Теория вероятностей и математическая статистика : теоретико-интерактивный курс с примерами и задачами

стороной. Тогда Достоверным событием является попадание то является попадание точки в квадра стороной. Тогда P(A)стороной. = площадь(abfda), P (Достоверным A  Тогда BP)стороной. =Тогда площадь(abcda), (=Aплощадь(abcda),  B )событием Достоверным событием является попадание точки в квадрат с лучайного события исход испытаний можно заранее разбить на Министерство образования и науки Российской Федерации = площадь(abcda), P ( A  B ) стороной. Тогда площадь(abcda), Aплощадь(bcdeb),  B )==стороной. P(B)P =( ничной P(A) площадь(abfda), P(Тогда A  B ) = площадь(abcda), P(A) = площадь(abfda), Тольяттинский государственный университет о единственно возможных, несовместимых и равновозможных = площадь(abcda); площадь(abcda), P (площадь(debfd).  Bматематики, )= P(A) =P(B) площадь(abfda), = площадь(abfda), физики и информационных технологий P(B) =A площадь(bcdeb), = P( AP(A) B )Институт P(A) = площадь(abfda), му, учитывая органическую связь между частотойКафедра события его = площадь(bcdeb), P(A)«Высшая =и площадь(abfda); математика и математическое моделирование» P(A) площадь(abfda), P(B)P=(P(B) площадь(bcdeb), A  B= )площадь(bcdeb), площадь(debfd). (=n* Aплощадь(debfd). соображений B ) == =P площадь(bcdeb); P(B) площадь(bcdeb), считают, что при неограниченном увеличении числа P(B) опытов Из геометрических следует, что = площадь(debfd). площадь(debfd). PB ()A= B) = P(B) =площадь(debfd). площадь(bcdeb), P ( A  Из геометрических соображений что– пл(debfd), P( A=пл(abfda) B ) = площадь(debfd). частота события А сходится к вероятности p появления пл этого Из (abcda) геометрических соображений следует, что + следует, пл(bcdeb) Из геометрических соображений следует, что = площадь(debfd). P ( A  B ) Из геометрических соображений следует, что Из геометрических соображений следует, что пл (abcda) = пл(abfda) + пл(bcdeb) – пл(debfd), пл(abfda) + пл(bcdeb) –что пл(d соображений следует, PИз ( A геометрических = Bпл )пл(abfda) (abcda) P ( A) +=Pпл(bcdeb) ( B)  P( A B) , пл(abcda) – пл(debfd), пл (abcda) + пл(bcdeb) –Bпл(debfd), Из геометрических следует, что пл (abcda) + пл(bcdeb) – пл(debfd), , P=(соображений Aпл(abfda)  B=P) пл(abfda) AP ( A )  P ( B )  P ( A  ) (пл B )  P ( A )  P ( B ) P ( A  B) (abcda) = пл(abfda) + пл(bcdeb то есть . P ( A  B )  P ( A)  P ( Bпл) (abcda) PP((AAB ) 1.5. Геометрическое представление о вероятности , B )  P ( A )  P ( B )  P ( A  B ) =(пл(abfda) ( A  B)  P A)  P. ((BA)+  пл(bcdeb) P ( A  B) ,,– пл(debfd), то есть то P( A  B )P( AP( AP Y есть B))PP((BA))PP((AB)B)P  BB) .)  P ( A)  P ( B )  P ( топодтверждает есть удобно при вычислении вероятности событиятоЧто оказывается истинность сформулированного P ( A  B )  P ( A )  P ( B)  P( A  B) , P)( A P (BA))PP((AB)) P (BAистинность )  P( A  B) . естьтоPесть (Что A B подтверждает R Δy то естьподтверждает P ( A  B )  PB()A. ) истинность P ( B )  сформулированного P ( A  B )сформулиров .. Что ссматриваемое событиеy с какой-то непрерывной случайной (x,y) Аналогичным образом можно вычислять вероятность суммы любо то есть . P ( A  B )  P ( A )  P ( B )  P ( A  B ) Что подтверждает истинность сформулированног Что подтверждает истинность сформулированного Аналогичным образом можно вычислять вероятность суммы люп Аналогичным образом можно вычислять вероятность су Что подтверждает истинность сформ

П.Ф. Зибров, С.В. Пивнева, О.А. Кузнецова 0

что подтверждает истинность сформулированного правила. апример, производится стрельба по квадратной мишени со совместных случайных событий. Аналогичным образом можно вычислять вероятность суммы Чтообразом подтверждает истинность сформулированног Аналогичным можно вычислять вероятность суммы любогч совместных случайных событий. логичным образом можно вычислять вероятность суммы любого x совместных случайных событий. X 0 Аналогичным образом можно вычислять вероятно ентром, совпадающим с началом координат О. Δx совместных случайных событий. Распространим правило сложения вероятностей длядля трех со совместных случайных событий. Аналогичным образом можно вычислять вероятность суммы совместных случайных событий. Распространим правило сложения вероятностей трех Распространим правило сложения вероятностей дл совместных случайных событий. А – попадание в цель Рис. – равносильно выполнению двух Распространим правило сложения вероятностей для трех со 3.4 Распространим правило сложения вероятностей для тре совместных случайных событий. Распространим правило сложения вероятностей для вероятнос трех совм событий, используя графическую интерпретацию вероятности (рис событий, используя графическую интерпретацию вероятности (р a a тных событий, используя графическую интерпретацию вероятн событий, используя графическую интерпретацию вероятн Распространим правило сложения рассматривается малый прямоугольник R есть X и Y3.4) (абсцисса и ордината точки попадания)  На, Yплоскости  , где (рис. , со 2 2 (рис. 1.9). Из построения следует событий, используя графическую интерпретацию вероятности Распространим правилоинтерпретацию сложения вероятностей тре событий, используя графическую вероятностидля (рис. построения следует построения следует

построения следует событий, используя оронами x и y и с вершиной в точке  x  x, y  y  . Из геометрических

графическую интерпретацию в

случайные величины (рис. 1.1). Вероятность события А есть не построения следует событий, используя построения AB ACследует PP едставлений вероятность попадания в этот прямоугольник равна:следует C   P AB вероятности BPPCAA BPPAинтерпретацию CBPPBPAC PPCPBAB P  A  BPграфическую построения ероятность Pсовместного выполнения записанных неравенств. Эта Электронное учебное пособие     P BC AC  P ABC .  X ,Y   R   F x  x, y  y   F x  x, построения y                P A B C P A P B P C P          P A B C P A B C AB  следует        P BC  P AC  P ABC .  P BC   P  AC   P PABC  A .B  C   P A  PBAB   PC  удет определена,  F  x, yесли  y известны  F  x, y . значения случайных величин X и P BC        P BC  P AC  P ABC .     P AC  P ABC .   P PBAC  PCP  ABC P  A  B  C   PPA P AB .   BC Рассмотрим предел отношения вероятности попадания в прямоугольник

 P BC   P  AC   P  ABC .

к его площади, когда x  0 и y  0 ,aто есть

m

0 0

Y

могут быть как одинаковыми, так и разли P X , Y   R  y   F  x,разрядов F  x  x, y  y   2F  x  x, y   F  x, y Длины y  lim . В x 0 А В xy xy Это обусловлено тем, что в области наибольшей плотности ве А y 0 АВ В А АВ В В сти удобнее разряды брать более узкими. А если функция F(x,y) непрерывна и дифференцируема, то правая А y Если функция F  x, y  непрерывна и дифференцируема, то правая часть В АВ А

АВ АВ площадь часть полученного соотношения есть вторая смешанная производная основании строится прямоугольник, которого равна Статистический ряд изображают графически, в виде гис

АВ X АВС А лученного есть вторая Oсмешанная производная F  x, y  по х и y F(x,y) соотношения по х и y АВС В АС x АС ВС ВС мы. Строят ее так: по оси абсцисс откладывают разряды ичасто над к АВ a основании строится прямоугольник, площадь которого равна разряда. Для нахождения прямоугол АВС АВСкаждого АВС АСАС высоты  2 F  x, y  АС  ВС АВС ВС .. из них как f  x, y   событиями  Fxy 2xи, y случайными ВС на(3.6) основании строится прямоугольник, площадь к (3.6) АС матриваемая связь между величинами ВС xy разряда. Для нахождения высоты каждого прямоугольника

соответствующего разряда делят на его АВС длину. В тех случая

АС Снахождения частоте данного высоты каждо С а Функция для современной теории вероятностей. Ее равна отличительной чертой разряда. Для ВС плотностью распределения распределения системы.  называется f  x, yf(x,y) Функция называется плотностью системы.

моугольникаразряда частотуделят соответствующего разряда на его соответствующего на Сего длину. В тех делят случаях, ко высоты п С прямоугольников С С ция ρ(x,y), представляющая плотность распределения массы в точке когда длины разрядов одинаковые, высоты прям В тех случаях, Рис. С 1.9 Рис. 1.9 разрядов высоты прямоугольников пропор соответствующим частотам (рис. 4.3). едставляет более гибкий универсальный аппарат задач, (x,y). Геометрически f(x,y) изображает поверхность (рис. − решения поверх. одинаковые, Геометрически едставляющая плотность распределения массы в точке  x, y3.5) для ников пропорциональны соответствующим частотам (рис. 4.3) ность распределения. Рис. 1.9 Рис. 1.9

разрядов одинаковые, Механическим аналогом плотности распределения выступает функпереход от аналогом «схемы событий» кa «системе случайных величин». , еханическим плотности распределения выступает функция   x, y Такой

Рис. хся случайным явлениям. Исходя из изложенного, сформулируем изображает поверхность (рис. 1.1 3.5)  поверхность распределения. x, y  к частотам (рис. 4.3). Рис. 1.9 Рис. 1.1 соответствующим

1.9 Рис. Рис. 1.9 W44 44

еское представление о f(x,y) вероятности (рис. 1.2). 16

D

li 44 W  44 44 44 li 44

Рис. 1.9

44

110 d

S0 y

S

x

x1 dy

x1

dx

Рис. 1.23.5 Рис. Рис. 1.2

Рис. 3.5

x2

x2 x3

x3 x4

x4

x5

x

5 Рис. 4.3

x10 x10

x

x

Рис. 4.3 Из способа построения гистограммы следует, что ее

Рис. 4.3 сечении область этой поверхности плоскостями, параллельными XOY, ть данаПри некоторая D, площадь которой равна S. Рассмотрим Пусть дана некоторая область D, площадь которой равна S. РасИз способа построения гистограммы При сечении этой поверхности плоскостями, параллельными XOY, равна единице. При увеличении числа следует, опытов получаются кривые, в каждой точке которых плотность вероятности постоянна. © ФГБОУ ВПО «Тольяттинский смотрим область d, входящую в D. Пусть ее площадь s. Тогда вероят-

ее полна ичто уменьшении ISBN построениячисла гистограммы следует, что ее полн равна единице. опытов и уменьшении длио постоянна. Эти кривые называют кривыми равной плотности. Прибудет гистограмма к978-5-8259-0832-8 некоторой кривой, область d, в считая точки в областьувеличении D поприближаться точки область D,достоверным по определению попадание равна s/S, то есть p = s/S.

, входящую D. Пусть ее площадь s. Тогда вероятность попадания получаютсяв кривые, в каждой точке которых плотность вероятности попадания в университет», область считая достоверным Этиность кривые называютточки кривыми равнойd,плотности. государственный 2015 Изпопадание способа

Под элементом элементомвероятности вероятности системы двух случайных величин Под для для системы двух случайных величинединице. щадь равна если площадь области D принять равной единице, то тогда вероят-

При увеличении числа опытов и умен

понимают f(x,y)dxdy попадания в прямоугольгистограмма будет приближаться единичную площадь. / выражение S , тоA,есть ию равна . областью p  s / S− вероятность ность s события представленная d, будет равна ее площади.

