Idea Transcript
М и н и стер ств о обр азов ан и я Р есп убл и к и Б ел ар усь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫ Й ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ри й
БН
ТУ
К аф едр а вы сш ей м атем ати к и № 1
ит о
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть 2
Ре
по з
Сборник заданий
М и н с к 2010
Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
БН
ТУ
Кафедра высшей математики № 1
ри й
ВЫ СШ АЯ
М АТЕМ АТИ К А
ит о
Сборник заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов инженерно-технических специальностей
Ч асть
2
Ре
по з
В 2 частях
Минск 2010
У Д К 51 (0 7 5 .8 )
Ш&Э£тЪ&В 93
БН
Р е ц е н з е н т В . К Каскевич
ТУ
С оставители: Л .К Андриянчик, Н.А. Микулик, Л.А. Раевская, //.Ж Чепелев, Федосик, В . К Юринок
ри й
Высшая математика: сб. заданий для аудиторной и самостоятельной В 93 работы студентов инж енерно-технических специальностей: в 2 ч. / сост.: А.Н. Адриянчик [и др.]. - Минск: БНТУ, 2010. - Ч. 2. —ISO с.
Ре
по з
ит о
В сборнике заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов приведены задачи и упражнения по основным разделам высшей математики в соответствии с действующ ей программой. В качестве основных рассматриваю тся 18 практических занятий для каждого из четырех семестров. К задачам, предназначенным для са мостоятельной работы, предлагаются ответы, что поможет студенту контролировать правильность реш аемых примеров. Приведены варианты типовых расчетов, являющихся обязатель ным элементом типовой учебной программы по математике учебных планов соответствующ их специальностей БНТУ. Издание является дополнением к существующим задачникам, будет полезным как для студентов дневной, так и заочной формы обучения и послужит лучшей организации их самостоятельной работы. Ч. 1 издана в БНТУ в 2009 г.
IS B N 9 7 8 -9 8 5 -5 2 5 -0 1 6 -7 (Ч . 2 ) ISB N 9 7 8 -9 8 5 -5 2 5 -0 1 7 -4
© Б Н Т У , 2010
СОДЕРЖ АНИЕ
Ре
по з
ит о
ри й
БН
ТУ
I, ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОЙ П ЕРЕМ ЕН Н О Й ........................... 5 Занятие 1. Методы исследования сходимости знакоположительных числовых рядов. Достаточные признаки ....................... 5 Занятие 2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Л ейбница...................................................................... 7 Занятие 3. Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды ........................................ ......................... 9 Занятие 4. Разложение функций в ряды Тейлора и М аклорена. . . . 11 Занятие 5. Разложение функций в степенные ряды. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям..........14 Занятие 6. Разложение функций в ряд Фурье на интервале [- п; к ) , четных и нечетных функций ............................................. . 17 Занятие 7. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах ..................................... 21 Занятие 8. Вычисление кратных интегралов в криволинейных координатах ....................................... .........................................23 Занятие 9. Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов первого р о д а ................... ..................................... 26 Занятие 10. Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов второго рода .......................................................28 Занятие 11. Приложения кратных интегралов.........................................31 Занятие 12. Приложения криволинейных и поверхностных и н тегр ал о в.............................................................. .................34 Занятие 13. Элементы теории поля ............................................................36 Занятие 14. Функция комплексной переменной. Предел. Производная. Условия К ош и-Рим ана............................ 39 Занятие 15. Интеграл от функции комплексной переменной. . . . . . 41 Занятие 16. Ряды Тейлора и Л о р а н а ........................................................ 43 Занятие 17. Изолированные особые точки .............................................. 47 Занятие 18. Вычеты. Основная теорема о вычетах................................ 49 Типовой расчет № 1. Ряды .................... ...................................................... 53 Типовой расчет № 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля ...................... 68 3
Ре
по з
ит о
ри й
БН
ТУ
II. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ С Т А ТИ С ТИ К И .....................87 Занятие 1. Преобразование Лапласа. Изображение элементарных функций. Основные теоремы .................................................87 Занятие 2. Дифференцирование и интегрирование оригиналов и изображений. Свертка ф ункций............................... . 89 Занятие 3. Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных у р авн ен и й ............... ......................... .93 Занятие 4. Элементы комбинаторики......................................................96 Занятие 5. Классическое и статистическое определение вероятности события. Теоремы сложения и умножения вероятностей............................. ................... 99 Занятие 6. Формулы полной вероятности и Б ай еса............................105 Занятие 7. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона... 108 Занятие 8. Функция распределения и плотность распределения вероятностей случайных величин.......................................110 Занятие 9. Математическое ожидание и дисперсия........................... 114 Занятие 10. Законы распределения дискретных случайных величин .117 Занятие 11. Законы распределения непрерывных случайных величин 120 Занятие 12. Двумерные случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики двумерных случайных величин....................... ................. 124 Занятие 13. Закон больших чисел........................................ ..............131 Занятие 14. Эмпирическая функция распределения. Полигон. Г истограм м а............................................................................134 Занятие 15. Выборочная средняя, дисперсия, начальные и центральные эмпирические моменты распределения.. 144 Занятие 16. Точечные и интервальные оценки параметров распределения............................................................. 145 Занятие 17. Нахождение параметров линейной регрессии по методу наименьших квадратов ................................ 149 Занятие 18. Проверка статистических г и п о т е з ........... .....................151
Типовой расчет № 3, Операционное исчисление
......................... 154
Типовой расчет № 4*Теория вероятностей и математическая статистика.................................................................................................. 161
I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ФУНКЦИИ КОМ ПЛЕКСНОЙ ПРЕМ ЕННОЙ Занятие 1
Аудиторная работа
ТУ
Методы исследования сходимости знакополож ительных числовых рядов. Дост ат очные признаки
1.1. Доказать сходимость следующих рядов и найти их суммы: ^ ^ 1 Л (3 « + 2)(Зп + 5)'
б'
“ 3 "+ 5 " в- Z -
г- Z -
15"
“ i
-2 й
18"
ри й
~\
БН
1 „=\П\П + \)
а - Е - 7 ------Ту
в. п=1И-3 X П
ит о
1.2. Исследовать сходимость следующих рядов с положитель ными членами: * п+1 а. -------- ■ б. /7=11 Z 077 ~b1 /7-13774* 2 оо 1 оо |
по з
“ п д- I n=\{n + l f
5 +п
Ж. Z
п - 125 +
ft
3’
Ре
п
и. I~1(2л + 3)Г Зп -7 7 -1
л- Z=1^7?? ^ н/7=1
+ 3л + 4 у
.л 1 Г 77“Ь1 3
r-
п=2 1ПП ” 2п-\ е. Z — 2-----■ П=\2п +1
3- Z
3п(п + 1)
к. «=1 Z
{п +1)" п!
„ .y f s in - i- ' „А 5” + !
DO
1
00
п. x - 4 - n=2n l n n
1
p. x „=i(l0« + 5)ln2(l0n + 5)
c- X ?(и—+ vз)tln(n t t —+ ;т г т г 7 —+ tw з) ln(ln(n З)) t - X (3« - 0 si n~3 У- Z t t TTn=i(2n)!
4 \!П
, ^ ,| . и+3 Ф- X arcsin: n=lV 2л+ 5 1
_
^
Я
ТУ
со
7t
БН
n=\{Sn + 8) In3(5 n + 8) Д ом аш нее задание
1.3. Доказать сходимость ряда и найти его сумму: 00 1 00 Пп _
ри й
а- nХto т(2- n- -+- -l)(2« ч - +- -3)- - - - - - - - - - - - - - - -t- \- - -21я - - - - v б-I ”- - — •
ит о
1.4. Исследовать сходимость следующих рядов с положитель ными членами: ” Зи + 2 _ “ 1
б-п=2л[г^ X-
“ 1 в- X 5----------- ■ n—\^i + 2/7 Ч" 5
” 3” (и + 2)! Г- X ■5 ■ n—1 w
" (in -lY д- X — • 2w у 71=1
“ 1 е. X л=1(9я -4 )1 п 2(9 я - 4 )
Ре
по з
а- и=15я Х т —+ г-1
_1
О тветы
1 3 7 а. б. — . в . — . г . —. 1.2. а. Расходится,б. Расходится. 15 4 8 в. Сходится, г. Расходится,д. Сходится, е.Расходится, ж. Сходится, з. Сходится, и. Сходится, к. Расходится, л. Сходится, м. Сходится, н. Сходится, о. Расходится, п. Расходится, р. Сходится, с. Расходится. 1.1.
6
1 о. ^ — 1 т. Сходится, у. Сходится, ф. Сходится, х. Сходится. 1.3. а. —. 3 I 1.4. а. Расходится, б. Расходится, в. Сходится, г. Расходится, д. Схо дится. е. Сходится. Занятие 2
ТУ
Знакопеременные ряды . А бсолю т ная и условная сходимост ь. Знакочередую щ иеся ряды . П ризн ак Л ейбница
БН
А удиторная работа
2.1. Исследовать следующие ряды на сходимость. В случае схо димости исследовать на абсолютную и условную сходимость:
ри й
п(п+1)
COS п а
£
а- 7£7=1—Т-YI
б- К - 0 П^\
в. £ s m — .
