Übungsaufgaben zur Strömungsmechanik 2

Valentin Schröder

Übungsaufgaben zur Strömungsmechanik 2 112 Aufgaben mit vollständigen Musterlösungen 2. Auflage

Übungsaufgaben zur Strömungsmechanik 2

Valentin Schröder

Übungsaufgaben zur Strömungsmechanik 2 112 Aufgaben mit vollständigen Musterlösungen 2. Auflage

Valentin Schröder Hochschule Augsburg – University of Applied Sciences Königsbrunn, Deutschland

ISBN 978-3-662-56055-6 https://doi.org/10.1007/978-3-662-56056-3

ISBN 978-3-662-56056-3 (eBook)

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg Ursprünglich erschienen in einem Band unter dem Titel: Prüfungstrainer Strömungsmechanik © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Verantwortlich im Verlag: Margit Maly Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany

Vorwort

Die Idee zu diesem Buch beruht auf zwei Erfahrungen, die ich zum einen als Student und zum anderen später als Lehrender gemacht habe. Mir ist noch sehr gut in Erinnerung, dass in meiner eigenen Ausbildungszeit in den Sechzigerjahren die vorlesungsbegleitende Literatur fast ausnahmslos an den Bedürfnissen der Fachwelt orientiert war und weniger die studentischen Interessen und Erfordernisse ansprach. Der bisweilen abstrakte Hintergrund in der Strömungsmechanik wird jedoch von den meisten Lernenden dann besser oder überhaupt erst verstanden, wenn mittels geeigneter Anwendungsbeispiele die Theorie erprobt werden kann („Learning by doing“). Diesen „Hilfestellungen“ wurde in der damaligen Literatur zu wenig Beachtung geschenkt. Die wenigen Beispiele, die zur Verfügung standen, zeichneten sich oft dadurch aus, dass die einzelnen Lösungsschritte gar nicht oder nur fragmentarisch vorlagen und somit die Erarbeitung der Aufgabenlösungen nur schwer möglich war und oft auch erfolglos blieb. Um diese Mängel nicht in meinen eigenen Vorlesungen „Strömungsmechanik“ und „Strömungsmaschinen“, die ich während der Lehrtätigkeit von 1982 bis 2007 an der Fachhochschule Augsburg gehalten habe, zu wiederholen, habe ich die Vorlesungen auf zwei Schwerpunkten aufgebaut. Neben der Vermittlung des theoretischen Hintergrunds wichtiger Grundlagen kam der Erprobung des Erlernten durch die anschließende Bearbeitung zahlreicher Übungsbeispiele besondere Bedeutung zu. Das genannte Konzept fand bei den Studierenden eine hohe Akzeptanz, was u. a. in den positiven Aussagen im Rahmen der „Evaluationen“ zum Ausdruck kam. Diese positiven Erfahrungen gaben dann auch den Ausschlag, das vorliegende Buch zu konzipieren. Da die heute verfügbare Literatur zur Strömungsmechanik neben den Fachbüchern auch sehr gute Lehrbücher anbietet, die den oft abstrakten, nicht immer sofort verständlichen Stoff sowohl inhaltlich als auch pädagogisch gut aufbereitet vermitteln, bestand keine Notwendigkeit, ein weiteres Lehrbuch hinzuzufügen. Es sollte dagegen eine Lücke geschlossen werden, die im Bedarf nach einem vorlesungsergänzenden Übungsbuch bestand. Dessen besonderer Schwerpunkt liegt auf der detaillierten Vorgehensweise bei der Aufgabenlösung, um das Nachvollziehen auch von komplexeren Aufgaben zu ermöglichen. Die diversen Gebiete der Strömungsmechanik werden von Hochschule zu Hochschule und von Fachgebiet zu Fachgebiet unterschiedlich akzentuiert. Dies hat folglich eine V

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Vorwort

Fülle verschiedenartiger Schwerpunkte der Themenbereiche zur Folge, die zum einen in diesem Buch nicht vollständig abgedeckt werden können und zum anderen auch den äußeren Umfang eines einzigen Buchs überfordern würden. Die Verteilung des ausgewählten gesamten Aufgabenumfangs auf zwei Bände bot sich folglich als Lösung an. Vorliegendes Buch spricht vorzugsweise Hörerinnen und Hörer des Maschinenbaus, der Verfahrenstechnik und der Umwelttechnik an Hochschulen für angewandte Wissenschaften an. Voraussetzung bei der Benutzung des Buchs ist, dass die Grundlagen des Fachs Strömungsmechanik bekannt sind, was im Allgemeinen erst nach dem 3. oder auch höheren Semestern der Fall ist. Das erforderliche mathematische Rüstzeug wird mit den diesbezüglichen Vorlesungsinhalten an Hochschulen für angewandte Wissenschaften abgedeckt. Ich wünsche allen, die sich eine Verbesserung ihres Verständnisses strömungsmechanischer Vorgänge durch die Erprobung der Theorie an konkreten Aufgaben erhoffen, dass das vorliegende Buch hierbei hilfreich ist und im Fall bevorstehender Prüfungen zum gewünschten Erfolg beiträgt. Nicht zuletzt möchte ich mich bei meiner Frau für ihren bewundernswerten Einsatz beim Niederschreiben der zahllosen Gleichungen und für ihre kritischen Anmerkungen bei der Textgestaltung von ganzem Herzen bedanken. Ebenfalls besten Dank sagen möchte ich dem Springer-Verlag und hier insbesondere Frau Margit Maly (Lektorat Physik und Astronomie), Frau Stella Schmoll und Frau Carola Lerch (beide Projektmanagement), die alle meine Fragen in sehr kompetenter und zuvorkommender Art beantworten konnten. Königsbrunn Juni 2018

Valentin Schröder

Hinweise zur Anwendung

Jedem der 8 Kapitel dieses Buchs ist eine kurze Einführung in die betreffende Thematik voran gestellt. Hier werden auch die wichtigsten diesbezüglichen Gleichungen, die bei der Lösung der nachfolgenden Beispiele benötigt werden, aufgelistet. Da man damit oft nicht allein zum Ziel kommt, werden weitere Gesetze anderer Kapitel benötigt. In den Aufgabenerläuterungen finden sich hierzu entsprechende Hinweise. Die Übungsaufgaben selbst sind im Allgemeinen wie folgt strukturiert. Zunächst führt die Aufgabenstellung mit einer detaillierten Skizze in die Aufgabe ein. Die anschließende Aufgabenerläuterung mit Hinweisen auf die hier angesprochenen Themenbereiche soll den einzuschlagenden Lösungsweg erkennen lassen. Besonderheiten, Annahmen, z. T. nicht geläufige mathematische Zusammenhänge, usw. werden unter Anmerkungen (grau hinterlegt) genannt. Danach erfolgt unter Lösungsschritte der, oftmals vielleicht trivial anmutende, bis ins Detail aufgelöste Weg zum gesuchten Ergebnis. Hintergrund dieser engmaschigen Vorgehensweise ist der Wunsch, dem Studierenden Hürden bei der Aufgabenbearbeitung beiseite zu räumen, die eventuell durch ausgelassene Hinweise entstehen könnten. Schwerpunktmäßig ist das Aufgabenkonzept so gewählt, dass vorrangig funktionale Zusammenhänge erarbeitet werden müssen. Erst in zweiter Linie folgt die Auswertung mit konkreten Zahlen. Hierbei ist dann auf eine konsequente Beachtung dimensionsgerechter Größen zu achten. Die einzuschlagende Lösungsstrategie hat Turtur [19] in unten stehendem Ablaufplan übersichtlich zusammengestellt. Aufgrund der Ausführlichkeit und Vollständigkeit bedarf sie keiner weiteren Erläuterungen bzw. Ergänzungen. Sie sollte bei der Bearbeitung der einzelnen Aufgaben konsequent eingehalten werden, um den größtmöglichen Nutzen zu erzielen.

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VIII

Hinweise zur Anwendung

Abb. 1 Lösungsvorgehensweise nach Turtur [19]

Nomenklatur Größe A AUR a a B, b c c cA cL cM cm cp cu cW c1

Einheit [m2 ] [m2 ] [m/s2 ] [m/s] [m] [m/s] [m/s] [–] [m/s] [–] [m/s] [J/(kg K)] [m/s] [–] [m/s]

Name Fläche, Querschnittsfläche tatsächlicher durchströmter Querschnitt Beschleunigung Schallgeschwindigkeit Breite Absolutgeschwindigkeit mittlere Geschwindigkeit Auftriebsbeiwert Laval-Geschwindigkeit Momentenbeiwert Meridiankomponente von c spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck Umfangskomponente von c Widerstandsbeiwert ungestörte Geschwindigkeit des Absolutsystems

Hinweise zur Anwendung D D, d d hydr D d @ e F f g H, h I IP  FI IS

! ! !

iIjIk k kS L, l LGrenz Ma m m m P n P p pB pDa pV p1 R, r Re Ri s T T, t T T T, t u U UR

[1/s] [m] [m]

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[m] [N] [m/s2 ] [m/s2 ] [m] [m4 ] [N] [m4 ]

Verformungsgeschwindigkeit Durchmesser hydraulischer Durchmesser, Gleichwertigkeitsdurchmesser totales Differenzial Differenzial partielles Differenzial Exzentrizität Kraft auf die Masse bezogene Kraft (z. B. F G /m) Fallbeschleunigung Höhe Flächenmoment 2. Grades Impulsstrom  Impulskraft Flächenmoment 2. Grades um den Schwerpunkt

[m] [m] [m] [m] [–] [kg] [–] [kg/s] [1/s] [W] [Pa] [Pa] [Pa] [Pa] [Pa] [m] [–] [J/(kg K)] [m] [K] [s] [N m] [K] [m] [m/s] [m]

Einheitsvektoren Rauigkeit äquivalente Sandrauigkeit Länge Grenzlänge Machzahl Masse Exponent Massenstrom Drehzahl Leistung Druck barometrischer Druck Dampfdruck Druckverlust Druck in ungestörter Außenströmung Radius Reynoldszahl spezifische Gaskonstante Spaltweite, Wandstärke, Weg Absoluttemperatur Zeit Moment Totaltemperatur Tiefe vom Flüssigkeitsspiegel aus gezählt Umfangsgeschwindigkeit, Systemgeschwindigkeit gesamter fluidbenetzter Umfang

X V VP v w x, y, z Y Y Anl Y Sch;1

Hinweise zur Anwendung [m3 ] [m3 /s] [m3 /kg] [m/s] [(N m)/kg] [(N m)/kg] [(N m)/kg]

Y Sp;1

[(N m)/kg]

YV Z

[(N m)/kg] [m]

Größe ˛ ˛ ˛K ˇ   ı ı "    #    0

Z 0 ˆ ' ' ‰ !

Einheit [ı ] [–] [–] [ı ] [ı ] [ı ] [m] [–] [–] [Pa s] [–] [ı C] [–] [–] [–] [–] [m2 /s] [kg/m3 ] [Pa] [Pa] [Pa] [m2 /s] [ı ] [–] [m2 /s] [1/s]

Volumen Volumenstrom spezifisches Volumen Relativgeschwindigkeit kartesische Koordinaten spezifische Pumpenförderenergie spezifischer Energiebedarf einer Anlage spezifische Schaufelarbeit bei schaufelkongruenter, verlustfreier Strömung spezifische Spaltdruckarbeit bei schaufelkongruenter, verlustfreier Strömung Spezifische Verlustenergie Ortshöhe

Name Winkel Durchflusszahl; Ausflusszahl Kontraktionszahl Winkel Gleitwinkel Differenz Anstellwinkel Grenzschichtdicke Gleitzahl Verlustziffer dynamische Viskosität Wirkungsgrad Temperatur Isentropenexponent Rohrreibungszahl Überfallbeiwert Haftreibungsbeiwert kinematische Viskosität Dichte Zugspannung Schub-, Scherspannung Wandschubspannung Potenzialfunktion Winkel Geschwindigkeitszahl Stromfunktion Winkelgeschwindigkeit

Inhaltsverzeichnis

1

2

Rohr- und Kanalströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.1 Abflussleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.2 Luftleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.3 Vertikale Rohrleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.4 Graugussrohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.5 Benzinleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.6 Abgestufte Rohrleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.7 Grundablassleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.8 Unstetige Querschnittserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.9 Wärmetauscher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.10 Rohrverzweigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.11 Horizontales Kapillarviskosimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.12 Injektionsspritze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.13 Wasserkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.14 Abwasserrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 11.15 Laminare Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.16 Turbulente Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.17 Überlaufkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.18 Konfusor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.19 Gasströmung in einer erweiterten Leitung mit quadratischem Querschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 11.20 Dreieckiger Lüftungskanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1.21 Offener Betonkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 93 . 95 . 100

Impulssatz für strömende Fluide . . . . . . Aufgabe 2.1 Wandkraft im Krümmer . . . . . Aufgabe 2.2 Frei ausblasender Krümmer . . Aufgabe 2.3 Wandkraft in einer Düse . . . . . Aufgabe 2.4 Kolben in Düse . . . . . . . . . . Aufgabe 2.5 T-Stück . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.6 Offener Behälter mit Stützfeder

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1 9 13 17 23 27 32 37 43 48 52 56 61 66 71 79 82 88 90

105 107 109 112 117 121 126 XI

XII

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 2.7 Mischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.8 Wasserstrahlvolumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.9 Zylinder auf Flüssigkeitsstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.10 Schwebender Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.11 Körper im Rechteckkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.12. Behälter mit vertikalem sowie horizontalem Ausfluss Aufgabe 2.13 Rotierendes abgewinkeltes Rohr . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.14 Angeblasener Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.15 Lokomotiven-Tender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.16 Schleusentor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.17 Angeströmtes Profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.18 Wagen mit Wasserstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.19 Hochgeschwindigkeitswagen mit Wasserbremse . . . . Aufgabe 2.20 Angeströmter bewegter Becher . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.21 Abbremsen eines Raumschiffs im All . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.22 Hosenrohr, ins Freie ausströmend . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.23 Hochwasserüberlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2.24 Beschleunigter Wagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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130 134 137 142 147 152 158 161 165 169 173 177 181 187 192 198 204 210

3

Grenzschichtströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 3.1 Laminare Plattengrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 3.2 Laminare und turbulente Plattengrenzschicht . . . . . . . . . Aufgabe 3.3 Laminare Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht Aufgabe 3.4 Turbulente Plattengrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 3.5 Papierfahne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 3.6 Flussschiff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 3.7 Luftschiff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 3.8 Luftschiff bei Standardatmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 3.9 Kiel eines Segelbootes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 3.10 Lastenkahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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215 220 222 227 229 233 236 240 243 246 249

4

Umströmung von Profilen und Körpern . . . Aufgabe 4.1 Sinkende Kugeln . . . . . . . . . . . Aufgabe 4.2 Quecksilberbehälter . . . . . . . . . Aufgabe 4.3 Nebeltröpfchen . . . . . . . . . . . . Aufgabe 4.4 Tragflügelboot . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 4.5 Airbus A380 . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 4.6 Spielzeugdrachen . . . . . . . . . . . Aufgabe 4.7 Tragflächenschiff . . . . . . . . . . . Aufgabe 4.8 Angeströmte Platte . . . . . . . . . . Aufgabe 4.9 Sprungturm . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 4.10 Fallschirmspringer im freien Fall

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253 261 266 272 274 279 282 285 288 292 297

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Inhaltsverzeichnis

XIII

Aufgabe 4.11 Kugel im Windkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 4.12 Sandkörner im vertikalen Luftstrom . . . . . . . . . . Aufgabe 4.13 Angeblasenes Autobahnhinweisschild . . . . . . . . Aufgabe 4.14 Stumpfnasiges Projektil bei Überschall . . . . . . . . Aufgabe 4.15 Hochgeschwindigkeitswagen mit Bremsfallschirm Aufgabe 4.16 Durchströmtes Netz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 4.17 Staubpartikel nach Vulkanausbruch . . . . . . . . . . Aufgabe 4.18 Radarstation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 4.19 Kugel im freien Fall bei Schallgeschwindigkeit . . .

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300 303 307 309 312 316 319 321 327

5

Messtechnische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Aufgabe 5.1 Flugzeuggeschwindigkeit mittels Pitot-Sonde . . . . . . . . . . . . 332 Aufgabe 5.2 Wasserströmung in vertikaler Rohrleitung . . . . . . . . . . . . . . . 334 Aufgabe 5.3 Wasserströmung durch Normdüse (EN ISO 5167) . . . . . . . . . . 339 Aufgabe 5.4 Normdüse, kompressible Luftströmung (EN ISO 5167) . . . . . . 343 Aufgabe 5.5 Horizontaler Ausfluss aus scharfkantiger Öffnung . . . . . . . . . . 348 Aufgabe 5.6 Wasserströmung durch Messblende (EN ISO 5167) . . . . . . . . . 352 Aufgabe 5.7 Strömung aus scharfkantigem Loch im Boden eines Kegelstumpfes 356 Aufgabe 5.8 Tauchstrahl zwischen zwei Kammern . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 Aufgabe 5.9 Konischer Wassertank mit Blendenöffnung ins Freie . . . . . . . . 366 Aufgabe 5.10 Gefäßkontur bei Wasserstrahl ins Freie . . . . . . . . . . . . . . . . 371 Aufgabe 5.11 Vertikales Venturi-Meter (inkompressible Flüssigkeit) . . . . . . 373 Aufgabe 5.12 Horizontales Venturi-Meter (inkompressible Flüssigkeit) . . . . . 376 Aufgabe 5.13 Venturi-Meter bei Luftströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 Aufgabe 5.14 Dreieckswehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

6

Strömungsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 6.1 Wasserförderung in einen Druckbehälter Aufgabe 6.2 Pumpe zwischen Druckkesseln . . . . . . Aufgabe 6.3 Axialventilator . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 6.4 Pelton-Turbine . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 6.5 Horizontaler Axialspalt . . . . . . . . . . . Aufgabe 6.6 Leitring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 6.7 Radialpumpenverluste . . . . . . . . . . . . Aufgabe 6.8 Axialpumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 6.9 Pumpe mit Rückschlagklappe . . . . . . . Aufgabe 6.10 Ventilatoranlage . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 6.11 Radialventilator in einer Rohrleitung . .

7

Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 Aufgabe 7.1 Strömung entlang geneigter Wand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 Aufgabe 7.2 Ebener Spalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

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387 388 394 398 401 406 411 416 422 430 436 441

XIV

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 7.3 Senkrechter Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 Aufgabe 7.4 Bewegte Platte über ruhender Wand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 Aufgabe 7.5 Zwei geneigte, entgegen gesetzt bewegte Platten . . . . . . . . . . 472 8

Potenzialströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 8.1 Ebene Potenzialströmung 1 . . . . . Aufgabe 8.2 Ebene Potenzialströmung 2 . . . . . Aufgabe 8.3 Ebene Potenzialströmung 3 . . . . . Aufgabe 8.4 Quellströmung . . . . . . . . . . . . Aufgabe 8.5 Dipolströmung . . . . . . . . . . . . Aufgabe 8.6 Ebene Potenzialströmung 4 . . . . . Aufgabe 8.7 Ebene Potenzialströmung 5 . . . . . Aufgabe 8.8 Zylinderumströmung . . . . . . . . . Aufgabe 8.9 Halbkörperumströmung . . . . . . . Aufgabe 8.10 Umströmter rotierender Zylinder

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479 480 485 492 496 501 504 509 515 526 537

Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

1

Rohr- und Kanalströmungen

Im Unterschied zu Beispielen in Band 1, bei denen Strömungsverluste oft vernachlässigt werden bzw. eine untergeordnete Rolle spielen, stehen sie im vorliegenden Kapitel mit ihren Berechnungsmöglichkeiten im Vordergrund. Hierbei ist zwischen der laminaren und turbulenten Strömungsform zu unterscheiden. Welche der beiden möglichen Formen vorliegt ist eine Frage der Reynolds-Zahl

Re D

Trägheitskräfte ; Zähigkeitskräfte

die sich bei Rohrströmungen herleiten lässt zu

Re D

cD :

Unterschreitet die Reynolds-Zahl einen kritischen Wert Rekrit , so stellt sich im Rohr laminare Strömung ein. Bei größeren Rekrit -Werten liegt i. A. die turbulente Rohrströmung vor. Der betreffende Rekrit -Wert lautet

Rekrit D 2 320:

Neben der reinen laminaren und turbulenten Rohrströmung mit ihren Reibungsverlusten werden im Folgenden auch die Verlustberechnungen aufgeführt, die im Fall von © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 V. Schröder, Übungsaufgaben zur Strömungsmechanik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-662-56056-3_1

1

2

1

Rohr- und Kanalströmungen

Rohrleitungsbauelementen benötigt werden. Hierbei wird der bei technischen Anwendungen häufigere Fall der turbulenten Strömung in den Vordergrund gestellt. Laminare Rohrströmung Bei voll ausgebildeter laminarer Rohrströmung bewegen sich die Fluidteilchen entlang achsparalleler Stromlinien, wobei die Geschwindigkeit entlang jeder Stromlinie konstant ist, von Stromlinie zu Stromlinie aber verschiedene Werte aufweist. An der Wand mit dem Wert null aufgrund der Haftbedingung steigt die Geschwindigkeit bis zum Maximalwert in Rohr-Mitte an. Die Fluidreibung zwischen den einzelnen Schichten unterschiedlicher Geschwindigkeiten beruht auf dem Newton’schen Reibungsgesetz. In Einzelfällen gelingt es, theoretische Lösungen (Kap. 8) dieser Strömungsart zu entwickeln. Es werden in den anschließenden Schritten die wichtigsten Gleichungen zur Berechnung laminarer Rohrströmungen aufgelistet. .p1 p2 /  R2 4L 1 p2 / c D .p32L  D2 L c2  2 YV D   D 64  D Re

c.r/ D

Re D cD pV D  YV 0 D 8   c 2

  1

r2 R2

 Geschwindigkeitsverteilung (Stokes) mittlere Geschwindigkeit Verlustenergie (Hagen-Poiseuille) Rohrreibungszahl; bei laminarer Strömung ist  unabhängig von der Oberflächenrauigkeit. Reynolds-Zahl Druckverlust Wandschubspannung

Turbulente Rohrströmung Die turbulente Strömung ist dadurch gekennzeichnet, dass die Geschwindigkeit der einzelnen Fluidteilchen nicht mehr geradlinig und konstant wie im laminaren Fall ausgebildet ist, sondern sich unregelmäßige Schwankungsbewegungen überlagern. Damit ist die turbulente Strömung letztlich instationär. Bis heute existieren keine theoretischen Lösungsmöglichkeiten, die turbulente Strömung exakt zu formulieren. Die tatsächlichen Bewegungsabläufe der turbulenten Strömung sind aus technischer Sicht oft nicht von besonderem Interesse. Es interessiert dagegen meist nur der über eine ausreichend lange Zeit gemittelte Geschwindigkeitswert an verschiedenen Rohrradien. Hieraus lässt sich dann z. B. ein empirisches Geschwindigkeitsverteilungsgesetz formulieren. Die unregelmäßigen Schwankungsbewegungen bewirken, dass neben der Newton’schen Schubspannung eine weitere „scheinbare Schubspannung“ entsteht, die als Resultat des Impulsaustausches (teilelastische Stöße der Fluidelemente) zu verstehen ist und bis auf einen eng begrenzten Wandbereich deutlich größer ist als die Newton’schen Schubspannung. Die Verluste der turbulenten Strömung fallen daher erheblich höher aus als die der laminaren Strömung. Da keine exakten theoretischen Lösungsmöglichkeiten bei der turbulenten Strömung vorliegen, hat man halbempirische (Prandtl’sche Mischungswegtheorie) Ansätze und rein empirische Ansätze (Potenzgesetze) zur Beschreibung der Geschwindigkeitsverteilung

1

Rohr- und Kanalströmungen

3

und hieraus abgeleiteter Größen, wie z. B. die Rohrreibungsziffer nach Prandtl-Colebrook, entwickelt.  n  n  z n D 1  Rr D Rr D R R z DRr n L c2  2 YV D  D c.r/ cmax

Potenzgesetz der c-Verteilung Wandabstand Exponent der c-Verteilung Verlustenergie (Darcy)

 D f Re; kDS

Rohrreibungszahl; diese lässt sich nicht theoretisch herleiten, sondern kann nur im Versuch ermittelt werden. Die Rohrreibungszahl der turbulenten Rohrströmung hängt von der Reynolds-Zahl Re und der bezogenen Rohrrauigkeit kS =D oder D=kS ab. äquivalente Sandrauigkeit tatsächliche Rauigkeit

kS  .1–1;6/  k k

Folgende für verschiedene Re-Zahlenbereiche und Oberflächenbeschaffenheiten gültigen Gesetze der Rohrreibungszahlen sind bekannt. Glattes Verhalten Blasius 0;3164 2 320 < Re < 105 D p 4 Re

Nikuradse  D 0;0032 C 0;221  Re0;237

105 < Re < 108

Prandtl-Colebrook  p  1 p D 2  log Re    0;8 

Re > 2 320

Mischgebiet   2;51 1 kS C 0;27  p D 2  log p D    Re

4

1

Rohr- und Kanalströmungen

Raues Verhalten 1 D h  i2 1;14 C 2  log kDS

Die Rohrreibungszahl  ist in Abhängigkeit von der Re-Zahl und der bezogenen Sandrauigkeit D=kS oder kS =D als Ergänzung zu o. g. Gleichungen im Anhang (Abb. Z.1) in einem Diagramm dargestellt, dem Diagramm der Rohrreibungszahl nach Moody. Hydraulischer Durchmesser Um die Anwendung der Widerstandszahlen auch auf beliebige Querschnitte zu erweitern, wird der so genannte „hydraulischer Durchmesser“ dhydr eingeführt. Man benennt ihn in der Literatur auch öfters mit „Gleichwertigkeitsdurchmesser“. Er leitet sich zu folgendem Ausdruck her.

dhydr D

4  AUR UUR

AUR durchströmter tatsächlicher Querschnitt UUR gesamter fluidbenetzter Umfang Die Reibungsverluste bei unrunden (Index UR), d. h. nicht Vollkreisquerschnitten lassen sich wie folgt bestimmen:

YV D  

L dhydr



c2 2

Dabei sind hydraulischer Durchmesser (s. o.) dhydr VP c D AUR mittlere Geschwindigkeit im tatsächlichen Querschnitt   kS  D f ReUR ; dhydr Rohrreibungszahl des „Ersatzrohrs“ mit dhydr ReUR D

cdhydr

Reynolds-Zahl des „Ersatzrohrs“ mit dhydr

Die Rohrreibungszahl  berechnet sich bei unrunden Querschnitten mittels dieser Gesetze:

1

Rohr- und Kanalströmungen

5

Glattes Verhalten 0;2236 D p 4 ReUR

Mischgebiet s. Kreisrohr Raues Verhalten s. Kreisrohr Rohrleitungsbauelemente Außer geraden Rohrstrecken finden verschiedene Rohrleitungsbauteile in den unterschiedlichsten Anlagen Verwendung. Sehr häufig benötigt werden sie als  Bauelemente für Richtungsänderungen,  Bauelemente für Querschnittsänderungen,  Bauelemente für Volumenstromregelung und Absperraufgaben. Dies ist aber nur eine beschränkte Auswahl aus dem gesamten Spektrum. Die verschiedenen Verluste, die durch diese Bauelemente erzeugt werden, sind auf theoretischem Wege nicht bestimmbar. Man muss sich zu ihrer Ermittlung des Versuchswesens bedienen. Es konnte festgestellt werden, dass die Verlustenergien der betreffenden Rohreinbauten allgemein nachstehendem Gesetz folgen

YV D  

c2 : 2

 ist dabei die Verlustziffer des Bauelements. In dieser Verlustziffer sind sämtliche Einflüsse durch geometrische Größen, Oberflächenrauigkeiten und der Re-Zahl eingebunden.  wird demnach bei den verschiedenen Bauelementen in unterschiedlicher Weise von den genannten Größen beeinflusst. Beim Rohr ist z. B. 0 1  D 

L ; D „ƒ‚… Geometrie

wobei

B Df B @ReI

kS C C: D A „ƒ‚… Rauigkeit

Bauelemente für Richtungsänderungen Diese Bauelemente umfassen z. B. Krümmer oder Bögen, Kniestücke, usw. Die neben der Fluidreibung zusätzlich wirksamen Verluste sind auf Strömungsablösungen (Totraumbildung), Sekundärströmungen (Doppelwirbel)

6

1

Rohr- und Kanalströmungen

sowie Rückbildungsprozesse zur ausgebildeten Geschwindigkeitsverteilung in der Nachlaufstrecke zurückzuführen. Die Verluste werden nach o. g. Gleichung berechnet mit

YVKr D Kr 

c2 : 2

Kr ist die Krümmerverlustziffer (Abb. Z.2) Bauelemente für Querschnittsänderungen Die Strömungsverluste in den nachstehenden Bauelementen beruhen auf reibungsbedingten Vorgängen und häufiger noch auf Verwirbelungen nach Strömungsablösungen, die je nach Bauelement in unterschiedlichster Intensität zur Wirkung kommen. Die Stelle 1 ist jeweils im Zulauf und die Stelle 2 im Nachlauf des Elements definiert. Unstetige Erweiterung: Index „uE“ Auf c1 bezogen haben wir bei A1 < A2

YVuE D uE1

c2  1 2

und uE1

  A1 2 D 1 : A2

Auf c2 bezogen haben wir bei A2 > A1

YVuE D uE2 

c 22 2

 und uE2 D

A2 1 A1

2 :

Stetige Erweiterung oder Diffusor: Index „Diff“ Auf c1 bezogen haben wir bei A1 < A2

YVDiff D Diff1

c2  1 2

und Diff1

  A21 D .1  Diff /  1  2 A2

1

Rohr- und Kanalströmungen

7

Auf c2 bezogen haben wir bei A2 > A1

YVDiff D Diff2



c2  2 2

und Diff2 D .1  Diff / 

A22 1 A21



Diff  0;8–0,9 ist dabei der Diffusorwirkungsgrad. Unstetige Verengung: Index „uV“ Auf c1 bezogen haben wir bei A1 > A2

YVuV D uV1

c2  1 2

 und uV1 D

1 1 ˛K

2 

A21 A22

Auf c2 bezogen haben wir bei A2 < A1

YVuV D uV2

c2  2 2

 und uV2 D

1 1 ˛K

2

˛K ist die Kontraktionszahl (Tab. Z.2) Stetige Verengung oder Konfusor: Index „Kon“ Auf c1 bezogen haben wir bei A1 > A2

YVKon D Kon1 

c 21 2

 und Kon1 D

1 Kon

  2  A1 1   1 A22

Auf c2 bezogen haben wir bei A2 < A1

YVKon D Kon2 

c 22 2

 und Kon2 D

1 Kon

Kon  0;93–0,98 ist dabei der Konfusorwirkungsgrad.

   A2  1  1  22 A1

8

1

Rohr- und Kanalströmungen

Bauelemente für Volumenstromregelung und Absperraufgaben Armaturen haben die Aufgabe, durch Drosselung (Verlusterzeugung) in (und nach) diesen Elementen den Massen- bzw. Volumenstrom zu regeln. Es gibt im Wesentlichen folgende Gruppen:    

Schieber, Ventile, Hähne, Klappen

für diese Aufgabe. Die Regelfunktion ist auf die veränderliche Verlustziffer Sch der Armatur zurückzuführen. Sch steigt, ausgehend vom Kleinstwert bei völlig offener Armatur, mit zunehmendem Schließvorgang an. Die Verluste bestimmen sich nach o. g. Gesetz

c2 2

YVSch D Sch 

c mittlere Geschwindigkeit im unversperrten Flanschquerschnitt Sch Verlustziffer der Armatur abhängig vom Öffnungsverhältnis (Abb. Z.3) Eintrittsverlust, Austrittsverlust Neben den bisher genannten Verlusten in Rohrleitungen und den ausgewählten Bauelementen werden zusätzliche Verluste wirksam, wenn ein Fluid aus einem sehr großen Raum in eine Rohrleitung einströmt und der Eintrittsverlust entsteht oder aus einer Rohrleitung in einen sehr großen Raum ausströmt, wobei es dann zum so genannten Austrittsverlust kommt. Beim Eintrittsverlust sind Strahlkontraktion mit Verwirbelungen und Vermischungsvorgängen die Entstehungsursache, beim Austrittverlust wird die gesamte Geschwindigkeitsenergie durch Vermischung mit dem Fluid im ruhenden Raum aufgezehrt. Eintrittsverlust YVEin D Ein 

c2 2

Ein ist die Eintrittsverlustziffer. Bei scharfkantiger Eintrittsgeometrie ist Ein D 0;50

Aufgabe 1.1 Abflussleitungen

9

Austrittsverlust YVAus D Aus 

c2 2

Wegen der vollständigen Vernichtung der Geschwindigkeitsenergie (Dissipation) wird die Austrittverlustziffer Aus D 1;0:

Aufgabe 1.1 Abflussleitungen Durch zwei vertikale Rohrleitungen gleicher Länge L aber verschiedener Durchmesser Dx und Dy fließt Wasser ins Freie (Abb. 1.1). Die Höhe H des Wasserspiegels über den Rohreintrittsquerschnitten ist konstant. Die Rohreintritte sind scharfkantig ausgeführt. Welche Geschwindigkeiten und Volumenströme stellen sich bei den vorliegenden Gegebenheiten ein? Wie groß wird die Geschwindigkeit in beiden Rohren unter der Annahme „verlustfreier“ Strömung?

pB

c0 = 0 0

H

scharfkantig 1 1

z

L Dx

Dy

pB

2y

pB

2x

Bezugsebene

Vy

Abb. 1.1 Abflussleitungen

Vx

10

1

Rohr- und Kanalströmungen

Lösung zu Aufgabe 1.1 Aufgabenerläuterung Die Frage befasst sich zunächst mit der realen verlustbehafteten Rohrströmung. Den Ansatz zur Lösung liefert die Bernoulli’sche Energiegleichung dieser Strömungsart. Neben anderen Größen enthält sie auch die hier jeweils gesuchten Geschwindigkeiten cx und cy . Bei den vorliegenden Strömungsverlusten sind einmal die so genannten Eintrittsverluste beim Übergang eines Fluids aus einem sehr großen Raum in eine Leitung und zum anderen die Rohrreibungsverluste zu berücksichtigen. Kennzeichnend für alle Verluste sind die betreffenden Verlustziffern , die durch Multiplikation mit der jeweiligen Geschwindigkeitsenergie c 2 =2 die Größe der Verluste festlegen. Am Rohreintritt ist aufgrund der vorgegebenen scharfkantigen Geometrie die Eintrittsverlustziffer Ein bekannt. Die Rohrverlustziffer L R D   D lässt sich dagegen nur iterativ bestimmen, da die Rohrreibungszahl  wiederum über die Reynolds-Zahl mit der gesuchten Geschwindigkeit verknüpft ist. Zur Vereinfachung werden aus diesem Grund die beiden Rohrreibungszahlen x und y vorgegeben. Gegeben:  Dx ; Dy ; x ; y ; Ein ; L; H; g Gesucht: 1. cx , VPx 2. cy , VPy 3. Die Fälle 1 und 2, wenn Dx D 25 mm; Dy D 12;5 mm; x D 0;0295; y D 0;0392; Ein D 0;50; L D 1;0 m; H D 1;385 m; g D 9;81 m/s2 4. ctheor Lösungsschritte – Fall 1 Für die Geschwindigkeit cx und den Volumenstrom VPx benutzen wir als Ansatz die Bernoulli’sche Energiegleichung entlang des Stromfadens an den Stellen 0 und 2x : c22 p2 p0 c2 C 0 C g  Z0 D C x C g  Z2 C YV0I2x :

2

2 Mit den Besonderheiten an den Stellen 0 und 2x , nämlich p0 D p2 D pB , c0 D 0 und Z2 D 0 lautet die Gleichung zunächst c22x 2

D g  Z0  YV0I2x :

Aufgabe 1.1 Abflussleitungen

11

Hierin ist Z0 D H C L. Mit YV0=2x auf der anderen Gleichungsseite wird daraus c22x 2

C YV0I2x D g  .H C L/ :

Als Verluste sind zu berücksichtigen YV0I2x D YVEin C YVRx , wobei YVEin D Ein 

cx2 2

sowie

YVRx D x 

L cx2  Dx 2

mit cx D c2x D c1x . YV0I2x liefert, mit diesen Zusammenhängen oben eingesetzt,   L cx2 c2 C x  Ein C x  D g  .L C H / : 2 2 Dx Klammert man jetzt noch cx2 =2 aus, so folgt   cx2 L  1 C Ein C x  D g  .L C H / : 2 Dx Die Multiplikation mit 2  1 C Ein C x  führt zu cx2 D

L Dx



2  g  .L C H / : 1 C Ein C x  DLx

Als Ergebnis der gesuchten Geschwindigkeit erhält man nach dem Wurzelziehen s cx D

2  g  .L C H / : 1 C Ein C x  DLx

Der Volumenstrom VPx gemäß der allgemeinen Durchflussgleichung VP D c  A unter Verwendung von cx und Ax D 4  Dx2 wird dann

VPx D cx   Dx2 D  Dx2  4 4

s

2  g  .L C H / 1 C Ein C x  DLx

12

1

Rohr- und Kanalströmungen

Lösungsschritte – Fall 2 Für die Geschwindigkeit cy und den Volumenstrom VPy gehen wir analog zu Fall 1 vor. Wir können die beide Größen sofort formulieren, wenn wir in o. g. Gleichungen die Größen x durch y und Dx durch Dy ersetzen. L, H und Ein sind in beiden Fällen gleich groß. s cy D

2  g  .L C H / 1 C Ein C y  DLy

v u 2  g  .L C H /

u i VPy D cy   Dy2 D  Dy2  t h 4 4 1C C  L Ein

y

Dy

Lösungsschritte – Fall 3 Für die infrage stehenden Größen erhalten wir, wenn Dx D 25 mm, Dy D 12;5 mm, x D 0;0295, y D 0;0392, Ein D 0;50, L D 1;0 m, H D 1;385 m und g D 9;81 m/s2 gegeben sind und dimensionsgerecht gerechnet wird, die folgenden Ergebnisse: s cx D

2  9;81  .1 C 1;385/ 1 C 0;5 C 0;0295 

1;0 0;025

D 4;719 m=s

m3 L VPx D  0;0252  4;179 D 0;002051 D 2;051 4 s s

s cy D

2  9;81  .1 C 1;385/ D 3;177 m=s 1;0 1 C 0;5 C 0;0392  0;0125

m3 L VPy D  0;01252  3;177 D 0;0003899 D 0;3899 4 s s

Aufgabe 1.2 Luftleitung

13

Die theoretische Geschwindigkeit ctheor bei verlustfreier Strömung bekommen wir bei dem vorliegenden offenen System über die Torricelli’sche Ausflussgleichung: ctheor D

p

2  g  Z

Hierin ist Z D H C L. Die theoretische Strömungsgeschwindigkeit in beiden Rohren lautet folglich

ctheor D

p 2  g  .H C L/

und mit den gegebenen Daten berechnet sich

ctheor D 6;847 m=s:

Dies ist ein deutlich größerer Wert (1,6-fach bzw. 2,2-fach) als im Fall der beiden realen Strömungen. Man erkennt, dass die Annahme der verlustfreien Strömung immer eine Überprüfung benötigt.

Aufgabe 1.2 Luftleitung Durch eine in Abb. 1.2 dargestellte horizontale Rohrleitung strömt Luft (inkompressibel). An zwei im Abstand L entfernten Druckmessstellen 1 und 2 ist jeweils ein U-RohrManometer angeschlossen. Die statischen Drücke p1 bzw. p2 bewirken eine Verschiebung der Sperrflüssigkeit (Wasser) um h1 bzw. h2 in den U-Rohr-Manometern. Bei bekannten geometrischen Rohrabmessungen D und L, Flüssigkeitshöhen h1 und h2 in den U-Rohr-Manometern, mittlerer Strömungsgeschwindigkeit c und fluidspezifischen Größen der Luft L und L sowie der Sperrflüssigkeit W sollen die statischen Drücke p1 und p2 an den Messstellen sowie verschiedene Verlustgrößen YV1I2 , , Strömungsart und das Rohrrauhigkeitsverhalten ermittelt werden.

Lösung zu Aufgabe 1.2 Aufgabenerläuterung Die geringe Luftdichte und die gerade Rohrleitung haben zur Folge, dass der statische Druck über dem Rohrquerschnitt nahezu konstant ist und somit auch in gleicher Größe an den Druckentnahmestellen wirkt. Aufgrund der vorliegenden Luftströmung in der horizontalen geraden Rohrleitung ist der Druckunterschied zwischen den beiden Druckentnahmestellen 1 und 2 ausschließlich auf die Reibungsverluste zwischen diesen Messstellen

14

1

Rohr- und Kanalströmungen

L

c

1

D

ρL

2 p1

p2 pB

Z1

pB

Δh1 0

0

ρW

Z2

Δh2 0

0

Bezugsebene

Abb. 1.2 Luftleitung

zurückzuführen. Zur Ermittlung der statischen Drücke ist es ratsam, jeweils eine Schnittebene 0–0 gemäß Abb. 1.2 durch die Manometer zu legen. Die am linken und rechten Schenkel bei 0–0 wirksamen Drücke sind im Gleichgewichtszustand zu vergleichen und nach dem gesuchten Druck aufzulösen. Die Fragen zu verschiedenen reibungsbedingten Verlustgrößen lassen sich mittels Bernoulli’scher und Darcy’scher Gleichung beantworten. Gegeben:  D D 100 mm; L D 100 m; c D 20 m=s; h1 D 1;205 m; h2 D 0;80 m; L D 1;2 kg/m3 ; L D 15  106 m2 /s; W D 1 000 kg/m3 ; pB D 105 Pa Gesucht: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

p1 p2 YV1I2  Strömungsart Rohrrauhigkeitsverhalten Anmerkungen

 Luftdichte L in U-Rohr-Manometer vernachlässigbar  Inkompressible Luftströmung

Aufgabe 1.2 Luftleitung

15

Lösungsschritte – Fall 1 Für den Druck p1 nutzen wir die Druckgleichheit im Schnitt 0–0 des linken U-RohrManometers, die gemäß Abb. 1.2 lautet p1 C L  g  h1 D pB C W  g  h1 : Unter Vernachlässigung von L  g  h1 folgt

p1 D pB C W  g  h1 :

Bei dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Größen erhält man folglich

p1 D 100 000 C 1 000  9;81  1;205 D 111 821 Pa:

Lösungsschritte – Fall 2 Für den Druck p2 lautet die Druckgleichheit im Schnitt 0–0 des rechten U-RohrManometers gemäß Abb. 1.2 p2 C L  g  h2 D pB C W  g  h2 : Unter Vernachlässigung von L  g  h2 folgt entsprechend

p2 D pB C W  g  h2 :

Bei dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Größen erhält man folglich

p2 D 100 000 C 1 000  9;81  0;80 D 107 848 Pa

Lösungsschritte – Fall 3 Bei der Ermittlung der Verlustgröße YV1I2 wird die erweiterte Bernoulli’sche Gleichung benötigt. Hierin sind die gesuchten Verluste in Verbindung zu bringen mit den jetzt bekannten strömungsmechanischen Größen an den Stellen 1 und 2: c2 p2 c2 p1 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 C YV1I2 :

L 2

L 2

16

1

Rohr- und Kanalströmungen

Mit den im vorliegenden Fall besonderen Gegebenheiten Z1 D Z2 und c1 D c2 erhält man

YV1I2 D

p1  p2 :

L

Setzt man hierin dimensionsgerecht die ermittelten Drücke und die Luftdichte ein, so berechnen sich die Verluste zu

YV1I2 D

111 821  107 848 D 3 310;8 Nm=kg: 1;2

Lösungsschritte – Fall 4 Zur Rohrreibungszahl  gelangt man durch Umformen der Darcy’schen Gleichung: YV1I2 D  

L c2  : D 2

 D YV1I2 

D 2  : L c2

Wir bekommen

Mit den gegebenen bzw. berechneten Größen ermittelt man  zu:

 D 3 310;8 

0;10 2 D 0;0166:  100 202

Lösungsschritte – Fall 5 Die Frage nach der Strömungsart, also ob eine laminare oder turbulente Rohrströmung vorliegt, lässt sich mit der Reynold’schen Zahl beantworten. Als oberer Grenzwert des laminaren Falls ist Re D 2 320 bekannt. Liegen größere Werte vor, so ist die Rohrströmung – wenn ein gewisser Übergangsbereich außer Acht gelassen wird –, turbulent. Die

Aufgabe 1.3 Vertikale Rohrleitung

17

Reynolds-Zahl lautet bekanntermaßen

Re D

cD :

Auch hier wieder liefert dimensionsgerechtes Einsetzen der bekannten Größen

Re D

20  0;10  106 D 133 333: 15

Damit ist eine turbulente Rohrströmung nachgewiesen. Lösungsschritte – Fall 6 Das Rohrrauhigkeitsverhalten der Rohrinnenwand wirkt sich dann auf die Verluste aus, wenn die Rauigkeitserhebungen nicht mehr von der laminaren Unterschicht überdeckt werden. In diesem Fall kommt neben dem Re-Einfluss auf  noch die Sandrauigkeit (auf den Innendurchmesser bezogen) zur Wirkung. Beide Einflussgrößen auf  finden sich in Abb. Z.1 wieder. Unter Benutzung von Re D 133 333 und  D 0;0166 lässt sich aus diesem Diagramm ablesen, dass im vorliegenden Fall hydraulisch glattes Verhalten vorliegt, also alle Rauhigkeitserhebungen in der laminaren Unterschicht eingebettet sind.

Aufgabe 1.3 Vertikale Rohrleitung Eine vertikale Rohrleitung wird gemäß Abb. 1.3 von unten nach oben mit Wasser durchströmt. Der betrachtete Rohrleitungsabschnitt zwischen den Stellen 1 und 2 besteht aus drei geraden Rohrstücken und zwei Rohrkrümmern des Durchmessers D1 sowie einer unstetigen Querschnittserweiterung von D1 auf D2 . Die Stelle 2 ist dort angeordnet, wo das Verwirbelungsgebiet nach der unstetigen Querschnittserweiterung beendet ist, die Strömung also wieder an der Rohrwand anliegt. An den Stellen 1 und 2 hat man Messleitungen installiert, die mit einem U-Rohr-Manometer verbunden sind. Als Sperrflüssigkeit im Manometer dient Quecksilber, die Flüssigkeit in den Messleitungen ist Wasser. Wie groß wird bei verlustbehafteter Strömung und konstantem Volumenstrom der Druckunterschied (p2  p1 ) zwischen den Stellen 1 und 2 und welche Quecksilberhöhe h kann man am Manometer ablesen?