к некоторой кривой, ограни

УДК 519.2(075.8) ББК 22.17я73 Рецензенты: д-р техн. наук, профессор Поволжского государственного университета сервиса В.И. Аникин; д-р физ.-мат. наук, профессор Тольяттинского государственного университета Б.Ф. Мельников. Зибров, П.Ф. Теория вероятностей и математическая статистика: теоретико-интерактивный курс с примерами и задачами : электронное учеб. пособие / П.Ф. Зибров, С.В. Пивнева, О.А. Кузнецова. – Тольятти : Изд-во ТГУ, 2015. – 308 с.– 1 опт. диск.

В учебном пособии сформирован и структурирован методический и методологический аппарат, позволяющий изучать теоретическое содержание дисциплины, решать практические задачи, осуществлять мониторинг сформированности требуемых компетенций. Содержание пособия соответствует современному уровню развития науки, техники и технологий, включает теоретические и практические аспекты последних достижений в области теории игр, массового обслуживания и математической статистики. Предназначено для студентов специалитета, бакалавриата, магистратуры высшего профессионального образования дневной, заочной и дистанционной форм обучения, аспирантов и научных сотрудников технических, экономических и естественно-научных специальностей. Текстовое электронное издание Рекомендовано к изданию научно-методическим советом Тольяттинского государственного университета. Минимальные системные требования: IBM РС-совместимый компьютер: Windows XP/Vista/7/8; 500 МГц или эквивалент; 128 Мб ОЗУ; SVGA; Adobe Reader.

© ФГБОУ ВПО «Тольяттинский государственный университет», 2015

Редактор Г.В. Данилова Технический редактор З.М. Малявина Компьютерная верстка: И.И. Шишкина Художественное оформление, компьютерное проектирование: И.И. Шишкина

Дата подписания к использованию 17.12.2014 Объем издания 63,7 Мб. Комплектация издания: компакт-диск, первичная упаковка. Заказ № 1-13-13. Издательство Тольяттинского государственного университета 445667, г. Тольятти, ул. Белорусская, 14, тел. 8(8482) 53-91-47, www.tltsu.ru

Содержание Введение .................................................................................................9 Глава 1. Случайные события, вероятность и ее свойства ...............................................................................11 1.1. Предмет теории вероятностей ..............................................11 1.2. События как результат испытаний. Алгебра событий ........13 1.3. Частота и вероятность ..........................................................16 1.4. Аксиоматическое и классическое определения вероятности .................................................................................18 1.5. Геометрическое представление о вероятности ....................19 1.6. Непосредственное вычисление вероятности события. Основные понятия комбинаторики ...........................................21 1.7. Правило сложения вероятностей .........................................32 1.8. Независимое событие, произведение независимых событий .......................................................................................35 1.9. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей зависимых событий .....................................................................39 1.10. Теорема сложения вероятностей совместных событий .....43 1.11. Формула полной вероятности ............................................47 1.12. Вероятность гипотез. Формула Байеса ..............................49 1.13. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли ........51 1.14. Закон больших чисел. Локальная теорема Лапласа ..........54 1.15. Интегральная теорема Лапласа ..........................................56 Глава 2. Случайные величины и распределение вероятности ..........................................59 2.1. Дискретные и непрерывные случайные величины .............59 2.2. Функция распределения случайной величины и ее свойства ................................................................................ 2.3. Плотность распределения вероятности ............................... 64 2.4. Математическое ожидание случайной величины ...............68 2.5. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение случайной величины ...................................................................73 2.6. Понятия о моментах .............................................................76 2.7. Равномерное распределение случайных величин ...............80

4

2.8. Биномиальное распределение ..............................................83 2.9. Распределение Пуассона ......................................................85 2.10. Нормальный закон распределения. Понятие о теореме Ляпунова .....................................................87 2.11. Интеграл вероятностей. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал ...................................................................91 2.12. Показатели точности нормально распределенной случайной величины (вероятное отклонение, правило трех сигм, мера точности) ............................................94 2.13. Логарифмически нормальное распределение ...................97 Глава 3. Системы случайных величин .............................99 3.1. Понятие систем случайных величин ...................................99 3.2. Функция распределения системы двух случайных величин. Свойства ....................................................................................100 3.3. Плотность распределения системы двух случайных величин ......................................................................................104 3.4. Зависимые и независимые случайные величины, условные законы распределения ..............................................106 3.5. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент, коэффициент корреляции ............109 3.6. Нормальный закон на плоскости. Приведение нормального закона к каноническому виду ........112 3.7. Вероятность попадания в область заданной формы .........116 3.8. Общая зависимость нормального закона распределения для любых систем случайных величин .....................................119 3.9. Распределение Релея ..........................................................120 3.10. Математическое ожидание функции от случайных величин. Теоремы о математическом ожидании суммы и произведения ...122 3.11. Дисперсия суммы и произведения функции случайных величин ....................................................................125 3.12. Математическое ожидание и дисперсия появления событий в независимых испытаниях ........................................128 3.13. Распределение суммы нормально распределенных случайных величин ....................................................................130

5

3.14. Неравенство Чебышева, закон больших чисел ................135 3.15. Теоремы Чебышева, Бернулли, Пуассона ........................137 3.16. Массовые случайные явления и центральная предельная теорема ...................................................................141 3.17. Использование предельных теорем в математической статистике ..................................................................................145 Глава 4. Статистические методы обработки результатов наблюдений .....................................................148 4.1. Основные задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка .......................................148 4.2. Простая статистическая совокупность. Эмпирические законы распределения .....................................149 4.3. Статистический ряд. Гистограмма .....................................153 4.4. Основные числовые характеристики статистического распределения ...........................................................................155 4.5. Выравнивание статистических рядов и оценка параметров распределения ........................................................157 4.6. Метод наибольшего правдоподобия ..................................161 4.7. Метод наименьших квадратов ............................................163 4.8. Точные распределения некоторых выборочных характеристик ............................................................................167 4.9. Доверительный интервал и доверительная вероятность .....173 4.10. Построение доверительного интервала для оценки математического ожидания при известном σ .............................174 4.11. Построение доверительного интервала для центра распределения при неизвестном σ ................................................175 4.12. Доверительный интервал для σ2 ........................................177 4.13. Оценка вероятности по частоте. Построение доверительного интервала для вероятности ........178 4.14. Статистическая гипотеза, ошибки первого и второго рода ............................................................................181 4.15. Критерий согласия, его мощность, критические точки и область ....................................................................................181 4.16. Статистическая проверка гипотезы относительно вероятности ...............................................................................184

6

4.17. Проверка гипотезы о равенстве двух центров распределения ...........................................................................186 4.18. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий .............187 4.19. Проверка гипотезы о законе распределения. Критерий Пирсона ....................................................................189 4.20. Стохастическая (вероятностная) связь между случайными величинами ...............................................190 4.21. Кривые регрессии. Условные дисперсии .........................193 4.22. Определение параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии ...........................................................194 4.23. Методы вычисления выборочного коэффициента корреляции ................................................................................197 4.24. Выборочное корреляционное отношение и его свойства ............................................................................200 4.25. Задачи регрессии ...............................................................201 4.26. Случайные процессы ........................................................204 4.27. Числовые характеристики случайных процессов ............205 4.28. Процесс Пуассона .............................................................208 4.29. Понятие о процессах Маркова .........................................212 4.30. Ветвящиеся процессы .......................................................214 Глава 5. Практикум «теория вероятностей» .................217 5.1. Основные сведения .............................................................217 5.2. Элементы комбинаторики .................................................220 5.3. Классическое определение вероятности ...........................224 5.4. Статистическое определение вероятности ........................225 5.5. Теоремы сложения и умножения .......................................227 5.6. Формула полной вероятности, формула Байеса ...............229 5.7. Случайные величины и их числовые характеристики ......233 5.8. Схема Бернулли ..................................................................236 5.9. Распределение Пуассона. Равномерное и показательное .........................................................................239 5.10. Нормальное распределение. Правило трех сигм .............243 Глава 6. Практикум «математическая статистика» ....248 6.1. Основные понятия ..............................................................248

7

6.2. Выборочный метод. Первичная обработка экспериментальных данных .....................................................253 6.2.1. Лабораторная работа 1 ...............................................260 6.3. Построение доверительных интервалов ............................261 6.3.1. Лабораторная работа 2 ...............................................263 6.4. Проверка статистических гипотез ......................................264 6.4.1. Лабораторная работа 3 ...............................................267 6.5. Исследование зависимостей ..............................................268 6.5.1. Лабораторная работа 4 ...............................................270 Глава 7. Материалы для самоконтроля ...........................272 7.1. Теория вероятностей ...........................................................272 7.2. Математическая статистика ...............................................280 7.3. Контрольные вопросы ........................................................289 Глава 8. АлгоритМы, методология и оценка сформированности компетентности ........................292 Библиографический список ..............................................................300 Приложения .......................................................................................302

8

Введение Учебное пособие «Теория вероятностей и математическая статистика: теоретико-интерактивный курс с примерами и задачами» по своей структуре и содержанию соответствует государственному образовательному стандарту и программе курса высшей математики для бакалавриата, магистратуры и аспирантуры, обеспечивает усвоение требуемых дидактических единиц. Цель учебного пособия – оказать методологическую помощь студентам в овладении теоретическим материалом с наименьшей затратой времени, привить навыки самостоятельного изучения источников учебной и научной информации, научить решать задачи по рассматриваемой тематике, сформировать компетенции по теории вероятностей и математической статистике. Материал излагается доступно, разделы пособия согласованно и соразмерно наполнены познавательной и учебной информацией, содержательная сложность отвечает требованиям современных педагогических технологий и преподаванию математических дисциплин в университете. Теория и практические задания для самостоятельного решения сопровождаются достаточным количеством примеров. В пособии представлены тесты для самоконтроля знаний, которые соответствуют дидактическим единицам интернет-экзаменов. В таком формате по содержанию, изложению материала и назначению учебное пособие подготовлено впервые и предназначено для аудиторных занятий, а также самостоятельной, групповой и дистанционной форм обучения. В отличие от имеющихся изданий теоретико-интерактивный курс с примерами и задачами представляет в полном объеме учебно-методический комплекс, где впервые обобщены приемы и требования к формированию компетенций по теории вероятностей и математической статистике и их развитию в специальных дисциплинах магистратуры, аспирантуры и научных исследованиях. В учебном пособии сформирован и структурирован методический и методологический аппарат, позволяющий изучить теоретическое содержание теории вероятностей и математической статистики, решать практические задачи, осуществлять мониторинг сформированности требуемых компетенций.

9

Дидактический аппарат представлен обобщенными выводами, контрольными вопросами, заданиями и критериями их оценок, примерами и алгоритмами выполнения рекомендуемых задач, глоссарием и другими элементами учебно-познавательной деятельности. Иллюстрационный материал включает рисунки, схемы, чертежи, таблицы, графики, диаграммы и гистограммы, их качество соответствует изучаемому курсу. Учебное пособие предназначено для студентов специалитета, бакалавриата, магистратуры, аспирантуры и научных сотрудников технических, экономических и естественно-научных специальностей высшего профессионального образования дневной, заочной и дистанционной форм обучения, изучающих дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», «Дополнительные главы математики для магистров», «Методы и модели социальных процессов», «Теория игр», «Специальные разделы математики».

