Idea Transcript
Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
БН
ТУ
Кафедра «Высшая математика № 2»
ит о
ри й
ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ПО МАТЕМАТИКЕ
Ре
по з
для студентов 1-го курса энергетического факультета
Минск БНТУ 2010 1
УДК 51 (075.8) ББК 22.1я7 З 15
БН
Рецензенты: В.В. Карпук, В.В. Павлов
ТУ
Составители: Л.Д. Матвеева, Е.С. Матюш, Н.А. Шавель
Ре
по з
ит о
ри й
Настоящее издание включает в себя задания по темам «Элементы линейной алгебры», «Векторная алгебра и аналитическая геометрия», «Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной». Каждое задание состоит из 32 контрольных вариантов. По всем темам приводятся примеры решения типовых задач. Издание содержит список рекомендуемой литературы. Задания и методические указания также могут быть полезны преподавателям, ведущим практические занятия по данному курсу.
© БНТУ, 2010
2
ЗАДАНИЯ К ТИПОВЫМ РАСЧЕТАМ Задание 1 Решить методом Гаусса систему линейных уравнений.
1.5.
2 x1 x2 2 x3 x4 4, x 2 x x 3x 7, 1 2 3 4 x1 x2 x3 4 x4 3, 2 x1 2 x2 5 x3 x4 5.
2 x1 x2 x3 3x4 7, x 2 x x x 1, 1 2 3 4 x1 x2 2 x3 4 x4 6, 2 x1 2 x2 x3 x4 4.
по з
1.7.
1.6.
2 x1 3x2 4 x3 2 x4 1, 4 x 6 x 8 x x 7, 1 2 3 4 5 x1 3 x2 x3 x4 6, x1 9 x2 9 x3 2 x4 1.
1.8.
1.10.
Ре
1.9.
ТУ
3x1 5 x2 x3 x4 2, 2 x x 2 x 4 x 3, 1 2 3 4 5 x1 6 x2 3x3 5 x4 1, x1 4 x2 x3 x4 1.
БН
1.4.
4 x1 2 x2 3x3 x4 2, 5 x x 2 x x 3, 1 2 3 4 x1 8 x2 x3 5 x4 5, 3x1 6 x2 4 x3 4 x4 3.
ри й
1.3.
2 x1 x2 6 x3 5 x4 4, x 2 x 2 x x 4, 1 2 3 4 2 x1 2 x2 5 x3 x4 2, 3x1 4 x2 3x3 2 x4 2.
1.2.
ит о
1.1.
7 x1 5 x2 2 x3 8 x4 4, 3x x 2 x x 3, 1 2 3 4 2 x1 2 x2 3x3 x4 2, 2 x1 x2 x3 5.
4 x1 2 x2 3x3 x4 4, 2 x 2 x x x 2, 1 2 3 4 1.11. 3x1 x2 x3 2 x4 5, x1 3x2 2 x3 x4 3.
1.12.
x1 x2 x3 4 x4 3, 4 x x x 2 x 4, 1 2 3 4 2 x1 5 x2 2 x3 x4 4, 3x1 2 x2 2 x3 6 x4 1.
x1 2 x2 5 x3 x4 1, x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3x2 6 x3 2 x4 1, 5 x1 x2 x3 2 x4 5. 2 x1 3x2 x3 x4 5, x 2 x x x 1, 1 2 3 4 3x1 2 x2 2 x3 x4 2, 5 x1 x2 3x3 3.
3x1 2 x2 x3 x4 5, x 2 x 2 x x 0, 1 2 3 4 5 x1 x2 3x3 2 x4 5, 4 x1 3x2 5 x3 3x4 5.
3
1.18.
3x1 5 x2 8 x3 2 x4 2, x 3x 2 x x 3, 1 2 3 4 3x1 x2 x3 5 x4 0, 2 x1 4 x2 3x3 6 x4 3.
ри й
4 x1 x2 x3 x4 1, 3x 2 x 2 x x 0, 1 2 3 4 1.17. x1 x2 x3 2 x4 1, 5 x1 3x4 2.
1.16.
2 x1 2 x2 10 x3 6 x4 4, x 5 x 5 x x 2, 1 2 3 4 x1 3x2 x3 x4 2, 2 x1 8 x2 6 x3 0.
ТУ
x1 2 x2 x3 x4 1, 2 x 3x x x 5, 1 2 3 4 1.15. x1 3x2 x3 2 x4 1, x1 6 x2 x4 6.
1.14.
x1 x2 x3 x4 2, 2 x 2 x 3x x 6, 1 2 3 4 x1 x2 2 x3 4 x4 2, 3x1 x2 x3 3x4 8.
БН
3x1 x2 x3 x4 2, 2 x 2 x x 4 x 5, 1 2 3 4 1.13. 5 x1 x2 x3 x4 6, 3x1 3x2 2 x3 3x4 1.
1.20.
ит о
2 x1 4 x2 4 x3 x4 3, x x x x 0, 1 2 3 4 1.19. 3x1 5 x2 x3 x4 8, x1 x2 3x3 5.
по з
3x1 3x2 x3 2 x4 3, x 5 x x 3x 4, 1 2 3 4 1.21. 2 x1 2 x2 2 x3 x4 1, 3x1 3x2 2 x3 x4 1.
1.24.
Ре
x1 x2 x3 x4 0, 2 x 2 x x 4 x 5, 1 2 3 4 1.23. 3x1 3x2 2 x3 3x4 5, x1 8 x2 5 x3 x4 5.
1.22.
3x1 2 x2 x3 x4 5, 4 x x x 4 x 0, 1 2 3 4 1.25. x1 x2 x3 4 x4 3, 4 x1 3x2 2 x3 3x4 2.
4
1.26.
2 x1 2 x2 3x3 x4 6, x x x 3x 4, 1 2 3 4 x1 3x2 2 x3 4 x4 2, 5 x1 x2 2 x3 x4 5. 2 x1 2 x2 3x3 x4 6, x x 2 x x 1, 1 2 3 4 3x1 x2 5 x3 2 x4 7, x1 8 x2 4 x3 x4 2.
3x1 x2 x3 3x4 6, x 2 x x x 3, 1 2 3 4 4 x1 x2 x3 5 x4 1, 3x1 x2 4 x4 2. 2 x1 x2 x3 x4 3, x 2 x x 4 x 0, 1 2 3 4 3x1 5 x2 2 x3 x4 1, 4 x1 3x2 3x3 3x4 1.
2 x1 x2 2 x3 x4 2, x 2 x 5 x 2, 1 2 3 1.28. 3x1 4 x2 x3 2 x4 8, 4 x1 6 x2 6 x3 2 x4 6.
2 x1 x2 x3 3x4 5, x 2 x x x 3, 1 2 3 4 1.29. 5 x1 x2 x3 2 x4 3, 6 x1 x2 x4 6.
2 x1 3x2 x3 x4 5, x 2 x x 4 x 4, 1 2 3 4 1.30. 3x1 x2 x3 x4 2, 4 x1 x2 5 x4 2.
5 x1 8 x2 x3 x4 7, 2 x 3x 2 x 3x 9, 1 2 3 4 1.31. x1 2 x2 3x3 x4 1, x1 5 x2 x3 4 x4 8.
4 x1 2 x2 x3 x4 12, x 2 x x 3x 7, 1 2 3 4 1.32. x2 x3 5 x4 1, 4 x1 3x2 2 x3 6 x4 11.
ри й
БН
ТУ
2 x1 3x2 4 x3 2 x4 1, 4 x 6 x 8 x x 7, 1 2 3 4 1.27. x1 5 x2 x3 2 x4 5, 3x1 x2 7 x3 3x4 12.
Задание 2
Ре
по з
ит о
Даны координаты вершин треугольной пирамиды A1 A2 A3 A4 . Найти: 1) проекцию вектора A1 A2 на вектор A3 A4 ; 2) площадь грани A1 A2 A3 ; 3) объем пирамиды; 4) расстояние от вершины A1 до плоскости, в которой лежит грань A2 A3 A4 ; 5) расстояние от вершины A1 до прямой A2 A3 ; 6) угол между ребром A1 A4 и гранью A2 A3 A4 ; 7) угол между гранями A1 A2 A3 и A2 A3 A4 ; 8) координаты указанного вектора x в заданном базисе, предварительно показав, что данные векторы образуют базис в R3 ; 9) уравнение указанной плоскости; 10) уравнения указанной прямой. 2.1. A1 (1; 1; 0), A2 (6; 3; 1) , A3 (2; 4; 2), A4 (3; 2; 3) .
8) x (7; 23; 4) в базисе A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 ;
9) уравнение плоскости, проходящей через вершину A3 параллельно сечению A1 A2 K , где точка K делит ребро A3 A4 в отношении 2:1 ; 10) уравнения высоты треугольника A1 A2 A4 , опущенной из вершины A4 на сторону A1 A2 . 5
2.2. A1 (2; 0; 1), A2 (4; 1; 3) , A3 (1; 1; 1), A4 (5; 4; 2) .
8) x (28; 19; 7) в базисе A2 A1 , A1 A4 , A2 A3 ;
ТУ
8) x (0; 11; 14) в базисе A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 ; 9) уравнение плоскости, проходящей через ребро A3 A4 перпендикулярно грани A1 A2 A3 ; 10) уравнения биссектрисы треугольника A2 A3 A4 , проведенной из вершины A4 . 2.3. A1 (1; 2; 1), A2 (0; 1; 1) , A3 (6; 4; 2), A4 (1; 1; 4) .
БН
9) уравнение плоскости, проходящей через вершину A2 параллельно сечению A1 A4 K , где точка К делит ребро A2 A3 в отношении 1: 2 ; 10) уравнения прямой A4 M , где М – точка пересечения медиан треугольника A1 A2 A3 . 2.4. A1 (3; 5; 1), A2 (1; 5; 9) , A3 (1; 0; 1), A4 (2; 3; 5) .
8) x (13; 5; 4) в базисе A3 A4 , A1 A3 , A2 A4 ;
ри й
9) уравнение плоскости, проходящей через вершину A1 и высоту пирамиды, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 ; 10) уравнения серединного перпендикуляра, проведенного к стороне A1 A2 треугольника A1 A2 A4 . 2.5. A1 (5; 3; 3), A2 (0; 0; 2) , A3 (1; 1; 3), A4 (2; 1; 2) .
ит о
8) x (15; 10; 5) в базисе A2 A3 , A2 A1 , A2 A4 ;
по з
9) уравнение плоскости, проходящей через ребро A2 A4 перпендикулярно грани A1 A2 A3 ; 10) уравнения прямой, проходящей через вершину A1 параллельно грани A2 A3 A4 и пересекающей ось OY. 2.6. A1 (2; 1; 2), A2 (5; 0; 3) , A3 (1; 0; 0), A4 (8; 2; 4) .
8) x (16; 6; 15) в базисе A3 A1 , A3 A4 , A3 A2 ;
Ре
9) уравнение плоскости, симметричной плоскости A1 A2 A3 относительно вершины A4 ; 10) уравнения высоты треугольника A2 A3 A4 , опущенной из вершины A4 . 2.7. A1 (2; 0; 1), A2 (1; 0; 0) , A3 (4; 7; 4), A4 (2; 3; 4) .
