Синтез электрических цепей

Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет

СИНТЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы Электронное издание

Красноярск СФУ 2012

1

УДК 621.372.061 ББК 31.2 С387 Составитель: В. И. Вепринцев С387 Синтез электрических цепей: учебно-методическое пособие для самостоятельной работы [Электронный ресурс] / сост. В. И. Вепринцев. – Электрон. дан. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2011. – 1 диск. – Систем. требования: PC не ниже класса Pentium I; 128 Mb RAM; Windows 98/XP/7; Microsoft Word 97-2003/2007. – Загл. с экрана. Приведено расчетно-графическое задание по основным разделам дисциплины Синтез электрических цепей. Даны краткие теоретические сведения и примеры решения. Предназначено для студентов направления 210300.62 «Радиотехника».

УДК 621.372.061 ББК 31.2 © Сибирский федеральный университет, 2012 Учебное издание

Подготовлено к публикации редакционно-издательским отделом БИК СФУ Подписано в свет 18.01.2012 г. Заказ 5640. Уч.-изд. л. 0,5, 0,9 Мб. Тиражируется на машиночитаемых носителях. Редакционно-издательский отдел Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79 Тел/факс (391)206-21-49. E-mail [email protected] http://rio.sfu-kras.ru

2

Общие сведения Самостоятельная работа (СР) – это один из видов реализации образовательного процесса, предусмотренный основной образовательной программой (ООП) направления подготовки или специальности высшего профессионального образования (ВПО). В соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом (ФГОС ВПО) основной образовательной программой регламентируются цели, ожидаемые результаты, содержание и реализация образовательного процесса по данному направлению подготовки или специальности ВПО, в том числе и в части, относящейся к самостоятельной работе. Под самостоятельной работой по дисциплине понимается внеаудиторная работа по ее освоению, дополняющая обязательные, аудиторные занятия. К основным видам СР по дисциплине «Синтез электрических цепей» относятся: изучение теоретического курса (ТО); выполнение расчетно-графического задания. Содержание СР по конкретной дисциплине и ее трудоемкости регламентируются учебным планом направления подготовки и учебной программой дисциплины. Мерой трудоемкости образовательной программы является зачетная единица (з.е.). Одна зачетная единица равна 36 часам. Объем СР по дисциплине «Синтез электрических цепей» в соответствии с учебной программой составляет 41% от общего объема дисциплины 3,3(119) в зачетных единицах (часах). От того, как успешно используется выделяемое на СР время, в значительной степени зависит качество подготовки специалистов. Оказать помощь в эффективной реализации СР по дисциплине и призваны адресуемые студентам методические указания. В методических указаниях даются: сведения о структуре СР по дисциплине; методике реализации самостоятельной работы по изучению теоретического курса; методике реализации самостоятельной работы по выполнению расчетнографических заданий; библиографический список. Цель курса - дать знания, необходимые инженеру в его практической деятельности и заложить основы для изучения специальных дисциплин. Курс «Синтез электрических цепей» строится на базе знаний, полученных в параллельно изучаемых курсах «Высшая математика», «Основы теории цепей». Курс «Синтез электрических цепей» является базовым для изучения таких дисциплин учебного плана как «Радиотехнические цепи и сигналы»,

3

«Электроника», «Устройства СВЧ и антенны», «Устройства формирования сигналов», «Устройства приема сигналов» и др. Основной задачей курса СЭЦ является обучение студентов современным методам синтеза электрических цепей. 1. Структура самостоятельной работы Учебная программа дисциплины предусматривает теоретическое обучение и лабораторный практикум (выполнение лабораторных работ). Теоретическое обучение осуществляется в форме лекционных аудиторных занятий и внеаудиторной, самостоятельной работы. На самостоятельное изучение выносятся вопросы теоретического курса, предусмотренные учебной программой, но не рассматриваемые на лекционных занятиях, в частности из-за ограниченного их времени. Выбор материала для самостоятельного изучения осуществляется из условия сохранения причинно-следственных связей и целостности теоретического курса. Самостоятельная работа студента включает в себя также теоретическую подготовку к лабораторным занятиям, математическую обработку и теоретическое обоснование результатов лабораторных исследований, их оформление и защиту. К самостоятельной работе относится также изучение всего теоретического материала для сдачи зачета и экзамена по курсу и самостоятельного выполнения расчетно-графических заданий. В соответствии с учебной программой структура СР Вид учебной работы Общая трудоемкость дисциплины Самостоятельная работа: изучение теоретического курса (ТО) расчетно-графические задания (РГЗ)

Всего зачетных единиц (часов)

Семестр

6

3,3(119) 3,3(119) 1,42(51) 0,75(27) 0,67(24)

Вид итогового контроля (зачет экзамен)

1,42(51) 0,75(27) 0,67(24) Зачет

2. Методика реализации самостоятельной работы по изучению теоретического курса Ниже приводятся названия модулей и тем теоретического курса и перечень вопросов, выносимых на самостоятельное изучение. По каждому из вопросов указывается рекомендуемая литература для его самостоятельного изучения в соответствии с библиографическим списком, данным в конце методических указаний. Для получения зачета по дисциплине студент должен представить преподавателю, ведущему занятия по дисциплине в часы учебных занятий или