10

Опыт учит нас, что невероятное не всегда ложно. Жан Франсуа де Рец

Глава 1. Случайные события, вероятность и ее свойства 1.1. Предмет теории вероятностей Возникновение теории вероятностей относят к XVII веку и это связано с исследованием массовых случайных явлений. Теория вероятностей, как и любая другая наука, развивалась с ростом потребностей практики. Так, в начале XVII века Галилей пытался подвергнуть научному исследованию ошибки физических измерений, рассматривая их как случайные и оценивая их вероятность. В этот же период возникают попытки создания общей теории страхования. Ее основой выступает анализ закономерностей случайных явлений массового заболевания, смертности, статистики несчастных случаев. Практическая потребность разработки специального математического аппарата, приспособленного для анализа случайных явлений, следует из потребностей обработки обширного статистического материала в различных областях науки и человеческих знаний. Однако указанные задачи сложны, законы, обусловливающие в них связь случайных явлений, проступают недостаточно четко и наглядно. Исторически сложилось так, что основным материалом исследований для нарождающейся теории вероятностей стали азартные игры. Созданные целым рядом поколений эти игры строились таким образом, чтобы исход опыта был чисто случайным. Само слово «азарт» в переводе с французского le hasard означает «случай». Основы теории вероятностей были заложены исследованиями Паскаля (1623−1662), Ферма (1601−1665) и Гюйгенса (1629−1695) в области азартных игр, сформулированы понятия вероятности и математического ожидания, приемы их вычисления. Практическое применение вероятностных методов осуществляется в задачах страхования, которые начиная с конца XVII века решаются на математической основе. Следующий этап в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654−1705). Он доказал закон больших чисел

11

и установил связь между вероятностью события и частотой его появления при достаточно большом числе опытов. С именами математиков Муавра (1667−1754), Лапласа (1749−1827) и Гаусса (1777−1855) связаны следующие этапы развития изучаемой науки. Это введение нормального закона, доказательство центральной предельной теоремы, разработка метода обработки экспериментальных данных. Существенный вклад в развитие теории вероятностей внесли исследования Пуассона (1781−1840). Одной из сторон его работ является применение разрабатываемой теории к задачам стрельб. Бурное развитие молодой науки в XVII и начале XIX века привело к широкому увлечению ею и попыткам применения к вопросам судопроизводства, истории, политики, богослужения, общественных явлений путем решения их в виде простых арифметических задач. Попытки такого рода терпели неудачу, и за волной увлечения в Западной Европе последовали разочарование и скептицизм. На теорию вероятностей стали смотреть как на науку сомнительную, второсортную, недостойную серьезного изучения. Однако в России в это время создается знаменитая Петербургская математическая школа, трудами которой теория вероятностей ставится на прочную логическую и математическую основу как метод познания. Первым автором курса теории вероятностей на русском языке называют В.Я. Буняковского (1804−1889), создавшего оригинальные исследования в области статистики и демографии. Заметное место в развитии теории вероятностей занимают труды П.Л. Чебышева (1821−1894), связанные с обобщением закона больших чисел и внедрением разработанного метода моментов. Ученик П.Л. Чебышева А.А. Марков (1856‒1922) существенно расширил область применения закона больших чисел и заложил основы новой ветви развивающейся науки – теории «стохастических» процессов. Весомый вклад был внесен А.М. Ляпуновым (1857‒1918). Он доказал центральную предельную теорему при чрезвычайно общих условиях и разработал специальный метод характеристических функций, который используется в современной теории вероятностей. Советские ученые С.Н. Бернштейн, А.Я. Хинчин, А.Н. Колмогоров, В.И. Романовский, Н.В. Смирнов, Б.В. Гнеденко достигли существенных результатов в этой области знаний.

12

Так, работы А.Н. Колмогорова по оценке эффективности стрельбы переросли в более общую науку об эффективности боевых действий. Труды Б.В. Гнеденко составляют основы исследований в области теории массового обслуживания. Таким образом, теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному. Случайные явления встречаются в решениях различных физических и технических задач, например, при взвешивании или измерении различных физических тел, стрельбе по мишени, оценке работоспособности приборов и механизмов и так далее.

1.2. События как результат испытаний. Алгебра событий Основными понятиями теории вероятностей являются события, наступающие в результате испытания. Испытание – это осуществление комплекса условий, который может быть воспроизведен любое число раз. Под событием понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Например: А – появление герба при бросании монеты; В – попадание в цель при выстреле; С – поражение самолета при попадании в него одного снаряда; D – разрушение здания при сбрасывании на него серии бомб; E – изготовление детали с заданной точностью 0,01 мм; F – получение отличной оценки неуспевающим студентом на экзамене по математике. А также другие события, происходящие в окружающем мире в результате практической деятельности. Обозначаются события заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D,…, Х, Y,… Все события можно разделить на две существенно отличающиеся друг от друга группы. Относительно одних можно достаточно точно утверждать, что они наступят или не наступят. О других подобные утверждения невозможны, так как их появление или отсутствие носит случайный характер. Термин «случайный» здесь означает, что наступление такого события зависит от целого ряда причин, учет которых заранее либо невозможен, либо сопряжен с большими трудностями.

13

Например, в воду бросают кубик, если известен удельный вес его материала, то можно заранее утверждать, что будет с кубиком: утонет или всплывет. Это пример событий первой группы. Грани того же кубика раскрашивают в различные цвета, затем произвольным образом его бросают на стол. Предвидеть, какой будет цвет оказывающие воздействие на летящий предмет. В результате строгого р грани, обращенной вверх, практически невозможно. оказывающие воздействие на летящий предмет. В строгого решения В принципе задача теоретически решается. Длярезультате этого необходимо можно построить траекторию движения и предсказать, как ляжет кубик задать начальное все составляющие можно построитьположение траекториюкубика, движения и предсказать,начальных как ляжет поскубик на стол. Однако задача сопряжена со значительными математическими тупательных и вращательных скоростей, сопротивление воздуха и другие трудност Однако задача сопряжена со значительными математическими трудностями как параметры, оказывающие воздействие на летящийтак предмет. результате при установлении всех условий, и в В самом расчете трае при установлении всех условий, так и в самом расчете траектории. строгого решения можно построить траекторию движения и предсказать, Следовательно, это событие второго типа. как ляжет кубикэто на событие стол. Однако задача сопряжена со значительными Следовательно, второго типа. математическими трудностями пригруппы установлении всех условий, так Аналогично накак две разбиваются и явления более с Аналогично на две группы разбиваются и явления и в самом расчете траектории. Следовательно, это событие второго более типа. сложной природы. Аналогично на две группы разбиваются и явления более сложной природы. Например, траектория движения маятника в часах определя природы. Например, траектория движения маятника в часах определяется по Например, траектория движения в часах определяется по известному закону у – амплитуда колебания;  к y  sin(маятника t   0 ) , где известному где уу –– амплитуда амплитуда колебания; колебания; ω  − круговая известному закону закону y  sin(t   0 ),, где круговая частота; t – время;  0 − начальная начальная фаза, фаза, ии такое такое явление явление припринадлежит к частота;  начальная фаза, и такое явление принадлежит  0типу. надлежитt –к время; первому «Предвидеть» траекторию и закон движения к первому типу. «Предвидеть» траекторию и закон движения некоторой фиксир некоторой фиксированной молекулы газа движения в закрытомнекоторой сосуде практитипу. «Предвидеть» траекторию и закон фиксированной чески невозможно, характер исосуде путь движения зависят от соуда- так как ха молекулы так газакак в закрытом практически не возможно, молекулы газа в закрытом сосуде практически не возможно, так как рения с множеством других молекул в рассматриваемом объеме. Этохарактер и путь движения зависят от соударения с множеством других мо пример переменного случайного процесса свторого типа. Как следуетмолекул в путь движения зависят от соударения множеством других рассматриваемом объеме. Это пример переменного случайного п из практики исследований, несмотря на «случайность» событий вторассматриваемом объеме. Это пример переменного случайного процесса рой группы, их наступление или характер протекания подчиняется второго типа. Как следует из практики исследований, несмо второго типа.закономерности, Как следует но излишь практики исследований, несмотря на определенной при условии очень большого «случайность» событий второй группы, их наступление или х числа наблюдений появления изучаемого события. «случайность» событий второй группы, их наступление или характер Следовательно, ввести следующиезакономерности, понятия. протеканиянеобходимо подчиняется определенной но лишь при протекания закономерности, но происхолишь при условии Событиеподчиняется U называют определенной достоверным, если оно неизбежно очень большого числа наблюдений появления изучаемого события. дит в результате испытания, и невозможным V, изучаемого если оно не события. может проочень большого числа наблюдений появления Следовательно, необходимо ввести следующие понятия. изойти при испытании. Следовательно, необходимо ввести следующие понятия. Например, вСобытие урне находятся одни белые шары: событие – извлечеU называют достоверным, еслиА оно неизбежно проис Событие если оно неизбежно в ние белого шараUизназывают этой урныдостоверным, есть достоверное событие, а событие происходит В– результате испытания, и невозможным V, если оно не может произо извлечениеиспытания, из той же урны черного шара – результате и невозможным V,невозможное если оно не событие. может произойти при Случайное событие − такое, которое может произойти или нет испытании. испытании. в данном испытании. Например, в урне находятся одни белые шары: событие А – изв Например, один выстрел по мишени, при этом Например,производится в урне находятся одни белые шары: событие А мо– извлечение белого шара из этой урны есть достоверное событие, а жет наступить или не наступить событие А – попадание в цель. событие В – изв

белого шара из этой урны есть достоверное событие, а событие В – извлечение из той же урны черного шара 14 – невозможное событие. из той же урны черного шара – невозможное событие. Случайное событие  такое, которое может произойти или нет в Случайное событие  такое, которое может произойти или нет в данном

