Idea Transcript
Министсрсrао oбpaзoВIIIU Росснйсхой Федерации
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА JOI. И.М. ГУfi1СИНА
Фаlсуnьтеr А8томmпи и ~ТCXJIUII Кафедра Аяоматизации тexнo.noi"ИЧeCXXDt ьроасссо• и~
А.Ю. Мартывова
Derive for Windows в его примевевие
для решения различных задач.
Учебное пособие.
Москва 2003 г.
УДК681.322 А.Ю.Мартыноа "Derive реwенна различных задач". Губкина,
for Windows и ero применение дпа - М.; PrY нефrи и rаза им. И.М.
2003 r.
Данное учебное пособие посuщено изучению матемаrичсскоrо nакета Derive for Windows. Оrдельныс главы пособиа посuшены решению уравнений и систем уравнений и неравснств, операuюrм с многочленами, действнам с веК1'0рами и матрицами. выполнению
операций матемiП'Ичсскоrо анализа в среде пакета Derive. а та.кжс построению дв~ых и трехмерных rрафюсов н их испоm.эова нию.
Пособие предназначено дш1 студентов дневной формы обучс
нна сnециальности21.02.00. Учебное пособие подrоrоалсно на кафе.цре ((АвтоматизаwtJI ТСХНОЛОГIРIССIСНХ 11р0ЦССС08 И DpOIOaOACТI». Рецензенты:
проф. каф. АСУ д.т. и. А.И. Ермолаев доц. каф.
Am л.д. ЛознНСКIIй
@ РГУ нефrn и газа им. И.М. Губкина,
2003
г.
Введение. Derive • 31'0 naJCe1' CИMВOJIWIWX преобрuованиА. nерва 11CpCU ltO'rOpOI'O IIW· шnа а сает в 1988 году. С момента C03AIUIИ8 его yииiWIWIOA особсииостwо uu-
~ сnособиос:п. вwnOIIIIJIТЬ не ТОJIЫСО ~р~~фметичос:хне ......-nенма, но и СJЮЖ· HWC CHMВOJJWIUe nреобраэованиа nри IOUUUWIWIWX 8DD11p11111UX tребоеавнп. l1ep8u версна Derive for WЬ.dows - Derive 4.8 ПOIМIIICio а 1996 ro.w,y. Pu-
paбcrrtulкoм DeriYe DUe'I'CII a:IIIIJ8IID Soft Wвrehoule. lnc. Поседвм на сеrод111 версна -Dwive 5.05 В1о1П)'1ЦС11& в 2001 году, прuа на нее nрмна•....,. Tex.u In-
struments. lnc. В cpeJte II8DI1I
Derive вw мо.ете ВWП011118!1о 'r8De оаер8Ц1111 Dlt А11фферен 11111erpUoa (в том 'IIICIIC и несобствемнuх). С)'ММ111Х8-
цироВIUIJIС. ВW'IIICIICIQie
нне, IIU'I1Ie llpUCIIOВ. оnерации с lolll'tpiiЦIPUI реааме YJIIIIIIeвd
•
11Ср8ВС111СТВ,
Построевне 1"р8фво8. реааме АИффереiiца!IИUХ ypa...-t И Т-А.
Г11888
1. Н8'18110 p8C5crrы с П81С8'1'011 Derlve. 1. Depвoиa~~&~~ltllwe C8eUIIIUI·
11oc:.ne 38II)'CD Derive на :мrране n~ I"JIUIIOC окно Derive: ..... -
a•u•
. . . . . . . . . . . . . . CjliiDoollul . . . . . . . . . . _ _ ....
е~-•
puc.l. В
...
А t
ГJIUIIOC ODIO DeriYC
nepeol строке 11W видите 118388НИС nporp8IOIIIOI"O ~ rtlll окиа 8
фаАаа. нaxOAIIщeroc:t в окне ""*Уfо~СНТL
....
Замечание. Окна в Derive мoryr бwn; -rpex тиnов:
1) AlgeЬra - мrебранческое охио (заrру.аетс:s по умолчанию). Эrо окно может содерDТЬ только ~. формулы, резул~отатw, а тatare ком
ментарии. Все они pacrtOJI8J'aiOТCa сверху вниз и иумеру1ОТСS По порцху.
2) 2D-plot- сжио даумерноrо rрафиа. 3) ЗD-plot- ОIСНО трехмерноrо rpaфИJCL Вторu сверху
Нив
-
·
·
crpon содержит rлаввое ~tевю., .
nаиель нистру14СНТОВ
Derivc,
ICНOI1JC:II lt01'0pOI .IIYбoPym осиовиwе
хомаидw rnaaиoro меюо. Подаеда курСор мыши 11: HкrepecylOЩel вас 1010nu, вw
увидите •рлычох, nмс:IWОщнА. что она де.uет; ее ~' nOJq)Oбиoe описание можно наАтн в crpoa сообщений. (См. IUI*C).. . В oii:Иe д011:Умент& Derive будет 38П11СЫ118'11t awpnren•, xoropwe он .I(QIDdJI nреобреэовm. или 8WЧIICJDI1'It (~). ~ 011Ср1М Cll86anc8 DOplдkO вwм номером (.иauroti}, рвспоnОJЕеRИОй слева н оrдепенноА 31181t0N ":"
ar
опе
ранда.
Под oii:ROМ доlt}'МСнта иаходите8 строка, ра:щеnеииu на l1Jje части:
спева • строка ccмal••d, rде IICIQIIIIOIC8 cooб~~~e~tn н эапросы
•
Dcrive;
спрuа • строка COCТOII•••· В инжисй части ЭltpiUI& вw увидите строку редаlmlроаанв• (см. а. 2 • 1).
•
Doaarpod ~ ......... сп~. nepn.irИS~ НlfX содержит бухвw rpeчeaoro апфааита (JaUt строчные, тц и nрописиые), а вТорой toarrewaтИЧCCDie
c10180J1W,
матсмаrrичес&Ие оnереторы и 3НUИ с:ра:виенu (их nе
речеиь ВW наJ1дете В ~ J). Подведа хурсор МЫШИ Jt ОДНОЙ ИЗ ICROПOIC СПИ• сD-'1'8б.nицы вw у1111Д111е на .~JШЫЧ~tе дублирующую ее JС:ОМбинацюо мавиш, а в
crpoxe сообщений -ее 01JИС811ИС.
l.J. Лоппса Работы с Derive. Решение эадач в
Derive
чре311ЫЧаАно детатDнровано. Посnедоаатеn~оиостъ
операциА сnеду10щu:
J.
Вы записываете в строке редаJСТНрованц математическое выражение
(арифметический пример, формулу, фунJСЦИю, матрицу или вехтор).
2. Щеnч~:ом
по одноА из JC:Нonox, распоnовиных слева
вани• (см. а.2.1) ипи нажатием мавиwи
(Eater]
ar строки редцтиро
nереводите это вырuсенне в
окно документа. В OII:Иe документа, в светsщема пр•моуrол~онихе, IIODJI8CТCJI оnеранд. с:одержащнА сос:mm:твуJОщее математическое вwраженне в традиi.UIОН воА форме 31ПИСИ.
3. Выбиреете
нужную I:ОМанду меню, тем самым сообщu
Derive, что нужно
C:ДCJIImo С: данНЫIII onepc~~W~М: ВWIUICIIнn.. ·IIOCТpOИТit rрефих, наАти
ICopeiiL
урu
нснц, ll3nlo npeдcJI 11 Т.Д. (8 некоторых CJI)"'UX иеобходимос:ть ВWПОJIИСИИ. 'l'pl'l1ei'O .-&ства orneдller -а.. 11.2 .1).
2
2. Прос'nlшие аычиuенна.
2. 1. Как эаписать математичеgое выражение в Dcrive. Дц uода вwражениl ВCnom.:J)'IOICJI .II8ТIIIICUI и rpeчeciCIII uфuнт; арифо
Ne'111'1eCDie опереторы эаnис~ тр1Д111U101111Ы образом (см. ~ 1); не· noJI.Ъ3)'e1'Ca1p8JUIЦИOHНU эаnис• ЭJiеМеНТ8рНWХ фунхциА (c:м.llttl6Jnщы
дeiCТiиteiiWIWX чисея, nк m> общеnриurо
•
311 4). Дu
кнформаnnсс. QeJJU и дробнu
часть раздемJОТСj( не эаппоl, а тouol.
