Idea Transcript
Российский государственный университет нефти и газа им. И. М. Губкина
В.В. Ка.линии, Н.О. Фасrовец
ВЕРОЯТНОСТЬ в примерах и задачах дm1 нефrеrазовоrо обраэованиа.
Допущено
Учебно-методическим
объединением
вузов
Российской Фе:.~ерацни по нефтегазовому образованию в качестве учебного пособин ДJIJI подготовки бакалавров и
магистров по направлению IЗOSOO «Нефтегазовое де.1о» н подготовки
направлению
направлению
;щпломированных
специалистов
по
IЗOSOO «Нефтегазовое де.'IО», а тажже по
130600
«Обору :.~ование
нефтегазового пронзводства».
Издательство «НЕФТЬ И ГАЗ»
Моск11а2007
и
агрегаты
УДК
519.25
К17 Авторы: В.В. KDЛUHUH, зав. кафедрой высшей .иатематики РГУ пефти и L?IПa
u.u.
И•.АL Губкина, д.ф.-.и.в.
Н.О. Фастовец, доцент, к.т.н.
Kl7
KIIJJШIIIн В.В., Фж:товец Н.О. Верштность в примерах и задачах ДJII нефтеmзовоrо
образо!ЩНW!. ISВN
-
Изд-ао «Н~фть и rаз»,
2007.-88 с.
S-72A6-0242-4
HacтoiOllcc: учебно-методическое пособие написано автора.чи на основе их много.1етнеrо оnыта преподавания теории всршrrностей в системе выt.:шего образования. Пособие., в первую
очередь, предназначено д:rя студентов различных специальностей РГУ нефти и газа им И.М. Губкина и nредстав.1яет ~обuй систематизированную nодборку задач и упражнений по те~а.\i курса теории вероятностей, изучаемым в технических вузах в рамках действующих в настояшее
вре.ы.1 ruсударt;твенных сrандартов, с учетом сnецифики нефтсгазовоrо образования. В начале кa)I(Jioro раздела nриведсна сводка основных теоретических nоложений, понятий и фор~ул,
необходИNЫХ
д:JJI
решеНЮI
зuдач.
По
каждому
разделу
теории
веропностей
в
пособии
прсдстав..'Iены и подробно разобраны примс:ры, в том числе из практиm нефтеrазовой и смежных
отраt.:.1ей.
Пособие
будет
таюке
по.:1езно
аспирантаN,
инженерам
и
исс:нщовате:m~,
nримешюшим всршrrиостные методы nри решешtи практичсских. ·шдач.
Издание 2-е, дополненное l\a.1'fllвпв Васп.:'Пiй Валерыmовпsr Фастuвец Ниве.тп. Олеговна
Верu8твосп.. в примерах и 1ада-.ах .iiJd' вефтегазового обра'Jовавиll. Редактор: В.В. Калинин Редактор--корректор В.Б. Овчаров
Кuмпьютернu верстк1,·, i=l Такие собьrгия образуют полную груп11у попарно несовместных событий.
Пусть событие А представляет собой сумму некоторых т событий, вы бранных из событий А;. Тогда вероятность события А равна отношению числа т событий, благоnриятствующих событию А, к числу
n
всех равновоз
можных событий:
Р(А)=!!!.. n Это и есть к.1ассuческое опреде.1ение вероятности.
Для вычисления вероятностей событий используют формулы кшt6ина торики:
О размещения с повторениями. Если n - количество различных видов элементов,
k - количество элементов, которые входят в группу. Тогда
общее число таких групп будет nk (в группу могут входить элементы од ного вида).
8 раз.:нещения без повторений получаются, если в группу не могут входить два или более элементов одного вида, т.е. выбираются
8
k элемен-
тов из общего количества
с учетом их порядка. Общее количество та
n
ких групп будет
k
А;;
8
ni
=n(n-1) ...(n-k+1)=--·(n -k)!
перестаповки получаются, если
n=k,
т.е. в группе из
n элементов
эти
элементы можно переставлять в различных порядках. Таких групп будет
Pn =~ =n(n -1)... ·1 =n! В рассмотренных выше случаях
1- 3
составленные группы считаются раз
личными, если в них хотя бы на одном месте стоят элементы различных видов.
О сочетания получаются, если группы из
k элементов
отличаются только
составом элементов, а не их порядком. Другими словами, в группу выби
раются
k элементов
из
n без учета порядка.
ck = n ПРИМЕР
1.
В урне лежат
15
Число таких групп равно
n! k!(n-k)!
шаров, из которых
6
белых и
9
чёрных. Ка
кова вероятность, что: а) наудачу извлечённый шар будет белым? б) вынутые наудачу два шара ока)!? Ка
кова вероятность выпадения числа, большего четырех?
