Idea Transcript
Министерство Образования Республики Беларусь Белорусский Национальный Технический Университет
БН
ТУ
кафедра «Теоретическая механика»
Теоретическая механика в вопросах и ответах.
ри й
Кинематика. Часть II.
по з
ит о
Учебно-методическое пособие для студентов дневной, заочной и дистанционной форм обучения
Ре
Электронный учебный материал.
Минск БНТУ 2014
УДК 531.(075.8) ББК 22.21.Я
Авторы: Богинская Т.Ф., Мышковец М.В., Тульев В.Д.
ТУ
Рецензет: Ботогова М.Г., доцент БГУ
В данном учебном пособии рассмотрены все основные темы курса теоретической механики по разделу кинематика. В первой части приведены учебные при-
части приводятся
БН
меры и сформулированы вопросы к решению. Во второй
ответы на поставленные вопросы и решения задач. Учебное пособие полезно для
ри й
студентов всех форм обучения, изучающих теоретическую механику.
ит о
Белорусский Национальный Технический Университет Пр-т Независимости, 65, г Минск, Республика Беларусь Тел. (017)212-77-52 факс (017) 282-91-37 Регистрационный номер № БНТУ/МСФ 25-26.2014
Ре
по з
©БНТУ, 2014-05-29 © Богинская Т.Ф., Мышковец М.В., Тульев В.Д., 2014., © Мышковец М.В., компьютерный дизайн, 2014
Содержание Введение…………………………………………………………………………4 1. Основные понятия кинематики…………………………………………4 2. Кинематика точки………………………………………………………..5 2.1 Координатный способ задания движения…………………………..5 2.2 Естественный способ задания движения……………………………6
БН
ТУ
Вопросы и задачи…………………………………………………………6 Кинематика твердого тела………………………………………………………8 3. Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси………………8 3.1 Кинематические характеристики движения тела…………………..8 3.2 Кинематические характеристики движения точек тела……………9
Вопросы и задачи………………………………………………………………..9 4. Плоскопараллельное движение тела (движение плоской фигуры в своей плоскости)………………………………………………11
ри й
Частные случаи определения МЦС…………………………………………….12 Вопросы и задачи………………………………………………………………..15 5. Сложное движение точки………………………………………………...18 Вопросы и задачи………………………………………………………………..20 6. Кинематический расчет зубчатых передач методом Виллиса…………22
Ре
по з
ит о
Вопросы и задачи………………………………………………………………..24 Ответы на вопросы задач………………………………………………………..25 Литература……………………………………………………………………….39
ВВЕДЕНИЕ
ит о
ри й
БН
ТУ
Что представляет собою кинематика? Это раздел теоретической механики, в котором изучается движение тел, без учета их массы и учета сил, вызывающих движение. Какие основные задачи рассматриваются в кинематике? Различают две основные задачи. Первая состоит в установлении закона движения тела, т.е. в отыскании способа (правила), по которому можно определить положение тела или его частей (точек) в пространстве в любой момент времени. Вторая состоит в определении (нахождении) величин, характеризующих движение тела или его частей. Какую роль играет кинематика в подготовке современного, инженера? Во-первых, она знакомит с терминами и понятиями, необходимыми для изучения общетехнических и специальных дисциплин. Во-вторых, положения и методы кинематики широко используются при решении технических задач, связанных с исследованием движения различных звеньев машин, механизмов и аппаратов. В-третьих, кинематика служит основой для динамики, изучающей также движение тел, но с учетом их массы и действующих сил. Как рекомендуется пользоваться пособием? Пособие требует предварительного знакомства с предметом. Поэтому вначале необходимо прочитать материал по учебнику, обратив особое внимание на формулировки и содержание понятий, окончательные выводы и формулы, познакомиться с примерами и задачами. Затем можно обратиться к пособию. Решая задачи и отвечая на вопросы, необходимо обоснованно формулировать ответы. Если ответ, составленный учащимся, расходится с ответом, приведенным, во второй части пособия, следует проанализировать причину и характер расхождения. Не торопитесь заглянуть в ответ!
по з
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ
Ре
Вначале необходимо усвоить следующие важнейшие понятия: движение, система отсчета, скорость, ускорение. Движением в механике называется перемещение тела или его частей из одного места пространства в другое с течением времени. Тела могут совершать разнообразные движения. Поэтому наряду с установлением законов и определением кинематических характеристик необходимо также классифицировать движения тел по видам. Система отсчета. Наблюдать и изучать движение тела возможно лишь по отношению к другому телу. С последним, как правило, связывают систему координат (чаще всего прямоугольную декартову). Тело отсчета и связанная с ним система координат составляют систему отсчета. Она может быть подвижной или условно неподвижной.
Скоростью движения называется физическая величина, характеризующая быстроту изменения положения тела в пространстве и направление движения. Ускорением движения называется физическая величина, характеризующая изменение скорости тела с течением времени. Закон движения, скорость и ускорение определяются в зависимости от вида движения тела. Рассмотрим эти характеристики для отдельной точки.
ТУ
2. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
БН
Целью изучения движения точки является определение основных характеристик этого движения: положения точки в выбранной системе отсчета, траектории точки, ее скорости и ускорения в любой момент времени. Для определения положения точки применяются векторный, координатный и естественный способы задания движения. При решении задач, как правило, используются координатный и естественный способы. 2.1. Координатный способ задания движения
по з
ит о
ри й
При координатном способе задания движения положение точки определяется ее координатами, которые при движении точки изменяются с течением времени. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, необходимо знать закон изменения этих координат или уравнения движения точки. В прямоугольной декартовой системе координат уравнения движения имеют вид: x = f1 (t ); y = f 2 (t ); z = f 3 (t ) . (2.1) Уравнения (2.1) являются также параметрическими уравнениями траектории точки, как геометрического места последовательных положений движущейся точки. Уравнение траектории точки в координатной форме определяется из (2.1) путём исключения параметра t. Скорость точки при координатном способе задания движения по величине
и направлению определяется формулами : V = V x2 + V y2 + Vz2 ; ∧
∧
∧
cos(V , i ) = Vx / V ; cos(V , j ) = V y / V ; cos(V , k ) = Vz
V
,
(2.2)
dz dy dx = x&; V y = = y& ; Vz = = z& – проекции вектора скорости на оси коdt dt dt
Ре где Vx =
ординат. Ускорение точки в этом случае по величине и направлению определяется соответственно формулами : a = a x2 + a 2y + a z2 ; ∧
∧
∧
cos(a , i ) = a x / a; cos(a , j ) = a y / a; cos(a , k ) = a z где a x , a y , a z – проекции вектора ускорения на оси координат.
a
,
(2.3)
2.2. Естественный способ задания движения
БН
ТУ
В этом способе задаются траектория и закон движения (уравнение движения) точки по этой траектории, т.е. S=ОM= f (t). (2.4) Дополнительно выбирается начало отсчета (0) и направление положительного отсчёта дуги S. С движущейся точкой М связывают естественные оси: касательную, главную нормаль и бинормаль. Скорость точки при естественном способе задания движения определяется формулой V = ds / dt (2.5) Направлена скорость по касательной к траектории. Ускорение точки при естественном способе задания движения по модулю и направлению определяется формулами : (2.6)
ри й
a = aτ2 + an2 ; tgα = aτ / an
по з
ит о
Здесь an – нормальное ускорение. Оно направлено по главной нормали к центру кривизны, по модулю равно an = V 2 / ρ (2.7) где ρ – радиус кривизны кривой в данной точке. aτ – касательное ускорение. Оно направлено по касательной к траектории (по вектору скорости или противоположно) и равно dV d 2 s aτ = = (2.8) dt dt 2 Вопросы и задачи
Ре
2.1. Можно ли задать движение одной и той же точки разными способами? 2.2. Когда рекомендуется использовать естественный способ задания движения? 2.3. Когда криволинейное движение точки называют равномерным? 2.4. Когда криволинейное движение точки называют равнопеременным? 2.5. При каком движении полное ускорение точки совпадает с касательным? С нормальным? 2.6. В каком виде можно записать закон равномерного и закон равнопеременного движения точки? 2.7. Движение точки задано координатным способом x = 3 cos t ; y = 5 − 3 sin t , где x и y – в см, t – в секундах. Определите: 1. Траек-
БН
ТУ
торию точки. 2. Положение точки в начальный момент и при t1 = π / 2c . 3. Направление движения точки. 4. Изменится ли направление ее движения, если во втором уравнении знак (-) сменить на (+)? 5. Величину и направление вектора скорости при t1 = π / 2c . 6. Величину и направление вектора ускорения при t1 = π / 2c . 7. Характер движения точки по траектории. 2.8. Точка движется в плоскости XОУ согласно уравнениям x = 3 + 2t ; y = 4t 2 ( x и y – в см, t – в секундах). 1. Найдите уравнение траектории в координатной форме. Определите при t = 1c : 2. Величину скорости точки. 3. Величину ускорения точки. 4. Величину касательного ускорения. 5. Величину нормального ускорения. 6. Радиус кривизны траектории. 7. Угол между вектором касательного ускорения и осью Ох (покажите на рисунке). 8. Значение дуговой координаты при S0 = 0 .