18

1

Rohr- und Kanalströmungen

D2

2 V

ρW

Z2

ΣL1

1 hx D1 h Bezugsebene

0

Z1

0 ρHg

Abb. 1.3 Vertikale Rohrleitung

Lösung zu Aufgabe 1.3 Aufgabenerläuterung Die hier zu lösende Frage nach dem Druckunterschied zwischen den Stellen 1 und 2 lässt sich mittels Bernoulli’scher Gleichung der verlustbehafteten Strömung inkompressibler Fluide beantworten. Daneben wird die Kontinuitätsgleichung Verwendung finden müssen, um die mittleren Geschwindigkeiten aufgrund des gegebenen Volumenstroms und bekannter Kreisrohrquerschnitte zu ersetzen. Die Verlustziffern der durchströmten Rohrleitungselemente lassen sich den einschlägigen Tabellen bzw. Diagrammen entnehmen. Der Einfachheit halber sind hier die Zahlenwerte der Verlustziffern für die Rohre (Index „R“) und Krümmer (Index „Kr“) vorgegeben; die Verlustziffer der unstetigen Erweiterung (Index „uE“) errechnet sich leicht aus den Rohrabmessungen. Bei der Bestimmung des Manometerausschlags h ist es ratsam, eine Schnittebene 0–0 gemäß Abb. 1.3 durch das

Aufgabe 1.3 Vertikale Rohrleitung

19

Manometer zu legen. Die am linken und rechten Schenkel bei 0–0 wirksamen Drücke sind im Gleichgewichtszustand zu vergleichen und nach dem gesuchten Manometerausschlags h aufzulösen. Gegeben:  D1 ;

P

L1 ; Z1 ; D2 ; Z2 ; W ; Hg ; VP ; Kr ; 1

Gesucht: 1. (p2  p1 ) 2. h P 3. (p2  p1 ) und h, wenn D1 D 100 mm; L1 D 3;0 m; Z1 D 1;0 m; D2 D 200 mm; Z2 D 4;0 m; W D 1 000 kg/m3 ; Hg D 13 560 kg/m3 ; VP D 0;0785 m3 =s; Kr D 0;20; 1 D 0;020 Lösungsschritte – Fall 1 Für den Druckunterschied (p2  p1 ) stellen wir die Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen 1 und 2 auf: X p1 c2 p2 c2 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 C YV1I2 :

W 2

W 2 Das Auflösen nach

p2 p1

W

liefert zunächst

  2 X c1  c22 p2  p1 DC YV1I2 :  g  .Z2  Z1 / 

W 2 Durch Multiplikation mit W erhält man dann den gesuchten Druckunterschied zunächst mit

p2  p1 D

X 

W  2 YV1I2 :  c1  c22  W  g  .Z2  Z1 /  W  2

  Im nächsten Schritt wird c12  c22 =2 mittels der Kontinuitätsgleichung VP D c1  A1 D c2  A2 und der Rohrleitungsdurchmesser D1 und D2 wie folgt ersetzt: c1 D

VP I A1

c2 D

VP I A2

A1 D

 D12 I 4

A2 D

 D22 : 4

20

1

Rohr- und Kanalströmungen

  Diese Zusammenhänge setzen wir in c12  c22 =2 ein, 1 P2 V  2



1 1  2 2 A1 A2

 ;

und verwenden A1 und A2 : c12  c22 1 D  VP 2  2 2

1

2 16

 D14



!

1

2 16

 D24

D

1 16 P 2 V   2 2



1 1  D14 D24

 :

Somit folgt

c12  c22 8 D 2  VP 2  2

Die gesamten Verluste

P



1 1  D14 D24

 :

YV1I2 lassen sich wie folgt zusammenfassen:

X

YV1I2 D YVR;1I2 C 2  YVKr C YVuE :

Dabei sind YVR;1=2 D 1  YVKr D Kr  YVuE D uE 

P

c12 2 c12 2

L1 D1



c12 2

Rohrreibungsverluste (alle Rohre des Durchmessers D1 ) Krümmerverluste Verluste der unstetigen Erweiterung

Die Verlustziffer uE ermittelt man ausschließlich aus den beiden Durchmessern D1 und D2 gemäß  2 D2 uE D 1  12 ; D2 sofern als Bezugsgeschwindigkeit c1 gewählt wird. Somit wird  2 2 D2 c YVuE D 1  12  1 : 2 D2 Die gesamten Verluste ßen dargestellt: X

P

YV1I2

YV1I2 werden nach Ausklammern von

 2 c1 2

auch folgenderma-

" P  2 # L1 c12 D12 D C 2  Kr C 1  2  1  : 2 D1 D2

Aufgabe 1.3 Vertikale Rohrleitung c12 2

wird durch c1 D

VP A1

D

4VP

D12

21

ersetzt,

8 1 16  VP 2 c12 D 2  4  VP 2 ; D 4 2 2

D1 2   D1 daraus folgt X

YV1I2

" P 2 #  8 1 P2 D12 L1 D 2  4  V  1  C 2  Kr C 1  2 :

D1 D1 D2

  P Alle so ermittelten Größen für c12  c22 =2 und YV1I2 in die Druckdifferenz .p2  p1 / eingesetzt, erhalten wir nach Ausklammern *

  8 P2 1 1 p2  p1 D W  V   

2 D14 D24 " + P  2 #) 1 D12 L1  1  C 2  Kr C 1  2  g  .Z2  Z1 / : D1 D14 D2

Lösungsschritte – Fall 2 Wir suchen nun die Quecksilberhöhe h. Die Schnittebene 0–0 im U-Rohr-Manometer angeordnet ergibt: p0 D p2 C W  g  .Z2  Z1 / C W  g  hx C Hg  g  h „ ƒ‚ … rechte Seite

D p1 C W  g  hx C W  g  h: „ ƒ‚ … linke Seite

Jetzt wird nach Gliedern mit h auf einer Gleichungsseite geordnet,

Hg  g  h  W  g  h D .p1  p2 /  W  g  .Z2  Z1 / ; (g  h) ausgeklammert,   g  h Hg  W D .p1  p2 /  W  g  .Z2  Z1 /

22

1 1 g W

und die Gleichung mit

 h

Rohr- und Kanalströmungen

multipliziert: 

Hg .p1  p2 / 1 D  .Z2  Z1 / :

W

W  g

Wir multiplizieren noch mit 

1

Hg

W

1

;

dies ergibt das Resultat

hD

.p1 p2 /

W g

 .Z2  Z1 /

Hg

W

1

:

Lösungsschritte – Fall 3 Für die Größen (p2  p1 ) und h erhalten wir bei dimensionsgerechter Rechnung, wenn P L1 D 3;0 m, Z1 D 1;0 m, D2 D 200 mm, Z2 D 4;0 m, W D D1 D 100 mm, 3 1 000 kg/m , Hg D 13 560 kg/m3 , VP D 0;0785 m3 =s, Kr D 0;20 und 1 D 0;020 gegeben sind, folgende Werte: *



 1 1 1    0;14 0;24 0;14 + "  2 #) 0;12 3 C 2  0;20 C 1   9;81  .4  1/ 0;02  0;10 0;22

p2  p1 D 1 000 

8  0;07852 

2

D  60 648 Pa Die negative Druckdifferenz (p2  p1 ) besagt, dass p1 > p2 . Folglich muss das Ergebnis lauten:

p1  p2 D 60 648 Pa

hD

60 648  .4  9;811 000 13 560 1 1 000

1/

D 0;253 m D 253 mm Hg-Säule

Aufgabe 1.4 Graugussrohre

23

Aufgabe 1.4 Graugussrohre Ein Wasserbecken ist durch eine mit Gefälle verlegte Graugussrohrleitung mit einem zweiten, tiefer gelegenen Becken verbunden (Abb. 1.4). Aufgrund des Gefälles fließt ein Volumenstrom VP durch das vollkommen ausgefüllte Rohr, wobei sich die Flüssigkeitsspiegel Z1 und Z2 zeitlich nicht ändern sollen. Es muss nun das ursprüngliche Rohr mit dem Durchmesser D1 und dem Gefälle Z1 =L1 durch ein neues Graugussrohr kleineren Durchmessers D2 ersetzt werden. Wie groß ist das neue Gefälle Z2 =L2 zu wählen, wenn derselbe Volumenstrom abfließen soll?

Lösung zu Aufgabe 1.4 Aufgabenerläuterung Das Gefälle ist allgemein definiert als die Höhe (oder ein Höhenunterschied Z) bezogen auf die Horizontalprojektion der zugeordneten Länge. Bei kleinen Winkeln, wie im vorliegenden Fall, kann die Länge L auch selbst verwendet werden. Zur Lösungsfindung dieser Aufgabe ist es demnach erforderlich, diejenigen Gleichungen der Strömungsmechanik sinnvoll einzusetzen, in denen die betreffenden Größen vorzufinden sind. Hier ist zunächst die Bernoulli’sche Gleichung zu nennen, aus welcher der Höhenunterschied Z entnommen werden kann. Des Weiteren ist die Länge L Bestandteil der Darcy’schen Gleichung, mit der die Reibungsverluste turbulenter Rohrströmung ermittelt wird. Gegeben:  D1 D 500 mm; Z1 =L1 D 1/1 000; 1 D 0;021; D2 D 400 mm; k D 0;40 mm; VP1 D VP2 D VP ; D 1  106 m2 /2 Gesucht: Z2 =L2 pB

1 Stromlinie D

V

ΔZ 2 pB

L

Z2

Z1 Bezugsebene

Abb. 1.4 Graugussrohre

24

1

Rohr- und Kanalströmungen

Anmerkungen

 Die Eintrittsverluste in die Rohrleitung können vernachlässigt werden.  Die Bernoulli’sche Gleichung sollte für die oberste Stromlinie gemäß Abb. 1.4 angewendet werden, auch wenn sich das Ergebnis für andere Stromlinien nicht ändert. Lösungsschritte Die Ermittlung des Gefälles Z=L bzw. zunächst der Höhendifferenz Z erfolgt mittels Bernoulli’scher Gleichung an den Stellen 1 und 2: p2 c2 c2 p1 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 C YV1I2 :

2

2 Mit den besonderen Gegebenheiten p1 D p2 D pB und c1 D c2 folgt YV1I2 D g  .Z1  Z2 /, wobei .Z1  Z2 / D Z als Höhenunterschied eingeführt wird. Somit entsteht ein Zusammenhang zwischen Z und den Verlusten in der Form YV1I2 D g  Z. Berücksichtigt man die Annahme, dass die Eintrittsverluste in die Rohrleitung von untergeordneter Bedeutung sein sollen, dann liegen ausschließlich reibungsbedingte Verluste vor, also YV1I2 D YVR . Nach Division durch die Fallbeschleunigung g erhält man Z zu: Z D

1  YVR : g

Die Bezugsgröße L im Gefälle ist Bestandteil der Darcy’schen Gleichung zur Ermittlung reibungsbedingter Verluste bei turbulenter Rohrströmung, YVR D  

L c2  : D 2

Setzt man diese Verluste in die Gleichung für Z ein und dividiert durch die Rohrlänge L, L c2 1  ; Z D    g D 2 so entsteht zunächst das Gefälle

Z L

in nachstehender Form:

Z 1 1 c2 D   : L g D 2 Hierin muss nun noch die Rohrgeschwindigkeit c mittels der umgeformten DurchflussP gleichung c D VA und des Rohrquerschnitts A D 4  D 2 , also mit cD

4  VP

 D2

Aufgabe 1.4 Graugussrohre

25

ersetzt werden. Damit gelangt man zu Z 1 1 1 16  VP 2 : D    L g D 2 2  D4 Dies führt zum allgemeinen Gefälle:

Z 8 1 1 D 2     5  VP 2 : L

g D

Für die beiden unterschiedlichen Rohrleitungen liefert dies nachstehende Gleichungen Z1 8 1 1 D 2   VP12  5 L1

g D1

sowie

Z2 8 1 2 D 2   VP22  5 : L2

g D2

Da gleich bleibender Volumenstrom gefordert wird, VP1 D VP2 D VP , kann man jeweils mit 8 1 P2 Z1 D15 Z2 D25  D  D   V

2 g L1 1 L2 2 umformen und nach

Z2 L2

auflösen:

Z2 D 5 2 Z1 D 15   : L2 D2 1 L1

Unbekannt in dieser Gleichung ist jetzt nur noch 2 . Allgemein kann bei turbulenter Rohrströmung die Rohrreibungszahl  sowohl von Re als auch von der bezogenen Sandrauigkeit kS =D bzw. D=kS abhängen. Für das Sandrauigkeitsverhältnis kS =D2 finden wir für die Sandrauigkeit kS , die den Berechnungsgleichungen für  bzw. Abb. Z.1 zugrunde liegt, den folgenden empirischen Zusammenhang mit der tatsächlichen Rauigkeit: kS D .1;0  1;6/  k. Für das zweite Graugussrohr erhält man folglich mit dem Mittelwert 1,3 des Faktorenbereichs: kS D 1;3  0;40 D 0;52 mm. Somit führt dies zum Ergebnis

D2 400 D D 769: kS 0;52

26

1

Rohr- und Kanalströmungen

2 Zur Ermittlung der Reynolds-Zahl Re2 D c2 D wird die Strömungsgeschwindigkeit c2  erforderlich. Diese ist dann bekannt, wenn der Volumenstrom VP1 D VP2 D VP vorliegt. Mit o. g. Gleichung Z1 8 1 1 D 2   VP12  5 ; L1

g D1

s

die man umformt zu

VP1 D  D12  4

Z1 D1 2g ; L1 1

lässt sich der Volumenstrom berechnen zu s

0;500 2 VP1 D  0;5  0;001  2  9;81  4 0;021 oder

VP1 D VP2 D 0;1342 m3 =s:

Die Geschwindigkeit c2 erhält man dann wie folgt: c2 D c2 D

VP2 A2

und A2 D

4

 D22 liefern

4  VP2 4  0;1342 D D 1;068 m=s: 2

 0;42

 D2

Die Re2 -Zahl weist folgende Größe auf.

Re2 D

c2  D2 1;068  0;40 D  106 D 4;27  105 : 1

Aus Re2 und D2 =kS lässt sich 2 aus Abb. Z.1 zu

2 D 0;022

ablesen. Das gesuchte neue Gefälle wird nun bei bekannten 1 und 2 berechnet zu Z2 D 5 2 Z1 0;55 0;022 1 D 15   D   D 0;0032 5 L2 0;4 0;021 1 000 D2 1 L1

Aufgabe 1.5 Benzinleitung

27

oder

Z2 3;2 m D : L2 1 000 m

Aufgabe 1.5 Benzinleitung Ein mit atmosphärischem Druck beaufschlagter Benzintank wird gemäß Abb. 1.5 über eine Rohrleitung mit einem Volumenstrom VP befüllt. An der Stelle 1 der Rohrleitung wird der statische Druck p1 gemessen; an der Stelle 2 im Tank ist er gleich pB . Die beiden Höhen der Stellen 1 und 2, der Abstand L zwischen ihnen wie auch die Oberflächenrauigkeit k des Rohrs sind ebenfalls bekannt. Weiterhin liegen die erforderlichen Stoffdaten des Benzins vor. Wie groß muss der Rohrdurchmesser D bei den gegebenen Größen gewählt werden?

L 1

V

D

pB

Z1

2 ρBe Z2

Bezugsebene

Abb. 1.5 Benzinleitung

28

1

Rohr- und Kanalströmungen

Lösung zu Aufgabe 1.5 Aufgabenerläuterung Wenn nach dem Durchmesser D einer von VP durchströmten Rohrleitung gefragt wird und Größen wie Drücke, Höhenangaben, Fluiddaten etc. bekannt sind, liegt es nahe, von der Bernoulli’schen Gleichung Gebrauch zu machen. Die hier zu berücksichtigenden Geschwindigkeitsenergien c 2 =2 und die Strömungsverluste YV , die proportional c 2 =2 sind, schließen über die Durchflussgleichung und den Kreisrohrquerschnitt den gesuchten Durchmesser ein. Gegeben:  p1 D 1;245  105 Pa; p2 D 1  105 Pa; VP D 0;10 m3 =s; Z1 D 82;65 m; Z2 D 66;66 m; L D 965;5 m; k D 0;5 mm; Be D 719 kg/m3 ; Be D 0;406  106 m2 /s Gesucht: D Anmerkungen

 An der Stelle 2 soll das Benzin frei in den Tank, also oberhalb der Flüssigkeitsoberfläche einfließen.  Es wird von turbulenter Rohrströmung ausgegangen, wobei der Nachweis im Lauf der Berechnung erfolgt.  Die erforderliche Iteration wird mit 1 D 0;015 gestartet. Lösungsschritte Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen 1 und 2: p2 c1 2 c2 p1 C C g  Z1 D C 2 C g  Z2 C YV1I2 :

2

2 Mit den Besonderheiten im vorliegenden Fall, c1 D c2 und p2 D pB , wird YV1I2 D

p1  pB C g  .Z1  Z2 / :

Be

Die Verluste YV1I2 sind ausschließlich reibungsbedingter Art bei angenommener turbulenter Rohrströmung (Nachweis erfolgt später), es gilt YVR D  

L c2  D 2

.Rohrreibungsverluste/ :

Aufgabe 1.5 Benzinleitung

29

Beide voneinander unabhängig gefundenen Gleichungen für YVR werden miteinander verknüpft und es folgt somit 

L c2 p1  pB C g  .Z1  Z2 / :  D D 2

Be

Da der Durchmesser D gesucht wird, muss zunächst noch die mittlere Geschwindigkeit mittels Durchflussgleichung VP D c  A und A D 4  D 2 umgeformt werden zu cD

4  VP :

 D2

Die Geschwindigkeit c wird in die oben stehende Gleichung eingesetzt, das ergibt  oder 

p1  pB L 16  VP 2 D C g  .Z1  Z2 /  2 4 D 2 D

Be

1 p1  pB 8  L  VP 2  5 D C g  .Z1  Z2 / :

2 D

Be

Nach D5 aufgelöst führt dies auf D5 D

2 

h

8  L  VP 2 p1 pB

Be

i  : C g  .Z1  Z2 /

Wir ziehen die fünfte Wurzel und bekommen den Durchmesser v u u 5 DDt

2 

h

8  L  VP 2 p1 pB

Be

i C g  .Z1  Z2 /

p 5 :

Bei turbulenter Rohrströmung kann die Rohrreibungszahl  von der Reynolds-Zahl Re D cD Be und der bezogenen Rauigkeit kS =D (bzw. der reziproken bezogenen Rauigkeit D=kS ) abhängen. In beiden Fällen ist aber der gesuchte Durchmesser D erforderlich, der aber gerade gesucht wird. Ein Iterationsverfahren hilft, dennoch eine Lösung zu finden. Setzt man die gegebenen Zahlenwerte in oben stehende Gleichung des Durchmessers D dimen-

30

1

Rohr- und Kanalströmungen

sionsgerecht ein, so ergibt sich die Zahlengleichung: v u u DDt 5

2 

h

D 0;5279 

8  965;5  0;102 .1;2451;0/105 719

p 5 

i C 9;81  .82;65  66;66/

p 5



1. Iterationsschritt Annahme: 1 D 0;015 D1 D 0;5279 

p 5 0;015 D 0;228 m:

Mit Re1 und D1 =kS kann man aus Abb. Z.1 erkennen, um welche Art Oberfläche es sich handelt und auch welche Rohrreibungszahl vorliegt. Die hierzu erforderliche Sandrauigkeit kS ermittelt man aus dem empirischen Zusammenhang kS D .1=1;6/  k und im vorliegenden Fall zu kS D 1;3  0;5 mm D 0;65 mm. Somit lautet dann das Verhältnis D1 228 D D 351: kS 0;65 Zur weiterhin benötigten Reynolds-Zahl gelangt man mit der Definition Re D 4VP die Geschwindigkeit mittels c D D 2 festgestellt wird, im aktuellen Fall also

cD ,

wobei

4  0;10 D 2;449 m=sW

 0;2282 2;449  0;228 Re1 D  106 D 1;375  106 : 0;406 c1 D

Aus Abb. Z.1 ist zu erkennen, dass hier völlig raue Oberflächen vorliegen. Die betreffende neue Rohrreibungszahl entnimmt man entweder dem Diagramm oder berechnet sie nach 1 D h   i2 W 2  log kDS C 1;14 2 D

1 Œ2  log.351/ C 1;142

D 0;0258

Aufgabe 1.5 Benzinleitung

31

2. Iterationsschritt 2 D 0;0258

p D2 D 0;5279  5 0;0258 D 0;2539 m D2 253;9 D D 391 kS 0;65 4  0;10 c2 D D 1;975 m=s

 0;25392 1;975  0;2539 Re2 D  106 D 1;235  106 0;406 Aus Abb. Z.1 ist zu erkennen, dass hier weiterhin völlig raue Oberflächen vorliegen. 3 D

1 Œ2  log.391/ C 1;142

D 0;0250

3. Iterationsschritt 3 D 0;0250

p D3 D 0;5279  5 0;0250 D 0;2524 m D3 252;4 D D 388;4 kS 0;65 4  0;10 c3 D D 1;999 m=s

 0;25242 1;999  0;2524 Re3 D  106 D 1;242  106 0;406 Aus Abb. Z.1 ist zu erkennen, dass hier weiterhin völlig raue Oberflächen vorliegen. 4 D

1 Œ2  log.388;4/ C 1;142

D 0;02504

4. Iterationsschritt 4 D 0;02504 D4 D 0;5279 

p 5 0;02504 D 0;2525 m

Da sich dieser Durchmesser D4 vom vorangegangenen Durchmesser D3 lediglich um 0,04 % unterscheidet, wird hier das Iterationsverfahren abgebrochen. Der gesuchte Durch-

32

1

Rohr- und Kanalströmungen

messer lautet

D D 0;2525 m:

Da Re3  Re4  12;4  106 > 2 320, liegt auch die zunächst angenommene turbulente Rohrströmung vor.

Aufgabe 1.6 Abgestufte Rohrleitung Aus einem sehr großen, gegen Atmosphäre offenen Becken fließt Wasser durch eine abgestufte Rohrleitung ins Freie (Abb. 1.6). Die Querschnittsübergänge vom Becken zum Rohr 1 und vom Rohr 1 zum Rohr 2 sind scharfkantig ausgeführt; die Rohrleitung ist horizontal verlegt. Bei dem Ausströmvorgang kann die Flüssigkeitshöhe H als konstant angenommen werden. Es soll der Volumenstrom sowohl für den theoretischen Fall verlustfreier Strömung als auch den Realfall verlustbehafteter Strömung ermittelt werden.

pB 0

c0 = 0

Z0

scharfkantig H ρ

2 1

V d1

Z 1=Z 2 L1

d2

L2 pB

Bezugsebene

Abb. 1.6 Abgestufte Rohrleitung an offenem Becken

Aufgabe 1.6 Abgestufte Rohrleitung

33

Lösung zu Aufgabe 1.6 Aufgabenerläuterung Bei diesem klassischen Fall eines gegen Atmosphäre offenen Systems ist die Flüssigkeitshöhe H die treibende Größe des Ausströmvorgangs. Es muss eine Verbindung zwischen H und dem gesuchten Volumenstrom hergestellt werden. Dies gelingt sowohl bei der verlustfreien als auch der verlustbehafteten Strömung mittels Bernoulli-Gleichung und der Durchflussgleichung. Gegeben:  H D 10 m; d1 D 50 mm, L1 D 2 m; 1 D 0;025 (Rohrreibungszahl); d2 D 25 mm; L2 D 4 m; 2 D 0;020 (Rohrreibungszahl); Ein D 0;5 (Eintrittsverlustziffer); ˛K D 0;625 (Kontraktionszahl) Gesucht: 1. 2. 3.

VPth (ohne Verluste) VP (mit Verlusten) VPth und VP mit den o. g. Zahlenwerten

Hinweis: Die Abmessungen in Abb. 1.6 sind nicht maßstabsgerecht! Lösungsschritte – Fall 1 Für den theoretischen Volumenstrom VPth betrachten wir die Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen 0 und 2 (ohne Verluste): c22 p0 p2 c2 C 0 C g  Z0 D C th C g  Z2 :

2

2 Mit den hier vorliegenden besonderen Gegebenheiten p0 D p2 D pB , c0 D 0 und Z0  Z2 D H erhält man zunächst c22th 2

D g  .Z0  Z2 / D g  H

und schließlich für die theoretische Ausflussgeschwindigkeit c2th D

p 2gH

(Torricelli’sche Ausflussgleichung ohne Verluste). Mittels der Durchflussgleichung VP D c  A liegt der gesuchte Volumenstrom VPth mit VPth D c2th  A2

34

1

fest. Bei gegebenem Austrittsquerschnitt A2 D

4

Rohr- und Kanalströmungen

 d22 lautet das Ergebnis

p

VPth D  d22  2  g  H : 4

Lösungsschritte – Fall 2 Für den realen Volumenstrom VP haben wir die Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen 0 und 2 (mit Verlusten): p2 c2 c2 p0 C 0 C g  Z0 D C 2 C g  Z2 C YV0I2 :

2

2 Die Vorgehensweise im Fall der verlustbehafteten Strömung verläuft analog zu Fall 1, nur dass jetzt die Strömungsverluste entlang des Stromfadens an der Stelle 0 und Stelle 2 zu berücksichtigen sind. Aufgrund der in diesem Beispiel vorliegenden festen Größen p0 D p2 D pB , c0 D 0 und Z0  Z2 D H sind die Verluste YV0I2 verantwortlich für die verkleinerte Austrittsgeschwindigkeit c2 gegenüber derjenigen des verlustfreien Falls c2th : c22 D g  .Z0  Z2 /  YV0I2 D g  H  YV0I2 : 2 Hieraus folgt nach Umformung, c2 D

q   2  g  H  YV0I2 ;

die Torricelli’sche Ausflussgleichung mit Verlusten. Die Verluste, die hier zu berücksichtigen sind, setzen sich folgendermaßen zusammen: YVEin D Ein 

c12 2

Eintrittsverluste beim Übergang aus einem sehr großen Behälter in eine Rohrleitung mit scharfkantiger Eintrittsgeometrie.

2 L1 c1 d1  2 c2 uV2  22

YVR;1 D 1 

Rohrreibungsverluste im Rohr 1

YVuV D

Verluste bei unstetiger Querschnittsverengung von d1 auf d2 bei Bezug auf c2

YVR;2 D 2 

L2 d2



c22 2

Rohrreibungsverluste im Rohr 2

Die Summe aller Verluste im vorliegenden Fall lautet also YV0I2 D Ein 

c12 L1 c12 c2 L2 c22   ; C 1  C uV2  2 C 2  2 d1 2 2 d2 2

Aufgabe 1.6 Abgestufte Rohrleitung

35

was wir nach Gliedern gleicher Geschwindigkeitsenergien zusammenfassen: YV0I2 D

    c12 c2 L1 L2  Ein C 1  C 2  uV2 C 2  : 2 d1 2 d2

Klammert man c22 =2 aus, so entsteht YV0I2

2    

c1 c22 L1 L2 D  2  Ein C 1  C uV2 C 2  : 2 d1 d2 c2

c12 =c22 muss nun ersetzt werden durch die gegebenen Durchmesser. Dies lässt sich mit dem Kontinuitätsgesetz der inkompressiblen Strömung VP D c  A D konstant und A D 4  d 2 wie folgt lösen: VP D c1  A1 D c2  A2 : Umgestellt erhält man c1 A2 D D c2 A1

4

4

 d22

d22 D  d12 d12

 bzw:

c1 c2

2 D

d24 : d14

Oben eingesetzt gelangt man zu folgendem Ergebnis für die Verluste: " #  4  c22 L2 d2 L1 C  Ein C 1   uV2 C 2  : YV0I2 D 2 d2 d1 d1 Fügt man YV0I2 in das Ergebnis der Bernoulli’schen Gleichung, c22 C YV0I2 D g  H; 2 ein, so ergibt sich "  4  # c22 c22 d2 L2 L1 C  Ein C 1  C  uV2 C 2  D g  H: 2 2 d2 d1 d1 Ausklammern von c22 =2 (um Umstellen des Produkts unter der Wurzel) bewirkt "      4 # c22 d2 L2 L1  1 C uV2 C 2  D g  H: C Ein C 1   2 d2 d1 d1 Durch weitere Umformungen, c22 D

 1 C uV2 C 2 

2gH   L2 d2 C Ein C 1 

L1 d1

  4  dd21

36

oder

1

v u VP u c2 D D u t A2

 1 C u:V2 C 2 

Rohr- und Kanalströmungen

2gH   L2 d2 C Ein C 1 

L1 d1

  4 :  dd21

liegt das Ergebnis des gesuchten Volumenstroms bei verlustbehafteter Strömung vor: v u

2 u P V D  d2  t 4



1 C 2 

L2 d2

2gH   C uV2 C 1 

L1 d1

  4 : C Ein  dd21

Lösungsschritte – Fall 3 Mit den o. g. Zahlenwerten bekommen wir für den theoretischen Volumenstrom bei dimensionsgerechter Rechnung p

VPth D  0;0252  2  9;81  10 D 6;88 L=s 4 Mit Ausnahme der Verlustziffer uV2 sind alle anderen Größen bei der Ermittlung des realen Volumenstroms VP vorgegeben. uV2 ist aber bekanntermaßen mit der Kontraktionszahl ˛K verknüpft (Tab. Z.2):  2 1 uV2 D 1 : ˛K Mit ˛K D 0;625 erhält man die gesuchte Verlustziffer uV2 zu  2  2 1 1 1 D uV2 D  1 D 0;36: ˛K 0;625 Alle Größen dimensionsgerecht eingesetzt liefern den Volumenstrom im Realfall der verlustbehafteten Strömung zu: v u

2  9;81  10 u 2 VP D  0;025  t h  4 i D 3;18 L=s: 4 1 C .3;2 C 0;36/ C .1 C 0;5/  25 50

Die häufiger angewendete vereinfachende Annahme der verlustfreien Strömung wäre im vorliegenden Fall unangebracht, da ein Fehler im gesuchten Ergebnis von mehr als 100 % entstünde.

Aufgabe 1.7 Grundablassleitung

37

Aufgabe 1.7 Grundablassleitung Am Fuße einer Staumauer ist gemäß Abb. 1.7 eine Rohrleitung (Grundablass) angebracht, mit der das Becken entleert werden oder aber auch bei zu großem Wasserzufluss das Überlaufen der Mauer verhindert werden kann. Letztere Aufgabe soll hier betrachtet werden. Ein in das Staubecken einfließender konstanter Wasserzustrom muss durch die dargestellte Rohrleitung in ein tiefer gelegenes Ablaufbecken eingeleitet werden, um ein Überschreiten der maximal zulässigen Stauhöhe zu vermeiden. Die Rohrleitung besteht aus geraden Rohrleitungen, Rohrkrümmern und einer Armatur (z. B. Schieber), die aus baulichen Gründen an der höchsten Stelle der Leitung installiert worden ist. Bei konstantem Volumenstrom und ebenfalls gleich bleibenden Wasserspiegeln im Staubecken und Ablaufbecken soll diejenige Regeleinstellung der Armatur ermittelt werden, mit welcher der Abfluss sichergestellt wird. Des Weiteren ist zu überprüfen, wie groß der Höhenunterschied zwischen Wasserspiegel im Staubecken und der Einbauhöhe der Armatur bei dem genannten Abfluss mindestens sein muss, um Kavitation im engsten Querschnitt der Armatur zu vermeiden. pB

OW

x

Z OW

H 1 D

pB UW

Zx

2 ZUW

Bezugsebene

Abb. 1.7 Grundablassleitung

38

1

Rohr- und Kanalströmungen

Abb. 1.8 Schieberverlustziffer

Lösung zu Aufgabe 1.7 Aufgabenerläuterung Die Frage nach der Regeleinstellung der Armatur, im vorliegenden Fall ein Keilplattenschieber, ist mittels Abb. 1.7 zu beantworten. Hier ist die Verlustziffer  des Schiebers in Abhängigkeit vom Flächenverhältnis ARest =Aoffen dargestellt. Bei völlig geöffneter Armatur, also ARest =Aoffen D 1;0 liegt die kleinstmögliche Verlustziffer vor. Diese steigt bei Betätigung des Schiebers, also Verringerung von ARest =Aoffen , gemäß dem Verlauf in Abb. 1.8 an, dies umso stärker, je kleiner die Restfläche wird. Es muss nun die Aufgabe sein, mittels Bernoulli’scher Gleichung der verlustbehafteten Strömung an den Stellen OW und UW diejenigen Verlustziffer des Schiebers zu ermitteln, die sich aus den Anlagedaten und dem einzuregelnden Volumenstrom ergibt. Zu dieser Verlustziffer lässt sich dann in Abb. 1.8 die Regelgröße ARest =Aoffen ablesen. Ist auf diese Weise ARest =Aoffen und somit auch die Restfläche ARest im engsten Querschnitt des Schiebers an der Stelle x bekannt, so lässt sich mittels Bernoulli’scher Gleichung der verlustbehafteten Strömung an den Stellen OW und x der Höhenunterschied (ZOW  Zx ) zwischen Wasserspiegel im Staubecken und Einbauhöhe der Armatur bei genanntem Abfluss und kavitationsfreiem Betrieb berechnen. Gegeben:  VP ; H; D; L1I2 ; L1Ix ; g; ; pB ; pDa ; Kr ; ; Ein ; Aus mit folgenden Zahlenwerten:

Aufgabe 1.7 Grundablassleitung

39

VP D 4;0 m3 =s; H D 15;5 m; D D 0;80 m; L1I2 D 33 m; L1Ix D 26 m; g D 9;81 m/s2 ;

D 1 000 kg/m3 ; pB D 1105 Pa; pDa D 0;0234105 Pa; Kr D 0;30;  D 0;025; Ein D 0;50; Aus D 1;0 Gesucht: 1. Sch 2. (ZOW  Zx ) 3. Sch und (ZOW  Zx ) mit den o. g. Zahlenwerten Anmerkungen

 ARest D Ax , Aoffen   cOW D cUW D 0

4

 D2

Lösungsschritte – Fall 1 Die gesuchte Verlustziffer Sch ist die Kennziffer der Verluste, die vom Schieber verursacht werden. Diese Verluste sind wiederum Bestandteil der Gesamtverluste, die entlang des Stromfadens zwischen den Stellen OW und UW entstehen. Die Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen OW und UW angesetzt berücksichtigt diese Gesamtverluste YVOWIUW wie folgt: c2 pOW pUW c2 C OW C g  ZOW D C UW C g  ZUW C YVOWIUW

2

2 Mit den besonderen Gegebenheiten an den Stellen OW und UW, nämlich cOW D cUW D 0 und pOW D pUW D pB liefert dies für YVOWIUW D g  .ZOW  ZUW / D g  H: Die Gesamtverluste YVOWIUW setzen sich wie folgt zusammen: YVOWIUW D YVEin C YVR;1I2 C 4  YVKr C YVSch C YVAus : Dabei sind 2

YVEin D Ein  c2 2 YVKr D Kr  c2 L YVR;1I2 D   D1I2  2 YVSch D Sch  c2 2 YVAus D Aus  c2

c2 2

Verluste am Eintritt in die Rohrleitung durch Strahlkontraktion Verluste des Rohrkrümmers Reibungsverluste in allen geraden Rohrleitungsteilen Verluste des Schiebers Verluste am Austritt der Rohrleitung durch vollständige Vernichtung von c 2 =2 im Ablaufbecken.

40

1

Rohr- und Kanalströmungen

Somit lassen sich die Gesamtverluste YVOWIUW auch angeben mit YVOWIUW D

  c2 L1I2  Ein C Aus C   C 4  Kr C Sch : 2 D

Der so gewonnene Ausdruck für YVOWIUW wird gleichgesetzt mit dem Ergebnis aus der Bernoulli’schen Gleichung (s. o.):   L1I2 c2  Ein C Aus C   C 4  Kr C Sch D g  H: 2 D Multipliziert man nun die Gleichung mit 2=c 2 , so steht die Summe aller Verlustziffern auf der linken Gleichungsseite: Ein C Aus C  

L1I2 2gH : C 4  Kr C Sch D D c2

Für die mittlere Geschwindigkeit c D AD

 D2 4

VP A

haben wir

und daher c D

4  VP :

 D2

Einsetzen auf der rechten Seite und Kürzen liefert dann Ein C Aus C  

L1I2 2  g  H  2  D4 ; C 4  Kr C Sch D D 16  VP 2

und durch Umgruppieren nach der gesuchten Schieberverlustziffer kommen wir zum Ergebnis

Sch D

 

2 1 L1I2  Ein C Aus C    g  H  D4  C 4  Kr : 8 D VP 2

Aus Abb. 1.8 (Sch D f .ARest =Aoffen /) erhält man bei bekanntem Sch das Öffnungsverhältnis ARest =Aoffen . Hieraus lässt sich mit Aoffen D 4  D 2 die Restfläche ARest berechnen und demzufolge auch die Geschwindigkeit cx an der engsten Stelle x des Schiebers. Lösungsschritte – Fall 2 Für den Höhenunterschied (ZOW  Zx ) bemerken wir zunächst, dass bei x keine Kavitation entstehen soll, und deshalb px  pDa gelten muss!

Aufgabe 1.7 Grundablassleitung

41

px lässt sich aus der Bernoulli-Gleichung an den Stellen OW und x wie folgt herleiten: c2 pOW px c2 C OW C g  ZOW D C x C g  Zx C YVOWIx :

2

2 Wenn man jetzt die Besonderheiten an der Stelle OW, pOW D pB und cOW D 0, berücksichtigt und die Gleichung mit multipliziert, liefert dies den statischen Druck px an der engsten Stelle x des Schiebers. Der Druck px muss dort größer als der Dampfdruck des Wassers sein, um kavitationsfreie Strömung zu gewährleisten. Zunächst erhält man daraus px D pB C  g  .ZOW  Zx / 

2  c   YVOWIx ; 2 x

und aus der Bedingung px  pDa folgt dann

px D pB C  g  .ZOW  Zx / 

2  c   YVOWIx > pDa : 2 x

Wird nach (ZOW Zx ) aufgelöst, d. h. die Gleichung durch ( g) dividiert und (ZOW Zx ) auf eine Seite gebracht, führt das zu

ZOW  Zx >

cx2 pB  pDa 1 C  YVOWIx  : 2g g

g

In oben stehender Gleichung muss noch neben den Verlusten die örtliche Geschwindigkeit cx mit bekannten Größen ersetzt werden. Man erhält cx im engsten Querschnitt des Schiebers bei teilweise geschlossenem Zustand aus der Durchflussgleichung VP D cx  Ax durch Umstellen zu VP : cx D Ax Unter Verwendung des Querschnitts Ax  ARest oder auch  Ax D

ARest Aoffen

  Aoffen

mit

VP  cx D  D2 „4 ƒ‚ …

ARest Aoffen

Aoffen 

wird dann cx bestimmbar gemäß

Dc

1

D

c ARest Aoffen

:

 D2 4

42

1

Rohr- und Kanalströmungen

Das Flächenverhältnis ARest =Aoffen kann man bei bekannter Schieberverlustziffer Sch der Abb. 1.8 entnehmen. Die Verluste zwischen den Stellen OW und x lauten YVOWIx D YVEin C YVR;1Ix C 2  YVKr : (Die Schieberverluste wirken sich größtenteils erst nach dem Schieber aus.) 2

YVEin D Ein  c2 Verluste am Eintritt in die Rohrleitung durch Strahlkontraktion c2 2  YVKr D 2  Kr  2 Verluste der jetzt nur noch 2 Rohrkrümmer 2 L YVR;1Ix D   D1Ix  c2 Reibungsverluste der geraden Rohrleitungsteilen von 1 bis x Wir setzen die Einzelverluste in YVOWIx ein und klammern c 2 =2 aus: YVOWIx D

  c2 L1Ix :  Ein C 2  Kr C   2 D

Die Ergebnissen für cx und YVOWIx werden in die Ungleichung für (ZOW  Zx ) eingesetzt und liefern zunächst   L1=x c2 c2 .pB  pDa / 1 ZOW  Zx >    Ein C 2  Kr C   2 C 2g 2  g D

g ARest Aoffen

Oder 3

2 ZOW  Zx >

L1=x 7 .pB  pDa / c 1 6  4 5 2 C Ein C 2  Kr C   2g D

g ARest 2

Aoffen

Lösungsschritte – Fall 3 Für Sch finden wir mit den o. g. Zahlenwerten Sch

 

2 33 4 1 D  9;81  15;5  0;8  2  0;5 C 1;0 C 0;025  C 4  0;3 8 4 0;8 Sch D 1;07

Für diese Verlustziffer lässt sich aus Abb. 1.8 das Flächenverhältnis ARest =Aoffen D 0;75 entnehmen und im folgenden Berechnungsschritt einsetzen.

Aufgabe 1.8 Unstetige Querschnittserweiterung

43

Für (ZOW  Zx ) berechnen wir zunächst als mittlere Geschwindigkeit im Rohr

cD

4  VP 44 D D 7;96 m=s: 2

D

 0;82

Hiermit sowie auch den anderen gegebenen bzw. ermittelten Größen gelangt man dann für die Höhendifferenz (ZOW  Zx ) bei dimensionsgerechter Verwendung zu folgendem Ergebnis: 7;962 ZOW  Zx >  2  9;81



1 26 C 0;5 C 2  0;3 C 0;025  2 0;75 0;8

 

100 000  2 340 1 000  9;81

ZOW  Zx > 1;956 m:

Aufgabe 1.8 Unstetige Querschnittserweiterung Die in Abb. 1.9 dargestellte horizontale unstetige Querschnittserweiterung verbindet sprungartig eine Rohrleitung mit einer anderen, die einen größeren Strömungsquerschnitt aufweist. Diesen baulichen Vorteil muss man aber dem Nachteil höherer Strömungsverluste gegenüberstellen. Die Ermittlung dieser Verluste bzw. Verlustziffer ist das Thema dieser Aufgabe, wobei von bekannten Größen wie Querschnitten in beiden Rohren, Geschwindigkeit im kleineren Rohr sowie der Fluiddichte ausgegangen wird.

Kontrollraum c2 1 c1 A1 A2

p1 p2 z Z1

2 x

Abb. 1.9 Unstetige Querschnittserweiterung

Bezugsebene

Z2

44

1

Rohr- und Kanalströmungen

Lösung zu Aufgabe 1.8 Aufgabenerläuterung Beim Übergang vom kleineren in das größere Rohr kann das Fluid nicht der Wandkontur folgen, sondern strömt direkt an der Erweiterungsstelle zunächst mit nahezu gleicher Geschwindigkeit weiter. Dies hat zur Folge, dass unmittelbar dahinter der gleiche Druck vorliegt wie im engen Rohr. Weiter stromabwärts legt sich dann der Fluidstrahl durch reibungsbedingte Vermischungsvorgänge des „gesunden“ Kernstroms mit dem Fluid im Verwirbelungsbereich an der Rohrwand an. Die gesuchten Verluste sollen nur die durch Verwirbelung verursachten Anteile berücksichtigen. Reibungseinflüsse – wenn auch wirksam –, können bei genügend großen Re-Zahlen vernachlässigt werden. Die erweiterte Bernoulli’sche Gleichung schließt die gesuchten Verluste mit ein und ist so als Lösungsansatz zu verwenden. Weiter benötigte Gleichungen sind der Impulssatz, das Kontinuitätsgesetz und die Durchflussgleichung. Gegeben:  c1 , A1 , A2 ,

Gesucht: 1. YVuE 2. uE Anmerkungen

 Der Einfachheit halber wird neben gleichmäßiger Geschwindigkeitsverteilungen an den Stellen 1 und 2 dies ebenfalls von den Druckverteilungen angenommen, was (bei Flüssigkeiten) streng genommen nur in Horizontalebenen zutrifft.  Es soll des Weiteren eine horizontale Rohrleitungsanordnung vorliegen.  Reibungskräfte können vernachlässigt werden. Lösungsschritte – Fall 1 Für die Verluste YVuE betrachten wir die Bernoulli-Gleichung mit Verlusten an den Stellen 1 und 2: p2 c2 c2 p1 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 C YVuE ;

2

2 wobei im vorliegenden Fall Z1 D Z2 ist: p1 c2 p2 c2 C 1 D C 2 C YVuE :

2

2

Aufgabe 1.8 Unstetige Querschnittserweiterung

45 Kontrollraum A2

2 A1

1 FI1

FI2

Fp1 Fp2 F p' 1

Abb. 1.10 Unstetige Querschnittserweiterung; Kräfte am Kontrollraum

Umgeformt nach dem spezifischen Druckunterschied liefert dies .p2  p1 / c 2  c22 D 1  YVuE

2 und nach Multiplikation mit der Dichte

p2  p1 D



 2  c1  c22   YVuE : 2

Es muss nun gelingen, diesen Druckunterschied auf einem zweiten Weg, der unabhängig vom ersten Schritt ist, zu ermitteln. Dies gelingt mit dem Impulssatz am Kontrollraum: Der Kontrollraum wird so in der Leitung angeordnet, dass er an den Rohrinnenwänden anliegt (Abb. 1.10). An der Stelle 1 wird er ein kurzes Stück in das engere Rohr hineingezogen und im größeren Rohr endet er an der Stelle 2, wo das Verwirbelungsgebiet gerade abschließt und die Strömung den Querschnitt wieder vollkommen ausfüllt. P Am Kontrollraum gilt in x-Richtung das Kräftegleichgewicht n1 Fi;x D 0, wobei die Druck- und Impulskräfte immer auf die Flächen gerichtet sind. Aufgrund der vernachlässigbaren Schubspannungen werden keine Reibungskräfte an der Oberfläche des Kontrollraums wirksam. 0  Fp;2 C FI;1;x  FI;2;x D 0 Fp;1 C Fp;1

oder nach den Druckkräften umgeformt 0 D FI1;x  FI2;x : Fp;2  Fp;1  Fp;1

46

1

Rohr- und Kanalströmungen

Dabei sind Druckkraft auf die Fläche A1 Fp;1 D p1  A1 Fp;2 D p2  A2 Druckkraft auf die Fläche A2 0 Fp;1 D p1  .A2  A1 / Druckkraft auf die Fläche (A2  A1 ). Hier wirkt unmittelbar hinter der Erweiterung der Druck p1 , da bei Geschwindigkeitsgleichheit und horizontaler Anordnung keine Druckänderung entsteht (Bernoulli’sches Prinzip). P  c1 Impulskraft auf die Fläche A1 FI1 D m FI2 D m P  c2 Impulskraft auf die Fläche A2 m P D  VP Massenstrom Unter Verwendung dieser Zusammenhänge in o. g. Kräftebilanz erhält man zunächst p2  A2  p1  A1  p1  .A2  A1 / D  VP  .c1  c2 / oder

  .p2  p1 /  A2 D  c1  VP  c2  VP :

Ersetzt man nun noch den Volumenstrom mit der Kontinuitätsgleichung VP D VP1 D c1  A1 D VP2 D c2  A2 in der rechten Klammer,   .p2  p1 /  A2 D  .c1  c1  A1  c2  c2  A2 / D  c12  A1  c22  A2 ; und dividiert dann durch A2 , so führt dies zu:   2 A1 2  c2 : p2  p1 D  c1  A2 Mit diesem zweiten Ergebnis für (p2 p1 ) in Verbindung mit dem ersten erhält man durch Gleichsetzen:    A1

  c22 D  c12  c22   YVuE

 c12  A2 2 oder c12 

 A1 1   c22 D  c12  c22  YVuE : A2 2

Umgestellt nach den gesuchten Verlusten bedeutet dies YVuE D

c12 c22 A1 c2 A1 c2 C c22 D 1  c12  C 2:   c12  2 2 A2 2 A2 2

Aufgabe 1.8 Unstetige Querschnittserweiterung

47

Klammert man auf der rechten Seite c12 =2 aus, liefert dies zunächst YVuE

c2 D 1 2



c2 A1 C 22 12 A2 c1

 :

Da die Querschnitte bekannt sind, wird es erforderlich, das Geschwindigkeitsverhältnis in der Klammer mit dem Kontinuitätsgesetz zu ersetzen. Man erhält c2 A1 D : c1 A2 Oben eingesetzt führt dies zu YVuE D

c12 2

 12

A2 A1 C 12 A2 A2



oder mit der binomischen Formel a2  2  a  b C b 2 D .a  b/2 :

YVuE

YVuE



c12 A1 2 D  1 2 A2

.allgemein/

"  2 #2 D1 c12 D  1 2 D2

.Kreisrohre/

Lösungsschritte – Fall 2 Die Verlustziffer uE ist wie folgt definiert: uE D

YVuE c12 =2

(auf c1 bezogen). Setzt man das oben gefundene Ergebnis für YVuE ein, so erhält man durch Kürzen von c12 =2:

A1 2 uE D 1  A2

.allgemein/

48

1

" uE D 1 



D1 D2

Rohr- und Kanalströmungen

2 #2 .Kreisrohre/

Aufgabe 1.9 Wärmetauscher Bei dem in Abb. 1.11 dargestellten Rohrbündelwärmeaustauscher strömt das zu kühlende Fluid durch die Kühlrohre während das Kühlfluid außen um die Rohre geleitet wird. Hierbei findet der gewünschte Wärmeaustausch zwischen beiden Fluiden statt. Im vorliegenden Beispiel soll nur das Kühlfluid, hier Luft, beim Umströmen der Rohre betrachtet werden. Mit bekanntem Volumenstrom und Stoffdaten der Kühlluft sowie erforderlichen Hauptabmessungen des Wärmetauschers ist der Druckverlust auf der Kühlluftseite zu ermitteln.

