Методические указания и контрольная работа № 2 по высшей математике для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ри й

БН

ТУ

Кафедра «Высшая математика № 1»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Ре

по з

ит о

по высшей математике для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

М и н с к 2 0 1 0

УДК 51.(075:4) ББК 22.1 М 54

ТУ

Составители А.Н. Андриянчик, А.В. Метельский, Н.А. Микулик, Г.А. Романюк, В.И. Юринок

БН

Р е ц е н з е н т ы: В.И. Каскевич, А.П. Рябушко

ит о

ри й

Настоящие методические указания и контрольные работы предназначены для студентов первого курса заочного отделения инженерно-технических специальностей БНТУ. Пособие содержит основные теоретические сведения из программного материала, типовые примеры и контрольные задания по темам курса высшей математики (20 вариантов). Студент должен изучить теоретический материал, разобрать приведенные образцы решения типовых примеров и задач, решить задачи своего варианта, номер которого совпадает с двумя последними цифрами зачетной книжки (шифра). Если номер шифра больше двадцати, то следует отнять от номера шифра число, кратное 20, и полученная разность (две последние цифры) будет номером варианта. Номер варианта 8 14 20

Номер задач 8, 28, 48 и т.д. 14, 34, 54 и т.д. 20, 40, 80 и т.д.

Ре

по з

Например: Номер зачетной книжки 301789/148 303700/194 300120/100

© БНТУ, 2010

ПРОГРАММА Тема 1. Неопределенный интеграл

БН

Тема 2. Определенный интеграл

ТУ

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование простейших иррациональностей.

ри й

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах. Вычисление объемов и длин дуг. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Тема 3. Функции нескольких переменных

Ре

по з

ит о

Функции нескольких переменных. Область определения. Предел. Непрерывность. Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных, полный дифференциал. Производные от сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Неявные функции и их дифференцирование. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов. Тема 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Интегрирование дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными, однородных, линейных, уравнения Бернулли и в полных дифференциалах. 3

ит о

ри й

БН

ТУ

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Свойства линейного дифференциального оператора. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Определитель Вронского. Линейные однородные дифференциальные уравнения; условие линейной независимости их решений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Автономные системы. Геометрический смысл решения. Фазовое пространство. Задачи Коши для нормальной системы. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод исключения для решения нормальных систем дифференциальных уравнений. Системы линейных дифференциальных уравнений; свойства их решений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Понятие о качественных методах исследования систем дифференциальных уравнений. 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1. Понятие неопределенного интеграла

Ре

по з

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если во всех точках этого интервала выполняется равенство F (x) = f(x). Определение 2. Совокупность всех первообразных {F(x) + С}, где С – произвольная постоянная, для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается

 f ( x)dx  F ( x)  C.

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, выражение f(x) dx – подынтегральным выражением. Нахождение для функции f(x) всех ее первообразных F(x) + С называется интегрированием. Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию. 4

Основные правила интегрирования 1)  f (x )dx   df (x )  f (x )  C ;  f ( x)dx  d (F ( x)  C)  f ( x)dx ;

2)  ( f (x )  (x ))dx   f (x )dx   (x )dx ; 3)  af ( x)dx  a  f ( x)dx, (a  const) ;

функция, то  f (u)du  F (u)  C .

(x) – любая дифференцируемая

БН

условии, что a, b – постоянные числа, a  0; 5) если  f (x )dx  F (x )  C и u = 

1 F (ax  b)  C , при a

ТУ

4) если  f (x )dx  F (x )  C , то  f (ax  b)dx 

Таблица основных неопределенных интегралов 1)  du  u  C ;

α 1

α 1

 C , где   1;

du  ln | u |  C ; u

12) 

ит о

3) 

ри й

u 2)  u α du 

du u  ln tg  C ; sin u 2 du u π 11)   ln tg    C ; cos u 2 4

10) 

au u 4)  a du  C;

13) 

5)  eu du  eu  C ;

14) 

ln a

по з

6)  sin udu   cos u  C ;

Ре

7)  cos udu  sin u  C ;

8)  tg udu   ln | cos u |  C ;

du

sin 2 u du

cos2 u

 ctgu  C ;  tgu  C ;

1 u  arctg  C ; a a2  u2 a du u 15)   arcsin  C ; a a2  u2 du 1 au 16)   ln C; 2 a a  u 2 2 a u

17) 

du

du u2  α2

 ln u  u 2  α 2  C .

9)  ctg udu  ln | sin u |  C ;

В приведенной таблице буква u может обозначать как независимую переменную, так и непрерывно дифференцируемую функцию u = (x) аргумента x. 5

1.2. Основные методы интегрирования 1.2.1. Непосредственное интегрирование функций и метод поднесения под знак дифференциала

БН

ТУ

Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов. Этого можно достичь путем алгебраических тождественных преобразований (см. пример 1.4) подынтегральной функции или поднесением части ее множителей под знак дифференциала. Поднесение функции под знак дифференциала состоит в том, что под знак дифференциала записывают функцию, дифференциал которой равен заданному выражению, то есть

 f ((x ))(x )dx   f (t)dt , где t = (x).

dx  (ln x )dx  d (ln x ) . x 1 1 Пример 1.2. cos3xdx   3 cos3xdx  d (sin 3x) . 3 3 1 1 Пример 1.3.  sin(5x  2)dx   sin(5x  2)d (5x  2)   cos(5x  2)  C . 5 5 Пример 1.4. Использование алгебраических преобразований.

ит о

ри й

Пример 1.1.

7 5 5/7  (3x  x  2 sin x  3)dx  3 xdx   x dx  2 sin xdx  3 dx 

по з

x 2 x12 / 7 3 7  3   2 cos x  3x  C  x 2  x12 / 7  2 cos x  3x  C . 2 12 / 7 2 12

Пример 1.5.

делаем поднесение      1   10 x 2  1 под знак дифференци ала : dx  10 d 10 x  100 x 2  1

Ре

dx

dx

d 10 x 

 таблица интегралов : 1    10 ln 10 x  u  10 x ; α  1 2  10 x   1 



1  10



1 ln 10 x  100 x 2  1  С. 10

10 x 2  1  С 

6

1 3

БН

заметим, что   dx  1   d ln x   d 5 ln x   5 x  3 4  5 ln x  1        4 5 ln dx d x    5 x   поднесение под знак    дифференци ала   

ТУ

Пример 1.6.

1   4  5 ln x  d 4  5 ln x   таблица интегралов   5 1 4  5 ln x  1 5 1 3

С 

4 3

3 4  5 ln x   С. 20

ри й



1 1 3

1.2.2. Интегрирование заменой переменной (подстановкой)

ит о

Пусть (t) – непрерывно дифференцируемая функция на некотором промежутке, причем (t)  0; тогда справедлива формула

 f ( x)dx   f ((t ))(t )dt .

 2x

x 2  3dx =  x 2  3d ( x 2  3) , так как 2 xdx  d ( x 2  3) .

по з

Пример 1.7.

Обозначим x 2  3  u ; получим 1 u 2 du 

3

3

2 2 2 u  C  ( x 2  3) 2  C .  x  3  2xdx   3 3   1 2  3  5 sin x  t ;  cos xdx dt 1  3 1 3 3    dt  5 cos xdx;   3   t dt   t  C  Пример 1.8.  3 5 2 3  5 sin x  5 t 5 dt   cos xdx   5  

Ре

2



33 (3  5 sin x ) 2  C . 10 7

1.2.3. Интегрирование при помощи тригонометрических подстановок Интегралы вида 2 2 2 2 2 2  R (x , x  a )dx ;  R (x , a  x )dx ;  R (x , a  x )dx ,

a a , x , x  a sin t , x  a cos t , x  a tg t . cos t sin t

БН

x

ТУ

где R(u, v) – рациональная функция от u и v, вычисляются соответственно при помощи тригонометрических подстановок

1  cos2 t

1 1 dt tg t t C tg (arccos ) arccos      C. 2 x x cos t

ит о



ри й

1   x  ;   cost   x2  1 sin t tgt sin t sin 2 t dx  dx  dt ;   dt   dt   Пример 1.9.  x sec t cos2 t cos2 t  cos2 t   x 2  1  tgt   

Пример 1.10.



 x  2 sin t;  4  x 2 dx   dx  2 costdt;    4 cos2 tdt  2 (1  cos 2t )dt    2  4  x  2 cost 

по з

x x x x2  2t  sin 2t  C  2 arcsin  2 sin t cos t  C  2 arcsin  2   1  C  2 2 2 4

Ре

x x 4 x2  2 arcsin  C . 2 2

1.2.4. Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям имеет вид:

 udv  uv   vdu ,

где u(x), v(x) – непрерывно дифференцируемые функции. 8

Классы функций, интегрируемых по частям 1.  x n ex dx ,  x n sin xdx ,  x n cos xdx . За u принимается xn (u = xn).

ТУ

2.  x n ln xdx,  x n arcsin xdx,  x n arctgxdx . За u в этом случае принимаются логарифмическая или обратная тригонометрическая функция. 3.  ex sin xdx ,  ax cos xdx и другие. Выбор u и dv равносилен. В этом случае вычисление интегралов сводится к двукратному применению формулы интегрирования по частям (см. пример 1.14).

Пример 1.12.

 ;  arcsin x   x  x  dt  2 1  arcsin x arcsin x  1 t   x  , dx   2 dt       t x x 1 1 t   1 2 t t

ит о

ри й

dx  arcsin x  u ; du  arcsin xdx  1  x2  x 2   dx 1   dv; v 2  x x

БН

1   1 ln x  u; du  dx;  Пример 1.11.  ln xdx   x ln x   x   dx  x x dx  dv; v  x    x ln x   dx  x ln x  x  C .

dx 1 x

2

dt t 1 2





по з

arcsin x arcsin x 1  1  x2 2   ln | t  t  1  C   ln  C. x x x

Пример 1.13. Вычислить интеграл  x 2  4 dx . Решение. Обозначим интеграл

Ре

полагаем : x 2  4  u; dx  dv;   x 2 K   x 2  4 dx    x  x   x dx  4 2 1   2 du   x  dx v  x 2 ; x 4   x2  4  

 x x

2

 x 2  4 4  4  2 dx  x  x 4 2

x  4  2 2

x2  4 x 4 2

dx  8

dx x 4 2



 x  x 2  4  2 K  8 ln  x  x 2  4   C1.   9

Из последнего равенства выразим искомый интеграл K: 1 K   x  x 2  4  8 ln  x  x 2  4    C;   3

здесь C1 и C – произвольные постоянные.

ТУ

Пример 1.14. Вычислить интеграл  e x cos x dx. Решение. Обозначим интеграл

u  e x ; dv  cos x dx;  K   e cos x dx     e x sin x   e x sin x dx  x du  e dx; v  sin x  второй раз интегрируе м по частям :   x x x  u  e x ; dv  sin x dx;   e sin x  e  cos x     cos x   e dx    x du  e dx; v   cos x 

БН

x



ри й



 e x sin x  e x cos x   e x cos x dx.

ит о

Значит, получено равенство K  e x sin x  e x cos x  K , откуда выражаем 1 K : K  e x sin x  cos x   C искомый интеграл 2 C  произвольная постоянная . 1.2.5. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе

по з

Интегралы вида

A dx

ax 2  bx  c

и



A dx ax 2  bx  c

Ре



приводятся к табличным путем выделения полного квадрата в знаменателе дроби. dx dx d (x  3)    arctg(x  3)  C . Пример 1.15.  2 2 2 x  6x  10 (x  3)  1 1  (x  3) Для вычисления интегралов вида (A x  B )dx (A x  B )dx и   2 ax  bx  c ax 2  bx  c 10

надо сначала в числителе дроби выделить дифференциал трехчлена ax 2  bx  c , то есть выражение (2ax  b)dx .

ТУ

Пример 1.16. 1 3   (2 x)  7 3 2 xdx dx 3 7 x 3x  7 dx   2 2 dx   2  7 2  ln | x 2  9 |  arctg  C .  2 2 x 9 3 3 x 9 x 9 x 9 2 1.2.6. Интегрирование рациональных дробей

БН

Рациональной функцией R(x) называется функция, равная отношению двух многочленов: Qm ( x) b0 x m  b1 x m 1  ...  bm R( x)   , Pn ( x) a0 x n  a1 x n 1  ...  an

ри й

где m и n – целые положительные числа; bi , a j  R, i  0, m, j  0, n .

ит о

Если m < n, то R(x) называется правильной дробью, если m  n, – неправильной дробью. Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби: Qm ( x ) Q (x)  M m n ( x )  l , Pn ( x ) Pn ( x )

Ре

по з

где M m n ( x ) , Ql (x ) , Pn (x ) – многочлены, Q l (x ) – правильная дробь, l < n. Pn (x ) Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей. Простейшей дробью называется дробь одного из следующих четырех типов: 1)

A ; x a

2)

A (x  a)

k

;

3)

Mx  N 2

x  px  q

;

4)

Mx  N 2

(x  px  q)

k

;

где A, a, M, N, p, q – постоянные числа; k  2; k – натуральное, p2 – 4q < 0. Для интегрирования правильной дроби необходимо: 11

x5  x4  8 Пример 1.17.  dx . x 3  4x Дробь неправильная, поэтому подынтегральной дроби на знаменатель:

сначала

x5  4x3

разделим

числитель

БН

x5  x 4  8 x3  4x

ТУ

1) разложить знаменатель дроби на простые линейные и квадратичные множители; 2) представить дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами; 3) найти коэффициенты; 4) проинтегрировать простейшие дроби.

x2  x  4

x 4  4x3  8

ри й

x4  4x2 4x3  4x 2  8 4 x 3  16 x

4 x 2  16 x  8  4( x 2  4 x  2) – остаток .

ит о

Подынтегральная дробь запишется в виде: x5  x4  8 x 3  4x

2

x x 4

4(x 2  4x  2) x 3  4x

.

по з

Разложим правильную дробь на три простейшие дроби: x2  4x  2 x3  4x



x2  4x  2 A B C    . x( x  2)( x  2) x x  2 x  2

Ре

Приравняв числители, получим тождество: x 2  4x  2  A (x  2)(x  2)  Bx (x  2)  Cx (x  2) .

1 При x  0 : 2  4A, A  . 2 5 При x  2 : 10  8B, B  . 4 12

3 При x  2 : 6  8C , C   . 4 Таким образом, 2  2 4 x  16 x  8   dx  x  x  4   x3  4x  3 dx   x 4 x   5 3  1 3 2   x x    4 x  4  2  4  4 dx  3 2  x x  2 x  2     3 2 x x    4 x  2 ln | x | 5 ln | x  2 | 3 ln | x  2 | C  3 2

БН

ТУ

x5  x 4  8

x3 x 2 x 2 | x  2 |5    4 x  ln C. 3 2 | x  2 |3

ри й

x 4  3x 2  5

ит о

Пример 1.18.  dx . x 3  2x 2  5x В данном примере подынтегральная функция является неправильной дробью. Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь: x 4  3x 2  5

x 3  2x 2  5x

рациональную

по з

Правильную

представим

в

 x  2

виде

суммы

2x 2  10x  5

2x 2  10x  5 x 3  2x 2  5x

дробь

простейших

.

