Idea Transcript
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет
БН
ТУ
Кафедра «Высшая математика № 1»
МАТЕМАТИКА
ри й
ПРАКТИКУМ
ит о
В 4 частях
Ре
по з
Часть 3
Минск БНТУ 2015 1
УДК 51(076.5) ББК 22.1я7 М34
ТУ
Автор ы: О. Р. Габасова, А. В. Грекова, О. Л. Зубко, И. М. Мартыненко, Н. А. Микулик, Г. И. Лебедева, Г. А. Романюк, Е. А. Федосик
Математика: практикум : в 4 ч. / О. Р. Габасова и [и др.]. – Минск : БНТУ, 2013 – .– Ч.3. – 2015. – 107 с. ISBN 978-985-550-481-9 (Ч. 3).
ит о
М34
ри й
БН
Р е це н зе н ты: зав. каф. высшей математики БГУИР, В. В. Цегельник; доцент БГУ, канд. физ.-мат. наук, доцент А. Н. Исаченко
Ре
по з
Практикум написан в соответствии с действующей программой курса «Математика» для студентов инженерно-технических специальностей БНТУ. Практикум состоит из 17 занятий по разделам «Ряды», «Теория функций комплексного переменного», «Операционное исчисление», «Уравнения в частных производных». Каждое занятие содержит задания для аудиторной и самостоятельной работы студентов. Задания снабжены ответами, что позволит студентам проконтролировать правильность решений задач. Пособие содержит также типовые расчеты по указанным разделам, которые могут быть использованы и для индивидуальных заданий студентов, и для проведения текущего контроля знаний студентов. Практикум предназначен для студентов дневной и заочной форм обучения и для преподавателей.
ISBN 978-985-550-481-9 (Ч. 3) ISBN 978-985-550-341-6
2
УДК 51(076.5) ББК 22.1я7
© Белорусский национальный технический университет, 2015
ОГЛАВЛЕНИЕ Занятие 1. Числовые ряды. Основные определения. Признаки сходимости рядов с положительными членами…… 5
ТУ
Занятие 2. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость…… 7 Занятие 3. Функциональные ряды…………………………….. 8
БН
Занятие 4. Степенные ряды……………………………………. 10
Занятие 5. Ряды Фурье…………………………………………. 12 15
ри й
Занятие 6. Разложение функции в ряд Тейлора, Маклорена. Применение рядов в приближенных вычислениях…………..
Занятие 7. Функция комплексной переменной. Предел. Производная. Условия Коши–Римана……………….. 20 Занятие 8. Интеграл от функции комплексной переменной…… 23
ит о
Занятие 9. Ряды Тейлора и Лорана……………………………. 26 Занятие 10. Изолированные особые точки……………………. 30
по з
Занятие 11. Вычеты. Основная теорема о вычетах…………… 32 Занятие 12. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение элементарных функций. Основные теоремы………………….. 35
Ре
Занятие 13. Основные теоремы операционного исчисления…… 37
Занятие 14. Дифференцирование и интегрирование оригиналов и изображений…………………………………….. 40
Занятие 15. Свертка функций. Теорема Бореля. Формулы Дюамеля……………………………………………… 44
3
Занятие 16. Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений, систем дифференциальных уравнений, интегральных уравнений и уравнений с частными производными………….. 48
ТУ
Занятие 17. Дифференциальные уравнения в частных производных………………………………………… 55 Типовой расчет. Ряды…………………………………………..
59
БН
Типовой расчет. Элементы операционного исчисления…….. 72
Типовой расчет. ТФКП………………………………………… 90
Ре
по з
ит о
ри й
ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ ПОСОБИЙ………. 107
4
Занятие 1 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
ТУ
Аудиторные задания
n 1
4)
2n 1 ; 2n 2
n 1
2
n 1
;
n
5 3) 1 ; n n 1 2 n 2 6) . n 1 n 1
n 1 ; n2
2)
1 5) соs ; n n 1
ит о
1)
ри й
БН
1.1. Установить, сходятся ли указанные ряды, исходя из определения суммы ряда: 2 4 8 ; 2) 2 6 10 14 18 ; 1) 1 3 9 27 1 3) . n 1 n( n 3) 1.2. Установить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда:
(n 1)3 1.3. Установить, сходятся ли ряды, используя признаки сравнения: 5n 1 1 1 1) ; 2) ; 3) ; 2 n n n 1 2 n 1 n 6 n 1 n 5 n 1 2k 1 ; 5) ; 6) . 4) 2k 2 n 1 1 2 n 1 n 1 n 1 n n 2 1 1.4. Установить, сходятся ли ряды, используя признаки Даламбера и Коши (радикальный или интегральный):
Ре
по з
n 1
n3 ; 1) n 1 ( n 1)!
1 ; n 1 ( n 1) ln( n 1)
4)
2n
n 1
n2
2)
;
1
n2
(ln n)n
5)
;
1 n 1 3) n n 1 2 n 1 6) ; n 2 n ln n
n2
;
5
7)
1 en
n
n 1
8)
;
2
n 1
1 2
n 2n 2
.
Домашние задания
7n 1
n 1
5
n
5) arcsin
;
n 1
1 ; n 1 ( n 4)!
7)
n2
n 1
n 4n
;
;
n
n
5n 6 8) ; n 1 3n 4
11)
n ; n!
ит о
10)
1
n 1
1
n 1
n n
6) tg
ри й
4)
БН
ТУ
1.5. Установить, сходятся ли указанные ряды, исходя из определения суммы ряда: 1 1 1) n 1 ; 2) . n 1 3 n 1 n( n 2) 1.6. Установить, сходятся ли указанные ряды: 10n 1 n2 1 1) ; 2) 2 ; 3) n ; 10n 5 n 1 3 n n 1 n n 1
;
ln 2 n ; n 1 n
9)
12)
n 1
n
12 . n5
Ре
по з
Ответы: 1.1 1) Сходится; 2) Расходится; 3) Сходится. 1.2 1) Нет, ряд расходится; 2) Нет, ряд расходится; 3) Нет, ряд расходится; 4) Да, выполняется; 5) Нет, ряд расходится; 6) Нет, ряд расходится. 1.3 1) Расходится; 2) Сходится; 3) Сходится; 4) Сходится; 5) Расходится; 6) Сходится. 1.4 1) Сходится; 2) Расходится; 3) Расходится; 4) Расходится; 5) Сходится; 6) Расходится; 7) Сходится; 8) Сходится. 1.5 1) Сходится; 2) Сходится. 1.6 1) Расходится; 2) Расходится; 3) Сходится; 4) Расходится; 5) Расходится; 6) Сходится; 7) Сходится; 8) Сходится; 9) Расходится; 10) Сходится; 11) Сходится; 12) Сходится.
6
Занятие 2 ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ И ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ. ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ
ТУ
Аудиторные задания
1
(1) n n
n 1 n 3
;
8)
n 1
n
(1) . n 2 ln n
n
cos na ; n 1 n !
9)
;
ит о
10)
(1)n
ри й
n2
n
1 n 3n n ( 1) ; 5) ; 6) ( 1) ln 1 ; n ln 2 n n n 1 n 1 3n 1
4) ( 1) n
7)
БН
2.1 Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ряды: ( 1) n ( 1) n (3n 1) 2n 2 1 1) ; 2) (1)n ; 3) ; n(n 2) 5 n2 n 1 (3n 1)! n 1 n 1
Домашние задания
по з
2.2 Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды: ( 1) n n 2 ( 1) n (6n 5) n 10n 1 ( 1) ; 2) ; 3) ; 1) 2n 10n 10n 1 n 1 n 1 n 1
4) (1) n n 1
ln n ; n
5) (1) n sin n 1
1 n
2
;
6) ( 1) n n 1
1 ; ln( n 1)
n
Ре
4n 7) (1)n 1 . 5n 3 n 1
Ответы: 2.1 1) Сходится абсолютно; 2) Расходится; 3) Сходится условно; 4) Сходится абсолютно; 5) Сходится условно; 6) Расходится; 7) Сходится абсолютно; 8) Сходится условно; 9) Сходится абсолютно; 10) Сходится условно.
7
2.2 1) Сходится абсолютно; 2) Расходится; 3) Сходится абсолютно; 4) Сходится условно; 5) Сходится абсолютно; 6) Сходится условно; 7) Сходится абсолютно.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
БН
Аудиторные задания
ТУ
Занятие 3
3.1 Найти область сходимости ряда: n
1 2x 3 1 ; 1) ; 2) 2 n 1 n 1 2n 1 x n 1 n ! 4 x 5
1n
n
1 x ; n 1 2n 1 1 x
4)
2
7) 3n x
n2
;
10)
n 1
(1) n1
n 1
n 3n ( x 5) n
( x 1) 2 n
n 1
n 9n
5)
8)
ит о
n 1
1
1 x 2n
13) 2n sin
;
11) n e n x ; n 1
x
;
n
1 3) 1 2nx ; n n 1
ри й
; 6)
n 1
x 2 n 1 ; 2n 1 n
1 x 9) ; n 1 n x 1
xn
n 1
1 x 2n
12)
;
. 3n 3.2 Можно ли почленно интегрировать ряд в области его сходимости: cos nx 1 1) 2 ; 2) n . 2 n 1 x n n 1 3 3.3 Можно ли почленно дифференцировать ряд в области его сходимости: cos nx 1 1) 2 ; 2) . 2 n n 1 x n n 1 3
Ре
по з
n 1
8
Домашние задания
(1) n
n 1
n x n
;
8)
n 1
n
n 1 x ; 100 1 x
n xn
n 1
n3 x 2 n
6) e n
2
x
;
;
n 1
2n sin n x
n 1
n2
9)
БН
7)
3)
ТУ
3.4 Найти область сходимости ряда: 1 2) n e nx ; 1) x ; n 1 n n 1 3n 3 n x x ; 5) 4) 8 x3n arctg ; n 1 n n 1 n 1 (2n 1)8
3.5 Можно ли почленно интегрировать ряд
n 1
1
. x n n sin nx 2
3.6 Можно ли почленно дифференцировать ряд
ри й
.
n 1
n7
.
по з
ит о
Ответы: 5 5 3.1 1) ; ; ; 2) ; 1 1; ; 3) ; 0 ; 4 4 2 1 4) 0; ; 5) ; 4 5 ; ; 6) ; 1 1; ; 3 3 1 1 1 8) 2; 4 ; 9) 7) ; ; ; ; ; 3 3 2 10) ; 1 1; ; 11) 0; ; 12) ; 1 1;1 1; ;
Ре
13) ; . 3.2 1) Да; 2) Да. 3.3 1) Да; 2) Да.
1 1 3.4 1) (1; +); 2) (–; 0); 3) (–; +); 4) [–2; 2); 5) ; ; 2 2 6) (0; +); 7) ; 1 1; ; 8) ; 0 ; 9) x k , k z . 6 3.5 Да. 3.6 Да.
9
Занятие 4 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Аудиторные задания
5n n x ; n 1 n !
4) (n x) n ;
5)
7)
1
n 1 (4n 3)8
n
x2n ;
8)
n 1 2
1 xn . n 1 n( n 1) 4.3 Найти сумму ряда: n 1) n x n 1 , если x a ; n 1 a
n
3n
ит о
10)
1
1 2n x ; n 1 n
6)
xn ;
2)
x n 1
n 1 ( n 1) a
n
n
n x 1 ; n 1 n 1 2
9)
ри й
n 1
БН
ТУ
1 4.1 Найти сумму ряда x n x 1. n 1 n 4.2 Найти область сходимости степенного ряда: 1 1 1 1) ( x 1)n ; 2) 3) n ( x 1)n ; ( x 4) n ; n 1 (2n 1)! n 1 n n 1 2
, если a x a .
по з
Домашние задания
4.4 Найти область сходимости степенного ряда: n2
( 2) n ( x 2) n xn 1 ; 3) ; 1) 1 x n ; 2) n n n 2n n 1 n 1 n 1 3n 2 ( x 2) n 4) n5n ( x 3) n ; 5) ( x 2) n ; 6) ; n 1 n ! n 1 n n 1 n 1
Ре
n
100n ( x 2) n 1 n x 1 ; 8) ; 9) 7) n! n 1 5 n 1 n 1 n 1 2
10) n3n x n . n 1
10
n2
( x 2) n ;
ри й
БН
жить или разделить на x, x 2 и т. д. 1 2 2 3 3 4 45 1) , x 10 ; 100 1000 10000 100000 x 2 x3 x 4 2) x , x 1 ; 2 3 4 x2 x3 x4 x5 3) , x 1 ; 1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 x 3x 2 4 x3 4) 2 3 4 , x 5 ; 5 5 5 5 x2 x3 x4 5) x ..., x 2 . 2 2 3 22 4 23
ТУ
4.5 Почленно дифференцируя или интегрируя данный степенной ряд, найти его сумму. Указание. В некоторых примерах сумму ряда следует домно-
Ответы:
1 . x 1 4.2 1) x ; 2) 3 x 5 ; 3) 1 x 3 ; 4) x 0 ; 5) Расходится; 6) 1 x 1 ; 7) 2 x 2 ; 8) 3 x 3 ; 9) 1 x 3 ; 10) 1 x 1 . a a ln a ; 2) 4.3 1) x. 2 (a x) (a x)
по з
ит о
4.1 S ( x)
Ре
1 1 4.4 1) ; ; 2) 2,5; 1,5 ; 3) 2; 2 ; 4) е e 5) x 2 ; 6) [1;3] ; 7) 1; 3 ; 8) ; ; 9)
2,8; 3, 2 ; ; ;
1 1 10) ; . 3 3
4.5 1)
5) 2ln
20
(10 x)
3
; 2) ln(1 x) ; 3) ( x 1)ln( x 1) x ; 4)
5 (5 x)2
;
2 . 2 x 11
Занятие 5 РЯДЫ ФУРЬЕ Аудиторные задания 5.1 Разложить в ряд Фурье функцию
f x на интервале
x 2) f x sin ; 2
4) f x x .
БН
x, x 0 1) f x ; 0 x 2 x, 3) f x x ;
ТУ
, :
5.2 Разложить в ряд Фурье функцию f x на интервале 0, :
ит о
ри й
1, 0 x 1 ; 1) по косинусам, если f x 0, 1 x x 2) по синусам, если f x cos ; 1 1 2 x, 0 x 2 . 3) по косинусам, если f x 1 0, x 2 5.3 Разложить в ряд Фурье функцию f x на интервале l , l :
Ре
по з
1, 1 x 0 1, 1 x 0 1) f x ; 3) f x . 0 x 1 x, 0 x 1 1, 1 2) f x e x , l ; 2 5.4 Разложить в ряд Фурье функцию f x , заданную на интер-
вале 0, l : 1) по косинусам, если f x 1 x, l 1 ;
2) по косинусам, если f x x x 2 , l 1 ; 3) по синусам, если f x 1 x, l 2 ; 4) по синусам, если f x x 2 , l 1 .
