)

=

J f[g{t)] g ' {t) dt

( 11 ) .

Osservazione . Se la funzione 9 , ol tre a soddisfare alle ipotesi del Teorema 25 , e crescente o decrescente nell ' in terva ll o [c , d] , allora , peril Teorema 14 del Cap . Vll 0 , l a funz i one x = g{t) arrme tte inve rsa continua t = t(x) nell ' in te r va llo [m ,M ] Ponendo aliora t = t(x) nell a (11) , poiche g [t (x)]

=

x , lf x

E

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

[m ,M ]

s i otti ene

- 251 -

J

( 12 )

La

f(x) dx

( 11 )

e la

[ Jf [fJ (t) J g

"

I (

t) dt

J t=t( x)

( 12)

costit ui scono l e

formule d'in tegra -

zione per sostit uz ione per gli integra li in definit i Cons i deri amo due qua lu nq ue punt i x = g( t ) , 1 1

e sia no

f

x = g(t ) 2 2

t , t E [c,d] , t t 1 2 1 2 da ll a ( 11 ) seg ue

12

f [g(t)] g ' (t)dt"

I

I

9 ( 12)

J

=

9

f( x )dx

('!)

ci oe

f

12

f [ g(t)] g ' (t)dt

I

che e la f ormul a d'integraz ion e pe r sos t i tuz i one per gl i i ntegra li de f in iti .

Esemp i

1) Posto

Ca l col are X = COS t

J V1

- x2 dx

s i ha

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 252-

[J lfl7 ~

- f sin' t

dx L

f

eos; -

Ca 1co 1are

Posto

~

sin t dt

del n. 14

si ha il risultato.

dt

Ten uto conto dell' esempio 4)

2)

2

V 1- cos t

f

(a x + b )a dx , con

ax+ b = t ,

s i ha

~

a # 0 , a

U\

~~

[f (ax+b)ndL~ ~ ~tadt=~ ~a:~ X=

=1=

e qui ndi

+c

t-t:i ==al

Risulta all ora (ax+b)a +l a +1

3)

Pos t o

f e• x + b dx

Ca 1co 1are ax+ b = t

e qui ndi

I =

t-b a

x= -

Ri s ulta a 11 ora

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

---X

+ c

con a =I= 0 t-b = s i ha: a

-1

-253-

f 4)

Posto

eax+bd x = -a

Cal col are l + ex = t

e

f

ax+b

+ c

ex log (l +ex) dx x = log ( t - l )

e qui ndi

dx]

si ha

=

x = log ( t - l )

" J (t - 1 ) 1og t

. t

~1

dt

J 1og t

"

dt

e da questa segue il risultato tenendo presente l'esempio 3) del n. 14 .

@

Integra z i one di a 1cune funzi oni ra zion a 1 i di fo nna sempl i ce

In questo numero prendiamo in esame tre tipi di i ntegrali indefiniti ai quali, come vedremo nel numero seguente si / iconduce l'integrazione di una qualsiasi funzione razio t na 1e. ::::=:=---

a)

Cons ideriamo l ' integrale

positivo ed

real e.

f

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

dx (x-a )n

con

n

i ntero

- 254Per

n#- 1

J (x-adx )n = e per

J

s i ha

J

-n (x- a ) d{X-cL) = - -n- 1

1 n- 1 + c ( x- a)

n=

dx x- a =

J d(xx -- anl

= 1og I x - n I + c

ove g1 i integra1i i ndefiniti vengono co nsiderati in un qua1unque in terva11o che non co ntenga i1 punto ~ = ~ . Esempi "'-----

l)

2)

b)

J J

dx = ( x- 2 )3 I

-3 + 1

(x- 2)

I + c

-3 + l

=

2(x - 2) 2

+ c

'---

dx X -

2

= 1og 1 x - 2 I

+ c

Cons ideriamo l ' i nteg ra 1e

J

rea 1i .

dx x2+ px + q

con

p

Distinguiamo tre casi: b1 ) L' equazione coincidenti.

x2+ px + q

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

=

0

ha due radic i reali e

e q

- 255 Allora, denotato con a il valore comune di queste radic i , si ha x2 + px + q = (x- a )2 e l'integrale

f

dx 2 (x- a )

e

stato ca lcol ato in a)

x2 + px + q = 0 ha due radi ci reali e b2) L' equazi one dis ti nte, al ed a2 . A11 ora ri sulta x2+ px + q = ( x - a ) ( x - a ) e quindi si puo scri vere 1 2 x2+ px + q

=

=

(x-a 1 )(x-a 2 )

t

l-a2

( -x

~ al

x - a2

Percio, in ogni intervallo [a ,bJ che non contiene ne ne a2 si ha

f

dx X2+ px + q

=

al - a2

.:

a1 - a 2

[J

[ 1cg lx - a 1j

dx x -a1

1og jx - a 2 j

~

log

=

a l - a2

jx - al l lx

-j

+c

a21

Esempi

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

dx x - a2

J+c

=

J

=

) al

- 256-

x' - :: + +

J ~2

=

6 =

log

f (x~ J

Ix - 31

-x---2- ) dx

+ log

I x - 21

=

f

+

xd_\

+ c

X-

=

log lx-31 + c

2)

Calcolare

I X - 21

Jx

a2

x2 -

=

dx -

3x + l

x 2 - 3x +

Poiche gli zeri di 3 -

2

=

=

0

3 +

V5

2

V5

si ha

2

3x + l -

l

Vfs;

( X -

3 +

2

V5

b3 ) L'equazione x2 + px + q = 0 e coniugate a + i B, a ~ B

e quindi

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

X -

1 3 -

2

V55 ) e

quindi

ha due radici complesse Allora si ha

- 257-

f

f

dx -· 2 x + px + q

da cui, posto seg ue

dx (x - a ) 2+ 132

X

ex -- -

=t

13

, [ 8' =

[+

arcotg t + c ]

= X - 0'. )2 13 +

per 1a

f t'~

( 12 )

de 1 n . 15

=

l dt ] t = .X- 0'.

T

= -

X- 0'.

t= - 13-

1 x- a 13 arcot g - 13 - + c

e questo integra 1e i ndefi ni to s i puo co ns i derare i n un qua 1unque i nterva ll o

[a , b].

Esemp i o Ca l colare

J x 2- dx4x+l3

G1i zeri di 0'. 2 = 2 - 3i

x2- 4x + 13 = 0 e qu i nd i

x2- 4x + 13 = (X - 2 - 3i }(X - 2 + 3i )

f

dx 2 x - 4x+ l 3

=

9

f

0'.1 = 2 + 3i

so no

=

(x - 2) 2+ 9

dx

(Y )\

ed adoperando 1a sost i tuzio ne.