наступить или не наступить событие А – попадание в цель. событий. 2, 3, 4, 5,Например, 6 образуют полебросании событий.игральной кости выпадения различных цифр 1, при Множество событий, возможных при данном испытании, образуют по Например, при бросании игральной кости выпадения различн соотношение между событиями. 2, 3,Рассмотрим 4, 5, 6 образуют поле событий. событий. Множество возможных при 3,событий, 4,соотношение 5, образуют полеВ событий. 1. Событие А 2, влечет за6собой событие  Аданном  В  . испытании, образуРассмотрим между событиями. ют полеНапример, событий. при бросании игральной кости выпадения различных цифр Рассмотрим между 1. Например, Событие Ав влечет за собойсоотношение событие В  Абез  . событиями.  Вцифр урне имеются белые шары и красные с цифрами. при бросании игральной кости выпадения различных 2, Например, 3, 4, 5, 6 образуют поле событий. А влечет за влечет собой событие Всобытие  Аикрасные . – появление В В цифрНапример, 1, –2,извлечение 3,1.4, 5,Событие образуют поле событий. Событие А красного шара за без собой в6 урне имеются белые шары цифр с цифрами. Рассмотрим соотношение между событиями. Рассмотрим соотношение между событиями. Например, в урне имеются белые без цифр и красные цифры. Или Аполучение неудовлетворительной оценки нашары экзамене –Всобытие C Событие – извлечение красного шара влечет за собой событие – появление 1. 1. Событие СобытиеААвлечет влечетзазасобой собойсобытие событие ВВ  А  В .. Аимеются – повторную извлечение красного шара за собой влечет за собой событие этого экзамена. цифры. Или Событие получение неудовлетворительной оценки на экзамене – событие В C– Например, в урнеD белые сдачу шары без цифр ивлечет красные с цифНапример, в урне имеются белые шары без цифр и красные с цифрам рами. АА–влечет извлечение красного шараВ,влечет за собойоценки событие цифры. ИлиDполучение неудовлетворительной на экзамене 2. влечет Если Событие событие за– повторную собой событие и соответственно, событие В – за собой событие сдачу этого экзамена. А – цифры. извлечение шара влечет за собой событие В Событие – появление Иликрасного получение неудовлетворительной оценкиВ – появлени влечет собой событие Dсобытие –событие повторную сдачу этогосдачу экзамена. влечет за собой событие А, такие называют 2.на экзамене Если событие Азавлечет за собой В,Dи–эквивалентными соответственно, событие В – событие Cто влечет засобытия собой повторную цифры. Или получение неудовлетворительной оценки на экзамене – событие этого 2. А=В). Если событие А влечет за собой событие В, и соответственно ( Aвлечет  B , Bэкзамена.  собой A, то за событие А, то такие события называют эквивалентными влечет за собой событие D – повторную сдачу этого экзамена. 2. Если событие А влечет за собой событие В, и соответственно, влечет за собой события событие А А,итоВтакие события называют эквивалентны примере эквивалентны, так как появление (событие AВпредыдущем B , BВвлечет A , то А=В). за собой событие А, то такие события экви2. Если событие А влечет за собой событие В, иназывают соответственно, событие ( A  B ,за Bпримере собой A, то появление А=В). валентными красного влечет и наоборот,так всякий шар с Вшара предыдущем события А цифры, и В эквивалентны, как появление влечет за собой событие то такиеАсобытия называют эквивалентными В предыдущем примереА,события и В эквивалентны, так как поВ предыдущем события Аи инаоборот, В эквивалентны, так как цифрой  красный. Другие события Cпримере и D не эквивалентные, так каквсякий пересдача красного шара влечет за собой появление цифры, шар с явление шара влечет за собой появление цифры, и наоборот, ( A  Bкрасного , B  A, то А=В). красного шара влечетДругие за наоборот, вс всякий с цифрой − скрасный. C и D нецифры, эквиваленэкзамена нешар всегда связана неудовлетворительной оценкой. цифрой красный. Другие события C исобой Dсобытия не появление эквивалентные, так икак пересдача В предыдущем примере события А и В эквивалентны, так как появлени тные, так как пересдача экзамена не всегда связана с неудовлетворицифройсвязана  красный. C иоценкой. D не эквивалентные,  Другие В = Ссобытия 3. экзамена Сумма не событий А+В =с А – это событие, заключающееся так в ка всегда неудовлетворительной тельной оценкой. красного шара влечет за собой появление цифры, и наоборот, всякий шар экзамена всегда с– неудовлетворительной оценкой. появлении А илине ВА+В или== обоих Асвязана  Ввместе. 3. события Сумма событий ==С событие, заключающе3. Сумма событий А+В С это – это событие, заключающееся в цифрой  красный. Другие события C и D не эквивалентные, так как пересда еся в появлении события А или В или обоих вместе. А  В = Событие 3.по Сумма А+Ввместе. = выстрела. С – это Асобытие, заключ Например, мишени произведено два – попадание появлении события А илисобытий В или обоих экзамена не всегда связана с неудовлетворительной оценкой.А – поНапример, по мишени произведено два выстрела. Событие появлении события илиВВ–или вместе. в цель при В –А попадание в цель при втором Например, повыстреле, мишени произведено дваобоих выстрела. Событие А выстреле. – попадание падание впервом цель при первом выстреле, попадание в цель при втором 3. Сумма событий А+В = А  В = С – это событие, заключающееся Событие Св –цель попадание в– цель серии из двух выстрелов. Например, по В мишени произведено двапри выстрела. Событие А– Событие – попадание при серии из при двух выстрелов. Очевидно ввыстреле. цельСпри первом выстреле, попадание в цель второмС=А+В. выстреле. появлении события А или В или обоих вместе. Очевидно С=А+В. цель приимеет В –n выстрелов. в цель при втором Событие С –nвпопадание в первом цельместо привыстреле, серии изСдвух Очевидно С=А+В. Вслучае случае nсобытий событий место запись . Aпопадание  может ВНапример, имеет запись i . Например, по мишени произведено два выстрела. Событие А – попадани изготовленная деталь не  быть одновременно i 1 n Событие Ссобытия – попадание цель события, при серии из двухне выстрелов. Очевид 4. В случае Несовместные –место этовтакие могут С монеты   вAкоторые . она при nпервом событий имеетдеталь запись в цель при выстреле, В – попадание цель втором выстрел iбыть бракованной и не бракованной. При бросании не может упасть Например, изготовленная не может одновременно 4. произойти Несовместные события это такие события, которые не могут произойти i 1 вместе в одном–испытании. n С  Очевидно Ai . В случаевnцель событий имеет место запись Сииспытании. –гербом, попадание при серии из двух выстрелов. С=А+В Например, изготовленная деталь несобытия, может быть одновременно одновременно и цифрой. бракованной иизготовленная не бракованной. При бросании монеты она ненеможет упасть i 1 вместе вНесовместные одном 4. Событие события – это такие которые могут произойти Например, деталь не может быть одновременно бракованной и не бракованной. При бросании монеты она не может n одновременно ибракованной. гербом, иицифрой. 4. Аиспытании. Несовместные – это такие события, которые не могут 5. вместе События А имеет называют противоположными (взаимно водновременно одном С Ai может  не . В случае n событий местомонеты запись бракованной и не При бросании она упасть упасть и гербом, исобытия цифрой. i 1

виодном испытании. 5. События называют противоположными (взаимно донесовместны, а их сумма есть достоверное 5. дополнительными), События Авместе иАесли А они называют противоположными (взаимно одновременно и гербом, и цифрой. 11 4. Несовместные –деталь это такие события, которые не могут произойт Например, изготовленная не может быть одновременно полнительными), еслисобытия они несовместны, а их сумма есть достоверное событие. А если несовместны, достоверное 11 а их сумма есть (взаимно 5. дополнительными), События и бракованной. А они называют противоположными событие. вместе ви одном испытании. бракованной не При бросании монеты она не может упасть событие.То достоверноесобытие. событие.  U ‒‒несовместны, Тоесть есть А  А они достоверное дополнительными), а их сумма 11есть достоверное одновременно иесли гербом, и цифрой. Например, событие А – выпадение четной цифры при бросании событие А – выпадение четной цифры при бросании игральной событие. есть А  А  U ‒ достоверное событие. То Например, игральной кости, тогда цифры. 5. События А и А ‒ выпадение называютнечетной (взаимно 11противоположными Например, событие А – выпадение четной цифры при бросании игральной кости, тогда А ‒ выпадение нечетной цифры. достоверное событие. То есть А  А  U ‒‒выпадение цифры при бросании кости. дополнительными), если они любой несовместны, а их сумма есть достоверное кости, тогда А ‒Uвыпадение нечетной цифры. ‒ выпадение любой цифры при бросании кости. А  событие Например, А – выпадение четной цифры при бросании игральной событие. 15 6. АПроизведением двух событий А и В называют событие С, заключающееся в любой цифры при бросании кости.  А‒выпадение U ‒ выпадение кости, тогда цифры. ‒ достоверное событие. ТоА есть А  А  Uнечетной А  В С,Азаключающееся ВС. появлении обоих то есть 6. Аодновременном двух любой событий А событий, и Впри называют событие в цифры бросании кости. Произведением А  U ‒ выпадение

Например, событие А – выпадение четной цифры при бросании игральной АВВ  АА  ВВ СС.в. одновременном появлении обоих событий, то есть есть одновременном появлении событий, то 6. Произведением двух событий А и обоих В называют событие С, А заключающееся ифры. кости, тогда А ‒ выпадение нечетной цифры. Аналогично утверждение верно для числа событий, то сет сет Аналогично утверждение для то А любого любого В  А числа В  Ссобытий, одновременном появлении обоих событий,верно то есть . фры при бросании ‒ выпадение любой цифры при бросании кости. А  А  U кости. n n Аналогично утверждение для то 6. Произведением двух верно событий С,i.. сеть заиААВ  АА33 ... ...событий,  AA ССАлюбого называют АА22 числа событие ААnn  11 i называют событие С, заключающееся в i i 11 то есть в 6. Произведением двух событий А и В называют событие С, заключающееся ключающееся в одновременном появлении обоих событий, n  А1  А  А3  ...выстрелов  Аn   Aiсобытие . 2 двух  В Например, С .. обоих всобытий, ий,одновременном то есть А  В  Апоявлении Например, вСсерии серии из попадание вв цц из двух А  В i А В  С . АА –– попадание то есть выстрелов 1 событие Аналогично утверждение верно для любого числа событий, то есть

ля любого числа событий, сеть из первом выстреле, попадание при втором выстреле. Событие АВ первом выстреле, ВВ ––для попадание втором Событие == АВ Аналогично утверждение верно любогопри числа событий, то сеть Например, вто серии двух выстрелов событие А выстреле. – попадание в цельССпри

n попадания цель. вв цель. В – попадание Событие С = АВ есть два А3  ...  Аnпервом   Aiвыстреле, . попадания С  А1  А2при  А3 втором  ...  Аn выстреле.  Ai . i 1 i 1 События называют называют равновозможными равновозможными вв данном данном испытании испытани События попадания 7. в7.цель. елов событие АНапример, – попадание в цель при Например, в серии из двух выстрелов событие А – попадание в цель при в серии из двух выстрелов А – попадание в цель осуществление одного из них них не несобытие имеет преимуществ перед другими. осуществление одного из имеет перед другими. 7. События называют равновозможными в преимуществ данном испытании, если при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле. Событие ором выстреле. Событие С = АВ есть два первом выстреле, В – попадание при втором выстреле. Событие С = АВ есть два Например, выпадение любой из из цифр цифр 1, другими. 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 66 на на симме симме Например, любой 1, 2, осуществление одного из нихвыпадение имеет преимуществ перед С = АВ есть два попадания вне цель. попадания в 7. цель. События называют равновозможными данном игральной кости есть есть равновозможные события. игральной кости равновозможные Например, выпадение любой из цифр 1, 2,всобытия. 3, 4, 5, 6испытании, на симметричной жными в если данном испытании, если осуществление одного из них не имеетв преимуществ перед другими. 7. События называют равновозможными данном испытании, если образуют полную группу группу событий, событий, если хотя хотя 8. События События ,..., A образуют полную если 8. AA11,,AAлюбой игральной кости есть равновозможные события. 22,..., Annиз цифр Например, выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 на симметричпреимуществ передодного другими. осуществление из них не имеет преимуществ перед другими. игральной есть равновозможные события. образуют полную группу событий, если хотя бы nnодно 8. ной События A1 , Aкости 2 ,..., An из них непременно должно произойти при испытании, то есть  из них непременно должно произойти при есть AAii UU .. цифр 1, Например, 2, 3, 4, 5, 6 на симметричной 8. События образуют группу если быто одно выпадение любойполную из цифр 1, 2,событий, 3, 4, 5, испытании, 6 на хотя симметричной n

n

i i11

изкости них непременно должно произойти при испытании,то тоесть есть  Ai  U .. из них непременно должно произойти при испытании, события. игральной есть равновозможные практических события. задачах встречается встречается также также полная полная группа несовм несов ВВ практических задачах группа i 1 В практических задачах встречается также полная группа несовную8.группу событий, если хотя бы одно полную группу событий, если хотя несовместных бы одно События A1 , A2 ,..., An образуют nn В практических встречается полная группа U... при также событий, то есть местных событий, тозадачах есть AAi i  при AAii U AAjj VV при событий, то есть ii  jj иии   n n j j11 n A . производит ри из испытании, то естьдолжно  i U Aтогда нихсобытий, непременно произойти при испытании, то есть Например, стрелок по мишени два выстрела,  i  U .собыA  U A  A  V при и . то есть i  j  i i 1 i j

i 1 j 1 тия: А1 – одно попадание, А2 – два попадания, А3 – ни одного попадания тся также группа несовместных образуют полную группу, так как А1 +также А2 + А3 полная = U − достоверное событие. В полная практических задачах встречается группа несовместных 12 12 n 9. Шансы – это события, образующие полную группу несовмесn Ai  U . тных  A  U A  A  V при и . событий, то есть i  j и равновозможных событий.  12 i i j j 1 j 1 В заключение отметим, что каждое из событий обладает различной степенью возможности появления. Для количественного сравнения возможности осуществления событий необходимо с каждым из них связать 2 12 больше, чем выше возможность расопределенное число, которое тем сматриваемого события. Такое число является вероятностью события.

