Общая физика. Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Контрольные задания

Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет

ОБЩАЯ ФИЗИКА Механика. Молекулярная физика и термодинамика Контрольные задания

Учебно-методическое пособие

Электронное издание

Красноярск СФУ 2016

УДК 53(07) ББК 22.3я73 О-280 Составители:

О-280

Бурученко Александр Егорович Мушарапова Светлана Ильинична Харук Галина Николаевна

Общая физика. Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Контрольные задания : учебно-методическое пособие [Электронный ресурс] / сост. А.Е. Бурученко, С.И. Мушарапова, Г.Н. Харук. – Электрон. дан. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2016. – 69 с. – Систем. требования: PC не ниже класса Pentium I; 128 Mb RAM; Windows 98/XP/7/8/10; Adobe Reader V8.0 и выше. – Загл. с экрана. В методическом указании представлены контрольные задания по разделам «Механика», «Молекулярная физика» и «Термодинамика» по дисциплине «Физика» для студентов инженерных специальностей. Приведены основные формулы и законы, примеры решения задач из разных разделов физики и даны контрольные задания по вариантам. Предназначено для студентов очной формы обучения инженерных специальностей СФУ в соответствии с унифицированной программой по физике и федеральными государственными образовательными стандартами высшего образования. Печатается в соответствии с решением кафедры «Экспериментальной физики и инновационных технологий» и методического совета института ИФиРЭ. УДК 53(07) ББК 22.3я73 © Сибирский федеральный университет, 2016

Электронное учебное издание Подготовлено к публикации издательством Библиотечно-издательского комплекса Подписано в свет 05.08.2016. Заказ № 2182 Тиражируется на машиночитаемых носителях Библиотечно-издательский комплекс Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел. (391) 206-26-67; http://bik.sfu-kras.ru  E-mail: [email protected]

ВВЕДЕНИЕ Курс физики составляет основу теоретической подготовки инженера любого профиля. На всех этапах обучения большое значение имеет практическое применение теоретических знаний в процессе решения задач. Это способствует приобщению студентов к самостоятельной творческой работе, учит анализировать изучаемые явления и выделять главные факторы. Контрольные задания, приведенные в учебно-методическом пособии, предназначены для инженерных специальностей в соответствии с унифицированной программой и стандартами высшего образования. Включает перечень задач для самостоятельного решения па разделам «Механика», «Молекулярная физика», «Термодинамика». В учебно-методическое пособие включен перечень задач по вариантам для самостоятельного решения, приведены основные законы и формулы, на основе которых решаются задачи, и примеры решения задач. Самостоятельное решение задач позволит студентам закрепить программный теоретический материал курса физики.

3

ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА 1.1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ 1.1.1. Кинематика Положение материальной точки в пространстве задаётся радиусG вектором r : G G G G r = i x + jy + kz , G G G где i , j , k – единичные векторы направлений (орты); x, y, z – координаты точки. Кинематические уравнения движения (в координатной форме) таковы: x = f (t ) ; y = f (t ) ; z = f (t ) , 2 3 1 где t – время. Средняя скорость: G G Δr , < v >= Δt где Δr – перемещение материальной точки за интервал времени Δt. Средняя скорость неравномерного движения: Δs < v >= , Δt где Δs – путь, пройденный точкой за интервал времени Δt. Мгновенная скорость: G G G G dr G < v >= = i vx + j v y + k v z , dt G dx dy dz где vx = ; v y = ; vz = ; – проекции скорости v на оси координат. dt dt dt Абсолютное значение скорости материальной точки: v = v2 + v2 + v2 . x

y

z

Ускорение материальной точки: G G G G dv G < a >= = i ax + j a y + k a z , dt где ax =

dv dv x dv ; a y = y ; az = z – проекции ускорения dt dt dt

координат. Абсолютное значение ускорения материальной точки: a = a2 + a2 + a2 . x

4

y

z

на оси

При криволинейном движении ускорение можно представить как G G сумму нормальной an и тангенциальной aτ составляющих: G G G a=a +a . n

τ

Абсолютное значение этих ускорений: dv v2 an = , aτ = , a = an2 + aτ2 , dt R где R – радиус кривизны траектории в данной точке. Кинематическое уравнение равномерного движения материальной G G точки ( v = const, a = 0) вдоль оси Ох: x = x0 ± vt , где x0 – начальная координата, t – время. Кинематическое уравнение равнопеременного движения G материальной точки ( a = const) вдоль оси Ох: at 2 , x = x0 + v0t ± 2 где v0 – начальная скорость; t – время. Скорость точки при равнопеременном движении: v = v0 ± at . Кинематическое уравнение вращательного движения: ϕ = f (t ) . Средняя угловая скорость материальной G точки: G Δϕ , < ω >= Δt G где Δϕ – изменение угла поворота за интервал времени Δt. Мгновенная угловая скорость материальной точки: G G dϕ . ω= dt Среднее угловое ускорение материальной точки: G G Δω , < ε >= Δ t G где Δω – изменение угловой скорости материальной точки за время ∆t. Мгновенное угловое ускорение материальной точки: G G dω . ε= dt Кинематическое уравнение равномерного вращения материальной точки: ϕ = ϕ0 ± ωt , G G где ϕ0 = ϕ 0 – начальный угол и ω = ω – модуль вектора угловой скорости. G G При равномерном вращении ω = const и ε = ε = 0 . Частота вращения 5

N 1 или n = , где N – количество оборотов материальной точки t T за время t ; T – период вращения. G Кинематическое уравнение равнопеременного вращения ( ε = const) материальной точки: εt 2 ϕ = ϕ 0 + ω0 t ± 2 , где ω0 – начальная угловая скорость, t – время. Модуль угловой скорости материальной точки при равнопеременном вращении: ω = ω 0 ± εt . Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки по окружности радиуса R, выражается формулами: S = ϕR , v= ω,R , v = ωR , aτ = ε,R , a = εR , τ

равна n =

an =ω2 R .

1.1.2. Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона) в векторной форме: G dp n G G = ∑ Fi = F , dt i =1

G

где pG = m v – импульс материальной точки массой m, – вектор результирующей всех сил, действующих на материальную точку. G n G G При m = const; ma = ∑ Fi = F . i =1

Третий закон Ньютона: G G

F12 = − F21 ; F12 = F21 (или F12 = F21 ).

Сила упругости – Fупр =-kx , 6

где k – коэффициент упругости (коэффициент жесткости пружины), х – абсолютная деформация тела. Сила гравитационного взаимодействия: mm F =G 12 2 , r где G – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы взаимодействующих тел, рассматриваемых как материальные точки; r – расстояние между ними. Сила трения скольжения – Fтр =μN, где μ – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления (нормальная составляющая силы реакции опоры). Радиус-вектор центра масс системы материальных точек n

G rC =

∑m r i =1 i i n

∑m i i =1

.

Закон сохранения импульса замкнутой системы тел: n G n G ∑ pi = const или ∑ mi vi = const , i =1

G r.

i =1

где n – число материальных точек или тел, входящих в систему. G Работа, совершаемая постоянной силой F . G G A = F ⋅ r = Fr cos α , G где α – угол между направлениями векторов силы F и перемещения Работа, совершаемая переменной силой: A = ∫ F (r ) cos αdr , L

при этом интегрирование проводится вдоль траектории, обозначаемой L. Средняя мощность, развиваемая силой за интервал времени Δt: < N >=

ΔA . Δt

Мгновенная мощность:

G G dA или P = F ⋅ v = Fv cos α , dt где dA – работа, совершаемая за промежуток времени dt, α – угол G G между вектором силы F и вектором скорости v . Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно:

P=

T=

p2 mv 2 , или T = . 2 2m 7

Соотношение потенциальной энергии тела и силы, действующей на него в данной точке поля: G G ⎛ G dП G dП G dП ⎞ ⎟, F = − gradП , или F = −⎜⎜ i +j +k dy dz ⎟⎠ ⎝ dx

где j , i, k – единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (например, гравитационное): F =−

dП . dr

Потенциальная энергия тела, находящегося в поле тяжести Земли на высоте h: П = mgh , где g – ускорение свободного падения. Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины): 1 П = kx2 . 2

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m1 и m2 , находящихся на расстоянии r друг от друга: П = −G

m1 ⋅ m2 . r

Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе тел, в которой между телами действуют только консервативные силы, и записывается в виде: T + П = const

Закон сохранения импульса для абсолютно упругого центрального удара двух тел: m1v1 + m2 v 2 = m1u1 + m2 u 2 , где v1 и v2 – скорости шаров массами m1 и m2 до удара, скорости шаров после удара u1 и u 2 . Их направление учитывается знаками: положительные значения приписываем движению вправо, отрицательные – движению влево. Закон сохранения энергии для абсолютно упругого удара имеет вид: m1v12 m2 v22 m1u12 m2 u 22 + = + . 2 2 2 2 Закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара: m1v1 + m2 v2 = ( m1 + m2 )u . Закон сохранения энергии для абсолютно неупругого удара: m1v12 m2 v22 ( m1 + m2 )u 2 + = + ΔT , 2 2 2 где ΔT– «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии вследствие деформации тел. 8

1.1.3. Механика твёрдого тела G

Момент силы F , действующей на тело, относительно точки O: M= r, F , G r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения где G силы F . G Модуль момента силы F : M = FrG sin α = Fl , G где α – угол между векторами F и r , l = r sin α - плечо силы. Момент инерции материальной точки относительно оси вращения: J = mr 2 , где m – масса точки, r – расстояние от этой точки до оси. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения: n

2

J = ∑ Δmi ri , i =1

где Δmi – масса i – го элемента объема тела, ri – расстояние i – го элемента объема до оси. Момент инерции однородного сплошного твердого тела интегральной форме: J = ∫ r 2dm .

в

Таблица 1. Моменты инерции различных тел Тело Однородный тонкий стержень массой m и длиной A

Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой m, распределённой по ободу

Положение оси вращения

Момент инерции

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину

1 2 mA 12

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец Ось проходит через центр кольца, обруча, трубы, маховика перпендикулярно плоскости основания

1 2 mA 3

mR

2

Круглый однородный Ось проходит через центр диска диск (цилиндр) радиусом R перпендикулярно его основанию и массой m

1 2 mR 2

Однородный шар массой m и радиусом R

2 2 mR 5

Проходит через центр шара

По теореме Штейнера произвольной оси равен

момент 9

инерции

тела

относительно

J = J C + ma 2 , где J C – момент инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела; m – масса тела и a – расстояние между указанными осями. Момент импульса вращающегося тела относительно неподвижной оси: G G L = Jω , G где J – момент инерции тела относительно неподвижной оси; ω – угловая скорость тела. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной G оси: G dL =M , dt G G где M – момент силы F , действующей на тело, относительно точки O, находящейся на неподвижной оси. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси в случае постоянного момента инерции: G G M = Jε , G где J – момент инерции тела относительно неподвижной оси; ε – угловое ускорение тела. Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы тел, момент инерции которой меняется относительно неподвижной оси: J 1ω1 = J 2 ω 2 , где J1 и J 2 , соответственно, начальный и конечный моменты

инерций системы тел; ω1 и ω 2 , соответственно, начальная и конечная угловые скорости этой системы тел. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел замкнутой системы относительно неподвижной оси: J 1ω1 + J 2 ω 2 = J 1′ω1′ + J 2′ ω′2 , где J 1 , J 2 и J 1′ , J 2′ , соответственно, начальные и конечные моменты инерций тел; ω1 , ω 2 и ω1′ , ω′2 , соответственно, начальные и конечные угловые скорости этих тел. Элементарная работа постоянного момента силы M , действующего на вращающееся тело: dA = Mdϕ , где dϕ - угол поворота тела. Мгновенная мощность, развиваемая моментом силы при вращении тела: dA = Mω , P= dt 10

где ω - мгновенная угловая скорость тела. Кинетическая энергия вращающегося тела: Jω2 , T= 2 где J - момент инерции тела относительно его оси вращения. Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения: mv 2 Jω 2 , T= + 2 2 где m – масса тела; v – скорость движения центра масс тела; J – момент инерции тела и ω – угловая скорость вращения тела относительно оси, проходящей через центр масс этого тела. Работа силы, совершаемая при вращении тела, расходуется на изменение его кинетической энергии: 2 2 J 2 ω2 J 1ω1 . A= − 2 2 где ω1 и ω2 , соответственно, начальная и конечная угловые скорости тела. Относительное продольное растяжение (сжатие) тела: Δl . ε= l где l – начальная длина тела, Δl – изменение его длины. Напряжение деформации тела: F σ= , S где F – модуль силы, действующей на площадь S поперечного сечения тела. Закон Гука для малой деформации тела: σ = εE , где E - модуль Юнга. Потенциальная энергия упругого растянутого (сжатого) стержня: 1 ES 2 Eε 2 Δl = П= V, 2 l 2 где V = Sl - первоначальный объем тела. 1.1.4. Механические колебания

Уравнение гармонических колебаний точки вдоль оси Ox: x = A cos( ω 0 t + ϕ 0 ) , где A – амплитуда колебаний; ω 0 – циклическая (круговая) частота; ϕ 0 – начальная фаза колебаний в момент времени t = 0, ϕ = ( ω 0 t + ϕ 0 ) - фаза колебаний в момент времени t. 11

Циклическая частота колебаний: ω 0 = 2 πν =

2π , T

где ν = 1 – линейная частота колебаний; T – период колебаний. T

Скорость точки, совершающей гармонические колебания вдоль оси Ox: vx =

dx = x ′ = − A ω 0 sin( ω 0 t + ϕ 0 ) . dt

Ускорение точки, совершающей гармонические колебания вдоль оси Ox: ax =

d 2x 2 ′′ = − A ω 0 cos( ω 0 t + ϕ 0 ) . = x dt 2

Амплитуда A результирующего колебания, полученного при сложении двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой x1 = A1 cos( ω 0 t + ϕ 1 ) и x 2 = A2 cos( ω 0 t + ϕ 2 ) , определяется по формуле: A 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos( ϕ 2 − ϕ 1 ) , где A1 , ϕ 1 и A2 , ϕ 2 – амплитуды и начальные фазы складываемых колебаний. Начальная фаза ϕ результирующего гармонического колебания определяется по формуле: tg ϕ =

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 . A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с амплитудами A1 и A2 , и начальными фазами ϕ 1 и ϕ 2 , имеет вид: x2 y2 2 xy + 2 − cos( ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 ( ϕ 2 − ϕ1 ) . 2 A1 A2 A1 A2

Если начальные фазы ϕ 1 и ϕ 2 складываемых колебаний одинаковы, то уравнение траектории принимает вид: x2 y2 + = 1. A12 A22

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки, на которую действует упругая сила упр : m x ′′ = − kx или m x ′′ + ω 02 x = 0 , где m – масса материальной точки; k – коэффициент упругости; k ω0 = – циклическая частота свободных незатухающих колебаний. m Кинетическая энергия материальной точки, совершающей 12

гармонические колебания: 2 2 mv 2 mA ω0 T= = sin 2 (ω0t + ϕ 0 ) . 2 2 Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания: mω02 x 2 mA 2 ω02 П= = cos 2 (ω0t + ϕ 0 ) . 2 2 Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания: mA 2 ω02 1 2 E =T + П = = kA . 2 2 Период колебаний пружинного маятника: m T = 2π , k где m – масса маятника, k – коэффициент упругости пружины. Период колебаний математического маятника: l T = 2π , g где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника: L J T = 2π = 2π , g mgl где L = J – приведенная длина физического маятника; g – ml ускорение свободного падения; l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний пружинного маятника: m x ′′ = − kx − rx ′ или x ′′ + 2 δ x ′ + ω 02 x = 0 , где m – масса маятника; k – коэффициент упругости пружины; r – r – коэффициент затухания; коэффициент сопротивления среды; δ = 2m k ω0 = – циклическая частота свободных незатухающих колебаний. m Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний: x = A0 e − δt cos( ω t + ϕ 0 ) , где A = A0 e − δt – амплитуда затухающих колебаний; A0 – амплитуда колебаний в момент времени t = 0 ; e – основание натурального логарифма; δ – коэффициент затухания; ϕ 0 – начальная фаза затухающих колебаний.

