Специальные разделы высшей математики практикум

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2016 1

517.91 22.161 54

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54

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. , 08.04.01 «

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517.91 22.161

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2

.............................................................................................. 5 1. 1.1. 1.2. 1.3.

................. 6 ................................................................................. 6 ..... 6 , .......................................................................................................... 7

1.4. ........................................................................................... 7 1.5. 1.5.1. 1.5.2. 1.5.3. 1.5.4.

1.6.

............................................................................................ 8 .................................................................................. 9 ............................................. 10 ............................................................................... 11 ....................................................................... 12 « » ............................... 17 ............................................ 17 « » ... 30

2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.8.1. 2.8.2. 2.8.3. 2.8.4.

2.9.

.

.

......................................... 32 .................................... 32 .................................................................. 33 . ......... 34 . .................................. 34 . ................................ 34 . ..... 35 ............................ 35 ............................................................. 35 ...................... 35 ..................... 36 ............................ 38

...................................................... 40 « . » ............................................................. 44 ........................................................................................... 44 « » .................................................. 44

3

3.

..................................... 46 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

....................................................................................... 46 . .................................................................................................... 47 . ...................... 48 ............................................................................................ 49 « » ........... 50

3.5. ( 3.5.1. 3.5.2.

) ........................................................ 51 . ........................................................ 51 . .......................................................... 52 » ................................................. 57

4. 4.1. 4.2. 4.3.

4.4. 4.5. 4.5.1. 4.5.2. 4.5.3.

............................................................................................ 58 ...................................... 58 . ................................................................................................ 58 ..................... 60 « » .......................................................................................... 61 . ..................................... 61 .................................................................... 62 . ....................................... 62 .................................................................... 63 ......................................................................... 68 ........................................................... 71

4

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5

-15-1).

1. 1.1. .

. 1.1 [3].

1.2.

.

. 1.2 [3].

( . .

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, 1. xy

y

2. y sin x 1 x2

3. e

: x ( y 3) C . x : ln y tg . 2

3.

y ln y , y

2

e.

e2x dy 0 . x 1

ctg y dx

: e( x

y 4. 2 y

y2 x

5. xy

2

6

3 x2

y x

3.

y2

: x

y.

: y

y cos x

11. y

2 ye x

y 2 cos x, y (0)

1) 2

2 ln cos y

C,

n, n Z .

2

y Cx( y 3 x), y x2

y2

3x .

Cx 4 .

2

2

6. y 2 xy xe x sin x . 7. y cos x y sin x 2 sin 2 x . y 8. y x 2 , y (1) 0 . x 9. 3xy 2 y 2 y 3 x 3 . 10. y

.

2.

2 ye x .

: y e x (C x cos x sin x) . : y ( 4 ln cos x C ) cos x . 1 2 : y x ( x 1) . 2 : y 3 x 3 Cx 2 . 1 3 sin x : e 1. y 2 :

6

y 1 C exp e x , y 0 .

1.3.

,

.

. 1.3 [3]. ., : f ( x );

(n)

.

y

. .

F ( x , y , y ) 0 , F ( x , y( n F (y, y , y ) 0 .

1)

, y( n ) ) 0 ;

,

2. y

6. yy

y . 0.

y 2

y

y

2e 2

y

C1 x 3

C2 x 2

C3 x C 4 .

x4 sin x C1 x 2 C 2 x C3 . : y 24 : y C1 x (ln x 1) C 2 .

x cos x .

4. xy

x 3 ln x

: 6y

3. x ln x y

5. y

.

1.

1. xy

-

.

: y

C1 x 3

C 2 x C3 .

: ey

C1

( x C 2 ) 2 ,C 1

: C1 y 1 C 2 e C1 x , y C

y.

C1 . 4 x.

1.4.

.

. 1.4 [3]

1.

(

).

.

2.

(

)

. 3.

.

. 1. 3 y 2. y

2y 2y

8y y

0. 0.

: y

C1e 2 x

: y

e

7

x

C2e

4 x 3 .

(C1 C 2 x) .

3. y

8y

0.

4. y 5. y

2y 2y

5y 2y

6. y

y

y

7. y

2y

2y

8. 3 y

2y

8y

: y C1e 2 x

: y (C1 cos 2 x C 2 sin 2 x)e : y e x (C1 cos x C2 sin x) .

0. 0.

: y C1e

0.

y

e x (C2 cos 3x C3 sin 3x ) .

0. 0.

x

(C 2

x

.

C 3 x )e x .

(C 2 cos x C3 sin x)e x .

: y

C1

: y

C1e x

C 2 cos x C 3 sin x .

. 1. y 2. y

y 3. 6 y 11 y

3. y 4. y

7 y ( x 1) 2 . y sin x cos x .

5. y

4y

8y

2

: y.. : y..

6y 1.

. , (C

const ) .

x3 . : y . . Ax Bx 2 : y . . x(C1 cos x C2 sin x) .

e 2x .

: y

. .

e 2 x (C1 cos 2 x C 2 sin 2 x) .

. 1. y

2y

y

2.

2. y

4y

4y

8e

3. y

2y

2y 1

.

4. y

4y

5 y 10e

2x

5. y

3y

2y

2x

.

x

: y

C1e

: y

e

2x

: y

e

x

C 2 xe

(C1

C2 x

x

2. 4x2 ) . x . 2

(C1 cos x C 2 sin x)

: y e 2 x (C1 cos x C2 sin x 5 x sin x )

cos x .

xe x .

: y C1e 2 x

C2e x

(0,5 x 2

x )e x .

. 1. y 2. y 3. y

1 . sin x 2 y y 6 xe x . 1 . y cos 3 x

: y

y

:y :y

cos x (C1 C1e x

x) sin x(C 2

ln sin x ) .

C 2 xe x

x 3e x . cos 2 x C1 cos x C 2 sin x . 2 cos x

1.5.

. .

, 8

. . ,

-

, )

1,

.

k,

).

2,

…, , yk y( xk ) ,

-

, . ,

-

,

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,

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-

. .

-

dy dx

y

f ( x, y )

(1.1)

y( x0 )

y0 .

(1.2)

c

x0 ; b

h. 1.5.1.

:

y y x

dy , . . y( x h ) y( x ) x0 ; b –

y( x ), x

y ( x )h . (1.1), (1.2). x0 x1 x2 ... xn

x0 ; b

h

xi

y( xi )

yi

yi

1

yi , i

b x0 . n

xi

1

b.

yi ;

-

0, n 1. xi

(1.1)

y x

-

f ( x, y ) , . . y

y1

y0

y0 ; y2

y1

f ( x, y ) x . y1 , ....

,

yi

1

yi

yi , yi 9

f ( xi , yi )h, i

0, n 1.

(1.3)

y( x h )

y( x

:

h)

-

h2 y ( x) 2!

y ( x) h y ( x)

h3 y ( x) ..., 3!

h, -

,

h2 .

h

,

.

. ,

( xi ; yi ), i

1, n 1

. ,

-

– .

1.5.2.

: y( x

x)

y( x )

y(x

. 0

x) x,

1. -

xi 1 , xi 1 , xi : y( xi 1 ) y( xi 1 ) y ( xi ) 2 h , x 2 h; xi h xi 1 . , yi 1 yi 1 yi , yi 2hf ( xi ; yi ), i 1, n 1 . h2.

: (1.4)

h3. ,

h

. (1.4)

y( x0 ) ,

y0 , y( x1 )

y1 .

1

: 2

y( x1 )

i=1,

3

h h y ( x0 ) y ( x0 ) ... . 2! 3! , 0 .

y( x0 ) hy ( x0 )

,

y y0

y0 ( x0 )

f ( x , y ), y

f ( x0 , y0 ), y0

y1

fx

fy y ,

y ( x0 )

fx

hy0

h2 y0 . 2!

y0

yi + 1

fy y

x x0 , y y0 , y

.

(1.5) (1.4).

10

y0

1.5.3. –

-

,

. : f ( x , y ), y ( x0 )

y

y0

x0 ; b ,

h

x0 ; b

xi , i

0 , n , xn

b. yi

yi

– 2

yi

yi

1

3

i

x0 n

y( xi ) yi , 0, n 1 . : yi yi 1 2 yi yi 1 .

yi , i

1

b

yi

2

2 yi 1 yi . xi : y ( xi ) yi , y ( xi )

0, n . :

yi

yi

1

2

yi ;

yi

yi

yi , -

y ; ... .

1

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y1

y0

hy0

h2 y0 2!

h3 y0 ; 3!

y2

y0

2hy0

( 2h) 2 y0 2!

y2

y0

2hy0

2h 2 y 0

y( x0 ) h3, h3.

( 2h) 3 y0 3!

(1.6)

4 3 h y0 , 3

y0 . h4.

-

y0 , y0 , y0

. ,

0,

1,

2.

.

yi

1

yi

h yi 2

hyi

1

5h 12

2

yi

2,

i ,

. . 1.1.