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

t =

X -

3

2

s i ha

perc i o

- 258dx

=

=

4x + 13 '

j

= [

arc otg t + c ] t =

c)

e

Ri s u1ta

J

=

B

2

=

f

-B l og 2

+ c

Bx + C

dx

con

B ,

dove

2x + p

x 2 + px + q

rea 1i · +-~==-----....,_ Bx + C = ~ ( 2 x + p - p + 2C ) , 8

e qu i nd i

Bx + C dx = 2 x + px + q

-

2

-r

q

e l a der i vata di

f

ar cotg

T

Consideriamo 1 1 integra l e

C , p

j

=

x_2

X -

B 2

f

2 X + p + ( 2BC - p ) ---------------- dx

2x + p dx + ( c x + px + q 2

Ix z+ px

+ q

I+

_ B;

)

( C - B;)

e 1 1 ult i mo i ntegrale scritto

e

f f

dx xz+ px + q

=

dx xz+ px + q

gi a stato calcolato in

Si noti che 1 1 i ntegra 1e i ndef i nito

J x +Bx px+ C+ q

tenente le rad i c i de ll 1 equa z ione

dx

2

essere cons i de r ate in qu alun que i nterva ll o

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

=

[a , b]

x 2 + px + q

=

0

b) . puo

non con -

- 259Esempi

8

J

1)

3x + 4 dx 2 x - 5x + 6

=

3 2

2x + 3 - 5 + 5

f

dx

=

dx

=

x 2- 5x + 6 23

= -3

f

3 = -

23 log lx 2 - 5x + 6 I+ 2

2

2

2x - 5 dx 2 x - 5x + 6

+

2

e tenuto con to dell 1 esempio

f

3x + 4 dx x 2- 5x + 6

2)

xz- 4x + 13

2

+

f f

4x - 6

dx

x 2- 4x + 13

3

f f 1)

--r xz- 5x + 6 dx

xz- 5x + 6 del caso

1og lx 2- 5x + 61+

=l 2

dx

=

=2

f

=2

2 l og jx 2 -4x+l31 + 2

e tenuto conto dell 1 esempio del caso

f

23 IX - log 2 IX

2x- 3- 4 + 4 dx x 2- 4x + 13

b ) 3

f

J

-

3I

-

2I

+ c .

2x - 4 dx + 2

x - 4x+ l 3 dx

x2- 4x + 13

si ha

4x - 6 dx = 2 log lx 2-4 x+ l 3l + l arcotg 2 x -4x+ l 3 3

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

si ha

b2)

x- 2 3

+ c .

- 260---- .'

una qualsiasi fu nzi one razionale

17 .

11 prob 1ema de 11 'i ntegrazi one di un a qua 1unque funzi one razionale Q~~~ con P{x) e Q{x) po l inomi a coefficien ti reali, e basato su formule di decomposizione che sussi stono perle stesse funzioni, formule che enunceremo tralasciando la dimostrazione.

,

Sia ~~~~ una funzione r az i onal e e supponiamo che P{x) e Q(x) non abb i ano divi sori comuni che non s iano delle costant i, e il grado di Q sia magg i ore od uguale ad Se il grado del polinomio P{x) e magg io re od uguale a quello di Q(x} detti D{ x) e R{x) i l quoziente ed i l ' res to della divi sione di P{ x) per Q{x) si ha ' ( 13)

I p(X)

=

D{x) Q{x) + R(x) [

co n R(x) po linomio di grado minore di que l lo di Potremo anche scri vere

~

=

D{ x)

+

Q{x)

F_(_xj_ Q(X)

Poiche D{x) e un polinomio sappi amo calcolare l ' integrale indefinite; di conseguenza i l ca l colo dell'integrale indefi ni to di

~f~~

e

ricondotto a quello di

*B

Osserviamo, prima di proseguire, che poiche abb iamo supposto

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 261 P( x) e Q( x) privi di divisori comuni che non siano delle costanti, tali sono anche R(x) e Q( x) , . come risulta da 11 a ( 13) Per procedere_al calcolo de ll 'integrale indefi nito di ~ in un intervallo non contenente zeri di Q(x) useremo una decomposizione di ~ in f unzioni che sappiamo integr~ re. Se Q( x} =a oxn + a 1xn- 1 + . . . +a n- 1x +a n s i ha per Q( x) l a decomposizio ne (vedi Cap. xv• ) )J I

Q( X) = aO ( X- a l )

llr

\J2

( X- a 2 ) . . . . ( X- a r ) v2

(x 2+ p2x + qz) . .. . (x 2+ ps x + qs)

V1

( X2 + pl X + ql )

vs

dove i fattori lineari corri spondono al l e rad i ci reali del l ' equazione Q( x) = 0 ed i fattor i di secondo grado alle : c::::.o:m . :.:r.. pl.:.:e:.:s:.:s:.:e~e_: co::n..:..i:..::u:..:g~a...::t.::. e_d:::.:e:..l:._:l:_::a:..._::s_:: t::. e~ s s:::a::_:e:..::q~u~ a::..z.:_::. i~ 1c~.:::.op~p~1:....::e~dw.i~ra:::.;d~1.:...:.c::..i......::: ne.

a) ( 14 )

Sus site l a

formul a di decomoosizi one di Hermite

s r A.1 R(x ) + [ = [ i= 1 x - a 1. j=1 Q(x )

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

B. x + c. J

l +

J

p. J

X+ q.

J

+

-262+ d

ax dove

A; , i = 1,2, ... ,r

3j, Cj , j.= 1, 2, ... , s

sono opportune costanti reali uni voca mente determinate e T(x) e un polinomio a coeffi cienti rea li di grado al piO inferiore di uno rispetto al grado del suo denominatore . (Nel caso che t utte le rad i ci di Q(x) siano semplici il polinomio T(x) e identi camente nullo Si osservi che per ca l co l are l a derivata a secondo membra della (14) co nviene scri vere l ' espressione tra parentesi quadre nella forma

ed app li care poi la regola di derivazione del prodotto di piO funz i oni. Per determinare l e costanti A., B., c. ed i coeffici enti 1 J J del polinomio T(x) si puo adoperare il metodo delle costanti indeterminate. Si eliminano i denominatori nella (14) e si otti ene un ' ugua gl i anza tra due pol inomi che deve essere un'identita . Di conseguenza uguagliando i coefficienti delle potenze de ll a x dell o stesso grado in tal i polinomi si ottiene un sistema di equaz i oni lineari che permette di determi nare in modo univoco le A;, Bj, Cj ed · i coeffi ci enti del polinomi o T(x)

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 263-

Una volta operata la decomposizione de l la funz i one razional e mediante l a (14) possiamo agevo l mente ca l co l are l 1 inte grale indefinito

J~f~l

del secondo membro de l la

dx :

(14)

infatti 1 ' ult i mo termine

ha come integrale indefinito

T(x)

A.1

mentre 1e espression i no come visto in

B. x + J

x2+ p. x +q .

x - a1. e c)

a)

c.J

J

si i ntegr~

J

de l n. 16

Esempi 1)

Ca 1co 1are

Per l a

(14) =

X

2

(X -

1)

Al

-X

=

x2(x-l)

poniamo

A . 1

A2

d

+ -- + -X - 1 dx

A2 ·"

bo

cioe

X

b

- - + - - - -0-

x

x-1

i

da questa, moltip l icando ambo si ha

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

membri per

x2(x- l ),

-264(A 1 + A2 )

=

2 X -

(A 1 + b0

)

+ b0

X

da cu i Al + A2 Al + b 0

b

0

=

0

=

0

I

e qui ndi

1

=

-1

=

AI A2

=

bo

=

Perc i o ri sulta =

-

x2 (x -l )

1

x-1

X

d

+ -

+

-

1

-

dx

X

e qui ndi

f +

2)

dx

=

x2 (x- l ) + c

-

X

=

f ~X f +

Essen do

(x 2 - 1 ) 2

X -

IX - 1 I IX I

lo g

Calco l are

-dx- + -1

f =

x2 + 1 (x 2-1 )2

1 + -X + c

dx

. A2 + X+ 1

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 1og 1 x 1+ 1og I x-1 I+

=

X

(x- 1 ) 2 (x+ l ) 2 ,

+

ci oe

1

per l a b

d

dx

[

X

(14) poniamo

+ bl

(x~l )(x+l)