13

Циклическая частота затухающих колебаний: ω = ω 02 − δ 2 . Логарифмический декремент затухания: A(t ) T 1 θ = ln = δT = = τ N , A(t + T ) e 1 A(t ) T θ = ln = δT = = , A(t + T ) τ Ne где T – период затухающих колебаний; τ – время релаксации; Ne – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний: m x ′′ = − kx − r x ′ + F0 cos ω t или x ′′ + 2 δ x ′ + ω 02 x = f 0 cos ω t , где F0 cos ω t – внешняя вынуждающая периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания, F0 – её амплитудное значение, f 0 =

F0 . m

Амплитуда вынужденных колебаний: A=

f0 ( ω 02 − ω 2 ) 2 + 4 δ 2 ω 2

.

Резонансная частота и резонансная амплитуда: f0 . ω рез = ω 02 − 2 δ 2 и Αрез = 2 2 2δ ω0 − 2δ 1.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x = A + Bt + Ct3, где А = 2 м, В = 7 м/с; С = 0,5м/с3. Найти координату, скорость и ускорение точки в момент времени t = 2 с. Решение. Координату x найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В, С и времени t: x = (2+7·2-0,5·23)=12 м. Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени: dx = B +3Ct2. v= dt Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени: dv a= = 6Ct2. dt Найдем числовые значения скорости и ускорения в момент времени t = 2с v =(7-3·0,5·22) = 1м/с; a = 6·0,5·2 = 6 м/с2. 14

Пример 2. Тело брошено со скоростью v0 = 10 м/с под углом α = 40° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: 1) высоту h подъема тела; 2) дальность S полета тела (по горизонтали); 3)время движения тела. Решение. Движение тела можно разложить на две составляющие: горизонтальное вдоль оси Ох и вертикальное вдоль оси Оy (рис. 1). Применяя закон независимости движений, имеем: gt 2 ; 2 ⋅ 2t ,

h = v0 y t −

(1)

S = v0 x

(2)

где t – время подъема; 2t – время полета.

у

v0 v 0у h

α v 0х

х S Рис. 1

Из рисунка видно, что v 0 y = v 0 sin α ; v 0 x = v 0 cos α . В верхней точке подъема v y = 0 , и из уравнения v y = v 0 y − gt получаем, что v 0 sin α = gt . Отсюда время подъема равно v sin α 10 ⋅ 0,64 = = 0,65 c. t= 0 g 9,8 Подставив значение t в (1), получим высоту, на которую поднимется тело: 2 ( v0 sin α ) (10 ⋅ 0,64 )2 h= = = 2,1 м. 2g 2 ⋅ 9,8 Подставив значение времени t в (2), найдем дальность полета: S = v 0 cos α ⋅ 2t = 10 ⋅ 0,77 ⋅ 1,3 = 10 м. Время полета 2t = 2·0,64 = 1,3 с. Пример 3. Диск радиусом R = 5 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением ω = 2At + 5Bt4, где А = 2 рад/с2, В = 1 рад/с5. Найти для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения: 1) полное ускорение; 2) число оборотов диска. 15

Решение. Полное ускорение может быть найдено как геометрическая G сумма тангенциального ускорения aτ , направленного по касательной к G траектории, и нормального ускорения a n , направленного к центру кривизны траектории (рис.2). G G G а = аτ + аn . аτ G G Так как векторы aτ и a n взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения – а аn a = aτ2 + an2 . Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами a τ = ε r ; an = ω2 r , где ε – угловое ускорение тела; ω – угловая скорость тела.

R

Рис. 2 По условию задачи

ω = 2 Аt + 5 Bt4.

Следовательно,

dω 2 = R(2 A + 20 Bt 3 ) = 0,05(2 ⋅ 2 + 20 ⋅ 1 ⋅ 13 ) = 1,2 м/с ; dt 2 2 an = ω2 R = R 2 At + 5Bt 4 = 0,05(2 ⋅ 2 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 ⋅ 14 ) = 4,05 м/с2.

a τ = εR = R

(

)

Полное ускорение a=

a τ2 + a n2 =

(1, 2 )2 + (4,05 )2

= 4 , 22 м/с2.

Угол поворота диска равен φ = 2πN (где N – число оборотов), но угловая скорость составляет dϕ . ω= dt Следовательно, t

t

0

0

ϕ = ∫ ω dt =

∫

(2 At + 5 Bt )dt = At 4

2

+ Bt 5 .

Тогда число оборотов диска – ϕ At 2 + Bt 5 2 ⋅ 12 + 1 ⋅ 15 = = = 0, 48 . N = 2π 2π 2 ⋅ 3,14 Пример 4. Маховик вращается с постоянной частотой n0 = 10 c-1. При торможении он начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой n = 6 c-1. Найти угловое ускорение ε маховика и 16

продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N = 50 оборотов. Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной ω 0 и конечной ω угловыми скоростями соотношением ω2 − ω02 = 2εϕ; откуда

ω 2 − ω 02 . ε = 2ϕ Но так как φ = 2 π N, ω = 2 π n, то

ω 2 − ω 02 π (n 2 − n 02 ) 3 ,14 (6 2 − 10 2 ) 2 = = = − 4 , 02 рад/с . 2ϕ N 50 Знак «минус» указывает на то, что маховик вращается замедленно. Для определения продолжительности торможения используем формулу, связывающую угол поворота со средней угловой скоростью вращения и временем: φ = ωсрt. По условию задачи угловая скорость линейно зависит от времени, и поэтому ωср можно выразить так: ω +ω ωср = 0 , 2 тогда ε=

ϕ= Откуда t =

(ω0 + ω)t = π(n 2

0

+ n )t .

ϕ 2N 2 ⋅ 50 = = = 6 , 25 с. π (n 0 + n ) n 0 + n 10 + 6

Пример 5. К нити подвешен груз массой m =1 кг. Найти силу натяжения нити FH , если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением a = 5 м/с2; 2) опускать с тем же ускорением. Решение. На поднимаемый груз, действуют сила тяжести mg (вниз) и сила натяжения нити FH (вверх), рис.3. Применив второй закон Ньютона, получим, что ma = FH - mg. Отсюда FH = m(a + g ) = 1 ⋅ (5 + 9,8) = 14,8 H. На опускаемый груз действуют сила тяжести mg (вниз) и сила натяжения нити FH (вверх). Применив второй закон Ньютона, получим, что ma = mg − FH . Отсюда FH = m( g − a ) = 4,8 H.

17

G Fн

G G Р = mg Рис. 3 Пример 6. По плоскости с углом наклона 30° к горизонту скользит тело. Определить скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения μ = 0,15. Решение. Уравнение движения тела в y векторной форме (второй закон Fтр N Ньютона): G G G G N + mg + Fтр = ma . Fск α

α

mg Рис. 4

x

В проекциях на оси Оx и Оy это уравнение примет вид mg sin α − Fтр = ma ; (1) N − mg cos α = 0 . (2) Из уравнения (2) N = mg cos α , см. рисунок. Сила трения Fтр = μN = μmg cos α .

Тогда, подставив Fтр в уравнение (1), получим выражение mg sin α − μmg cos α = ma , отсюда

a = g (sin α − μ cos α) = ma . Скорость тела v = v0 + at , но v0 = 0; поэтому

⎛1 3⎞ v = at = g (sin α − μ cos α )t = 9,8⎜⎜ − 0,15 ⎟⎟2 = 19,6(0,5 − 0,13) = 7,25 м/с. 2 ⎠ ⎝2 Пример 7. После абсолютно упругого соударения тела массой m1, движущегося поступательно, с покоящимся телом массой m2 оба тела разлетаются симметрично относительно направления вектора скорости m1 первого тела до удара. Определить, при каких значениях = n это m2 18

возможно. Угол между векторами скоростей тел после удара равен 60°, рис. 5. Решение. Удар абсолютно упругий, и импульс системы тел не изменяется: G G G m1v1 = m1u1 + m2 u 2 . Закон сохранения импульса в проекциях на оси Ох и Оу запишется: m1v1 = m1u1 cos α + m2 u 2 cos α ; 0 = m1u1 sin α − m2u2 sin α . Из уравнения (2) следует, что m1u1 = m2u2 . Уравнение (1) примет вид m1v1 = 2m2u2 cos α . m1u1

β

(1) (2) (3)

m1v1

α m2 u 2 Рис. 5

Для абсолютно упругого удара закон сохранения кинетической энергии имеет вид: 2 2 2 m1v1 mu1 m2u2 = + . (4) 2 2 2 m Подставляя в (4) уравнение (3) при замене m2 = 1 , получаем: n 2 2 m1v1 = m1u1 (n + 1) ; m1v1 = 2m1u1 cos α . Получившиеся уравнения образуют систему, совместное решение которой дает следующий результат: 2 4 cos2 α = (n + 1); 4 cos2 300 = (n + 1); 4 ⋅ (0,866) = n + 1; n = 3 − 1 = 2 . Пример 8. Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v1, столкнулся с неподвижным шаром массой m2. Шары абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму? Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением 2

2 Т 2 m2 u 2 m ⎛u ⎞ n= = = 2 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ , 2 Т1 m1v1 m1 ⎝ v1 ⎠

19

(1)

где Т1 – кинетическая энергия первого шара до удара; u2 и Т2 – скорость и кинетическая энергия второго шара после удара. При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: импульса и механической энергии. По закону сохранения импульса, с учетом того, что второй шар до удара покоился, имеем m1v1 = m1u1 + m2u2 . По закону сохранения механической энергии: 2 2 m1v1 mu1 m2u22 . = + 2 2 2 Решая совместно два последних уравнения, найдём, что 2m1v1 u2 = . m1 + m2 2m1v1 Подставив выражение u2 = в равенство (1), получим m1 + m2 2

m ⎡ 2m1v1 ⎤ 4m1m2 n= 2 ⎢ = . m1 ⎣ v1 (m1 + m2 )⎥⎦ (m1 + m2 )2 Из этого соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Пример 9. Сплошной шар массой m = 1 кг и радиусом R = 0,05 м вращается вокруг оси, проходящей через его центр. В точке, наиболее удалённой от оси вращения, на шар действует сила, касательная к поверхности. Угол поворота шара меняется по закону ϕ = 2 + 2t − t 2 . Определить величину действующей силы F, тормозящий момент силы М, время t равнозамедленного движения. Решение. Согласно основному закону динамики вращательного движения вращающийся момент равен M = Jε , где J – момент инерции шара; ε – угловое ускорение. Момент инерции шара: 2 J = mR 2 . 5 2 d ϕ dω рад Угловое ускорение ε = 2 = . , dt dt c 2 2 Следовательно, Μ = Jε = mR 2 (−2) = −20 ⋅10 − 4 Н ⋅ м . 5 Момент силы относительно неподвижной точки составляет M= R, F , где R – радиус - вектор, проведённый из этой точки в точку G приложения силы F . Модуль момента силы равен Μ = RF . Отсюда

20

4 M = − mR = 4 ⋅10 − 2 H . R 5 В момент остановки шара ω = 0, dϕ ω= = 2 − 2t , 2 − 2t = 0, t = 1c. dt F=

Пример 10. Найти линейное ускорение шара, скатывающегося без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости α = 30°, начальная скорость v0 = 0. Решение. При скатывании шара с наклонной плоскости высотой h его потенциальная энергия уменьшается, переходя в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения: mv 2 Jω2 mgh = + , (1) 2 2 2 v где J – момент инерции шара. Так как J = mR 2 и ω = , где R – 5 R радиус шара, то уравнение (1) можно записать так: mv2 2 mR2v 2 mgh = + , 2 5 2R 2 т.е. mv 2 1 2 mgh = + mv . 2 5

m h α Рис. 6 Из рисунка видно, что h = l sinα; тогда mgl ⋅ sin α =

7 mv 2 ; 10

7 2 v . (2) 10 Так как движение тела происходит под действием постоянной силы, то оно равноускоренное с начальной скоростью v0 = 0 (из условия задачи); поэтому at 2 l= ; v = at . (3) 2 Подставив (3) в уравнение (2), получим: gl ⋅ sin α =

21

a=

g sin α ⋅10 9,8 ⋅ 0,5 ⋅ 10 = = 3,5 м/с2. 7⋅2 7⋅2

Пример 11. Маховик в виде диска массой m = 50 кг и радиусом R = 20 см был раскручен до частоты вращения n1 = 480мин −1 . Вследствие трения маховик остановился. Найти момент M сил трения, считая его постоянным для двух случаев: 1) маховик остановился через t = 50 с; 2) маховик до полной остановки сделал N = 200 об. Решение. По основному закону динамики вращательного движения изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время действия этого момента: ΜΔt = Jω2 − Jω1 , где J –момент инерции маховика; ω1 и ω2 - начальная и конечная угловые скорости. Так как ω2 = 0 и Δt = t , то Mt=-Jω, откуда Jω (1) Μ =− 1. t Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен 1 J = mR 2 . 2 Подставив это выражение в формулу (1), найдём, что mR2 ω1 Μ =− . (2) 2t Выразив угловую скорость ω1 через частоту вращения n1 = 480мин −1 = 8с −1 , получим ω1 = 2πn1 , произведя вычисления по формуле (2), найдём, что mR2 ⋅ 2πn1 50 ⋅ (0,2) 2 ⋅ 3,14 ⋅ 8−1 Μ =− =− = −1H ⋅ м . 2t 50 В условии задачи дано число оборотов маховика до остановки, т.е. его угловое перемещение: ϕ = 2πN = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 200 = 1256 рад. Запишем формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии: Jω22 Jω12 Α= − , или ω2=0. 2 2 Она примет вид Jω2 Α=− 1 . (3) 2 Работа при вращательном движении определяется по формуле Α = Mϕ . Подставив выражение работы и момента инерции диска в формулу (3), получим 22