Ре
по з
ит о
ри й
2.9. Движение точки, задано уравнениями x = 2t ; y = sin πt 2 ( x и y - в см, t - в секундах). Определите: 1. Уравнение траектории точки. 2. Ближайший после начала движения момент времени t , когда траектория пересечет ось Ох (вычертите этот участок траектории). 3. Величину скорости точки в этот момент. 4. Величину ускорения точки при t = t1 . 5. Величину скорости точки в момент наибольшего удаления .точки от оси Ох. 2.10. Для приведенного на рисунка механизма известны закон движения ползуна S A = 30 2 sin πt см и MB = 1 / 2 AB = 15 см. 1. Составьте уравнения движения точки М. Определите при t = 1 / 6c : 2. Величину скорости. 3. Модуль полного ускорения. 4.Величину касательного ускорения. 5. Величину нормального ускорения. 6. Радиус кривизны траектории. 7. Угол между векторами скорости и полного ускорения. π 2.11. Движение точки по траектории задано уравнением S = 2e − 2t sin t 2 см. В момент времени t = 1c точка находится на траектории в положении, где радиус кривизны равен 20 см. В указанный момент времени определите: 1. Скорость точки. 2. Касательное и нормальное ускорения. 3. Полное ускорение. 4. Характер движения точки по траектории.
БН
ТУ
2.12. Скорость движения точки по некоторой траектории задана уравнениπ ем V = 5π cos t см/с. 2 Определите в момент времени t = 1c : 1. Скорость точки. 2. Касательное ускорение. 3. Значение дуговой координаты при S0 = 0 . 4. Пройденный путь за время t=4 с. 2.13. Поезд, двигаясь равноускоренно на закруглении радиуса 500 м с некоторой начальной скоростью, за 2 мин. прошел расстояние S=1500 м и развил скорость 72 км/час. Определите: 1. Начальную скорость поезда. 2. Касательное, нормальное и полное ускорения поезда в начале участка. 3. Касательное, нормальное и полное ускорения поезда в конце 2-ой минуты. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
по з
ит о
ри й
В кинематике тела изучаются законы его движения и определяются кинематические характеристики. Особенность ее состоит в том, что наряду с изучением движения всего тела рассматривается также движение его точек. Различают следующие виды движения твердого тела: поступательное, вращательное, плоскопараллельное, сферическое и общий случай движения свободного тела. Простейшими являются поступательное и вращательное движения. Все другие движения можно свести либо к совокупности поступательного и вращательного движений, либо к одному из них. При, поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют одинаковые по величине и направлению скорости и ускорения. 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
3.1. Кинематические характеристики движения тела
Ре
К ним относятся угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение. Изменение угла поворота с течением времени, т.е. ϕ = f (t ) (3.1) представляет закон вращательного движения тела. Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота с течением времени, определяется по формуле dϕ (3.2) ω= = ϕ& dt
Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, равна && . ε = dω / dt = d 2 ϕ / dt 2 = ϕ (3.3) Угловая скорость и угловое ускорение могут быть изображены в виде векторов, направленных вдоль оси вращения. Угол ϕ поворота тела связан с числом его оборотов N зависимостью
БН
ТУ
ϕ = 2πN , (3.4) а угловая скорость ω с числом оборотов n в минуту соотношением πn ω= рад / с . (3.4) 30 При равномерном вращении тела ( ω = const ) и равнопеременном вращении (ε = const ) уравнения вращения имеют вид:
ϕ = ϕ0 + ωt ; ϕ = ϕ0 + ω0t +
εt 2 . 2
(3.5)
ри й
3.2. Кинематические характеристики движения точек тела
ит о
Движение любой точки тела целесообразно задавать естественным способом – (известны их траекторий). Модуль скорости любой точки тела V = ωR , (3.6) где R – расстояние от точки до оси вращения. Нормальное и касательное ускорения определяются по формулам an = ω2 R; aτ = εR . (3.7) Полное ускорение определяется по формуле
по з
a = aτ2 + an2 = R ε 2 + ω4 .
(3.8)
Вопросы и задачи
Ре
3.1. Когда вращательное движение тела называют равномерным, когда равнопеременным? 3.2. Как направлено полное ускорение точки при равномерном вращении тела? 3.3. Как направлен вектор линейное скорости точки тела при вращательном движений? 3.4. Как направлен вектор угловой скорости тела при вращательном движении? 3.5.
Ре
по з
ит о
ри й
БН
ТУ
В кривошипно-шатунном механизме кривошип ОА длиной 20 см шарнирно соединен с осью вращения О и движется в плоскости хОу так, что его угол поворота изменяется по закону ϕ = t 2 − 3t рад. Определите: 1. Траекторию точки А. 2. Угловую скорость кривошипа при t = 1 с. 3. Угловое ускорение кривошипа. 4. Характер движения кривошипа при t = 1 с. 5. Модуль и направление вектора скорости точки А в этот момент. 6. Модуль и направление касательного (вращательного), нормального (центростремительного) и полного ускорений точки при t = 1 с. 3.6. Диску радиусом R=30 см, вращающемуся вокруг вертикальной, оси O1O2 , перпендикулярной плоскости диска и отстоящей от его центра на расстоянии ОС=R/2, в начальный момент сообщили угловую скорость n =300 об/мин. Вследствие трения в опорах O1 и O2 через 10 с. угловая скорость диска уменьшилась до ω = 2π рад/с. Считая движение равнопеременным, определите в конце десятой секунды: 1. Линейные скорости точек M 1 и M 2 (модуль и направление). 2. Угловое ускорение диска. 3. Число оборотов диска вокруг оси. 4. Полные ускорения точек M 1 и M 2 . 3.7. При пуске в ход электромотора шкив А радиусом r1 = 25 см вращается с постоянным угловым ускорением ε1 = 0,4π рад/с2. Через некоторое время шкив В радиусом r2 = 50 см станка приобретает угловую скорость n2 = 600 об/мин. Пренебрегая скольжением ремня по шкивам, определите: 1. Угловую скорость шкива В. 2. Угловую скорость шкива А. 3. Линейную скорость точек M 1 и M 2 . 4. Время разгона шкива В. 5. Нормальное, тангенциальное и полное ускорение точки M 2 .
3.8.
ТУ
Груз А с помощью лебедки поднимается по наклонной плоскости. Известны радиусы зубчатых колес r1 =15 см, R1 = 20 см, r2 =30 см и закон движения груза S = 50 t2 см. Пренебрегая растяжением троса, определите в момент времени t = 1 с: 1. Скорость груза А. 2. Ускорение груза А. 3. Угловую скорость и угловое ускорение рукоятки лебедки.
БН
4. Скорость точки М. 5. Ускорение точки М. 3.9.
ит о
ри й
В изображенном редукторе известны число зубьев колес z1, z2 , z3 , z 4 , и угловая скорость вала 1 ω1 . Определите: 1. Угловую скорость вала II. 2. Передаточное число редуктора.
4. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА (ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ)
Ре
по з
Плоским или плоскопараллельным называют такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Решая задачи на эту тему, необходимо уметь находить скорость и ускорение любой точки, а также угловую скорость и угловое ускорение тела (фигуры) в плоскопараллельном движении. Скорость любой точки плоской фигуры можно найти двумя способами. В первом способе движение фигуры мысленно раскладывается на поступательное и вращательное. В этом случае скорость любой точки В определяется по формуле VB = V A + VBA ; (4.1) где V A – скорость любой точки (полюса) той же фигуры; VBA скорость точки B при вращении ее с фигурой вокруг полюса, направлена перпендикулярна ВА, а по модулю равна VBA = ω ⋅ BA . (4.2)
БН
ТУ
Из (4.1), в частности, следует, что проекции скоростей двух точек фигуры на прямую, соединяющую точки, равны между собой, т.е. np AB (VB ) = np AB (V A ) . (4.3) Во втором способе движение фигуры в данный момент рассматривается как вращательное вокруг мгновенного центра скоростей (МЦС). В этом случае скорость любой точки В определяется по формуле VB = ω ⋅ L , (4.4) где ω – угловая скорость фигуры вокруг МЦС; L – расстояние от точки до МЦС. Чтобы найти МЦС плоской фигуры, необходимо найти направления скоростей двух произвольных точек одной и той же фигуры и восстановить в точках перпендикуляры к скоростям, МЦС находится на пересечении перпендикуляров. (4.5) Ускорение любой точки плоской фигуры определяется по формуле n τ a B = a A + a BA + a BA , (4.6)
Ре
по з
ит о
ри й
n где a A – ускорение произвольной точки (полюса) той же фигуры; a BA – центростремительное ускорение точки В при вращении ее с фигурой вокруг полюτ са, направлено от В к А ; a BA – вращательное ускорение точки В при вращении ее с фигурой вокруг полюса, направлено перпендикулярно ВА (при ускоренном вращении совпадает с VBA , при замедленном направлено обратно VBA ). По модулю эти ускорения равны n τ a BA = ω2 ⋅ AB. a BA = ε ⋅ AB . (4.7) где ω и ε – угловая скорость и угловое ускорение фигуры. Примечание. Если точки А и В совершают криволинейное движение, то вместо (4.6) пользуются формулой n τ a Bn + a Bτ = a An + a Aτ + a BA + a BA (4.8) r n r n rτ rτ где a B , a A , a B , a A нормальные и касательные ускорения точек В и А соответственно. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЦС ω
VС
С
P
Рис.4.1
а) Колесо катится без скольжения. МЦС находится в точке P соприкосновения колеса с неподвижной поверхностью (рис. 4.1). V ω= c (4.9) CP
VB B
VA
A ω
P
VB
B VA A
ТУ
Рис.4.2
б) Известны скорости двух точек или величина и направление скорости одной точки (V A ) и направление другой. Для нахождения МЦС проводим перпендикуляры к векторам скоростей в точках А и В. Точка P пересечения перпендикуляров будет МЦС (рис. 4.2). V V щ= A = B . (4.10) AP BP в) Известны угловые скорости кривошипа
ОВ ( ωОВ ) и колеса 1 ( ω1 ) (рис. 4.3). VB = щOB (r1 + r2 ), V A = щ1r1. ω2 P Считаем, что ωΟΒ O VB > V A , V A || VB . ω1 МЦС находится на пересечении двух пря1 мых, одна из которых проведена через точки А и В, вторая – через концы векторов скороРис.4.3 стей. Колесо 1 и кривошип ОА вращаются вокруг точки О. Колесо 2 совершает плоское движение. Тогда
ри й
БН
2
V V щ2 = B = A , ВР = АР + r2 , BP AP
ит о
VB ⋅ AP = V A ⋅ BP = V A ( AP + r2 ), или
AP(VB − V A ) = V Ar2 , ⇒
AP =
V Ar2 . VB − V A
Ре
по з
Откладываем на прямой ВА отрезок АР и получаем точку Р (МЦС). V V (V − V A ) VB − V A щ2 = A = A B . = (4.11) AP V A r2 r2 Направление угловой скорости колеса 2 ( ω2 ) определяется направлениями вращения векторов скоростей точек А и В относительно МЦС. г) Известны угловые скорости кривошипа VA ОВ (ωOB ) и колеса 1 (ω1 ) (рис. 4.4). СчиVB таем, что: ω2 ω OB V A > VB , V A || VB . O B P V A = щ1 ⋅ r1 , VB = щOA (r1 + r2 ). A 2 ω1 МЦС находится в точке пересечения 1 прямой, проведенной через точки А и В, и Рис.4.4 прямой, проведенной через концы векторов скоростей точек А и В (рис.4.4).