11

2, n 1.

(1.7) -

1.1

xi

yi

x0 x1 x2

yi

y0 y1 y2

x0 h x0 2 h

y0 y1

yi

2

yi

y0 y1

2

y0

y1 y2

y0 y1

yi

y1

1

y0

(1.7)

y2 1.5.4.

x0 ; b

(1.1), (1.2)

h

).

h

.

xi y( xi )

x0 yi .

b

x0 n

.

ih, i 0, n . f ( x, y )

, .

+1

. h 2

y

: y0

y( x0

h ) y( x0 )

hy0

(1.5.1) f ( x0 , y0 ), y0 , ... .

y ( x0 )

h hm 1 ( m 1 ) y0 ... y . (1.8) 2! ( m 1 )! 0 , , y y( x ) (1.8)

. ): p1k1( h )

r

1, 2 , 3, 4 . ,

r

yi

. 1

1 (i ) k 6 1

p2 k 2 ( h ) ... pr kr ( h ) pi , ki ( h ) y . r r 4 . , r = 4. (1.1), (1.2) yi 1 y i yi ,

2 k2( i )

2 k3( i )

12

k4( i ) , i

-

4

0 , 1, 2, ... .

: (1.9) (1.10)

hf ( xi , yi ); k 2( i )

k1( i ) k3( i ) h5, . .

(1.11)

k 2( i )

h , yi 2

hf xi

k1( i ) ; 2

h , yi 2

hf xi

k4( i )

;

2

hf xi

k3( i ) .

h , yi

(1.10)

.

.

, .

-

: h

2h. ,

2

h

,

. . (1.9) – (1.11)

,

-

. 1.2. 1.2

i

x

y

x0

y0

x0

h 2

x0

h 2

0

y

y

k 1(0) 2 k (0) 2 2

y0 y0

x1 = x0 + h y k (0) 0 3

f ( x, y )

k

f ( x0 , y0 )

k1( 0)

hf ( x, y )

y

k1( 0 )

hf ( x0 , y 0 )

f x0

h , y0 2

k1( 0) 2

k 2( 0 )

hf x0

h , y0 2

k1( 0 ) 2

2k 2( 0)

f x0

h , y0 2

k 2(0 ) 2

k 3( 0)

hf x0

h , y0 2

k 2( 0) 2

2 k3( 0 )

f x0

h , y0 2

k 30

k 4(0 )

hf x0

h , y0 2

k 3( 0)

k 4( 0) y0

1

x1

y

x

y1

y0

1 6

y0

1.5.1. y , y(0) 1 ,

h ,

0,1

0; 0 , 5 .

,

: -

. 0

.1.

(

).

(1.3):

yi

1

yi

yi ,

yi

0, n 1 . h 2 ).

h ( ,

hf ( xi , yi ), i

,

,

13

h 4 ).

( . . 1.3.

1.3

yi

xi

yi

0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5

1

yi

f ( xi , yi )

yi

1 1, 1 1, 22 1, 362 1, 5282 1, 72102

xi

yi

yi

1 1, 2000 1, 4200 1, 6620 1, 9282

0, 10000 0, 12000 0, 14200 0, 16620 0, 19282

20.

( (1.4), (1.5): yi 1 yi

yi ,

1

y1

f ( xi , yi ) 0 , 1

yi

).

2hf ( xi , yi ), i

y0

-

1, n 1 ,

h2 y0 . 2!

hy0

,

y

x y1

y , y(0) 1

y (0) 1; y

0 , 12 1 0,1 1 2 , y1 2

1

y

y (0 ) 1

=0: y ( 0 ) 2.

1, 11 . (1.4)

. 1.4. 1.4

y y 1 1, 11 1, 242 1, 3984 1, 58168 1, 794736

0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5

f ( x, y )

x

1, 21 1, 442 1, 6984 1, 98168

y

y

2 hf ( x , y ) 0 , 2 f ( x , y )

0, 242 0, 2884 0, 33968 0, 396336

h2 .

-

, 0

3.

. (

h3 .

).

14

yi

y1

y0

hy0

y2

y0

2 hy0

yi

1

h2 y0 2!

h3 y0 , 3!

( 2 h )2 ( 2 h )3 y0 y , 2! 3! h 5 2 yi 1 yi 2 , i 2, n - 1 . 2 12

hyi

: y x y, y 1 y , y y . y( 0 ) 1, y ( 0 ) 1, y ( 0 ) 2 , y ( 0 ) 2 . , y1

=0

0 , 12 2 2

0 , 13 2 y1 6 4 1 0 , 2 1 2 0 , 12 2 0 , 13 2 3

1 0,1 1

y2

1, 1103; y2

1, 2427.

. 1.5. 1.5

y 0

1

x

y

2

y

y

1 0, 2103

0,1

1, 1103

1, 2103

0, 0221

0, 2

1, 2427

1, 4427

0, 3

1, 39951

1, 69951

0, 4 0, 5

1, 5833186 1, 7969658

1, 9833186

0, 2324 0, 02441 0, 25681 0, 0269986 0, 2838086

,

y3

(1.7)

1, 2427 0 , 1 1, 4427 ), y3

0,1 2

0 , 2324

5 0,1 0 , 0221 12

1, 39951 .

. 1.5. 0

4.

xi

x0

ih , i

. 1, 2, 3, 4, 5 .

h4 .

( ). 0; 0 , 5

5

(1.6):

15

yi

yi

1

yi , i

1 (i ) k 6 1

yi

k1( i )

1, 5;

2 k 2( i )

hf ( xi , yi );

k3( i )

hf xi

2 k3( i )

k 2( i )

k4( i ) , i

k1( i ) ; 2

h , yi 2

hf xi k2( i ) ; k 4(i ) 2

h , yi 2

1, 5;

h , yi 2

hf xi

k 3(i ) .

. 1.6.

. 1.6

i 0

y= y+ y 0 1 0, 05 1, 05 0, 5 1, 055 0, 1 1, 1105 x

f ( x, y ) = ( x + y ) 1 1, 1 1, 105 1, 2105

k = hf ( x , y ) 0, 1 0, 11 0, 1105 0, 12105 1 6

y0

x1

1

0, 1

0, 1 0, 15 0, 15 0, 2

y1

y0

2

1, 11034 1, 170857 1, 176383 1, 242978

y2

y1

y2

1, 242803

1, 21034 1, 320857 1, 326383 1, 442978

1 0 , 66205 0 , 11034 6

0, 121034 0, 132109 0, 132638 0, 144298 1 6

0, 121034 0, 264171 0, 265277 0, 144298

1 0, 794774 6

0, 13246

y1

50.

(

). : y

y

0, 1 0, 22 0, 221 0, 12105

y0

y1

x2 0,2 0, 2

y

e

dx

xe-

dx

dx C , y

u dv xe-x dx

xe

x

y

ex

uv

v du :

e-x dx

xe

x,.

xe-x dx C . x

e

x

C.

x 1 Ce x .

: y ,

y( 0 ) :

:

1 C

y

2e x 16

1

C

x 1.

2.

50. : y

x

( y , y(0) 1

. 1.7). 0; 0 , 5

h

0,1. 1.7

2e x

y 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5

1 1, 1 1, 22 1, 362 1, 5282 1, 72102

1 1, 11 1, 242 1, 3984 1, 58168 1, 794736

1 1, 1103 1, 2427 1, 39951 1, 5833186 1, 7969658

1 1, 11034 1, 242803 1, 399715 1, 583646 1, 797439

h

h2

h3

h4

1

2

3

4–5

x 1

1 1, 1103418 1, 2428056 1, 3997176 1, 5836494 1, 7974423

,

-

» .

.

. qx ,

y py 0; 0 , 5

y(0) 1 h=0,1 .

,

p

, :

k 10

2, q

; x –

k–

.

,

13 k, k

1, 12 ,

12 k , k .

13, 25 ,

. 1.5.1

-

. 1.6. 0

1.

– 1, : 17

2,

…,

k

-

F ( x , y1 , y1 , ..., y1( m1 ) ;....; yk , yk , ..., y(k mk ) ) 0 , i 1, k .

(1.12)

0

2. –

(1.12),

yi( mi ) :

yi( mi )

fi ( x , y1 , y1 , ..., y1( m1

1)

;....; yk , yk , ..., yk( mk

1)

), i

1, k .

0

3.

(1.13) –

: f i ( x, y1 , y2 , ..., y n ), i 1, n .

yi

(1.14) (1.14) -

(1.13) : n

n

mi , i 1

y1

yk 1 , y1

yk

1

yk

( mk 2 , ..., yk

1

)

yn

yn 1 .

0

4.

-

t–

dxi X i ( t , x1 , x2 , ..., xn ), i dt )– 1, 2, … , , dx/dt –

,

(1.15) ,

(1.15)

1, n ,

. -

, .

0

5.