2x 2  10x  5

2x 2  10x  5

 x 3  2x 2  5x x (x 2  2x  5) дробей с неопределенными

A Bx  C .  x (x 2  2x  5) x x 2  2x  5 Приведя дроби к общему знаменателю и приравняв числители дробей в левой и правой частях записанного равенства, получим: 

Ре

коэффициентами:

2x 2  10x  5  A (x 2  2x  5)  (Bx  C )x  (A  B )x 2  (2A  C )x  5A . Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x, имеем: x2 A  B  2 x 2 A  C  10 ; x0

5 A  5 13

откуда A  1, B = 3, C = 12. В итоге получаем x 4  3x 2  5

3x  12   1      dx ( x 2 ) dx   x 3  2 x 2  5x    x x 2  2 x  5 dx  

( x  2) 2 3 2x  2  6  ln | x |   2 dx  2 2 x  2x  5

ТУ

( x  2) 2 3 ( 2 x  2)dx dx   ln | x |   2  9  2 2 x  2x  5 ( x  1) 2  4

БН

( x  2) 2 3 9 x 1   ln | x |  ln | x 2  2 x  5 |  arctg  C. 2 2 2 2

1.2.7. Интегрирование тригонометрических функций Рассмотрим интеграл вида m

x cosn xdx ,

ри й

 sin

ит о

m, n – целые числа. 1. Если хотя бы одно из чисел m или n – нечетное и положительное, то интеграл находится с помощью подстановок: sin x  t , cos xdx  dt или cos x  t,  sin xdx  dt . 2. Если m и n – четные положительные числа, то применяются формулы понижения степени:

по з

1 1  cos 2 x 1  cos 2 x sin x cos x  sin 2 x; cos2 x  ; sin 2 x  . 2 2 2

Пример 1.19.

Ре

cos x  t ;  sin 3 x (1  cos2 x) sin x (1  t 2 )dt dx   dx         sin xdx  dt cos x cos x t   3

5

dt 2 2 cos5 x  C .     t 2 dt  2 t  t 2  C   cos x  5 5 t

14

Пример 1.20. 2

 1  cos 2 x  1  cos 2 x   cos x sin xdx    2  2  dx     1   (1  cos 2 x  cos2 2 x  cos3 2 x )dx  8 1 1 1 1  x  sin 2 x   (1  cos 4 x )dx   (1  sin 2 2 x )d sin 2 x  8 16 16 16 1 1 1 1 1 1  x  sin 2 x  x  sin 4 x  sin 2 x  sin 3 2 x  C  8 16 16 64 16 48 1 1 1  x  sin 4 x  sin 3 2 x  C . 16 64 48 4

БН

ТУ

2

3. Если подынтегральные функции имеют вид

ри й

sin mx cos nx , sin mx sin nx , cos mx cos nx ,

где m  n, то их преобразуют по формулам:

по з

ит о

1 sin mx cos nx  [sin( m  n) x  sin( m  n) x ], 2 1 sin mx sin nx  [cos( m  n) x  cos( m  n) x ], 2 1 cos mx cos nx  [cos( m  n) x  cos( m  n) x ]. 2

4. Интегралы от функций, содержащих tg n x и ctgm x, где m и n – целые, приводятся к табличным с учетом формул

Ре

(tg x) 

1

cos2 x

, (ctg x)  

1 sin 2 x

, 1  tg 2 x 

1 cos2 x

, 1  ctg2 x 

1 sin 2 x

.

Пример 1.21.

 tg

5

x sec 4 xdx   tg5 x(1  tg 2 x)d (tg x)   tg5 xd (tg x)   tg 7 xd (tg x) 

1 1 1  tg6 x  tg8 x  C. Здесь sec x  . 6 8 cos x 15

5. Интеграл вида  R(sin x, cos x)dx , где R(u, v) – рациональная функция от u, v, всегда сводится к интегралу от рациональной функции относительно x нового аргумента t с помощью подстановки: tg  t ; тогда 2 x 2t 1 t2 2dt 2  x   dx  sin x  , cos , . 2 2 x 1 t2 2 x 1 t2 1  t 1  tg 1  tg 2 2

x 2

1  tg 2

ТУ

2tg

x   tg 2  t ; dx  3  2t sin x sin x   1 t 2 

БН

Пример 1.22.

2 2dt  dt ; 2 2 1 (1  t 2 ) 2 1 t   1 t  dt    3 3 4  t  2t        1 t 2  1 dt 1 dt 1 1 1 1 1 1 x 1 x       tdt    ln | t |  t 2  C    ln tg  tg 2  C. x 2 4 t3 2 t 4 8 2 8 2 8t 2 2 8 tg 2 2

ит о

ри й

dx 

6. Если подынтегральная функция содержит только функцию tg x или R(sin x, cos x)  R( sin x, cos x) (R – четная), то удобно применять подстановку tg x = t; при этом ,

x  arctgt, cos x 

по з

dx 

dt

1 t2

2

1 1 t2

,

sin x  2

t2 1 t2

.

Пример 1.23.

dx

Ре

t  tgx;  2 dt cos x      dx     3t 2  5t  1 3 sin 2 x  5 cos x sin x  cos2 x 3tg 2 x  5tgx  1 dt   cos2 x  dx

5  1 dt 1 6     ln 2 2 3 13 5  5   13  3  2  t   t     6 6   6  6  t

13 6  C  1 ln 6 tg x  5  13  C. 13 13 6 tg x  5  13 6 16

7. Если функция R( sin x, cos x)   R(sin x, cos x) , то применяется подстановка cos x = t. Если R(sin x,  cos x)   R(sin x, cos x) , то применяется подстановка sin x = t.



3

sin x 4

dx  

4

dx . Обозначим cos x = t, sin xdx = dt; тогда

cos x 1  cos2 x 4

sin xdx  

1 t2 4

1 t

4

dt  

dt

t

2



БН

cos x cos x t 1 1 1 1   t 3   C    C. 3 3 cos t x 3 cos x

(  dt )   

ТУ

Пример 1.24. 

sin 3 x

1.2.8. Интегрирование иррациональных функций 1. Интегралы вида



m r R ( x , x n ,..., x s ) dx

сводятся к интегралам от

ит о

ри й

рациональной функции относительно z подстановкой x  z k , где k – общий m r знаменатель дробей ,..., . n s m r   ax  b ax  b n s     2. Интегралы вида  R  ,...,  , x  dx. Рационализирующая  cx  d   cx  d    ax  b k m r  t , где k – общий знаменатель дробей ,..., . подстановка: cx  d n s

по з

1.2.9. Интегрирование дифференциальных биномов

Рассмотрим интеграл вида m n p  x (a  bx ) dx .

Ре

1. Если p – целое число, то применяется подстановка x  t s , где s – общий знаменатель дробей m и n. m 1 2. Если – целое число, то применяется подстановка a  bx n  t s , n где s – знаменатель дроби p. m 1  p – целое число, то применяется подстановка ax  n  b  t s , 3. Если n где s – знаменатель дроби p. 17

Пример 1.25.  x  t6;    dx 6t 5 dt dt 5 .  dx  6t dt ;   6 3 4  6 4  3 2 (  ) (  1 ) t t t t t x( x  x )  t  6 x    1 4

t (t  1)

раскладываем на простейшие дроби:

1 4

t (t  1)



A t

4



B t

3



C t

2



D E  ; t t 1

ТУ

Дробь

t  0 A  1; t  1 E  1; D  E  0;

D  1;

t3

C + D = 0;

C = 1;

t2

B  E  0 ; B  1;

ри й

t4

БН

A(t  1)  Bt (t  1)  Ct 2 (t  1)  Dt 3 (t  1)  Et 4  1;

dt dt dt dt dt dt  6 4  6 3  6 2  6  6  t t 1 t (t  1) t t t 6 6 6   t 3  t  2   6 ln | t | 6 ln | t  1 | C  3 2 t 2 3 6   3  6  6 ln | 6 x | 6 ln | 1  6 x | C  x x x 2 3 6   3  6  ln | x |  ln | 1  6 x | C . x x x 4

по з

ит о

6

Пример 1.26. 

1 x 4 x5

dx   x 5 (1  x 4 )1/ 2 dx .

m 1  5 1   1 – целое число. Имеем n 4 случай 2 интегрирования дифференциального бинома. Тогда

Ре

Так как m = 5, n = 4, p = 1/2, то

1  x 4  t 2 , x4  1  t 2     4 x 3dx  2tdt , x 3dt   t dt   2  18

dx  

x8

Раскладываем дробь

1 t  tdt 1 t2 dx      dt . 2 (1  t 2 ) 2 2 (1  t ) 2 (1  t ) 2

t2 2

(1  t ) (1  t )

t2 (1  t )2 (1  t )2



2

на простейшие дроби:

A (1  t )2



ТУ

x5

x3 1  x 4

B C D .   1  t (1  t )2 1  t

БН



1  x4

Приведя дробь к общему знаменателю и приравняв числители, получим A(1  t ) 2  B(1  t )(1  t ) 2  C (1  t ) 2  D(1  t )(1  t ) 2  t 2 ; C  1 / 4;

t  1 4 A  1;

A  1 / 4;

t3 t

0

ри й

t  1 4C  1;  B  D  0;

A  B  C  D  0;

1 / 4  2 D  1 / 4  0;

2 D  1 / 2;

D  1 / 4;

B  1 / 4;

1 t2 1 dt 1 dt 1 dt 1 dt dt            2 (1  t ) 2 (1  t ) 2 8 (1  t ) 2 8 1  t 8 (1  t ) 2 8 1  t



ит о



B  D;

1 1 1 1  2t 1 1 t  ln | 1  t |   ln | 1  t | C   ln C  8(1  t ) 8 8(1  t ) 8 8(1  t 2 ) 8 1  t

по з

1 1 x4 1 1 1 x4 1 1 x4 1 1 x4 1   ln C    ln C. 4 x4 8 1 1 x4 4 x4 4 x2

2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Ре

2.1. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Вычисление площадей плоских фигур

2.1.1. Если f(x) непрерывна на [a, b] и F(x) – любая ее первообразная на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона–Лейбница

b  f ( x)dx  F ( x) a

b

 F (b)  F (a) .

a

19

Пример 2.1. Вычислить определенный интеграл

1

dx

0

4 x



2

.

1 dx 1 π x 1 Решение.   arcsin  arcsin  arcsin 0  . 2 0 2 6 0 4  x2

b

d

a

c

ТУ

2.1.2. Если f(x) непрерывна на [a, b], а x = (t) непрерывно дифференцируема на [c, d], (t)  0, (c) = a, (d) = b, то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

БН

 f ( x )dx   ((t ))  (t )dt .

2

Пример 2.2. Вычислить определенный интеграл  x 2 4  x 2 dx . Решение.

ри й

0

ит о

2 Положим x  2 sin t. Если x  0, то t  0,  2 2  x 4  x dx  dx  2 costdt.  Если 2 , тт π / 2 x  t    0 π/2 π/2 π/2 π/2  sin 4t  2 2 2  16  sin t cos tdt  4  sin 2tdt  2  (1  cos 4t )dt  2 t   π.  4   0 0 0 0

по з

2.1.3. Пусть u = u(x) и v = v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на [a, b]. Тогда имеет место формула интегрирования по частям b

b

b

 udv  uv a   vdu .

a

a

/6

Ре

Пример 2.3. Вычислить определенный интеграл  x sin 3x dx . 0

Решение.

dv  sin 3xdx; u  x; x  x sin 3xdx  du  dx; v   1 cos3x    3 cos3x   0 3 π6 1 1 π 1  sin 3x  sin  . 0 9 9 2 9 π/6

π6 0

1π/6   cos3xdx  3 0

20

2.1.4. Площадь плоской фигуры 1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b, (a < b), осью Ox и непрерывной кривой y = f(x) (f(x)  0) вычисляется по формуле b

S   f (x )dx .

ТУ

a

Пример 2.4. Найти площадь области, ограниченной линиями y = x2+1 и y = 9  x2 .

 y  x 2  1 2 2 2 A, B:  , x  1  9  x , x  4, x   2 .  y  9  x 2

БН

Решение. Построим область (рис 2.1). Найдем абсциссы точек пересечения

2

ри й

Так как фигура симметрична относительно оси Oy, то 2

2 2 64 S  2 [(9  x )  ( x  1)]dx  2 (8  2 x 2 )dx  2(8 x  x 3 )  0 3 3 0 0 2

2

ит о

y

Ре

по з

9

y  x2 1

А

В y  9  x2

1 -2

О

2

x

Рис. 2.1.

21

Пример 2.5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2, y = 4x, 2x + y  3 = 0, x  0 (рис. 2.2).

y  4x

y

А

2

y  x2

0 0,5 1

БН

В

ТУ

y  3  2x

x

ри й

Рис. 2.2. Решение. Находим абсциссы точек пересечения A и B. 0,5

1

S   (4x  x 2 )dx   (3  2x  x 2 )dx  0

0,5

11 . 12

ит о

2. Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t),   t  , прямыми x = a, x = b и осью Ox, то 

S   y(t )x (t )dt ,

по з



где a = x(), b = x(), y(t)  0.

Ре

Пример 2.6. Найти площадь фигуры, ограниченной циклоидой  x  a(t  sin t ), 0  t  2π и прямой y = a, (а  0).   y=a (1  cost ) Решение. Для нахождения пределов интегрирования по t решаем систему  y  a(1  cost ); π 3π  cost  0, t  .  2 2 y  a Площадь фигуры A1ACBB1 (рис. 2.3) выражается интегралом 2

S1  a

3 / 2

2

2

 (1  cos t ) dt  a

/2

3 / 2 3 

  2  2 cos t  /2

cos 2t  3  2  dt  a  4   .  2  2 22

Площадь

прямоугольника

AA1B1B

равна

S 2  S AA1B1B  a2 (2  ) ,

       3   так как A a  1 ; a , B  a  1 ; a .    2     2

y

A

B

A1

B1 2а

x

ри й

0

S

уа

БН

C

2a

ТУ

3     Искомая площадь S  S1  S 2  a2  4    a2 (2  )  a2  2   .   2 2

Рис. 2.3.

