Комплекс заданий по математике для студентов заочной формы обучения. В 2 ч. Ч. 1: пособие

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Факультет компьютерных систем и сетей

БГ УИ

Р

Кафедра высшей математики

КОМПЛЕКС ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

а

В двух частях

т

ек

Часть 1

Би бл ио

Рекомендовано УМО по образованию в области информатики и радиоэлектроники в качестве пособия для специальностей I ступени, закрепленных за УМО

Минск БГУИР 2016

УДК 517(076) ББК 22.1я73 К63

БГ УИ

Ж. А. Черняк, Н. В. Князюк, Л. А. Фомичева, Т. С. Мардвилко, Т. С. Автушко

Р

А в т о р ы:

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра теории функций Белорусского государственного университета (протокол №11 от 06.05.2015);

ек

а

доцент кафедры математики и методики преподавания математики учреждения образования «Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка», кандидат физико-математических наук, доцент С. А. Богданович

т

Би бл ио

К63

Комплекс заданий по математике для студентов заочной формы обучения. В 2 ч. Ч. 1 : пособие / Ж. А. Черняк [и др.].  Минск : БГУИР, 2016.  151 с. : ил. ISBN 978-985-543-177-1 (ч. 1). Приводятся тщательно сбалансированные наборы заданий для аудиторных занятий, самостоятельной подготовки к экзаменам, задачи с подробными решениями по следующим разделам математики: линейная алгебра, аналитическая геометрия и векторная алгебра, введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Пособие включает в себя приложения с формулами, графиками и иллюстрациями, а также варианты тестовых контрольных работ.

ISBN 978-985-543-177-1 (ч. 1) ISBN 978-985-543-176-4

УДК 517(076) ББК 22.1я73

© УО «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники», 2016

Содержание

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

Введение ……………………………………………………………..……….….… 4 1. Линейная алгебра …………………………………..………..……………....… 5 1.1. Задачи для аудиторных занятий …………………………………...……….… 5 1.2. Образцы решения задач …………………………………………………......... 8 1.3. Задачи для самоподготовки ………………………………………..……..…. 18 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра ..……………………...… 23 2.1. Задачи для аудиторных занятий …………………………….…………….… 23 2.2. Образцы решения задач …………………………………………………....... 26 2.3. Задачи для самоподготовки ………………………………………....….....… 32 2.4. Тестовая контрольная работа по теме «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» .......................................................................… 38 3. Введение в анализ ..…………………………………..……………………..… 45 3.1. Задачи для аудиторных занятий ………………………………….……….… 45 3.2. Образцы решения задач …………………………………………………....... 47 3.3. Задачи для самоподготовки ………………………………………..……...… 50 3.4. Тестовая контрольная работа по теме «Введение в анализ» ………....…… 52 4. Дифференциальное исчисление ..………………………………….…..….… 60 4.1. Задачи для аудиторных занятий …………………………….…………….… 60 4.2. Образцы решения задач ……………………………………….…………...... 64 4.3. Задачи для самоподготовки ………………………………………..……...… 94 4.4. Тестовая контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление»………………………………………….104 5. Интегральное исчисление функции одной переменной ..……..….….… 111 5.1. Задачи для аудиторных занятий …………………………………....……… 111 5.2. Образцы решения задач ……………………………………………...…...... 113 5.3. Задачи для самоподготовки …………………………………..……..…...… 126 5.4. Тестовая контрольная работа по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной» …………………………………………...…. 130 Приложения…………………………………………...………………………… 137 1. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций ……………………... 137 2. Замечательные пределы …………………………………..........................….. 137 3. Виды уравнения прямой на плоскости …………………………………...…..138 4. Виды уравнения плоскости ………………………………………….....……..140 5. Виды уравнения прямой в пространстве …………….……………………....141 6. Графики основных элементарных функций ……………………………..…. 142 7. Поверхности второго порядка ………………………..………………...……. 144 8. Таблица основных интегралов ………………………..………………..……. 146 9. Формулы, используемые при интегрировании ………………………..……. 147 10. Приложения определенного интеграла …………………...………….……. 148 Литература …………………………………………..………………………..… 150

ВВЕДЕНИЕ

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

Пособие состоит из четырех разделов: линейная алгебра, аналитическая геометрия и векторная алгебра, введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной, что соответствует учебной программе по математике для первого курса Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники (факультет заочного обучения). В начале каждого раздела приводится список умений, необходимых для сдачи экзамена в рамках этой темы. Далее представлены тщательно отобранные наборы заданий с ответами для аудиторных занятий (в установочную и экзаменационную сессии). Для самостоятельной подготовки к экзаменам в период между сессиями предлагается большое количество задач с ответами. Для помощи в решении этих задач предназначается обширный круг заданий с решениями, сопровождающимися подробными комментариями. Пособие содержит также приложения, включающие формулы, правила, формулировки теорем, графики и иллюстрации. В конце каждого раздела приводятся варианты тестовых контрольных работ, подводящие итог изученному в этом разделе материалу. Представленное пособие может послужить эффективным помощником студенту заочной формы обучения благодаря доступности и подробности изложения, большому количеству технически нетрудоемких заданий и наличию наглядного справочного материала. Тщательно продуманные, хорошо сбалансированные наборы задач для аудиторной работы и тестовых контрольных заданий помогут преподавателю качественно провести занятия и контроль знаний студентов в период экзаменационной сессии. Пособие рекомендуется для студентов инженерно-технических специальностей вузов заочной формы обучения и преподавателей высшей математики.

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

БГ УИ

Р

В результате изучения данной темы студент должен научиться: – вычислять определители (по правилу Саррюса; разлагая определитель по элементам какой-либо строки (столбца)); – выполнять операции над матрицами (сложение, вычитание, умножение на число, транспонирование, произведение матриц); – находить матрицу, обратную данной; – решать матричные уравнения; – находить ранг матрицы; – проверять совместность систем линейных алгебраических уравнений; – решать системы линейных уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера; – находить собственные значения и собственные векторы матрицы; – приводить квадратичную форму к каноническому виду. 1.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ АУДИТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ  0 2 A    6 4 1) A  B ; 2) 2B  5 A ; 3) 3 AT  2BT .  1 2  2. Даны матрицы A   3 4 1 2 

4  0 

 0 5 10   . Найдите: B    15 10 0  

и

а

1. Даны матрицы

ек

т

1) A, B ; 2) A1  ABT .

1  5 0 

и

1 4 0   B  2 1 0 . 3 5 7  

Найдите:

Би бл ио

1 2   2 0 0  4  , B    и C    . Найдите те из 3. Даны матрицы A   1 1   1 3 4  2 произведений AB, BA, AC, CA, BC, CB , которые имеют смысл. 4. Решите матричные уравнения:  2 0   1 1   1 1  2 0   X    ;     . 1)  2) X   0 1   1 3  0 1   1 3  5. Найдите значение матричного многочлена f  A , если: 3  0  ; 1) f x   x 2  2 x  1, A    1  2  1 2 0   2 2) f  x   3x  5 x  2, A   0 2  1 .   2 1 4   6. Найдите ранг матрицы А методом элементарных преобразований, если:

3 2 5  3 1   2 3 4 5  3 3) A   . 1  3  5 0  7   7  5 1 4 1   7. Исследуйте системы уравнений на совместность и, в случае совместности, решите их: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.  x1  2 x2  3x3  3, 2 x1  4 x2  3x3  2, 4 x1  3x2  x3  3,    1) 3x1  x2  2 x3  7, 2)  x1  5 x2  x3  3, 3)  x1  x2  x3  4, 2 x  3x  x  2; 3x  x  3x  7; 3x  4 x  2 x  2. 2 3 3 2 3  1  1 2  1 8. Решите системы уравнений методом Гаусса: 2 x1  5 x2  8 x3  8, 4 x  3x  9 x  9,  x1  x2  x3  3,  1 2 3 1)  2)  2 x1  2 x2  2 x3  6; 2 x1  3x2  5 x3  7,  x1  8 x2  7 x3  12. 9. Найдите общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений: 2 x1  x2  2 x3  0,  3x1  2 x2  3x3  0, 5 x  x  x  0. 3  1 2 10. Найдите собственные значения и собственные векторы матриц: 1 2 0   5 6  ; 2) A   4 0 1 . 1) A   6 0  3  1 1   11. Запишите матрицы квадратичных форм: 1) Qx1, x2   2 x12  3x22  5x1x2 ; 1 2 4  3    2) A   3 5 6  4  ;  3 8 2  19   

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

1 2 3 0    1) A   0 1 1 1  ; 1 3 4 1   

2) Qx1, x2 , x3   x12  4 x1x2  4 x1x3  5x22  12 x2 x3  7 x32 . 12. Приведите данные квадратичные формы к каноническому виду с помощью метода Лагранжа (выделение полных квадратов): 1) Qx1, x2   4 x12  4 x1x2  5x22 ; 2) Qx1, x2 , x3   x1x2  x2 x3  x12  x22  x32 .

Ответы  0  48     0 0 0  ; 3)  16 2)  32  .  0 0 0  32 0    7  0,2 19,4    2. 1) A  10, B  38 ; 2)  24,5 1,9 64,2  .  1  3,6 7,2    0 6 8 8 , AC    . 3. AB    6 1 3 4    3 3   2 2  ;  . 4. 1) X   2) X   1 2  1 3      0 8  6   0  4  ; 5. 1)  2)  6 1  13  .  0  4   20 1 27   6. 1) rang A  2 ; 2) rang A  3 ; 3) rang A  3 . 7. 1) x1  2, x2  1, x3  1 ; 2) x1  4, x2  1, x3  2 ; 3) система несовместна. 8. 1) 3  c1  c2 ; c1; c2  , где c1, c2 – произвольные действительные числа; 2) x1  3, x2  2, x3  1. 9. Общее решение: x1  c, x2  12c, x3  7c , где с – произвольное

т

ек

а

БГ УИ

Р

 0 7 14   ; 1. 1)   21 14 0  

действительное число, ФСР:  1; 12; 7 T .

Би бл ио

 2   3 10. 1) СЗ: 1  4,  2  9 , СВ: x1   , x2    ;   3  2   1  1  7       2) СЗ: 1  3,  2  1, 3  3 , СВ: x1   1 , x2   3  , x3  11 .  1   1  5       1 2 2    2,5   2  ; 2)  2 5 6  . 11. 1)  3    2,5 2 6 7   1 12. 1) Q y1, y2   4 y12  4 y22 , где y1  x1  x2 , y2  x2 ; 2 1 3 2 2 2) Q y1 , y2 , y3    y12  y22  y32 , где y1  x1  x2 , y2  x2  x3 , y3  x3 . 2 4 3 3

1.2. ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ  3 1 2  0 1 2     1. Даны матрицы A   1 0 2 и B   2 1 1 .  1 2 1 3 7 1     1) 3 A  2B ; 2) AT  B 2  2E ; 3) AB  BA ; 4) A ; 5) A1 .

Найдите:

а

БГ УИ

Р

Решение: 1) найдем матрицы 3 A и 2 B , умножая каждый элемент матрицы А на 3 и каждый элемент матрицы В на 2: 0  2 4  9 3 6     3A    3 0 6  , 2B   4 2 2 .  6 14 2   3 6 3     Вычислим разность 3 A  2B , вычитая из каждого элемента матрицы 3 A соответствующий элемент матрицы 2 B : 5 2  9  0 3   2 6  4   9     3 A  2B    3  4 02 6  2    7  2 4 ;  3  6 6  14 3  2    3  8 1    

T

ек

2) найдем транспонированную матрицу AT , которая получается из матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером:

Би бл ио

т

 3 1 2  3  1 1     AT    1 0 2    1 0 2  .  1 2 1  2 2 1      0 1 2  0 1 2  c11 c12      1 1  C33   c21 c22 1 1 2 Вычислим B 2  B  B   2  3 7 1   3 7 1 c     31 c32 

c13   c23  , c33 

где

c11  0  0   1  2  2  3  4,

c21  2  0  1  2  1  3  5,

c31  3  0  7  2  1  3  17,

c13  0  2   1  1  2  1  1, c23  2  2  1  1  1  1  6,  4 13 1    Получаем B 2   5 6 6  . 17 11 14    Находим

c33  3  2  7  1  1  1  14.

c12  0   1   1  1  2  7  13, c22  2   1  1  1  1  7  6, c32  3   1  7  1  1  7  11,

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

 3  1 1   4 13 1   2 0 0        A T  B 2  2 E  1 0 2   5 6 6    0 2 0   2 2 1  17 11 14   0 0 2         3  4  2  1  13  0 1  1  0   5 12 2        1 5  0 062 2  6  0    6 4 8 ;  2  17  0 2  11  0 1  14  2  19 13 13      3) вычислим  3 1 2  0 1 2     AB    1 0 2    2 1 1   1 2 1   3 7 1     3   1  1  1  2  7 3  2  1  1  2  1   8 12 9   3  0  1 2  2  3        1  0  0  2  2  3  1   1  0   1  2  7  1  2  0  1  2  1   6 15 0  .  1 0  2  2  1 3 1   1  2  1  1  7 1  2  2  1  1  1   7 8 5    0 1 2   3 1 2     1 1    1 0 2  Найдем BA   2 3 7 1   1 2 1   0  3   1   1  2  1 0  1   1  0  2  2 0  2   1  2  2  1  3 4 0        2  3  1   1  1  1 2 1  1 0  1 2 2  2  1 2  11    6 4 7  .  3  3  7   1  1  1 3 1  7  0  1 2 3  2  7  2  1  1   3 5 21   8 12 9   3 4 0   11 16 9        Тогда AB  BA   6 15 0    6 4 7   12 19 7  ; 7 8 5   3 5 21 10 13 26   4) вычислим определитель матрицы А, разлагая его по элементам второй строки: A  a21 A21  a22 A22  a23 A23 , где a2 j – элемент второй строки матрицы А, j  1, 2, 3 ; A2 j – алгебраическое

дополнение элемента a2 j , j  1, 2, 3 . Найдем алгебраические дополнения: 1 2 3 2 A21   12 1  1  4  3 , A22   12  2  3  2  1, 2 1 1 1 3 1 A23   12  3  6  1  5 . 1 2 3 1 2 Получим A   1 0 2   1  3  0  1  2   5  13 ; 1 2 1

5) обратная матрица существует только для квадратной невырожденной матрицы (т. е. определитель которой отличен от нуля). Так как A  13  0 , то обратная матрица A1 существует. Найдем ее по формуле  A11 A21 A31   1  A1   A12 A22 A32  . A   A13 A23 A33  Вычислим алгебраические дополнения A1 j и A3 j , j  1, 2, 3 . A11   111

0 2

A31   131

1 2

Р

 2, 0 2 3 2 A12   11 2 A32   13 2  8 , 1 2 3 1 A13   11 3 A33   13 3  1. 1 0 3 2  4     13  13 3 2   13  4   1 3 1 8  Таким образом, A1    3 . 1  8     13  13 13 13   1  2 5 1  2  5    13 13 13  

Найдите

значение  1 0  . f x   2 x 2  3x  1 , A   0  1  

матричного

многочлена

f  A ,

если

Би бл ио

т

2.

ек

а

2 1 1 2  3, 1 1 1 0  2 , 1 2

БГ УИ

 4 ,

Решение По определению f  A  2 A2  3 A  E . Найдем 1  0  0   1   1 0   1 0   1 0   1 1  0  0     .       A2  A  A    0  1  0  1  0  1   1  0 0  0   1   1  0 1  0 1 0  0 0  2 0  3 .          Тогда f  A  2  A2  3  A  1  E    0 2   0  3  0 1   0 6 

3. Найдите ранг матрицы преобразований.

1 3 5 1   A  2 1 5 6  методом элементарных 1  5 1  3   

Решение Обозначим

I1 , I 2 , I 3 строки матрицы А. Приведем матрицу А к

ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк, не I 3  I1 . изменяющих ранга матрицы А: I   2  I , 2

1

а

БГ УИ

Р

В результате получим 1 3 5 1 3 5 1 1      A  2 1 5 6   2 I1   0  3  1  4  1  5 1  3   I  0  6  2  8   2I 1 2     1 3 5 1     0  3  1  4 . 0 0 0 0   Отметим, что связанные значком  матрицы имеют одинаковые ранги. Очевидно, все миноры третьего порядка полученной матрицы равны нулю, но существуют миноры второго порядка, не равные нулю, например 1 1 . Следовательно, ранг матрицы, полученной в результате элементарных 0 3 преобразований из матрицы А, равен 2. Значит, rang A  2 .

Би бл ио

т

ек

4. Исследуйте системы линейных уравнений на совместность и, в случае совместности, решите их: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.  x1  x2  2 x3  4, 2 x1  3x2  x3  2,   1) 2 x1  x2  2 x3  3, 2) 3x1  x2  3x3  1, 4 x  x  4 x  3; 5 x  2 x  2 x  4. 3 2 3  1 2  1 Решение: 1) совместность системы проверим по теореме Кронекера – Капелли. Определитель основной матрицы системы 1 1 2 1 2 2 2 2 1 A  2  1 2  1  1  2  1 4 4 4 4 1 4 1 4   4  2  8  8  2  2  4  6  0 , значит, строки матрицы А линейно независимы и, следовательно, ранг матрицы А равен 3.  1 1 2  4   Так как ранг матрицы A   2  1 2 3  меньше либо равен 3 (она 4 1 4  3   имеет три строки) и, как мы показали, ее минор 3-го порядка A  0 , то

БГ УИ

Р

rang A  rang A  3 . Значит по теореме Кронекера – Капели исходная система совместна; а) решим систему по формулам Крамера:    x1  1 ; x2  2 ; x3  3 ,    где  – определитель основной матрицы системы;  i – определитель,   4   полученный из  заменой в нем i-го столбца столбцом свободных членов  3  ,   3   i  1, 2, 3 . 4 1 2 1 4 2 1 1 4 3 1 2  6 , 2  2 3 2  18 ,  3  2  1 3  6 . 3 1 4 4 3 4 4 1 3 Отсюда получим решение системы уравнений: 6  18 6 x1   1; x2   3; x3   1 ; 6 6 6 б) решим ту же систему уравнений методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками матрицы, что равносильно исключению неизвестной x1 из второго и третьего уравнений и неизвестной x2 из третьего уравнения. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 2; из третьей строки вычтем первую, умноженную на 4. Затем из третьей строки вычтем вторую: 1 2  4 1 2  4  1 1 2  4 1 1       A   2  1 2 3   2 I1   0  3  2 11   0  3  2 11 . 4 1 4  3   4 I1  0  3  4 13   I 2  0 0  2 2    x1  x2  2 x3  4,  Полученной матрице соответствует система  3x2  2 x3  11, из  2 x  2, 3  которой последовательно находим x3  1, x2  3 , x1  1 ; 2) проверим совместность системы с помощью теоремы Кронекера – 1 2 2  3   1  3 1  осуществим следующие Капелли. В расширенной матрице A   3  5  2  2 4   преобразования: из третьей строки вычтем сумму первых двух, из первой вычтем вторую, ко второй строке прибавим первую, умноженную на 3:

Би бл ио

т

ек

а

1 

2 1 2  I2 2  3     3  1  3 1 1    4   I1  I 2   0 0 0 1 4 1 1  4 1  4 4 1      3 1  3 1  3I1   0  11 9 4  .  0  0 0 0 1 0 0 1    Очевидно, что ранг основной матрицы равен 2, а расширенной – 3. Из того, что ранги основной и расширенной матриц не равны, заключаем по теореме Кронекера – Капелли, что система не имеет решений, т. е. несовместна.

Р

1 2 3  A  3 1 3 5 2 2 

БГ УИ

5. Найдите общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:  x1  2 x2  5 x3  0,  2 x1  4 x2  x3  0, 3x  2 x  4 x  0. 2 3  1

Би бл ио

т

ек

а

Решение Находим ранг основной матрицы системы с помощью элементарных преобразований строк. 2  5 0 2 5 0 2  5 0 1 1 1         2  4 1 0   2 I1   0  8 11 0  . A  2  4 1 0  3  2  4 0   3I 0 0 0 0 0  0 0 0  1     Ранг r матрицы А равен 2, так как существует минор 2-го порядка, 1 2 ). Поскольку ранг матрицы r  2 меньше отличный от нуля (например 0 8 числа неизвестных n  3 , то система имеет бесконечно много решений. Найдем их, решая систему, соответствующую преобразованной матрице:  x1  2 x2  5 x3  0,   8 x2  11x3  0. Из второго уравнения выразим x2 через x3 , а из первого – x1 через x3 , с учетом найденного x2 (в этом случае x3 является свободной переменной, которая принимает любые действительные значения). Получим

x2 x1 x3

11 x3 , 8 9 x3 , 4 .

ек

а

БГ УИ

Р

Фундаментальная система решений состоит из n  r  3  2  1 решения. 11 9 Положив, например, x3  1, находим x2  , x1  . Тогда фундаментальная 8 4 9   4 11 система решений примет вид x    . Общее решение системы имеет вид 1 8 1     9   x  4  1 11 x  c x1 , или  x   c    , где c – произвольное действительное число. 8  2  x 1  3    

Би бл ио

т

6. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы 3 2  2   A1 1 1 . 1 3  1 

Решение Собственные значения матрицы А найдем, решив характеристическое уравнение A  E  0 , которое в нашем случае имеет вид 2 2 3 1 1  1 0 1 3 1   2    1   1     3  2 1    1  33  1     0   2    2  4  22     32     0   2   2     2  1  0    2 2  4  3  0     2  1  3  0  1  1,  2  2, 3  3 . Для каждого из трех собственных значений составим и решим однородную систему уравнений









I1  0 I1 0

2 5

2 5

БГ УИ

Р

3   x1   0  2    2       1  1    x2    0  ,  1  1 3  1     x3   0   решениями которой являются собственные векторы матрицы А. Для 1  1 указанная система имеет вид 3   x1   0   x1  2 x2  3x3  0, 1  2        0 1   x2    0    x1  x3  0, 1 1  x  3x  2 x  0. 3  2   x3   0   2 3  1 Решим систему методом Гаусса:

 0

2 0

.

x3  c1  0 ,

получим

Би бл ио

т

ек

а

0 5 I2 2 Отсюда x2  x3 , x1  2 x2  3x3   x3 . Полагая собственный вектор, соответствующий 1  1:   c1    1     x1   c1    1 c1 ,  c  1  1    где c1 – произвольное число, отличное от нуля. Для  2  2 имеем следующую систему: 2 3  2   2   x1   0         1 1   2 1    x2    0    1 3  1   2  x3   0  

2 0

3 1 0  1 3 1 0  4  2 3 0  1  4  2 3   x1   0             1 3 1  x2    0    1 3 1 0    4  2 3 0    0  14  1 0   1 1 3 1  x3   0  3 1 0   0 0 0 0   0 0 0 0    Отсюда x3  14 x2 , x1  11x2 . Полагая x2  c2  0 , получим собственный вектор, соответствующий  2  2 :  11c2   11      x 2   c 2    1 c 2 ,   14c    14  2    где c2 – произвольное число, отличное от нуля. Аналогично для  3  3 имеем

3   x1   0  2  3  2      1 3 1   x2    0    1  1  1  3   x3   0  3 

1 0 0



4 4 0 0

1 1 1

2 3

1 4



1 1 0

4 1

4 1



.

ек

а

БГ УИ

Р

Отсюда x2  x3 , x1  3x3  2 x2  x3 . Полагая x3  c3  0 , получим собственный вектор, соответствующий  3  3 :  c3  1     x3   c3   1c3 ,  c  1  3   где c3 – произвольное число, отличное от нуля. Таким образом, матрица А имеет три собственных значения 1  1,  2  2 ,  3  3 . Соответствующие им собственные векторы имеют вид   1  11   1       x1   1 c1 , x2   1 c2 , x3  1c3 , 1   14   1       где c1 , c2 , c3 \ 0.

т

7. Приведите к каноническому виду уравнение линии второго порядка 3x  10 xy  3 y 2  16 , используя теорию квадратичных форм.

