Основы инженерной деятельности

Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет

Основы инженерной деятельности Учебно-методическое пособие

Электронное издание

Красноярск СФУ 2016

УДК 62(07) ББК 30.1я73 О-753 Составители:

О-753

Эльберг Мария Сергеевна Черняк Михаил Юрьевич Черемискина Елена Владимировна Соколов Алексей Эдуардович

Основы инженерной деятельности : учебно-методическое пособие [Электронный ресурс] / сост. М.С. Эльберг, М.Ю. Черняк, Е.В. Черемискина, А.Э. Соколов. – Электрон. дан. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2016. – 143 с. – Систем. требования: PC не ниже класса Pentium I; 128 Mb RAM; Windows 98/XP/7/8/10; Adobe Reader V8.0 и выше. – Загл. с экрана. Учебно-методическое пособие направлено на изучение физических понятий, представлений, закономерности и явлений в контексте их использования при измерениях и в измерительной технике для обеспечения единства измерений. Охватывает круг вопросов, связанных с физическими понятиями, представлениями, закономерностями и явлениями в контексте их использования при измерениях и в измерительной технике для обеспечения единства измерений и метрологического обеспечения различных видов деятельности. Предназначено для бакалавров направления 27.03.05 «Инноватика». УДК ББК

62(07) 30.1я73

© Сибирский федеральный университет, 2016 Электронное учебное издание Подготовлено к публикации издательством Библиотечно-издательского комплекса Подписано в свет 05.08.2016. Заказ № 2166 Тиражируется на машиночитаемых носителях Библиотечно-издательский комплекс Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел. (391) 206-26-67; http://bik.sfu-kras.ru  E-mail: [email protected]

Оглавление Введение ................................................................................................................................................................ 4  1. Элементы современной физической картины мира ............................................................................... 7  1.1. Физические величины и их единицы ................................................................................................... 8  1.2. Теория отражения ................................................................................................................................ 10  2. Фундаментальные физические константы и их использование при выборе единиц физических величин ................................................................................................................................................................ 13  2.1. Константы макромира ......................................................................................................................... 13  2.2. Константы микромира ......................................................................................................................... 14  2.3. Константы, используемые при переходе от свойств микромира к свойствам макромира ............ 15  3. Фундаментальные физические законы, используемые в измерительной технике.................................... 17  3.1. Использование в измерительной технике законов механики .......................................................... 17  3.2. Использование в измерительной технике законов электромагнетизма .......................................... 23  3.3. Использование в измерительной технике тепловых законов........................................................... 29  4. Некоторые физические явления, используемые при высокоточных измерениях ..................................... 38  4.1. Классификация явлений ...................................................................................................................... 38  4.2. Электромагнитные явления................................................................................................................. 39  4.2.1. Высокотемпературная сверхпроводимость ............................................................................ 39  4.2.2. Интерференция электромагнитных волн ................................................................................ 43  4.2.3. Электромагнитная индукция .................................................................................................... 45  4.2.4. Эффект Фарадея ........................................................................................................................ 47  4.2.5. Эффекты Керра и Поккельса .................................................................................................... 48  4.2.6. Пьезоэффект .............................................................................................................................. 49  4.2.7. Эффект Доплера ........................................................................................................................ 49  4.3. Резонансные явления на квантовом уровне ....................................................................................... 51  4.3.1. Магнитный резонанс ................................................................................................................. 51  4.3.2. Ядерный гамма-резонанс .......................................................................................................... 54  4.3.3. Ядерный квадрупольный резонанс .......................................................................................... 56  5. Высокостабильные квантовые эффекты и их использование для воспроизведения единиц физических величин ........................................................................................................................................... 58  5.1. Квантовые переходы ............................................................................................................................ 58  5.2 Эффекты Холла и Дозефсона ............................................................................................................... 60  6. Оценка результатов измерений...................................................................................................................... 66  6.1. Правила построения гистограмм ........................................................................................................ 66  6.2. Критерии оценки грубых погрешностей ............................................................................................ 68  6.3. Выявление грубых погрешностей (промахов)................................................................................... 69  6.3.1. Q-тест ......................................................................................................................................... 70  6.3.2. Выявление промахов по критерию Стьюдента ...................................................................... 72  6.3.3. Критерий «трех сигм» ............................................................................................................... 73  6.3.4. Критерий Романовского ........................................................................................................... 73  6.3.5. Вариационный критерий Диксона ........................................................................................... 75  6.3.6. Критерии Шовине ..................................................................................................................... 75  6.3.7. Критерий Райта ......................................................................................................................... 76  6.4. Оценка анормальности результатов измерений ................................................................................ 76  6.5. Алгоритм обработки результатов прямых равноточных измерений............................................... 78  Библиографический список ............................................................................................................................... 82  Приложение 1 ...................................................................................................................................................... 84  Приложение 2 ...................................................................................................................................................... 85  Приложение 3 ...................................................................................................................................................... 86  Приложение 4 ...................................................................................................................................................... 88  Приложение 5 .....................................................................................................................................................100  Практическое занятие № 1 ....................................................................................................................100  Практическое занятие № 2 ....................................................................................................................103  Практическое занятие № 3 ....................................................................................................................109  Практическое занятие № 4 ....................................................................................................................116  Практическое занятие № 5 ....................................................................................................................123  Практическое занятие № 6 ....................................................................................................................127  Практическое занятие № 7 ....................................................................................................................131  Практическое занятие №8 .....................................................................................................................136 

3

Введение В ключевых документах, определяющих направление развития системы образования (Концепция развития образования РФ до 2020г., Закон «Об образовании» и др.) указано, что в основу содержания высшего образования

положена

профессиональных

ориентация

компетенций

на

формирование

студентов

в

общих

и

интеллектуальной,

информационной, коммуникативной и прочих сферах. В настоящее время в соответствии с требованиями Федерального Образовательного Стандарта подготовка бакалавров в направлении инновационных технологий должна быть реализована при помощи практико-ориентированного подхода при формировании не только профессиональных компетенций, но и для повышения

познавательной

активности

обучаемых.

Эффективность

развития познавательной деятельности студентов зависит от уровня и объема содержания базовых естественнонаучных дисциплин в контексте развития умений при проведении эксперимента. В связи с этим большое значение

приобретает

анализ

измерений

и

совершенствования

измерительного контроля на основных физических принципах. На сегодняшний день объективно осуществляется переход от традиционного подхода в образовании к компетентностному и деятельному подходам, в реализации которых выделяют четыре аспекта: ключевые компетентности, обобщенные предметные умения, прикладные предметные умения, навыки практической деятельности. Отсюда наибольшую значимость приобретает формирование

профессиональных

и

прикладных

компетенций

при

подготовке бакалавров по физико-техническим дисциплинам. Экспериментальный подход, при изучении естественно-научных дисциплин,

обеспечивает

бакалавров.

Однако

определенная

в

сложность

наибольший ходе

познавательный

постановки

получения 4

интерес

эксперимента

измерительной

у

возникает

информации

требуемого

качества.

Правильная

интерпретация

результатов

экспериментов обеспечивается высокой и гарантированной точностью результатов измерений. Поскольку современные средства оценивания и измерения физических величин, их количество и сложность обработки результатов эксперимента постоянно увеличивается (длина от 10–10 до 1017 м, температура от 0,5 до 106 К, электрическое сопротивление – от 10–6 до 1017 Ом, сила тока – от 10–16 до 104 А, мощность – от 10–15 до 109 Вт) то возникает необходимость в разработке практикума, направленного на изучение физических понятий, принципов, закономерностей и явлений в контексте

их

использования

при

физических

измерениях

и

в

измерительной технике. Основной способ получения опытной информации о параметрах, характеристиках или свойствах технического обеспечения - это их измерение. Наука и промышленность не могут существовать без измерений. Каждую секунду в мире производятся многие миллиарды измерительных операций,

результаты

которых

используются

для

обеспечения

надлежащего качества и технического уровня выпускаемой продукции, безопасной и безаварийной работы транспорта, для медицинских и экологических диагнозов и других важных целей. Практически нет ни одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались результаты измерений, испытаний и контроля. Для их получения задействованы миллионы человек и большие финансовые средства. Примерно 15 % общественного труда затрачивается на проведение измерений. По оценкам экспертов, от 3 до 6 % валового национального продукта передовых индустриальных стран тратится на измерения и связанные с ними операции. Диапазон измеряемых величин и их количество постоянно растут. С ростом диапазона измеряемых величин возрастает и сложность измерений. 5

Они, по сути дела, перестают быть одноактным действием и превращаются в

сложную

процедуру

подготовки

и

проведения

измерительного

эксперимента, обработки и интерпретации полученной информации. Поэтому следует говорить об измерительных технологиях, понимаемых как

последовательность

действий,

направленных

на

получение

измерительной информации требуемого качества. Другой причиной важности измерений является их значимость. Основа

любой

формы

управления,

анализа,

прогнозирования,

планирования, контроля или регулирования - достоверная исходная информация, которая может быть получена лишь путем измерения требуемых физических величин, параметров и показателей. И естественно, что только высокая и гарантированная точность результатов измерений обеспечивает правильность принимаемых решений. Современные наука и техника позволяют выполнять многочисленные и точные измерения, однако затраты на них становятся соизмеримыми с затратами на исполнительные операции [1]. Создание настоящего пособия является попыткой обеспечить связь естественно научных дисциплин с общетехническими и специальными дисциплинами учебного плана инженерного обучения, когда студент самостоятельно

сумеет

«добывать»

знания

из

разных

областей,

группировать и концентрировать их в контексте решаемой задачи, формирующую деятельности.

компетентность Обучение

в

студентов

инновационной в

технических

инженерной вузах

должно

способствовать формированию у них качеств, характеризующих инженера, готового к инновационной деятельности.

6

1. Элементы современной физической картины мира Корпускулярно-волновой дуализм (КВД) - специфическое качество микрообъектов, описываемое квантовой механикой и выражающееся в наличии у этих объектов одновременно противоположных корпускулярных (присущих частицам) и волновых свойств. Точная формулировка этого качества впервые была дана в уравнениях де Бройля. В КВД отображается связь макро- и микромира, особенности их единства. Одним из следствий специфики микропроцессов, выраженной в кванте действия и КВД, явилось открытие соотношения неопределенностей. В интерпретации КВД, в расшифровке механизма связи этих противоположных свойств квантовая механика столкнулась с большими трудностями. При механистическом рассмотрении противоположные, корпускулярные и волновые, свойства отрывались друг от друга, становились характеристикой различных объектов. В материалистическом понимании микрочастица не корпускула и не волна, а их синтез, а математическая формулировка этого единства дана в понятии волновой функции. Макро- и микромир - две специфические области объективной реальности, различающиеся уровнем структурной организации материи. Макромир - это обычный мир, в котором живет и действует человек (планеты, земные тела, кристаллы, большие молекулы и др.). Качественно иную область представляет микромир (атомы, ядра, элементарные частицы и др.), где размеры объектов менее миллиардных долей сантиметра. Каждый из этих миров характеризуется своеобразием строения материи, пространственно-временных и причинных отношений, закономерностей движения. Так, в макромире материальные объекты имеют четко выраженную прерывистую, корпускулярную или непрерывную, волновую природу и их движение подчиняется динамическим законам классической механики. 7

Для

явлений

микромира,

напротив,

характерна

тесная

связь

корпускулярных и волновых свойств, которая находит свое выражение в статистических законах квантовой механики. Своеобразная граница раздела макро- и микромира была установлена в связи с открытием постоянной Планка. Существенным аспектом этой константы явилась «конечность взаимодействия», означавшая, что любые взаимодействия между объектами в микромире (в том числе между прибором и микрочастицей) не могут быть меньше значения кванта действия. Макромир

характеризуется

типовыми

свойствами:

тепловыми,

электромагнитными и др. Физика - это наука о свойствах и законах движения материальных частиц,

вещества

и

поля,

о

строении

атомов,

о

гравитационных,

электрических, магнитных и т.п. взаимодействиях и о молекулярных процессах. Это учение о закономерностях движения тел (механика), о причинах звуковых (акустика), тепловых, электрических и магнитных явлений. В XIX в. было установлено, что механические, тепловые и электромагнитные процессы связаны взаимными переходами для сохранения количественной меры всех этих видов движения – энергии [10].

1.1. Физические величины и их единицы Общепринятые характеристики

или

(меры)

установленные

различных

свойств,

законодательным общих

в

путем

качественном

отношении для многих физических объектов (физических систем, их состояний и происходящих в них процессов), но в количественном отношении индивидуальных для каждого из них, называются физическими величинами (ФВ.). Это длина, время, температура, масса, давление, скорость и т.д. Если рассматривать Солнце и Мировой океан как физические объекты, то температура на поверхности Солнца и средняя температура на 8

поверхности Мирового Океана являются физической величиной, общей в качественном отношении для обоих объектов, но в количественном отношении разной (порядка 6000 К на поверхности Солнца и порядка 300 К на поверхности Мирового Океана). Числовые

значения

измеряемых

ФЗ

зависят

от

того,

какие

используются единицы измерений. Если допустить произвол в выборе единиц, то результаты измерений окажутся несопоставимы между собой, т.е. нарушится единство измерений. Чтобы этого не произошло, единицы измерений устанавливаются по определенным правилам и закрепляются законодательным путем. Совокупность единиц измерений основных и производных величин называется системой единиц. XI Генеральная конференция по мерам и весам в 1960 г. приняла Международную систему единиц ФВ, получившую у нас в стране сокращенное обозначение СИ. Основными единицами СИ являются: - метр (единица длины); - килограмм (единица массы); - секунда (единица времени); - ампер (единица силы электрического тока); - кельвин (единица термодинамической температуры); - кандела (единица силы света); - моль (единица количества вещества). Производные единицы СИ образуются из основных и дополнительных по определенным правилам [4], [5].

9

1.2. Теория отражения В результатах измерений всегда отражается реальный мир. В качестве объектов измерения могут выступать вещества (тела и среды), энергия и информация, циркулирующие в природе, технологических процессах, машинах и системах. В общем случае объекты измерений, например, тела, характеризуются множеством независимых и взаимосвязанных параметров. К таким параметрам можно отнести геометрические размеры, массу, температуру и т.д. При любом измерении всегда измерительная процедура состоит в сравнении неизвестного размера с известным, информация о котором заложена в мере данной физической величины заданного размера. Теория измерительных приборов, главным содержанием которой является учение о точности, причинах возникновения ошибок и методах их уменьшения, базируется на ряде физических принципов, которые составляют аксиоматику измерительной техники. Эти аксиомы (или принципы) определяют

принципиальные

или

практические

ограничения

на

достижимые точности. Принципиальные

ограничения

обусловлены

дискретностью

измеряемых величин (например, нельзя измерить заряд, меньший заряда электрона) или флюктуациями, определяемыми дискретностью вещества и энергии. На квантово-механическом уровне предельные точности определяются принципом неопределенности Гейзенберга, а на молекулярном уровне законами термодинамики. Практические ограничения вызываются несовершенством технологий производства

средств

измерений

(СИ),

технологией

измерения,

нестабильностью материалов, из которых сделаны приборы, влиянием внешних и внутренних возмущений на приборы и т.д.

10

Принцип неопределенности Гейзенберга заключается в том, что невозможно на квантомеханическом уровне одновременно точно измерить координаты (х, у, z) и импульсы (Рx, Рy, Pz) частицы. Принцип

неопределенности

Найквиста

может

быть

описан

неравенством, представляющим собой ограничение, накладываемое на точность измерения на молекулярном уровне: P·t > Wш, где P·t - энергия измеряемого сигнала; Wш - энергия шума; t - время измерения. Принцип взаимодействия прибора и объекта измерения заключается в том, что при этом взаимодействии при получении информации от объекта сам объект затрачивает энергию. В ряде случаев прибор оказывает влияние на объект, меняя его характеристики. Все это приводит к изменению измеряемой величины и возникновению ошибок. Принцип несовершенства полезных сигналов состоит в том, что воспроизводимые прибором измеряемые сигналы, как правило, засорены помехами, что является причиной возникновения ошибок. Принцип технологического несовершенства приборов состоит в том, что невозможно создать измерительный прибор, характеристики которого точно соответствовали бы проектным характеристикам - вследствие несовершенства технологического процесса изготовления прибора и его элементов. совокупностью

Технологическое параметров

и

несовершенство характеристик

таких,

характеризуется как:

неточность

изготовления деталей и элементов; настройки и регулировки прибора; выдерживания режимов тепловой обработки (закалки, отжига и т.д.); обработки поверхностей и т.д. Принцип воздействия внешних возмущений на прибор заключается в том, что сигналы в приборах подвергаются влиянию внешних возмущений (электромагнитных и гравитационных полей, полей ускорений и вибраций и 11

др.), приводящему к появлению ошибок при измерениях. Возмущающие факторы, взаимодействуя с сигналами в приборе, изменяют их, что и приводит к ошибкам. Принцип несовершенства технологии измерения заключается в том, что любое измерение даже при идеальном приборе не может быть абсолютно точным, поскольку сама технология измерения несовершенна (неточность снятия показаний и установки прибора, конечное время произведения измерения, непостоянство внешних условий и т.д.). Вышеприведенные принципы указывают на наличие предельных ограничений, накладываемых природой и уровнем развития техники на точность измерений, и показывают принципиальную невозможность полного устранения неопределенности результатов измерений [7].