Lösung zu Aufgabe 1.9 Aufgabenerläuterung Um die reibungsbedingten Druckverluste bei der Umströmung der Kühlrohre zu bestimmen, greift man auf die Grundlagen der Verlustberechnung von Kreisrohren zurück. Wegen der Abweichungen vom reinen Kreisrohrquerschnitt muss aber eine Umrechnung der tatsächlichen geometrischen Gegebenheiten auf einen virtuellen Kreisquerschnitt vorge-

L

c

A

Schnitt A A V Boden

Boden

da

A Di V Kühlrohr Mantelrohr

Abb. 1.11 Wärmetauscher

Aufgabe 1.9 Wärmetauscher

49

nommen werden. Dies erfolgt mit dem „hydraulischen Durchmesser“ oder auch „Gleichwertigkeitsdurchmesser“ AUR : dhydr D 4  UUR Genannter Durchmesser ist die Grundlage aller verlustrelevanten Größen wie ReynoldsZahl ReUR , Rohrreibungszahl  D f .ReUR , kS =dhydr ) und die Verluste YVR selbst. Lediglich die mittlere Geschwindigkeit c wird mittels tatsächlich durchströmtem Querschnitt AUR und dem bekannten Volumenstrom berechnet. Im Fall turbulenter Strömung und rauen Rohrwänden können die Rohrreibungszahlen Abb. Z.1 uneingeschränkt entnommen werden. Lediglich glatte Oberflächen sind bei turbulenter Strömung mit einem modifizierten Gesetz von Blasius zu behandeln: 0;2236 D p 4 ReUR

.2 320 < ReUR < 100 000/ :

Gegeben: Di D 303 mm da D 30 mm z D 44

L D 1;165 kg=m3 L D 16  106 m2 =s VP D 0;8333 m3 =s LD4

Innendurchmesser des Mantelrohrs Außendurchmesser des Kühlrohrs Zahl der Kühlrohre mittlere Luftdichte mittlere kinematische Zähigkeit Luftvolumenstrom wirksame Rohrlänge

Gesucht: pV (reibungsbedingter Druckverlust bei glatten Oberflächen) Anmerkungen

 Es wird angenommen, dass über der Länge L eine homogene Geschwindigkeit c vorliegt.  Die Kühlrohre können als „hydraulisch glatt“ betrachtet werden.  Die Stoffdaten der Kühlluft sind als Mittelwerte zu verwenden; tatsächlich sind sie wegen veränderlicher Temperaturen nicht konstant. Lösungsschritte Der Druckverlust pV ist als Produkt der spezifischen Verlustenergie YVR mit der Dichte

gegeben, im vorliegenden Fall also pV D L  YVR :

50

1

Rohr- und Kanalströmungen

Die reibungsbedingten Verluste folgen dem Gesetz YVR D  

L dhydr



c2 : 2

Zur Ermittlung von YVR und somit von pV sind c, dhydr und  zunächst noch unbekannt und müssen schrittweise bestimmt werden. Die gesuchte mittlere Strömungsgeschwindigkeit c erhält man aus der Durchflussgleichung VP D c  AUR und dem tatsächlichen Strömungsquerschnitt AUR , der sich aus dem Kreisquerschnitt des Mantelrohrs 4  Di 2 abzüglich der Zahl der Kreisquerschnitte der Kühlrohre z  4  da2 ermitteln lässt. Mit

AUR D  Di 2  z   da2 4 4 und dimensionsgerecht eingesetzten gegebenen Abmessungen,

 0;3032  44  ; 032 ; 4 4

AUR D führt dies zu

AUR D 0;0410 m2 :

Die mittlere Geschwindigkeit c D

VP AUR

cD

lautet folglich

0;8333 D 20;33 m=s: 0;0410

Die Definition des sogenannten hydraulischen Durchmessers dhydr lautet dhydr D

4  AUR : UUR

Da AUR schon bekannt ist, muss jetzt noch der gesamte von der Kühlluft benetzte Umfang UUR festgestellt werden. Dieser setzt sich aus dem Innenumfang des Mantelrohrs,  Di , und dem Außenumfang der z-Kühlrohre, z   da , additiv zusammen: UUR D  Di C z   da D  .Di C z  da / :

Aufgabe 1.9 Wärmetauscher

51

Einsetzen der bekannten Abmessungen liefert

UUR D  .0;303 C 44  0;030/ D 5;099 m:

Damit kennt man den hydraulischen „Ersatzdurchmesser“ mit

dhydr D

4  0;0410 D 0;0322 m: 5;099

Nun ist die Rohrreibungszahl  an der Reihe. Da hydraulisch glatte Oberflächen vorausgesetzt werden, hängt die gesuchte Rohrreibungszahl nur von der Re-Zahl, hier ReUR ab: , bzw. für die vorliegenden Gegebenheiten  D f .ReUR ). Diese lässt sich gemäß Re D cd ReUR D

c  dhydr ; L

wie folgt ermitteln:

ReUR D

20;33  0;0322  106 D 40 904: 16

Mit dem modifizierten Blasius-Gesetz 0;2236 D p 4 ReUR bei glatten Oberflächen, nicht-kreisförmigen Strömungsquerschnitten im Bereich 2 320 < ReUR < 100 000 steht die Rohrreibungszahl  jetzt fest:

0;2236 D 0;0157: D p 4 40 904

52

1

Rohr- und Kanalströmungen

Die gesuchten Druckverluste errechnen sich mit pV D L   

L dhydr

zu pV D 1;165  0;0157 



c2 2

4 20;332  0;0322 2

oder

pV D 469;3 Pa:

Aufgabe 1.10 Rohrverzweigung Eine Rohrleitung, die vom Volumenstrom VP durchflossen wird, spaltet sich an der Stelle A in zwei parallele Äste auf (Abb. 1.12). Diese beiden Äste werden an der Stelle B wieder zusammen geführt. Der Teilstrang 1 weist einen Durchmesser D1 und eine Länge L1 , der Teilstrang 2 einen Durchmesser D2 und eine Länge L2 auf. Weiterhin sind der Volumenstrom VP , die Zähigkeit des Wassers und die Oberflächenrauigkeit k der verwendeten Betonrohre bekannt. Wie groß werden die Teilvolumenströme VP1 und VP2 ? Abb. 1.12 Rohrverzweigung

D1

V1

Stromlinie 1

L1 A

V

B V

Horizontale Anordnung

L2 D2 V2

Stromlinie 2

Aufgabe 1.10 Rohrverzweigung

53

Lösung zu Aufgabe 1.10 Aufgabenerläuterung Die Lösung zur hier gestellten Frage nach den beiden Teilvolumenströmen ermöglicht das Kontinuitätsgesetz, die Durchflussgleichung und die Bernoulli’sche Gleichung, die man für Stromlinie 1 und Stromlinie 2 jeweils am Anfangspunkt A und Endpunkt B ansetzen muss. Gegeben:  VP D 0;850 m3 =s; D1 D 600 mm; L1 D 2 340 m; D2 D 400 mm; L2 D 3 200 m; k D 1;5 mm; Betonrohre, geglättet, mittelrau Gesucht: VP1 und VP2 Anmerkungen

 Horizontale Anordnung mit Z D konstant  Annahme vollständig rauer Oberflächen  Verluste an der Verzweigung und Zusammenführung sowie Krümmerverluste werden vernachlässigt.  Die Rohrquerschnitte AA und AB sind gleich groß. Lösungsschritte Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen A und B der Stromlinie 1: pB c2 c2 pA C A C g  ZA D C B C g  ZB C YV1

2

2 Bei der horizontalen Anordnung der Leitungen und gleichen Rohrquerschnitten AA D AB wird VP : ZA D ZB und cA D cB D AAIB Als Ergebnis resultiert YV1 D

pA  pB :

Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen A und B der Stromlinie 2: pB pA c2 c2 C A C g  ZA D C B C g  ZB C YV2

2

2

54

1

(s. o.) und damit auch hier YV2 D

Rohr- und Kanalströmungen

pA  pB :

Man erhält als Ergebnis pA  pB D YV1 D YV2 :

Die Verluste in den beiden parallelen Leitungen sind somit gleich groß. Es handelt sich dabei aufgrund der getroffenen Annahmen ausschließlich um die reibungsbedingten Anteile. Diese folgen dem Darcy’schen Gesetz: YV1 D 1 

L1 c12  D1 2

.Leitung 1/

YV2 D 2 

L2 c22  D2 2

.Leitung 2/ :

Gleichsetzen führt zu 1 

L1 c12 L2 c22   D 2  D1 2 D2 2

oder, da ja die Volumenströme gesucht werden: c12 2 L2 D1 D   : 2 1 L1 D2 c2 Ersetzen wir nun noch mit den Durchflussgleichungen und den betreffenden Rohrquerschnitten, VP1 VP2 4  VP1 4  VP2 c1 D D sowie c2 D D ; 2 A1 A2

 D1

 D22 und fügen diese Ausdrücke oben ein, so resultiert nach Kürzen gleicher Größen und Multiplikation mit D14 =D24 : 2 L2 D1 16  VP12  2  D24 D   1 L1 D2

2  D14  16  VP22 und somit

 5 D1 VP12 2 L2 D   : 2 P  L D V2 1 1 2

Aufgabe 1.10 Rohrverzweigung

55

Nach Wurzelziehen folgt VP1 D VP2

s L2  L1



D1 D2

5 s 2  : 1

Die Verringerung der beiden Unbekannten VP1 und VP2 auf nur noch eine Unbekannte gelingt mit dem Kontinuitätsgesetz wie folgt. Aus VP D VP1 C VP2 erhält man VP1 D VP  VP2 . Den Volumenstrom VP1 im Zähler oben ersetzt führt zunächst zu 

s   5 s VP  VP2 L2 2 VP D1 D 1D   L1 D2 1 VP2 VP2

oder, nach einer Umformung, VP D1C VP2

s L2  L1



D1 D2

5 s 2  : 1

Zum gesuchten Volumenstrom VP2 gelangt man durch Umstellen der linken und rechten Gleichungsseite:

VP2 D

r 1C

L2 L1



VP 

D1 D2

5 q :  21

Für den anderen Volumenstrom VP1 gilt einfach

VP1 D VP  VP2 :

Unter Verwendung des gegebenen Zahlenmaterials erhält man die Volumenströme wie folgt. Es müssen hierzu lediglich noch die beiden Rohrreibungszahlen 1 und 2 festgestellt werden. Aufgrund der Annahme vollkommen rauer Oberflächen muss zur Ermittlung von 1 und 2 lediglich die jeweilige bezogene Sandrauigkeit bestimmt werden. Die Sandrauigkeit folgt kS D .1–1;6/  k, wobei k als tatsächliche Oberflächenrauigkeit mit k D 1;5 mm für beide Rohre vorgegeben wird. Im vorliegenden Fall erhält man als mittleren Wert der Sandrauigkeit: kS D 1;3 mm  1;5  2 mm

56

1

Rohr- und Kanalströmungen

oder als Bezugsgrößen D1 600 D D 300 und kS 2

400 D2 D D 200: kS 2

Bei vollkommenen rauen Oberflächen lässt sich die Rohrreibungszahl nach dem Gesetz von Karman-Nikuradse berechnen: 1 D    2 2  log kDS C 1;14 1 D 2 D

1 Œ2  log .300/ C 1;142 1 Œ2  log .200/ C 1;142

D 0;0269

.Rohr 1/

D 0;0303

.Rohr 2/

Der Volumenstrom VP2 ist nun bekannt und errechnet sich zu: VP2 D

1C

q

0;850  600 5 q 0:0303 3 200   0;0269 2 340 400

Wir haben damit

VP2 D 0;192 m3 =s und VP1 D 0;658 m3 =s:

Aufgabe 1.11 Horizontales Kapillarviskosimeter Zur Bestimmung der Zähigkeit (Viskosität) Newton’scher Flüssigkeiten kommen verschiedene Messgeräte zur Anwendung. Das Kapillarviskosimeter gemäß Abb. 1.13 ist eine im Aufbau einfache Variante, die im vorliegenden Beispiel zur Bestimmung der Viskosität von Wasser dienen soll. Bei gegebener Flüssigkeitshöhe im Vorratsbehälter, der Kapillarenhöhe über der Bezugsebene, dem Innendurchmesser und der Länge der Kapillare sowie der Flüssigkeitstemperatur ist die gesuchte Viskosität durch eine einfache Messung derjenigen Flüssigkeitsmasse, die in einer zugrunde liegenden Ausflusszeit ermittelt werden kann, bekannt. Neben der Viskosität sollen noch die Reynolds-Zahl, die Rohrreibungszahl und die Wandschubspannung für diesen Fall ermittelt werden.

Aufgabe 1.11 Horizontales Kapillarviskosimeter pB

57

c1= 0 1

H D

Z1

c2 = c

V

Z2

2

pB

L

Abb. 1.13 Horizontales Kapillarviskosimeter

Lösung zu Aufgabe 1.11 Aufgabenerläuterung Die zunächst gesuchte kinematische Zähigkeit liegt der Reynolds-Zahl Re zugrunde. Re wiederum bestimmt im Fall laminarer Strömung allein die Rohrreibungszahl . Diese wirkt sich in den Reibungsverlusten YVR nach dem Hagen-Poiseuille’schen-Gesetz als maßgebliche Kenngröße aus. Findet man nun noch mithilfe der Bernoulli’schen Gleichung an den Stellen 1 und 2 eine Möglichkeit, die Reibungsverluste YVR in der Kapillare mit bekannten Anlage- und Messgrößen auszudrücken, so gelangt man schließlich zu . Die anderen gesuchten Größen lassen sich danach aus den betreffenden Gleichungen berechnen. Gegeben:  H D 72;50 cm; D D 4;00 mm; L D 5;00 m; m D 0;3780 kg; t D 60;0 s; D 1 000 kg/m3 Gesucht: 1. 2. 3. 4.

(kinematische Viskosität) Re (Reynolds-Zahl)  (Rohrreibungszahl) 0 (Wandschubspannung)

58

1

Rohr- und Kanalströmungen

Anmerkungen

 Der Kapillareinlauf ist so gut abgerundet, dass keine kontraktionsbedingten Verluste (Einlaufverluste) entstehen.  Die Ausbildung der Geschwindigkeitsverteilung in der Anlaufstrecke soll keinen Einfluss auf das Ergebnis haben.  Die Größe und der Inhalt des Vorratsbehälters sind so bemessen, dass die entnommene Flüssigkeitsmasse keine nennenswerte Veränderung von H hervorruft. Lösungsschritte – Fall 1 Die Bestimmung der kinematischen Zähigkeit  beginnen wir mit dem Hagen-Poiseuille’schen Gesetz der laminaren Rohrströmung: YVR D  

L c2  : D 2

Die Rohrreibungszahl der laminaren Rohrströmung folgt dem Gesetz D

64 : Re

lassen sich diese Zusammenhänge zur gesuchten kineMit der Reynolds-Zahl Re D cD matischen Viskosität wie folgt verknüpfen: YVR D

64 L c 2 1 32 L 2   D cD   c D 32  L  c  2  : Re D 2 D D

Formen wir das Ergebnis nach der kinematischen Viskosität um, so führt dies zu

D

YVR  D 2: 32  L  c

Neben den Reibungsverlusten YVR muss in der Gleichung noch die mittlere Geschwindigkeit c im Rohr bestimmt werden. Zunächst jedoch zu den Verlusten: Die Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen 1 und 2 lautet: p2 p1 c2 c2 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 C YVR :

2

2

Aufgabe 1.11 Horizontales Kapillarviskosimeter

59

Mit den besonderen Gegebenheiten an diesen Stellen, nämlich p1 D pB D p2 und c1 D 0 sowie c2 D c und Z1  Z2 D H gesetzt folgt YVR D g  H 

c2 : 2

Setzen wir dieses Ergebnis in die oben entwickelte Gleichung für ein, so schreiben wir

2

g  H  c2 D  D2: 32  L  c

Zur noch ausstehenden Geschwindigkeit c lässt sich mittels der Durchflussgleichung VP D c  A und dem Kapillareninnenquerschnitt A D 4  D 2 folgende Gleichung angeben: cD

4  VP :

 D2

Der Volumenstrom in Verbindung mit dem Massenstrom lautet m P VP D :

Der Massenstrom m P ist sodann als Ergebnis der jeweiligen Messungen von ausgeströmter Masse m und Messzeit t, nämlich m P D m=t einzusetzen, also m : VP D

t Dies führt dann zur Geschwindigkeit

cD

4m :

  t  D2

Man könnte nun diese Gleichung in den Ausdruck für einsetzen, was jedoch aus Gründen der besseren Übersicht hier nicht erfolgen soll. Es werden jetzt die gegebenen Zahlengrößen in dimensionsgerechter Form verwendet, um zunächst die Geschwindigkeit c

60

1

Rohr- und Kanalströmungen

und danach zu berechnen.

cD

0;378  4 D 0;501 m=s 60  1 000   0;0042

2

9;81  0;725  0;501 2 D  0;00402 D 1;395  106 m2 =s 32  0;501  5;0

Lösungsschritte – Fall 2 Mit der festgestellten Viskosität und Geschwindigkeit errechnet sich die Reynolds-Zahl Re zu

Re D

0;501  0;004  106 D 1 437; 1;395

d. h., wir haben eine laminare Rohrströmung, da Re < 2 320. Lösungsschritte – Fall 3 Die Rohrreibungszahl  laminarer Strömung folgt aus  D

D

64 : Re

64 D 0;0445: 1 437

Lösungsschritte – Fall 4 Die Wandschubspannung 0 der laminaren Rohrströmung leitet sich her zu 0 D

   c2 : 8

Mit den ermittelten Größen führt dies zu nachstehendem Ergebnis

0 D

0;0445  1 000  0;5012 D 1;4 N=m2 : 8

Aufgabe 1.12 Injektionsspritze

61

Aufgabe 1.12 Injektionsspritze Eine Injektionsspritze besteht gemäß Abb. 1.14 aus einem zylindrischen Vorratsbehälter, der Injektionsnadel und einem Kolben, mit dem die Flüssigkeit durch die Nadel gedrückt wird. Bei bekannten Größen der Spritze und der Flüssigkeit, hier Wasser, sowie der Kraft, die konstant über die Kolbenstange auf den Kolben wirkt, soll die Zeit bis zur Entleerung der Spritze ins Freie ermittelt werden.

Lösung zu Aufgabe 1.12 Aufgabenerläuterung Die vorliegende Aufgabe stellt einen klassischen Fall der Anwendung laminarer Rohrströmung dar. Diese Strömungsform wird hier zunächst angenommen, da die Geschwindigkeit vorerst noch unbekannt ist. Eine Überprüfung der Annahme wird im Anschluss an die Entleerzeitberechnung erfolgen. Die gesuchte Zeit ist über die Definition des Volumenstroms als zeitliche Änderung eines Volumens, hier der im Zylinder eingeschlossenen Raum, zu verwenden. Die Durchflussgleichung verknüpft Volumenstrom mit der Geschwindigkeit und dem Kanülenquerschnitt. Mittels der Bernoulli’schen Gleichung sowie mit dem Hagen-Poiseuille’schen Gesetz der laminaren Rohrreibung wird die Geschwindigkeit bestimmt, was dann zur Entleerzeit führt. Gegeben:  L0 ; L1 ; d0 ; d1 ; ; ; F

p0

pB

F

0

d1 = d2 d0

1

2

c

V pB

L1

L0

Z1

Z2

Bezugsebene

Abb. 1.14 Injektionsspritze

62

1

Rohr- und Kanalströmungen

Gesucht: 1. t 2. t, wenn L0 D 2 cm; L1 D 4 cm; d0 D 1 cm; d1 D 0;04 cm;  D 2  103 (N s)/m2 ;

D 1 000 kg/m3 ; F D 5 N Anmerkungen

 Es wird von laminarer Strömung in der Kanüle ausgegangen.  Die Geschwindigkeit c0 ist vernachlässigbar.  Der Einlauf der Kanüle ist gut abgerundet, sodass keine kontraktionsbedingten Verluste entstehen.  Der Kolbenstangenquerschnitt ist vernachlässigbar.  Das Volumen in der Kanüle ist vernachlässigbar.  Es liegt stationäre Strömung vor. Lösungsschritte – Fall 1 Für die Entleerzeit t notieren wir den Volumenstrom im vorliegenden Fall: V : VP D  t Das negative Vorzeichen wird erforderlich, da sich das Volumen mit zunehmender Zeit verkleinert. Es folgt für VP :   V0  0 V0 V0 P V D D  D 0t t t

.konstanter Volumenstrom/:

Dabei sind V0 zu Beginn der Kolbenbewegung im Zylinder vorhandenes Flüssigkeitsvolumen t Gesamtzeit bis V D 0 Die gesuchte Zeit erhält man durch Umstellung zu:

tD

V0 : VP

Aufgabe 1.12 Injektionsspritze

63

Weiterhin sind Flüssigkeitsvolumen bei t D 0 V0 D 4  d02  L0 P V D c1  A1 D c2  A2 Durchflussgleichung in der Kanüle Mit c2 D c1 D c und A1 D

4

 d12 folgt

VP D c   d12 : 4

Diesen Zusammenhang und V0 in die Ausgangsgleichung für t eingesetzt liefert tD

4

 d02  L0

c

4

 d12

oder

tD

d02 L0  : d12 c

Zur vollständigen Bestimmung der Entleerzeit t muss nun noch die Geschwindigkeit c in der Kanüle ermittelt werden: Die Geschwindigkeit c2 D c1 D c ist Bestandteil der Bernoulli’schen Gleichung, die im vorliegenden Fall an den Stellen 0 und 2 verwendet wird. p2 c2 c2 p0 C 0 C g  Z0 D C 2 C g  Z2 C YV0I2

2

2 Mit den hier zu beachtenden Besonderheiten c2 D c1 D c, p2 D pB und Z0 D Z1 D Z2 (horizontale Anordnung angenommen) sowie der Annahme c0 c lauten die Verluste nach Umstellung

YV0I2 D

p0  pB c 2  D YVR;1I2 :

2

Als Verluste sind nur Reibungsverluste in der Kanüle zu berücksichtigen, also YV0I2 D YVR;1I2 :

64

1

Rohr- und Kanalströmungen

Es sind YVR;1I2 D   64  D Re Re D cd 1

L1 d1



c2 2

Hagen-Poiseuille’sches Gesetz bei laminarer Rohrströmung Rohrreibungszahl bei laminarer Rohrströmung Reynolds-Zahl

Die Rohrreibungszahl lässt sich somit auch angeben mit D

64  : c  d1

Diesen Ausdruck fügen wir in das Hagen-Poiseuille’sche Gesetz ein und erhalten so eine zweite Gleichung für die Reibungsverluste YVR;1I2 : YVR;1I2 D

64  L1 c 2 L1   D 32   2  c: c  d1 d1 2 d1

Beide Zusammenhänge für YVR;1I2 liefern, miteinander verknüpft, 32  

p0  pB c 2 L1 c D  : 2

2 d1

Das Ziel ist, die Geschwindigkeit herauszuziehen. Hierzu muss zunächst wie folgt umgestellt werden: p0  pB L1 c2 C 32   2  c D : 2

d1 Mit dem Faktor 2 multipliziert erhält man c 2 C 64  

L1 2  .p0  pB / c D :

d12

 Durch quadratische Ergänzung, d. h. Addition von 32  

L1 d12

2 zur Gleichung erhält man

auf der linken Seite eine binomische Gleichung der Art a C 2  a  b C b 2 D .a C b/2 und folglich 2

    L1 L1 2 2  .p0  pB / L1 2 D C 32   2 c C 64   2  c C 32   2

d1 d1 d1 2

oder



L1 c C 32   2 d1

2

  2  .p0  pB / L1 2 D C 32   2 :

d1

Aufgabe 1.12 Injektionsspritze

65

Wurzelziehen führt jetzt zu s L1 c D 32   2 ˙ d1

  2  .p0  pB / L1 2 C 32   2 :

d1

Der Druck p0 lässt sich jetzt noch mit der Kraft F in Verbindung bringen, die auf den Kolben einwirkt. Hierzu benutzt man das Kräftegleichgewicht am Kolben: X

F D 0 D pB  A0 C F  p0  A0 :

Dividiert durch A0 und nach p0 aufgelöst, führt dies zu p0 D pB C

F : A0

Dieser Ausdruck liefert, in der Wurzel eingesetzt,

L1 c D 32   2 ˙ d1

v  u u 2  pB C t

4F

d02

 pB





  L1 2 C 32   2 : d1

Jetzt die Glieder der Gleichung vertauscht, wobei nur das positive Vorzeichen vor der Wurzel sinnvoll ist, und noch die kinematische Zähigkeit ersetzt gemäß D = liefert die Geschwindigkeit s cD

8F C

 d02 



32    L1

 d12

2  32 

 L1 : 

d12

Wird c in die Ausgangsgleichung der Entleerzeit eingefügt, gelangt man schließlich zu

tD

d02 r d12

8F

d02 

C



L0 32L1

d12

2

:  32 





L1 d12

Lösungsschritte – Fall 2 Für die Entleerzeit t finden wir, wenn L0 D 2 cm, L1 D 4 cm, d0 D 1 cm, d1 D 0;04 cm,  D 2  103 (N s)/m2 , D 1 000 kg/m3 und F D 5 N gegeben sind – wobei hier ganz

66

1

Rohr- und Kanalströmungen

besonders auf eine dimensionsgerechte Verwendung der Zahlenwerte geachtet werden muss –, den folgenden Wert tD

12 r 0;042

85

0;012 1 000

C



0;02 3220;04 1 0001 0000;00042

2

 32 

2 1 0001 000



0;04 0;00042

t D 3;49 s

Kontrolle der Annahme laminarer Strömung: Hierzu muss die Bedingung Re < Rekrit D 2 320 erfüllt sein. Also wird Re mit der jetzt bekannten Geschwindigkeit c, s cD

85 C

 0;012  1 000



32  2  0;04 1 000  1 000  0;00042

2  32 

2 0;04  1 000  1 000 0;00042

c D 3;58 m=s;

wie folgt bestimmt: Re D

3;58  0;0004 c  d1 D  1 000  1 000 D 716: 2

Wir finden also

Re D 716 < Rekrit D 2 320;

d. h. eine laminare Strömung.

Aufgabe 1.13 Wasserkanal In Abb. 1.15 ist der trapezförmige Querschnitt durch einen künstlichen Wasserkanal zu erkennen. Die eingezeichneten Kanalgrößen, die Oberflächenrauigkeit, der Volumenstrom und erforderliche spezifische Wassergrößen sind bekannt. Es soll sich um eine stationäre, gleichförmige Gerinneströmung handeln. Wie groß muss der auf die Rohrlänge bezogene Höhenunterschied sein, um den Volumenstrom kontinuierlich fließen zu lassen?

Aufgabe 1.13 Wasserkanal

67

L

A

1

pB

ΔZ Z1

2

A

Z2

Bezugsebene

H

α B

Schnitt A - A

Abb. 1.15 Wasserkanal

Lösung zu Aufgabe 1.13 Aufgabenerläuterung Der Höhenunterschied Z zwischen zwei Punkten 1 und 2 einer beliebigen Stromlinie des Kanals ist verantwortlich für den Strömungsvorgang im vorliegenden, gegen die Umgebung offenen Kanal. Z deckt dabei die Verluste dieser Kanalströmung ab. Dies lässt sich mit der Bernoulli’schen Gleichung einfach belegen. Infolge der direkten Abhängigkeit dieser Verluste von der Kanallänge L ist es sinnvoll, Z auf L zu beziehen. Da hier kein kreisförmiger, vollkommen ausgefüllter Rohrquerschnitt vorliegt, kann man nicht ohne weiteres von der klassischen Rohrreibungsberechnung Gebrauch machen. Eine Möglichkeit, dennoch diese Grundlagen zu verwenden, besteht in der Ermittlung eines „Ersatzrohrdurchmessers“ dhydr , der auch häufig als „Gleichwertigkeitsdurchmesser“ bezeichnet wird. Dieses gedachte „Ersatzrohr“ ist dann vom Fluid vollständig ausgefüllt. dhydr lässt sich aus den Größen des jeweils durchströmten, z. B. auch nicht kreisförmigen Systems wie folgt ermitteln: AUR : dhydr D 4  UUR AUR ist hierbei der tatsächlich durchströmte Querschnitt und UUR der gesamte von der Flüssigkeit an der Wand benetzte Umfang. Die zentrale Aufgabe besteht nun im vorliegenden Fall darin, die Verluste mit den gegebenen Größen zu ermitteln und hiermit dann den bezogenen Höhenunterschied Z=L zu bestimmen.

68

1

Rohr- und Kanalströmungen

Gegeben:  VP D 5;0 m3 =s; B D 3;0 m; H D 0;80 m; ˛ D 60ı ; k D 3;5 mm; D 1  106 m2 /s Gesucht: Z  JS (Sohlengefälle) L Anmerkungen

 Bei der Verwendung der Bernoulli’schen Gleichung wird von mittleren Geschwindigkeiten an den Stellen 1 und 2, d. h. homogenen Verteilungen ausgegangen.  Im vorausgesetzten Fall der stationären, gleichförmigen Gerinneströmung sind die mittleren Geschwindigkeiten und Flüssigkeitshöhen entlang L konstant. Lösungsschritte Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen 1 und 2: c2 c2 p2 p1 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 C YV1I2 :

2

2 Mit den hier vorliegenden Besonderheiten an den Stellen 1 und 2, nämlich c1 D c2 sowie p1 D p2 D pB , folgt somit g  Z1 D g  Z2 C YV1I2 oder umgeformt YV1I2 D g  .Z1  Z2 / : Mit .Z1  Z2 / D Z eingeführt schreibt man dann YV1I2 D g  Z: Die reibungsbedingten Verluste in nicht-kreisförmigen Leitungen oder Kanälen werden mit c2 L  YV1I2 D   dhydr 2 bestimmt. Verknüpft man nun beide voneinander unabhängigen Gleichungen der Verluste YV1I2 , so führt dies zu c2 L  : g  Z D   dhydr 2

Aufgabe 1.13 Wasserkanal

69

Die Gleichung mit 1=.g  L/ multipliziert, liefert den auf die Kanallänge bezogenen Höhenunterschied (auch Sohlengefälle JS genannt):

Z c2 1 1  : D  L g dhydr 2

Zur zahlenmäßigen Auswertung fehlen nun noch c, dhydr und . Wir beginnen mit der mittleren Geschwindigkeit c. Mit der Durchflussgleichung VP D c  A, die nach der mittleren Geschwindigkeit umgeformt wird, sowie unter Verwendung des hier effektiv durchströmten Querschnitts AUR erhält man cD

VP : AUR

Der durchströmte Kanalquerschnitt AUR setzt sich aktuell aus einem Rechteckanteil B  H und zwei Dreiecksanteilen 12  H  H  tan ˛ zusammen: AUR D B  H C 2 

1  H  H  tan ˛: 2

Somit folgt AUR D B  H C H 2  tan ˛: Mit den gegebenen Größen lässt sich AUR berechnen zu

AUR D 3  0;8 C 0;82  tan 60ı D 3;51 m2 :

Die mittlere Geschwindigkeit lautet dann

cD

5;0 D 1;42 m=s: 3;51

Zur Berechnung des hydraulischen Durchmessers dhydr gemäß dhydr D 4 

AUR UUR

70

1

Rohr- und Kanalströmungen

muss jetzt noch der gesamte von der Flüssigkeit an der Wand benetzte Umfang UUR bestimmt werden. Im vorliegenden Fall setzt sich UUR aus der Sohlenbreite B und den beiden Seitenwandlängen S zusammen, also UUR D B C 2  S. Unter Verwendung von cos ˛ D H=S und somit S D H= cos ˛ ergibt dies UUR D B C 2 

H : cos ˛

Die bekannten Zahlenwerte eingesetzt, bekommen wir 

UUR

0;8 D 3C2 cos 60ı

 D 6;2 m:

Der hydraulische Durchmesser berechnet sich somit zu

dhydr D

4  3;51 D 2;26 m: 6;2

Dies ist der Durchmesser des kreisförmigen „Ersatzrohrs“ für vorliegenden Kanal. Die Verlustberechnung erfolgt mit den Grundlagen der Rohrströmung mittels dhydr . Die Rohrreibungszahl  hängt je nach Fall von der Reynolds-Zahl Re allein (hydraulisch glatt) oder von der Reynolds-Zahl Re und dem Rauhigkeitsverhältnis D=kS ab (Übergangsgebiet). Bei sehr rauen Oberflächen wird  nur noch vom Rauhigkeitsverhältnis d=kS allein bestimmt. Diese Zusammenhänge stehen in Abb. Z.1 zur Verfügung. Es ist folglich notwendig, jeweils die Größen von Re und d=kS festzustellen, um dann die betreffende Rohrreibungszahl  dem Diagramm zu entnehmen bzw. mit geeigneten Gleichungen zu berechnen. Für die Reynolds-Zahl erhalten wir

Rehydr D

c  dhydr 1;42  2;26 D  106 D 3;21  106 1

d. h., es liegt turbulente Rohrströmung vor. Für das bezogene Rauhigkeitsverhältnis dhydr =kS beachten wir, dass der Sandrauhigkeitswert kS etwas größer ausfällt als die tatsächliche Rauigkeit k. Man hat einen

Aufgabe 1.14 Abwasserrohr

71

empirischen Zusammenhang wie folgt festgestellt: kS D .1=1;6/  k. Benutzt man den mittleren Umrechnungsfaktor von 1,3 aus der Toleranzbreite, so folgt für kS kS D 1;3  3;5 mm D 4;55 mm: dhydr =kS nimmt dann den Wert

dhydr 2 260 D D 497 kS 4;55

an. Mithilfe von Rehydr D 3;21106 und dhydr =kS D 497 stellt man in Abb. Z.1 fest, dass im aktuellen Beispiel vollkommen raue Verhältnisse vorliegen. Die Rohrreibungszahl hängt nur von dhydr ab und lässt sich aus genannter Abbildung wie folgt entnehmen:

 D 0;0235:

Unter Verwendung aller Werte für c, dhydr und  lautet das Ergebnis für das Sohlenverhältnis Z=L D JS : Z 1 1 1;422 D  0;0235   L 9;81 2;26 2 Z 1;07 m Höhenunterschied D 0;00107  L 1 km Kanallänge

Aufgabe 1.14 Abwasserrohr Ein mittelmäßig verschlacktes Abwasserrohr (Abb. 1.16, 1.17) wird mit einem bezogenen Höhenunterschied Z/L D 0;0002 verlegt. Es soll ein Volumenstrom VP D 2;365 m3 =s durch das Rohr abfließen. Die Flüssigkeitshöhe im Rohr beträgt z0 D 0;9  D, d. h., es ist beim Durchströmen nicht vollständig mit dem Abwasser ausgefüllt. Vorausgesetzt wird der Fall einer stationären, gleichförmigen „Gerinneströmung“. Welcher Rohrinnendurchmesser D wird erforderlich, wenn nur Flüssigkeitsreibungsverluste im Rohr vorliegen sollen?

72

1

Rohr- und Kanalströmungen

pB

L

A

pB

z0

h 1

pB D

ΔZ

h 2

A

Z2

Z1

ρ ν

Bezugsebene

Abb. 1.16 Abwasserrohr; Längsschnitt Abb. 1.17 Abwasserrohr; Querschnitt

Schnitt A - A

0,1* D

2 θ

D

R z0 = 0,9 * D

UUR

AUR

Lösung zu Aufgabe 1.14 Aufgabenerläuterung Der Höhenunterschied Z zwischen zwei Punkten 1 und 2 einer beliebigen Stromlinie ist gemäß Bernoulli’scher Gleichung verantwortlich für den Strömungsvorgang im vorliegenden nicht vollkommen gefüllten, gegen die Umgebung offenen Rohr. Z deckt dabei die Verluste der Rohrströmung ab. Infolge der direkten Abhängigkeit dieser Verluste von der Kanallänge L ist es sinnvoll, Z auf L zu beziehen. Da hier kein vollkommen ausgefüllter Rohrquerschnitt vorliegt, kann man nicht ohne weiteres von der klassischen Rohrreibungsberechnung Gebrauch machen. Eine Möglichkeit, dennoch diese Grundlagen zu verwenden, besteht in der Ermittlung eines „Ersatzrohrdurchmessers“ dhydr , der auch häufig als „Gleichwertigkeitsdurchmesser“ bezeichnet wird. Dieses gedachte „Er-

Aufgabe 1.14 Abwasserrohr

73

satzrohr“ ist dann vom Fluid vollständig ausgefüllt. dhydr lässt sich aus den Größen des jeweils durchströmten, z. B. auch nicht kreisförmigen Systems wie folgt ermitteln: dhyd D 4 

AUR : UUR

AUR ist hierbei der tatsächlich durchströmte Querschnitt und UUR der gesamte von der Flüssigkeit an der Wand benetzte Umfang. Die zentrale Aufgabe besteht im vorliegenden Fall darin, dhydr zu ermitteln und hiermit dann den gesuchten Innendurchmesser D festzulegen. Gegeben:  VP , Z/L, Z0 , g, , Gesucht: D Anmerkungen

 Bei der Verwendung der Bernoulli’schen Gleichung wird von mittleren Geschwindigkeiten an den Stellen 1 und 2, d. h. homogenen Verteilungen ausgegangen.  Im vorausgesetzten Fall der stationären, gleichförmigen „Gerinneströmung“ sind die mittleren Geschwindigkeiten und Flüssigkeitshöhen entlang L konstant. Lösungsschritte Zunächst werden AUR und UUR aus den Vorgaben des durchströmten Rohrs gemäß nachstehender Abb. 1.18 bestimmt. Der tatsächlich durchströmte Querschnitt AUR lässt sich gemäß Abb. 1.18 folgendermaßen schreiben: AUR D AKreis  AABC Abb. 1.18 Abwasserrohr; Abmessungen

und AABC D AMABC  AMAC :

B

R * cos θ

C

A

D

θ θ θ

D

0,9 * D

R

0,1* D = 0,2 * R 0,4 * D = 0,8 * R

M

0,5 * D = R

R * sin θ

74

1

Rohr- und Kanalströmungen

Dabei sind AKreis Kreisfläche AABC Kreissegmentfläche AMABC Kreissektorfläche AMAC Dreieckfläche. Daraus folgt dann AMABC D

2# # #  AKreis D  AKreis D  R2  ı ı 360 180 180ı

Des Weiteren folgt gemäß Abb. 1.18 für AMAC :  AAMAC D 2 

1  R  sin #  R  cos # 2

 D R2  sin #  cos #:

Für die Kreissegmentfläche erhält man dann  AABC D R2 

#   sin #  cos # 180ı



Mit AABC und AKreis D  R2 lautet der gesuchte Querschnitt AUR somit 

AUR

 # DR    C sin #  cos # : 180ı 2

Den Winkel # kann man gemäß Abb. 1.18 durch die vorgegebenen Größen wie folgt berechnen: R  cos # D 0;8  R: Hieraus erhält man cos # D 0;8 ) # D 36;87ı : Dies liefert für sin # D sin.36;87ı / D 0;6. Diese Ergebnisse führen, in AUR eingesetzt, auf   36;87ı 

C 0;8  0;6 AUR D R2   180ı und nach Auswertung AUR D 2;978  R2 oder, mit R D D=2,

AUR D 0;7445  D 2 :

Aufgabe 1.14 Abwasserrohr

75

Den vom Fluid benetzten Umfang UUR erhält man nach Abb. 1.18 folgendermaßen: UUR D UKreis  UABC : Mit UKreis D 2   R und UABC als Kreisbogenlänge mit UABC # 2 R ) UABC D ı   R D 2# 360ı 90 bekommen wir für den benetzten Umfang UUR D 2   R 

    # # 36;87ı 

 R D R 

 2  D R 

 2  : 90ı 90ı 90ı

Hieraus folgt UUR D 4;996  R oder, mit R D D=2,

UUR D 2;498  D:

Der „Ersatzrohrdurchmesser“ dhydr lautet somit

dhydr D 4 

AUR 0;7445  D 2 D4 D 1;192  D: UUR 2;498  D

In diesem ersten Schritt wurde dhydr allein aus den geometrischen Gegebenheiten der vorliegenden, nicht vollständig gefüllten Rohrleitung ermittelt. Um nun den gesuchten Rohrinnendurchmesser D zu bestimmen, benötigt man eine weitere Gleichung für dhydr . Hier bietet sich die Bernoulli’sche Energiegleichung entlang des Stromfadens von der Stelle 1 zur Stelle 2 an, wobei gemäß der getroffenen Annahme nur die Reibungsverluste mit zu berücksichtigen sind. Da diese Verluste mit dem „Ersatzrohr“ ermittelt werden, lässt sich auf diese Weise die benötigte zweite Gleichung für dhydr wie folgt aufstellen. Die Bernoulli-Gleichung an den Stellen 1 und 2 (Abb. 1.16) lautet p2 p1 c2 c2 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 C YV1I2 :

2

2 Mit c1 D c2 sowie p1 D pB C  g  h und p2 D pB C  g  h folgt daraus pB pB C g  h C g  Z1 D C g  h C g  Z2 C YV1I2



76

1

Rohr- und Kanalströmungen

und schließlich YV1I2 D g  .Z1  Z2 / D g  Z: Für die angenommenen ausschließlich wirksamen Reibungsverluste YV1I2  YVR bei turbulenter Rohrströmung wird das Gesetz nach Darcy wirksam: YVR D  

L c2  : D 2

Im Fall des hier nicht vollständig gefüllten Rohrs muss an Stelle von D der Durchmesser des „Ersatzrohrs“ dhydr verwendet werden: YVR D  

L dhydr



c2 2

mit

cD

VP : AUR

Die Rohrreibungszahl  kann Abb. Z.1 entnommen werden, wenn die Reynolds-Zahl Re und das Rauhigkeitsverhältnis kS =dhydr des „Ersatzrohrs“ bekannt sind. Es ist  D cd f .Re; kS =dhydr / mit Re D hydr . Mit L c2  D g  Z YVR D   dhydr 2 lässt sich die gesuchte zweite Gleichung für dhydr durch Umformen wie folgt bestimmen: dhydr D

VP 2 1 1 1 1    Z  c 2 D    Z  2 : 2g 2g AUR L L

Verwendet man nun die gegebenen Größen g D 9;81 m/s2 , Z/L D 0;0002 und den ermittelten Querschnitt AUR D 0;7445  D 2 , so wird dhydr D 459;9   

VP 2 : D4

Setzt man jetzt das erste Ergebnis für den „Ersatzdurchmesser“ dhydr D 1;192  D ein, so entsteht VP 2 1;192  D D 459;9    4 oder D 5 D 385;8    VP 2 : D Das vorläufige Ergebnis des gesuchten Rohrinnendurchmessers lautet   D D 3;296    VP 2

1 5

Aufgabe 1.14 Abwasserrohr

77

Somit hängt der gesuchte Rohrinnendurchmesser D bei dem gegebenen Volumenstrom VP nur noch von der Rohrreibungszahl  ab. Diese wird im Normalfall durch die jeweiund das Rauhigkeitsverhältnis kS =D bestimmt. Für den lige Reynolds-Zahl Re D cD vorliegenden Fall des nicht vollständig ausgefüllten Rohrs müssen die Gegebenheiten des „Ersatzrohrs“ mit dhydr eingesetzt werden, also Re D

c  dhydr

und

kS : dhydr

Da dhydr und somit D aber zunächst unbekannt sind und dem zu Folge auch , wird zur Bestimmung von D ein Iterationsverfahren wie folgt erforderlich. Den Sandrauhigkeitswert kS des Abwasserrohrs entnimmt man den bekannten Tabellen mit kS D 2 mm, und die kinematische Zähigkeit des Wassers liegt bei 20 ı C Wassertemperatur mit D 1  106 m2 =s fest. 1. Iterationsschritt Wir gehen von einem willkürlich angenommenen Wert für D mit D1 D 1;0 m aus. Annahme: D1 D 1;0 m dhydr;1 D 1;192  D1 D 1;192 m AUR;1 D 0;7445  D12 D 0;7445  12 D 0;7445 m2 : VP 2;365 c1 D D D 3;177 m=s AUR;1 0;7445 c 1  dhydr;1 3;177  1;192 D 3;787  106 Re1 D D 1  106 dhydr;1 1 192 D D 596 kS 2 Aus Abb. Z.1 lässt sich jetzt mit Re1 und dhydr;1 =kS ein Rohrreibungswert 1 D 0;023 entnehmen. Hiermit kann D2 ermittelt werden zu: q D2 D 3;2906 

5

1  VP 2 D 3;2906 

p 5 0;023  2;3652 D 2;183 m

78

1

Rohr- und Kanalströmungen

2. Iterationsschritt D2 D 2;183 m dhydr;2 D 1;192  D2 D 1;192  2;183 m D 2;603 m AUR;2 D 0;7445  D22 D 0;7445  2;1832 D 3;548 m2 : VP 2;365 c2 D D D 0;666 m=s AUR;2 3;548 c 2  dhydr;2 0;666  2;603 D 1;735  106 Re2 D D 1  106 dhydr;2 2 603 D D 1 301 kS 2 Aus Abb. Z.1 lässt sich jetzt mit Re2 und dhydr;2 =kS ein Rohrreibungswert 2 D 0;0189 entnehmen. Hiermit kann D3 ermittelt werden zu: q D3 D 3;2906 

5

2  VP 2 D 3;2906 

p 5

0;0189  2;3652 D 2;101 m

3. Iterationsschritt D3 D 2;101 m dhydr;3 D 1;192  D3 D 1;192  2;101 m D 2;504 m AUR;3 D 0;7445  D32 D 0;7445  2;1012 D 3;286 m2 : VP 2;365 c3 D D D 0;720 m=s AUR;3 3;286 c 3  dhydr;3 0;720  2;504 D 1;80  106 Re3 D D 1  106 dhydr;3 2 504 D D 1 252 kS 2 Aus Abb. Z.1 lässt sich jetzt mit Re3 und dhydr;3 =kS ein Rohrreibungswert 3 D 0;0187 entnehmen. Hiermit kann D4 ermittelt werden zu

D4 D 3;2906 

q p 5 5 3  VP 2 D 3;2906  0;0187  2;3652 D 2;095 m:

Aufgabe 11.15 Laminare Rohrströmung

79

Hier kann das Iterationsverfahren abgebrochen werden, da zwischen den beiden letzten Durchmesserwerten D3 und D4 lediglich ein Unterschied D=D4 D 0;28 % besteht. Der gesuchte Rohrinnendurchmesser lautet somit

D D 2;095 m:

Aufgabe 11.15 Laminare Rohrströmung In Abb. 1.19 ist der Längs- und Querschnitt einer Rohrleitung mit dem Innenradius R zu erkennen. In der Rohrleitung soll die Strömung laminar erfolgen. Eingezeichnet ist das laminare Geschwindigkeitsprofil mit einem am Radius r vorliegenden Ringelement der Dicke dr. Die Geschwindigkeit dort ist c.r/. Wie lauten die Gleichungen zur Bestimmung des Massenstroms m P und des kinetischen Energiestroms EP kin , wenn die Geschwindigkeitsverteilung in Verbindung mit einem Koeffizienten, der Innenradius und die Fluiddichte bekannt sind?