12
Домашние задания 5.5 Разложить в ряд Фурье функцию f(x) на интервале (, ) :
5 x, x 0 3, x 0 1) f ( x) ; ; 2) f ( x) 1, 0 x x, 0 x
БН
1 x, 0 x 1 ; 1) по косинусам, если f ( x) 0 , 1 x 2) по синусам, если f ( x) cos x ;
ТУ
3) f ( x) e x /2 . 5.6 Разложить в ряд Фурье функцию f(x) на интервале (0, ) :
ри й
0 x/2 1, 3) по синусам, если f ( x) . 0, / 2 x 5.7 Разложить в ряд Фурье функцию f(x) на интервале (l , l ) :
ит о
0, 3 x 0 l 3; 2) f ( x) e x , l 1 ; 1) f ( x) , 0 3, x x 3) f ( x) x , l 2 . 5.8 Разложить в ряд Фурье функцию f(x), на интервале (0, l ) : 1) по косинусам, если f ( x) 2 3x, l 3 ; 2) по синусам, если f ( x) x, l 3 ;
по з
3) по синусам, если f ( x) x
x2 ,l 2. 2
Ответы:
n 1
3 6 cos 2n 1 x 1 sin nx ; n 1 4 2n 1 n n 1 4 cos 2n 1 x 8 n 1 n sin nx ; 3) ; 2) 1 2 n 0 2n 12 n 1 4n 2 1
Ре
5.1 1)
4) 2
n 1
1n1 sin nx . n
13
5.2 1)
2 1 sin n cos nx ; 2 n 1 n
2) 2
n
n 1 1
n
1 cos1 1 sin nx ; n
2
БН
ТУ
2 sin n 1 1 4 cos nx . 16 3) 2 2 n n 1 cos 2n 1 x 1 sin nx 3 2 5.3 1) 2 ; 4 n 1 n 1 n 2n 12
ит о
ри й
1 / 2 cos 2 nx n sin 2 nx 1 2) 2Sh 1 4 (1) n ; 2 1 (2 n)2 n 1 4 1 3) sin 2n 1 x . n 1 2n 1 1 4 cos 2n 1 x 5.4 1) 2 ; 2 n 0 2n 12
5 2 3 1 1 2 1 3 1 nx cos sin n x ; 3) ; 2) 2 2 6 n1 2 n n 1 n n
2 1 2 (1) n 1 (1) n sin n x . 2 n 1 n (n)
по з
4)
n
Ре
( 1) n 1 sin n x 3 12 cos(2n 1) x 4 5.5 1) ; 2 n 1 2n 1 n n 1 8 sin(2n 1) x 2) 1 ; n 0 2n 1
3)
( 1) n 2 sh 1 2 2cos n x 4n sin n x . 2 n 1 4n 1
5.6 1)
14
sin n / 2 2 11 4 cos n x ; n 2 n 1
2 n 2 n 2 2) 2 ( 1) cos 1 sin n x ; 3) n 1 n 2 n 1
5.7 1)
3 6 1 (2n 1)x 3 (1) nx 2 cos sin ; 2 4 n 0 2n 1 3 n 1 n 3
ТУ
БН
13 36 1 (2n 1) x 2 cos ; 2 2 n 0 (2n 1) 3
6 1 nx 16 1 (2n 1) x sin ; 3) 3 . (1)n1 sin 3 n 3 n 1 2 n 0 (2n 1)
ри й
2)
n
n 2 sin n x .
n
1 cos n x n sin n x 2) 2sh1 (1)n ; 2 2 1 ( ) n 1 n 8 1 (2n 1) x cos . 3) 1 2 2 n 0 (2n 1)2 5.8 1)
1 cos
ит о
Занятие 6
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ТЕЙЛОРА, МАКЛОРЕНА. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
по з
Аудиторные задания
6.1 Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд Тейлора функции f x по степеням x x0 :
Ре
1) f x ln 1 e x ,
x0 0 ;
3) f x x x ,
x0 3 ;
5) f x ctg x,
x0
1 7) f x , x
; 4
x0 2 ;
2) f x ln cos x, 4) f x
x , 3 x
x0 0 ; x0 1 ;
6) f x cos 2 x, 8) f x 2 cos x,
; 3 x0 ; 4
x0
15
; 10) f x xe x , x0 1 . 3 6.2 Разложить функции в ряд Маклорена, используя разложения основных элементарных функций: 9) f x sin 3 x,
x0
2) f x 8 x3 ;
4) f x
x 4 x
2
;
3) f x sin 2 x ;
x ; 3 4x
6) f x
1
x 8) f x ln 1 ; 2
9 x2
;
9) f x 1 x e2 x ;
БН
7) f x arctg x ;
5) f x
3
ТУ
1) f x e 2 x ;
ит о
ри й
10) f x x cos 2 x . 6.3 а) С помощью рядов вычислить приближенно с заданной точностью : 1) 1 / , 0,0001 ; 2) ln 0,98, 0,0001 ; 4) 3 60, 0,001 ; 3) sin , 0,0001 ; 10 5) cos 25, 0,0001 . б) С помощью рядов вычислить приближенно определенные интегралы с указанной точностью : 0,5 0,2 x e 6) x5 sin xdx, 0,0001 ; 7) 2 dx, 0,001 ; 0,1 x 0 0,5
dx
, 0,0001 ;
по з
8)
0
3
1 x3
0,5
9)
0
dx 1 x4
, 0,001 ;
4
cos x dx, 0,0001 . 6 x
10)
Ре
6.4 Найти с помощью рядов решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих данным начальным условиям: 1) y xy y 1 0, y 0 y 0 0 ;
2) y xy 0, 3) y y x 1,
4) xy y 0, 16
y 0 y 0 1 ; y 0 1 ; y 0 y 0 1 ;
y 0 0 ;
6) y sin xy 0,
7) y 1 x
2
y 0 0, y 0 1 ;
y 0,
y 0 2, y 0 2 ;
8) xy y 2 3 y 4 x 2 2, 9) y e y xy ,
y 0 2 ;
y 0 0 ;
10) y x 2 y y ,
y 0 1, y 0 0 .
БН
Домашние задания
ТУ
5) y 1 xy,
Ре
по з
ит о
ри й
6.5 Разложить функцию f x 4 x в ряд Тейлора по степеням x 1 . 6.6 Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд Тейлора функции f x ctg x в точке x0 . 4 1 6.7 Разложить f x в ряд Маклорена, используя 16 x 2 разложения основных элементарных функций. 6.8 С помощью рядов вычислить приближенно значения функций с точностью : 1) cos10, 0,0001 ; 2) 3 70, 0,001 ; 1 4) ln 5, 0,00001 . 3) 4 , 0,0001 ; e 6.9 С помощью рядов вычислить приближенно определенный интеграл с указанной точностью : 0,5 arctg x x dx, 0,001 . 0 6.10 Найти четыре члена разложения в ряд решения ДУ при заданных начальных условиях 1) xy y xy 0, y 0 1, y 0 0 ;
2) y y 2 x3 0,
y 0
1 . 2 17
Ответы:
x2 x 4 x6 x x2 ; 2) ; 2 12 20 2 8 3 3 3 3) 3 3 x 3 2 x 32 ; 2 2 1 3 3 2 4) 2 x 1 3 x 1 ; 3 2 2
2
6)
БН
2
4 5) 1 2 x x ; 4 2! 4
ТУ
6.1 1) ln 2
1 3 2 3 x x ; 4 2 1! 3 3! 3
ри й
2 1 x 2 x 2 7) 1 ; 2 2 4 2 2 1 1 1 x x ; 8) 2 2 1! 4 2! 4
3
5
ит о
3 33 35 9) x x x ; 1! 3 3! 3 5! 3
10) e 1 2 x 1 3 x 1 . 2
по з
2 n 2x 2x ; 6.2 1) 1 2 x
2!
n!
1 x 2 5 3n 4 x 3n 2 x 2) 2 2 2 ; n 3 2 2 2 3 2! 3 ! n
Ре
3
3)
6
2 n 1 n n 1 1 n 1 2 x n x n 4 x ; 4) 1 n 1 ; 5) 1 ; 1 2 n 1 2n ! 3n 1 4 n 0 n 0 2n
n 1 1 3 2n 1 2 n 1 x2 1 3 4 6) 1 x x ; n 3 18 1 182 n !18
18
n x 2 n 1 x x2 n x ; 8) 2 1 n ; 2n 1 2 2 2 2 n n 0 n n n n 1 2 n 1 2 x n 2 x n x 9) 1 ; 10) 1 . n! 2n ! n 0 n ! n 0 n 0
7) 1
n
x3 2 x5 ; 3! 5! 16 8) y 2 4 x 2 x 4 ; 7) y 2 2 x x 2 ; 3 2 3 4 x 2x 2x 2 x5 9) y x . ; 10) y 1 2 3 4! 5! 1 1 3 2 1 3 7 6.5 1 x 1 2 x 1 3 x 13 . 4 4 2! 4 3! 6) y x
ит о
ри й
5) y x
x3 x5 ; 3 35
БН
ТУ
6.3 a) 1) 0,3679; 2) – 0,0202; 3) 0,3091; 4) 3,915; 5) 0,9063; б) 6) 0,00108; 7) 32,864; 8) 0,4926; 9) 0,494; 10) 0,3230. x 2 x 4 3x6 x3 2 x 4 6.4 1) y ; ; 2) y 1 x 2! 4! 6! 3! 4! x 2 x3 x 4 x2 x3 x4 ; 4) y x ; 3) y 1 2! 3! 4! 1!2 2 2!2 3 3!2 4
2
3
Ре
по з
22 23 6.6 1 2 x x x . 4 2! 4 3! 4 1 2 1 3 1 3 5 6 x 2 x4 3 x . 6.7 4 1 2 3 2 16 2 2!16 3 3!16 6.8 1) 0,9849; 2) 4,121; 3) 0,7788; 4) 1,6099. 6.9 0,487. x2 x4 x6 6.10 1) y 1 2 2 2 2 2 2 ; 2 2 4 2 4 6 1 1 1 1 2) y x x 2 x3 . 2 4 8 16
19
Занятие 7 ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРЕДЕЛ. ПРОИЗВОДНАЯ. УСЛОВИЯ КОШИ–РИМАНА Аудиторные задания
БН
ТУ
7.1 Описать области, заданные следующими соотношениями: z 2) 2 Im 2 ; 1) 0 Re 2 z 1 ; 3) z i 2 ; 3 4) 1 z 4 3 ; 5) z i 1 ; 6) 2 z i 5 . 7.2 Найти действительную и мнимую части функции f z :
1) f z 2iz z ;
2) f z zz 4iz 2 ;
ит о
ри й
1 3) f z Re z 2 i i Im z 4 ; 2 z 4) f z Im 2i Re 4iz . z 7.3 Найти образы указанных точек при заданных отображениях:
Ре
по з
2) z0 i; e 2 z ; 1) z0 i; z 2 i ; 1 i i 2 ; z i ; 4) z0 ; sin iz ; 3) z0 2 4 5) z0 1 5i; cos z ; 6) z0 2i; Ln z . 7.4 Вычислить следующие пределы: z 2 zi 2 cos z 1) lim ; 2) lim ; z 2i z 0 ch iz z 2i
3) lim z
i 4
sin iz
ch z i sh z
;
4) lim
e2iz 1
z /2 e iz
1
.
7.5 Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти f z :
1) f z e z /2 ; 20
2) f z ch z ;
8 i 2 xy 7 x
3) f z 4 x 2 2 4 y 2 4 i 8 xy 5 ; 4) f z x 2 14 xy y 2
2
7 y2 4 .
4) v x, y 2 xy 8 x 2 8 y 2 4 x .
БН
2) v x, y 2e x sin y ;
ТУ
7.6 Проверить гармоничность приведенных функций и найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части: y 1) u x, y x3 3 xy 2 ; 3) u x, y x 2 y 2 5 x y 2 ; x y2
Домашние задания
ри й
7.7 Описать области, заданные соотношениями: 1) 1 z 3i 3 ; 2) z 2 ; 3) z 4i 5 . 7.8 Найти действительную и мнимую части функции f z :
ит о
1) f z 2i z 3iz 2 ; 2) f z iz 2 4 z ; 3) f z e z z 2 . 7.9 Вычислить следующие пределы: z 2 2iz 8 z 2 2iz 3 1) lim . ; 2) lim z 4i z 3i z 2 16 z2 9 7.10 Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти f z :
Ре
по з
1) f z e 4 z 2 z 4 ; 2) f z z 2 4iz 5 ; 3) f z sh 2 z . 7.11 Проверить гармоничность приведенных ниже функций и найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части: y 1) u x, y 2 xy 3 ; . 2) v x, y 3 x 2 y 2 2 2 x y2
Ответы: 7.1 1) полоса, ограниченная прямыми x 0, x 1 / 2 ; 2) полоса, ограниченная прямыми y 6 ; 3) внешность круга с центром в точке z i и радиусом 2; 4) внутренность кольца с центром в
21
точке z 4 и радиусами 1 и 3; 5) внешность круга с центром в точке z i и радиусом 1; 6) внутренность кольца с центром в точке z 2i и радиусами 2 и 5. 7.2 1) Re f z x 2 y, Im f z 2 x y ;
2) Re f z x 2 y 2 8 xy, Im f z 4 x 2 y 2 ;
2 xy 2
x y2
, Im f z 8 y .
БН
4) Re f z
1 y; 2
7.3 1) 1 i ; 2) i; 3) cos 2 i sin 2 ; 4)
ТУ
3) Re f z x 2 y 2 2 xy, Im f z
2 ; 2
1 5 5 i e e cos1 e5 e 5 sin1 ; 2 2 3 6) ln 2 i 2k , k Z . 2 7.4 1) 3i ; 2) 1; 3) ; 4) 0. 1 7.5 1) e z /2 ; 2) sh z ; 3) 8 x i8 y ; 4) Условия Коши-Римана не 2 выполняются. 7.6 1) f z x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3 C ;
ит о
ри й
5)
по з
2) f z 2e x cos y C 2ie x sin y ;
Ре
y 3) f z x 2 y 2 5 x y 2 x y 2 x i 2 xy 5 y 2 x C ; 2 x y
4) f z x 2 16 xy y 2 4 y C i 2 xy 8 x 2 8 y 2 4 x .
7.7 1) внутренность кольца с центром в точке z 3i и радиусами 1 и 4; 2) внешность круга с центром в точке z 0 и радиусом 2; 3) внутренность круга с центром в точке z 4i и радиусом 5.
22
7.8 1) Re f z x 6 xy, Im f z 2 y 3 x 2 3 y 2 ;
2) Re f z 2 xy 4 x, Im f z x 2 y 2 4 y ;
3) Re f z e x x 2 y 2 cos y 2 xye x sin y ,
3 2 ; 2) . 4 3 4z 7.10 1) 4e 2 ; 2) 2ch 2z ; 3) 2 z 4i .
7.9 1)
БН
7.11 1) f z 2 xy 3 i y 2 x 2 C ;
ТУ
Im f z e x x 2 y 2 sin y 2 xye x cos y .
x y 2) f z 2 xy C i 3 x2 y 2 2 x2 y 2 2 x2 y 2
ри й
.
Занятие 8
ит о
ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Аудиторные задания
8.1 Вычислить интегралы по заданным контурам:
x, y | y 2 x , 0 x 1 ; dz, L x, y | y 2 x , 0 x 1 ;
по з
1) Im zdz , L L
2) Re z z 2 L
2
2
Ре
3) z 2 z dz , L z | z 1, arg z 2 ; L
4) Im z 2 Re zdz , L L
x, y | y 3x , 0 x 1 ; 2
5) Re z Im z dz , где L – отрезок, соединяющий начало коорL
динат и точку 2 i . 23
z2
8.2 Применяя формулу f d F z2 F z1 , вычислить z1
интегралы: 1) e2 z dz, L L
x, y | y x ,1 x 2 ; 3
ТУ
1 3 2) sin zdz, L z | z t 2 it , t ; 2 2 L
3) z 2 cos zdz , где L – отрезок прямой от т. z1 i до т. z2 1 .
БН
L
7)
sin z sin z 1
z 2
2
z z
z2 2z
;
dz ;
z 4 z i 2
dz ;
sh z i 2 dz ; 6) 2 z 2 z z 1
8)
z i 1
10)
z 4
sin z
z i 3 cos z
z 2
dz ; dz .
Домашние задания
Ре
z 2 2
z 3
e2 z
по з
9)
5)
dz
ит о
e2 z dz ; 4) z 4 z i
ри й
8.3 Вычислить интегралы, применив теорему Коши, интегральную формулу Коши или формулу, получаемую дифференцированием интегральной формулы Коши (обход контуров – против часовой стрелки): z2 z2 e2 z dz ; dz ; dz ; 2) 3) 1) z 1 z i z 4 z 2i z 1 z 2i
8.4 Вычислить интегралы по заданным контурам: 1) z zdz , где L – верхняя полуокружность z 2 с обходом L
против часовой стрелки; z 2) dz , L z z 1, 0 arg z ; 2 Lz
24
3)
5 sin z z dz , где L – ломаная, соединяющая точки
L
z1 1, z2 0, z3 2i ; 4)
Re 2 z dz , где L – отрезок, соединяющий точки
L
4)
z 4
7)
z 2
cos z z 2 2
z
dz ;
cos 2 z 2
1 z2 9
5)
dz ;
z2 1
z 1 1 z
2
8)
1
z i 1 1
6)
dz ;
z i 3
ит о
Ответы: 2 8 1 2 8.1 1) 2i ; 2) i ; 3) i ; 15 3 3 3 1 4 6i 2 2i 8.2 1) e e ; 2 9 3 1 1 2) cos i cos i ; 4 2 4 4
z2
sh 2 z
z 1
ez
z i 3
z3
;
dz ;
dz .
4)
6 1 6i ; 5) 1 i . 5 2
по з
dz
БН
2
3)
ри й
z
ТУ
z1 1 i, z2 1 i . 8.5 Выполнить действия согласно 8.3. dz dz 1) ; 2) ; 2 2 1 1 z z i 1 1 z
3) 3sin1 2cos1 i 2ch1 sh1 .
Ре
8.3 1) 8i ; 2) 0; 3) 0; 4) 2i ; 5) 0; 6) ; 7) 0; 8) sh1 ; 4 9) e 2i 1 ; 10) 0. 10 i 1 65 8.4 1) 8i ; 2) ; 3) cos1 ch 2 ; 4) 0. 3 6 8.5 1) 0; 2) ; 3) – ; 4) – i; 5) 2i ; 6) 2i ; 7) 0; 8) i .