. , 2,

(1.14), (1.15) n 1

y1( x ) .

y1

…,

x , y1 , y1 , ..., y1( n

( ,

(

). -

) dy dt

ai1 y1

ai 2 y2 yn

– :

1)

fi ( x )

0,

... ain yn

a1 y( n

f i ( x ), i

1, n ,

: 1) ... an y V ( x ) . f i ( x ) 0 , i 1, n , (V (x)=0); ( V ( x ) 0 ).

18

(1.16)

-

dx dt dy dt a, b, c, d – x (t ), y (t ) –

ax by

f (t ),

cx

g (t ),

dy

f (t ), g (t ) –

,

,

.

y

1 dx b dt

ax

f (t ) ,

1 d 2x b dt 2 ,

dy dt

,

a

dx dt

f (t )

(*)

x(t ) : d 2x A 2 dt A, B, C –

B

dx dt

Cx

P (t )

0, : x

.

dx dt

x

dx dt dy dt

1.6.1.

x(t , C1 , C 2 ) .

y.

(*),

3 x 8 y, x 3 y.

.

x

dx dt (1)

d2y dt

2

y

3y

3

dy dt

dy , dt

d2y dt 2

(1)

.

(2)

(2) ,

0,

x

y C1e t C 2 e t . (3) (1), : t t 3(C1e C 2 e ) (C1e t C 2 e t ) x x

4C1e t

y C1e t

19

2C 2 e t , C2e t .

(3)

4C1e t

2C 2 e t .

dx dt dy t2 dt

x

t

1.6.2.

yt, 2x

yt.

.

x t

y

dx , dt

dy dt

t

d 2x

dx t dt

dt 2

t

x

t2

dt 2

t

d 2x

2

0. dt 2 d 2x

0,

dt 2 x

y

C1 C 2 t . x dx C1 C 2 t t dt t

C2

0

-

C1 . t

2C 2

C2 t ,

x C1 C1 t

y

. ,

dx x t , dt

2x

d 2x

1 dx t dt

dy dt

y 2

x

2C2 , t

0.

60. (

,

-

):

y1

a11 y1

a12 y2

... a1n y n ,

y2

a21 y1

a 22 y 2

... a 2n y n ,

... ... ... ... ... ... ... ... ... yn

a n1 y1

an2 y2

(1.17)

... a nn y n ,

: Y

AY , A

aij

1 A

I

0, I

n i, j 1

0

, Y

( yi )in 1 , Y

0

(1.17’)

: ... 0

0 1 ... 0 – ... ... ... ... 0

( yi )in 1 .

... 1

20

(1.18)

(1.17)

-

(1.18) . C1Y ( 1 ) C2Y ( 2 ) ... CnY ( n ) .

Yoo

i

y( i )

Li e

1x

,

Li

li

n i 1

–

(1.19) (1.18) A,

-

i. 0

7. 1)

.

Y

f i ( x ) in 1 ( . . 1.4): Y . :

f(x) Y

Yoo

2) n

Y

,

C j ( x )Y ( j ) ,

j 1

C j( x )

: n

yi( j )C j

fi , i

1, n .

j 1

). :

dx dt dy dt dz dt

x (1.21)

(1.20): er t , y

1x

b1 y

c1 z ,

a 2 x b2 y

c2 z ,

a3 x b3 y

c3 z .

er t , z

er t ,

, , er t ,

(1.20) , , :

21

(1.20)

r const .

(1.21) -

(a r )

b

a1

(b1

a2

b2

0,

c

r)

0,

c1

(c 2

r) ,

(1.22)

(1.22)

0. -

:

a r

b

c

a1

b1 r

c1

a2

b2

c2

0.

(1.23)

r

(1.23)

. , (1.22) 1, 1, 1 . , r r3

. (1.22), 2

,

2

,

2

,

r

r1 (1.22) r r2 3, 3, 3 . :

, , r1 t 1e , y1 r2 t 2 e , y2 r3 t 3 e , y3

x1 x2 x3

1e

r1 t

, z1

1e

r1 t

-

,

2

e r2 t , z 2

2

e r2 t ,

3

e r3 t , z 3

3

e r3 t .

:

x

C1

1e

r1 t

C2

2

e r2 t

C3

3

e r3 t ,

y

C1

1e

r1 t

C2

2

e r2 t

C3

3

e r3 t ,

z

C1

1e

r1 t

C2

2

e r2 t

C3

3

e r3 t .

.

,

, , .

-

. . 1.6.3.

dx dt ) dy dt

:

8y x

x, y;

dx dx x 5 y, dt dt ) ) dy dy 2 x y; dt dt dx 8 y x, dt ) dy x y. dt 22

2x

y;

4y

x.

, ,r

er t , y

x

. const .

er t ,

(1.6.12):

1 r

8 1 r , (1 r )

1

r2

0, :

8

0,

(1 r ) r1 3, r2

0.

9

0.

3 2,

1

2e 3t , y1

x1

x 2C1e 3t

1;

1

4,

2

e 3t ; x 2

4C 2 e

3t

2

3t

4e

, y2

C1e 3t

, y

1.

e

3t

3t

C2e

)

, – dx dt dy dt

, ,r

.

x 5 y, .

2x

y.

er t , y

x

. const .

(1.22) (1 r ) 5 0, 2 (1 r ) 0. 1 r 2

r1

3i, r2

5 1 r

r1 1

(1 3i )

(1)

3i

9 0 (1),

1

5,

1

-

: 1

5

1

0, 2

1

(1 3i)

( (1)

er t , :

. r2

0,

3i . 1

-

1

0,

,

-

). 1 3i ,

-

: ,

x1 5e 3 i t , y1 (1)

: 23

(1 3i )e 3i t . r2 3i ,

(2)

3 it

5e

x2

, y2

(1 3i)e

3i t

.

(3) -

, :

x1

x1

x2 2

x1

, x2

x2 2i

y1

, y1

y2 2

y2

2i cos at i sin at ,

ait

e

y1

, y2

(4) (2),

(3), (4)

x1 5 cos 3t , x 2

5 sin 3t ;

y1

cos 3t 3 sin 3t , y 2 sin 3t 3 cos 3t. : x C1 x1 C 2 x 2 5C1 cos 3t 5C 2 sin 3t ; y C1 y1

C1 (cos 3t

C2 y 2

dx dt ) dy dt

.

3 sin 3t ) C 2 (sin 3t

2x

y;

4y

x.

3 cos 3t ).

. 2 r 1 1 4 r

: r1 x

(

r2

0

r2

3.

1

1

t )e 3t ,

y

(

2

6r 9

2

(1)

0

t ) e 3t ,

(1)

, 3(

1

1

t)

1

2(

1

1

t) (

2

2

t) . t

(2),

: 3

1

2

1

1 1 1

1

2, 3

1

2,

1

1

1

2,

2.

,

x (C1

(3) -

.

1 2

2

(2) -

:

C 2t )e 3t , y (C1

C2

C 2 t ) e 3t .

. ,

-

, .

24

1.6.4.

x

7x

y,

y

2 x 5 y.

Y

.

x

7

1

y

2

x

5

AY :

,

y

.

A 7

1 2

x

12 x

0, ( 7

5

y

yoo

6e

6t

37 y

e

6t

y

x .

37

0.

C1 cos t C2 sin t .

C1 sin t C2 cos t

7e

6t

C1 cos t

C2 sin t .

xoo

e

6t

yoo

e

6x

:

C1 cos t C2 sin t , C1 C2 cos t

C2

1.6.5. , x 4y,

x

12

yoo

,

)

6t

2

) 2 0

0.

xoo e x 7x :

C1 cos t C2 sin t

0:

)( 5

6 i . y 12 y

37 x 0

I

C1 sin t . -

.

y. .

: x'

1 4

x

y'

1 1

y

,

X'

x

AX , X

y

: A 1

1,

I 2

0,

1

4 1

0

1

2

1

2

4 0,

3 –

.

e

t

: e t , e3 t .

:

X

1

L( 1 )e 25

1t 2

L( 2 )e

2t

,

2

3 0.

-

2–

1,

; L(11 ) L( 1 )

L(12 )

... , L( 2 )

–

...

L(21 )

,

L(22 )

, 10.

A

I L

1

1

-

0.

A I L( 1 ) 0 . 2 4 L1 1 2 L2

0

2 L1

0

L1

4 L2 2 L2

0, 0.

. L1

),

L1

L2

1,

2L2 . L1

0 (

2 L2

2 L2 .

2 . 1

L( 1 )

20.

L( 2 ) , 3:

2

2

4

1

2

, L2 1, L1

2 L1

L1

0

L2

0

L1

L( 2)

2 . 1

2

4 L2

2 L2

0,

L1

0.

2 L2 .

, x1

2

y1

x y

C1

2 e 1

t

1

C2

e t,

2 3t e 1

x2

2

y2

1

x

e 3t .

2C1e

y C1e t

t

C 2 e 3t .

.

-

( . b)

: 2C 2 e 3t ,

), : x' 3 x y 0 , y' x y 0 ,

26

x( 0 )

y( 0 ) 1.