3. Площадь сектора, ограниченного непрерывной кривой в полярных координатах  = () и лучами  = ,  = , ( > ), выражается интегралом 

ит о

1 S   2 ()d . 2

Пример 2.7. Найти площадь фигуры, ограниченной частью лемнискаты a2 . 2 Решение. Уравнение лемнискаты Бернулли в полярных координатах: a (рис. 2.4). 2  a2 cos 2 ; а окружности:   2 ρ 2  a 2 cos 2 ;  Решаем систему:  Отсюда a ρ  .  2

Ре

по з

Бернулли (x 2  y 2 )2  a2 (x 2  y 2 ) , лежащей внутри окружности x 2  y 2 

a2 1  1 1  / 6 a2 1 /4  a2 cos 2, cos 2  ,   . S  S1  S 2   d   a2 cos 2d  2 2 6 4 2 0 2 2 /6   a 2  a 2 sin 2  / 4 a 2 a 2  3  a2   3 3    1   ; S  a 2 1   .       1  4 6 2 2  / 6 24 4  2  4  6 2  6 2   23

y  4 S2

а/ 2

а

x

Рис. 2.4.

БН

S1

ТУ

0

 6

2.2. Вычисление длин дуг кривых. Вычисление объемов

ри й

Если плоская кривая задана уравнением y = f(x), где f(x) – непрерывно дифференцируемая функция, a  x  b, то длина l дуги этой кривой выражается интегралом b

l   1  ( y ) 2 dx . a

Если же кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t)

ит о



(  t  ), то l   (x t ) 2  ( yt )2 dt . 

по з

Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, описанной параметрическими уравнениями: x = x(t), y = y(t), z = z(t),   t  : 

l   ( xt ) 2  ( yt ) 2  ( zt ) 2 dt . 

Ре

Если задано полярное уравнение кривой  = (),     , то 

l    2  () 2 d . 

Если площадь S(x) сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, является непрерывной функцией на отрезке [a, b], то объем тела вычисляется по формуле b

V   S ( x)dx . a

24

Объем V тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), (f(x)  0), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b (a < b), выражается интегралом b

V    f 2 ( x )dx .

ТУ

a

y А

x

4 3

ри й

y 2  x3

БН

Пример 2.8. Вычислить длину дуги кривой y 2  x 3 , отсеченной прямой 4 x  (рис. 2.5). 3

4 3

ит о

0

х

В

Рис. 2.5

по з

Решение. Длина дуги АОВ равна удвоенной длине дуги ОА.

Ре

y

3 x2,

1

3 y  x 2 . Тогда 2 4 3

2

4 3

4 4 3

1 2

1 9 9 3   9  l  lOA   1   x  dx   1  xdx   1  x  d 1  x   2 4 9 0 4   4  2  0 0 3 2

 9 1  x  4 4   3 9 2

4/3 0







8 3/ 2 56 56 112 4 1  ; l  2   . 27 27 27 27 25

2   x  (t  2) sin t  2t cost ; Пример 2.9. Вычислить длину дуги кривой  2   y  (2  t ) cost  2t sin t , если t изменяется от t1 = 0 до t2 = . Решение. Дифференцируя по t, получаем xt  2t sin t  (t 2  2) cost  2 cost  2t sin t  t 2 cost ,

откуда

ТУ

yt  2t cost  (2  t 2 ) sin t  2 sin t  2t cost  t 2 sin t , (x t )2  ( yt )2  t 4 cos2 t  t 4 sin 2 t  t 4 (cos2 t  sin 2 t )  t 2 . 

t 3  3 Следовательно, l   t dt  .  3 3 0 0

БН

2

Пример 2.10. Найти длину дуги кардиоиды  = a(1 + cos ), (a > 0, 0    2) (рис. 2.6). Решение. Здесь     a sin ,

     2a cos . В силу симметрии l  2  2a  cos d  8a . 2 2 2 0

ри й

 4a2 cos2

(  )2  2  2a2 (1  cos ) 



2



ит о





4

 



2 а

 0

3 2

Рис. 2.6.

Ре

по з

O

Замечание. Построение линии ведется в полярной системе координат по точкам, которые в достаточном количестве записываются в виде таблицы их координат. Пример 2.11. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями 2 y  x 2 и 2x  2 y  3  0 (рис. 2.7). 26

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения кривых: x2 x2 3 3  2x 3  x;   x; x 2  2 x  3  0; x1  3, x 2  1 . y и y 2 2 2 2 2 y

А

-3 –3

O

1

БН

2x  2 y  3  0

В

ТУ

2y  x2

x

Рис. 2.7.

ри й

Искомый объем есть разность двух объемов: объема V1 тела, полученного 3 вращением криволинейной трапеции, ограниченной прямой y   x ( 3  x  1) , 2 и объема V2 тела, полученного вращением криволинейной трапеции, x2 ограниченной параболой Используя формулу y ( 3  x  1) . 2 b

a

ит о

V    f 2 ( x )dx , получаем

2

2 2 1 2 1 x  3  3  3   Vx  V1  V2      x  dx    dx      x  d   x       2  3 2 3 2  3 2

по з

1

3    x 1 4 x 2   dx    3 3 4

3

1 3



x5 20

1



3

272 . 15

Ре

2.3. Несобственные интегралы

2.3.1. Интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода)

Если функция f ( x ) непрерывна при a  x   , то несобственным интегралом первого рода называется следующий предел: 



a

f ( x )dx  lim

b

b

 f ( x)dx .

a

27

Если существует конечный предел в правой части этой формулы, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же этот предел не существует или равен , то расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы b

b



a



c

b



a

c

ТУ

 f ( x)dx  alim  f ( x)dx ,  

где c  R – число.



e

Пример 2.12. Вычислить

 3x

БН

 f ( x)dx  alim  f ( x)dx  blim  f ( x)dx ,   dx .

0

Решение. Имеем:

e

3x

b

dx  lim  e

3x

b   0

0

 1 dx  lim   e  3 x b   3  

Пример 2.13. Вычислить

ит о

(;  ) ;



0

dx



 x  2 x  5 2

по з 0



 x

 2x  5

 lim 

 0

 

dx

 x  2 x  5 2

– непрерывная функция на



 

0

dx

. x  2x  5 2

dx

dx dx b 1 1 1  1 1 1  lim  lim arctg  arctg   arctg .   x 2  2 x  5 b 0 4  ( x  1)2 b  2 2 2 2 4 2 2 b

Ре



2

0

1 1 a  1 1 1 π 1  lim arctg  arctg  arctg  .   2 2 2  2 2 4 a   a 4  ( x  1) 2 a   2 0

dx

 1   lim (1  e3b )  1 .  3 b   3 

dx



. 2 x  2 x  5  1 1 f (x)  2  x  2x  5 ( x  1) 2  4

Решение.

b

ри й





Тогда

x



2

dx   . Интеграл сходится.  2x  5 2

28

2.3.2. Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода) Если f ( x ) непрерывна при a < x < b и в точке x = b неограничена, то несобственным интегралом второго рода называется b

b

a

a

ТУ

 f ( x )dx  lim  f ( x )dx . 0

b



b

f ( x )dx  lim

0

 f ( x )dx .

a 

ри й

a

БН

Если существует конечный предел в правой части этой формулы, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же этот предел не существует или равен  , то–расходящимся. Аналогично определяется интеграл и в случае f (a)   .

В случае, когда f(c) =   , c  (a, b), то b



f ( x )dx  lim

  0



f ( x )dx  lim

a

  0

ит о

a

c 

b

 f ( x )dx .

c

Пример 2.14. Вычислить или установить расходимость Решение. f ( x )  1

x2

dx

 x2

–

несобственный

dx

 x2 . 0

– непрерывна на (0, 1],

по з

Следовательно,

1

1

1

lim f ( x )  lim

x 0 x 2

x0

интеграл

второго

  .

рода.

0

1

11 1  2   x   1   . x расходится.

Ре

dx

1

1   lim   1    ,    0 0x



dx 2

следовательно,

интеграл

3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3.1. Понятие функции нескольких переменных

Пусть D – произвольное множество точек n-мерного арифметического пространства. Если каждой точке P(x1, x2,..., xn) D поставлено в соответствие некоторое действительное число f(P) = f(x1, x2,.., xn), то говорят, что на множестве D задана числовая функция f от n переменных x1, x2,.., xn. Множество 29

ТУ

D называется областью определения, а множество E = {uR|u = f(P), PD} – областью значений функции u = f(P). В частном случае, когда n = 2, функцию двух переменных z = f(x, y) можно изобразить графически. Для этого в каждой точке (x, y)D вычисляется значение функции z = f(x, y). Тогда тройка чисел (x, y, z) = (x, y, f(x, y)) определяет в системе координат Oxyz некоторую точку P. Совокупность точек P(x, y, f(x, y)) образует график функции z = f(x, y), представляющий собой некоторую поверхность в пространстве R3. 3.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

БН

Число А называется пределом функции u = f(P) при стремлении точки P(x1, x2,..., xn) к точке P0(a1, a2,..., an), если для любого  > 0 существует такое

P P0

x1 a1 x 2  a2

... xn  a n

ри й

 > 0, что из условия 0  ( P1 , P0 )  ( x1  a1 )2  ...  ( xn  an )2   следует | f ( x1, x2 ,...,xn )  A |  ε . При этом пишут: A  lim f ( p )  lim f ( x1 , x 2 ,...,x n ) .

Функция u = f(P) называется непрерывной в точке P0 , если: 1) функция f(P) определена в точке P0 ; 2) существует lim f ( P) ; P P0

P P0

ит о

3) lim f ( P)  f ( P0 ) .

по з

Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Если f(P) определена в некоторой окрестности точки P0 и хотя бы одно из условий 1–3 нарушено, то точка P0 называется точкой разрыва функции f(P). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т.д. 3.3. Дифференцирование функций нескольких переменных

Ре

3.3.1. Частное и полное приращения функции

Пусть z = f(x, y) – функция двух независимых переменных и D(f) – область ее определения. Выберем произвольную точку P0 x0 , y0  D( f ) и дадим x0 приращение x , оставляя значение y 0 неизменным. При этом функция f(x, y) получит приращение:  x z   x f ( x0 , y0 )  f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 ),

которое называется частным приращением функции f(x, y) по x. 30

Аналогично, считая x0 постоянной и давая y 0 приращение y , получим частное приращение функции z = f(x, y) по y:  y z   y f ( x0 , y0 )  f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 ).

ТУ

Полным приращением функции z  f ( x, y) в точке P0 ( x0 , y0 ) называют приращение z , вызываемое одновременным приращением обеих независимых переменных x и y: z  f ( x0 , y0 )  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0 ) .

БН

Геометрически частные приращения и полное приращение функции z ( x z,  y z, z ) можно изобразить соответственно отрезками A1B1, A2 B2 и A3 B3 (рис. 3.1).

ри й

y

x z

В1

В3

z

А1

А2

ит о

А0

В2

по з

Р0 ( x0 , y0 )

y z

x Р3 ( x0  x, y0  y)

Р1 ( x0  x, y0 )

z

А3

Р2 ( x0 , y0  y)

Рис. 3.1.

Ре

Пример 3.1. Найти частные и полное приращения функции z  xy 2 в точке P0 (1; 2) , если x  0,1; y  0,2 . Решение. Вычислим значения Δ x z  f (1,1; 2,0)  f (1; 2)  ( x0  Δx) y02  x0 y02  Δxy02  0,1  4  0,4; Δ y z  f (1,0; 2,2)  f (1; 2)  x0 ( y0  Δy ) 2  x0 y02  2 x0 y0Δy  Δy 2   2  1  2  0,2 2  0,84;

Δz  f (1,1; 2,2)  f (1; 2)  ( x0  Δx)( y0  Δy ) 2  x0 y02   1,1  2,2 2  1  2 2  1,324. 31

Если u  f ( x, y, z ) , то для нее рассматриваются частные приращения  x u,  y u,  z u и полное приращение u . 3.3.2. Частные производные

lim

x  0

f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 ) . x

ТУ

Определение. Частной производной функции z = f(x, y) по переменной x называется предел отношения частного приращения функции  x z к приращению аргумента x , когда последнее стремится к нулю:

БН

Частную производную функции z  f ( x, y) по переменной x обозначают символами

ри й

z f ( x, y ) ; z x ; ; f x ( x, y ). x x

Таким образом,

f ( x0  x, y0 )  f ( x0, y0 )  z z .  lim x  lim x x0 x x0 x

ит о

Определение. Частной производной функции z = f(x, y) по переменной y называется предел отношения частного приращения функции  y z к приращению аргумента y , когда последнее стремится к нулю:

по з

yz f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 ) z  lim  lim . y y 0 y y 0 y

f ( x, y ) , f y ( x, y ) . y Частные приращения и частные производные функции n переменных при n > 2 определяются и обозначаются аналогично. Так, например, пусть точка ( x1, x2 ,..., xk ,..., xn ) – произвольная фиксированная точка из области определения функции u  f ( x1, x2 ,..., xn ) . Придавая значению переменной xk (k  1, 2,..., n) приращение xk , рассмотрим предел

Ре

Применяются также обозначения z y ,

lim

Δx k  0

f ( x1 , ..., xk  Δxk ,..., xn )  f ( x1 ,..., xk ,...,xn ) . Δxk 32

Этот предел называется частной производной (1-го порядка) данной функции по переменной x k в точке ( x1, x2 ,..., xn ) и обозначается u или f xk ( x1 , x2 ,..., xn ) . xk

u u u , , , где u  x 2 yz 3  x  y 2 . x y z u Решение. Для нахождения считаем y, z константами, а функцию x u  x 2 yz 3  x  y 2 – функцией одной переменной x. Тогда u  ( x 2 yz 3  x  y 2 ) x  ( x 2 yz 3 ) x  ( x ) x  ( y 2 ) x  x  2 xyz 3  1  0  2 xyz 3  1. u u Аналогично  x 2 z 3  2 y,  3z 2 x 2 y . y z Частными производными 2-го порядка функции u  f ( x1, x2 ,..., xn ) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим образом:  u   xk

  2u    f xk x k ( x1 , x2 ,..., xn ); 2  xk

ит о

 xk

ри й

БН

ТУ

Пример 3.2. Найти

  2u    f xi x k ( x1 , x2 ,..., xn ) и т.д.  x  x i k 

по з

  u  xi  xk

Ре

Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго. Пример 3.3. Найти частные производные второго порядка для функции x z 2. y Решение. z 1 z 2x  2;  3; x y y y 2  1   z  2 x  2    0;      ; 3 yx  y 3  x 2  y 2  x y x

2z

33

2  2 z  2x  6x  2 z  1   2   3 ; 2   3   4 .  y  xy  y  y y  y y y

3.3.3. Полный дифференциал функции

БН

ТУ

Полным приращением функции f ( x1, x2 ,..., xn ) в точке P( x1, x2 ,..., xn ), соответствующим приращениям аргументов x1, x2 ,..., xn , называется разность u  f ( x1  x1, x2  x2 ,..., xn  xn )  f ( x1, x2 ,..., xn ) . Функция u = f(P) называется дифференцируемой в точке ( x1, x2 ,..., xn ) , если в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде u  A1  x1  A2  x2  ...  An  xn  o() ,

ри й

где ρ  x12  x22  ...  xn2 ; A1, A2 ,..., An – числа, не зависящие от x1, x2 ,..., xn . Полным дифференциалом du 1-го порядка функции u  f ( x1 , x2 ,...,xn ) в точке ( x1, x2 ,..., xn ) называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно x1, x2 ,..., xn , то есть

ит о

du  A1x1  A2 x2  ...  An xn .