2.5.
Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад выбираются три буквы и
располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово «ДВА>>?
12
Среди
2.6.
25
экзаменационных билетов только 5 «хороших». Студенты Иванов
и Петров по очереди берут по одному билету. Найти вероятности событий:
А = {студент Иванов взял хороший билет};
В= {студент Петров взял хороший билет}; С= {оба студента взяли хорошие билеты}. При наборе телефона абонент забыл две последние цифры и набрал их нау
2.7.
гад, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность, что номер набран правильно.
2.8. Ваня
и Маша стоят в очереди в столовую. Кроме них в очереди еще
век. Какова вероятность, что
l) Ваня
и Маша стоят рядом;
2)
8 чело
между ними стоят
три человека?
2.9.
В лифт семиэтажного дома вошли три человека. Каждый из них с одинако
вой вероятностью может выйп1 на любом этаже, начиная со второго. Найп1 ве роятности событий:
А = {все пассажиры выйдут на 4 этаже}; В= {все пассажиры выйдут на одном и том же этаже}; С = {все пассажиры выйдут на разных этажах}.
2.10.
После землетрясения на участке между 40-м и 90-м километрами мапiст
рального нефтепровода произошло повреждение. Какова вероятность, что по вреждение расположено между 65-м и 70-м километрами магистрали.
2.11.
Наудачу выбрано натуральное число, не иревосходяшее
ятность того, что это число кратно
2.12.
В урне
7
6елых п
8
20.
Какова веро
5?
черных шаров. Вынули один шар, который оказался
белым. Затем из урны взяли еще один шар. Какова вероятность, что он также белый? Решить эту же задачу при условии, что цвет первого вынутого шара не известен.
2.13.
В целях экономии государственных средств Иван-царевич решил, что он
должен жениться на девушке, день рождения которой совпадает с его днем ро
ждения. Сколько девушек ему прилется опросить, чтобы среди них оказалась
хотя бы одна потенциальная невеста с вероятностью не менее
13
0,5?
2.14. В квадрат с вершинами в точках 0(0,0), А(О,1), В(1,1), С'(1,0) наудачу брошена точка М(х,у). Какова вероятность, что ее координаты удовлетворяют условию у< 2х
2.15.
На отрезок АВ длиной 12 наудачу брошена точка М. Найти вероятность,
что площадь квадрата, построенного на отрезке АМ, будет заключена между значениями
2.16.
36 и 81.
Монета имеет диаметр
20
мм, а толщину
2
мм. Какова вероятность, что
при падении она встанет на ребро.
2.17. Стержень
длины
1 метр
сломали на три части, выбирая места разлома слу
чайным образом. Какова вероятность, что из получившихся частей можно со
ставить треугольник?
2.18. Два танкера
должны подойти на разгрузку к одному
сентября. Первому из них на разгрузку нужен
и тому же причалу
1
1 час, а второму - 2 часа. Подход
танкеров к причалу равновозможен в течение этих суток. Какова вероятность, что ни одному из танкеров не придется ждать освобождения причала?
2.19. (Задаче
о встрече). Студент договорился встретиться со своей подругой в
вестибюле института между тремя и четырьмя часами дня. Первый пришедший на встречу ждет другого
10
минут, а потом уходит. Какова вероя-rность встречи
друзей, если каждый из студентов может прийти в любое время в течение ука занного часа?
2.20. Гардеробщица
выдала номерки четырем джентльменам, сдавшим свои ци
линдры, но затем перепутала головные уборы и повесила их наугад. Найти ве роятности событий: а) каждый джентльмен получ1rr свой ци:линдр; б) ровно три джентльмена получат свой цилиндр; в) ровно два человека получат свой головной убор; г) ровно один получит свой цилиндр; д) никто не получит своего цилиндра.
2.21. На
клавиатуру компьютера капнула капля кетчупа радиуса
r см.
Найти ве
роятность, что она не протекла между клавиш, если клавиши имеют форму
квадрата со стороной а см, а капля после падения не растекается.
14
3. Правила сложения и умножения вероятностей:.
rJ ля нахождения вероятности результата операций над собьпиями использу ..... ется ряд теорем. Вероятпость суммы двух собьпийА иВ находится по формуле
Р(А+В)=Р(А)
+ Р(В)
Если собьпия А и В несовместны. то формула
-Р(АВ)
(1а)
(la) упрощается:
Р(А+В)=Р(А) +Р{В)
(1б)
Формулы (1) также называются теоремой сложения вероятностей. Если собьпия
At,
Аъ
....., An
попарно несовместны, то вероятность их
суммы равна сумме вероятностей самих собьпий (обобщение формулы 1б):
n
P(A1 + ... +4s)= l:P(4s). k=l
Вероятность про11Швоположного coбЬlnUIЯ А определяется по формуле
Р(А) = 1-Р(А). Вероятность наступления собьпия А при условии, что произошло собы тие В, называется условной вероятностью и нахощпся по формуле
P(AI В)== Р(АВ). Р(В)
Из формулы для условной вероятности следует теорема умножения
вероятностей двух собьпий:
Р(АВ) = Р(В)Р(А !В)= Р(А)Р(В !А). Собьпия А и В называются не:~ависимьwи, если условные вероятности
совпадают
с
соответствующими
безусловными,
Р(В) = Р(ВIА).