1.3. Частота и вероятность Введение понятия «вероятность события» обусловлено практической деятельностью. На основании опыта более вероятными считаются те события, которые происходят чаще, менее вероятны те, которые осуществляются реже. Маловероятны те события, которые почти никогда не происходят. Следовательно, понятие вероятности и частоты события в самой основе связано с опытными практическими исследованиями.

16

Из сравнения различных событий по степени их возможности можно

выделить достоверное событие и принять его в качестве единицы измерения. В

противоположность достоверному ставится невозможное событие, которое в Из сравнения различных событий по степени их возможности

и принять его в качестве едирезультате можно опыта выделить не можетдостоверное произойти.событие Вероятность невозможного события

ницы измерения. В противоположность достоверному ставится невозможное событие, которое в результате опыта не может произойти. Если Вероятность же в проведенной серии из n приравнивается опытов некоторое событие А невозможного события к нулю. Если же в проведенной серии из n опытов некоторое событие А осуществлено nА раз, то относительной частотой, или просто частотой, осуществлено nА раз, то относительной частотой, или просто частотой, случайногослучайного события называют числа появлений события ксобытия общему события отношение называют отношение числа появлений к общему числу произведенных числу произведенных испытаний, то есть испытаний, то есть

приравнивается к нулю.

Частота случайного события всегда заключена между нулем и единицей: Частота случайного события всегда заключена между нулем и единицей: nА . (1.1)   W A  (1.1) 0 0WW AAn1 . 1. событие, припри ПриПри nЧастота имеетместо место невозможное событие, n A n An, n , n A0  0 имеет 13невозможное A  случайного события всегда заключена между нулем

Частота случайного события всегда заключена между нулем и единицей: и единицей: соответственно, достоверное. соответственно, достоверное. 0  W  A  1. явлений Из Изанализа анализанаблюдений наблюденийвсевозможных всевозможных явленийследует, следует,чточтоприпри место невозможное событие, При количествах n Aколичествах n0 = 0имеет n A может  n, небольших испытаний частота появления событий А А может небольших испытаний частота появления При имеет место невозможное событие, при n событий = n,при соответсА

А

твенно, достоверное. существенно отличаться. Когда число опытов в каждой серии велико, то то существенно отличаться. Когда число опытов в каждой серии велико, соответственно, достоверное. Из анализа наблюдений всевозможных явлений следует, что при

отличие частот, как правило, незначительно. В этом отличие относительных частот, как правило, незначительно. В этом случае Изотносительных анализа наблюдений всевозможных явлений следует, что при небольших количествах испытаний частота появления событий Аслучае может отличаться. Когда число опытов виспытаний каждой серии весчитается, чтосущественно относительная частота при большом числе обладает считается, что относительная частота при большом числе испытаний небольших количествах испытаний частота появления событий А обладает может

лико, то отличие относительных частот, как правило, незначительно. В этом случае считается, что относительная частота при большом чисЭксперименты свидетельствуют, чточто в большинстве случаев существует Эксперименты свидетельствуют, в большинстве случаев существует ле испытаний обладает «устойчивости». отличие относительных частот,свойством как правило, незначительно. В этом случае Эксперименты свидетельствуют, что в большинстве случаев сущеснекоторое число p, p, которое мало отличается от числе относительной некоторое которое мало отличается от относительной частоты считается, чточисло относительная частота при большом испытаний частоты обладает твует некоторое число p, которое мало отличается от относительной появления события А при значительном испытаний. появления события А при значительном числе испытаний. Символически свойством «устойчивости». частоты появления события А при числе значительном числеСимволически испытаний. Символически изложенное как изложенное представляется каккак представляется изложенное представляется Эксперименты свидетельствуют, что в большинстве случаев существует

свойством «устойчивости». свойством «устойчивости». существенно отличаться. Когда число опытов в каждой серии велико, то

n A n Aотличается от относительной частоты некоторое число p, которое мало (1.2)     p. p . (1.2) (1.2) n* n* n n числе испытаний. Символически появления события А при значительном *

*

Число pЧисло есть вероятность случайного события А. А. А. Число p есть вероятность появления случайного события p есть вероятность появления случайного события изложенное представляется какпоявления Определение. Мера объективной возможности случайного события Определение. Мера объективной возможности случайного события Определение. Мера объективной возможности случайного события n называется его вероятностьюA иобозначается   p . (1.2) n  * называется егоего вероятностью и обозначается называется вероятностью и nобозначается *

Ap.. p . события А. p  Apслучайного Число p есть вероятность появления

(1.3) (1.3) (1.3)

Определение. Мера объективной возможности случайного события называется его вероятностью ииобозначается 1.4.1.4. Аксиоматическое классическое определения вероятности Аксиоматическое и классическое определения вероятности 17 (1.3) p  сериях A сериях p . испытаний, Из Из того, чточто частота в больших стабилизируясь, того, частота в больших испытаний, стабилизируясь,

1.4. Аксиоматическое и классическое определения вероятности Из того, что частота в больших сериях испытаний, стабилизируясь, приближенно воспроизводит вероятность, следует, что вероятность должна удовлетворять таким формальным требованиям, каким естественным образом удовлетворяет и частота. Отсюда следует аксиоматический подход к определению вероятности. 1. С каждым событием А данного поля связывается число, называемое вероятностью

0  P A  1..

2.

0  PU Aравна  1 . единице Вероятность достоверного события

2. Вероятность достоверного события u равна единице

(1.4) (1.4)

(1.4)

(1.4) 1. P0UP1A,U равна (1.5) Вероятность достоверного события единице (1.4) 0  P A  1 . 000PPP AAA 111.. . P AV1U (1.5)(1.4)(1.5) 2. вероятность Вероятность достоверного0события события единице PU 1.,равна , равнанулю невозможного 2. Вероятность события U равна единице 2.2. достоверного Вероятность достоверного события UUравна равна единице Вероятность достоверного события равна единице 2. Вероятность достоверного события U единице 2. Вероятность достоверного события единице P 1, V , равна (1.5) VU U 0равна (1.6) P вероятность невозможного события нулю PU   1 ,V равна (1.5) вероятность невозможного события нулю PPU U 111,, ,   U  P  Pсобытия UP V1, 0V, равна нулю (1.5)(1.6) вероятность невозможного при этом вероятность невозможного события V равна нулю вероятность невозможного события равна нулю вероятностьневозможного невозможного событияVVVравна равнанулю нулю (1.6) (1.6) вероятность события вероятность 0V,   1нулю UV VPравна PP . (1.7) при этом невозможного события (1.6) PV   0 , PPVVV 000,, ,  P V Pнесовместные (1.6)  U0, PV   1. события A1 , A2 ,..., An , то при поле этом S подразделяетсяPна (1.7) есть 3. Если при этом при этом при этом приэтом этом при   PV   1. события A1 , A2 ,..., An , то(1.7) n поле S подразделяется на PUнесовместные этом есть 3. приЕсли V вероятность   1PP.PUUU PPPVVV 111.. . (1.7) S   Ai , где Ai  A j  V приPiU j ,Pто i 1 nполе S подразделяется PUна несовместные PV   1.. то есть 3. Если события A1 , A2 ,...,(1.7) An ,(1.7)  ASi ,подразделяется Ai поле поле A j SSVSподразделяется где при i  j , nто вероятность 3. ЕслиS поле на несовместные события A1 , A2события ,..., An , тоAAесть 3. Если поле подразделяется на несовместные события ,A 3. Если подразделяется на несовместные события ,, ,т 3. Если на несовместные A , A2,..., ,...,AAA 11,1A22 ,..., nn n in1 S подразделяется на несовместные события A , A ,..., A , то есть 3. Если поле 1 2 n     P S  P A . (1.8)  i S n Ai , где Anin nSAподразделяется то вероятность 3. Если поле несовместные события A1 ,А2 ,  j  V при i  j , iна 1 n i 1, где A  A  V при i  j , то вероятность n A S ...,  iто естьS i j A S  A A  A  V , где при вероятность S  A А , , где A  A  V A  A  V , где при ,то товероятность вероятность , где при то вероятность   вероятность PiiAiij.j,,j,то (1.8) i i iV  i 1nA , где A  A SВ   при iii i P jjj,jSтосуществует i i 1 iij1i1исследованиях практических целый класс опытов, для in1 i 1 PS n  P Ai  . nn n (1.8) которыхВ вероятности их исследованиях возможных оценить непосредственно практических целый класс опытов, для .P.PSS (1.8) n существует PS  исходов  Pi 1Ai можно (1.8)    P  P A . S  PPA Aii i . . i 1 P  A  . P S    (1.8) i ii1i11 изкоторых условий самого опыта. Для этого исходов чтобы исходы опыта обладали вероятности ихисследованиях возможных можно оценить непосредственно В практических целый класс опытов, для iважно, 1существует В практических исследованиях существует целый класс опытов, для опыто В практических исследованиях существуетсуществует целый классцелый опытов, В практических исследованиях существует целый класс опыто В практических исследованиях существует целый класс В практических исследованиях класс симметрией и самого быливероятности равновозможными. Следует отметить, чтооценить симметричность из Вусловий опыта. Для этого важно, чтобы исходы опыта обладали которых вероятности их возможных исходов можно оценить непосредственно практических исследованиях существует целый класс опытов, для опыт для которых их возможных исходов можно некоторых вероятности их возможныхих исходов можно оценить непосредственно которых вероятности их возможных исходов можно оценить непосредс которых вероятности их возможных исходов можно оценить непосред которых вероятности возможных исходов можно оценить непосредс посредственно из условий самого опыта. Для этого важно, исисходов опыта лишь висходов специально организованных опытах типа симметрией и наблюдается былиих равновозможными. Следует отметить, чточтобы симметричность из условий самого опыта. Для этого важно, чтобы исходы опыта обладали которых вероятности возможных можно оценить непосредственно из условий опыта.самого Для этого важно, чтобы исходычтобы опытаисходы обладали ходы самого опыта обладали симметрией иДля были равновозможными. Следуиз условий самого опыта. Для этого важно, исходы опыта об из условий самого опыта. Для этого важно, чтобы исходы опыта об из опыта. этого важно, исходовигр. опыта наблюдается вважно, специально организованных опытахопыта типа об симметрией и условий были равновозможными. Следует отметить, что симметричность изазартных условий самого опыта. Для лишь этого чтобы исходычтобы опыта обладали ет отметить, что симметричностьСледует исходовотметить, опыта наблюдается лишь симметрией исимметрией были равновозможными. что симметричность симметрией были равновозможными. Следует отметить, что симметри симметрией были равновозможными. Следует отметить, чтосимметри симметр ииибыли равновозможными. Следует что можно сформулировать определение. азартных исходов опыта наблюдается лишь в Следует специально организованных опытах типа симметрией иигр. были равновозможными. отметить, что отметить, симметричность вСледовательно, специально организованных опытах типа азартных игр. исходов опыта наблюдается лишь в специально организованных опытах типа опыта исходов опыта наблюдается лишь специально организованных опыта исходов опыта наблюдается лишьопределение. вспециально специально организованных исходов опыта наблюдается лишь вворганизованных организованных Следовательно, можно сформулировать определение. Определение. Вероятность случайного события равна отношению Следовательно, можно сформулировать азартных игр. исходов опыта наблюдается лишь в специально опытах типа опыт Определение. Вероятность случайного события равна отношению чисазартных игр. азартных азартных игр. азартныхигр. игр. числа ла mСледовательно, благоприятствующих емуслучаев случаев совокупности единственно можно сформулировать определение. Определение. Вероятность случайного события равна отношению азартных игр. m благоприятствующих ему изиз совокупности всех всех единственно Следовательно, можно сформулировать определение. определение. Следовательно, можно сформулировать определение. Следовательно, можно сформулировать определение. Следовательно, можно сформулировать возможных, несовместимых и равновозможных случаев к общему n этих числа m благоприятствующих ему случаев из совокупности всехчислу единственно Определение. Вероятность случайного события равна отношению Следовательно, можно сформулировать определение. 18 Определение.Определение. Вероятность случайного события равна отношению Определение. Вероятность случайного события равна отно Определение. Вероятность случайного события равна отн Вероятность случайного события равна отно случаев. возможных, несовместимых и равновозможных случаев равна к общему числу n этих числа m благоприятствующих ему случаев из события совокупности всех единственно Определение. Вероятность случайного отношению числа m благоприятствующих ему случаев из совокупности всех единственно числа mmблагоприятствующих благоприятствующих ему случаев из совокупности всех единст единст числа благоприятствующих ему случаев из совокупности числа m случаев из случаев. возможных, несовместимых и равновозможных случаев ксовокупности общему числу всех nвсех этихединс числа m благоприятствующих ему случаевmизему совокупности всех единственно 2.