Табтща
1. Освоавwе арв...ет~~'lесае оаераторw, Oaepii'I'Opw ера ...... • JIIII'RМ8ТJI'Iecae C8МIIOAW. RPIIJИIIIIellwe • Derive. о
•.._,_ схобки
кuдратные скоба (IICIIOJIUyiCm:S дм
· - IU'I8IIМW о
()
IJ
[)
{}
(}
•+• •·v
u+v
8WЧН1'1U1Ие дeJieJIJie
8/У
всnведеиие а стеnен•
8*V 8"'v
38ПИСИ
и
фиrурнwе сkОбJСИ (HCIJ0&3YIOI'" да заnиси мио:астаj СJIОЖСние
Axopen
SQRТ(a)
•%
IJJIIOC-_~
puao
~·
+-•
.,..·-· ••
U•V
u/v U•Y
u" -4u u% ±u u•v u-v uv
IIJUI рано
8-У
u~v
ЛOf'II'IМCICIIA оnератор «ИJ1И»
pORq
pvq
pANDq
рлq
мен•ше
(ДИ3'ЫОНIЩИ.I)
.яоrическиА 011Ср8Т0р •И» (ХОИ'WОИХ· циа_l
JIOf'N'IeCDII norнчecatA
~цанu
NОТр
....~
IINDIНQQIUI
piМI'q
P-+!t
U\V
р83110СТ1о МН011СК'В
U\V
~
USUВSEТV
u~v
об1.едииенне М110ЖССТ8
UUNIONV
UuV
2.2. Вычисление значения вьшажения. Дл1 того, чтобы вычислитъ 3начение введенноrо ранее вwрuсениа, С11)'1К8Т
две комаидw nодменю Simplify rDВиoro ме100 Derive: 8uic (-re же дсАстаиа .ы nолНJiет кнопка ~ с nанспи ИИС1Р)'МС111'08) и Appro:li88te (те же деАстаИI вw
nолНJiет JCНona """ с nаиели IIJIC1PYIIeиtOВ). Выделим onepiUIA.
дой
Sialplify
mrcpwl надо 8WЧИСRИ'11о. а xm~ 110tD0J1JoЗYe11 комаи.:
-+ Approxilute.
App:~toxi8ate
11ослс
ZllpJ:88•:i.oa.
:noro
на :исраие nооитса дН&Jiоrовое OICJIO
В 381'0110811е эroro ,IUWIOI'OIIOI'O
oua aw
)'IIIWiтc
номер тоrо onepцu. на хотором в J1,1JU1W1 момент стоит курсор. Нuсаа [Eater] или щелкнув по ICJIODe "Appro:liaate" 8 эrом окне aw ПOJI)'ЧIItC операиА ре:sупьтат, а В строке COC1'0UIII будет УD38ИО ape8Q счета. Тц ДU Операнда #1 (еспи все бwno сделано Пpi8RJIWIO), вw nолучите: tt: t.М.ta?
Применкв к операиду тaт- операид 110:
if8 команду Si•plif'y -+ Approxi8ate вы ПОJI)'ЧИТС pe:Jy.JUr-
11в:
&.m.",_tsz Чтобы И3МСИIIТЪ КОJiичtСПО 3Н&ЧAUUIX цифр пос:ае 38МТ01 в DOa)"'ll88ooWX оr
ветах, введите нужное чиСJIО App:ltoxi8ate 8xpl:888iOD.
•
поле
Digits of preclsian JUWIOl'080I'O
Если вместо ранее расс:мотренноА КОМ8И.АW
окна
Si•plify -+ ApproxЬ..te будете
ИСПОЛЬ3081П'1t хомаиду Si8plitr-+ 8aic: (И ecJIII сохраиеиw OIЩIIИ, ~ по умолчанию), то вместо 19 и 110 вu ооаучите, COO'I'IICТC1'8e, C8Д)'IOЩIIC ре3уnьтатw:
--····(_!!_) -,.., ~(-;-) 1
111:
112:
18
1•4
'
7
18
LN(S8)
Как видите, в эrow случае (то ecn, ПОJС8 )'СТ81101111СН paciUI Decl8re -+ Si•plificatioa Settillp -+ Pncilioll Mode -+ Euct) IIW'IIICJieiiU nрои3110.Ц1'Са в рациона!IЬИЫХ чиспах.
2.3. Сообшенм об оwибщ. Если Derive не может IIWI10JIIUI11o ~ ~·uuo тем IIJIИ инwм nричинам (условие 38П11С8Н0 иекорраnио IWI »на эцача. npe8WIIWOIIIU
no
103Можиости Derive). то он
i
ачес:тве оrвета nросто ..-ормчно восарсмnее,дет •
ПIIСЬ onepatЦL Вnрочем, WOJICCТ ano6pam. 8 ODep811.11C-pCJ)JIIt1'1'1e nycтwe ИЛII C:ICoбKII С: 80Пpoc:кreJIWIWM 3НUОМ внутри.
В тобом случее cro peax&UUI.nuoкичнa и .ааиатна.
6
CIC06u
2.4. Управnение J'9IIНOCDdO IЫЧ1ICJICНJIЙ. Derive П03ВOJUie't ПроИ3ВОдитJ. BWЧIICJICИIЦ С: JUOбoR ТОЧИОС:ТWО. Дц тоrо, чтобы установить Н)'*иое чис:яо знахов пос:ле 38ППОА, иc:IIOJia.зyltтe ОDЦИIО:
Declare ..". Si•plilkadoa Settiвp..". Precilioa Dipta. Ус:t81101111Те 1'0'IJIOC11, lS :sиа чащих цифр, а 38'mll 8II08Io ВWЧIIc:mrre значение оnеранда #11.
2.S.ОпСJ)8ПИИ с КОМПDСfСННМИ IJJICJJIМIL
Derive может JJpOI080ДJttloo аwчис.~~енu
Dlt с деllс:'nитеm.вwмн, тu: и с: ком
мекснWJ\Iи чиc:JIUOI. Миимаа единица обсmlачаетса в среАе nueтa
Derive Dlt i. а
AJIA ТОfО, чтобы uес:ти ее ИЦО В11еСТИ 1# i (см. JIICI&urol/) ИDI awбJIIin :пот CIDOOII из сnис:а в НJOI[JfeJII Dp8110111 ynry врана. Pacc:мO'I'pНJII боnее подробно, DltИJII обр830111 пuет Derive l1pOIDIICWn' ВW'IJIC Jieинa с КONQJieltCHWJ\111 чнс:паwи.
IIRJ:uшl. Чтобы nepeмнoJDmo дав ICOМII.IIeкcиwx 'DICJI8, 38IDIIUII1e в строке рцu· тиро88ИИ.1:
(3 - ti)* (2 + 4 ti) 1131
Щеnиуа по ICИomce Allllюr а4 sь.рuь, aw noaywune payJDinrr: (3- t)·(l • 4·1)
18 • 18·1
1141
NHИJIIU часть
z
коммекс:иое с:опрпкеииое
z
РНАS
z
Особоrо реесмотрена 38СII)'*Ивает Еоманда PНASE(z). Расс:мепрнм ее дdt CТIIIIe на прос:1ОМ nримере:
8151
I'IIUI(x • S·•> ( х ) - .•·,;.,·I.;.,I..;:;CII(;...;.:;.;•>::.... -818112 •
Тахим С1бр11эоМ. Derive ВW'IИCJIJieт фазу в ИИ1ер8811е от -х 1IP х. Замечание
1. Если ных
ПOJIY'ICIIHЫe .ами операн.дw awr.IIЦIТ не тu:, Dlt в реесмотреи
awwe nрнмерах. уС1'8Н0811Те раим luct (с:м.n.2 .2).
7
Замечание
2. Сле.цует 01'МСТИТ~о, Ч1'О
nри вwчис:левии корна из xoмnnexcнoro ЧИС·J
ла вы можете nолучить не тот резу.пьтат, коrорый oJКIIДae'l'e. Поас· ним это иа c:.neд)'IOIЦeM nримере. Возаедем комnпексное чимо р
•
uадрат, а затем ВWЧИСJIИМ uaдpaтuwJI хореЮ. Н3 псшучениоrо КОМ·
мексноrо реэу.пьтата. Элемеиrариu поnоса nодсхазыuет, чrо мы дOIIЖJiw П0J1)"111ТЬ чимо р. Посмотрим. Ч1'О произойдет на самом деае:
81а
(-e.stsэ-м
•
2
1·1.237'11>
-1.~
llt .t(-1.2663iМ•
13t Mt
- t.a?S6t2844·1
- t.2?56tп44·1) 1.515343tИt
-
1.23~·1
Как IIН,IUIТe, знак nри мнимой чаСти иэмеНИJlса на противоnОIIОаt· ныА. Эrо происходит 10-эа
roro, Ч1'О nри вwчис:леннп Derive nред
ставuет ltOМIUICICCHWC ЧИСJ18 8 ПOU3a're&ROII форме.