8) x (16; 33; 13) в базисе A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 ;
9) уравнение плоскости, проходящей через середину ребра A3 A4 перпендикулярно ребру A1 A2 ; 10) уравнения биссектрисы треугольника A1 A2 A4 , проведенной из вершины A1 . 6
2.8. A1 (5; 2; 3), A2 (0; 1; 1) , A3 (4; 2; 6), A4 (3; 3; 0) .
8) x (45; 15; 66) в базисе A2 A1 , A1 A4 , A2 A3 ;
8) x (19; 5; 4) в базисе A3 A4 , A1 A3 , A2 A4 ;
ТУ
9) уравнение плоскости, проходящей через ребро A2 A4 перпендикулярно грани A1 A2 A3 ; 10) уравнения прямой A1M , где М – точка пересечения медиан треугольника A2 A3 A4 . 2.9. A1 (5; 3; 2), A2 (4; 6; 3) , A3 (1; 0; 0), A4 (1; 2; 3) .
БН
9) уравнение плоскости, проходящей через вершину A1 параллельно грани A2 A3 A4 ; 10) уравнения прямой, проходящей через точку O(0;0;0) параллельно грани A2 A3 A4 и пересекающей прямую A1 A4 . 2.10. A1 (1; 0; 2), A2 (3; 2; 0) , A3 (2; 1; 0), A4 (1; 3; 3) . 8) x (3; 2; 3) в базисе A3 A1 , A1 A4 , A4 A2 ;
ит о
ри й
9) уравнение плоскости, проходящей через середину ребра A1 A2 и высоту пирамиды, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 ; 10) уравнения прямой, проходящей через точку A1 параллельно прямой 2 x 3 y z 1 0, x 2 y z 3 0. 2.11. A1 (2; 6; 2), A2 (2; 1; 0) , A3 (5; 2; 0), A4 (3; 4; 1) .
8) x (9; 34; 20) в базисе A2 A4 , A4 A1 , A1 A3 ;
по з
9) уравнение плоскости, проходящей через вершину A1 и прямую x y 2 z 3 0, x 2 y z 3 0; 10) уравнения прямой, симметричной прямой A1 A2 относительно вершины A3 . 2.12. A1 (1; 4; 1), A2 (3; 0; 2) , A3 (2; 2; 4), A4 (0; 1; 1) .
Ре
8) x (1; 12; 20) в базисе A4 A2 , A2 A1 , A1 A3 ;
9) уравнение плоскости, проходящей через ребро A3 A4 перпендикулярно грани A1 A2 A4 ; 10) уравнения прямой, проходящей через вершину A4 параллельно прямой x 2 y z 4 0, 2 x y 2 z 7 0.
7
2.13. A1 (0; 3; 2), A2 (6; 4; 5) , A3 (3; 5; 1), A4 (1; 0; 2) .
8) x (15; 6; 17) в базисе A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 ;
ТУ
9) уравнение плоскости, симметричной плоскости A1 A2 A3 относительно вершины A4 ; 10) уравнения высоты треугольника A2 A3 A4 , опущенной из вершины A4 на сторону A2 A3 . 2.14. A1 (4; 3; 2), A2 (0; 1; 1) , A3 (1; 4; 6), A4 (3; 0; 1) .
БН
8) x (12; 14; 31) в базисе A2 A1 , A1 A3 , A3 A4 ; 9) уравнение плоскости, проходящей через ребро A1 A4 параллельно ребру A2 A3 ; 10) уравнения прямой, проходящей через вершину A1 параллельно грани A2 A3 A4 и пересекающей ось ОХ. 2.15. A1 (2; 0; 1), A2 (3; 5; 4) , A3 (0; 1; 2), A4 (2; 8; 3) .
8) x (31; 6; 22) в базисе A1 A3 , A3 A2 , A2 A4 ;
ри й
9) уравнение плоскости, проходящей через вершину A2 и высоту пирамиды, опущенную из вершины A1 на грань A2 A3 A4 ; 10) уравнения серединного перпендикуляра, проведенного к стороне A1 A4 треугольника A1 A2 A4 . 2.16. A1 (2; 0; 6), A2 (1; 0; 3) , A3 (0; 3; 9), A4 (3; 7; 4) .
ит о
8) x (8; 47; 65) в базисе A2 A3 , A3 A4 , A4 A1 ;
по з
9) уравнение плоскости, проходящей через ребро A1 A4 перпендикулярно грани A2 A3 A4 ; 10) уравнения прямой, симметричной прямой A2 A3 относительно вершины A1 . 2.17. A1 (4; 2; 1), A2 (6; 7; 4) , A3 (3; 0; 0), A4 (9; 3; 1) .
8) x (26; 11; 1) в базисе A3 A1 , A1 A4 , A4 A2 ;
Ре
9) уравнение плоскости, проходящей через ребро A1 A2 параллельно ребру A3 A4 ; 10) уравнения прямой, проходящей через вершину A4 и точку пересечения медиан треугольника A1 A2 A3 . 2.18. A1 (9; 7; 1), A2 (3; 9; 0) , A3 (2; 3; 1), A4 (5; 2; 5) .
8) x (6; 9; 22) в базисе A3 A4 , A4 A2 , A2 A1 ;
9) уравнение плоскости, проходящей через вершину A4 параллельно сечению A1 A2 K , где точка K делит ребро A3 A4 в отношении 1: 2 ; 8
10) уравнения прямой, проходящей через вершину A1 параллельно грани A2 A3 A4 и пересекающей ось OY. 2.19. A1 (5; 3; 3), A2 (2; 1; 0) , A3 (2; 1; 0), A4 (3; 2; 2) .
8) x (36; 1; 15) в базисе A2 A4 , A4 A1 , A1 A3 ;
БН
ТУ
9) уравнение плоскости, проходящей через вершину A2 и прямую 2 x y z 1 0, x y 2 z 5 0; 10) уравнения серединного перпендикуляра, проведенного к стороне A2 A3 треугольника A1 A2 A3 . 2.20. A1 (5; 0; 1), A2 (1; 2; 12) , A3 (3; 4; 5), A4 (6; 1; 1) . 8) x (5; 11; 15) в базисе A1 A4 , A4 A3 , A3 A2 ;
ри й
9) уравнение плоскости, проходящей через вершину A1 и высоту пирамиды, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 ; 10) уравнения высоты треугольника A1 A2 A4 , опущенной из вершины A4 на сторону A1 A2 . 2.21. A1 (0; 8; 3), A2 (4; 1; 1) , A3 (8; 2; 1), A4 (5; 4; 2) .
8) x (10; 13; 8) в базисе A4 A2 , A4 A3 , A1 A2 ;
ит о
9) уравнение плоскости, проходящей через середину ребра A1 A3 перпендикулярно ребру A2 A4 ; 10) уравнения биссектрисы треугольника A1 A2 A3 , проведенной из вершины A1 . 2.22. A1 (2; 3; 0), A2 (1; 1; 2) , A3 (5; 1; 1), A4 (5; 2; 6) .
8) в базисе A3 A1 , A1 A4 , A4 A2 ;
Ре
по з
9) уравнение плоскости, симметричной плоскости A2 A3 A4 относительно вершины A1 . 10) уравнения прямой A4 M , где М – точка пересечения медиан треугольника A1 A2 A3 . 2.23. A1 (3; 1; 0), A2 (7; 4; 2) , A3 (13; 8; 7), A4 (2; 1; 3) .
8) x (4; 11; 20) в базисе A1 A4 , A4 A2 , A2 A3 ;
9) уравнение плоскости, проходящей через ребро A1 A2 перпендикулярно грани A2 A3 A4 ; 10) уравнения прямой, проходящей через вершину A1 параллельно грани A2 A3 A4 и пересекающей ось OZ. 2.24. A1 (3; 3; 6), A2 (2; 4; 0) , A3 (0; 1; 1), A4 (7; 0; 4) . 9
8) x (4; 22; 13) в базисе A2 A3 , A3 A1 , A1 A4 ;
8) x (14; 14; 20) в базисе A4 A1 , A1 A3 , A3 A2 ;
ТУ
9) уравнение плоскости, проходящей через вершину A1 параллельно сечению A2 A3 K , где точка K делит ребро A1 A4 в отношении 2:1 ; 10) уравнения прямой, симметричной прямой A1 A2 относительно вершины A3 . 2.25. A1 (1; 0; 2), A2 (1; 6; 5) , A3 (3; 3; 1), A4 (2; 1; 0) .
БН
9) уравнение плоскости, проходящей через вершину A1 и прямую x 2 y z 1 0, 2 x 3 y z 3 0; 10) уравнения прямой, проходящей через вершину A4 и точку пересечения плоскости A1 A2 A3 с осью OY. 2.26. A1 (2; 2; 4), A2 (0; 2; 3) , A3 (3; 1; 1), A4 (2; 3; 3) .
ри й
8) x (5; 11; 1) в базисе A3 A2 , A2 A1 , A1 A4 ;
9) уравнение плоскости, проходящей через ребро A1 A2 параллельно оси OХ.
ит о
10) уравнения прямой, проходящей через вершину A2 параллельно прямой x 2 y z 1 0, 3x 5 y 2 z 4 0. 2.27. A1 (2; 4; 0), A2 (1; 5; 8) , A3 (0; 2; 9), A4 (2; 1; 1) .
8) x (19; 33; 0) в базисе A1 A4 , A2 A3 , A4 A2 ;
по з
x 2 y 2 z 1 0, 9) уравнение плоскости, проходящей через прямую 2x y z 4 0 параллельно ребру A1 A2 ; 10) уравнения прямой, проходящей через точку O(0;0;0) , лежащей в плоскости OXY и перпендикулярной прямой A1 A2 . 2.28. A1 (3; 3; 2), A2 (2; 0; 1) , A3 (3; 5; 5), A4 (1; 9; 8) .
Ре
8) x (8; 10; 13) в базисе A2 A1 , A3 A4 , A1 A3 ;
9) уравнение плоскости, проходящей через ребро A2 A3 параллельно оси
OY;
10) уравнения прямой, проходящей через середину ребра A1 A4 и точку пересечения плоскости A2 A3 A4 с осью OХ. 2.29. A1 (5; 5; 7), A2 (3; 2; 2) , A3 (0; 2; 5), A4 (2; 6; 4) .
8) x (14; 9; 1) в базисе A3 A1 , A1 A4 , A4 A2 ; 10
9) уравнение плоскости, симметричной плоскости A2 A3 A4 относительно вершины A1 ; 10) уравнения прямой, лежащей в плоскости OYZ, проходящей через вершину A3 и перпендикулярной ребру A3 A4 . 2.30. A1 (0; 5; 2), A2 (1; 0; 1) , A3 (2; 2; 3), A4 (0; 4; 2) .