Определение. Вероятность случайного события равна отношению числа m благоприятствующих ему случаев из совокупности всех единственно возможных, несовместимых и равновозможных числуnn этих возможных, несовместимых и равновозможныхслучаев случаев кк общему общему числу этих случаев. случаев.

P  A 

m . n

(1.9) (1.9)

ЭтоЭто классическое определение вероятности случайного события, лежащее классическое определение вероятности случайного события, для всякого случайного события исход испытаний можно заранее разбить на лежащее в основе теории вероятностей начала XX столетия. в основе теории вероятностей до начала XXдо столетия. В настоящее время от неговозможных, как от определения пришлось откаконечное число единственно несовместимых и равновозможных В настоящее время от него как от определения пришлось отказаться, заться, так как оно непригодно для многих случайных событий. Это так случаев. Поэтому, учитывая органическую связь между частотой события и его связано с тем, что для всякого случайного события исход испытакак оно непригодно длянемногих случайных событий. Это связано с тем, что не вероятностью, считают, чтона при неограниченном увеличении числа опытов n* ний можно заранее разбить конечное число единственно возмож15

ных, несовместимых и равновозможных случаев. Поэтому, учитывая относительная частота события А сходится к вероятности p появления этого органическую связь между частотой события и его вероятностью,

события. считают, что при неограниченном увеличении числа опытов n* относительная частота события А сходится к вероятности p появления этого события.

1.5. Геометрическое представление о вероятности

Часто при вычислении вероятности события оказывается удобно Геометрическое представление о вероятности связывать1.5.рассматриваемое событие с какой-то непрерывной случайной

Часто при вычислении вероятности события удобномишени со величиной. Например, производится стрельбаоказывается по квадратной связывать рассматриваемое событие с какой-то непрерывной случай-

стороной а и центром, совпадающим с началом координат О. ной величиной. Например, производится стрельба по квадратной ми-

шени Событие со стороной совпадающим началом координат О. А а–и центром, попадание в цель – сравносильно выполнению двух Событие А – попадание в цель – равносильно выполнению двух a a неравенств где XX ии YY (абсцисса (абсцисса ии ордината ординататочки точкипопапопадания) есть неравенств X  , Y  ,, где 2 2 дания) есть непрерывные случайные величины (рис. 1.1). Вероятность непрерывные величины (рис. 1.1). Вероятность события А есть не события А естьслучайные не что иное, как вероятность совместного выполнения записанных вероятность будет определена, еслинеравенств. изчто иное, какнеравенств. вероятностьЭта совместного выполнения записанных Эта вестны значения случайных величин X и Y. вероятность будет определена, если известны значения случайных Рассматриваемая связь между событиями и случайными величина-величин X и ми характерна для современной теории вероятностей. Ее отличительY. ной чертой является переход от «схемы событий» кa «системе случайных величин». Такой подход представляет болееY гибкий универсальный 2 аппарат для решения задач, относящихся к случайным явлениям. Исходя из изложенного, сформулируем геометрическое представление о вероятности (рис. 1.2). y O

19

x

X

a 2

ть будет определена, если известны значения случайных величин X и

Y

a 2

y O

X

x

a Рассматриваемая связь между событиями 2и случайными величинами

терна для современной теории вероятностей. Ее отличительной чертой

тся переход от «схемы событий» кa «системе случайных величин». Такой

д представляет более гибкий универсальный аппарат для решения задач,

Рис. 1.1 ящихся к случайным явлениям. Исходя Рис. 1.1 из изложенного, сформулируем

трическое представление о вероятности (рис. 1.2). 16

D d

S

S

Рис.1.2 1.2 Рис.

Пусть дана некоторая область D, площадь которой равна S. Рассмотрим Пусть дана некоторая область D, площадь которой равна S. Рас-

смотрим вобласть d, входящую в D. Пусть площадь s. Тогда вероятть d, входящую D. Пусть ее площадь s. ее Тогда вероятность попадания ность попадания точки в область d, считая достоверным попадание

в область d, в считая точки в область D по точки область D,достоверным по определению попадание равна s/S, то есть p = s/S. Если площадь области D принять равной единице, то тогда вероят-

/ S , тоA,есть елению равна p  s / S . областью d, будет равна ее площади. ность s события представленная

Если площадь области D принять равной единице, то тогда вероятность 20

ия A, представленная областью d, будет равна ее площади.

1.6. Непосредственное вычисление вероятности события. Основные понятия комбинаторики вычислительной технике, кибернетике. С комбинаторными задачами имеют В практической деятельности человек обычно имеет дело с задача-

дело представители многих специальностей. Это химики, изучающие связи ми, в которых необходимо рассматривать число всевозможных спосорасположения или выбора отдельных предметов или осуществлеатомовбов в молекулах, биологи, изучающие всевозможные последовательности ния некоторых действий. Такие задачи являются комбинаторными. аминокислот в белковых соединениях, конструкторы Комбинаторика – это один из разделов дискретной математики. Он вычислительных подобные задачи и логике, военными имеет важное машин. значение в Решаются теории вероятностей, математической теории чисел, кибернетике. комбинаторспециалистами при вычислительной расчете огневойтехнике, обеспеченности боя, Свыделения средств ными задачами имеют дело представители многих специальностей. Это перевозки личного состава. Строители широко методы химики, изучающие связи атомов в молекулах, биологи,применяют изучающие всевозможныепри последовательности чередования белковых комбинаторики составлении графиков работаминокислот и монтажа вна нескольких соединениях, конструкторы вычислительных машин. Решаются подобобъектах с помощью ЭВМ и автоматических систем управления. ные задачи и военными специалистами при расчете огневой обеспеченности боя, соображения выделения средств Комбинаторные лежатперевозки в основеличного решениясостава. многихСтроители задач теории широко применяют методы комбинаторики при составлении графиков вероятностей, обусловленных бурным развитием кибернетики и работ и монтажа на нескольких объектах с помощью ЭВМ и автомативычислительной техники. ческих систем управления. Комбинаторные соображения лежат в основе решения многих задач теории вероятности вероятностей,осуществляют обусловленныхисходя бурнымиз его Непосредственное вычисление развитием кибернетики и вычислительной техники. определения: Непосредственное вычисление вероятности осуществляют исходя из его определения. Вероятность р события А находят из отношения числа m Вероятность р события А находят из отношения числа m благоприблагоприятствующих случаев к числу всех случаев n, образующих полную ятствующих случаев к числу всех случаев n, образующих полную груправновозможныхнесовместимых несовместимыхсобытий, событий,то тоесть есть группупу равновозможных

чередования

P  A  p 

m .. n

(1.10)(1.10)

Рассмотрим вычисление вероятностей на примере. Рассмотрим вычисление вероятностей на примере.

Пример. Бросают одновременно две монеты. Какова вероятность выпадения герба на обеих монетах (двух гербов сразу)? решения задачи составим схему всевозможных выпаденияДля герба на обеих монетах (двух гербов сразу)? случаев (табл. 1.1).

Пример. Бросают одновременно две монеты. Какова вероятность Для решения задачи составим схему всевозможных случаев табл. 1.1. Таблица 1.1 № попытки 1 случай № попытки 2 случай 3 случай 1 случай 4 случай

2 случай

Первая монета герб Первая монета герб негерб герб не герб

3 случай

герб 21 не герб

4 случай

не герб

Вторая монета Таблица 1.1 герб Вторая монета не герб герб герб не герб

не герб герб

не герб

Итак, всего случаев 4, n=4. Благоприятствующих случаев 1, m=1. Тогда вероятность выпадения герба на обеих монетах сразу по определению есть

m 1 Итак, всего случаев 4, n=4.p Благоприятствующих случаев 1, m=1.   . Итак, всего случаев 4, n=4. Благоприятствующих случаев 1, m=1. Тогда Тогда вероятность выпадения гербаn на 4 обеих монетах сразу по опредевероятность выпадения герба на обеих монетах сразу по определению есть лению есть

В другой задаче три различных станка изготавливают одинаковые детали. m 1 p второй  .. 30 % и третий 60 % всех деталей. При этом первый станок дает 10 %, n 4 Процент брака для первого станка 5 %, для второго 2 % и для третьего 0,5 %. В другой задаче тритри различных станка изготавливают одинаковые детали. В другой задаче различных станка изготавливают одинаковые За день всеми станками было выпущено 1000 деталей, которые оказались детали. При этом первый дает 10 %, 30 % и60третий 60 деталей. % При этом первый станок дает станок 10 %, второй 30 второй % и третий % всех случайно перемешаны. Необходимо установить вероятность того, что всех деталей. Процент брака для первого станка 5 %, для второго 2 % взятая Процент брака для первого станка 5 %, для второго 2 % и для третьего 0,5 %. и для третьего 0,5 %. бракованной. наудачу деталь окажется За день всеми станками былобыло выпущено 10001000 деталей, которые оказались За день всеми станками выпущено деталей, которые Решение. Для того, чтобы воспользоваться выражением оказались случайно перемешаны. Необходимо установить вероятность (1.10), случайно перемешаны. Необходимо установить вероятность того, что взятая того, чтознать взятая наудачу деталь бракованной. необходимо величины m и n. окажется Так как всего случаев, то есть деталей 1000, наудачу деталь окажется бракованной. Решение. Для того чтобы воспользоваться выражением (1.10), нето n=1000. Установим, сколькоmвсего из них Нетрудно видеть, что обходимо и n. Так как бракованных. всего случаев,выражением то есть деталей Решение. знать Длявеличины того, чтобы воспользоваться (1.10), 1000, то n=1000. Установим, из них них бракованные. бракованных. На Не-втором на первом станке изготовлено 100сколько деталейвсего и 5 из необходимо величины m и n. станке Так какизготовлено всего случаев, есть деталей трудно знать видеть, что на первом 100то деталей и 5 из 1000, сделали 300 деталей и 6 из них бракованные, на третьем – 600 деталей и 3 из них бракованные. На втором сделали 300бракованных. деталей и 6 изНетрудно них бракованто n=1000. Установим, сколько всего из них видеть, что них ные, бракованные. Следовательно, в них партии из 1000Следовательно, деталей всего 14 на третьем – 600 деталей и 3 из бракованные. на первом станке изготовлено 100 деталей и 5 из них бракованные. На втором в партии из 14 бракованных, есть m=14. Отсюда взятая бракованных, то1000 естьдеталей m=14.всего Отсюда вероятностьтотого, что любая, сделали 300 деталей 6 излюбая, них бракованные, на третьем – 600деталь деталей вероятность того,и что взятая произвольным образом бу-и 3 из произвольным образомравна деталь будет бракованной, равна дет бракованной, них бракованные. Следовательно, в партии из 1000 деталей всего 14 m 14   0,014.. бракованных, то есть m=14.p Отсюда вероятность того, что любая, взятая n 1000 произвольным образом деталь будет бракованной, равна Правила умножения и сложения Правила m умножения и сложения 14 p    0 ,014 . Установим два важных правила, которые часто применяются при Установим два важных правила, n 1000которые часто применяются при решении комбинаторных задач. этого рассмотримрешение решениеследующей слерешении комбинаторных задач. ДляДля этого рассмотрим Правила умножения и сложения дующей задачи. задачи. Задача 1. два Необходимо контрольной рабо- при Установим важных составить правила, варианты которые часто применяются Задача 1. Необходимо вариантытри контрольной работы, каждый ты, каждый из которых составить должен содержать задачи. Одна задача решении комбинаторных задач. Для этого рассмотрим решение следующей выбирается из любого параграфа I главы задач, вторая− из которых должен содержать три задачи. Однасборника задача выбирается из любого задачи. из любого параграфа II главы, а последняя − из любого параграфа параграфа I главы задач, втораячто − Iизи любого параграфа главы, а III главы. Присборника этом следует учесть, III главы содержатIIдва Задача 1. Необходимо составить варианты контрольной работы, каждый параграфа, а II глава − три параграфа. Сколько видов контрольной последняя − из любого параграфа III главы. При этом следует учесть, что I и III из которых задачи. Однаусловий, задача выбирается из любого работыдолжен можно содержать составить три исходя из этих если вид работы определяется толькозадач, номерами из которых выбра19параграфов, параграфа I главы сборника вторая − из любого параграфа II главы, а ны задачи?

