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ARGOMENTI DI LOGICA Carlo Marletti - Enrico Moriconi - Mauro Mariani
A Paolo Casalegno
Indice 7
Premessa
Parte 1. LOGICA ENUNCIATIVA (Carlo Marletti) Capitolo 1.
Verso la logica enunciativa
11 13
1.1.
Seguire logicamente
13
1.2.
Forma logica
18
1.3.
Sistemi di prova
24
Capitolo 2.
Sintassi e semantica della logica enunciativa
27
2.1.
Il linguaggio standard
27
2.2.
Alberi sintattici, sottoformule
29
2.3.
Interpretazioni, verità e validità
38
2.4.
Sostituzione, coincidenza, rimpiazzamento
44
Capitolo 3.
Tautologie, conseguenza logica
49
3.1.
Tavole di verità
3.2.
Esercizi sulle tautologie
52
3.3.
Conseguenza logica enunciativa
60
3.4.
Completezza espressiva
64
3.5.
Forme normali
67
3.6.
Conseguenza generalizzata
70
Capitolo 4.
49
77
Sequenti
4.1.
Regole di sequenza
77
4.2.
Prove deduttive
83
4.3.
Il sistema analitico
85
4.4.
Sequenti principali
95
4.5.
Prove di leggi enunciative
98
Capitolo 5.
117
Metateoria
5.1.
Insiemi di Hintikka
5.2.
Completezza
122
5.3.
Finitezza
125
Capitolo 6.
117
Regole derivate, sistemi intuizionisti
129
6.1.
Analisi e deduzione
129
6.2.
Derivabilità del Taglio
134
6.3.
Sistemi intuizionisti
138
6.4.
Logica intuizionista senza regole strutturali
145
3
4
INDICE
Capitolo 7.
Altri sistemi di prova
155
7.1.
Sistemi assiomatici per la logica enunciativa
155
7.2.
Derivazioni
161
7.3.
Deduzione naturale
172
7.4.
Sistemi di deduzione naturale
178
7.5.
Modelli classici e non classici
185
Risposte agli esercizi
193
Parte 2. LOGICA DEL PRIMO ORDINE (Carlo Marletti)
227
Capitolo 8.
Sintassi e semantica della logica predicativa
229
Nota introduttiva
229
8.1.
Linguaggio e strutture di interpretazione
234
8.2.
Termini, formule e interpretazioni
239
8.3.
Alberi sintattici, sottoformule, sostituzione
246
8.4.
Altri linguaggi
253
Capitolo 9.
Conseguenza logica del primo ordine
257
9.1.
Verità, modelli, validità
257
9.2.
Conseguenza logica
260
9.3.
Rimpiazzamento
262
9.4.
Proprietà della conseguenza logica
267
Capitolo 10.
Sequenti per la quantificazione
273
10.1.
Regole di sequenza
274
10.2.
Prove deduttive
275
10.3.
Prove analitiche
278
10.4.
Proprietà delle prove
283
10.5.
Leggi di quanti cazione
289
10.6.
Forme normali
307
Capitolo 11.
Adeguatezza, inversione, sistemi intuizionisti
311
11.1.
Teoremi di caratterizzazione
11.2.
Derivabilità delle regole strutturali
318
11.3.
Sistemi intuizionisti
322
Capitolo 12.
Altri sistemi di prova, teorie formali
311
327
12.1.
Sistemi assiomatici per la quanti cazione
12.2.
Deduzione naturale
331
12.3.
Completezza, nitezza
339
12.4.
Teorie formali del primo ordine
340
12.5.
Un esempio: l'aritmetica del primo ordine
345
Capitolo 13.
Modelli sintattici e semantici
327
351
13.1.
Relazioni tra teorie
351
13.2.
Qualche teorema di rappresentazione
356
13.3.
Modelli semantici
359
Risposte agli esercizi
371
INDICE
Parte 3. ELEMENTI DI TEORIA DEI MODELLI (Enrico Moriconi) Capitolo 14.
Interpolazione e definibilità
5
391 393
14.1.
Interpolazione
393
14.2.
De nibilità
398
Capitolo 15.
Strutture e teoremi di cardinalità
405
15.1.
Relazioni fra strutture
405
15.2.
Fondamenti di teoria dei modelli
418
Capitolo 16.
Filtri e ultraprodotti
431
16.1.
Prodotti diretti
16.2.
Prodotti ridotti
433
16.3.
Filtri
434
16.4.
Ultraprodotti
435
16.5.
Il teorema fondamentale degli Ultraprodotti
438
16.6.
Il teorema dell'Ultra ltro
440
16.7.
Il teorema di compattezza
442
16.8.
Appendice I
443
16.9.
Appendice II
444
16.10.
Esercizi (con soluzioni)
Parte 4. INSIEMI E ALGEBRE (Mauro Mariani) Capitolo 17.
Insiemi
431
447
453 455
17.1.
Nozioni fondamentali
17.2.
Teoria assiomatica degli insiemi
459
17.3.
Relazioni, funzioni, ordini
461
17.4.
Numeri naturali, insiemi niti e in niti
466
17.5.
Insiemi ben ordinati e numeri ordinali
474
17.6.
Assioma di scelta e buon ordinamento
484
17.7.
Aritmetica ordinale e cardinale
488
Capitolo 18.
Elementi di algebra
455
495
18.1.
Nozione di algebra
495
18.2.
Induzione e ricorsione
497
18.3.
Reticoli ed algebre booleane
502
Appendice - SISTEMI DI PROVA
511
Sistemi a sequenti
512
Sistemi a deduzione naturale
517
Sistemi assiomatici o hilbertiani
521
Indice analitico
527
Bibliogra a
537
Premessa
Questo testo raccoglie l'esperienza didattica maturata dagli autori in molti anni di insegnamento in corsi di logica tenuti prevalentemente presso il corso di laurea in Filoso a dell'Università di Pisa, ma nasce anche dal desiderio degli autori di presentare certi argomenti con il passo e l'impostazione che, da studenti, avrebbero desiderato trovare in un manuale. Nel corso degli anni, e anche recentemente, sono stati pubblicati, anche in italiano, numerosi testi in cui vengono presentati i temi della ricerca logica.
Anche se ovviamente ci sono argomenti standard che
ogni manuale, in questa come in ogni altra disciplina, deve contenere, questi testi si dierenziano da vari punti di vista: il livello di complessità espositiva, l'ampiezza e il numero degli argomenti trattati, l'impostazione adottata, il tipo di studenti (e studiosi) cui principalmente ci si rivolge (e che, in questo caso, provengono fondamentalmente dalla loso a, la matematica e l'informatica).
Una prima ca-
ratteristica distintiva del testo che qui si presenta è che è stato scritto pensando a studenti di loso a, anche se ciò non signi ca (almeno nelle intenzioni degli autori) che esso non presenti motivi di interesse anche per matematici o informatici. Come si è detto, in ogni manuale la scelta dei temi è in parte notevole obbligata, e ciò vale anche per questo libro in cui viene fornita una esaustiva presentazione della logica formale del primo ordine, prestando particolare attenzione a varie tecniche dimostrative e di costruzione di modelli. Ciò lo rende usabile in molti corsi che coprono questa tematica no alla completezza, ma non all'incompletezza (e in generale ai
1
cosiddetti risultati limitativi ). Tutte le scienze scoprono verità, alla logica invece, diceva G. Frege, spetta il compito di indagare le leggi più generali dell'esser vero: fondamentale è quindi, e lo è n dalla nascita della logica con Aristotele, la componente argomentativa, cioè lo studio di ciò la cui verità possiamo conoscere e comunicare. Questo aspetto è trattato esponendo il concetto di dimostrazione e sviluppando varie procedure dimostrative: i sistemi assiomatici, la deduzione naturale, il calcolo dei sequenti, le tavole semantiche. In questo testo, e questa è un'altra sua caratteristica distintiva, pur presentando tutte queste varie procedure, sono impiegati i
sequenti analitici,
una sintesi molto versatile e intuitiva dei due ultimi sistemi sopra ricordati. Altrettanto fondamentale, in secondo luogo, è il ruolo che la nozione di verità, e più in generale quella di conseguenza logica, svolge nello studio delle teorie qui esaminate e che viene indagato sviluppando la loro semantica. In terzo luogo, è arontato il compito di stabilire le connessioni fra queste procedure dimostrative e le nozioni semantiche, dimostrando l'adeguatezza delle prime (cioè, dimostrando risultati di completezza semantica e di correttezza).
Questi sono i temi coperti dalle prime
due parti del libro (capp. 1-13), di cui rappresentano la componente fondamentale
1 Per
16].
i quali ci permettiamo di rinviare a Bellotti-Tesconi-Moriconi [ 7
PREMESSA
8
e di cui evidenziano la terza caratteristica distintiva, quella di introdurre la logica come teoria, cioè come un corpo di conoscenze scienti che (testimone di questa terza caratteristica è l'ampiezza, circa duecento pagine, con cui, già a livello proposizionale, sono trattati i temi indicati). Soprattutto, ma non solo, in testi rivolti a studenti di loso a, la logica è spesso trattata in maniera
ancillare
(in accordo
con una concezione strumentale della logica che, pure, è antica quanto la logica stessa), per cui grande spazio è dato all'aiuto che essa dà nella costruzione e nella valutazione delle argomentazioni, nella formalizzazione e quindi nel chiarimento di molte ambiguità presenti negli enunciati del linguaggio ordinario, nel contributo di chiari cazione che ore alle dispute loso che concernenti l'esistenza, l'identità, il ruolo dei nomi propri, ecc. Si tratta ovviamente di temi importantissimi e molto interessanti che ricevono la dovuta attenzione anche in questo testo, il quale però vuole sottolineare come la logica sia anche e soprattutto una scienza, per la quale forse la caratterizzazione freghiana sopra riportata è ormai non più adeguata, e che proprio una trattazione quale è qui fornita può contribuire a "integrare". Nella terza parte (capp. 14-16), si presentano alcuni concetti fondamentali di teoria dei modelli, necessari per arontare lo studio dei teoremi di compattezza, di Löwenheim-Skolem e di alcune importanti loro conseguenze, in modo da poter poi arontare una prima valutazione delle capacità e delle limitazioni espressive e deduttive delle teorie assiomatiche (sviluppate al primo ordine). Una trattazione abbastanza estesa è poi oerta per gli ultraprodotti, elegante costruzione che generalizza la semantica tarskiana e permette di fornire una dimostrazione puramente semantica del teorema di compattezza e, quindi, di molti altri risultati di teoria dei modelli. La quarta parte (capp.
17-18) contiene le nozioni concernenti la teoria degli
insiemi, l'algebra e le de nizioni induttive; nozioni che costituiscono una strumentazione fondamentale per lo sviluppo di tutte le branche della logica, ma che spesso vengono tenute sullo sfondo limitandosi a introdurre l'indispensabile "terminologia" insiemistico-algebrica. Senza aver la pretesa di fornire una trattazione esaustiva di
2
questi temi,
l'esposizione che viene qui oerta è su cientemente estesa per soddi-
sfare l'interesse di chi voglia approfondire queste tematiche, pur essendo allo stesso tempo su cientemente modulare da poter essere usata come quadro di riferimento da consultare solo quando necessario. Un sincero ringraziamento meritano in ne due collaborazioni preziose: quella di Luca Bellotti, per l'accurato controllo del testo e per le utili indicazioni che ne sono seguite ai ni della stesura de nitiva, e quella di Michele Lanzo, che oltre alla veste nale del testo ha curato l'Indice Analitico e l'Appendice riassuntiva dei sistemi di logica.
Naturalmente non a loro, ma solo agli autori, possono essere
attribuiti eventuali errori o imperfezioni nelle pagine che seguono. In anni ormai lontani, i corsi di logica che sono all'origine di questo testo erano stati tenuti anche dal compianto Paolo Casalegno, ed è a lui, all'amico di una vita, che vogliamo dedicare questo manuale.
Percorsi.
Un percorso di lettura di base, contenente il minimo indispensabile,
potrebbe avere la seguente articolazione:
•
Parte I -
Logica enunciativa :
Cap. 1. Cap. 2. Cap. 3: 1,2,3,6. Cap. 4.
Cap. 5. Cap. 6. Cap. 7: 1,2,3,4.
2 Che,
per la teoria degli insiemi, il lettore interessato può trovare in Casalegno-Mariani [
33].
PREMESSA
•
Parte II -
9
Logica dei predicati del primo ordine :
Cap. 8. Cap. 9. Cap.
10. Cap. 11: 1. Cap. 12: 1,2,3. Cap. 13: 3.
•
Parte III -
Elementi di teoria dei modelli :
Capp. 14, 15 e 16 si possono
omettere ad una prima lettura (e comunque richiedono i Capp. 17 e 18).
•
Parte IV -
Insiemi e algebre :
Capp. 17 e 18 si possono omettere a una
prima lettura e sono da consultare quando necessario.
Parte 1 LOGICA ENUNCIATIVA (Carlo Marletti)
CAPITOLO 1
Verso
la logica enunciativa
1.1. Seguire logicamente In un certo senso alle domande cosa sono le proprietà logiche? e quali sono i loro portatori? si possono dare altrettante risposte speci che quante sono le teorie
1
logiche.
Ma è anche possibile qualche iniziale risposta generica, poco più di un
avvio alla conoscenza di ciò che a buon diritto scienti co può chiamarsi logico.
Argomenti.
Per cominciare diciamo, secondo tradizione, che portatori delle
proprietà logiche sono
proposizioni .
Non è il caso qui di addentrarsi nei meandri
della questione loso ca sulla natura delle proposizioni. Possiamo limitarci a consi-
2 i e atteggiamenti proposizionali (quali credere, conoscere, dubitare, ecc.) e/o di atti linguistici (quali asserire, promettere, dichiarare, ecc.). Quanto alle proprietà logiche delle proposizioni, si può parafrasare il prezioso dictum aristotelico che apre il libro primo dei Topici :
derarle, ancora secondo tradizione, come ( ) i signi cati di enunciati dichiarativi (
ii )
i contenuti di
Criterio 1. Sono logiche quelle proprietà in base alle quali nei ragionamenti, date certe proposizioni, altre seguono necessariamente in virtù di quelle.
Essenzialmente logico, insomma, è ciò che direttamente determina il seguire necessariamente delle proposizioni da certe altre.
1
Com'è noto, la ricerca contemporanea ha contributo moltissimo - in una misura senza prece-
denti nella storia della cultura umana - a far avanzare la nostra comprensione di cosa in generale sia una logica in senso scienti camente de nito (e ciò è stato in larga parte reso possibile dalla massiccia intrusione di metodi matematici nella logica, ovvero dallo sviluppo della
tica ).
logica matema-
I risultati di questo processo scienti co si sono via via rivelati molto ricchi e variegati - non
confermando certo il famoso una volta per tutte.
dictum
kantiano sul campo della logica come chiuso e determinato
Solo per fare qualche nome, sono state così studiate logiche enunciative e
quanti cazionali, logiche rilevanti, modali, epistemiche, non monotoniche, quantistiche, della revisione di credenza, della probabilità, ecc. Ognuna delle quali consiste in un campo su cientemente omogeneo di leggi (enunciative, quanti cazionali, modali, epistemiche, ecc.) e in tecniche, metodi, principi per studiarle e sistemarle in qualche ordinamento teorico esplicativo.
2 Ad
esempio, la proposizione che la luna è rotonda è il signi cato dell'enunciato italiano La luna
è rotonda e di innumerevoli altri enunciati in altre lingue naturali. Diversi enunciati (della stessa lingua o di lingue diverse) possono esprimere la stessa proposizione, ma vale altrettanto che lo stesso (tipo di) enunciato può esprimere proposizioni diverse in situazioni diverse. La distinzione tra enunciati e proposizioni non è certo una pedanteria loso ca, ma solleva molte domande delicate e complesse - che coinvolgono la logica stessa, la teoria del signi cato, la semantica, la pragmatica, ecc.
- sulle quali non è possibile soermarsi in questa sede.
queste pagine è su ciente distinguere tra gli
enunciati
e le
proposizioni
Per i nostri scopi in
che essi esprimono. In
questo senso, proprietà logiche degli enunciati sono proprietà possedute dalle proposizioni che essi esprimono, così proprietà logiche
secondario
in senso primario
spettano alle proposizioni e solo
anche agli enunciati in quanto esprimono tali proposizioni. 13
in senso
1. VERSO LA LOGICA ENUNCIATIVA
14
Per un buon uso di questo criterio è opportuna qualche osservazione sul seguire nei ragionamenti. Con
ragionamento si intende comunemente un processo di
pensiero - espresso o meno in qualche forma linguistica - relativo all'orientamento di credenze, conoscenze, decisioni ecc.
(ad es., nella formazione e/o conferma di
credenze, nei processi di scelta e di valutazione, ecc.), o a qualche speci co campo di conoscenza (ad es. co, ecc.).
in matematica o in altre scienze, il ragionamento giuridi-
Come primo esempio può quindi essere su ciente la descrizione di un
possibile ragionamento nella vita di tutti i giorni.
Esempio 2.
Victor scosta le tende del suo studio e guarda fuori: sta piovendo.
Chiama sua moglie Nancy, nessuna risposta. È uscita. Ne conclude che ha preso l'ombrello. Un bel problema: in casa c'è un solo ombrello e quindi, pensa ancora, se anche lui uscisse, dovrebbe indossare l'impermeabile ma nirebbe comunque per bagnarsi. Meglio riprendere la lettura, ma decide anche che è il caso di comprare un altro ombrello. Alla domanda quale ragionamento è descritto in questo esempio? non è agevole
reasoning
dare risposta e lo stesso vale - come ben sanno gli studiosi di
- per quasi
ogni tipologia di ragionamento. Tuttavia, è chiaro l'obiettivo logico nell'analisi di un ragionamento: stabilire di quali proposizioni è costituito e determinare quali seguono da quali altre. In altri termini, un primo passo verso l'analisi logica dei ragionamenti consiste nel rappresentarli come argomenti, nell'accezione seguente.
Criterio 3. Un argomento è una sequenza A1 , . . . , An , B di enunciati con la quale è avanzata la pretesa che, date le proposizioni pA1 q, . . . , pAn q signi cate dagli enunciati A1 , . . . , An che ne costituiscono le premesse, segua la proposizione pBq signi cata dall'enunciato B che ne costituisce a sua volta la conclusione. Oltre che da premesse e conclusioni gli argomenti sono costituiti anche da speci ci indicatori delle pretese di consequenzialità avanzate.
Prendiamo, ad esempio, il
sillogistico che è dello stesso tipo di quelli studiati da Aristotele 3 nel primo libro degli Analitici Primi : Esempio 4. Se (1) Nessun numero primo > 2 è un numero pari e (2) Ogni somma di due numeri uguali 6= 0 è un numero pari, allora (3) Nessun numero primo > 2 è una somma di due numeri uguali 6= 0. seguente argomento
4
In questo caso, l'indicatore è della forma se..., allora
ma ne sono disponi-
bili innumerevoli altri, come se..., quindi, da...
segue che, dato che...,
risulta, posto..., si conclude che, e così via.
Per comodità adottiamo il
simbolo ∴ quale
indicatore generico di consequenzialità
in un argomento.
La
regimentazione astratta
A1 , . . . , An ∴ B
rappresenta allora la
forma generale
di un argomento.
I ragionamenti, e quindi gli argomenti, possono presentare gradi diversi di complessità. Secondo la teoria sillogistica, l'argomento di esemp4 consta di una sola
inferenza della quale, seguendo Aristotele, è anche istruttivo rappresentare la forma 5
tramite l'uso di lettere variabili:
3 Cfr. in
Aristotele,
Cesare
Analitici Primi, libro I, cap.
4 Naturalmente
10.5.3.
se..., allora costituisce anche tipicamente condizionali e in questo caso è un
connettivo enunciativo [cfr.
5 Cfr.
5. Si tratta di un sillogismo della seconda gura,
secondo la denominazione latina nella logica medievale, cfr.
nota 3.
1.2].
1.1. SEGUIRE LOGICAMENTE
Esempio 5. Nessun O
Qui il
O è M, Ogni N è M ∴ Nessun N è O.
è una variabile per il
termine minore.
15
Si dicono
termine maggiore, M per il termine medio e N per premessa maggiore e premessa minore del sillogismo
quelle che contengono, rispettivamente, il termine maggiore e il termine minore. La rappresentazione di esemp5 restituisce una
forma
o
gura di inferenza
sillogistica,
dalla quale risultano inferenze particolari ponendo termini in luogo delle variabili
O, M, N. In generale, tuttavia, un argomento consta di più inferenze e fa uso sistematico di premesse che, a loro volta, sono conclusioni di altre inferenze. Ad esempio, la fase iniziale nel ragionamento di esemp2 presenta le due inferenze seguenti: Esempio 2 [Segue]
a. b.
Victor chiama Nancy, (5) Nancy non risponde ∴ (6) Nancy è uscita. (7) Sta piovendo, (6) Nancy è uscita ∴ (8) Nancy ha preso l'ombrello. In particolare, l'inferenza (a ) fornisce all'inferenza (b ) la sua conclusione come una (4)
premessa (6) per ricavare insieme all'altra premessa (7) la conclusione (8). In altri termini, questa parte del ragionamento in esemp2 costituisce un argomento che dalle premesse (4), (5) e (7) conclude a (8):
i
( ) (4),(5),(7)
∴
(8)
Vedremo tra poco quale proprietà consente la funzione
mediatrice
di conclusioni-
premesse come (6), qui possiamo limitarci a individuare negli argomenti
immediate, come il sillogismo di esemp4, e inferenze mediate
inferenze i
come nel caso di ( ).
Ecco subito un altro esempio di inferenza mediata, ottenuta considerando insieme
6
a esemp4 anche il sillogismo seguente:
Esempio 6. Se (9) Nessun numero 6= 2 divisibile solo per l'unità o per se stesso è un numero pari e (10) Ogni numero primo > 2 è un numero 6= 2 divisibile solo per l'unità o per se stesso, allora (1) Nessun numero primo > 2 è un numero pari. Date le inferenze sillogistiche
ja jb
∴ (1) ∴ (3)
( . ) (9), (10) ( . ) (1), (2)
si ottiene un argomento costituito dalla seguente inferenza mediata
j
( ) (2), (9), (10)
∴
(3)
dove la funzione mediatrice di conclusione-premessa è giocata da (1).
Seguire necessariamente.
Il passo successivo è cercare di chiarire la metafo-
ra del seguire necessariamente della conclusione dalle premesse in un argomento. Essa
in parte
signi ca che, se le premesse sono vere, è vera anche la conclusione.
corretto . Viceversa, un non è corretto se ha premesse vere e conclusione falsa, non appare infatti
Un argomento che soddisfa questa condizione si può dire argomento
giusti cata la pretesa di consequenzialità di un argomento non corretto. La correttezza è certamente una condizione necessaria per la consequenzialità di un argomento, ma è chiaro che non ne è anche una condizione su ciente. In primo luogo, infatti, una componente importante della consequenzialità di un argomento è che sia
6 Cfr.
in qualche modo rilevante
Aristotele,
Celarent
la conservazione della verità dalle premesse alla
Analitici Primi, libro I, cap.
3. Si tratta di un sillogismo della prima gura, in
10.5.3.
secondo la denominazione latina nella logica medievale, cfr.
1. VERSO LA LOGICA ENUNCIATIVA
16
conclusione. conclusione è
Ora, qualsiasi argomento in cui siano vere tanto le premesse che la
banalmente
corretto, ma non è facile attribuire un senso al seguire
della conclusione (13) in un argomento corretto con premesse (11) e (12):
Brad Pitt è un attore (12) La luna è un satellite della terra
(11)
(13) 2+3 = 5 Anzi, la consequenzialità pretesa nell'argomento corretto (
ii ) (11),(12) ∴ (13),
che riguarda proposizioni con contenuti mutuamente irrilevanti, appare ingiusti cata e in certo modo persino illogica.
ii ), che è solo corretto, gli altri argomenti n qui visti sono sia a b i
A dierenza di (
corretti che rilevanti. In eetti, in 2( ), 2( ) e ( ) è rilevante dal punto di vista dei contenuti proposizionali interessati la conservazione della verità dalle premesse alle
7
relative conclusioni, e così la consequenzialità di tali argomenti appare giusti cata.
Altrettanto può dirsi dei sillogismi in esemp4 e esemp6, dove il termine medio fa da ponte informativo tra quello maggiore e quello minore, ciò che garantisce la rilevanza reciproca dei contenuti informativi delle premesse:
tramite il termine
medio l'inferenza conclude poi a un contenuto informativo che mette in una certa
j
relazione il termine minore e quello maggiore. Analogamente per ( ). È chiaro però che neppure la correttezza rilevante di un argomento è in grado di caratterizzare il seguire necessariamente della conclusione dalle sue premesse. In fatto di conclusività la teoria logica ha marcato n dai suoi albori una decisa dif-
ja
jb
ferenza tra inferenze come quelle di esemp4 e esemp6, cioè ( . ) e ( . ), e inferenze
a
b
come quelle di esemp2( )-( ), qui ora schematizzate da
ia ib
( . ) (4),(5) ( . ) (7),(6)
∴ (6) ∴ (8).
j
Analogamente, ha marcato una decisa dierenza tra argomenti come ( ) e argomenti
i
come ( ).
Come stabilito nella sillogistica aristotelica - il primo vero documento
ja
jb
forte proprietà necessariamente è
della scienza della logica - inferenze del tipo di ( . ) e ( . ) hanno una
modale di conservazione della verità :
se le premesse sono vere,
vera anche la conclusione o, in termini equivalenti, non è possibile che le premesse siano vere e la conclusione sia falsa. Conviene ssare questa proprietà in un criterio generale:
Criterio 7. ( a) B è conseguenza logica di A1 , . . . , An (: A1 , . . . , An B) nel caso in cui, essendo vere A1 , . . . , An , necessariamente è vera anche B. ( b) Un argomento A1 , . . . , An ∴ B è logicamente conclusivo se e solo se A1 , . . . , An B. Per comodità, in
B
il
conseguente.
Asserzione 8.
A1 , . . . , An B
si dice che
A1 , . . . , An
sono gli
antecedenti
e
Si può ora riscrivere crit1 nel modo seguente:
Sono
logiche
quelle proprietà delle proposizioni che determinano
relazioni di conseguenza logica - ovvero, dalle quali dipende se un argomento è logicamente conclusivo.
7 Questa
considerazione può essere facilmente estesa all'intero ragionamento descritto in
esemp2.
1.1. SEGUIRE LOGICAMENTE
Conseguenza logica standard.
jb
17
ja
Dalla conclusività logica delle inferenze ( . )
j
e ( . ) si ricava subito che anche l'argomento ( ) è logicamente conclusivo. Ciò che autorizza inferenze mediate del genere è la seguente proprietà di
taglio ) della conseguenza logica:
Corollario 9.
(Transitività di
A 1 , . . . , A n , C1 , . . . , C k D .
transitività
(o
) Se A1 , . . . , An B e B, C1 , . . . , Ck D, allora
Non è di cile dimostrare cor9. Supponiamo che valga:
*
A1 , . . . , An , C1 , . . . , Ck sono veri. A1 , . . . , An B. Questo con (*) comporta, per crit7(a ), che anche il conseguente B è vero. Da questo e dall'altra ipotesi B, C1 , . . . , Ck D segue quindi, usando ancora (*) e crit7(a ), che il conseguente D è vero. Ovviamente poi la conseguenza logica non solo è ri essiva, cioè A A, ma ( ) gli antecedenti
Per ipotesi di cor9 vale
veri ca anche la seguente generalizzazione della ri essività:
Corollario 10.
(Ri essività di
) A1 , . . . , Ai−1 , Ai , Ai+1 , . . . , An Ai .
In altre parole, è logicamente conclusivo qualsiasi argomento che ha la conclusione tra le premesse. In ne, se un argomento
A1 , . . . , An ∴ B
è logicamente conclusivo,
allora lo è anche qualsiasi argomento ottenuto da esso aggiungendo premesse. Infatti da crit7 risulta che la conseguenza logica è
Corollario 11.
(Monotonicità di
monotonica :
) Se A1 , . . . , An B, allora vale anche la
relazione C1 , . . . , Ck , A1 , . . . , An B.
Come si vede, la monotonicità è la proprietà per la quale in un argomento logicamente conclusivo le premesse
i
da sole garantiscono
8
la conclusione.
ia
ib
La situazione appare del tutto diversa nel caso di argomenti come ( . ), ( . )
e ( ). Qui è possibile che le premesse siano vere e le rispettive conclusioni, invece,
ia
false. In ( . ), ad esempio, anche se le premesse (4) e (5) sono vere la conclusione (6) può risultare falsa: Nancy stava magari ascoltando musica in cu a, così non ha sentito che Victor la stava chiamando, ma comunque non era uscita. Analogamente
ib
i
per ( . ) e ( ). In particolare, il seguire messo in gioco in questi argomenti non è monotonico: la conservazione della verità da premesse a conclusioni non è garantita se si aggiungono altre premesse. Ovvero: le premesse conclusione.
da sole non garantiscono la ia ib
Come ci insegna la logica contemporanea, nel caso di ( . ) e ( . )
si può parlare di inferenze
di default
(o
normali ),
che sono conclusive date certe
condizioni ma cessano di esserlo in presenza di altre condizioni. E si osservi che per le stesse ragioni le inferenze normali non autorizzano neppure la transitività. Si può dire che le proprietà di ri essività, transitività e monotonicità di cor910-11 caratterizzano la
conseguenza logica deduttiva standard.
Viceversa il seguire
messo in gioco in argomenti costituiti da inferenze normali, pur essendo corretto e rilevante, non è conseguenza logica standard nel senso di crit7. Ciò non esclude che nel caso delle inferenze normali, ovvero nel caso di relazioni di conseguenza che non soddisfano crit7, si possa parlare di proprietà logiche. Ad esempio, tipicamente non monotoniche sono le inferenze induttive e non è certo per qualche
8E
at
rende conto dell'aristotelico seguire necessariamente in virtù di quelle di cui abbiamo fatto
uso in
crit1.
Il punto è speci cato ancor più chiaramente da Aristotele nel famoso passo del cap.1
del Libro I degli
Analitici Primi
dove presenta la de nizione generale del sillogismo: non occorre
nessun altro termine per far sì che la conclusione risulti necessaria.
1. VERSO LA LOGICA ENUNCIATIVA
18
de nizionale che può essere escluso che vi sia qualcosa come una
logica induttiva.
Al contrario, la teoria logica contemporanea ha dedicato molta attenzione, e con risultati importanti, a tipi molto diversi di relazioni di conseguenza logica. Diciamo piuttosto che crit7 caratterizza in "termini modali" (sui quali torneremo tra poco) la conseguenza logica deduttiva standard e, se solo di questa ci occuperemo, è perché solo con essa hanno a che fare la logica enunciativa e la logica del primo ordine.
1.2. Forma logica Argomenti enunciativi.
Conviene ora iniziare a considerare altri esempi, che
ci saranno utili per avviare lo sguardo verso la logica enunciativa. Fin dalla logica Stoica sono state studiate proposizioni condizionali come
l'astro H26 è un satellite, allora gira intorno a un pianeta, Modus Ponens (15) se l'astro H26 è un satellite, allora H26 gira intorno a un pianeta, a. L'astro H26 è un satellite ∴ b. L'astro H26 gira intorno a un pianeta
(14) se
in ragione del fatto che danno luogo ad argomenti come il famoso
che appaiono logicamente conclusivi. In eetti, non si vede come essendo vere le
a
b
premesse (14) e (15 ), potrebbe essere falsa la conclusione (15 ).
Così sembra
proprio, in vista di crit8, che un argomento come (15) sia logicamente conclusivo in base a una legge di conseguenza logica. Analogamente, una congiunzione come (16)
Il calcio è uno sport
e
lo sport è devastato dal doping
può costituire premessa di argomenti come il seguente (17)
Il calcio è uno sport e lo sport è devastato dal doping ∴ a. Lo sport è devastato dal doping
che appaiono logicamente conclusivi.
Non diversamente vanno le cose quando si
tratta di disgiunzioni, visto che una proposizione come (18)
La situazione economica è di cile
o
in Borsa è prevalsa la paura Modus Ponens
può costituire premessa di argomenti come il seguente esempio di
Disgiuntivo (19) La situazione economica è di cile o in Borsa è prevalsa la paura, a. La situazione economica non è di cile ∴ b. In Borsa è prevalsa la paura
che di certo appare logicamente conclusivo. Un'altra batteria di esempi viene da proposizioni bicondizionali come (20)
I numeri pari sono niti
se e solo se
i numeri dispari sono niti
che possono costituire premesse di argomenti logicamente conclusivi come (21)
I numeri pari sono niti se e solo a. I numeri pari non sono niti ∴ b. I numeri dispari non sono niti.
se
i numeri dispari sono niti,
Così applicando crit8 diremo che non solo condizionali, ma anche per lo meno congiunzioni, disgiunzioni e bicondizionali hanno proprietà logiche che determinano relazioni di conseguenza logica.
1.2. FORMA LOGICA
19
Resta naturalmente da chiedersi quali sono queste proprietà e che tipi di relazioni di conseguenza logica esse determinano.
Si tratta di conseguenza logica
standard? Questa domanda si può a sua volta inscrivere in una più generale, che recita: da quali proprietà dipende la conseguenza logica (deduttiva standard)?. Questa ha ricevuto nella teoria logica una risposta altrettanto generale, che chiama in causa la nozione di
forma logica.
Principio di Formalità.
Come indica l'uso di (lettere) variabili in esemp5,
il rapporto tra conseguenza-conclusività e
forma logica
logica n dai suoi albori nella sillogistica aristotelica.
9
caratterizza la scienza della Lo testimonia direttamente
l'aermazione di Teofrasto riportata da Alessandro d'Afrodisia nel suo commento agli
Analitici Primi :
Aristotele conduce la spiegazione con riferimento a lettere per rendere chiaro che la conclusione sorge, non in virtù del contenuto, ma in virtù della forma e della composizione e modo delle premesse; infatti il sillogismo è conclusivo non in ragione del contenuto ma perché le premesse formano una coppia opportuna.10 Ancor più esplicitamente, nel 189 di uno dei suoi importanti lavori di logica for-
11
male
- le
Generales Inquisitiones De Analysi Notionum et Veritatum
del 1686 -
Leibniz assume una condizione di completezza sull'insieme dei principi adottati, in base alla quale gli assiomi logici sono completi se rendono conto delle relazioni tra concetti o proposizioni che sussistono in virtù della loro sola forma:
...tutto ciò che non si può dimostrare in base a questi principi non consegue in virtù della sola forma.12 Un tale principio è alla base di buona parte della logica formale tradizionale e moderna:
Principio di Formalità.
Una conclusione logica risulta non
in virtù del contenuto, ma in virtù della forma Per rendere conto di questo conseguire in virtù della
. sola
forma, che secondo il
Principio di Formalità caratterizza le spiegazioni della logica, in ogni giudizio e in ogni argomento la logica tradizionale opera una distinzione tra elementi rimpiazzabili che ne costituiscono il
forma .13
contenuto
e elementi costanti che ne costituiscono la
Per un'illustrazione iniziale di questa distinzione tra costanti e variabili logiche si può considerare la tavola seguente relativa alle forme sillogistiche: Simboli
Tipi
Forme logiche
a e i o
Ogni N è M) Nessun N è M) Particolare Aermativa (Qualche N è M) Particolare Negativa (Qualche N non è M)
NaM NeM NiM NoM
9 Seguendo
Universale Aermativa ( Universale Negativa (
il grande logico olandese Evert Beth - e in buona compagnia di eminenti storici della
logica quali Scholz, Bochenski e ukasiewicz - si può dire che uno dei grandi apporti del pensiero
26], n.
greco è l'aver realizzato il carattere formale della logica (Beth [
10 Beth [26], n. 27, 11 Rimasti inediti e
2, p. 39.).
p. 59. pubblicati solo all'inizio del secolo scorso dal logico francese Louis Couturat,
112]. 12 Leibniz [113], vol. 13 Beth [26], p. 39. cfr. Leibniz [
II, p. 322.
1. VERSO LA LOGICA ENUNCIATIVA
20
Tav.1.
Forme logiche delle proposizioni sillogistiche
Le proposizioni degli argomenti sillogistici hanno elementi
variabili
che fanno riferimento a un campo di contenuti ammissibili.
14
- i termini -
E hanno elementi
costanti che speci cano la quantità (Universale vs. Particolare ) e la qualità (Aermativa vs. Negativa ) della proposizione. Costanti e variabili costituiscono la forma logica della proposizione. In Tav.1 è usato il simbolismo della logica latina medievale per rappresentare le possibili costanti logiche Quantità-Qualità.
Così in esemp4 la premessa maggiore è Universale Negativa, la premessa minore è Universale Aermativa e la conclusione è Universale Negativa, ovvero le loro forme logiche - già adombrate in esemp5 - si possono ora rappresentare come segue (22)
OeM, NaM ∴ NeO
e con ciò resta rappresentata anche la forma logica del sillogismo di esemp4. In altre parole, con
OeM, ad esempio, abbiamo di fronte non una proposizione ma una
forma logica proposizionale, e una forma logica argomentale.
con (14) abbiamo di fronte non un argomento ma
Costanti e variabili logiche.
proprietà delle forme logiche degli argomenti.
In base al Principio di Formalità, dunque, sono
che determinano conseguenza logica e conclusività
Ciò vuol dire, in primo luogo, che le relazioni di conseguenza
leggi determinate da proprietà delle costanti logiche coinvolte formali nel senso che valgono per qualsiasi contenuto ammissibile che interpreti le variabili logiche coinvolte. Tutto ciò conduce
logica rispondono a
e, in secondo luogo, che tali leggi sono
al seguente criterio per la conseguenza logica relativo a forme logiche - dove usiamo lettere greche per indicare forme logiche delle proposizioni e si intende in modo (ancora) generico con
interpretazione
l'assegnazione di contenuti ammissibili alle
variabili logiche:
Criterio 12. ( a)
φ1 , . . . , φn ψ se e solo se: per ogni interpretazione = delle variabili logiche in φ1 , . . . , φn , ψ , se in base a = gli antecedenti φ1 , . . . , φn risultano veri, allora in base a = anche il conseguente ψ risulta vero. ( b) Una forma logica argomentale φ1 , . . . , φn ∴ ψ è valida se e solo se φ1 , . . . , φn ψ .15 Così, ad esempio, è determinato da proprietà delle costanti logiche coinvolte che ogni istanza (come esemp4) della forma logica argomentale (22) risulti un argomento logicamente conclusivo. Ossia: che data una qualsiasi scelta di contenuti (ammissibili) in luogo delle variabili logiche della forma logica
NeO.
OeM
e
NaM
O, M, N,
da proposizioni così ottenute
segua sempre una proposizione della forma logica
Non è quindi inopportuno dire che (22) è una forma argomentale valida, visto
che una legge formale della conseguenza logica come (23)
OeM, NaM NeO.
giusti ca la pretesa di conclusività di qualsiasi argomento di forma (22).
Forme logiche enunciative.
La logica enunciativa ci fornisce subito un'altra
illustrazione del Principio di Formalità e della distinzione tra costanti e variabili logiche che mette capo a
forme logiche enunciative.
14 Da qui anche la denominazione della sillogistica come logica terminorum. 15 Si vede facilmente che anche la conseguenza logica de nita in crit12 è ri essiva, transitiva.
monotonica e
1.2. FORMA LOGICA
Iniziamo dalle proposizioni condizionali. Diremo
21
condizionale la costante logica
coinvolta in (14) ed espressa in (14) dal connettivo grammaticale se
...
allora .
In quanto si presenta grammaticalmente come un connettivo di enunciati, si può dire del condizionale - così come delle altre costanti logiche proposizionali che incontreremo - che è un connettivo
binario,
connettivo enunciativo .16
In particolare, il condizionale è un
17
per esprimere il quale useremo il simbolo standard →.
In
questo senso, la forma logica di (14) si può rappresentare con (24) dove
φ→ψ
φ, ψ
(25)
sono variabili logiche per proposizioni qualsiasi, e a sua volta
φ → ψ, φ ∴ ψ
rappresentata la forma logica di un argomento di
Modus Ponens
come (15).
Per proposizioni come (16) diremo che la costante logica coinvolta (ed espressa in (16) da
...
e ) è la
congiunzione, 18
remo il simbolo standard ∧.
un connettivo binario per il quale use-
In questo senso, la forma logica di (16) si può
rappresentare con (26)
φ ∧ ψ,
e a sua volta la forma logica di un argomento come (17) è rappresentata da (27)
φ ∧ ψ ∴ ψ.
Analogamente, per proposizioni come (18) diremo che la costante logica coinvolta (ed espressa in (16) da
...
o ) è la
disgiunzione, un connettivo binario per il
quale useremo il simbolo standard ∨. In questo senso, la forma logica di (18) si può rappresentare con (28)
φ ∨ ψ.
Per rappresentare la forma logica dell'argomento (19) occorre però considerare
negazione, come espressa in (La situazione economica è di cile )
un'altra costante logica: la (29) non
− −−,
da non
19
cioè come connettivo unario di proposizioni,
20
remo il simbolo standard ¬.
per il quale use-
In questo senso, la forma logica di (29) si può
rappresentare con (30)
¬φ.
Così nalmente abbiamo anche (31)
φ ∨ ψ, ¬φ ∴ ψ
come forma logica per l'argomento (19).
16 Con
condizionale si dice quindi sia la costante logica che una proposizione formata a partire
da tale costante. Lo stesso tipo di omonimia vale, come vedremo, anche per gli altri connettivi enunciativi.
17 Per
il condizionale sono stati usati nella letteratura anche altri simboli, il più famoso dei quali
(di ascendenza Peano-Russell) è ⊃.
18 Anche altri simboli sono stati usati per la congiunzione, il più famoso dei quali è &. 19 In altri termini, la costante logica della negazione ha grammatica logica di tipo (29) e
a
tipo (19 ).
20 Tra
gli altri simboli che sono stati usati per la negazione il più famoso è ∼.
non di
1. VERSO LA LOGICA ENUNCIATIVA
22
In ne, per proposizioni come (20) diremo che la costante logica coinvolta (ed espressa in (16) da
...
se e solo se ) è il
bicondizionale,
nario per il quale sarà usato il simbolo standard ↔.
21
un connettivo bi-
In questo senso, la forma
logica di (20) si può rappresentare con (32)
φ↔ψ
e a sua volta con (33)
φ ↔ ψ, ¬φ ∴ ¬ψ
è rappresentata la forma logica di un argomento come (21).
Funzioni di verità.
Quali proprietà delle costanti logiche
¬, ∧, ∨, →, ↔
sono
responsabili della validità di forme argomentali come (25), (27), (31) e (33)? Ov-
a
vero, in vista di crit12( ), da cosa dipende che le forme logiche
φ → ψ, φ ↔ ψ Nella
¬φ, φ ∧ ψ , φ ∨ ψ , φ, ψ ?
siano vere per date interpretazioni delle loro variabili logiche
logica enunciativa
classica - alla quale principalmente è dedicata la
Parte I - la risposta sta tutta nel trattare i connettivi enunciativi come funzioni di verità,
cioè funzioni che prendono argomenti e valori nell'insieme
di verità logiche
vero
φ, ψ
e
falso.
{V, F}
dei valori
In altri termini, le interpretazioni ammissibili delle variabili
sono semplicemente valori di verità nella bipolarità vero/falso.
Le proprietà basilari di queste funzioni di verità e delle relative forme logiche sono determinate come segue.
¬φ: φ ∧ ψ: φ ∨ ψ: φ → ψ: φ ↔ ψ:
22
φ falsa, e falsa se φ vera. φ, ψ entrambe vere, falsa in ogni altro caso. falsa se φ, ψ entrambe false, vera in ogni altro caso. falsa se φ vera e ψ falsa, vera in ogni altro caso. vera se φ, ψ entrambe vere o entrambe false, falsa in ogni altro caso. Da ciò risulta in base a crit12(a ) una nozione Γ φ di conseguenza logica enunciavera se
vera se
3.3] che rende conto della validità di molte forme di argomento.
tiva
[
Tra queste
troviamo anche ad esempio (33), siccome vale
φ ↔ ψ, ¬φ ¬ψ . φ ↔ ψ, ¬φ sono entrambe vere, allora φ è falsa [per determinazione di ¬] e, quindi, anche ψ è falsa [per determinazione di ↔] e ¬ψ deve essere vera [per determinazione di ¬]. Così per ogni interpretazione classica delle variabili logiche in (34), se gli antecedenti φ ↔ ψ, ¬φ risultano veri, anche il conseguente ¬ψ risulta vero. In base a crit12(a ) vale (34) e, quindi, per crit12(b ) la forma (34)
In eetti, se
argomentale (33) è valida.
Esercizio.
Mostrare che anche le forme argomentali (25), (27), (31) sono valide.
A partire dal prossimo capitolo queste osservazioni sulla logica enunciativa saranno generalizzate, con la costruzione di linguaggi formali adeguati a rappresentare
2.2, 3.4]
forme logiche enunciative [
e con l'analisi delle proprietà basilari della
conseguenza logica enunciativa classica [
3.6].
In questo percorso avremo modo
di studiare non solo argomenti enunciativi validi, ma anche
tautologie
3.2], cioè
[
forme logiche enunciative che risultano vere per ogni interpretazione classica delle loro variabili logiche.
21 Tra
gli altri simboli che sono stati usati per il bicondizionale il più famoso ≡, che qui sarà
però usato per la nozione di
22 Cfr. cfr.
def35.
7.5.2.
equivalenza logica, cfr. 3.3.5.
I connettivi classici sono in sostanza operazioni di un'algebra booleana
{1, 0},
1.2. FORMA LOGICA
Esempio 13.
φ ∨ (φ → ψ) è falsa se ∨], ma ciò è impossibile, in quanto: se φ è falsa, allora φ → ψ è vera [per determinazione di →], quindi φ ∨ (φ → ψ) è vera [per determinazione di ∨]; se invece φ → ψ è falsa, questo vuol dire che φ è vera e ψ è falsa [per determinazione di →], quindi φ ∨ (φ → ψ) è vera [per determinazione di ∨]. φ, (φ → ψ)
φ ∨ (φ → ψ)
23
è una tautologia.
In eetti,
sono entrambe false [per determinazione di
Si osservi che è però possibile concordare sull'individuazione di costanti e forme logiche senza concordare sulla loro caratterizzazione, e in particolare sul tipo di relazione di conseguenza logica che giusti ca argomenti dei quali sono protagoniste. È quanto precisamente mostrano i trattamenti non classici delle forme logiche
6.3, 7.4], i quali mettono in discussione
enunciative che incontreremo più avanti [
23
che le costanti logiche enunciative siano semplicemente funzioni di verità.
Sulla nozione di costante logica.
a interpretazioni ammissibili
La caratterizzazione della conseguenza
totalità delle
logica in crit12( ) rimpiazza la necessità con il riferimento alla sostanza?
24
delle variabili logiche.
Si tratta di una dierenza di
La questione è controversa e abbastanza complessa da non poter es-
sere discussa in questa sede.
È comunque evidente che crit12 di cilmente può
essere inteso come una semplice analisi conservativa di crit7. È vero che la nozione di conseguenza de nita in crit12 è ri essiva, monotonica e transitiva, ossia
costanti logi-
è conseguenza logica standard, e appare quindi naturale considerare
che (standard ) quelle che soddisfano i requisiti di crit12.
D'altra parte, in base a
crit12 le costanti logiche (standard) sono caratterizzate dalla loro
topic -neutrality,
ovvero - questo in fondo è il nucleo del Principio di Formalità - le loro proprietà sono logiche (standard) in quanto indierenti alla variazione di contenuti, informazioni, ecc. cui tali costanti si applicano per produrre proposizioni. Niente del genere, evidentemente, è dato intravedere in crit7. Prendiamo ad esempio un noto argomento generale che si serve di termini di colore.
25
a
Dove
è
un oggetto qualsiasi, consideriamo: (35)
a è rosso ∴ a non è nero.
b
In base a crit7( ) l'inferenza (35) risulta logicamente conclusiva, infatti non è possibile che la premessa in (35) sia vera e la conclusione invece sia falsa. Quindi
a
in base a crit7( ) abbiamo (36)
a è rosso a non è nero.
a
La cosa sembra presentarsi diversa se adottiamo crit12( ) e consideriamo forme logiche per le proposizioni in (36), ottenute usando variabili in luogo delle posizioni di predicato occupate in (35) dai termini (37)
a è P 2 a non è Q.
rosso
e
nero :
In eetti sono pressoché in nite le interpretazioni possibili delle variabili logiche e
Q
che confermano (37) - prendiamo ad esempio
come
23 In
pesante
(e
a
P
come il termine
rotondo
e
P Q
come una grande sfera di una tonnellata).
7.5.3, i connettivi nella logica intuizionista sono interpretabili
particolare, come vedremo in
come operatori in un'algebra di Heyting, e non in un'algebra booleana.
24
La caratterizzazione della necessità consequenziale in termini di totalità delle interpretazioni
ammissibili delle variabili logiche è il fulcro del trattamento Bolzano-Tarski della conseguenza
27, 28], Coa [42], cap.
logica. Cfr. Bolzano [
25 Per
192]; v.
2; Tarski [
57].
critica generale di tale trattamento, Etchemendy [
174] e, per una
anche Shapiro [
174], p.
un argomento analogo, che considera relazioni e loro inverse, v. Shapiro [
657.
1. VERSO LA LOGICA ENUNCIATIVA
24
j troppo inclusiva, oppure che (jj ) una caratterizzazione formale come crit12 è troppo poco inclusiva. Si osservi però che un argomento del genere può essere utilizzato tanto per mostrare (j ) quanto per mostrare (jj ), quindi può soddisfare tanto chi respinge il Principio di Formalità Non è infrequente incontrare argomenti del genere, orientati a mostrare o che ( )
una caratterizzazione modale come crit7 è
quanto chi ri uta di attribuire alla richiesta di necessità per la conseguenza logica una portata al di là della legalità formale. Forse però le cose non sono così chiare - o, meglio, così confuse - e conviene piuttosto considerare che il carattere problematico di argomenti come il precedente può trovare riposo, se si segue il saggio suggerimento di Bolzano (e in fondo anche di Tarski) che
questione di scelta teorica.26 Un dato spazio logico è caratterizzato
l'essere una costante logica è una
da relazioni
necessarie
di conseguenza
logica, ciò richiama in base al Principio di Formalità l'individuazione una certa classe di forme logiche proposizionali, e quindi di
costanti
teorica
di
logiche. Ma
è in fondo la produttività e capacità esplicativa della teoria logica risultante che
27
decide sul valore che ha l'individuazione di quelle costanti logiche.
Foundations of Mathematical Logic,
Curry in apertura del suo
Come osservava
è futile cercar di
de nire una branca della scienza delimitandone precisamente i con ni: piuttosto, si stabilisce l'idea o l'obiettivo centrale della materia e si lascia che i con ni vadano a cadere dove possono.
28
In questo senso, la richiesta modale intuitiva può
considerarsi come la delimitazione iniziale e generica di un campo di proprietà logiche e di relazioni di conseguenza logica. A sua volta, il Principio di Formalità delinea il metodo con il quale si costruiscono (
certe )
spiegazioni sul dato campo,
tramite identi cazione di costanti logiche, analisi delle loro proprietà e costruzioni di sistemi di prova che sono le teorie esplicative per quelle proprietà e le rispettive relazioni di conseguenza logica.
1.3. Sistemi di prova In base alle considerazioni precedenti, e soprattutto al Principio di Formalità,
spazio logico L
si può dire che uno
consiste in una data classe di forme logiche e
nelle leggi di conseguenza logica tra tali forme.
In che consiste a sua volta una
teoria logica T - o semplicemente una logica T - per un dato spazio logico L? consiste in un'opportuna rappresentazione dello spazio logico si può dire
sintattico -semantico
sistema di prova.
Così prima di tutto una teoria forme logiche in
L,
T
L
- un compito normalmente
per uno spazio logico
di rappresentare le forme logiche in
deve individuare le
L.
L
di formule capaci
Ora, ciò che caratterizza un linguaggio è in
i riferimenti in n. 24. Per alcune analisi importanti della nozione di costante logica si
possono vedere Tarski [
27
L
ossia speci care le relative costanti e variabili logiche. Questo
compito è tipicamente realizzato costruendo un linguaggio
26 Cfr.
Essa
un compito che
- e, in secondo luogo, in un complesso adeguato
di elementi di spiegazione per le leggi logiche di realizzato da un adeguato
L-
192, 195], Hacking [87], McCarthy [127], Peacocke [145], Sher [176].
Ad esempio, invece di adottare per le proposizioni in (35) forme logiche come in (37), si può
avere colore come costante logica e quindi per forme logiche come non ha colore G. E se possono non mancare buone ragioni per ritenere (ovvero, non si può escludere a priori ) che anche (#) sia un caso di conseguenza logica nel senso di crit12(a ), è altrettanto possibile che la teoria logica risultante non sia particolarmente produttiva. 28 Curry [47], p. 2. optare per la scelta teorica di
in: (#)
a
ha colore F
a
1.3. SISTEMI DI PROVA
primo luogo la sua
grammatica
o
sintassi ,29
25
cioè l'insieme di regole che governano
la grammaticalità delle espressioni del linguaggio. Lo stesso vale naturalmente per un linguaggio formale
L:
occorre che sia data la
sintassi di L,
cioè il complesso
di regole che determinano in che modo a partire dalle costanti e variabili logiche
formule
sono formate le
di
L.
Nell'accezione generale la
L
Con ciò le forme proposizionali nello spazio logico
restano codi cate in formule di
L.
semantica
di un linguaggio è il sistema di signi cati
che hanno le espressioni grammaticali di quel linguaggio. Determinare la semantica di un linguaggio vuol dire, in particolare, dare i signi cati delle parole o elementi ultimi del linguaggio e speci care in che modo i signi cati delle espressioni grammaticalmente complesse sono collegati a quelli dei loro costituenti. Lo stesso vale più o meno anche per la semantica di un linguaggio formale
L.
In particolare, dare
una tale semantica vuol dire speci care i signi cati delle costanti logiche di
L
e il
campo di interpretazioni ammissibili per le sue variabile logiche. Ciò stabilito, la
condizioni di verità C per le formule di L in base = delle variabili logiche. La forma generale di una tale condizione per una formula φ di L è qualcosa come (*) φ è =-vera se e solo se C dove =-vera è un'abbreviazione di vera in base all'interpretazione = delle variabili logiche. Determinare le condizioni di =-verità per le formule del linguaggio L
semantica di
L
deve determinare
alle interpretazioni ammissibili
a
consente di disporre, lungo le linee indicate da crit12( ), di una nozione de nita di che cosa è una legge di conseguenza logica per le formule di
L.
Questo compito sintattico-semantico può essere riassunto dicendo che una (teo-
T ha come prima ordinata una coppia hL, i costituita da un L e da una relazione di conseguenza logica sulle formule di L.
ria) logica
linguaggio
(formale)
Il compito
di una teoria logica non è, però, né può essere solo questo. Come sa bene la logica n dall'atto di nascita nella sillogistica aristotelica, gli elementi di spiegazione che giusti cano una teoria logica, che fanno realmente di essa una
di prova.
teoria,
sono
Naturalmente a una teoria logica spetta individuare e spiegare
sistemi
-leggi
di
conseguenza logica, nel senso però che ad essa spetta - come accade ad ogni teoria - di dare un ordinamento esplicativo al dato spazio logico. Un sistema di prova
D
è appunto un tale ordinamento. Esso individua forme
logiche che svolgono il ruolo di
leggi logiche primitive, che fungono cioè da assiomi
in grado di caratterizzare proprietà basilari delle costanti in quello spazio logico. Inoltre esso individua transizioni tra forme logiche che svolgono il ruolo di
validi primitivi,
che cioè costituiscono le
regole di inferenza immediata
argomenti
in grado a
loro volta di caratterizzare le transizioni ammissibili tra costanti in quello spazio logico.
In ne un sistema di prova stabilisce in che cosa consiste una
prova
sulla
base dei dati assiomi e delle date regole di inferenza e così determina una relazione
conseguenza provabile che si può in generale indicare con: φ1 , . . . , φn `D ψ : ψ segue provabilmente da φ1 , . . . , φn in un sistema D di prova. di
Oltre al criterio modale e a quello formale si fa così strada un terzo criterio riguardo al seguire logicamente, certamente il più produttivo nella storia della ricerca logica:
Criterio 14. Individuare una relazione di conseguenza logica signi ca determinare una relazione φ1 , . . . , φn `D ψ di conseguenza provabile in un sistema D di prova. 29 Insieme
a molto altro ancora, come lessico, morfologia, ecc.
1. VERSO LA LOGICA ENUNCIATIVA
26
In base a questo criterio, costanti e forme logiche sono individuate da un certo complesso di assiomi e regole di inferenza, cioè da proprietà con le quali esse contribuiscono a de nire un certo sistema di prova. Vedremo che la conseguenza logica enunciativa classica può essere caratterizzata da diversi tipi di
sistemi deduttivi di prova
- in particolare, sistemi di prova
Cap4], assiomatico-hilbertiani [7.1-2] e di deduzione naturale [7.3-
a sequenti [
4] - nei quali leggi Γ φ della conseguenza enunciativa classica possono essere
dedotte da serie controllabili di principi in base a serie controllabili di procedure di prova. Particolare attenzione sarà dedicata ai sistemi
analitici
di prova [
4.3 per
questa nozione]. Col passaggio a sistemi di prova vedremo anche logiche enunciative diverse da quella classica - soprattutto quella rilevante, quella
minimale
30
intuizionista
e, in misura meno
6.3-4, 7.4] - costruite indebolendo i principi di
[cfr.
prova classici.
Studiando la logica enunciativa (e quella del primo ordine) vedremo anche che
a problemi di caratterizzazione propri di una teoria logica T = hhL, i , hD, `ii produttiva, quello della correttezza e quello della completezza, dove: (i ) la teoria T è corretta se φ1 , . . . , φn `D ψ comporta che φ1 , . . . , φn ψ ; (ii ) la teoria T è completa se φ1 , . . . , φn ψ comporta che φ1 , . . . , φn `D ψ . In questo senso la logica contemporanea ha insegnato che costruire una buona teoria logica richiede per lo meno questo: una relazione di conseguenza logica, una la tensione tra crit12( ) e crit14 è virtuosa e mette capo ai tipici
relazione di conseguenza provabile in un sistema di prova e qualche buon metodo per risolvere i relativi problemi di caratterizzazione.
30
7.5.3
Una semantica per la logica intuizionista è solo parzialmente indicata in
interpretazioni in un'algebra di Heyting.
tramite
CAPITOLO 2
Sintassi e semantica della logica enunciativa
2.1. Il linguaggio standard Già disponiamo di un'idea di massima delle forme logiche enunciative che vedo-
linguaggio formale enunciativo P - da considerarsi standard in quanto utilizza i cinque principali no protagonisti i connettivi. Per rappresentarle costruiamo ora un
connettivi usati in letteratura (negazione, congiunzione, disgiunzione, condizionale
1
e bicondizionale).
Nelle de nizioni useremo talvolta le notazioni riassuntive seguenti. Il signi cato di X
::= Y
è quello di una
regola
da un'enumerazione
stabilisce che qualcosa è un logamente, se
Y
X vale se e solo se tale qualcosa y1 , y2 , . . . , yn , allora
per la quale che qualcosa è un
Y . Se Y è speci cato X ::= y1 ; y2 ; . . . ; yn
è un
X
se e solo se è uno degli oggetti
y1 , y2 , . . . , yn ;
ana-
b
è speci cato da un'enumerazione in nita [cfr.
def15( )].
Con
l'espressione
X {a, b, . . .} si intende che sono usati simboli
a, b, . . .
per indicare elementi di (categoria)
X,
in
particolare la notazione
X {a : b, . . .} a X,
indica che il simbolo
è assunto come
rappresentante degli
allora con
rappresentante
degli
X.
Inoltre, se
a
è
Z ::= a si intende che qualcosa è uno
Z
se e solo se è un
X.
Con la notazione
X ::= Y1 | Y2 | . . . | Yn si intende in ne una
esaustivamente
regola
per la quale che qualcosa è un
tale qualcosa è un
Y1
possono usare i loro rappresentanti.
2
o è un
Y2
... o è un
Yn .
X
vale se e solo se
In luogo degli
Yi
si
Forti di queste notazioni, possiamo stabilire con precisione ciò che rientra nel vocabolario (VbP ) del linguaggio standard P - cioè un insieme di costanti logiche enunciative (OeP ), uno di variabili logiche enunciative (VeP ) e uno di simboli ausiliari
3
(AuP ).
1 Per altri linguaggi enunciativi, v. 3.4.1. 2 Ad esempio, def15(d ) stabilisce che qualcosa
è un elemento del vocabolario di
P
se e solo se è
una costante o una variabile logica o un simbolo ausiliare.
3
Per comodità qui e nel seguito sono talvolta omessi gli indici sottoscritti di riferimento a un
linguaggio o sistema formale se il contesto non dà luogo ad ambiguità. 27
2. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA ENUNCIATIVA
28
De nizione 15. a. b. c. d.
(Vocabolario di
P: VbP )
Oe {⊗} ::= ¬; ∧; ∨; →; ↔. Ve {p : q, r, s} ::= p0 ; p1 ; p2 ; . . . ; pn ; . . . Au ::= ( ; ). Vb ::= ⊗ | p | Au.
b
.
La clausola ( ) stabilisce che le uniche variabili logiche del linguaggio insieme numerabile
{p0 , p1 , . . . , pn , . . .} di lettere enunciative
P
sono un
- intese come
variabili
per enunciati di forma logica indeterminata, che rappresentano situazioni e sono suscettibili di assumere i valori di polarità di tali situazioni. Con Ve {p resta speci cato che le lettere latine minuscole sono usate come simboli o
metavariabili
p, q, r, s
: q, r, s}
(eventualmente con indici)
per le variabili enunciative e, in particolare,
p è assunta come metavariabile rappresentante per la categoria lettera del linguaggio P. Dalla clausola (c ) risulta che i simboli ausiliari sono
che la lettera enunciativa
solo due parentesi tonde, una di apertura e una di chiusura, utili per determinare la struttura delle espressioni di
a connettivi enunciativi
P.
La clausola ( ) di def15 stabilisce che le costanti logiche di standard
¬, ∧, ∨, →, ↔:
congiunzione (∧), della bicondizionale (↔).4 Con Oe {⊗}
e i quattro connettivi binari della
condizionale (→)
e del
P
sono i cinque
negazione (¬) disgiunzione (∨), del
quello unario della
è inoltre speci cato il
simbolo ⊗ come metavariabile per i connettivi. Oltre che da un vocabolario, un linguaggio formale è individuato da
sintattiche
regole
che determinano quali sono le sue espressioni ben formate. Il linguaggio
P ha un solo tipo di espressioni ben formate, le formule , che intendono rappresentare forme logiche enunciative. In particolare, formule atomiche di P sono le lettere enunciative:
FoAtP ::= p Sono poi formule di
P
o quelle atomiche o le espressioni costruite a partire da
formule atomiche tramite applicazioni grammaticali di costanti logiche - dove sono usate certe lettere greche minuscole come metavariabili per le formule:
De nizione 16.
P: FoP ) FoP {φ, ψ, χ, ϕ} ::= p | ¬ (φ) | (φ) ∧ (ψ) | (φ) ∨ (ψ) | (φ) → (ψ) | (φ) ↔ (ψ).
In particolare, se Analogamente
∧
(Formule di
¬ (φ) ∈ FoP , allora ¬ è il connettivo principale della formula ¬ (φ). (φ) ∧ (ψ), e così via per gli
è il connettivo principale della formula
altri casi. def16 è equivalente alla usuale caratterizzazione di
FoP
tramite le opportune
clausole ricorsive e la condizione di chiusura:
Esempio 17.
a. FoAtP ⊆ FoP , ossia ogni lettera enunciativa è una formula di P. b. Se φ ∈ FoP , allora anche ¬ (φ) ∈ FoP . c. Se φ, ψ ∈ FoP , allora (φ) ∧ (ψ) ∈ FoP . d. Se φ, ψ ∈ FoP , allora (φ) ∨ (ψ) ∈ FoP . e. Se φ, ψ ∈ FoP , allora (φ) → (ψ) ∈ FoP .
4
Il linguaggio
P
è caratterizzato principalmente dalle sue costanti logiche e può all'occorrenza
essere indicato come
P {¬, ∧, ∨, →, ↔}.
2.2. ALBERI SINTATTICI, SOTTOFORMULE
29
f. Se φ, ψ ∈ FoP , allora (φ) ↔ (ψ) ∈ FoP . g. Nient'altro è una formula di P. a
Infatti, il caso p di def16 corrisponde alla clausola ( ) di esemp17, in quanto
P. Il caso ¬ (φ) corrisponde alla clausola (b ) di esemp17, in quanto stabilisce che ¬ (φ) è una formula di P dove la metavariabile φ sta per una formula qualsiasi di P. Analogamente, il caso (φ) ∧ (ψ) corrisponde alla clausola (c ) di esemp17, in quanto stabilisce che (φ) ∧ (ψ) è una formula di P dove le metavariabili φ e ψ stanno per formule qualsiasi di P. Lo
stabilisce che quelle atomiche sono formule di
d
f
stesso vale per le altre clausole ( )-( ) di esemp17. In ne, def16 soddisfa anche la
g
condizione ( ) di esemp17 in quanto il separatore
| determina un insieme esaustivo
di casi.
Osservazione 18.
Il nostro uso di formula tende a comprendere sia formule
legittime che schemi di formula. In ogni caso la dierenza tra le espressioni in
i
ii ) è intuitivamente piuttosto chiara: i p0 , ¬ (p0 ), (p0 ) ∧ (p1 ), (p0 ) ∨ (p1 ), (p0 ) → (p1 ), (p0 ) ↔ (p1 ). (ii ) p, ¬ (p), (p) ∧ (q), (p) ∨ (q), (p) → (q), (p) ↔ (q). Quelle in (i ) sono formule legittime di P. Ogni espressione in (ii ), in quanto fa uso di metavariabili, è invece uno schema di formula di P nel metalinguaggio - nel
( ) e quelle in ( ( )
nostro caso, l'italiano corredato da elementi di teoria degli insiemi, aritmetica, e via
i
dicendo. Se le espressioni in ( ) sono formule di
P in base a def16, quelle in (ii ) sono
ii ) grosso
grammaticalmente sensate nel metalinguaggio. Uno schema di formula in ( modo signi ca che, ogniqualvolta in luogo delle metavariabili enunciative di
P, il risultato è una formula legittima di P.
p, q
siano poste lettere
In uno schema di formula
non solo si usano metavariabili per formule legittime, ma si menzionano anche i connettivi e i simboli ausiliari: se ne fa l'uso ambiguo di espressioni autoreferenziali. Per ovviare a queste ambiguità sono talvolta utilizzate le apertura p e di chiusura q:
signi ca precisamente la formula di ponendo date formule di
P
funzioni di Quine
così, ad esempio, un'espressione come
P,
con connettivo principale
in luogo delle metavariabili
ii ) assumono l'aspetto seguente:
φ, ψ .
∨,
di
pφ ∨ ψq
che si ottiene
Nella notazione di
Quine gli schemi in (
iii ) ppq, p¬ (p)q, p(p) ∧ (q)q, p(p) ∨ (q)q, p(p) → (q)q, p(p) ↔ (q)q. Fare uso di schemi come quelli in (ii ) invece di quelli più precisi in (iii ) è di solito (
un atteggiamento innocente, almeno nché non si corra il rischio di confondere una formula con uno schema di formula.
2.2. Alberi sintattici, sottoformule Fissata la distinzione tra formule e schemi, passiamo a chiederci come rispondere a domande sulla proprietà di essere una formula enunciativa.
Esempio 19. a. b. c. d.
Le seguenti espressioni sono formule di
(¬ (p0 ) ∨ (p1 p2 )) ↔ (p0 ) (p1 ) → ((p2 ) ↔ (⊥)) (¬ (p1 )) ((p3 ) ∨ ((p2 ) ↔ (p0 ))) → (p0 ) ¬ ((p3 ) | ((p2 ) ∨ (p0 ))) ↔ (p1 )
P?
2. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA ENUNCIATIVA
30
b
d
Per i casi ( ) e ( ) la risposta è abbastanza immediata: entrambe le espressioni contengono simboli non appartenenti al vocabolario di possono essere formule di
P.
a
P
b
d
e quindi né ( ) né ( )
Nel caso ( ) troviamo un'espressione (p1 p2 ) che
c
non corrisponde a qualche clausola in def16. Per ( ) la risposta è già meno immediata: il costituente ((¬p1 )) non sembra argomento di un connettivo, ma per
c
determinarlo con precisione occorre ricostruire la struttura sintattica di ( ).
2.2.1. Alberi sintattici.
Per ripercorrere in modo sistematico la struttura
di una formula enunciativa si può ricorrere ad
alberi sintattici
- dispositivi che
analizzano la costruzione grammaticale di una formula e sono in grado di stabilire se corrisponde a clausole regolate da def16.
i
Prendiamo ad esempio la seconda e terza formula da sinistra in oss18( ): se applichiamo il connettivo binario
→,
otteniamo in base a def16 l'espressione
(1) (¬ (p0 )) → ((p0 ) ∧ (p1 )) la cui formazione può essere ripercorsa costruendo un opportuno
(10 )
albero sintattico :
(¬ (p0 )) → ((p0 ) ∧ (p1 )) h→i ¬ (p0 ) (p0 ) ∧ (p1 ) h¬i h∧i p0 p0 p1
dalla sua espressione iniziale (1), ossia come un albero analisi. Subito sotto troviamo un nodo al quale l'albero si biforca, marcato dalla motivazione h→i - che signi ca: in base a def16, l'espressione (1) ha →
Cominciamo a leggere
(10 )
di
come connettivo principale e quindi corrisponde all'applicazione sintattica di agli argomenti
(100 )
e
(1000 ).
→
La biforcazione dà luogo a due rami le cui espressioni
iniziali sono rispettivamente:
(100 ) ¬ (p0 )
(1000 ) (p0 ) ∧ (p1 ).
(1) biforca quindi l'albero in direzione tanto dell'analisi di (100 ) 000 00 quanto dell'analisi di (1 ). L'analisi di (1 ) conduce a sua volta (in modo analogo 000 ma senza biforcazione) alla formula p0 . Mentre l'analisi di (1 ) conduce (con ulteriore biforcazione) alle formule p0 , p1 . L'analisi è terminata raggiungendo tutte le formule atomiche in (1) e ogni suo passo è giusti cato dalle regole sintattiche. Quindi l'espressione (1) è eettivamente una formula di P. 0 Viceversa, visto dal basso, l'albero sintattico (1 ) rappresenta la costruzione sintattica di (1): ha come entrate in ogni ramo formule atomiche, e ad ogni nodo L'analisi sintattica di
di motivazione corrisponde l'applicazione di una clausola in def16. In sostanza, un albero sintattico è capace di restituire tutta l'informazione rilevante sulla struttura grammaticale di una formula enunciativa. Prima di proseguire, vediamo subito un'applicazione degli alberi sintattici che riguarda la notazione delle formule di
P.
Esaminando
(1) si può apprezzare il ruolo
che hanno i simboli ausiliari come garanti contro l'ambiguità sintattica. Lo stesso vale per gli esempi seguenti:
(2) ((¬ (p0 )) → (p0 )) ∧ (p1 ) (3) ¬ ((p0 ) → ((p0 ) ∧ (p1 ))). Per le regole in def16, le formule sintattiche diverse.
(1)-(3)
sono distinte in quanto hanno strutture
Detto altrimenti, il ruolo con gurazionale delle parentesi nel
2.2. ALBERI SINTATTICI, SOTTOFORMULE
dispositivo ausiliare delle regole di
P
31
consiste nell'assicurare che una formula abbia
un solo albero sintattico. Supponiamo infatti che le regole in def16 siano state formulate senza ricorrere a parentesi per delimitare il campo d'azione dei connettivi. In luogo ad esempio di
(1)
avremmo
(4) ¬p0 → p0 ∧ p1 e anche un'ambiguità sistematica nella nozione di formula di dagli alberi sintattici
(40 )
(10 )
P,
com'è evidenziato
e
¬p0 → p0 ∧ p1 h∧i ¬p0 → p0 p1 h→i ¬p0 p0 h¬i p0
(400 )
¬p0 → p0 ∧ p1 h¬i p0 → p0 ∧ p1 h→i p0 p0 ∧ p1 h∧i p0 p1
(10 ), (40 ) e (400 ) sarebbero tutti analisi sintattiche dell'espressione (4), che risulterebbe sistematicamente ambigua, con letture (10 ), (40 ) e (400 ) che corrispondono invece, secondo def16, alle formule (1), (2) e (3). In eetti gli alberi
Le parentesi appesantiscono però le formule. Inoltre: sembra ridondante dover raccogliere in parentesi anche le formule atomiche e il trattamento di un connettivo unario come la negazione può essere dierenziato da quello di un connettivo binario, visto che il suo raggio d'azione è ristretto a una sola formula. Si possono tuttavia associare univocamente forme logiche a formule liberate in tutto o in parte da parentesi adottando opportune sempli cazioni. Ad esempio: il connettivo più fortemente di tutti gli altri; con più forza di
∧
e
∨
¬ domina
dominano con la stessa forza, e dominano
→ e ↔, che hanno a loro volta la stessa forza;
le lettere enunciative
non hanno bisogno di parentesi. Diamo ora una veste precisa a questi criteri, che si considerano
aggiunti
Asserzione 20.
alle regole sintattiche di def16.
(Riduzione di parentesi)
a. ppq riduce p(p)q. b. p¬ (φ) ⊗ (χ)q riduce p(¬ (φ)) ⊗ (χ)q, e p(χ) ⊗ ¬ (φ)q riduce p(χ) ⊗ (¬ (φ))q, ⊗ è un connettivo binario. ⊗ è → o ↔: p(φ)∧(ψ)⊗(χ)q riduce p((φ) ∧ (ψ))⊗(χ)q, e p(χ)⊗(φ)∧(ψ)q riduce p(χ) ⊗ ((φ) ∧ (ψ))q. d. Se ⊗ è → o ↔: p(φ)∨(ψ)⊗(χ)q riduce p((φ) ∨ (ψ))⊗(χ)q, e p(χ)⊗(φ)∨(ψ)q riduce p(χ) ⊗ ((φ) ∨ (ψ))q.
c.
dove Se
Adottando crit20, si può chiamare formula di
P
il risultato dell'applicazione
di qualcuna delle regole di riduzione a una formula legittima di
a
P.
Per schemi di
formule adottiamo sulle metavariabili un analogo di crit20( ) - il che equivale a trattare le metavariabili come lettere enunciative. Si osservi che le regole di crit20 conducono univocamente da
(4)
sulla base delle riduzioni in
(5):
(1)
alla lettura
2. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA ENUNCIATIVA
32
¬p0 → p0 ∧ p1 hcrit20 (a)i ¬ (p0 ) → (p0 ) ∧ (p1 ) hcrit20 (b)i (5) (¬ (p0 )) → (p0 ) ∧ (p1 ) hcrit20 (c)i (¬ (p0 )) → ((p0 ) ∧ (p1 )) Resta così determinato univocamente che l'albero sintattico di cioè
(10 ).
(2) (7):
Analogamente, le riduzioni sulle formule
crit20 risultano, rispettivamente, quelle in
(¬p0 → p0 ) ∧ p1 hcrit20 (a)i (6) (¬ (p0 ) → (p0 )) ∧ (p1 ) hcrit20 (b)i ((¬ (p0 )) → (p0 )) ∧ (p1 )
(6)
e
e
(3)
(4) è lo stesso di (1),
in base alle regole di
¬ (p0 → p0 ∧ p1 ) hcrit20 (a)i (7) ¬ ((p0 ) → (p0 ) ∧ (p1 )) hcrit20 (c)i ¬ ((p0 ) → ((p0 ) ∧ (p1 )))
Quindi le corrette con gurazioni ridotte di
(2)
e
(3)
sono, rispettivamente:
(8) (¬p0 → p0 ) ∧ p1 (9) ¬ (p0 → p0 ∧ p1 ) In particolare,
(4)
non è una possibile riduzione né di
(2)
né di
(3).
crit20 non speci ca nessuna riduzione di parentesi, ad eccezione dell'applica-
a
b
c
d
zione delle clausole ( ) o ( ), in contesti non contemplati nelle regole ( )-( ). Per esempio, ad una disgiunzione di congiunzioni - così come a un bicondizionale di implicazioni, e così via per le altre combinazioni possibili - sono al massimo diret-
a
b
tamente applicabili le regole ( )-( ) di crit20. In altri termini, non v'è ordine di scelta tra la parentesizzazione di
→
e di
↔.
∧
e di
∨,
come non v'è tra la parentesizzazione di
Ad esempio, uno schema di formula
(10) ((φ) ↔ (ψ)) → ((φ) → (ψ)) ha una riduzione
(100 ) (φ ↔ ψ) → (φ → ψ), mentre uno schema come
(11) ((φ) ∧ (ψ)) → ((φ) ∨ (ψ)) si riduce a
(110 ) φ ∧ ψ → φ ∨ ψ . Ad esempio, usando le regole grammaticali allargate con crit20 gli alberi delle formule
(80 )
(8)
e
(9)
risultano ora i seguenti:
(¬p0 → p0 ) ∧ p1 h∧i ¬p0 → p0 p1 h→i ¬p0 p0 h¬i p0
(90 )
¬ (p0 → p0 ∧ p1 ) h¬i p0 → p0 ∧ p1 h→i p0 p0 ∧ p1 h∧i p0 p1
Si possono naturalmente costruire alberi sintattici anche per schemi di formule:
2.2. ALBERI SINTATTICI, SOTTOFORMULE
φ∧ψ →φ∨ψ h→i φ∧ψ φ∨ψ h∧i h∨i φ ψ φ ψ
(12)
Tra
(12)
e
(13)
(13)
33
χ ∨ (ψχ → φ) h∨i χ ψχ → φ h?i
vi è una sostanziale dierenza: l'albero
(12)
si chiude con tutte
metavariabili, quindi determina uno schema di formula corretto in base alle regole
(13)
sintattiche. L'analisi è terminata con successo. Viceversa
non si chiude, un
ramo si arresta per impossibilità di proseguire applicando una regola sintattica: l'albero è terminato ma non chiuso, per cui l'espressione analizzata non è uno schema di formula di
P.
Non precisiamo qui la nozione di albero - per la quale si può vedere la de nizione in
17.5.4.
Fissiamo invece regole precise per assegnare alberi sintattici ad
espressioni del linguaggio lettera
P
- come metavariabile per gli alberi sintattici si userà la
T.
De nizione 21.
Un
albero sintattico T è una sequenza ordinata in forma d'albero
di espressioni dal vocabolario di
P,
tale che tutti i rami provengono da una stessa
espressione iniziale, e ogni nodo dell'albero è costituito dall'applicazione regola in (a ) sotto. Se φ è iniziale in T, l'albero è indicato con T : φ. ¬φ
a. h¬i φ
b. c.
φ∧ψ h∧i φ ψ
Un albero sintattico è Un albero sintattico è
φ∨ψ h∨i φ ψ
φ→ψ h→i φ ψ
di una
φ↔ψ h↔i φ ψ
terminato se nessuna regola in (a ) è applicabile. chiuso se è terminato in tutte formule atomiche.
In particolare, tutti gli alberi sintattici di formule visti nora soddisfano le condizioni di def21 e sono risultati chiusi. Si può generalizzare il risultato a tutte le formule di
P?
Ossia, è possibile mostrare che per tutte e sole le formule di
alberi sintattici chiusi, come suggerito dagli esempi
(12)
e
(13)?
P sono costruibili La risposta posi-
tiva non è certo sorprendente, ma dimostrarla consentirà di fare un passo avanti nella comprensione delle proprietà delle formule di
P
(e di un linguaggio logico in
generale).
2.2.2. Prove per induzione, sottoformule. prietà vale per
ogni
formula di
P,
Dovendo provare che una pro-
ci si scontra col fatto che l'insieme
FoP
è nume-
rabile e non possiamo quindi esaminarle tutte. Il problema tuttavia si sempli ca considerando che, in corrispondenza delle clausole sintattiche di def16, è de nibile il
grado
di una formula come misura della sua complessità sintattica.
A tale scopo adottiamo una notazione analoga a quella già vista nel caso di collezioni o insiemi di oggetti anche per la de nizione di funzioni. Scriveremo
h(x) ::= a1 : b1 | a2 : b2 | . . . | an : bn h(x) prende valori di tipo b1 per argomenti di tipo a1 , . . ., valori di tipo bn per argomenti di tipo an . Nella prossima de nizione si suppone che ⊗ sia un connettivo binario:
per indicare che la funzione
De nizione 22.
(Grado di una formula:
gr (φ))
gr (φ) ::= p : 0 | ¬ψ : gr (ψ) + 1 | ψ ⊗ χ : gr (ψ) + gr (χ) + 1.
2. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA ENUNCIATIVA
34
Esempio 23.
def22 equivale alle seguenti clausole ricorsive:
a. Per φ ∈ VeP , gr (φ) = 0. b. gr(φ) = gr (ψ) + 1 , se φ è di forma ¬ψ . c. gr(φ) = gr (ψ) + gr (χ) + 1 , se φ è una tra: ψ ∧ χ, ψ ∨ χ, ψ → χ, ψ ↔ χ.
gr (φ) se ricade in uno : 0 corrisponde alla condizione (a ) di esemp23: se φ è una variabile enunciativa, gr (φ) è 0. Il caso ¬ψ : gr (ψ) + 1 corrisponde alla condizione (b ) di esemp23: se φ è una negazione ¬ψ , gr (φ) è gr (ψ) + 1. Analogamente, l'ultimo tipo di caso in def22 corrisponde Infatti, in base a def22 qualcosa è un valore della funzione
dei casi ammessi dalle clausole di esemp23. Infatti il caso p
c
alla condizione ( ) di esemp23. Per comprendere meglio la misura di complessità sintattici
(14) e (15).
gr (φ), si considerino gli alberi
Vi sono state inserite (con la separazione di un punto e virgola)
speci cazioni numeriche: in
(15) sulla base di def22, invece in (14) solo scrivendole
ad ogni nodo di applicazione di una regola in def21.
(14)
(¬p → q) ∧ r h∧i ; 3 ¬p → q r; 0 h→i ; 2 ¬p q; 0 h¬i ; 1 p; 0
¬ (p → r ∧ q) ; 3 h¬i p → r ∧ q; 2 h→i p; 0 r ∧ q; 1 h∧i r; 0 q; 0
(15)
In base a def22, le entrate di formule atomiche hanno grado zero. iniziali degli alberi
(14)
e
(15)
Le formule
hanno lo stesso grado, il che vuol dire lo stesso
numero di connettivi ma anche - come si vede esplicitamente in
(14)
- lo stesso
numero di operazioni sintattiche interessate alla formazione della formula. In un senso naturale, quindi, il grado di una formula misura anche quello del suo albero sintattico.
Esempio 24.
Possiamo naturalmente de nire la misura di un albero sintattico
senza utilizzare direttamente il grado di una formula.
Alberi di grado zero sono
a
quelli che hanno una formula atomica come iniziale. Notiamo poi che la clausola ( ) di def21 autorizza due tipi di forme (dove ⊗ è un qualsiasi connettivo binario):
¬ψ h¬i ( ψ
(F1)
T0
. . .
La de nizione cercata del
ψ⊗χ ( h⊗i ) ψ χ
(F2)
T1
. . .
. . .
T2
grado di un albero sintattico (: gr (T)) è allora la seguente:
a. gr (T) = 0, per T con formula iniziale φ ∈ VeP . b. gr (T) = gr (T0 ) + 1, se T è di forma (F1). c. gr (T) = gr (T1 ) + gr (T2 ) + 1, se T è di forma (F2). Avere a disposizione valori numerici come il grado di una formula ha un eetto bene co immediato: parlare di tutte le formule in
FoP
equivale in certo modo a
parlare di numeri naturali, sui quali vale il principio di prova per induzione (cfr.
17.5.1).
Riscrivendo opportunamente tale principio risulta subito un metodo di
prova per induzione sul grado delle formule: dimostrare una proprietà
Q
per tutte
2.2. ALBERI SINTATTICI, SOTTOFORMULE
le formule vuol dire dimostrare che formule di qualsiasi grado
35
n
hanno la proprietà
Q.
Teorema 25.
(Principio di induzione sulle formule)
Sia Q una proprietà delle formule tale che: (i ) Q vale per ogni φ con gr (φ) = 0; (ii ) per ogni formula φ con gr (φ) = n+1, se ogni formula ψ con gr (ψ) = k ≤ n ha la proprietà Q, allora anche φ ha Q. Allora ogni formula φ ha la proprietà Q. Dimostrazione. Per assurdo, sia
i
In base a ( ) e a def22,
φ
φ
una formula che non ha la proprietà
non è una lettera enunciativa. Per (
Q.
ii ) e def22, però, φ
non è neppure di forma generata dalle clausole di def16. Quindi una tale formula non esiste, ossia tutte le formule enunciative hanno la proprietà
Q.
Con il metodo di prova per induzione sul grado delle formule siamo ora in grado di dimostrare il risultato sugli alberi sintattici annunciato sopra.
Teorema 26.
φ ∈ FoP sse esiste un albero sintattico chiuso T : φ.
Se φ ∈ FoP , allora esiste un albero sintattico chiuso gr (φ).5 In questo caso, l'applicazione di teor25 consiste
Dimostrazione. (A)
T : φ.
Per induzione su
nel mostrare quanto segue. Base. Sia
gr (φ) = 0. Per def22, φ T : p è chiuso.
def21 l'albero
Passo.
p
c
e in base alla clausola ( ) di
i gr (φ) = n + 1, quanto: (Ipotesi di gr (ψ) ≤ n esiste un albero sintattico chiuso
Assumiamo che valgano tanto ( ):
Induzione) per ogni formula
T : ψ.
è una variabile
i ii ) φ
ψ
con
Per ( ) e def22 si devono considerare i seguenti casi.
Caso 1. (
è
¬ψ
e (
iii ) gr(φ) = gr (ψ) + 1.
così per (IpInd) esiste un albero sintattico chiuso
i
Da ( ) e (
T0 : ψ .
iii )
segue
gr(ψ) = n,
e
Allora un albero di forma
T : φ. φ è ψ ⊗χ, e gr(φ) = gr (ψ)+gr (χ)+1 . Così per (i ) gr(ψ) ≤ n e gr(χ) ≤ n, e per (IpInd) esistono alberi sintattici chiusi T1 : ψ e T2 : χ. Allora un albero di forma (F2) è un albero chiuso T : φ. (F1) è un albero chiuso Caso 2.
Conclusione. Resta così stabilita la parte (A) del teorema. (R)
Se esiste un albero sintattico chiuso T : φ, allora φ ∈ FoP .
Per induzione sul grado
gr (T : φ) di T : φ.
In questo caso, l'applicazione di teor25
consiste nel mostrare quanto segue. Base. Sia
T:φ
gr (T : φ) = 0.
è chiuso.
a
Per la clausola ( ) di esemp24 vale
i
Passo. Assumiamo che valgano tanto ( ):
φ ∈ FoP ,
visto che
gr (T : φ) = n + 1, quanto: (Ipotesi di ≤ n la sua formula iniziale è in FoP .
Induzione) per ogni albero chiuso con grado
i
b
c
Per ( ) e le clausole ( )-( ) di esemp24 si devono considerare i seguenti casi.
T : φ è di forma (F1). Per (i ), gr (T0 : ψ) ≤ n, quindi per (IpInd) ψ ∈ FoP , e allora anche (φ =) ¬ψ ∈ FoP . Caso 2. T : φ è di forma (F2). Il procedimento è analogo. Conclusione. Resta così stabilita anche la parte (R) del teorema. Caso 1.
5Come primi esempi di dimostrazione per induzione, la presente e quella successiva di teor30(i ) sono date in forma didattica. Le dimostrazioni successive non conterranno indicazioni altrettanto esplicite dei vari gradini di induzione (base, passo, conclusione).
2. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA ENUNCIATIVA
36
Nel seguito conosceremo altri tipi di dimostrazione per induzione. Come quella di formula, in eetti, altre nozioni che incontreremo consentono misure tramite numeri naturali e quindi una versione speci ca del principio di induzione completa. Finora è rimasta sullo sfondo la relazione coinvolta nella costruzione degli alberi sintattici e che corrisponde in modo naturale alla misura di complessità sintattica calcolata dal grado delle formule:
quella di
sottoformula.
Fissiamo subito una
notazione opportuna
φ @ ψ:
φ
è una
sottoformula propria
di
ψ
e consideriamo che, lungo ogni ramo di un albero sintattico, le formule con grado minore risultano sottoformule proprie di quelle con grado maggiore. Come ci mostra l'esempio seguente.
Esempio 27.
(15) troviamo le seguenti relazioni (i ) r, q @ r ∧ q @ p → r ∧ q @ ¬ (p → r ∧ q), (ii ) p @ p → r ∧ q @ ¬ (p → r ∧ q). [Un buon esercizio: elencare quelle di (14).] In
di sottoformula propria:
Se proviamo ad elencare le relazioni di sottoformula propria presenti in alberi sintattici come
(10 ), (80 ) e (90 ), incontriamo però subito una di coltà:
la stessa lettera
enunciativa (o, in generale, la stessa formula) occorre in rami distinti dell'albero. Ovvero: la relazione di sottoformula propria vale tra tra
tipi
formula
di formule.
χ
occorre alla profondità
De nizione 28.
occorrenze
(o esemplari) e non
Bisogna perciò determinare con precisione quando una data
(Occorrenza di
n
in una formula
φ.
χ
a profondità
n
in
φ: ⇓ [φ, n, χ])
a. ⇓ [φ, 0, χ] se χ è φ. b. ⇓ [φ, n + 1, χ] se è soddisfatta una delle seguenti condizioni: (b.1) φ = ¬ψ ⇓ [ψ, n, χ], (b.2) φ = ψ ⊗ ϕ, dove ⊗ è binario, e: o ⇓ [ψ, n, χ] o ⇓ [ϕ, n, χ]. Se vale ⇓ [φ, 1, χ], diciamo che χ ha occorrenza immediata in φ.
e
Può essere utile calcolare la profondità di occorrenza delle varie formule in un albero
(80 ).
sintattico come
Esempio 29.
(80 ) troviamo le seguenti profondità di occorrenza: 0 (i ) per ogni φ in (8 ), ⇓ [φ, 0, φ]; (ii )⇓[¬p0 , 1, p0 ], ⇓[¬p0 →p0 , 1, p0 ], ⇓[(¬p0 →p0 ) ∧ p1 , 1, p1 ], ⇓[¬p0 →p0 , 1, ¬p0 ], ⇓ [(¬p0 → p0 ) ∧ p1 , 1, ¬p0 → p0 ]; (iii ) ⇓ [¬p0 → p0 , 2, p0 ], ⇓ [(¬p0 → p0 ) ∧ p1 , 2, p0 ], ⇓ [(¬p0 → p0 ) ∧ p1 , 2, ¬p0 ]; (iv ) ⇓ [(¬p0 → p0 ) ∧ p1 , 3, p0 ]. 0 [Un altro buon esercizio: elencare le profondità di occorrenza in (9 ).] In
ii )-(iv )
Per veri care (
(16)
si può usare la seguente rappresentazione delle occorrenze
(80 ): (¬p0 → p0 ) ∧ p1 1 : h∧i : 1 ¬p0 → p0 p1 1 : h→i : 1 ¬p0 p0 1 : h¬i p0
immediate in
2.2. ALBERI SINTATTICI, SOTTOFORMULE
Come si vede da (
ii )-(iv )
di esemp29, esemplari dello stesso tipo di formula (in
questo caso la lettera enunciativa
p1 ,
37
p0 )
hanno occorrenze distinte in
(¬p0 → p0 ) ∧
tutte univocamente determinate. Si dimostra che la profondità di occorrenza
de nita in def28 ha in generale le proprietà suggerite da
Teorema 30.
(16)
e da esemp27:
(Misura della profondità di occorrenza)
i Se ⇓ [ψ, k, φ] e χ ha occorrenza immediata in φ, allora ⇓ [ψ, k + 1, χ]. (ii ) Se ⇓ [φ, k, χ] e ⇓ [ψ, m, φ], allora ⇓ [ψ, k + m, χ]. ( )
i
k in ⇓ [ψ, k, φ]. ⇓ [ψ, 0, φ]. Per def28(a ), ciò vuol dire che φ è ψ , e quindi ovviamente vale anche ⇓ [ψ, 1, χ]. Passo. (IpInd): dato un qualunque numero k , se ⇓ [ψ, k, φ] e χ ha occorrenza immediata in φ, allora ⇓ [ψ, k + 1, χ]. Si deve mostrare che (i ) vale anche per k + 1. Supponiamo che ⇓ [ψ, k + 1, φ]. In base a def28 si danno allora i seguenti casi. Caso 1. In corrispondenza della clausola (b.1) di def28, sia ψ di forma ¬ϕ e ⇓ [ϕ, k, φ]. Siccome ⇓ [ϕ, k, φ] e stiamo supponendo che χ abbia occorrenza immediata in φ, da (IpInd) otteniamo ⇓ [ϕ, k + 1, χ]. Ma ⇓ [ϕ, k + 1, χ] vuol dire, per def28(b.1), ⇓ [ψ, k + 1 + 1, χ], visto che ψ è di forma ¬ϕ. 0 Caso 2. In corrispondenza di def28(b.2), sia ψ di forma ϕ ⊗ ϕ con ⊗ connettivo 0 binario, e: o ⇓ [ϕ, k, φ] o ⇓ [ϕ , k, φ]. Assumiamo, come primo sottocaso, ⇓ [ϕ, k, φ]. Per la supposizione che χ abbia occorrenza immediata in φ, da (IpInd) otteniamo ⇓ [ϕ, k + 1, χ]. Ma ⇓ [ϕ, k + 1, χ] vuol dire, per def28(b.2), ⇓ [ψ, k + 1 + 1, χ], visto 0 0 che ψ è di forma ϕ ⊗ ϕ . Il secondo sottocaso, che prevede l'assunzione ⇓ [ϕ , k, χ], Dimostrazione. Per ( ): induzione matematica su
i
Base. Mostriamo che ( ) vale per
è del tutto analogo.
k = 0.
Sia dunque
i
k. k di ⇓ [φ, k, χ]. Se k = 0, χ è φ, e quindi da ⇓ [ψ, m, φ] segue ⇓ [ψ, m, χ]. Per ⇓ [φ, k + 1, χ] si danno i seguenti casi. Caso 1. φ è di forma ¬ϕ e ⇓ [ϕ, k, χ]. Siccome per def28 la formula ϕ ha occorrenza immediata in φ e ⇓ [ψ, m, φ], da teor30(i ) segue che ⇓ [ψ, m + 1, ϕ]. Ma da ⇓ [ϕ, k, χ] e ⇓ [ψ, m + 1, ϕ] risulta, per ipotesi di induzione, che ⇓ [ψ, k + 1 + m, χ]. Caso 2. Analogo. Conclusione. Quindi ( ) vale per ogni numero naturale
ii ):
Per (
induzione su
In base alla profondità di occorrenza si può ora determinare con precisione la nozione di sottoformula già intravista in esemp29 e esemp27: semplicemente una formula che occorre in un'altra a una certa profondità.
De nizione 31.
(Sottoformula)
a. χ è sottoformula di φ (χ v φ) sse esiste un n tale che ⇓ [φ, n, χ]. b. χ è sottoformula immediata di φ sse χ ha occorrenza immediata in φ. c. χ è sottoformula propria di φ (χ @ φ) sse ⇓ [φ, n, χ] per n 6= 0. b
Per la clausola ( ) di def31, sottoformula immediata di immediate di
ψ⊗ϕ
sono
ψ
e
ϕ.
¬ψ è ψ , mentre sottoformule
Prima di proseguire è utile risolvere il seguente
problema.
Esercizio 32.
Elencare le sottoformule di
p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r),
e tutte le
relazioni di sottoformula immediata tra le sue sottoformule. Da def31 seguono diverse proprietà della relazione di sottoformula. In particolare, il grado di una sottoformula di
φ
è minore o uguale a quello di
φ.
Inoltre,
2. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA ENUNCIATIVA
38
la relazione di sottoformula è ri essiva, antisimmetrica e transitiva, mentre quella di sottoformula propria è transitiva ma irri essiva e asimmetrica.
Corollario 33.
(Grado e ordinamenti di sottoformula)
a. Se χ v φ, allora gr (χ) ≤ gr (φ). b. Se χ @ φ, allora gr (χ) < gr (φ). c. La relazione di sottoformula è un ordinamento parziale : (i ) φ v φ; (ii ) se χ v φ e φ v χ, allora χ = φ; (iii ) se χ v φ e φ v ψ , allora χ v ψ . d. La relazione di sottoformula propria è un ordinamento stretto : (j ) non vale φ @ φ; (jj ) se χ @ φ allora non φ @ χ; (jjj ) se χ @ φ e φ @ ψ , allora χ @ ψ .
a induzione su n di ⇓ [φ, n, χ]. Se n = 0, allora gr (χ) ≤ gr (φ), siccome χ è φ. Se n > 0, si danno i casi seguenti. Caso 1. φ è di forma ¬ψ e ⇓ [ψ, n, χ]. Così χ v ψ [per def31] e quindi per ipotesi di induzione gr (χ) ≤ gr (ψ). Ma gr(φ) = gr (ψ) + 1 [per def22], e quindi gr (χ) < gr (φ). Caso 2. φ è di forma ψ⊗ϕ, per ⊗ binario, e: o ⇓ [ψ, n, χ] o ⇓ [ϕ, n, χ]. Se ⇓ [ψ, n, χ], allora χ v ψ e si procede come nel caso 1 usando la def22. Analogamente, nel caso di ⇓ [ϕ, n, χ]. Dimostrazione. Per ( ):
banalmente
b c
a
Per ( ): segue banalmente dalla parte ( ). Per ( ). La ri essività segue facilmente da def31, e a sua volta la transitività dalla
ii )
χvφ χ 6= φ; allora χ @ φ per def31 e quindi, per la parte (b ) del gr (χ) < gr (φ), contro gr (φ) ≤ gr (χ) che segue da φ v χ per la parte
clausola ( e
φ v χ,
corollario,
a
di teor30. Per l'antisimmetria procediamo per assurdo: sia
ma anche
( ) del corollario.
d
c
Per ( ). Segue da ( ).
Non è di cile vedere, in particolare, che in un albero chiuso occorrono tutte e sole le sottoformule della sua formula iniziale:
6
Corollario 34. Se l'albero sintattico T : φ è chiuso, allora χ sta a un nodo in T : φ se e solo se χ v φ.
Con teor26 e cor34 resta determinato che gli alberi sintattici fanno eettivamente il loro lavoro.
2.3. Interpretazioni, verità e validità Passiamo ora a determinare una
semantica per il linguaggio P che restituisca in
forma de nita le interpretazioni intese delle sue formule, ossia, che esse esprimono forme logiche enunciative tramite variabili (per enunciati qualunque) e costanti logiche (i connettivi che rappresentano determinate operazioni logiche su enunciati). In primo luogo, occorre speci care il campo di possibili valori semantici delle lettere enunciative e le operazioni logiche che costituiscono il signi cato dei connettivi. Il passo successivo è de nire condizioni ricorsive per l'interpretazione semantica delle formule in base ai valori delle variabili e al signi cato delle costanti logiche in esse
7
occorrenti.
6 La prova è un utile esercizio di induzione su gr(T : φ). 7 Ne risulterà che P, come la maggior parte dei linguaggi di interesse per la logica,
composizionale.
ha una semantica
2.3. INTERPRETAZIONI, VERITÀ E VALIDITÀ
39
Il campo semantico inteso delle lettere enunciative sono naturalmente enunciati qualunque (di forma logica indeterminata). Tuttavia degli enunciati interessa nella logica enunciativa non tanto il contenuto descrittivo/signi cativo quanto la loro interconnessione con operazioni logiche sensibili a certi
valori di polarità
che assu-
mono gli enunciati rispetto alle situazioni che descrivono/signi cano. Nella versione
i
classica standard ( ) i valori di polarità che costituiscono il campo semantico delle
V (vero ) e F (falso ) e (ii ) i connettivi sono {V, F} linguaggio enunciativo come P ammette an-
lettere enunciative sono i valori di verità intesi come
funzioni di verità
che prendono argomenti e valori nell'insieme
dei valori di verità. Naturalmente un
rilevanti,
che semantiche non classiche, come quelle (implicite o esplicite) in logiche
intuizioniste, trivalenti, polivalenti, probabilistiche, ecc.
In una logica trivalente, ad
esempio, il campo semantico delle lettere enunciative ha oltre a
V e F anche un terzo
valore di verità, mentre in una logica intuizionista è costituito da costruzioni e le polarità rappresentate dalle formule dipendono da un'interpretazione dei connettivi in termini di operazioni logiche costruttive.
2.3.1. Strutture di interpretazione. In generale, una struttura di interpretazione S per il linguaggio enunciativo P è una coppia hf, Vi, dove: f : OeP 7→ L dà come signi cato alle costanti logiche di P elementi in una famiglia L di operazioni logiche ; V è un insieme di assegnamenti v : Ve P 7→ D che alle lettere enunciative D
associano elementi in un dominio operazioni in
L.
sul quale sono de niti argomenti e valori delle
Come si vede, le lettere enunciative non hanno un signi cato nella
struttura di interpretazione, ma solo un campo di variazioni signi cative, e la cosa è proprio come deve essere.
S classica di interpretazione per il linguaggio P veri ca le seguenti condizioni: D = {V, F}, quindi è l'insieme dei valori di verità V (vero ) e F (falso ). f : OeP 7→ L◦ , dove le operazioni logiche in L◦ = {o¬ , o∧ , o∨ , o→ , o↔ }
In particolare, una struttura enunciativo
i ii )
( ) (
sono le funzioni di verità determinate sotto in def35. Così un assegnamento enunciativa di
P.
v∈V
associa un valore vero (V) o falso (F) ad ogni lettera
Con la de nizione seguente resta individuato l'insieme
funzioni di verità per i connettivi di
De nizione 35.
L◦
delle
P.
a. o¬ (V) = F; o¬ (F) = V. b. o∧ (V, V) = V; o∧ (V, F) = o∧ (F, V) = o∧ (F, F) = F. c. o∨ (V, V) = o∨ (V, F) = o∨ (F, V) = V; o∨ (F, F) = F. d. o→ (V, V) = o→ (F, V) = o→ (F, F) = V; o→ (V, F) = F. e. o↔ (V, V) = o↔ (F, F) = V; o↔ (V, F) = o↔ (F, V) = F.
a
e
Non è di cile vedere che ciascuna delle clausole ( )-( ) di def35 de nisce
completamente
una funzione di verità. In eetti, la funzione
o¬
della
negazione
è di
un solo argomento, quindi è completamente de nita se è determinato, come nella
a
clausola ( ) di def35, quali valori prende in e
F.
Le funzioni
o∧ , o∨ , o→ , o↔
{V, F}
per ciascuno degli argomenti
V
sono di due argomenti, quindi sono completamente
b
e
de nite se è determinato, come nelle clausole ( )-( ) di def35, quali valori prendono in
{V, F}
per ciascuna delle
In particolare:
o→
o∧
22 possibili coppie ordinate hV, Vi, hV, Fi, hF, Vi, hF, Fi.
congiunzione, o∨ equivalenza materiale.
è la funzione di verità della
implicazione materiale
dell'
e
o↔
degli elementi in
dell'
della
{V, F}:
disgiunzione,
2. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA ENUNCIATIVA
40
f : OeP 7→ L◦ linguaggio P:
Con la de nizione seguente è determinata la funzione signi cato (classico) standard dei connettivi del
De nizione 36.
(Semantica standard dei connettivi di
che ssa il
P)
f (⊗) ::= ¬ : o¬ | ∧ : o∧ | ∨ : o∨ | →: o→ | ↔: o↔ .
2.3.2. Valutazioni.
Vediamo ora come il signi cato delle costanti logiche e i
possibili valori delle variabili si compongono per dare interpretazioni delle formule di
P.
Si userà la seguente notazione.
kφkfv :
la
valutazione
gnamento
φ
sulla base della funzione
f
e di un asse-
risulta già subito ben de nita se
φ
è una lettera
della formula
v ∈ V.
Chiaramente, la valutazione
kφkfv
enunciativa: (1)
krkfv = v (r).
Consideriamo una formula (2)
v (p1 ) = V
e
¬p1 ↔ (p2 ∧ p1 )
e un assegnamento
v
tale che:
v (p2 ) = F.
Un adattamento naturale degli alberi sintattici consente di rappresentare la valu-
¬p1 ↔ (p2 ∧ p1 ) in base a f e φ : x si intende che x è il valore
tazione di
all'assegnamento (2) - dove con un nodo
di forma
semantico di
φ:
¬p1 ↔ (p2 ∧ p1 ) : V hf (↔)i ¬p1 : F p2 ∧ p1 : F hf (¬)i hf (∧)i p2 : F p1 : V p1 : V
(3)
Se consideriamo (3) a partire dal basso, le entrate sono ovviamente giusti cate dalla clausola (1) e corrispondono alle seguenti condizioni: (4)
a. kp1 kfv = v (p1 ) = V. b. kp2 kfv = v (p2 ) = F.
In (3), inoltre, ad ogni applicazione di una regola sintattica di costruzione della formula
¬p1 ↔ (p2 ∧ p1 )
corrisponde l'applicazione di una condizione che risulta
dall'uso congiunto di regole semantiche in def36 e def35. Prendiamo ad esempio il nodo
p2 ∧ p1 : F
in (3). Il valore
F
di
p2 ∧ p1
a questo nodo è evidentemente il
risultato - in base a (4) - della seguente eguaglianza: (5)
kp2 ∧ p1 kfv = f (∧) kp2 kfv , kp1 kfv .
b
In eetti, per def36, (4) e la clausola ( ) di def35: (6)
f (∧) kp2 kfv , kp1 kfv
= o∧ kp2 kfv , kp1 kfv = F.
Si vede facilmente che condizioni analoghe valgono anche per gli altri nodi in (3): (7)
k¬p1 kfv = f (¬) kp1 kfv .
(8)
k¬p1 ↔ (p2 ∧ p1 ) kfv = f (↔) k¬p1 kfv , kp2 ∧ p1 kfv .
Forti di queste condizioni possiamo riscrivere l'albero (3):
2.3. INTERPRETAZIONI, VERITÀ E VALIDITÀ
41
k¬p1 ↔ (p2 ∧ p1 ) kfv : V h(8)i k¬p1 kfv : F kp2 ∧ p1 kfv : F h(7)i h(5)i f kp1 kfv : V kp2 kg : F kp1 kfv : V
(9)
Condizioni come (5), (7) e (8) non dipendono dalle particolari variabili occorrenti nelle formule e dai relativi assegnamenti, ma sono generalizzabili a variabili e assegnamenti qualsiasi. Inoltre, condizioni analoghe a (5), (7) e (8) valgono
mutandis
per tutti i connettivi in
P.
mutatis
In sostanza, dalle regole semantiche in def36
e def35 otteniamo (10) dove
⊗
a. k¬pkfv = f (¬) kpkfv è binario.
.
b. kp ⊗ qkfv = f (⊗) kpkfv , kqkfv
.
¬p1 ↔ (p2 ∧ p1 ) è così ¬p ↔ (q ∧ p), ossia è rappresentata,
La semantica di una formula come
restituita da quella dello schema corrispondente per qualunque assegnamento
v,
albero semantico :
dall'
p) kfv
k¬p ↔ (q ∧ h(10b)i k¬pkfv kq ∧ pkfv h(10a)i h(10b)i kpkfv kqkfv kpkfv
(11)
Nell'albero (11) de nito dalle condizioni in (10) è determinata, per ogni assegnamento
v,
la valutazione dell'intera formula in base alle valutazioni che le sue
sottoformule ricevono a partire dai nodi d'entrata di quelle atomiche. suggerito da (10)-(11) è che ogni assegnamento
kφkfv
per φ ∈ Fo P , il cui principio v alle lettere enunciative induce, via
Siamo a un passo dalla de nizione generale di
via lungo le sottoformule, una valutazione dell'intera formula.
De nizione 37.
S = hf, Vi di φ in base a v ∈ V: kφkfv ). kφkfv ::= p : v (p) | ¬ψ : f (¬) kψkfv | ψ ⊗ χ : f (⊗) kψkfv , kχkfv .
La notazione
kφkfv
(Valutazione in
è sempli cabile: una formula
φ di P ammette diverse interpreta-
zioni in distinte famiglie di operazioni logiche, ma in queste pagine sono considerate solo le interpretazioni classiche delle formule enunciative e quindi si può omettere
il riferimento alla funzione f. Data la semantica dei connettivi ssata in def36, in un senso ben de nito una valutazione classica dipende solo da un assegnamento : diremo quindi più concisamente valutazione di
φ in base a v e scriveremo kφkv . kφkfv .
Lo stesso vale per le nozioni la cui de nizione dipende da quella di
Esercizio 38.
V, F sono rappresentabili da 1 e 0, rispettivamente. f de nita dalle seguenti condizioni: a. f (p) = 1 oppure f (p) = 0. b. f (¬φ) = 1 − f (φ). c. f (φ ∧ ψ) = min (f (φ) , f (ψ)). d. f (φ ∨ ψ) = max (f (φ) , f (ψ)). e. f (φ → ψ) = max (1 − f (φ) , f (ψ)). f. f (φ ↔ ψ) = max (1 − f (φ) , f (ψ)) · max (1 − f (ψ) , f (φ)). I valori di verità
Consideriamo la funzione
2. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA ENUNCIATIVA
42
kφkv di def37 è equivalente alla funzione kφkv = V (F) sse f (φ) = 1 (0), se per ogni variabile f (p) = 1 sse v (p) = V.
Dimostrare che la funzione di valutazione
f
nel senso seguente:
enunciativa
p
vale:
2.3.3. Verità e validità logica. si ricava che, per ogni assegnamento
kφkv
V
che è
Lemma 39.
Con facile ragionamento induttivo da def37
v,
una formula
φ ∈ Fo P
ha una valutazione
F:
o
(Lemma di Bivalenza)
Per ogni v ∈ V: kφkv = V o kφkv = F.
Risultano così correttamente de nibili la
verità
e la
falsità
di una formula in base
a un dato assegnamento.
De nizione 40. la formula
φ
Scriveremo
è
La formula
falsa
2v φ
in base a
φ è vera in base a v (: v φ), v se e solo se kφkv = F.
per indicare che una formula
φ ∈ Fo P
se e solo se
kφkv = V;
non è vera. Da lemma39
e def40 risulta subito che una formula è falsa (in base a un dato assegnamento)
8
precisamente nel caso in cui non è vera (in base a tale assegnamento):
Corollario 41.
kφkv = F sse 2v φ.
Le condizioni in def37 sono spesso enunciate assumendo che le funzioni di verità di def35 siano parte del metalinguaggio in cui sono formulate le regole semantiche. In questo modo, valutazione e verità di una formula enunciativa sono uni cate nella nozione di soddisfazione in base a un assegnamento.
De nizione 42. a. b. c. d. e. f.
(Soddisfazione di φ in base a v p sse v (p) = V. v ¬φ sse: non v φ. v φ ∧ ψ sse: v φ e v ψ . v φ ∨ ψ sse: v φ o v ψ . v φ → ψ sse: se v φ , allora v ψ . v φ ↔ ψ sse: v φ se e solo se v ψ .
v: v φ)
In questa de nizione il signi cato delle clausole è determinato da un'interpretazione intuitiva (classica) dei connettivi, in base alla premessa che i connettivi del metalinguaggio non, e, o, se..., allora, se e solo se siano intesi proprio come le funzioni di verità in def35. Prendiamo ad esempio la
p ∧ q : l'idea della clausola (c ) v p ∧ q sse: v p e v q ,
formula
di def42 è che
a i v p ∧ q sse: v (p) = V e v (q) = V. Da (i ) insieme a def37 si ottiene: (ii ) v p ∧ q sse: k pkv = V e k qkv = V.
ossia in base alla clausola ( ) di def42 che ( )
Interpretiamo ora in modo naturale e sulla funzione di verità
8 Ciò
o∧
nel senso che
dipende dal fatto che la semantica adottata è bivalente (i valori sono solo due, vero e falso):
in una semantica a tre valori
vero, falso e indeterminato , ad esempio, una formula non è vera se
e solo se il suo valore è il falso o è indeterminato.
2.3. INTERPRETAZIONI, VERITÀ E VALIDITÀ
43
iii ) o∧ (x, y) = V sse vale x = V e y = V; o∧ (x, y) = F, altrimenti. Così da (ii ), (iii ) e dalla clausola (b ) di def35 risulta (
v p ∧ q
o∧ (k pkv , k qkv ) = V,
sse:
b
e quindi per la clausola ( ) di def36 e def37:
v
p∧q
v p ∧ q .
sse
Non è di cile vedere che la nozione di verità in def40 e quella di soddisfazione in def42 sono equivalenti anche negli altri casi (la prova è lasciata come esercizio):
Corollario 43.
v φ se e solo se v φ.
Questo autorizza a trattare le nozioni di valutazione-verità e di soddisfazione come varianti inessenziali, e ad usare def42 senza il segno distintivo come una semplice variante di
v φ
di def40.
Usando cor43, ssiamo altre elementari proprietà della semantica (classica) del linguaggio
P,
a cominciare da quelle del terzo escluso (in base a un dato asse-
gnamento una formula è vera o non è vera) e della negazione (in base a un dato assegnamento è vera una formula o la sua negazione):
Corollario 44. a. b. c. d.
v φ o 2v φ. v φ o v ¬φ. v φ → ψ sse : 2v φ o v ψ . v φ ↔ ψ sse : v φ e v ψ , oppure 2v φ e 2v ψ .
Esercizio 45. a. b. c. d. e.
Mostrare se le seguenti asserzioni sono corrette:
2v ¬¬φ, allora v φ → ψ . Se 2v φ, allora 2v φ → ¬¬φ. Se v φ → ψ e v ¬φ, allora v ¬ψ . Se v ¬ (φ ∨ ψ), allora v ¬ψ . Se v φ ↔ ψ e v φ, allora v ψ . Se
def40 ha ssato per le formule enunciative la nozione di verità in base a un dato
assegnamento. In particolare, se una formula si dirà che è
soddisfacibile.
Esercizio 46.
φ è vera per almeno un assegnamento
Soddisfacibili sono naturalmente le lettere enunciative e anche, ad
esempio, le formule seguenti (dove
⊗
è un connettivo binario di
P):
a. ¬φ, se φ è una lettera enunciativa. b. φ ⊗ ψ se φ, ψ sono lettere enunciative. c. ¬χ se χ è in (a ), o è in (b ) per φ, ψ distinte. In (c ) si può omettere la condizione per φ, ψ distinte? Una formula insoddisfacibile non ha esempi veri:
nessun assegnamento alle
sue lettere enunciative è in grado di veri carla. Il caso contrario è costituito dalle formule che non hanno esempi falsi per nessun assegnamento di valore alle loro lettere enunciative, e queste sono le formule logicamente valide:
De nizione 47.
φ
è
logicamente valida
(:
φ)
sse
v φ
per ogni
v ∈ V.
2. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA ENUNCIATIVA
44
Come sinonimo di formula enunciativa logicamente valida si dice anche
gia.
tautolo-
Una tautologia è vera per ragioni puramente logiche - attinenti alle costanti
enunciative che ne determinano la forma logica. Vi sono poi naturalmente formule vere per qualche assegnamento e non per qualche altro:
De nizione 48. qualche coppia
Una formula enunciativa
v, v0
di assegnamenti:
v φ
φ è logicamente indeterminata 2v0 φ.
sse per
e
Le nozioni di tautologia, insoddisfacibilità e indeterminatezza logica danno origine a un quadrato analogo a quello aristotelico delle forme sillogistiche:
:
per nessun
O
:
per qualche
A
E
I
O
= =
soddisfacibilità di
A
:
per ogni
v, v φ
E
↓
(Q)
v, v φ
↓ :
I
per qualche
v, v φ
v, 2v φ
In (Q) ovviamente abbiamo:
= tautologicità di φ = soddisfacibilità di φ
φ; ¬φ.
insoddisfacibilità di
Tra le situazioni A, E, I e O vigono quindi le seguenti relazioni: A implica I; E implica O; A e E sono contrarie, possono essere entrambe false, ma non entrambe vere; A e O, così come E e I, sono contraddittorie; I e O sono subcontrarie, possono essere entrambe vere, ma non entrambe false. In particolare (le prove sono immediate):
Corollario 49.
a. φ è logicamente indeterminata se e solo se φ non è una tautologia e non è insoddisfacibile. b. φ se e solo se ¬φ è insoddisfacibile. b
Da cor49( ) risulta naturalmente che
Esercizio 50. a. b.
φ
è insoddisfacibile se e solo se
¬φ.
Tra le asserzioni seguenti, quali sono corrette?
φ è una tautologia, anche ψ ∨ φ e ψ → φ sono tautologie. Se φ e ψ sono logicamente indeterminate, allora anche ¬ (φ ∧ ψ) , ¬ (φ ∨ ψ), ¬ (φ → ψ) lo sono. Se
2.4. Sostituzione, coincidenza, rimpiazzamento 2.4.1. Sostituzione. Dal punto di vista grammaticale, l'idea di sostituire variabili enunciative con formule è del tutto semplice e naturale: dalle regole sintattiche di def16 di
P
segue che ciò non altera la buona formazione grammaticale. Ad
esempio, se nella formula (*)
¬p0 ∨ (p2 → p5 )
poniamo in luogo della variabile (**)
p2
la formula
p31 ∧ p7 ,
otteniamo
¬p0 ∨ (p31 ∧ p7 → p5 ),
che è altrettanto una formula.
sostituzione
in una formula
φ
De niamo con precisione questa operazione di
di una lettera enunciativa
p
con una formula
De nizione 51. a. b.
Se Se
(Sostituzione: φ [p/χ]) φ = q , allora q [p/χ] è q , se p non è q ; è χ, φ = ¬ψ , allora (¬ψ) [p/χ] è ¬ (ψ [p/χ]).
altrimenti.
χ.
2.4. SOSTITUZIONE, COINCIDENZA, RIMPIAZZAMENTO
c.
Se
φ = ψ ⊗ ϕ,
(ψ ⊗ ϕ) [p/χ]
allora
è
45
(ψ [p/χ]) ⊗ (ϕ [p/χ]).
Non è di cile mostrare che la sostituzione è un'operazione grammaticalmente corretta:
Corollario 52. Se φ, χ ∈ Fo P , allora anche φ [p/χ] ∈ Fo P . gr(φ). Ad esempio, sia gr(φ) > 0 e φ sia ψ ⊗ ϕ, dove ⊗ è un connettivo binario. Per ipotesi di induzione, tanto ψ [p/χ] che ϕ [p/χ] sono formule. Per def51(c ), φ [p/χ] è (ψ [p/χ]) ⊗ (ϕ [p/χ]), e quindi per def16 abbiamo anche φ [p/χ] ∈ Fo P . Dimostrazione. Per induzione su
della forma
2.4.2. Rimpiazzamento.
Un'operazione analoga alla sostituzione consiste
nel rimpiazzare non una variabile ma una formula con un'altra. Per rappresentare questa operazione sintattica useremo la notazione seguente.
φ [ψ \ χ]:
il risultato di rimpiazzare in qualche occorrenza in con una formula
φ
la sottoformula
A dierenza della sostituzione, il rimpiazzamento non interessa della data sottoformula: sottoformula
ψ
χ.
ogni
occorrenza
non è richiesto, infatti, che ogni occorrenza della data Per determinare φ [ψ \ χ] φ, a una certa profondità formula qualsiasi χ.
ψ in φ sia rimpiazzata da un'altra formula χ.
si deve de nire l'operazione di rimpiazzare in una formula di occorrenza
n,
una sua sottoformula
De nizione 53.
ψ
con un'altra
φ a profondità n: φ [n, ψ \ χ]) a. φ [0, ψ \ χ] è χ, se ⇓ (φ, 0, ψ); altrimenti, è φ. b. Se φ è ¬ϕ, allora φ [n + 1, ψ \ χ] è ¬ {ϕ [n, ψ \ χ]}, se ⇓ (ϕ, n, ψ); altrimenti, φ [n + 1, ψ \ χ] è ¬ϕ. c. Se φ è ϕ ⊗ ϕ0 , dove ⊗ è un connettivo binario: φ [n + 1, ψ \ χ] è la formula {ϕ [n, ψ \ χ]} ⊗ {ϕ0 [n, ψ \ χ]}, se vale ⇓ (ϕ, n, χ) oppure ⇓ (ϕ0 , n, χ); altrimenti, φ [n + 1, ψ \ χ] è ϕ ⊗ ϕ0 . (Rimpiazzamento di
ψ
con
χ
in
Risulta ora de nibile la nozione generale come l'operazione di rimpiazzare una formula
ψ
con un'altra
De nizione 54.
n, φ [ψ \ χ]
è
χ
n
a una qualche profondità
φ [ψ \ χ] φ [n, ψ \ χ].
è un
rimpiazzamento
di
ψ
in una formula con
χ
in
φ
φ:
sse, per un certo
Anche per il rimpiazzamento non è di cile ottenere un risultato di grammaticalità analogo a cor52 (la prova è lasciata come esercizio):
Corollario 55. Se φ, ψ, χ ∈ Fo P , allora anche φ [ψ \ χ] ∈ Fo P . 2.4.3. Coincidenza. In una formula φ occorre solo un numero nito di lettere kφkv dipende però da un assegnamento v che si estende a tutte le lettere enunciative. Con il teorema seguente si vede che la valutazione kφkv dipende in realtà solo dalla porzione nita di v relativa alle lettere enunciative occorrenti in φ. Da questo risultato si ricavano subito, in particolare, enunciative. In base a def37, la valutazione
le proprietà semantiche della sostituzione e del rimpiazzamento.
Per prima cosa
adottiamo una notazione opportuna
vφ :
v per il valore di φ. φ vale v0 (q) = v (q).
la classe degli assegnamenti che coincidono con attribuito alle lettere enunciative occorrenti in
Così vale
v0 ∈ vφ
sse per ogni variabile enunciativa
q
in
verità
2. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA ENUNCIATIVA
46
Teorema 56.
Se v0 ∈ vφ , allora kφkv = kφkv0 .
(Teorema di Coincidenza)
gr (φ). Se gr (φ) =0, φ è una lettera enunvφ . Per gr (φ) > 0 consideriamo i casi
Dimostrazione. Per induzione su
ciativa e il risultato segue dalla de nizione di seguenti.
φ = ¬ψ , così: k¬ψkv = f (¬) (kψkv ) def37 = f (¬) (kψkv0 ) (IpInd) = k¬ψkv0 def37 Caso 2. φ = ψ ⊗ χ, così: kψ ⊗ χkv = f (⊗) (kψkv , kχkv ) = f (⊗) (kψkv0 , kχkv0 ) = kψ ⊗ χkv0
Caso 1.
def37
(IpInd) def37
2.4.4. Semantica della sostituzione e del rimpiazzamento.
Adottia-
mo per gli assegnamenti un'altra notazione molto utile per trattare le proprietà semantiche della sostituzione.
v [p/kχkv ]:
v solo in questo, che alla variabile kχkv della formula χ in base a v. A seguire mostriamo che la sostituzione φ [p/χ] è soddisfatta da un assegnamento v se e solo se la formula φ è a sua volta soddisfatta da v [p/kχkv ]. l'assegnamento che si dierenzia da
p
dà come valore la valutazione
Teorema 57.
v φ [p/χ] sse v[p/kχkv ] φ.
(Teorema di Sostituzione)
Dimostrazione. Per induzione su
q 6= p, il risultato v p [p/χ] sse v χ
gr (φ).
a
[per def51( )] sse
v[p/kχkv ] p
si distinguono i seguenti sottocasi. Caso 1.
φ = ¬ψ .
k¬ψkv
φ = ψ ⊗ ϕ.
kψ ⊗ ϕkv
[per de nizione].
i kψ [p/χ] kv = kψkv[p/kχkv ] .
= k¬ψkv[p/kχkv ]
Così:
(i) def37
i kψ [p/χ] kv = kψkv[p/kχkv ]
Per (IpInd) e def40 valgono: ( )
ii ) kϕ [p/χ] kv = kϕkv[p/kχkv ] .
φ = q . Se q = p, allora: Se gr (φ) > 0,
sia
Se invece
def37
= f (¬) kψkv[p/kχkv ] Caso 2.
gr (φ) = 0,
Per (IpInd) e def40 vale: ( )
= f (¬) (kψkv )
(
Per
segue immediatamente dal teor56.
e
Così:
= f (⊗) (kψkv , kϕkv )
def37
= f (⊗) kψkv[p/kχkv ] , kϕkv[p/kχkg ]
= kψ ⊗ ϕkv[p/kχkv ]
(i) , (ii) def37
Il seguente teorema di rimpiazzamento stabilisce a sua volta che sono rimpiazzabili formule equivalutate da un dato assegnamento.
Teorema 58. Se kψkv = kχkv , allora:
v φ sse v φ [ψ \ χ].
Dimostrazione. Per induzione sulla profondità
⇓ (φ, n, ψ) di ψ
in
φ, dove sempre
i kψkv = kχkv . Se ⇓ (φ, 0, ψ), allora ψ è φ [per la clausola (a ) di def28] e [per la clausola (a ) di def53] φ [0, ψ \ χ] è χ; altrimenti, φ [0, ψ \ χ] è φ. In
supponiamo: ( )
2.4. SOSTITUZIONE, COINCIDENZA, RIMPIAZZAMENTO
i
entrambi i casi il risultato segue immediatamente da ( ). Se
47
⇓ (φ, n, ψ)
con
n > 0,
si danno i seguenti sottocasi. Caso 1.