12

2. Фундаментальные физические константы и их использование при выборе единиц физических величин 2.1. Константы макромира Сведения о некоторых фундаментальных константах макромира приведены в таблица 1. Таблица 1. Фундаментальные константы макромира Константа Обозначения

Значение

Относительное стандартное отклонение х10-6

Длина земного меридиана на уровне моря

L

40007817,6м

Период обращения Земли Период обращения Земли Ускорение при свободном Скорость света в вакууме

Тсут

86400 с

0,1

Тгод

0,0001

g

31556925,9747 с 9,8 м/с2

с

299792458 м/с

Примечание

По результатам измерений 1964...1967 гг. Среднее значение суток в 1900 году

Приписанное значение

Ряд констант макромира использовался в метрологии. Так, одна сорокамиллионная часть окружности земного меридиана применялась в качестве единицы длины (метра). Период обращения Земли вокруг оси соответствует

суткам,

а

период

обращения

Земли

вокруг

Солнца

соответствует году. Скорость света в вакууме является самой большой в мире скоростью [4], [5].

13

2.2. Константы микромира В таблице 2 приведены основные сведения о фундаментальных константах микромира. Таблица 2. Фундаментальные константы микромира Константы

Обозначен ие

Значение

Относительное, стандартное отклонение х10-6

Масса электрона

me

9,1093897x10-31 кг

0,59

Заряд электрона

e

1,60217733х10-19 кл

0,30

Гиромагнитное отношение электрона Гиромагнитное отношение протона Квант магнитного потока

γе

1,7608144x1011 с-1Тл-1

0,30

γр

2,67515255х108 с-1Тл-1

0,30

ħ/2e 2,06783461 х10-15 Вб

0,30

Постоянная фонКлицинга

ħ/e2 25812,8056 Ом

0,045

Постоянная тонкой структуры Гравитационная постоянная

а

7,2973508 ·10-3

0,045

G

6,67259x10 -11 м3 кг-1 с2

128

Примечание

Определен точнее, чем e и ħ Определена точнее, чем e и ħ

Электрон принадлежит к числу элементарных частиц и несет отрицательный заряд. Удельный заряд электрона (т.е. отношение его заряда к массе) был впервые измерен Томсоном в 1897 г. Уточненное значение удельного заряда электрона, установленное с учетом результатов, полученных разными методами, составляет e/m =1,76·1011, где m - масса покоя электрона. Заряд электрона был определен с большой точностью Милликеном в 1909 г. Современное его значение составляет: е = 1,60217733·10-19 Кл. Масса покоя электрона m= 0.91093897·10-27 г. 14

Отношение

магнитного

момента

Рm

элементарной

частицы

к

ее

механическому моменту М называется гиромагнитным отношением. Для электрона оно равно γe = Pm/М = - e/2m = 1.7608144·1011c -1 Tл-1 Квант магнитного потока ħ/2е = 2,06783461 ·10 -15 Bδ.[2]

2.3. Константы, используемые при переходе от свойств микромира к свойствам макромира Планк сделал предположение о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), пропорциональных частоте излучения: s = ħω. Коэффициент пропорциональности ħ получил впоследствии название постоянной Планка. Определенное из опыта значение этой постоянной равно ħ = 1,0545915·10-34 Дж·с. Постоянной Авогадро называется число частиц, содержащихся в 1 моле вещества. Опытным путем найдено, что эта постоянная равна Na = 6,0221367·1023 моль-1. Уравнение состояния для массы m идеального газа PV =

m RT , где M

V - объем газа; P - давление газа; M -молярная масса газа; R - молярная газовая постоянная (R = 8,31 Дж/(моль·К); Т - температура. Если умножить и разделить правую часть этого уравнения на постоянную Авогадро Nа: PV =

NRT Na 15

то N = k=

m N a - число молекул, содержащихся в массе m газа, а величина M

R 8,31 Дж /( моль * К ) = = 1,38 *10 − 23 Дж / К называется 23 −1 Na 6,02 *10 моль

постоянной

Больцмана. Она определяет «долю» газовой постоянной, приходящуюся на одну молекулу. Гравитационная постоянная G входит в качестве коэффициента пропорциональности в закон всемирного тяготения, согласно которому две материальные точки с массами m1 и m2 притягивают друг друга с силой F, пропорциональной массам этих точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними: F = G

m1m2 [5], [7] r2

Вопросы для контроля 1.

Дайте определение материи.

2.

Перечислите основные формы существования материи.

3.

Дайте

определения

понятиям:

время,

пространство

движение,

взаимодействие, единство и многообразие мира. 4.

Поясните

принципиальную

невозможность

полного

устранения

неопределенности результатов измерений. 5.

Поясните сущность корпускулярно-волнового дуализма.

6.

Поясните понятия макро- и микромир.

7.

Дайте определение физической величины.

8.

Перечислите основные единицы СИ.

9.

Перечислите основные константы микромира.

10.

Перечислите константы, используемые при переходе от свойств

микромира к свойствам макромира.

16

3. Фундаментальные физические законы, используемые в измерительной технике 3.1. Использование в измерительной технике законов механики В таблице 4 приведены основные сведения о фундаментальных физических законах, используемых в измерительной технике. Взвешивание (определение массы тела) основано на использовании закона всемирного тяготения, согласно которому гравитационное поле Земли притягивает массу силой, пропорциональной этой массе. При этом сила притяжения может сравниваться с известной по величине силой, создаваемой различными способами, а именно: а)

в качестве уравновешивающей силы используется груз известной

массы; (этот метод является классическим); б)

уравновешивающее усилие возникает при растяжении слабой

пружины (пружинные весы); в)

уравновешивающее

усилие

возникает

при

деформации

достаточно жестких пружинных элементов; такие деформации измеряются преимущественно

при

помощи

тензорезисторных

датчиков

(электромеханические весы); г)

уравновешивающее усилие создается электродинамически при

помощи соленоидной обмотки, находящейся в постоянном магнитном поле; при этом ток, протекающий по обмотке, является мерой подлежащего взвешиванию груза; а также другими. В общем случае наибольшая точность взвешивания достигается наиболее просто с помощью способа а).

17

Таблица

3.

Типовые

физические

законы,

используемые

в

измерительной технике.   

Название закона 

1 I Закон Ньютона

II Закон Ньютона

Типовые средства  измерения 

Формулировка закона 

Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние Скорость изменения импульса частицы равна действующей на частицу силе F:

  

Весы, акселерометры, деселерометры.

2 

Закон Архимеда

3 

Закон Паскаля

Поддерживающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, равна весу жидкости в объеме, занимаемом телом, направлена вертикально вверх и приложена в центре тяжести этого объема: Давление во всех точках жидкости одинаково

4 

Закон Кулона

Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Закон Ампера

Сила, действующая на элемент тока dI в магнитном поле с индукцией В,

Ареометры; уровнемеры; измерители удельного веса

Жидкостные манометры, барометры Электрометры

5 

6 

Электромеханические амперметры, вольтметры магнитоэлектрической системы

В основе всех методов измерений параметров линейного движения твердого тела лежит измерение силы инерции Fи пропорциональной массе m и ускорению, α тела: Fи = mα. С помощью инерциальных СИ измеряется линейное ускорение твердого тела и другие, связанные с ускорением параметры линейного движения. В подобных СИ сила инерции преобразуется в линейное перемещение чувствительного элемента (ЧЭ). 18

Схема прибора инерционного действия приведена на рисунке 1.

Рисунок 1. Схема прибора инерционного действия. Чувствительный элемент 4 прибора - твердое тело массой m с помощью упругого элемента пружины 2 с жесткостью с подвешен в корпусе 1 прибора, укрепленного на движущемся

теле.

Успокоение

ЧЭ

перемещение

х

чувствительного

производится элемента

успокоителем

относительно

3,

корпуса

m c

определяется по шкале 5. В установившемся положении x = − a , где а составляющая ускорения по направлению к оси Ох. Широкое применение нашли также маятниковые СИ параметров линейного движения, в которых сила инерции преобразуется в угловое перемещение ЧЭ. На рисунке 2 ЧЭ представлен в виде математического маятника с приведенной массой m и плечом r, обладающего свободой поворота относительно оси подвеса УУ. Противодействующий момент создается пружиной 1, успокоение осуществляется успокоителем (на рисунке 1 не показан), угол поворота, а определяется по шкале

Рисунок 2. Чувствительный элемент. 19

В установившемся режиме α =−

mr Iϖ 02α

a

где а-составляющая ускорения; I –момент инерции ЧЭ; ωоα- частота собственных колебаний. На законе Паскаля основано действие ряда манометров и барометров. Манометры - СИ давления, и особое применение получили жидкостные манометры. Эти приборы имеют два сообщающихся сосуда, заполненных жидкостью. На поверхность жидкости в одном сосуде действует измеряемое давление, что изменяет уровень жидкости в другом (рисунок 3).

Рисунок 3. Жидкостной манометр Разность давлений ∆h пропорциональна разности давления (Р1 –Р2), действующих в одном и другом сосуде: ∆h = (P1 –Р2) /р g , где р - плотность жидкости; g -ускорение силы тяжести. С помощью этого дифференциального манометра измеряется разность давлений, но, если во втором сосуде над жидкостью создан вакуум, то манометр измеряет абсолютное давление Ра. Если измеряемое абсолютное 20

давление

Ра

меньше

атмосферного,

то

разность

уровней

будет

пропорциональна вакууму. Измерение удельного веса твердых тел может быть проведено на основании закона Архимеда. Так, для определения удельного веса γ однородного тела неправильной формы, объем которого трудно определить при помощи измерения размеров тела, можно поступить следующим образом. Тело дважды взвешивают на весах: в воздухе и в жидкости, удельный вес γ0 которой известен. Пусть первое взвешивание дает показание Р1, второе - Р. Тогда, согласно закону Архимеда, разность Р - Р1 равна весу жидкости в объеме, равном объему V тела. Объем тела равен V =

P − P1

γ0

С другой стороны, объем тела равен V= P /γ, где γ -искомый удельный вес тела. Отсюда удельный вес γ = γ 0

P P − P1

Также закон Архимеда дает возможность измерить удельный вес жидкости. Ареометр представляет собой стеклянный сосуд с грузиком, снабженный длинным отростком, на котором нанесена шкала. При плавании на поверхности жидкости ареометр погружается на большую или на меньшую глубину в зависимости от удельного веса жидкости. Чем больше удельный вес жидкости, тем меньше погружается ареометр. Шкала ареометра отградуирована в единицах удельного веса жидкости (отметки на шкале растут сверху вниз). Для измерения параметров движения используются также методы, основанные на применении эффектов Доплера, Моссбауэра и др. К этой группе относится широкий класс методов, основанных на измерении собственно вектора скорости и его составляющих. Это - методы меток потока, ультразвуковой, индукционный, тепловой интерферометрический др. В качестве примера рассмотрим термоанемометрический метод измерения 21

скорости воздуха. Этот метод является распространенной разновидностью теплового метода, основанного на сносе тепла движущимся потоком. При помещении в движущуюся жидкую или газовую среду нагреваемого током терморезистора снос тепла потоком является основным фактором, влияющим на теплоотдачу терморезистора. Уравнение теплового баланса терморезистора имеет вид I2R = ξ(Qn- Qc) S, где ξ - коэффициент теплоотдачи, зависящий от скорости движения среды; Qn

и

Qc

-

соответственно

температура

терморезистора

(преобразователя) и среды; S - площадь поверхности терморезистора. В случае, если терморезистор имеет форму цилиндра и расположен поперек потока так, что угол между осью цилиндра и вектором скорости потока равен 90°, то коэффициенты теплоотдачи для газов и жидкости определяются по формулам cλ cλ ⎛ Vd ⎞ ξ г = ( Re ) n = ⎜ ⎟ d d ⎝ v ⎠

n

ξж =

cλ ( Re ) n Pг0, 4 d

где V и υ- соответственно скорость и теплопроводность среды, d - диаметр терморезистора; c и n - коэффициенты, зависящие от числа Рейнольдса Re = Vd/υ; P = υ/d - число Прандтля, зависящее от кинематической вязкости и теплопроводности среды. Подобный преобразователь (терморезистор) обычно включается в мостовую измерительную схему. Используя вышеприведённые выражения, можно измерить скорость V[8], [9].

22

3.2. Использование в измерительной технике законов электромагнетизма На явлении электрического отталкивания заряженных тел устроено устройство электроскопа - прибора для обнаружения электрических зарядов. Электроскоп состоит из металлического стержня, к которому привешен тонкий алюминиевый или бумажный листочек. Стрежень укреплен при помощи эбонитовой или янтарной пробки внутри стеклянной банки, предохраняющей листок от движения воздуха. Электрометр

представляет

собой

электроскоп,

имеющий

металлический корпус. Если соединить корпус этого прибора с землей, после чего коснуться его стрежня каким-нибудь заряженным телом, то при этом часть заряда перейдет на стержень и листочки электрометра разойдутся на некоторый угол. Такой прибор измеряет разность потенциалов между проводником и землей. Осциллографом называется прибор, предназначенный для наблюдения, регистрации и измерения параметров исследуемого сигнала, как правило, напряжения,

зависящего

от

времени.

Светолучевые

осциллографы

используют электромеханическое отклонение светового луча под действием исследуемого напряжения. Электронно-лучевые

осциллографы

(ЭЛО)

строятся

на

основе

электронно-лучевых трубок. Отклонение электронного луча осуществляется непосредственно электрическим сигналом.

Рисунок 4. Электронно-лучевая трубка 23

Основным узлом ЭЛО является электронно-лучевая трубка (ЭЛТ), представляющая собой стеклянную вакуумированную колбу (рисунок 4), внутри которой имеется оксидный катод 1 с подогревателем 2, модулятор 3, аноды 4 и система отклоняющих пластин 5 и 6. Часть ЭЛТ, включающая в себя катод, модулятор и аноды, называется электронной пушкой. Если

к

отклоняющим

пластинам

приложить

напряжение,

то

электронный луч отклонится, как показано на рисунок 5. К

вертикально

исследуемое

отклоняющим

напряжение

Uy,

а

к

пластинам

обычно

горизонтально

подводится

отклоняющим

-

развертывающее напряжение (в данном случае линейно изменяющееся периодическое с периодом Тр).

Рисунок 5. Получение изображения на экране ЭЛТ.

24

Приборы магнитоэлектрической системы (амперметры, вольтметры и омметры) годны для использования в цепях постоянного тока, а при применении детекторов - и в целях переменного тока. Принцип действия измерительного механизма магнитоэлектрической системы использует эффект взаимодействия поля постоянного магнита с катушкой (рамкой), по которой протекает ток. На рисунке 6 показана типовая конструкция (с подвижной катушкой).

Рисунок 6. Типовая конструкция с подвижной катушкой. Постоянный магнит 1, магнитопровод с полюсными наконечниками 2 и неподвижный сердечник 3 составляют магнитную систему механизма. В зазоре между полюсными наконечниками и сердечником создается сильное равномерное радиальное магнитное поле, в котором находится подвижная прямоугольная катушка (рамка) 4, намотанная медным или алюминиевым проводом на каркасе. Катушка закреплена между полуосями 5 и 6. Спиральные

пружины

7

и

8

предназначены

для

создания

противодействующего момента и, одновременно, для подачи измеряемого тока. Рамка жестко соединена со стрелкой 9. Для балансировки подвижной части имеются передвижные грузики на усиках 10. 25

Уравнение преобразования: α = I(BnS / W), где В-магнитнаяиндукция в зазоре; α-угол поворота подвижной части; S - площадь рамки; n - число витков катушки; W - удельный противодействующий момент. Приборы

электромагнитной,

электродинамической,

ферродинамической и электростатической систем широко используются в качестве

типовых

электромеханических

амперметров,

вольтметров,

ваттметров и частотомеров. Принцип

действия

электродинамических

приборов

основан

на

взаимодействии магнитных полей двух катушек, по которым протекает ток. Устройство подобного измерительного механизма показано на рисунке 7.

Рисунок 7. Электромеханический преобразователь электродинамической системы. Внутри неподвижной катушки 1 может вращаться подвижная катушка 2, ток к которой подается через пружинки. Поворот катушки осуществляется вращающим моментом, вызванным взаимодействием магнитных полей катушек 1 и 2. Противодействующий 26

момент создается специальными пружинками (не указаны на рисунке 6). Уравнение преобразования это механизма: α=

1 dM × I1 × I 2 W dα

где W - удельный противодействующий момент; α - угол поворота подвижной части; M - взаимная индуктивность катушек. Данный механизм может быть использован для измерения постоянных и переменных токов, напряжений п мощности. Ферродинамические измерительные механизмы, по существу, являются разновидностью электродинамических приборов, от которых они отличаются только по конструкции, поскольку катушка имеет магнитомягкий сердечник (магнитопровод), между полосками которого размещается подвижная катушка. Наличие сердечника значительно увеличивает магнитное поле неподвижной катушки, а, следовательно, и чувствительность. В

электростатических

приборах

осуществляется

принцип

взаимодействия электрически заряженных проводников. Одна из распространенных конструкций подробного измерительного механизма приведена на рисунок 8.

Рисунок 8. Преобразователь электростатической системы. 27

Подвижная алюминиевая пластина 1, закрепленная вместе со стрелкой на оси 3, может перемещаться, взаимодействуя с двумя электрически соединенными

неподвижными

пластинами

2.