Lösung zu Aufgabe 1.15 Aufgabenerläuterung Gegenstand dieser Aufgabe ist es, mittels elementarem Massenstrom dm P durch das Ringelement und den gegebenen Größen sowie geeigneten Integrationen den Gesamtmassenstrom und den kinetischen Energiestrom zu bestimmen.

c(r)

cmax

dr r

r

r R

Abb. 1.19 Laminare Rohrströmung

dr

80

1

Rohr- und Kanalströmungen

Gegeben:  c.r/ D K  .R2  r 2 /; K; R;

Gesucht: 1. m P 2. EP kin Anmerkung

 laminare, stationäre, inkompressible Strömung Lösungsschritte – Fall 1 Der Massenstrom m P lautet allgemein in differenzieller Form dm P D  dVP

mit dVP D c.r/  dA:

Im vorliegenden Fall des Ringelements kennt man dA D 2   r  r. Setzt man noch c.r/ D K  .R2  r 2 / ein, so erhält man   dm P D  K  R2  r 2  2   r  dr: Wird r in die Klammer hineinmultipliziert, liefert dies   dm P D 2    K  R2  r  r 3  dr: Mit der Integration zwischen den Grenzen r D 0 und r D R erhält man dann den gesuchten Massenstrom wie folgt: 0 m P D2  K @

ZR

ZR R2  r  dr 

0

1 r 3  dr A :

0

Aus der Integration resultiert zunächst m P D2  K 

ˇ ˇ ! 2 ˇR 4 ˇR r r R2  ˇˇ  ˇˇ : 2 0 4 0

Mit Einsetzen der Integrationsgrenzen folgt  m P D2  K 

R4 R4  2 4

 D2  K 

R4 : 4

Aufgabe 11.15 Laminare Rohrströmung

81

Das Ergebnis lautet

m P D

  K  R4 2

oder, mit R D D=2,

m P D

  K  D4: 32

Lösungsschritte – Fall 2 Der kinetische Energiestrom EP kin lautet allgemein in differenzieller Form P  dEP kin D dm

c.r/2 2

mit dm P D  VP , dVP D c.r/  dA und dA D 2   r  dr im Fall der Ringfläche. Dies liefert dm P D  2   r  c.r/  dr und daraus, in dEP kin eingesetzt, dEP kin D  2   r  c.r/ 

c.r/2  dr D   r  c.r/3  dr: 2

Mit c.r/ D K  .R2  r 2 / resultiert dann weiterhin  3 dEP kin D   r  K 3  R2  r 2  dr: Multipliziert man die Klammer aus gemäß .a  b/3 D a3  3  a2  b C 3  a  b 2  b 3 , wobei jetzt a  R2 und b  r 2 , so führt dies zu 

R2  r 2

3

  D R6  3  R4  r 2 C 3  R2  r 4  r 6 :

In o. g. Gleichung eingesetzt erhält man   dEP kin D   r  K 3  R6  3  R4  r 2 C 3  R2  r 4  r 6  dr: Nun wird wiederum r in die Klammer multipliziert,   dEP kin D   K 3  R6  r  3  R4  r 3 C 3  R2  r 5  r 7  dr;

82

1

Rohr- und Kanalströmungen

und dann zwischen den Grenzen r D 0 und r D R integriert. Das führt zu nachstehendem Ausdruck: 0 EP kin D   K 3  @R6 

ZR

ZR r  dr  3  R4 

0

ZR r 3  dr C 3  R2 

0

ZR r 5  dr 

0

1 r 7  dr A

0

und dann als Integrationsergebnis EP kin

ˇ ˇ ˇ ˇ ! 2 ˇR 4 ˇR 6 ˇR 8 ˇR r r r r D   K 3  R6  ˇˇ  3  R4  ˇˇ C 3  R2  ˇˇ  ˇˇ : 2 0 4 0 6 0 8 0

Unter Verwendung der Integrationsgrenzen erhält man EP kin D   K 3 



R8 3  R8 R8 R8  C  2 4 2 8

 :

Zusammengefasst lautet dann das Resultat

EP kin D   K 3  R8 8

oder, mit R D D=2,

EP kin D

  K 3  D8: 2 048

Aufgabe 1.16 Turbulente Geschwindigkeitsverteilung In Abb. 1.20 ist der Längs- und Querschnitt einer Rohrleitung mit dem Innenradius R zu erkennen. In der Rohrleitung soll die Strömung turbulent erfolgen, wobei die Wandoberfläche „hydraulisch glatt“ sei. Eingezeichnet ist das turbulente Geschwindigkeitsprofil mit einem am Radius r vorliegenden Ringelement der Dicke dr. Die Geschwindigkeit dort lautet c.r/. Die Maximalgeschwindigkeit in Rohr-Mitte ist mit cmax bekannt. Das Geschwindigkeitsprofil wird durch ein empirisches Potenzgesetz beschrieben. Zu ermitteln ist der Exponent n des Potenzgesetzes bei weiterhin bekanntem Radius R und Volumenstrom VP . Außerdem sollen die auf die Länge L bezogenen Reibungsverlusten bestimmt werden.

Aufgabe 1.16 Turbulente Geschwindigkeitsverteilung c(r)

83

cmax

dr z R

r

D

r dr

Abb. 1.20 Turbulente Geschwindigkeitsverteilung

Lösung zu Aufgabe 1.16 Aufgabenerläuterung Gegenstand dieser Aufgabe ist es, mittels elementarem Volumenstrom dVP durch das Ringelement, den gegebenen Größen VP ; cmax und D sowie dem Potenzgesetz der turbulenten Geschwindigkeitsverteilung zunächst eine Gleichung des Exponenten n zu entwickeln. Die gesuchten Verluste werden dann mit dem Reibungsgesetz der turbulenten Rohrströmung bestimmt. Gegeben:  VP ; cmax ; D; turbulente Rohrströmung, hydraulisch glatt Gesucht: 1. n (Exponent des Potenzgesetzes der turbulenten Geschwindigkeitsverteilung) 2. YV /L 3. YV /L, wenn R D 0;050 m; cmax D 5 m/s; VP D 0;0321 m3 =s Anmerkungen

 Das Potenzgesetz der turbulenten Geschwindigkeitsverteilung lautet  z n c.z/ D . cmax R  z ist der Wandabstand des Ringelements.  hydraulisch glatte Rohrinnenwand  Für die Reibungsverluste gilt L c2  2. YV D   D Lösungsschritte – Fall 1 Für den gesuchten Exponenten n stellen wir zunächst fest, dass der Volumenstrom in differenzieller Form allgemein dVP D c.r/dA lautet. Im vorliegenden Fall des Ringelements

84

1

Rohr- und Kanalströmungen

kennt man dA mit dA D 2   r  dr und somit folgt dVP D 2   r  dr  c.r/: Da das Potenzgesetz die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Wandabstand z nennt, müssen c.r/ durch c.z/ und dr durch dz ersetzt werden. Dies geschieht wie folgt: Gemäß Abb. 1.1. 20 ist z D R  r oder umgestellt r D R  z. Damit erhält man durch Differenzieren dr D 1 bzw: dr D dz: dz In die Ausgangsgleichung oben eingesetzt liefert zunächst dVP D 2   .R  z/  dz  cmax  oder dVP D 2   .z  R/  cmax  z n  Die Integration VP D

Z



 z n

1 R

R n  dz:

Z0 2   cmax P dV D  .z  R/  z n  dz n R „ ƒ‚ … R K

mit den zwei Teilintegralen VP D K 

Z0

Z0 z  z  dz 

R

lautet also VP D K 

R  z n  dz

n

R

Z0

Z0 z

nC1

 dz  R 

R

z n  dz: R

Das Ergebnis der Integration, VP D K 

Z0 R

VP D K 

Z0 z nC1  dz  R 

z n  dz R

! ˇ0 ˇ ˇ 1 R nC2 ˇ nC1 ˇ0 z ˇ  z ; R nC2 nC1 R

ergibt nach Einsetzen der Grenzen 

 RnC2 RnC1 VP D K  0  :  0R nC2 nC1

Aufgabe 1.16 Turbulente Geschwindigkeitsverteilung

Dies ergibt weiterhin

85

  RnC2 RnC2 P V DK  C nC2 nC1

oder, wenn RnC2 ausgeklammert und umgestellt wird, VP D K  RnC2 



 1 1 :  nC1 nC2

Der Klammerausdruck lässt sich wie folgt umformen: .n C 2/  .n C 1/ VP D K  RnC2  : .n C 1/  .n C 2/ Dies führt zu VP D K  RnC2 

1 : .n C 1/  .n C 2/

Wird jetzt K rücksubstituiert, so erhält man 2   cmax 1 VP D  RnC2  Rn .n C 1/  .n C 2/ 1 D 2   cmax  RnC2n  .n C 1/  .n C 2/ und folglich VP D 2   cmax  R2  Multipliziert man jetzt mit Seite, ergibt sich

.nC1/.nC2/ VP

1 : .n C 1/  .n C 2/

und bringt Glieder mit dem Exponenten n auf eine

.n C 1/  .n C 2/ D 2   cmax 

R2 : VP

Ausmultipliziert heißt das n2 C 3  n C 2 D 2   cmax  und führt weiter auf n2 C 3  n D 2   cmax 

R2 VP

R2  2: VP

Addiert man noch 1,52 auf beiden Seiten hinzu (quadratische Ergänzung), so wird das n2 C 3  n C 1;52 D 2   cmax 

R2  2 C 1;52 VP

86

1

Rohr- und Kanalströmungen

oder, gemäß a2 C 2  a  b C b 2 D .a C b/2 , .n C 1;5/2 D 2   cmax 

R2 C 0;25: VP

Jetzt wird noch auf beiden Seiten die Wurzel gezogen: s R2 C 0;25: VP

n C 1;5 D ˙ 2   cmax  Nur ein positiver Wert für n ist sinnvoll, woraus folgt s n D 1;5 C

2   cmax 

R2 C 0;25: VP

Lösungsschritte – Fall 2 Die auf die Länge bezogenen Reibungsverluste YV =L sind nun gefragt. Die Reibungsverluste der turbulenten Rohrströmung werden nach dem Gesetz YV D  

L c2  D 2

ermittelt. Dividiert man durch die Rohrlänge L, so erhält man YV 1 c2 D  : L D 2 Mit c D

VP A

und A D

4

 D 2 entsteht YV 1 VP 2 16 1  D    L 2 D 2 D4

oder als Resultat

VP 2 YV 8 D 2   5: L

D

Aufgabe 1.16 Turbulente Geschwindigkeitsverteilung

87

Bei „hydraulisch glatten Rohren“ liegt bei bekanntem Exponenten n des Potenzgesetzes der Geschwindigkeitsverteilung (s. o.) die Reynolds-Zahl Re fest und mit den Gesetzmäßigkeiten nach Blasius (Re 100 000) bzw. Nikuradse (Re  100 000) dann die Rohrreibungszahl . Lösungsschritte – Fall 3 Jetzt suchen wir n und YV =L, wenn R D 0;050 m, cmax D 5 m/s und VP D 0;0321 m3=s gegeben sind. s n D 1;5 C

2 5

0;052 C 0;25 D 0;142; 0;0321

der reziproke Wert ist

1 1 D D 7: n 0;142

Diesem Wert liegt Re D 105 zugrunde. Hierzu lautet die Rohrreibungszahl  nach Blasius D

0;3164 : Re1=4

Somit folgt

D

0;3164 D 0;0178: 100 0001=4

Und daraus schließen wir schließlich

YV 0;03212 Nm 8 D 1;487 D 2  0;0178  : L

0;15 kg  m

88

1

Rohr- und Kanalströmungen

Aufgabe 1.17 Überlaufkanal In Abb. 1.21 ist die Geschwindigkeitsverteilung c.z/ einer Wasserströmung in der Schnittebene „A–A“ eines Überlaufkanals zu erkennen. Die Wasserhöhe h senkrecht zum Kanalboden und die Kanalbreite B sind ebenso gegeben wie die Wassergeschwindigkeit c1 bei h. Gesucht wird die Zeit t, die ein Wasservolumen V zum Durchströmen der Schnittebene „A–A“ benötigt.

Lösung zu Aufgabe 1.17 Aufgabenerläuterung Zur Ermittlung der gesuchten Zeit bietet es sich an, vom Volumenstrom VP auszugehen, der als zeitliche Volumenänderung definiert ist. Da man VP aus der Geschwindigkeitsverteilung ermitteln kann, führt eine Umformung nach dem Zeitdifferenzial dt und eine Integration zum gesuchten Ergebnis. Gegeben:  c1 ; B; h; V; m Gesucht: 1. Zeit t für das Durchlaufen von V durch den Querschnitt „A–A“ 2. t, wenn c1 D 1;4 m/s; B D 17 m; h D 3 m; V D 100 000 m3 ; m D 7 Anmerkung

 Die Geschwindigkeitsverteilung lautet c.z/ D c1 

 z  m1 h

Abb. 1.21 Überlaufkanal

A

:

z B senkrecht zur Zeichenebene

h z A

c

dz

c(z) Grenzschichtströmung

Aufgabe 1.17 Überlaufkanal

89

Lösungsschritte – Fall 1 Um die gesuchte Zeit t zu bestimmen, beachten wir, dass der Volumenstrom wie folgt . Hieraus erhält man durch Umformung dt D dV oder integriert definiert ist: VP D dV dt VP Zt tD

dt D 0

ZV

1  VP

dV: 0

Den benötigten Volumenstrom VP erhält man mit dVP D c.z/  dA und dA D B  dz zu Z Z P P V D dV D c.z/  B  dz: Setzt man die Geschwindigkeitsverteilung c.z/ D c1 

 z  m1 h

ein, so führt dies zu VP D D Die Integration liefert

Z c1  c1  B h

1 m

 z  m1 h Z 

c1  B 1 VP D  1 1C hm

 B  dz

1

z m  dz: ˇ 1 ˇh 1C m   z ˇ 1 m

0

und mit den Grenzen dann c1  B m 1 VP D   h1C m 1 1Cm hm m 1 1 D  c1  B  h1C m  m 1Cm m D  B  h  c1 : 1Cm Oben eingesetzt ergibt dies Zt 0

1  dt D VP

ZV 0

1Cm 1 dV D   m B  h  c1

ZV dV 0

90

1

Rohr- und Kanalströmungen

und man erhält als Resultat

tD

1Cm 1  V:  m B  h  c1

Lösungsschritte – Fall 2 Bei den gegebenen Werten c1 D 1;4 m/s, B D 17 m, h D 3 m, V D 100 000 m3 und m D 7 berechnen wir dimensionsgerecht tD

1 1C7   100 000 7 17  3  1;4

t D 1 600;6 s D 26;67 min:

Aufgabe 1.18 Konfusor Ein Konfusor weist gemäß Abb. 1.22 einen Eintrittsdurchmesser D1 , einen Austrittsdurchmesser D2 und die Länge L auf. Er wird vom Volumenstrom VP durchflossen. Wie lautet die Abhängigkeit der mittleren Geschwindigkeit c.x/ vom Weg x im Konfusor?

Lösung zu Aufgabe 1.18 Aufgabenerläuterung Die Frage nach der mittleren Geschwindigkeit c.x/ lässt sich mittels Durchflussgleichung an einer Stelle x im Konfusor und seinen geometrischen Abmessungen lösen.

Abb. 1.22 Konfusor

1 x 2 Dx V

y

c(x)

D2 x

D1 (L - x) x L (R1 - R2)

(Rx - R2)

Aufgabe 1.18 Konfusor

91

Gegeben:  D1 ; D2 ; L; VP Gesucht: 1. c.x/ D f .x/ 2. c.x/ D f .x/, wenn D1 D 0;075 m; D2 D 0;035 m; L D 0;090 m; VP D 0;012 m3 =s Lösungsschritte – Fall 1 Um auf die Geschwindigkeitsfunktion c.x/ D f .x/ zu kommen, betrachten wir die Durchflussgleichung an einer Stelle x im Konfusor: VP D c.x/  Ax : Nach der gesuchten Geschwindigkeit c.x/ umgeformt erhält man c.x/ D Mit Ax D

4

VP : Ax

 Dx2 folgt

c.x/ D

4 VP : 

Dx2

Hierin muss der Durchmesser Dx an der Stelle x mit gegebenen Größen des Konfusors ersetzt werden. Gemäß Abb. 1.22 ist Rx  R2 R1  R2 D : Lx L Es folgt Rx  R2 D .L  x/ 

R1  R2 L

und somit Rx D R2 C .L  x/ 

R1  R2 L

Lx  .R1  R2 / L  x D R2 C .R1  R2 /  1  : L

D R2 C

92

1

Rohr- und Kanalströmungen

Als Nächstes wird der Klammerausdruck mit (R2 =R2 ) erweitert,  R2 x  .R1  R2 /  1  ; R2 L

Rx D R2 C

und dann R2 ausgeklammert, das führt zunächst zu

   R1 x 1  1 Rx D R2  1 C R2 L

oder



Dx D D2  1 C

 

D1 x 1  1 : D2 L

Die inneren Klammern ausmultipliziert führen zu   

 D1 D1 x 1   1 : Dx D D2  1 C D2 L D2 Dann haben wir Dx D D2 

D1 x   D2 L



D1 1 D2



:

Dieses Ergebnis für Dx setzen wir in den oben gefundenen Ausdruck von c.x/ ein: c.x/ D

4 

D22 

h

VP D1 D2



x L





D1 D2

1

i2 :

Nun wird noch der Nenner wie folgt umgeformt: c.x/ D

D

4 

4 

D22  D22 D22

n

h

1 D2

VP h   io2 1  D1  D2  D  1  Lx D2 VP

 D1  D2 



D1 D2

 i2 :  1  Lx

Das Ergebnis lautet wie folgt

c.x/ D

VP 4 

D1  .D1  D2 /  x 2 L

Aufgabe 1.19 Gasströmung in einer erweiterten Leitung mit quadratischem Querschnitt

93

Lösungsschritte – Fall 2 Wenn D1 D 0;075 m, D2 D 0;035 m , L = 0,090 m und VP D 0;012 m3 =s gegeben sind, erhalten wir für die Geschwindigkeitsfunktion c.x/ D

4 

0;012 0;075  .0;075  0;035/ 

c.x/ D

0;01528 .0;075  0;4444  x/2

x 0;090

2

:

Aufgabe 1.19 Gasströmung in einer erweiterten Leitung mit quadratischem Querschnitt In einem Diffusor mit gegebenen quadratischen Ein- und Austrittquerschnitten A1 und A2 sind die Geschwindigkeiten in diesen Querschnitten c1 und c2 ebenso bekannt wie die P und die Dichte Dichte des Fluids 1 (Luft) am Eintritt. Zu ermitteln ist der Massenstrom m

2 am Diffusoraustritt.

Lösung zu Aufgabe 1.19 Aufgabenerläuterung Zur Anwendung kommt einmal die Durchflussgleichung am Eintritt des Diffusors und weiterhin das Kontinuitätsgesetz. Gegeben:  A1 D a12 ; c1 ; 1 ; A2 D a22 ; c2 Gesucht: 1. m P1 2. 2 3. m P 1 und 2 , wenn a1 D 0;10 m; c1 D 7;55 m/s; 1 D 1;09 kg/m3 ; a2 D 0;25 m; c2 D 2;02 m/s

94

1

Rohr- und Kanalströmungen

Lösungsschritte – Fall 1 Für den Massenstrom m P 1 schreiben wir die Durchflussgleichung am Eintritt des Diffusors hin: m P 1 D 1  VP1 : Mit VP1 D c1  A1 und A1 D a12 erhält man m P 1 D 1  c1  a12 :

Lösungsschritte – Fall 2 Um die Dichte 2 zu bestimmen, betrachten wir das Kontinuitätsgesetz (stationär): P m P D 0, wobei einfließende Massenströme positiv und herausfließende Massenströme P 2 D 0 oder negativ gezählt werden. Im vorliegenden Fall ist also m P1m m P1 D m P 2 D m: P Mit m P 2 D 2  VP2 sowie VP2 D c2  A2 und A2 D a22 erhält man

2  c2  a22 D 1  c1  a12 oder, umgeformt nach der Dichte 2 ,

2 D 1 

c1 a12  : c2 a22

Lösungsschritte – Fall 3 Für m P 1 und 2 bekommen wir, wenn a1 D 0;10 m, c1 D 7;55 m/s, 1 D 1;09 kg/m3 , a2 D 0;25 m und c2 D 2;02 m/s gegeben sind, bei dimensionsgerechtem Gerechne m P D 1;09  7;55  0;102 D 0;0823 kg=s

2 D 1;09 

7;55  2;02



0;10 0;25

2 D 0;652 kg=m3 :

Aufgabe 11.20 Dreieckiger Lüftungskanal

95

Aufgabe 11.20 Dreieckiger Lüftungskanal Der Querschnitt eines Lüftungskanals gemäß Abb. 1.23 entspricht dem eines gleichseitigen Dreiecks. Die Seitenlänge a und die Kanallänge L sind bekannt ebenso wie die Sandrauigkeit kS der Innenwand des Kanals. Ein Ventilator fördert die Luft zwischen zwei atmosphärischen Systemen (Luftdruck pB ) und benötigt hierzu die sog. hydraulische Leistung Phydr . Von der Luft ist neben der Dichte die kinematische Viskosität gegeben. Welcher Volumenstrom VP wird transportiert?

Lösung zu Aufgabe 1.20 Aufgabenerläuterung Mit der Definition der hydraulischen Leistung Phydr und der Ventilatorförderarbeit Y lässt sich der gesuchte Volumenstrom ermitteln. Hierbei ist zu berücksichtigen, dass die Ventilatorförderarbeit ausschließlich zur Abdeckung der Strömungsverluste im Kanal dienen soll. Aufgrund des nicht kreisförmigen Kanalquerschnitts muss bei der Ermittlung der Verluste vom hydraulischen Durchmesser Gebrauch gemacht werden. Gegeben:  a; ˛; L; kS ; ; ; Phydr (hydraulische Ventilatorleistung) Gesucht: 1. 2.

VP VP , wenn a D 0;40 m; ˛ D 60ı ; L D 20 m; kS D 0;05 mm; D 1;2 kg/m3 ; D 15;1  106 m2 /s; Phydr D 500 W Anmerkungen

 Die Ventilatorförderarbeit Y ist gleich den Reibungsverlusten YV im Kanal.  Annahme einer inkompressiblen Strömung  Phydr D  VP  Y Abb. 1.23 Dreieckiger Lüftungskanal

Gleichseitiges Dreieck mit α = 60°

α

L senkrecht zur Zeichenebne h

a

96

1

Rohr- und Kanalströmungen

Lösungsschritte – Fall 1 Den Volumenstrom VP bekommen wir über die hydraulische Leistung: Phydr D  VP  Y: Aufgelöst nach VP erhält man

Phydr VP D :

Y

Somit muss noch die spezifische Förderarbeit Y ermittelt werden. Unter der Voraussetzung, dass Y D YV ist, die Strömungsverluste im Kanal wie folgt lauten YV D D 

L dhydr;D



cD2 2

(Index D  Dreieckskanal) und außerdem noch cD D Y D YV D

VP AD

ist, erhält man somit

VP 2 1 L  2:  D  2 dhydr;D AD

Eingesetzt in Phydr VP D

Y (s. o.) führt das zu VP D





Phydr 1 2

 D 

L dhydr;D



VP 2 A2D

Nach VP umgeformt nimmt dies die Form 2  A2D  Phydr VP 3 D L

 D  dhydr;D an. Potenzieren mit (1/3) hat v u u 2  A2D  Phydr 3 VP D t L

 D  dhydr;D

:

Aufgabe 11.20 Dreieckiger Lüftungskanal

97

zur Folge. Es fehlen nun noch AD und dhydrD . Die Dreiecksfläche AD lautet im vorliegenden Fall a AD D  h: 2 Mit tan ˛ D

h a=2

wird daraus hD

a  tan ˛: 2

Hiermit erhalten wir

AD D

a a 1   tan ˛ D  a2  tan ˛: 2 2 4

Der hydraulische Durchmesser dhydr;D wird zu dhydr;D D 4 

AD UD

hergeleitet. Hierin sind AD der durchströmte tatsächliche Querschnitt und UD der vom Fluid benetzte Umfang. Im vorliegenden Beispiel haben wir AD D

1 2  a  tan ˛ 4

(s. o.) und UD D 3  a. Wir setzen in dhydr;D D 4  dhydr;D D 4 

1 4

AD UD

ein:

 a2  tan ˛ : 3a

Kürzen gleicher Größen liefert dann das Resultat

dhydr;D D

1  a  tan ˛: 3

Die Ergebnisse für AD und dhydr;D werden nun in VP eingesetzt: v  2 u u 2  14  a2  tan ˛  Phydr 3 VP D t : L

 D  1 atan ˛ 3

98

1

Rohr- und Kanalströmungen

Durch weiteres Umformen und Kürzen bekommen wir s a5 Phydr .tan ˛/3 3 1 VP D :    24 L

D Dann lautet das Ergebnis letztendlich s 1 a5 Phydr   24 L

s 1 1 VP D  a  tan ˛  3 2 3 VP D

3



.tan ˛/3 D



a2 Phydr 1 :  p 3 L

D

Außer D sind alle Größen gegeben. Da D D f .ReD ; kS =dhydr;D / und ReD D cD  dhydr;D = , muss ein Iterationsverfahren zur Bestimmung von VP mit konkreten Zahlenwerten verwendet werden. Lösungsschritte – Fall 2 Den Wert von VP im Fall, dass a D 0;40 m, ˛ D 60ı , L D 20 m, kS D 0;05 mm,

D 1;2 kg/m3 , D 15;1  106 m2 /s und Phydr D 500 W gegeben sind, berechnet sich folgendermaßen.

dhydr;D D

1  0;40  tan 60ı D 0;231 m  231 mm 3

AD D

1  0;402  tan 60ı D 0;06928 m2 4

Wir setzen die gegebenen Zahlenwerte in s 1 VP D  a  tan ˛  2

3

1 a2 Phydr 1   p 3 3 L

D

ein, das führt zu: s 1 VP D  0;40  tan 60ı  2

3

1 0;402 500 1   p 3 20 1;2 3 D

Aufgabe 11.20 Dreieckiger Lüftungskanal

99

1 m3 VP D 0;3588  p 3 D s

1. Iterationsschritt Annahme: D1 D 0;020 Somit 1 m3 VP1 D 0;3588  p D 1;322 3 s 0;020 VP1 1;322 m cD1 D D D 19;08 AD 0;06928 s cD1  dhydr;D 19;08  0;231 ReD1 D D  106 D 291 916 15;1 kS 0;050 D D 0;000216 dhydr;D 231 Mit ReD1 und kS =dhydr;D erhält man aus Abb. Z.1 im Übergangsgebiet D2 D 0;0165 2. Iterationsschritt D2 D 0;0165 Somit 3

1 m VP2 D 0;3588  p D 1;409 3 s 0;0165 P V2 1;409 m cD2 D D D 20;34 AD 0;06928 s cD  dhydr;D 20;34  0;231 ReD2 D 2 D  106 D 311 204 15;1 kS 0;050 D D 0;000216 dhydr;D 231 Aus ReD2 und kS =dhydr;D erhält man aus Abb. Z.1 im Übergangsgebiet D3 D 0;0163

100

1

Rohr- und Kanalströmungen

Da mit D2 D 0;0165 und D3 D 0;0163 kein nennenswerter Unterschied mehr bei  vorliegt, lässt sich die Iteration hier abbrechen. Es wird

3

3

1 m m VP  VP3 D 0;3588  p D 1;415 : 3 s 0;0163 s

Aufgabe 1.21 Offener Betonkanal Durch einen offenen Betonkanal soll Wasser abfließen. Der Querschnitt des Kanals ist bis auf eine Abschrägung rechteckig. Neben den geometrischen Abmessungen a, b, c und d gemäß Abb. 1.24 und der Sandrauigkeit kS der Betonwände ist der Volumenstrom VP sowie die kinematische Viskosität des Wassers bekannt. Mit welchem Gefälle Z=L muss der Kanal ausgestattet sein, um den Abtransport zu gewährleisten?

Lösung zu Aufgabe 1.21 Aufgabenerläuterung Bei dem gegen Atmosphäre offenen Kanal lässt sich der auf die Kanallänge L bezogene Höhenunterschied Z mittels Bernoulli’scher Energiegleichung bestimmen. Hierbei müssen die Reibungsverluste im Kanal berücksichtigt werden. Wegen des nicht kreisförmigen Kanalquerschnitts ist vom hydraulischen Durchmesser dhydr Gebrauch zu machen. Gegeben:  a; b; c; d; kS ; VP ; Abb. 1.24 Offener Betonkanal

pb a

b

d

Wasser L senkrecht zur Zeichenebene c

Aufgabe 1.21 Offener Betonkanal

101

Gesucht: 1. Z/L 2. Z/L, wenn a D 4 m; b D 3;6 m; c D 2 m; d D 1;6 m; VP D 30 m3 =s; kS D 1;0 mm; D 1  106 m2 /s Anmerkungen

 Die Stellen 1 und 2 auf der Wasseroberfläche weisen den Abstand L zueinander auf.  cB ist die mittlere Geschwindigkeit im Kanalquerschnitt. Lösungsschritte – Fall 1 Für das Gefälle Z=L betrachten wir die Bernoulli-Gleichung bei 1 und 2: p2 c2 c2 p1 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 C YV1I2 :

2

2 Mit den Besonderheiten an diesen Stellen, p1 D p2 D pB , c1 D c2 und Z1  Z2 D Z, resultiert zunächst YV1I2 D g  Z: Mit den Reibungsverlusten im Kanal, YV1I2 D  

L dhydr



cB2 ; 2

wird dann g  Z D  

L dhydr



cB2 : 2

Dividiert man durch (g  L), so liefert dies das vorläufige Ergebnis

Z c2 1  B : D L dhydr 2  g

Zu ermitteln hierin sind nun noch dhydr , cB und . Dies lässt sich wie folgt bewerkstelligen: Der hydraulische Durchmesser dhydr wird hergeleitet zu dhydr D 4 

AUR : UUR

102

1

Rohr- und Kanalströmungen

Hierin sind AUR der tatsächlich durchströmte Querschnitt und UUR der vom Wasser benetzte Umfang. Gemäß Abb. 1.24 sind AUR D a  b 

1  .a  c/  .b  d / 2

und UUR D b C c C d C

q .a  c/2 C .b  d /2 :

Damit erhält man

dhydr D 4 

 .a  c/  .b  d / q : b C c C d C .a  c/2 C .b  d /2 ab

1 2

Die mittlere Geschwindigkeit cB lässt sich bestimmen zu

cB D

VP D AUR ab

1 2

VP :  .a  c/  .b  d /

Die Rohrreibungszahl  kann allgemein sowohl von der Re-Zahl als auch von der bezogenen Sandrauigkeit abhängen, also im Fall des nicht kreisförmigen Querschnitts f .Re; kS =dhydr / mit Re D cB  dhydr = . Hinweis: Die gefundenen Gleichungen für dhydr und cB werden aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht in die Gleichung für Z=L eingebaut. Bei der Anwendung müssen sie einzeln ermittelt werden. Lösungsschritte – Fall 2 Für Z=L finden wir, wenn a D 4 m, b D 3;6 m, c D 2 m, d D 1;6 m, VP D 30 m3 =s, kS D 1;0 mm und D 1  106 m2 /s vorgegeben sind, den folgenden Wert:

dhydr

 Œ.4  2/  .3;6  1;6/

D 4;946 m D4 q 3;6 C 2 C 1;6 C .4  2/2 C .3;6  1;6/2 ˚ 4  3;6 

1 2

Aufgabe 1.21 Offener Betonkanal

103

cB D ˚ 4  3;6 

Re D

1 2

30

D 2;42 m=s  Œ.4  2/  .3;6  1;6/

2;42  4;946  106 D 1;2  107 1

kS 1 D D 0;000202 dhydr 4 946

Gemäß Abb. Z.1 folgt mit Re und kS =dhydr

 D 0;0136:

Somit erhält man

Z 1 2;422 D 0;0136   D 0;00082 L 4;946 2  9;81

oder

Z 0;82 m D : L 1 km

2

Impulssatz für strömende Fluide

Im Fall von Aufgabestellungen, bei denen Kräfte auf einen Strömungsraum (Kontrollraum) einwirken, kommt der Impulssatz der Strömungsmechanik zum Einsatz. Dessen Anwendung macht es erforderlich, einen sinnvollen, ortsfesten Kontrollraum zu verwenden, an dessen Grenzen die Strömungsgrößen bekannt sind bzw. ermittelt werden sollen. Die Verhältnisse innerhalb des eingeschlossenen Volumens bleiben dabei völlig unberücksichtigt. Des Weiteren muss bei der Bearbeitung der Aufgaben neben dem Impulssatz häufig noch vom Kontinuitätsgesetz und bisweilen auch von der Bernoulli’schen Gleichung Gebrauch gemacht werden. Da die Wahl eines geeigneten Kontrollraums auf die jeweilige Aufgabe abgestimmt werden muss, wird er vereinfachend in den anschließenden Beispielen bereits vorgegeben. Im Fall stationärer Strömung lässt sich der Impulssatz an einem ortsfesten Kontrollraum wie folgt angeben: X! X ! F D m P  c:

Dabei sind ! P! F Summe aller äußeren Kräfte F an der Oberfläche des Kontrollraums ! P ! ! P  c an den durchflossenen Bereichen der m P  c Summe aller Impulsströme IP D m Kontrollraumoberfläche !

Da der Impulsstrom IP die Dimension einer Kraft aufweist, wird er auch häufig durch !

den Begriff Impulskraft F I ersetzt. Bei Verwendung dieser Impulskräfte als ebenfalls äußere Kräfte an der Kontrollraumoberfläche lautet der Ansatz dann entsprechend dem © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 V. Schröder, Übungsaufgaben zur Strömungsmechanik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-662-56056-3_2

105

106

2 Impulssatz für strömende Fluide

statischen Kräftegleichgewicht n X ! F i D 0: i D1

Dies ist eine häufig benutzte Vorgehensweise, mithilfe des Impulssatzes Lösungen zu vielfältigen Fragen der Strömungsmechanik zu erarbeiten. Als äußere Kräfte kommen je nach Fall zur Anwendung: 1. Druckkräfte wirken senkrecht auf die jeweilige belastete Fläche. 2. Wandkräfte wirken (als Reaktionskraft der Begrenzungswand) senkrecht auf den Kontrollraum, sofern von Reibungskräften an der Oberfläche abgesehen werden kann. 3. Impulskräfte wirken senkrecht auf die durchströmten Querschnitte des Kontrollraums. 4. Gewichtskräfte, Fliehkräfte 5. Schnittkräfte in vom Kontrollraum durchtrennten Bauteilen Die bisher ausschließlich benutzte vektorielle Darstellung der Impulsgleichung wird in ihrer praktischen Anwendung zugänglich, indem die Komponentendarstellung des z. B. kartesischen Koordinatensystems benutzt wird, also n X ! F ix D 0

.x  Richtung/

i D1

n X ! F iy D 0

.y  Richtung/

i D1

n X ! F iz D 0

.z  Richtung/ :

i D1

Bei dieser Vorgehensweise werden, nachdem ein geeigneter Kontrollraum festgelegt wurde, die o. g. Kräfte in den angegebenen bzw. bekannten Wirkungsrichtungen an den Kraftangriffspunkten angetragen. Die Wahl der Richtung von Schnittkräften durchtrennter Bauteile ist beliebig. Sie ergibt sich zwangsläufig aus den anderen Kräften. Ist ein Körper im

Aufgabe 2.1 Wandkraft im Krümmer

107

Kontrollraum eingeschlossen, so muss dessen Reaktionskraft auf das Fluidvolumen ebenfalls berücksichtigt werden.

Aufgabe 2.1 Wandkraft im Krümmer Der in Abb. 2.1 dargestellte horizontale Rohrkrümmer wird von einem Fluid der Dichte

durchströmt. Der Rohrquerschnitt A ist überall konstant und folglich auch bei angenommener stationärer Strömung die Geschwindigkeit c. Die aufgrund der Umlenkung des Fluids im Krümmer entstehenden Verluste verkleinern den statischen Drucks p2 am Austritt gegenüber dem statischen Drucks p1 am Eintritt. Gesucht wird die Wandkraft FW bei den gegebenen Größen.

Lösung zu Aufgabe 2.1 Aufgabenerläuterung Das Durchströmen eines Rohrkrümmers bewirkt an der Innenfläche eine Wandkraft FW , die sowohl auf die Wand selbst als auch in umgekehrter Richtung auf den Kontrollraum gerichtet ist. Da alle erforderlichen Größen am Ein- und Austrittsquerschnitt als bekannt vorausgesetzt werden, lässt sich die Wandkraft allein mit dem Impulssatz bestimmen. Gegeben:  p1 ; p2 ; c; A;

Gesucht:  FW Abb. 2.1 Wandkraft im Krümmer

c A p1 p2

1

c

Kontrollraum

y x

2

108

2 Impulssatz für strömende Fluide

Anmerkungen

 Die Gewichtskraft des Fluids wirkt sich in der Grundrissebene nicht aus.  Reibungskraft zwischen Fluid und Krümmerwand wird vernachlässigt.  Kontrollraum innen im Krümmer in der Weise anordnen, dass Ein- und Austrittsquerschnitte A senkrecht zur Geschwindigkeit c verlaufen und die Mantelfläche an der Krümmerinnenwand anliegt. Lösungsschritte Die Wandkraft FW besitzt bei dem zugrunde gelegten Koordinatensystem die Komponenten FWx und FWy . Sind diese beiden bekannt, führt dies zu FW (Abb. 2.2). Für die x-Komponente der Wandkraft, FWx , betrachten wir die Kräftebilanz in xRichtung: X Fix D 0 D FWx  Fp2  FI2 : Umgeformt nach FWx erhält man FWx D Fp2 C FI2 : Hierbei haben wir Fp2 D p2  A P  c2 FI2 D m c1 D c2 D c m P D  VP VP D c  A

Druckkraft auf A am Krümmeraustritt Impulskraft auf A am Krümmeraustritt Gleichheit der Geschwindigkeiten Massenstrom am Krümmereintritt und -austritt Volumenstrom am Krümmereintritt und -austritt

Mit diesen Zusammenhängen erhält man die Komponente FWx zu

FWx D p2  A C  A  c 2 :

Abb. 2.2 Wandkraft im Krümmer; Kräfte am Kontrollraum

Fp 1 FI 1 y x

FI 2

FW x

Kontrollraum

Fp 2 FW y FW

Aufgabe 2.2 Frei ausblasender Krümmer

109

Für die y-Komponente der Wandkraft, FWy , betrachten wir die Kräftebilanz in yRichtung: X Fiy D 0 D FWy  Fp1  FI1 : Umgeformt nach Fwy erhält man: FWy D Fp1 C FI1 : Fp1 D p1  A P  c1 FI1 D m c1 D c2 D c m P D  VP VP D c  A

Druckkraft auf A am Krümmereintritt Impulskraft auf A am Krümmereintritt Gleichheit der Geschwindigkeiten Massenstrom am Krümmereintritt und -austritt Volumenstrom am Krümmereintritt und -austritt

Mit diesen Zusammenhängen erhält man

FWy D p1  A C  A  c 2 :

Nach dem Satz von Pythagoras lässt sich nun im rechtwinkligen Dreieck FW wie folgt angeben: q FW D FW2 x C FW2 y : Unter Verwendung o. g. Ergebnisse lautet dann die gesuchte Wandkraft. q FW D A 

.p1 C  c 2 /2 C .p2 C  c 2 /2 :

Aufgabe 2.2 Frei ausblasender Krümmer Der in Abb. 2.3 dargestellte horizontale Rohrkrümmer entlässt Wasser am Austritt in atmosphärische Umgebung. Der Krümmerquerschnitt A ist konstant und folglich auch bei angenommener stationärer Strömung die Geschwindigkeit c. Bei weiterhin bekannten Drücken p1 und pB soll eine Gleichung zur Bestimmung der Einspannkraft FS an der Stelle 1 hergeleitet werden.

110

2 Impulssatz für strömende Fluide

Abb. 2.3 Frei ausblasender Krümmer

c A p1

pB

pB

pB

1 pB

c

2

y x

pB pB Kontrollraum

Lösung zu Aufgabe 2.2 Aufgabenerläuterung Im Unterschied zu Aufgabe 2.1, wo nach der Wandkraft FW eines zwei Rohrleitungen verbindenden Krümmers gefragt wird, soll hier die Kraft an der Verbindungsstelle (Flansch) eines Krümmers mit einem Rohr zur Lösung gebracht werden. Es wirkt auch im vorliegenden Fall an der Krümmerinnenfläche eine Wandkraft, die aber jetzt nicht gefragt ist. Zur Herleitung wird wieder der Impulssatz zur Anwendung kommen, der alle äußeren Kräfte am Kontrollraum bilanziert. Hierzu gehört auch die Schnittkraft in der Verbindungsstelle. Gegeben:  p1 ; pB ; c; A;

Gesucht:  FS Anmerkungen

 Kontrollraum außen um den Krümmer in der Weise anordnen, dass Ein- und Austrittsquerschnitte A senkrecht zu den Geschwindigkeiten c verlaufen und die Verbindungsstelle (Index S) repräsentativ an einer beliebigen Stelle (hier Punkt g) geschnitten wird.  Die Druckkräfte aus dem atmosphärischen Druck pB auf den Flächen des Kontrollraums gemäß Abb. 2.4 heben sich gegenseitig auf mit folgenden Ausnahmen: Auf h–g wirkt der Druck p1 und gegenüber, auf b–d, der Druck pB .