ит о
/7 = 1
. £(-i )"+1— 1----
по з
Ж
(и +1)-3” '
Ре
„“ i
Л.
.
п=\
3 у
п
6/?-5
)
' „tW 2 ^ T 4/7
/7 111 П
0. ё ( _ 1Г
г ! 1 2и + 1
п- Хл U „ =]
п
--72
.
f №
п - 1
2
г.
/7=1
=1 VW
ч
/
„=1
(и + 1)]п2(« + ])
„у
п\п + 2)
7
2.2. рядов:
Найти приближенно (с точностью до 0,01) сумму следующих
а.
• п~\У1
б. i ( - i y +1
+1
п- 1
-
W
( - 1)”
в. V +
ТУ
п=2 п ( п +
Домашнее задание
БН
2.3. Исследовать следующие ряды на сходимость. В случае схо димости исследовать на абсолютную и условную сходимость: ^ cos ап а- £ ----- — ^-
х
п ' .
Лп ^
п -1
„=1
^ Ъп
Цгс +1 j
^
ит о
д.
п - 1 л/ и + 5
’ЧГ1^ Я=Г
ри й
П=\
^ ^ lY7”1 о. 1 ^7 ^ = - г. Х ( - 1 )
^ З и -1
Г 1 «■ £ ( - > г ‘ у2п + 1 п=1
ж. Найти приближенно (с точностью до 0,01) сумму ряда £ П~\
— — п !
Ре
по з
Ответы 2.1. а. Сходится абсолютно, б. Сходится абсолютно, в. Расходит ся. г. Сходится абсолютно, д. Сходится условно, е. Расходится, ж. Сходится абсолютно, з. Сходится условно, и. Расходится, к. Схо дится абсолютно, л. Сходится условно, м. Расходится, о. Расходит ся. п. Сходится абсолютно, р. Сходится условно. 2.2. а. -0 ,4 1 . б. 0,95. в. 0,03. 2.3. а. Сходится абсолютно, б. Сходится условно. в. Сходится абсолютно, г. Расходится, д. Сходится условно, е. Схо дится абсолютно, ж. 0,63.
Занятие 3 Функциональные ряды . Область сходимости. Степенные ряды Аудиторная работа
а.
g . 2 Пп\
б.
и= \(2п)\
п2
БН
=1
ТУ
3.1. Найти область сходимости следующих функциональных рядов:
в- Е 1 п и х. И=1
r' W ' «=1(х-2)
£ и!
ри й
Д' 77^= 1 Л
Д COS п х
В- Е — — л=1 2
ит о
3.2. Найти область равномерной сходимости следующих рядов: ^ cos гас ^ 2^sinnx а. I — — . б. X ------—. я=1 « л=1 77 !
по з
3.3. Найти область сходимости следующих степенных рядов: a- I ^ r п~\П
6- I п- 1
2
® 1 0 и* л
Ре
в. Z “ T — ■ п ~ 1 л/ W
г- S — — ■
^=1
оо
д. 5 > ! * " . «=1
е. /7=177 3
«=1
2
W
со
£ (^ п=1
8 >'
п
9
(* -1 У
И- Ё
к.
n=i2”(w + 3)
/2=0
^ + 1
( * - 3 ) 2"
л.
I
w==l ( « + l ) l n ( « + l )
ТУ
Домаш нее задание 3.4. Найти область сходимости следующих функциональных рядов: оо
оо
a- S ( lg x ) ” . 1
гс=1
БН
П -
б- Z -
1 в-
I' . п п=\П\Х
ри й
3.5. Найти область сходимости следующих степенных рядов: оо оЯ
а- 1 , и л=Ы
п=1 л/и
00
С * -5)”
ит о
В. £w(w + l)*”/7—1
Г‘
2 •
п - 1 5 " •‘ и7?2
(х -1 Г
д. I „=i2"ln(« + l ) ‘
(* -2 )” е- X
nt i ( 2 B - i ) - 2 " '
по з
Ответы
п
б.
Ре
3.1. а. (-со; + со). б. [ - 9 ; - 7 ] в. —< х < е . г. ( - оо; l) и (3; + оо). е д. 0 . 3.2. а. (—со; + со), б. (-со;+ оо) в. (-оо; + оо). 3.3. а. [—1; ]] б. ( -2 ; 2). в.