15
т.е.
Р(А) = Р(АIВ)
и
Для иезависи.мьvс событий А и В вероятность произведения равна про изведению вероятностей:
Р(АВ) = Р(А)Р(В). Для вычисления вероятности произведения
n,
(п > 2) событий А 1, ... ,
An
исnользуется формула
Если события
AJ, ... ,An
независимы, то формула вероятности их произведения
упрощается:
ПРИМЕР урне-
10
1.
белых и
В одной урне лежат
5
5
белых и
10
красных шаров, в другой
красных шаров. Из каждой урны вынули по одному шару.
Найти вероятность того, что хотя бы один из шаров белый.
Решение. Пусть событие А - из первой урны вынут белый шар, событие В- из второй урны вынут белый шар. Решим задачу двумя способами:
1ый способ. Интересующее нас событие С - хотя бы из одной урны вы нут белый шар можно выразить через события А .и В: С= А +В. (Заметим, что событие С происходит также, если оба шара белые). Используя формулу суммы собь~ий,получим:
Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ). Так как события А и В независимы, то Р(АВ)=Р(А)Р(В)
=> Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)Р(В).
5 1 = -; 15 3 l 2 1 2 7 Р(С) =- + ---·- == -. 3 3 3 3 9
По условию задачи Р( А) == -
собь~ия С равна
16
Р( В)
2 =-10 = -, 15
3
поэтому вероятность
2°й способ. Интересующее нас собьпие С является противоположным собьпию С~ -ни из одной урны белый шар не вынут, т.е. оба шара черные. По этому
-
--
-
-
217
Р(С) = 1-Р(С) = 1-Р(А ·В)= 1-Р(А)·Р(В) = 1-з· З =
g;
(Здесь были использованы формулы вероятности противоположных собьпий:
Р(А) = 1- Р(А) = 1-! = 3_ · Р(В) = 1- Р(В) = 1- 3_ =! ). 3
ПРИМЕР
2.
3'
3
В урне лежат12 белых,
3
8 красных и 10 синих шаров. Наудачу
вынимают два шара. Какова вероятность, что вынутые шары разных цветов, ес ли известно, что среди них не оказалось синего шара?
Решение.
1ый способ. Собьпие А - вынуты два шара разных цветов; собьпие В пара не содержит синий шар. Нас интересует условная вероятность собьпия А
Р(АВ) при условии, что произошло собьпие В: Р(А/ В)=---. Р(В) Для вычисления вероятностей воспользуемся подходящими комбинатор-
С2
ными формулами: Р(В) = ~о; Сзо
бов вынуть 2 шара из 30,
cl cl
Р(АВ) = ~. Здесь Cjo- всего спосоСзо
cio - способов вынуть 2 не синих шара 1\З 20,
СПОСОбОВ выбора ОДНОГО беЛОГО шара 113 12, Следовательно Р(А 1В) --
1 с12 cl с 2 · 8 · 30
ct2 -
cJ -ОДНОГО краСНОГО шара ИЗ 8.
48 95
2 2 Сзо ·С2о
i"'й способ. Будем теперь рассуждать несколько иначе. Поскольку из вестно, что синие шары не вынимались, то всего существует
n=20
возможных
вариантов исхода опьпа. Собьпие А;- i-ый вынутый шар - белый, собьпие В; i-ый вынутый шар- красный
рым
красный,
то
(i = l, 2).
вероятность
Если первым вынут белый шар, а вто
такого
17
собьпия
Р(С) = Р(~~)
=
= Р(А1 )Р(В2 ! А1 ) = 12 ·_!..Если первым вынут красный шар, а вторым белый, 20 19
8 12
то вероятность этого события P(D)=P(~A2)=P(Bl)·P(A21Bt)=-·-.
20 19
Нас устраивают оба рассмотренных события, т.к. порядок извлечения шаров не
имеет значения. Тогда, учитывая несовместность собыrий С и комую
них нетсинего шара: Р
получаем ис
12 8
8 12
48
20 19
20 19
95
=P(C+D)=P(C)+P(D)=-·-+-·- = - .
Задачи к разделу
3,1,
D,
вероятность извлечения шаров разных цветов, при условии, что среди
3.