Входные

зажимы

(не

показаны), к которым подводится измеряемое напряжение, соединены с подвижной и неподвижными пластинами. Под

действием

электростатических

сил

подвижная

пластина

втягивается в пространство между неподвижным пластинами. Движение прекращается, когда противодействующий момент закрученной пластины становится равным вращающему моменту. Уравнение преобразования подобного механизма имеет вид α=

1 dC 2 × U 2W dα

где U - измеряемое напряжение; W - удельный противодействующий момент; C - емкость между пластинами. Подобные преобразователи используются для разработки вольтметров постоянного и переменного токов. Принцип действия приборов электромагнитной системы основан на взаимодействии магнитного поля, создаваемого током в неподвижной катушке с подвижным ферромагнитным сердечником. Одна из наиболее распространенных конструкций представлена на рисунок 9.

28

Рисунок 9. Преобразователь электромагнитной системы: I - катушка, 2 - сердечник, 3 - спиральная пружина, создающая противодействующий момент, 4 - воздушный успокоитель Под действием магнитного поля сердечник втягивается внутрь катушки. Уравнение преобразования: α=

1 dL 2 × I 2W dα

где L -индуктивность катушки; I - ток. [2, 8, 9]

3.3. Использование в измерительной технике тепловых законов Газовые термометры бывают трех типов: постоянного объема, постоянного давления и постоянной температуры. Обычно применяют 29

газовый термометр постоянного объема (рисунок 10), в котором изменение температуры газа пропорционально изменению давления.

Рисунок 10. Газовый термометр Газовый термометр состоит из баллона 1 и соединительной трубки 2, заполненных через вентиль 3 водородом, гелием или азотом (для высоких температур).

Соединительная

трубка

2

подсоединена

к

трубке

4

двухтрубного манометра, у которого трубку 5 можно перемещать вверх или вниз благодаря гибкому соединительному шлангу 6. При изменении температуры объем системы, заполненной газом. изменяется, и для приведения его к первоначальному значению трубку 5 вертикально перемещают до тех пор, пока уровень ртути в трубке 4 не совпадет с осью х х. При этом столб ртути в трубке 5, отсчитанный от уровня х-х, будет соответствовать

давлению

газа

Р

в

баллоне.

Обычно

измеряемую

температуру Т определяют относительно некоторой точки отсчета, например, по отношению к температуре тройной точки воды Т0, при которой давление газа в баллоне будет Р0. Искомая температура Т = Т0Р/Р0. Газовые термометры используют в интервале 2... 1300 К. Это достаточно точные приборы. Термошумовой метод можно использовать для измерения температур в диапазоне от 0,001 до 2000 … 2500 К. Выходным информативным сигналом 30

подобного резисторе

измерительного сопротивление

преобразователя которого

сильно

является зависит

напряжение от

на

температуры

(терморезистор). Наибольшее распространение получили термошумовые термометры, основанные на сравнении средних квадратических значений напряжений двух резисторов, один из которых находится при известной температуре, а другой - при измеряемой. Принцип действия манометрических термометров основан на зависимости давления рабочего (термометрического) вещества в замкнутом объеме (термосистеме) от температуры. В соответствии с агрегатным состоянием рабочего вещества в термосистеме манометрические термометры подразделяют на газовые, жидкостные и парожидкостные. Подобные приборы могут быть использованы для измерения температур от -150 до 600° С. Диапазон измерения определяется наполнителем термосистемы. В жидкостных манометрических термометрах в качестве термометрического вещества используется ртуть под давлением 10 - 15 МПа при комнатной температуре или толуол, ксилол, силиконовые жидкости и т.п. при давлении 0,5 - 5 МПа. При ртутном заполнении диапазон измерений лежит в пределах 30...600° С. Ввиду

того,

что

жидкость

практически

не

сжимаема,

объем

термобаллона в жидкостных манометрических термометрах должен быть согласован со свойствами используемой манометрической пружины.

31

Рисунок 11. Монометрический термометр Термосистема термометра (Рисунок 11) состоит из термобаллона 1, капилляра 2 и манометрической пружины 3. Чувствительный элемент термометра (термобаллон) погружается в объект измерения, и жидкость в термобаллоне достигает температуры измеряемой среды. При изменении температуры рабочей жидкости изменяется давление, которое через капиллярную трубку передается на пружинный манометр, являющийся измерительным прибором подобного термометра. При измерении температуры в диапазоне от начальной tn до конечной tk из термобаллона объемом Vт вытесняется жидкость объемом ∆Vт: ΔVT − VT ( β ж − 3α )(t k − t n )

где βж- температурный коэффициент объемного расширения жидкости; α - коэффициент линейного расширения материала термобаллона. Этот вытесненный объем, вследствие охлаждения от tк до температуры окружающего воздуха tв дойдет до значения ΔVT1 , при котором давление в термосистеме изменится на ∆Р, а объем манометрической пружины изменится на ∆Vм, причем ∆Vм= ΔVT1 . Окончательный объем термобаллона: 32

ΔVM (1 + β ж (t k − t н )) ( β ж − 3α )(t k − t н )

VT =

где ∆Vм – оъбем манометрической пружины. Из этого выражения следует, что чем больше диапазон измерения термометра, тем объем термобаллона меньше. В

настоящее

время

широко

используются

термоэлектрические

термометры, а измерение ими температуры основано на использовании открытого

в

1821г.

Зеебеком

термоэлектрического

эффекта.

Термоэлектрический преобразователь представляет собой цепь, состоящую из

двух

или

нескольких

соединенных

между

собой

разнородных

проводников. На рисунке 12 представлена термоэлектрическая цепь, состоящая из двух проводников (термоэлектродов) А и В. Места соединения термоэлектродов 1 и 2 называются спаями. Зеебеком было установлено, что если температуры спаев t и t0 не равны, то в замкнутой цепи будет протекать электрический ток.

Рисунок 12. Термоэлектрический преобразователь При размыкании такой цепи на ее концах может быть измерена термоэлектродвижущая сила, которая измеряется вольтметром, шкала которого отградуирована в единицах температуры.

33

В зависимости от измеряемого диапазона температур используют термопары из различных металлов, например медь-константан (-250 ºС ≤ t ≤ 400 ºС), хромель-алюмель (-50 ºС ≤ t ≤ 1000 ºС), хромель- алюмель (-180 ºС ≤ t ≤ 1300 ºС). Термопреобразователи сопротивления (терморезистры) используют свойство металлов и полупроводников изменять свое электрическое сопротивление с изменением температуры. Подобные преобразователи позволяют измерять температуру в пределах от -260 до +1100 ºС. Изменение сопротивления материала с изменением температуры от 0 до 100 ºС характеризуется положительный

коэффициентом

α=(R100-R0)/R0.

температурный

коэффициент

Металлы

имеют

сопротивления,

полупроводники - отрицательный. Пирометрические

методы

измерений

температуры

охватывают

широкий диапазон температур от 173 до 6000К, включающий в себя низкие, средние и высокие температуры. Эти методы основаны на определении параметров теплового излучения объекта бесконтактным способом, без нарушения его температурного поля. Тепловое излучение представляет собой электромагнитное излучение, возбуждаемое тепловым движением атомов и молекул в твердых, жидких и газообразных веществах. При температурах выше 4000К излучение вызывается процессами диссоциации и ионизации. Теория пирометрических методов измерений температуры основана на законах, устанавливающих связь между излучением абсолютно черного тела (АЧТ) и его температурой. Закон Планка устанавливает связь между абсолютной температурой и спектральным распределением потока излучения (светимости) АЧТ. M λ0T = C1λ−5 (e c2 / λT − 1) −1

Где M λ0T - спектральная плотность потока излучения АЧТ С1 = 2πс2ħ = 3,741832*10-16 Вт*м2, с2 = сħ/К=0,01438786 мК соответственно первая и вторая постоянные излучения, 34

С- скорость света, ħ- постоянная Планка; К-постоянная Больцмана. При малых значениях λТ можно вместо вышеприведенного выражения пользоваться законом Вина: M λ0T = C1λ−5 e − c2 / λT

Полная энергия, излучаемая с единицы поверхности АЧТ в единицу времени, определяется законом Стефана-Больцмана: M T0 = σТ 4

Где σ=5,67032·10-8 Вт/(м2К4)- постоянная Стефана-Больцмана. С

увеличением

температуры

максимумы

кривых

M T0 = f (λ , T ) сдвигаются в ультрафиолетовую область спектра, т.е. в сторону

более коротких волн. Сдвиг максимума излучения подчиняется закону смещения Вина, установленному в виде двух зависимостей: λmax =

A ; M λ0Tmax = b1T 5 T

Где А=28978·10-7 м·К; b1=12816·10-9 Вт/(м3К5) Разработка чувствительных приёмников инфракрасного излучения позволяет применить пирометрические методы для измерения не только высоких, но и низких температур. Приборы для измерения температуры объектов по их тепловому электромагнитному излучению называют пирометрами. В зависимости от входной величины пирометры разделяют на пирометры полного излучения (радиационные пирометры), воспринимающие полную излучения

(интегральную)

энергию

излучения;

(яркостные

пирометры),

пирометры

основанные

на

частичного

зависимости

от

температруы энергитической яркости излучения в ограниченном диапазоне длин волн, и пирометры спектрального отношения (цветовые пирометры), в которых используется зависимость от температуры отношения спектральных плотностей энергетических яркостей на двух или нескольких длинах волн. 35

Радиационные пирометры основаны на зависимости от температуры интегральной мощности излучения АЧТ во всме диапазоне длин волн, определяемой законом Стефана-Больцмана: M T0 = σТ 4 . Для реального тела эта зависимость определяется выражением M T = εσТ 4 Где

0,04≤ε≤1

(коэффициент излучательной

-

коэффициент

теплового

излучения

способности), зависящий от материала

излучателя и от состояния и температуры его поверхности. Например, для стальных изделий в зависимости от появления на ни окалины значение ε может изменяться от 0,1 до 0,9. Пирометры полного излучения применяются для измерения в диапазоне от -50 до 3500ºС. Наиболее целесообразно использовать пирометры для измерения температуры объектов, излучательные свойства которых мало отличаются от свойств АЧТ. Этому условию удовлетворяют большинство закрытых печей и топок с малым отверстием, кожа человека, стекло, резина и др. Пирометры

частичного

излучения

основаны

на

использовании

зависимости от температуры мощности излучения в ограниченном диапазоне длин волн. Рабочий диапазон измерений пирометров от -100 до +6000 ºС. Цветовые

пирометры

показывают

так

называемую

цветовую

температуру тела Тц-условную температуру, при которой АЧТ имеет такое же относительное спектральное распределение энергетической яркости, что и исследуемое реальное тело с действительной температурой Т[8] [6]. Вопросы для контроля: 1.

Приведите примеры использования законов механики в измерительной

технике. 2.

Поясните сущность закона Паскаля и его использование для измерения

давления. 3.

Поясните сущность закона Архимеда и его использование для

измерения типовых физических величин. 36

4.

Поясните сущность законов электромагнетизма и их использование для

измерения типовых физических величин. 5.

Приведите примеры использования в измерительной технике тепловых

законов.

37

4. Некоторые физические явления, используемые при высокоточных измерениях 4.1. Классификация явлений На

рисунке

13

приведена

классификация

основных

явлений,

используемых при высокоточных измерениях. Физические явления

Резонансные явления на квантовом уровне

Электромагнитные

Эффекты Керра и Поккельса

Магнитный резонанс

Высокотемпературная сверхпроводимость

Ядерный гаммарезонанс

Электромагнитная индукция

Ядерный квадрупольный

Пьезоэффект

Интерференция электромагнитных волн Эффект Фарадея

Эффект Доплера

Рисунок 13. Классификация основных явлений, используемых при высокоточных измерениях [2] 38

4.2. Электромагнитные явления 4.2.1. Высокотемпературная сверхпроводимость

Явление сверхпроводимости было обнаружено в 1911 г. X. КамерлингОннясом, когда опыты показали, что электрическое сопротивление ртути при температуре 4,15 К скачкообразно обращается в нуль. Далее это явление было обнаружено и для ряда металлов и сплавов. Температура, при которой происходит переход в сверхпроводящее состояние, называется критической температурой. Для сверхпроводящего состояния характерно то, что магнитное поле не проникает в толщу сверхпроводника (эффект Мейсснера) и сверхпроводник является качественным диамагнетиком. В 1986 - 1987 гг. был обнаружен ряд высокотемпературных проводников с критической температурой порядка 100 К. Такая температура достигается с помощью жидкого азота. Все открытые до сих пор высокотемпературные

сверхпроводники

принадлежат

к

группе

металлооксидиой керамики. Исследование уже открытых и поиск новых высокотемпературных сверхпроводников производится очень интенсивно. Из теории сверхпроводимости следует, что магнитный поток Ф, связанный со сверхпроводящим кольцом (или цилиндром), по которому циркулирует ток, должен быть кратным величине 2πħg, где g - заряд носителя тока, ħ - постоянная Планка. Ф = n · 2π ħ /g, где Ф0 = 2π ħ /g - квант магнитного потока. В

1962

г.

Брайан

Джозефсон

предсказал

на

основе

теории

сверхпроводимости существование явления, получившего название эффекта Джозефсона. Этот эффект заключается в протекании сверхпроводящего тока через тонкий слой диэлектрика, разделяющий два сверхпроводника. Этот слой называется контактом Джозефсона и обычно представляет собой пленку окиси металла толщиной порядка 1 нм. Электроны проводимости 39

ходят через диэлектрический контакт, благодаря туннельному эффекту. Если ток

через

контакт

Джозефсона

превышает

критическое

значение,

наблюдается нестационарный эффект. В этом случае на контакте возникает падение напряжения U и контакт начинает излучать электромагнитные волны с частотой ω= 2е · U/ħ. В эффекте Джозефсона непосредственно проявляется важнейшее свойство сверхпроводника - согласованное поведение его электронов. Эффект Джозефсона нашел применение для создания уникальных по точности приборов для измерения малых токов (до 10-10 А), напряжений (до 10-15 В), магнитных полей (до 10-18 Тл) и др. Эффект Холла был обнаружен в 1879 г., и он заключается в том, что если

металлическую

пластинку,

вдоль

которой

течет

постоянный

электрический ток, поместить в перпендикулярное к ней магнитное поле, то между гранями, параллельными направлениям тока и поля, возникает разность потенциалов: Un = RbjB, где b - ширина пластинки; j - плотность тока; B -магнитная продукция поля; R - постоянная Холла. В настоящее время для повышения точности измерений широко используются методы квантовой метрологии, основанные на использовании стабильных физических явлений и фундаментальных взаимодействий, обусловленных

корпускулярно-волновой

природой

вещества

и

электромагнитного излучения. Квантовые методы и соответствующие средства измерений отличаются высокими метрологическими характеристиками и уникальными свойствами, которые обусловлены стабильностью физических явлений, лежащих в их основе.

Функции

преобразования

квантовых

измерительных

преобразователей и приборов базируются на фундаментальных законах 40

микромира и квантово-механических соотношениях. Поэтому во многих случаях в качестве коэффициентов преобразования таких СИ выступают фундаментальные физические константы, обычно известные с высокой точностью, или коэффициенты, поддающиеся точному расчету. Это кроме высокой

точности

преобразования

обеспечивает

повышение

метрологической надежности СИ, поскольку такие СИ не нуждаются в гравировке и периодической поверке. Использование физических явлений, происходящих на атомном или ядерном уровнях, позволяет создать высокочувствительные СИ с порогом чувствительности, равным кванту энергии одной или небольшого ансамбля атомных частиц. По этой же причине метрологические характеристики (MX) квантовых приборов мало зависят от изменений внешних факторов. В качестве информативного параметра выходного сигнала квантовых СИ во многих случаях выступает частота, являющаяся наиболее точно измеряемой величиной, которую можно достаточно легко передать на большие расстояния. В метрологии к настоящему времени квантовые методы нашли широкое применение для создания естественных эталонов единиц ряда ФВ. Это

эталоны

напряжения,

единиц

длины,

магнитной

времени

индукции,

и

частоты

температуры,

электрического электрического

сопротивления. Совершенствование квантовых методов и их сочетание с современной элементной базой позволяют на их основе создавать не только высокоточные эталоны единиц ФВ, но также рабочие эталоны и РСИ с уникальными характеристиками, которые не могут быть получены на основе применения других методов (классических). Уже созданы усилители и АЦП с порогом чувствительности 10-14 В, тесламетры и градиентометры с порогом чувствительности соответственно 10

-15

основе эффекта Джозефсона. 41

Тл Гц-1/2 и 10-13 Тл м-1 Гц-1/2 на

Термошумовой метод измерения температуры базируется на уравнении Найквиста, которое устанавливает связь между напряжением тепловых

шумов,

возникающим

на

любом

резисторе,

и

его

термодинамической температурой Т: U ш2 = 4 KTRΔf

где Uш- среднее квадратическое значение шумового напряжения; К - постоянная Больцмана, равная 1,38 ·10-23 Дж/К; R - сопротивление резистора; ∆f - диапазон частот, в которой производятся измерения. Это уравнение справедливо для резисторов из различных материалов и не зависит от свойств этих материалов. Если обеспечить постоянство R и ∆f, тона основании уравнения Найквиста можно получить 2 T = T0 * U ш2 / U шо

где Т0 = 373,16 К - термодинамическая температура тройной точки воды; U шо2 - среднее квадратическое значение шумового напряжения при Т0. Условие R = Const удовлетворяется при изготовлении резистора из материала с температурным коэффициентом электрического сопротивления, близким к нулю. Таким образом, термошумовой метод позволяет определить размер единицы термодинамической температуры - Кельвина в соответствии с ее определением. Применение сверхпроводящего термошумового датчика на основе эффекта Джозефсона позволяет распространить термошумовой метод на измерение сверхнизких температур. В этом случае переход Джозефсона используется как преобразователь напряжение - частота, т.е. преобразует напряжение тепловых шумов в переменный ток с частотой f = U/Ф0. Этот метод позволяет определить термодинамическую температуру, пользуясь выражением Tx = σ 2τIФ0 / 2 Kf ср

42

Ф0 = h / 2e = 2,07 *10 −15 В, δ-квант магнитного потока;

σ2 -днсперсня частоты сигнала; fcp - средняя частота; I = 10-6 А - ток смешения; τ- время счета цифрового частотомера К-постоянная Больцмана Практически с помощью эффекта Джозефсона можно измерять температуру в диапазоне 10 мК - 10 К с точностью порядка 1% при усреднении результатов измерений в течение нескольких минут [6].