этом хоман.цу PНASE(z), хоторu.
xu
11CJ10JUt3YS nри бwпо Clt838IIO вwше, аwчж:
.uет фазу 811111ерВ11118 от -1t до 1t.
Замечание
3. При 8UТIIII кора а orpицarem.иoro ипи JСоммехсноrо чис:па аид ПOJJY'ICIIROI"O реэу..пьтатв 3UИС.ИТ or roro, IWCU аwбрена 11ет111о (см. ra.6, a.l).
2.6. Цреобра19вание символьных &ЬJРОИний. избавпает нас or иообходимости вручиую noдC1'88Jm'l. из формулы в формулу и прuодить nодобные члены. По~СUСем на nримерах. ки он это делает. Мы будем рабоrаrь с дву1d командами nодмеНJО Si1aplily: VariaЫe SaЬttitatioa
Derive
и
Espalld. СО3ДI\Ате в охие документа СJIСдуiОЩИЙ операнд:
2
117: (а • 11 • с) Чrобw ресхрыть записанное в этом операнде ~~~о~ре.ение надо Вlol3811mo команду Siaplily-+Expalld, JIOCJie чеfО 8W увид11'1"С днаJ101'080С ODIO 8xpand 8apJ:88aioa, rде из поu Expansion Variables вы МОJIСете выбрать одну ипи ие сКОJtьхо nеременнwх. по которым будет осу~ раsпожение (дu этоrо дост;rrочRО щennyn. мwшwо
no нужно~ nеременноА, повторный щепчох O'I'NCU·
ет выбор). Упорцочu операнд #17 по nеременной с, ПOJI)"''OМ: 2 2 2 811s а + &•(2·• + l·c) + • + 2·•·с + с
Теперь уnорцочим исходное выражение относитеаьно nеремеииоR с: ltt:
с
2
2
• с·(2·а • 2·•> • а
• 2·•·• • •
2
Еми в дналоrовом охие txpaad ZXp~aaioa вы выберете сраэу все nеремен нwе, в окне дохумента nм8111CJ1 операнд-резу.пьтат вида:
1:11:
РассмОiрИN далее, кu а
Derivc
npoiiЗIIO,tUIТCII noдc1'811011D. Запишите а окне
·докуwсиrа СJiедующие даа операнда:
1
111:
•
•
112:
••
1
х
••••
о~,
Переведите курсор на операнд Simplify-+SaЬstitute for-+VariaЬies,
#21, а nOCJie чеrо
затем выэоаите IWIWIJIY аы уандиrе дiWIOroaoe сжво
SuЬati tute
поле
for variaЫea. Вwберите а 110118 V8'1ables перемениу10 х, а а New Value 118еДИ'1'0 122 в иaaaum: (EaterJ, IIOCIIO чего а оае документа пoa
IIJI'I'CS
операнд:
1 1123:
•
• (d •
"•>1 • •· Wa :по llllpDOIIIIO с nомощwо 1t01oW1ДW у) 8W DOII)"'OТe ClleJIYIOIЦIII pe:I)'JUIIWI':
Sialplify-+Expaad, (по nеременноl
" • "•·в режиме 10М11Ш. Эamnwrre • с:троЕе uo.u:
а:•З + O.S*Ii и иuмите [Eater), nос:пе чеrо а ОJСНе ДОit)'Мента IIOUII'I'CII СJ1е,ЦУ101Щ11 Olle)JIЩA: 131 ••• ~ • 8.5·1
2) В раиме меню. Вwэоаите комаиду Dedare--+VariaЬie Valae. Поuиаwее nocne :noro диааоrовое окно Declan Vu:t.aЬle Value 1'IIOR со.аержнт сnисок-tабJьщу ороnиснuх • C1'pO'UIWX 6yD rреческоrо uфuита и даа пои: 1.VariaЫe Name- цесr. надо )'К8:J8'n .... c:m••'C"'O nеременноl. В нашем
с:а
nрнмере: а;
1. V81iable VaJue чае: З + 0.5*1i. Если эатем
84:
а
цесr. надо uести
3118'1eue IWIIC'1'1IJIТW, т.е. а данном CJI)'·
aw IWDieтe [Eater], а охне документа DOUIIТCI. операнд:
:• 3 + 8.S·t
Еспи фуиiЩИJ( по.лuоаате.u должна вwчн~ с nомощwо p83JIН'IИWX ана JIИТНЧес:IQIХ awputeниA на paDН'IИOW расстоаиин ar начuа координат:
[
М. Ш
\ziR
y(t)•/1(1) y(t)•P(t)
ее можио построить спеду10щим образом (cм.lfrQ&IIIO' 4):
y(z) :• f1(z)·chi(-R,tzi,R)
+ f2(z)·at8p(-R+tzl)
Подобнu форма эаписи удобна JI.IIA npeдcraa.ne~~U спецфункцнА, кoropwe nри мaJIWX по модупю 3118чеииах арrумента аычнспааоrса по 0'1'ре3КУ степениого
рца, а nри болr.wнх по моду./110
3118'1011UX арrумента - no IICCИМJ11'01'II'IeCIC ...
раженню.
15
3.4. Вычисление значений функции для различных численных значений арrумешов и параметров. Лусn. дан оnеранд:
15•
IIМ(•·•
2
• с) • ,
Трсбуетс:А ВЫЧИСJIИТJо
+ S
ero :JНаченис nри 3ИачснИАХ nеремеииwх: х•1.7
у•1.6
и при значениах nараметров:
с•О.Т Собс:тJJсино, разnичие персменных и nараметров в коитексте этой задачи чисто условно.
Эrу задачу wo:sиo pcwиn. да)"d сnособами:
1.
В режиме мешо. Вwэоваm команду
Siaplify-+Variable S•Ьstitatioa и эа IICIIom.sylte хо
даАтс 3Иачениа х, у, Ь и с. Дu DOJI)"'811ИJJ чиспениоrо ре:sуnтата ма.нду Approxi. .te.
2. В режиме 10М8JUL Виачапе в сrроке ввода nocneдoaaтeлwro задайrе значе ННJI nepeмcиiiiiX и паремеtроВ (см. а. 3. 3). а затем поДIIСДНТе курсор а: nrrowy операнду н вwзовите 1С0М8QУ Approxi818te.
3.5. Вычиспсние последовательности значениа фушщии при изменении арrумента с фиксироннннм шаrом.
/1)ul. llbl'IIICJieiiQ
ПQCJieAORt'CJtWIOCТИ значений фуnции с фиkеироваииым
waroм служит оператор VECI'OR, который заnисываетса следу10щим образом: VECТOR (f(x), х, m, n, s) rдех- перемеииu, ~от"' до
11 с waroм s.
:noro оператора на спедующих прнмерах. Вы рц значений фуиции sht(Jt). Д111 :noro запиwем в окно документа сле
ЛроИJIJIIОСТрируем деlсrвие
числим
дуiОЩИА операнд: "' nct08(CIМ(x). •·
e.st.
примеииа х нему коман.цу
f..4S.
t.s)
ApprosiJDate, вы nопучите ре:sуm.тат в JНДС следующе
го оnеранда:
11'1:
.,.. . .7714U. 8.МS8fl5633. -8.3681..."... .... fS681f?S41)
Toro же результата можно достноu. и в режиме ме1110- вызвав дм 81о1Деаеи Calni...-.Vector. Диалоговое окно CalculU8 Vector
иоrо операнда команду
содержит четыре пом. Заnолним их дм нашего nрнмера:
VarlaЬie: х
Starting Value: 0.51 Etк:ling Value: 6.45
Step Size: 1.5 нuсав в этом ..AIIMOI овом окне на кнопху "Approx1aate"", -ранда. ПОJIНОСТЫО ПOIП'Op8)UUIX Onepaндlol tf6 И #7.
16
aw tкm) оnм:
.-а
one·
Шаr может быть и отрицате.пьным, что можно Вll,ll.en. на Clleд.ylQЩCN примере.