φ = ¬ϕ
φ [n + 1, ψ \ χ] banalmente. risulta
è la formula
¬ {ϕ [n, ψ \ χ]};
i
Per (IpInd) e ( ) abbiamo:
f (¬) (kϕkv ) = f (¬) kϕ [ψ \ χ] kv
Caso 2.
se
altrimenti è (
ii )
⇓ (ϕ, n, ψ), ¬ϕ,
allora (
e il risultato segue
iii ) kϕkv = kϕ [ψ \ χ] kv .
e quindi per def40 anche:
iii )
Da (
v ¬ϕ
sse
ii ) è quanto cercato. 0 φ = ϕ ⊗ ϕ e per la clausola (b ) di def28: se ⇓ (ϕ, n, ψ), allora
v ¬ {ϕ [ψ \ χ]}, (
b
e per la clausola ( ) di def28:
che in base a (
ii 1 ) φ [n + 1, ψ \ χ] è ϕ [n, ψ \ χ] ⊗ ϕ0 ,
oppure (
ii 2 ) φ [n + 1, ψ \ χ] è ϕ ⊗ ϕ0 [n, ψ \ χ]
se vale
⇓ (ϕ0 , n, ψ);
altrimenti,
φ [n + 1, ψ \ χ]
è
ϕ ⊗ ϕ0 ,
e il risultato segue banal-
i
mente. Per (IpInd) e ( ) abbiamo:
iii 1 ) kϕkv = kϕ [n, ψ \ χ] kv
(
e (
iii 2 ) kϕ0 kv = kϕ0 [n, ψ \ χ] kv
.
Così:
kϕ ⊗ ϕ0 kv
= f (⊗) (kϕkv , kϕ0 kv )
def37
0
= f (⊗) (kϕ [n, ψ \ χ] kv , kϕ kv )
per
= kϕ [n, ψ \ χ] ⊗ ϕ0 kv
def37
ii 2 ).
che è quanto cercato. Analogamente nel caso (
(ii1 )
CAPITOLO 3
Tautologie, conseguenza logica
3.1. Tavole di verità Un metodo di decisione su una certa classe
X
di casi è qualche tipo di procedura
capace di stabilire, per una certa proprietà pertinente o meno di
x.1
Q
e ogni
x ∈ X,
se
Q
vale
In particolare, a un metodo di decisione per le formule enunciative
si richiede di stabilire, data una formula
φ ∈ Fo P ,
se
φ
ha o meno la proprietà di
essere tautologica o insoddisfacibile o logicamente indeterminata. In questo senso, una soluzione a prima vista naturale sembra la costruzione di
alberi semantici.
In eetti, ad ogni formula enunciativa φ è associabile un albero C : φ che rappresenta compiutamente le condizioni di verità di φ e restituisce, in un senso ben de nito, il signi cato della formula - ovvero il modo nel quale, per ogni assegnamento,
φ ha una valutazione in base alla sua struttura sintattica e alle regole
semantiche del linguaggio. Ciò dipende direttamente da un'importante proprietà delle regole sintattiche e semantiche di
P
depositata congiuntamente nelle regole di
costruzione delle formule e in quelle relative alle loro valutazioni:
Osservazione 59. Ad ogni regola di costruzione sintattica per le formule di corrisponde univocamente una regola semantica in
P
def37.
φ ∈ Fo P e albero sintattico T : φ, dato un assev, esiste un albero semantico C : φ tale che ad ogni nodo d'applicazione di una regola sintattica in T : φ si applica in C : φ la corrispondente regola semantica di valutazione come indotta da v. Prendiamo ad esempio la formula p → (q → p ∧ q). Il suo albero semantico può In altri termini, per ogni formula gnamento
essere costruito nel modo seguente:
kp → (q → p ∧ q) k... v hk → kv i kpk... kq → p ∧ qk... v v hk → kv i kqk... kp ∧ qk... v v hk ∧ kv i kpk... kqk... v v
(1)
Naturalmente (1) è un albero semantico basso, esso inizia con un assegnamento
v
generale
per la data formula.
Visto dal
per le lettere enunciative - in (1) i valori
sono indicati genericamente da . . .. In corrispondenza dell'operazione sintattica di congiunzione
∧,
p∧q
troviamo l'applicazione della regola semantica (in def37) per
schematizzata in (1) da k
ssati dall'assegnamento
1 Si
v,
∧ kv .
Sulla base dei valori delle lettere enunciative
tale regola determina la valutazione della congiunzione
consideri ad esempio la procedura per stabilire, dato ogni numero naturale diverso da 0, se è
pari o dispari. 49
3. TAUTOLOGIE, CONSEGUENZA LOGICA
50
p∧q .
Lo sviluppo dell'albero (1) prosegue allo stesso modo lungo tutta la costruzione
sintattica di
p → (q → p ∧ q) v.
no a restituirci la valutazione dell'intera formula in
base all'assegnamento
Speci cando l'assegnamento
albero di valutazione .
v,
un albero generale come (1) dà origine a un
Ad esempio, sia
v (p) = V e v (q) = F; p → (q → p ∧ q):
otteniamo allora il
seguente albero di valutazione della formula
kp → (q → p ∧ q) kVv hk → kv i kpkVv kq → p ∧ qkVv hk → kv i kqkFv kp ∧ qkFv hk ∧ kv i kpkVv kqkFv
(2)
Se ogni albero di valutazione rilevante per
kp → (q → p ∧
(3)
allora la formula
p → (q → p ∧ q)
dà lo stesso risultato
q) kVv
p → (q → p ∧ q) è una tautologia.
In eetti, le cose stanno proprio
così e ci siamo imbattuti in una legge logica enunciativa:
p → (q → p ∧ q).
(4)
Quanti alberi di valutazione dobbiamo controllare per decidere se una formula è una tautologia è facilmente stabilito in ragione del carattere binario (V/F) dei valori assegnabili ad ogni lettera enunciativa:
Asserzione 60. φ,
I distinti assegnamenti rilevanti per le possibili valutazioni di una
q1 , . . . , qk , sono quelli che si q1 , . . . , qk . Siccome i valori assegnabili ad ogni lettera enunciativa sono due, cioè V o F, per banali ragioni k combinatorie gli assegnamenti rilevanti per φ sono 2 . formula
contenente
k
distinte lettere enunciative
dierenziano per il valore attribuito a qualcuna delle lettere
Nella formula in (4) occorrono due distinte lettere enunciative, per cui abbiamo
22 = 4 assegnamenti possibili.
Oltre a (2) dobbiamo quindi esaminare altri tre alberi
di valutazione, corrispondenti agli altri tre possibili assegnamenti per
v (p) = v (q) = V; v (p) = F
e
p
e
q:
v (q) = V; v (p) = v (q) = F.
Non è di cile vedere che i relativi alberi di valutazione confermano (4).
Esercizio 61.
Determinare con alberi semantici se le formule seguenti sono tauto-
logiche o insoddisfacibili o logicamente indeterminate:
a. b. c. d.
(p → q) → ((¬¬p → ¬q) → ¬p) (¬p ∧ ¬q) → (¬p → q) ((p → q) → p) → ¬p ((q → p) ∧ ¬q) → ¬p
Gli alberi semantici non sono però metodi di decisione molto e cienti. Occorre un albero di valutazione per ogni assegnamento rilevante
v,
e una lunga lista di
tali alberi non è molto e ciente. Si può fare di meglio rappresentando gli alberi di valutazione come righe in matrici opportune dette
tavole di verità :
in questo
modo essi risultano componenti di algoritmi e caci per determinare le possibili valutazioni
kφkv
al variare di
v.
3.1. TAVOLE DI VERITÀ
Consideriamo ad esempio una formula
P.
I
22
q⊗r
dove
51
⊗
è un connettivo binario di
assegnamenti rilevanti per le possibili interpretazioni di
matrice
rappresentare con una
Tav.0
v1 v2 v3 v4
q V V F F
q⊗r
si possono
r V F V F
dove la prima colonna enumera i diversi assegnamenti possibili e le altre due rappresentano i possibili valori delle variabili enunciative per tali assegnamenti. Una
tavola di verità
per la formula
q⊗r
è una matrice che contiene anche i risultati
delle date valutazioni:
Tav.1
v1 v2 v3 v4
q V V F F
q⊗r ... ... ... ...
r V F V F
Per un esempio concreto supponiamo che di verità interessata è
o∧ .
⊗ sia il connettivo ∧, così che la funzione ∧ (stabilite in def35 e def36)
Le proprietà semantiche di
possono ora essere riscritte nel modo seguente, gurando nell'ultima colonna a destra come i risultati della valutazione della formula
q∧r
per i dati assegnamenti
rilevanti:
Tav.2
v1 v2 v3 v4
q V V F F
q∧r V F F F
r V F V F
Le possibilità combinatorie per la congiunzione sono chiaramente esaurite nella tavola di verità
Tav.2.
Con
Tav.2 sono rappresentati in modo conciso, economico
ed esaustivo i quattro possibili alberi semantici per la formula
q ∧ r.
Analogamente,
usando le def35 e def36, si possono dare (in forma sintetica) le tavole di verità per gli altri connettivi binari di
Tav.3
v1 v2 v3 v4
q V V F F
P: q∨r V V V F
r V F V F
q→r V V F V
q↔r V F F V
Per la negazione la tavola di verità è chiaramente la seguente:
Tav.4
v1 v2
¬q F V
q V F
In generale, data una formula la tavola di verità per
Tav.5
In
v1 v2 ... v2n
φ
φ contenente n distinte lettere enunciative q1 , . . . , qn ,
ha la forma:
q1 V V ... F
... ... ... ... ...
qn V F ... F
... ... ... ... ...
φ ... ... ... ...
Tav.5, le colonne che si trovano tra quelle di assegnamento di valore alle variabili
e quella nale di valutazione della formula
φ rappresentano lo spazio di procedura
3. TAUTOLOGIE, CONSEGUENZA LOGICA
52
tramite il quale si giunge, in ogni riga, a determinare i valori di verità di
φ
in base
ai dati assegnamenti rilevanti: la procedura determina progressivamente valori di verità per le varie sottoformule di
φ,
no a giungere al valore dell'intera formula
φ.
Criterio 62. Le tavole di verità sono un metodo per determinare se una data
formula φ è una tautologia (o è insoddisfacibile; o è logicamente indeterminata) il che vale se la colonna di valutazione di φ ha valori V in ogni riga (ha valori F in ogni riga; ha valori V in qualche riga e F in qualche altra). Applichiamo ora il metodo delle tavole di verità alle formule di eserc61, per controllare la correttezza delle risposte date costruendo i rispettivi alberi semantici. La dierenza è che le risposte si ottengono ora in un colpo solo. Consideriamo la
a
formula ( ) di eserc61:
(p → q) → ((¬¬p → ¬q) → ¬p).
Per risparmiare spazio,
conviene fare a meno di indicare esplicitamente gli assegnamenti rilevanti, che restano comunque speci cati dalle colonne della tavola relative alle distinte lettere enunciative occorrenti nella formula:
p V V F F
¬p F F V V
q V F V F
¬q F V F V
¬¬p V V F F
p→q V F V V
¬¬p→¬q F V V V
(¬¬p→¬q)→¬p V F V V
(p→q)→((¬¬p→¬q)→¬p) V V V V
a
Questa tavola conferma che la formula ( ) di eserc61 è una tautologia, in quanto ogni assegnamento rilevante la veri ca. Non è di cile vedere che le tavole di verità
b
d
(lasciate come esercizio) per le formule ( )-( ) di eserc61 confermano che sono logicamente indeterminate.
Esercizio 63. a. b. c. d.
Costruire tavole di verità per le formule seguenti:
p ↔ (¬¬p ↔ p). ¬ (r ↔ p ∧ ¬q) ∨ (¬r → ¬p). q ∨ (¬q ∧ (r → q)) → ¬r. q ∧ p → q ∨ (r ∧ ¬r).
Naturalmente col metodo delle tavole di verità si possono stabilire proprietà logiche non solo di formule ma anche di schemi di formule:
Criterio 64. Le tavole di verità si possono costruire anche come
schemi di va-
per schemi di formule, a partire da assegnamenti iniziali di valori a metavariabili come se fossero lettere enunciative. lutazione
3.2. Esercizi sulle tautologie 3.2.1. Tautologie della negazione. Iniziamo ora a conoscere tautologie facendo al tempo stesso esercizio col metodo di decisione delle tavole di verità. Partiamo da due leggi davvero principali, quelle di
escluso . T1. T2.
non contraddizione
e del
terzo
¬ (φ ∧ ¬φ) φ ∨ ¬φ
I facili schemi di valutazione per T1 e T2 sono lasciati come esercizio. Andiamo
negazione. Cominciadoppia negazione, il cui schema di valutazione è immediato.
avanti considerando alcune tautologie dove protagonista è la mo con la legge di T3.
φ ↔ ¬¬φ
3.2. ESERCIZI SULLE TAUTOLOGIE
Il signi cato della prossima tautologia è che, se vale
¬φ,
53
allora
φ
fomula, e la seguente stabilisce che una contraddizione esplicita
implica qualsiasi
φ ∧ ¬φ
implica
qualsiasi formula.
¬φ → (φ → ψ) φ ∧ ¬φ → ψ
T4. T5.
La tautologia T6 ha un signi cato molto vicino a quello del terzo escluso: se una formula è implicata da un'altra e anche dalla sua negazione, allora vale incondizionatamente:
(φ → ψ) → ((¬φ → ψ) → ψ)
T6.
Ecco il relativo schema di valutazione:
φ V V F F
¬φ F F V V
ψ V F V F
φ→ψ V F V V
¬φ → ψ V V V F
(¬φ → ψ) → ψ V F V V
(φ → ψ) → ((¬φ → ψ) → ψ) V V V V
Le tautologie seguenti sono formulazioni analoghe del se una formula di
φ
ragionamento per assurdo :
ne implica una e anche la sua negazione, allora vale la negazione
φ. (φ → ψ) → ((φ → ¬ψ) → ¬φ) (¬ψ → ¬φ) → ((¬ψ → φ) → ψ)
T7. T8.
Si lasciano gli schemi di valutazione come esercizio.
3.2.2. Tautologie del Condizionale.
essività, la successiva invece la transitività
La prossima tautologia enuncia la
ri-
del condizionale e la terza è analoga.
φ→φ (φ → ψ) → ((ψ → χ) → (φ → χ)) (φ → (ψ → χ)) → ((φ → ψ) → (φ → χ))
T9. T10. T11.
Gli schemi di valutazione per T10 e T11 sono i seguenti:
φ V V V V F F F F
ψ V V F F V F V F
χ V F F V F V V F
φ→ψ V V F F V V V V
ψ→χ V F V V F V V V
φ→χ V F F V V V V V
(ψ→χ)→(φ→χ) V V F V V V V V
φ V V V V F F F F
ψ V V F F V F V F
χ V F F V F V V F
φ→ψ V V F F V V V V
φ→χ V F F V V V V V
φ→(ψ→χ) V F F V V V V V
(φ→ψ)→((ψ→χ)→(φ→χ)) V V V V V V V V
(φ→ψ)→(φ→χ) V F F V V V V V
La tautologia seguente è una legge di
aggiunta
(φ→(ψ→χ))→((φ→ψ)→(φ→χ)) V V V V V V V V del condizionale:
se
φ
vale, è
implicata da qualsiasi formula. T12.
φ → (ψ → φ)
Si osservi che per stabilire se un condizionale è una tautologia si possono usare in generale schemi di valutazione
ridotti, che si limitano a considerare gli assegnamenti
rilevanti e non tutti quelli possibili. condizionale
φ → ψ
In eetti, per determinare se una formula
è tautologica è su ciente considerare gli assegnamenti che
3. TAUTOLOGIE, CONSEGUENZA LOGICA
54
φ
rendono vero l'antecedente
ψ.
e veri care se essi rendono vero anche il conseguente
Ecco subito come esempio un facile schema ridotto per T12, nel quale è assegnato
valore vero all'antecedente
φ
e con questa sola mossa la formula in T12 risulta una
tautologia:
φ V
(1)
ψ −
ψ→φ V
φ → (ψ → φ) V
Schemi ridotti come (1), orientati a veri care una formula, li chiameremo
di veri cazione .
schemi
Una sempli cazione negli schemi di valutazione si ottiene presentando direttamente i valori semantici nelle stesse colonne tanto delle (meta)variabili quanto degli operatori logici che determinano la struttura sintattica della formula. Ad esempio, lo schema ridotto (1) risulta sempli cabile nel modo seguente:
φ V
(2)
→ (ψ → φ) V −V V
Nel seguito ci atterremo per quanto possibile a questo criterio di sempli cazione. La prossima tautologia è un principio di ottenere T13.
ψ
contrazione :
è inutile aggiungere
φ per
φ → ψ. (φ → (φ → ψ)) → (φ → ψ)
se vale
Per T13 si può invece costruire uno schema ridotto di
falsi cazione ,
cioè orienta-
to a falsi care la formula e a mostrare che, se ciò non può essere fatto in quanto non esistono assegnamenti che la rendano falsa, allora la formula è una tautologia. In eetti, per falsi care una formula condizionale gli assegnamenti che rendono vero l'antecedente Procediamo allora a falsi care il conseguente
ψ:
φ
φ→ψ
occorre considerare
e falsi cano il conseguente
ψ.
se gli assegnamenti rilevanti falsi-
cano anche l'antecedente, allora la formula è tautologica. Ecco lo schema ridotto di falsi cazione per T13:
(φ → (φ → ψ)) → (φ → ψ) V F V F F V V F F La prossima tautologia è conosciuta come la T14.
legge di Peirce .
((φ → ψ) → φ) → φ
Ed ecco il relativo schema di falsi cazione:
((φ → ψ) → φ) → φ F V − F F V F Le due prossime tautologie sono formulazioni del T15. T16.
Modus Ponens .
φ → ((φ → ψ) → ψ) φ ∧ (φ → ψ) → ψ
Lo schema di valutazione per T15 è lasciato come esercizio, quello di veri cazione per T16 è davvero immediato:
φ ∧ (φ → ψ) → ψ VV V V V V V La tautologia seguente è una formulazione del T17.
Modus Tollens .
(¬ψ ∧ (φ → ψ)) → ¬φ
La prossima tautologia stabilisce un'importante equivalenza tra un condizionale e quello formato dai suoi costitutenti invertendoli e negandoli. T18.
(φ → ψ) ↔ (¬ψ → ¬φ)
3.2. ESERCIZI SULLE TAUTOLOGIE
55
Lo schema di valutazione per T17 è lasciato come esercizio, per T18 abbiamo:
φ V V F F
ψ V F V F
¬φ F F V V
¬ψ F V F V
φ→ψ V F V V
(¬ψ → ¬φ) V F V V
(φ → ψ) ↔ (¬ψ → ¬φ) V V V V
La tautologia seguente è la legge di inversione nell'ordine degli antecedenti in un condizionale, lo schema di valutazione è lasciato come esercizio.
(φ → (ψ → χ)) ↔ (ψ → (φ → χ))
T19.
Torniamo ora un momento a T18 e consideriamo che un bicondizionale tautologico ha la seguente proprietà (la dimostrazione è lasciata come esercizio):
Teorema 65.
φ ↔ ψ se e solo se φ → ψ e ψ → φ.
Usando questo risultato, lo schema di valutazione per una formula bicondizionale
φ↔ψ
può essere costruito come uno schema ridotto (di veri cazione o falsi cazio-
ne) per le formule
φ→ψ
e
ψ → φ.
Ecco in particolare come possiamo ridurre lo
schema di valutazione per T18 a due tentativi falliti di falsi cazione: (3) Con il
(φ → ψ) (¬ψ → ¬φ) V F F V VF F FV simbolo si intende semplicemente
che in entrambe le direzioni di
lettura abbiamo uno schema ridotto, nel caso (3) uno schema di falsi cazione per il condizionale (φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ) e un altro per il condizionale inverso (¬ψ → ¬φ) → (φ → ψ) di T18. Siccome entrambe le falsi cazioni risultano impossibili, entrambi i condizionali sono tautologici e quindi la formula di T18 è una tautologia in base a teor65.
3.2.3. Tautologie della Congiunzione.
Le prime due tautologie stabili-
scono che una congiunzione implica ciascuno dei suoi congiunti.
Gli schemi di
veri cazione sono immediati.
φ∧ψ →φ φ∧ψ →ψ
T20. T21.
Dalla prossima tautologia risulta che se una formula ne implica altre due, implica anche la loro congiunzione.
(φ → ψ) → ((φ → χ) → (φ → ψ ∧ χ))
T22.
Ecco il relativo schema ridotto di falsi cazione
(φ → ψ) → ((φ → χ) → (φ → ψ ∧ χ)) V F F V V V V F V F F FV che sempli ca sensibilmente lo schema di valutazione completo, che recita:
φ V V V V F F F F
ψ V V F F V F V F
χ V F F V F V V F
φ→ψ V V F F V V V V
φ→χ V F F V V V V V
ψ∧χ V F F F F F V F
φ→ψ∧χ V F F F V V V V
(φ→χ)→(φ→ψ∧χ) V V V F V V V V
(φ→ψ)→((φ→χ)→(φ→ψ∧χ)) V V V V V V V V
In base alle prossime tautologie, i due congiunti implicano la loro congiunzione (gli schemi di falsi cazione sono immediati): T23.
φ → (ψ → φ ∧ ψ)
3. TAUTOLOGIE, CONSEGUENZA LOGICA
56
ψ → (φ → φ ∧ ψ)
T24.
La tautologia seguente stabilisce che la congiunzione di una stessa formula non va più in là della formula.
φ↔φ∧φ
T25.
Le prossime tautologie stabiliscono la
commutatività e l'associatività della congiun-
zione. Sono lasciati come esercizio i relativi schemi di valutazione.
φ∧ψ ↔ψ∧φ φ ∧ (ψ ∧ χ) ↔ (φ ∧ ψ) ∧ χ
T26. T27.
3.2.4. Tautologie della Disgiunzione.
che
φ∨ψ
Le prime due tautologie stabiliscono
è implicata da ciascuno dei suoi costituenti (gli schemi di valutazione sono
immediati).
φ→φ∨ψ ψ →φ∨ψ
T28. T29.
La prossima tautologia stabilisce che se una formula è singolarmente implicata da altre due, è implicata dalla loro disgiunzione.
(φ → χ) → ((ψ → χ) → (φ ∨ ψ → χ))
T30.
Ecco lo schema di falsi cazione per T30
(φ → χ) → ((ψ → χ) → (φ ∨ ψ → χ)) V F F V F V F F VVF F F che sempli ca notevolmente lo schema di valutazione completo:
φ V V V V F F F F
ψ V V F F V F V F
χ V F F V F V V F
φ→χ V F F V V V V V
ψ→χ V F V V F V V V
φ∨ψ V V V V V F V F
φ∨ψ→χ V F F V F V V V
(ψ→χ)→(φ∨ψ→χ) V V F V V V V V
(φ→χ)→((ψ→χ)→(φ∨ψ→χ)) V V V V V V V V
Per la prossima tautologia, con la disgiunzione di una formula si va più in là di
φ.
Le successive ssano la
commutatività
φ
e l'
con se stessa non
associatività
della
disgiunzione.
φ↔φ∨φ φ∨ψ ↔ψ∨φ T33. φ ∨ (ψ ∨ χ) ↔ (φ ∨ ψ) ∨ χ Per la prossima tautologia, se φ implica ψ , implica ψ ∨ χ. T34. (φ → ψ) → (φ ∨ χ → ψ ∨ χ) T31.
T32.
allora per una qualsiasi
χ
vale che
φ∨χ
Ecco il relativo schema di falsi cazione:
(φ → ψ) → (φ ∨ χ → ψ ∨ χ) V F F V VVF F FFF
3.2.5. Interrelazioni della congiunzione con altri connettivi.
La prima
tautologia stabilisce che una congiunzione implica la corrispondente disgiunzione. Lo schema di veri cazione (o di falsi cazione) è immediato. T35.
φ∧ψ →φ∨ψ
La prossima tautologia dà la rappresentazione di una formula in termini di congiunzione e disgiunzione.
3.2. ESERCIZI SULLE TAUTOLOGIE
57
(φ ∧ (φ ∨ ψ)) ↔ φ
T36.
La tautologia seguente è un'importante legge di
distributività
della congiunzione
lungo la disgiunzione.
φ ∧ (ψ ∨ χ) ↔ ((φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ))
T37.
Ecco il relativo schema di valutazione:
φ V V V V F F F F
ψ V V F F V F V F
χ V F F V F V V F
ψ∨χ V V F V V V V F
φ∧ψ V V F F F F F F
φ∧χ V F F V F F F F
φ∧(ψ∨χ) V V F V F F F F
(φ∧ψ)∨(φ∧χ) V V F V F F F F
(φ∧(ψ∨χ))↔((φ∧ψ)∨(φ∧χ)) V V V V V V V V
La prossima tautologia ci dice a che cosa è equivalente una congiunzione in termini di negazione e disgiunzione. T38.
φ ∧ ψ ↔ ¬ (¬φ ∨ ¬ψ)
Usando teor65 si danno per T38 due schemi di veri cazione:
φ∧ψ VVV
¬ (¬φ ∨ ¬ψ) V V FV F FV
La tautologia seguente è una delle
Leggi di De Morgan :
negare una congiunzione
equivale alla disgiunzione delle negazioni dei congiunti. Lo schema di valutazione è analogo al precedente. T39.
¬ (φ ∧ ψ) ↔ (¬φ ∨ ¬ψ)
Le due prossime tautologie stabiliscono che una congiunzione implica entrambi i condizionali tra i suoi congiunti, e le due successive che essa implica anche entrambi i bicondizionali.
Gli schemi di veri cazione, lasciati come esercizio, sono quasi
immediati. T40. T41. T42. T43.
φ∧ψ φ∧ψ φ∧ψ φ∧ψ
→ (φ → ψ) → (ψ → φ) → (φ ↔ ψ) → (ψ ↔ φ)
La tautologia seguente stabilisce a che cosa equivale una congiunzione in termini di negazione e condizionale. T44.
φ ∧ ψ ↔ ¬ (φ → ¬ψ)
Ecco in base a teor65 i due relativi schemi di veri cazione:
φ∧ψ VVV
¬ (φ → ¬ψ) V V V F FV
3.2.6. Interrelazioni della disgiunzione con altri connettivi.
La pri-
ma tautologia dà la rappresentazione di una formula in termini di disgiunzione e congiunzione (lo schema di valutazione è immediato). T45.
φ ∨ (φ ∧ ψ) ↔ φ
La prossima tautologia enuncia la legge di
distributività
della disgiunzione lungo la
congiunzione, lo schema di valutazione è lasciato come esercizio. T46.
φ ∨ (ψ ∧ χ) ↔ (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ)
3. TAUTOLOGIE, CONSEGUENZA LOGICA
58
La prossima tautologia ci dice a cosa equivale una disgiunzione in termini di negazione e congiunzione. T47.
φ ∨ ψ ↔ ¬ (¬φ ∧ ¬ψ)
In base a teor65, ecco i due relativi schemi di falsi cazione
φ∨ψ FFF
¬ (¬φ ∧ ¬ψ) V F VF V VF
La tautologia seguente è un'altra Legge di De Morgan: negare una disgiunzione equivale alla congiunzione delle negazioni dei disgiunti. Lo schema di valutazione è analogo al precedente. T48.
¬ (φ ∨ ψ) ↔ ¬φ ∧ ¬ψ
La prossima tautologia ci dice invece a cosa è equivalente una disgiunzione in termini di negazione e condizionale. T49.
φ ∨ ψ ↔ (¬φ → ψ)
In base a teor65, ecco i due relativi schemi di falsi cazione:
φ∨ψ FFF
(¬φ → ψ) V VF F F
In base alla prossima tautologia, se una formula è implicata da una seconda, oppure è implicata da una terza, allora è implicata dalla congiunzione delle due. T50.
((φ → χ) ∨ (ψ → χ)) → (φ ∧ ψ → χ)
Ecco il relativo schema di falsi cazione:
((φ → χ) ∨ (ψ → χ)) V F F F V F F La tautologia seguente è il
→ (φ ∧ ψ → χ) V VVV F F
Modus Ponens
per la disgiunzione, lo schema è lasciato
come esercizio. T51.
¬φ ∧ (φ ∨ ψ) → ψ
3.2.7. Interrelazioni del condizionale con altri connettivi.
In base alla
prossima tautologia, il fatto che una formula sia implicata da altre due equivale a che sia implicata dalla loro congiunzione. Il facile schema è lasciato come esercizio. T52.
(ψ → (φ → χ)) ↔ (φ ∧ ψ → χ)
La prossima tautologia ci dice a che cosa è equivalente un condizionale in termini di negazione e congiunzione, e la successiva a che cosa è equivalente la sua negazione. T53.
a. (φ → ψ) ↔ ¬ (φ ∧ ¬ψ) b. ¬ (φ → ψ) ↔ φ ∧ ¬ψ
a
In base a teor65, ecco i due facili schemi di falsi cazione per T53( ):
(φ → ψ) ¬ (φ ∧ ¬ψ) V F F V F V V VF Con la tautologia T54 abbiamo il
Modus Ponens
per la congiunzione, lo schema è
lasciato come esercizio. T54.
¬ (φ ∧ ¬ψ) ∧ φ → ψ
La prossima tautologia stabilisce che un'implicazione
φ
o alla verità di
ψ,
φ→ψ
equivale alla falsità di
ovvero a che cosa è equivalente un condizionale in termini di
negazione e disgiunzione. T55.
(φ → ψ) ↔ ¬φ ∨ ψ
In base a teor65, ecco i due schemi di falsi cazione per T55:
3.2. ESERCIZI SULLE TAUTOLOGIE
59
(φ → ψ) ¬φ ∨ ψ V F F V FV F F La tautologia seguente è una generalizzazione di T17. Lo schema di valutazione è lasciato come esercizio:
(φ → ψ) → (¬ (ψ ∧ χ) → ¬ (φ ∧ χ))
T56.
La tautologia seguente stabilisce a che cosa è equivalente il fatto che una formula segua da un condizionale.
((φ → ψ) → χ) ↔ ((ψ → χ) ∧ (φ ∨ χ))
T57.
Ecco lo schema di valutazione:
φ V V V V F F F F
ψ V V F F V F V F
χ V F F V F V V F
φ→ψ V V F F V V V V
ψ→χ V F V V F V V V
φ∨χ V V V V F V V F
(φ→ψ)→χ V F V V F V V F
(ψ→χ)∧(φ∨χ) V F V V F V V F
((φ→ψ)→χ)↔(ψ→χ)∧(φ∨χ) V V V V V V V V
La prossima tautologia stabilisce un'interessante proprietà del condizionale. T58.
(χ → (ψ ∨ ¬φ)) ↔ (φ ∧ χ → ψ)
In base a teor65, ecco i due schemi di falsi cazione per T58:
(χ → (ψ ∨ ¬φ)) V F F F FV
(φ ∧ χ → ψ) V VVV F F
3.2.8. Tautologie del bicondizionale . rispettivamente,
La seguenti tautologie stabiliscono,
ri essività , commutatività , transitività e associatività del bicondi-
zionale. I facili schemi di valutazione sono lasciati come esercizio. T59. T60. T61. T62.
φ↔φ (φ ↔ ψ) ↔ (ψ ↔ φ) (φ ↔ ψ) → ((ψ ↔ χ) → (φ ↔ χ)) ((φ ↔ ψ) ↔ χ) ↔ (φ ↔ (ψ ↔ χ))
Le tautologie T63-64 dicono che un bicondizionale implica l'uno e l'altro dei condizionali corrispondenti, mentre T65 stabilisce che un bicondizionale è a sua volta implicato dai due. Anche qui gli schemi sono lasciati come esercizio. T63. T64. T65.
(φ ↔ ψ) → (φ → ψ) (φ ↔ ψ) → (ψ → φ) (φ → ψ) → ((ψ → φ) → (φ ↔ ψ))
La prossime tautologie sono rappresentazioni e caci delle condizioni di verità di un bicondizionale:
T66 (di cui ci siamo già serviti per teor65) stabilisce che è
equivalente alla congiunzione dei due condizionali corrispondenti, T67 che è vero se sono entrambi veri o entrambi falsi i suoi costituenti. T66. T67.
(φ ↔ ψ) ↔ (φ → ψ) ∧ (ψ → φ) (φ ↔ ψ) ↔ (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ)
Le tautologie seguenti danno a loro volta rappresentazioni e caci delle condizioni di verità della negazione di un bicondizionale: T68. T69.
¬ (φ ↔ ψ) ↔ (φ ∨ ψ) ∧ (¬φ ∨ ¬ψ) ¬ (φ ↔ ψ) ↔ ¬ (φ → ψ) ∨ ¬ (ψ → φ)
3. TAUTOLOGIE, CONSEGUENZA LOGICA
60
Ecco lo schema di valutazione per T68:
φ V V F F
ψ V F V F
¬φ F F V V
¬ψ F V F V
φ↔ψ V F F V
¬φ∧¬ψ F F F V
φ∧ψ V F F F
(φ∧ψ)∨(¬φ∧¬ψ) V F F V
(φ↔ψ)↔(φ∧ψ)∨(¬φ∧¬ψ) V V V V
La seguente tautologia stabilisce che un bicondizionale è equivalente a quello formato dalle negazioni dei suoi costituenti. Lo schema è lasciato come esercizio.
(φ ↔ ψ) ↔ (¬φ ↔ ¬ψ)
T70.
Vediamo in ne, sempre come esercizi sul bicondizionale, tautologie che esprimono le condizioni di verità di una disgiunzione e di un condizionale:
(φ ∨ ψ) ↔ (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ ¬ψ) ∨ (¬φ ∧ ψ) (φ → ψ) ↔ (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ) (φ ∨ ψ) ↔ (φ ↔ (ψ → φ)) (φ → ψ) ↔ (φ ↔ (φ ∧ ψ))
T71. T72. T73. T74.
Esercizio 66.
Con schemi di valutazione stabilire se sono tautologie:
a. (φ → ψ) → ((φ ∧ χ) → (ψ ∧ χ)) b. (φ → ψ) → (¬ (φ ∧ χ) → ¬ (ψ ∧ χ)) c. (φ ↔ ψ) ↔ ((¬φ → ¬ψ) ∧ (¬ψ → ¬φ)) d. ((¬χ → ψ) → ¬χ) → ¬χ e. (¬¬φ ∧ (φ ∨ ¬¬ψ)) → ψ f. (φ ∧ ψ → χ) → ((φ → χ) ∨ (ψ → χ)) g. φ ∨ (φ → ψ) h. (φ → ψ) ∨ (ψ → φ) i. (φ ∨ ψ) ↔ (φ ↔ (¬ψ → φ))
3.3. Conseguenza logica enunciativa In Cap1 e Cap2 abbiamo individuato forme logiche enunciative e quindi determinato in cosa consiste la loro validità logica classica mentre in questo capitolo sono state isolate, con le tautologie, diverse
leggi della forma logica enunciativa.
Ab-
biamo però nora trascurato la questione della validità degli argomenti enunciativi ed è tempo di porvi rimedio.
3.3.1. Modelli e conseguenza logica. guaggio
P
Un argomento enunciativo nel lin-
è costituito da un insieme di formule come premesse e da una formula
come conclusione.
Per indicare un qualsiasi
lettere greche maiuscole come
Γ, ∆, Θ, Λ, Ξ,
insieme di formule
di
P
2
si useranno
eventualmente con indici. Per prima
cosa estendiamo la semantica della logica enunciativa a insiemi di formule:
De nizione 67.
v
è
modello
di
Γ
(:
v Γ
o
Modv (Γ))
sse per ogni
χ ∈ Γ
vale
v χ. Modello di un insieme
Γ
veri ca tutte le formule in
Mod (Γ): 2O
la classe
Introduciamo anche la seguente notazione.
{v | Modv (Γ)}
3.6.
più formule, cfr.
di formule enunciative è quindi un assegnamento che
Γ.
di tutti i modelli dell'insieme
Γ
di formule.
3.3. CONSEGUENZA LOGICA ENUNCIATIVA
61
Modv (Γ) si scrive Modv (φ1 , . . . , φn ) se Γ = {φ1 , . . . , φn }, e analogamente Mod (Γ).3 Diremo soddisfacibile un insieme di formule se esso ha un modello (ossia, Mod (Γ) 6= ∅). Non è di cile isolare insiemi insoddisfacibili di formule: se Γ contiene una formula e la sua negazione, risulta ovviamente Mod (Γ) = ∅. Invece di
per
Riprendiamo ora da (MP)
Cap1 la forma argomentale del Modus Ponens :
φ → ψ, φ ∴ ψ .
La nostra semantica (classica) delle forme logiche enunciative dà un senso preciso al seguire necessariamente della conclusione dalle premesse in un argomento di tipo (MP): (1)
Mod (φ → ψ, φ) ⊆ Mod (ψ).
Ossia: ogni modello delle premesse è modello della conclusione.
4
In eetti, le possi-
φ → ψ che la formula φ risultano vere sono interpretazioni kφ → ψkv = V e kφkv = V determinate da assegnamenti v. D'altra parte, dal comportamento semantico del condizionale risulta che, se vale kφkv = V, l'unica possibilità per kφ → ψkv = V è che valga anche: kψkv = V. In altre parole: tutti gli assegnamenti v che inducono le interpretazioni kφ → ψkv = V e kφkv = V inducono anche necessariamente l'interpretazione kψkv = V. Usando def67 questa
bili condizioni alle quali sia la formula
situazione è appunto rappresentata da (1).
A1 , . . . , An ∴ B che avanza una preA1 , . . . , An e la conclusione B, supponiamo che le formule enunciative φ1 , . . . , φn , ψ rappresentino adeguatamente le forme logiche di A1 , . . . , An , B. Ecco allora la rappresentazioIn generale, dato un argomento enunciativo
tesa di validità su un nesso consequenziale necessario tra le premesse
ne/spiegazione che ha da orire la nostra logica enunciativa per la validità di un tale argomento:
Criterio 68. Mod (ψ).
A1 , . . . , An ∴ B è
logicamente valido
se e solo se Mod (φ1 , . . . , φn ) ⊆
In tal modo resta determinata un'importante nozione (semantica) di conseguenza logica enunciativa: il nesso consequenziale
necessario tra premesse e conclusioni
di argomenti enunciativi è spiegato in termini della conservazione di valore di verità dai
possibili modelli
De nizione 69. formule (: e
φ
il
Γ φ)
delle premesse a quelli delle conclusioni.
La formula se e solo se
conseguente.
5
φ è conseguenza logica enunciativa dell'insieme Γ di Mod (Γ) ⊆ Mod (φ).6 In Γ φ diciamo Γ l'antecedente
Resta quindi determinato un
senso preciso
(classico) nel quale un argomento
enunciativo è valido sse esempli ca una legge di conseguenza logica enunciativa. Per comodità introduciamo anche un'altra notazione.
Cn (Γ):
l'insieme
{ψ | Γ ψ}
delle conseguenze logiche di un dato insieme
Γ
di
formule. Si scrive
Cn (φ1 , . . . , φn )
se
Γ = {φ1 , . . . , φn }.
3 Naturalmente Mod (φ) = V è solo un altro modo di dire che φ è una 4 Tarski [192]. 5 Questa spiegazione è relativa, naturalmente, al signi cato classico
{V, F}
tautologia. dei connettivi e al campo
dei possibili valori delle variabili logiche.
6 All'occorrenza
si può scrivere Γ
P φ
dove l'apice P indica che la nozione di conseguenza
logica de nita è enunciativa e relativa alle forme logiche in
P.
3. TAUTOLOGIE, CONSEGUENZA LOGICA
62
3.3.2. Insoddisfacibilità.
Osserviamo subito, con i due risultati seguenti,
che conseguenza logica e insoddisfacibilità sono mutuamente de nibili.
Teorema 70.
a. Γ φ se e solo se Γ ∪ {¬φ} è insoddisfacibile. b. Γ è insoddisfacibile se e solo se Cn (Γ) = FoP .
a Γ φ e supponiamo che Γ ∪ {¬φ} sia soddisfav, v (Γ ∪ {¬φ}), e quindi anche v Γ e (i ) v ¬φ, ma allora per def69 vale v φ, contro 2v φ che segue ovviamente da (i ). Sia invece Γ ∪ {¬φ} insoddisfacibile e supponiamo che v Γ: così 2v ¬φ e quindi v φ, per cor44(b ). [Per (b )] Esercizio. Dimostrazione. [Per ( )] Sia
cibile, cioè che, per qualche
Dal fatto che un insieme è insoddisfacibile se qualsiasi formula è una sua conseguenza logica otteniamo anche una nuova caratterizzazione per la soddisfacibilità:
Γ
(2)
è
soddisfacibile
sse qualche formula
non è
tra le sue conseguenze
logiche.
3.3.3. Coerenza.
Un'altra importante proprietà logica degli insiemi di for-
mule è la loro coerenza. Intuitivamente, un insieme
Γ
è senza dubbio incoerente
χ vale χ, ¬χ ∈ Γ. Γ coincide immediatamente con la sua insoddisfacibilità. Ma la coerenza di un insieme Γ di formule non consiste nel fatto che, se χ ∈ Γ, allora ¬χ ∈ / Γ: piuttosto, Γ è incoerente se tra le sue conseguenze logiche risultano se contiene una contraddizione esplicita - se per qualche formula
In questo caso l'incoerenza di
contraddizioni. Così:
De nizione 71.
L'insieme
Γ
è
coerente
sse non vale
χ, ¬χ ∈ Cn (Γ).
Da (2) e def71 segue che soddisfacibilità e coerenza coincidono in ogni caso. In eetti da (2) risulta che un insieme
a
Γ
coerente veri ca
Cn (Γ) 6= FoP .
Siccome per
teor70( ) vale
Γ2φ
(3)
sse
Γ ∪ {¬φ}
è soddisfacibile,
per def69 dare un modello per
Γ ∪ {¬φ} Γ.7
equivale a stabilire che la formula
φ
non
è conseguenza logica dell'insieme
3.3.4. Il teorema semantico di Deduzione.
Da def69 risulta in particola-
re che le tautologie, in quanto vere per ogni assegnamento, sono conseguenze logiche dell'insieme vuoto.
Corollario 72.
φ se e solo se ∅ φ.
Relazioni interessanti di conseguenza logica non valgono certo tra tautologie, le quali sono tutte logicamente equivalenti e sono banalmente conseguenza logica l'una dell'altra:
φ
(4)
Cn (φ) = Taut, Taut = {φ ∈ FoP : φ}.
se e solo se
dove, per comodità,
Relazioni interessanti di conseguenza
logica sussistono invece tra formule non tautologiche. Ad esempio, con il ragionamento che ha introdotto def69 abbiamo ottenuto una prima legge di conseguenza logica, quella del
7 Vedremo
nel
Modus Ponens :
Cap4 (con le ricerche di contromodelli) che questa proprietà è utilmente sfruttabile
per caratterizzare in termini di prove deduttive la conseguenza logica enunciativa.
3.3. CONSEGUENZA LOGICA ENUNCIATIVA
Esempio 73.
63
φ → ψ, φ ψ .
Confrontiamo ora la legge esemp73 con la tautologia omonima T15 di
3.2:
non
è di cile vedere che la relazione esemp73 di conseguenza logica equivale in un senso ben de nito all'implicazione logica T15. Ciò è stabilito in modo generale dal seguente teorema
Teorema 74.
semantico di Deduzione
(la cui prova è lasciata come esercizio):
Γ, φ ψ se e solo se Γ φ → ψ . Γ vuoto) che ψ è conseguenza logica di φ → ψ . Parte almeno della nozione ordinaria
In particolare, da teor74 risulta subito (per
φ
se e solo se è valido il condizionale
di implicazione logica è che un enunciato ne implica un altro nel caso in cui, se vale il primo, allora necessariamente vale anche il secondo. Così possiamo anche dire che
φ implica logicamente ψ
quando
φ ψ.
In base a teor74, quindi, una
formula ne implica logicamente un'altra se il loro condizionale è tautologico. Se leggiamo teor74 da destra a sinistra, esso consente di ricavare con estrema facilità leggi di conseguenza logica, come mostra il prossimo esempio.
Esempio 75.
3.2 si ottengono le leggi:
Applicando teor74, dalle tautologie di
a. ¬φ, φ ψ (da T4) b. ¬ψ → ¬φ, ¬ψ → φ ψ (da T8) c. φ → (ψ → χ) , φ → ψ, φ χ (da T11) d. φ, ψ φ (da T12) e. φ ∧ ψ φ (da T20) f. ψ, φ φ ∧ ψ (da T24) g. ψ φ ∨ ψ (da T29) h. φ → χ, ψ → χ, φ ∨ ψ χ (da T30) i. φ ∧ ψ ψ ↔ φ (da T43) l. (φ → χ) ∨ (ψ → χ) , φ ∧ ψ χ (da T50) m. (φ ↔ ψ) → (ψ → φ) (da T64) n. φ → ψ, ψ → φ φ ↔ ψ (da T65)
Conviene però leggere teor74 anche nella direzione inversa (per la quale propriamente merita il nome di teorema di Deduzione). Sulla base di teor74 un argomento enunciativo valido, che come già sappiamo esempli ca una legge
φ1 , . . . , φ n ψ
(5)
di conseguenza logica, è
in un certo senso
equivalente a una tautologia. In eetti,
tramite successive applicazioni di teor74, da (5) otteniamo una tautologia
φ1 → (. . . → (φn → ψ) . . .)
(6) e viceversa.
8
3.3.5. Equivalenza logica.
Diremo che due enunciati sono logicamente equi-
valenti se l'uno vale esattamente nelle stesse circostanze nelle quali vale l'altro. Anche della nozione
enunciativa
di equivalenza logica possiamo dare una de nizione
precisa nella nostra semantica.
De nizione 76. ogni
8 Su
v ∈ V, v φ
φ sse
ψ sono logicamente equivalenti v ψ .
e
3.6.
questo punto torneremo nel
(:
φ ≡ ψ)
se e solo se: per
3. TAUTOLOGIE, CONSEGUENZA LOGICA
64
Chiaramente
φ
e
ψ
sono logicamente equivalenti se ciascuna implica l'altra.
bicondizionale tautologico
φ ↔ ψ
stabilisce, in particolare, che la formula
vera per un assegnamento se e solo se
ψ
Un
φ
è
è vera per tale assegnamento. Così due
formule sono logicamente equivalenti se il loro bicondizionale è tautologico:
Corollario 77.
φ ≡ ψ se e solo se ψ ↔ φ.
Dalle tautologie T59-61 risulta facilmente che l'equivalenza logica è ri essiva, simmetrica e transitiva.
Corollario 78.
a. φ ≡ φ. b. Se φ ≡ ψ , allora ψ ≡ φ. c. Se φ ≡ ψ e ψ ≡ χ, allora ψ ≡ χ.
Il seguente risultato sulla possibilità di rimpiazzare formule equivalenti si ottiene altrettanto facilmente da teor58.
Corollario 79. Se χ ≡ ψ, allora φ ≡ φ [χ \ ψ]. Dal teorema semantico di Deduzione, cor78 e teor70 ricaviamo anche ulteriori proprietà dell'equivalenza logica:
Corollario 80.
Γ φ sse Γ ψ .
φ ≡ ψ sse φ ψ e ψ φ sse Cn (φ) = Cn (ψ) sse: per ogni Γ,
Ecco a seguire alcune altre leggi dell'equivalenza logica che si ricavano facilmente
3.2.
da tautologie del
Esempio 81.
a. φ ≡ ¬¬φ b. φ ∧ ψ ≡ ¬ (φ → ¬ψ) ≡ ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) c. ¬ (φ ∧ ψ) ≡ ¬φ ∨ ¬ψ d. φ ∨ ψ ≡ ¬ (¬φ ∧ ¬ψ) ≡ ¬φ → ψ e. ¬ (φ ∨ ψ) ≡ ¬φ ∧ ¬ψ f. φ → ψ ≡ ¬ (φ ∧ ¬ψ) ≡ ¬φ ∨ ψ g. ¬ (φ → ψ) ≡ φ ∧ ¬ψ h. φ ↔ ψ ≡ (φ → ψ) ∧ (ψ → φ)
3.4. Completezza espressiva Come sappiamo, i connettivi verità
o¬ , o∧ , o∨ , o→ , o↔ .
¬, ∧, ∨, →, ↔
sono interpretati sulle funzioni di
Tuttavia, queste ultime sono solo alcune delle funzioni di
n
verità. In generale, esistono per ragioni combinatorie 2 di valori di verità, per ogni argomenti, per ogni
n.
n,
e quindi vi sono
L'insieme
W
n
distinte
n-ple hk1 , . . . , kn i n
distinte funzioni di verità a
delle funzioni di verità è dunque un insieme
numerabile. Vista la ristrettezza della nostra scelta di funzioni di verità, e di connettivi che le rappresentano nel linguaggio, è naturale chiedersi se ogni funzione di verità può essere mimata in qualche modo nel nostro linguaggio per la logica enunciativa. Chiamiamo
problema della W -completezza per un linguaggio enunciativo L la que-
stione se i connettivi di
L sono in grado di rappresentare adeguatamente le funzioni
3.4. COMPLETEZZA ESPRESSIVA
di verità in
W.
65
Come vedremo tra poco, per il linguaggio
risposta positiva:
P
è
W -completo.
P
il problema ha una
Prima di arontare questo problema è però
opportuno introdurre qualche altro linguaggio enunciativo.
3.4.1. Altri linguaggi enunciativi. Il linguaggio PM .
L'insieme
OePM ::= ¬; →
degli operatori logici di
PM
com-
prende solo negazione e condizionale. Con le ovvie varianti, le clausole sintattiche di def16 si adattano subito a sere introdotti in
M
P
PM .
P non presenti in PM
I connettivi di
possono es-
tramite le seguenti de nizioni abbreviative, la cui correttezza
è assicurata da equivalenze logiche in esemp81.
a. φ ∧ ψ = ¬ (φ → ¬ψ) . b. φ ∨ ψ = ¬φ → ψ. c. φ ↔ ψ = (φ → ψ) ∧ (ψ → φ) .
De nizione 82.
Le varie proprietà semantiche del linguaggio de nizioni e dai risultati di
Il linguaggio P‡ . OeP‡ ::= ¬; ∧; ∨; →
Cap2.
Il linguaggio formale
PM
P‡
si desumono immediatamente dalle
si dierenzia da
di operatori logici. Quindi
P‡
P per avere
l'insieme
non ha il bicondizionale, che può
c Un linguaggio con costante enunciativa. Molto utili risultano talvolta linguaggi cui vocabolario contiene anche la costante enunciativa ⊥ intesa come un nome
essere introdotto con la de nizione abbreviativa 82( ).
il
del Falso.
9
In particolare, il linguaggio
P⊥
è come
P‡
ma non ha il connettivo della
negazione e ha in più l'insieme di costanti enunciative
De nizione 83.
CeP⊥ ::= ⊥.
P⊥ : FoP⊥ ) FoP⊥ {φ, ψ, χ, ϕ} ::= p | ⊥ | (φ) ∧ (ψ) | (φ) ∨ (ψ) | (φ) → (ψ). (Formula di
P⊥
⊥. La semantica P⊥ presenta la seguente variante: f è una funzione 7 L0 ∪ {V, F}, dove L0 = {o∧ , o∨ , o→ , o↔ }. L'interpretazione della →
Formule atomiche di
sono quindi sia le lettere enunciative che
per il vocabolario del linguaggio
OeP⊥ ∪ CeP⊥
costante enunciativa è naturalmente quella che potevamo aspettarci.
De nizione 84. a. In
P⊥
f (⊥) = F. b. k ⊥kfv = f (⊥).
il connettivo della negazione risulta de nibile nel modo seguente:
De nizione 85.
¬ψ = ψ → ⊥.
Il linguaggio P| .
Veniamo in ne al linguaggio davvero spartano
P|
il cui unico
connettivo | rappresenta la funzione di verità né A né B, la quale prende valore vero solo se entrambi i suoi argomenti sono falsi. La de nizione di formula segue nel solito modo, e i connettivi non presenti in
P|
si possono introdurre mediante le
seguenti de nizioni abbreviative.
De nizione 86. 9 Analogamente Vero.
a. b. c. d. e.
¬φ = φ | φ. φ ∧ ψ = (φ | φ) | (ψ | ψ) . φ ∨ ψ = (φ | ψ) | (φ | ψ) . φ → ψ = ((φ | φ) | ψ) | ((φ | φ) | ψ) . φ ↔ ψ =? [Esercizio]
possono darsi linguaggi enunciativi con una costante
>
intesa come un nome del
3. TAUTOLOGIE, CONSEGUENZA LOGICA
66
Si vedrà che, per quanto spartano,
P|
ha tutto quel che occorre alla logica enuncia-
tiva. Di def86 possiamo facilmente veri care la correttezza semantica con tavole di verità, in base alla de nizione della funzione di verità
o|
che è l'interpretazione
del connettivo |:
a. f (|) = o| . b. o| (V, V) = o| (V, F) = o| (F, V) = F; o| (F, F) = V.
De nizione 87. b
In base a def87( ) ecco la tavola di verità del connettivo |:
q V V F F
v1 v2 v3 v4
q|r F F F V
r V F V F
a
La tavola seguente mostra che def86( ) de nisce correttamente
q V F
¬:
q|q F V
b
d
Lo stesso possiamo fare per le clausole ( )-( ) di def86 che de niscono gli altri connettivi:
q V V F F
r V F V F
(q | q) | (r | r) V F F F
(q | r) | (q | r) V V V F
((q | q) | r) | ((q | q) r) V F V V
e
In ne ecco la risposta al problema di def86( ) sulla de nibilità di
q V V F F
r V F V F
↔:
(q | (r | r)) | ((q | q) | r) V F F V
3.4.2. Rappresentazioni di funzioni di verità.
Abbiamo così conosciuto
altri linguaggi enunciativi, che fanno uso di connettivi diversi o di qualche sottogrup-
P. Se o1 , . . . , om sono funzioni di verità, è costruibile un linguagL {⊗o1 , . . . , ⊗om } con le solite lettere enunciative e con connettivi ⊗o1 , . . . , ⊗om che rappresentano le funzioni di verità o1 , . . . , om in L {⊗o1 , . . . , ⊗om }. Possiamo po dei connettivi di
gio
avere a disposizione la classe ben de nita dei linguaggi enunciativi (classici) se de niamo con precisione questa nozione di rappresentazione.
De nizione 88.
Sia o una funzione di verità a n argomenti tra le o1 , . . . , om : ⊗o rappresenta o in L {⊗o1 , . . . , ⊗om } se e solo se, quando valgono o (k1 , . . . , kn ) = k e kφ1 kv = k1 , . . ., kφn kv = kn , vale anche k⊗o (φ1 , . . . , φn ) kv = k per ogni assegnamento v e n-pla φ1 ,. . .,φn di formule in L {⊗o1 , . . . , ⊗om }.
il connettivo
De niamo ora la condizione di
W -completezza
per un linguaggio enunciativo
- dove supponiamo che la semantica del linguaggio sia stata determinata in modo analogo a quella di
De nizione 89. funzione di verità
P. L {⊗o1 , . . . , ⊗om } è W -completo se e solo se per ogni n argomenti c'è una formula φ [q1 , . . . , qn ] nel linguaggio per v (qi ) = ki (1 ≤ i ≤ n), se o (k1 , . . . , kn ) = k , allora
Il linguaggio
o∈W
di
con la seguente proprietà:
kφ [q1 , . . . , qn ] kv = k .
3.5. FORME NORMALI
Non mostreremo direttamente la
W -completezza
di
67
P,
ma un risultato più forte:
Teorema 90. Il linguaggio P {¬, ∧, ∨} è W -completo (e quindi a fortiori lo è anche il linguaggio P).
Dimostrazione. Per induzione sul numero
o
n di argomenti di o ∈ W .
Se
n = 1,
può essere solo una delle seguenti funzioni:
oa (V) = V = oa (F). La formula cercata è p ∨ ¬p. ob (V) = V, ob (F) = F. La formula cercata è p. oc (V) = F, oc (F) = V. La formula cercata è ¬p. od (V) = F = od (F). La formula cercata è p ∧ ¬p. Sia ora, invece, o di n + 1 argomenti e per ipotesi di induzione il teorema valga per ogni o1 e o2 di n argomenti. In tal caso consideriamo (i ) o1 (k1 , . . . , kn ) = o (k1 , . . . , kn , V) (ii ) o2 (k1 , . . . , kn ) = o (k1 , . . . , kn , F) che sono funzioni di n argomenti. Così, in base a (i ) e (ii ), dall'ipotesi di induzione segue che vi sono formule φ1 [q1 , . . . , qn ] e φ2 [q1 , . . . , qn ] tali che: (iii ) se o (k1 , . . . , kn , V) = k , allora kφ1 [q1 , . . . , qn ] kv = k (iv ) se o (k1 , . . . , kn , F) = k , allora kφ2 [q1 , . . . , qn ] kv = k . Sia allora o (k1 , . . . , kn , kn+1 ) = k . Se kn+1 = V, allora per (iii ) avremo anche (v ) kφ1 [q1 , . . . , qn ] kv = k . Consideriamo ora la formula (
vi ) (φ1 [q1 , . . . , qn ] ∧ qn+1 ) ∨ (φ2 [q1 , . . . , qn ] ∧ ¬qn+1 ).
Prendiamo
v,
v
come richiesto, tale che
v (qn+1 ) = V:
a
c
in tal caso, per ( ) e ( ) di
def35, da ( ) otterremo anche
kφ1 [q1 , . . . , qn ] ∧ qn+1 kv = k ,
a
b
d
e quindi per ( ), ( ) e ( ) di def35 avremo anche
Il
k (φ1 [q1 , . . . , qn ] ∧ qn+1 ) ∨ (φ2 [q1 , . . . , qn ] ∧ ¬qn+1 ) kv = k . procedimento è analogo se kn+1 = F. Quindi (vi ) è la formula La formula (
cercata.
vi ) e le formule p ∨ ¬p, p, ¬p, p ∧ ¬p nella prova di teor90 hanno (j ) richiedono la negazione, e (jj ) sono semanticamente
due semplici proprietà:
equivalenti ad altre formule costruite usando, come solo altro connettivo oltre la
10
negazione, o la congiunzione o la disgiunzione o il condizionale.
In sintesi:
Corollario 91. I linguaggi P {¬, ∧}, P {¬, ∨}, P {¬, →}, P {|} sono tutti W -completi. 3.5. Forme normali 3.5.1. Forme ridotte. contenga solo i connettivi
Diciamo che è in
¬, ∧, ∨
forma ridotta
una formula di
P
che
oltre a lettere enunciative. Possiamo mettere fa-
cilmente a frutto il teor90 per ottenere una rappresentazione uniforme di qualsiasi formula
φ
di
P
in un'altra logicamente equivalente in forma ridotta.
Corollario 92.
(Forme ridotte)
10 Per
jj ) cfr.
φ tale che φ ≡ φ . la proprietà (
Per ogni formula φ di P esiste una forma ridotta
le tautologie del
3.2.
3. TAUTOLOGIE, CONSEGUENZA LOGICA
68
Dimostrazione. teor90 - e lo stesso all'occorrenza vale per cor91 - consente
φ rappresenta una funzione di verità nel senso q1 , . . . , qn sono le lettere enunciative di φ, allora v φ [q1 , . . . , qn ] se e solo se oφ (v (q1 ) , . . . , v (qn )) = V dove oφ è in sostanza la funzione de nita dalla tavola di verità per φ. Ne segue che φ è logicamente equivalente a qualunque formula che, in un linguaggio enunciativo completo, rappresenta oφ . In particolare, in un linguaggio P {¬, ∧, ∨} esiste una formula φ che rappresenta oφ e tale che φ ≡ φ .
di dire che una qualsiasi formula preciso che, se
Esercizio 93. a. b. c. d.
Dare le forme ridotte delle seguenti formule:
(p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) ((¬p → q) → ¬p) → ¬p (p → ¬q) → ((¬q → p) → (p ↔ ¬q)) ((p → q) → ¬r) ↔ (r → (¬q → ¬p))
3.5.2. Forme normali disgiuntive. nettivi
¬, ∧, ∨:
Una forma ridotta contiene solo i con-
si può tuttavia stabilire anche un modo normale di occorrenza
per i tre connettivi che corrisponde in modo naturale alla tavola di verità di una formula. Diciamo che una formula
φ è in forma normale disgiuntiva
se
φ è in forma
ridotta costituita solo da disgiunzioni di congiunzioni. Mostriamo ora che ad ogni
φ ∈ Fo P
si può associare una formula in forma normale disgiuntiva che racconta
in modo sistematico tutti gli assegnamenti alternativi che inducono interpretazioni vere di
q↔r
φ
(se
φ
ne ha almeno una). Ad esempio, la forma normale disgiuntiva di
è la formula
(q ∧ r) ∨ (¬q ∧ ¬r).11
Teorema 94.
(Forme normali disgiuntive) Usiamo ±q per: o q o ¬q . Allora, per ogni φ [q1 , . . . , qn ] ∈ Fo P soddisfacibile esiste una forma normale disgiuntiva
φfnd = (±q1 ∧ . . . ∧ ±qn ) ∨ . . . ∨ (±q1 ∧ . . . ∧ ±qn ) tale che : φ ≡ φfnd . Se φ non è soddisfacibile, poniamo : φfnd = q ∧ ¬q . Dimostrazione. Come sappiamo, la tavola per una formula
φ [q1 , . . . , qn ]
ha
la con gurazione seguente:
q1 V V ... F
v1 v2 ... v2n
Se supponiamo che colonna di
V
φ.
... ... ... ... ...
φ
qn V F ... F
... ... ... ... ...
φ ... ... ... ...
V nella k1 , . . . , km (m ≤ 2n ) della tavola che hanno
sia soddisfacibile, qualche riga nella tavola deve avere
Consideriamo solo le righe
φ e risulta: v φ sse [(v = vk1 e vk1 φ) o . . . o (v = vkm e vkm φ)]. Le righe k1 , . . . , km sono costituite da successioni di valori V o F assegnati alle lettere enunciative q1 , . . . , qn di φ. Sia vki un tale assegnamento, cioè vk φ. Se i nella riga di vki compare il valore F alla colonna della lettera enunciativa q , ossia kqkvki = F, ciò equivale naturalmente a k¬qkvki = V. Così la riga di vki è descritta nella colonna di (1)
completamente dalla asserzione (2)
11 Cfr.
k ± q1 kvki = V
e
la tautologia T67 di
...
3.2.
e
k ± qn kvki = V.
3.5. FORME NORMALI
Per le proprietà semantiche di
∧,
69
l'asserzione (2) equivale alla seguente
vki ±q1 ∧ . . . ∧ ±qn , ovvero vale
vki φ
(3)
sse
vki ±q1 ∧ . . . ∧ ±qn .
Da (1) e (3) si ottiene ovviamente
v φ
sse:
v ±q1 ∧ . . . ∧ ±qn
o
...
o
v ±q1 ∧ . . . ∧ ±qn
che è equivalente a
v φ
sse
v (±q1 ∧ . . . ∧ ±qn ) ∨ . . . ∨ (±q1 ∧ . . . ∧ ±qn ).
Ecco subito un esercizio anche per le forme normali disgiuntive.
Esercizio 95. Dare forme normali disgiuntive per le formule in eserc93. 3.5.3. Dualità. Le formule enunciative hanno anche un'importante proprietà una formula di P in forma ridotta che contiene esatq1 , . . . , qn : diciamo duale di φ [q1 , . . . , qn ] il risultato del rimpiazzamento in una formula φ [q1 , . . . , qn ] in forma ridotta del connettivo ∧ con ∨, di ∨ con ∧ e, per 1 ≤ k ≤ n, della lettera enunciativa qk con ¬qk .
di dualità. Sia
φ [q1 , . . . , qn ]
tamente le lettere enunciative
Teorema 96. Se φ [q1 , . . . , qn ] è in forma ridotta e φδ è duale di φ, allora :
φ ≡ ¬φδ .
gr (φ). Se φ = q , allora φδ è ¬q , e per q ≡ ¬¬q . Se gr (φ) > 0, si danno i seguenti sottocasi. δ Caso φ = ¬ψ . Per ipotesi di induzione ψ ≡ ¬ψ , così per cor78(a ) e lemma79 δ δ δ δ δ abbiamo: ¬ψ ≡ ¬¬ψ . Ma ¬ψ = (¬ψ) = φ , per cui φ ≡ ¬φ . δ δ Caso φ = ψ ∧ χ. Per ipotesi di induzione ψ ≡ ¬ψ e χ ≡ ¬χ , quindi per δ δ cor78(a ) e lemma79: ψ ∧ χ ≡ ¬ψ ∧ ¬χ . Allora per esemp81(e ) e cor78: δ ψ ∧ χ ≡ ¬ ψ δ ∨ χδ . Ma ψ δ ∨ χδ = (ψ ∧ χ) = φδ , e quindi φ ≡ ¬φδ . Dimostrazione. Per induzione su
a
esemp81( ):
Caso
φ = ψ ∨ χ.
a
Per ipotesi di induzione
ψ ≡ ¬ψ δ
e
χ ≡ ¬χδ ,
quindi per
ψ ∨ χ ≡ ¬ψ ∨ ¬χ . Allora per esemp81(c ) δ ψ ∨ χ ≡ ¬ ψ δ ∧ χδ . Ma ψ δ ∧ χδ = (ψ ∨ χ) = φδ , e quindi φ ≡ ¬φδ . δ
cor78( ) e lemma79:
Per ragioni di dualità esiste anche una
δ
forma normale congiuntiva
e cor78:
per ogni
formula enunciativa. Ad esempio:
δ
((p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)) = (¬p ∨ ¬q) ∧ (¬¬p ∨ ¬¬q). Si può ora costruire la tavola di verità per veri care che
(p ↔ q) ↔ ¬ ((¬p ∨ ¬q) ∧ (¬¬p ∨ ¬¬q)). Se poi nel duale
(¬p ∨ ¬q) ∧ (¬¬p ∨ ¬¬q)
a
eliminiamo le doppie negazioni [in base a cor78( ) e lemma79], otteniamo la formula
(¬p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q) che è altrettanto una forma normale, ma questa volta congiuntiva, essendo una
12
congiunzione di alternative. E quindi:
¬ (p ↔ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q). Generalizzando si ottiene:
12 Cfr.
la tautologia T68 di
3.2.
3. TAUTOLOGIE, CONSEGUENZA LOGICA
70
Teorema 97. Per ogni formula φ [q1 , . . . , qn ] soddisfacibile di P esiste una forma normale congiuntiva
φfnc = (±q1 ∨ . . . ∨ ±qn ) ∧ . . . ∧ (±q1 ∨ . . . ∨ ±qn ) δ
tale che ¬φ ≡ φfnc . Se φ non è soddisfacibile, poniamo : φfnc = φfnd . Le forme normali congiuntive sono importanti per la teoria della
risoluzione, 13
ossia
per il calcolo logico proposizionale in applicazioni computazionali.
3.6. Conseguenza generalizzata Con le leggi della conseguenza logica, oltre a quelle della forma logica, non ab-
l
biamo ancora esaurito le rilevanti leggi logiche enunciative. Consideriamo esemp75( ):
l
non è di cile vedere che da esemp75( ) risulta anche un'altra legge (1)
(φ → χ) ∨ (ψ → χ) , φ, ψ χ
che permette di stabilire, dalla verità degli antecedenti quella del conseguente
logica
(2) se
χ.
Γ, φ ∧ ψ χ,
Risulta cioè una
allora
(φ → χ) ∨ (ψ → χ), φ
e
ψ,
legge di conservazione della conseguenza
Γ, φ, ψ χ
l
della quale la deduzione di (1) da esemp75( ) è un caso particolare. Una legge del genere non riguarda già più la validità degli argomenti, quanto la conservazione della validità da certe forme d'argomento a certe altre. In questo senso il teorema semantico di deduzione teor74 stabilisce solo una delle possibili leggi di conservazione della conseguenza logica - quella che prevede la trasformazione conservativa di una conseguenza logica in un'implicazione e viceversa. Come tale questa legge può servire da principio deduttivo, proprio come le altre leggi di conservazione della conseguenza logica. In questa sezione vedremo quali sono le leggi di conservazione basilari della conseguenza logica enunciativa (classica) e, nei prossimi capitoli, che da esse si possono ricavare tutte le leggi della forma e della conseguenza logica enunciativa.
3.6.1. Conseguenti generalizzati.
Finora abbiamo ristretto la conseguenza
logica a un insieme di formule nell'antecedente e una formula nel conseguente. In realtà non vi è alcuna ragione profonda perché un argomento abbia solo una conclusione e il conseguente di una conseguenza sia costituito da una sola formula. Il caso generale è anzi quello in cui un certo ventaglio di possibili conclusioni seguono da un dato insieme di premesse. In questa versione a conseguenza logica di
∆
d
Γ
conseguenti generalizzati, ∆ è
[cfr. def98( )] se ogni modello di
Γ
ammette il ventaglio
di possibilità, ossia se esso è modello di almeno una formula in
De nizione 98. a. b. c. d. 13 Si
∨ v ∆
[o
(Conseguenti generalizzati:
Mod∨ v (∆)]
∨
Mod (∆) = {v : ∨
∆
∨ v
sse per ogni
Γ ∨ ∆
sse
sse per qualche
Γ ∨ ∆)
ψ ∈ ∆: Modv (ψ).
∆}.
v: ∨ v ∆.
Mod (Γ) ⊆ Mod∨ (∆).
122], cap.
veda ad esempio Lolli [
XIV; Gallier [
74].
∆.
3.6. CONSEGUENZA GENERALIZZATA
71
a
∨ v ∆ di soddisfazione disgiuntiva in base ∨ a un dato assegnamento v per le formule di un insieme ∆, mentre 2v ∆ signi ca che nessuna ψ ∈ ∆ è soddisfatta dall'assegnamento v. Con def98(c ) è a sua volta Con def98( ) è introdotta una nozione
introdotta la nozione di validità generalizzata relativa ad un insieme di formule
a
b
enunciative: per le clausole ( )-( ) di def98,
ψ∈∆
qualche
tale che
∨ ∆
signi ca che per ogni
v
vi è
v ψ .
∨ v φ equivale a v φ, mentre Γ φ e φ sono casi particolari, ∨ rispettivamente, di Γ ∆ e di ∨ ∆. Così in luogo delle notazioni ∨ ∆ e ∨ Γ ∆ possiamo usare semplicemente ∆ e Γ ∆. Naturalmente vale ∨ ∆ se ∆ contiene una tautologia. Come esempio di validità generalizzata [in base Chiaramente
b
a cor44( )] consideriamo la seguente versione del principio del terzo escluso: TE.
φ, ¬φ.
Supponiamo ora di dover stabilire se
∆
è una asserzione corretta di validità
c
generalizzata: la procedura naturale, in vista di def98( ), è quella di cercare di falsi care tutte le formule in (3)
∆.
Si consideri ad esempio il caso seguente:
ψ → ¬φ, φ ∨ ψ .
Chiaramente un assegnamento v può falsi care tutte le formule in (3) solo se falsi ca φ∨ψ , quindi se 2v φ e 2v ψ ; ma allora v ψ → ¬φ. Quindi ogni tentativo di falsi care tutte le formule in (3) è senza successo: (3) è un caso di validità generalizzata.
Esercizio 99. a. b. c. d.
Veri care se i seguenti sono casi di validità generalizzata:
¬φ ↔ ¬ψ, φ, ψ φ, ψ, φ ↔ ψ ¬φ → (¬ψ → χ) , χ, ¬φ φ, φ → ψ
3.6.2. Contromodelli. hΓ, ∆i
una coppia ordinata
veri ca tutte le formule in
De nizione 100.
Molto utile è anche la nozione di
contromodello per
di insiemi di formule enunciative: un assegnamento che
Γ
ma nessuna in
∆.
(Contromodello)
a. CModv (Γ; ∆) se e solo se: Modv (Γ) ma 2∨v ∆. b. CMod (Γ; ∆) = {v | CModv (Γ; ∆)}
Naturalmente una conseguenza logica delli per la coppia
hΓ, ∆i
Γ∆
di insiemi, ovvero
dimostrare l'esistenza di un contromodello di
Corollario 101.
equivale all'inesistenza di contromo-
Γ ∆ hΓ, ∆i:
risulta confutata se si può
Γ ∆ se e solo se CMod (Γ; ∆) = ∅.
Per la nozione estesa di conseguenza logica vale ovviamente una generalizzazione
b
di teor70( ):
Corollario 102.
Γ è insoddisfacibile se e solo se Γ ∆ per ogni ∆.
In particolare, otteniamo così la seguente versione del principio di contraddizione: (NC)
¬φ, φ ∆.
Risulta utile introdurre anche l'insieme di tutte le negazioni delle formule di un dato insieme.
De nizione 103.
∆0 = {¬ψ | ψ ∈ ∆}.
3. TAUTOLOGIE, CONSEGUENZA LOGICA
72
Siccome
2∨ v ∆
equivale a
Modv ∆0
, abbiamo allora:
Corollario 104. Γ 2 ∆ se e solo se Γ ∪ ∆0 è soddisfacibile. Esercizio 105. I seguenti sono casi di conseguenza logica generalizzata? a. b. c. d. e.
φ ∧ ψ, Γ ∆, φ, ψ φ ∨ ψ, Γ ∆, ψ φ → ψ, ¬φ, Γ ∆, ¬ψ ψ, Γ ∆, φ → ψ ψ, φ ↔ ψ, Γ ∆, ¬φ
3.6.3. Sostituzione e rimpiazzamento.
Conviene introdurre una notazione
generalizzata per la sostituzione.
Θ [p/χ]:
la sostituzione in ogni formula formula
ϕ∈Θ
della lettera enunciativa
p
con la
χ.
Il risultato seguente stabilisce che la sostituzione preserva validità e conseguenza logica generalizzate.
Corollario 106.
(Corollario di Sostituzione)
a. Se Γ ∆, allora Γ [p/χ] ∆ [p/χ]. b. φ se e solo se φ [p/χ].
i Γ ∆, e per assurdo sia CModv (Γ [p/χ] ; ∆ [p/χ]), da ii ) Modv Γ [p/χ] e (iii ) 2∨v ∆ [p/χ]. Per teor57 vale: (iv ) Modv Γ [p/χ] ∨ sse Modv[p/kχk] Γ. Per (i ) abbiamo che, se Modv[p/kχk] Γ, allora v[p/kχk ] ∆, da cui v per (iv ), (ii ) e def98(a ) segue: v[p/kχkv ] ψ , per qualche ψ ∈ ∆. Così per teor57 segue anche v ψ [p/χ], per qualche ψ ∈ ∆, contro (iii ). La prova di (b ) segue banalmente. Dimostrazione. Sia ( )
cui segue: (
Anche per il rimpiazzamento conviene introdurre una notazione generalizzata.
Θ [ψ \ χ]:
il rimpiazzamento, in qualche formula della formula
ψ
con la formula
ϕ ∈ Θ,
di qualche occorrenza
χ.
Da teor58 segue che il rimpiazzamento di formule logicamente equivalenti preserva validità e conseguenza logica generalizzate (la dimostrazione è lasciata come esercizio).
Corollario 107. Se Γ ∆ e ψ ≡ χ, allora Γ [ψ \ χ] ∆ [ψ \ χ]. 3.6.4. Il teorema fondamentale della conseguenza logica.
La conse-
guenza logica ha alcune importanti proprietà - che diremo strutturali - indipendenti dalle speci che forme logiche considerate.
φ φ.
Più in generale, è
inclusiva :
vale
Γ∆
includono una stessa formula, in quanto un modello di una formula in
ri essiva :
Γ è allora modello di almeno
∆.
Teorema 108. a.
Inclusione:
La conseguenza logica è
Γ ∆,
In primo luogo è
se l'antecedente e il conseguente
Γ [φ] ∆ [φ].
monotonica
sia nell'antecedente che nel conseguente: se
l'aggiunta di formule nell'antecedente, o nel conseguente, non cambia la
situazione.
3.6. CONSEGUENZA GENERALIZZATA
Teorema.
73
[Segue 108] (Monotonicità o Aggiunta)
b 1. Se Γ ∆, allora Λ, Γ ∆. b 2. Se Γ ∆, allora Γ ∆, Θ. b
Mod (Γ) ⊆ Mod∨ (∆) allora vale naturalmente Mod (Λ) ∩ Mod (Γ) ⊆ Mod (∆). Analogamente, Mod (Γ) ⊆ Mod∨ (∆) ∪ Mod∨ (Θ) stabilisce (b 2). Dimostrazione. Per ( 1): se
∨
In
Γ ∆ risultano poi indierenti tanto l'ordine degli antecedenti e dei conseguenti,
quanto eventuali ripetizioni di formule nell'antecedente o nel conseguente (i risultati dipendono da banali proprietà insiemistiche):
Teorema. c 1. c 2. d 1. d 2.
[Segue 108] (Scambio e Contrazione)
Se Λ, Γ ∆, allora Γ, Λ ∆. Se Γ ∆, Θ, allora Γ Θ, ∆. Se Λ, Λ, Γ ∆, allora Λ, Γ ∆. Se Γ ∆, Θ, Θ, allora Γ ∆, Θ.
Un'altra proprietà davvero basilare della conseguenza logica è la
φψ
e
ψ χ,
Teorema.
allora
φ χ.
transitività :
se
In forma generalizzata:
[Segue 108] (Transitività o Taglio)
e. Se Γ Θ, φ e φ, Λ ∆, allora vale anche Γ, Λ Θ, ∆.
l'ipotesi iniziale.
Γ e di Λ, ma non di Θ nè di ∆: per φ, Λ ∆, v è anche modello di ∆, contro
Esercizio 109.
Mostrare che la conseguenza logica non è transitiva su insiemi di
Dimostrazione. Sia
Γ Θ, φ,
v
quindi,
v
un modello di
è modello di
φ
e, per
formule, ovvero che è falsa la seguente asserzione: (*)
allora vale anche Γ, Λ Θ, ∆. Come osservato in
Cap1, è standard
Se Γ Θ, Ξ e Ξ, Λ ∆,
una relazione di conseguenza logica che
veri ca le condizioni di teor108 (cioè inclusiva, monotonica e transitiva). In più la conseguenza logica enunciativa veri ca le condizioni di teor110, che ssano basilari proprietà
operazionali
e nei conseguenti in
Γ ∆.
sul comportamento dei connettivi negli antecedenti
teor
110
si può considerare il
teorema fondamentale
della conseguenza logica enunciativa (classica). Consideriamo conseguenze logiche con una congiunzione nell'antecedente o nel conseguente. Modelli di una congiunzione entrambi i congiunti
φ, ψ .
φ∧ψ
sono gli assegnamenti modello di
Così il contributo che la congiunzione
φ∧ψ
apporta a un
antecedente φ∧ψ, Γ è che un insieme ∆ segue da tale antecedente se e solo se ∆ segue
dall'antecedente
φ, ψ, Γ
che, invece della congiunzione, ha la coppia
congiunti. D'altra parte, il contributo che è che questo segue da un antecedente tanto
∆, φ
quanto
∆, ψ .
Γ
φ∧ψ
apporta a un
[∧A] [∧C]
dei suoi
se e solo se da tale antecedente seguono
Con su ssi come A e C si intende, rispettivamente,
nell'antecedente e nel conseguente.
Teorema 110.
φ, ψ
conseguente ∆, φ ∧ ψ
(Proprietà operazionali della congiunzione)
φ ∧ ψ, Γ ∆ se e solo se φ, ψ, Γ ∆. Γ ∆, φ ∧ ψ se e solo se Γ ∆, φ e Γ ∆, ψ .
3. TAUTOLOGIE, CONSEGUENZA LOGICA
74
Passiamo a conseguenze logiche con una disgiunzione nell'antecedente o nel conseguente. Modelli di una disgiunzione e quelli che sono modello di a un
∆
se
antecedente φ ∨ ψ, Γ segue tanto da
apporta a un
φ, ψ
Teorema.
Γ
φ∨ψ
sono gli assegnamenti modello di
Così il contributo che la disgiunzione
∆
è che un insieme
ψ, Γ.
quanto da
conseguente ∆, φ ∨ ψ
se e solo se da coppia
φ, Γ
ψ.
φ∨ψ
φ
apporta
segue da tale antecedente se e solo
D'altra parte, il contributo che
φ∨ψ Γ
è che tale conseguente segue da un insieme
segue il conseguente
∆, φ, ψ
che, invece della disgiunzione, ha la
dei suoi disgiunti. [Segue 110] (Proprietà operazionali della disgiunzione)
φ ∨ ψ, Γ ∆ se e solo se φ, Γ ∆ e ψ, Γ ∆. Γ ∆, φ ∨ ψ se e solo se Γ ∆, φ, ψ .
[∨A] [∨C]
Veniamo a conseguenze logiche con un condizionale nell'antecedente o nel conseguente. Modello di un condizionale
φ, o (ii ) condizionale φ → ψ
φ→ψ
i
può essere o ( ) un assegnamento che
non è modello di
un assegnamento che è modello di
che il
apporta a un
segue da tale antecedente se e solo se
ψ.
antecedente φ → ψ, Γ
∆, φ
segue da
Γ
Così il contributo
è che un insieme
e al tempo stesso
∆
∆
segue
i Γ φ → ψ, Γ ∆; se invece consideriamo gli assegnamenti non di tipo (i ) che sono modello di Γ, essi sono ovviamente modello di φ; quindi da φ → ψ, Γ ∆ risulta che Mod (Γ) ⊆ Mod∨ (∆ ∪ {φ}). Inoltre da φ → ψ, Γ ∆ risulta anche che tutti gli assegnamenti di tipo (ii ) che sono modello di Γ veri cano ∆. (Il ragionamento analogo in direzione inversa, da Γ ∆, φ e ψ, Γ ∆ a φ → ψ, Γ ∆ è lasciato come utile esercizo.) D'altra parte, il contributo che φ → ψ apporta a un conseguente ∆, φ → ψ è che tale conseguente segue da un insieme Γ 14 se e solo se ∆, ψ segue da φ, Γ. da
ψ, Γ.
In eetti, tutti gli assegnamenti di tipo ( ) che sono modello anche di
∆,
veri cano
Teorema. [→A] [→C]
se vale
[Segue 110] (Proprietà operazionali del condizionale)
φ → ψ, Γ ∆ se e solo se Γ ∆, φ e ψ, Γ ∆. Γ ∆, φ → ψ se e solo se φ, Γ ∆, ψ .
Consideriamo poi conseguenze logiche con un bicondizionale nell'antecedente o nel conseguente. Modello di un bicondizionale mento che è modello sia di
φ
che di
ψ,
o (
jj )
φ↔ψ
j
può essere o ( ) un assegna-
un assegnamento che non è modello
φ né di ψ . Così il contributo che il bicondizionale φ ↔ ψ apporta a un antecedente φ ↔ ψ, Γ è che un insieme ∆ segue da tale antecedente se e solo se ∆ segue
né di da
φ, ψ, Γ
e al tempo stesso
∆, φ, ψ
j
segue da
Γ.
φ ↔ ψ, Γ ∆, ∆, e così anche modello di Γ
In eetti, se vale
tutti gli assegnamenti di tipo ( ) che sono modello anche di
Γ
veri cano
φ, ψ, Γ ∆. Inoltre, tutti gli assegnamenti di tipo (jj ) che sono veri cano ∆, se vale φ ↔ ψ, Γ ∆; se invece consideriamo gli assegnamenti non di tipo (jj ) che sono modello di Γ, essi sono ovviamente modello di φ o ψ ; quindi da φ ↔ ψ, Γ ∆ risulta che Mod (Γ) ⊆ Mod∨ (∆ ∪ {φ, ψ}). (Il ragionamento analogo in direzione inversa è lasciato come utile esercizo.) D'altra parte, il contributo che
φ ↔ ψ
apporta a un
conseguente ∆, φ ↔ ψ
insieme
Γ
∆, ψ
se e solo se
segue da
φ, Γ
e
è che tale conseguente segue da un
∆, φ
segue da
ψ, Γ.
(Il ragionamento è
lasciato come utile esercizio combinatorio.)
14
Senza i parametri di contesto, questo risultato è il teorema semantico di deduzione che già
conosciamo.
3.6. CONSEGUENZA GENERALIZZATA
Teorema.
75
[Segue 110] (Proprietà operazionali del bicondizionale)
[↔A]
φ ↔ ψ, Γ ∆ se e solo se φ, ψ, Γ ∆ e Γ ∆, φ, ψ .
[↔C]
Γ ∆, φ ↔ ψ se e solo se φ, Γ ∆, ψ e ψ, Γ ∆, φ.
Consideriamo in ne conseguenze logiche con una negazione nell'antecedente o
¬φ sono gli assegnamenti ¬φ apporta a un antecedente ¬φ, Γ è che ∆ segue da tale antecedente se e solo se ∆, φ segue da Γ. In eetti, tutti i modelli di Γ che sono anche modello di ¬φ veri cano ∆, se vale ¬φ, Γ ∆; quelli che non sono modello di ¬φ veri cano ovviamente φ, e quindi anche ∆, φ. (Il ragionamento analogo in direzione inversa, da Γ ∆, φ a ¬φ, Γ ∆ è lasciato come utile esercizo.) D'altra parte, il contributo che ¬φ apporta a un conseguente ∆, ¬φ è che esso segue da Γ se e solo se ∆ segue da φ, Γ. In eetti, se φ, Γ ∆ allora tutti i modelli di Γ che sono anche modello di φ veri cano ∆ e quindi ∆, ¬φ; mentre quelli che non sono modello di φ veri cano ovviamente ¬φ e quindi ∆, ¬φ. (Il ragionamento analogo da Γ ∆, ¬φ a φ, Γ ∆ è lasciato come utile esercizo.) nel conseguente. Naturalmente modelli di una negazione che non sono modello di
Teorema.
φ.
Così il contributo che
[Segue 110] (Proprietà operazionali della negazione)
[¬A]
¬φ, Γ ∆ se e solo se Γ ∆, φ.
[¬C]
Γ ∆, ¬φ se e solo se φ, Γ ∆.
Eliminando opportunamente i parametri di contesto de nita da (4) (5)
¬φ ¬φ
χ χ ∆.
Così
¬A
e
¬C
anche la notazione φ
se e solo se se e solo se
risulta implicitamente
φ φ .
equivale all'insoddisfacibilità di
Esercizio 111.
Γ, ∆,
:
χ,
e quindi per cor102 da
χ
segue
Dare precise prove dei casi di teor110 (dalla supposizione di
contromodelli) usando cor101.
3.6.5. Conseguenza nita.
Si osservi che l'antecedente e il conseguente di
una conseguenza logica non sono sottoposti ad alcuna restrizione e possono anche essere insiemi in niti di formule enunciative.
Lasciamo tuttavia per il momento
da parte questa possibilità e concentriamoci solo su conseguenze con antecedenti
15
e conseguenti niti
- per comodità diremo conseguenze nite. Sono infatti le
conseguenze nite che costituiscono ragioni logiche per la validità di argomenti enunciativi eettivamente trattabili. Una conseguenza nita ha forma
φ1 , . . . , φn ψ1 , . . . , ψk
e per ssarne le pro-
prietà principali de niamo la trasformazione di un antecedente (di un conseguente)
16
nito nella congiunzione (disgiunzione) delle rispettive formule:
De nizione 112.
a. Γ∧ = φ1 ∧ . . . ∧ φn , se Γ = {φ1 , . . . , φn }. b. ∆∨ = ψ1 ∨ . . . ∨ ψk , se ∆ = {ψ1 , . . . , ψk }.
15 Nel Cap5 si vedrà che la scelta è in certo modo giusti cata. 16 Per cor78 e teor107, le clausole della de nizione sono legittime, [T27 di
visto che tanto la congiunzione
3.2] quanto la disgiunzione [T33 di 3.2] sono associative.
3. TAUTOLOGIE, CONSEGUENZA LOGICA
76
Nel corollario seguente si mostra (soprattutto) che una conseguenza nita equivale ad una conseguenza tra due formule enunciative.
Naturalmente il risultato
è dimostrabile chiamando in causa assegnamenti, ma si può fare qualcosa di più istruttivo: provare il risultato deducendolo da proprietà strutturali e operazionali della conseguenza generalizzata.
Corollario 113. Per
Γ e ∆ niti : Γ ∆ se e solo se Γ∧ ∆∨ (e quindi: se e solo se Γ ∆∨ se e solo se Γ∧ ∆) . Dimostrazione. Siano
Γ = {φ1 , . . . , φn }
e
∆ = {ψ1 , . . . , ψk }.
Consideriamo
allora la seguente relazione:
a. φ1 , . . . , φn ψ1 , . . . , ψk . Per successive applicazioni di
∧A, (a )
risulta equivalente a
b. φ1 ∧ . . . ∧ φn ψ1 , . . . , ψk .
∨C, risulterà che (b ) è equivalente a: c. φ1 ∧ . . . ∧ φn ψ1 ∨ . . . ∨ ψk . Così (a ) è equivalente a (c ), che è quello che si voleva dimostrare. e a sua volta, per successive applicazioni di
Usando
→C,
da cor113 risulta subito una generalizzazione del teor74, cioè che
una conseguenza nita equivale a un'implicazione logica:
Corollario 114. Per Γ e ∆ niti:
Γ ∆ se e solo se Γ∧ → ∆∨ .
Si osservi che questo non è certo il solo caso di validità con il quale è rappresentabile una conseguenza nita. Ad esempio,
→C
φ1 , . . . , φ n ∆ ∨
per ripetute applicazioni di
risulta equivalente alla parte destra di (5), e così per il cor113 si ottiene:
φ1 → (. . . → (φn → ∆∨ ) . . .). ∨ Analogamente, con ripetute applicazioni di ¬C si deduce che φ1 , . . . , φn ∆ ∨ equivale a ¬φ1 , . . . , ¬φn ∨ ∆ e, per cor113, alla parte destra di ∨ (6) φ1 , . . . , φn ∆ se e solo se ¬φ1 ∨ . . . ∨ ¬φn ∨ ∆ . (5)
φ1 , . . . , φ n ∆
se e solo se
Se generalizziamo queste osservazioni, usando teor107 e cor113, abbiamo allora:
Teorema 115. Per Γ, ∆ niti, Γ∧ ≡ ϕ e ∆∨ ≡ χ:
Γ ∆ sse ϕ χ.
Usando def103 e cor104, da cor114 seguono anche le seguenti proprietà della conseguenza generalizzata:
Corollario 116. Per Γ e ∆ niti : (a ) CModv (Γ; ∆) sse v Γ∧ ∧ ∆0∧ ; (b ) Γ 2 ∆
sse Γ∧ ∪ ∆0∧ è soddisfacibile.
CAPITOLO 4
Sequenti
In questo capitolo faremo un altro passo avanti nella conoscenza della logica enunciativa presentando un metodo di decisione per la conseguenza nita che è anche un
sistema formale di prova.
La cosa può sembrare oziosa, visto che le
leggi della conseguenza nita sono rappresentabili come tautologie e per queste disponiamo già di un metodo di decisione: le tavole di verità. almeno due buone ragioni per andare oltre le tavole di verità.
Vi sono tuttavia La prima è che
questo metodo non è troppo soddisfacente su una scala accettabile di fattibilità:
1
sorgono notevoli di coltà quando il numero di variabili enunciative cresce troppo in una formula, che aumentano in modo esponenziale se si considerano insiemi di formule. La seconda ragione, qui per noi la più importante, è che il metodo delle tavole di verità ha un ovvio limite intrinseco di inerzia teorica: non può dare un ordine esplicativo alle leggi logiche enunciative e un metodo percorribile allo scopo. Qui ordine esplicativo vuol dire un dire un
sistema di prova.
ordine deduttivo e metodo percorribile vuol
Le tavole di verità possono essere uno strumento euristico
per relazioni di conseguenza nita tra formule, ma non possono certo costituire una
teoria deduttiva
delle leggi logiche enunciative.
4.1. Regole di sequenza Per la logica enunciativa non abbiamo che l'imbarazzo della scelta tra diversi tipi (principali) di sistemi di prova:
assiomatici, di deduzione naturale, di sequenti,
alberi per insiemi coerenti.
La nostra preferenza andrà in questo e nei prossimi
capitoli ai sistemi a sequenti.
Come primo passo conviene comunque delineare i
ad
2
sistemi formali di prova in base a condizioni opportunamente generali.
Criterio 117. Un sistema formale di prova T è una coppia hL, T` i costituita da un linguaggio formale L e un dispositivo di prova T` individuato da: 3 a. una collezione AxT ben de nita di formule in L come assiomi; b. una collezione RgT ben de nita di regole di inferenza; c. una nozione ben de nita di prova formale. Le regole di inferenza autorizzano transizioni da date formule (nel linguaggio del sistema) come premesse a certe altre come conclusioni. crit117 richiede che assiomi, regole e prove siano ben de niti: ciò vuol dire che si deve poter determinare
eettivamente
se una formula è un assioma, se una certa sequenza di premesse e
1 Come è ben noto al trattamento computazionale della logica enunciativa, cfr. ad es. 2 Introdotti per la prima volta in Gentzen [77]. Nel seguito i sistemi di sequenti sono
122].
Lolli [
intesi come
rappresentazioni della conseguenza logica, tuttavia occorre dire per completezza che nell'impostazione di Gentzen essi non ponevano al centro dell'interesse la relazione di conseguenza logica, ma
132], p.
le dimostrazioni intuitive in matematica (Mariani-Moriconi [
3 Possibilmente
vuota. 77
80).
4. SEQUENTI
78
conclusioni esempli ca una regola di inferenza, e se qualcosa è o meno una prova autorizzata dal sistema. In questo senso la speci cazione delle regole di inferenza consiste in una lista controllabile di gure (di inferenza)
Θ hRegi Λ Θ, Λ sono sequenze nite di formule del dato linguaggio:
tali gure speci cano
quali (schemi di) formule possono occorrere come premesse in
Θ e come conclusioni L usando assiomi e
dove
Λ.
in
Un dispositivo
T`
genera prove per formule del linguaggio
procedure di transizione ssate nelle regole di inferenza: la nozione di prova formale
T speci cando come vanno usati a tale scopo T` produca una dice che µ è provabile in T o che è un teorema di
stabilisce cosa e quali sono le prove di
gli assiomi e le regole di inferenza. Nel caso in cui il dispositivo prova per una formula
T,
e si scrive
µ
in
L,
si
`T µ.
4.1.1. Sistemi di sequenti.
Due sistemi formali possono essere basati su lin-
guaggi diversi, oppure avere lo stesso linguaggio ma dispositivi diversi di prova. In particolare, i
sistemi assiomatici
(o hilbertiani)
di prova
- e nelle formulazioni
standard anche quelli a deduzione naturale - hanno come prima ordinata semplicemente un linguaggio enunciativo e determinano, tramite assiomi e regole di inferenza, una nozione ben de nita di prova formale: una sequenza di
formule enunciative
tale che ogni elemento della sequenza è una formula o è il risultato dell'applicare una regola di inferenza a formule precedenti nella sequenza. In un tale sistema vengono così rappresentate e provate
formalmente
relazioni di deducibilità/conseguenza tra
forme logiche enunciative. In eetti, come indica cor114, la soluzione di un qualsiasi problema
Γ ∆ di conseguenza logica enunciativa nita equivale a stabilire se Γ∧ → ∆∨ 4) è o meno
una certa formula enunciativa (ad esempio un condizionale
logicamente valida. Ciò giusti ca pienamente l'indirizzo teorico di costruire sistemi
i ii ) tramite regole di inferenza che conservano la validità logica, (iii ) restituiscono
assiomatici di prova che, ( ) a partire da un insieme di formule valide come assiomi e (
come teoremi formule enunciative valide. Proprio l'introduzione di sistemi assiomatici di prova ha segnato incontrastata la prima fondamentale fase di sviluppo della
5
logica contemporanea.
4
Come visto nel
Cap3,
che si tratti di un condizionale o di una formula determinata da altri
operatori logici non ha alcuna importanza e dipende solo dal linguaggio considerato.
5 Frege
[
61, 62], Russell-Whitehead [166], Ackermann-Hilbert [4], Hilbert-Bernays [93].
Nel senso
qui suggerito, un sistema assiomatico di prova è la teoria proposta per un campo determinato di leggi di
-conseguenza.
Questa rappresentazione è tuttavia a posteriori e, anche se in parte
corretta, non rende piena giustizia all'idea di sistema formale elaborata agli albori della ricerca logica contemporanea. La ragione è che la nozione di conseguenza logica non ha avuto un'auto-
27], cfr. anche Berg [20], Siebel 179]) - rispetto alla nozione di forma logica almeno no ai grandi lavori di Alfred Tarski agli inizi degli anni '30 del secolo scorso (cfr. Tarski [191, 192]). Individuare elementi primi e assiomi,
nomia accettabile - eccettuato forse il contributo di Bolzano ([ [
isolare metodi formali di deduzione, formulare principi di prova per tali deduzioni, ha coinciso largamente con il compito di
comprendere
la nozione stessa del seguire logicamente da.
Un
sistema formale in questo senso incarna l'idea che i principi primi e le forme delle prove e delle derivazioni sono ciò che caratterizza le leggi logiche: e in questo stesso senso, data la natura deduttiva di tali leggi, il compito dei sistemi formali è consistito nel fornire i mezzi deduttivi necessari per chiarirle e comprenderle
come
un campo di leggi. Così è stato no all'avvento di
una franca distinzione tra semantica e sintassi, che si deve fondamentalmente al contributo prima di Hilbert e poi, soprattutto, di Tarski.
4.1. REGOLE DI SEQUENZA
79
I sistemi a sequenti fanno una scelta dierente: sono orientati alla conseguenza logica e, nella loro formulazione classica, alla conseguenza generalizzata. I loro linguaggi hanno formule che rappresentano al tempo stesso forme logiche enunciative e relazioni di deducibilità/conseguenza tra tali forme. Sulla base di queste rappresentazioni, i sistemi a sequenti determinano a loro volta una nozione ben de nita di prova formale: tramite assiomi e regole di inferenza, da date relazioni di deducibilità tra liste di formule enunciative si derivano altre relazioni di deducibilità tra liste di formule enunciative. In un certo senso, non è improprio considerare le teorie a sequenti come la
fusione
tra un livello linguistico - formule che codi cano forme
logiche enunciative - e un livello metalinguistico costituito da asserzioni intorno a relazioni di derivabilità/conseguenza tra liste di tali formule. La prima ordinata di un sistema a sequenti è quindi un linguaggio formale in grado di rappresentare direttamente relazioni
Γ ∆
di conseguenza nita ge-
neralizzata. A questo scopo estendiamo il linguaggio enunciativo standard l'inclusione di un nuovo simbolo
⇒,6
P
con
ottenendo un nuovo tipo di formule
Γ⇒∆
sequenti, dove Γ pretazione intuitiva di un chiamate
e
∆
sono liste nite di formule enunciative.
L'inter-
sequente è quella che possiamo aspettarci, in base a
cor113:
(1)
vale
Γ⇒∆
se e solo se
Γ ∧ ∆∨ .
La condizione intuitiva di correttezza di un sequente è perciò una conseguenza nita generalizzata. razioni estendendo
P
Non resta ora che mettere in forma precisa queste considea un linguaggio
P⇒
di sequenti, il cui vocabolario resta così
determinato:
De nizione 118. a. b. c. d. e.
P⇒ : VbP⇒ )
OeP⇒ {⊗} ::= OeP . SeP⇒ ::= ⇒. VeP⇒ {p : q, r, s} ::= VeP . AuP⇒ ::= , ; ( ; ). VbP⇒ ::= ⊗ | SeP⇒ | p | AuP⇒ .
Il linguaggio
SeP⇒
(Vocabolario di
P⇒
comprende quindi oltre ai connettivi standard anche l'insieme
contenente il solo operatore
⇒
di sequente, mentre il dispositivo ausiliare
contiene oltre alle parentesi anche una virgola di separazione.
Le formule di
P⇒
restano così de nite:
De nizione 119.
Se φ1 , . . . , φn e ψ1 , . . . , ψk sono liste nite di formule in FoP , φ1 , . . . , φn ⇒ ψ1 , . . . , ψk ∈ FoP⇒ : una tale formula è detta un (P⇒ )-sequente, la lista φ1 , . . . , φn come antecedente e la lista ψ1 , . . . , ψk come succedente.
allora con
Usiamo lettere greche
Γ, ∆, Θ, Λ, Ξ come metavariabili per antecedenti e succedenti
dei sequenti. Si osservi che antecedenti e succedenti di un sequente sono semplici liste di formule enunciative, ossia ammettono ripetizioni e hanno un ordine meramente casuale. In un sequente (2)
6 Nella
φ1 , . . . , φn ⇒ ψ1 , . . . , ψk letteratura sono anche usati allo stesso scopo i simboli
e
→.
4. SEQUENTI
80
φ1 , . . . , φn vengano proprio in quest'ordine nell'anteceφπ1 , . . . , φπn va altrettanto bene. Analogamente, non importa che le formule ψ1 , . . . , ψk vengano proprio in quest'ordine nel succedente qualsiasi permutazione ψπ1 , . . . , ψπk va altrettanto bene.
non importa che le formule
dente - qualsiasi permutazione
4.1.2. Assiomi per sistemi di sequenti.
T di prova a sequenti validi in sé.
sono un certo insieme
Gli assiomi di un
AxT ⊆ FoP⇒
sistema formale
di sequenti assunti come
In base all'interpretazione intuitiva e alle proprietà di identità o di
a
inclusione della conseguenza logica stabilite in teor108( ), un conseguente banalmente deducibile da un antecedente
Γ
se una stessa formula
φ
∆
è
occorre sia
nell'antecedente che nel succedente di un sequente. Quindi come (schemi di) assiomi si raccomandano (almeno) quelli di Inclusione e, in particolare, di Identità:
(AxId)
Assiomi di identità.
φ, Γ ⇒ ∆, φ.
(AxIncl)
Assiomi di inclusione.
φ ⇒ φ.
Vedremo tuttavia che si raccomanda per diverse ragioni anche un altro tipo di assiomi di inclusione, nei quali è richiesto che sia una variabile enunciativa la formula che sta sia nell'antecedente che nel succedente: Assiomi di inclusione ristretta.
In
AxIncl
e
AxId
la formula
formula di identità, di inclusione.
φ
(AxInclR)
p, Γ ⇒ ∆, p.
è detta, rispettivamente, la
analogamente in
AxInclR
formula di inclusione e la p è la variabile
la lettera enunciativa
4.1.3. Lo schema generale delle regole di inferenza.
Per determinare
regole di inferenza di un sistema di prova a sequenti non occorre andare troppo lontano. In base all'interpretazione intesa (1), condizioni di correttezza dei sequenti sono relazioni di conseguenza logica.
In un certo senso, quindi, abbiamo già i
principi di prova pertinenti, anzi con pochi aggiustamenti li possiamo enunciare in uno
schema generale
costruibili sul linguaggio
3.6,
che determina una buona classe di sistemi di sequenti
P⇒ .
Basta infatti considerare due risultati dimostrati in
cioè teor108 che ssa proprietà strutturali e teor110 che ssa proprietà
operazionali della conseguenza logica generalizzata. Iniziamo da quest'ultimo, che è anche il più importante. Come esempio consideriamo in teor110 le due equivalenze relative alla congiunzione ed espandiamole in modo naturale:
∧A1. ∧A2. ∧C1. ∧C2.
Se Se Se Se
φ ∧ ψ, Γ ∆ allora φ, ψ, Γ ∆. φ, ψ, Γ ∆ allora φ ∧ ψ, Γ ∆. Γ ∆, φ ∧ ψ allora Γ ∆, φ e Γ ∆, ψ . Γ ∆, φ e Γ ∆, ψ allora Γ ∆, φ ∧ ψ .
Traduciamo ora i fatti
∧A1, ∧A2, ∧C1
e
∧C2
nel linguaggio di sequenti e in forma
di regola di inferenza: otteniamo precisamente uno schema generale delle regole di inferenza per la congiunzione in termini di sequenti (v. pagine seguenti). Lo stesso vale per le altre proprietà operazionali della conseguenza logica stabilite in teor110 e in questo modo risultano gli altri schemi generali delle regole di inferenza per le costanti logiche
¬, ∨, →, ↔
in termini di sequenti, che sono enunciati più avanti.
Se andiamo all'altro risultato generale (teor108) e ne traduciamo allo stesso
b
b
d
d
e
modo gli enunciati ( 1), ( 2), ( 1), ( 2), ( ) in termini di linguaggio di sequenti,
4.1. REGOLE DI SEQUENZA
81
otteniamo lo schema generale delle regole di inferenza strutturali enunciate alla pagina seguente.
eliminazione , introduzione di un operatore logico, con A che la regola è applicata a una formula nell'antecedente del sequente e con C che è applicata a una formula nel succedente . Così, ad esempio, ¬EA è la regola di eliminazione di ¬ Nella presentazione delle regole, con E è indicata una regola di
con I una regola di
nell'antecedente, e
IC∨ la regola di introduzione di ∨ nel succedente.
alla quale è applicata la data regola si dice la
La formula
formula principale della regola.
Se una
regola ha solo un sequente come premessa e uno come conclusione, li chiameremo rispettivamente il sequente
superiore
e il sequente
inferiore
della regola.
Se una
regola ha due sequenti come premesse o come conclusioni, parleremo di sequente
superiore
superiore o inferiore destro. Le regole regole di continuità, mentre quelle che hanno due sequenti inferiori sono dette regole di biforcazione. o
inferiore sinistro
e di sequente
che hanno solo un sequente inferiore sono dette Nello schema,
AgA
e
CAg sono le regole di Aggiunta, rispettivamente nell'anCtA e CCt sono quelle di Contrazione nell'antecedente Tg è la regola del Taglio. Per comodità, le regole opera-
tecedente e nel conseguente; e nel conseguente. In ne
zionali e strutturali contenute negli schemi della pagina seguente saranno chiamate complessivamente
regole di sequenza.
Quando nella formulazione delle regole scriviamo ad esempio
φ ↔ ψ, Γ ⇒ ∆,
ciò signi ca solo che è isolata per riferimento la formula principale della data regola di inferenza - in questo caso una regola di eliminazione o introduzione del bicondizionale nell'antecedente - e non che tale formula occorre in una certa posizione nell'antecedente. Analogamente, nel caso del succedente, se scriviamo ad esempio
Γ ⇒ ∆, φ ∨ ψ , ciò signi ca solo che la disgiunzione φ ∨ ψ
è la formula principale della
data regola di inferenza - in questo caso una regola di eliminazione o di introduzione della disgiunzione nel succedente - e non che tale formula occorre in una certa posizione nel succedente. In generale,
d'albero
7
prove formali
in un sistema a sequenti sono successioni in
forma
di sequenti, tali che i rami dell'albero hanno ad ogni nodo o un assioma
o il risultato dell'applicazione di una regola di sequenza. Non possiamo però dare su due piedi una nozione precisa di prova formale basata sulle regole di sequenza in quanto i sistemi a sequenti ammettono diversi tipi di prove, come vedremo nelle prossime due sezioni.
7 La
formulazione originaria del calcolo dei sequenti (Gentzen [
CSc di Λ, Γ ⇒ ∆ hScAi Γ, Λ ⇒ ∆
di Scambio nell'antecedente e una regola
77]) prevede anche una regola ScA
Scambio nel succedente:
Γ ⇒ ∆, Θ hCSci Γ ⇒ Θ, ∆
Ciò dipende dal fatto che antecedenti e succedenti sono considerati
sequenze
di formule.
4. SEQUENTI
82
Schema generale delle regole per
¬φ, Γ ⇒ ∆ h¬EAi Γ ⇒ ∆, φ
Γ ⇒ ∆, φ h¬IAi ¬φ, Γ ⇒ ∆
Γ ⇒ ∆, ¬φ hEC¬i φ, Γ ⇒ ∆
φ, Γ ⇒ ∆ hIC¬i Γ ⇒ ∆, ¬φ
Schema generale delle regole per
φ ∧ ψ, Γ ⇒ ∆ h∧EAi φ, ψ, Γ ⇒ ∆ Γ ⇒ ∆, φ ∧ ψ hEC∧i Γ ⇒ ∆, φ Γ ⇒ ∆, ψ
¬
∧
φ, ψ, Γ ⇒ ∆ h∧IAi φ ∧ ψ, Γ ⇒ ∆ Γ ⇒ ∆, φ Γ ⇒ ∆, ψ hIC∧i Γ ⇒ ∆, φ ∧ ψ ∨ φ, Γ ⇒ ∆ ψ, Γ ⇒ ∆ h∨IAi φ ∨ ψ, Γ ⇒ ∆
Schema generale delle regole per
φ ∨ ψ, Γ ⇒ ∆ h∨EAi φ, Γ ⇒ ∆ ψ, Γ ⇒ ∆ Γ ⇒ ∆, φ ∨ ψ hEC∨i Γ ⇒ ∆, φ, ψ
Γ ⇒ ∆, φ, ψ hIC∨i Γ ⇒ ∆, φ ∨ ψ → Γ ⇒ ∆, φ ψ, Γ ⇒ ∆ h→ IAi φ → ψ, Γ ⇒ ∆
Schema generale delle regole per
φ → ψ, Γ ⇒ ∆ h→ EAi Γ ⇒ ∆, φ ψ, Γ ⇒ ∆ Γ ⇒ ∆, φ → ψ hEC →i φ, Γ ⇒ ∆, ψ
φ, Γ ⇒ ∆, ψ hIC →i Γ ⇒ ∆, φ → ψ
φ ↔ ψ, Γ ⇒ ∆ h↔ EAi φ, ψ, Γ ⇒ ∆ Γ ⇒ ∆, φ, ψ
↔ φ, ψ, Γ ⇒ ∆ Γ ⇒ ∆, φ, ψ h↔ IAi φ ↔ ψ, Γ ⇒ ∆
Γ ⇒ ∆, φ ↔ ψ hEC ↔i φ, Γ ⇒ ∆, ψ ψ, Γ ⇒ ∆, φ
φ, Γ ⇒ ∆, ψ ψ, Γ ⇒ ∆, φ hIC ↔i Γ ⇒ ∆, φ ↔ ψ
Schema generale delle regole per
Schema generale delle inferenze strutturali
Λ, Λ, Γ ⇒ ∆ hCtAi Λ, Γ ⇒ ∆
Γ ⇒ ∆, Θ, Θ hCCti Γ ⇒ ∆, Θ
Γ⇒∆ hAgAi Λ, Γ ⇒ ∆
Γ ⇒ Θ, χ χ, Λ ⇒ ∆ hTgi Γ, Λ ⇒ Θ, ∆
Γ⇒∆ hCAgi Γ ⇒ ∆, Θ
4.2. PROVE DEDUTTIVE
83
4.2. Prove deduttive Come possiamo provare un sequente
Γ⇒∆
in base ad assiomi e regole dello
schema generale? Un modo è costruire un albero di sequenti che abbia sempre e solo assiomi come nodi iniziali, e tale che ogni nodo successivo (in ogni ramo) è costituito sempre e solo da un sequente
Λ⇒Θ
con questa proprietà:
Λ⇒Θ
è il sequente
inferiore di una regola dello schema generale tale che il suo sequente superiore si trova al nodo immediatamente precedente, ovvero tale che i suoi sequenti superiori si trovano ai nodi immediatamente precedenti. Applichiamo subito queste indicazioni per provare qualche tautologia, ad esempio la legge del terzo escluso T2 di sequente:
⇒ φ ∨ ¬φ.
3.2.
Per prima cosa la mettiamo in forma di
Poi consideriamo il seguente albero di un solo ramo:
φ⇒φ hIC¬i ⇒ φ, ¬φ hIC∨i ⇒ φ ∨ ¬φ Il sequente iniziale in (1) è un assioma
AxId
(1)
e i due nodi successivi contengono se-
quenti ottenuti applicando, nell'ordine, le regole di introduzione
IC¬
e
IC∨.
Questo
percorso, dal quale dipende che (1) sia una prova formale, è speci cato da
vazioni
che indicano le regole applicate.
moti-
Per comodità, l'assioma in (1) è stato
introdotto senza una speciale indicazione - ma nulla naturalmente impedisce di costruire la prova (1) con la relativa indicazione AxId sull'assioma:
8
hAxIdi φ⇒φ . . . Nel seguito useremo comunque il metodo più comodo e conciso di non indicare in modo speciale gli assiomi. Da (1) risulta, in particolare, che in qualunque sistema
T
di sequenti il cui
dispositivo di prova comprenda l'assioma di identità e le regole cava
`T ⇒ φ ∨ ¬φ.
L'albero (1) è un esempio di
prova deduttiva
IC¬
e
IC∨
si ri-
con la seguente
proprietà: ha assiomi nei nodi iniziali e le regole operazionali applicate sono tutte regole di introduzione dello schema generale. Facciamo un altro esempio appena più complesso, questa volta relativo alla tautologia T13 di
φ⇒φ φ → ψ ⇒φ → ψ φ⇒φ ψ ⇒ψ h→ IAi h→ IAi φ → (φ → ψ) , φ ⇒ φ → ψ φ → ψ, φ ⇒ ψ hTgi φ → (φ → ψ) , φ, φ ⇒ ψ hCtAi φ, φ → (φ → ψ) ⇒ ψ hIC →i φ → (φ → ψ) ⇒ φ → ψ hIC →i ⇒ (φ → (φ → ψ)) → (φ → ψ) 8 Le
3.2:
(2)
parentesi ad angolo sono solo contenitori per le motivazioni relative ai passi formali autorizzati
dagli assiomi e dalle regole dello schema generale.
4. SEQUENTI
84
Nella prova (2), oltre ad assiomi di identità e alle regole operazionali sono usate anche le regole strutturali della regola
Tg:
Tg
e
CtA.
→ IA
e
IC →,
Soprattutto è da osservare l'uso
essa autorizza una mossa di transitività nel processo deduttivo,
nella quale viene eliminato un elemento mediatore della deduzione, che in (2) è una certa occorrenza della formula
φ → ψ.
Fissiamo ora in una nozione de nita la
proprietà che hanno prove come (1) e (2) che utilizzano come regole operazionali solo regole di introduzione dello schema generale:
Criterio 120. Una
prova sintetica o s-prova è una sequenza in forma d'albero di sequenti in P⇒ , tale che ogni ramo ha come sequente iniziale un assioma e le regole applicate ad ogni nodo sono o regole strutturali o regole operazionali di introduzione dello schema generale. Diciamo
sintetico
un sistema di sequenti se il suo dispositivo di prova produce solo
s-prove - cioè se le sue regole operazionali sono solo regole di introduzione dello schema generale. In particolare, il sistema di prova sintetico come regole operazionali
tutte
Gce = hP⇒ , Gce` i
ha
quelle di introduzione dello schema generale:
De nizione 121. Gce` è individuato da: AxId, ¬IA, IC¬, ∧IA, IC∧, ∨IA, IC∨, → IA, IC →, ↔ IA, IC ↔, CtA, CCt, AgA, CAg, Tg. Gce` del sistema sintetico Gce ha quindi come assiomi i AxId e come regole di inferenza anche tutte le regole strutturali dello schema generale, cioè Contrazione, Aggiunta e Taglio. Se il sequente Γ ⇒ ∆ 9 ha una s-prova in Gce, è un teorema di Gce e scriviamo `Gce Γ ⇒ ∆.
Il dispositivo di prova sequenti dello schema
De niamo ora una misura opportuna di complessità per le s-prove. renza di un sequente in una s-prova ha una
altezza,
L'occor-
che misura il numero delle
successive applicazioni di regole necessarie per raggiungere quella occorrenza a partire da un nodo iniziale (un assioma) della prova. Insieme si de nisce anche il di una s-prova
Φ,
grado
che è ovviamente l'altezza del suo sequente nale.
De nizione 122.
(Altezza di un sequente e grado di una s-prova)
a. al (Γ ⇒ ∆, Φ) = 0, se Γ ⇒ ∆ è un assioma. b. al (Γ ⇒ ∆, Φ) = n + 1, se Γ ⇒ ∆ risulta per
al(Γ0 ⇒ ∆0 , Φ) = n
vale per
Γ 0 ⇒ ∆0
applicazione di una regola, dove
che è il sequente con massima altezza tra le
premesse della regola.
c. gr (Φ : Γ ⇒ ∆) = al (Γ ⇒ ∆, Φ). `n Γ ⇒ ∆ ( `≤n Γ ⇒ ∆ ) indica che il sequente Γ ⇒ ∆ ha una s-prova di grado n (una s-prova di grado al massimo n); Φn : Γ ⇒ ∆ ( Φ≤n : Γ ⇒ ∆ ) indica che la s-prova Φ è di grado n (di grado al massimo n).
All'occorrenza useremo le notazioni seguenti:
Usando la misura di complessità de nita in def122 sono dimostrabili proprietà generali delle s-prove tramite il principio di induzione matematica.
Teorema 123.
(Principio di induzione sulle s-prove)
Sia Q una proprietà tale che: (i ) Q vale per ogni s-prova Φ con gr (Φ) = 0;
9
Una s-prova è deduttiva - muove da assiomi e tramite regole di inferenza restituisce teoremi -
ma la nozione di s-prova non coincide con quella di prova deduttiva: è infatti possibile costruire sistemi di sequenti che producono prove deduttive e hanno regole operazionali sia di introduzione che di eliminazione. Ciò vale in particolare per versioni a sequenti dei sistemi di deduzione naturale.
4.3. IL SISTEMA ANALITICO
85
(ii ) per ogni s-prova Φ con gr (Φ) = n+1, se ogni s-prova Ψ con gr (Ψ) = k ≤ n ha la proprietà Q, allora anche Φ ha Q. Allora ogni s-prova Φ ha la proprietà Q. Usiamo subito questo principio di induzione per mostrare che il sistema formale a sequenti
Gce
è corretto:
Teorema 124. Se `Gce Γ ⇒ ∆, allora Γ ∆. Φ : Γ ⇒ ∆ in Gce. Γ ∆ per Λ ⇒ Θ, allora Λ Θ.
Dimostrazione. Per induzione sul grado di una s-prova
Se
`0Gce Γ ⇒ ∆,
a
teor108( ).
Γ⇒∆ `n+1 Gce Γ ⇒ ∆
allora
Sia
a
è un assioma per def122( ), e quindi e in più: (IpInd) se
`≤n Gce
Vediamo due casi come esempi, gli altri sono assolutamente analoghi. Caso
→ IA. Φn+1 : Γ ⇒ ∆
ha forma
(
. . .
Per (IpInd) valgono
φ → ψ, Γ ∆. n+1 Caso Tg. Φ :Γ⇒∆
(
Per (IpInd) valgono
teor110 vale anche
ha forma
Φ≤n 1
teor108 vale anche
)
. . .
Φ≤n 2 Γ ⇒ ∆, φ ψ, Γ ⇒ ∆ h→ IAi φ → ψ, Γ ⇒ ∆ Γ ∆, φ e ψ, Γ ∆, quindi per [→A] di Φ≤n 1
)
. . .
. . .
Γ ⇒ Θ, χ
χ, Λ ⇒ ∆
Γ Θ, χ e Γ, Λ Θ, ∆.
hTgi Γ, Λ ⇒ Θ, ∆ χ, Λ ∆, quindi
Φ≤n 2
per la proprietà del Taglio in
4.3. Il sistema analitico 4.3.1. Prove analitiche. Che dire delle regole di eliminazione?
Che determi-
nano un diverso tipo di prova. Ma come può funzionare una prova con sole regole di eliminazione dello schema generale?
Evidentemente con regole del genere non
si possono costruire sequenti, piuttosto li si può
analizzare :
ogni applicazione di
una regola di eliminazione conduce infatti a sottoformule di formule occorrenti nel sequente superiore della regola. Riconsideriamo ad esempio il caso del terzo escluso, questa volta però utilizzando variabili enunciative. Si inizia proprio dal sequente
⇒ p ∨ ¬p
per sottoporlo ad analisi usando le regole
⇒ p ∨ ¬p hEC∨i ⇒ p, ¬p hEC¬i p⇒p La (1) è una prova
analitica
EC∨
e
EC¬:
(1)
del terzo escluso: il sequente iniziale non è un assioma,
ma proprio il sequente che la prova sottopone ad analisi. In che senso tuttavia un albero come (1) si può considerare una prova della formula (1) ha sottoposto ad analisi il sequente ha raggiunto un assioma
p ⇒ p.
ad un assioma di identità?
⇒ p ∨ ¬p
⇒ p ∨ ¬p?
L'albero
tramite regole di eliminazione e
Ma cosa signi ca che l'analisi in (1) ha condotto
4. SEQUENTI
86
Prima di risponde a queste domande de niamo la nozione di prova analitica da assiomi e regole dello schema generale:
Criterio 125. Una
prova analitica o a-prova è una sequenza in forma d'albero di sequenti in P⇒ , tale che: tutti i rami provengono da uno stesso sequente iniziale, e le regole applicate ad ogni nodo sono o regole strutturali o regole operazionali di eliminazione dello schema generale. Diciamo
analitico
un sistema a sequenti che produce prove analitiche, e de nia-
mo il sistema di prova
Gae = hP⇒ , Gae ` i
che ha tutte le regole operazionali di
10
eliminazione nello schema generale delle regole di sequenza.
De nizione 126. Gae ` è individuato da: AxInclR, ¬EA, EC¬, ∧EA, EC∧, ∨EA, EC∨, → EA, EC →, ↔ EA, EC ↔, CtA e CCt. Così il dispositivo di prova
Gae `
ti i sequenti forniti dallo schema
del sistema analitico
AxInclR
Gae
ha come assiomi tut-
di inclusione ristretta e come regole di
inferenza tutte le regole di eliminazione nello schema generale più la regola strutturale di Contrazione, ma non contempla le regole di Taglio e di Aggiunta. La cosa è naturale, in quanto le regole operazionali di
Gae
procedono trasformando certe
formule occorrenti nei sequenti superiori in sottoformule immediate tramite elimi-
nazione del connettivo principale. Una a-prova Φ in Gae ha un sequente iniziale Γ ⇒ ∆ e analizza, in base alle regole in Gae` , qualche formula nell'antecedende o nel succedente del sequente iniziale, poi continua con il sequente (o i sequenti) risultato della prima analisi, e così via. In particolare, se con Φ
: Γ ⇒ ∆
si indica che
Φ
Γ⇒∆
è il sequente iniziale di
Γ ⇒ ∆. p∨q → p∧q e
Φ,
è una a-prova del sequente
Consideriamo ora la formula non tautologica
vediamo cosa
accade sottoponendola a una prova analitica:
⇒p∨q →p∧q hEC →i p∨q ⇒p∧q h∨EAi p⇒p∧q q ⇒p∧q hEC∧i hEC∧i p⇒p p⇒q q⇒p q⇒q ? ÷ ÷ ?
(2)
I quattro rami di (4) terminano tutti con sequenti che hanno lettere enunciative sia nell'antecedente che nel succedente: non si possono quindi più applicare regole di inferenza. Rami del genere sono
De nizione 127. a.
Un sequente
terminati, e i rispettivi sequenti sono terminali.
Γ ⇒ ∆ è terminale Gae` .
se a nessuna delle formule in
applicabile una regola in
b.
Un ramo
Ψ
con sequente terminale è
Γ⇒∆
è più
terminato.
Una a-prova termina quando non è più possibile un suo sviluppo alla ricerca di
p⇒p e q⇒q Gae. Rami del genere sono detti chiusi , e sono contrassegnati dal simbolo-stella ? di chiusura. Per comodità, i sequenti che sono assiomi. Due rami della prova analitica (2) terminano con esempi
dello schema d'assioma
10
AxInclR
di
Mentre c in Gce si riferisce al carattere classico della teoria logica
richiama ovviamente il carattere analitico del sistema di prova
Gae.
Gce,
a in Gae
4.3. IL SISTEMA ANALITICO
esempi dello schema di assioma chiamati a loro volta
De nizione 128.
AxInclR
87
e chiudono un ramo di a-prova saranno
sequenti di chiusura.
Una prova analitica
Φ è terminata
quando tutti i rami in
Φ sono
chiusi o terminati.
Gae. Se la Φ è chiusa, allora tutti i rami in Φ conducono ad assiomi e quindi la a-prova Φ : Γ ⇒ ∆ con sequente iniziale Γ ⇒ ∆ ha dato risultato positivo e viene detta una
Un ramo chiuso è un cammino di a-prova che termina in un assioma di a-prova
a-prova di chiusura.
De nizione 129. e scriviamo
Diciamo che il sequente
`Gae Γ ⇒ ∆,
se esiste in
Gae
Γ⇒∆
è
provabile (un teorema ) in Gae,
una a-prova di chiusura
Ma non vi sono solo a-prove di chiusura e sequenti provabili.
Φ : Γ ⇒ ∆. Gli altri due rami
della a-prova (2) sono terminati ma non chiusi: terminano con sequenti
q⇒p
che non sono esempi dello schema d'assioma
genere sono detti
AxInclR.
p⇒q
e
Rami terminati del
aperti, e vengono contrassegnati dal simbolo ÷.
Osserviamo ancora una proprietà importante delle prove analitiche per la logica enunciativa: i loro rami non chiusi terminano nitamente in sequenti che contengono
11
solo formule atomiche.
De nizione 130.
Diremo
ridotto
sia un sequente
Γ⇒∆
con tutte formule atomi-
che, sia un ramo che termina con un tale sequente. Se tutti i rami di viceversa
Φ
Φ
sono chiusi o ridotti, non v'è più modo di applicare regole; se
è terminata, i suoi sequenti terminali non possono contenere formule
dove occorra qualche connettivo, perché in tal caso si potrebbe proseguire la a-prova applicando le regole pertinenti. Così:
Corollario 131. Una prova analitica Φ è terminata se e solo se tutti i rami di Φ sono o chiusi o ridotti.
4.3.2. L'interpretazione a refutazione.
Possiamo ora ritornare alle do-
mande generali lasciate in sospeso: perché una prova analitica chiusa è importante e, si suppone, stabilisce una legge logica? Che ruolo giocano in tal senso gli assiomi? E che cosa vuol dire, invece, che una prova analitica ha rami terminati aperti? A tali domande risponde direttamente un'interpretazione naturale
contromodelli,
del dispositivo di prova di
natura analitica, la provabilità in
Gae
Gae.
a refutazione,
o
a
In particolare, proprio per la sua
costituisce un
metodo naturale di decisione
per la conseguenza logica enunciativa (come le tavole di verità per le tautologie). Un sequente è intuitivamente un'asserzione di deducibilità del succedente dall'antecedente, che se corretta rappresenta un'istanza di conseguenza nita tra l'antecedente e il succedente. Ora, un metodo per mettere alla prova una tale presunta deducibilità di
∆
da
Γ
è cercare di refutarla. Come sappiamo, dal punto di vista
semantico ciò vuol dire andare alla ricerca di un contromodello alla presunta conse-
φi ∈ Γ e falsi chi tutte 2∨ v ∆, abbiamo una refutazione di Γ ⇒ ∆ in base all'interpretazione intuitiva (1) dei sequenti di Gae. D'altra parte, poter mostrare che non esistono contromodelli per Γ ∆ equivale a
guenza nita le
ψj ∈ ∆ .