Дифференциалы независимых переменных по определению принимаются равными их приращениям:

по з

dx1  x1 , dx2  x2 ,..., dxn  xn .

Для полного дифференциала функции u  f ( x1, x2 ,..., xn ) справедлива формула

Ре

du 

u u u dx1  dx2  ...  dxn . x1 x2 xn

Пример 3.4. Найти полный дифференциал функции z  ln( y  x 2  y 2 ) . Решение. z 1 2x    x y  x 2  y 2 2 x 2  y 2

x 2

2

x  y y x  y    2

2

, 34

  1    xdx

 1  , 2 2  2 2 x y  x y dy  . 2 2 2 2 2 2 x y x  y y x  y   

z 1  y y  x 2  y 2 dz 

y

ТУ

Полный дифференциал используется для приближенных вычислений значений функции. Так, например, для функции двух переменных z  f ( x, y) , заменив z  dz , получим

БН

f ( x0  x, y 0  y )  f ( x0 , y 0 )  df ( x0 , y 0 ) .

ри й

Пример 3.5. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала  1,97  arctg 1 .  1,02  x  Решение. Рассмотрим функцию f ( x, y )  arctg  1 . Применив y  вышеуказанную формулу к этой функции, получим

ит о

 x  Δx  x  x   x  arctg  1  arctg  1  arctg  1  Δx   arctg  1  Δy y y  y  Δy  y   y x 

или, после соответствующих преобразований,

по з

 x  x  x  y x arctg  1  arctg  1  2 x  2 y . 2 y  ( x  y) 2  y  y   y  y  ( x  y)

Положим теперь x = 2, y = 1, x = –0,03, y = 0,02. Тогда

Ре

1(0,03) 2  2  0,03  2  arctg  1  arctg  1  2   0,02  2 2 2 1  0 , 02 1   1  (2  1) 1  (2  1)   1 π  arctg1   0,03  0,02   0,015  0,02  0,75. 2 4

3.3.4. Дифференцирование сложных и неявных функций

Функция z = f(u,v), где u = (x), v = (x), называется сложной функцией переменных x и y. Для нахождения частных производных сложных функций испо35

льзуются следующие формулы: z z u z v     ; x u x v x z z u z v     . y u y v y

БН

dz z du z dv    . dx u dx v dx

ТУ

В случае, когда u = (x), v = (x), будет: z  f (( x),  ( x)) – функция одной переменной и, соответственно,

Пример 3.6. Найти частные производные функции z  arctg

Решение. По формуле

z z u z ν имеем:     x u x ν x

ри й

v = x – y.

u , где u = x + y, ν

ит о

u 1  2 z u v  v 2 1  v 2 1  2 . x u u u  v2 1 2 1 2 v v

Аналогично

по з

u 1  2 z uv  v 2  1  v 2  (1)  2 . y u u u  v2 1 2 1 2 v v

Ре

Если уравнение F(x, y) = 0 задает некоторую функцию y(x) в неявном виде и Fy ( x, y)  0 , то F  ( x, y ) dy  x . dx Fy ( x, y )

Если уравнение F ( x, y, z ) задает функцию двух переменных z ( x, y) в неявном виде и Fz ( x, y, z )  0 , то справедливы формулы: Fy ( x, y, z ) F  ( x, y, z ) z z  x ;  . x Fz ( x, y, z ) y Fz ( x, y, z ) 36

z xz  3 y 2 xz  3 y 2   . y xy  3 z 2 3z 2  xy

ТУ

Пример 3.7. Найти частные производные функции z, заданной неявно уравнением xyz  x 3  y 3  z 3  5  0 . Решение. z yz  3x 2 3x 2  yz   ; x xy  3z 2 3z 2  xy

3.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

БН

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то уравнение касательной плоскости в точке M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) к данной поверхности: z  z0  f x ( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 ) ,

ри й

а каноническое уравнение нормали, проведенной через точку M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) поверхности, таково: x  x0 y  y0 z  z0 .   f x ( x 0 , y 0 ) f y ( x0 , y 0 ) 1

ит о

В случае, когда уравнение поверхности задано в неявном виде: F(x, y, z) = 0, уравнение касательной плоскости в точке M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) имеет вид Fx ( x0 , y0 , z0 )( x  x0 )  Fy ( x0 , y0 , z0 )( y  y0 )  Fz ( x0 , y0 , z0 )( z  z0 )  0 ,

а уравнение нормали

по з

x  x0 y  y0 z  z0   . Fx( x 0 , y 0 , z 0 ) Fy ( x 0 , y 0 , z 0 ) Fz( x 0 , y 0 , z 0 )

Ре

Пример 3.8. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к однополостному гиперболоиду x 2  2 y 2  z 2  5  0 в точке P0(2; –1; 1). Решение. Fx ( x0 , y0 , z0 )  2 x

P0

Fy ( x0 , y0 , z0 )  4 y

P0

Fz ( x0 , y0 , z0 )  2 z

 4;  4;

P0

 2. 37

Поэтому уравнение касательной плоскости к данной поверхности запишется в виде 4( x  2)  4( y  1)  2( z  1)  0 или 2 x  2 y  z  5  0 , а уравнение нормали в виде x  2 y 1 z 1   4 4 2

или

x  2 y 1 z 1 .   2 2 1

ТУ

3.5. Экстремум функции нескольких переменных

БН

Функция u  f ( p) имеет максимум (минимум) в точке P0 ( x10 , x 20 ,...,x n0 ) , если существует такая окрестность точки P0, для всех точек P( x1 , x2 ,...,xn ) которой, отличных от точки P0, выполняется неравенство f ( P0 )  f ( P) (соответственно f ( P0 )  f ( P) ). Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция f (P) достигает экстремума в точке P0, то в этой точке все частные производные 1-го порядка f xk ( P0 )  0, k  1, 2,..., n .

по з

ит о

ри й

Точки, в которых все частные производные равны нулю, называются стационарными точками функции u  f (P) . Достаточные условия экстремума. В случае функции двух переменных достаточные условия экстремума можно сформулировать следующим образом. Пусть P0 ( x0 , y 0 ) – стационарная точка функции z  f ( x, y ) , причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P0 и все ее вторые частные производные непрерывны в точке P0. Обозначим  ( x0 , y0 ), B  f xy  ( x0 , y0 ), C  f yy  ( x0 , y0 ), D  AC  B 2 . A  f xx Тогда: 1) если D > 0, то в точке P0 ( x0 , y 0 ) функция z  f ( x, y ) имеет экстремум, а именно: максимум при A < 0 (C < 0) и минимум при A > 0 (C > 0); 2) если D < 0, то экстремум в точке P0 ( x0 , y 0 ) отсутствует; 3) если D = 0, то требуется дополнительное исследование.

Ре

Пример 3.9. Исследовать на экстремум функцию z  x 3  y 3  3xy . Решение. Найдем частные производные 1-го порядка и приравняем их нулю. z z  3( x 2  y )  0;  3( y 2  x)  0. x y

Получаем систему:  x 2  y  0;  2  y  x  0. 38

Решая систему, найдем две стационарные точки P1 (0, 0) и P2 (1, 1) . Найдем частные производные 2-го порядка: 2z

2z 2z  6 x;  3;  6y . xy x 2 y 2

ТУ

Затем составим дискриминант D  AC  B 2 для каждой стационарной точки. 2z 2z 2z Для точки P1 : A  2 P  0 ; B   3 ; C  2 P  0 ; D  9  0 . xy P1 y 1 x 1 Следовательно, экстремума в точке P1 нет. точки

A

x 1  1  1  3  y 1

2z

 6;

1 .

B

ри й

равный z min  z

P2 :

БН

2z 2z ; ;   3 C  P 6 P xy P2 y 2 2 x 2 2 D  36  9  0; A  0 . Следовательно, в точке P2 функция имеет минимум,

Для

3.6. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области

3

3 x 2 6 y 2

ит о

Функция z  f ( x, y ) , определенная и непрерывная в замкнутой области D с границей G и дифференцируемая в открытой области D, достигает своего наибольшего и наименьшего значений (глобальных экстремумов). Точки глобального экстремума следует искать среди стационарных точек функции f в открытой области D и среди точек границы G. Пример 3.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области x 2  y 2  1. Решение. Граница области D x 2  y 2  1 – окружность радиуса 1. Сделаем чертеж (рис. 3.2). Окружность разбивает плоскость на две части. Координаты точек круга удовлетворяют неравенству x 2  y 2  1. Найдем стационарные точки функции z в круге.

Ре

по з

z  ex

2 x 3  3x 2  6 y 2   0; 3x 2  6 x  0;  z x  (3x  6 x)e   x 3  3x 2  6 y 2  0   y  0.  z y  12 ye

39

y 1

-1 М22(–2;0) (-2;0) –1 M

O

1

БН

Рис. 3.2.

ТУ

-1

x

Решая эту систему, находим для функции z две стационарные точки M1 (0; 0) и M 2 (2; 0) . Кругу принадлежит точка M1 (0; 0) ; z (M1 )  e0  1 . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции z на окружности На

ней

y 2  1  x 2 ; x [1; 1]; z  z ( x)  e x

3

ри й

x 2  y 2  1.

3x 2  6

z (1)  e 2 ; z (1)  e 4 . Далее, решая уравнение z ( x)  (3x 2  6 x)e x

3

.

Имеем

3 x 2  6

z: что

ит о

находим стационарную точку: x1  0  (1; 1); z ( x1 )  z (0)  e6 . Итак, получим следующие значения функции 2 4 6 z (M1 )  1; z (1; 0)  e ; z (1; 0)  e ; z(0; 1)  e . Отсюда видно,

 0,

zнаиб  z (0; 1)  e 6 , zнаим  z (0; 0)  1 . Если граница G состоит из нескольких частей, то наименьшее и наибольшее значение функции z на границе G следует искать среди наибольших и наименьших значений функции на каждой из частей границы.

по з

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Ре

В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в виде F ( x, y, y  )  0

или, если разрешить его относительно y  , в нормальной форме

y  f ( x, y). Решением дифференциального уравнения называется такая функция y  ( x ) , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. 40

БН

ТУ

Общим решением уравнения первого порядка называется функция y  ( x, С ) , которая при любом значении постоянной С является решением данного уравнения. Теорема Коши. Если функция f ( x, y ) определена, непрерывна и имеет неf ( x, y ) прерывную частную производную в области D, содержащей точку y М ( x0 , y0 ) , то найдется интервал ( x0  δ; x0  δ) , на котором существует единственное решение y  ( x ) дифференциального уравнения y' = f(x, y) удовлетворяющее условию y( x0 )  y0 . Пару чисел ( x0 , y0 ) называют начальными условиями. Решения, которые получаются из общего решения y  ( x, С ) при определенном значении произвольной постоянной С, называются частными. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальному условию y  y0 при x  x0 , называется задачей Коши.

Уравнение вида

ри й

4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

P( x )dx  Q( y )dy  0

по з

ит о

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Его общим интегралом будет  P( x)dx   Q( y)dy  С , где С – произвольная постоянная. Уравнение вида M1( x ) M2 ( y )dx  N1( x )N 2 ( y )dy  0 или dy y   f1 ( x )  f 2 ( y ), dx

Ре

а также уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований приводятся к уравнениям такого вида, называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Разделение переменных в этих уравнениях выполняется следующим образом: если N1( x )  0, M2 ( y )  0 , то разделим обе части уравнения первого вида на N1( x ) M2 ( y ) . Если f 2 ( y )  0 , то умножим обе части уравнения второго вида на dx и разделим на f 2 ( y ) . В результате получим уравнения с разделенными переменными вида: M 1 ( x) N ( y) dx  2 dy  0; N1 ( x) M 2 ( y) 41

f1 ( x)dx 

dy . f 2 ( y)

ри й

БН

ТУ

Для нахождения всех решений полученных уравнений нужно проинтегрировать обе части полученных соотношений. 1 y2 . Пример 4.1. Решить уравнение y   xy (1  x 2 ) dy . Разделив переменные и интегрируя, получим Решение. Заменим y   dx ydy dx ydy dx  ;   C . 2 2 2 1 y x(1  x ) 1 y x(1  x 2 ) Разложим подынтегральную дробь на простейшие: 1 A Bx  D   , A  1, B  1, D  0. 2 x(1  x ) x 1  x 2 Отсюда 1 1 ln(1  y 2 )  ln | x |  ln(1  x 2 )  ln | C |; 2 2 ln | (1  x 2 )(1  y 2 ) |  2 ln | Cx | .

ит о

(1  x 2 )(1  y 2 )  С 2 x 2 – общий интеграл уравнения. Выразив из него y , имеем общее решение уравнения

1  x2

1.

по з

y

C 2 x2

4.2. Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Ре

Функция f ( x, y ) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных x и y, если при любом t справедливо тождество f (tx, ty )  t n f ( x, y ) .

Например: f ( x, y )  x 3  3x 2 y – однородная функция третьего измерения относительно переменных x и y, так как f (tx, ty)  (tx)3  3(tx) 2 ty  t 3 ( x 3  3x 2 y )  t 3 f ( x, y ) . 42

Функция

( x, y ) 

x y x  2y

является

однородной

функцией

нулевого

БН

ТУ

измерения, так как (tx, ty)  t 0( x, y )  ( x, y ) . Функция x 3  3x 2 y  x однородной не является, так как для нее условие f (tx, ty )  t n f ( x, y ) не выполняется ни при каком n. dy Дифференциальное уравнение в нормальной форме y    f ( x, y ) dx называется однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка относительно переменных x и y, если f ( x, y ) – однородная функция нулевого измерения. Дифференциальное уравнение в дифференциальной форме

M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0

ри й

называется однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка, если функции M ( x, y ) и N ( x, y ) – однородные функции одного и того же измерения. При помощи подстановки y  ux , где u(x ) – неизвестная функция, однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Пример 4.2. Решить дифференциальное уравнение

ит о

y2 y  2  2 . x

y2  2 – одноx2 y   ux  u .