4.2.2. Интерференция электромагнитных волн

Этот способ измерения линейных и угловых размеров и перемещений основан на сравнении измеряемой ФВ с пространственной естественной шкалой электромагнитных или акустических волн с использованием интерференциальных излучения.

эффектов,

Существуют

обусловленных

различные

волновой

модификации

этого

природой способа

и

многочисленные типы интерферометров. Наиболее широко развиты методы оптической интерферометрии, точность и области применения которых существенно увеличены в результате применения лазерных источников излучения. Способ лазерной интерферометрии основан на сравнении измеряемого размера с длиной волны излучения от стабилизированного по частоте лазера и широко используется в машиностроении. Процедура измерений заключается в определении числа длин волн, укладывающихся на измеряемом размере. Для измерения очень малых линейных (10-10... 10-4 м) и угловых (10-3... 100") размеров применяется метод голографической интерферометрии, основанный на использовании естественной периодичности атомных 43

плоскостей

в

совершенных

интерферометра

являете*

монокристаллах.

двухлучевой

Примером

интерферометр

лазерного

Майкельсона.

Измеряемая длина определяется выражением l x = ( N + Δϕ )λ0 / 2n B = ( N + Δϕ )λ / 2 где ( N + Δϕ ) - порядок интерференции,

т.е. целая (N) и дробная (Δφ) части числа полос, прошедших перед окном фотоприемника; λ0- длина волны излучения лазера в вакууме; nB -показатель преломления воздуха; λ- длина волны излучения лазера в воздухе. Другой тип подобного СИ - интерферометр с двухчастотным гелийнеоновым лазером. Измеряемая длина определяется выражением lx =

λτ

2 ∫0

w(t )dt где w(t) - доплеровский сдвиг частоты.

Современные многоцелевую

лазерные

измерительную

интерферометры систему,

представляют

позволяющую

в

собой

условиях

промышленного производства с высокой точностью измерять длину, плоскостность, линейные и угловые перемещения, скорость перемещения объектов и др. Наличие сменных блоков позволяет реализовать эту многофункциональность данного СИ. Способ естественной

рентгеновской периодичности

инферометрии атомных

основан

плоскостей

на в

применении совершенных

монокристаллах кремния или германия, которые используются в качестве дифракционной решетки с делениями в виде плоскостей, на которых дифрагирует рентгеновское излучение. В качестве меры малой длины используется в данном СИ расстояние между атомными плоскостями, являющиеся

характерным

параметром

кристаллической

решетки.

Рентгеновская инферометрия позволяет определять, например, искажение структуры кристаллов, а применение ее для измерения межплоскостного расстояния в монокристаллах с точностью 10-8 позволяет повысить точность определения постоянной Авогадро, что имеет значение для уточнения ряда 44

физических констант и для создания естественного эталона массы, основанного на атомной единице массы. Голографический способ применяется для решения ряда задач в науке, биологии и изобразительном искусстве, его можно использовать для измерения

геометрических

размеров,

деформаций,

параметров

шероховатостей, виброперемещений и т.д. Голография - это метод получения объемного изображения объектов путем одновременной регистрации амплитуды

и

фазы

рассеянной

исследуемым

объектом

волны

электромагнитного излучения. Наиболее развита оптическая голография с использованием когерентного лазерного излучения. В основе голографии лежат

явления

дифракции

голографического

способа

и

интерференции

являются

высокая

волн.

Достоинствами

чувствительность

и

возможность его применения для измерения параметров различных объектов в

статике

и

динамике.

Голограмма

представляет

собой

сложную

дифракционную решетку. Голографический способ дает возможность определять геометрические параметры трехмерных объектов по восстановленному изображению на голограмме,

являющейся

пространственной

оптической

моделью

исследуемого объекта. В частности, можно осуществить бесконтактное измерение параметров рельефа различных объектов. Сущность таких измерений заключается в получении путем интерференции на голограмме контурных линий равного уровня, образующих естественную шкалу размеров (уровней), цена деления которой определяется длиной волны источника излучения [6].

4.2.3. Электромагнитная индукция

В

соответствии

с

законом

электромагнитной

индуктируемая в контуре, определяется формулой 45

индукции,

ЭДС,

e = −ϖ

dФ где w - число витков контура; dt

Ф - магнитный поток сквозь поверхность ограниченную контуром. Как видно из этого выражения, естественной входной величиной СИ, основанных на индукционном способе, является скорость изменения магнитного

потока,

пронизывающего

индукционный

измерительный

преобразователь, который обычно выполняется в виде многовитковой катушки (измерительной катушки) или ферромагнитного сердечника с одной или несколькими обмотками. Индукционный способ можно использовать для измерения параметров как переменных. так и постоянных магнитных полей, поскольку магнитный поток, пронизывающий контур индукционного преобразователя, может изменяться как из-за изменения самого измеряемого потока, так и вследствие изменения во времени параметров преобразователя (угол а между нормалью к плоскости витков и вектором магнитной индукции, площадь контура S, относительная магнитная проницаемость сердечника ц, коэффициент размагничивания сердечника N). Для однородного магнитного поля уравнение можно представить в виде dY ⎞ ⎛ dB e = −ϖ ⎜ Y +B ⎟ dt ⎠ ⎝ dt

где Y = Sμ cos α /[1 + N ( μ − 1)] - обобщенный параметр преобразователя. Достоинствами СИ, основанных на индукционном способе, является линейность функции преобразования в широком диапазоне измерений, высокая

стабильность

характеристик,

малая

температурная

ошибка,

применимость для измерения параметров как постоянных, так и переменных магнитных полей в широком диапазоне частот. Индукционный способ позволяет также измерять магнитную индукцию и напряженность магнитного поля [6].

46

4.2.4. Магнитооптические эффекты Фарадея и Керра

Магнитооптические эффекты, связанные с вращением плоскости поляризации, можно разделить на две группы наблюдаемые в проходящем (Эффект Фарадея) и отраженном свете (Эффект Керра) Эффект Фарадея заключается во вращении плоскости поляризации линейно поляризованного света в оптически активных веществах под действием магнитного поля. Угол поворота плоскости поляризации света Θ = Cв·B·l, где Св - постоянная Верде; l -длина пути света в веществе; В - магнитная индукция. Измеряя

угол

поворота

плоскости

поляризации

света,

можно

определить индукцию магнитного поля или силу тока, если преобразователь поместить в магнитном поле измеряемого тока [6] Эффект Керра - заключающийся в том, что при отражении линейно поляризованного

света

от

поверхности

намагниченного

материала

наблюдается вращение плоскости поляризации света, а свет становится эллиптически поляризован. В зависимости от взаимного направления внешнего магнитного поля (соответственно намагниченности вещества) и вектора распространения света, различают три геометрии наблюдения эффекта Керра: • Полярный эффект Керра - внешнее поле или намагниченность ориентированы нормально к поверхности образца • Продольный эффект Керра – иногда называют меридиональным или меридиальным - вектор намагниченности лежит в плоскости отражающей поверхности и параллелен плоскости падения света. Наибольший эффект наблюдается при больших углах падения. При нормальном падении эффект не наблюдается. • Поперечный эффект Керра – иногда называют экваториальным 47

вектор намагниченности перпендикулярен плоскости падения света и параллелен поверхности образца.

4.2.5. Электрооптические эффекты Керра и Поккельса

Измерение напряжения с использованием электрооптических эффектов Керра и Поккельса основано на возникновении двулучепреломления поляризованного

света,

распространяющегося

в

электрическом

поле,

создаваемом измеряемым напряжением. Возникновение

квадратичного

эффекта

Керра

можно

пояснить

следующим образом. Поляризованный луч света, образуемый с помощью источника света и поляризатора, проходит через электрическое поле, создаваемое конденсатором, к электродам которого приложено измеряемое напряжение Ux. При этом луч света направлен перпендикулярно вектору напряженности этого поля после анализатора свет попадает в фотоприемник, где он преобразуется в электрический сигнал, измеряемый прибором. Интенсивность света на выходе преобразователя Керра определяется выражением I k = I 0 sin 2 (πC k l k U x / d 2 ) 2

где lк - эффективная длина преобразования; d - расстояния между электродами преобразователя Керра; Ск - коэффициент Керра; Io - интенсивность света на входе преобразователя. Таким образом, интенсивность света на выходе преобразователя связана с измеряемым напряжением Ux. Линейный электрооптический эффект Поккельса наблюдается в пьезоэлектрических кристаллах, находящихся в электрическом поле, и применяется для измерения напряжения. 48

Интенсивность

света

на

выходе

преобразователя

Поккельса

определяется из выражения I п = I 0 sin 2 (πrn03U x / λ )

где r - электрооптический коэффициент кристалла; n0 - его показатель преломления при отсутствии электрического поля; λ - длина волны излучения лазера [2, 6].

4.2.6. Пьезоэффект

Прямой пьезоэффект заключается в электризации кристаллических тел под действием механических напряжений и широко используется для измерения сил и давлений. Поскольку преобразование механического напряжения в электрический заряд осуществляется достаточно точно, а собственная частота пьезоэлектрических

преобразователей

достаточно

высока (20-200 кГц), то на их основе выпускаются весьма точные СИ для определения быстропеременных сил и давлений. Высокими

характеристиками

обладают

манометры

с

пьезорезонансными преобразователями, основанными на изменении частоты резонатора под действием механического усилия, а также динамометры для измерения сил. В многокомпонентных динамометрах находит применение упругий элемент в виде параллелограмма [6].

4.2.7. Эффект Доплера

Для измерения скоростей подвижных объектов, жидких, газообразных и сыпучих сред, а также для измерения параметров вибраций широкое 49

применение находят способы, основанные на использовании эффекта Доплера. Эти способы используются для измерения скоростей в широком диапазоне - от 0,001 мкм/с до скоростей, близких к скорости света. Эффект Доплера, заключающийся в изменении частоты излучения при движении его источника или приемника, нашел широкое применение в акустике, радиофизике, оптике, а также для ряда прикладных целей, особенно для измерения параметров движения. Относительное изменение частоты излучения пропорционально отношению измеряемой скорости к скорости распространения колебаний. Если на движущийся объект направлено излучение с частотой fo, то частота отраженного сигнала отличается от fo в соответствии с уравнением Доплера на величину 2f V ⎛ c −V ⎞ Δf g = f 0 ⎜ − 1⎟ = − 0 c ⎝ c +V ⎠

⎞ ⎛ V V2 ⎜⎜1 − + 2 − .... ⎟⎟ c c ⎠ ⎝

где V - скорость объекта (положительная для удаляющегося объекта); с - скорость распространения излучения. Если с = с0 (с0 - скорость света), то при V 1. Взаимодействие квадрупольных моментов ядер с электрическим полем кристаллической решетки вызывает прецессию ядер с частотой fякр = e Q qzz/(2 ħ), где е - заряд электрона; Q -квадрупольный момент ядра; qzz - составляющие тензора градиента электрического поля; ħ - постоянная Планка. Градиент электрического поля решетки зависит от температуры, что обуславливает температурную зависимость частоты ЯКР и позволяет применять ЖР для измерения температуры. Для расчета температуры по частоте ЯКР fякр используется формула n

Tx = ∑ Ri ( f якр − f 0 якр ) i i =0

где fоякр = 28,213324 МГц (частота ЯКР ядер 35Cl при Тх = 293 К); n = 6 (при работе в диапазоне температур Тх = 87,7...178,7 К); n = 7 (при Тх = 178,7 ... 297 К); Ri - коэффициенты, рассчитываемые методом наименьших квадратов. Подобный термометр обеспечивает измерение температур в диапазоне 77...374 К. Стабильность и универсальность характеристик ЯКР-термометров в сочетании с частотным выходом позволяет использовать такие СИ to дистанционных измерении температуры в метрологии и океанографии) [6].

56

Вопросы для контроля 2.

Приведите

классификацию

типовых

физических

явлений,

используемых при высокоточных измерениях. 3.

Приведите примеры использования методов квантовой метрологии для

повышения точности измерений. 4.

Поясните сущность термошумового метода измерений температуры.

5.

Поясните сущность использования эффекта Джозефсона для измерения

температуры. 6.

Поясните применение лазерных интерферометров для измерения

типовых механических величин с большой точностью. 7.

Приведите

примеры

использования

явления

электромагнитной

индукции для измерений типовых электрических величин. 8.

Поясните сущность эффектов Фарадея, Керра и Поккельса и их

использование в метрологии. 9.

Поясните сущность пьезоэффекта и его использование в метрологии.

10.

Поясните сущность эффекта Доплера и его использование в

метрологии. 11.

Поясните сущность магниторезонансных методов с оптической

накачкой атомов и их использование в метрологии.

57

5. Высокостабильные квантовые эффекты и их использование для воспроизведения единиц физических величин 5.1. Квантовые переходы В начале XX века немецкий физик М. Планк показал, что основные единицы для нашей Вселенной, однозначно предопределенные наиболее общими законами физики, могут быть составлены из фундаментальных физических констант: скорости света с, постоянной Планка ħ и гравитационной постоянной γ. Значения этих констант, фигурирующих в виде коэффициентов в уравнениях

основных

физических

теорий

-классической

и

квантовой

электродинамики и общей теории относительности - являются максимально стабильными и независящими от внешних условий. Появилось понятие «квантовая

метрология».

Но

планковские

единицы,

несмотря

на

их

универсальность, в метрологии в настоящее время не используются. Государственный первичный эталон (ГПЭ) единиц времени и частоты воспроизводит основную единицу СИ (секунду) в соответствии с ее определением: секунда - единица времени, равная 9192631770 периодам излучения,

соответствующего

переходу

между

двумя

сверхтонкими

уровнями основного состояния атома цезия-133.

Рисунок 14. Функциональная схема цезиевого репера частоты 58

Функциональная схема воспроизводящей части ГПЭ показана на рисунке 1. Атомы цезия-133 испускаются нагретым источником 1. Пучок этих атомов попадает в область неоднородного магнитного поля, создаваемого магнитом 2. Угол отклонения атомов в таком магнитном поле определяется их магнитным моментом. Поэтому неоднородное магнитное поле позволяет выделить из пучка атомы, находящиеся на определенном энергетическом уровне. Эти атомы направляются в объемный резонатор 3, пролетая через который,

взаимодействуют

с

переменным

электромагнитным

полем

сверхвысокой частоты. Частота электромагнитных колебаний в резонаторе может регулироваться в небольших пределах. При совпадении ее с частотой, соответствующей энергии квантовых переходов, происходит поглощение энергии СВЧ-поля, и атомы цезия-133 переходят в основное состояние. Отклоняющей магнитной системой 4 они направляются на детектор 5. Ток детектора при настройке резонатора на частоту квантовых переходов оказывается

максимальным.

Этой

частоте

приписывается

значение

9192631770 Гц, а промежуток времени, равный 9192631770 периодам сверхвысокочастотных колебаний, принимается равным 1 с. Поскольку

секунда

воспроизводится

в

сверхвысокочастотном

диапазоне, а метр по определению должен воспроизводиться в оптическом (метр - единица длины, равная пути, проходимому в вакууме светом за 1/299792458 долю секунды), то применяется радиооптический частотный мост (POЧM). Таким образом, воспроизведение единиц времени, частоты и длины осуществляется единым техническим комплексом - ГПЭ единиц времени, частоты и длины [6], [7].

59

5.2 Эффекты Холла и Дозефсона Реальная возможность создания универсальной системы естественных открытия так называемых макроскопических квантовых эффектов мер появилась после квантовых эффектов: - сверхпроводимости, сверхтекучести, Холла и Джозефсона. В этих эффектах в результате когерентного поведения огромного числа микрочастиц происходит квантование строго определенными порциями той или иной макроскопической величины. Эффект Джозефсона возникает в контактах двух сверхпроводников, разделенных тонким слоем диэлектрика. Схематическое изображение джозефсоновского периода приведено на рисунке 15.