. . : x' y'

3x x

x' y'

y, y,

3 1

1 1

x . y

:

A

I

3

0,

1

1

2

0

1

4

2) 2

(

4 0

2

k

0,

2.

, , x

,

-

x( t ) : t

e

2t

x1

e

, x2

x

C1 x1 C2 x2

t

te x

2t

te 2t

e

(C1 C 2t ).

y( t ) y

x ' 3 x, x '

y ,

e

2t

(C 2

:

2e

2t

2C1

(C1

C 2t ) C 2 e

2C 2t ) 3e

2t

e

2t

2t

x

(C1 C2 t ) : e 2t ( C1 C2t ),

y

e

2t

(C2 y

2C1 e

2t

2C 2t ), ( C1

C2

( C1 C2 C2t ). ,

C 2t ).

-

: x(0) 1 C1 , y (0) 1

C1 1,

C1 C2 ,

C2 C1 , C2

,

x

e

2t

( 1 2t ) , y x' x y e t , ) y' x y et .

e

2t

1 C1

2.

: ( 1 2t ) .

(1)

.

.

(1)

t:

x ' ' x' y ' e t .

(3) .

(2)

(2) -

(1):

y' x

y et

y

x' x e t

27

x x' x e t

et

x ' 2e t

(1)

y'

y'

(2)

x' ).

(3),

-

x

x( t ) :

x ' ' x ' ( x ' 2e t ) e t (4)

x ' ' 2 x ' 3e t .

(4) .

x' ' 2 x'

0

: 2

2

x

t

e

0

0,

1

x1

1, x

C1 C2e

2t

e

2 2t

2. ,

C1 x1 C2 x2 .

. (4)

-

f ( t ) 3et

a bi 1 ,

t,

f (t ), Aet

).

Aet

2 Aet et ,

3et ,

A 1 (4)

C1 C2e x' x et

y

2C2 e

2t

x

5 P1

3 P2

P2'

6 P2

P3 ,

P3' 5 P1 P1

P2

3 P2 P3

1,

2 P3 , 3 P3 ,

et .

et

C1

C1 C2 e

P1'

2t

C1 C1e : C2 e 2 t e t ,

,

d)

,

2t

2t

(5)

et et .

et .

P1( 0 ) 1, P2 ( 0 ) 0 , P3 ( 0 ) 0. ,

Pi

Pi ( t ) –

. 0,

-

.

, . .

Pi ( t ) 1 , 28

,

-

.

.

A 5

( 5

)( 6 ( 5

1

3

0

6

5 )( 3

3 ) 3

2

9

3

14

)(

0,

1

0;

3 )

15) 5(15 2 )

0,

2

,

0:

2

5 3 2(6

7

2

I

50

0,

0.

49 50 Pi ,

7 i. 1.

.

. P2 .

P3 1 P1 , P1'

:

7 P1

P2

2,

P1( 0 ) 1,

P2'

7 P2

P1 1,

P2 ( 0 ) 0 ,

P3

1 P1

P2 ,

P3 ( 0 ) 0.

P2

P1' 7 P1

(1)

2.

: P2'

P1' ' 7 P1'

7( P1' 7 P1

2 ) P1

1, P1' ' 14 P1 50 P1 P1 P1 ( t ) .

15 .

10.

(2) -

: 2

A

.

P 0

2.

I

14 0 ).

50 0

7 i,

e t ( C1 cos t C2 sin t ), Poo (2) f ( t ) 15 const , P 50 P

A, P'

P' '

15

30.

P P1

P1( t ) (3) (1),

e

7t

P

( C1 cos t : 29

e

7, 7t

0

1.

( C1 cos t C2 sin t ).

(2),

15 0 , 3. 50 P C 2 sin t ) 0 , 3.

(3)

P2 ( t )

7e

7t

7( e

( C1 cos t C2 sin t ) e

7t

7t

( C2 cos t C1 sin t )

( C1 cos t C2 sin t ) 0 , 3 ) 2 7t

P2 ( t ) e

C2 cos t C1 sin t C1 C 2

0,1 .

(4)

(3)

P1 ( 0 ) 1

C1

0 , 3,

C1

0 ,7 ,

(4)

P2 ( 0 ) 0

C2

0 , 1,

,

C2 0 , 1. C2 (3), (4),

C1

-

. P1( t ) 0 , 3 e

7t

( 0 ,7 cos t

0 , 1 sin t ),

: P2 ( t ) 0 , 1 e

7t

( 0 , 1 cos t

0 ,7 sin t ),

P3 ( t ) 1 P1( t ) P2 ( t ) 0 , 8

7t

e

( 0 , 6 cos t

0 , 8 sin t ).

.

A

I

-

0 .

A .

I

-

0,

» . . .

–9,

[4].

.

. 1.6.

1.

x 2x

y

y 3x

4y

; 3.

x

2.

y x

y

x 4x

30

1 . y

5x

x 3y y 1 y

t

x(0) 1, y (0) .

0;

2 . 1. 3.

x

x 2y

y 3x 4 y 5x 2 y x

; 2.

4x

x

2x

y

x 4y

y

e t

8 x 3 y 5e

y

x(0)

0, y (0)

2;

t

. 3 .

1.

x x 8y 0 y

x

; 2.

y

x

2x 2 y

y

x 4y

x(0)

3,

y (0) 1 ; 3.

x

y Cost

y

x Sint

.

4 . 1.

x

x

y

y

2x 4 y

; 2.

x

x

y

y

5x

y

x (0 )

y (0 )

0 ; 3.

x

x

y 1

y

6x 4 y t

x

x

.

5 . 1.

x

x

y

y

2x 3y

; 2.

x

x 3y

y

3x

x(0)

y

y (0) 1 ; 3.

y et

x 4 y e 3t

y

6 . 1.

x 3x

y

y 8x

y

;

2.

x

x 5y

y

5x

y

x(0)

y (0)

5 ; 3.

x

y 2et

y

x t2

.

7 . 1.

x

2x

y

y

4x

y

; 2.

x

y 5Cost y

2x

x(0)

y

y (0)

0 ; 3.

2, y (0)

3;

8 . 1. 3.

x

6x 3 y

y

x

8x 5 y

; 2.

3x 2 y 4e 5t y

x 2y

x

3x

y

y

4x

y

x (0 )

.

31

x x 5y 0 y x

y 0

.

.

9 . 1.

x

x 5y

y

x 3y

; 2.

y

y 2x

x

2 y 3x

x (0)

y (0 )

3 ; 3.

x 3x 4 y e

2t

y

x 2 y 3e

2t

n

. 5n . 1n

.

10 . 1. 3.

x 3x 2 y y

2x 8 y

y e 2t

4x

x

y 2x

y

x 5x 3y 0

; 2.

x(0) 3, y(0) 0 ;

y 3x y 0 .

11 . 1. 3.

x y

y

; 2.

2x 3y x 2y x 1

y

3 y 2 x 2e t

x

5x 2 y

y

5x

x(0)

y

y (0)

4;

. 12 .

1. 3.

x y

x y

x 3y x 5y

; 2.

x

3x

y

y

5x

y

x(0)

0,

y (0)

2;

5 x 3 y 2e 3t x

y 5e

t

2. 2.1.

.

.

1) u n

. 2.1 [3].

3n 1 n

2

1

; 2) u n

3 2

n

1

; 3) u n .

32

n 2 ; 4) u n ln( n 1)

n

2

1

; 5) n

-

1) 1 3)

2 2

1 1 5

5 4 .... ; 2) 2 8 1 1 5 9 9 13 13 17

4

7 3

3 4 1

9

9 4

16

11 5

.... ;

....

-

Sn

. 1)

1 1 3

1 3 5

1

1

5 7

1

.... ; 2)

7 9

n

n 1

2

7n 12

1 ; (3n 2)(3n 1) 1

; 3) n

4) 1 2 3 4 .... n .... ; 5) 1 1 1 1 .... ( 1)

n

....

2.2. .

. 2.2 [3].

, . 3n 2 1) ; 3 n 1 5n

n2

2) n 1

n3

2

n

3 1 n

; 3) n 1

-

n2 1 ; 4) arctg . n 3 n 1

, .

1 ; 3) 4n 13

1 ; 2) 2 3n 2 n 1 n

1) n 1

n

1 ; 2) ln n 1 n

5 n 1

n 1

, 1

n

2

2n

n

n

2

1

2 1 ; 5) 3 7 2 n ln n n 1 4 3n 1

; 4) n

.

1

; 3) n 1

3

; 4)

n4

2

n 1

n 2 . n

,

-

.

sin

1) n 1

4 ; 2) n2

n 1 4n 6

n 1

; 3)

2

2n 3 3 5 3 2 n arcsin . ; 4) 4 2 n 1 5 n n 1 n 1 ,

.