Решение. Это – однородное уравнение, так как f ( x, y )  родная функция нулевого измерения. Положим y  ux,

Ре

по з

Тогда u x  u  u 2  2, u x  u 2  u  2 . du du dx – x  u 2  u  2,  2 dx u u2 x переменными. Интегрируя, получим



уравнение

с

разделенными

du dx 1 u  2  , ln  ln | x |  ln | C |, 1 2 9 x 3 u  1 (u  )  2 4

u2  C 3 x3 , u 1

y 2 x  Cx 3 , y 1 x 43

y  2 x  Cx 3 ( y  x)  общий интеграл данного уравнения. Разрешив последнее

равенство относительно y, получим общее решение y 

x(2  Cx 3 ) 1  Cx 3

.

Пример 4.3. Найти частное решение уравнения ( y 2  3x 2 )dy  2 xydx  0 , удовлетворяющее начальному условию y x 0  1 .

u(1  u 2 )



dx . x

Интегрируя, получим

БН

(u 2  3)du

ТУ

Решение. M ( x, y)  2 xy, N ( x, y)  y 2  3x 2 – однородные функции второго измерения. Подстановка y  ux, y  ux  u приводит уравнение к виду

ри й

(u 2  3)du dx u2  3 A B D ;   u (1  u )(1  u )  x u (1  u )(1  u )  u  1  u  1  u ; A  3, B  1; D  1;  3 ln | u |  ln | 1  u |  ln | 1  u | ln | x |  ln | C |; 1  u2

 Cx ;

y

x 2  Cx , C  ln C . 1 3

ит о

u3

1

y2

x3

по з

x 2  y 2  Cy 3 – общий интеграл данного уравнения. Найдем частный интеграл, удовлетворяющий условию y

x 0

 1; 0  1  C; C  1;

y 3  y 2  x 2 – частное решение уравнения.

Ре

4.3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка в общем виде можно записать соотношением y   P( x ) y  Q ( x ) ,

где P(x), Q(x) заданные непрерывные функции. 44

Линейное уравнение можно решать с помощью замены y  u ( x )v ( x ) ,

du  dv   u   P( x )v   Q ( x ) dx  dx 

(4.1)

БН

v

ТУ

где u(x ) и v(x ) – неизвестные функции. dy du dv Тогда и уравнение y   P( x) y  Q( x) примет вид v u dx dx dx

Функцию v(х) подбираем так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, то есть в качестве v(х) возьмем одно из частных решений уравнения

ри й

dv  P ( x )v  0 . dx

Подставив выражение v  v(x) в уравнение (4.1), получаем уравнение с разделяющимися переменными du  Q (x ) . dx

ит о

v

по з

Найдя общее решение этого уравнения в виде u  u( x, C ) , получим общее решение первого уравнения из подпункта 4.1 y  u( x, C )v( x) . Пример 4.4. Найти общее решение уравнения y   y ctgx 

1 . sin x

Ре

Полагаем y  u( x)v( x) , тогда y   u v  v u и данное уравнение примет вид uv  vu  uv ctg x 

1 ; sin x

u v  u (v  v ctg x) 

1 . sin x

(4.2)

Решая уравнение v   v ctg x  0 , найдем одно из его частных решений 45

dv dv  v ctg x,  ctg xdx; v dx ln | v | ln | sin x | v  sin x.

Подставляя v в уравнение (4.2), получим 1 du 1 ;  ; sin x dx sin 2 x dx du   u   ctg x  C. sin 2 x

БН

Общее решение исходного уравнения таково:

ТУ

u  sin x 

y  uv  ( ctg x  C ) sin x   cos x  C sin x .

4.4. Уравнения Бернулли

ри й

Уравнения Бернулли имеют вид

y   P( x ) y  Q ( x ) y m ,

ит о

где m  0, m  1. Такие уравнения можно проинтегрировать с помощью подстановки y  uv или свести к линейным уравнениям с помощью замены z  y1m .

по з

y x2 Пример 4.5. Решить уравнение y    . x y Полагая y  uv , приводим уравнение к виду

x2   du u   dv v     u    0 . uv   dx x   dx

(4.3)

du u   0 имеет частное решение u  x . dx x Подставляя u в уравнение (4.3), получаем уравнение

Ре

Уравнение

dv x2 dv 1 x  0,  . dx xv dx v Его общее решение v   2 x  C . Общее решение исходного уравнения: y  x(  2 x  C ) . 46

Пример 4.6. Решить уравнение Бернулли относительно x  x( y ) . dx x 1 .   dy 2 y 2 x

Полагая x  uv , получим (4.4)

ТУ

1   du u   dv v   u   0. dy 2 y dy 2 uv    

du u   0 имеет частное решение u  dy 2 y значение u в уравнение (4.4), перейдем к уравнению

y . Подставляя

БН

Уравнение

dv 1 C y  0  v 2  ln . dy y 2v y y ln 1/ 2

C , y

x 2  y ln

C . y

ри й

Отсюда x 

4.5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

ит о

Уравнение

P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0

(4.5)

по з

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u( x, y ) , то есть P( x, y )dx  Q( x, y )dy  du 

u u dx  dy . x y

Ре

Пусть функции P( x, y ) и Q( x, y ) непрерывно дифференцируемы по y и x соответственно в односвязной области D. Теорема. Для того, чтобы уравнение (4.5) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие P Q  , ( x, y )  D . y x

Решение уравнения (4.5) в полных дифференциалах можно записать в виде u ( x, y )  C . 47

Функция u( x, y ) может быть найдена из системы u u  P( x, y );  Q ( x, y ) . x y Общий интеграл уравнения (4.5) можно представить в виде x

y

x0

y0

(4.6)

ТУ

 P( x, y )dx   Q( x0 , y )dy  C , где ( x0 , y0 )  D .

ри й

БН

Пример 4.7. Решить уравнение e x ( x sin y  y cos)dx  e x ( x cos y  y sin y)dy  0. P Q Имеем  e x ( x cos y  cos y  y sin y);  e x ( x cos y  y sin y  cos y). y x Следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем функцию u( x, y ) . Система (4.6) имеет вид u u  e x ( x sin y  y cos y);  e x ( x cos y  y sin y) . x y

ит о

Из первого уравнения этой системы находим u( x, y)   e x ( x sin y  y cos y)dx  ( y)  e x x sin y  e x sin y  e x y cos y  ( y), где ( y ) – произвольная дифференцируемая функция. Подставляя u( x, y ) во второе уравнение системы, имеем e x x cos y  e x cos y  e x cos y  e x y sin y  ( y ) 

Ре

по з

 e x x cos y  e x y sin y  ( y )  0  ( y )  C. Следовательно, u( x, y )  e x ( x sin y  sin y  y cos y )  C . Общий интеграл уравнения имеет вид: e x ( x sin y  sin y  y cos y )  C  0 .

4.6. Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид F ( x, y, y , y ,..., y ( n ) )  0 48

или, если оно разрешено относительно y (n ) , то y ( n )  f ( x, y, y ,..., y ( n1) ) . Задача нахождения решения y  (x) данного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям y

x  x0

 y0 , y x  x0  y0 ,..., y ( n 1)

x  x0

 y0( n 1) ,

БН

ТУ

называется задачей Коши. Укажем некоторые виды дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка. 1. Уравнение вида y ( n)  f ( x) . После n-кратного интегрирования получается общее решение. 2. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка (k  1) включительно: F ( x, y ( k ) , y ( k 1) ,..., y ( n ) )  0 .

Порядок такого уравнения можно понизить на k единиц заменой ( x )  P( x ) . Уравнение примет вид

ри й

y

(k )

F ( x, p, p ,..., p ( nk ) )  0 .

уравнения, если это возможно, а затем находим y из

ит о

Из последнего p  f ( x, C1 , C2 ,..., Cnk ) ,

определяем уравнения

y ( k )  f ( x, C1 , C2 ,...,Cnk ) k-кратным интегрированием. 3. Уравнение не содержит независимой переменной:

по з

F ( y, y, y,..., y ( n) )  0.

Ре

Подстановка y   z( y ) позволяет понизить порядок уравнения на 1. Все производные y , y ,..., y ( n ) выражаются через производные от новой неизвестной функции z ( y ) по y: y   z;

dz dz dy dz y      z; dx dy dx dy

2

 dz  y  2  z     z dy  dy  d 2z

2

и т. д.

Подставив эти выражения в уравнение вместо y , y ,..., y ( n ) , получим дифференциальное уравнение (n  1) -го порядка. Замечание. При решении задачи Коши во многих случаях нецелесообразно находить общее решение уравнения; начальные условия лучше использовать непосредственно в процессе решения. 49

БН

dz z y 3 .   dy y z

ТУ

Пример 4.8. Решить задачу Коши yy   y 4  ( y ) 2 , y(0)  1, y (0)  0 . Решение. Данное уравнение не содержит независимую переменную, dz поэтому полагаем y   z( y ) . Тогда y   z  и уравнение принимает вид dy dz yz  z 2  y 4 . dy Пусть yz  0 , тогда мы получаем уравнение Бернулли относительно z  z( y )

ит о

ри й

Решая его, находим z   y y 2  C1 . Из условия y   z  0 при y  1 dy имеем C1  1 , следовательно, z   y y 2  1 или   y y 2  1 . Интегрируя dx это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, имеем 1 1 arccos  x  C2 . Полагая y  1 и x  0 , получим C2  0 , откуда  cos x или y y y  sec x . Осталось заметить, что случай yz  0 не дает решений поставленной задачи Коши. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

по з

5.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Ре

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид y ( n )  a1 y ( n1)  a2 y ( n2)  ...  an1 y   an y  0 ,

где ai  const, ai  R . Для нахождения общего характеристическое уравнение

решения

уравнения

(5.1)

k n  a1k n1  a2 k n2  ...  an1k  an  0

(5.1)

составляется

(5.2)

и находятся его корни k1 , k 2 ,...,k n . Возможны следующие случаи 50

1. Все корни k1 , k 2 ,...,k n характеристического уравнения (5.2) действительны и различны. Общее решение уравнения (5.1) выражается формулой y  C1e k1x  C2 e k2 x  ...  Cn e kn x .

(5.3)

членов C1ek1x  C2ek2 x заменяется слагаемым e x (C1 cosx  C2 sin x ) .

ТУ

2. Характеристическое уравнение имеет пару однократных комплексносопряженных корней k1,2    i . В формуле (5.3) соответствующая пара

БН

3. Действительный корень k1 уравнения (5.2) имеет кратность r(k1  k 2  ...  k r ) . Тогда соответствующие r членов C1ek1x  ...  Cr ekr x в формуле (5.3) заменяются слагаемым e k1x (C1  C2 x  C3 x 2  ...  Cr x r 1 ) .

ри й

4. Пара комплексно-сопряженных корней k1,2    i уравнения (5.2) имеет кратность r. В этом случае соответствующие r пар членов C1ek1x  ...  C2 r ek2 r x в формуле (5.3) заменяются слагаемым

ит о

e x [(C1  C2 x  ...  Cr x r 1 ) cosx  (Cr 1  Cr 2 x  ...  C2n x r 1 ) sin x] .

Пример 5.1. Решить уравнение y IV  5 y   4 y  0 . Характеристическое уравнение k 4  5k 2  4  0 имеет корни k1,2  1, k 3,4  2 . Общее решение дифференциального уравнения

по з

y  C1e x  C2 e  x  C3e 2 x  C4 e 2 x .

Ре

Пример 5.2. Решить уравнение y   2 y   5 y  0 . Характеристическое уравнение k 2  2k  5  0 имеет корни k1,2  1  2i . Общее решение имеет вид y  e x (C1 cos 2 x  C2 sin 2 x) .

Пример 5.3. Решить уравнение y   2 y   y  0 . Характеристическое уравнение k 2  2k  1  0 имеет двукратный корень k1,2  1 , поэтому общее решение имеет вид y  e x (C1  C2 x) . 51

Пример 5.4. Решить уравнение y IV  8 y   16 y   0 . Характеристическое уравнение k 5  8k 3  16k  0 имеет корни k1  0 , k 2,3  2i, k 4,5  2i . Общее решение уравнения таково y  C1  C2 cos2 x  C3 sin 2 x  C4 x cos2 x  C5 x sin 2 x .

ТУ

5.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

БН

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид y ( n )  a1 y ( n1)  ...  an1 y   an y  f ( x) ,

где ai  R, f ( x) – непрерывная функция. Пусть уравнение

ри й

y  C1 y1  C2 y2  ...  Cn yn

(5.4)

(5.5)

будет общим решением однородного уравнения (5.1), соответствующего уравнению (5.4). Метод вариации произвольных постоянных состоит в том, что общее решение уравнения (5.4) ищется в виде

ит о

y  C1 ( x) y1  C2 ( x) y2  ...  Cn ( x) yn ,

где C1 ( x),...,Cn ( x) – неизвестные функции. Эти функции определяются из системы

Ре

по з

C1 ( x) y1  C2 ( x) y2    Cn ( x) yn  0;   C1 ( x) y1  C2 ( x) y2    Cn ( x) yn  0;     C1 ( x) y1( n 1)  C2 ( x) y2( n 1)  ...  Cn ( x) y n( n 1)  f ( x),

dCi ( x ) – производные функций Ci (x ) . Для уравнения второго порядка dx y   px y   qx y  f (x) данная система имеет вид

где Ci 

C1 ( x) y1  C2 ( x) y2  0;  C1 ( x) y1  C2 ( x) y2  f ( x). 52

Пример 5.5. Решить уравнение y   y  

1

. 1 ex Решение. Характеристическое уравнение имеет корни k1  0, k 2  1 .

ТУ

Поэтому общее решение однородного уравнения будет таким: y  C1  C2 e x . Положим C1  C1 ( x) и C2  C2 ( x) . Запишем систему для определения C1  C1 ( x) и C2  C2 ( x ) :

Решая эту систему уравнений, получим: 1 e x (1  e x )

, C1 ( x )  

1

1 ex

,

ри й

C2 ( x ) 

БН

C1 ( x)  1  C2 ( x)e x  0;  1   x ( ) . C x e  2 x  1 e

откуда

dx e x d (e  x  1) ~ x C1 ( x)    dx ln | e 1 | C       1,   e x  1 e x  1 1  ex

по з

ит о

dx e2x (e  x ) 2 dx dx    x dx    x C2 ( x)    x   x  x e (1  e ) e 1 e 1 e 1 dx e x dx x x   (e  1)dx    x  e  x    e 1 1  ex  e  x  x  ln | e x  1| C2 ,

Ре

~ ~ где C1 , C2 – произвольные постоянные. Общее решение запишется так: ~ ~ y  ln( e  x  1)  C1  e x ( e  x  x  ln(1  e x )  C2 ) .