8) x (6; 20; 3) в базисе A4 A2 , A2 A3 , A3 A1 ;
БН
ТУ
x 2 y z 0, 9) уравнение плоскости, проходящей через прямую 2 x 3 y z 2 0 параллельно ребру A2 A3 ; 10) уравнения прямой, симметричной прямой A1 A2 относительно вершины A4 . 2.31. A1 (2; 5; 3), A2 (1; 4; 5) , A3 (1; 4; 6), A4 (0; 3; 6) .
8) x (4; 2; 8) в базисе A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 ;
ри й
9) уравнение плоскости, проходящей через ребро A1 A4 перпендикулярно грани A2 A3 A4 ; 10) уравнения прямой, проходящей через вершину A1 и точку пересечения плоскости A2 A3 A4 с осью OY. 2.32. A1 (1; 2; 6), A2 (2; 0; 5) , A3 (1; 0; 3), A4 (0; 1; 7) .
8) x (2; 0; 13) в базисе A2 A3 , A3 A1 , A1 A4 ; OZ;
ит о
9) уравнение плоскости, проходящей через ребро A1 A4 параллельно оси
по з
10) уравнения прямой, лежащей в плоскости OXZ, проходящей через вершину A3 и перпендикулярной ребру A1 A2 . Задание 3
Ре
3.1. В треугольнике АВС заданы уравнения сторон AB: x 3 y 24 = 0, AC : 5x y 6 0 , а также середина стороны ВС – точка M (2; 5) . Найти уравнение стороны ВС. 3.2. Известны вершины A(1; 1), B(1; 5) одного основания равнобедренной трапеции ABCD и вершина C (5; 8) другого основания. Найти координаты вершины D и длину высоты трапеции. 3.3. В треугольнике АВС дано уравнение стороны AB : 3x 2 y 12 0 и уравнения высот, опущенных из вершин А и В: x 2 y 4 и 4 x y 6 . Найти уравнение высоты, опущенной из вершины С. 3.4. Дана вершина ромба A(2; 1) и уравнение его диагонали 2 x y 10 0 . Найти уравнения сторон ромба, если длина его стороны равна 5. 11
Ре
по з
ит о
ри й
БН
ТУ
3.5. Даны уравнения двух медиан треугольника АВС: x 2 y 1 0, y 1 0 и вершина A(2; 7) . Найти уравнения сторон треугольника. 3.6. Даны две смежные вершины квадрата A(2; 1), B(1; 3) . Найти координаты двух других его вершин и уравнения диагоналей. 3.7. Треугольник АВС задан вершинами A(8; 3), B(2; 5), C(7; 4) . На прямой, содержащей высоту треугольника АН, найти точку М так, чтобы четырехугольник АВМС оказался трапецией. 3.8. Даны уравнения двух высот треугольника АВС: 2 x 3 y 1 0, x 2 y 4 0 и координаты вершины B(2; 3) . Найти уравнения сторон треугольника. 3.9. Длина стороны ромба с острым углом 60° равна 4. Диагонали ромба пересекаются в точке N (1; 2) , причем меньшая диагональ параллельна оси абсцисс. Составить уравнения сторон ромба. 3.10. Даны вершины треугольника A(1; 1), B(4; 3), C (9; 7) . Найти координаты точки пересечения биссектрисы внутреннего угла А со стороной ВС. 3.11. Даны уравнения двух сторон параллелограмма 2 x y 1 0, 2 x y 5 0 и точка пересечения его диагоналей M (2; 1) . Найти уравнения остальных сторон и площадь параллелограмма. 3.12. Даны уравнения двух боковых сторон равнобедренного треугольника: 7 x y 9 0, x y 7 0 и точка N (3; 8) , лежащая на его основании. Найти уравнение основания. 3.13. Точки M (2; 3), N (3; 2) являются серединами оснований прямоугольной трапеции. Боковая сторона трапеции, перпендикулярная основаниям, лежит на прямой x 2 y 6 0 . Найти уравнения остальных сторон. 3.14. Найти уравнения катетов равнобедренного прямоугольного треугольника, если известно уравнение гипотенузы 2 x y 2 0 и вершина прямого угла C (5; 1) . 3.15. Точка N (1; 1) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 3x 4 y 3 0 . Найти уравнения остальных сторон. 3.16. Даны две вершины A(1; 4) и B(2; 3) треугольника АВС, а также точка пересечения его высот H (5; 1) . Составить уравнения сторон треугольника. 3.17. Составить уравнение прямой, симметричной прямой 3x 2 y 1 0 относительно точки M (5; 1) . Найти расстояние между этими прямыми. 3.18. Даны координаты вершин треугольника АВС: A(1; 3), B(3; 5), C (5; 3) . Найти координаты центра описанной около ABC окружности и ее радиус. 3.19. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой его стороной является отрезок прямой 6 x 8 y 48 0 , концы которого лежат на осях координат. 12
Ре
по з
ит о
ри й
БН
ТУ
3.20. Даны две вершины треугольника A(2; 3), B(5; 1), уравнения стороны BC : x 2 y 7 0 и медианы AM : 5x y 13 0 . Составить уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, и найти ее длину. 3.21. Даны уравнения двух сторон ромба: 2 x 5 y 1 0, 2x 5 y 23 0 и уравнение одной из его диагоналей: x 3 y 6 0. Найти уравнение второй диагонали. 3.22. Найти уравнение гипотенузы прямоугольного треугольника, проходящей через точку M (4; 3) , если катеты треугольника расположены на осях координат, а его площадь равна 3. 3.23. Точки M (2; 3), N (4; 3) являются серединами оснований равнобедренной трапеции. Точки P(0; 4), Q(1; 3) лежат на ее боковых сторонах. Найти уравнения всех сторон трапеции. 3.24. В треугольнике АВС известна вершина A(4; 1) , а также уравнения высоты 2 x 3 y 12 0 и медианы 2 x 3 y 0 , проведенных из одной вершины. Найти уравнения сторон. 3.25. Точка A(4; 4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 9 x 5 y 3 0 . Составить уравнения сторон и второй диагонали квадрата. 3.26. Даны уравнения оснований равнобедренной трапеции: 2 x y 10 0 , 2 x y 5 0 , уравнение ее диагонали: 3x y 5 0 , а также точка пересечения диагоналей N (2; 1) . Найти уравнения боковых сторон и второй диагонали. 3.27. Даны уравнения двух сторон прямоугольника: 3x 4 y 6 0 , 4 x 3 y 8 0 и вершина A(8; 5) . Найти уравнения двух других сторон и его площадь. 3.28. Составить уравнение прямой, проходящей через точку N (2; 3) и образующей с положительными полуосями координат треугольник, площадь которого равна 12. 3.29. Известно уравнение одной из сторон квадрата x 3 y 6 0 и точка пересечения диагоналей N (1; 1) . Найти уравнения остальных сторон. 3.30. Заданы уравнения двух сторон прямоугольника: 2 x y 3 0 , 2 x y 7 0 и уравнение его диагонали 4 x 7 y 1 0 . Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали. 3.31. Написать уравнения прямых, проходящих через точку пересечения прямых 2 x 7 y 8 0 и 3x 2 y 5 0 под углом 45° к прямой 2 x 3 y 7 0 . 3.32. Даны уравнения двух высот треугольника АВС: x y 1 0 , 2 x 3 y 5 0 и координаты вершины C (3; 3) . Найти уравнения сторон треугольника.
13
Задание 4
ТУ
Варианты 1–10. 1) назвать и построить кривую, определяемую заданным уравнением; 2) найти координаты ее фокусов; 3) составить уравнение эллипса с указанным эксцентриситетом ε, фокусы которого совпадают с фокусами данной кривой. 2 2 4.1. 5 x 4 y 10 x 16 y 31 0, 3 5 ;
2 2 4.3. 16 y 9 x 36 x 96 y 36 0, 5 6 ; 2 2 4.4. 7 x 9 y 28 x 18 y 44 0, 4 5 ; 2 2 4.5. 4 y 21x 42 x 24 y 69 0, 5 6 ;
БН
2 2 4.2. y 3x 8 y 6 x 1 0, 4 5 ;
2 2 4.6. 25x 11y 150 x 22 y 61 0, 3 5 ;
ри й
2 2 4.7. 3 y x 2 x 18 y 1 0, 3 5 ; 2 2 4.8. 4 x 21y 32 x 20 0, 5 6 ;
2 2 4.9. 45x 4 y 180 x 8 y 4 0, 7 8 ;
ит о
2 2 4.10. 4 y 5x 24 y 44 0, 3 5 .
Ре
по з
Варианты 11–20. 1) назвать и построить кривую, определяемую заданным уравнением; 2) составить уравнение окружности, касающейся директрисы данной кривой, если центр окружности совпадает с фокусом этой кривой. 4.11. y 2 8x 6 y 1 0 ; 4.16. y 2 4 x 2 y 7 0 ; 4.12. x 2 4 y 10 x 17 0 ; 4.17. x 2 6 x 12 y 21 0 ; 2 4.13. y 2 12 x 10 y 49 0 ; 4.18. y 16 x 4 y 20 0 ; 4.14. x 2 8x 16 y 32 0 ; 4.19. x 2 8 y 2 x 9 0 ; 2 4.15. y 2 12 x 4 y 44 0 ; 4.20. y 8x 2 y 15 0 . Варианты 21–32. 1) назвать и построить кривую, определяемую заданным уравнением; 2) найти координаты ее фокусов; 3) составить уравнение гиперболы с указанным эксцентриситетом ε , фокусы которой совпадают с фокусами данной кривой. 4.21 5x2 9 y 2 20 x 54 y 56 0, 2 ;
14
4.22. 2 x2 y 2 8x 6 y 9 0, 2 ; 4.23. 25x2 16 y 2 200 x 64 y 64 0, 3 ; 2 2 4.24. x 2 y 2 x 8 y 9 0, 3 2 ; 4.25. 4 x2 3 y 2 8x 12 y 32 0, 2 ; 2 2 4.26. 4 x 29 y 16 x 116 y 16 0, 5 3 ;
ТУ
2 2 4.27. x 5 y 2 x 20 y 1 0, 4 3 ; 2 2 4.28. 5 x y 20 x 6 y 9 0, 4 3 ;
БН
4.29. x 2 10 y 2 20 y 30 0, 3 ; 2 2 2 4.30. 5 x y 40 x 2 y 36 0, 3 2 ; 4.31. 4 x2 13 y 2 8x 48 0, 3 ; 4.32. 13x 2 4 y 2 26 x 16 y 23 0, 3 . 2
ри й
Задание 5
ит о
Определить вид поверхности и построить ее в каждом из следующих случаев: 5.1. а) x2 y 2 2 x 2 z 0; б) y 2 6 y z 0 . 5.2. а) x2 2 x 2 y 2 4 z 2 0; б) x 2 4 x y 4 0 . 5.3. а) x2 y 2 4 y 4 z 2 0; б) x2 z 2 2 z . 2 2 5.4. а) 2 y 2 z 2 2 z 1 x 0; б) x y 2 y 4 0 . 5.5. а) 9 x2 4 y 2 8 y z 2 32;
по з
5.6. а) x2 2 y 2 z 2 2 z 0;
5.7. а) x2 y 2 z 2 4 x 2 y 4 z 0; 5.8. а) x 2 2 y 2 4 z 8 0; 5.9. а) 36 x2 16 y 2 9 z 2 18z 0;
Ре
5.10. а) x2 y 2 z 2 2 z 1 0; 5.11. а) x2 2 y 2 6 y 2 z 0; 2 2 2 5.12. а) x 3 y z 2 z 2; 5.13. а) 2 x2 4 y 2 z 2 2 z 0; 5.14. а) x 2 y 2 5z 4 0; 5.15. а) 2 y 2 x2 4 x 4 z 2 4 0; 5.16. а) y 2 2 y z 2 x 2 0;
б) x 2 y 2 6 x 0 . 2 б) z 4 z 6 y 20 0 . 2 б) y 2 y 4 x 1 0 . б) x2 2 x z 4 0 .