Рисунок 15. Схематическое изображение джозефсоновского перехода. Как известно, электроны в вакууме отталкиваются друг от друга по закону Кулона. В твердом теле, помимо электронов, имеются положительно заряженные ионы решетки. Притягиваясь к электронам, они экранируют их заряд. В некоторых веществах при достаточно низких температурах суммарное взаимодействие электронов может соответствовать слабому притяжению. В этом случае электроны объединяются в так называемые куперовские пары. Такие пары, в отличие от отдельных электронов, имеют нулевой спин, что позволяет большому числу пар скапливаться в одном и том же квантовом состоянии. Если средняя скорость куперовских пар отлична от нуля, т.е. существует незатухающий электрический ток, то говорят, что имеет 60

место явление сверхпроводимости. Куперовские пары могут просачиваться (туннелировать) через диэлектрик из одного сверхпроводника в другой. При этом если фазы волновых функций пар в двух сверхпроводниках окажутся различными, то через переход Джозефсона будет течь ток в отсутствие разности потенциалов. Такое явление получило название стационарного эффекта Джозефсона. Если облучать этот переход излучением с частотой υ, то при совпадении этой частоты с характерной для данного напряжения V частотой υ0 возникает резонансное взаимодействие. Такой резонанс наступает и при υ = υ0/n, где n - любое целое число, в результате чего на вольтамперной характеристике перехода появляются особенности (рисунке 16) в виде ступенек при напряжениях: V = n

Рисунок

16.

h ν 2e

Вольтамперная

характеристика

джозефсоновского

перехода Точность

воспроизведения

напряжения

с

помощью

эффекта

Джозефсона ограничивается точностью значения ħ/2e (кванта магнитного потока). На использовании эффекта Джозефсона основаны эталоны единицы напряжения - вольта во всех промышленно развитых странах. В состав эталона входит дискретный переход, возбуждаемый СВЧ излучением на 61

частоте 8...10 ГГц. Значение квантового напряжения составляет при этом V= 4...10 мВ. Высокая стабильность эталонов на основе эффекта Джозефсона открывает широкие перспективы для совершенствования естественного эталона вольта (стандартное отклонение при воспроизведении V составляет в настоящее время ~ 10-8 В). Не менее интересные возможности для метрологии дает квантовый эффект Холла. Суть его состоит в том, что в специальных структурах типа металл - диэлектрик - полупроводник при температуре жидкого гелия и в сильном магнитном поле электрическое сопротивление принимает строго фиксированное значение: Rн =

μ c h = 0 2 e n 2 nα

где µ0-магнитная постоянная вакуума; α = μ0c

e2 - постоянная тонкой структуры. 2h

Холловская структура типа металл – диэлектрик-полупроводник показана на рисунке 17.

Рисунок 17. Холловская структура металл-диэлектрик-полупроводник. 62

Пусть

на

металлическую

пластину

подается

положительное

напряжение VB. Тогда часть электронов из кремниевого полупроводника Si подтянется к границе диэлектрика Si02 и окажется заключенной в тонком слое канала, ограниченном на рисунке 17 пунктиром. Действительно, диэлектрик SiО2 для электронов непроницаем, а обратно в полупроводник Si им не дает вернуться притяжение к металлической пластине. Запертые в канале толщиной d электроны, согласно квантовой механике,

будут

занимать

наинизший

из

возможных

дискретных

энергетических уровней, соответствующих движению поперек слоя, а их волновые функции будут размазаны по толщине канала. Такие электроны различаются между собой величиной и направлением импульса в плоскости канала, т.е. становятся как бы двумерными. Если подать некоторое напряжение на электроды «исток» - «сток» (рисунок 5б), то между ними потечет ток. Если, кроме того, приложить магнитное поле В, перпендикулярное плоскости канала, то электроны, изгибая свои траектории в поле В, начнут скапливаться у боковых краев структуры, пока возникшая разность потенциалов VH между холловскими контактами Н не воспрепятствует их дальнейшему

накоплению.

Это

классический

эффект

Холла,

характеризуемый холловским сопротивлением: Rн=Vн/Т. Как показано в курсе общей физики, величина RH обратно пропорциональна плотности электронов в канале. Существенно новая ситуация возникает при учете квантового характера движения электронов в магнитном поле. Согласно квантовой механике энергия их движения в плоскости слоя может принимать только дискретные значения: E н = (n + 1 / 2 )he

B c , где n = 0, 1, 2, … me

Таким образом, движение электрона оказывается квантованным по всем трем координатам. Следствием этого является наличие на зависимости 63

RH от плотности электронов в слое ρе плоских участков - плато с квантованными значениями RH (рисунок 18).

Рисунок 18. Зависимость холловского сопротивления от плотности электронов в слое. На практике величину ρе регулируют изменяя VB. Качественное объяснение данного явления, открытого в 1980 г. и названного квантовым эффектом Холла, связано с наличием в слое примесей. При h = 4 холловское сопротивление составляет 6453,20 м. Что же принципиально нового вносят в метрологию эталоны, основанные на макроскопических квантовых эффектах? Во-первых, это подлинно естественные эталоны. При выполнении определенных условий, которые можно строго фиксировать (температуру, магнитное поле, тип и качество структуры и т.д.) они воспроизводят единицы, размеры которых выражаются через значение фундаментальных физических констант, общие для всей Вселенной. Во-вторых, широкое их применение открывает возможность децентрализованного воспроизведения единиц и упразднения неэффективной и дорогостоящей системы передачи информации об их размерах средствам измерений. В таблице 4 приведены значения, наиболее часто встречающихся, фундаментальных физических констант и их комбинаций [5]. 64

Таблица 4. Значения фундаментальных физических констант. Значение

Единица

Относительное стандартное отклонение х10-6

299792458

мс-1

-

γ

6,67259·10-11

М3кг-1с-2

128

ħ

1,05457266·10-34

Дж с

0,60

e

1,60217733·10-19

Кл

0,30

2,06783461·10-15

Вб

0,30

9,1093897·10-31

кг

0,59

7,29735308·10-3

-

0,045

6,0221367·1023

Моль-1

0,59

25812,8056

Ом

0,045

Величина

Обозначение

Скорость света в вакууме

с

Гравитационная постоянная Постоянная Планка Заряд электрона Квант магнитного потока Масса электрона Постоянная тонкой структуры Постоянная Авагадро Постоянная фон Клитцинга

ħ/2е me

α Na

ħ/е2

Вопросы для контроля 1.

Перечислите высокостабильные квантовые эффекты и приведите

примеры их использования для воспроизведения единиц физических величин. 2.

Поясните структуру ГПЭ единиц времени и частоты.

3.

Дайте современное определение секунды.

4.

Поясните сущность эффектов Холла и Джозефсона.

5.

Приведите примеры использования эффектов Холла и Джозефсона в

метрологии. 6.

Приведите примеры фундаментальных физических констант.

65

6. Оценка результатов измерений При многократных измерениях наиболее важной становится проблема обработка

полученного

массива

данных.

Правильная

интерпретация

результатов зависит от многих факторов, ключевую роль в которых играют оценка

и

анализ

погрешностей.

Необходимо

разработать

методику

многофакторного математического анализа закономерно изменяющихся систематических погрешностей с учетом следующих требований: - Системный подход к описанию систематических погрешностей с учетом множества факторов и, если необходимо, множества критериев качества средства измерения. - Прикладной уровень получения математических моделей, когда их структура исследователю не известна. - Эффективность (в статистическом смысле) получения полезной информации из исходных данных и отражение ее в математических моделях. - Возможность доступной и удобной содержательной интерпретации полученных моделей в предметной области. -

Эффективность

использования

математических

моделей

в

предметной области по сравнению с затратами ресурсов на их получение. Без соответствующей интерпретации измерения сами по себе ценности не представляют.

6.1. Правила построения гистограмм Обработка результатов измерений производится при условии, что они подчинены нормальному закону распределения и из них исключена систематическая составляющая погрешности. Кроме этого, результаты измерений не содержат грубых погрешностей. 66

Наиболее наглядно нормальный закон распределения результатов измерений иллюстрирует гистограмма, построенная в следующем порядке при большом числе результатов N > 20. 1.

Весь диапазон полученных результатов наблюдений Xmaх-Xmin

разделяют на К интервалов и определяют длину интервала ΔХ: ΔХ = (Хмах-Хmin) / К. 2.

Определяют середину области изменения выборки (центр

распределения - Х0): X0 = (Xmax+Xmin)/2. 3.

Подсчитывают количество наблюдений Nm, попавших в каждый

интервал. Nm равно числу членов вариационного ряда, для которых справедливо неравенство: xmQ, значение 0.398 промах, его следует исключить. Проверяем оставшуюся серию значений: 0.371-0.366=0.005, 0.3790.376=0.003, поэтому следующий кандидат в промахи - 0.366. Имеем: W1=0.005, W0=0.379-0.366=0.013, ξ = 0.005/0.013 = 0.38, Q(P=0.90, n=5)=0.64. ξ t(p,n) и принимают окончательное решение об отсеве грубой погрешности (случайной величины xmax (min) ), если условие t > t(p,n) выполняется. После этого пересчитывают характеристики x и S для нового массива данных (без отсеянного значения xmax (min) ) при объеме выборки n-1 , а затем повторяют процедуру расчета по формулам 10 и 11 для следующего по абсолютной величине наибольшего отклонения dmax .

72

6.3.3. Критерий «трех сигм»

Применяется

для

результатов

измерений,

распределенных

по

нормальному закону. Данный критерий надежен при числе измерений n > 20... 50. По этому критерию считается, что результат маловероятен и его можно считать промахом, если: 3σ

x − xП

Где, х - среднее арифметическое отдельных результатов измерений, хп - результат измерения, вызывающий подозрение, σ - среднее квадратичное отклонение: n 1 × ∑ ( xi − x ) 2 n − 1 i =1

σ=

Величины х и σ вычисляют без учета экстремальных (вызывающих подозрение) значений хn.

6.3.4. Критерий Романовского

При

малом

числе

измерений

(nZq. Значения Zq приведены в таблице 6. Таблица 6. Значения Zq n

Zq при q равном 0,10

0,05

0,02

0,01

4

0,68

0,76

0,85

0,89

6

0,48

0,56

0,64

0,70

8

0,40

0,47

0,54

0,59

10

0,35

0,41

0,48

0,53

6.3.6. Критерии Шовине

Этот критерий может быть использован, если число измерений n < 10. В этом случае грубой ошибкой (промахом) считается результат хi, если разность

x − xП

превышает значения σ, определяемые в зависимости от

числа измерений:

x − xП

⎧1,6σ _ при _ n = 3 ⎪1,7σ _ при _ n = 6 ⎪ ⎨ ⎪1,9σ _ при _ n = 8 ⎪⎩2,0σ _ при _ n = 10

75

6.3.7. Критерий Райта

В соответствии с этим критерием должны быть отброшены все результаты измерений, случайные погрешности Vi которых превышают 3σ. Причем обработке подлежит весь ряд, включая результат, содержащий грубую погрешность. Пусть а1, а2, а3,..., аn, аn+1 - ряд результатов измерений, в котором an+1 - "выскакивающее" значение. Вычислим среднее арифметическое значение по формуле: n +1

a=

∑a i =1

i

n +1

3.

.

Определим среднеквадратическое отклонение по формуле: n +1

σ=

∑ (a − a)

2

i =1

n

.

Va +1 = (an +1 − a).

4.

Оценка погрешности

Если

Va +1 = (an +1 − a) > 3σ , то результат измерения an+1 содержит

грубую погрешность. Данный критерий можно применять, когда среднеквадратическое отклонение σ

определяется на основании достаточно большого числа

измерений (n >20)[1].

6.4. Оценка анормальности результатов измерений Анормальным называется результат измерения, резко отличающийся от группы результатов измерений, которые являются нормальными. Принцип решения вопроса об анормальности заключается в том, что по результатам измерений рассчитывается определенная функция U от 76

случайной величины, для которой известно распределение вероятностей. Вычисленное по выборочным данным значение этой функции сравнивается с ее предельным значением, соответствующим заранее принятой малой вероятности р. При выборе критерия оценки анормальности результатов измерений надо руководствоваться следующим принципом - используемые методы и критерии оценки предполагают нормальное распределение измеряемой величины. Поэтому предварительно экспериментатор должен тщательно оценить возможность принятия гипотезы нормального распределения. Для упорядоченной выборки результатов наблюдений случайной величины

используется

алгоритм

оценки

анормальных

результатов

измерений: 1.

Осуществляют упорядочение массы результатов измерений:

a1≤a2≤a3≤... ≤аn. Подсчитывают выборочное среднее a :

2. n

a=

∑a

i

i =1

3.

n

Рассчитывают выборочное среднеквадратическое отклонение: n +1

σ=

∑ (a − a)

2

i =1

n −1

.

Чтобы оценить принадлежность аn или а1 к данной совокупности и принять решение об исключении или оставлении аn (а1) в составе выборки, находят отношение: Un =

an − a

σ

или

U1 =

a − a1

σ

Результат сравнивают с величиной р, взятой из таблице 7 для данного объема выборки и принятого уровня значимости α.

77

Если Un≥β, то подозреваемый в анормальности результат наблюдения анормален и может быть исключен, в противном случае его считают нормальным и не исключают. Оценка результата наблюдения a1 производится аналогично[15, 1]. Таблица 7 Предельные значения β для случая неизвестного генерального среднеквадратического отклонения σ Объем выборок n

Предельное значение β при уровне значимости α 0,100

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0,075

1,15 1,42 1,60 1,73 1,83 1,91 1,98 2,03 2,09 2,13 2,17 2,21 2,25 2,28 2,31 2,34 2,36 2,38

1,15 1,44 1,64 1,77 1,88 1,96 2,04 2,10 2,14 2,20 2,24 2,28 2,32 2,35 2,38 2,41 2,44 2,46

0,050 1,15 1,46 1,67 1,82 1,94 2,03 2,11 2,18 2,23 2,29 2,33 2,37 2,41 2,44 2,48 2,50 2,53 2,56

0,025 1,15 1,48 1,72 1,89 2,02 2,13 2,21 2,29 2,36 2,41 2,47 2,50 2,55 2,58 2,62 2,66 2,68 2,71

6.5. Алгоритм обработки результатов прямых равноточных измерений Следующим этапом вычислений является "Обработка результатов прямых равноточных измерений". Исходные данные представлены в таблице 8, где xд - действительное числовое значение параметра, которое измерено образцовым прибором; x i - показания рабочего прибора в принятых единицах измерения; Рдов - доверительная вероятность, характеризующая надежность результатов измерений; Рдов = 0,95. 78

t = 1,96 - параметр, который определяется для нормального закона и равен числу средних квадратических отклонений, которые следует отложить вправо и влево от центра рассеивания (среднего арифметического), чтобы вероятность попадания в полученный интервал была бы равна доверительной вероятности Рдов. Определяется для нормального закона при n > 20 (приложение А). Если число результатов измерений n < 20, то для нахождения значения параметра t используют распределения Стьюдента (приложение Б). Для определения действительного значения измеряемой величины результаты измерений обрабатываются следующим образом. Определяют

среднее

арифметическое

значение,

характеризующее истинное значение измеряемой величины: n

X=

∑X

2. разности

i =1

i

.

n

Рассчитывают случайные отклонения результатов измерений, т.е. между

каждым

из

результатов

измерений

и

средним

арифметическим:

Vi = X i − X . 3.

Вычисляют

среднеквадратическое

отклонение

результата

измерений: n

σ=

∑V i =1

2

i

n −1

.

Среднеквадратическое

отклонение

характеризует

отклонение

результата измерений от истинного значения изучаемой величины. 4.

Рассчитывают коэффициент вариации

B = σ ⋅100% / X Коэффициент

вариации

показывает

относительное

отдельного результата измерений от среднего арифметического. 79

колебание

5.

Определяют размах результатов измерений:

R = X max − X min , где Xmax - максимальное значение результата измерений; Хmin - минимальное значение результата измерений. Вычисляют

среднее

квадратическое

отклонение

среднего

арифметического:

σ X =σ / n . Среднее

квадратическое

характеризует

поле

отклонение

рассеивания

среднего

значений

арифметического

результатов

относительно среднего арифметического. 7.

Надежность результатов измерений:

Рдов = 0,95. 8.

Определяют границы доверительного интервала:

ε = t ⋅σ X ; X −ε < X < X +ε . 9.

Результаты расчетов записывают в виде:

а)

точечной оценки:

где Хист - истинное значение измеряемой величины; б)

с использованием доверительного интервала:

Рдов =... Хист = X ± ε , где ε - граница доверительного интервала.