25
Занятие 9 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА Аудиторные задания
ТУ
9.1 Используя разложение основных элементарных функций, разложить функции в ряд по степеням z и указать область сходимости полученных рядов: 2
1) e z ; 2) cos z 2 ; 3) sin 2 z cos 2 z ; 4) sin 2 z ; z 3 ; 7) ln z 1 z 2 . 5) ; 6) 2 4 z 1 z 2z2 9.2 Разложить функции в ряд по степеням z z0 и указать область сходимости полученных рядов: 1 , z0 2 ; 1) z 3 2 z 2 5 z 2, z0 4 ; 2) 1 z 1 1 , z0 3i ; , z0 3 . 3) 4) 2 1 z z 6z 5 9.3 Найти область сходимости указанных рядов
ит о
ри й
БН
1) 1
n
n 1 n 2 z
n
;
2) n z 1 ; n
3)
z 3n .
n 1 9.4 Разложить данные функции в ряд Лорана в проколотой окрестности точки z0 :
по з
n 0
1)
z
z 1
3
, z0 1 ; 2)
1 z
3
n 1
cos z , z0 0 ;
n 0
1 3) sin , z0 2 ; z2 1
Ре
ez2 1 , z0 0 ; 4) 5) z 2 cos , z0 0 ; 6) z 3e z , z0 0 ; z z 1 1 , z0 1 ; 8) , z 2. 7) z z 1 z 2 z 3 0 9.5 Разложить данные функции в ряд Лорана в заданных кольцах: 1 1 ,1 z 2 ; 2) ,1 z 2 ; 1) z i z 2i z i z 2i
26
3)
z3
z 1 z 2
,1 z 1 3 . Домашние задания
1)
z 1n ;
2) n ! z i ;
n
2
n
БН
ТУ
9.6 Выполнить действия согласно 9.2. z 2) , z0 0 ; 3) ln 5 z 3 , z0 1 ; 1) 27 z , z0 0 ; 3 4z 1 , z 0 4 ; 5) z 2 e1/ z , z0 0 . 4) 2 z 3z 2 9.7 Выполнить действия согласно 9.3.
3) 1 i z n . n
z2 2
z 1
,0 z i 2;
4)
ит о
3)
ри й
n 1 n 1 n 1 n 2 9.8 Выполнить действия согласно 9.5. 1 1 ,1 z 2 ; ,1 z 1 2 ; 2) 1) z z 3 z 1 z 2
z
1
2
4 z2 4
, 2 z .
Ответы:
9.1 1) 1 n
по з
n 0
z 2n , z ; n!
2 n 1
1 n 1 4 z , z ; 3) 1 2 z 1 2n 1!
z 4n 2) 1 , z ; 2n ! n 0
n
2 n 1
Ре
2 n 1 1 n 1 2 z n 1 z , z 2; 4) 1 , z ; 5) 1 2 n 1 2 n ! 22 n n 1
6) 1 1 2n 1 z n , z n 0
7) z 1 n 1
n
n
1 ; 2
2n 1! z 2n1 , 2n n! 2n 1
z 1. 27
9.2 1) 78 59 z 4 14 z 4 z 4 ; 2
2) 1
n 1
n 0
z 2 n ,
3
z 3i n , n 1 n 0 1 3i
3)
z 2 1;
z 3 2. 4n 1 9.3 1) z 1 ; 2) z 1 1 ; 3) z 3 1 . n 0
z 1
2
2) 1 n
n 0
1
z 13
, z 1 ;
БН
1
z 2 n 3 , 0 z ; 2n !
1n1 ,0 n 1 n 0 2n 1! z 2
z 2 ;
ри й
3)
ТУ
z 32 n ,
4)
9.4 1)
z 3i 10 ;
1 z 2 2 n z 2 n 1 , 0 z ; , 0 z ; 5) 2n ! n 0 n ! n 0
n
4)
ит о
z 3 n 1 n n , 0 z ; 7) 1 z 1 , z 1 n 0 n 0 n ! 1 n 1 если 0 z 1 1 и 1 , если 1 z 1 ; n 0 z 1n1
по з
6)
1 1 n z 2 8) , 1 5 z 2 25 n 0 5n
Ре
n 1
n 0
5n
если
, если z 2 5 .
z 2 n 2 n 1 n 1 1 i
9.5 1)
n
1n z n ;
n 1 n z n 1 i n 0 2 zn z n 1 z n 1 2) ; n 0 n ! n 0 n ! n 0 n ! n 0 n ! n 0 z n 1
28
0 z2 5
и
z 1
2 n 1
n
3n 1
n 0
3) 3ln 2 1
n 1
, z 3/ 4;
5n z 1 n 8n
n 1
2 n 1
2
.
n!34 n 1
4n z n 1
2) 1
6
2n2 n 0 z 1 z 1 n0 z 1 2 5 8 3n 4 n z , z 27 ; 2n
n 0
z 27 n 2
9.6 1) 3
6
ТУ
n 0
2
n
, z 1 8 / 5 ;
БН
3)
4) 2 n 1 3 n 1 z 4 , z 4 2 ; n 0
n
z n 2 , 0 z . n 0 n ! 9.7 1) z 1 2 ;
ри й
5)
2) ряд расходится во всех точках, кроме z i ; 3) z 2 / 2 .
9.8 1)
zn
n 0
1
z
n 1
;
ит о
n0 2
n 1
1 1 1 n z 1 ; 1 1 n 3 n 0 z 1 12 n 0 4n n
3)
1 1 z i 4 n 0 2i n1 n
Ре
n
n2
i i 1 1 z i 1 z i 1 2 2 z i 4 n 0 2i n
по з
2)
24 k
n 0
z 4k 4
4)
n 1
1 1 z i ; 4 n 0 2i n n
n
n
.
29
Занятие 10 ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ Аудиторные задания
1
БН
ТУ
10.1 Указать все конечные особые точки заданных ниже функций и определить их характер: sin 4z sin z 2 1 1) ; 2) ; 3) z z 2 z i z3 z 2 2 z 8 1 e2 z 4) ; 5) ; 6) ; 2 3 2 sin z z 1 z z 1 z i
1 8) e z 3i ; 7) 2 sin ; z z 1 1 cos z 1 10) . 9) cos ; z2 z 2i 10.2 Определить тип особой точки z 0 для функций: cos z 3 1 e3 z 1 2 ; 3) z cos 3 ; ; 2) 1) 2 3 z z z cos z 1 sin z z 2 6 1
ит о
ри й
1
по з
2 5) sin . z 10.3 Определить порядок нуля следующих функций: cos z 1 z 2 / 2 z3 2 z2 ; 3) z e 1 ; 4) . 1) 1 cos z ; 2) e3 z 1 1 z ez 10.4 Для заданных ниже функций выяснить характер бесконечно удаленной особой точки (устранимую особую точку считать правильной): 3 z 5 4 z 2 z2 z 1) ; 2) ; 3) ; 2 2 z z 8 5 2z 1 3z 4 5) cos z . 4) 1 3z 3z 2 ; 2
Ре
4) ze z ;
30
Домашние задания 10.5 Указать все конечные особые точки заданных ниже функций и определить их характер:
7)
1 2
z 5z 6 z 1
;
z5 2 z 4 z3 z sin z . 10) z3
4
;
2) 5)
;
8)
1 3) z 3 sin 2 ; z
;
1
;
2
z 16 z z
;
ТУ
4)
z 1 z 2 z i 2
2 z e 3i
2 6) sin 3 ; z cos z 9) 3 ; z
БН
1)
z
sin 2 z
ит о
ри й
Ответы: 10.1 1) z 0 – устранимая особая точка; 2) z1 0 – устранимая особая точка; z2 / 2 – простой полюс; 3) z1 2 – простой полюс; z2 i – простой полюс; 4) z1 0 – простой полюс; z2 1 – полюс второго порядка; z3 i – полюс третьего порядка; 5) z1,2 1 – простые полюсы; 6) zk k , k z – простые полюсы;
Ре
по з
7) z1 0 – полюс второго порядка; z2 1 – существенно особая точка; 8) z 3i – существенно особая точка; 9) z 2i – существенно особая точка; 10) z 0 – устранимая особая точка. 10.2 1) z 0 – устранимая особая точка; 2) z 0 – полюс третьего порядка; 3) z 0 – существенно особая точка; 4) z 0 – существенно особая точка; 5) z 0 – существенно особая точка. 10.3 1) нуль второго порядка; 2) нуль третьего порядка; 3) нуль четвертого порядка; 4) нуль первого порядка. 10.4 1) правильная точка (устранимая особая точка); 2) полюс третьего порядка; 3) правильная точка (устранимая особая точка); 4) полюс второго порядка; 5) существенно особая точка. 10.5 1) z1 1 – простой полюс; z2 2 – полюс второго порядка; z3 i – полюс четвертого порядка; 2) z 3i – существенно осо31
бая точка; 3) z 0 – простой полюс; 4) z1 2 – простой полюс; z2 3 – простой полюс; 5) z1,2 4i – простые полюсы;
БН
ТУ
6) z 0 – существенно особая точка; 7) z1 0 – полюс третьего порядка; z2 1 – простой полюс; 8) z1 0 – устранимая особая точk ка; z2 – устранимая особая точка; z3 , k Z / 0 – простые 2 полюсы; 9) z 0 – полюс третьего порядка; 10) z 0 – устранимая особая точка. Занятие 11
ВЫЧЕТЫ. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ
ри й
Аудиторные задания
11.1 Найти вычеты указанных ниже функций в изолированных особых точках z2 1 1 z2 2z 1 z3 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; z 2 z 3 4 z2 z 2 z 1 z2 4 z2 sin 2 z
z 13
;
6)
cos3 z z3
;
7)
1 cos z 2z2
;
8)
2 z e i
;
по з
5)
ит о
1 2 1 10) z 1 cos 9) z 3 sin ; . z z 1 11.2 Найти вычеты функций относительно z 0 . 4 z z
Ре
cos z 2 4) z 2 e1/ z . 2) sin ; 3) 3 ; z z 11.3 Найти вычеты функций относительно z .
1) e
;
1 1) sin ; z
32
2) e
1 z z
;
2
3) z 5e1/ z ;
1 4) z 4 cos 4 . z
11.4 Используя теоремы о вычетах, вычислить следующие интегралы: z 2 dz e z dz zdz 1) ; 2) ; 3) ; 2 2 2 z 2 z 1 z 3 z 1 z z 9 z 2 2 z 1 z 2
z 1/2
7)
z 1
2
1 ; 5) sin dz ; 2 z z 1 z 1
2
3 1/ z z e dz ;
z 2i 1
6)
2
3 1/ z z e dz ;
z 2i 3
ТУ
dz
1 8) sin 2 dz . z z 1
БН
4)
11.5 При помощи вычетов вычислить определенные интегралы: 2 dx x 1 1) dx . ; 2) 2 0 2 cos x x 2 1
ри й
Домашние задания
ит о
11.6 Найти вычеты указанных ниже функций в изолированных особых точках: z 1 z2 z5 1) 2 ; 2) 3 ; 3) ; 2 z 9z z 4 z2 1
Ре
по з
2 5) z 2 cos 2 . 4) cos ; z z 1 11.7 Используя теоремы о вычетах, вычислить следующие интегралы: z 2 dz zdz e z dz 1) ; 2) ; 3) ; 2 2 2 z 4 z z 9 z 2 1 z 1 z 2 z 3 z 4 z 2
4)
z i 1 2
1 z
2
sin zdz ; 5)
z i 2
cos z
z 13
dz .
Ответы: 11.1 1) Res f 2 5; Res f 3 2 ;
33
1 1 ; Res f 2 ; Res f 0 0 ; 16 16 3) Res f 2i 2; Res f 2i 2 ; 4) Res f 1 0; Res f 0 1 ;
2) Res f 2
ТУ
1 5) Res f 1 sin 2 ; 6) Res f 0 3 / 2 ; 7) Res f 0 0 ; 2 8) Res f i 2 ; 9) Res f 0 0 ; 10) Res f 1 0 .
ит о
ри й
1 3) Res f ; 4) Res f 0 . 6 i 2i 11.4 1) 2i; 2) ; 3) ; 5 9 4) 0; 5) 2i; 6) i; 7) 0; 8) 0. 2 11.5 1) ; 2) . 2 3 11.6 1) Res f 2 8; Res f 2 8 ;
БН
1 11.2 1) Res f 0 4e ; 2) Res f 0 2 ; 3) Res f 0 ; 2 1 4) Res f 0 . 6 11.3 1) Res f 2 ; 2) Res f e ;
по з
1 2 1 2) Res f 0 ; Res f 3 ; Res f 3 ; 9 9 9 i i 3) Res f i ; Res f i ; 4) Res f 1 0 ; 4 4 5) Res f 0 .
Ре
11.7 1)
34
8i 1 1 ; 2) 0; 3) 2i sin 3 ; 4) 2i; 5) 3 . 3 9 27
Занятие 12 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ОРИГИНАЛ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ТУ
Аудиторные задания
БН
12.1 Проверить, являются ли оригиналами функции: 0, t 0, 0, t 0, 2) f (t ) 1) f (t ) 4, t 0; tg t , t 0;
ит о
ри й
t 0, 0, 0, t 0, 4) f (t ) 3) f (t ) 3i t , t 0; e sin 2 i t , t 0; 0, t 0, 0, t 0, 5) f (t ) 2 6) f (t ) t sin t , t 0. 2 , t 0; 12.2 Пользуясь определением преобразования Лапласа, найти изображения оригиналов: 1) f (t ) 1 ; 2) f (t ) et 0 ; 3) f (t ) t ; 4) f (t ) ch 4 3i t ;
5) f (t ) sin t ;
6) f (t ) cos t ;
по з
7) f (t ) et cos t ; 6) f (t ) e3t cos 2t ; 9) f (t ) t 2 . 12.3 Используя свойства линейности и подобия, найти изображение оригиналов: 2) f (t ) sin 2t 5cos5t ;
3) f (t ) cos 4 t sin 4 t ; 5) f (t ) 3sin t 2cos t ;
4) f (t ) sin 2 5t ; 6) f (t ) 3sin 4t 2cos5t .
Ре
1) f (t ) 2e it 5cos t 3 ;
Домашние задания
12.4 Проверить, являются ли следующие функции оригиналами: t 0, t 0, 0, 0, 2) f (t ) 1) f (t ) sin 3t , t 0; sin 2t , t 0;
35
БН
ТУ
t 0, 0, 3) f (t ) 2 t 9, t 0. 12.5 Используя определение преобразования Лапласа, найти изображение оригиналов: t 0, 0, 0, t 0, 1) f (t ) 7t 2) f (t ) e , t 0; sin t , t 0; 12.6 Пользуясь теоремой подобия, найти изображение оригина 1 . ла sh t , зная, что sh t 2 p 1
ит о
ри й
Ответы: 12.1 1) является; 2) не является; 3) является; 4) является; 5) не является; 6) является. 1 1 1 12.2 1) F p ; 2) F p ; 3) F p 2 ; p p p 1 p p 4) F p 2 ; 5) F p ; 6) F p 2 ; 2 1 p p 1 p 7 24i p p 3 2 7) F p ; 8) F p ; 9) F p 3 . 2 2 2 p p p 3 4
1 7 1 3 2 5p 3 2 2 ; 2) F p 2 ; 2 p 49 2 p 9 p i p 1 p
по з
12.3 1) F p
1 1 p 3 2p ; 4) F p 2 ; ; 5) F p 2 2 p p 100 p 4 p 1 12 2p 6) F p 2 2 . p 16 p 25 12.4 1) Да; 2) Да; 3) Нет. 1 12.5 1) F p ; 2) F p 2 . p7 p 2
p
2
Ре
3) F p
12.6
36
2
p 2
.
Занятие 13 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Аудиторные задания
0 t 2, t, 5) f (t ) ; t 2; sin 2t ,
4) f (t ) sin t 2 1 t ;
БН
3) f (t ) sin t 2 1 t 2 ;
ТУ
13.1 Пользуясь свойствами смещения и запаздывания, найти изображение оригиналов: 1) f (t ) e3t sin t ; 2) f (t ) sin 2t 5cos5t ;
6) f (t ) e 3t cos 2 t ;
8) f (t ) e t ;
7) f (t ) ch 5t sin 3t ; 11) f (t ) e 4t ch 5t ; 13) f (t ) cos 3t 1 ;
ри й
10) f (t ) e5t cos 7t ;
9) f (t ) e3t sin 4t ;
12) f (t ) e5t sh 2t ;
14) f (t ) sin 5t 4 ;
по з
ит о
15) f (t ) e 3t cos 6t 5 . 13.2 Найти оригиналы по их изображениям: 2 p 1 p 1 1) F ( p) 2 ; 2) F ( p ) e p 2 2 ; p 5 p 10 p 9 p 5 1 3p 2 p 3 3) F ( p ) 2 ; 4) F ( p ) 2 ; 2 p 4 p 1 3 2 p 6 p 1
Ре
5) F ( p )
7) F ( p) 9) F ( p )
e 2 p
2
p 4p 3 p3
p 2 2 p 10 20 2
p 4
6) F ( p )
;
8) F ( p )
;
20 p p2 9
7 2
p 10 p 41 p
;
p 13 p 2 2
;
.