11 Una
Γ ∆:
un'interpretazione che veri chi tutte le
Se troviamo un assegnamento
v
tale che
v Γ
e
proprietà che vale per la logica degli enunciati ma non si estende, come vedremo, alla logica
quanti cazionale del primo ordine.
4. SEQUENTI
88
mostrare che
Γ⇒∆
intesa dei sequenti di
è una legge logica, in base sempre all'interpretazione
Gae,
e quindi equivale a decidere l'irrefutabilità di
intuitiva
Γ ⇒ ∆.
Il punto importante dell'interpretazione a refutazione (o a contromodelli) del dispositivo di prova del sistema analitico
Gae
sta in questo: le regole di inferen-
procedure formali di refutazione, in quanto corrispondono naturalmente a regole di costruzione di contromodelli. Ossia:
za sono facilmente interpretabili come
Criterio 132. La ricerca di contromodelli per
Γ ∆ può essere una prova analitica del sequente Γ ⇒ ∆ nel sistema Gae. Gae
L'interpretazione a refutazione del dispositivo di prova di
simulata
come
ha come punto di
partenza la seguente lettura di un sequente:
Criterio 133. Si assegna valore vero a tutte le formule nell'antecedente Γ, e valore falso
a tutte le formule nel succedente ∆ di un sequente Γ ⇒ ∆.
Ciò corrisponde a supporre che la deducibilità di
∆
da
Γ
sia refutabile tramite un
controesempio. Resta da vedere che cosa comporta l'interpretazione in crit133 per gli assiomi
Gae. Alla luce di crit133 φ1 , . . . , p, . . . , φn ⇒ ψ1 , . . . , p, . . . , ψk
e le regole di inferenza di (3) di
Gae
rappresenta una
contraddizione :
stesso il valore vero e il valore falso.
un assioma
la stessa formula atomica riceve al tempo Giungere a un assioma come (3) in una
prova analitica vuol dire, quindi, imbattersi in una contraddizione. A quel punto del ramo ci si può fermare:
aver supposto che il sequente iniziale della a-prova
sia refutabile ha condotto, per lo meno in quel ramo dell'albero, a un risultato contraddittorio. Una a-prova di chiusura
Φ,
nella quale tutti i rami conducono ad
assiomi (3), è appunto una dimostrazione che la supposta refutabilità della relazione di deducibilità enunciata dal sequente iniziale ne: non vi sono contromodelli possibili e tra
Γ⇒∆ Γe∆
di
Φ
non può andare a buon
resta provata la relazione di
deducibilità. Resta però da mostrare che tutte le regole di inferenza di
Gae
sono a loro volta
eettivamente interpretabili come regole di refutazione (o di contromodello).
Negazione .
¬φ, Γ ⇒ ∆,
Se la formula
¬φ
sta nell'antecedente, il sequente ha forma
che corrisponde a supporre che
D'altra parte la regola
¬EA
¬φ
sia vera, e quindi che
φ
sia falsa.
recita
¬φ, Γ ⇒ ∆ h¬EAi Γ ⇒ ∆, φ e quindi stabilisce correttamente che la refutazione (ovvero, la costruzione di un contromodello) può proseguire in direzione della falsità di Se invece la formula
¬φ
equivale a supporre che
φ
Γ ⇒ ∆, φ. Γ ⇒ ∆, ¬φ, che parte la regola EC¬ ponendo
sta nel succedente, il sequente ha forma
¬φ
sia falsa, e quindi vera
φ.
D'altra
recita
Γ ⇒ ∆, ¬φ hEC¬i φ, Γ ⇒ ∆ e quindi stabilisce correttamente che si può proseguire la refutazione (ovvero, la costruzione di un contromodello) in direzione della verità di
φ
ponendo
φ, Γ ⇒ ∆.
4.3. IL SISTEMA ANALITICO
Congiunzione . Se la formula
φ ∧ ψ, Γ ⇒ ∆,
φ∧ψ
89
sta nell'antecedente, il sequente ha forma
φ ∧ ψ sia ∧EA recita φ ∧ ψ, Γ ⇒ ∆ h∧EAi φ, ψ, Γ ⇒ ∆
che corrisponde a supporre che
vera, e quindi che
φ
e
ψ
siano entrambe vere. D'altra parte la regola
e quindi stabilisce correttamente che si può proseguire la refutazione in direzione della congiunta verità di
φ, ψ, Γ ⇒ ∆. Se invece la formula φ ∧ ψ sta Γ ⇒ ∆, φ ∧ ψ , che equivale alla supposizione che o φ sia falsa o ψ sia falsa. D'altra parte EC∧ recita Γ ⇒ ∆, φ ∧ ψ hEC∧i Γ ⇒ ∆, φ Γ ⇒ ∆, ψ
φ e ψ,
ponendo
nel succedente, il sequente ha forma che
φ∧ψ
sia falsa, e quindi
e quindi stabilisce correttamente che si può proseguire la refutazione sia in direzione della falsità di
φ
che in quella della falsità di
ψ,
ponendo tanto
Γ ⇒ ∆, φ
quanto
Γ ⇒ ∆, ψ . Disgiunzione . Se la formula φ ∨ ψ sta nell'antecedente, il sequente ha forma φ ∨ ψ, Γ ⇒ ∆ che corrisponde a supporre che φ ∨ ψ sia vera, e quindi o vera φ o vera ψ . D'altra parte la regola ∨EA recita φ ∨ ψ, Γ ⇒ ∆ h∨EAi φ, Γ ⇒ ∆ ψ, Γ ⇒ ∆ e quindi stabilisce correttamente che si può proseguire la refutazione sia in direzione della verità di φ che in direzione della verità di ψ , ponendo tanto φ, Γ ⇒ ∆ quanto ψ, Γ ⇒ ∆. Se invece la formula φ ∨ ψ sta nel succedente, il sequente ha forma Γ ⇒ ∆, φ ∨ ψ , quindi presenta la supposizione che φ ∨ ψ sia falsa, cioè che φ e ψ siano entrambe false. D'altra parte la regola EC∨ recita Γ ⇒ ∆, φ ∨ ψ hEC∨i Γ ⇒ ∆, φ, ψ e quindi stabilisce correttamente che si può proseguire la refutazione in direzione della congiunta falsità di
φ
e
ψ,
ponendo
Condizionale . Se la formula
φ → ψ, Γ ⇒ ∆
φ→ψ
Γ ⇒ ∆, φ, ψ . sta nell'antecedente, il sequente ha forma
che corrisponde alla supposizione che
caso generale che o
φ
sia falsa o
ψ
φ→ψ
sia vera, e quindi nel
sia vera. D'altra parte la regola
→ EA
recita
φ → ψ, Γ ⇒ ∆ h→ EAi Γ ⇒ ∆, φ ψ, Γ ⇒ ∆ e quindi stabilisce correttamente che si può proseguire la refutazione sia in direzione
φ che in direzione della verità di ψ , ponendo tanto Γ ⇒ ∆, φ quanto ψ, Γ ⇒ ∆. Se invece la formula φ → ψ sta nel succedente, il sequente ha forma Γ ⇒ ∆, φ → ψ con la supposizione che φ → ψ sia falsa, e quindi che φ sia vera e ψ falsa. D'altra parte la regola EC → recita Γ ⇒ ∆, φ → ψ hEC →i φ, Γ ⇒ ∆, ψ della falsità di
4. SEQUENTI
90
e quindi stabilisce correttamente che si può proseguire la refutazione in direzione della verità di
φ
e della falsità di
ψ,
ponendo
φ, Γ ⇒ ∆, ψ .
Se la formula φ ↔ ψ sta nell'antecedente, il sequente ha φ ↔ ψ, Γ ⇒ ∆ che corrisponde alla supposizione che φ ↔ ψ sia vera, e quindi nel caso generale che o φ e ψ siano entrambe vere o che φ e ψ siano entrambe false. D'altra parte la regola ↔ EA recita
Bicondizionale .
forma
φ ↔ ψ, Γ ⇒ ∆ h↔ EAi φ, ψ, Γ ⇒ ∆ Γ ⇒ ∆, φ, ψ e quindi stabilisce correttamente che si può proseguire la refutazione sia in direzione
φ e ψ , che in direzione della congiunta falsità di φ e ψ , φ, ψ, Γ ⇒ ∆ quanto Γ ⇒ ∆, φ, ψ . Se invece la formula φ → ψ sta nel succedente, il sequente ha forma Γ ⇒ ∆, φ ↔ ψ con la supposizione che φ ↔ ψ sia falsa, e quindi che φ sia vera e ψ falsa, oppure che ψ sia vera e φ falsa. D'altra parte la regola EC ↔ recita della congiunta verità di
ponendo tanto
Γ ⇒ ∆, φ ↔ ψ hEC ↔i φ, Γ ⇒ ∆, ψ ψ, Γ ⇒ ∆, φ e quindi stabilisce correttamente che si può proseguire la refutazione in direzione
φ e della falsità di ψ , sia della φ, Γ ⇒ ∆, ψ quanto ψ, Γ ⇒ ∆, φ.
sia della verità di ponendo tanto
verità di
ψ
e della falsità di
φ,
Naturalmente le regole strutturali di Contrazione conservano a loro volta l'interpretazione a refutazione, e quindi una a-prova in
Ga
è interpretabile come una
refutazione (o costruzione di contromodello). Torniamo alla precedente a-prova (2) in
Gae.
La tavola di verità per
p V V F F
q V F V F
p∨q →p∧q
p∨q V V V F
p∧q V F F F
è la seguente:
p∨q →p∧q V F F V
Nella a-prova (2) sono risultati aperti rami che hanno
(4)
p⇒q
e
q⇒p
come sequenti
terminali: questi sequenti corrispondono precisamente, secondo l'interpretazione a refutazione, ad assegnamenti che falsi cano la formula (4).
p∨q → p∧q
nella tavola
I rami aperti restituiscono i contromodelli cercati alla presunta validità di
p ∨ q → p ∧ q.
Vediamo un altro esempio:
⇒p ∨ q → p hEC →i p ∨ q ⇒p h∨EAi p⇒p q ⇒p ? ÷ Il ramo aperto di (5) termina con
F. Il sequente analizzato p ∨ q → q recita:
(5)
q ⇒ p, cioè con q
che ha valore
V e p che ha valore
non è valido, e in eetti la tavola di verità per la formula
4.3. IL SISTEMA ANALITICO
p V V F F
q V F V F
p∨q V V V F
p∨q →p V V F V
91
(6)
Come si vede dalla tavola (6), la a-prova (5) ci restituisce nel ramo aperto esattamente l'assegnamento che falsi ca la formula enunciativa Viceversa, raggiungere solo assiomi di
Gae
p ∨ q → q.
in ogni ramo di una a-prova ci dice
che l'analisi del sequente iniziale conduce in ogni caso a condizioni banalmente false
3.2 e la prova
di interpretazione. Consideriamo un esempio della tautologia T35 di analitica seguente:
⇒p ∧ q → p ∨ q hEC →i p ∧ q ⇒p ∨ q h∧EAi p, q ⇒ p ∨ q hEC∨i p, q ⇒ p, q ? In questo caso il solo ramo nella a-prova è terminato e chiuso, in quanto raggiunge un assioma: si tratta di una a-prova di chiusura. La refutazione è fallita, nessun contromodello è possibile, e abbiamo ottenuto un primo teorema in
Gae:
Esempio 134. `Gae ⇒ p ∧ q → p ∨ q. 4.3.3. Correttezza e altre proprietà delle prove analitiche. za di un sequente in una prova ha un
livello
L'occorren-
che misura la sua distanza dal sequente
iniziale - ossia, il numero delle successive applicazioni di regole necessarie per raggiungere tale occorrenza a partire dal sequente iniziale della prova. In base al livello si de nisce anche il sequente iniziale livello) di
grado
Γ⇒∆
di una prova analitica
Φ:
è la distanza che separa il suo
dal sequente più alto in livello (o dai sequenti più alti in
Φ.
De nizione 135.
(Livello di un sequente e grado di una prova analitica)
a. lv (Γ ⇒ ∆, Φ) = 0, se Γ ⇒ ∆ è il sequente iniziale di Φ. b. lv (Γ ⇒ ∆, Φ) = n + 1, se Γ ⇒ ∆ risulta per applicazione
vale
Se
di una regola, dove
lv(Γ0 ⇒ ∆0 , Φ) = n per Γ0 ⇒ ∆0 come sequente superiore della c. gr (Φ : Γ ⇒ ∆) = il massimo livello di un sequente in Φ.
Φ
è una a-prova di chiusura, allora
sequente iniziale
Γ⇒∆
Φ
misura la distanza tra il
e il sequente di chiusura più alto in livello (o i sequenti
di chiusura più alti in livello) di prova
gr (Φ : Γ ⇒ ∆)
regola.
di chiusura vuol dire che
Φ. Chiaramente, gr (Φ : Γ ⇒ ∆) = 0 per una aΓ ⇒ ∆ è un sequente di chiusura Γ [p] ⇒ ∆ [p] per
p. Anche per le prove analitiche useremo le notazioni `≤n Γ ⇒ ∆ ) e Φn : Γ ⇒ ∆ ( Φ≤n : Γ ⇒ ∆ ) con signi cati
qualche variabile enunciativa
`n Γ ⇒ ∆
(
analoghi. Usando le misure di complessità stabilite in def135 risultano dimostrabili per induzione proprietà generali delle prove analitiche [cfr. teor123]. Non è indierente da un punto di vista
esplicativo
adottare un sistema di prova
sintetico o un sistema di prova analitico. Essi infatti determinano la logica enunciativa da prospettive teoriche dierenti oltre che con distinti metodi di prova. Un
4. SEQUENTI
92
sistema sintetico ore s-prove per stabilire direttamente dipendenze deduttive tra sequenti e costruire leggi logiche. Un sistema analitico si presenta invece direttamente come un metodo di decisione per sequenti, e solo indirettamente assume il tema della deducibilità. Qui si è preferito il metodo analitico. La ragione è soprattutto
didattica :
le pro-
ve analitiche sono un metodo di decisione particolarmente intuitivo per arontare e dimostrare le leggi logiche enunciative. Inoltre, non si perde di vista la deducibilità. Dopo aver visto che il dispositivo di prova del sistema
Gae
si propone come
metodo formale di decisione adeguato per stabilire sequenti corretti, in Cap6 vedremo che Gae è un sistema deduttivo a tutti gli eetti (che implica provabilmente
un
quello sintetico). Una prima risposta deduttiva diretta sulla natura delle prove analitiche oltre a quella indiretta oerta dall'interpretazione a refutazione - può essere comunque data dalle considerazioni seguenti. Il sequente iniziale di una prova analitica di chiusura
Φ
esprime formalmente una relazione corretta di conseguenza logica
proprio in quanto Φ conduce ad assiomi che sono leggi logiche. Ciò è dovuto alle proprietà di inversione che hanno le regole di sequenza dello schema generale (sulle quali torneremo in Cap6). L'interpretazione a refutazione restituisce la semantica naturale delle prove analitiche. D'altra parte, un'analisi-chiusura in una legge logica in quanto ripercorre all'inverso la
Gae
giusti ca
deduzione di tale legge (una prova
sintetica), a partire da assiomi che sono leggi logiche tramite regole che preservano la conseguenza logica.
Le regole in questione sono ovviamente quelle di introdu-
zione dello schema generale. Tale inversione costituisce l'interpretazione
deduttiva
naturale delle prove analitiche. In questo senso, la correttezza di
Gae
corrisponde una s-prova in
Gce stabilita Φ : Γ ⇒ ∆ in Gae
è già implicita in quella di
in teor124: basta mostrare che ad ogni a-prova di chiusura
Gce.
Teorema 136. Se `Gae Γ ⇒ ∆, allora `Gce Γ ⇒ ∆. Dimostrazione. Per induzione sul grado della a-prova di chiusura di
in
Gae.
Se
`0Gae Γ ⇒ ∆,
il sequente di chiusura ha forma
seguente è la s-prova cercata in
p, Γ ⇒ ∆, p
Γ⇒∆
e quindi la
Gce: p⇒p hAgAi Γ, p ⇒ p hCAgi Γ, p ⇒ ∆, p
Sia
`n+1 Gae Γ ⇒ ∆
e in più: (IpInd) se
`≤n Gae Λ ⇒ Θ,
allora
`Gce Λ ⇒ Θ.
Vediamo due
casi come esempi, gli altri sono del tutto analoghi. Caso
→ EA.
La a-prova
Φn+1
ha forma
φ → ψ, Γ0 ⇒ ∆ h→ EAi ( 0 ) Γ ⇒ ∆, φ ψ, Γ0 ⇒ ∆ ≤n
Φ1
Φ1 e Φ2 sono di grado ≤ n. Ψ2 : ψ, Γ0 ⇒ ∆ in Gce. Quindi
. . .
. . .
Φ≤n 2
dove
Per (IpInd) esistono allora s-prove
e
la seguente è la s-prova cercata in
Ψ1 : Γ0 ⇒ ∆, φ Gce:
4.3. IL SISTEMA ANALITICO
( Ψ1
Caso
CCt.
La a-prova
Φn+1
. . .
93
)
. . .
Γ0 ⇒ ∆, φ ψ, Γ0 ⇒ ∆ h→ IAi φ → ψ, Γ0 ⇒ ∆
Ψ2
ha forma
Γ ⇒ ∆0 , Θ, Θ hCCti ) Γ ⇒ ∆0 , Θ Φ0
. . . dove
Φ0
è di grado
n.
Ψ0 : Γ ⇒ ∆ 0 , Θ
Per (IpInd) esiste una s-prova
seguente è la s-prova cercata in
Gce.
Così la
)
. . .
Γ ⇒ ∆0 , Θ hCAgi Γ ⇒ ∆0 , Θ, Θ
Ψ0
Da teor136 e teor124 segue immediatamente la correttezza di
Corollario 137.
in
Gce:
(Correttezza di
Gae:
Gae) Se `Gae Γ ⇒ ∆, allora Γ ∆.
Osserviamo poi che, anche se nel sistema analitico sono adottati come assiomi solo i sequenti di inclusione ristretta, si può dimostrare che risultano provabili
tutti
i
sequenti di inclusione:
Teorema 138.
(Sequenti di inclusione)
Dimostrazione. Per induzione su
mente un assioma. Se Caso 1.
φ = ¬ψ .
gr (φ) > 0,
`Gae φ, Γ ⇒ ∆, φ. gr (φ).
Se
gr (φ) = 0,
abbiamo semplice-
si danno i seguenti casi.
Per (IpInd) abbiamo una a-prova di chiusura
Φ : ψ, Γ ⇒ ∆, ψ ,
quindi la seguente è la a-prova cercata:
¬ψ, Γ ⇒ ∆, ¬ψ hEC¬i ψ, ¬ψ, Γ ⇒ ∆ ( h¬EAi ψ, Γ ⇒ ∆, ψ Φ
. . .
Caso 2. φ = ψ ∧ χ. Per (IpInd) abbiamo a-prove di chiusura Φ1 : ψ, χ, Γ ⇒ ∆, ψ Φ2 : ψ, χ, Γ ⇒ ∆, χ. Quindi la seguente è la a-prova cercata: ψ ∧ χ, Γ ⇒ ∆, ψ ∧ χ h∧EAi ψ, χ, Γ ⇒ ∆, ψ ∧ χ hEC∧i ( ) ψ, χ, Γ ⇒ ∆, ψ ψ, χ, Γ ⇒ ∆, χ Φ1 Φ2 . .
e
φ = ψ ∨ χ. Per (IpInd) abbiamo Φ2 : χ, Γ ⇒ ∆, ψ, χ. Quindi la seguente è la
e
. .
Caso 3.
. .
a-prove di chiusura a-prova cercata:
Φ1 : ψ, Γ ⇒ ∆, ψ, χ
4. SEQUENTI
94
ψ ∨ χ, Γ ⇒ ∆, ψ ∨ χ hEC∨i ψ ∨ χ, Γ ⇒ ∆, ψ, χ h∨EAi ( ) ψ, Γ ⇒ ∆, ψ, χ χ, Γ ⇒ ∆, ψ, χ Φ1
. . .
Φ2
. . .
Caso 4. φ = ψ → χ. Per (IpInd) abbiamo a-prove di chiusura Φ1 : ψ, Γ ⇒ ∆, ψ, χ Φ2 : ψ, χ, Γ ⇒ ∆, χ. Quindi la seguente è la a-prova cercata: ψ → χ, Γ ⇒ ∆, ψ → χ h→ EAi Γ ⇒ ∆, ψ, ψ → χ χ, Γ ⇒ ∆, ψ → χ hEC →i hEC →i ( ) ψ, Γ ⇒ ∆, ψ, χ ψ, χ, Γ ⇒ ∆, χ Φ1 Φ2 . . . .
e
. .
φ = ψ ↔ χ. Per (IpInd) abbiamo a-prove di chiusura Φ1 : ψ, χ, ψ, Γ ⇒ ∆, χ, Φ2 : ψ, Γ ⇒ ∆, χ, ψ, χ, Φ3 : ψ, χ, χ, Γ ⇒ ∆, ψ e Φ4 : χ, Γ ⇒ ∆, ψ, ψ, χ. Quindi la Caso 5.
seguente è la a-prova cercata:
ψ↔χ,Γ⇒∆,ψ↔χ hEC↔i ψ↔χ,ψ,Γ⇒∆,χ ψ↔χ,χ,Γ⇒∆,ψ h↔EAi h↔EAi ( )( ) ψ,χ,ψ,Γ⇒∆,χ ψ,Γ⇒∆,χ,ψ,χ ψ,χ,χ,Γ⇒∆,ψ χ,Γ⇒∆,ψ,ψ,χ . . .
. . .
. . .
. . .
Da questo teorema segue che siamo intuitivamente autorizzati ad estendere a sequenti come (7)
φ1 , . . . , χ, . . . , φn ⇒ ψ1 , . . . , χ, . . . , ψk
le considerazioni avanzate sopra sugli assiomi (3) di inclusione ristretta: anche un sequente come (7) rappresenta una
contraddizione
nel senso che la stessa formula
riceve al tempo stesso il valore vero e il valore falso. Meritano in ne attenzione anche le proprietà generali della sostituzione di variabili enunciative nei sequenti e nelle prove analitiche.
De nizione 139. la variabile
q
La
sostituzione (Γ ⇒ ∆) [p/q]
nel sequente
Γ⇒∆
è
della variabile enunciativa
p
con
Γ [p/q] ⇒ ∆ [p/q].
Iniziamo con questo utile esercizio per dimostrare che la sostituzione di variabili in sequenti conserva la provabilità in
Problema 140.
Se
`Gae Γ ⇒ ∆,
Gap.
allora
`Gae (Γ ⇒ ∆) [p/q].
Da teor138 segue facilmente un teorema generale di sostituzione di variabili enunciative con formule in teoremi di
Teorema 141.
(Sostituzione)
Gae.
Se `Gae Γ ⇒ ∆, allora `Gae (Γ ⇒ ∆) [p/φ].
Dimostrazione. Per induzione sul grado della a-prova di chiusura di Γ ⇒ ∆ Gae. Se Φ0 : Γ ⇒ ∆, il sequente iniziale è un assioma q, Γ0 ⇒ ∆0 , q . Per def139, (q, Γ0 ⇒ ∆0 , q) [p/φ] è un assioma se p 6= q ; se invece p = q allora (q, Γ0 ⇒ ∆0 , q) [p/φ] è
in
4.4. SEQUENTI PRINCIPALI
95
φ, Γ00 ⇒ ∆00 , φ, per def139, quindi è provabile in Gae per teor138. Se Φn+1 : Γ ⇒ ∆, osserviamo che p non può essere la formula principale di una regola di inferenza, e quindi le dimostrazioni dei vari casi sono come in eserc140.
4.4. Sequenti principali Passiamo ora a dimostrare varie leggi enunciative con prove nel sistema analitico
Gae.
?
Nel formulare le leggi adottiamo la notazione Γ ⇒
per `Gae
∆ come abbreviazione Γ ⇒ ∆ e diciamo perciò sequente-stella un sequente provabile in Gae.
Per iniziare lo studio delle prove formali nel sistema analitico e per vedere in che modo vi sono dimostrate le principali leggi logiche enunciative, è opportuno introdurre i
sequenti principali .
Essi individuano le proprietà deduttive centrali dei
connettivi enunciativi e, come risulterà dall'esame delle prove formali, costituiscono assiomi secondari cui riconducono le analisi dei sequenti nelle a-prove di chiusura.
Gae dei sequenti ¬EA e EC¬.
Partendo dalla negazione, sono immediate le a-prove di chiusura in principali di
contraddizione
Teorema 142.
e di
terzo escluso
in base alle regole
(Sequenti principali di negazione)
a. ¬φ, φ ⇒? . b◦ . ⇒? φ, ¬φ.
Il circoletto ◦ al lato dell'identi catore di un teorema signi ca che si tratta di una legge logica classica, e il sequente principale di terzo escluso ne è appunto
12
un prototipo.
Con le regole
∧EA e EC∧ si ottengono le a-prove di chiusura per i sequenti princi-
a
pali della congiunzione: per quello di introduzione di teor143( ) una congiunzione
b
c
è deducibile dai suoi congiunti, e per quelli di eliminazione di teor143( )-( ) da una congiunzione si deduce ciascuno dei suoi congiunti.
Teorema 143.
(Sequenti principali di congiunzione)
a. φ, ψ ⇒? φ ∧ ψ . b. φ ∧ ψ ⇒? φ. c. φ ∧ ψ ⇒? ψ .
Con le regole
∨EA
e
EC∨
risultano i sequenti principali della disgiunzione: quello
a
di eliminazione di teor144( ) stabilisce che da una disgiunzione è deducibile l'uno
b
c
o l'altro dei disgiunti, mentre quelli di introduzione di teor144( )-( ) stabiliscono che una disgiunzione è deducibile da ciascuno dei disgiunti.
Teorema 144.
(Sequenti principali di disgiunzione)
a. φ ∨ ψ ⇒? φ, ψ . b. φ ⇒? φ ∨ ψ . c. ψ ⇒? φ ∨ ψ .
Le prove analitiche dei sequenti principali per il condizionale sono altrettanto immediate in base alle regole
b teor145(c )
→ EA
di teor145( ) è naturalmente il di
il sequente principale di eliminazione mentre quello di introduzione
◦
)
Il
è marcato come classico, ne vedremo il motivo nel
(Sequenti principali del condizionale)
a◦ . ⇒? φ, φ → ψ .
12 Sul
EC →:
stabilisce che un condizionale è deducibile dal suo succedente.
sequente in teor145(a
Cap6. Teorema 145.
e
Modus Ponens ,
b. φ, φ → ψ ⇒? ψ . c. φ ⇒? ψ → φ.
tema torneremo più estesamente in
Cap6.
4. SEQUENTI
96
In ne i sequenti principali del bicondizionale seguono direttamente dalle regole
↔ EA
e
EC ↔:
Modus Ponens
a
b
quelli di eliminazione di teor146( )-( ) sono naturalmente il
per l'una e per l'altra direzione del bicondizionale, mentre quelli di
introduzione di teor146(c)-(d
◦
)
stabiliscono, rispettivamente, che un condizionale
è deducibile dalla coppia dei suoi costituenti immediati e che è valido se non lo è nessuno dei suoi costituenti immediati.
Teorema 146.
(Sequenti principali del bicondizionale)
a. φ, φ ↔ ψ ⇒? ψ . b. ψ, φ ↔ ψ ⇒? φ. c. φ, ψ ⇒? φ ↔ ψ . d◦ . ⇒? φ ↔ ψ, φ, ψ .
Prima di passare alle prove formali sono opportune anche alcune considerazioni preliminari. In base a teor138, se un ramo di prova conduce a un teorema (1)
φ1 , . . . , χ, . . . , φn ⇒ ψ1 , . . . , χ, . . . , ψk
possiamo considerarlo chiuso, in quanto da quel punto in poi potremmo proseguire con la a-prova di (1). In secondo luogo, i sequenti provabili possono essere enunciati con parametri qualsiasi di contesto. Ad esempio, in base a quanto stabilisce
a
Gae
teor142( ) è un teorema di
(2)
anche
?
¬φ, φ, Γ ⇒ ∆
con parametri qualsiasi di contesto
monotonicità
Γ, ∆.
Ciò dipende dalla proprietà generale di
delle prove analitiche:
Teorema 147. Se `nGae Γ ⇒ ∆, allora `nGae Γ, Λ ⇒ ∆, Θ. Dimostrazione. Per induzione su
sequente
Γ [p] , Λ ⇒ ∆ [p] , Θ
n.
è un assioma.
`0Gae Γ [p] ⇒ ∆ [p], allora anche il n+1 Per `Gae Γ ⇒ ∆ facciamo solo un
Se
esempio congiunto di una regola di continuità e di una di biforcazione:
Ψn0
¬ψ, Γ0 ⇒ ∆ ( h¬EAi Γ0 ⇒ ∆, ψ
Γ ⇒ ∆0 , φ ↔ ψ hEC ↔i ( ) 0 φ, Γ ⇒ ∆ , ψ ψ, Γ ⇒ ∆0 , φ ≤n Ψ≤n Ψ1 . . 2
. . .
Per (IpInd), anche rispettivamente, di
. .
Ψ00 , Ψ11 e Ψ22 sono a-prove di chiusura con lo stesso Ψ0 , Ψ1 e Ψ2 , e le seguenti sono le a-prove cercate:
¬ψ,Γ0 ,Λ⇒Θ,∆ ( 0 h¬EAi Γ ,Λ⇒Θ,∆,ψ Ψ00
. .
grado,
Γ,Λ⇒Θ,∆0 ,φ↔ψ hEC↔i ( ) φ,Γ,Λ⇒Θ,∆0 ,ψ ψ,Γ,Λ⇒Θ,∆0 ,φ Ψ11 Ψ22 . .
. . .
. .
. .
Gli altri casi sono analoghi.
Conviene anche adottare alcuni accorgimenti per sempli care le prove analiti-
13
che. Ecco subito un esempio:
13 Cfr.
la tautologia T44 di
3.2.
4.4. SEQUENTI PRINCIPALI
Esempio 148.
I teoremi di
viate
97
φ ∧ ψ ⇒ ¬ (φ → ¬ψ) h∧EAi φ, ψ ⇒ ¬ (φ → ¬ψ) hEC¬i φ → ¬ψ, φ, ψ ⇒ h→ EAi φ, ψ ⇒ φ ¬ψ, φ, ψ ⇒ ? h?, 142 (a)i
Gae
(e in particolare i sequenti principali) autorizzano
a-prove abbre-
come nell'esempio precedente: se un ramo conduce a un sequente provabile,
può essere immediatamente chiuso. Il percorso completo di prova è ricostruibile in qualsiasi momento esibendo la a-prova del teorema utilizzato. L'uso di un teorema e la corrispondente chiusura del ramo sono marcate con ?,n dove
n
identi ca
il teorema che si sta utilizzando. Per sottolinearne il ruolo deduttivo, in generale le prove analitiche saranno condotte - come nell'esempio precedente nel ramo di destra - no all'eventuale chiusura con sequenti principali. Le prove analitiche sono ulteriormente sempli cabili. Si può all'occorenza raccogliere in un solo passo l'applicazione di una regola di Contrazione e quella di una regola operazionale. Molto utile è anche riunire in un solo passo applicazioni successive di una regola. Ad esempio, è corretta la formulazione di una regola di eliminazione derivata come Regola
Γ ⇒ ∆, ¬φ1 , . . . , ¬φn hECn ¬i φ1 , . . . , φ n , Γ ⇒ ∆
ECn ¬.
n applicazioni di EC¬. Per ⊗, indicheremo con ⊗EAn (con ECn ⊗) n applicazio⊗EA (della regola EC⊗). Per sempli care l'enuncia-
in quanto il sequente inferiore è raggiungibile tramite qualunque operatore logico ni consecutive della regola
zione delle leggi logiche de niamo anche un'opportuna nozione di equivalenza deduttiva:
De nizione 149.
Γ ⇔? ∆
se e solo se:
Osserviamo che è agevole dimostrare in
Teorema 150.
Γ ⇒? ∆ Gae
e
∆ ⇒? Γ.
un risultato analogo a cor113:
Γ ⇒? ∆ se e solo se Γ∧ ⇒? ∆∨ .
Dimostrazione. Se
Φ : φ1 , . . . , φ n ⇒ ψ1 , . . . , ψ k ,
allora la seguente è la prova
analitica cercata (analogamente per l'inversa):
φ1 ∧ . . . ∧ φn ⇒ ψ1 ∨ . . . ∨ ψk h∧n−1 EAi φ1 , . . . , φ n ⇒ ψ1 ∨ . . . ∨ ψk hEC∨k−1 i ) φ1 , . . . , φ n ⇒ ψ1 , . . . , ψ k . . .
Φ
a
Dal teorema precedente si ricava facilmente cor151( ), un analogo del teorema di
b
a
deduzione [mentre cor151( ) risulta da cor151( ) e def149]:
Corollario 151.
a. Γ ⇒? ∆ se e solo se ⇒? Γ∧ → ∆∨ . b. ⇒? ψ ↔ φ se e solo se φ ⇔? ψ .
4. SEQUENTI
98
φ ⇒? ψ e ψ ⇒? φ, il risultato cor151(b ) autorizza a stabi? lire anche un teorema ⇒ φ ↔ ψ . Ancora una convenzione notazionale: scriveremo ? ? φ ⇔◦ ψ - rispettivamente φ ◦ ⇔ ψ - per indicare che, tra i due lati dell'equiva? lenza deduttiva φ ⇔ ψ , è un teorema classico il sequente φ ⇒ ψ - rispettivamente il sequente ψ ⇒ φ. Ogniqualvolta abbiamo
4.5. Prove di leggi enunciative 4.5.1. Leggi della negazione. Iniziamo da alcune leggi
fondamentali che
hanno come protagonista il connettivo della negazione.
L¬ 1. L¬ 2◦ L¬ 3. L¬ 4 L¬ 5. L¬ 6◦ . L¬ 7. L¬ 8. L¬ 9◦ . L¬ 10◦ . L¬ 11◦ .
a. φ, ¬φ ⇒? ψ b. Γ [φ ∧ ¬φ] ⇒? ∆
⇒? φ ∨ ¬φ ⇒? ¬ (φ ∧ ¬φ) a. φ ⇒? ¬¬φ b◦ . ¬¬φ ⇒? φ φ → ψ, φ → ¬ψ ⇒? ¬φ ¬φ → ψ, ¬φ → ¬ψ ⇒? φ ¬φ ⇔? φ → ψ ∧ ¬ψ ¬φ ⇔? φ → ¬φ φ ◦ ⇔? ¬φ → φ ⇒? φ → ψ, φ → ¬ψ φ → ψ, ¬φ → ψ ⇒? ψ
In base ai sequenti principali di teor142 si ottengono subito le leggi
¬
L 3
L¬ 1, L¬ 2◦
e
di contraddizione, terzo escluso e non contraddizione. Di eguale immediatezza
L¬ 4 di doppia negazione (cfr. la tautologia T3 di 3.2). Le a-prove ¬ ¬ ◦ di chiusura per L 4 (a) e L 4 (b ) (lasciate come facile esercizio) mostrano che φ ⇒ ¬¬φ dipende dalla legge di contraddizione mentre ¬¬φ ⇒ φ dipende da quella ¬ ¬ ◦ del terzo escluso. Per le leggi L 5 e L 6 , che riguardano il ragionamento per ¬ ◦ assurdo, si osservi che la versione L 6 ha dipendenze deduttive più forti di L¬ 5 ed ¬ è una legge classica. Ecco la a-prova di chiusura per L 5: sono le leggi
A seguire quella
φ → ψ, φ → ¬ψ ⇒ ¬φ hEC¬i φ, φ → ψ, φ → ¬ψ ⇒ h→ EAi φ, φ → ¬ψ ⇒ φ ψ, φ, φ → ¬ψ ⇒ ? h→ EAi ψ, φ ⇒ φ ¬ψ, ψ, φ ⇒ ? h?, 142 (a)i ¬ ◦ per L 6 : ¬φ → ψ, ¬φ → ¬ψ ⇒ φ h→ EAi ¬φ → ¬ψ ⇒ φ, ¬φ ψ, ¬φ → ¬ψ ⇒ φ h?, 142 (b◦ )i h→ EAi ψ ⇒ φ, ¬φ ¬ψ, ψ ⇒ φ h?, 142 (b◦ )i h?, 142 (a)i
Passiamo ora a relazioni logiche tra una formula e la sua negazione. Per la legge
L¬ 7
una negazione è provabilmente equivalente al fatto che dalla formula negata
4.5. PROVE DI LEGGI ENUNCIATIVE
L¬ 7 e anch'essa dipende dalla legge ¬ ◦ di contraddizione. Ma le cose cambiano con L 9 , che dipende dal terzo escluso. ? ¬ ¬ La a-prova dell'andata ¬φ ⇒ φ → ψ ∧ ¬ψ di L 7 è immediata per EC → e L 1, ¬ ? quella del ritorno è lasciata come esercizio. Per L 8, l'andata ¬φ ⇒ φ → ¬φ è un segua una contraddizione.
L¬ 8
99
è analoga a
c
esempio del sequente principale ( ) di teor145, quindi l'unico caso da provare è il ritorno
φ → ¬φ ⇒? ¬φ,
anche questo lasciato come esercizio. Anche l'andata di
L¬ 9◦ è un esempio del sequente principale (c ) di teor145 e l'unico caso da provare ? è ¬φ → φ ⇒◦ φ: ¬φ → φ ⇒ φ h→ EAi ⇒ φ, ¬φ φ ⇒ φ h?, 142 (b◦ )i ? Vediamo in ne due leggi analoghe al terzo escluso:
L¬ 10◦
stabilisce che una for-
mula implica qualsiasi altra o la sua negazione. La a-prova di chiusura per
L¬ 10◦
riconduce subito al terzo escluso:
(1)
L¬ 11◦
⇒ φ → ψ, φ → ¬ψ hEC →i φ ⇒ φ → ψ, ¬ψ hEC →i φ, φ ⇒ ψ, ¬ψ h?, 142 (b◦ )i
presenta il tipico schema d'utilizzo del terzo escluso per dedurre in modo
incondiziono una conclusione (la prova analitica è lasciata come esercizio).
4.5.2. Dipendenze deduttive.
Presentando le principali leggi logiche del-
la negazione abbiamo ripetutamente fatto uso di espressioni come la data legge dipende da, la data legge ha dipendenza deduttiva da. Naturalmente quando si dice - ad esempio - che una legge logica ca che
ogni
teor142 - ovvero,
(b◦ )
dipende
dal terzo escluso, ciò signi -
prova analitica di tale legge riconduce al sequente principale
non si può dar e
(b◦ )
di
un'analisi del dato sequente senza incontrare
di teor142 o qualche altro sequente che ha a sua volta dipendenza dal terzo
a
escluso. Lo stesso vale per altre dipendenze, ad esempio quelle dalla legge ( ) di non contraddizione di teor142 che con una certa frequenza abbiamo già incontrato e continueremo ad incontrare. Ad esempio, consideriamo la prova analitica precedente della legge
L¬ 10◦ .
Sic-
Gae non è rilevante l'ordine delle formule negli antecedenti ¬ ◦ sequenti, vi è un altro cammino possibile di analisi per L 10 : ⇒ φ → ψ, φ → ¬ψ hEC →i φ ⇒ φ → ¬ψ, ψ (2) hEC →i φ, φ ⇒ ψ, ¬ψ h?, 142 (b◦ )i
come nel sistema formale e nei succedenti dei
Come si vede, il risultato nale è esattamente lo stesso: nella prova di chiusura (2) ritroviamo il sequente principale di terzo escluso. Lo stesso vale per le altre leggi classiche per la negazione n qui prese in considerazione (ed è un buon esercizio fare i rispettivi esami di conferma).
4. SEQUENTI
100
Che le analisi riconducano sistematicamente a un dato principio signi ca che, inversamente,
non si può dare
lizzare quel principio.
una prova deduttiva del dato sequente senza uti-
Il metodo analitico è molto utile proprio per restituire le
varie possibili strategie di prova deduttiva di un dato sequente. Infatti, come già sappiamo, una prova analitica corrisponde a una possibile prova deduttiva: le diverse analisi del sequente iniziale (in base alle regole di eliminazione dello schema generale) sono altrettante ricerche di assiomi e, in questo cammino di ricerca, riconducono a determinate premesse deduttive per il dato sequente. Ad esempio, le due sole prove analitiche (1) e (2) possibili per prove deduttive in
(1')
L¬ 10◦
corrispondono alle due seguenti
Gce: . . .
. . .
φ, φ ⇒ ψ, ¬ψ hIC →i φ ⇒ φ → ψ, ¬ψ hIC →i ⇒ φ → ψ, φ → ¬ψ
φ, φ ⇒ ψ, ¬ψ hIC →i φ ⇒ φ → ¬ψ, ψ hIC →i ⇒ φ → ψ, φ → ¬ψ ¬ ◦ deduttiva di L 10 in Gce
Non è quindi possibile dare una prova
(2')
- ossia usando
le regole di introduzione dello schema generale - senza usare come premessa (una
(b◦ )
variante con contesto di)
di teor142.
Così, stabilire tramite prove analitiche di chiusura che una data legge logica
dipende
da un determinato sequente vuol dire che essa dipende da tale sequente
come premessa in una possibile prova deduttiva: in sostanza, vuol dire dimostrare
dipendenza deduttiva.14
una
4.5.3. Leggi della congiunzione.
Passiamo ad alcune leggi fondamentali
che hanno come protagonista il connettivo della congiunzione.
L∧ 1. L∧ 2◦ . L∧ 3◦ . L∧ 4. L∧ 5. L∧ 6◦ . L∧ 7. L∧ 8◦ . L∧ 9◦ . L∧ 10. L∧ 11. L∧ 12.
a. ¬φ, φ ∧ ψ ⇒? c. ¬φ ⇒? ¬ (φ ∧ ψ) b. ¬ψ, φ ∧ ψ ⇒? d. ¬ψ ⇒? ¬ (φ ∧ ψ)
⇒? φ ∧ ψ, ¬φ, ¬ψ ⇒? (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∨ ¬ψ) a. ⇒? φ ∧ ψ → φ b. ⇒? φ ∧ ψ → ψ φ → ψ ∧ χ ⇔? (φ → ψ) ∧ (φ → χ) φ ∧ ψ ◦ ⇔? ¬ (φ → ¬ψ) a.⇒? ¬ (φ ∧ ψ) ↔ (φ → ¬ψ) b. ¬ (φ ∧ ψ) , φ ⇒? ¬ψ c. ¬ (φ ∧ ψ) , ψ ⇒? ¬φ φ ∧ ψ ◦ ⇔? ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) ¬ (φ ∧ ψ) ⇔?◦ ¬φ ∨ ¬ψ φ→ψ ⇒φ∧χ→ψ∧χ φ ∧ ψ ⇔? φ ∧ (φ → ψ) (φ → ψ) ∧ ψ ⇔? ψ
Chiaramente una congiunzione nell'antecedente è incompatibile con la negazione di
L∧ 1(a )-(b ) conducono subito ai sequenti ∧ volta, L 1(c )-(d ) si ricavano facilmente e
uno dei suoi congiunti. In eetti, le leggi
a
b
principali ( ) e ( ) di teor143; a loro
codi cano che è un argomento valido l'inferenza della negazione di una congiunzione
14 Su
4.5.7.
questo punto v. anche
4.5. PROVE DI LEGGI ENUNCIATIVE
101
da quella di uno dei suoi congiunti. Analogamente, una almeno tra una congiunzione e le negazioni di entrambi i suoi congiunti deve risultare vera: in eetti, la legge
L∧ 2◦
b
c
conduce rapidamente ai sequenti principali teor143( ) e teor143( ).
osservi però che è una legge classica (mentre
L∧ 3◦
Si
è solo un'altra formulazione di
L∧ 2◦ ).
Osservazione 152. (3)
L∧ 2◦
Perché di
∧ ◦
L 2
L∧ 2◦ : ⇒ φ ∧ ψ, ¬φ, ¬ψ hEC∧i ⇒ ¬φ, ¬ψ, φ ⇒ ¬φ, ¬ψ, ψ h?, 142 (b◦ )i
Consideriamo le possibili a-prove di
⇒ φ ∧ ψ, ¬φ, ¬ψ hEC2 ¬i φ, ψ ⇒ φ ∧ ψ h?, 143 (c)i
(4)
abbia dipendenze deduttive classiche, occorre che ogni prova analitica
manifesti questa proprietà.
Nel caso di (4) va tutto bene, ma nella a-
prova (3) di quale principio classico stiamo facendo uso? estesamente nel terzo escluso:
Cap6,
facciamo leva su un uso di
EC¬
Come vedremo più
che ha forza analoga al
quando nel succedente occorre più di una formula.
In eetti, in
questo modo il sequente principale di terzo escluso conduce immediatamente a un assioma di identità (o, nel sistema deduttivo, si deduce immediatamente da questo).
Esercizio 153.
Le a-prove delle leggi
di teor143. La legge
∧
L 5
L∧ 4
e
L∧ 5
a
b
c
sono immediate per ( ), ( ) e ( )
stabilisce la distributività a destra del condizionale
con la congiunzione. L'esercizio seguente interroga a sua volta sulla distributività a sinistra del condizionale con la congiunzione.
a. (φ → χ) ∧ (ψ → χ) ⇒? φ ∧ ψ → χ b. Vale anche l'inversa di (a )? Lasciamo come esercizio anche le a-prove per alcune basilari proprietà algebriche della congiunzione (idempotenza, commutatività, associatività, distributività con la disgiunzione).
Esercizio 154. a. b. c. d.
Provare le leggi seguenti:
⇒? φ ↔ φ ∧ φ ⇒? φ ∧ ψ ↔ ψ ∧ φ ⇒? φ ∧ (ψ ∧ χ) ↔ (φ ∧ ψ) ∧ χ ⇒? φ ∧ (ψ ∨ χ) ↔ (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ)
La legge
L∧ 6◦
stabilisce la de nibilità classica della congiunzione con negazione
e condizionale. Ecco una a-prova per il lato classico
¬ (φ → ¬ψ) ⇒ φ ∧ ψ :15
¬ (φ → ¬ψ) ⇒ φ ∧ ψ h¬EAi ⇒ φ ∧ ψ, φ → ¬ψ hEC →i φ ⇒ φ ∧ ψ, ¬ψ hEC¬i φ, ψ ⇒ φ ∧ ψ h?, 143 (a)i 15
Per l'inversa cfr. la prova analitica di
prova seguente v.
oss152.
esemp148.
Per le dipendenze deduttive classiche nella
4. SEQUENTI
102
La negazione di una congiunzione è invece de nibile tramite negazione e condizionale senza dipendenze classiche.
Ecco la a-prova di chiusura della legge
L∧ 7(a): ⇒ ¬ (φ ∧ ψ) ↔ (φ → ¬ψ) hEC ↔i ¬ (φ ∧ ψ) ⇒ φ → ¬ψ φ → ¬ψ ⇒ ¬ (φ ∧ ψ) hEC →i hEC¬i φ, ¬ (φ ∧ ψ) ⇒ ¬ψ φ ∧ ψ, φ → ¬ψ ⇒ hEC¬i hEA∧i ψ, φ, ¬ (φ ∧ ψ) ⇒ φ, ψ, φ → ¬ψ ⇒ h¬EAi hEA →i ψ, φ ⇒ φ ∧ ψ φ, ψ ⇒ φ ¬ψ, φ, ψ ⇒ h?, 143 (a)i ? h?, 142 (a)i Lasciamo come esercizio le leggi dalle quali risulta - insieme a teor134 già stabilito
a
e qui ripetuto per comodità come clausola ( ) del prossimo esercizio - che da una congiunzione sono deducibili tutte le altre forme logiche enunciative binarie.
Esercizio 155. a. c. e. g.
Deducibilità di
φ ∧ ψ ⇒? φ ∨ ψ φ ∧ ψ ⇒? φ → ψ φ ∧ ψ ⇒? φ ↔ ψ φ ∧ ψ ⇒? χ ∨ φ
∨, →,
e
↔
da
∧
b. φ ∧ ψ ⇒? ψ ∨ φ d. φ ∧ ψ ⇒? ψ → φ f . φ ∧ ψ ⇒? ψ ↔ φ h. φ ∧ ψ ⇒? χ ∨ ψ
Veniamo ora alla de nibilità (classica) della congiunzione con negazione e disgiunzione. In particolare, si vede che i due lati della legge di
3.2) hanno dipendenze deduttive diverse. φ ∧ ψ ⇒ ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) h∧EAi φ, ψ ⇒ ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) hEC¬i ¬φ ∨ ¬ψ, φ, ψ ⇒ hEA∨i ¬φ, φ, ψ ⇒ ¬ψ, ψ, φ ⇒ h?, 142 (a)i h?, 142 (a)i
Dalla legge di De Morgan
L∧ 9◦
L∧ 8◦
(cfr. la tautologia T38
Ecco le relative a-prove di chiusura:
¬ (¬φ ∨ ¬ψ) ⇒ φ ∧ ψ h¬EAi ⇒ φ ∧ ψ, ¬φ ∨ ¬ψ hEC∨i ⇒ φ ∧ ψ, ¬φ, ¬ψ h?, L∧ 2◦ i
risulta che anche la negazione di una congiunzione
16
è de nibile tramite negazione e disgiunzione solo in dipendenza dal terzo escluso.
Ecco una a-prova di chiusura per il corrispondente bicondizionale, dalla quale segue poi
L∧ 9◦
b
usando cor151( ):
⇒ ¬ (φ ∧ ψ) ↔ (¬φ ∨ ¬ψ) hEC ↔i ¬φ ∨ ¬ψ ⇒ ¬ (φ ∧ ψ) ¬ (φ ∧ ψ) ⇒ ¬φ ∨ ¬ψ hEC¬i hEC∨i φ ∧ ψ, ¬φ ∨ ¬ψ ⇒ ¬ (φ ∧ ψ) ⇒ ¬φ, ¬ψ h∨EAi h¬EAi ¬φ, φ ∧ ψ ⇒ ¬ψ, φ ∧ ψ ⇒ ⇒ φ ∧ ψ, ¬φ, ¬ψ h?, L∧ 1 (a)i h?, L∧ 1 (b)i h?, L∧ 2◦ i 16 Cfr.
il teorema 4.54 in Heyting [
91], tr.
it., p. 206.
4.5. PROVE DI LEGGI ENUNCIATIVE
La legge
L∧ 10
103
stabilisce che da un condizionale ne è deducibile un altro ottenuto
congiungendo una stessa formula con l'antecedente e il conseguente. Ecco la relativa a-prova di chiusura:
φ→ψ ⇒φ∧χ→ψ∧χ hEC →i φ ∧ χ, φ → ψ ⇒ ψ ∧ χ h∧EAi φ, χ, φ → ψ ⇒ ψ ∧ χ hEC∧i φ, χ, φ → ψ ⇒ ψ φ, χ, φ → ψ ⇒ χ h?, 145 (b)i ? Le facili prove delle leggi
L∧ 11
e
L∧ 12
sono lasciate come esercizio.
4.5.4. Leggi della disgiunzione.
Chiaramente una disgiunzione in un ante-
cedente è incompatibile con le negazioni di entrambi i suoi disgiunti, come mostra la legge
L∨ 1
a
la cui analisi conduce subito al sequente principale teor144( ). In
bc
modo analogo, dai sequenti principali teor144( - ) risulta
L∨ 2◦ ,
cioè che è una
legge logica (classica) una disgiunzione nel succedente insieme alla negazione di uno dei suoi disgiunti.
L∨ 1. L∨ 2. L∨ 3. L∨ 4. L∨ 5◦ . L∨ 6. L∨ 7◦ . L∨ 8. L∨ 9◦ . L∨ 10◦ . L∨ 11. L∨ 12. L∨ 13◦ . L∨ 14◦ .
¬φ, ¬ψ, φ ∨ ψ ⇒? a◦ . ⇒? φ ∨ ψ, ¬φ b◦ . ⇒? φ ∨ ψ, ¬ψ ¬φ, φ ∨ ψ ⇒? ψ φ → χ, ψ → χ ⇒? φ ∨ ψ → χ φ ∧ ψ → χ ⇔?◦ (φ → χ) ∨ (ψ → χ) φ ∨ (ψ ∧ χ) ⇔? (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ) φ ∨ ψ ◦ ⇔? ¬ (¬φ ∧ ¬ψ) a. ¬φ ∧ ¬ψ ⇔? ¬ (φ ∨ ψ) b. ¬ (φ ∨ ψ) ⇒? ¬ψ c. ¬ (φ ∨ ψ) ⇒? ¬ψ d. ¬φ, ¬ψ ⇒? ¬ (φ ∨ ψ) φ ∨ ψ ◦ ⇔? ¬φ → ψ φ ∨ ψ ◦ ⇔? (φ → ψ) → ψ φ ∨ ψ, φ → χ, ψ → ϕ ⇒? χ ∨ ϕ a. φ ∨ ψ ⇒? (χ → φ) ∨ (ϕ → ψ) b. φ ∨ ψ ⇒? φ ∨ (χ → ψ) χ ∨ (φ → ψ) ◦ ⇔? φ → χ ∨ ψ φ ∨ ψ ⇔?◦ (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ ¬ψ)
L∨ 3 del Modus Ponens per la disgiunzione (cfr. ∨ la tautologia T51 di 3.2.). La legge L 4 codi ca invece il ragionamento per casi ∨ ◦ (cfr. la tautologia T30 di 3.2.). Si osservi che L 5 è una risposta indiretta a ∨ ◦ ∨ eserc153. Ecco a seguire la a-prova per il ritorno di L 5 , mentre quelle di L 4 e ∨ ◦ dell'andata di L 5 sono lasciate come esercizio: Da
L∨ 1
risulta subito la variante
4. SEQUENTI
104
(φ → χ) ∨ (ψ → χ) ⇒ φ ∧ ψ → χ hEC →i φ ∧ ψ, (φ → χ) ∨ (ψ → χ) ⇒ χ h∧EAi φ, ψ, (φ → χ) ∨ (ψ → χ) ⇒ χ h∨EAi φ → χ, φ, ψ ⇒ χ ψ → χ, φ, ψ ⇒ χ h?, 145 (b)i h?, 145 (b)i Anche le a-prove delle leggi seguenti sono lasciate come esercizio:
c
a
le leggi ( )-
( ) esprimono, rispettivamente, le basilari proprietà algebriche di idempotenza, commutatività e associatività della disgiunzione.
Esercizio 156. a. b. c. d.
Con
φ ⇔? φ ∨ φ φ ∨ ψ ⇔? ψ ∨ φ φ ∨ (ψ ∨ χ) ⇔? (φ ∨ ψ) ∨ χ φ ∨ (φ ∧ ψ) ⇔? φ
L∨ 6 abbiamo la legge di distributività della disgiunzione con la congiunzione.17
Ecco le prove analitiche di chiusura per l'andata e il ritorno:
φ ∨ (ψ ∧ χ) ⇒ (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ) h∨EAi φ ⇒ (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ) ψ ∧ χ ⇒ (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ) hEC∧i hEC∧i φ⇒φ∨ψ φ⇒φ∨χ ψ∧χ⇒φ∨ψ ψ∧χ⇒φ∨χ h?, 144 (b)i h?, 144 (b)i h?, 155 (g)i h?, 1557.2.3 (h)i (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ) ⇒ φ ∨ (ψ ∧ χ) hEC∨i (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ) ⇒ φ, ψ ∧ χ h∧EAi φ ∨ ψ, φ ∨ χ ⇒ φ, ψ ∧ χ hEC∧i φ ∨ ψ, φ ∨ χ ⇒ φ, ψ φ ∨ χ, φ ∨ ψ ⇒ φ, χ h?, 144 (a)i h?, 144 (a)i Passiamo alle leggi di de nibilità della disgiunzione con altri connettivi, a cominciare da quella in termini di negazione e congiunzione. di
L∨ 7◦
escluso. Ecco le a-prove di chiusura per
φ ∨ ψ ⇒ ¬ (¬φ ∧ ¬ψ) hEC¬i ¬φ ∧ ¬ψ, φ ∨ ψ ⇒ h∧EAi ¬φ, ¬ψ, φ ∨ ψ ⇒ h?, L∨ 1i
17 Cfr.
Si vede che dei due lati
3.2) uno ha dipendenza diretta dal terzo
(ovvero della tautologia T47 di
la tautologia T46 di
3.2.
L∨ 7◦ : ¬ (¬φ ∧ ¬ψ) ⇒ φ ∨ ψ hEC∨i ¬ (¬φ ∧ ¬ψ) ⇒ φ, ψ h¬EAi ⇒ φ, ψ, ¬φ ∧ ¬ψ hEC∧i ⇒ φ, ψ, ¬φ ⇒ φ, ψ, ¬ψ h?, 142 (b◦ )i h?, 142 (b◦ )i
4.5. PROVE DI LEGGI ENUNCIATIVE
105
L∨ 8(a) stabilisce che la negazione di una disgiunzione è invece esprimibile in termini di negazione e congiunzione senza dipendenza dal terzo escluso.
18
Ecco la a-prova
del corrispondente bicondizionale:
⇒ (¬φ ∧ ¬ψ) ↔ ¬ (φ ∨ ψ) hEC ↔i ¬φ ∧ ¬ψ ⇒ ¬ (φ ∨ ψ) ¬ (φ ∨ ψ) ⇒ ¬φ ∧ ¬ψ h∧EAi hEC∧i ¬ (φ ∨ ψ) ⇒ ¬φ ¬ (φ ∨ ψ) ⇒ ¬ψ ¬φ, ¬ψ ⇒ ¬ (φ ∨ ψ) hEC¬i hEC¬i hEC¬i φ, ¬ (φ ∨ ψ) ⇒ ψ, ¬ (φ ∨ ψ) ⇒ φ ∨ ψ, ¬φ, ¬ψ ⇒ h¬EAi h¬EAi h?, L∨ 1i φ⇒φ∨ψ ψ ⇒φ∨ψ h?, 144 (b)i h?, 144 (c)i L∨ 8(d)
A sua volta,
si ricava facilmente e stabilisce che è valido concludere alla
negazione di una disgiunzione dalle negazioni dei suoi disgiunti come premesse. Anche sulla de nibilità di dei due lati di
L∨ 9◦
∨
in termini di negazione e condizionale si vede che
3.2) uno ha dipendenza diretta
(ovvero della tautologia T49 di
dal terzo escluso (l'altro lato si ricava banalmente usando
L∨ 1):
¬φ → ψ ⇒ φ ∨ ψ hEC∨i ¬φ → ψ ⇒ φ, ψ h→ EAi ⇒ φ, ψ, ¬φ ψ ⇒ φ, ψ h?, 142 (b◦ )i ? La legge
L∨ 10◦
ssa un altro modo classico di de nire la disgiunzione in termini
di condizionale, la a-prova è lasciata come esercizio. La legge
L∨ 11
stabilisce che da una disgiunzione ne segue sempre un'altra
tra ciò che i due disgiunti rispettivamente implicano (la facile a-prova è lasciata come esercizio).
Con la legge
L∨ 12(a)
si vede che da una disgiunzione ne segue
sempre un'altra tra condizionali che hanno i due disgiunti rispettivamente come conseguenti;
L∨ 12(b)
è analoga. Ecco una facile a-prova per
L∨ 12(a):
φ ∨ ψ ⇒ (χ → φ) ∨ (ϕ → ψ) hEC∨i φ ∨ ψ ⇒ χ → φ, χ → ψ hEC2 →, CtAi χ, φ ∨ ψ ⇒ φ, ψ h?, 144(a)i Con
L∨ 13◦
vediamo altre forme - analoghe a
L→ 9◦
- di distributività tra la
L∨ 8(b)
e
disgiunzione e il condizionale.
18 I
due sottorami del ramo di destra contengono a-prove di
L∨ 8(c).
4. SEQUENTI
106
χ ∨ (φ → ψ) ⇒ φ → χ ∨ ψ hEC →i φ, χ ∨ (φ → ψ) ⇒ χ ∨ ψ hEC∨i φ, χ ∨ (φ → ψ) ⇒ χ, ψ h∨EAi φ, χ ⇒ χ, ψ φ, φ → ψ ⇒ χ, ψ ? h?, 145(b)i
φ → χ ∨ ψ ⇒ χ ∨ (φ → ψ) hEC∨i φ → χ ∨ ψ ⇒ χ, φ → ψ hEC →i φ, φ → χ ∨ ψ ⇒ χ, ψ h→ EAi φ ⇒ χ, ψ, φ φ, χ ∨ ψ ⇒ χ, ψ ? h?, 144(a)i
c
Si osservi che eserc156( ) autorizza ad applicare in ordine arbitrario le regole di eliminazione di alla legge
L∨ 14◦
∨ su disgiunzioni φ1 , . . . , φn .
Con questa premessa veniamo in ne
che enuncia le condizioni di verità di una disgiunzione. La a-prova
dell'andata ha la seguente sezione iniziale:
φ ∨ ψ ⇒ (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ ¬ψ) hEC2 ∨i φ ∨ ψ ⇒ φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ψ, φ ∧ ¬ψ h∨EAi φ ⇒ φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ψ, φ ∧ ¬ψ ψ ⇒ φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ψ, φ ∧ ¬ψ
(5)
A questo punto il ramo di sinistra in (5) ha lo sviluppo:
φ ⇒ φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ψ, φ ∧ ¬ψ hEC∧i φ ⇒ ¬φ ∧ ψ, φ ∧ ¬ψ, φ φ ⇒ ¬φ ∧ ψ, φ ∧ ¬ψ, ψ ? hEC∧i φ ⇒ ¬φ ∧ ψ, ψ, φ φ ⇒ ¬φ ∧ ψ, ψ, ¬ψ ? h?, 142(b◦ )i Uno sviluppo analogo ha anche il ramo di destra in (5). La a-prova del ritorno di
L∨ 14◦
è invece lasciata come esercizio.
4.5.5. Leggi del condizionale.
Veniamo ora ad alcune leggi fondamentali
che hanno come protagonista il connettivo del condizionale.
L→ 1. L→ 2. L→ 3. L→ 4. L→ 5. L→ 6◦ . L→ 7◦ . L→ 8◦ . L→ 9◦ L→ 10◦ . L→ 11◦ . L→ 12◦ . L→ 13◦ . L→ 14. L→ 15◦ . L→ 16◦ . L→ 17. L→ 18.
⇒? φ → φ φ → ψ, ψ → χ ⇒? φ → χ φ → (ψ → χ) , φ → ψ ⇒? φ → χ φ → ψ, ¬ψ ⇒? ¬φ a. ⇒? φ ∧ (φ → ψ) → ψ b. ⇒? ¬ψ ∧ (φ → ψ) → ¬φ φ → ψ ◦ ⇔? ¬¬φ → ¬¬ψ ⇒? φ → ψ, ψ → φ ⇒? ((φ → ψ) → φ) → φ χ → φ ∨ ψ ⇔?◦ (χ → φ) ∨ (χ → ψ) φ → ψ ◦ ⇔? ¬ (φ ∧ ¬ψ) ¬ (φ → ψ) ⇔?◦ φ ∧ ¬ψ φ → ψ ⇔?◦ ¬φ ∨ ψ φ → ψ ◦ ⇔? ¬ψ → ¬φ φ → ¬ψ ⇒? ψ → ¬φ φ → ψ ⇔?◦ (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ) φ → ψ ⇒?◦ (φ → χ) ∨ ψ ⇒? φ → (ψ → φ ∧ ψ) φ, ¬ψ ⇒? ¬ (φ → ψ)
4.5. PROVE DI LEGGI ENUNCIATIVE
La legge
L→ 1
non ha bisogno di commenti, mentre per le leggi
→
L 2,
transitività del condizionale diamo la semplice a-prova di
L→ 3
107
L→ 2
e
L→ 3
di
lasciando quella di
come esercizio:
φ → ψ, ψ → χ ⇒ φ → χ hEC →i φ, φ → ψ, ψ → χ ⇒ χ h→ EAi ψ → χ, φ ⇒ χ, φ ψ, ψ → χ, φ ⇒ χ ? h?, 145 (b)i Sono lasciate come esercizio anche le prove analitiche di alcune leggi semplici ma basilari riguardati gli antecedenti di condizionali.
Esercizio 157.
a. ⇒? (φ → (φ → ψ)) → (φ → ψ) b. φ → (ψ → χ) ⇔? ψ → (φ → χ) c. ψ → (φ → χ) ⇔? φ ∧ ψ → χ
La prova analitica per lo schema
L→ 4 del Modus Tollens
conduce quasi immediata-
b Modus Ponens. Naturalmente L→ 5(a -b ) seguono subito da teor145(b ) e L→ 4 per cor151(a ).
mente al sequente principale teor145( ) di
L→ 6◦
le leggi
è la legge classica sull'equivalenza tra un condizionale e quello costituito
dalle rispettive doppie negazioni, la a-prova è lasciata come esercizio. Sul nostro cammino troviamo ora altre due leggi classiche,
L→ 7 ◦
e
L→ 8◦ ,
per le quali vale
un'osservazione analoga a oss152: le loro prove analitiche non chiamano in causa
◦
19
il terzo escluso ma il sequente principale teor145(a ).
→ ◦ 20 di chiusura per (la legge di Peirce) L 8 :
Ecco a seguire la a-prova
⇒ ((φ → ψ) → φ) → φ hEC →i (φ → ψ) → φ ⇒ φ h→ EAi ⇒ φ, φ → ψ φ⇒φ h?, 145 (a◦ )i ? Abbiamo poi con
L→ 9◦
la distributività del condizionale a destra rispetto alla
disgiunzione. Ecco le prove analitiche dell'andata e del ritorno di
χ → φ ∨ ψ ⇒ (χ → φ) ∨ (χ → ψ) hEC∨i χ → φ ∨ ψ ⇒ χ → φ, χ → ψ hEC →2 , CtAi χ, χ → φ ∨ ψ ⇒ φ, ψ h→ EAi χ ⇒ φ, ψ, χ φ ∨ ψ, χ ⇒ φ, ψ ? h?, 144 (a)i
19 Anche 20 Cfr. la
6.3.
su questo punto torneremo in tautologia T14 di
3.2.
L→ 9 ◦ :
4. SEQUENTI
108
(χ → φ) ∨ (χ → ψ) ⇒ χ → φ ∨ ψ hEC →i χ, (χ → φ) ∨ (χ → ψ) ⇒ φ ∨ ψ hEC∨i χ, (χ → φ) ∨ (χ → ψ) ⇒ φ, ψ h∨EAi χ → φ, χ ⇒ φ, ψ χ → ψ, χ ⇒ φ, ψ h?, 145 (b)i h?, 145 (b)i La legge
χ → φ ∨ ψ ⇒ (χ → φ) ∨ (χ → ψ)
classica, ma come vedremo in
nasconde abbastanza bene la sua natura
6.3 il sequente principale teor144(a ) non è aatto
innocente... Proseguiamo con l'interde nibilità
L→ 10◦
del condizionale con congiunzione e
negazione. Come si vede, dei due lati della tautologia T53 di diretta dal terzo escluso. Ecco le a-prove di chiusura per
¬ (φ ∧ ¬ψ) ⇒ φ → ψ hEC¬i ⇒ φ → ψ, φ ∧ ¬ψ hEC →i φ ⇒ φ ∧ ¬ψ, ψ hEC∧i φ, ψ ⇒ φ φ ⇒ ψ, ¬ψ ? h?, 142 (b◦ )i
φ → ψ ⇒ ¬ (φ ∧ ¬ψ) hEC¬i φ ∧ ¬ψ, φ → ψ ⇒ hEC∧i φ, ¬ψ, φ → ψ ⇒ hEA →i φ, ¬ψ ⇒ φ ¬ψ, ψ, φ ⇒ ? h?, 142 (a)i Con
L→ 11◦
3.2 uno ha dipendenza
L→ 10◦ :
vediamo cosa accade alle negazioni di condizionali se espresse in termini
di negazione e congiunzione (sono lasciate come esercizio le prove, dalle quali si vede che
L→ 11◦
è una legge classica).
La legge
L→ 12◦
stabilisce la de nibilità del condizionale in termini di negazione
e disgiunzione. Si vede così che dei due lati della tautologia T55 di dipendenza diretta dal terzo escluso. Ecco le a-prove di chiusura per
φ → ψ ⇒ ¬φ ∨ ψ hEC∨i φ → ψ ⇒ ¬φ, ψ h→ EAi ⇒ ¬φ, ψ, φ ψ ⇒ ¬φ, ψ h?, 142 (b◦ )i ?
3.2 uno ha
L→ 12◦ :
¬φ ∨ ψ ⇒ φ → ψ hEC →i φ, ¬φ ∨ ψ ⇒ ψ h∨EAi φ, ¬φ ⇒ ψ φ, ψ ⇒ ψ h?, 142 (a)i ?
Lasciamo come esercizi le a-prove delle seguenti leggi di interrelazione del condizionale con altri connettivi.
Esercizio 158.
a. ⇒? (φ → ψ) → (φ ∨ χ → ψ ∨ χ) (è provabile anche l'inversa?) b. ⇒? φ → ψ → (¬ (ψ ∧ χ) → ¬ (φ ∧ χ)) (è provabile anche l'inversa?)
c◦ . (φ → ψ) → χ ⇔?◦ (ψ → χ) ∧ (φ ∨ χ) d◦ . χ → (ψ ∨ ¬φ) ◦ ⇔? (φ ∧ χ) → ψ e. ¬ (φ → ψ) , φ ⇒? ¬ψ Consideriamo poi le due leggi
L→ 13◦
e
L→ 14
di contrapposizione, in particolare
ecco le a-prove di chiusura per il lato classico di
L→ 13◦
e per
L→ 14:
4.5. PROVE DI LEGGI ENUNCIATIVE
¬ψ → ¬φ ⇒ φ → ψ hEC →i φ, ¬ψ → ¬φ ⇒ ψ h→ EAi φ ⇒ ψ, ¬ψ ¬φ, φ ⇒ ψ h?, 142 (b◦ )i h?, 142 (a)i
Proviamo ora l'andata della condizione di
109
φ → ¬ψ ⇒ ψ → ¬φ hEC →i ψ, φ → ¬ψ ⇒ ¬φ hEC¬i φ, ψ, φ → ¬ψ ⇒ h→ EAi φ, ψ ⇒ φ ¬ψ, φ, ψ ⇒ ? h?, 142 (a)i → ◦ verità L 15 per un condizionale.
Per
prima cosa abbiamo:
φ → ψ ⇒ (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ) hEC2 ∨i φ → ψ ⇒ φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ¬ψ h→ EAi ⇒ φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ¬ψ, φ ψ ⇒ φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ¬ψ
(6)
A questo punto col sequente di sinistra della biforcazione in (6) proseguiamo nel modo seguente:
⇒ φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ¬ψ, φ hEC∧i ⇒ φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ¬ψ, φ, ¬φ ⇒ φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ¬ψ, φ, ψ h?, 142 (b◦ )i hEC∧i ⇒ φ ∧ ψ, φ, ψ, ¬φ ⇒ φ ∧ ψ, φ, ψ, ¬ψ h?, 142 (b◦ )i h?, 142 (b◦ )i Analogamente, col sequente di destra della biforcazione in (6) proseguiamo così:
ψ ⇒ φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ¬ψ hEC∧i ψ ⇒ ¬φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ¬ψ, φ ψ ⇒ ¬φ ∧ ψ, ¬φ ∧ ¬ψ, ψ hEC∧i ? ψ ⇒ ¬φ ∧ ¬ψ, φ, ¬φ ψ ⇒ ¬φ ∧ ¬ψ, φ, ψ h?, 142 (b◦ )i ? → ◦ A seguire ecco la a-prova del ritorno di L 15 . (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ) ⇒ φ → ψ hEC →i φ, (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ) ⇒ ψ h∨EAi φ ∧ ψ, φ ⇒ ψ (¬φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ) , φ ⇒ ψ h∧EAi h∨EAi φ, ψ, φ ⇒ ψ ¬φ ∧ ψ, φ ⇒ ψ ¬φ ∧ ¬ψ, φ ⇒ ψ ? h∧EAi h∧EAi ¬φ, ψ, φ ⇒ ψ ¬φ, ¬ψ, φ ⇒ ψ h?, 142 (a)i h?, 142 (a)i → ◦ → Le facili a-prove delle leggi L 16 e L 17 sono lasciate come esercizio. In ne, la → legge L 18 si ricava facilmente e stabilisce che è valida l'inferenza della negazione di un condizionale dall'antecedente e la negazione del conseguente come premesse.
4.5.6. Leggi del bicondizionale .
Veniamo in ne ad alcune leggi basilari
che hanno come protagonista il connettivo del bicondizionale.
4. SEQUENTI
110
a. φ ⇔? φ b. ⇒? φ ↔ φ
L↔ 1. L↔ 2. L↔ 3.
φ ↔ ψ ⇔? ψ ↔ φ a. φ ↔ ψ, ψ ↔ χ ⇒? φ ↔ χ b. φ ↔ ψ, ψ ↔ χ, φ ⇒? χ c. φ ↔ ψ, ψ ↔ χ, χ ⇒? φ a. φ ↔ ψ ⇒? φ → ψ b. φ ↔ ψ ⇒? ψ → φ φ → ψ, ψ → φ ⇒? φ ↔ ψ φ ↔ ψ ⇔? (φ → ψ) ∧ (ψ → φ) ⇒ (φ → ψ) ∧ (ψ → φ) , φ, ψ φ ↔ ψ ◦ ⇔? ¬φ ↔ ¬ψ ¬φ ↔ ψ ◦ ⇔? ¬ (φ ↔ ψ) φ ↔ ψ ⇔?◦ (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ) ¬ (φ ↔ ψ) ⇔?◦ (φ ∨ ψ) ∧ ¬ (φ ∧ ψ) φ ∨ ψ ◦ ⇔? φ ↔ (ψ → φ) φ → ψ ⇔? φ ↔ (φ ∧ ψ)
L↔ 4. L↔ 5. L↔ 6. L↔ 7◦ . L↔ 8◦ . L↔ 9◦ . L↔ 10◦ . L↔ 11◦ . L↔ 12◦ . L↔ 13.
L↔ 1, L↔ 2 e L↔ 3 (a) di ri essività, simmetria e transitività del bicondi-
Le proprietà
zionale risultano in modo più o meno immediato dai sequenti principali in teor146. La prova di
L↔ 3 (b)
è lasciata come esercizio (quella di
L↔ 3 (c)
è ovviamente
analoga). Le prove delle leggi
L↔ 4 e L↔ 5 (che stabiliscono che da un bicondizionale sono
deducibili i rispettivi condizionali) sono immediate usando i sequenti principali
a
b
teor146( )-( ).
Ed è immediata anche la prova della legge
L↔ 6
(che stabilisce
che un bicondizionale è equivalente alla congiunzione dei rispettivi condizionali), usando
EC ↔
b
e teor145( ).
Possiamo ora utilizzare
d
L↔ 6
per giusti care il circoletto applicato al sequente
principale teor146( ). Consideriamo infatti una prova analitica di chiusura per la legge logica
L↔ 7◦ :
⇒ (φ → ψ) ∧ (ψ → φ) , φ, ψ hEC∧i ⇒ φ → ψ, φ, ψ ⇒ ψ → φ, φ, ψ h?, 145 (a◦ )i h?, 145 (a◦ )i
(7)
L↔ 6 (e a teor168 sul rimpiazzamento di equivalenti) la legge L↔ 7◦ è del ◦ tutto equivalente a teor146(d ) e ha dipendenza deduttiva da teor145(a ). Ne ◦ risulta che teor146(d ) dipende deduttivamente da teor145(a ) ed è quindi una
In base a
legge classica. A seguire vediamo che è una legge classica l'equivalenza zionale e quello formato dalle negazioni dei suoi costituenti:
φ ↔ ψ ⇒ ¬φ ↔ ¬ψ hEC ↔i ¬φ, φ ↔ ψ ⇒ ¬ψ ¬ψ, φ ↔ ψ ⇒ ¬φ hEC¬i hEC¬i ψ, ¬φ, φ ↔ ψ ⇒ φ, ¬ψ, φ ↔ ψ ⇒ h¬EAi h¬EAi ψ, φ ↔ ψ ⇒ φ φ, φ ↔ ψ ⇒ ψ h?, 146 (a)i h?, 146 (a)i
L↔ 8 ◦
tra un bicondi-
4.5. PROVE DI LEGGI ENUNCIATIVE
111
¬φ ↔ ¬ψ ⇒ φ ↔ ψ hEC ↔i φ, ¬φ ↔ ¬ψ ⇒ ψ ψ, ¬φ ↔ ¬ψ ⇒ φ h↔ EAi h↔ EAi ¬φ, ¬ψ, φ ⇒ ψ φ ⇒ ψ, ¬φ, ¬ψ ¬φ, ¬ψ, ψ ⇒ φ ψ ⇒ φ, ¬φ, ¬ψ h?, 142 (a)i h?, 142 (b◦ )i h?, 142 (a)i h?, 142 (b◦ )i Ecco la a-prova di chiusura per il bicondizionale corrispondente a
L↔ 9 ◦ :
⇒¬ (φ↔ψ)↔(¬φ↔ψ) hEC↔i ¬ (φ↔ψ)⇒¬φ↔ψ hEC↔i ¬φ, ¬ (φ↔ψ)⇒ψ ψ, ¬ (φ↔ψ)⇒¬φ h¬2 EAi hEC¬i ⇒ψ, φ, φ↔ψ φ, ψ, ¬ (φ↔ψ)⇒ h?, 146 (d)i h¬EAi φ, ψ⇒φ↔ψ h?, 146 (c)i
¬φ↔ψ⇒¬ (φ↔ψ) h↔EAi ¬φ, ψ⇒¬ (φ↔ψ) ⇒¬ (φ↔ψ) , ¬φ, ψ hEC¬i hEC¬2 i φ↔ψ, ¬φ, ψ⇒ φ, φ↔ψ⇒ψ h¬EAi h?, 146 (a)i φ↔ψ, ψ⇒φ h?, 146 (b)i
Mostriamo ora che risulta una legge classica anche la de nibilità
21
L↔ 10◦
del bicon-
dizionale in termini di negazione, congiunzione e disgiunzione:
φ↔ψ⇒(φ∧ψ)∨(¬φ∧¬ψ) hEC∨i φ↔ψ⇒φ∧ψ, ¬φ∧¬ψ h↔EAi φ, ψ⇒φ∧ψ, ¬φ∧¬ψ ⇒φ∧ψ, ¬φ∧¬ψ, φ, ψ hEC∧i hEC∧i φ, ψ⇒¬φ∧¬ψ, φ φ, ψ⇒¬φ∧¬ψ, ψ ⇒φ∧ψ, φ, ψ, ¬φ ⇒φ∧ψ, φ, ψ, ¬ψ ? ? h?, 142 (b◦ )i h?, 142 (b◦ )i
(φ∧ψ)∨(¬φ∧¬ψ)⇒φ↔ψ h∨EAi φ∧ψ⇒φ↔ψ ¬φ∧¬ψ⇒φ↔ψ h∧EAi h∧EAi φ, ψ⇒φ↔ψ ¬φ, ¬ψ⇒φ↔ψ h?, 146 (c)i h¬EA2 i ⇒φ↔ψ, φ, ψ h?, 146 (d)i Sono lasciate come esercizio le a-prove per la legge
L↔ 11◦
di de nibilità della ne-
gazione di un bicondizionale da negazione, congiunzione e disgiunzione. Lo stesso vale per
L↔ 12◦
e
L↔ 13.
Esercizio 159. φ ∧ ψ → (χ ↔ ϕ) ⇒? φ ∧ χ → (ψ → ϕ). 4.5.7. Derivazioni nel sistema analitico. A volte viene data un'interpretazione dei metodi analitici di prova come semantici e dei metodi sintetici di prova come con gurazionali o sintattici. Come ogni sempli cazione, anche questa ha la sua utilità e i suoi difetti. È certo un modo di sottolineare che i metodi di prova sono diversi, ma è meno utile se nisce per signi care che i metodi analitici sono prove semantiche mentre quelli sintetici sono prove sintattiche. Sono, più semplicemente, tipi di prova diversi, come mostrano le loro proprietà di inversione.
21 Cfr.
la tautologia T67 di
3.2.
Il
4. SEQUENTI
112
metodo sintetico ha la struttura di una prova deduttiva diretta. Quello analitico ha la struttura di una prova deduttiva per assurdo.
Derivazioni.
Cap6
Vedremo in
che, oltre alle regole di Aggiunta (cfr.
lem-
ma147), anche quelle operazionali di introduzione e il Taglio (cfr. teor196) sono
derivabili
in
Gae
nel senso della de nizione seguente:
De nizione 160. Λ hRegi Θ
è
derivabile
anche le formule in
Dato un sistema formale di prova in
Θ,
T
se ogniqualvolta
dove
Λ
e
Θ
T`
T = hL, T` i,
prova le formule in
sono sequenze di formule in
Λ,
una regola
allora
T`
prova
L.
Dato che le regole operazionali di introduzione e quelle strutturali di Aggiunta e Taglio conducono da teoremi di
Gae
Gae
sequenti abbiano prove di chiusura. di
a teoremi di
Gae,
si possono costruire in
prove deduttive a partire da sequenti-stella, ovvero dall'assunzione che certi
derivazione
De niamo allo scopo un'opportuna nozione
che speci ca procedure di prova in
Gae
che sono deduttive e non
analitiche. Per indicare insiemi qualunque di sequenti usiamo lettere
De nizione 161.
Una
derivazione
in
Gae
X, Y, Z .
è una successione in forma d'albero di
sequenti tale che il sequente iniziale di ogni ramo è un sequente-stella o l'assunzione di un sequente, e ogni nodo dell'albero è l'applicazione di una delle regole di
Gae. Se le assunzioni nella derivazione sono i sequenti di un Γ ⇒ ∆ è il sequente terminale della derivazione, diciamo che Γ ⇒ ∆ è derivabile in Gae. Una prova deduttiva in Gae è una derivazione dove X è vuoto, e una i-prova in Gae è una prova deduttiva nella quale non è usata la regola Tg. inferenza derivate di
insieme
X
e
Le dimostrazioni in
Gae
delle leggi logiche nelle sezioni precedenti avrebbero
quindi potuto avvalersi di procedure deduttive per ottenere sia teoremi che ulteriori regole derivate (quindi risultati generali sulla derivabilità nella logica enunciativa classica). In questa sezione vedremo appunto qualche esempio di procedure deduttive derivate in
Gae.
Nel costruire derivazioni useremo sezioni
? Γ⇒∆ per indicare che un sequente
hni Γ⇒∆
Γ ⇒ ∆
ip Γ⇒∆
è autorizzato, rispettivamente:
sequente-stella, in quanto teorema etichettato/numerato
in quanto
n, in quanto assunzione di
un sequente.
Contesti variabili.
Iniziamo mostrando che è inessenziale, per le regole di in-
troduzione dello schema generale di enunciate con
IC∧
contesto costante.
4.1
che sono a biforcazione, che esse siano
Ad esempio, nei sequenti superiori della regola
i parametri di contesto sono gli stessi:
Γ ⇒ ∆, φ Γ ⇒ ∆, ψ hIC∧i Γ ⇒ ∆, φ ∧ ψ Costruiamo ora la seguente derivazione in
Gae:
4.5. PROVE DI LEGGI ENUNCIATIVE
113
ip ip Γ ⇒ ∆, φ Λ ⇒ Θ, ψ hAgA, CAgi hAgA, CAgi Λ, Γ ⇒ ∆, Θ, φ Λ, Γ ⇒ ∆, Θ, ψ hIC∧i Λ, Γ ⇒ ∆, Θ, φ ∧ ψ IC∧ e di Aggiunta) risulta Γ ⇒ ∆, φ e Λ ⇒ Θ, ψ sono provabili in Gae, allora anche il sequente Λ, Γ ⇒ ∆, Θ, φ ∧ ψ è provabile in Gae. Così in base a def160 è derivabile in Gae la seguente variante di IC∧ a contesto variabile : Γ ⇒ ∆, φ Λ ⇒ Θ, ψ IC0 ∧ Λ, Γ ⇒ ∆, Θ, φ ∧ ψ Da questa derivazione (che fa uso delle regole derivabili che, se i sequenti
Lo stesso vale per le altre regole di introduzione a biforcazione dello schema generale
4.1 (un facile esercizio): Esercizio 162. In Gae sono derivabili regole operazionali di biforcazione IC0 ∧, ∨IA0 , di
→ IA0 , ↔ IA0
e
IC0 ↔
a contesti variabili.
Regole derivate per la negazione. struire in
Gae
Usando
L¬ 1,
a
teor142( ) e
Tg
è facile co-
una derivazione che restituisce la seguente regola derivabile per la
negazione (che corrisponde alla usuale regola di eliminazione della negazione nei sistemi di prova a deduzione naturale, cfr.
7.3):
Γ ⇒ φ Θ ⇒ ¬φ hRE¬i Γ, Θ ⇒ ψ Consideriamo poi la seguente derivazione:
Essa ci
ip φ, Γ ⇒ ∆, ψ ip hIC →i hL¬ 5i φ, Γ ⇒ ∆, ¬ψ Γ ⇒ ∆, φ → ψ φ → ψ, φ → ¬ψ ⇒ ¬φ hIC →i hTgi Γ ⇒ ∆, φ → ¬ψ φ → ¬ψ, Γ ⇒ ∆, ¬φ hTg, CtA, CCti Γ ⇒ ∆, ¬φ ¬ mostra che della legge L 5 si può dare una versione φ, Γ ⇒ ∆, ψ φ, Γ ⇒ ∆, ¬ψ hRI¬i Γ ⇒ ∆, ¬φ
come regola derivabile (che corrisponde alla usuale regola di introduzione della negazione nei sistemi di prova a deduzione naturale, cfr.
Esercizio 163.
La regola
7.3).
Derivare la regola seguente:
¬φ, Γ ⇒ ∆, ψ ¬φ, Γ ⇒ ∆, ¬ψ hRE◦ ¬i Γ ⇒ ∆, φ
RE◦ ¬ ha la forza della doppia negazione classica, come mostra la seguente
i-prova immediata:
4. SEQUENTI
114
? ? ¬¬φ, ¬φ ⇒ ¬φ ¬¬φ, ¬φ ⇒ ¬¬φ hRE◦ ¬i ¬¬φ ⇒ φ
Condizionali contraddittori. (8)
Mostriamo ora che per l'andata
?
φ → ψ ∧ χ ⇒ (φ → ψ) ∧ (φ → χ)
della legge
L∧ 5
si può dare in
Gae
la seguente i-prova:
? ? ψ, χ, φ ⇒ ψ ψ, χ, φ ⇒ χ ? h∧IAi ? h∧IAi φ ⇒ ψ, φ ψ ∧ χ, φ ⇒ ψ φ ⇒ χ, φ ψ ∧ χ, φ ⇒ χ h→ IAi h→ IAi φ, φ → ψ ∧ χ ⇒ ψ φ, φ → ψ ∧ χ ⇒ χ hIC →i hIC →i φ→ψ∧χ⇒φ→ψ φ→ψ∧χ⇒φ→χ hIC∧i φ → ψ ∧ χ ⇒ (φ → ψ) ∧ (φ → χ) Dalla legge classica
L→ 11◦
si ricava facilmente usando
Tg
che un condizionale
contraddittorio ha l'antecedente valido e il succedente contraddittorio:
Esercizio 164.
Se
φ → ψ ⇒? χ ∧ ¬χ,
Regole derivate per la disgiunzione.
allora
⇒? φ
Della legge
e
ψ ⇒? .
L∨ 4 si può dare facilmente una
versione
Γ, φ ⇒ χ Θ, ψ ⇒ χ Λ ⇒ φ ∨ ψ hRE∨i Γ, Θ, Λ ⇒ χ a regola derivabile (che corrisponde alla eliminazione della disgiunzione nei sistemi di prova a deduzione naturale, cfr.
7.3).
A seguire, come altro esempio, ecco
la derivazione dal terzo escluso della tautologia (9)
((φ → ψ) → ψ) → φ ∨ ψ
o, se si vuole, del lato classico della legge
L∨ 10◦ :
h142 (a)i ¬φ, φ ⇒ ψ hIC →i h145 (b)i ¬φ ⇒ φ → ψ φ → ψ, (φ → ψ) → ψ ⇒ ψ h144 (b)i hTgi h144 (c)i φ⇒φ∨ψ ¬φ, (φ → ψ) → ψ ⇒ ψ ψ ⇒ φ ∨ ψ hAgAi hTgi φ, (φ → ψ) → ψ ⇒ φ ∨ ψ ¬φ, (φ → ψ) → ψ ⇒ φ ∨ ψ h∨IAi φ ∨ ¬φ, (φ → ψ) → ψ ⇒ φ ∨ ψ hIC →i φ ∨ ¬φ ⇒ ((φ → ψ) → ψ) → φ ∨ ψ
Rimpiazzamento di formule equivalenti.
L↔ 4
e
L↔ 5
come regole derivabili
Le seguenti sono versioni delle leggi
4.5. PROVE DI LEGGI ENUNCIATIVE
Γ ⇒ ∆, φ ↔ ψ hRE ↔i Γ ⇒ ∆, φ → ψ
Γ ⇒ ∆, φ ↔ ψ hRE ↔i Γ ⇒ ∆, ψ → φ
115
Γ ⇒ ∆, φ → ψ Γ ⇒ ∆, ψ → φ hRI ↔i Γ ⇒ ∆, φ ↔ ψ
(che corrispondono, rispettivamente, alle regole di eliminazione e di introduzione del bicondizionale nei sistemi di prova a deduzione naturale, cfr. leggi seguenti
7.3).
Le
L↔ 11-L↔ 14 stabiliscono che formule equivalenti danno provabilmente
luogo a forme logiche equivalenti.
Teorema 165. a. b. c. d.
φ ↔ ψ, ϕ ↔ χ ⇒? (φ ∧ ϕ) ↔ (ψ ∧ χ) φ ↔ ψ, ϕ ↔ χ ⇒? (φ ∨ ϕ) ↔ (ψ ∨ χ) φ ↔ ψ, ϕ ↔ χ ⇒? (φ → ϕ) ↔ (ψ → χ) φ ↔ ψ, ϕ ↔ χ ⇒? (φ ↔ ϕ) ↔ (ψ ↔ χ)
a
Dimostrazione. Vediamo come esempio una i-prova per ( ):
h146 (b)i h146 (b)i ψ, φ ↔ ψ ⇒ φ χ, ϕ ↔ χ ⇒ ϕ hIC∧i ψ, φ ↔ ψ, χ, ϕ ↔ χ ⇒ φ ∧ ϕ h∧IAi ψ ∧ χ, φ ↔ ψ, ϕ ↔ χ ⇒ φ ∧ ϕ
h146 (a)i h146 (a)i φ, φ ↔ ψ ⇒ ψ ϕ, ϕ ↔ χ ⇒ χ hIC∧i φ, φ ↔ ψ, ϕ, ϕ ↔ χ ⇒ ψ ∧ χ h∧IAi φ ∧ ϕ, φ ↔ ψ, ϕ ↔ χ ⇒ ψ ∧ χ
hIC ↔i φ ↔ ψ, ϕ ↔ χ ⇒ (φ ∧ ϕ) ↔ (ψ ∧ χ)
Le i-prove degli altri casi sono lasciate come esercizio.
Mostriamo ora una proprietà generale di rimpiazzamento delle formule deduttivamente equivalenti o, che è lo stesso, dei bicondizionali provabili. Per prima cosa, rimpiazzare formule deduttivamente equivalenti conserva la provabilità in
Gae:
Lemma 166. Se ⇒? φ e ψ ⇔? χ, allora ⇒? φ [ψ \ χ]. Dimostrazione. Per induzione sulla profondità di occorrenza di
[φ, 0, ψ], allora φ è ψ per def28(a ), e quindi il ⇓ [φ, n + 1, ψ] e supponiamo che il lemma valga
ψ
in
φ.
Se
⇓
risultato è immediato. Sia invece per occorrenze di profondità
≤ n.
Si danno allora i seguenti casi. Caso 1.
φ
è
¬ϕ
e quindi c'è una a-prova di chiusura
⇒ ¬ϕ hEC¬i ( ϕ⇒ Φ
b
Per def28( ) abbiamo che
Ψ : ϕ [ψ \ χ] ⇒ φ [ψ \ χ] = ¬ϕ [ψ \ χ]:
chiusura
. . .
⇓ [ϕ, n, ψ],
quindi per (IpInd) esiste una a-prova di
e allora la seguente è la a-prova cercata, dal momento che
⇒ ¬ϕ [ψ \ χ] ( hEC¬i ϕ [ψ \ χ] ⇒ Ψ Caso 2.
φ
è
ϕ1 ∧ ϕ2
. . .
e quindi c'è una a-prova di chiusura
4. SEQUENTI
116
Φ1
⇒ ϕ1 ∧ ϕ2 hEC∧i ( ) ⇒ ϕ1 ⇒ ϕ2 . . .
. . .
Φ2
c
⇓ [ϕ1 ∧ ϕ2 , n + 1, ψ] se ⇓ [ϕ1 , n, ψ] o ⇓ [ϕ2 , n, ψ]. Come ⇓ [ϕ1 , n, ψ], gli altri casi sono ovviamente analoghi. Così per esiste una a-prova di chiusura Ψ1 :⇒ ϕ1 [ψ \ χ] e allora la seguente è la cercata, dal momento che φ [ψ \ χ] = (ϕ1 ∧ ϕ2 ) [ψ \ χ] = ϕ1 [ψ \ χ] ∧ ϕ2 : ⇒ ϕ1 [ψ \ χ] ∧ ϕ2 hEC∧i ( ) ⇒ ϕ1 [ψ \ χ] ⇒ ϕ2 Ψ1 Φ2 . .
Per def28( ) abbiamo che esempio prendiamo (IpInd) a-prova
. .
. .
Gli altri casi sono un facile quanto utile esercizio.
lemma166 consente di generalizzare abbastanza facilmente il rimpiazzamento
di equivalenti a sequenti provabili qualsiasi. In primo luogo, da lemma166 usando
L↔ 1(a )
si ricava subito:
Corollario 167. Se ψ ⇔? χ, allora φ ⇔? φ [ψ \ χ]. ψ ⇔? χ e consideriamo un sequente provabile Γ ⇒? ∆. Prendiamo il rimpiazzamento Γ [ψ \ χ], in qualche formula φ ∈ Γ, di qualche occorrenza della formula ψ con χ. Per semplicità, supponiamo che sia solo φ ∈ Γ la formula interessata al ? rimpiazzamento: allora chiaramente, in base a cor167 usando Tg, da Γ ⇒ ∆ segue ? subito Γ [ψ \ χ] ⇒ ∆. La situazione è del tutto analoga anche se consideriamo il ? ? ? rimpiazzamento nel succedente: da Γ ⇒ ∆ e ψ ⇔ χ risulta Γ ⇒ ∆ [ψ \ χ]. Così, Sia ora
in generale:
Teorema 168. Se Γ ⇒? ∆ e ψ ⇔? χ, allora Γ [ψ \ χ] ⇒? ∆ [ψ \ χ].
CAPITOLO 5
Metateoria
5.1. Insiemi di Hintikka In base all'interpretazione a refutazione di 4.3.2 la costruzione di una prova analitica aperta terminata
Φ:Γ⇒∆
dice non solo che
Γ∆
ha contromodelli, ma
anche come sono costituiti. Lo si può vedere, in generale, associando ad ogni a-prova
Φ una classe Φ± di insiemi di formule nel modo indicato sotto da def170. Sappiamo infatti che per l'interpretazione a refutazione un sequente Γ ⇒ ∆ è costituito da un insieme Γ di formule vere e un insieme ∆ di formule false. Associamo quindi 1,0 ad ogni sequente la sua sezione [Γ ⇒ ∆] , costituita da tutte le formule in Γ e da tutte le negazioni delle formule in ∆:
De nizione 169.
[Γ ⇒ ∆]
1,0
= Γ ∪ ∆0 .
Estendiamo poi in modo naturale la nozione di sezione ai rami di prova e alle prove analitiche.
De nizione 170.
Sia
Ψ
un ramo di una a-prova
Φ.
Restano de nite nel modo
sezione Ψ1 , la 0-sezione Ψ0 , e la sezione Ψ1,0 :
seguente la 1-
a. Per ogni sequente Γ ⇒ ∆ in Ψ: Γ ⊆ Ψ1 e ∆0 ⊆ Ψ0 . b. Ψ1,0 = Ψ1 ∪ Ψ0 . c. Φ± è la classe delle sezioni Ψ1,0 di una a-prova Φ. Ψ1
Ψ considerate vere Ψ. Mentre 0 la 0-sezione Ψ contiene le negazioni delle formule nel ramo Ψ considerate false nella data prova analitica, in quanto occorrono nei succedenti dei sequenti in Ψ. 0 Da def169 risulta evidentemente che φ ∈ Γ e ¬φ ∈ ∆ per un sequente di chiusura 1,0 Γ [φ] ⇒ ∆ [φ], e quindi la sezione [Γ [φ] ⇒ ∆ [φ]] è un insieme incoerente. Come si vede, la 1-sezione
contiene tutte le formule del ramo
nella data a-prova, in quanto occorrono negli antecedenti dei sequenti in
Corollario 171. La sezione Ψ1,0 di un ramo chiuso Ψ è incoerente, e se Φ è una a-prova di chiusura, allora Φ± è una classe di sezioni incoerenti.
Quanto stabilito da cor171 si accorda perfettamente (in base all'interpretazione a
i
refutazione) con: ( ) il signi cato intuitivo della chiusura dei sequenti e dei rami di prova, ovvero che un sequente e un ramo chiusi corrispondono a valutazioni
ii ) il signi cato di una a-prova di chiusura, ovvero che la supposizione
impossibili, e (
di un contromodello conduce in ogni ramo a contraddizione. All'incoerenza delle sezioni di a-prove di chiusura corrisponde una proprietà non meno naturale di coerenza nel caso di rami e prove aperti. Consideriamo la a-prova
Ψ
tautologia
dell'esempio seguente, il cui sequente iniziale presenta la negazione della
(p ↔ q) → (p → q). 117
5. METATEORIA
118
Esempio 172.
⇒ ¬ ((p ↔ q) → (p → q)) hEC¬i (p ↔ q) → (p → q) ⇒ h→ EAi p→q⇒ ⇒ (p ↔ q) h→ EAi hEC ↔i q⇒ ⇒p p⇒q q⇒p ÷ ÷ ÷ ÷ Ψ1 Ψ2 Ψ3 Ψ4
Si vede che la a-prova di esemp172 non solo è aperta ma non ha neppure un ramo chiuso.
I rami in esemp172 sono numerati, e da def169 e def171 risulta che le
sezioni in esemp172 sono quelle speci cate in Tav.1.
Ψ11,0
Ψ1,0 2
Ψ1,0 3
Ψ1,0 4
Ψ11 : (p ↔ q) → (p → q) p→q q
Ψ12 : (p ↔ q) → (p → q) p→q
Ψ13 : (p ↔ q) → (p → q) p
Ψ14 : (p ↔ q) → (p → q) q
Ψ01 : ¬¬ (p ↔ q) → (p → q)
Ψ02 : ¬¬ (p ↔ q) → (p → q) ¬p
Ψ03 : ¬¬ (p ↔ q) → (p → q) ¬ (p ↔ q) ¬q
Ψ04 : ¬¬ (p ↔ q) → (p → q) ¬ (p ↔ q) ¬p
Tav.1 Non è di cile controllare che le sezioni sono tutte coerenti.
E ciò si accorda
perfettamente (in base all'interpretazione a refutazione) con:
j
( ) (
il signi cato intuitivo dei rami aperti ridotti, ovvero che corrispondono a un possibile assegnamento alle lettere enunciative;
jj )
il signi cato di una a-prova aperta, ovvero che la supposizione di un contromodello non conduce in qualche (o in nessun) ramo a contraddizione.
In particolare, si vede che le sezioni [HAt]
Ψi1,0
Per nessuna formula atomica
di Tav.1 sono insiemi
Ψ1,0 i
sono insiemi
[H¬¬]
Se
[H→]
Se
[H¬
Se
→] [H↔] [H¬ ↔]
Se Se
X
Ψ± .
Si vede anche che le
tali che:
¬¬φ ∈ X , allora φ ∈ X . φ → ψ ∈ X , allora o ψ ∈ X o ¬φ ∈ X . ¬ (φ → ψ) ∈ X , allora φ, ¬ψ ∈ X . φ ↔ ψ ∈ X , allora o φ, ψ ∈ X o ¬φ, ¬ψ ∈ X . ¬ (φ ↔ ψ) ∈ X , allora o φ, ¬ψ ∈ X o ¬φ, ψ ∈ X . 1
Consideriamo ora la prova analitica dell'esempio seguente.
1 In
tali che:
p: p, ¬p ∈ X .
Ma da Tav.1 non risulta solo la coerenza delle sezioni in sezioni
X
esemp173 e esemp174 sono omessi i riferimenti alle regole strutturali.
5.1. INSIEMI DI HINTIKKA
Esempio 173.
119
p ↔ (q ∨ ¬r) , p ∧ ¬q ⇒ q ∨ r hEC∨i p ↔ (q ∨ ¬r) , p ∧ ¬q ⇒ q, r h∧EAi p, ¬q, p ↔ (q ∨ ¬r) ⇒ q, r h↔ EAi p, q ∨ ¬r, ¬q ⇒ q, r p, ¬q ⇒ q, r, p, q ∨ ¬r h∨EAi ? q, p, ¬q ⇒ q, r ¬r, p, ¬q ⇒ q, r ? h¬EAi p, ¬q ⇒ q, r h¬EAi p ⇒ q, r ÷
La a-prova di esemp173 è costitutita da due rami chiusi e uno aperto, corrispondenti alle sezioni di Tav.2, dove con \ è marcata l'occorrenza di una formula e della sua negazione, per cui la sezione considerata è incoerente.
Ψ11,0
Ψ1,0 2
Ψ1,0 3
Ψ11 : p ↔ (q ∨ ¬r) p ∧ ¬q p ¬q \ q ∨ ¬r q\
Ψ12 : p ↔ (q ∨ ¬r) p ∧ ¬q p ¬q q ∨ ¬r ¬r
Ψ13 : p ↔ (q ∨ ¬r) p ∧ ¬q p\ ¬q
Ψ01 : ¬ (q ∨ r) ¬q ¬r
Ψ02 : ¬ (q ∨ r) ¬q ¬r
Ψ03 : ¬ (q ∨ r) ¬q ¬r ¬p \ ¬ (q ∨ ¬r)
Tav.2 Da Tav.2 si può apprezzare che la sezione coerente
Ψ1,0 2
è un insieme
tale che: [H∧]
Se
[H∨]
Se
φ ∧ ψ ∈ X, φ ∨ ψ ∈ X,
allora allora
φ, ψ ∈ X . o φ ∈ X o ψ ∈ X.
Consideriamo in ne la prova analitica dell'esempio seguente:
X
di formule
5. METATEORIA
120
Esempio 174.
p→¬r,q→(¬p→r)⇒q∧r,¬p∨q hEC∨i p→¬r,q→(¬p→r)⇒q∧r,¬p,q h→EAi ¬r,q→(¬p→r)⇒q∧r,¬p,q q→(¬p→r)⇒q∧r,¬p,q,p h¬EAi hEC¬i q→(¬p→r)⇒q∧r,¬p,q,r p,q→(¬p→r)⇒q∧r,q,p h→EAi ? ¬p→r⇒q∧r,¬p,q,r ⇒q∧r,¬p,q,r h→EAi hEC¬i r⇒q∧r,¬p,q,r ⇒q∧r,¬p,q,r p⇒q∧r,q,r ? hEC¬i hEC∧i p⇒q∧r,q,r p⇒q,r p⇒q,r hEC∧i ÷ ÷ p⇒q,r p⇒q,r ÷ ÷
La a-prova è costituita da due rami chiusi e da quattro rami aperti corrispondenti alle sezioni di Tav.3.
Ψ11,0
Ψ21,0
Ψ1,0 3
Ψ1,0 4
Ψ1,0 5
Ψ1,0 6
Ψ11 : p → ¬r q → (¬p → r) ¬r \ ¬p → r r\
Ψ12 : p → ¬r q → (¬p → r) p\ ¬r \ ¬p → r
Ψ13 : p → ¬r q → (¬p → r) ¬r ¬p → r p
Ψ14 : p → ¬r q → (¬p → r) ¬r p
Ψ15 : p → ¬r q → (¬p → r) ¬r p
Ψ16 : p → ¬r q → (¬p → r) ¬r p
Ψ01 : ¬ (q ∧ r) ¬ (¬p ∨ q) ¬¬p ¬q ¬r
Ψ02 : ¬ (q ∧ r) ¬ (¬p ∨ q) ¬¬p \ ¬q \ ¬r \
Ψ03 : ¬ (q ∧ r) ¬ (¬p ∨ q) ¬¬p ¬q ¬r
Ψ04 : ¬ (q ∧ r) ¬ (¬p ∨ q) ¬¬p ¬q ¬r
Ψ05 : ¬ (q ∧ r) ¬ (p ∨ q) ¬¬p ¬q
Ψ06 : ¬ (q ∧ r) ¬ (p ∨ q) ¬¬p ¬q
Tav.3 Qui si vede che le sezioni coerenti non solo confermano proprietà già individuate, ma sono anche insiemi [H¬∧]
Se
[H¬∨]
Se
X
di formule tali che:
¬ (φ ∧ ψ) ∈ X , ¬ (φ ∨ ψ) ∈ X ,
¬φ ∈ X o ¬ψ ∈ X . ¬φ, ¬ψ ∈ X .
allora o allora
Tutte queste considerazioni suggeriscono che i rami aperti delle prove analitiche
2
hanno sistematicamente le proprietà dei cosiddetti insiemi di Hintikka .
De nizione 175.
Un
insieme di Hintikka
è un insieme di formule tale che: [HAt],
[H¬¬], [H∧], [H∨], [H¬∧], [H¬∨], [H→], [H¬
→],
[H↔], [H¬
↔].
Che le sezioni determinate dai rami aperti delle prove analitiche abbiano le proprietà in def175 non è certo un caso, ma dipende direttamente dalle regole di eliminazione e dalle strutture degli alberi cui danno vita.
2 In
quanto isolati da Hintikka in [
94].
5.1. INSIEMI DI HINTIKKA
Φ
Una a-prova
121
ha ovviamente un solo ramo se contiene solo applicazioni di
regole di continuità.
La produzione di un nuovo ramo dipende infatti dall'appli-
cazione di qualche regola di biforcazione.
Ψ sia un ramo Ψ risulti da qual-
Supponiamo ora che
terminato aperto, così che nessuna regola è più applicabile, e che
che biforcazione. E supponiamo che una formula che è premessa di una regola di continuità occorra in un sequente in
Ψ
nell'antecedente di un sequente in
Ψ.
Ad esempio, che la formula
φ∧ψ
occorra
prima della biforcazione che caratterizza
Ψ:
| . . .
Γ, φ ∧ ψ, Θ ⇒ ∆ . . .
Ω Ψ Essendo
Ψ
φ∧ψ
terminato, la formula
non può occorrere nel suo sequente nale,
quindi deve essere stata scomposta in qualche applicazione della regola
∧EA
l'applicazione di quindi: o
∧EA
φ∧ψ
è applicata a
entrambi i rami
Ω
e
Ψ
dopo la biforcazione tra di un sequente in
∧EA. Ora, Ω e Ψ, e
non può essere all'origine della biforcazione tra
prima della biforcazione del ramo, e in tal caso
ereditano sia
Ω
e
Ψ,
Ψ. A fortiori,
φ
che
ψ;
φ
che
il ragionamento vale
nell'antecedente di un sequente in
∧EA è applicata a φ ∧ ψ ψ stanno nell'antecedente se la formula φ ∧ ψ occorre
oppure
e in tal caso sia
Ψ | . . .
Ω Ψ . . .
Λ, φ ∧ ψ, Λ0 ⇒ ∆ . . . dopo la biforcazione che caratterizza
Ψ.
Questo ragionamento chiaramente è adat-
tabile a tutte le regole di continuità, e quindi:
Fatto 176. La sezione Ψ1,0 di un ramo Ψ aperto terminato in una prova analitica veri ca le condizioni
,
,
[H∧] [H¬∨] [H¬
Passiamo alle regole di biforcazione. essere che
Ψ,
φ∧ψ
occorra in
e in tal caso se
EC∧
Ψ
→].
EC∧. Così può Ψ che caratterizza Ω e Ψ, allora o φ o ψ
Consideriamo ad esempio
prima della biforcazione tra
Ω
è proprio la regola di biforcazione tra
occorrono in un succedente di un sequente in
e
Ψ:
| . . .
Γ ⇒ ∆, φ ∧ ψ, ∆0 Ω Ψ Se invece
EC∧ Ψ
occorrere in
non è la regola di biforcazione tra sotto tale biforcazione
Ω
e
Ψ,
allora
φ∧ψ
continua ad
5. METATEORIA
122
| . . .
Ω Ψ . . .
Λ ⇒ Θ, φ ∧ ψ, Θ0 . . . dove, essendo
Ψ terminale, φ∧ψ deve essere scomposta in qualche altra biforcazione, φ e ψ occorrono in succedenti di sequenti in Ψ. È
e quindi anche in questo caso
chiaro che ragionamenti analoghi valgono per tutte le regole di biforcazione, e quindi otteniamo:
Fatto 177. La sezione Ψ1,0 di un ramo Ψ aperto terminato di una prova analitica veri ca le condizioni
,
,
,
,
[H¬∧] [H∨] [H→] [H↔] [H¬
↔].
Possiamo ora stabilire un risultato generale sui rami aperti ridotti delle prove analitiche.
Lemma 178. Se Ψ è un ramo aperto ridotto di una prova analitica, allora Ψ1,0 è
un insieme di Hintikka.
Dimostrazione. In base a def175 si danno i seguenti casi.
p, ¬p ∈ Ψ1,0 . Siccome p è atomica e Ψ è ridotto, p sta nel sequente nale Γ ⇒ ∆ di Ψ. Se è Γ ⇒ ∆ [p], allora ¬p non può stare in un succedente di un sequente in Ψ, perché in tal caso sarebbe anche Γ [p] ⇒ ∆ [p], contro l'ipotesi che Ψ sia aperto. Quindi deve essere Γ [p] ⇒ ∆ il sequente nale, e (analogamente) ¬p non può stare in un antecedente di un sequente in Ψ, e lo stesso vale per ¬p in un succedente, così che al massimo ¬¬p sta in un succedente. In 1,0 ogni caso, quindi, non vale p, ¬p ∈ Ψ . 1,0 1 0 Per [H¬¬]. Sia ¬¬φ ∈ Ψ . Può essere solo che o ¬¬φ ∈ Ψ o ¬¬φ ∈ Ψ , e in 1,0 entrambi i casi essendo Ψ terminato avremo che φ ∈ Ψ . Per le altre condizioni, v. fatto176 e fatto177. Per [HAt].
Supponiamo che
5.2. Completezza Nei due capitoli precedenti è stato prima costruito il sistema formale analitico
Gae
per la logica enunciativa e dai suoi principi di prova sono state poi dimostrate
diverse leggi logiche. È tempo ora di vedere che il sistema
Gae
è adeguato non solo
a farci conoscere meglio la logica enunciativa (classica), ma anche a caratterizzarla compiutamente.
Non è di cile stabilire quali proprietà di adeguatezza deve
soddisfare un sistema di prova perché si possa dire che esso caratterizza la logica enunciativa. Il campo della logica enunciativa è costituito da leggi di conseguenza logica - cioè relazioni sistema formale
Γ∆
caratterizza
che sussistono tra forme logiche enunciative: così un la logica enunciativa se
in qualche forma
ci restituisce
coi suoi teoremi tutte e sole le leggi della conseguenza logica enunciativa. In questo senso il sistema formale teoremi
Γ ⇒? ∆
Gae
è già opportunamente equipaggiato: in eetti, i suoi
intendono in modo esplicito rappresentare direttamente relazioni
di conseguenza logica enunciativa.
5.2. COMPLETEZZA
5.2.1. Coerenza.
In base a considerazioni
123
intuitive, in 4.3 un teorema Γ ⇒?
∆ di Gae è stato considerato una prova dell'esistenza di una relazione di conseguenza logica enunciativa Γ ∆ tra le sequenze di formule Γ e ∆ (secondo l'interpretazione congiuntiva di Γ e disgiuntiva di ∆). Abbiamo poi dimostrato formalmente con teor137 che tali considerazioni erano fondate: il sistema Gae è corretto, ovvero ogniqualvolta (*) esiste in
Gae
una a-prova di chiusura
siamo autorizzati a stabilire che
Γ ∆.
Φ:Γ⇒∆
Dal fatto che il sistema
Gae
prova
solo
teoremi che rappresentano istanze corrette di conseguenza logica enunciativa segue direttamente la sua
coerenza formale
nel senso seguente: non esiste una formula
P tale che ⇒? φ e ⇒? ¬φ. Che tale proprietà si possa intendere come la coerenza di Gae è naturalmente autorizzato dalla rappresentabilità ? ? ∧ ∨ 3 di Γ ⇒ ∆ nella forma ⇒ Γ → ∆ . Ma si può fare ancora meglio. Supponiamo che Gae sia formalmente incoerente: in tal caso risulta facilmente che avremmo anche `Gae ⇒. Ora, le regole del sistema enunciativa nel linguaggio
proprietà discendente della sottoformula :
analitico hanno la
tutte le formule occor-
renti nel sequente inferiore - o nel sequente inferiore sinistro o destro - di una regola sono sottoformule delle formule occorrenti nel sequente superiore. Da ciò segue in
Gae
particolare che non può esservi in
Teorema 179.
(Coerenza di
una a-prova di chiusura del sequente vuoto:
Gae) 0Gae ⇒.
Siccome teor179 è incompatibile con l'incoerenza formale di stabilire la coerenza di
Gae,
esso equivale a
Gae.
5.2.2. Un esercizio sulla Correttezza. cor171 per dimostrare
immediatamente
Si osservi che non possiamo usare
la correttezza delle a-prove di chiusura:
tutto quel che sappiamo con cor171 è (la cosa piuttosta ovvia) che a tutti i rami di una a-prova di chiusura con sequente iniziale incoerenti. incoerente
Γ ⇒ ∆
corrispondono sezioni
Ma quel di cui avremmo bisogno per ottenere
Γ ∪ ∆0 .
Corollario 180.
Γ ∆
è che risulti
In eetti da cor101 e def169 segue ovviamente:
Γ ∆ se e solo se Γ ∪ ∆0 è incoerente.
cor180 suggerisce un altro percorso naturale per dimostrare la correttezza di
Gae.
Utilizzando la nozione di sezione incoerente si stabilisce che, dal fatto che tutti i rami di una prova di chiusura la sezione
[Γ ⇒ ∆]
1,0
Φ:Γ⇒∆
hanno sezioni incoerenti, segue che anche
è incoerente. Una volta stabilito questo risultato nel seguente
lemma181 - la dimostrazione è lasciata come utile esercizio -, usando cor180 si
ottiene immediatamente la correttezza di
Lemma 181.
Gae.
Se Φ : Γ ⇒ ∆ è una a-prova di chiusura in è incoerente.
(Lemma di Correttezza)
Gae, allora la sezione [Γ ⇒ ∆]
1,0
5.2.3. Completezza, caratterizzazione della logica enunciativa.
Per
Gae caratterizza adeguatamente la logica enunciativa occorre mostrare che Gae è anche completo, cioè vale (*) ogniqualvolta Γ ∆. Naturalmente si pone subito un problema già incontrato in 3.6: una relazione Γ ∆ può
stabilire che il sistema
sussistere anche tra un un antecedente e/o un conseguente non niti, mentre un sequente
Γ⇒∆
nel linguaggio
P⇒
di
Gae
è sempre nito. Limiteremo quindi per il
momento la questione della completezza di
3 Cfr.
cor151(a ).
Gae alla conseguenza enunciativa nita :
5. METATEORIA
124
Teorema 182.
(Teorema di Completezza)
Se Γ ∆, allora `Gae Γ ⇒ ∆.
In realtà dimostriamo teor182 per contrapposizione: (**) se una prova analitica
Φ:Γ⇒∆
in
Gae
è aperta, allora
Γ 2 ∆.
Γ 2 ∆ è equivalente all'asserzione che Γ∪∆0 è coerente, ovvero che Γ ∪ ∆ ha un modello. Supponendo che esista una a-prova Φ : Γ ⇒ ∆ 0 aperta, si mostra che è de nibile un assegnamento v modello di Γ ∪ ∆ . Sia dunque Φ : Γ ⇒ ∆ una a-prova aperta, per cui Φ ha almeno un ramo Ψ ridotto aperto. Applicando lemma178 si ottiene che al ramo aperto ridotto Ψ corrisponde una 1,0 sezione Ψ che è un insieme di Hintikka. Dimostriamo ora il seguente risultato: Usando cor180, l'asserzione
0
Teorema 183. ha un modello.
(Teorema del Modello)
Dimostrazione. Se
v
tale che:
v(p) = V
grado delle formule
X
a
è un insieme di Hintikka, si de nisce un assegnamento
se e solo se
p ∈ X.
Mostriamo poi che
v X
per induzione sul
φ ∈ X.
Caso 0. Per de nizione, se Caso 1. Se
Se X è un insieme di Hintikka, allora X
¬p ∈ X ,
b
allora
φ
è una formula atomica.
p∈ /X
per [HAt], da cui
v(p) 6= V
v ¬p
e quindi
per
def42( ) e cor44( ).
Caso 2. Se
v ¬¬φ
¬¬φ ∈ X ,
d
allora
φ∈X
φ ∧ ψ ∈ X , allora φ, ψ ∈ X v φ ∧ ψ per def42(c ).
Caso 3. Se da cui:
Caso 4. Se o
per [H¬¬], e quindi
per eserc45( ) e doppia negazione (T3 di
v ¬ψ
¬ (φ ∧ ψ) ∈ X ,
d
Caso 6. Se
v φ
e
v ψ
per (IpInd),
¬φ ∈ X o ¬ψ ∈ X per [H¬∧], e quindi v ¬φ v ¬φ ∨ ¬ψ per def42(d ), e in ne v ¬ (φ ∧ ψ) per
eserc45( ) e la tautologia T39 di
(IpInd), da
per [H∧], e quindi
per (IpInd), da cui:
allora o
per (IpInd), da cui:
Caso 5. Se
v φ
3.2).
3.2.
φ ∨ ψ ∈ X , allora o φ ∈ X o ψ ∈ X cui: v φ ∨ ψ per def42(d ).
per [H∨], e quindi
v φ
o
v ψ
per
¬ (φ ∨ ψ) ∈ X , allora ¬φ, ¬ψ ∈ X per [H¬∨], e quindi v ¬φ e v ¬ψ v ¬φ ∧ ¬ψ per def42(c ), e in ne v ¬ (φ ∨ ψ) per eserc45(d )
per (IpInd), da cui:
3.2.
e la tautologia T48 di
Casi 7-10. [Esercizio]
Così se una prova analitica Φ : Γ ⇒ ∆ è aperta, per qualche ramo aperto ridotto Ψ di Φ la sezione Ψ1,0 è coerente: ora, se v è un modello di Ψ1,0 allora è ovviamente 0 modello di Γ ∪ ∆ . Resta quindi dimostrato (**), e perciò anche il teorema di completezza: per ogni relazione Γ ∆ di conseguenza enunciativa nita esiste una ? prova analitica di chiusura corrispondente che stabilisce un teorema Γ ⇒ ∆. Dai risultati di correttezza e completezza segue che il sistema analitico di prova
Gae caratterizza adeguatamente la conseguenza logica enunciativa nita :
Corollario 184.
Per
Γ e ∆ niti : Γ ∆ se e solo se `Gae Γ ⇒ ∆.
Naturalmente segue anche che la nozione di prova analitica di chiusura in
caratterizza adeguatamente le tautologie :
Teorema 185.
(Teorema delle Tautologie)
φ se e solo se `Gap ⇒ φ.
Gae
5.3. FINITEZZA
5.2.4. Decidibilità.
125
Consideriamo un qualunque linguaggio enunciativo
3.4).
che sia espressivamente completo (cfr.
L
Ovviamente
V = {φ ∈ FoL | φ} , N = {φ ∈ FoL | 2 φ}
(1)
sono sottoinsiemi propri mutuamente esclusivi che partizionano esaustivamente l'insieme un
FoL
delle formule del linguaggio
metodo ricorsivo di decisione D
(2)
per ogni
L.
Diremo
tale che:
4
-decidibile
l'insieme
φ ∈ FoL , D determina se φ ∈ V o φ ∈ N . T di un sistema T = hL, T` i come de nito
Un dispositivo di prova
FoL
se esiste
in def117 è
un metodo semi-ricorsivo (o ricorsivamente enumerabile) di decisione se è completo per
V,
ossia: se
φ∈V,
allora
`T φ.
Ciò vale in particolare per il dispositivo
Gae `
riguardo alle a-prove di chiusura, come abbiamo visto nel teorema di completezza. Ma il dispositivo di prova di
Gae
produce anche prove analitiche per le formule
non tautologiche, determinando in particolare gli assegnamenti che le falsi cano.
Gae è un metodo semi-ricorsivo N . Consideriamo ora i due seguenti predicati ricorsivi: P (Φ, φ): Φ è una prova di chiusura di φ in Gae Q (Φ, φ): Φ è una prova aperta di φ in Gae.
Così una prova analitica aperta in l'insieme
di decisione per
Per quanto già detto vale:
φ ∈ V se e solo se ∃ΦP (Φ, φ) φ ∈ N se e solo se ∃ΦQ (Φ, φ) Chiaramente φ ∈ V vale se e solo se φ ∈ / N
e quindi sia il predicato
sua negazione sono ricorsivamente enumerabili, quindi di prova
Gae `
del sistema formale analitico
Gae
V
V
che la
è ricorsivo. Il dispositivo
è perciò un metodo ricorsivo di
decisione come richiesto da (2).
Teorema 186. L'insieme FoP è -decidibile, e in particolare il dispositivo di prova Gae ` è un metodo di decisione per FoP . Risulta così da questo teorema che la logica enunciativa classica è decidibile.
5.3. Finitezza Resta da chiedersi se la restrizione di nitezza in cor184 è superabile, cioè se
Gae è in grado di caratterizzare anche le relazioni di conseguenza logica Γ ∆ per Γ e ∆ non niti. In che modo, tuttavia, le prove analitiche in Gae possono rendere conto anche di relazioni Γ ∆ di conseguenza logica tra insiemi non niti di formule enunciative? Risulta piuttosto di cile pensare a Γ ∆ con Γ, ∆ non niti in termini di un sequente Γ ⇒ ∆. A prima vista sembra quindi disperata l'idea di stabilire, con prova analitica in Gae, se vale una tale relazione Γ ∆ di conseguenza logica, con Γ e ∆ non niti. il sistema
5.3.1. Compattezza. In realtà questo problema si può arontare indirettamente mostrando che la conseguenza logica enunciativa ha la proprietà della conseguenza nita, un risultato che è a sua volta un corollario del seguente teorema di compattezza :5 4
Sulla nozione di metodo ricorsivo, di predicato ricorsivamente enumerabile, ecc.
esempio Bellotti-Moriconi-Tesconi [
5 Chiamato
16].
si veda ad
di compattezza per le sue relazioni con un risultato in topologia relativo agli insiemi
compatti. Con X
⊆f Y
si indica che
X
è un sottoinsieme nito di
Y.
5. METATEORIA
126
Teorema 187. Un insieme Θ di formule enunciative ha un modello se e solo se ogni Λ ⊆f Θ ha un modello.6 In eetti, supponendo di aver dimostrato teor187 abbiamo subito il risultato seguente:
Corollario 188.
(Corollario della Conseguenza Finita)
se e solo se Θ Λ per qualche Θ ⊆f Γ e Λ ⊆f ∆.
Per Γ, ∆ non niti : Γ ∆
Dimostrazione. Per l'andata: supponiamo che sia
i Γ ∪ ∆0
In base a cor180, ( )
Γ ∆, con Γ, ∆ non niti.
Supponiamo per assurdo che, per
Λ ⊆f ∆ valga Θ 2 Λ. Sempre usando cor180, questo vuol Θ ⊆f Γ e Λ ⊆f ∆, Θ ∪ Λ0 è coerente. Ma da (ii ) per 0 teor187 segue che Γ ∪ ∆ ha un modello, contro (i ). Per il ritorno: è il lato banale, perché se per qualche Θ ⊆f Γ e Λ ⊆f ∆ vale Θ Λ, allora vale anche Γ ∆ per teor108(b 1-2).
qualunque
dire che: (
Θ ⊆f Γ
è incoerente.
ii )
e
per qualunque
Ciò stabilito, risulta immediatamente da cor188 e dai teoremi di correttezza e completezza la trattabilità nita della conseguenza logica enunciativa in termini di prove analitiche in
Gae:
Teorema 189.
(Teorema di Finitezza) Per Γ, ∆ ⊆ FoP : Γ ∆ se e solo se, per qualche Θ ⊆f Γ e Λ ⊆f ∆, vale `Gae Θ ⇒ Λ. Con teor189 resta stabilito che il sistema di prova
Gae
caratterizza (senza restri-
zioni al nito) la conseguenza logica enunciativa, correggendo il limite di cor184. Si osservi anche che teor187 e teor189 sono ricavabili l'uno dall'altro. passaggio da Compattezza a Finitezza lo abbiamo già visto.
Il
Per il passaggio al
teorema di Compattezza da quello di Finitezza usiamo la Completezza.