Отсюда

mR 2 ω12 Μϕ = − . 4

mR 2 ω12 M= = –1 Н⋅м . 4ϕ Знак «минус» показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие. Пример 12. Человек стоит в центре круга Жуковского, вращающегося по инерции вокруг неподвижной оси с частотой n1 = 30мин −1 . В вытянутых руках он держит по гире (массой m = 5 кг каждая). Расстояние от каждой гири до оси вращения A 1 = 60см. Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения J0 = 2 кг⋅см2. Определить частоту n2 вращения скамьи с человеком. Какую работу совершит человек, если прижмёт гири к себе так, что расстояние от каждой гири до оси станет равным A 2=20cм? Решение. По условию задачи момент внешних сил относительно вертикальной оси вращения равен нулю, поэтому момент импульса системы сохраняется: J1ω1= J2 ω2, 2 2 где J1 = J 0 + 2mA 1 и J 2 = J 0 + 2mA 2 – соответственно момент инерции всей системы до и после сближения; m - масса каждой гири. Угловая скорость ω = 2πn. Подставив ω в уравнение, получим искомую частоту вращения: J 0 + 2 m A 12 2 + 2 ⋅ 5 ⋅ ( 0 ,6 ) 2 n2 = n1 ; n 2 = 0,5 = 1,16 c −1 . 2 2 J 0 + 2mA 2 2 + 2 ⋅ 5 ⋅ ( 0, 2 ) Работа, совершаемая человеком, равна изменению кинетической энергии системы: 2 ( J 0 + 2mA 22 ) (2π ⋅ n2 ) ( J 0 + 2mA 22 ) (2π ⋅ n1 ) 2 2 A = T2 − Т1 = J 2ω1 − J1ω1 = − = 36,8 Дж . 2 2 Пример 13. Материальная точка массой m = 10 г совершает гармонические колебания частотой ν = 0,2 Гц. Амплитуда колебаний А = 5 см. Определить: а) максимальную силу Fmax, действующую на точку; б) полную энергию Е колеблющейся точки. Решение. Уравнение гармонического колебания: х = A cos (ω0t+ φ). Тогда скорость и ускорение колеблющейся точки находятся так : dx v= = − Aω0 sin(ω0t + ϕ) ; dt dv = − Aω02 cos(ω0t + ϕ). a= dt 23

Согласно второму закону Ньютона сила, действующая на точку, – F = ma = − Aω02 m cos(ω0t + ϕ) при cos(ω0t + ϕ) = ±1, F = Fmax . Поэтому искомое максимальное значение силы (с учетом того, что ω0= 2πν) будет равно Fmax = Aω02 m = A4π 2 ν 2 m = 0,8 мН . Полная энергия колеблющейся точки – 1 2 mA2 ω2 E = Eк max = mvmax = = 2π 2 ν 2 mA2 = 19,7 мкДж. 2 2 Пример 14. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемые уравнениями x1 = A1 cosω(t + τ1 ) и x2 = A2 cos ω(t + τ2 ) , где А1 = 1 1 1см, А2 = 2см, τ1 = с, τ 2 = с, ω = π ⋅ с −1 . Определить начальные фазы 6 2 φ01, φ02 составляющих колебаний и амплитуду результирующего колебания. Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид x = Acos(ωt+φ). x1=A1cos(ωt+ωτ1), x2 =A2cos(ωt+ ωτ2). Тогда: 1 π 1 π ϕ1 = ωτ1 = π = рад, ϕ2 = ωτ2 = π = рад. 2 2 6 6 Для определения амплитуды результирующего колебания представим векторную диаграмму, рис.7. A

A2 A1 sin ϕ1 + A 2 sin ϕ2 ϕ2

ϕ ϕ1

A1

х

A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2 Рис. 7 Согласно теореме косинусов, получим:

A=

A12 + A22 + 2 A1 A2 cos Δϕ ,

где Δϕ = ϕ2 − ϕ1 – разность фаз составляющих колебаний.

24

Подставив найденные значения φ2 и φ1, получим, что Δϕ = рад, Δϕ =60°. Подставив значения А1, А2, и Δφ, найдем, что

π π π − = 2 6 3

A = 12 + 22 + 2 ⋅1 ⋅ 2 ⋅ cos 600 = 2,65 см. Пример 15. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях во взаимно перпендикулярных направлениях. Колебания π описываются уравнениями x = cos πt и y = cos t. Определить траекторию 2 движения точки. Решение. По условию задачи π x= cos πt ; y = cos t. (1) 2 Для определения траектории точки из выражений (1) исключаем x +1 время. Искомые уравнения имеют вид x = 2y2-1, или y = , и 2 траектория движения точки представляет собой параболу. Пример 16. На концах тонкого стержня длиной A = 1 м и массой m = 400 г укреплены шарики малых размеров массами m1 = 200 г и m2 = 300 г. Стержень колеблется вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной ему и проходящей через его середину (точка О, рис.8). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем. Решение. Период колебаний физического маятника, примером которого является стержень с шариками, определяется по формуле

J , mga

T = 2π

(1)

где J – момент инерции маятника относительно оси колебаний; m – его масса; a – расстояние от центра масс маятника до оси. Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J1, J2 и стержня J3: (2) J= J1+ J2+ J3. Приняв шарики за материальные точки, выразим моменты их инерций: 2

2

⎛A⎞ ⎛A⎞ J 1 = m1 ⎜ ⎟ , J 2 = m 2 ⎜ ⎟ . ⎝2⎠ ⎝2⎠

25

Момент инерции стержня относительно оси, 1 проходящей через его середину, равен J3= m3A 2 . 12 Подставив полученные выражения J1, J2, J3 в формулу (2), найдем момент инерции физического маятника: 2

2

1 12 ⎛A⎞ ⎛A⎞ 2 J = m1 ⎜ ⎟ + m2 ⎜ ⎟ + m3A = (3m1 + 3m2 + m3 ) = 12 ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ 12 A2 2 = (3 ⋅ 0,2 + 3 ⋅ 0,3 + 0,4) = 0,158 кг ⋅ м . 12

Рис. 8

Масса маятника состоит из масс шариков и стержня: m = m1 + m2 + m3 = 0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9 кг.

Если ось Ох направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, см. рисунок, то искомое расстояние а равно координате центра масс маятника, т.е.

⎛ 1⎞ ⎛1⎞ m1 ⎜ − ⎟ + m2 ⎜ ⎟ + m3 ⋅ 0 ∑ mi xi (m2 −m1 )1 = 2⎠ ⎝2⎠ = ⎝ a = xc = = ∑ mi 2(m1 + m2 + m3 ) m1 + m2 + m3 =

(m2 − m1 )1 = (0,3 − 0,2)1 = 0,055 м. 2 ⋅ 0,9

2m

Произведя расчет по формуле (1), найдем период колебаний физического маятника:

T = 2π

J 0.158 = 2 ⋅ 3,14 = 11,2 с . mga 0,9 ⋅ 9,8 ⋅ 0,055

Пример 17. Один конец медной проволоки длиной A = 0,8 м, сечением S = 8 мм2 закреплен в подвесном устройстве, а к другому прикреплен груз массой m = 400 г. Вытянутую проволоку с грузом, отклонив до высоты подвеса, отпускают. Считая проволоку невесомой, определить ее удлинение в нижней точке траектории движения груза. Модуль Юнга для меди равен Е = 118 ГПа. Решение. Из закона Гука продольного растяжения

τ = E⋅ ε,

где τ = ε =

F – напряжение при упругой деформации; Е – модуль Юнга; S

ΔA – относительное продольное растяжение, получим A 26

ΔA =

FA , ES

(1)

где F – сила, растягивающая проволоку в нижней точке траектории груза, численно равная сумме величин силы тяжести груза и центростремительной силы, действующей на него,

mv 2 F = mg + , A + ΔA

(2)

где v – скорость груза. Согласно закону сохранения механической энергии

mv 2 = mg (A + ΔA ). 2 Подставив найденное отсюда выражение mv 2 в формулу (2), получим, что F = 3mg. Тогда из выражения (1) следует, что искомое удлинение проволоки – 3mgl 3 ⋅ 0,4 ⋅ 9,8 ⋅ 0,8 ΔA = = = 9,98 ⋅ 10 − 4 м. 9 −6 118 ⋅ 10 ⋅ 8 ⋅ 10 ES 1.3. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №1 Вариант 1

1. Тело движется по прямой линии согласно уравнению S = (0,5t4 + 0,2t2 + 2), м. Найти его скорость v и ускорение a в момент времени t = 4 с, а также средние значения скорости vср и ускорения aср за первые 5 с движения. 2. Определить время t полета самолета между двумя пунктами, расстояние между которыми ℓ = 477 км, если скорость самолета относительно воздуха равна v0 = 280 м/с, а скорость встречного ветра, направленного под углом α = 14º к направлению движения, равна v1 = 16 м/с. 3. Диск радиусом r = 2 м вращается вокруг неподвижной оси по закону: ϕ = (10 + 20t - 2t2), рад. Найти угловую скорость ω и угловое ускорение ε, тангенциальное aτ, нормальное an и полное a ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 5 с. 4. Два небольших тела массами m1 = 3 кг и m2 = 2 кг связаны невесомой и нерастяжимой нитью и расположены на горизонтальной плоскости. К первому телу приложена сила F1 = 10 Н, направленная под углом α = 30º к горизонту (вверх). Определить ускорение системы, если 27

коэффициент трения тел о плоскость одинаков и равен μ = 0,05. 5. Наклонная плоскость имеет длину L = 5 м и высоту H = 3 м. Тело массой m = 50 кг прижимается к наклонной плоскости силой, параллельной ее основанию. Какой должна быть эта сила, чтобы тело двигалось равномерно вверх? Коэффициент трения о плоскость μ = 0,01. 6. Через блок перекинута нить, на концах которой висят два груза с одинаковыми массами М. Затем на левый и правый грузы кладут по перегрузку массами m1 = m и m2 = 3m. Определить ускорение a системы, силу натяжения нити T и силы давления перегрузков на основные грузы P1 и P2. 7. Трактор массой m = 980 кг, развивающий мощность N = 20 л.с., поднимается в гору с постоянной скоростью v = 5 м/с. Определить угол наклона α горы к горизонту. Силу сопротивления движению не учитывать.(1 л.с.. = 0, 7355 кВт). 8. Камень брошен под углом α = 60° к горизонту. Кинетическая энергия камня в начальный момент времени ЕК0 = 20 Дж. Определить кинетическую ЕК и потенциальную ЕП энергии камня в высшей точке его траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь. 9. Падающий вертикально шарик массой m = 0,2 кг ударился об пол и подпрыгнул на высоту h = 0,9 м. Найти среднюю силу Fср, действующую со стороны пола на шарик, если длительность удара Δt = 0,01 с. К моменту удара об пол скорость шарика равна v = 6 м/с. 10. Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило за время t = 1,5 мин частоту своего вращения с ν1 = 300 об/мин до ν2 =180 об/мин. Момент инерции колеса J = 2 кг⋅м2. Определить число оборотов колеса N за это время, угловое ускорение колеса ε и тормозящий момент M . 11. На полый тонкостенный цилиндр намотана невесомая нерастяжимая нить, свободный конец которой прикреплен к потолку. Цилиндр сматывается с нити под действием собственного веса. Найти ускорение цилиндра a и силу натяжения нити T. Начальная длина нити намного больше радиуса цилиндра. 12. Круглая платформа радиусом r = 1 м, момент инерции которой J = 130 кг⋅м2, вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая 1 оборот в секунду. На краю платформы стоит человек, масса которого m = 60 кг. Сколько оборотов в секунду будет совершать платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. 28

13. Написать уравнение гармонических колебаний, совершающихся по закону косинуса, для материальной точки массой m = 0,1 кг, если за время t = 1 мин совершается N = 60 колебаний, амплитуда которых A = 8 см, а начальная фаза равна φ0 = 3π/2 рад. Построить график зависимости смещения от времени. Найти полную энергию колеблющейся точки, ее максимальную скорость и ускорение. 14. Тонкий обруч радиусом r = 20 см подвешен на вбитый в стену гвоздь и колеблется в плоскости, параллельной стене. Найти период колебаний обруча. 15. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, описываемых уравнениями: x = 2cosωt и у = 3sin0,5ωt. Найти уравнение траектории точки и построить ее на чертеже. Вариант 2

1. Уравнение движения материальной точки имеет вид: x = (2 + t 0,5t ), м. Найти координату x, скорость v и ускорение a точки в момент времени t = 2 с, а также средние значения скорости vср и ускорения aср за первые 5 с движения. 2. Тело брошено под углом α к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить этот угол α, если максимальная высота подъема hmax равна дальности полета L. 3. Диск радиусом r = 20 см при вращении имеет начальную частоту ν1 = 10 с-1, после торможения в течение времени Δt = 12 c его частота уменьшилась до ν2 = 4 с-1. Найти угловое ускорение диска ε и число оборотов N, сделанных им за время торможения; тангенциальное aτ, нормальное an и полное a ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 5 с. 4. Камень, брошенный с высоты h = 2,1 м под углом α = 45° к горизонту, падает на землю на расстоянии L = 42 м от места бросания (по горизонтали). Найти начальную скорость v0 камня, время полета t, максимальную высоту подъема hmax над уровнем земли, радиусы кривизны траектории в верхней точке R1 и в точке падения камня R2. 5. Две гири массой m1 = 1,5 кг и m2 = 2 кг и соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутою через невесомый блок, подвешенный к динамометру. Какое значение F покажет динамометр во время движения грузов? Трения в оси блока нет. 2

29

6. Определить работу A, совершаемую при подъеме груза массой m = 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона α = 30° к горизонту на высоту h = 4 м, если время подъема t = 2 с, а коэффициент трения μ = 0,06. 7. Материальная точка массой m = 1 кг движется под действием силы согласно уравнению: х = (10 - 2t2 - 0,2t3), м. Найти мощность N, затрачиваемую на движение точки в момент времени t = 3 с. 8. Тело массой M = 990 г лежит на горизонтальной поверхности. В него попадает пуля массой m = 10 г и застревает в нем. Скорость пули равна v = 700 м/с и направлена горизонтально. Какой путь L пройдет тело до остановки? Коэффициент трения между телом и поверхностью μ = 0,05. 9. Тело массой m = 4 кг движется со скоростью v = 3 м/c и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определить количество теплоты Q, выделившейся при ударе. 10. Для тонкого стержня длиной L = 50 см и массой m = 0,36 кг найти моменты инерции относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через конец стержня (J1); через точку, отстоящую от середины стержня на 1/3 его длины (J2). 11. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого равен J = 50 кг⋅м2, вращается с частотой ν = 360 об/мин. Через время t = 1 мин он остановился. Определить момент сил торможения M, угловое ускорение ε, число оборотов маховика N со времени начала торможения до полной остановки. 12. Полый тонкостенный цилиндр массой m = 500 г, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и отскакивает от нее. Скорость цилиндра до удара о стенку равна v1 = 1,4 м/с, после удара v2 = 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты Q. 13. Уравнение движения материальной точки массой m = 400 г задано в виде x = 5sin(πt/2 + π/4), см. Определить период T колебаний точки, максимальные значения ее скорости vmax и ускорения amax,, полную энергию точки E. 14. Математический маятник, отведенный на натянутой нити на угол α = π/2 от вертикали, проходит положение равновесия со скоростью v = 1,2 м/с. Считая колебания гармоническими, найти частоту ω0 собственных колебаний маятника. 15. Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, описываемых уравнениями: x1 = 2sinπt и x2 = 2sin(πt+π/2). Записать уравнение результирующего колебания и представить векторную 30