Би бл ио

2

Решение Левая часть

3x 2  10 xy  3 y 2  16 представляет собой  3 5  . Составим характеристическое квадратичную форму с матрицей A    5 3 уравнение A  E  0 для матрицы А: 3 5  0    8,   2 . 1 2 5 3 Находим собственные векторы из системы уравнений 3   x1  5 x2  0,  5 x1  3   x2  0, полагая 1  8,  2  2 . При 1  8 имеем

уравнения

 5 x1  5 x2  0,  x1  x2  c  0 .   5 x1  5 x2  0,

1 Полагая c  1 , получим собственный вектор x1    , соответствующий 1 собственному значению   8 . 1

При  2  2 имеем 5 x1  5 x2  0,  x1   x2 .  5 x  5 x  0 ,  1 2

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

  1 Полагая c  1, получим собственный вектор x2    . Нормируем  1   xi   собственные векторы x1 и x2  e  x1  x 2  2  :  xi     1   1      2 2 , e   .  e1   2  1   1       2   2 Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому 1   1    2 , T  2 1   1   2   2 столбцами которой являются координаты нормированных собственных векторов e1 и e2 .

Выполним в уравнении 3x 2  10 xy  3 y 2  16 переход от координат x, y к новым координатам x, y по формулам 1  1   1 x  y, x       x  x  x   2   2 2       T     1 1   y    y  y     y  1  x  y .   2   2 2 В результате получаем из исходного уравнения кривой ее каноническое уравнение 3 x  y2  5 x2  y2  3 x2  y2  16  8x12  2 y12  16  2 2 2 2 x y  1  1  1. 2 8 Последнее уравнение есть каноническое уравнение гиперболы.



 



1.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

 1  2 0  5 1  2     1. Найдите 5 A  3B  2C , если A   3 5 1 , B    3 2 7, 1  4 0  1 2 4       5 3 1   C   2 0 5 .  6 4 2    3 5  1  5  и B    . Найдите АВ и ВА. 2. Даны матрицы A   2 1  1 2      1 0 1   3. Найдите AAT и AT A , если A   2  1 3  . 0 0 4   1   0 3  3 6 1  1  , B    , C   1  , D    . 4. Даны матрицы A    0  1  1  2 1   1 0   Найдите AB, BC, BT BC, AD, AT AD .  0 1 2 0   1  1 3   0  1  , B    , C    1 2 0 0  . 5. Даны матрицы A   0 2  1 1 2  1 2 1 0   Найдите те из произведений АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ, которые имеют смысл. 6. Найдите значение матричного многочлена f  A , если:  1  3 0   2 2 1 ; 1) f x   x  3x  2 , A   0  3  3 2    1 2  . 2) f x   2 x3  x 2  3 , A    3 1 7. Вычислите определитель одним из следующих методов: а) по правилу треугольников; б) разложением по первой строке; в) приведением к треугольному виду: 1 2 1 3 4 5 5 6 3 1 5 ; 2 0 . 1) 3 2) 8 7  2 ; 3) 0 4 2 5 7 4 5 2 1 8 8. Дана матрица А. Убедитесь, что она невырожденная, найдите обратную ей матрицу A1 и проверьте равенства AA1  A1 A  E :

 2  4 1   2) A   1  5 3  .  1  1 1   9. Решите матричные уравнения: 3 1 2  2     3  1 0   4  ;    1) X  2)  2 3  1 X    1 ;   5  4  0 1  3 0  2 1     1  1   5 6   1  1  X      . 3)   2 3 4 5 2 3       10. Найдите ранг матрицы А методом элементарных преобразований:  1  3 5 4   8 1  7  5  5     1) A   2  6 4 3  ; 2) A    2 1  3  1  1 ;  3  9 3 2  1 1 1 1 1    0 1 4 2   1 . 3) A   1 8 2  2 7 1  4   11. Исследуйте системы линейных уравнений на совместность и, в случае совместности, решите их: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса: 2 x1  x2  2 x3  1, 5 x1  8 x2  x3  2, 4 x1  3x2  2 x3  8,    1)  3x1  2 x2  x3  9, 2) 3x1  2 x2  6 x3  7, 3)  2 x1  5 x2  3x3  11,  x  4 x  3x  5; 2 x  x  x  5; 5 x  6 x  2 x  13. 2 3 3 2 3  1  1 2  1 12. Решите системы линейных уравнений методом Гаусса:  x1  2 x2  3x3  x4  0,  x1  4 x2  2 x3  3x5  2,  x  x  x  2 x  4,   1 2 3 4 1) 2 x1  9 x2  x3  4 x4  5, 2)   x1  5 x2  5 x3  4 x4  4,  x  5 x  x  4 x  3x  4; 2 3 4 5  1  x1  8 x2  7 x3  7 x4  8;  x1  x2  2 x3  x4  x5  1,  3) 3x1  x2  x3  4 x4  3x5  4,  x  5 x  9 x  8 x  x  0. 2 3 4 5  1 13. Найдите общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:  x1  2 x2  4 x3  3x4  0,  x1  x2  x3  x4  0, 3x  5 x  6 x  4 x  0,  x  x  2 x  3x  0,  1  1 2 3 4 2 3 4 1)  2)  4 x1  5 x2  2 x3  3x4  0, 2 x1  4 x2  5 x3  10 x4  0, 3x1  8 x2  24 x3  19 x4  0; 2 x1  4 x2  x3  6 x4  0.

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

 1 2  ; 1) A   1 3  

14. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы: 7 1  4  1 8 23      1) A    1  4  1 ; 2) A   0 5 7  .   3  1 0  0 3 1     15. Приведите к каноническому виду уравнения кривых второго порядка и постройте их графики в исходной системе координат. 1) 9 x 2  4 xy  6 y 2  16 x  8 y  2  0 ; 2) 5x 2  12 xy  22 x  12 y  19  0 ;

Р

3) x 2  2 xy  y 2  10 x  6 y  25  0 .

БГ УИ

Ответы

 1 BC    ,   1

Би бл ио

т

 3  6 3  , 4. AB    2  1 5

ек

а

8   20  7   1.  28 19  6  .   5 18 27      2  5  . 2. AB  BA     1  1 7 2 5 4   5 2   T   T 1  3 . 3. AA   5 14 12  , A A    2  4 12 16   7  3 26     

1   BT BC   1  ,  4  

  7  . AT AD    17     2 0  2  4 5 5 0  , AC    . 5. BA   5  3 1  2 6 6 0 0  3 0    18  20   . 1 ; 2)  6. 1)  3  3 30  2    0  12  3   

7. 1) 87;

2) 0;

3) 8.

  3 AD    ,  1

2  5; 1 5

3 8 1  8 1 4 

7  8 5 . 8 3 4 

11.

1) x1  2 , x2  1 , x3  1; 3) x1  3 , x2  2 , x3  5 .

  5 6  . 3) X    4 5  

БГ УИ

 15    7   3  4 16  ; 2) X     ; 9. 1) X    7   5  4   11   7   10. 1) 2; 2) 2; 3) 3.

Р

 3  8. 1)  5  1  5

 1   4 1 2)    4  1  2 

2) x1  3 , x2  2 , x3  1;

Би бл ио

т

ек

а

8 5 4 2 12. 1) система несовместна; 2) x1   c1  c2 , x2    c1  c2 , 3 3 3 3 5 1 3 1 7 7 ; 3) x1   c1  c2  c3 , x2    c1  c2 , x3  c1 , x4  c2 , c1 , c2 4 4 4 4 4 4 . x3  c1 , x4  c2 , x5  c3 , c1 , c2 , c3  8   7       6  5  13. 1) ФСР: x1    , x2    , общее решение: x  c1 x1  c2 x2 , где 1 0      0   1  c1, c2 – произвольные действительные числа;   1,5   1      0 , 5     2 2) ФСР: x1   , x  2  0  , общее решение: x  c1 x1  c2 x2 , где 1      0    1  c1 , c2 . 1   1     x1  a   1 , x2  b  0  , 14. 1) СЗ: 1  2,  2  3, 3  1, СВ: 1 1      1 0     x3  c  1  , a, b, c \ 0; 2) СЗ: 1  1,  2  8, 3  2 , СВ: x1  a  0  ,   2 1    

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

  5 125      \ 0. x2  b  49  , x3  c   1  , a, b, c  1   21      x 2 y  2 x 2 y  2   1 ; 2) гипербола 15. 1) эллипс   1 ; 3) парабола 2 1 4 9 y2  4 2 x.

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

БГ УИ

Р

В результате изучения данной темы студент должен научиться: – изображать линейные комбинации заданных плоских векторов; – находить координаты линейной комбинации векторов, длину вектора; – вычислять скалярное, векторное, смешанное произведения векторов и с их помощью находить угол между векторами, площади треугольника, параллелограмма, объемы параллелепипеда, пирамиды; – проверять коллинеарность, ортогональность и компланарность векторов; – составлять уравнения прямой на плоскости и в пространстве; – определять взаимное расположение прямых; – составлять уравнения плоскостей; – определять взаимное расположение плоскостей, прямой и плоскости; – приводить уравнения кривых и поверхностей 2-го порядка к каноническому виду и определять типы кривых и поверхностей по полученным уравнениям. 2.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ АУДИТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ

Би бл ио

т

ек

а

1. Изобразите на плоскости два произвольных вектора a и b . Постройте векторы: 1 1 1 1) 2а  b ; 2) a  3b ; 3) a  b ; 4)  2a  b . 2 3 3 2. Среди изображенных на рис. 1 векторов укажите: 1) коллинеарные; 2) ортогональные; 3) противоположно направленные; a 4) сонаправленные; 5) равные. d c 3. Найдите координаты, длину вектора AB и середину отрезка AB , если: 1) A1;1, B 1; 2 ; n 2) A3;4; 1, B4; 6;3 . b 4. Найдите координаты и длины векторов k 1 c  2a  3b и d  3a  b , если a  3;1; 2 , 2 b   2; 0; 2 . Рис. 1 5. Докажите, что векторы a  3;2; 1 , b   1; 1;2 и c  2; 1;3

образуют базис и найдите разложение вектора d  11;6; 5 по этому базису. 6. Даны векторы a  2i  k , b  i  2 j  k , c  3i  j  2k . Выполните следующие задания: 1) вычислите скалярное произведение векторов 2b и  c ; 2) найдите модуль векторного произведения векторов a  c и b ;

БГ УИ

Р

3) вычислите смешанное произведение векторов a ,  b и 2c ; 4) проверьте, будут ли векторы 3b и c коллинеарными, ортогональными; 5) проверьте, будут ли векторы a , b , 2c компланарными. 7. Прямая  задана общим уравнением 5x  3 y  15  0 . Запишите следующие уравнения данной кривой: 1) с угловым коэффициентом; 2) «в отрезках»; 3) каноническое; 4) параметрические. Постройте прямую  . 8. Запишите уравнения прямых, которые проходят через точку A3;1 и параллельны: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) биссектрисе первого координатного угла; 4) прямой y  3x  9 . 9. Даны вершины треугольника АВС: A2; 2, B 2;8, C  6;2. Найдите: 1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение высоты СН; 3) уравнение медианы АМ; 4) расстояние от точки С до прямой АВ; 5) уравнение прямой  , проходящей через вершину С параллельно прямой АВ; 6) косинус внутреннего угла при вершине А; 7) точку N пересечения высоты СН и медианы АМ. 10. Запишите уравнение плоскости: 1) параллельной плоскости Oxz и проходящей через точку M 0 7;3; 5 ; 2) проходящей через ось Oz и точку A 3; 1;2 ; 3) параллельной оси Ox и проходящей через две точки M1 4; 0;2 и M 2 5;1; 7 ; 4) проходящей через точку B2;1;1 и имеющей нормальный

а

вектор n  1;2; 3 ; 5) проходящей через точку C 3; 4;5 параллельно двум

Би бл ио

т

ек

векторам a  3;1;1 и b  1;2;1 . 11. Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости A1;  2; 3 x  3 y  5z  7  0 . 12. Даны координаты вершин пирамиды ABCD : A1; 0; 3, B 1;1;1, C 1; 2;1 и D0; 3; 2. Найдите: 1) уравнение прямой АВ; 2) длину ребра АВ; 3) угол  между ребрами АВ и АС; 4) уравнение плоскости АВС; 5) площадь  АВС; 6) синус угла между ребром AD и гранью АВС; 7) объем пирамиды ABCD; 8) уравнения и длину высоты DH, опущенной из точки D на плоскость АВС; 9) уравнение плоскости, проходящей через точку D, параллельно плоскости АВС; 10) точку пересечения высоты DH и грани АВС. Ответы

2. 1) a, c, k , n ; 2) a  b, c  b , b  k , b  n ; 3) a  c , a  k , n  c , n  k ;

4) c  k , a  n ; 5) a  n .

 1 3. 1) AB   2; 3 , AB  13 , M  0;  ; 2) AB  1; 10;4 , AB  117 ,  2 7  M  ; 1;1 . 2 

4. c  12;2;2 , c  2 38 , d  8;3; 7 , d  122 .

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

5. d  2a  3b  c . 6. 1)  6 ; 2) 146 ; 3)  34 ; 4) не коллинеарны, не ортогональны; 5) не компланарны.  x  3t , 5 x y x y5 7. 1) y   x  5 ; 2) ; 4)  . t   1 ; 3)  y   5  5 t , 3 3 5 3 5  8. 1) y  1 ; 2) x  3 ; 3) y  x  4 ; 4) y  3x  10 . 32 ; 9. 1)  5x  2 y  6  0 ; 2) 2 x  5 y  22  0 ; 3) 7 x  6 y  2  0 ; 4) 29 9  122 158  ; 5)  5x  2 y  26  0 ; 6) ; 7) N   . 47  145  47 10. 1) y  3  0 ; 2) x  3 y  0 ; 3) 9 y  z  2  0 ; 4) x  2 y  3z  3  0 ; 5) x  4 y  7 z  16  0 . x 1 y  2 z  3 11. Канонические уравнения: , параметрические   1 3 5  x  t  1,  уравнения:  y  3t  2, t .  z  5t  3,  x 1 y z  3    12. 1) ; 2) AB  3 ; 3)   ; 4) x  2 y  2 z  5  0 ; 2 1 2 4 5 5 x y 3 z 2 5 5) S ABC  3 ; 6) sin   ; 7) V ABCD  ; 8)   , DH  ; 3 1 2 2 3 3 11  5 17 8  9) x  2 y  2 z  10  0 ; 10)  ; ;  . 9 9 9

2.2. ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1.

Даны

a  6i  2 j  2k , b  2i  j  k , c  i  3 j  2k

векторы

и

d  5i  20 j  15k . Требуется:

Р

1) вычислить скалярное произведение векторов b и 2a  c ; 2) вычислить векторное произведение векторов c и a  3b ; 3) выяснить, являются ли векторы 2a и  3b коллинеарными, ортогональными; 4) показать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты

БГ УИ

вектора d в этом базисе. Решение: 1) найдем координаты вектора 2a  c  2 6i  2 j  2k  i  3 j  2k  11i  j  2k .



 



Так как скалярное произведение векторов m  x1; y1; z1  и n   x2 ; y2 ; z2  вычисляется по формуле m  n  x1  x2  y1  y2  z1  z2 , то



 

b  2a  c  2  11  1   1   1  2  19 ; 2) найдем координаты вектора a  3b  6i  2 j  2k  3 2i  j  k  5 j  5k .



ек

а

 

Би бл ио

т

Так как векторное произведение векторов m  x1; y1; z1  и n   x2 ; y2 ; z2  вычисляется по формуле i j k y z1 x z1 x y1 m  n  x1 y1 z1  1 i 1 j 1 k , то y2 z 2 x2 z 2 x2 y 2 x2 y 2 z 2





i

j

k

c  a  3b  1  3 2  0 5 5

3 2

5 5

i

1 2 0 5

j

1 3 0 5

k  5i  5 j  5k ;

3) условием коллинеарности векторов m  x1; y1; z1  и n   x2 ; y2 ; z2  является пропорциональность их координат: x1 y1 z1   . x2 y 2 z 2 Найдем координаты векторов 2a и  3b : 2a  12i  4 j  4k ;  3b  6i  3 j  3k . 12  4 4   , то векторы 2a и  3b не коллинеарны. Поскольку 6 3 3

Условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Так как 2a   3b  12   6   4   3  4  3  48  0 , то векторы 2a и  3b не ортогональны; 4) векторы a, b, c образуют базис в пространстве 3, если они не компланарны, т. е. их смешанное произведение не равно нулю. Найдем смешанное произведение векторов a, b, c : 6  2 2 10 0 0 1 1 abc  2 1 1  2 1  1  10  102  3  10  0 . 3 2 1 3 2 1 3 2

Р

 

БГ УИ

Следовательно, векторы a, b, c не компланарны и образуют базис в пространстве 3. Представим вектор d в виде линейной комбинации векторов a, b, c , т. е.

ек

а

d   a   b   c , где ; ;   – координаты вектора d в базисе a, b, c . Запишем последнее равенство в координатной форме:  6  2    5,  6   2   1  5             2    1    3     20    2    3  20,  2    1  2   15   2    2  15.         

Би бл ио

т

Решим полученную систему методом Гаусса: 1 5 1 5   3I 2  6 2  6 2        2 1  3  20   1  3  20   2  2 1 2 15   I 2  0 0  1  5  

  2 1  3  20      0 5  8  55  .  0 0  1  5   Преобразованной расширенной матрице следующая система линейных уравнений:  2    3  20,  5  8  55,    5,  из которой находим   5,   3,   1 .

Значит, d  a  3b  5c .

 0 5  8 55      2 1  3  20    0 0  1  5  

системы

соответствует

2. Даны координаты вершин треугольника ABC : A1;3, B0; 7 , C  2; 4. Найдите: 1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение высоты СН; 3) уравнение медианы АМ; 4) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; 5) уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ; 6) расстояние от точки С до прямой АВ.

БГ УИ

Р

Решение: 1) уравнение прямой, проходящей через точки Ax1; y1  и Bx2 ; y2  , имеет вид

Би бл ио

т

ек

а

x  x1 y  y1 .  x2  x1 y2  y1 Подставляя в последнее равенство координаты точек А и В, получим x  1 y   3 x 1 y  3     10x  1   y  3  10 x  y  7  0  0  1 7   3 1 10  y  10 x  7 – уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом; 2) из перпендикулярности прямых АВ и СН следует, что их угловые коэффициенты связаны равенством k AB  kCH  1. Угловой коэффициент прямой АВ равен –10. Тогда угловой коэффициент 1 1 1 прямой СН: kCH     . k AB  10 10 Используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку M 0 x0 ; y0  с известным угловым коэффициентом k: y  y0  k x  x0  . Подставляя в последнюю формулу координаты точки С и найденный коэффициент kCH , получим 1 y  4  x   2  x  10 y  42  0 – общее уравнение высоты СН; 10 3) найдем координаты точки M – середины стороны АВ по формулам: x  xB 1  0 1 xM  A   , 2 2 2 y A  yB  3  7 yM    2. 2 2 1  Тогда по двум известным точкам A1;3 и M  ; 2  составляем 2  уравнение медианы АМ:

т

ек

а

БГ УИ

Р

x  1 y   3 1   2x  1   y  3  10 x  y  7  0 ;  1   5 1 2   3 2 4) для нахождения координаты точки N пересечения медианы АМ и высоты СН составляем систему уравнений:  x  10 y  42  0,  10 x  y  7  0.  28 427  Решая ее, находим точку N  ; ;  101 101  5) так как прямая, проходящая через вершину С, параллельна стороне АВ, то угловой коэффициент искомой прямой равен k AB  10 . По заданной точке C  2; 4 и угловому коэффициенту k AB  10 составляем уравнение искомой прямой: y  4  10x   2  10 x  y  16  0 ; 6) расстояние от точки M 0 x0 ; y0  до прямой ax  by  c  0 вычисляется по формуле ax  by0  c . d 0 2 2 a b Подставляя в последнее равенство координаты точки C  2; 4 и коэффициенты прямой АВ: 10 x  y  7  0 a  10, b  1, c  7 , получим 10   2  1  4  7 23 d  . 2 2 101 10  1

Би бл ио

3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD : A1 2;1; 7, A2 3; 3; 6, A3 2;3; 9, A4 1; 2; 5 . Найдите: 1) уравнение прямой A1 A2 ; 2) длину ребра A1 A2 ; 3) уравнение плоскости A1 A2 A3 ; 4) уравнения и длину высоты A4 H , опущенной из вершины A4 на плоскость A1 A2 A3 ; 5) площадь треугольника A1 A2 A3 ; 6) угол  между ребрами A1 A2 и A1 A4 ; 7) синус угла  между ребром A1 A4 и гранью A1 A2 A3 . Решение: 1) уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A1 x1; y1; z1  и A2 x2 ; y2 ; z2  , имеют вид

x  x1 y  y1 z  z1 .   x2  x1 y2  y1 z 2  z1 Подставляя в последнее равенство координаты точек A1 и A2 , получаем x  2 y 1 z  7 x  2 y 1 z  7 – канонические уравнения прямой      1 2 1 3  2 3 1 6  7 A1 A2 ; 2) длина ребра равна длине вектора A1 A2

A1 A2  3  2; 3  1; 6  7  1; 2;1, A1 A2  12  2 2   12  6 ;

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

3) уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки и имеет вид A1 x1; y1; z1  , A2 x2 ; y2 ; z2  A3 x3 ; y3 ; z3 , x  x1 y  y1 z  z1 x2  x1 y2  y1 z 2  z1  0 . x3  x1 y3  y1 z3  z1 Подставляя в левую часть последнего равенства координаты точек A1 , A2 , A3 , получаем x2 y 1 z  7 2 1 1 1 1 2   y  1  z  7   32 3  1 6  7   x  2 4 2 0 2 0 4 2  2  3 1 9  7  x  2  0   y  1  2  z  7   4  2 y  4 z  30 , откуда  2 y  2 z  15  0  y  2 z  15  0 . Таким образом, уравнение плоскости A1 A2 A3 имеет вид y  2 z  15  0 ; 4) чтобы составить уравнение прямой воспользуемся A4 H , каноническими уравнениями: x  x0 y  y0 z  z0   , m n p где x0 ; y0 ; z0  – координаты произвольной точки прямой; m; n; p  – координаты направляющего вектора прямой. Так как прямая A4 H перпендикулярна плоскости A1 A2 A3 , то в качестве направляющего вектора этой прямой можно взять вектор нормали n  0;1; 2 плоскости A1 A2 A3 . Тогда канонические уравнения прямой A4 H имеют вид: x 1 y  2 z  5 .   0 1 2 Длина высоты A4 H равна расстоянию от точки A4 1; 2; 5 до плоскости A1 A2 A3 : y  2 z  15  0 . Вычислим A4 H , используя формулу расстояния от точки M 0 x0 ; y0 ; z0  до плоскости Ax  By  Cz  D  0 :

d

Ax0  By0  Cz 0  D

j

A1 A2  A1 A3  1

k

2 1  i

0 4

2

2 1 4

j

1 1

k

1

2

 0  i  2  j  4k .

БГ УИ

i

Р

. A2  B 2  C 2 0  1  1  2  2  5  15 3 Таким образом, A4 H  ;  2 2 2 5 0 1  2 5) площадь треугольника A1 A2 A3 найдем, используя геометрический смысл векторного произведения: 1 S ΔA1 A 2 A 3   A1 A2  A1 A3 . 2 Найдем координаты векторного произведения

2

0

2

0 4

1 2 0   22   42  5 ; 2 6) косинус угла между ребрами A1 A2 и A1 A4 найдем по формуле

Тогда S A1 A2 A3 

A1 A2  A1 A4

,

A1 A2  A1 A4 – скалярное произведение векторов A1 A2 и A1 A4 .

ек

где

A1 A2  A1 A4

а

cos  

Известны координаты вектора A1 A2  1; 2;1 и его длина A1 A2  6 .

т

Найдем координаты и длину вектора A1 A4 :

Би бл ио

A1 A4  1  2; 2  1; 5  7   1;1;2, A1 A4 

 12  12   22 

6.

1   1  2  1   1   2 3 1    , т. е.   ; 6 2 3 6 6 7) синус угла между прямой с направляющим вектором a  m; n; p  и

Тогда cos 

плоскостью, имеющей вектор нормали n   A; B; C  , вычисляется по формуле sin  

an

an



m A q  B  pC

m 2  q 2  p 2  A2  B 2  C 2

Направляющим для прямой A1 A4

.

является вектор A1 A4   1;1;2 .