4

во время консультаций, конспект самостоятельно изученных вопросов теоретического курса объемом до 20-25 с. 3. Методика реализации самостоятельной работы по выполнения расчетно-графического задания Учебная программа дисциплины предусматривает выполнение расчетнографического задания, посвященного синтезу двухполюсника методом Бруне. В данные методические указания включены три расчетно-графических задания, выполняемых студентами при изучении курса «Синтез электрических цепей». Ниже приводится 100 вариантов каждого задания (таблица 1). Вариант определяется двумя последними цифрами номера зачетной книжки студента. Величина m, входящая в уравнение заданной функции F ( p ) , равна предпоследней цифре номера зачетной книжки, если предпоследняя цифра нуль, то следует принять m = 10. Если последняя и предпоследняя цифры нули, то нужно выполнять 100-й вариант. Таблица 1 № Последняя цифра Уравнение функции F ( p) п/п номера зачетной книжки  103 ( p 2 + 5 ⋅106 ) 16 p 2 + 14 ⋅103 p + 8 ⋅106  1 1 m  + 2 6  p ( p + 9 ⋅10 )

5 p 2 + 2 ⋅103 p + 106

 

 10−3 p ( p 2 + 8 ⋅106 ) 6 p 2 + 6 ⋅103 p + 12 ⋅106  m +  p 2 + 6 ⋅106 2 p 2 + 103 p + 2 ⋅106    10−3 p ( p 2 + 9 ⋅ 106 ) 7 p 2 + 7 ⋅ 103 p + 8 ⋅ 106  + m  p 2 + 6 ⋅ 106 4 p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106  

2

2

3

3

4

4

 ( p 2 + 106 )( p 2 + 6 ⋅106 ) 14 p 2 + 13 ⋅103 p + 30 ⋅106  m +  p ( p 2 + 4 ⋅106 ) p 2 + 2 ⋅103 p + 6 ⋅106  

5

5

 103 ( p 2 + 106 ) 9 p 2 + 5 ⋅103 p + 17 ⋅106  + m  2 6 p 2 + 103 p + 3 ⋅106   p ( p + 16 ⋅10 )

6

6

 10−3 p ( p 2 + 9 ⋅106 ) 11 p 2 + 4 ⋅103 p + 20 ⋅106  m +  p 2 + 4 ⋅106 3 p 2 + 2 ⋅103 p + 8 ⋅106  

7

7

 10−3 p ( p 2 + 4 ⋅106 ) 5 p 2 + 2 ⋅103 p + 11 ⋅106  m +  p 2 + 106 4 p 2 + 2 ⋅103 p + 6 ⋅106  

8

8

 103 ( p 2 + 3 ⋅106 ) 13 p 2 + 3 ⋅103 p + 14 ⋅106  m +  2 6 8 p 2 + 2 ⋅103 p + 107   p ( p + 8 ⋅10 )

9

9

 103 ( p 2 + 8 ⋅106 ) 6 p 2 + 104 p + 24 ⋅106  m + 2  2 6 p + 103 p + 8 ⋅106   p ( p + 12 ⋅10 )

5

10

0

 10−3 p ( p 2 + 8 ⋅106 ) 9 p 2 + 6 ⋅103 p + 12 ⋅106  + m  p 2 + 2 ⋅106 2 p 2 + 103 p + 2 ⋅106  

Результаты выполнения расчетно-графического задания оформляют в виде пояснительной записки, имеющей титульный лист, где указывают следующее: Федеральное агентство по образованию «Сибирский федеральный университет», кафедра «Радиотехники», фамилия, инициалы студента, номер зачетной книжки. В нижней части титульного листа указывают год, месяц и число окончания выполнения курсовой работы. Титульный лист оформляют на плотной бумаге форматом 297х210. Материал в пояснительной записке рекомендуется излагать в том порядке, в каком выполняется расчетно-графическое задание. В тексте записки формулы приводятся в общем виде и лишь затем в них подставляют числовые значения. Весь графический материал, приводимый в записке (схемы, графики и т. д.), рекомендуется выполнять на миллиметровой бумаге того же формата, что и листы пояснительной записки. Графический материал располагают в тех местах записки, к которым он относится. К иллюстрациям делают надписи с тематическим названием. В конце пояснительной записки приводят список использованной литературы. 4. Краткие теоретические сведения. Синтез RLC −двухполюсников Убедившись, что заданная функция F ( p ) удовлетворяет условиям физической реализуемости, можно перейти к нахождению двухполюсника, входной функцией которого она является. Рассмотренные выше методы реализации цепей с двумя типами элементов практически неприменимы в случае положительных вещественных функций с комплексными нулями и полюсами, так как в разложении на простые дроби положительность и вещественность вычетов не гарантируется. Общий метод синтеза, разработанный О. Бруне, завершает доказательство основной теоремы синтеза демонстрацией того, что если рациональная функция является положительной и вещественной, то всегда существует линейный, пассивный с сосредоточенными и неизменными во времени параметрами двухполюсник, сопротивлением (или проводимостью) которого эта функция является. Метод Бруне состоит из нескольких этапов, последовательно снижающих порядок заданной входной функции. 1. Поскольку полюсы положительной вещественной функции на мнимой оси простые, а вычеты в них вещественные и положительные, то соответствующие члены в разложении ее на элементарные дроби всегда могут быть реализованы одной из схем Фостера. Таким образом, при выделении из положительной вещественной функции полюсов на мнимой оси, включая p = 0 и p = ∞ , достигается частичная реализация и упрощение данной функции. 6