]

-265-

x2+ 1 (x-1) 2(x+1) 2

b0 x +.b1 (x-1) 2 (x+l )

Al + - A2 + _ _bo __:___ _ x+l (x-l)(x+l ) x-1

----- = -

b x + b1 0

(x-l)( x+l ) Da questa, mo l t i pli cando ambo i membri per

(x-1) 2 (x+l) 2 ,

s i ha

x2+ 1

= (A 1+ A2)x3 + (A 1- 3A 2- b0 )x 2- (A 1+ A2+ b1)x-

- A1+ A2- b0 Al Al Al -Al

+ + +

da cui

A2 3A 2 - b0

= 0

A2 + 2bl A2 - bo

= 0

=

=

1

Al = 0 A2 = 0 bo = - 1 a, = 0

e qui ndi

1

Perci o ri su l ta x2+ 1 (x- 1) 2(x+l ) 2

=

d dx

-x (x-l)(x+l )

e quindi

f

x' +

(x2 - 1 )2

dx =

X

(x-1 )(x+l )

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

+ c

-266-

Ca 1co 1are

3)

Per l a

+l x( x2+ 1 ) 2

f poniamo

( 14)

X

+ dx x(x 2+ l ) 2 X

Al

=

s, x + c, x2+ 1

+

X

+ -d dx

cioe + x(x 2+ 1 ) 2 X

=

-

Al

B1X + Cl x2+ l

bo + -- x2+ 1

membri per

x(x 2+ 1) 2

+

X

Moltiplicando ambo

2b x2 + 2b x 0 1 (x 2+ 1 )2 si ottiene

da cui Al + s, = 0

Al = s, = -1 c, = l /2 bo· = l /2 bl = 1/2

c, -

bo = 0 2A 1+ B1 2bl = 0 c, + bo = l = 1 Al

e qui ndi

PercH risulta + = 2 x(x + l ) 2 X

X

+ -2x2+ 1

2(x + 1 )

e quindi

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

+ 2

d dx

+ x2+

X

- 267-

f

J .!_ dx -

X+ 1 dx = 2 2 x{x + 1 )

.!_

X

2

f

2x - l dx +l 2 x 2+ l

1 1 l og lxl - - l og (x 2+ 1) + - arcotg X +l 2 2 2

=

b)

X+ x2+

X+ x2+

=

+ c

Sussiste poi anche la seguente formu l a di decompos izi o-

ne che ci 1imiti amo a riportare ne 1 caso in cu i g1 i zeri com p1ess i sia no semp l ici.

( 15)

R(x) A A1 1 Al,2 1' ).J 1 --' + + .... + 2 ( x-a ) JJ 1 Q(x) ( x-a 1 ) (x-a ) 1 1

...

Ar, 1

+

+

( x- a ) r +

b x + c 1 1 2 x+p x+q 1 1

dove I

Ar,2 ( x- a r) 2

b2x + c2

+

A r, ).J r (x- a ) JJ r r

+ . .. +

x2+ p2x + q2

+

b x + c 5

s X2+ psx + q s

b1 ' b2' . .. ' bs Al, 1 ' Al, 2 ' . .. ' Ar, IJ r ' so no cos tanti da determinare. c 1 , c2 ' .. . cs

'

Se in part i co 1are g1 i zeri di ( 16)

+ . ... +

+ ... .

R{x) A1, 1 --Q(x) ( x- a ) 1

+

Q{x)

Al 2

'

(x-a ) 2 1

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

so no tutti rea 1i si ha: A

+ ... +

1 ).J 1

( x- a ) JJ ~ 1

+ .. .

- 268A

... . +

+

A

r, 2

r, lJ r

+ .. . . +

Peri l calcolo delle costa nti si procede come nel caso

a) .

Esempi l)

f

Calcol are

Pe r l a

(15)

2x + l dx 2 x(x+l) (x-1)

poni amo

2x + l x(x+l ) (x- 1)

-----~ 2

=

a

+

b

+

x+l

X

Molti plicando ambo i membri per 3

c

+

x- 1

d (X- l )

x(x+l)(x- 1)

2

2

2

si ottiene

2x + l = (a + b + c) x + ( d - 2b - a) x + ( d - c + b - a) x + a da cui a+b+c

= 0

d- 2b- a =

0

d-c+b - a=2

a

=

Pe rc iC) r i s ulta

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

a e quindi

b c d

= l = - 4 3 =- 4 3 = 2

-269-

.. 2x + 1 -----= x(x+1 )(x- 1 )

2

4 (X+ 1 )

X

2x + 1 x (x+1)(x-1)

f

3

+

2

4(x-1 )

2(x- 1)

Si ha 2

dx = 1og lxl+ 1 1oglx+11- 3 1oglx- 114 4

1 X-T + c

3

- 2

2)

3

+

Ca 1co 1are

Per 1a

(15)

pon i amo

a + _b_ +

=

X

Mo l t i p1icando ambo (a +

=

C)

X 3+

membri per ( b + d)

X 2+

x 2 (x 2 + 1)

si ottiene

aX + b

da cui

a + c

=

0

b + d = 0

a

=

b

=

e qui ndi

0

PercH ri sulta

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

a

=

b

=

c

=

0

d

=

-1

0

- 270-

x2(x2+ l )

=

xz

-2 X

+ l

e quindi

J xz (x dxz+ l )

18 .

=

a r cotg x + c

-X

Integrazi one di al cun e funzio ni i r raz i onali .

In ouesto numero esamine remo alc uni tipi di integra li l a cui funz i one i ntegranda puo essere razionalizzata mediante part~ col ari sostituzi oni. Con R ( x1 , x2 , . . . , xn ) den ote remo una funzi one raz i on a l e de ll e var iabil ~ ·: nd i cate. a)

Integra li del tipo

J

R ( xrl ,

rz

X

'

....

'

xr" ) dx

... . ' rn sono numeri razional i . ' Detto ~ il mi ni ma comune multiplo dei denominatori dell e frazi ani r 1 ' r z ' . . . . ' rn mediante l a sostituzio ne X = t ~ l 'i ntegrale co ns i derato s i tras forma in un inte gr~ le di una funzione raziona l e di t dove

rl

'

r2

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 271 -

Esempio Calco l are l ' integrale Si ha =

qui ndi

dx

f

dx

e, posto

x = t

6

e

= 6t ' dt , l ' irotegra l e si trasforma in

~

t r, dt = 6 t 3+ t ·

t dt +

f

_!_2_ dt = 6 t+l

f f dt -

t d+\J

=

f 2t

1

(t 2- t + l - - -)dt= t+l

3 -

3t + 6t -

- 6 1og 1 t + 1 1 + c

L'integrale richiesto val e all ora 3

= 2 b)

Integrali de l tipo

d6ve

a , B , y , 6

a 6 - By

=I= 0

ed r I '

l ora attribui to in

6

j/X - 3 VX + 6 VX

6

- 6 l og I VX

+ 11 + c

sono quattro costanti tali che hanna i l sign ifi cate r 2 ' • • • ' rn

a)

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 272Mediante la sos tituzione a x + B = y X + 0

tw

ove w ha l o stesso s ignificate che in

a), 1 1 i nteg r a l e con -

si derate s i r i conduce a 11 1 i ntegra le di un a funzio ne raziona 1e di

t

Come caso particolare s i hanna gli integral i del tipo

Si noti che gli integrali del t i po cons iderate in

a)

r i en -

trano come caso particolare in quel1i o ra considerati. Es empio X

Ca 1co 1are 1 1 integra 1e

Pos t a _x_

=t

2 ,

da cui

f (1x

l f2

x)