ит о
ри й
БН
ТУ
Колесо 1 и кривошип ОА вращаются вокруг точки О. Колесо 2 совершает плоское движение. Следовательно: V V щ2 = B = A , AP = BP + r2 . BP AP Тогда VB r2 V А ⋅ ВP = VВ АP = VB (BP + r2 ) ⇒ BP = . V A − VB Откладываем на прямой АВ отрезок ВР и получаем точку Р (МЦС). V V (V − V ) V − V щ2 = B = B A B = A B . (4.12) BP V B r2 r2 Направление угловой скорости колеса 2 (ω2 ) определяется направлениями вращения векторов скоростей точек А и В относительно МЦС . д) Известны угловые скорости кривошиVB па ОВ ( ωОВ ) и колеса 1( ω1 ), которые ω2 ω 1 ω OB A направлены противоположно (рис.4.5). O B P V A = щ1r1, VB = щOВ (r2 + r1 ) . Колесо 1 и кривошип ОА вращаются во1 VA 2 круг точки О. Колесо 2 совершает плоское движение. МЦС находится в точке Рис.4.5 пересечения прямой, соединяющей концы векторов скоростей точек А и В, и прямой АВ (рис.4.5). V V щ2 = B = A , BP = r2 − AP . BP AP VB ⋅ AP = V A ⋅ BP = V A (r2 − AP ) . Тогда V r AP = A 2 . Откуда VB + VA
VA VA (VB + VA ) VB + VA = = (4.13) AP VA r2 r2 Направление угловой скорости колеса 2 ( ω2 ) определяется направлениями вращения векторов скоростей точек А и В относительно МЦС (рис.4.5). е) Четырехзвенник ОАВО1 занимает полоVB B A жение, показанное на рис. 4.6. OA || O1 B.
Ре
по з
щ2 =
VA
Находим скорость точки А: V A = щOA ⋅ OA .
ω ΟΑ O
O1
Рис. 4.6
Вектор скорости V A перпендикулярен AO и направлен в соответствии с угловой скоростью. Скорость точки В также перпендикулярна ВО1, так как звенья ОА и О1В совершают
вращательное движение. Стержень АВ совершает плоское движение. Строим МЦС стержня АВ. Перпендикуляры к скоростям точек А и В будут параллельны. Поэтому МЦС находится в бесконечности. Стержень АВ совершает мгновенное поступательное движение, и скорости всех точек стержня будут одинаковы по величине и направлению. В данный момент угловая скорость стержня АВ равна нулю (ω AB = 0) .
ТУ
Вопросы и задачи
Ре
по з
ит о
ри й
БН
4.1. Что следует понимать под плоской фигурой? 4.2. Какую особенность следует иметь в виду при решении задач на плоско-параллельное движение? 4.3. Почему скорости точек плоской фигуры чаще определяют вторым способом? 4.4. Обязательно ли МЦС должен находиться в пределах фигуры? 4.5. Если механизм состоит из нескольких тел (звеньев), то как можно найти МЦС? 4.6. При нахождении МЦС можно ли брать скорость двух точек, принадлежащих разным телам (звеньям)? 4.7. Как найти угловую скорость плоской фигуры? 4.8. Если угловая скорость определяется с помощью (4.2), зависит ли ее значение от выбора полюса? n τ 4.9. В чем отличие векторов a Bn и a Bτ от a BA и a BA (см 4.8)? 4.10. Как найти угловое ускорение плоской фигуры? 4.11. Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и D, соединенных друг с другом и с неподвижной опорой шарнирами. Точки С и К находятся в серединах, соответствующих стержней. Длины стержней соответственно равны L1, L2 , L3 в м., угловая скорость стержня 1 равна ω1 рад/с. Для заданного положения механизма ответить на вопросы: 1. Какое движение совершает стержень ОА? Определить V A . 2. Показать на рис. VB . Найти положение МЦС стержня АВ. 3. Определить угловую скорость звена 2. Какое движение совершает стержень АВ? Чему равны VB и VC ? 4. Показать на рис. VD . Найти положение МЦС стержня СD. Чему равна VD ?
5. Определить угловую скорость стержня CD и VK . 6. Найти модуль и направление a A .
7. Показать на рис. a B . Записать векторное равенства для определения a B . Обосновать выбор полюса. n n τ 8. Показать на рис. a BA и a BA вычислить a BA .
τ 9. Вычислить a B и a BA .
10. Определить угловое ускорение эвена 2. n 11. Записать формулу для определения aC . Показать на рис. и определить aCA
БН
ТУ
τ и aCA . В какой последовательности следует выполнять вычисления, чтобы определить модуль и направление aC ? 4.12. Кривошип О1А, вращаясь вокруг неподвижной оси O1 , приводит в движение звенья 2, 3 и 4 соединенные между собой шарнирно. Дано: L1 = 0,2 м, L2 = 0,4 м, L3 = 0,3 м, L4 = 0,4 м, O2 B = 0,3 м, BK = 0,2 м, ω1 = 10
ит о
ри й
рад/с., ε1 = 10 рад/с2, α = 30 o , β = 60o . Ответить на вопросы и найти величины указанные ниже: 1. Какое движение совершают звенья 1 и 4? Показать на рис. V A и VB .Определить V A . 2. Какое движение совершает звено 2? Определить VB с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела. Найти МЦС звена 2. 3. Определить ω2 и ω4 . 4. Показать на рис. VD , VE и VK . Найти VD и VE .
по з
5. Записать формулу для определения a B . Определить и показать на рис.
Ре
a Bn , a An . Вычислить a B . 4.13.
Блок 3 удерживается на двух параллельных тросах, навернутых на барабаны 1 и 2, вращающиеся вокруг осей по законам ϕ1 = e t −1 рад и ϕ 2 = 1 − 4t рад соответственно. Дано: R1 = R3 = 0,2 м, r = 0,5R1, t = 1 с. 1. Определить ω1 и ω2 , VE и VD . 2. Чему равны V A и VB ? Какое движение совершает теле 3? Определить положение МЦС тела 3. 3. Определить ω3 и VC .
БН
ТУ
4. Определить ε1 и ε 2 . Зная векторное равенство для определения VC определить aC . 4.14. Ползуны 1 и 4, соединенные двумя стержнями АВ = 0,4 м и ВС=1 м, движутся по прямолинейным взаимноперпендикулярным направляющим соответственна по законам S A = 0,1t 2 м, SC = 0,2 ln t м, ( t – в секундах). В момент времени t = 1 с. механизм занимает положение, показанное на рисунке. Для этого момента времени ответить на следующие вопросы: 1. Определить V A и VC 2. Какое движение совершают звенья 2 и 3. Записать векторные равенства для определения VB . Показать на рис. VBA и VBC . 3. Определить VB .
ри й
4. Определить ω3 . Какое движение совершает тело 3? 5. Найти МЦС тела АВ и ω2 . 6. Определить a A и aC и показать их на рисунке. 7. Записать векторные равенства для определения a B . Показать на рис. и опре-
ит о
n n В делить a BA , a BС . Найти a BС . 8. Определить a B . 9. Определить VB в момент t = 2 с при том же положении механизма. 4.15.
по з
Подвижный блок 1 и неподвижный блок 2 соединены нерастяжимой нитью. Груз К, прикрепленный к концу этой нити, опускается вертикально вниз по закону x = 2t 2 м. Определить ускорение точки D, лежащей на ободе подвижного блока 1, в момент t = 0,5 с. Радиус подвижного блока 1 равен 0,2 м. Ответить на вопросы и найти указанные величины.