37
Домашние задания
ри й
БН
ТУ
13.3 Пользуясь теоремами подобия и запаздывания, найти изображение оригинала: 1) f t cos(t ), t ; 2) f (t ) e 4t sin t 7 . 2 2 13.4 Применяя теорему запаздывания, найти оригинал для функции: 3 4p 5 e 2 p e 2 p 1) ; 2) ; 3) 2 ; 4) . 2 2 3 6 p 3p 1 p ( p 1) p 9p 13.5 Используя свойства преобразования Лапласа и таблицу изображений основных функций, найти изображения заданных функций: 1 1) t 2 et ; 2) sin 2 2t ; 3) sin 3t t cos t . 2 13.6 Найти оригинал, если: p2 3 p 1) F ( p ) 2 ; 2) F ( p ) 2 . p 4 p 20 4 p 8 p 51
ит о
Ответы:
13.1 1) F p
p 32 2
3) F p e 2 p
Ре
5) F p
;
1 p 1 p ; 2 2 2 p 2 p 2 2
по з
2) F p
1
p
2
1
2
p 1
e2 p
; 4) F p cos 2 1 p
2
2e 2 p
1 1 p3 ; 6) F p 2 p 3 p 32 4
38
1 2
p 1
sin 2
1 1 e 2 p 2 ; p p 1
p 2
p 1
;
2
34
100 p 2
4
p 3
11) F p
16
p 4
2
25
;
p
p p2 9
p 32 36 5t 2
p 3 5 e 6 .
p5
p 5 2 49 2
p 6 2 4 5
;
;
e
p 4 5 ;
p 2 25
5t
15 8 2 15 t e sin t; 2 2 15 1 2) f t ch 3 t 1 1 t 1 sin 5t 1 t ; 5 1 1 t 3) f t sh 2t 3et cos 3 t e sin 3 t ; 2 3 cos
ит о
13.2 1) f t 2e
12) F p 14) F p
e3 ;
p3
1 ; p
10) F p
;
p4
13) F p 15) F p
2
; 8) F p
ТУ
p
2
БН
9) F p
3 p 2 34
ри й
7) F p
3t
11 3 11 sh t t; ch 2 2 11
по з
1 4) f t e 2 2
1 t 2 3t 6 e e ; 6) f t 7e 5t sin 4t ; 2 2 7) f t e t cos3t sin 3t ; 3 2 3t 2t 2 t 2t 1 2t 8) f t e e ; 54 27 9) f t 10sin 2t 20cos3t .
Ре
5) f t
39
13.3 1) F p
pe
p 2
2
p 1
; 2) F p
1 2
p 1
e 4 p .
1 1 cos3t ; t 2 et 2 ; 3) f t 2 3 3 1 1 t t 2 5 3 5 5 4 sin t e t e 4 . 4) f t cos 3 48 2 48 48 1 p 2 1 13.5 1) F p 3 ; 2) F p ; 2 2 p 2 p 16 2 p 1 p 3) F p
3 p2 9
1 p2
p2 1
2
.
БН
ТУ
13.4 1) f t t 2 ; 2) f t
2 55 1 55 e t sh t e t ch t. 2 4 2 55
ит о
2) f t
ри й
13.6 1) f t e 2t cos 4t ;
Занятие 14
по з
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОРИГИНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ Аудиторные задания
Ре
14.1 Найти изображение дифференциальных выражений: 1) y t 4 y t 3 y t , если y 0 1, y 0 2 ;
2) y t 6 y t y t 2 y t 3 , если y 0 3, y 0 7, y 0 1 ;
3) y t 3 y t 2 y t 4 y t 1 , если y 0 1, y 0 2, y 0 3 ; 40
4) y t y t 6 y t , если y 0 1, y 0 0 ; 5) y t 2 y t y t , если y 0 2, y 0 2 . 14.2 Пользуясь свойством дифференцирования изображения, найти изображения оригиналов: 1) f (t ) t cos t ; 2) f (t ) t 2 sh 3t ; 3) f (t ) 2t 3t 4 ; 4) f (t ) t 2 cos3t ;
6) f (t ) te2t ;
ТУ
5) f (t ) t sin 5t ;
t
1) e 3t ch 2t e 4t sin 2t dt ; 0 t
t
2) t 7 5t 4 2t 2 3 e2t dt ; 0 t
4) te2t dt .
ри й
3) sin t 3t 2 sin 2t dt ; 0
БН
8) f (t ) t cos5t . 7) f (t ) t 3e4t ; 14.3 Пользуясь свойством интегрирования оригинала, найти изображения оригиналов:
0
14.4 Найти оригиналы следующих изображений: 1 1 ; 2) F ( p ) ; 1) F ( p ) 2 2 p p 4 p p2 4
ит о
1
3) F ( p )
1
;
4) F ( p )
; 6) F ( p)
; 8) F ( p )
p p2 1
по з
5) F ( p )
p 3
5
7) F ( p )
2 2
p p 5
2p 5
p 2 6
;
p2
p 1 2
3 2
;
2
p 4p
;
9) F ( p )
3p 2
p 9p
.
Ре
14.5 Используя теорему интегрирования изображения, найти изображения функций: 1 cos 2t 3t et 1 e ; 2) f (t ) ; 1) f (t ) t t e t sin t sin t sin 3t ; 5) f (t ) . 3) f (t ) ; 4) f (t ) t t t
41
Домашние задания
ТУ
14.6 Найти изображение дифференциального выражения при заданных начальных условиях: x(t ) 6 x(t ) x(t ) 2 x(t ); x(0) x(0) 0; x(0) 1 . 14.7 Пользуясь теоремой смещения и теоремой дифференцирования изображения, найти изображение оригинала t sin t . 14.8 Пользуясь теоремой об интегрировании оригинала, найти t
изображение функции cos d .
БН
0
ри й
14.9 Используя теорему интегрирования изображения, найти изображение функции: sh t sin 2t ; 2) . 1) t t Ответы: 14.1 1) F p p 2 4 p 3 Y p p 2 ;
p 2Y p 3 p
2
11 p 40
ит о
2) F p p3 6 p 2
3) F p p3 3 p 2 2 p 4 Y p p 2 5 p 11
5) F p Y p p
3 ; p
1 ; p
по з
4) F p Y p p 2 p 6 1 p ;
Ре
14.2 1) F p
3) F p 2
42
2
p 2 2
p
1 p2
2
3
2 p 1 2 p 6 .
2 4! p5
2
;
2) F p
18 p 2 3
;
p 9 2 p p 27 ; 4) F p p 9 3
2
2
;
2
3
7) F p
10 p
p 2 25 6
p 4 4
14.3 1) F p
2
6) F p
;
8) F p
;
1
p 2 2
;
p 2 25
p
2
1 p3 2 ; p p 32 4 p 4 2 4
25
2
.
ТУ
5) F p
1 7! 5! 4 3 ; p p 2 8 p 2 5 p 2 3 p 2 1 1 6 4! . 3 ; 4) F p 3) F p 2 5 p p 1 p p p 2 14.4 1) f t
1 1 cos 2t ; 4
t4 ; 4!
ит о
3) f t e3t
ри й
БН
2) F p
1 1 2) f t t sin 2t ; 4 2 4 5 t 3t 4) f t e2t ; 12 40
5) f t 1 cos t ;
6) f t et 1 tet et ;
1 cos 2t ; 2 2 9) f t sin 3t .
8) f t
по з
7) f t
3 3 4t e ; 4 4
p 2 6 p 13 p ; ; 2) F p ln p3 p 1 p ; 4) F p arctg p ; 3) F p arctg 2 p 5) F p arctg . 2 3 3 14.6 F p p 6 p 2 p 2 X p 1 .
Ре
14.5 1) F p ln
43
14.7 F p 14.8 F p
2p
p2 1 1 2
p 1
2
.
.
БН
ТУ
1 p 1 14.9 1) F p ln ; 2 p 1 p 2) F p arctg . 2 2 Занятие 15
ри й
СВЕРТКА ФУНКЦИЙ. ТЕОРЕМА БОРЕЛЯ. ФОРМУЛЫ ДЮАМЕЛЯ Аудиторные задания
2) f1 (t ) et , f 2 (t ) et ; 4) f1 (t ) ch t , f 2 (t ) sin t ;
5) f1 (t ) t , f 2 (t ) cos t ;
6) f1 (t ) 1 t , f 2 (t ) et ;
ит о
15.1 Найти свертку функций: 1) f1 (t ) t , f 2 (t ) et ; 3) f1 (t ) cos t , f 2 (t ) cos 2t ;
Ре
по з
7) f1 (t ) e5t , f 2 (t ) et ; 8) f1 (t ) 2t , f 2 (t ) e3t . 15.2 Найти свертку и ее изображение: 1) f1 (t ) cos 2t , f 2 (t ) sin 2t ; 2) f1 (t ) e5t , f 2 (t ) sin 4t . 15.3 Найти изображение свертки функций с помощью теоремы Бореля: 1) f1 (t ) sh 2t , f 2 (t ) ch 5t ; 2) f1 (t ) t n , f 2 (t ) e3t cos5t . 15.4 Пользуясь теоремой Бореля, найти оригиналы изображений: p p2 1) F ( p) ; 2) F p 4 ; 2 2 2 1 p p
44
3) F ( p )
p
p 1 p 2
2
4
4) F p
;
p2 p 4 13 p 2 36
.
15.5 Пользуясь формулой Дюамеля, найти оригинал изображения: 1 p3 ; 2) F ( p ) ; 1) F p 4 2 3 p 8 p 12 p p2 1
p3e 2 p
p
2
9
2
.
БН
3) F ( p )
ТУ
15.6 Найти оригиналы изображений с помощью вычетов: 7 2p p2 2 ; 2) F p 1) F ( p) 4 ; p 4 p 2 p 12
p 2 21 p 40
ри й
3) F p
p 1 p 2 5 p 6
;
4) F p
5 p 2 60 p 146
p
2
4 p 5
2
.
ит о
15.7 С помощью разложения дробей на простейшие найти оригиналы изображений: 5 p 4 e2 p 3 p2 3 p ; F p 1) F p ; 2) p4 1 p 12 p 2 2 p 5
3p 3p 2
p 2 p2 4 p 8
по з
3) F p
2
; 4) F p
p
4 p
p 13 p 3
.
15.8 Найти свертку функций:
1) f1 (t ) e5t , f 2 (t ) t 3 ; 4t
2) f1 (t ) t , f 2 (t ) cos5t ;
2
Ре
3) f1 (t ) e , f 2 (t ) t . Домашние задания
15.9 Используя теорему Бореля об изображении свертки, найти изображение функции:
45
t
1) et sin(t )d ;
2) f1 (t ) 4t , f 2 (t ) e7t .
0
ТУ
15.10 Найти оригиналы для заданных функций: 1 1 4 p ; 3) 2 1) ; 2) 2 ; ( p 1)( p 3) p p 1 p 9 p2 1 2p 3 ; 5) 4 ; 6) 3 . 4) 3 2 p 2p 3 p 3p p 4 p2 3 p Ответы:
БН
et et 1 1 ; 3) t cos t sin t ; 2 a 1 1 1 4) ch t cos t ; 5) 1 cost ; 6) t; 7) e5t et ; 2 4 4 2t 2 3t 2 8) e . 3 9 9 2p 15.2 1) F p ; 2 p 4
ри й
15.1 1) et t 1 ; 2)
ит о
2) F p
4
p 5 p 2 16 2
2
p 2 4 p 2 25
по з
15.3 1) F p
.
; 2) F p
n! p 3
p n1
p 3 25 2
.
1 1 1 1) f t t cos t sin t ; 2) f t ch t cos t ; 2 2 2 1 1 3) f t cos t cos 2t ; 4) f t 3sin 3t 2sin 2t . 3 5 15.5 1) f t 1 / 2 3ch 6t ch 2t ; 2) f t t 2 / 2 cos t 1 ;
Ре
15.4
3) f t cos3 t 2 1,5 t 2 sin 3 t 2 . 15.6 1) f t
46
11 2t 5 11 t e t e ; 2) f t ch t sin t ; 9 9 3
3) f t 8e3t 5e t 2e2t ; 4) f t 3sin 2t t e5t . 1 5 3 15.7 1) f t et e t cos t sin t ; 4 4 2 1 t 2 t 2 2) f t e 18 t 2 1 e cos2 t 2 10sin2 t 2 1 t 2 16 3) f t e 2t e 2t 2cos 2t 0,5sin 2t ;
ТУ
1 t 4 2 3 t 4 1 2 t 4 2 t 4 e 1 t 4 . e 8 3 6 6 5t 6 1 15.8 1) e 5t t 3 t 2 ; t e 25 125 625 625 5
БН
4) f t
1 1 t 2 t 1 e 4t cos5t ; 3) . 4 8 32 32 25 25 1 4 17 15.9 1) F p . ; 2) F p 2 2 2 p p7 p p 2p 2
ри й
2)
t
ит о
1 2 2 3 15.10 1) f t e3t et ; 2) f t e sin t; 4 2 3 4 2 2 1 sin 3t ; 3) f t sin 3t cos3t ; 4) f t cos 3t 3 3 3 3
1 1 6) f t 1 e t e 3t . 2 2
Ре
по з
1 3 5) f t sh t sin 3t ; 4 3
47
Занятие 16
Аудиторные задания
ТУ
ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ри й
БН
16.1 Найти решения дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях: 1 1) 4 x 12 x 9 x 144e3t /2 , x(0) 1, x(0) ; 2 2 2) x 4 x sin t , x(0) 0, x(0) 0 ; 3) x 9 x 2 t , x(0) 0, x(0) 1 ; 4) x 4 x 2cos t , x(0) 0, x(0) 4 ;
5) x x et , x(0) 1, x(0) 0 ;
ит о
6) x IV 2 x x cos t , x(0) 0, x(0) 0, x 0 0, x 0 0 ; 7) y 2 y 3 y e3t , y (0) 0, y(0) 0 ;
по з
8) y y 2 y et , y (0) 0, y (0) 1 ; 9) y y t , y (0) 0, y (0) 0, y 0 1 .
Ре
16.2 Найти решения систем дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях: x 3x 5 y 0, 1) x(0) 2, y (0) 5 ; y 2 x 8 y 0,
x x y 1,5t 2 , 2) x(0) 0, y (0) 0 ; y 4 x 2 y 1 4t , x 2 x 4 y cos t , x(0) 0, y (0) 0 ; 3) y x 2 y sin t ,
48
16.3 Решить интегральные уравнения: t 1 1) 1 t y d et sin t ; 2 0 t
t 2) y t 4 y y e d 0, y 0 0, y 0 6 ;
0
t
0
ТУ
3 t 3) y t 2 y t y e 3et d 0, y 0 1 ;
t
0
t
5) y sin t d sin 2 t ; 0
t
6) y ch t d t n ; 0
t 8 7) y t sin 2t y sh 3 t d ; 8) y t ydt 1 . 30 0 16.4 Найти решения уравнений в частных производных: x x 2 y , x(0) 0, y (0) 5 ; 4) y 2 x y 1,
ри й
t
БН
4) y t y y sin t d 2cos t , y 0 0, y 0 0 ;
по з
ит о
x 2 y , 5) x(0) 2, y (0) 2 ; y 2 x, x 3 x 4 y , 6) x(0) 1, y (0) 1 . y 4 x 3 y, t 1 1) 1 t y d et sin t ; 2 0 t
Ре
t 2) y t 4 y y e d 0, y 0 0, y 0 6 ;
0
t
3 t 3) y t 2 y t y e 3et d 0, y 0 1 ;
0
t
4) y t y y sin t d 2cos t , y 0 0, y 0 0 ; 0
49
t
5) y sin t d sin 2 t ; 0
t
6) y ch t d t n ; 0
t 8 7) y t sin 2t y sh 3 t d ; 8) y t ydt 1 . 30 0 u 3 1) x t x u , u ( x,0) x x, 0 x , 0 t ; t 2 u 2u u x,0 2) 2 a 2 2 , 0, u 0, t E0 sin t , u l , t 0 ; t t x u u 3) t x u , u ( x,0) 1 x, 0 x , 0 t ; t x 2u u 4) 2 u t , u x,0 x , x t x x 2 y 0, 1) x(0) y (0) 1 ; y x 4 y 0; x 4 y 2 x 4t 1, 2) x(0) y (0) 0 ; 3 2 y x y 2 t ;
ит о
ри й
БН
ТУ
t
по з
x 7 x y 5, 3) x(0) y (0) 0 ; y 2 x 5 y 37t ; x 4 y z , x(0) 5, 4) y z , y (0) 0, z 4 y; z (0) 4.
Ре
t t 1 2 1) y t d t 3 ; 2) y cos t d 1 cos t . 3 0 0 1) x x cos t sin t , x(0) 0 ; 2) x 5 x 6 x 12; x(0) 2, x(0) 0 ; 3) x 4 x 3 x 1; x(0) 3, x(0) 2 ;
4) x 3x e 3t ; x(0) 0, x(0) 1 .
50
5)
2u 2
a2
t u x,0
2u x
2
, u x,0 0,
u x,0 t
0,
Домашние задания
ТУ
0, 0 x , 0 t ; t u 0, t 1, u l , t 0, 0 x , 0 t .
БН
16.5 Найти решения дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях: x x 2 y 0, x(0) y (0) 1 ; 1) y x 4 y 0;
ит о
ри й
x 4 y 2 x 4t 1, 2) x(0) y (0) 0 ; 3 2 y x y 2 t ; x 7 x y 5, 3) x(0) y (0) 0 ; y 2 x 5 y 37t ; x 4 y z , x(0) 5, 4) y z , y (0) 0, z 4 y; z (0) 4.