1. В режиме JСОМакд. Записав соответствующий ..Author and Approximate" aw получкrе: VIICtOI(IIМ(x). х.
81
?.,•. 1.91. -1.3)
(lt.t7?1ti1SD.
lf•
2. В
операид к иажu жиоmсу
8.15671И13U8. -8.НИ117?5S .....ИJ31728.8. 8,И504tiUJ
режиме МСНIО· Запишите операнд. содеращиl фувхцюо
aln(x) и
111о130-
Calcalua-+ Vector. Заnопните nou Сllе,Ц)'IОЩИМ обр83ом: Variable: х Starting Value: 7.64 Ending Value: 1.92 Step Size: -1.3 нажав в этом: диалоговом: окне ка кнопку "Appro:daaate", aw nопучите два оnе ранда, ПOJIKOC'IЪIO ПОВ'IОJШОЩНХ оnеранды #8 И 19. вите дц него I(()Манду
3.6. Вычисление значений функинк двух JgСМСнных «x.vJ на цр•моуrольной сетке. Дп• решеННА этой задачи можно нсnОJJЬЗОватt. оnератор VECТOR следую щим: образом. Пусть сета эиачениА перемеииwх имеет 811,11.: Х И3МеК8СТСА ОТ Х • 11 ДОХ • Ь С Ш81'0М /1 4 С шaroN S
у И3Мекаетса ОТ у • С ДО у • Тогда спе.цует С0С'lа11ИТЬ оnеранд:
VECТOR (VECTOR (f(x,y). х, а, Ь, h). у, С. d. а) Derive ВlоiЧИСJIИТ требуемые sиачеННА фунхции по команде Silap6fy-+Вasie или
SiiDplify -+ Approxi•ate и sапишет их в форме ма1рицы. ~.Пусть
лчJ
-.r, •·J,ь•-t, 11 -1.s c•J,d•J,s•l
111: UICТOI(UICtOI(x'. х. 1. 4. 1.5).
»• 1. 3. 1)
Введите оnеранд: Примекив к нему команду
ApproxiiDate nопучим реsультат- ма'lрИ
цу сле.цующего вида:
1~ ,:~
111:
1: 1 15.,25 ,.
1
В качестве вtорОГО nримера вычислите sначеННА этоА фунtсЦИИ в peJDINC меню.
17
3.7. Приближение данных методом наименьших квадраrов. ФунКQИ8 FП fiCXIIIO.UCТ иайrи значеиИJI параwетроа, пниеlно аходащих а фунiЩИIО одвоl И.11И нeatOIIЫCJIX персменных по 38ДIUUIIoU( ИCnepимetmLIIWIWМ
.-.ниwм с: IICIJC)JIIo30В8 метода наименWШIХ оадратов. Арrуwентом фунхцин
nт вмета матрица, nepвu с:трока хотороА coдep:nr имена перемениwх. ~ дащих в npнбJunraloщyJo фунiЩИIО н саму llрИблиDющую фyJUauuo (I10CIIeJUIИI эnемент nepвol crpoa). а OC1'8JIWtWe с:трсжи- :же:~ да11И1о1е., причем стопбец эначеииА пераениоА рес1101181'8СТС8 nод ее именем, а 3lla'leiiИJI ф)'НХЦIIн H8XOДjl'la 8 IIOC.IICJUieJI с:тоllбце.
Замечание. Процедура C03IUIIIИJ11181p11ЦW • Прнмw
2
•
•.• • ••••
-t.li flt
8121
Derive оnисана •
Nr. 4 , а .1. 2.
1. Пусn. .... JDIIeCТИW S значений перемеинwх и S COOТIIC1CТII)'IЩИX им эиаченнА фунJСЦИи и JЫ хотите npнблiDII'no :ny 3UIICIINOc:11o с
•
8.5
-1.1
a.s
-s.s
2
-t.3
3
• MHOI"O'IIICИOМ 8rОрОГО nорцха. eo:.дaitte с.uеду10Щ111 операнд:
ПрИNСНИIIк нему ltоманду Approxi8aate ВWIJOIIY'Iвre сведу10Щ111 pe:sym;raт: . 2 . 8131 t.at87t&77·x - t.SDtJ6SQ3,x - t.li88tМtli8 Кроме тоrо, с nомощwо фунхцни FП можно иа11tн napawerpw фуuции не сколlоltИх переменнwх (1 7roN с:пучас добав.uетсs по оАИому сrоабцу эиачениА дпа каждоА переменноii).
Пример 2. Рассмотрим пример:
ас
JJ
-3.5
4.5
5
3.5
5.1
-4
-5
1.3
2.75 -2.3 814:
•• ,
а·х •
lt•JJ •
2.4
с
1
4.2
С nомощwо КОМ8НДW Approxilaate вw nOJI)'ЧIIТe pe:syatar: 815&
8.153644'1141S •••
8.357'Нt2652 •••
3.3Q7t1113
Перемеинwе мoryr входить в nриближающую фунiСЦИIО и НСJiинеАно.
18
Цример
3. Рассмотрим nримср: t
а'' l'fl
•
-3
·•tМI(t
2
> • lt·COI 8.72
-a.s
s.e3
-а
3.75
1
1
ПpihiCIIII8 1t ~ onepuдy
X0N811AY Approxi. .te aw 11011)"1И1е
~ paym•raт:
1171
Итоrовwе ynpucнeнu.
1. Найти дм JtONМeJtcнoro ЧИС118 4.1J+ZI а) дeActaитe.IIJ.НYJO '111СТ1о,
6) MНIIN)'IO Ч11СТ1о,
•) хомnпехсиое сопрасеииое, z)модуm.,
д)фау.
2. Pacкpwn. ~ (~/. YQOpJiдOIUI8 cro о)nоnсременноl.,
6) по nеремеино1" •) по переменно1 t:.
3. По~ •IIWp8JmlltO (ll+t+t:i JtМeC10 t 8WJI8*eниe ..Jx и привести nодобные Cll8l'8eJIIIole,
4. Соодаlте фyнltЦIUO R(ж)-\{'x+l-1) и awчнcmrre ее 1наченu nри x•2.J н хс3.8.
5. Вwчиспнте 1наченu фуиJЩИи R(x) nри Н1Меиении хот 0.7 до 4.28 с waroм 0.8. 6. СоэдаАте фун1tЦ1110 S(x), ltOIOpU Dр111111М11еТ 3118'1еиие S(~ при -2~ · и S(x)-t при Jxf>2.
7. AпiiJIOitCIDUIPYI набор э~
IIТ8JIWIIoiX ДIIUIWX:
1.J
-2.0
1.0 2.6 3.4 4.8
-1.1 0.3 1.5
2.6 4.0 7.3
.н
6.0 nолиномом IIТOpOI"', четвертоrо н
nnoro 110р1дХ08. 19
Глава
2. Решение уравнений и систем уравнений.
1. Решение уравнений
и неравенств.
Дп• реwеии• уравнениА и нераверств относительно искоторой nеременной
или дn• поиска нулей выдепенноrо выраженu служат команды подменю
Solve.
Первый пункт этого подменю - Solve-+Exprasioa. После выэова этой команды вы увидите диаnоrовое окно Solve ZXp:r:eaaion. В DOJJe Solution VariaЬies указываете• има nеременноА, относиtе~~Ы~о JCaropoй иадо искать решение. Если выделеиное выражение не содержкт знuов равенства или иеравенства. т.е. не ав
л•етс• отношением, результатом nрименениа к нему команды Solve-+Exprasioa будут ero нули (те эиачениа перемеиноl, np~ JCafOPЫX оно обращаета в ноль). В разделе Solution Method можно выбрать один иэ трех вариантов: Algebraically - бylJY'f иcno.JIW)IIa"l'bl:a аnrебраическне методы решениа; Numвrically
Either
-
будут иcnOJtЬЭOu:n.ca числеиные методы решениа;
-будут иcnOJIW)IIIIТJaCA апrебраическне методы решено, а затем. если потребуете•, ЧИСJIСИИЫе.
Замечание. В зависимости от тоrо, какой вариант установлеи в пункте
Simplifleation Settiap.-+Precisioa Mode
Dec:lare-+
одни иэ этих вариантов мо
жет быть иедостуnеи.
В разделе Solution
Domain вы можете выбрать: Complex - Derive будет искать все решеииа
{ак деАствитепьные. так и
ICOМПJieltCНЫC);
Real - Derive будет искать только .цеАствin:еnьиые решениа; Вounds - результат - одно решение, иахоДIIщееса а эацаннЬIХ
пределах
(достуnно, только если выбран метод Nuтetica/ly) .