б) z 2 2 z 8x 7 0 . 2 б) y 4 x 2 y 2 0 . 2 б) y 2 y x 0 .
б) б) б) б)
z 2 6z x 1 0 . x2 5 y 2 x 0 .
x2 z 2 2 z 0 . z 2 x2 2x 1 0 . 2 б) x y 4 y 0 .
15
2 2 б) z y 2 z 0 .
5.17. а) x2 2 y 2 4 y 2 z 0; 5.18. а) 2 x 2 y 2 4 y z 0;
б) x2 z 2 6 z 0 . 2 б) 2 x 5 y 4 x 10 .
5.19. а) 9 x2 4 y 2 8 y 36 z 2 32; 5.20. а) x2 y 2 8z 2 4 x 0;
б) z 2 7 x 2 z 0 . 2 2 б) 4 x y 2 y 8 .
5.21. а) 5x2 15 y 2 4 z 2 8z 24 0;
5.24. а) x 2 y 2 4 x 2 z 0;
2 б) z 5 y 4 z 0 . б) x2 4 x z 0 . 2 2 б) y 2 y z 2 .
5.25. а) x 2 2 x y 2 z 2 0; 5.26. а) x2 4 x 2 z 2 y 4 0; 5.27. а) x2 2 y 2 z 2 2 z 1 0;
2 2 б) x y 2 y 0 . б) x2 z 2 2 z 2 0 . б) x 2 4 x y 0 .
БН
5.28. а) x2 2 x y 2 z 2 2 z 0; 5.29. а) x 2 y 2 z 2 4 z 0;
ТУ
5.22. а) 4 x2 2 y 2 8x 4 z 2 0; 5.23. а) x2 4 y 2 z 2 8 y 4;
б) y 2 z 2 6 z 0 . б) 4 y 2 z 2 8 .
б) 4 y x 2 8x 1.
5.31. а) x2 2 x 2 y 2 z 5 0; 5.32. а) x2 4 y 2 8 y z 2 0;
б) y 2 6 y z 0 .
ри й
5.30. а) x 2 y 2 z 2 2 z 0;
б) x2 2 y 2 2 x 0 .
Задание 6
по з
ит о
Вычислить пределы функций (в пунктах а), б), в), г)) не пользуясь правилом Лопиталя): sin 2 x x3 3x 2 3 x 2 7 x 10 lim 6.1. а) lim 2 ; б) lim ; в) x 5 x 2 1 15 x 1 ; x x 2 x 8 x 12 3 1 cos x 3 x2 1 x
Ре
3x 1 2x e cos 2 x г) lim ; д) lim . x 3 2 x x0 x2 1 cos x 2x 1 3 6.2. а) lim ; б) lim ; в) lim x3 x 2 x3 x ; x 4 x 0 x 5 x tg3x x2 2 3x cos 2 x sin 2 x 1 x4 г) lim . ; д) lim x 0 x x 8 x2 1 1 x3 x2 x 8 tg 2 x sin 2 x 6.3. а) lim 3 ; б) lim 2 ; в) lim ; x 9 x 2 4 x 64 3x 2 x 0 x 4 x sin 2 x 2
2 x cos x г) lim (2 x 3)(ln( x 3) ln( x 3)) ; д) lim . x 0 x x2 2
16
cos x 3 1 3x 2 14 x 5 lim ; 6.4. а) lim 2 ; б) x в) lim ; x x x 1 1 x x5 x 7 x 10 1 x2 sin 2 cos 2 2 8 x 1 sin x cos x г) lim 1 5 x x ; д) lim . x0 x 0 1 sin x cos x 1 9 x 2 12 x 4 x ; б) lim tg 2 x tg x ; 3 6.5. а) lim2 в) lim ; 3 x 2 x 2 x0 sin 2 x sin x 27 x 8 x 8 x
г) lim ( x 1)(ln(2 x 1) ln(2 x 3)) ; д) x
2 4 б) lim ; x 3 3 x 9 x2
x1
x2 4 2
2
e3 x cos 2 x . x0 x2 2
x
г) lim 2 x 1 x ;
2 x3 32 . lim x x 2 4 16 1 sin x в) lim ; x 1 cos 2 x
БН
x2 x 6 ; x 3 2 x 2 x 21
6.6. а) lim
ТУ
3
д) lim
1 cos x lim x 2 1 x 2 1 ; ; в) x x 0 x sin 3 x x 2 16 4 2 x 3 sin( x 1) x2 lim г) lim ; д) . x 1 x x 2 5 x2 sin x x2 lim x 2 ; x2 x 2 x lim 2 x 6.8. а) lim 2 ; б) в) x ; 1 2 x2 x 4 x 2 x x 6 2x e2 x e2 x 2 г) lim 3x 5 x 4 ; д) lim . x 2 x 0 tg3x 2 x2 5x 3 12 1 1 cos 4 x lim 6.9. а) xlim ; в) 1 4 x 2 18 x 10 ; б) lim ; x 2 2 x x 0 1 cos 2 x 8 x3 2
; б) lim
по з
ит о
ри й
6.7. а) lim x 0
x2 2 x 3 lim г) x 2 x x5
2 x 5
ln(1 2 x) . x 0 3x 1 5x2 x 5x2 4 2 tg 6 x 2 x2 5x 7 6.10. а) lim 2 ; б) lim ; в) lim ; x x 0 1 cos 4 x x 3 x 1 x 1 3 x x 2 e x e x г) lim (3x 2)(ln(2 x 1) ln(2 x 1)) ; д) lim . x x 0 3x x sin 3x 6x 1 5 lim x tg x ; 6.11. а) lim ; б) lim ; в) x 0 cos x cos3 x x 2 x 4 x 2 2
Ре
; д) lim
2 x 1 г) lim x1
3x x 1
2x 2 x ; д) lim e x e . x 0 2 1
17
3 1 cos 2 x x 1 2 sin lim 1 2 x lim 6.12. а) lim ; б) ; в) 4x ; x0 x 0 x tg3 x x 3 2x 6 1 cos 2 x tg 2 x г) lim x 2 3x x ; д) lim . x x 0 x sin x sin( x 1) 2 x2 9 x 4 2 2 ; б) lim ; в) lim x 9 x 9 ; 6.13. а) lim 2 2 x 1 x x 4 x x 20 2 5 x 1 x3 1 2 г) lim cos 4 x 2 x ; д) lim . x 1 sin( x 1) x0 6 cos x sin x 1 3 x 3 x ; 6.14. а) lim ; б) lim в) lim ; x 3 3 x x 0 9 x2 cos 2 x x 5x
4
x 0
sin 2x . x 1 sin 5x
БН
3
г) lim 1 tg 2 x x2 ;
ТУ
д) lim
ит о
ри й
1 sin x 3 x 5 lim x 3 x5 2 6.15. а) lim ; б) x 2 ; в) lim ; x 9 x x 3 2x 2 4 x 2 tg x г) lim x 2 16 x 2 16 ; д) lim . x 2 x 2 x 3x 6 2 x tg3x 6.16. а) lim ; б) lim ; в) lim ; x 0 1 x 1 x x 4 4 x x 0 1 cos6 x 16 x 2 2 1 42 x cos3x 2 г) lim cos3x 5 x ; д) lim . x0 x0 5x x2 2 2
sin 4 x sin 2 x ; в) lim x 6x x2 1 1 5 1 sin 2 x г) lim 4 x x2 9 ; д) lim . x 3 x sin x cos x
по з
6.17. а) lim x 0
2x 2 ; x 1 x 3 x
6.18. а) lim
; б) lim x 0
x2 3 x2 3 ;
x 1 x ;
4
б) lim x tg3x ; x
в) lim x
2 2 x2
Ре
5 4x e6 x e 4 x г) lim ; д) . lim x 3 4 x x 0 x 3 5 x x4 sin 2 3x lim lim lim 6.19. а) ; б) x4 x ; в) x0 tg 2 x ; x 4 5x 5 5 sin 4 x 1 cos x г) lim 7 6 x 3 x3 ; д) lim . x 1 x1 tg 2 x
18
x 2 x 12 6.20. а) lim 2 ; x 3 x 5 x 6
x3 3x 2 б) lim 2 ; x 5 x 1 15 x 1
2 x sin x ; x 0 sec x 1
в) lim
x2
x3 1 3x 4 г) lim д) lim . ; x 1 sin( x 1) x 3 x 5 5x x 6.21. а) lim ; б) lim 3 x3 x 3 x3 x ; в) lim x 2 ctg 2 5 x ; x x 5 x0 x5 4x 2 cos x 1 3x г) lim ; д) lim . x 1 3 x 1 tg 2 x x 4
ТУ
ри й
БН
x3 x2 1 cos6 x x 2 6 x 16 lim 6.22. а) lim ; б) lim ; в) x 2 ; x 0 1 cos8 x x 2 4x 1 2x 1 3x 2 12 tg 3 x 3tg x г) lim (3x 2)(ln(2 x 1) ln(2 x 1)) ; д) lim . x x 3 cos x 6 3x cos10 x 1 6.23. а) lim ; б) lim ; в) lim(1 x) tg x ; x 0 10 x 10 x x 0 x sin 5 x x 1 2 3 1 1 ctg x г) lim 1 sin 3x x ; д) lim . 3 x0 x 2 ctg x ctg x 4
x2 x ; x 1
12 5 x 2 20 1 3 ; в) lim ; x 1 x 2 x 2 x 2 1 cos( x 2) x 8 2x ln(1 4 x) г) lim 2 x 1 x1 ; д) lim 8 x . x1 x 0 5 1 2 2 x 1 x 3 9 1 1 6.25. а) lim ; б) lim ; в) lim ; 3 x 8 2 x x 0 sin x x tg x 3 1 cos x 3 3x cos x cos x г) lim 2 x 3 x2 ; д) lim . x 0 x 2 x2 sin x cos x x x2 sin 3 2 x lim lim 6.26. а) ; б) lim ; в) x 1 tg x ; x 0 1 2 x 1 3 x x 0 5 x3 4 1 x 5 lim x г) lim 2 x 7 2 x8 ; д) x 2 1 . x 4 3 cos x cos x 2x 6 6.27. а) lim 2 ; б) lim ; в) lim x 3 1 x3 ; 2 x 3 x 2 x 15 x x 0 x 2 x 2 x г) lim (2 x 7)(ln(3x 4) ln3x)) ; д) lim . x 0 tg x x
б) lim
Ре
по з
ит о
6.24. а) lim
19
6.28. а) lim x 0
x2 9 3
4 1 7 x sin 3x lim ; в) ; x2 x 2 x 0 1 cos 4 x x2 4 x 2 25 5 1 2cos x 5 lim г) lim 1 10 x x ; д) x 3x . x0
; б) lim
3
4x x ; x 2 16
sin 6 x sin 2 x 2 x) tg x ; ; в) lim( x x 0 x 4 5x 2 2 5 (1 cos x) . г) lim 1 3x x ; д) lim x0 tg3 x sin 3 x x 0 1 1 x 2 9 x 18 2 1 cos x lim 6.30. а) lim 2 ; б) lim ; в) ; x 0 sin 3 x x 6 3 x 17 x 6 x 0 sin 6 x sin 2 x
б) lim
БН
ТУ
6.29. а) lim
43 x cos7 x г) lim 3x(ln( x 2) ln x) ; д) lim . x0 x 5x2 5 x3 3x 2 7 x sin(2 x) ; б) lim 2 ; в) lim( x) ctg x ; 6.31. а) lim x 0 x 2 x x x 4 4 e x4 cos( x 4) г) lim 1 5 x 7 x ; д) lim . x0 x 4 x 2 16 1 1 cos 4 x cos3 4 x 9 x 3 6.32. а) lim ; б) lim ; в) lim ; x 0 tg 2 x tg 4 x x 0 x 0 3x x
ри й
2
4x
ит о
7 г) lim 1 ; x x
3ln x . x x 2 5
д) lim
Задание 7
по з
Исследовать функцию на непрерывность и схематически построить график.