Aufgabe 2.2 Frei ausblasender Krümmer

111

Abb. 2.4 Frei ausblasender Krümmer; Kräfte am Kontrollraum

Fp 1

FS y

FS

FI 1 k

g

h

f

FS x

FI 2

e

a d

b

Fp y

Lösungsschritte Die in Abb. 2.4 willkürlich eingezeichnete Schnittkraft FS besitzt bei dem zugrunde gelegten Koordinatensystem die Komponenten FSx und FSy . Sind beide bekannt, führt dies zu FS . Für die x-Komponente der Schnittkraft, F Sx , betrachten wir die Kräftebilanz in xRichtung: X Fix D 0 D FSx  FI2 : Umgeformt nach FSx erhält man

P  c2 FI2 D m c1 D c2 D c m P D  VP VP D c  A

FSx D FI2 :

Impulskraft auf A am Krümmeraustritt Gleichheit der Geschwindigkeiten Massenstrom am Krümmereintritt und -austritt Volumenstrom am Krümmereintritt und -austritt

Mit diesen Zusammenhängen erhält man die Komponente FSx zu FSx D  A  c 2 : Für die y-Komponente der Schnittkraft, F Sy , betrachten wir die Kräftebilanz in yRichtung X Fiy D 0 D FSy C Fpy  Fp1  FI1 : Umgeformt nach FSy erhält man FSy D Fp1  Fpy C FI1 : Fp1 D p1  A Druckkraft auf A zwischen h–g am Krümmereintritt Fpy D pB  A Druckkraft auf A zwischen b–d

112

FI1 D m P  c1 c1 D c2 D c m P D  VP VP D c  A

2 Impulssatz für strömende Fluide

Impulskraft auf A am Krümmereintritt Gleichheit der Geschwindigkeiten Massenstrom am Krümmereintritt und -austritt Volumenstrom am Krümmereintritt und -austritt

Mit diesen Zusammenhängen erhält man die Komponente FSx zu FSy D .p1  pB /  A C  A  c 2 : Nach dem Satz von Pythagoras lässt sich im rechtwinkligen Dreieck FS wie folgt angeben: q FS D FS2x C FS2y : Unter Verwendung o. g. Ergebnisse lautet dann die gesuchte Schnittkraft: q FS D .  A  c 2 /2 C Œ.p1  pB /  A C  A  c 2 2  2 oder, wenn  A  c 2 ausgeklammert wird, s

2 .p1  pB /  A C 1 FS D .  A  c 2 /2  1 C

 A  c2 und nach Kürzen und mit (  A  c 2 ) vor der Wurzel: s FS D  A  c  2



2 p1  pB 1C C1 :

 c2

Aufgabe 2.3 Wandkraft in einer Düse Auf die Innenwand einer horizontal durchströmten Düse wirkt eine Wandkraft FW (Abb. 2.5). Bei bekannter Fluiddichte , Querschnittsflächen A1 und A2 sowie Eintrittsdruck p1 und Eintrittsgeschwindigkeit c1 soll diese Wandkraft bei angenommener verlustfreier Strömung ermittelt werden.

Lösung zu Aufgabe 2.3 Aufgabenerläuterung Das Durchströmen einer Düse bewirkt an ihrer Innenfläche eine Wandkraft FW , die sowohl auf die Wand selbst als auch in umgekehrter Richtung auf den Kontrollraum gerichtet

Aufgabe 2.3 Wandkraft in einer Düse

113

Abb. 2.5 Wandkraft in Düse

A2

A1 p1

c2 c1

p2 2

1

Kontrollraum

y

x

ist. Da nach einer strömungsbedingten Kraft gefragt wird, ist es ratsam, als Lösungsansatz die Impulsgleichung an einem sinnvoll anzuordnenden Kontrollraum zu verwenden. Wegen der nur unvollständig vorgegebenen Größen wird es zur Bestimmung des Drucks und der Geschwindigkeit im Düsenaustritt weiterhin erforderlich, von der Bernoulli’schen Gleichung und dem Kontinuitätsgesetz Gebrauch zu machen. Gegeben:  p1 ; c1 ; A1 ; A2 ;

Gesucht:  FW Anmerkungen

 Die Gewichtskraft des Fluids wirkt sich in der Grundrissebene nicht aus.  Annahme einer verlustfreien Strömung in der Düse  Kontrollraum in der Düse in der Weise anordnen, dass Ein- und Austrittsquerschnitte A1 und A2 senkrecht zur Geschwindigkeit c1 bzw. c2 verlaufen und die Mantelfläche an der Düseninnenwand anliegt. Lösungsschritte Impulssatz am Kontrollvolumen: Bei den in Abb. 2.6 am Kontrollraum wirkenden Kräften ist die gesuchte Wandkraft FW an der Manteloberfläche in allgemeiner Anordnung eingetragen. Man erkennt aber sofort, dass im vorliegenden Fall keine Kräfte in y-Richtung existieren. Somit wird X Fiy D 0 D FWy : Die Kräftebilanz in x-Richtung liefert X

Fix D 0 D Fp1 C FI1  FWx  Fp2  FI2

114

2 Impulssatz für strömende Fluide

FW y

Fp 1

FW

FW x y

FI 2 FI 1

x

Fp 2

Kontrollraum

Abb. 2.6 Wandkraft in Düse; Kräfte am Kontrollraum

oder, nach FWx umgeformt, FWx D Fp1  Fp2  FI2 C FI1 : Fp1 D p1  A1 Fp2 D p2  A2 P  c1 FI1 D m P  c2 FI2 D m m P D  VP VP D c1  A1 D c2  A2

Druckkraft auf Eintrittsfläche Druckkraft auf Austrittsfläche Impulskraft auf Eintrittsfläche Impulskraft auf Austrittsfläche Massenstrom durch Eintrittsfläche und Austrittsfläche Kontinuitätsgesetz

Diese Zusammenhänge setzen wir in die o. g. Gleichung für FWx ein und bekommen zunächst   FWx D .p1  A1  p2  A2 /   A2  c22  A1  c12 :   Im zweiten Term der rechten Gleichungsseite wird A1  c12 ausgeklammert:  FWx D .p1  A1  p2  A2 /   A1  c12  Mit dem Quadrat des umgeformten Kontinuitätsgesetzes, c22 A21 D ; c12 A22

 A2  c22  1 : A1  c12

Aufgabe 2.3 Wandkraft in einer Düse

115

folgt dann 

A2 A1  A1 2 D .p1  A1  p2  A2 /   A1  c1  A2

FWx D .p1  A1  p2  A2 /   A1  c12 

A21 1 A22  1 :





Es fehlt jetzt letztlich nur noch der statische Druck p2 im Düsenaustritt, den man mittels Bernoulli’scher Gleichung an den Stellen 1 und 2 (ohne Verluste) wie folgt darstellen kann: c2 c2 p2 p1 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 :

2

2 Aufgrund der horizontalen Lage ist Z1 D Z2 und daher  p2 p1 1  D C  c12  c22 :



2 Mit der Dichte multipliziert und c12 vor den Klammerausdruck geschrieben liefert das  

2 c22 p2 D p1 C  c1  1  2 : 2 c1 Bringt man wieder das umgeformte Kontinuitätsgesetz, A21 c22 D ; c12 A22 zur Anwendung, dann lautet der gesuchte Druck  

2 A21 p2 D p1 C  c1  1  2 : 2 A2 Wenn wir diesen Druck nun in die Gleichung für FWx einsetzen, so lässt sich zunächst schreiben       A1

2 A21 2 1 : FWx D p1  A1  A2  p1 C  c1  1  2   A1  c1  2 A2 A2 Die Klammern dann ausmultipliziert, gleiche Größen gekürzt, und wir haben FWx D p1  A1  p1  A2  A2  D p1  .A1  A2 /  A2 

2

A2 A1 C  A1  c12  c1 C A2   c12  12   A1  c12  2 2 A2 A2

2 2 A21

A2

 2   c12  1 C 2   A1  c12 :  c1 C  c1  2 2 A2 2 A2 2

116

2 Impulssatz für strömende Fluide

Nun wird, wo vorhanden,



2

  c12 ausgeklammert:

FWx D p1  .A1  A2 / 

 

2 A2 A2  c1  A2  1 C 2  1  2  A1 : 2 A2 A2

Zieht man noch A2 vor die Klammer, FWx D p1  .A1  A2 / 

 

2 A2 A1  c1  A2  1 C 12  2  2 A2 A2

und ersetzt den Klammerausdruck mit der binomischen Gleichung 

  2 A1 A1 A21 2 C1 D 1 ; A2 A2 A2

so resultiert daraus FWx

D p1  .A1  A2 /   c12  A2  2



A1 1 A2

2 :

Eine weitere Vereinfachung lässt sich erreichen, indem man 

A1 1 A2

2

 D

A1  A2 A2

ausnutzt: FWx D p1  .A1  A2 / 

2 D

1  .A1  A2 /2 A22

2 1  c1  A2  2  .A1  A2 /2 : 2 A2

Durch Kürzen und Ausklammern von .A1  A2 / erreichen wir das Ergebnis

FWx

 

A1

2 D .A1  A2 /  p1    c1  1 2 A2

FWy D 0

FW D FWx

Aufgabe 2.4 Kolben in Düse

117

Aufgabe 2.4 Kolben in Düse Mittels eines Kolbens wird gemäß Abb. 2.7 Flüssigkeit durch eine horizontale Düse in atmosphärische Umgebung gepresst, wobei am Kolben eine Kraft F angreift. Bei bekannter Fluiddichte , Querschnittsflächen A1 und A2 sowie Eintrittsgeschwindigkeit c1 und Außendruck pB sollen die Austrittsgeschwindigkeit c2 , der Druck p1 , die Kraft F und die Haltekraft FA in den beiden Lagern bei angenommener verlustfreier Strömung ermittelt werden.

Lösung zu Aufgabe 2.4 Aufgabenerläuterung Das Durchströmen der Düse unter Einwirkung der Kraft F am Kolben ruft die gesuchte Haltekraft FA hervor, die jeweils an beiden Lagern entsteht. Bevor man an die Ermittlung dieser Kraft geht, müssen jedoch zuvor c2 , p1 und F bekannt sein. Bei der Feststellung dieser Größen macht man von der Bernoulli’schen Gleichung und dem Kontinuitätsgesetz Gebrauch. Da bei FA nach einer Kraft gefragt wird, die aufgrund eines Strömungsvorgangs entsteht, ist es ratsam, als Lösungsansatz die Impulsgleichung an einem sinnvoll anzuordnenden Kontrollraum zu verwenden. Gegeben:  A1 ; A2 ; c1 ; ; pB Gesucht: 1. c2 ; p1 ; F; FA 2. c2 ; p1 ; F; FA , wenn A1 D 0;10 m2 ; A2 D 0;010 m2 ; c1 D 4 m/s; D 1 000 kg/m3 ; pB D 100 000 Pa Abb. 2.7 Kolben in Düse

A1

pB

pB A2

p1 1

F

c2

2

c1

y

pB

pB Kontrollraum

x

118

2 Impulssatz für strömende Fluide Anmerkungen

 Die Gewichtskraft sei von untergeordneter Bedeutung.  Annahme einer verlustfreien Strömung in der Düse  Der Kontrollraum ist in der Weise anordnen, dass Ein- und Austrittsquerschnitte A1 und A2 senkrecht zur Geschwindigkeit c1 bzw. c2 verlaufen und die Lager geschnitten werden.  Annahme von Reibungsfreiheit des Kolbens in der Düse Lösungsschritte – Fall 1 Für die Geschwindigkeit c2 finden wir mit der Kontinuitätsgleichung VP1 D VP2 und VP D c  A den Ausdruck c1  A1 D c2  A2 und somit

c2 D c1 

A1 : A2

Den Druck p1 bekommen wir über die Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen 1 und 2 (ohne Verluste): p1 p2 c2 c2 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 :

2

2 Mit den besonderen Gegebenheiten im vorliegenden Fall Z1 D Z2 und p2 D pB folgt zunächst  p1 pB 1  D C  c22  c12 :



2 Multipliziert man mit und klammert c12 aus, so erhält man p1 D pB C c22 c12

2 c  2 1



c22 1 c12



lässt sich hierin aus der Kontinuitätsgleichung VP D c1  A1 D c2  A2 und der Umfor-

mung

c2 c1

D

A1 A2 ,

in der Gleichung für p1 verwendet führt dies zu

p1 D pB C  c12  2



 A21 1 : A22

Für die Kraft F nutzen wir das Kräftegleichgewicht am Kolben, es liefert F C pB  A1 D p1  A1

Aufgabe 2.4 Kolben in Düse

119

Abb. 2.8 Kolben in Düse; Kräfte am Kontrollraum

FA f

g

e

h

Fp 1

1

Fp x

2 FI 2

FI 1 k

d y

b

a

FA

x

oder, umgeformt nach der Kraft F, F D A1  .p1  pB / : Einsetzen von p1 (s. o.) ergibt  2 

A1

2  1  pB F D A1  pB C  c1  2 A22 und damit

F D

2  c  A1  2 1



 A21  1 : A22

Bei der Bestimmung der Lagerkraft FA kommt man mit dem Impulssatz am Kontrollvolumen gemäß Abb. 2.8 wie folgt zum Ziel. Es sei zunächst angemerkt, dass die Druckkräfte auf den Flächen des Kontrollraums sich gegenseitig aufheben mit Ausnahme der Schnittflächen e–d und h–k. Auf h–k  A1 wirkt der Druck p1 und gegenüber, auf e– d  A1 , der Druck pB . Die Kräftebilanz in x-Richtung liefert Fp1 C FI1  FI2  Fpx  2  FA D 0: Umgeformt nach FA erhält man     2  FA D Fp1  Fpx  FI2  FI1 oder FA D

   1   Fp1  Fpx  FI2  FI1 : 2

120

2 Impulssatz für strömende Fluide

Dabei sind Fp1 D p1  A1 Fpx D pB  A1 P  c1 FI1 D m FI2 D m P  c2 m P D  VP VP D c1  A1 D c2  A2 FI1 D  VP  c1 D  A1  c12 FI2 D  VP  c2 D  A2  c 2 2

Druckkraft auf A1 bei h = k am Düseneintritt Druckkraft auf A1 bei e = d Impulskraft auf A1 Impulskraft auf A2 Massenstrom am Düseneintritt und -austritt Volumenstrom am Düseneintritt und -austritt Impulskraft auf A1 Impulskraft auf A2

Mit diesen Zusammenhängen erhält man FA zu: FA D Mit c2 D c1 

A1 A2

folgt

FA D 

  1   A1  .p1  pB /   A2  c22  A1  c12 : 2

 

1 A2  A1  .p1  pB /   A2  c12  12  A1  c12 : 2 A2

 A1  c12 wird ausgeklammert: FA D

oder

 

A1 1 1  A1  .p1  pB /   A1  c12  2 A2



 1 c12 A1 FA D  A1  .p1  pB /   A1  2 :  2 2 2 A2

Nun wird p1 (s. o.) eingesetzt, FA D

 2    

A1 1

c12 A1  1  p   2 ;  A1  pB C  c12   2  

 A B 1 2 2 2 A2 A22

 sowie  A1 

c12 2

 vor die komplette Klammer gesetzt: FA D

oder

1 c2   A1  1  2 2



1 c2 FA D   A1  1  2 2

A21 A1 12 C2 2 A2 A2





 A21 A1 2 C1 : A2 A22

Aufgabe 2.5 T-Stück

121

Mit a2  2  a  b C b 2 D .a  b/2 lautet auch hier wieder das Ergebnis

FA D

1 c2   A1  1  2 2



A1 1 A2

2 :

Lösungsschritte – Fall 2 Die Größen c2 , p1 , F und FA nehmen, wenn A1 D 0;10 m2 , A2 D 0;010 m2 , c1 D 4 m/s,

D 1 000 kg/m3 und pB D 100 000 Pa gegeben sind, die folgenden Werte an:

c2 D 4 

0;1 D 40 m=s 0;01

1 000 2 p1 D 100 000 C 4  2

1 000 F D  0;1  42  2

FA D



1 000 42  0;1   2 2



 0;12  1 D 892 000 Pa 0;012

 0;102  1 D 79 200 N 0;012



0;10 1 0;01

2 D 32 400 N

Aufgabe 2.5 T-Stück Gemäß Abb. 2.9 ist an der Stelle 1 einer Rohrleitung ein horizontales T-Stück angeflanscht. Ein Fluid konstanter Dicht strömt mit einem Massenstrom m P 1 durch den QuerP 2 bzw. m P3 schnitt A1 in das T-Stück. An den Stellen 2 und 3 verlassen die Massenströme m das T-Stück ins Freie. Alle Querschnitte A1 D A2 D A3 D A sind gleich groß. Ebenso sollen dieselben Geschwindigkeiten c2 D c3 bei 2 und 3 vorliegen. Ermitteln Sie diese Geschwindigkeiten ebenso wie die im Flansch wirksame Kraft FF .

122

2 Impulssatz für strömende Fluide c2

Abb. 2.9 T-Stück

m2

Kontrollraum

pB

2 y

A2

pB

x

pB

m1

p1

c1 A1

A3

1

c3 3

m3

pB pB

pB

Lösung zu Aufgabe 2.5 Aufgabenerläuterung Die Frage nach den gleich großen Geschwindigkeiten c2 und c3 steht in direktem Zusammenhang mit dem Kontinuitätsgesetz. Über die Massenstrombilanz, Dichtegleichheit und die Durchflussgleichung wird die Lösung ermöglicht. Die zu ermittelnde Flanschkraft FF lässt sich mittels Impulssatz aus der Kräftebilanz an einem geeigneten Kontrollraum feststellen. Gegeben:  A; c1 ; p1 ; pB ;

Gesucht: 1. c2 ; c3 2. FF Anmerkungen

 Die Gewichtskraft sei von untergeordneter Bedeutung.  Kontrollraum außen um das T-Stück in der Weise angeordnet, dass Ein- und Austrittsquerschnitte A senkrecht zu den Geschwindigkeiten c verlaufen und der Angriffspunkt der Flanschkraft FF repräsentativ an einer beliebigen Stelle (hier Pkt. b) geschnitten wird.

Aufgabe 2.5 T-Stück

123

Abb. 2.10 T-Stück; Kräfte am Kontrollraum

 Die Druckkräfte aus dem atmosphärischen Druck pB auf den Flächen des Kontrollraums gemäß Abb. 2.10 heben sich gegenseitig auf mit Ausnahme der Bereiche b = d und h = g. Auf b = d wirkt der Druck p1 und gegenüber, auf h = g, der Druck pB .

Lösungsschritte – Fall 1 Für die Geschwindigkeiten c2 und c3 formulieren wir das Kontinuitätsgesetz, X

P2 m P3 m P D0Dm P1 m

oder m P1 D m P2 Cm P3

wobei m P 1 D  VP1 m P 2 D  VP2 m P 3 D  VP3 VP1 D c1  A1 VP2 D c2  A2 VP3 D c3  A3

Massenstrom durch A1 D A Massenstrom durch A2 D A Massenstrom durch A3 D A Volumenstrom durch A1 D A Volumenstrom durch A2 D A Volumenstrom durch A3 D A

Aus o. g. Kontinuitätsgesetz folgt dann

 c1  A1 D  c2  A2 C  c3  A3 :

124

2 Impulssatz für strömende Fluide

Wegen A1 D A2 D A3 D A kürzen sich die Querschnitte heraus und es resultiert c1 D c2 C c3 : Setzt man nun noch die Voraussetzung c2 D c3 ein, so führt dies zu c1 D 2  c2 oder als Ergebnis

c2 D c3 D

1  c1 2

Lösungsschritte – Fall 2 Die Flanschkraft FF lässt sich gemäß dem zugrunde gelegten Koordinatensystem zerlegen in eine x-Komponente FFx und eine y-Komponente FFy . Hat man beide Anteile aus der q Kräftebilanz am Kontrollraum ermittelt, so liegt mittels Pythagoras FF D FF2x C FF2y das gesuchte Ergebnis vor. Die Druck- und Impulskräfte wirken wie immer auf die Bezugsflächen. Die x-Komponente der Flanschkraft FFx finden wir mit der Kräftebilanz in xRichtung (Abb. 2.10): X

Fix D 0 D Fp1 C FI1  Fp3  FI3  FFx

oder, nach FFx umgeformt, FFx D Fp1  Fp3 C FI1  FI3 : Hierin bedeuten Fp1 D p1  A1 D p1  A Fp3 D pB  A3 D pB  A P 1  c1 FI1 D m P 3  c3 FI3 D m m P 1 D  VP1 m P 3 D  VP3 VP1 D c1  A1 VP3 D c3  A3

Druckkraft auf A1 D A bei b = d Druckkraft auf A3 D A bei h = g Impulskraft auf A1 D A Impulskraft auf A3 D A Massenstrom durch A1 D A Massenstrom durch A3 D A Volumenstrom durch A1 D A Volumenstrom durch A3 D A

Alle Zusammenhänge in die o. g. Gleichung für FFx eingesetzt führen zunächst zu FFx D p1  A  pB  A C  A  c12   A  c32   D A  p1  pB C  c12   c32 :

Aufgabe 2.5 T-Stück

125

Verwendet man noch das Ergebnis c3 D 12  c1 , so folgt für FFx :   FFx D A  p1  pB C  c12   c32  

1 D A  p1  pB C  c12   c12 4 oder auch

FFx

  3 2 D A  p1  pB C   c1 4

Die y-Komponente der Flanschkraft FFy finden wir mit der Kräftebilanz in y-Richtung (Abb. 2.10): X Fiy D 0 D FFy  FI2 oder, nach FFy umgeformt,

FFy D FI2 :

Hierin bedeuten P 2  c2 Impulskraft auf A2 D A FI2 D m m P 2 D  VP2 Massenstrom durch A2 D A VP2 D c2  A2 Volumenstrom durch A2 D A Mit c2 D

1 2

 c1 lässt sich FFy ermitteln zu

FFy D

1   A  c12 : 4

Werden FFx und FFy eingesetzt in die Gleichung der Flanschkraft FF , haben wir das Ergebnis s   2  2 1 3 2 2 C FF D   A  c1 A  p1  pB C   c1 4 4 oder letztlich s FF D A 

 2  2 1 3   c12 : p1  pB C   c12 C 4 4

126

2 Impulssatz für strömende Fluide

Aufgabe 2.6 Offener Behälter mit Stützfeder Ein Flüssigkeitsbehälter weist gemäß Abb. 2.11 zwei in verschiedenen Höhen h1 und h2 D h3 angebrachte Öffnungen auf, die unterschiedliche Austrittsquerschnitte A1 und A3 besitzen. Der Behälter stützt sich über eine Feder an einer Wand ab, wobei die Impulskräfte mit der Feder kompensiert werden. Das Flüssigkeitsvolumen im Behälter wird so groß angenommen, dass in Folge des Ausströmens an den Stellen 1 und 3 keine nennenswerte Spiegelabsenkung entsteht. Neben den Teilvolumenströmen bei 1 und 3 sowie dem resultierenden Gesamtvolumenstrom sollen der statische Druck an der Stelle 2 und die in der Feder wirksame Kraft ermittelt werden.

Lösung zu Aufgabe 2.6 Aufgabenerläuterung Das zentrale Thema dieser Aufgabe ist der freie Ausfluss aus offenen Behältern. Zur Ermittlung der Volumenströme benötigt man zunächst die Geschwindigkeiten in den betreffenden Querschnitten. Die Torricelli’sche Gleichung (Sonderfall der Bernoulli’schen Gleichung) liefert diese Geschwindigkeitsgrößen, die in Verbindung mit den jeweiligen Querschnitten zu den gesuchten Volumenströmen führen. Der statische Druck in der eingeengten Stelle 2 lässt sich mit der Bernoulli’schen Gleichung, hier am einfachsten an den Stellen 0 und 2 angewendet, bestimmen. Zur Ermittlung der Federkraft FF ist es erforderlich, alle äußeren, horizontalen Kräfte, die am eingezeichneten Kontrollraum angreifen, zunächst in der Abb. 2.12 einzuzeichnen und in der Kräftegleichung zu berücksichti-

pB 0 c0 = 0 Kontrollraum h2 = h3 Z0

pB h1

ρ

1 V1 A1 A2

Z1 z

Z2 = Z3 x Bezugsebene

Abb. 2.11 Offener Behälter mit Stützfeder

2 V =V 2 3 3

A3

Aufgabe 2.6 Offener Behälter mit Stützfeder

127 pB

Kontrollraum pB

pB 1 FF

FI

1

FI

3

z 3 x

Abb. 2.12 Offener Behälter mit Stützfeder; Kräfte am Kontrollraum

gen. Die Richtungen der Impulskräfte werden in den durchströmten Querschnitten des Kontrollraums wie die von Druckkräften behandelt, nämlich auf die Flächen orientiert. Da der Kontrollraum so angeordnet wurde, dass er die Feder schneidet, ist folglich die Schnittkraft (Federkraft) ebenfalls als äußere Kraft zu behandeln. Die o. g. horizontale Einschränkung ist deswegen möglich, weil die Federkraft nur in dieser Richtung wirkt. Aufgrund des atmosphärischen Drucks am ganzen Kontrollraum heben sich Druckkräfte gegenseitig auf. Gegeben:  ; g; pB ; h1 ; h2 ; A1 ; A2 ; A3 Gesucht: 1. 2. 3.

VP1 ; VP3 ; VPges p2 FF Anmerkungen

 verlustfreie Strömung  keine Reibungskräfte der Rollen und Lager  Z0 D konstant

128

2 Impulssatz für strömende Fluide

Lösungsschritte – Fall 1 Den Volumenstrom VP1 erhält man aus dem Produkt von Geschwindigkeit und dem senkrecht zugeordnetem Querschnitt, hier VP1 D c1  A1 . Mit der Torricelli’schen Ausflussgleip chung c1 D 2  g  h1 lautet der Volumenstrom an der Stelle 1:

VP1 D A1 

p 2  g  h1 :

Für den Volumenstrom VP3 gilt entsprechend VP3 D c3  A3 ;

c3 D

p 2  g  h3

also

VP3 D A3 

p 2  g  h3 :

Die Addition der beiden Teilvolumenströme verschiedener Größe führt zum Gesamtvolumenstrom VPGes D VP1 C VP3

VPges D A1 

p p 2  g  h1 C A3  2  g  h3 :

Lösungsschritte – Fall 2 Zum Druck p2 führt uns die Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen 0 und 2: p0 p2 c0 2 c2 C C g  Z0 D C 2 C g  Z2

2

2 Mit den hier vorliegenden Gegebenheiten an den Stellen 0 und 2, p0 D pB , c0 D 0 und Z0  Z2 D h2 D h3 , folgt c2 pB p2 C g  h3 D C 2



2 oder, nach p2 = aufgelöst,

p2 c2 pB D C g  h3  2 :



2

Multipliziert mit der Dichte entsteht p2 D pB C g   h3 

 c2 2 : 2

Aufgabe 2.6 Offener Behälter mit Stützfeder

129

Hierin muss nun noch die Geschwindigkeit c2 mit der schon bekannten Geschwindigkeit c3 ersetzt werden. Dies gelingt mit dem Volumenstrom VP3 D c3  A3 D c2  A2 oder, nach c2 umgeformt, c2 D c3  Wegen c3 D

A3 A2

 bzw. c22 D c32 

A3 A2

2 :

p 2  g  h3 oder c32 D 2  g  h3 , erhält man die gesuchte Größe c22 zu  c22

D 2  g  h3 

A3 A2

2 :

Oben eingesetzt

p2 D pB C g   h3   2  g  h3  2



A3 A2

2

lautet das Ergebnis letztendlich " p2 D pB C g   h3  1 



A3 A2

2 # :

Lösungsschritte – Fall 3 Für die Federkraft FF stellen wir die Kräftebilanz am Kontrollraum gemäß Abb. 2.12 in x-Richtung auf. Wir erhalten X Fix D 0 D FF  FI1  FI3 oder, nach der Federkraft umgeformt, FF D FI1 C FI3 : P 1  c1 bzw. FI3 D m P 3  c3 . In Verbindung mit den MassenDie Impulskräfte lauten FI1 D m P 3 D  VP3 führt dies zunächst zu strömen m P 1 D  VP1 und m FI1 D  VP1  c1

und FI3 D  VP3  c3 ;

und unter Verwendung von VP1 D c1  A1 und VP3 D c3  A3 entsteht daraus FI1 D  A1  c12

und FI3 D  A3  c32 :

130

2 Impulssatz für strömende Fluide

Verwenden wir jetzt noch die o. g. Ergebnisse für c12 D 2  g  h1 sowie c32 D 2  g  h3 , so folgt die gesuchte Federkraft nachstehender Gleichung:

FF D 2  g   .A1  h1 C A3  h3 / :

Aufgabe 2.7 Mischer Zwei Luftströme m P 1 und m P 2 mit verschiedenen Geschwindigkeiten c1 und c2 in den Rechteckquerschnitten A1 und A2 werden in einen Kanal mit dem Querschnitt A3 geleitet (Abb. 2.13). Dort stellt sich durch Vermischungsvorgänge der beiden Massenströme nach einer Mischungsstrecke (hier der Kontrollraum) eine Geschwindigkeit c3 ein. Ermitteln Sie diese Geschwindigkeit c3 und den Druckunterschied (p3  p1 ), wenn die Querschnitte A1 und A3 sowie die Geschwindigkeiten c1 und c2 und die Luftdichte bekannt sind.

Lösung zu Aufgabe 2.7 Aufgabenerläuterung Die zunächst gestellte Frage nach der Geschwindigkeit c3 lässt sich mittels Kontinuitätsgesetz und den Durchflussgleichungen am Kontrollraum ermitteln. Die gegebenen Geschwindigkeiten und Querschnitte erlauben bei der vorausgesetzten Dichtegleichheit eine einfache Lösung. Zur Bestimmung des Druckunterschieds (p3  p1 ) werden mittels Impulssatz am Kontrollraum alle äußeren Kräfte bilanziert. Gemäß Abb. 2.14 sind dies am gewählten Kontrollraum die für (p3  p1 ) benötigten Druckkräfte und die Impulskräfte. Reibungskräfte entfallen bei der vorausgesetzten Vernachlässigung von Wandschubspannungen.

Abb. 2.13 Mischer

p1 = p 2

p3

m1

A1

1

A2

2

c1

c3 A3

c2

m2 Kontrollraum

3

m3

Aufgabe 2.7 Mischer

131

Abb. 2.14 Mischer; Kräfte am Kontrollraum

FI 1 Fp 1 Fp 2

1 3 2

FI 2

FI 3 Fp 3

Gegeben:  A1 D A3 =3; c1 ; c2 ;

Gesucht: 1. c3 2. (p3  p1 ) 3. c3 und (p3  p1 ), wenn c1 D 20 m/s; c2 D 10 m/s; D 1;2 kg/m3 Anmerkungen

 Die Wandschubspannungen werden vernachlässigt.  Die Druckverteilungen p1 D p2 über A1 bzw. A2 sowie p3 über A3 sind homogen. Dies soll ebenfalls für die Geschwindigkeitsverteilungen zutreffen.  Das Fluid (Luft) kann als inkompressibel ( D konstant) betrachtet werden.  Der Kontrollraum im Mischer ist in der Weise angeordnet, dass Ein- und Austrittsquerschnitte A1 , A2 und A3 senkrecht zu den Geschwindigkeiten c1 , c2 und c3 verlaufen, die Mantelfläche an der Mischerinnenwand anliegt und der Austrittsquerschnitt A3 am Ende der Mischungsstrecke liegt. Lösungsschritte – Fall 1 Für die Geschwindigkeit c3 stellen wir das Kontinuitätsgesetz X

P2 m P3 m P D0Dm P1 Cm

auf, dabei sind m P 1 D  VP1 m P 2 D  VP2 m P 3 D  VP3 VP1 D c1  A1 VP2 D c2  A2 VP3 D c3  A3

Massenstrom durch A1 Massenstrom durch A2 Massenstrom durch A3 Volumenstrom durch A1 Volumenstrom durch A2 Volumenstrom durch A3

oder m P3 D m P1Cm P2

132

2 Impulssatz für strömende Fluide

In dem o. g. Kontinuitätsgesetz verwenden wir

 c3  A3 D  c1  A1 C  c2  A2 ; dann folgt nach Kürzen der Dichte und Division durch A3 c3 D c1 

A1 A2 C c2  : A3 A3

1 1 Mit A1 D 13  A3 bzw. A A3 D 3 und mit A2 D A3  A1 und folglich A2 D A2 2 A3 D 3 liefert dies als Ergebnis

c3 D

2 3

 A3 bzw.

1 2  c1 C  c2 : 3 3

Lösungsschritte – Fall 2 Für die Druckdifferenz .p3  p1 / wenden wir den Impulssatz am Kontrollraum gemäß Abb. 2.14 an. Druck- und Impulskräfte wirken immer auf die Bezugsflächen. Die Kräftebilanz in x-Richtung lautet X Fix D 0 D Fp1 C Fp2 C FI1 C FI2  Fp3  FI3 : Umgeformt – nach Druckkräften und Impulskräften sortiert –, folgt: Fp3  Fp1  Fp2 D FI1 C FI2  FI3 : Fp1 D p1  A1 Fp2 D p2  A2 D p1  A2 Fp3 D p3  A3 FI1 D m P 1  c1 FI2 D m P 2  c2 FI3 D m P 3  c3 m P 1 D  VP1 m P 2 D  VP2 m P 3 D  VP3 VP1 D c1  A1 VP2 D c2  A2 VP3 D c3  A3

Druckkraft auf A1 Druckkraft auf A2 , da p1 D p2 Druckkraft auf A3 Impulskraft auf A1 Impulskraft auf A2 Impulskraft auf A3 Massenstrom durch A1 Massenstrom durch A2 Massenstrom durch A3 Volumenstrom durch A1 Volumenstrom durch A2 Volumenstrom durch A3

Diese Zusammenhänge in die o. g. Gleichung eingesetzt führen zunächst zu: p3  A3  p1  A1  p2  A2 D  A1  c12 C  A2  c22   A3  c32

Aufgabe 2.7 Mischer

133

oder, da p1 D p2 p3  A3  p1  .A1 C A2 / D  A1  c12 C  A2  c22   A3  c32 : Mit A1 C A2 D A3 folgt .p3  p1 /  A3 D  A1  c12 C  A2  c22   A3  c32 : Multipliziert mit (1/A3 ) ergibt das p3  p1 D 

A1 2 A2 2  c1 C   c   c32 : A3 A3 2

1 2 Mit den bekannten Flächenverhältnissen A D 13 sowie A D 23 vereinfacht sich GleiA3 A3 chung zu 1 2 p3  p1 D   c12 C   c22   c32 : 3 3 Die in Fall 1 gefundene Geschwindigkeit c3 wird quadriert, dies führt zunächst zu  2 1 2 1 1 2 4 2 c3 D  c1 C  c2 D  c12 C 2   c1   c2 C  c22 : 3 3 9 3 3 9

Für .p3  p1 / eingesetzt liefert das nach Ausklammern von

  1 2 2 2 1 2 4 4 2 p3  p1 D   c C  c2   c1   c1  c2   c2 : 3 1 3 9 9 9 Wir fassen weiter zusammen,   3 2 1 2 6 2 4 2 4  c   c C  c2   c2   c1  c2 ; p3  p1 D  9 1 9 1 9 9 9 subtrahieren gleiche Größen voneinander und ziehen (2/9) vor die Klammer:   2 2 2 2 4  c C  c2   c1  c2 p3  p1 D  9 1 9 9   2 2 D   c1  2  c1  c2 C c22 : 9 Wir erkennen im Klammerausdruck mal wieder eine binomische Formel, c12  2  c1  c2 C c22 D .c1  c2 /2 ; und erhalten das Ergebnis

p3  p1 D

2   .c1  c2 /2 : 9

134

2 Impulssatz für strömende Fluide

Lösungsschritte – Fall 3 Die Größen c3 und (p3  p1 ) lassen sich, wenn c1 D 20 m/s; c2 D 10 m/s; D 1;2 kg/m3 gegeben sind, unter Beachtung dimensionsgerechter Größen wie folgt berechnen:

c3 D

1 2  20 C  10 D 13;33 m=s 3 3

p3  p1 D

2  1;2  .20  10/2 D 26;67 Pa 9

Aufgabe 2.8 Wasserstrahlvolumen In Abb. 2.15 ist der Austritt einer Düse zu erkennen, aus der Wasser senkrecht ins Freie nach oben schießt. Bei bekannter Düsenaustrittsfläche A1 , Austrittsgeschwindigkeit c1 und Strahlabstand H vom Düsenaustritt soll das Volumen V des durch H begrenzten Wasserstrahls ermittelt werden. Abb. 2.15 Wasserstrahlvolumen

c2 pB 2

A2 Kontrollraum

Z2

pB H

pB z

c1 A1

x

1 pB

pB Bezugsebene

Aufgabe 2.8 Wasserstrahlvolumen

135

Lösung zu Aufgabe 2.8 Aufgabenerläuterung Wenn im vorliegenden Beispiel nach dem im Strahl eingeschlossenen Volumen V gefragt wird, muss man sich folgendes klar machen. In diesem kontinuierlich durchströmten Volumen überschreiten zu jeder Zeit die gleiche Zahl von Fluidteilchen die Grenze am Eintritt (in das Volumen hinein) wie auch die Grenze am Austritt (aus dem Volumen heraus). Dies bedeutet, dass zu jeder beliebigen Zeit zwar nicht dieselben, so aber doch die gleiche Anzahl Fluidteilchen vorhanden sind. Sie weisen in dem abgegrenzten Raum eine resultierende Masse auf und verursachen dem zu Folge eine Gewichtskraft FG . Es wird nun erforderlich, diese Gewichtskraft in Verbindung zu bringen mit den gegebenen Größen gemäß Aufgabenstellung. Hier hilft u. a. der Impulssatz weiter, der die Kräfte an einem sinnvoll zu wählenden Kontrollvolumen bilanziert. Die Anordnung des Kontrollvolumens sollte in der Weise erfolgen, dass einerseits seine durchströmten Querschnitte A1 und A2 senkrecht zu den dortigen Geschwindigkeiten stehen und des Weiteren der sog. körpergebundene Teil um den Strahl gelegt wird, wo die Gewichtskraft wirksam werden kann. Die Bernoulli’sche Gleichung und das Kontinuitätsgesetz kommen ebenfalls zur Anwendung. Gegeben:  A1 ; c1 ; H; g Gesucht:  V Anmerkungen

 Reibungskräfte mit der umgebenden Luft werden nicht berücksichtigt.  Die Druckkräfte an der Oberfläche des Kontrollraums heben sich bei überall gleichem atmosphärischen Umgebungsdruck vollständig auf (Abb. 2.16).

Lösungsschritte Die Kräftebilanz in z-Richtung lautet n X

Fi D 0 D FI1  FI2  FG :

1

Da das Volumen V in der Gleichung der Gewichtskraft FG enthalten ist, löst man nach FG auf: FG D FI1  FI2 :

136

2 Impulssatz für strömende Fluide

Abb. 2.16 Wasserstrahlvolumen; Kräfte am Kontrollraum

FI 2 2

Kontrollraum

FG

z 1

x

FI 1

FI1 D m P  c1 P  c2 FI2 D m FG D g  m mD V m P D  VP VP D c  A VP D c1  A1 D c2  A2

Impulskraft an der Stelle 1 auf A1 wirkend Impulskraft an der Stelle 2 auf A2 wirkend Gewichtskraft des Fluids im eingeschlossenen Volumen Masse im eingeschlossenen Volumen Massenstrom durch A1 und A2 Volumenstrom Kontinuitätsgleichung

Diese Zusammenhänge werden in die Gleichung der Gewichtskraft eingesetzt: g   V D  c1 2  A1   c22  A2 : Die Dichte herausgekürzt und durch die Fallbeschleunigung g dividiert liefert zunächst den Ausdruck  1  V D  c12  A1  c22  A2 g oder, wenn (c1  A1 ) ausgeklammert wird,   A2  c22 c1  A1 V D  c1  : g A1  c1 Hierin sind c2 und A2 noch mit bekannten Größen zu ersetzen. Hier hilft die BernoulliGleichung an den Stellen 1 und 2 wie folgt weiter: p1 p2 c2 c2 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 :

2

2

Aufgabe 2.9 Zylinder auf Flüssigkeitsstrahl

137

Mit den besonderen Gegebenheiten p1 D p2 D pB sowie Z1 D 0 und Z2 D H erhält man  1  2  c1  c22 D g  .Z2  0/ D g  H oder c12  c22 D 2  g  H: 2 q Nach c22 aufgelöst c22 D c12 2  g  H und die Wurzel gezogen c2 D c12  2  g  H 2 ersetzt somit c2 mit c1 und H. Führt man die umgeformte Kontinuitätsgleichung A D cc12 A1 in die oben stehende Gleichung des gesuchten Volumens V ein, so liefert dies nach Kürzen gleicher Größen

  c1 c22 c1  A1 c1  A1   c1   .c1  c2 / : D g c2 c1 g q Unter Verwendung von c2 D c12  2  g  H lautet somit das Ergebnis V D

  q c1  A1 2 V D  c1  c1  2  g  H : g

Aufgabe 2.9 Zylinder auf Flüssigkeitsstrahl In Abb. 2.17 ist ein zylindrischer Körper mit der Gewichtskraft FG im Längsschnitt zu erkennen. Der untere Teil des Körpers ist mit einer halbkugelförmigen Aushöhlung versehen. Aus einer Düse heraus schießt ein Wasserstrahl vertikal nach oben in diesen Hohlraum hinein, wird umgelenkt und verlässt entgegen Zuströmrichtung den Zylinder wieder. Die Austrittsgeschwindigkeit aus der Düse (Stelle 1) und der Massenstrom bewirken bei korrekter Dimensionierung, dass der zylindrische Körper in Schwebe gehalten wird. Zur Erzeugung der genannten Geschwindigkeit wird im Raum vor dem Düsenaustritt (Stelle 0) der statische Druck p0 erforderlich. Neben der Gewichtskraft des zylindrischen Körpers ist die Berechnungsgleichung des statischen Drucks p0 aus nachstehenden gegebenen Größen zu ermitteln.

Lösung zu Aufgabe 2.9 Aufgabenerläuterung Die Aufgabe befasst sich zentral mit Kräften, die von strömenden Fluiden hervorgerufen werden und mit anderen äußeren Kräften an einem sinnvoll zu wählenden Kontrollraum reagieren: Impulssatz der Strömungsmechanik. Je nach Aufgabenstellung und gegebenen Größen des Systems müssen i. A. noch weitere Grundlagen der Strömungsmechanik, wie z. B. Bernoulli-Gleichung, Kontinuitätsgleichung etc. heran gezogen werden.

138

2 Impulssatz für strömende Fluide

Abb. 2.17 Zylinder auf Flüssigkeitsstrahl

Kontrollraum DZyl.

pB

R

H pB

D1 = D2 3

2

pB

m2

m3 1 0

Z2 = Z3

D0 p0

c0

Z1 Z0

Bezugsebene

Gegeben:  D0 ; D1 ; DZyl ; H; R; g; pB ; Zyl ; W Gesucht: 1. FG 2. p0 Anmerkungen

    

Die Wassergewichtskraft im Kontrollraum bleibt unberücksichtigt. verlustfreie Strömung im Kontrollraum keine Strahlaufweitung von 1 nach 2 Die Höhenunterschiede von Z0 , Z1 und Z2 D Z3 sind sehr klein. Das Kugelvolumen lautet VK D 6  D 3 .

Lösungsschritte – Fall 1 Die Gewichtskraft FG finden wir mit den folgenden Gleichungen: FG D g  m D g  Zyl  V Gewichtskraft des Hohlzylinders Hohlzylindervolumen V D VZyl  VHK

Aufgabe 2.9 Zylinder auf Flüssigkeitsstrahl

VZyl D VHK D

4 1 2

139

2  DZyl H Zylindervolumen

 VK D 12  D 3 Halbkugelvolumen.

Mit D D 2  R wird

2

2  H    R3 :  DZyl 4 3 Die gesuchte Gewichtskraft lautet folglich V D

 

8 2 3 FG D g  Zyl   DZyl  H   R : 4 3

Lösungsschritte – Fall 2 Zunächst wird als Ansatz zur Ermittlung des Drucks p0 der Impulssatz mit dem Kräftegleichgewicht am Kontrollraum gemäß Abb. 2.18 herangezogen. Grund: In den Impulskräften sind die Geschwindigkeiten c2 und c3 enthalten. Diese lassen sich mit dem gesuchten Druck p0 in Verbindung bringen: X P  c2 FI2 D m P  c3 FI3 D m m P 2 D W  VP2 m P 3 D W  VP3 VP2 D c2  A2 VP3 D c3  A3

FIz D 0 D FI2 C FI3  FG

oder FG D FI2 C FI3 :

Impulskraft am Eintritt in den Kontrollraum Impulskraft am Austritt aus dem Kontrollraum Massenstrom in den Kontrollraum hinein Massenstrom aus dem Kontrollraum heraus Volumenstrom in den Kontrollraum hinein Volumenstrom aus dem Kontrollraum heraus

Mit diesen Zusammenhängen entsteht FG D W  A2  c22 C W  A3  c32 : Die Bernoulli-Gleichung bei 1 und 2, c2 p2 c2 p1 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 ;

W 2

W 2 führt mit Z1  Z2 und p1 D p2 D pB führt zu c12 c2 D 2 ) c1 D c2 : 2 2

140

2 Impulssatz für strömende Fluide

Abb. 2.18 Zylinder auf Flüssigkeitsstrahl; Kräfte am Kontrollraum FG

Kontrollraum

z 3

x FI 3

2

3

FI 2

Analog hierzu, jetzt jedoch an den Stellen 2 und 3, p2 c2 p3 c2 C 2 C g  Z2 D C 3 C g  Z3

W 2

W 2 folgt mit Z2 D Z3 und p2 D p3 D pB c22 c2 D 3 ) c2 D c3 : 2 2 Die Geschwindigkeiten sind also im vorliegenden Fall an den Stellen 1, 2 und 3 gleich groß. Mit der Kontinuitätsgleichung VP1 D VP2 D VP3 D c1  A1 D c2  A2 D c3  A3 stellt man dann auch fest, dass ebenfalls Flächengleichheit bestehen muss, also A1 D A2 D A3 : In die Kräftegleichung oben eingesetzt erhält man FG D W  A2  c22 C W  A3  c32 D 2  W  A1  c12 : Die hierin unbekannte Geschwindigkeit c1 muss nun mit gegebenen Größen im Querschnitt 0 in Verbindung gebracht werden. Dies gelingt wiederum mit der BernoulliGleichung, jetzt jedoch an den Stellen 0 und 1: c2 p1 c2 p0 C 0 C g  Z0 D C 1 C g  Z1 :

W 2

W 2

Aufgabe 2.9 Zylinder auf Flüssigkeitsstrahl

141

Mit p1 D pB und Z0  Z1 folgt zunächst c2 c2 p0 pB C 0 D C 1:

W 2

W 2 Nach Sortieren von

c2 2

und

p

gemäß c12 c02 p0  pB  D 2 2

W

und dann

c12 2

ausgeklammert liefert   c02 p0  pB : 1 2 D

W c1

c12 2 Mittels der Kontinuitätsgleichung,

VP0 D VP1 D c0  A0 D c1  A1 ; lässt sich

c0 c1

ersetzen gemäß

und mit A D

4

c0 c1

D

A1 . A0

c12 2

  A2 p0  pB 1  12 D ;

W A0

Oben eingesetzt ist das dann

 D 2 gelangt man zu c12 2

 oder nach Division durch 1 

D14 D04

  D14 p0  pB 1 4 D

W D0  zu

c12 1 p0  pB  : D D4 2

W 1  D14 0

Die Multiplikation mit 2 führt zum benötigten Term c12 : c12 D 2 

p0  pB 1  : D4

W 1  D14 0

Eingesetzt in die Gleichung für FG erhält man zunächst FG D 2  W  A1  2 

p0  pB 1  : D4

W 1  D14 0

142

2 Impulssatz für strömende Fluide

Jetzt können wir A1 D

4

 D12 einsetzen und kürzen:

FG D 4  W 

p0  pB 1  :  D12  D4 4

W 1  D14 0

Das Umstellen nach (p0  pB ) ergibt

  FG D14 p0  pB D  1 4

 D12 D0

und schließlich p0 mit

p0 D pB C

FG gemäß Fall 1 verknüpft liefert p0 D pB C

g  Zyl 

4

  FG D14  1  :

 D12 D04

 2  DZyl H 

8 3

 R3

 D12



  D14  1 4 D0

oder weiter vereinfacht

2 DZyl H  1 p0 D pB C  g  Zyl  4 D12

8 3

 R3

  D14  1 4 : D0

Aufgabe 2.10 Schwebender Kegel In einer vertikalen Rohrleitung soll ein kegelförmiger Körper mit dem Volumen VK und der Dichte K derart von unten nach oben angeströmt werden, dass er in einem Schwebezustand beharrt (Abb. 2.19). Die Strömung des Fluids der Dichte wird als verlustfrei angesehen. Wie groß muss die Geschwindigkeit c1 gewählt werden, um bei bekannten Abmessungen D und d den Schwebezustand zu gewährleisten?