Вектор нормали n к плоскости A1 A2 A3 имеет координаты 0; 1; 2.  1  0  1  1   2  2 3  Таким образом, sin   . 6 5 30

4. Составьте уравнение линии, каждая точка которой находится в два раза ближе к точке A1; 0, чем к точке B 2; 0 . Приведите полученное уравнение к каноническому виду и укажите тип линии, описываемой этим уравнением. Решение Обозначим произвольную точку искомой линии M x; y  . Тогда по условию 2 MA  MB , где MA и MB – расстояния от точки М до точек А и В соответственно. Так как расстояние d между точками x1; y1  и  x2 ; y2  вычисляется по формуле

x1  x2 2   y1  y2 2 , то MA  x  12   y  02 , MB  x  22   y  02 и, следовательно, 2 x  12  y 2  x  22  y 2  4x  12  y 2   x  22  y 2 

БГ УИ

Р

d

а

 x 2  4 x  y 2  0. Выделим полный квадрат по переменной x в последнем равенстве: x 2  4 x  4  y 2  4 или x  22  y 2  4 . Полученное уравнение определяет окружность с центром в точке (2; 0) и радиусом 2.

ек

2.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ 1. Даны три точки A1; 0;2, B2;1; 0, C 0;1; 2 . Найдите координаты и

Би бл ио

b  3i  2 j  3k .

т

длину вектора a  AB  AC  2BC . 2. Найдите координаты и длину вектора c  3a  2b , если a  (0;2;3) , 3. Выясните, являются ли векторы a  i  2 j  3k и b  3i  5 j  2k ортогональными, коллинеарными. 4. При каких значениях  и  векторы a  2i  3 j  k и b  i  6 j  2k коллинеарны? 5. Докажите, что векторы a  i  2 j , b  i  3 j и c  4i  2 j линейно зависимы. 6. Докажите, что векторы a  i  j  4k , b  3i  2k , c  i  2 j  k образуют базис. Найдите координаты вектора d  13i  2 j  18k в этом базисе. 7. Даны векторы a  4i  j  2k ,

b  2; 1; 2. Найдите:

1) скалярное произведение a  b ; 2) косинус угла между векторами a и b ; 3) np a b ;

4) npb a ; 5) длину вектора b . 8. Найдите координаты вектора a  2a  b , если a  3;1;2 , b  1; 2;1 . 9. Даны вершины треугольника A2; 3;1 , B4; 1;2 и C 1; 0; 2 . Найдите:





1) внутренний угол при вершине С; 2) npCA CB; 3) площадь треугольника ABC .

БГ УИ

Р

10. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах a  8; 4;1 и b  2i  2 j  k как на сторонах. 11. Даны вершины пирамиды A2; 0; 4, B0; 3; 7, C0; 0; 6, S 4; 3; 5 . Вычислите ее объем V и длину высоты Н, опущенной на грань ACS . 12. Лежат ли точки A1; 2;1, B4;1; 5, C  1; 2;1 и D6;1; 3 в одной плоскости? 13. Компланарны ли следующие векторы: 1) a  (2; 3;1), b  1;1; 3, c   1; 9;11 ; 2) a  (3;2;1), b  2;1; 2, c  3;1;2 ?

14. Выясните, правой или левой будет тройка векторов a  (3; 4; 0),

Би бл ио

т

ек

а

b  0;4;1, c  0; 2; 5 . 15. По данным уравнениям постройте прямые, найдите их угловые коэффициенты и отрезки, отсекаемые ими на осях координат. Запишите канонические и параметрические уравнения этих прямых. 1) 2 x  y  3  0 ; 2) 5x  2 y  8  0 ; 3) 3x  8 y  16  0 . 16. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки A0; 2 и B 3; 7  . 17. Точка A 2; 3 лежит на прямой, перпендикулярной прямой 2 x  3 y  8  0 . Напишите уравнение этой прямой. 18. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A2;3 параллельно прямой, соединяющей точки M1  4; 0 и M 2 2; 2 . 19. Исследуйте взаимное расположение следующих пар прямых: 1) 3x  5 y  9  0 и 10 x  6 y  4  0 ; 2) 2 x  5 y  2  0 и x  y  4  0 ; 3) x  8  0 и 2x  3  0 ; 4) 2 y  x  1 и 4 y  2 x  2  0 . В случае пересечения найдите координаты точки пересечения. 20. При каких значениях  следующие пары прямых: а) параллельны; б) перпендикулярны 1) x  3 y  3  0 и 3x  6 y  7  0 ; 2) 2 x  5 y  9  0 и x  15 y  1  0 ?

БГ УИ

Р

21. Найдите координаты точки M 2 , симметричной точке M1  3; 4 относительно прямой 4 x  y  1  0 . 22. Найдите расстояние между параллельными прямыми 2 x  3 y  8  0 и 4 x  6 y  10  0 . 23. Составьте уравнение прямой, параллельной прямой 2 x  5 y  10  0 и отсекающей от первого координатного угла треугольник, площадь которого равна 5. 24. Найдите угол между прямыми x  2 y  5  0 и 4 x  2 y  1  0 . 25. Найдите координаты центра О и радиус r окружности 2 x 2  2 y 2  8x  5 y  4  0 . 26. Приведите к каноническому виду уравнения кривых второго порядка. Определите тип этих кривых и постройте их. 1) 4 x 2  9 y 2  8x  36 y  4  0 ; 2) x 2  9 y 2  2 x  36 y  44  0 ;

ек

а

3) 2 x 2  4 x  2 y  3  0 . 27. Определите, какая линия определяется уравнением 2 x  5  8  2y  y2 . 3 28. Составьте уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки A1; 2; 0, B2;1;1, C 3; 0;1 . 29. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку A2;1;1 ,

Би бл ио

т

параллельно векторам a  3;1; 0 и b  2; 0;1 . 30. Составьте уравнение плоскости, проходящей: 1) через точку M 4;1; 2 и ось Ox ; 2) через точку M 1; 0; 3 и ось Oy . 31. Найдите длину h высоты пирамиды DABC , опущенной из точки D на грань ABC, если D 2; 2; 3 , A0; 0; 0, B0;1;1, C1;1; 0 . 32. Даны две плоскости P1 :  x  2 y  z  1  0 и P2 : y  3z  1  0 . Найдите косинус острого угла между ними. 33. Определите, при каких значениях  и  плоскости P1 : 2 x  ly  3z  5  0 и P2 : mx  6 y  6 z  2  0 параллельны. 34. Определите, при каком значении  плоскости P1 : 3x  5 y  lz  3  0 и P2 : x  3 y  2z  5  0 перпендикулярны. 35. Вычислите объем пирамиды, ограниченной плоскостью P : 2 x  3 y  5z  30  0 и координатными плоскостями. 36. Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости P : x  2 y  2 z  3  0 и отстоящих от нее на расстоянии d  5 . 37. Напишите канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки M1 1; 2; 3 и M 2 2; 4; 7  .





38. Установите взаимное расположение прямой и плоскости (в случае их пересечения, найдите координаты точки пересечения): x 1 y  3 z 1)   и 3x  3 y  2 z  5  0 ; 2 4 3 x  13 y  1 z  4 2) и x  2 y  4z  1  0 ;   8 2 3 x7 y 4 z 5 3) и 3x  y  2 z  5  0 .   5 1 4 39. Даны точка A3;1;1 и плоскость x  2 y  2 z  6  0 . Найдите

A , симметричной точке

x3 y 6 z 7   1 1 2

4x  2 y  2z  3  0 .

и плоскостью

ек

42. Найдите угол между прямой

A2; 3;1



а

41. Найдите координаты точки  x  t  1,  относительно прямой l :  y  t  2, t  z  2t  1, 

БГ УИ

Р

координаты точки A , симметричной точке А относительно этой плоскости.  x  2t  1,  x  3t  2,   40. Найдите угол между прямыми l1 :  y  0, и l2 :  y  0,  z  t  3.  z  t  3  

т

43. Докажите, что прямые l1 :

x y 1 z  2 x  4 y  3 z 1 и l2 :     2 3 1 3 2 4

Би бл ио

скрещиваются. 44. Даны координаты вершин пирамиды A1 6; 6; 2, A2 5; 4; 7, A3 2; 4; 7, A4 7; 3; 0 . Найдите: 1) длину ребра A1 A2 ; 2) уравнение прямой A1 A2 ; 3) угол  между ребрами A1 A2 и A1 A4 ; 4) уравнение плоскости A1 A2 A3 ; 5) угол  между ребром A1 A4 и гранью A1 A2 A3 ; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 ; 7) площадь грани A1 A2 A3 ; 8) объем пирамиды. 45. Приведите к каноническому виду уравнения поверхностей второго порядка, определите их тип: 1) 4 x 2  9 y 2  36 z 2  8x  18 y  72 z  13  0 ; 2) x 2  y 2  4 x  8 y  2 z  0 ;

3) 4 x 2  y 2  4 z 2  8x  4 y  8z  4  0 .

Ответы 1. a  (2; 2; 2), a  2 3 .

ек

а

БГ УИ

6. d  2a  5b; c  2; 5; 0. 1 3 ; 3) ; 4) 1; 5) 3. 7. 1) 3; 2) 21 21 8. (5; 1; 7). 1 18 18 170 . 9. 1) arccos ; 2) ; 3) 2 494 19 10. 18 2 . 2 . 11. V  2 , H  3 12. Да. 13. 1) да; 2) нет. 14. Левая тройка. 16. 5x  3 y  6  0 . 17. 3x  2 y  0 . 18. x  3 y  11  0 .

Р

2. c  6;2;3, c  7 . 3. Не коллинеарны, не ортогональны. 4.   1,   4 .

Би бл ио

т

 2 10  19. 1) перпендикулярны; 2) пересекаются в точке   ;  ;  3 3 3) параллельны; 4) совпадают. 75 3 20. 1) а) ; б) 1; 2) а) – 6; б) . 2 2 21. M 2 5; 2.

22. 13 . 23. 2 x  5 y  10  0 . 4 24. arccos . 5 11 5  25. O  2;  ; r  . 4 4  x 2 y  2 26. 1) эллипс   1 , где x  x  1, y  y  2 ; 9 4 x 2 2) гипербола  y  2  1 , где x  x  1, y  y  2 ; 9

ек

а

БГ УИ

Р

5 3) парабола x 2   y , где x  x  1, y  y  . 2 27. Правая половина эллипса с центром M  5;1 и полуосями a  2, b  3. 28. x  y  3  0 . 29. x  3 y  2 z  7  0 . 30. 1) 2 y  z  0 ; 2)  3x  z  0 . 31. h  1 . 1 . 32. 2 15 33. l  3, m  4 . 34. l  6 . 35. 150. 36. x  2 y  2 z  18  0 , x  2 y  2 z  12  0 . x 1 y  2 z  3   37. Канонические уравнения: ; параметрические 1 2 4  x  t  1,   уравнения:  y  2t  2, t  z  4t  3,  38. 1) параллельны; 2) прямая принадлежит плоскости; 3) пересекаются в точке 2; 3;1 .

Би бл ио

т

39. A 1;5;3 . 40. 45 .  8 13 7  41. A   ; ;  .  3 3 3  42. . 6 105 x6 y6 z2   44. 1) 30 ; 2) ; 3)     arccos ; 42 1 2 5 19 3 29 19 x7 y 3 z   ; 7) ; 6) ; 8) . 4) 5 y  2 z  34  0 ; 5)   arcsin 2 2 0 5 2 406 x 2 y  2   z  2  1, где x  x  1, y  y  1, z  z  1 ; 45. 1) эллипсоид 9 4 2) гиперболический параболоид x2  y2  2 z  , где x  x  2, y  y  4, y2  z  2  0 , где x  x  1, y  y  2, z  z  1 . z  z  6 ; 3) конус x  4 2

2.4. ТЕСТОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по теме «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» I вариант 1 2 0   6  2 5 найдите минор M 12 и 0 6 4 алгебраическое дополнение A12 элемента a12 . Вычислите определитель, разложив его по элементам первой строки. 2) M12  24, A12  24,   10 ; 1) M12  8, A12  8,   10 ; 3) M12  24, A12  24,   10 ; 4) M12  24, A12  24,   86 .

БГ УИ

Р

1. Для данного определителя

ек

а

 x1  4 x2  2 x3  0,  2. Проверьте совместность СЛАУ 3x1  5 x2  6 x3  2, и, в случае совместности, 4 x  9 x  8 x  0 2 3  1 решите ее. 1) x1  2, x2  1, x3  1 ; 2) x1  2, x2  1, x3  1; 3) x1  0, x2  1, x3  2 ; 4) несовместна. 3. Даны точки A0; 1; 2, B2; 1; 5, C1; 3;  1, D2; 1; 0 . Найдите координаты

векторами a и b .

т

векторов a  2CD  AB и b  3 AB , длины векторов a, b и косинус угла между

Би бл ио

   45 ; 1) a  0;4;5, b  6; 0; 9, a  41; b  117 , cos a , b    4797      9 2) a  0; 4; 1, b   6; 0;9, a  17 ; b  117 , cos a , b    ; 1989      9 3) a  0;4;1, b  6; 0; 9, a  17 ; b  117 , cos a , b    ; 1989      10 4) a  0;4;1, b  6; 0; 9, a  17 ; b  117 , cos a , b   . 1989  

a  2i  4 j  3k и b  i  j  4k . Найдите площадь 4. Даны векторы параллелограмма, сторонами которого являются эти векторы. 1 326 ; 1) S  326 ; 2) S  3) S  14 ; 4) S  278 . 2

II вариант

БГ УИ

4 3 5

Р

5. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M  1;3 и середину отрезка АВ, если A0; 3 и B2; 7  . 1) 5x  2 y  1  0 ; 2) 4 x  y  1  0 ; 3) 4 x  y  1  0 ; 4) 2 x  y  3  0 . 6. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M 3;1; 4 параллельно плоскости x  2 y  5z  6  0 . x  3 y 1 z  4 1) ; 2) 3x  y  4 z  25  0 ;   1 2 5 3) x  2 y  5z  25  0 ; 4) x  2 y  5z  25  0 .

  1 0  2 найдите минор M 21 и 0 1 3 алгебраическое дополнение A21 элемента a21 . Вычислите определитель, разложив его по элементам второй строки. 1) M 21  4, A21  4,   12 ; 2) M 21  14, A21  14,   22 ; 3) M 21  14, A21  14,   6 ; 4) M 21  4, A21  4,   12 .

а

1. Для данного определителя

Би бл ио

т

ек

 x1  3x2  x3  11,  2. Проверьте совместность СЛАУ 2 x1  x2  3x3  4, В случае совместности  x  2 x  2 x  7. 2 3  1 решите ее. 1) несовместна; 2) x1  2, x2  2, x3  3 ; 3) x1  3, x2  3, x3  1; 4) x1  1, x2  3, x3  1 . 3. Даны точки A5; 1; 2, B7; 1; 3, C1; 0; 3, D3; 1; 4 . Найдите координаты

векторов a  AB  CD и b  2 AB и площадь треугольника, построенного на векторах a, b как на сторонах. 1) a  4; 1; 2, b   4; 0;2, S  5 ;

2) a   4;1;2, b  4; 0; 2, S  5 ;

3) a   4; 1; 2, b   4; 0;2, S  69 ; 4) a   4;1;2, b   4; 0; 2, S  69 . 4. Найдите объем тетраэдра с вершинами в точках A2;3; 5 , B0; 2; 1 , C  2;2; 3, D3; 2; 4 . 1) V  36 ; 2) V  6 ; 3) V  18 ; 4) V  12 . 5. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M 3; 4 перпендикулярно прямой x  2 y  3  0 . 1) 2 x  y  2  0 ; 2) 2 x  y  2  0 ; 3) x  2 y  11  0 ; 4) y  3x  4 . 6. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Oy и точку B2; 3; 4 .

1) 2 x  z  0 ;

3) x  2 z  0 ;

2) y  3  0 ;

4) 4 y  3z  0 .

III вариант

БГ УИ

Р

10 20  30    20  . Найдите обратную матрицу. 1. Дана матрица A   0 10  0 0 10   0,7  0 0  0,1  0,2  0,1     2)   0,2 1)   0,2 0,1  0,2  ; 0,1 0  ;  0,7  0,2  0,7  0,2 0,1 0,1    0,7  700   0,1  0,2 100  200     0,1  0,2  ; 100  200  . 3)  0 4)  0  0  0 0 0,1 0 100   

Би бл ио

т

ек

а

 x1  x2  0,  2. Проверьте совместность СЛАУ  x1  2 x2  x3  0, В случае совместности 2 x  2 x  3x  1. 2 3  1 решите ее. 1) 5; 5;5 ; 2) 2; 2;2 ; 3) несовместна; 4) 1; 1;1 . 3. Найдите площадь треугольника с вершинами A 1; 1; 5 , B3;4; 5 , C  1; 5; 2 и длину высоты, проведенной из вершины В к стороне АС. 25 25 1) S   , h  5 ; 2) S   25, h  10 ; 3) S   25, h  5 ; 4) S   , h  10 . 2 2 4. Даны точки A0; 1; 0 , B2; 1; 1 , C 4; 2;1 , D0; 2; 1. Найдите координаты

векторов a  AB  AD и b  2 AC  BD , определите ортогональны ли они. 1) a  2;1; 0, b  6; 3; 2 – не ортогональны; 2) a   2; 1; 0, b   2;3;2 – не ортогональны; 3) a  2;1; 0, b  6; 3; 2 – ортогональны;

4) a   2; 1; 0, b   2;3;2 – ортогональны. 5. Дан треугольник с вершинами в точках A2; 2 , B 2;8 и C  6;2 . Составьте уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины А. 1) 6 x  7 y  26  0 ; 2) 2 x  3 y  1  0 ; 3) 3 x  2 y  10  0 ; 4) 7 x  6 y  2  0 . 6. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и точку M 4;1; 2 . 1)  x  4 y  0 ; 2) 2 y  z  0 ; 3) y  2 z  0 ; 4) 2 x  y  0 .

IV вариант

Р

3 2  . 1. Вычислите определитель матрицы B  A2  3 A  5E , где A   1 4 1) 45; 2) 41; 3) –40; 4) 36.  x1  2 x2  x3  9,  2. Проверьте совместность СЛАУ 2 x1  x2  3x3  13, В случае совместности 3x  2 x  5 x  1. 2 3  1 решите ее. 1) несовместна; 2) 3; 3; 0 ; 3)  2; 1; 9 ; 4) 3; 5; 4 .

БГ УИ

3. Даны векторы a2;1; 1 , b1; 0; 1 и c1; 0; 0 . Найдите вектор x , если известно, что b  x  2, c  x  1, a  x  c  0 . 1) 1;1; 1 ; 2) 3; 1;1 ; 3) 1; 0;1 ; 4) 1; 0; 0 ; 4. Даны точки A1; 2; 3 , B0; 1; 1 , C 2; 1; 0 . Найдите площадь параллелограмма,

Би бл ио

т

ек

а

сторонами которого являются векторы a  2 AC  AB и b  BC  2BA . 270 ; 3) 270 ; 4) 2 270 . 1) 270; 2) 2 5. Даны вершины треугольника A0; 1 , B6; 5 и C 12;1 . Составьте уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С. 1) 2 x  3 y  34  0 ; 2) 3x  2 y  34  0 ; 3) 6 x  4 y  34  0 ; 4) 2 x  3 y  17  0 . 6. Составьте уравнение плоскости, отсекающей на координатных осях OX , OY , OZ отрезки a  1, b  1, c  1 соответственно. 1) x  y  z  1  0 ; 2) x  y  z  0 ; 3) x  y  z  3  0 ; 4) x  y  z  1  0 . V вариант

1 2  , 1. Найдите неизвестную матрицу Х из уравнения AX  2E  C , где A   2 5    4  6 . C   1 2

 10  38   ; 1)   4 15  

10  42   ; 2)  4  17  

14  32   ; 3)  6  13  

 6  28   . 4) X    2 11  

 x1  2 x2  4 x3  31,  2. Проверьте совместность СЛАУ 5 x1  x2  2 x3  29, В случае совместности 3x  x  x  10. 3  1 2 решите ее. 1)  1; 0; 8 ; 2) несовместна; 3) 3; 4; 5 ; 4)  19; 9; 8 . 3. Даны точки A1; 0; 0 , B2; 1; 3 , C 4; 1;1 , D0; 1; 2. Найдите координаты

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

векторов a  2 AB  AC и b  CD  2BC и синус угла между ними. 7362 1) a   5;3;7 , b  8; 0;5, sin   ; 7387 1 2) a   1; 0; 2, b  0; 0;1, sin   ; 5 2 3) a   1; 1; 5, b  0; 0; 4, sin   ; 27 1 4) a   1; 1; 5, b  0; 0; 4, sin   . 27 4. Лежат ли точки A 1; 2;1 , B 3; 1; 2 , C 3;2; 2 , D3;4; 3 : а) в одной плоскости; б) на одной прямой? 1) а) да; б) да; 2) а) нет; б) нет; 3) а) нет; б) да; 4) а) да; б) нет. 5. Дано общее уравнение прямой 3x  5 y  15  0 . Напишите уравнения этой же прямой: а) с угловым коэффициентом; б) в отрезках; в) нормальное. Найдите площадь треугольника, образованного данной прямой и осями координат. 15 3 5 15 3 x y x y  0 ; S  ; 1) а) y  x  3 ; б)   1; в) 2 5 5 3 34 34 34 15 3 x y S  ; 2) а) y  x  3 ; б)   1; в) 3x  5 y  15  0 ; 2 5 5 3 3 5 15 3 x y 9 3) а) y  x  3 ; б)   1; в) x y  0 ; S  ; 5 5 5 3 34 34 34 225 3 5 15 3 3x 5 y x y  0 ; S  4) а) y  x  3 ; б) .   1; в) 2 5 15 15 34 34 34 6. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку A2; 3; 5 и перпендикулярной вектору n  4; 3; 2 . 1) 4 x  3 y  2 z  0 ; 2) 4 x  3 y  2 z  27  0 ; 3) 2 x  3 y  4 z  33  0 ; 4) 4 x  3 y  2 z  1  0 .

VI вариант

а

БГ УИ

Р

 0 1 2   1. Дана матрица A   1 0 3  . Найдите обратную матрицу. 0 0 2   3   0 0 1    0  2 3 0  2 0 1 0       2       1)   2 0 2  ; 2)   2 0 0  ; 3)  1 0  1 ; 4)  1 0 0  .  3 1 1  0   3   0  1 2  1   0 0   1         2 2 2    x1  2 x2  x3  1,  2. Проверьте совместность СЛАУ 2 x1  3x2  5 x3  3, В случае совместности 3x  5 x  6 x  7. 2 3  1 решите ее. 2  1) 2;1;1 ; 2) несовместна; 3)  2;1;  ; 4) 0; 0;1 . 5  3. Даны точки A2; 0;1 , B1; 3; 1 , C 2; 1;1 . Найдите координаты векторов

a  AB  2CA , b  2BC  AC и c  CB  2 AC , определите компланарны ли они.

ек

1) a   1; 2; 0, b  2;1; 0, c   1; 2; 0 – компланарны; 2) a   1; 2; 0, b  2;1; 0, c   1; 2; 0 – не компланарны;

т

3) a   1; 5; 0, b  2;3; 0, c   1; 4; 0 – не компланарны;

Би бл ио

4) a   1; 5; 0, b  2;3; 0, c   1; 4; 0 – компланарны. 4. Найдите площадь треугольника с вершинами A1; 1; 3 , B3;1; 6 , C 5; 1;3 . 1) 14; 2) 28; 3) 1; 4) 7. 5. Даны стороны треугольника AB : x  2 y  5  0 , BС : 3x  y  1  0 , AС : x  y  7  0 . Составьте уравнение высоты треугольника АВС, опущенной на сторону ВС. 1)  x  y  5  0 ; 2) x  3 y  15  0 ; 3) x  3 y  15  0 ; 4) x  3 y  7  0 ; 6. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M 2; 0;1 и параллельной векторам a  1; 1; 1 , b   1;1; 1 . 1) x  y  2  0 ; 2) x  y  4  0 ; 3) x  y  z  1  0 ; 4) x  y  2  0 .

VII вариант

БГ УИ

Р

 1 0 1 2  , B    . 1. Найдите матрицу C  AT B  2B 1  3E , где A   3 4 0 2  0 3  0 6  2 6  2 3  ;  ;  ;  . 1)  2)  3)  4)  2 6 2 7  1 6  1 7          x1  2 x2  3x3  1,  2. Проверьте совместность СЛАУ 2 x1  x2  2 x3  6, В случае совместности  x  x  5 x  1. 3  1 2 решите ее. 1) 4; 0;1 ; 2) несовместна; 3) 0;1; 1 ; 4) 1; 0; 2 .