Вероятность появления неисправности в автомобиле «Жигули» в течение
одного дня равна
0,05.
Какова вероятность, что в автомобиле не возникнет ни
одной неисправности в течение трех дней?
3.2. В
ящике лежат
10 красных
и б синих носков. Студент наудачу вынимает из
ящика два носка. Какова вероятность, что носки окажутся одного цвета, и сту дент сможет rюехать на занятия?
3.3.
Решить ту же задачу, если носки лежат в двух ящиках, причем в первом
белых,
11
черных и
8
красных носков, а во втором соответственно
10, 8
S
и б.
Студент один носок берет из первого ящика, а другой из второго.
3.4.
Найти вероятность, что наудачу выбранное двузначное число окажется
кратным: а)
3.5.
2 или 5,
б)
2 и S?
Вероятность поnадания в цель первым стрелком равна
0,8 , а
вторым стрел
ком -О, б. Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность, что только один из них попадет в цель?
3.6.
В лабораторию для анализа поступило
7
бочек с бензином. Из соnроводи
тельных документов известно, что три из них содержат бензин типа А, две
_
типа В и две -типа С. Наугад вскрыли три бочки. Какова вероятность обнару жить в них бензин всех трех тиnов?
18
3.7. Первый
пресс штампует стандартные болты с вероятностью
с вероятностью
0,95.
На первом прессе изготовили
Какова вероятность, что все
3.8. Глубинный
5
3
0,9,
а второй
болта, а на втором- два.
5 болтов стандартные.
манометр испытывается на герметизацию. Проводится не более
испытаний, при каждом из которых манометр выходит из строя с вероятно
стью
0,05.
После первой поломки манометр ремонтируется, а после второй
признается испорченным. Какова вероятность, что после пяn! испытаний ма
нометр будет признан негодным?
3.9.
Электрические цепи составлены по схемам, изображенным на рис.
в), г), д), е). Вероятность выхода из строя элемента
ak
7
а), б),
равна Pk. Элементы ра
ботают независимо друг от друга. Для каждой из схем найти вероятность про хождения тока по цепи.
а)
в)
д)
Рис.
7.
К
задаче
19
3.9.
3.10. В
нефтеносном районе бурят одновременно б скважин. Каждая из скважин
вскрывает месторождение независимо от других с вероятностью О, 1. Какова ве
роятность вскрытия месторождения? Изменится ли эта вероятность, если рабо тает одна буровая установка, которая прекрашает бурение при вскрытии место
рождения? Сколько нужно пробурить скважин, чтобы вероятность вскрьпия месторождения превысила О, 7?
3.11. Два стрелка сделали
по одному выстрелу по мишени. Вероятность попа
дания первого стрелка равна
0,6;
второго-
0,7.
Найти вероятности собьпий:
а) тол1>ко один стрелок попал в мишень; б) хотя бы один нз стрелков попал в мишень;
в) ни один нз стрелков не попал; г) хотя бы один из стрелков не попал.
3.12.
Студент успел подготовить к экзамену
20
вопросов из
25.
ность, из -трех заданных вопросов с-тудент будет знать не менее
Какова вероят
2?
3.13. Какое из двух собьпий более 11ероятно: собьпие А - при одновременном бросании
-
при
3.14.
24
4
игральных костей появится хотя бы одна «единица» или собьпие В
бросаниях двух костей хотя бы один раз выпадут две «единицы»?
Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятности ответить на
первый и второй вопросы для студента Карапузона равны
- 0,8.
0,9;
на третий вопрос
Какова вероятность, что студент Карапузов сдаст экзамен, если для этого
надо: а) ответ1пь на все вопросы; б) ответить хотя бы на д11а вопроса?
3.15. Двое
поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет
«орел». Определить вероятности выигрыша для каждого игрока.
3.16.
Двое поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у кого рань
ше выпадет «шестерка>>. Определить вероятности выигрыша для первого и для второго игроков.
3.17. В коробке лежат две конфеты с вареньем и четыре с глазурью. Конфеты одинаковы по внешнему виду. Сестры Маша и Даша поочередно вынимают по
одной конфете и съедают их (начинает Маша). Де11очки договорились, что той, которой лервой достане-тся конфета с вареньем, придется в этот день убирать квартиру. Какова вероятность, что квартиру nридется убирать Даше?
20
4. Формула полной вероятности. Формула Байеса [ели событие А может наступить только при появлении одного из несовме стных событий (гипотез) Н1, Нъ
... , Hn,
образующих полную группу, то ве
роятность события А вычисляется по формуле полпой вероятности:
Р(А) =
n
L Р(Н; )P(AI Н;), i=l
где
Р(Н;)- вероятность
гипотезы
Н;
(очевидно,
что
выполнено
равенст-
n вo:LP(H;)=I ). Вероятность P(AIH;) представляет собой условную вероят i=l ность наступления события А, если гипотеза Н; верна.