Ре
1. Какое движение совершает блок 1? 2. В какой точке находится МЦС блока 1? 3. Определить угловую скорость и угловое ускорение блока 1. 4. Запишите векторную формулу для определения ускорения точки D. τ n 5. Показать на рис. и определить a DA , a DO . 6. Определить величину ускорения точки D. 4.16. Груз К, связанный посредством нерастяжимой нити с катушкой L, опускается вертикально вниз по закону x = t 2 м. При этом катушка L катится без скольжения по неподвижному горизонтальному рельсу. Определить ускорение точки В лежащей на ободе катушки, ее угловую скорость и угловое уско-
ТУ
рение в момент времени t = 0,5 с в положении, указанном на рисунке; AD ⊥ OB , OD = 2 ⋅ OC = 0,2 м. Ответить на вопросы и найти указанные величины. 1. Какое движение совершает груз К? 2. Какое движение совершает катушка L? 3. В какой точке находится МЦС катушки L? 4. Определить угловую скорость и угловое ускорение катушки L? 5. Запишите векторную формулу для определения ускорения точки В? n τ , a BO , aO . 6. Показать на рис. и определить a BO
БН
4.17.
ит о
ри й
Подвижный блок 2 подвешен на двух параллельных нитях, навитых на ступенчатый блок 1, вращающийся с угловой скоростью ω1 = 2 рад/с, у которого R1 = 2r1 = 0,4 м. Необходимо ответить на вопросы и найти указанные величины. 1. Какое движение совершает блок 1? Найти V A , VB и показать эти векторы. 2. Какое движение совершает блок 2? 3. Найти скорости точек К и D. 4. Определить положение МЦС блока 2 и его угловую скорость. 5. Определить скорость точки С.
по з
5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
Ре
Сложным движением точки называют движение, которое рассматривают одновременно в основной (неподвижной) o1x1y1z1 и в подвижной системах отсчета oxyz. M Движение точки М по отношению к z1 y z подвижной системе отсчета называют относительным. Движение подвижной системы по отношению к неподO вижной называют переносным. ДвиO1 y1 жение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета называют X x1 абсолютным (рис.5.1). Рис.5.1
Пример а. Человек идет по движущемуся вагону метро. Движение человека можно рассматривать как сложное, состоящее из двух движений. Если ос-
Ре
по з
ит о
ри й
БН
ТУ
новную (неподвижную) систему координат связать с платформой станции метро, то движение человека относительно этой системы координат будет абсолютным. Движение человека относительно вагона, с которой связана подвижная система координат, будет относительным. Движение вагона, с которой жестко связана подвижная система координат, т.е. движение подвижной системы, будет переносным. Пример б. Движение поршня в двигателе движущегося автомобиля можно рассматривать как сложное. Движение поршня относительно какой-либо неподвижной точки на дороге, которую принимают за начало неподвижной, основной системы координат, будет абсолютным. Движение поршня относительно автомобиля, с которым жестко связана подвижная система координат, будет относительным. Движение автомобиля, с которым связана подвижная система координат, относительно неподвижной системы будет переносным. Решение задач на эту тему требует четкого знания понятий относительного, переносного и абсолютного движений, точки, а также умения найти скорость и ускорение точки в этих движениях. Умение правильно выбрать подвижную и неподвижную системы(тела) отсчета является необходимым условием успешного решения задач на сложное движение. Скорость точки в сложном движении (абсолютная скорость) V определяется по формуле Va = Ve + Vr , (5.1) где Ve и Vr – переносная и относительная скорости точки. Чтобы из (5.1) найти какую-либо характеристику точки (например Va ), необходимо найти две другие ( Ve и Vr ) и сложить их геометрически. При этом пользуются правилом остановки одного из двух движений. Чтобы найти переносную скорость точки, необходимо мысленно остановить относительное ее движение. Наблюдаемая при этом в данный момент скорость является переносной. Чтобы найти относительную скорость точки, необходимо мысленно остановить переносное ее движение. Наблюдаемая при этом в данный момент скорость является относительной. Ускорение точки а сложном движении (абсолютное ускорение) определяется по формуле a a = ae + a r + a c , (5.2) где ae и ar – переносное и относительное ускорения точки определяются с помощью правила остановки одного из двух движений; ac – кориолисово ускорение. Оно определяется по формуле ac = 2( ωe × Vr ) , (5.3) где ωe – вектор угловой скорости переносного движения. Модуль кориолисового ускорения определяется по формуле r ∧ ac = 2ωeVr sin(ωe ,Vr ) . (5.4)
Направление кориолисового ускорения определяется с помощью векторного произведения (5.3) или по правилу Н.Е.Жуковского: Чтобы найти направление ( ac ), необходимо спроектировать относительную скорость ( vr ) на плоскость, перпендикулярную к вектору угловой скорости ( ωe ) и затем повернуть эту проекцию на 90° по направлению переносной угло-
ТУ
вой скорости. (5.5) Примечания. 1. Если переносное движение является вращательным, а относительное – криволинейным, то формулу (5.2) лучше записать в следующем виде: aa = aen + aeτ + arn + arτ + ac , (5.6)
ри й
БН
где aen , arn , aeτ , arτ – нормальные и касательные составляющие ускорений точки в переносном и относительном движениях соответственно 2. Чтобы найти абсолютное ускорение точки, необходимо найти переносное, относительное и кориолисово ускорение и сложить их геометрически в соответствии с формулами (5.2) или (5,6). Для определения величины абсолютного ускорения выражения (5.2) или (5.6) проектируют на три взаимно перпендикулярные оси и определяют ускорение по формуле 2 2 2 a a = a ax + a ay + a az
(5.7)
Вопросы и задачи.
по з
ит о
5.1. Как следует выбирать подвижную систему отсчета? 5.2. В каких случаях кориолисово ускорение равно нулю? 5.3. Назвать основные этапы решения задач на сложное движение точки. 5.4. Треугольная пластина на колесах движется по горизонтальной плоскости по закону xe = − Bt + 3t 2 ( X e – в метрах, t – в секундах). По стороне пласти-
ны перемещается точка М по закону AM = S r = 4 sin
Ре
для t1= 2 с.
π
3
t м. Ответить на вопросы
1. Какое движение совершает точка М. 2 Определить положение точки М на пластине. 3. Определить скорость относительного движения точки М. 4. Что следует понимать под переносной скоростью точки М. 5. Определить скорость переносного движения точки М. 6. Определить абсолютную скорость точки М.
7. Определить ускорение относительного движения точки М. 8. Определить ускорение переносного движения точки М. 9. Определить абсолютное ускорение точки М. 5.5. Прямоугольник АВСD вращается вокруг оси O1O2 с угπ ловой скоростью ω = рад/с= const . Вдоль стороны АВ 2
π
2
t м. Дано:
ТУ
движется точка М по закону OM = S r = a sin
Ре
по з
ит о
ри й
БН
DA = CB = a . Ответить на вопросы для момента времени t1=1 с.: 1. Какое движение совершает точка М? 2. Что является относительным движением точки М? 3. Что является переносным движением точки М? 4. Как направлен вектор угловой скорости переносного движения? 5. Определить модули и указать на рисунке векторы скоростей относительного и переносного движений. 6. Определить модуль абсолютной скорости точки М. 7. Каким векторным равенством определяется абсолютное ускорение точки М? 8. Определить относительное ускорение точки М. 9. Определить переносное ускорение точки М. 10. Определить ускорение Кориолиса. 11. Определить абсолютное ускорение точки М. 5.6. Кольцо R = 0,2 м вращается вокруг вертикальной оси O1O2 по закону ϕ = 1,2t − t 2 рад. По кольцу перемещается точка М по закону π AM = S r = 0,2π cos t . 4 (Sr – в метрах, t – в секундах). 4 Для момента времени t1 = c ответить на вопросы: 3 1. Какое движение совершает точка М? 2. Что является относительным движением точки М? 3. Что является переносным движением точки М? 4. Каким векторным равенством определяется абсолютная скорость точки М? 5. Определить скорость относительного движения и показать ее направление. 6. Определить переносную скорость точки М и показать ее направление. 7. .Определить модуль и направление вектора абсолютной скорости точки М. 8. Каким векторным равенством определяется абсолютное ускорение точки М? 9. Определить относительное ускорение точки М. 10. Определить переносное ускорение точки М. 11. Изобразить на рисунке векторы ускорений относительного и переносного движений.
12. Определить ускорение Кориолиса. 13. Изобразить на рисунке вектор ускорения Кориолиса. 14. Определить абсолютное ускорение точки М. 15. Определить положение точки М на кольце для момента времени t 2 = 2 с. 16. Определить скорость относительного движения точки для t 2 = 2 с. 5.7. Точка М движется по кольцу R = 0,3 м по закону
ри й
БН
ТУ
AM = S r = 0,75 π(0,1t + 0,3t 3 ) (Sr – в метрах, t – в секундах). Кольцо вращается в плоскости рисунка относительно оси проходящей через точку О по закону ϕ = 2t − 0,3t 2 рад. Ответить на вопросы для момента времени t1 = 1 с.: 1. Указать относительное и переносное движения точки М. 2. Определить относительную и переносную скорости точки М. 3. Изобразить на рисунке векторы скоростей относительного и переносного движений. 4. Определить модуль абсолютной скорости. 5. Записать теорему Кориолиса. 6. Определить составляющие arn и arτ относительного ускорения точки М.
ит о
7. Определить составляющие aen и aeτ переносного ускорения точки М. 8. Указать на рисунке векторы относительного и переносного ускорений. 9. Определить величину и направление ускорения Кориолиса. 10. Определить абсолютное ускорение точки М.
6. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ МЕТОДОМ ВИЛЛИСА.
Ре
по з
Метод Виллиса применяют для определения угловых скоростей зубчатых механизмов, в которых имеются зубчатые колеса, вращающиеся относительно подвижных осей, т.е. планетарные или дифференциальные механизмы. На рис. 6.1а изображена схема плане3 O3 ω2 тарного зубчатого механизма, в котором колесо (1) неподвижно, а осталь2 A O2 2 ные колеса приводятся в движение кривошипом, который называют водилом. Ось водила совпадает с осью неω 1 ωΟΑ подвижного колеса. На рис.6.1б изо1 O O бражен дифференциальный зубчатый ω1 механизм, в котором колесо 1 и водило а) б) (кривошип) вращаются вокруг одной Рис.6.1 и той же оси, проходящей через точку О.
БН
ТУ
Метод Виллиса основан на теории сложения вращений вокруг параллельных осей. Зубчатые колеса участвуют в двух движениях: а) в относительном вращении зубчатых колес по отношению к водилу, б) в переносном вращении вместе с водилом вокруг его оси (переносной угловой скоростью для каждого зубчатого колеса будет угловая скорость водила). При расчете определяют зависимость между относительными угловыми скоростями, которые равны разности абсолютных и переносных угловых скоростей. В этом случае отношения между относительными угловыми скоростями обратно пропорциональны радиусам колес или числу зубьев, взятые со знаком минус, если зацепление внешнее, и со знаком плюс, если зацепление внутреннее. Пример а. Определить угловую скорость колеса 2 дифференциального механизма (рис.6.2), если ωОА=4 рад/с, ω1=8 рад/с, r1=30 см, r2=15 см. ω Решение. В механизме переносная угловая скорость − это угловая скорость кривошиA па (водила) ОА. Тогда относительная ско2 рость каждого колеса будет равна (наω правление абсолютной угловой скорости колеса 2 выбираем против хода часовой O 1 стрелки) разности абсолютной и переносω ной угловых скоростей: ω1r = ω1 – ωОА, ω2r = ω2 – ωОА. 2
ри й
ΟΑ
1
ит о
Рис. 6.2
Составим отношение для механизма, учитывая, что колеса 1 и 2 имеют внешнее зацепление: ω1r ω1 − ωOA r = =− 2, ω2 r ω2 − ωOA r1
по з
− (ω1 − ωOA )
r1 = ω2 − ωOA , r2
ω2 = ωOA − (ω1 − ωOA )
r1 , r2
Ре
30 = 4 − 8 = −4рад/с 15 . Минус показывает, что колесо 2 вращается по часовой стрелке, т.е. противоположно первоначально выбранному направлению. Ответ. ω2 = – 4 рад/с. Угловая скорость колеса 2 направлена противоположно угловой скорости водила и колеса 1. Пример б. Определить угловую скорость колеса 2 дифференциального механизма в случае внутреннего зацепления (рис. 6.3), если ωОА = 8 рад/с, ω1 = 12 рад/с, r1 = 60 см, r2 = 15 см. ω2 = 4 − (8 − 4 )
БН
ТУ
Решение. Переносная угловая скорость A − это угловая скорость кривошипа (воω2 дила) ОА. Относительная скорость каωΟΑ ждого колеса равна (абсолютную угO ловую скорость колеса 2 считаем направленной против хода часовой ω1 стрелки): ω1r = ω1 – ωОА, ω2r = ω2 – ωОА. Рис. 6.3 Составим отношение для механизма, учитывая, что колеса 1 и 2 имеют внутреннее зацепление. ω1r ω1 − ωOA r2 = = , (ω1 − ωOA ) r1 = ω2 − ωOA , ω2r ω2 − ωOA r1 r2 r 60 ω2 = ωOA + (ω1 − ωOA ) 1 , ω2 = 8 + (12 − 8) = 8 + 16 = 24рад/с . r2 15
Ведущий вал 1 редуктора делает ω1 = 120 рад/с. Неподвижное зубчатое колесо с внутренним зацеплением имеет z4 = 180 зубцов; бегающие шестеренки, спаренные между собой, имеют z2 = 40 и z3 = 60 зубцов. Шестеренка, закрепленная на ведущем валу, имеет 80 зубцов. Ответить на вопросы и найти указанную величину: 1. Как называется механизм? 2. Какая угловая скорость механизма будет переносной? 3. Составьте формулу Виллиса и определите ω 2 .
по з
ит о
6.1.
ри й
Вопросы и задачи
Ре
6.2.
Ведущий вал вращается с угловой скоростью ω1 = 120 рад/с. Колесо 1 вращается с угловой скоростью ω1 = 180 рад/с и имеет число зубцов z1 = 80 ; а бегающие колеса имеют z2 = 20 ; z3 = 40 . Колесо 4 имеет z4 = 60 зубцов. Колесо 1 и ведущий вал 1 вращаются в одном направлении. Ответить на вопросы и найти указанную величину: 1. Как называется механизм? 2. Какая угловая скорость механизма будет переносной? 3. Составьте формулу Виллиса и определите ω2 .
Ответы на вопросы задач
БН
ТУ
2.1. Да, можно. 2.2. В том случае, когда известна траектория точки. 2.3. Если модуль скорости не изменяется со временем. 2.4. Если модуль касательного ускорения не изменяется со временем. 2.5. При прямолинейном движении всегда и криволинейном, когда нормальное ускорение равно нулю. С нормальным – при равномерном движении точки по кривой. 2.6. Равномерного – S = S0 + Vt , равнопеременного – S = S0 + V0t + aτ t 2 / 2 . 2.7. x y −5 1. = cos t ; = − sin t ⇒ x 2 + ( y − 5) 2 = 9 окружность 3 3 с центром в точке (0,5).
2. При t = 0 X 0 = 3 см, Y0 = 5 см; при t1 =
π
2
c
ит о
ри й
X 1 = 0; Y1 = 2 см. 3. По ходу часовой стрелки, т.к. при t = π / 4 с X 0 > X > X 1 , а Y0 = Y . 4. Изменится, т.к. в этом случае при t = π / 4c . X 0 > X > X 1 , а Y0 = Y . dx dy 5. Vx = = −3 sin t ; V y = = −3 cos t. V = Vx2 + V y2 =3 см/с и не зависит от t . dt dt При t1 = π / 2c Vx = −3 см/с, V y = 0 ⇒ V y ⊥ OY и направлен противоположно оси OX . 6. a x = dV x / dt = −3 cos t ; a y = dVx / dt = 3 sin t a = a x2 + a 2y = 3 см/с2 ⇒ a ⊥ OX и
Ре
по з
направлен вдоль оси OY . 7. Равномерное, т.к. V = const . 2.8.
1. t =
x−3 ; y = x 2 − 6 x + 9 - парабола. 2
2. V = Vx2 + V y2 = 8,24 см/с.
3. a = a Vx2 + a 2y = 8 см/с2. 4. aτ =
dV 32 = dt 1 + 16t 2
= 7,8 см/с2. t =1
5. an = a 2 − aτ2 = 1,9 см/с2.
V2 6. ρ = = 35 см. an 7. cos(i , aτ ) = cos(i , Vτ ) = t
t
Vx = 0,243 ⇒ L(i , aτ ) = 76o. V 1
2
4.
t1 =1
= 6,6 см/с.
БН
3. Vx = x = 2 . V y = y& = 2πt cos πt 2 ; V = V x2 + V y2
ТУ
1 ⎛ ⎞ 8. S = ∫ Vdt = ∫ x + y dt = ⎜ t 1 + 16t 2 + ln⎛⎜ 4t + 1 + 16t 2 ⎞⎟ ⎟ = 4,7 см. ⎠⎠ 0 4 ⎝ ⎝ 0 0 π 2.9. 1. y = sin x 2 . 4 2. Из условия y = 0 ⇒ sin πt12 = 0 ⇒ t1 = 1 с. 2
a x = 0; a y = dV y / dt = 2π cos πt 2 − 4π 2t 2 sin πt 2 .
a = ay
t1 =1
= 2π = 6,28 см/с2.
ри й
5. В момент наибольшего управления V y = 0 . Тогда V = Vx = 2 см/с. Составим уравнения движения точки М. 1. x = A1M 1 − OA1 = AM ⋅ cos α − OA ⋅ cos 45o ; y = − MM 1 = − BM sin α . Так как OA sin 45o 0 = AA1 = OA sin 45 = AB sin α ⇒ sin α = AB = sin πt ⇒ α = πt .
по з
ит о
2.10.
Тогда x = 45 cos πt − 30 sin πt см, y = −15 sin πt см. 2. Vx = dx / dt = (−4π sin πt − 30π cos πt ) t = 1 = −48,45π см/с. 6
Ре
V y = dx / dt = (−15π cos πt ) t = 1 = −12,9π см/с. 6
V = Vx2 + V y2 = 50,2π см/с.
3. a x = aVx / dt = (−45π 2 cos πt + 30π 2 sin πt ) a y = aVx / dt = 15π 2 sin πt )
1 t= 6
= 7,5π 2 см/с2.
1 t= 6
= −23,9π 2 см/с2.
a = a x2 + a 2y = 25,05π 2 см/с2. 4. aτ =
Vx a x + V y a y V
=
− 48,45π(−23,9π 2 ) + (−12,9π) ⋅ 7,5π 2 = 21,1π 2 см/с2. 50,2π
5. an = a 2 − aτ2 = 13,4π 2 см/с2.