Lösung zu Aufgabe 2.10 Aufgabenerläuterung Das Schweben (d. h., die Kegelgeschwindigkeit ist gleich null) im senkrecht durchströmten Rohr ist dann sichergestellt, wenn die Kegelgewichtskraft im Zusammenwirken mit

Aufgabe 2.10 Schwebender Kegel

143

Abb. 2.19 Schwebender Kegel c2 d 2

p2

Kontrollraum

D Z2

c1

p1 Z1

1

Bezugsebene V

den anderen Kräften am eingezeichneten Kontrollraum gerade kompensiert wird. Aufgrund der Annahme verlustfreier Strömung im Rohr und am Körper entfallen Reibungskräfte an den betreffenden Oberflächen sowie die Kegelwiderstandskraft in Folge der tatsächlich vorhandenen Strömungsablösung hinter dem Kegel. Mit den gegebenen Größen ermöglichen der Impulssatz am Kontrollraum, die Bernoulli’sche Energiegleichung sowie die Kontinuitätsgleichung die Ermittlung der gesuchten Anströmgeschwindigkeit c1 . Gegeben:  d; D; VK ; K ; ; g Gesucht:  c1 Anmerkungen

   

Annahme verlustfreier Strömung inkompressibles Fluid Die Kontrollraumlänge L kann beliebig groß gewählt werden. Geschwindigkeiten und Drücke sind homogen über den Querschnitten verteilt.

144

2 Impulssatz für strömende Fluide

Lösungsschritte Die Kräftebilanz in z-Richtung am Kontrollraum liefert zunächst X

Fiz D 0 D Fp1 C FI1  Fp2  FI2  FGK  FGF ;

siehe Abb. 2.20. Bringt man die beiden Druckkräfte auf die linke Gleichungsseite, so folgt: Fp1  Fp2 D FI2  FI1 C FGK C FGF : Fp1 D p1  A1 Fp2 D p2  A1 !!

Druckkraft auf Querschnitt an der Stelle 1 Druckkraft auf Querschnitt an der Stelle 2. Der Druck p2 wirkt unmittelbar hinter dem Körper auf A1: FI1 D m P  c1 Impulskraft auf Querschnitt P  c2 Impulskraft auf Querschnitt 2 FI2 D m m P D  VP1 D  VP2 Massenstrom durch Querschnitt 1 und Querschnitt 2 VP1 D c1  A1 Volumenstrom durch Querschnitt 1 VP2 D c2  A2 Volumenstrom durch Querschnitt 2 Querschnitt 2 A2 D A1  A Impulskraft auf Querschnitt 1 FI1 D  A1  c12 Impulskraft auf Querschnitt 2 FI2 D  A2  c22 Abb. 2.20 Schwebender Kegel; Kräfte am Kontrollraum

FI 2 Fp 2

2

FG K

FG F

z x

1

FI 1

Fp 1

Aufgabe 2.10 Schwebender Kegel

FGK D g  mK mK D K  VK FGF D g  mF mF D  VF VF D A1  L  VK

145

Kegelgewichtskraft Kegelmasse Fluidgewichtskraft im Kontrollraum Fluidmasse im Kontrollraum Fluidvolumen im Kontrollraum

Die Fluidgewichtskraft im Kontrollraum erhält man zu FGF D g   .A1  L  VK / : Setzt man nun alle so ermittelten Ausdrücke der Kräfte in oben stehende Kräftebilanz ein, A1  .p1  p2 / D  A2  c22   A1  c12 C g  Œ K  VK C  .A1  L  VK / ; und dividiert durch den Querschnitt A1 , so führt dies zum Druckunterschied (p1  p2 ): p1  p2 D 

 

A2 2 VK VK  c2   c12 C g  K  C  L A1 A1 A1 

oder .p1  p2 / D 

 A2 2 VK  c2  c12 C g   . K  / C g   L: A1 A1

Eine zweite Möglichkeit, diesen Druckunterschied (p1  p2 ) völlig unabhängig vom vorangehenden Weg zu ermitteln, gelingt mit der Bernoulli’schen Gleichung an den Stellen 1 und 2 bei der vorausgesetzten verlustfreien Strömung. p2 c2 c2 p1 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 :

2

2 Wieder werden die Druckglieder auf die linke Gleichungsseite gestellt, c2 c2 p1  p2 D 2  1 C g  .Z2  Z1 / ;

2 2 und Z2  Z1 D L gesetzt und das Ganze dann mit der Dichte multipliziert: p1  p2 D

2 2  c   c C  g  L: 2 2 2 1

Diese beiden Ergebnisse für (p1  p2 ) werden gleichgesetzt, das hat zur Folge

2 2 c  c C gLD  2 2 2 1



 A2 2 VK  c2  c12 C g   . K  / C g   L: A1 A1

146

2 Impulssatz für strömende Fluide

Wir kürzen und bringen die Geschwindigkeitsglieder auf die linke Seite: c22 c12 A2 2 VK  c2  c12 D g     2 2 A1 A1 Wir verwenden 2 2 c 2 1

c12 D

sowie





K 1 :

A2 2 2  A2 c22  c2 D  A1 A1 2

und sortieren dann noch um, 2  c12 c12 c 2 2  A2 c22 VK    C 2  Dg 2 2 2 A1 2 A1 das liefert dann

c2 c12 C 2 2 2





K 1 ;

   

K 2  A2 VK  1 1 : Dg A1 A1

c2 muss nun noch mit der Kontinuitätsgleichung VP D c1  A1 D c2  A2 und Umstellen zu 1 c2 D c1  A A2 ersetzt werden. Somit folgt     c12 VK A2

K c 2 A2 Dg  C 1  12  1  2  1 : 2 2 A2 A1 A1

 2 Stellt man links

c1 2

c12 2

vor die Klammer,  1C

A2 A21 A21 2  2 A1 A22 A2

 Dg

VK  A1





K 1 ;

und ersetzt den nach Kürzen gleicher Größen in der Klammer verbleibenden Ausdruck als binomische Formel, so führt dies zu c12  2



A1 1 A2

2 Dg

VK  A1





K 1 :

Jetzt werden die kreisförmigen Querschnitte A1 , A2 und A ersetzt gemäß A1 D

 D 2; 4

AD

 d2 4

und A2 D A1 



  d 2 D  D2  d 2 ; 4 4

das führt auf c12  2

 D2 1  .D 2  d 2 /

4

4

!2 Dg

VK  4 

 D2





K 1 ;

Aufgabe 2.11 Körper im Rechteckkanal

147

weitere Umformungen ergeben sukzessive c12  2

  2

K D2 D2  d 2 VK  4  D g    1 D2  d 2 D2  d 2

 D2

    2 2 2 2 2 c1

K D D Cd VK  4 Dg   1 2 D2  d 2

 D2

2    c12 4

K d2 VK D g 2   1 : 2 D2  d 2

D



Weiterhin erhält man 2  2   D  d2 c12

K 1 4    D  g  V  1 K 2 d4 D2

und nach Multiplikation mit 2 c12

2  2   D  d2

K 8 D g  V   1 : K

D2  d 4

Nach dem Wurzelziehen liegt das Ergebnis für c1 fest: D2  d 2 c1 D 2   D  d2

s 2  g  VK 



K 1



oder auch

c1 D 2 

D2 d2

1

D

s 

2  g  VK 



K 1



Aufgabe 2.11 Körper im Rechteckkanal Gemäß Abb. 2.21 sei in dem geschlossenen, von einer Flüssigkeit durchströmten horizontalen Rechteckkanal ein profilierter Körper installiert, der die Kanalhöhe vollkommen ausfüllt. Im hier dargestellten Grundriss ist zu erkennen, dass an der Stelle 1 vor dem Körper eine homogene Geschwindigkeitsverteilung c1 bei einem Druck p1 vorliegen soll und aufgrund des versperrenden Körperquerschnitts A an der Stelle 2 die homogene Geschwindigkeitsverteilung c2 bei einem Druck p2 . An der Hinterkante findet ein Strömungsabriss statt, der die anschließende, von Wirbeln durchsetzte „Totwasserzone“ hervorruft. Diese

148

2 Impulssatz für strömende Fluide

Abb. 2.21 Körper im Rechteckkanal

p2

p1

2

c1

c2

1 A

V Kontrollraum A1

bildet sich stromabwärts aufgrund von Vermischungsvorgängen wieder zurück, sodass in genügend großem Abstand wieder eine homogene Geschwindigkeitsverteilung vorliegt. Unter der Annahme von Reibungsfreiheit an den Kanalwänden und am Körper soll bei bekannten Abmessungen A1 und A sowie vorgegebener Zuströmgeschwindigkeit c1 und Flüssigkeitsdichte die wirksame Widerstandskraft FW am Körper ermittelt werden. Des Weiteren wird der betreffende Widerstandsbeiwert cW gesucht.

Lösung zu Aufgabe 2.11 Aufgabenerläuterung Die Widerstandskraft an umströmten Körpern wird im Allgemeinen aus der Summe von Reibungswiderstand und Formwiderstand wirksam. Je nach Fall kann sie aber auch nur reibungsbedingter oder nur formbedingter Art sein. In diesem Beispiel soll allein der Formanteil ermittelt werden. Man bedient sich dabei des Impulssatzes, der an einem sinnvoll anzuordnenden Kontrollraum alle an dessen Flächen wirkenden Kräfte bilanziert. Die Impulskräfte werden an den durchströmten Querschnitten auf die Flächen wirkend angesetzt. Die Richtung der hier gesuchten Widerstandskraft ist zunächst unbekannt. Ihre tatsächliche Richtung ergibt sich aus dem Endergebnis, da die Richtungen der anderen Kräfte vorliegen. Weiterhin wird die Bernoulli’sche Gleichung, die Kontinuitäts- sowie Durchflussgleichung benötigt, um mit den gegebenen Größen zur Lösung zu kommen. Gegeben:  c1 ; ; A1 ; A Gesucht: 1. FW (Widerstandskraft des Körpers aufgrund von Ablösung und Verwirbelung) 2. cW bei FW D cW  A  2  c 2

Aufgabe 2.11 Körper im Rechteckkanal

149

Anmerkungen

 Das Kontrollvolumen wird so gewählt, dass der Körper in ihm eingeschlossen ist, die Kanalwände anliegen und die durchströmten Querschnitte senkrecht zu den Geschwindigkeiten angeordnet sind.  Reibungseinflüsse werden, wie oben schon erwähnt, nicht berücksichtigt.

Lösungsschritte – Fall 1 Für die Widerstandskraft FW liefert die Kräftebilanz in x-Richtung gemäß Abb. 2.22 für den Kontrollraum zunächst: X Fiz D 0 D FI1  FI2  FW C Fp1  Fp2 oder, nach FW aufgelöst, FW D FI1  FI2 C Fp1  Fp2 : Hierbei ist FW als Wirkung des strömenden Fluids auf den Körper und in Folge dessen seine Reaktionskraft auf den Kontrollraum zu verstehen. P  c1 FI1 D m m P D  VP1 D  VP2 VP1 D c1  A1 P  c2 FI2 D m m P D  VP2 D  VP1 VP2 D c2  A2 A2 D A1  A Fp1 D p1  A1 Fp2 D p2  A1 !!

Impulskraft auf Querschnitt 1 Massenstrom durch Querschnitt 1 Volumenstrom durch Querschnitt 1 Impulskraft auf Querschnitt 2 Massenstrom durch Querschnitt 2 Volumenstrom durch Querschnitt 2 Querschnitt 2 Druckkraft auf Querschnitt an der Stelle 1 Druckkraft auf Querschnitt an der Stelle 2. Der Druck p2 wirkt unmittelbar hinter dem Körper über dem gesamten Querschnitt A1 und nicht etwa allein auf A2 .

Abb. 2.22 Körper im Rechteckkanal; Kräfte am Kontrollraum

FI 1

FI 2

1

FW

Fp 1

2 Fp 2

y x

Kontrollraum

150

2 Impulssatz für strömende Fluide

Eingesetzt in die Gleichung für FW sowie die Impulskräfte und Druckkräfte sortiert, P  c1  m P  c2 C p1  A1  p2  A1 FW D m D  A1  c12   A2  c22 C p1  A1  p2  A1 D  A1  c12   A2  c22 C A1  .p1  p2 / ; führt zu einer Gleichung, in der noch der Druckunterschied (p1  p2 ) unbekannt ist. Diesen Druckunterschied findet man in der Bernoulli’schen Gleichung wieder, die an den Stellen 1 und 2 zu formulieren ist. Die Verluste entfallen in diesem Fall, da die Reibung nicht berücksichtigt werden soll, und die Verluste aufgrund der Strömungsablösung und der anschließenden Verwirbelung hinter dem Körper erst ab der Stelle 2 beginnen. p2 c2 c2 p1 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 :

2

2 Die horizontale Lage des Kanals führt zu Z1 D Z2 . Stellt man die Gleichung nach dem gesuchten Druckunterschied (p1  p2 ) um, so folgt p1  p2 D

2 2 c  c : 2 2 2 1

In die Ausgangsgleichung für FW eingesetzt und gleichartige Glieder vereinfacht FW D  A1  c12   A2  c22 C A1 

2

 c2  A1   c12 2 2

liefert



 A1  c12 C  A1  c22   A2  c22 : 2 2   Klammert man auf der rechten Gleichungsseite 2  A1  c12 aus, so entsteht ein Zusammenhang wie folgt: FW D

FW D

 

2 c2 c 2 A2  2  22 :  c1  A1 1 C 22  2 A1 c1 c1

1 , kann Unter Verwendung der Kontinuität VP D c1  A1 D c2  A2 , umgeformt zu cc21 D A A2 man die Geschwindigkeitsterme in der Klammer durch die Flächenverhältnisse ersetzen. Dies führt zu  

A2 A2 A21  2 FW D  c12  A1  1 C 12  2 2 A1 A2 A2

oder, umsortiert und gekürzt, FW D

2  c  A1  2 1



 A21 A1  2 C 1 : A2 A22

Aufgabe 2.11 Körper im Rechteckkanal

151

 Der Klammerausdruck ist als binomische Gleichung auch austauschbar mit und es resultiert  2 A1

 1   c12 : FW D A1  A2 2

A1 A2

1

2

Benutzen wir nun noch A2 D A1  A in dieser Gleichung und formen wie folgt um, 

A1 1 A1  A

2

2 c 2 1   A1 A1  A 2 2 D A1    c1  A1  A A1  A 2  2   A1  A1 C A 2 2 A

D A1    c1 D A1    c12 ; A1  A 2 A1  A 2

FW D A1 



dann kommen wir über 0 FW D A1  @

12 

A

A1  1 

A A1

A 

2  c D A1  2 1



A2

A21  1 

A A1

2 

2 c 2 1

zum Ergebnis:

FW D A  

A=A1 1

A A1

2 

2 c : 2 1

Lösungsschritte – Fall 2 Nun ist der Widerstandsbeiwert cW gesucht. Die Definition der Widerstandskraft umoder angeströmter Körper lautet allgemein FW D cW  A 

2 c : 2

Hierin sind cW der Widerstandsbeiwert und A die Bezugsfläche des Körpers, die häufig als Projektions- oder Schattenfläche eingesetzt wird. Dies ist auch im vorliegenden Beispiel mit A als projizierte Fläche des Körpers der Fall. Weiterhin ist c D c1 . Damit entsteht aus der ermittelten Widerstandskraft und der Definitionsgleichung .FW D/ D cW  A 

2 A=A1

2 c DA  2   c1 : 2 1 2 1  AA1

152

2 Impulssatz für strömende Fluide

Der gesuchte Widerstandsbeiwert, der ausschließlich die Verwirbelungsverluste einschließt, lautet somit:

A=A1 cW D  2 : 1  AA1

Sonderfall: Wenn A A1 ) cW D 0 ) FW D 0.

Aufgabe 2.12. Behälter mit vertikalem sowie horizontalem Ausfluss In Abb. 2.23 sind zwei gleiche Behälter zu erkennen, bei denen Flüssigkeit ins Freie ausströmt. Die Höhe H zwischen Flüssigkeitsspiegel und Ausflussöffnung ist jeweils dieselbe. Bei Behälter 1 erfolgt das Ausfließen vertikal und bei Behälter 2 horizontal. Beide Flüssigkeitsstrahlen treffen nach einer zurückgelegten Höhe h auf den Teller einer Kraftmesseinrichtung und fließen von dort seitlich ab. Wie groß werden die messbaren Kräfte F1 in der Kraftmesseinrichtung bei Behälter 1 und F2 in der Kraftmesseinrichtung bei Behälter 2? Behälter 1 0

Behälter 2 pB

pB

0

H Z0 1 1 pB Z1 = h pB

m

m

pB pB

2

Bezugsebene

Abb. 2.23 Behälter mit vertikalem sowie horizontalem Ausfluss

2

Aufgabe 2.12. Behälter mit vertikalem sowie horizontalem Ausfluss

153

Lösung zu Aufgabe 2.12 Aufgabenerläuterung Auf den ersten Blick könnte man meinen, dass zwischen beiden zu messenden Kräften kein Unterschied besteht. Schließlich fließt derselbe Massenstrom mit derselben Geschwindigkeit auf die Kraftmesseinrichtungen und ruft dort dieselben Impulskräfte hervor. Dass dennoch verschiedene Kräfte angezeigt werden liegt daran, dass die Messgeräte (z. B. Kraftmessdosen, Federwaagen, o. Ä.) nur die vertikal gerichteten Komponenten erfassen. Im Fall des Behälters 1 ist dies die gesuchte Größe F1 selbst, da der Flüssigkeitsstrahl vertikal auftrifft. Im Fall des Behälters 2 erfolgt der Ausfluss dagegen horizontal. Der weitere Strahlverlauf entspricht bekanntermaßen dem einer Parabel. Somit kann der Flüssigkeitsstrahl nicht vertikal auf den Teller treffen, sondern nur in einer zur Oberfläche der Messeinrichtung schrägen Richtung. Die hier wirksame Impulskraft belastet die Fläche in der vorliegenden schrägen Geschwindigkeitsrichtung. Folglich wird die vertikale Kraftkomponente F2 kleiner ausfallen als F1 . In vielen Fällen, wenn nach strömungsbedingten Kräften von Fluiden gefragt wird – wie auch im vorliegenden Fall –, ist die Anwendung des Impulssatzes der Strömungsmechanik von großem Nutzen. Hierbei ist die Wahl eines geeigneten „Kontrollraums“ eine grundlegende Voraussetzung. Unter Verwendung sämtlicher „äußeren Kräfte“ an den Flächen dieses Kontrollraums ist es möglich, mithilfe der Kräftebilanz die Basis des Lösungsweges zu formulieren. Gegeben:  H, h, , g, A1 Gesucht: 1. F1 2. F2 3. F1 und F2 , wenn H D 2 m; h D 1 m; A1 D 0;002 m2 ; g D 9;81 m/s2 ; D 1 000 kg/m3 Lösungsschritte – Fall 1 Um die in der Feder der Kraftmesseinrichtung (z. B. Federwaage) wirkende Kraft F1 zu ermitteln, legt man sinnvoller Weise einen Kontrollraum um den Teller derart, dass sowohl die Feder als auch der Flüssigkeitsstrahl (Stelle 2) geschnitten werden. Seitlich verläuft der Kontrollraum durch die berührungsfreien Spalte der Waage. Die Kräftebilanz in z-Richtung lautet, wenn man die Tellergewichtskraft und die Gewichtskraft der auf dem Teller befindlichen Flüssigkeit vernachlässigt (Abb. 2.24): n X 1

Hieraus folgt F1 D FI2 .

Fiz D 0 D F1  FI2 :

154

2 Impulssatz für strömende Fluide

Abb. 2.24 Behälter mit vertikalem sowie horizontalem Ausfluss; Kräfte bei vertikalem Ausfluss

F I2 pB

z

c2 pB

x

2

pB

pB

Kontrollraum F1 = Schnittkraft in der Feder

!

!

Die Impulskraft lautet allgemein F I D m P  c und ist wie die Geschwindigkeit eine vektorielle Größe. An der Stelle 2 erhält man somit

FI2 D m P  c2 :

Der Massenstrom m P lässt sich mit den gegebenen Größen wie folgt ersetzen. m P D  VP

und VP D c1  A1

führt zu m P D  c1  A1 : p Mit c1 D 2  g  .Z0  Z1 / oder c1 D 2  g  H (Torricelli’sche Ausflussgleichung verlustfreier Strömung) erhält man p

m P D  A1 

p 2  g  H:

Die Geschwindigkeit c2 kann mittels Bernoulli’scher Gleichung zwischen den Stellen 1 und 2 bestimmt werden, da hier alle Größen bis auf c2 bekannt sind. Aus p1 p2 c2 c2 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2

2

2 erhält man mit p1 D p2 D pB , Z2 D 0 und Z1 D h c22 c2 D 1 Cgh 2 2

Aufgabe 2.12. Behälter mit vertikalem sowie horizontalem Ausfluss

155

oder, nach Multiplikation mit 2, c22 D c12 C 2  g  h: Dies führt zu

c2 D

q c12 C 2  g  h:

P  c2 lautet dann Die Impulskraft FI2 D m FI2 D  A1 

q p 2  g  H  c12 C 2  g  h:

Ersetzt man nun c12 D 2  g  H (s. o.), dann wird p p FI2 D  A1  2  g  H  2  g  H C 2  g  h p p D  A1  2  g  H  2  g  .H C h/: Als Ergebnis für den Behälter 1 erhält man die gesuchte Kraft F1 zu

FI2 D 2  g   A1 

p H  .H C h/:

Lösungsschritte – Fall 2 Wie schon bei Behälter 1 wird auch für die Kraft F2 ein Kontrollraum um den Waagenteller angeordnet in der Weise, dass sowohl die Feder als auch der Flüssigkeitsstrahl (Stelle 2) geschnitten werden. Die Impulskraft FI2 wirkt jetzt aber nicht mehr vertikal, sondern in Richtung des schräg auftreffenden Flüssigkeitsstrahls. Somit besitzt sie eine senkrechte und eine waagerechte Komponente. Beide müssen ihre Reaktionskraft in anderen am Teller angreifenden Kräften finden. Am Waagenteller steht der horizontalen Kraftkomponente FI2;x die Abstützkraft am Gehäuse gegenüber, während die vertikale Kraftkomponente FI2;z durch die Federkraft F2 kompensiert wird (Abb. 2.25). Aufgrund der Aufgabenstellung interessiert nur die Federkraft F2 . Somit folgt aus: n X

Fiz D 0 D F2  FI2;z ) F2 D FI2;z :

1

Um FI2;z aus den bekannten Größen zu ermitteln, benutzt man zunächst FI22 D FI22;x C FI22;z :

156

2 Impulssatz für strömende Fluide

Abb. 2.25 Behälter mit vertikalem sowie horizontalem Ausfluss; Kräfte am Waagenteller bei horizontalem Ausfluss

F I2 F I2z pB

c2

pB

F I2 x 2

F Wx

z Kontrollraum x

Dies führt zu FI2;z D

F2

q FI22  FI22;x :

p 2  g  .H C h/ (s. o.) und somit p P  2  g  .H C h/ FI2 D m

P  c2 mit c2 D Hierin ist FI2 D m

gegeben. Wenn es gelingt, auch noch FI2;x mit den bekannten Größen zu formulieren, liegt die Lösung für F2 fest. Zur Ermittlung von FI2;x ist es erforderlich, einen weiteren Kontrollraum zu verwenden, dessen Anordnung so beschaffen sein muss, dass er den eintretenden Flüssigkeitsstrahl bei 1 und den austretenden Flüssigkeitsstrahl bei 2 schneidet (Abb. 2.26). Als äußere Kräfte am Kontrollraum wirken die beiden Impulskräfte FI1 und FI2 – jeweils in den Geschwindigkeitsrichtungen auf den Kontrollraum gerichtet –, sowie die Gewichtskraft des Flüssigkeitsstrahls FG . Die Druckkräfte am Kontrollraum heben sich aufgrund gleichen Drucks gegenseitig auf. Die gesuchte Impulskraftkomponente FI2;x lässt sich aus dem Kräftegleichgewicht in x-Richtung wie folgt herleiten. X Fix D 0 D FI1  FI2;x ) FI2;x D FI1 : Mit FI1 D m P  c1 und c1 D

schreiben. Daraus wird dann F2 D FI2;z D

p 2  g  H (s. o.) lässt sich schreiben p P  2gH FI2;x D FI1 D m

q

FI22  FI22;x rh i2  p 2 p m P  2  g  .H C h/  m D P  2gH

Aufgabe 2.12. Behälter mit vertikalem sowie horizontalem Ausfluss Abb. 2.26 Behälter mit vertikalem sowie horizontalem Ausfluss; Kräfte am Flüssigkeitsstrahl bei horizontalem Ausfluss

157 pB

Kontrollraum

c1

1

F I1

pB

pB

FG 2

F I2 x pB

z

c2

F I2z x

F I2

und daraus

p p P  2  g  .H C h/  2  g  H D m P  2  g  h: F2 D m p Mit m P D  A1  2  g  H erhält man nun F2 D  A1 

p p 2  g  H  2  g  h:

Das Ergebnis für die Kraft F2 bei Behälter 2 lautet somit

F2 D 2  g   A1 

p H  h:

Lösungsschritte – Fall 3 Die Kräfte F1 und F2 haben, wenn H D 2 m, h D 1 m, A1 D 0;002 m2 , g D 9;81 m/s2 und D 1 000 kg/m3 vorgegeben sind, die folgenden Zahlenwerte:

F1 D 2  9;81  1 000  0;002 

p 2  .2 C 1/ D 96;09 N

F2 D 2  9;81  1 000  0;002 

p

2  1 D 55;48 N

158

2 Impulssatz für strömende Fluide

Aufgabe 2.13 Rotierendes abgewinkeltes Rohr Das in Abb. 2.27 dargestellte doppelt abgewinkelte Rohr besteht aus einem vertikalen Abschnitt, der in einen horizontalen Teil der Länge L übergeht. Dieser weist an seinem Ende einen um 90ı in der Horizontalebene gekrümmten Abschnitt der Länge a auf. Am vertikalen Abschnitt versetzt ein Antrieb mit der Drehzahl n das Rohr in eine im Uhrzeigersinn gerichtete stationäre Rotationsbewegung. Die rotierende Rohrleitung wird dabei von einem Fluid durchströmt, das an der Stelle 1 mit dem Massenstrom m P ins Freie ausströmt. Die Relativgeschwindigkeit des Fluids an der Stelle 1 ist ebenfalls bekannt. Ermitteln Sie bei den genannten Gegebenheiten das erforderliche Antriebsmoment T.

Lösung zu Aufgabe 2.13 Aufgabenerläuterung Die Frage nach dem aufzubringenden Moment lässt sich mittels Momentenbilanz an dem ortsfesten, also nicht mitrotierenden Kontrollraum lösen. Hierbei sind alle an seiner Oberfläche wirksamen Momente, die bei der Aufgabenstellung Einfluss nehmen, zu berücksichtigen. An der Antriebsseite des Kontrollraums wirkt das gesuchte Moment T in Drehrichtung. An der äußeren Oberfläche verlässt das Fluid mit dem Massenstrom m P und der Absolutgeschwindigkeit c1 den Kontrollraum. Dies ruft dort die Impulskraft FI1 hervor, die entgegen der c1 -Richtung auf die Oberfläche des Kontrollraums weist (Abb. 2.28). ω

1

L

ω

u1

α Kontrollraum

w1

c1

α u1

1

cu1

Geschwindigkeitsdreieck

Abb. 2.27 Rotierendes abgewinkeltes Rohr

c1

R1

w1

a

Aufgabe 2.13 Rotierendes abgewinkeltes Rohr Abb. 2.28 Rotierendes abgewinkeltes Rohr; Kräfte am Kontrollraum

159

FI u1 ω

T

c1

R1

FI 1

1

Das hiermit verursachte Moment entsteht aus dem Produkt der Umfangskomponente von FI1 und dem betreffenden Hebelarm. Die benötigten Geschwindigkeitsverhältnisse an der Austrittsstelle 1 sind in Abb. 2.28 dargestellt. Gegeben:  L; a; !; m; P w1 Gesucht:  T Anmerkungen

 Reibungskräfte des Rohrs mit der Umgebungsluft werden vernachlässigt.  Das Geschwindigkeitsdreieck an der Stelle 1 gemäß Abb. 2.28 entsteht aus der ! ! ! Vektoraddition c 1 D u 1 C w 1 . Bei der weiteren Verwendung sind die Geschwindigkeitsbeträge zu benutzen. Lösungsschritte Die Momentensumme um die Drehachse liefert: X T D 0 D T  FI;u1  R1 oder T D FI;u1  R1 : Hierin ist FI;u1 die Umfangskomponente der Impulskraft FI1 und wirkt somit senkrecht P  c1 und folglich FI;u1 mit am Radius R1 . Die Impulskraft FI1 ermittelt man mit FI1 D m FI;u1 D m P  cu1 : Das Antriebsmoment lautet dann T Dm P  cu1  R1 :

160

2 Impulssatz für strömende Fluide

Es wird nun erforderlich, cu1 mit bekannten Größen des Geschwindigkeitsdreiecks und R1 aufgrund geometrischer Zusammenhänge darzustellen. Aus dem Geschwindigkeitsdreieck gemäß Abb. 2.27 folgt zunächst cos ˛ D

u1  cu1 : w1

Dies wird umgeformt nach u1  cu1 D w1  cos ˛ und dann cu1 auf eine Seite gebracht: cu1 D u1  w1  cos ˛: Eingesetzt in das gesuchte Moment erhält man nun T Dm P  R1  .u1  w1  cos ˛/ : Weiterhin lässt sich cos ˛ geometrisch darstellen mit cos ˛ D L=R1 . Nach dem Satz des Pythagoras folgt p R12 D L2 C a2 bzw: R1 D L2 C a2 : Jetzt verwendet man die Umfangsgeschwindigkeit u1 D R1  !,   L T Dm P  R1  R1  !  w1  ; R1   1 , erweitert den zweiten Term in der Klammer mit R R1   L R1  T Dm P  R1  R1  !  w1  ; R1 R1 klammert danach R1 aus,   L T Dm P  R12  !  w1  2 R1 und ersetzt R12 D L2 C a2 , so führt dies zu    T Dm P  L2 C a2  !  w1   Der erste Term in der Klammer wird nun mit

L2 Ca2 L2 Ca2

L L2 C a 2

 :

 erweitert,

    L L2 C a 2  w  T Dm P  L2 C a 2  !  2 ; 1 L C a2 L2 C a 2

Aufgabe 2.14 Angeblasener Zylinder

 und danach

1

L2 Ca2

161

 vor die Klammer gezogen: T Dm P 

 L2 C a 2   2  !  L C a2  w1  L : 2 2 L Ca

Somit lautet dann das Ergebnis des gesuchten Antriebsmoments    T Dm P  !  L2 C a2  w1  L

oder, da R12 D L2 C a2 und u1 D R1  !, T Dm P  .u1  R1  w1  L/ :

Aufgabe 2.14 Angeblasener Zylinder In Abb. 2.29 ist ein senkrecht zur Bildebene angeordneter Zylinder bei atmosphärischem Umgebungsdruck pB zu erkennen. Der Zylinder weist eine Gewichtskraft FG auf. Er wird aus einer Düse heraus von einem Luftstrahl von links unten schräg angeblasen. Die Anströmung erfolgt mit einer Geschwindigkeit c1 unter einem Winkel ˛1 zur horizontalen pB c2

α2

2 pB

m

pB

Zylinder m 1

y

α1 Düse c1

x pB

Kontrollraum

Abb. 2.29 Angeblasener Zylinder (ohne Kräfte)

pB

162

2 Impulssatz für strömende Fluide

Ebene. Hierbei fließt ein Luftmassenstrom m P durch den Strahlquerschnitt. Der Strahl folgt ab dem Berührpunkt der Kreiskontur des Zylinders. Aufgrund der ab hier an den Fluidteilchen wirkenden Fliehkräfte erfolgt eine Druckreduzierung bei Radienverkleinerung. Diesem verkleinerten Druck auf der benetzten Oberseite des Zylinders steht der größere Umgebungsdruck pB auf der unteren nicht benetzten Fläche gegenüber. Das Resultat ist ein Druckunterschied am Zylinder. Dieser Druckunterschied hat zur Folge, dass der Zylinder „in Schwebe“ gehalten wird, d. h. Gleichgewicht zwischen Gewichtskraft und resultierender Druckkraft vorliegt. Der Luftstrom löst sich nach einer Teilumströmung wieder von der Oberfläche ab und besitzt dann eine Geschwindigkeit c2 mit einer neuen Richtung ˛2 zur Horizontalen. Gesucht wird die neue Abströmrichtung ˛2 .

Lösung zu Aufgabe 2.14 Aufgabenerläuterung Überall, wo Kräfte bei strömenden Fluiden im Spiel sind, ist es hilfreich, den Impulssatz der Strömungsmechanik anzuwenden. Hierbei muss ein geeigneter Kontrollraum um das betreffende System angeordnet werden. Der in Abb. 2.29 und 2.30 erkennbare Kontrollraum schließt einerseits den Zylinder ein und schneidet andererseits den Luftstrahl an den Stellen 1 und 2 senkrecht. Unter Verwendung des Kräftegleichgewichts in x- und y-Richtung wird es möglich, die neue Strömungsrichtung ˛2 zu ermitteln. Hierbei sind die an den Stellen 1 und 2 wirksamen Impulskräfte wie äußere Kräfte senkrecht auf den durchströmten Flächen stehend zu verwenden. pB FI 2 y

FI 2 α2

2

FI 2 x

pB

pB

FG FI 1 x

1

y

α1

x

FI 1 y FI 1

Kontrollraum pB

Abb. 2.30 Angeblasener Zylinder (mit Kräften am Kontrollraum)

pB

Aufgabe 2.14 Angeblasener Zylinder

163

Gegeben: P FG ; ˛1 c1 ; m; Gesucht: 1. Kräfte am Kontrollraum P FG I ˛1 / 2. ˛2 D f .c1 I mI P D 2 kg/s; FG D 40 N; ˛1 D 45ı 3. ˛2 , wenn c1 D 37;5 m/s; m Anmerkungen

 Druckkräfte am Kontrollraum heben sich auf. Lösungsschritte – Fall 1 Kräfte am Kontrollraum: siehe Abb. 2.30. Lösungsschritte – Fall 2 P FG I Die Suche nach der Funktion des Winkels bzw. der Abströmrichtung ˛2 D f .c1 I mI ˛1 / beginnen wir mit dem Kräftegleichgewicht in Abb. 2.30 in y-Richtung: X

Fiy D 0 D FI1;y  FG  FI2;y :

Hieraus entsteht nach Umstellung FI2;y D FI1;y  FG : P  c2 und FI1 D m P  c1 erhält Mit FI2;y D FI2  sin ˛2 und FI1;y D FI1  sin ˛1 sowie FI2 D m man P  c1  sin ˛1  FG m P  c2  sin ˛2 D m oder, nach Division durch den Massenstrom m, P

c2  sin ˛2 D c1  sin ˛1 

FG : m P

Das Kräftegleichgewicht in Abb. 2.30 lautet in x-Richtung wie folgt X

Fix D 0 D FI1;x  FI2;x :

164

2 Impulssatz für strömende Fluide

Hieraus folgt FI1;x D FI2;x : Mit FI1;x D FI1  cos ˛1 und FI2;x D FI2  cos ˛2 sowie FI1 D m P  c1 und FI2 D m P  c2 erhält man P  c2  cos ˛2 oder c1  cos ˛1 D c2  cos ˛2 : m P  c1  cos ˛1 D m Umgestellt nach c2 liefert

c2 D c1 

cos ˛1 : cos ˛2

In oben stehende Gleichung eingesetzt liefert zunächst c1  oder, mit tan ˛ D

cos ˛1 FG  sin ˛2 D c1  sin ˛1  cos ˛2 m P

sin ˛ , cos ˛

c1  cos ˛1  tan ˛2 D c1  sin ˛1  Dividiert durch cos ˛1 , folgt mit tan ˛ D

FG : m P

sin ˛ cos ˛

c1  tan ˛2 D c1  tan ˛1 

FG : m P  cos ˛1

Umstellen nach Gliedern mit c1 führt zu c1  tan ˛2  c1  tan ˛1 D  bzw. c1  .tan ˛2  tan ˛1 / D 

FG : m P  cos ˛1

FG : m P  cos ˛1

Dividiert durch c1 wird daraus tan ˛2  tan ˛1 D  und schließlich tan ˛2 D tan ˛1 

FG m P  c1  cos ˛1

FG m P  c1  cos ˛1

Aufgabe 2.15 Lokomotiven-Tender

165

oder als gesuchtes Resultat  ˛2 D arctan tan ˛1 

FG m P  c1  cos ˛1

 :

Lösungsschritte – Fall 3 P D 2 kg/s, FG D 40 N und ˛1 D 45ı gegeben sind, finden wir für Wenn c1 D 37;5 m/s, m ˛2 den Zahlenwert  ˛2 D arctan tan 45ı 

40 2  37;5  cos 45ı



D 13;8ı

Aufgabe 2.15 Lokomotiven-Tender In Abb. 2.31 ist das Prinzipbild einer Wasserschöpfeinrichtung für Dampflokomotiven dargestellt. Das Wasser wird im Fahrbetrieb mittels der Schöpfeinrichtung aus einer zwischen den Schienen angeordneten, wassergefüllten Rinne in den Tender gefördert. Die Eintrittsgeschwindigkeit bei 1 in die Schöpfeinrichtung lautet w1 . Sie entspricht der Fahrgeschwindigkeit u des Tenders. Durch den Querschnitt A1 fließt der Volumenstrom VP . An der Stelle 2 erfolgt der Austritt des Wassers in den Tender. Die Austrittsebene liegt

Abb. 2.31 LokomotivenTender

2 w2 u

pB

Δ

c2

u z x

Mit u mitbewegter Kontrollraum Z2 V

Δ

w1 1

A1

pB

Δ

u Bezugsebene

166

2 Impulssatz für strömende Fluide

Abb. 2.32 LokomotivenTender (Kräfte am Kontrollraum)

2 F I2 F z F I1

x

1

um Z2 höher als die Eintrittsebene. Zu ermitteln ist zunächst die Austrittsgeschwindigkeit w2 . Dann soll die horizontale Kraft F auf die Schöpfeinrichtung bestimmt werden. Weiterhin wird die Mindestfahrgeschwindigkeit umin gesucht, bei der gerade noch eine Wasserförderung stattfindet.

Lösung zu Aufgabe 2.15 Aufgabenerläuterung Bei der Lösung der Frage nach der Austrittsgeschwindigkeit w2 bietet sich die Bernoulli’sche Energiegleichung an, die hier im mitbewegten Relativsystem anzuwenden ist. Die Wandkraft F auf die Schöpfeinrichtung lässt sich am einfachsten mit dem Impulssatz am Kontrollraum (Abb. 2.32) herleiten. umin kann als Grenzwert des Ergebnisses von w2 ermittelt werden. Gegeben: u; Z2 ; A1 ;

Gesucht: 1. 2. 3. 4. 5.

Kräfte am Kontrollraum w2 F umin , damit w2  0 w2 , F und umin , wenn u D 8;0 m/s; Z2 D 2;7 m; A1 D 0;03 m2 ; D 1 000 kg/m3 Anmerkungen

 Der Kontrollraum und das Koordinatensystem sind an den Tender gebunden, weisen also auch dessen Systemgeschwindigkeit u auf. Somit liegt ein stationäres Relativsystem mit den Strömungsgeschwindigkeiten w vor.  Die Strömung soll verlustfrei erfolgen.

Aufgabe 2.15 Lokomotiven-Tender

167

Lösungsschritte – Fall 1 Kräfte am Kontrollraum: Neben den beiden Impulskräften FI1 und FI2 , die an den Stellen 1 und 2 senkrecht auf den durchströmten Kontrollraumflächen stehen, wirkt noch als Reaktionskraft die horizontale Wandkraft F. Da allseitig atmosphärischer Druck um den Kontrollraum vorliegt, werden keine Druckkräfte wirksam. Die tatsächlich noch vorhandene Gewichtskraft des eingeschlossenen Wasservolumens nimmt keinen Einfluss auf die gesuchten Größen und ist in Abb. 2.32 nicht eingetragen. Lösungsschritte – Fall 2 Für die Austrittsgeschwindigkeit w2 stellen wir die Bernoulli-Gleichung bei 1 und 2 auf:

w2 w2 p1 p2 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 :

2

2

Mit p1 D p2 D pB , Z1 D 0 und w1 D u im Fall des mitbewegtem Kontrollraums und somit stationärer Strömung folgt w22 u2 D  g  Z2 : 2 2 Mit 2 multipliziert wird daraus w22 D u2  2  g  Z2 ; wird dann die Wurzel gezogen, liefert dies das Ergebnis

w2 D

p u2  2  g  Z2 :

Lösungsschritte – Fall 3 Die horizontale Kraft F ergibt sich über das Kräftegleichgewicht am Kontrollraum in x-Richtung: X

Fx D 0 D F  FI1  FI2 :

Umgestellt nach F erhält man F D FI1 C FI2 :

168

2 Impulssatz für strömende Fluide

Mit FI1 D m P  u und FI2 D m P  w2 , wobei m P D  VP und VP D u  A1 sind. Dies führt zu m P D  A1  u: Man erhält jetzt F D  A1  u2 C  A1  u  w2   oder, nach Ausklammern von  A1  u2 ,  w2  : F D  A1  u2 1 C u Mit w2 wird dann daraus p F D  A1  u

2

1C

u2  2  g  Z2 u

!

oder schließlich als Ergebnis r F D  A1  u

2

1C

2  g  Z2 1 u2

!

Lösungsschritte – Fall 4 Auf die Mindestfahrgeschwindigkeit umin kommen wir mit dem Ergebnis w22 u2 D  g  Z2 2 2

und w2 D 0;

wir erhalten u2min D 2  g  Z2 oder umin D

p 2  g  Z2

Lösungsschritte – Fall 5 Für die Größen w2 , F und umin finden wir, wenn u D 8;0 m/s, Z2 D 2;7 m, A1 D 0;03 m2 und D 1 000 kg/m3 vorgegeben sind, die Zahlenwerte

w2 D

p 8;02  2  9;81  2;7 D 3;32 m=s

Aufgabe 2.16 Schleusentor

169

s

" F D 1 000  0;03  8;0  1 C 2

umin D

2  9;81  2;7 1 8;02

# D 2 717 N

p 2  9;81  2;743 D 7;34 m=s

Aufgabe 2.16 Schleusentor In Schleusen dienen u. a. Tore zum Entleeren (Befüllen) von Schleusenkammern. Gemäß Abb. 2.33 ist ein solches Tor einer Schleusenkammer mit der Breite B zu einem Zeitpunkt T prinzipiell dargestellt. Die Wasserhöhe bei 1 vor dem Schleusentor lautet t1 und nach dem Tor, bei 2, t2 . Die Zuströmgeschwindigkeit c1 und die Abströmgeschwindigkeit c2 seien über der jeweiligen Wassertiefe t konstant. Gesucht werden alle Kräfte am Kontrollraum gemäß Abb. 2.33 ebenso wie die Kraft F am Schleusentor.

Lösung zu Aufgabe 2.16 Aufgabenerläuterung Bei der Ermittlung von Kräften an strömungsmechanischen Systemen ist der Impulssatz in der Regel der Lösungsansatz. So auch im vorliegenden Beispiel. An dem in Abb. 2.34 vorgegebenen Kontrollvolumen sind zunächst alle an ihm wirksamen Kräfte anzutragen. Bei der Ermittlung der Kraft F auf das Schleusentor wird die Kräftebilanz nach F aufgelöst.

pB

1

Schleusentor

c1 x

B senkrecht zur Zeichenebene t

t1 Kontrollraum pB

pB 2 t2

Bezugsebene

Abb. 2.33 Schleusentor

c2

170

2 Impulssatz für strömende Fluide 1

F

x

FI 1 t Kontrollraum

Fp 1

2

FG

Fp 2 FI 2

FB

Abb. 2.34 Schleusentor (Kräfte am Kontrollraum)

Da die Geschwindigkeit c2 noch unbekannt ist, kommt des Weiteren das Kontinuitätsgesetz zur Anwendung. Gegeben:

; g; t1 ; t2 ; c1 ; B Gesucht: 1. Kräfte am Kontrollraum 2. F als Kraft am Schleusentor Anmerkungen

   

Koordinate t wird nach unten positiv gezählt. Die Geschwindigkeiten c1 und c2 seien über t0 konstant. Reibungsfreie Strömung, d. h. keine Schubspannungen an den Wänden. Druckkräfte aus pB heben sich am Kontrollraum auf.

