Основы теории упругости

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И Г АЗА им. И.М.ГУБКИНА

Кафедра технической мехаинки

Д.К. Веретнмус

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Час:n.

111. Основные уравиеииа теорнн уnруrоств. Тиnы :~адач теорнн уоруrостк

Методическое пособие

Mocna 2006

УДК539.3

Рецензент: заведующий кафедрой «Автоматизация проектирования сооруже­

ний нефrаноlt и raзoвoii nромыuшеннос-n\)) РГУ нефти и rаза им. И.М. Губ­ кина д.т.н., профессор П.П.Бородавкин

Веретимус Д.К. Основы теории упругости. Часть

III.

Основные уравнения

теории уnругости. Тиnы задач теории уnругости. Методическое nособие курсу «Основы теории упругости и пластичности>>,

2006. - 45

с. ил.

no

S.

В методическом nособии изложены основы теории деформаций- одно­ го из важнейших разделов теории уnругости.

Рассмотрены основные уравнения теории упругости в наприженних и деформациих. По1Са1аИо, что в эависим()(."ТИ от тиnа rраиичиых условий мож­ но выделить тиnа задач теории уnругости. Рассмотрены вариационные и при­

ближенные методы решени• задач теории упругости. На примере тела, Hrirpyжeннoro объемными силами, рвесмотрено 011ределение напряженно­

деформированного сосrо•ни.а в nростейших задачах теории уnругости. r·

(,

Методическое пособие может быть использовано дnJI подготовки сту-

дентов и аспирантов факультетов: инженерной механики; проектировании, сооружени.а и эксплуатации систем трубопроводного трансnорта; разработки

нефnиых и газовых CICJWitИH.

©Веретимус Д.К.

©РоссиАскиА Государственный Университет нефти и газа им. И.М.Губкина

ПРЕДИСЛОВИЕ Данное nособие .DJJJieтca второй частью серии нз лати методичесхих nocoбиii

no дисциnлине «Теориа уnругости>>.

Изложение курса. «Основы теории уnругости» базируетса на знании дисциnлины

-vИ=

fp]udV+ "

где vИ

Jpиds,

(54)

s~>l

- возможная работа внешних сил nри nереходе из недеформирован-

ноrо в деформированное состояние вычислена в nредnоложении, что внеш­ ние силы остаются неизменными.

Полная энергия снетемы

(55) Тогда с учетом выражений

(53)- (55) принцип Лаi'J)8ИЖа запишется: 5П=О,

(56)

то есть вариация nолной энергии системы в nоложении равновесия на воз­

можных nеремещеннях равна нулю. Выражение

(56) .ввляетс.а

варнадионным

уравнением Лаrранжа в случае действИJI только консервативных сил.

В nоложении устойчивого равновеси.а nолная энерГШI П минимальна, когда

52 п >0.

21

Докажем это. Возьмем вариации nолной энергии П по координате

no

nерсмещению

i

(57) Повторно nоварьируем

(57) no координате k l 0-z п

52 П =----би 1 5и 1 •

(58)

2 ди,ди.

С другой стороны, с учетом

(55), можно заnисать, S п= 2

Оrметим, что в линейных задачах

что

o V(t) +o V. 1

2

v0 v Оrметим, что Jw(& 1)d V tlcezдll 6ольше нуля.

,.

Принцип Лаrранжа

-

принцип минимальной энерrии. Докажем, что

nринциn Лагранжа есть интегральная форма уравнений статиКI!. Заnишем nринцип Лаграижав координатной форме

(49)

Jp.t;ou1 dV+ (p~sJou,dS- J{oY{oe}dV=O, v

"'

,.

Следует также напомнить, что используя уравнение

(8)

{оУ {о&}= cruS&i, , и равенство

( 1) можно записать, что

или

{cr}r {ое}= criioи1 , 1 • ПровеДА дифференцирование выражения

(61)

(61 ), nолучим

-crfi,J . .ou.' {cr}r{oe}='cr,ou.). ~ ~

(62)

J .)

Тогда, подставив в выражение

(49) равенство (62),запишем

J~.t;oи, +cr1J.Jou;}dv + fp}s>ou, dS- J(criioиJ 1 dV =0.

,.

,.

sи

Преобразуем последНий интеграл выражения

·

(63)

(63)

по формуле Остро­

градско~Гаусса

Для задач смешенного типа

Jcr11&,/.l"dS= Jcrvou1l.l"dS+).cril&1l.l"dS,

s

sl''

(65)

•)

23

nричем вариация перемещений по nоверхности nри заданных граничных ус­

ловиях в персмещениях равна нулю, то есть второе слагаемое уравнения

).?9ouJ Подставив в уравнение

Jv dS =о.