В разделе Solution Вounds эадаютса границы интервала поиска решениа: Upper - верхнu;
Lower -
JUQQUIII.
Задав режим и облас11о поисn корней, иажмкте на киоmсу "Solve" в этом диаnоrовом окне, чтобы получкть ответ. Если же вы щепкикте по кнопке "О К", то получите операнд вида:
SOLVE (выражение, nеремеиН8Я, обnасть nоиска pet118НIIR) Замечание. Щелкнув по kНОпке "Solve Expression" с паиели иисtрументов или нажав одновременно окно
(CtriJ+lSIIift)+E Solve &xpnaai.on.
вы ТIIICЖe поnадете в диалоrовое
1.1. Решение уравненив и неивенm с использованием алгебj)аических методов. Дп• реwеииа уравнений н неравснств можно таасе ис:nольэо.ать IСТрОСИН)'10 функцию SOLVE или SOLUТIONS. Эrн фуисцки ОТJ1нчааотса друг crr друга тол~око формоА nредс:тавJ~еН~Ц реэуа~отатов: фунiСЦIIа SOLVE эаnнсwuет наАдеи ные решениа в ctpOЧJCY, p8UCJWI их 3Н8Чамн
20
'V" (nоrнчеекое ..ИЛИ"),
а раул1r-
тат примененн• функции SOLUТIONS
-
11е1СТ0р решений. Записываютс:. эти
фунхцни спедуiОЩИМ образом:
SOLVE (u(x), Х) SOLUТIONS (u(X), х) rде u(x) -уравнение ипи неравенс:тво, xaropoe надо peiiDIТЬ, Х - перемеииu, orнocитeJJWto хотороА надо ИC1Cirn решение. Bw таасе можете за.дать третий арrуМеит - ICJIIO'IeiiOe cnoao Real, '11'0 означает, '11'0 оrвет доткеи содерать тот.хо деАствитеm.иwе peweнu.
PacciiiOtpНN несхопысо nримеров peweиu урuнеин1 и иерuенста. Дu спе дующнх
двух
nримеров
вцо
)'СТ8110J1НТ1о
раим
Deda.........,
SЬ.plif"acadoa
Settiap-+Pndliи Мode-+Euct.
1]рнме,v 1. На1дем хорн11 урuненu~ •ж 11:
3
х
•
х
1) в рgине неиJО. Введите onepeи.q: и вwэовнте дu него 1С01о1а1Щ)' Solve-+ExpralioL Наав в по.вившемсs диаiiОГОаом окне на ICIIOIUt)' '"SoiYe" ВWIIOJI)"'НТe сnедующиА ре3ультат: а:
3 IOI.II(x •
х. х) х
13:
• -1 ..
х
... "
х
••
2) в режиме КОМIНд. Дu зтоrо надо 3811ИСаТ1t с:ооtВеiСIВующиl оnераид и щетснуn. по 1С110111Се ....4..". ре3уm.тате вw IJOJl)"UUТe даа
tl2 н tз. Вw SOLtmONS: 14: 15:
3 ICILitl-(x •
таае
111111 ~IID II8D1'Ь (Ctri)+(Eater). В oaepu.u, 1IOJIIIOCТWO DOВI'OpD>ЩIIe операидw
можете
~
встроеииуtо
фуи1Щ1110
х. х)
[8.... -11
l]рнмер 2. Решим иерuе11С'П0 -Z-x+ 3'1 S1 0П1С1С11ТеJ1Ы10 nеременно11 х. 1) в рgиме МС!НJО. Введите оnеревд:
161
-:Z·x•3·»1'1
н вwэовнте JUUI иеrо Хоман.А)' Solve-+Espreaioa. В
DOJJe
Solution
VariaЬies вwдeJUIТe .ж-, а в IIOJie Solulion МethOd auбepne вариант AlgeЬraically. Наu на JC11011XY '"Soh'e" .. II08)"'R'''e CJ~eДy~DUU~I ре3УJUо тат:
.t
21 а ре!1ИМ! mм=ш. Да :noro -...о 3IIIIIC8n cooraerc18)ЮIQIII OIJepeн,llll 101.11(- l·x • 3·• 1 '1.
х)
,., - '1
xl-;.....-
1
21
щелкнуn. по кноnке "'Alllllw tuиl Silttplify" ИJIH нucm. (Ctri)+(Eatcr). В результате вы nопучите те же два операнда. что и а nреА1Ц)'ЩС81 CJIYIIIe. Если
Derive
'
не может наАти решение данноrо уравнено ИJIИ иерuенстаа в
1вном виде, результатом будет одна ИJIИ более нeiiiiЫX 3UIICIDКIC'IeR - ураанениl ми иеравеиств.
Пример 3. Решим уравнение~ • J" Если установлен режим Dedare-.Si•pUficatioa Settiap-.Pndlielt Mocle-+ Euet, то и в ~е коман.А и nри иcn0JIЬ3088JUIИ Solve-+Exprellioa auiiOJI)'Читe один и тот же резуп•nт:
3
111:
х
-
1
х
••
1.2. Решение хмвнениR и lleJ)88CHCП! с использованием численных методов.
Чтобы найти решение урuнен111 ~ • J " нцо устаноВИ'I\о pe11t101 прибJоlжен ной арифметики с ПОМОIЦЫО К0М811,11W Declare _. Si8plitlcatio8
Setti....-.
Predsioa Mode -+ Approdaate. llocJie :noro
а ./UWIOI'080I( окне
Sol'N
Expr888iOD будут Дoc:тyJIIIW ТOIIWCO два ПOCJieдИIIX
меt'ОА& (Eifher Н Numerically). Вы таuе моаете просто awбpm. а ДИ1U101'0110М oate Sol'N Expr•••ion метод Nuтerically. Нажав на хиоmсу "Soove" au IJQII)"UU1'C 'I'OJIWI.O одно nриближенное дdiCDИТeJJwюe решение:
113: Дп1 численноrо реwени• уравнениli можно тuже HCПOII~o308a'n> IIC'I'pDeНИ)'IO
функцию NSOLVE ми NSOLUПONS. Эrн фунtсЦИи ОТАКЧ8101С11 друг от друn тол•ко формой предстаапенu реэул•татов: фун~С~~U NSOLVE 3IIIIICU88eт каl· денные peweнu в строчку, рацелu их 1UЧICUIН
"v..
(поrическое "'ИЛИ"). а ре·
зультат nримененu функции NSOLUПONS - вепор реwеииА. Зanиewuкm:• ЭТИ фуНJЩИИ СJiедуiОЩИМ обрезом: NSOLVE (u(x), х, а, Ь) . NSOLunoNS (u(x), х, а, Ь) где u(x) - уравнение или нерuеНСТIIО, которое надо peU1ИТit, х - перемекнu, относителwю 1С0Т0р01 нцо исаn. решение, 8- KHЖUI граница oбJiac:'rи ПОИС:D корней,
Ь - верхиu граница обласntnоиса корней. Чтобы обесnечить cxoдitмorn. ~т.эуемwх числеинwх методоа иногда бы вает полезно 38lUt1'Ь иmерввп, где надо искать корни. Если уравнение 11мее'Т не
скопwсо решений, то, эа.uа ИII'I'CpiiiUI. IW можете IIOJI)'Чкn. нменио то решение, ко
торое II8W 11у:жио. Чтобw 38р8Нее OPpeAeJU~Т~t р8СПОJiожение корне~ урuиенн1 .а можете nос:трокn. график (см.
soa. 7)
·
22
. Вы также можете задать еще один аргумент -
IСJiючевое CJJOВO Real, что означает,
что ответ должен,содержать только деЯстаитепьные реwенна.
Так, в предыдущем примере вы получите тот же результат с помощыо функ ции
NSOLVE (еспи установлеи реЖIШ приближениоl арнфмеt'ИJ(Jf). Црижо 2. Найдем корень ураанениа tg(x)-x на IUn'epiiiiiiC [1.8, S). 1> а режиме меню. Ваедиrе операнд :
114&
taH(x) • " выэоВIIТС дм
неrо
команду
Solve-+ Expreaioa
и
выберите метод
Numвncal/y. В nопе Solution Domain выберите вариант Вounds, ПOCJJe чего станут достуnны поnа:
Bounds: Lower: -10
Upper: 10
где надо задать границы интервала поиска корНА
эуеtс~~ интервал [-10, дующий реэуnтат:
115:
NIOLUI(t.М(x)
х.