Ре
7.1. y
10 x . x3 3
cos x, x 0, 7.2. y 1 x, 0 x 2, 2 x , x 2.
1 1 7.4. y arctg . 7.5. y 2 . x2 x 6x 9
20
7.3. y
1 10 x
7.6. y 2
.
1 . 1 e 2 x
0, x 0, 7.7. y tg x, 0 x , 2 x, x 2 .
7.8. y 9
1 2 x
7.9. y 4
.
1 3 x
.
cos x, x 0, 7.13. y 1 x, 0 x 2, x 2 , x 2.
3x 1, x 2, 1 y 7.14. 7.15. y . log 4 x 2 x 1, x 2.
.
7.20. y
1
1 e
1 1 x
.
7.23. y e
1 x2
.
1 . 1 x2
7.24. y
7 x 3 . x2 4
x, x 1, x 2 4, x 2, 1 y , 1 x , 7.27. y 3x 2, 2 x 2, 7.26. 6 2 12 x 2 , x 2. x, x 6 .
по з
7.22. y 2
1 x 5
7.18. y (1 x)arctg
1 . 7.21. y sin . x
ит о
7.19. y 5
ри й
x 3, x 0, 1 7.16. y x 1, 0 x 4, 7.17. y 2 x2 5 . 3 x , x 4. 1 1 x 2
БН
ТУ
x 4, x 1, x, x 0, 1 y x 2 2, 1 x 1, 7.10. y ( x 1) 2 , 0 x 2, 7.11. y 1 . 7.12. 2 e 3 x 2 x, x 1. x 3, x 2.
Ре
1 x3 7.25. y . 1 x
x 2 , x 3, 7.28. y 2 x 1, x 3.
10 x 7.31. y 3 . x 3
7.29. y
1 . log 2 ( x 4)
7.30. y arcctg
1 . 3 x
sin 5 x , x 0, 7.32. y 3x 2, x 0.
21
Задание 8 Найти первые производные от функций:
1 x ; 1 x
8.8. а) y arctg
ит о
cos x 1 x ln tg 8.9. а) y ; 2sin 2 x 2 2
по з
x π x π 8.10. а) y tg 2 2ln cos ; 2 4 2 4 8.11. а) y ln tg x3 5 ;
8.12. а) y 5arcsin
Ре
8.13. а) y ln
x 2 1
;
a x a arccos x ; ax ax 2
2
2 x
cos
б) y ( x e ) x
sin
1 x y б) x 1
1 x
.
sin x
.
б) y cos x
ln sin x
.
2x 2 3 б) y e sin(cos (tg x)) .
б) y (1 x)cos (3 x ) . 3
2
arctg( x 1)
2 1 б) y 2cos x sin x ln x б) y x . e
.
б) y (1 x 2 )cos arctg x . 2 б) y (1 sec x)
x 2 y б) 3 x 1
x arctg x3
.
sin 2 e x
.
sin 2 e x
1 x ax 8.14. а) y arctg ln 4 ; 2 a ax
ln 3x б) y 2 1 x
8.15. а) y ln(e x sin x e x cos x) ;
б) y arctg(1 x )
8.16. а) y arccos(sin 2 x cos2 x) ;
x x б) y ctg . 2
1
22
.
б) y (tgln x)arcsin x .
ри й
1 8.4. а) y x arccos x ln arctg ; x 2 cos ax 8.5. а) y ln 2 ; sin ax ln t 2 8.6. а) s arcsin t 1 2 ; t 1 ln x 8.7. а) y sin x ;
б) y (arctg x)
.
ТУ
2 e x e x 8.3. а) y ln cos arctg ; 2 x
б) y (sin x)
2 ln 2 x
БН
1 x 2 ; 8.1. а) y arctg ln 2 cos 1 x x 1 8.2. а) y ; 1 x2 ( x 1 x2 ) 5
.
tg x
.
1 8.17. а) y ln arccos ; x
б) y sin x
2
x
cos 2 x
.
ln 2 x
2 2 8.18. а) y arctg x 1 x ;
б) y
8.19. а) y ln ln(e x cos x e x sin x) ;
б) y arctg ln(1 e x ) .
;
l б) y x 1
1 cos ; sin 8.22. а) y ln cosarctg x ;
б) y sin x
8.21. а) r arctg
arctg x
.
cos x
ТУ
e
2x
2
.
б) y tg 2 x . x
БН
8.20. а) y arctg tg
2
.
1 x 2 arctg ; 2 1 x2 x sin 8.24. а) y arctg ; 1 x cos
б) f ( x) arcsin 3x .
8.25. а) y ln cos3 arctg e2 x ;
б) y 1 x 2
8.26. а) y ln 3 tg 1 x ;
б) y 1 tg 2 x
8.27. а) y arcsin x
б) y arcsin 2 (tg 2 x) . 1 1 б) y ln(tg x sec x) cosec x . 2 2
x x2
;
;
ит о
8.28. а) y sin x
tg x
8.29. а) y arctg(1 x )
x
;
б) y (cos 2 x)ln x .
по з
8.31. а) y e sin(cos (tg x)) ; 2
tg x
3
arctg 2 x
б) y (tg 2 x) ln x б) y x e
2 e x e x 8.32. а) y ln cos arctg ; 2 x
Ре
. .
б) y ln(e x sin x e x cos x) .
1 x 8.30. а) y ln arctg ; x3 2x
x2
2
ри й
8.23. а) f ( x)
ctg
x 2
.
cos x
.
б) y ( x e ) x
sin
1 x
.
Задание 9
Найти yx , yxx :
x y 9.1. а) e sin y e cos x 5 ;
x ln t , 1 1 б) y 2 t t .
23
9.2. а) e
x y
x cos t , б) 4 t y sin 2 . x 512t , б) 4 3t y 25 .
xy ;
9.3. а) y x arctg y ;
б) y
y 9.5. а) y x ln ; x
t x ln tg cos t sin t , б) 2 y sin t cos t.
y 0; 3 x
ит о
x 4 1 t , 9.7. а) y 1 t ; x et cos 2 t , 9.8. а) t 2 y e sin t ;
по з
x 2 xy a 2 0 ; 9.9. а) x y
б) 2 x cos y 3 y . б) x4 y 4 2 xy 0 . 1 x t sin 2t , б) 2 y cos3 t.
9.10. а) x y cos y ;
x a cos3 t , б) 3 y b sin t.
x tg 2 2 t , 9.11. а) 2 y sin t ;
б) 2 y 9 xy 3 .
x a sin 2 2 , 9.12. а) 2 y b cos 2 ;
x y б) 2 xy e .
x ln 2 t , 9.13. а) y t ln t ;
б) x 2 y (2 y)2 xy .
2
Ре
2
24
et e t x 2 , б) t t y e e . 2
ри й
9.6. а) x y
БН
2
ey . x2 9
ТУ
1 x ln t , 9.4. а) y t 1; t
x tg 2 t , 9.14. а) y 3ctg t ;
2 3 б) ( x y) ( x 3 y) 0 .
9.15. а) x y y x ; x e2t cos 2 t , 9.16. а) 2t 2 y e sin t ;
x et , 9.17. а) t2 y sin e ;
б) e y 2 x 5 y .
t x arcsin , 1 t2 9.18. а) y arccos t ; 1 t2
б) y ln x x ln y 1 .
3
ри й
9.19. а)
x2 3 y 2 3 a2 ;
x 2ln ctg t 1, б) y tg t ctg t.
x 1 t 2 , б) y tg 1 t .
ит о
9.20. а) xy ln y 1 ;
БН
2
ТУ
cos t x , cos 2t б) y sin t . cos 2t y 2 2 б) arctg ln( x y ) . x
по з
9.21. а) tg y 2 x y ;
Ре
9.22. а) xy tg y ;
9.23. а) x3 y3 3xy 1;
2 3
2 3
2 3
9.24. а) x y a ;
x e2t , б) 1 y cos . t
x t 3 1, б) 3 y t 1. x a b sin 2 t , б) 3 y a b cos t.
1 xt , t б) y 5t t .
25
x ln(2t 1), 9.25. а) 1 y cos t ; x ln(2t 1), 9.26. а) 1 y ; cos 2 t
x t , б) y 3 t . x cos t t sin t , б) y sin t t cos t.
y 1 ln( x 2 y 2 ) ; x 2
x б) y
cos3 t , cos 2t sin 3 t . cos 2t
ри й
y 9.29. а) x 5 sin y ;
БН
9.28. а) arctg
y
ТУ
xy б) e cos( x y) y .
9.27. а) xy e e 0 ; x
y 2 xy 0 . x
б) y
x 52t 1, б) t y 5 2t.
ит о
x 9.30. а) ln( x y ) ln ln( xy ) ; y
9.31. а) y x sin y ;
x sin e2t , б) 2 t 1 ye .
9.32. а) arctg y 4 x 5 y ;
x tg 2 t , б) y 3ctg t.
по з
2
З а д а н и е 10
Ре
Исследовать функцию и построить ее график. 2 x 1 3 2 10.1. y 10.2. y 3 x 2 x . . x 1 2 10.4. y . 1 x2 5 3
10.7. y 2 x 5 x 1 . 26
1 2 x
10.5. y x x 1 .