С формулой полной верояпюсти связана формула Байеса. Если до опыта вероятности гипотез (априорные вероятности) были
P(Ht), ... , Р(Нп),
а в
результате опыта событие А произошло, то с учетом этого факта вероятности гипотез «переоцениваются» по формуле Байеса и называются
anocmepuop-
пыми вероятностями:
P(Hkl А)= P(Hk)P(A/ Hk),
k = 1,2, ... ,n,
Р(А)
где вероятность события А находится по формуле полной вероятности:
n
Р(А)= :LP(H;)P(AIH;). i=l
(При этом также будет справедливо соотношение
n
L P(Hk 1А)= 1). k=l
ПРИМЕР
- 2
белых и
1.
В первой урне лежат
7 черных.
5
белых и
10
черных шаров, во второй
Из первой урны наудачу переложили один шар во вторую
урну, после чего из второй урны наудачу достают один шар. 1) Найти вероят
ность того, что этот шар белый?
2)
Шар, взятый из второй урны оказался бе-
21
лым. Какова вероятность, что из первой урны во вторую был переложен белый шар?
Решение.
Пусть событие А
-
из второй урны вынут белый шар. Рас
смотрим две гипотезы: гипотеза Н1- из первой урны переложили во вторую
Hz-
белый шар, гипотеза
потез
5
1
15
3
переложили черный шар. Вычислим вероятности ги-
10 15
P(Hl) =- = -,
2 В слvчае выполнения гипотезы Ht во 3 .
P(Hz) = - =-.
второй урне оказывается
3
белых и
7
черных шаров, поэтому условная вероят-
3
ность вынуть белый шар из второй урны равна Р(А/ Ht) = - . При реализации
10
гипотезы
Hz
во второй урне оказывается
2
белых и
8
черных шаров, и условная
2
вероятность вынуть белый шар равна Р(А/ Н2 ) = - .
10
По форму л е полной вероятности имеем
Р(А) =
P(HI) P(AIHI) + P(Hz) P(AIH2 )
7 30
=-.
Теперь по формуле Байеса можно найти вероятность гипотезы
Ht
(переклады
вался белый шар) при условии, что было реализовано событие А (из второй урны вынут белый шар):
Р(Н !А)= Р(Н1)Р(А/ Н1) 1
Р(А)
=1/3 · 3/10 = !_ 7/30
7
ПРИМЕР
2. Фермер поручил двум охотникам застрелить волка, пообе 3500 рублей. Первый, более опьпный, охотник попада вероятностью 0,9, а второй - с вероятностью 0,6. Охотники встре
щав им в случае успеха ет в зверя с
тили волка и одновременно выстрелили. Волк был поражен одной пулей. Как охотники должны поделить премию?
Решение.
Пусть собьпие А- волк поражен одной пулей. Рассмотрим
две гипотезы: гипотеза
Ht-
попал первый охотник, гипотеза
22
Hz-
поnал вто-
рой охотник. Собьrrие А может бьrrь выражено через собьrrия Н1 и
Hz
сле
дующим образом:
С учетом несовместности двух слагаемых и независимости собьrrий Н1 и
Hz,
находим по формулам сложения и умножения:
Р(А)
== P(H1)P(Hz) + Р(Н2 )Р(Н1) == 0,9 ·0,4 + 0,1·0,6 = 0,42.
У славная вероятность собьrrия А (одно попадание) при осуществлении гипоте зы Н1 (попадание первого охотника) равна вероятности промаха второго охот
ника: Р( А 1Н1)
= Р( Н2) == О, 4 . Аналогично, условная вероятность собьrrия А
при осуществлении гипотезы
Р(А/ Н2)
== P(HI) =0,1.
Hz
равна вероятности промаха первого охотника:
Тогда по формуле Байеса
Р(Н /А)= Р(Н1 )Р(А/ Н1) = 0,9 ·0,4 = ~ 1
Р(А)
0,42
7'
Р(Н /А)= P(H2 )P(AI Н2) == 0,6 ·0,1 = .!_.
Р(А)
2
0,42
7
Премию охотники должны поделить в той же пропорции, в какой относятся ус-
ловные вероятности их попадания: вый охотник должен получит
ник должен получить
1/7
6/7
Р(Н1 /А)
Р(Н2/А)
6 1 6 =-:- =-. Таким образом, пер7 7 1
частей премии, или
часть премии, или
500.
3000 рублей;
второй охот
(Такой, на первый взгляд не
очень справедливый дележ связан с тем, что вероятность промаха 1-го охотника мала, так что одно попадание, скорее всего, именно на его счету. Если бы попа
даний было два, премию надо было дешrrь поровну).