3. При каком значении m векторы a  mi  j  3k и b  3i  3 j  9k будут: а) ортогональными; б) коллинеарными? 2) а) m  10 ; б) m  1; 1) а) m  1 ; б) m  10 ; 3) а) m  10 ; б) m  1 ; 4) а) m  3 ; б) m  1 . 4. Даны точки A0; 0;1 , B1; 2; 3 , C 3;1;1 . Найдите длины векторов

Би бл ио

т

ек

а

a  AB  3 AC , b  BC  CA и синус угла между ними. 65 1 1) a  69 , b  3, sin   ; 2) a  69 , b  29 , sin   ; 69  29 69 65 65 3) a  69 , b  3, sin   ; 4) a  69, b  9, sin   . 69  9 69 5. Даны вершины треугольника A0; 0 , B 1;3 и C  5;1 . Составьте уравнение прямой, проходящей через вершину В параллельно стороне ВС. 1) x  5 y  14  0 ; 2) x  5 y  14  0 ; 3) 5x  y  8  0 ; 4) 5x  y  8  0 . 6. Среди уравнений 1) y  2 z  0 , 2) 2 x  5  0 , 3) x  3z  5  0 , 4) 5z  63  0 , 5) 7 x  3 y  1  0 , 6) 9 y  8  0 плоскостей выберите уравнение плоскости: а) параллельной плоскости XOY ; б) параллельной плоскости YOZ ; в) параллельной плоскости XOZ ; г) параллельной оси OY ; д) параллельной оси OZ ; е) проходящей через ось OX . 1) а) 2, б) 3, в) 4, г) 5, д) 6, е) 1; 2) а) 1, б) 5, в) 3, г) 4, д) 6, е) 2; 3) а) 2, б) 4, в) 6, г) 3, д) 5, е) 1; 4) а) 4, б) 2, в) 6, г) 3, д) 5, е) 1.

3. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ В результате изучения данной темы студент должен научиться: – вычислять пределы функций; – исследовать, является ли функция непрерывной; – находить точки разрыва функции и определять их характер. 3.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ АУДИТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ  sin x, при    x  0,  f  x   2, при 0  x  1,  1  , при x  1.  x 1 Определите следующее: 1) область определения D f  и область значений E  f  ; 2) f (0), f (1), f (2), f (11) ; 3) lim f ( x) ; lim f ( x) ; x  0

БГ УИ 



x 1 0

2 1

2



1

2

3

4

5

x

–1

ек

lim f ( x) ; lim f ( x) ; lim f ( x) ;

x  0

y

а

x    0

Р

1. На рис. 2 задан график функции f  x  , где

x  

Рис. 2

4) существуют ли lim f ( x) и lim f ( x) ? Верно ли, что функция f имеет x 0

x1

Би бл ио

т

разрыв в точках x  0 и x  1 ? 5) верно ли, что во всех остальных точках из области определения D f  функция является непрерывной? 6) lim f ( x) и lim f ( x) . x

 2

x 2

2. Найдите пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: x  25  5 2x2  1 x2  9 5x  2 1) lim 3 ; 2) lim 2 ; 3) lim 2 ; 4) lim ; x2 x  4x  1 x 3 x  3x x 1 x  1 x 0 x 2  2 x 2

x  sin   2x3  7 x 2  2 tg 2 x x7 3 4  lim 5) lim ; 6) lim ; 7) ; 8) ; lim x  6 x 2  4 x  3 x  0 sin 5 x x2 x  2  2 x 0 x2 x x2 ln 1  2 x  1  cos 6 x  6  x  3 9) lim ; 10) lim ; 11) lim 1   ; 12) lim   ; x   x   x  2  x  0 arcsin 3 x x  0 x sin 3 x x

13) lim 1  5 x  x 0

1 x;

x 1 x

14) lim 3  2 x  x 0

; 15) lim xln x  3  ln x  . x 

3. Исследуйте непрерывность функции f  x  в указанных точках x1 и x2 . Постройте график функции f  x  . 2

БГ УИ

Р

2x  4 , x1  1 , x2  3 ; 2) f  x   4 3  x , x1  3 , x2  5 . 1) f  x   3x  9 4. Дана функция f  x  . Найдите точки разрыва функции, если они существуют. Сделайте чертеж. 2, если x  2,  x  1, если x  0,   1) f  x    4  x 2 , если  2  x  2, 2) f  x    x  1, если 0  x  2,  x  2, если x  2;  2   x  1, если x  2.

Ответы

1 2 2 2 ; 6)  ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) 6; 11) e 6 ; 16 3 5 3

2. 1) 9; 2)  ; 3) 2; 4) 0,05; 5)

Би бл ио

т

ек

а

12) e 5 ; 13) e 5 ; 14) e 2 ; 15) e 3 . 3. 1) в точке x1 функция непрерывна; точка x2 – точка разрыва 2-го рода; 2) x1 – точка разрыва 2-го рода; в точке x2 функция непрерывна. 4. 1) x  2 – точка разрыва 1-го рода, скачок равен –2; x  2 – точка устранимого разрыва; 2) x  0 – точка разрыва 1-го рода, скачок равен 2, в точке x  2 функция непрерывна.

3.2. ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. Найдите пределы функций: 7 x 2  10 x  20 x2  4 x 3  3x 2  3 ; 2) lim 3 ; 3) lim 2 ; 1) lim x   x  10 x 2  1 x 2 x  5x  6 x 2 x2  3 4 x 1 x8 3 sin 2 3x  2x  3  4) lim ; 5) lim ; 6) lim  .  x   2 x  1  x 1 x 0 x 1 x

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

Решение: 1) подставляя вместо x его предельное значение, равное 2, получим 3 2  3  22  3 x 3  3x 2  3  1 . Поэтому lim  1 ; x 2 22  3 x2  3 2) при x   числитель и знаменатель дроби являются бесконечно  большими функциями, что приводит к неопределенности вида . Раскроем эту  неопределенность, разделив числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т. е. на x 3 : 7 10 20   2 7 x  10 x  20 x x 2 x3 0  0  0 lim  lim   0, 10 1 x   x 3  10 x 2  1 x    1 0 0 1  3 x x 7 10 20 10 1 так как при x   функции , 2, 3, и 3 являются бесконечно x x x x x малыми; 3) пределы числителя и знаменателя при x  2 равны нулю, что 0 приводит к неопределенности вида . Так как x  2 является корнем 0 многочленов в числителе и знаменателе, то разложив на множители числитель и знаменатель, сократим дробь на x  2 . Получим x  2x  2  lim x  2  2  2  4 ; x2  4 lim 2  lim x  2 x  5 x  6 x  2  x  2 x  3 x  2 x  3 23 4) при подстановке предельного значения аргумента x  1 получим 0 неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности умножим 0 числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю:  x  8  9  x8 3 x8 3 x8 3 lim  lim  lim x 1 x 1 x 1  x  1 x  8  3 x 1 x  1 x  8  3







x 1 1 1  lim  ; x 1  x  1 x  8  3 x 1 x  8  3 6

 lim













5) непосредственная подстановка аргумента x  0 приводит к неопреде0 ленности вида . Раскроем неопределенность, воспользовавшись эквивалент0 ными бесконечно малыми функциями. Так как sin 3x  3x при x  0 , то sin 2 3x  sin 3x  sin 3x  3x 2  9 x 2 при x  0 . Получим sin 2 3x 9x 2 lim  lim  lim 9 x  0 ; x 0 x x x 0 x 3 2x  3 x  1 , а lim 4 x  1   , то мы имеем 6) так как lim  lim 1 x  2 x  1 x  x  2 x  неопределенность вида 1 . Раскроем ее с помощью второго замечательного

БГ УИ

Р

2

y

 1 предела lim 1    e . Получим y   y 4 x 1

  2x  3    lim 1    1  x   2 x  1  

2   lim 1   x 2x 1

2 x 1   2 

 2   lim 1   x  2x 1 

ек

2 x 1 24 x 1   2 2 x1

4 x 1

2    lim 1   x   2x  1 24 x 1 2 x 1

а

 2x  3  lim   x   2 x  1 

 

т

2. Исследуйте непрерывность функции f  x  

Би бл ио

x2  4 . Постройте график f  x  .

e

4 x 1

8 x 2 x 2 x 1 lim



 e 4 .

x в точках x1  1 и x4

Решение Поскольку f является элементарной функцией, то она непрерывна всюду в области определения: D f     ; 4   4;   ( x  4 не принадлежит D f  , поскольку является нулем знаменателя). Так как x1 1 D f  , то в этой точке f непрерывна. В точке x2  4 функция f не определена, следовательно, эта точка является точкой разрыва. Вычислим односторонние пределы функции в этой точке: x 40 4 lim     ; x 40 x  4 404 0 x 40 4 lim     . x 4 0 x  4 404 0 Так как пределы слева и справа бесконечны, то x2  4 является точкой разрыва второго рода.

x  1 . Найдем x   x   x  4 также точку пересечения графика с осями координат: при x  0, f 0  0 , т. е. график проходит через начало координат. Изобразим график f  x  (рис. 3).

Для построения графика f  x  найдем lim f x   lim

1 4

x

БГ УИ

0

Р

y

Рис. 3

а

1, если x  1,  3. Дана функция f x    x 2  1, если  1  x  1, Найдите точки разрыва  x  3, если x  1. 

ек

этой функции, если они существуют. Определите их тип и сделайте чертеж.

Би бл ио

т

Решение Функция f определена и непрерывна на интервалах  ;1,  1; 1 и  1;  , где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках x1  1 и x2  1. Для точки x1  1 имеем: f  1  1 ,

lim

x  1 0

f x   lim 1  1, x  1 0

lim

x  1 0

f x   lim

x  1 0

x

2



1  2 .

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция f в точке x1  1 имеет разрыв первого рода. Скачок функции f в точке x1  1 находим как разность правого и левого пределов: lim f x   lim f x   2  1  1. x  1 0

x  1 0

В точке x2  1 функция f не определена. Вычислим односторонние пределы: lim f x   lim x 2  1  2 , lim f x   lim  x  3  2 . x 1 0

x 1 0





x 1 0

x 1 0

Так как lim f x   lim f x   2  f 1 , то точка x2  1 является точкой x 1 0

устранимого разрыва.

x 1 0

График функции f изображен на рис. 4. y 2 1 –1

1

Р БГ УИ

Рис. 4

x

3

3.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ 1. Постройте графики элементарных функций: 2) y  x  22 ;

1) y  4 x  2 ;

1 ; 4 x 7) y  cos 2 x ;

4) y  2 sin x ;

3) y 

8) y  1  x 3 ;

Би бл ио

т

ек

а

5) y  e x  3 ; 6) y  2 ln x ; 9) y  1  arctg x ; 10) y  arc sin x . 2. Найдите пределы функций: 4 x 3  3x 2  x 5x  2 1) lim ; 2) lim ; x 0 x 4 2x  3 2x 2 x 2  3x  5 7 x 3  15 x 2  9 x  1 4) lim ; 5) lim ; x  x  x 1 5 x 4  3x  4 x42 x2  6x  8 7) lim 2 ; 8) lim ; x  0 x  8 x  12 x 0 x 9 x 2 x 2  x  12 10) lim ; 11) lim ; x 3 x  2  4  x x 5 3  x  4 1  cos x sin 2 3x lim 13) lim ; 14) ; x 0 x  0 sin 2 2 x x2  3x  1  16) lim   x   3 x 

4x 3

2x 3

 x  2 ; 17) lim  ;  x   x  1  3x e2x  1 19) lim 2 x  3 x  2 ; 20) lim ; x2 x  0 ln 1  4 x  22) lim 2 x  1ln 3x  1  ln 3x  2 . x 

2 x 2  3x  5 ; x 1 x 1 4x2  7x  1 6) lim ; x   3x 2  x  2 x 2  8x 9) lim ; x 8 x  1  3 3x 2  5 x 12) lim ; x  0 sin 3 x tg 2 x 15) lim ; x  0 2 arctg2 x

3) lim

2x

18) lim 2  x 1 x ; x 1

21)

sin 2 3x lim ; x  0 ln 2 1  2 x 

3. Исследуйте непрерывность функции f в указанных точках x1 и x2 . Постройте график функции f . 1) f  x  

x2  1 , x1  1 , x2  4 ; x 1

2) f  x  

1 1 2

1

, x1  3 , x2  0 ; x

1 2x ,

БГ УИ

Р

3) f x   x1  1, x2  0 . 4. Дана функция f . Найдите точки разрыва функции, если они существуют. Сделайте чертеж.   2  x, если x  ,  x  2 , если x  2,     1) f  x   sin x, если    x  , 2) f  x   2, если  2  x  2, 2  1    , если x  2.  2x 1, если x  2 , Ответы

1 1 1 3 4 ; 3) –3; 4) 0; 5)  ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 48; 10) ; 11) 7; 2 2 4 2 3

а

2. 1) 2; 2)

4

Би бл ио

т

ек

9 1 1 9 5 12)  ; 13) ; 14) ; 15)  ; 16) e 3 ; 17) e 6 ; 18) e 2 ; 19) e12 ; 20)  ; 21) ; 2 3 4 2 4 22) 2. 3. 1) x1 – точка устранимого разрыва, x2 – точка непрерывности; 2) x1 – точка непрерывности, x2 – точка разрыва 1-го рода; 3) x1 – точка непрерывности, x2 – точка разрыва 2-го рода.  4. 1) x   – точка разрыва 1-го рода, скачок равен  , x  – точка 2 устранимого разрыва; 2) x  2 – точка разрыва 2-го рода; x  2 – точка 7 разрыва 1-го рода, скачок равен  . 4

3.4. ТЕСТОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по теме «Введение в анализ» I вариант

x

: б) e 1 ;

x 2  x  12 3) lim : x 3 x  2  4  x 7 а) ; б) 7 2 ; 3

т

б) 0,5;

Би бл ио x 1 0

x 1 0

в) 0;

8 ; 3

г)

г) e .

г)

16 . 3

б) 0;

в)

б)   ;

в)   ;

г) 0.

б)   ;

в)   ;

г) 0.

5 21 x :

а) 32;

1 . 3

7 2 . 3

г)

5 21 x :

а) 32;

7) lim

в) 7;

ек

3x

 1 x  4) lim   : x   2 x  1  а)  ; 1  cos 8 x 5) lim : x  0 x  sin 3x 32 а) ; 3

в) 1;

а

а) e ;

6) lim

БГ УИ

 1  2x  2) lim   x   3  2 x 

Р

1. Вычислите: 4 x , где x0  1; 1; 4;  : 1) lim 2 x  x0 x  5 x  4 1 1 1 1 а)  0,5; ; ;  1 ; б) 0,5; ;  ; 0 ; в) 0,5; ;  ;  ; г)  0,5; 3; ; 0 . 3 3 3 3

Р

  2  x, x  4,  2. Исследуйте функцию f  x   2,  4  x  2, на непрерывность и постройте  1  , x  2 x  2 ее график. 1) непрерывна для x ; 2) x  4 – точка разрыва 1-го рода, x  2 – точка разрыва 2-го рода; 3) x  2 – точка разрыва 2-го рода; 4) x  4 и x  2 – точки разрыва 1-го рода.

1. Вычислите: 2  2x 1) lim , где x0  2;  1; 1;  : x  x0 2  x  x 2 2 а) 0; 2; ;  ; б)  1; 2; 1; 0 ; 3 3 2 x

:

а

2 г) ; 2; ; 0 . 3

в) 1;

г)  .

в) 5;

г) –4.

в)  ;

г) 3 2 .

б) 5;

в) –5;

г)

б)   ;

в) 5;

г) 0.

б)   ;

в) 5;

г) 0.

б) e 4 ; x4

2 в) ; 2; ; 2 ; 3

ек

 5x  8  3) lim   x   x  2  а)   ;

:

т

2 x 2) lim   x   x  а) e 4 ;

БГ УИ

II вариант

б)   ;

Би бл ио

3x 2  4 x  1 : x  1 x  3  5  3x б) 2 2 ; а) 2 ; arcsin 5 x 5) lim : x 0 x 2  x

4) lim

а) 0;

6) lim

x 40

3x 5 x4 :

а)   ; 7) lim

x 4 0

1 . 5

3x 5 x4 :

а)   ;

1, x  1,  2. Исследуйте непрерывность функции f  x    x 2  1,  1  x  2, и постройте ее  x  1, x  2 

Р

график. 1) непрерывна для x ; 2) x1  1 и x2  2 – точки разрыва 1-го рода; 3) x1  1 – точка разрыва 1-го рода, x  2 – точка устранимого разрыва; 4) x  1 – точка разрыва 2-го рода, x  2 – точка разрыва 1-го рода.

1. Вычислите: x 1 , где x0  1; 4; 1;  : 1) lim 2 x  x0 x  3x  4 1 1 а)  ; 0; 2;  ; б) 0; 5;  ; 0 ; 4 3

БГ УИ

III вариант

б) e ;

в) 1;

ек

x

а

x

 2x  1  2) lim   : x   2 x  1  а) e 1 ;

Би бл ио

т

 3x  1  3) lim   : x   4 x  5  а) 0; б)  ; 1 x  1 x 4) lim : x 0 x а) 0; б) 1; sin x  3 5) lim : x 3 27  x 3 1 а)  ; б) 0; 27

6)

lim

x  2  0

lim

x  2  0

г)  .

в) e 2 ;

г) e5 .

в) 2;

г)  .

в)  ;

г)

1 . 21

1 x  8 2:

а) 8; 7)

1 г) ; ; 0;  . 4

1 1 в)  ; ;  ; 0 ; 5 3

1 x  8 2:

б)   ;

в)

1 ; 8

г) 0.

а) 0;

в)   ;

б) 8;

г)

1 . 8

 x 2  1, x  1,  2. Исследуйте непрерывность функции f  x   2 x, 1  x  3, и постройте ее 2, x  3 

БГ УИ

Р

график. 1) x  1 – точка устранимого разрыва, x  3 – точка разрыва 1-го рода, скачок равен 3; 2) x  1 – точки разрыва нет, x  3 – точка разрыва 1-го рода, скачок равен 3; 3) x  1 – точки разрыва нет, x  3 – точка разрыва 1-го рода, скачок равен 4; 4) x  1 – точка устранимого разрыва, x  3 – точка разрыва 1-го рода, скачок равен 4. IV вариант

ек

2 x 1

:

в)  ;

г) 1.

б)  ;

в) e ;

г) 0.

б) 0;

в) 4;

г) –12.

г) 0.

б) e ; x

Би бл ио

 5x  3  3) lim   : x   2 x  1  а) 1;

x2  x  2 : x  2 x  6  2 а) 1;

г) 3; ;  3;  .

т

 x 1  2) lim   x   x  2  а) e 6 ;

в) 1; 1; 1;  ;

а

1. Вычислите: 3x  6 1) lim 2 , где x0  2; 1; 0;  : x  x0 x  3x  2 а) 3; ;  3; 0 ; б) 0; 3; 3; 3 ;

4) lim

cos x  cos x : x 0 x  sin 2 x 1 а) ; 4 1 6) lim arctg : x  2  0 2 x 3

5) lim

а)   ;

б)

1 ; 2

в) 1;

б)

 ; 2

в) 

 ; 2

г) 0.

7)

lim arctg

x  2  0

а) 

1 : 2 x

 ; 2

б)

 ; 2

в)   ;

г) 1.

ек

а

БГ УИ

Р

 0, x  0,    2. Исследуйте непрерывность функции f  x   tg x, 0  x  , и постройте ее 2    x x 2 ,   2 график.  1) x  0 – точка устранимого разрыва, x  – разрыва нет; 2  2) x  0 – разрыва нет, x  – разрыва нет; 2  3) x  0 – точка устранимого разрыва, x  – точка разрыва 2-го рода; 2  4) x  0 – разрыва нет, x  – точка разрыва 2-го рода. 2

V вариант

Би бл ио

т

1. Вычислите: x3 1) lim 2 , где x0  3;  1; 1;  : x  x0 x  2 x  3 1 1 а) 0; 0; ;  ; б) 0; 0; ; 0 ; 2 2

 4x  3  2) lim   x   4 x  5  а) 1;

1 в) 0; ; ; 0 ; 2

г)

1 1 ; ; ; 0 . 4 2

в)  ;

г) e 8 .

в) e 2 ;

г) 0.

x 6

:

б) e 2 ;

x

 x 1  3) lim   : x   2 x  1  1 а) ; б)  ; 2 x  6  10 x  21 4) lim : x 3 5 x  15 9 а) 1; б)  ; 5

в) 

3 ; 10

г) 0.

e x  e3 x 5) lim : x  0  tg 2 x а) –2; 1 6) lim 1 :

б) 1

1 2x

1 ; 3

в)

2 ; 3

:

г) 1.

Р

x 0  0

г)  .

2x 1

а) 0; 7) lim

в) –1;

1

а) 0;

БГ УИ

x 0  0

б) 1;

б) 1;

в)

1 ; 3

г)  .

 2 x 2 , x  0,  2. Исследуйте непрерывность функции f  x    x, 0  x  1, и постройте ее  x  2, x  1 

а

график.

Би бл ио

т

ек

1) x  0 – точки разрыва нет, x  1 – точка разрыва 1-го рода, скачок равен 2; 2) x  0 – разрыва нет, x  1 – точка разрыва 1-го рода, скачок равен 3; 3) x  0 – точка устранимого разрыва, x  1 – точка разрыва 2-го рода; 4) x  0 – точка устранимого разрыва, x  1 – точка разрыва 1-го рода, скачок равен 2. VI вариант

1. Вычислите: x2 1) lim 2 , где x0  2; 1;  1;  : x  x0 x  3x  2 1 1 а) 0; 0;  ; 0 ; б) 1; 0;  ;  ; 2 2

 x  3 2) lim   x   x  3  а) 1;

1 в) 0; ;  ; 0 ; 2

1 г) 1; ;  ; 0 . 2

б) e 6 ;

в)  ;

г) e30 .

б) 2;

в) e 2 ;

г)  .

x 5

:

x

 2x  1 3) lim   : x   x  1  а) 0;

x 1  3 : x 10 x  10 1 а) ; 6 2x 5  53 x 5) lim : x  0 arctg7 x  ln 5 а)  ; 7

4) lim

x2 0

1 б)  ; 7

в) 1;

г) 

б)   ;

в)

1 16 x  2 :

а) 0; 7) lim

г)  .

1 16 x  2

1 . 7 ln 5

Р

x 20

в) 1;

:

БГ УИ

6) lim

б) 0;

1 ; 16

г) –16.

в)   ; г) 256.  x  1, x  0,  2. Исследуйте непрерывность функции f  x    x 2  1, 0  x  2, и постройте ее 3x, x  2  б) 16;

ек

а

а) 0;

Би бл ио

т

график. 1) x  0 – точка устранимого разрыва, x  2 – точка разрыва 1-го рода, скачок равен 2; 2) x  0 – разрыва нет, x  2 – точка разрыва 1-го рода, скачок равен 3; 3) x  0 – точка устранимого разрыва, x  2 – точка разрыва 1-го рода, скачок равен 3; 4) x  0 – разрыва нет, x  2 – точка разрыва 2-го рода. VII вариант

1. Вычислите: x5 1) lim 2 , где x0  5;  1; 1;  : x  x0 x  4 x  5 1 1 а) 0; ; ; 0 ; б) 1; ; ; 0 ; 2 2

1 в) 0; 0; ;  ; 2

г)

1 1 ; ; ; 0 . 6 2

x

 3x  8  2) lim   : x   3 x  2 

а) 1;

б)  ;

в)

1 e3 ;

г) e 2 .

x

 4x  1 3) lim   : x   x  1  а)  ; 3  2x  x  4 4) lim : x 1 3x 2  4 x  1 1 а) ; 2 5

б) 4;

в) 0;

б) 1;

в)

б) 3 ln 2 ;

в)

г) e 3 .

1 4 5

;

г) 0.

а)   ;

б)   ;

г) 3.

БГ УИ

б)   ;

3 ; ln 2

в) 0;

а

3    5  6) lim  2 x  :  x  5  0   а)   ; 3   7) lim   2 5  x  :  x  5  0  

ек

а) 1;

Р

3

23 x  1 5) lim : x  0 arc sin x 3

в) 0;

г) –8.