80

измерений

Таблица 8. Исходные данные. Параметры Рдов Х t № опыта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1 0,95 300 1,96

2 0,95 302 1,96

3 0,95 50 1,96

302,2 299,1 298,25 298,75 300,5 300 301,65 302,15 298,85 299,15 300,05 300,95 301,05 300,55 299,75 299,45 298,95 299,5 300,1 301 300,65 300,25 299,5 299,15 299

302,85 303,15 303,05 302,5 300 301,15 301,85 301,95 302,25 303,5 303,15 302 302,75 302,05 301,85 300,85 301,45 301,65 302 301,5 302,65 303,95 303,5 303,15 302,75

50,95 51,35 52,05 51,65 50,15 49,75 49,5 48 48,65 50 51 50,15 50,35 50,95 49,85 49,5 49,05 49 48 50,95 51,65 51,45 52 50,15 50,25

Номера вариантов 4 5 6 7 0,95 0,95 0,95 0,95 126 205 70 40 1,96 1,96 1,96 1,96 Показания рабочего прибора 128,5 127,9 127,5 127 126,15 126 126 125,95 125,05 125,45 124 125,15 126,15 126,15 125,85 126,25 126 125,75 125,65 124,15 124,85 124,95 125,5 125,95 126,85

81

207,15 207 206,95 206,15 206 205,95 205,85 205,55 205,45 205,35 205,26 205,15 205 205 204,95 204,85 204,75 204,15 204 203,95 203,75 203,35 203,15 203,85 204,95

72 71,85 71,45 71,25 71,15 70,25 70,55 70,35 70,15 70,05 70 70,25 69,45 69,45 69,36 69,05 69 68 68,15 68,35 68,55 68,75 69 69,75 69,95

38 38,25 38,45 38,65 38,85 39,05 39,35 39,65 39,75 39,95 39,95 40 40,15 40,15 40,35 40,55 40,75 40,95 41,15 41,25 41,45 41,66 41,85 41,95 42

8 0,95 30 1,96

9 0,95 20 1,96

10 0,95 5 1,96

29 29,05 29,15 29,25 29,35 29,45 29,55 29,65 29,75 29,85 29,95 30 30,15 30,15 30,25 30,35 30,49 30,55 30,65 30,75 30,85 30,95 31 30,5 29,6

18 18,12 18,33 18,47 18,55 18,98 19,32 19,48 19,84 19,78 19,51 19,82 19,99 19,99 20 20,05 20,11 20,38 21,01 21,95 21,55 21,12 20,18 20,17 21,14

4,99 4,81 4,72 4,63 4,58 4,24 4,17 4,06 4 4,49 5 5,01 5,18 5,18 5,37 5,4 5,65 6 5,9 5,61 5,13 5,25 5,3 5,75 5,14

Библиографический список 1. Усков В.И. Методческие указания к лабараторно-практическим абтам // Усков В.И.. – М:ООО «Франтера», 2011. – 36с. 2. Медяков Э.И. Письменные лекции Физические основы измерений// Медяков Э.И. – СПб.:СЗТУ, 2005г. - 66с. 3. Савельев И.В. Курс общей физики в 3-х т.-М.: Наука, 1989г. 4. Шишкин И.Ф. Метрология, стандартизация и управление качеством: Учебник для вузов/Под ред Н.С. Соломенко. -М: Изд-во стандартов, 1990г. 5. Шишкин И.Ф. Теоритическая метрология: Учебник для вузов. - М.: Изд-во стандартов, 1991г. 6. Спектор С.А. Электрические измерения физических величин: Методы измерений: Учеб. Пособие для вузов.- Л.:Энергоатомиздат. Ленингр. Отделение, 1987г. 7. Боднер В.А. Физические основы измерения.- М.:Машиностроение, 1995г. 8. Измерение электрических и неэлектрических величин. Учеб.пособие для вузов/Под ред. Н.Н. Евтихиева.- М.: Энергоатомиздат, 1990г. 9. Измерение в промышленности: Спав. Изд. В 3-х кн. Кн.2 Способы измерения и аппаратура / Под ред. П. Профоса.- М.: Металлургия, 1990г. 10. Филосовский словарь/ Под ред. И.Т. Фролова.- М.: Изд-во полит. Лит., 1987г. 11. Дегтярев А.А. Метрология // А.А. Дегтярев, В.А. Летягин, Н.И. Почалов, С.В. Угольников. – М: Академический проект, 2006. – 256 с. 12. Кошевая И.П. Метрология, стандартизация, сертификация. / И.П. Кошевая, А.А. Канке: учебник.– М.: ИД «Форум»: ИНФРА– М, 2010. – 416 с. 13. Лифиц И.М. Стандартизация, метрология и подтверждение соответствия: учебник // И.М. Лифиц – 9-е изд., перераб. и доп. – М. : Изд-во Юрайт; И.Д. Юрайт, 2010. – 315 с. 82

14. Медведева Р.В. Средства измерений : учебник // Р.В. Медведева, В.П. Мельников ; под ред. Р.В. Медведевой. – М. : КНОРУС, 2011 – 240 с. 15. Ранеев Г.Г. Методы и средства измерений : учебник для вузов // Г.Г. Ранеев, А.П. Тарасенко. – 2-е изд., стереотип. – М. : Издательский центр «Академия», 2004. – 336 с. 16. Сергеев А.Г. Метрология и метрологическое обеспечение : учебник // А.Г. Сергеев. – М. : Высшее образование, 2008. – 575 с. 17. Сергеев А.Г. Метрология: история, современность, перспективы: учебное пособие// А.Г. Сергеев.– М.: Университетская книга; Логос, 2009.– 384 с.

83

Приложение 1

Коэффициент t для различных значений доверительной вероятности Рдов (нормальное распределение – распределения Гаусса) при n > 20 Pдов

α = 1 – Рдов

t

Pдов

α = 1 – Рдов

t

0,5

0,5

0,675

0,992

0,008

2,652

0,6

0,4

0,842

0,993

0,007

2,697

0,7

0,3

1,036

0,994

0,006

2,748

0,75

0,25

1,15

0,995

0,005

2,807

0,8

0,2

1,282

0,996

0,004

2,878

0,85

0,15

1,44

0,997

0,003

2,968

0,9

0,1

1,645

0,998

0,002

3,09

0,95

0,05

1,96

0,999

0,001

3,291

5·10

–4

3,481

1·10

–4

3,891

1·10

–5

4,417

1·10

–6

4,892

1·10–7

5,327

0,96 0,97 0,98

0,04 0,03 0,02

2,054

0,9995

2,17

0,9999

2,326

0,99999

0,99

0,01

2,576

0,999999

0,991

0,009

2,612

1

84

Приложение 2

Коэффициент t для различных значений доверительной вероятности Рдов, (распределение Стьюдента) при n < 20 n

Pдов 0,7

0,95

0,99

t 2

1,963

12,71

63,7

3

1,336

4,3

9,92

4

1,25

3,18

5,84

5

1,19

2,77

4,6

6

1,156

2,57

4,43

7

1,134

2,45

3,71

8

1,119

2,36

3,5

9

1,108

2,31

3,36

10

1,1

2,26

3,25

11

1,093

2,23

3,17

12

1,088

2,2

3,11

13

1,083

2,18

3,06

14

1,079

2,16

3,01

15

1,076

2,14

2,98

16

1,074

2,13

2,95

17

1,071

2,12

2,92

18

1,069

2,11

2,90

19

1,067

2,1

2,88

20

1,066

2,09

2,86

∞

1,036

1,96

2,58

85

Приложение 3

Типовые темы рефератов: 1. Измерение наземных длин методом триангуляции. 2. Измерение давления жидкости или газа в технических установках. 3. Измерение дозвуковых скоростей движения твердых тел. 4. Измерение температуры термоэлектрическим и терморезистивным методами. 5. Измерение температуры термомагнитным методом. 6. Измерение температуры термошумовым методом. 7. Измерение температуры термочастотным методом. 8. Измерение температуры пирометрическими методами. 9.Измерение частоты электрического сигнала. 10.Измерение угловой скорости вращения твердых тел. 11.Измерение сопротивлений. 12.Измерение электродвижущей силы. 13.Измерение силы тока, измерение напряжения. 14.Измерение абсолютного заряда электрона методом Милликена. 15.Интерферометрические методы измерения длины волны. 16.Измерение нанометрических расстояний методом туннельной микроскопии. 17.Измерение частоты биений. 18.Измерение концентрации примесей в полупроводниках. 19.Измерение мощности и энергии. 20.Измерение деформаций и механических напряжений. 21.Измерение скорости распространения волны. 22.Измерение ускорения свободного падения на поверхности земли. 23.Измерение расхода жидкости и ее параметров движения. 24.Измерение концентрации вещества. 25.Измерение массы изотопа. Масспектроскопия. 86

26.Измерение наземных расстояний методом радиолокации. 27.Измерение линейных размеров электромеханическими методами. 28.Измерение толщины покрытий электрофизическими методами. 29.Измерение магнитных параметров и характеристик материалов. 30.Измерение линейных перемещений методом индуктивного датчика. 31.Измерение линейных перемещений потенциометрическим методом. 32. Физические основы клинического метода измерения давления крови.

87

Приложение 4 Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины Промежуточный контроль знаний по результатам семестра по дисциплине проходит в форме дифференцированного зачета и экзамена. Образцы оценочных средств, с помощью которых контролируются результаты освоения содержания дисциплины, приводятся ниже. Перечень вопросов для промежуточного контроля Промежуточный контроль (тестирование) проводится по отдельным темам в течение всего курса обучения. Вопросы к тестам постоянно обновляются и дополняются преподавателем. Типовые контрольные вопросы следующие: 1. Единицей количества вещества в СИ является: - кг - моль -г - кмоль 2. Абсолютная температура измеряется в: - °C - °F - °R -К 3. Постоянная Авогадро имеет размерность в СИ: - 1/моль - моль/кг - кг/м3 88

- кг/м2 4. Векторными величинами являются (отметить): - температура, - давление, - импульс - масса, - сила, - напряженность электрического и магнитного полей, - плотность - скорость, 5. Скалярными величинами являются (отметить): - температура, - давление, - импульс - масса, - сила, - напряженность электрического и магнитного полей, - плотность - скорость, 6. Активные – величины это - которые могут быть преобразованы в сигналы измерительной информации без вспомогательных источников энергии - которые при измерении требуют использования источника энергии и преобразования в активные величины - величины, к которым применимы операции суммирования и вычитания Пассивные – величины, (например: сопротивление, индуктивность, емкость и т.д.). 89

- величины, к которым не применимы операции суммирования и вычитания 7. Выберите аддитивные величины: ЭДС, - сила тяжести, - сопротивление, - масса, - длина, - заряд - электропроводность, - диэлектрическая проницаемость 8. Выберите пассивные величины: ЭДС, - сила тяжести, - сопротивление, - масса, - длина, - заряд - электропроводность, - диэлектрическая проницаемость 9. Достоверность результатов измерений … - характеризуется доверительной вероятностью, т.е. вероятностью того, что истинное значение измеряемой величины находится в указанных пределах; - характеризуется значением систематической погрешности; - близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполняемых повторно одними и теми же методами и средствами 90

и в одних и тех же условиях; отражает влияние случайных погрешностей на результат - близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполняемых в разных местах, разными методами и средствами, но приведенных к одним и тем же условиям. 10. Воспроизводимость результатов измерений … - характеризуется доверительной вероятностью, т.е. вероятностью того, что истинное значение измеряемой величины находится в указанных пределах; - характеризуется значением систематической погрешности; - близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполняемых повторно одними и теми же методами и средствами и в одних и тех же условиях; отражает влияние случайных погрешностей на результат - близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполняемых в разных местах, разными методами и средствами, но приведенных к одним и тем же условиям. 11. характеризуется значением систематической погрешности … - достоверность - правильность - сходимость - воспроизводимость 12. При измерении силы используют формулу F = ma и измеряют массу тела m и его ускорение a. К какому типу измерений относят измерение силы? - прямые - косвенные - совокупные - абсолютные 91

13. для измерения объема параллелепипеда используют формулу V=abc и проводят измерения его сторон. В этом случае измерение объема относят к… - прямые - косвенные - совокупные - абсолютные 14. Приведите пример прямых измерений ______________________________________ 15. Децибел это величина… - абсолютная - относительная 16. К методам прямого сравнения относят: - метод непосредственной оценки - метод прямого преобразования - метод шунтирования 17. …невозможно одновременно точно измерить координаты XYZ и импульсы частицы PxPyPz…это формулировка принципа: - Найквиста - Гейзенберга - технологического несовершенства приборов - воздействия внешних возмущений на прибор 18. выберите константы макромира - период обращения Земли вокруг своей оси - заряд электрона 92

- ускорение свободного падения - постоянная Авогадро - скорость света в вакууме 19. Постоянная Планка, число Авогадро, постоянная Больцмана относятся… - к фундаментальным константам макромира - к фундаментальным константам перехода от объектов микромира к объектам макромира - к фундаментальным константам микромира 20. На эффекте Джеферсона основан… - эталон времени (секунда) - эталон напряжения (В) - эталон силы света - эталон массы 21. Для измерения малых токов, напряжения, магнитных полей используется эффект.. - Холла - Джеферсона - Пельтье - Пьезоэффект 22. Эффект Доплера используется для … - измерения концентраций веществ - измерения скорости света - измерения температуры - измерения времени

93

23. Давление во всех точках жидкости одинаково…это выражение закона - Архимеда - Кулона - Паскаля - Ньютона 24. Использование ареометров основано на законе… - Архимеда - Кулона - Паскаля - Ньютона 25. измерение силы инерции пропорциональной массе и ускорению, измерение эффекта Доплера, термоанемометрические измерения лежат в основе измерения… - гравитационной постоянной - параметров линейного движения тела - координат местности 26. Яркостные пирометры используют для определения температур в диапазоне… - 0-273 К - 273 – 373 К - 973 – 1973 К - 150-300 0С 27. В основе термоэлектрического измерения температуры лежит эффект - Пуассона 94

- Пельтье - Зеемана - Зеебека 28. Предложите вариант измерения температур в диапаозе от -260 до 0 0С: - пьезокристаллические преобразователи - термопара - терморезистор - яркостный пирометр 29. Излучение и поглощение веществом электромагнитных волн происходит за счет… - выбивания электронов с поверхности вещества - изменения энергии внешних электронов и колебательновращательного состояния молекул - кулоновских электростатических сил - разности температур 30. Видимый спектр излучения - линейчатый - сплошной (непрерывный) - поглощается кварцем и стеклом - монохроматический 31. Какая величина, характеризующая две различные среды определяет разложение спектра:

95

0

3800-7000A

красный фиолетовый

- масса - температура двух сред - показатель преломления - коэффициент молярного поглощения 32. Теоретическое обоснование теплопроводности предложил.. - Б. Томсон - Пельтье - Фурье - Ватт 33. Теплопроводность вещества является функцией… - относительной поляризуемости вещества - структуры, плотности, влажности, давления и температуры - сжимаемости вещества - агрегатного состояния 34. Теплоемкость имеет размерность - Дж/(кг*К) - Дж/(м3*К) - Ватт (/м*К) - Дж/(кг*К) и/или Дж/(м3*К) 35. Дилатометрия это… - Измерение оптической плотности вещества - измерение напряжения на сдвиг - изменение размеров тел при изменении внешних условий температуры, электрических и магнитных полей, ионизирующих излучений 96

- измерение влажности 36. Интерферометр Физо используется в … - дилатометрии - гониометрии - фотометрии - гравиметрии 37. Температурная зависимость суммарной мощности излучения единицы площади поверхности (энергетической светимости R ) описывается законом… - Грана - Стефана-Больцмана - Нернста - Паскаля 38. Определяется процессами рассеяния электронов проводимости, длиной их свободного пробега λ - электросопротивление терморезисторов - ЭДС термопар - расширение ртути при нагревании 39. Термисторы это… - Металлические термометры сопротивления - Термопары - полупроводниковые термометры сопротивления - пирометры 40. Укажите соответствие:

97

А)

Б)

В) - Металлический термометр сопротивления ________ - термопара_________ - полупроводниковый термометр сопротивления________ 41. Для получения больших усилий и управляемого перемещения массивных тел используется… - взрыв - тепловое расширение тел - эффект Бернулли - сверхтекучесть 42. нагревание и охлаждение больших газообразных объемов основано на эффекте… - Менделеева-Клапейрона - Джоуля-Томсона - Александрова - Зеемана 42. Обеспечение микроперемещений может быть основано на явлении… - эффект Гана - пьезоэлектрический эффект 98

- капиллярные явления 43. Ядерный магнитный резонанс, масс-спектрометрия, эффект Мессбауэра используются… - в разделении веществ - разрушении веществ - качественном и количественном анализе - получения 3D – изображения.

99

Приложение 5

Практическое занятие № 1 Выражение размерности производных физических величин через единицы основных Цель: ознакомиться с основами теории размерностей, научиться определять производные единицы измерений физических величин через выбор основных единиц измерения и уравнений связи. Пусть, например, производная физическая величина Q образуется путем перемножения двух основных величин А и В. Тогда, согласно теории размерностей, значение Q можно выразить через значения А и В:

q ⋅ [Q ] = a ⋅ [ A] ⋅ b ⋅ [B ] , а производная единица может быть выражена через основные единицы с помощью соотношения:

[Q] = a ⋅ b ⋅ [A] ⋅ [B]. q

Если же производная величина Q образуется посредством деления основных величин А и В, то

q ⋅ [Q ] =

a ⋅ [ A] , b ⋅ [B ]

и производная единица выражается через основные следующим образом: 100

[Q] =

a ⋅ [ A] ⋅ [B ]−1 . q ⋅b

В общем случае производные единицы выражаются через основные с помощью степенного одночлена:

[Q] = k ⋅ [A]α ⋅ [B ]β ⋅ [C ]γ …, где k – коэффициент пропорциональности. Пример 1. Образовать производные единицы силы.