53

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (6.1)

ТУ

L( y )  y ( n )  a1 y ( n1)  ...  an y  f ( x ) ,

где ai  R, f ( x) – непрерывная функция. Соответствующим однородным уравнением будет

БН

y ( n )  a1 y ( n1)  ...  an y  0 .

Пусть

(6.3)

ри й

k n  a1k n 1  ...  an  0

(6.2)

будет характеристическим уравнением для уравнения (6.2). Общее решение y уравнения (6.1) равно сумме общего решения y соответствующего однородного уравнения (6.2) и какого-либо частного решения y* неоднородного уравнения (6.1), то есть

ит о

y  y  y .

по з

1. Если правая часть уравнения (6.1) имеет вид: f ( x )  Pn ( x )e x ,где Pn (x ) – многочлен степени n, то частное решение уравнения (6.1) может быть найдено в виде y   x r e x Q(x) ,

Ре

где Q( x)  A0 x n  A1 x n 1  ...  An – некоторый многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз  является корнем характеристического уравнения. Пример 6.1. Найти общее решение уравнения y   y  xe 2 x . Решение. Составляем характеристическое уравнение k 2  1  0 для соответствующего однородного уравнения. Его корни k1  1, k 2  1. Так как число   2 корнем характеристического уравнения не является, то r  0 . Степень многочлена в правой части равна единице. Поэтому частное решение ищем в виде y   (ax  b)e 2 x 54

Находим y   (2ax  2b  a )e 2 x ,

y   (4ax  4b  4a )e 2 x и, подставляя y  ,

y  и y в уравнение, получим (после сокращения на e 2 x ) 4a  4ax  4b  ax  b  x .

x 3a  1, a  1/ 3; x 0 4a  3b  0, b  4 / 9.

БН

Искомое частное решение имеет вид

ТУ

Откуда находим

1 y   (3x  4)e 2 x , 9

а общее решение уравнения будет

ри й

1 y  C1e x  C2 e  x  (3x  4)e 2 x . 9

2. Если правая часть уравнения (6.1) имеет вид

f ( x)  e x ( Pn ( x) cosx  Qm ( x) sin x) ,

(6.4)

ит о

где Pn (x ) и Qm (x ) – многочлены n-й и m-й степени соответственно, тогда: а) если числа   i не являются корнями характеристического уравнения (6.3), то частное решение уравнения (6.1) ищется в виде (6.5)

по з

y   eαx (u s ( x) cosβx  vs ( x) sin βx), ,

Ре

где us и vs – многочлены степени s с неопределенными коэффициентами и s  max{n, m}; б) если числа   i являются корнями кратности r характеристического уравнения (6.3), то частное решение уравнения (6.1) ищется в виде y   x r eαx (u s ( x) cosβx  ν s ( x) sin βx),

(6.6)

где us и vs – многочлены степени s с неопределенными коэффициентами и s  max{n, m}. Замечания. 1. Если в (6.4) Pn ( x )  0 или Qm ( x)  0 , то частное решение y* также ищется в виде (6.5), (6.6), где s  m (или s  n ). 55

2. Если уравнение (6.1) имеет вид L( y )  f1 ( x)  f 2 ( x) , то частное решение

y  такого уравнения можно искать в виде y   y1*  y2* , где y1* – частное

y   y   e x  e 2 x  x .

ТУ

решение уравнения L( y )  f1 ( x) , а y 2* – частное решение уравнения L( y )  f 2 ( x) . Пример 6.2. Найти общее решение уравнения

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид

БН

y   y   0 ,

характеристическое уравнение k 2  k  0 имеет корни k1  0, k 2  1 . Общее решение однородного уравнения:

ри й

y  C1  C2 e x .

Правая часть данного уравнения есть сумма

f ( x )  f1 ( x )  f 2 ( x )  f 3 ( x )  e x  e 2 x  x .

ит о

Поэтому находим частные решения для каждого из трех уравнений: y  y  e x ;

y  y  e 2 x ;

y  y  x .

по з

Частное решение первого уравнения ищем в виде y1*  Axe x , так как   1 является однократным корнем характеристического уравнения и Pn ( x )  1 – многочлен нулевой степени. Поскольку  y1*  Ae x  Ae x  Axe x  2 Ae x  Axe x ,

Ре

 y1*  Ae x  Axe x ;

то, подставляя эти выражения в первое уравнение, имеем 2 Ae x  Axe x  Ae x  Axe x  e x или Ae x  e x  A  1 и y1*  xe x .

Частное решение второго уравнения будем искать в виде y 2*  Ae2 x , так как в правой части второго уравнения   2 не является корнем характеристического уравнения и Pn ( x )  1 – многочлен нулевой степени. 56

ит о

ри й

БН

ТУ

1 Определяя, как и выше, постоянную A, получим y 2*  e 2 x . Частное 2 * решение третьего уравнения будем искать в виде y3  x( Ax  B) , так как в правой части третьего уравнения   0 является однократным корнем характеристического уравнения и Pn ( x )  x – многочлен первой степени.   Поскольку y3*  2 Ax  B, y 3*  2 A , то, подставляя эти выражения в третье уравнение, имеем 2 A  2 Ax  B  B  x . Приравнивая коэффициенты при x и свободные члены в левой и правой частях равенства, получаем систему – 1  2 A  1, BA  B  0 , откуда находим A   , B  1 . 2 1  Следовательно, y 3*   x x  1 . 2  Суммируя частные решения, получаем частное решение y* исходного 1 1  уравнения y   y1*  y3*  xe x  e 2 x  x x  1 . Тогда общее решение данного 2 2  неоднородного уравнения будет следующим: 1 1  y  y  y   C1  C2 e x  xe x  e 2 x  x x  1  2 2  1 1  C1  (C2  x)e x  e 2 x  x 2  x. 2 2

Пример 6.3. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям y(0)  0, y (0)  1.

y   y  4 x cos x ,

по з

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни k 2 1  0 k1  i, k 2  i . Поэтому общим решением соответствующего однородного уравнения y   y  0 будет y  C1 cos x  C2 sin x . Для первой части данного уравнения   0,   1, Pn ( x)  4 x – многочлен первой степени; (n  1), Qm ( x)  0 – многочлен нулевой степени (m  0) ; s  max{1,0}  1,   i  i являются корнями характеристического уравнения. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде y   x(( Ax  B) cos x  (Cx  D) sin x) или

Ре

y   ( Ax2  Bx) cos x  (Cx 2  Dx) sin x . Находим y   (2 Ax  B) cos x  (2Cx  D) sin x 

 ( Ax 2  Bx) sin x  (Cx 2  Dx) cos x   (2 Ax  B  C 2  Dx) cos x  (2Cx  D  Ax 2  Bx) sin x; 57

y   (2 A  2Cx  D) cos x  (2 Ax  B  Cx 2  Dx) sin x   (2C  2 Ax  B) sin x  (2Cx  D  Ax 2  Bx) cos x   (2 A  4Cx  2 D  Ax 2  Bx) cos x  (2C  4 Ax  2 B  Cx 2  Dx) sin x. Подставляя в данное уравнение, имеем (2 A  2 ACx  2 D  Ax 2  Bx) cos x  (2C  4 Ax  2 B  Cx 2  Dx ) 

БН

cos x 2 A  2 D  0;

ТУ

 sin x  ( Ax 2  Bx) cos x  (Cx 2  Dx ) sin x  4 x cos x. Приравнивая коэффициенты при cos x, sin x, x cos x, x sin x в обеих частях равенства, получаем систему

sin 0 x 2C  2 B  0; x cos x 4C  B  B  4;

x sin x  4 A  D  D  0.

ри й

Решая эту систему, находим A  0, B  1, C  1, D  0 . Тогда y   x cos x  x 2 sin x .

Общее

решение

будет

y  y  y   C1 cos x  C2 sin x  x cos x  x 2 sin x .

ит о

Находим y   C1 sin x  C2 cos x  cos x  x sin x  2 x sin x  x 2 cos x . Так как y(0)  0, y (0)  1, то 0  C1 , C  C2  1 . Таким образом, C1  0, C2  0 . Подставляя значения C1  0, C2  0 в общее решение, получим частное

f ( x)  e 3x (cos2 x  sin 2 x) .

Ре

по з

решение y  x cos x  x 2 sin x . Пример 6.4. Определить вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, если известны корни k1  3  2i , k 2  3  2i его характеристического уравнения и его правая часть

Решение. В правой части   3,   2, Pn ( x)  1, Qm ( x)  1 – многочлены нулевой степени,   i  3  2i являются корнями характеристического уравнения. Поэтому частное решение будет иметь вид y   xe3x ( A cos 2 x  B sin 2 x) ,

где A и B – неопределенные коэффициенты. 58

7. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ. МЕТОД ЭЙЛЕРА РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 7.1. Нормальная система n-го порядка обыкновенных дифференциальных уравнений

ри й

БН

 dx1  dt  f1 (t , x1 , x2 ,...,xn );  dx  2  f 2 (t , x1 , x2 ,...,xn );  dt  ...  dxn  f n (t , x1 , x2 ,...,xn ).   dt

ТУ

Нормальная система n-го порядка обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид

ит о

где t – независимая переменная; x1 , x2 ,..., xn – неизвестные функции от t ; f1, f 2 ,..., f n – заданные функции. Метод исключения неизвестных состоит в том, что данная система приводится к одному дифференциальному уравнению n-го порядка с одной неизвестной функцией (или к нескольким уравнениям, сумма порядков которых равна n). Для этого последовательно дифференцируют одно из уравнений системы и исключают все неизвестные функции, кроме одной. Пример 7.1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

по з

dx y dy y ( x  2 y  1)  ,  dt t dt t ( x  1)

Ре

и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям x(1)  1; y(1)  4 . y t  y Решение. Дифференцируем первое уравнение по t: x   . Заменяя t2 здесь y  ее значением из второго уравнения системы и подставляя y  x t , найденное из первого уравнения, получим после упрощения уравнение второго 2( x ) 2 порядка x   . x 1 Интегрируем это уравнение, предварительно понижая порядок: x  p;

p  p( x); x 

dp p; dx

dp 2 p  ; dx x  1

dp 2dx  ; dx x  1 59

p  C1 ( x  1) 2 ;

C t  C2  1 dx 1  C1 ( x  1) 2 ;   C1t  C2 ; x  1 . dt x 1 C1t  C2

Дифференцируя эту функцию и подставляя в выражение y  x t , получим C1t (C1t  C 2 ) 2

.

ТУ

y

Общим решением данной системы дифференциальных уравнений будет C1t  C 2  1 , C1t  C 2

y

C1t (C1t  C 2 ) 2

.

БН

x

ри й

Для нахождения частного решения подставим начальные условия C  C2  1 C1 , откуда x(1)  1, y(1)  4 . Получим  1  1 ; 4 C1  C2 (C1  C2 ) 1 C1  1, C 2   . 2 Следовательно, искомым частным решением системы будет пара функций: 2t  3 , 2t  1

y

4t

(2t  12

.

ит о

x

Пример 7.2. Найти общее решение системы

по з

dx dy  2 y  5x  e t ,  x  6 y  e 2t . dt dt

Ре

Решение. Дифференцируем первое уравнение: x   2 y   5x   e t . Заменяем 1 y  ее значением из второго уравнения и подставляем затем y  ( x   5x  e t ) . 2 Получим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами x   11x   28x  2e 2t  7e t .

Его общее решение 1 7 x  C1e 4t  C 2 e 7t  e 2t  e t 2 40 60

(получено как сумма общего решения x  C1e 4t  C2 e 7t соответствующего 1 7 однородного уравнения и частного решения x  e  2t  et неоднородного 5 40 уравнения). Подставляя x и x  в выражение для y, получим 1 1 3 1 ( x   5x  e t )  C1e 4t  C2 e 7t  e 2t  e t . 2 2 10 40

Общее решение исходной системы имеет вид

БН

1 7 x  C1e 4t  C2 e 7t  e 2t  e t ; 5 40 1 3 1 y  C1e 4t  C2 e 7t  e 2t  e t . 2 10 40

ТУ

y

ри й

7.2. Линейная однородная система n-го порядка с постоянными коэффициентами Линейная однородная коэффициентами имеет вид

система

n-го

порядка

с

постоянными

ит о

 dx1  dt  a11x1  a12 x2  ...  a1n xn ;  dx  2  a21x1  a22 x2  ...  a2n xn ;  dt  ...  dxn  an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn ,   dt

Ре

по з

где aij  const; aij  R, xi – неизвестные функции от t. Данную систему можно записать в матричной форме dX  AX , dt

где

 a11 a12  a22 a A   21     an1 an 2

 a1n    a2n  ;     ann 

 x1    x  X   2 ;     xn 

 dx1     dt  dX  dx2   . dt  dt    dxn     dt  61

При решении линейной системы дифференциальных уравнений методом Эйлера частные решения системы ищутся в виде X  Vekt , где V  0 – матрицастолбец, k j – число. Если корни k1 , k2 ,..., kn характеристического уравнения det( A  kE)  0 действительны и различны, общее решение системы имеет вид

ТУ

X  C1V1e k1t  C2V2 e k2t  ...  CnVn e knt , C1 , C2 ,...,Cn – произвольные постоянные, V j – собственный вектор-столбец

ри й

БН

матрицы A, соответствующий числу k, то есть ( A  k j E )V j  0 , где E – единичная матрица. Замечание. Если k m , k m – пара простых комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения, то им соответствуют два действительных частных решения Re(Vm e kmt ); Im(Vm e kmt ) , где Re z, Im z – действительные и мнимые части z. Пример 7.3. Найти общее решение системы

ит о

 dx  dt  x  2 y  2 z;  dy   x  4 y  2 z;  dt  dz  x  5 y  3 z ,  dt

и частное решение, удовлетворяющее условиям x(0)  1, y(0)  2 , z(0)  0 . Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение 2

1 1

4k 5

2

по з

1 k

 2  0, (k 2  k  2)(1  k )  0, k1  1, k 2  1, k 3  2.  3k

Ре

Находим собственный вектор V1 , соответствующий корню k1  1 : 2 2  v1   0   v1  1  (1)        V1   v2 ; 1 4  (1)  2  v2    0    v  1 5  3 (1)  v3   0   3  2v1  2v2  2v3  0;  v2  v1 ;  1       v1  5v2  2v3  0;  v3  2v1 ;  V1    1  .   2  v  5v  2v  0;  v  0; 2 3  1  1   62

Аналогично находим собственные векторы  0 1     V2    1, V3   1 ,   1 1    

 C2V2 e

 C3V3e

k 2t

k3t

1 0  1    t     t  C1   1 e  C2   1e  C3  1 e 2t ;   2   1 1      

или x  C1e t  C2 e t ;

БН

X  C1V1e

k1t

ТУ

соответствующие k 2  1, k 3  2 . Общее решение системы таково:

y  C1e  t  C2 e t  C3e 2t ;

ри й

z  2C1e  t  C2 e t  C3e 2t .