г- ( ~ е’ еУ Д-
е- (-°о; + °о). ж. (0;4).
з. [ - 9 ; - 7 } и. [-1; 3). к. (l; 3} л. (2; 4> 3.4. а. Г— ;1о) б. (-2;2> v 10 в.
( - о о ; 0 ) и ( 0 ; + оо)
д. [-1 ;3 ).е .
10
[0 ;4 ).
3 . 5 . а.
(-5 ;5 ).
б.
у
в. ( - 1; ! ) . Г. [0 ;1 0 ] .
Занятие 4 Разлож ение функций в ряды Тейлора и М аклорена Аудиторная работа следующих задачах найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд функции / ( х ) по степеням х - х0 . а. f ( x ) = ex, x Q= - 2 .
б. / ( * ) = c o s x , x 0 = ^ . г.
/( х )
= cos2 x,
х 0 = ^ -.
БН
в. /(x ) = s h x , х 0 = 1 . Д- f ( x ) = -r^—, x 0 = \ . 2 —х
следующих задачах разложить функцию
ри й
4 .2 . В
ТУ
4 .1 . В
лора в окрестности указанной точки
х0
/(х )
в ряд Тей
. Найти область сходимости
полученного ряда к этой функции. X
ит о
a. f ( x ) = - , x 0 = - 2 .
в- / ( * ) = —Ц - , * о = - 2 • х ч- 3 1
г . / ( х ) = - 1 — \------ ~ , Ч = ~ 2 х
- 4х + 3
с >*о= 3 -
по з
Д- / ( * ) =
б. f ( x ) = e x , x 0 = 1.
2х + 5
Ре
4.3. В следующих задачах разложить функцию f ( x ) в ряд М ак лорена, используя разложения основных элементарных функций. Указать область сходимости полученного ряда к этой функции. a. f ( x ) ^
l + XX
б. / ( * ) = cos5x.
х
в. /(;t) = s m x 2.
г. f ( x ) = sin2 х ■cos 2 х.
д. f ( x ) = Vs + x.
е. f(x)--
ж. f { x ) = 1п(2 + х).
з. / ( х ) =
Зх-5 х2 —Ах + 3 + VI + X2 j . 11
Домаш нее задание 4.4. Найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения ряд функции / ( х ) по степеням х - х 0 .
*• / ( * ) = ------ - , x 0 = 2 .
ТУ
x +Y
4.5.
к
б. /(* )= sm х, х 0
а. f ( x ) = 1п(х + l), х0 = 2.
Разложить функцию f { x ) в ряд Тейлора в окрестности ука
БН
занной точки х о . Найти область сходимости полученного ряда к этой функции. 2
1
б. / ( * ) = - = = , *0 = - 3 . л/4 + х
ри й
а. / ( х ) = 1п(5дс + 3),л:0 = — 5
ит о
4.6. Разложить функцию f { x ) в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать область сходи мости полученного ряда к этой функции. 6 б. f ( x ) : a. f ( x ) = х 2е2х. 1 -х
по з
в. / ( х ) = cos(x н- а). Ответы
Ре
4.1. а. ех = е
-2
3
1+
2! 2! \3
( п) I f % о. cosx = - х ---- и — х -----^2 )
3! v
If
12
2
5! I
2
1 f ' я) 2 ( n x = ----- X ---------H------- X --------
2
^
4J
3v
J 5
71 j I f
7C
------- X ---------- + — I X -------------
в. s h x = s h l -f c h l ( x - 1) + ~ ~ ( x ~ l ) 2 +
r. c o s
... .
-+
3!
4
2J
7! v
~ ^
2 ( 71 — x ---151 4
2y
+ "
- f ..
д.
Х = 1 + 2 { х - \ ) + 2(х - \) + 2(х - 1f + 2(х - i f + ... 2-х =
-4 < * < 0 .
х
п—0 2
б. ех = е\\ + (х - l ) + - ^ ( x - l ) 2 + ... + — ( х - l ) " + ...j, 00
- 3 < x < -1 .
1
n=i 11
a
=
2
— 2
x
1)” -1
l/7 r 2 n
n-О
V
1
+
X
-l(о) = У(о) = 0.
15
Домашнее задание
ТУ
5.6. Вычислить приближенно с точностью до 0,001 c os 2°. 5.7. Используя разложение подынтегральной функции в степен ной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностьк до 0,001.
о
БН
5.8. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
ри й
у' = 2cosx - х у 2, у(0) = 1.