2

= t /( l + t

dx 2

e dx

)

= [? t /( 1 + f)J d1

- X

1 1 integra le si trasforma in 2

t + 1 - 1 dt 2 ( 1 + t 2)

=2

[j

d+tt 2 1

J

dt 2 ( l+e)

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

J= 2 [a rcotg t

-

..!. (arcotg 2

=

t + _t_ )]+ 2 l +t



- 273-

~t2 + c. L' integra l e ric hi esto e dunq ue

= arcotg t - l

J(1 ~ j

(L 'integral e ·s ti tuzi one

0-

= a rcotg

dx

J ( 1 +dte ) tg z

=

so-

ed adoperando poi una i ntegrazi one per

pa rti come nell'Esempio

c)

s i puo calcolare mediante l a

2

t

Vx(l - x) + c

4)

de l n. 14 )

Integral i del tipo

J dove

2

R ( x , Va x + b x + c ) dx

a , b, c

Si noti che see

so no costanti. a= 0

l ' integrale r i entra in que lli

del tip~ b) ; see a 0 , b2 - 4ac = 0 l'in tegra l e di un a funz i one razionale

all ora s i ha

Esc ludiamo che sia a< 0 , b = t = 0 ~pp ure a < 0 , b ~ - 4ac ~ 0 perche in tali cas i la funzione integranda non risulterebbe reale . Se gli zeri, a e B , del trinomio a x2 + b x + c sono real i, supposto s i puo scrivere x i= a

Va x + b x + c 2

=

=

2

Va(x - a ) (x- B) = 1 / a(x- a ) (x - B) (x- a )

Y

jx - r£ j l ~ v~

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

=

- 274e quindi l'integrale di venta

f R (x ,

[x- a[ v·:x~B~ ) dx

per cui rientra negli integrali del tipo

b)

e mediante l a

sostituz i one

~=t che e equivalente alla 2

(17)

Vax +bx+c

=

lx - a l t

l'integrale cons i derato si riconduce all'integrale di una funzione raziona l e di See

a > 0

t .

e gli zeri a e B sono complessi (e di con -

c > 0) s i puo effettuare una delle sostituzioni

segue nza e (18)

Va x 2 + b X+ c

(19)

Vax +bx+c

2

=

=

va

X + t

xt+VC

ciascuna delle quali permette di trasformare l'integrale dato in quel l o di una f un zione raziona l e. Le sos tituzioni

(18) , (19)

perate ne l caso c he e so no real i.

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

possono ovviamente essere ado-

a >- 0 , c

~

0

ed a e B

- 275 Esempio Ca 1co 1are 1'i nt egra 1e

f

Vx

2

dx - 3x + 2

Poiche e a = 1 > 0 e g1i zeri a = 1 ' B = 2 c =2> 0 ' sono reali s i puo usare una qualunque del le sostituzi on i ( 17) , ( 18) , ( 19) .

Adopera ndo 1a

( 18 ), pone ndo ci oe

V/ - 3x

+ 2

X + t

=

da cui si ha 2

x - 3x + 2

=

2

2

x + 2t x + t ,

. 1'integral e s i tras f orma in _2

j

3 + 2t t +3t+2 e quindi dx

f

7

.

e + 3t + 2 dt 1

= _2

(3 + 2t )

=

-1 og

I 3 + 2 Vx

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

j

2 -

X =

dt 3 + 2t

=

-1og j3+2t l+ c

3x + 2 - 2x

I+

c

- 276.d)

Integra 1i de 1 ti po

J

R

~ c x+b)

( x , Vax+b ,

Meciiante l a sostituzi one

dx

(oppure ~ c x + b = t )

Jlox +b = t

l ' integrale considerate si ri conduce ad un integral e de l t i po

c) .

Esempio Calcolare l'integrale

f lfX

Posto

= t,

Vx

--=='==--- d X

~~~ + 1

da cui

x = t

dx = 2t dt , l'i ntegrale

vc + 1

e quest ' ulti mo in tegrale cne re mediante 1a sosti tuzione

~del

vc + 1

dt +1

tipo =

c ) , s i pu6 c al co l a t + z

Integra li del tipo

Jxm (ax r dove

e t

si trasforma i n

e)

2

m, n, p

s tanti.

+ b)n dx

sono numeri raz i onali ed a m (a x11 + b)n dx L' e s pres s ione X

differenziale binomi o

) La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

e

b

de 11 e co-

s i dic e

-277Il ca 1co 1o de 11 'integra 1e in esame s i puo ri condurre a que 1l o di un integrale di una funzione raz i ona le se e so l o se e intero almeno uno dei tre numeri

n ' Se

m+

m+

+ n

p

p

n e intero, l'integrale considerate rientra negli inte-

grali di tipo

a) .

n non e i ntero, ci oe

Se

m+ 1

n

r

= -s

'

con

s > 0 ' ed e i ntero

si pone

p

= ts

a xP + b

m+

se invece e intero

in entrambi

+ n

p

s i pone

cas i le sosti t uzi oni i ndicate permettono di

trasformare l 'i ntegra l e di un differenzi a l e binomio in quello di un a funzione razionale . Esempio Calco l are l'integrale dx

m+

In questo caso e da c ui

dx =

p

t dt X

=0

e quindi s i pone

1 +x 2

l' integra l e s i trasforma in

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

= t2

- 278-

f =

t'

e-1 t

dt

=

J(

1 +

~~~ )dt

+~ f ( t ~ 1 - th) dt

= t +

~

It- 11 + c

log

fE+I j

1

= t+ -z

19.

+x x'

dx =

J,

+

I

dt

e-

=

1

1 log It- 11 + 7 1og I ~+ 1, + c

=

'

e qui ndi l'integra l e r i ch i es t o

J Vl

1 dt

=

1 + x'

+

e

~

log

I

C

lntegrazi one di a 1-~~-~fu n z_jE._~i_t:_rasc enden_tj_ _

Esami ni amo di versi integra li di funzion i trascendenti, olcu ni de i quali con opportune sostituzioni s i riconducono o in tegra 1i di fu nzi oni raz i on a 1i . Co n R (x 1 , x2 , ••• , xn) denotiamo una funzi one razi ono l e i ntera delle variabili indicate . a)

Integra 1i de 1 t i po

J

R

con

a , a,

pE

(a ax+p) R

a > O,a:;i:l

Mediante la sost i tuz ione

an.x+p =

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

dx

t

- 279s i r i con duce a una funzione raz ionale di t . Esempio Ca 1 co 1are 1 'integra 1 e

f Pos to

dx

4x/3 +T 4 x/3 + 1 = t , da cui

X = 3 (log 4 t - 1), d x =

3

dt,

t 1og 4

l'integrale s i trasforma i n

3

l094 e quindi per l ' integrale r ichiesto s i ha

f b)

dx 4-x7T+T

-

4

3 x!3 + 1 log

c

+

4

Integra 1e de 1 tipo

f

con

=

R

( a r, x , a r, x

+ a E R , a i= 1

ed

r.

1

,

.. .

' a

rn X

)

dx

raz ional i .

Detto 11 i l minirro comune multip l e dei denomi natori degli ri, con l a sos tituzione

l'integ rale s i t rasforma in un integra l e di una funzione ra zi ona l e di

t .