Задачи к разделу
4.
4.1. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором-
1 белый
и
4
черных. Наудачу выбирают ящик и выни
мают из него шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?
23
4.2. Приборы
зафиксировали утечку газа на участке газопровода,
40%
которого
расположено под землей и 60"/о -под водой. Вероятность в течение суток об
наружить утечку на подземном участке равна
0,7,
а на подводном- 0,8. Какова
вероятность, что утечка газа будет обнаружена не позже, чем через сутки?
4.3.
В семье три дочери
-
Маша, Люба и Наташа- договорились, что каждый
вечер одна из них будет мыть посуду. Старшая дочь, Маша, моет посуду
в неделю, а остальные девочки тарелку равна
0,03
0,04.
и
0,02.
3
раза
по два раза. Вероятность, что Маша разобьет
-
Дпя Любы и Наташи эти вероятности соответственно равны
Родители не знают, кто мыл посуду вечером, но услышали звон
разбитой тарелки. Помогите родителям выяснить, какова вероятность, что по
суду мыла та 1mи иная из дочерей.
4.4. Два завода
поставляют трубы для скважин. Завод А поставляет
30% обшего поставляет 70% труб, а
количества труб, из которых стандартных среди них
95% стандартных. Завод В 90%. Взятая наудачу труба оказалась
нестандартной.
Какова вероятность, что она изготовлена на заводе А?
4.5.
Из
20
студентов, сдаюших экзамен,
вопросов}, б-хорошо (знают сов) и
2- плохо (10
35
8
подготовлены отлично (знают все
вопросов из
40),
4-средне (знают
25
40
вопро
вопросов). Наудачу вызванный студент ответил на все три
вопроса б1mета. Найти вероятность, что он подготовлен: а) хорошо, б) плохо.
4.6.
Из
18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 - с вероятно 4- с вероятностью 0,6 и 2- с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный
стью О, 7;
стрелок не попал в мишень. К какой группе вероятнее всего принадлежит этот стрелок?
4.7.
Страховая компания разделяет водителей по трем классам: класс Н 1 -низ
кого риска, класс Н2 -среднего риска, класс Нз -высокого риска.
. тел ей
попадает в первый класс,
50%- во
второй класс и
20%
30%
води-
-в третий класс.
Вероятность в течение года попасть в аварию для водителя класса Н1 равна
0,01;
для водителя класса Н2 равна
0,02,
а для водителя класса Нз равна
0,08.
Водитель Иванов в течение года попадает в аварию. Ка~ова вероятность, что он относится к классу Н1? К классу Н2? К классу Нз?
24
Участок нефтепровода состоит из линейной части и резервуарного парка.
4.8.
Каждая из составляющих необходима для работы всего участка. Вероятность безотказной работы в течение времени Т линейной части равна
0,9,
а резерву
арного парка- 0,8. Какова вероятность, что авария произошла только в линей ной части, если отказы в двух составляющих участка: а) несовместны; б) неза
висимы?
4.9.
Вероятность повышения давления в трубопроводе до критического значе
ния Ркр. равна О, 15. Вероятность срабатывания контрольно-измерительного прибора при достижении критического давления равна
0,9.
Вследствие помех
при нормальном давлении в системе прибор может ложно сработать с вероят
ностью
0,1.
Диспетчер зарегистрировал повышение давления до кр1пического
значения. Какова вероятность, что давление действительно было nовышено?
4.10.
В воскресенье утром Петя решил пригласить одну из своих nодруг пока
таться на лыжах. Маша и Вера согласятся на раннюю nрогулку с вероятностью
0,1,
аЛена-с вероятностью
0,05.
Петя случайным образом набрал номер одной
из трех своих подруг, и получил отказ. Какова вероятность, что он позвонил
Лене.
4.11.
0,6
Один стрелок поражает цель с вероятностью
и третий- с вероятностью
оказалось
4.12.
2
0,5.
0,8,
другой- с вероятностью
После залпа всех трех стрелков в мишени
nробоины. Какова вероятность, что промахнулея третий стрелок?
В условиях предыдущей задачи после залпа трех стрелков в мишени ока
залась только одна пробоина. Какова вероятность, что промахнулись 1-й и 3-й стрелки?
4.13.
Студент во время экзамена для решения сложной задачи решил восnоль
зоваться мобильным телефоном, в котором записаны номера десяти его друзей.
Пятеро адресатов могут решить задачу с вероятностью стью
0,5
0,3,
четверо с вероятно
и лишь один (обучающнйся по специальности «прикладная математи
ка») с вероятностью
1.