(65) (66)

(63) выражения (64)- (66), nолучим

J{p..t; +aii.J }5и, dV +),(p~s) -ayljv~u, dS =О. у

(67)

rl

Так как вариации nеремещений произвольны, то должны быть равны нулю коэффициенты при nеремеиных, то есть

р/;

+au.J =0,

P i(s) -а у lJY --О • Первое уравнение из nолученных

новесия

-

дифференциальное уравнение рав­

(2); второе - граничные условия в проекциях на j -ую ось (см. [6]

выражение

(3 1')).

ПрИНЦИII ВОЗМОЖIIЫХ СОСТОЯНIIЙ (npHIIЦHП КаСТИЛЬИНО) Будем называть возмозн:ными состоян~U~Ми такие, которые находатся в соответствии с внешними и внутренними силами, то есть удовлетворяющие уравнениям равновесия.

Дополнительная потенциальная энергия тела может быть записана че­ рез удельную дополнительную работу деформации

U 40n = JW-dV. v

(68)

Удельная дополнительная работа в случае линейно-упругого тела заnисыва­ етса

no выражению (см. [7]

выражение

(77))

(69) Тогда, взяв вариацию доnолнительной энергии тела и nодставив в выражение (68)уравнение(69),nолучаем

24

БU:>.on =

f{f:}r {Бa}dV, v

или, используя уравнение

(8), можно записать БUAOD = J&!iOO'IjdV. v

(70)

Рассмотрим возможные напряженные состояния при действии на тело объемных сил. Так как рассматриваются возможные напряженные состояния, то

O'ij,j

+р/; =о.

Следовательно,

откуда следует, что

00'1/,J

· При

=0.

действии nоверхностных сил связь напряжений и усилий можно запи­

сать (см.

[6] выражение (31')) - (S) crii1JV - Р; •

(71)

Рассмотрим возможные напряженные состояния. В этом случае

crufJv +Ба у!JV

=pJs>'

Оrкуда также следует, что

Бayijv =0. Вернемсi! к подынтеральному выражению уравнения деформации через персмещения

&iiOaii

(70). Выразим

( 1) и запишем

=~(иi,J +и 1 ,;~ 11 •

или

(72) Продифференцировав выражение (72), получим

25

Подставим в выражение (70) уравнение

(72). Тогда (73)

oU11011 = fu,ou 1ii• dS- fu,ooli.i d V, s

причем на поверхности

S(p),

,.

на которой заданы силы

oujjljv =о. и, следовательно, второй интеграл выражения

(73)

Iu oo u.;. .dV:: 0.

(74)

1

1'

Подынтегральное выражение первого интеграла выражения

(73)

может быть

записано как

или в векторной форме

f

~ U 1uUy jv

_", (S) =Uup.

(75)

где p~s) - силы, действующие по той части поверхности, ка которой заданы перемещени• (незаданные поверхностные силы). Подставив выражения

(74) и (75) в (73), nолучим, что (76)

Уравнение

(76)

записывает Прннцнп Каетильино. При возможных

uзА/енениях напряженного состоянWI тела вapuaцWI

U:ша

равна интегралу

по той части поверхности тела, на которой заданы пере.\/ещенWI от произ­ ведений во~\IОЖIIЫХ поверхностных

CWI на nepeA•eщeнWI.

В случае упруго-линейного тела нсnользу• уравнение

W_,=W И

(52), ПОЛ)'ЧIIМ,

ЧТО и_

26

... и.

[7]

персмещение не варьируется, то есть

(77) где подынтегральное выражение

(78) явш1етс1 дополнипwr•ной работой:

Прннцнп Каетнльяно: tt положении ра•ннесш дополниmел•нu работо стационарна

(79) Дополнительна~ работа но а случае

J

J

очень похожа на потенциальную энергию,

интеграл берем на той части поверхности, на которой заданы

персмещения и варьируетс1 а этом случае аоэможное папражеиное состоя­ ние.

Можно доказать, что принцип KacmuлЬJUfo

-

интегральная фор.wа 3anи­

cu уравнений сплошности. Часть с интегралом по поверхности не будем рассматривать, так как он объедиНiет граничные условия

бfWdV=O.

r Варьируем компоненты напр.11Жений, но так, чтобы они были ВОJ.wожнЫАСи, и так, чтобы они удометвор1V1и ypaгнeнUJIJif paвнOUCUJI без объемных сил. Составим некоторый функционал

J 1 =f(w +Л;(а,.j r где Л.;

-

+p.t;))dv,

множитель Лагранжа. Будем исnть услоВНI стационарности

(80)

(79)

этого функционала.