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 280Esempia Ca1calare 1 1 integra1e

2x

Posta

t

=

6

2x!2 dx 1 - 2x/3

J

e quindi

x

=6

1o g, jt

I,

dx

= t 16og 2 dt

1 1 integrale s i tra sfo rma in

j

6

log 2

e 1- e

dt

= -61ag 2

J

( -1

+ ) dt 1 + t'

Da questa, tenen do presente i 1 caso b - b ) de 1 n. 16 , 2 con fa cili ca l co li s i perviene al ca lcol o de11 integra 1e ri chi es to: 1

j c)

2 x/ 2 X/

1- 2

3

~

dx = _6

1og 2

(

1

- ~ 2 X + Z 1a9 6

-

Integrale del tipa

j R[aX. (;:: :; (l , (_a~fJ) r2 X

, •••• ,

ya +d

con

a

E :R

+, a

-=F

1 , e i n cu i

hanna il s i gn ificato del casa

ya

a , 1-'o , y , 11"' ,

b) del

(d_:~) rnJ dX X + ~

r 1' r 2 • · · · · r n

n. 18

Detta !J- il mi nima comune multip l a dei denamin a t ori de gli pasta

ri ,

1 1 i nte grale s i ricon duce all 1 integra1e di una funzione ra zi o

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 281nale di

t .

Es empio Ca l colare l'in tegra l e x = log

da cui

Pos to

2

dx =

e I e-

-1

l'i ntegra le s i trasforma in

dt

t( 1 - e) 2

l +t = log l -

- dt-

Jl - t

1

l - t

I+

c

e quindi l'integrale r i ch iesto vale

;;xJ VTJ 1

d)

--

dx

2 log

(Vex- 1

+

v;x)

+ c

Integra l e del tipo

J z

R (s in x, cos x) dx

Pos to

tg

= t

,

da cui

x = 2 a rco tg t ,

2 dx - - - dt 1+

e

e r i cordando c he X

2 t g "Z

sin x =

1

X

COS

X

=

1 + tg "Z l'integrale si r i co nduce ad un inte g rale di un a funz i one ra·Zi onale della

t .

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 282Esempio

f

Calcolare l 'i ntegra l e

dx -3-s-,-. n_x_+_4_c_o_s_x

Con l a posizione detta ta l e integrale s i tras forma in

f

dt 2 + 3t - 2t1

=

dt (1 +2 t )( l- 2t )

f

=

-1 1og l l + 2t 5 2 - t

I+ c

L'i ntegra l e data vale quindi X

f

dx 3 s in X + 4

= COS

+ 2 tg 2

1 - l og 5

X

2

+ c

X

tg 2

d I)

cos con Tale i ntegra l e s i ri conduce al caso ax+{J

e)

=

R (tg x) d x ,

Poiche

e

tg

X=

s in COS

tegra li de l tipo tg X

X X

d) ,

con l a pos i zi one

z

Integrale de l t i po

J

d)

J

R ( cotg x) dx ,

j R I tg x , cotg x I

s i puo procedere co me per gli inrna conviene porre l a sos tituzione

= t

Esempi o Ca l co l are l ' integral e

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

j

1 - tg' x

1 + tg

X

+ tg 7

dx X

- 283-

Da 11a

tg x = t

1

dx = -

segue

- dt

e quin di l' integrale

1 + t'

s i tras forma in

f

1 -

t'

dt

(1 +t+t')(1 +t')

Integrando ta l e f un zi one r az i ona l e (s i _te nga presente il n. 17) l'integrale rich i esto vale

f f)

1 - t 91 x d x = 1o g 11 + co s x s i n x 2 1 + tg X+ tg X

c

Integra li de l t i po

J R (sin'x ,

cos'x, sin 2x, cos 2x, tg x, cotg x) dx

Effett ua ndo la sos ti tuz i one te

I+

tg x = t ,

tg

I=

t

o pi Q co nve ni en t emen -

tale integral e s i trasforma i n un i ntegrale

di una f unz i one raz i ona l e di

t .

Esempio Calcolare l ' integra l e Dalla tg x =t

s i ha

dx dx = dt 1+

t'

e l'integral e s i trasforma

in

c Pe r l'integrale richiesto va l e quindi la tg X dx = ~ l og (2 tg 7 x + 1) + c 7 s in x + l

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 284g)

Integrali del tipo

11 co n rr.,

#E

=

f eax

cos f3 x dx

I2

=

rea

X

Sin fJ

X

dx

J

R +

f

Integrando per pa r ti s i ha 1 rr.x . 11 = ~e Sln{J X --pa

1 rr.x

I2 = - ~ e

rr.

co s f3 x + ~

j

ax si nfJ x" dx =-e 1 ax s1n . f3 e

{3

1 ax ax co s f3 x dx = - ~ e cos

e

x - -a I

rr.x

I1

e

+ {31

(l. 2

( rr. COS fJ X + fJ Sin fJ X) + c

rr.x

e

I2 =~ (l.

( a s in

+

f3 x - f3 cos f3 x) + c

Esempi o Calcolare l'integ ra le Da lla

I

e

I 1 s i ha 2x

2x cos 5x dx = e 29

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

I

e

2x

cos 5x dx

(2 cos 5x + 5 sin 5x) + c

·a

fJ X + {f I l

Ri so lvendo queste due ultime re 1azi oni nelle incognite 12 si ha = --

f3 2

I1 ,

- 285ES ERC I Z I

1)

f

Ca 1co 1a re

S V0 LT I

arcosin x dx

Integrando per parti s i ha

J arco s in x dx = x a reo s i n = x arcosin x =

Jd( 1 - x

2

dx =

2

j d(l- x

2

+

)'

17

=

- x2 + c

J arcotg x dx

Ca 1co 1are

2)

X

= x arcosin x

)

( 1 - x2) '12

V1

x a reo s i n x +

1-

2

l

+

X

j

X -

Integrando per parti s i ha

Jarcotg x dx f

_1 2

2

d (1 + x 1+x

x arco t g x -

=

)

= x a reo t g x -

2

f

1 + x1

l

1o g ( 1 + x2 ) + c .

2

x

dx

=

x a reo t g x -

Calco l are

3)

Integrando per parti s i ha ·

f = X

X COS

tg

X

dx 1

= X

tg

X -

X

+

' d (cos x)

j

cos



j t g x dx X

tg

X

X

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

+

= X

l og

tg

X -

I sco-;:; in x dx

. COS

X

+

C

=

- 286-

f

Ca 1co 1are

4)

x' s in x dx

Integrando per parti s i ha

J x'sin 5) Pos to

X

+ 2

=

x' cos X + 2x s in x

2

=

X COS X

x dx = - x' cos

1

+ 2x s in

Ca1co lare

V2x - 1

J sin

+ 2

X

X COS

COS X

X

x dx = dx

=

+ c

dx x lh x -1

f =

f

t

da cui

'

X =

1+

e

dx

e

2

t dt '

l 1 integra 1e s i tra sforma in

- 2

J

dt 1+

e

= 2 arcotg t + c

e quindi 1 1 integra1e ric hi esto 6)

Posta

Ca1co1are

e

2 arcotg

da cui

dx =

dt 2x

1 1 i ntegra1e s i tra

sfo rma in

f~ =- Vt

Ca 1co 1a re

e qui ndi.