Первый же звонок по телефону поз11олил студенту ре
шить задачу. Какова вероятность, что он дозвонился до друга-математика?
4.14. 20%
проблем с загрузкой компьютера связаны с ошибками, допушенными
компанией Мicrosoft, и в одном случае из пятидесяти nри этом nриходится за
ново nереустанавливать систему.
35%
проблем связаны с наличием вируса
25
(ne-
реустановка требуется в одном случае из
В остальных случаях проблемы
20).
возникают из-за действий пользователя, и переустановка требуется в одном случае из
30.
Ваш компьютер вышел из строя. Какова вероятность, что в этом
виновата компания Мicrosoft, и Билл Гейтс принесет вам свои извинения?
4.15.
В первой урне лежат
3
белых и
8 черных
шаров, во второй
- 4
белых и
5
черных. Из первой урны наудачу переложили два шара во вторую урну, после
чего из второй урны наудачу достают один шар, и он оказывается белым.
1)
Какова вероятность, что из первой урны во вторую переложили два бе
лых шара?
2)
Какова вероятность, что вынутый из второй урны шар первоначально
находился в первой урне?
4.16.
Из двух монет одна имеет брак, и поэтому вероятность выпадения орла
для нее равна
0,6.
Наудачу взятая монета была подброшена два раза, и каждый
раз выпадал орел. Какова вероятность, что была взята бракованная монета?
4.17. Решить предыдушую 4.18. Из
задачу, если орел выпал: а) три раза; б)
n раз.
двух близнецов первым родился мальчик. Какова вероятность, что сле
дуюшим на свет тоже появится мальчик, если среди близнецов вероятность ро ждения двух мальчиков и двух девочек соответственно равна р и
q,
а для раз
нополых близнецов вероятность рождения первым мальчика или девочки оди
накова?
4.19. На экзамен
пришли
16 успевающих
студента и
использования шпаргалки двоечником равна
0,8,
8 двоечников. Вероятность 0,4.
успевающим студентом
После экзамена преподаватель нашел в аудитории шпаргалку. Какова вероят
ность, что ее уронил двоечник?
4.20. На
шоссе одна за другой расположены две автозаправочные станции: сна
чала принадлежатая компании и 100/о из тех, кому не удалось заправить на ней автомобиль, останавлива
ются затем на станции «СлавнефТИ». Вероятность заправить автомобиль на
26
станции «Славнефти» равна
85%.
Наудачу остановленный инспектором ГАИ
после двух автозаправочных станций автомобиль оказался заправленным. Ка кова вероятность, что его владелец воспользовался услугами «Юкоса>>?
При переnивании крови должна учитываться ее группа. Человеку с 4-й
4.21.
группой можно перелить любую кровь, челове~ 1)
независимых испытаниях Берну лли со
бытие А произойдет ровно k раз, может бьпь найдена по приближенной форму ле:
1
Pn (k) = .,fiipq · tp где р
-
Функция
l(k-npJ .,fiipq ,
вероятность nоявления собьпия А в каждом исnытании,
q = 1 _ р.
1 -x2t2 ~ tp(x) = ~ е nредставляет собои nлотность стандартного v2д
нормального распределения и nриведена в таблицах (см. Приложение).
28
Интегральная теорема Муа8ра -Лапласа. Вероятность того, что в
k2
произойдет от k1 до
n
независимых испытаниях
(n» 1)
собьrrие А
раз, приближенно можно найти по формуле
Pп(ki :(x) был
бы отличен от нуля, и ее значение, а значит и вероятность Рп(k), стала бы меньше). б) по интегральной теореме Муавра- Лапласа
11Joo(7oo, 730) = Фl( 730-800·0,9) -Ф(7ОО -800·0,9) = .j8oo· о,9. 0,1
.j8oo- о,9. 0,1
= Ф(1,18)- Ф( -2,36) = Ф(l,IS) + Ф(2,36) ~ 0,381 + 0,491 = 0,872
30
в) по интегральной теореме Муавра- Лапласа
Psoo(?oo, 8oo) =
Фl8оо -800· 0,9,_ Фl 700 -800· 0,9 J= .J8oo. о,9· 0,1 J
.J800·0,9· 0,1
= Ф(9,43)- Ф( -2,36) = Ф(9,43) + Ф(2,36),., 0,5 + 0,491 = 0,991 ПРИМЕР
4. На потоке уч1пся 200 студентов. Какова вероятность, что у
двоих из них день рождения придется на
1 января?
Решение. Вероятность рождения студента в любой из дней года будем сч1пать одинаковой, тогда р= 1/365,
n = 200.
Поскольку пр<
10,
а вероятность
р мала, воспользуемся формулой Пуассона:
или р=О,О87.
Задачи к разделу
5.1.