5.9. Методом последовательного дифференцирования найти пер вые 6 членов разложения в степенной ряд решения дифференциаль ного уравнения при указанных начальных условиях:
ит о
/ " = у е х - x ( y ' f , j(0 ) = /(О ) = / '( 0 ) = 1■
по з
5.10. Найти частное решение дифференциального уравнения по методу неопределенных коэффициентов: у ' - у = 0,у(0) = 1.
6.0,716. 6.0,015.
Ре
Ответы 5.1.а.0,0314. 5.2. а. 0,856.
1
, у = 11 + х + — 1 х з +... 6. 3
2
2
з
„ 1 з +... , в. у = 1—,+1—2х , -\----X 2 4 12
а. у = 1 + -j(jc —п ) +х -^ п( х) -2 п+) ... 2
6. у —1 + 2 jc "I------ н 4 L.. 16
г. 1,61. г. 0,508
5.3. а. у —х л — х н— х 2 3
д. 0,161.
5.4.
в. 3,02. в. 0,124.
...
х2 2!
X3 X5 3! 5!
4х6 6!
9х7 7!
В. У — 1 + ХН--------- 1--------- Ь-------- 1------------ !------------ Ь ...
, 2 X6 Х2П ( х2 5.5. а. у = 1 + х + ----1- — + ... + -----+ ... ех 3! п\ \ 2!
ТУ
г- _ X2 X4 Зх6 3 - 5 - х 8 (2л + l ) x 2"+2 О. у — ! (-----------1----------------- Ь ... Н------- т---------- г----2! 4! 8! 8! (2 л + 2 ) 5.6.0,999. 5.7. а. 0,098. 6.1,026. 5.8. у = 1 + 2х - - х 2 + ...
+
х 2 х3 — +— + 2! 3!
хп ( \ — + ...е*. л!
ри й
5.10. у = 1 + Х
БН
2 2 3 4 гг. ! X X X „ 5 5.9. j = 1 + хн-------h — + — + 0• х +... 2! 3! 4!
Занятие
6
ит о
Разлож ение функций в ряд Фурье на интервале [- л; л], четных и нечетных функций Аудиторная работа
по з
6.1. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2я ) функцию / ( х ) , заданную на отрезке [- п; я ] :
Ре
rt \ / °> ~ п < х < 0 , а- / ( * ) = . 1 0< X/ 3+4 е. ------------- я. 15 3
10
Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов второго рода
Ре
Аудиторная работа
10.1. Вычислить данные криволинейные интегралы второго рода:
а.
\{х2 + y 2}dx + 2xydy, где Ь0А - дуга кубической параболы
l oa
у = х 3 отточки 0(0, о) до точки
О.
б. j(xy - 1 ) d x + x 2ydy от точки л(1;о) L
мой 2х 4- у = 2. 28
до
ТОЧКИ
5(0; 2 ) по пря-
в. j{xy ~ l) dx + x 2y d y , где LAB - дуга эллипса x = cos t ? у = 2 sin t L от точки a {1; о) ДО точки 5(0; 2). г. |(х + 2 у ) dx + (х - у) d y , L - окружность x = 2cos?, у = 2 sin t L
ТУ
при положительном направлении обхода. д. jxdx + ydy + {х + у - \) d z , где ЬАВ - отрезок прямой, соедиl ab
няющий точки А(1,1,1) и 5 (2 ,3 ,4 ).
\2xydx + y 2dy + z 2dz , где Ь АВ - дуга одного витка винтовой l ab
линии х = cost9y = sin/ , 2 = 21;
БН
е.
A(1, 0 ,0); B(l, 0, 4л).
ри й
10.2. Вычислить поверхностные интегралы второго рода: а. [[д/х2 + у 2dx dy , где S - верхняя сторона круга х 2 + у 2 < а 2 . s б. \\ydxdz, где S - верхняя сторона части плоскости x + y + z = a , s
ит о
лежащей в первом октанте. в. \\xdydz + ydxdz + zdx dy , где S - верхняя часть поверхности s
j + 2 v - f z - 6 = 0, расположенная в первом октанте.
?
по з
г. \\xdydz + ydxdz + zdxdy, где S - внешняя сторона цилиндра ' 5 7
7
х + у =R с основаниями z = 0 и z = Н .
Ре
Результат проверить по формуле Остроградского.
10.3. Применяя формулу Остроградского, вычислить поверхно стные интегралы второго рода: а. jjxdydz + ydxdz + zdxdy, S - положительная сторона куба, co s' ставленного плоскостями х = 0, у = 0, z = 0 , x = l , y = l9z = l.