БН
ТУ
V2 6. ρ = = 188 см. an 7. Угол между вектором скорости и вектором ускорения равен углу между вектором касательного и полного ускорений. Поэтому ∧ ∧ a tg (V , a ) = n = 0,625 ⇒ L(V , a ) = 32o . aτ π 5 π ⎞ ⎛ 2.11. 1. V = ds / dt = ⎜ − 10e − 2t sin t + πe − 2t cos t ⎟ = −1,35 см/с. 2 2 2 ⎠ t =1 ⎝ dV dt
π π 5 2 − 2t π ⎞ ⎛ 2 − 2t − 2t ⎜ 20e sin t − 10πe cos t π e ⋅ sin t ⎟ = 1,03 см/с . 2 2 4 2 ⎠ t =1 ⎝
V 2 1,35 2 an = = = 1,14 см/с2. ρ 20
ри й
2. aτ =
ит о
3. a = aτ2 + an2 = 1,04 см/с2. 4. Криволинейное замедленное, т.к. при t = 1 V / aτ = 0 и an ≠ 0 . π = 5π см/с. 2.12. 1. V = 5π cos t 2 t =4 π 5π 2 sin t 2 2
по з
2. aτ = dV / dt = − t
= 0.
t =4
4
π π = 0. 3. S = ∫ Vdt = ∫ 5π cos tdt = 10 sin t 2 2 0 0 t =4
Ре
4. Q = S1 − S 0 + S 2 − S1 + S 3 − S 2 + S 4 − S 3 = 40 см, где S 0 = 0 . S1 = S t =1 = 10; S 2 = S t = 2 = 0; S 3 = S t =3 = −10; S 4 = S t = 4 = 0 . 2.13. 1. Запишем формулы равнопеременного движения V − V0 V = V0 + aτt ⇒ aτ = . t (V − V0 )t (V + V0 )t 2 S − Vt A = V0t + aτt 2 / 2 ⇒ S = V0t + = ⇒ V0 = = t 2 2 2 ⋅ 1500 − 20 ⋅ 120 = = 5м/с. 120
V − V0 20 − 5 = = 0,125 м/с2. 120 t 2 V an = = 0,05 м/с2; a0 = aτ2 + an2 = 0,134 м/с2. ρ 3. В конце 2-й минуты aτ = 0,125 м/с., т.к. движение равнопеременное
2. В начале участка aτ =
ТУ
20 2 an = = 0,8 м/с2; a = 0.1252 + 0,82 = 0,81 м/с2. 500
ит о
ри й
БН
3.1. Если ω = const , то движение – равномерное. В случае ε = const равнопеременное. 3.2. В этом случае полное ускорение равно нормальному и направлено к центру окружности – траектории точки. 3.3. По касательной к окружности или перпендикулярно к радиусу окружности. 3.4. Вдоль оси вращения в ту сторону, откуда поворот тела виден происходящим против хода часовой стрелки. 3.5. 2 1. X A2 + Y A2 = OA –- окружность с центром в точке О и радиусом А. 2. ω = dϕ / dt = (2t − 3) t = −1 рад/с. 3. ε = dω / dt = 2 рад/с2. 4. Замедленное, т.к. ω 〈 0 , а ε 〉 0 . 5. V A = ω ⋅ OA = 1 ⋅ 20 = 20 см/с; V A ⊥ OA .
по з
6. an = ω2OA = 20 см/с2 направлено от А к О. aτ = ε ⋅ OA = 40 см/с2, aτ ⊥ OA направлен в сторону ε . 3.6. 1. VM1
Ре
OM1 =
πn0 30 εt 2 3. ϕ = 2πN ; ϕ = ω0t − 2
2. ω = ω0 − εt ; ω0 =
R2 = ω ⋅ OM 1 = 2π + R 2 = π 5R = 2,11 м/с. 4 R2 + R2 . 4
3 VM 2 = ω ⋅ OM 2 = 2π ⋅ R = 2,83 м/с. 2 3 OM 2 = R . 2 ω − ω 10π − 2π = 10π рад/с. ε = 0 = = 0,8π / рад/с2. 10 t 2 2ω t − εt 2 ⋅ 10π ⋅ 10 − 0,8π ⋅ 100 = = 30 оборотов. ⇒N= 0 4π 4π
4. a1 = OM1 ε 2 + ω4 = 10,6 м/с2. а2 = OM 2 ε1 + ω4 = 14,2 м/с2. πn 3.7. 1. ω2 = 2 = 20 рад/с. 30
2. VM 1 = VM 2 , т.к. ремень не проскальзывает, ⇒ ω1r1 = ω2 r2 ⇒ ω2 r2 = 40π рад/с. r1 = VM 2 = ω1r1 = 40π ⋅ 25 = 1000π см/с.
4. Из формулы ω1 = ω0 + ε1t при ω0 = 0 t =
ω1 40π = = 100c . ε1 0,4π
БН
3. VM1
ТУ
⇒ ω1 =
ω1 r2 = ⇒ ω2 r1
5. an = ω22 r2 = 2 ⋅ 10 4 π 2 см/с2; aτ = ε1 r1 = ε 2 r2 = 10π см/с2; 2 a = aτ2 + an2 ≅ 2 ⋅104 π2 см/с .
ри й
3.8. 1. V A = ds / dt = 100t t =1 = 100 см/с.
ит о
2. a A = d 2 S / dt 2 = 100 см/с2. V 100t = 5t . Т.к. окружные скорости колес, находящихся в зацепле3. ω1 = A = R1 20 ω r 5t ⋅ 15 = 2,5t рад/с. ω2 t =1 = 2,5 рад/с. нии, равны, то ω1r1 = ω2 r2 ⇒ ω2 = 1 1 = r2 30 d ω2 ε2 = = 2,5 рад/с2. dt 4. VM = ω2 r2 = 75 см/с.
Ре
по з
5. a M = r2 ε 22 + ω42 = 2,02 м/с2. 3.9. 1. Из условия ω1r1 = ω2 r2 с учетом, что ωz ω2 = 1 1 = ω2 . z2 ω z ω z z 2. i1. 3 = 1 = 2 4 , т.к. ω2 = ω3 , а ω4 = ω3 = 3 3 . ω3 z1 z3 z4
r1 = KZ1 ,
r2 = KZ 2 ,
4.1. Любое тело, точки которого лежат в одной плоскости – так же отрезок прямой линии. 4.2. Рассматриваемое тело или механизм обязательно изображают в том положении, какое указано в условии задачи. 4.3. Потому, что зная МЦС, можно показать направление скорости любой точки (она перпендикулярна отрезку, соединяющему точку с МЦС). 4.4. Нет. Она может находиться в любом месте в плоскости фигуры.
4.5. В этом случае следует найти МЦС каждого звена отдельно. 4.6. Нет. Точки обязательно должны принадлежать одному телу (звену). 4.7. Двумя способами. С помощью (4.2) или (4.4). 4.8. Нет, не зависит. 4.9. Их модули находятся одинаковым образом, сравни (4.7) и (3.7). Различие в направлениях и величине. a Bn – направлено по нормали к центру кривиз-
n – направлено к произвольному поны кривой, a Bτ перпендикулярно к a Bn ; a BA
ри й
БН
ТУ
B n перпендикулярно к a BA . люсу, a BA 4.10. Двумя способами. С помощью (4.6) путем нахождения dω d ⎛ V B ⎞ B B = ⎜ ⎟. a BA ⇒ ε = a BA / BA и (4.4) ε = dt dt ⎝ l ⎠ 4.11. 1. Вращательное V A = ω1 ⋅ l 1 . 2. МЦС АВ в бесконечности. 3. ω 2 = 0 . Мгновенно-поступательное. VB = VC = V A . 4. МЦС СD в точке D. VD = 0 . V V ω ⋅l ω ⋅l 5. ω3 = c = 1 1 . VK = c = 1 1 . l3 2 2 CD
ит о
6. a A = a Aτ + a An , a τA = ε1 ⋅ l 1 = 0, a nA = ω12 ⋅ l 1 , a A = (a τA ) 2 + (a nA ) 2 = ω12 l 1 . ц B + a BA (*). Точка А, принята за полюс. 7. ac = a A + a BA ц = ω22 ⋅ l 2 = 0 . 8. a BA
по з
B спроекти9. Следует выбрать координатные оси так, чтобы на одну из них a BA ровалось в точку. Проектируя равенство (*) на Bx , получим, получим a B ⋅ cos α = a nA ⋅ sin α ⇒ a B = ω12 ⋅ l 1 ⋅ tgα . Проектируя равенство (*) на By , полу-
τ ⇒ aBA
Ре
чим:
τ aB ⋅ sin α = −a nA ⋅ cos α + aBA
τ ления a B и a BA выбраны верно.
10. ε 2 =
ω12l1 = . Знак «+» указывает, что направcos α
τ a BA ω12 l 1 . = l2 l 2 cos α
l2 l2 ω12 l 1 τ 11. ac = проектируя ⋅ = 0, aCA = ε 2 ⋅ = 2 2 2 cos α τ ⇒ равенство (**), получим: на Bx : acx = α An sin α и By : acy = − a nA cos α + aCA n a A + aCA
τ + aCA
n (**), aCA
= ω22
⇒ ac =
2 acx
∧
cos(ac , j ) =
2 + acy
acy ac
∧
. Направление ac определится по формулам: cos(ac , i ) =
acx , ac
.
4.12.