+C

dx = -

V1 -

J I ex--=1

dx

x f Vl-7 7)

2x- 1 + c

. x dx ..f ~

1- x'= t ,

2

I

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

x' + c

-287 -

Vex - l

Posto

t ,

=

da cui

x=log(t'+l)

e

2t

dx=--dt, e+l

l'integrale si trasforma in

f~

2

1 - - - ) e+l

f (l

dt = 2

f+l

dt = 2 (t- arcotg t) + c

e quindi

f

Vex-

dx = 2 (

l

- x7 = t

Posto

- arcotg

~)

+ c

.

f x e-x' dx

Cal col are

8)

v~

dt dx = - 2x '

da cui

l'integra l e si tra-

sforma in dt = -

J 9)

x e

-x 1

l

2

dx = -

e

t

+ c

l

2

e

-x

e qui ndi 7

+ c

f Vx:_'

Ca lcolare l' integra l e

l

dx

Si tratta dell'integrale di un differenzia l e binomi o , cioe di un i ntegrale del tipo

Poiche

e

m+l __ 2 p

e) .

Si puo infatti scrivere

s i pon e

2 1 - 1 13 dx = - t (t + l ) dt 3

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

da cui l • integral e

si

- 288t r as forma in s

f f w:-1 X

I~ xs

10)

dx

2

-3

r(e

+ 1 ) dt =

i (r

+ t ) + c , e qui ndi

'

2 dx - - ( i[( x3-1 )3 .+ 3

-

v~ ) + c

3

Ca1co1are 1'integra1e

Si tratta dell'integra1e di un differe nzia1 e bi nom i o , ci oe di un integra1e

~e1

tipo

e) .

Si puO in fa t t i

scriv~re

dx = x- 2 ( 1 + /) - 213 dx x2 3V( 1 + x3)2 m+ 1 + n = -1 s i pone 1 + X - 3 = t 3 , da cui p 413 3 3 dt 1 ' i ntegra 1e s i x = (t - 1 )_,, e dx = - t 2 ( e-1 )-

Poiche

e

tras fo rma in

- s = -

dt

=

3~

-t + c

e quindi

+ c

X

11 )

Posto

Ca1 co1are 1'integra1 e e 2x = t . da cui

gra1 e si tra s forma in

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

f

dx 1 + e 2x

1 x=- 1og lt l , 2

1 dx = - dt 2t

1 ' i n te-

- 289-

e qu i ndi

f

= 2

1 +d:2x

12)

e

2x + c .

log

J Vex -

Ca 1co 1are 1 'integra 1e eX - 1 = t , ,

Posto

2t dx = - - dt

da cu1.

dx

e x = t' + 1 ,

X

=

1 'i ntegra1e si trasforma in

e+ 1

=2

f (1 - -e1+- 1 ) dt

= 2t - 2 arcotg t

+ c

e qui ndi

J~ex-

13)

1

dx

=

2 (

VTl - arcotg VTl) + dx

Ca1co 1are 1'integra1e

Pos to

tg ~

=

t

da cui

c

f 3- 4 x

=

COS X

2 arcotg t ,

2 dx = -=-- dt , +

e

1'integra1e si trasforma in 2

f

=

dt 1 7t - 1

1

Vi

, og

j

IV7

1 dx ~ 7 t- 1 t +1

I+

fV7

dt t +1

= -.1-

tn

1og

IV7 t

·

c

e quindi

f

dx 3- 4

COS X

1

= - - log

V7

Vi V7

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

t9

~ -1

tg ~ +·1

+ c

- ,

I -

-29014 )

f

Ca 1co 1are 1 ' integral e

Posto

tg

X =

t ,

da cui

s i n1 x 4 - CO S 1 X

a rcotg t

X =

dx dx

=

-

1

1+

tenuto conto che

s in 1 x

tg 1 x

=

co s 1 x =

-

1 + tg

1

1

-dt

e

e

1 ' i n-

1+t g x

X

tegrale s i trasforma in

f

t'dt (4t + 3)( 1 + t 1 ) 1

Integrando tale funzione razionale

f f

1

t'dt

(4t +3)(1 tt')

V3

=

(n.l 7)

a rcotg

2

2t

~

3

s i pe rvi ene a + arco tg t + c

e quindi

15)

·1!3 arcotg ~~ + si n' x dx = - --

4-

1

f

Calcolare l'integrale

Adoperando la

Jex/1

vi

2

COS X

12

del caso

s in 2x dx =

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

g)

4 ex/2 17

X

+ c

ex/1 s in 2x dx

del

n. 19

s i ha

( -zs 1 ln . 2x - 2 cos 2x) + c .

- 291ES ERC I Z I

1)

J

P R0 P 0 S T I

Ca1co1are per parti i seguenti integra1i i ndefi niti

dx

X COS X

Jxarcotgx dx, Js i nxcosx dx , fVJ7dx,

x a rc s i n x dx ,

J

V1 -

X

2

J

J

e x cos x dx ,

s in s x_ dx ,

Jvx

1og xdx

J/Xsin3xdx , Jx'ex dx , J x'cos x dx , J 1og' x dx, Jx' cos x dx , Jex sin x dx f x' 1og' x dx , J sine x x dx Ca 1co1are medi ante i 1 metoda di sos tituzione integra 1 i i ndefi niti

2)

JI J

X

a2 - x2

d

x

x e x' - 1 dx

J~2 COS

X

dx

dx /V1 + X 2

f vxvx

dx ex+e- x

J-x

_e_ dx

J J

ex dx 2x 1 +e

J

1 +X

f

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

4

dx

dx ~

x + xVx

seguenti

f v/-xex

dx ,

dx x( 1 + 1og 2 x)

J

f

X

(1 + x2)2

dx .

-2923)

Calcolare

seguenti integra1i indefiniti di funziot

raziona1i

f f f

x' + 1 3

f

dx ,

2

x -4 x +5x - 2

f

3 dx X- X

X 3

d

X

(X 2 +X+ 1)2

4)

J X (x 2

f

dx

2x' - 3x+1

f

dx

dx ,

(x 3 +1)'

5x - 2

X

Ca1co1are

X

X+

1

2

+1r

x+2

dx

x' - 5x + 6

dx

x ( 1 + x' )2

segue nti integrali i ndefiniti di funzion

i rrazi ona 1i

f f f

J 'f

dx

S/ 4

X

- X

X

V4x + 3

d

x

I x' + x + 1

J h ._·v~ vx

dx

X

dx

x

2x - 1

dx ,

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

J

~- x'+x+2

f

dx

/~ ~

J 1 1 + x• 4

dx

dx ,

f f f

1-~ dx , 1 + 11 - x'

·v;-~

IX

dx

3

dx X+

V/ - X+ 1

-293-

5)

Calcolare

seguenti integrali indefiniti di funzioni

trascendenti + e2x dx ! I ex

L

dx - 4 s in x

J(3e x + 5

e2x + I ) ' dx 2

f

t9

X

dx

s in 2x +

L

sin (2x+ l) + cos 1 (2x+l)

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

dx

J

cos' x s i nJ x dx .

!

- 294-

E S E RC I Z I

DI

(

I E P I L 0 G0

l.

Es e rci z i s u argome nt i dei Cap. IX 0 e

l)

Per

x-o ,

xo .

determi nare l'ordine di infinites imo , r

s petto a ll ' infinites i mo

x- x , de l le seguenti applicazi!

ni X X X

-- IR l

.

x s 1n

[3.

X

x tg 2 x

[3

x + s in 5x

[l

s

X X X X X

(<

.. X

X

X X

-- vx --

tg

X+ t g

l

X -

-

[7 / 5

X

[(

X 2

tg x

[5/2: [1

X

(l

-

cos x) + xl

[2:

(l

-

cos

+ xl

[3.