1 1) 3

2 5

n5 5) ; n n 1 2

2

3 7

3

6) n 1

n

... ; 2) n 1

3n 2 ! ; 5n

.

n 1

2n 1

; 3) n 1

2

3n 1 7) ; 4n n 1 , 33

n

; 4) n 1

n 3n 1

2n 1

;

nn 8) . n 1 n! .

1)

1 2

2 5

10 5) 1! 9)

3 1 ... ; 2) 8 2 10 2 2!

10 3 3!

5n 3 ; 10) 2 2 1 n n 1

1 5

1 ... ; 3) 8

... ; 6) n

n

n

n 1 3n 2 2 3 2 n n 3n 1 ; 7) ; 8) 4 2 1) n5 2 1 (n n 1

1 1 1 n n 1 2

1 ; n n

tg 2

; 4)

n 1

n 1

3

n

;

2

n2

ln

; 11) n 1

n2 1 ; 12) n2

n 2 . 2 3 n n 1

.

2.3.

. .

. 2.3 [3].

2.4.

.

.

. 2.4 [3].

. 1

n ( n 1) 2

1 1 1 1 1 ( 1) n 2 ; ... ( 1) .. 2) 2 2 2 2 2 2 3 4 5 n n 9 n 0 1 3 5 7 2n 1 n ... ( 1)n .. ; 4) ( 1) n 3 3 3 2 3 3 3 4 3n 5n 1 n 1

1) 1 3)

( 1)

5)

n 1

n 1

( 1) n

8) n 1

( 1) n 1 n 3n 1 ;7) ( 1) n sin 2 ; ;6) n 3 2n 1 n 1 n n 1 n2 1 . 5n 2 2

2.5.

. .

. 2.4 [3]. .

1)

1 ; x n 1 n

2) n

1 ; x 2n 11

ln n x ; 4 )

3) n 1

e

( n 1) x

.

n 1

. 1)

4 x 7x 2

1 4 x 3 7x 2

2

1 4 x 5 7x 2

34

3

...

x 0, x 1 ;

1! 2 x 1

2)

4x 6

2! 2 x 22

3! 2 x 33

2

4x 6

4x 6

3

...

x 1, x 2 . 2.6.

. .

. 2.4 [3].

. n

n

(2 x 5) n!(3 x 2) ( 1) n (2n 1) 2 x n ; 3) ; 2) ; 2 2n n 1 n 2 n ln n n 1 3n 1 ( x 1) n ( x 3) n (3 x 1) n ( 2 x) n 4) ; 5) ; 6) ; ; 7) n nn 1 n 3n 2 n 1 n 1 n 0 2n n 0 (3 x 2) n n x 2n . 8) ; 9) 5) 4 n n! n 1 (3n n 1

1)

2.7.

. .

. 2.4 [3]. ,

.

1) y

x2

e

; 2) y sin 2 x ; 3) y

x 1 x 2x2

; 4) y

x . (1 x)(1 x 2 )

: 1) y

ln x

3) y

x4

1 x

( x 1) ; 2) y

x2

( x 1) ; 4) y

( x 2) 3

x

( x 1) .

2.8. 2.8.1.

. 2.7.3 [3]. 2.8.1. : shx

ex

e 2

x

; chx 35

ex

e 2

(x

x

;

2) ;

ex

e

x

x2 2!

1 x x2 2!

1 x

x3 ... 3! x~ x 3 x ( ... 3! ,

xn n!

...; x (

1) n x n n!

; )

...; x (

; ). 2,

-

:

shx

x3 3!

x

x 2n 1 ... ..., x ( ; ) , (2n 1)! x4 x2n ... ..., x ( ; ) . 4! (2n)! sin 2 x

x2 2!

chx 1 1 cos 2 x . 2

sin 2 x

cos x

( 2 x) 2 cos 2 x 1 2!

sin 2 x

(2 x ) 4 4!

( 1) n (2 x ) 2n ... (2n)!

1 (2 x ) 2 (2 x ) 4 2 2! 4! x ( ; ).

1 (1 cos 2 x ) 2

2x :

x

...

..., x (

; ).

( 1) n 1 (2 x) 2 n (2 n)!

... ,

2.8.2. . . 1-2

. ,

10

3

4-5

,

10

4

5-6

.

,

, :

.

,

an 1

n 2.8.2.

Rn

,

an 1 an 1

.

cos1050 36

10 4 .

, ,

. cos105

:

cos 90

15

sin15 .

15º

10 4 ,

. 1–2

(5–6

):

15

x

15 ; 3,1415926 x 0,26179938 , 180 12 x 0,26180 . sin x : 0,26183 0,26185 sin 0, 2618 0, 2618 ... 3! 5! 0,2618 0,0029906 0,0000103 ... . a3 0,0000103 , R2 a3 , . . x

180 . .

sin15

, cos105 : cos105

10 3 .

e e1 2 . e1 2 1 n 1! 2

n 1

, 10 3 ,

n 3

4

e

10 :

Rn x

1 1 1 1! 2

1 . n n 1 !2 1 n 3, x 2

10 3 .

1 1 2! 2

2

,

1 1 3! 2

3

e 1,6484

:

m

10 3 .

30

2.8.4. .

1 x

10 4 .

-

1 Rn 2

Rn x

0, 25882 .

0, 25882

e

2.8.3. . 1 x 2

ex

0, 26183 sin15 0, 2618 3! sin15 0, 25882

-

m

1 . 2

37

1 1 4! 2

4

.

1 x 2

1 x 1

1 2

2

2!

1 3

x2

2

3

1 3 5

3!

( 1) n 11 3 5 ... (2n 3) 2

n

n!

2

4

x4

...

4!

x n , x 1.

30

x 1.

-

: 30

25 5

x 0,2 , 0,2 51 2 ,

30

30

25 1 0,2

25 1 0 ,2 .

:

0,2 2

1 3 0,2 3

1 3 5 0,2 4

2 2 2!

2 3 3! ,

2 4 4!

... .

.

30 5 a3 ,

5 (1 0,1 0,005 0,0000625 ...) . 10 3 , 5 a 4

0,0025

0,0003125

. -

, : 30 5 1,0955 5,4775 . :

30

5,4775 .

2.8.3. , -

. ,

, -

. , , ,

. 2.8.2.

2.8.5. x

)

( x)

e

. x2

) si x

0

.

sin x dx; x 0

x

x

dx

) J ( x)

sin x dx. x 0

, , . 38

ex

)

n

xn , x ( 0 n!

; ).

x2 ,

x

:

e

( 1) n x 2 n 1 x ... ..., x ( ; ) n! , 3 5 7 ( 1) n x 2 n 1 x x x ( x) x ... ... , 3 2! 5 3! 7 n! (2n 1) x ( ; ). 1 1 1 1 (1) 1 ... 0,7468 3 2! 5 3! 7 4! 9

x2

2

,

x4 2!

10 4 . ) )

x6 3!

(

x3 3! x2 sin x 1 x 3!

sin x

x

.

: x5 5! x4 5!

-

( 1) n x 2n 1 x7 ... ..., x ( ; ) 7! (2n 1)! x6 ( 1) n x 2 n ... ..., x ( ; ) . 7! (2n 1)!

,

-

:

six

x

x3 3! 3

x5 5! 5

x7 7! 7

( 1) n x 2 n 1 (2n 1)!(2n 1)

...

..., x (

; ). -

x (

; )

.

sin x dx x 0

: si

si )

3

5

3! 3

5! 5

7

7! 7

10 3 .

1,852 sin x dx 0 x x

J ( x)

...

x x

J ( x) 0

y, x

y 2 , dx 2 ydy

x sin y 2 2 ydy 2 sin y 2 dy. y 0

: 3

sin x

x

x 3!

5

x 5!

7

x 7!

n

...

39

2n 1

( 1) x (2n 1)!

..., x (

; )

sin y 2

y6 3!

y2

y 10 5!

y 0 : y3 y7 J ( x) 3 3! 7

y 14 7!

y 11 5! 11

( 1) n y 2 ( 2 n 1) (2n 1)!

...

..., y (

( 1) n y 4 n 3 y 15 ... (2n 1)! (4n 3) 7! 15 y3

; ).

...

x 0

.

:

x ( 1) n y 4 n 1 y4 y8 y 12 ... ... . J ( x) y (2n 1)! (4n 3) 3 3! 7 5! 11 7! 15 0 , 1 x2 ( 1) n x 2 n x4 x6 ... ... , J ( x) x x 3 3! 7 5! 11 7! 15 (2n 1)! (4n 3) x 0 3

2.8.4.

y y

f ( x, y )

y ( x0 )

f ( x, y , y ) y ( x0 ) y 0 , y ( x0 )

y0

(2.1)

y0 .

(2.2). ,

.

x

x0 :

y ( x)

y ( x0 ) (x 1!

y ( x0 )

y ( x0 ) (x 3! f ( x, y )

x0 )

3

y ( x0 ) (x 2!

x0 ) 2

y ( n ) ( x0 ) (x n!

n

x0 ) ...