Fatto 190. Ricavabilità della Compattezza dalla Finitezza : Dimostrazione. L'andata di teor187 va da sola, in quanto se
allora
j
v Λ.
Per il ritorno, supponiamo che ( ) ogni
per assurdo che (
∆:
per qualche
e così per teor182 ogni
∆,
v Θ e , Λ ⊆ Θ,
abbia un modello, e
Θ non abbia invece un modello, così che in base a cor102 risulterà:
jj ) Θ ∆, per ogni ∆.
ogni
Λ ⊆f Θ
j
contro ( ).
Per il teorema di Finitezza, da (
jj ) segue allora che vale di
Λ ⊆f Θ e Γ ⊆f ∆ esiste in FoP una prova di chiusura Φ : Λ ⇒ Γ, vale anche Λ Γ. Quindi per teor108(b 2) risulta Λ ∆ per
5.3.2. Dimostrazione del teorema di Finitezza.
Siamo ora in debito di
prova o con il teorema di compattezza o con quello di nitezza. Per noi qui è più interessante il secondo, che ci obbliga a ragionare in termini di prove analitiche, ed
7
è quel che faremo usando con una certa liberalità strumenti che già conosciamo. Cominciamo dalla parte banale, ossia mostrare
j
Γ∆
( ) con (
jj )
6 La
Θ
Γ, ∆
non niti, supponendo che valga
Θ ⇒? Λ
per qualche
Θ ⊆f Γ
parte non banale della dimostrazione di
sotto l'assunzione che ogni
Λ ⊆f Θ
e
Λ ⊆f ∆ .
teor187 consiste nella costruzione di un modello per
abbia un modello. Cfr. ad esempio Manaster [
pp. 53-4. Per ulteriori approfondimenti su questo tema si veda
7 La
Cap16.
130], tr.
dimostrazione seguente del teorema di nitezza è sulla linea suggerita da Smullyan [
99].
anche Howson [
it.,
185], cfr.
5.3. FINITEZZA
jj )
Da (
j
127
usando il teorema di Correttezza otteniamo subito
Θ Λ,
e quindi anche
( ) per le proprietà di Aggiunta della conseguenza logica. La parte non banale è
jj )
ricavare (
8
j
da ( ).
Se ragionando per assurdo neghiamo (
jj ),
ne risulta che, per
Θ ⊆f Γ e Λ ⊆f ∆, non vale Θ ⇒? Λ. Ora, ogni sequente Θ ⇒ Λ, con Λ ⊆f ∆, è sottoponibile a prova analitica e, in base al fatto che non vale
qualunque
Θ ⊆f Γ e Θ ⇒? Λ, nessuna (
jjj )
di tali a-prove è chiusa. Il risultato generale è quindi:
per ogni
Θ ⊆f Γ
e
Λ ⊆f ∆
c'è in
Gae
Φ:Θ ⇒ Λ
una a-prova
aperta
ridotta.
jjj ) per costruire un'opportuna quasi-prova Φ∞
Si può utilizzare (
Θ ⊆f Γ e Λ ⊆f ∆ . φ0 , φ1 ,. . ., φm , ... ψ0 , ψ1 ,. . ., ψm , ...
ogni coppia di insiemi (1) (2)
in nita estesa ad
Innanzitutto, siano
enumerazioni, rispettivamente, di tutte le formule in
Γ e in ∆.
Φ∞
La (quasi)prova
che andiamo ora a de nire inizia col sequente
φ0 ⇒ ψ0
(3)
e consiste di un'in nità (ordinale numerabile) di gradini determinati nel modo seguente.
Φ∞
inizia con l'analisi di
φ0
e di
ψ0 ,
jjj )
che esiste in virtù di (
e contiene
rami aperti ridotti, i cui sequenti nali contengono solo lettere enunciative nell'antecedente e nel succedente ricavate in base alle regole di questo primo albero. In cima all'albero si aggiunga ora succedente, e si operi l'analisi di
φ1
e
ψ1 .
φ1
Gae.
Sia dunque
Φ0
ψ1
nel
nell'antecedente e
Anche questa analisi
Φ1
di
φ1 , φ0 ⇒ ψ0 , ψ1
(4)
ha in base a (
jjj )
rami aperti ridotti, i cui sequenti nali contengono solo lettere
enunciative nell'antecedente e nel succedente ricavate in base alle regole di processo può essere proseguito stabilendo che, per ogni numero naturale
Φn+1
n,
Gae.
Il
l'albero
di prova ha sequente iniziale
(5) con analisi
φn+1 , φn , . . . , φ1 , φ0 ⇒ ψ0 , ψ1 , . . . , ψn , ψn+1 di φn+1 e ψn+1 . In base a (jjj ), Φn+1 ha rami
aperti ridotti, i cui se-
quenti nali contengono solo lettere enunciative nell'antecedente e nel succedente
Φ∞ è la succesΦn . A questo punto si danno diverse possibilità relativamente alla complessità di Φ∞ . La prima è che Φ∞ abbia un solo ramo, che è quindi aperto, e ciò è possibile solo se tutte le formule in Γ e ∆ 0 sono atomiche: in tal caso ovviamente Γ ∪ ∆ è coerente, contro (j ) per cor180. 9 La seconda possibilità è che Φ∞ abbia un numero nito di rami: in questo caso,
ricavate in base alle regole di
Gae.
Naturalmente la (quasi)prova
sione numerabile ordinata di tutti gli alberi
per lemma178 e teor183, i rami aperti ridotti costituiscono altrettanti insiemi di Hintikka, sono coerenti e de niscono assegnamenti che sono modelli di
j
contro ( ) per cor180. Se in ne
Γ ∪ ∆0 ,
Φ∞ ha un numero in nito di rami, allora in Φ∞ ha anche un ramo in nito Ψ aperto.
al lemma di König (v. lemma641)
base Tale
ramo è chiaramente ridotto, quindi ancora per lemma178 e teor183 otteniamo un modello di
Γ ∪ ∆0 ,
j
contro ( ) per cor180. Termina così la dimostrazione del
teorema di nitezza.
8 Naturalmente anche questa parte della dimostrazione è banale se ammettiamo sequenti in niti, in base alle proprietà di Aggiunta nei sequenti provabili.
9 Ad
esempio, se è nito il numero di formule non atomiche tra quelle in
Γ
e in
∆.
CAPITOLO 6
Regole derivate, sistemi intuizionisti
6.1. Analisi e deduzione È evidente che le regole del sistema analitico della sottoformula.
1
Dalla completezza di
Gae
Gae hanno la proprietà discendente risulta così una proprietà generale
delle prove formali per le leggi logiche enunciative: per dimostrare che un sequente rappresenta una legge della conseguenza logica enunciativa non occorre niente di più di quanto è contenuto nelle forme logiche delle formule che costituiscono il sequente. Ciò ha conseguenze naturali anche per le prove deduttive. Da teor136 risulta che
Gae
quanto è provabile in
Gae
segue che i teoremi di
Corollario 191.
è anche provabile in
Gce
Gce,
mentre dalla completezza di
non possono essere più dei teoremi di
Gae,
e così:
`Gae Γ ⇒ ∆ se e solo se `Gce Γ ⇒ ∆, quindi Gce è completo.
Questo suggerisce subito che è su ciente una certa forma delle prove deduttive in
Gce,
costituita invertendo opportunamente le prove analitiche di chiusura in
Ad esempio, in casi come quello della a-prova (1) - relativa alla legge - la trasformazione (2) in una s-prova in
Gce
L¬ 3
di
Gae.
4.5.1
risulta strutturalmente l'inversa della
prova analitica:
(1)
⇒ ¬ (φ ∧ ¬φ) hEC¬i φ ∧ ¬φ ⇒ h∧EAi φ, ¬φ ⇒ h¬EAi φ⇒φ ?
φ⇒φ h¬IAi ¬φ, φ ⇒ h∧IAi φ ∧ ¬φ ⇒ hIC¬i ⇒ ¬ (φ ∧ ¬φ)
(2)
Gae sono però automaticamente trattabili tramite Gce o inversioni delle rispettive regole. Restano esclusi gli assiomi di inclusione di Gae e le applicazioni di CtA o CCt in una a-prova in Gae. In tutti questi casi, comunque, si può trasformare facilmente una a-prova in Gae in una sprova in Gce tramite corrispondenti applicazioni di AgA o CAg. Così ad ogni prova analitica Φ di chiusura in Gae corrisponde in modo sistematico una s-prova in Gce - che possiamo indicare con τ (Φ) - ottenuta trasformando Φ tramite inversione di ⊗EA in ⊗IA e di EC⊗ in IC⊗, e tramite applicazioni di AgA o CAg speculari ad assiomi di inclusione di Gae o applicazioni di CtA o CCt in Φ. Ne risulta: Non tutti i nodi di una a-prova in
assiomi di
(3) se
1 Tutte
`Gae Γ ⇒ ∆
con a-prova
Φ,
allora
`Gce Γ ⇒ ∆
con s-prova
τ (Φ).
le formule occorrenti nel sequente inferiore - o nel sequente inferiore sinistro o destro - di
una regola sono sottoformule delle formule occorrenti nel sequente superiore. 129
6. REGOLE DERIVATE, SISTEMI INTUIZIONISTI
130
Le
τ -trasformazioni di prove analitiche in s-prove in Gce sono interessanti in quanto Gce del sequente2 (4) φ → ψ ∧ ¬ψ ⇒ ¬φ
non prevedono l'uso del Taglio. Ad esempio, nel sistema
si può dare la seguente s-prova che fa uso della regola del Taglio:
φ ⇒ φ ψ ∧ ¬ψ ⇒ ψ ∧ ¬ψ h→ IAi φ, φ → ψ ∧ ¬ψ ⇒ ψ ∧ ¬ψ ψ ∧ ¬ψ ⇒ hTgi φ, φ → ψ ∧ ¬ψ ⇒ hIC¬i φ → ψ ∧ ¬ψ ⇒ ¬φ Una a-prova analitica Φ di chiusura per (4) insegna che è possibile una s-prova di (4) - la τ -trasformazione di Φ in Gce - che fa a meno del Taglio: ψ⇒ψ h¬IAi ¬ψ, ψ ⇒ h∧IAi φ ⇒ φ ψ ∧ ¬ψ ⇒ h→ IAi φ → ψ ∧ ¬ψ, φ ⇒ hIC¬i φ → ¬ψ ∧ ψ ⇒ ¬φ Ora, le regole utilizzate nelle τ -trasformazioni in Gce delle prove analitiche hanno la
proprietà ascendente della sottoformula :
tutte le formule occorrenti nel sequente
superiore - o nel sequente superiore sinistro o destro - di una regola sono sottoformule delle formule occorrenti nel sequente inferiore. Dalla completezza del sistema analitico segue così che, per dimostrare con metodo deduttivo che un sequente rappresenta una legge della conseguenza logica enunciativa, non occorre niente di più di quanto è contenuto nel sequente (cioè nelle forme logiche delle formule che lo costituiscono).
eliminabile
In particolare risulta che la regola del Taglio è
dalle
prove deduttive.
6.1.1. Inversione. sibile un'
inversione
Si può fare ancora meglio. Si dimostra infatti che è pos-
perfetta tra prove analitiche e prove deduttive e che non sono
necessarie regole strutturali - in sostanza, che si può fare a meno anche della regola di Contrazione. A questo scopo consideriamo un sistema analitico
Gae
G0ae che è come G0ce (nel lin-
ma non ha le regole di Contrazione, e anche un sistema sintetico
guaggio
P⇒ )
che adotta tutte e sole le regole di introduzione dello schema generale
4.1 e ha, come Gae, assiomi di inclusione ristretta: De nizione 192. G0ce ` è individuato da: AxInclR, ¬IA, IC¬, ∧IA, IC∧, ∨IA, IC∨, di
→ IA, IC →, ↔ IA, IC ↔.
Stabiliamo ora le proprietà generali di inversione negli antecedenti e nei succedenti delle prove analitiche in
G0ae
e delle s-prove in
teoremi useremo ` genericamente per stenza di una a-prova di chiusura in
G0ae
G0ae
e
G0ce,
G0ce.
Nei prossimi due
ad indicare cioè tanto l'esi-
quanto l'esistenza di una s-prova in
(naturalmente rimane costante il signi cato di ` in un dato contesto).
2 Che
è il ritorno della legge
L∧ 7
di
4.5.3.
G0ce
Come
6.1. ANALISI E DEDUZIONE
131
G0ae
utile esercizio, il primo teorema è dimostrato relativamente a relativamente a
G0ce.
Teorema 193.
(Inversione nell'antecedente)
e il secondo
a. `n ¬φ, Γ ⇒ ∆ se e solo se `≤n Γ ⇒ ∆, φ. b. `n φ ∧ ψ, Γ ⇒ ∆ se e solo se `≤n φ, ψ, Γ ⇒ ∆. c. `n φ ∨ ψ, Γ ⇒ ∆ se e solo se `≤n φ, Γ ⇒ ∆ e `≤n ψ, Γ ⇒ ∆. d. `n φ → ψ, Γ ⇒ ∆ se e solo se `≤n Γ ⇒ ∆, φ e `≤n ψ, Γ ⇒ ∆. e. `n φ ↔ ψ, Γ ⇒ ∆ se e solo se `≤n φ, ψ, Γ ⇒ ∆ e `≤n Γ ⇒ ∆, φ, ψ . Dimostrazione. Per induzione sul grado della prova in
G0ae.3
Da destra
a sinistra i risultati corrispondono alla derivabilità delle regole operazionali di
G0ae. Da sinistra a destra si danno i casi seguenti. Per (a )-(e ) con n = 0. Consideriamo il caso (a ) come esempio. Se ¬φ, Γ ⇒ ∆ è un assioma di G0ae, ¬φ non può essere la formula di chiusura perché non è atomica, quindi anche Γ ⇒ ∆, φ è un assioma. I casi (b )-(e ) sono del tutto analoghi. n+1 Per (a ) con n > 0. Sia Φ : ¬φ, Γ ⇒ ∆ una a-prova di chiusura. Se ¬φ è la formula principale della regola ¬EA che conduce alla sottoprova immediata di Φ, ovviamente Γ ⇒ ∆, φ ha una a-prova di grado ≤ n. Se ¬φ non è la formula principale e la regola interessata è di biforcazione, Φ ha sottoprove immediate Φ1 : ¬φ, Γ0 ⇒ ∆0 e Φ2 : ¬φ, Γ00 ⇒ ∆00 di grado ≤ n. Così per (IpInd) esistono a-prove di chiusura di grado ≤ n Φ11 : Γ0 ⇒ ∆0 , φ e Φ21 : Γ00 ⇒ ∆00 , φ, introduzione in
che sono a loro volta sottoprove immediate, per applicazione della stessa regola, di una a-prova di chiusura
Φ0 : Γ ⇒ ∆, φ
di grado
n + 1.
La dimostrazione è analoga
se la regola interessata è di continuità.
d
Φn+1 : φ → ψ, Γ ⇒ ∆ una a-prova di chiusura. Se φ → ψ è la formula principale della regola → EA che conduce alla sottoprova immediata di Φ, ovviamente Γ ⇒ ∆, φ e ψ, Γ ⇒ ∆ hanno a-prove di grado ≤ n. Se φ → ψ non è la formula principale e la regola interessata è di continuità, Φ ha una sottoprova
Per ( ) con
n > 0.
Sia
immediata
di
Φ1 : φ → ψ, Γ0 ⇒ ∆0 grado n. Così per (IpInd) esistono a-prove Φ11 : Γ0 ⇒ ∆0 , φ e Φ12 : ψ, Γ0 ⇒ ∆0 ,
di chiusura di grado
≤n
che sono a loro volta sottoprove immediate, per applicazioni della stessa regola, di a-prove di chiusura
Φ0 : Γ ⇒ ∆, φ
e
Φ00 : ψ, Γ ⇒ ∆
di grado
n + 1.
La dimostrazione
è analoga se la regola interessata è di biforcazione.
b
c
e
Per ( ), ( ), ( ) con
Teorema 194.
n > 0.
Un utile esercizio.
(Inversione nel succedente)
a. ` Γ ⇒ ∆, ¬φ se e solo se `≤n φ, Γ ⇒ ∆. n
b. `n Γ ⇒ ∆, φ ∧ ψ se e solo se `≤n Γ ⇒ ∆, φ e `≤n Γ ⇒ ∆, ψ . c. `n Γ ⇒ ∆, φ ∨ ψ se e solo se `≤n Γ ⇒ ∆, φ, ψ . 3 Le
dimostrazioni per
G0ce
risultano immediatamente da quelle per
G0ae.
6. REGOLE DERIVATE, SISTEMI INTUIZIONISTI
132
d. `n Γ ⇒ ∆, φ → ψ se e solo se `≤n φ, Γ ⇒ ∆, ψ . e. `n Γ ⇒ ∆, φ ↔ ψ se e solo se `≤n φ, Γ ⇒ ∆, ψ e `≤n ψ, Γ ⇒ ∆, φ. G0ce.4 Da destra a sinistra i risultati sono regole operazionali di introduzione in G0ce. Da sinistra a destra Dimostrazione. Per induzione sul grado di prova in
si danno i casi seguenti.
a
e
n = 0. Consideriamo il caso (a ) come esempio. Se Γ ⇒ ∆, ¬φ è un G0ce, ¬φ non può essere la formula di inclusione perché non è atomica, anche φ, Γ ⇒ ∆ è un assioma. I casi (b )-(e ) sono del tutto analoghi.
Per ( )-( ) con assioma di quindi
a
n > 0. Sia Ψn+1 : Γ ⇒ ∆, ¬φ una s-prova. Se ¬φ è la formula principale della regola IC¬ che inferisce dalla sottoprova immediata di Ψ, ovviamente φ, Γ ⇒ ∆ ha una s-prova di grado ≤ n. Se ¬φ non è la formula principale e la regola interessata è di biforcazione, Ψ risulta da sottoprove immediate
Per ( ) con
Ψ1 : Γ0 ⇒ ∆0 , ¬φ di grado
≤ n.
Ψ2 : Γ00 ⇒ ∆00 , ¬φ
e
Così per (IpInd) esistono s-prove di grado
0
Ψ11 : φ, Γ ⇒ ∆
0
00
Ψ21 : φ, Γ ⇒ ∆
e
00
≤n
,
che sono a loro volta sottoprove immediate, per applicazione della stessa regola, di una s-prova
Ψ0 : φ, Γ ⇒ ∆
di grado
n + 1.
La dimostrazione è analoga se la regola
interessata è di continuità.
c
Per ( ) con
n > 0.
cipale della regola
Γ ⇒ ∆, φ, ψ
Sia
Ψn+1 : Γ ⇒ ∆, φ ∨ ψ
IC∨
ha una s-prova di grado
regola interessata è di continuità,
0
una s-prova. Se
φ∨ψ
è la formula prin-
che inferisce dalla sottoprova immediata di
Ψ
≤ n.
Se
φ∨ψ
Ψ,
ovviamente
non è la formula principale e la
ha una sottoprova immediata
0
Ψ1 : Γ ⇒ ∆ , φ ∨ ψ di grado
≤ n.
Così per (IpInd) esiste una s-prova di grado
0
≤n
0
Ψ11 : Γ ⇒ ∆ , φ, ψ che è a sua volta sottoprova immediata, per applicazione della stessa regola, di una s-prova
Ψ0 : Γ ⇒ ∆, φ, ψ
di grado
n + 1.
La dimostrazione è analoga se la regola
interessata è di biforcazione.
b
d
e
Per ( ), ( ), ( ) con
n > 0.
Un utile esercizio.
Chiaramente, i due precedenti teoremi di Inversione riformulano in termini di
provabilità classica a sequenti
(analitica o deduttiva) le proprietà delle costanti
logiche enunciative già stabilite in termini
semantici
nel teorema fondamentale 110
della conseguenza logica.
6.1.2. Derivabilità delle regole di Contrazione.
Dai teoremi di Inversione
segue in particolare che le regole di Contrazione non sono aatto essenziali per le prove di leggi enunciative. Si dimostra infatti che quanto è provabile usando regole strutturali di Contrazione è provabile anche senza tali regole e con prove dello stesso grado. (Anche qui usiamo ` genericamente per
G0ae
e
G0ce.)
Teorema 195. Se vale
`n Λ, Λ, Γ ⇒ ∆, allora `n Λ, Γ ⇒ ∆; e se vale `n Γ ⇒ ∆, Θ, Θ, allora ` Γ ⇒ ∆, Θ. n
4 Le
dimostrazioni per
G0ae
risultano immediatamente da quelle per
G0ce.
6.1. ANALISI E DEDUZIONE
133
Dimostrazione. Per induzione simultanea sul grado delle a-prove di chiusura
Φ : Λ, Λ, Γ ⇒ ∆ e Ψ : Γ ⇒ ∆, Θ, Θ in G0ae.5 Se n = 0, il teorema è immediato. Per n > 1 il teorema segue facilmente se non stanno in Λ, e neppure in Θ, le formule principali delle inferenze che producono, rispettivamente, le sottoprove immediate di
Φ
e di
Ψ.
Supponiamo invece che stiano in
Λ,
oppure che stiano in
Θ,
le formule
principali delle inferenze che producono, rispettivamente, le sottoprove immediate di
Φ
Ψ. Si danno allora i seguenti casi. ¬EA. Λ = ¬φ, Λ0 e Φn+1 ha forma: ¬φ, Λ0 , Λ, Γ ⇒ ∆ ( 0h¬EAi Λ , Λ, Γ ⇒ ∆, φ Φ1 .
e di
Caso
. .
Φ1
≤ n,
così in base a teor193( ) risulta anche una a-prova:
di grado
Φ01
è di grado
≤ n.
n.
Φ11 : ¬φ, Λ0 , Γ ⇒ ∆, φ di grado Φ111 : Λ0 , Γ ⇒ ∆, φ, φ
dove
Per (IpInd) c'è una a-prova
a
A questa applichiamo ancora (IpInd),
6
ottenendo così la sottoprova
della a-prova di chiusura richiesta:
¬φ, Λ0 , Γ ⇒ ∆ ( h¬EAi Λ0 , Γ ⇒ ∆, φ Φ01 Caso
→ EA. Λ = φ → ψ, Λ0
. . .
Φn+1 ha forma: φ → ψ, Λ0 , Λ, Γ ⇒ ∆ h→ EAi ( 0 ) Λ , Λ, Γ ⇒ ∆, φ ψ, Λ0 , Λ, Γ ⇒ ∆
Φ1
e
. . .
Φ2
. . .
gr (Φ1 ) + gr (Φ2 ) = n. Per (IpInd) vi sono a-prove Φ11 : φ → ψ, Λ0 , Γ ⇒ ∆, φ 0 e Φ21 : ψ, φ → ψ, Λ , Γ ⇒ ∆ di grado ≤ n, quindi in base a teor193(d ) risultano anche le seguenti a-prove di chiusura di grado ≤ n: Φ111 : Λ0 , Γ ⇒ ∆, φ, φ e Φ211 : ψ, ψ, Λ0 , Γ ⇒ ∆. 7 A queste applichiamo ancora (IpInd), ottenendo così le due sottoprove Φ01 e Φ02 dove
della a-prova di chiusura richiesta:
φ → ψ, Λ0 , Γ ⇒ ∆ h→ EAi ( 0 ) Λ , Γ ⇒ ∆, φ ψ, Λ0 , Γ ⇒ ∆ Φ01 Casi
. . .
Φ02
. . .
∧EA, ∨EA, ↔ EA. Esercizio. EC∧. Θ = Θ0 , φ ∧ ψ e Ψn+1 ha forma: Γ ⇒ ∆, Θ, Θ0 , φ ∧ ψ hEC∧i ( ) Γ ⇒ ∆, Θ, Θ0 , φ Γ ⇒ ∆, Θ, Θ0 , ψ Ψ1 Ψ2 . .
Caso
. .
5 La dimostrazione per G0ce è analoga. 6 Qui si vede perché occorre un'induzione 7 Cfr. nota precedente.
. .
simultanea.
6. REGOLE DERIVATE, SISTEMI INTUIZIONISTI
134
gr (Ψ1 ) + gr (Ψ2 ) = n. Ψ21 : Γ ⇒ ∆, Θ0 , φ ∧ ψ, ψ
dove
Per (IpInd) vi sono a-prove
e
di grado
≤ n,
e
a
quindi in base a teor194( ) risultano
anche le seguenti a-prove di chiusura di grado
Ψ111 : Γ ⇒ ∆, Θ0 , φ, φ
Ψ11 : Γ ⇒ ∆, Θ0 , φ ∧ ψ, φ
≤ n:
Ψ211 : Γ ⇒ ∆, Θ0 , ψ, ψ .
A queste applichiamo ancora (IpInd) e otteniamo le sottoprove
Ψ01
e
Ψ02
della
a-prova richiesta:
Γ ⇒ ∆, Θ0 , φ ∧ ψ hEC∧i ( ) Γ ⇒ ∆, Θ0 , φ Γ ⇒ ∆, Θ0 , ψ Ψ01 Casi
. . .
EC¬, EC∨, EC →, EC ↔.
Ψ02
. . .
Un utile esercizio.
Il fatto che le regole di Contrazione siano derivabili in
G0ae
(in
G0ce)
signi ca
che non sono necessarie per stabilire (tutte e sole) le leggi logiche enunciative. In
G0ae (il sistema G0ce) risulta così completo. Le prove G0ce - analitiche costituite da sole regole operazionali di
particolare, anche il sistema formali nei sistemi
G0ae
e
eliminazione, o deduttive costituite da sole regole operazionali di introduzione, e in ogni caso prive di regole strutturali - costituiscono in certo modo
forme normali
per dimostrare leggi della logica enunciativa classica espresse in un linguaggio come
P⇒
contenente i cinque connettivi standard.
6.2. Derivabilità del Taglio Come già sappiamo, in base alle proprietà di inversione sono derivabili in - e ovviamente in
4.1.3.
G0ae
Gae
- tutte le regole di introduzione dello schema generale di
Allo stesso modo sono derivabili in
Gce
- e ovviamente in
G0ce
- tutte le
regole di eliminazione dello schema generale. Da lemma147 segue che le regole di
G0ae e, con dimostrazione analoga, in G0ce. Così CtA e CCt ma anche AgA e CAg. costruito derivazioni in Gae trattando il sistema analitico
Aggiunta sono derivabili anche in sono derivabili in In
4.5.7
G0ce
non solo
abbiamo
come pienamente deduttivo. Ora è il momento di giusti care le procedure di derivabilità in
Gae
mostrando che oltre alle regole di Aggiunta e a quelle operazionali
di introduzione anche la regola del Taglio è derivabile in
Gae:
Teorema 196. Se Γ ⇒? Λ, χ e χ, Θ ⇒? ∆, allora Γ, Θ ⇒? ∆, Λ. Da un lato, questo risultato è un'ovvia conseguenza della completezza del sistema analitico
Gae
e dei teoremi di inversione. Non occorre però scomodare la comple-
tezza per dimostrare la derivabilità del Taglio nel sistema analitico, o la sua eliminabilità dalle prove deduttive: questi risultati seguono direttamente dalle proprietà delle regole di sequenza.
Tg
8
Qui dimostreremo teor196 indirettamente, provando che
è una regola derivabile nel sistema deduttivo
G0ce.9
Nell'analisi della dimostra-
zione si può osservare che i vari casi sono facilmente riscrivibili in termini di prove analitiche, ottenendo così una dimostrazione
diretta
di teor196.
8 Il prototipo è la dimostrazione dello Hauptsatz in Gentzen [77]. 9 Questo solo per facilitare in seguito la lettura dell'analogo risultato
6.4.2).
nella logica intuizionista (cfr.
di derivabilità del Taglio
6.2. DERIVABILITÀ DEL TAGLIO
Teorema 197. La regola
Γ ⇒ Θ, χ χ, Λ ⇒ ∆ hTgi Γ, Λ ⇒ Θ, ∆
135
è derivabile in G0ce.
Dimostrazione. Per induzione sull'altezza della data applicazione del Taglio,
gr (Φ : Γ ⇒ Θ, χ) + gr (Ψ : χ, Λ ⇒ ∆) dei gradi rispettivi delle prove del Tg. Se gr (Φ) = 0, abbiamo un assioma Γ ⇒ Θ, χ. Se χ è la formula (variabile) di inclusione, deve occorrere in Γ. Per ipotesi vale `G0ce χ, Λ ⇒ ∆, quindi usando AgA e CAg abbiamo `G0ce Γ [χ] , χ, Λ ⇒ Θ, ∆, e in ne per CtA anche `G0ce Γ, Λ ⇒ Θ, ∆. Se invece χ non è la formula di inclusione, Γ ⇒ Θ è un assioma e quindi `G0ce Γ, Λ ⇒ Θ, ∆ per AgA e CAg. Se gr (Ψ) = 0, il ragionamento è del tutto analogo a quello del caso precedente. Sia invece gr (Φ) + gr (Ψ) = n + m + 2: l'ipotesi di induzione è che l'enunciato 0 0 del teorema valga per gr (Φ ) + gr (Ψ ) ≤ n + m + 1. Si danno tre tipi generali di situazioni riguardo alla formula di Taglio χ: (α) né l'ultima inferenza in Φ né l'ultima in Ψ sono applicazioni di una regola alla formula di Taglio χ; (β ) solo l'ultima inferenza in Φ, oppure solo l'ultima in Ψ, è l'applicazione di una regola alla formula di Taglio χ; (γ ) sia l'ultima inferenza in Φ che l'ultima in Ψ sono applicazioni di una regola alla formula di Taglio χ. Delle situazioni (α)-(γ ) dimostreremo solo alcuni casi per illustrare le modalità di cioè la somma
sequente superiore sinistro e di quello destro della regola
prova, lasciando gli altri come esercizio. Situazione (α): vale in particolare per l'applicazione di una regola di introduzione nell'antecedente in Caso
¬IA
in
Φ. Φn+1
Φ
o di una nel succedente in
( Φ0
dove
gr (Φ0 ) = n.
Taglio ha altezza
Caso
∨IA
in
Γ0 ⇒ Θ, χ, φ h¬IAi ¬φ, Γ0 ⇒ Θ, χ
Φ1 dove l'applicazione n + m + 1. La seguente allora è la prova cercata: ( ) . . . . . . Ψ Φ0 Γ0 ⇒ Θ, χ, φ χ, Λ ⇒ ∆ Φ1 hTgi Γ0 , Λ ⇒ Θ, φ, ∆ h¬IAi ¬φ, Γ0 , Λ ⇒ Θ, ∆
Φ. Φn+1
del
è di forma
Φ01
gr (Φ01 ) + gr (Φ02 ) = n.
. . .
)
. . .
φ, Γ0 ⇒ Θ, χ ψ, Γ0 ⇒ Θ, χ h∨IAi φ ∨ ψ, Γ0 ⇒ Θ, χ
Φ02
Così per (IpInd) vi sono prove
applicazioni del Taglio hanno altezza cercata:
. . .
Per (IpInd) c'è quindi una prova come
(
dove
Ψ.
è di forma
≤ n + m + 1.
Φ1
e
Φ2
dove le
La seguente è allora la prova
6. REGOLE DERIVATE, SISTEMI INTUIZIONISTI
136
Φ1
( Φ01
. . .
)
. . .
(
Ψ
φ,Γ0 ⇒Θ,χ χ,Λ⇒∆ hTgi φ,Γ0 ,Λ⇒∆,Θ
Φ02
. . .
)
. . .
ψ,Γ0 ⇒Θ,χ χ,Λ⇒∆ hTgi ψ,Γ0 ,Λ⇒∆,Θ
Ψ
Φ2
h∨IAi φ∨ψ,Γ0 ,Λ⇒∆,Θ → IA
Caso
in
Φ. Φn+1
è di forma
(
. . .
Φ01
dove
gr (Φ01 ) + gr (Φ02 ) = n.
)
. . .
Γ0 ⇒ Θ, χ, φ ψ, Γ0 ⇒ Θ, χ h→ IAi φ → ψ, Γ0 ⇒ Θ, χ
Φ02
Così per (IpInd) vi sono prove come
l'applicazione del Taglio ha altezza
≤ n + m + 1.
Φ1
e
Φ2 ,
dove
La seguente è allora la prova
cercata:
Φ1
( Φ01
. . .
)
. . .
Γ0 ⇒Θ,χ,φ χ,Λ⇒∆ hTgi Γ0 ,Λ⇒∆,Θ,φ
(
Ψ
Φ02
. . .
)
. . .
ψ,Γ0 ⇒Θ,χ χ,Λ⇒∆ hTgi ψ,Γ0 ,Λ⇒∆,Θ
Ψ Φ2
h→IAi φ→ψ,Γ0 ,Λ⇒∆,Θ Casi Caso
∧IA, ↔ IA in Φ. Un utile esercizio. IC¬ in Ψ. Ψm+1 è di forma )
. . .
Ψ0
φ, χ, Λ ⇒ ∆0 hIC¬i χ, Λ ⇒ ∆0 , ¬φ dove
gr (Ψ0 ) = m.
Taglio ha altezza
Per (IpInd) c'è quindi una prova come
n + m + 1.
( Φ
Caso
IC∨
in
Ψ. Ψm+1
. . .
dove l'applicazione del
)
. . .
Γ ⇒ Θ, χ φ, χ, Λ ⇒ ∆0 hTgi φ, Γ, Λ ⇒ ∆0 , Θ hIC¬i Γ, Λ ⇒ Θ, ∆0 , ¬φ
Ψ0
Ψ1
è di forma . . .
χ, Λ ⇒ ∆0 , φ, ψ hIC∨i χ, Λ ⇒ ∆0 , φ ∨ ψ dove
Ψ1
La seguente è allora la prova cercata:
) Ψ0
gr (Ψ0 ) = m. Per (IpInd) c'è quindi una prova Ψ1 dove l'applicazione del Taglio n + m + 1. La seguente è allora la prova cercata:
ha altezza
6.2. DERIVABILITÀ DEL TAGLIO
(
. . .
Φ
IC ↔
Caso
in
Ψ. Ψm+1
)
. . .
χ, Λ ⇒ ∆0 , φ, ψ hTgi Γ, Λ ⇒ ∆0 , φ, ψ, Θ hIC∨i Γ, Λ ⇒ ∆0 , φ ∨ ψ, Θ
Γ ⇒ Θ, χ
Ψ0
Ψ1
è di forma
( Ψ01
dove
137
. . .
. . .
) Ψ02
φ, χ, Λ ⇒ ∆0 , ψ ψ, χ, Λ ⇒ ∆0 , φ hIC ↔i χ, Λ ⇒ ∆0 , φ ↔ ψ
gr (Ψ01 ) + gr (Ψ02 ) = m.
Per (IpInd) vi sono quindi prove come
le applicazioni del Taglio hanno altezze
≤ n + m + 1.
Ψ1
e
Ψ2
dove
La seguente è allora la prova
cercata:
Ψ1
( Φ
. . .
)
. . .
Γ⇒Θ,χ φ,χ,Λ⇒∆0 ,ψ hTgi φ,Γ,Λ⇒∆0 ,Θ,ψ
( Ψ01
Φ
. . .
. . .
Γ⇒Θ,χ ψ,χ,Λ⇒∆0 ,φ hTgi ψ,Γ,Λ⇒∆0 ,Θ,φ
) Ψ02
Ψ2
hIC↔i Γ,Λ⇒∆0 ,φ↔ψ,Θ Casi
IC∧, IC →
in
Ψ.
Un utile esercizio.
Situazione (β ): vale in particolare per l'applicazione di una regola di introdu-
Ψ - visto che l'applicazione di una regola di introduzione Φ riguarda la formula di Taglio e ricade nella situazione (γ ). Ψ. Ψm+1 è di forma )
zione nell'antecedente in nel succedente in Caso
¬IA
in
. . .
χ, Λ ⇒ ∆0 , φ h¬IAi ¬φ, χ, Λ ⇒ ∆0
Ψ0
gr (Ψ0 ) = m. Per (IpInd) c'è quindi una prova nella quale l'applicazione di Γ ⇒ Θ, χ e χ, Λ ⇒ ∆0 , φ ha altezza n + m + 1, che proseguiamo applicando ¬IA. m+1 Caso ∧IA in Ψ. Ψ è di forma ) dove
Tg
alle premesse
. . .
φ, ψ, χ, Λ0 ⇒ ∆ h∧IAi φ ∧ ψ, χ, Λ0 ⇒ ∆
Ψ0
gr (Ψ0 ) = m. Per (IpInd) c'è quindi una prova nella quale l'applicazione di Γ ⇒ Θ, χ e χ, φ, ψ, Λ0 ⇒ ∆ ha altezza n + m + 1, che proseguiamo applicando ∧IA. Casi ∨IA, → IA e ↔ IA in Ψ. Un utile esercizio. Situazione (γ ): l'applicazione di una regola alla formula χ può riguardare solo regole omologhe di introduzione nel succedente per Φ e nell'antecedente per Ψ. n+1 m+1 Caso χ = ¬φ. Φ e Ψ sono delle forme seguenti dove
Tg
alle premesse
6. REGOLE DERIVATE, SISTEMI INTUIZIONISTI
138
( Φ0
. . .
. . .
φ, Γ ⇒ Θ hIC¬i Γ ⇒ Θ, ¬φ
Λ ⇒ ∆, φ h¬IAi ¬φ, Λ ⇒ ∆
) Ψ0
gr (Φ0 ) = n e gr (Ψ0 ) = m. Usando (IpInd), in quanto l'applicazione di Tg Λ ⇒ ∆, φ e φ, Γ ⇒ Θ è di altezza n + m, otteniamo quanto cercato. Caso χ = φ ∧ ψ . Così Φ e Ψ sono delle forme seguenti dove
alle
premesse
(
. . .
Φ01
)
. . .
Γ ⇒ Θ, φ Γ ⇒ Θ, ψ hIC∧i Γ ⇒ Θ, φ ∧ ψ
)
. . .
Φ02
φ, ψ, Λ ⇒ ∆ h∧IAi φ ∧ ψ, Λ ⇒ ∆
Ψ0
gr (Φ01 ) + gr (Φ02 ) = n e gr (Ψ0 ) = m. In base a (IpInd), applichiamo Tg di ≤ n + m alle premesse Γ ⇒ Θ, φ e φ, ψ, Λ ⇒ ∆, poi con altezza ≤ n + m + 1 al sequente ψ, Γ, Λ ⇒ Θ, ∆ che ne risulta e alla premessa Γ ⇒ Θ, ψ , in ne usiamo CtA e CCt. Casi ∨, → e ↔. Un utile esercizio.
dove
altezza
6.3. Sistemi intuizionisti Non è possibile presentare qui la logica enunciativa intuizionista e la visione
costruttivista del ragionamento matematico che ne costituisce la ragione profonda.10 Conviene piuttosto indicare con logica intuizionista la collezione di principi e di
11
leggi isolata da Heyting,
12
tra i quali non risultano deducibili né il terzo escluso
3.2 e in Cap4.
diverse altre leggi logiche che abbiamo incontrato in Gentzen [
77]
né
Com'è noto,
ha mostrato che la logica intuizionista è una sottoparte di quella
classica, ottenuta facendo cadere principi come il terzo escluso o la legge di doppia negazione. Nei sistemi a sequenti non abbiamo però questi principi tra gli assiomi o le regole, quindi è naturale chiedersi se e come è costruibile la logica enunciativa intuizionista in termini di regole di sequenza.
6.3.1. Restrizioni sulle regole.
Una prima strategia utilizzabile per ottene-
re la logica intuizionista in un sistema a sequenti consiste nell'adottare restrizioni
4.1.3.13
sulle regole dello schema generale di
◦
A questo scopo iniziamo esaminando
◦
il sequente principale classico (a ) di teor145. Una proprietà di 145(a ) è subito evidenziata dalla seguente prova, dove il punto critico è la regola
φ⇒φ hCAgi φ ⇒ φ, ψ hIC →i ⇒ φ, φ → ψ 10 Cfr. ad esempio van Dalen [200], Moriconi [138]. 11 Nella formulazione di Heyting [91] si tratta delle leggi
Hy
7.1.2.
CAg:
(1)
deducibili nel sistema formale assiomatico
per il quale v.
12 Ivi, tr. it., p. 212. 13 Gentzen [77] ha indicato che è esaminata più avanti.
per primo questa strategia così come quella a succedenti non multipli
6.3. SISTEMI INTUIZIONISTI
Osserviamo poi con una prova deduttiva in dal terzo escluso:
14
Gce
139
◦
che (a ) di teor145 è derivabile
hL¬ 1 (a)i ¬φ, φ ⇒ ψ φ → ψ ⇒ φ, φ → ψ h→ IAi hIC∨i φ ⇒ φ, φ → ψ ¬φ ⇒ φ → ψ φ→ψ ⇒φ∨φ→ψ h142 (b◦ )i hIC∨i hTgi ⇒ φ, ¬φ φ ⇒ φ ∨ (φ → ψ) ¬φ ⇒ φ ∨ (φ → ψ) hIC∨i h∨IAi ⇒ φ ∨ ¬φ φ ∨ ¬φ ⇒ φ ∨ (φ → ψ) hTgi h144 (a)i ⇒ φ ∨ (φ → ψ) φ ∨ (φ → ψ) ⇒ φ, φ → ψ hTgi ⇒ φ, φ → ψ Le due prove suggeriscono a su cienza che la regola
CAg
ha in certi casi una
portata deduttiva classica non riducibile alla dipendenza dalla legge del terzo escluso. Se nelle prove deduttive restringiamo opportunamente la regola
CAg,
un
◦
sequente classico come (a ) di teor145 non risulta provabile al modo di (1). Altre regole direttamente compromesse con il terzo escluso - cfr.
◦
oss152 - sono
quelle che autorizzano il sequente principale (b ) di teor142: la regola sistema analitico e la regola
IC¬
in quello deduttivo.
In eetti,
EC¬ nel ⇒ φ, ¬φ è solo
una conseguenza minimale di queste regole, in forza delle quali risulta direttamente dall'assioma di identità. Per privare le regole
IC¬
e
CAg
del loro potenziale classico se ne può restrin-
gere l'applicazione a sequenti con succedenti vuoti:
φ, Γ ⇒ hICR¬i Γ ⇒ ¬φ Ne risulta un senso di
ICR¬
nel caso in cui le premesse
Γ⇒ hCAgRi Γ⇒φ
abbastanza trasparente: la regola autorizza
φ, Γ
sono contraddittorie.
Γ ⇒ ¬φ CAgR:
Analogamente per
aggiungere formule nel succedente è ammesso solo se l'antecedente è contraddittorio. Sia GiRe1 il sistema di prova che si dierenzia da Gce solo per avere le regole ICR¬ e CAgR in luogo di IC¬ e CAg. Nel sistema GiRe1 è bloccata la prova del terzo escluso dall'assioma di identità, ed è evidentemente bloccata anche la prova (1) di
◦
teor145(a ).
Aggiungendo come assioma a
GiRe1
(*)
GiRe1◦ = GiRe1+145(a◦ ), ◦ relativa prova in GiRe1 : se
Ecco la
allora
`GiRe1◦ ⇒ φ, ¬φ.
φ⇒φ h¬IAi φ ⇒ φ ¬φ, φ ⇒ h→ IA, CtAi φ → ¬φ, φ ⇒ hICR¬i ⇒ φ, φ → ¬φ φ → ¬φ ⇒ ¬φ hTgi ⇒ φ, ¬φ 14 In
realtà i due principi sono equivalenti, cfr.
eserc202.
◦
la legge classica teor145(a )
risulta immediatamente provabile il sequente principale di terzo escluso. Ovvero:
6. REGOLE DERIVATE, SISTEMI INTUIZIONISTI
140
Analogamente, in
GiRe1◦
◦
risulta provabile anche il sequente principale (d ) di
◦
teor146 del bicondizionale, che è una legge classica dipendente da (a ) di teor145.
◦
Visto che la legge 145(a ) equivale deduttivamente al terzo escluso, occorre che non siano ammessi come teoremi sequenti (2)
φ ⇒ φ, ψ ◦
dai quali segue subito 145(a ) per
IC → (che è una regola non problematica).
Quindi
un sistema adeguato non può avere come teorema neppure (3)
φ ∨ ψ ⇒ φ, ψ
b
in quanto da (3), insieme al sequente principale ( ) di teor144 [cioè,
Tg.
che è augurabilmente un teorema, segue subito (2) usando
a
φ ⇒ φ ∨ ψ]
Quindi anche il
sequente principale ( ) di teor144 deve essere scaricato perché il sistema sia
GiRe1. Si GiRe1 non può ammettere assiomi di inclusione come
immune al terzo escluso, e in eetti non si vede come ottenere (2) in osservi a questo proposito che (4)
φ, ψ ⇒ φ, ψ
in quanto ovviamente ne seguirebbe subito (3) per La rinuncia a (3) ha però per
GiRe1
gurare come premessa possibile della regola me provare in
GiRe1
∨IA.
un prezzo troppo alto: siccome (2) deve
∨IC,
ne risulta che non si vede co-
b
c
gli incolpevoli sequenti principali ( )-( ) di teor144. Ma la
soluzione è a portata di mano: invece della regola
IC∨ dello schema generale si adot-
b
c
tano regole dalle quali si deducono automaticamente i sequenti principali ( )-( ) di
15
teor144.
Γ⇒φ hICR∨i Γ⇒φ∨ψ Con ciò otteniamo nalmente il
strizione sulle regole
Γ⇒ψ hICR∨i Γ⇒φ∨ψ
sistema intuizionista GiRe = hP⇒ , GiRe ` i a re-
il cui dispositivo di prova resta de nito nel modo seguente.
De nizione 198. GiRe ` comprende: AxId, ¬IA, ICR¬, ∧IA, IC∧, ∨IA, ICR∨, → IA, IC →, ↔ IA, IC ↔, CtA, AgA, CAgR, Tg. Per stabilire leggi logiche intuizioniste non occorre certo mettere in discussione tutte le prove date in
Cap4
di teoremi immuni da principi classici.
In
molti casi basta anzi invertire le a-prove di chiusura delle leggi logiche stabilite in
Cap4,
e non contrassegnate dal circoletto ◦, con
τ -trasformazioni
analoghe a
quelle viste in apertura di capitolo per i sistemi classici: si ottengono quasi immediatamente trasformazioni in prove deduttive intuizioniste.
In altri casi però
EC∨ ICR∨. Ad esempio, la a-prova di chiusura per il ritorno (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ) ⇒ φ ∨ (ψ ∧ χ) della legge L∨ 6 vista in 4.5.4 non è direttamente trasformabile in una prova intuizionista di GiRe. Avremo piuttosto la prova occorre costruire prove diverse, in particolare quando è interessata la regola che non ha un'inversa in
seguente:
15 Cfr.
77].
il sistema intuizionista di sequenti a regole ristrette in Gentzen [
6.3. SISTEMI INTUIZIONISTI
141
φ⇒φ hAgAi h143 (a)i φ⇒φ ψ, φ ⇒ φ ψ, χ ⇒ ψ ∧ χ hAgAi hICR∨i hICR∨i φ, φ ∨ χ ⇒ φ ψ, φ ⇒ φ ∨ (ψ ∧ χ) ψ, χ ⇒ φ ∨ (ψ ∧ χ) hICR∨i h∨IAi φ, φ ∨ χ ⇒ φ ∨ (ψ ∧ χ) ψ, φ ∨ χ ⇒ φ ∨ (ψ ∧ χ) h∨IAi φ ∨ ψ, φ ∨ χ ⇒ φ ∨ (ψ ∧ χ) h∧IAi (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ) ⇒ φ ∨ (ψ ∧ χ) Gli assiomi isolati da Heyting [
91]16
per la logica enunciativa intuizionista sono
tutti (in forma ovviamente di sequenti) tra le leggi senza il circoletto ◦ provate in
Cap4.17
ICR¬, si può osservare che blocca L∧ 2◦ e delle leggi L∨ 2(a◦ )-(b◦ ). Si consideri poi la a-prova della legge classica χ → φ ∨ ψ ⇒ (χ → φ) ∨ (χ → ψ) vista in 4.5.5. Se cerchiamo di invertirla per ottenere una prova deduttiva in GiRe, e quindi dobbiamo partire da assiomi di 18 identità, siamo bloccati ripetutamente da CAgR. Come esempio per la portata restrittiva di
la prova di
Esercizio 199.
Provare in
GiRe
la legge
L∨ 1: φ ∨ ψ, ¬φ, ¬ψ ⇒. 19
Per la versione intuizionista del terzo escluso
⇒ ¬¬ (φ ∨ ¬φ)
J1.
ecco la relativa prova in
GiRe:
φ⇒φ ¬φ ⇒ ¬φ hICR∨i hICR∨i φ ⇒ φ ∨ ¬φ ¬φ ⇒ φ ∨ ¬φ h¬IAi h¬IAi ¬ (φ ∨ ¬φ) , φ ⇒ ¬ (φ ∨ ¬φ) , ¬φ ⇒ hICR¬i hICR¬i h142 (a)i ¬ (φ ∨ ¬φ) ⇒ ¬φ ¬ (φ ∨ ¬φ) ⇒ ¬¬φ ¬φ, ¬¬φ ⇒ hIC∧i h∧IAi ¬ (φ ∨ ¬φ) ⇒ ¬φ ∧ ¬¬φ ¬φ ∧ ¬¬φ ⇒ hTgi ¬ (φ ∨ ¬φ) ⇒ hICR¬i ⇒ ¬¬ (φ ∨ ¬φ) Con ciò è anche stabilito che la negazione del terzo escluso (classico) è contraddittoria:
¬ (φ ∨ ¬φ) ⇒
J2.
16 Sono le leggi HY1-HY11 di 17 Per Hy1 vale eserc153(c ); per
Hy5
vale
teor145(c );
eserc156(c ); per Hy9 vale 18 Ciò
7.1.2.
Hy2 vale eserc153(d ); per Hy3 vale L∧ 10; per Hy4 vale L→ 2; Hy6 vale teor145(b ); per Hy7 vale teor144(b ); per Hy8 vale L∨ 4; per Hy10 vale teor142(a ); per Hy11 vale L¬ 5. per
per
già suggerisce che la scelta di costruire la logica intuizionista restringendo le regole e con-
servando i conseguenti generalizzati non è in fondo troppo naturale.
L'unico vantaggio visibile
è quello di conservare il bicondizionale nel vocabolario di base - la sola regola che richiede un succedente a più formule è
19 Heyting
91], teor.
[
↔ IA.
4.8, tr.it., p. 207.
6. REGOLE DERIVATE, SISTEMI INTUIZIONISTI
142
Usando
L¬ 3(a )
L→ 4(a )
e
si prova in
GiRe
il limite - v.
prenesse intuizionisticamente rilevanti. Così non vale
a
J3( ) - delle negazioni
φ ⇔ ¬¬φ
b
ma invece J3( ):
a. ⇒ ¬¬¬ φ → ¬φ b. ¬ φ ⇔ ¬¬¬φ
J3.
Si osservi che tra il terzo escluso e la doppia negazione non esiste una perfetta simmetria deduttiva. Nella logica intuizionista è naturalmente provabile il sequente con il terzo escluso come antecedente e la doppia negazione (classica) come succedente:
Esercizio 200.
`GiRe φ ∨ ¬φ ⇒ ¬¬ φ → φ.
Così nella logica intuizionista tra il terzo escluso e la doppia negazione vi è una relazione di implicazione
⇒ φ ∨ ¬φ → (¬¬ φ → φ) 20
ma, con le parole di Heyting, questo teorema non è invertibile
ossia non è prova-
bile l'implicazione dalla doppia negazione al terzo escluso. Invece risulta provabile il terzo escluso se aggiungiamo come assioma la legge classica di doppia negazione. Sia dunque
GcRe = GiRe+
Teorema 201.
l'assioma
⇒ ¬¬ φ → φ,
allora da J1 segue subito:
`GcRe ⇒ φ ∨ ¬φ.
Da eserc200 e dal lato intuizionista della legge
L→ 6
[cfr.
6.3.2]
J12 in
risul-
ta poi facilmente la seguente versione intuizionista della legge classica di doppia negazione. J4.
⇒ ¬¬ (¬¬ φ → φ)
Nella logica intuizionista nessun connettivo standard - eccetto il bicondizionale - è de nibile a partire da altri e, in particolare, non valgono le equivalenze deduttive
L∧ 6◦ , L∧ 8◦ , L→ 10◦ , L→ 12◦ , L∨ 7◦ , L∨ 9◦ J5. φ ∧ ψ ⇒ ¬ (φ → ¬ψ) J6. φ ∧ ψ ⇒ ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) J7. φ → ψ ⇒ ¬ (φ ∧ ¬ψ) J8. ¬φ ∨ ψ ⇒ φ → ψ J9. φ ∨ ψ ⇒ ¬ (¬φ ∧ ¬ψ) J10. φ ∨ ψ ⇒ ¬φ → ψ J11. φ ∨ ψ ⇒ (φ → ψ) → ψ
e
L∨ 10◦
21
ma solo le leggi seguenti:
Esercizio 202. `Gce φ ∨ ¬φ, dove Gce◦ = Gie + l'assioma ⇒ φ ∨ (φ → φ). 6.3.2. Rinuncia ai succedenti multipli. Un'alternativa alla restrizione sul◦
le regole per il sistema intuizionista è fare a meno dei succedenti multipli. In questo modo, ad esempio, il sequente principale di terzo escluso risulta automaticamen-
◦
te non deducibile dall'assioma di identità, e lo stesso vale per il sequente (a ) di teor145. Naturalmente le regole e gli assiomi devono garantire che non risultino
provabili neppure sequenti come
⇒ φ ∨ ¬φ
e
⇒ φ ∨ (φ → ψ).
Questa scelta (larga-
mente diusa) comporta la rinuncia al connettivo del bicondizionale, la cui regola di introduzione nell'antecedente richiede succedenti multipli. Introduciamo dunque un linguaggio
P‡⇒
di sequenti che ammette (al massimo) una formula nel succedente
ed è basato sul linguaggio enunciativo
De nizione 203.
Se
3.4.1).
privo del bicondizionale (cfr.
φ1 , . . . , φn , ψ ∈ FoP‡ ,
20 Heyting [91], tr. it., p. 205. 21 Su questo punto torneremo in in
P‡
allora
φ1 , . . . , φn ⇒ ψ ∈ FoP‡⇒ .
6.4. Per J5-J9 e J11 è su ciente trasformare le prove analitiche Cap4 per ottenere prove deduttive in GiRe. La prova di J10 è immediata.
6.3. SISTEMI INTUIZIONISTI
Su questo linguaggio costruiamo due sistemi.
‡
Gie =
D
E
P‡⇒ , Gie ‡` , che ha i sequenti
143
Il primo è il sistema intuizionista
AxId :φ ⇒ φ
come assiomi e tutte le re-
minimale
Il secondo è il sistema Gme‡ = ‡ Gie ` salvo per il fatto che non ha la regola CAgi
gole di inferenza enunciate qui sotto.
D
E
P‡⇒ , Gme ‡` , dove
Gme ‡` è come
di Aggiunta nel succedente. Regole operazionali per
Γ⇒φ h¬IiAi ¬φ, Γ ⇒
¬
φ, Γ ⇒ hIiC¬i Γ ⇒ ¬φ ∧ Γ⇒φ Γ⇒ψ hIiC∧i Γ⇒φ ∧ ψ
Regole operazionali per
φ, ψ, Γ ⇒ χ h∧IiAi φ ∧ ψ, Γ ⇒ χ
Regole operazionali per
φ, Γ ⇒ χ ψ, Γ ⇒ χ h∨IiAi φ ∨ ψ, Γ ⇒ χ
∨
Γ⇒φ hIiC∨i Γ⇒φ∨ψ
Γ⇒ψ hIiC∨i Γ⇒φ∨ψ
→ φ, Γ ⇒ ψ hIiC →i Γ⇒φ → ψ
Regole operazionali per
Γ⇒φ ψ, Γ ⇒ χ h→ IiAi φ → ψ, Γ ⇒ χ
Regole di inferenza strutturali
Γ⇒ hCAgii Γ⇒χ
Γ⇒χ hAgiAi Λ, Γ ⇒ χ
Γ⇒χ
χ, Λ ⇒ ψ hTgii Γ, Λ ⇒ ψ
Λ, Λ, Γ ⇒ χ hCtiAi Λ, Γ ⇒ χ
La dierenza tra la logica minimale e quella intuizionista si apprezza subito con-
a
siderando il sequente principale ( ) di teor142 che presenta una contraddizione nell'antecedente. Dal sequente
φ, ¬φ ⇒ ψ . caduta di CAgi sia
φ, ¬φ ⇒
usando
CAgi
in
Gie‡
si ricava
L¬ 1(a)
- os-
A dierenza della logica intuizionista (e di quella classica), con la nella
logica minimale Gme‡
non risulta più che da contraddizioni
esplicite segue qualsiasi formula:
a. 0 Gme‡ φ, ¬φ ⇒ ψ b. 0 Gme‡ Γ [φ ∧ ¬φ] ⇒ ψ
(5)
Oltre a (6)
L¬ 1, in Gme‡ cade anche L¬ 7 ` Gme‡ φ → ψ ∧ ¬ψ ⇒ ¬φ
e rimane solo
4.5.1, così come J1-
ma sono provabili le altre leggi non classiche della negazione di
J4. Inoltre, nella logica minimale sono provabili le usuali relazioni intuizioniste tra i connettivi J5-J7, J9 e J11, ma non valgono J8 e J10: cade così in
Gme‡
anche
il Modus Ponens per la disgiunzione. Le leggi non classiche della congiunzione
4.5.2 e del condizionale di 4.5.5 sono tutte valide nella logica minimale, così
di
6. REGOLE DERIVATE, SISTEMI INTUIZIONISTI
144
4.5.4. (Sulla Cap7 presentando i sistemi di deduzione naturale.)
come la maggior parte delle leggi non classiche della disgiunzione di logica minimale torneremo in
Nella logica intuizionista valgono anche le leggi seguenti: J12. J13. J14. J15. J16. J17. J18. J19. Come
φ → ψ ⇒ ¬¬φ → ¬¬ψ ¬¬ φ ∧ ¬¬ ψ ⇔ ¬¬ (φ ∧ ψ) ¬¬ φ ∨ ¬¬ ψ ⇒ ¬¬ (φ ∨ ψ) ¬¬ (φ ∨ ψ) , φ ∨ ¬φ ⇒ ¬¬ φ ∨ ¬¬ ψ φ ∨ ¬φ → ψ ⇒ ¬¬ ψ φ ∨ ¬φ → ¬ψ ⇒ ¬ ψ ¬¬φ → ¬¬ψ ⇔ ¬¬ (φ → ψ) ¬¬φ → ψ ⇒ ¬ψ → ¬φ ‡ esempio di prova in Gie ricaviamo l'andata
di J13, lasciando le facili prove
del ritorno di J13, di J12 e di J14 come esercizio:
φ⇒φ ψ⇒ψ hAgiAi hAgiAi φ, ψ ⇒ φ φ, ψ ⇒ ψ hIiC∧i φ, ψ ⇒ φ ∧ ψ h¬IiAi ¬ (φ ∧ ψ) , φ, ψ ⇒ hIiC¬i ¬ (φ ∧ ψ) , ψ ⇒ ¬φ h¬IiAi ¬¬φ, ¬ (φ ∧ ψ) , ψ ⇒ hIiC¬i ¬¬φ, ¬ (φ ∧ ψ) ⇒ ¬ψ h¬IiAi ¬¬ψ, ¬¬φ, ¬ (φ ∧ ψ) ⇒ hIiC¬i ¬¬φ, ¬¬ψ ⇒ ¬¬ (φ ∧ ψ) h∧IiAi ¬¬φ ∧ ¬¬ψ ⇒ ¬¬ (φ ∧ ψ) Se
Gce‡ = Gie‡ + {⇒ φ ∨ ¬φ} è il sistema ottenuto aggiungendo come assioma il se-
quente di terzo escluso, abbiamo naturalmente una versione della logica enunciativa classica a sequenti senza succedenti multipli.
Esercizio 204. a. b.
Provare in Provare in
Gie‡ le leggi J15-J19. Gce‡ la legge classica φ → ψ ⇒ (φ → χ) ∨ ψ .
6.3.3. Base linguistica con ⊥.
Un'alternativa molto diusa nel trattamen-
⊥ del φ → ⊥. P⊥ (cfr.
to della logica intuizionista (e minimale) consiste nell'utilizzo del simbolo Falso, con la conseguente introduzione del connettivo
¬
attraverso def85:
In questo caso, la base linguistica per il sistema intuizionista può essere
3.4.1) e quindi un linguaggio di sequenti P⊥⇒ : De nizione 205. Se φ1 , . . . , φn , ψ ∈ FoP , allora φ1 , . . . , φn ⇒ ψ ∈ FoP
⊥
Il sistema formale
intuizionista G1ie non ha regole di inferenza per la negazione ma
un nuovo assioma per Assioma per
⊥ . ⇒
⊥.
⊥: (Ax⊥)
⊥ ⇒ χ.
6.4. LOGICA INTUIZIONISTA SENZA REGOLE STRUTTURALI
145
G1ie sono come in Gie‡ . Il sistema formale minimale G1me è G1ie senza l'assioma per ⊥. In G1ie è immediatamente derivabile, usando IiC →, la seguente versione della regola di introduzione di ¬ nel succedente: φ, Γ ⇒ ⊥ hIiC →i Γ⇒φ→⊥ Analogamente, usando → IiA è derivabile la regola di introduzione della negazione
Gli altri assiomi e le altre regole di inferenza di
nell'antecedente:
Γ⇒φ ⊥⇒⊥ h→ IiAi φ → ⊥, Γ ⇒ ⊥ Si può quindi fare a meno del succedente vuoto e, con ciò, anche della regola
CAgi
di Aggiunta nel succedente, che risulta subito derivabile:
Γ⇒⊥ ⊥⇒χ hTgii Γ⇒χ Così le regole di inferenza strutturali di di
CAgi.
Nella logica minimale
G1me,
G1ie
sono quelle di
Gie‡
ad esclusione
invece, non risulta ovviamente derivabile
l'Aggiunta nel succedente. Come esempio del funzionamento in prova diretta di
G1ie
del nuovo simbolo
⊥
vediamo una
¬¬φ ⇒ ¬¬ (φ ∨ ψ): h144(b)i φ ⇒ φ ∨ ψ ⊥⇒⊥ h→ IiAi φ, φ ∨ ψ →⊥⇒⊥ hIiC →i φ ∨ ψ →⊥⇒ φ →⊥ ⊥⇒⊥ h→ IiAi (φ →⊥) →⊥, φ ∨ ψ →⊥⇒⊥ hIiC →i (φ →⊥) →⊥ ⇒ (φ ∨ ψ →⊥) →⊥
6.4. Logica intuizionista senza regole strutturali Anche per la logica enunciativa intuizionista si può costruire un sistema di sequenti, privo di regole strutturali, che ha le richieste proprietà di inversione e restituisce in sostanza una forma normale di provabilità intuizionista. sistema intuizionista
G0ie = P⊥ ⇒ , G0ie `
ha lo stesso linguaggio di
G1ie
22
Il
ma il suo
dispositivo di prova, oltre a non comprendere regole strutturali, ha come assiomi inclusioni ristrette e una versione con contesto dell'assioma per
⊥:
p, Γ ⇒ p. J-Assioma per ⊥. (JAx⊥) ⊥, Γ ⇒ φ. Per le regole operazionali, l'unica variante in G0ie rispetto a G1ie è una regola → JIA J-Assioma di Inclusione.
(JAxIncl)
di introduzione del condizionale nell'antecedente che contiene una ripetizione della formula principale nel sequente superiore sinistro:
22 In
queste pagine è evidente il debito verso Negri-von Plato [
141].
6. REGOLE DERIVATE, SISTEMI INTUIZIONISTI
146
φ → ψ, Γ ⇒ φ ψ, Γ ⇒ χ h→ JIAi φ → ψ, Γ ⇒ χ Riassumendo, il dispositivo di prova di
G0ie
resta individuato nel modo seguente:
De nizione 206.
G0ie ` ha gli assiomi JAxIncl e JAx⊥ e le regole operazionali ∧IiA, IiC∧, ∨IiA, IiC∨, → JIA, IiC →.
Non è di cile vedere che in
G0ie
sono teoremi i sequenti con formule di inclusione
di qualsiasi grado:
Teorema 207.
`G0ie φ, Γ ⇒ φ. gr (φ), è analoga a quella G0ie.
Dimostrazione. La dimostrazione, per induzione su
di teor138. Vediamo i casi che si presentano diversi in Caso Caso
φ =⊥. Il sequente ⊥, Γ ⇒⊥ è un assioma JAx⊥. φ = ψ ∨ χ. Per (IpInd) esistono prove Φ1 : ψ, Γ ⇒ ψ
e
Φ2 : χ, Γ ⇒ χ.
Ecco
quindi la prova cercata:
( Φ1
Caso
φ = ψ → χ.
. . .
)
. . .
ψ, Γ ⇒ ψ χ, Γ ⇒ χ hIiC∨i hIiC∨i ψ, Γ ⇒ ψ ∨ χ χ, Γ ⇒ ψ ∨ χ h∨IiAi ψ ∨ χ, Γ ⇒ ψ ∨ χ
Per (IpInd) esistono prove
Φ2
Φ1 : ψ, ψ → χ, Γ ⇒ ψ
e
Φ2 : χ, Γ ⇒ χ.
Quindi la seguente è la prova cercata:
( Φ1
In
G0ie
. . .
)
. . .
ψ, ψ → χ, Γ ⇒ ψ χ, Γ ⇒ χ h→ JIAi ψ, ψ → χ, Γ ⇒ χ hIiC →i ψ → χ, Γ ⇒ ψ → χ
Φ2
per sempli care le prove è opportuna la regola derivata in (1)
(1)
φ → ⊥, Γ ⇒ φ h¬JIAi φ → ⊥, Γ ⇒ ⊥
φ → ⊥, Γ ⇒ φ ⊥ ⇒ ⊥ h→ JIAi φ → ⊥, Γ ⇒ ⊥
(2)
che introduce la negazione nell'antecedente ed è autorizzata dall'applicazione (2) di
→ JIA.
(Se
Γ
è
φ,
la conclusione
b
un sequente principale 145( ) di
φ → ⊥, φ ⇒ ⊥
Modus Ponens.)
vediamo quella (senza Taglio) della legge J1:
di
¬JIA
è semplicemente
Come esempio di prova in
G0ie,
6.4. LOGICA INTUIZIONISTA SENZA REGOLE STRUTTURALI
147
φ ∨ (φ →⊥) →⊥, φ ⇒ φ hIiC∨i φ ∨ (φ →⊥) →⊥, φ ⇒ φ ∨ (φ →⊥) h¬JIAi φ ∨ (φ →⊥) →⊥, φ ⇒⊥ hIiC →i φ ∨ (φ →⊥) →⊥⇒ φ →⊥ hIiC∨i φ ∨ (φ →⊥) →⊥⇒ φ ∨ (φ →⊥) h¬JIAi φ ∨ (φ →⊥) →⊥⇒⊥ hIiC →i ⇒ (φ ∨ (φ →⊥) →⊥) →⊥ Naturalmente dal terzo escluso è provabile in
G0ie
la doppia negazione:
hteor207i (φ → ⊥) → ⊥, φ → ⊥ ⇒ φ → ⊥ ⊥ ⇒ φ h→ JIAi (φ → ⊥) → ⊥, φ ⇒ φ (φ → ⊥) → ⊥, φ → ⊥ ⇒ φ h∨IiAi φ ∨ (φ → ⊥) , (φ → ⊥) → ⊥ ⇒ φ hIiC →i φ ∨ (φ → ⊥) ⇒ ((φ → ⊥) → ⊥) → φ Vediamo in ne un esempio di prova in
G0ie
relativo alla legge J16 usando la regola
derivata (come vedremo tra poco) del Taglio:
hL→ 4i hJ2i φ ∨ (φ → ⊥) → ψ, ψ → ⊥ ⇒ φ ∨ (φ → ⊥) → ⊥ φ ∨ (φ → ⊥) → ⊥ ⇒ ⊥ hTgii φ ∨ (φ → ⊥) → ψ, ψ → ⊥ ⇒ ⊥ hIiC →i φ ∨ (φ → ⊥) → ψ ⇒ (ψ → ⊥) → ⊥ Esempi del genere sono certo più istruttivi se si fanno esercizi su prove dirette in
G0ie
(ad esempio delle leggi J15, J16 e J17).
6.4.1. Inversione.
La regola di Aggiunta nell'antecedente è derivabile in
G0ie
(la dimostrazione è lasciata come esercizio) e, in particolare, applicare la regola a un sequente provabile dà come risultato una prova dello stesso grado.
Teorema 208. Se `nG0ie Γ ⇒ χ, allora `nG0ie Γ, Λ ⇒ χ. Non è certo sorprendente che anche per il sistema intuizionista
G0ie valgano proprie-
tà di inversione analoghe a quelle già viste per i sistemi classici (qui per comodità tipogra ca è eliminato l'indice G0ie):
Teorema 209.
(Inversione nell'antecedente e nel succedente)
a. ` φ ∧ ψ, Γ ⇒ χ se e solo se `≤n φ, ψ, Γ ⇒ χ. n
b. `n φ ∨ ψ, Γ ⇒ χ se e solo se `≤n φ, Γ ⇒ χ e `≤n ψ, Γ ⇒ χ. c. Se `n φ → ψ, Γ ⇒ χ, allora `≤n ψ, Γ ⇒ χ. d. `n Γ ⇒ φ ∧ ψ se e solo se `≤n Γ ⇒ φ e `≤n Γ ⇒ ψ . e. `n Γ ⇒ φ → ψ se e solo se `≤n φ, Γ ⇒ ψ .
6. REGOLE DERIVATE, SISTEMI INTUIZIONISTI
148
Dimostrazione. Per induzione su
b
c
a
n.
b
Le dimostrazioni per i casi ( ) e ( )
sono analoghe a quelle dei casi ( ) e ( ) in teor193, mentre le dimostrazioni dei
d (c ).
e
b
d
casi ( ) e ( ) sono analoghe a quelle dei casi ( ) e ( ) in teor194.
φ → ψ, p, Γ0 ⇒ p e, quindi, ψ, p, Γ ⇒ p è a sua volta un assioma. Sia Φ : φ → ψ, Γ ⇒ χ una prova in G0ie. Se φ → ψ è la formula principale della regola → JIA che inferisce dalla sottoprova immediata di Φ, allora ψ, Γ ⇒ χ ha una prova di grado ≤ n. Se φ → ψ non è la formula principale e la regola interessata è di continuità (cioè ∧IiA, IiC∨, IiC →), Φ 0 0 ha una sottoprova immediata Φ1 : φ → ψ, Γ ⇒ χ di grado n. Così per (IpInd) esiste 0 0 una prova Φ11 : ψ, Γ ⇒ χ di grado ≤ n che è a sua volta sottoprova immediata, 0 per applicazione della stessa regola, di una prova Φ : ψ, Γ ⇒ χ di grado n + 1. La dimostrazione è analoga se la regola interessata è di biforcazione (cioè IiC∧, ∨IiA, → JIA). Per
Se
φ → ψ, Γ ⇒ χ
è un assioma, ha forma
0
n+1
Il caso di una disgiunzione nel succedente merita invece un'attenzione speci ca. Supponiamo infatti che vi sia una prova in
G0ie
χ ∨ ϕ, Γ0 ⇒ φ ∨ ψ con ∨IiA come 0 0 di χ, Γ ⇒ φ ∨ ψ e ϕ, Γ ⇒ φ ∨ ψ .
di
ultima inferenza, così che abbiamo anche prove
Un'ipotesi di induzione su questa situazione darà prove di
χ, Γ0 ⇒ φ
o
χ, Γ0 ⇒ ψ
e di
ϕ, Γ0 ⇒ φ
o
ϕ, Γ0 ⇒ ψ
ma naturalmente non ne segue che vi siano prove di
χ, Γ0 ⇒ φ
e
ϕ, Γ0 ⇒ φ
o di
χ, Γ0 ⇒ ψ
e
ϕ, Γ0 ⇒ ψ .
Se escludiamo le disgiunzioni dagli antecedenti, de nendo una classe opportuna di formule, un risultato di inversione vale anche per la disgiunzione nel succedente (per comodità tipogra ca è eliminato l'indice G0ie).
Teorema 210. Diciamo che φ è una
formula di Harrop sse : (a ) è atomica o è ⊥; b è ψ ∧ χ o è ψ → χ, dove ψ, χ sono formule di Harrop. Se ogni formula in Γ è una formula di Harrop, allora `n Γ ⇒ φ ∨ ψ sse `≤n Γ ⇒ φ o `≤n Γ ⇒ ψ . ( )
`n Γ ⇒ φ ∨ ψ . Se n = 0, Γ ⇒ φ ∨ ψ può essere solo un assioma di tipo JAx⊥, e quindi anche Γ ⇒ φ e Γ ⇒ ψ sono n+1 assiomi di tipo JAx⊥. Sia invece Ψ : Γ ⇒ φ ∨ ψ una prova in G0ie. Se φ ∨ ψ è la formula principale della regola IiC∨ che inferisce dalla sottoprova immediata di Ψ, ovviamente o Γ ⇒ φ o Γ ⇒ ψ hanno una prova di grado ≤ n. Se φ ∨ ψ non è la n+1 formula principale dell'ultima inferenza in Ψ , resta comunque escluso dall'ipotesi
Dimostrazione. Per induzione sul grado
n
di
del teorema che la formula principale sia una disgiunzione nell'antecedente, per cui possono darsi solo i casi seguenti.
∧IiA. Abbiamo Ψn+1 : χ ∧ ϕ, Γ0 ⇒ φ ∨ ψ , e quindi una prova di grado n del 0 sequente χ, ϕ, Γ ⇒ φ ∨ ψ . Così per (IpInd) risulta anche una prova di grado ≤ n 0 0 per χ, ϕ, Γ ⇒ φ o per χ, ϕ, Γ ⇒ ψ . Da ciò applicando ∧IiA otteniamo una prova di 0 0 grado ≤ n + 1 per χ ∧ ϕ, Γ ⇒ φ o per χ ∧ ϕ, Γ ⇒ ψ .
Caso
Ψn+1 : χ → ϕ, Γ0 ⇒ φ ∨ ψ , e quindi una prova di grado m del sequente χ → ϕ, Γ0 ⇒ χ e una di grado k del sequente ϕ, Γ0 ⇒ φ ∨ ψ , dove m+k = n. Così per (IpInd) risulta anche una prova di grado ≤ k per ϕ, Γ0 ⇒ φ o per ϕ, Γ0 ⇒ ψ . Nel primo caso, applicando → JIA con premessa sinistra χ → ϕ, Γ0 ⇒ χ, 0 risulta una prova di grado ≤ n + 1 per χ → ϕ, Γ ⇒ φ; analogamente nell'altro caso. Casi IiC∧, IiC∨, IiC →. Le dimostrazioni sono analoghe. Caso
→ JIA.
Abbiamo
6.4. LOGICA INTUIZIONISTA SENZA REGOLE STRUTTURALI
6.4.2. Derivabilità delle regole strutturali.
149
Come già per i sistemi classici,
anche per quello intuizionista dai risultati di inversione segue la derivabilità della regola di Contrazione - e in particolare applicare la regola a un sequente provabile dà come risultato una prova dello stesso grado.
Teorema 211. Se `nG0ie Λ, Λ, Γ ⇒ χ, allora `nG0ie Λ, Γ ⇒ χ . Dimostrazione. La dimostrazione (per induzione sul grado della prova di
Λ, Λ, Γ ⇒ χ)
è analoga a quella di teor195. Vediamo solo casi che si presentano
dierenti.
n = 0, sia Λ, Λ, Γ ⇒ χ un assioma JAx⊥, così Λ, Γ ⇒ χ è in ogni caso un assioma JAx⊥, tanto se ⊥ è in Γ così come se ⊥ è in Λ. 0 n+1 Per n > 0, sia Λ = φ → ψ, Λ e Φ di forma ( )
Per
. . .
Φ1
. . .
φ → ψ, φ → ψ, Λ0 , Λ, Γ ⇒ φ ψ, φ → ψ, Λ0 , Λ, Γ ⇒ χ h→ JIAi φ → ψ, Λ0 , Λ, Γ ⇒ χ
Φ2
Φ1 vi è una prova Φ11 : φ → ψ, Λ0 , Γ ⇒ φ di grado ≤ n, mentre per 0 teor209(c ) su Φ2 abbiamo una prova Φ21 : ψ, ψ, Λ , Γ ⇒ χ anch'essa di grado ≤ n, 0 alla quale applichiamo (IpInd) per ottenere: Φ211 : ψ, Λ , Γ ⇒ χ. Ecco quindi la
Per (IpInd) su
prova richiesta:
( Φ11
. . .
)
. . .
φ → ψ, Λ0 , Γ ⇒ φ ψ, Λ0 , Γ ⇒ χ h→ JIAi φ → ψ, Λ0 , Γ ⇒ χ
Φ211
Ci resta ancora da dimostrare, naturalmente, che nel sistema intuizionista è derivabile anche la regola del Taglio.
Γ⇒χ χ, Λ ⇒ ϕ hTgii Γ, Λ ⇒ ϕ
Teorema 212. La regola
è derivabile in G0ie.
Dimostrazione. Come in teor197, per induzione sull'altezza della data ap-
plicazione del Taglio, cioè la somma
gr (Φ : Γ ⇒ χ) + gr (Ψ : χ, Λ ⇒ ϕ)
dei gradi ri-
spettivi delle prove del sequente superiore sinistro e di quello destro in
Tgi.
La
dimostrazione è analoga a quella di teor197, quindi è su ciente considerare qual-
Γ ⇒ χ è un assioma di forma ⊥, Γ0 , Λ ⇒ ϕ. Il ragionamento è analogo nel caso in cui χ, Λ ⇒ ϕ sia un assioma JAx⊥. Situazione (α): né l'ultima inferenza in Φ né l'ultima in Ψ sono applicazioni di
che esempio dei casi che si presentano dierenti. Se
⊥, Γ0 ⇒ χ,
allora è un assioma anche
una regola alla formula di Taglio. Caso
→ JIA
in
Φ. Φn+1 è ( Φ01
dove
di forma . . .
. . .
φ → ψ, Γ0 ⇒ φ ψ, Γ0 ⇒ χ h→ JIAi φ → ψ, Γ0 ⇒ χ
gr (Φ01 ) + gr (Φ02 ) = n.
) Φ02
La seguente è la prova cercata:
6. REGOLE DERIVATE, SISTEMI INTUIZIONISTI
150
Φ1
( Φ01
(
. . .
φ → ψ, Γ0 ⇒ φ hAgiAi φ → ψ, Γ0 , Λ ⇒ φ
. . .
Φ02
)
. . .
ψ, Γ0 ⇒ χ χ, Λ ⇒ ϕ hTgii ψ, Γ0 , Λ ⇒ ϕ h→ JIAi φ → ψ, Γ0 , Λ ⇒ ϕ
Ψ
Φ2
Φ2 , dove l'applicazione del Taglio ha ≤ n + m + 1. D'altra parte, da Φ01 : φ → ψ, Γ0 ⇒ φ risulta (per teor208 AgiA) la prova Φ1 . m+1 Caso IiC∨ in Ψ. Ψ è ad esempio di forma )
In eetti, da (IpInd) risulta la prova
. . .
χ, Λ ⇒ φ hIiC∨i χ, Λ ⇒ φ ∨ ψ dove
altezza usando
Ψ0
gr (Ψ0 ) = m. Per (IpInd) c'è quindi una prova Ψ1 dove l'applicazione del Taglio n + m + 1. La seguente è allora la prova cercata: ( ) . . . . . . Φ Ψ0 Γ ⇒ χ χ, Λ ⇒ φ Ψ1 hTgii Γ, Λ ⇒ φ hIiC∨i Γ, Λ ⇒ φ ∨ ψ
ha altezza
Situazione (β ): solo l'ultima inferenza in
cazione di una regola alla formula di Taglio Caso
→ JIA
in
Ψ. χ = φ → ψ ( Ψ01
e
Ψ
Φ, oppure χ.
solo l'ultima in
Ψ,
è l'appli-
è di forma
. . .
. . .
φ → ψ, Λ ⇒ φ ψ, Λ ⇒ ϕ h→ JIAi φ → ψ, Λ ⇒ ϕ
) Ψ02
gr (Φ : Γ ⇒ φ → ψ) = n+1 e gr (Ψ) = m1 +m2 +1. Usando (IpInd) applichiamo (n + 1) + m1 + 1 alle premesse Γ ⇒ φ → ψ e φ → ψ, Λ ⇒ φ, per ottenere Γ, Λ ⇒ φ. Applichiamo quindi AgiA e abbiamo φ → ψ, Γ, Λ ⇒ φ, poi a questa premessa e a ψ, Λ ⇒ ϕ applichiamo → JIA. Situazione (γ ): sia l'ultima inferenza in Φ che l'ultima in Ψ sono applicazioni di una regola alla formula di Taglio χ. Caso ∨. χ = φ ∨ ψ . Così Φ e Ψ sono ad esempio delle forme seguenti dove
Tgi
con altezza
( Φ0
. . .
Γ⇒ φ hIiC∨i Γ⇒ φ ∨ ψ
( Ψ01
. . .
. . .
φ, Λ ⇒ ϕ ψ, Λ ⇒ ϕ h∨IiAi φ ∨ ψ, Λ ⇒ ϕ
) Ψ02
gr (Φ) = n + 1 e gr (Ψ) = m1 + m2 + 1. In base a (IpInd), applichiamo Tgi ≤ n + m1 + 1 alle premesse Γ ⇒ φ e φ, Λ ⇒ ϕ e otteniamo Γ, Λ ⇒ ϕ. Caso →. χ = φ → ψ . Così Φ e Ψ sono ad esempio delle forme seguenti dove
altezza
di
6.4. LOGICA INTUIZIONISTA SENZA REGOLE STRUTTURALI
( Φ0
(
. . .
Ψ01
φ,
ΓJ⇒ ψ IC → Γ⇒ φ → ψ
. . .
. . .
151
)
φ → ψ, Λ ⇒ φ ψ, Λ ⇒ ϕ h→ JIAi φ → ψ, Λ ⇒ ϕ
Ψ02
gr (Φ) = n + 1 e gr (Ψ) = m1 + m2 + 1, così Tgi ha altezza n + max (m1 , m2 ) + 2. Tgi di altezza n + 1 + m1 alle premesse Γ ⇒ φ → ψ e φ → ψ, Λ ⇒ φ. Allo stesso modo, applichiamo Tgi di altezza n + m2 alle premesse φ, Γ ⇒ ψ e ψ, Λ ⇒ ϕ. In ne ai rispettivi risultati Γ, Λ ⇒ φ e φ, Γ, Λ ⇒ ϕ applichiamo Tgi di altezza max (n + 1, m1 ) + max (n, m2 ) + 2 e otteniamo Γ, Λ ⇒ ϕ.
dove
In base a (IpInd), applichiamo
Risulta così anche per la logica intuizionista una forma normale di prova delle leggi logiche, caratterizzata dall'assenza di regole strutturali (in particolare del Taglio) e dalla proprietà ascendente della sottoformula - tutte le formule occorrenti nel sequente superiore (o nel sequente superiore sinistro o destro) di una regola sono sottoformule delle formule occorrenti nel sequente inferiore.
6.4.3. Proprietà della disgiunzione. intuizionista ha la
Non è di cile vedere che il sistema
proprietà della disgiunzione :
se una disgiunzione è provabile,
allora l'uno o l'altro dei disgiunti è a sua volta provabile.
Teorema 213. Se `G0ie ⇒ φ ∨ ψ, allora o
`G0ie ⇒ φ o `G0ie ⇒ ψ .
Φ : φ ∨ ψ è che `G0ie ⇒ ψ in base alla proprietà ascendente della sottoformula che hanno le prove in G0ie. Dimostrazione. L'unica possibilità perché risulti una prova
l'ultima inferenza in
Φ
sia
IiC∨,
quindi o risulta
`G0ie ⇒ φ
oppure risulta
Un'applicazione immediata di teor213 è la seguente: (1)
0G0ie ⇒ p ∨ ¬p.
In caso contrario, infatti, risulterebbe
G0ie
conduce però a
premessa regola in
⇒ p.
`G0ie ⇒ p
`G0ie ⇒ ¬p. Nessuna regola in ⇒ ¬p solo IiC → con risulterebbe `G0ie p ⇒⊥. Ma nessuna o
D'altra parte, può concludere a
p ⇒⊥, quindi per teor209(f ) G0ie autorizza p ⇒⊥ come sequente
inferiore.
6.4.4. Prove analitiche, decidibilità. analitiche si presentano come
ricerche di prova
Nel sistema intuizionista le prove in base alle proprietà di inversione
delle regole operazionali. Regole di eliminazione ammissibili sono le seguenti:
φ ∧ ψ, Γ ⇒ χ h∧EiAi φ, ψ, Γ ⇒ χ φ ∨ ψ, Γ ⇒ χ h∨EiAi φ, Γ ⇒ χ ψ, Γ ⇒ χ
Γ⇒φ ∧ ψ hEiC∧i Γ⇒φ Γ⇒ψ Γ⇒φ∨ψ hEiC∨i Γ⇒φ
φ → ψ, Γ ⇒ χ h→ JEAi φ → ψ, Γ ⇒ φ ψ, Γ ⇒ χ
Γ⇒ψ∨ψ hEiC∨i Γ⇒φ Γ⇒φ → ψ hEiC →i φ, Γ ⇒ ψ
6. REGOLE DERIVATE, SISTEMI INTUIZIONISTI
152
JAxIncl JAx⊥(ma in base a teor207 si possono considerare in generale sequenti di chiusura quelli di forma φ, Γ ⇒ φ) oppure nei sequenti principali di disgiunzione φ ⇒ φ ∨ ψ e ψ ⇒ φ ∨ ψ . Molto comoda è anche la seguente regola derivata di Una a-prova di chiusura ha tutti rami che terminano in assiomi di inclusione
o in assiomi
eliminazione della negazione nell'antecedente:
φ → ⊥, Γ ⇒ ⊥ h¬JEAi φ → ⊥, Γ ⇒ φ Consideriamo ad esempio una ricerca analitica di prova per J9 (il lato intuizionista della legge
L∨ 7◦ ),
che come si vede dà esito positivo:
φ ∨ ψ ⇒ (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) → ⊥ hEiC →i (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) , φ ∨ ψ ⇒⊥ h∧EiAi φ →⊥, ψ →⊥, φ ∨ ψ ⇒⊥ h∨EiAi φ →⊥, ψ →⊥, φ ⇒⊥ φ →⊥, ψ →⊥, ψ ⇒⊥ h?, 145 (b)i h?, 145 (b)i Esaminiamo invece le seguenti ricerche analitiche di prova per il lato classico della legge
EiC∨.
L∨ 7◦ : ¬ (¬φ ∧ ¬ψ) ⇒ φ ∨ ψ .
Inizialmente abbiamo due possibilità:
Scegliamo la prima e poi proseguiamo con
→ JEA
(φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) →⊥⇒ φ ∨ ψ h→ JEAi (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) →⊥⇒ (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) ⊥⇒ φ ∨ ψ hEiC∧i ? (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) →⊥⇒ φ →⊥ (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) →⊥⇒ ψ →⊥ Si osservi che scegliendo di proseguire con
o
EiC∧:
→ JEA,
invece che con
.. .
EiC∧,
(2)
si ottiene:
(φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) →⊥⇒ (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) ⊥⇒ φ ∨ ψ h→ JEAi ? (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) →⊥⇒ (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) ⊥⇒ (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) ∞ ? Come si vede, siamo punto e a capo: il cammino è circolare. Quando raggiungiamo un sequente già sottoposto ad analisi lungo lo stesso ramo, e quindi ci troviamo in un cammino circolare, indichiamo la situazione con ∞. Se invece proseguiamo il ramo di sinistra in (2), per evitare un'analoga circolarità occorre scegliere
.. .
EiC →:
(φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) →⊥⇒ φ →⊥ hEiC →i φ, (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) →⊥⇒⊥ h→ JEAi φ, (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) →⊥⇒ (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) φ, ⊥⇒⊥
.. .
?
∞ Ma non è certo di cile vedere che siamo anche qui a pochi passi dalla circolarità e, inoltre, che anche il ramo di destra in (2) presenta lo stesso andamento. D'altra parte, non molto diverso è il cammino se ricominciamo da capo e adottiamo
EiC∨
6.4. LOGICA INTUIZIONISTA SENZA REGOLE STRUTTURALI
153
come prima regola di eliminazione - ad esempio supponendo che vi sia una prova con succedente
φ
- perché la circolarità compare quasi subito:
(φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) →⊥⇒ φ ∨ ψ hEiC∨i (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) →⊥⇒ φ h→ JEAi (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) →⊥⇒ (φ →⊥) ∧ (ψ →⊥) ⊥⇒ φ ∞ ? In sostanza: tutti i cammini di analisi costruibili conducono a circolarità, quindi la ricerca di una prova della legge classica
¬ (¬φ ∧ ¬ψ) ⇒ φ ∨ ψ in G0ie dà correttaG0ie non è costruibile una
mente esito negativo. In base agli assiomi e alle regole di prova di questa legge.
Vediamo un altro esempio di prova analitica con esito circolare, relativo questa volta a
¬¬φ → ¬¬ψ ⇒ φ → ψ
(lato classico della legge
L→ 6◦ ):
((φ →⊥) →⊥) → ((ψ →⊥) →⊥) ⇒ φ → ψ hEiC →i φ, ((φ →⊥) →⊥) → ((ψ →⊥) →⊥) ⇒ ψ h→ JEAi φ, ((φ →⊥) →⊥) → ((ψ →⊥) →⊥) ⇒ (φ →⊥) →⊥ φ, (ψ →⊥) →⊥⇒ ψ hEiC →i h→ JEAi φ →⊥, φ, ((φ →⊥) →⊥) → ((ψ →⊥) →⊥) ⇒⊥ φ, (ψ →⊥) →⊥⇒ ψ →⊥ ⊥⇒ ψ h?, 145 (b)i h→ JEAi ? φ, (ψ →⊥) →⊥⇒ ψ →⊥ ⊥⇒ ψ →⊥ ∞ ? In modo analogo è possibile stabilire che le varie leggi di interde nibilità dei connettivi non sono intuizioniste, come indicato nell'esercizio seguente. Otteniamo così dimostrazioni dirette che i connettivi
Esercizio 214.
∧, ∨
e
→
sono tutti
indipendenti.
Mostrare con ricerche di prova:
a. 0G0ie ¬ (φ → ¬ψ) ⇒ φ ∧ ψ b. 0G0ie ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) ⇒ φ ∧ ψ c. 0G0ie ¬ (φ ∧ ¬ψ) ⇒ φ → ψ d. 0G0ie φ → ψ ⇒ ¬φ ∨ ψ e. 0G0ie ¬φ → ψ ⇒ φ ∨ ψ f. 0G0ie (φ → ψ) → ψ ⇒ φ ∨ ψ
Le ricerche di prova possono naturalmente essere applicate a qualunque sequente nel linguaggio del sistema intuizionista.
Siccome i cammini di prova analitica
sono niti, anche il numero delle distinte prove analitiche è nito. Ne risulta che la logica enunciativa intuizionista, così come quella classica, è decidibile:
Teorema 215. Il sistema formale intuizionista G0ie è decidibile. In particolare, è decidibile se una formula φ nel linguaggio P⊥ è un teorema intuizionista.
CAPITOLO 7
Altri
sistemi di prova
Nei capitoli precedenti abbiamo studiato la logica enunciativa dal punto di vista dei sistemi a sequenti. Per allargare il panorama conviene ora dedicare attenzione
hilbertiani - coi quali si è inizialmente sviluppata la logica deduzione naturale.
anche ai sistemi di prova
1
contemporanea
- e alla
7.1. Sistemi assiomatici per la logica enunciativa 7.1.1. Sistemi hilbertiani. In un sistema assiomatico o hilbertiano logica enunciativa
T = hL, T` i
come richiesto da crit117, il dispositivo di prova
AxT
e
RgT
per la
la prima ordinata è un linguaggio enunciativo e,
T`
comprende non solo insiemi
di assiomi e di regole di inferenza ma anche una nozione ben de nita di
prova formale:
Criterio 216. Se T = hL, T` i è un sistema hilbertiano di prova, una successione
Φ = hφ1 , . . . , φn i di formule di L è una prova formale di φn in T se sono soddisfatte le seguenti condizioni : per ogni j (1 ≤ j ≤ n), φj ∈ AxT , oppure ogni ψ ∈ Θ precede Θ φj in Φ e φj risulta in Φ applicando una regola hRegi in RgT . φj Come di consueto, con Φ : φ è indicato che
Φ è una prova formale di φ e, se esiste φ è indicato che φ è un teorema di T. Come può risultare `T ψ tramite una prova formale in un sistema hilbertiano T? Supponiamo per comodità che il linguaggio di T contenga il condizionale. Un teorema ψ di T risulta da assiomi e, nel caso più semplice, la dipendenza deduttiva di ψ da un dato assioma ϕ è direttamente rappresentata da una formula condizionale ϕ → ψ ; nel caso più complesso, tale dipendenza è mediata da altre formule valide χ e ciò richiede nel sistema di prova una rappresentazione e cace della transitività una tale prova, con `T
2
del condizionale.
In entrambi i casi occorre, oltre a una formula condizionale, una
regola che consenta di distaccare il conseguente in base alla disponibilità (nella prova) tanto del condizionale che del suo antecedente. Un tale principio di prova è fornito dalla regola del
distacco
che sulla base delle premesse
o
Modus Ponens
φ→ψ φ hMPi ψ φ → ψ e φ dà come
conclusione il conseguente
ψ
del
condizionale. Se il linguaggio non contiene il condizionale ed è invece basato sulla
1 Ad opera di Frege, Russell, 2 Cfr. tautologie come T10 o
Hilbert, la scuola polacca, ecc. T11 di
3.2.
155
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
156
disgiunzione o sulla congiunzione, in luogo di
3
MP il sistema può contare su analoghe
regole di distacco come le seguenti:
φ ∨ ψ ¬φ hMP∨i ψ
¬ (φ ∧ ¬ψ) φ hMP∧i ψ
Per i sistemi hilbertiani vale anche una generalizzazione della nozione di prova in quella di
derivazione formale, cioè ammettendo assunzioni.
in entrata non solo assiomi ma
anche formule qualunque come
Criterio 217. Se T = hL, T` i è un sistema hilbertiano, T` autorizza una successione Φ = hφ1 , . . . , φn i di formule di L come una derivazione di φn in T da un insieme Γ di formule (e scriviamo Φ : Γ ` φ) sse sono soddisfatte le seguenti condizioni : per ogni j (1 ≤ j ≤ n), φj ∈ AxT , oppure φj ∈ Γ, oppure ogni ψ ∈ Θ Θ
precede φj in Φ e φj risulta in Φ per l'applicazione di una regola hRegi in RgT . φj Se che
φ
T`
è
φ da un insieme Γ di formule in L, Γ `T φ). In particolare, una prova formale
autorizza una derivazione di
derivabile
in
T da Γ
(:
si dice risulta
una derivazione dall'insieme vuoto di assunzioni. Sulla base di crit217 non è aatto chiaro come si comportino le assunzioni in relazione alle regole di inferenza. In altri termini, che
φ
sia derivabile da
Γ
risulta
da proprietà complessive della derivazione, ma crit217 non speci ca l'apporto che le regole di inferenza recano alla assunzioni. Ora, le premesse
dipendenza
delle loro conclusioni da determinate
ψ1 , . . . , ψk di una ψ1 . . . ψ k hRegi φ
regola di inferenza
nel caso generale (cioè se non sono assiomi) sono esse stesse o assunzioni o risultati di applicazioni di regole di inferenza, e quindi sono a loro volta dipendenti da insiemi di assunzioni. Supponiamo che cui
Γ1 , . . . , Γk
siano gli insiemi di assunzioni da
dipendono, rispettivamente, le premesse ψ1 , . . . , ψk , e per indicarlo scriviamo in
generale Γi
` ψi .
Le regole di inferenza si possono riscrivere nel modo seguente
Γ1 ` ψ1 . . . Γk ` ψk hRegi Γ`φ speci cando sia le assunzioni da cui dipendono le premesse sia le assunzioni da cui dipende la conclusione dopo l'applicazione della regola.
De nizione 218.
p -conservativa 4
se l'insieme Γ delle φ della regola veri ca Γ = Γ1 ∪. . .∪Γk , dove assunzioni da cui dipendono le premesse ψ1 , . . . , ψk
Una regola di inferenza è
assunzioni da cui dipende la conclusione
Γ1 , . . . , Γk
sono gli insiemi di
della regola. In particolare,
MP
è p-conservativa e si può correttamente formulare come
regola derivazionale nel modo seguente:
3 Cfr. le tautologie T51 e T54 di 3.2. 4 Cioè, conservativa delle dipendenze da
premesse.
7.1. SISTEMI ASSIOMATICI PER LA LOGICA ENUNCIATIVA
157
∆`φ→ψ Λ`φ hMPi ∆∪Λ`ψ Una proprietà fondamentale dei sistemi formali è che le derivazioni sono sequenze nite di formule, contenenti in particolare assiomi e assunzioni in numero nito. Inoltre, se in un sistema hilbertiano vale
Γ `T φ,
si può aggiungere a
Γ
un qualsiasi
numero di formule senza alterare il risultato di derivabilità. Quindi le derivazioni formali veri cano oltre al requisito di nitezza anche quello di monotonicità:
Teorema 219.
(Finitezza e monotonicità)
a. Se Γ `T φ, allora Θ `T φ per qualche sottoinsieme nito Θ di Γ. b. Se Γ `T φ, allora anche Λ `T φ dove Γ ⊆ Λ. Da crit217 è de nibile una misura di complessità per le derivazioni in un
sistema hilbertiano. Ad assiomi e assunzioni è assegnata complessità derivazionale minima - diciamo uguale a 0. Se la derivazione applica una regola a premesse che sono assiomi, o assunzioni, la conclusione ha complessità derivazionale 1. via.
E così
Naturalmente le premesse di una regola possono avere diverse complessità
derivazionali:
in tal caso la conclusione ha complessità derivazionale
la più alta complessità derivazionale tra le premesse è
Φ = hφ1 , . . . , φn i di formule che Φ è misurata da quella di φn .
De nizione 220.
Sia
n.
T,
costituisce una derivazione in
Φ = hφ1 , . . . , φn i una o φj ∈ Γ .
a. gr (φj ) = 0, se φj ∈ AxT
derivazione in
b. gr(φj ) = max ({gr (ψ) : ψ ∈ Θ}) + 1 , se φj
n + 1,
se
Data una successione
T
risulta in
da
Φ
la complessità di
Γ:
per
c. gr (Φ) = gr (φn ).
Θ hRegi φj
.
In base a questa de nizione si può adottare un principio di induzione matematica sul grado delle derivazioni formali in un sistema hilbertiano:
Criterio 221. (Induzione sulle derivazioni formali)
Sia S una proprietà de nita sulle derivazioni formali tale che : ( i) S vale per ogni derivazione Φ con gr (Φ) = 0; ( ii) Per ogni derivazione Φ t.c. gr (Φ) = n: se ha la proprietà S ogni derivazione Ψ con gr (Ψ) = k ≤ n, allora anche Φ ha S . Allora ogni derivazione formale Φ ha la proprietà S .
È un facile esercizio (applicando il principio crit221) mostrare che alle derivazioni di un sistema hilbertiano, che ha come regola
MP,
è indierente la sostituzione di
variabili enunciative con formule qualsiasi:
Esercizio 222.
Se
RgT = {MP}
e
Γ ` T φ,
allora
Γ [p/χ] `T φ [p/χ].
Da eserc222 segue, in particolare, che è indierente per i teoremi di un sistema assiomatico la sostituzione di variabili enunciative con formule qualsiasi.
7.1.2. Assiomi per la logica enunciativa.
Presentiamo alcuni sistemi di
assiomi per la logica enunciativa, scelti tra quelli che hanno avuto importanza nella costruzione della logica contemporanea. I sistemi considerati hanno tutti unica regola di inferenza.
MP
come
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
158
Il sistema BF della
Begrischrift
di Gottlob Frege.
Iniziamo col sistema di as-
5
siomi elaborato nel testo d'origine della teoria logica contemporanea. di
BF
ha i soli connettivi
Il linguaggio
¬, →.
BF1. φ → (ψ → φ) BF2. (φ → (ψ → χ)) → ((φ → ψ) → (φ → χ)) BF3. (φ → (ψ → χ)) → (ψ → (φ → χ)) BF4. (φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ) BF5◦ . ¬¬φ → φ BF6. φ → ¬¬φ Vedremo più avanti che BF3 non è un assioma indipendente, ma si ricava da BF1 6 e BF2. Analogamente, come mostra il sistema assiomatico M, invece di BF4-BF5BF6 è su ciente l'assioma M3◦ . Così il sistema seguente M risulta una versione opportunamente riveduta di BF.
Il sistema M.
Il linguaggio di
M
ha i soli connettivi
¬, →.7
M1. φ → (ψ → φ) M2. (φ → (ψ → χ)) → ((φ → ψ) → (φ → χ)) M3◦ . (¬ψ → ¬φ) → ((¬ψ → φ) → ψ)
Il sistema Hce. guenti:
Il sistema assiomatico
ha linguaggio
P
Hce
è quello adottato nelle pagine se-
e cinque gruppi di assiomi (uno per ogni connettivo di
P). φ → (ψ → φ) (φ → (φ → ψ)) → (φ → ψ) I.3. (φ → ψ) → ((ψ → χ) → (φ → χ)) II.1. φ ∧ ψ → φ II.2. φ ∧ ψ → ψ II.3. (φ → ψ) → ((φ → χ) → (φ → ψ ∧ χ)) III.1. φ → φ ∨ ψ III.2. ψ → φ ∨ ψ III.3. (φ → χ) → ((ψ → χ) → (φ ∨ ψ → χ)) IV.1. (φ ↔ ψ) → (φ → ψ) IV.2. (φ ↔ ψ) → (ψ → φ) IV.3. (φ → ψ) → ((ψ → φ) → (φ ↔ ψ)) V.1. φ → (¬φ → ψ) V.2. (φ → ψ) → ((φ → ¬ψ) → ¬φ) ◦ V.3 . ¬¬φ → φ I.1.
I.2.
Il sistema HB di Hilbert-Bernays.
di
Hce: Hce.8 In
5 Cfr. Frege [61]. 6 Cfr. la prova di H3 in 7.1.3. 7 M è il sistema formale per la logica enunciativa adottato in Mendelson [133]. 8 Gli assiomi e le regole di HB coincidono con la parte enunciativa del classico sistema
formale di
Il sistema assiomatico
HBI.1-HBIV.3 e HBV.3◦ coincidono con luogo di V.1-2 di Hce, HB adotta gli assiomi seguenti: HBV.1. (φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ) HBV.2. φ → ¬¬φ i suoi assiomi
93]; cfr.
Hilbert-Bernays [
Casari [
34].
HB
è analogo a
◦
I.1-IV.3 e V.3
7.1. SISTEMI ASSIOMATICI PER LA LOGICA ENUNCIATIVA
Il sistema Hy della logica enunciativa intuizionista.
¬, ∧, ∨, →.9 Hy1. φ → φ ∧ φ Hy2. φ ∧ ψ → ψ ∧ φ Hy3. (φ → ψ) → (φ ∧ χ → ψ ∧ χ) Hy4. (φ → ψ) ∧ (ψ → χ) → (φ → χ) Hy5. ψ → (φ → ψ) Hy6. φ ∧ (φ → ψ) → ψ Hy7. φ → φ ∨ ψ Hy8. φ ∨ ψ → ψ ∨ φ Hy9. (φ → χ) ∧ (ψ → χ) → (φ ∨ ψ → χ) Hy10. ¬φ → (φ → ψ) Hy11. (φ → ψ) ∧ (φ → ¬ψ) → ¬φ
159
Il linguaggio di
Hy
ha i
connettivi
Il sistema IM di Kleene.
Anche il linguaggio di
IM
ha i connettivi
¬, ∧, ∨, →.10
IM1. φ → (ψ → φ) IM2. (φ → (ψ → χ)) → ((φ → ψ) → (φ → χ)) IM3. φ ∧ ψ → φ IM4. φ ∧ ψ → ψ IM5. (φ → (ψ → (φ ∧ ψ))) IM6. φ → φ ∨ ψ IM7. ψ → φ ∨ ψ IM8. (φ → χ) → ((ψ → χ) → (φ ∨ ψ → χ)) IM9. (φ → ψ) → ((φ → ¬ψ) → ¬φ) IM10◦ . ¬¬φ → φ
7.1.3. Esempi di prove formali. formale nel sistema
Hce.
Con
Hie
Passiamo ora a qualche esempio di prova
è indicato il sistema (
Hce eliminando l'assioma V.3◦ . Ecco subito una H1. `Hie φ → φ 1. φ → (φ → φ) I.1 2. (φ → (φ → φ)) → (φ → φ) I.2 3. φ → φ MP, 1, 2
intuizionista )
ottenuto da
legge decisamente familiare:
Come si vede da questo primo esempio, le prove in un sistema assiomatico sono rappresentabili come successioni di
righe
di formule, che per comodità possiamo
numerare (nel nostro caso a sinistra della formula interessata) e per ognuna delle quali si può indicare (nel nostro caso a destra della formula interessata ) la
vazione
del relativo passo di dimostrazione. In base a
schema di formula rivazione in
Hce
φ→φ
essere espansa riproducendo la prova formale di
Hce.
moti-
qualsiasi esemplare dello
può essere aggiunto come formula nella riga di una de-
ottenendo così una derivazione
ogni altro teorema di
H1,
abbreviata,
H1.
che può all'occorrenza
Lo stesso vale ovviamente per
Un'altra proprietà dei teoremi è che sono provabilmente
implicati da qualsiasi formula:
Teorema 223. Per ogni sistema assiomatico T tale che `T φ → (ψ → φ) e MP è una regola in T` : se `T φ, allora `T ψ → φ.
9 Si tratta del sistema adottato in Heyting 10 Il sistema è adottato in Kleene [106].
91].
[
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
160
Il teorema seguente è una versione importante della transitività del condizionale (che incorpora, come vedremo tra poco, anche il principio di contrazione rappresentato dall'assioma I.2).
`Hie (φ → (ψ → χ)) → ((φ → ψ) → (φ → χ))
H2. 1 2
(φ→(ψ→χ))→[((ψ→χ)→(φ→χ))→(φ→(φ→χ))] {(φ→(ψ→χ))→[((ψ→χ)→(φ→χ))→(φ→(φ→χ))]}→ {[[((ψ→χ)→(φ→χ))→(φ→(φ→χ))]→[(φ→ψ)→(φ→(φ→χ))]]→ [(φ→(ψ→χ))→[(φ→ψ)→(φ→(φ→χ))]]} [[((ψ→χ)→(φ→χ))→(φ→(φ→χ))]→[(φ→ψ)→(φ→(φ→χ))]]→ [(φ→(ψ→χ))→[(φ→ψ)→(φ→(φ→χ))]] (φ→ψ)→((ψ→χ)→(φ→χ)) [(φ→ψ)→((ψ→χ)→(φ→χ))]→ {[((ψ→χ)→(φ→χ))→(φ→(φ→χ))]→[(φ→ψ)→(φ→(φ→χ))]} [((ψ→χ)→(φ→χ))→(φ→(φ→χ))]→[(φ→ψ)→(φ→(φ→χ))] (φ→(ψ→χ))→[(φ→ψ)→(φ→(φ→χ))] {(φ→(ψ→χ))→[(φ→ψ)→(φ→(φ→χ))]}→ {[[(φ→ψ)→(φ→(φ→χ))]→[(φ→ψ)→(φ→χ)]]→ [(φ→(ψ→χ))→[(φ→ψ)→(φ→χ)]]} [[(φ→ψ)→(φ→(φ→χ))]→[(φ→(φ→χ))→(φ→χ)]]→ [(φ→(ψ→χ))→[(φ→ψ)→(φ→χ)]] [(φ→ψ)→(φ→(φ→χ))]→[(φ→(φ→χ))→(φ→χ)] (φ→(ψ→χ))→[(φ→ψ)→(φ→χ)]
3 4 5 6 7 8
9 10 11
I.3 I.3
MP,1,2 I.3 I.3
MP,4,5 MP,3,6 I.3
MP,7,8
teor223, I.2 MP,9,10
Il passo 10 della prova, che fa appello a teor223, è una semplice abbreviazione: la riga è legittima in quanto il conseguente del condizionale al passo 10 è l'assioma I.2 di
Hie.
Il teorema seguente è un'applicazione diretta di
H2.
`Hie (φ → (ψ → χ)) → (ψ → (φ → χ))
H3.
1 ψ → (φ → ψ) 2 (ψ → (φ → ψ)) → [((φ → ψ) → (φ → χ)) → (ψ → (φ → χ))] 3 ((φ → ψ) → (φ → χ)) → (ψ → (φ → χ)) 4 (φ → (ψ → χ)) → ((φ → ψ) → (φ → χ)) 5 {(φ → (ψ → χ)) → ((φ → ψ) → (φ → χ))} → {[((φ → ψ) → (φ → χ)) → (ψ → (φ → χ))] → [(φ → (ψ → χ)) → (ψ → (φ → χ))]} 6 {[((φ → ψ) → (φ → χ)) → (ψ → (φ → χ))] → [(φ → (ψ → χ)) → (ψ → (φ → χ))]} 7 (φ → (ψ → χ)) → (ψ → (φ → χ))
I.1 I.3
MP, 1, 2 H2 I.3
MP, 4, 5 MP, 3, 6
Hce per dedicare qualche attenzione anche M1 coincide con I.1 di Hce e M2 è il teorema H2. Come si vede, M` è più spartano di Hce` nel darci assiomi per il condizionale e per la negazione. Vediamo anche per M la prova formale di φ → φ. Lasciamo provvisoriamente il sistema
al sistema assiomatico
M.
Il suo assioma
`M φ → φ. φ → ((φ → φ) → φ) M1 [φ → ((φ → φ) → φ)] → [(φ → (φ → φ)) → (φ → φ)] M2 (φ → (φ → φ)) → (φ → φ) MP, 1, 2 φ → (φ → φ) M1 φ→φ MP, 3, 4 Supponiamo ora di aver ricavato in M l'assioma I.3 di Hce: M4. 1 2 3 4 5
M5.
`M (φ → ψ) → ((ψ → χ) → (φ → χ))
7.2. DERIVAZIONI
H2, ossia rispettivamente M1, M5 M: `M (φ → (ψ → χ)) → (ψ → (φ → χ)) piuttosto agevole dimostrare ora in M anche l'assioma I.2 di Hce.
Dalla prova di
M2, M6.
H3
161
risulta che si usano I.1, I.3 e
e
per cui si tratta di una prova anche in
Risulta
`M (φ → (φ → ψ)) → (φ → ψ) (φ → (φ → ψ)) → ((φ → φ) → (φ → ψ)) [(φ → (φ → ψ)) → ((φ → φ) → (φ → ψ))] → [(φ → φ) → ((φ → (φ → ψ)) → (φ → ψ))] 3 (φ → φ) → ((φ → (φ → ψ)) → (φ → ψ)) 4 φ→φ 5 (φ → (φ → ψ)) → (φ → ψ)
M7. 1 2
M2 M6 MP, 1, 2 M4 MP, 3, 4
Prima di proseguire negli esercizi di prova, conviene mostrare che il sistema assiomatico
Hce (M)
Teorema 224.
è corretto:
(Correttezza di
Hce(M)) Se `Hce (M) φ, allora φ.
φ in Hce. Se gr (Φ : φ) = φ ∈ AxHce e quindi per i relativi schemi di valutazione in 3.2 vale: φ. Sia invece gr (Φ : φ) = n + 1, dove φ risulta in Φ per MP applicata a χ e χ → φ. Da (IpInd) segue χ e χ → φ, ma per esemp73 vale χ, χ → φ φ, e quindi anche φ. (La prova per M è analoga.) Dimostrazione. Per induzione sul grado di una prova di
0,
allora
Un'ovvia conseguenza della correttezza è che il sistema assiomatico
formalmente coerente :
Corollario 225.
(Coerenza di
φ che `Hce (M) ¬φ.
Hce (M)
è
Hce(M)) Per nessuna formula φ valgono sia `Hce (M)
7.2. Derivazioni 7.2.1. Il teorema di deduzione. Rimane da in sostanza si tratta di ricavare in qui l'esempio della prova di
H2
in
risolvere il caso di M5, dove M la formula I.3 (=M5) usando M2 (=H2). E Hie usando I.3 già comincia a preoccupare. In
eetti, come suggeriscono gli esempi precedenti, le prove nei sistemi assiomatici spesso non hanno un buon carattere:
la ragione è che richiedono la formazione
di condizionali complessi ai quali applicare principi di transitività e la regola
MP.
Si può tuttavia far molto per ovviare all'intrattabilità delle prove in un sistema assiomatico, sfruttando un'importante proprietà generale della derivabilità formale. Finora non abbiamo visto derivazioni formali ed è vero che, al momento, esse non risultano molto interessanti. o
M)
una derivazione
Φ
Hce φ: disporre di φ `T ψ φ → ψ . D'altra parte, la-
Supponiamo di avere (in sistemi come
di una formula
ψ
da un'altra
non consente però di ottenere anche un teorema
`T
vorare con derivazioni permette di sempli care notevolmente le procedure di prova. di
Consideriamo ad esempio il problema lasciato in sospeso della prova in
M5: (φ → ψ) → ((ψ → χ) → (φ → χ)).
condizionale principale e, a seguire, facciamo lo stesso per gli altri condizionali:
1 2 3
φ→ψ ψ→χ φ
ip ip ip
M
Iniziamo assumendo l'antecedente del
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
162
L'idea di assumere
φ → ψ, ψ → χ
e
derivazione che restituisca la formula
φ è del tutto semplice: vuol dire cercare una χ dalle tre assunzioni. Eettivamente le cose
si mettono subito bene (e presentano un aspetto decisamente più amichevole di una prova come quella di
H2). n
Conveniamo perciò di a ancare alla numerazione n1 , . . . , n k riga
`
n. Una riga di derivazione ha n | n1 , . . . , nk ` ϕ...
così in generale la forma
con il seguente signi cato: la formula
n1 , . . . , n k .
delle righe un'indicazione
che riguarda le assunzioni da cui dipende la formula che occupa la
... ϕ dipende
dalle assunzioni operate ai passi
Continuiamo ora la precedente derivazione:
. . .
4 | 1, 3 ` 5 | 1, 2, 3 `
... ψ χ
... MP, 1, 3 MP, 2, 4
Con cinque semplici passi abbiamo ottenuto la derivazione cercata. Se il processo derivazionale è corretto, la precedente derivazione di
χ
da
φ → ψ, ψ → χ
e
φ
signi ca quanto segue: (1)
φ, ψ → χ, φ → ψ χ.
Da (1) il teorema semantico di deduzione 74 autorizza a ricavare precisamente che
M5
è una tautologia:
(φ → ψ) → ((ψ → χ) → (φ → χ)). Φ : φ, ψ → χ, φ → ψ ` χ non si può al momento estrarre una prova di M5 che renda conto della provabilità in M della tautologia (2). Quindi (2)
Eppure dalla derivazione
le derivazioni restano inerti entro il sistema di prova. Per ottenere prove da derivazioni si deve poter introdurre il condizionale quando sussiste una dipendenza derivazionale da un'assunzione. A ciò provvede il cosiddetto
teorema sintattico di Deduzione,
in base al quale una derivazione in un sistema
assiomatico standard equivale alla prova di un condizionale.
Teorema 226.
(Teorema di Deduzione)
11
Γ, φ `T ψ sse Γ `T φ → ψ , per sistemi
hilbertiani T con le seguenti proprietà : (i ) `T φ → (ψ → φ). (ii ) `T (φ → (ψ → χ)) → ((φ → ψ) → (φ → χ)). (iii ) MP è la regola di inferenza di T. Dimostrazione. Da destra a sinistra: se
derivazione aggiungendo
φ
Γ `T φ → ψ , proseguiamo la MP e avremo una
come assunzione, applichiamo
data deri-
vazione Φ : Γ, φ `T ψ . Da sinistra a destra: per ipotesi esiste una derivazione Φ : Γ, φ `T ψ e la dimostrazione è per induzione sulla complessità derivazionale di Φ. Se gr (Φ) = 0, per def220(a ) la formula ψ è φ o è un'assunzione di Γ o è un assioma di T. Caso ψ = φ. In base alle prove per M sappiamo che da (i ) e (ii ) segue `T φ → φ, e quindi Γ `T φ → φ per teor219(b ). Caso ψ ∈ Γ. Si consideri la seguente derivazione di φ → ψ da ψ in T, dalla quale per teor219(b ) risulta che Γ `T φ → ψ .
11 Cfr.
la regola
IC →
dello schema delle regole di sequenza di
che sia presente il condizionale nel linguaggio, un analogo di esempio, per la disgiunzione o la congiunzione.
4.1.3.
Naturalmente non occorre
teor226
si può dimostrare, ad
7.2. DERIVAZIONI
1|ψ` 2 3|ψ`
163
ψ ip ψ → (φ → ψ) (i) φ→ψ MP, 1, 2
ψ ∈ AxT . Per teor223 abbiamo allora `T φ → ψ , e per teor219(b ) risulta Γ `T φ → ψ . Sia invece gr (Φ) = n + 1. Per (IpInd) il teorema vale per tutte le formule che hanno una derivazione da Γ ∪ {φ} di lunghezza ≤ n. I casi ψ = φ, o ψ ∈ Γ, o ψ ∈ AxT sono trattati come quelli corrispondenti per gr (Φ) = 0. Caso MP. La formula ψ risulta da χ e χ → ψ per applicazione di MP, dove per
Caso
quindi che
(IpInd) vale in particolare: (*)
Γ `T φ → χ
e
Γ `T φ → (χ → ψ).
Allora la seguente . . .
··· φ→χ
k|Γ` . . .
m|Γ` m+1 m+2|Γ` m+3|Γ` è una derivazione di
··· (*)
··· ··· φ → (χ → ψ) (*) (φ → (χ → ψ)) → ((φ → χ) → (φ → ψ)) (ii) (φ → χ) → (φ → ψ) MP, m, m + 1 φ→ψ MP, k, m + 2 φ → ψ da Γ in T.
Le condizioni di teor226 sono chiaramente soddisfatte da I.1 e
H2).
Si può così dare una prova completa di
M5
M
e da
Hce
(cfr.
utilizzando il metodo più
amichevole della derivazione e il teorema di Deduzione:
1|1` φ→ψ 2|2` ψ→χ 3|3` φ 4 | 1, 3 ` ψ 5 | 1, 2, 3 ` χ 6 | 1, 2 ` φ→χ 7|1` (ψ → χ) → (φ → χ) 8 (φ → ψ) → ((ψ → χ) → (φ → χ))
ip ip ip MP, 1, 3 MP, 2, 4 226, 5 226, 6 226, 7
Osserviamo anche che è del tutto indierente (cfr. il teorema
H3) l'ordine nel quale
si introduce il condizionale usando il teorema di Deduzione.
Oltre a questa pro-
prietà di scambio delle ipotesi, le derivazioni formali hanno anche quella della loro contrazione.
12
Un'altra semplice applicazione del teorema di Deduzione stabilisce
poi che la derivabilità in un sistema assiomatico è transitiva. (Le facili prove sono lasciate come esercizio.)
Teorema 227.
(Scambio, Contrazione, Taglio)
a. Γ, Θ `T φ se e solo se Θ, Γ `T φ. b. Θ, Θ, Γ `T φ se e solo se Θ, Γ `T φ. c. Se Γ `T φ e φ, Θ `T ψ , allora Γ, Θ `T ψ .
Il teorema di Deduzione può essere immediatamente generalizzato:
12 Qui
e nel seguito supponiamo in generale che
T
soddis le condizioni del teorema di Deduzione.
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
164
Corollario 228.
Γ `T φ se e solo se per qualche insieme {χ1 , . . . , χn } ⊆ Γ vale `T χ1 → (. . . → (χn → φ) . . .). Supponiamo ora che valga
Γ
Γ `T φ.
In base a cor228, c'è un insieme
{χ1 , . . . , χn } ⊆
t.c.: (4)
`T χ1 → (. . . → (χn → φ) . . .).
Se gli assiomi e le regole di inferenza di (5)
T
sono corretti, da (4) segue:
χ1 → (. . . → (χn → φ) . . .).
Da (5) per il teorema Semantico di Deduzione 74 e la monotonicità della conseguenza logica si ricava naturalmente
Teorema 229. Da
corretto.13
Γ φ.
Così:
Γ `T φ segue Γ φ, se T è un sistema hilbertiano di prova
Da teor229 risulta in particolare la correttezza delle derivazioni in
Corollario 230. Se Γ `Hce(M) φ, allora Γ φ. 7.2.2. Regole derivate. Il teorema di Deduzione per ottenere formule valide e anche l'uso di
Hce (M).
226 consente derivazioni
regole derivate
nelle prove sulla base
dei rispettivi insiemi di assiomi e di regole di inferenza. Le regole derivate non sono come le regole formali di inferenza. Queste ultime stabiliscono che da certi schemi di formule è permesso transitare ad altri. Quelle derivate sono invece metodi per abbreviare derivazioni: data una certa gura di derivazione, è
giusti cato transitare
ad un'altra sulla base di principi di prova già disponibili (cfr. def160). Riconsideriamo quanto stabilito da teor226 in termini del condurre derivazioni e prove. Per la parte banale del teorema, se in una derivazione risulta dipendente da assunzioni
Γ,
allora si può proseguire
che risulta dipendente anche dalla assunzione
φ.
Φ la formula φ → ψ Φ con la formula ψ
Qui si presentano le seguenti
i φ non è la formula di una riga di Φ, (ii ) φ occorre tra le assunzioni
possibilità: ( )
Γ, (iii ) φ è in una riga di Φ che dipende da un sottoinsieme Γ0 delle assunzioni Γ. Se (i ) è il caso, allora aggiungiamo φ come assunzione, applichiamo MP a φ e φ → ψ , e alla riga relativa ψ dipende da Γ, φ; se (ii ) o (iii ) sono il caso, si applica MP a φ e φ → ψ , e alla riga relativa ψ dipende da Γ. In tutti e tre i casi si tratta solo di un'applicazione di MP. La parte banale del teorema di Deduzione suggerisce quindi solo quanto già sappiamo sulle dipendenze in MP: Γ`φ→ψ Θ`φ hMPi Γ, Θ ` ψ
a
La proprietà di Scambio nelle derivazioni stabilita in teor227( ) autorizza a trattare
Γ, Θ ` φ come equivalente a Θ, Γ ` φ:
è indierente in che ordine sono indicate
le assunzioni da cui dipende una formula. Questo caso e quello corrispondente della
b
contrazione di assunzioni [cfr. teor227( )], si possono rappresentare come regole derivate di Scambio e Contrazione:
Γ, Θ ` φ hSci Θ, Γ ` φ 13 Naturalmente Γ
in
Θ, Θ, Γ ` φ hCtri Θ, Γ ` φ
teor229 può anche essere di cardinalità non nita, in quanto la derivabilità teor219.
in un sistema assiomatico soddisfa
7.2. DERIVAZIONI
165
Per concisione, useremo nel seguito tacitamente queste proprietà delle derivazioni. La parte non banale del teorema di Deduzione consente una regola derivata di
introduzione
del condizionale:
Γ, φ ` ψ h→ Ii Γ`φ→ψ → I, se la formula ψ risulta dipendente da assunzioni Γ, φ in una deriΦ, allora si può proseguire Φ con la formula φ → ψ che risulta dipendente 14 dalle assunzioni Γ . La regola → I non è quindi p-conservativa.
In base a vazione solo
Vediamo subito un esempio d'uso di regole derivate.
H4. 1|1` 2 3|1` 4 5|1` 6
`Hie φ ∧ ψ → ψ ∨ φ φ∧ψ ip φ∧ψ →ψ II.2 ψ MP, 1, 2 ψ →ψ∨φ III.1 ψ∨φ MP, 3, 4 φ∧ψ →ψ∨φ → I, 5
Come altro esempio consideriamo la prova seguente per la commutatività della congiunzione:
H5. 1|1` 2 3 4|1` 5|1` 6 7 8 9 10 | 1 ` 11 | 1 ` 12 | 1 ` 13
`Hie φ ∧ ψ → ψ ∧ φ φ∧ψ φ∧ψ →φ φ∧ψ →ψ φ ψ (ψ → ψ) → ((ψ → φ) → (ψ → ψ ∧ φ)) ψ→ψ (ψ → φ) → (ψ → ψ ∧ φ) φ → (ψ → φ) ψ→φ ψ →ψ∧φ ψ∧φ φ∧ψ →ψ∧φ
Esercizio 231.
ip II.1 II.2
MP, 1, 2 MP, 1, 3 II.3
H1 MP, 6, 7 I.1
MP, 4, 9 MP, 8, 10 MP, 5, 11 → I, 12
Dare prove formali per i teoremi seguenti:
`Hie (φ ∧ ψ) → (φ → ψ) `Hie (φ ∧ ψ) → (φ ↔ ψ)
H6. H7. Mentre
→I
vale per ogni sistema assiomatico di prova che soddis teor226, altre
regole derivate dipendono ovviamente dalle proprietà deduttive del sistema di prova considerato. Passiamo quindi a considerare regole derivate per gli altri connettivi del linguaggio standard. Per cominciare, consideriamo che l'assioma I.1 permette di stabilire in forma di regola derivata la monotonicità della relazione di derivazione in
Hce,
come si vede
nel modo seguente:
14
L'eettività di
→I
riposa sul fatto che sappiamo dal teorema di Deduzione come operare la
trasformazione derivazionale, proprio allo stesso modo in cui sappiamo come trasformare una prova abbreviata, dove usiamo un dato teorema, in una completa che ne include la prova.