Решение. Так как dim F = L·M·Т -2, то [F] = м·кг·с-2. Эта единица называется ньютон (Н) : Н = м·кг·с-2. Задание 1. Образовать производные единицы давления, работы, мощности, электрических напряжения, сопротивления и проводимости. Пример 2. В результате наблюдений установлено, что при движении по окружности сила F, прижимающая тело к опоре, в какой-то степени зависит от его скорости v, массы m и радиуса окружности r:

F = mα ⋅ vβ ⋅ r γ . Каков вид этой зависимости? Решение. На основании алгебры размерностей:

dim F = dim α m ⋅ dimβ v ⋅ dim γ r , С другой стороны dim F = L ⋅ M ⋅ T −2 , dim m = M, dim v = LT -1, dim r = L. 101

Отсюда:

L ⋅ M ⋅ T −2 = M α ⋅ ( L ⋅ T −1 )β ⋅ Lγ = Lβ + γ ⋅ M α ⋅ T −β ,

следовательно, показатели размерности удовлетворяют уравнениям: β + γ = 1, α = 1, - β = -2 ,

решение которых: α = 1; β = 2; γ = –1. Таким образом, mv 2 F= . r

К выводу этой зависимости на основе законов механики был близок Галилео Галилей, но первым ее установил Гюйгенс. Задание 2. В результате наблюдений установлено, что при деформации пружины потенциальная энергия EP в какой-то степени зависит от жесткости пружины

k и от смещения пружины x:

EP = k α ⋅ xβ . Каков вид этой зависимости? Примечание: Теория размерностей повсеместно применяется для оперативной проверки правильности сложных формул. Если размерности левой и правой частей уравнения не совпадают, то в выводе формулы, к какой бы области знаний она ни относилась, следует искать ошибку. Заключение: данное практическое занятие закрепит пройденный материала по учению о физических величинах и поможет выработать у студента навыки построения системы единиц физических величин. 102

Практическое занятие № 2 Построение гистограммы на примере оценки времени реакции человека Цель работы: изучение статистических методов обработки опытных данных, подчиняющихся нормальному закону распределения случайных величин. Задание: определить время реакции человека. Оценить погрешность проведённых измерений ускорения свободного падения. Оборудование: наручные часы с секундной стрелкой, электронный секундомер. Подготовка к выполнению лабораторной работы: изучить основные положения теории погрешностей. Описание аппаратуры и метода измерений: Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту нерегулярно и, на первый взгляд, беспорядочно. Результат каждого отдельного измерения случайной величины практически непредсказуем. Однако совокупности результатов измерений подчиняются статистическим закономерностям, изучение которых служит одной из основ теории и практики физического и инженерного эксперимента. Существует множество законов

распределения

случайных

величин.

Одним

из

наиболее

распространенных является нормальный закон распределения, описываемый функцией Гаусса: 2

(t - ) ρ(t ) = 1 exp[] 2σ2 , (12) σ 2π

103

где ρ(t) – плотность нормального распределения случайной величины t, σ – среднеквадратичная ошибка или стандарт. Закономерность величины

t

распределения

становится

наглядной,

значений если

изучаемой

построить

случайной

гистограмму

-

ступенчатую диаграмму, показывающую, как часто при измерениях появляются значения, попадающие в тот или иной из равных интервалов Δt, лежащих между наименьшим и наибольшим из наблюдаемых значений величины t. Гистограмму строят в следующих координатах (рисунке 2): ось абсцисс – измеряемая величина t; ось ординат – ΔN/NΔt. Здесь N - полное число измерений, ΔN - число результатов, попавших в интервал [t, t + Δt]. Частное ΔN/N - есть доля результатов, попавших в указанный интервал, и характеризует вероятность попадания в

него результата отдельного

измерения. Отношение этой величины к ширине интервала ΔN/NΔt называется "плотностью вероятности". При очень большом числе измерений (N→∞) вместо ступенчатой гистограммы получается плавная кривая зависимости ⎛ ΔN ⎞ 1 dN P(t ) = lim ⎜ ⎟= * N →∞ N * Δt ⎠ N dt Δt →0 ⎝

.

(13)

Эту функцию называют плотностью вероятности или законом распределения по t. Чтобы сравнить наблюдаемое распределение с нормальным распределением (12), нужно найти по данным измерений параметры и σ функции Гаусса (приближенно, поскольку число 104

измерений ограничено). Параметр есть среднее арифметическое случайной величины ≺t =

1 (t1 + t 2 + ... + t n ) = 1 N N

N

∑t i =1

i

(14)

Параметр σ является средним квадратичным отклонением наблюдений от среднего : σ=

1 N (t i − ≺ t ) 2 ∑ N − 1 i =1

(15)

Из анализа формулы (12) следует, что плотность нормального распределения имеет максимум ρ max (t ) =

1

σ 2π

(16)

при значении t = и симметрична относительно . Нетрудно сравнить “наибольшую высоту гистограммы” и максимальное значение функции Гаусса (16). Для количественной проверки того, насколько хорошо полученные результаты

соответствуют

нормальному

распределению,

можно

воспользоваться соотношением (17) ⎧t2 ⎪ ρ (t )dt P12 = ⎨ ∫t1 ⎪ ⎩ N 12 / N

(17)

в котором вероятность Р12 попадания результата измерения в интервал (t1, t2) c одной стороны может быть вычислена как интеграл функции Гаусса в этих пределах, а с другой стороны - найдена как относительное число наблюдений N12, результаты которых попали в этот интервал. При сравнении

наблюдаемого

воспользоваться

распределения

известными

значениями

с

нормальным вероятности

(12)

можно

распределения

случайной величины для наиболее употребительных в технике измерений пределов: t(-σ; +σ),

Pσ = 0,68; 105

t(-2σ; +2σ),

P2σ = 0,95;

t(-3σ; +3σ),

P3σ = 0,997.

Измерения и обработка результатов В данной работе моделирование случайной величины осуществляется следующим образом. При помощи обычных часов с секундной стрелкой задают

некоторый

высокочувствительным

промежуток цифровым

времени

t

частотомером

и или

измеряют

его

электрическим

секундомером, вручную нажимая кнопки "старт" и "стоп". Выполнять

работу

рекомендуется

двум

студентам.

Первый

многократно задает определенные промежутки времени по часам, подавая команду "старт" и "стоп". Второй нажимает кнопки и записывает отсчеты по прибору. В этом случае результаты измерений будут независимыми, что должно привести к нормальному (Гауссовому) распределению случайной величины. 1. Проведите 30-50 раз измерение выбранного промежутка времени. Можно задать промежуток времени от 5 до 10 секунд. Показания цифрового частотомера занесите во второй столбец таблицы 3. 2. Найдите в таблице 3 наименьший tmin и наибольший tmax из результатов наблюдений. Промежуток (tmin - tmax) разбейте на 6 - 10 равных интервалов Δt. Границы интервалов занесите в таблицу 4. 3. Подсчитайте число результатов наблюдений в таблице 4, попавших в каждый интервал Δti, и заполните второй столбец таблицы 4. 4. Вычислите опытные значения плотности вероятности попадания случайной величины в каждый из интервалов Δti. Заполните третий столбец таблицы 1.

106

Таблица 1 №

ti, c

(ti - )2, c2

σ = ... , c

опыта 1 2 ...

ρmax = ... , c-1

30

Σ(ti - )2, с2 , с 5. Постройте гистограмму (рисунок 2), для чего по оси абсцисс откладывайте интервалы Δti, являющиеся основаниями прямоугольников, высота которых равна плотности вероятности ρi. Таблица 2 ΔN , N Δt с-1

Границы интервалов, с

ΔN

ρ, с-1

6. Вычислите по формуле(14) и σ по формуле (15). Можно воспользоваться результатами двадцати наблюдений. Полученные значения занесите в таблицу 3. 7. По формуле (16) найдите максимальное значение плотности вероятности ρmax при t = . Результаты занести в таблицу 3. Сравнить полученные значения ρmax с наибольшей высотой гистограммы. 8. Для значений t, соответствующих границам выбранных интервалов, вычислите по функции Гаусса (12) значения плотности вероятности ρ(t) и занесите их в четвертый столбец таблицы 4. 9. Нанесите все расчетные точки на график, на котором изображена гистограмма, и проведите через них плавную кривую. Сравните их. В чем причина неполного соответствия кривой Гаусса и гистограммы? 107

10. Проверьте, насколько точно выполняется в опытах соотношение (12). Вычислите границы интервалов, указанных в первом столбце таблицы 5. По данным таблицы 3 подсчитайте число наблюдений N12, попадающих в каждый из трех интервалов, а также отношение N12/N (17). Сравните их с известными

значениями

Р12,

соответствующими

нормальному

распределению случайных величин (12). В чем причина небольшого расхождения? Таблица 3 Интервал, с от

до N12

N12/N

P12

± σ ± 2σ ± 3σ В заключении предлагается оценить результаты измерения и вычисления ускорения свободного падения в зависимости от времени реакции человека.

108

Практическое занятие № 3 Представление отсчета в различных видах: массив, таблица, график (построение функции распределения вероятности и плотности распределения вероятности, полигона) Цель: изучить различные представления отсчета, получить основные навыки графического и табличного представления отсчета. Пример 1. При n-кратном независимом измерении одной и той же физической величины постоянного размера на световом табло цифрового измерительного прибора в случайном порядке появлялись числа xi, представленные в первой графе табл. 1. Каждое i-e число появилось mi раз. Что представляет собой отсчет при таком измерении? Решение. Ни одно из чисел в первой графе таблицы, взятое в отдельности,

не

является

отсчетом.

Отсчет

характеризуется

всей

совокупностью этих чисел с учетом того, как часто они появлялись. Принимая частость mi/n каждого i-го числа за вероятность его появления

P(xi), заполним третью графу в табл. 1. В совокупности с первой она даст нам распределение вероятности отсчета Р(хi), представленное таблично. Его же можно представить графически так, как это показано на рис. 1, а. А можно поступить и по-другому. Проставим в четвертой графе табл. 1 вероятности того, что на табло показывающего измерительного прибора появится число, меньшее или равное тому, которое значится в первой графе. В совокупности с первой графой это даст нам представленную таблично функцию распределения вероятности отсчета F(xi). Графически она выглядит так, как это показано на рис. 1, б. Как распределение вероятности Р(хi), так и функция распределения вероятности F(xi) являются исчерпывающим описанием отсчета у цифровых измерительных приборов любой конструкции. 109

Таблица 1 xi

mi

P(xi)

90,10

1

0,01

90,11

2

0,01+0,02=0,03

90,12

5

0,03+0,05=0,08

90,13

10

0,08+0,1=0,18

90,14

20

0,18+0,2=0,38

90,15

24

0,38+0,24=0,62

90,16

19

0,62+0,19=0,81

90,17

11

0,81+0,11=0,92

90,18

5

0,92+0,05=0,97

90,19

2

0,97+0,02=0,99

90,20

1

0,99+0,01=1,00

110

F(xi)

F(xi)

P(xi)

1,0 0,8

0,2

0,6 0,4

0,1

0,2 0

0 90,1

90,2

90,1

xi

90,2

xi

Рисунок 1. Распределение вероятности (а) и функция распределения вероятности (б) отсчета цифрового измерительного прибора Задание 1. 100 независимых числовых значений результата измерения напряжения цифровым вольтметром, каждое из которых повторилось m раз, приведены в табл. 2.

Таблица 2

,30

,35

,40

,45

,50 а)

,55 0

,60

,65

,70

8

7

2

,75

(xi) (xi)

Заполните таблицу. Представьте отсчет графически.

111

,80 б)

,85

,90

,95

Пример 2. При n-кратном независимом измерении одной и той же физической величины постоянного размера аналоговым измерительным (n = 1000) указатель отсчетного устройства в случайной

прибором

последовательности по m раз останавливался на каждом из делений шкалы. Интервалы наблюдаемых значений представлены в табл. 2. Что представляет собой отсчет при таком измерении?

Таблица 2 Интерва лы наблюдаемых

18;19)

19;20)

20;21)

21;22)

22;23)

23;24)

24;25)

25;26)

26;27)

27;28]

значений

m

4

Частост

0

и mi/n

,004

F(xi) (накопленные частости)

3 6

0 0

,036

0 ,004

8 64 0 ,080

0 ,040

2

0 ,164

0 ,120

24

40

,224

0 ,240

0 ,508

6 52

0

0 ,284

2

0 ,152

0 ,748

4 0

0

0 ,028

0 ,964

8

8

,064

,900

2

0 ,008

0 ,992

,000

Решение. Принимая деления шкалы за основания, построим на них прямоугольники с высотами, равными отношению частостей m/n к цене деления шкалы Δx (в данном случае безразмерной). Получившаяся фигура, показанная на рис. 2, называется гистограммой. Соединив теперь отрезками прямых середины верхних сторон прямоугольников, как это показано на рисунке, получим ломаную линию, называемую полигоном. Как

гистограмма,

так

и

полигон

являются

исчерпывающим

эмпирическим описанием отсчета у аналоговых измерительных приборов любой конструкции.

112

Если бы была возможность увеличивать n, то в пределе при n → ∞ и Δx→ ∞ полигон перешел бы в кривую плотности распределения вероятности отсчета P(хi), показанную на рис 3, а. Здесь так же, как в примере 1, можно поступить по-другому. Подсчитывая, сколько раз указатель отсчетного устройства останавливался левее каждой отметки шкалы, откладывая над этой отметкой вдоль оси ординат отношение числа таких отклонений к их общему числу n (накопленные частости) и соединяя полученные точки отрезками прямых, мы получим ломаную линию, называемую кумулятивной

кривой.

m n ⋅ Δx

x

Рисунок

2.

Гистограмма

и

измерительного прибора

113

полигон

отсчета

у

аналогового

P(хi)

F(хi) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,1

х

0,2

0

0,1

х

0,2

а)

б)

Рис. 3. Плотность распределения вероятности (а) и функция распределения вероятности (б) отсчета у аналогового измерительного прибора Как гистограмма и полигон, она исчерпывающе характеризует отсчет у аналоговых измерительных приборов. Если бы опять-таки была возможность увеличивать n, то при n → ∞ и Δx→ 0 кумулятивная кривая перешла бы в график функции распределения вероятности отсчета F(хi), показанную на рис. 3, б. Примечание: плотность распределения вероятности P(хi) и функция распределения вероятности F(хi) служат в теории вероятности моделями эмпирических

законов

законов

распределения,

получаемых

из

экспериментальных данных методами математической статистики. Задание 2. При n-кратном независимом измерении одной и той же физической величины постоянного размера аналоговым измерительным прибором указатель отсчетного устройства в случайной последовательности по m раз останавливался на каждом из делений шкалы: Деление

0,10-

0,11-

0,12-

0,13-

0,14-

0,15-

0,16-

0,17-

0,18-

0,19-

шкалы

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,20

m

1

2

6

11

19

23

20

10

5

3

114

Что представляет собой отсчет при таком измерении? Постройте гистограмму, полигон, кумулятивную кривую, графики P(хi) и F(хi). Заключение: Умение работать с измерительной информацией в графическом представлении позволит студентам произвести последующую обработку результатов измерений с высокой точностью.

115

Практическое занятие № 4 Законы распределения случайных величин Цель: ознакомиться с основными числовыми характеристиками законов распределения (функция распределения и плотность распределения вероятности, математическое ожидание, дисперсия и т. д.) и научиться их оценивать. Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины

x задана выражением: ⎧ 0 ⎪ F ( x ) = ⎨a ⋅ x 2 ⎪ 1 ⎩

при

x ≤ 0,

при при

0 ≤ x ≤ 1, x > 1.

а) Найти коэффициент a . б) Найти плотность распределения P( x ) . в) Найти вероятность попадания величины x на участок от 0,25 до 0,5. Решение.

а) Так как функция распределения величины x непрерывна, то при x = 1 ax 2 = 1 , откуда a = 1 . б) Плотность распределения величины x выражается формулой: ⎧0 ⎪ P ( x ) = ⎨2 x ⎪0 ⎩

при

x ≤ 0,

при

0 ≤ x ≤ 1,

при

x > 1.

в) Используя формулу определения вероятности попадания случайной величины на заданный интервал

P( x = α ) = lim P(α ≤ x < β ) = lim [F ( β ) − F (α )], β →α

β →α

имеем: P(0 ,25 < x < 0 ,5) = F (0 ,5) − F (0 ,25) = 0 ,5 2 − 0 ,25 2 = 0 ,1875 . 116

Пример 2. Случайная величина x подчинена закону распределения с

плотностью:

P( x ) = a ⋅ cos x

при

P(x ) = 0

x . 2 2

а) Найти коэффициент a . б) Построить график плотности распределения P( x ) . в) Найти функцию распределения F ( x ) и построить ее график. г) Найти вероятность попадания величины x на участок от 0 до π /4. Решение.

а) Для определения коэффициента a воспользуемся

свойством

f P(x) (x)

плотности

распределения: x

π 2

∞

∫ P( x ) ⋅ dx = ∫ a ⋅ cos x ⋅ dx = 2 ⋅ a = 1 ,

−∞

−

π − 2

π 2

0

π 4

π 2

Рис. 4

откуда а = 1/2. б) График плотности P( x ) представлен на рис. 4. в) С помощью выражения функции распределения через плотность: x

F ( x ) = ∫ P( x ) ⋅ dx −∞

получаем следующий вид функции распределения:

117

⎧ 0 ⎪ ⎪⎪ 1 F ( x ) = ⎨ ⋅ (sin x + 1) ⎪2 ⎪ 1 ⎪⎩

при при при

π x . 2 F ( x)

График функции F ( x )

1

изображен на рис. 5. г) по формуле: P(α ≤ X < β ) = F (β ) − F (α )

x

π − 2

имеем:

π 2

0 Рис. 5

2 π⎞ 1 ⎛ π ⎛ ⎞ 1 P⎜ 0 < x < ⎟ = ⋅ ⎜ sin + 1⎟ − ⋅ (sin 0 + 1) = . 4 4⎠ 2 ⎝ 4 ⎠ 2 ⎝ Пример 3. Плотность распределения случайной величины x задана

формулой:

P( x ) =

(

1

π⋅ 1 + x 2

P(x)

f (x)

).

а) Построить график плотности P( x ) . 0

б) Найти вероятность того, что величина x попадет на участок (-1; 1). Решение. а) График плотности дан на рис. 6.