• "•
10])
(no
умолчанию исnопь
Оrветив на оба :nн эапроса. вы попучите СJJе
1.1. 5)
11'•
... 4.4'13.,45'1 Такой же результат вы попучите, еспи будете использовать liсТрОенную фуи1ЩИ10 NSOLVE ИJIH NSOLUПONS.
Замечание
1.
Ес.пи устаиовпек режим приблаениоА арифмС'ПШI, встроенные функции SOLVE ИJIИ SOLUПONS таае моrут на1тн прибАаен ное решение уравнеииа, ко толио а том сяучае, еспи они не моrут
нaltnr решение :noro ypaaнeiiiUI IJU'ебраическими методами.
Замечание
2.
Встроенные фунJЩИи
NSOLVE
ИJ1И NSOLUПONS не моrут найти
решение нсрааснс:таа, ураанениа, 388Исащеrо ot двух и более перс менных ИJIИ системы уравнений.
Замечание 3. С помощwо фуНJЩИи NSOLVE или NSOLtЛ10NS можно найти асе корни nолинома (не только деАстаитеJJьиwс, но и коммексные). В спучас, еспи уравнение, J:ОТОрОС надо решить не aanaetc~~ nолино
мом, :nн фупции находn только одни J:opeRit ypaвнetUUI.
Поимер 3. Найдем корни попикома 2X'+4x4-7x'+~+fx_,_,. JICПOJiыya чис ленные методы. Д1ц :noro эапиwите СОО'I'ВС1'СI'В)щиА операнд. а затем нuсмите 4
1
(S.ift)+(Eater).
1171
5 188lolti-(I'K •
....
(-t.I8'НIU'iu . . . . . .......,•••
4·к
•
7·к
1 • l•x •
6·к
-t1111.
• 1,
к)
1.567И1.44 •••••. . - . . .•• 1.56tм1. . . -
1.11171116Н. 11
Пример
4.
Чтобы наJiтн только деАствитепi>НЫе хорин IJOЛJIИONa Н3 пре.цы
дущеrо nримера. 31д8Ате а фуищии мент- ICJIIO'ICВOC CJIOВO
ReaJ:
23
NSOLt.mONS
тpmd lpr'Y·
5
1tt:
4
3
2
•ouna-
[-1.18?421~2. -3.8t145Saz7. 1.1681t3121)
128:
Settiap -+ Solve сначаnа IUoi11IC'tCJI peiUIIТio уравнСНJtе и найти ке ero ~loНwe и комnпехсиwе решенu, IICIIOJIIo3)'• uЕспн установпен смешанный реж10о1 (Dedare-+Siaplificaticнa
Preeisio•
Mode-+Miжcd) и метол
Either,
команда
rоритм режима AJgeЬtaically (но llppiiЦIIOIWIIowe IIWpiiDIID IDI1JIOICCИМIIp)'JOТ
c:•). Затеаl, ес:/IИ axиe-JIIIбo "18СТ11 урuнеиu IUUI нерuенс:т88 Re решаасm:8 '10'1110 Н С:оде~J*П ТOIIwtO Одну оеременнуао, Solve ПWТ8e'I'CII реш1111о JCUr.AYIO 'I8C'11o nри бтlжевио и иацет сwю ~ решение, НС11011i3)'а uropиn~ режима
этом c:JI)'Ч8e ПОНСIС Н8'1НIIIIe1'U 8 ивrepll&lle (-10, 10) И nродоmает с:• с Уд80еНИСN иитер88118 PfJ тех пор, noa решение не будет на1дено и.пи аоа 111о1 не намете {Eic).
Numetically. 8
Ес.аи
Derive
не моаr наАтн решение,
•
ииформациоиноА
ctpOICe ПOOIIК'ra
сообаце!Uiе:
No solution found . {paleнw ". Жliiдено) и.пн будет nоаторен ис:ходиwА оnеренд.
Ес.аи peui8CМOC урuнение 1Ш1 иepueiiC'DO DIIНI'C1I ВloiJIO*ДCIIIIWМ, ре3)'JПо
тат будет сюдераn. nеременную аида х •
01.
1. Решение систем уравнениl. Команда rnuиoro мен10
Solve-+Syste• 1103110J1НТ решаn. системы урuие no хоторwм ищета решение (nричем
ниА, пииеАнwх arнoc:aтeJIWIO nеремениwх,
эти урuнеиu моrут 6wn. неJ111НСЙНUМИ O'I'IIOCIIТellloНO друrих nеремениwх). ICOIIII'ICCТIIO nсременнwх npawanмт ICOJIJI'IeC:ТII урuнениа. 111М nридетса
Ecmr
aw6plm..
110 UJСНМ переменнwм ~ нсаn. решение.
Д.. peweнu снс:тем урuнениА и неравенс:та можно таае IICJIOIU.30IIIm
вс:троеt1Н)10 фyнiClUUO
SOLVE
ипи SOЫJТIONS. Эrи фун1С1111и ornичaкrrc:a друг
or друrа ТOIIWtO формоА npeдcтuneнu рауnтатоа:
фун~СЦ~~а
SOLVE 381111CWIII01' -
наАденнwе решено • c:-rpouy, а рауn•тат nримененu фунiСЦНН SOЫJТJONS матрица решений. З.nис:wмкm:а :пн функцнн С11еду101.Ц11N обраом:
m
SOLVE ([u,(x,, Xz,..,x,J, Uz(x,, Xa.-.x.J••••• Uz(x,, Xa. ••.x.JJ. uz(x1, Xa. ••.x..)J. [х1 , x2,•.,x,J)
SOLUТIOНS ([u,(x,, xa.-.x.J, Uz(x,, xa.-.x.J, ..., Где U,(Xto Xa.-.x.J, Uz(x,, Xa.-.x.J, •••, Uz(Xto Xa.•
..x.J- урааненu RDИ Нер811еНСтаа. которwе ~ pewиn
Х1 , Ха.-."Х.
•
nеременнwе, 0'1110C11'1UioНO
ICOIOpWX
надо искаn. решение.
Oбprnrre 8НJ111181111С. что и сис:тема урuнениi и llepeМeiiНWe
D8Дp8ТIIWC сiСОбц тuим обра:Jом
nepawA
381CJ110'1arorc 8
арrумент фу1UСЦ11и
SOLVI и.пи
SOLUПONS - вепор, содеращи1 систему уравиениА, а атороА - веnор пере меннwх. 110 кcmJpWМ IIIQCТCa решение. (Причем :пн ве.nора да11ЖНW имет. одина ко&уJО piiЭМCJIНOCТio-)
24
Поимm
1. Решим систему уравнений:
2 ." 2 •х + 3 . у = 7 { x-S·y=O 1) а режиме ме1110. Вwэовите 1С0М811Д)' Solv~. вое 01СИ0
Solve Sy•t:ea
Bw )'В11Д11Те .-нноrо
S.Ьlp, в которок надо...,....
cxcw.ao урuне
ннl буде'l' coдepun. решеемм еветема (в И8111а1 nримере- 2).lloc:Jie сmета на :пот заnрос вw )'Вif.IUI'Ie СJ1СД)'101Цее ДIWIC)fOIIOe окно Sol". eqaat:ioa.•, в верхнеlчасrк 1С0Т0р01'0 ~ no.u .ца--... урuиеннl. Заполнив эти no.u. щеJ11С11Н1'е МWIIIWO no DOJDO Equation variables и JWAO-
JIII't'e
IC01'0piiX RЦО IICD11o решение снс: х и у). Ще.пнув по IC80IID "Soove" в :пом N~Uo
а нем те переменнwе, OТROCитeJIWIO
темw (в нашем примере
-
roeoм оае, вw 110а)"1ИТе СJ1еJ1)'10ЩИЙ реsуатат:
D11
1
10Uia(b·a ·x • I·JI • 7.
х- S•JI
•
al.
[х.
JIJ)
:.:а ,. •. 18·•: . :а 1
all
[· . . . . . .