1 г)  . 8

Би бл ио

т

1  x , x  0,  2. Исследуйте непрерывность функции f  x   3x 2 , 0  x  1, и постройте ее  2 x  1, x  1   график. 1) x  0 – точка разрыва 2-го рода, x  1 – точка разрыва 1-го рода, скачок равен 4; 2) x  0 – точка разрыва 2-го рода, x  1 – точки разрыва нет; 3) x  0 – точка устранимого разрыва, x  1 – точка разрыва 1-го рода, скачок равен 4; 4) x  0 – точка разрыва 2-го рода, x  1 – точка разрыва 1-го рода скачок равен 2.

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

В результате изучения данной темы студент должен: – уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций; – находить производные функций, заданных неявно и параметрически; – находить дифференциалы сложных функций и применять их к приближенным вычислениям; – находить производные и дифференциалы высших порядков; – решать задачи с использованием физического и геометрического смысла производной; – использовать правило Лопиталя при вычислении пределов; – выполнять разложение функции по формуле Тейлора; – определять интервалы возрастания (убывания) функции, точки локального экстремума; – находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке; – находить интервалы выпуклости вверх (вниз) графика функции и точки перегиба; – находить асимптоты графика функции; – строить графики функций; – находить область определения функции многих переменных; – вычислять частные производные первого и высших порядков функции многих переменных; – находить полные дифференциалы первого и второго порядков функции двух переменных; – использовать дифференциалы для приближенных вычислений; – составлять уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности; – исследовать на экстремум функции двух переменных. 4.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ АУДИТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ

Дифференцирование функции одной и многих переменных

1. Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найдите производные данных функций: x3 3 2 3 2 2) y  2 x  tg x ; 3) y  . 1) y  6 x  2 x  3 ; sin x 2. Найдите: 1) производные функций «а – г»; 2) дифференциалы функций «а, в»: а) y  cos(2 x  2) ; б) y  lg 3 x ; в) y  ( x 4  3x  2)5 ; г) y  e cos 3 x . 3. Найдите производные функций, заданных неявно и параметрически:

 x  t 2  3t , 1) xy  x y  2 ; 2)   y  t 3  2t  4. 4. С помощью логарифмического дифференцирования производные указанных функций: 2) y  ( x  1) 2 ( x  2) 2 . 1) y  (5 x)sin x ; 5. Выполните следующее: 1) найдите производные второго порядка от указанных функций; 2) для функции «а» запишите дифференциал второго порядка: б) y  ln( x 2 ) . а) y  3x 4  3x 2  2 x  3 ; 6. Выполните следующее: 1) найдите частные производные первого порядка функций «а – г»; 2) для функции «б» запишите полный дифференциал; 3) для функции «а» запишите дифференциал второго порядка; 4) для функции «в» найдите частные производные третьего порядка: б) z  sin y x ; а) z  x 3  xy  xy 3 ; 2

найдите

БГ УИ

Р

2

т

ек

а

в) u  e 2 x  y  3 z ; г) u  yx  x 2 z 2  3xy 2  xyz . 7. Вычислите пределы функций, используя правило Лопиталя: x3  2x 2  3 ex 1) lim ; 2) lim 2 ; 3) lim ( x 3  3)e8 x . 3 2 x   x  6 x  x  1 x  x 8. Напишите формулу Тейлора для функции y  x 4  3x 3  2 x  4 в точке с абсциссой x0  1. 9. Напишите уравнения касательной и нормали к кривой 3 2 y  x  3x  9 x  1 в точке с абсциссой x0  1.

Би бл ио

10. Какие углы образует кривая y  x 2  x с осью Ox в точках их пересечения? 11. Вычислите приближенно с помощью дифференциала: 1)

3

(1,03) 2 ;

2)

3

(4,01) 2  10,98 .

Применение дифференциального исчисления для исследования функций

1. Найдите точки перегиба и промежутки выпуклости функции y  x  6 x 2  12 x  7 . 3

2. Найдите асимптоты графика функции y 

x2 3( x  1) 2

.

3. Найдите интервалы монотонности функции y  2  3x  x 3 . 4. Найдите экстремумы функций: 1) y  4 x  x 4 ;

2) y  x  x 2  4 .

5. Найдите экстремумы функций двух переменных: 2) z  3x  y  xy . 1) z  3x 2  x 3  y 2  4 y ; 6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y  4 x  x 4 на отрезке [2; 3] . 7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z  3x  y  xy в треугольнике, ограниченном прямыми y  x , x  0 , y  4 .

БГ УИ

Р

8. Найдите экстремум функции z  x 3  y 3 при условии, что x и y связаны уравнением x  y  2  0 . 9. Проведите полное исследование и постройте график функции 2 x  x 1 . y 1 x Ответы

Дифференцирование функции одной и многих переменных 2) y ' 

33 х



1

cos2 x

; 3) y ' 

3x 2 sin x  x 3 cos x sin 2 x

.

3 lg 2 x б) y  ; x ln 10 г) y'  3e cos 3 x ( sin 3x) ;

ек

2. 1) а) y'  2 sin 2 x  2;

4

а

1. 1) y'  18 x  4 x ; 2

в) y'  5( x 4  3x  2) 4 (4 x 3  3) ;

т

2) а) dy  2 sin 2 x  2dx ; в) dy  5( x 4  3x  2) 4 (4 x 3  3)dx .

Би бл ио

y ( y  2 x) 3t 2  2 3. 1) y '   ; 2) y '  . x(2 y  x) 2t  3

4. 1) y'  (5x)sin x cos x ln 5x  5sin x x sin x 1 sin x ; 2) y'  2( x  1)(x  2)(2 x  1) . 5. 1) а) y' '  36 x 2  6 ; б) y' '  2 x 2 ; 2) dy 2  6(6 x 2  1)dx 2 . z z  x  3xy 2 ; 6. 1) а)  3x 2  y  y 3 , y x z z  sin y x  ln sin x ;  y sin y 1 x  cos x , б) y x u u u в)    ex y z ; x y z u u u  x  6 xy  xz , г)  y  2 xz 2  3 y 2  yz ,  2 x 2 z  xy ; y x z 2) dz  ( y cos x sin y 1 x)dx  (sin y x  ln sin x)dy ; 3) d 2 z  6 xdx 2  2(1  3 y 2 )dxdy  6 xydy 2 ;

4)

 3u

 3u x

3

 8u,

 3u

 3u y

3

 u,

 3u z

3

 27u,

 3u

 3u xy

2

 2u,

 3u x y 2

 4u,

 3u

 3u  9u,  3u,  6u .  18u,  12u, xyz yz 2 y 2z xz 2 x 2z 1 ; 2)  ; 3) 0 . 6 8. y  6  11( x  1)  15( x  1) 2  7( x  1)3  ( x  1) 4 . 9. Касательная 6 x  y  0 , нормаль x  6 y  37  0 . 10. 135; 45 . 11. 1) 1,02 ; 2) 3,00 .

БГ УИ

Р

7. 1)

Применение дифференциального исчисления для исследования функций

Би бл ио

т

ек

а

1. (2;1) – точка перегиба, (;2) – промежуток выпуклости вверх, (2;) – промежуток выпуклости вниз. 1 2. Горизонтальная y  , вертикальная x  1 . 3 3. Возрастает на (;1)  (1;) ; убывает на (1;1) . 2) экстремумов нет. 4. 1) ymax  y(1)  3 ; 15. 5. 1) Минимум z (0;2)  4 ; 2) экстремумов нет. 6. yнаим  y(3)  69 ; yнаиб  y (1)  3 . 7. zнаим  z(0,0)  z (4,4)  0 , zнаиб  z(2,2)  z(0,4)  4 . 8. zнаим  z (1,1)  2 . 9. График функции изображен на рис. 5.

Рис. 5

4.2. ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Р

п/п

1

c

0

10

2 3

x x

11 12

4

x2

1  x 1 2x

1 2 x

7

ax



14

ctg x

1 x2

15

arcsin x

т

1 x

, x0

a x ln a

Би бл ио

6

8

ex

sin x cos x tg x

а

x

ln x

ек

5

13

БГ УИ

№ п/п

Правила дифференцирования: 1. (u  v)  u  v . 2. (u  v)  uv  uv , в частности (c  u)  c  u .   cv c  u  u v  uv , в частности , если v  0 . 3.        v2 v2 v v Производные основных элементарных функций представлены в табл. 1 Таблица 1 № f (x) f (x ) f (x) f (x)

ex

16

arccos x

17

arctg x

1 x cos x

 sin x 1

cos2 x 1  sin 2 x 1 , x 1 2 1 x 1  , x 1 2 1 x 1

1  x2 arcctg x 9 18 log a x 1 1  x ln a 1  x2 Производная сложной функции y  f (u) , где u  (x) вычисляется по формуле yx  fu  ux . y  x  x(t ), Если функция задана параметрически  то yx  t , xt  0 . xt  y  y (t ), Для вычисления производной неявно заданной функции F ( x; y)  0 дифференцируют равенство F ( x; y)  0 по x , учитывая, что y является функцией от x .

Простейшие правила дифференцирования 1 1. Найдите производную функции y  x 4  x 3  x . 3 Решение   1 3 1   4 4  1 3 y   x  x  x   x   x   x   4 x 4 1   3x 3 1  x11  3 3   3   4 x3  x 2  1.

 

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

2. Найдите производную функции y  4 x  5 5 x 3 . Решение 3   3  3 2 1   1 1  1 1  1  1 3       5 5 5 5 y  4 x 2  5 x  4 x 2  5x  4 x2  5 x  2 x 2  3x        2 5       2 3   . x 5 x2 3. Найдите производную функции y  tg x  cos x . Решение 1 y  (tg x  cos x)   sin x . cos2 x 4. Найдите производную функции y  x 2 sin x . Решение y  ( x 2 ) sin x  x 2 (sin x)  2 x sin x  x 2 cos x . 1 1 5. Дана функция y  x 3  . Вычислите значения производной при 3 x x  1;  1; 2 . Решение 1 Находим производную: y  x 2  2 . x Определяем значения производной в заданных точках: 1 1 15 3 1  0 ; y(2)  2 2  2   3 . y(1)  12  2  0 ; y(1)  (1) 2  2 4 4 (1) 1 2 6. Найдите производную функции   2a(1  cos ). Решение Здесь функция обозначена буквой  , аргумент – буквой  , a  const . Дифференцируем функцию:   2a(1  cos )  2a(1  cos )  2a sin  . x5 7. Найдите производную функции y  . sin x

Решение

  x  5  ( x  5) sin x  ( x  5) sin  x sin x  ( x  5) cos x  y   .   sin 2 x sin 2 x  sin x 

Производная сложной функции

БГ УИ

Р

1. Найдите производную функции y  cos(2 x  1) . Решение Это сложная тригонометрическая функция, которую можно записать следующим образом: u  2 x  1, y  cosu . Тогда y  (cosu)u  ux   sin u  (2 x  1)x   sin( 2 x  1)  2  2 sin( 2 x  1) . Можно записать проще: y   sin( 2 x  1)  (2 x  1)x  2 sin( 2 x  1) .

т

ек

а

2. Найдите производную функции y  (tg x) 2 . Решение u  tg x ; y  u 2 . 1 . yu  2u ; u x  2 cos x 1 sin x . y  2 tg x 2 2 cos x cos3 x 3. Найдите производную функции y  sin( x 2  4 x  5) . Решение u  x 2  4 x  5 ; y  sin u . yu  cosu ; ux  2 x  4 .

Би бл ио

y  (2 x  4) cos(x 2  4 x  5) .

4. Найдите производную функции y  (5x 3  2 x)5 . Решение u  5x3  2 x ; y  u 5 . yu  5u 4 ; ux  15 x 2  2 .

y  5(15x 2  2)(5x 3  2 x) 4 .

5. Найдите производную функции y  3 x 2  2 x  1 . Решение u  x  2x  1 ; y 2

1 3

1  u3.

2

1  1  yu  u 3 3  u 3 ; ux  2 x  2 . 3 3

2x  2

y 

3( x 2  2 x

2 3  1)

2x  2

 33

( x  2 x  1) 2

2

.

(3x  4) 3 . 6. Найдите производную функции y  sin x Решение  (3x  4) 3 sin x  (3x  4) 3 (sin x) 3(3x  4) 2 sin x  (3x  4)3 cos x . y   sin 2 x sin 2 x





Р

Производная показательной и логарифмической функций

БГ УИ

1. Найдите производную функции y  2 x . Решение y 2 x ln 2 . 2. Найдите производную функции y e( x Решение y e( x

2 3x) 2

(( x 2  3x) 2 ) e( x 2

2

2  3x) 2

2 3 x ) 2

.

2( x 2  3x)(x 2  3x) 

т

ек

а

 2(2 x  3)( x 2  3x)e( x  3 x ) . 3. Найдите производную функции y  ln( 2  sin x) . Решение 1 cos x y  (2  sin x)  . 2  sin x 2  sin x 2

Би бл ио

4. Найдите производную функции y esin x log 3 ( x 2  1) . Решение   sin 2 x  2 sin 2 x   y  e  log 3 ( x 2  1)   log 3 ( x  1) e   2 2 2x  2 sin x  cos x esin x  log 3 ( x 2  1) esin x  2  ( x  1) ln 3



  sin 2 x 2x e   sin 2 x  log 3 ( x 2  1)  2 . ( x  1) ln 3  



Производные обратных тригонометрических функций



1

(2 x)  arctg(3x)  arcsin(2 x) 

1  (2 x) 2 2  arctg(3x)

1  4x2



1 (3x)  1  (3x) 2

БГ УИ



Р

1. Найдите производную функции y  arcsin(x 3  3) . Решение 1 3x 2 . y  ( x 3  3)  3 2 3 2 1  ( x  3) 1  ( x  3) 2. Найдите производную функции y  arcsin(2 x)  arctg(3x) . Решение y  arcsin(2 x)  arctg(3x)  arcsin(2 x)  arctg(3x)  

3 arcsin(2 x) . 1  9x2

Производная функции, заданной неявно



ек

а

1. Найдите производную неявной функции x 4  xy 2  xy  0 . Решение Считая y функцией от x , продифференцируем левую часть равенства:   x 4  xy 2  xy  0 ; 4 x3  xy 2  x y 2  xy  xy  0 .



 

т

Поскольку y  y(x) , то ( y 2 )  2 yy , значит 4 x3  y 2  x2 yy  y  xy  0 . Отсюда получаем 4 x3  y 2  y  (2 xy  x) y  0 .

Би бл ио

4 x3  y 2  y Из последнего равенства находим y   . 2 xy  x 2. Найдите производную неявной функции xy  sin y  0 . Решение xy  sin y   0 ; xy  xy  (cos y) y  0 ; y  

y . x  cos y

3. Найдите y  в точке M (2;1) , если

y  xy  2 . x

Решение

 y    xy  2   0 ; x 

yx  yx x

2

 xy  xy  (2)  0 ;

yx  y  y  xy  0 ; x2

yx  y  x 2 y  x3 y  0 ;

y( x  x )  y  x y ;

y  x 2 y y (1  x 2 ) ; y   x  x3 x(1  x 2 )

3

y M

2

1(1  2 2 ) 3    0,3 .  2 10 2(1  2 )





1 3x 2 y  ln( x 3  1)  ( x  1) 3 . y x 1

ек

а

1 ( x 3  1) y  ln( x 3  1)  ( x  1) 3 ; y x 1 Выразим y :

БГ УИ

1. Найдите производную функции y  ( x3  1) x 1 . Решение y Воспользуемся формулой ln y   . y Прологарифмируем данную функцию: ln y  ln(( x3  1) x 1 )  ( x  1) ln( x3  1) . Вычислим производные от обеих частей равенства:  ln y   ( x  1) ln( x3  1)  ( x  1) ln( x3  1) .

Р

Логарифмическое дифференцирование

Би бл ио

т

 3x 2  3x 2  3 3 x 1  3    y  y ln( x  1)  ( x  1) 3   ( x  1)  ln( x  1)  ( x  1) 3  . x  1 x  1   2. Найдите производную функции y  ( x  2)( x  4) 2 ( x  6)3 . Решение Прологарифмируем функцию: ln y  ln ( x  2)(x  4) 2 ( x  6)3 ;





ln y  ln( x  2)  ln( x  4) 2  ln( x  6)3 ; ln y  ln( x  2)  2 ln( x  4)  3 ln( x  6) . Вычислим производную: 1 1 1 1 y  2 3 . y x2 x4 x6 1 1   1 2 3 Выразим y  y . x4 x  6 x2 2 3   1   Окончательно y  ( x  2)( x  4) 2 ( x  6)3  .  x  2 x  4 x  6

Производная функции, заданной параметрически  x  cos3 t , 1. Найдите производную y x функции   y  sin 3 t. Решение y Воспользуемся формулой yx  t . xt 3 sin 2 t  (cos t ) sin t     tg t . 2 cos t 3 cos t  ( sin t )

БГ УИ

Тогда yx 

Р

Вычислим производные по t : xt  3 cos2 t  ( sin t ) ; yt  3 sin 2 t  (cost ) .

Производные высших порядков

а

Производной второго порядка или второй производной функции y  f (x) называется производная от ее первой производной: y  ( y) . Аналогично определяются и обозначаются производные третьего, четвертого и других порядков: y  ( y) , y IV  ( y) и т. д.

т

ек

1. Найдите производную второго порядка функции y  sin( 2 x) . Решение y  cos(2 x)  2  2 cos 2 x . y  ( y)  (2 cos 2 x)  2  2  ( sin 2 x)  4 sin 2 x .

Би бл ио

2. Найдите производную пятого порядка функции y  x 4  2 x 2  1 . Решение y  4 x 3  4 x ; y  12 x 2  4 ; y  24 x ; y IV  24 ;

yV  0 .

Дифференциал

Дифференциал функции y  f (x) вычисляется по формуле dy  f ( x)dx . Если x – независимая переменная, то дифференциал второго порядка

d 2 y вычисляется по формуле d 2 y  f ( x)(dx) 2  f ( x)dx2 .

Обозначим  y – приращение функции f в точке x , вызванное приращением аргумента  x :  y  f x   x   f x  . Если приращение  x аргумента мало по абсолютной величине, то и  y  dy f ( x   x)  f ( x)  f ( x) x .

БГ УИ

Р

1. Вычислите дифференциал функции y  (sin 2 x) 1  x . Решение 1 ; dy  ydx ; y  2 sin x cos x 1  x  sin 2 x 2 1 x  sin 2 x   dy  (sin 2 x) 1  x  dx .   2 1  x   2. Вычислите дифференциал функции y 

e2 x

x 2 2

.

( x 2  2) 2

dx .

ек

dy 

2e 2 x ( x 2  x  2)

а

Решение (e 2 x )( x 2  2)  e 2 x ( x 2  2) 2e 2 x ( x 2  2)  e 2 x 2 x 2e 2 x ( x 2  x  2) y    . ( x 2  2) 2 ( x 2  2) 2 ( x 2  2) 2

2

т

3. Вычислите дифференциал функции y  2sin( x 1) . Решение dy  ydx . 2 2  y  2sin( x 1) ln 2 sin( x 2  1)  2sin( x 1) ln 2 cos(x 2  1)( x 2  1) 

Би бл ио



 21 sin( x

2

1)



x cos(x 2  1) ln 2 .

dy  (21 sin( x

2

1)

x cos(x 2  1) ln 2)dx .

4. Вычислите дифференциал второго порядка функции y  sin 2 x . Решение d 2 y  f ( x)(dx) 2 . Вычислим производные первого и второго порядка: y  2 sin x cos x  sin( 2 x) ; y  sin( 2 x)   cos(2 x)(2 x)  2 cos(2 x) .

Тогда d 2 y  2 cos(2 x)dx 2 . 5. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно найдите arctg(1,05) . Решение f ( x  x)  f ( x)  f ( x)x .

Р

f ( x  x)  f (1,05)  arctg(1  0,05) , откуда x  1 , x  0,05 . f ( x)  arctg(x) . 1 . f ( x)  arctg(x)   1  x2 1  Тогда arctg(1,05)  arctg1  0,05   0,025  0,81 . 2 4 11 6. С помощью дифференциала приближенно вычислите 3 26 . Решение f ( x  x)  f (27)  3 27  1 , откуда x  27 , x  1 . 1

1 1 1 f ( x)  x 3  . 3 33 x 2

Тогда

3

26  3 27 

1 33 27 2

 (1)  3 

БГ УИ

f ( x)  3 x .

1 27  3  1 80    2,96 . 27 27 27

а

Приложения производной. Применение производной в геометрии и физике

Би бл ио

т

ек

Уравнение касательной к кривой y  f (x) в точке M 0 ( x0 ; y0 ) : y  y0  f ( x0 )x  x0  . Уравнение нормали к кривой y  f (x) в точке M 0 ( x0 ; y0 ) : 1 x  x0  . y  y0   f ( x0 ) Тангенс угла наклона касательной к оси Ox (угловой коэффициент касательной к кривой): tg   k  f ( x0 ) . Тангенс острого угла между двумя кривыми y  f1 ( x) и y  f 2 ( x) в точке их пересечения M 0 ( x0 ; y0 ) (угол между касательными к этим кривым в точке M 0 ): f 2 ( x0 )  f1( x0 ) k k  2 1 . 1  f1( x0 ) f 2 ( x0 ) 1  k1k 2 Если задан закон движения материальной точки S  S (t ) , то скорость движения в момент t0 есть производная пути по времени v  S (t0 ) , а ускорение – производная скорости по времени или производная второго порядка пути по времени: a  v(t0 )  S (t0 ) . tg  

БГ УИ

f ( x)  3x 2 , f ( x0 )  3  12  3 . Уравнение касательной: y  4  3x  1  y  3x  1. Уравнение нормали: 1 1 13 y  4   x  1  y   x  . 3 3 3 Тангенс угла наклона касательной к оси Ox : tg   f ( x0 )  3 .

Р

1. Напишите уравнения касательной и нормали к кривой y  x 3  3 в точке с абсциссой x0  1. Найдите угол наклона этой касательной к оси Ox . Решение Находим значение функции в точке x0  1 : y0  13  3  4 . Определяем производную функции и ее значение при x0  1 :

Угол наклона: arctg3  72o .

т

ек

а

2. Найдите угол между параболами f1 ( x)  x 2 и f 2 ( x)   x 2  2 в точках их пересечения. Решение  y  x 2 , Решая систему уравнений  находим абсциссы точек 2  y   x  2, пересечения парабол: x1,2  1 .

Би бл ио

Значения функций в этих точках: f 1(1)  f 2 (1)  1 . Таким образом, имеем две точки пересечения: A1 (1;1) и A2 (1;1) . Находим производные функций f1 ( x)  x 2 и f 2 ( x)   x 2  2 : f1( x)  2 x и f 2 ( x)  2 x . Вычислим острый угол между параболами в точке A1 (1;1) : f1(1)  2  k1 ; f 2 (1)  2  k2 ; 22 4 4 4   , т. е. 1  arctg   53o в точке A1 . 1  2(2)  3 3 3 Аналогично вычисляем острый угол в точке A2 (1;1) : f1(1)  2  k1 ; f 2 (1)  2  k2 ; tg 1 

tg 2 

22 4 4 4   , 2  arctg   53o в точке A2 . 1  (2)2  3 3 3

3. Зависимость пути от времени материальной точки задана уравнением S  t sin t . Найдите скорость и ускорение материальной точки через  секунд от начала движения. Решение Ищем первую производную пути по времени: v  S (t )  2t sin t  t 2 cost . Находим ее значение в момент времени  : v()  S ()  2 sin   2 cos   2 . Знак минус указывает на то, что тело изменило направление движения. Ищем первую производную скорости по времени: a(t )  v(t )  S (t )  2 sin t  2t cost  2t cost  t 2 sin t  (2  t 2 ) sin t  4t cost . Находим ее значение в момент времени  : a(t )  (2  2 ) sin   4 cos   4 . Знак минус указывает на то, что в данный момент тело замедляется.

БГ УИ

Р

2

Правило Лопиталя для вычисления пределов

Би бл ио

т

ек

а

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида  0   или   . 0  В этом случае предел отношения функций при x  a равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует: f ( x) f ( x) lim  lim . x  a g ( x) x  a g ( x) Неопределенности вида 00 ; 1 ;  0 можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида y   f x g (x) при x  a , при условии, что f x   0 вблизи точки а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел A  lim ln y  lim g ( x) ln f ( x), тогда lim f ( x) x a

x a

x a

g ( x)

 eA .