Lösungsschritte – Fall 1 Kräfte am Kontrollraum: In horizontaler Richtung werden an den durchströmten Kontrollflächen einerseits die Impulskräfte und andererseits die Druckkräfte aus den hydrostatischen Druckverteilungen über t wirksam. Diese Kräfte sind senkrecht auf die durchströmten Kontrollflächen anzuordnen. Weiterhin muss die Reaktionskraft des Schleusentors auf den Kontrollraum berücksichtigt werden.

Aufgabe 2.16 Schleusentor

171

Lösungsschritte – Fall 2 Um F als Kraft am Schleusentor darzustellen, erhalten wir aus den Kräften am Kontrollraum in x-Richtung X

Fx D 0 D Fp1 C FI1  F  Fp2  FI2

und daraus umgeformt     F D FI1  FI2 C Fp1  Fp2 :

P  c. Die Impulskraft lautet allgemein FI D m P  c1 , m P D  VP , VP D c1  A1 und A1 D B  t1 wird Stelle 1: Mit FI1 D m

FI1 D  B  t1  c12 : P  c2 , m P D  VP , VP D c2  A2 und A2 D B  t2 wird Stelle 2: Mit FI2 D m

FI2 D  B  t2  c22 :

Die Kraft aus dem hydrostatischen Druck auf eine vertikale Wand lautet allgemein Fp D  g  A  tS : Stelle 1: Mit Fp1 D  g  A1  tS1 , A1 D B  t1 und tS1 D t1 =2 wird

Fp1 D

1   g  B  t12 : 2

172

2 Impulssatz für strömende Fluide

Stelle 2: Mit Fp2 D  g  A2  tS2 , A2 D B  t2 und tS2 D t2 =2 wird

Fp2 D

1   g  B  t22 : 2

Oben eingesetzt führt nach Ausklammern geeigneter Größen zu   1   F D  B  t1  c12  t2  c22 C   g  B  t12  t22 : 2 c2 muss jetzt noch mit dem Kontinuitätsgesetz VP D c1  A1 D c2  A2 in Verbindung mit c1 gebracht werden. Dies führt zu c2 D c1 

A1 ; A2

wobei bekanntlich A1 D B  t1 und A2 D B  t2 lauten. Somit erhält man

c2 D c1 

t1 t2

Oben eingesetzt liefert das zunächst     t2 1 F D  B  t1  c12  t2  c12  12 C   g  B  t12  t22 2 t2 oder umgestellt  2  2 1 2 2 2 t1 F D   g  B  t1  t2 C  B  t1  c1  t2  c1  2 : 2 t2 Jetzt wird

1 2

   g  B ausgeklammert, F D

 

 2  1 t2   g  B  t12  t22 C  t1  c12  t2  c12  12 ; 2 g t2

  und dann noch t1  c12 in der Klammer:  

 2  t1  c12 2 1 t2  c12 t12 2 F D   g  B  t1  t2 C   1 : 2 g t1  c12 t22

Aufgabe 2.17 Angeströmtes Profil

173

Das führt zum Resultat    

1 t22 t2 2  t1  c12 2 F D   g  B  t1  1  2 C  1 : 2 g t1 t1

Aufgabe 2.17 Angeströmtes Profil Eine Rinne, die man auch als angeströmtes Profil bezeichnen kann, wird von einem Wasserstrahl VP an der Stelle 1 tangential mit der Geschwindigkeit c1 unter dem Winkel ˛ beaufschlagt (Abb. 2.35). In der horizontal angeordneten Rinne wird der Wasserstrahl umgelenkt. Er verlässt die Rinne an der Stelle 2 mit der Geschwindigkeit c2 und unter dem Winkel ˇ. Zu ermitteln ist die am Profil einwirkende Wandkraft F sowie die Richtung .

Lösung zu Aufgabe 2.17 Aufgabenerläuterung Die hier gestellte Frage nach der Wandkraft bei der Umlenkung eines strömenden Fluids lässt sich mittels Impulssatz der Strömungsmechanik lösen. Gegebenenfalls kommen noch das Kontinuitätsgesetz und die Bernoulli’sche Energiegleichung zur Anwendung. Bei der

Kontrollraum

pB c1 pB 1

2

α

c2

pB

m β

pB

m

Horizontales System

Rinne y x

Abb. 2.35 Angeströmtes Profil

174

2 Impulssatz für strömende Fluide

Verwendung des Impulssatzes ist die Anordnung des Kontrollraums von besonderer Bedeutung. Im vorliegenden Fall wird er senkrecht zu dem ein- und austretenden Wasserstrahl gelegt und umschließt weiterhin die Wandkontur. Gegeben: ˛; ˇ; ; c1 ; VP Gesucht: 1. 2. 3. 4.

Kräfte am Kontrollraum F  F und , wenn ˛ D 30ı ; ˇ D 60ı ; D 1 000 kg/m3 ; c1 D 10;0 m/s; VP D 0;060 m3 =s Anmerkungen

 verlustfreie Strömung  horizontal angeordnetes Profil Lösungsschritte – Fall 1 Kräfte am Kontrollraum: Am Kontrollraum dieses horizontalen Systems werden an den Stellen 1 und 2 die Impulskräfte FI1 und FI2 normal auf die durchströmten Flächen wirksam. Des Weiteren entsteht eine resultierende Wandkraft F am Profil, die dann als Reaktionskraft am Kontrollraum vorliegt. Kräfte aus dem atmosphärischen Druck pB heben sich auf. Die Gewichtskraft des eingeschlossenen Wassers steht bei diesem horizontalen System normal zur Bildebene in Abb. 2.36 und hat somit keinen Einfluss auf die gesuchten Größen. Lösungsschritte – Fall 2 Die Wandkraft F lässt sich gemäß Abb. 2.36 aus dem rechtwinkligen Dreieck ermitteln zu

F D

q Fx2 C Fy2 :

Die beiden Kraftkomponenten werden im Einzelnen wie folgt bestimmt, zuerst die Komponente Fx : Die Kräftebilanz in x-Richtung lautet X

Fx D 0 D FI1;x  FI2;x  Fx :

Aufgabe 2.17 Angeströmtes Profil Abb. 2.36 Angeströmtes Profil (Kräfte am Kontrollraum)

175 FI 1 Kontrollraum

pB FI 1y F I 1x

FI 2 y

FI 2

1 α

FI2x

2 β

Horizontales System pB pB y

Fx x

γ

pB Fy

F

Hieraus folgt für Fx

Fx D FI1;x  FI2;x :

Mit FI1;x D FI1  cos ˛ und FI2;x D FI2  cos ˇ wird daraus zunächst Fx D FI1  cos ˛  FI2  cos ˇ: P  c1 und FI2 D m P  c2 . Des Weiteren sind FI1 D m Die Frage nach c2 löst sich wie folgt. Gemäß der Bernoulli-Gleichung an den Stellen 1 und 2, p1 p2 c2 c2 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 ;

2

2 erhält man mit p1 D p2 D pB und Z1 D Z2 (offenes, horizontales System) c1 D c2 :

Oben eingesetzt führt das zu Fx D m P  c1  cos ˛  m P  c1  cos ˇ

176

2 Impulssatz für strömende Fluide

oder mit m P D  VP dann Fx D  VP  c1  .cos ˛  cos ˇ/ :

Für die Komponente Fy beachten wir die Kräftebilanz in y-Richtung: X Fy D 0 D Fy  FI1;y  FI2;y : Hieraus folgt für Fy Fy D FI1;y C FI2;y :

Mit FI1;y D FI1  sin ˛ und FI2;y D FI2  sin ˇ wird zunächst Fy D FI1  sin ˛ C FI2  sin ˇ: P  c1 und FI2 D m P  c2 sowie c1 D c2 (s. o.). Oben eingesetzt Des Weiteren ist FI1 D m erhält man P  c1  sin ˛ C m P  c1  sin ˇ Fy D m oder, mit m P D  VP , Fy D  VP  c1  .sin ˛ C sin ˇ/ :

Dann wird mit F D

q Fx2 C Fy2 unter Verwendung der Ergebnisse für Fx und Fy

Fy D  VP  c1 

q .cos ˛  cos ˇ/2 C .sin ˛ C sin ˇ/2 :

Lösungsschritte – Fall 3 Für den Winkel bzw. die Richtung  gilt mit tan  D 

Fy  D arctan Fx

Fy Fx

 :

Aufgabe 2.18 Wagen mit Wasserstrahl

177

Lösungsschritte – Fall 4 Die Größen F und  nehmen, wenn ˛ D 30ı , ˇ D 60ı , D 1 000 kg/m3 , c1 D 10;0 m/s und VP D 0;060 m3 =s vorgegeben sind (und dimensionsgerecht gerechnet wird), die folgenden Werte an:

Fx D 1 000  0;060  10  .cos 30ı  cos 60ı / D 219;6 N

Fy D 1 000  0;060  10  .sin 30ı C sin 60ı / D 819;6 N

F D

p 21;62 C 819;62 D 848;5 N

  D arctan

819;6 219;6



D 75ı

Aufgabe 2.18 Wagen mit Wasserstrahl Ein in der horizontalen Ebene angeordneter Wagen stützt sich gemäß Abb. 2.37 über eine Feder an einer vertikalen Wand ab. Der Wagen wird an der Stelle 1 tangential von einem Wasserstrahl des Querschnitts A1 und der Geschwindigkeit c1 angeströmt. Aufgrund des unter dem Winkel ˛ ansteigenden Wagenbodens findet eine Ablenkung des Strahls in der gleichen Richtung statt. An der Stelle 2 strömt das Wasser mit der Geschwindigkeit c2 unter dem Winkel ˛ durch den Querschnitt A2 vom Wagen. Zu ermitteln ist der Federweg xF , der unter Einwirkung aller betreffenden Kräfte entsteht. Von der Feder ist die Federsteifigkeit cF ebenfalls bekannt.

Lösung zu Aufgabe 2.18 Aufgabenerläuterung Zur Ermittlung des Federwegs xF muss die auf die Feder einwirkende Horizontalkomponente der am Wagen vorliegenden Wandkraft F bekannt sein. Diese lässt sich mittels Impulssatz herleiten. Hierzu muss die Kräftebilanz am Kontrollraum angesetzt werden,

178

2 Impulssatz für strömende Fluide pB A2

2

Kontrollraum

c2

α

pB m

pB Feder

pB

1

c1

A1

y x

Abb. 2.37 Wagen mit Wasserstrahl

der in geeigneter Weise festzulegen ist. Bernoulli’sche Energiegleichung und Kontinuitätsgesetz kommen ebenfalls zur Anwendung. Gegeben: A1 ; c1 ; ˛; ; cF Gesucht: 1. Kräfte am Kontrollraum 2. xF 3. xF , wenn A1 D 0;001257 m2 ; c1 D 20;0 m/s; ˛ D 45ı ; D 1 000 kg/m3 ; cF D 1 600 N/m Anmerkungen

 Die Strömung sei verlustfrei.  Die Gewichtskraft des im Kontrollraum eingeschlossenen Wassers hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.  Der Höhenunterschied zwischen den Stellen 1 und 2 ist vernachlässigbar: Z . Lösungsschritte – Fall 1 Kräfte am Kontrollraum: Am Kontrollraum dieses Systems werden an den Stellen 1 und 2 die Impulskräfte FI1 und FI2 normal auf die durchströmten Flächen wirksam (Abb. 2.38). Des Weiteren entsteht eine resultierende Wandkraft F an der schrägen Wagenwand, die auch als Reaktionskraft am Kontrollraum vorliegt. Kräfte aus dem atmosphärischen Druck pB heben sich auf. Die Gewichtskraft des eingeschlossenen Wassers hat keinen Einfluss auf den gesuchten Federweg.

Aufgabe 2.18 Wagen mit Wasserstrahl Abb. 2.38 Wagen mit Wasserstrahl (Kräfte am Kontrollraum)

179 FI 2y

y 2

Kontrollraum

x

FI 2

α FI 2x

A2

pB

m

1

FI 1

FW x

A1

FW y

FW

pB

Lösungsschritte – Fall 2 Für den Federweg xF wissen wir, dass die Federsteifigkeit definiert ist mit cF D

FF : xF

xF D

FF : cF

Umgeformt nach xF ergibt dies

Die benötigte horizontale Federkraft FF kann man aus dem Kräftegleichgewicht am Wagen in x-Richtung gemäß Abb. 2.39 wie folgt ermitteln: X Fix D 0 D FWx  FF oder

FF D FWx :

Zur Bestimmung von FWx setzt man das Kräftegleichgewicht in x-Richtung am Kontrollraum gemäß Abb. 2.38 an: X Fix D 0 D FI1  FI2;x  FWx : Umgestellt hat dies

FWx D FI1  FI2;x

180

2 Impulssatz für strömende Fluide

zur Folge. In Verbindung mit der Gleichung für die Federkraft entsteht

FF D FI1  FI2;x :

In den Federweg eingesetzt wird daraus

xF D

FI1  FI2;x : cF

P  c1 erhalten wir mit m P D  VP und VP D c1  A1 zu Die benötigte Impulskraft FI1 D m

FI1 D  A1  c12 : Die Impulskraft FI2 D m P  c2 bekommen wir mit m P D  VP und VP D c2  A2 als

FI2 D  A2  c22 :

Hierin müssen zunächst c2 und A2 aus bekannten Größen ersetzt werden. Benutzt man dazu die Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen 1 und 2, p1 p2 c2 c2 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 ;

2

2 wobei p1 D p2 D pB und Z1 D 0 und Z  Z2 und vernachlässigt dabei den Höhenunterschied Z, so führt das auf c1  c2 : Mittels der Kontinuitätsgleichung VP D c1  A1 D c2  A2 und mit c1  c2 liefert das dann A2  A1 : Somit wird FI2   A1  c12 :

Aufgabe 2.19 Hochgeschwindigkeitswagen mit Wasserbremse Abb. 2.39 Wagen mit Wasserstrahl (Federkraft)

FW

181 FW y

y FW x

x

FF

Wegen FI2;x D FI2  cos ˛ erhält man

FI2;x   A1  c12  cos ˛:

In den Federweg (s. o.) eingesetzt führt zum Ergebnis

xF D

 A1  c12  .1  cos ˛/ : cF

Lösungsschritte – Fall 3 Wir finden für xF , wenn A1 D 0;001257 m2 , c1 D 20;0 m/s, ˛ D 45ı , D 1 000 kg/m3 und cF D 1 600 N/m gegeben sind, den Wert xF D

1 000  0;001257  202  .1  cos 45ı / 1 600 xF D 0;092 m  92 mm

Aufgabe 2.19 Hochgeschwindigkeitswagen mit Wasserbremse Ein Hochgeschwindigkeitswagen muss aus der Geschwindigkeit uA auf möglichst kurzem Bremsweg zum Stillstand kommen (Abb. 2.40). Eine Möglichkeit hierbei stellt eine Schöpfeinrichtung dar, die in einen zwischen den Rädern angeordneten Wassergraben eingetaucht wird. Mit der Eintauchtiefe h und der Breite B wird ein Massenstrom m P durch

182

2 Impulssatz für strömende Fluide B senkrecht zur Zeicheneben α

Mit u mitbewegter Kontrollraum = Relativer Kontrollraum

pB c2

w2

u

u 2

y pB

Δ

x

m w1

Δ

pB u

h

1

Abb. 2.40 Hochgeschwindigkeitswagen mit Wasserbremse

die Einrichtung gefördert. Aufgrund ihrer Anordnung unter dem Winkel ˛ gegenüber der Horizontalen erfolgt eine Strömungsumlenkung um denselben Winkel. Diese Umlenkung bewirkt eine Wandkraft an der Einrichtung, die eine Verzögerung des Wagens hervorruft. Bei den bekannten geometrischen Abmessungen, der Masse m des Wagens und der Anfangsgeschwindigkeit uA soll eine Gleichung ermittelt werden, mit der man die Verzögerung ax feststellt. Ebenfalls soll die Frage nach der Zeit t gelöst werden, in der die Geschwindigkeit von uA auf u verzögert wird.

Lösung zu Aufgabe 2.19 Aufgabenerläuterung Ausgangspunkt bei der Lösung der Fragen ist das 2. Newton’sche Gesetz. Hierin werden alle äußeren Kräfte am Fahrzeug benötigt, um die Beschleunigung bzw. in diesem Fall die Verzögerung bei gegebener Masse zu ermitteln (Abb. 2.41). Als äußere Kraft soll nur die aufgrund der Strömungsumlenkung in der Schöpfeinrichtung wirkende Wandkraft berücksichtigt werden. Diese lässt sich am Kontrollraum feststellen. Er muss so angeordnet werden, dass seine Grenzen die Strömung am Ein- und Austritt senkrecht schneidet und des Weiteren an der Wand anliegt. Gegeben: h; B; uA ; ˛; ; m Gesucht: 1. ax 2. t

Aufgabe 2.19 Hochgeschwindigkeitswagen mit Wasserbremse FW y

α

u

183

FW y

2 FW x

m

x u

Δ

Δ

1

Abb. 2.41 Hochgeschwindigkeitswagen mit Wasserbremse (Kräfte am Wagen)

3. aA , wenn h D 0;080 m; B D 0;30 m; uA D 600 km/h  166,7 m/s; ˛ D 30ı ; D 1 000 kg/m3 ; m D 1 000 kg 4. tE , wenn uE D 0 5. t1=100 , wenn u D uA =100 Anmerkungen

 Der Kontrollraum und das Koordinatensystem sind an den Wagen gebunden, weisen also auch dessen Systemgeschwindigkeit u auf. Somit liegt ein stationäres Relativsystem mit den Strömungsgeschwindigkeiten w vor.  keine Flüssigkeitsreibung in der Schöpfeinrichtung  keine Bremskräfte an den Rädern  kein Luftwiderstand  abgeschalteter Motor  Die Gewichtskraft des Wassers im Kontrollraum sei sehr klein.  Bei dem mit u mitbewegten Kontrollraum liegt stationäre Strömung mit w1 D u an der Stelle 1 vor.  Index A: Anfang des Bremsvorgangs  Index E: Ende des Bremsvorgangs Lösungsschritte – Fall 1 Wir beginnen mit der Verzögerung ax . Am Wagen wirkt als einzige äußere Kraft die vom Kontrollraum auf die Schöpfeinrichtung übertragene Wandkraft (Aktionskraft) FW (Abb. 2.42). In x-Richtung gilt somit das 2. Newton’sche Gesetz X

Fix D m  ax ;

184

2 Impulssatz für strömende Fluide

wobei

X

Fix D FWx

lautet. Das negative Vorzeichen muss benutzt werden, da FWx entgegen der x-Richtung am Wagen wirkt. Man erhält dann zunächst FWx D m  ax oder, nach ax aufgelöst,

ax D 

FWx : m

Für die Komponente F Wx untersuchen wir das Kräftegleichgewicht am Kontrollraum in x-Richtung lautet X Fix D 0 D FWx  FI1 C FI2;x : Hieraus folgt nach Umstellen FWx D FI1  FI2;x ; wobei FI2;x D FI2  cos ˛ ist. Man erhält somit FWx D FI1  FI2  cos ˛:

Am Relativkontrollraum ist weiterhin FI1 D m P  w1

und FI2 D m P  w2 :

Folglich wird zunächst FWx D m P  w1  m P  w2  cos ˛: Unter Beachtung der Bernoulli’schen Energiegleichung des Relativsystems, p1 p2 w2 w2 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 ;

2

2 wobei hier p1 D p2 D pB , Z1 D 0 und Z  Z2 sind, und bei Vernachlässigung des Höhenunterschieds Z erhält man w1  w2 :

Aufgabe 2.19 Hochgeschwindigkeitswagen mit Wasserbremse Abb. 2.42 Hochgeschwindigkeitswagen mit Wasserbremse (Kräfte am Kontrollraum)

185

FI 2 y

FI 2 w2

pB

2 pB

FI 2 x α FW x

y

pB

pB

m

x

u

FW

FW y

w1 FI 1 1

Damit folgt P  w1  .1  cos ˛/ : FWx D m Mit m P D  VP und VP D w1  A1 sowie A1 D h  B führt zu

FWx D  h  B  w12  .1  cos ˛/ :

Oben eingesetzt liefert dies ax D 

 h  B  .1  cos ˛/  w12 : m

Da zu jeder Zeit w1 D u ist, lautet das Ergebnis

ax D 

 h  B  .1  cos ˛/ 2 u : m

So ist zur Zeit t D 0 die Geschwindigkeit u D uA und man erhält als Anfangsverzögerung

aA D 

 h  B  .1  cos ˛/ 2  uA : m

186

2 Impulssatz für strömende Fluide

Lösungsschritte – Fall 2 Für die Verzögerungszeit t notieren wir die Beschleunigung am Wagen: ax D Mit ax D 

FWx m

du : dt

wird im vorliegenden Fall du FW D x dt m

oder dt D 

m  du: FWx

Setzt man noch FWx ein, so entsteht dt D 

m  du:

 h  B  .1  cos ˛/  u2

Nun wird zwischen Anfangszustand tA und Zustand t integriert: Zt tA D0

m dt D  

 h  B  .1  cos ˛/

Zu

u2  du:

uA

Mit den Grenzen tA D 0 und uA sowie t und u folgt dann zunächst t 0D

ˇu 1 m   u1 ˇu A

 h  B  .1  cos ˛/ .2 C 1/

und schließlich

tD

m 

 h  B  .1  cos ˛/



1 1  u uA

 :

Lösungsschritte – Fall 3 Der Anfangswert aA hat, wenn h D 0;080 m, B D 0;30 m, uA D 600 km/h  166,7 m/s, ˛ D 30ı , D 1 000 kg/m3 und m D 1 000 kg vorgegeben sind, den Zahlenwert aA D 

1 000  0;080  0;30  .1  cos 30ı /  166;72 m aA D 89;35 m=s2  9;1  g

Aufgabe 2.20 Angeströmter bewegter Becher

187

Lösungsschritte – Fall 4 Die Endzeit tE , bei der uE D 0 hat mit den gegebenen Zahlen den Wert   1 1 000 1 tE D   1 000  0;080  0;30  .1  cos 30ı / 0 166;7 tE D 1

Lösungsschritte – Fall 5 Die Zeit t1=100 , zu der u D uA =100 ist, beträgt t1=100 D

1 000  .100  1/ 1 000  0;08  0;30  .1  cos 30ı /  166;7 t1=100 D 184;7 s  3;08 min

Aufgabe 2.20 Angeströmter bewegter Becher Ein gemäß Abb. 2.43 in der Horizontalebene angeordneter Becher bewegt sich translatorisch mit der Systemgeschwindigkeit u1 D u2 D u in x-Richtung. Der Becher wird an der Stelle 1 tangential von einem Wasserstrahl mit dem Durchmesser D und der Absolutgeschwindigkeit c1 angeströmt. Maßgebliche Geschwindigkeit an der Stelle 1 im mitbewegten Kontrollraum ist die Relativgeschwindigkeit w1 . Aufgrund der unter dem Winkel

u1

w1

c1

pB 1

D

m

u = u1 = u2

pB

pB y Bewegter Becher

Kontrollraum

Horizontales System

β

x m pB 2

u2 β

w2

Abb. 2.43 Angeströmter bewegter Becher

c2

w2

188

2 Impulssatz für strömende Fluide

ˇ vorliegenden Becherumlenkung findet eine Ablenkung des Strahls in der gleichen Richtung statt. An der Stelle 2 der Kontrollraumgrenze liegt dann die Relativgeschwindigkeit w2 unter dem Winkel ˇ vor. Gesucht wird die am Becher wirksame Kraft FB .

Lösung zu Aufgabe 2.20 Aufgabenerläuterung Die hier gestellte Frage nach der Wandkraft bei der Umlenkung eines strömenden Fluids lässt sich mittels Impulssatz der Strömungsmechanik lösen. Gegebenenfalls kommen noch das Kontinuitätsgesetz und die Bernoulli’sche Energiegleichung des Relativsystems zur Anwendung. Bei der Verwendung des Impulssatzes ist die Anordnung des Kontrollraums von besonderer Bedeutung. Im vorliegenden Fall wird er senkrecht zu dem ein- und austretenden Wasserstrahl und entlang der benetzten Wandkontur gelegt. Gegeben: c1 ; D; ˇ; ; u1 D u2 D u; w2 D k  w1 Gesucht: 1. Kräfte am Kontrollraum 2. FB 3. FB , wenn c1 D 30 m/s; D D 0;050 m; ˇ D 30ı ; D 1 000 kg/m3 ; u1 D u2 D u D 18 m/s; k D 0;9 Anmerkungen

 Der Kontrollraum und das Koordinatensystem sind an den Becher gebunden, weisen also auch dessen Systemgeschwindigkeit u auf.  Der Kontrollraum bewegt sich mit u1 D u2 D u in Strahlrichtung c1 .  Der Kontrollraum ist somit ein Relativsystem mit den hierin vorliegenden ! ! !  Relativgeschwindigkeiten w1 und w2 , wobei allgemein c D u C w.  Es liegt ein horizontales System vor. Die Strömungsverluste im Becher werden durch den Ansatz w2 D k  w1 berücksichtigt, wobei k < 1 ist. Lösungsschritte – Fall 1 Kräfte am Kontrollraum: Am Kontrollraum dieses Systems werden gemäß Abb. 2.44 an den Stellen 1 und 2 die Impulskräfte FI1 und FI2 normal auf die durchströmten Flächen wirksam. Des Weiteren entsteht eine resultierende Wandkraft FB am Becher, die auch als Reaktionskraft am Kontrollraum vorliegt. Kräfte aus dem atmosphärischen Druck pB heben sich auf. Die Gewichtskraft des eingeschlossenen Wassers wirkt sich aufgrund des horizontalen Systems nicht auf die gesuchte Becherkraft aus.

Aufgabe 2.20 Angeströmter bewegter Becher Abb. 2.44 Angeströmter bewegter Becher (Kräfte am Kontrollraum)

189 pB

FI 1

FB

FB y

1 FB x

y

pB

pB x

Kontrollraum

β

pB 2

FI 2x

pB FI 2y β

FI 2

Lösungsschritte – Fall 2 Die Becherwandkraft FB bzw. als Reaktionskraft am Kontrollraum lautet

FB D

q FB2x C FB2y :

Somit müssen die beiden Komponenten FBx und FBy nacheinander bestimmt werden. Für die Komponente FBx notieren wir die Kräftebilanz am Kontrollraum in xRichtung: X Fx D 0 D FI1 C FI2;x  FBx : Hieraus folgt

FBx D FI1 C FI2;x :

Mit FI2;x D FI2  cos ˇ erhält man FBx D FI1 C FI2  cos ˇ: P  w1 und FI2 D m P  w2 . Dies führt zu Hierin ist im Relativsystem FI1 D m P  w1 C m P  w2  cos ˇ FBx D m Dm P  .w1 C w2  cos ˇ/

190

2 Impulssatz für strömende Fluide

und mit w2 D k  w1 dann auf P  w1  .1 C k  cos ˇ/ : FBx D m Den hier noch benötigten Massenstrom m P kann man mittels m P D  VP , VP D A1  w1 und A1 D 4  D 2 zu

m P D   D 2  w1 4 herleiten. Oben eingesetzt führt das zu

FBx D 

 D 2  w12  .1 C k  cos ˇ/ ; 4

wobei w1 D c1  u1

ist. Für die Komponente FBy notieren wir die Kräftebilanz am Kontrollraum in yRichtung: X Fy D 0 D FI2;y  FBy : Hieraus folgt

FBy D FI2;y :

Mit FI2;y D FI2  sin ˇ erhält man FBy D FI2  sin ˇ: P  w2 (s. o.) Weiterhin bekommen wir mit FI2 D m P  w2  sin ˇ: FBy D m Mit w2 D k  w1 führt das zu P  w1  k  sin ˇ: FBy D m

Aufgabe 2.20 Angeströmter bewegter Becher

Dann wird m P D 

4

191

 D 2  w1 eingesetzt, das ergibt

FBy D 

 D 2  w12  k  sin ˇ; 4

wobei w1 D c1  u1

ist. Werden nun schließlich FBx und FBy in die Ausgangsgleichung FB D

q

FB2x C FB2y

eingesetzt, führt zum Ergebnis

FB D 

 D 2  w12  4

q .1 C k  cos ˇ/2 C .k  sin ˇ/2 :

Eine Vereinfachung lässt sich wie folgt erreichen: .1 C k  cos ˇ/2 C .k  sin ˇ/2 D 1 C 2  k  cos ˇ C k 2  cos2 ˇ C k 2  sin2 ˇ   D 1 C 2  k  cos ˇ C k 2  cos2 ˇ C sin2 ˇ : Da sin2 ˇ C cos2 ˇ D 1 ist, führt dies zu .1 C k  cos ˇ/2 C .k  sin ˇ/2 D 1 C 2  k  cos ˇ C k 2 : Das Ergebnis für FB lautet somit

FB D 

p

 D 2  w12  1 C 2  k  cos ˇ C k 2 : 4

192

2 Impulssatz für strömende Fluide

Lösungsschritte – Fall 3 FB mit den Zahlenwerten c1 D 30 m/s, D D 0;050 m, ˇ D 30ı , D 1 000 kg/m3 , u1 D u2 D u D 18 m/s und k D 0;9 erhalten wir über w1 :

w1 D 30  18 D 12 m=s

FB D 1 000 

p

 0;0502  122  1 C 2  0;9  cos 30ı C 0;92 D 519 N 4

Aufgabe 2.21 Abbremsen eines Raumschiffs im All Ein in Abb. 2.45 dargestelltes Raumschiff soll aus seiner Systemgeschwindigkeit uA auf eine kleinere Geschwindigkeit uE abgebremst werden. Hierzu bedient man sich einer Schubumkehreinrichtung. Diese wird von einem Gasmassenstrom m P in der Weise beaufschlagt, dass er am Austritt der Einrichtung diese in Richtung der Systemgeschwindigkeit verlässt. Wie lautet die Zeit tE bis zum Erreichen der Endgeschwindigkeit uE , wenn neben der Anfangsgeschwindigkeit uA , der Endgeschwindigkeit uE , dem Massenstrom m P und der Gesamtraumschiffmasse m0 zu Beginn des Abbremsens noch die Relativgeschwindigkeit w des Gasstroms bekannt sind. Weiterhin wird die in der Zeit tE verbrannte Treibstoffmasse mT gesucht. Schubumkehreinrichtung

u(t)

w

c(t)

m m(t)

x u(t) ax

m

Mit u(t) mitbewegter Kontrollraum: Relativkontrollraum

Abb. 2.45 Raumschiff bei Schubumkehr

Aufgabe 2.21 Abbremsen eines Raumschiffs im All

193

Lösung zu Aufgabe 2.21 Aufgabenerläuterung Ausgangspunkt bei der Lösung der Fragen ist das 2. Newton’sche Gesetz. Hierin werden alle äußeren Kräfte am Raumschiff benötigt, um die Beschleunigung bzw. in diesem Fall die Verzögerung zu ermitteln. Als äußere Kraft soll nur die aufgrund der Strömungsumlenkung in der Schubumkehreinrichtung wirkende Wandkraft berücksichtigt werden. Diese lässt sich am Kontrollraum feststellen. Er muss so angeordnet werden, dass seine Grenze die Austrittsströmung senkrecht schneidet und des Weiteren an der Wand der Umlenkungseinrichtung anliegt sowie das Raumschiff umschließt. Gegeben: m0 w m P D UA

dmT .t / dt

uE

Gesamtraumschiffmasse vor Abbremsbeginn Gasaustrittsgeschwindigkeit als Relativgeschwindigkeit an der Umkehrschaufel Massenstrom an Umkehrschaufel Raumschiffgeschwindigkeit als Systemgeschwindigkeit zu Beginn des Abbremsens Raumschiffgeschwindigkeit als Systemgeschwindigkeit nach dem Abbremsen

Gesucht: 1. t  tE (Zeit, bis uE erreicht ist) 2. mT (In tE verbrauchte Treibstoffmasse) P D 8 kg=s; uA D 8 500 m/s; 3. tE und mT , wenn m0 D 1 550 kg; w D 1 300 m/s; m uE D 8 400 m/s Anmerkungen

 Der Index „A“ steht für Anfang, der Index „E“ steht für Ende.  Der Kontrollraum und das Koordinatensystem sind an das Raumschiff gebunden, weisen also auch dessen Systemgeschwindigkeit u(t) auf.  Der Kontrollraum ist somit ein Relativsystem mit der hierin vorliegenden Relativ! ! ! geschwindigkeit w, wobei allgemein c D u C w.  mT (t): Treibstoffmasse zur Zeit t  mT (0): Treibstoffmasse zur Zeit t D tA D 0  mR : Raumschiffmasse ohne mT  m.t/ D mT .t/ C mR : Raumschiffmasse zur Zeit t  m0 D mT .0/ C mR : Raumschiffmasse zur Zeit t D tA D 0

194

2 Impulssatz für strömende Fluide

Abb. 2.46 Raumschiff bei Schubumkehr (Kräfte am Kontrollraum)

FI FW

Lösungsschritte – Fall 1 Für die Zeit tE ziehen wir das das 2. Newton’sche Gesetz hinzu, am Raumschiff lautet es allgemein X! ! F i D m  a;

in x-Richtung gilt X

Fix D m  ax :

Wegen nicht vorhandener Druck- und Luftreibungskräfte im All werden nur die von der Schubumkehreinrichtung auf den Kontrollraum ausgeübte Wandkraft FW (Reaktionskraft) und die ebenfalls auf den Kontrollraum gerichtete Impulskraft FI wirksam (Abb. 2.46), also ist FW  FI D 0. Somit gilt FW D FI : P P Wegen Fix D m  ax (s. o.) und Fix D FW (weil FW entgegen der x-Richtung am P  w und m  m.t/ Raumschiff angreift), folgt mit FI D m m.t/  ax D m P  w: / und m.t/ D mT .t/ C mR . Hierin sind ax D du.t dt Für die Massenfunktion m.t/ bemerken wir, dass bei konstantem Treibstoffverbrauch mT von mT (0) ausgehend linear abnimmt. Nach Abb. 2.47 lässt sich angeben

dmT .t/ mT .0/  mT .t/ Dm P D : dt t

Aufgabe 2.21 Abbremsen eines Raumschiffs im All Abb. 2.47 Treibstoffmassenstrom in Abhängigkeit von der Zeit

195

mT mT(0)

mT(t) dmT dt t=0

t

Umgeformt führt das zunächst zu P t mT .0/  mT .t/ D m oder umgestellt

mT .t/ D mT .0/  m P  t:

Des Weiteren folgt mit m.t/ D mT .t/ C mR folgt P  t C mR mT .t/ D mT .0/  m

oder mT .t/ D mT .0/ C mR  m P  t:

Da auch m0 D mT .0/ C mR ist (s. o.), erhält man

m.t/ D m0  m P  t:

Oben eingesetzt ergibt das P  t/  .m0  m

du.t/ D m P  w: dt

Umgeformt führt das dann zu

dt du.t/ D : m0  m P t m P w

t

196

2 Impulssatz für strömende Fluide

Mit der Substitution P t v D m0  m wird zunächst

dt du.t/ D : v m P w

, so folgt dv D m P und hieraus dt D  dv . Bildet man den Differenzialquotienten dv dt dt m P Somit erhält man dv 1 du.t/   D v m P m P w oder

dv du.t/ D : v w

Die Integration liefert zunächst ZvE

dv 1 D  v w

vA

oder ln vE  ln vA D

ZuE du.t/ uA

1  .uE  uA / : w

Jetzt wird v zurücksubstituiert, das ergibt P  tE /  ln .m0  m P  tA / D ln .m0  m

1  .uE  uA / : w

Da tA D 0; erhält man P  tE /  ln m0 D ln .m0  m

1  .uE  uA / : w

Multiplikation mit (1) liefert, sofern uA > uE : ln

m0 uA  uE D : m0  m P  tE w

Da allgemein eln a D a gilt, folgt uA uE m0 De w m0  m P  tE

Aufgabe 2.21 Abbremsen eines Raumschiffs im All

oder umgestellt

197

P  tE 1 m0  m D uA uE : m0 e w

Dies lässt sich auch verändern zu 1

1 m P  tE D uA uE : m0 e w

Schließlich lösen wir nach tE auf, das ergibt zunächst m P 1  tE D 1  uA uE : m0 e w Das Resultat lautet schließlich

tE D

  m0 1  1  uA uE : m P e w

Lösungsschritte – Fall 2 Die verbrauchte Treibstoffmasse mT ergibt sich mit m P D Verlauf zu

dmT dt

D

mT t

bei linearem

mT D m P  t

Lösungsschritte – Fall 3 P D 8 kg=s, Die Größen tE und mT nehmen, wenn m0 D 1 550 kg, w D 1 300 m/s, m uA D 8 500 m/s und uE D 8 400 m/s gegeben sind, die folgenden Werte an:

tE D

  1 550 1  1  8 5008 400 D 14;35 s 8 e 1 300

mT D 8  .14;35  0/ D 114;8 kg

198

2 Impulssatz für strömende Fluide

Aufgabe 2.22 Hosenrohr, ins Freie ausströmend Das in Abb. 2.48 dargestellte „Hosenrohr“ besteht aus einem Zulaufrohr 1 mit dem Durchmesser D1 und zwei verschieden großen, ins Freie mündenden Abzweigungen des Durchmessers D2 bzw. D3 . Das Rohr 2 weist einen Winkel ˛ und das Rohr 3 einen Winkel ˇ zur x-Achse auf. Das System ist horizontal angeordnet. Wie lauten die Gleichungen zur Ermittlung der am Hosenrohr wirkenden Wandkraft FW sowie des Winkels  zur x-Achse? Hierbei sind die geometrischen Größen D1 , D2 , D3 , ˛ und ˇ sowie c2 D c3 gegeben.

Lösung zu Aufgabe 2.22 Aufgabenerläuterung Bei der vorliegenden Frage nach der Kraft, welche von einem strömenden Fluid auf die Wand des durchströmten Systems ausgeübt wird, bietet sich der Impulssatz als hilfreiches Mittel an. Der Anordnung des Kontrollraums kommt besondere Bedeutung zu. Im vorliegenden Fall wird er bündig an die benetzten Rohrwände und senkrecht zur Strömung durch die betreffenden Querschnitte gelegt. Die Bernoulli’sche Energiegleichung und das Kontinuitätsgesetz werden ebenfalls gebraucht. Gegeben:  ˛; ˇ; ; D1 ; D2 ; D3 ; c2 D c3 ; pB c2

pB D2

Kontrollraum

2

m2

D1

c1 p1

y

α

m1

pB β

x

m3

Horizontales System

1

D3

pB c3

3

Abb. 2.48 Hosenrohr, ins Freie ausströmend

Aufgabe 2.22 Hosenrohr, ins Freie ausströmend

199 FI 2 Fp 2

F Wx

FI 1 FWy

γ

α

y

FW x

Fp 1

β

Fp 3

FI 3

Abb. 2.49 Hosenrohr, ins Freie ausströmend (Kräfte am Kontrollraum)

Gesucht: 1. 2. 3. 4.

Kräfte am Kontrollraum FW (Wandkraft am Hosenrohr)  (Richtung der Kraft FW ) FW und , wenn ˛ D 15ı ; ˇ D 30ı ; D 1 000 kg/m3 ; D1 D 0;15 m; D2 D 0;10 m; D3 D 0;075 m; c2 D c3 D 12 m/s; pB D 100 000 Pa Anmerkungen

 verlustfreie Strömung  horizontale Lage Lösungsschritte – Fall 1 Kräfte am Kontrollraum: Bei den am Kontrollraum angreifenden Kräften handelt es sich an den durchströmten Querschnitten um senkrecht auf den Flächen stehende Impulsund Druckkräfte (Abb. 2.49). Die Drücke werden hierbei als Absolutdrücke verstanden. Weiterhin wirkt am Kontrollraum die gesuchte Wandkraft, die als Reaktionskraft von der Hosenrohrwand auf den Kontrollraum zu verstehen ist.

200

2 Impulssatz für strömende Fluide

Lösungsschritte – Fall 2 Gemäß Abb. 2.49 setzt sich nach Pythagoras die Wandkraft FW aus den beiden Komponenten FWx und FWy wie folgt zusammen

FW D

q FW2 x C FW2 y :

Die Kraftkomponente FWx in x-Richtung erhalten wir aus der Kräftebilanz wie folgt: X! F D 0 D Fp1 C FI1  FWx  Fp2  cos ˛  FI2  cos ˛  Fp3  cos ˇ  FI3  cos ˇ oder     FWx D Fp1  Fp2  cos ˛  Fp3  cos ˇ C FI1  FI2  cos ˛  FI3  cos ˇ : Es sind Fp1 D p1  A1 I FI2 D m P 2  c2 I

Fp2 D pB  A2 I Fp3 D pB  A3 m P 1 D  VP1 I VP1 D c1  A1 I FI1 D  A1  c12 m P 2 D  VP2 I VP2 D c2  A2 I FI D  A2  c22

FI3 D m P 3  c3 I

m P 3 D  VP3 I

FI1 D m P 1  c1 I

2

VP3 D c3  A3 I

FI3 D  A3  c32 :

Damit erhält man FWx D .p1  A1  pB  A2  cos ˛  pB  A3  cos ˇ/   C  A1  c12   A2  c22  cos ˛   A3  c32  cos ˇ     D A1  p1 C  c12  A2  pB  cos ˛ C  c22  cos ˛    A3  pB  cos ˇ C  c22  cos ˇ : Mit A D

4

 D 2 führt dies zur gesuchten Kraftkomponente FWx wie folgt:

FWx D

  

 2   D1  p1 C  c12  D22  pB  cos ˛ C  c22  cos ˛ 4   D32  pB  cos ˇ C  c22  cos ˇ :

Hierin sind noch der Druck p1 und die Geschwindigkeit c1 zu bestimmen.

Aufgabe 2.22 Hosenrohr, ins Freie ausströmend

201

Für den Druck p1 beachten wir die Bernoulli-Gleichung bei 1 und 2 (ohne Verluste): p1 p2 c2 c2 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 :

2

2 wobei hier p2 D pB und Z1 D Z2 sind. Dies führt zu c2 c2 p1 pB D C 2  1



2 2 oder

 

2 c2  c2  1  12 : 2 c2

p1 D pB C

.c1 =c1 /2 erhält man aus der Kontinuität gemäß VP1 D VP2 C VP3 wobei VP1 D c1  A1 , VP2 D c2  A2 und VP3 D c2  A3 sowie c2 D c3 gelten. Dann ist nämlich c1  A1 D c2  A2 C c2  A3 oder, wenn man durch A1 dividiert und c2 ausgeklammert, c2  .A2 C A3 / : A1

c1 D

Durch c2 dividiert und danach quadriert liefert wie gewünscht .c1 =c1 /2 : 

Nach Kürzen von c22 ist

c1 c2



2

c1 c2

D

c22  .A2 C A3 /2 c22  A21

2 D

.A2 C A3 /2 : A21

Oben eingesetzt liefert das dann " #

2 .A2 C A3 /2 p1 D pB C  c2  1  2 A21 und mit A D

4

 D2 " 2 #  2 D2 C D32

2 p1 D pB C  c2  1  : 2 D14

202

2 Impulssatz für strömende Fluide

Für die Geschwindigkeit c1 erhalten wir mit c1 D

c1 D c2 

c2 .A2 CA3 / A1

(s. o.)

D22 C D32 : D12

Die Kraftkomponente FWy in y-Richtung erhalten wir aus der Kräftebilanz wie folgt: X

F D 0 D FWy C Fp3  sin ˇ C FI3  sin ˇ  Fp2  sin ˛  FI2  sin ˛

oder umgestellt FWy D Fp2  sin ˛ C FI2  sin ˛  Fp3  sin ˇ  FI3  sin ˇ: Es sind Fp2 D pB  A2 I FI2 D m P 2  c2 I FI3 D m P 3  c3 I

Fp3 D pB  A3 m P 2 D  VP2 I VP2 D c2  A2 I m P 3 D  VP3 I VP3 D c3  A3 I

FI2 D  A2  c22 FI3 D  A3  c32 :

Damit erhält man FWy D pB  A2  sin ˛ C  A2  c22  sin ˛  pB  A3  sin ˇ   A3  c22  sin ˇ D pB  A2  sin ˛  pB  A3  sin ˇ C  A2  c22  sin ˛   A3  c22  sin ˇ D pB  .A2  sin ˛  A3  sin ˇ/ C  c22  .A2  sin ˛  A3  sin ˇ/ : Mit A D

4

 D 2 wird

FWy D

   

  pB  D22  sin ˛  D32  sin ˇ C  c22  D22  sin ˛  D32  sin ˇ : 4

und die resultierende Wandkraft ist

FW D

q FW2 x C FW2 y

unter Benutzung der beiden Ergebnisse für FWx und FWy :

Aufgabe 2.22 Hosenrohr, ins Freie ausströmend

203

Lösungsschritte – Fall 3 Der Winkel bzw. die Richtung  ergibt sich direkt zu 

FWy  D arctan FWx



Lösungsschritte – Fall 4 Für FW und  finden wir, wenn ˛ D 15ı , ˇ D 30ı , D 1 000 kg/m3 , D1 D 0;15 m, D2 D 0;10 m, D3 D 0;075 m, c2 D c3 D 12 m/s und pB D 100 000 Pa gegeben sind, dimensionsgerecht gerechnet folgende Zahlenwerte: " 2 #  0;102 C 0;0752 1 000 2 p1 D 100 000 C  12  1  D 137 278 Pa 2 0;154

c1 D 12 

Fx D

0;12 C 0;0752 D 8;333 m=s 0;152

 

  0;152  137 278 C 1 000  8;3332 4    0;102  100 000  cos 15ı C 1 000  122  cos 15ı   0;0752  100 000  cos 30ı C 1 000  122  cos 30ı

Fx D 868 N

Fy D

 

  100 000  0;102  sin 15ı  0;0752  sin 30ı 4   C1 000  122  0;102  sin 15ı  0;0752  sin 30ı

Fy D 43 N

(d. h. entgegengesetzt zur angenommenen Richtung wirkend)

204

2 Impulssatz für strömende Fluide

FW D

q 8682 C .43/2 D 869 N



43  D arctan 868



D 2;8ı

Aufgabe 2.23 Hochwasserüberlauf Ein Hochwasserüberlauf zählt zu den Hochwasserentlastungsanlagen mit der Aufgabe, Absperrbauwerke (Staumauern, Staudämme) vor zu hohen Wasserpegeln und damit verbunden zu hohen Belastungen zu schützen. Am Überlauf selbst können dabei beachtliche Kräfte entstehen, die für vorliegenden Fall (Abb. 2.50) ermittelt werden sollen. Aufgrund der Pegel Z1 und Z2 im Zulauf 1 und Ablauf 2 besteht nun die Aufgabe darin, die auf die Breite B bezogene horizontale Kraft am Überlauf zu bestimmen.