10.6. y x e .
10.8. y (1 x 2 )3 .
10.9. y lg 1 x .
3
2 3
2 10.3. y ln(2 x 3) .
3
2
x2 2 . 10.11. y 2 x 1
cos 2 x . 10.10. y cos x
10.12. y
6 4 2 10.13. y lg x 2 3x 2 . 10.14. y x 3x 3x 5 .
10.19. y 6 x x . 3
2
3
10.17. y
x4 2 3 2 . 10.18. y 3 ( x 1) x 1 . 3 x 1
10.20. y e
x3 2 x 2 7 x 3 . 10.22. y 2 x2
1 x 2 4 x 1
.
ТУ
2x 1 . ( x 1) 2
x 2 10.15. y e x .
10.21. y x 2arctg x .
x4 10.23. y . 1 x3
1 x
10.24. y ( x 2)e .
БН
10.16. y
2 . x2 5x 6
1 x
ln x 10.28. y . x
10.29. y e x .
2x . 1 x2
4 2 2 3 10.30. x y ( x 1) .
10.32. y x ln( x 1) .
ит о
10.31. y arcsin
ри й
x2 1 x 2 2 y . 10.26. y 3 ( x 2) 3 ( x 1) . 10.27. 10.25. y x2 4 . (1 x)(1 x 2 )
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
по з
З а д а н и е 1. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Ре
П р и м е р 1. 1. Решить методом Гаусса систему уравнений x1 2 x2 x3 2, 2 x1 x2 x3 3, x 3x x 5. 2 3 1
Решение. Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов: 1 2 1 2 A 2 1 1 3 . 1 3 1 5
27
Умножая первую строку матрицы А поочередно на 2, 1 и прибавляя соответственно ко второй и третьей, получаем матрицу 1 2 1 2 A1 0 3 1 1 . 0 1 0 3
2 3. 8
БН
1 2 1 A2 0 1 0 0 0 1
ТУ
Поменяем в матрице A1 местами вторую и третью строки. Затем умножим полученную вторую строку на 3 и прибавим к последней строке. Получим матрицу
ри й
Матрице A2 соответствует система уравнений x1 2 x2 x3 2, x2 3, x3 8.
ит о
Отсюда получаем x3 8, x2 3, x1 4 . Ответ: X (4
3
8)T .
по з
П р и м е р 1. 2. Решить методом Гаусса систему уравнений x1 x2 x3 x4 1, 3x x 2 x 2 x 2, 1 2 3 4 2 x1 4 x2 3x3 6 x4 7, 7 x1 5 x2 6 x3 6 x4 6.
Ре
Решение. Составив матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, умножая первую строку матрицы А поочередно на 3, 2, 7 и прибавляя соответственно ко второй, третьей и четвертой строке, получим:
28
1 1 1 1 3 1 2 2 2 4 3 6 7 5 6 6
1 2 7 6
1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 (3) ( 1) 0 6 5 8 5 0 2 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 0 2 1 1 1 . 0 0 2 5 8 0 0 2 5 8 0 0 0 0 0
ТУ
Полученная матрица равносильна системе уравнений
БН
x1 x2 x3 x4 1, 2 x2 x3 x4 1, 2 x 5 x 8. 3 4
Система имеет три уравнения и четыре неизвестных. Выбирая, например, x4 в качестве свободной неизвестной и полагая x4 C , находим 5 5 3 5 3 x3 C 4, x2 C , x1 C 2 2 4 2 4 . 5 3 Ответ: X C 3 4
5 C4 2
T
C , где C R .
ри й
5 3 C 2 4
З а д а н и е 2. Векторы. Прямая и плоскость в пространстве
ит о
П р и м е р. Даны координаты вершин треугольной пирамиды A1 A2 A3 A4 : A1 (2; 0; 1) , A2 (0; 1; 2) , A3 (2; 3; 8) , A4 (1; 0; 3) . Найти: 1) проекцию вектора A1 A2 на вектор A3 A4 . Находим векторы A1 A2 (2; 1; 3) , A3 A4 (1; 3; 5) .
по з
Скалярное произведение этих векторов: A1 A2 A3 A4 (2) (1) 1 (3) (3) (5) 2 3 15 14 .
Ре
Длина вектора A3 A4 :
A3 A4 (1)2 (3)2 (5)2 1 9 25 35 .
Проекцию A1 A2 на A3 A4 находим по формуле Пр A3 A4 A1 A2
A1 A2 A3 A4 A3 A4
14 . 35
29
2) площадь грани A1 A2 A3 . Так как A1 A2 (2 ;1; 3) , A1 A3 (0; 3; 7) , то
S A1 A2 A3
1 16i 14 j 6k 8i 7 j 3k 64 49 9 122 . 2
ТУ
i j k 2 3 2 1 1 1 1 1 3 A1 A2 A1 A3 2 1 3 i j k 0 7 0 3 2 2 2 3 7 0 3 7
3) объем пирамиды: 2 1 3
1 1 A1 A2 A1 A3 A1 A4 0 3 6 6 1 0
14 7 . 3 2
БН
V
4) расстояние от вершины A1 до плоскости, в которой лежит грань A2 A3 A4 . Уравнение плоскости A2 A3 A4 y 1 z 2
ри й
x
2 10 2 10 2 2 10 x ( y 1) ( z 2) 1 5 1 5 1 1 5 20 x 0 ( y 1) 4( z 2) 20 x 4 z 8 0 или A2 A3 A4 : 5x z 2 0 . 2 1
2 1
ит о
Расстояние от точки A1 до плоскости A2 A3 A4 d ( A1; A2 A3 A4 )
5 2 1 2
52 02 (1)2
7 26
.
Ре
по з
5) расстояние от вершины A1 до прямой A2 A3 есть высота A1H треугольника A1 A2 A3 , т. е. 2S A1 A2 A3 2 122 2 122 2 61 d ( A1; A2 A3 ) A1H . 108 54 A2 A3 22 22 102 A1
A2
30
H
A3
6) угол между ребром A1 A4 и гранью A2 A3 A4 . Канонические уравнения прямой A1 A4 : x 2 y z 1 , 1 0 2 где s A1 A4 (1; 0; 2) – направляющий вектор прямой A1 A4 . Уравнение плоскости A2 A3 A4 (см. п. 4) Угол между прямой и плоскостью
sn
(1) 5 0 2 (1)
7 . 5 26
БН
sin ( A1 A4 ; A2 A3 A4 )
sn
ТУ
5x z 2 0 , где n (5; 0; 1) – нормальный вектор плоскости A2 A3 A4 .
5 26
ри й
7) угол между гранями A1 A2 A3 , A2 A3 A4 . Уравнение грани A1 A2 A3 : x 2 y z 1 1 3 2 3 2 1 2 1 3 ( x 2) y ( z 1) 3 7 0 7 0 3 0 3 7 16( x 2) 14 y 6( z 1) 16 x 14 y 6 z 26 0
ит о
или A1 A2 A3 : 8x 7 y 3z 13 0 ,
где n1 (8; 7; 3) – нормальный вектор плоскости A1 A2 A3 .
по з
Уравнение A2 A3 A4 найдено в п. 4: A2 A3 A4 : 5x z 2 0 , где n2 (5; 0; 1) – нормальный вектор плоскости A2 A3 A4 . Угол между плоскостями находим как угол между их нормальными векторами:
Ре
cos ( A1 A2 A3 ; A2 A3 A4 )
n1 n2 n1 n2
8 5 7 0 (3) (1) 43 . 122 26 122 26
8) координаты вектора x (7; 6;0) в базисе A2 A1 , A1 A4 , A4 A3 . Покажем, что данные векторы образуют базис: 2 1 3 1 0 2 2 9 5 12 0 A2 A1 A1 A4 A4 A3 0 A2 A1, A1 A4 , A4 A3 – 1 3 5 31
некомпланарны и, значит, образуют базис в R3 . Разложим вектор x по базисным векторам: x x1 A2 A1 x2 A1 A4 x3 A4 A3 .
БН
2 x1 x2 x3 7, x1 3x3 6, 3x 2 x 5 x 0. 2 3 1
Решим ее по формулам Крамера: 1 1
1 3 7
3 9 2 5 12 28, 5
0 2
ри й
2
1 1
1 6 0
3 12 30 42 84, 5
ит о
0 2
2
7
1
по з
2 1 6 3 60 63 18 35 56, 3 0 5 2
Ре
3 1 3
Тогда
x1
1
7
0 2
6 18 14 24 28. 0
1 3; x2 2 2; x3 3 1.
x (3; 2; 1) в базисе A2 A1 , A1 A4 , A4 A3 .
32
ТУ
Приравнивая соответствующие координаты левого и правого векторов, получаем для определения координат вектора x невырожденную систему
9) уравнение плоскости Р, проходящей через вершину A1 и прямую x y z 2 0 ( P1 ) l : x 2 y z 1 0 ( P2 ).
БН
ТУ
Прямая l задана общими уравнениями (как линия пересечения плоскостей P1 и P2 с нормальными векторами n1 (1; 1; 1) , n2 (1; 2; 1) ). Направляющий вектор прямой l i j k sl n1 n2 1 1 1 3i 2 j k (3; 2; 1). 1 2 1 Найдем точку пересечения прямой l с плоскостью OXY ( z 0) :
ри й
x y20 M0 : M 0 (3; 1; 0). x 2 y 1 0
Уравнение плоскости Р находим как уравнение плоскости, проходящей через точку A1 (2; 0; 1) параллельно векторам sl (3; 2; 1), A1M 0 (5; 1; 1) : y
z 1
ит о
x2 P : 3 5
2 1
1 3( x 2) 8 y 7( z 1) 3 x 8 y 7 z 1 0. 1
по з
10) уравнения прямой l , проходящей через вершину A1 параллельно грани A2 A3 A4 и пересекающей ось OZ . Найдем уравнение плоскости P , проходящей через точку A1 параллельно плоскости A2 A3 A4 ( искомая прямая l лежит в этой плоскости). Так как нормальный вектор плоскости A2 A3 A4 n (5; 0; 1) являет-
Ре
ся нормальным вектором плоскости P , то P : 5( x 2) 1( z 1) 5x z 9 0 . Точку пересечения плоскости P с осью OZ ( x 0, y 0) находим из условия z 9 0 , т. е. это точка M 0 (0; 0; 9). Искомая прямая l проходит через точки A1 , M 0 . Канонические уравнения l можно получить в виде x y z 9 l: . 1 0 5
33
З а д а н и е 3. Прямая на плоскости
ТУ
П р и м е р 3. 1. В треугольнике АВС известна вершина A(5; 1) , а также уравнения высоты x 2 y 3 0 и медианы 7 x y 14 0 , проведенных из различных вершин. Найти уравнения сторон треугольника. Решение. Так как вершина А не удовлетворяет уравнениям высоты и медианы, то для определенности можно считать, что высота BH : x 2 y 3 0 , медиана CM : 7 x y 14 0 . С
БН
H
B
A
ри й
M
Нормальный вектор высоты n BH (1; 2) является направляющим вектором стороны АС, и, значит, каноническое уравнение стороны АС имеет вид x 5 y 1 , 1 2
ит о
AC :
по з
откуда AC : 2 x y 9 0 – общее уравнение прямой АС. Вершину С находим как точку пересечения стороны АС и медианы СМ, т. е. из системы 2x y 9 0 C: , 7 x y 14 0
Ре
откуда C (1; 7) . Найдем координаты вершины B( xB ; yB ) . Так как точка М делит пополам x 5 yB 1 отрезок АВ, то M B ; . Далее используем условия 2 2 x 5 yB 1 M CM 7 B 14 0 , 2 2 B BH xB 2 yB 3 0.