ри й
БН
ТУ
1. Вращательное V A = ω1 ⋅ l 1 = 2 м/с. 2. Плоскопараллельное VB cos 30o = V A cos 60o , VB = 1,15 м/с. МЦС тела АВ и Р2 – пересечение перпендикуляров к V A и VB . V V 3. ω2 = A = B = 5,8 рад/с. AP2 BP2 V ω4 = B = 3,8 рад/с. BO2
4. VD = 2VB = 2,3 м/с, VE = VD cos 30o = 2 м/с. VK ⊥ KP2 .
ит о
5. С одной стороны В принадлежит O2D. Поэтому a B = a Bn + a Bτ . С другой - звену АВ, которое движется плоско-параллельно. Поэтому n n n τ τ τ τ n . Следовательно, a B + a B = a A + a A + a BA + a BA (*), a B = a An + a τA + a BA + a BA n a Bn = ω 42 BO2 = 4,5 м/с2, a nA = ω12l1 = 20 м/с2, a ВA = ω 22l 2 = 13,3 м/с2.
6. a B = (a Bn ) 2 + (aτB ) 2 ; a Bn = 4,5 м/с2., для определения aτB необходимо равен-
по з
τ ство (*) спроектировать так, чтобы неизвестное a BA спроектировалось в точку.
Поэтому выбираем оси Вх и Ву и проектируем (*)на Вх: a Bn cos 60o + a Bτ cos 30o =
Ре
n − a nA cos 30o + a τA cos 60o + a BA ⇒ a Bτ = −4,5 м/с2. Знак (–) показывает, что a Bτ на рис. следовало показать в противоположную сторону, т.е. звено 4 вращается замедленно aB = 4,5 2 м/с2.
4.13. 1. ω1 = ϕ1′ = l t −1 = 1 рад/с, ω = ϕ′2 = −4 рад/с. Направления показаны на рис. VE = ω1 ⋅ R1 = 0,2 , VD = ω ⋅ r = 0,4 м/с. 2. Ввиду нерастяжимости нити V A = VE , VB = VD . Плоско-параллельное. МЦС блока 3 в P3 ; лежит на пересечении прямых АВ и аb. P3 находим из соотBP3 V ношения B = ⇒ AP3 = 0,4 м. V A AP3
3. ω3 =
VB V = A = 0,5 рад/с. BP3 AP3
V A + VB (*) (как средняя линия 2 1 трапеции), Voy = (V Ay + VBy ) = 0,3 м/с, 2 1 Vcx = (V Ax + VBx ) = 0 , Vc = VCy = 0,3 2 м/с.
ТУ
Vc =
БН
4. ε1 = ϕ1′′ = l t −1 = 1 рад/с2, движение ускоренное, ε 2 = ϕ′′ ⋅ 0 , вращение равномерное. Равенство (*) выполняется в любой момент времени. Поэтому dV 1 ac = c = (a A + a B ) (**). Проектируя (**) на ось Су, учитываем, что dt 2 ac = a = c y , т.к. точка С движется по вертикальной прямой.
ит о
ри й
τ a Ay = a AB = a Eτ = ε1R1 , a By = a BB = a D = ε2r = 0 , 1 т.к. ε 2 = 0 ⇒ aC = aCy = a Ay = 0,1 м/с2. 2 4.14. 1. V A = S& A = 0,2 с/м, VC = S&C = 0,2 с/м. 2. Плоско-параллельное. С одной стороны B ∈ AB и VB = V A + VBA , с другой B ∈ BC и VB = VC + VBC . Отсюда V A + VBA = VC + VBC (*).
3. Проектируя равенство (*) на ось Ву получим: V A = cos 45oVc cos 45o + VBc ⇒ ⇒ VBc = V A cos 45o − Vc cos 45 = 0 .
Ре
по з
Из VB = VC + VBC ⇒ VB = VC , VB = VC = 0,2 м/с. VB VC = = 0. ∞ ∞ Мгновенно-поступательное. 5. МЦС тела АВ в Р2 (находится на пересечении перпендикуляров к V A и VB ). 4. МЦС тела 3 – в ∞ , ω3 =
VA V 2 = B = рад/с. AP2 BP2 2 6. a A = S&&A = 0,2 м/с2, aC = S&&C = −0,2 м/с2. Знак (–) указывает на то, что тело 4 движется замедленно. ω2 =
n n n τ τ τ a B = a A + a BA + a BA , aC + a BC + a BC = aC + a BC + a BC
(**),
n τ n n 7. a B = aC + a BC + a BC , a BA = ω 22 BA = 0,1 м/с2, a BC = ω 32 BC = 0 . n Проектируя векторное равенство (**) на ось Ву, получим: a A cos 45 o − a BA =
τ = − ac cos 45o + aτBC ⇒ aτBC = 0,18 м/с2, знак (+) указывает на то, что вектор a BC показан верно на рис. n τ на оси Вх и Ву, получим: 8. Проектируя a B = aC + a BC + a BC
a Bx = aC cos 45o = 0,14 м/с2, a By = − aC sin 45o + aτBC = 0,04 м/с2,
2 ⋅ 0,3 = 0,15 2 м/с. 2 и Ву, получим:
VB = VC + VBC
VBx = −VC cos 45o = −0,05 2
на
оси
м/с2,
БН
ось Ву, получим: V A cos 45o = VC cos 45o + VBC ⇒ VBC = Проектируя
ТУ
2 2 a B = a Bx + a By = 0,145 м/с2. 9. V A = S& A = 0,4 м/с, VC = S&C = 0,1 м/с. Проектируя векторное равенство (*) на
Вх
VBy = VBC + VC cos 45o = 0,2
2 2 VB = VBx + VBy = 0,3 м/с. Направление VB определяется по формулам: ∧ VBy VBx cos(VB i ) = , cos(VB j ) = . VB VB 4.15. 1. Плоскопараллельное.
по з
ит о
ри й
∧
2. В точке С.
V0 2t = . r r dω 2 = . В момент t = 0,5 с 4. Определим угловое ускорение блока: ε = dt r 2 ⋅ 0,5 2 ω0 = = 5 с-1, ε = = 10 с-2. 0,2 0,2
Ре
3.Определим угловую скорость блока: ω =
τ n 5. Определим ускорение точки D: a D = aO + a DO + a DO , a0 = 2 м/с2.
n τ a DO = ω2 r = 5 2 ⋅ 0,2 = 5 м/с2, a DO = ε ⋅ r = 10 ⋅ 0,2 = 2 м/с2,
n = −5 м/с2, a Dy = a0 + aτDO = 2 + 2 = 4 м/с2, a Dx = −a DO 2 2 a D = a Dx + a Dy = 52 + 4 2 = 6,4 м/с2.
4.16. 1. Поступательное.
м/с,
2. Плоскопараллельное. 3. В точке С.
VD dx ; VD = V K = = 2t ; CD = OD − OC = 0,1 м. CD dt 2t dω ω= = 20t ; ε = = 20 рад/с; ωt =0,5 = 10 рад/с. 0,1 dt
τ n 5. a B = a0 + a BO + a BO (*). 6. a0 = ε ⋅ OC = 20 ⋅ 0,1 = 2 м/с2. τ a BO = ε ⋅ OB = 20 ⋅ 0,2 = 4 м/с2.
ТУ
4. ω =
БН
n a BO = ω2 ⋅ OB = 10 2 ⋅ 0,2 м/с2. направление векторов показано на рисунке. 7. Проектируем выражения (*) на оси координат. 2 n a Bх = −a0 − a BO = −2 − 20 = −22 м/с . 2 τ a By = a BO = 4 м/с .
ри й
2 2 a B = a Bx + a By = 22 2 + 4 2 = 22,4 м/с2.
4.17.
Ре
по з
ит о
1. Вращательное. V A = ω1 ⋅ r1 = 2 ⋅ 0,2 = 0,4 м/с. VB = ω1 ⋅ R1 = 2 ⋅ 0,4 = 0,8 м/с. Направление V A и VB показано на рисунке. 2. Плоскопараллельное. 3. VK = V A = 0,4 м/с; VD = VB = 0,8 м/с. 4. МЦС блока 2 лежит на пересечении прямой DK и прямой, соединяющей концы векторов VD и VK . Положения МЦС находим из пропорции. R +r V V ω2 = D = K ; DP = 2 R2 − KP; R2 = 1 1 = 0,3 м. 2 DP KP V VD V 0,8 R2 2 0,4 = K ⇒ KP = = R2 = 0,2 м = r1 . ω2 = K = = 2 рад/с. KP 0,2 2 R2 − KP KP 1,2 3 5. VC = ω2 ⋅ CP = 2 ⋅ 0,1 = 0,2 м/с.
5.1. По отношению к ней должна перемещаться изучаемая точка. 5.2. Если переносное движение поступательное ( ωe = 0 ) и если относительная скорость параллельна оси переносного вращения (Vr ωe ) .
БН
ТУ
5.3. Первый – выбрать точку, второй – разложить движение на переносное и относительное, третий – применить формулы (5.1) или (5.2) в зависимости от условия задачи. 5.4. 1. Сложное движение, т.к. перемещается по стороне движущейся пластины (относительное движение) и вместе с ней перемещается относительно подвижной системы отсчета ХОУ (переносное движение). 2. Для этого найдем АМ1 при t1 = 2 с: πt AM 1 = S r = 4 sin 1 = 3,46 м. 3
ри й
π π 3. Vr = S&r = 4 cos t1 = −2 м/с, где знак минус означает, сто вектор Vr направ3 3 лен в сторону уменьшения S r (смотри рисунок). 4. Скорость той точки пластины (подвижной системы отсчета)с которой совпадает в данный момент точка M (т.е. M1 , на рис.). 5. Ve = X& e = −8 + 6t1 = 4 м/с.