б. jjxzdxdy + xydydz + y zd xdz , где S - внешняя сторона пирамиs’ ды, составленной плоскостями х - 0 , у = 0, z = 0 и х + >>+ z - 1. 29
Домаш нее задание 10.4. Вычислить криволинейные интегралы второго рода: а.
\(ху - y 2^jdx + xdy у где L0B - дуга параболы у ~ х 2 отточк и L OB
0 (0 ,0 ) до точки 5(1,1). Г ^
в.
X< ^Z. ? где i AB _ отрезок прямой AB;A(l92);В(3, б). *
ТУ
5
+У
( f y d x - x d y , где L - дуга эллипса x = 3cost, y = 2sint, «пробе-
БН
L
гаемая» в положительном направлении обхода. Результат проверить по формуле Грина.
ри й
10.5. Вычислить поверхностные интегралы второго рода: а. \ \ y d x d z , где S - поверхность тетраэдра, ограниченного плос5
костями х + у + z = l, х = 0, у ~ 0 , z = 0. б. \\xdydz + ydxdz 4- zdx dy , где
S
-
внешняя сторона сферы
ит о
s
*2 + y 2 + z 2 = l .
по з
10.6. Задачи 10а я 10.56 решить по формуле Остроградского. Ответы
б. i L . 6
в. 54. г. Зтс R 2H.
в. - 1 2 к . 10.5. а. —. б. 4 п .
6
30
64тг3 4 ГТ г. -4тх. д. 13. е. . 10.2. а. —тид/а . 3 5 -
44 а. —. б. 1. в. 3 3
Ре
10.1.
10.3. а. 3. б . - . 8
10.4. а . — , б. -1 п З . 60 5
Занятие 11 Прилож ения кратных интегралов Аудиторная работа
ТУ
11.1. При помощи двойного интеграла найти площадь области, ограниченной указанными линиями: а. ху = 4 х + у = 5. б. y = -Jx ,y = 2«J~x, и х = 4. p = 2coscp.
БН
в. p = coscp,
11.2. При помощи двойного интеграла найти объемы тел, огра ниченных поверхностями: 2 а. у - х , у - 1, х + у + z = 4, z = 0.
ри й
б. х = 0, v = 0, z - 0, х = 4, у = 4 и z = 1 + х 2 + у 2. 11.3. Вычислить площадь части поверхности конуса г - л [ х 2 + у 2 , 2
2
ит о
расположенной внутри цилиндра х + у = 4х.
11.4. Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной линиями у 2 ~ х, х - 3, если поверхностная плотность в каждой ее
по з
точке \х = х.
11.5. Вычислить координаты центра масс фигуры, ограниченной
линиями у = х 2,у^ = х , если плотность фигуры в каждой ее точке
Ре
равна х у .
11.6. Вычислить моменты инерции относительно начала коорди
нат и осей координат пластины плотностью х 2у , лежащей в плоскости Оху и ограниченной линиями у = х , у - 1 .
11.7. При помощи тройного интеграла вычислить объем тела, ог раниченного поверхностями: 31
а. z —д/х2 +
, 2 —z —х
б. z = х 2, Зх + 2у = 12,
.
= 0, z = О.
ТУ
11.8. При помощи тройного интеграла вычислить массу тела, ог раниченного поверхностями: а. х + ^ + z = 1, х = 0, >>= 0, z = 0 , если плотность тела b{x,y,z) = - -------- ----- -о-. (х + у + Z + 1)
БН
б. х 2 = 2у, y + z = l, 2 y - h z = 2 , если в каждой точке тела объем ная плотность численно равна ординате этой точки.
ри й
11.9. Найти координаты центра масс части однородного шара радиусом R с центром в начале координат, расположенной выше плоскости О х у . 11.10. Вычислить момент инерции относительно плоскости Oyz тела, ограниченного плоскостями
x + 2 y - z = 2, х - 0 , у - 0 , z = 0,
ит о
если его плотность S(x?>y, z) = х.
Домаш нее задание
по з
11.11. С помощью двойного интеграла вычислить площадь пло-
ской области, ограниченной линиями у
2
= 4х, х + у = 3, у > 0 .
Ре
11.12. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
z = х 2 ч- у 2, х + у = 1, х > 0 , у > 0, z > 0 . 11.13. Вычислить площадь части плоскости 6х + Зу + 2z =1 2 , ко
торая расположена в первом октанте. 11.14. Найти массу кругового кольца, если в каждой его точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату ее расстояния до центра кольца. 32
11.15.