34
Для определения xB , yB получили систему 7 xB yB 6 0, xB 2 yB 3 0,
x 1 y 1 или AB : x 3 y 2 0 ; 3 1
BC :
x 1 y 1 или BC : 3x y 4 0 . 1 3
БН
AB :
ТУ
откуда B(1; 1) . Теперь известны все вершины и остается записать уравнения сторон:
ри й
П р и м е р 3. 2. Даны середины оснований равнобедренной трапеции M (0; 3) , N (2; 1) и уравнение боковой стороны 3x y 8 0 . Найти уравнения остальных сторон трапеции. Решение. Для определенности будем считать, что задано уравнение боковой стороны АВ. M
ит о
B
N
по з
A
C
D D
Ре
Вектор MN (2; 4) является нормальным вектором оснований BC , AD , откуда: BC : 2 x 4( y 3) 0 или BC : x 2 y 6 0 – уравнение основания BC ; AD : 2( x 2) 4( y 1) 0 или AD : x 2 y 4 0 – уравнение основания AD . Находим координаты вершин А, В: x 2 y 4 0 ( AD) A: A(4; 4); 3x y 8 0 ( AB)
x 2 y 6 0 ( BC ) B: B(2; 2) . 3 x y 8 0 ( AB )
35
ТУ
Координаты вершин C ( xC , yC ), D( xD , yD ) находим исходя из того, что точки M , N делят пополам отрезки BC , AD : 2 xC 4 xD 2 0 2 C (2; 4). 2 C: D: D(8; 2). 2 y 4 y C D 3 1 2 2 Уравнение боковой стороны CD имеет вид x2 y4 или CD : x 3 y 14 0 . CD : 3 1
БН
З а д а н и е 4. Кривые второго порядка на плоскости
Пример. Назвать и построить кривую, определяемую уравнением 4 y 21x2 42 x 16 y 89 0 . Найти координаты ее фокусов. Составить 5 уравнение эллипса с эксцентриситетом , фокусы которого совпадают с 6 фокусами данной кривой. Решение. Приводим уравнение кривой к каноническому виду:
ри й
2
4( y 2 4 y 4) 16 21( x2 2 x 1) 22 89 0 4( y 2)2 21( x 1)2 84 ;
по з
ит о
( y 2)2 ( x 1) 2 1. 21 4 Y Y
3
Ре
О –2
36
-7
F2 X 1 O
F1
X
,
( x 1)2 ( y 2) 2 2 2 1, где c b a 5 . 2 2 a b
БН
ТУ
Осуществляя параллельный перенос системы координат по формулам x x 1, y y 2, 2 2 получаем каноническое уравнение гиперболы ( x ) ( y ) 1 с центром в 4 21 точке O(1; 2) и вершинами на оси OY , где расстояние между фокусами 2c 2 4 21 10 . Координаты фокусов F1 (0; 5), F2 (0; 5) в системе координат OX Y или F1 (1; 7), F2 (1; 3) – в исходной системе координат OXY . Составим требуемое уравнение эллипса. Так как его фокусы совпадают с F1 , F2 , то и центр эллипса совпадает с центром гиперболы O(1; 2) . Следовательно, уравнение эллипса будет иметь вид
ри й
Поскольку фокусы эллипса располагаются по оси OY , то
c 5 5 b 6, a 2 b2 c 2 36 25 11. b b 6
ит о
( x 1)2 ( y 2) 2 Итак, уравнение эллипса 1. 11 36
З а д а н и е 5. Поверхности второго порядка
Ре
по з
П р и м е р 5.1. Определить вид поверхности 4x2 + 9y2 – 16x + 18y – 36z + + 25 = 0 и построить ее. Решение. Вынося за скобки коэффициенты при квадратах координат и выделяя полные квадраты, получаем 4( x2 4 x 4) 9( y 2 2 y 1) 36 z 16 9 25 0 4( x 2)2 9( y 1)2 36 z . Z Z
Y
-1 O 2
X
0
Y´
X
37
Перейдем к новым координатам по формулам x x 2, y y 1, z z .
В новой системе координат OX Y Z уравнение принимает вид ( x)2 ( y) 2 z . 9 4
ТУ
4( x)2 9( y)2 36 z или
БН
Уравнение определяет эллиптический параболоид. 2 П р и м е р 5.2. Определить вид поверхности x 4 x 6 y 22 0 и построить ее. Решение. Группируем члены, содержащие x, и выделяем полный квадрат ( x2 2 x 4) 6 y 4 22 0 или ( x 2)2 6( y 3) .
ри й
Обозначим x x 2, y y 3, z z . В новой системе координат OX Y Z уравнение принимает вид ( x)2 6 y . Уравнение определяет параболический цилиндр. Z
ит о
Z
O
-2
Y
по з
-3
Ре
X
0
Y
X
З а д а н и е 6. Вычисление пределов функций 0 A. Раскрытие неопределенности 0 2 x 2x 3 П р и м е р 6.1. Вычислить lim . x3 3 x 2 14 x 15 0 Решение. Неопределенность дает множитель x 3 . Разложим числитель 0 и знаменатель на множители и затем произведем сокращение дроби на x 3 : 38
lim
x3
x 2 2 x 3 0 x1 3; x2 1; 3 x 2 14 x 15 0, D 16 3 14 4 x1,2 5 6 3
ТУ
x 2x 3 3x 2 14 x 15 2
( x 3)( x 1) x 1 4 lim 1. x3 ( x 3)(3 x 5) x3 3 x 5 4
БН
lim
42 x3 . x 1 3 x 7 2 x Решение. Домножим и разделим числитель на сопряженное ему выражение: 42 x3
ри й
П р и м е р 6.2. Вычислить lim
(4 2 x 3)(4 2 x 3) 16 4 x 12 4 4x . 42 x3 42 x3 42 x3
( 3 x 7 2 x)(( 3 x 7) 2 2 x 3 x 7 4 x 2 ) x 7 2x ( 3 x 7)2 2 x 3 x 7 4 x 2 x 7 8 x3 3 ( x 7) 2 2 x 3 x 7 4 x 2 .
по з
3
ит о
Домножим и разделим знаменатель на неполный квадрат суммы:
Имеем
lim
Ре
x1
42 x3 (4 4 x)(( 3 x 7) 2 2 x 3 x 7 4 x 2 ) lim = 3 x 7 2 x x1 ( x 7 8 x3 )(4 2 x 3) 4( x 1)(( 3 x 7)2 2 x 3 x 7 4 x 2 ) lim x1 ( x 1)(8 x 2 8 x 7)(4 2 x 3) 4(( 3 x 7)2 2 x 3 x 7 4 x 2 ) 4 12 6 . x1 23 8 23 (8 x 2 8 x 7)(4 2 x 3)
lim
39
1 cos 4 x . x 0 x2 2 Решение. Воспользуемся формулой 1 cos4 x 2sin 2 x и sin ( x) 1 . Имеем: замечательным пределом: lim ( x )0 ( x) 1 cos 4 x 2sin 2 2 x sin 2 x sin 2 x lim lim 2lim 4 2 2 x0 x0 x0 x x 2x 2x sin 2 x sin 2 x 8lim lim 8. x 0 2 x x0 2 x
П р и м е р 6.3. Вычислить lim
ТУ
первым
БН
Б. Раскрытие неопределенностей ( ), (0 ), ( 0) П р и м е р 6.4. Вычислить lim ( x 2 9 x x). x
ри й
Решение. Умножение и деление на сопряженное данному двучлену выражение сводит неопределенность к неопределенности : lim ( x 9 x x) lim 2
x
x2 9 x x
x
x2 9 x x2
lim
9x
ит о
lim
( x 2 9 x x)( x 2 9 x x)
x
x2 9x x
x
x2 9x x
lim
x
9 9 2 9 1 1 x .
по з
17 2 2 П р и м е р 6.5. Вычислить lim5 . 6 x 13x 5 x 2 x 5 2
Ре
Решение. Приведение дробей к общему знаменателю сменяет неопреде0 ленность на неопределенность , которая раскрывается сокращением 0 2 дроби на множитель 2 x 5 . Учитывая, что 6 x 13x 5 (2 x 5)(3x 1) , получаем: 2 17 6 x 2 17 lim5 lim5 (2 x 5)(3x 1) x (2 x 5)(3x 1) x 2 x 5 2
2
lim5 x
40
2
3(2 x 5) 1 6 3lim5 . (2 x 5)(3x 1) 17 x 3x 1 2
П р и м е р 6.6. Вычислить lim sin 2 x ctg x . x
Решение. Преобразуем исходное выражение, сведя тем самым неопреде0 ленность 0 к неопределенности : 0 cos x lim sin 2 x ctg x lim2sin x cos x 2lim cos 2 x 2 1 2. x x x sin x
ТУ
В. Раскрытие неопределенности 1
Неопределенность 1 раскрывается с помощью «подгонки» ко второму 1
( x)
замечательному пределу: lim (1 ( x))
lim f ( x)
1 f ( x lim 1 f ( x) 1 )1 x a
( f ( x ) 1) ( x )
lim ( f ( x ) 1)( x )
e x a
.
ри й
x a
( x )
БН
e , например, по следующей схеме:
( x ) 0
П р и м е р 6.7. Вычислить lim (2 x 5)
4 x 3
x 3
.
ит о
Решение. Поскольку 2 x 5 1 при x 3 , то имеем неопределенность 1 . Согласно описанной схеме получаем lim (2 x 5) x 3
4 x 3
1 lim 1 (2 x 6) 2 x6 x3
(2 x 6)
4 x 3
e
lim
x 3
8( x 3) x 3
e8 .
2x 7 П р и м е р 6.8. Вычислить lim . x 2x 3 7 2 2x 7 x 1 , то имеем неопределенность lim Решение. Поскольку lim x 2 x 3 x 3 2 x 1 . Выделим, согласно схеме, второй замечательный предел:
Ре
по з
6x
2x 7 2 x 3 10 lim lim x x 2 x 3 2 x 3 6x
2 x 3 10 10 lim 1 x 2 x 3
6x
10 6 x 2 x 3
e
60 x lim x 2 x 3
lim
e
x
60 3 2 x
e30 .
41
П р и м е р 6.9. Вычислить lim (2 x 4)(ln x ln( x 3)) . x
Решение. выражение:
Имеем
неопределенность
.
x (2 x 4)(ln x ln( x 3)) ln x 3
Преобразуем
исходное
2 x4
.