Ре
по з
16.6 Найти общее решение дифференциального уравнения x 9 x cos3t . 16.7 Найти решения систем дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях: x x 2 y 0, 1) x(0) y (0) 1 ; y x 4 y 0;
x 4 y 2 x 4t 1, 2) x(0) y (0) 0 ; 3 2 y x y 2 t ; x 7 x y 5, x(0) y (0) 0 ; 3) y 2 x 5 y 37t ;
51
16.8 Решить интегральные уравнения: x x 2 y 0, x(0) y (0) 1 ; 1) y x 4 y 0;
БН
x 4 y 2 x 4t 1, 2) x(0) y (0) 0 ; 3 2 y x y 2 t ; x 7 x y 5, 3) x(0) y (0) 0 ; y 2 x 5 y 37t ;
ТУ
x 4 y z , x(0) 5, y (0) 0, 4) y z , z 4 y; z (0) 4.
ри й
x 4 y z , x(0) 5, 4) y z , y (0) 0, z 4 y; z (0) 4.
по з
ит о
16.9 Найти решения уравнений: 1 2u p 2 x 1) 2 2 u pA 2 sin , u 0, t u l , t 0 ; l x a a 2 u u 2) a 2 2 , u x,0 0, u 0, t u0 , t 0 ; t x 2 u 1 2u nx u x,0 3) 2 2 2 , u x,0 A cos 0, , t x a t l u 0, t u l , t 0, 0 x l . x x
Ре
Ответы:
1 1 cos 2t t sin 2t ; 8 / 27 ; 4) x t 2 0,5t sin 2t ;
16.1 1) x t e 3t /2 18t 2 2t 1 ; 2) x t
3) x t 3t 6 7e3t e 3t
5) x t 0,5 tet sh t ; 52
6) x t t sin t t cos t / 8 ;
ит о
ри й
БН
ТУ
1 1 1 7) y t te3t e3t e t ; 8) y t sh t ; 4 16 16 t2 9) y t 2t et e t . 2 x t 5e 2t 3e 7t , 16.2 1) 7 t 2t y t 6e e ; x t 0,5t 2 , x t 1 10t 3sin t 2cos t , 3) 2) 2 y t 4 7t 2sin t 2cos t ; y t t t ; 2 8 3t 5 2t 1 2t t x t 3 2e 3 e , x t 2 e 2 e , 4) 5) 1 8 t 3 t y t 5 e 2t 1 e2t ; y t 2e e ; 3 3 2 2 6 5t 1 5t x t 5 e 5 e , 6) y t 3 e5t 2 e5t . 5 5 1 16.3 1) y t e t sin t ; 2) y t 3sh 2t ; 2
3) y t 4e t 4tet 3e2t ; 4) y t t sin t ;
по з
5) y t 1 3cos 2t / 2 ;
6) y t nt n 1 t n 1 / n 1 , n 0 ;
7) y t 13sin 2t 16sh t / 5 ; 8) y t et .
Ре
16.4 1) u x, t x3 x tx 2 ; 2) sin k x / e sin ak t / e sin e x / a sin t 2ae u x, t E0 ; sin e / a e2 2 a 2 k 2 2 k 1
3) u x, t t e t 1 2t 2 x x ; 4) u x, t t x cos t sin t 0,5t sin t ; 53
x 2 k x k at sin cos /k. e k 1 e e 1 1 16.5 1) x t sin t ; 2) x t 2 ; 3) x t 3e t e 3t ; 3 3 2 3t t 3t 4) x t e 1 e . 9 3 t 16.6 x t C1 cos3t C2 sin 3t sin 3t . 6 x t t 2 t, x t 4e 2t 3e t , 16.7 1) ; 2) 1 2 ; 3t 2t y t t . y t 3e 2e . 2
5) u x, t 1
БН
ТУ
x t 1 3e 2t e 2t , x t 1 t e cos t , 3) ; 4) y t e2t e2t , 6t 6t y t 1 7t e cos t e sin t. 2t 2t z t 2e 2e . 16.8 1) y t 1 ; 2) y t t .
ит о
ри й
6t
16.9 1) u x, t A cos
at x sin ; e e
Ре
по з
2 x /2 a t 2) u x, t U 0 1 e d ; 0 nat nx cos . 3) u x, t A cos e e
54
Занятие 17 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Аудиторные задания
x 2
2 xy
17.2 Найдите
u x,0 cos x;
2u 2u 2u 2u x 2 2 0 ; 3) 2 2 x 2 0 . xy y x y решение
БН
2u
2u
уравнения
u x,0 0 . t
t 2
ри й
2) y 2
ТУ
17.1 Определите тип дифференциального уравнения: 2u 2u 2u 1 y u y 2 y 0; 1) x 2 2 xy x y 2 x y x y
17.3 Найдите решение уравнения
2u t 2
a2
2u x 2
2u x 2
,
если
, если:
sin x u 1 ; x,0 ; x t 1 x2 u 2) u x,0 cos 2 x; x,0 sin x . t 17.4 Найдите отклонение u x, t закрепленной на концах x 0 и x l однородной струны от положения равновесия, если в начальный момент струна имела форму параболы с вершиной в l точке x и отклонением от положения равновесия h , а началь2 ные скорости отсутствуют. 17.5 Струна закреплена на концах x 0 и x 2 . В начальный
Ре
по з
ит о
1) u x,0
момент имеет форму параболы u 2 x x 2 . Определить форму струны для любого момента времени, если начальные скорости точек струны отсутствуют.
55
17.6 Струна, закрепленная на концах x 0 и x l , в начальный
момент имеет форму u h x 4 2 x3 x . Найти форму струны для
БН
ТУ
любого момента времени t, если начальные скорости отсутствуют. u 2u 17.7 Найти решение уравнения теплопроводности , есt x 2 l x при 0 x 2 и u 0, t u l , t 0 . ли u x,0 l x при l x l 2 17.8 Решить задачу Дирихле в круге 0 1 , если u , 2 , 1 .
2u
2u
a2
at при начальных l t x l и граничных условиях: u x,0 ut x,0 u 0, t u l , t 0 , где 0 x l и t 0. 2
a2
2
2
sin
ри й
17.9 Решить уравнение
ит о
Домашние задания
по з
17.10 Определите тип дифференциального уравнения: 2u 2u u 2u 2u 2x 0; 2) 2 x 2 0 . 1) y 2 2 x 2 xy x x x y
Ре
17.11 Найти закон свободных колебаний закрепленной на конце x 0 однородной струны, если правый конец ее при x l перемещается так, что касательная к струне остается постоянно горизонтальной. В начальный момент струна находилась в положении равx новесия и ей была придана начальная скорость ut x,0 sin . l 17.12 Определить температуру тонкого однородного стержня длины l, изолированного от внешнего пространства, начальная темcx l x . пература которого равна f x l2 17.13 Решить задачу Дирихле в круге 0 1 , если u 1, .
56
Ответы: 17.1 1) параболический
тип
в
области 2
2
x y 0; x y 0 ;
2
ри й
БН
ТУ
2) параболический тип в области x y R ; 3) гиперболический тип. cos x t cos x t cos x cos t . 17.2 u x, t 2 17.3 1) 1 sin x at sin x at arctg x at arctg x at u x, t ; 2 x at x at a 1 2) u x, t cos 2 x cos 2at sin x sin at . a 4h 2 xl x t 2 . 17.4 u x, t cr 2n 1 at sin 2n 1 x 32 1 cos 17.5 u x, t 3 . 2 2 n0 2n 13
17.6 u x, t h x 4 6 x 2 a 2t 2 x 4t 4 2 x 4 3 xa 2t 2 x .
по з
ит о
x 2 l x 2 l 1 l /2 4t . 4 t 17.7 u x, t l d l l d 2t 0 l /2 4 1 4 17.8 u x, t 2 4 2 sin n n . 3 n cos n n
Ре
17.9 u x, t
2 at at at x sin cos sin 3 l l l l 1 1 3 n 1 n n 1 2n 12
2n 1 at sin 2n 1 x at 2n 1 sin sin l l l
57
17.10 1) гиперболического типа; 2) эллиптического типа при x 0 , гиперболического типа при x 0 . 4 nx an 17.11 u x, t sin sin t. n 1 l l l2
cx l x l
2
sin n n . n 1 n
. 17.13 u , 2
ТУ
17.12 u x, t l
Ре
по з
ит о
ри й
БН
2 a 2t
58
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ. РЯДЫ
ит о
, .
ри й
БН
ТУ
В задачах 1, 2 исследовать сходимость числового ряда. В задаче 3 исследовать сходимость знакочередующегося ряда. В случае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимость. В задачах 4, 5 определить область сходимости степенных рядов. В задаче 6 найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд функции f ( x) по степеням x x0 . В задаче 7 разложить функцию f ( x) в ряд по степеням x, используя разложения основных элементарных функций. В задаче 8 вычислить с помощью ряда определенный интеграл с точностью до 0,001. В задаче 9 найти первые k членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. В задаче 10 разложить в ряд Фурье функцию f ( x) на интервале
Вариант 1
n
по з xn ; n 1 n n
4)
Ре
(1) n 1 ; n 1 3n 1
12 2) ; n 1 n 5 n 1 5) ( x 1)n ; n n 1 n 3
n 1 ; n 1 n 2
1)
2
2
7) f ( x) sin x cos x ; 9) y x y 2 , y (1) 1, k 3 ;
1
8) e
3)
1 6) f ( x) , x0 1 ; x 2 2 dx ;
x
0
x, x , 10) f ( x) . 0, 0 x .
59
Вариант 2
n 1 n
2
1 2
n 1
n
0
dx
1
3
8 x
2n 1
n 1 (
( x 3) n
5) 8)
2)
;
2) n
(1) n 1 ; n 1 n n
3)
;
; 6) f ( x) e x , x0 2 ;
2 x 1, x , 10) f ( x) . 0, 0 x .
ри й
Вариант 3
1 ; n 2 n ln n
n 1 x ; n 1 n 3
5)
n 1
ln(1 x) ; x
по з
Ре
3n 1
n 1
n 3n
3n 1
n 1
2n
4)
60
n
2
;
0,2
8)
1 9) y x , y (0) 1, k 5 ; y
1)
n 1
( x 3) n
ит о
7) f ( x)
3) (1) n 1
2) n
n 1 ; n 1 3n 2
1)
4)
7) f ( x)
; 9) y 2 x y 3 , y (1) 1, k 3 ;
3
n
x 4) n ; n 1 2
x 1 x4
;
ТУ
n 1
БН
1)
2n 1 ; n(n 1)
6) f ( x) cos x, x0
; 2
xe x dx ;
0
1 x , x , 10) f ( x) . 2 0 x . 0,
Вариант 4 2
;
4 n2 2) ; 2 n 1 1 n
xn ;
5) n n ( x 3) n ;
n 1
n
n 2n 1 3) 1 ; 3n 1 n 1
6) f x x, x 0 4 ;
0,2
7) f x x ch x ; 8)
x cos x dx ;
0
9) y 2 x 0,1 y 2 , y 0 1, k 3 ;
Вариант 5
2n 1
n 1
4)
n
;
4n (n 1) n x n 2
; 5) (2 x) n ; n 1 0,5
( 1) n ; n 1 2n 1
3)
6) f ( x) cos 2 x, x0
; 4
ри й
n 1
n
n2 2) ; n 1 2n 1
БН
1)
ТУ
2 x 3, x 0, 10) f x . 0 , 0 x .
7) f ( x) 3 8 x ; 8) 1 x 2 dx ; 0
ит о
x 2, x , 9) y x 2 xy, y (0) 0,1, k 3 ; 10) f ( x) . 0, 0 x . Вариант 6
n 1 ; n 1 10n 1
n
2 n x ; n 1 n
4)
n3 ; n 1 (2n)!
2)
по з
1)
5)
n 1 0,5
7) f ( x) cos 2 x ; 8)
( x 3) n dx
2
n
;
3) (1) n n2
ln ; n
6) f ( x) e3 x , x0 1 ;
Ре
; 1 x5 9) y 2 yy, y (0) 0, y(0) 1, k 3 ; 0
0, x , 10) f ( x) . 4 x 3, 0 x .
61
Вариант 7 n3
n 1 n
3
2
x
4)
n 1 n 3
7) f ( x)
n
n 1 3
n n
5n
2)
;
3) (1) n
;
(2n 1)
n 1
n
( x 2) ; ( n 1) ln(n 1) n 1
5)
; x
4 x
2
6) f ( x) ctg x, x0
0,1 x
e 1 dx . x
8)
;
0
n ; n 10 ; 4
ТУ
1)
Вариант 8
3n 2 ; n 1 5n 1 xn
n 1 n
n
1
2)
5)
;
n 1
3)
;
6) f ( x) sh x, x0 1 ;
2
n 2 n (ln n)
( x 4) n
n2 1
;
ит о
( 1)n 1 ; n 1 n 5
ри й
1)
4)
БН
5 x, x , 9) y 2 x cos y, y (0) 0, k 5 ; 10) f ( x) . 0, 0 x .
7) f ( x)
3x 5
x2 4 x 3 x
0,5
8) x 2 cos3 xdx ;
;
0
2
по з
9) y ye xy , y (0) y (0) y(0) 1, k 6 ;
Ре
0, x , 10) f ( x) . 3 x 1, 0 x .
1)
n 1 n
2
1 2n 5 n
;
n x ; n 1 n 1 2
4)
62
Вариант 9 n
n 1 2) ; n 1 3n
5)
n 1
n( x 5) n 3
n 1
3) (1) n 1 n 1
;
n ; 6n 4
6) f ( x) tg x, x0
;
7) f ( x)
1 9 x2
0,5
8) ln 1 x 2 ;
;
0
3 2 x, x , . 9) y 3x y 2 , y (0) 2, k 3 ; 10) f ( x) 0, 0 x .
n 1
n
4)
n 1
(1) n 1 ; n n n 1
1 ; n 1 (2n 1)!
; 2)
3)
БН
1) n 2 sin
n
xn ; n
ТУ
Вариант 10
x2 3 2 5) n ; 6) f ( x) 3 x 6 x 3, x0 1 ; 2 n 1 0,4
x
xe 4 dx ; 9) y x 2 2 y, y (0) 1, k 4 .
ри й
7) f ( x) ln 2 x ; 8)
0
ит о
x , 0, . 10) f ( x) x , 0 . x 2
Вариант 11
2
n3 2) ; n 1 n !
по з
1 n 1) ; 2 n 1 1 n
4) (2n 1) 2 x n ; n 1
Ре
7) f ( x) cos( x ) ;
9) y
5)
3)
n 1
( x 3)
n 1 (2n 1) 0,5
8)
0
n
n 1
;
1 cos x x2
1n ; 3
n
6) f ( x) x x , x0 3 ; dx ;
y 1 , y (1) 1, y (1) 0, k 4 ; y x
5 x 1, x , 10) f ( x) . 0, 0 x . 63
Вариант 12
1)
1 n
n 1 1 n n
2
;
2)
n 1
x ; n 1 2n 1
4)
5)
n ; n!
3) (1)n 1 n 1
( x 4)
n
n
6) f ( x)
;
БН
9) y x 2 0, 2 y 2 , y (0) 0, k 3 ;
1 , x0 2 ; x 1
ТУ
n 3 1 cos x dx ; 7) f ( x) x sin 2 x ; 8) x 0 n 1 0,8
n 1 ; (n 1) n
0, x , 10) f ( x) . 1 4 x, 0 x .
1 1) ; n 1 n( n 1) xn
n
2n 1 2 2) ; n 1 3n 1
n 1 n 2
5)
x6 ; 1 x
n 1
3n x 1 n2 1
n 1
3
n ; n 1
;
6) f ( x) ch x, x0 1 ;
1
8) sin x 2 dx ;
по з
7) f ( x)
n
;
3) (1) n
n
ит о
4)
ри й
Вариант 13
0
2
9) y y xy, y (0) 4, y(0) 2, k 5 ;
Ре
3x 2, x , 10) f ( x) . 0, 0 x .
Вариант 14
1 ; 2) n tg n 1 ; (3 2)(3 1) n n 2 n 1 n 1
1)
2n x n ; n 1 2n 1
4) 64
n 1
n 1
n2
3) (1) n1 n
x2 5) 3n 1 ; 4 n 1
;
1 , x0 2 ; x3 0,1 ln(1 x) 8) dx ; x 0
7) f ( x) ln( x 1), x0 2 ;
6) f ( x)
9) y xy y 2 , y (0) 0,1, k 3 ;
ТУ
0, x , . 10) f ( x) 4 2 x, 0 x . Вариант 15
1
n 1 (2n 1)
n 1
6) f ( x)
2
1
n 1 (5n 8) ln
1 ; (2n 1)!