Найти координаты центра масс однородной фигуры, огра
ниченной линиями у 2 —х, у —х.
ТУ
11.16. Вычислить моменты инерции относительно начала коор динат и осей координат фигуры плотностью |а(лг, _у) = 1, ограничен ной линиями х + у —2, х = 2, у = 2. 11.17. При помощи тройного интеграла вычислить объем тела,
БН
ограниченного цилиндром х - у 2 и плоскостями x + z = l,z = 0.
11.18. Найти массу тела, занимающего единичный объем 0 0 - коэффи
Ре
циент пропорциональности. 12.3. Вычислить координаты центра масс однородной дуги пер вого витка винтовой линии х = cos t, у = sin t, z = It.
12.4. Вычислить момент инерции относительно начала коорди нат отрезка прямой, заключенного между точками А( 2 , 0) и в( 0 , l), если линейная плотность в каждой его точке равна 1 . 34
12.5. С помощью криволинейного интеграла второго рода вы числить площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой: а. х = ac os t,y = bsint. о
о
б. х - a cos t , y = a sin t (астроида). 12.6. Вычислить работу силы F : при перемещении материальной точки из
ТУ
а. F = yi + (х + y ) j
начала координат в точку (l, l) по параболе у = х 1 .
БН
б. F = (x + y)i ~ x j при перемещении материальной точки вдоль окружности х = 2соst, у = 2 sin t по ходу часовой стрелки. 12.7. Применяя поверхностный интеграл первого рода, найти: а. Площадь части поверхности 2х + 2 у + z = 8, заключенной
ри й
внутри цилиндра х 2 + у 2 = 1.
б. Определить суммарный электрический заряд, распределенный на части поверхности двуполостного гиперболоида z 2 = х 2 + у 2 + 1,
ит о
1 < z < л/2 , если плотность заряда в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки (б - kz). в. Найти координаты центра тяжести однородной треугольной пластинки х + у + z = \ { x > 0 , y > 0 , z > 6 ) .
по з
Домашнее задание
Ре
12.8. Найти длину дуги астроиды х = я cos3 t , y = a sin31. 12.9. Найти массу всей координаты р = a(l + coscp), если плот
ность в каждой ее точке выражается формулой ц = к^[р , где к > 0 -
коэффициент пропорциональности. 12.10. Найти координаты центра тяжести дуги АВ винтовой ли нии x = acostyy = a s in t ,z = b t , если в каждой ее точке линейная
плотность пропорциональна аппликате этой точки; tA ~ 0 , t B - n . 35
12.11.
С помощью криволинейного интеграла второго рода вы
числить площадь области, ограниченной линиями у = х 2 и у = ^[х. 12.12. Вычислить работу силы F = {х - у) г + 2yj
при перемеще
нии материальной точки из начала координат в точку (l5-3 ) по па
ТУ
раболе у = - З х 2 . 12.13. Вычислить массу, распределенную на части конической
БН
поверхности х2 + у 2 = 2г2 5расположенной между плоскостями z = 0 и .
z = 2, если плотность в каждой точке поверхности равна л/ x ^ f у 2 . О тветы
12.3.
(0;0;2тс). v '
12.4.
ит о
в. 2ак2п. а.-, 2
б.
12.8.
6а. 12.9.
8 тс.
12.7.
а. Зтс.
2-Jlka^n.
по з
12.6.
8 а.
ри й
12.1. а. — (Юл/ l O - l ) б. 2 п ^ а 2 + Ь 2 . в. 27V ; — . 3
12.2. а. — . б. — . 3 9
12.5.
б. — ( з Т з - l ) 3 v ;
12.10.
а. тiab. в. I v3
Ре
3
{ 4а 2а 2 ) 2> — >ТЬп V тг л; 3 У ■ 12Л1'
12.12. 10,5. 12.13. ^ ^ - п . 3 З а н я т и е 13
Элементы теории поля Аудиторная работа
13.1. Найти значение производной вектор-функции г = 4(г2 + /)/ + arctg t j + ln(l + t 2^jk при t = 1.
36
б .-— . 8 3 1 т3
13.2. Записать канонические уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой г ~ ti + t j + t к в точке t = 3. 13.3. Вычислить производную функции точке
и
= 1п(з -
x 2 )-f
х у 2z
в
1,3, 2) по направлению к точке М 2(0, 5, 0).