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
166
... ... k|Γ` φ k+1 φ → (ψ → φ) k+2|Γ` ψ→φ k+3|k+3` ψ k + 4 | Γ, k + 3 ` φ
... ... I.1
MP, k, k + 1 ip MP, k + 2, k + 3
Naturalmente questo procedimento è iterabile a piacere e quindi ne risulta la seguente regola derivata di Aggiunta:
Γ`φ hAgi Γ, ∆ ` φ In una derivazione la regola
... k|Γ` ... k+n|∆` ... k + n + i | Γ, ∆ ` ...
Ag
... φ ... ψ ... φ ...
sarà usata nel modo indicato qui di seguito:
... ... ... ... ... Ag, k, k + n ...
Nelle prove precedenti sono stati già ampiamente usati gli assiomi II.1-2, dai quali risultano due regole derivate di
eliminazione
Γ`φ∧ψ h∧Ei Γ`φ Le regole
∧E
stabiliscono che
φ
e
ψ
del connettivo
∧:
Γ`φ∧ψ h∧Ei Γ`ψ
ereditano le dipendenze derivazionali di
φ ∧ ψ.
Ad esempio:
... ... k|Γ` φ∧ψ k+1 φ∧ψ →φ k+2|Γ` φ
... ... II.1
MP, k, k + 1
Appena meno immediato è dare una regola derivata dipendente dall'assioma II.3 di
Hcp.
Applicando a II.3 la parte banale di teor226 otteniamo una versione
dell'assioma II.3 che non dice molto: (6)
χ → φ, χ → ψ, χ ` φ ∧ ψ .
Impariamo invece qualcosa di istruttivo realizzando che avere un condizionale
φ
tra le assunzioni equivale ad avere una derivazione
χ ` φ.
χ→
Applicando queste
considerazioni a (6), risulta subito un'altra regola derivata
Γ`φ Θ`ψ h∧Ii Γ, Θ ` φ ∧ ψ di introduzione del connettivo nella quale le dipendenze derivazionali restano immutate. Per la giusti cazione formale della regola derivazione
Φ
derivazione di
tanto
φ ∧ ψ:
φ
che
ψ
∧I
supponiamo di avere in una
da date assunzioni. Si può allora estendere
Φ
a una
7.2. DERIVAZIONI
... k|Γ` ... k0 | Θ ` k0 + 1 k0 + 2 k0 + 3 k0 + 4 k0 + 5 | Θ ` k0 + 6 | Θ ` k 0 + 7 | Γ, Θ `
Osservazione 232.
... ... φ ... ... ... ψ ... φ→φ H1 (φ → φ) → ((φ → ψ) → (φ → φ ∧ ψ)) II.3 (φ → ψ) → (φ → φ ∧ ψ) MP, k 0 + 1, k 0 + 2 ψ → (φ → ψ) I.1 φ→ψ MP, k 0 , k 0 + 4 φ→φ∧ψ MP, k 0 + 3, k 0 + 5 φ∧ψ MP, k, k 0 + 6 La regola
Ag
può essere derivata anche da
... ... k|Γ` φ ... ... k+n|∆` ψ ... ... k + n + i | Γ, ∆ ` φ∧ψ k + n + i + 1 | Γ, ∆ ` φ
Come
167
∧I
e
∧E:
... ... ... ... ... ∧I, k, k + n ∧E, k + n + i
esempio delle sempli cazioni che si ottengono con le nuove regole, consi-
deriamo la prova seguente del teorema
1|1` 2|1` 3|1` 4|1` 5
ψ∧φ φ ψ ψ∧φ φ∧ψ →ψ∧φ
H4.
ip ∧E, 1 ∧E, 1 ∧I, 3, 2 → I, 4
Il guadagno è discreto - e lo è anche per la comprensione delle proprietà logicodeduttive dei connettivi. Ad esempio, è ora immediato il seguente teorema:
H8.
`Hie φ → (ψ → (φ ∧ ψ)) ◦
Ecco regole che sono semplici riscritture derivazionali degli assiomi V.1-3
Γ ` φ Θ ` ¬φ h¬Ei Γ, Θ ` ψ Con una facile applicazione di
H9.
H12. H13. H14.
Θ, φ ` ¬ψ h¬Ii Γ, Θ ` ¬φ
¬E
si dimostra la legge seguente:
`Hie φ ∧ ¬φ → ψ
Esercizio 233. H10. H11.
Γ, φ ` ψ
Dare prove formali per i teoremi seguenti:
`Hie ¬ (φ ∧ ¬φ)
a. `Hie (φ → ¬φ) → ¬φ
b◦ . `Hce (¬φ → φ) → φ `Hie φ → ¬¬φ a. `Hie (φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ) b◦ . `Hce (¬ψ → ¬φ) → (φ → ψ) a. `Hie φ → (¬φ → ψ) b. `Hie ¬φ → (φ → ψ)
Γ ` ¬¬φ hDN◦ i Γ`φ
di
Hcp:
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
168
Regole derivate di introduzione per la disgiunzione risultano subito dagli assiomi III.1-2, mentre lasciamo come esercizio la giusti cazione di
∨E:
Γ, φ ` χ Λ, ψ ` χ Θ ` φ ∨ ψ Γ`φ Γ`ψ h∨Ii h∨Ii h∨Ei Γ`φ∨ψ Γ`φ∨ψ Γ, Λ, Θ ` χ Come esempio della applicazione di ∨I vediamo una prova della commutatività della disgiunzione.
H15. `Hie φ ∨ ψ → ψ ∨ φ 1|1` φ∨ψ ip 2|2` φ ip 3|3` ψ ip 4|2` ψ∨φ ∨I, 3 5|3` ψ∨φ ∨I, 2 6|1` ψ∨φ ∨E, 4, 5 7 φ∨ψ →ψ∨φ → I, 6 La prova della legge seguente è un buon esercizio di applicazione della regola
∨E.
H16. `Hie ((φ → χ) ∨ (ψ → χ)) → ((φ ∧ ψ) → χ) 1|1` φ→χ ip 2|2` ψ→χ ip 3|3` φ∧ψ ip 4|3` φ ∧E, 1 5 | 1, 3 ` χ MP, 1, 4 6|1` (φ ∧ ψ) → χ → I, 5 7 φ∧ψ ip 8|7` ψ ∧E, 7 9 | 2, 7 ` χ MP, 2, 8 10 | 2 ` (φ ∧ ψ) → χ → I, 9 11 | 11 ` (φ → χ) ∨ (ψ → χ) ip 12 | 11 ` (φ ∧ ψ) → χ ∨E, 6, 10, 11 13 ((φ → χ) ∨ (ψ → χ)) → ((φ ∧ ψ) → χ) → I, 12 Ecco una importante relazione tra terzo escluso e doppia negazione.
Esempio 234.
`Hie (φ ∨ ¬φ) → (¬¬φ → φ)
1|1` φ ∨ ¬φ ip 2|2` ¬¬φ ip 3|3` φ ip 4|4` ¬φ ip 5 | 2, 4 ` φ ¬E, 2, 4 6 | 1, 2 ` φ ∨E, 3, 5, 1 7|1 ¬¬φ → φ → I, 6 8 (φ ∨ ¬φ) → (¬¬φ → φ) → I, 7 Per la regola ∨E si osservi che, se le assunzioni φ e ψ esauriscono i li, allora χ si può considerare provata. Questo avviene tipicamente classica) con l'uso del terzo escluso:
H17.
a◦ . `Hce φ ∨ ¬φ. b. `Hie ¬¬ (φ ∨ ¬φ)
casi possibi(nella logica
7.2. DERIVAZIONI
φ → (φ ∨ ¬φ) ¬φ → (φ ∨ ¬φ) ¬ (φ ∨ ¬φ) [φ → (φ ∨ ¬φ)] → [¬ (φ ∨ ¬φ) → ¬φ] ¬ (φ ∨ ¬φ) → ¬φ ¬φ [¬φ → (φ ∨ ¬φ)] → [¬ (φ ∨ ¬φ) → ¬¬φ] ¬ (φ ∨ ¬φ) → ¬¬φ ¬¬φ ¬¬ (φ ∨ ¬φ) φ ∨ ¬φ
1 2 3|3` 4 5 6|3` 7 8 9|3` 10 11
169
III.1 III.2
ip H13
MP, 1, 4 MP, 5, 3 H13
MP, 7, 2 MP, 7, 3 ¬I, 6, 9 DN°, 10
Anche il terzo escluso si può presentare in forma di regola derivata:
Γ, φ ` χ Γ, ¬φ ` χ hTe◦ i Γ`χ Come esercizio con
Esercizio 235. H18.
si può provare in
Hce
l'assioma
M3◦
di
M:
`Hce (¬ψ → ¬φ) → ((¬ψ → φ) → ψ).
a. `Hie φ ∨ ψ → (¬ψ → φ) b. `Hie φ ∨ ψ → (¬φ → ψ)
1|1` 2|2` 3|3` 4 5|2` 6|6` 7 | 3, 6 ` 8|3` 9|1` 10 La prova di derivate di
Te◦
φ∨ψ φ ψ φ → (¬ψ → φ) ¬ψ → φ ¬ψ φ ¬ψ → φ ¬ψ → φ φ ∨ ψ → (¬ψ → φ) H18 (b)
ip ip ip I.1
MP, 4, 2 ip ¬E, 3, 6 → I, 7 ∨E, 5, 8, 1 → I, 9
è ovviamente analoga.
Modus Ponens
Le leggi in
H18
autorizzano regole
per la disgiunzione:
Γ ` φ ∨ ψ ∆ ` ¬φ hMP∨i Γ, ∆ ` ψ
Γ ` φ ∨ ψ ∆ ` ¬ψ hMP∨i Γ, ∆ ` φ
Segue ora qualche esercizio di prova con regole derivate nel sistema intuizionista.
Esercizio 236.
Provare i teoremi seguenti:
a. `Hie (ψ → χ) → (φ ∨ ψ → φ ∨ χ) b. `Hie (φ → ψ ∧ χ) ↔ ((φ → ψ) ∧ (φ → χ)) c. `Hie (χ → φ ∨ ψ) ↔ ((χ → φ) ∨ (χ → ψ)) Veniamo poi a due leggi classiche della disgiunzione.
H19◦ .
`Hce (φ → ψ) → ¬φ ∨ ψ
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
170
1|1` 2|2` 3 | 1, 2 ` 4 | 1, 2 ` 5|5` 6|5` 7|1` 8
φ→ψ φ ψ ¬φ ∨ ψ ¬φ ¬φ ∨ ψ ¬φ ∨ ψ (φ → ψ) → ¬φ ∨ ψ
H20◦ . `Hce 1|1` 2|2` 3 | 1, 2 ` 4|4` 5|4` 6|6` 7 8|6` 9|6` 10 | 1, 2 ` 11 | 11 ` 12 | 12 ` 13 | 11, 12 ` 14 | 11 ` 15 | 11 ` 16 | 1 ` 17
ip ip MP, 1, 2 ∨I, 3 ip ∨I, 5 Te◦ , 4, 6 → I, 7
(φ → ψ ∨ χ) → (ψ ∨ (φ → χ)) φ→ψ∨χ φ ψ∨χ ψ ψ ∨ (φ → χ) χ χ → (φ → χ) φ→χ ψ ∨ (φ → χ) ψ ∨ (φ → χ) ¬φ φ χ φ→χ ψ ∨ (φ → χ) ψ ∨ (φ → χ) (φ → ψ ∨ χ) → (ψ ∨ (φ → χ))
ip ip MP, 1, 2 ip ∨I, 4 ip I.1
MP, 7, 6 ∨I, 8 ∨E, 5, 9, 3 ip ip ¬E, 11, 12 → I, 13 ∨I, 14 Te◦ , 10, 15 → I, 16
Regole derivate per il bicondizionale seguono subito dagli assiomi IV.1-3. Le regole non comportano variazioni nelle premesse.
Γ`φ↔ψ h↔ Ei Γ`φ→ψ
Γ`φ↔ψ h↔ Ei Γ`ψ→φ
Γ`φ→ψ Θ`ψ→φ h↔ Ii Γ, Θ ` φ ↔ ψ
Seguono ora due leggi sul rimpiazzamento di formule in una disgiunzione:
H21.
a. `Hie (φ ∨ ψ) ∧ (ψ ↔ χ) → (φ ∨ χ) b. `Hie (φ ∨ ψ) ∧ (ψ → χ) → (φ ∨ χ)
1|1` 2|1` 3|1` 4|4` 5|4` 6|6` 7|1` 8 | 1, 6 ` 9 | 1, 6 ` 10 | 1 ` 11
(φ ∨ ψ) ∧ (ψ ↔ χ) φ∨ψ ψ↔χ φ φ∨χ ψ ψ→χ χ φ∨χ φ∨χ (φ ∨ ψ) ∧ (ψ ↔ χ) → (φ ∨ χ)
ip ∧E, 1 ∧E, 1 ip ∨I, 4 ip ↔ E, 3 MP, 7, 6 ∨I, 8 ∨E, 5, 9, 2 → I, 10
Ecco un altro esempio sui principi di prova nel sistema intuizionista.
H22.
`Hie ¬ (φ ∧ ψ) ∧ ψ → ¬φ
7.2. DERIVAZIONI
1|1` 2|2` 3|1` 4 | 1, 2 ` 5|1` 6 | 1, 2 ` 7|1` 8
¬ (φ ∧ ψ) ∧ ψ φ ψ φ∧ψ ¬ (φ ∧ ψ) ¬ (φ ∧ ψ) ¬φ ¬ (φ ∧ ψ) ∧ ψ → ¬φ
171
ip ip ∧E, 1 ∧I, 2, 3 ∧E, 1 Ag, 2, 5 ¬I, 4, 6 → I, 8
Vediamo come esercizio la prova dell'esprimibilità del bicondizionale in termini di negazione, congiunzione e disgiunzione.
H23◦ . `Hce 1|1` 2|1` 3|3` 4 | 1, 3 ` 5 | 1, 3 ` 6 | 1, 3 ` 7|7` 8|1` 9 10 | 1 ` 11 | 1, 7 ` 12 | 1, 7 ` 13 | 1, 7 ` 14 | 1 ` 15 16 | 16 ` 17 | 16 ` 18 | 16 ` 19 | 19 ` 20 | 19 ` 21 | 21 ` 22 | 19, 21 ` 23 | 19 ` 24 | 19 ` 25 | 25 ` 26 | 19, 25 ` 27 | 19 ` 28 | 19 ` 29 | 29 ` 30 | 29 ` 31 32
(φ ↔ ψ) ↔ ((φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ)) φ↔ψ φ→ψ φ ψ φ∧ψ (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ) ¬φ ψ→φ (ψ → φ) → (¬φ → ¬ψ) ¬φ → ¬ψ ¬ψ ¬φ ∧ ¬ψ (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ) (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ) (φ ↔ ψ) → ((φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ)) φ∧ψ (φ ∧ ψ) → (φ ↔ ψ) φ↔ψ ¬φ ∧ ¬ψ ¬φ φ ψ φ→ψ ¬ψ ψ φ ψ→φ φ↔ψ (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ) φ↔ψ ((φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ)) → (φ ↔ ψ) (φ ↔ ψ) ↔ ((φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ))
ip ↔ E, 1 ip MP, 2, 3 ∧I, 3, 4 ∨I, 5 ip ↔ E, 1 H13 MP, 9.8 MP, 10, 7 ∧I, 7, 11 ∨I, 12 Te◦ , 6, 13 → I, 14 ip H7 (a) MP, 17, 16 ip ∧E, 19 ip ¬E, 21, 20 → I, 22 ∧E, 19 ip ¬E, 25, 24 → I, 26 ↔ I, 23, 27 ip ∨E, 18, 28, 29 → I, 30 ↔ I, 15, 31
Ancora qualche esercizio di prova con regole derivate nel sistema classico.
Esercizio 237.
Provare i teoremi seguenti:
a◦ . `Hce ¬ (φ ∧ ψ) ↔ (¬φ ∨ ¬ψ) b◦ . `Hce (φ → ψ) ∨ (φ → ¬ψ)
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
172
c◦ . `Hce (φ → ψ) ∨ (ψ → φ) d◦ . `Hce ((φ → ψ) → φ) → φ e◦ . `Hce (χ → (ψ ∨ ¬φ)) ↔ ((φ ∧ χ) → ψ) f ◦ . `Hce ¬ (φ → ψ) ↔ (φ ∧ ¬ψ) In ne un ultimo esempio di prova con regole derivate nel sistema classico:
H24◦ .
`Hce ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) ↔ (φ ∧ ψ)
1|1` 2|2` 3|3` 4 | 2, 3 ` 5|5` 6|5` 7 | 1, 5 ` 8 | 1, 3 ` 9|9` 10 | 9 ` 11 | 1, 9 ` 12 | 1 ` 13 14 | 14 ` 15 | 15 ` 16 | 16 ` 17 | 14 ` 18 | 14, 16 ` 19 | 19 ` 20 | 14 ` 21 | 14, 19 ` 22 | 14, 15 ` 23 | 1 | 4 ` 24 25
¬ (¬φ ∨ ¬ψ) φ ψ φ∧ψ ¬φ ¬φ ∨ ¬ψ φ∧ψ φ∧ψ ¬ψ ¬φ ∨ ¬ψ φ∧ψ φ∧ψ ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) → (φ ∧ ψ) φ∧ψ ¬φ ∨ ¬ψ ¬φ φ ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) ¬ψ ψ ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) (φ ∧ ψ) → ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) ↔ (φ ∧ ψ)
ip ip ip ∧I, 2, 3 ip ∨I, 5 ¬E, 1, 6 Te◦ , 4, 7 ip ∨I, 9 ¬E, 1, 10 Te◦ , 8, 11 → I, 12 ip ip ip ∧E, 14 ¬E, 17, 16 ip ∧E, 14 ¬E, 20, 19 ∨E, 18, 21, 15 ¬I, 15, 22 → I, 23 ↔ I, 13, 24
7.3. Deduzione naturale Nelle sezioni precedenti abbiamo visto che la scelta e lo sviluppo di un sistema di assiomi vuol dire l'identi cazione di formule logicamente valide che possano fungere da primitive, e dalle quali con regole di inferenza corrette si possano dare prove di altre formule logicamente valide (nel dato linguaggio). Abbiamo però anche visto che, per condurre prove formali, un sistema di regole è più economico ed e ciente di un sistema assiomatico. Passare a sistemi di prova a regole non riposa però solo su ragioni di e cienza ed economicità nelle prove.
La nozione di derivazione formale può apparire una
semplice generalizzazione di quella di prova. Le cose non stanno tuttavia esattamente così. Alcune regole di inferenza derivate non presentano modi cazioni tra le assunzioni delle premesse e quelle della conclusione, e sembrano così comportarsi come semplici transizioni tra formule. Le regole che modi cano assunzioni suggeriscono però che la nozione di derivazione formale include in modo essenziale quella
7.3. DEDUZIONE NATURALE
di
dipendenza
173
derivazionale. In fondo la nozione di regola di inferenza per un si-
stema assiomatico è intrinsecamente povera: elaborata per transizioni tra assiomi e teoremi, o tra teoremi, non tematizza dipendenze derivazionali. In senso generale un'inferenza non riguarda quindi solo transizioni tra forme logiche, quanto piuttosto transizioni tra forme logiche dipendenze da altre forme logiche.
In sintesi:
insieme
alle loro eventuali
passare a sistemi di regole ci fa
comprendere meglio la nozione stessa di inferenza, e quindi di deduzione. Il transito a sistemi di prova a regole può essere eettuato mantenendo in fondo inalterato il punto di partenza dei sistemi assiomatici, cioè derivazioni su formule. Questo cammino corrisponde al pro lo dei sistemi di versione originaria:
15
deduzione naturale
nella loro
un sistema di prova a deduzione naturale è come un sistema
a
assiomatico con la dierenza che ( ) minimizza gli assiomi e massimizza le regole
b
di inferenza, e ( ) include direttamente nel sistema la nozione di dipendenza derivazionale che abbiamo incontrato - come nozione sul sistema - nel trattare le regole derivate per un sistema assiomatico.
In questo senso, reinterpretando
7.2.2 si ottengono subito sistemi di prova
opportunamente le regole derivate del a deduzione naturale.
Viceversa, si può costruire la deduzione naturale come un sistema di prova che non lavora semplicemente su formule enunciative, ma su rappresentazioni dirette della conseguenza e/o deduzione logica:
tale indirizzo risponde al pro lo di un
calcolo logico di sequenti e in questo senso la deduzione naturale non è che un certo particolare tipo di calcolo di sequenti che contempla sia regole di introduzione che regole di eliminazione degli operatori logici. Qui si seguirà il primo cammino, sul secondo torneremo più avanti.
7.3.1. Regole di deduzione naturale .
La denominazione deduzione na-
turale è dovuta al carattere de nitorio - naturale1 - che si intende abbiano le relative regole di inferenza rispetto al signi cato degli operatori logici e al carattere naturale2 che si intende abbiano le prove costruite con tali regole rispetto all'eettiva pratica di prova deduttiva, soprattutto in matematica. Riguardo a naturale1 , l'idea centrale è che le regole di inferenza isolate nella deduzione naturale presentano due proprietà:
signi cato
(A)
esse rispecchiano o determinano il
(B)
in esse tale signi cato può essere espresso in termini puramente
Consideriamo un operatore logico enunciativo binario mule
φ ⊗ ψ.
delle costanti logiche;
⊗
formali.
che vada a costituire for-
Il problema di stabilire le proprietà logiche della forma
φ⊗ψ
si può
considerare risolto se si determina il contributo che tale forma dà alla relazione di conseguenza-deduzione logica. Questo vuol dire in particolare:
i
( ) (
determinare quali formule seguono da conseguenti di
ii )
φ⊗ψ
φ ⊗ ψ,
ossia quali sono i possibili
in virtù delle proprietà logiche di
determinare da quali formule segue la formula possibili antecedenti di
i
Ai problemi ( )-(
φ⊗ψ
φ ⊗ ψ,
⊗;
ossia quali sono i
in virtù delle proprietà logiche di
⊗.
ii ) la teoria della deduzione naturale dà risposta in base al seguente
principio: (
iii )
conseguenti e antecedenti di
φ⊗ψ
dei conseguenti e antecedenti
15 Cfr.
possono essere determinati sulla base
immediati
di
φ ⊗ ψ.
77] e Jaskowski [102].
le prime formulazioni della deduzione naturale in Gentzen [
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
174
Tale risposta ci riporta al punto (A): conseguenti e antecedenti immediati di si possono determinare in base al signi cato logico dell'operatore
⊗
φ ⊗ ψ.
classica depositato nelle condizioni di verità della formula
φ⊗ψ
- nella logica
Un'interpreta-
zione più radicale dei principi di deduzione naturale - soprattutto alla base delle versioni non classiche - è che la stessa relazione di conseguenza-deduzione logica sia sostanzialmente determinata dal signi cato degli operatori logici ssato in regole
16
che speci cano i loro antecedenti e conseguenti immediati.
In questo senso, la
prospettiva classica sulla valutazione delle formule non è contenuta nel nucleo centrale di regole della deduzione naturale: per introdurla occorre adottare principi come il terzo escluso (o la legge forte di doppia negazione, ecc.) che non sono certo esempi di relazioni di conseguenza-deduzione immediata.
φ∧ψ : è quella φ e da ψ . In eetti, dalle condizioni semantiche per φ ∧ ψ risulta che φ ∧ ψ φ e φ ∧ ψ ψ , in più per ∧A di teor110 vale che: φ ∧ ψ χ sse φ, ψ χ. Così i conseguenti immediati di φ ∧ ψ sono φ e ψ . E questo ci riporta al punto (ii ). La relazione tra φ ∧ ψ e i suoi conseguenti immediati φ e ψ può essere stabilita in V'è senza dubbio una più piccola classe di formule che seguono da
costituita da
modo strettamente formale-strutturale tramite una doppia regola di eliminazione
φ∧ψ hE∧i (1) ψ il cui signi cato è più o meno il seguente: φ (ψ ) è conseguenza deduttiva immediata di φ ∧ ψ . Regola
E∧
φ∧ψ hE∧i φ
:
Una regola di deduzione naturale non ha solo proprietà formali di eliminazione (o di introduzione).
Ha anche un'altro genere di proprietà speci cata da un
costituente
[Γ] φ col quale in generale si intende che nella data derivazione la formula formule dell'insieme
E∧
Γ.
φ dipende
dalle
In questo senso la piena formulazione di una regola come
sarebbe piuttosto la seguente:
[Γ] φ∧ψ hE∧i [Γ] ψ
[Γ] φ∧ψ hE∧i [Γ] φ
Con questa notazione è reso esplicito che la regola le dipendenze di
φ∧ψ
si trasferiscono da
φ∧ψ
(2)
E∧ è p-conservativa (cfr. def218): φ e ψ . Proprio
a entrambi i congiunti
per questo la regola si può scrivere nella forma concisa (1). Seguendo la notazione standard per le regole di deduzione naturale, continueremo ad usare fome concise come (1) invece di forme estese esplicite come (2), salvo naturalmente per le regole non p-conservative. Prima di proseguire nell'esame delle regole conviene dedicare subito attenzione alla regola di Regola
16 [
assunzione :
Ass
:
[φ] φ
Per una discussione su questo punto si può vedere Mariani-Moriconi [
139], cap.
1.6.
132],
cap. 3; Moriconi
7.3. DEDUZIONE NATURALE
La regola
175
Ass è il punto di partenza dei vari cammini di prova in deduzione naturale:
essa corrisponde al permesso di inserire un'assunzione o ipotesi, in qualsiasi punto di una derivazione, che possa funzionare come premessa dell'applicazione di una regola di inferenza e dalla quale può dipendere la relativa conclusione.
Ass
vede, la regola
Come si
contiene correttamente l'istruzione che un'assunzione dipende
da se stessa. Tornando alla congiunzione, la classe più piccola di formule dalla quale si ottiene
φ ∧ ψ è costituita da φ e ψ . Infatti, dalle φ ∧ ψ si ricava φ, ψ φ ∧ ψ , e in più per ∧C di teor110 vale che: χ φ ∧ ψ sse χ φ e χ φ. Così gli antecedenti immediati di φ ∧ ψ sono φ e ψ . In altri termini: date le formule φ e ψ , il loro conseguente immediato è φ ∧ ψ . Anche questo ci riporta al punto (ii ): la relazione tra le formule φ e ψ e il loro conseguente immediato φ ∧ ψ può essere determinata in modo strettamente come conseguenza logica la formula
condizioni di verità per
formale tramite la regola di introduzione
I∧
Regola
φ ψ hI∧i φ∧ψ
:
il cui signi cato è più o meno il seguente:
φ
e
ψ.
Anche la regola
I∧
conserva, come
φ ∧ ψ è una conseguenza immediata di E∧, le dipendenze delle premesse nella
conclusione. Il caso della disgiunzione è analogo a quello della congiunzione: la classe dei possibili antecedenti immediati di
φ φ∨ψ
e
ψ φ ∨ ψ,
e a
∨C
φ∨ψ
è costituita dalle formule
di teor110:
χ φ∨ψ
sse
χφ
φ e ψ , in base a χ ψ . Questo
o
conduce alla doppia regola
I∨
Regola
:
il cui signi cato è più o meno: vede, anche
I∨
φ hI∨i φ∨ψ φ∨ψ
ψ hI∨i φ∨ψ è conseguenza immediata di
φ (ψ ).
Come si
è p-conservativa.
Appena più complesso è il caso delle conseguenze di
φ ∨ ψ,
in quanto la loro
speci cazione assume una forma condizionale. La classe dei possibili conseguenti
φ∨ψ ∨A di
χ che sia conseguenza di φ e di ψ χ. Si osservi che in questo caso - a dierenza di quelli visti nora - non v'è nessuna sottoformula di φ ∨ ψ che possa fungere da conseguente immediato di φ ∨ ψ . Un conseguente immediato di φ ∨ ψ è invece individuato dalla proprietà di essere una conseguenza di φ e una conseguenza di ψ . La relativa regola E∨ recita: [φ] [ψ] χ χ φ∨ψ Regola E∨ : hE∨i χ immediati di
è costituita da qualsiasi formula
ψ,
teor110:
in base a
φ∨ψ χ
φχ
sse
e
e la sua formulazione contrassegna esplicitamente questa proprietà di un conseguente immediato di
φ ∨ ψ,
tramite le istruzioni
[φ] χ
χ. Il signi cato intuitivo della regola E∨ è che χ è conseguenza φ ∨ ψ , se χ dipende sia da φ che da ψ .
sulle dipendenze di immediata di
[ψ] χ
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
176
Un'applicazione della regola di eliminazione comunemente,
scarica
χ.
da cui dipende la premessa della regola
E∨
E∨ cancella - o, come si dice più χ le assunzioni φ e ψ
- dalle dipendenze della conclusione
Ciò suggerisce subito che vere e proprie premesse
non sono tanto (occorrenze del)la formula
quanto piuttosto tali formule
χ
e la formula
insieme alle rispettive dipendenze.
φ ∨ ψ,
Altre regole di
deduzione naturale si comportano allo stesso modo, scaricando assunzioni, e questo in uenza in modo preciso la nozione di che cosa è una prova in deduzione naturale: non tanto una sequenza di formule, quanto una sequenza di formule insieme alle rispettive dipendenze.
φ→ψ
La classe dei possibili antecedenti immediati di formula
ψ
in quanto segue da
φ,
→C
come ci dice
è costituita proprio dalla
di teor110:
φ→ψ
sse
φ ψ. I→
Con la relazione di conseguenza intesa come dipendenza derivazionale, la regola
17
di introduzione del condizionale recita quindi
Regola
I→
[φ] ψ hI →i φ→ψ
:
il cui signi cato è che
φ.
Come già
E∨,
φ → ψ è conseguenza immediata della dipendenza di ψ da I → non è p-conservativa e scarica l'assunzione φ da cui
anche
dipende la premessa
ψ.
Per la classe delle conseguenze immediate di
Ponens
φ → ψ
la soluzione è il
Modus
come regola di eliminazione del condizionale
Regola
E→
φ→ψ φ hE →i ψ
:
il cui signi cato è: ψ è conseguenza immediata di
φ→ψ
e
φ.
Il trattamento della negazione è uno dei punti più controversi nella deduzione naturale, dove i vari sistemi adottano strategie a volte molto diverse. In un certo senso, la classe degli antecedenti immediati di
18
conduce a una contraddizione.
¬φ è costituita proprio da φ in quanto
Una regola di introduzione della negazione può
così prendere la forma seguente
Regola
I¬
[φ] [φ] ψ ¬ψ hI¬i ¬φ
:
il cui signi cato è che
¬φ
è conseguenza immediata del fatto che
conclusioni contraddittorie. scarica l'assunzione
φ
Come si vede, la regola
φ,
¬φ
φ
conduce a
non è p-conservativa e
da cui dipendono entrambe le premesse
Per la classe delle conseguenze immediate di escludere almeno
I¬
ψ
e
¬ψ .
la soluzione più generale è
in quanto in caso contrario risulta una contraddizione.
La
regola di eliminazione della negazione può prendere la forma
Regola
17
E¬
φ ¬φ hE¬i ψ
:
Troviamo qui la situazione di
teor226,
che compare ora semplicemente come un principio
de nitorio del signi cato del condizionale.
18 Ciò
è ben esplicitato dalla de nizione di
¬φ
come
φ →⊥
(v.
def85).
7.3. DEDUZIONE NATURALE
177
il cui signi cato è che ogni formula è conseguenza immediata di una contraddizione. Già sappiamo, però, che vi sono altre logiche della negazione (come quella minimale) che non includono una regola del genere, e che le letture intuizioniste della negazione depositate in
I¬
e
E¬
non esauriscono la portata della negazione
classica bivalente. Ma su questo torneremo tra poco. In ne, le regole di introduzione e di eliminazione del bicondizionale si presentano nel modo seguente e si commentano da sole:
Regole
Diremo
I↔
e
φ→ψ ψ→φ hI ↔i φ↔ψ
E ↔:
premessa maggiore
φ↔ψ hE ↔i φ→ψ
φ↔ψ hE ↔i ψ→φ
quella premessa di una regola di inferenza (che sarà
una regola di eliminazione) contenente il simbolo logico interessato dalla regola, e
premesse minori maggiore e
χ
le altre. Ad esempio, nella regola
E∨ la formula φ∨ψ è la premessa
la premessa minore.
In deduzione naturale si possono adottare anche
regole strutturali
come quelle
di Scambio e Contrazione, che non sono strettamente necessarie (come vedremo tra poco) ma risultano comode:
Regole
Ct
e
Sc:
7.3.2. Derivazioni.
[Θ, Θ, Γ] φ hCti [Θ, Γ] φ
[Θ, Γ] φ hSci [Γ, Θ] φ
Come visto, oltre che in regole di introduzione (I-regole)
e di eliminazione (E-regole), i principi di deduzione naturale si suddividono anche in regole p-conservative e regole che viceversa scaricano assunzioni. In particolare le regole in (*) sono p-conservative mentre non lo sono quelle in (**): (*) (**)
I∧, E∧, I∨, E →, I ↔, E ↔, E¬, E∨, I →, I¬.
;
Così una derivazione in deduzione naturale - in particolare una che usa regole non p-conservative - non è solo una sequenza di formule: ad ogni gradino essa deve speci care istruzioni sulle dipendenze deduttive delle formule derivate, a cominciare dalle assunzioni che sono (insieme eventualmente ad assiomi) i punti di avvio di ogni ramo di prova. Una tale derivazione è perciò una sequenza di coppie, costituite da un'istruzione
[Γ]
di dipendenza e da una formula, secondo il criterio seguente.
Criterio 238. Se
T = hL, T` i è un sistema a deduzione naturale e φ1 , . . . , φn sono formule in L: la successione Φ : h[Γ1 ] , φ1 i , . . . , h[Γn ] , φn i di coppie è una derivazione di φn in T da un insieme Γ di formule se vale Γn ⊆ Γ e sono soddisfatte le seguenti condizioni. Per ogni j (1 ≤ j ≤ n): a. φj ∈ AxT , e in tal caso Γj = ∅; b. oppure φj ∈ Γ e φj risulta da applicazione di (Ass), per cui [Γj ] = [φj ]; c. oppure h[Γk1 ] , φk1 i , . . . , h[Γkm ] , φkm i precedono h[Γj ] , φj i in Φ e φj risulta per applicazione di una regola di inferenza di T come: [Γk1 ] . . . [Γkm ] φk1 . . . φkm hRegi [Γj ] φj
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
178
Con Γ
`T φ
si dice che
derivazione è una Naturalmente se
prova
Γ
φ
Γ in T; se l'insieme Γ è vuoto, la φ si dice che φ è un teorema di T. a fortiori vuota l'istruzione nale per φ nella data
è derivabile da
formale e con `T
è vuoto è
derivazione, ovvero i teoremi non hanno dipendenze. Le derivazioni in deduzione naturale saranno in forma d'albero come le prove di sequenti. (Per derivazioni in forma lineare si può far riferimento alle prove costruite con regole derivate in sistemi assiomatici.) righe di applicazione della regola
Ass
In particolare, vengono numerate le
e quindi indicate le dipendenze da assunzioni
con indici numerici riferiti alle righe in cui occorrono le formule interessate.
Per
comodità espositiva le inserzioni di assunzioni tramite applicazione della regola
Ass
risultano prive di motivazione, mentre ogni passo di inferenza è motivato dalla rispettiva regola. L'inserzione di un assioma ha forma
hi φ dove la motivazione contiene un identi catore dell'assioma. Per rendere del tutto esplicite le operazioni deduttive eettuate nelle applicazioni delle regole, adottiamo la seguente convenzione procedurale: marcheremo con un numero naturale
n
le assunzioni e con un corrispondente numero negativo entro
la motivazione di un passo di derivazione - cioè h. . . Reg che l'assunzione
n
è scaricata dalla regola
Reg.
: -n . . .i
- sarà indicato
Così, ad esempio, una motivazione
hI →: -4i vuol dire che la data applicazione della regola I → scarica l'assunzione 4. Analogamente, anche un uso della regola Ct di Contrazione sarà marcato con hCt : -ni, dove l'assunzione n è l'oggetto della contrazione eettuata. Inoltre, invece di scrivere passi consecutivi di applicazione della regola I → che riassorbono assunzioni, si scriverà talvolta solo il risultato nale.
7.4. Sistemi di deduzione naturale 7.4.1. Logica minimale . Il sistema minimale Nme = hP, Nme ` i di deduzione naturale ha linguaggio
P,
il suo dispositivo di prova
Nme `
è privo di assiomi e
ha le regole seguenti:
Come si vede,
Ass, I¬, E∧, I∧, E∨, I∨, E →, I →, E ↔, I ↔, Sc, Ct. delle regole enunciate nel 3.1 solo E¬ non è inclusa in Nme ` .
Esempio 239.
`Nme (¬φ → φ) → ¬¬φ: 1 : ¬φ → φ 2 : ¬φ hE →i φ 3 : ¬φ hCt : -2, I¬ : -3i ¬¬φ hI →: -1i (¬φ → φ) → ¬¬φ
Nme
dell'esempio precedente, che illustra un tipico uso
di contrazione.
Come si vede, nel ramo di sinistra si ottiene una
Consideriamo la prova in della regola formula
φ
Ct
con dipendenza (tra l'altro) dalla formula
mentre nel ramo di destra abbiamo con 3 regola
Ass.
Si ottiene poi
¬¬φ
usando
I¬
: ¬φ
¬φ
nell'occorrenza 2
: ¬φ,
una semplice applicazione della
in base alla dipendenza di
φ
e
¬φ
dallo
tipo di formula ¬φ, che ha però nella prova ad albero due occorrenze distinte marcate da 2 e 3 rispettivamente. L'applicazione di Ct equivale quindi
stesso
7.4. SISTEMI DI DEDUZIONE NATURALE
179
a considerare due nodi distinti della prova come occorrenze dello stesso tipo di formula, dal momento che dichiara inessenziale una delle due occorrenze ai ni della dimostrazione.
Nme Hce è
Per fare esercizio con la deduzione naturale, iniziamo con facili prove in
Hce. Il caso dell'assioma `Nme φ → (ψ → φ) è immediato: 1:φ 2:ψ hI∧i φ∧ψ hE∧i φ (1) hI →: -2i ψ→φ hI →: -1i φ → (ψ → φ)
relative ad assiomi del sistema hilbertiano interessante, anche se provare
I.1 di
I primi tre passi della prova (1) suggeriscono una forma generalizzata della regola
Ass,
dove si assume un insieme nito di formule
Γ [φ]
contenente
φ:
[Γ [φ]] φ Infatti, se esiste una derivazione di φ in dipendenza da Γ, tutte le formule in Θ possono essere aggiunte alle assunzioni Γ, tramite l'uso di I∧ e E∧ nel modo indicato Regola
AssG
nella prova (1). Aggiunta:
19
Regola
:
In questo modo si può giusti care anche una
Agg
Ass
:
e
di
[Γ] φ hAggi [Γ, Θ] φ
Teorema 240. In Nme sono derivabili le regole In base a
regola derivata
I→
AssG e Agg.
è naturalmente immediato provare:
la prova dell'assioma I.2 di
Hce
`Nme φ → φ.
Anche
è interessante per la derivabilità di una regola di
Contrazione. (2)
19 Si
niti
1 : φ → (φ → ψ) 2 : φ hE →i φ→ψ 3:φ hE →i ψ hCt : -3i ψ hI →: -2i φ→ψ hI →: -1i (φ → (φ → ψ)) → (φ → ψ)
osservi che queste due regole derivate autorizzano in ogni caso la dipendenza solo da insiemi di formule - ovvero, non si può confondere la dipendenza di una formula
con la derivabilità di una formula
φ
da formule
Γ.
φ
da assunzioni
Γ
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
180
La regola
Ct
è derivabile usando un procedimento deduttivo già utilizzato per il
Hce. Supponiamo di aver dimostrato in Nme l'assioma I.3 di Hce sulla transitività del condizionale. Possiamo allora ricavare facilmente l'assioma M2 di M. In entrambi i casi non si richiede alcun uso di una regola come Ct. A questo punto è possibile dimostrare I.2 di Hce in Nme, potendo fare a meno di una regola come Ct. In sostanza: ogni volta che esiste una derivazione in Nme di φ con dipendenza da Γ, χ, χ si applica I → per avere una derivazione di χ → (χ → φ) con dipendenza da Γ e quindi I.2 per ottenere nalmente una derivazione di χ → φ con dipendenza da Γ. In questo modo Ct è una regola derivata: ogni suo uso consiste sistema assiomatico
nell'abbreviazione di una procedura di prova che fa uso della legge I.2.
Hce. 1:φ→ψ 2:φ hE →i 3:ψ→χ ψ hE →i χ hI →: -2, -3, -1i (φ → ψ) → ((ψ → χ) → (φ → χ))
A seguire vediamo la prova dell'assioma I.3 di (3)
Considerazioni analoghe a quelle avanzate per la regola di Contrazione valgono
20
anche per la regola di Scambio.
Teorema 241. In Nme le regole Ct e Sc sono derivabili dalle altre. Naturalmente si dimostra subito anche una proprietà di transitività o Taglio per le assunzioni nelle derivazioni in deduzione naturale:
.. .
Teorema 242. Se
[Γ] φ
.. .
[∆, φ] ψ
.. .
Φ0 . Φ, allora esiste anche [Γ, ∆] ψ
Basta infatti proseguire la derivazione usare
Φ
con
I→
che scarica l'assunzione
φ
e poi
E →.
Torniamo agli assiomi di
Hce
in
Nme.
Le prove di II.1-2 sono immediate e non
molto più complessa è la dimostrazione di II.3: (4)
20 In
eetti è banale provare in
7.1.3).
in
I→
1:χ→φ 2:χ 3:χ→ψ 4:χ hE →i hE →i φ ψ hI∧; Ct : -4i φ∧ψ hI →: -2, -3, -1i (χ → φ) → ((χ → ψ) → (χ → φ ∧ ψ)) Nme
la legge di scambio degli antecedenti di condizionali (cfr.
Così se abbiamo una derivazione in
Nme
di
φ
con dipendenza da
Γ, χ, ψ ,
H3
applichiamo
χ → (ψ → φ) con dipendenza da Γ e quindi applichiamo la legge ψ → (χ → φ) con dipendenza da Γ. Quindi anche ogni applicazione
per avere una derivazione di
per avere una derivazione di della regola
Sc
è l'abbreviazione di una ben de nita procedura di prova e la regola è derivabile.
7.4. SISTEMI DI DEDUZIONE NATURALE
Le prove in
Nme
Esercizio 243.
di III.1-3, IV.1-3, V2 di
Hce
181
sono immediate.
Provare i teoremi seguenti nel sistema minimale:
a. `Nme ¬¬¬φ ↔ ¬φ b. `Nme ¬ (φ ∨ ψ) → ¬φ ∧ ¬ψ c. `Nme (¬φ → φ) → ¬¬φ Naturalmente l'assioma V1 di
Hce
non è provabile nella logica minimale
e lo stesso vale per altre leggi che dipendono dal principio codi cato in quale da una contraddizione segue qualsiasi formula) e respinto in
Esempio 244.
Nme non a. φ → (¬φ → ψ) b. φ ∧ ¬φ → ψ c. ¬¬ φ ∧ ¬φ → φ d. φ ∨ ¬φ → ¬¬ φ → φ e. ¬φ ∨ ψ → (φ → ψ) f. φ ∨ ψ → (¬φ → ψ) g. ¬φ ∧ (φ ∨ ψ) → ψ In
E¬
Nme
(per il
Nme.
sono provabili le leggi seguenti:
7.4.2. Logica intuizionista.
Hce si prova subito nel sistema Nme ma ha in più la regola E¬. La seguente prova ad albero in Nie fa uso essenziale della regola E¬ e si può ◦ confrontare con i gradini (14)-(24) della prova lineare di H24 in 7.2.2. 1:φ∧ψ 3:φ∧ψ hE∧i hE∧i φ 2 : ¬φ ψ 4 : ¬ψ hE¬i hE¬i ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) 5 : ¬φ ∨ ¬ψ hE∨ : -2, -4; Ct : -3i (5) ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) 6 : ¬φ ∨ ¬ψ hI¬ : -5, -6i ¬ (¬φ ∨ ¬ψ) hI →: -1i (φ ∧ ψ) → ¬ (¬φ ∨ ¬ψ)
intuizionista Nie
Esercizio 245. a. b. c. d.
L'assioma V1 di
di deduzione naturale che è come
Dimostrare le asserzioni seguenti:
`Nme ¬¬ (φ ∨ ¬φ) `Nie (φ → ¬φ) → (φ → ψ) `Nie ¬φ ∧ ¬ψ → ¬ (φ ∨ ψ) `Nie (¬φ ∨ ¬¬φ) → (¬φ → ¬ψ) ∨ (¬ψ → ¬φ)
7.4.3. Logica classica .
Nie l'assioma φ∨¬φ del terzo escluso Nce per la logica classica. Alternativa-
Aggiungendo a
si ottiene il sistema di deduzione naturale mente si può adottare la regola
Regola
◦
RTe
:
[φ] [¬φ] χ χ hRTe◦ i χ
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
182
Nce dall'assioma di terzo escluso (e viceversa). Come si RTe◦ scarica entrambe le assunzioni φ e ¬φ. Nel seguito useremo preferibil◦ mente RTe per il sistema classico Nce. Come esempio, proviamo in Nce l'assioma M3 di M: 1 : ¬ψ → ¬φ 2 : ¬ψ 3 : ¬ψ 4 : ¬ψ → φ hE →i hE →i ¬φ φ hE¬, Ct : -4i ψ 5:ψ (6) hRTe◦ : -2, -5i ψ hI →: -3, -1i (¬ψ → ¬φ) → ((¬ψ → φ) → ψ) Risulta quindi derivabile in Nce la regola classica di eliminazione della negazione: [¬φ] [¬φ] ψ ¬ψ ◦ Regola E ¬ : hE◦ ¬i φ
che si deriva banalmente in vede,
Esempio 246.
Si vede facilmente che
RTe◦
è derivabile in
NEe◦ = Nie + E◦ ¬.
Nce di deduzione naturale Nme e Nie (la dimostrazione
Il teorema seguente stabilisce che il sistema classico
è
corretto, e che quindi lo sono anche i sottosistemi
è
lasciata come esercizio).
Teorema 247. Se Γ `Nce(Nme,Nie) φ, allora Γ φ. Risulta facilmente che i sistemi di deduzione naturale hanno le proprietà di nitezza e di monotonicità:
Teorema 248. a. Se
Γ `Nce(Nme,Nie) φ, allora Θ `Nce(Nme,Nie) φ per qualche sottoinsieme nito Θ di Γ. b. Se Γ `Nce(Nme,Nie) φ, allora anche Λ `Nce(Nme,Nie) φ per qualsiasi Λ ⊇ Γ.
7.4.4. Il teorema di Glivenko.
Passiamo a sistemi di deduzione naturale
che dieriscono solo leggermente, ma in modo interessante, da quelli visti n qui. La loro base è il linguaggio
P⊥ = {∧, ∨, →, ⊥}
dove la negazione resta de nita da
def85, che ripetiamo qui per comodità:
¬ψ = ψ → ⊥. ⊥
P costruiamo tre sistemi di deduzione naturale, rispettivamente Lce, individuati come segue. Il sistema Lme di logica minimale ha le regole Ass, I∧, E∧, I∨, E∨, I →, E →, e non contiene quindi regole per il simbolo ⊥ del Falso (ossia speci camente per la negazione). In Lme regole come Sul linguaggio
Lme, Lie
e
[φ] ⊥ hI¬ ⊥i ¬φ
φ ¬φ hE¬ ⊥i ⊥
E → e I →. In Lme non risulta natuφ ∧ ¬φ → ψ - mentre si ricava I¬ di Nie
sono semplici istanze, rispettivamente, di ralmente provabile la legge di Scoto -
7.4. SISTEMI DI DEDUZIONE NATURALE
usando
E¬ ⊥ e I →.
Il sistema
183
intuizionista Lie si ottiene dalla logica minimale Lme
aggiungendo la regola seguente:
Regola
J⊥
⊥ hJ ⊥i ψ
:
Non è certo di cile vedere che al sistema intuizionista
Nie.
Lie
è equivalente, rispetto alle formule che contiene,
In ne, il sistema
classico Lce risulta da Lie aggiungendo
una regola forte non p-conservativa per la negazione
Regola
C⊥
[¬φ] ⊥ hC ⊥i φ
:
Nce. Si osservi che J ⊥ e C ⊥ sono opportune le restrizioni seguenti,21 che non riguardano in-
ed è equivalente, per le formule che contiene, alla logica classica sulle regole
ferenze che sarebbero altrimenti logicamente scorrette, ma solo forme opportune delle inferenze ai ni dei risultati di normalizzazione (v.
Condizione 249. Su
della forma ψ →⊥.
12.2.2).
J ⊥: la formula ψ non è ⊥. Su C ⊥: la formula φ non è
La relazione tra le formule in
Nce
e quelle in
Lce
è facilmente stabilita dalla
seguente traduzione:
De nizione 250. a. b. c. d.
(Traduzione
τ0
di
P
in
P⊥ )
τ0 (p) = p. τ0 (¬φ) = τ0 (φ) → ⊥. τ0 (φ ⊗ ψ) = τ0 (φ) ⊗ τ0 (ψ), per ⊗ = ∧, ∨, →. τ0 (φ ↔ ψ) = (τ0 (φ) → τ0 (ψ)) ∧ (τ0 (ψ) → τ0 (φ)).
Fissiamo ora esplicitamente l'equivalenza tra la derivabilità in
Nce (Nme, Nie)
e in
Lce (Lme, Lie):
Teorema 251.
Γ `Nce(Nme,Nie) φ se e solo se Γ `Lce(Lme,Lie) τ0 (φ).
In base a queste equivalenze deduttive possiamo riferirci indierentemente, per
↔, alla derivabilità Lme valgono teoremi analoghi
formule enunciative contenenti tutti i connettivi standard salvo in
Nce (Nme, Nie) o in Lce (Lme, Lie).
Naturalmente in
a teor240 e teor241. Vediamo a seguire qualche esercizio di derivazione di leggi logiche (analoghe alle leggi J13, J18, J16, J14 e J15 già incontrate nel
6.3.2
trattando i sistemi
intuizionisti a sequenti), che ci verrà presto utile aver isolato. Anche le prove nei sistemi
Lme (Lie, Lce)
Esercizio 252. a. b. c. d. e.
21 Cfr.
sono in forma d'albero.
Provare le leggi seguenti:
` Lme ¬¬ φ ∧ ¬¬ ψ → ¬¬ (φ ∧ ψ) ` Lme ¬¬ (φ ∧ ψ) → ¬¬ φ ∧ ¬¬ ψ ` Lie (¬¬φ → ¬¬ψ) → ¬¬ (φ → ψ) ` Lme ¬¬ (φ → ψ) → (¬¬φ → ¬¬ψ) ` Lme (φ ∨ ¬φ → ψ) → ¬¬ ψ
146].
Prawitz [
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
184
f. ` Lme ¬¬ φ ∨ ¬¬ ψ → ¬¬ (φ ∨ ψ) g. φ ∨ ¬φ ` Lme ¬¬ (φ ∨ ψ) → ¬¬ φ ∨ ¬¬ ψ h. φ ∨ ψ ` Lie ¬ (¬φ ∧ ¬ψ) i. ` Lie ⊥ ∨ φ → φ Mostriamo ora un'importante relazione tra la provabilità classica e quella intuizionista nella logica enunciativa.
Teorema 253.
(Teorema di Glivenko)
Se ` Lce φ allora ` Lie ¬¬φ.
Dimostrazione. Per induzione sul grado
n+1
della prova
Φ:φ
di
φ
in
Lce.
Si danno i seguenti casi.
I∧, φ = ψ1 ∧ ψ2 . Siccome la regola I∧ è p-conservativa, abbiamo sottoprove Φi : ψi (i = 1 o 2) di grado ≤ n, ossia `≤n Lce ψi . Così per (IpInd) abbiamo anche ` Lie ¬¬ψi . Da ciò per I∧ otteniamo ` Lie ¬¬ψ1 ∧¬¬ψ2 . Usando eserc252(a ) risulta in ne ` Lie ¬¬ (ψ1 ∧ ψ2 ). Caso E∧, φ = ψi (i = 1, 2). Siccome la regola E∧ è p-conservativa, abbiamo allora ≤n una sottoprova Φ1 : ψ1 ∧ ψ2 di grado n, ossia `Lce ψ1 ∧ ψ2 . Così per (IpInd) vale anche ` Lie ¬¬ (ψ1 ∧ ψ2 ) e usando eserc252(b ) risulta anche ` Lie ¬¬ψi . Caso I∨ e φ = ψ1 ∨ ψ2 . Siccome la regola I∨ è p-conservativa, abbiamo una sotto≤n prova Φi : ψi di grado n, ossia `Lce ψi (i = 1, 2), quindi per (IpInd) anche (*): ` Lie ¬¬ψi . Usando eserc252(f ) otteniamo allora facilmente anche ` Lie ¬¬ (ψ1 ∨ ψ2 ). Caso E∨. Abbiamo sottoderivazioni Φi : {ψi } φ (i = 1, 2) e una sottoprova Φ3 : ψ1 ∨ ψ2 tutte di grado ≤ n. Così per (IpInd) vale (*) ` Lie ¬¬ (ψ1 ∨ ψ2 ) e, usando I →, anche (**) ` Lie ¬¬ψi → ¬¬φ. Se ora assumiamo ¬¬¬φ in una derivazione in Lie, ne risulterà insieme a (**) anche ¬¬¬ψ1 ∧ ¬¬¬ψ2 , quindi ¬ψ1 ∧ ¬ψ2 che per eserc243(e ) è ¬ (ψ1 ∨ ψ2 ), contro (*). Così avremo necessariamente ` Lie ¬¬¬¬φ, ossia ` Lie ¬¬φ per eserc243(d ). Caso I → e φ è ψ → χ. Per (IpInd) ¬¬χ è derivabile da ¬¬ψ in Lie, così applichiamo I → e otteniamo ` Lie ¬¬ψ → ¬¬χ. Da ciò per eserc252(c ) risulta ` Lie ¬¬ (ψ → χ). Caso E →. Per (IpInd) abbiamo ` Lie ¬¬ψ e ` Lie ¬¬ (ψ → φ), da cui per eserc252(d ) otteniamo ` Lie ¬¬φ. Caso J ⊥. La dimostrazione è immediata. Caso C ⊥. Per (IpInd) abbiamo che ¬¬⊥ è derivabile da ¬¬¬φ in Lie, così usando eserc243(d ) e I → otteniamo: ` Lie (φ → ⊥) → ((⊥ → ⊥) → ⊥). Ovviamente ⊥ → ⊥ è un teorema, perciò ` Lie (φ → ⊥) → ⊥, cioè ` Lie ¬¬φ in base alla de nizione di ¬ in termini di ⊥.
Caso
Da teor253 si ricava che nella logica enunciativa intuizionista e in quella
22
classica sono provabili esattamente le stesse negazioni di formule enunciative.
Corollario 254. ` Lce ¬φ se e solo se ` Lie ¬φ. 7.4.5. Sistemi intermedi. Consideriamo
in ne alcuni sistemi di deduzione
naturale intermedi tra la logica intuizionista e quella classica, ottenuti aggiungendo principi non intuizionisti ma comunque più deboli del terzo escluso. Si tratta
22 Anche
per le derivazioni in deduzione naturale sono dimostrabili proprietà di forma normale
analoghe a quelle che abbiamo visto per i sistemi a sequenti nel
12.2.2.
complessivamente per la logica del primo ordine nel
Cap6:
il tema è però trattato
7.5. MODELLI CLASSICI E NON CLASSICI
185
quindi sempre di estensioni della logica intuizionista e di sottosistemi di quella
23
classica.
Il sistema intermedio
debole di terzo escluso Regola
RTeD
Esercizio 255.
NDe (LDe) è ottenuto da Nie (Lie) aggiungendo un assioma ¬φ ∨ ¬¬φ - o la corrispondente regola: [¬φ] [¬¬φ] χ χ hRTeDi χ
- (TeD)
:
`NDe (¬φ → ¬ψ) ∨ (¬ψ → ¬φ).
i NDe (LDe) è Nie (Lie) + la formula in eserc255 come altro assioma. Il sistema intermedio NDue (LDue) è ottenuto dalla logica intuizionista Nie (Lie)
In particolare, eserc255 insieme a eserc243( ) ci dice che il sistema equivalente al sistema aggiungendo l'
assioma di Dummett :24
Du. (φ → ψ) ∨ (ψ → φ). In NDue (LDue) non sono provabili il terzo escluso φ ∨ (φ → ψ) - cfr. eserc243(f ) - ma solo versioni più (7) `NDue ¬¬φ ∨ (φ → ψ)
b
o formule equivalenti come deboli. Ad esempio
h
risulta facilmente da eserc245( ) e eserc243( ) usando l'istanza
(¬φ → φ) dell'assioma Du. NDue (LDue) in quanto:
Esercizio 256.
In particolare,
NDe (LDe)
(φ → ¬φ) ∨
risulta un sottosistema di
`NDue ¬φ ∨ ¬¬φ.
La logica intuizionista
Nie (Lie)
può esssere estesa a un sistema
stabile NDne
(LDne) aggiungendo l'assioma forte di doppia negazione o la corrispondente regola Regola
Dn◦
Esercizio 257.
¬¬φ hDn◦ i φ
:
`NDne φ ∨ ¬φ.25
Naturalmente in
NDne (LDne) è provabile NDne (LDne).
l'assioma di Dummett e quindi
NDue
(LDue) è un sottosistema di
7.5. Modelli classici e non classici 7.5.1. Completezza e nitezza. Consideriamo ora il sistema classico di deduzione naturale
Nce
in relazione al sistema hilbertiano
lo stesso linguaggio e in
Hce.
I due sistemi hanno
7.4 si è visto che gli assiomi di Hce sono tutti provabili
Nce. D'altra parte, l'unica regola di inferenza MP di Hce corrisponde alla regola E → di Nce. Così per facile induzione sul grado di una derivazione in Hce otteniamo: (1) se Γ `Hce φ, allora Γ `Nce φ. D'altra parte, l'unico assioma di Nce sappiamo che è un teorema di Hce. Inoltre, le regole d'inferenza di Nce corrispondono tutte a regole derivate in Hce. Così per facile induzione sul grado di una derivazione in Nce otteniamo anche:
in
23 Per un orientamento sulla semantica e i modelli dei sistemi intermedi cfr. van Dalen 24 Dummett [52]. Il sistema è interessante (nella sua versione quanti cazionale estesa)
200], 5.
[
in quanto
53].
l'assioma è legato a precise proprietà della provabilità nell'aritmetica intuizionista, cfr. [
25 Cfr.
la prova di
H17 (a◦ )
in
7.2.2.
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
186
(2) se
Γ `Nce φ,
allora
Γ `Hce φ.
In sostanza, i due sistemi sono deduttivamente equivalenti:
Teorema 258.
Γ `Hce φ se e solo se Γ `Nce φ.
Sistemi classici a sequenti come
G0ae
no corretti e semanticamente completi. (o
M)
o
G0ce
(cfr.
6.1.1)
sappiamo che so-
Dei sistemi classici hilbertiani come
Hce
sappiamo per dimostrazione diretta che sono corretti, ma non sappiamo
ancora se sono semanticamente completi. Per ciascuno di questi sistemi si potrebbe naturalmente dare una dimostrazione diretta di completezza. Nel nostro caso risulta però molto più economico dare dimostrazioni indirette rappresentando opportunamente sistemi a sequenti in sistemi assiomatici. I linguaggi dei sistemi a sequenti e di quelli hilbertiani sono ovviamente diversi e anche nel caso di sistemi come
G0ce e Hce, che hanno gli stessi operatori enunciativi
e lo stesso linguaggio di base, resta da rappresentare adeguatamente i sequenti. Il modo naturale è proiettare la relazione deduttiva espressa da un sequente sulla relazione di derivazione formale nel dato sistema assiomatico. A questo scopo possiamo usare l'interpretazione intesa di un sequente, per la quale un succedente multiplo equivale a una disgiunzione di formule enunciative. Si dimostra allora che per ogni sequente enunciativo provabile classicamente esiste una corrispondente derivazione in un sistema assiomatico:
Lemma 259. Se `G0ce Γ ⇒ ∆, allora Γ `Hce ∆∨ . n della prova in G0ce di Γ ⇒ ∆. Se p, Γ ⇒ ∆, p. Da p `Hce p segue p, Γ ⇒ p per la regola p, Γ ⇒ ∆∨ ∨ p per la regola derivata ∨I. Se n > 0 si danno i
Dimostrazione. Per induzione sul grado
n = 0,
il sequente è un assioma
derivata
Ag,
e quindi
seguenti casi. Caso
¬IA.
Per (IpInd) abbiamo
Γ `Hce ∆∨ ∨ φ
da cui
¬φ, Γ `Hce ∆∨
si ricava nel
modo seguente: . . .
. . .
. . .
n|Γ` ∆∨ ∨ φ n+1|Γ` ¬φ → ∆∨ 7.2.2-H18 (a) , MP, n n+2|n+2` ¬φ ip n + 3 | n + 2, Γ ` ∆∨ MP, n + 1, n + 2 ◦ Caso IC¬. Analogamente, usando 7.2.2-H19 . ∨ ∨ Caso → IA. Per (IpInd) abbiamo Γ `Hce ∆ ∨φ e ψ, Γ `Hce ∆ . Come nel caso ¬IA, ∨ ∨ abbiamo allora ¬φ, Γ `Hce ∆ che insieme a ψ, Γ `Hce ∆ comporta ¬φ ∨ ψ, Γ `Hce ∆∨ per ∨E. Da ciò per 7.2.2-H19◦ e teor227(c ) si ricava φ → ψ, Γ `Hce ∆∨ . Casi ∧IA, ∨IA, ↔ IA. Le dimostrazioni sono analoghe. ◦ ∨ Caso IC →. Per (IpInd) abbiamo φ, Γ `Hce ∆ ∨ ψ , da cui per 7.2.2-H20 e ∨ teor227(c ) si ricava Γ `Hce ∆ ∨ (φ → ψ). Casi IC∧, IC∨, IC ↔. Le dimostrazioni sono analoghe. Dal lemma precedente e dalla completezza semantica di di
Hce,
ciò che insieme alla correttezza di
Hce
G0ce segue subito quella
restituisce un teorema di caratteriz-
zazione della conseguenza enunciativa nita in termini di prove formali in sistemi assiomatici e, in virtù di teor258, anche di sistemi a deduzione naturale:
Teorema 260. Per Γ nito :
Γ φ se e solo se Γ `Hce(Nce) φ.
7.5. MODELLI CLASSICI E NON CLASSICI
187
Non occorre ora rappresentare il sistema hilbertiano in quello a sequenti, in quanto l'equivalenza estensionale del metodo di prova (classico) a sequenti e di quello assiomatico risulta subito da teor260 e dalla completezza di
G0ce (per la deduzione
naturale si usa teor258):
Corollario 261.
`G0ce Γ ⇒ ∆ se e solo se Γ `Hce(Nce) ∆∨ .
Da ciò e teor189 si ricava in ne anche la caratterizzazione generale della conseguenza logica enunciativa in termini di prove formali in sistemi assiomatici o di deduzione naturale:
Teorema 262. Γ φ se e solo se per qualche Θ ⊆f Γ: 7.5.2. Modelli booleani. La logica enunciativa naturali in algebre booleane.
in termini di un'interpretazione
0, 1.26
classica ha interpretazioni
In questo senso l'interpretazione classica di un lin-
guaggio enunciativo, come quella data in valori di verità
Θ `Hce(Nce) φ.
hf, Vi
2.3.1,
può essere facilmente riscritta
nell'algebra booleana
2 = ht, u, ∗, 0, 1i
dei
Così
f : OeP 7→ ht, u, ∗, 0, 1i dà come signi cato alle costanti logiche del linguaggio operazioni nell'algebra è un insieme di assegnamenti elementi
0, 1
dell'agebra
v : VeP 7→ {0, 1}
2.
Prendiamo ora il sistema hilbertiano
M,
e quindi il suo linguaggio
zione di valutazione di una formula nell'algebra
De nizione 263.
2eV
che alle lettere enunciative associano
(Valutazione
kφkv
2
PM .
La no-
resta de nita nel modo seguente.
nell'algebra
2)
a. kpn kv = v (pn ). b. k¬φkv = (kφkv )∗ . c. kφ → ψkv = (kφkv )∗ t kψkv .
Non è di cile convincersi che questa interpretazione è corretta, sulla base delle proprietà di cui godono le corrispondenti operazioni booleane.
In particolare
valgono: (3) (4) (5)
kφ ∧ ψkv = kφkv u kψkv . kφ ∨ ψkv = kφkv t kψkv . ∗ ∗ kφ ↔ ψkv = (kφkv ) t kψkv u (kψkv ) t kφkv .
Come esempio dimostriamo (3), i casi (4) e (5) sono del tutto analoghi:
kφ ∧ ψkv
= k¬ (φ → ¬ψ) kv = =
def82(a)
∗
(kφ → ¬ψkv )
def263 (b)
∗ ∗
∗
(kφkv ) t (kψkv )
= kφkv u kψkv
def263 (c) teor677(3)
La nozione di verità in base a un assegnamento è data da:
v φ
sse
kφkv = 1.
A
seguire risultano nel modo usuale le altre nozioni semantiche che già conosciamo (v.
Cap2 e Cap3), in particolare φ.
In sostanza: un'interpretazione classica delle forme logiche enunciative è co-
2 di {0, 1}. Così la comT di logica enunciativa vuol dire che tutte le formule
munque isomorfa all'interpretazione nell'algebra booleana pletezza di un sistema classico
26 Per
la nozione di algebra booleana e le relative operazioni, v.
18.3.2.
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
188
φ di T che sono valide nell'algebra 2 sono provabili in T - o, in forma più estesa, che per ogni relazione di conseguenza logica Γ φ che vale in 2 c'è una corrispondente derivazione formale Γ `T φ in T. A questo punto si potrebbe già passare al successivo, in quanto non v'è certo bisogno di dimostrare la completezza della logica enunciativa rispetto all'algebra
2.
7.5.1, a ni estensionali basta la dimostrazione di completezza
Come risulta da di
Cap5.
Conviene però dedicare ugualmente un momento di attenzione al modo
in cui si articola la semantica in algebre modello e a come tipicamente si sviluppa una dimostrazione algebrica di completezza. Continuiamo considerando, come sopra, il sistema hilbertiano
M.
obiettivo è costruire l'algebra di Lindenbaum di
M.
Il primo
Cominciamo osservando che la
v così de nita φ v ψ sse `M φ → ψ
relazione (6)
è una relazione ri essiva e transitiva sulle formule di
M.
Non è però una relazione
antisimmetrica, quindi non è un ordine parziale. De niamo ora la seguente relazione
M `M φ → ψ e `M ψ → φ.
tra formule enunciative di (7)
φ∼ψ
sse
che è evidentemente ri essiva, simmetrica e transitiva. di equivalenza tra le formule in
M.
corrispondente nozione di classe di equivalenza modulo (8)
Così
∼
è una relazione
A partire da questa relazione si de nisce la
∼:
[φ] = {χ ∈ FoPM | φ ∼ χ}.
Consideriamo ora l'insieme (9)
FoPM / ∼ = {[φ] | φ ∈ FoPM }
costituito dalle classi di equivalenza modulo
∼ sulle formule di M.
Su questo insieme
si può ora de nire un ordinamento parziale (10)
[φ] v [ψ]
dove si vede
`M φ → ψ facilmente che v è sse
una relazione non solo ri essiva e transitiva ma
anche antisimmetrica, cioè (11) se
[φ] v [ψ]
e
[ψ] v [φ],
allora
[φ] = [ψ].
In eetti, se valgono le ipotesi di (11), allora per (7) abbiamo
φ ∼ ψ,
quindi per (8)
[φ] = [ψ]. Con LM = hFoPM / ∼, vi
otteniamo (12)
algebra di Lindenbaum
è determinata l'
del sistema hilbertiano
M
e di dimostrare
che si tratta di un'algebra booleana si incarica il lemma seguente.
Lemma 264. LM è un reticolo complementato distributivo, cioè un'algebra di Boole, dove : (i ) [φ] = 1 sse `M φ e (ii ) [φ] = 0 sse `M ¬φ. [φ ∧ ψ] = inf {[φ] , [ψ]} per qualunque sot{[φ] , [ψ]} ⊆ FoPM / ∼. Siccome valgono `M φ∧ψ → φ e `M φ∧ψ → ψ , per (10) abbiamo [φ ∧ ψ] v [φ] e [φ ∧ ψ] v [ψ]. Se [χ] è un limite inferiore per {[φ] , [ψ]}, allora per (10) abbiamo `M χ → φ e `M χ → ψ , quindi `M χ → φ ∧ ψ e per (10) risulta [χ] v [φ ∧ ψ]. Così [φ ∧ ψ] = inf {[φ] , [ψ]}. In modo analogo si dimostra che [φ ∨ ψ] = sup {[φ] , [ψ]}. Quindi LM è un reticolo. Chiaramente poi è un reticolo Dimostrazione. Mostriamo che
toinsieme
distributivo, visto che congiunzione e disgiunzione sono provabilmente distributive. Inoltre, se
[ψ] v [φ]
`M φ,
allora vale
per (10). Così
LM
`M ψ → φ
per ogni formula
ha un massimo
1.
ψ
(cfr. teor223) e quindi
Analogamente si dimostra che
LM
7.5. MODELLI CLASSICI E NON CLASSICI
`M ¬φ, allora vale come sappiamo `M φ → ψ per ogni [φ] v [ψ] per (10). Riguardo al complemento, consideriamo: ∗ ∗ e `M ¬ (φ ∧ ¬φ). Segue subito: [φ] t [φ] = 1 e [φ] u [φ] = 0. Perciò LM un'algebra booleana.
ha un minimo
ψ `M φ ∨ ¬φ formula è
189
0.
Infatti, se
e quindi
In particolare abbiamo quindi in
LM :
∗
[¬φ] = ([φ]) [φ ∧ ψ] = [φ] u [ψ] [φ ∨ ψ] = [φ] t [ψ] Sia ora h un omomor smo di LM sull'algebra 2, così che valgono: (14) h ([pn ]) ∈ {0, 1} ∗ ∗ h [φ] = (h ([φ])) h ([φ] u [ψ]) = h ([φ]) u h ([ψ]) h ([φ] t [ψ]) = h ([φ]) t h ([ψ]) Se restringiamo gli assegnamenti v per le variabili enunciative di M (13)
a quelli che
soddisfano la condizione (15)
v (pn ) = h ([pn ]),
per ogni
otteniamo che l'omomor smo
Lemma 265.
n ∈ ω,
h induce
una valutazione
kφkv :
kφkv = h ([φ]) per ogni formula φ ∈ FoPM .
Dimostrazione. [Esercizio]
kφkv delle formule di M Uv nell'algebra di Lindenbaum LM di M. Come risulta dalle de nizioni in 18.3.3, Uv è un ultra ltro in LM = hFoPM / ∼, vi se è un ltro, ossia è un sottoinsieme non vuoto di FoPM / ∼ tale che, per ogni coppia di elementi [φ] , [ψ] ∈ FoPM / ∼, valgono (16) a. se [φ] , [ψ] ∈ Uv , allora [φ] u [ψ] ∈ Uv b. se [φ] ∈ Uv e [φ] v [ψ], allora [ψ] ∈ Uv e in più vale anche, per ogni [φ] ∈ FoPM / ∼: ∗ (17) o [φ] ∈ Uv o ([φ]) ∈ Uv (ma non entrambi). Il passo successivo è mostrare che ad ogni valutazione corrisponde un ultra ltro
Esercizio 266.
Se
Uv = {[φ] | kφkv = 1},
allora
Uv
è un ultra ltro in
LM .
Osserviamo ancora che da teor683 si ricava subito il seguente risultato:
Corollario 267. Se U è un ultra ltro nell'algebra booleana A, allora l'algebra quoziente A/U è isomorfa a 2. Siamo ora in grado di dimostrare direttamente la completezza semantica di
M
(e così di qualunque sistema adeguato per la logica enunciativa classica):
Teorema 268. Se φ, allora `M φ. Dimostrazione. Sia 0M φ: in tal caso per lemma264 abbiamo [φ] 6= 1 e così ∗ ([φ]) = [¬φ] 6= 0. Per cor686 esiste così un ultra ltro U in LM tale che [¬φ] ∈ U . In base a cor267, LM /U è isomorfa all'algebra 2. Sia ora hc l'omomor smo (canonico) come in (14) da LM a LM /U e kχkv la valutazione delle formule χ di M indotta da hc e sottoposta alla condizione (15). Ora, da [¬φ] ∈ U risulta [[¬φ]] = 1 e d'altra parte hc ([¬φ]) = [[¬φ]], per cui hc ([¬φ]) = 1. Ma allora k¬φkv = 1, il che vuol dire che ¬φ è soddisfacibile e quindi 2 φ.
7. ALTRI SISTEMI DI PROVA
190
7.5.3. Completezza della logica enunciativa intuizionista.
Naturalmen-
te la logica intuizionista è incompleta rispetto alla semantica classica, ovvero rispetto all'algebra booleana dei valori di verità
{0, 1};
completa rispetto all'algebra di Heyting (cfr.
tuttavia risulta semanticamente
Cap18).
Su questa interpretazione
non classica del linguaggio enunciativo ci limiteremo qui a dare solo le indicazioni essenziali. Consideriamo il sistema di logica enunciativa intuizionista l'interpretazione di una formula di
Lie
Lie (cfr.
7.4.4).
Per
in un'algebra di Heyting gli assegnamenti
v : VeP⊥ 7→ A dalle variabili enunciative del linguaggio all'insieme A degli elementi dell'algebra. Le seguenti condizioni de niscono la valutazione kφkA v , indotta da un assegnamento v, di una formula enunciativa φ in un'algebra di Heyting A = hA, u, t, ⊃, 1, 0i.
sono funzioni
De nizione 269. a. b. c. d. e.
(Valutazione in un'algebra di Heyting)
kpn kA v = v (pn ). A k⊥kv = 0. A A kφ ∧ ψkA v = kφkv u kψkv . A A kφ ∨ ψkA v = kφkv t kψkv A A kφ → ψkA v = kφkv ⊃ kψkv .
Così, ad esempio,
A A A k¬pkA v = kp → ⊥kv = kpkv ⊃ 0 = 0, se kpkv = 1 A A A (19) kφ → φkv = kφkv ⊃ kφkv = 1 (per def676(e )) A A A A (20) k⊥ → φkv = k⊥kv ⊃ kφkv = 0 ⊃ kφkv = 1 (per teor677(e )) A A nozione di verità in base a un assegnamento è data da: v φ sse kφkv = 1 (18)
La
e a
seguire risultano le altre usuali nozioni semantiche, in particolare:
De nizione 270. assegnamento
Diciamo che
φ
è
vera in A
(:
A φ)
sse
A v φ
per ogni
v.
Una generalizzazione naturale ci conduce a una nozione di validità intuizionista relativa alla classe delle algebre di Heyting e quindi delle relative interpretazioni del linguaggio logico enunciativo: (*)
una formula enunciativa
φ
è
valida intuizionisticamente
(:
φ)
sse è
vera in ogni algebra di Heyting. In questo senso il
T
problema della completezza semantica
di un sistema intuizionista
di logica enunciativa è il problema di mostrare che: (21) ogni formula di
T
intuizionisticamente valida è provabile in
T.
O, in forma più estesa, si tratta di mostrare che per ogni relazione di conseguenza
Γ φ,
tale che le algebre di Heyting modello di
una corrispondente derivazione formale
Γ `T φ
in
Γ sono T.
modello anche di
φ,
vi è
Com'è noto, il problema ammette una risposta positiva e siccome per gli usuali assiomi intuizionisti (o le usuali regole) si dimostra facilmente che sono corretti nelle algebre di Heyting - cioè intuizionisticamente validi nel senso di (*) -, si ottiene in ne il seguente risultato di caratterizzazione per la logica enunciativa intuizionista, qui rappresentata da
Teorema 271.
Lie:
Γ `Lie φ sse Γ φ vale in ogni algebra di Heyting.
7.5. MODELLI CLASSICI E NON CLASSICI
Il procedimento per dimostrare la completezza di
Lie
191
è in tutto e per tutto
analogo a quello visto nel precedente per la logica classica, a partire dalla seguente determinazione dell'algebra di Lindenbaum (22)
LLie = hFoP⊥ / ∼, vi
di
Lie:
[φ ∧ ψ] = [φ] u [ψ] [φ ∨ ψ] = [φ] t [ψ] [φ → ψ] = [φ] ⊃ [ψ] [⊥] = 0 [⊥ → ⊥] = 1
Si osservi anche che un
ltro
in un'algebra di Heyting è caratterizzabile come sta-
bilito nel lemma seguente, ciò che evidenzia la stretta correlazione tra lo pseudocomplemento e la nozione di ltro per il trattamento della chiusura sotto derivabilitàconseguenza:
Lemma 272. F ⊆ A è un ltro in un'algebra di Heyting hA, u, t, ⊃, 1, 0i se e solo se : (i ) 1 ∈ F e (ii ) se x ∈ F e x ⊃ y ∈ F , allora y ∈ F . e 1 ∈ F . Se x, y ∈ F , allora per l'ipotesi (ii ) del x u y ∈ F . Inoltre, se x ∈ F e x v y , allora per teor677(e ) e l'ipotesi (i ) del lemma abbiamo x ⊃ y ∈ F , quindi per l'ipotesi (ii ) anche y ∈ F . Resta così dimostrato che F è un ltro. Viceversa, supponiamo che F ⊆ A sia un ltro, per cui 1 ∈ F . Se x ∈ F e x ⊃ y ∈ F , allora x u x ⊃ y ∈ F , ma da ciò segue per def676(a ) anche x u y ∈ F e quindi ovviamente y ∈ F . Dimostrazione. Sia
d
F ⊆A
lemma e teor677( ) vale anche
Risposte
agli esercizi
Capitolo 2 Relazioni di sottoformula propria in (¬p → q) ∧ r: (i ) p @ ¬p @ ¬p → q @ (¬p → q) ∧ r; (ii ) q @ ¬p → q @ (¬p → q) ∧ r; (iii ) r @ (¬p → q) ∧ r.
Esempio. 27.
Profondità delle occorrenze in ¬ (p0 → p0 ∧ p1 ): (0) per ogni formula φ in ¬ (p0 → p0 ∧ p1 ) vale ⇓ [φ, 0, φ]; (1) ⇓ [p0 ∧ p1 , 1, p0 ], ⇓ [p0 ∧ p1 , 1, p1 ], ⇓ [p0 → p0 ∧ p1 , 1, p0 ], ⇓ [p0 → p0 ∧ p1 , 1, p1 ], ⇓ [¬ (p0 → p0 ∧ p1 ) , 1, p0 → p0 ∧ p1 ]; (2) ⇓ [p0 → p0 ∧ p1 , 2, p0 ], ⇓ [p0 → p0 ∧ p1 , 2, p1 ], ⇓ [¬ (p0 → p0 ∧ p1 ) , 2, p0 ], ⇓ [¬ (p0 → p0 ∧ p1 ) , 2, p0 ∧ p1 ]; (3) ⇓ [¬ (p0 → p0 ∧ p1 ) , 3, p0 ], ⇓ [¬ (p0 → p0 ∧ p1 ) , 3, p1 ].
Esempio. 29.
Esercizio. 32.
albero sintattico:
Per riassumere in una sola soluzione i due esercizi usiamo il seguente p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 1 : h↔i : 1 p ∨ (q ∧ r) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 1 : h∨i : 1 1 : h∧i : 1 p∨q p∨r p q∧r 1 : h∨i : 1 1 : h∨i : 1 1 : h∧i : 1 p q p r q r
Corollario.
solo se χ v φ.
. Se l'albero sintattico T : φ è chiuso, allora χ sta a un nodo in T : φ se e
34
La prova è per induzione su gr (T : φ). Sia gr (T : φ) = 0 e T : φ chiuso. Così per la clausola (a ) di esemp24 e la clausola (c ) di def21 si tratta di un albero T : p e il teorema vale banalmente. Per gr (T : φ) = n + 1 consideriamo - in base alla clausola (b ) di esemp24 - il caso seguente (l'altro caso è del tutto analogo): l'albero T : φ è di forma
Dimostrazione.
¬ψ h¬i ) ψ
T0 .. . dove gr (T0 : ψ) = n. Per (IpInd) χ sta a un nodo in T0 : ψ se e solo se χ v ψ , ma per de nizione di sottoformula è ¬ψ stessa l'unica altra sottoformula di ¬ψ oltre a quelle di ψ , quindi χ sta a un nodo in T : ¬ψ se e solo se χ v ¬ψ .
Esercizio.
38. kφkv = V (F) sse f (φ) = 1 (0), se per ogni variabile enunciativa p vale: f (p) = 1 sse v (p) = V. 193
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
194
Dimostrazione. Per induzione su gr (φ). Se φ è una lettera enunciativa p, allora kpkv = v (p), quindi o kpkv = V e quindi f (p) = 1, oppure kpkv = F e quindi per la condizione (a ) di eserc38 vale f (p) = 0. Caso 1. φ = ¬ψ , per cui k¬ψkv = V sse f¬ (kψkv ) = V, quindi kψkv = F. Per (IpInd) vale allora f (ψ) = 0, dal che risulta per la condizione (b ) di eserc38: f (¬ψ) = 1 − f (ψ) = 1 − 0 = 1. Analogamente nel caso del falso. Caso 2. φ = ψ ∧χ, per cui kψ ∧χkv = V sse f∧ (kψkv , kχkv ) = V, quindi kψkv = V = kχkv . Per (IpInd) vale allora f (ψ) = 1 e f (χ) = 1, dal che risulta per la condizione (c ) di eserc38: f (ψ ∧ χ) = min (f (ψ) , f (χ)) = 1. Analogamente nel caso del falso. Caso 3. φ = ψ ∨ χ, per cui kψ ∨ χkv = V sse f∨ (kψkv , kχkv ) = V, quindi o kψkv = V oppure kχkv = V. Per (IpInd) vale allora o f (ψ) = 1 o f (χ) = 1, dal che risulta per la condizione (d ) di eserc38: f (ψ ∨ χ) = max (f (ψ) , f (χ)) = 1. Analogamente nel caso del falso. Caso 4. φ = ψ → χ, per cui kψ → χkv = V sse f→ (kψkv , kχkv ) = V, quindi o kψkv = F oppure kχkv = V. Per (IpInd) vale allora o f (ψ) = 0 o f (χ) = 1, dal che risulta per la condizione (e ) di eserc38: f (ψ → χ) = max (1 − f (ψ) , f (χ)) = 1. Analogamente nel caso del falso. Caso 5. φ = ψ ↔ χ, per cui kψ ↔ χkv = V sse f↔ (kψkv , kχkv ) = V, quindi o kψkv = V e kχkv = V, oppure kψkv = F e kχkv = F. Per (IpInd) vale allora o f (ψ) = 1 e f (χ) = 1, oppure f (ψ) = 0 e f (χ) = 0, dal che risulta per la condizione (f ) di eserc38: f (ψ ∨ χ) = max (1 − f (ψ) , f (χ)) · max (1 − f (χ) , f (ψ)) = 1.
Corollario. 43:
v φ se e solo se v φ.
Dimostrazione. Per induzione su gr (φ). Se gr (φ) = 0, φ è una lettera enunciativa e il risultato segue immediatamente dalla clausola (a ) di def42 e da def37. Per gr (φ) = n + 1 si danno i seguenti sottocasi. Caso 1. φ è ¬ψ , gr (φ) = n, e per ipotesi di induzione: v ψ sse v ψ . Interpretiamo non sulla funzione di verità f¬ nel senso che: (#) f¬ (x) = V se vale non x = V (ossia, x = F); f¬ (x) = F, altrimenti. Così: v ¬ψ sse 2v ψ def42(b ) sse non (kψkv = V) (IpInd), def40 sse f¬ (kψkv ) = V (#) sse v ¬ψ def40, def37 Gli altri casi sono analoghi. Esercizio 45(a ). L'asserzione è corretta. Infatti, se vale non v ¬¬φ, allora kφkv = F e quindi v φ → ψ . (b ). L'asserzione non è corretta. Infatti v φ → ¬¬φ vale per ogni assegnamento v. (c ). L'asserzione non è corretta (anzi rappresenta un tipico caso di errore logico ben noto agli psicologi del ragionamento). Infatti se vale v ¬φ, allora kφ → ψkv = V anche se kψkv = V. (d ). L'asserzione è corretta. Infatti se v ¬ (φ ∨ ψ), allora kψkv = F. (e ). L'asserzione è corretta. Infatti se v φ ↔ ψ e non v φ, allora anche non v ψ .
Esercizio. 46. Se in (c ) è omessa la condizione per φ, ψ distinte, risultano anche formule insoddisfacibili come: ¬ (φ → φ), ¬ (φ ↔ φ). Corollario.
55.
Se φ, ψ, χ ∈ Fo P , allora anche φ [ψ \ χ] ∈ Fo P .
Dimostrazione. Per induzione su gr(φ). Se φ è una variabile p, allora p [p \ χ] è χ, che per ipotesi è in Fo P . Sia gr(φ) = n + 1 e φ della forma ϕ ⊗ ϕ0 , dove ⊗ è un connettivo binario. Supponiamo che, per qualche n, valga ⇓ (ϕ, n, χ) oppure ⇓ (ϕ0 , n, χ). In tal caso - per la clausola (c ) di def53 - {ϕ ⊗ ϕ0 } [ψ \ χ] = {ϕ [n, ψ \ χ]} ⊗ {ϕ0 [n, ψ \ χ]}. Per
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
195
(IpInd), sia ϕ [n, ψ \ χ] che ϕ0 [n, ψ \ χ] sono in Fo P , quindi anche φ [ψ \ χ] ∈ Fo P . Se invece, per ogni n, non vale né ⇓ (ϕ, n, χ) né ⇓ (ϕ0 , n, χ), il risultato è banale.
Capitolo 3
Esercizio. 61(a ). La formula (p → q) → ((¬¬p → ¬q) → ¬p) è una tautologia, come risulta dagli alberi semantici pertinenti. k (p → q) → ((¬¬p → ¬q) → ¬p) kVv h→i kp → qkVv k (¬¬p → ¬q) → ¬pkVv h→i h→i kpkVv kqkVv k¬¬p → ¬qkFv k¬pkFv v (p) = V h→i h¬i : v (q) = V V F V k¬¬pkv k¬qkv kpkv h¬i h¬i k¬pkFv kqkVv h¬i kpkVv k (p → q) → ((¬¬p → ¬q) → ¬p) kVv h→i kp → qkFv k (¬¬p → ¬q) → ¬pkFv h→i h→i kpkVv kqkFv k¬¬p → ¬qkVv k¬pkFv h→i h¬i : k¬¬pkVv k¬qkVv kpkVv h¬i h¬i k¬pkFv kqkFv h¬i kpkVv
v (p) = V v (q) = F
k (p → q) → ((¬¬p → ¬q) → ¬p) kVv h→i kp → qkVv k (¬¬p → ¬q) → ¬pkVv h→i h→i kpkFv kqkVv k¬¬p → ¬qkVv k¬pkVv h→i h¬i : k¬¬pkFv k¬qkFv kpkFv h¬i h¬i k¬pkVv kqkVv h¬i kpkFv
v (p) = F v (q) = V
k (p → q) → ((¬¬p → ¬q) → ¬p) kVv h→i kp → qkVv k (¬¬p → ¬q) → ¬pkVv h→i h→i kpkFv kqkVv k¬¬p → ¬qkVv k¬pkVv v (p) = F h→i h¬i : v (q) = F F V F k¬¬pkv k¬qkv kpkv h¬i h¬i k¬pkVv kqkFv h¬i kpkFv
196
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
Esercizio. 61(b ). La formula (¬p ∧ ¬q) → (¬p → q) è logicamente indeterminata, come risulta dai due seguenti alberi semantici. k (¬p ∧ ¬q) → (¬p → q) kVv h→i k¬p ∧ ¬qkFv k¬p → qkVv h∧i h→i k¬pkFv k¬qkFv k¬pkFv kqkVv h¬i h¬i h¬i kpkVv kqkVv kpkVv
:
v (p) = V v (q) = V
k (¬p ∧ ¬q) → (¬p → q) kFv h→i k¬p ∧ ¬qkVv k¬p → qkFv v (p) = F h∧i h→i : v (q) = F V V V F k¬pkv k¬qkv k¬pkv kqkv h¬i h¬i h¬i kpkFv kqkFv kpkFv
Esercizio.
61(c ). La formula ((p → q) → p) → ¬p è logicamente indeterminata, come risulta dai due seguenti alberi semantici.
k ((p → q) → p) → ¬pkFv h→i k (p → q) → pkVv k¬pkFv h→i h¬i kp → qkVv kpkVv kpkVv h→i kpkVv kqkVv
:
v (p) = V v (q) = V
k ((p → q) → p) → ¬pkVv h→i k (p → q) → pkFv k¬pkFv h→i h¬i kp → qkVv kpkFv kpkVv h→i kpkFv kqkVv
:
v (p) = F v (q) = V
Esercizio. 61(d ). La formula (q → p) → (¬q → ¬p) è logicamente indeterminata, come risulta dai due seguenti alberi semantici. k (q → p) → (¬q → ¬p) kVv h→i kq → pkVv k¬q → ¬pkVv h→i h→i kqkVg kpkVv k¬qkFg k¬pkFv h¬i h¬i kqkVv kpkVv
:
v (p) = V v (q) = V
k (q → p) → (¬q → ¬p) kFv h→i kq → pkVv k¬q → ¬pkFv h→i h→i kqkFv kpkVv k¬qkVv k¬pkFv h¬i h¬i kqkFv kpkVv
:
v (p) = V v (q) = F
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
Esercizio.
a
63( ).
La tavola di verità è la seguente: ¬p F V
p V F
Esercizio. p V V V V F F F F
q V V F F V F V F
Esercizio. p V V V V F F F F T7.
φ V V F F
¬r F V V F V F F V
c
¬r F V F V
¬¬p ↔ p V V
p ↔ (¬¬p ↔ p) V F
p ∧ ¬q F F V F F F F F
¬r → ¬p V F F V V V V V
r ↔ (p ∧ ¬q) F V F F V F F V
¬ (r ↔ (p ∧ ¬q)) V F V V F V V F
¬ (r ↔ (p ∧ ¬q)) ∨ (¬r → ¬p) V F V V V V V V
La tavola di verità è la seguente: r→q V V V V
¬q ∧ (r → q) F F V V
q ∨ (¬q ∧ (r → q)) V V V V
63( ).
d
La tavola di verità è la seguente:
q V V F F V F V F
r V F F V F V V F
¬r 0 V V F V F F V
q∧p V V F F F F F F
r ∧ ¬r F F F F F F F F
q ∨ (r ∧ ¬r) V V F F V F V F
(q ∨ (¬q ∧ (r → q))) → ¬r F V F V
(q ∧ p) → (q ∨ (r ∧ ¬r)) V V V V V V V V
(φ→ψ)→((φ→¬ψ)→¬φ):
φ V V F F
ψ V F V F
T8.
¬q F F V V F V F V
63( ).
¬q F F V V
r V F V F
¬¬p V F
La tavola di verità è la seguente:
63( ).
¬p F F F F V V V V
r V F F V F V V F
Esercizio. q V V F F
b
197
¬φ F F V V
¬ψ F V F V
φ→ψ V F V V
φ→¬ψ F V V V
(φ→¬ψ)→¬φ V F V V
(φ→ψ)→((φ→¬ψ)→¬φ) V V V V
(¬ψ→¬φ)→((¬ψ→φ)→ψ):
ψ V F V F
T15.
¬φ F F V V
¬ψ F V F V
¬ψ→¬φ V F V V
¬ψ→φ V V V F
(¬ψ→¬φ)→ψ V V V F
(¬ψ→¬φ)→((¬ψ→φ)→ψ) V V V V
φ→((φ→ψ)→ψ). Ecco lo schema di falsi cazione: φ→((φ→ψ)→ψ) FVFVFFF
T17.
(¬ψ∧(φ→ψ))→¬φ. Ecco lo schema di falsi cazione:
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
198
(¬ψ∧(φ→ψ))→¬φ FVFVVVVFV T19.
(φ→(ψ→χ))↔(ψ→(φ→χ)). Ecco lo schema di falsi cazione: φ→(ψ→χ) ψ→(φ→χ) VFVFF V VFVFF
Teorema.
φ↔ψ se e solo se φ→ψ e ψ→φ.
65.
Dimostrazione. Il risultato segue direttamente dallo schema di valutazione per la tautologia T66: φ V V F F
ψ V F V F
φ→ψ V F V V
T46.
φ V V V V F F F F
ψ V V F F V F V F
ψ→φ V V F V
(φ→ψ)∧(ψ→φ) V F F V
φ↔ψ V F F V
(φ↔ψ)↔(φ→ψ)∧(ψ→φ) V V V V
φ∨(ψ∧χ)↔(φ∨ψ)∧(φ∨χ):
χ V F F V F V V F
ψ∧χ V F F F F F V F
Esercizio.
φ∨ψ V V V V V F V F
a
66( ).
φ∨χ V V V V F V V F
φ∨(ψ∧χ) V V V V F F V F
(φ∨ψ)∧(φ∨χ) V V V V F F V F
(φ∨(ψ∧χ))↔((φ∨ψ)∧(φ∨χ)) V V V V V V V V
Ecco lo schema di falsi cazione: (φ → ψ) → ((φ ∧ χ) → (ψ ∧ χ)) V F F V VVV F FFV
Esercizio.
b
66( ).
Ecco lo schema di falsi cazione: (φ → ψ) → (¬ (φ ∧ χ) → ¬ (ψ ∧ χ)) ? V V F V ? FV F F V V V
Esercizio.
c
66( ).
Ecco lo schema di falsi cazione: (φ ↔ ψ) ↔ ((¬φ → ¬ψ) ∧ (¬ψ → ¬φ)) V F F V FV V VF F VF F FV F F V V VF F FV F FV V VF
Esercizio. χ V V F F
Esercizio.
d
66( ).
Ecco lo schema di valutazione:
¬χ F F V V
ψ V F V F
¬χ → ψ V V V F
(¬χ → ψ) → ¬χ F F V V
e
Ecco lo schema di valutazione:
φ V V F F
ψ V F V F
66( ).
¬¬φ V V F F
¬¬ψ V F V F
φ ∨ ¬¬ψ V V V F
((¬χ → ψ) → ¬χ) → ¬χ V V V V
(¬¬φ ∧ (φ ∨ ¬¬ψ)) → ψ V F V V
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
Esercizio.
f
66( ).
199
Ecco lo schema di falsi cazione: (φ ∧ ψ → χ) → ((φ → χ) ∨ (ψ → χ)) VVV F F V V F F F V F F
Esercizio.
g
66( ).
Ecco lo schema di falsi cazione: φ ∨ (φ → ψ) FV F V ? VV V F F
Esercizio.
h
66( ).
Ecco lo schema di falsi cazione: (φ → ψ) ∨ (ψ → φ) V F F V F V V F V V V V F F
Esercizio. 66(i ). Teorema. 70(b ).
La falsi cazione risulta per assegnazione di F a φ e di V, o di F, a ψ . Γ è insoddisfacibile se e solo se Cn (Γ) = FoP .
Dimostrazione. Se ogni χ ∈ FoP veri ca χ ∈ Cn (Γ) e (per assurdo) Γ è soddisfacibile, allora per χ ∈ Γ risulta soddisfacibile anche Γ ∪ {¬χ}; così per teor70(a ) segue Γ 2 χ, contro la ovvia verità di Γ[χ] χ [cfr. teor108(a )]. Viceversa, sia Γ insoddisfacibile, così Γ χ per ogni χ ∈ FoP , cioè Cn (Γ) = Fo P .
Esercizio.
99:
(a ) ¬φ ↔ ¬ψ, φ, ψ . Infatti, se 2v φ e 2v ψ , allora chiaramente v ¬φ ↔ ¬ψ , quindi non è possibile la falsi cazione di tutte le formule in (a ). (b ) φ, ψ, φ ↔ ψ . Analogo al caso (a ). (c ) ¬φ → (¬ψ → χ) , χ, ¬φ. Infatti, se 2v ¬φ, allora chiaramente v ¬φ → (¬ψ → χ), quindi non è possibile la falsi cazione di tutte le formule in (c ). (d ) φ, φ → ψ . Infatti, se 2v φ → ψ , allora chiaramente v φ, quindi non è possibile la falsi cazione di tutte le formule in (d ).
Esercizio.
105:
(a ) φ ∧ ψ, Γ ∆, φ, ψ . Infatti, se Modv ({φ ∧ ψ} ∪ Γ), allora valgono v φ e v ψ , quindi a fortiori vale v ∆, φ, ψ . (b ) φ ∨ ψ, Γ 2 ∆, ψ . Infatti, se Modv ({φ ∨ ψ} ∪ Γ), allora vale v φ o vale v ψ ; così se 2v ψ , allora può darsi 2∨ v ∆, ψ . (c ) φ → ψ, ¬φ, Γ 2 ∆, ¬ψ . Infatti, se Modv ({φ → ψ, ¬φ} ∪ Γ), allora: (i ) v φ → ψ e (ii ) 2v φ. Ma da (ii ) segue banalmente che (i ) vale anche se v ψ , quindi possibilmente 2∨ v ∆, ¬ψ . (d ) ψ, Γ ∆, φ → ψ . Cfr. la tautologia T12 di 3.2. (e ) ψ, φ ↔ ψ, Γ 2 ∆, ¬φ. Infatti, se Modv ({ψ, φ ↔ ψ} ∪ Γ), allora: (i ) v ψ e (ii ) v φ ↔ ψ . Ma in tal caso da (i ) e (ii ) segue v φ, e quindi possibilmente 2∨ v ∆, ¬φ.
Esercizio.
109. Mostrare che è falsa la seguente asserzione: (*) Se Γ Θ, Ξ e Ξ, Λ ∆, allora vale anche Γ, Λ Θ, ∆.
Consideriamo le seguenti applicazioni di (*): (1) se φ, ¬φ e ¬φ, φ χ, allora χ; (2) se φ, ¬φ e ¬φ, φ ¬χ, allora ¬χ. Siccome le premesse di (1) e (2) sono valide [cfr. (TE) e (NC) in 3.6], ne segue la contraddizione χ e ¬χ. Si osservi che le applicazioni del Taglio alle stesse premesse danno risultati ben diversi: otteniamo infatti φ χ, φ e φ ¬χ, φ, che non destano alcuna preoccupazione.
Esercizio.
111.
[∧A] φ ∧ ψ, Γ ∆ se e solo se φ, ψ, Γ ∆:
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
200
Sia (*) φ ∧ ψ, Γ ∆, e per qualche v valgano sia (i ) v φ, ψ, Γ che (ii ) 2∨v ∆. Da v φ, ψ segue ovviamente v φ ∧ ψ e quindi per (i ) anche v φ ∧ ψ, Γ, da cui usando (*) risulta v ∆, contro (ii ). Così cade l'ipotesi d'assurdo. Sia invece (**) φ, ψ, Γ ∆, e supponiamo che per qualche v valgano (j ) v φ ∧ ψ, Γ e (jj ) 2∨ v ∆. Chiaramente (j ) vale sse v φ, ψ, Γ, per cui da (**) risulta v ∆, contro (jj ). Cade perciò l'ipotesi d'assurdo.
Esercizio.
111.
[∧C] Γ ∆, φ ∧ ψ se e solo se Γ ∆, φ e Γ ∆, ψ :
Sia (*) Γ ∆, φ ∧ ψ , e per assurdo valgano o (*1) Γ 2 ∆, φ oppure (*2) Γ 2 ∆, ψ . Se (*1), allora per qualche v, (i ) v Γ e (ii ) 2∨v ∆, φ. Ora, da (*) e (i ) segue v ∆, φ ∧ ψ . Così per (ii ) avremo v φ ∧ ψ , e da ciò segue v φ, contro (ii ). Analogamente nel caso che valga (*2). Quindi cade l'ipotesi d'assurdo. Sia invece (**) Γ ∆, φ e Γ ∆, ψ , e supponiamo che per qualche v valgano (j ) v Γ e (jj ) 2∨v ∆, φ ∧ ψ . Da 2v φ ∧ ψ segue che o (jjj .1) 2v φ oppure (jjj .2) 2v ψ . Ora, da (j ) usando (**) segue v ∆, φ e così se vale (jjj .1) risulta v ∆, contro (jj ). Analogamente se vale (jjj .2). Cade così l'ipotesi d'assurdo.
Esercizio.
111.
[∨A] φ ∨ ψ, Γ ∆ se e solo se φ, Γ ∆ e ψ, Γ ∆:
Sia (*) φ ∨ ψ, Γ ∆, e per assurdo supponiamo sia o (*1) φ, Γ 2 ∆ o (*2) ψ, Γ 2 ∆. Se vale (*1) allora, per qualche v, valgono: (i ) v φ, Γ e (ii ) 2∨v ∆. Ma da v φ segue ovviamente v φ ∨ ψ e quindi v φ ∨ ψ, Γ in base a (i ), da cui per (*) si ricava v ∆, contro (ii ). Una contraddizione analoga si ricava da (*2). Cade quindi l'ipotesi d'assurdo. Sia invece (**) φ, Γ ∆ e ψ, Γ ∆, e supponiamo che per qualche v valgano (j ) v φ∨ψ, Γ e (jj ) 2∨v ∆. Per (j ) abbiamo o v φ, Γ oppure v ψ, Γ, e in entrambi i casi otteniamo, usando (**), v ∆, contro (jj ). Quindi cade l'ipotesi d'assurdo.
Esercizio.
111.
[∨C] Γ ∆, φ ∨ ψ se e solo se Γ ∆, φ, ψ :
Sia (*) Γ ∆, φ ∨ ψ , e per qualche v valgano (i ) v Γ e (ii ) 2∨v ∆, φ, ψ . Ma da (i ) e (*) segue v ∆, φ ∨ ψ , e quindi v φ ∨ ψ in base a (ii ). Ma v φ ∨ ψ sse o v φ o v ψ , contro (ii ). Così cade l'ipotesi d'assurdo. Sia (**) Γ ∆, φ, ψ , e supponiamo che per qualche v valgano (j ) v Γ e (jj ) 2∨v ∆, φ ∨ ψ . Ora, da (j ) e (**) otteniamo (jjj ) v ∆, φ, ψ , ma non può essere, in base a (jj ), né v φ nè v ψ . Così per (jjj ) deve essere v ∆, contro (jj ). Cade quindi l'ipotesi d'assurdo.
Esercizio.
111.
[→A] φ → ψ, Γ ∆ se e solo se Γ ∆, φ e ψ, Γ ∆:
Sia (*) φ → ψ, Γ ∆, e per assurdo supponiamo che o (*1) Γ 2 ∆, φ o (*2) ψ, Γ 2 ∆. Se vale (*1), allora per qualche v valgono (i ) v Γ e (ii ) 2∨v ∆, φ. Da 2v φ otteniamo ovviamente (iii ) v φ → ψ . Da (*), (i ) e (iii ) segue v ∆, contro (ii ). Se invece vale (*2), allora per qualche v abbiamo (i ') v ψ , (ii ') v Γ e (iii ') 2∨v ∆. Da (i ') segue ovviamente (iv ') v φ → ψ , quindi per (*), (iv ') e (ii ') otteniamo v ∆, contro (iii '). Così cade l'ipotesi d'assurdo. Sia (**1) Γ ∆, φ e (**2) ψ, Γ ∆, e per assurdo supponiamo che (**3) φ → ψ, Γ 2 ∆. Così per qualche v valgono (j ) v φ → ψ , (jj ) v Γ e (jjj ) 2∨v ∆. Ora, (j ) vale se 2v φ oppure v ψ . Nel primo caso, per (**1) e (jj ) otteniamo ∨v ∆; anche nel secondo caso, per (**2) e (jj ), risulta ∨v ∆. Ma tutto ciò contraddice (jjj ).
Esercizio.
111.
[→C] Γ ∆, φ → ψ se e solo se φ, Γ ∆, ψ :
Sia (*) Γ ∆, φ → ψ , e per qualche v valgano (i ) v φ, Γ e anche (ii ) 2∨v ∆, ψ . Visto che v φ e 2v ψ , risulta ovviamente 2v φ → ψ , e quindi per (ii ) anche (iii ) 2∨v ∆, φ → ψ . Da (*) per teor108(b 1) si ottiene φ, Γ ∆, φ → ψ , e quindi per (i ) avremo anche v ∆, φ → ψ , che contraddice (iii ). Così cade l'ipotesi d'assurdo. Sia invece (**) φ, Γ ∆, ψ , e supponiamo che per qualche v valgano (j ) v Γ e (jj ) 2∨ v ∆, φ → ψ . Da 2v φ → ψ seguono (jjj ) v φ e (jv ) 2v ψ . Così per (jj ) e (jv ): (v )
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
201
2∨ v ∆, ψ . Da (**) per (j ) e (jjj ) segue però v ∆, ψ , che contraddice (v ). Cade quindi
l'ipotesi d'assurdo. Esercizio. 111. [↔A] φ ↔ ψ, Γ ∆ se e solo se φ, ψ, Γ ∆ e Γ ∆, φ, ψ: Sia (*) φ ↔ ψ, Γ ∆, e per assurdo supponiamo che o (*1) φ, ψ, Γ 2 ∆ o (*2) Γ 2 ∆, φ, ψ . Se vale (*1), allora per qualche v risulta (i ) v φ, ψ, Γ e (ii ) 2∨ v ∆. Da (i ) si ricava ovviamente (iii ) v φ ↔ ψ, Γ , e così per (iii ) e (*) otteniamo anche v ∆, contro (ii ). Analogamente se vale (*2). Cade così l'ipotesi d'assurdo. Sia invece (**) φ, ψ, Γ ∆ e Γ ∆, φ, ψ , e supponiamo che per qualche v valga (j ) v φ ↔ ψ, Γ e (jj ) 2∨ v ∆. Come sappiamo, v φ ↔ ψ vale solo se kφkv = kψkv . Quindi da (j ) segue v φ, ψ, Γ, se kφkv = kψkv = V, e quindi v ∆ per la parte φ, ψ, Γ ∆ di (**). Se invece kφkv = kψkv = F, allora per (jj ) vale anche 2∨v ∆, φ, ψ , e quindi 2v Γ per la parte Γ ∆, φ, ψ di (**), contro (j ). In ogni caso, cade l'ipotesi d'assurdo. Esercizio. 111. [↔C] Γ ∆, φ ↔ ψ se e solo se φ, Γ ∆, ψ e ψ, Γ ∆, φ: Sia (*) Γ ∆, φ ↔ ψ , e supponiamo che per qualche v valgano o (*1) φ, Γ 2 ∆, ψ o (*2) ψ, Γ 2 ∆, φ. Se (*1), allora per qualche v valgono (i ) v φ, Γ e (ii ) 2∨v ∆, ψ . Da v φ e 2v ψ segue ovviamente 2∨v ∆, φ → ψ , usando (ii ), e perciò anche (iii ) 2∨v ∆, φ ↔ ψ . Ma da (i ) e (*) risulta v ∆, φ ↔ ψ , contro (iii ). Analogamente se vale (*2). Cade quindi l'ipotesi d'assurdo. Sia ora invece (**) φ, Γ ∆, ψ e ψ, Γ ∆, φ, e per assurdo valgano (j ) v Γ e (jj ) 2∨ v ∆, φ ↔ ψ . Da 2v φ ↔ ψ segue ovviamente o (a ) v φ e 2v ψ o (b ) v ψ e 2v φ. Se vale (a ), allora per (j ) e (jj ) risulta anche v φ, Γ e 2∨v ∆, ψ , contro la parte φ, Γ ∆, ψ di (**). Analogamente per (b ). Cade così l'ipotesi d'assurdo. Esercizio. 111. [¬A] ¬φ, Γ ∆ se e solo se Γ ∆, φ: Sia (*) ¬φ, Γ ∆ e supponiamo che per qualche v valgano (i ) v Γ e (ii ) 2∨v ∆, φ. Da (i ) e (ii ) segue v ¬φ, Γ e quindi, per (*), anche v ∆, contro (ii ). Cade perciò l'ipotesi d'assurdo. Sia invece (**) Γ ∆, φ e supponiamo che per qualche v valgano (j ) v ¬φ, Γ e (jj ) 2∨v ∆. Da (j ) e (**) si ottiene v ∆, φ, ma per (j ) abbiamo 2v φ, e quindi risulta v ∆, contro (jj ). Cade perciò l'ipotesi d'assurdo. Esercizio. 111. [¬C] Γ ∆, ¬φ se e solo se φ, Γ ∆: Sia (*) Γ ∆, ¬φ, e per qualche v valgano (i ) v φ, Γ e (ii ) 2∨v ∆. Da (*) e (i ) segue (iii ) v ∆, ¬φ. Ma in base a v φ di (i ), da (iii ) segue v ∆, contro (ii ). Quindi cade l'ipotesi d'assurdo. Sia invece (**) φ, Γ ∆, e supponiamo che per qualche v valgano (j ) v Γ e (jj ) 2∨g ∆, ¬φ. In tal caso da (jj ) risulta v φ, e così per (j ) anche (jjj ) v φ, Γ. Ma da (**) e (jjj ) segue v ∆, da cui v ∆, ¬φ che però contraddice (jj ). Cade così l'ipotesi d'assurdo.
Capitolo 4
Esercizio.
Se `Gae Γ ⇒ ∆, allora `Gae (Γ ⇒ ∆) [p/q]. Dimostrazione. Per induzione su gr (Φ : Γ ⇒ ∆). Se gr (Φ) = 0, il sequente iniziale è un assioma p, Γ ⇒ ∆, p. Per def139, (p, Γ ⇒ ∆, p) [p/q] è q, Γ [p/q] ⇒ ∆ [p/q] , q e quindi è a sua volta un assioma di Gae. Per gr (Φ) = n + 1 facciamo solo un esempio di una regola di continuità e di una di biforcazione. Caso ¬EA. Φ è di forma 140.
¬ψ, Γ0 ⇒ ∆ h¬EAi ( 0 Γ ⇒ ∆, ψ
Φ0
.. .
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
202
Naturalmente Φ0 è di grado ≤ n e così, per (IpInd), anche Ψ0 sotto è una prova di chiusura. Allora la seguente è la prova cercata ¬ {ψ [p/q]} , Γ0 [p/q] ⇒ ∆ [p/q] h¬EAi ( 0 Γ [p/q] ⇒ ∆ [p/q] , ψ [p/q]
.. .
Ψ0
in quanto per def51(b ) e def139 è una prova di (¬ψ, Γ ⇒ ∆) [p/q]. Caso EC ↔. Φ è di forma Γ ⇒ ∆0 , φ ↔ ψ hEC ↔i ) ( φ, Γ ⇒ ∆0 , ψ ψ, Γ ⇒ ∆0 , φ
.. .
Φ1
.. .
Φ2
Naturalmente Φ1 e Φ2 sono di grado ≤ n e così, per (IpInd), anche Ψ1 e Ψ2 sotto sono prove di chiusura. Allora la seguente è la prova cercata Γ [p/q] ⇒ ∆0 [p/q] , {φ [p/q]} ↔ {ψ [p/q]} hEC ↔i ( ) φ [p/q] , Γ [p/q] ⇒ ∆0 [p/q] , ψ [p/q] ψ [p/q] , Γ [p/q] ⇒ ∆0 [p/q] , φ [p/q]
.. .
Ψ1
.. .
in quanto per def51(c ) e def139 è una prova di (Γ ⇒ ∆0 , φ ↔ ψ) [p/q]. Gli altri casi sono analoghi. L¬ 7. [Ritorno] φ → ψ ∧ ¬ψ ⇒? ¬φ : φ → ψ ∧ ¬ψ ⇒ ¬φ hEC¬i φ, φ → ψ ∧ ¬ψ ⇒ h→ EAi φ⇒φ ψ ∧ ¬ψ, φ ⇒ ? h∧EAi ψ, ¬ψ, φ ⇒ h?, 142 (a)i
L¬ 8. [Ritorno] φ → ¬φ ⇒? ¬φ : φ → ¬φ ⇒ ¬φ hEC¬i φ, φ → ¬φ ⇒ h→ EAi φ ⇒ φ ¬φ, φ ⇒ ? h?, 142 (a)i
L¬ 11◦ . φ → ψ, ¬φ → ψ ⇒? ψ : φ → ψ, ¬φ → ψ ⇒ ψ h→ EAi ¬φ → ψ ⇒ ψ, φ ψ, ¬φ → ψ ⇒ ψ h→ EAi ? ⇒ ψ, φ, ¬φ ψ ⇒ ψ, φ h?, 142 (b◦ )i ?
Esercizio.
a
153( ).
φ → χ, ψ → χ ⇒? φ ∧ ψ → χ:
Ψ2
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
203
φ → χ, ψ → χ ⇒ φ ∧ ψ → χ hEC →i φ ∧ ψ, φ → χ, ψ → χ ⇒ χ h∧EAi φ, ψ, φ → χ, ψ → χ ⇒ χ h?, 145 (b)i
Esercizio.
b
153( ).
0
Gae φ
∧ ψ → χ ⇒ (φ → χ) ∧ (ψ → χ):
φ ∧ ψ → χ ⇒ (φ → χ) ∧ (ψ → χ) hEC∧i φ∧ψ →χ⇒φ→χ φ∧ψ →χ⇒ψ →χ hEC →i hEC →i φ, φ ∧ ψ → χ ⇒ χ ψ, φ ∧ ψ → χ ⇒ χ h→ EAi h→ EAi φ ⇒ χ, φ ∧ ψ φ, χ ⇒ χ ψ ⇒ χ, φ ∧ ψ ψ, χ ⇒ χ h∧EAi ? h∧EAi ? φ ⇒ χ, φ φ ⇒ χ, ψ ψ ⇒ χ, φ ψ ⇒ χ, ψ ? ÷ ÷ ?
a
b
Esercizio. 154( )-( ):
Esercizio. 151(b ).
c
154( ).
Le a-prove di chiusura sono immediate.
φ ∧ (ψ ∧ χ) ⇔? (φ ∧ ψ) ∧ χ: proviamo il bicondizionale e usiamo
cor
⇒ φ ∧ (ψ ∧ χ) ↔ (φ ∧ ψ) ∧ χ hEC ↔i φ ∧ (ψ ∧ χ) ⇒ (φ ∧ ψ) ∧ χ (φ ∧ ψ) ∧ χ ⇒ φ ∧ (ψ ∧ χ) h∧EA2 i h∧EA2 i φ, ψ, χ ⇒ (φ ∧ ψ) ∧ χ φ, ψ, χ ⇒ φ ∧ (ψ ∧ χ) hEC∧i hEC∧i φ, ψ, χ ⇒ φ ∧ ψ φ, ψ, χ ⇒ χ φ, ψ, χ ⇒ φ φ, ψ, χ ⇒ ψ ∧ χ h?, 143 (a)i ? ? h?, 143 (a)i
Esercizio.
d
154( ).
φ ∧ (ψ ∨ χ) ⇔? (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ): φ ∧ (ψ ∨ χ) ⇒ (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ) h∧EAi φ, ψ ∨ χ ⇒ (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ) hEC∨i ψ ∨ χ, φ ⇒ φ ∧ ψ, φ ∧ χ h∨EAi φ, ψ ⇒ φ ∧ χ, φ ∧ ψ φ, χ ⇒ φ ∧ ψ, φ ∧ χ h?, 143 (a)i h?, 143 (a)i
(φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ) ⇒ φ ∧ (ψ ∨ χ) h∨EAi φ ∧ ψ ⇒ φ ∧ (ψ ∨ χ) φ ∧ χ ⇒ φ ∧ (ψ ∨ χ) hEC∧i hEC∧i φ∧ψ ⇒φ φ∧ψ ⇒ψ∨χ φ∧χ⇒φ φ∧χ⇒ψ∨χ h?, 143 (b)i hEC∨i h?, 143 (b)i hEC∨i φ ∧ ψ ⇒ ψ, χ φ ∧ χ ⇒ χ, ψ h?, 143 (c)i h?, 143 (c)i
Esercizio.
d
155( ).
φ ∧ ψ ⇒? ψ → φ [il caso (c ) è analogo] :
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
204
φ∧ψ ⇒ψ →φ h∧EAi φ, ψ ⇒ ψ → φ hEC →i ψ, φ, ψ ⇒ φ ?
Esercizio.
e
155( ).
φ ∧ ψ ⇒? φ ↔ ψ [il caso (f ) è analogo] : φ∧ψ ⇒φ↔ψ h∧EAi φ, ψ ⇒ φ ↔ ψ hEC ↔i φ, φ, ψ ⇒ ψ ψ, φ, ψ ⇒ φ ? ?
Esercizio.
h
155( ).
φ ∧ ψ ⇒? χ ∨ ψ [il caso (g ) è analogo] : φ∧ψ ⇒χ∨ψ h∧EAi φ, ψ ⇒ χ ∨ ψ hEC∨i φ, ψ ⇒ χ, ψ ?
L∧ 11. φ ∧ ψ ⇔? φ ∧ (φ → ψ): φ ∧ ψ ⇒ φ ∧ (φ → ψ) h∧EAi φ, ψ ⇒ φ ∧ (φ → ψ) hEC∧i φ, ψ ⇒ φ φ, ψ ⇒ φ → ψ ? hEC →, CtAi φ, ψ ⇒ ψ ?
φ ∧ (φ → ψ) ⇒ φ ∧ ψ h∧EAi φ, φ → ψ ⇒ φ ∧ ψ hEC∧i φ, φ → ψ ⇒ φ φ, φ → ψ ⇒ ψ ? h?, 145 (b)i
L∨ 4. φ → χ, ψ → χ ⇒? φ ∨ ψ → χ: φ → χ, ψ → χ ⇒ φ ∨ ψ → χ hEC →i φ ∨ ψ, φ → χ, ψ → χ ⇒ χ h∨EAi φ, φ → χ, ψ → χ ⇒ χ ψ, φ → χ, ψ → χ ⇒ χ h?, 145 (b)i h?, 145 (b)i
L∨ 5◦ . φ ∧ ψ → χ ⇔?◦ (φ → χ) ∨ (ψ → χ) [Andata]: φ ∧ ψ → χ ⇒ (φ → χ) ∨ (ψ → χ) hEC∨i φ ∧ ψ → χ ⇒ φ → χ, ψ → χ hEC2 →, CCti φ, ψ, φ ∧ ψ → χ ⇒ χ h→ EAi φ, ψ ⇒ χ, φ ∧ ψ φ, ψ, χ ⇒ χ h?, 143 (a)i ?
Esercizio.
a
156( ).
φ ⇔? φ ∨ φ: proviamo il bicondizionale e usiamo
151(b ).
cor
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
205
⇒φ↔φ∨φ hEC ↔i φ⇒φ∨φ φ∨φ⇒φ h?, 144 (b)i h?, 144 (a)i
Esercizio.
b
156( ).
φ ∨ (φ ∧ ψ) ⇔? φ: proviamo il bicondizionale e usiamo
151(b ).
cor
⇒ φ ∨ (φ ∧ ψ) ↔ φ hEC ↔i φ ∨ (φ ∧ ψ) ⇒ φ φ ⇒ φ ∨ (φ ∧ ψ) h∨EAi h?, 144 (b)i φ⇒φ φ∧ψ ⇒φ ? h?, 143 (b)i
Esercizio.
c
156( ).
φ ∨ ψ ⇔? ψ ∨ φ: proviamo il bicondizionale e usiamo
151(b ).
cor
⇒φ∨ψ ↔ψ∨φ hEC ↔i φ∨ψ ⇒ψ∨φ ψ∨φ⇒φ∨ψ hEC∨i hEC∨i φ ∨ ψ ⇒ ψ, φ ψ ∨ φ ⇒ φ, ψ h?, 144 (a)i h?, 144 (a)i
Esercizio. 151(b ).
d
156( ).
φ ∨ (ψ ∨ χ) ⇔? (φ ∨ ψ) ∨ χ: proviamo il bicondizionale e usiamo
cor
⇒ φ ∨ (ψ ∨ χ) ↔ (φ ∨ ψ) ∨ χ hEC ↔i φ ∨ (ψ ∨ χ) ⇒ (φ ∨ ψ) ∨ χ (φ ∨ ψ) ∨ χ ⇒ φ ∨ (ψ ∨ χ) hEC2 ∨i hEC2 ∨i φ ∨ (ψ ∨ χ) ⇒ φ, ψ, χ (φ ∨ ψ) ∨ χ ⇒ φ, ψ, χ h∨EAi h∨EAi φ ⇒ φ, ψ, χ ψ ∨ χ ⇒ φ, ψ, χ φ ∨ ψ ⇒ φ, ψ, χ χ ⇒ φ, ψ, χ ? h?, 144 (a)i h?, 144 (a)i ?
L∨ 10◦ . φ ∨ ψ ◦ ⇔? (φ → ψ) → ψ : proviamo il bicondizionale e usiamo ⇒ (φ ∨ ψ) ↔ ((φ → ψ) → ψ) hEC ↔i φ ∨ ψ ⇒ (φ → ψ) → ψ (φ → ψ) → ψ ⇒ φ ∨ ψ hEC →i hEC∨i φ → ψ, φ ∨ ψ ⇒ ψ (φ → ψ) → ψ ⇒ φ, ψ h∨EAi h→ EAi φ, φ → ψ ⇒ ψ ψ, φ → ψ ⇒ ψ ⇒ φ, ψ, φ → ψ ψ ⇒ φ, ψ h?, 145 (b)i ? h?, 145 (b)i ?
L∨ 14◦ . φ ∨ ψ ⇔?◦ (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ ¬ψ) [Ritorno]: (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ ¬ψ) ⇒ φ ∨ ψ hEC∨i (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ ¬ψ) ⇒ φ, ψ h∨EAi
.. .
Risultano così i tre rami seguenti:
151(b ).
cor
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
206
.. . φ∧ψ ⇒φ∨ψ h?, 155(a)i
.. .
.. .
¬φ ∧ ψ ⇒ φ ∨ ψ h∧EAi ¬φ, ψ ⇒ φ ∨ ψ h?, 144(c)i
φ ∧ ¬ψ ⇒ φ ∨ ψ h∧EAi φ, ¬ψ ⇒ φ ∨ ψ h?, 144(b)i
L→ 3. φ → (ψ → χ) , φ → ψ ⇒? φ → χ : φ → (ψ → χ) , φ → ψ ⇒ φ → χ hEC →i φ, φ → (ψ → χ) , φ → ψ ⇒ χ h→ EAi φ, φ → (ψ → χ) ⇒ χ, φ ψ, φ, φ → (ψ → χ) ⇒ χ ? h→ EAi ψ, φ ⇒ χ, φ ψ, φ, ψ → χ ⇒ χ ? h?, 145 (b)i
Esercizio.
a
157( ).
⇒? (φ → (φ → ψ)) → (φ → ψ): ⇒ (φ → (φ → ψ)) → (φ → ψ) hEC2 →i φ, φ → (φ → ψ) ⇒ ψ h→ EAi φ ⇒ ψ, φ φ, φ → ψ ⇒ ψ ? h?, 145 (b)i
Esercizio. 151(b ).
b
157( ).
φ → (ψ → χ) ⇔? ψ → (φ → χ): proviamo il bicondizionale e usiamo
cor
⇒ (φ → (ψ → χ)) ↔ (ψ → (φ → χ)) hEC ↔i φ → (ψ → χ) ⇒ ψ → (φ → χ) ψ → (φ → χ) ⇒ φ → (ψ → χ) hEC2 →i hEC2 →i φ, ψ, φ → (ψ → χ) ⇒ χ ψ, φ, ψ → (φ → χ) ⇒ χ h→ EAi h→ EAi φ, ψ ⇒ χ, φ ψ → χ, φ, ψ ⇒ χ ψ, φ, ⇒ χ, ψ φ → χ, ψ, φ, ⇒ χ ? h?, 145 (b)i ? h?, 145 (b)i
Esercizio. 151(b ).
c
157( ).
ψ → (φ → χ) ⇔? φ ∧ ψ → χ: proviamo il bicondizionale e usiamo
cor
⇒ (ψ → (φ → χ)) ↔ (φ ∧ ψ → χ) hEC ↔i ψ → (φ → χ) ⇒ φ ∧ ψ → χ φ ∧ ψ → χ ⇒ ψ → (φ → χ) hEC →i hEC2 →i φ ∧ ψ, ψ → (φ → χ) ⇒ χ φ, ψ, φ ∧ ψ → χ ⇒ χ h∧EAi h→ EAi φ, ψ, ψ → (φ → χ) ⇒ χ φ, ψ ⇒ χ, φ ∧ ψ χ, φ, ψ ⇒ χ h→ EAi h?, 143 (a)i ? φ, ψ ⇒ χ, ψ φ, ψ, φ → χ ⇒ χ ? h?, 145 (b)i
L→ 6◦ . φ → ψ ° ⇔? ¬¬φ → ¬¬ψ : proviamo il bicondizionale e usiamo
151(b ).
cor
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
207
⇒ (φ → ψ) ↔ (¬¬φ → ¬¬ψ) hEC ↔i φ → ψ ⇒ ¬¬φ → ¬¬ψ ¬¬φ → ¬¬ψ ⇒ φ → ψ hEC →i hEC →i ¬¬φ, φ → ψ ⇒ ¬¬ψ φ, ¬¬φ → ¬¬ψ ⇒ ψ hEC¬i h→ EAi ¬ψ, ¬¬φ, φ → ψ ⇒ φ ⇒ ψ, ¬¬φ ¬¬ψ, φ ⇒ ψ h¬EAi hEC¬i h¬EAi ¬ψ, φ → ψ ⇒ ¬φ ¬φ, φ ⇒ ψ φ ⇒ ψ, ¬ψ h?, L→ 4i h?, 142 (a)i h?, 142 (b◦ )i
L→ 7◦ . ⇒? φ → ψ, ψ → φ: ⇒ φ → ψ, ψ → φ hEC2 →i ψ, φ ⇒ ψ, φ ?