После выделения полюсов оставшаяся функция проверяется на наличие нулей на мнимой оси и, если такие нули появляются, то берется обратная функция от оставшейся и выделяются получающиеся при обращении полюсы на оси jω . В результате остается функция, являющаяся положительной вещественной и не имеющая полюсов и нулей на мнимой оси, она называется функцией минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости F ( p ) . 2. Полученная функцией минимальной реактивности может быть еще более упрощена выделением минимального значения вещественной составляющей этой функции на мнимой оси (рис.1).

Рис.1

Выделение min Re F ( jω ) состветствует реализации последовательного сопротивления R1 , если F ( p ) −входное сопротивление, или параллельного (шунтирующего) сопротивления, если F ( p ) −входная проводимость двухполюсника (рис.1). Оставшаяся функция F1 ( p ) = F ( p ) − min Re F ( jω ) является положительной вещественной, не имеет полюсов и нулей на мнимой оси и ее вещественная часть равна нулю при p = jω1 ( Re F ( jω1 ) = 0 ), ее называют минимальной функцией.

Рис.2

7

Частичная реализация заданной функции, вплоть до момента получения минимальной функции, приводит к цепи, состоящей из реактивных элементов L и C и активных сопротивлений R1 (рис. 2), которая называется предварительной цепью Фостера. 3. Очевидно, если минимум R1 выделяется на конечной частоте jω1 , то оставшаяся после его выделения минимальная функция F1 ( jω1 ) является чисто мнимой величиной. Предположим F1 ( p ) = Z1 ( p ) −минимальное сопротивление двухполюсника

M ( p ) an p n + an−1 p n−1 + ... + a1 p + a0 . Z1 ( p ) = = N ( p ) bm p m + bm−1 p m−1 + ... + b1 p + b0 При p = jω1 , Re F ( jω1 ) = 0 , Z1 ( jω1 ) = ± jx1 , т. е. Z1 ( jω1 ) чисто реактивное. Возможно два случая Z1 ( jω1 ) = − jx1 и Z1 ( jω1 ) = + jx2 . В первом случае индуктивностью L1 = −

Z1 ( jω1 ) = − jx1 можно представить отрицательной x1

ω1

(рис.3).

Рис.3

Выделив из сопротивления Z1 ( p ) сопротивление индуктивности

pL1 ,

получим Z 2 ( p ) = Z1 ( p ) − pL1 , которое имеет нуль на мнимой оси при

p = + jω1 (действительно, Z 2 ( jω1 ) имеет Re Z1 ( jω1 ) = 0 и при выделении индуктивности L1 Z 2 ( jω1 ) = 0 ). Z 2 ( p) = Z1 ( p) − pL1 =

M 2 ( p) . N ( p)

Степень полинома M 2 ( p ) на единицу больше степени полинома M ( p ) (числителя функции Z1 ( p ) ).

4. Функция Y2 ( p ) = 1/ Z 2 ( p) имеет полюс при p = + jω1 , вычет в котором

вещественный положительный. Выделение из функции

8

Y2 ( p ) полюса при

p 2 = −ω12

дает

последовательный

колебательный

контур

(рис.4)

с

положительными L2 и C .

Рис.4

Из рисунка видно, что на частоте

ω1 возникает последовательный резонанс

контура L2 C , и правая часть схемы оказывается короткозамкнутой.

1 L2 = , 2k2

Y2 ( p )( p 2 + ω12 ) 2k2 = 2lim 2 . p →−ω1 p

1 C= 2 , ω1 L2

5. Оставшаяся после выделения контура L2 C функция

Y3 ( p ) = Y2 ( p) −

M ( p) 2k 2 p = 3 2 2 p + ω1 N3 ( p)

имеет степень числителя M 3 ( p ) , равную n − 2 , а степень знаменателя n − 1, а значит, имеет нуль в бесконечности. Положительная вещественная функция Z 3 ( p ) = 1/ Y3 ( p ) имеет полюс при p = ∞ с положительным вещественным вычетом, который выделяется и реализуется индуктивностью L3 > 0 (рис.5).

Рис.5

9

Функция

Z 4 ( p ) = Z 3 ( p ) − pL3 =

M 4 ( p) N 4 ( p)

является

положительной

вещественной функцией со степенями полиномов M 4 ( p ) и N 4 ( p ) , равными n − 2 . На этом завершается один цикл синтеза по Бруне, к оставшейся после него функция Z 4 ( p ) также может быть применен следующий цикл Бруне до полной реализации двухполюсника. Полученные три индуктивности, одна из которых отрицательна, могут быть заменены трансформатором (рис. 6).