X )l

l . - cos {X)

[(

x + s i n 5x x2 t g x x + si n x

j/X

s in X - ~' 'T X •

x s i n3 x X+ tg X

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

[2:

- 2 ~5-

[2/5]

X -t J ,------

X

Vtg 1 x + xl

-t

2)

Per

x-+co ,

spetto a ll'infinito

[2/3] determinare l 'ordine di infin ito, ri x-tx, delle seguen ti app li caz ioni

X1 + 1 x + Sx

X

=

X

- lw

X

-

[1] [2/5]

4

x - sin x X+ 1

- !R -

[3]

s

X X X X X X X X

s in x

.[2/5] [5]

-

s 1 X + x, sinX

5xl + X cos X

[3]

x, + l og x

[2]

-

1 + Xl cos ..!_ X l og x

[2]

-

- vx XJ

-

-

1 + X log x

[3]

cos ..!_ + log x X

[1 /2]

COS -

X

xJ + l og 1 x X1+ 1

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

[1 /2 ]

-296-

$ X

x2 cos

---t

X

X

---t

X

---t

X

---t

X

---t

.lX

[1/ 5]

+ 1

. l s 1n -

log

X

j!x$ +

+ log 2 x

lo g

X

+

X

J

[3]

. -l s1n

X

[5/3]

X

[1]

2

Vx sin

~+

X

4

[2]

3) Adoperando il principia di sos tituzi one degli infinite simi veri fi care 1 i m X ---t

x, + t9

..._

0

s i n2 x 2X2 + X 2 s i n2 x X

=

2

5

X

X

X

1 i m

x1 + x4 sin x + tg 4 x

1 i m+

( l - cos x) tg x + XJ + xs

l i m+

lo9 x s in

---.o

---.0

---.o

l i m+ X

X

3

X X

X

+ x, + XJ

=

0

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

X

2

=

+ CO

=

( 1og x) sin 3 x + ( 1

---.0

X

+ x,

- cos xf

=

0

-297l ; m X--t

- co

1 i m X --t - CX)

-

1 i m+ X

-

0

V1 -

cos 2 3 X + x

v; + s in 3

X

X

= +ex:> + x3

2

t~ X

+ (1 -

s i.n

0

X

+

4

=V2

I

COS X ) 4

w + x2+ tg 2x

1 ; m X

= +ex:>

x2ex + e 2x = +ex:> e3x + e Sx

0

1 ; m+ X --t

2 ex e3x+ e5x X

=

0

X

Adoperando il principia di sostituzione degli infiniti veri fi care 3 e 5x + X + log X 1 i m = +ex:> e3 x + X7 + log 2x X -+ +ex:>

4)

1 i m

- +ex:>

X

e3 x + log 4 eX +

X

vx-

= +ex:>

I

-

1 i m+ X

0

1 i m X --+ - oo

-2 X ex + X -3 log X + X -5 x + x 2 x• + x2 J sin x J

e

= +ex:> =

+ex:>

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

-2981 +-X ex-•+ X -l

log

-

1 i m+ 0 X

-

X

+ex:>

1 i m x __. + oo

=

x7 + xl sin

X

+

=

0

X

x log 1 x + x2 3

0

+ xl cos X

XI>

1 i m

X

=

0

X CO S X

=

1 i m X

__.

+ex:>

i m X __.

0

=

+ex:> (s in x) -2 + x-· log X + X

=

+ex:>

+ CX)

Cal col are le derivate delle funzioni definite con seg uenti 1eggi

le

5)

f(x)

=

f(x)

=

f(x)

=

XJ -

VxX

1

w 5 sin

X

+ 4 tg

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

X

[f' (x)

1 = 3x

[f'(x)

=

[f'(x)

=

5

-

3'~] 3 ~-

5x COS

X

+ -

Vxl _

-J

4

COS

1

X

- 2994

f( x) =

Vx + 2 COS

X

s in x

f(x) = cos

X -

f( x) = e X

- 1og

l [f'(x) = 4W

[f'(x) = - (Sin

x2

[ f ' (x)

X

Si n X

f( x) =

X

COS

f(x) = s in

X

[f' (x) = COS

[f'(x)

ex _ ~]

=

X

x sin x]

X -

=l -

r '(x) = I

log X

X -

f( x) = ex + 2x +

X ))

[f'(x) = cos 2x]

X

f( x) = X - a rcos in x

f(x) = arcotg

+ COS

· [f' (x) = sin X + X COS x]

X

COS

x]

21 [f' (x) = - 4s cos 2 in 2x

f (x ) = tg X + cotg x f( x) =

X

2 sin

l

V1 -

x']

+ x2 -

~]

rf'(x) = eX + 2X lo g 2 + l ]

f(x) = 5x + arcos in x

[f'(x)

f(x) = 3X + log 3 x

[f (X) = 3x l og 3 +

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

1

= s ' l og5+ -

1

V1 -

~ X2

~ log e] 3

-300f(x) = tg x - 2 arcos'in x

f(x) -

X

f (x) =

xVX + cotg

+ 5 arcotg X

1

3

-

x

f(x) = sin x arcosin x [

1

f (x) = ( 1 + X

)

a rco tg x

f

1 (

MJ

sinxl . x) = cos x a reps 1 n x +

lf

1 (

x) = 2 x a reo t g x + 1]

fl(x) =

f(x) = - l og 1 x

[

f(x) = log x -

l 09 X + f(x) = - s in x f(x) = - - X log X

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

1

f (x) = [

X

log 1 1 log ,

e]

2 x(log x + l)'

X

J

c~s, x]

Sln X

l ogx+l] (x log x)'

-3013

f(x) =

f ( X) =

[ 3

f{ X) =

f' (X)

f'( x) =

X

+

COS

COS

X

f( x) =

f{x) =

f( X) =

X

1 +

v~

1 -

VX

X

3

-

?(X

2 + 1 )] (xl- 1)2

15 2 ] (4 - 5x)

[f '(

1 + -2

X

= -

[

4 - 5x f{x) =

1

f ,"( X) = _t x + 6 X + 1] 1 3 [ (X - 1 )

[

2x + 1

lx

If'{x)

l

=

X) =

1 - :, ]

lf '(X) =

:::' : ]

1

f'( x) =

ll W

x( 1 -

Vx ) J 2

- -h_-

4

2

Vx

\ 4x

J

VXJ

2

[f ' {x) = 2(3x + 4x) (6x + 4)] 3

f(x) =

(5x• + 2x )

f(x) =

arcotg 2 x

[f'{ x) = 3(5x•+ 2x )(20 x3 + 2)]

[ 3 ,----

f (x) =

V1+x

2

f '( x)

2

1 + x

l'f' () X

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

2

=

=

arcotg x]

31· (2x 1 +

X 2 )2

lJ

- 302 4

f(x)

= ~X

Vx

w

= --

f(x )

=

f(x) f(x)

f (x)

=

l og t g ( X +

x e l og

= sin

1

[f

ex

7)

(

x)

8

~x5 J

8

2 - 3x J Vx 3 x eX

3

f (x)

=

1

[f (x)

=

-

1

[ f (x) =

J

2 s in 2x

7

x2

= eX

[f 1 (X)

vi,

+

vx

4( [f (x)

f( x)

=

tg 1og ( 1 + x)

f(x)

=

log Is in x I

f (x}

=

l og

f( x )

=

l og tg ( ~

f( x)

::

1 arcotg X

tg

1

[ f (X) :

1

Vzx + 5

1

[f (X)

X

2

( 1 + 2 x' )]

= =

2

?.