2>
в режиме 10М1И1. Надо эапис:m. в строа JIUIIICI1IP08II фуиаuао nepвwl арi}'МеИТ 100Т0р01 - С11С1ема )'pUIICIIIII. а 8I'OpOI - аере менвwе, 011IOCII'IeJIWI КO'rOpWX ОС 11Ц0 p8JPe&Uim. Оба арrуме11Т8 38ПIICW• В810'1'е:. DJC ве11С10р1, 10 осп. 3IICIIIO'IIIO'I в 181JQJ8111UC CJrOбu. а вх :мемен
SOL\'1:,
тw paдe~~Um:~~'JВI1a'IIDOL Щuа.ув 110 uoaa .........,. . - Si
nучите реsу.в.тат, IIOUOC1'WO IIC810J181Nqd Olllp'RU' 121 и Qримео 2.
flW' вw nо
m.
Tenepio ре11111М сисrему нeJIIIIIdiJiwx )'pll&вeul: 2
{х
+ 2 ·: = 4
х-3·у
=1
а рgиме меню. Вwэовите IШМаиду Solve-+S,_.. В~ урuненu, аwдепите nеременнwе х и 1 н щеJПС1111Те 110 1СН011111: "Soow" в ~ ок не SOl". Sy•t:ea S.tup. I1oc:Jie m»r0 JW yaauurre ре:JУ&тат:
1)
,J.
1 10: ...... (11. 1111) • 1·111 • 4. • - . . . . . •4• 1• • I.J154771.71 А • • -8.11ft18t71t• • • t.718S'811 " , . . . . . . . ., ••••• -t.881'&7Sit • e.eaиstt?·t .. 111 ••• .....,..а. -t.811m.'lllt-
Ирования н нажав JtJ188НwY [Eater}, вы увидиtе а окне документа интеграл в традиционной форме 38ПИси. Дns поnучения результата д0С1'81'0'1ио ВЫ381П'Ь 1С0М8И,1Jу
Si8plily-+Вuie (КIIИ Siaplify-+Apprui8aate), Вычисление первообреэиоl в среде пахста
Derive
проиэводитс.11 аиалоrич
ным образом, только в режиме комаид надо заnисать а строке ввода выражение вида:
где
lnt( u(x). х) u(x) - интеrрируемое выражение; х- nеремениu интеrриро118НU.
В режиме меню в диалоговом охнс
ант
lndefinite,
CalcuJ.ua Int:ecjJxat:e
надо выбрать вари
тогда поnе, где BВOДIIТC.II значения пределов, станет недос-rупно.
Затем, после того JCaJC на экране ПO.IIBНТCJI интеграл в традиционной форме заnиси,
надо примеиить к нему команду Siaaplify-+Вasic (и.пи Simp6fy-+ Approximate), чтобы ПОJIУЧИТЬ результат.
3.4. Иtпеrрал свертки. C•epmкoil Нух фytuu(llil назwваеn:• интеграл вида: 1
h(t) = J!(t-x)· g(x)dx о
Пусть /(х) ""~ , g(x) =е"'. Чтобы вычислить свертку этих двух функций надо в режиме команд или в режиме меню создать соотаетствующиit операнд, а затем
нажать (Ctri)+(Eвter): ~
117: 111:
I
•
2 (t - IC)
·f
IC
diC
2·1
41
t
-
2 t
-
2·t - 2
3.5. Несобетвенные интеrралы. В некоторых cnyчux
Derive
вычислает иесобстаениый ннтеrра:~~, а иногда
-
сообщает, что этот ннтеrрал расходитса IC бес~еонечности. В тех случuх, ~еоrда
Derive не может вun. да11нw8 иитеrрал он nросто повторит оnеранд. Приведем nримеры. Ниже вы увидите три интеrрапа и результаты примене
ння JC ИИN команды Si111plify-+Вasie. { Все ВЫЧJiслениа прои3ВОДИJIИСI. в режиме
Exact.)
• 111
J•
1 :t +
1
.ь.
х
•
az: 1
13: н:
I•
1
--.ь.
-lx
•
15:
J -;- .ь. 1
":
• Дпs лучшего усвоениа техииJСН работы с операторами
Derive
nриведем nри
меры записи час:то встречающнхса формул. Пусть кривu задана в авиом виде:
y•j(x) тогда кривизна кривой onpeдem~eтcs следующей формупой:
.
d 2y
к-
d;2
-H:JJ
Если требуете• вычислить кривизну в фиJССироваиноА точJСС xw., вычиспите npeдen
or этой фун1СЦИИ nри х-м.
Длина дуrи ~ери вой вwчислаетса по формуле:
Мн(:)} 49
Объем тспа вращениа onpeдeJIR'l'a иэ соотноwениа:
•
у= tr· Jy211x
•
дu аычНСАС111U11108СрХН0СТИ вращениа npимetuleТC8 формуJ18:
s-2•·!~ Derive вwчнсмет не все интеrрuw, а тonuo те, которые выpucaaon:s в эneмewrapнwx фунхцип. В '18СТНОСТИ, Derive не может аычнс:лиn
Замечание·
иитеrрап от DpOИ380JIWIOЙ дробно-рационат.ноА фунхцни. Ее 88М при дета предааритеiiЫIО р113110ЖИ1То на nростые дроби.
4. Р13.11ткенне в PtiA Теlлора. Попучиn разnожение функции в рц ТеАлора можно таае и в режиме ко-.
IIWtJI и
в режиме меню.
1) В рqиме команд, Надо записаn. в строке uода аыраеине аида: taylor( u(x), х, а, n) где u(x) - функциа; х- переменнu;
а -точка, в окрес:тиости которой nроиэво.ЦИ'I'а разnожение;
n - порцок ос:таточиоrо чяена. 2)
В режиме меню. Надо 8W3IIII11. команду Calealu-+Taylor Series. Пос:ле выбора ~й команды аы )'811д11Те диаJЮrовое охно Calcu~ua '1'ay~oz: S.z:~ea. В none Variable надо uecrи им. перемениоА, по которой oc:yщectiiiiИ"''a радо
женнс. В ПOJie
Expansion Point эадаСта 'Т0'11С8, а окрест
ности которой надо произвести радоженис (по умоnча
нию - 0), а в попе Order - nорцок ОСТIП'ОЧиоrо чяеиа (no yмoJI'WUIIO -
S).
На11Саа
(Eater) ВЫ ПОJI)"'ИТС lllolpiiЖCHИC С:ЛедуiОЩСГО аида: TAYLOR( фунiЦИR, 118р8118НН8R, точка в 01tр8СТН0С111 котороi npo113· ВОДМТСR ра:111088Н. ., nopttДCЖ оспrrочноrо '11'18Н8) Tcnep~o AU тоrо. чтобы IJQII)"'II11o ра3J1011Сеине в рц ТеАлора АОСТВТОЧНО nриме
ниn к нему команду SU.plify-+a..ic:. IJ»имg. НаАдем отрсэок рца Tellnopa дц фующии silt(x) в сжрестиостн 10'1ХН О, nopiДOJt остаточного члена - 1. Применив к nопученкому оnеранду ко
манду Si•plify-+ApproxiiНte аы ПОJIУЧите ре3)'JI~отвт:
5О
11ta
TИI.OII(IIII(x). х.
8. 7) 7
5
3
- 8.8111f14126tl4·x • 8.881333333333•х - 8.1"''''"'·х + х
5. Оператор VECTOR. Эrа команда осуществьет ВWЧIICJICIIIIC DOCJitдOU1'CIIWIOC'nl энa'leJDdl функ ции IIJDI
IIWJIUeiiU nри
II38ICНCIIIUI nерсменноА 8 'JЦIIНINX DpeдeJIIIX С 'фнхскро-
1811111о1М III8I"OtiL М.. ухе IIC1Jie'I8IIIIC С mDI Ollepalopall Dpll IIW'IIICIIeRIIИ 311аче ниl фун1щии OДIIOI'O И даух nepeNeiiiiJoiX, 0Д1181С0 11Р CIIX пар 1oUo1 11C110111r30881 ero ТО&КО • рааои 1С0М811Д. 11апомвJ1ас 110рЦ0К 38DJICII:
1) В реgме IOМI'! Jfцo 38IIJIC8'I'Io а с:троа ..._.,.......-.не аида: vector( f(x), х. m, n. а) гАе f(x) - ф)'НIСЦU; х- аеремснвu;
m - 118'11J1o 11111.'ep88J18113МelleJIQ перемеиноА; n - конец интер81М нweиeiiiUI nеремеиноl; 8-
2) В
шаг 113Ме11СНИJ1 nеременноl. (См. sw.l 11. Э. 5).