Если после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя можно применить повторно. arctg3x  2 x . x0 4x

1. Используя правило Лопиталя, найдите предел lim Решение

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

3 2 32 1 arctg 3x  2 x  0  (arctg3x  2 x) 1  (3x) 2 lim  lim  lim  .     lim x 0 x 0 x 0 4 4x (4 x) 4 4  0  x 0

3 2. Вычислите lim x 2 tg . x  x Решение

3x 3  lim x   . x  3  2 x 2 cos2    x

Р

  3 3  tg  tg  3   2 x     lim  x  lim x tg    0  lim x  x  1 x    x    1   2 x2 x 

 3     x2   2 3   cos     x   lim  x   1   2 3  x  

3. Найдите предел lim

x 1

БГ УИ

 lim

1 x 1 x .

Решение

 

Запишем функцию Тогда x 1

  e 

1

в следующем виде:

1 ln x 1  x1 x lim

e

ln x 1 x1  x lim

т

lim

1 x 1 x

1 1  x x

а

x 1

 1 .

ек

lim

1 1  x x

1 1  x x

e

1 1  ln x x

1 ln x 1  e x .

 eA .

Би бл ио

1 ln x  0   1 Вычислим A  lim     lim  lim x  lim     1 . x 11  x  0  x 1 1  x  x 1  1 x 1 x 

Окончательно имеем lim

1 1  x x

x 1 3

ln x 

 e A  e 1 .

x . x   e3 x

4. Найдите предел lim

Решение x3    lim   . x  e3x  Обозначим f ( x)  x 3 и g ( x)  e3 x . Применяем правило Лопиталя: f ( x)  3x 2 ;

g ( x)  3e3 x ;

lim

3x 2

x   3e 3 x



 . 

Так как неопределенность сохранилась, применим правило Лопиталя еще раз:

 x   9e 3 x  Снова получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя третий f ( x)  6 x;

g ( x)  9e3x ;

lim

f ( x)  6;

g ( x)  27e3 x ;

lim

6x



раз: 6

x   27e 3 x

 lim

2

x   9e 3 x

 0.

Р

Формула Тейлора

БГ УИ

Функция f (x) , дифференцируемая n  1 раз в некотором интервале, содержащем точку x0 , может быть представлена в этом интервале в виде суммы многочлена n -й степени и остаточного члена Rn :

а

f ( x0 ) f ( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x)  f ( x0 )  ( x  x0 )  ( x  x0 )  ...  ( x  x0 ) n  Rn ( x) , 1! 2! n! ( n 1) f (c ) ( x  x0 ) n 1 , откуда c – некоторая точка из данного где Rn ( x)  (n  1)! интервала, n – порядок формулы Тейлора. При x0  0 из формулы Тейлора получается формула Маклорена:

т

ек

f (0) f (0) 2 f ( n) (0) n f ( x)  f (0)  x x  ...  x  Rn ( x) . 1! 2! n!

1. Напишите формулу Тейлора 2-го порядка в точке x0  2 для функции

Би бл ио

f ( x)  ( 2  3 x) 2 . Решение Вычислим значения функции и ее первых двух производных в точке x0  2 :

f (2)  (2  3(2))2  64 ; f ( x)  2(2  3x)(3)  12  18x ; f (2)  12  18(2)  48 ; f ( x)  18 , f (2)  18 . Формула Тейлора 2-го порядка для заданной функции имеет вид f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x)  f ( x0 )  ( x  x0 )  ( x  x0 ) 2  R2 ( x)  1! 2!  48 18  64  ( x  2)  ( x  2) 2  R2 ( x)  64  48( x  2)  9( x  2) 2  R2 ( x) . 1! 2! f (c) ( x  2) 3  0 . Так как f ( x)  0 для всех x  (; ) , то R2 ( x)  3!

Исследование поведения функций и их графиков

1.

Найдите

ек

а

БГ УИ

Р

Построение графика функции целесообразно проводить в следующем порядке: 1. Найти область определения функции, область непрерывности и точки разрыва. 2. Проверить выполнение некоторых дополнительных условий, помогающих построению (периодичность, четность, нечетность). 3. Найти асимптоты графика функции. 4. Вычислить первую производную. Найти точки, в которых первая производная либо не существует, либо равна нулю. Составить таблицу изменения знака первой производной. Определить промежутки возрастания, убывания функции. Найти точки экстремума. 5. Вычислить вторую производную. Найти точки, в которых вторая производная либо не существует, либо равна нулю. Составить таблицу изменения знака второй производной. Определить промежутки выпуклости (вверх или вниз) графика функции, найти точки перегиба. 6. Найти точки пересечения с осями координат. Для более точного построения графика можно вычислить значения функции в дополнительных точках. 7. Вычертить график, используя все полученные результаты. экстремумы

и

интервалы

монотонности

функции

Би бл ио

т

y  2x 2  5 . Решение Область определения данной функции D( y)  (;) . Находим производную: 1 2x y  (2 x 2  5)  . 2 2x2  5 2x2  5 Область определения производной функции D( y)  (;) . Приравниваем производную нулю: 2x  0  x  0. y  0  2 2x  5 Точка x  0 – критическая точка. На интервале (;0) производная принимает отрицательные значения, а на интервале (0;) – положительные. Составим таблицу:

x y y

(;0) 

убывает

0 0

5

(0;)  возрастает

Следовательно, y(0)  5 – минимум функции. Функция убывает на интервале (;0) и возрастает на интервале (0;) .

т

ек

а

БГ УИ

Р

2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y  2 x  x на отрезке [0; 4] . Решение Функция y  2 x  x непрерывна на отрезке [0; 4] . Найдем производную: 1 . y  2  2 x В точке x  0 производная не существует. Найдем нули производной: 1 1 1 x  ; x . 2 0; 4 16 2 x 1 Вычислим значения функции в точках с абсциссами x  0 , x  и на 16 1 1 1 2   ; y (4)  6 . концах отрезка [0; 4] : y (0)  0 ; y    8 16  16  16 Таким образом, наименьшее и наибольшее значения функции 1 1 y  2 x  x на отрезке [0; 4] : ymin  y    и ymax  y4  6 . 8  16 

Би бл ио

3. Найдите точки перегиба, промежутки выпуклости функции y  ln( x 2  4 x  5) . Решение Область определения данной функции: x 2  4 x  5  0  x  R , т. е. D( y)  (;) . Находим первую и вторую производную заданной функции:  2x  4 y  ln( x 2  4 x  5)  2 . x  4x  5   2 x  4  2 x  4 x 2  4 x  5  2 x  4 x 2  4 x  5  y   2    2 2  x  4x  5  x  4x  5











2 x 2  4 x  5  2 x  42 x  4

x



2



2







 x2  4x  3







2

 2





x2  4x  3



2

.

 4x  5 x  4x  5 x  4x  5 Область определения второй производной D( y)  (;) . Найдем нули второй производной: 2

2

2

x



 4x  5 возможного перегиба. Составим таблицу:

x

y  y

2

 ; 1 – выпукла вверх

2

 x 2  4 x  3  0  x1  1 и x2  3 – точки

1 0 ln2

1; 3 + выпукла вниз

3; – выпукла вверх

БГ УИ

Значит, 1; ln 2 и 3; ln 2 – точки перегиба. Функция выпукла вверх при x  (; 1)  (2;) . Функция выпукла вниз при x  (1;3) .

3 0 ln2

Р

y   2

x2  4x  3

x2  2x  5 4. Найдите асимптоты графика функции y  . x3 Решение D( y)  (;3)  (3;)  x  3 есть точка разрыва функции.

Би бл ио

т

ек

а

x 2  2x  5 x2  2x  5 lim   ; lim   . x  3  0 x  3  0 x3 x3 Таким образом, прямая x  3 является вертикальной асимптотой. Проверим наличие наклонных (или горизонтальных) асимптот вида y  kx  b . Параметры k и b вычислим по формулам: f ( x) , b  lim  f ( x)  kx . k  lim x x  x 2 5 1  2 2 2 x  2x  5 x  2x  5 x x k  lim  lim  lim  1. 3 x   x( x  3) x   x 2  3x x  1 x  x2  2x  5   x 2  2 x  5  x 2  3x   b  lim   x   lim   x  x  x  3 x  3     5 5  5x  5 x  5 .  lim  lim 3 x  x  3 x  1 x Таким образом, прямая y  x  5 является наклонной асимптотой. Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k  0 .

5. Исследуйте функцию y  2 x 3  3x 2  1 и постройте ее график.



(;1)

y

+ возрастает

y

1 0 max

т

x

ек

а



БГ УИ

Р

Решение: 1) область определения функции D( y)   ; , y (x) непрерывна в D как элементарная функция; 2) функция свойствами четности или нечетности не обладает; 3) найдем асимптоты. Поскольку точек разрыва нет, вертикальных асимптот не будет. Ищем наклонные асимптоты: f ( x) 2 x 3  3x 2  1 1  k1  lim  lim  lim  2 x 2  3x     , x   x x   x    x x f ( x) 2 x 3  3x 2  1 1  k 2  lim  lim  lim  2 x 2  3x    , т. е. x   x x   x    x x наклонных асимптот нет; 4) исследование на экстремум. Ищем первую производную:  y   2 x 3  3x 2  1  6 x 2  6 x . Производная существует при любом значении x . y  0  6 x 2  6 x  0  x  0 и x  1 . Составим таблицу: (1;0) – убывает

(0;)

0 0 min

+ возрастает

Би бл ио

ymin (0)  1 – минимум функции.

ymax  1   13  2 12  1  0 – максимум функции; 5) исследование выпуклости, нахождение точек перегиба. Найдем производную второго порядка:  1 y  6 x 2  6 x  12 x  6 ; y   0  x   . 2 Составим таблицу:





x y 

1    ;   2  –

y

выпукла вверх  1 1   ;  – точка перегиба;  2 2

1 2 0 1  2 

 1   ;    2  +

выпукла вниз

6) точки пересечения с осями координат: y0 2 x 3  3x 2  1  0  ( x  1)(2 x 2  x  1)  0  x  1  0  x  1

т

ек

а

БГ УИ

Р

(уравнение 2 x 2  x  1  0 не имеет корней). Таким образом, A(1;0) – точка пересечения с осью Ox . При x  0 y  1  B(0;1) – точка пересечения с осью Oy ; 7) по данным исследования строим график функции (рис. 6).

Рис. 6

Би бл ио

e x 1 6. Исследуйте функцию y  и постройте ее график. x 1 Решение: 1) область определения функции D( y)   ;1   1; , y (x) непрерывна всюду за исключением точки x  1; 2) функция свойствами четности или нечетности не обладает; 3) найдем асимптоты. Так как x  1 – точка разрыва функции, то x  1 – вертикальная асимптота: e x1 e x 1 lim   ; lim   . x10 x  1 x  1 0 x  1 Проверим существование наклонных асимптот:

 

 f ( x) e x 1 e x 1 e x 1   lim  k1  lim  lim     lim 2 x   x x   ( x  1) x x   x    2 x  ( x  x )    e x 1 e x 1  lim  lim  0; x   2 x  x   2  e x 1  b1  lim  f ( x)  k1 x   lim   0   0 . x   x    x  1  Таким образом, прямая y  0 является горизонтальной асимптотой графика функции при x   . Проверим, существует ли асимптота при x   : f ( x) e x 1 e x 1  lim  lim  , значит, при x   k 2  lim x   x x   ( x  1) x x   2 наклонной асимптоты не будет; 4) исследование на экстремум:  x 1  e x 1  e x 1 ( x  1)  e x 1 e x   y     ; 2 2  x  1     x  1 x  1   y  0 при x  0 . Производная не существует при x  1. Составим таблицу: (;1)

y

– убывает

y

1 не существ. не существ.

т

x

ек

а

БГ УИ

Р

 

(1;0)

– убывает

(0;)

0 0 min

+ возрастает

Би бл ио

ymin (0)  e – минимум функции; 5) исследование выпуклости и точек перегиба:   e x 1 x  (e x 1 x  e x 1 )x  12  xe x 1 2x  1 e x 1 x 2  1   y     . 2 4 3 x  1 x  1  x  1  Вторая производная y не существует при x  1 и нигде не обращается в нуль. Составим таблицу:

x y  y

 ;  1

– выпукла вверх



–1 не существ. не существ.

Точек перегиба нет; 6) найдем точки пересечения с осями координат.



 1;   + выпукла вниз

ек

а

БГ УИ

Р

e x 1 Уравнение  0 не имеет корней, следовательно, график не x 1 пересекается с осью Ox . При x  0 значение функции y  e , т. е. (0; e) – точка пересечения графика функции с осью Oy ; 7) по данным исследования строим график функции (рис. 7).

т

Рис. 7

Дифференциальное исчисление функции многих переменных

Би бл ио

При исследовании функций нескольких переменных достаточно ограничиться изучением функций двух переменных z  f ( x; y) , так как все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных. Область определения функции многих переменных

Областью определения функции z  f ( x; y) называется совокупность пар ( x; y) , где x, y  R , при которых функция z  f ( x; y) имеет смысл. y 1. Найдите область определения функции z  . y  x 1 Решение Так как знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, то y  x  1  0  y   x  1. Значит, областью определения функции z являются все точки плоскости xOy , кроме точек, лежащих на прямой y   x  1 .

x

БГ УИ

0

Р

2. Найдите область существования функции z  ln( y  x) . Решение Из свойств логарифма имеем y  x  0  y   x , следовательно, область определения функции z – все точки плоскости, лежащие выше прямой y   x (рис. 8). y

y  x

а

Рис. 8

ек

Частные производные первого и высших порядков функции многих переменных

Би бл ио

т

При вычислении частной производной функции по какой-либо из ее переменных пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, полагая в этом процессе все остальные аргументы неизменными (постоянными). z  f ( x; y) по переменной Частные производные функции z f ( x; y ) x обозначаются: , z x , , f x ( x; y ). x x z f ( x; y) , z y , , f y ( x; y ). Аналогично, по переменной y : y y Частными производными второго порядка функции многих переменных называются частные производные от ее частных производных первого порядка:   z   2 z   ( x; y) ;    2   f x ( x; y)  x  f xx x  x  x





  z   2 z  ( x; y ) ;    2  f y ( x; y )  y  f yy y  y  y

  z   2 z  ( x; y) ;   f x ( x; y )  y  f xy   y  x  yx





БГ УИ

Р

  z   2 z  ( x; y ) .     f y ( x; y )  x  f yx x  y  xy Продолжая дифференцировать полученные равенства, можно получить частные производные более высоких порядков. 2z 2z 3z 3z и , и , и т. д., Частные производные вида xy yx xyx xxy которые различаются только порядком дифференцирования, называются смешанными производными. Непрерывные частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.

1. Найдите частные производные функции z  x 5  x 4 y 3  xy 2  2 y . Решение z z  3x 4 y 2  2 xy  2 .  5x 4  4 x3 y 3  y 2 ; y x

а

2. Найдите частные производные функции z  cos2 ( x 2 y  y 2 ) . Решение  z  cos2 ( x 2 y  y 2 ) x  2 cos(x 2 y  y 2 )  ( sin( x 2 y  y 2 ))  x 2 y  y 2 x  x  2 xy  sin 2( x 2 y  y 2 ) ; 2

2

y

Би бл ио

2

т

ек

     z  cos ( x y  y )   2 cos(x y  ( x 2  2 y)  sin 2( x 2 y  y 2 ).

2









y  y 2 )  ( sin( x 2 y  y 2 ))  x 2 y  y 2 y 

3. Найдите частные производные функции z  sin x cos y . Решение z  cos y  sin x cos y 1 cos x  cos x cos y  sin x cos y 1 ; x z  sin x cos y  ln(sin x)  ( sin y) . y

4. Найдите частные производные функции u  ln( x 2  y  2 xyz ) . Решение u 1 u 1 2 x  2 yz  ; 1  2 xz  ;  2  2 x x  y  2 xyz y x  y  2 xyz u 1  2 xy  .  2 z x  y  2 xyz

5. Найдите все частные производные пятого порядка z  x y  3xy  x 2  y 2 . Решение Частные производные первого порядка: z z  2 x 2 y  3x  2 y .  2 xy 2  3 y  2 x ; y x Частные производные второго порядка: 2z 2z 2 2 ;  2 y  2  2 x  2. x 2 y 2 Смешанные частные производные второго порядка: 2z 2z   2 x 2 y  3x  2 y x  2 xy 2  3 y  2 x y   4 xy  3 . xy yx Частные производные третьего порядка: 3 z 3 z  2  2y  2 x  0;  2 x 2  2 y  0 . 3 3 x y Смешанные частные производные третьего порядка: 3 z 3 z  2  2 y  2 y  4 y , или 2  4 xy  3x  4 y ; 2 yx x y

функции











БГ УИ







ек

3   4 x , или  z  4 xy  3   4 x . 2  2 x  2 x y xy 2 y 2 x Частные производные четвертого порядка: 4z 4z 0;  0; x 4 y 4 4z    3 z  4z    3 z    0;  0; x 3y y  x 3  y 3x x  y 3  4z    3 z  4z    3 z     ( 4 y )  4   (4 x)x  4 . , или y x 2 y 2 y  yx 2  x 2 y 2 x  y 2 x  Очевидно, что все производные пятого и более высокого порядка равны

Би бл ио

т

3 z

 

а





Р

2 2

нулю.

Дифференциал функции многих переменных

Полный дифференциал функции z  f ( x, y) вычисляется по формуле z z dz  f x ( x, y)dx  f y ( x, y)dy  dx  dy . x y Полный дифференциал функции трех переменных u  f ( x, y, z ) вычисляется по формуле

u u u dx  dy  dz . x y z Дифференциал второго порядка функции переменных x и y вычисляется по формуле du 

z

двух

независимых

БГ УИ

Р

 ( x, y)(dy) 2 . d 2 z  f xx ( x, y)(dx) 2  2 f xy ( x, y)dxdy  f yy С помощью полного дифференциала функции выполняют приближенные вычисления, заменяя полное приращение функции z  f x, y  ее дифференциалом f f z  dz  x  y , x y откуда получается приближенная формула f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0 )  x  y . x y 3

3

3

а

1. Найдите полный дифференциал функции u  y xz . Решение 3 3 3 u u u  y xz (ln y) z 3 ;  xz 3 ( y xz 1 );  y xz (ln y)3xz 2 ; x y z 3

Би бл ио

т

ек

du  z 3 y xz (ln y)dx  xz 3 ( y xz 1 )dy  3xz 2 y xz (ln y)dz . 2. Найдите дифференциал второго порядка функции 2 2 2 2 z  x y  3xy  x  y , если x и y – независимые переменные. Решение В примере 5 предыдущего пункта были найдены все частные производные второго порядка для данной функции 2z 2z 2z 2z 2 2   4 xy  3 .  2y  2;  2x  2 ; xy yx x 2 y 2 Дифференциал второго порядка данной функции имеет вид: d 2 z  (2 y 2  2)(dx) 2  2(4 xy  3)dxdy  (2 x 2  2)(dy) 2 .

3. С помощью дифференциала приближенно вычислите 1,012,02 . Решение Рассмотрим функцию z  x y . Искомое число является значением этой функции в точке где z  (1,01; 2,02)  ( x0  x; y0  y) , z0  (1; 2) , x  1,01  1  0,01 и y  2,02  2  0,02 . Найдем частные производные функции z и их значения в точке z0  (1; 2) : z z0   yx y 1  2 ; z ( z0 )  x y ln x  0 . z0 z0 y x

Значение функции в точке z0  (1; 2) равно z  f x0 ; y0   x y

z0

 12  1 .

z y ( z0 )  2 x x  y2

z0

БГ УИ

Р

Подставляя найденные значения функции и частных производных в приближенную формулу, получим 1,012,02  1  2  0,01  0  0,02  1,02 . 1,01 4. Вычислите приближенно arctg . 0,97 Решение x Данное число является значением функции z  arctg в точке z0  (1;1) y при x  1,01  1  0,01 и y  0,97  1  0,03 . Найдем частные производные функции z и их значения в точке z0  (1;1) : z x ( z0 )   2 y x  y2

1  ; 2

z0

1  . 2

т

ек

а

Значение функции в точке z0  (1;1) равно 1  z  f x0 , y0   arctg  . 1 4 Подставляя найденные значения функции и частных производных в приближенную формулу, получим 1,01  1   1 arctg   (0,01)     0,03   0,005  0,015  0,81. 0,97 4 2 4  2

Би бл ио

Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности Если поверхность задана уравнением z  f ( x; y) , то касательная плоскость в точке N 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) имеет уравнение z  z0  f x ( x0 ; y0 )(x  x0 )  f y ( x0 ; y0 )( y  y0 ) . Уравнения нормали к поверхности в этой точке имеют вид: x  x0 y  y0 z  z0   . f x ( x0 ; y0 ) f y ( x0 ; y0 ) 1

1. Найдите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением z  2 x 2  xy  3 y 2  x  y в точке M (1;0;1) . Решение Найдем частные производные и их значения в точке M (1;0;1) : z z  4 x  y  1;  x  6 y  1; x y

z z  3;  2. x M y M Уравнение касательной плоскости: z  1  3( x  1)  2( y  0)  3x  2 y  z  2  0 . Уравнения нормали: x 1 y z 1 .   3 2 1

Экстремум функции двух переменных

а

БГ УИ

Р

Если для функции z  f ( x; y) , определенной в некоторой окрестности точки M 0 ( x0 ; y0 ) выполняется неравенство f ( x0 ; y0 )  f ( x; y) (или f ( x0 ; y0 )  f ( x; y) ), то точка M 0 называется точкой максимума (или точкой минимума). Необходимые условия экстремума Если функция f ( x, y) дифференцируема в точке ( x0 ; y0 ) и имеет экстремум в этой точке, то ее дифференциал в этой точке равен нулю:  f x ( x0 ; y0 )  0, df ( x0 ; y0 )  0    f y ( x0 ; y0 )  0.

Би бл ио

т

ек

Точка ( x0 ; y0 ) называется стационарной точкой функции z  f ( x; y) . Достаточные условия экстремума Введем обозначения: 2 f 2 f 2 f C  2 ( x0 ; y0 ) . A  2 ( x0 ; y0 ) , B ( x0 ; y0 ) и xy x y Тогда если 1) AC  B 2  0 и A  0 , то M 0 ( x0 ; y0 ) – точка максимума; 2) AC  B 2  0 и A  0 , то M 0 ( x0 ; y0 ) – точка минимума;

3) AC  B 2  0 , то M 0 ( x0 ; y0 ) не является точкой экстремума;

4) AC  B 2  0 , то точка M 0 ( x0 ; y0 ) может как быть, так и не быть точкой экстремума, необходимы дополнительные исследования. Наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области Пусть функция z  f ( x, y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D . Тогда она достигает в области D своего наибольшего и наименьшего значений (так называемые глобальные экстремумы). Эти значения достигаются либо в стационарных точках, расположенных внутри области D , либо в точках, лежащих на границе области. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z  f ( x, y) состоит в следующем:

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

1) найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в этих точках; 2) найти наибольшее и наименьшее значения функции z  f ( x, y) на границах области; 3) сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее. Условный экстремум Если требуется найти экстремум функции двух переменных, которые связаны между собой уравнением ( x, y)  0 , то говорят об условном экстремуме. Уравнение ( x, y)  0 называют уравнением связи. Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Если уравнение связи трудно разрешимо относительно его переменных, то для нахождения условного экстремума используют метод множителей Лагранжа. Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: L( x; y; )  f ( x; y)  ( x; y) (параметр  называют множителем Лагранжа). Необходимые условия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки функции Лагранжа:   f  x   x  0,  Lx  0,     f  0,   Ly  0,   y  y    L  0. ( x, y )  0,  Однако эти условия не являются достаточными. Поэтому после нахождения стационарных точек требуется исследовать их с помощью достаточных условий. 1. Найдите экстремум функции z  x 2  y 2  xy  4 x  5 y . Решение Вычислим частные производные: z z  x  2y  5.  2x  y  4 ; y x Найдем стационарные точки, решив систему уравнений: 2 x  y  4  0,  x  1,     x  2 y  5  0,  y  2. Получена одна стационарная точка M1 (1;2) . Найдем частные производные второго порядка:

2z  1.  2;  2; xy x 2 y 2 Вычислим их значение в точке M1 (1;2) : 2z

A

2z

 2 f ( x, y ) x 2

 2; M1

 2 f ( x, y ) B  1; xy M 1

C

 2 f ( x, y ) y 2

 1. M1

Так как AC  B 2  1  0 и A  0 , то точка M1 (1;2) является точкой минимума, при этом zmin  z (1;2)  7 .