б) По формуле

118

Рис. 6

x

β

P(α < x < β ) = ∫ P( x ) ⋅ dx α

имеем: 1

dx

P(− 1 < x < 1) = ∫

−1 π ⋅

(1 + x ) 2

=

1 1 1 ⋅ arctg x = . −1 2 π

Задания. 1.

Непрерывная случайная величина x задана функцией

распределения

0, х ≤ 0 ⎧ ⎪ 4 2 F(х) = ⎨к ⋅ ( х + 3 ⋅ х ),0 < х ≤ 1 , ⎪ 1, х > 1 ⎩ Найти: а) найти параметр к. б) математическое ожидание. в) дисперсию. 2. Непрерывная случайная величина x задана функцией распределения

0, х ≤ 0 ⎧ ⎪ F(х) = ⎨к ⋅ ( 3 ⋅ х 2 + 2 ⋅ х ),0 < х ≤ 1 / 3 , ⎪ 1, х > 1 / 3 ⎩ Найти: а) параметр к. б) плотность распределения P(х). в) вероятность попадания величины в интервал от 0,1 до 0,2. 119

3. Непрерывная случайная величина x имеет плотность распределения,

описанную 0, х < 0 ⎧ ⎪ P(х) = ⎨а ⋅ sin х ,0 ≤ х < π , ⎪ 0, х > π ⎩ Определить: а) При каком значении параметра а P(х) может служить плотностью распределения. б) Найти функции распределения F(х). в) Вероятность попадания x в интервал (0 4 Найти: а) Параметр а. б) Математическое ожидание. в) Дисперсию. 7. Случайная величина x, сосредоточенная на интервале (1;4), задана

квадратичной функции F(x) = ax2+вх+с, имеющей максимум при х=4. Найти параметры а, в, с и вероятность попадания x в интервал (2; 3). 8. Дискретная случайная величина x имеет только два возможных

значения: x1 и x2 , x11, x2 = 3, x3 = 5, а также математическое ожидание этой величины М [x] = 2,2 и ее квадрата М [x2] = 6,6. Найти: закон распределения случайной величины. 10. Известны математическое ожидание а = 4 и среднеквадратичное

отклонение в = 3 нормально распределенной случайной величины x. Найти вероятность: 121

а) попадания этой величины в заданный интервал (3; 10). б) отклонения этой величины от математического ожидания не более чем на 4. 11. Известны математическое ожидание а = 8 и среднеквадратичное

отклонение в = 3 нормально распределенной случайной величины x. Найти вероятность: а) попадания этой величины в заданный интервал (3; 5). б) отклонения этой величины от математического ожидания на более чем на 5. 12. Возможная длина детали получаемой на станке распределена

следующим образом: Длина, мм ni, число образцов

90-93

93-96

96-99

99-102

102-105

105-108

108-111

111-114

114-117

1

8

16

17

27

18

15

7

2

Определить среднюю длину детали и отклонение от среднего. 13. Возможное время обработки образца на токарном станке

распределено следующим образом:

Время, с ni, число образцов

180-

185-

190-

195-

200-

205-

210-

215-

220-

225-

185

190

195

200

205

210

215

220

225

230

2

6

11

22

30

20

17

10

5

1

Определить

среднюю

продолжительность

обработки

детали

и

отклонение от среднего. Заключение: решение задач по данной теме позволит студентам

освоить алгоритмы расчетов числовых вероятностных параметров, что является

необходимым

для

математической

измерений. 122

обработки

результатов

Практическое занятие № 5 Вычисление абсолютной и относительной погрешностей. Определение методической и субъективной погрешностей Цель: выработать практические навыки при оценке различных видов

погрешностей. Пример 1. Определить в общем виде методическую погрешность

измерения мощности постоянного тока косвенным методом по показаниям амперметра и вольтметра при двух схемах их включения, показанных на рис. 7. Внутренние сопротивления амперметра и вольтметра соответственно равны RA, RV. Решение. При использовании схемы на рисунке, а

измеренное

значение мощности постоянного тока P = I ⋅ U R = ( I R + IV ) ⋅ U R = I R ⋅ U R + IV ⋅ U R = PR + IV ⋅ U R , где I – ток, измеряемый амперметром; IR – ток, протекающий через сопротивление R, IV – ток, протекающий через вольтметр; P – действительное значение измеряемой мощности.

а)

б)

Рисунок. Два варианта включения вольтметра и амперметра при косвенном методе измерения мощности постоянного тока 123

Абсолютная методическая погрешность измерения мощности по схеме на рис. 7, а составляет

ΔPa = P − PR = IV ⋅ U R . Относительная

методическая

погрешность

в

этом

случае

рассчитывается по формуле

δPa =

DPa IV ⋅ U R IV U R RV R . = = = = PR I R ⋅U R I R U R R RV

Аналогично для схемы на рис. 7, б измеряемое значение мощности

P = U ⋅ I R = I R ⋅ ( U R + U A ) = I R ⋅ U R + I R ⋅ U A = PR + I R ⋅ U A , где U – напряжение, измеряемое вольтметром; UA – падение напряжения на амперметре. При этом абсолютная методическая погрешность измерения мощности

ΔPб = P − PR = I R ⋅ U A . Относительная

методическая

погрешность

в

данном

случае

рассчитывается по формуле:

δPб =

Анализ

формул,

I R ⋅ U A U A I R ⋅ RA RA = = = . I R ⋅U R U R IR ⋅ R R

описывающих

относительные

погрешности,

показывает, что первую схему целесообразно использовать для изме5рения низкоомных нагрузок, так как при R→ 0 погрешность также стремится к 124

нулю. По аналогичным причинам вторую схему выгоднее применять для измерения

мощности

на

высокоомных

нагрузках.

Граница

между

высокоомными и низкоомными нагрузками определяется в рассматриваемом случае параметрами используемых средств измерений. Действительно, из равенства методических погрешностей для каждой из схем получаем R = RV ⋅ R A .

Пусть RA = 0,002 Ом, а RV = 1000 Ом, тогда R = 1,41 Ом. В этом случае методическая погрешность измерения мощности составит 0,14 %.

Пример 2. Пусть цена деления равномерной шкалы равна Xд единиц

измеряемой физической величины, длина деления равна Lд мм. Определить наибольшее значение личной погрешности. Решение. При условии, что средний оператор может интерполировать

в пределах деления шагами по 0,2 деления, т. е. по 0,2· Lд, наибольшее значение личной погрешности

Δл = Xд ⋅

0 ,2 ⋅ Lд = 0 ,2 ⋅ X д . Lд

Пример 3. Пусть периодическая погрешность меняется по закону:

Δ = A ⋅ sin

2π , T

где ϕ – независимая величина, от которой зависит Δ (время, угол поворота и т.д.); T – период изменения погрешности. Пусть при ϕ = ϕ 0

125

величина Δ 0 = A ⋅ sin

2π . Значение погрешности для ϕ = ϕ0 + ε , где ε – T

такой интервал, что ⎛ 2π Δ ε = A ⋅ sin⎜ ⎝T

0

2π ⎞ + π ⎟ = − A ⋅ sin T ⎠

0

= −Δ 0 .

Определить, чему равен интервал ε . Решение. По условию для интервала ε имеем

2π = π и ε =T 2. T

В этом случае

Δ0 + Δε Δ0 − Δ0 = = 0. 2 2

То есть периодическая погрешность исключается, если взять среднее двух наблюдений, произведенных одно за другим через интервал, равный полупериоду

независимой

переменной

ϕ,

определяющей

значение

периодической погрешности. Заключение: Умение определять погрешность измерений является

важной частью измерительного процесса, в конечном счете, влияющего на точность

и

надежность

техники,

технологических

процессов,

что,

несомненно, отражается на качестве, безопасности, и конкурентоспособности продукции.

126

Практическое занятие № 6 Внесение поправок Цель:

изучить распространенные случаи и особенности внесения

поправок в результат измерения. Если измерения не удается организовать так, чтобы включить или скомпенсировать влияющие факторы, то в оказания средств измерений вносятся поправки. Пример

1.

При

измерении

ЭДС

вольтметром

внутреннее

сопротивление источника питания Ri обычно не учитывается. Между тем, показание вольтметра U связано с измеряемой ЭДС E соотношением:

U=

R E, Ri + R

где R — внутреннее сопротивление вольтметра. Таким образом, даже при простейшем измерении вольтметром ЭДС его показание должно умножаться на поправочный множитель

Ri + R , определяемый расчетным R

путем. Задание

1.

Напряжение

источника

ЭДС

Ux

с

внутренним

сопротивлением Ri = 60±10 Ом измерено вольтметром класса точности 0,5. Сопротивление вольтметра RV = 5 кОм и известно с погрешностью ±0,5 %. Показание вольтметра UV = 12,35 В. Найти поправку, которую нужно внести в показание прибора для определения действительного значения напряжения источника ЭДС. Пример

2.

По

измеренным

значениям

электрического

тока,

протекающего через сопротивление, и падению напряжения на нем требуется рассчитать значение этого сопротивления. 127

На рис. 7 показаны два возможных варианта включения измерительных приборов. В первом случае из показания амперметра нужно вычесть ток, протекающий через вольтметр (см. рис. 1, а). При большом значении сопротивления R, соизмеримом с внутренним сопротивлением вольтметра или даже превышающем его, эта поправка значительна. Во втором случае из показания вольтметра нужно вычесть падение напряжения на амперметре (см. рис. 1, б). Эта поправка значительна при небольших значениях R, меньших внутреннего сопротивления амперметра или соизмеримых с ним. На практике схемы, показанные на рис. 1, а и 1, б, применяют соответственно при небольших и при больших значениях R, когда указанными поправками можно пренебречь. Поправки могут быть аддитивными и мультипликативными (так называемые

поправочные

множители),

постоянными

и

закономерно

изменяющимися с течением времени, существенными и несущественными, которыми можно пренебречь. Они могут определяться теоретически и экспериментально, представлять собой отдельные числа или функции, задаваемые в виде таблиц, графически или с помощью аналитических выражений. Влияние средства измерений на измеряемую величину во многих случаях проявляется как возмущающий фактор. Включение электроизмерительных приборов приводит к перераспределению токов и напряжений в электрических цепях и тем самым оказывает влияние на измеряемые величины. Ртутный термометр, опущенный в пробирку с охлажденной жидкостью, подогревает ее и показывает не первоначальную температуру жидкости, а температуру, при которой устанавливается термодинамическое равновесие. Магнитная стрелка возмущает магнитное поле и т.д. Если возмущающим действием средства измерений пренебречь нельзя, учет его нередко превращается в сложную самостоятельную задачу.

128

Другим влияющим фактором, который нужно учитывать, является инерционность

средств

измерений.

При

измерении

быстропеременных

процессов многие из них не успевают реагировать на изменение входного сигнала, в результате чeгo выходной сигнал оказывается искаженным по сравнению с входным. Некоторые средства измерений дают постоянно завышенные или постоянно заниженные показания. Это может быть следствием дефекта при их изготовлении, некоторой нелинейности преобразования, которое считается линейным, и многих других причин. Такие особенности средств измерений выявляются при их аттестации – всестороннем метрологическом исследовании, в процессе которого их показания при измерении одной и той же физической величины сравниваются с показаниями более высокоточного средства измерений. По итогам аттестации устанавливается поправка, которую нужно вносить в показания средства измерений. Эта поправка также может быть аддитивной и мультипликативной, числом или функцией, задаваться графиком, таблицей или формулой. К числу влияющих факторов относятся также условия измерений. Сюда входят температура окружающей среды, влажность, атмосферное давление, электрические и магнитные поля, напряжение в сети питания, тряска, вибрация и многое другое. О том, какую роль могут играть условия измерений, говорит следующий случай. Пример 3. При выполнении тренировочного полета 27 марта 1968г.

самолет УТИ МИГ-15, пилотируемый Героями Советского Союза Ю.А. Гагариным и B.C. Серегиным, попал в вихревой след другого реактивного самолета и перешел в штопор. В плотной облачности (8...10 баллов) с нижней границей на высоте 400...600м летчики ориентировались только по приборам показания которых в таких условиях носят неустойчивый характер. Кроме того, работа приемника воздушного давления на нерасчетных режимах, запаздывание сигналов в проводке к баровысотомеру и т.д. привели к завышению в показаниях высоты на 200…300м. Полагая запас высоты 129

достаточным, летчики выводили самолет из пикирования, не прибегая к катапультированию пока это было еще возможно. После выхода из облачности

при

угле

пикирования

70…90°

запас

времени

для

катапультирования оказалось уже недостаточно. Для спасения не хватило примерно 2с, 250…300м высоты. Заключение: необходимым условием высокоточных экспериментов

являются своевременно внесенные поправки, особенно важно их учитывать при опасных для жизни ситуациях: испытаниях самолетов, при запуске ракет и спутников, навигации судов и т. д. Причины возникновения ситуаций, требующих

внесения

поправок

вызваны

многофакторностью

и

разнообразием различных природных процессов, которые могут быть недостаточно изучены. В связи с данным обстоятельством необходимо научиться достаточно точно отображать действительность с помощью моделирования, анализа, синтеза, аналогии и других научных методов.

130

Практическое занятие № 7 Выявление и исключение грубых погрешностей (промахов) Цель: научиться выявлять грубые погрешности, используя различные

критерии. Грубые погрешности измерений (промахи) могут сильно исказить x , σ и доверительный интервал, поэтому их исключение из серии измерений обязательно. Обычно они сразу видны в ряду полученных результатов, но в каждом конкретном случае это необходимо доказать. Существует ряд критериев для оценки промахов. Критерий 3 σ . В этом случае считается, что результат, возникающий с вероятностью

P ≤ 0,003 ,

малореален

и его

можно

квалифицировать

промахом, т.е. сомнительный результат x i отбрасывается, если x − xi > 3 σ . Величины x и σ вычисляют без учета x i . Данный критерий надежен при числе измерений n ≥ 20,...,50 . Если n < 20 , целесообразно применять критерий Романовского. При этом вычисляют отношение

x − xi = β и полученное значение β σ

сравнивают с теоретическим β T - при выбираемом уровне значимости Р по табл. 4.

131

Таблица. Уровень значимости βТ = f (n ) Вероятность, Р

Число измерений n=4

n=6

n=8

n = 10

n =1 2

n = 15

n = 20

0,01

1,73

2,16

2,43

2,62

2,75

2,90

3,08

0,02

1,72

2,13

2,37

2,54

2,66

2,80

2,96

0,05

1,71

2,10

2,27

2,41

2,52

2,64

2,78

0,10

1,69

2,00

2,17

2,29

2,39

2,49

2,62

Обычно

выбирают

P = 0,01 − 0,05 ,

и

если

β ≥ βТ ,

результат

отбрасывают. Пример 1. При диагностировании топливной системы автомобиля

результаты пяти измерений расхода топлива составили 22, 24, 26, 28 и 48 л / 100 км. Последний результат вызывает сомнение. Проверить по критерию Романовского, не является ли он промахом. Решение.

x=

22 + 24 + 26 + 28 = 25 л/100 км; 4

3 2 + 12 + (− 1) + (− 3) σ= = 2,6 л/100 км. 4 −1 2

Поскольку

2

n < 20, то по критерию Романовского при P = 0,01 и

n = 4 β T = 1,73 :

β=

25 − 48 2,6

= 8,80 > 1,73 .

Критерий свидетельствует о необходимости отбрасывания последнего результата. Задание 1. При диагностировании топливной системы автомобиля

результаты пяти измерений расхода топлива составили 22, 24, 26, 28 и 30 л / 100 132

км. Последний результат вызывает сомнение. Проверить по критерию Романовского, не является ли он промахом. Если число измерений невелико (до 10), то можно использовать критерий Шовенэ. В этом случае промахом считается результат x i , если разность x − x i превышает значение σ , приведенные ниже в зависимости от числа измерений: ⎧1,6 σ ⎪1,7 σ ⎪ x − xi > ⎨ ⎪1,9 σ ⎪⎩2,0 σ

при

n = 3;

при

n = 6;

при n = 8; при n = 10.

Пример 2. Измерение силы тока дало следующие результаты: 10,07;

10,08; 10,10; 10,12; 10,13; 10,15; 10,16; 10,17; 10,20; 10,40 А. Необходимо проверить, не является ли промахом значение 10,40 А? Решение. Обработав данные, получим значения:

x = 10,16 А; σ = 0,094 А. По критерию Шовенэ 10,16 − 10,40 = 0,24 > 2 ⋅ 0,094 результат 10,40 является промахом. Критерий Шарлье используется, если число наблюдений в ряду велико

(n

>20).

Тогда

по

теореме

Бернулли

число

результатов,

превышающих по абсолютному значению среднее арифметическое значение на

величину

Кш S x ,

будет

n

[1-Ф(Ф(Кш))],

где

Ф(Кш)

–

значение

нормированной функции Лапласа для x= Кш Если сомнительным в ряду результатов наблюдений является один результатов, то n·[1-Ф(Кш)] =1. Отсюда Ф(Кш)= (n-1)/n. Значение критерия Шарлье приведены в табл. 5. 133

Пользуясь критерием Шарлье, отбрасывают результат, для значения которого в ряду из n наблюдений выполняется неравенство │xi- x │>КшSx. Таблица. Значения критерия Шарлье n

5

10

20

30

40

50

Кш

1,3

1,65

1,96,

2,13

2,24

2,32

100 2,58

Вариационный критерий Диксона – удобный и достаточно мощный (с

малыми

вероятностями

ошибок).

При

его

применений

полученные

результаты наблюдений записывают в вариационный возрастающий ряд x1, x2, … , xn (x1