БН
ри й
3 ln lim 1 x x 3
3 (2 x 4) x 3
2 x 4
x 33 ln lim x x3 12 6 x 12 6 lim x 6 x x 3 ln e lim . x 3 1 x
x lim (2 x 4)(ln x ln( x 3)) ln lim x x x 3 x 3 3
2 x 4
ТУ
Под знаком логарифма получили неопределенность 1 . Используем второй замечательный предел:
Г. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
0 и 0
x sin x . x 0 x3 0 Решение. Имеем неопределенность . По правилу Лопиталя: 0 x sin x 0 lim ( x sin x) lim 1 cos x 0 lim (1 cos x) lim = = x0 x0 x 0 x 0 ( x3 ) 3x 2 (3x 2 ) 0 0 x3
ит о
П р и м е р 6.10. Вычислить lim
sin x 0 lim (sin x) cos x 1 lim . = x0 = x 0 6 x x 0 (6 x) 0 6 6
по з
= lim
Ре
2 x 1 3x П р и м е р 6.11. Вычислить lim . x 1 4 x1 1 0 Решение. Имеем неопределенность . Применим правило Лопиталя: 0 3 x x 2 ln 2 x 2 1 3x = 0 = lim (2 1 3 x ) = 2 1 3x = lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 (4 1) x 1 x 1 0 4 1 4 ln 4 3 2 ln 2 4 = 8ln 2 3 . 4ln 4 ln 4
42
З а д а н и е 7. Исследование функции на непрерывность
1 x 2 , если x 0, f ( x) ( x 1) 2 , если 0 x 2, 4 x, если x 2.
ТУ
П р и м е р. Исследовать на непрерывность функцию
ри й
БН
Схематически построить график. Решение. Функция f ( x) определена на всей числовой оси. Так как эта функция задана тремя различными формулами для различных интервалов изменения аргумента x, то она может иметь разрывы в точках x 0 и x 2 , где меняется ее аналитическое выражение. Во всех остальных точках своей области определения функция f ( x) непрерывна, поскольку каждая из формул, которыми она задана, определяет собой элементарную функцию, непрерывную в своем интервале изменения аргумента x. Исследуем на непрерывность функцию в точке x 0 : f (0) (1 x 2 )
x 0
1,
ит о
т. е. функция определена при x 0 . Найдем односторонние пределы функции при x 0 : lim f ( x) lim (1 x 2 ) 1 ,
x00
x00
lim f ( x) lim ( x 1)2 1.
по з
x00
x00
Ре
Так как односторонние пределы при x 0 равны значению функции в точке x 0 , то функция f ( x) непрерывна в точке x 0 . Исследуем на непрерывность функцию в точке x 2 : f (2) ( x 1)2
x 2
1;
функция определена при x 2 . Найдем односторонние пределы функции при x 2 : lim f ( x) lim ( x 1)2 1,
x20
x20
lim f ( x) lim (4 x) 2.
x20
x20
43
Так как односторонние пределы конечны, но не равны между собой, то функция терпит разрыв первого рода. Строим схематический график данной функции.
0
1
2
4
x
БН
-1
ТУ
y
ри й
З а д а н и е 8. Вычисление производных П р и м е р. Вычислить производную функции
ит о
y (ln x)sin x .
Решение. Для нахождения производной показательно-степенной функции используем логарифмическое дифференцирование. Логарифмируя обе части, получаем
по з
ln y ln(ln x)sin x ln y sin x ln(ln x) .
Дифференцируя обе части последнего равенства, имеем
Ре
y 1 1 cos x ln(ln x) sin x ; y ln x x
44
sin x y y cos x ln(ln x) ; x ln x sin x y (ln x)sin x cos x ln(ln x) . x ln x
З а д а н и е 9. Вычисление производных функций, заданных неявно и параметрически П р и м е р 9.1. Вычислить производную функции y 3 x 2 ln
y . x
ТУ
Так как зависимость между переменными x и y задана в неявном виде, то для нахождения производной достаточно продифференцировать обе части уравнения, считая y функцией от x, и из полученного уравнения найти y . 1 yx y x yx y yx y ; 3 y 2 y 2 x ; 3 y 2 y 2 x ; 2 2 y y xy x x x
y 1 y 1 ; 3 y 2 y 2 x ; y x y x
1 2 x2 1 y 3 y 2 ; y x
ри й
3 y 2 y 2 x
БН
3 y 2 y 2 x
3 y 2 1 2 x2 1 y y x ;
y
y (2 x 2 1) . (3 y 3 1) x
по з
ит о
x ln t , t (0; ) . П р и м е р 9.2. Найти yx , yxx , если 3 y t 1, Решение. Производная функции, заданной параметрически, находится по y формуле yx t . xt
Ре
3t 2 1 3t 3. В нашем случае xt , yt 3t 2 , а yx 1 t t Запишем первую производную как функцию, заданную параметрически:
yx 3t 3 , t (0; ). x ln t ,
( yx )t 9t 2 9t 3. Тогда yxx 1 xt t
yxx 9t 3 , Следовательно, вторая производная имеет вид x ln t ,
t (0, ) .
45
З а д а н и е 10. Построение графика функции
по з
x10
ит о
ри й
БН
ТУ
Исследование функции и построение ее графика можно проводить по следующей схеме: 1. Найти область определения функции. 2. Исследовать функцию на четность (нечетность) и периодичность. Найти точки пересечения графика с осями координат. 3. Найти точки разрыва функции и асимптоты кривой. 4. Определить интервалы монотонности и локальные экстремумы функции. 5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции. 6. Построить график функции. x2 1 П р и м е р. Исследовать функцию f ( x) и построить ее график. x 1 Решение. 1. Находим область определения D( y) ( ; 1) (1; ) . 2. Поскольку f ( x) f ( x) , f ( x T ) f ( x) , то функция не является четной, нечетной и периодической. Находим точки пересечения с осями координат: x2 1 а) так как y 0 , то график функции не пересекает ось OX ; x 1 б) при x 0 график функции пересекает ось ОY в точке y 1 . x2 1 3. Функция не определена в точке x 1 . Поскольку lim , x10 x 1 x2 1 lim , то x 1 – точка разрыва второго рода. Так как x 1 0 x 1 lim f ( x) , то прямая x 1 есть вертикальная асимптота. Далее находим
Ре
f ( x) x2 1 k lim lim 1, x x x( x 1) x
x2 1 x 1 b lim( y kx) lim x lim 1. x x x 1 x x 1
Следовательно, прямая y x 1 есть наклонная асимптота. 2 x( x 1) x 2 1 x 2 2 x 1 . 4. Вычислим y ( x 1)2 ( x 1) 2
46
ТУ
Первая производная не существует в точке x 1 , которая не принадлежит области определения D( y) и, следовательно не является критической точкой. При y 0 получаем x2 2 x 1 0 или x1 1 2 , x2 1 2 . Точки x1 и x2 являются критическими (стационарными) точками. y 0 и Определим интервалы монотонности из неравенств y 0 x D( y) : x2 2 x 1 0 при x ; 1 2 1 2 ; ; ( x 1)2 x2 2 x 1 0 при x 1 2 ; 1 2 . ( x 1)2
БН
Следовательно, функция возрастает при x ; 1 2 1 2 ;
убывает при x 1 2 ; 1 2 . В точке x 1 2
и
функция имеет максимум:
В точке x 1 2
ри й
ymax y 1 2 = 2 2 2 0,83 .
функция имеет минимум:
ymin y 1 2 2 2 2 4,83 .
5. Находим
ит о
x 2 2 x 1 (2 x 2)( x 1) 2 2( x 1)( x 2 2 x 1) y 2 ( x 1)4 ( x 1) ( x 1)(2 x 2 4 x 2 2 x 2 4 x 2) 4 4 ( x 1) ( x 1)3 .
Ре
по з
Определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции из неравенств y 0, y 0, x D( y) . Имеем y 0 при x (1 ; ) , y 0 при x ( ; 1) . Следовательно, кривая выпукла на ( ; 1) и вогнута на (1 ; ) . Так как x 1 не принадлежит области определения функции и y 0, x D( y) , то точек перегиба нет. Результаты исследования функции y f ( x) заносим в таблицу. x
(; 1 2)
1 2
(1 2; 1)
1
(1; 1 2)
1 2
(1 2; )
y
+
–
Не сущ.
–
0
+
y
–
0 –
–
Не сущ.
+
+
+
y
– 0,83 max
Не сущ.
4,83 min
47
6. Исходя из результатов таблицы, строим график данной функции.
ТУ
Y
X
x=1
ит о
ри й
y=x+1
БН
0
ЛИТЕРАТУРА
Ре
по з
1. Бугров, Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1980. 2. Герасимович, А.И. Математический анализ: в 2 ч./ А.И. Герасимович, Н.А. Рысюк. – Минск: Вышэйшая школа, 1989. – Ч. 1. 3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – Минск: Вышэйшая школа, 1986. – Ч. 1. 4. Сухая, Т.А. Задачи по высшей математике: в 2 ч. / Т.А. Сухая, В.Ф. Бубнов. – Минск: Вышэйшая школа, 1993. – Ч. 1. 5. Индивидуальные задания по высшей математике: в 4 ч. / под ред. А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2008. – Ч. 1. 6. Руководство к решению задач по высшей математике: в 2 ч. / под ред. Е.И. Гурского. – Минск: Вышэйшая школа, 1989. – Ч. 1.
48
СОДЕРЖАНИЕ 3 3 5 11 14 15 16 20 22 23 26 27 27 29 34 36 37 38 38 40 41 42 43 44 45 46 48
Ре
по з
ит о
ри й
БН
ТУ
ЗАДАНИЯ К ТИПОВЫМ РАСЧЕТАМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Методические указания к решению задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 1. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 2. Векторы. Прямая и плоскость в пространстве. . . . . . . . . . . . . Задание 3. Прямая на плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 4. Кривые второго порядка на плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 5. Поверхности второго порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 6. Вычисление пределов функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 А. Раскрытие неопределенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 Б. Раскрытие неопределенностей ( ),(0 ),( 0) . . . . . . . . . . . . . . . В. Раскрытие неопределенности 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 Г. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0 и . . . . . . . . . . Задание 7. Исследование функции на непрерывность. . . . . . . . . . . . . . . . Задание 8. Вычисление производных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 9. Вычисление производных функций, заданных неявно и параметрически. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 10. Построение графика функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
ТУ
БН
Учебное издание
ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ПО МАТЕМАТИКЕ
ри й
для студентов 1-го курса энергетического факультета
Ре
по з
ит о
Составители: МАТВЕЕВА Людмила Дмитриевна МАТЮШ Евгений Самуилович ШАВЕЛЬ Наталья Александровна
50
Редактор Т.Н. Микулик Компьютерная верстка С.В. Бондаренко Подписано в печать 27.05.2010. Формат 60841/8. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 5,81. Уч.-изд. л. 2,27. Тираж 300. Заказ 783. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65, 220013, Минск.