Р

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 2 z  x  y  2 xy в области D , ограниченной прямыми x  0 , x  2 , y  1 , y  2. Решение Изобразим область D на плоскости XOY (рис. 9). Определим стационарные точки y функции, для этого вычислим частные производные: D C z z  2 y  2 x .  2x  2 y ; y x Решим систему уравнений: 1 2 x  2 y  0,  x  0,   1 x  2 y  2 x  0,  y  0. Таким образом, имеем одну O стационарную точку M1 (0;0) , которая принадлежат рассматриваемой области B A D. Исследуем функцию на границе –2 области. Рис. 9 Сторона AB: y  1 , x [0;2] . Подставим y  1 в функцию z . Функция z становится функцией одной

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

2

переменной: z1  x 2  1  2 x . Ищем стационарные точки функции z1 ( x) : z1  2 x  2 , 2 x  2  0 . Решением уравнения является x  1. Так как x  1[0;2] , то данная точка не принадлежит рассматриваемой области. Сторона BС: x  2 , y [1;2] . После подстановки x  2 в функцию z она становится функцией одной переменной: z2  4  y 2  4 y .

Ищем стационарные точки функции z 2 ( x) : z2  2 y  4 ,  2 y  4  0 . Решением уравнения является y  2 . Так как y  2 [1;2] , то эта точка не принадлежит рассматриваемой области. Сторона DC: y  2 , x [0;2] После подстановки y  2 в функцию z она становится функцией одной

т

ек

а

БГ УИ

Р

переменной: z3  x 2  4  4 x . Ищем стационарные точки функции z3 ( x) : z3  2 x  4 , 2 x  4  0 . Решением уравнения является x  2 . Точка M 2 (2;2) принадлежит рассматриваемой области. Сторона AD: x  0 , y [1;2] . После подстановки x  0 в функцию z она становится функцией одной переменной: z 4   y 2 . Ищем стационарные точки функции z 4 ( x) : z4  2 y ,  2 y  0 . Решением уравнения является y  0 . Точка M1 (0;0) является стационарной точкой функции z и была найдена выше. Находим значения функции z в точках M1 (0;0) и M 2 (2;2)  C , а также в угловых точках A(0;1) , B(2;1) , D(0;2) : z ( M1 )  0 ; z (M 2 )  8 ; z ( A)  1 ; z ( B)  7 ; z ( D)  4 . Следовательно, zнаим  z (2;2)  8 , zнаиб  z(2;1)  7 .

Би бл ио

3. Найдите экстремум функции z  x 2  2 xy  y 2  3x  3 y  2 при условии, что x и y связаны уравнением: x  y  0 . Решение Из уравнения связи x  y  0 получим y   x . Подставив y   x в функцию z  x 2  2 xy  y 2  3x  3 y  2 , имеем: z  x 2  2 x( x)  ( x) 2  3x  3( x)  2  x 2  2 x 2  x 2  3x  3x  2 

 2x2  2 . Таким образом, задача о нахождении условного экстремума функции двух переменных сведена к задаче определения экстремума функции одной переменной z  z (x) . Дальнейшее исследование известно из курса дифференциального исчисления функций одной переменой. Найдем производную: z   4x . Область определения производной D( z)  (;) Приравняем производную нулю:

z  0  4 x  0  x  0  y   x  0  z  2 . Точка (0;0;2) – критическая точка. Составим таблицу:

x z z

(;0)  убывает

0 0 2

(0;)  возрастает

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

Таким образом, zmin  z(0;0)  2 .

4.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ Дифференциальное исчисление функций одной переменной Простейшие правила дифференцирования Найдите производные функций: 1) y  7x 3 ;

2) y  35 x 2  43 x 2  x ;

3) y  x 2  ctgx ;

4) y  2( x 2  3x  1)  x sin x ;

x2  2x  1

; x3  1 sin x  x 2 8) y  . x 1

;

Р

7) y 

6) y 

; x2 3x  2

x3  1

БГ УИ

5) y 

tgx

Производная сложной функции Найдите производные функций:

x 2) y  cos ; 3 3 4) y  (2 x  2 x  1)3 ;

1) y  sin 2 x ;

а

3) y  sin 3 x  cos2 x ;

6) y  sin 3x  2 x ; 1 1 8) y  tg x  tg 2 x  tg 3 x . 2 3

ек

5) y  5 (2 x  3)3 ;

т

7) y  cos(x 2  3x  1) ;

Производная показательной и логарифмической функций 2) y  lg 2 x ;

3) y  ln x 2  4 ;

4) y  ln ln x ;

Би бл ио

Найдите производные функций: 1) y  log 5 (3x) ;

5) y  e

x4

;

7) y  e tg 2 x ;

9) y

x  2x 7 2 ;

1  x2 6) y  ln ; 1  3x 2

8) y  2 x  2 x 2 ; 10) y 

1  ln x 2 1 e

x2

.

Производные обратных тригонометрических функций Найдите производные функций: x 1) y  arcsin ; 5

2) y  arccos2 x ;

3) y  arctg

3 2

4) y  arcctg( x 3 ) ;

;

x 5) y  arcsin(ln x) ;

6) y  arccos x  2 ; 8) y 

7) y  ( x 3  2 x  1) arctgx ;

arcsin 3x . x

Производная функции, заданной неявно Найдите производные функций: 1 2 x  y ; 3) sin y  sin x  xy  0 . 2

Р

2) e 2 y 

БГ УИ

1) x 3  y 2  2 xy  0 ;

Логарифмическое дифференцирование Найдите производные функций:

x

1) y  (cos x) x ;

2) y  x 3 ;

3) y  ( x 2  2 x) x 1 ;

4) y  x sin x ;

5) y  ( x  1)( x  3)3 ( x  4) 4 ;

6) y 

а

x( x  1) . x2

ек

Производная функции, заданной параметрически  x  e t cost , 3)   y  e t sin t.

Би бл ио

т

Найдите производные функций:  x  5t  3,  x  cost , 1)  2)  2  y  sin t ;  y  2t  t  1;

Производные высших порядков

1. Найдите производные второго порядка заданных функций: 1) y  2 x 3  2 x  1 ; 2) y  2 x ; 3) y  tg x ; 4) y  x 2  1 . 2. Найдите производные третьего порядка заданных функций: 1 1) y  x 4  x  5 ; 2) y  cos3x ; 3) y  x ln x . 12 Дифференциал

1. Найдите дифференциалы функций: 1) y  x 2  2 x  4 ; 3) y  cos3 2 x ;

1 x ; 1 x 4) y  ln( x 4  1) ;

2) y 

5) y  e ctg x ; 6) r  ctg  cosec . 2. Найдите дифференциалы второго порядка функций: 2) y  tg 2 x ; 3) y  ln cos x . 1) y  sin( x  1) ; 3. Вычислите приближенно с помощью дифференциала: 2) 4 15,8 ; 3) tg 44o . 1) arcsin 0,51; Приложения производной Применение производной в геометрии и физике

Р

1. Напишите уравнения касательной и нормали к кривой y  f (x) в точке с абсциссой x0 . Найдите угол наклона касательной к оси Ox :

БГ УИ

1) y  e x , x0  0 ; 2) y  x 2  2 x  1, x0  1; 3) y  x  3, x0  2 . 2. Найдите угол между кривыми в точке их пересечения: 2) y  1  sin x и y  1 . 1) y  x  x 3 и y  5 x ; 3. Для материальной точки зависимость пути от времени задана уравнением S  t 2  2t  3 (м) . Найдите скорость и ускорение материальной точки через 4 с от начала движения.

а

Правило Лопиталя для вычисления пределов

т

ек

Вычислите пределы функций, используя правило Лопиталя: x3  7 x 2  4x  2 sin 5 x 1) lim ; 2) lim ; 3 x 1 x 0 2 x x  5x  4

Би бл ио

2 3) lim x sin ; x  x 1   x  5) lim  ; x 1 x  1 ln x 

4) lim (e  x

x 0

6) lim

x 

ex x3

1 x) x ;

.

Формула Тейлора

Для функций y  f (x) в точке x0 запишите n первых ненулевых членов формулы Тейлора: 1 1) y  x 5  3x 3  x , x0  1, n  6 ; 2) y  , x0  3 , n  4 ; 2x  x 3) y  e 2  x , x0  1, n  5 ; 4) y  cos  , x0  0 , n  3 . 2

Исследование функций

БГ УИ

Р

1. Найдите экстремумы и интервалы монотонности функций: 2) y  3x  7 ; 1) y  x 4  2 x 2  5 ; x 3) y  2 ; 4) y  x ln x . x  6 x  16 2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функций на указанном отрезке: 2) y  x  33 x на [1;1] . 1) y  x 2  4 x  1 на [3; 3] ; 3. Найдите точки перегиба, промежутки выпуклости функций: 2) y  x ln( 2 x) ; 3) y  xe 4 x . 1) y  x 4  8x 3  18x 2  3 ; 4. Найдите асимптоты графиков функций: x2 x3 ; 2) y  ln( x  1) ; 3) y  . 1) y  2 2( x  1) 2 x 1 5. Проведите полное исследование и постройте графики функций: 1

1  x2 1) y  ; x2

2

2) y  x 2 ln 2 x ;

а

3) y  xe x .

ек

Дифференциальное исчисление функции многих переменных Область определения функции многих переменных

т

Найдите область определения функций:

Би бл ио

1) z  4  x 2  y 2 ;

2) z  y  x ;

3) z 

1 x  y 9 2

2

Частные производные первого и высших порядков функции многих переменных

1. Найдите частные производные заданных функций: y 2  2x 4 2 3 3 1) z  3x  2 x y  y ; 2) z  ; x y 3) z  sin x  2 y ;

4) z  e x

2y

;

5) u  3 yxz  2 x 2 yz 2  2 xy  2 xz  2 yz ; 6) u  ( x  z)(x  y)( y  z) . 2. Найдите частные производные второго порядка заданных функций: y 2  2x 4 2 3 3 1) z  3x  2 x y  y ; 2) z  . x y

.

Дифференциал функции многих переменных

2)

(4,02) 2  (3,05) 2 ;

3) sin 46o cos59o .

БГ УИ

1) 1,052,98 ;

Р

1. Найдите полный дифференциал заданных функций: 2) z  sin x  cos2 y ; 1) z  xy 2  xy  x  y ; yx 3) z  (3x 2 y  x 3  8) 4 ; 4) z  2 . x  y2 2. Найдите дифференциал второго порядка заданных функций: 1) z  x 2 y 2  2 xy  x 3  y 3 ; 2) z  e 2 x  3 y . 3. Вычислите приближенно с помощью дифференциала:

Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 1. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z  1  x 2  y 2 в точке M (1;1; 3) .

а

2. Дана поверхность z  ln( x 2  y 2 ) . Составьте уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M (1; 0; 0) .

ек

Экстремум функции двух переменных

Би бл ио

т

1. Найдите экстремумы функций: 1) z  x 2  y 2  2 x  4 y  6 ; 2) z  x 3  y 3  3xy . 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций z  f ( x, y) в области D : 1) z  x 2  2 xy  y 2  4 x , D – треугольник, ограниченный прямыми x  y 1 0, x  3, y  0; 2) z  x 2  2 xy  4 x  8 y , D – прямоугольник, ограниченный прямыми x  0 , x  1, y  0 , y  2 . 3. Найдите экстремумы функции z  xy при условии, что x и y связаны уравнением 2 x  3 y  5  0 . 4. Найдите условные экстремумы функции z  x 2  4 x  y 2  4 , если y  x  2.

Ответы Дифференциальное исчисление функции одной переменной Простейшие правила дифференцирования 2) y' 

1) y'  21x 2 ;

6



8



1

1

3) y '  2 x 

; 2 2 x sin x 5 x x  2tgx 2  6x2 cos x 4) y'  4 x  6  sin x  x cos x ; 5) y '  ; 6) y '  6 ; x3 x  2x3  1 3x  1 (x 1) cos x  x 2  2 x  sin x 7) y '   ; 8) y '  . (x 1) 2 (x 1) 3 3

33 x

БГ УИ

Р

5

;

Производная сложной функции 1 x 2) y '   sin ; 3 3

1) y' 2 cos 2 x ;

5) y ' 

7) y  (2 x  3) sin( x 2  3x  1) ;

8) y ' 

6

6) y ' 

;

55 (2 x  3) 2 1  cos x·sin x

а

4) y  3(2 x 3  2 x  1) 2 (6 x 2  2) ;

3) y'  3sin 2 x·cos x  2 cos x·sin x ;

ек

cos4 x

3 cos3x  2 ; 2 sin 3x  2 x

.

т

Производная показательной и логарифмической функций 4 1 1 x 2 lg x ; 2) y   ; 3) y   2 ; 4) y   ; 5) y  4 x 3e  x ; x ln x x ln 5 x ln 10 x 4 tg 2 x 2 2e 3x  2 x  3 x2   y  6) y   ; 7) ; 8) y  2 x ( 2 ln 2  2) ; cos2 2 x (1  x 2 )(1  3x) 2 1 2 x 2(1  e x )  2 xe x (1  ln x 2 ) x 9) y  7 2 (2  x ln 7) ; 10) y   .

Би бл ио

1) y  

2

(1  e x ) 2

Производные обратных тригонометрических функций

1) y  

1

25  x

2

;

2) y  

2

1  4x2

;

3) y 

 6x x4  9

;

4) y  

 3x 2 1  x6

;

x3  2x  1 1 2 ; 6) y   ; 7) y   (3x  2) arctg x  ; 5) y   2 2 2 ( x  2 )( 3  x ) 1  x x 1  ln x 1

8) y  

3



x 1  3x 2

arcsin( 3x) 3 2x 2

.

Производная функции, заданной неявно 3x 2  2 y 1) y    ; 2x  2 y

2) y   2e

x 2y

1

3) y   

;

cos x  y . cos y  x

Р

Логарифмическое дифференцирование  2) y  3 x  ln 3 ln x  

2    2 x  1 2 ( x 2  2 x) x 1 ; 3) y   ln x  2 x  2  x  2 x  



1  3x x ; x

БГ УИ

1) y  ln(cos x)  x tg x (cos x) x ;



 sin x   ln x cos x  x sin x ; 4) y    x 

x2  4x  2 1 3 4   3 4   5) y   . ( x  1)( x  3) ( x  4) ; 6) y  3  x 1 x  3 x  4 2 x( x  1)( x  2)

4t  1 ; 5

ек

1) y  

а

Производная функции, заданной параметрически 2) y   ctgt ;

3) y  

sin t  cost . cost  sin t

т

Производные высших порядков

Би бл ио

1. 1) y  12 x ; 2) y  2 x ln 2 2 ; 3) y  

2 sin x 3

cos x 1 2. 1) y  2 x ; 2) y  27 sin 3x ; 3) y    2 . x

1. 1) dy  2 x  2dx ; 2) dy  4 x3 dx ; 4) dy  4 x 1

5) dy 

3. 1)

0,535рад

30,7 ;

x2 (1  x )

2 3/ 2



1 1 x

Дифференциал 2

1 x 

2

3) dy  6 cos2 (2 x) sin( 2 x)dx ;

dx ;

 e ctg x 2

sin x

2. 1) d 2 y   sin( x  1)dx 2 ; 2) d 2 y  o

; 4) y   

dx ; 6) dr   8 sin( 2 x) 3

cos (2 x) 2)  1,994 ;

1  cos  sin 2 

d .

dx 2 ; 3) d 2 y  

3)  0,966 .

1 2

cos x

dx 2 .

2

.

Приложения производной Применение производной в геометрии и физике

БГ УИ

Р

1. 1) уравнение касательной: y  x  1 , уравнение нормали: y   x  1 , угол наклона:   45 ; 2) уравнение касательной: y  0 , уравнение нормали: x  1 , 1 4 угол наклона:   0 ; 3) уравнение касательной: y  , уравнение x 2 5 5 1 нормали: y  2 5x  5 5 , угол наклона   arctg  12,6 . 2 5 2 2. 1) tg   ,   33,7 ; 2) tg   1 ,   45 . 3 м м 3. V 10 , a 2 2 . с с Правило Лопиталя для вычисления пределов 1)

5 ; 2

2)

7 ; 2

3) 2 ;

4) e 2 ;

5)

1 ; 6)  . 2

а

Формула Тейлора

Би бл ио

т

ек

1) f ( x)  1  3( x  1)  ( x  1) 2  7( x  1)3  5( x  1) 4  ( x  1)5 ; 1 1 1 1 2) f ( x)   ( x  3)  ( x  3) 2  ( x  3)3 ; 5 25 125 625  ( x  1) ( x  1) 2 ( x  1) 3 ( x  1) 4  ;    3) f ( x)  e3 1   1 ! 2 ! 3 ! 4 !   4) f ( x)  1 

x2 x4 .  8 384

Исследование функций

1. 1) ymin  y(1)  y(1)  4 , ymax  y(0)  5 , функция убывает на интервале (;1)  (0;1) и возрастает на интервале (1;0)  (1;) ; 2) экстремумов нет, возрастает на интервале 7 / 3; ; (;2)   2;8  (8;) ; 3) экстремумов нет, убывает на

4) ymin

y (e 1 )

e 1 , функция убывает на интервале (0; e 1 ) и возрастает на

интервале (e 1;) . 2. 1) ymin  y2  3 , ymax  y 3  22 ; 2) ymin  y 1  4 , ymax  y1  4 . 3. 1) выпукла вниз при x  (;3)  (1;) , выпукла вверх при x  (3;1) , точки перегиба:  3; 24 и  1; 8 ;

2) выпукла вниз при x  (0;) , точек перегиба нет; 3) выпукла вверх при x   ;0,5 , выпукла вниз при x  0,5; , точка перегиба 0,5; 0,5e 2 . 1 4. 1) вертикальная асимптота: x  1, наклонная асимптота: y  x  1 ; 2 2) вертикальная асимптота: x  1 ; 3) вертикальные асимптоты: x  1 и x  1 , Наклонная асимптота: y  x . 5. 1) 2) 3)



а

БГ УИ

Р



Би бл ио

т

ек

Дифференциальное исчисление функции многих переменных Область определения функции многих переменных 1) замкнутый круг с центром в начале координат, радиус которого равен 2; 2) x  0 , правая относительно оси Oy полуплоскость; 3) внешняя часть круга с центром в начале координат, радиус равен 3, не включая границу круга. Частные производные первого и высших порядков функции многих переменных

z z 2 y  y 2 z y 2  2 x  2 xy z 2 2 2 3  3 y (2 x  1) ; 2)   1. 1) , ;  4 x(3x  y ) , y x ( x  y ) 2 y x ( x  y) 2 2 2 z z z cos x  2 y z cos x  2 y  ex  y ;  , ; 4)  2 xe x  y ,  y x x x  2y 2 x  2 y y u u  3xz  2 x 2 z 2  2 x  2 z , 5)  3 yz  4 xyz 2  2 y  2 z , y x u  3 yx  4 x 2 yz  2 x  2 y ; z u u u  ( x  2 y  z )( x  z ) ,  2 x  y  z  y  z  ,  ( x  y  2 z )( x  y ) . 6) y x z

3)

2 z 2z 2. 1) 2  36 х  4 у , 2  12 х у  6 у ,   12ху 2 ; ху ху x y 2z

2

3

2z

2

 2 z 2х  у  ху  2 y  y  2   2 z 2 х х  2   2 z , , . 2) 2     x х  у 3 x  y 3 y 2 х  у 3 ху yx 2z

Дифференциал функции многих переменных 1. 1) dz  ( y 2  y  1)dx  (2 xy  x  1)dy ; 2) dz  cos xdx  2 sin y cos ydy ; y 2  x 2  2 xy (x  y ) 2

2 2

dx 

x 2  y 2  2 xy (x  y ) 2

2 2

dy .

БГ УИ

4) dz 

Р

3) dz  4(3x 2 y  x 3  8)3 (6 xy  3x 2 )dx  12 x 2 (3x 2 y  x 3  8)3 dy ;

2. 1) d z  (2 y  6 x)dx  (4 xy  2)dxdy  (2 x 2  6 y)dy 2 ; 2

2

2

2) d 2 z  4e 2 x  3 y dx 2  12e 2 x  3 y dxdy  9e 2 x  3 y dy 2 . 3. 1)  1,15 ; 2)  5,046 ; 3)  0,37 .

Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

2. z  2 x  2  0 ,

а

x 1 y 1 z  3   . 2 2 1 x 1 y z   . 2 0 1

ек

1. 2 x  2 y  z  1 ,

т

Экстремум функции двух переменных

Би бл ио

1. 1) zmin  z (1,2)  11; 2) zmax  z (1,1)  1. 2. 1) zнаим  z (2;0)  4 , zнаиб  z(3;3)  6 ; 2) zнаим  z (1;0)  3 , zнаиб  z (1;2)  17 .  5 5  25 3. z max  z ,   .  4 6  24 4. zmin  z (0,2)  8 .

4.4. ТЕСТОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по теме «Дифференциальное исчисление» I вариант 1. Найдите производную функции y  ln( 3  2 x) . 1) y   

2 ; 3  2x

3) y  

2) y  3  2 x ;

3  2x ; 2

2 . 3  2x

4) y  

1) y  

( x 2  1) 2

2

;

3) y  2 x tg x ;

1  cost et

;

2) yx  1  cost ;

2x

4) y  

БГ УИ

cos x  x  et , 3. Найдите производную функции   y  t  sin t.

1) yx 

cos x

2) y   2 x tg x 

;

( x 2  1)

Р

2. Найдите производную функции y  ( x 2  1)tgx .

3) yx  (1  cost ) e ; t

cos2 x

.

et 4) y x  . 1  cost

2) y  2 x  2 ;

3) y  2 x  2 ;

ек

1) y  ln 2 ;

а

4. Напишите уравнение касательной к графику функции y  ln( 3  2 x) в точке с абсциссой x  1. 4) y 

1 . 2x  2

cos2 x

; 2) dy 

2  ( x  1)  2x  2 x tg x  dy  dx dy  dx . ; 3) ; 4) 2   tg x cos x cos2 x  

( x 2  1)dx

Би бл ио

1) dy 

2 xdx

т

5. Найдите дифференциал функции y  ( x 2  1) tgx .

4 cos(0,5x) , используя правило Лопиталя. x 1 x 1

6. Найдите предел lim 1)  ;

2)  2 ;

3)  1 ;

4)   .

7. Найдите экстремумы и интервалы монотонности функции f ( x)  ( x  1)3 .

1) 2) 3) 4)

(;1) (;1) (;1) (;1)

убывает, (1;) возрастает, ymin  y(1)  0 ; возрастает, экстремума нет; возрастает, (1;) возрастает, экстремума нет; возрастает, (1;) убывает, ymax  y(1)  0 .

8. Найдите экстремум функции z  x 2  xy  y 2  9 x  6 y  20 . 1) zmax  z (4;1)  1; 3) zmin  z (4;1)  1 ;

2) zmin  z(1;2)  2 ; 4) zmin  z (0;1)  2 .

II вариант 1. Найдите производную функции y  sin(3x  1) . 1) y  cos(3x  1) ; 2) y  3cos(3x  1) ; 3) y  3cos(3x  1) ; 4) y  sin 3x . 2. Найдите производную функции y  2 x ( x 3  3) . 1) y  2 x ( x 3  3) ln 2  2 x x 2 ;

2) y  2 x ln 2  3  2 x x 2 ;

3) y  2 x ( x 3  3) ln 2  3  2 x x 2 ;

4) y  2 x ( x 3  3)  x 2 .

2 xy  1 cos y  x 2

;

2) y  

cos y  x 2 2x  1 ; 3) y   ; 2 xy  1 cos y

4) y  

 2 xy  1

БГ УИ

1) y  

Р

3. Найдите производную функции sin y  x 2 y  x  0 .

cos y  x 2

.