13.4. Найти grad и в точке М 0(1,1, l), если м = х 2yz - ху 2z + xyz2 . ср
подъема поверхности
ТУ
13.5. Найти наибольшую крутизну
z =5x2 - 2 х у + у 2 в точке М 0(1,1,4). 13.6. Построить поверхности уровня скалярного поля, опреде2
БН
2
ляемого функцией и = - ---- — . z 13.7. Построить линии уровня плоского скалярного поля z = х у . 13.8. Найти векторные линии векторного поля, если а (м ) =
ри й
=5х1 + 10у].
13.9. Вычислить поток векторного поля а = xi - 2 y j + zk через верхнюю часть плоскости x - f 2 ^ + 3 z - 6 = 0, расположенной в пер
ит о
вом октанте.
13.10. Вычислить дивергенцию векторного поля
а(м) = {ху+z2)z +
+ [yz + х2)у + [zx + у 2)к в точке M (l, 3 , - 5 ) .
по з
13.11. Найти ротор векторного поля а ( М ) = xyzi + (х + у + z) j + + (х2 + у 2 + z 2^jk в точке м ( 1, -1 , 2). 13.12. Вычислить циркуляцию векторного поля
а(м) = yi
+ x 2j - z k
Ре
по окружности Г : х 2 + у 2 = 4 , z = 3 в положительном направлении обхода относительно единичного вектора к двумя способами: 1) ис ходя из определения циркуляции; 2) с помощью поверхностного интеграла, используя формулу Стокса. 13.13. Выяснить, является ли векторное поле а ( м ) = х 2у 7 - 2ху2] + 2xyzk соленоидальным. 13.14. Выяснить, является ли векторное поле
а(м) = ( y z - 2 x ) i
+
+(xz + zy) j + хук потенциальным. 37
13.15. Выяснить, является ли векторное поле а ( м ) = ( х + y ) i + + (у + z ) j + (х + z) к гармоническим. Домаш нее задание 13.16.
Дано векторно-параметрическое уравнение движения точ 3 t2j -f (412 -
s)k . Вычислить скорость
ТУ
ки М : г ~ r(t) - (2t2 + з)/ -
|v| и ускорение |оо| движения точки в момент времени t - 0, 5 .
БН
13.17. Записать каноническое уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к линии, заданной векторно-параметри• 2 ~ ческим уравнением г- = cos 2 ti + sin tj + tgtkГ , в точке t = — .
13.18. Найти производную функции.
3
2
2
z = x - З х j + Зху +1
в
ри й
точке М(3, 1) в направлении, идущем от этой точки к точке (б, 5). 13.19. Дана функция z = х2 + у 2 . Найти grad г в точке (3,2). 13.20. Вычислить поток П векторного поля а( М) = xi + 3 yj + 2zk вом октанте.
ит о
через верхнюю часть плоскости х + у + z = 1, расположенную в пер 13.21. Найти div(xjyz + yzj + x z k ). 13.22. Выяснить, является ли векторное поле a{M) = yzi +xzj + хук
по з
потенциальным.
13.23. Найти циркуляцию вектора a - - y i + xj + к вдоль окруж2
Ре
НОСТИ X
2
= 1, Z = 0 .
Ответы
13.1. 1 2 4 - 7 +к. 13.2. — 2 1
13.3.
6
27
х + 6 v + 21 z - 786 = 0.
13.4. 2 i +2к. 13.5. tg(p = 8 ,ср = 83°. 13.6. Круговые пара
болоиды. 13.7. Гиперболы. 13.8. х 2 - C ty,
z = C2■ 13.9.0. 13.10.-1.
13.11. - З Т - 3 j - к . 13.12. - Ап. 13.13. Да. 13.14. Нет. 13.15. Нет. 38
x - y ~ 2 z + 2~Q. 13.18.0.13.19. бГ + 4]. 13.20.1.13.21. x + y + z. 13.22. Да. 13.23. 2л . З а н я т и е 14
Аудиторная работа
ТУ
Функция комплексной переменной. Предел. Производная. Условия Кош и-Римана
БН
14.1. Описать области, заданные следующими соотношениями: а. |2 ~ z 0 j <
б. l 0 ch / z
sin / z л ijm --------------™ch z + /sh z
M.
4
39
14.2. Проверить выполнение условий Кош и-Римана и в случае их выполнения найти f ' { z ) : а- f ( z ) = e3z.
б. / ( z ) = shz.
ТУ
Проверить гармоничность приведенных ниже функций в указан ных областях и найти, когда это возможно, аналитическую функ цию по данной ее действительной или мнимой части:
г. v ( x , y ) = 2 e x siny, 0