L→ 11◦ . ¬ (φ → ψ) ⇔? φ ∧ ¬ψ : ¬ (φ → ψ) ⇒ φ ∧ ¬ψ h∧EAi ¬ (φ → ψ) ⇒ φ ¬ (φ → ψ) ⇒ ¬ψ h¬EAi hEC¬i ⇒ φ, φ → ψ ψ, ¬ (φ → ψ) ⇒ h?, 145 (a◦ )i h¬EAi ψ⇒φ→ψ h?, 145 (c)i
Esercizio.
a
158( ).
φ ∧ ¬ψ ⇒ ¬ (φ → ψ) h∧EAi φ, ¬ψ ⇒ ¬ (φ → ψ) hEC¬i φ → ψ, φ, ¬ψ ⇒ h¬EAi φ, φ → ψ ⇒ ψ h?, 145 (b)i
⇒? (φ → ψ) → (φ ∨ χ → ψ ∨ χ): ⇒ (φ → ψ) → (φ ∨ χ → ψ ∨ χ) hEC2 →i φ ∨ χ, φ → ψ ⇒ ψ ∨ χ hEC∨i φ ∨ χ, φ → ψ ⇒ ψ, χ h∨EAi φ, φ → ψ ⇒ ψ, χ χ, φ → ψ ⇒ ψ, χ h?, 145 (b)i ?
L'inversa invece non è provabile: 0Gap ⇒ (φ ∨ χ → ψ ∨ χ) → (φ → ψ). Ecco la refutazione: ⇒ (φ ∨ χ → ψ ∨ χ) → (φ → ψ) hEC2 →i φ, φ ∨ χ → ψ ∨ χ ⇒ ψ h→ EAi φ ⇒ ψ, φ ∨ χ ψ ∨ χ, φ ⇒ ψ hEC∨i h∨EAi φ ⇒ ψ, φ, χ ψ, φ ⇒ ψ χ, φ ⇒ ψ ? ? ÷
Esercizio.
b
158( ).
⇒? (φ → ψ) → (¬ (ψ ∧ χ) → ¬ (φ ∧ χ)):
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
208
⇒ (φ → ψ) → (¬ (ψ ∧ χ) → ¬ (φ ∧ χ)) hEC2 →i ¬ (ψ ∧ χ) , φ → ψ ⇒ ¬ (φ ∧ χ) hEC¬i φ ∧ χ, ¬ (ψ ∧ χ) , φ → ψ ⇒ h¬EAi φ ∧ χ, φ → ψ ⇒ ψ ∧ χ h∧EAi φ, χ, φ → ψ ⇒ ψ ∧ χ hEC∧i φ, χ, φ → ψ ⇒ ψ φ, χ, φ → ψ ⇒ χ h?, 145 (b)i ?
L'inversa invece non è provabile: 0 la refutazione:
Gae
⇒ (¬ (ψ ∧ χ) → ¬ (φ ∧ χ)) → (φ → ψ). Ecco
⇒ (¬ (ψ ∧ χ) → ¬ (φ ∧ χ)) → (φ → ψ) hEC2 →i φ, ¬ (ψ ∧ χ) → ¬ (φ ∧ χ) ⇒ ψ h→ EAi φ ⇒ ψ, ¬ (ψ ∧ χ) ¬ (φ ∧ χ) , φ ⇒ ψ hEC¬i h¬EAi ψ ∧ χ, φ ⇒ ψ φ ⇒ ψ, φ ∧ χ h?, 143 (b)i hEC∧i φ ⇒ ψ, φ φ ⇒ ψ, χ ? ÷
Esercizio.
◦
158(c ).
(φ → ψ) → χ ⇔?◦ (ψ → χ) ∧ (φ ∨ χ):
(φ → ψ) → χ ⇒ (ψ → χ) ∧ (φ ∨ χ) hEC∧i (φ → ψ) → χ ⇒ ψ → χ (φ → ψ) → χ ⇒ φ ∨ χ hEC →i hEC∨i ψ, (φ → ψ) → χ ⇒ χ (φ → ψ) → χ ⇒ φ, χ h→ EAi h→ EAi ψ ⇒ χ, φ → ψ ψ, χ ⇒ χ ⇒ φ, χ, φ → ψ χ ⇒ φ, χ h?, 145 (c)i ? h?, 145 (a◦ )i ? (ψ → χ) ∧ (φ ∨ χ) ⇒ (φ → ψ) → χ hEC →i φ → ψ, (ψ → χ) ∧ (φ ∨ χ) ⇒ χ h∧EAi ψ → χ, φ ∨ χ, φ → ψ ⇒ χ h→ EAi φ ∨ χ, φ → ψ ⇒ χ, ψ χ, φ ∨ χ, φ → ψ ⇒ χ h∨EAi ? φ, φ → ψ ⇒ χ, ψ χ, φ → ψ ⇒ χ, ψ h?, 145 (b)i ?
Esercizio.
◦
158(d ).
χ → (ψ ∨ ¬φ) ◦ ⇔? φ ∧ χ → ψ :
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
χ → (ψ ∨ ¬φ) ⇒ φ ∧ χ → ψ hEC →i φ ∧ χ, χ → (ψ ∨ ¬φ) ⇒ ψ h∧EAi φ, χ, χ → (ψ ∨ ¬φ) ⇒ ψ h→ EAi φ, χ, ⇒ ψ, χ φ, χ, ψ ∨ ¬φ ⇒ ψ ? hEC∨i ψ, φ, χ ⇒ ψ ¬φ, φ, χ ⇒ ψ ? h?, 142 (a)i
Esercizio.
e
158( ).
209
φ ∧ χ → ψ ⇒ χ → (ψ ∨ ¬φ) hEC →i χ, φ ∧ χ → ψ ⇒ ψ ∨ ¬φ hEC∨i χ, φ ∧ χ → ψ ⇒ ψ, ¬φ h→ EAi χ ⇒ ψ, ¬φ, φ ∧ χ χ, ψ ⇒ ψ, ¬φ hEC∧i ? χ ⇒ ψ, ¬φ, φ χ ⇒ ψ, ¬φ, χ h?, 142 (b◦ )i ?
¬ (φ → ψ) , φ ⇒? ¬ψ : ¬ (φ → ψ) , φ ⇒ ¬ψ hEC¬i ψ, φ, ¬ (φ → ψ) ⇒ h¬EAi ψ, φ ⇒ φ → ψ hEC →, CtAi ψ, φ ⇒ ψ ?
L→ 16◦ . φ → ψ ⇒?◦ (φ → χ) ∨ ψ : φ → ψ ⇒ (φ → χ) ∨ ψ hEC∨i φ → ψ ⇒ φ → χ, ψ hEC →i φ, φ → ψ ⇒ χ, ψ h?, 145 (b)i
L→ 17. ⇒? φ → (ψ → φ ∧ ψ): la prova è immediata per EC →.
L↔ 6. φ ↔ ψ ⇔? (φ → ψ) ∧ (ψ → φ): (φ→ψ)∧(ψ→φ)⇒φ↔ψ hEA∧i φ→ψ,ψ→φ⇒φ↔ψ h↔ECi φ,φ→ψ,ψ→φ⇒ψ ψ,φ→ψ,ψ→φ⇒φ h?,145(b)i h?,145(b)i φ↔ψ⇒(φ→ψ)∧(ψ→φ) hEC∧i φ↔ψ⇒φ→ψ φ↔ψ⇒ψ→φ hEC→i hEC→i φ,φ↔ψ⇒ψ ψ,φ↔ψ⇒φ h?,146(a)i h?,146(b)i
L↔ 11◦ . ¬(φ↔ψ)⇔?◦ (φ∨ψ)∧¬(φ∧ψ):
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
210
¬(φ↔ψ)⇒(φ∨ψ)∧¬(φ∧ψ) hEC∧i ¬(φ↔ψ)⇒φ∨ψ ¬(φ↔ψ)⇒¬(φ∧ψ) h¬EAi hEC¬i ⇒φ∨ψ,φ↔ψ φ∧ψ,¬(φ↔ψ)⇒ hEC∨i h∧EAi ⇒φ↔ψ,φ,ψ φ,ψ,¬(φ↔ψ)⇒ h?,146(d)i h¬EAi φ,ψ⇒φ↔ψ h?,146(c)i (φ∨ψ)∧¬(φ∧ψ)⇒¬(φ↔ψ) h∧EAi φ∨ψ,¬(φ∧ψ)⇒¬(φ↔ψ) hEC¬i φ↔ψ,φ∨ψ,¬(φ∧ψ)⇒ h¬EAi φ↔ψ,φ∨ψ⇒φ∧ψ hEC∧i φ↔ψ,φ∨ψ⇒φ φ↔ψ,φ∨ψ⇒ψ h∨EAi h∨EAi φ,φ↔ψ⇒φ ψ,φ↔ψ⇒φ φ,φ↔ψ⇒ψ ψ,φ↔ψ⇒ψ ? h?,146(b)i h?,146(a)i ?
Esercizio.
159.
φ∧ψ→(χ↔ϕ)⇒? φ∧χ→(ψ→ϕ):
φ∧ψ→(χ↔ϕ)⇒φ∧χ→(ψ→ϕ) hEC2 →i ψ,φ∧χ,φ∧ψ→(χ↔ϕ)⇒ϕ h∧EAi ψ,φ,χ,φ∧ψ→(χ↔ϕ)⇒ϕ h→EAi ψ,φ,χ⇒ϕ,φ∧ψ χ↔ϕ,ψ,φ,χ⇒ϕ h?,143(a)i h↔EAi χ,ϕ,ψ,φ⇒ϕ ψ,φ,χ,⇒ϕ,χ h?,CtAi h?,CCti
Capitolo 5
Lemma.
181.
è incoerente.
Se Φ:Γ⇒∆ è una a-prova di chiusura in Gae, allora la sezione [Γ⇒∆]1,0
Dimostrazione. Per induzione su gr(Φ:Γ⇒∆). Se gr(Φ)=0, il sequente Γ⇒∆ è di chiusura, e quindi [Γ⇒∆]1,0 è incoerente per cor171. Sia gr(Φ)=m+1, e (IpInd) se Ψ:Θ⇒Λ è una prova di chiusura con gr(Ψ)≤m, allora [Θ⇒Λ]1,0 è incoerente. Si danno i seguenti casi, trattati per assurdo. Caso ¬EA. Φ:Γ⇒∆ ha forma: ¬φ,Θ⇒∆ h¬EAi ( Θ⇒∆,φ Ψ
.. .
Un modello v della sezione [¬φ,Θ⇒∆]1,0 sarebbe modello anche di [Θ⇒∆,φ]1,0 , contro (IpInd). Caso EC¬. Φ:Γ⇒∆ ha forma:
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
211
Γ⇒Λ,¬φ hEC¬i ) φ,Γ⇒Λ Ψ .
..
Un modello v della sezione [Γ⇒Λ,¬φ]1,0 sarebbe modello anche di [¬¬φ,Γ⇒Λ]1,0 , contro (IpInd) che non esiste un modello di [φ,Γ⇒Λ]1,0 . Caso ∧EA. Φ:Γ⇒∆ ha forma: φ∧ψ,Θ⇒∆ h∧EAi ( φ,ψ,Θ⇒∆
.. .
Ψ
Un modello v della sezione [φ∧ψ,Θ⇒∆]1,0 sarebbe modello di [φ,ψ,Θ⇒∆]1,0 , contro (IpInd). Caso EC∧. Φ:Γ⇒∆ ha forma: Γ⇒Λ,φ∧ψ hEC∧i ( ) Γ⇒Λ,φ Γ⇒Λ,ψ
Ψ2 .. . Un modello v della sezione [Γ⇒Λ,φ∧ψ]1,0 sarebbe modello o di [Γ⇒Λ,φ]1,0 o di [Γ⇒Λ,ψ]1,0 , contro (IpInd) che non esiste un modello né di [Γ⇒Λ,φ]1,0 né di [Γ⇒Λ,ψ]1,0 . Caso ∨EA. Φ:Γ⇒∆ ha forma: Ψ1
.. .
φ∨ψ,Θ⇒∆ h∨EAi ( ) φ,Θ⇒∆ ψ,Θ⇒∆
Ψ2 .. . Un modello v della sezione [φ∨ψ,Θ⇒∆]1,0 sarebbe modello o di [φ,Θ⇒∆]1,0 o di [ψ,Θ⇒∆]1,0 , contro (IpInd). Caso EC∨. Φ:Γ⇒∆ ha forma: Ψ1
.. .
Γ⇒Λ,φ∨ψ hEC∨i ) Γ⇒Λ,φ,ψ
.. .
Ψ
Un modello v della sezione [Γ⇒Λ,φ∨ψ]1,0 sarebbe modello di [Γ⇒Λ,φ,ψ]1,0 , contro (IpInd). Gli altri casi sono analoghi.
Teorema.
183:
(Continuazione della dimostrazione)
Dimostrazione. I casi residui sono i seguenti. Caso 7. Se φ→ψ∈X , allora o ψ∈X o ¬φ∈X per [H→]. Se ψ∈X , allora per (IpInd) v ψ e così v φ→ψ per legge logica. Sia invece ¬φ∈X . Si danno allora i casi seguenti in base alla forma logica di φ. (1) φ=¬χ. Così ¬¬χ∈X e per [H¬¬] vale χ∈X . Allora per (IpInd) abbiamo v χ, quindi 2v φ, da cui per legge logica: v φ→ψ . (2) φ=χ∧ϕ. Così ¬(χ∧ϕ)∈X e per [H¬∧] vale ¬χ∈X o ¬ϕ∈X . Allora per (IpInd) o v ¬χ o v ¬ϕ. In entrambi i casi per legge logica: v φ→ψ . (3) φ=χ∨ϕ. Così ¬(χ∨ϕ)∈X e per [H¬∨] vale ¬χ,¬ϕ∈X . Allora per (IpInd) abbiamo v ¬χ e v ¬ϕ. Per legge logica: v φ→ψ . (4) φ=χ→ϕ. Così ¬(χ→ϕ)∈X e per [H¬→] vale χ,¬ϕ∈X . Allora per (IpInd) abbiamo v χ e v ¬ϕ. Per legge logica: v φ→ψ .
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
212
(5) φ=χ↔ϕ. Analogamente a (4). Caso 8. Se ¬(φ→ψ)∈X , allora φ,¬ψ∈X per [H¬→]. Allora per (IpInd) abbiamo v φ e v ¬ψ per (IpInd). Per legge logica: v ¬(φ→ψ). Caso 9. Analogamente a (7). Caso 10. Analogamente a (8).
Capitolo 6
Esercizio.
199.
`GiRe φ∨ψ,¬φ,¬ψ⇒: h142(a)i h142(a)i φ,¬φ⇒ ψ,¬ψ⇒ hAgAi hAgAi ¬ψ,φ,¬φ⇒ ψ,¬ψ,¬φ⇒ h∨IAi φ∨ψ,¬φ,¬ψ⇒
Esercizio.
200.
`GiRe φ∨¬φ⇒¬¬φ→φ: φ⇒φ hAgAi ¬¬φ,φ⇒φ
hL¬ 1(a)i ¬¬φ,¬φ⇒φ h∨IAi φ∨¬φ,¬¬φ⇒φ hIC→i φ∨¬φ⇒¬¬φ→φ
Esercizio.
202.
`Gce◦ φ∨¬φ, dove Gce◦ =Gie+ l'assioma ⇒φ∨(φ→φ).
φ⇒φ ¬φ⇒¬φ h→IAi φ,φ→¬φ⇒¬φ ¬φ,φ⇒ hTg,CtAi φ,φ→¬φ⇒ hICR¬i φ→¬φ⇒¬φ φ⇒φ hIC∨i hIC∨i φ→¬φ⇒φ∨¬φ φ⇒φ∨¬φ hAxi h∨ACi ⇒φ∨(φ→¬φ) φ∨(φ→¬φ)⇒φ∨¬φ hTgi φ∨¬φ J13 [⇐]. `Gie‡ ¬¬(φ∧ψ)⇒¬¬φ∧¬¬ψ : h143(b)i h143(c)i φ∧ψ⇒φ φ∧ψ⇒ψ h¬IiAi h¬IiAi ¬φ,φ∧ψ⇒ ¬ψ,φ∧ψ⇒ hIiC¬i hIiC¬i ¬φ⇒¬(φ∧ψ) ¬ψ⇒¬(φ∧ψ) h¬IiAi h¬IiAi ¬¬(φ∧ψ),¬φ⇒ ¬¬(φ∧ψ),¬ψ⇒ hIiC¬i hIiC¬i ¬¬(φ∧ψ)⇒¬¬φ ¬¬(φ∧ψ)⇒¬¬ψ hIiC∧i ¬¬(φ∧ψ)⇒¬¬φ∧¬¬ψ
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
J14. `Gie‡ ¬¬φ∨¬¬ψ⇒¬¬(φ∨ψ): h144(b)i
h144(c)i φ⇒φ∨ψ ψ⇒φ∨ψ h¬IiAi h¬IiAi ¬(φ∨ψ),φ⇒ ¬(φ∨ψ),ψ⇒ hIiC¬i hIiC¬i ¬(φ∨ψ)⇒¬φ ¬(φ∨ψ)⇒¬ψ h¬IiAi h¬IiAi ¬¬φ,¬(φ∨ψ)⇒ ¬¬ψ,¬(φ∨ψ)⇒ hIiC¬i hIiC¬i ¬¬φ⇒¬¬(φ∨ψ) ¬¬ψ⇒¬¬(φ∨ψ) h∨IiAi ¬¬φ∨¬¬ψ⇒¬¬(φ∨ψ)
Esercizio.
a
204( ) -
J15. `Gie‡ ¬¬(φ∨ψ),φ∨¬φ⇒¬¬φ∨¬¬ψ :
hL∧ 8(a)i ¬φ∧¬ψ⇒¬(φ∨ψ) hIiC→i hL→ 4i ⇒¬φ∧¬ψ→¬(φ∨ψ) ¬φ∧¬ψ→¬(φ∨ψ),¬¬(φ∨ψ)⇒¬(¬φ∧¬ψ) hTgii h143(a)i ¬¬(φ∨ψ)⇒¬(¬φ∧¬ψ) ¬φ,¬ψ⇒¬φ∧¬ψ hAgiAi hAgiAi ¬φ,¬ψ,¬¬(φ∨ψ)⇒¬(¬φ∧¬ψ) ¬φ,¬ψ,¬¬(φ∨ψ)⇒¬φ∧¬ψ hIiC∧i h142(a)i ¬φ,¬ψ,¬¬(φ∨ψ)⇒¬φ∧¬ψ∧¬(¬φ∧¬ψ) ¬φ∧¬ψ∧¬(¬φ∧¬ψ)⇒ hTgii ¬φ,¬ψ,¬¬(φ∨ψ)⇒ hL¬ 4(a)i hIiC¬i φ⇒¬¬φ ¬φ,¬¬(φ∨ψ)⇒¬¬ψ hIiC∨,AgiAi hIiC∨i ¬¬(φ∨ψ),φ⇒¬¬φ∨¬¬ψ ¬φ,¬¬(φ∨ψ)⇒¬¬φ∨¬¬ψ h∨IiAi ¬¬(φ∨ψ),φ∨¬φ⇒¬¬φ∨¬¬ψ
Esercizio.
a
204( ) -
J16. `Gie‡ φ∨¬φ→ψ⇒¬¬ψ :
hL→ 4i hJ2i ¬ψ,φ∨¬φ→ψ⇒¬(φ∨¬φ) ¬(φ∨¬φ)⇒ hTgii ¬ψ,φ∨¬φ→ψ⇒ hIiC¬i φ∨¬φ→ψ⇒¬¬ψ
Esercizio.
a
204( ) - J17.
`Gie‡ φ∨¬φ→¬ψ⇒¬ψ : hJ2i ¬(φ∨¬φ)⇒ hTgii ¬¬ψ,φ∨¬φ→¬ψ⇒ hIiC¬i hJ3(a)i φ∨¬φ→¬ψ⇒¬¬¬ψ ¬¬¬ψ⇒¬ψ hTgii φ∨¬φ→¬ψ⇒¬ψ
hL→ 4i ¬¬ψ,φ∨¬φ→¬ψ⇒¬(φ∨¬φ)
Esercizio.
a
204( ) -
J18. `Gie‡ ¬¬φ→¬¬ψ⇔¬¬(φ→ψ):
213
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
214
hL¬ 4(a)i h145(b)i φ⇒¬¬φ ¬¬φ,¬¬φ→¬¬ψ⇒¬¬ψ h158(e)i hTgii ¬(φ→ψ),φ⇒¬ψ φ,¬¬φ→¬¬ψ⇒¬¬ψ hAgiA,IiC∧i hL¬ 1(a)i ¬(φ→ψ),¬¬φ→¬¬ψ,φ⇒¬ψ∧¬¬ψ ¬ψ∧¬¬ψ⇒ψ hTgii ¬(φ→ψ),¬¬φ→¬¬ψ,φ⇒ψ hIiC→i ¬(φ→ψ),¬¬φ→¬¬ψ⇒φ→ψ h¬IiA,CtiAi ¬(φ→ψ),¬¬φ→¬¬ψ⇒ hIiC¬i ¬¬φ→¬¬ψ⇒¬¬(φ→ψ) A sua volta J18[⇐] segue banalmente da 145(b).
Esercizio.
a
204( ) -
J19. `Gie‡ ¬¬φ→ψ⇒¬ψ→¬φ: hL¬ 4(a)i h145(b)i φ⇒¬¬φ ¬¬φ,¬¬φ→ψ⇒ψ hTgii φ,¬¬φ→ψ⇒ψ h¬IiAi ¬ψ,φ,¬¬φ→ψ⇒ hIiC¬i ¬ψ,¬¬φ→ψ⇒¬φ hIiC→i ¬¬φ→ψ⇒¬ψ→¬φ
Esercizio.
b
204( ).
`Gce‡ φ→ψ⇒(φ→χ)∨ψ :
hL¬ 1(a)i ¬φ,φ⇒χ hIiC→i ¬φ⇒φ→χ h145(b)i hIiC∨i φ→ψ,φ⇒ψ ¬φ⇒(φ→χ)∨ψ hIiC∨i hAgiAi φ→ψ,φ⇒(φ→χ)∨ψ φ→ψ,¬φ⇒(φ→χ)∨ψ h∨IiAi ⇒φ∨¬φ φ∨¬φ,φ→ψ⇒(φ→χ)∨ψ hTgii φ→ψ⇒(φ→χ)∨ψ
Teorema.
208.
Se `nG0ie Γ⇒χ, allora `nG0ie Γ,Λ⇒χ.
Dimostrazione. Per induzione su n. Il teorema vale banalmente per gli assiomi di G0ie. Per n>1 consideriamo il caso seguente come esempio, gli altri sono del tutto analoghi. Caso →JIA. Così la prova Φn+1 è di forma φ→ψ,Γ⇒φ ψ,Γ⇒χ h→JIAi φ→ψ,Γ⇒χ e quindi per (IpInd) risultano provabili in G0ie anche φ→ψ,Γ,Λ⇒φ e ψ,Γ,Λ⇒χ, così per →JIA abbiamo anche φ→ψ,Γ,Λ⇒χ.
Esercizio.
a
214( ).
0G0ie ¬(φ→¬ψ)⇒φ∧ψ :
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
215
(φ→¬ψ)→⊥⇒φ∧ψ hEiC∧i (φ→¬ψ)→⊥⇒φ (φ→¬ψ)→⊥⇒ψ
.. .. . . Proseguiamo nel modo seguente il ramo di sinistra: .. .
(φ→(ψ→⊥))→⊥⇒φ h→JEAi (φ→(ψ→⊥))→⊥⇒φ→(ψ→⊥) ⊥⇒ψ hEiC2 →i ? ψ,φ,(φ→(ψ→⊥))→⊥⇒⊥ h¬JEAi ψ,φ,(φ→(ψ→⊥))→⊥⇒φ→(ψ→⊥) ∞
Esercizio.
b
214( ).
0G0ie ¬(¬φ∨¬ψ)⇒φ∧ψ : ¬φ∨¬ψ→⊥⇒φ∧ψ hEiC∧i ¬φ∨¬ψ→⊥⇒φ ¬φ∨¬ψ→⊥⇒ψ
.. .. . . Il seguente sviluppo del ramo sinistro (esposto in forma sempli cata) è quanto cercato: .. . ¬φ∨¬ψ→⊥⇒¬φ∨¬ψ hEiC∨i ¬φ∨¬ψ→⊥⇒φ→⊥ ... hEiC→i φ,¬φ∨¬ψ→⊥⇒⊥ h¬JEAi φ,¬φ∨¬ψ→⊥⇒¬φ∨¬ψ ∞
h→JEAi ...
Esercizio. 214(c ). 0G0ie ¬(φ∧¬ψ)⇒φ→ψ: Il seguente sviluppo della derivazione (in forma sempli cata) è quanto cercato: φ∧¬ψ→⊥⇒φ→ψ hEiC→i φ,φ∧¬ψ→⊥⇒ψ h→JEAi φ,φ∧¬ψ→⊥⇒φ∧¬ψ ... hEiC∧i ... φ,φ∧¬ψ→⊥⇒ψ→⊥ hEiC→i ψ,φ,φ∧¬ψ→⊥⇒⊥ h¬JEAi ψ,φ,φ∧¬ψ→⊥⇒φ∧¬ψ ∞
Esercizio.
d
e
f
214( )-( )-( ):
le derivazioni sono immediate.
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
216
Capitolo 7
Esercizio.
222.
Se RgT ={MP} e Γ`T φ, allora Γ[p/χ]`T φ[p/χ].
Dimostrazione. La dimostrazione non è particolarmente complessa e dipende essenzialmente dalle proprietà della sostituzione. L'unico punto speci co riguarda la sostituzione in assiomi, ma è subito risolto osservando che in realtà sono schemi d'assioma.27 Così, se φ è un assioma, allora ogni sua istanza sostituzionale φ[p/χ] è a sua volta banalmente un assioma. Così ogni derivazione Φ:Γ`φ con gr(Φ)=0 veri ca banalmente eserc222. Sia ora Φ:Γ`φ con gr(Φ)=n+1, dove per (IpInd) ogni derivazione Ψ:∆`χ con gr(Ψ)=k≤n soddisfa eserc222. Se φ risulta in Φ per applicazione di MP, da (IpInd) seguono (i ) Θ[p/χ]`T {ψ→φ}[p/χ] (ii ) Λ[p/χ]`T ψ[p/χ]. Per def51(c ), da (i ) segue subito: (iii ) Θ[p/χ]`T ψ[p/χ]→φ[p/χ]. Date quindi (iii ) e (ii ), applichiamo la regola MP la quale, essendo p-conservativa, ci darà: Θ[p/χ]∪Λ[p/χ]`T φ[p/χ]. Da ciò per le proprietà della sostituzione in insiemi di formule avremo il risultato cercato: {Θ∪Λ}[p/χ]`T φ[p/χ].
Teorema.
b
227( ).
Θ,Θ,Γ`T φ se e solo se Θ,Γ`T φ.
Dimostrazione. Supponiamo per semplicità che ψ,ψ`T φ: per teor226 abbiamo `T ψ→ (ψ→φ), e quindi per M7 e MP anche `T ψ→φ, e quindi ψ`T φ. Se invece ψ`T φ, allora `T ψ→φ per teor226, e quindi `T ψ→(ψ→φ) per M1 e MP, da cui ψ,ψ`T φ.
Problema. 1|1` 2 3|1` 4 5|1` 6
Esercizio. 1|1` 2 3|1` 4 5|1` 6|1` 7|1` 8|1` 9
Esercizio. 1|1` 2|2` 3|1,2` 4|1` 5
231 -
H6. `Hie (φ∧ψ)→(φ→ψ):
φ∧ψ φ∧ψ→ψ ψ ψ→(φ→ψ) φ→ψ (φ∧ψ)→(φ→ψ) 231 -
ip
II.2 MP,1,2
II.1
MP,3,4 →I,5
H7. `Hie (φ∧ψ)→(φ↔ψ):
φ∧ψ (φ∧ψ)→(φ→ψ) φ→ψ (φ∧ψ)→(ψ→φ) ψ→φ (φ→ψ)→((ψ→φ)→(φ↔ψ)) (ψ→φ)→(φ↔ψ) φ↔ψ (φ∧ψ)→(φ↔ψ) 233 -
ip H6 MP,1,2 H6 MP,1,4
IV.3
MP,3,6 MP,5,7 →I,8
H11(a). `Hie (φ→¬φ)→¬φ:
φ→¬φ φ ¬φ ¬φ (φ→¬φ)→¬φ
ip ip MP,1,2 ¬I,2,3 →I,4
27In caso contrario occorrerebbe adottare anche una regola di sostituzione, ma si tratta di una pratica largamente caduta in disuso.
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
Esercizio. 1|1` 2|2` 3|1,2` 4|1` 5|1` 6
Esercizio. 1|1` 2|2` 3|1,2` 4|1` 5
Esercizio. 1|1` 2|2` 3|3` 4|1,3` 5|2,3` 6|1,2` 7|1` 8
Esercizio. 1|1` 2|2` 3 4|2` 5 6|1` 7|1,2` 8|1,2` 9|1` 10
Esercizio. 1|1` 2|2` 3|3` 4|1,3` 5|2,3` 6|1,2` 7|1,2` 8|1` 9
Esercizio.
H11(b◦ ). `Hce (¬φ→φ)→φ:
233 -
¬φ→φ ¬φ φ ¬¬φ φ (¬φ→φ)→φ
ip ip MP,1,2 ¬I,2,3 DN◦ ,4 →I,5
H12. `Hie φ→¬¬φ:
233 -
φ ¬φ φ ¬¬φ φ→¬¬φ
ip ip Ag,2,1 ¬I,2,3 →I,4
H13(a). `Hie (φ→ψ)→(¬ψ→¬φ):
233 -
φ→ψ ¬ψ φ ψ ¬ψ ¬φ ¬ψ→¬φ (φ→ψ)→(¬ψ→¬φ)
ip ip ip MP,1,3 Ag,2,3 ¬I,4,5 →I,6 →I,7
H13(b◦ ): `Hce (¬ψ→¬φ)→(φ→ψ):
233 -
¬ψ→¬φ φ φ→¬¬φ ¬¬φ (¬ψ→¬φ)→(¬¬φ→¬¬ψ) ¬¬φ→¬¬ψ ¬¬ψ ψ φ→ψ (¬ψ→¬φ)→(φ→ψ) 235.
ip ip H12 MP,2,3 H13 MP,1,5 MP,4,6 DN◦ ,7 →I,8 →I,9
`Hce (¬ψ→¬φ)→((¬ψ→φ)→ψ):
¬ψ→¬φ ¬ψ→φ ¬ψ ¬φ φ ¬¬ψ ψ (¬ψ→φ)→ψ (¬ψ→¬φ)→((¬ψ→φ)→ψ)
a
236( ).
ip ip ip MP,1,3 MP,2,3 ¬I,4,5 DN◦ ,6 →I,7 →I,8
`Hie (ψ→χ)→(φ∨ψ→φ∨χ):
217
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
218
1|1` 2|2` 3|3` 4|3` 5|5` 6|1,5` 7|1,5` 8|1,2` 9|1` 10
Esercizio.
ψ→χ φ∨ψ φ φ∨χ ψ χ φ∨χ φ∨χ φ∨ψ→φ∨χ (ψ→χ)→(φ∨ψ→φ∨χ)
b
236( ).
1|1` 2|2` 3|1,2` 4|1,2` 5|1` 6|6` 7|1,6` 8|1,2` 9|1` 10|1` 11 12|11` 13|11` 14|11` 15|11` 16|11,15` 17|11,15` 18|11,15` 19|11` 20 21
Esercizio. 1|1` 2|2` 3|1,2` 4|4` 5|4` 6|4` 7|7` 8|2,7` 9|7` 10|7` 11|1` 12 13|13` 14|14`
ip ip ip ∨I,3 ip MP,1,5 ∨I,6 ∨E,4,7,2 →I,8 →I,9
`Hie (φ→ψ∧χ)↔((φ→ψ)∧(φ→χ)):
φ→ψ∧χ φ ψ∧χ ψ φ→ψ φ ψ∧χ χ φ→χ (φ→ψ)∧(φ→χ) (φ→ψ∧χ)→((φ→ψ)∧(φ→χ)) (φ→ψ)∧(φ→χ) φ→ψ φ→χ φ ψ χ ψ∧χ φ→ψ∧χ ((φ→ψ)∧(φ→χ))→(φ→ψ∧χ) (φ→ψ∧χ)↔((φ→ψ)∧(φ→χ))
c
236( ).
ip ip MP,1,2 ∧E,3 →I,4 ip MP,1,6 ∧E,7 →I,8 ∧I,5,9 →I,10 ip ∧E,12 ∧E,12 ip MP,14,15 MP,14,15 ∧I,16,17 →I,18 →I,19 ↔I,20
`Hie (χ→φ∨ψ)↔((χ→φ)∨(χ→ψ)):
χ→φ∨ψ χ φ∨ψ φ χ→φ (χ→φ)∨(χ→ψ) ψ ψ χ→ψ (χ→φ)∨(χ→ψ) (χ→φ)∨(χ→ψ) (χ→φ∨ψ)→((χ→φ)∨(χ→ψ)) (χ→φ)∨(χ→ψ) χ→φ
ip ip MP,1,2 ip MP,I.1,4 ∨I,5 ip Ag,7 →I,8 ∨I,9 ∨E,6,10,3 →I,11 ip ip
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
15|15` 16|14,15` 17|14,15` 18|14` 19|19` 20|20` 21|19,20` 22|19,20` 23|19` 24|13` 25 26
Esercizio.
a
237( ).
1|1` 2|2` 3|2` 4|4` 5|5` 6|4,5` 7|1,4,5` 8|1,4,5` 9|1,4` 10|1,4` 11|1` 12 13|13` 14|14` 15|15` 16|14` 17|15,14` 18|15,14` 19|15 20|20 21|21 22|20 23|21,20 24|21,20 25|21 26|13 27 28
Esercizio. 1|1` 2|1` 3|1` 4|4` 5|4` 6|4` 7
Esercizio.
χ φ φ∨ψ χ→φ∨ψ χ→ψ χ ψ φ∨ψ χ→φ∨ψ χ→φ∨ψ ((χ→φ)∨(χ→ψ))→(χ→φ∨ψ) (χ→φ∨ψ)↔((χ→φ)∨(χ→ψ)) `Hce ¬(φ∧ψ)↔(¬φ∨¬ψ):
¬(φ∧ψ) ¬φ ¬φ∨¬ψ φ ψ φ∧ψ ¬(φ∧ψ) ¬(φ∧ψ) ¬ψ ¬φ∨¬ψ ¬φ∨¬ψ ¬(φ∧ψ)→(¬φ∨¬ψ) ¬φ∨¬ψ φ∧ψ ¬φ φ ¬φ φ ¬(φ∧ψ) φ∧ψ ¬ψ ψ ¬ψ ψ ¬(φ∧ψ) ¬(φ∧ψ) (¬φ∨¬ψ)→¬(φ∧ψ) ¬(φ∧ψ)↔(¬φ∨¬ψ)
b
237( ).
c
ip ip ∨I,2 ip ip ∧I,4,5 Ag,6,5 Ag,1,4,5 ¬I,7,8 ∨I,9 Te◦ ,3,10 →I,11 ip ip ip ∧E,14 Ag,15,14 Ag,16,14 ¬I,17,18 ip ip ∧E,20 Ag,21,20 Ag,22,20 ¬I,23,24 ∨E,19,25,13 →I,26 ↔I,12,27
`Hce (φ→ψ)∨(φ→¬ψ):
ψ φ→ψ (φ→ψ)∨(φ→¬ψ) ¬ψ φ→¬ψ (φ→ψ)∨(φ→¬ψ) (φ→ψ)∨(φ→¬ψ) 237( ).
ip MP,14,15 ∨I,16 →I,17 ip ip MP,19,20 ∨I,21 →I,22 ∨E,18,23,13 →I,24 ↔I,12,25
ip MP,I.1,1 ∨I,2 ip MP,I.1,4 ∨I,5 Te◦ ,3,6
`Hce (φ→ψ)∨(ψ→φ):
219
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
220
1|1` 2|1` 3|1` 4|4` 5|4` 6|4` 7
Esercizio. 1|1` 2|2` 3|3` 4|3` 5|1,3` 6|1` 7
Esercizio.
φ ψ→φ (φ→ψ)∨(ψ→φ) ¬φ φ→ψ (φ→ψ)∨(ψ→φ) (φ→ψ)∨(ψ→φ)
d
237( ).
e
1|1` 2|2` 3|2` 4|1,2` 5|5` 6|6` 7|2` 8|2,6` 9|1,2` 10|1` 11 12|12` 13|13` 14 15|12` 16|16` 17|12,16` 18|12,13,16` 19 20|12,13,16` 21|12,13,16` 22|12,16` 23|23` 24|23` 25 26|23` 27|12` 28 29
Esercizio.
`Hce ((φ→ψ)→φ)→φ:
(φ→ψ)→φ φ ¬φ φ→ψ φ φ ((φ→ψ)→φ)→φ 237( ).
ip MP,I.1,1 ∨I,2 ip MP,H14(b),4 ∨I,5 Te◦ ,3,6
ip ip ip MP,H14(b),3 MP,1,4 Te◦ ,2,5 →I,6
`Hce (χ→ψ∨¬φ)↔(φ∧χ→ψ):
χ→ψ∨¬φ φ∧χ χ ψ∨¬φ ψ ¬φ φ ψ ψ φ∧χ→ψ (χ→ψ∨¬φ)→(φ∧χ→ψ) φ∧χ→ψ χ (φ∧χ→ψ)→(¬ψ→¬(φ∧χ)) ¬ψ→¬(φ∧χ) ¬ψ ¬(φ∧χ) ¬(φ∧χ)∧χ ¬(φ∧χ)∧χ→¬φ ¬φ ψ∨¬φ χ→ψ∨¬φ ψ ψ∨¬φ (ψ∨¬φ)→(χ→ψ∨¬φ) χ→ψ∨¬φ χ→ψ∨¬φ (φ∧χ→ψ)→(χ→ψ∨¬φ) (χ→ψ∨¬φ)↔(φ∧χ→ψ)
a →). `Nme ¬¬¬φ↔¬φ:
243(
ip ip ∧E,2 MP,1,3 ip ip ∧E,2 ¬E,7.6 ∨E,5,8,4 →I,9 →I,10 ip ip H13 MP,14,12 ip MP,15,16 ∧I,17,13 H20 MP,19,18 ∨I,20 →I,21 ip ∨I,23
I.1
MP,25,24 Te◦ ,22,26 →I,27 ↔I,28
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
1:¬φ2:φ hI∧i φ∧¬φ 4:φ5:¬¬¬φ hE∧i hI∧i φ 3:¬φ φ∧¬¬¬φ hCt:-1,I¬:-3i hE∧i (→) ¬¬φ ¬¬¬φ hCt:-2,I¬:-4i ¬φ hI→:-5i ¬¬¬φ→¬φ 1:¬φ2:¬¬φ hI∧i ¬φ∧¬¬φ hE∧i ¬φ 3:¬¬φ (←) hCt:-2,I¬:-3i ¬¬¬φ hI→:-1i ¬φ→¬¬¬φ
Esercizio.
b
243( ).
`Nme ¬(φ∨ψ)→¬φ∧¬ψ :
1:¬(φ∨ψ) 2:φ 3:ψ 4:¬(φ∨ψ) hAgg:2i hI∨i hI∨i hAgg:3i ¬(φ∨ψ) φ∨ψ φ∨ψ ¬(φ∨ψ) hI¬:-2i hI¬:-3i ¬φ ¬ψ hCt:-4,I∧i ¬φ∧¬ψ hI→:-1i ¬(φ∨ψ)→¬φ∧¬ψ
Esercizio.
a
245( ).
`Nme ¬¬(φ∨¬φ):
1:¬(φ∨¬φ) 2:φ 3:¬φ 4:¬(φ∨¬φ) hAgg:2i hI∨i hI∨i hAgg:3i ¬(φ∨¬φ) φ∨¬φ φ∨¬φ ¬(φ∨¬φ) hI¬:-2i hI¬:-3i ¬φ ¬¬φ hCt:-4,I¬:-1i ¬¬(φ∨¬φ)
Esercizio.
b
245( ).
`Nie (φ→¬φ)→(φ→ψ): 1:φ→¬φ 2:φ hE→i ¬φ 3:φ hE¬i ψ hCt:-3,I→:-2i φ→ψ hI→:-1i (φ→¬φ)→(φ→ψ)
Esercizio.
c
245( ).
`Nie ¬φ∧¬ψ→¬(φ∨ψ):
221
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
222
1:¬φ∧¬ψ hE∧i 2:φ ¬φ hE¬i ¬(φ∨ψ)
Esercizio.
d
245( ).
3:¬φ∧¬ψ hE∧i ¬ψ 4:ψ hE¬i ¬(φ∨ψ) 5:φ∨ψ hE∨:-2,-4i ¬(φ∨ψ) 6:φ∨ψ hI¬:-5,-6i ¬(φ∨ψ) hCt:-3;I→:-1i ¬φ∧¬φ→¬(φ∨ψ)
`Nie (¬φ∨¬¬φ)→(¬φ→¬ψ)∨(¬ψ→¬φ):
1:¬φ 2:¬ψ hI∧i ¬φ∧¬ψ 3:¬¬φ 4:¬φ hE∧i hE¬i ¬φ ¬ψ hI→:-2i hI→:-4i ¬ψ→¬φ ¬φ→¬ψ 5:¬φ∨¬¬φ (¬φ→¬ψ)∨(¬ψ→¬φ) (¬φ→¬ψ)∨(¬ψ→¬φ) hE∨:-1,-3i (¬φ→¬ψ)∨(¬ψ→¬φ) hI→:-5i (¬φ∨¬¬φ)→(¬φ→¬ψ)∨(¬ψ→¬φ)
Esercizio.
a
252( ).
`Lme ¬¬φ∧¬¬ψ→¬¬(φ∧ψ):
1:φ 2:ψ hI∧i φ∧ψ 3:(φ∧ψ)→⊥ hE→i ⊥ 4:¬¬φ∧¬¬ψ hI→:-1i hE∧i φ→⊥ (φ→⊥)→⊥ hE→i ⊥ 5:¬¬φ∧¬¬ψ hI→:-2i hE∧i ψ→⊥ (ψ→⊥)→⊥ hE→i ⊥ hI→:-3i ¬¬(φ∧ψ) hCt:-5;I→:-4i ¬¬φ∧¬¬ψ→¬¬(φ∧ψ)
Esercizio.
b
252( ).
`Lme ¬¬(φ∧ψ)→¬¬φ∧¬¬ψ :
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
1:φ∧ψ hE∧i φ 2:φ→⊥ hE→i ⊥ hI→:-1i φ∧ψ→⊥ 3:(φ∧ψ→⊥)→⊥ hE→i ⊥ hI→:-2i ¬¬φ
223
.. . Analogamente avremo un altro ramo nel quale la formula ¬¬ψ è derivata dall'assunzione n:(φ∧ψ→⊥)→⊥. Congiungendo i due rami si ottiene quanto richiesto usando hE∧i e I→.
Esercizio.
c
252( ).
`Lie (¬¬φ→¬¬ψ)→¬¬(φ→ψ):
1:ψ 2:φ hI∧i φ∧ψ hE∧i ψ hI→:-2i 3:(φ→ψ)→⊥ φ→ψ hE→i ⊥ hI→:-1i ψ→⊥
Oltre a questo ramo consideriamo anche il seguente: hTeori φ→((φ→⊥)→⊥)
4:φ hE→i (φ→⊥)→⊥ 5:¬¬φ→¬¬ψ hE→i (ψ→⊥)→⊥
Congiungendo questi due rami si può proseguire la derivazione nel modo seguente: hE→i ⊥ hJ⊥i ψ hI→:-4i φ→ψ 6:(φ→ψ)→⊥ hE→i ⊥ hCt:-3;I→:-6i ¬¬(φ→ψ) hI→:-5i (¬¬φ→¬¬ψ)→¬¬(φ→ψ)
Esercizio.
d
252( ).
`Lme ¬¬(φ→ψ)→(¬¬φ→¬¬ψ):
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
224
1:φ 2:φ→ψ hE→i ψ 3:¬ψ hE→i ⊥ hI→:-2i ¬(φ→ψ) 4:¬¬(φ→ψ) hE→i ⊥ hI→:-1i ¬φ 5:¬¬φ hE→i ⊥ hI→:-3i ¬¬ψ hI→:-5,-4i ¬¬(φ→ψ)→(¬¬φ→¬¬ψ)
Esercizio.
e
252( ).
`Lme (φ∨¬φ→ψ)→¬¬ψ :
hTeori 1:φ∨¬φ→ψ (φ∨¬φ→ψ)→(¬ψ→¬(φ∨¬φ)) hE→i ¬ψ→¬(φ∨¬φ) 2:¬ψ hE→i hTeori ¬(φ∨¬φ) ¬¬(φ∨¬φ) hE→i ⊥ hI→:-2i ¬¬ψ hI→:-1i (φ∨¬φ→ψ)→¬¬ψ
Esercizio.
f
252( ).
`Lme ¬¬φ∨¬¬ψ→¬¬(φ∨ψ):
La prova risulta facilmente usando I∨ e Modus Tollens .
Esercizio.
g
252( ).
φ∨¬φ`Lme ¬¬(φ∨ψ)→¬¬φ∨¬¬ψ : 1:φ 2:φ→⊥ hE→i ⊥ hI→:-2i ¬¬φ hI∨i ¬¬φ∨¬¬ψ 3:¬¬(φ∨ψ) hAgg:3i ¬¬φ∨¬¬ψ hI→:-3i ¬¬(φ∨ψ)→¬¬φ∨¬¬ψ
Da questa derivazione insieme alla seguente
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
4:φ→⊥ 5:ψ→⊥ hTeori (φ∨ψ)→⊥ 6:(φ∨ψ→⊥)→⊥ hE→i ⊥ hI→:-5i ¬¬ψ hI∨i ¬¬φ∨¬¬ψ hI→:-6i ¬¬(φ∨ψ)→¬¬φ∨¬¬ψ risulta subito quanto richiesto usando hE∨i.
Esercizio.
h
252( ).
φ∨ψ`Lme ¬(¬φ∧¬ψ): 1:¬φ∧¬ψ hE∧i 2:φ φ→⊥ hE→i ⊥ hI→:-1i ¬(¬φ∧¬ψ)
3:¬φ∧¬ψ hE∧i 4:ψ ψ→⊥ hE→i ⊥ hI→:-3i ¬(¬φ∧¬ψ)
Congiungendo queste due derivazioni si ottiene subito il teorema usando la regola E∨.
Esercizio.
i
252( ).
`Lie ⊥∨φ→φ:
La prova risulta facilmente usando J⊥.
Esercizio.
255.
`NDe (¬φ→¬ψ)∨(¬ψ→¬φ):
1:¬φ 2:¬ψ hI∧i ¬φ∧¬ψ 3:¬¬φ 4:¬φ hI∧i hE¬i ¬φ ¬ψ hI→:-2i hI→:-4i ¬ψ→¬φ ¬φ→¬ψ hI∨i hI∨i (¬φ→¬ψ)∨(¬ψ→¬φ) (¬φ→¬ψ)∨(¬ψ→¬φ) hRTeD:-1,-3i (¬φ→¬ψ)∨(¬ψ→¬φ)
Esercizio.
256.
`NDue ¬φ∨¬¬φ:
hDui (φ→¬φ)∨(¬φ→φ)
Esercizio.
257.
`NDne φ∨¬φ:
1:φ→¬φ 2:φ hE→i 5:φ ¬φ hI¬:-2,-5i ¬φ hI∨i ¬φ∨¬¬φ hE∨:-1,-4i ¬φ∨¬¬φ
3:¬φ 4:¬φ→φ hE→i φ 6:¬φ hI¬:-2,-6i ¬¬φ hI∨i ¬φ∨¬¬φ
225
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
226
1:φ hI∨i φ∨¬φ 2:¬(φ∨¬φ) hE¬i ¬φ 3:φ hI¬:-1,-3i ¬φ hI∨i φ∨¬φ 4:¬(φ∨¬φ) hI¬:-2,-4i ¬¬(φ∨¬φ) hDn◦ i φ∨¬φ
Lemma.
. kφkv =h([φ]) per ogni formula φ∈FoPM .
265
Dimostrazione. Per induzione sul grado di φ. Per φ atomica fa fede (15) di 7.5.2. Si danno poi i seguenti casi. Caso ¬: k¬ψkv = (kψkv )∗ def263(b) = (h([ψ]))∗ IpInd = h([ψ]∗ ) (14) di 7.5.2 = h([¬ψ]) (13) di 7.5.2 Caso →. Naturalmente vale: (‡) [¬φ∨ψ]=[φ→ψ]. Così: kφ→ψkv = (kφkv )∗ tkψkv def263(c) = (h([φ]))∗ th([ψ]) IpInd = h([φ]∗ )th([ψ]) (14) di 7.5.2 = h([¬φ])th([ψ]) (13) di 7.5.2 = h([¬φ]t[ψ]) (14) di 7.5.2 = h([¬φ∨ψ]) (13) di 7.5.2 =
Esercizio.
266.
h([φ→ψ])
(‡)
Se Uv ={[φ]|kφkv =1}, allora Uv è un ultra ltro in LM .
Dimostrazione. Sia [φ],[ψ]∈Uv , così kφkv =1 e kψkv =1 e quindi kφ∧ψkv =1. Allora [φ∧ψ]∈Uv , così che per (13) 7.5.2 vale [φ]u[ψ]∈Uv . Sia poi [φ]∈Uv e [φ]v[ψ]. Così kφkv =1 e `M φ→ψ , ed essendo M corretto vale quindi kφ→ψkv =1. Ne segue ovviamente kψkv =1 e quindi anche [ψ]∈Uv . Abbiamo con ciò stabilito che Uv veri ca (16a -b ) di 7.5.2 ed è perciò un ltro in LM . Ora, se [φ]∈U / v abbiamo k¬φkv =1 e quindi [¬φ]∈Uv . Per (13) di 7.5.2 allora segue ([φ])∗ ∈Uv , e anche (17) di 7.5.2 è veri cata. Così Uv è un ultra ltro in LM .
Parte 2 LOGICA DEL PRIMO ORDINE (Carlo Marletti)
CAPITOLO 8
Sintassi e semantica della logica predicativa
Nota introduttiva Nel
Cap1 abbiamo già incontrato forme logiche - come quelle sillogistiche così
importanti nella storia della logica - che non appaiono certo riconducibili a quelle enunciative, così come argomenti sillogistici la cui validità non appare giusti cabile in base ai vari principi e strumenti inferenziali della logica enunciativa esaminati nella
Parte I. Tutto ciò era in qualche modo già noto n dalla logica antica, che
accanto alla sillogistica aveva appunto già sviluppato una ricca logica enunciativa. Solo nel secolo XIX tuttavia - con le nuove elaborazioni degli studiosi di algebra della logica (Boole, De Morgan, Hamilton, Schröder, ecc.) ma soprattutto con il lavoro pionieristico di Gottlob Frege nella sua
Begrischrift
ha trovato una soddisfacente sistemazione.
(1879) - la logica enunciativa
Allo stesso tempo, la sillogistica si
è rivelata in fondo solo un frammento di una logica molto più vasta, la
predicativa
(o
quanti cazionale )
logica
che, come vedremo, ha inglobato anche principi e
strumenti della logica enunciativa. In questa
Parte II non si prenderà tuttavia in
esame nel suo complesso la logica predicativa o grande logica - nonostante il titolo (accorciato per comodità) di questo capitolo - ma il suo importante frammento costituito dalla
logica predicativa (o quanti cazionale ) del primo ordine, che si può standard della logica deduttiva.
davvero oggi considerare la formulazione basilare o
Per cominciare ad introdurre la logica predicativa partiamo dagli argomenti sillogistici su cui già ci siamo brevemente soermati nel
Cap1.
Consideriamo ad
esempio la forma sillogistica di esemp4:
Esempio.
[5]
Nessun O è M, Ogni N è M ∴ Nessun N è O.
Come si può giusti care la validità dei sillogismi di questa forma, cioè che essi conducono necessariamente da premesse vere a una conclusione vera?
Vedremo
10.5.3) che la teoria sillogistica (aristotelica) convalida questa forma
più avanti (
d'argomento riconducendola ad assiomi e regole più basilari, in particolare alla forma seguente (1)
Nessun M è O, Ogni N è M ∴ Nessun N è O
a sua volta adottata come un principio logico primitivo (cfr.
10.5.3).
FI.2 in
D'altra parte, la validità di un principio come (1) è suscettibile di una giusti cazione semantica, il cui esame ci indica qualcosa di interessante.
La giusti cazione
dipende dalla lettura semantica di premesse e conclusione. Ad esempio, per una
Ogni N è M vale che: Ogni N è M è vera sse di tutto ciò che è N vale anche che è M. particolare, un controesempio a Ogni N è M è fornito da un elemento
premessa universale aermativa (2)
In
senza però essere
Mè O
M.
Analogamente, per una premessa universale negativa
vale che: 229
che è
N
Nessun
8. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA PREDICATIVA
230
In
Nessun M è O è vera sse di nessun elemento che è M vale anche che è O. particolare, un controesempio a Nessun M è O è fornito da un elemento che è
M
ed è anche
(3)
O.
Forti di queste considerazioni possiamo ora cercare di convalidare
semanticamente la forma sillogistica (1) in termini di impossibilità di un controesempio. Allo scopo assumiamo che di (1) valgano le premesse ma vi sia anche un controesempio alla conclusione, così che per un certo (non speci cato) elemento
a
vale: (4)
aè N
e
a è O. di (1), insieme a (2) e all'ipotesi in (4) che
a è N,
Come si vede da (4) e (5), abbiamo con ciò un controesempio alla premessa
Nessun
Dalla premessa
Ogni N è M
risulta: (5)
MèO
a è M. di (1), costituito da un elemento che è
M
e anche
O:
quindi tele premessa è
falsa, contro quanto assunto. Da ciò e dalla legge enunciativa (classica) (6)
(φ∧¬χ)→¬ψ≡(φ∧ψ)→χ
risulta in ne logicamente impossibile che le premesse di un sillogismo di tipo (1) siano vere e la conclusione falsa. Tutto bene, dunque, per la validità di (1) ma è interessante che delle ragioni di tali validità non vi sia quasi traccia nella forma logica delle proposizioni sillogistiche per come essa viene assunta nella teoria.
In eetti, come indica chiaramente la
notazione medievale, la forma logica di un sillogismo di tipo (1) è rappresentabile (cfr.
Cap1) nel modo seguente
(7)
MeO, NaM ∴ NeO,
dove si evidenzia che costituenti logici basilari sono termini generali (rappresen-
O, N, M) e certe relazioni di quantità universali o particolari NaM e di NeM la relazione di quantità tra il termine-soggetto N e il termine predicato M è sempre universale, la dierenza è che nel caso di NaM tale relazione è aermata come universale, mentre nel caso di NeM essa è negata come universale. tati qui dalle lettere
tra il termine soggetto e il termine predicato. Ad esempio, nel caso di
Analogamente nel caso delle relazioni particolari. Se però, come nel caso di (1), consideriamo le interpretazioni di queste nozioni quando si tratta di stabilire condizioni di verità delle proposizioni sillogistiche e validità dei sillogismi, risulta uno scarto notevole tra tali interpretazioni e le forme logiche di tipo (7) proprie della teoria sillogistica. In primo luogo, non è presente in forma logica quella che possiamo chiamare
predicazione singolare,
cioè la struttura logica rappresentata da casi come (5) che
ha, come si è visto, un ruolo rilevante nella
semantica
della sillogistica.
Ed è
proprio con l'utilizzo di predicazioni singolari, e di argomenti che necessariamente le includono, che vengono determinate in tale semantica proprietà logiche essenziali delle proposizioni sillogistiche e, come si è visto, dei sillogismi. Com'è appunto il caso del seguente argomento col quale da (8)
Ogni N è M e (2) si ricava (5):
Ogni N è M, a è N ∴ a è M.
Ora, (8) non è una forma argomentale della teoria sillogistica (nonostante la sua indiscutibile popolarità con protagonisti del calibro di Socrate, uomo e mortale), anche se fa ovviamente parte della sua semantica.
NOTA INTRODUTTIVA
231
Si può dire che un primo passo in direzione della logica predicativa - che in tutta la sua ampiezza dobbiamo al capolavoro di Frege - consiste proprio nell'assumere a pieno titolo nella teoria la predicazione singolare. Questo passo è realizzato assumendo una nuova forma logica
predicato-argomento,
che si può esempli care
con la notazione (9)
P (a),
dove P rappresenta il predicato, a rappresenta l'argomento del predicato e (9) rappresenta l'
applicazione funzionale
del predicato
P
all'argomento
a.
Ciò cui dà
luogo tale applicazione ha natura proposizionale, ossia è una proposizione suscettibile di valore di verità. Di questa struttura logica sono, in base alla logica predicativa, le proposizioni espresse nel linguaggio comune da una serie innumerevole di enunciati come i seguenti (10)
7 è un numero ; Il re di Francia è calvo ; Il sole tramonta,
nonostante le loro evidenti dierenze grammaticali è individuata una stessa forma logica costituita dall'applicazione di un predicato a un argomento singolare: (11)
Numero (7 ); Calvo (il re di Francia ), Tramonta (il sole ).
Il vocabolario della logica predicativa comprende così, prima di tutto,
cativi
(ad esempio,
a,b,c,...)
P,Q,R,...) e simboli singolari o costanti individuali
simboli predi-
e la loro composizione in forma logica predicato-argomento.
Ma non è ancora tutto. La forma logica (9) è quella di predicati
(ad esempio,
monadici,
a
un solo argomento. Un altro importante passo in direzione della logica predicativa è l'estensione della predicazione singolare a
predicati relazionali,
che può essere
esempli cata con la notazione (12)
P (a1 ,...,an )
n -adico (di n argomenti), a1 , ..., an rappren -argomenti del predicato e (12) rappresenta la applicazione funzionale del predicato P alla n -pla di argomenti a1 ,...,an . (Una predicazione singolare è così
dove P rappresenta un predicato sentano gli
solo un caso di predicazione relazionale per
n=1).
Ecco alcune esempli cazioni di
strutture predicative relazionali, rispettivamente 2-adiche, 3-adiche e 4-adiche, nelle proposizioni espresse nel linguaggio comune dai seguenti enunciati (13)
a. 7 è maggiore di 5 b. Firenze sta tra Bologna e Roma c. Mario consegna la lettera al barista da parte dell'Amministratore
dove la logica predicativa individua, rispettivamente, le seguenti forme logiche: (14)
a. Maggiore (7,5 ) b. Sta-tra (Firenze, Bologna, Roma ) c. Consegna (Mario, la lettera, al barista, l'Amministratore )
Nella logica predicativa si assume che non vi sia un limite superiore (entro i numeri naturali) alla possibile complessità argomentale di un predicato relazionale. (Vedremo nel seguito del capitolo una semantica
estensionale
per la predicazione
relazionale che non è il caso ora di anticipare.) Un ulteriore passo verso la logica predicativa consiste nel costruire forme enunciative molecolari a partire da predicazioni relazionali tramite l'uso di connettivi enunciativi.
Così, ad esempio, la seguente è una forma molecolare della logica
predicativa (15)
P (a)∧¬Q(b,c)→¬R(c)
8. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA PREDICATIVA
232
che può essere intesa come la forma logica di una vastissima serie di enunciati, qui solo esempli cati dal seguente caso bizzarro: (16) Se 7 è un numero e il re di Francia non saluta Obama, allora Obama non si inchina. Il linguaggio della logica predicativa comprende quindi composizioni molecolari di predicazioni relazionali tramite l'applicazione di connettivi enunciativi. L'esempio (15) riguarda per comodità solo predicazioni monadiche e diadiche, ma le composizioni molecolari di predicazioni relazionali possono avere come costituenti atomici predicazioni di qualsiasi
n -adicità.
Si osservi ora che sul cammino aperto dalle predicazioni relazionali emerge anche qualcosa di interessante sulla forma logica delle proposizioni sillogistiche. Consideriamo ad esempio (8): si tratta di un argomento valido, così che, forti del suggerimento che ci viene da un analogo del
teorema di deduzione
che già conosciamo,
possiamo ricavare: (17)
Ogni N è M ∴ a è N → a è M.
Ora, la conclusione di (17) messa in notazione predicativa si presenta come segue: (18)
P (a)→Q(a).
Abbiamo qui più di un suggerimento per la forma logica dell'universale aermativa
Ogni N è M
e, quindi, per l'altra importante struttura che caratterizza la logica
predicativa: la
quanti cazione.
La prima mossa è quella di rappresentare la gene-
ralità possibile di una forma come (18) al variare del suo costituente argomentale, in modo analogo a quanto si fa nella usuale notazione algebrica: (19)
P (x)→Q(x).
In questa notazione la lettera x compare come una
variabile (individuale ), il cui
campo di valori è costituito dai possibili argomenti per le predicazioni relazionali. Naturalmente una forma logica come (19) non ha natura proposizionale, come evidenzia l'esempio seguente (20)
Greco (x) → Europeo (x ), funzione proposizionale, nel senso che per ogni possi-
ma piuttosto ha quella di una bile argomento
a,
assegnato come valore alla variabile individuale
x,
essa dà luogo
a una forma come (18) che è intesa esprimere una proposizione, come nell'esempio seguente: (21)
Greco (Socrate ) → Europeo (Socrate ).
Il passo ora è breve ad assegnare all'universale aermativa una forma logica costituita da qualcosa come (19) insieme alla speci cazione della quantità universale con la quale deve essere intesa la generalità espressa da (19):
∀x[P (x)→Q(x)]. simbolo ∀ è appunto (22)
Il
quello del
quanti catore universale :
il vocabolario della
logica predicativa comprende così anche variabili individuali (ad esempio,
x,y,z,...)
e almeno un simbolo per il quanti catore universale. Passiamo ora alle proposizioni sillogistiche particolari. particolare aermativa (23)
Qualche N è M, per la quale vale che:
Qualche N è M è vera sse di qualcosa che è N vale anche che è M.
Chiaramente dunque il seguente è un argomento valido: (24)
Cominciamo con la
aè N
e
a è M ∴ Qualche N è M.
NOTA INTRODUTTIVA
233
Passando alla notazione predicativa, la premessa di (24) ci si presenta come (25)
P (a)∧Q(a),
che possiamo mettere in forma generale (26)
P (x)∧Q(x),
per ottenere più di un suggerimento sulla forma logica della particolare aermativa: (27)
∃x[P (x)∧Q(x)].
Qui ∃ è il simbolo del
quanti catore particolare o esistenziale,1 per il quale la veri-
tà di una forma predicativa quanti cazionale come (27) è determinata dall'esistenza di almeno un argomento che veri ca qualcosa come (25). Abbiamo quindi nella logica predicativa (almeno) due nuove grandi classi di fome logiche. Da una parte troviamo le forme costituite da forme quanti cate
chiuse
nelle quali tutte le variabili individuali sono sottoposte all'azione di quanti catori e/o le posizioni argomentali sono occupate da costanti individuali: esse sono intese esprimere proposizioni ed essere suscettibili di valore di verità. Come ad esempio le forme logiche seguenti:
a. ∀xP (x), ∃xP (x) b. ∃y[P (y)→¬∀x[Q(x)∨R(a)]] c. R(a,b,c)∨¬∃z[R(a,b,c)≡Q(a,b,c,z)]. Ma abbiamo anche forme quanti cate aperte nelle quali non tutte le posizioni argo(28)
mentali occupate da variabili individuali sono sottoposte all'azione di quanti catori, come nei casi seguenti: (29)
a. ∀xQ(x,y), ∃yQ(x,y) b. ∃z[P (y)→¬∀y[Q(z)∨R(y)]] c. R(a,b,z)∨∀x∃y[R(a,b,z)≡¬Q(a,b,z,x,y)],
Tali forme logiche non sono quindi intese esprimere proposizioni ed essere suscettibili di valore di verità. complesse o
Si può dire piuttosto che si tratta di
molecolari.
funzioni proposizionali
Un ultima parola in ne sul signi cato dell'espressione del primo ordine riferito alla logica predicativa. In realtà la logica contemporanea nel fondamentale apporto di Frege non è nata come logica del primo ordine, si dovrà sostanzial-
4
mente aspettare qualche decennio - no grosso modo a Hilbert-Ackermann [ ] - per avere una formulazione adeguata della
logica del primo ordine.
La nozione di or-
dine si riferisce a una gerarchia costituita dall'estensione con la quale si possono applicare le due strutture che caratterizzano la logica predicativa, cioè la predicazione e la quanti cazione.
Se si estende la predicazione si ottiene una gerarchia
di predicati. Ad esempio, si può estendere la logica del primo ordine ammettendo anche predicati che prendono come argomenti predicati del primo ordine, come suggerito dalle notazione seguenti (30)
a. Q[2] P [1] b. R[2] P [1] ,Q[1] c. R[2] P1[1] ,...,Pn[1] ,
dove il numero in apice tra parentesi quadre speci ca appunto l'
ordine del predicato
(1 = predicato relazionale con argomenti singolari, 2 = predicato relazionale che ha
1Del quale in realtà potremmo fare a meno, (come vedremo). entrambi.
siccome i due quanti catori sono mutuamente de nibili
Ma certo è più comodo, soprattutto in fase introduttiva, chiamarli in causa
8. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA PREDICATIVA
234
come argomenti predicati di ordine 1, ecc.). Procedendo in modo analogo a quanto suggerito da (30) si ottiene una gerarchia di predicati e forme logiche predicative di ordine
n
(tramite connettivi enunciativi) per ogni numero naturale
ovviamente inteso che gli argomenti singolari hanno ordine
n.
Resta
0.
In particolare, quindi, la logica del primo ordine ha predicati di primo ordine e quanti cazioni su argomenti di ordine
0.
Se estendiamo la quanti cazione ad
argomenti predicativi, ad esempio adottando opportune variabili di quanti cazione
=1 come suggerito dalle notazioni [2] [1] [1] (31) a. ∀X Q X b. ∃Y [1] R[2] P [1] ,Y [1] h
di ordine
seguenti
i
c. ∃Y [1] ∀X1[1] ...∀Xn[1] R[2] X1[1] ,...,Xn[1] ,Y [1] , si ottengono quanti cazioni di ordine superiore. In particolare, una logica della quanti cazione del secondo ordine - come quella suggerita dalle notazioni in (31) ha predicati di primo e di secondo ordine, quanti cazioni su argomenti di ordine ma anche quanti cazioni su argomenti di ordine
tica
1.
Come esempio possiamo considerare il famoso [cfr. la regola
ZRI
in
0,
principio di induzione matema-
12.5] in una formulazione, rispettivamente, al primo e
al secondo ordine:
a. P (0)∧∀y[P (y)→P (y+1)]→∀yP (y) b. ∀X [1] X [1] (0)∧∀y X [1] (y)→X [1] (y+1) →∀yX [1] (y) . Come suggerisce l'esempio (32.b ) , una forma logica è del secondo ordine anche senza (32)
contenere predicati del secondo ordine, purché abbia quanti cazioni del secondo ordine. Lo stesso vale naturalmente per ordini superiori. In ogni caso, la logica che studiamo nelle pagine seguenti è esclusivamente del primo ordine.
8.1. Linguaggio e strutture di interpretazione 8.1.1. Il linguaggio standard. Per rappresentare le forme logiche predicative del primo ordine costruiamo un
linguaggio formale predicativo Q+
- da consi-
derarsi standard in quanto utilizza i cinque principali connettivi usati in letteratura (negazione, congiunzione, disgiunzione, condizionale e bicondizionale) più il quanti catore universale e quello esistenziale. Il
vocabolario
diversi insiemi di
del linguaggio
Q+
variabili logiche
costanti logiche (OeqQ+ ), da simboli ausiliari (AuQ+ ). La de nizione
è costituito da
e da
seguente determina con precisione il vocabolario di
De nizione 273.
(Vocabolario di
Q+ .2
Q+ : VbQ+ )
a. Oeq{⊗}::=¬;∧;∨;→;↔;∀;∃. b. Au::=( ; ). .(n) .(1) c. Pd{R:P,Q,S}::=R.(0) ;R1 ;...;Rn ;... (n∈ω ). 0 d. Fz{F :G,H,L}::=f0.(0) ;f1.(1) ;...;fn.(n) ;... (n∈ω ). e. ArgV{x:y,w,z}::=v0 ;v1 ;...;vn ;... (n∈ω ). f. ArgC{c:d,e}::=e0 ;e1 ;...;en ;... (n∈ω ). g. Vb::=⊗|R|F |x|c|Au.
2Per
comodità qui e nel seguito sono omessi gli indici sottoscritti di riferimento a un linguaggio
quando il contesto non dà luogo ad ambiguità.
8.1. LINGUAGGIO E STRUTTURE DI INTERPRETAZIONE
I simboli ausiliari in
AuQ+
235
sono solo due parentesi tonde, una di apertura e una di
chiusura, utili per determinare la struttura delle espressioni di
Q+ .
L'insieme
contiene i cinque connettivi enunciativi che già conosciamo e in più il
OeqQ+
quanti catore
universale ∀ e il quanti catore esistenziale ∃. Le variabili logiche sono più complesse che in un linguaggio enunciativo:
le for-
me logiche predicative richiedono infatti un apparato predicativo e uno argomentale. L'apparato
predicativo PdQ+
contiene
lettere predicative R.(n) (n∈ω ), dove .:ω7→ω n
Rn un certo numero .(n)≥1 di posti .(n)=1 allora R1n è una lettera predicativa 1-adica 2 (monadica, ad un solo argomento); se .(n)=2, allora Rn è una lettera predicativa m 2-adica (diadica, a due argomenti). Se .(n)=m, scriveremo a volte Rn con R , speci cando così solo il numero dei possibili argomenti di Rn .
è una funzione che assegna ad ogni tale lettera d'argomento. In particolare, se
Come detto, le variabili logiche di un linguaggio del primo ordine comprendono
argomentale, costituito in Q+ da un insieme ArgVQ+ di variabili individuali vn e da un insieme ArgCQ+ di costanti individuali en (n∈ω ). Nell'ap+ parato argomentale di Q vi è però anche un insieme FzQ+ di lettere funzionali anche un apparato
.(n)
(n∈ω ), dove
fn
.:ω7→ω
posti d'argomento.
F m,
assegna ad ogni tale lettera un certo numero
Anche qui, se
.(n)=m,
.(n)≥1 di fn con
indicheremo quando possibile
speci cando solo il numero dei possibili argomenti di
fn .
Variabili e costanti
individuali hanno nel linguaggio il ruolo di argomenti delle lettere predicative e funzionali - alle variabili individuali spetta però anche un'altra funzione quanti cazionale, come vedremo tra poco - mentre le lettere funzionali sono formatrici di argomenti (termini) nel senso precisato in Osserviamo che il linguaggio standard
8.2.
Q+
non contiene costanti predicative o
funzionali. Per determinare la logica del primo ordine, infatti, non è richiesto che la teoria includa simboli che intendono rappresentare formalmente qualche speci co predicato o qualche speci ca funzione. Occorre solo che il linguaggio della teoria possa esprimere forme logiche predicative e a questo scopo sono imprescindibili - come variabili logiche - solo lettere predicative (con dati posti di argomento) e variabili individuali.
Per determinare la logica del primo ordine non è essenziale
neppure un apparato completo di termini singolari - che comprenda cioè come in
Q+
anche costanti primitive, che fungano da nomi propri di oggetti, e simboli funzionali per formare termini singolari non primitivi. Indichiamo con come
Q+
Q
il linguaggio che è
salvo che il suo apparato argomentale è costituito dal solo insieme
delle variabili individuali:
Q
si può dire un linguaggio standard
ArgV
puramente logico,
in quanto le sue sole costanti sono logiche. Naturalmente le proprietà sintattiche e semantiche del linguaggio
Q
- che ci accompagnerà in molte delle pagine seguenti -
si desumono immediatamente dalle de nizioni e dai risultati per
Q+ ,
considerando
solo i casi pertinenti.
8.1.2. Strutture di interpretazione.
La semantica di un linguaggio pre-
dicativo è notevolmente più complessa di quella di un linguaggio enunciativo. In quest'ultimo l'interpretazione dei connettivi e l'assegnamento di valori alle lettere enunciative determinano le proprietà semantiche di una formula, dal momento che il linguaggio non prevede altre variabili logiche. Come abbiamo visto in
Cap2, s-
sata l'interpretazione dei connettivi, la valutazione di una formula e l'assegnamento di valori alle sue lettere enunciative risultano così
in certa misura
la stessa cosa.
Lo stesso non vale per un linguaggio predicativo. Esso presenta, oltre a un campo
8. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA PREDICATIVA
236
più articolato di
variabili logiche
(lettere predicative, lettere funzionali, costanti in-
dividuali) e di forme logiche (predicazione e quanti cazione che a ancano le forme logiche enunciative), anche un altro ordine di variabili, quelle
individuali.
Si osservi
che le variabili logiche e quelle individuali vanno tenute distinte: le prime hanno a che fare con variazioni riazioni
entro
di
interpretazioni mentre le seconde hanno a che fare con va-
interpretazioni. Possiamo opportunamente suddividere una struttura
d'interpretazione per la logica quanti cazionale in tre componenti essenziali: (I1)
Operazioni logiche per l'interpretazione delle costanti logiche.
(I2)
Una struttura ammissibile per l'interpretazione delle variabili logiche.
(I3)
Una classe di assegnamenti per le variabili individuali.
struttura di interpretazione A è una tripla hf,A,=i dove: f:OeqQ+ 7→O dà come signi cato alle costanti logiche di Q+ elementi in una famiglia O di operazioni logiche ; la struttura ammissibile A e la funzione = costituiscono il dispositivo semantico per le variabili logiche del linguaggio. In particolare: A Più precisamente, una
è una classe di insiemi di entità come possibili valori semantici per le costanti individuali, le lettere predicative e le lettere funzionali del linguaggio; le variabili logiche del linguaggio su entità della struttura
A.
=
interpreta
Nello speci care in
questo modo cosa sia una struttura d'interpretazione per la logica del primo ordine manca ancora un riferimento esplicito a (I3), ma è solo perché gli assegnamenti di valore alle variabili individuali sono determinabili in base alle strutture ammissibili
A,
come vedremo tra poco. Per spiegare le ragioni per le quali una semantica per il linguaggio
quanti cazione del primo ordine ha la forma di una struttura cominciare da (I2), cioè dalla struttura ammissibile per le variabili logiche del linguaggio. logiche determinate da
f
A=hf,A,=i
Q+
della
conviene
A che fornisce le basi semantiche
Passeremo poi a considerare le operazioni
e in ne al punto (I3).
8.1.3. Variabili logiche.
Variabili logiche di
Q+
sono costanti individuali e
lettere predicative e funzionali. In corrispondenza del ruolo sintattico di argomenti per le lettere predicative e quelle funzionali, le costanti individuali hanno il ruolo semantico di
designare
oggetti facenti parte di un qualche dominio: da ciò segue
c
immediatamente il tipo di semantica che le riguarda [cfr. def274( )]. Le lettere predicative rappresentano formalmente proprietà e relazioni di/tra oggetti di un qualche dominio: nella versione strettamente estensionale che ha nella logica classica del primo ordine il riferimento a proprietà e relazioni, queste possono essere intese come classi, rispettivamente, di oggetti e di
n-ple
ordinate di oggetti - in altri
termini, la semantica delle lettere predicative ha nella logica classica del primo ordine una natura strettamente
a
insiemistica.
Da ciò deriva il tipo di semantica
adottato in def274( ). Un discorso in parte analogo vale per le lettere funzionali, che rappresentano
3
formalmente operazioni sugli elementi di un dato dominio di oggetti.
Insiemistica-
n-ple di oggetti, gli argomenti della 4 costituiscono i valori per tali n-ple. In
mente, le operazioni o funzioni sono relazioni tra funzione, e oggetti che della data funzione
questo senso una lettera funzionale applicata ai suoi argomenti sta semanticamente per il valore che l'operazione che essa rappresenta assume per le interpretazioni
3Un
esempio ovvio e immediato sono le operazioni aritmetiche sui numeri naturali come
l'addizione, la moltiplicazione, ecc.
4Cfr.
17.3.1.
8.1. LINGUAGGIO E STRUTTURE DI INTERPRETAZIONE
di quei dati argomenti.
237
In sostanza, se dal punto di vista sintattico una lettera
funzionale applicata ai suoi argomenti è a sua volta un argomento per lettere predicative e funzionali, dal punto di vista semantico un tale argomento è anch'esso un designatore per oggetti facenti parte di un qualche dominio. Queste considerazioni sulla semantica di un linguaggio predicativo del primo ordine si possono rendere precise nel modo seguente. Una
struttura ammissibile A
è una classe
D E A= A,{Ri }i∈I ,{fj }j∈J di insiemi determinata nel modo seguente: (S1)
A
è un insieme non vuoto chiamato il
della struttura (S2)
I
e
J
dominio
di individui (o universo)
A;
sono sottoinsiemi (anche vuoti) dei numeri naturali tramite i quali
A; j∈J è precisato a quanti posti o argomenti sono, rispettivamente, Ri e f j : nel senso che esiste una funzione α tale che, per i∈I (per j∈J ), α(i) (rispettivamente α(j)) speci ca il numero di argomenti di Ri (di f j ). {Ri }i∈I è una famiglia di relazioni nite su A e {f j }j∈J una famiglia di operazioni nite su A - ossia, per ogni i∈I e j∈J valgono: a. Ri ⊆Aα(i) ;
b. f j ⊆Aα(j)+1 e f j a1 ,...,aα(j) ∈A se a1 ,...,aα(j) ∈Aα(j) . sono enumerate, rispettivamente, relazioni e funzioni su
(S3)
(S4)
A sua volta
per ogni
=
i∈I
e per ogni
è una funzione dalle variabili logiche del linguaggio agli insiemi nella
struttura ammissibile
A
il cui comportamento è ssato nelle condizioni seguenti,
che determinano la prima regola semantica di
De nizione 274.
Q+ .
(Semantica delle variabili logiche)
a. =(Rn )∈{Ri }i∈I , dove =(Rn )⊆Aα(n) . b. =(fn )∈{fj }j∈J , dove =(fn ):Aα(n) 7→A. c. =(en )∈A.
Per comodità di scrittura, invece di
=(Rn ), =(fn ), =(en )
useremo all'occorrenza le
notazioni più concise
a
A A RA n ,fn , en .
Come si vede, in base a def274( ) l'interpretazione
RA n
di una lettera predicativa è
α(n) argomenti tra individui del dominio A. In base a def274(b ), A l'interpretazione fn di una lettera funzionale è un'operazione a α(n) argomenti su A individui del dominio A con valori in A. Per def274(c), in ne, l'interpretazione en di una costante individuale è un individuo del dominio A. Due strutture (classiche) d'interpretazione A e B possono dierenziarsi o per il fatto di avere diverse strutture ammissibili A e B - insiemi diversi di oggetti o una relazione a
relazioni o operazioni - oppure per il fatto che sono dierenti le rispettive funzioni d'interpretazione
=A e =B .5
di una struttura ammissibile
Si osservi che alcuni (o tutti gli) individui del dominio
A possono avere nomi nel linguaggio.6
5Per il linguaggio puramente logico Q vale naturalmente solo def274(a ). 6Ad esempio, perché sono semanticamente associati a costanti individuali
Siano
dA k
k∈K
- come nel caso di un
linguaggio le cui costanti sono i numerali 0, 1, 2, ecc. e una struttura il cui dominio è l'insieme dei numeri naturali.
A
N
8. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA PREDICATIVA
238
tali individui di
A:
li chiameremo
senso, una struttura ammissibile
elementi designati
A
per il linguaggio
della struttura
Q+
A.
In questo
(e per un linguaggio del
primo ordine in generale) è una quadrupla
D E A= A,{Ri }i∈I ,{fj }j∈J ,{dk }k∈K individuata oltre che da (S1)-(S4) anche dalla condizione seguente:
K
(S5)
è un sottoinsieme (anche vuoto) dei numeri naturali tramite il quale
sono enumerati gli elementi designati
Q
+
A dk k∈K
di
A
.
Talvolta si dice che la coppia
hK,αi
fornisce il
tipo
di una struttura
misura delle relazioni, delle funzioni e degli elementi designati di anche che la
relativamente a
cardinalità
di una struttura ammissibile
A
A.
A,
ossia una
Osserviamo
non dipende dagli elementi
strutturanti - relazioni, funzioni ed elementi designati - ma solo dalla cardinalità
card(A)
A,7
del suo dominio
cardinalità
card(A) =
ossia dagli elementi strutturati.
A
di un insieme
Per indicare la
si farà anche uso della notazione speci ca
standard A.
8.1.4. Operatori logici. caratterizzano il linguaggio logiche di
Q+
Passiamo ora a considerare gli operatori logici che
Q+ .
f:OeqQ+ 7→O assegna alle costanti O=O°∪Q di operazioni logiche (classiche ) -
La funzione
signi cati in un insieme
O° comprende le funzioni di verità che già conosciamo dalla logica enunciativa, Q+ hanno le stesse interpretazioni di quelli in P. La novità è costituita invece dai quanti catori: Q={q∀ ,q∃ } comprende due operazioni logiche di quanti cazione, che prendono argomenti nell'insieme potenza P{V,F} di {V,F} e valori in {V,F}, e sono de nite nel modo seguente: F,seF∈X V,seV∈X q∀ (X)= q∃ (X)= . V,altrimenti F,altrimenti dove
per cui i connettivi di
L'operazione
q∀
è detta
universalizzazione,
e l'operazione
Abbiamo così la seconda regola semantica per
De nizione 275.
Q+ :8
q∃ particolarizzazione.
(Semantica standard degli operatori logici di
Q+ )
f(⊗)::=¬:o¬ |∧:o∧ |∨:o∨ |→:o→ |↔:o↔ |∀:q∀ |∃:q∃ . Dalla de nizione risulta evidente che i signi cati delle costanti logiche non dipendono da altri componenti di una struttura d'interpretazione, in particolare sono invarianti rispetto alle interpretazioni delle variabili logiche in strutture ammissibili.
8.1.5. Variabili individuali.
Finora non è stata formulata nessuna regola
semantica per le variabili individuali. Il campo possibile di valori per una variabile individuale è il dominio di interpretazione
A
della struttura ammissibile
A.
In
questo modo le interpretazioni possibili di un'espressione contenente variabili individuali dipendono dagli assegnamenti possibili di valore alle variabili nel dominio
A.
Un dispositivo e cace
individuali
relativamente
9
per esprimere tale dipendenza è interpretare le variabili
a successioni numerabili
σ=ha0 ,a1 ,a2 ,...i 7Per la nozione di cardinalità v. Cap17. 8Per le clausole dei connettivi in def275, 9Introdotto da Tarski [191].
si veda
def35 in 2.3.1.
8.2. TERMINI, FORMULE E INTERPRETAZIONI
di elementi del dominio una struttura
σn : σan :
A,
A.10
Se
σ
è una successione numerabile sul dominio
indica l'n+1-esimo elemento
a
mento
di
n-variante
σ(n)
della successione
A di
in luogo di
σn ;
σ. n
per avere al punto
l'ele-
σ
a1 di A di σkn .
in luogo di
σk1 , ...,
x1 , ...,
σ
per avere al punto
al punto
indica la successione che si dierenzia da valore della variabile
a
per avere l'elemento
come
x.
indica la successione che si dierenzia da lemento luogo
σ
σ.
valore della variabile
,...,xn : σax11,...,a n
di
una tale successione è anche detta una
indica la successione che si dierenzia da
,...,kn σak11,...,a : n
A
stabiliamo che:
indica la successione che si dierenzia da
σax :
239
l'elemento
kn
l'elemento
an
k1 l'eA in
di
σ per avere l'elemento a1 come an come valore della variabile
xn . ΣA :
indica l'insieme di tutte le successioni
σ
numerabili su
A.
n,m∈ω σ=σan , se a=σn . + Per identi care le variabili individuali di Q è su ciente considerare i loro indici numerici: quindi si stipula che, relativamente a una successione σ , l'interpretazione di una variabile vn sia l'elemento σn che ha in σ lo stesso indice numerico n che caratterizza vn in ArgV (cfr. più avanti def282).
Si osservi che una successione ammette ripetizioni, cioè che per qualche valga
σn =σm
quando
n6=m.11
Naturalmente
8.2. Termini, formule e interpretazioni 8.2.1. Termini. Per determinare la sintassi del linguaggio
Q+
iniziamo col
de nire i termini (singolari). Variabili e costanti individuali costituiscono i
atomici
di
Q+
(:
TeAtQ+ ).
L'insieme
TeQ+
dei termini di
Q+
termini
è de nito ricorsiva-
mente: se un termine non è atomico, allora risulta dall'applicazione di una lettera funzionale di
m
argomenti a una sequenza di
De nizione 276.
(Termine di
Q
+
:
m
termini.
TeQ+ )
a. TeAt::=x|c. b. Te{t:s,u}::=TeAt|fn t1 ,...,t.(n) .
8.2.2. Formule.
Fissati i termini del linguaggio, è aperta la strada a de nire
l'insieme delle formule di
Q+ .
Nella sintassi di
Q+
una lettera predicativa applicata
a un corretto numero e tipo di argomenti (termini singolari) costituisce una
atomica:
De nizione 277.
formula
FoAtQ+ ::=Rn t1 ,...,t.(n) .
Siamo ora in grado di de nire ricorsivamente le formule del linguaggio
Q+ ,
stabi-
lendo che esse sono via via ottenute da formule atomiche attraverso l'applicazione di connettivi e quanti catori. Nella prossima de nizione
10In
⊗ è un connettivo binario.
eetti, le variabili individuali sono una quantità numerabile ed è quindi su ciente considerare
successioni numerabili di elementi del dominio. Invece di successione numerabile diremo d'ora in poi semplicemente successione.
11Come
esempio limite, se
a∈A
anche
a,a,...,a,... | {z } ω
è una successione numerabile su
A.
8. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA PREDICATIVA
240
De nizione 278.
(Formula di
Q+ : FoQ+ )
Fo{φ,ψ,χ,ϕ}::=FoAt|¬(φ)|(φ)⊗(ψ)|∀x(φ)|∃x(φ). Non è di cile vedere che questa caratterizzazione delle formule corrisponde esattamente a una de nizione data in termini delle usuali clausole ricorsive.
Esempio 279. 1.
(Formula di
Q+ )
FoAtQ+ ⊆FoQ+ .
2. Se
φ∈FoQ+ ,
3. Se
φ,ψ∈FoQ+ ,
4. Se
φ∈FoQ+ ,
¬(φ)∈FoQ+ .
allora
allora
(φ)∧(ψ),(φ)∨(ψ),(φ)→(ψ),(φ)↔(ψ)∈FoQ+ .
∀x(φ),∃x(φ)∈FoQ+ .
allora
Nel caso delle clausole per i connettivi diciamo che quello interessato è il
principale formula
φ
è il
campo del quanti catore
Esempio 280. 1. 1'.
vk xk
e e
ek ,
4'.
12
interessato.
Sono termini e schemi di termini di per ogni
ck ,
k
per ogni
2.
fi3 v0 e4 v2
k 2'. G3 zcy
3.
3'.
Q+ ,
rispettivamente:
5 fm v2 e5 fi3 v0 e4 e7 e2 fn2 v6 e32
G5 ydF 3 xcddH 2 ze
Sono formule e schemi di formule atomiche di 4.
connettivo
della formula. Nel caso delle clausole per i quanti catori, diciamo che la
Q+ ,
rispettivamente:
3 2 3 4 2 5 5. R v6 fi v0 e4 v2 e1 6. R e6 fi v0 e4 e1 fm v2 e5 fi v0 e4 e7 e2 fn v6 e9 3 3 4 2 5 3 2 5'. R xG yczd 6'. S zH xcyG ycG xcddG zd
3
3
R e6 v2 e1 Q3 czd
8.2.3. Riduzione di parentesi.
2.2
Abbiamo già discusso in
la funzione
dei simboli ausiliari, dove sono stati anche adottati opportuni criteri di sempli cazione nell'uso delle parentesi. Per il linguaggio
Q+
possiamo confermare in linea
di massima le regole di riduzione adottate in crit20 (v.
2.2.1), si tratta solo di
adattarle alle nuove strutture sintattiche quanti cazionali.
Asserzione 281.
(Riduzione di parentesi)
a. φ riduce (φ), se φ∈FoAtQ+ . b. ∀x(φ) riduce (∀x(φ)), e ∃x(φ) riduce (∃x(φ)). c. ¬(φ)⊗(χ) riduce (¬(φ))⊗(χ), e (χ)⊗¬(φ) riduce (χ)⊗(¬(φ)),
dove
⊗
è uno
dei connettivi binari.
d. Se ⊗ è → (χ)⊗((φ)∧(ψ)). e. Se ⊗ è → (χ)⊗((φ)∨(ψ)).
o
↔: (φ)∧(ψ)⊗(χ)
riduce
((φ)∧(ψ))⊗(χ),
e
(χ)⊗(φ)∧(ψ)
riduce
o
↔: (φ)∨(ψ)⊗(χ)
riduce
((φ)∨(ψ))⊗(χ),
e
(χ)⊗(φ)∨(ψ)
riduce
Le regole di riduzione di crit281 si considerano chiamare formula di
Q+
riduzione a una formula legittima di
12Si
osservi che in base a
aggiunte
a def278: si può così
il risultato dell'applicazione di qualcuna delle regole di
def278
Q+ .13
un linguaggio predicativo non dispone di formule atomiche
enunciative. All'occorrenza potremmo tuttavia stipulare che lettere enunciative di predicative a zero argomenti.
13In
particolare, nella presentazione di
di formule un criterio corrispondente a formule come formule atomiche.
schemi di formule
crit281(a )
di
Q+
Q+
siano lettere
adotteremo sulle metavariabili
- il che equivale a trattare le metavariabili di
8.2. TERMINI, FORMULE E INTERPRETAZIONI
8.2.4. Interpretazioni. mule di
Q+ .
241
Veniamo ora alla semantica dei termini e delle for-
Per le valutazioni in una struttura
A=hf,A,=i
continueremo ad usare
la notazione kµk, come nel caso enunciativo, naturalmente in una nuova veste che speci ca da cosa dipendono le valutazioni dei termini e delle formule di un linguaggio del primo ordine come
Q+ .
Prima di passare alle regole semantiche sono
tuttavia opportune alcune considerazioni preliminari. L'uso delle successioni equivale ad immettere, nella valutazione di un'espressione
µ
di
Q+
(termine o formula) contenente variabili individuali, un dispositivo che
assegna un valore semantico a tutte le variabili del linguaggio e dal quale dipende l'interpretazione di
σ
µ.
Questa dipendenza delle interpretazioni dalle successioni
kµkσ
è espressa nella notazione
dall'indice σ . Oltre che a una successione
σ
per le variabili individuali, la funzione di valutazione è naturalmente debitrice alla struttura di interpretazione
A
per quel che riguarda (tramite
A
operatori logici, e in particolare alla struttura ammissibile da - tramite
=
A
il signi cato degli
per quel che riguar-
- la semantica delle lettere predicative, di quelle funzionali e delle
costanti individuali del linguaggio ne
f)
Q+ .
Ora, le possibili strutture di interpretazio-
sono invarianti riguardo alle loro operazioni logiche - almeno no a quando
per un linguaggio del primo ordine si considerano esclusivamente operazioni logiche
f che la valutazione di un'espressione del linguaggio in B. Tale dierenza dipende invece direttamente (oltre che dalla scelta della successione σ ) dalle strutture ammissibili A e B , e dalle interpretazioni =A e =B delle variabili
classiche. Non dipende da una struttura
A
non coincida con la sua valutazione in un'altra struttura
logiche del linguaggio in tali strutture. Appare quindi corretto usare la notazione
A
kµkσ per la funzione di valutazione di un'espressione appartenente al linguaggio
+
Q
, dove è speci cato che la valutazione dipende direttamente da una struttura
ammissibile e da una successione.
kµkA σ è de nita come successioni σ∈ΣA - estende
Analogamente a quanto già visto nella logica enunciativa,
A=hf,A,=i
una funzione che - data una struttura
e
composizionalmente le interpretazioni del vocabolario (costanti e variabili logiche) a valutazioni di tutti i termini e le formule del linguaggio. Il risultato è permesso dal carattere induttivo delle seguenti regole semantiche per i termini e le formule di
Q+ .
Iniziamo dai termini:
De nizione 282.
(Valutazione di un termine:
A
A m m ktkA σ ::=vn :σn |c:c |F t1 ,...,tm :(F )
ktkA σ)
A kt1 kA σ ,...,ktm kσ
.
Allo stesso modo, ad ogni formula del linguaggio è associata una funzione di valutazione
kφkA σ
sulla base delle valutazioni dei suoi sottocomponenti sintattici. (Nella
de nizione seguente si suppone che
⊗
sia un connettivo binario.)
8. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA PREDICATIVA
242
De nizione 283.
kφkA σ) )
A m A V sse kt1 kA σ ,...,ktm kσ ∈(R ) A m
| kφkσ ::= R t1 ...tm : A A F sse kt1 kA / m) σ ,...,ktm kσ ∈(R ¬ψ:f(¬) kψkA σ | A χ⊗ψ:f(⊗)nkχkA σ ,kψk o σ | ∀vn ψ:f(∀) kψkA | n σa oa∈A n ∃vn ψ:f(∃) kψkA n σa (Valutazione di una formula:
(
a∈A
Occorre qualche considerazione sulla valutazione delle formule quanti cate. L'idea di base è del tutto semplice: la valutazione di una formula variabile libera
vn
dipende da una successione
σ.
φ[vn ]
contenente una
Prendiamo come esempio una
formula atomica
R2 vk vm .
(1)
A La sua valutazione kR vk vm kσ restituisce un valore di verità che dipende da σk e σm come speci cato in def283. Ad esempio, applicando il quanti catore esistenziale 2 alla prima variabile in (1) si ottiene la formula ∃vk R vk vm , la cui valutazione 2
k∃vk R2 vk vm kA σ dipende ancora dall'assegnamento a
vm .
(2)
Ma (2) dipende ora anche da come
valutiamo la quanti cazione esistenziale. Intuitivamente
k∃vk R2 vk vm kA σ =V se, ssato il valore di
= R2
con
σm .
vm
come un certo
(3)
σm ∈A, esiste un a∈A che sta nella relazione a∈A, la k -variante σak veri ca
Ciò equivale a dire che, per qualche
la condizione
kR2 vk vm kA σ k =V. a
(4)
k
2 - sta nella relazione = R con k k k k m (σa )m . Ma per de nizione di σa abbiamo anche σa m =σm e σa k =a. Le stesse considerazioni si estendono alla quanti cazione universale, e così In eetti, (4) vale se il valore di
vk
- cioè
σa
mutatis mutandis
sono spiegate le clausole quanti cazionali di def283. Come già per la logica enunciativa, con un semplice ragionamento induttivo da def283 si ricava che, per ogni data struttura e successione, una formula o assume
valore
V
o assume valore
F.
Lemma 284. Per ogni struttura A e successione σ:
A kφkA σ =V o kφkσ =F.
Dimostrazione. Per def283 il risultato è banale per
mente per formule
φ
φ
atomica e segue facil-
il cui operatore logico principale è un connettivo, in base alle
proprietà semantiche dei connettivi.
φ=∀vn ψ . Per IpInd vale per ogni successione σ su A che kψ[vn ]kA σ =V o n A A kψ[vn ]kA =F . In particolare, quindi, per ogni n -variante σ vale kφk =V o kφk n n= σ a σa σa F. Così per def275 e def283: se per ogni n-variante σan vale kφkA =V , allora n σa n A k∀vn ψkA =V ; se invece esiste una n -variante σ tale che kφk =F , allora k∀vn ψkA n σ a σa σ= F. Caso φ=∃vn ψ . Analogo.
Caso
8.2. TERMINI, FORMULE E INTERPRETAZIONI
De niamo ora la nozione semantica di
soddisfazione
243
di una formula in una data
struttura ammissibile sulla base di una data successione.
De nizione 285. a. b. c.
La formula La formula La formula
Scriveremo
2A σφ
(Soddisfazione e soddisfacibilità)
A φ è soddisfatta in A da σ (: A σ φ) sse kφkσ =V. φ è soddisfatta in A sse, per qualche σ∈ΣA , A σ φ. φ è soddisfacibile sse è soddisfatta in qualche A.
per indicare che la formula
a
φ
non è soddisfatta in
A
da
σ.
Da
lemma284 e def285( ) risulta naturalmente che una formula non è soddisfatta in
una data struttura da una data successione precisamente nel caso in cui ha valore falso nella data struttura in base alla data successione:
Corollario 286.
A kφkA σ =F sse 2σ φ.
Analogamente a quanto già visto per la logica enunciativa, anche la nozione
A σφ
a
di def285( ) è speci cabile in altro modo.
Invece di dare come in def283
le regole semantiche in termini di procedure (classiche ben de nite) nelle quali è articolata la funzione di valutazione, si può usare una rappresentazione intuitiva (classica) degli operatori logici nel metalinguaggio.
De nizione 287.
A σ φ) m A A A m σ R t1 ...tm sse kt1 kσ ,...,ktm kA σ ∈(R ) . A σ ¬φ sse: non A σ φ. A A σ φ∧ψ sse: σ φ e A σ ψ. A A φ o σ φ∨ψ sse: A σ ψ. σ A A σ φ→ψ sse: se σ φ allora A σ ψ. A A φ se e solo se σ ψ . σ φ↔ψ sse: A σ A A σ ∀vn φ sse: per ogni a∈A, σan φ. A σ ∃vn φ sse: per qualche a∈A, A n φ. σa (Soddisfazione:
a. b. c. d. e. f. g. h.
In base al seguente risultato (la cui prova è lasciata come esercizio), si userà la nozione di def287 senza indicazioni come un'altra versione di
A σ φ.
Esercizio 288. Provare che def287 e def285 sono equivalenti. 8.2.5. Qualche osservazione sui quanti catori. Per le
caratterizzazioni
date della quanti cazione universale ed esistenziale è forse opportuno qualche commento.
Prendiamo la quanti cazione universale:
intuitivamente, e nel linguag-
gio ordinario, l'applicazione di un quanti catore universale - come tutti, ogni, qualunque, ecc.
- a un certo predicato restituisce una verità se e solo se tale
predicato è vero di ogni entità nel dominio selezionato dal quanti catore. Va detto però che nel linguaggio ordinario e nella logica del primo ordine i quanti catori non hanno la stessa struttura. I quanti catori del linguaggio sono relativizzati: essi sono, grammaticalmente, dei determinanti che si applicano (a un certo grado
14
appropriato di struttura grammaticale) a sintagmi nominali. esempio l'enunciato (5)
Ogni pianeta ruota intorno al sole,
la sua analisi grammaticale ci conduce a qualcosa come
14Cfr.
ad esempio Chierchia [
38].
Se consideriamo ad
8. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA PREDICATIVA
244
(6) [DP [D
Ogni ] [NP pianeta ]] [VP ruota intorno al sole ]
dove la frase
Ogni pianeta
(7)
è grammaticalmente autonoma e il quanti catore nominale
pianeta.
nel dominio
NP
ogni
è relativizzato al sintagma
Così la frase (6) è vera se il predicato
VP
è vero di ogni entità
selezionato dal quanti catore, in questo caso i pianeti (del sistema
solare). In questa analisi, in particolare, nessun costituente grammaticale gioca il ruolo di matrice del quanti catore.
La forma logica che al primo ordine è assegnata a
enunciati quanti cati del linguaggio prevede viceversa matrici e che i quanti catori siano operatori assoluti. Le questioni che pone questa discrepanza formano un quadro teorico notevolmente complesso, al quale non è qui possibile dedicare su ciente attenzione e che riguarda più la logica del linguaggio naturale che la logica in senso stretto. In eetti, tali questioni non mettono in discussione le proprietà logiche
basilari
degli enunciati quanti cati universalmente o esistenzialmente.
La forma logica che assume un enunciato come (5) nel trattamento logico dei quanti catori è invece qualcosa come:
∀x(P x→Qx)
(8) dove
P,Q
sono lettere predicative che rappresentano, rispettivamente, i predicati
essere un pianeta
e
ruotare intorno al sole.
essere scomposta nel quanti catore
∀x
A sua volta, la forma logica (8) può
e nella matrice
P x→Qx,
(9)
che può essere letta (10)
se x è un pianeta, allora x ruota intorno al sole,
mentre (8) ha una lettura come (11)
Per qualsiasi x, se x è un pianeta, allora x ruota intorno al sole.
Non è di cile vedere che a una matrice come (9) corrisponde un insieme
X
di
valori di verità al variare della possibile interpretazione della variabile individuale
x.
Nel caso di (9), in particolare, se diamo a
x
come valore un elemento chimico o
il numero zero, banalmente otteniamo sempre il valore di verità vero (per la falsità dell'antecedente del condizionale), e lo stesso accade se diamo a un pianeta (per la verità del conseguente del condizionale). quanti catore universale a
{V,F} (12)
x
come valore
Per de nizione, il
∀ è interpretato su un'operazione logica q∀ (X) da P{V,F}
con la proprietà seguente:
q∀ (X)=F,
se
F∈X ;
altrimenti,
q∀ (X)=V.
x sono - come V, allora l'insieme X di tali valori è semplicemente {V}. q∀ (X)=V. In altri termini, la quanti cazione (8) risulta vera
Ora, se i valori di verità assunti dalla matrice (9) al variare di abbiamo visto - sempre Quindi
F∈X / ,
e allora
e ciò corrisponde correttamente alla verità di (5). Che la de nizione data del quanti catore universale sia intuitivamente adeguata si può vedere ulteriormente considerando una quanti cazione universale falsa come (13)
Tutti i numeri naturali sono maggiori o uguali a 3.
Considerazioni analoghe alle precedenti ci conducono a una matrice (14)
se x è un numero naturale, allora x è maggiore o uguale a 3,
8.2. TERMINI, FORMULE E INTERPRETAZIONI
che dà ovviamente il valore falso per valori di 3, così che l'insieme
X
x
245
che sono numeri naturali minori di
dei valori della matrice è questa volta
{V,F}, il che comporta
(correttamente) la falsità dell'enunciato (15) essendo
Per ogni x, se x è un numero naturale, allora x è maggiore o uguale a 3 F∈X
e quindi
q∀ (X)=F.
Passiamo alla quanti cazione esistenziale. Intuitivamente, e nel linguaggio ordinario, l'applicazione di un quanti catore esistenziale - come qualche, alcuni/alcune, esiste un(o)/una, vi sono, ecc. - a un certo predicato restituisce una verità se e solo se tale predicato è vero di almeno un'entità nel dominio selezionato dal quanti catore. Già sappiamo però che nel linguaggio ordinario e nella logica del primo ordine i quanti catori non hanno la stessa struttura. Se prendiamo ad esempio il seguente enunciato contenente un quanti catore esistenziale (16)
Alcuni mammiferi sono sia erbivori che carnivori
la sua forma logica in (17) dove
Q+
risulta essere qualcosa come
∃x(P x∧Qx∧Rx)
P,Q,R
sono lettere predicative che rappresentano, rispettivamente, i predicati
essere un mamifero, essere erbivoro e essere carnivoro. (17) può essere scomposta nel quanti catore (18)
∃x
A sua volta, la forma logica
e nella matrice
P x∧Qx∧Rx
che può essere letta (19)
x è un mammifero e x è erbivoro e x è carnivoro,
mentre (17) ha una lettura come (20)
Per qualche x, x è un mammifero e x è erbivoro e x è carnivoro.
Alla matrice (18) corrisponde un insieme
X
di valori di verità al variare della possibi-
le interpretazione della variabile individuale
x:
abbiamo tutti valori vero per entità
che siano mammiferi, carnivori ed erbivori. Eettivamente in natura si danno entità di questo tipo (e noi umani ne siamo un esempio) - in altri termini, l'intersezione dei tre insiemi dei mammiferi, dei carnivori e degli erbivori non è vuota. Mentre altri mammiferi sono solo o carnivori o erbivori. esistenziale
∃
Per de nizione il quanti catore
è interpretato su un'operazione logica
q∃ (X)
da
P({V,F})
a
{V,F}
con la seguente proprietà: (21)
q∃ (X)=V,
se
V∈X ,
e altrimenti
q∃ (X)=F.
x sono - come appena V e in altri casi F, allora l'insieme X di tali valori è semplice{V,F}. Quindi V∈X , e allora q∃ (X)=V. In altri termini, la quanti cazione
Ora, se i valori di verità assunti dalla matrice (18) al variare di visto - in alcuni casi mente
(17) risulta vera, e ciò corrisponde correttamente alla verità di (16). Che la de nizione data del quanti catore esistenziale sia intuitivamente adeguata si può vedere ulteriormente considerando una quanti cazione esistenziale falsa come (22)
Vi è un numero naturale minore di 4 e maggiore di 3.
Considerazioni analoghe alle precedenti ci conducono a una matrice (23)
x è un numero naturale e x è minore di 4 e x è maggiore di 3,
che dà valore falso per qualsiasi numero naturale, così che l'insieme della matrice è questa volta
{F},
X
dei valori
il che comporta (correttamente) la falsità di
8. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA PREDICATIVA
246
di 3
(24)
essendo
Per qualche x, x è un numero naturale e x è minore di 4 e x è maggiore V∈X /
e quindi
q∃ (X)=F.
In base a quanto abbiamo appena visto, tali proprietà possono essere facilmente schematizzate nel modo seguente. Prendiamo per prima la quanti cazione universale come in (5).
Palesemente, un tale enunciato è vero se l'insieme dei pianeti
è un sottoinsieme delle entità che ruotano intorno al sole, e questa condizione è precisamente quella determinata in
Q+
dalla assegnazione a (5) di una forma logica
del tipo di (8). In eetti, se le lettere predicative rispettivamente, (25)
YP ,YQ ,
P,Q
sono interpretate su insiemi,
la formula (8) è intesa come vera se e solo se
YP ⊆YQ .
Proprio per questa proprietà logica
basilare
di una quanti cazione universale come
(5) la logica del primo ordine assegna a un tale enunciato la forma logica (8) con la condizione di verità (25) - indipendentemente da considerazioni sulla struttura grammaticale (6) di (5). Analogamente, nel caso di una quanti cazione esistenziale come (26)
Qualche pianeta ruota intorno alla terra,
considerazioni analoghe alle precedenti ci conducono a una forma logica (27)
∃x(P x∧Qx), P,Q sono interpretate su insiemi,
e se le lettere predicative
rispettivamente,
YP ,YQ ,
la formula (27) è intesa come vera se e solo se (28)
YP ∩YQ 6=∅,
ossia se l'intersezione proprietà logica
YP ∩YQ
basilare
degli insiemi
YP
e
YQ
non è vuota. Proprio per questa
di una quanti cazione esistenziale come (26) la logica del
primo ordine assegna a un tale enunciato la forma logica (27) con la condizione di verità (28) - indipendentemente da considerazioni sulla struttura grammaticale di (26), che è analoga a (6).
8.3. Alberi sintattici, sottoformule, sostituzione 8.3.1. Alberi sintattici. Includendo condizioni sui quanti catori,
le regole
di costruzione degli alberi sintattici per la logica enunciativa in def21 si adattano facilmente al linguaggio predicativo.
De nizione 289.
Un
albero sintattico T è una sequenza ordinata in forma d'albero
di espressioni sul vocabolario di
Q+ ,
tale che tutti i rami provengono da una stessa
espressione iniziale e ogni nodo dell'albero è costituito dall'applicazione regola in (a ). Se φ è l'espressione iniziale di T, scriviamo T:φ. ¬φ
a. h¬i φ
b. c.
φ∧ψ h∧i φ ψ
Un albero sintattico è Un albero sintattico è
φ∨ψ h∨i φ ψ
φ→ψ h→i φ ψ
∀xφ h∀i φ
∃xφ h∃i φ
terminato se nessuna regola in (a ) è applicabile. chiuso se è terminato in tutte formule atomiche.
La risposta a domande del tipo l'espressione
Q+
φ↔ψ h↔i φ ψ
di una
θ è una formula? è complicata in
da altri fattori non direttamente considerati in def289. L'analisi di un'espres-
sione deve poter raggiungere i costituenti, quindi addentrarsi nelle formule atomiche e nei termini. E le formule atomiche possono essere piuttosto complesse in ragione
8.3. ALBERI SINTATTICI, SOTTOFORMULE, SOSTITUZIONE
247
dei termini non atomici che contengono - ad esempio, lo è già una formula atomica come (6) di esemp280. Lasceremo comunque gli alberi così come stanno, nel senso seguente: quando raggiungiamo una formula senza operatori logici possiamo applicare le funzioni di lunghezza de nite sotto. Come vedremo tra poco, vi è anche una buona ragione per farlo. Un termine risulta nel caso generale per successive applicazioni di lettere funzionali a costanti e variabili individuali. De niamo quindi la lunghezza di un termine come la misura del numero di lettere funzionali che contiene.
De nizione 290.
hP i lg(t)) lg(t)::=x:0|c:0|F u1 ,...,un : 1≤i≤n lg(ui ) +1 (Lunghezza di un termine:
Già sappiamo dalla logica enunciativa che misure come
lg(t)
autorizzano prove
per induzione matematica sulle rispettive entità misurate. Così, in particolare, in una prova per induzione sulla lunghezza
lg(t)
dei termini di
Q+ :
la base dell'in-
duzione consiste nel mostrare che la data proprietà vale per termini atomici, e il passo dell'induzione consiste nel mostrare che, se la data proprietà vale per termini qualunque
u1 ,...,uk ,
allora vale anche per un termine
F u1 ,...,uk .
Una formula è in generale il risultato di successive applicazioni di connettivi e quanti catori a formule atomiche:
si può quindi de nire la
lunghezza
di una
formula come la misura del numero di predicati e di operatori logici che contiene. Nella prossima de nizione si suppone che
De nizione 291.
‡
sia
(Lunghezza di una formula:
∀,
o
∃,
e
⊗
un connettivo binario.
lg(φ))
lg(φ)::= Rm u1 ,...,um :1| ¬ψ:lg(ψ)+1| ψ⊗χ:lg(ψ)+lg(χ)+1| ‡xψ:lg(ψ)+1
Introdurre questa nozione vuol dire avanzare una buona ragione per lasciare gli alberi sintattici così come stanno in def289.
Le proprietà studiate dalla logica
del primo ordine sono formali in un senso che appare trasparente nell'uso delle strutture di interpretazione per de nire relazioni di conseguenza logica. Le costanti sono gli operatori logici, non vi sono predicazioni come costanti, non è studiata la logica di qualche tipo particolare di predicazione. In questo senso le formule atomiche sono segnaposto per predicazioni materiali di un qualche genere. A ciò corrisponde appunto l'assenza di
costanti
predicative o funzionali. La cosa natural-
mente è della più grande importanza - come vedremo trattando di teorie formali, ma soprattutto nella metatoria della logica del primo ordine - e al tempo stesso signi ca che la nozione di lunghezza di una formula non è di grande interesse. Ben più importante continua ad essere la nozione di grado di una formula, che misura le operazioni logiche enunciative e quanti cazionali assegnando valore zero alle formule atomiche. Nella prossima de nizione si suppone che un connettivo binario.
De nizione 292.
(Grado di una formula:
gr(φ)::= Rm u1 ,...,um :0| ¬ψ:gr(ψ)+1| ψ⊗χ:gr(ψ)+gr(χ)+1| ‡xψ:gr(ψ)+1
gr(φ))
‡
sia
∀,
o
∃,
e
⊗
8. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA PREDICATIVA
248
A scopo didattico è bene segnalare anche in questo caso come si svolgono le prove per induzione sul grado
gr(φ)
Q+ :
delle formule di
la base dell'induzione
consiste nel mostrare che la data proprietà vale per formule atomiche
Rm t1 ,...,tm ; il
passo dell'induzione consiste nel mostrare che, se la data proprietà vale per formule qualunque
ψ,χ, allora vale anche per formule ¬ψ,ψ⊗χ,∀xψ,∃xψ . gr(φ) di una formula φ corrisponde in modo naturale
Al grado
il grado
del suo albero sintattico, che misura le operazioni di costruzione di
φ
gr(T:φ)
per applica-
zione di connettivi o quanti catori. Alberi di grado zero sono naturalmente quelli che hanno una formula atomica come iniziale. Osserviamo poi che def289 di un
a
albero sintattico in cui vengono applicate regole def289( ) autorizza due tipi di forme
‡ψ ‡) ψ
(F1)
ψ⊗χ ⊗ (F2)
(
T0
. . .
ψ
χ
. . .
. . .
T1
dove ⊗ è un qualsiasi connettivo binario, e ‡ è
¬
o
) T2
∀x,
o
∃x.
La de nizione
cercata è quindi:
Criterio 293.
(Grado di un albero:
gr(T))
a. gr(T:R u1 ,...,um )=0. b. gr(T)=gr(T0 )+1, se T è di forma (F1). c. gr(T)=gr(T1 )+gr(T2 )+1, se T è di forma m
(F2)
.
Non è di cile dimostrare un analogo di teor26 per il linguaggio e sole le formule di
+
Q
Q+ , cioè che tutte
hanno alberi sintattici chiusi - la prova è lasciata come
esercizio.
Teorema 294. φ∈FoQ sse esiste un albero sintattico chiuso T:φ. 8.3.2. Sottoformule. Riguardo alle sottoformule, nel caso dei connettivi val+
gono le considerazioni già fatte per la logica enunciativa. Ma in
Q+
c'è la novità
rappresentata dalle sottoformule delle espressioni quanti cate: sono quelle espressioni che si ottengono eliminando il quanti catore. Ad esempio, di
∀xφ
e di
∃xφ.
φ
è sottoformula
Vedremo in seguito che, sotto opportune condizioni sulle variabili
individuali, una formula quanti cata come
∀xφ o di ∃xφ ha tuttavia - su elementari
basi semantiche - una classe ben più ampia di sottoformule. Iniziamo dalla nozione di profondità di occorrenza di un'espressione in un'altra. Una formula
χ
ha profondità 0 in
renza di profondità In
Q+
n>0
in
φ
φ
se
χ
e
φ
sono la stessa formula;
χ
ha un'occor-
φ. Q+ :
se occorre in qualche appropriata sottoformula di
abbiamo però anche l'occorrenza di termini. Siano
µ
e
θ
espressioni di
de niamo simultaneamente la profondità di occorrenza di un termine in un termine e la profondità di occorrenza di una formula in una formula.
De nizione 295.
(Occorrenza di
µ
a profondità
k
in
θ: ⇓(θ,k,µ))
a. ⇓(θ,0,µ) se µ è θ. b. ⇓(θ,k+1,µ) se è soddisfatta una delle seguenti condizioni: b 1. µ,θ∈TeQ+ , θ=F m t1 ,...,tm e per qualche i (1≤i≤m): ⇓(ti ,k,µ). b 2. µ,θ∈FoQ+ , θ=¬φ e ⇓(φ,k,µ). b 3. µ,θ∈FoQ+ , θ=ψ⊗χ , con ⊗ connettivo binario, e ⇓(ψ,k,µ) o ⇓(χ,k,µ).
8.3. ALBERI SINTATTICI, SOTTOFORMULE, SOSTITUZIONE
b 2. µ,θ∈FoQ+ , θ=‡xφ, dove ‡ è ∀ o ∃, e ⇓(φ,k,µ). c. Se ⇓[θ,1,µ] diciamo che µ ha occorrenza immediata
in
249
θ.
I risultati del teorema seguente sono un viatico per stabilire le proprietà basilari della relazione di sottoformula (di sottotermine). spressione
ϑ
ha occorrenza immediata in un'altra
profondità che
µ
ha in una terza espressione
θ.
Il primo stabilisce che se un'e-
µ,
allora eredita a livello
k+1
la
Il secondo è in pratica la proprietà
transitiva della relazione di sottoformula (di sottotermine).
Teorema 296.
a. Se ⇓[θ,k,µ] e ϑ ha occorrenza immediata in µ, allora ⇓[θ,k+1,ϑ]. b. Se ⇓[µ,k,ϑ] e ⇓[θ,m,µ], allora ⇓[θ,k+m,ϑ]. Dimostrazione. Per (a): induzione su
poniamo che
⇓[θ,k+1,µ],
occorrenza immediata in
k
in
⇓[θ,k,µ].
Banale per
e (IpInd) dato un qualunque numero
µ,
⇓[θ,k+1,ϑ].
allora
k,
k=0.
se⇓[θ,k,µ] e
Sup-
ϑ
ha
L'obiettivo è mostrare che ciò vale
k+1. In base a def295 si danno allora i seguenti casi nuovi.15 m Caso 1. θ,µ,ϑ sono termini. Così θ è di forma F t1 ,...,tm e per qualche i (1≤i≤m) vale ⇓(ti ,k,µ). Quindi per l'occorrenza immediata di ϑ in µ segue da (IpInd) che ⇓[θ,k+1,ϑ]. Ma questo vuol dire per def295(b 1) che ⇓[θ,k+1+1,ϑ]. Caso 2. θ,µ,ϑ sono formule e θ è di forma ∀xφ o ∃xφ. Esattamente analogo. Per (b ): la dimostrazione è quasi immediata in base alla parte (a ) del teorema. anche per
Q+ , un'estensione naturale di quella immediata di ∀xφ o ∃xφ è φ.
Siamo così alla nozione di sottoformula per enunciativa, dove in particolare sottoformula
De nizione 297.
(Sottoformula)
16
a. ϕ è sottoformula di φ [: ϕvφ] sse esiste un k tale che ⇓[φ,k,ϕ]. b. ϕ è sottoformula immediata di φ sse ϕ ha occorrenza immediata in φ. c. ϕ è sottoformula propria di φ [: ϕ@φ] sse ⇓[φ,k,ϕ] per k6=0.
Da def297 seguono diverse proprietà della relazione di sottoformula quanti cazionale che già conosciamo dalla logica enunciativa:
Corollario 298.
a. Se ϕvφ, allora gr(ϕ)≤gr(φ). b. se ϕ@φ, allora gr(ϕ)0:
[Esercizio]
8.4. Altri linguaggi Conviene introdurre brevemente (ad uso futuro) anche altri linguaggi per la logica del primo ordine. In primo luogo, un linguaggio del primo ordine può assumere uno o l'altro dei due quanti catori
∀
e
∃
come primitivo e introdurre l'altro sulla
17
base delle seguenti de nizioni abbreviative vedremo) solo nella logica classica.
De nizione 311. 17Autorizzate
a.∀xφ=¬∃x¬φ b.∃xφ=¬∀x¬φ
da V5 e V6 di
9.4.2.
- un'interde nibilità che vale (come
8. SINTASSI E SEMANTICA DELLA LOGICA PREDICATIVA
254
A un linguaggio per la logica classica del primo ordine è quindi su ciente uno solo dei quanti catori
∀,∃.
3.4.2, a un linguaggio per la
Inoltre, come risulta da
logica classica sono su cienti sottoinsiemi opportuni dei connettivi standard. Così abbiamo in particolare linguaggi predicativi con le basi enunciative (cfr.
3.4.1).
PM , P‡ , P⊥
Un caso speci co è invece il linguaggio dell'identità.
Nel delineare i linguaggi predicativi seguenti non v'è bisogno di soermarsi sui termini. Di questi linguaggi si possono dare versioni + (cioè con costanti tra le
Q+ ) o versioni puramente logiche (come Q), dove i termini + quelli di Q o a quelli di Q . Per semplicità introdurremo
variabili logiche come in corrisponderanno o a
versioni +, mentre quelle puramente logiche risultano subito con opportune restrizioni sui rispettivi vocabolari e sulle rispettive regole sintattiche e semantiche. Naturalmente gli operatori logici di
Q+
non presenti nei linguaggi seguenti possono
essere de niti usando def82 e def311.
Il linguaggio
Q‡+ .
OeqQ‡+ {⊗}::=¬;∧;∨;→;∀;∃. Le FoQ+ eliminando ogni riferimen-
Ha l'insieme di operatori
sue formule si desumono in modo naturale da to al connettivo
↔
del bicondizionale.
18
Vedremo che questo linguaggio è utile
soprattutto come base per la logica intuizionista.
QM + .
QM + si dierenzia da Q+ sia nella base enun19 ciativa che in quella quanti cazionale, in quanto OeqQM + {⊗}::=¬;→;∀. Anche le sue formule si desumono in modo naturale da FoQ+ eliminando ogni riferimento ai connettivi ∧;∨;↔ e al quanti catore ∃. Il linguaggio
Il linguaggio
Q⊥+ . Si tratta della versione predicativa del linguaggio enun⊥ costanti P . Qui abbiamo OeqQ⊥+ {⊗}::=∧;∨;→;∀;∃ e le formule sono
Il linguaggio ciativo con
determinate nel modo seguente:
De nizione 312.
Q⊥+
: FoQ⊥+ ) FoAtQ⊥+ ::=⊥|R t1 ,...,tm . FoQ⊥+ {φ,ψ,χ,ϕ}::=FoAtQ⊥+ |(φ)∧(ψ)|(φ)∨(ψ)|(φ)→(ψ)|∀x(φ)|∃x(φ). (Formula di
m
Naturalmente la negazione è de nibile in
Q⊥+
con
¬φ=φ→⊥,
come stabilito in
def85.
Cardinalità di linguaggi linguaggio, dove variabili logiche.
ξ
.
Un linguaggio
L
del primo ordine è detto un
è un qualunque numero cardinale ( nito o in nito), se
L
ha
ξξ
Soprattutto interessano, come vedremo, gli insiemi di costanti
individuali e le loro cardinalità. In base alla de nizione che ne è stata data risulta, per ragioni di cardinalità, che
Q+ è un ℵ0 -linguaggio, cioè un linguaggio numerabile.
Il linguaggio dell'identità, strutture normali =+ +
anche un
linguaggio Q
dell'identità ottenuto da Q
.
Introduciamo per nire
ampliando il suo vocabolario
Q=+ possiamo R - e indicarla
con l'ammettere una costante predicativa per l'identità. Per avere isolare una lettera predicativa a due argomenti - sia ad esempio
speci camente con =, così da avere una rappresentazione formale esplicita della
Q=+ , diciamo normali le strutture d'interpretazione A che assegnano al predicato = la relazione di identità sul dominio A della relativa struttura ammissibile:
relazione di identità. Quanto alla semantica del linguaggio
18Cfr. 19Cfr.
Lemmon [
114]. 133].
Mendelson [
8.4. ALTRI LINGUAGGI
De nizione 313.
La struttura A A solo se tσ =uσ , per ogni σ∈ΣA .
A=hf,A,=i
Le altre nozioni semantiche per le formule di
è
normale
Q=+
255
quando vale:
A σ t=u
se e
possono essere de nite nel modo
usuale, eventualmente relativizzate a strutture normali.
CAPITOLO 9
Conseguenza
logica del primo ordine
9.1. Verità, modelli, validità Un'interpretazione può soddisfare, sulla base di una data successione, una formula contenente variabili individuali libere, e non soddisfarla in base ad un'altra successione. Ovvero, la nozione di soddisfazione è vicaria a quella di verità: è verità in base a un dato assegnamento di valori alle variabili individuali. Solo la quanti cazione di qualche occorrenza di una variabile individuale, o la sostituzione di quest'ultima con un termine chiuso, ssano univocamente il valore semantico della variabile in quel dato contesto.
Se una formula è chiusa, non contiene variabili
libere e quindi le sue interpretazioni risultano stabili in ogni occorrenza di variabili individuali - cioè, non dipendono da variazioni di successioni ma solo dalla struttura in cui la formula viene interpretata. Ciò segue da teor308 di Coincidenza: le condizioni di soddisfazione di una formula, in una data struttura di interpretazione, variano in ragione delle variabili individuali libere occorrenti nella formula. Ne risulta che, se due successioni divergono sul valore semantico di una formula
φ,
allora esse non possono far parte dello stesso insieme di coincidenza: se Sia ora
φ
A φA σ 6=φσ 0 ,
allora
ΣA [φ]6=Σ0A [φ].
(1)
una formula chiusa e supponiamo che valga
A φA σ 6=φσ 0 ,
(2)
cioè che vi siano successioni in base alle quali la formula
φ
assume valori diversi di
verità. Da (1) e (2) segue
che è un'assurdità, in quanto
ΣA [φ]6=Σ0A [φ] (3) ΣA [φ]=∅=Σ0A [φ]. In
sostanza, per gli enunciati la
situazione (3) non si può presentare, proprio come desiderato:
Teorema 314. Se φ è un enunciato : per ogni successione σ∈ΣA vale Aσ φ, o per nessuna successione σ∈ΣA vale A σ φ.
9.1.1. Verità.
Siamo così in grado di de nire il concetto di
verità
per le
formule di un linguaggio predicativo del primo ordine:
De nizione 315. solo se
φ
Un enunciato
è [non è] soddisfatto in
φ è vero in A A.
(:
A φ)
[è
falso in A (: 2A φ)] se e
A A φ per qualche successione σ∈Σ . D'altra parte, A σ siccome si tratta di enunciati, avremo da def314 che φ è vero in A se e solo se ogni successione in ΣA soddisfa φ in A: In base a questa de nizione,
φ
è una formula vera in una struttura ammissibile
se e solo se è un enunciato e vale
Corollario 316. vale
A σφ
A A φ sse per ogni σ∈ΣA vale A σ φ [2 φ sse per nessuna σ∈ΣA A sse per ogni σ∈ΣA vale 2σ φ]. 257
9. CONSEGUENZA LOGICA DEL PRIMO ORDINE
258
Se una formula predicativa è un enunciato e ha forma logica enunciativa, allora è un enunciato anche ogni sua sottoformula immediata.
ψ∧χ,
enunciato di forma
allora anche
ψ
e
χ
Ad esempio, se
φ
è un
sono enunciati. Da ciò segue, in base
alle de nizioni def315 e def287, quanto stabilito nell'esempio seguente.
Esempio 317. a. b. c. d. e.
A ¬φ sse: 2A φ. A φ∧ψ sse: A φ e A ψ . A φ∨ψ sse: A φ o A ψ . A φ→ψ sse: se A φ allora A ψ sse: 2A φ A φ↔ψ sse: A φ se e solo se A ψ .
o
A ψ .