Этот функционал

27

Тогда условие стационарности этого функцианала имеет вид (Остро11JЗДСКо­ го)

(81) Это шесть уравнений.

С учетом выражения (см.

[7]

выражение

(86))

W=.!.{&}r{a}, 2

или, с учетом

(8)

заnишем подынтегральное выражение уравнения

(80)

Ф=.!.all&li +Л.,(оо" +оо,2 +оо\3 +pfa)+ ах,

2

дх2

дхэ

+А 2 (ОО21 +OOz2 + ОО2э +Рh.)+Аз(даз• +0032 + ООэз +рfэ} &,

&2

дхз

дх,

дхz

Приняв во внимание уравнения Остроградского

дхз

(81),

лолучим зависи­

иости для деформаций

(82)

и углов сдвига

28

(83)

Если вместо 2Л 1 nоставить и 1 , вместо 2Л 2 -. и 2 , а вместо 2Л. 1 - u3 , то nолучим зависимости Коши

( 1).

Если из этих шести уравнений исключить Л., то nолучим условие сnлошности (Сен-Венана) (см.

[7} выражение (54))

&;ц, +&j,,ilt -&jt.;. -&~.jt =0.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Метод Ритца Одним из nрямых методов решения вариационных задач является ме­ тод Ритца. Рассмотрим метод Ритца nрименительно к нахождению минимума

функцианала П

(49): П= fpj5udV + fp(sloudS- J{a}r{o&}dV. v st• v

(84)

Допустимыми функциями персмещений и 1 будуr такие, которые вме­ сте со своими nроизводными неnрерывны в замкнуrой области

V +S

и удов­

летворяют заданным геометрическим граничным условиям

(S)

иts(•l =и/ 1

•

Идея метода Ритца состоит том, что значения функцианала рассмат­

риваются не на проиэвольных допустимых функциях, а линейно зависящих то нескольких nараметров:

29

t

и; =и0 + 'L.a.,u~, n•l

nричем двойной индекс не означает суммирования. по i. Здесь un и и~ - из­ вестные функции (координатные) по которым можно разложить функцию;

а., -неизвестные nостоянные коэффициенты; значные функции. Функции nеремещення. А

u;

u0

u0 ,

и~ -непрерывные одно­

равны заданным функциям там, rде заданы

равны нулю в тех точках, в которых задано nеремеще-

ние.

В результате функции и; будут представп.ять возможное перемещеиие nри любых значениях постоянных

a.u.

и,А,П=П(а",), где П

- nолная энергия системы. оП=О,

ап =О.

да".

В результате nолучаем Зk констант, Зk уравнений и Зk неизвестных. Если снетема линейно

ynpyra, то

и

- квадратная функция от

а, nолуча­

ем Зk линейных алгебраических уравнений. Полученные уравнения всегда алrебранческие, но моrут быть иелинейиыми. Методом Ритца можно nолучить ряд последовательно все более точных

nриближений. Обычно для оценки точности nриближенного решении, полу­ ченного методом Ритца или другими прямыми методами, следующий nрием:

вычислив ~~~·) 11 и!•+l), сравнивают их между собой в нескольких точках рас­ сматриваемой области. Если в пределах требуемой точнОСТJt из значения

совпадают, то считают, что с требуемой точностью решением вариационной

30

задачи будет и!•!. Если же значения и!•! и и~•+l) в пределах заданной точно­ сти не совпадают, то вычисляют и~•+ 2) и сравнивают с и}•+l). Метод Бубнова-Галерюtна И.Г. Бубнов впервые в

1913

году изложил новый приближенныil метод

интегрирования дифференциальных уравнений теории упругости, который широко применялея затем Б.Г.Галеркиным для решения задач теории упру­

гости. Метод Бубнова-Галеркина, как общий приближенный метод интегри­ рования дифференциальных уравнений, не связан, вообще говоря, с каким­ либо вариационным принципом.

Применительно к задачам теории упругости

-

видоизменение метода

Ритца, позволяющее уменьшить объем вычислительных работ. Возьмем за основу выражение

оП= J(p.t;+a 9 .)и1 dV+ f(ayi1.-pis>~и 1 dS=0. у

~~

Задасмея персмещениями в том же виде, как в методе Ритца.