диаграмму сложения амплитуд. Определить скорость v и ускорение a результирующего колебания. Построить график зависимости v(t). Вариант 3

1. Движение двух материальных точек выражаются следующими уравнениями: x1 = (20 + 2t − 4t2), м и x2 = (2 + 2t + 0,5t2 ), м. В какой момент времени t скорости этих точек v1 и v2 будут одинаковыми? Определить скорости v1 и v2 и ускорения a1 и a2 точек в этот момент. 2. Камень падает с высоты h = 150 м. Какой путь пройдет камень за последнюю секунду своего падения? 3. Диск радиусом r = 20 см вращается с угловым ускорением ε = 3,14 рад/с2. Для точек, находящихся на краю диска, для момента времени t = 2 с после начала движения найти угловую скорость ω, линейную скорость v, тангенциальное aτ, нормальное an и полное a ускорения. 4. Тело брошено с начальной скоростью v0 = 20 м/с под углом α = 60º к горизонту. Найти радиус кривизны траектории R в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли. 5. На наклонной плоскости укреплен блок, через который перекинута невесомая нерастяжимая нить. К одному концу нити привязан груз массой m1 = 1 кг, лежащий на наклонной плоскости. На другом конце нити висит груз массой m2 = 3 кг. Наклонная плоскость образует с горизонтом угол α = 30º. Коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью равен μ = 0,1. Определить ускорение a грузов. 6. Брусок, скользящий по гладкому льду со скоростью v = 5 м/с, наезжает на шероховатую поверхность. При какой длине бруска его задняя грань остановится на границе между льдом и шероховатой поверхностью, если коэффициент трения между ним и шероховатой поверхностью μ = 0,8? 7. Какую работу A совершает двигатель автомобиля массой m = 1,3 т при движении с места на первых S = 75 м пути, если это расстояние автомобиль проходит за t = 10 с, а коэффициент трения равен μ = 0,05? Чему равна мощность N в момент времени t1 = 5 с? 8. В шар массой M = 1,5 кг, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длиной L = 55 см, попадает и застревает в нем пуля массой m = 10 г. Пуля летит наклонно сверху вниз под углом α = 30° к 31

горизонту со скоростью v = 400 м/с. Определить угол отклонения φ нити с шаром и пулей от вертикали. 9. К ободу колеса, имеющему форму диска радиусом r = 0,5 м массой m = 50 кг, приложена касательная сила F = 100 Н. Найти угловое ускорение колеса ε и момент времени t от начала действия силы, когда частота вращения колеса станет ν = 100 об/с. 10. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска r = 5 м и массой M = 140 кг, стоит человек, масса которого равна m = 80 кг. Платформа может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. С какой угловой скоростью ω будет вращаться платформа, если человек идет вдоль ее края со скоростью v = 2 м/с относительно платформы? 11. Определить моменты инерции однородного диска радиусом r = 20 см и массой m = 1 кг относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через центр диска (J1) и середину одного из радиусов диска (J2). 12. Кинетическая энергия вала, вращающегося с постоянной частотой ν = 6 об/с, равна EК = 60 Дж. Найти момент импульса L этого вала. 13. Материальная точка массой m = 20 г совершает гармонические колебания с частотой ν = 0,5 Гц. Амплитуда колебания A = 3 см. Определить скорость точки v в момент времени t, когда смещение x(t) = 1,5 см и силу F, действующую на точку в этот момент времени. Построить график зависимости смещения x от времени t, если начальная фаза φ0 = π/4. 14. Найти отношение длин L1/L2 математических маятников, если за одно и то же время один совершил N1 = 10, а другой N2 = 40 колебаний? 15. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих в одном направлении и описываемых уравнениями x1 = 4cos(πt/2 + π/2), см и x2 = 3 cos(πt/2), см. Представить векторную диаграмму сложения амплитуд и записать уравнение результирующего колебания x(t) и построить его график. Вариант 4

1. Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид: x1 = (2t + 4t2 - 3t3), м и x2 = (5t - 2t2 + t3), м. Определить момент 32

времени t, для которого ускорения a1 и a2 этих точек будут равны, а также средние значения скоростей vср1 и vср2 и ускорений aср1 и aср2 за это время. 2. Снаряд, выпущенный из орудия под углом α = 30° к горизонту, дважды был на одной и той же высоте h: спустя t1 = 10 с и t2 = 50 с после выстрела. Определить начальную скорость v0 и эту высоту h. 3. Вентилятор вращается с частотой ν0 = 600 об/мин. Найти его угловое ускорение ε и число оборотов N до полной остановки, если после выключения вентилятор остановился через время t = 0,5 мин? 4. Через блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой привязаны грузы массами m1 = 0,5 кг и m2 = 0,8 кг. Найти силу давления F блока на ось при движении грузов. Массой блока и трением в оси пренебречь. 5. Автомобиль массой m = 2 т трогается с места и едет в гору с уклоном sinα = 0,02. Пройдя путь S = 100 м, он достигает скорости v = 32,4 км/ч. Коэффициент трения μ = 0,05. Определить мощность N двигателя. 6. Вертолет поднимается вверх со скоростью v0= 10 м/с. На высоте h = 50 м из него выпадает груз. С какой скоростью v груз упадет на землю? 7. Летчик массой m = 80 кг давит на сиденье кресла самолета в нижней точке петли Нестерова с силой в F = 7200 Н. Радиус петли r = 250 м. Определить скорость v самолета. 8. Определить работу А, совершаемую при подъеме груза массой m = 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона α = 30º к горизонту на высоту h = 40 м, если время подъема t = 20 с, а коэффициент трения равен μ = 0,06. 9. Снаряд, летевший горизонтально со скоростью v0 = 100 м/с, разрывается на высоте h = 40 м на две равные части. Одна часть падает через время t = 1 с на землю точно под местом взрыва. Определить величину и направление скорости движения v2 второй части снаряда сразу после взрыва. 10. На сплошной цилиндрический вал радиусом r = 0,25 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найти момент инерции вала J и его массу M, если груз при разматывании шнура, опускается с ускорением a = 2,5 м/с2. 11. К ободу диска массой m = 5 кг приложили постоянную касательную силу Fτ = 30 Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через t = 15 с после начала действия силы? 33

12. Платформа в виде диска вращается по инерции вокруг вертикальной оси с частотой ν1 = 15 об/мин. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до ν2 =25 об/мин. Масса человека m = 70 кг. Определить массу платформы M. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. 13. Материальная точка массой m = 0,05 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид: х = 5sin4πt, см. Найти силу F, действующую на точку, когда фаза колебаний ϕ = 30º и при наибольшем смещении точки Fmax. Построить график x(t). 14. Определить период колебаний T груза массой m = 1,5 кг, подвешенного к пружине, и его полную энергию E, если пружина под действием силы F = 30 Н растягивается на Δℓ = 9 см, а амплитуда колебаний А = 0,1 м. 15. Точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x = 3cosπt, см и y = 4cos(πt + π/2), см. Определить уравнение траектории точки, нарисовать ее на координатной плоскости и найти значение скорости точки v в момент времени t = 0,25 с. Вариант 5

1. Расстояние S = 20 км между двумя станциями поезд проходит со скоростью, средний модуль которой vср = 72 км/ч. На разгон он тратит время t1 = 2 мин, а затем идет с постоянной скоростью. На торможение до полной остановки поезд тратит время t2 = 3 мин. Определить величину максимальной скорости поезда v. 2. Два конькобежца массами m1 =80 и m2 =50 кг, держась за концы натянутого длинного шнура, неподвижно стоят на льду один против другого. Один из них начинает укорачивать шнур, выбирая его со скоростью v = 1 м/с. С какими скоростями v1 и v2 будут двигаться по льду конькобежцы? Трением пренебречь. 3. Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав N = 50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от ν1 = 4 с−1 до ν2 = 6 c−1. Определить угловое ускорение ε колеса и время Δt, за которое произошло это изменение частоты. 4. С башни высотой h = 30 м в горизонтальном направлении брошено тело с начальной скоростью v0 = 10 м/с. Определить скорость 34

тела v и угол, который образует вектор скорости с горизонтом в точке падения тела, а также тангенциальное aτ и нормальное an ускорения точки в этот момент. 5. В вагоне, движущемся горизонтально с ускорением a = 2 м/с2, на шнуре висит груз массой m = 200 г. Найти силу натяжения шнура T и угол φ его отклонения от вертикального положения. 6. Найти работу подъема груза по наклонной плоскости, если масса груза m = 100 кг, длина наклонной плоскости L = 2 м, угол наклона α = 30°, коэффициент трения μ = 0,1, а груз движется с ускорением a = 1 м/с2. 7. Тело, брошенное с высоты H = 5 м вертикально вниз со скоростью v = 20 м/с, погрузилось в грунт на глубину h = 20 см. Найти работу A силы сопротивления грунта, если масса тела m = 2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь. 8. Граната, летевшая со скоростью v0 = 15 м/с , разорвалась на два осколка с массами m1 = 6 кг и m2 =14 кг. Скорость большего осколка направлена так же, как и скорость гранаты до взрыва, а величина скорости v2 = 24 м/с. Найти направление и модуль скорости v1 меньшего осколка. 9. Угол поворота маховика, момент инерции которого равен J = 50 кг·м2, описывается уравнением: ϕ = (2 + 16t - 2t2), рад. Найти зависимости вращающего момента М(t) и мощности N(t) от времени. Какова мощность N в момент времени t = 3с? 10. Через неподвижный блок перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массами m1 = 100 г и m2 =110 г. С каким ускорением они будут двигаться, если масса блока M = 400 г? Трением в блоке пренебречь. 11. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вращается вместе с ней по инерции. Частота вращения ν1 = 0,5 с-1. Момент инерции человека относительно оси вращения J0 = 1,6 кг·м2. В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m = 2 кг каждая. Расстояние между гирями L1 = 1,6 м. Определить частоту вращения ν2 скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние между ними станет L2 = 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь. 12. К катящемуся шару массой m = 1 кг приложили силу в 1 Н, под действием которой шар остановился, пройдя путь 1 м. Определить скорость, с которой двигался шар до начала торможения. 13. Скорость материальной точки массой m = 10 г, совершающей гармонические колебания, задается уравнением: v(t) = – 31,4sin2πt, см/с. 35

Определить зависимость смещения точки x(t) от времени. Нарисовать зависимость потенциальной энергии EП(t) точки от времени. 14. Физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной ℓ = 1,2 м колеблется около горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через точку, удаленную на некоторое расстояние d от центра масс стержня. При каком значении d период T колебаний имеет наименьшее значение? 15. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих вдоль оси x и описываемых уравнениями: x1 = 3cos(2πt/3 + π/4), см и x2 = cos(2πt/3 - 3π/4), см. Записать уравнение результирующего колебания x и представить векторную диаграмму сложения амплитуд. Найти максимальную скорость vmax результирующего колебания. Построить зависимость x(t). Вариант 6

1. Скорость поезда между двумя пунктами v1 = 80 км/ч, средняя скорость на всем пути vср = 50 км/ч, причем остановки занимают время tост = 1ч. Найти расстояние между пунктами. 2. Тело брошено со скоростью v0 = 10 м/с под углом α = 60º к горизонту. Найти радиусы кривизны R1 траектории тела через время t1 = 0,5 с после начала движения и R2 - в точке наивысшего подъема тела над поверхностью Земли. 3. Колесо радиусом r = 0 , 2 м вращается так, что зависимость угла поворота дается уравнением: ϕ = (3+4t +2t3), рад. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через время t = 3 с после начала движения угловую скорость ω, линейную скорость v и угловое ускорение ε. 4. Автомобиль начал двигаться равноускоренно по закругленному участку дороги и, пройдя ℓ = 100 м, развил скорость v = 36 км/ч. Радиус закругления r = 300 м. Определить тангенциальное aτ, и нормальное an ускорения автомобиля в момент времени t = 10 с после начала движения. 5. Брусок массой m1 = 400 г, лежащий на столе, соединен с бруском (свисает с края стола) массой m2 = 100 г через невесомую нерастяжимую нить, которая перекинута через блок, находящийся на краю стола. Брусок наибольшей массы проходит из состояния покоя путь ℓ = 80 см за время t = 2 с. Определить коэффициент трения μ бруска о поверхность стола. 36

6. Санки съезжают с горы высотой h = 10 м и углом наклона α = 30º и движутся по горизонтальному участку. Коэффициент трения μ = 0,5 везде одинаков. Найти расстояние L по горизонтали до полной остановки санок. 7. Автомашина массой m = 1,8 т движется в гору, уклон которой составляет h = 3 м на каждые ℓ = 100 м пути. Определить работу A, совершаемую двигателем автомашины на пути L = 5 км, если коэффициент трения μ = 0,1 и развиваемую двигателем мощность N, если известно, что этот путь был преодолен за время t = 5 мин. 8. Граната брошена вверх под углом α = 30º к горизонту со скоростью v0 = 10 м/с. На максимальной высоте граната разорвалась на два осколка одинаковой массы. Один из них полетел вертикально вниз с начальной скоростью v1 = 5 м/с. На какое расстояние от места броска по горизонтали улетел второй осколок? 9. Брошенное вертикально вверх тело массой m = 200 г упало на землю спустя t = 1,44 с. Найти кинетическую энергию тела EК в момент времени t1 = 0,5 с и потенциальную энергию EП в верхней точке траектории. 10. Диск массой m = 0,6 кг и диаметром d = 40 см вращается с угловой скоростью ω = 157 рад/с. При торможении он останавливается в течение t = 10 с. Найти начальную кинетическую энергию диска EК и среднюю величину тормозящего момента M. 11. Тонкий однородный стержень длиной ℓ = 1 м может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно ему. Стержень отклонили на угол φ = 90º от положения равновесия и отпустили. Определить скорость v нижнего конца стержня в момент прохождения положения равновесия. 12. Маховик, имеющий вид диска радиусом r = 0 , 2 м и массой m1 = 1 кг, может вращаться вокруг горизонтальной оси. К поверхности диска прикреплен шнур, к другому концу которого подвешен груз массой m2 = 0,5 кг. Груз был приподнят и затем отпущен. Упав свободно с высоты h = 1,5 м, груз натянул шнур и привел маховик во вращение. Определить угловую скорость ω маховика. 13. Точка совершает гармонические колебания по синусоидальному закону и в некоторый момент времени имеет следующие модули смещения, скорости и ускорения: x = 4·cм; v = 0,05 м/с; а = 0,8 м/с2. Каковы амплитуда A и период колебаний T точки? Какова фаза колебаний 37

φ в рассматриваемый момент времени? Каковы максимальные скорость vmax и ускорение amax точки? 14. Сплошной медный диск массой m = 1 кг и толщиной h = 1 см колеблется вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить период колебания T такого физического маятника. Плотность меди ρ = 8,93·103 кг/м3. 15. Складываются три гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами T = 2 с и одинаковыми амплитудами А = 3 см. Начальные фазы колебаний: φ1 = 0, φ2 = π/3, φ3 = 2π/3. Записать уравнение результирующего колебания x и представить векторную диаграмму сложения амплитуд. Найти максимальную скорость vmax результирующего колебания. Построить зависимость x(t). Вариант 7