V 2x

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

~)

+ x]

cos V zx +

sj

+ 5 1

cos 2 l og ( 1 + x) . l : x] [f 1 (X)

= cotg

x]

[f (X)

=

l

I

+

~

1

[f (X)

=

~ ~ ( x) =

s in xJ

co~

J

1 l +

x;J

- 303f(x) =

f(x)

1og ( x + V1 + x2 )

= s in log V1 +

f(x) =

x2

[ f ' (x)

[f ' (x)

X CO S

=

V1 : x'

log V1 + x' 1 +

[f' (x) =

Vsi n x

~ x1

CO S X

2 Vs in x]

4

f(x) =

[f' ( x) =

Vlo g2 x s

f(x) =

_ f( X) =

va rcos in 1

Vtg

X

[f' (x)

~

[f' (x)

a rcos in 4 x

f(x) =

l og s x

f(x) =

e3x + 5x

3

. ; log,

1 5 Varcos i n4 x

X

f(x) =

4

4 \!log~ x

~-

eJ

-~]

2 Vtg 3 x ·

co~';]

[ f ' (x) = 4 arcos i 2n'x] Vl - X [f' (x)

~

1

3 (log 5 x)

. .!.X

log 5

e]

7

f(x)

=

l/ 52x - 5x

J J

[f ' (x) = e3x2+ 5x (6x + 5)

J

2 [f ' (x) - 2-~· s 2 x_5 x (2.5 X-5X) logs]

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 304f( x) =

4.- --Vlog 2 x - log x

f( x ) =

log, (x - x2

f(x) =

eotg

f( x) =

)

Vx

[

Vs in log x

f

I (

f( x)

=

=

3

1

L

1(

x)

2

x) =

(

V1 - 1og 2 x

-~ l xj

tg a reo.~ in x 1 2 eos a t·cos in x .V1 - x2

= 3

2

J

1

2

f 1 (X) = 3 areotg log2 x . ··---- . .l l oge 2 l+log'x x [ 1

f( x)

f( X) = log lo g log x

f (x)

If L

If

Vx . 2 Vxj

2 ~ s in l og x

a reo s i n 1og x

tg a reo sin x

s in'

---:--======== . e_vs 1oa_x]

X) =

[ f ( x)

l

1

f 1 (X) =

=

f( x ) =

s in log\;~

x'

X

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

[f' (x) ~ x-J.->g-x-~;g-~o~-~] [f' ( ~ cos 1og l l+x

x)

[f'

(x)

~

2( l+x) ]

1

xX + 1 ( l og

X

+ J)

J

-305-

f(x ) = (l + x)Vx

f( x) = (xlog x)

t·(x) =

(l+x) l/X -1 . (l+x)lo9(1+x)+2x]

2Vx

-J

1 [f ' (x) = (xlog x)x log( x log x)+l+log x

X

2

f(x) = l 0 gs 1. n x ( 1 -

[ f 1 ( X)

COS X)

f(x) = 1og 2 X

[f' (x) =

= (

~

x)

J

log 2 log 2 X

[

vx

f 1 (x)

[f ' (x) = (

cotg x log x - log ~in xl =

log 2 x

VXl VX ( - 1-

4Vx

log x + -

-J]

1

21/X

6) Determinare 1 insieme di definizione delle derivate delle funzioni dell 1 esercizio 5) . 1

2.

0]

X

f(x) = logx sin x

f {x)

=

Ese rcizi s u argomenti dei Cap . Xl 0 e Xll 0

1) Determinare gli intervalli di crescenza e gli intervalli di decrescenza delle funzioni definite dalle seg ue~ ti leggi

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

- 306-

ere see i n

f ( x) = x1 - x - 2

f {x ) = 4 x

1 -

[

[ decresce in cresce

3x + 1

=

l

decresce in

c res ce i n [ dec resce in c res ce i n

f { X) =

;l

1 "2"].

[%. +".'J ;]

in

j cres ce in

- 2x 1 - 5x + 1

+ oo [

J - oo ,

J-

[ decresce in

f (x)

~.

a}

00 '

J-oo, -i}l [ - i , _:f +_

[ 0 , l ] , [ 2 , + oo [ ;

]-oo, 0] , [1, 2]

l

.

[- 2, 2]

]

[ decresce i n )- oo, -2 ] , [2 , +oo( . cresce f ( x) =

f( X) =

;J

[ de cres ce in [3 , +oo[

J- oo, 0]

4x1 - l4 x + 7 4x

f { X) =

in ] - oo, 2[ , ]2 , 3]

X

1 -

1

6x + 3

+ 5x - 50

x1 - 20x + l 00

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

[0 ' l J

j c resce

in

[2 , 10[

l decre s ce in ]-oo , 2]

[ 1 , +oo[ ; J

- 307-

f(x)

=

(x -

(x + 1)

f (X) = _

l

cres ce

1/ 2

in ] - co ,-5] , ] - 1, +oo[ ; l

cresce __:X ..;,.___

x2 +5x+6

in [- W,

[ decresce in

f ( x) =

=

-2 [,] -2,

J- oo,

-3· [ , J -3,-

i

[- 1, V- x

2

2x + 8

-

=x ~

f (x)

= XX

2]

[-4, -1 ]

r

in

cresce

Ldec res ce in ere see

V5 [V5 - 1

]- 2 ,

; l1

JI

X -

l

I

J

2]

in [1/e , +co[ ;

l J I

109

l

X

in

decre sce in

f ( x) = l og

;]

1J

[ deere see in ]0, l /e] cresce

~

[1 , +co[ ·

Jo ,

1]

. . [ cresce in J - oo , - 2[ , ]2 ,

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

l

]/6], 1!'5 ~+ oo ~

[ decresce in [-1 , oj ' [ 1, +co[

f( x )

f( x ) =

J/6] ,

in ]- co, - 1J , [0 , 1]

cresce

f(x)

J

decresce in [- 5 , -1 [

;l I J

+a-[]

- 308X

f(x) =

1og

f(x)

sin 2x - 10 s i n X + 6x

=

x - 1

[ cresce in ] 1, +a::>[]

XX

J

5n 2kn in [ n +2kn •j+ 3 [ere see dec res ce in t}+2kn' + 2kn]

J

f( X) = 2 COS X + X - 1

~

i n [ 2kn ,

c res ce

[ .p + 2kn , 2n

+ 2kn

+ 2kn

f ( x) = s i n x +

V3

Z

E

V k

Z

E

.p + 2kn J , V k

E

Z

E

Z

cos x + 1

cresce

in

[~ +

2kn

decresce in

f( x ) =

, Vk

J,

J,

dec res ce i n [ ~ + 2k n ,

']

, V k E Z

Vl x - 11

f (x) = arcotg ~ 1 - x1

La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])

[ 2kn

,

~ .+

, 2n + 2kn

[~

2kn

J

J,

, V k

E

+ 2kn , b7n + 2kn

Z

J

,Vk

~cres ce

in

[ l , + ex:. []

~ de cre s ce

in

] - oo , 1]

[ cresce

in

[-1'

0] l

decre s ce in

[0,

lJ

- 309cresce

in

[ decresce

in

f( x)

f (x)



2

s in x

= Sln X

[1J + 2kn

cresce in

[ ¥ + 2k.rr ,

z

,

+ 2kn

¥+ 2kn],

[-~, ~~]] [~ , 1]

J,

Vk E Z

de cresce in [2k n, i+2knJ, [;+2kn , ¥+ 2k.rr]

[¥ + 2kn

, 2n + 2k.rr

c res ce

f(x) = Vlog x

f(x)

=

lo

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