Так как вариация неизвестных постоянных произвольная, то, чтобы было равно нулю произведение надо, чтобы равнялись нулю коэффициенты ПрИ ПОСТОIIННЫХ.

оП= f(p.t; +а 9 ,1 ~и; dV +).(а 9 11.- P!s>~u; dS =О у

- соответственно,

'

(85)

'

Зk уравнений.

Чаще подразумевают, что nерсмещения задают так, чтобы и 1 удовлетворяли граничным условиям.

Если мы сможем задаться

u1 так,

чтобы они удовлетворяли и силовым

граничным условиям, то

J(p.t; +aii,J~u; dV =О

(86)

v

31

с граничными условиями

(71)

Мы должны найти перемещения, которые обращали бы дифференци­ альные уравнения равновесия

(2) в тождество р/;

+ C'Jij,j =о.

Дифференциальные уравнения равновесия

(2) кратко запишем так:

L(u;)=O.

(87)

Пусть точное решение

L(ii;};:O, а nриближенное решение

Константы оnределяем так, чтобы ошибка nри подстанооке прибли­ женного решения была минимальна. Константы ищем из условия

(86).

При решении задач теории упругости методом Бубнова-Галеркима не­ обходимо функции nриближенного решения выбирать так, чтобы заранее были удовлетворены все граничные условия (статические и геометрические).

Метод Треффца Метод Т реффца

- также

видоизменение метода Ритца nри решении за­

дач на основе вариационного принцила Лаrранжа. Состоит в следующем: за­ даемся (если удастся) перемещениями так, чтобы они были не только гео­ метрически возможными, но и были бы интегралами уравнен11я Ламе (удов­ летворяли дифференциальным уравнениям равновесия).

Тогда из выражении

(85)

f(pf. +a!i.j)>u;dv =О, 1' остается только

32

Смешанный метод (метод Канторовича} Прямой

метод

Л.В.Каwrаровичем

решения

(1933) и

вариационных

задач,

nредложенный

названный методом nриведения к обыкновенным

дифференциальным уравнениям, nJ)едставляет собой развитие метода Рища, когда функциоиал зависит от фуи!СЦИЙ нескольких nеременных.

Применяется для решения двух и трех мерных задач. Сушиость его со­ стоит в том, что искомые фун!СЦии представJIJIЮТ как nроизведение двух функций, каждая из которых зависит от меньшего числа nеременных, чем исходная функция.

Причем вид одной из этих функций выбираем заранее, вид другой

-

оnределяем в лроцессе решения задачи. Это позволяет лонизить nоридок nроизводной в уравнении.

ПозвОJUiет nерейти от отыскания функции двух лерсменных к отыска­ нию функции первой; от отысквиия функции трех лерсменных к отысканию

функции двух.

Соотношение между точным решением и решениями, получаемыми на основе прннципов

Лагранжа и Кастильнпо На основе nринцила Лаграюка, выбирая какие-то фун!СЦии, или их на­ бор, и так как набор функций ограниченный, то лолучаем меньшее число

степеней свободы системы, таким образом, уменьшаем и степени свободы конструкции. То сеть в энергетическом смысле решение получается жестче, чем точное.

33

Если брать интегральные характеристики, то приближенное решение более жестко интегрально.

При решении задачи о наrружении шарнирно опертой балки попере'i­ ноА силой в середине nролета (рис.

1), то nриближенное решение даст мень­

шее персмешение под силой, чем nри точном решении.

~-~---~~~ точное решение

Рис.l

При решении той же задачи при помощи вариационного nрииципа Кас­ тильяно, так

как не

выполняется

условие сnлошности,

система nолучает

большую свободу, чем в действительности. Точное решение находится между этим двуМJI nриближенными сnосо­ бами (Лаrранжа и Кастильяно). Иногда разница между полученными решениями невепика.

Простейwие эадачи Простейшнми назыВIIЮТСJI задачи, в которых наnряжения и деформа­ ции не зависlfТ или линейно завнсlfТ от координат.

В результате общим ДIUI этих задач ивпистся то, что условие слпошно­ сти ДIUI них тождественно удовлетворяете• независимо от коэффициентов, входАщих в фун ..ции иаnрuсения и деформации.

Пршtер

J. Дано: На рис. 2 110казано тело, поперечного сеченWI F, на­

груженное у~ьной объаtной си1ой

на нижнем-

c:r1 =c:r 0 - ql.

стояние те.1а.