1. Тело, имея начальную скорость v0 = 4 м/с, прошло за шестую секунду движения путь ΔS = 2,9 м. Найти ускорение тела а и его скорость v в момент времени t = 2 с. 2. Камень падает с высоты h = 200 м. Какой путь пройдет камень за последние 2 секунды своего падения? 3. Маховое колесо радиусом r = 1 м начинает равноускоренное движение из состояния покоя. Точка, лежащая на его ободе, приобретает скорость v1 = 100 м/с через время t1 = 10 с. Найти скорость v2, а также тангенциальное aτ, нормальное an и полное a ускорения этой точки в момент времени t2 = 15 с 4. Камень, брошенный с высоты h = 2,1 м под углом α = 45º к горизонту, падает на землю на расстоянии L = 42 м (по горизонтали) от места броска. Определить его начальную скорость v0, время полета t и максимальную высоту подъема H над уровнем земли, а также радиус кривизны траектории R в точке падения камня. 5. Две гири массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутою через навесной блок. Найти ускорение a, с которым движутся гири. Трением в блоке пренебречь. Через какое время t вторая гиря поднимется на высоту h = 40 см? 6. На вершине двух наклонных плоскостей, образующих с горизонтом углы α = 30º и β = 45º, укреплен невесомый блок. Грузы 38

массами m1 = 1 кг и m2 =2 кг соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Коэффициенты трения грузов о плоскость одинаковы μ = 0,1. Определить ускорение a движения грузов и силу натяжения нити. 7. Найти работу А подъема груза по наклонной плоскости длиной L = 2 м, если масса груза m = 100 кг, угол наклона α = 30º, груз движется с ускорением а = 1м/с2. Коэффициент трения груза о плоскость μ = 0,1. 8. Тело массой m = 1 кг движется по столу, имея в начальной точке скорость v0 =2 м/c. Пройдя по столу путь S = 2 м до его края, тело падает с высоты h = 1 м на землю. Коэффициент трения тела о стол μ = 0,1. Определить количество теплоты Q, выделившееся при неупругом ударе о землю. 9. На горизонтальных рельсах стоит платформа с песком (общая масса M = 5⋅103 кг). В песок попадает снаряд массой m = 5 кг, пролетевший вдоль рельсов. В момент попадания скорость снаряда равна v0 =400 м/c и направлена сверху вниз под углом α = 37° к горизонту. Найти скорость v платформы, если снаряд застревает в песке. 10. Определить момент инерции J сплошного однородного диска радиусом r = 40 см и массой относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. 11. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна EК = 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента М маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 30 оборотов, остановился. Определить момент силы торможения М. 12. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вращается вместе с ней по инерции. Частота вращения ν1 = 1 с-1. Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения J0 = 6 кг·м2. В руках человек держит стержень длиною L = 2,4 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамьи. Определить частоту вращения ν2 скамьи с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение. 13. Найти собственную частоту колебаний физического маятника, представляющего собой стержень длиной ℓ = 1 м и массой m1 = 1 кг с прикрепленным к его нижнему концу шаром радиусом и массой m2 = 0,5 кг. Точка подвеса отстоит от верхнего конца стержня на расстоянии 0,1ℓ. 14. Найти время t1, за которое тело, совершающее гармонические колебания с амплитудой А, пройдет путь S1 = А/2, если в начальный 39

момент времени тело проходило положение равновесия, и время, за которое тело пройдет путь S2 = 3А/2. Период колебаний T = 4 с. 15. Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна E = 10 мкДж, а максимальная сила, действующая на точку, Fmax = 0,5 мН. Написать уравнение движения этой точки и построить график x(t), если начальная фаза ϕ0 = π/6, а период колебаний составляет T = 4 с. Вариант 8

1. Два автомобиля вышли с остановки через время t0 = 1 мин один после другого и шли с одинаковым ускорением а = 0,2 м/ с2. Через какой промежуток времени t после выхода второго автомобиля расстояние между ними утроится (S = 3S0)? 2. Свободно падающее без начальной скорости тело в последнюю секунду преодолело 2/3 своего пути. Найти путь S, пройденный телом. 3. Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом r = 0,2 м задается уравнением: S = (0,1t + 0,4t2), м. Определить его угловую скорость ω, угловое ускорение ε, линейную скорость v, тангенциальное aτ, нормальное an и полное a ускорения для момента времени t = 2с. 4. При помощи веревки груз массой m = 80 кг можно поднимать с ускорением a1 = 19,6 м/с2. Найти наибольшую массу mmax опускаемого с ускорением a2 = 4,9 м/с2 при помощи этой же веревки груза. 5. К потолку лифта, движущегося с ускорением a0 = 0,2g, направленным вниз, подвесили на динамометре блок, через который перекинута нить с подвешенными к ее концам двумя грузами общей массой m = 48 кг. Грузы движутся с ускорением a = 0,3g относительно лифта. Найти их массы m1 и m2 и показания динамометра F. Массой блока и нити, а также трением в блоке пренебречь. g – ускорение свободного падения. 6. Наклонная плоскость, образующая угол α = 25º с плоскостью горизонта, имеет длину L = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 2 с. Определить коэффициент трения μ тела о плоскость. 7. К концам нерастяжимой нити, перекинутой через блок, подвешенный к потолку, прикреплены грузы общей массой m = m1 + m2 = 30 кг. Пройдя расстояние h = 1,2 м, грузы приобрели скорость v = 2 м/с. 40

Найти массы m1 и m2 обоих грузов. Массой блока и нити, а также трением в блоке пренебречь. 8. На наклонной плоскости находятся два груза массами m1 = 1 кг и m2 = 2,5 кг, связанные нерастяжимой нитью между собой и через блок с третьим висящим грузом массой m3 = 2 кг. Коэффициент трения между двумя грузами и плоскостью равен μ = 0,1. Угол наклона плоскости к горизонту α = 30º. Определить ускорение а движения грузов и натяжения нитей T1 и T2. Массой блока и нити, а также трением в блоке пренебречь. 9. Шарик массой m = 100 г свободно падает с высоты h1 =1,25 м на стальную плиту и подпрыгивает на высоту h2 = 0,8 м. Определить импульс Δp, сообщенный плите шариком. 10. Маховик в виде однородного диска радиусом r = 0,2 м и массой m = 10 кг соединен с мотором при помощи ремня. Сила натяжения ремня, идущего без скольжения, постоянна и равна F = 14,7 Н. Какую угловую скорость ω будет иметь маховик через время t = 10 с после начала движения? Сколько оборотов N он сделает за это время? 11. Диск массой m = 1 кг и диаметром d = 0,6 м вращается вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр, с частотой ν = 20 с-1. Какую минимальную работу Amin надо совершить, чтобы остановить диск? 12. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m1 = 60 кг. На какой угол ϕ повернется платформа, если человек пойдет вдоль ее края и, сделав полный оборот, вернется в исходную точку? Масса платформы m2 = 240 кг. Момент инерции J1 человека рассчитывать как для материальной точки. 13. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону косинуса с начальной фазой φ0 = –π, амплитудой A = 6 см и периодом T = 2/3 с. Написать уравнение движения этой точки и построить график x(t). Каково смещение точки x0 из положения равновесия в начальный момент времени? Какова скорость v в момент времени t = 2 с? 14. Один конец нити прикреплен к потолку лифта, а на другом находится груз пренебрежимо малого размера. Лифт начинает опускаться с ускорением a = 0,81 м/с2. Каков период T малых колебаний груза, если длина нити равна L =1 м? 15. Найти отношение кинетической энергии точки, совершающей гармонические колебания по синусоидальному закону с амплитудой A, к ее 41

потенциальной энергии EК /EП для моментов времени t1, t2 и t3, когда смещение точки x из положения равновесия составляет x1 = A/4, x2 =A/2 и x3= A, соответственно. Вариант 9

1. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью v1 = 60 км/ч, оставшуюся часть пути он половину времени шел со скоростью v2 = 15 км/ч, а последний участок - со скоростью v3 = 45 км/ч. Найти среднюю скорость vср автомобиля на всем пройденном пути. 2. Свободно падающее без начальной скорости тело в последнюю секунду преодолело 1/4 своего пути. Найти путь S, пройденный телом. 3. Точка начинает двигаться равноускоренно по окружности радиусом r = 1м и за время t1 = 10 с проходит путь S = 50 м. Чему равно нормальное ускорение точки an через время t2 = 5 с? 4. Из орудия сделан выстрел вверх по склону горы. Угол наклона горы к горизонту α =30º. Снаряд, выпущенный из орудия под углом β =60º к горизонту, упал на расстоянии L = 500 м по склону. Определить начальную скорость v0 и промежуток времени Δt между двумя положениями снаряда на высоте падения. 5. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массой m1 = 0,5 кг и m2 = 0,6 кг. Найти силы давления блока F1 и F2 на ось при движении грузов в двух случаях: лифт поднимается равномерно и лифт поднимается с ускорением a2 = 1 м/с2. Массой блока и трением в блоке пренебречь. 6. На наклонной плоскости находится груз массой m1 = 5 кг, связанный нитью, перекинутой через блок, с другим висящим грузом массой m2 = 2 кг. Коэффициент трения между первым грузом и плоскостью равен μ = 0,1. Угол наклона плоскости к горизонту составляет α = 37°. Определить ускорение a грузов. Массой блока и нити и трением в блоке пренебречь. 7. Автомобиль движется в гору с ускорением a = 15 м/с2 в течение t = 5 мин, угол наклона горы к горизонту равен α = 10°, вес автомобиля P = 7391 Н. Коэффициент трения равен μ = 0,069. Найти мощность N, развиваемую мотором. 8. Тело массой m = 0,4 кг скользит с наклонной плоскости высотой h = 10 см и длиной L = 1 м. Коэффициент трения тела на всем пути μ = 42

0,04. Определить кинетическую энергию тела EК у основания плоскости и путь S, пройденный телом на горизонтальном участке до остановки. 9. Падающий вертикально шарик массой m = 200 г ударился об пол со скоростью v0 = 5 м/с и подпрыгнул на высоту h =46 см. Найти изменение импульса Δp шарика при ударе. 10. Полый тонкостенный цилиндр массой m = 500 г, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и отскакивает от нее. Скорость цилиндра до удара о стенку равна v1 = 1,4 м/с, после удара v2 = 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты Q. 11. Однородный стержень длиной L = 1 м и массой m = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением ε вращается стержень, если момент сил вращения M = 9,8·10-2 Н·м? 12. Карусель диаметром d = 4,5 м свободно вращается с угловой скоростью ω1 = 0,7 рад/с; ее полный момент инерции J = 1750 кг·м2. Стоящие на земле 4 человека массами по m = 65 кг одновременно прыгают на край карусели. Какова после этого будет угловая скорость ω2 карусели? Какой была бы угловая скорость ω3 карусели, если бы люди вначале стояли на ней, а потом спрыгнули бы на землю? 13. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом T = 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы E = 10-2 Дж. Определить амплитуду колебаний A и наибольшее значение действующей на частицу силы Fmax. 14. Небольшой груз массой m = 100 г подвешен на пружине и совершает гармонические колебания по закону косинуса с начальной фазой φ0.= π/4. Известны наибольшая скорость груза vmax = 0,1 м/с и его наибольшее отклонение от положения равновесия xmax = 1,5 см. Найти жесткость пружины, написать уравнение колебаний и построить зависимость x(t). 15. Движение частицы представляет собой суперпозицию двух гармонических колебаний вдоль оси x следующего вида: x1=(2cos2πt), см и x2=2cos(2πt – π/2), см. С помощью метода векторных диаграмм найти амплитуду A и начальную фазу φ0.результирующего колебания, записать уравнение результирующего колебания и построить его график x(t).

43

Вариант 10

1. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью v1 = 40 км/ч, а вторую – со скоростью v2 = 60 км/ч. Найти среднюю скорость vср автомобиля на всем пройденном пути. 2. Под каким углом α к горизонту брошено тело, если известно, что максимальная высота подъема H в 17 раз больше дальности полета L? Сопротивлением воздуха пренебречь. 3. Автомобиль движется со скоростью v = 60 км/ч. С какой частотой ν вращаются его колеса, если катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр покрышек колес d = 60 см? Найти нормальное ускорение an внешнего слоя резины на покрышках колес. 4. На невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный легкий блок, подвешены грузы массами m1 = 4 кг и m2 = 4,5 кг. За некоторое время t после начала движения грузы прошли путь S = 1,2 м, двигаясь с некоторым ускорением a. Найти время t, ускорение движения грузов a и силу натяжения нити T. 5. Лыжник начал спуск по склону с углом α = 30º. Вычислить ускорение лыжника a и скорость v, которую он приобретет через время t = 10 с, если коэффициент трения μ = 0,1. 6. Какую работу совершает двигатель автомобиля массой m = 1,3 т при движении с места на первых S =75 м пути, если это расстояние автомобиль проходит за время t = 10 с, а коэффициент трения μ = 0,05? 7. Автомобиль движется в гору с ускорением a = 15 м/с2 в течение t = 5 мин, угол наклона горы к горизонту равен α = 10º, вес автомобиля P = 7391 Н. Коэффициент трения равен μ = 0,069. Найти мощность N, развиваемую мотором. 8. Камень массой m = 50 г, брошенный под углом к горизонту с высоты h =20 м над поверхностью земли со скоростью V1 = 18 м/с, упал на землю со скоростью V2 = 24 м/с. Найти работу А по преодолению сил сопротивления воздуха. 9. Шар массой m1=10 кг, движущийся со скоростью v1= 4 м/с, сталкивается с шаром массой m2= 4 кг, скорость которого v2= 12 м/с. Считая удар центральным и неупругим, найти скорости шаров после удара в двух случаях: малый шар нагоняет большой, движущийся в том же направлении; шары движутся навстречу друг другу. Определить количество теплоты Q, выделившейся при ударе. 44

10. К ободу однородного сплошного диска радиусом r = 50 см приложена постоянная касательная сила Fτ = 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения Мтр = 2 Н·м. Определить массу диска m, если известно его угловое ускорение ε = 12 рад/с2. 11. Маховик, момент инерции которого равен J = 50 кг·м2, вращается по закону: ϕ = (2 + 16t - 2t2), рад. Найти закон изменения вращающего момента сил М и закон изменения мощности N. Какова мощность N в момент времени t = 3с. 12. Человек стоит на скамейке Жуковского и ловит рукой мяч массой m = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью v = 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от вертикальной оси вращения скамейки. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться скамейка Жуковского, когда человек поймает мяч? Считать, что суммарный момент инерции человека и скамейки равен J = 6 кг⋅м2. 13. Точка совершает гармонические колебания по синусоидальному закону и в некоторый момент времени имеет следующие модули смещения, скорости и ускорения: x = 4·10-2 м; v = 0,05 м/с; а = 0,8 м/с2. Каковы фаза колебаний φ в рассматриваемый момент времени, амплитуда А и период T колебаний точки, максимальные скорость vmax и ускорение аmax? 14. Маятник состоит из шарика массой m = 100 г, подвешенного на нити длиной L = 2 м. Определить период колебаний маятника T и энергию E, которой он обладает, если наибольший угол его отклонения от положения равновесия составляет φmax = 10°. 15. Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, описываемых уравнениями: x1 = 2sin(πt/4) и x2 = 2sin(πt/4 + π/2). Представить векторную диаграмму сложения амплитуд, записать уравнение и построить график результирующего колебания x(t). Определить скорость v и ускорение a результирующего колебания.