а)

б) Рис.6

Условием эквивалентности цепей (рис. 29а,б) является равенство их параметров:

 U1 = Z11 I1 + Z12 I 2′ .  ′ U = Z I + Z I  2 21 1 22 2 Для Т−образного четырехполюсника (рис. 29б)

Z11 =

U1 I1

= I 2′ =0

Z 22 =

U1 U = p ( L1 + L2 ) , Z12 = 1 U1 /( pL1 + pL2 ) I 2′

U2 I 2′

= p ( L1 + L3 ) , I1 =0

Z 21 =

U2 I1

= pL2 I1 =0

= pL2 . I 2′ =0

Для трансформатора (рис. 29б) справедлива система уравнений:

10

U1 = pLP ⋅ I1 + pM ⋅ I 2′ ,  ′ U = pM ⋅ I + pL ⋅ I 1 S 2  2 откуда

Z11 = pLP ,

Z 22 = pLS ,

 L1 + L2 Z = p [ T]  L  2

Z12 = Z 21 = pM .

  LP = L2 + L3   M L2

M . LS 

Таким образом, для цикла Бруне LP = L1 + L2 , LS = L2 + L3 , M = L2 . Коэффициент связи трансформатора

kCB =

M L2 = . LP LS ( L1 + L2 )( L2 + L3 )

kCB = 1 , то трансформатор называется совершенным, практически можно реализовать трансформатор, близкий к совершенному ( kCB = 0,99 ). Если

Тогда откуда

L L + L1 L3 + L2 L3 L22 = 1− 1 2 = 1, ( L1 + L2 )( L2 + L3 ) ( L1 + L2 )( L2 + L3 ) L1 L2 + L1 L3 + L2 L3 = 0 .

Для выполнения последнего равенства необходимо, чтобы одна из индуктивностей была отрицательной. Пример 1. Методом Бруне реализовать входную функцию

p 5 + 3 ⋅103 p 4 + 7 ⋅ 106 p 3 + 12 ⋅ 109 p 2 + 11 ⋅1012 p + 6 ⋅1015 Z ( p) = . 2 p 5 + 103 p 4 + 107 p 3 + 4 ⋅109 p 2 + 8 ⋅ 1012 p Решение. 1. Разложим функцию Z ( p ) на множители.

11

103 ( p2 + 3⋅106 )(2 p2 +103 p + 2 ⋅106 ) + ( p2 + 4 ⋅106 )( p2 +103 p + 2 ⋅106 ) p = Z( p) = 2 6 2 3 6 p( p + 4 ⋅10 )(2 p +10 p + 2 ⋅10 )

103 ( p 2 + 3 ⋅106 ) p 2 + 103 p + 2 ⋅106 = + = Z P ( p ) + Z1′( p ) . p ( p 2 + 4 ⋅106 ) 2 p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106 Z P ( p ) является входным сопротивлением реактивного двухполюсника. Нули Z P ( p ) при p = ± j 3 ⋅ 10 , p = ∞ ; полюсы при p = 0 , p = ± j 2 ⋅ 10 . 3

3

Z P ( p ) реализуется первой схемой Фостера (рис. 7).

Рис. 7

Элементы схемы:

1 3 = k0 = lim [ pZ P ( p )] = 103 , C0 = 1,33 ⋅ 10−3 Ф , p →0 C0 4 1 Z P ( p )( p 2 + 4 ⋅106 ) 103 = 2 lim 6 = 2k2′ = , C2′ = 4 ⋅ 10−3 Ф , ⋅ C2′ p →−410 p 4 1 1 = = 62,5 ⋅10−6 Гн . 2 6 −3 ω C2′ 4 ⋅ 10 ⋅ 4 ⋅10 Оставшаяся функция Z1′( p ) является положительной вещественной и не имеет полюсов и нулей на мнимой оси, Z1′( p ) −функция минимального L2′ =

реактивного сопротивления. 2. Выделим из функции Z1′( p ) минимальное значение вещественной составляющей на мнимой оси. Для p = jω

12

−ω 2 + j103 ω + 2 ⋅ 106 Z1′( jω ) = . 2 3 6 −2ω + j10 ω + 2 ⋅10 Разделяя вещественную и мнимую составляющие, получим

2ω 4 − 5 ⋅106 ω 2 + 4 ⋅1012 103 ω 3 Z1′( jω ) = , −j 4 4ω 4 − 7 ⋅ 106 ω 2 + 4 ⋅ 1012 4ω − 7 ⋅106 ω 2 + 4 ⋅1012 Вещественная составляющая имеет минимум в одной из точек, где производная

d ( Re Z1′( jω ) ) = 0 . Определим значения ω и min Re Z1′( jω ) dω

из этого условия:

 2ω 4 − 5 ⋅106 ω 2 + 4 ⋅1012 ′ 5 6 3 12  4ω 4 − 7 ⋅106 ω 2 + 4 ⋅1012  = 0 , 3ω − 8 ⋅10 ω + 4 ⋅10 ω = 0 ,   откуда

ω1 = 0 , ω

2 2,3

При полученных значения:

8 ⋅ 106 ± 64 ⋅ 1012 − 48 ⋅1012 = , 6 2 ω22 = 2 ⋅ 106 , ω32 = ⋅106 . 3

ω вещественная составляющая принимает следующие

1 2 7 Re Z1′(ω = 0) = 1 , Re Z1′(ω22 = 2 ⋅106 ) = , Re Z1′(ω32 = ⋅106 ) = . 3 3 5 Очевидно, вещественная часть Z1′( p ) принимает минимальное значение 1 R1 = при ω2 = 2 ⋅ 103 . 3 Выделив R1 , получим p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106 1 p 2 + 2 ⋅ 103 p + 4 ⋅106 Z1 ( p) = Z1′( p) − R1 = − = , 2 p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106 3 3(2 p 2 + 103 p + 2 ⋅106 ) которая является минимальной функцией. Частичная реализация входной функции дает предварительную цепь Фостера (рис.8).