34

q. НапрRЖения: на ирхнем конце- c:r 0 ;

Опре~ить напрRЖенно-дефор.шqюванное со-

Задача прJtМая, первоzо типа, так JCaX на а

поверхности заданЪI CWIЪI. Начнем решение за­

(~

t

дачи с отыскания наnря-.«ениА. Решим задачу nо­

{

~

•

луобратным методом, то есть частично nоnыта­

t t t

всюду нормальные наnряжения

=0;

а" =О;

а, =а 0

-qz,

(89)

~

есть

а,

(90)

t .. =O.

l

t t

а все касательные наnряжения равны нулю, то

t..,.=O; ty:=O;

z

qt

емся nредугадать решение. Предnоложим, что

а,

х

~ z Рнс:.2

Следующим шагом следует провести проверку, удовлетворяют ли реwени•

(89)

и

(90)

уравнениям Бельтрами­

Митчелла (условиям сплошности) и уравнениям равновесия. Уравнени• равновесия

(2)

да,+ дt..,. + дtzz +Р.'" &-

дt

ду

да

дz

~.

=0· '

дt

~+--у +~+pf. =0· ik ду дz У'

да .. + да."+ да, +Р.·" =О ik

где

pf. , pf1 , pf. -

ду

дz

~.

'

nроекции удельной объемной силы на оси х, у и

ветственно. Проецируя удельную объемную силу

q

z

соот­

на оси nолучаем

Pf. =0; Pfy =0; pf. =q. Подставив в выражения

(91)

(92)

(91) равенства (92), nолучим

35

~

дt

00 х ах

+ _.:2:. +

дtу.<

дсrу

ау

--=az + nl' дt

;&

t'J •

о·

•

дt)"Z

(93)

-ах+ - + -+ ау az n t'Jl 'у sO·•

дсrи + дсr::у +да= +Р.'" =О ах ау дz 'Jz • так как после nодстаковки третье уравнение

(93) будет иметь следующий вид

-q+q=O. При подстаковке в уравнения Беnьтрами-Митчелла

(90) nолучаем,

(46) решений (89) и

что

V~a +-l_дzS •-2рдfх ах

• (1+ J.1)ax 2

v2a

у

' v·a

__ ll_jдf.

+д/у+ дf:)

(I-J.1)\ ах

ау

дz •

+_,_a•s2 =-2 р дf,. __11_jдfy + дf. +~)(l+J.1)дy ау (I-J.1)\ay az ах • 2

дS

1 :v. +---•-"р~ = (1+J.1)дz 2 -

az

__..."_

(1-J.1)

{;v·az

_VJ_:.

дf +__!. дf) +-' 'т-

ау

•

V2tt2+_1_ д2S __ jдf., +д/2) (1+1-l)axlax2 \гх2 m-1 '

V2t2з +-'- д2S •-j д/2 + дfз) (1 + J.1) дх2дх)

\ дхз дхz •

1 дS {дf3 +-----·- +дft) 1

V 2 t31

(1 + J.1) дхздхl

ах.

дхз .

Таким образом, задача определена. Заnишем граничные условWI на:

•

боковой nоверхности

(94)

36

•

торцах.

Если внешние силы распределены

no торцам

равномерно, то полу­

чено то«~ное решение для всей области, охватываемой стержнем. Это решение можно использовать н для другого распределени" сил по тор­

цам, если использовать принцип Сен-Венана.

Будем следить, чтобы равнодействующие сил были равны внешней силе для основной части стержня (кроме примыкающей к торцу). Данный nринциn может быть использован и длll неравномерной нагрузки.

Подставив в закон Гука (3) решения

(89) и (90), найдем дефор:wации

-qz а -qz е =-~т; е".=-~т; е =т; а

.

уху

-qz

а

=О;

у,..

= О;

.

(95)

у." =О.

Обозначим проекции перемещений: на ось х как и , на ось у

- v, ось z

- w. Тогда ,~U~фференциапьные эависимости Коши ( 1) запишете" как (96)

Дла того чтобы деформации удовлетворми тождеству Сен-Веиана, не­ обходимо ВЫПОЛНеНИJI равенства

(1]

(97) Теперь будем искать nеремещение и, nарамельнос оси х. Дл" этоrо

необходимо знать nроизводиые вектора и по х, у и z (ди/дх,диjду,ди/дz). Из выражения

(96) с учетом (95) оnределим

ди =-~(а0 -qz). дх

Е

(98)

Дл11 определения производной вектора и по у используем равенство

(97), тц как деформации допжиы удовлетворять тождеству Сен-Венана. С учетом, что

i=x; j=x,y,z; k=y запишем:

37

~(: )=&хх,у +&_.,.ж -&)!