45

ЧАСТЬ 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 2.1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ЗАКОНЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ 2.1.1 Молекулярная физика

Количество молей (вещества) газа: m N v= = , M NA где m – масса газа, M – молярная масса газа, N – количество молекул газа, N A – постоянная Авогадро. Если система представляет собой смесь нескольких газов, то количество молей (вещества) этой системы: N m N N m m v = v1 + v2 + ... + vn = 1 + 2 + ... + n = 1 + 2 + ... + n , NA NA NA M1 M 2 Mn где v1 , v2 ,...vn - количества молей, N1 , N 2 ,...N n – количества молекул, m1 , m2 ,...mn – массы и M 1 , M 2 ,...M n – молярные массы газов, n – число компонентов смеси. Уравнение Менделеева – Клапейрона (уравнение состояния идеального газа): m pV = RT = vRT , M где p – давление, V – объем, T – термодинамическая температура, m – масса и M – молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная. Закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: T = const , m = const , pV = const) для двух состояний газа: p1V1 = p2V2 . Закон Гей-Люссака (изобарный процесс: p = const , m = const , V / T = const ) для двух состояний газа: V1 V2 = . T1 T2 Закон Шарля (изохорный процесс: V = const , m = const , p / T = const) для двух состояний газа: p1 p2 = . T1 T2 Объединенный газовый закон ( m = const , pV / T = const) для двух состояний газа: 46

p1V1 p2V2 = . T1 T2 Закон Дальтона определяет давление смеси газов: p = p1 + p2 + ... + pn , где p1 , p2 ... pn – парциальные давления компонентов смеси; n – число компонентов смеси. Молярная масса смеси газов: (m + m2 + ... + mn ) M= 1 , (v1 + v2 + ... + vn ) где v1 , v2 ...vn – количества молей, m1 , m2 ...mn – массы газов, n – число компонентов смеси. Концентрация молекул газа: N N ρ n= = A , M V где N – количество молекул, V – объем, NA – постоянная Авогадро, M – молярная масса и ρ – плотность газа. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы: 3 〈ε 0 〉 = kT , 2 R где k = – постоянная Больцмана, T – термодинамическая NA температура. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов: 2 p = n〈 ε 0 〉 , 3 где p – давление, n – концентрация молекул газа. Зависимость давления газа от концентрации молекул и термодинамической температуры: p = nkT . Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеальных газов следует, что 2 pV = E , 3 где E = N 〈 ε 0 〉 – суммарная кинетическая энергия поступательного движения N молекул газа. Средняя полная механическая энергия одной молекулы: i 〈 ε〉 = kT , 2 где i – сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: 47

i = i

+ i

пост

вращ

+ 2i

кол

.

Скорости молекул газа:

3kT 3RT = ; m0 M

среднеквадратичная – 〈vкв 〉 = среднеарифметическая – 〈 v〉 =

8kT 8RT = ; πm0 πM

2kT 2 RT = , m0 M где m0 – масса одной молекулы, M – молярная масса газа. Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени: 〈 z 〉 = 2πd 2 n〈v〉 , где d – эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул; 〈v〉 – среднеарифметическая скорость молекул. Средняя длина свободного пробега молекул газа: 1 . 〈 A〉 = 2πd 2 n наиболее вероятная – vв =

2.1.2. Физические основы термодинамики

Первое начало термодинамики: δ Q = dU + δ A , где δQ – количество теплоты, переданное газу; dU – изменение внутренней энергии газа и δA – элементарная работа, совершаемая газом против внешних сил. Элементарная работа, совершаемая газом против внешних сил: δA = pdV , где p – давление, dV – изменение объема газа. Работа, совершаемая газом при изменении его объема от V1 до V2 : V2

A = ∫ pdV . V1

Работа, совершаемая газом в изобарном процессе: m R (T2 − T1 ) , A = p (V2 − V1 ) = M где T1 и T2 – начальная и конечная термодинамические температуры газа. Работа, совершаемая газом в изотермическом процессе: V p m m A= RT ln 2 = RT ln 1 . M V1 M p2 48

где p1 и p2 – начальное и конечное давления газа. Связь между молярной C m и удельной c теплоемкостями вещества: C m = Mc , где M – молярная масса вещества. Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме C Vm и постоянном давлении C mp : ⎛i + 2⎞ i Cm ⎟R , и R p =⎜ 2 ⎝ 2 ⎠ где i – сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы. Уравнение Майера: m Cm p = CV + R ,

CVm =

где C mp и CVm – молярные теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме, R – универсальная газовая постоянная. Внутренняя энергия идеального газа: m i m m U= RT = C T, M 2 M V где CVm – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Уравнения Пуассона, связывающие термодинамические параметры идеального газа в адиабатном процессе: γ

p2 ⎛ V1 ⎞ =⎜ ⎟ ; p1 ⎜⎝ V2 ⎟⎠ где γ =

T1 ⎛ V2 ⎞ =⎜ ⎟ T2 ⎜⎝ V1 ⎟⎠

γ −1

;

p T2 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = T1 ⎜⎜ p 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠

γ −1 γ

,

Cm p

– показатель адиабаты. CVm Работа, совершаемая газом в адиабатическом процессе: γ −1 γ −1 p1V1 ⎡ ⎛ V1 ⎞ ⎤ RT1 m ⎡ ⎛ V1 ⎞ ⎤ m m ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ , ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = A = CV (T1 − T2 ) = M γ − 1 ⎢ ⎜⎝ V2 ⎟⎠ ⎥ γ − 1 M ⎢ ⎜⎝ V2 ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ m где p1V1 = RT1 . M Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины: A Q1 − Q2 η= = , Q1 Q1 где A – полезная работа, совершаемая тепловой машиной за один цикл;

Q1 – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя, и Q2 – количество теплоты, отданное рабочим телом холодильнику за один цикл. 49

Термический КПД цикла Карно: Q − Q2 T1 − T2 η= 1 = , Q1 T1 где T1 и T2 – термодинамические температуры нагревателя и холодильника. Изменение энтропии системы: B dQ , ΔS = ∫ A T где А и В – пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям системы. Так как процесс равновесный, то интегрирование не зависит от формы пути системы, совершающей переход из одного состояния в другое. Формула Больцмана: S = k ln W , где S – энтропия системы; W – термодинамическая вероятность ее состояния; k – постоянная Больцмана. 2.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм воды, и массу m1 молекулы воды. Решение. Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой m, равно произведению постоянной Авогадро NА на количество вещества ν: N=ν NА. m m Так как ν = , где М – молярная масса, то N = N A . Выразив в M M этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим ρVN A . (1) N= M Произведем вычисления с учетом того, что М = 18·10-3 кг/моль: 10 3 ⋅ 10 −9 N= ⋅ 6,02 ⋅ 10 23 = 3,34 ⋅ 1019 . −3 18 ⋅ 10 Массу m1 одной молекулы можно найти по формуле M m1 = . (2) NA Подставив в формулу (2) значения М и NА, найдем массу молекулы воды: 18 ⋅10 −3 m1 = = 2,99 ⋅10 − 26 кг. 23 6,02 ⋅10 3

50

Пример 2. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий при р1=1 МПа и Т1=300 К. Масса (количество) гелия уменьшилась(лось) на 10 г, температура в баллоне понизилась до Т2 = 290 К. Определить давление р2 оставшегося гелия. Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа: m (1) р2V= 2 RT2, M где m2 – масса гелия в баллоне в конечном состоянии; М – молярная масса гелия; R – универсальная газовая постоянная. Из уравнения (1) выразим искомое давление: m RT . (2) р2 = 2 = V V Массу m2 гелия выразим через массу m1, соответствующую начальному состоянию, и массу гелия, взятого из баллона: (3) m2 = m1−m. Массу m1 гелия найдем также из уравнения Менделеева-Клапейрона, применив его к начальному состоянию: Mp1V m1 = . (4) RT1 Подставив выражение массы m1 в (3), а затем выражение m2 в (2), найдем ⎛ Mp V ⎞ RT р2 = ⎜⎜ 1 − m ⎟⎟ 2 , ⎝ RT1 ⎠ MV T m RT2 р2 = 2 p1 − . (5) или T1 M V Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них дает единицу T давления, т.к. состоит из двух множителей, первый из которых 2 − T1 безразмерный, а второй – давление. Проверим второе слагаемое: [m][R][T ] = 1кг 1Дж /(моль ⋅ К) ⋅1К = [M ][V ] 1кг / моль 1м 3 1кг ⋅1моль 1Дж ⋅1К 1Дж 1Н ⋅ м 1Н = = = = 2 = 1Па. 1кг 1м 3 ⋅1моль ⋅1К 1м 3 1м 3 1м Паскаль является единицей давления. Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что М = 4·10-3 кг/моль: 290 10 −2 8,31 6 р2 = ⋅ 10 − ⋅ − 2 290 = 3,64 ⋅ 10 5 = 0,364 МПа. −3 300 4 ⋅ 10 10 51

Пример 3. Найти молярную массу воздуха, считая, что он состоит из одной части кислорода и трех частей азота. Решение. Воздух, являясь смесью идеальных газов, тоже представляет собой идеальный газ, и к нему можно применить уравнение Менделеева–Клапейрона: m PV= RT. М Для каждого компонента смеси (кислорода и азота) имеем: m р1V = 1 RT ; (1) M1 m р2V = 2 RT , (2) M2 где р1 и р 2 – парциальные давления каждого компонента. По закону Дальтона р = р1 + р 2 . Складывая (1) и (2), получим

⎛m m ⎞ ( р1 + р 2 )V = ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ RT , (3) M M ⎝ 1 2 ⎠ или на основании закона Дальтона ⎛m m ⎞ (4) рV= ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ RT . M M ⎝ 1 2 ⎠ Сравнив (1) и (4) с учетом того, что m = m1+m2, имеем: (m1 + m2 ) = m1 + m2 . M M1 M 2 Откуда M M (m + m2 ) . (5) M= 1 2 1 M 1m2 + M 2 m1 Подставив в (5) равенство m2 = 3m1 (по условию), найдем молярную массу воздуха: 4М 1М 2 4 ⋅ 32 ⋅ 28 М= = = 29 ⋅ 10 −3 кг/моль. 3M 1 + M 2 3 ⋅ 32 + 28 Пример 4. Плотность некоторого газа ρ = 6·10-2 кг/м3, а среднеквадратичная скорость молекул 〈 vкв 〉 = 500 м/с. Найти давление р, которое газ оказывает на стенку сосуда. Решение. Основное уравнение молекулярно - кинетической теории идеальных газов: 2 1 p = nm0 vкв . 3 Произведение (nm0) выражает массу молекул, содержащихся в единице объема вещества, и следовательно, равно плотности ρ газа. Таким образом, 52

1 р = ρ vкв 3

2

1 = ⋅ 6 ⋅ 10 − 2 ⋅ 500 2 = 5 ⋅ 10 3 Па. 3

Пример 5. Определить наиболее вероятную скорость vB молекул газа, плотность которого ρ = 0,35 кг/м3 при давлении р = 40 кПа. Решение. Наиболее вероятная скорость молекул определяется по формуле 2 RT , (1) vB = M где М – молярная масса вещества. Из уравнения Меделеева-Клапейрона m рV= RT; (2) М m учитывая, что ρ= , получим М р RT . (3) = ρ М Подставив (3) в (1) найдем, что 2р vB = . (4) ρ Произведем вычисления по формуле (4): 2 ⋅ 4 ⋅10 3 =478 м/с. vB = 0,35 Пример 6. Найти среднюю кинетическую энергию εвращ вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию Ек вращательного движения всех молекул кислорода массой m = 4 г. Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится 1 одинаковая средняя энергия ε 1 = kT , где k – постоянная Больцмана; Т 2 термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы кислорода соответствует две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода 1 (1) ε вращ = 2 ⋅ kT = kT . 2 Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа – ЕК = ε вращ N . (2) Число всех молекул газа – N=NA· ν, 53

(3)

где NА – постоянная Авогадро; ν – количество вещества. m Если учесть, что количество вещества ν = , где m – масса газа; М M молярная масса газа, то формула (3) примет вид N m N= A . M Подставив выражение N в формулу (2), получим N A m ε вращ ЕК = . (4) М Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода М = 32·10-3 кг/моль: ε вращ = kT = 1,38 ⋅10−23 ⋅ 350 = 4,83 ⋅10−21 Дж; 4 ⋅ 10 −3 ЕК = 6,02 ⋅ 10 ⋅ ⋅ 4,83 ⋅ 10 − 21 = 364 Дж. −3 32 ⋅ 10 23

Пример 7. Вычислить значения удельной теплоемкости неона и водорода при постоянном объеме C Vm и постоянном давлении C рm принимая эти газы за реальные. Решение. Значения удельных теплоемкостей идеальных газов выражаются формулами ⎛i + 2⎞ i ⎟R (1) CVm = R , C m p =⎜ 2 ⎝ 2 ⎠ где i – число степеней свободы молекулы газа; М – молярная масса. Для неона (одноатомный газ) i = 3 и М = 20·10-3 кг/моль. Произведем вычисления: 3 8,31 2 Дж 6 , 24 10 СVm = ⋅ = ⋅ ; 2 20 ⋅10 −3 кг ⋅ К 3 + 2 8,31 2 Дж 1 , 04 10 Сm = ⋅ = ⋅ . p 2 20 ⋅10 −3 кг ⋅ К Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и М = 2·10-3 кг/моль. Тогда 5 8,31 Дж ; СVm = ⋅ = 1,04 ⋅ 10 4 −3 2 2 ⋅ 10 кг ⋅ К 5 + 2 8,31 4 Дж 1 , 46 10 Сm = ⋅ = ⋅ . p 2 2 ⋅10 −3 кг ⋅ К Пример 8. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V1 = 1 м3 и находится под давлением р1 = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 м3, а затем при постоянном объеме 54

до давления р3 = 0,5 МПа. Найти изменение ΔU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и количество теплоты Q, переданную газу. Решение. Изменение внутренней энергии газа находится так: i m ΔU = cV mΔT = ⋅ RΔT , 2 M где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5); ΔТ = Т3 – Т1 – разность температур газа в конченом (третьем) и начальном (первом) состояниях. Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения m Менделеева-Клапейрона рV = RT , откуда M M pV . T= m R Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой m А1 = 1 RΔT . M Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А2 = 0. Следовательно, полная работа, совершаемая газом, − А = А1+А2 = А1. Согласно первому началу термодинамики теплота Q, преданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ΔU и работы А: Q = ΔU+А. Произведем вычисления с учетом того, что для кислорода М = 32·10-3 кг/моль. 2 ⋅105 ⋅1 ⋅ 32 ⋅10 −3 Т1 = = 385 К ; 2 ⋅ 8,31 2 ⋅ 105 ⋅ 3 ⋅ 32 ⋅ 10 −3 Т2 = = 1155 К ; 2 ⋅ 8,31 5 ⋅ 105 ⋅ 3 ⋅ 32 ⋅ 10 −3 Т3 = = 2887 К ; 2 ⋅ 8,31 8,31 ⋅ 2 ⋅ (1155 − 385) А1 = = 0,4 ⋅10 6 = 0,4 МДж ; −3 32 ⋅10 А = А1= 0,4 МДж; 5 8,31 ⋅ 2 ⋅ (2887 − 385) = 3,24 ⋅ 10 6 = 3,4 МДж ; ΔU = −3 2 32 ⋅ 10 Q = (3,24+0,4)=3,64 МДж. Пример 9. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре Т1 = 300 К. водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в n1 = 5 раз, а затем был сжат 55