4)
5n x n
n 1 6
n3
n
3
(5n 8)
1 , x0 3 ; 2x 5
7) f ( x) xe x ;
ит о
9) y 0, 2 x y 2 , y (0) 1, k 3 ;
;
( x 3)n
n 1
n 5n
5)
;
ри й
3) (1)n
2)
;
БН
1)
;
1
8) cos 3 xdx ; 0
x , x , 10) f ( x) . 0 x . 0,
Вариант 16
n 1
по з 1)
n 1 n
2
2n
x 1n
n 1
n
Ре
4)
;
;
x 7) f ( x) sh ; 2 2
2)
n 1 2
3) ( 1) n 1
; n 1
x 1n
n 1 1
n
5)
n
n 1
;
1 2
n 1
;
6) f ( x) sin 2 x, x0
;
8) x sin xdx ; 0
2
9) y x y , y ( 1) 2, y (1) 0,5, k 4 ;
0, x , 10) f ( x) . 6 x 5, 0 x . 65
Вариант 17
2)
xn ; n
5)
4)
n 1
n 1
n 1 2
n
2
(n 1)
( x 1) n
n5
n 1
2 0,5 2 x
7) f ( x) x 2 e2 x ; 8)
e
n 1
nn
dx ;
x
0
n!
6) f ( x) sin
;
n
3) (1) n 1
;
9) y x 2 xy e x , y (0) 0, k 3 ; 7 3 x, x , 10) f ( x) . 0, 0 x .
;
x , x0 2 ;
ТУ
1 ; 3 n 1 n n n
БН
1)
n 1
n3 ; 2n 1
n 1 n
n
n 1
3
n
n 1
x 2
5
;
5)
n 1
( x 2) 10
n
3) ( 1) n
;
n
4)
2) 2n sin
ит о
1)
ри й
Вариант 18
1
6) f ( x)
;
1
7) f ( x) (1 x)cos x ;
8) cos 0
4 x
, x0 3 ;
x2 dx ; 4
Ре
по з
9) y y 0, y (0) 0, y(0) 1, k 3 ; 0, x , . 10) f ( x) x 2 , 0 x .
3 ; ln( n 1)
2n
n3 ; n 1 ( n 1)!
;
2)
3n n x ; n 1 n !
5)
1)
n 1 1 n
4) 66
Вариант 19
2
( x 4) n
n 1 ( n 1)
2
3)
(1) n
n n 1 (2n 1)3
;
6) f ( x)
;
1 , x0 2 ; 1 x
7) f ( x)
0,5
1 1 x2
; 8)
0
arctg x dx ; x
9) y y cos y x, y (0) 1, y 0
, k 3; 3
ТУ
6 x 2, x , 10) f ( x) . 0, 0 x .
n
БН
Вариант 20
2n 1 1 ; 2) ; 3) ; (1) n 1 2 n n 1 3n n 1 n 4n 13 n 1 ( n 1)! ( x 4) n 1 n , x0 1 ; 4) ; 5) ; 6) f ( x) x n x 1 n 1 n 1 2 n 1 1 x 7) f ( x) arcsin x ; 8) arctg dx ; 0 2 0, x , 9) y cos x x 2 , y (0) 0, k 3 ; 10) f ( x) . 4 9 x, 0 x .
1
ит о
ри й
1)
Вариант 21
1 2n 1 ; 2) ; 2 n 1 ( n 1) ln ( n 1) n 1 3n 4
по з
1)
4) n! x n ;
Ре
n 1
6) f ( x)
(n 1)(n 2)
n 1
(n 3) 2
5)
(1) n 1
n 1
n 3n
3)
;
( x 3) n ;
2 , x0 1 ; 7) f ( x) arctg x ; x2
0,5
8)
0
x arctg x x2
dx ;
9) y 4 y 2 xy 2 e3 x 0, y (0) 2, k 4 ; x 3, x 0, . 10) f ( x) 3 0, 0 x . 67
Вариант 22 n5
n 1 n
4
1
10n
2)
;
n n 1 3 ( n 2)
3)
;
n 1 n
( x 3) n ; n 1 ( n 1)( n 2)
xn ; n 1 n 1
0,5
2
8) e x dx ;
7) f ( x) x ln(1 x 2 ) .
0
1
;
БН
9) (1 x) y y 0, y (0) y(0) 1, k 3 ; x 0, 0, 10) f ( x) . 0 x . 10 x 3,
2
6) f ( x) xe x , x0 1 ;
5)
4)
( 1) n
ТУ
1)
n 2 2n
n 1 3n
4)
n 1 2
2
4
x
n
n
n
(n 1)3 ; n 1 (3n)!
3)
( x 8) n ; n 1 3n 2
6) f ( x) ln x, x0 1 ;
(1)n ; n 1 n n 1
2)
;
5)
;
ит о
1)
ри й
Вариант 23
7) f ( x)
x2
1 x
2
;
0,4
8)
1 x3 dx ;
0
Ре
по з
1 9) 4 x 2 y y 0, y (1) 1, y (1) , k 3 ; 2 x 1 , x , 10) f ( x) 4 0 x . 0,
n 1
n 1
5n
1)
68
Вариант 24
;
n
n2 2) ; n 1 2n 1
3)
n 1
( 1) n ; n4
( x 1) n ; n 1 n( n 1)
(2n 1)(2n 1) n x ; n 1 2n(2n 2)
5)
6) f ( x)
1 , x0 2 ; 1 x
7) f ( x)
1
x ; 1 x
8) x cos x dx ; 0
x 0, 0, 10) f ( x) x . 5 2, 0 x .
9) y 2 x 2 y 3 , y (1) 1, k 3 ;
ТУ
4)
7) f ( x)
1 1 x
2
.
2)
n2
n 1 n 4
n
.
3) (1) n 1 n 1
n( x 2) n 5) . n 1 n 1
n . 3n 1
6) f ( x) e x , x0 3 .
ри й
n
1 2n 1) . n 1 2 3n n( n 1) 4) xn . n 2 3 n 1
БН
Вариант 25
1
8)
sin x x
0
dx ;
ит о
2 x 11, x , 9) y x 2 xy y 2 , y (0) 1, k 4 ; 10) f ( x) . 0, 0 x .
по з
Вариант 26
2n 3 ; n 1 3n 4
1)
4)
xn
( 1) n 1 ; 3) ; n 1 ( n 1) ln( n 1) n 1 3n 1
2)
n( x 2) n ; n 1 n 3
;
5)
7) f ( x) x 5 1 x ;
8)
2
Ре
n 1 n
0.1 0
dx 1 x4
6) f ( x) x , x0 9 ;
;
0, x , . 9) xy y 0, y(1) 2, y(1) 1, k 4 ; 10) f ( x) 3 8 x, 0 x . 69
Вариант 27 2n 1
n 1 n
2
2
2)
;
3n 1 n
n 1
(1) n1 ; n 1 ( n 1)( n 2)
3)
;
32 ( x 3) n 5) ; n 1 2n 3
xn ; n 1 n( n 1)
4)
6) f ( x) 1 x , x0 3 ;
ТУ
1)
2
БН
1 ex ; 8) x10 sin xdx . 7) f ( x) x 0 9) y xy 1 0, y(0) 1, y(0) 1, k 5 ;
7 x 1, x , 10) f ( x) . 0, 0 x .
ри й
Вариант 28 n
1 3 2) ; n 1 n 4 ( x 3) n 5) 3 ; n 1 n 1
n 1 ; n 1 2n 3
1)
ит о
4) 2n 1 x n ; n 1
x2
1 x2
6) f ( x) xe x , x0 1 ;
1
8) 3 x cos xdx ;
;
0
по з
7) f ( x)
(1)n ; n 1 2n 1
3)
Ре
0, x , 9) xy y 2 0, y(1) 1, y(1) 1, k 5 ; 10) f ( x) . 2 x 1, 0 x .
1)
2n 3 2
n 1 n n
1
x ; n 1 n
4)
70
;
Вариант 29
1 ; n 1 ( n 4)!
2)
5)
n 1
( x 1) 2
n
n
;
3) (1)n n 1
3 ; ln(n 1)
6) f ( x) sin 2 x, x0
; 4
1
2
8) e x dx ;
7) f ( x) x cos 2 x ;
0
9) y y cos x 0, y (0) 1, y (0) 2, k 5 ;
Вариант 30 1
n 1
7) f ( x)
( x 4) n ; 6) f ( x) 2 cos x, x0 ; 4 n 1 n( n 1)( n 2)
5) sin x ; x
1
sin x dx ; 0 x
ри й
4) x n ;
(1)n ; n 1 (2n)!
3)
БН
n
3n 1 ; 2) ; 2 4 n 5 n 1 n 1 n 4n
1)
ТУ
0, x , 10) f ( x) . x 1, 0 x .
8)
Ре
по з
ит о
0, x , 9) y y cos x 2cos y, y (0) 0, k 3 ; 10) f ( x) . x, 0 x .
71
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ри й
БН
ТУ
В задачах № 1, 2 установить принадлежат ли множеству оригиналов данные функции. В задаче № 3, пользуясь определением, найти изображение ори0, t 0, гинала 1(t ) f (t ) , где 1(t ) 1, t 0. В задачах № 4, 5 найти изображение оригинала 1(t ) f (t ) . В задачах № 6 найти свертку данных функций. В задаче № 7 найти изображение периодического оригинала 1(t ) f (t ) . В задаче № 8 найти оригинал по данному изображению. В задаче № 9 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. В задаче № 10 найти частное решение системы дифференциальных уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
ит о
Вариант 1
по з
0, t 0 0, t 0 ; 1) f (t ) 5t ; 2) f (t ) 1 e , t 0 t 3 , t 0 4) f (t ) sin 4 t ;
Ре
7)
72
5) f (t )
e 2t sin t ; t
3) f (t ) e 2t ;
6) f1 (t ) t , f 2 (t ) sh t ;
2 2
p ( p 4)
9) y 2 y t 2 , y (0) 0, y(0) 0 ;
;
x 2 x 2 y 4 z , 10) y 2 x y 2 z , , z 5 x 2 y 7 z ,
x(0) 1, y (0) 2, z (0) 1 .
ТУ
8) F ( p)
Вариант 2
4) f (t ) ch t sin 2 3t ;
ри й
e3t , t 0,1 , ; 3) f (t ) 2, t 1, . cos 2t cos3t ; 5) f (t ) t 7)
БН
0, t 0, 2) f (t ) sin t ; t , t 0.
0, t 0, ; 1) f (t ) 2 t e , t 0.
по з
ит о
6) f1 (t ) et , f 2 (t ) e t ;
1
; 9) y y sin t , y (0) 0, y(0) 0 ; p 2p 7 x 3x 2 x y y 0, 10) x(0) x(0) y(0) 0, y (0) 1. x x y 5 y 4 y 0, 2
Ре
8) F ( p )
73
Вариант 3
0, t 0, ; 2) f (t ) cos t t , t 0.
4) f (t ) sin t sin 2t ;
5) f (t )
1 e3t t e 2t
;
6) f1 (t ) cos 2t , f 2 (t ) e t ; 7) f (t ) e t , t 0;3 ,
9) y y 8t et , y (0) 0, y (0) 0 ;
x 8 x 6 y 0, , 6 x y 2 y 0,
x(0) 1, x(0) y (0) y (0) 0 .
ри й
10)
p2 ; p ( p 3)
БН
8) F ( p )
f (t 3) f (t ) ;
3) f (t ) et /2 ;
ТУ
0, t 0, 1) f (t ) 3 ; t , t 0.
Вариант 4
0, t 0, 2) f (t ) 2 ; sin t , t 0.
3) f (t ) 2 t ;
4) f (t ) e 2t cos 2 t ;
5) f (t ) e2t sin 4t ;
6) f1 (t ) t , f 2 (t ) e3t ;
по з
ит о
0, t 0, 1) f (t ) 1, t 0, 2 , ; 3 2t , t 2.
7) f (t ) e t , t 0, 2 ,
Ре
8) F ( p)
4 p
p2 9
x y z , 10) y z x, , z x y,
74
;
f (t 2) f (t ) ;
9) y 2 y 3 y 1, y (0) 0, y (0) 0 ;
x(0) 3, y (0) 1, z (0) 2 .
Вариант 5
8) F ( p)
2p 3 2
ри й
БН
ТУ
0, t 0, t 0, 0, f t ; 3) f (t ) sh 2t ; 1) ( ) ; 2) f (t ) et t sin 3t , t 0. , t 0. t t e sin t 4) f (t ) cos3 t ; 5) f (t ) ; 6) f1 (t ) cos t , f 2 (t ) cos t ; t 7)
p 6 p 12
;
x(0) 2, y (0) 0, z (0) 1 .
ит о
x 8 y , 10) y 2 z , , z 2 x 8 y 2 z ,
9) y y t 2 , y (0) 0, y(0) 0 ;
по з
Вариант 6
Ре
t 0, 0, 2 ; 1) f (t ) sin t , t 0. t 3) f (t ) 2sh 3t ;
5) f (t ) cos(t b) ;
0, t 0, ; f t ( ) 2) 1 t , 0. t 1 t ; 2 6) f1 (t ) sin 3t , f 2 (t ) sin 4t ;
4) f (t ) e3t sin 2
75
8) F ( p )
5
; p( p 2 p 5) 9) y 2 y y 2sin t , y (0) 0, y (0) 0 ; x 3x y 0, 10) , x(0) 2, y (0) 3 . y x y 0,
ри й
БН
2
ТУ
7)
Вариант 7
ит о
t 0, 0, 1) f (t ) (23t )t ; , t 0. e 3) f (t ) 2 e2t ;
t 0, 0, ; 2) f (t ) cos3t t , t 0. t 4) f (t ) cos 4 ; 2 t 6) f1 (t ) , f 2 (t ) ch 3t ; 2
cos bt cos at ; t 4, t 0, 2 , f (t 3) f (t ); 7) f (t ) 2, t 2,3 , 2p 6 8) F ( p ) ; ( p 2)( p 3) 9) y 2 y 5 y 5, y (0) 0, y (0) 0 ; x y 0, 10) , x(0) x(0) 0, y (0) 2, y (0) 1. x y 1 et ,
Ре
по з
5) f (t )
76
Вариант 8
0, 1) f (t ) 3 t ,
t 0, t 0.
t 0, 0, ; 2) f (t ) 1 sin t , t 0.
;
4) f (t ) ch 3t cos 2 t ;
5) f (t )
1 e 2t t et
ТУ
3) f (t ) 3 2t ;
6) f1 (t ) et , f 2 (t ) sin t ;
;
ри й
БН
et , t 0, a , f (t 2a) f (t ); 7) f (t ) 2t e , t a, 2a , 3p 1 . 9) y y sin t , y (0) 0, y (0) 0 ; 8) F ( p ) 2 2 p ( p 4 p 1) x x 9 x y y 3 y 0, 10) 2 x x 7 x y y 5 y 0,
x(0) x(0) 1, y (0) y (0) 0.
ит о
Вариант 9
0, t 0, ; 2) f (t ) sin t 2t , t 0.
3) f (t ) 1 e 2t ;
4) f (t ) sin 2 2t cos3t ;
5) f (t ) e 2(t 1) sin(t 1) ;
6) f1 (t ) t , f 2 (t ) cos3t ;
по з
0, t 0, 1) f (t ) 1/ t ; e , t 0.
Ре
2t , t 0, , 7) f (t ) 3t , t , 2 ,
f (t 2) f (t ); 8) F ( p )
p2 1 p3 27
;
9) y y t et , y (0) 0, y (0) 0 ;
10)
x 2 y 5 x et , , y x 6 y e 2t ,
x(0) 1, y (0) 1.
77
Вариант 10
2, t 0,3 , ; 3) f (t ) t , t 3, .
4) f (t ) sin 3 t ;
ТУ
0, t 0, ; 2) f (t ) 1 t 1 , t 0.
0, t 0, 1) f (t ) t ; e , t 0.
ри й
БН
6) f1 (t ) t , f 2 (t ) ch t ; 5) f (t ) e (t a ) cos(t a ) ; 3at , t 0, 2 , f (t 2) f (t ); 7) f (t ) 2 2 p2 1 8) F ( p) ; 9) y y et , y (0) 0, y (0) 0 ; p ( p 2 2) 4 x y 3x sin t , 10) x(0) 2, y (0) 1. x y cos t ,
ит о
Вариант 11
t 0, 0, ; 2) f (t ) 1 , t 0. 2 t 4
3) f (t ) 2t 2 ;
4) f (t ) sh 2t sin 3t ;
по з
t 0, 0, 1) f (t ) ; t sin 2t , t 0.
2
5) f (t ) t sin t .
Ре
, t 0, , 7) f (t ) 2, t , 2 , 8) F ( p )
10)
78
p2 1 p 2 ( p 2 9)
;
6) f1 (t ) t , f 2 (t ) sin 4t ; f (t 2) f (t ); 9) y y cos t , y (0) y(0) y 0 ;
x y x et , x(0) 1, x(0) 0, y (0) 1, y (0) 2. x y 1,
Вариант 12
t 0, 0, ; 2) f (t ) cos3t t , t 0.