Для нахождения частного решения подставим в общее решение t  0 , x  1, y  2, z  0 и определим C1 , C2 , C3 из полученной системы:

ит о

1  C1  C2 ; C1  2;    2  C1  C2  C3 ;  С2  3; C  2C  C  C C  1.  3 1 2 3 

по з

Искомое частное решение

x  2e t  3et ; y  2e t  3et  e 2t ; z  4e t  3et  e 2t .

Ре

 dx  dt  2 x  3 y; Пример 7.4. Найти общее решение системы  dy   3x  2 y.  dt Решение. Характеристическое уравнение

2k

3

3

2k

 0; k 2  4k  13  0

63

 e 2t (cos3t  i sin 3t )   1  ( 23i )t  1  2t .   e   e (cos3t  i sin 3t )   2t  e (sin 3 t i cos 3 t )   i  i  

БН

V1e

k1t

ТУ

v  имеет корни k1  2  3i, k 2  2  3i . Находим собственный вектор V1   1  ,  v2   3iv1  3v2  0, соответствующий корню k1  2  3i из системы:  Считая v1  1 ,  3v1  3iv2  0. 1 получим v 2  i  V1    . Составим выражение i

Здесь использована формула e ( i)t  e t (cost  i sin t ) . замечанию, два частных решения исходной системы имеют вид

Согласно

 e 2t cos 3t   e 2t cos 3t  k1t   . Re(V1e )   2t , Im(V1e )   2t    e sin 3t    e sin 3t 

ри й

k1t

Общим решением системы будет

или

ит о

 e 2t cos 3t   e 2t cos 3t   x k1t k1t    X     C1 Re(V1e )  C2 Im(V1e )  C1  2t  C2  2t    y  e sin 3t    e sin 3t 

по з

2t 2t   x  C1e cos3t  C2 e sin 3t ;  2t 2t   y  C1e sin 3t  C2 e cos3t.

7.3. Задачи динамики, приводящие к решению дифференциальных уравнений

Ре

К задаче динамики точки, приводящей к решению дифференциальных уравнений, относятся те задачи, в которых определяется движение точки по заданным силам. Силы, действующие на точку, могут быть как постоянными, так и заданными функциями времени, координат, скорости, то есть Fx  Fx (t , x, y, z, x , y , z ); Fy  Fy (t , x, y, z, x, y , z); Fz  Fz (t , x, y, z, x , y , z ). 64

Решение таких задач сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения точки в координатной форме mx  Fx ;  my  Fy ;  mz  Fz ,

(7.1)

БН

(7.2)

ри й

 dv m dt  Ft ;   v2 m  Fh ;  ρ O  Fb .  

ТУ

или в естественной форме

ит о

В этих уравнениях под F понимается равнодействующая всех сил, в том числе и реакций связей, если точка не свободна. При интегрировании системы уравнений (7.1) в общем случае появляется шесть произвольных постоянных, которые определяются по начальным условиям. Под начальными условиями движения точки понимаются значения координат и проекций скорости точки в начальный момент движения, то есть при t  0 x  x0 ; v x  x0 ; y  y0 ; v y  y 0 ;

по з

z  z0 ; v z  z0 .

Ре

Если движение точки происходит на плоскости, то число уравнений (7.1) сокращается до двух, а число начальных условий – до четырех. При движении точки по прямой будем иметь одно дифференциальное уравнение и два начальных условия. При решении задач полезно придерживаться следующей последовательности. 1. Составить дифференциальное уравнение движения: а) выбрать координатные оси, поместив их начало в начальное положение точки; если движение точки является прямолинейным, то одну из координатных осей следует проводить вдоль линии движения точки; б) изобразить движущуюся точку в произвольный текущий момент t и показать на рисунке все действующие на нее силы, в том числе и реакции связей, при наличии сил, зависящих от скорости, вектор скорости направить 65

ри й

БН

ТУ

предположительно так, чтобы все его проекции на выбранные оси были положительными; в) найти сумму проекций всех сил на выбранные оси и подставить эту сумму в правые части уравнений (7.1). 2. Проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения. Интегрирование производится соответствующими методами, зависящими от вида полученных уравнений. 3. Установить начальные условия движения материальной точки и по ним определить произвольные постоянные интегрирования. 4. Из полученных в результате интегрирования уравнений определить искомые величины. Замечание 1. При интегрировании дифференциальных уравнений иногда целесообразно определить значения произвольных постоянных по мере их появления. Пример 7.5. Автомобиль массы m движется прямолинейно из состояния покоя и имеет двигатель, который развивает постоянную тягу F, направленную в сторону движения, до полного сгорания горючего в момент времени Т, после чего автомобиль движется по инерции до остановки. Найти пройденный путь. Силу сопротивления считать постоянной и равной R. Изменением массы автомобиля пренебречь. Решение. Весь путь S складывается из S1 = AC , на котором действует сила F до полного сгорания горючего и S2 = CB , который автомобиль идет по инерции. На пути АС:

на пути СВ:

ит о

mx  F  R ;

mx   R .

(7.3)

(7.4)

по з

Решим дифференциальное уравнение (7.3):  mdx   ( F  R)dt ; mx  ( F  R)t  C1 ; при t  0 будет x  0 , откуда C1  0  mx  ( F  R)t .

(7.5)

Ре

( F  R )t 2 Интегрируя, получим mx   C2 ; при t  0 будет x  0 , откуда 2 ( F  R )t 2 C2  0 ; x  . Определим путь S1 , который пройдет автомобиль до 2m ( F  R )t 2 полного сгорания горючего в момент t  T : S1  x  . Решим 2m уравнение (7.4): mx   R  mdx   Rdt ; mx   Rt  C3 . При t  0 скорость x 66

будет равна скорости, которую имеет автомобиль в момент Т сгорания ( F  R)T . горючего и которая из формулы (7.5) равна mx  ( F  R)T ; x  m Используя эти начальные условия, найдем C3 : ( F  R)T  R  0  C3 , C3  ( F  R)T . m

Подставляя C3 , имеем

(7.6)

БН

mx   Rt0  ( F  R)T ;

ТУ

m

Rt 2 mx    ( F  R )Tt  C4 при t  0, x  0 . 2  1  Rt 2  ( F  R)Tt  . Поэтому C4  0 ; x   m 2 

ри й

Чтобы найти путь S2 , надо знать время t движения автомобиля по инерции до остановки ( x  0 ). Из (7.6) получим

ит о

(P ( PRR) ) 00RtRt( F ( FRR),),t t TT RR

–

путь,

по з

1   R  ( F  R)2 T 2 ( F  R)2 T 2  T 2 ( F  R)2 S2  x     m 2R 2 R 2 Rm  пройденный по инерции;

( F  R)T 2 ( F  R)2 T 2 T 2 ( F  R )2 F – искомый путь.   2m 2 Rm 2 Rm

Ре

S  S1  S2 

67

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ



ax 2  bx  C

;



dx

mx n 

dx

ax 2  bx  C

ax  bx  C 2

;



;



mx n

ax 2  bx  C

dx;



mx n

ax 2  bx  C

dx;

ax 2  bx  C dx.

ит о



dx

ри й

БН

ТУ

1. Какая функция F x  называется первообразной для функции f x  на интервале a; b  ? Привести несколько примеров. 2. Что называется неопределенным интегралом от функции f x  ? 3. Каковы основные свойства неопределенного интеграла? Знать их и уметь доказывать. 4. Таблица основных интегралов. Как с помощью производной проверить справедливость табличных формул? 5. Привести примеры «неберущихся интегралов», т.е. интегралов, не выражающихся через элементарные функции. 6. В чем состоит метод поднесения под знак дифференциала для поиска неопределенного интеграла? Привести примеры. 7. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Привести примеры. 8. Формула интегрирования по частям. Привести примеры использования формулы для вычисления неопределенных интегралов. 9. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен:

по з

10. Интегрирование выражений, содержащих радикалы (иррациональности) от линейных или дробно-линейных функций. 11. Интегрирование тригонометрических функций. 12. Применение тригонометрических подстановок при интегрировании некоторых иррациональных функций. Привести примеры. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Ре

1. Что называется разбиением отрезка a; b в интегральном исчислении? b 2. Дать определение определенного интеграла  f x dx как предела a интегральных сумм. 3. Сформулировать и уметь обосновывать геометрический и механический b смысл определенного интеграла  f x dx . a 68

Ре

по з

ит о

ри й

БН

ТУ

4. Сформулировать условия интегрируемости функции f x  на отрезке a; b . Перечислить классы интегрируемых функций. 5. Основные свойства определенного интеграла. 6. Теорема о среднем для определенного интеграла. 7. Что называется определенным интегралом с переменным верхним пределом? Теорема о производной от этого интеграла по верхнему пределу. 8. Формула Ньютона–Лейбница. Привести примеры. 9. Замена переменной в определенном интеграле; в чем отличие этой замены от замены переменной в неопределенном интеграле? 10. Интегрирование по частям в определенном интеграле. b по 11. Особенность вычисления определенного интеграла  f x dx a симметричному относительно точки O отрезку a; b для случая: а) нечетной функции f(x), x  [a; b]; б) четной функции f x  на отрезке [a; b]. 12. Применение определенного интеграла для вычисления: а) площади плоской фигуры при различных способах задания линии границы фигуры; б) объема тела с известной площадью S x  его поперечного сечения и тел вращения; в) длины дуги плоской кривой при различных способах описания дуги (явное ее задание; параметрическое описание и задание в полярной системе координат). 13. Что называется несобственным интегралом функции f x  : а) по промежутку a;  ; б) по промежутку ; a; в) по промежутку ;  ? 14. Дать определение несобственного интеграла от неограниченной на отрезке a; b функции f x . 15. Дать определение сходящихся и расходящихся несобственных интегралов. Привести примеры. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Дать определение функции нескольких переменных. Привести примеры для случая двух, трех и более переменных. 2. Что называется областью определения и областью значений функции нескольких переменных? 3. Что называется графиком функции нескольких переменных? 4. Дать определение предела функции z = f(x, y) в точке M0(x0; y0). 69

ит о

ри й

БН

ТУ

5. Сформулировать арифметические свойства пределов функций двух переменных. 6. Дать определение непрерывности функции z  f  x, y  в точке M 0 x0 ; y0  . 7. Дать определение частных производных первого порядка по х и по y для функции z  f  x, y  ; знать различные виды обозначений частных производных. 8. Что такое полное приращение функции z  f  x, y  в точке M 0 x0 ; y0  ? Привести примеры. 9. Дать определение и сформулировать достаточное условие дифференцируемости функции z  f  x, y  в точке M 0 x0 ; y0 . 10. Дать определение полного дифференциала функции z  f  x, y  в точке M 0 x0 ; y0  . Привести инвариантную форму полного дифференциала. 11. Формула приближенного вычисления значения функции z  f  x, y  в точке M 0 x0 ; y0  с помощью полного дифференциала. 12. Дать определение частных производных второго, третьего и более высоких порядков функции z  f  x, y  . Сформулировать теорему о равенстве вторых смешанных производных. 13. Дать определение минимума и максимума z  f  x, y  в точке M 0 x0 ; y0  . 14. Необходимые условия экстремума функции нескольких переменных. 15. Достаточные условия экстремума функции z  f  x, y  . 16. Дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных: привести соответствующие формулы. 17. Записать уравнения: а) касательной плоскости и б) нормали к поверхности при явном и при неявном задании поверхности. 18. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D с границей G: сформулировать алгоритм поиска.

по з

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ре

1. Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка? 2. Записать общий вид обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно старшей производной. 3. Дать определение задачи Коши для дифференциального уравнения y   f x, y  . Сформулировать достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши. 4. Дать определения общего и частного решений, общего и частного интегралов обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. Особое решение и особый интеграл. 5. ДУ с разделяющимися переменными: дать определение и описать алгоритм решения. 70

Ре

по з

ит о

ри й

БН

ТУ

6. Однородное ДУ 1-го порядка: дать его определение; описать порядок поиска типа ДУ и изложить алгоритм решения. 7. Линейное ДУ 1-го порядка и ДУ Бернулли: дать их определения; изложить метод решения. 8. ДУ в полных дифференциалах: его определение, метод распознания типа ДУ и алгоритм решения. 9. Дать определение общего решения и частного решения обыкновенного ДУ n-го порядка. Сформулировать задачу Коши для него. 10. Перечислить некоторые ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка; изложить алгоритм решения каждого такого ДУ. 11. Линейное однородное ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами: изложить алгоритм метода Эйлера его решения. Что такое характеристическое уравнение для такого ДУ? 12. Изложить метод вариации произвольных постоянных для решения линейного неоднородного ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. 13. Изложить алгоритм решения линейного неоднородного ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью. 14. Дать определение нормальной системы n-го порядка обыкновенных ДУ. Описать метод исключения неизвестных для ее решения. 15. Изложить метод Эйлера решения линейной однородной системы ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. 16. Задачи динамики, приводящие к дифференциальным уравнениям. Привести примеры.

71

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 1–20. Найти неопределенные интегралы: 14dx ln x ; г)  sin 2 x cos4 xdx . 1. a)  sin 2 xe cos 2 x dx ; б)  4 dx ; в)  2 x ( x  x  1)( x  2)

2  x3

3. а)  x e

dx ; б)

ТУ

cos x dx ln x 60dx sin 3 x 2. а)  ; б)  ; в) ; г) dx . dx   x x cos2 x ( x 2  4)( x  4) 2 11x  16

cos3 x

 sin 2 x dx ; в)  ( x  1)( x 2  4 x  4) dx ;

4. а)  cos xe  sin x dx ; б)  cos6 x sin 3 xdx ; в) 

БН

г)  ( x 2  4) sin 5xdx .

2x 2  x  3

( x  1)( x  x  1) 2

г)  arccos2 xdx .

dx ;

ри й

sin x sin 2 x sin 2 x 5. а)  dx; б)  dx; в)  dx; г)  x ln( x 2  4)dx . 2 2 x 1  cos x 1  cos x tg x 10dx e 6. а)  ; dx ; б)  x 3 e x dx ; в)  2 2 ( x  1)( x  2)( x  1) cos x dx г)  . 2 (2 x  1)  2 x  1

7. а)

e ctg 2 x

 sin 2 x x

x

dx ; б)  ( x 2  2 x  3)e  x dx ; в)

dx ; б)  arctg xdx ; в)

по з

8. а) 

e

ит о

3

9. а)

e arctg 3 x

 1  9 x 2 dx ; б)  ( x

2

5dx

 ( x 2  4)( x  1)

4dx

 ( x  1) 2 ( x  3) ; г)  sin

 3x ) ln( x  2)dx ; в)

; г)  4

x  x  3 x2 dx. x(1  3 x )

x cos2 xdx.