изотермически, причем объем газа уменьшился в n2 = 5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения Т2 и работу А, совершенную газом при этих процессах. Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между соотношением γ −1

1 Т Т 2 ⎛ V1 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ , или 2 = γ −1 , Т1 n1 Т 1 ⎝ V2 ⎠ где γ – отношение значений теплоемкости газа при постоянном V давлении и постоянном объеме; n1 = 2 . Отсюда получаем следующее V1 выражение для конечной температуры: T T2 = γ1−1 . n1 Работа А1 газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле m m i R (T1 − T2 ) , A1 = CVm (T1 − T2 ) = M M 2 где CVm – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа А2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде V m 1 m RТ 2 ln , A2 = RТ 2 ln 3 , или A2 = M n2 M V2 V где n2 = 2 . V3 Произведем вычисления с учетом, что для водорода, как двухатомного газа, γ = 1,4, i = 5 и М = 2·10-3 кг/моль: 300 300 Т 2 = 1, 4 −1 = 0, 4 = 157 К; 5 5 0,02 ⋅ 5 ⋅ 8,31 А1 = (300 − 157) = 29,8 кДж; 2 ⋅ 10 −3 ⋅ 2 0,02 1 А2 = 8 , 31 ⋅ 157 ln = −21 кДж. 2 ⋅10 −3 ⋅ 2 5 Знак «минус» показывает, что при сжатии работа совершается над газом внешними силами. Пример 10. Тепловая машина работает по обратному циклу Карно. Температура теплоотдатчика Т1 = 500 К. Определить термический КПД цикла и температуру Т2 теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу А = 350Дж. 56

Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический кпд выражается формулой А η= , Q1 где А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины; Q1 – теплота, полученная от теплоотдатчика. T −T Зная КПД цикла, можно по формуле η = 1 2 определить T1 температуру охладителя Т2 : Т2 = Т1(1−η). Произведем вычисления: 350 η= = 0,35 , Т 2 = 500(1 − 0,35) = 325 К . 1000 Пример 11. Определить изменение Δs энтропии при изотермическом расширении кислорода массой m = 10 г от объема V1 = 25 л до объема V2 = 100 л. Решение. Так как процесс изотермический, то в общем выражении 2 dQ температуру выносят за знак интеграла: энтропии Δs = s 2 − s1 = ∫ 1 T 12 Q (1) Δs = ∫ dQ = . T1 T Количество теплоты Q, полученное газом, найдем по первому началу термодинамики: Q = ΔU + A. Для изотермического процесса ΔU = 0. Следовательно, Q = А, а работа для этого процесса определяется по формуле m V А= RT ln 2 . M V1 С учетом выражений (2) и (3) равенство (1) примет вид m V Δs = R ln 2 . M V1 Подставив в формулу (4) числовые значения и вычисления, получим Δs = 3,60 Дж/К.

57

(2) (3)

(4) произведя

2.3. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №2 Вариант 1

1. В сосуде при давлении p = 105 Па и температуре t = 27 °С находится смесь газов: азота, кислорода и гелия, имеющих одинаковые массы. Найти плотность ρ смеси газов. 2. Найти формулу некоторого соединения углерода с водородом, если известно, что это вещество массой m = 0,66 г в газообразном состоянии при температуре t = 27 °С в объеме V =1 дм3 создает давление p = 105 Па. 3. Подсчитать число молекул N, содержащихся в углекислом газе массой m = 100 г. Найти массу молекулы m0 и концентрацию молекул n при нормальных условиях. Плотность газа при нормальных условиях равна ρ = 1,94 кг/м3 . 4. Какая температура соответствует средней квадратичной скорости молекул углекислого газа, равной vкв = 720 км/ч? 5. Некоторая масса азота при давлении p1 = 1атм имела объем V1 = 3 5 дм , а при давлении p2 = 3 атм - объем V2 = 2 дм3. Переход от первого состояния ко второму осуществлялся в два этапа: сначала изохорно, затем изобарно. Определить изменение внутренней энергии ΔU, количество теплоты Q и произведенную газом работу A. Сделать расчеты в случае обратной последовательности процессов: сначала изобарно, потом изохорно. Объяснить разницу. 6. Кислород увеличил объем в n = 5 раз один раз изотермически, а другой раз − адиабатно (при одинаковых начальных условиях). Найти отношение работ в этих процессах. 7. Для нагревания газа массой m = 1 кг на ΔT = 1К при постоянном давлении требуется Q1 = 912 Дж теплоты, а при постоянном объеме Q2 = 649 Дж теплоты. Какой это газ? 8. Кусок льда массой m = 2 кг, взятый при температуре t1 = 0 ºC, был превращен в воду той же температуры с помощью пара, имеющего температуру t2 = 100 ºC. Определить массу m2 израсходованного пара и изменение энтропии ΔS системы лед-пар. 9. Коэффициент полезного действия цикла Карно η = 0,3. При изотермическом расширении газ получил от нагревателя Q1 = 500 Дж энергии. Определить работу, совершаемую при изотермическом сжатии. Вариант 2

1. При давлении p = 2⋅106 Па идеальный газ занимает объем V = 5 л. В результате изотермического расширения его объем увеличился на ΔV = 1 л, а концентрация молекул стала равной n = 3,62⋅1026 м-3. При какой температуре t протекал этот процесс? 58

2. Два сосуда, наполненных воздухом при давлениях р1= 0,8 МПа и р2 = 0,6 МПа, имеют объемы V1 =3 л и V2 =5 л. Сосуды соединяют трубкой, объемом которой можно пренебречь по сравнению с объемами сосудов. Найти установившееся давление p в сосудах. Температуру считать постоянной. 3. Средняя энергия молекулы одноатомного идеального газа равна Eк0 = 0,038 эВ (1эВ =1,6⋅10-19 Дж). Давление газа равно p = 0,2 МПа. Найти концентрацию молекул газа n. 4. Определить наиболее вероятную скорость vв молекул газа, плотность которого при давлении p = 40 кПа составляет ρ = 0,37 кг/м3. 5. Во сколько раз изменится средняя квадратичная скорость vкв молекул идеального газа при увеличении его объема в 2 раза? Давление газа при этом увеличится в 3 раза, масса неизменна. 6. В цилиндре объемом V1 = 190 см3 под поршнем находится газ при температуре Т1 = 323 К. Найти работу расширения газа при нагревании его на ∆Т = 100 К. Масса поршня m = 120 кг, его площадь S = 50 см2. Атмосферное давление р0 = 0,1 МПа. 7. Некоторая масса трехатомного газа, занимающего объем V1 = 0,01 м3, находится при давлении р1 = 0,1 МПа и температуре Т1 = 300 К. Газ нагревается вначале при постоянном объеме до температуры Т2 = 320 К, а затем при постоянном давлении до температуры Т3 = 350 К. Найти работу A, совершаемую газом, изменение его внутренней энергии ΔU, количество теплоты Q, сообщенное газу. Построить p-V диаграмму процессов. 8. Удельная теплоемкость газа при постоянном давлении Cp = 912 Дж/кг⋅К, а при постоянном объеме CV = 649 Дж/кг⋅К. Определить молекулярный вес газа m0 и число степеней свободы i его молекул. 9. Смешали воду массой m1 = 5 кг при температуре t1 = 7 ºC с водой массой m2 = 8 кг при температуре t2 = 77 ºC. Найти температуру смеси t и изменение энтропии ΔS при смешивании. Вариант 3

1. Определить плотность смеси газов ρ и концентрации n1, n2, n3, если смесь состоит из ν1 = 5·103 моль азота, ν2 = 1,5·103 моль кислорода и ν3 = 0,5·103 моль углекислого газа, находящихся при давлении p = 1 МПа и температуре t = 27 ºС. 2. Какова температура Т газа, находящегося под давлением р = 0,5 МПа, если в сосуде объемом V =1,5 л содержится N = 1,8⋅1024 молекул? 3. В цилиндре под поршнем площадью S = 30 см2 находится воздух при давлении p1 =2·105 Па и температуре t1 = 27 ºC. Определить массу груза m, который нужно положить на поршень после нагревания воздуха до температуры t2 = 50 ºC, чтобы объем воздуха в цилиндре V2 = V1. 59

4. Какое давление на стенки сосуда p производят молекулы газа, если масса газа m = 3 г, объем V = 50 л, а средняя арифметическая скорость молекул vср = 500 м/с ? 5. Плотность неизвестного газа равна ρ = 0,09 кг/м3 . При этом в объеме V = 0,1 м3 содержится N = 2,7⋅1024 молекул. Какой это газ? 6. Один киломоль водорода при изобарном расширении совершает работу А = 831 кДж. В исходном состоянии объем газа V1 = 3 м3 , а температура Т1 = 300 К. Каковы параметры р2,V2, T2 после расширения? Чему равно изменение внутренней энергии газа ΔU? 7. Азот массой m = 2,8 кг, находящийся при температуре t1 = 27 ºC охлаждается изохорно так, что его давление падает в 3 раза. Затем газ расширяется при постоянном давлении. В конечном состоянии его температура t3 = t1. Определить совершенную газом работу A и количество теплоты Q1 и Q2, отданное и полученное в указанных процессах. Чему равна начальная внутренняя энергия газа U1? 8. Теплоизолированный сосуд разделен на две равные части перегородкой, в которой имеется закрывающееся отверстие. В одной половине находится водород массой m = 10 г. Вторая половина откачана до высокого вакуума. Отверстие в перегородке открывают, и газ заполняет весь объем. Найти изменение энтропии ΔS газа. 9. Тепловая машина работает по циклу Карно, КПД которого η = 0,25. Каков будет холодильный коэффициент η1 машины, если она будет совершать тот же цикл в обратном направлении? Холодильным коэффициентом η1 называется отношение количества теплоты, отнятого от охлаждаемого тела к работе двигателя, приводящего в движение холодильную машину. Вариант 4

1. В сосуде при температуре t = 100 °С и давлении p = 4⋅105 Па находится V = 2 м3 смеси кислорода и сернистого газа. Определить парциальное давление компонентов, если масса сернистого газа m2 = 8 кг. 2. Газ в цилиндрическом сосуде разделен на две равные части подвижным поршнем массы m и площадью поперечного сечения S. При горизонтальном положении цилиндра давление газа в каждой половине сосуда равно p. Определить давление p1 газа над поршнем при вертикальном положении цилиндра. Температуру газа считать постоянной. 3. Поршневой насос при каждом качании захватывает воздух объемом V0. При откачке этим насосом воздуха из сосуда объемом V насос совершил n качаний. Затем другой насос с тем же рабочим объемом V0 начал нагнетать воздух из атмосферы в тот же сосуд, совершив также n качаний. Какое давление p установится в сосуде? Температуру воздуха считать постоянной. 60

4. Молекула кислорода, ударившись о стенку сосуда, передала ей импульс ∆р = 5,06⋅10-23 кг⋅м/с. Найти температуру газа t в сосуде, если скорость данной молекулы v = 2vкв и была направлена под углом α = 30° к стенке. 5. Какова удельная теплоемкость при постоянном объеме CV некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях ρ = 6,3 кг/м3? 6. В закрытом сосуде находится смесь азота массой m1 = 56 г и кислорода массой m2 = 96 г. Определить изменение внутренней энергии этой смеси ΔU, если ее охладили на Δt = 20 °С. 7. Водород массой m = 40 г, имевший температуру t1 = 300 К, адиабатически расширяется. Объем газа возрастает в n1 = 3 раз. Затем при изотермическом сжатии объем газа уменьшается n2 = 2 раз. Определить полную работу A, совершенную газом, и конечную температуру газа. Построить график процесса. 8. Водород массой m = 100 г был изобарно нагрет так, что его объем увеличился в n = 3 раза, затем он был изохорно охлажден так, что его давление уменьшилось в n = 3 раза. Найти изменение энтропии ΔS в ходе указанных процессов. 9. Идеальный трехатомный газ совершает циклический процесс, состоящий из двух изохор и двух изобар. Определить КПД цикла η, если V1 = 1 л, V2 = 2 л, p1 = 105 Па, p2 = 2·105 Па. Вариант 5

1. Из баллона со сжатым водородом емкостью V = 10 л из-за неисправности вентиля утекает газ. При температуре t1 = 7 ºC манометр показывал p = 5·106 Па. Через некоторое время при температуре t2 = 17 ºC манометр показал такое же давление. Сколько утекло газа? 2. Некоторая масса водорода находится при температуре Т1 = 200 К и давлении р1 = 0,4кПа. Газ нагревают до температуры Т2 = 10000 К, при которой молекулы водорода практически полностью распадаются на атомы. Найти давление р2 газа, если его объем и масса остались без изменения. 3. Сосуд емкостью V = 2 л разделен на две равные части полунепроницаемой перегородкой. В левую половину введены водород массой m1 = 8 г и азот массой m2 = 56 г. Справа от перегородки – вакуум. Какое давление установится в обеих частях сосуда, если перегородка пропускает только водород, а температура Т = 373 К остается постоянной? 4. Какое давление на стенки сосуда оказывает кислород, если средняя квадратичная скорость его молекул vкв = 400 м/с, а в объеме V = 1 см3 содержится N = 2,7·1019 молекул? 5. Над молем идеального газа совершают циклический процесс, состоящий из двух изохор и двух изобар. Температуры в точках 1 и 3 61

равны соответственно T1 и T3. Определить работу A, совершенную газом за цикл, если точки 2 и 4 лежат на одной изотерме. 6. В закрытом сосуде объемом V = 61 л находятся равные массы аргона и азота при нормальных условиях. Какое количество теплоты Q нужно сообщить этой газовой смеси, чтобы нагреть ее на Δt = 60 °С? 7. В теплоизолированном цилиндре с поршнем находится азот массой m = 0,2 кг при температуре t1 = 20 °C. Азот, расширяясь, совершает работу А= 4,47 кДж. Найти изменение внутренней энергии азота ΔU и его температуру t2 после расширения. Удельная теплоемкость азота при постоянном объеме Сv = 745 Дж/кг⋅К. 8. Объем газа при адиабатическом сжатии уменьшился в n1 = 10 раз, а давление увеличилось n2 = 21,4 раз. Определить соотношение удельной теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме γ = Сp/ Сv. 9. Найти изменение энтропии ΔS при нагревании воды массой m = 100 г от температуры t1 = 0 ºC до температуры t2 = 100 ºC и последующем превращении воды в пар той же температуры. Вариант 6