3) f (t ) e 2t ;
4) f (t ) cos 2t cos3t ;
2t
e sin t ; t 2t , t 0,1 , 7) f (t ) t , t 1, 2 ,
10)
p2 p 2 3
2
p p 6p
x y 1, , y x 0,
f (t 2) f (t );
БН
8) F ( p )
6) f1 (t ) sin t , f 2 (t ) sin 2t ;
9) 2 y 3 y t 2 , y (0) 1 ;
;
ри й
5) f (t )
ТУ
0, t 0, 1) f (t ) ; ch 2t , t 0.
x(0) y (0) x(0) y (0) 0.
ит о
Вариант 13
0, t 0, 2) f (t ) 2 ; t 3 , t 0. 4) f (t ) et cos 2 t ; 6) f1 (t ) cos 2t , f 2 (t ) e2t ;
Ре
по з
0, t 0, 1) f (t ) t , t 0,1 , ; t e , t 1 t 3) f (t ) ch ; 2 sin 3t cos 2t 5) f (t ) ; t 7)
79
10)
p 2
p 3p 2
9) y ay b, y (0) 0 ;
;
x y sh t sin t t , , y x ch t cos t ,
x(0) 0, x(0) 2, y (0) 1, y 0 .
Вариант 14
0, t 0, ; 1) f (t ) sin t t t , t 0. 2, t 0,5 , ; 3) f (t ) t , t 5, . sin 3t ; 5) f (t ) t 7)
ТУ
8) F ( p )
БН
0, t 0, 2) f (t ) 2 ; 3t e , t 0. 4) f (t ) sh t cos 2t ;
по з
ит о
ри й
6) f1 (t ) e3t , f 2 (t ) cos t ;
8) F ( p )
p ( p 2 1)
;
0, t 0, ; 1) f (t ) sin t t 2 , t 0.
80
9) y y 6 y 2, y (0) 1, y (0) 0 ;
x x y e t cos t , , x y y 2et sin t ,
Ре
10)
1 p2
x(0) 2, x(0) 1, y (0) 0, y 1 .
Вариант 15
t 0, 0, 2) f (t ) (1i )t ; , t 0. e
t 3) f (t ) 3sh ; 3 t e sin 2t ; 5) f (t ) t 7)
4) f (t ) cos5t sin 3t ;
10)
p2 2
( p 4 p 5) 2
; 9) y 4 y 2cos 2t , y (0) 0, y (0) 4 ;
ри й
8) F ( p)
БН
ТУ
6) f1 (t ) t , f 2 (t ) cos 2t ;
x 3x 4 y 9e2t , , 2 x y 3 y 3e2t ,
x(0) 2, y (0) 0.
ит о
Вариант 16
по з
0, t 0, 1) f (t ) ; sh 2t , t 0.
0, t 0, 2 2) f (t ) t , t 0, 2 , ; 1 , t 2. t 4
Ре
0, t 0, 4 , ; 4) f (t ) et sin 2 t ; 3) f (t ) 5t , t 4, . 1 cos 2t ; 6) f1 (t ) t , f 2 (t ) sin 2t ; 5) f (t ) t a, t 0, l , f (t 2l ) f (t ); 7) f (t ) a, t l , 2l ,
81
8) F ( p )
( p 2 2 p 3)2
9) 2 y 9 y 2 t , y (0) 0, y(0) 1 ;
;
, x(0) 1, x(0) 2, y (0) y (0) 0 . x x 2 y y e t , x y y et t ,
Вариант 17
t 0, 0, 2 1) f (t ) t 1, t 0,1 ; sint, t 1.
( p 2 9)2
x y 1, , y x 0,
БН
6) f1 (t ) e 2t , f 2 (t ) sin 3t ;
f (t ) f (t );
9) y y sin 2t , y (0) y (0) 0 ;
;
x(0) 1, x(0) y (0), y(0) 1.
по з
10)
p2 3 p 9
4) f (t ) ch 2t cos t ;
ит о
8) F ( p )
t 0, 0, 2) f (t ) 2 ; 2t e , t 0.
ри й
3) f (t ) t 2 1 ; cos3t t et ; 5) f (t ) 2 sin t , t 0, 7) f (t ) t 0, 0,
Вариант 18
Ре
0, t 0, ; 1) f (t ) sh it , t 0. 1, t 0, 2 , ; 3) f (t ) 1 2t , t 2, .
5) f (t ) 82
ТУ
10)
p2 2 p 1
2 3cos 4t et
;
0, t 0, ;; 2) f (t ) 1 t 2 , t 0. 4) f (t ) sin 2t cos 2 t ; 6) f1 (t ) t , f 2 (t ) sh 2t ;
10)
p2 4 2
( p 4)
2
9) y y 10e 2t , y (0) y(0) y(0) 0 ;
;
x 3x y 0, , y x y 0,
x(0) y (0) 1 .
БН
8) F ( p )
ТУ
7)
ри й
Вариант 19
t 0, 0, ; 2) f (t ) (1 2i )t , t 0. e
3) f (t ) t 2 2 ;
4) f (t ) ch 2t sin 2 t ;
ит о
t 0, 0, 1) f (t ) ; 1 sin t t , t 0.
2t
6) f1 (t ) e , f 2 (t )
t 2 e
;
Ре
по з
sin t cos3t ; 5) f (t ) t 7)
8) F ( p ) 10)
2
p 2p 8 ( p 2 2 p 10) 2
x 4 x 4 y 0, , y 2 x 6 y 0,
;
9) y y t , y (0) y(0) 0 ;
x(0) 3, y (0) 15 .
83
Вариант 20
0, t 0, 2) f (t ) 1 ; t 3 , t 0.
0, t 0, ; 1) f (t ) sin t , t 0. t 3) f (t ) sh ; 3 5) f (t ) t sin 3t cos 4t ;
10)
2( p 3) 2
( p 6 p 8) 2
x y x et , x y 1,
ТУ
t 0,1 ,
f (t 1) f (t );
9) y y 1, y (0) y(0) 0 ;
;
x(0) 1, x(0) 0, y (0) 1, y(0) 2.
ри й
8) F ( p )
6) f1 (t ) e5t , f 2 (t ) t ;
БН
7) f (t ) t 1,
4) f (t ) ch 3t sin 2t ;
Вариант 21
ит о
0, t 0, ; 1) f (t ) cos t , t 0.
0, t 0, 2) f (t ) 1 ; sin t , t 0.
Ре
по з
e 2t , t 0,1 , 3) f (t ) ; 4) f (t ) sh t sin 2 t ; 1, t 1, . sin t sin 3t 5) f (t ) . 6) f1 (t ) cos 2t , f 2 (t ) cos3t ; t 7) f (t ) 2t , t 0, 3 , f (t 3) f (t ); 8) F ( p )
p 1
2
( p 2 p 10) 2
x 2 x 2 y 4 z , 10) y 2 x y 2 z , , z 5 x 2 y 7 z ,
84
;
9) y y 3, y (0) y (0) 0 ;
x(0) 1, y (0) 2, z (0) 1.
Вариант 22
0, t 0, ; 2) f (t ) 2 t e , t 0.
t 0, 0, ; 1) f (t ) sin t , t 0. sin t , t 0, 2 , 3) ; 0, t , . 2 5) f (t ) t cos(2t 3) ;
10)
ТУ
f (t 4) f (t ) ;
1 ; ( p a )( p b)
9) y 2 y y et , y (0) y(0) 0 ;
ри й
8) F ( p )
6) f1 (t ) sin 3t , f 2 (t ) t ;
БН
0, t 0,1 , 7) 1, t 1, 4 ,
t 4) ; f (t ) sh 2t cos 2 . 2
x x 2 y t , x(0) 2, y (0) 4. y 2 x y t ,
ит о
Вариант 23
0, t 0, ; 1) f (t ) 2t e , t 0.
4) f (t ) sin 2 t cos 2t ; 6) f1 (t ) sin 2t , f 2 (t ) e3t ;
Ре
по з
cos t , t 0, , ; 3) t , . 0, t cos t 5) f (t ) 5t ; e 7)
t 0, 0, 2) f (t ) 1 ; 2t 1 , t 0.
85
8) F ( p )
1 ( p 2)4
x y z , 10) y z 2 x, , z 2 x y,
9) y y sin t , y (0) 0 ;
;
x(0) 1, y (0) z (0) 0.
ТУ
Вариант 24
t 0, 0, ; 2) f (t ) 1 sin 2t , t 0.
3) f (t ) 2 t ; 5) f (t ) t cos(2t 3) ;
4) f (t ) ch t sin 2 t ; 6) f1 (t ) cos3t , f 2 (t ) sin 2t ;
БН
0, t 0, ; 1) f (t ) 2 3t , t 0.
7) f (t ) 2t , t 0, 1 , f (t 1) f (t );
ри й
8) F ( p )
10)
( p 2 5)2
Вариант 25
t 0, 0, 2) f (t ) 1 ; t 2 , t 0.
3) f (t ) 1 t 2 ; t cos(t 2) ; 5) f (t ) et 2 et , t [0, 2], f (t 3) f (t ) ; 7) 0, t 2, 3 , 9) y y sin t , y (0) 0 ; x(0) 0, x x 2 y 0, 10) 1 x 2 y 2t cos 2t , y (0) , 2
4) f (t ) sin 2t sin 4t ;
по з
0, t 0, ; 1) f (t ) 2t e , t 0.
Ре 86
;
x 2 y 0, x(0) 0, x(0) 1, . , y 2 x 0, y (0) y (0) 0.
ит о
9) y y t , y (0) 0 ;
p2 5
6) f1 (t ) cos5t , f 2 (t ) t ; 8) F ( p)
1 (2 p 3)3
x(0) 1, y (0) 0.
.
;
Вариант 26
t 0, 0, 2) f (t ) 1 ; t 3 , t 0.
4) f (t ) sin 4 t ;
5) f (t )
БН
6) f1 (t ) t , f 2 (t ) sh t ; 7)
e 2t sin t ; t
3) f (t ) e2t ;
ТУ
0, t 0, ; 1) f (t ) 57 e , t 0.
x y 1, , y x 0,
;
9) y y 6 y 2, y (0) 1, y (0) 0 ;
x(0) 1, x(0) y (0) 0, y (0) 1.
ит о
10)
( p 2 9)2
ри й
8) F ( p )
p2 3 p 9
Вариант 27
по з
0, t 0 0, t 0 ; 2) f (t ) 1 ; 1) f (t ) 6t e , t 0 t 5 , t 0 4) f (t ) sin 4 2t ;
5) f (t )
3) f (t ) e3t ;
e 6t sin t ; 6) f1 (t ) t 2 , f 2 (t ) sh t ; t
Ре
7)
87
6 2
p ( p 4)
9) y 4 y t 2 , y (0) 0, y(0) 0 ;
;
x 2 x 2 y 2 z , 10) y 2 x y 3 z , , z 5 x 2 y 4 z ,
x(0) 1, y (0) 2, z (0) 1 .
Вариант 28
ТУ
8) F ( p)
0, t 0 ; 2) f (t ) sin 5t , t 0. t
БН
0, t 0 ; 1) f (t ) 4t e , t 0. e 2t , t 0,1 , 3) f (t ) ; 2, t 1, . cos3t cos 2t 5) f (t ) ; t 7)
ри й
4) f (t ) ch t sin 2 4t ;
по з
ит о
6) f1 (t ) e3t , f 2 (t ) e t ;
8) F ( p )
p 2p 7
0, t 0, ; 1) f (t ) 4 t , t 0. 88
;
9) y 2 y sin t , y (0) 0, y(0) 0 ;
x 3 x 2 x y 5 y 0, , x(0) x(0) y(0) 0, y (0) 1. x x y 5 y 2 y 0
Ре
10)
7
2
Вариант 29
0, t 0, ; 2) f (t ) cos3t t , t 0.
3) f (t ) et /2 ;
4) f (t ) sin t sin 4t ;
5) f (t )
1 e 5t t e 2t
;
6) f1 (t ) cos 4t , f 2 (t ) e t ; 7) f (t ) e 3t , t 0;3 ,
9) y 3 y 8t et , y (0) 0, y (0) 0 м
x 8 x y 0, , x(0) 1, x(0) y (0) y(0) 0 . x y 2 y 0
БН
10)
p4 ; p ( p 3)
ТУ
8) F ( p )
f (t 3) f (t ) ;
Вариант 30
0, t 0, 2) f (t ) 2 ; sin 3t , t 0.
3) f (t ) 4 t ;
4) f (t ) e5t cos 2 t ;
6) f1 (t ) t , f 2 (t ) e3t м
ит о
5) f (t ) e3t sin 4t ;
ри й
0, t 0, 1) f (t ) 2, t 0, 2 , ; 3 4t , t 2.
7) f (t ) e 2t , t 0, 2 , 6 p
p2 9
;
9) y 3 y 3 y 1, y (0) 0, y (0) 0 ;
по з
8) F ( p)
f (t 2) f (t ) м
Ре
x 2 y z , 10) y 3 z x, , x(0) 3, y (0) 1, z (0) 2 . z x y
89
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ. ТФКП
БН
ТУ
В задаче 1 вычислить значение функции f ( z ) в точке z0. В задаче 2 найти действительную и мнимую части функции w f ( z) . В задаче 3 найти аналитическую функцию f ( z ) по заданной действительной (u ) или мнимой (v) части и заданному значению f ( z0 ) . В задаче 4 найти область, на которую заданная функция w f ( z ) отображает указанную область G. Заданную область G на плоскости Z и ее образ на плоскости W изобразить на чертежах. В задаче 5 вычислить f z dz.
ри й
В задаче 6 вычислить с помощью формулы Коши f z dz , где –
по з
ит о
замкнутый контур, пробегаемый против часовой стрелки. В задаче 7 записать ряд Лорана функции f ( z ) в окрестности точки z0 и определить область сходимости полученного ряда. В задаче 8 найти особые точки функции f ( z ) и выяснить их характер. В задаче 9 найти вычеты функции f ( z ) в изолированных особых точках. В задаче 10 вычислить с помощью вычетов f z dz , где – за
Ре
мкнутый контур, пробегаемый против часовой стрелки.
1) f z Ln z ,
Вариант 1
z 0 1 3 i;
3) u x 2 y 2 3x y,
2) w ze z ;
f 0 i ;
4) w i 2 z 1 , G : квадрант Re z 0, Im z 0 ; 90
5) Re zdz , – отрезок прямой от точки z0 0 до точки
z1 2 i; 7) f z z 2 e z ,
, : z i 1; z2 1
8) f z 10)
z2
z 1 z 1 3
dz
z2 4
2
9) f z
;
, : z 2i 1.
Вариант 2
z 0 i;
z ; z 2 sin z
2) w sin z;
ри й
1) f z z i ,
z0 0;
ТУ
1
zdz
БН
6)
3) u x3 3 xy 2 2, f 0 2 i;
4) w e2 z i, G : полоса Re z ,0 Im z ;
zdz,
5)
где
–
ломаная
ит о
с
вершинами
в
точках
z0 0, z1 1, z2 1 i; 6)
z i
3
: z 2;
,
по з
e z dz
8) f z
z2 i
9) f z
; 3
z0 0 ;
ez z 2 z 3
;
tgz dz , : z 2 2. z2
Ре
10)
1
1 7) f z sin , z
Вариант 3
z0 3 i ; 4 x 3) v 2e cos y, f 0 2 1 i ; 1) f z e z ,
2) w ch z;
91
4) w 1 i 1 z ,
G : треугольник с вершинами в точках
z1 0, z2 i, z3 1 ; 5) z 2 dz , – отрезок прямой, соединяющий точку z0 0 с точ
кой z1 1 i ;
7) f z 9) f z
, : z i 2; 1
z 3 z 1 z5 z2 1
4
ТУ
z 2i 2
8) f z соs
z0 1;
,
1 ; zi
БН
z 2 dz
ez dz , : z 1 . 2z
10)
;
ри й
6)
Вариант 4
1) f z 2 z ,
2) w cos z ;
z0 1 i ;
y
2
x y2
,
ит о
3) u x 2 y 2 5 x y
f 1 6 2i
z 0 ;
1 , G : полуплоскость Im z 0 ; zi dz , – полуокружность z 1 от точки z0 1 до точки 5) z
по з
4) w
Ре
z1 1 , лежащая в верхней полуплоскости; dz , : z 1 1,5 ; 6) 3 3 z 1 z 1 7) f z sin
9) f z
92
1 , z 2
сos z z
3
;
z0 2 ;
8) f z
( z 6)sin( z 5)
z
4
z2
z
2
25
;
dz , : z 3. z 2 z 1
10)
Вариант 5
1) f z Ln z ,
2
2) w e z ;
z0 3 4i ; f 0 0 ;
3) u x 2 y 2 xy ,
zi , G : квадрант Re z 0, Im z 0 ; z i 5) Re z dz , – окружность z a R , пробегаемая против ча-
ТУ
4) w
10)
7) f z
z2 1 ; z 1
zdz z2 1
9) f z
ри й
8) f z
, – эллипс
ez
БН
совой стрелки; e z dz 6) , : z 1,5 ; 2 z i
x 12 y 2 1
9
z2
,
z0 0 ;
z
( z 1) 2
;
1.