4. Напишите уравнение нормали к графику функции y  sin(3x  1) в точке с 1 абсциссой x   . 3 2) y  3  2 x ;

3) y 

1 1  x; 9 3

1 1 4) y   x . 3 9

а

1 1 1) y    x ; 9 3

5. Найдите дифференциал функции y  2 x ( x 3  3) .





ln 2  3  2 x x 2 dx ;

6. Найдите предел lim

sin 5 x x2

1) 5 ;

2) 1 ;

7. Найдите точки 5 f ( x)  x  5 x  6 . 1) 2) 3) 4)

x

3

 3) ln 2  2 x x 2

, используя правило Лопиталя.

Би бл ио

x 0

перегиба,

3)  ; промежутки

4) 0 . выпуклости

функции

(;0) выпукла вверх, (0;) выпукла вниз, (0;6) – точка перегиба; (;1) выпукла вверх, (1;) выпукла вниз, (1;0) – точка перегиба; (;1) выпукла вниз, (1;) выпукла вверх, (1;0) – точка перегиба; (;0) выпукла вниз, (0;) выпукла вверх, (0;6) – точка перегиба.

8. Найдите экстремум функции z  3x  6 y  x 2  xy  y 2 . 1) zmin  z (0;3)  9 ; 3) zmax  z (0;3)  9 ;

 dx .

2) dy  2 x ( x 3  3) ln 2  3  2 x x 2 dx ;

т

x

 4) dy   2 ( x

ек

 3) dy  2

1) dy  2 x ( x 3  3)  x 2 dx ;

2) zmax  z (3;0)  9 ; 4) zmin  z (0;3)  9 .

III вариант 1. Найдите производную функции y  tg(4  2 x) . 1) y  cos2 (4  2 x) ; 3) y  

2) y  

2 ; cos(4  2 x)

2 cos2 (4  2 x)

;

4) y  sin( 4  2 x) .

2) y  2e 2 x sin x ;

3) y  e 2 x cos x  2e 2 x sin x ;

4) y  e 2 x (cos x  sin x) .

БГ УИ

1) y  e 2 x cos x ;

Р

2. Найдите производную функции y  e 2 x sin x .

t 1   x  t , 3. Найдите производную функции   y  t 1.  t

1) yx  t 2 ;

3) yx  t ;

2) yx  1;

4) yx  1 .

1 1 2) y  x  ; 2 4

3) y  2 x  4 ;

1 1 4) y   x  . 2 4

т

1) y  2 x  4 ;

ек

а

4. Напишите уравнение касательной к графику функции y  tg(4  2 x) в точке с абсциссой x  2 .

5. Найдите дифференциал функции y  e 2 x sin x . 2) dy  2e 2 x sin xdx ;

3) dy  e 2 x cos xdx ;

4) dy  e 2 x (cos x  sin x)dx .

Би бл ио

1) dy  e 2 x (cos x  2 sin x)dx ;

e3x  1 6. Найдите предел lim , используя правило Лопиталя. x  0 tgx

1) 1 ;

2) ln 3 ;

3)  1 ;

4) 3 .

7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f ( x)  3x  x 3 на отрезке [–3; 1]. 1) f max  f (0)  0 , f min  f (3)  18 ; 3) f min  f (1)  2 , f max  f (3)  18 ;

2) f max  f (1)  2 , f min  f (3)  18 ; 4) f min  f (1)  2 , f max  f (3)  18 .

8. Найдите экстремум функции z  x 2  y 2  2 x  4 y  6 . 1) zmin  z (1;2)  11; 3) zmin  z (2;1)  11 ;

2) zmax  z (1;2)  11 ; 4) zmax  z (2;1)  11.

IV вариант 1. Найдите производную функции y  e3 x  6 . 2) y  (3x  6)e3 x  6 ; 3) y  3e3 x  6 ;

1) y  3e3 x  6 ln 3 ;

4) y  6e3 x  6 .

2. Найдите производную функции y  x 2 ctgx .

3) y   2 x ctg x 

x2 sin 2 x x2

sin 2 x

x2

;

2) y   

;

4) y   2 x ctg x 

;

sin 2 x

x2 cos2 x

1) y  

ey 1  xe y

;

2) y  e (1  xe ) ; y

y

БГ УИ

3. Найдите производную функции y 1  xe y .

.

Р

1) y   2 x ctg x 

3) y  

ey

1  xe y

4) y  

;

1  xe y ey

.

4. Напишите уравнение нормали к кривой y  e3 x  6 в точке с абсциссой x  2 . 2) y 

5 1  x; 3 3

5 1 3) y    x ; 3 3

5 1 4) y    x . 3 3

а

1) y  5  3x ;

Би бл ио

т

 x 2   dx ; 1) dy   2 x ctg x  sin 2 x    x 2   dx ; 3) dy   2 x ctg x  2  cos x  

ек

5. Найдите дифференциал функции y  x 2 ctgx .

2) dy  

x2 sin 2 x

dx ;

 x 2   dx . 4) dy   2 x ctg x  2  sin x  

1  cos 7 x , используя правило Лопиталя. x0 x

6. Найдите предел lim 1) 0 ;

2) 7 ;

3)  7 ;

4) 1 .

x2 7. Найдите асимптоты графика функции f ( x)  . x 1

1) 2) 3) 4)

y  x  1 – наклонная асимптота, x  1 – вертикальная асимптота; y  x  1 – наклонная асимптота, x  1 – вертикальная асимптота; y  x  1 – наклонная асимптота, вертикальных асимптот нет; x  1 – вертикальная асимптота, наклонных асимптот нет.

8. Найдите экстремум функции z  x 2  xy  y 2  6 x  9 y . 1) zmin  z(1;4)  21; 3) zmin  z (4;1)  21;

2) zmax  z (1;4)  21 ; 4) zmax  z (1;1)  2 .

V вариант 1. Найдите производную функции y  ln( 3x  4) . 1) y  

3x  4 ; 3

2) y  

3 ; 3x  4

3) y  

ln 3 ; 3x  4

4) y   

3 . 3x  4

2. Найдите производную функции y  ( x  1)tgx . 1) y   tg x 

x 1 2

2) y  

;

x 1 2

;

3) y  tg x  1 ;

x 1 cos2 x

.

БГ УИ

Р

cos x  x  cos 2t , 3. Найдите производную функции  2  y  1  sin t.

sin x

4) y   tg x 

1 ; 4) yx   sin 2t . 2 4. Напишите уравнение нормали к графику функции y  ln( 3x  4) в точке с абсциссой x  1.

1) yx  2 sin 2t ;

2) yx  2 ;

1 1 1) y   x  ; 3 3

2) y  3x  3 ;

3) yx 

1 1 3) y  x  ; 3 3

4) y  3x  3 .

ек

т

x 1   1) dy   tg x  dx ; sin 2 x   x 1   3) dy   tg x  dx ; cos2 x  

а

5. Найдите дифференциал функции y  ( x  1)tgx . 2) dy 

x 1

cos2 x

dx ;

4) dy  tg x  1dx .

Би бл ио

3e x  2  3 6. Найдите предел lim , используя правило Лопиталя. x 2 x2

1)

3 ; 2

2) 3 ;

3)  3 ;

4)  2 .

7. Найдите экстремумы и интервалы монотонности функции f ( x)  ( x  2) 4 .

1) 2) 3) 4)

(;2) возрастает, (2;) убывает, y(2)  0 – максимум; (;2) убывает, (2;) возрастает, y(2)  0 – минимум; (;2) убывает, (2;) возрастает, y(2)  4 – минимум; (;2) возрастает, (2;) убывает, y(2)  4 – минимум.

8. Найдите экстремум функции z  x 2  2 xy  2 y 2  2 x . 1) zmin  z (2;1)  2 ; 3) zmin  z (1;2)  3 ;

2) zmax  z (2;1)  2 ; 4) zmax  z (1;2)  3 .

VI вариант 1. Найдите производную функции y  cos(2 x  3) . 1) y  2 sin( 2 x  3) ; 3) y   sin( 2 x  3) ;

2) y  (2 x  3) sin( 2 x  3) ; 4) y  2 sin( 2 x  3) .

1) y

ex ( x2

3) y

ex

3) ;

4x

(2 x

2) y

2) ;

4) y

e x (2 x 2) ; ex 2x 2 . ( x 2 2 x 1)2

1) y  

2 xy x 2  cos y

; 2) y  

 2 xy  1 x 2  sin y

БГ УИ

3. Найдите производную функции sin y  x 2 y  x  0 .

Р

2. Найдите производную функции y  e x ( x 2  2 x  1) .

x 2  sin y 3) y   2 ; 4) y    . 2 xy x  cos y  2 xy

;

а

4. Напишите уравнение касательной к графику функции y  cos(2 x  3) в точке 3 с абсциссой x   . 2 1) y  2 x  1 ; 2) y  3x  1; 3) x  5 ; 4) y  1 .

ек

5. Найдите дифференциал функции y  e x ( x 2  2 x  1) . 1) dy  (e x  2 x  2)dx ; ( x  4 x  3) 2

2

т

3) dy 

e x  2x  2

2) dy  e x (2 x  2)dx ;

dx ;

4) dy  e x ( x 2  4 x  3)dx .

Би бл ио

1  cos(x  3) , используя правило Лопиталя. x  3 x3

6. Найдите предел lim 1) 1 ;

2)

7. Найдите точки f ( x)  2 x 3  6 x  7 .

1) 2) 3) 4)

2;

перегиба,

3) 0 ; промежутки

4)  1 . выпуклости

(;0) выпукла вверх, (0;) выпукла вниз, (0;7) – точка перегиба; (;1) выпукла вниз, (1;) выпукла вверх, (1;11) – точка перегиба; (;1) выпукла вверх, (1;) выпукла вниз, (1;11) – точка перегиба; (;0) выпукла вниз, (0;) выпукла вверх, (0;7) – точка перегиба.

8. Найдите экстремум функции двух переменных z  4 x  2 y  x 2  y 2 . 1) zmin  z (2;1)  5 ; 3) zmax  z (1;0)  3 ;

2) zmax  z (2;1)  5 ; 4) zmin  z (1;1)  4 .

функции

VII вариант 1. Найдите производную функции y  arcsin(2 x  3) . 2

1) y  

2) y  

;

1  (2 x  3) 3) y  arccos(2 x  3) ; 2

2

;

1  (2 x  3) 4) y  2 arccos(2 x  3) . 2

2. Найдите производную функции y  x 2 e 2 x . 3) y  2 xe 2 x (1  x) ; 4) y  2 xe 2 x .

Р

1) y  2 x  2e 2 x ; 2) y  4 xe 2 x ;

1) y x 

2t 1 t2

;

БГ УИ

 x  ln(1  t 2 ), 3. Найдите производную функции   y  t 2  1.

3) yx  2t ;

2) yx  1  t 2 ;

4) y x 

1 t2 . 2t

ек

а

4. Напишите уравнение касательной к графику функции y  arcsin(2 x  3) в 3 точке с абсциссой x  . 2 3 3 2 2 1) y  2 x  3 ; 2) y  x  ; 3) y   x  ; 4) y  2 x  3 . 2 2 3 3 5. Найдите дифференциал функции y  x 2 e 2 x .

т

1) dy  (2 x  2e 2 x )dx ;

Би бл ио

3) dy  4e 2 x dx ;

6. Найдите предел lim

x 0

1) 0 ;

2) dy  2 xe 2 x (1  x)dx ; 4) dy  2 xe 2 x dx .

tg6 x , используя правило Лопиталя. 3x

2) 2 ;

3) 6 ;

4)  3 .

7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f ( x)  2 x 5  5x 2  2 на отрезке [–1; 2]. 1) f max  f (0)  2 , f min  f (1)  5 ; 2) f min  f (1)  1 , f max  f (0)  2 ; 3) f min  f (1)  5 , f max  f (2)  46 ; 4) f min  f (1)  5 , f max  f (1)  1. 8. Найдите экстремум функции двух переменных z  x 2  xy  y 2  3x  6 y . 1) zmax  z (0;3)  9 ; 3) zmax  z (0;3)  6 ;

2) zmin  z (0;3)  6 ; 4) zmin  z (0;3)  9 .

ПРИЛОЖЕНИЯ 1. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций Таблица П.1.1 Пусть x  – бесконечно малая функция (б.м.ф.) при x  a , тогда 7

2

tg x   x 

8

3

arcsin x   x 

9

4

arctg x   x 

10

5

log a 1  x 

11

ln cosx   

1 x 2 2

e   x   1   x 

a  x   1  x   ln a

1  x   1    x 

а

6

1 x 2 2 1    x  ln a

1  cosx  

ln 1  x   x 

Р

sin x   x 

БГ УИ

1

arcsin x sin x tg x arctg x  1; lim  1 ; lim  1.  1; lim x 0 x x 0 x 0 x 0 x x x lim

т

1.

ек

2. Замечательные пределы

x

Би бл ио

2. 3.

4.

1

 1 lim 1    e ; lim (1  x) x . x x   x 0 log a 1  x  1 ln 1  x  ; при a  e : lim lim   1. x 0 x 0 x ln a x ax 1 ex 1 lim  ln a ; при a  e : lim  1. x 0 x 0 x x

3. Виды уравнения прямой на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

n   A; B  – вектор нормали (перпендикулярный прямой l)

Р

n   A; B 

n

5

l

M0

y  kx  b , k  tg  – угловой коэффициент

y



b

т

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через данную точку M 0 x0 ; y0 

y  y0  k x  x0 , k  tg  – угловой коэффициент

Уравнение прямой «в отрезках»

x y   1, a b a, b – величины отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно

x

l

Би бл ио

4

l

Ax  х0   B y  y0   0,

ек

3

Уравнение прямой с вектором нормали n , проходящей через данную точку M 0 x0 ; y0 

n

БГ УИ

2

Уравнение Ax  By  C  0 ,

а

№ Вид уравнения 1 Общее уравнение прямой

Таблица П.3.1 Рисунок

l

y

M 0 x0 , y0 

 x

l

y

b a

x

7

x  x0 y  y0  , m p a  m; p  – направляющий вектор прямой

Каноническое уравнение прямой

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1 x1; y1  и M 2 x2 ; y2 

a  m; p  l M 0 x0 , y0 

x  x1 y  y1  x2  x1 y2  y1

l

Р

6

Окончание табл. П.3.1

M2

Параметрические уравнения прямой

 x  x0  mt ,   y  y0  pt , a  m; p  – направляющий вектор прямой, t  R,

Би бл ио

т

ек

а

8

БГ УИ

M1

a  m; p 

l

M 0 x0 , y0 

4. Виды уравнения плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1 x1; y1; z1  , M 2 x2 ; y2 ; z2  и M 3 x3 ; y3 ; z3 

Р

БГ УИ

n

M0

x y z   1, a b c a, b, c – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях Ox, Oy и Oz соответственно

x  x1

y  y1

z  z1

x2  x1 x3  x1

y2  y1 y3  y1

z 2  z1  0 z3  z1

Би бл ио

4

Ax  x0   B y  y0   C z  z0   0

n

z

а

3

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M 0 x0 ; y0 ; z0  перпендикулярно данному вектору n   A; B; C  Уравнение плоскости «в отрезках»

n   A; B; C  – вектор, перпендикулярный плоскости

т

2

Уравнение Ax  By  Cz  D  0 ,

ек

№ Вид уравнения 1 Общее уравнение плоскости

Таблица П.4.1 Рисунок

с b

x

y

a

M2 M3 M1

5. Виды уравнения прямой в пространстве

a  m; n; p  l

Р

M0

a  m; n; p  l

M 0 x0 ; y0 ; z0 

а

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки M1 x1; y1; z1  и M 2 x2 ; y2 ; z2 

a  m; n; p  – направляющий вектор; M 0 x0 ; y0 ; z0  – точка прямой, t   x  x1 y  y1 z  z1   x2  x1 y2  y1 z2  z1

Уравнения прямой как  A1 x  B1 y  C1 z  D1  0, линии пересечения двух  A x  B y  C z  D  0  2 2 2 2 плоскостей A1x  B1 y  C1z  D1  0 и A2 x  B2 y  C2 z  D2  0

Би бл ио

4

 x  x0  mt ,   y  y0  nt ,  z  z  pt , 0 

ек

3

Параметрические уравнения прямой

т

2

Уравнение x  x0 y  y0 z  z0   , m n p где a  m; n; p  – направляющий вектор прямой; M 0 x0 ; y0 ; z0  – точка прямой

БГ УИ

№ Вид уравнения 1 Канонические уравнения

Таблица П.5.1 Рисунок

l M2

M1

l

Q1 Q2

6. Графики основных элементарных функций Таблица П.6.1 № п/п 1

Функция/График

yx

№ п/п 2

y

Функция/График

y  x2 y

0

Р

x

3

y  x3

x

БГ УИ

0 4

y

0

y

1 x

y

0

x

y x

6

y

y3 x y

Би бл ио

т

5

ек

а

x

0

7

y  ax, a 1

0 x

x 8

y

y  ax, 0  a 1 y

1

0

1 x

0

x

y  log a x, a  1

10

y

y 1

1 x

0

12

y 1 0



x

–1 13

y  tg x





2

2



x

ек

0

y  arcsin x

Би бл ио

y 

т

15



y 1

 2



0

14

y



y  cos x 



x

 2

БГ УИ

y  sin x

y  ctg x

а

11

0

Р

9

Окончание табл. П.6.1 y  log a x, 0  a  1

16

–1

y





 2

 2

0



x

y  arccosx y



2

–1

0



1

 x

2

 2

x

–1

0

1

x

17

y  arctg x

y

18



y  arc ctg x y

2

0







x

2



0

x

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

2

7. Поверхности второго порядка Таблица П.7.1 № п/п

1

Название поверхности

Эллипсоид

Канонические уравнения

x2



y2



z2

Чертеж z

1

c

a2 b2 c2 a  0, b  0, c  0

b

Конус

БГ УИ

x

2

y

Р

a

x2 y2 z 2   0 a2 b2 c2 a  0, b  0, c  0

z

0

y

x2 y2 z 2   1 a2 b2 c2 a  0, b  0, c  0

z

т

Однополостный гиперболоид

Би бл ио

3

ек

а

x

4

Двуполостный гиперболоид

0 y

x

x2 y2 z 2    1 a2 b2 c2 a  0, b  0, c  0

z

0 y x

Продолжение табл. П.7.1 5

Эллиптический параболоид

2

2

x y   2z p q  p  0, q  0

z

0 y

Гиперболический параболоид

x2 y2   2z p q  p  0, q  0

БГ УИ

6

Р

x

z

0

x

x2

y2

z

ек

Эллиптический цилиндр



1

a2 b2 a  0, b  0

Би бл ио

т

7

а

y

8

Гиперболический цилиндр

x2

y x

y2

 1 a2 b2 a  0, b  0

z

y x

Окончание табл. П.7.1 9

Параболический цилиндр

x  2 py 2

 p  0

z

y

БГ УИ

Р

x

8. Таблица основных интегралов

Таблица П.8.1

  u du 

u  C ,   1  1

du  u  ln u  C

3

 sin udu   cosu  C

4

 cosudu  sin u  C

e

8

au  a du  ln a  C, a  0, a  1

du  e  C u

u

а

2

7

u

ек

1

 1

Би бл ио

10

5

 cos2 u  tg u  C

6

 sin 2 u   ctgu  C

du

1 u 1 u  arctg  C   arcctg  C a a a a

du



 u2  a2

т

9

 u2  a2

du

11



du

12



1 ua ln C, a  0 2a u  a

du

u u  arcsin  C   arccos  C , a  0 a a a2  u2 du u2  a

 ln u  u 2  a  C , a  0

9. Формулы, используемые при интегрировании 1. Свойство линейности:

  f x    g x dx    f x dx   g x dx , b

b

b

a

a

a

  f x    g x dx    f x dx   g x dx .





b

 f t t dt   f t dt    f x dx ,





a

(П.9.1)

Р

БГ УИ

2. Метод замены переменной (подстановки):  f t t dt   f t dt    f xdx , здесь x  t  ( dt   t dt );

(П.9.2)

b

b

b

 udv  uv   vdu . a

a

т

a

ек

а

здесь x  t ,   a,   b . Формулы (П.9.1) – (П.9.2) можно использовать как слева направо, так и справа налево. При использовании слева направо их называют формулами поднесения под знак дифференциала. 3. Формулы интегрирования по частям:  udv  uv   vdu ,

Би бл ио

4. Формулы понижения степени: 1  cos 2 x 1  cos 2 x , sin 2 x  . cos2 x  2 2 5. Формула синуса двойного угла: sin 2 x  2 sin x cos x . 6. Формула Ньютона – Лейбница: b



a

b

f  x dx  F x   F b   F a  , a

где F x  – любая первообразная непрерывной функции f  x  на интервале a; b; 7. Свойства интегралов от четной и нечетной функций по симметричному отрезку: 1) если f  x  – нечетная функция, интегрируемая по симметричному отрезку  a, a, то

a

 f x dx  0 ;

a

2) если f  x  – четная функция, интегрируемая по симметричному отрезку  a, a, то a

a

a

0

 f x dx  2 f x dx . 10. Приложения определенного интеграла

Р

Таблица П.10.1

y

БГ УИ

Площадь плоской фигуры

f x 

b

S   f  x dx a

S

a

b

ек

а

0

y

f x 

т

b

S    f  x   g  x dx

Би бл ио

a

S

g x  0

a

Объем тела вращения

b

V   f 2  x dx a

x

b

x

Окончание табл. П. 10.1

b





V   f 2  x   g 2  x  dx

БГ УИ

Р

a

Длина дуги кривой

b

l   1   f  x 2 dx

Би бл ио

т

ек

а

a

Би бл ио

т

ек

а

БГ УИ

Р

ЛИТЕРАТУРА 1. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2006. – 608 с. 2. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2005. – 288 с. 3. Демидович, Б. П. Краткий курс высшей математики : учеб. пособие для вузов / Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. – М. : Астрель, 2003. – 656 с. 4. Бугров, Я. С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М. : Наука, 1988. – 432 с. 5. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 616 с. 6. Жевняк, Р. М. Высшая математика : учеб. пособие для студентов втузов. В 5 ч. Ч. 1 / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. – Минск : Выш. шк., 1984. – 223 с. 7. Жевняк, Р. М. Высшая математика : учеб. пособие для студентов втузов. В 5 ч. Ч. 2 / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. – Минск : Выш. шк., 1985. – 223 с. 8. Высшая математика : учеб. пособие / Е. А. Ровба [и др.]. – Минск : Выш. шк., 2012. – 391 с. 9. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. В 2 т. Т. 2 / Н. С. Пискунов. – М. : Наука, 1985. – 560 с. 10. Задачи и упражнения по математическому анализу : учеб. пособие для втузов / Г. С. Бараненков [и др.] ; под ред. Б. П. Демидовича. – М. : Интегралпресс, 1997. – 416 с. 11. Данко, П. Е. Высшая математика в упражениях и задачах : учеб. пособие для втузов. В 2 ч. Ч. 1 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М. : Высш. шк., 1986. – 304 с. 12. Сборник задач по высшей математике: с контрольными работами. 1 курс / К. Н. Лунгу [и др.]. – М. : Айрис-пресс, 2003. – 576 с. 13. Гусак, А. А. Справочное пособие к решению задач: математический анализ и дифференциальные уравнения / А. А. Гусак. – Минск : ТетраСистемс, 1998. – 416 с. 14. Высшая математика: задачник : учеб. пособие / Е. А. Ровба [и др.]. – Минск : Выш. шк., 2012. – 319 с. 15. Воднев, В. Т. Основные математические формулы: справочник / В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович ; под ред. Ю. С. Богданова. – Минск : Выш. шк., 1988. – 269 с. 16. Гусак, А. А. Справочник по высшей математике / А. А. Гусак, Г. М. Гусак, Е. А. Бричикова. – Минск : ТетраСистемс, 2001. – 640 с.

Св. план 2015, резерв Учебное издание

БГ УИ

Р

Черняк Жанна Альбертовна Князюк Наталья Владимировна Фомичева Людмила Александровна и др.

КОМПЛЕКС ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ В двух частях Часть 1

Би бл ио

т

ек

а

ПОСОБИЕ

Редактор Е. И. Герман Компьютерная правка, оригинал-макет Е. Д. Степусь

Подписано в печать Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. Уч.-изд. л. 9,6. Тираж 200 экз. Заказ 271. Издатель и полиграфическое исполнение: учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники». Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий №1/238 от 24.03.2014, №2/113 от 07.04.2014, №3/615 от 07.04.2014. ЛП №02330/264 от 14.04.2014. 220013, Минск, П. Бровки, 6