1. В баллоне емкостью V = 10 л содержится окисел азота (NO) под давлением p = 8 атм при температуре t = 15 °С. Определить массу газа m и массу его молекулы m0. 2. Из баллона со сжатым газом вследствие неисправности вентиля вытекал газ. Какая часть газа осталась в баллоне, если первоначально при температуре t1 = 27 °С манометр показывал давление p1 = 60 атм, а через некоторое время при температуре t2 = 12 °С давление p2 = 19 атм? 3. Три баллона емкостями V1 = 3 л, V2 = 7 л и V3 = 5 л наполнены кислородом (p1 = 2·105 Па), азотом (p2 = 3·105 Па) и углекислым газом (p3 = 6·104 Па), находящимися при одной и той же температуре. Баллоны соединяют между собой. Каково давление смеси p, если температура не изменилась? 4. Плотность газа в баллоне электрической лампы равна ρ = 0,9 3 кг/м . При горении лампы давление в ней возросло с p1 = 80 кПа до p2 =110 кПа. Насколько увеличилась при этом средняя квадратичная скорость vкв молекул газа? 5. Двухатомный газ массой m = 2,18 кг находится под давлением p = 7,8·105 Па и имеет плотность ρ = 6,28 кг/м3. Найти энергию теплового движения молекул газа при этих условиях. В цилиндр заключен кислород массой m = 1,6 кг при 6. температуре t = 17 ºC и давлении p = 4·105 Па. До какой температуры нужно его изобарно нагреть, чтобы работа расширения была равна A = 4·104 Дж? 62

7. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V1 = 1 м3 и находится под давлением p1 = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p2 = 0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа ΔU, совершенную им работу A и теплотуQ, переданную газу. Построить график процесса. 8. Найти изменение энтропии ΔS при изотермическом расширении кислорода массой m = 10 г от объема V1 = 25 л до объема V2 = 100 л. 9. Газ совершает цикл Карно. Температура охладителя t2 = 17 °С. Как изменится КПД цикла η, если температура нагревателя повысилась от t1 = 127 °С до t1' = 447 °С? Вариант 7

1. Плотность смеси азота и водорода при температуре t = 47 ºC и давлении p = 2·106 Па равна ρ = 0,3 г/л. Найти концентрации молекул азота n1и водорода n2 в смеси. 2. В баллоне, объем которого равен V = 1 л, находится гелий под давлением p1 = 105 Па и при температуре t1 = 27°С. После того как из баллона была взята проба массой m = 2 г, давление в баллоне понизилось до p2 = 0,9·105 Па. Определить температуру гелия t2, оставшегося в баллоне. 3. В сосуде, объем которого V = 1 л, содержится m = 5 г идеального газа под давлением p = 500 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа vкв. 4. Два баллона объемами V1 = 1 л и V2 = 2 л с теплонепроницаемыми стенками содержат кислород при давлении p1 = 105 Па и температуре t1 = 27 °С и азот при давлении p2 = 2·105 Па и температуре t2 = 17 ºC. Баллоны соединены трубкой с краном. При открывании крана происходит перемешивание газов. Определить давление p и температуру T смеси. 5. Одноатомный идеальный газ изотермически расширился из состояния с давлением p1 = 105 Па и объемом V1 = 1 л в n = 4 раз. Найти внутреннюю энергию газа U в конечном состоянии. 6. Одному молю двухатомного газа сообщили Q1 = 20 Дж тепла, в результате чего газ нагрелся на несколько градусов Δt при постоянном объеме. Какое количество тепла Q2 нужно сообщить метану массой m = 30 г, чтобы нагреть его на такое же число градусов Δt при постоянном давлении? 7. Некоторая масса азота при давлении p1 = 1атм имела объем V = 3 5 дм , а при давлении p2 = 3атм - объем V = 2 дм3. Переход от первого состояния ко второму осуществлялся в два этапа: сначала адиабатно, затем изохорно. Определить изменение внутренней энергии ΔU, количество теплоты Q и произведенную газом работу A. Сделать расчеты в случае 63

обратной последовательности процессов: сначала изохорно, потом адиабатно. Объяснить разницу. 8. В результате изохорного нагревания водорода массой m = 1 г давление p газа увеличилось в 2 раза. Найти изменение энтропии ΔS газа. 9. Газ, совершающий цикл Карно, получает от нагревателя Q1 = 42 кДж теплоты. Какую работу A совершает газ, если абсолютная температура нагревателя T1 в n = 5 раз выше, чем температура холодильника T2? Вариант 8

1. В сосуде объемом V = 10 л находится N = 2·1023 молекул газа. Какова температура t газа, если давление в сосуде p = 0,12 МПа? 2. В баллоне находится газ массой m = 10 кг при давлении p1 = 10 МПа. Какую массу Δm взяли из баллона, если давление стало равным p2 = 2,5 МПа? Температуру газа считать постоянной. 3. В горизонтально расположенном сосуде, разделенном легким подвижным поршнем, находятся с одной стороны кислород массой m1, с другой - водород массой m2. Температуры одинаковы и равны T0. Каким будет отношение объемов, занимаемых газами, если температура водорода останется равной T0, а кислород нагреется до температуры T1? 4. На сколько процентов увеличится средняя квадратичная скорость молекул водяного пара vкв при повышении его температуры от t1 = 37 ºC до t2 = 40 ºC? 5. Кинетическая энергия поступательного движения молекул азота, находящегося в баллоне объемом V = 6,68 м3, равна EК = 7,9·104 Дж, а средняя квадратичная скорость его молекул vкв = 7·103 м/с. Найти массу m азота в баллоне. соотношение удельной теплоемкости при 6. Определить постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме γ = Сp/ Сv для газовой смеси, состоящей из ν1 = 5·103 моль аргона и ν2 = 3·103 моль углекислого газа. Газы считать идеальными. 7. Кислород, взятый при температуре t1 = 27 ºC, изобарно сжали так, что V1/V2 = n = 5. Определить изменение внутренней энергии газа ΔU и работу внешней силы A при сжатии, если масса газа равна m = 160 г. 8. В цилиндре объемом V1 = 5 л под поршнем находится ν = 103 моль воздуха при давлении p1 = 105 Па. Газ совершает цикл, состоящий из четырех процессов: при постоянном объеме в 3 раза увеличивается давление; при постоянном давлении увеличивается объем в 2 раза; при постоянной температуре увеличивается объем; при постоянном давлении воздух возвращается в исходное состояние. Нарисовать диаграмму этого цикла в координатах (p, V). Найти температуры T1, T2, T3 и T4 для характерных точек цикла, работу всего процесса A и количество теплоты, полученное и отданное при указанных изменениях. 64

9. Найти изменение энтропии ΔS при изобарном расширении азота массой m = 20 г от объема V1 = 5 л до объема V2 = 9 л. Вариант 9

1. Подсчитать число молекул N, содержащихся в углекислом газе массой m = 100 г. Найти массу молекулы m0 и концентрацию молекул n при нормальных условиях. Плотность газа при нормальных условиях равна 3 ρ = 1,94 кг/м . 2. Тонкий резиновый шар радиусом r1 = 2 см заполнен воздухом при температуре t1 = 27 ºC и давлении p1 = 105 Па. Каков будет радиус шара r2, если его опустить в воду с температурой t2 = 4 ºC на глубину h = 20 м? 3. На гладком горизонтальном столе находится сосуд, разделенный перегородкой на две равные части. В одной части находится кислород, в другой – азот. Давление азота в 2 раза больше давления кислорода. На какое расстояние переместится сосуд, если перегородка станет проницаемой, а температура не изменится? Длина сосуда ℓ = 20 см. Массой сосуда пренебречь. 4. В сосуде, объем которого V= 1 л, содержится m = 5 г идеального газа под давлением p = 500 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость vкв молекул газа. 5. Определить число молекул N и массу m гелия, находящегося при температуре t = 27 ºC, если кинетическая энергия теплового движения всех молекул газа Ек = 10 Дж. 6. Некоторая масса азота при давлении p1 = 1 атм имела объем V1 = 3 5 дм , а при давлении p2 = 3 атм - объем V2 = 2 дм3. Переход от первого состояния ко второму осуществлялся в два этапа: сначала изохорно, затем изобарно. Определить изменение внутренней энергии ΔU, количество теплоты Q и произведенную газом работу A. Сделать расчеты в случае обратной последовательности процессов: сначала изобарно, потом изохорно. Объяснить разницу. 7. Азот, находящийся при температуре t1 = 127 ºC, увеличил объем в 5 раз в результате адиабатного расширения. При этом его внутренняя энергия U уменьшилась на Δ U = 4 кДж. Определить массу m азота. 8. Температура нагревателя идеальной тепловой машины t1 = 117 ºC, а температура холодильника t2 = 0 ºC. Количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя за время t = 1 с, равно Q1 = 60 кДж. Вычислить КПД машины η, количество теплоты Q2, отдаваемое холодильнику за это же время, и мощность машины N . 9. Кусок льда массой m1 = 200 г, взятый при температуре t1 = -10 ºC, был нагрет до температуры t2 = 0 ºC и расплавлен. Образовавшаяся вода была нагрета до температуры t3 = 10 ºC. Найти изменение энтропии ΔS в ходе указанных процессов. 65

Вариант 10

1. Найти среднюю молярную массу сухого воздуха, предполагая следующий процентный состав воздуха по массе: азот – 75,52 %, кислород – 23,15 %, аргон – 1,28 %, углекислый газ – 0,05 %. 2. Каково давление p смеси газов в колбе, если в объеме V = 1 см3 находится N1 = 1020 молекул кислорода и N2 = 3·1020 молекул азота. Температура смеси t = 150 ºC. 3. При какой температуре кислород, находясь под давлением p = 0,2 МПа, имеет плотность ρ = 1,2 кг/м3? Какова при этом концентрация n молекул кислорода? 4. Определить наиболее вероятную vв скорость молекул газа, плотность которого составляет ρ = 0,37 кг/м3 при давлении p = 40 кПа. 5. В сосуде, объем которого V = 3 л, находится углекислый газ массой m = 3 г при температуре 13 ºC . Определить внутреннюю энергию газа U и давление газа p на стенки сосуда. 6. Работа расширения кислорода составляет A = 2 кДж. Определить количество подведенной к газу теплоты Q, если процесс протекает изобарно. 7. Найти удельную теплоемкость при постоянном объеме CV для газовой смеси, молярная масса которой M = 22 г/ моль, а отношение удельных теплоемкостей равно Cp/CV = 1,395. 8. Один моль идеального двухатомного газа, находящегося под давлением в p1 = 1 атм при температуре t = 270 ºC, нагревается при постоянном объеме до давления p2 = 2 атм. После этого газ изотермически расширяется до начального давления и затем изобарно сжимается до начального объема. Начертить график цикла. Определить температуры газа для характерных точек цикла. 9. Кислород массой m = 2 кг увеличил объем в n = 5 раз один раз изотермически, а другой раз - адиабатно. Найти изменение энтропии ΔS в ходе указанных процессов.

66

Приложение

1. Некоторые математические формулы sin 2 α + cos2 α = 1

sin (α ± β ) = sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β; cos 2α = cos 2 α − sin 2 α;

sin 2 α =

1 (1 − cos 2α); 2

cos (α ± β ) = cos α ⋅ cos β ± sin α ⋅ sin β; sin 2α = 2 sin α ⋅ cos α;

1 (1 + cos 2α ); 2 d ⎛1⎞ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ = − 2 ; dx ⎝ x ⎠ x d x (e ) = e x ; dx

cos 2 α =

d n ( x ) = nx n −1 ; dx

d ⎛⎜ 1 ⎞⎟ n = − ; dx ⎜⎝ x n ⎟⎠ x n +1 d (sin x) = cos x ; dx

d (cos x) = − sin x dx

2. Десятичные приставки к названиям единиц д – деци (10-1); с – санти (10-2); м – милли (10-3); мк – микро (10-6);

н – нано (10-9); п – пико (10-12); ф – фемто (10-15); а – атто (10-18).

к – кило (103); М – мега (106); Г – гига (109); Т – тера (1012);

3. Некоторые внесистемные величины 1 рад = 57018′; 10 = 1,75⋅10-2 рад = π/180 рад; 1′ = 2,91⋅10-4 рад = π/180⋅10-2 рад; 1′′ = 4,85⋅10-6 рад = π/(648⋅10-3) рад;

1 сут = 86400 с; 1 об/с = 1 с-1 = 1Гц; 1 об/мин = 1/60 с-1;

1 мм. рт. ст. = 133,3 Па; 1 атм = 1,01⋅105 Па; 1 кал = 4,19 Дж;

1 л = 1 дм3 = 10-3 м3;

1 л. с. = 0, 7355 кВт

4. Основные физические постоянные Скорость света в вакууме Постоянная Авогадро Молярная газовая постоянная Постоянная Больцмана Молярный объем идеального газа при нормальных условиях (р = 1,013⋅105 Па, Т = 273 К)

с = 3⋅108 м/c NА = 6,02⋅1023 моль R = 8,31 Дж/(К· моль) k = 1,38⋅10-23 Дж/К Vm = 22,41⋅10-3 м3/моль

67

5. Плотность газов ρ (кг/м3) при нормальных условиях Азот Аргон Водород

1,25 1,78 0,09

Воздух Гелий Кислород

1,29 0,18 1,43

6. Эффективный диаметр d молекул (нм) Азот Аргон Водород

0,38 0,35 0,28

Воздух Гелий Кислород

0,27 0,22 0,36

7. Молярные массы (М 10-3 кг/моль) газов Гелий Азот Кислород Воздух Метан Водород

Не N2 О2 СН4 Н2

4 28 32 29 16 2

Аргон Окись азота Неон Сернистый газ Углекислый газ Аммиак

Ar NO Ne SO2 CO2 NH3

40 30 20 64 44 17

Литература

1. Фриш, С.Э. Курс общей физики: учебник. В 3-х т. / С.Э. Фриш, А.В. Тиморева. – СПб.: Лань, 2007. Т. 1. 2. Савельев И.В. Курс общей физики: учебник. В 3-х т./ И. В.Савельев. – СПб.: Лань, 2007. Т. 1. 3. Трофимова, Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов / Т.И. Трофимова. – 18-е изд., – М.: Академия, 2010.

68

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение………………………………………………………………...… Часть 1. Механика………………………………………………………… 1.1. Основные формулы и законы механики………………… 1.1.1. Кинематика………………………………………………….. 1.1.2. Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно………………………………………………………. 1.1.3. Механика твёрдого тела……………………………………. 1.1.4. Механические колебания…………………………………… 1.2. Примеры решения задач…………………………………………… 1.3. Контрольное задание №1………….………………………………… Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика…..………………..… 2.1. Основные формулы и законы молекулярной физики и термодинамики…………………………………………………….. 2.1.1. Молекулярная физика……………………………………… 2.1.2. Физические основы термодинамики .................................... 2.2. Примеры решения задач…………………………………………… 2.3. Контрольное задание №2…………………………………………… Приложение…………………………………………………………..…… Литература………………….…………………………………….……….

69

3 4 4 4 6 9 11 14 27 46 46 46 48 50 58 67 68