последняя − из любого параграфа III главы. При этом следует учесть, что I и III 22 19

контрольной работы можно составить исходя из этих условий, если вид работы определяется только номерами параграфов, из которых выбраны задачи? Решение. Задачу решим двумя способами.

Решение. Задачу решим двумя способами.

СпособСпособ 1. Пусть каждой задаче двузначноечисло, число, 1. Пусть каждой задачесоответствует соответствует двузначное гдегде первая цифра номер выбранной главы,−вторая номер параграфа. первая цифра номер −выбранной главы, вторая номер−параграфа. Чтобы не Чтобы не допустить ошибки при подсчете, воспользуемся специаль-

допустить ошибки при подсчете, воспользуемся специальным графом, который ным графом, который иногда называют деревом (рис. 1.3). иногда называют деревом (рис. 1.3).

Рис. 1.3 Рис. 1.3

Начальную точку обозначим буквой О. Двигаясь всеми возможными путями по Начальную ребрам графа слева направо, начиная с точки О,возможныполучим 12 точку обозначим буквой О. Двигаясь всеми мивидов путями по ребрам графа слева направо, начиная с точки О, получим различных контрольной работы. 12 различных видов контрольной работы.

СпособСпособ 2. В 2.задаче требуется видаконтрольной контрольной работы В задаче требуетсядля для каждого каждого вида работы подобрать три параграфа − по одному из указанных трехто глав, есть подобрать три параграфа  по одному из указанных трех глав, естьтоследует следует заполнить три клетки на карточке для контрольной работы.

заполнить три клетки карточке для контрольной работы. Изобразим эти Изобразим эти на клетки следующим образом. клетки следующим образом. В первую клетку можно поместить либо 11, либо 12. Поэтому первую клетку можно заполнить двумя либо способами. В первую клетку можно поместить 11, либо 12. Поэтому первую

клетку можно заполнить двумя способами. 2

2

На «дереве» это обстоятельство иллюстрируется двумя ветвями, исходящими из точки О и ведущими к столбцу «Первая задача». Для каждого из двух способов заполнения первой клетки имеется три ва20 рианта заполнения второй клетки, так как вторую задачу можно выбрать тремя способами, поскольку глава II содержит три параграфа.

23

2

3

Первые две клетки можно заполнить шестью способами. Заметим, что именно 6 ветвей заканчиваются в столбце «Вторая задача». Для каждого из этих шести способов существует два способа заполнения третьей клетки, так как третья задача может быть выбрана из двух параграфов главы III. 2

3

2

Тогда общее число способов заполнения трех клеток равно . Именно столько ветвей заканчивается в столбце «Третья задача». Таким образом, исходя из условий задачи, можно составить 12 различных видов контрольной работы. Задача 2. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту и профорга. Сколькими способами можно это сделать? Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 учащихся, то есть существует 30 способов выбора старосты. После того как староста уже выбран, профоргом можно выбрать любого из оставшихся 29 учащихся. Таким образом, одному способу выбора старосты соответствуют 29 способов выбора профорга. Следовательно, общее число способов выбора старосты и профорга равно 30 ∙ 29 = 870. Рассуждения при решении предыдущих задач подтверждают справедливость следующего простого утверждения. Правило умножения. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ ... ∙ nk способами. Это правило дает универсальный метод решения многих комбинаторных задач. Задача 3. Четыре мальчика и четыре девочки садятся на 8 расположенных подряд стульях, причем мальчики садятся на места с четными номерами, а девочки – на места с нечетными номерами. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Первый мальчик может сесть на любое из четырех четных мест, второй – на любое из оставшихся трех мест, третий – на любое из оставшихся двух мест. Последнему мальчику предоставляется всего одна возможность. Согласно правилу умножения мальчики могут

24

занять четыре места 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 способами. Столько же возможностей имеют и девочки. Таким образом, согласно правилу умножения, мальчики и девочки могут занять все стулья 24 ∙ 24 = 576 способами. Задача 4. Имеется 20 изделий 1-го сорта и 30 изделий 2-го сорта. Необходимо выбрать два изделия одного сорта. Сколько способов выбора двух изделий возможно в данной ситуации, если учитывается порядок выбора изделий? Решение. Условимся первым действием считать выбор изделий 1-го, вторым – выбор изделий 2-го сорта. По правилу умножения два изделия 1-го сорта можно выбрать 20 ∙ 19 = 380 способами. Аналогично два изделия 2-го сорта можно выбрать 30 ∙ 29 = 870 способами. Согласно условию задачи следует выбрать два изделия одного сорта, не важно какого вида. Это могут быть либо изделия 1-го сорта, либо изделия 2-го сорта. Таким образом, должно быть выполнено либо первое действие, либо второе, но не первое действие, а затем второе. Эти действия не могут быть выполнены одновременно, поскольку они взаимоисключают друг друга. Поэтому общее число способов выбора изделий одного сорта равно 380 + 870 = 1250. Соображения, которые были приведены при решении последней задачи, позволяют сформулировать правило сложения. Правило сложения. Если два действия взаимоисключают друг друга, причем одно из них можно выполнить m способами, а другое – n способами, то выполнить одно любое из этих действий можно m + n способами. Это правило легко распространить на любое конечное число действий. Размещения Пусть имеется некоторое множество, содержащее конечное число членов. Например, множество учебных групп, множество книг на полке, множество населенных пунктов в данной области или множество целых положительных чисел, меньших 10, и так далее. Все элементы такого множества можно пронумеровать, т. е. каждому элементу множества поставить в соответствие одно из чисел: 1, 2, 3, 4, ..., п; в результате получается некоторая последовательность элементов данного множества, которые обычно записывают в виде а1, а2, ..., аn. Такие «занумерованные» множества будем называть упорядоченными. Упорядоченное множество представим в виде некоторой последовательности, что будет

25

использовано в дальнейшем. Очевидно, если в упорядоченном множестве поменять местами хотя бы два его элемента, то получим новое упоЗаметим, что которому размещения отличаются порядком входящих в н рядоченное множество, будет соответствовать новая последовательность данного множества.АВ и ВА содержат одинаковые буквы, элементовэлементов и их составом. Размещения Определение. Размещением из п элементов по т называется любое порядок ихподмножество расположенияиз различен. Поэтому эти состоящего размещения считают упорядоченное т элементов множества, Заметим, из разными. п различных элементов. Заметим, что что размещения размещения отличаются отличаются порядком порядком входящи входящ Пример. Имеется множество, содержащее четыре буквы: {A; В; С; D}. элементов ииих Размещения ииВА содержат одинаковые Пример. Следующие последовательности элементов ихсоставом. составом. РазмещенияАВ АВцифр ВАявляются содержатразмещения одинаковые Запишем все возможные размещения из четырех указанных букв по две. порядок их расположения Поэтому по 4размещений элемента из12: 10 элементов множества: {0; СА; I; 2; 3; 4; 5; 6;эти 7; 8;размещения 9}: 3021, 459 Таких АВ; AC; AD; ВС: BD;различен. CD; ВА; DA; СВ;DB; DC. порядок их расположения различен. Поэтому эти размещения Заметим, что размещения отличаются порядком входящих в них разными. 8612; 7485; 1234… разными. элементов и их составом. Размещения АВ и ВА содержат одинаковые Пример. Следующие последовательности являются разм В порядок последнем примере не выписаны все возможные размещения, к Пример. Следующие последовательности цифр являютсятак разм буквы, но их расположения различен. Поэтому эти цифр размещения считаются разными. по из множества: {0; 5;5;6;6;7;7;6). 8;8;9}: таких размещений более 5000 (в этом можно убедиться, решая по44элемента элемента из10 10элементов элементов множества: {0;I;I;2; 2;3;3;4;4;задачу 9}:3 Пример. Следующие последовательности цифр являются размеще8612; 7485; 1234… практике представляет интерес количество а не 7485; 1234… ниями поНа 4 8612; элемента изчаще 10 элементов множества: {0; I; 2; 3; 4; 5; 6;размещений, 7; 8; 9}: В примере все 3021, 4590; 8612;вид. 7485; 1234… размещений конкретный Число п элементов по т будемразмещени обознача Впоследнем последнем примерене неизвыписаны выписаны всевозможные возможные размещен В последнем примере не выписаны все возможные размещения, m таких размещений таких размещенийболее более5000 5000(в(вэтом этомможно можноубедиться, убедиться,решая решаязадачу задачу n , где m  n .более 5000 (в этом можно убедиться, ретаксимволом как такихAразмещений шая задачу 6). На Напрактике практикечаще чащепредставляет представляетинтерес интересколичество количестворазмещени размещен Задача 5. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах эт На практике чаще представляет интерес количество размещений, конкретный конкретный вид. вид. Число Число размещений размещений из из пп элементов элементов по по тт будем будем о газеты поместить фотографии.из Сколькими способами Число размещений n элементов по а не их конкретный вид.четыре m будем это мож m где mmnn.. обозначатьсимволом символомAAn nm,,где сделать, символом если ни одна страница. газеты не должна содержать более одн , где Задача 5. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах Задача 5.5.ВВнекоторой газете 12 Необходимо фотографии? Задача некоторой газете 12страниц. страниц. Необходимо настран стра этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами это на можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать богазеты поместить четыре Сколькими способами эт Решение. фотографию можно поместить на любую из 12 страни газеты Первую поместить четыре фотографии. фотографии. Сколькими способами э лее одной фотографии? если ни газеты не содержать бол т .Решение. е . 1 2 сделать, способами, вторую − настраница любую оставшихся страниц, то есть сделать, если ни одна одна страница газеты не должна должна содержать бо Первую фотографию можноизпоместить на11любую фотографии? изспособами. 12 страниц, т.е. 12 способами,третьей вторуюфотографии – на любую имеется из оставшихся Для размещения 10 способов, а д фотографии? 11 страниц, то есть 11 способами. Для размещения третьей фотограПервую фотографию можно на из последней − Решение. 9Решение. способов. По правилу умножения четыре фотографии Первую фотографию можнопоместить поместить налюбую любуюмож из11 фии имеется 10 способов, а для последней – 9 способов. По правилу тт. е.четыре из 11 разместить страницах 1вторую 2можно · 1 1 · 1−0−разместить ·на 9на =любую 1любую 1 880 способами. умножения фотографии на 12 страницах е.на . 11212 2 способами, способами, вторую изоставшихся оставшихся 11страниц, страниц, 12∙11∙10∙9 способами. = 11880 способами. Для имеется спосо Найденное число размещений четырехфотографии фотографий на 1210 страниц способами. Для размещения размещения третьей третьей фотографии имеется 10 спосо Найденное число размещений четырех фотографий на 12 страни4 способов. По правилу умножения четыре фотограф последней − 9 последней 9 . способов. По правилу умножения четыре фотограф цахгазеты газеты−– эточисло число−A12 это . Действительно, Действительно,для дляразмещения размещенияфотографотографий следу фий следует отобрать 4на различных страницы имеющихся. разместить 12 1122· 1· 111газеты · 1· 100· 9· 9=из способами. разместить на 12страницах страницах =11112 1880 880 способами. отобрать 4 различных страницы газетыупорядочить, из 12 имеющихся. Затем необходи Затем необходимо отобранные страницы не обращая Найденное число размещений четырех фотографий на Найденное число размещений четырех фотографий на 12 12 внимания на ихстраницы номера, т. упорядочить, е. определить, не на какую страницу поместить отобранные обращая внимания на их номера, т. 44 первую фотографию, на какую –AA вторую, и т. д. 12