(2.3)

x0 )

...

, f ( x, y , y )

( x0 ; y 0 )

,

( x0 ; y 0 ; y 0 )

.

x

, , (2.3).

x0 40

,

-

y ( n) ( x0 ) .

,

. 2.8.6.

y

x2 y ,

y ( x)

y (0) x 1!

y (0)

y (0) 2 x 2!

y (0) 0, y (0) 0 .

y (0) 1, y (0) 0 . ( . (2.1), (2.2)): y (0) 3 y ( n ) (0) n x ... x ... 3! n! : y (0) 1, , :

y x 2 y 2 xy y ( IV ) x 2 y 4 xy 2 y y (V ) x 2 y 6 xy 6 y y (VI ) x 2 y ( IV ) 8 xy 12 y y ( n 2) x 2 y ( n ) 2nxy ( n 1) n(n 1) y ( n

y (0) 0 y ( IV ) (0) 2 (V ) y (0) 0 y (VI ) (0) 0 y ( n 2 ) (0) n(n 1) y ( n 2 ) (0)

,

y ( 4 k ) (0)

( 4k

. y (0)

y (VIII )

3) y ( 4 k 4 ) (0) ; y ( 4 k 1) (0)

2)(4k

y (0 )

y (0) 0; y ( IV )

6 5 2 ; y ( IX ) (0) y ( 4k )

y ( X ) (0)

y ( 4 k 2 ) (0)

2 ; y (V ) (0)

y (VI ) (0)

y ( XI ) (0) 0; y ( XII )

( 1) k 2 5 6 ... (4k

y ( 4 k 3) (0) 0 ;

3) (4k

y (VII ) (0) 0;

10 9 6 5 2 . 2) .

:

( 1) k 2 5 6 ... (4k 3) (4k

y ( x) 1

2) x 4 k .

k 1

,

x (

; ). 2.8.7.

y

xy

y 0, y (0) 1, y (0) 0

an x n .

x : y ( x) n 0

: x 0 , y (0) a0

1.

na n x n 1 , y (0) 0 .

y (x) : y ( x ) n 1

41

an x n .

y ( x) 1 n 2

:

a n n(n 1) x n

2

a n nx n 1 1

x

n 2

an x n

n 2

0.

n 2

:

2 1 a 2 1 (3 2 a 3 ) x

(n

2)(n 1)an

2

(n 1)an x n

0.

n 2

x: 2 a2 1 0, 6a3 0,....., (n 2)( n 1)a n 2 (n 1)a n 1 1 , a3 0, …., a 2 k 1 0, a 2 k 2 a2 a2 k , 2 (2 k 2) 1 1 1 1 1 a4 ( , a4 ( 1) 2 , a6 a2 2 6 4 2 2 4 1 a 2 k 2 ( 1) k 1 , k 1.2.... (2k 2)!! : k k 2k ( 1) x x2 y ( x) 1 ; y ( x) 1 k 1 k 1 (2k )!! 2

0... ,

k 1,2,...

( 1)3 , 6!!

1 1) 2 4 6 3

1 e k!

x2 / 2

, .

.

,

-

2.8.6.

y

2.8.8.

xy

y (0) 1, y (0) 0 . :

y ( x)

y (0)

y (0) 2 x 1!

y (0) 2 x 2!

...

y ( n ) (0) n x n!

x 0 : y (0) 1, y (0) 0 . y xy y ( IV ) y xy 2 y (V ) y xy 3 y (VI ) y xy ( IV ) 4 y y (VII ) xy (V ) 5 y ( IV ) , ( n) ( n 2) y xy (n 2) y ( n ,

... , y (0) 0 ,

y (0 ) 1 y ( IV ) (0) 0 y (V ) (0) 0 y (VI ) (0) 4 y (0) 1 4 y (VII ) (0) 5 y ( IV ) 0 3)

y ( n ) (0) (n 2) y ( n 3) (0)

42

y ( 3k 2 ) (0)

y ( 3k 1) (0) 0, y ( 3k ) (0) (3k

2) y ( 3k 3) (0) , k 1,2,....

. y (0) 1, y (0) 1 , y (VI ) (0) 1 4 , y ( IX ) (0)

7 y (VI ) (0) 1 4 7 ,

y ( XII ) (0) 10 y ( IX ) (0) 1 4 7 10 , y ( 3k ) (0) 1 4 7 .... (3k 2). : 1 4 ... (3k 2) 3 x 1 3 1 4 6 1 4 7 9 x ..., y ( x) 1 x x x ... (3k )! 3! 6! 9! x ( ; ). , R . 2.8.9. y 2 y xy 2 , y (0) 1 . : y (0) 2 y ( n ) (0) n x ... y ( x) y (0) y (0) x x ... 2! n! ,

y (0) 2 y

y (0) 1, y (0) 2; y , y (0) 2 y (0) y 2 (0) 2

2 xyy y y

2y 2y

y (0) 2 2 12

y

6( y ) 2

2y ( IV )

3;

2 yy 2 x( y ) 2 2 xyy 2 yy , 4 yy 2 x ( y ) 2 2 xyy ,

y (0) 2 y (0) 4 y (0) y (0), y (0) 2 3 4 1 2 y ( IV )

-

6 yy

(0) 2 ( 2) 6 2 y ( IV ) ( 0 )

6 xy y 2

2;

2 xyy ,

6 1 3

46 .

:

y ( x) 1 2 x

3 2 x 2!

2 3 x 3!

46 4 x 4!

...

, ,

y y2

:

2 1 x, y 0; y y z p( x) z q ( x) .

43

2

1 y

x. :

z 1 y

e

2 dx

e

C

p ( x ) dx

2 dx

xe

C

q ( x )e

dx ;

1 y

e

p ( x ) dx

2x

dx ;

C

xe 2 x dx .

udv uv

vdu .

: 2x

1 y

2x

e

e x 2

2x

e xe 2 x e 2 x 2x dx C e C 2 2 4 y (0) 1, : 1 5 1 C, C . 4 4 x 2

1 y

4 2 x 1 5e

y

1 4

1 2x

2x

5 e 4 : 3 2 x 2!

2x

1 4

x 2

Ce

2x

.

.

2 3 x 3!

46 4 x 4!

....

.

»

.

,

-

. .

–4,

1,

[4].

. . 2.8

,

[3, . 2.1–2.7]. 2.9. .

. 2.9 [3]. « .

0

1 .

» .

. f (x) .

20 . 30 .

.

S (x)

f (x) . 44

40 . 50 .

. [3, . 2.9].

60 . 70

. . . .

1. f ( x )

2.

x, x ( ax,

f ( x)

:

3. f ( x )

; ).

bx, 0 x b a 4

x2 ,

) x2

; ), 4

5. f ( x ) 6. f ( x ) : 7.

1, 0

2

3 1,

1,

4k x

0,

) x (0;2 ).

cos kx, x ( ; ) . k2 cos kx sin kx 4 4 , x (0;2 ) . 2 k k k 1 k 1 0 x . x 0

x

sin 2k 1 x ,x 2k 1 0

x 0

2

.

1 3

1 2

:

0; 1

x2

k

k 1

, : sign x

1 sin kx

k 1

4

4. f ( x) sign x

( 1) k

( a b)

1k

2

3

k

cos(2k 1) x 2 0 ( 2k 1)

k

a) x (

: a) x

2

cos(2k 1) x ,x ( 2 ( 2 1 ) k 0

; ).

x 0 , a, b const .

2b a

2

4

: x

; 2 k

;

1 k 1 2k

1k k 1

f ( x ) sin ax, ) a – ) a–

k

2

cos k x, x ( 1;1).

, x ( , (0; )

45

1

sin 2k 1 x . k 2 1 0

.

4

k k

; ), .

1k . k 2 1 0 4

.

.

2 sin a

a ) sin ax

:

k

k sin kx , x ( a2 k 2 k 1 cos 2k 1 x , a 2 2 2 1 a k 0

k

cos 2kx , 2 4k 2 0a

4 ) sin ax 4a

8. f ( x) cos ax,

(0; ) a

k 0

: cos ax

4

2kSin 2kx k

2 0a

2

2k 1 4k 2

,

.

2k 1 Sin 2k 1 x 2

; );

.

, a–

4

9. f ( x)

1k

, a

, .

,

.

x, x ( ; ) cos

4

: x

2

2

k 0

2k 1

x ,x (

2k 1

; ).

3. 3.1. .

1.

. 3.1 [3].

, 2

t

u 2.

f (at ,

x)

g (at

2

u

a

2

x) ,

2

f

u t u

u x2 g– 2

u x2 f (a 2t x )

a

2

. 3.

,

ln ( x 2

46

.

y2 ) , x2

g (a 2t

x) , .

y 2 , arctg

f

y x

g –

2

2

u x2

4.

0.