ррине неюо, Надо lllol38'nl хомавду
Calctii..-.Vector. l1ocJJe
аwбора
это1 ICCito88IIДW . . Э1JМ111е IIQIJIII1C8 Д1181101'0110е 01СН0
Vectoж. В nеше V81iable надо uести 100 nеременвоl. В ~ tpex IIQUX 3Ц1110ТС1 npeдw.a ateиe111U1 IЩ)t8f8fOI (St8rting V8lue к Endlng Value) к шаr (Step Size). По JNOI'I8II8I nервое 3118чеиие nepe-
calcalu
МOIIIIOI ИIIIII'J1881W
1, а аос- -10.
~ оnератора VEC'I'OR ОТНIОДJ. не ~ этим. Депо а том, что nеременнu onepaopa VICIOR мmет IICIIOIIIo3088' не толwсо каJС арrумеит
llltiDO'IC\UIOI а оперnор фунхц1u1.
но к ~ .JЧJYI'1IN QCIUIМ.
ICaat это
депаетс1 фaxnl'lecxи. IIOICUteМ ва 11JJ11М8P8X. ~ трема 118р11811'П1Ми nрнмененu onepaopa VECJ'OR.
1.11g!еменнаi OIJep!ТOIII VEC'fOR ymнwr 11!!!!99! 'ШOIP.,IM· Заnишем onepuд:
VECTOR (DIF (Н(х,у). Х. k), k, 0. 4. 2) В pe:I)'A11rle ero ВWIIOIIIICIUd IJOIIY'IIICМ lllllmlp.ltOIIIIOilitИIUII 1С0Т0р01'0 .181Ш01Са:
1. фунхца Н(Ч) (nеременнu k • О) 2. nopu DpOII3IIOдiiU по ж фуиJщ1о1 Н(ч) (аереwи. . k •1) з
...,_,,. llpOitJIIOAIIU nо ж фунхаulи Н(чJ (nepewмw• k • 4)
Пусn:
Н(ч)•х4 -l (Ch'IJ+(Ea88rl. вw попучнте ацую
Сщuа ~~оnеранд н наu щd pe:I)'JI•'I'IIТ
Sl
821:
11
4
uв:тоа((~}
2·р
+
1
11(1·•>1
·COI ••
8.25·· • 1.11·• • 1
1
1
8.11·(1·•> • 1.11·(1·•) • 1 118: 111:
• ,. 11(1·•>1 (LOC(e. 11). LOC(I(•)• 11)) · 18(1(w)) "·"' ·
q(w)
......... -t.l· -"
. 83
1.2 1.4
Заменим в фуи1СЦ1111
S(/1) р на 1-., а 38'1еМ
IOCIIOJII3)'CМC. · 8СТрОеННоА фунщн
еА АВS. Гр8фи1t .IIOПipllфм......oa 8110U1нтудно-Ч8С1'01'110Й харапервстнки стро
ИТС8 тааtе np11 ~Ш~Сиенин
•ar О до 20. (см.рuс. 8);
10. Гpatllчeacoe прuсп~~.~~е~~не wepa~~e~~en. поиоает тааtе ape.tiC'I8IIII! на rpaфtncc peDRIIe нерuенства иu СИС:ТСМW нерuенстL Р8ссмотрнм НCCIItOIWCO прнмероJ. Пример 1. Пуm. дано нcpueHCТIIO
Derive
Ь'( дифферекцнапьноrо ура~~Не~~U~ х- иезuнс:имu nеремеанu~
у- IICXOMU фуtпсциl;
хО, уО - начuЫJwе услоВИJI;
h-war; n- число расчетных точех. В резул~отате вw nOJI)"'НТe матрицу, содержащую два СТОJiбца (в nервом
-
эиаченм переменной s, а во 8rором - сосmетствуJОIЩIС им 3ИаЧСН111: фунщии у) и
(a+l) строку. Метод ЭАлера, JCaJC 11311еСТИО, находит числеиное решение дифференцнuЫJо
rо уравнеии• с наибольшей ошнбкоli. Гораздо боnее ВWCOJCYIO точиосn. обес:печи18СТ метод Pyнre-Kyna:
RК
(r, [t.
х1, х2, •••],
[t(O),
х1(0), х2(0), •••],
h, n)- чИСJ~Снное решение системы дифференцнаnьных
урuне
ниА первоrо nopцu мето дом Рунrе-Купа. rде
r- вехтор npaвwx частеА системы днфференцИIUiьных уравнений; (t, х1, x2, ..•J- вектор nеремениых; [t(O), х1(0), x2(0), ...J- вектор иачаяьных уСАоаиА; h-war; n - ЧИСJIО р8С'1С111ЫХ точек.
98
В результате вw nолучите матрицу, число croябцoвltoropol ревио хопичест ву перемениwх (в первом- значеиИА переwеииоА t, во вrором- соотъеtсtвующие им значеии• фуихции xl(t), в третьем -x1(t) и т .д.) и (11+1) cтpolt)'.
Веро.-rио, aw зaxonne изобраз~~"r. на rpllфue 3U11СНМ0СТИ xl(t).s1(t) 11 т..ц. Дu этоrо вам надо будn пре~ ilOJiyЧeRНyJO матрвцу в мnрвцу, содера щую только два ИtmpeeyiOЩIIX вас С'1'011бца. В этом вам liOJoiODТ С11СД)'101ЦЦ
фуиJtЦU (1'1tae содерР''V'"" а фа1ле Ode_appr.-tll): ЕХТRАСТ_2_COLUIINS (А, j, k) rде А- матрица- резут.тат nримеиеииа метода Руиrе-Кутта; Jи k -номера стовбцов warpицw А, ltO'I'Opillaw xonrre aw.цemm.. Р1ссмоtрим примеиеиве метода Pyнre-Kyrra на конкретном uрнмере. Примор. Дано диффереицнw.иое ураансние 8ИД8:
х• +27 ·х· +1.4·х' +0.8·х =0 с начат.иwми усnоенами: x(IJ)•I, ж•(IJ-Z. ж•(IJ-J. Tpeбyetu иal'nl
ero решевне меrодом Pyвre-Kyrt8.
Прежде всеrо, npeдci'UIIМ это дмфферааun"W'О" уранекие в аиде нормат.-
ноl C:RCТeloOol диффере11101811W1WХ урlаневd aep80I"' 110p8AU:
xl' =х2 {
х2'=х3 .хЗ' = -2 7 · .x3-1.4·x2-0.8·xl
Заnишем в строке~ Oilep8IIA: ••
8([d. d. - 1.7·113 - 1.f·xZ - 1.1·111). (t. . . . .а. d]. (8.
s.
2. 3]. 8.1. 1.)
Прнмениа х нему ~:оманду Approxhllllte, aw IJOIIY'III'IO матрицу, содержащую четыре стопбца н 101 строку. Bwдeua с оомощwо фуихцин
EXТRACT_2_COLUMNS соотвеtСТ8)'10Uе пары С10J1бцоа, aw можете awlleC'I1I на rpeфu общее решение даииоrо днфференцваm.во ypuнeиiiJi и ero первую и М'0р)'10 прон380днwе (cw.J111C. 13).
17. Ode1.mthобыкновенные дифферевцвапъвwе ураененn
oepeoro порца.
Эtor фaiJi содержит фуихцив дц DOИCD to'IJIOrO реwениа обыкиовеивоrо днфферевца11U&W101'0 урааиеииа nep80I'O nopsдxa. ФаЬ fraoUUiae'rCa с фуихц111, иа ХОД8ЩИХ решение npocтelwиx диффереИЦ11811WIWХ уравllеИИА nepвoro nорцха (JUIИeAнoro
ypalllelfU,
ОJIНОРОДНОf'О урuнениа. урuвенна С pa:JAei1IIOIЦII 110-
реwеинwми и т.д.) с IIOМOIIUoiO ~ fiii10AOL Да.nее ~ фуи!Щии, H&1COJIIQIUie реwениа в бо11ее c:JICIQКJAIX CJIY'IUX (ураненне liepнyJIJDI, урuнение 1С1еро и TJI.). Ecn tyt~JC~tU имеет суффикс "GEN", реэуатат ее nрвwенениt общее решение, 38DиcatiNOe С: ис:пот.3011811ИСМ CIIWIIO"W'WX К0НСТ811'1', tунхцив бе3 ~ c:ytфuca иаход1Т 'I8CТIIOfl
pewe11110 арн ,."..ННМХ И8'11UiblfWX yciiOIUIIX.
"х(~)
5 4
...-:-:.•. 3
•••• 1
··.··.
.....-:--........
.·.·
• •.
·... ••
•••
х
••••••• '