ит о
Вариант 6
1) f z e z , 3
z0 2 3i ;
2
2
3
3) v x 6 x y 3 xy 2 y ,
2) w sh z ;
f 0 0 ;
1 , G : полуплоскость Re z 0 ; z 1 5) zdz , где – дуга параболы y x 2 от точки (0,0) до точки (1,1);
по з
4) w
Ре
e z dz
6)
z 2 4
8) f z
10)
, : z 1 1,5 ;
z2 ; 1 cos z dz
z 2 1 z 1
7) f z z 2
3
9) f z
sin z z3 z
1 z e 2,
z0 2 ;
;
, : z 1 i 2 . 93
Вариант 7
1) f z сos z ,
2) w z 2 e z ;
z0 i ; f i 2i 1 ;
3) u x 2 y 2 2 x,
4) w z 2 , G : прямоугольник 0 Re z 1, 0 Im z 2 ;
( z 1) 2 ( z 2)
8) f z 10)
z
sin 2 z e z dz
, : z 1,5 ;
9) f z
;
z4 2z2 1
7) f z
ez
z0 0 ;
,
z5
БН
dz
, : z i 1.
z4
z2 1
;
ри й
6)
ТУ
5) zzdz , – дуга окружности z 1 , 0 arg z ;
Вариант 8
z0 1 2i ;
ит о
1) f z sin z ,
3) u 2e x sin y ,
2) w z 2 z ;
f 0 2i ;
4) w e z , G : полоса Re z , Im z 0 ; 2 z dz, – ломаная с вершинами в точках
по з
5)
z0 0 ,
z2 1 i ; dz 6) 2 , : z 1; z 2z
Ре
z1 1,
cos z ; z 2 2 1 dz , : z 1 0 . 10) z 1 z 1
8) f z
94
7) f z
1 2
z 1
9) f z
,
z0 i ;
сos z ( z 4) z 2
;
Вариант 9
1) f z Ln z ,
2) w e z Re z;
z0 3 4i;
3) u x3 3 xy 2 , f 0 i; 4) w z 2 ,
G : полуполоса 0 Re z 1, Im z 0;
ТУ
2 2 3z z dz, произвольный контур, соединяющий
5)
точку z1 0 с точкой z2 i; zdz , : z 2i 2; 6) 2 z 9
z 2 2
9) f z
z z 1
2
1 ; ( z 1)( z 2)
ри й
z 1
, z0 1;
БН
8) f z tg z ; 10)
1
7) f z
dz , : z 3 .
ит о
Вариант 10
1) f z 2 z ,
2) w z 3 Im z;
z0 1 i ;
по з
y 3) v arctg , ( x 0), f 1 0; x 4) w i (2 z ), G : квадрат 0 Re z 1, 0 Im z 1;
5) z dz , отрезок прямой от точки z0 0 до точки z1 1 i;
cos zdz
( z i)
Ре
6)
8) f z
10)
2
,
: z 2;
7) f z
1 , z0 0; z z 5
;
9) f z
cos z
1
z2 1
3
( z 3)dz ( z 1) z 1
2
, : z
z4
;
1 1. 2 95
Вариант 11
1) f z Ln z ,
2) w ( z i )e z ;
z 0 i;
3) v y 2 2 y x 2 1, f 2i i 1; G : круг z 1;
4) w (1 i ) z 3,
ТУ
5) Re z dz , радиус–вектор точки z0 2 i ;
z ( z 1)
8) f z 10)
3
: z 1 1,5;
,
e
z
e
z
9) f z
;
z zdz
z 1 z 2 2
7) f z
, : z 2 0,5 .
1 , z 0 i; ( z i ) z 1
БН
e z dz
z 1
3
z 4z
;
ри й
6)
Вариант 12
z0 5 i ;
ит о
1) f z cos z ,
2) w e z i ;
3) v 3 x 2 y y 3 3 y 1, f 1 i 2 4i; z i , G : квадрант Re z 0, Im z 0; z i 5) z dz , отрезок прямой, соединяющий точку z0 0 с точ-
по з
4) w
кой z1 2 i;
Ре
6)
dz
z2 z2 4
8) f z
96
,
: z 2i 1;
1 2
z 5z 4
;
7) f z 9) f z
1 3 z z e ,
z0 0;
cos z ; z2 z 2
10)
sin zdz z z 2
2
, : z 2.
Вариант 13
z0 2;
2) w z 2 Re z;
ТУ
1) f z аrc cos z ,
3) u e1 y cos x, f i 1 3i;
1 z , G : полуплоскость Re z 0; 1 z 5) z 2 dz , произвольный контур, соединяющий точку z1 0
БН
4) w
с точкой z2 1 i;
e z dz , z ( z 1)
10)
z 4 z
dz 3
2
1 7) f z z 2 sin , z0 0; z
sin z
9) f z
;
z 1 z2 1
;
ит о
8) f z
: z 2 1,5;
ри й
6)
z 4z2
, : z 1.
по з
Вариант 14
1) f z аrc cos z ,
z0 2i;
2) w z 3 Im z;
Ре
i 3) v e1 2 y sin 2 x, f 3; 2 4) w (1 i ) z 2i, G : круг z 1;
5) Rez dz , дуга
параболы
y x2
от
точки
(0,0)
до точки (1,1); dz 6) 2 , z 4z
: z 1;
1 7) f z z cos , z0 0; z 97
8) f z z 2 sin 1
10)
1
z2
1 ; z
9) f z
e z z2
;
dz , : z 1,5 .
1) f z Ln z ,
ТУ
Вариант 15
2) w z i ; 2
z0 1 i;
5)
БН
3) u x 4 6 x 2 y 2 y 4 , f 0 0; 4) w i (2 z 1), G : полуплоскость Rez 0;
sin zdz , произвольный контур, соединяющий точку
i; 2
7) f z ( z 3i )sin
6)
ит о
по з
Ре
1) f z аrcsin z , 3) u
x
2
: z 2;
,
9) f z
1
z
2
9
2
;
Вариант 16
z0 2;
1 , f 2 ; 2 x y 2
( z 1) 4
1 , z0 3i; z 3i
cos z ; 2 2 z z 1 2 ez 1 10) dz , : z . 2 2 ( z 1) z 8) f z
sin 2 z dz
ри й
z0 0 с точкой z1
2) w
Re z ; z
4) w (1 i ) z,
G : круг z 1 1;
5) z dz , отрезок прямой, соединяющий точку z1 1 с
точкой z2 1; 98
z 2 dz ( z 2)
8) f z 10)
cos z z2
3
7) f z
: z 3;
,
z 1 ; cos z
9) f z
1
z z2 1
, z0 0;
z2 1 ( z 2)2 ( z 3)
dz , : z 3 .
;
ТУ
6)
БН
Вариант 17
i ; 2) w z 2 sin z; 2 3 2 2 3) u x 3 xy 3x 6 x 3 y 2 , f (0) 0; z i , G : полуплоскость Re z 0; 4) w z i 5) Re z dz , отрезок прямой, соединяющий точку z1 i с 1) f z e z ,
ри й
z0
ит о
точкой z2 2 i; dz 6) 2 , : z i 1; z 1 ;
по з
8) f z
ez z 1
10)
1 , z0 3; z 3
1
ez ; 9) f z z 1
z2 dz , : z 0,5 3 . z ( z 1)
Ре
z2
7) f z cos
1) f z z1i , 3) v x y 3,
Вариант 18 z0 i;
f 0 0 ;
2) w
cos z ; z
99
z , G : полуплоскость Re z 0 ; zi 5) z dz , – полуокружность z 1 от точки z1 1 до точки 4) w
1
z 8) f z ; 9) f z e z ; tg z
10)
z z 2
2
dz , : z 2 .
БН
sin z
z0 3 ;
ТУ
z2 1 , лежащая в верхней полуплоскости; dz 1 6) 3 , : z 3i 2 ; 7) f z , z 1 z 3 z 4z
Вариант 19
1) f z cos z ,
3) v 2 xy, f 0 0; 4) w 3 z 2 ,
2) w Ln z;
ри й
z0 1 i ;
G : полуплоскость Im z 0;
ит о
5) z 3dz , произвольный контур, соединяющий точку z0 0 с точкой z1 1 i; e z dz 2
z
2
,
: z i 3;
по з
6)
8) f z
z3
;
Ре
sin 4 z z 1 10) 2 dz , : z 3 . z 4
1) f z cos z ,
7) f z
9) f z
z6 ( z 1)3
;
Вариант 20
z0 2 i; 2) w z i ; 3) u x 2 y 2 ,
4) w (1 3i ) z 2i, G : круг z 1 ; 100
1 , z0 1; ( z 1)( z 3)
f 0 0 ;
5) Im z dz , – отрезок прямой, соединяющий точку z0 0
с точкой z1 2 i ; 2
1 dz 2
z 1
8) f z 10)
7) f z
1 , z z 1
9) f z
sin z
: z 1 1;
,
cos z ; z i
dz
1 z 2 ( z 2)
, : z 1,5 .
z0 0 ;
ТУ
z
z z2 4
;
БН
6)
Вариант 21
2) w
z 0 1 i;
Im z ; z
ри й
1) f z z i ,
3) v 4 x3 y 4 xy 3 , f 0 0 ; 4) w i (3z 1), G : полуплоскость Im z 0 ;
ит о
5) z 2 iz 2 dz , – произвольный контур, соединяющий точку z1 0 с точкой z2 i 1 ; 1 dz , , : z 2i 2; 7) f z 6) 2 z2 9 z 1 z 2 3
по з
8) f z
sin z z
2
9) f z
;
z 1 z2 1
z0 2 ;
;
dz , : z 2. sin z
Ре
10)
1) f z аrcsin z ,
Вариант 22
z0 3;
3) v 3x 2 y 6 xy 6 y x3 ,
2) w z cos z; f 0 0 ; 101
4) w (1 i )(1 z ), z1 0, z2 i, z3 1 ;
G : треугольник с вершинами в точках
5) z z dz , дуга параболы y x 2 от точки z1 0 до точки
z2 1 i;
8) f z 10)
z2
z
cos z
7) f z ze
: z 1,5;
,
2
1
2
9) f z
;
dz , : z 1 2 .
z3
, z0 0;
1 3
ТУ
( z i )3
1 z2
z ( z i)
;
БН
ри й
6)
sin zdz
Вариант 23
1) f z e z ,
f 0 0 ;
ит о
3) u x 2 y 2 3x, 4) w e
2) w z 3i ;
z 0 3 i;
z 3
G : полоса Re z , 0 Im z ;
,
5) Im z dz , ломаная
линия,
по з
z0 0, z1 i, z2 2 i ; dz , : z 2i 1; 6) 2 z 4
Ре
8) f z
10)
z 1
2
z 4z
iz
e dz
( z ) 3
;
соединяющая
7) f z
1 , z0 1; z ( z 1)
9) f z
2 ; ( z i )( z 1)
dz , : z 4 . Вариант 24
1) f z Lnz , 102
z0 3 4i;
2) w z cos z;
точки
f 0 0 ;
3) v 2 xy 3 y,
z i , G : полоса Re z 0, Im z 0 ; z 5) z dz , отрезок прямой, соединяющий точку z1 2i с точ-
4) w
кой z2 1 i ; zdz 6) , 2 ( z 1) ( z 3) ( z 1)
e z dz z2
2
9) f z
;
z
1
z2
, z0 0;
;
БН
10)
sin 2 z
7) f z z 2 cos
, : z 3.
( z 1)3
ри й
8) f z
: z 2;
ТУ
Вариант 25
1) f z cos z ,
z0 2i;
ит о
3) u x3 3 xy 2 2 y, f 0 0 ; 4) w i (1 z ), G : треугольник z1 0, z2 1, z3 i ;
2) w
с
z2 i ; z
вершинами
в точках
по з
5) ( z 2) dz , произвольный контур, соединяющий точку
Ре
z1 0 с точкой z2 i ; sin zdz , : z 1,5; 6) 3 ( z i) 8) f z sin
10)
ez
z2 1
1 ; z
7) f z 9) f z
1
z z2 5 z4 ( z i )2
, z0 0;
;
dz , : z 3 .
103
Вариант 26
1) f z Ln z ,
2) w ze z ;
z0 2 3 i ; f 0 i ;
3) u x 2 y 2 2 x y,
4) w i 3z 1 , G : квадрант Re z 0, Im z 0 ;
z1 3 i;
БН
1
zdz
7) f z z 2 e z ,
, : z i 4; z2 1
8) f z 10)
z 3
z 1 z 1 3
dz
z
2
2
2
9) f z
;
z0 0;
z ; z 3 sin z
ри й
6)
ТУ
5) Re zdz , – отрезок прямой от точки z0 0 до точки
, : z 2i 1.
ит о
Вариант 27
1) f z z 2i ,
z0 i;
2) w sin z;
по з
3) u x3 5 xy 2 2, f 0 2 i;
4) w e3 z i, G : полоса Re z ,0 Im z ;
zdz,
5)
где
–
ломаная
с
вершинами
в
точках
Ре
z0 0, z1 1, z2 1 i; 6)
e z dz
z i
8) f z
104
3
: z 4;
, 1
z2 i
; 3
1 7) f z sin , z 9) f z
z0 0 ;
ez z 2 z 3
;
10)
tg z dz , : z 2 2. z4 Вариант 28
z0 4 i ; 4 x 3) v 3e cos y, f 0 2 1 i ;
1) f z e z ,
ТУ
4) w 1 i 1 z ,
2) w ch z;
БН
G : треугольник с вершинами в точках
z1 0, z2 i, z3 1 ;
5) z 2 dz, – отрезок прямой, соединяющий точку z0 0 с точ
6)
z 2 dz
z 2i 2
, : z i 4; 1
z 3 z 2
9) f z
z5
z2 1
8) f z соs
z0 1;
,
4
ит о
7) f z
ри й
кой z1 2 i ;
1 ; z 2i
ez dz , : z 1 . 2z
10)
;
по з
Вариант 29
1) f z 3z ,
3) u x 2 y 2 4 x y
Ре
2) w cos z ;
z0 1 i ; y 2
x y2
,
f 1 6 2i
z 0 ;
1 , G : полуплоскость Im z 0 ; zi dz , – полуокружность z 2 от точки z0 1 до точки 5) z
4) w
z1 2 , лежащая в верхней полуплоскости; 105
dz
z 1 z 13 3
7) f z sin 9) f z
1 , z 3
сos z z
, : z 1 1,5 ;
2
z0 3 ;
8) f z
( z 6)sin( z 5) z4 z2
;
dz , : z 3. z 3 z 1
10)
;
2
2) w e z ;
z0 2 4i ;
3) u x 2 2 y 2 xy,
БН
Вариант 30
1) f z Ln z ,
z 2 25
ТУ
6)
f 0 0 ;
zi , G : квадрант Re z 0, Im z 0 ; z i 5) Re z dz , – окружность z a R , пробегаемая против ча-
ри й
4) w
совой стрелки; e z dz , : z 3; 6) 2 z i
ит о
7) f z
z2 1 ; z2
по з
8) f z 10)
z2 1
Ре
zdz
106
, – эллипс
9) f z
x 2 2 y 2 1
9
1.
ez z3
z0 0 ;
,
z ( z 2) 2
;
ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ ПОСОБИЙ
Ре
по з
ит о
ри й
БН
ТУ
1. Гусак, А. А. Высшая математика : в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск : ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. 2. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления (для втузов) : в 2 т. / Н. С. Пискунов. – М. : Наука, 1985. – Т. 2. 3. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис Пресс, 2010. 4. Сборник задач по математике для втузов : в 2 ч. / под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. – М. : Наука, 1985. – Ч. 2. 5. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Е. Данко [и др.]. – М. : Оникс, 2005. – Ч. 2. 6. Белько, И. В. Высшая математика для инженеров : в 2 ч. / И. В. Белько, К. К. Кузьмич, Р. М. Жевняк. – М. : Новое знание, 2007. – Ч. 2. 7. Краснов, М. Л. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко. – М. : Наука, 1981. 8. Гусак, А. А. Справочное пособие к решению задач. Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление / А. А. Гусак, Г. М. Гусак, Е. А. Бричикова. – Минск : ТетраСистемс, 2002. 9. Элементы операционного исчисления : методические указания и контрольные задания / сост.: Г. К. Воронович [и др.]. – Минск : БНТУ, 2009. 10. Марцинкевич, В. С. Уравнения математической физики : методическое пособие для студентов машиностроительных специальностей / В. С. Марцинкевич. – Минск : БНТУ, 2008.
107
ТУ БН ри й Учебное издание
ит о
ГАБАСОВА Ольга Рафаиловна ГРЕКОВА Анна Валентиновна ЗУБКО Ольга Леонидовна и др.
МАТЕМАТИКА
Ре
по з
ПРАКТИКУМ В 4 частях Часть 3
Редактор О. В. Ткачук Компьютерная верстка А. Г. Занкевич
Подписано в печать 14.07.2015. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 6,23. Уч.-изд. л. 4,91. Тираж 800. Заказ 299. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/173 от 12.02.2014. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.
108