Da def315 segue che un enunciato è (assolutamente) vero o falso in una data
principio classico di a verità de nita in def315 soddisfa anche il principio classico del terzo escluso : in ogni struttura è (assolutamente) vero o un enunciato o la sua negazione [cor318(b )]. Così in base a def287(d ) segue anche la formulazione sintattica cor318(c ) del terzo struttura, per cui la nozione di verità in def315 soddisfa il
bivalenza
a
a
[cor318( )]. Da cor318( ) e esemp317( ) risulta poi che la nozione di
escluso.
Corollario 318. Per ogni struttura ammissibile A e ogni enunciato φ: a. φ è vero in A o è falso in A. b. A φ oppure A ¬φ. c. A φ∨¬φ.
Per enunciati quanti cati non si possono formulare condizioni analoghe a quelle di esemp317, dal momento che una sottoformula immediata
φ[x]
di
∀xφ
o di
∃xφ
non è in generale un enunciato. La verità per enunciati quanti cati si espande nel modo seguente, in base a cor316 e def287:
Esempio 319.
per ogni
∀vn φ e ∃vn φ: σ∈ΣA e ogni a∈A, A n φ[vn ]. σa
per ogni
σ∈ΣA
Per enunciati
a. ∀vn φ sse: b. A ∃vn φ sse: A
e qualche
a∈A, A n φ[vn ]. σa
∀xφ è vera in A se la condizione φ[x] è vera di ogni oggetto del A, e ∃xφ è a sua volta vera in A se la condizione φ[x] è vera di almeno un del dominio A. La verità di un enunciato quanti cato in una struttura A
In altri termini, dominio oggetto
è perciò esprimibile tramite la verità di sue sottoformule immediate se gli elementi del dominio
A
sono designati nel linguaggio:
1
Lemma 320. Se A= tA :t∈X⊆TeCQ+ , allora : A ∀xφ [A ∃xφ] sse per ogni [qualche ] termine chiuso u vale A φ[xu ].
a
i
A Dimostrazione. Per esemp319( ), ∀xφ sse: ( ) per ogni σ∈ΣA e a∈A, A σax φ[x]. Per ip del Lemma, ( ) equivale a: ( ) per ogni σ∈ΣA e ogni t∈X , A σ xA φ[x].
i
Applicando teor310 a (
iii ) per ogni σ∈ΣA
ii
ii ), otteniamo:
x t∈X , A σ φ[t ]. A A A per Dato un termine chiuso qualsiasi u, vale u ∈A e così u =t A x Quindi (iii ) equivale a: (iv ) per ogni σ∈ΣA e ogni u∈TcQ+ , σ φ[u ]. A quanto cercato: ∀xφ sse (iv ). [Analogamente nel caso di ∃.] (
1Cfr.
(S5) in
8.1.2.
t
e ogni
qualche
t∈X .
Abbiamo così
9.1. VERITÀ, MODELLI, VALIDITÀ
259
In nessun caso si può parlare di verità di una formula aperta? Si osservi che andremmo incontro a conseguenze controintuitive, se cercassimo di de nire direttamente la verità di una formula qualunque come la proprietà di essere soddisfatta da tutte le successioni. Supponiamo infatti di adottare la versione
φ
(*)
è una formula vera in
A
se e solo se è
stabile
in
A
in luogo di def315, usando la seguente de nizione:
De nizione 321.
La formula
φ è stabile in A
falsa
sse per ogni
σ∈ΣA : A σ φ.
j
2A σ φ. Per A formule aperte, però, ( ) è perfettamente compatibile con ( ) σ 0 φ, per qualche σ 0 ∈ΣA . Quindi una formula può essere al tempo stesso "falsa" e soddisfacibile in
In base a (*) e def321,
j
una struttura
A,
φ
è
in
A
se per qualche
σ∈ΣA
jj
vale: ( )
ovvero: (*) restituisce una caratterizzazione assoluta della verità
di una formula, ma non una altrettanto assoluta della sua falsità. V'è tuttavia un senso de nito nel quale è equivalente considerare formule aperte o enunciati. In eetti, la stabilità di una formula aperta equivale alla verità della sua quanti cazione universale.
Teorema 322. Sia ∀x1 ...∀xn φ una chiusura universale di φ: la formula φ è stabile in A se e solo se A ∀x1 ...∀xn φ.
n=1 e vk la variabile interessata. In base φ[vk ] in A segue che, per ogni σ∈ΣA , vale A σ φ[vk ]: a fortiori, quindi, vale anche A φ[v ] , per ogni a∈A . Per def 287 si ottiene A k k σ ∀vk φ σa A e così, essendo ∀vk φ un enunciato, da def315 risulta ∀vk φ. Inversamente, da A ∀vk φ segue, per def315, che A ∀vk φ per ogni σ∈ΣA . Quindi per def287 avremo A A anche k φ[vk ] per ogni a∈A, e quindi σ φ[vk ] per ogni σ∈ΣA . σ Dimostrazione. Sia (per comodità)
a def321, dalla stabilità di
a
Il teor322 autorizza a parlare della
verità A φ[x1 ,...,xn ] di una formula aperta
φ[x1 ,...,xn ] in una struttura A, anche se nel senso forzatamente indiretto della verità (questa invece diretta) della sua chiusura universale.
Si possono così enunciare
de nizioni e risultati semantici per formule aperte qualunque, invece che per le loro chiusure universali. Per la logica predicativa la nozione interessante di modello riguarda natural-
A è modello di un insieme Γ di enunciati Γ è vero in A - ma è utile anche la nozione di soddi-
mente insiemi di enunciati - una struttura predicativi se ogni enunciato in
sfazione di un insieme di formule da parte di una coppia .
De nizione 323.
(Modello) Dove
σ∈ΣA , ∆ è un insieme di formule e Γ un insieme
di enunciati:
a. hA,σi soddisfa Γ (: ModA,σ (∆)) sse per ogni χ∈∆ vale A σ χ. A b. A è modello di Γ (: Γ o ModA (Γ)) sse per ogni χ∈Γ vale A χ. c. Mod(Γ)={A|ModA (Γ)}. Così
Mod(Γ)
soddisfacibile
è la classe di tutti i modelli dell'insieme un insieme
Mod(Γ)=∅. qualche hA,σi. se
Γ
Γ
di enunciati. Si dice anche
Γ è insoddisfacibile φ è soddisfacibile sse ModA,σ (φ) per ModA,σ (Γ) per σ∈ΣA .
di enunciati se ha un modello - così
Naturalmente una formula È chiaro che
ModA (Γ)
sse
9. CONSEGUENZA LOGICA DEL PRIMO ORDINE
260
9.1.2. Validità logica.
Isoliamo ora tra le formule predicative quelle che ri-
sultano vere solo in virtù della loro forma logica e, in certo senso, non dicono nulla delle diverse possibili interpretazioni delle loro variabili logiche, in quanto la loro verità non è sensibile al variare delle possibili interpretazioni in strutture ammissibili e dipende solo da proprietà delle costanti logiche coinvolte.
De nizione 324. ModA,σ (φ)
Una formula predicativa
per ogni coppia
hA,σi
dove
Come si vede subito, un enunciato struttura ammissibile
A.
φ
è
logicamente valida
(:
φ)
sse
σ∈ΣA . φ
è valido se e solo se
ModA (φ)
per ogni
Una formula aperta, invece, è valida se e solo è valida la
sua chiusura universale (la prova è lasciata come facile esercizio):
Corollario 325. Se
∀x1 ...∀xn φ.
∀x1 ...∀xn φ è una chiusura universale di φ: φ se e solo se
Che possiamo dire di formule predicative logicamente indeterminate? Niente di diverso da quel che si poteva dire nella logica enunciativa:
De nizione 326.
φ
è
logicamente indeterminata
se e solo se
φ
è invalida e soddi-
sfacibile.
9.2. Conseguenza logica L'introduzione della nozione di conseguenza logica del primo ordine richiede qualche cautela. A causa delle formule aperte, non si può de nire semplicemente che ogni modello di
Γ
sia modello di
φ.
Γφ
richiedendo
In tal caso, infatti,
Γφ
avrebbe il signi cato seguente (4) per ogni struttura A ed ogni successione A σ φ per ogni successione σ . La de nizione di
Γφ
σ , tali che A σψ
per ogni
ψ∈Γ, vale
sarebbe così ristretta alle formule stabili, escludendo ad
esempio conseguenze logiche corrette come (5)
φ[x1 ,...,xn ]φ[x1 ,...,xn ].
La de nizione adeguata è invece la seguente:
De nizione 327. tale che
A
φ
è
conseguenza logica
è una struttura ammissibile e
di Γ (: Γφ) sse per ogni coppia hA,σi, σ∈ΣA : se ModA,σ (Γ), allora ModA,σ (φ).2
La versione (4) vale naturalmente per le formule chiuse (la facile prova è lasciata come esercizio):
Corollario 328. Se Γ∪{φ}⊆EnQ
+:
Γφ sse Mod(Γ)⊆Mod(φ).
Le varie nozioni e proprietà legate alla conseguenza logica enunciativa già viste
nel
Cap3
si estendono con poche varianti anche alla conseguenza logica del pri-
mo ordine: per comodità di riferimento sono qui presentate con una numerazione speci ca (nella quale le de nizioni hanno indice df ). CL1. CL2. CL3.df CL4.
φ sse ∅φ. φψ sse φ→ψ . φ≡ψ sse φψ e ψφ. φ≡ψ sse φ→ψ e ψ→φ
2Naturalmente,
la nozione di conseguenza logica de nita riguarda le forme logiche di
+ all'occorrenza si può scrivere Q .
Q+
e
9.2. CONSEGUENZA LOGICA
261
Come sappiamo, la conseguenza logica è esprimibile in termini di insoddisfacibilità
a
[cfr. teor70( )]:
Γφ sse Γ∪{¬φ} è Cn(Γ)={φ|Γφ}.
CL5. CL6.df
insoddisfacibile.
Naturalmente, anche di un insieme di formule predicative si dice che è coerente se non si dà una contraddizione tra le sue conseguenze logiche:
Γ
CL7.df
coerente
è
sse non vale:
χ,¬χ∈Cn(Γ).
A seguire ecco le relazioni standard tra coerenza e soddisfacibilità degli insiemi di formule predicative:
Γ Γ
CL8. CL9.
è soddisfacibile sse per qualche formula
χ: χ∈Cn(Γ) / .
è coerente sse è soddisfacibile.
Per CL8 valgono naturalmente considerazioni analoghe a quelle che dimostrano
a
teor70( ) - così un insieme di formule predicative è coerente se non ogni formula
del linguaggio è sua conseguenza logica.
9.2.1. Cambio alfabetico.
Un
cambio alfabetico
consiste nel sostituire uni-
formemente in una formula variabili individuali con altre variabili non occorrenti nella formula. Il cambio alfabetico di una variabile libera non conserva in generale il valore di verità, ma lo conserva se si tratta di una formula vera: (6) se
φ
x
è un cambio alfabetico di
y
φ[x]: A φ[x]sseA φ
x
y .
φ[vn ] della sola variabile vn libera e un cambio A φ[vn ] vale se e solo se A ∀vn φ[vn ], quindi v A A per esemp319(a ) - sse per ogni σ∈ΣA e ogni a∈A, σ n φ[vn ]. D'altra parte, 2σ φ vn k a A è impossibile in quanto equivale a 2σ n φ[vn ] - per teor310. Non è di cile vedere σ Consideriamo infatti una formula alfabetico
φ
v
n vk . Come sappiamo,
k
che un risultato analogo vale anche per il cambio alfabetico di variabili quanti cate:
x A A (7) (∀/∃)xφ[x]sse (∀/∃)yφ y x A dove φ y è un cambio alfabetico di φ[x]. Infatti, sia ∃vn φ[vn ], dove (per coA modità) ∃vn φ[vn ] è un enunciato. Per esemp319(b ) abbiamo: σ n φ[vn ], per ogni v a σ∈ΣA e qualche a∈A. Consideriamo il cambio alfabetico φ vnk : siccome vk non n k occorre in φ, vale (σa )(σ n ) ∈ΣA [φ], quindi per teor308 abbiamo anche: a n
A (σ n )k a
n) (σa n
φ[vn ].
Chiaramente
A (σ n )k a
φ
v
n) (σa n
n
vk
e quindi per def287 vale anche
A σ ∃vk φ
v
n vk .
Per il quanti catore universale la
dimostrazione è analoga. Il seguente teorema generale stabilisce che il cambio alfabetico conserva validità e conseguenza logica. Per comodità indichiamo con l'apice ‡ un cambio alfabetico - in particolare,
Γ‡
Teorema 329.
(Persistenza sotto cambio alfabetico)
è il risultato di un cambio alfabetico in qualche formula in
a. Se φ allora A φ‡ . b. Se Γφ, allora Γ‡ φ‡ . c. Se φ allora φ‡ . A
Γ.
9. CONSEGUENZA LOGICA DEL PRIMO ORDINE
262
a
Dimostrazione. Per ( ). Se il cambio alfabetico riguarda una variabile libe-
φ,
ra in
allora applichiamo (6). Quindi occupiamoci solo di cambio alfabetico di
variabili vincolate in
φ,
φ n+1
usando l'induzione sulla profondità della sottoformula di
in cui è operato il cambio alfabetico. Se la profondità è
0,
vale (7), se invece è
si danno i seguenti casi.
in
ψ,
a
¬. φ=¬ψ .
Caso
per (IpInd) vale
∧. φ=ψ∧χ.
Caso
2A ψ ‡
risulta
‡
ψ ∧χ
∨,→,↔.
Casi
b
o in
χ,
a
per esemp317( ).
A
φ
sse
ψ
e
A
‡
per (IpInd) valgono
per esemp317( ). Allora:
A ‡
φ
A
ψ
A χ. e
Il cambio
A ‡
χ
, quindi
.
La dimostrazione è analoga.
∀. φ=∀vn ψ .
Caso
ψ
b
‡
Il cambio alfabetico è eettuato
A φ‡
e, quindi, anche
Per esemp317( ) risulta che
alfabetico è eettuato o in
A
2A ψ .
Per esemp317( ) vale non
Supponiamo poi che
φ‡ =∀vk ψ ‡
a
v
n vk . Per esemp319( ) abbiamo v A A n A . Per n ψ[vn ] per ogni σ∈ΣA e ogni a∈A. Quindi ψ[vn ] e per (6) anche ψ v σa k v ‡ ‡ A vn A ‡ vn ‡ vn (IpInd) vale allora ψ vk , da cui segue ψ vk , visto che ψ vk = ψ vnk v ‡ in quanto il resto del cambio alfabetico in φ riguarda le altre variabili in ψ vn . k
a
Così per esemp319( ) risulta in ne Caso
b
∃.
A φ‡ .
Analogamente.
c
Per ( ) e ( ). Un utile esercizio.
9.3. Rimpiazzamento Il rimpiazzamento è una sostituzione che non intercorre tra variabili e termini ma tra espressioni qualsiasi della stessa categoria grammaticale - in sostanza si può rimpiazzare con un termine singolare formula
φ,
o mettere una formula
ψ
u
un'occorrenza di un altro termine
il rimpiazzamento è eettuato correttamente e ben formata, allora anche
t
in una
al posto dell'occorrenza di una formula
θ
χ.
Se
è un'espressione sintatticamente
θ[µ\ν] deve essere un'espressione ben formata della stessa
categoria. Le de nizioni seguenti assicurano questo requisito di grammaticalità ai rimpiazzamenti. Come nel caso enunciativo, usiamo la notazione seguente.
θ[µ\ν]:
il risultato di rimpiazzare in qualche luogo nell'espressione to)espressione
µ
con l'espressione
θ
la (sot-
ν.
La sostituzione di variabili individuali non ha in fondo un grande signi cato semantico. Nel caso del rimpiazzamento, invece, le proprietà di persistenza dei valori semantici di termini e formule costituiscono altrettante condizioni di identità di signi cato relativamente alle date procedure di interpretazione. Per de nire il rimpiazzamento si ricorre alla nozione di profondità di occorrenza (cfr.
def295).
In particolare, rimpiazzare un termine in una formula vuol dire
rimpiazzamento in un termine, quindi dobbiamo de nire preliminarmente un rimpiazzamento (cioè alla profondità di occorrenza
De nizione 330.
(n-Rimpiazzamento di
u
con
s
n)
in
n-
in un termine.
t: t[n,u\s])
a. t[n,u\s] è s, se ⇓(t,0,u); altrimenti, è t. b. {F m t1 ,...,tm }[n+1,u\s] è F m t1 [n,u\s],...,tm [n,u\s], se ⇓(tk ,n,u) per 1≤k≤m;
altrimenti, è il termine A seguire de niamo un in una formula
φ
F m t1 ,...,tm .
n-rimpiazzamento - cioè alla profondità χ con una formula ϑ:
di una sua sottoformula
di occorrenza
n
-
9.3. RIMPIAZZAMENTO
De nizione 331.
(n-Rimpiazzamento di
χ
con
ϑ
263
φ: φ[n,χ\ϑ])
in
a. φ[0,χ\ϑ] è ϑ, se ⇓(φ,0,χ); altrimenti, è φ. b. Se φ è ‡ψ , dove ‡ è ¬ o un quanti catore ∀x
o ∃x: se vale ⇓(ψ,n,χ), allora φ[n+1,χ\ϑ] è ‡{ψ[n,χ\ϑ]}; altrimenti, φ[n+1,χ\ϑ] è ‡ψ . c. Se φ è ψ⊗ϕ, dove ⊗ è un connettivo binario: φ[n+1,χ\ϑ] è la formula {ψ[n,χ\ϑ]}⊗ϕ, se ⇓(ψ,n,χ), oppure è la formula ψ⊗{ϕ[n,χ\ϑ]}, se vale ⇓(ϕ,n,χ); altrimenti, φ[n+1,χ\ϑ] è ψ⊗ϕ. In ne, come già sappiamo dalla logica enunciativa, rimpiazzamento vuol dire rimpiazzamento per qualche
De nizione 332. di µ con ν in θ [θ
Se
∗
è
n-
n:
θ,µ,ν sono espressioni qualsiasi di Q+ , θ∗ è un rimpiazzamento θ[µ\ν]] sse, per qualche n, θ∗ è θ[n,µ\ν].
Occorre dare un signi cato al rimpiazzamento
φ[u\s]
di un termine in una
formula, che nora non ne ha uno preciso. In base alle regole di formazione delle formule, un termine può occorrere in una formula di qualche termine
Rm t1 ,...,tm .
tk (1≤k≤m)
φ
solo in quanto sottotermine
occorrente in una sottoformula di
φ
della forma
Non è allora di cile ricavare dalle de nizioni precedenti e dalle regole
sintattiche di
Q+
il seguente risultato (lasciato come esercizio) sulla misura della
profondità dell'occorrenza di un termine in una formula:
Lemma 333.
a. ⇓(φ,0,u) se φ è Rm t1 ,...,tm e, per qualche k (1≤k≤m) e i, ⇓(tk ,i,u). b. ⇓(φ,n+1,u) se è soddisfatta una delle seguenti condizioni: (b 1) φ è di una delle forme ¬ψ , ∀xψ , ∃xψ , e ⇓(ψ,n,u); (b 2) φ è di forma ψ⊗χ, con ⊗ connettivo binario, e ⇓(ψ,n,u) oppure ⇓(χ,n,u). Occorre però fare attenzione riguardo alle variabili individuali vincolate: esse richiedono una condizione di buon rimpiazzamento analoga alla nozione di termine libero per una variabile in una formula. La de nizione è abbastanza esplicita:
Asserzione 334.
s è libero per un'occorrenza del termine u in φ quando se nella data occorrenza di u in φ sono x1 ,...,xj le variabili vincolate di u, allora: (i ) s deve contenere almeno le variabili x1 ,...,xj ; (ii ) per ogni variabile y di s che non occorre in u, la data occorrenza di u in φ non è in nessuna sottoformula di φ di forma ∀yψ o ∃yψ . Il termine
sono soddisfatte le seguenti condizioni:
Possiamo ora determinare il rimpiazzamento di un termine con un altro in una formula, stipulando naturalmente che si tratti di un buon rimpiazzamento rispettoso del criterio 334.
Lemma 335.
a. φ[0,u\s] è Rm t1 [u\s],...,tm [u\s], se ⇓(φ,0,u); altrimenti è φ. b. {¬φ}[n+1,u\s] è ¬{φ[n+1,u\s]}, se ⇓(φ,n,u); altrimenti è ¬φ. c. Se ⊗ è un connettivo binario: {φ⊗ψ}[n+1,u\s] è {φ[n,u\s]}⊗ψ , se vale ⇓(φ,n,u), oppure è la formula φ⊗{ψ[n,u\s]}, se vale ⇓(ψ,n,u); altrimenti, è φ⊗ψ . d. Se ‡ è uno dei quanti catori ∀x,∃x, e s è libero per u in φ: {‡φ}[n+1,u\s] è ‡{φ[n,u\s]}, se ⇓(φ,n,u); altrimenti è ‡φ. e. φ[u\s] è un rimpiazzamento di u con s in φ se e solo se, per qualche n, φ[n,u\s].
9. CONSEGUENZA LOGICA DEL PRIMO ORDINE
264
Un primo facile risultato di persistenza si ottiene considerando il risultato semantico del rimpiazzare termini entro un termine: se rimpiazzando e rimpiazzante hanno la stessa valutazione, allora non cambia la valutazione del termine in cui è operato il rimpiazzamento.
Da ciò segue subito una proprietà di persistenza sui
termini chiusi.
Teorema 336.
A A A a. Se kukA σ =kskσ , allora ktkσ =kt[u\s]kσ . A A A b. ktkA σ =kt[u\s]kσ , se kukσ =kskσ dove s,u sono termini chiusi.
a
Dimostrazione. Per ( ): induzione sulla profondità di
è immediato.
Se
⇓(t,n+1,u), t
è della forma
F m t1 ,...,tm
(tk ,n,u). Consideriamo: A A A allora ktk kA se kukσ =kskσ , σ =ktk [u\s]kσ
u in t.
⇓(t,0,u) k≤m vale ⇓
Il caso
e per un
(IpInd)
Da (IpInd) si ricava quanto segue: se
A kukA σ =kskσ
A A (F m ) kt1 kA σ ,...,ktm kσ = A A =(F m ) kt1 [u\s]kA σ ,...,ktm [u\s]kσ m A kF m t1 ,...,tm kA σ =kF t1 [u\s],...,tm [u\s]kσ m m A kF t1 ,...,tm kσ =k{F t1 ,...,tm }[n+1,u\s]kA σ
allora
allora allora
b
a
Per ( ): segue immediatamente da ( ).
La situazione non cambia molto se consideriamo il rimpiazzamento di termini in una formula: rimpiazzare termini con la stessa interpretazione preserva il valore
b
di verità della formula. Si può vedere abbastanza facilmente che teor336( ) non è immediatamente estendibile al rimpiazzamento di termini in formule: con la restrizione a termini chiusi (oppure eettuando rimpiazzamenti fuori dall'ambito di
b
quanti catori) si può tuttavia generalizzare teor336( ) al caso delle formule.
De nizione 337.
Il termine
è vincolata in occorrenze di
t
t è chiuso per la formula φ φ.
se nessuna variabile in
t
in
Un termine chiuso è ovviamente chiuso per ogni formula.
Segue facilmente un
risultato di persistenza per il rimpiazzamento in una formula di termini chiusi per la data formula.
Teorema 338.
A A A A σ φ sse σ φ[u\s], dove u è chiuso per φ e kukσ =kskσ .
u in φ. Rm t1 [u\s],...,tm [u\s]. In bak (1≤k≤m) vale: (i ) ktk kA σ=
Dimostrazione. Per induzione sulla profondità dell'occorrenza di
Sia
⇓(φ,0,u).
Così, nel caso non banale,
b
se a teor336( ), se
ktk [u\s]kA σ . Per cui: A m σ R t1 ,...,tm
A kukA σ =kskσ ,
sse sse sse
φ[0,u\s]
allora per ogni
è
m A kt kA ,...,ktm kA σ ∈(R )
1 σ A m A kt1 [u\s]kA σ ,...,ktm [u\s]kσ ∈(R ) A m σ (R t1 ,...,tm )[u\s]
def287(a)
(i) def287(a)
⇓(φ,n+1,u), si presentano i seguenti sottocasi. ¬. φ=¬ψ e, nel caso non banale, ⇓(ψ,n,u). Allora {¬ψ}[n+1,u\s] è ¬{ψ[n,u\s]},
Se invece Caso
b
quindi usando def283 e lemma335( ):
A A A k¬{ψ[n,u\s]}kA σ =o¬ kψ[u\s]kσ =o¬ kψkσ =k¬ψkσ . Casi ∧,∨,→,↔. Per i connettivi binari la dimostrazione è analoga.
9.3. RIMPIAZZAMENTO
265
∀. φ è della forma ∀vk ψ e, nel caso non banale, ⇓(ψ,n,u). Allora la formula A {∀vk ψ}[n+1,u\s] è ∀vk {ψ[n,u\s]}, e quindi vale che A k σ ∀vk {ψ[n,u\s]} sse (*) σa ψ[n,u\s] per ogni a∈A. Ora, siccome il termine u è chiuso per la formula φ, la k variabile vk non occorre in u, per cui banalmente σa ∈ΣA [u], e quindi per lemma307 A A sarà kukσ =kuk k . D'altra parte, essendo s libero per u in φ, risulta che vk non σa A A A A occorre neppure in s, e allora vale anche kskσ =ksk k . Così se kukσ =kskσ , allora σa A A kukA k =kskσ k , e quindi per (*) e (IpInd) otteniamo σ k ψ . σa a a Caso ∃. La dimostrazione è analoga. Caso
Qui tuttavia occorre fermarsi: teor338 non ha senso per formule quanti cate
vk sia una variabile di u. Mentre il valore kukA di un termine è funzione semplicemente della successione σ , le interpretazioni σ A k∀vk ψkA e k∃v ψk sono funzioni delle k -varianti σak . Un risultato semantico sul k σ σ rimpiazzamento più generale di teor338 deve perciò richiedere che, se vk è una variabile in u che è vincolata in φ, allora valga per ogni a∈A nelle quali la variabile quanti cata
A kukA σ k =kskσ k
(#)
a
a
cioè che rimpiazzando e rimpiazzante abbiano lo stesso valore semantico per ogni assegnamento alle variabili individuali che niscono sotto quanti cazione nella formula di rimpiazzamento. La ragione complessiva è ovvia: mentre l'assegnamento di un valore a una variabile individuale è come un'operazione di nominalizzazione relativa di un simbolo, la funzione delle variabili nella quanti cazione è una funzione di generalità o capacità di assumere qualunque valore da un dato campo di valori. Con (#) resta allora garantito che i due termini abbiano una coincidenza sulla totalità dei valori che le variabili individuali possono assumere nella loro interpretazione di generalità per la quanti cazione. Per esprimere condizioni (#) di coincidenza in valore semantico di due termini è naturale ricorrere al dispositivo formale rappresentato dalla presenza nel linguaggio di un predicato esplicito di
identità .
Consideriamo allora un linguaggio come
Q=+
8.4] che include un predicato di identità e supponiamo (qui e nel seguito del
[cfr.
paragrafo) di aver a che fare con strutture di interpretazione
normali
il simbolo predicativo dell'identità ha il signi cato standard).
(nelle quali
Una conseguenza
immediata di teor338 e della de nizione di struttura normale è, naturalmente, che due termini sono rimpiazzabili in un termine qualsiasi se soddisfano la condizione di identità.
Corollario 339.
A A A σ φ sse σ φ[u\s], se u è chiuso per φ e σ u=s.
Anche il risultato generale riguardo al rimpiazzamento di termini in una formula può ora essere espresso ricorrendo a condizioni di identità. Risulta che due termini sono rimpiazzabili in qualunque formula rispetto alla quale essi soddis no una condizione forte di identità.
Teorema 340. Se ogni variabile in
u vincolata in φ è tra le x1 ,...,xj e vale A , allora : A φ sse φ[u\s] . σ σ
A σ ∀x1 ...∀xj u=s
Dimostrazione. La dimostrazione prosegue dal caso
Caso
∀.
Con lo stesso ragionamento iniziale del caso
ottiene: (*)
A σ k ψ[n,u\s]. a
∀
∀ nella prova di teor338.
nella prova di teor338 si
9. CONSEGUENZA LOGICA DEL PRIMO ORDINE
266
vk vincolata in A (**) σ ∀vk u=s,
Ora, essendo
φ,
possiamo usare l'ipotesi
e in particolare la conseguenza (***)
A kukA σ k = kskσ k a
a
di (**). Da (***) e (*) segue facilmente Caso
∃.
A σk ψ , a
e quindi quanto volevamo.
Analogamente per l'altro quanti catore.
Una proprietà analoga si può ottenere per il rimpiazzamento di formule, usando la sola nozione di interpretazione di una formula o anche ricorrendo - come è più informativo - alla soddisfazione di una formula con bicondizionale. Anche in questo caso occorrono condizioni sulle variabili analoghe a quelle già viste per il rimpiazzamento dei termini in una formula.
Risulta allora che due formule sono
rimpiazzabili in una formula rispetto alla quale esse soddis no una condizione forte di equivalenza in valore di verità.
Teorema 341. Da Aσ ∀x1 ...∀xj (χ↔ϕ) segue:
A A σ φ sse σ φ[χ\ϕ], dove le variabili libere in χ o ϕ e vincolate in φ sono tra le x1 ,...,xj . Dimostrazione. Per induzione sulla profondità di χ in φ. Il caso è banale se ⇓(φ,0,χ). Sia invece ⇓(φ,n+1,χ). Si devono distinguere i seguenti sottocasi. Caso ¬. φ è di forma ¬ψ e, nel caso non banale, ⇓(ψ,n,χ). Allora la formula {¬ψ}[n+1,χ\ϕ] è ¬{ψ[n,χ\ϕ]}, e quindi il risultato segue immediatamente. Casi ∧,∨,→,↔. Per i connettivi binari la dimostrazione è analoga. Caso ∀. φ è di forma ∀vk ψ e, nel caso non banale, ⇓(ψ,n,χ). Allora la formula {∀vk ψ}[n+1,χ\ϕ] è ∀vk {ψ[n,χ\ϕ]}, e quindi vale A σ ∀vk {ψ[n,χ\ϕ]} sse per ogni σak : A (j ) k ψ[n,χ\ϕ]. σa A Essendo vk vincolata in φ, possiamo usare l'ipotesi σ ∀vk (χ↔ϕ), e in particolare A A la conseguenza k χ↔ϕ, da cui per ipotesi di induzione e per (j ) segue k ψ , e σ σ a
a
quindi quanto volevamo. Caso
∃.
Analogamente.
Da ciò otteniamo immediatamente il seguente corollario relativo al rimpiazzamento di formule chiuse (enunciati) equivalenti in valore di verità:
Corollario 342.
A A A σ φ sse σ φ[χ\ϕ], se χ,ϕ∈EnQ+ e vale χ↔ϕ.
Un altro tipo di rimpiazzamento è quello che riguarda i simboli predicativi. Si può vedere che anche i simboli predicativi soddisfano analoghe condizioni di persistenza nel rimpiazzamento - cioè se rimpiazziamo un simbolo predicativo con un altro equi-estensionale il valore di verità della formula complessiva non varia. Il rimpiazzamento di una formula
χ
con
ϕ
con le stesse variabili libere di
χ
è in
qualche modo proprio un rimpiazzamento di un predicato con un altro. Ciò è immediatamente suggerito dal teorema di Coincidenza, se ri ettiamo al fatto che la soddisfazione di una formula dipende solo dall'interpretazione delle
n
variabili
individuali eettivamente libere nella formula, e quindi in ultima istanza dalle di elementi del dominio
A
n-ple
che vengono assegnate come valori a tali variabili.
Con ciò resta stabilito che una logica standard della quanti cazione del primo ordine veri ca le seguenti condizioni di tica:
i
estensionalità
dell'interpretazione seman-
( ) il rimpiazzamento di termini singolari, che soddis no la condizione di
9.4. PROPRIETÀ DELLA CONSEGUENZA LOGICA
267
ii ) iii ) il
identità, conserva le estensioni dei termini e i valori di verità delle formule; ( il rimpiazzamento di predicati equiestensionali conserva i valori di verità; (
rimpiazzamento di formule con lo stesso valore di verità conserva i valori di verità. Si osservi in ne che da teor341 segue subito anche il rimpiazzamento di formule logicamente equivalenti:
Corollario 343.
φ↔φ[χ\ϕ], se ∀x1 ...∀xj (χ↔ϕ) dove le variabili libere in χ o ϕ e vincolate in φ sono tra le x1 ,...,xj .
9.4. Proprietà della conseguenza logica 9.4.1. Tautologie nella logica del primo ordine. Chiaramente
tutte le
formule atomiche sono logicamente indeterminate, il che vuol solo dire che sono esse stesse variabili logiche come le lettere enunciative, con la dierenza di avere una struttura predicativa. Allo stesso modo, se
φ,ψ
sono formule atomiche qual-
¬φ,φ∧ψ,φ∨ψ e, per x, le formule ∀xφ,∃xφ. Se invece φ,ψ non sono formule φ→ψ,φ↔ψ sono ovviamente formule valide in quanto esempi di
siasi, allora sono logicamente indeterminate anche le formule ogni variabile individuale atomiche distinte,
tautologie. Per stabilire questo punto nella sua giusta generalità, vediamo cosa vuol dire che una formula predicativa in Sia
µ[q1 ,...,qk ]
Q+
è un esempio di una formula enunciativa.
una qualunque formula nel linguaggio enunciativo
occorrono le distinte lettere enunciative sentazione
µ ,
i (ii ) (iii )
ν,ϑ Q+ :
dove con
distinte qualunque di
q1 ,...,qk .
P
nella quale
Consideriamo la seguente rappre-
indichiamo sottoformule di
µ
e
χ1 ,...,χk
sono formule
(qi ) =χi , per 1≤i≤k . (¬ν) =¬ν . (ν⊗ϑ) =ν ⊗ϑ , dove ⊗
( )
Chiaramente per ogni
è un connettivo binario.
µ[q1 ,...,qk ]∈FoP
e ogni scelta di
χ1 ,...,χk ,
risulta
µ ∈FoQ+
µ è un esempio in Q di forma logica enunciativa. Non è µ è una tautologia, allora µ : in eetti, una tavola di verità per µ con tutti V nella colonna di µ è banalmente uno schema di valutazione per µ con tutti V nella colonna di µ , se nella posizione delle lettere enunciative qi (1≤i≤k ) nella tavola poniamo (qi ) . Così: e possiamo dire che
+
di cile vedere che, se
Teorema 344. Se φ è un esempio di tautologia in Q+ , allora φ. In particolare, sono formule valide tutti gli esempi in
Q+
3.2.
delle tautologie di
Utilizziamo al meglio questo risultato se lo colleghiamo a cor343: siamo autorizzati a rimpiazzare (tra l'altro) formule che sono logicamente equivalenti dal punto di vista enunciativo (purché siano soddisfatte le condizioni richieste sulle variabili individuali).
9.4.2. Esempi di validità quanti cazionale.
Sulle formule predicative va-
lide ma non tautologiche torneremo estesamente più avanti, nel frattempo è co-
A Chiaramente, se vale σ ∀vk φ A A vk allora per def287 abbiamo anche k φ e quindi per teor310 vale σ φ[t ]. In σ A
munque opportuno considerarne qualche esempio. tσ
altri termini, se una condizione vale di ogni oggetto, allora vale in particolare di uno qualsiasi: V1.
∀xφ→φ[xt ].
9. CONSEGUENZA LOGICA DEL PRIMO ORDINE
268
In modo analogo, usando def287, se una condizione vale di un qualche oggetto, allora ne esiste uno che la veri ca: V2.
φ[xt ]→∃xφ.
Naturalmente non valgono le converse delle formule valide in V1 e V2 (un facile esercizio): V3. V4.
2φ[xt ]→∀xφ. 2∃xφ→φ[xt ]. A,
Dalla de nizione di valutazione si ricava immediatamente, per ogni struttura che
σ
soddisfa
∀xφ
sse non è vero che
σ
soddisfa
∃x¬φ
- ossia, una condizione vale
di ogni oggetto se e solo se non esiste un oggetto che veri chi la sua negazione: V5.
∀xφ↔¬∃x¬φ.
Analogamente, da def287 si ricava che una condizione vale di un qualche oggetto se e solo se non è vero che ogni oggetto veri ca la sua negazione: V6.
∃xφ↔¬∀x¬φ.
I bicondizionali validi V5-V6 consentono la de nibilità, rispettivamente, del quanti catore universale in termini di quello esistenziale e di quest'ultimo in termini del primo. Vediamo a seguire che una negazione pre ssa a un quanti catore può sempre essere spostata all'interno cambiando l'altro quanti catore: V7. V8.
¬∀xφ↔∃x¬φ. ¬∃xφ↔∀x¬φ.
Le leggi V7-V8 risultano facilmente da V5-V6 in base a cor343.
3.2 (in base a teor344), da V5 otteniamo
Ad esempio:
usando T68 di
¬∀xφ↔¬¬∃x¬φ, quindi in base alla legge di doppia negazione risulta V7. Analogamente per V8.
Esempio 345.
Vediamo alcuni esempi di formule valide e invalide.
a. ∃xφ∨∃x¬φ.
∃xφ∨∃x¬φ sia chiuA: in eetti, il dominio A di un a∈A o veri ca φ[x] o veri ca
Per comodità supponiamo che la formula
sa. Tale formula è vera in ogni struttura ammissibile una struttura ammissibile non può essere vuoto, e
¬φ[x].
b. 2∀xP xy∨∀x¬P xy . La formula
Questo è un semplice caso particolare di
∀xP xy∨∀x¬P xy
2∀xφ∨∀x¬φ.
è ovviamente falsa in ogni struttura ammissibile nella
P xy è soddisfatta da alcuni elementi del dominio ma non da tutti. c. 2∃xφ∧∃xψ→∃x(φ∧ψ). La formula ∃xφ∧∃xψ→∃x(φ∧ψ) è un famoso
quale
esem-
plare di invalidità, visto che dalla esistenza di quadrati e di cerchi non sembra proprio che segua quella dei cerchi quadrati.
d. ∀x(φ[x]∨ψ)↔∀xφ[x]∨∀xψ ,
dove x non occorre libera in ψ . Per comodità ∀x(φ[x]∨ψ)↔∀xφ[x]∨∀xψ sia chiusa. Si osservi che ∀xφ[x]∨∀xψ[x]→∀x(φ[x]∨ψ[x]) - dove supponiamo che x occorra libera anche in ψ A - è logicamente valida: ad esempio, se σ ∀xφ[x], allora per qualsiasi elemento a A A del dominio A risulta σ x φ[x] e quindi anche σ x φ[x]∨ψ[x]. Da ciò risulta quindi a a A σ ∀x(φ[x]∨ψ[x]). Naturalmente, non è invece valida la formula ∀x(φ[x]∨ψ[x])→ ∀xφ[x]∨∀xψ[x] - se è vero che tutti i numeri naturali sono pari o dispari, da ciò supponiamo che la formula
non segue che ogni numero naturale è pari o che ogni numero naturale è dispari. Supponiamo invece che la formula
∀x(φ[x]∨ψ)
x
ψ e che valga A σ ∀x(φ[x]∨ψ). ∀xφ[x]∨ψ . ∀xφ[x]∨ψ e quindi A σ
non occorra libera in
è semplicemente
Ma
9.4. PROPRIETÀ DELLA CONSEGUENZA LOGICA
9.4.3. Conseguenza generalizzata.
3.6),
Come nel caso enunciativo (cfr.
anche qui possiamo introdurre conseguenti generalizzati. de nita la soddisfazione disgiuntiva in una struttura insieme
∆
CG2.df
Con la clausola CG1 è
A
per le formule di un
e con GG2 la nozione di validità (disgiuntiva) generalizzata:
A ∨,A σ ∆ sse per qualche ψ∈∆: σ ψ . ∨ ∆ sse per ogni struttura A e σ∈ΣA
CG1.df
269
Esempio 346.
vale
∨,A σ ∆.
Ecco subito un esempio di legge quanti cazionale di validità (di-
∨ ∃xφ,∃x¬φ. La dimostrazione segue facilmente da lemA A ma284. Abbiamo infatti per ogni A e σ∈ΣA : (i ) σ φ[x] o (ii ) 2σ φ[x]. Da (i ) A A A risulta ovviamente σ ∃xφ, mentre da (ii ) segue σ ¬φ[x] e quindi σ ∃x¬φ. Così ∨,A per CG1 vale σ ∃xφ,∃x¬φ e quindi per CG2 risulta quanto cercato.
sgiuntiva) generalizzata:
Veniamo quindi alla conseguenza logica quanti cazionale generalizzata:
Γ∨ ∆ sse per ogni A e ogni σ∈ΣA , tali che ModA,σ (Γ), vale ∨,A σ ∆. ∨ ∨ Naturalmente Γφ è un caso particolare di Γ φ, e φ un caso particolare di ∆. A Inoltre, la nozione φ di verità di una formula in una struttura e di modello ∨ ∨ restano le stesse. Così in luogo delle notazioni ∆ e Γ ∆ possiamo usare semplicemente ∆ e Γ∆. ∨,A ∆ si dice che nessuna formula ψ∈∆ è soddisfatta in In base a CG1, con 2σ A dalla successione σ . Naturalmente, 2∨ ∆ se per qualche struttura A e successione σ∈ΣA vale 2σ∨,A ∆. La nozione di contromodello per Γ∆ si propone quindi come
CG3.df
segue:
CModA,σ (Γ;∆)
CG4.df
sse
ModA,σ (Γ)
ma
2σ∨,A ∆.
Di seguito sono elencate proprietà della conseguenza già conosciamo dalla logica enunciativa (cfr.
3.6).
nita
analoghe a quelle che
Γ∧ =φ1 ∧...∧φn , se Γ={φ1 ,...,φn }. ∆∨ =ψ1 ∨...∨ψk , se ∆={ψ1 ,...,ψk }. Γ∆ se e solo se Γ∧ ∆∨ , per Γ,∆ niti. Γ∆ se e solo se Γ∧ →∆∨ , per Γ,∆ niti.
CG5.df CG6.df CG7. CG8.
Veniamo ora a basilari proprietà di conseguenza logica dei quanti catori in forma generalizzata. Si tratta dei principi di particolarizzazione (PU) e generalizzazione (GU) del quanti catore universale, e di particolarizzazione (PE) e generalizzazione (GE) di quello esistenziale.
3
Teorema 347.
. ∀xφφ[xt ]. x GU. Se Γφ y , allora Γ∀xφ, dove y non è libera in Γ,φ[x]. x PE. Se φ y ∆, allora ∃xφ∆, dove y non è libera in ∆,φ[x]. x GE. φ[t ]∃xφ. PU
Dimostrazione. Naturalmente PU e GE risultano per CL2 da V1 e V2. Per
ψφ vvkn , per cui: (*) per A A . Sia invece per qualche A, (i ) σ ψ e (ii ) 2σ ∀vk φ. k A per qualche k -variante σa , (iii ) 2 k φ. Ma da (iii ) σ
GU: assumiamo per semplicità che ogni Da (
3In
σ,
ii )
se
A σ ψ,
allora
A σφ
Γ={ψ}.
Sia dunque
v k
vn
per def287 segue che,
a
base a tali principi sono usualmente formulate le regole di inferenza per i quanti catori negli
usuali sistemi di prova per la logica del primo ordine.
9. CONSEGUENZA LOGICA DEL PRIMO ORDINE
270
iv ) 2A nφ σa
in base a teor310 segue (
v
ψ , banalmente per (i ) vale A n ψ, e σa v A k σan φ vn , in contraddizione con (iv ).
k vn .
vn
Ora, siccome
non occorre libera in
quindi applicando (*) niamo per ottenere
Per PE: Un utile esercizio. La condizione su GU, che la variabile
y
insieme in
Γ
di formule in base al fatto che
Γ in quanto chiuse.
φ
Γ,φ[x], stabilisce che ∀xφ è conseguenza logica di un
non sia libera in
siamo autorizzati ad asserire che una formula chiusa
x y
sia conseguenza logica delle formule
In eetti: se per un individuo (rappresentato da)
y
non
qualunque ) vale che x x segue logicamente dagli enunciati in Γ che esso veri ca φ y , allora il seguire di φ y da Γ vale per qualunque individuo altrimenti determinato (ossia
e, quindi, siamo autorizzati a dire che
∀xφ
è conseguenza logica di
Analogamente la condizione su PE, che la variabile
y
stabilisce che siamo autorizzati ad asserire che un insieme guenza generalizzata di una formula chiusa
∆ in quanto chiuse
∃xφ
Γ.
non sia libera in
∆
∆,φ[x],
di formule è conse-
in base al fatto che le formule in
φ
x
y . In eetti: se per un ) vale x sono conseguenze generalizzate di φ y , allora il seguire gene-
sono conseguenze generalizzate di
individuo (rappresentato da)
y
non altrimenti determinato (ossia
a piacere
∆ x ralizzato di ∆ da φ y vale per un individuo a piacere e, quindi, siamo autorizzati a dire che ∆ è conseguenza generalizzata di ∃xφ, cioè della premessa che un tale
che gli enunciati in
individuo a piacere eettivamente esiste.
9.4.4. Proprietà strutturali e operazionali.
Come quella enunciativa (cfr.
teor108), anche la conseguenza logica quanti cazionale è standard e ha le consuete
proprietà di Inclusione, Aggiunta o Monotonicità, Scambio, Contrazione, e Taglio o Transitività: CG9.
a. Γ[φ]∆[φ]. b 1. Se Γ∆, allora Θ,Γ∆. b 2. Se Γ∆, allora Γ∆,∆0 . c 1. Se Θ,Γ∆, allora Γ,Θ∆. c 2. Se Γ∆,Λ, allora ΓΛ,∆. d 1. Se Θ,Θ,Γ∆, allora Θ,Γ∆. d 2. Se Γ∆,Λ,Λ, allora Γ∆,Λ. e. Se ΓΛ,χ e χ,Θ∆, allora Θ,Γ∆,Λ.
Per la conseguenza logica quanti cazionale vale inoltre un'estensione dei risultati teor110 sulle proprietà operazionali della conseguenza logica enunciativa.
Qui occorrono però alcune considerazioni. Le proprietà operazionali della conseguenza logica quanti cazionale non si possono enunciare semplicemente in termini
∀xφ,Γ∆: è abφ[xt ],Γ∆. Supponiamo infatti che R stia per la relazione x dà il suo voto a c, P sta per c viene eletto 4 e Γ per qualche insieme esaustivo di condizioni tali che ∀xRxc,ΓP c, ovvero: (1) da tutti danno il voto a c, e date le condizioni Γ, segue che c viene eletto. Non ne risulta logicamente Rbc,ΓP c, ovvero non è corretto da (1) dedurre (2) da b dà il voto a c, e date le condizioni Γ, segue che c viene eletto. di sottoformule immediate di
∀xφ
e
∃xφ.
Prendiamo ad esempio
bastanza chiaro che non ne risulta logicamente
4L'esempio
è tratto da Bergman-Moor-Nelson [
21], p.
457.
9.4. PROPRIETÀ DELLA CONSEGUENZA LOGICA
In altri termini, se
φ[xt ],Γ
logica di
∆
∀xφ,Γ,
è conseguenza logica di
271
non per questo è conseguenza
per qualsiasi sottoformula immediata
φ[xt ]
di
∀xφ.
Non è di cile
vedere che qualcosa di analogo vale anche per il quanti catore esistenziale:
Γ∆,∃xφ non φ[xt ] di ∃xφ.
risulta logicamente
Γ∆,φ[xt ]
da
per qualsiasi sottoformula immediata
Vi è però un via d'uscita: la ripetizione delle formule quanti cazionali, cioè
∀xφ
nell'antecedente e
operazionali
∀A
e
∃C
∃xφ
5
nel conseguente.
Otteniamo in questo modo i principi
del teorema seguente.
Teorema 348. Per la conseguenza logica quanti cazionale valgono le clausole in e in più le seguenti : ∀A. ∀xφ,Γ∆ se e solo se φ[xt ],∀xφ,Γ∆. ∀C. Γ∆,∀xφ se e solo se Γ∆,φ[xz ], dove z non occorre in Γ,∆,φ. ∃A. ∃xφ,Γ∆ se e solo se φ[xz ],Γ∆, dove z non occorre in Γ,∆,φ. ∃C. Γ∆,∃xφ se e solo se Γ∆,∃xφ,φ[xt ].
teor110
∀C: l'andata è banale. Per il ritorno, Γ∆,φ vvkn , e che per qualche A e σ valgano:
Dimostrazione. Per
valga invece (*)
A A i A σ Γ , (ii ) 2σ ∆ e (iii ) 2σ ∀vk φ. k (iii ) segue che, per qualche successione σa ,
supponiamo che
( )
Da
alfabetico e per il fatto che dal momento che
vn
vn
non occorre in
non occorre in
Γ,∆,
iv ) contraddicono (*).
φ,
i
vale
2A σ k φ. a
Ma allora, per cambio
iv ) 2A n φ σσ
vale anche (
da ( )-(
ii )
k
seguono
A n Γ σσ k
v
k vn . Inoltre, A e ( ) 2σ n ∆,
ii
σk
che insieme a (
∃A:
Per
L'andata è banale. Per il ritorno, supponiamo che valga (*)
A
σ valgano invece: A A A (i ) σ Γ , (ii ) σ ∃vk φ e (iii ) 2σ ∆.
che per qualche
φ
v k vn ,Γ∆,
e
e
ii ) risulta che, per qualche successione σak , vale A k φ. Così per cambio alfabeσa v A tico e per il fatto che vn non occorre in φ, vale anche (iv ) σ n φ vk . Inoltre, dal n σk A A momento che vn non occorre in Γ,∆, da (i )-(ii ) seguono σ n Γ e (ii ) 2σ n ∆, che σk σk insieme a (iv ) contraddicono (*). Da (
5Cfr.
Kleene [
106].
CAPITOLO 10
Sequenti per la quantificazione
Il problema della caratterizzazione per la logica predicativa è il compito di avere una teoria che restituisca le leggi della conseguenza logica quanti cazionale. Il problema si presenta subito più complesso che nel caso enunciativo, in quanto per queste leggi non esiste nessuna procedura (naturale o meno) di decisione. In eetti, che
ovvio
nessuna
procedura di decisione per la logica predicativa
dalla de nizione di
segua in modo
Γ∆ è suggerito da considerazioni abbastanza immediate.
Vi sono tre quanti cazioni universali nella de nizione della conseguenza logica del
Γ∪∆,
primo ordine - una sulla totalità delle formule in
una sulla totalità delle
strutture di interpretazione per le variabili logiche (predicati, lettere funzionali e costanti individuali), e una sulla totalità degli assegnamenti di valori alle variabili individuali. Così un metodo di decisione dovrebbe
a rigore comportare il riferimento
a ben tre tipi di totalità possibilmente in nite:
j
( ) ( (
Gli insiemi
nita ).
jj )
Γ,∆
problema della conseguenza -
possono essere in niti (
Le possibili strutture ammissibili
problema della base semantica ).
A
costituiscono una totalità in nita
(
jjj )
I domini
Ora, solo
A
problema della car-
di tali strutture possono essere in niti (
dinalità dei domini ). (j ) ci riconduce a un problema
già arontato per la logica enunciativa,
che sappiamo avere in quel caso una risposta positiva. Vedremo in due modi diversi
j
che anche il problema ( ) della conseguenza nita del primo ordine ha una risposta positiva.
1
Mettiamo quindi per il momento da parte anche nel caso quanti cazio-
j
2
nale, come già facemmo in quello enunciativo, il problema ( ).
Rimangono gli altri
due problemi a dirci che il compito della caratterizzazione si presenta più complesso rispetto al caso della logica enunciativa. In eetti occorre (ed è storicamente occorso) un certo sforzo intellettuale per mostrare che sono possibili teorie adeguate per la logica del primo ordine.
In realtà, il problema (jj ) risulterà largamente riducibile a (jjj ), ossia il problema della base semantica è serio solo nella misura in cui è serio quello della cardinalità dei domini. Questa osservazione è forse a priori meno inattesa, in
quanto è ragionevole che le leggi logiche del primo ordine dipendano da proprietà delle costanti logiche e non siano sensibili
in una certa rilevante misura
a dierenze
distribuzionali (riguardanti relazioni, funzioni ed elementi designati) tra le diverse strutture ammissibili.
Si vedrà che queste considerazioni informali si possono
1Cfr. 11.1.2, 15.2.1 e 16.7. 2Si osservi tuttavia che nel caso
priori
quanti cazionale non vi è una ragione apparente per credere
che valga la proprietà della conseguenza nita. 273
a
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
274
stabilire con precisione, tramite teoremi di invarianza sulle proprietà logiche delle formule del primo ordine al variare di strutture con la stessa cardinalità. Da parte sua, il problema della cardinalità dei domini investe immediatamente il metodo di costruzione
formale
di contromodelli, le cui caratteristiche generali
abbiamo già visto nel sistema a sequenti analitico per la logica enunciativa (cfr.
4.3.2).
In questo metodo a un problema di conseguenza logica
Γ∆
(con
Γ,∆
niti) è assegnata un'analisi, in base a una serie nita e ben determinata di principi per la costruzione di contromodelli. Per relazioni
Γ∆
di conseguenza logica
del primo ordine il metodo è evidentemente sensibile alla grandezza dei domini di interpretazione delle strutture ammissibili, come vedremo illustrando le regole di eliminazione del quanti catore universale e di quello esistenziale. Il senso generale di queste considerazioni introduttive è che per caratterizzare la logica predicativa del primo ordine non vi è altro cammino che qualche sistema di prova. Anche qui, come nel caso enunciativo, non abbiamo che l'imbarazzo della scelta tra almeno tre tipi principali di sistemi di prova:
naturale
e di
sequenti.
assiomatici,
di
deduzione
In questo capitolo - e nei due successivi - prenderemo in
esame sistemi a sequenti e ne studieremo le proprietà fondamentali.
Nel
Cap12
sarà invece dedicata attenzione ai sistemi assiomatici e a quelli di deduzione naturale per la logica predicativa del primo ordine.
10.1. Regole di sequenza Iniziamo individuando un linguaggio
Q⇒
di sequenti per la logica predicativa
Q che non ha Q⇒ si dierenzia anche l'operatore ⇒ di
del primo ordine, la cui base è il linguaggio puramente logico né costanti individuali né lettere funzionali. da quello di
Q
in quanto le
costanti logiche
Il vocabolario di
comprendono
sequente e il dispositivo ausiliare contiene, oltre alle parentesi, anche una virgola di separazione. Per le
formule
di
Q⇒
vale la de nizione seguente:
De nizione 349.
Se φ1 ,...,φn e ψ1 ,...,ψk sono liste nite di formule in FoQ , allora φ1 ,...,φn ⇒ψ1 ,...,ψk ∈FoQ⇒ : una tale formula è detta un (Q⇒ )-sequente, con la lista φ1 ,...,φn come antecedente e la lista ψ1 ,...,ψk come succedente. L'interpretazione
intuitiva
di un sequente di quanti cazione è analoga a quel-
la che già conosciamo dalla logica enunciativa:
vale
Γ⇒∆
se e solo se
Γ∧ ∆∨ .
Ovvero, la condizione intuitiva di correttezza di un sequente è una conseguenza quanti cazionale nita. Anche per la logica del primo ordine come (schemi di) assiomi si raccomandano (almeno) quelli di Inclusione o quelli di Identità: Assiomi di inclusione.
(AxIncl)
Assiomi di identità.
(AxId)
φ,Γ⇒∆,φ. φ⇒φ.
Vedremo tuttavia che si raccomandano per diverse ragioni anche assiomi di inclusione ristretta, nei quali è richiesto che sia una formula atomica quella che sta sia nell'antecedente che nel succedente: Assiomi di r-inclusione.
(AxInclAt)
Rm t1 ...tm ,Γ⇒∆,Rm t1 ...tm .
AxIncl e AxId la formula φ è detta, rispettivamente, la formula di inclusione e formula di identità, analogamente in AxInclAt la formula Rm t1 ...tm è la formula atomica di inclusione. In la
I sistemi di prova a sequenti per la logica del primo ordine ereditano lo schema generale delle regole di sequenza strutturali e operazionali per la logica enunciativa
10.2. PROVE DEDUTTIVE
di
4.1.3.
275
Restano da introdurre nello schema generale regole operazionali per le
proprietà logiche dei quanti catori.
Regole adeguate sono suggerite da teor348
elimiintroduzione di un operatore logico, con A che la regola è applicata a una formula nell'antecedente del sequente e con C che è applicata a una formula nel succedente. La premessa della regola è detta il sequente superiore e la conclusione è detta il sequente inferiore della regola.
nelle seguenti formulazioni. Come sempre, con E è indicata una regola di
nazione
e con I una regola di
∀ φ[xt ],∀xφ,Γ⇒∆ h∀IAi ∀xφ,Γ⇒∆
Regole operazionali per
∀xφ,Γ⇒∆ h∀EAi φ[xt ],∀xφ,Γ⇒∆
Γ⇒∆,φ[xz ] hIC∀i Γ⇒∆,∀xφ
Γ⇒∆,∀xφ hEC∀i Γ⇒∆,φ[xz ]
∃
Regole operazionali per
φ[xz ],Γ⇒∆ h∃IAi ∃xφ,Γ⇒∆
∃xφ,Γ⇒∆ h∃EAi φ[xz ],Γ⇒∆
Γ⇒∆,∃xφ,φ[xt ] hIC∃i Γ⇒∆,∃xφ
Γ⇒∆,∃xφ hEC∃i Γ⇒∆,∃xφ,φ[xt ]
Proposizione 350. a (b )
( ) Per Per
Restrizioni sulle regole quanti cazionali:
3
EC∀, ∃EA: z non occorre nel sequente superiore. IC∀, ∃IA: z non occorre nel sequente inferiore.
Resta così determinato uno
primo ordine
schema generale di regole di sequenza per la logica del
4.1.3 e in più queste regole
che comprende le regole dello schema di
operazionali per i quanti catori. Tutte le regole operazionali di quanti cazione sono
regole di continuità, ∃EA, IC∀
e
∃IA
in quanto hanno un solo sequente inferiore. Nelle regole
la variabile
z
è detta la
variabile designata
10.2. Prove deduttive 10.2.1. Il sistema deduttivo Gc. Adottiamo un
EC∀,
della regola.
sistema
Gc=hQ⇒ ,Gc` i
il
cui dispositivo di prova comprende assiomi di identità, regole strutturali e regole di introduzione dello schema generale per la logica del primo ordine. Le prove in
Gc
sono deduttive nel senso del seguente criterio, che adatta def120 alla nuova
situazione quanti cazionale: una d'albero di sequenti in
prova sintetica
o
s -prova
è una sequenza in forma
Q⇒ , tale che ogni ramo ha come sequente iniziale un assioma
e le regole applicate ad ogni nodo sono o regole strutturali o regole operazionali di introduzione dello schema generale per la logica del primo ordine. Se il sequente
Γ⇒∆
ha una s-prova in
nozioni di
altezza
Gc,
allora è un teorema di
di un sequente e di
grado
Gc
e scriviamo
de nite in def122. Assiomi di
3Per
`Gc Γ⇒∆. Le Gc quelle
di una s-prova sono anche per
Gc
10.3.2.
un esame delle regole di quanti cazione e della condizione 350, v.
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
276
(AxId)
φ⇒φ
Regole operazionali dei connettivi di
Γ⇒∆,φ h¬IAi ¬φ,Γ⇒∆
Gc
φ,Γ⇒∆ hIC¬i Γ⇒∆,¬φ Γ⇒∆,φ Γ⇒∆,ψ hIC∧i Γ⇒∆,φ∧ψ
φ,ψ,Γ⇒∆ h∧IAi φ∧ψ,Γ⇒∆
φ,Γ⇒∆ ψ,Γ⇒∆ h∨IAi φ∨ψ,Γ⇒∆
Γ⇒∆,φ,ψ hIC∨i Γ⇒∆,φ∨ψ
Γ⇒∆,φ ψ,Γ⇒∆ h→IAi φ→ψ,Γ⇒∆
φ,Γ⇒∆,ψ hIC→i Γ⇒∆,φ→ψ
φ,ψ,Γ⇒∆ Γ⇒∆,φ,ψ h↔IAi φ↔ψ,Γ⇒∆
φ,Γ⇒∆,ψ ψ,Γ⇒∆,φ hIC↔i Γ⇒∆,φ↔ψ
Regole operazionali dei quantificatori di
φ[xt ],∀xφ,Γ⇒∆
Γ⇒∆,φ[xz ]
h∀IAi ∀xφ,Γ⇒∆
hIC∀i Γ⇒∆,∀xφ
Gc
Γ⇒∆,∃xφ,φ[xt ] hIC∃i Γ⇒∆,∃xφ
φ[xz ],Γ⇒∆ h∃IAi ∃xφ,Γ⇒∆
Gc Γ⇒∆,Θ,Θ hCCti Γ⇒∆,Θ
Regole strutturali di
Λ,Λ,Γ⇒∆ hCtAi Λ,Γ⇒∆ Γ⇒∆ hAgAi Λ,Γ⇒∆
Γ⇒∆ hCAgi Γ⇒∆,Θ
Γ⇒Θ,χ χ,Λ⇒∆ hTgi Γ,Λ⇒Θ,∆
Proposizione.
b
350( ) Per
Nella formulazione
IC∀, ∃IA: z
standard,4
i principi di prova a sequenti sono come in
con le regole seguenti in luogo di
4Che
risale a Gentzen [
77].
.
non occorre nel sequente inferiore
∀IA
e
IC∃:
Gc,
ma
10.2. PROVE DEDUTTIVE
277
Regole operazionali standard per i quantificatori
φ[xt ],Γ⇒∆ h∀IsAi ∀xφ,Γ⇒∆
Γ⇒∆,φ[xt ] hIsC∃i Γ⇒∆,∃xφ
Queste regole per i quanti catori non sono però invertibili, nel senso che ad esse non corrispondono speculari regole corrette di eliminazione.
5
Per illustrazione, vediamo ora due facili esempi di s-prova in mo la legge di particolarizzazione universale,
∀xφφ[xt ],
∀xφ⇒φ[xt ]. Una prova di tale sequente è AxId come sequente iniziale e procede con
Gc.
Consideria-
e mettiamola in forma di
sequente:
data dall'albero (1), che ha un
assioma
l'applicazione delle regole
e
AgA
∀IA: φ[xt ]⇒φ[xt ] hAgAi ∀xφ,φ[xt ]⇒φ[xt ] h∀IAi ∀xφ⇒φ[xt ]
(1)
L'albero (1) è un chiaro esempio di s-prova deduttiva, in quanto ha un assioma come nodo iniziale e la regola operazionale applicata è di introduzione. Il secondo esempio riguarda una versione predicativa del terzo escluso:
P z⇒P z hIC¬i ⇒P z,¬P z hIC∨i ⇒P z∨¬P z hIC∀i ⇒∀x(P x∨¬P x)
10.2.2. Correttezza di Gc. deduttivo
Gce
Gc,
(2)
Non è di cile stabilire la correttezza del sistema
basta infatti estendere quella di teor124 per il sistema enunciativo
ai nuovi casi riguardanti le regole di introduzione dei quanti catori.
Teorema 351. Se `Gc Γ⇒∆, allora Γ∆. Dimostrazione. Si usa l'induzione sul grado di
Φ:Γ⇒∆
in
Gc.
Per gli assio-
mi e le regole dei connettivi vale la dimostrazione di teor124. Per le regole dei quanti catori consideriamo l'esempio seguente. Gli altri casi sono analoghi. Caso
∀IA. Φn+1 :Γ⇒∆
ha forma
( Φ1
dove
Φ1
vale anche
5In e
≤n. ∀xφ,Γ∆.
è di grado
. . .
φ[xt ],∀xφ,Γ⇒∆ h∀IAi ∀xφ,Γ⇒∆
Per (IpInd) vale
φ[xt ],∀xφ,Γ∆,
quindi per
eetti, non sono invertibili le condizioni di correttezza GU e PE di
IsC∃.
∀A
di teor348
teor347 per le regole ∀IsA
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
278
10.3. Prove analitiche Per le prove analitiche nella logica della quanti cazione valgono essenzialmente
4.3.1 riguardo al sistema enunciativo.
le considerazioni avanzate in
Vi è però qui
la novità costituita dalle regole di eliminazione per i quanti catori, che esamineremo più avanti con attenzione. Costruiamo perciò un sistema formale di prova analitico
Ga,
che estende il sistema
un metodo di
Gae
semi -decisione e
della logica enunciativa e risulta al tempo stesso un sistema deduttivo per la conseguenza logica del
primo ordine.
10.3.1. Il sistema analitico
Ga.
Il sistema
Ga=hQ⇒ ,Ga` i
ha come regole
operazionali tutte le regole di eliminazione dello schema generale, inoltre ha le regole strutturali di Contrazione e gli assiomi di inclusione ristretta. Assiomi di
(AxInclAt)
Ga
m
R t1 ...tm ,Γ⇒∆,Rm t1 ...tm
Regole operazionali dei connettivi di
¬φ,Γ⇒∆ h¬EAi Γ⇒∆,φ φ∧ψ,Γ⇒∆ h∧EAi φ,ψ,Γ⇒∆
Γ⇒∆,¬φ hEC¬i φ,Γ⇒∆ Γ⇒∆,φ∧ψ hEC∧i Γ⇒∆,φ Γ⇒∆,ψ
φ∨ψ,Γ⇒∆ h∨EAi φ,Γ⇒∆ ψ,Γ⇒∆
Γ⇒∆,φ∨ψ hEC∨i Γ⇒∆,φ,ψ
φ→ψ,Γ⇒∆ h→EAi Γ⇒∆,φ ψ,Γ⇒∆
Γ⇒∆,φ→ψ hEC→i φ,Γ⇒∆,ψ
φ↔ψ,Γ⇒∆ h↔EAi φ,ψ,Γ⇒∆ Γ⇒∆,φ,ψ
Ga
Γ⇒∆,φ↔ψ hEC↔i φ,Γ⇒∆,ψ ψ,Γ⇒∆,φ
Regole operazionali dei quantificatori di
∀xφ,Γ⇒∆ h∀EAi φ[xt ],∀xφ,Γ⇒∆
Γ⇒∆,∀xφ hEC∀i Γ⇒∆,φ[xz ]
∃xφ,Γ⇒∆ h∃EAi φ[xz ],Γ⇒∆
Γ⇒∆,∃xφ hEC∃i Γ⇒∆,∃xφ,φ[xt ]
Ga
Ga Γ⇒∆,Θ,Θ hCCti Γ⇒∆,Θ
Regole strutturali di
Λ,Λ,Γ⇒∆ hCtAi Λ,Γ⇒∆
Proposizione.
a
350( ) Per
EC∀, ∃EA: z
.
non occorre nel sequente superiore
10.3. PROVE ANALITICHE
Le prove in
Ga
279
sono analitiche nel senso di crit125: una
sequenza in forma d'albero di sequenti
Γn ⇒∆n ,
dell'albero provengono da uno stesso sequente
prova analitica
è una
ordinata nel senso che tutti i rami
iniziale Γ0 ⇒∆0
e ogni nodo del-
l'albero è costituito dall'applicazione di una regola di inferenza.
Scriviamo come
Φ:Γ⇒∆ ad indicare che Φ è una prova analitica con sequente iniziale Γ⇒∆. Un sequente che ha una a-prova in Ga è un teorema di Ga, e come di consueto scriviamo `Ga Γ⇒∆. Le nozioni di livello di un sequente e di grado di una prova sono anche per Ga quelle de nite in def135. Come già nel caso enunciativo, un ? sequente Γ⇒∆ che ha una prova di chiusura in Ga è indicato con Γ⇒ ∆ (ed è detto sempre
un sequente-stella). Come nel caso enunciativo, il sistema analitico non contempla le regole di Taglio e di Aggiunta.
Le nozioni di sequente e ramo terminale sono come in def127,
per quelle di prova terminata e di chiusura valgono def128 e def129.
Così in
particolare un ramo terminato o è chiuso o è tale che la lista-antecedente e la listasuccedente del suo sequente terminale sono costituite di sole formule predicative atomiche. cor131:
Per il sistema analitico quanti cazionale non vale però un analogo di le prove analitiche non necessariamente terminano in sequenti chiusi o
ridotti come nel caso enunciativo.
Lo vedremo esaminando in che misura, anche
nel caso dei quanti catori, il senso
semantico
intuitivo dell'avere un teorema nel
sistema analitico è determinato dall'interpretazione a refutazione.
10.3.2. L'interpretazione a refutazione.
4.3.2 si è visto che le regole
In
di eliminazione per i connettivi ammettono un'interpretazione a refutazione:
si
tratta ora di estenderla anche alle regole per i quanti catori. Un sequente è inteso come un'asserzione di deducibilità che, se corretta, rappresenta un'istanza di conseguenza nita tra l'antecedente e il conseguente. Così dal punto di vista semantico la refutazione di un sequente un contromodello alla presunta conseguenza di
da
Γ,
Γ⇒∆
è la costruzione di
cioè un'interpretazione che
ψj ∈∆. InE termini più precisi si tratta di D una struttura ammissibile A= A,{Ri }i∈I ,{f j } j∈J e (se le formule in Γ⇒∆ hanno veri ca tutte le
φi ∈Γ
∆
e falsi ca tutte le
∨,A A σ Γ e 2σ ∆. Se troviamo una coppia hA,σi del genere, risulta una refutazione di Γ⇒∆. D'altra parte, mostrare che non esiste una tale coppia hA,σi equivale a mostrare che Γ⇒∆ è una legge logica (in base sempre all'interpretazione intuitiva intesa dei sequenti di Ga) e quindi a decidere l'irrefutabilità di Γ⇒∆. Ricordiamo il punto importante della strategia a
variabili libere) di una successione
σ∈ΣA
tali che
refutazione per il sistema analitico enunciativo: le regole di inferenza sono interpretabili come
procedure formali
per la
costruzione di contromodelli.
che lo stesso vale per il sistema quanti cazionale analitico
Mostriamo ora
Ga:
Proposizione 352. La ricerca di contromodelli per Γ∆ può essere simulata come una prova analitica del sequente Γ⇒∆ nel sistema Ga. Anche nel caso di
Ga,
come per la logica enunciativa, la strategia a refutazione
intende un sequente
φ1 ,...,χ,...,φn ⇒ψ1 ,...,χ,...,ψk , particolare un assioma di Ga, come
(1) e in
una
contraddizione :
la stessa formula ri-
ceve al tempo stesso un'interpretazione vera ed una falsa. Una prova di chiusura
Φ,
nella quale tutti i rami conducono ad assiomi (1), è appunto una dimostrazione
che la supposta refutabilità della relazione di deducibilità enunciata dal sequente
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
280
iniziale tra
Γ
e
Γ⇒∆ di Φ non può andare a buon ne: non vi sono contromodelli possibili, ∆ resta provata la relazione di deducibilità. In 4.3.2 si è già visto che
le regole operazionali per i connettivi (e le regole strutturali di Contrazione) sono naturalmente interpretabili come principi formali di refutazione (o costruzione di contromodelli).
Lo stesso vale evidentemente per le regole operazionali dei con-
nettivi e quelle strutturali anche nel sistema le regole di eliminazione dei quanti catori di
Ga. Ga
Resta quindi da vedere se anche sono interpretabili come principi
formali di refutazione.
Le regole EC∀ e ∃EA.
EC∀ prendendo una formula ∀vk φ Γ⇒∆,∀vk φ. Nella strategia a refutazione la posizione di ∀vk φ nel succedente equivale a supporre una coppia hA,σi tale che A k 2A k φ per qualche k -variante σa . Ovvero: ∀vk φ nel σ ∀vk φ: quindi per def287 vale 2σa succedente è la supposizione che φ[vk ] sia falsi cata nel (presunto) contromodello A da un oggetto a∈A come valore della variabile individuale vk . Ora, la regola EC∀ Iniziamo con la regola
che si trova nel succedente di un sequente:
recita
Γ⇒∆,∀vk φ hEC∀i Γ⇒∆,φ[vz k ] e stabilisce correttamente che la refutazione (o costruzione di un contromodello) può proseguire in direzione della falsità di designata
z
φ[vz k ]
ponendo
Γ⇒∆,φ[vz k ].
Qui la variabile
è incaricata di rappresentare formalmente un oggetto
assegnato come valore alla variabile
z,
falsi ca
φ[vk ]
in
A.
a∈A
tale che,
In eetti per teor310
vale: (2)
2A σk φ a
se e solo se
vk 2A σ φ[z ],
dove
kzkA σ =a.
a
La condizione 350( ) sulla regola di eliminazione
EC∀
- che
z
non occorra nel
sequente superiore - vuol dire che l'oggetto implicato nella falsi cazione di si può considerare abbiamo
z
opportunamente
Γ⇒∆,φ[vz k ]
rappresentato da un designatore
al gradino successivo, e
se nessun'altra asserzione intorno a
z
indeterminatamente
z
∀vk φ
se appunto
rappresentato da
è già presente nella refutazione.
∃xφ nell'antecedente di un ∃xφ,Γ⇒∆. Nell'interpretazione a refutazione ciò equivale a supporre A A una coppia hA,σi tale che σ ∃vk φ: quindi per def287 vale k φ[vk ] per qualche k σa k variante σa . Ovvero: con ∃vk φ nell'antecedente si suppone che φ[vk ] sia veri cata nel (presunto) contromodello A da un oggetto a∈A come valore della variabile individuale vk . D'altra parte, la regola ∃EA recita ∃vk φ,Γ⇒∆ h∃EAi φ[vz k ],Γ⇒∆ Considerazioni analoghe valgono per una formula
sequente:
e stabilisce correttamente che la refutazione (o costruzione di un contromodello) può proseguire in direzione della verità di riabile designata
nato a∈A
z
φ[vz k ]
ponendo
φ[vz k ],Γ⇒∆.
si incarica di rappresentare formalmente un oggetto
Qui la va-
indetermi-
vk , veri ca φ[vk ] ∃EA la condizione 350(a ) vuol dire che l'oggetto implicato nella veri cazione di ∃vk φ si può considerare opportunamente rappresentato da un v designatore z se appunto abbiamo φ[z k ],Γ⇒∆ al gradino successivo, e indeterminatamente rappresentato da z se nessun'altra asserzione intorno a z è già presente
in
A.
che, assegnato come valore alla variabile individuale
Anche per
nella refutazione.
10.3. PROVE ANALITICHE
A
Si osservi che costruire un contromodello nio
A
di
A
e un'interpretazione
=
281
signi ca determinare il domi-
delle variabili logiche delle formule, le variabili
Q⇒ , su oggetti di A EC∀ e ∃EA tipicamente
individuali e lettere predicative nel caso del linguaggio relazioni in
A.
Ogni applicazione di una delle regole
e su ge-
nera un nuovo oggetto nel dominio del contromodello, che è rappresentato dalla variabile designata della regola. Non è di cile vedere perché le variabili designate devono essere sempre distinte in una prova. Prendiamo ad esempio la formula
∃xP x→∀xP x,
che risulta non essere logicamente valida in base alla seguente prova
analitica aperta (nella quale per comodità sono numerati i relativi passi):
⇒∃xP x→∀xP x hEC→i ∃xP x⇒∀xP x h∃EA;z0 i P z0 ⇒∀xP x hEC∀;z0 ,z1 i P z0 ⇒P z1 ÷
1 2 3 4 Nella prova
Φ
(Φ)
- e lo stesso faremo in tutte le successive - è adottata la convenzione
di marcare ogni variabile designata entro le motivazioni dei passi di prova. Ciò
i
sta ad indicare: ( ) che una tale variabile
non
è disponibile per altre applicazioni
EC∀ e ∃EA; (ii ) l'incremento che si sta realizzando nel dominio del contromodello. Il passo 2 in Φ equivale a supporre che ∃xP x sia veri cata e ∀xP x sia A falsi cata da una coppia hA,σi. Vale σ ∃xP x se qualche oggetto veri ca P x: supponiamo che un tale oggetto sia rappresentato dalla variabile z0 , quindi dal passo 2 usando ∃EA risulta il passo 3 in Φ. D'altra parte, ∀xP x è falsa se qualche oggetto falsi ca P x: supponiamo che un tale oggetto sia rappresentato dalla variabile z1 , quindi dal passo 3 usando EC∀ risulta il passo 4 in Φ. A questo punto la prova ha raggiunto formule atomiche e determina un contromodello di ∃xP x→∀xP x delle regole
costituito da un'interpretazione per la quale, in un dominio di due oggetti qui rap-
P x è soddisfatta dall'uno ma non dall'altro. In ∃xP x→∀xP x è refutata da qualsiasi coppia hA,σi tale che il dominio A di A ha (almeno) due elementi a0 ,a1 e dove kz0 kA kz1 kA a0 ∈P A ; a1 ∈P / A. σ =a0 ; σ =a1 ; Ciò corrisponde perfettamente al fatto che la formula ∃xP x→∀xP x è intuitivamente vera solo in strutture il cui dominio abbia un solo elemento. Nella prova analitica Φ per ⇒∃xP x→∀xP x non possiamo fare a meno di dierenziare gli individui implicati al gradino (3) e al gradino (4): se non lo facciamo, abbiamo P z ⇒P z invece di (4) presentati da
z0
e
z1 ,
la formula
altri termini, la formula
come gradino conclusivo e la prova risulta chiusa - il che sarebbe manifestamente un errore. Le variabili designate devono essere sempre nuove, come appunto assicura la
a progressiva del contromodello
condizione 350( ). Marcare i nuovi oggetti è un modo per
marcare la costruzione
che si realizza nella prova. L'insieme degli oggetti
designati è appunto l'insieme degli oggetti che la data prova analitica richiede a un contromodello per il sequente sottoposto ad analisi.
Le regole ∀EA e EC∃. di un sequente
∀vk φ ∃vk φ nel succedente Γ⇒∆,∃vk φ. Nella strate-
La situazione si presenta diversa per una formula
nell'antecedente di un sequente
Γ⇒∆,∃vk φ.
∀vk φ,Γ⇒∆,
o per una formula
Vediamo per primo il caso di
gia a refutazione la posizione di
∃vk φ nel succedente equivale a supporre una coppia
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
282
hA,σi vero,
∃vk φ
quindi per def287 vale
nel succedente è la supposizione che
contromodello
vk .
2A σ ∃vk φ:
tale che
2A kφ σa φ[vk ]
per ogni
k -variante σak .
Ov-
sia falsi cata nel (presunto)
A da qualunque oggetto a∈A come valore della variabile individuale EC∃ recita Γ⇒∆,∃vk φ hEC∃i Γ⇒∆,∃vk φ,φ[vt k ]
Ora, la regola
e stabilisce correttamente che la refutazione può proseguire in direzione della falsità di
φ[vt k ]
ponendo
Γ⇒∆,φ[vt k ],
dove
t
è un termine qualsiasi (ed è possibile che sia
una delle variabili designate presenti nella prova). Naturalmente ciò non sarebbe su ciente senza la ripetizione della formula riore della regola: la presenza di
∃vk φ
∃vk φ nel conseguente del sequente infe-
consente infatti di testare, all'occorrenza,
zi del (presunto) dominio di refutazione introdotti da applicazioni EC∀ e ∃EA. In eetti, intuitivamente la formula ∃xφ è falsa se tutti nel dominio di interpretazione falsi cano φ[x]. Siccome stiamo cercando
i vari individui delle regole gli oggetti
di costruire un contromodello, il primo passo per veri care se la falsi cazione della formula che
φ[x]
∃xφ
dà la risposta cercata - cioè un contromodello - consiste nel supporre
sia falsi cata per gli individui che in qualche modo sono già assegnati (nel
corso della prova analitica) al dominio del contromodello. Ma la supposizione che la formula
∃xφ sia falsa nel (presunto) contromodello comporta anche che essa resti
falsa per qualsiasi ulteriore speci cazione del dominio del contromodello - la falsità
φ[xt ] deve essere persistente sui termini eventualmente introdotti nel seguito della refutazione. Questa richiesta è realizzabile se nel sequente successivo a Γ⇒∆,∃xφ continua ad essere presente la formula ∃xφ. Considerazioni analoghe valgono per una formula ∀vk φ in un antecedente: ∀vk φ,Γ⇒∆. Nella strategia a refutazione la posizione di ∀vk φ nell'antecedente A equivale a supporre una coppia hA,σi tale che σ ∀vk φ: quindi per def287 vale A k σk φ per ogni k -variante σa . Ovvero, ∀vk φ nell'antecedente è la supposizione che a φ[vk ] sia veri cata nel (presunto) contromodello A da qualunque oggetto a∈A come valore della variabile individuale vk . Ora, la regola ∀EA recita ∀xφ,Γ⇒∆ h∀EAi φ[xt ],∀xφ,Γ⇒∆ di
e stabilisce correttamente che la refutazione può proseguire in direzione della verità di
φ[vt k ]
ponendo
φ[vt k ],Γ⇒∆,
dove
t
è un termine qualsiasi (ed è possibile che sia
una delle variabili designate della prova). Naturalmente ciò non sarebbe corretto senza la ripetizione della formula regola.
La presenza di
∀vk φ
∀vk φ
nell'antecedente del sequente inferiore della
consente infatti di testare, all'occorrenza, i vari
zi del (presunto) dominio di refutazione introdotti da applicazioni delle EC∀ e ∃EA. In eetti, intuitivamente la formula ∀xφ è vera se tutti gli oggetti nel dominio di interpretazione veri cano φ[x]. Siccome stiamo cercando di individui
regole
costruire un contromodello, il primo passo per veri care se la veri cazione della formula che
φ[x]
∀xφ
dà la risposta cercata - cioè un contromodello - consiste nel supporre
sia veri cata per gli individui che in qualche modo sono già assegnati (nel
corso della prova analitica) al dominio del contromodello. Ma la supposizione che la formula
∀xφ sia vera nel (presunto) contromodello comporta anche che essa resti
vera per qualsiasi ulteriore speci cazione del dominio del contromodello - la verità di
φ[xt ] deve essere persistente sui termini eventualmente introdotti nel seguito della
10.4. PROPRIETÀ DELLE PROVE
283
refutazione. Questa richiesta è realizzabile se nel sequente successivo a continua ad essere presente la formula
∀xφ,Γ⇒∆
∀xφ.
Vediamo subito un esempio di applicazione delle regole
∀EA
e
EC∃
attraverso
la seguente prova di chiusura:
1 2 3 4 Al passo 3 usando
∀EA
EC∃
⇒∀xP x→∃xP x hEC→i ∀xP x⇒∃xP x hEC∃i ∀xP x⇒∃xP x,P t h∀EAi P t,∀xP x⇒∃xP x,P t ?
si ottiene il sequente
(Ψ)
∀xP x⇒∃xP x,P t,
al quale si applica
per ottenere al passo 4 un assioma e la chiusura della prova - sappiamo così,
intuitivamente, che la formula
∀xP x→∃xP x
è logicamente valida, in quanto vale
in ogni struttura con dominio non vuoto di interpretazione.
10.4. Proprietà delle prove 10.4.1. Correttezza di Ga. Come nel caso enunciativo,
si può dare anche
una risposta deduttiva diretta sulla natura delle prove analitiche - oltre a quella indiretta oerta dall'interpretazione a refutazione - in base alle proprietà di
inversione
chiusura in
che hanno le regole di sequenza dello schema generale.
Ga
all'inverso la
Un'analisi-
giusti ca una legge logica quanti cazionale in quanto ripercorre
deduzione
di tale legge a partire da assiomi che sono leggi logiche
tramite regole che preservano la conseguenza logica.
Teorema 353. Se `Ga Γ⇒∆, allora `Gc Γ⇒∆. Dimostrazione. Per induzione sul grado n della a-prova Φ:Γ⇒∆ in Ga. Se n=0, si tratta di un assioma Rm t1 ...tm ,Γ⇒∆,Rm t1 ...tm , che è anche un teorema di Gc usando AgA e CAg. Se n>0, per (IpInd) vale che, se `≤n Ga Λ⇒Θ, allora `Gc Λ⇒Θ.
I casi delle regole per i connettivi sono come in teor136. Caso
∀EA. Φn+1
è di forma
Φ1
∀xφ,Γ⇒∆ ( x h∀EAi φ[t ],∀xφ,Γ⇒∆ . . .
Φ1 di grado n. Per (IpInd) c'è quindi in Gc grado n, e la seguente è la s-prova cercata: ( con
Ψ1
Casi
EC∀, ∃EA, EC∃.
una s-prova
Ψ1 :φ[xt ],∀xφ,Γ⇒∆
di
. . .
φ[xt ],∀xφ,Γ⇒∆ h∀IAi ∀xφ,Γ⇒∆
Le dimostrazioni sono analoghe.
Dal teorema precedente e da teor351 segue naturalmente la correttezza del sistema analitico
Ga.
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
284
Teorema 354. (Correttezza di Ga) Se `Ga Γ⇒∆, allora Γ∆. 10.4.2. Cambio alfabetico. Un cambio alfabetico per un sequente Γ⇒∆ è la sostituzione uniforme, in ogni formula nell'antecedente e nel succedente, di una o più variabili individuali con altre variabili non occorrenti nel sequente. Dimostriamo che il cambio alfabetico di variabili vincolate conserva non solo la provabilità ma anche il grado di una prova analitica in
Ga.
Lemma 355. Se
`nGa Γ⇒∆ e Γ‡ ⇒∆‡ risulta per cambio alfabetico delle variabili vincolate in Γ⇒∆, allora `nGa Γ‡ ⇒∆‡ . Dimostrazione. Per induzione sul grado della a-prova Φ di chiusura in Ga. Se gr(Φ)=0, il cambio alfabetico delle variabili vincolate in Rm t1 ...tm ,Γ⇒∆,Rm t1 ...tm m ‡ ‡ m risulta in R t1 ...tm ,Γ ⇒∆ ,R t1 ...tm che è anch'esso un assioma. Per gr(Φ)>0
, se consideriamo le regole dei connettivi il risultato è immediato.
Per le regole
quanti cazionali di danno i seguenti casi.
EC∃.
Caso
Così
Φ:Γ⇒∆
è la a-prova seguente:
Φ0 Da
Φ0
Γ⇒∆0 ,∃xφ, hEC∃i ( Γ⇒∆0 ,∃xφ,φ[xt ] . . .
per (IpInd) risulta una prova
Φ0 , dove supponiamo in particolare ‡ ‡ φ[xt ] è (φ[xw ])[w t ] e così la seguente
‡
‡
Ψ0 :Γ‡ ⇒∆0‡ ,∃wφ[xw ] ,φ[xt ] dello stesso grado di ‡ x ‡ che ∃wφ[w ] sia (∃xφ) . Consideriamo ora che ‡
Ψ0
Γ‡ ⇒∆0‡ ,∃wφ[xw ] hEC∃i ( ‡ ‡ ‡ Γ ⇒∆0‡ ,∃wφ[xw ] ,(φ[xw ])[xw ] . . .
Ψ:Γ‡ ⇒∆‡ con lo stesso grado di Φ. ∀EA, EC∀, ∃EA. Le dimostrazioni sono analoghe.
è la prova cercata Casi
10.4.3. Prove regolari, sostituzione.
Diciamo
regolare una prova nella qua-
le nessuna variabile individuale occorre sia libera che vincolata.
Da lemma355
risulta che possiamo procedere al cambio alfabetico delle variabili vincolate in un sequente provabile di modo che risultino tutte distinte dalle variabili libere. Quindi:
Lemma 356. Ogni prova di chiusura in Ga è trasformabile in una regolare. In base a questo lemma possiamo limitarci a considerare prove regolari - nelle quali cioè nessuna variabile occorre sia libera che vincolata. Possiamo anche separare le variabili libere da quelle vincolate - ad esempio assegnando indici dispari (2n+1) a quelle vincolate e indici pari (2n) a quelle libere - chiamandole, rispettivamente,
L-variabili
e
V -variabili.
Mostriamo ora che, sostituendo in una prova (regolare) di chiusura variabile con un'altra non occorrente in
Φ y.
Indichiamo per comodità con individuale
x
con la variabile
x y
Φ,
Φ
una L-
si ottiene ancora una prova di chiusura.
la sostituzione in una prova
Φ
della variabile
Teorema 357. Se Φ è una prova di chiusura e y non occorre in Φ, allora anche
Φ
x y
è una prova di chiusura dello stesso grado.
10.4. PROPRIETÀ DELLE PROVE
Dimostrazione. Induzione sul grado
ti (1≤i≤n), evidentemente t m {R t1 ...tm } yi ,Γ⇒∆,{Rm t1 ...tm } tyi .
un assioma e
Se
n>0,
x
n
è
di
Φ.
Se
285
Rm t1 ...tm ,Γ⇒∆,Rm t1 ...tm
è
è un assioma anche
i casi relativi alle regole per i connettivi sono immediati, mentre per le
regole di quanti cazione si danno i casi seguenti. Caso
∃EA. Φn+1
è della forma
Φ0 Siccome
y
non occorre in
∃wφ,Γ0 ⇒∆ ( h∃EA;zi 0 φ[w z ],Γ ⇒∆ . . .
Φ, y6=z .
Così sia che
w=x
sia che
w6=x,
la seguente è la
prova cercata in base a (IpInd) che stabilisce l'esistenza della prova
Φ0
x y
di grado
n:
Φ0 Casi
{∃wφ} xy ,Γ0 xy ⇒∆ xy h∃EA;zi x x 0 x ( w ]) (φ[ x y ,Γ y ⇒∆ y z . . .
y
∀EA, EC∀, EC∃.
Le dimostrazioni sono analoghe.
A seguire dimostriamo che la sostituzione corretta in un sequente provabile di una L-variabile con un termine restituisce sempre un sequente provabile con una prova dello stesso grado.
Lemma 358. Se u è libero per x nelle formule di Γ⇒∆, allora da `nGa Γ⇒∆ segue : `nGa Γ[xu ]⇒∆[xu ].
Dimostrazione. Per induzione sul grado
n della prova Φ:Γ⇒∆ (che in base a
lemma356 possiamo assumere sia regolare). Per assiomi e regole dei connettivi la
dimostrazione è quasi immediata. Per le regole quanti cazionali si danno i seguenti casi. Caso
EC∀.
Così
Φn+1
è la a-prova seguente
Φ0
Γ⇒∆0 ,∀yφ hEC∀i ( Γ⇒∆0 ,φ[yz ]
dove per ragioni di regolarità di
. . .
Φ
la variabile
arbitraria, possiamo supporre che non occorra in
y u.
è diversa da Da
Φ0
x.
Siccome
z
è
per (IpInd) risulta una
Ψ0 :Γ[xu ]⇒∆0 [xu ],(φ[yz ])[xu ] dello stesso grado di Φ0 , in quanto u x anche in φ[yz ]. Per le proprietà della sostituzione Ψ0 è quindi Γ[xu ]⇒∆0 [xu ],(φ[xu ])[yz ]. La prova cercata risulta per EC∀. Casi ∀EA, ∃EA, EC∃. Le dimostrazioni sono analoghe. prova
risulta libero
per
una prova di
10.4.4. Monotonicità, inclusione non ristretta.
A seguire mostriamo che,
come quelle enunciative, sono monotoniche anche le prove analitiche di chiusura per la logica del primo ordine.
Teorema 359. Se `Ga Γ⇒∆, allora `Ga Γ,Θ⇒Λ,∆.
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
286
Dimostrazione. Per induzione su
gr(Φ:Γ⇒∆).
Nel caso degli assiomi e del-
le regole operazionali per i connettivi la dimostrazione è come quella del lemma lemma147. Per le regole quanti cazionali consideriamo come esempio
Φ0
∃xφ,Γ0 ⇒∆ ( h∃EA;zi φ[xz ],Γ0 ⇒∆ . . .
La scelta della variabile designata in
Θ,Λ
∃EA:
z è arbitraria e possiamo supporre che non occorra Ψ0 e
(o comunque applicare teor357). Per (IpInd) esiste una prova come
quindi la seguente
Ψ0
∃xφ,Γ0 ,Θ⇒Λ,∆ ( x h∃EA;zi φ[z ],Γ0 ,Θ⇒Λ,∆ . . .
è la prova cercata. La dimostrazione è analoga negli altri casi.
Nel sistema analitico sono adottati assiomi di inclusione ristretti a formule atomiche, ma si dimostra che risultano provabili
Teorema 360.
tutti
i sequenti di inclusione:
`Ga φ,Γ⇒∆,φ.
gr(φ). Se gr(φ)=0, abbiamo semplicemente gr(φ)>0, si danno i seguenti casi. Casi ¬,∧,∨,→,↔. Come in teor138. x x Caso ∀. Così φ=∀xψ e per (IpInd) esiste una prova Φt :ψ[t ],Γ⇒∆,ψ[t ] per ogni x x termine t. Per teor359 abbiamo anche Ψz :∀xψ,ψ[z ],Γ⇒∆,ψ[z ] dove z non occorre in ∀xψ,Γ⇒∆ e quindi la seguente è la prova cercata: Dimostrazione. Per induzione su
un assioma. Se
Ψz Caso
∃.
∀xψ,Γ⇒∆,∀xψ hEC∀;zi ∀xψ,Γ⇒∆,ψ[xz ] ( x h∀EA;zi ψ[z ],∀xψ,Γ⇒∆,ψ[xz ] . . .
La dimostrazione è analoga.
10.4.5. Rami e alberi in niti. ranzia che una prova in
Ga
Occorre osservare che non vi è nessuna ga-
sia un albero nito. Tanto per fare un esempio, consi-
∃EA per introdurre ∃EA un altro oggetto al passo a ¬∀y∃xP yx è destinata a non
deriamo la seguente prova analitica, dove al passo 4 si applica un nuovo oggetto nel dominio, quindi sempre per 6, e così via: la costruzione di un contromodello
terminare e a non dare contraddizione per qualunque insieme comunque grande di oggetti
{a0 ,a1 ...,an }
rappresentati da variabili designate
{z0 ,z1 ...,zn }.
10.4. PROPRIETÀ DELLE PROVE
⇒¬∀y∃xP yx hEC¬i ∀y∃xP yx⇒ h∀EAi ∃xP tx,∀y∃xP yx⇒ h∃EA;z0 i P tz0 ,∀y∃xP yx⇒ h∀EAi ∃xP z0 x,∀y∃xP yx,P tz0 ⇒ h∃EA;z0 ,z1 i P z0 z1 ,∀y∃xP yx,P tz0 ⇒
1 2 3 4 5 6
287
(Φ∞ )
. . . Il senso di tutto ciò è abbastanza chiaro, e intuitivamente plausibile: esistono contromodelli di
¬∀y∃xP yx
- cioè modelli di
∀y∃xP yx
- con domini di individui di
qualsiasi cardinalità nita. Abbiamo così trovato un primo caso di analisi in nita: (*) Il sequente
⇒¬∀y∃xP yx
ha una prova analitica aperta in nita
Φ∞ .
Non è di cile neppure costruire prove analitiche aperte con una in nità di rami. Un esempio famoso è costituito dall'insieme di formule (**)
{∀x∃yP xy,¬∃xP xx,∀x∀y∀w(P xy∧P yw→P xw)}
che ha solo modelli in niti,
6
come mostra la seguente a-prova:
∀x∃yP xy,¬∃xP xx,∀x∀y∀w(P xy∧P yw→P xw)⇒ | ∀x∃yP xy,∀x∀y∀w(P xy∧P yw→P xw)⇒∃xP xx | ∃yP z0 y,∀x∃yP xy,∀x∀y∀w(P xy∧P yw→P xw)⇒∃xP xx | ∃yP z0 y,∀x∃yP xy,∀x∀y∀w(P xy∧P yw→P xw)⇒∃xP xx,P z0 z0 | P z0 z0 ∧P z0 z0 →P z0 z0 ,∀x∀y∀w(P xy∧P yw→P xw),∃yP z0 y,∀x∃yP xy⇒∃xP xx,P z0 z0 a questo punto (per applicazione di
→EA)
risultano i due rami
(1) ∀x∀y∀w(P xy∧P yw→P xw),∃yP z0 y,∀x∃yP xy⇒∃xP xx,P z0 z0 ,P z0 z0 ∧P z0 z0 .. . (2) P z0 z0 ,∀x∀y∀w(P xy∧P yw→P xw),∃yP z0 y,∀x∃yP xy⇒∃xP xx,P z0 z0 ? uno dei quali è subito chiuso, mentre l'altro resta aperto. La refutazione dà risposta negativa - ramo (2) - per contromodelli con dominio a un solo elemento, e non è di cile vedere che dal ramo (1) aperto si ottiene subito una chiusura per contromodelli con dominio a due elementi e un altro ramo aperto, e così via. In generale la refutazione dà risposta negativa per modelli a
n.
n
elementi per ogni numero naturale
Quindi: (***) L'insieme (**) ha una prova analitica aperta con in niti rami e quindi,
per il Lemma di König, con un ramo in nito
6In
particolare, strutture
A
nelle quali
analoghe a < sui numeri naturali.
PA
Φ∞ .
de nisce una relazione di ordinamento con proprietà
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
288
Questi esempi sono già su cienti a mostrare che non vi è nessuna garanzia a priori che una prova analitica per un sequente del primo ordine termini in un numero nito di passi - che termini, quindi, in modo nito o con tutti rami chiusi o con la costruzione di un contromodello in sequenti terminali ridotti. In particolare, non vale un analogo di cor131, ovvero le prove analitiche del primo ordine non terminano necessariamente o in rami chiusi o in sequenti ridotti (contenenti solo formule atomiche).
10.4.6. Prove ordinate.
Consideriamo la seguente prova analitica per il se-
∀xP x⇒∃xP x, dove supponiamo che t1 ,t2 ,t3 ,t4 ,... sia un'enumerazione senza ripetizioni di tutti i termini nel linguaggio di Ga.
quente
∀xP x⇒∃xP x hEC∃i ∀xP x⇒∃xP x,P t1 h∀EAi P t2 ,∀xP x⇒∃xP x,P t1 hEC∃,CCti P t2 ,∀xP x⇒∃xP x,P t1 ,P t3 h∀EA,CtAi P t4 ,P t2 ,∀xP x⇒∃xP x,P t1 ,P t3
(3)
. . .
Ψe ∀xP x⇒∃xP x dove invece
Come si vede, (3) è decisamente dierente dalla precedente prova di chiusura mal diretta, visto che restituisce un'analisi in nita per
Ψ
stabilisce che basta un albero nito piuttosto semplice.
ai principi di prova di
Ga
Ne segue che in base
non tutte le prove hanno sviluppi non niti per ragioni
- diciamo così - analitiche intrinseche, ossia relative alle proprietà logiche dei sequenti sottoposti ad analisi. di
Ga
Tuttavia (3) è una prova perfettamente legittima
e a un certo ordinale trans nito - al quale sono stati esauriti i termini con
indici pari negli antecedenti e con indici dispari nei succedenti - dovrà comparire la stessa formula nell'antecedente e nel conseguente. Il punto è che l'analisi (3) è inutilmente completa: procede considerando tutti i casi possibili, compresi quelli inin uenti, senza ottimizzare la ricerca di assiomi. come la precedente
Ψ,
Quel che invece fanno prove
e non fanno prove come (3), è trattare
con ordine
già presenti ad ogni passo di analisi quando sono applicate le regole
i termini
∀EA e EC∃.
Solo
facendo con ordine tutto il possibile per trovare una stessa formula nell'antecedente e nel conseguente di qualche sequente - e in particolare considerando termini già occorrenti in formule risultanti dall'eliminazione di quanti catori - una prova può ottimizzare la ricerca di assiomi di
Ga.
Conviene quindi speci care con precisione l'ordine ottimale di applicazione delle regole nelle prove analitiche
7
- così da evitare, tra l'altro, rami e alberi in niti non
giusti cati da proprietà logiche dei sequenti analizzati.
De nizione 361.
Una prova analitica (regolare)
Φ
è
ordinata
se soddisfa la se-
guente successione di procedure di prova: (Ord1)
Φ
analizza le formule di forma
¬φ, φ∧ψ , φ∨ψ , φ→ψ , e φ↔ψ , e tutte Ga-regole per i connettivi.
loro sottoformule delle stesse forme, con
7Cfr.
il sistema in Bergman-Moor-Nelson [
21], p.
435.
le
10.5. LEGGI DI QUANTIFICAZIONE
289
∀xφ sta in un succedente (∃xφ sta in un antecedente), Φ applica la EC∀ (la regola ∃EA). Se ∀xφ sta in un antecedente (∃xφ sta in un succedente) di un sequente Γ0 ⇒∆0 , Φ applica successivamente la regola ∀EA (la regola EC∃) a ∀xφ 0 0 (a ∃xφ) per tutte le L-variabili y in Γ ⇒∆ , se ve ne sono, tali che 0 ∀xφ (∃xφ) non sta nell'antecedente Γ (nel succedente ∆0 ); altrimenti,
(Ord2)
Se
regola
(Ord3)
si applica la regola a una nuova L-variabile.
Φ
(Ord4)
ricomincia da (Ord1).
10.4.7. Derivazioni nel sistema analitico.
Anche per la logica del primo
ordine, come per quella enunciativa, le prove analitiche hanno l'interessante proprietà di non richiedere il Taglio. D'altra parte, una a-prova nel sistema analitico
Ga è trasformabile in una prova deduttiva in un sistema come Gc - come già sappiamo (cfr. le osservazioni in apertura di
Cap6), la s-prova corrispondente si ottiene
in ogni caso usando assiomi di identità e regole di Aggiunta. Si osservi che nel sistema analitico Ga sono ovviamente derivabili anche le regole ∀IsA e IsC∃ del sistema deduttivo standard Gs. Ad esempio, assumendo `Ga φ xy ,Γ⇒ ∆, si deriva `Ga ∀xφ,Γ⇒∆ usando teor363(a ) e Tg - analogamente per IsC∃. Così le derivazioni in Ga sono in grado di simulare perfettamente tutte le prove deduttive nel sistema standard. Abbiamo già visto (con teor359) che il sistema analitico
Ga
ammette come
derivata la regola di Aggiunta. Supponiamo poi di aver già dimostrato il seguente risultato (sul quale torneremo più avanti) che autorizza ad usare in
Ga come derivata
anche la regola del Taglio.
Teorema 362. Se `Ga Γ⇒Λ,χ e `Ga χ,Θ⇒∆, allora `Ga Γ,Θ⇒Λ,∆. D'altra parte, le regole di introduzione dello schema generale per la logica del primo ordine sono tutte derivabili in
Ga.
Così per stabilire leggi della quanti cazione si
possono usare tanto prove analitiche quanto derivazioni, s-prove e i-prove, nel senso de nito in
Cap4.
10.5. Leggi di quanti cazione 10.5.1. Relazioni tra i quanti catori. Introduciamo sequenti principali che individuano proprietà deduttive centrali dei quanti catori e costituiscono assiomi secondari cui riconducono le analisi dei sequenti nelle prove di chiusura del sistema
Ga.
a
Chiaramente teor363( ) risulta subito dalla regola
regola
∀EA
b
e teor363( ) dalla
EC∃.
Teorema 363. a. ∀xφ⇒
?
(Sequenti principali di x φ[t ] φ[xt ]⇒? ∃xφ
. b.
Valgono anche per
4.5
∀
e di
∃)
.
Ga
le considerazioni sulle prove e le loro sempli cazioni
? Con? ? tinueremo ad indicare con la notazione Γ⇔◦ ∆ (rispettivamente Γ◦ ⇔ ∆) che ? tra i due lati dell'equivalenza deduttiva Γ⇔ ∆ è un teorema classico il sequente avanzate in
Γ⇒∆
e risulterà utile la notazione ⇔ nel senso di cor151.
(rispettivamente il sequente
∆⇒Γ). Ga Gae.
Per prima cosa conviene stabilire che è un teorema di ha la forma logica di un teorema del sistema enunciativo
ogni sequente che Per dimostrarlo è
su ciente considerare la rappresentazione de nita per teor344 tra le formule di
Gae
e quelle di
Ga,
dove naturalmente
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
290
se
Γ ⇒∆ =φ1 ,...,φn ⇒ψ1 ,...,ψk Γ è la lista φ1 ,...,φn e ∆ la lista ψ1 ,...,ψk .
Teorema 364. Se `Gae Γ⇒∆, allora `Ga Γ ⇒∆ . Il teorema si dimostra facilmente per induzione sulla lunghezza di una prova analitica di
Γ⇒∆
nel sistema enunciativo
Gae.
In particolare, vale la condizione:
Corollario 365.
`Ga ⇒(∀/∃)xφ[x] dove (∀/∃)xφ[x] è una quanti cazione universale o esistenziale di una forma tautologica φ. Ad esempio (ragionando per comodità in termini di derivazioni), in base a teor364 è provabile
⇒? φ
x x y ∨¬φ y
e quindi applicando
∀IC
deriviamo
?
⇒ ∀x(φ∨¬φ),
b
o applicando teor363( ) e
Tg
deriviamo
?
⇒ ∃x(φ∨¬φ). Cambiano invece le cose se i quanti catori sono applicati a costituenti di forme logiche che sono valide per ragioni enunciative. Abbiamo ad esempio
◦
Q1 .
⇒? ∃xφ∨∃x¬φ8
con la seguente prova analitica:
Ma la a-prova per
⇒∃xφ∨∃x¬φ hEC∨i ⇒∃xφ,∃x¬φ hEC∃i ⇒∃xφ,∃x¬φ,¬φ[xt ] hEC∃i ⇒∃x¬φ,¬φ[xt ],∃xφ,φ[xt ] h?,142(b◦ )i ⇒∀xφ∨∀x¬φ non è necessario che ⇒∀xP x∨∀x¬P x hEC∨i ⇒∀xP x,∀x¬P x hEC∀;z0 i ⇒∀xP x,¬P z0 hEC∀;z0 ,z1 i ⇒¬P z0 ,P z1 ÷
chiuda:
Osserviamo anche che le quanti cazioni vuote equivalgono deduttivamente alle formule sottoposte a quanti cazione, e che è indierente l'ordine di occorrenza di quanti catori dello stesso tipo:
Lemma 366.
(Quanti cazioni vuote e ordine dei quanti catori)
a. Se x non occorre libera in φ: ∀xφ⇔? φ⇔? ∃xφ. b. ∀x∀yφ⇔? ∀y∀xφ. c. ∃x∃yφ⇔? ∃y∃xφ.
8Cfr.
esemp346.
10.5. LEGGI DI QUANTIFICAZIONE
291
a
le prove risultano facilmente in quanto, per ogni
è
prova analitica
Dimostrazione. Per ( ):
φ. Per (b ): consideriamo la seguente ⇒∀x∀yφ↔∀y∀xφ hEC↔i ∀x∀yφ⇒∀y∀xφ ∀y∀xφ⇒∀x∀yφ hEC2 ∀;z0 ,z i hEC2 ∀;z0,z1 i 1 xy ∀x∀yφ⇒φ yz ∀y∀xφ⇒φ z0 z1 z0 z1 h∀EA ;z ,z i hEC ∀;z 2 0 1 2 0 ,z1 i xy xy φ z1 z0 ,∀x∀yφ⇒φ yx φ yx z0 z1 z1 z0 ,∀y∀xφ⇒φ z0 z1 ? ?
variabile individuale
z , φ[xz ]
b
c
e applichiamo poi cor151( ). La dimostrazione di 366( ) è analoga.
Conviene ssare anche correlati naturali in
Lemma 367.
Ga
a
di teor150 e cor151( ):
`Ga Γ⇒∆ sse `Ga Γ∧ ⇒∆∨ sse `Ga ⇒Γ∧ →∆∨ .
Da lemma367 risulta poi facilmente:
Lemma 368.
`Ga Γ⇒∆ sse`Ga ⇒∀x1 ...∀xn (Γ∧ →∆∨ ).
In particolare, un sequente ha una prova di chiusura in
Ga sse è provabile la chiusura
universale del condizionale corrispondente. Veniamo ora a due leggi che risultano immediatamente dai sequenti principali, e dalle quali seguono poi per contrapposizione Q4 e Q5: Q2. Q3. Q4. Q5.
⇒? ∀xφ→φ[xt ]. ⇒? φ[xt ]→∃xφ. ¬∃xφ⇒? ¬φ[xt ]. ¬φ[xt ]⇒? ¬∀xφ.
Si vede facilmente che i sequenti principali in teor363 non sono invertibili:
Esempio 369. a.
0Ga φ
x x y ⇒∀xφ. b. 0Ga ∃xφ⇒φ y .
a
In eetti, l'unica mossa consentita dalle regole nel caso di ( ) è del tipo seguente
P y⇒∀xP x hEC∀;zi P y⇒P z ÷ e in questo modo non si ottiene di certo un assioma di
Ga
b
- il caso di ( ) è del
tutto analogo. Le stesse considerazioni valgono anche per le inverse di Q4 e Q5. Si
a
b
osservi che modi cando opportunamente i sequenti in esemp369( )-( ) si ottengono facilmente due leggi logiche:
Esempio 370.
a◦ . ⇒? ∃x(φ→∀xφ). b. ⇒? ∃x(∃xφ→φ).
Ecco la prova di chiusura per
(a◦ ),
quella per
(b)
è lasciata come esercizio:
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
292
⇒∃x(φ→∀xφ) hEC∃i ⇒∃x(φ→∀xφ),φ xy →∀xφ hEC→i φ xy ⇒∃x(φ→∀xφ),∀xφ hEC∀;zi φ xy ⇒∃x(φ→∀xφ),φ[xz ] hEC∃;zi φ xy ⇒∃x(φ→∀xφ),φ[xz ],φ[xz ]→∀xφ h?,145(a◦ )i
Esempio 371.
Si osservi che le seguenti sono leggi classiche (la a-prova di
(b◦ )
è
lasciata come esercizio):
a◦ . ⇒? ∀x¬¬φ→¬¬∀xφ. b◦ . ⇒? ∃x¬¬φ→¬¬∃xφ. ⇒∀x¬¬φ→¬¬∀xφ hEC→i ∀x¬¬φ⇒¬¬∀xφ hEC¬i ¬∀xφ,∀x¬¬φ⇒ h¬EAi ∀x¬¬φ⇒∀xφ hEC∀;zi ∀x¬¬φ⇒φ[xz ] h∀EAi ¬¬φ[xz ],∀x¬¬φ⇒φ[xz ] h¬EAi ∀x¬¬φ⇒φ[xz ],¬φ[xz ] h?,142(b◦ )i Veniamo ora alle relazioni principali tra i due quanti catori.
L'implicazione del
9 La legge ◦ Q7 rappresenta il quanti catore universale in termini di quello esistenziale e della ◦ negazione. A sua volta Q8 rappresenta il quanti catore esistenziale in termini di 10 quello universale e della negazione. ? Q6. ⇒ ∀xφ→∃xφ. ◦ ? Q7 . ∀xφ◦ ⇔ ¬∃x¬φ. ◦ ? Q8 . ∃xφ◦ ⇔ ¬∀x¬φ. ◦ Ecco le prove di chiusura per Q7 : quanti catore esistenziale da parte dell'universale è già stata provata.
∀xφ⇒¬∃x¬φ hEC¬i ∃x¬φ,∀xφ⇒ h∃EA;zi ¬φ[xz ],∀xφ⇒ h¬EA;zi ∀xφ⇒φ[xz ] h?,363(a)i 9Cfr. la 10Per le
11.3.1.
a-prova (Ψ) in
10.3.
¬∃x¬φ⇒∀xφ h¬EAi ⇒∀xφ,∃x¬φ hEC∀;zi ⇒∃x¬φ,φ[xz ] hEC∃;zi ⇒φ[xz ],∃x¬φ,¬φ[xz ] h?,142(b◦ )i ◦
versioni intuizioniste dei lati classici di Q7
◦
e di Q8 , cfr. rispettivamente QJ2 e QJ3 in
10.5. LEGGI DI QUANTIFICAZIONE
293
◦
A seguire, invece, le a-prove di chiusura per Q8 :
∃xφ⇒¬∀x¬φ hEC¬i ∀x¬φ,∃xφ⇒ h∃EA;zi φ[xz ],∀x¬φ⇒ h∀EA;zi ¬φ[xz ],∀x¬φ,φ[xz ]⇒ h?,142(a)i
¬∀x¬φ⇒∃xφ h¬EAi ⇒∃xφ,∀x¬φ hEC∀;zi ⇒∃xφ,¬φ[xz ] hEC¬;zi φ[xz ]⇒∃xφ h?,363(b)i
I due prossimi teoremi riguardano le relazioni tra negazioni esterne e negazioni inter-
◦
ne ai quanti catori. Si osservi che Q9
11
è una legge classica,
mentre Q10 è l'unico
caso di equivalenza tra i quanti catori che vale anche nella logica intuizionista.
◦
Q9 . Q10.
∃x¬φ◦ ⇔? ¬∀xφ. ¬∃xφ⇔? ∀x¬φ.
La prova di Q9
◦
è lasciata come esercizio, ecco invece quella per il ritorno di Q10
(l'andata è banale usando
EC∀
e Q4):
∀x¬φ⇒¬∃xφ hEC¬i ∃xφ,∀x¬φ⇒ h∃EA;zi φ[xz ],∀x¬φ⇒ h∀EA;zi ¬φ[xz ],∀x¬φ,φ[xz ]⇒ h?,142(a)i
Esercizio 372.
Provare le seguenti leggi classiche:
a◦ . ⇒? ¬(¬∀xφ∧¬∃x¬φ). b◦ . ⇒? ∀x(φ→ψ)∨∃xφ.
10.5.2. Quanti catori e connettivi.
Veniamo ora a leggi logiche che met-
tono in relazione i quanti catori con i connettivi. Il caso della negazione è già stato
10.5.1, qui proseguiamo con il condizionale.
sostanzialmente trattato nel
Condizionale.
a
La legge Q11( ) stabilisce che il quanti catore universale è se-
midistributivo lungo il condizionale, la Q12 che tale semidistribuzione può essere indebolita a quanti catori esistenziali. Q11.
Q12.
a. ∀x(φ→ψ)⇒? ∀xφ→∀xψ . b. ∀x(φ→ψ),φ[xt ]⇒? ψ[xt ]. ∀x(φ→ψ)⇒? ∃xφ→∃xψ .
a
b
Ecco la prova di Q11( ), quella di Q11( ) segue immediatamente, mentre la prova di Q12 è lasciata come esercizio:
11Per
◦
la versione intuizionista del lato classico di Q9 , cfr. QJ4 in
11.3.1.
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
294
∀x(φ→ψ)⇒∀xφ→∀xψ hEC→i ∀xφ,∀x(φ→ψ)⇒∀xψ hEC∀;zi ∀xφ,∀x(φ→ψ)⇒ψ[xz ] h∀EA;zi φ[xz ],∀xφ,∀x(φ→ψ)⇒ψ[xz ] h∀EA;zi φ[xz ]→ψ[xz ],∀x(φ→ψ),φ[xz ],∀xφ⇒ψ[xz ] h?,145(b)i
Esempio 373.
a
Si può invertire Q11( )?
una prova analitica per il sequente
È facile vedere che non si può e che
∀xφ→∀xψ⇒∀x(φ→ψ)
termina come segue,
indicandoci i contromodelli cercati (è un buon esercizio riempire gli spazi vuoti):
∀xφ→∀xψ⇒∀x(φ→ψ)
.. .
φ[xz0 ]⇒ψ[xz0 ] φ[xz1 ]⇒ψ[xz1 ],φ[xz2 ] La legge Q13 stabilisce che l'applicazione del quanti catore universale a un condizionale è transitiva (la prova è lasciata come esercizio): Q13.
∀x(φ→ψ),∀x(ψ→χ)⇒? ∀x(φ→χ).
La quanti cazione universale di un condizionale equivale invece a un condizionale se l'antecedente o il conseguente sono quanti cati a vuoto, ma vi è una certa dierenza se si tratta dell'uno o dell'altro: Q14. Q15.
∀x(φ→ψ[x])⇔? φ→∀xψ[x], ∀x(φ[x]→ψ)⇔? ∃xφ[x]→ψ ,
se se
x x
non occorre libera in non occorre libera in
φ. ψ.
La prova dell'andata di Q14 è analoga a quella di Q12, ecco invece la prova del ritorno (dove per semplicità la prova non è condotta in modo ordinato):
φ→∀xψ[x]⇒∀x(φ→ψ[x]) hEC∀;zi φ→∀xψ[x]⇒φ→ψ[xz ] hEC→;zi φ,φ→∀xψ[x]⇒ψ[xz ] h→EA;zi φ⇒ψ[xz ],φ ∀xψ[x],φ⇒ψ[xz ] ? h?,363(a)i Quanto a Q15, ecco le prove analitiche:
∀x(φ[x]→ψ)⇒∃xφ[x]→ψ hEC→i ∃xφ[x],∀x(φ[x]→ψ)⇒ψ h∃EA;zi φ[xz ],∀x(φ[x]→ψ)⇒ψ h∀EA;zi φ[xz ]→ψ,∀x(φ[x]→ψ),φ[xz ]⇒ψ h?,145(b)i
∃xφ[x]→ψ⇒∀x(φ[x]→ψ) hEC∀;zi ∃xφ[x]→ψ⇒φ[xz ]→ψ hEC→;zi φ[xz ],∃xφ[x]→ψ⇒ψ h→EA;zi φ[xz ]⇒ψ,∃xφ[x] ψ,φ[xz ]⇒ψ h?,363(b)i ?
La prossima legge stabilisce che il quanti catore esistenziale è controdistributivo rispetto al condizionale, ossia: da un'implicazione tra due quanti cazioni
10.5. LEGGI DI QUANTIFICAZIONE
295
esistenziali è deducibile la quanti cazione esistenziale del condizionale costituito dalle due matrici dei quanti catori. Ad esempio, dalla verità di se esiste un uomo allora esiste un animale segue quella di esiste qualcosa che se è uomo allora è
12
animale.
Q16◦ . ∃xφ→∃xψ⇒? ∃x(φ→ψ). La legge si ricava nel modo seguente:
∃xφ→∃xψ⇒∃x(φ→ψ) h→EAi ⇒∃x(φ→ψ),∃xφ ∃xψ⇒∃x(φ→ψ) hEC∃i h∃EA;zi ⇒∃x(φ→ψ),∃xφ,φ[xt ] ψ[xz ]⇒∃x(φ→ψ) hEC∃i hEC∃;zi ⇒∃xφ,φ[xt ],∃x(φ→ψ),φ[xt ]→ψ[xt ] ψ[xz ]⇒∃x(φ→ψ),φ[xz ]→ψ[xz ] h?,145(a◦ )i h?,145(c);zi Si può vedere facilmente che il quanti catore esistenziale non è invece distributivo lungo l'implicazione. Supponiamo, ad esempio, che valga esiste una cosa che, se viene ogni anno in contatto con la terra, allora rende la vita sulla terra sicura. Da ciò non segue (purtroppo): se c'è qualcosa che viene ogni anno in contatto con la terra, allora c'è qualcosa che rende la vita sulla terra sicura. Vediamo come procede la prova analitica:
∃x(φ→ψ)⇒∃xφ→∃xψ
.. .
ψ[xz1 ],φ[xz0 ]⇒∃xψ
φ[xz0 ]⇒∃xψ,φ[xz1 ]
?
.. .
φ[xz0 ]⇒φ[xz1 ],ψ[xz0 ],ψ[xz1 ],∃xψ ◦
La prossima legge Q17
è immediatamente suggerita dal controesempio appena
visto: tutto infatti va a posto se, invece di c'è qualcosa che viene ogni anno in contatto con la terra, abbiamo (nel dominio del sistema solare) che ogni cosa viene ogni anno in contatto con la terra. Come si vede, è però una legge classica.
◦
Q17 .
∀xφ→∃xψ⇔?◦ ∃x(φ→ψ). ◦
Il ritorno di Q17
dell'andata di Q17
si ricava immediatamente usando ◦ è come segue:
EC→
e Q6, mentre la prova
∀xφ→∃xψ⇒∃x(φ→ψ) h→EAi ⇒∃x(φ→ψ),∀xφ ∃xψ⇒∃x(φ→ψ) hEC∀;zi h∃EA;zi ⇒∃x(φ→ψ),φ[xz ] ψ[xz ]⇒∃x(φ→ψ) hEC∃;zi hEC∃;zi ⇒φ[xz ],∃x(φ→ψ),φ[xz ]→ψ[xz ] ψ[xz ]⇒∃x(φ→ψ),φ[xz ]→ψ[xz ] h?,145(a◦ )i h?,145(c)i 12Questa
è una lettura generosa della legge Q16◦ . Si osservi infatti che essa autorizza anche
che dalla verità di se esiste un uomo allora esiste una pietra segua quella di esiste qualcosa che se è un uomo allora è una pietra. Infatti (per uno dei paradossi del condizionale materiale) tanto per la verità dell'antecedente succedente
∃x(φ→ψ),
∃xφ→∃xψ in una struttura ammissibile, ψ[x] sia soddisfatta nella struttura.
è su ciente che
quanto per quella del
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
296
Vediamo anche come si comportano le quanti cazioni esistenziali dei condizionali quando gli antecedenti o i conseguenti non contengono la variabile di quanti cazione. Anche in questo caso, come per il quanti catore universale, cambiano le cose se la quanti cazione a vuoto riguarda l'antecedente o il conseguente del condizionale:
∃x(φ→ψ[x])⇔? φ→∃xψ[x], se x non occorre libera in φ. ◦ ? Q19 . ∃x(φ[x]→ψ)◦ ⇔ ∀xφ[x]→ψ , se x non occorre libera in ψ .
Q18.
◦
La prova di Q19
è lasciata come esercizio. La prova del ritorno di Q18 è analoga
a quella di Q16, ecco invece la prova dell'andata:
∃x(φ→ψ[x])⇒φ→∃xψ[x] hEC→i φ,∃x(φ→ψ[x])⇒∃xψ[x] h∃EA;zi φ→ψ[xz ],φ⇒∃xψ[x] hEC∃;zi φ→ψ[xz ],φ⇒∃xψ[x],ψ[xz ] h?,145(b)i
Esercizio 374.
Veri care se le seguenti sono leggi logiche:
a. ∀x(P x→Qx),¬∀x¬Qx⇒¬∃xP x. b. ∀x(P x→Qx),¬∀xQx⇒∃x¬P x. c. ∃xP x,∀x(P x→Qx)⇒∃x(P x∧Qx). d. ∀x¬P x,∀x(¬P x→¬Qx)⇒∀x(P x∨¬Qx). e. ∀x∀y(P x→Qxy)⇒∀x∀y(P x∧Sy→Qxy). f. ∀x(P x→Qx)⇔¬∃x(P x∧¬Qx). g. ⇒∀x(φ→ψ),∀x(ψ→φ). h. ⇒∃x(φ→ψ),∃x(ψ→φ).
Congiunzione.
Mostriamo subito che il quanti catore universale e la congiun-
zione sono mutuamente distributivi: Q20.
∀x(φ∧ψ)⇔? ∀xφ∧∀xψ .
Ecco le prove dell'andata e del ritorno di Q20:
∀x(φ∧ψ)⇒∀xφ∧∀xψ hEC∧i ∀x(φ∧ψ)⇒∀xφ ∀x(φ∧ψ)⇒∀xψ hEC∀;zi hEC∀;zi ∀x(φ∧ψ)⇒φ[xz ] ∀x(φ∧ψ)⇒ψ[xz ] h∀EA;zi h∀EA;zi φ[xz ]∧ψ[xz ],∀x(φ∧ψ)⇒φ[xz ] φ[xz ]∧ψ[xz ],∀x(φ∧ψ)⇒ψ[xz ] h∧EA;zi h∧EA;zi φ[xz ],ψ[xz ],∀x(φ∧ψ)⇒φ[xz ] φ[xz ],ψ[xz ],∀x(φ∧ψ)⇒ψ[xz ] ? ?
10.5. LEGGI DI QUANTIFICAZIONE
297
∀xφ∧∀xψ⇒∀x(φ∧ψ) h∧EAi ∀xφ,∀xψ⇒∀x(φ∧ψ) hEC∀;zi ∀xφ,∀xψ⇒φ[xz ]∧ψ[xz ] hEC∧;zi ∀xφ,∀xψ⇒φ[xz ] ∀xφ,∀xψ⇒ψ[xz ] h?,363(a)i h?,363(a)i La legge seguente stabilisce che il quanti catore esistenziale è semidistributivo lungo la congiunzione. Q21.
∃x(φ∧ψ)⇒? ∃xφ∧∃xψ .
Si ricava nel modo seguente:
∃x(φ∧ψ)⇒∃xφ∧∃xψ h∃EA;zi φ[xz ]∧ψ[xz ]⇒∃xφ∧∃xψ h∧EA;zi φ[xz ],ψ[xz ]⇒∃xφ∧∃xψ hEC∧;zi φ[xz ],ψ[xz ]⇒∃xφ φ[xz ],ψ[xz ]⇒∃xψ hEC∃;zi hEC∃;zi φ[xz ],ψ[xz ]⇒∃xφ,φ[xz ] φ[xz ],ψ[xz ]⇒∃xψ,ψ[xz ] ? ? L'inversa di Q21 ovviamente non vale, un controesempio classico è che non si può stabilire per ragioni puramente logiche la quadratura del cerchio:
se è vero che
esistono cerchi e che esistono quadrati, non per questo esistono cerchi quadrati. Vediamo come procede la prova analitica aperta.
∃xφ∧∃xψ⇒∃x(φ∧ψ)
.. .
φ[xz0 ],ψ[xz1 ]⇒∃x(φ∧ψ) hEC∃;z0 ,z1 i φ[xz0 ],ψ[xz1 ]⇒∃x(φ∧ψ),φ[xz0 ]∧ψ[xz0 ] hEC∧;z0 ,z1 i φ[xz0 ],ψ[xz1 ]⇒∃x(φ∧ψ),φ[xz0 ] φ[xz0 ],ψ[xz1 ]⇒∃x(φ∧ψ),ψ[xz0 ] ? ÷ Come si vede, dalla prova risultano due rami, uno dei quali è chiuso mentre l'altro è aperto e lo resta anche per le successive possibili e inin uenti applicazioni di
EC∃.
Le cose cambiano se la variabile di quanti cazione non è libera in uno o l'altro dei congiunti: Q22.