13

Рис.8

3. Определим значения вещественной и мнимой частей Z1 ( p )

при

ω2 = 2 ⋅ 103 . −ω 2 + j 2 ⋅ 103 ω + 4 ⋅ 106 Z1 ( jω ) = = 2 3 6 3(−2ω + j10 ω + 2 ⋅10 ) 2ω 4 − 8 ⋅106 ω 2 + 8 ⋅ 1012 103 ω 3 = −j 4 . 3(4ω 4 − 7 ⋅106 ω 2 + 4 ⋅1012 ) 4ω − 7 ⋅106 ω 2 + 4 ⋅1012 Re Z1 ( p ) ω = 2

2 ⋅103

= 0,

что

и

следовало

ожидать,

поскольку

Z1 ( jω ) −минимальная функция.

2 = − x1 = ω L1 , 2 ⋅10 2 3 x 2 1 −3 L1 = − 1 = − = − 10 Гн . ω 3 3 2 ⋅ 103 Выделив индуктивность L1 из Z1 ( p ) , получим p 2 + 2 ⋅103 p + 4 ⋅ 106 10−3 p Z 2 ( p ) = Z1 ( p ) − pL1 = + = 3(2 p 2 + 103 p + 2 ⋅106 ) 3 2(10−3 p 3 + p 2 + 2 ⋅103 p + 2 ⋅ 106 ) 2( p 2 + 2 ⋅106 )(10−3 p + 1) = = . 3(2 p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106 ) 3(2 p 2 + 103 p + 2 ⋅106 ) Функция Z 2 ( p ) имеет степень числителя на единицу выше степени функции Im Z1 ( jω ) ω =

3

=−

Z1 ( p ) , а также имеет нуль на мнимой оси при p = ± j 2 ⋅103 . Y2 ( p ) = 1/ Z 2 ( p) имеет полюс при ω2 = 2 ⋅ 103 . Выделение этого полюса дает последовательный колебательный контур L2 C (рис.9). Функция

14

Рис.9

Y2 ( p )( p + 2 ⋅ 106 ) 2k2 = 2 lim 6 = 1500, L2 = 0,67 ⋅10−3 Гн , p →−210 ⋅ p 1 1 C= 2 = = 0,75 ⋅ 10−3 Ф . 6 −3 ω1 L2 2 ⋅ 10 ⋅ 0,67 ⋅10 2

5. Определим

2k2 p = p 2 + 2 ⋅ 106 3(2 p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106 ) 3 ⋅ 103 p 3 = − = . 2( p 2 + 2 ⋅ 106 )(10−3 p + 1) 2( p 2 + 2 ⋅ 106 ) 2(10−3 p + 1) 1 2(10−3 p + 1) Положительная вещественная функция Z 3 ( p ) = = Y3 ( p ) 3 имеет полюс при p = ∞ , который реализуется индуктивностью L3 . Y3 ( p ) = Y2 ( p ) −

2 2 Z 3 ( p ) = 10−3 p + = L3 p + R , 3 3 −3 L3 = 0,67 ⋅ 10 Гн , R = 0,67 Ом . Полная и эквивалентная схемы, реализующие входную функцию, показаны на рис.10 и рис.11.

Рис.10

15

Рис.11

Во втором случае Z1 ( jω1 ) = + jx1 можно представить индуктивностью

L1 =

x1

ω1

будет

> 0 и выделить pL1 из положительной

Z1 ( p) − pL1 =

M 1 ( p) − pL1 N ( p)

Z1 ( p ) . Функция Z 2 ( p ) = Z1 ( p ) − pL1 не

вещественной,

поскольку

при

получим

числителе

Z 2 ( p)

в

вычитании члены

с

Z 2 ( p ) имеет нуль при p = ± jω1 , и если из обратной функции Y2 ( p ) = 1/ Z 2 ( p) выделить полюс при p = ± jω1 , в котором положительный вещественный вычет, то получится параллельная ветвь из L2 и C (рис.9). Оставшаяся функция Z 3 ( p ) = 1/ Y3 ( p ) , где 2k p Y3 ( p ) = Y2 ( p ) − 2 2 2 имеет полюс в бесконечности с отрицательным p + ω1 вычетом, выделяя который, можно получить L3 < 0 (рис.12). отрицательными коэффициентами. Однако функция

Рис.12

16

После выделения

L3 остается положительная вещественная функция

Z 4 ( p ) , к которой может быть применен следующий цикл Бруне. Полученные три индуктивности, как и в первом случае, могут быть заменены совершенным трансформатором (рис.13).