,

f (at

u f

u y2

x)

g (at

x)

2 u t t

0.

t

g–

,

, 2

t

u 2

2

a

u x2

2

. 5.

u = u(x, y) : 2 2 u u u u ) cos x , ) 1. x, ) 2 0, ) y x y x x : ) u sin x g y ; ) u xy f x ; ) u xf y ) u xy f x g y . f g .

3.2.

g y ;

.

.

. 3.2 [3].

1.

l

x = 0,

,

. ;

h (

t 0 . 3.1).

.

. 3.1

.

: 2

u

t2

47

a2

2

u

x2

-

u 0, t

0,

u x

hx , l

0 , u x, 0 x l

u tt

0. 0

3.2.4 [5]. 2

u

2.

t2

2

a

2

u

x2

: ) a 1, u 0, t

) a 2, u 0, t

) a 2, u 0, t

u 1, t

0, u x, 0

u 4, t

u 2, t

0, u x ,0

u tt

0,

0, u x, 0

3.

0

x ; 2

0

x. 0

2

u

u x2

a2

t2

0, u l , t

2;

sin

u tt

0, 2

u 0, t

u tt

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0,

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sin

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l

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,

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2

3.3.

2

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t 0

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. 3.3 [3].

1. ,

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. 3.2).

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. 3.2

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2 , u't

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x t 0

x

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3.4. .

. 3.4 [3].

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2

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0,

u x, 0

5 x.

x 2

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,

u x, 0

x, A const.

49

x2. , u2 – :

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-

. 3.2.3, . 3.3,

. [3, . 3.2, 3.4.1–3.4.3]. .

3.3.1–3.3.3, . 3.4,

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1. ,

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0 t

, x –

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. 3.2.1–,

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2

u

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.

u u x, t

2. , 2

u

a

t2

t ut 2.1. 2.3. 2.5. 2.7. 2.9. 2.11. 2.13. 2.15. 2.17. 2.19. 2.21. 2.23. 2.25.

-

0

2

2

u

x2

0

f x ,

f x x 2 x , F x e x; f x ex , F x x; f x sin x , F x v0 ; f x sin x , F x cos x ; f x cos x , F x sin x ; f x x 3 x , F x sin 3 x ; f x x 2 , F x cos x ; f x kx , F x sin x ; f x cos x , F x sin x ; f x cos x , F x v0 ; f x x x 1 , F x e2x ; f x x l x , F x cos x ; f x x, F x e x;

,

tt 2.2. 2.4. 2.6. 2.8. 2.10. 2.12. 2.14. 2.16. 2.18. 2.20. 2.22. 2.24. 2.26.

50

F x . 0

f f f f f

x x x x x

f x f x f x f x f x f x f x f x

x 2 , F x sin x ; cos x , F x x; x , F x cos x ; x x 2 , F x ex ; e x , F x v0 ; x 1 x , F x cos 2 x ; x 2 , F x sin 2 x ; kx , F x cos x ; sin x , F x cos x ; sin x , F x v0 ; x x l , F x sin x ; x x l , F x e x; x2 , F x e x ;

-

kx 2 , F x kx 2 , F x

2.27. f x 2.29. f x

cos x ; sin x ;

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2.28. f x 2.30. f x

x; cos x .

3.

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-

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,

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f x

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.

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1,

3.5. (

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,

-

, .

,

,

,

. .

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-

, (

)

.[14]).

. . 3.5.1. . .

(3.5.1)

V,

, .

.

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V

u

,

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0, :V f x, y , z ,

S, ,

S , S

u,

-

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V

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.

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V ,

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u x, y , z

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2.

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.

V, , ( °

3.

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). . .

3.5.2.

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52

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u

2

u

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u

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(3.2)

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2

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(3.1)

:

1 u(x, y)= [u(x+h, y)+u(x–h, y)+u(x, y–h)+u(x, y+h)] 4

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4

u

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4

,

u

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(3.3)

.

(3.4) :

u=

1

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,

:

1 u(x, y)= [u(x+h, y–h)+u(x–h, y-h)+u(x–h, y+h)+u(x+h, y+h)] 4

Rh

4h 2 M4, M4 = max x, y D 3

.3.3.

4

u xi y j

.3.4.

53

(3.5)

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(3.6)

1.

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-

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. {x = i h , D h. (i, h

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(3.2) , .

3.

(3.1) . (

. 3.3

3.6). -

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ui

1, k

ui, k -1

(

. 3.4

ui , k

1] .

(3.7)

3.7). -

( . (3.5)): 1 [ui -1, k -1 ui , k 4

ui -1, k

1

ui

1, k -1

ui

1, k 1 ] .

. 3.6

. 3.7

,

54

,

(3.8)

,

,

.

, ,

Dh

, .

. ,

,

-

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,

-

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,

h;

.

(3.4) (3.6), h 2 : u x, y

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-

2

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,

,

,

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2h, h,

,u

h

-

–

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2h

u

h

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(3.9)

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x, y

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-

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. (

h = 0,1 (

. . 3.8)

. 3.1).

55

. -

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1,0

1,1

1,2

0,6

u12

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0,7

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0,4

0

0,1

0,2

0,3

. 3.8

2

. (

. 3.6,

. 3.7)

(3.7)

(3.8). 4u11 = 0,8 + u22 , 4u12 = 2,3 + u21 , 4u21 = 1,1 + u12 , 4u22 = 2,6 + u11 .

4u11=0,4 + u12 + u21 , 4u 21=0,6 + u11 + u22 , 4u 12=1,6 + u11 + u22 , 4u 22=1,8 + u12 + u21 ; 3

h 2 ( h 0,1 ),

.

.

. 3.2

. 3.5.2 3.3,

3.5.3. ,

-

= 0,1. 3.2 0,9 0,6 0,3 0

4

1,0 0,675 0,375 0,1

1,1 0,725 0,425 0,2

.

3.3

1,2 0,7 0,4 0,3

0,9 0,6 0,3 0

1,0 0,68(6) 0,38(6) 0,1

1,1 0,74(6) 0,44(6) 0,2

h = 0,05

. 3.4. (

,

, ,

).

56

1,2 0,7 0,4 0,3

3.4 0,9 0,75 0,6 0,45 0,3 0,15 0

0,95 0,796 0,643 0,491 0,343 0,196 0,05

1,0 0,839 0,682 0,529 0,382 0,239 0,1

1,05 0,879 0,715 0,559 0,415 0,279 0,15

1,1 0,913 0,733 0,576 0,435 0,313 0,2

1,15 0,931 0,735 0,568 0,435 0,331 0,25

1,2 0,925 0,7 0,525 0,4 0,325 0,3

( .

. 3.2–3.4) 1 0,1 R0 ,05 u u 0 ,05 . 3 1) 0,687 – 0,682 = 0,005, 0,747 – 0,733 = 0,014, 0,387 – 0,382 = 0,005, 0,447 – 0,435 = 0,012, 0,014 R0,05 0,005 < 0,01. 3 2) 0,682 – 0,675 = 0,007,0,733 – 0,725 = 0,008, 0,382 – 0,375 = 0,007,0,435 – 0,425 = 0,01, 0,01 R0,05 0,003 < 0,01. 3 , ( . 3.4) Rh < 0,01.

0

x

a, 0

y

b

2

u

x

2

2

u

y

2

0 = 10–4

h

: 1. 0 x 0.3, 0 y 0.5, h = 0.1, u(x, 0) = 10x, u(x, 0.5) = 10x + 1, u(0, y) = 2y, u(0.3, y) = 3 + 4y2. 2. 0 x 0.8, 0 y 0.8, h = 0.2, u(x, 0) = 5x + 2, u(x, 0.8) = 2, u(0, y) = 2, u(0.8, y) = 6 – 5y. 3. 0 x 2, 0 y 2, h = 0.5, u(x, 0) = x(2 – x), u(x, 2) = 12 ,u(0, y) = 3y2, u(2, y) = 3y2. 4. 0 x 1, 0 y 1, h = 0.25, u(x, 0) = 50 sin x, u(x, 1) = 0, u(0, y) = 50y (1 – y), u(1, y) = 0. «

»

. . .

– . 57

3.5.1.

10 . 20 .

h. ,

-

.

30 .

.

0

4 . (Excel, Mahtcad 50 . .

, .). . «

-2 (

»

[4]). 4.

.

(

. [2]) .

4.1. .

.4.1 [3].

.

.4.2 [3].

4.2.

1. )w

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2. ) z0

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3. )w

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1 . z w

4. ) z

z . z

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3 ; ) arg z 2 4 58

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1 : z ) z

z.

5.

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z

2

i

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4

2

6. w Im z . 7. ,

:

) w Re z ;

z ;

) w

,

)

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) w sin 3z i ; ) w e z ; ) w 8. w f z ) w e z , z1 9.

ln 2 i , z 2 4

zz; ) w

) w Im z.

z Re z ;

z1 , z 2

1 i ; 2

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0 , z2 1 i .

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,

-

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1 ; )w z

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z

3

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w f z u v v x, y

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)v

4. ) Im w 5. 8.