∃x(φ∧ψ)⇔? ∃xφ∧∃xψ ,
se
x
non è libera in
φ
o in
ψ.
In eetti, la prova precedente ci restituisce due rami chiusi se
ψ . Se invece x non è libera in φ, la prova pertinente φ,ψ xz0 ⇒∃x(φ∧ψ) che si chiude rapidamente.
Esercizio 375. a. b. c. d.
Veri care se le seguenti sono leggi logiche:
∃x(P x∧Qx),∃x(Qx∧Sx)⇒∃x(P x∧Sx). ∀x(P x→∃y(Qy→Sxy))⇒∃y(Qy∧∀x(P x→Sxy)). ∀x∀yP xy⇒∀x∀y(P xy∧P yx). ∀x(P x→Qx),∃y(P y∧Sy)⇒∃x(Qx∧Sx).
x
non è libera in
restituisce subito un ramo
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
298
e. ∃xP x,¬∃x(P x∧¬Qx)⇒∃x(P x∧Qx). Disgiunzione.
La legge seguente stabilisce che la disgiunzione è distributiva sul
quanti catore universale, ma non viceversa. Q23.
∀xφ∨∀xψ⇒? ∀x(φ∨ψ).
Si ricava nel modo seguente:
∀xφ∨∀xψ⇒∀x(φ∨ψ) hEC∀;zi ∀xφ∨∀xψ⇒φ[xz ]∨ψ[xz ] hEC∨;zi ∀xφ∨∀xψ⇒φ[xz ],ψ[xz ] h∨EA;zi ∀xφ⇒φ[xz ],ψ[xz ] ∀xψ⇒φ[xz ],ψ[xz ] h?,363(a)i h?,363(a)i Abbiamo già brevemente discusso la legge Q23 in esemp345, dove abbiamo anche visto che vale la sua inversa se la variabile di quanti cazione non è libera in uno o l'altro dei disgiunti (e si osservi che si tratta di una legge classica):
◦
Q24 .
∀x(φ∨ψ)⇔?◦ ∀xφ∨∀xψ ,
se
x
non è libera in
φ
o in
ψ.
La prova dell'andata si sviluppa nel modo seguente, dove supponiamo ad esempio che
x
non sia libera in
ψ: ∀x(φ[x]∨ψ)⇒∀xφ[x]∨ψ hEC∨i ∀x(φ[x]∨ψ)⇒∀xφ[x],ψ hEC∀;zi ∀x(φ[x]∨ψ)⇒ψ,φ[xz ] h∀EA;zi φ[xz ]∨ψ,∀x(φ[x]∨ψ)⇒ψ,φ[xz ] h?,144(a)i
La prossima legge stabilisce che il quanti catore esistenziale e la disgiunzione sono invece mutuamente distributivi. Q25.
∃x(φ∨ψ)⇔? ∃xφ∨∃xψ .
Si ricava nel modo seguente:
∃x(φ∨ψ)⇒∃xφ∨∃xψ hEC∨i ∃x(φ∨ψ)⇒∃xφ,∃xψ h∃EA;zi φ[xz ]∨ψ[xz ]⇒∃xφ,∃xψ hEC∨;zi φ[xz ]⇒∃xφ,∃xψ ψ[xz ]⇒∃xφ,∃xψ h?,363(b)i h?,363(b)i
10.5. LEGGI DI QUANTIFICAZIONE
299
∃xφ∨∃xψ⇒∃x(φ∨ψ) h∨EAi ∃xφ⇒∃x(φ∨ψ) ∃xψ⇒∃x(φ∨ψ) h∃EA;zi h∃EA;zi φ[xz ]⇒∃x(φ∨ψ) ψ[xz ]⇒∃x(φ∨ψ) hEC∃;zi hEC∃;zi φ[xz ]⇒φ[xz ]∨ψ[xz ] ψ[xz ]⇒φ[xz ]∨ψ[xz ] h?,144(b)i h?,144(c)i
Esercizio 376.
Veri care se le seguenti sono leggi logiche:
a. ∃x(φ→ψ)⇒∃x(φ∨ψ). b. ∀x(φ∨ψ)⇒∀x(φ→ψ)∨∃xψ . c. ∀x(φ∨ψ),∃x¬ψ⇒∃x¬φ. d. ∃x(φ∨ψ),∀x¬ψ⇒∃xφ. e. ∃x¬(φ∨¬ψ)⇒∃x¬φ. Bicondizionale. Il quanti catore
universale è solo semidistributivo lungo il bi-
condizionale, e la sua applicazione a bicondizionali è transitiva: Q26. Q27.
∀x(φ↔ψ)⇒? ∀xφ↔∀xψ . ∀x(φ↔ψ),∀x(ψ↔χ)⇒? ∀x(φ↔χ).
La legge Q26 risulta nel modo seguente, la prova di Q27 è lasciata come esercizio.
∀x(φ↔ψ)⇒∀xφ↔∀xψ hEC↔i ∀xφ,∀x(φ↔ψ)⇒∀xψ ∀xψ,∀x(φ↔ψ)⇒∀xφ hEC∀;zi hEC∀;zi ∀xφ,∀x(φ↔ψ)⇒ψ[x ∀xψ,∀x(φ↔ψ)⇒φ[x z] z] h∀EA;zi h∀EA;zi x x φ[x ψ[x z ],∀xφ,∀x(φ↔ψ)⇒ψ[z ] z ],∀xψ,∀x(φ↔ψ)⇒φ[z ] h∀EA;zi h∀EA;zi x x x x x x φ[x φ[x z ]↔ψ[z ],∀x(φ↔ψ),φ[z ],∀xφ⇒ψ[z ] z ]↔ψ[z ],∀x(φ↔ψ),ψ[z ],∀xψ⇒φ[z ] h?,146(a)i h?,146(b)i
Esercizio 377.
Provare:
0Ga ∀xφ↔∀xψ⇒∀x(φ↔ψ).
Tra il quanti catore esistenziale e il bicondizionale sussiste naturalmente la seguente relazione (la prova è lasciata come esercizio): Q28.
∃xφ↔∃xψ⇒? ∃x(φ→ψ)∧∃x(ψ→φ).
Non è di cile vedere che Q28 non è invertibile. Col seguente esercizio vediamo che il quanti catore esistenziale non è né controdistributivo né semidistributivo rispetto al bicondizionale:
Esercizio 378.
Dare prove analitiche per:
a. 0Ga ∃xφ↔∃xψ⇒∃x(φ↔ψ). b. 0Ga ∃x(φ↔ψ)⇒∃xφ↔∃xψ .
10.5.3. Sillogistica.
Come utile esercizio mostriamo ora che la sillogistica
aristotelica può essere costruita come un sottosistema del sistema quanti cazionale a sequenti (analitico o sintetico). Il linguaggio per la sillogistica ha quattro costanti logiche,
a,e,i,o, che insieme M,N,O, danno
a variabili per termini, per le quali usiamo lettere maiuscole come luogo a
13Cfr.
formule sillogistiche.13
1.1.2.
La regola sintattica è semplice:
date due qualunque
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
300
variabili logiche N,M, N⊗M è una formula sillogistica - dove ⊗ sta per una qualsiasi delle costanti logiche
a,e,i,o.
soggetto e M è il predicato.
In una formula sillogistica
N⊗M
si dice che
N
è il
Per comodità, si possono considerare le variabili logiche
della sillogistica come metavariabili per lettere predicative monadiche di
Q⇒ .
Nella de nizione seguente sono date, insieme alle interpretazioni intuitive intese delle formule sillogistiche, anche loro traduzioni naturali in formule quanti cazionali (cfr. l'
Introduzione di Cap8), dalle quali segue indirettamente anche la
loro semantica:
De nizione 379. a. b. c. d.
(Rappresentazione delle formule sillogistiche)
Ogni N è M: NaM=∀x(Nx→Mx). Nessun N è M: NeM=¬∃x(Nx∧Mx). Qualche N è M: NiM=∃x(Nx∧Mx). Qualche N non è M: NoM=∃x(Nx∧¬Mx).
Tali traduzioni pongono tuttavia anche qualche problema. Lo si vede considerando il cosiddetto
quadrato aristotelico che riassume importanti relazioni logiche ritenute
valide nella sillogistica aristotelica:
NaM ↓ [S1] ↓ NiM
[CT1] % [CD] . & [CT2]
NeM ↓ [S2] ↓ NoM
(Q)
Lungo le diagonali del quadrato (Q) le relazioni sono di
contraddittorietà :
a NaM e NoM sono contraddittorie, cioè NaM↔¬NoM è valida. b NeM e NiM sono contraddittorie, cioè NeM↔¬NiM è valida. 14 Chiaramente (a ) segue da def379 e eserc374(f ), mentre (b ) è immediata CD. ( ) ( )
per
def379. Le traduzioni in def379 non funzionano però altrettanto bene per tutte
le relazioni logiche tra formule sillogistiche nel quadrato aristotelico. Lungo gli assi orizzontali di (Q) troviamo relazioni di
contrarietà ,
cioè l'universale aermativa e
subcontrarietà , ossia la particolare aermativa e la corrispondente particolare negativa la corrispondente universale negativa non possono essere entrambe vere, e di non possono essere entrambe false. Dovrebbe quindi risultare quanto segue: CT1. CT2.
NaM e NeM sono contrarie, cioè ¬(NaM∧NeM) è valida. NiM e NoM sono subcontrarie, cioè NiM∨NoM è valida.
In base a def379 e all'ordinaria semantica per la quanti cazione risulta invece:
2¬(NaM∧NeM)
e
2NiM∨NoM. In particolare, le formule NaM e NeM risultano NiM e NoM entrambe false, se le variabili N in posizione
entrambe vere, e le formule
di soggetto sono interpretate sull'insieme vuoto. Lo si può vedere indirettamente, in termini di sequenti, dando soluzioni (lasciate al lettore) al seguente esercizio:
Esercizio 380.
Dare prove analitiche (aperte) dei sequenti:
a. ⇒¬(NaM∧NeM). b. ⇒NiM∨NoM.
Altrettanto indirettamente si può vedere, adottando opportune assunzioni esistenziali, che le formule in CT1 e CT2 sono quanti cazionalmente valide se le variabili
N
in posizione di soggetto sono interpretate su insiemi non vuoti.
14Qui
e nel seguito si fa tacito uso della correttezza dei sistemi quanti cazionali a sequenti.
10.5. LEGGI DI QUANTIFICAZIONE
Esempio 381. 0
(Contrarietà e Sub-contrarietà)
∃xNx⇒? ¬(NaM∧NeM).
CT1 .
301
0
CT2 .
∃xNx⇒? NiM∨NoM.
0
0
Ecco una prova analitica di CT2 (quella di CT1 , del tutto analoga, è lasciata come esercizio):
∃xNx⇒∃x(Nx∧Mx)∨∃x(Nx∧¬Mx) hEC∨i ∃xNx⇒∃x(Nx∧Mx),∃x(Nx∧¬Mx) h∃EA;zi Nz⇒∃x(Nx∧Mx),∃x(Nx∧¬Mx) hEC2 ∃;zi Nz⇒∃x(Nx∧Mx),∃x(Nx∧¬Mx),Nz∧Mz,Nz∧¬Mz hEC∧i Nz⇒∃x(···),∃x(−),Nz Nz⇒∃x(···),∃x(−),Nz∧Mz,¬Mz Naturalmente il ramo di sinistra è chiuso mentre quello di destra lo diventa ben presto usando
EC¬
e teor143(a).
Altre proprietà logiche nel quadrato (Q) sono quelle di
subalternazione :
la
particolare aermativa segue dalla corrispondente universale aermativa, e dall'universale negativa segue la corrispondente particolare:
NaM→NiM. NeM→NoM.
S1. S2.
Anche queste sono leggi quanti cazionali solo se le variabili logiche
N
in posizioni
c
di soggetto sono interpretate su insiemi non vuoti, come mostrano eserc374( ) e
e assiomi di subalternazione
eserc375( ). Con tali restrizioni, leggi analoghe a S1 e S2 possono gurare come
in un sistema deduttivo di prova
Gs
a sequenti della
sillogistica:
0
S1 .
0
S2 .
∃xNx,NaM⇒NiM. ∃xNx,NeM⇒NoM.
Altre importanti relazioni che risultano dalle proprietà logiche delle costanti sillogistiche sono quelle di
conversione semplice
- che consiste nella trasposizione di
soggetto e predicato, la quantità e la qualità rimanendo immutate in forma di sequenti come C1. C2.
assiomi di conversione
di
15
- qui adottate
Gs:
NeM⇒MeN. NiM⇒MiN.
Si vede facilmente che le conversioni semplici non dipendono da assunzioni esistenziali. Oltre ad assiomi di subalternazione e di conversione, il sistema
Gs
comprende
contrapposizione , che rappresentadi contraddittorietà in CD(a )-(b ) e consentono prove tra poco. Seguendo CD(a )-(b ), indichiamo nel modo
anche uno schema per regole di inferenza di no formalmente le relazioni per assurdo, come vedremo
seguente le relazioni tra le costanti sillogistiche e le rispettive contraddittorie: (*)
a=cd(o); e=cd(i); i=cd(e); o=cd(a).
Lo schema per le regole di contrapposizione assume allora la forma seguente, dove
⊗,⊕
stanno per una qualsiasi delle costanti logiche
15Strawson
[
187], tr.
it., p. 200.
a,e,i,o:
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
302
Γ,N⊗M,∆⇒N0 ⊕M0 hCPi Γ,N0 cd(⊕)M0 ,∆⇒Ncd(⊗)M Non è di cile vedere che le regole CP sono quanti cazionalmente valide. Nel seguito le useremo facendo implicitamente riferimento alle corrispondenze in (*). Il sistema
Gs
include anche le usuali regole strutturali.
Così, in particolare,
dagli assiomi di subalternazione e di conversione è immediato ricavare i due teoremi
Tg: `Gs ∃xNx,NaM⇒MiN `Gs ∃xNx,NeM⇒MoN
seguenti usando la regola
0
C3 .
0
C4 .
Nella terminologia della sillogistica medievale si tratta di
conversioni per accidens,
che consistono nel trasporre il soggetto e il predicato di un'asserzione e nel mutare
16
la sua quantità da universale a particolare, la qualità rimanendo immutata Nella notazione a sequenti abbiamo qui di seguito le quattro possibili
sillogistiche,
.
gure
determinate dalle posizioni di soggetto o predicato del termine medio
(M) rispetto a quello maggiore (O) e a quello minore (N):
M⊗O,N⊗M⇒N⊗O. FII.O⊗M,N⊗M⇒N⊗O. FIII. M⊗O,M⊗N⇒N⊗O. FIV. O⊗M,M⊗N⇒N⊗O. FI.
Come si vede, nella prima gura il termine medio è soggetto nella premessa maggiore e predicato nella premessa minore. Seguendo la lezione aristotelica, adottiamo come
assiomi sillogistici FI.1. FI.2. FI.3. FI.4.
del sistema
Gs
17
quattro sillogismi della prima gura:
MaO,NaM⇒NaO. [Barbara ] MeO,NaM⇒NeO. [Celarent ] MaO,NiM⇒NiO. [Darii ] MeO,NiM⇒NoO. [Ferio ]
Con ciò è conclusa la presentazione del sistema che è chiaramente un sottosistema di
Gs
(a sequenti) della sillogistica,
Gc.
Non è di cile vedere che anche gli assiomi sillogistici sono quanti cazionalmente validi.
10.5.2).
Chiaramente FI.1 è un esempio della legge Q13 (
assiomi possiamo costruire prove analitiche in
Ga
Per gli altri
in base alle corrispondenze di
def379. Per FI.3, ad esempio, si consideri la seguente prova analitica:
∀x(Mx→Ox),∃x(Nx∧Mx)⇒∃x(Nx∧Ox) h∃EA;zi Nz∧Mz,∀x(Mx→Ox)⇒∃x(Nx∧Ox) h∧EA;zi Nz,Mz,∀x(Mx→Ox)⇒∃x(Nx∧Ox) h∀EA;zi Mz→Oz,Nz,Mz,∀x(Mx→Ox)⇒∃x(Nx∧Ox) h→EA;zi Nz,Mz,∀x(···)⇒∃x(−),Mz Oz,Nz,Mz,∀x(···)⇒∃x(−) ? 16Ivi, tr. 17Tutti i
.. .
it., p. 201. sillogismi validi trattati da Aristotele nei primi capitoli del Libro I degli
Analitici Primi
sono qui contrassegnati dall'avere le denominazioni ad essi attribuite nella logica medievale.
10.5. LEGGI DI QUANTIFICAZIONE
303
Proseguiamo ora il ramo di destra nel modo seguente:
.. . Oz,Nz,Mz,∀x(Mx→Ox)⇒∃x(Nx∧Ox) hEC∃;zi Oz,Nz,Mz,∀x(Mx→Ox)⇒∃x(Nx∧Ox),Nz∧Oz hEC∧;zi Oz,Nz,Mz,∀x(···)⇒∃x(···),Nz Oz,Nz,Mz,∀x(···)⇒∃x(···),Oz ? ?
Esercizio 382.
Dare prove analitiche di FI.2 e FI.4.
In particolare, risulta che gli assiomi sillogistici non dipendono da assunzioni esistenziali, per cui tra i principi di prova di
Gs sono solo gli assiomi di subalternazione
a dipendere da assunzioni esistenziali. Naturalmente richiederanno opportune assunzioni esistenziali i sillogismi che risultino provabili dagli assiomi di subalternazione. Il caso si presenta subito considerando che la prima gura include anche altri due sillogismi validi, questa volta, sotto assunzioni esistenziali:
0
FI.5 .
0 FI.6 .
`Gs ∃xNx,MaO,NaM⇒NiO. `Gs ∃xNx,MeO,NaM⇒NoO. 0
Questi sillogismi si derivano facilmente da altri della prima gura: FI.5 applicando
0
0 0 S1 alla conclusione di FI.1, e FI.6 applicando S2 alla conclusione di FI.2. Passiamo a vedere che sono dimostrabili in
Gs
i sillogismi validi delle altre
gure. Cominciamo da quelli della seconda gura, dove il termine medio è sempre in posizione di predicato nelle premesse:
`Gs OeM,NaM⇒NeO. [Cesare ] `Gs OaM,NeM⇒NeO. [Camestres ] FII.3. `Gs OeM,NiM⇒NoO. [Festino ] FII.4. `Gs OaM,NoM⇒NoO. [Baroco ] 0 FII.5 . `Gs ∃xNx,OeM,NaM⇒NoO. 0 FII.6 . `Gs ∃xNx,OaM,NeM⇒NoO.
FII.1.
FII.2.
Come esempio consideriamo la prova in già conosciamo da esemp4 di
Gs di FII.2, quelle di FII.1 (un sillogismo che
Cap1) e di FII.3 sono lasciate come facile esercizio.
hC1i hFI.2i NeM⇒MeN MeN,OaM⇒OeN hTgi hC1i OaM,NeM⇒OeN OeN⇒NeO hTgi OaM,NeM⇒NeO 18
Nel caso di FII.4 la dimostrazione aristotelica è per assurdo: dittoria
NaO
si assume la contrad-
della conclusione insieme alla premessa (maggiore)
la contraddittoria
NaM
della premessa (minore)
NoM.
In
Gs
a partire dall'assioma FI.1 usando una regola di contrapposizione:
18Cfr.
il cap.5 del Libro I degli
Analitici Primi.
OaM
e si deriva
si può provare FII.4
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
304
hFI.1i OaM,NaO⇒NaM hCPi OaM,NoM⇒NoO 0
0
In ne, i sillogismi FII.5 e FII.6 seguono da FII.1 e FII.2, rispettivamente, applicando gli assiomi di subalternazione alle relative conclusioni. Passiamo quindi a provare i sillogismi validi della terza gura, nella quale il termine medio è sempre in posizione di soggetto nelle premesse. FIII.1. FIII.2. FIII.3. FIII.4. FIII.5. FIII.6.
`Gs MaO,MaN⇒NiO `Gs MaO,MiN⇒NiO `Gs MiO,MaN⇒NiO `Gs MeO,MaN⇒NoO `Gs MeO,MiN⇒NoO `Gs MoO,MaN⇒NoO
Darapti ] Datisi ] [Disamis ] [Felapton ] [Ferison ] [Bocardo ] [
[
La dimostrazione aristotelica di FIII.6 è per assurdo: toria
NaO
si assume la contraddit-
della conclusione insieme alla premessa minore
MaO
contraddittoria
Esercizio 383.
19
MaN
e si deriva la
della premessa maggiore.
Provare in
Gs
i sillogismi FIII.1-FIII.6.
Veniamo in ne alla quarta gura, nella quale il termine medio è in posizione di predicato nella premessa maggiore e di soggetto in quella minore. Questa gura "ga-
20
lenica" è stata tradizionalmente considerata super ua,
in quanto le conclusioni
possibili in base alla quarta gura possono sempre essere ottenute più naturalmente e in maniera migliore per trasposizione e trasformazione delle premesse
21
in base
a una delle altre tre gure "aristoteliche". Si tratta comunque dei sillogismi validi seguenti:
0
`Gs ∃xOx,OaM,MaN⇒NiO `Gs OaM,MeN⇒NeO FIV.3. `Gs OiM,MaN⇒NiO FIV.4. `Gs OeM,MaN⇒NoO FIV.5. `Gs OeM,MiN⇒NoO 0 FIV.6 . `Gs ∃xNx,OaM,MeN⇒NoO FIV.1 .
FIV.2.
0
Come esempio consideriamo una prova di FIV.1 :
0
C3 hFIII.3i ∃xOx,OaM⇒MiO MiO,MaN⇒NiO hTgi ∃xOx,OaM,MaN⇒NiO FIV.2 si ricava facilmente da FII.2 per applicazione di C1; FIV.3 risulta da FIII.3 usando C2; FIV.4 risulta da FIII.4 applicando C1; FIV.5 segue da FIII.5 usando
0
0
C1; in ne FIV.6 segue da FIV.2 per C4 .
19Ib. 20Di parere
contrario è stato ad es. Leibniz, come chiaramente stabilito nella sua più importante
opera giovanile, la
21Lotze
[
124], p.
Dissertatio De Arte Combinatoria
63.
(1666).
10.5. LEGGI DI QUANTIFICAZIONE
10.5.4. Relazioni.
305
Le leggi logiche che abbiamo visto nora in questo capi-
tolo sono sostanzialmente monadiche, cioè potrebbero tutte essere espresse con formule atomiche costituite da soli predicati monadici. Ma la logica predicativa è anche e soprattutto
logica delle relazioni.
Naturalmente nel linguaggio quanti ca-
zionale del primo ordine si possono esprimere svariate proprietà delle relazioni - cfr.
17.3.2 per proprietà importanti come la ri essività, la simmetricità, la transitività,
la connessione, ecc. Riguardo a leggi logiche esplicitamente relazionali qualcosa abbiamo già intravisto in
10.4.5, dove in particolare è risultato che la formula ∀y∃xP yx ha un'analisi
in nita. Osserviamo ora che una formula del genere è deducibile da una nella quale è invertito l'ordine dei quanti catori: Q29.
∃x∀yφ⇒? ∀y∃xφ.
Ecco la prova analitica:
∃x∀yφ⇒∀y∃xφ hEC∀;z0 i ∃x∀yφ⇒∃xφ[yz0 ] h∃EA;z0 ,z1 i ∀yφ[xz1 ]⇒∃xφ[yz0 ] h∀EA;zx0 ,z1 i y φ x,y z1 ,z0 ,∀yφ[z1 ]⇒∃xφ[z0 ] 0 ,z1 i x,y hEC∃;z x y φ x,y z1 ,z0 ,∀yφ[z1 ]⇒∃xφ[z0 ],φ z1 ,z0 ? La legge Q29 è di facile lettura: se un oggetto porta una data relazione a tutti gli individui di un dominio, allora per qualunque individuo del dominio vi è un oggetto che porta ad esso la data relazione. Mentre la coppia di quanti catori comporta la coppia Q30.
∀y∃x,
∃x∀y
l'inverso naturalmente non vale
0Ga ∀y∃xφ⇒∃x∀yφ.
come mostra l'analisi seguente, che non può chiudere ed evidenzia che il sequente in Q30 ha contromodelli con domini di
n
individui per ogni numero naturale
∀y∃xφ⇒∃x∀yφ hEC∃i ∀y∃xφ⇒∃x∀yφ,∀yφ[xt ] hEC∀;z0 i ∀y∃xφ⇒∃x∀yφ,φ x,y t,z0 h∀EA;z0 i ∃xφ[yz0 ],∀y∃xφ⇒∃x∀yφ,φ x,y t,z0 x,y h∃EA;z0 ,z1 i x,y φ z0 ,z1 ,∀y∃xφ⇒∃x∀yφ,φ t,z0
.. .
Vediamo qualche altro esempio di legge logica strettamente relazionale:
◦
∀x∀y∀w(P xy→¬P yw)⇒? ∃y∀x¬P xy . ∀x∃y((P xx∧P xy)∨P yx)⇒? ∀x∃yP yx. ∀x∃yP xy,∀x∀y(P xy→P yx)⇒? ∀x∃y(P xy∧P yx). ∀x(∃yP xy→∀wP wx)⇒? ∀x∀y(P xy→P yx).
Q31 . Q32. Q33. Q34.
◦
Cominciamo con la prova di chiusura di Q31 :
n>1:
306
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
∀x∀y∀w(P xy→¬P yw)⇒∃y∀x¬P xy hEC∃i ∀x∀y∀w(P xy→¬P yw)⇒∃y∀x¬P xy,∀x¬P xy hEC∀;zi ∀x∀y∀w(P xy→¬P yw)⇒∃y∀x¬P xy,¬P zy h∀EA2 ;zi ∀w(P zy→¬P yw)⇒∃y∀x¬P xy,¬P zy h∀EA;zi P zy→¬P yz⇒∃y∀x¬P xy,¬P zy h→EA;zi ⇒∃y∀x¬P xy,¬P zy,P zy ¬P yz⇒∃y∀x¬P xy,¬P zy h?,142(b◦ )i ? Ecco la prova di chiusura di Q32:
∀x∃y((P xx∧P xy)∨P yx)⇒∀x∃yP yx hEC∀;z0 i ∀x∃y((P xx∧P xy)∨P yx)⇒∃yP yz0 h∀EA;z0 i ∃y((P z0 z0 ∧P z0 y)∨P yz0 ),∀x∃y((P xx∧P xy)∨P yx)⇒∃yP yz0 h∃EA;z0 ,z1 i (P z0 z0 ∧P z0 z1 )∨P z1 z0 ,∀x∃y((P xx∧P xy)∨P yx)⇒∃yP yz0 h∨EA;z0 ,z1 i
.. .
A questo punto risultano due rami: quello di sinistra si comporta come segue
.. . P z0 z0 ∧P z0 z1 ,∀x∃y((P xx∧P xy)∨P yx)⇒∃yP yz0 h∧EA;z0 ,z1 i P z0 z0 ,P z0 z1 ,∀x∃y((P xx∧P xy)∨P yx)⇒∃yP yz0 hEC∃;z0 ,z1 i P z0 z0 ,P z0 z1 ,∀x∃y((P xx∧P xy)∨P yx)⇒∃yP yz0 ,P z0 z0 ? mentre quello di destra si sviluppa così:
.. . P z1 z0 ,∀x∃y((P xx∧P xy)∨P yx)⇒∃yP yz0 hEC∃;z0 ,z1 i P z1 z0 ,∀x∃y((P xx∧P xy)∨P yx)⇒∃yP yz0 ,P z1 z0 ? A seguire la prova di chiusura di Q33:
∀x∃yP xy,∀x∀y(P xy→P yx)⇒∀x∃y(P xy∧P yx) hEC∀;z0 i ∀x∃yP xy,∀x∀y(P xy→P yx)⇒∃y(P z0 y∧P yz0 ) h∀EA;z0 i ∃yP z0 y,∀x∃yP xy,∀x∀y(P xy→P yx)⇒∃y(P z0 y∧P yz0 ) h∃EA;z0 ,z1 i P z0 z1 ,∀x∃yP xy,∀x∀y(P xy→P yx)⇒∃y(P z0 y∧P yz0 ) hEC∃;z0 ,z1 i P z0 z1 ,∀x∃yP xy,∀x∀y(P xy→P yx)⇒∃y(P z0 y∧P yz0 ),P z0 z1 ∧P z1 z0 hEC∧;z0 ,z1 i . . .
10.6. FORME NORMALI
307
A questo punto il ramo di sinistra chiude subito e l'altro prosegue così:
.. .
P z0 z1 ,∀x∃yP xy,∀x∀y(P xy→P yx)⇒∃y(P z0 y∧P yz0 ),P z1 z0 h∀EA;z0 ,z1 i P z0 z1 →P z1 z0 ,P z0 z1 ,∀x∃yP xy,∀x∀y(P xy→P yx)⇒∃y(P z0 y∧P yz0 ),P z1 z0 h?,145(b)i Passiamo alla prova di chiusura di Q34:
∀x(∃yP xy→∀wP wx)⇒∀x∀y(P xy→P yx) hEC2 ∀;z0 ,z1 i ∀x(∃yP xy→∀wP wx)⇒P z0 z1 →P z1 z0 hEC→;z0 ,z1 i P z0 z1 ,∀x(∃yP xy→∀wP wx)⇒P z1 z0 h∀EA;z0 ,z1 i ∃yP z0 y→∀wP wz0 ,P z0 z1 ,∀x(∃yP xy→∀wP wx)⇒P z1 z0 h→EA;z0 ,z1 i
.. .
A questo punto il ramo di sinistra è come segue
.. .
P z0 z1 ,∀x(∃yP xy→∀wP wx)⇒P z1 z0 ,∃yP z0 y hEC∃;z0 ,z1 i P z0 z1 ,∀x(∃yP xy→∀wP wx)⇒P z1 z0 ,∃yP z0 y,P z0 z1 ? e quello destro prosegue così:
.. .
∀wP wz0 ,P z0 z1 ,∀x(∃yP xy→∀wP wx)⇒P z1 z0 h∀EA;z0 ,z1 i P z1 z0 ,∀wP wz0 ,P z0 z1 ,∀x(∃yP xy→∀wP wx)⇒P z1 z0 ?
Esercizio 384.
Veri care se le seguenti sono leggi logiche:
a. ∀x∃yP xy⇒∃xP xx. b. ∀xP xx⇒∀x∀yP xy . c. ∃x∀yP xy,∀xP xx⇒∀x∀y(P xy∨P yx). d. ∀x∃yP xy,∀x(P xx↔Qx)⇒∃x(Qx∨P xx). e. ∀x∃yP xy,∀x∀y(P xy→P xx)⇒∃xP xx. f. ∀x∀y(∃wP yw→P xy)⇒∃x∃yP xy→∀x∀yP xy .
10.6. Forme normali Nella logica enunciativa abbiamo visto, con metodi semantici, che qualunque formula ha una forma normale disgiuntiva equivalente (cfr.
teor
??),
oppure la
sua negazione è equivalente a una forma normale congiuntiva (cfr. teor97). Varie nozioni di forma normale si estendono anche alle formule predicative, come vedremo usando i vari metodi di prova che abbiamo a disposizione. In particolare, usando la
Ga [cfr. teor354] possiamo usare sequenti-stella Γ⇒? ∆ come casi di ? conseguenza logica Γ∆ e l'equivalenza deduttiva φ⇔ ψ come equivalenza logica φ≡ψ tra le formule predicative φ e ψ . Inoltre useremo liberamente teor364 senza correttezza di
speci carlo ogni volta.
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
308
∀xP x→∃xP x. Si vede facilmente che ∃x¬P x∨∃xP x (cfr. Q1◦ ). Infatti, usando la
Prendiamo come esempio la legge logica essa equivale (in termini classici) a
L→ 12◦ (cfr. 4.5.5) abbiamo ∀xP x→∃xP x≡¬∀xP x∨∃xP x,
legge enunciativa (1)
da cui otteniamo (2)
∀xP x→∃xP x≡∃x¬P x∨∃xP x ◦
visto che in base a Q9
e Q10 le negazioni di quanti cazioni si possono sempre
trasformare in quanti cazioni di negazioni. formula risultante
male,
∃x¬P x∨∃xP x
La dierenza tra
∀xP x→∃xP x
sta nel fatto che quest'ultima ha una
nella quale cioè gli unici connettivi sono
¬, ∧, ∨
e la
forma nor-
e le negazioni si trovano
3.5.1).
tutte davanti a formule atomiche (cfr. le forme ridotte in
Questo esempio mostra già in modo abbastanza generale come ottenere una
Q nelle quali ¬, ∧, ∨ - sappiamo infatti che → e ↔ si riducono facilmente
forma normale. Per prima cosa si possono considerare solo le formule di gli unici connettivi sono a
¬, ∧, ∨.
Diciamo
quasi-normali
queste formule, alle quali manca ancora la
richiesta distribuzione delle negazioni. Ma anche i passi successivi sono naturali. Se abbiamo la negazione di una congiunzione quasi-normale - o la negazione di una disgiunzione -, allora la trasformiamo nella disgiunzione delle negazioni dei suoi congiunti quasi-normali - o nella congiunzione delle negazioni dei suoi disgiunti quasi-normali. Se abbiamo la negazione di una quanti cazione (¬∀x o
¬∃x)
quasi-
normale, come abbiamo appena osservato, questa può sempre essere trasformata nella quanti cazione di una negazione (∃x¬ o
∀x¬)
quasi-normale.
Chiaramente
questi processi sono fondati sulle formule atomiche e quindi:
Teorema 385. Per φ∈FoQ esiste una φ‡ in forma normale tale che:
φ≡φ‡ .
Dietro l'angolo sta però un risultato più interessante: ogni formula predicativa è trasformabile in una
forma normale prenessa, nella quale tutti i quanti catori sono
portati in un pre sso esterno a una matrice che contiene solo lettere predicative, variabili individuali e connettivi. Si può illustrare questo punto proseguendo l'esempio precedente. Se applichiamo Q25 alla formula (3)
∃x¬P x∨∃xP x,
da (2) risulta
∀xP x→∃xP x≡∃x(¬P x∨P x)
che è l'equivalenza logica tra la formula normale prenessa
∀xP x→∃xP x
di partenza e una forma
∃x(¬P x∨P x).
Le trasformazioni a forme normali prenesse non sono dovute a casi fortunati come la disponibilità nel nostro caso della legge Q25. formula
∀x¬P x∨∀xP x,
Prendiamo ad esempio la
per la quale non siamo aiutati da una legge analoga a Q25
(cfr. infatti Q23). Si può però usare il cambio alfabetico lemma355 ed ottenere un'equivalenza come la seguente:
∀x¬P x∨∀xP x≡∀x¬P x∨∀yP y . Siccome nella formula ∀x¬P x∨∀yP y la variabile x non occorre a destra di ∨ e la ◦ variabile y non occorre a sinistra, si può applicare Q24 e quindi da (4) segue (5) ∀x¬P x∨∀xP x≡∀x∀y(¬P x∨P y). Anche la formula ∀x¬P x∨∀xP x risulta logicamente equivalente a una forma nor(4)
male prenessa. Per generalizzare queste osservazioni de niamo prima di tutto la nozione di
matrice predicativa normale
¬
- dove useremo FoAtQ per indicare l'insieme delle
negazioni delle formule atomiche:
10.6. FORME NORMALI
De nizione 386.
(Matrice predicativa normale: ¬ . FoAtQ ∪FoAtQ ⊆MtnQ .
a b.
Se
φ,ψ∈MtnQ ,
allora
MtnQ )
φ∧ψ,φ∨ψ∈MtnQ .
A seguire ecco quindi la de nizione generale delle
De nizione 387.
309
(Forma normale prenessa:
forme normali prenesse :
FoprQ
)
a. MtnQ ⊆FoprQ . b. Se φ∈FoprQ , allora ∀xφ,∃xφ∈FoprQ , dove x è libera e non vincolata in φ.
Sia ora
φ
una formula qualunque di
Q,
vogliamo mostrare che essa è logicamente
φ‡ . Se φ non ha quanti catori, applichiamo teor385. Supponiamo invece che φ abbia m>0 quanti catori. In vista di teor385 possiamo limitarci a formule in forma normale. Così φ ha forma ∀xψ o ∃xψ e, siccome φ è in forma normale, la formula quanti cata deve occorrere equivalente a una forma normale prenessa
nel caso generale in qualcuna delle forme seguenti
∃xψ∧ξ , ξ∧∃xψ , ∃xψ∨ξ , ξ∨∃xψ . ∀xψ∧ξ , ξ∧∀xψ , ∀xψ∨ξ , ξ∨∀xψ . n di connettivi sotto i quali la formula n=0, la soluzione è banale per def387. Come esempio di n>1, supponiamo che φ abbia forma ∃xψ∧ξ e così ∧ è il connettivo n+1esimo che ha azione su ∃xψ . Se la variabile x occorre in ξ , possiamo per cambio alfabetico (cfr. lemma355) farla sparire uniformemente da ξ in favore di una nuova variabile non occorrente né in ∃xψ né in ξ . Quindi si può supporre in generale che x non occorra in ξ e usando Q22 risulta ∃xψ∧ξ≡∃x(ψ∧ξ). Da ciò per cor343 segue che in φ si può rimpiazzare ∃xψ∧ξ con ∃x(ψ∧ξ): φ≡φ[∃xψ∧ξ\∃x(ψ∧ξ)]. Ma φ[∃xψ∧ξ\∃x(ψ∧ξ)] contiene ∃x(ψ∧ξ) a profondità n, e quindi per ipotesi di ‡ induzione c'è una φ ∈FoprQ tale che: Ragioniamo allora per induzione sul numero quanti cata si trova in
φ.
Se
φ[∃xψ∧ξ\∃x(ψ∧ξ)]≡φ‡ . Gli altri casi sono analoghi, come si può vedere facilmente. Resta così dimostrato il teorema delle forme normali prenesse:
Teorema 388. Se φ∈FoQ , esiste φ‡ ∈FoprQ tale che:
φ≡φ‡ .
Le forme normali prenesse non presentano un ordine speci co dei quanti catori. Il caso generale è perciò quello di formule che contengono un pre sso di quanti catori dove si alternano quanti catori universali ed esistenziali. Questo suggerisce una classi cazione abbastanza naturale delle forme in base al numero delle sequenze di quanti catori consecutivi della stessa specie contenuti nel pre sso di una formula.
De nizione 389.
(Pre ssi di quanti cazione)
a. ∃0 =∀0 =MtQ . b. φ∈∃n+1 sse per una ψ[x1 ,...,xk ]∈∀n : φ è ∃x1 ...∃xk ψ . c. φ∈∀n+1 sse per una ψ[x1 ,...,xk ]∈∃n : φ è ∀x1 ...∀xk ψ .
Come si vede, l'indice e
∀
n
conta le alternanze di sequenze di quanti catori, mentre
dicono di che tipo è la quanti cazione più esterna. Naturalmente vale:
∃
10. SEQUENTI PER LA QUANTIFICAZIONE
310
Teorema 390. Se φ∈∃n (∀n ), per qualche ψ∈∀n (∃n ):
φ≡¬ψ .
φ∈∃n usiamo l'induzione su n. Se n=0, il risultato è n>0 e supponiamo per comodità che k=1. In base a def389(b ): φ∈∃n+1 se e solo se c'è una ψ[x]∈∀n tale che φ è ∃xψ . Per ipotesi di induzione ψ≡¬ϕ dove ϕ∈∃n . Così, usando Q9◦ e doppia negazione, risulta ∃xψ≡¬∀xϕ e siccome ϕ∈∃n , abbiamo che ∀xϕ∈∀n+1 in base a def389(c ). Il resto della dimostrazione è del tutto analogo. Dimostrazione. Per
banale. Sia
Vi sono altri tipi di forme normali trattati nella teoria logica. Le più importanti per le numerose applicazioni in teoria dei modelli sono le
Skolem.
forme normali prenesse di
Esse consistono, nell'ordine, di una sequenza di quanti catori esistenziali,
di una sequenza di quanti catori universali e di una matrice.
Così, se
ψ
è una
matrice, una forma normale prenessa di Skolem ha la forma: (S)
∃x1 ...∃xn ∀y1 ...∀yk ψ .
Per queste forme usiamo la designazione
FoprSQ .
Non è di cile dimostrare per le
forme normali prenesse di Skolem un risultato generale di trasformazione analogo ai precedenti. Il punto critico per la trasformazione di una formula
φ - che supponiamo
già in forma normale prenessa - nella forma (S) è costituito da casi di quanti catori universali seguiti nel pre sso da quanti catori esistenziali. caso come
∀x∃yϕ,
con
ϕ
Prendiamo infatti un
matrice. Applicando leggi logiche sembra che possiamo
ottenere, al massimo, una formula
¬∃x∀y¬ϕ,
e quindi
¬∃x∀yψ ,
che però non ha la
forma (S). Ma vi è una soluzione abbastanza semplice. Consideriamo il caso base
∀yψ :
per la trasformazione in forma (S) si può utilizzare l'equivalenza di
a ∃x((P x∨¬P x)∧∀yψ),
∀yψ
con
( ) dove
P
e
x
non occorrono in
ψ,
a
e poi il fatto che ( ) a sua volta è equivalente a
b ∃x∀y((P x∨¬P x)∧ψ)
( )
22
che è di forma (S). In modo analogo si può procedere nei casi più complessi ad ottenere un risultato generale sulle forme normali prenesse di Skolem:
Teorema 391. Per φ∈FoprQ esiste una ψ∈FoprSQ tale che φ≡ψ.
22La
34], pp.
prova è solo un po' lunga, cfr. Casari [
206-9.
no
CAPITOLO 11
Adeguatezza, inversione, sistemi intuizionisti
11.1. Teoremi di caratterizzazione In questa sezione vedremo alcuni importanti risultati generali sulla logica del
1
primo ordine - in particolare la sua completezza semantica e la sua indecidibilità.
11.1.1. Completezza. è adeguato a
Per prima cosa mostriamo che il sistema analitico
caratterizzare nitamente
Teorema 392.
Ga
la conseguenza logica del primo ordine:
Γ∆ sse per qualche Θ⊆f Γ e Λ⊆f ∆ vale `Ga Θ⇒Λ.
Un primo passo positivo verso teor392 è la
correttezza
del sistema
Ga già dimoGa è anche
strata in teor354. Un seconso passo consiste nel mostrare che il sistema
semanticamente completo : le leggi
Γ∆
le a-prove di chiusura in
Ga consentono di stabilire tutte
della conseguenza logica del primo ordine (nel dato linguaggio).
Teorema 393.
(Completezza semantica)
Se Γ∆, allora `Ga Γ⇒∆.
Γ∆ e supponiamo che 0Ga Γ⇒∆. Una prova analitica Γ⇒∆ ha un ramo aperto Ψ: ciò vale ovviamente per Ψ, se Φ è terminata, e vale per un ramo aperto in nito
Dimostrazione. Sia
aperta
Φ
per il sequente
un ramo aperto nito
Ψ,
se
Φ
è un albero in nito, in base al Lemma di König [cfr.
lemma641].
Per
Ψ1,0 è perciò un insieme di Hintikka. In base a teor395 1,0 0 esiste allora un modello di Ψ , quindi un modello di Γ∪∆ , ciò che per lemma394 è in contraddizione con l'ipotesi Γ∆.
lemma396 la sezione
Occorre ora dimostrare i tre risultati dai quali dipende il teorema di Completezza 393 per
Ga.
5.1 relative alle
Per cominciare, osserviamo che le de nizioni in
sezioni di sequenti e rami di prova si adattano perfettamente anche al quadro quanti cazionale. In particolare:
Lemma 394.
Γ∆ sse Γ∪∆0 è quanti cazionalmente incoerente.
Fissato il primo risultato che occorreva, passiamo a stabilire che un insieme formule del primo ordine è un
X
di
insieme di Hintikka se, oltre a soddisfare le condizioni
[H¬¬], [H∧], [H¬∧], [H∨], [H¬∨], [H→], [H¬→], [H↔], [H¬↔]
5.1, ha anche le proprietà seguenti:
che già conosciamo da [HAt] [H∀]
1Ad
φ∈FoAtQ : φ,¬φ∈X . x Se ∀xφ∈X , allora φ y ∈X per ogni formula in X .
Per nessuna
L-variabile
y
che occorre in qualche
altri importanti risultati generali per la logica predicativa classica, come il teorema di
Cap14).
Interpolazione e quello di De nibilità, è dedicato un capitolo speci co nella Parte III ( 311
11. ADEGUATEZZA, INVERSIONE, SISTEMI INTUIZIONISTI
312
¬∀xφ∈X , allora ¬φ[xz ]∈X per almeno una L-variabile z . x [H∃] Se ∃xφ∈X , allora φ[z ]∈X per almeno una L-variabile z . x [H¬∃] Se ¬∃xφ∈X , allora ¬φ y ∈X per ogni L-variabile che occorre in qualche formula in X . Sia ora ya0 ,ya1 ,...,yan ,... un'enumerazione senza ripetizioni di tutte le L-variabili del linguaggio Q: il distinto numero naturale a associato a ciascuna L-variabile ya è detto il rappresentante di ya . Se Y è un insieme di formule di Q, indichiamo con AY l'insieme dei rappresentanti delle L-variabili in Y . Se non vi sono L-variabili nelle formule in Y , si stipula che AY ={0}. De niamo una struttura ammissibile
di interpretazione A= AX ,{Rn }n∈N che deve risultare modello di X . Il dominio d'interpretazione di A è l'insieme AX dei rappresentanti delle L-variabili occorrenti m in formule di X . Inoltre, per ogni L-variabile ya e lettera predicativa R : m A m (1) hak1 ,...,akm i∈(R ) se e solo se R yak1 ,...,yakm ∈X . (2) se n=ai , allora σn =yai . [H¬∀]
Se
La condizione (2) ssa naturalmente valutazioni costanti delle L-variabili occor-
X: A (3) kya kσ =a , per ogni L-variabile
renti in formule di
ya .
Il passo successivo sul cammino della completezza è dimostrare un analogo di teor183 anche per gli insiemi di Hintikka in versione quanti cazionale:
Teorema 395.
(Teorema del modello)
un modello.
Dimostrazione. De nita la struttura
Se X è un insieme di Hintikka, allora ha A
come nella costruzione precedente, pro-
viamo per induzione sul grado di una formula che: (*) per ogni Se
φ∈X : A φ.
m
R yak1 ,...,yakm ∈X , per (1) abbiamo hak1 ,...,akm i∈(Rm )
m A A kyak1 kA σ ,...,kyakm kσ ∈(R )
a m i A R y ,...,y ak1 akm σ
A
e così per (3)
da cui per def287( ) si ottiene: ( )
i
Per (3) e coincidenza, vale ( ) per ogni successione Se invece
φ∈X
σ
e quindi:
A Rm yak1 ,...,yakm .
non è atomica, si danno i seguenti casi (corrispondenti alla costru-
zione di un insieme di Hintikka). Per [HAt].
φ∈X
è di forma
m
¬R yak1 ,...,yakm ∈X
¬Rm yak1 ,...,yakm . sse
Così:
m
R yak1 ,...,yakm ∈X / m A
[HAt]
(2)
sse
hak1 ,...,akm i∈(R / )
A A kyak1 kσ ,...,kyakm kA / m) σ ∈(R
sse
m A σ ¬R yak1 ,...,yakm
def287(a)-(b)
sse
Per (3) e coincidenza risulta quindi:
(3)
A ¬Rm yak1 ,...,yakm .
¬¬φ∈X , allora φ∈X e così per (IpInd): A φ. ¬¬φ. Per [H:∧, ¬∧, ∨, ¬∨,→,¬→,↔,¬↔ ].
Per [H¬¬]. Se
Da ciò per doppia
A
Analogamente ai
negazione:
rispettivi casi in teor183.
A φ vyan per ogni LA variabile ya che occorre in qualche formula in X . Così σ n φ[vn ] per ogni n-variante a n A σa . Ossia [usando anche (3) e coincidenza]: ∀vn φ. Per [H∀]. Se
∀vn φ∈X ,
allora
φ
v n ya ∈X
e, quindi, per (IpInd):
11.1. TEOREMI DI CARATTERIZZAZIONE
Per [H∃]. Se
∃vn φ∈X ,
φ
v n ya ∈X
313
A φ
v
n ya per qualche A L-variabile ya che occorre in una formula in X . Così σ n φ[vn ] per qualche n-variante a σan . Ossia [usando anche (3) e coincidenza]: A ∃vn φ.
allora
e, quindi, per (IpInd):
Per [H¬∀].
¬∀xφ∈X :
analogamente a [H∃].
Per [H¬∃].
¬∃xφ∈X :
analogamente a [H∀].
Resta così dimostrato (*) e, con ciò, che ogni insieme
X
(quanti cazionale) di
Hintikka ha un modello.
L'ultimo passo che resta verso la completezza è dimostrare un analogo di lemma178 anche per le prove nel sistema analitico
Ga.
Lo faremo usando la nozione di
prova ordinata introdotta in def361 e alcune utili proprietà delle prove analitiche.
Lemma 396. Se Ψ è un ramo aperto di una prova analitica in Ga, allora Ψ1,0 è un insieme di Hintikka.
Dimostrazione. Sia quindi
Ψ un ramo aperto di una prova analitica ordinata,
che può essere o terminato o in nito.
φ∈FoAtQ , valga φ,¬φ∈Ψ1,0 . Siccome Ψ è un Γ[φ]⇒∆[φ] in Ψ, né φ,¬φ∈Ψ1 , né che φ,¬φ occorrano
Per [HAt]. Supponiamo che, per una ramo aperto, non può essere in un succedente di
Ψ
Ψ, perché in ognuno di questi casi per (Ord1) di def361 il ramo
risulterebbe chiuso.
¬¬φ∈Ψ1,0 . Può essere solo che o ¬¬φ∈Ψ1 o ¬¬φ∈Ψ0 , e in entrambi i casi, siccome Ψ è un ramo di una prova analitica ordinata, segue da (Ord1) di 1,0 def361 che φ∈Ψ . Per [H:∧,¬∧,∨,¬∨,→,¬→,↔,¬↔]. Analogamente. 1,0 Per [H∃]. Se ∃xφ∈Ψ , la formula ∃xφ può solo stare in un antecedente. Siccome Ψ è un ramo di una prova ordinata, dall'applicazione della regola ∃EA [cfr. (Ord2) 1,0 x per qualche L-variabile z occorrente in Ψ. di def361] risulta φ[z ]∈Ψ 1,0 Per [H¬∀]. Sia ¬∀xφ∈Ψ , per cui: o ¬∀xφ sta in un antecedente e quindi ∀xφ sta in un succedente per applicazione di ¬EA [cfr. (Ord1) di def361], oppure ∀xφ sta direttamente in un succedente. In entrambi i casi, dall'applicazione in Ψ di EC∀ a ∀xφ [cfr. (Ord2) di def361] risulta ¬φ[xz ]∈Ψ1,0 per qualche L-variabile z occorrente in Ψ. 1,0 Per [H∀]. Sia ∀xφ∈Ψ , per cui ∀xφ può solo stare in un antecedente di Ψ. Sia k il primo livello al quale un sequente in Ψ presenta ∀xφ nell'antecedente: allora ∀xφ è una formula dell'antecedente di qualsiasi sequente in Ψ di livello m>k . Così il ramo aperto Ψ deve essere in nito: in base a (Ord4) e (Ord3) di def361 vi sono quindi in Ψ applicazioni cicliche di ∀EA a ∀xφ per ogni L-variabile in Ψ. 1,0 Per [H¬∃]. Sia ¬∃xφ∈Ψ , per cui: o ¬∃xφ sta in un antecedente e quindi ∃xφ sta in un succedente per applicazione di ¬EA [cfr. (Ord1) di def361], oppure ∃xφ sta direttamente in un succedente. Con ragionamento analogo a quello per [H∀] risulta ¬φ xy ∈Ψ1,0 per ogni L-variabile y occorrente in Ψ. Per [H¬¬]. Sia
11.1.2. Finitezza.
Resta da arontare il problema della
ridurre la complessità dello stabilire qualche
Θ⊆f Γ e Λ⊆f ∆.
Γ∆,
con
Γ,∆
conseguenza nita :
non niti, al caso
ΘΛ
per
Anche per la logica del primo ordine un modo per risolvere
il problema della conseguenza nita è dimostrare un teorema di compattezza. Questo risultato è più interessante del suo analogo per la logica enunciativa [cfr.
11. ADEGUATEZZA, INVERSIONE, SISTEMI INTUIZIONISTI
314
teor187] e una sua prova diretta è molto istruttiva, oltre che discretamente com-
plessa (cfr.
16.7).
più avanti
Se si considerano insiemi di enunciati del primo
ordine utilizzando sistemi di prova, il teorema di Compattezza si dimostra piutto-
5.3), non è di cile
sto facilmente. Come già visto per la logica enunciativa (cfr.
c
dimostrare teor397( ), cioè che compattezza e proprietà della conseguenza nita sono ricavabili l'una dall'altra.
Teorema 397.
(Finitezza della conseguenza logica del primo ordine)
a. Un insieme Θ di formule predicative del primo ordine ha un modello se e solo se ogni Λ⊆f Θ ha un modello. (Compattezza) b. Γ∆, con Γ,∆ non niti, se solo se ΘΛ per qualche Θ⊆f Γ e Λ⊆f ∆. (Conseguenza nita)
c. I teoremi (a ) e (b ) sono equivalenti. Ga si può dimostrare direttamente
Come già per la logica enunciativa, anche per
il teorema di Finitezza facendo uso di analisi in nite. sequenti in niti per
La dimostrazione con
Ga non è diversa da quella già vista per Gae (cfr.
5.3).
(L'unica
dierenza n dal principio è che non è possibile disporre - nel caso generale in
Ga
- di prove analitiche ridotte.) Con teor397 termina anche la prova di teor392 di caratterizzazione per
Ga.
11.1.3. Coerenza.
Ga prova solo
Dal fatto che il sistema
teoremi che rappre-
sentano istanze corrette di conseguenza logica quanti cazionale del primo ordine segue, come già sappiamo dal caso enunciativo, direttamente la sua
male e
nel senso seguente: non esiste una formula
?
⇒ ¬φ.
φ
nel linguaggio
Q
coerenza for-
tale che
⇒? φ
Naturalmente, in vista del carattere in ninitario delle interpretazioni
in strutture ammissibili, questa dimostrazione di coerenza della logica del primo ordine non è certo costruttiva. Si può però fare di meglio in diversi modi. Come nella logica enunciativa, dalla
proprietà discendente della sottoformula Ga Ga:2
delle regole del sistema analitico segue che non è provabile in e ciò equivale a una dimostrazione di coerenza formale di
Teorema 398. 0Ga ⇒. 11.1.4. Indecidibilità. l'insieme
FoQ
se esiste un
(4) per ogni
Analogamente al caso enunciativo, diciamo
metodo ricorsivo di decisione D
φ∈FoQ , D
il sequente vuoto,
determina se
φ∈V
o
-decidibile
tale che
φ∈N .
dove i seguenti insiemi
V ={φ∈FoQ |φ} , N ={φ∈FoQ |2φ} FoQ delle formule nel linguaggio Q. Un dispositivo di prova T di un sistema T=hQ,T` i come de nito in def117 è un metodo semi-ricorsivo di decisione per V se è completo per V - ossia, se da φ∈V segue `T φ. Ciò vale in particolare per il dispositivo Ga` riguardo alle a-prove di chiusura, come risulta dal teorema di completezza. Il dispositivo di prova di Ga produce anche (5)
partizionano esaustivamente l'insieme
2La
coerenza della logica predicativa del primo ordine si ottiene anche tramite un'interpretazione
nella logica enunciativa - in sostanza con la restrizione a domini di un solo oggetto e riducendo in senso enunciativo i quanti catori. Questo tipo di dimostrazione è (stato) piuttosto frequente nel trattamento della logica del primo ordine con sistemi assiomatici.
Un risultato analogo a
teor398, basato sulla normalizzazione delle derivazioni e la proprietà della sottoformula, è invece
grosso modo standard nel trattamento della logica del primo ordine tramite deduzione naturale, cfr.
12.2.2.
11.1. TEOREMI DI CARATTERIZZAZIONE
315
ricerche analitiche per le formule non valide, ma dare prove analitiche aperte in non è in generale un metodo semi-ricorsivo di decisione per l'insieme
N.
Ga
Non rientra
tra gli obiettivi di questo testo arontare direttamente problemi di decisione, così ci limitiamo a una formulazione generale dell'indecidibilità della logica del primo ordine.
Teorema 399. L'insieme
FoQ è -semi-decidibile (in particolare il dispositivo di prova Ga` è un metodo di semi-decisione per FoQ ), ma non è -decidibile.3 In eetti, a dierenza di quella enunciativa, la logica predicativa del primo ordine è dimostrabilmente non decidibile.
4
Essa è solo
semi -decidibile :
se una
formula del primo ordine è valida (ossia è valida la sua chiusura universale), se ne può dare una prova formale e dare prove formali è appunto un metodo per decidere le formule valide. Se però una formula del primo ordine è invalida, non necessariamente esiste una prova formale che lo dimostra. Così dare prove formali non è un metodo per decidere le formule invalide.
Un tale metodo di decisione
sarebbe comunque rappresentabile come una procedura per produrre prove formali, così non esiste un metodo di decisione per la logica del primo ordine.
11.1.5. Decidibilità della logica predicativa monadica. sitivo di decidibilità vale invece per la
Un risultato po-
logica predicativa monadica,
cioè se restrin-
giamo le formule a quelle costruite a partire da predicati di un solo argomento. Chiamiamo
Q1
un tale linguaggio che, salvo la restrizione a predicati monadici,
resta de nito nel modo usuale. particolare
monadico
Diciamo poi
un enunciato in
1
Q
monadica
una formula in
Q1
(e in
).
φ è una Q1 in cui compaiono solo le lettere predicative monadiche P1 ,...,Pn , allora se φ è vera in una struttura segue che φ è vera in una struttura nita, la cardinalità n del cui dominio è ≤2 (dove n è appunto il numero dei predicati monadici in φ). Il motivo per cui la logica predicativa monadica è decidibile è che se
formula di
Poiché il numero delle strutture basate su un dominio nito è a sua volta nito, possiamo indagare se fra queste strutture ve ne sia una che soddisfa scopriremo; altrimenti sapremo che nessuna struttura è modello di un enunciato monadico
φ.
φ.
Se sì, lo
Dato quindi
φ di Q1 , possiamo decidere se φ è falsi cabile o è logicamente
valido.
Teorema 400. Sia φ una formula di Q1 contenente solo le lettere predicative mo-
nadiche P1 ,...,Pn (si osservi che non contiene simboli funzionali, costanti individuali e predicato dell'identità): allora φ sse A φ per ogni struttura ammissibile A con dominio A con al massimo 2n individui.
A= A,P1A ,...,PnA una struttura 1 guaggio Q di φ e supponiamo che per a1 ,...,ak ∈A valga: A (1) 1,...,k ¬φ. σ Dimostrazione. Sia
ammissibile per il lin-
a1 ,...,ak
Quello che vogliamo mostrare è che esiste allora una struttura
A
‡
contiene al massimo
2
n
una relazione di equivalenza "∼" ponendo, per
a∼a0 3Per
sse
a∈PiA
sse
φ. a,a0 ∈A,
individui, che non soddisfa
a0 ∈PiA
, per
A‡ ,
il cui dominio
De niamo nel dominio
A
i≤n.
la dimostrazione del teorema di indecidiblità ci permettiamo di rinviare a Bellotti-Tesconi-
16] e alla bibliogra a lì indicata. 39].
Moriconi [
4Church
[
11. ADEGUATEZZA, INVERSIONE, SISTEMI INTUIZIONISTI
316
a∼a0 sse a e a0 in A soddisfano gli stessi predicati monadici della lista P1 ,...,Pn . Chiaramente "∼" è una relazione di equivalenza e indichiamo con [a]∼ la classe di n equivalenza di a. Essendo n il numero dei predicati, vi sono al massimo 2 classi di equivalenza di questo tipo. (Intuitivamente, se fosse n=1,allora il dominio di A sarebbe diviso in al massimo 21 =2 classi: quella degli individui che soddisfano
Cioè,
quell'unica lettera predicativa e quella degli individui che non la soddisfano. le lettere predicative fossero due, diciamo diviso in al massimo
22 =4
P1
e
P2 ,
allora il dominio di
A
Se
sarebbe
classi: le due classi degli individui che soddisfano solo
uno dei predicati, la classe di quelli che li soddisfano entrambi e la classe di quelli che non ne soddisfano nessuno; e così via.) De niamo ora una nuova struttura equivalenza indotte in
A
A‡
il cui dominio è l'insieme delle classi di
dalla relazione "∼" (e quindi di cardinalità
≤2n );
cioè,
‡
A ={[a]∼ |a∈A}. Su questa base poniano poi, per
i≤n,
Pi‡ = [a]∼ |a∈PiA notando che questa è una buona de nizione, poiché
A appartengono allo stesso sottoinsieme Pi di
A.
[a]∼ =[a0 ]∼
implica che
a
e
a0
Ne segue che
D E A = A‡ ,P1‡ ,...,Pn‡ ‡
è una struttura ammissibile per
σ
successione (2)
‡
A [σ] φ
sse
∼
dove
[σ]∼
φ
e per induzione su
φ
si mostra che per ogni
vale:
A σφ
è la successione che alla variabile individuale
vk
assegna
[σ(k)]∼ .
Si
osservi che vale chiaramente: (*)
k ([σ]∼ )[a] = σak ∼ . ∼
La base dell'induzione è data dalla de nizione della struttura
A‡ .
Il passo induttivo
è ovvio nei casi dei connettivi enunciativi. Consideriamo il caso del quanti catore esistenziale: ‡
A [σ] ∃vk ψ
sse
per qualche
sse
per qualche
∼
sse sse
‡
[a]∼ ∈A‡ ,A[σ] k ψ ( ∼ )[a]∼ A‡ a∈A,[σk ] ψ a ∼
A‡ per qualche a∈A, k ψ σa ‡ A σ ∃vk ψ
def287(h)
(*) IpInd def287(h)
Da (1) e dall'equivalenza (2) dimostrata segue naturalmente ‡
A σ 1,...,k
¬φ.
[a1 ]∼ ,...,[ak ] ∼
Abbiamo così stabilito che se
φ non
è vera in una qualche struttura, allora
in una struttura con dominio contenente al massimo
2n
non è vera
elementi. L'implicazione
inversa è banale.
Dal teorema precedente segue subito la decidibilità della logica predicativa monadica:
Corollario 401. L'insieme FoQ è -decidibile. 1
11.1. TEOREMI DI CARATTERIZZAZIONE
Osservazione 402.
317
Alcune osservazioni sono opportune. In primo luogo, come ha
non fornisce una soluzione per il problema per la dimostrabilità della classe di formule monadiche valide.5 È vero
sottolineato Alonzo Church, il teorema della decisione
che il teorema di completezza per la logica del primo ordine ci permette di mettere in relazione i due aspetti, ma per la natura di questo risultato il precedente teorema non ci fornisce un metodo eettivo per trovare una dimostrazione per una formula
φ
che contenga solo lettere predicative monadiche e che sia vera in una struttura con dominio contenente occorrenti in
≤2n(φ)
(dove
n(φ) è il numero
di lettere predicative monadiche
φ).
In secondo luogo, va osservato che se nel linguaggio è presente il simbolo dell'identità, allora la procedura del precedente teorema non funziona. Consideriamo infatti l'enunciato
∃x∃y(x6=y∧P x∧P y) e sia
A
una struttura il cui dominio
entrambi
P A.
A
contiene due oggetti diversi che soddisfano
La precedente costruzione collocherebbe allora i due elementi nella
stessa classe di equivalenza, e quindi in questo caso la struttura dominio contenente un solo individuo che soddisfa
A‡
P
‡
A‡
avrebbe un
. Ma allora nella struttura
l'enunciato precedente non sarebbe vero, mentre poteva benissimo essere vero
6
nella struttura di partenza.
Da un punto di vista storico va rilevato che la procedura contenuta nel precedente teorema riproduce sostanzialmente quella ideata da P. Bernays e M. Schön nkel nel 1928.
7
8
Il problema era però già stato trattato da L. Löwenheim nel 1915,
9
ripreso da Skolem nel 1919 e 1920 e da Behmann nel 1922.
e poi
Versioni modi cate del
93] e
metodo di Behmann si trovano nel primo volume (1934) di Hilbert-Bernays [ in un artciolo di Quine del 1945.
10
Vale ancora la pena di osservare che il fatto che abbia una soluzione positiva il problema di trovare una procedura eettiva per decidere la validità delle formule della logica predicativa monadica è storicamente signi cativo in relazione alla famo-
Prefazione alla seconda edizione della Critica della Ragion Pura - sul sostanziale esaurimento della ricerca logica, intendendo per logica
sa osservazione kantiana - nella
quella aristotelica, chiamata anche generale, formale o classica. Il motivo di tale rilievo era dato dalla convinzione che ogni questione sollevabile in tale logica poteva essere decisa, per cui essa veniva a costituire un sistema chiuso e completo. Poiché le asserzioni e le inferenze della logica formale cui Kant si riferiva rientrano nel campo della logica predicativa monadica, teor400 ci permette di rilevare, da una parte, la sostanziale correttezza della valutazione kantiana e, dall'altra, il fatto che inferenze intuitivamente valide, come
Ogni cavallo è un animale Quindi, ogni amico di un cavallo è amico di un animale, 5Church [40], 46. 6Non ci soermiamo
qui sulle modi cazioni che bisogna apportare alla costruzione in presenza
dell'identità. Un'elegante procedura, ideata da R. Jensen, è esposta in Boolos-Jerey [
7Bernays-Schön nkel [22]. 8Löwenheim [120]. 9Skolem [181]; Behmann [13]. 10Quine [153].
31].
11. ADEGUATEZZA, INVERSIONE, SISTEMI INTUIZIONISTI
318
non trattabili sillogisticamente, richiedono simboli predicativi diadici perché ne possa essere adeguatamente rappresentata la forma logica (cioè in modo da farne emergere la validità). Secondo la tradizione classica, cioè entro una prospettiva monadica, si poteva infatti solo esprimere le proprietà "essere un cavallo", "essere un animale", "essere amico di un cavallo" e "essere amico di un animale", ma senza poter mettere in
relazione
il fatto di essere un cavallo (animale) con il fatto di
essere amico di un cavallo (animale). Come risulta da teor399, questa crescita di capacità espressiva ha comportanto l'indecidibilità della corrispondente nozione di validità. È ancora opportuno considerare più in particolare l'aermazione fatta inzialmente secondo cui il numero delle struttura basate su un dominio nito è a sua volta nito. Si tratta qui di consideraioni del tutto generali, cioè non ristrette alla logica predicativa monadica. Sia dunque
X
R1 ,...,Rn ,
φ
una formula in cui compaiono le lettere predi-
F1 ,...,Fl e le costanti individuali c1 ,...,ck , e sia m. Per ogni i≤n, ci sono mα(i) distinte α(i)-ple mα(i) di elementi di X e quindi 2 distinti sottoinsiemi di α(i)-ple di elementi di X . Q mα(i) Essendo n le lettere predicative di φ, ci saranno al massimo interprei≤n 2 tazioni diverse possibili. Analogamente, per ogni j≤l, il dominio di interpretazione della lettera funzionale Fj sarà costituito dall'insieme delle α(j)-ple distinte di eleα(j) menti di X ; cioè, da un insieme di m elementi. Per ognuna di queste α(j)-ple, i possibili valori dell'interpretazione di Fj sono m (ossia tanti quanti gli elementi mα(i) di X ) e quindi le possibili interpretazioni di Fj sono al massimo m . Essendo Q α(j) l le lettere funzionali di φ, ci saranno al massimo j≤l mm diverse interpretazioni possibili. In ne, per ogni costante individuale ci (i≤k ) vi sono m possibili interpretazioni; cioè, di nuovo, tante quanti sono gli elementi di X . Essendo k le k costanti individuali di φ, vi saranno al massimo m diverse interpretazioni possibili.
cative
le lettere funzionali
un insieme di cardinalità nita
In conclusione, vi saranno al massimo (a meno di isomor smi)
Q
α(j) mα(i) Q • j≤l mm •mk i≤n 2
m! possibili interpretazioni per il linguaggio di
φ.
11.2. Derivabilità delle regole strutturali 11.2.1. Inversione. Consideriamo un sistema analitico G1a ma non ha le regole di Contrazione, e anche un sistema sintetico nel linguaggio
Q⇒ )
che è come
G1c
Ga
(entrambi
che adotta tutte e sole le regole di introduzione dello schema
generale per la logica del primo ordine e ha, come
Ga, assiomi di inclusione ristretta:
De nizione 403. G1c` è individuato da: AxInclR, ¬IA, IC¬, ∧IA, IC∧, ∨IA, IC∨, →IA, IC→, ↔IA, IC↔, ∀IA, IC∀, ∃IA, IC∃. Si dimostrano le seguenti proprietà generali di inversione tra formule quanti cate e loro sottoformule immediate negli antecedenti e nei succedenti delle prove analitiche in
G1a
(e delle prove in
Teorema 404. a - e di
( ) ( )
G1c).
Per il sistema formale G1a (G1c) valgono le proprietà le proprietà (a )-(e ) di teor194 e in più le seguenti :
(Inversione)
teor193,
f. `n ∀xφ,Γ⇒∆ se e solo se `≤n φ
x y ,∀xφ,Γ⇒∆.
11.2. DERIVABILITÀ DELLE REGOLE STRUTTURALI
g. Se `n Γ⇒∆,∀xφ, allora `≤n Γ⇒∆,φ
319
.
x y
h. Se `n ∃xφ,Γ⇒∆, allora`≤n φ xy ,Γ⇒∆.
i. `n Γ⇒∆,∃xφ se e solo se`≤n Γ⇒∆,∃xφ,φ
.
x y
f
i
Dimostrazione. Naturalmente i teoremi ( ) e ( ) sono banali e vengono qui
enunciati solo per completezza.
g n della a-prova in G1a.11 Per n=0 il risultato è banale. Ψn+1 :Γ⇒∆,∀xφ una a-prova di chiusura. Se ∀xφ è la formula principale della x regola EC∀ che conduce alla sottoprova immediata di Ψ, allora Γ⇒∆,φ[z ] ha una prova di grado ≤n dove z non occorre in Γ,∆,φ. Così per lemma358 risulta anche x una a-prova di Γ⇒∆,φ y di grado ≤n. Se invece ∀xφ non è la formula principale, Ψ ha una sottoprova immediata Ψ1 oppure sottoprove immediate Ψ1 e Ψ2
Per ( ): induzione sul grado Sia
Ψ1 :Γ0 ⇒∆0 ,∀xφ Ψ2 :Γ00 ⇒∆00 ,∀xφ di grado
≤n,
secondo che la regola interessata sia di continuità o di biforcazione.
Così per (IpInd) esiste una a-prova di chiusura e
Ψ11
oppure a-prove di chiusura
Ψ11
Ψ21 Ψ11 :Γ0 ⇒∆0 ,φ
di grado
≤n.
x y
Ψ21 :Γ00 ⇒∆00 ,φ xy
Se la regola interessata è di biforcazione o di continuità per un
connettivo, la a-prova
Ψ11
o le a-prove
Ψ11
e
Ψ21
danno luogo a loro volta - per
applicazione della stessa regola - a una a-prova di chiusura
n+1.
Ψ0 :Γ⇒∆,φ
x y
di grado
Se la regola interessata è di eliminazione di un quanti catore, si danno i
seguenti casi. Casi
∀EA
e
EC∃.
Ψ11 :ψ[xt ],∀xψ,Γ0 ⇒∆,φ xy , dalla quale ri ∀xψ,Γ0 ⇒∆,φ xy per applicazione di ∀EA. Analogamente per
Abbiamo una a-prova
sulta provabile anche
EC∃. x 0 ∃EA e EC∀. Abbiamo una a-prova Ψ11 :ψ[w z ],Γ ⇒∆,φ y , dove z non occorre 0 in ψ,Γ ,∆,∀xφ. Possiamo anche supporre che z6=y - in caso contrario, infatti, applix 0 chiamo teor357 - e così Ψ11 è sottoprova di una a-prova di ∃wψ,Γ ⇒∆,φ y per ∃EA. Analogamente per EC∀. Per (h ): la dimostrazione è analoga (v. anche più avanti teor414). Casi
11.2.2. Derivabilità delle regole di Contrazione.
Come nella logica enun-
ciativa, una conseguenza del teorema di Inversione è l'eliminabilità delle regole di Contrazione dalle prove analitiche (e da quelle deduttive). Si dimostra infatti che quanto è provabile usando regole strutturali di Contrazione è provabile anche senza tali regole e con prove dello stesso grado. (Qui usiamo ` genericamente per e
G1a
G1c.)
Teorema 405. Se Γ⇒∆,Θ.
`n Λ,Λ,Γ⇒∆, allora `n Λ,Γ⇒∆; e se `n Γ⇒∆,Θ,Θ, allora `n
Dimostrazione. Per induzione simultanea sul grado delle a-prove di chiusura
Φ:Λ,Λ,Γ⇒∆
e
Ψ:Γ⇒∆,Θ,Θ
in
G1a.12
In realtà, continuiamo la dimostrazione di
teor195.
Caso
11Le 12La
∃EA. Λ=∃xφ,Λ0
dimostrazioni per dimostrazione per
e
Φn+1
ha forma:
G1c risultano immediatamente G1c è analoga.
da quelle per
G1a.
11. ADEGUATEZZA, INVERSIONE, SISTEMI INTUIZIONISTI
320
Φ1 Φ1
dove
≤n,
. . .
≤n.
Φ11 :φ[xz ],∃xφ,Λ0 ,Γ⇒∆ di grado x x 0 a-prova: Φ111 :φ[z ],φ[z ],Λ ,Γ⇒∆
Per (IpInd) c'è una a-prova
h
così in base a teor404( ) risulta anche una
di grado
Φ01
n.
è di grado
∃xφ,Λ0 ,Λ,Γ⇒∆ ( x h∃EAi φ[z ],Λ0 ,Λ,Γ⇒∆
A questa applichiamo ancora (IpInd), ottenendo così la sottoprova
della a-prova di chiusura richiesta:
Φ01 ∀EA, EC∀, EC∃.
Casi
∃xφ,Λ0 ,Γ⇒∆ ( x h∃EAi φ[z ],Λ0 ,Γ⇒∆ . . .
Le dimostrazioni sono analoghe.
11.2.3. Derivabilità del Taglio.
Mostriamo in ne che anche nella logica del-
la quanti cazione la regola del Taglio è derivabile. Il risultato è qui dimostrato per
G1c nel quale sono derivabili, come già sappiamo, CtA, CCt, AgA e CAg. La dimostrazione è tuttavia facilmen-
il sistema deduttivo minimale le regole strutturali
te riscrivibile per le prove analitiche, e quindi come una dimostrazione
diretta
di
teor362.
Γ⇒Θ,χ χ,Λ⇒∆ hTgi Γ,Λ⇒Θ,∆
Teorema 406. La regola
è derivabile in G1c.
Dimostrazione. Continuiamo la dimostrazione di teor197 considerando i
nuovi casi relativi alle regole per i quanti catori. che esistono s-prove
Φ:Γ⇒Λ,χ
e
Ψ:χ,Θ⇒∆.
L'ipotesi del teorema ci dice
Il caso di
gr(Φ)+gr(Ψ)=0
è come
in teor197, perché usare formule atomiche quanti cazionali invece che variabili enunciative non cambia assolutamente nulla. Se invece
gr(Φ)+gr(Ψ)=m+n+2,
consideriamo le situazioni seguenti. Situazione (α): l'ultima inferenza in
χ. Φ. Φ è di
Φ
non è l'applicazione di una regola alla
formula di Taglio Caso
∀IA
in
forma
( Φ1
dove
Φ1
è di grado
( Φn1
Caso
∃IA
in
n.
. . .
φ[xt ],∀xφ,Γ0 ⇒∆,χ h∀IAi ∀xφ,Γ0 ⇒∆,χ
Usando l'ipotesi del teorema e (IpInd) risulta allora la prova: . . .
. . .
φ[xt ],∀xφ,Γ0 ⇒∆,χ
)
χ,Λ⇒Θ hTgi φ[xt ],∀xφ,Γ0 ,Λ⇒Θ,∆ h∀IAi ∀xφ,Γ0 ,Λ⇒Θ,∆
Φ. Φ
è di forma
Ψm+1
11.2. DERIVABILITÀ DELLE REGOLE STRUTTURALI
(
. . .
Φ1
dove
Φ1
è di grado
n.
φ[xz ],Γ0 ⇒∆,χ h∃IAi ∃xφ,Γ0 ⇒∆,χ z
La scelta della variabile designata
porre che non occorra in
321
Λ,Θ
è arbitraria e si può sup-
(o applicare teor357). Usando l'ipotesi del teorema
e (IpInd) risulta allora la seguente prova:
( Φn1
Caso Caso
IC∀ IC∃
in in
Φ. Φ.
. . .
)
. . .
Ψm+1
φ[xz ],Γ0 ⇒∆,χ
χ,Λ⇒Θ hTgi φ[xz ],Γ0 ,Λ⇒Θ,∆ h∃IAi ∃xφ,Γ0 ,Λ⇒Θ,∆ ∃IA ∀IA
Analogo al precedente caso Analogo al precedente caso
Situazione (β ): l'ultima inferenza in
χ. Ψ. Ψ è
Ψ
in in
Φ. Φ.
non è l'applicazione di una regola alla
formula di Taglio Caso
IC∀
in
di forma . . .
) Ψ1
χ,Λ⇒Θ0 ,φ[xz ] hIC∀i χ,Λ⇒Θ0 ,∀xφ dove
Ψ1
è di grado
m.
La scelta della variabile designata
porre che non occorra in
Γ,∆
z
è arbitraria e si può sup-
(o applicare teor357). Usando l'ipotesi del teorema
e (IpInd) risulta allora la seguente prova:
( Φn+1
Caso
IC∃
in
Ψ. Ψ
. . .
Γ⇒∆,χ χ,Λ⇒Θ0 ,φ[xz ] hTgi Γ,Λ⇒Θ0 ,∆,φ[xz ] hIC∀i Γ,Λ⇒Θ0 ,∆,∀xφ )
χ,Λ⇒Θ0 ,∃xφ,φ[xt ] hIC∃i χ,Λ⇒Θ0 ,∃xφ Ψ1
Ψm 1
è di forma . . .
dove
)
. . .
è di grado
m.
Ψ1
Usando l'ipotesi del teorema e (IpInd) risulta allora la
seguente prova:
( Φ
n+1
. . .
. . .
Γ⇒∆,χ χ,Λ⇒Θ0 ,∃xφ,φ[xt ] hTgi Γ,Λ⇒Θ0 ,∆,∃xφ,φ[xt ] hIC∃i Γ,Λ⇒Θ0 ,∆,∃xφ
) Ψm 1
11. ADEGUATEZZA, INVERSIONE, SISTEMI INTUIZIONISTI
322
Caso Caso
∀IA ∃IA
in in
Ψ. Ψ.
Analogo al precedente caso
Situazione (γ ): l'ultima inferenza in una regola alla formula di Taglio Caso
χ=∀xφ,
IC∃ in Ψ. IC∀ in Ψ. Φ e l'ultima
Analogo al precedente caso
IC∀
per cui
(
in
Φ
e
χ. ∀IA
in
Ψ.
Quindi
. . .
Φ1
Φ
e
in
Ψ
Ψ
sono applicazioni di
sono di forma
)
. . .
Ψ1 Γ⇒∆,φ[xz ] φ[xt ],∀xφ,Λ⇒Θ hIC∀i h∀IAi Γ⇒∆,∀xφ ∀xφ,Λ⇒Θ x dove Φ1 è di grado n e Ψ1 di grado m. Ovviamente t è libero per z in φ[z ], x in più z non occorre in Γ,∆, così applicando lemma358 a Γ⇒∆,φ[z ] otteniamo Φ11 :Γ⇒∆,φ[xt ] di grado n. Usando (IpInd) risulta allora la seguente prova: ) ( . . .
Φn+1
Caso
. . .
Ψm 1
φ[xt ],∀xφ,Λ⇒Θ
Γ⇒∆,∀xφ hTgi φ[xt ],Γ,Λ⇒∆,Θ Γ⇒∆,φ[xt ] hTg,CtA,CCti Γ,Λ⇒∆,Θ χ=∃xφ, per cui IC∃ in Φ e ∃IA in Ψ. Quindi Φ ( . . .
e
Ψ
sono di forma
)
. . .
Ψ1 φ[xz ],Λ⇒Θ Γ⇒∆,∃xφ,φ[xt ] hIC∃i h∃IAi Γ⇒∆,∃xφ ∃xφ,Λ⇒Θ x dove Φ1 è di grado n e Ψ1 di grado m. Ovviamente t è libero per z in φ[z ], x in più z non occorre in Λ,Θ, così applicando lemma358 a φ[z ],Λ⇒Θ otteniamo Ψ11 :φ[xt ],Λ⇒Θ di grado m. Usando (IpInd) risulta la seguente prova ) ( Φ1
Φn1
. . .
. . .
Γ⇒∆,∃xφ,φ[xt ]
Ψm+1
∃xφ,Λ⇒Θ hTgi Γ,Λ⇒∆,Θ,φ[xt ] φ[xt ],Λ⇒Θ hTg,CtA,CCti Γ,Λ⇒∆,Θ
che è quanto cercato.
11.3. Sistemi intuizionisti 11.3.1. Regole intuizioniste per la quanti cazione.
Sistemi a sequenti
intuizionisti per la logica della quanti cazione si ottengono estendendo in modo opportuno i sistemi enunciativi di
Cap6.
Qui prendiamo in esame versioni quanti-
cazionali dei sistemi senza succedenti multipli. Le regole quanti cazionali sono le seguenti: Regole di introduzione per
φ[xt ],∀xφ,Γ⇒χ h∀IiAi ∀xφ,Γ⇒χ
Γ⇒φ[xz ] hIiC∀i Γ⇒∀xφ
∀
11.3. SISTEMI INTUIZIONISTI
323
Regole di introduzione per
φ[xz ],Γ⇒χ h∃IiAi ∃xφ,Γ⇒χ
Proposizione 407.
Per
IiC∀
e
∃IiA: z
Consideriamo in particolare il sistema zionale di
Gie
‡
.
non occorre nel sequente inferiore
D E Gi‡ = Q‡⇒ ,Gi‡`
che è la versione quanti ca-
13
e resta determinato dalla de nizione seguente:
De nizione 408. a.
∃
Γ⇒φ[xt ] hIiC∃i Γ⇒∃xφ
(Sistema
intuizionista
di sequenti
Gi‡ )
φ1 ,...,φn ,ψ∈FoQ‡ , allora φ1 ,...,φn ⇒ψ∈FoQ‡⇒ . ‡ . Gi` è individuato da: AxId, ¬IiA, IiC¬, ∧IiA, IiC∧, ∀IiA, IiC∀, ∃IiA, IiC∃, AgiA, CAgi, CtiA, Tgi. Se
b
14
Analogamente al caso enunciativo,
‡
Gi
salvo che non prevede la regola
il sistema
CAgi
minimale
∨IiA, IiC∨, →IiA, IiC→, di sequenti
è come
di Aggiunta nel succedente. Vediamo a
seguire alcuni esempi di prova deduttiva nel sistema intuizionista QJ1.
Gm‡
Gi‡ .
⇒¬¬∀xφ→∀x¬¬φ h363(a)i ∀xφ⇒φ[x] h¬IiAi ¬φ[x],∀xφ⇒ hIiC¬i ¬φ[x]⇒¬∀xφ h¬IiAi ¬¬∀xφ,¬φ[x]⇒ hIiC¬i ¬¬∀xφ⇒¬¬φ[x] hIiC∀i ¬¬∀xφ⇒∀x¬¬φ hIiC→i ⇒¬¬∀xφ→∀x¬¬φ
QJ2.
⇒∃x¬¬φ→¬¬∃xφ hQ4i ¬∃xφ⇒¬φ[xz ] h¬IiAi ¬¬φ[xz ],¬∃xφ⇒ hIiC¬i ¬¬φ[xz ]⇒¬¬∃xφ h∃IiAi ∃x¬¬φ⇒¬¬∃xφ
Nella logica inuizionista nessuno dei due quanti catori è de nibile a partire dall'al-
◦
◦ e Q9 e le seguenti sono le versioni ◦ e Q9 :
tro - non valgono le equivalenze deduttive Q7
◦
intuizioniste del lato classico in Q7 , Q8 QJ3.
◦
⇒¬∃x¬φ→∀x¬¬φ.
13Per il linguaggio Q‡ , 14Cfr. 6.3.2.
v.
8.4; per le regole dei connettivi di Gi‡ , v. 6.3.3.
11. ADEGUATEZZA, INVERSIONE, SISTEMI INTUIZIONISTI
324
QJ4. QJ5.
⇒¬∀x¬φ→¬¬∃xφ. ⇒¬∀x¬¬φ→¬¬∃x¬φ.
Ecco le prove di QJ3 e di QJ4:
h363(b)i φ[xz ]⇒∃xφ h¬IiAi ¬∃xφ,φ[xz ]⇒ hIiC¬i ¬∃xφ⇒¬φ[xz ] hIiC∀i ¬∃xφ⇒∀x¬φ h¬IiAi ¬∀x¬φ,¬∃xφ⇒ hIiC¬i ¬∀x¬φ⇒¬¬∃xφ hIiC→i ⇒¬∀x¬φ→¬¬∃xφ
h363(b)i ¬φ[x]⇒∃x¬φ
¬IAJ ¬∃x¬φ,¬φ[x]⇒
J IC ¬ ¬∃x¬φ⇒¬¬φ[x]
J IC ∀ ¬∃x¬φ⇒∀x¬¬φ[x]
J IC → ⇒¬∃x¬φ→∀x¬¬φ
Vediamo ancora alcune leggi classiche non valide intuizionisticamente.
Esempio 409.
Non sono leggi intuizioniste:
a. ⇒¬¬∃xφ→∃xφ b. ⇒¬∃x(φ∧¬ψ)→∀x(φ→ψ) c. ⇒¬¬(∀xφ∨∃x¬φ) d. ⇒¬¬∀x(φ[x]∨¬φ[x])
11.3.2. Derivabilità delle regole strutturali, inversione.
Anche per la lo-
gica quanti cazionale intuizionista si può costruire (analogamente a quanto già fatto in
6.4 per quella enunciativa) un sistema di sequenti G0i=
⊥ Q⇒ ,G0i` privo di rego-
le strutturali, che restituisce una forma normale di provabilità quanti cazionale intuizionista. Il linguaggio
De nizione 410.
Se
Il dispositivo di prova
Q⊥ ⇒
è ottenuto da
φ1 ,...,φn ,ψ∈FoQ⊥ ,
Q⊥
allora
nel modo canonico:
φ1 ,...,φn ⇒ψ∈FoQ⊥ . ⇒
G0i è come quello del sistema enunciativo G0i di 6.3.3 - quin-
di non comprende regole strutturali - con in più le pertinenti regole quanti cazionali. Riassumendo, il dispositivo di prova di
G0i
resta così individuato:
De nizione 411. G0i` ha gli assiomi JAxIncl e JAx⊥ IiC∧, ∨IiA, IiC∨, →JIA, IiC→, ∀IiA, IiC∀, ∃IiA, IiC∃.
e le regole operazionali
Proseguendo la dimostrazione di teor207 si vede facilmente che in
∧IiA,
G0i sono teoremi
tutti i sequenti con formule di inclusione di qualsiasi grado:
Teorema 412.
`G0i φ,Γ⇒φ.
La regola di Aggiunta nell'antecedente è derivabile in
G0i e, in particolare, applicare
la regola a un sequente provabile restituisce una prova dello stesso grado.
Teorema 413. Se `nG0i Γ⇒χ, allora `nG0i Γ,Λ⇒χ.
11.3. SISTEMI INTUIZIONISTI
325
n della prova in G0i. Per n=0 il risultato Ψn+1 :∃xφ,Γ⇒χ una prova in G0i. Se ∃xφ è la formula principale della x regola ∃IA che conclude dalla sottoprova immediata di Ψ, allora φ[z ],Γ⇒χ ha una prova di grado ≤n dove z non occorre in Γ,χ,φ. Così per lemma358 risulta anche x una prova di φ y ,Γ⇒χ di grado ≤n. Se invece ∃xφ non è la formula principale, Ψ ha una sottoprova immediata Ψ1 oppure sottoprove immediate Ψ1 e Ψ2 Ψ1 :∃xφ,Γ0 ⇒χ0 Ψ2 :∃xφ,Γ00 ⇒χ00 di grado ≤n, secondo che la regola interessata sia di continuità o di biforcazione. Così per (IpInd) esiste una prova Ψ11 oppure prove Ψ11 e Ψ21 Ψ11 :φ xy ,Γ0 ⇒χ0 Ψ21 :φ xy ,Γ00 ⇒χ00 di grado ≤n. Se la regola interessata è di biforcazione o di continuità per un connettivo, la prova Ψ11 o le prove Ψ11 e Ψ21 danno luogo a loro volta - per x 0 applicazione della stessa regola - a una prova Ψ :φ y ,Γ⇒χ, di grado n+1. Se la
Dimostrazione. Per induzione sul grado
è banale. Sia
regola interessata è di introduzione di un quanti catore, si danno i seguenti casi.
0 IiC∃. Abbiamo una prova Ψ11 :φ xy ,ψ[w t ],∀wψ,Γ ⇒χ, dalla quale risulta x 0 provabile anche φ y ,∀wψ,Γ ⇒χ per applicazione di ∀IiA. Analogamente per IiC∃. x w 0 Casi ∃IiA e IiC∀. Abbiamo una prova Ψ11 :φ y ,ψ[z ],Γ ⇒χ, dove z non occorre 0 in ∃xφ,ψ,Γ ,χ. Possiamo anche supporre che z6=y - in caso contrario, infatti, applichiamo teor357 - e così la sottoprova Ψ11 autorizza anche alla provabilità di φ xy ,∃wψ,Γ0 ⇒χ per ∃IiA. Analogamente per IiC∀. Casi
∀IiA
e
Per il sistema
G0i
valgono risultati di inversione che semplicemente estendono
quelli già stabiliti in teor209 per il sistema enunciativo
G0ip,
in particolare il
seguente (la dimostrazione è lasciata come esercizio):
Teorema 414. Se `nG0i ∃xφ,Γ⇒χ, allora `≤n G0i φ
x y ,Γ⇒χ.
Come già per il corrispondente sistema classico, anche per quello intuizionista risulta derivabile la regola di Contrazione - e in particolare applicare la regola a un sequente provabile restituisce una prova dello stesso grado.
Teorema 415. Se `nG0i Λ,Λ,Γ⇒χ, allora `nG0i Λ,Γ⇒χ . Dimostrazione. La dimostrazione prosegue quella di teor211 per i casi quan-
ti cazionali, che si provano in modo sostanzialmente analogo ai casi di teor405,
usando in particolare teor414.
Resta ancora da vedere, naturalmente, che nel sistema quanti cazionale intuizionista è derivabile anche la regola del Taglio.
Teorema 416. La regola
Γ⇒χ χ,Λ⇒ϕ hTgii Γ,Λ⇒ϕ
è derivabile in G0i.
Dimostrazione. La dimostrazione estende quella di teor212 ai nuovi casi
quanti cazionali, in modo sostanzialmente analogo a quanto visto nella prova di teor406.
Anche teor210 si può estendere al caso della quanti cazione, così che: per formule di Harrop un risultato di inversione vale anche per la disgiunzione nel succedente (per comodità tipogra ca è eliminato l'indice G0i).
11. ADEGUATEZZA, INVERSIONE, SISTEMI INTUIZIONISTI
326
Teorema 417. Diciamo che
φ è una formula di Harrop sse : (a ) è atomica o è ⊥; (b ) è ψ∧χ o è ψ→χ, dove ψ,χ sono formule di Harrop, (c ) è ∀xφ dove φ è una formula di Harrop. Se ogni formula in Γ è una formula di Harrop, allora `n Γ⇒φ∨ψ sse `≤n Γ⇒φ o `≤n Γ⇒ψ .
Dimostrazione. Per induzione sul grado
prova in
G0i
dove
φ∨ψ
n
di
`n Γ⇒φ∨ψ .
Sia
Ψn+1 :Γ⇒φ∨ψ una Ψn+1 .
non è la formula principale dell'ultima inferenza in
Resta comunque escluso dall'ipotesi del teorema che la formula principale sia una disgiunzione o una quanti cazione esistenziale nell'antecedente, per cui rispetto alla dimostrazione di teor210 può darsi solo il nuovo caso seguente.
∀IiA. Abbiamo Ψn+1 :∀xϕ,Γ0 ⇒φ∨ψ , e quindi una prova di grado n del sequenx 0 te ϕ[t ],∀xϕ,Γ ⇒φ∨ψ . Così per (IpInd) risulta anche una prova di grado ≤n per x 0 ϕ[t ],∀xϕ,Γ ⇒φ o per ϕ[xt ],∀xϕ,Γ0 ⇒ψ . Otteniamo così `n ∀xϕ,Γ0 ⇒φ o `n ∀xϕ,Γ0 ⇒ψ Caso
applicando
∀IiA.
Estendiamo ora il sistema deriamo il sistema
G0i+
G0i
aggiungendo costanti individuali - ovvero consi-
che ha come base il linguaggio
Q+ .
proprietà della disgiunzione la seguente proprietà di esistenza :
zionale intuizionista oltre alla
Nella logica quanti cadi teor417 vale anche
Teorema 418. Se ogni formula in Γ è una formula di Harrop e ∃xφ è una formula chiusa, allora : da `G0i+ Γ⇒∃xφ segue `G0i+ Γ⇒φ[xc ] per una costante individuale c.
Osservazione 419.
Com'è noto, la logica quanti cazionale intuizionista è più
indecidibile di quella classica.
In particolare, la logica predicativa monadica -
a dierenza di quanto accade nel sistema classico - non è decidibile nel sistema intuizionista.
15
Viceversa, il frammento della logica predicativa costituito dalle
forme normali prenesse è decidibile e quindi - siccome tale frammento è indecidibile nella logica classica - non ogni formula ha un'equivalente in forma normale prenessa
16
nella logica intuizionista.
Il teorema di interpolazione si dimostra anche per la
17
logica predicativa intuizionista.
15Per una dimostrazione v. 16Per riferimenti essenziali, 17Cfr. Prawitz [146].
65].
Gabbay [
v. van Dalen [
200], p.
270.
CAPITOLO 12
Altri
sistemi di prova, teorie formali
12.1. Sistemi assiomatici per la quanti cazione Sistemi hilbertiani per la quanti cazione del primo ordine si ottengono con un'opportuna base linguistica e aggiungendo assiomi e regole di inferenza per i quanti catori ai principi di prova già visti per i connettivi enunciativi nel In particolare, il sistema
RgHc
Hc
è individuato dal linguaggio
Q
e da due insiemi
Cap7. AxHc
e
di assiomi logici e di regole di inferenza speci cati nel modo seguente. Oltre
Hce che già conosciamo (cfr. 7.1.2), AxHc ha due PU (particolarizzazione universale) per ∀, e GE (generalizzazione esistenziale) per ∃. A sua volta RgHc comprende oltre a MP anche le regole GU (generalizzazione universale) e PE (particolarizzazione esistenziale). Assiomi di Hc ◦ I.1-V.3 di Hce PU. ∀xφ→φ[xt ] GE. φ[xt ]→∃xφ
ai cinque gruppi di assiomi di assiomi di quanti cazione:
Hc ψ→φ[x] hGUi ψ→∀xφ
Regole di Inferenza di
φ→ψ φ hMPi ψ
φ[x]→ψ hPEi ∃xφ→ψ
Restrizioni su assiomi e regole di
Su Su
PU GU
e e
GE. PE.
Il termine
t
La variabile
Il sistema intuizionista
Hi
Hc x
è libero per
x
in
φ.
non occorre libera in
ψ.
per la logica quanti cazionale è
Hc
◦
meno l'assioma V.3
della doppia negazione. Il sistema assiomatico di prova
QM ,
dagli assiomi
M1-M3◦ ,
MQ
è a sua volta individuato dal linguaggio
dalla regola di inferenza
prova per la quanti cazione: gli assiomi
PU
della generalizzazione universale).
MQ M1-M3 di M PU. ∀xφ→φ[xt ] GU∗. ∀y(φ→ψ)→(φ→∀yψ)
Assiomi di
◦
Regole di inferenza di
φ→ψ φ hMPi ψ
MQ
φ[x] hGMi ∀xφ 327
e
GU∗
MP
e dai seguenti principi di
e la regola
GM
(una versione
12. ALTRI SISTEMI DI PROVA, TEORIE FORMALI
328
MQ x in φ.
Restrizioni su assiomi e regole di
Su Su
PU. Il termine t è libero per GU∗. La variabile y non occorre
libera in
φ.
Non è di cile vedere che la restrizione sulla regola
GU
è strettamente necessaria.
Essa infatti impedisce, ad esempio, che la seguente
1 2
φ[x]→φ[x] H1 φ[x]→∀xφ GU?,1 sia una prova in Hc di un improbabile teorema φ[x]→∀xφ. valgono naturalmente per GU∗.
Considerazioni analoghe
Torniamo ora brevemente al concetto di derivazione, in quanto le regole del sistema
Hc (MQ)
sono corrette per produrre dimostrazioni, ma non lo sono senza
restrizioni per produrre derivazioni. In particolare, non lo sono di
MQ).
GU e PE di Hc (GM
Occorre quindi caratterizzare le buone derivazioni, e resta inteso che
quando nel seguito si parlerà di derivazioni in
Hc (MQ),
questo vorrà sempre dire
buone derivazioni.
Asserzione 420.
Una buona derivazione in
ogni applicazione di
GU
e
PE (GM)
Hc (MQ) è una derivazione nella quale x non è libera
rispetta la restrizione seguente:
nelle assunzioni da cui dipende la premessa della regola. Gli assiomi e le regole per la quanti cazione di
Hc sono autorizzati dal teorema Hc. Una considerazione
teor347, così che non è di cile dimostrare la correttezza di
analoga vale per
MQ.
Teorema 421.
(Correttezza)
Se Γ`Hc(MQ) φ, allora Γφ.
Naturalmente anche sistemi hilbertiani per la quanti cazione come
Hc (MQ)
hanno le proprietà di nitezza e monotonicità (cfr. teor219). Inoltre soddisfano le condizioni del teorema di Deduzione:
Teorema 422.
Γ,φ`Hc(MQ) ψ se e solo se Γ`Hc(MQ) φ→ψ .
Dimostrazione. Proseguiamo la dimostrazione di teor226 considerando i casi
quanti cazionali. Caso GU. La formula ψ risulta da χ→ϕ[x] per applicazione χ→∀xϕ e per (IpInd) vale in particolare: (*) Γ`Hc φ→(χ→ϕ[x]) e x non è libera in Γ,φ,χ. Si consideri allora la seguente derivazione di φ→ψ da Γ in Hc: ··· ··· ··· i|Γ` φ→(χ→ϕ[x]) (*) i+1| (φ→(χ→ϕ[x]))→(φ∧χ→ϕ[x]) H3,IV.1,MP i+2|Γ` φ∧χ→ϕ[x] MP,(i),(i+1) i+3|Γ` φ∧χ→∀xϕ GU,(*),(i+2) i+4| (φ∧χ→∀xϕ)→(φ→(χ→∀xϕ)) H5,IV.1,MP i+5|Γ` φ→(χ→∀xϕ) MP,(i+3),(i+4) Caso PE. La formula ψ risulta da ϕ[x]→χ per applicazione ∃xϕ→χ e per (IpInd) vale in particolare: (*) Γ`Hc φ→(ϕ[x]→χ) e x non è libera in Γ,φ,χ. Si consideri allora la seguente derivazione di φ→ψ da Γ in Hc:
di
GU,
quindi
ψ
è
di
PE,
quindi
ψ
è
12.1. SISTEMI ASSIOMATICI PER LA QUANTIFICAZIONE
Il
··· ··· i|Γ` φ→(ϕ[x]→χ) i+1| (φ→(ϕ[x]→χ))→(ϕ[x]→(φ→χ)) i+2|Γ` ϕ[x]→(φ→χ) i+3|Γ` ∃xϕ→(φ→χ) i+4| (∃xϕ→(φ→χ))→(φ→(∃xϕ→χ)) i+5|Γ` φ→(∃xϕ→χ) caso analogo di MQ è lasciato come esercizio.
329
··· (*)
H3,IV.1,MP MP,(i),(i+1) PE,(*),(i+2) H3,IV.1,MP MP,(i+3),(i+4)
Usando il teorema di Deduzione non è di cile derivare in
Hc
le regole seguenti
(le dimostrazioni sono lasciate come esercizio).
Teorema 423. Se (∀`) Se (∃`) Se (`∃) Se (`∀)
(Regole derivate per i quanti catori)
Γ`Hc φ, allora Γ`Hc ∀xφ, dove x non è libera in Γ. Γ`Hc ∀xφ, allora Γ`Hc φ[xt ]. Γ,φ`Hc ψ , allora Γ,∃xφ`Hc ψ , dove x non è libera in Γ,ψ . Γ`Hc φ[xt ], allora Γ`Hc ∃xφ.
Vale naturalmente anche per
Hc
la proprietà del cambio alfabetico (la dimo-
strazione è lasciata come esercizio).
Teorema 424.
`Hc φ↔φ‡ , se φ‡ è un cambio alfabetico di φ.
Vediamo a seguire qualche esempio di prova nel sistema intuizionista
H25. `Hi ∃x∀yφ→∀y∃xφ 1| ∀yφ[x]→φ[x,y] PU 2| ∀yφ[x]→∃xφ[y] MP,I.3,1,GE 3| ∃x∀yφ→∃xφ[y] PE,2 4| ∃x∀yφ→∀y∃xφ GU,3 H26. `Hi ∀x(∃yP xy→∀wP wx)→∀x∀y(P xy→P yx) 1|1` ∀x(∃yP xy→∀wP wx) ip 2|1` ∃yP xy→∀wP wx ∀`,1 3|3` P xy ip 4|3` ∃yP xy `∃,3 5|1,3` ∀wP wx MP,2,4 6|1,3` P yx ∀`,5 7|1` P xy→P yx →I,6 8|1` ∀x∀y(P xy→P yx) `∀,7 9| ∀x(∃yP xy→∀wP wx)→∀x∀y(P xy→P yx) →I,8 H27. `Hi φ∧∃xψ→∃x(φ∧ψ), dove x non occorre libera in φ 1|1` φ∧∃xψ ip 2|1` φ ∧E,1 3|1` ∃xψ ∧E,1 4|4` ψ[x] ip 5|1,4` φ∧ψ[x] ∧I,2,4 6|1,4` ∃x(φ∧ψ) `∃,5 7|1` ψ[x]→∃x(φ∧ψ) →I,6 8|1` ∃xψ→∃x(φ∧ψ) ∃`,7 9|1` ∃x(φ∧ψ) MP,8,3 10 φ∧∃xψ→∃x(φ∧ψ) →I,9
Hi.
12. ALTRI SISTEMI DI PROVA, TEORIE FORMALI
330
Problema 425.
Provare in
Hi
le leggi seguenti:
a. ¬∃x¬φ→∀x¬¬φ b. ∃x(φ∧ψ)→¬∀x¬φ∧¬∀x¬ψ c. ∀x(φ→ψ)→(∃x¬ψ→∃x¬φ) d. ∀x∃yP xy∧∀x∀y(P xy→P yx)→∀x∃y(P xy∧P yx) e. ∃x(φ∧ψ)↔∃xφ∧∃xψ , se x non è libera in φ o in ψ f. ∀x¬φ↔¬∃xφ
A seguire vediamo qualche esempio di prova formale per leggi classiche in
H28◦ . `Hc ∀x(φ∨ψ[x])→φ∨∀xψ , dove x non occorre libera in φ. 1|1` ∀x(φ∨ψ[x]) ip 2|1` φ∨ψ[x] ∀`,1 3|3` φ ip 4|3` φ∨∀xψ ∨I,3 5|5` ¬φ ip 6|1,5` ψ[x] MP∨,2,5 7|1,5` ∀xψ `∀,6 8|1,5` φ∨∀xψ ∨I,7 9|1` φ∨∀xψ Te◦ ,4,8 10| ∀x(φ∨ψ[x])→φ∨∀xψ →I,9 ◦ H29 . `Hc ¬∀xφ↔∃x¬φ 1|1` ¬∀xφ ip 2|2` ¬∃x¬φ ip 3| ¬φ[x]→∃x¬φ GE 4|4` ¬φ[x] ip 5|4` ∃x¬φ MP,3,4 6|2,4` φ[x] ¬E,2,5 7|2` ¬¬φ[x] ¬I,4,6 8|2` φ[x] DN◦ ,7 9|2` ∀xφ `∀,8 10|1,2` ¬¬∃x¬φ ¬E,1,9 11|1` ¬¬∃x¬φ ¬I,2,10 12|1` ∃x¬φ DN◦ ,11 13| ¬∀xφ→∃x¬φ →I,12 14|14` ¬φ[x] ip 15|15` ∀xφ ip 16|15` φ[x] ∀`,15 17|14,15` ¬∀xφ ¬E,14,16 18|14` ¬∀xφ ¬I,15,17 19| ¬φ[x]→¬∀xφ →I,18 20| ∃x¬φ→¬∀xφ PE,19 21| ¬∀xφ↔∃x¬φ ↔I,13,20 H30◦ . `Hc ∃x(φ[x]→ψ)↔(∀xφ[x]→ψ), se x non occorre libera in ψ
Hc.
12.2. DEDUZIONE NATURALE
1|1` 2|2` 3|2` 4|4` 5|4,2` 6|1,2` 7|1` 8| 9|9` 10|10` 11|9,10` 12|9,10` 13|9,10` 14|14` 15|14` 16|16` 17|16` 18|16` 19|14` 20|9` 21 22
∃x(φ[x]→ψ) ∀xφ[x] φ[x] φ[x]→ψ ψ ψ ∀xφ[x]→ψ ∃x(φ[x]→ψ)→(∀xφ[x]→ψ) ∀xφ[x]→ψ ∀xφ[x] ψ φ[x]→ψ ∃x(φ[x]→ψ) ¬∀xφ[x] ∃x¬φ[x] ¬φ[x] φ[x]→ψ ∃x(φ[x]→ψ) ∃x(φ[x]→ψ) ∃x(φ[x]→ψ) (∀xφ[x]→ψ)→∃x(φ[x]→ψ) ∃x(φ[x]→ψ)↔(∀xφ[x]→ψ)
Problema 426. ◦
Hc
ip ip MP,PU,2 ip MP,3,4 ∃`,5,1 →I,6 →I,7 ip ip MP,9,10 MP,I.1,11 `∃,12 ip MP,14,H29◦ ,↔E ip MP,H14,16 `∃,17 ∃`,18,15 Te◦ ,13,19 →I,20 ↔I,8,21
le leggi seguenti:
.
∀x∀y∀w(P xy→¬P yw)→∃y∀x¬P xy
◦
.
∃x(¬¬φ∨∃yψ[x])↔(∀x¬φ→∃x¬∀y¬ψ)
◦
.
∃x(φ→ψ)↔¬(∀xφ∧∀x¬ψ)
a b
Provare in
c
331
12.2. Deduzione naturale 12.2.1. Regole per i quanti catori. Passiamo ora a considerare le regole di deduzione naturale per i quanti catori.
Una regola di introduzione di
∀
può
prendere la forma seguente
Regola
I∀
il cui signi cato è che di
x.
φ[x] hI∀i ∀xφ
:
∀xφ è conseguenza immediata di φ[x] per un valore qualunque x non occorra in alcuna assunzione
La regola è sottoposta alla condizione che
da cui dipende
φ[x],
come risulta subito se si considera la formulazione completa
della regola
[Γ] φ[x] hI∀i [Γ] ∀xφ nella quale è reso esplicito che derivabile dalle assunzioni in
Γ
∀xφ
è conseguenza immediata del fatto che
per un valore qualunque di
A sua volta, la regola di eliminazione di
∀
x.
prende la forma seguente
φ[x]
sia
12. ALTRI SISTEMI DI PROVA, TEORIE FORMALI
332
Regola
E∀
∀xφ hE∀i φ[xt ]
:
il cui signi cato è che conseguenza immediata di
φ[x]. di ∃ prende la φ[xt ] hI∃i ∃xφ
∀xφ
è qualsiasi istanza sostituzio-
nale (naturalmente corretta) di La regola di introduzione
Regola
I∃
:
il cui signi cato è che
∃xφ
forma seguente
è conseguenza immediata di una qualunque istanza
sostituzionale (naturalmente corretta) di
φ[x].
∃ può prendere la forma seguente [φ[xz ]] ψ ∃xφ Regola E∃ : hE∃i ψ il cui signi cato è che conseguenza immediata di ∃xφ è ciò che segue da un'istanza x sostituzionale arbitraria φ[z ] di φ[x]. La regola è sottoposta alla condizione che z non occorra né in ψ né in alcuna assunzione Γ da cui dipende ψ , come risulta subito A sua volta, una regola di eliminazione di
dalla formulazione completa della regola
[Γ,φ[xz ]] [Θ] ψ ∃xφ hE∃i [Γ,Θ] ψ nella quale è reso esplicito che
φ[xz ]
di
φ[x]
ψ
Come si vede, le regole per per
è derivabile da un'istanza sostituzionale arbitraria
Γ. ∀ sono entrambe p-conservative, mentre delle regole
e dalle assunzioni in
∃ solo I∃ è p-conservativa, inoltre restano stabilite per le regole quanti cazionali
le seguenti restrizioni.
Proposizione 427.
Su E∀ e I∃: il termine t è libero per x in φ. Su I∀: la variabile x non occorre libera in nessuna assunzione da cui dipende φ[x]. Su E∃: la variabile z non occorre libera né in ψ né in nessuna assunzione da cui ψ dipende. Anche una derivazione in deduzione naturale con quanti catori resta de nita dal criterio 238.
Le derivazioni sono anche qui costruite in forma d'albero e
sottoposte alle stesse convenzioni notazionali adottate per la deduzione naturale
Γ`T φ e `T φ sono come sempre. Nc=hQ,Nc` i ha linguaggio Q, il suo dispositivo di prova Nc` comprende l'assioma φ∨¬φ del terzo escluso e le regole seguenti: Ass, I¬, E¬, E∧, I∧, E∨, I∨, E→, I→, E↔, I↔, E∀, I∀, E∃, I∃. Così Nc è l'ampliamento quanti cazionale del sistema classico Nce incontrato nel 7.4.3. Analogamente, il sistema intuizionista Ni e il sistema minimale Nm hanno per i connettivi le regole, rispettivamente, dei sistemi Nie e Nme (cfr. 7.4.1-2) e in più le regole E∀, I∀, E∃, I∃ per i quanti catori. Provare in Nm gli assiomi PU e GE di Hc è immediato, così come ricavare GU e PE. Non più di cile risulta ottenere in Nm l'assioma GU∗ e la regola GM di MQ. Vediamo a seguire un esempio di prova nella logica minimale Nm. enunciativa. Le nozioni Il sistema classico
12.2. DEDUZIONE NATURALE
(1)
333
`Nm ¬∃xφ→∀x¬φ: 1:φ[x] 2:¬∃xφ hI∃i hAgi ∃xφ 1,2:¬∃xφ hI¬:-1i ¬φ[x] hI∀i ∀x¬φ hI→:-2i ¬∃xφ→∀x¬φ
Problema 428.
Provare le leggi seguenti:
a. `Ni ∀x¬φ→¬∃xφ b. `Nm ∃x(φ→ψ)→(∀xφ→¬∀x¬ψ) c. `Nm ∃x∀yφ→∀y∃xφ
Non è di cile vedere che le regole di deduzione naturale autorizzano il seguente risultato di cambio alfabetico (la dimostrazione è lasciata come esercizio):
Lemma 429.
(Cambio alfabetico) Se Φ:φ è una derivazione in Nc(m,i) e z è una variabile individuale non occorrente in Φ, allora anche Φ[y/z]:φ[y/z] è una derivazione in Nc(m,i), dove con [y/z] si intende la sostituzione di tutte le occorrenze sia libere che vincolate di y con occorrenze di z . Versioni quanti cazionali si possono ovviamente dare anche per gli altri sistemi di deduzione naturale visti nel
7.4 aggiungendo
le solite regole per i quanti catori.
In particolare, il sistema classico di prova
Lc`
Lc= Q⊥ ,Lc`
ha linguaggio
Q⊥ ,
il suo dispositivo
non ha assiomi e comprende le regole seguenti:
Ass, E∧, I∧, E∨, I∨, E→, I→, J⊥, C⊥, E∀, I∀, E∃, I∃. Analogamente, il sistema intuizionista Li e il sistema minimale Lm hanno le le, rispettivamente, dei sistemi Lie e Lme e in più le regole E∀, I∀, E∃, I∃
regoper i
quanti catori. La relazione tra le formule in
Nc(m,i)
e quelle in
Lc(m,i)
è facilmente stabilita
dalla seguente traduzione:
De nizione 430. a. b. c. d. e.
(Traduzione
τ0
di
Q
in
Q⊥ )
τ0 (φ)=φ, per φ formula atomica. τ0 (¬φ)=τ0 (φ)→⊥. τ0 (φ⊗ψ)=τ0 (φ)⊗τ0 (ψ), per ⊗=∧,∨,→. τ0 (φ↔ψ)=(τ0 (φ)→τ0 (ψ))∧(τ0 (ψ)→τ0 (φ)). τ0 (⊗xφ)=⊗xτ0 (φ), per ⊗=∀,∃.
Fissiamo ora esplicitamente l'equivalenza tra la derivabilità in
Teorema 431.
Nc(i,m)
e in
Lc(i,m):
Γ`Nc(i,m) φ se e solo se Γ`Lc(i,m) τ0 (φ).
In base a queste equivalenze deduttive possiamo riferirci indierentemente (per formule enunciative contenenti tutti i connettivi standard salvo il bicondizionale), alla derivabilità in
Problema 432.
Nc(i,m)
o in
Lc(i,m).
Provare le leggi seguenti:
12. ALTRI SISTEMI DI PROVA, TEORIE FORMALI
334
a. `Lc ∃x¬(P x∨¬Qx)→∃x¬P x∧∃xQx b. `Lm ∀xφ→∀x(¬φ→φ) c. `Li ∀x¬∃y(P x→Qy)→(∀xP x→¬∃yQy)
12.2.2. Normalizzazione.
Anche per le derivazioni in deduzione naturale so-
no dimostrabili proprietà di forma normale analoghe a quelle che abbiamo visto per i sistemi a sequenti nel relazioni tra
I-regole
e
Cap6
E-regole,
e nel
Cap11.
Ciò riguarda, innanzitutto, le
un punto già sottolineato da Gentzen col famoso
suggerimento programmatico che ...dovrebbe essere possibile mostrare che, sulla base di certe condizioni, le
1
E-inferenze
sono funzioni univoche delle I-inferenze cor-
teorema di Inversione
rispondenti - un suggerimento realizzato nel dalla designazione in Lorenzen [
(il nome viene
123] per la relazione simmetrica tra regole di intro-
duzione e regole di eliminazione). Per Gentzen questo voleva dire che fondamentali sono le I-regole, ad esse spetta infatti in qualche modo la de nizione del relativo operatore logico.
La scelta di sistemi opportuni di deduzione naturale, come
Lc,
ha qui il senso di attenuare la discrepanza tra le regole per la negazione e quelle invertibili relative agli altri operatori logici. Avere una formula prima come conseguenza di una regola di introduzione e, poi, come premessa di una regola di eliminazione rappresenta una
deviazione
rispetto a
un cammino di prova presumibilmente raddrizzabile, cioè un giro derivazionale concettualmente non necessario. Questo problema è esempli cato molto bene dalla
7.4.1, qui ripetuta per comodità:
prova della legge (1) in
1:φ 2:ψ hI∧i φ∧ψ hE∧i φ hI→:-2,-1i φ→(ψ→φ)
(1)
φ∧ψ che φ→(ψ→φ)
Nella prova (1) abbiamo una deviazione e la formula
ne è protagonista
si vede che non è sottoformula della formula nale
della prova.
Così
le prove con deviazioni non hanno la proprietà della sottoformula. Occorre quindi eliminare almeno le deviazioni per poter avere derivazioni con la proprietà della sottoformula - per avere derivazioni in qualche modo in forma normale.
Un
primo passo in questa direzione è condensato nel risultato seguente.
Teorema 433. (Teorema di Inversione) Se Γ`Lc φ, allora c'è una derivazione di φ da Γ nella quale nessuna occorrenza di una formula è sia la conseguenza di una I-regola che la premessa maggiore di un'applicazione di qualche E-regola. Dimostrazione. Si consideri una derivazione
occorre una formula, sia maggiore di una
µ,
E-regola.
Φ
in
Lc
di
φ
da
Γ
nella quale
che è sia la conseguenza di una I-regola che la premessa In particolare, quindi, si considerano segmenti di
le date caratteristiche di deviazione - diciamo
segmenti di deviazione
Φ
con
- dove cioè la
prima regola applicata è una I-regola e l'ultima regola applicata è la corrispondente
E-regola
e non vi sono altre deviazioni tra queste due applicazioni di regole. Per
sempli care l'esposizione, nell'esame dei casi seguenti supponiamo sempre che la
1Gentzen
[
77], tr.
it., p. 91.
12.2. DEDUZIONE NATURALE
335
E-regola segua immediataρΦ è una riduzione di Φ se ρΦ è ottenuta modi cando i dati segmenti di deviazione di Φ nei modi descritti qui di seguito, in base al grado di complessità di µ. Nel trattamento dei vari casi il segmento di deviazione sΦ di Φ è indicato a sinistra e la riduzione ρsΦ è deviazione sia consecutiva, cioè l'applicazione della data
mente l'applicazione della corrispondente I-regola. Diciamo che
speci cata a destra. Caso
µ=ψ∧χ. Deviazione Φ1 Φ2 . . .
. . .
ψ1 ψ2 sΦ : hI∧i ψ1 ∧ψ2 hE∧i ψi Caso µ=ψ∨χ. Deviazione
per applicazione di
. . .
sΦ :
Caso
[ψ1 ] χ
µ=ψ→χ.
Φ2
seguita da una di
E∧:
Φi . . .
:ρsΦ (dove
i=1,2)
ψi
I∨ Φ3
per applicazione di
Φ3 Φ1
I∧
. . .
seguita da una di
E∨:
. . .
. . .
ψi Φi
ψi [ψ2 ] hI∨i χ ψ1 ∨ψ2 hE∨i χ
:
ρsΦ (dove i=1,2)
. . .
Deviazione per applicazione
[ψi ] χ di I→
seguita da una di
E→:
Φ2 . . .
sΦ :
Caso
Φ1 . . .
[ψ] χ
hI→i ψ ψ→χ hE→i χ µ=∀yψ . Deviazione Φ1
Φ1 . . .
Φ2 . . .
:
ρsΦ
[ψ] χ per applicazione di
I∀
seguita da una di
E∀:
I∃
seguita da una di
E∃:
. . .
Φ1 [yt ] ψ[y] . . sΦ : : ρsΦ hI∀i . y ∀yψ ψ[t ] hE∀i ψ[yt ] Caso µ=∃yψ . Deviazione per applicazione
di
12. ALTRI SISTEMI DI PROVA, TEORIE FORMALI
336
Φ1
Φ1
. . .
. . .
Φ2 . . .
Φ2 [yz ]
ψ[yz ] hI∃i [ψ[yx ]] ∃yψ χ hE∃i χ
sΦ :
. . .
ρsΦ
:
ψ[yz ] χ
Con il teorema di inversione non abbiamo però ottenuto tutto ciò che volevamo. Non sappiamo infatti che forma hanno le derivazioni in
Lc
(o in
Lm
Li).
o in
In
particolare, poi, restano ancora fuori portata le regole per la negazione e questo non consente ancora di essere al riparo da deviazioni. Consolidiamo subito quest'ultimo punto de nendo un'occorrenza di una formula essa è la conseguenza di una I-regola o di una
E-regola.
una
Una
derivazione normale
φ in una ⊥-regola
deviazione come
critica
se
e la premessa maggiore di
è una derivazione nella quale non occorrono
formule critiche. Si deve quindi in primo luogo provare che ogni derivazione può essere normalizzata, cioè uniformemente privata di tutte le sue formule critiche senza produrne di nuove. Di fatto si può provare un risultato piuttosto forte, in base al quale ogni derivazione in
Lc
è trasformabile in un'unica forma normale: ciò ha l'eetto di assegnare
alle derivazioni in
Lc
(o un altro sistema) notazioni canoniche che le rappresen-
tano. È più semplice considerare, in luogo di formule)
∃.
2
L0c
ridotto,
Lc,
un sistema equivalente (sulle sue
con linguaggio contenente solo i simboli logici
Le regole d'inferenza di
L0c
Ass, I∧, E∧, I→, E→, J⊥, C⊥
sono:
∧, →
,
⊥, ∀,
e le regole per
i quanti catori. Il seguente risultato, insieme al teorema di Inversione, consente il passaggio alle derivazioni normali.
Teorema 434. (Teorema di Riduzione) Se Γ`L0c φ, allora c'è una derivazione in L0c di φ da Γ nella quale la conseguenza di ogni applicazione di C⊥ è una formula atomica.
Dimostrazione. Sia
Φ
una derivazione in
L0c
di
φ
da
Γ,
nella quale il grado
maggiore di complessità logica di una conseguenza di un'applicazione di (>0), e sia
χ
la conseguenza più alta in
Φ1
Φ
con tale grado. Allora
. . .
[¬χ] ⊥ hC⊥i χ Φ2
e si danno ovviamente i seguenti casi. Caso
2Cfr.
χ=ϕ∧ψ .
Si utilizza la seguente riduzione:
146], cap.
Prawitz [
III.
Φ
C⊥
ha forma
è
n
12.2. DEDUZIONE NATURALE
Φ1
1:ϕ∧ψ hE∧i ψ 2:¬ψ hE→i ⊥ hI→:-1i ¬(ϕ∧ψ) . .
337
3:ϕ∧ψ hE∧i ϕ 4:¬ϕ hE→i ⊥ hI→:-3i ¬(ϕ∧ψ) . .
.
.
[¬(ϕ∧ψ)] Φ1 ⊥ hC⊥:-4i ϕ
[¬(ϕ∧ψ)] ⊥ hC⊥:-2i ψ hI∧i ϕ∧ψ Φ2
Caso Caso
dove
χ=ϕ→ψ . [Un utile esercizio] χ=∀xψ . Si utilizza la seguente riduzione: 1:∀xψ hE∀i ψ[yt ] 2:¬ψ[yt ] hE→i ⊥ hI→:-1i ¬∀xψ . . . 0 Φ1 [¬∀xψ] ⊥ hC⊥:-2i ψ[yt ] hI∀i ∀xψ Φ2
Φ01
è la variante (di cambio alfabetico) di
Φ1
non contenente
x
libera autoriz-
zata da lemma429. In tutti i casi l'applicazione di
C⊥
alla formula
χ
regola a una formula che ha complessità minore di
si riduce all'applicazione della
χ;
ripetendo il procedimento si
ricava quanto voluto. È chiaro che per il teorema di riduzione un uso di
C⊥
non può più essere all'o-
rigine di alcuna deviazione, dal momento che nessuna formula atomica è premessa maggiore di una risultato di
E-regola.
Dai teoremi di inversione e di riduzione di
normalizzazione :
C⊥
segue il
Corollario 435. Se Γ`L0c φ, allora esiste una derivazione normale in L0c di φ da Γ. Un'importante conseguenza della normalizzazione è la proprietà della sottoformula per le derivazioni (normali) in
L0c:
12. ALTRI SISTEMI DI PROVA, TEORIE FORMALI
338
Teorema 436.
(Teorema della Sottoformula) Ogni occorrenza di una formula in una derivazione normale di φ (da Γ) in L0c è una sottoformula di φ (o di qualche formula in Γ), eccezion fatta per assunzioni scaricate da C⊥ e per occorrenze di ⊥ sotto tali assunzioni. Per ottenere questo risultato occorre un'attenta considerazione della forma delle derivazioni normali in
L0c.
Proprio per il fatto di essere un sistema ridotto
E→,
contiene solo una regola, il Modus Ponens
L0c
che fa sparire qualche formula,
in particolare la premessa minore di tale inferenza.
È quindi naturale che siamo
interessati alla forma delle sottoderivazioni di una derivazione formale comprese tra diverse applicazioni della regola
E→.
De niamo prima di tutto questi oggetti.
De nizione 437.
La successione Φ=φ1 ,...,φn di formule occorrenti in una derivaΨ è un lo se: a. φ1 è una formula iniziale in Ψ. b. Φ è parte consecutiva di un ramo di Ψ. c. φn è la prima formula nella successione Φ che è premessa minore di un'ap3 plicazione di E→, oppure è la formula nale della derivazione Ψ.
zione
Possiamo ora assegnare un il lo
Φ=φ1 ,...,φn
ordine
ai li di una derivazione, nel modo seguente. Se
termina con la conclusione di
Ψ,
allora
ord(Φ)=0;
se
Ψ
è della
forma
Φ
Ψ1
. . .
. . .
φn
φn →ψ hE→i ψ Ψ2
(2)
dove la premessa maggiore dell'inferenza appartiene a un lo di ordine
ord(Φ)=j+1.
j,
allora
Il senso della de nizione è abbastanza chiaro: rispetto alla spari-
zione di formule un lo di ordine 0 ha complessità nulla; se no a un dato nodo costituito dall'applicazione di
E→
j , al dato nodo essa Φ=φ1 ,...,φn in una prova Ψ è regolare
la complessità raggiunta è
cresce evidentemente di 1. Diciamo che un lo se soddisfa le seguenti condizioni:
De nizione 438.
In
Φ
c'è una formula
φk ,
detta
formula di divisione,
con le
seguenti proprietà:
a.
Ogni
φj
(1≤j≤k ) è la premessa maggiore di una
E-regola
e contiene
φj+1
come sottoformula.
b. c.
φk (per k6=n) è premessa di una I-regola o della regola C⊥. φj (k