Рис.13

Пример 2. Методом Бруне реализовать входную функцию

p 5 + 2 ⋅ 103 p 4 + 9 ⋅ 106 p 3 + 6 ⋅ 109 p 2 + 17 ⋅ 1012 p + 1015 Z ( p) = . 103 ( p 4 + 103 p 3 + 5 ⋅ 106 p 2 + 109 p + 4 ⋅1012 ) Решение. 1. Представим функцию Z ( p ) совокупностью более простых функций.

p ( p 2 + 4 ⋅ 106 ) p 2 + 103 p + 106 Z ( p) = 3 2 + = Z P ( p ) + Z1 ( p ) . 10 ( p + 106 ) p 2 + 103 p + 4 ⋅ 106 10−3 p ( p 2 + 4 ⋅ 106 ) Функция Z P ( p ) = является входным сопротивлением p 2 + 106 реактивного двухполюсника (рис.14).

Рис.14

Нули Z P ( p ) при p = ± j 2 ⋅ 10 , p = 0 , полюсы при p = ∞ и p = ± j10 . 3

3

17

Элементы схемы:

Z P ( p) = 10−3 Гн , p →∞ p Z P ( p)( p 2 + 106 ) 1 2k2′ = 2lim 6 = 3000, C2′ = = 0,33 ⋅10−3 Ф , p →−10 p 2k2′ 1 L2′ = 2 = 3 ⋅10−3 Гн . ω C2′ 2. Для p = jω L = H = lim

−ω 2 + j103 ω + 106 Z1 ( jω ) = = −ω 2 + j103 ω + 4 ⋅106 ω 4 − 4 ⋅106 ω 2 + 4 ⋅ 1012 3 ⋅109 ω = 4 +j 4 . ω − 7 ⋅106 ω 2 + 16 ⋅ 1012 ω − 7 ⋅ 106 ω 2 + 16 ⋅1012 Re Z1 ( jω ) = 0 при ω 4 − 4 ⋅ 106 ω 2 + 4 ⋅1012 = 0 ,

ω 2 = 2 ⋅ 106 .

Следовательно, в предварительной цепи Фостера отсутствует сопротивление R1 . 3. Определим мнимую составляющую Z1 ( jω ) при ω =

Im Z1 ( jω ) ω =

2 ⋅103

2 ⋅103 ;

3 ⋅109 ω 2 = 4 = . ω − 7 ⋅ 106 ω 2 + 16 ⋅1012 2

x1 = ω L1 = Im Z1 ( jω ) ,

L1 =

2 = 0,5 ⋅ 10−3 Гн . 3 2 2 ⋅ 10

Выделив из функции Z1 ( p ) индуктивность L1 , получим

p 2 + 103 p + 106 10−3 p Z 2 ( p ) = Z1 ( p ) − pL1 = 2 − = 3 6 p + 10 p + 4 ⋅10 2 −10−3 p 3 + p 2 − 2 ⋅ 103 p + 2 ⋅106 ( p 2 + 2 ⋅106 )(1 − 10−3 p ) = = . 2( p 2 + 103 p + 4 ⋅ 106 ) 2( p 2 + 103 p + 4 ⋅ 106 )

18

Функция Z 2 ( p ) имеет нуль на мнимой оси p = ± j 2 ⋅ 10 . 3

4. Функция Y2 ( p ) = 1/ Z 2 ( p) имеет полюс при p = ± j 2 ⋅ 10 . 3

Выделение этого полюса дает последовательный колебательный контур L2 C , элементы которого

Y2 ( p )( p 2 + 2 ⋅ 106 ) 1 2k2 = 2 lim 6 = 2 ⋅103 , L2 = = 0,5 ⋅10−3 Гн , p →−210 ⋅ p 2k2 C=

1 = 10−3 Ф . 2 ω L2

5. Оставшаяся функция

Y3 ( p ) = Y2 ( p ) −

2k2 p = p 2 + 2 ⋅ 106

2( p 2 + 103 p + 4 ⋅106 ) 2 ⋅ 103 p 4 = 2 − 2 = . 6 −3 6 ( p + 2 ⋅10 )(1 − 10 p ) p + 2 ⋅10 1 − 10−3 p Y3 ( p ) имеет нуль при p = ∞ . 1 1 − 10−3 p Z3 ( p) = = имеет полюс при p = ∞ с отрицательным Y3 ( p ) 4 вычетом,

выделяя

который,

получим отрицательную индуктивность L3 = −0, 25 ⋅ 10 Гн и R = 0, 25 Ом . Полная и эквивалентная схемы, реализующие входную функцию, показаны на рис.15 и рис.16. −3

Рис.15

19

Рис.16

Во втором случае, когда Z1 ( jω1 ) = + jx1 , цепь может быть реализована другим способом. Используем функцию

Y1 ( jω1 ) =

1 1 = = − jb1 , которая является Z1 ( jω1 ) jx1

отрицательной реактивной проводимостью. Определим величину емкости, соответствующей проводимости − jb , в точке p = jω1 .

− jb1 = jω1C1 , После

выделения

из

C1 = − Y1 ( jω1 )

функции

b1

ω1

< 0. емкости

C1

получим

Y2 ( p ) = Y1 ( p ) − pC1 , которая является положительной вещественной, поскольку C1 < 0 . Y2 ( p ) имеет нуль на мнимой оси при p = jω1 , и степень полинома числителя на единицу выше степени полинома знаменателя. Обратная функция Z 2 ( p ) = 1/ Y2 ( p) имеет полюс на мнимой оси при p = jω1 , вычет в котором положительный вещественный. Выделение из Z 2 ( p ) этого полюса дает параллельный колебательный контур (рис.17).