6. Va = Vr + Ve . Воспользуемся теоремой косинусов: ∧
ит о
Va = Vr2 + Ve2 + 2Vr ⋅ Ve cos(Vr , Ve ) = 5,28 м/с.
по з
π2 π & & 7. ar = S r = −4 sin t1 ≈ −3,46 м/с2. Вектор ar совпадает с вектором Vr . 9 3 2 8. ae = &x&e ≈ 6 м/с . Вектор ae совпадает с вектором Ve . 9. При переносном поступательном движении aa = ar + ae . Модуль абсолютно∧
Ре
го ускорения определить по формуле: aa = ar2 + ae2 + 2ar ae cos(ar , ae ) ≈ 8 м/с2. 5.5. 1. Сложное, т.к. перемещается по вращающемуся телу. 2. Движение точки вдоль АВ. 3. Вращательное движение прямоугольника ABCD относительно оси O1O2 . 4. Вдоль оси O1O2 вниз. π π π 5. Vr = S&r = a cos t1 = 0, Ve = ωe ⋅ R = ωe ⋅ MK = a м/с, 2 2 2 направлен Ve ⊥ пл. ABCD в сторону вращения. 6. Т.к. Va = Vr + Ve , а по расчету Vr = 0 , то
π a м/с. 2 7. При переносном вращательном движении aa = ar + ae + aс . Va = Ve =
π2 π π2 & & = S r = −a sin t1 = −a 8. + ar ; м/с2 (знак минус указывает, что 4 2 4 arτ направлен вниз по ВА). arn = 0 , т.к. относительное движение прямолинейное и ρ = ∞. τ
arτ
ae = aen
τ
aen
+ ae ;
= ωe2
т.к. ε e = 0 .
π2 ⋅R = a м/с2 и направлен aen к оси вращения; aeτ = 0 , 4
ТУ
9.
ar = arn
∧
+ (aen ) 2
4 с точка М находится в указанном на рисунке положении. 3 1. Сложное. 2. Движение по кольцу. 3. Вращательное движение кольца относительно неподвижной оси O1O2 . 4. Va = Vr + Ve . 5. π2 π Vr = S& = −0,2 sin t1 = −0,43 4 4 м/с. Отрицательный знак указывает на то, что Vr направлен в сторону убывания S .
по з
ит о
5.6. Для t1 =
π2 = a 2 м/с2, т.к. ar ⊥ aen . 4
ри й
11. aa =
ar2
БН
10. aс = 2ωe ⋅ Vr sin( ωe , Vr ) = 0 по двум причинам: в данный момент времени Vr = 0 и в любой момент времени ωe Vr .
Ре
6. Ve = ωe ⋅ R1 , где ωe = ϕ& = 1,2 − 2t1 = −1,4 рад/с. Следовательно, кольцо вращается относительно оси O1O2 в сторону, противоположную направлению положительного отсчета угла ϕ . R1 = 3R = 0,6 м. Ve = 0,34 м/с. ∧
7. Т.к. Vr ⊥ Ve , то Va = Vr2 + Ve2 = 0,94 м/с. cos Va , i = ∧
cos Va , j =
Vay Va
=
Vr ≈ 0,446 . Va
Vax ≈ 0,893 . Va
8. aa = ar + ae + aс . Vr2 0,1π3 π 2 τ & + ar ; = = 0,9 м/с . ar = Vr = − cos t1 ≈ 0,2 м/с2. 9. ar = 8 4 R 2 n n τ 2 τ && = −2 10. ae = ae + ae , ae = ωe ⋅ 3R ≈ 1,18 м/с . ae = ε e ⋅ 3R = 1,2 м/с2; где ε e = ϕ рад/с2. Вектор εe направлен вдоль ωe . 11. На рисунке указаны. arn
τ
arn
ТУ
∧
БН
12. aс = 2ωe ⋅ Vr sin( ωe , Vr ) ≈ 1,18 м/с2. 13. Используя правило Жуковского, получим вектор ускорения Кориолиса, направленным ⊥ плоскости рисунка от нас. 14. Лучше методом проекции. Для этого проектируем (5.2) на оси: aax = aeτ − aс = 0,024 м/с2; aay = −aen − aτr = −1,37 м/с2; aaz = −arn = −0,9 м/с2; 2 2 2 aa = aax + aay + aaz = 1,64 м/с2.
Ре
по з
ит о
ри й
π 15. AM = S = 0,2π cos t 2 = 0 , т.е. точка M 2 будет совпадать с точкой А. 4 π2 π 16. Vr2 = S& = −0,2 sin t 2 ≈ −0,49 м/с. 4 4 5.7. 1. Относительное – по кольцу, переносное – вместе с кольцом относительно оси, проходящей через точку О. 2. Положение точки М на кольце определяется расS 0,75π ⋅ 0.4 стоянием S = AM для t1 = 1 с; α = = =π R 0,3 рад. Vr = S& = 0,75(0,1 + 0,9t12 ) ≈ 2,35 м/с, Ve = ωe ⋅ R1 , где ωe = ϕ& = 1,4 рад/с; R1 = OM = 0,42 м; Ve = 0,59 м/с. 3. 4. Из (5.1) Va = Vr2 + Ve2 + 2VrVe cos 45o ≈ 28 м/с. 5. См. (5.2). 6. ar = arτ + arn , arτ = V&r = S&& = 4,25 м/с2, arn =
Vr2 ≈ 18,5 м/с2. R
&e =ϕ && = 0,6 рад/с2. Знак минус указывает 7. ae = aeτ + aen , aτe = ε e ⋅ R1 , где ε e = ω на
замедленное
вращение
aen = ωe2 ⋅ R1 ≈ 0,83 м/с2. 8.
кольца
относительно
оси.
aτe = 0,25
м/с2;
∧
9. aс = 2ωe ⋅ Vr sin( ωe , Vr ) ≈ 6,6 м/с2. В соот-
ТУ
ветствии с правилом (5.5) вектор aс показан на рисунке 3. 10. Методом проекций: aax = aс + arn + aen cos 45o + aeτ cos 45o ≈ 26 м/с2.
ит о
ри й
6.1. 1.Планетарный. 2. ωe = ω II ; ω − ω II z z = − 2 ⋅ 4 ; ω4 = 0; ω1 = ω I ; 3. 1 ω4 − ω II z1 z3 ω I − ω II z z = − 2 4 ; (ω I − ω II ) z1 z3 = ω II z 2 ⋅ z 4 ω II z1 z3 ω1 z1 z3 120 ⋅ 80 ⋅ 60 = 48 рад/с. ω II = = z 2 z 4 + z1 z3 40 ⋅ 180 + 80 ⋅ 60 6.2. 1. Дифференциальный. 2. ωe = ω I .
БН
2 2 aa = aax + aay ≈ 26,3 м/с2.
ω1 − ω I ⎛ z 2 ⎞ ⎛ z 4 ⎞ z 2 ⋅ z 4 . = ⎜− ⎟⋅⎜− ⎟ = ω4 − ω I ⎜⎝ z1 ⎟⎠ ⎜⎝ z3 ⎟⎠ z1 ⋅ z3 (ω1 − ω I ) z1 z3 = (ω4 − ω I ) z 2 z 4 . ω1 z1 z3 − ω I z1 z3 + ω I z 2 z 4 = ω4 z 2 z 4 . ω z z + ω I ( z 2 z 4 − z1 z3 ) 180 ⋅ 80 ⋅ 40 + 120(20 ⋅ 60 − 80 ⋅ 40) ω II = ω4 = 1 1 3 = = 280 z2 z4 20 ⋅ 60 рад/с.
Ре
по з
3.
Ре
по з
ит о
ри й
БН
ТУ
ЛИТЕРАТУРА 1. Курс теоретической механики: Учебник для вузов / В.И. Дронг, В.В. Дубинин, М.М. Ильин и др.; Под общей ред. К.С. Колесникова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 735 с. 2. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учебник для машиностроительных специальностей вузов. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1983. – 575 с. 3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для втузов. – 12-изд., стереотип. – М.: Высшая школа, 2002. – 416 с. 4. Яблонский А.А. Курс теоретической механики: Статика. Кинематика. Динамика. Учебное пособие для технических вузов./ Яблонский А.А., Никифорова В.М. – 8-е изд., стереотип. СПб.: Лань, 2001. – 764 с. 5. Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. Руководство к решению задач по теоретической механике. – М.: Высшая школа, 1968. – 419 с. 6. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. В 2-х т. Динамика. – М.: Наука, 1985. – 559 с. 7. Руководство к решению задач по теоретической механике: Учебнометодическое пособие по теоретической механике / Г.Н. Алехнович, Т.Ф. Богинская, Ю.В. Василевич и др. – Мн.: БГПА, 1997. – 88 с. 8. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие для втузов. – 3-е изд. испр. под ред. проф. А.А. Яблонского. – М.: Высшая школа, 1978. – 388 с. 9. Исследование методов решения задач по теоретической механике: Учебнометодическое пособие для студентов высших технических учебных заведений. В 3 ч. /Г.И. Беляева, С.И. Миткевич, С.Г. Дрозд, И.С. Куликов. – Мн.: БГПА, 1999. – Ч. 1: Статика. – 102 с.