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u u x, y f z0 : ) u e y cos x ) w u2 v2 ) Im w v 0 ; 3 arg w ; 4

x , f 0 1. 1 ; ) Re w u 1 . ) Im w v 0 . ) arg w

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arctg tg1 th1

59

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4

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-

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9.

0;

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1; ) z

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arg w

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4

12. ) w ie z

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1 ; ) w e iz

z.

4.3. .

.4.3 [3].

1.

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1

1

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2

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2 z 1 dz ;

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2. ) e z dz ,

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1;

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3.

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2

z

z

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z

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z

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z

2

3

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3.

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i; )

2

1 i e i ; ) 0.

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;

,

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[3, . 1.1– 4.4]

. 4.5

. . 2,

-2 (

[4]). 4.4.

.

.

. 2,

. 4.4 [3].

1.

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1 z i n 2 1

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1

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1 z

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3. : ) f z ) f z ) f z

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z 2

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2

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1, K 2 :1 2

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4. ) f z

z

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1 ; ) f z cos z 1 0,5 z 2 : ) 3; ) 4; ) 2.

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.

4.5. 4.5.1.

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k

,

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k,

k

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.

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dz

1,

2 i, m

2 ic

1

k 1

.

k

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2 i c 11

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c 21

(4.1)

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.

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1

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c

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1

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(4.2)

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(4.3)

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, ,

62

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.

(4.1)

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D,

,

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k 1

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, –

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-

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-

z

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1 z

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,

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,

z

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1

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63

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4.5.3. .

5

1

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1 d 2 cos 4 z 3 lim 2 z 1 3 2! z 1 dz z 1 cos 4 z 8 cos 4. z-1 3

, (4.8)

1 lim 4 2 cos 4 z 2z 1

=

8 cos 4 .

ez

4.5.4. z

. z

z

2

,

i. 65

2 1 2z

dz . -

ez z

2 1 2z

ez

ez

dz 2 i z i

z2 1

ei

sin

ez z

2 1 2z

4.5.7

z2 1

z i

ei e i 2i . 2i 2i

i

e 2i

,

dz 2 sin 1.

4.5.5.

,

-

. 2

dz

) I z 2

e1 z dz ; ) I 2 z 1 32

; )I

1 z10

z i

1 sin dz . z 1 z 2 1

z

.

z 10 : z 10 1 0 k = 0, 1, …, 9 .

)

zk 9

I k 0

z zk

1 1 z10

1 e i ; zk

2k 1 i 10

e

10

1

0, 1, ..., 9 z k 1 2 . 1 . z 1 z10 ,

,k

2

10

-

:

1 1 z10

1 z10 1

1 z10 1 1 z10

1 1 , 1 q q 2 ... 10 1 q z

q

1 z 10

1 z 20

1 z10 1 , z

1 z 20

c

0

,

1 1 z 10

z z

z i

) z

i

–

1 1 z10

1

1

1 ... . z 30 z 1 ... z 30

1 10 21 z

z

0.

2

3 2

f z ,

z 0

1 66

–

e1 z z2 1

: .

I

2 i

f z

z i

z 0

2

(4.7)

e1 z 2z

f z

z i

f z .

e1 . 2i

z i

z 0 .

f z

,

,

,

z 2n z

1

, . .

2 i

, I

z

)

f z

z 0

e 1 2i

c

z

2n

.

0.

1

e 1.

2

1

f z

z 1

sin

1 z

z 0.

z 1 1

I

2 i

,

f z

z 1

z 0

f z .

z 1–

(4.6)

(4.7)

z 1

,

f z

1 zz z 0

sin

-

sin 1. 1

,

1

zn , z

1 z sin z f z

z

z3 3!

z5 5!

1 1 z 1

, z

sin

1 3!

1 z

1 5! z 0

,

z2

1 z 1 z

f z

c I

1 . z

z

,

z3

c2 z2

c3 z3

1

1

z4

1 3!z 3

1 5! z 5 .

1 1 3! 5!

2 i sin 1 sin 1

67

1 z

n 0

sin 1 . 0.

1,

4.5.3.

-

. .

F x

1.

, Pn x Qm x ,

. , 2 ,

m n

0.

2 F ( x)

-

x

F z

Qm x Pn z . Qm z

. zk

zk ,

F z

2 i:

,

F x dx

2 i k

F x

2. ,

F z

z zk

F z , Im z k

0.

Pn x Qm x .

(4.9) , -

.

Qm x

: m n. zk , . zk –

Pn z . Qm z F x cos xdx Re 2 i k

F x sin xdx Im 2 i k

Im zk 0

Im zk 0

F z ei

F ( z )e i

z

z

,

,

0;

(4.10)

0.

(4.11)

dx

I

4.5.6.

x .

F( z )

68

1 z2

2

9

2

.

1 9

2

z 3i

2

z 3i

2

.

1

F z z

2

z

2

9

. (4.9)) z

(

1 z2

z 3i

4.8

2

9 z

z

z 3i

z2

z 3i

I

2 i

1 z 3i

z

2

9

2

6i

2 216i 3

3

54i

dx

I x

2

9

2

2

3

3i

2 216i 3

2 i

2

9

z

2 9

z 3i

2

2

3i

z

1

3i .

z2

lim

2

,

1

d 3i dz

lim 1

d 3i dz

lim

3i

54

2

, i2

1

.

4.5.7.

cos x

I1

x2

4x 5

dx , 2

sin x

I2

x2

4x 5

2

dx .

.

1

F( z ) : z2 ,

z2

4z

4z 5 0

5 z

z

2

2

1

z

(4.10)

2

k

2 i

1

F( z )

F z ei

1 2

2 i2 z (4.11),

2 i

2

.

z

Im z k

z

– z

2 i

F z ei

z

i ei

k e

z

4.5.8 , k lim

2 i

z

2 z

z

2 i

2 i

z

2 i

d ei z lim z 2 i dz z 2 i

z 2 i

2 i

2

69

2

ei z 2 z 2 i

z 2 i

4

2.

i z

2

2.

2

0.

ei z i z 2 i lim 2 i z z 2 i3

z

2 i

F ze

1 2i

e

i z

2 8i 3

1

, z

z

z

2 i

2 i

F z ei

2 i

i

2 i

2

i 2i 2i 3

,

1 2i

e

1

2

1

4i

.

:

F z ei

2 i

ei

2

1

z

2

2 i

I1

1 2i

e

1

,

4i

e

.

i sin 2

cos 2

I2

,

:

cos

I1

x

2

x

4x

2

5

sin x

I2 x

2

4x

2

5

x

2

x2

2

2 i

z

1 2 1

dx 2

4x 5

F z ei

i

dx 2

4x 5

sin x

I2

z

Im 2 i

dx

cos x

I1

,

Re 2 i

dx

2

z

,

F z ei

e

.

z

cos 2 .

e sin 2 .

,

cos 2 x x2

2

dx

I1 ,

2

3 e 2 cos 4 , 2

2

dx

I2 ,

3

2 e 3 sin 6 .

4x 5 sin 3 x

x

2

4x 5

-

I

4 cos 2 x 3 sin 3x x

2

4x 5

2

x I

I

, 6 e

2

cos 2 x

dx 4

4

2

4x 5

dx 3 2

sin 3x x

2

4x 5

3 e 2 cos 4 6 e 3 sin 6 . 2

cos 4 e 1 sin 6

I 70

6 e

3

e cos 4 sin 6 .

2

dx .

1.

: ) f ( z)

cos

1 z

z 1 cos z f z ( ) . ; ) z3 z 3 (z 1)3 (z 2)2

z 3 ; ) f ( z)

2.

: ) z

e z dz ; ) 3 z z ( 1 ) 2

1 ez z 3

z

1 dz ;

4z5

) z

1 3

3z 3 1 dz . z6

3. )

)

(x

x

dx ; ) 1) ( x 2 16)

2

2

cos 3 x cos 2 x dx ; ( x 2 1) 2

x

2

4

x 2 dx; ) 10 x 2 9

x sin 3x

)

2

2

dx ; )

4 1 1 cos 3 1 1 : 1. ) 0; ) ; ; ) ; . 6 27 27 27 2. ) i 1 2e 1 ; ) 4 i ; ) 8 i . 3 5 4e 3 3e 3. ) ; ) ; ) ; ) 100 12 6 2 6 3 4 3 e 4e 3e ) ; ) . 4 84

1. . . 2. .– 3.

. , . . . . : . .

x

. x 1

x2

x2

4

cos x 16 x 2

2

9

dx;

dx .

2

;

.

/ .–

:

, 2008. – 136 . / . .

,

. .

-

, 2008. – 119 . : . 08.04.01

, / . . 2015. – 160 . 4. [ http://sdo.irgups.ru/moodle/course/.

,

.

. –

. ].

71

–

:

, :

. .

23.12.2016. 1

.

60×84 /16. . . 4,5. 2016 . , .

. .- . . 4,83. 200 . ,

72

.

, 15