Рис 17

20

Элементы контура:

Z 2 ( p )( p 2 + ω12 ) 1 1 2k2 = 2lim 2 , C2 = , L= 2 . p →−ω1 p 2k2 ω1 L2

ω1 возникает параллельный резонанс в контуре LC2 и правая часть схемы оказывается разомкнутой ( Z 2 (ω1 ) = ∞ , Y2 (ω1 ) = 0 ). Из рисунка видно, что на частоте

Оставшаяся после выделения контура LC2 функция

Z3 ( p) = Z 2 ( p) −

2k 2 p p 2 + ω12

имеет степень числителя на единицу меньше степени знаменателя, следовательно, имеет нуль в бесконечности. Положительная вещественная функция Y3 ( p ) = 1/ Z 3 ( p ) имеет полюс при p = ∞ , который выделяется и реализуется емкостью C3 > 0 (рис.17). Таким образом, после выделения трех емкостей и индуктивности остается положительная вещественная функция Y4 ( p ) , к которой может быть применен следующий цикл Бруне. Недостатком данного способа реализации RLC −двухполюсников является отрицательная емкость C1 . Для устранения отрицательной емкости, как и в первом случае, может быть применена одна из эквивалентных схем, содержащих идеальный трансформатор (рис.18), либо совершенный трансформатор (рис.19).

Рис.18

Рис.19

Коэффициент трансформации идеального трансформатора

n=

C + C2 C3 + C2 C2 , = 3 = C1 + C2 C2 C1 + C2

21

причем возможно несколько эквивалентных форм n , определяемых из соотношения C1C2 + C3C2 + C3C1 = 0 , аналогичного соотношению для индуктивностей совершенного трансформатора. Эквивалентная схема (рис.49) имеет величины элементов, определяемые соотношениями LP = L1 + L2 , LS = L2 + L3 , M = L2 , где L1 =

LC3 LC2 LC1 , L2 = , L3 = , C = C1 + C3 . C1 + C3 C1 + C3 C1 + C3

Из последних соотношений следует, что отрицательное значение емкости C приводит к отрицательному значению индуктивности L3 , L1 и L2 положительны. Пример 3. Методом Бруне реализовать входную функцию

10−3 p6 +16 p5 + 27 ⋅103 p4 + 92 ⋅106 p3 + 96 ⋅109 p2 + 96 ⋅1012 p + 24 ⋅1015 . Z ( p) = p5 + 4 ⋅103 p4 + 6 ⋅106 p3 + 16 ⋅109 p2 + 8 ⋅1012 p Решение. 1. Разложив функцию Z ( p ) на множители, получим

10−3 ( p2 + 2 ⋅106 )( p2 + 6 ⋅106 ) 12 p2 +17 ⋅103 p +12 ⋅106 Z ( p) = + 2 = ZP ( p) + Z1′( p) . 2 6 3 6 p( p + 4 ⋅10 ) p + 4 ⋅10 p + 2 ⋅10

Z P ( p ) является входным сопротивлением реактивного двухполюсника. Нули Z P ( p ) при p1 = ± j 2 ⋅ 10 , p3 = ± j 6 ⋅ 10 ; 3

3

p2 = ± j 2 ⋅ 103 , p = ∞ . Z P ( p ) реализуется первой схемой Фостера (рис.20).

Рис.20

22

полюсы при p = 0 ,

Элементы схемы:

Z P ( p) = 10−3 Гн , p →∞ p

L∞ = lim

k0 = lim[ Z P ( p ) p] = 3 ⋅ 103 , C0 = p →0

1 = 0,33 ⋅10−3 Ф , k0

Z P ( p )( p 2 + 4 ⋅ 106 ) 1 2k2′ = 2 lim 6 = 103 , C2′ = = 10−3 Ф , ⋅ p →−410 p 2k2′ L2′ =

1 = 0, 25 ⋅10−3 Гн . 2 ω C2′

2. Выделим из функции Z1′( p ) минимальное значение вещественной составляющей на мнимой оси. Для p = jω

−12ω 2 + j17 ⋅103 ω + 12 ⋅106 Z1′( jω ) = . −ω 2 + j 4 ⋅ 103 ω + 2 ⋅106 Разделяя вещественную и мнимую составляющие, получим

12ω 4 + 32 ⋅106 ω 2 + 24 ⋅1012 103 ω (31ω 2 − 14 ⋅106 ) Z1′( jω ) = +j 4 . ω 4 + 12 ⋅106 ω 2 + 4 ⋅1012 ω + 12 ⋅106 ω 2 + 4 ⋅ 1012 Вещественная составляющая имеет минимум в одной из точек, где производная

d ( Re Z1′( jω ) ) = 0 . Определим значения ω и min Re Z1′( jω ) dω

из этого условия. 3 При ω = 10

min Re Z1′( jω ) = 4 .