5x 2  28 x  44

 ( x  2) 2 ( x  4) 2 dx ;

г)  sin 5 x5 cos3 xdx .

Ре

arctg2 2 x

10. а)



1  4x 2

2 x 2  5x  1 dx ; г) dx ; б)  x cos 3xdx ; в)  3 x  2x 2  x 2

cos3 2 x

3

2

dx .

sin 2 x sin 3 x

x  x  x4 dx. dx ; г)  2 3 4 ( x  1 )( x  2 ) 1  9x cos x 2 3 2 x  10 x  4 tg 3x dx dx ; г)  12. а)  . dx ; б)  x 2 sin 2 xdx ; в)  2 2 cos x  3 sin x ( x  1) ( x  3) cos 3x

11. а)



arcsin 3x

dx ; б)  x 2 e 3 x dx ; в)



3

2

72

13. а) г)

6x 5

 x 6  x  1 dx ; б)  x ln( x

2

 2)dx ; в)

2 x 2  x  18

 ( x 2  4)( x  2)( x  1) dx ;

dx

 sin 2 x  16 sin x cos x .

x 3  3x  1 dx . 14. а)  2 dx ; г)  dx ; б)  x e dx ; в)  2 3 ( x  1)( x  2) 4 sin x  5 cos2 x sin (2  x )

x2

 cos x 2

; б)  x ln( x  2 x  3)dx ; в) 2

 x 2  5x

 ( x 2  x  1)( x  2)

dx  5  4 sin x .

ТУ

15. а)

xdx

2 3x

dx ; г)

5x 4  1 16. а)  x sin(1  3x )dx ; б)  2 xe dx ; в)  3 dx ; x x dx г)  . 3 sin 2 x  5 sin x cos x  cos2 x 4 x 2  16 x  8 dx ; 17. а)  x cos(3x 2  2)dx ; б)  x arctg 2 xdx ; в)  3 x  4x г)  sin 5x cos 4 xdx . x

ри й

БН

2

x 3

x 3  5x  2 18. а)  dx ; г)  cos2 3xdx . dx ; б)  x ln xdx ; в)  x ( x  2) x3 6 x dx 3x  2 19. а)  ; б)  x sin 2 2 xdx ; в)  2 dx ; г)  sin x cos5 xdx . 7 4 x x ( x  4) x4 x dx dx 20. а)  x 2 3  4 x 3 dx ; б)  2 dx ; в)  ; г) .  2 sin x 4  3 cos x  5 sin 2 x x( x 2  4) 21–40. Приложения определенного интеграла. 21–26. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:  3  21. y  sin x, x   ; , y  1 . 22. y  e x , y  e  x , x  1 . 2  2  y  2 sin t  1; 23. y  e x , y  e  x , y  2 . 24.   x  3 cost.  x  t 3; t   1; 1; y  0. 25.  26.   2 sin 2 . 2  y  t .  27–33. Найти длину дуги кривой: x  t 2 ;    t  0; 1 . 27. y  ln cos x, x  0;  . 28.  3 4    y  t ,   x  t  sin t ; ρ  1  sin ;  x  cos3 t;   t  0 ; 2  t  [ 0 ; 2  ]. 29.  . 30. 31.   3 y  1  cos t .  y  sin t .    0; π . 

Ре

по з

ит о

e

73

  32.   3(1  cos),   0;  . 33.   e 2 ,   0;  .  2 34–40. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями: 34. y  sin x, x  0; . 35. y   x 2  5, y  1. 36. y  x 2 , y  0, x  2 .

41–60. Найти

x 2

,

2z для функции z  z( x, y ) . xy

x

БН

41. z 

y2 ex

2z

38. y  ln x, x  4, y  0 .  x  2t  2 sin t; 40.  t  0; .  y  1  cost.

ТУ

37. y  e  x , y  0, x  0, x  1.  x  cost ; 39.   y  3sin t.

 y2 y . 42. z   2 sin 2 x . 43. z   tg 2 y . 44. z  e y . x x

x2 y

x

x y

2

x y

.

ри й

45. z  e . 46. z  e y . 47. z  xe . 48. z  ye . 49. z  xe 50. z  cos2 ( x  y ) . 51. z  sin 2 ( x  y ) . 52. z  ln( x 3  2 y ) .

x2 y

x2 x x2 3 53. z  ln( x  3 y ) . 54. z  2  y . 55. z   y . 56. z  2  x 3  y . y y y 1 57. z   2 x 2 y . 58. z  cos(x  y 2 ) . 59. z  sin( y  x 2 ) . x 60. z  cos(x 2  y ) . 3

ит о

3

61–80. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  z( x, y ) в заданной замкнутой области D . 61. z  x 2 y(4  x  y), D : x  0, y  0, x  y  6 .

по з

62. z  x 2  y 2 , D : x 2  y 2  1.

63. z  2 x 2  2 y 2 , D : x 2  y 2  9 .

Ре

64. z  1  x  x 2  2 y, D : x  0, y  0, x  y  1. 1 65. z  2 x 3  6 xy  3 y 2 , D : x  0, y  2, y  x 2 . 2 3 2 2 2 66. z  2 x  4 x  y  2 xy, D : y  x , 0  y  4 . 67. z  x 2  y 2  8, D : x 2  y 2  4 . 68. z  x 3  y 3  9 xy  27, D : 0  x  4, 0  y  4 . 69. z  x 2  4 xy  y 2  6 x  2 y, D : x  0,

y  0,

0 x  y  4.

70. z  x 2  2 y 2  4 xy  6 x  5, D : x  0,

y  0,

0  x  y  3.

71. z  x 2  xy  3x  y, D : 0  x  2,

0  y  3. 74

72. z  x 2  2 xy  y 2  2 x  2 y  3, D : x  2, 73. z  x 2  y 2  6 x  4 y  2, D : 0  x  4,

y  0,

y  x  2.

3 y  2.

74. z  x 2  2 xy  3, D : 0  y  4  x 2 . 76. z  x 2  y 2  2 xy  4 x, D : x  0,

 1  y  1.

y  0,

77. z  x 2  2 xy  y 2  2 x  2 y, D : x  2,

y  x  2 .

y  0,

78. z  6 xy  9 x 2  9 y 2  4 x  4 y, D : 0  x  1, 79. z  xy  3x  2 y, D : 0  x  4, 0  y  4 .

y  x  2.

0  y  2.

ТУ

75. z  5x 2  3xy  y 2  4, D :  1  x  1,

ит о

ри й

БН

80. z  3x 2  3 y 2  2 x  2 y  2, D : X  0, y  0, x  y  1 . 81–100. Проинтегрировать дифференциальное уравнение. При заданном начальном условии найти соответствующий частный интеграл или частное решение. 82. sin x sin ydx  cos x cos ydy  0 . 81. x 1  y 2  y 1  x 2 y   0 . 2 xy 83. y   2 . 84. (1  y 2 )dx  xydy ; y x 2  1. 2 x y x 2y  85. y   86. ( x  e x / y )dx  e x / y 1  dy  0 .  x3 . x y  4y 87. y   88. y   7 y  8e 3 x .  x  0. x y 89. 3e cos xdy  sin(9  e y )dx  0; y x 0  0 .

по з

90. ctg x cos2 ydx  sin 2 x tg ydy  0 . dy  0. 92. sin x tg ydx  sin y dy 3 94.  y  x3 y 2 . dx x 96. y  ytgx  sec x; y(0)  0 .

91. sin xy   y cos x  2 cos x .

93. e x tg ydx  (1  e x ) sec 2 ydy . 95. ( x 2  2 xy ) y   xy  y 2 . 97. x 2 y   xy  1  0;

y(1)  0 .

Ре

98. y   x 3 y  3 y . 99. y   y  y 2 cos x  0 . y ; y x e  1 . 100. xy   ln x 101–120. Проинтегрировать дифференциальные уравнения. 101. 2 yy  3( y) 2  4 y 2 ; y(0)  1, y(0)  0 . 102. 3 y y   2 y; y(0)  y (0)  1 103. y y 3  1; y(0,5)  y (0,5)  1 . y 104.. y(1  ln x)   2  ln x, y(1)  0,5; y(1)  1 x 2 105. y y   ( y )  1; y(0)  y (0)  1 . 75

y y (1  ln ); y(1)  0,5; y(1)  1 . x x 107. 2 yy  y 2  ( y)2 ; y(0)  y(0)  1. 108. 2 yy   ( y ) 2  y 2 ; y(0)  y (0)  1.

115. y  y  ( y) 2 ;

y(1)  0,25,

y(1)  0,5 .

y(0)  0, y (0)  1.

БН

109. e y ( y  ( y) 2 )  2; y(1)  0, y(0)  2. 1 110. 2 y  ( x  ) y; y (1)  4, y(1)  6 . x 111. xy  y ln y; y(1)  e, y(1)  e . 113. y   e 2 y ; 112. x 2 y   xy   1 . 114. x( y   x)  y ; y(1)  y (1)  1 .

ТУ

106. y 

Ре

по з

ит о

ри й

116. 1  yy  ( y) 2 ; y(1)  1, y(1)  1 117. y x ln x  2 y  . 118. y   y  tg x  sin 2 x . 119. x( y  y)  y; y(0)  1, y(0)  1. 7 5 120. x( y  1)  y  2; y(1)  , y(1)  . 4 2 121–140. Найти общие решения уравнений. 122. y   8 y   8 x . 121. y   4 y   4 y  x 2 . 124. y   4 y   3 y  9e 3 x . 123. y   4 y   4 y  8e 2 x . 125. 7 y   y   14 x . 126. y   3 y   3xe 3 x . 128. y   2 y   2 y  1  x . 127. y   5 y   6 y  10(1  x)e 2 x . 130. y   y   2 y  x 2 e 4 x . 129. y   3 y   2 y  xe x . 132. y   2 y   y  x 3 . 131. y   3 y   2 y  ( x 2  x)e 3 x . 134. y   4 y   3 y  10e 3 x . 133. y   4 y   5 y  (27 x  39)e 4 x . 136. y   4 y   4 y  3xe 2 x . 135. y   4 y   2 xe 4 x . 138. y   y   y  x 3  6 . 137. y   y   6 y  xe 2 x . 140. y   3 y   10 y  10 x 2  4 x  5 . 139. y   2 y   y  e 2 x .

76

ЛИТЕРАТУРА

Ре

по з

ит о

ри й

БН

ТУ

1. Математика: сборник заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов инженерно-технических специальностей втузов: в 2 ч. / А. Н. Андриянчик [и др.]. – Минск: БНТУ, 2005. – Ч. 1. 2. Герасимович, А.И. Математический анализ. / А.И. Герасимович, Н.А. Рысюк. – Минск: Вышэйшая школа, 1990. – Ч. 1, 2 3. Гусак, А.А. Высшая математика: в 2 т. / А.А. Гусак. – Минск: Изд-во БГУ, 1978, 1983. – Т. 1, 2. 4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986. – Ч. 1, 2. 5. Жевняк, Р.М. Высшая математика: в 2 ч. / Р.М. Жевняк, А.А. Карпук. – Минск: Вышэйшая школа, 1985. – Ч. 1, 2. 6. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Наука, 1989. 7. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов: в 3 т. / Н.С. Пискунов– М.: Наука: 1985. – Т. 1–3. 8. Сухая, Т.А. Задачи по высшей математике: учебное пособие: в 2 ч. / Т.А. Сухая. – Минск: Вышэйшая школа, 1993. 9. Высшая математика для инженеров / С.А. Минюк [и др.]; под ред. Н.А. Микулика. – Минск: Элайда, 2007. – Т. 1, 2. 10. Индивидуальные задания по высшей математике: в 4 ч. / под ред. А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2004. 11. Щипачев, В.С. Высшая математика / В.С. Щипачев. – М.: Высшая школа, 1985.

77

3 4 4 6 6 7

БН

ТУ

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Понятие неопределенного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Основные методы интегрирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Непосредственное интегрирование функций и метод поднесения под знак дифференциала. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Интегрирование заменой переменной (подстановкой). . . 1.2.3. Интегрирование при помощи тригонометрических подстановок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Интегрирование по частям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен знаменателе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Интегрирование рациональных дробей. . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7. Интегрирование тригонометрических функций. . . . . . . .

8 8

10 11

Ре

по з

ит о

ри й

14 1.2.8. Интегрирование иррациональных функций. . . . . . . . . . . . 17 1.2.9. Интегрирование дифференциальных биномов. . . . . . . . . 17 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Вычисление площадей плоских фигур. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Вычисление длин дуг кривых. Вычисление объемов. . . . . . . . . . 24 2.3. Несобственные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.1. Интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2. Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1. Понятие функции нескольких переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. . . . . 30 3.3. Дифференцирование функций нескольких переменных. . . . . . . . 30 3.3.1. Частное и полное приращения функции. . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.2. Частные производные. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3.3. Полный дифференциал функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3.4. Дифференцирование сложных и неявных функций. . . . . 35 3.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. . . . . . . . . . . . . . 37 3.5. Экстремум функции нескольких переменных. . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.6. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. . . . . 40 4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. . . . . . . 42 78

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. . . . . . . . . Уравнения Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. . . . . Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение прядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. . . . . . . . . . 5.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка c постоянными коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка c постоянными коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ. . . . 7. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ. МЕТОД ЭЙЛЕРА РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. . . . . . . . . . . . 7.1. Нормальная система n-го порядка обыкновенных дифференциальных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Линейная однородная система n-го порядка с постоянными коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Задачи динамики, приводящие к решению дифференциальных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 46 47

48 50

Ре

по з

ит о

ри й

БН

ТУ

4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

50 52

54

59 59 61 64 68 72 77

ТУ

БН

Учебное издание МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

ри й

по высшей математике для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

Ре

по з

ит о

С о с т а в и т е л и: АНДРИЯНЧИК Анатолий Николаевич МЕТЕЛЬСКИЙ Анатолий Владимирович МИКУЛИК Николай Александрович и др.

Редактор Т.А. Подолякова Компьютерная верстка С.В. Бондаренко Подписано в печать 27.02.2010. Формат 60841/8. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 9,3. Уч.-изд. л. 3,64. Тираж 500. Заказ 999. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65, 220013, Минск.

80