для размещения газеты это 12. . Действительно, определить, на−−какую страницу поместить первую на какую Действительно, дляфотографию, размещения фотографи фотограф газеты это число число 26 вторую,отобрать и т. д. 44 различных отобрать различных страницы страницы газеты газеты из из 12 12 имеющихся. имеющихся. Затем Затем не н

отобранные отобранные страницы страницы упорядочить, упорядочить, не не обращая обращая внимания внимания на на их их но но

12 страниц Полученная согласно .  размещением определению изупорядоченная 12 элементов посовокупность 4, а числопоследней таких −размещений 9 является способов. прав упорядоченная совокупность страницПоявляе A124 таких 8! 8! размещением Полученная определению из 12 элементов по 4, а число размещений 4 4 12  11  10  9 . A1212таких на страницах 12·11· является определению ответом: A12 4размещением из 12 элементов поразместить 4, а число размещений A124 таких Полученная упорядоченная совокупность я A  12  11  10  9 определению размещением из 12 элементов по 4, а числостраниц является ответом: 12 . Найденное число размещен 4 Последнее произведение можно представить в другом виде, если A  12  11  10  9 Полученная упорядоченная является со12 является ответом: .124представить A124 Aсовокупность  12  11  10  из 9страниц Последнее произведение можноразмещением виде, определению 12другом элементов по 4,если является ответом: .вразделим 4а число A использовать символ факториала, для чего умножим и его на 8! гласно определению размещением из 12 элементов по 4, а число 12 . Действит газеты − это число орема дает общую формулу для вычисления размещений, Последнее произведение можно представить впредставить другом виде, если 4 использовать факториала, для чего умножим и разделим его на 8! таких символ размещений является ответом: . A  12  11  10  9 Последнее произведение можно в другом 12 является ответом: . Имеем 4 иразличных Последнее произведение можнозадач. представить в другом виде, еслистраницы ачительно упростить решение подобных символ факториала, чего отобрать умножим разделим его на 8!г Имеемиспользовать использовать символдля факториала, дляможно чего умножим и раздели Последнее произведение представить в др  12 11  10  9  8 ! 12 ! символ для чего умножим и разделим егоупорядочит отобранные страницы . 12  11 использовать 10  9   факториала, Имеем n !  12 11  10  9  8 ! 12 ! 8 ! 8 ! Имеем . 9  12 на 11 8! 10Имеем  использовать символ факториала, для чего умножим и ра определить, 8!12  11  10 89!  8! 12! ! m)! ,то на какую страницу п 12 ! 4 .11равно  10  9  8! (n12 12 исло размещений из п элементов по т  A12 12   11  10  9  Имеем . 12 811  !  10  9  8! 8! 12! вторую, и т. д. Итак, 8! 8! A124  .  12 11  10  9  8 ! 12 ! 8! . Итак, 12! . размещений,  10 12 411 формулу  12! 9  Следующая теорема для8!вычисления A124  дает Итак, . общую 8! A12  8 ! nИтак, ! общую8!формулу Итак, теорема . дает Следующая для для вычисления размещений, . формулу Следующая дает общую вычисления размеAnm  теорема которая позволяет значительно упростить решение задач. 12! подобных 4 A  ( n  m )! 12 Следующая теорема общую для вычисления размещений, щений, которая позволяет значительно упростить решение подобных которая позволяет значительно упростить решение подобных задач. . дает (1.11) Следующая теорема дает общую формулу 8! . формулу Итак, n! для вычисления

задач.

которая позволяет значительно упростить решение подобных которая позволяет упростить решение задач (n задач. mn)!!подобных Следующая дает Т е о р е м аТе. оЧисло из п значительно элементов по тпообщую равно ,то,для вычисл р е м а . размещений Число размещений из птеорема элементов т равноформулу ( n  m )! Т е то о р есть е м а . Число размещений из п элементов по т равно ,то n! позволяет значительно упростить решение подобных есть правилом умножения. которая Чтобы составить какое-либо n т m)!равн есть Т е о р е м а . Число размещений п элементов т равно (по ,то Теор е м а . Числоизразмещений из по п элементов

о.

n! содержащего п т выбрать т элементов из множества, . Anm 

есть

есть

n!

(1.11)

n. Число m)! . размещений из п элементов Т е о р еAмnmа( по т (1.11) очить полученную совокупность. Это означает, (n  m)! . что надо (1.11) n! n! Доказательство. есть Доказательство. Anm  Anm  элементами рассматриваемого множества. На 1-е место (n  m)! . (n  m )! . Воспользуемся правилом умножения. Чтобы составить какое-либо Доказательство. (1.11) n! Воспользуемся правилом умножения. Чтобы составить какое-либо m A множества, содержащего размещение, следует выбрать т элементовnиз n   1 правилом умножения. составить какое-либо юбой изВоспользуемся п элементов. После этого останется Чтобыэлемент, (n  m)! Доказательство. Доказательство. и упорядочить полученную совокупность. Это означает,п . размещение,п элементов, следует выбрать т элементов из множества, содержащего размещение, следует выбрать тместо. элементов из множества, псоставить что Воспользуемся надо заполнить т2-е мест элементами рассматриваемого множества. правилом умножения. может быть помещен наВоспользуемся Поэтому 1-еЧтобы местосодержащего правилом умножения. составить Доказательство. элементов, и упорядочить полученную совокупность. Это означает, чтоЧтобы надокакое-либо На 1-е место можно поместить любой из п элементов. После этого элементов, и упорядочить полученную Это означает, что надо следует выбрать тиз элементов множества, соп размещение, 1 ) способами. размещение, выбрать тсовокупность. элементов множества, содержащего Воспользуемся правилом умножения. Чтобы соста заполнить та 2-е мест– элементами рассматриваемого множества. На 1-еизместо Рассуждая аналогично, пособами, ( n следует останется n - 1 элемент, каждый из которых может быть помещен на 2-е

заполнить т мест рассматриваемого множества. На 1-е элементов, иполученную упорядочить полученную совокупность. место. Поэтому место заполнить n способами, – (n -место 1) Это элементов, и элементами упорядочить совокупность. Это чтоознач надо nа2-е 1 означает, следует выбрать из множества элемент, можно поместить любой из1-епразмещение, элементов. После этого останется n  2 )можно nт 3элементов место можно заполнить ( способами, 4-е – ( ) способами. Рассуждая аналогично, получаем, что 3-е место можно заn  1 элемент, можно поместить тлюбой из п элементов. После этогополученную останется заполнить т мест элементами рассматриваемого множества. элементов, и (n упорядочить совокупность. Это оН мест элементами рассматриваемого множества. На 1-е место каждый заполнить из полнить которых(nможет быть помещен 1-е место - 2) способами, 4-е – -3) способами иПоэтому т. д. Последнее т-е n на ( m2-е  1)место. способами. оследнее т-е место можно заполнить каждый место из которых может быть наэлементами 2-еп место. 1-е место можно поместить из элементов. После этого можно заполнить n–-помещен 1) способами. Все mПоэтому мест по правилу n  1останется заполнить т рассматриваемого множест nэлементов. -1любой элемент, можно поместить любой п((m После этого останется )мест способами. Рассуждая аналогично, можно заполнить n способами, а 2-еиз        n n  1 n  2 ... n  m  1 умножения можно заполнить способами. ) способами. Рассуждая аналогично, можно заполнить n способами, а 2-е – ( n  1 может каждый из которых быть помещен на 2-еn место. вилу умножения можно заполнить можно поместить из п2-е элементов. остане n  2 ) способами, каждый из которых может быть помещен на место. 1-е Поэто место получаем, что 3-е место можно заполнить ( любой 4-е Поэтому –После ( 3 )этого Таким образом,  3Рассуждая получаем, что 3-е место можно заполнить ( n1 2 ) аспособами, 4-е –на( n2-е )место. П можно заполнить n способами, 2-е – ( n1)1 ) способами. разом, каждый из быть n  ( m помещен ) способами. Рассуждая можно заполнить n способами, акоторых 2-е – заполнить ( n может способами.аналогично, способами и т. д. Последнее т-е место можно m n.  ( m  1n) способами. n (1.12) 2 ) способами, Aможно n(nчто  1)(n3-е можно 2)( n n 3способами, )...[ n  (mnзаполнить 1а)] получаем, место можно способами и т. д. 25 Последнее т-е место заполнить n  заполнить 2 2-е  3) . –2(...n(1) способами. получаем, что 3-е место  – ( nРассу m(1.12)  14-е Все m мест по правилу умноженияможно можнозаполнить заполнить ( nn  1)nспособами, n  ( m 1 n заполнить m 12) способа nравенства 1n  2 ...заполнить n более способами и т. д. Последнее т-еможно место можно получаем, что 3-е последнего место Все Запишем m мест Запишем повыражение правилу умножения можно заполнить в правой части в(m n в (1n) способами. в правой части последнего равенства более способами и т. выражение д. Последнее т-е место можно заполнить способами. Таким образом, nn  1nn n на !(n m удобном для чего умножим разделим - m)!. Предполаспособами. Таким образом, 25иправилу Все m мест способами т.и д. Последнее т-е место . можно Предполагая, что удобном виде, для виде, чего умножим и по разделим егоумножения на его nможно nзаполнить  1n заполнить 2 ...n  m  1 Всегая, m что мест по правилу умножения можно заполнить 25 т≠п, имеем способами. Таким образом, т≠п, имеем Все m мест по правилу умножения можно заполнить nn  способами. Таким образом, 25

 1)(n  2)(n Таким  3)...[n образом, 25 (m  1)][(n  m)!] n(nспособами.  27 (n  m)! 25 n(n  1)(n  2)(n  3)...[n  (m  1)](n  m)(n  m  1)...3  2  1 n!   Anm 

.

((nn.mm)! Предполагая, чт удобном виде, т≠п, для чего умножим и разделим его на имеем )!  n)...[  mn!. (Предполагая, что удобном виде, для чего умножим и разделим его на         ( 1 )( 2 )( 3 1 )]( )( 1 )... 3 2 n n n n m n m n m т≠п, имеем т≠п, имеем n(n  1)(n  2)(n  3)...[n  (m  1)][(n  m)!]  Формулы и (1.12) при т