Выделив R1 = 4 из Z1′( p ) , получим

12 p 2 + 17 ⋅103 p + 12 ⋅106 8 p 2 + 103 p + 4 ⋅106 , Z1 ( p) = Z1′( p) − R1 = −4= 2 p 2 + 4 ⋅103 p + 2 ⋅106 p + 4 ⋅103 p + 2 ⋅106 которая является минимальной функцией. 23

Частичная реализация входной функции дает предварительную цепь Фостера (рис.21).

Рис.21

3. Определим значения вещественной и мнимой частей Z1 ( p ) при ω = 10 . 3

−8ω 2 + j103 ω + 4 ⋅ 106 Z1 ( jω ) = = −ω 2 + j 4 ⋅ 103 ω + 2 ⋅106 8ω 4 − 16 ⋅ 106 ω 2 + 8 ⋅ 1012 103 ω (31ω 2 − 14 ⋅ 106 = 4 +j 4 . ω + 12 ⋅106 ω 2 + 4 ⋅ 1012 ω + 12 ⋅ 106 ω 2 + 4 ⋅ 1012 Re Z1 ( p ) ω =103 = 0 ,

что

и

следовало

ожидать,

поскольку

Z1 ( jω ) −минимальная функция. Y1 ( jω ) =

1 1 = = − jb1 = − j1 . Z1 ( jω ) jx1

− jb1 = jω1C1 , C1 = −

b1

ω1

=−

1 = −10−3 Ф . 3 10

Выделив емкость C1 < 0 из Y1 ( p) = 1/ Z1 ( p ) , получим

p 2 + 4 ⋅103 p + 2 ⋅ 106 Y2 ( p ) = Y1 ( p ) − pC1 = + 10−3 p = 2 3 6 8 p + 10 p + 4 ⋅10 8 ⋅ 10−3 p 3 + 8 ⋅ 103 p 2 + 2 p 2 + 2 ⋅106 (8 ⋅10−3 p + 2)( p 2 + 106 ) = = 8 p 2 + 103 p + 4 ⋅ 106 8 p 2 + 103 p + 4 ⋅106 24

Функция Y2 ( p ) имеет нуль на мнимой оси p = ± j10 . 3

4. Обратная функция Z 2 ( p ) = 1/ Y2 ( p) имеет полюс на мнимой оси

p = ± j103 , выделяя который, получим параллельный контур LC2 (рис.17). Элементы контура:

Z 2 ( p )( p 2 + 106 ) 2k2 = 2lim 6 = 500 , p →−10 p 1 1 C2 = = 2 ⋅10−3 Ф , L = 2 = 0,5 ⋅ 10−3 Гн . 2k2 ω1 L2 5. Определим

Z 3 ( p) = Z 2 ( p) −

2k2 p = p 2 + 106

8 p 2 + 103 p + 4 ⋅106 103 p 8 = − = . (8 ⋅ 10−3 p + 2)( p 2 + 106 ) 2( p 2 + 106 ) 2(8 ⋅ 10−3 p + 2) Положительная вещественная функция

1 8 ⋅10−3 p + 2 Y3 ( p ) = = Z3 ( p) 4 −3

имеет полюс при p = ∞ и реализуется емкостью C3 = 2 ⋅ 10 Ф и R = 2 Ом . Полная схема, реализующая входную функцию Z ( p ) , имеет вид (рис.22).

Рис.22

25

Два варианта эквивалентных схем двухполюсника, не содержащих отрицательных элементов L и C , приведены на рис.23 и рис.24.

Рис.23

Рис.24

Коэффициент трансформации идеального трансформатора

C + C2 C2 = 3 = 2 , C = C1 + C3 = 10−3 Ф , C1 + C2 C2 LC3 LC2 L1 = = 10−3 Гн , L2 = = 10−3 Гн , C1 + C3 C1 + C3 LC1 L3 = = 0,5 ⋅ 10−3 Гн , M = L2 = 10−3 Гн , C1 + C3 LS = L2 + L3 = 0,5 ⋅ 10−3 Гн , LP = L1 + L2 = 2 ⋅ 10−3 Гн . n=

26

Библиографический список 1. Балабанян Н. Синтез электрических цепей. – М.: Госэнергоиздат, 1961. 2. Белецкий А. Ф. Основы теории линейных электрических цепей. – М.: Связь. 1969. 3. Зернов Н. В., Карпов В. Г. Теория радиотехнических цепей. – Л.: Энергия, 1972. 4. Атабеков Г. И. Основы теории цепей. – М.: Энергия, 1969. 5. Карни Ш. Теория цепей. Анализ и синтез. – М.: Связь, 1973. 6. Гиллемин Э. А. Синтез пассивных цепей. – М.: Связь, 1970. 7. Матханов П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей. – М.: Высш. Шк., 1976. 8. Г. Лэм. Аналоговые и цифровые фильтры. – М.: Мир, 1982.

СОДЕРЖАНИЕ

Общие сведения 1. Структура самостоятельной работы 2. Методика реализации самостоятельной работы по изучению теоретического курса 3. Методика реализации самостоятельной работы по выполнения расчетно-графического задания 4. Краткие теоретические сведения. Синтез RLC −двухполюсников Пример 1 Пример 2 Пример 3 Библиографический список

27

3 4 4 5 6 11 17 22 27