В гараже завода стоят
каждой машины равна
0,8.
5
грузовых машин. Вероятность выхода на линию
Найти вероятность нормальной работы завода, если
для этого нужно, чтобы не менее
5.2.
5.
4
машин вышло на линию.
В среднем каждый пятый покупатель носит обувь 42-го размера. Hai"rrи ве
роятность, что нз пяти nокупателей магазина обувь такого размера понадобится
а) одному; б) по крайней мере, одному.
5.3.
Тест состоит из пяти воnросов, на каждый из которых приведено
4
вариан
та ответа. Студент не знает ни одного вопроса и выбирает ответы наудачу. Най
ти вероятность, что он даст: а) три правильных ответа; б) не менее трех пра вильных ответов; в) не более одного ответа.
5.4.
Завод отправил на базу
пути равна
0,0002.
5000
деталей. Вероятность повреждения детали в
Найти вероятность, что среди отправленных деталей будет
повреждено а) ровно
3;
б) ровно одно; в) более двух.
31
5.5.
В среднем в одном' кубометре воздуха присутствует
100
болезнетворных
микробов. На пробу берется 2 дм 3 воздуха. Найти вероятность обнаружить там хотя бы один микроб.
5.6.
В соответствии с техническими условиями лекарь положил в
2000
жалобу, если тот обнаружил в
5.7.
Левши составляют
5%
40 булочках
всего
булочек
1 изюминку?
людей. Какая вероятность, что среди
будут левшами? Левшей будет не менее
5.8.
1000
изюминок. Можно ли убедить знающего эту норму покупателя не писать
Заболеваемость гриппом во время эпидемии составила
ятность, что в студенческой группе из
дут на занятие более
5.9. Диагноз
200
человек
11
3? 30%.
Какова веро
человек заболеют гриппом и не при
25
15 студентов?
СПИД в России установлен в среднем у
17,62
человек на
100 тысяч 756000
населения. Какова вероятность, что среди жителей района с населением
человек этот диагноз окажется менее чем у
100 человек?
Экзамен по теории вероятностей с первого раза сдают
5.10.
Найти вероятность, что на первом экзамене из более
5.11.
50%
студентов.
студентов сдадут экзамен
11 О человек. Всхожесть семян огурца равна
женных
300 семян
5.12. Игральную стью
200
0,8
взойдет не менее
кость бросают
84
0,8.
найти вероятность того, что из поса
200.
раза. Найти интервал, в который с вероятно
попадает число т выпавших «шестерою>. Однозначно ли находятся
границы интервала?
5.13.
На потоке учатся
180
студентов. Если у троих из них день роЖдения сов
падает, то все студенты потока идут вечером на дискотеку. Какова вероятность,
что за весенний семестр студенты ровно один раз посетят дискоте-;.-у по этой
nричине?
5.14. Давид Бекхэм забивает в среднем 0,6 гола за игру. Какова вероятность, что в 11 играх чемnионата Европы Бекхэм забьет от 2 до 8 голов? Решить задачу на основе формулы Бернулли и с исnользованием интегральной теоремы Муавра _ Лапласа. Какой из полученных результатов более точен?
32
6. Случайные величины, законы их распределения и числовые характеристики
3
аконом распределения случайной величины ~ называется соотношение, устанавлИвающее связь между значениями ~ и вероятностями этих значений .
.Цля любой случайной величины закон распределения может бьпь представлен
функцией распределения. Функцией распределения случайной величины называется функция
F(?:),
равная вероятности того, что случайная величина ~
примет значение меньшее х, где х- любое действительное число:
F(x) = P{q < х}. Случайная величина называется дискретной, если она принимает ко нечное или счетное число значений. Закон распределения дискретной случай
ной величины может бьпь задан рядом распределения. Ряд представляет собой совокупность всех возможных значений
Xj
ветствующих им вероятностей
Закон (ряд) распределения запи
Pi = Р{~ = xi}.
случайной величины ~ и соот-
сывается в виде таблицы:
(Если число значеннй случайной величины счетное, то таблица содерж1п бесконечное множество ячеек. В таком случае должно быть задано правило, по
которому определяются вероятности Рп).
Вероятности Pi в этой таблице подчиняются условию
n
:2.:: Pi
=
1. Построив
i=l на nлоскости точки с координатами
(x;,pi)
ломаную линию, которая называется
и соединив их отрезками, получим
многоугольником распределения
(рис.l):
33
р
1 1
1
:Р1
:Р4
:/>2
Рис.l.
~
Х2
Х1
Многоугольник
Х4
хз
распределения
случайной
дискретной
величины.
Функция распределеНIIЯ дискретной случайной величины определяет
ся как
F(x) =
L
Р;, где суммирование ведется по тем значениям индекса i,
Х;