Lösung zu Aufgabe 2.23 Aufgabenerläuterung Zur Ermittlung der an einem Hochwasserüberlauf gemäß Abb. 2.50 wirkenden horizontalen Gesamtkraft FW wird ein Kontrollraum (Abb. 2.51) derart in dem System anzupB 1

c1

Kontrollraum

y x

pB

B senkrecht zur Zeichenebene

Z1

2 Z2 Bezugsebene

Abb. 2.50 Hochwasserüberlauf

pB c2

Aufgabe 2.23 Hochwasserüberlauf

205

y Fp 1

x

FI 1 FW 1

FW2 x

FW 2

Fp 2 FI 2

Abb. 2.51 Hochwasserüberlauf (Kräfte am Kontrollraum)

ordnen sein, dass er erstens die benetzte Oberfläche des Überlaufs umschließt. Zweitens muss er im Zulauf 1 sowie im Ablauf 2 senkrecht zu den homogenen Geschwindigkeitsverteilungen c1 und c2 gelegt werden. Bei gegebenen Pegeln Z1 und Z2 sowie der Breite B des Überlaufs werden zur Bestimmung der Impulskräfte die hierfür erforderlichen Geschwindigkeiten c1 und c2 benötigt. Diese lassen sich mittels Kontinuitätsgesetz und Bernoulli’scher Energiegleichung herleiten. Hydrostatische Druckkräfte sind an den Grenzen des Kontrollraums bei 1 und 2 ebenfalls zu berücksichtigen. Gegeben:  ; g; Z1 ; Z2 Gesucht: 1. Kräfte am Kontrollraum W (resultierende horizontale Kraft am Überlauf) 2. F B FW 3. B , wenn D 1 000 kg/m3 ; g D 9;81 m/s2 ; Z1 D 4;0 m; Z2 D 5;0 m Anmerkungen

   

reibungsfreie Strömung und daher keine Schubspannungen an den Wänden Kräfte aus pB heben sich am Kontrollraum auf. Die Geschwindigkeitsverteilungen bei 1 und 2 sind homogen. Kräfte in y-Richtung müssen nicht berücksichtigt werden, da nach der horizontalen Kraft am Überlauf gefragt ist.

Lösungsschritte – Fall 1 Kräfte am Kontrollraum: Aufgrund der Aufgabenstellung sind nur Kräfte in oder entgegen x-Richtung zu berücksichtigen. Diese bestehen an den durchströmten Querschnitten des Kontrollraums aus den auf die Flächen gerichteten Impulskräften FI1 bzw. FI2 und den

206

2 Impulssatz für strömende Fluide

hydrostatischen Druckkräften Fp1 bzw. Fp2 . Die Wände des Überlaufs bewirken einerseits an der vertikalen Seite eine horizontale Kraft FW1 auf den Kontrollraum und andererseits an der schrägen Seite eine zweite Kraft FW2 , von der aber im vorliegenden Fall nur die Horizontalkomponente FW2;x von Bedeutung ist. Lösungsschritte – Fall 2 Für die resultierende horizontale Kraft am Überlauf, FB W , untersuchen wir zuerst FW . Die resultierende Wandkraft am Überlauf wird wie folgt festgelegt:

FW D FW1  FW2;x :

Die Kräftebilanz am Kontrollraum in x-Richtung führt zu X

Fx D 0 D Fp1 C FI1  FW1 C FW2;x  Fp2  FI2 :

Umgeformt nach FW D FW1  FW2;x ergibt dies     FW D FW1  FW2;x D Fp1  Fp2 C FI1  FI2 :

Im Einzelnen müssen nun Fp1 , Fp2 , FI1 und FI2 ermittelt werden. Für die Druckkräfte Fp beachten wir, dass die Kraft aus dem hydrostatischen Druck allgemein Fp D  g  A  tS lautet. Somit gilt bei 1 Fp1 D  g  A1  tS1 und bei 2 Fp2 D  g  A2  tS2 : Mit A1 D Z1  B und tS1 D

Fp1 D

Z1 2

sowie analog A2 D Z2  B und tS2 D

1   g  B  Z12 2

und Fp2 D

P  c. Für die Impulskräfte FI gilt allgemein FI D m

Z2 2

wird daraus

1   g  B  Z22 : 2

Aufgabe 2.23 Hochwasserüberlauf

207

Bei 1 wird mit FI1 D m P  c1 , m P D  VP , VP D c1  A1 und A1 D B  Z1 gilt dann

FI1 D  B  Z1  c12 und bei 2 entsprechend mit FI2 D m P  c2 , m P D  VP , VP D c2  A2 und A2 D B  Z2

FI2 D  B  Z2  c22 :

Die so ermittelten Kräfte führen, oben eingesetzt, auf FW D

    1   g  B  Z12  Z22 C  B  Z1  c12  Z2  c22 : 2

Dividiert durch B folgt     FW 1 D   g  Z12  Z22 C  Z1  c12  Z2  c22 B 2 oder

 2    FW 1 D   g  Z12  Z22 C  Z1  c12  Z2  c22 : B 2 g

Es fehlen noch die Geschwindigkeitsquadrate c12 und c22 . Hierfür verwenden wir die Bernoulli’sche Gleichung (ohne Verluste) bei 1 und bei 2: p2 p1 c2 c2 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 ;

2

2 wobei p1 D p2 D pB ist und somit c12 c2 C g  Z1 D 2 C g  Z2 2 2 folgt. Nach c22 =2 umgeformt wird das zu c22 c2 D 1 C g  .Z1  Z2 / 2 2

208

2 Impulssatz für strömende Fluide

oder c22 D c12 C 2  g  .Z1  Z2 / : Mit der Kontinuität VP D c1  A1 D c2  A2 wird c1 D c2 

A2 A1

(mit A1 D B  Z1 und A2 D B  Z2 ). Dies führt zu 

Z2 c1 D c2  Z1

bzw:

c12

D

c22



Z2 Z1

2 :

Oben eingesetzt ergibt das  c22

D



c22

Z2 Z1

2 C 2  g  .Z1  Z2 /

oder, umgestellt nach c22 ,  c22

 c2 

Wird c22 ausgeklammert, liefert das "  c22

1

Z2 Z1

Z2 Z1

2 D 2  g  .Z1  Z2 / :

2 # D 2  g  .Z1  Z2 / :

 2

2 Durch 1  Z dividiert, ergibt das zunächst Z1 c22 D

Dies wird dann in c12 D c22 



Z2 Z1

2  g  .Z1  Z2 /  2 : 2 1 Z Z1

2

c12 D

eingesetzt: 2  g  .Z1  Z2 /  2  2 1 Z Z1



Z2 Z1

2 :

Mit den Umformungen c12 D 2  g  Z12  D2g

Z12

Z1  Z2  Z12  Z22



Z2 Z1

2

Z1  Z2   .Z1  Z2 /  .Z1 C Z2 /



Z2 Z1

2

Aufgabe 2.23 Hochwasserüberlauf

209

gelangt man zu

c12 D 2  g 

Z22 : Z1 C Z2

Des Weiteren erhält man aus c22 D

2  g  .Z1  Z2 /  2

2 1 Z Z1

auch Z1  Z2 Z12  Z22 Z1  Z2 D 2  g  Z12  : .Z1  Z2 /  .Z1 C Z2 /

c22 D 2  g  Z12 

Nach Kürzen lautet dann das Ergebnis

c22 D 2  g 

Z12 : Z1 C Z2

W Die neuen Ausdrücke für c12 und c22 werden jetzt in die Ausgangsgleichung für F B eingesetzt:  

  2 Z22 Z12 1 FW 2  Z2  D   g  Z1  Z2 C 4  Z1  B 2 Z1 C Z2 Z1 C Z2  

  2 Z Z1 1 2 2  D   g  Z1  Z2 C 4  Z1  Z2  : 2 Z1 C Z2 Z1 C Z2

Das Resultat ist schließlich

  FW Z1  Z2 1 D   g  Z12  Z22  4  Z1  Z2  : B 2 Z1 C Z2

210

2 Impulssatz für strömende Fluide

Lösungsschritte – Fall 3 3 2 W Für F B ergibt sich mit den Zahlenwerten D 1 000 kg/m , g D 9;81 m/s , Z1 D 4;0 m und Z2 D 5;0 m

  2 FW 4  0;5 1 2 D  1 000  9;81  4  0;5  4  4  0;5  B 2 4 C 0;5 FW D 46 734 N=m  46;734 kN=m B

Aufgabe 2.24 Beschleunigter Wagen Ein mit Wasser gefüllter Wagen weist gemäß Abb. 2.52 eine offene Düse am unteren Ende der linken Wand auf. Auf der Wasseroberfläche schwimmt leckagefrei eine schwere Platte. Aufgrund des ausströmenden Wassers wird der Wagen in x-Richtung, also hier nach rechts, aus der Ruhe heraus beschleunigt. Der austretende Massenstrom m P und die Relativgeschwindigkeit w sollen konstant sein. Bei bekannter Gesamtmasse des Wagens beim Start m0 (0) soll eine Gesetzmäßigkeit ermittelt werden, welche die zeitlich veränderliche Wagengeschwindigkeit u(t) beschreibt.

Mit u(t) mitbewegter Kontrollraum: RKR pB

z pB

x

u(t)

pB w

c(t)

u(t)

m

FI

Abb. 2.52 Beschleunigter Wagen

Aufgabe 2.24 Beschleunigter Wagen

211

Lösung zu Aufgabe 2.24 Aufgabenerläuterung Bei der Lösung der Aufgabe steht zunächst das 2. Newton’sche Gesetz zur Verfügung, welches aussagt, dass zur Beschleunigung a eines Körpers der Masse m die Resultierende aller am Körper angreifenden äußeren Kräfte dient. Um diese zu erfassen, wird ein mitbewegter Kontrollraum (Relativkontrollraum) um den Wagen angeordnet und dabei den austretenden Wasserstrahl senkrecht schneidet. Die schwere Platte auf der Wasseroberfläche bewirkt, dass der Massenstrom m P und die Geschwindigkeit w nahezu konstant sind. Gegeben: m0 mW mF (0) w m P D

dmF .t / dt

Gesamtmasse beim Start Wagenmasse inklusive Plattenmasse Flüssigkeitsmasse beim Start Austrittsgeschwindigkeit der Flüssigkeit als Relativgeschwindigkeit an der Düse Massenstrom am Düsenaustritt

Gesucht:  u(t) (Wagengeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit t) Anmerkungen

     

reibungsfreie Räder kein Luftwiderstand w D konstant m P D konstant Absinkgeschwindigkeit des Wassers im Wagen ist sehr klein Kontrollraum wird mit dem Wagen mitbewegt (Relativkontrollraum: RKR)

Lösungsschritte Die nachstehenden Massen sind wie folgt definiert: mF (t) mF (0) mW m.t/ D mF .t/ C mW m0 D mF .0/ C mW

Flüssigkeitsmasse zur Zeit t Flüssigkeitsmasse zur Zeit t D 0 Wagenmasse Gesamtmasse zur Zeit t Gesamtmasse zur Zeit t D 0

212

2 Impulssatz für strömende Fluide

Für die Geschwindigkeit u.t/ verwenden wir als Lösungsansatz das 2. Newton’sche Gesetz am Wagen: X! ! F i D m  a; was für den vorliegenden Fall in x-Richtung X

Fix D m.t/  ax :

P bedeutet. Bei den am Wagen wirkenden äußeren Kräften Fix kann lediglich die Impulskraft FI am Düsenaustritt angegeben werden. Diese ist der Austrittsgeschwindigkeit w im mitbewegten Kontrollraum entgegen gerichtet und steht senkrecht auf der Düsenaustrittsfläche. Druckkräfte aus dem Atmosphärendruck heben sich am Kontrollraum gegenseitig auf; Gewichtskräfte sind in x-Richtung ohne Einfluss. Somit gilt X

Fix D FI :

P  w am Relativkontrollraum folgt dann Mit FI D m P  w: m.t/  ax D m Hierin sind ax D

du.t / dt

und m.t/ D mF .t/ C mW . Man erhält zunächst

.mF .t/ C mW / 

du.t/ Dm P  w: dt

Bei konstantem Flüssigkeitsmassenstrom m P nimmt die Funktion mF (t) gemäß Abb. 2.53 von mF (0) ausgehend linear ab. Hieraus lässt sich leicht erkennen mF .0/  mF .t/ dmF .t/ D D m: P t dt Umgeformt führt das dann zu P t mF .0/  mF .t/ D m

Aufgabe 2.24 Beschleunigter Wagen Abb. 2.53 Flüssigkeitsmassenstrom in Abhängigkeit von der Zeit

213 mF mF(0)

mF(t) dmF dt t

t=0

oder umgestellt

mF .t/ D mF .0/  m P  t:

Oben eingesetzt ergibt das P  t/  .mF .0/ C mW  m

du.t/ Dm P  w: dt

Des Weiteren erhält man mit m0 D mF .0/ C mW den Ausdruck P  t/  .m0  m

du.t/ Dm P  w: dt

P  t/ führt zunächst zu Division durch .m0  m du.t/ m P w D : dt m0  m P t Mit dt multipliziert wird daraus die integrierbare Funktion

du.t/ D

m P w  dt: m0  m P t

P  t wird zunächst Mit der Substitution v D m0  m du.t/ D

m P w  dt: v

t

214

2 Impulssatz für strömende Fluide

Bildet man nun den Differenzialquotienten

dv , dt

so folgt

dt D  Somit erhält man du.t/ D w 

dv dt

D m P und hieraus

dv : m P

1 dv  m P m P v

oder

du.t/ D w 

dv : v

Die Integration liefert zunächst Zu.t /

Zv.t / du.t/ D w 

u.t D0/D0

dv v

v0

und dann, ausgeführt, / u.t/ D w  ln vjv.t v0 D w  .ln v.t/  ln v0 / :

v wird zurücksubstituiert, das ergibt P  t/  ln .m0  m P  0/ : u.t/ D w  Œln .m0  m Damit erhält man P  t/  ln m0  u.t/ D w  Œln .m0  m D w  Œln m0  ln .m0  m P  t/ : Dies entspricht auch 

m0 u.t/ D w  ln m0  m P t

 mit

m0 D mF .0/ C mW :

3

Grenzschichtströmungen

Prandtl hat erstmals Anfang des 20. Jahrhunderts das Vorhandensein von „Grenzschichten“ an umströmten Körpern theoretisch und experimentell festgestellt. Hiermit konnten bislang viele offene Fragen der Strömungsmechanik gelöst sowie wichtige technische Anwendungen und Verbesserungen (z. B. Grenzschichtabsaugungen an Tragflächen zur Auftriebsverbesserung) geschaffen werden. So konnte ebenso eine deutliche Widerstandsreduzierung an Profilen (Kugeln, Zylinder, Tragflächen, etc.) mittels „Stolperdrähten“ durch entsprechende Grenzschichtveränderungen erzielt werden. Mit „Potenzialströmungen“, d. h. der angenommenen drehungs- und reibungsfreien Strömung, kann z. B. sehr gut die „Querkraftentstehung“ (Auftrieb) an umströmten Tragflügeln erklärt werden. Die tatsächlich auch vorhandenen „Widerstandskräfte“ lassen sich dagegen mit den reibungsfreien Potenzialströmungen nicht belegen. Aus Messungen weiß man, dass außerhalb der näheren Körperumgebung die tatsächliche Strömung der Potenzialströmung sehr nahe kommt. Nur in unmittelbarer Nähe und nach dem Körper sind Abweichungen feststellbar. Somit sind zur Ermittlung der Querkräfte die Gegebenheiten der Potenzialströmung um den Körper zu verwenden, zur Bestimmung der Widerstandskräfte sind die veränderten Verhältnisse in unmittelbarer Körpernähe bedeutsam. Von technischen Fluiden weiß man, dass sie neben Druckspannungen (Drücken) auch Schubspannungen übertragen. Diese Schubspannungen (Newton’sche Flüssigkeiten) hängen vom Geschwindigkeitsgradient dcdzx und der dynamischen Viskosität  ab. Wenn auch die Schubspannungen i. A. gegenüber den Druckspannungen klein und oft unbedeutend sind, so kann erst mit ihrer Hilfe die Entwicklung der Widerstandskräfte in den wandnahen, reibungsbehafteten Schichten (Grenzschichten) des Körpers begründet werden. Es lassen sich zwei Bereiche an umströmten Körpern bei tatsächlichen, reibungsbehafteten Strömungen nennen: 1. Außenströmungen; d. h., hier liegt eine (Quasi-)Potenzialströmung vor, es sind hier keine Schubspannungen wirksam: dcdzx D 0.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 V. Schröder, Übungsaufgaben zur Strömungsmechanik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-662-56056-3_3

215

216

3

Grenzschichtströmungen

2. Grenzschichtbereich und evtl. Verwirbelungsgebiet (bei abgelöster Grenzschicht). Aufgrund der Haftbedingung tatsächlicher Fluide steigt innerhalb der Grenzschicht die Geschwindigkeit vom Wert null an der Wand auf den Wert der Außenströmung an: bei längsangeströmten Platten c1 : ca .x/: bei längsangeströmten Profilen Aus Messungen und Theorie weiß man, dass diese Grenzschichten sehr dünn sind, d. h., x die Grenzschichtdicke ı und somit der Geschwindigkeitsgradient dc dz . Die gebräuchlichste Definition der Grenzschichtdicke ı ist so festgelegt, dass aufgrund des fließenden Übergangs von Grenzschicht zur Außenströmung die Grenzschichtdicke bei 99 % der Geschwindigkeit c1 bzw. ca erreicht sein müssen; also ist ı bei c D 0;99  c1 definiert. Grundsätzlich muss unterschieden werden, ob die Grenzschichtausbildung entlang einer ebenen Platte oder eines profilierten, umströmten Körpers stattfindet. Da beide Grenzschichtentwicklungen verschiedenartig ablaufen und die Ergebnisse nicht miteinander vergleichbar sind, soll hier nur die Strömung in Plattengrenzschichten mit ihre wichtigsten Ergebnissen vorgestellt werden. Wie bei der Rohrströmung können sich laminare und turbulente Grenzschichten ausbilden. Im Fall der turbulenten Grenzschicht ist immer eine sehr dünne, laminare (viskose) Unterschicht (engl. viscous sublayer) an der Wand vorhanden, auf der sich dann die turbulente Grenzschicht aufbaut. Eine laminare Grenzschicht kann ab einer bestimmten Strecke xkr (Lauflänge) in die turbulente Grenzschicht übergehen. Umschlagspunkt von laminarer zur turbulenten Grenzschicht Wird eine kritische Reynolds-Zahl unter- oder überschritten, so stellt sich laminare bzw. turbulente Grenzschichtströmung ein. Diese kritische Reynolds-Zahl lautet

Rekr D

c1  xkr D 3  105 : : : 5  105 :

Geschwindigkeitsverteilungen in Plattengrenzschichten Laminare Strömung In diesem Fall haben sich zwei Ansätze als Näherungslösungen bewährt: Lineare Verteilung c.z/ z D .0 z ı/ c1 ı

3

Grenzschichtströmungen

217

Parabelförmige Verteilung c.z/ D1 c1



ız ı

2 .0 z ı/

Turbulente Strömung Die Geschwindigkeitsverteilung dieser Grenzschichtströmung wird empirisch mit einem rein experimentell ermittelten „Potenzgesetz“ beschrieben. Des Weiteren ist ein halbempirisches Gesetz bekannt, das auf dem Prandtl’schen Mischungswegansatz beruht. Potenzgesetz  z m c.z/ D c1 ı

.0 z ı/

z. B. hat man mit m D 1=7 das sog. 1=7-Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung nach Blasius Logarithmisches Gesetz   z  v c.z/ D 5;85  log C 5;56 v

v D

q

0

Schubspannungsgeschwindigkeit

Grenzschichtdicken laminare Grenzschicht xla ıla D 5    c1 xla 1=2

xla Lauflänge ab Plattenbeginn

218

3

Grenzschichtströmungen

turbulente Grenzschicht xtu ıtu D 0;14    c1 xtu 1=7

xtu Lauflänge ab Umschlagspunkt Widerstandskraft FW , Widerstandsbeiwert cW Zur Bestimmung der Widerstandskraft FW an der Oberfläche einer Plattenseite benutzt man bei laminarer und turbulenter folgendes Gesetz:

FW D cW  A 

2 c 2 1

A D B  L Oberfläche einer Plattenseite B Breite einer Plattenseite quer zu c1 L Länge einer Plattenseite in Richtung von c1 Im Einzelnen lautet der Widerstandsbeiwert cW wie folgt: Laminare Grenzschicht Wenn die laminare Grenzschicht über der gesamten Plattenlänge L ausgebildet ist, also

ReL D

c1  L

Rekr D 3  105 : : : 5  105

bestimmt man den Widerstandsbeiwert cW aus

cW D

1;328 .ReL /1=2

:

Turbulente Grenzschicht, glatte Oberfläche Unter der Voraussetzung, dass von Beginn an eine turbulente Grenzschicht über einer glatten Plattenoberfläche vorliegt, lässt sich der

3

Grenzschichtströmungen

219

Widerstandsbeiwert cW wie folgt ermitteln

cW D

0;0303 .ReL /1=7

:

Die o. g. Voraussetzung lässt sich z. B. durch einen „Stolperdraht“ an der Plattenvorderkante herbeiführen. Ebenso zulässig ist es, von vollturbulenter Grenzschicht auszugehen, wenn die Abschätzung des auf die Gesamtlänge bezogenen Umschlagspunktes xkr =L sehr kleine Werte ergibt, also der Anteil der laminaren Grenzschicht vernachlässigbar ist. Turbulente Grenzschicht, vollkommen raue Oberfläche Unter der Voraussetzung, dass von Beginn an die turbulente Grenzschicht (s. o.) über einer rauen Plattenoberfläche vorliegt, wird kein Einfluss mehr der auf die Länge bezogenen ReL -Zahl wirksam, sondern nur noch das Rauigkeitsverhältnis kS =L. cW berechnet sich mit folgendem Gesetz:



kS cW D 1;89  1;62  log L

 2;5

für

106



kS L



102 :

Turbulente Grenzschicht bei glatter Platte mit laminarer Anlaufstrecke Für den Fall, dass der Anteil der Plattenlänge, auf der laminare Grenzschicht ausgebildet ist (also bis zum Umschlagspunkt xkr ), nicht vernachlässigt werden kann, hat Prandtl folgende Berechnungsmöglichkeit entwickelt:

cW D cWturbulent 

A ; ReL

220

3

Grenzschichtströmungen

wobei

cW D

Rekr A

0;0303 .ReL /1=7

.s: o:/

3  105 1 050

5  105 1 700

Aufgabe 3.1 Laminare Plattengrenzschicht Eine Rechteckplatte der Länge L und der Breite B wird von Wasser umströmt. Die homogene Zuströmgeschwindigkeit c1 vor der Platte bleibt auch über der Platte (außerhalb des Grenzschichtbereichs) gleichmäßig verteilt. Weiterhin sind die Dichte und Viskosität des Wassers bekannt. Zunächst soll festgestellt werden, um welche Art Strömung es sich in der Grenzschicht über der Plattenlänge L handelt. Die Grenzschichtdicken ı sind danach an zwei Stellen der Plattenlänge zu ermitteln. Die Berechnung der Gesamtwiderstandskraft FW;ges ist des Weiteren Gegenstand der Aufgabe ebenso wie die Wandschubspannungen W an den genannten zwei Stellen der Plattenlänge.

Lösung zu Aufgabe 3.1 Aufgabenerläuterung Die Lösung der Fragen wird mit den Grundlagen der Plattengrenzschichtberechnung ermöglicht. Die zentrale Frage hierbei ist zunächst, die Beschaffenheit der Grenzschichtströmung festzustellen, d. h., ob sie laminar, turbulent oder auch laminar und turbulent ist. Erst dann lassen sich die übrigen Fragen nach Grenzschichtdicken, Widerstandskraft und Wandschubspannungen lösen. Gegeben:  L D 0;5 m; B D 0;2 m; c1 D 0;5 m/s; D 998;2 kg/m3 ; D 1  106 m2 /s Gesucht: 1. Grenzschichtart über L 2. Grenzschichtdicke ıla (xla ) bei xla D 0;25 m und xla D 0;50 m 3. Gesamtwiderstandskraft FW;ges

Aufgabe 3.1 Laminare Plattengrenzschicht

221

Anmerkung

 Der Plattenbeginn ist gut zugeschärft. Lösungsschritte – Fall 1 Zur Ermittlung der Grenzschichtart stellen wir fest, dass eine laminare Grenzschicht immer dann vorliegt, wenn Re < Rekr D 3  105 bis 5  105 . Mit Re D c1 L und Re D c1 xkr D .3–5/  105 folgt c1  L c1  xkr < D .3–5/  105 : Mit ( /c1 ) multipliziert liefert dies L D 0;5 m < xkr D 400 000 

D 0;8 m: c1

Die Bedingung vollkommen laminarer Grenzschicht über L ist somit gewährleistet, da L < xkr , also ist die Grenzschicht laminar. Lösungsschritte – Fall 2 Aufgrund der laminaren Grenzschicht im gesamten Plattenbereich lassen sich die Grenzschichtdicken ıla .xla / an den Stellen xla D 0;25 m und xla D 0;5 m mit den nachstehenden Gleichungen ermitteln: Rela D c1 xla Reynolds-Zahl la laminare Grenzschichtdicke ıla D 5  pxRe la

Verwendet man diese beiden Zusammenhänge an den benannten Stellen xla D 0;25 m sowie xla D 0;5 m mit den dimensionsgerechten Zahlenwerten, so folgt Stelle xla D 0;25 m Rela D

0;50  0;25  106 D 125 000 1

ıla D 5  p

0;25 125 000

D 3;54 mm

222

3

Stelle xla D 0;5 m Rela D

Grenzschichtströmungen

0;50  0;50  106 D 250 000 1

ıla D 5  p

0;5 250 000

D 5;00 mm

Lösungsschritte – Fall 3 Die gesamte Widerstandskraft FW;ges setzt sich aus den an beiden Oberflächen wirksamen Einzelkräften zusammen, also FW;ges D 2  FW . Die Widerstandskraft der überströmten Einzelfläche lautet

2 FW D cW  A   c1 2 mit A D B  L (Rechteckfläche). Dies liefert FW;ges D 2  cW  B  L 

2 2 :  c D cW  B  L   c1 2 1

Mit dem Widerstandsbeiwert für laminare Grenzschichten, cW D Plattenlänge L bezogenen Reynolds-Zahl ReL D ReL D

c1 L

1;328 p , ReL

und der auf die

ermittelt man folglich zunächst

0;5  0;5  106 D 250 000 1

und somit den cW -Wert zu cW D p

1;328 250 000

D 0;00266:

Die Gesamtwiderstandskraft lautet dann, dimensionsgerecht berechnet,

FW;ges D 0;00266  0;2  0;5  998;2  0;52 D 0;0664 N

Aufgabe 3.2 Laminare und turbulente Plattengrenzschicht Eine glatte Platte wird von Leichtöl umströmt, wobei vor der Platte und im Bereich der Außenströmung eine homogene Geschwindigkeitsverteilung c1 vorliegt (Abb. 3.1). Über der Längserstreckung L bildet sich zunächst bis zum Umschlagspunkt „U“ eine laminare und von dort bis zum Plattenende eine turbulente Grenzschicht aus, die sich auf der viskosen Unterschicht (viscous sublayer) aufbaut. Bei bekannter Geschwindigkeit c1 , Dichte

und Viskosität des Öls soll zunächst die Lage xkr des Umschlagpunktes U und die

Aufgabe 3.2 Laminare und turbulente Plattengrenzschicht

c B senkrecht zur Bildebene

U

Turbulente Grenzschicht

δla(xKr) Laminare Grenzschicht

Visko Untersse chich t

δtu(xtu = L - xKr)

Außenströmung

c

Grenzschichtströmung

c

223

xKr xtu L x

Abb. 3.1 Laminare und turbulente Plattengrenzschicht

Dicke der hier vorliegenden laminaren Grenzschicht ermittelt werden. Weiterhin wird die Grenzschichtdicke am Plattenende gesucht. Bei ebenfalls gegebenen Plattenabmessungen L und B ist abschließend die Widerstandskraft an einer Oberfläche zu bestimmen.

Lösung zu Aufgabe 3.2 Aufgabenerläuterung Im Fall der hier zu lösenden Fragen sind die Gesetzmäßigkeiten sowohl der laminaren als auch der turbulenten Grenzschichten einzusetzen. Dies betrifft die Grenzschichtdicken und auch die Widerstandskräfte. Gegeben:  L D 3;0 m; B D 1;0 m; c1 D 2;0 m/s; D 6  106 m2 /s; D 880 kg/m3 Gesucht: 1. xkr , wenn Rekr D 400 000 2. ıla .xkr /; ıtu .xtu D L  xkr / 3. FW

224

3

Grenzschichtströmungen

Anmerkungen

 Die Berechnung der turbulenten Grenzschichtdicke ıtu wird ab dem Umschlagspunkt „U“, also der Stelle x D xkr begonnen. Tatsächlich ist der Startpunkt etwas vorverlagert, was hier aber nicht berücksichtigt werden soll.  laminare Grenzschichtdicke xla ıla .xla / D 5  p Rela

mit Rela D

c1  xla

Retu D

c1  xtu

 turbulente Grenzschichtdicke ıtu .xtu / D  cW D cW;tu .L/  ReKL mit c1  L ReL D I

0;14  xtu .Retu /1=7

mit

K D f .ReL /I

cW;tu .L/ D

0;0303 .ReL /1=7

 Bei Rekr D 400 000 lautet K D 1 403. Lösungsschritte – Fall 1 Die Stelle xkr , an der die laminare Grenzschichtströmung in die turbulente umschlägt, lässt sich aufgrund des bekannten Reynolds-Zahl-Bereichs Rekr D 3  105 =5  105 , der diesen Übergang kennzeichnet, wie folgt ermitteln. Formt man Rekr D c1 xkr nach xkr D

Rekr  c1

um und setzt aus o. g. Bereich einen mittleren Wert Rekr D 400 000 und die gegebenen Größen c1 sowie ein, so führt dies zu xkr D

400 000  6 2  106

oder

xkr D 1;20 m:

Dies entspricht 40 % der gesamten Plattenlänge L D 3 m und verdeutlicht, dass bei den betroffenen Größen diese Grenzschicht laminar und turbulent berechnet werden muss.

Aufgabe 3.2 Laminare und turbulente Plattengrenzschicht

225

Lösungsschritte – Fall 2 Die Dicke der laminaren Grenzschicht bei xkr , ıla .xkr /, ermittelt man mit xla ıla .xla / D 5  p ; Rela wobei die Re-Zahl mit der laufenden x-Koordinate vom Plattenursprung aus gebildet wird, also c1  xla Rela D : Am Ende des laminaren Bereichs an der Stelle xla D xkr führt dies mit Rekr D 400 000 und xkr D 1;20 m zu xkr ıkr .xkr / D 5  q : c1 xkr

Die Auswertung von ıla (xkr ) liefert dann ıla .xkr / D 5  p

1;20 400 000

oder

ıla .xkr / D 0;00949 m  9;49 mm:

Zur Berechnung der Dicke turbulenter Grenzschichten, ıtu .xtu D L  xkr /, an längs angeströmten, glatten Platten soll von der Gleichung Gebrauch gemacht werden, bei der keine Einschränkung des Re-Gültigkeitsbereichs beachtet werden muss, also ıtu .xtu / D

0;14  xtu 1=7

.Retu /

mit Retu D

c1  xtu :

Die laufende Koordinate xtu zählt man hier ab dem Umschlagspunkt, also der Stelle xkr . Da im vorliegenden Fall ıtu am Plattenende gesucht wird, muss xtu D .L  xkr / in den Gleichungen eingesetzt werden, also ıtu .L  xkr / D Daraus folgt

0;14  .L  xkr / 1=7

.Retu /

mit

Retu D

0;14  .L  xkr / ıtu .L  xkr / D h i1=7 c1 .Lxkr /

c1  .L  xkr / :

226

3

Grenzschichtströmungen

Die gegebenen bzw. berechneten Größen liefern eingesetzt 0;14  .3;0  1;20/ ıtu .L  xkr / D h i1=7 2.3;01;20/  106 6 und damit

ıtu .L  xkr / D 0;0377 m  37;7 mm:

Lösungsschritte – Fall 3 Wie oben festgestellt, ist im vorliegenden Fall sowohl der laminare als auch der turbulente Anteil der Widerstandskraft FW zu berücksichtigen. Dies wird in folgender Vorgehensweise realisiert. Als Ansatz dient der allgemeine Zusammenhang FW D cW  A 

2 c : 2 1

Hierin sind ADB L cW D cW;tu  cW;tu ReL D c1 L K ReL

K D f .Rekr /

K ReL

Fläche einer Plattenseite Widerstandsbeiwert bei gemischter Grenzschicht Widerstandsbeiwert bei nur turbulenter Grenzschicht über L Reynolds-Zahl auf die Plattenlänge L bezogen Korrekturglied Korrekturfaktor (s. o.)

Zur Berechnung des Widerstandsbeiwertes cW;tu (L) im Fall ausschließlich turbulenter Grenzschicht über der Plattenlänge L wird eine Gleichung benutzt, bei der keine Einschränkung des Re-Gültigkeitsbereichs zu beachten ist. Diese lautet bei glatten Platten cW;tu .L/ D

0;0303 .ReL /1=7

:

Mit dem vorliegenden Zahlenmaterial berechnet man ReL D Dies liefert cW;tu D

23  106 D 1  106 : 6 0;0303 .106 /1=7

D 0;004210:

Aufgabe 3.3 Laminare Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht

227

Den gesuchten Widerstandsbeiwert bei gemischter Grenzschicht ermittelt man zu

cW D 0;004210 

1 403 D 0;002807: 1  106

Unter Beachtung dimensionsgerechter Zahlen lässt sich die Widerstandskraft nun angeben mit

FW D 0;002807  .3  1/ 

880 2  2 D 14;8 N: 2

Aufgabe 3.3 Laminare Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht Eine ebene Wand wird von einem Newton’schen Fluid der dynamischen Viskosität  überströmt. Die Geschwindigkeit über der Wand ist homogen verteilt und weist eine Größe c1 auf (Abb. 3.2). Innerhalb der Grenzschicht mit der Dicke h, in der sich die Geschwindigkeit vom Wert an der Wand auf denjenigen der Außenströmung verändert, liegen laminare Strömungsbedingungen vor. Das diesbezügliche Geschwindigkeitsprofil lässt sich mit einem bekannten Potenzgesetz beschreiben. Leiten Sie das Gesetz zur Ermittlung der Schubspannungsverteilung .z/ in der Grenzschicht her. Weiterhin sind die Schubspannungen an der Wand W und am Übergang der Grenzschicht zur Außenströmung .z D h/ anzugeben.

Lösung zu Aufgabe 3.3 Aufgabenerläuterung Die vorliegende Thematik befasst sich mit dem Zusammenwirken der Newton’schen Schubspannung in Verbindung mit einer bekannten Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht. Abb. 3.2 Geschwindigkeitsverteilung bei laminarer Grenzschichtströmung

z

c Außenströmung

Grenzschichtströmung

h z

c(z) Wand

228

3

Grenzschichtströmungen

Gegeben:  c1 ; h Gesucht: 1. .z/ D f .z/ 2. W an der Stelle z D 0 3. an der Stelle z D h Anmerkung

 Die laminare Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht gemäß Abb. 3.2 kann mit folgendem Potenzgesetz beschrieben werden: c.z/ .hz/2 c1 D 1  h2 . Lösungsschritte – Fall 1 Mit dem Newton’schen Gesetz

dc.z/ dz gelangt man zum gesuchten Schubspannungsverlauf .z/ dann, wenn der Differenzialquotient dc.z/ dz konkret angegeben werden kann. Dies ist im Fall der bekannten Geschwindigkeitsverteilung durch Umstellen sowie Ausmultiplikation und Vereinfachung der inneren Klammer wie folgt möglich: .z/ D  

c.z/

 D c1  1 

D c1  1

1 h2 2  hh2

 2  h  2  h  z C z 2  2 C 2hz  hz 2 D c1  1  1 C 2  h2

z h

Daraus resultiert dann   z z z2 z2 c.z/ D c1  2   2 D 2  c1   c1  2 : h h h h Wird c(z) nach z differenziert, liefert dies bekanntermaßen dc.z/ z c1 D2  2  c1  2 : dz h h  Wird dann noch 2 

c1 h



ausgeklammert, führt dies auf dc.z/ c1  z : D2  1 dz h h



z2 h2

 :

Aufgabe 3.4 Turbulente Plattengrenzschicht

229

In das Newton’sche Gesetz eingefügt, führt uns dies zum Ergebnis

.z/ D 2   

c1  z  1 : h h

Lösungsschritte – Fall 2 Die Wandschubspannung W bei z D 0 resultiert aus o. g. Gleichung mit z D 0:   c1 0 W D 2     1 h h oder

W D 2   

c1 : h

Lösungsschritte – Fall 3 Die Schubspannung bei z D h, also am Übergang der Grenzschicht zur Außenströmung, lautet   c1 h c1 D2  1  .1  1/ D 0 D2 h h h „ ƒ‚ … D0

D 0:

Aufgabe 3.4 Turbulente Plattengrenzschicht Eine dünne, glatte Platte wird im eingetauchten Zustand horizontal durch Wasser gezogen (Abb. 3.3). An dieser Platte der Länge L und Breite B wirkt dabei eine Gesamtzugkraft Fges . Neben den Plattenabmessungen sind die Dichte und die Viskosität des Wassers bekannt. Wie groß ist die Plattengeschwindigkeit c1 sowie die Grenzschichtdicke ıtu am Plattenende, wenn von turbulenten Grenzschichten ausgegangen wird? Überprüfen Sie des Weiteren, ob die Vernachlässigung des laminaren Grenzschichtbereichs gerechtfertigt ist.

230

3

Grenzschichtströmungen

B senkrecht zur Zeichenebene

c=0

ruhendes Wasser dünne Platte

δtu (L)

Grenzschicht

FGes c

L

Abb. 3.3 Turbulente Plattengrenzschicht

Lösung zu Aufgabe 3.4 Aufgabenerläuterung Die als bekannt vorausgesetzte Gesamtzugkraft dient zur Überwindung der an den beiden Oberflächen wirksamen Widerstandskräfte. Diese resultieren aus Schubspannungen in der turbulent vorausgesetzten Grenzschicht über der Plattenlänge. Folglich sind die diesbezüglichen Gesetze im Fall glatter Oberflächen anzuwenden. Gegeben:  Fges D 8 000 N; L D 24;4 m; B D 1;2 m; D 998 kg/m3 ; D 6  106 m2 /s Gesucht: 1. c1 2. ıtu (L) 3. xkr unter der Annahme Rekr D 400 000 Anmerkungen

 Der Anteil der Widerstandskraft in der laminaren Anlaufstrecke ist ohne Bedeutung.  Widerstandsbeiwert bei glatten Platten und turbulenter Grenzschicht: cW D

0;0303 .ReL /1=7

 Grenzschichtdicke bei glatten Platten und turbulenter Grenzschicht: ıtu .L/ D

0;14  L .ReL /1=7

Aufgabe 3.4 Turbulente Plattengrenzschicht

231

Lösungsschritte – Fall 1 Für die Geschwindigkeit c1 bestimmen wir die Widerstandskraft an einer überströmten Platte mit

2 : FW D cW  A   c1 2 Den hierin benötigten cW -Wert erhält man gemäß cW D

0;0303 .ReL /1=7

bei turbulenter Grenzschicht an glatten Platten. ReL D c1 L ist dabei die auf die Plattenlänge L bezogene Reynolds-Zahl und A D B  L die Oberfläche einer Plattenseite. Aus dem Kräftegleichgewicht an der gleichförmig bewegten Platte folgt Fges D 2  FW oder Fges D 2  cW  A 

2 c : 2 1

Somit resultiert zunächst 2 : Fges D cW  A   c1

Da cW über die ReL -Zahl wiederum mit c1 verknüpft ist, sollte die Gleichung zunächst durch Multiplikation mit .1=A  / umgestellt werden: Fges 1  : A

2 cW  c1 D

Setzt man jetzt die Gleichungen für cW und die ReL -Zahl ein, Fges 1 0;0303 2  c1 L 1=7  c1 D A  ;

dividiert dann durch 0,0303 und löst danach den Nenner der linken Gleichungsseite auf, so liefert dies  1=7 2 Fges 1 c1  D  1=7 L A  0;0303 c1 oder

14=7

c1

1=7 c1



 1=7 L

13=7 D c1 

 1=7 L

D

Fges 1  : A  0;0303

Da wir c1 suchen, wird nochmals umgestellt: 13=7 D c1

Fges  0;0303  A 

 1=7 L :

232

3

Grenzschichtströmungen

Potenzieren mit (7/13) liefert das Ergebnis  c1 D

Fges 0;0303  A 

7=13  1=13 L  :

Benutzen wir jetzt noch dimensionsgerecht die vorgegebenen Zahlenwerte, so führt dies zu   137   131 8 000 24;4 6 c1 D   10 0;0303  24;4  1;2  998 1 oder als Endresultat

c1 D 12;1 m=s:

Lösungsschritte – Fall 2 Aufgrund der nunmehr bekannten Geschwindigkeit c1 und folglich auch ReL -Zahl lässt sich die Grenzschichtdicke ıtu .L/ am Plattenende bei xtu D L aus 0;14  xtu ıtu .xtu / D   c1 xtu 1=7

berechnen. Unter Verwendung von xtu D L erhält man 0;14  L ıtu .L/ D   : c1 L 1=7

Mit den gegebenen Zahlenwerten liefert dies 0;14  24;4 ıtu .L/ D   : 12;124;4 6 1=7  10 1 Ausgewertet folgt als Ergebnis

ıtu .L/ D 0;2106 m  210;6 mm:

Aufgabe 3.5 Papierfahne

233

Lösungsschritte – Fall 3 Der Umschlag von laminarer in turbulente Plattengrenzschicht findet an der Stelle xkr im Bereich Rekr D .35/  105 statt. Hierin ist Rekr D c1 xkr definiert, wobei xkr den Abstand des Umschlagpunktes von der Plattenspitze mit laminarer Grenzschicht angibt. Wählt man Rekr D 400 000 und formt nach dem gesuchten Abstand xkr um, so erhält man 400 000  c1

xkr D oder mit den bekannten Größen eingesetzt xkr D

400 000  1 : 12;1  106

Als Erstreckung der laminaren Grenzschicht vom Plattenbeginn aus bekommen wir so

xkr D 0;0331 m  33;1 mm:

Aufgabe 3.5 Papierfahne Eine versteifte Papierfahne der Länge L und Breite B mit einer am unteren Ende befestigten Masse m fällt nach Erreichen des Beharrungszustands mit der „konstanten“ Geschwindigkeit c1 in atmosphärischer Umgebung abwärts (Abb. 3.4). Ermitteln Sie die Fallgeschwindigkeit c1 , bei der über der Gesamterstreckung L der Fahne gerade noch eine laminare Grenzschicht vorliegt. Weiterhin soll die Masse m bestimmt werden, bei der diese Geschwindigkeit erreicht wird. Stellen Sie hierzu das Kräftegleichgewicht für den stationären Fallzustand auf, wenn die Gewichtskraft der Papierfahne und die Widerstandskraft der Masse vernachlässigbar sind und nur die Gewichtskraft der Masse sowie die Gesamtwiderstandskraft der Fahne wirken sollen. Welche Grenzschichtdicke ıla stellt sich am Fahnenende ein?

Lösung zu Aufgabe 3.5 Aufgabenerläuterung Hintergrund der Fragestellungen ist die Anwendung der Grundlagen laminarer Plattengrenzschichten. Gegeben:  B D 0;10 m; L D 0;30 m; L D 1;2 kg/m3 ; L D 15  106 m2 /s; g D 9;81 m/s2

234

3

Abb. 3.4 Papierfahne

Grenzschichtströmungen B

c¥ L ρL νL

m

Gesucht: 1. c1 2. m 3. ıla Anmerkungen

 Die Masse m ist so weit vor der Fahne angebracht, dass sie keinen Einfluss auf die Grenzschichtentwicklung der Fahne hat.  Rekr D 300 000=500 000 beim Umschlag von laminarer zur turbulenten Plattengrenzschicht  Die Versteifung der Fahne soll dafür sorgen, dass keine Flatterbewegungen entstehen und sich eine ausgebildete Grenzschicht einstellt. Lösungsschritte – Fall 1 Mit der gewählten kritischen Reynolds-Zahl des Grenzschichtumschlags laminar-turbulent, Rekr D

c1  xkr D 400 000 L

und mit xkr D L für die im vorliegenden Fall am Fahnenende gewünschte Stelle des Umschlagspunktes lässt sich die gesuchte Geschwindigkeit c1 nach Umstellen der Gleichung Rekr  L c1 D L

Aufgabe 3.5 Papierfahne

235

und Einsetzen der gegebenen Größen ermitteln zu

c1 D

400 000  15 D 20 m=s: 0;3  106

Lösungsschritte – Fall 2 Für die Masse m betrachten wir das Kräftegleichgewicht bei gleich bleibender Fallgeschwindigkeit c1 : X Fi D 0 D FW;ges  FG : Umgeformt gelangt man zu FG D FW;ges . FG D m  g FW;ges D 2  FW 2 FW D cW  A  2L  c1 ADB L

Gewichtskraft der Masse Gesamtwiderstandskraft an der Fahne (beide Seiten) Widerstandskraft an einer Fahnenfläche Fahnenfläche (eine Seite)

Diese Zusammenhänge in die Ausgangsgleichung eingesetzt führen zunächst zu g  m D 2  cW  B  L 

L 2  c1 2

oder, nach Kürzen und Division durch g,

mD

L 2 :  cW  B  L  c1 g

Der Plattenwiderstandsbeiwert cW bei laminarer Grenzschicht lautet 1 cW D 1;328  p ReL

mit

Somit erhält man cW D 1;328  q

ReL D

1 c1 L L

c1  L : L

:

Mit den vorliegenden Zahlenwerten gelangt man zu cW D q

1;328 200;3 15

 106

D 0;00210:

236

3

Grenzschichtströmungen

Die gesuchte Masse m lässt sich nun bei dimensionsgerechter Benutzung des Zahlenmaterials berechnen zu 1;2 mD  0;00210  0;10  0;30  202 9;81 oder

m D 0;00308 kg  3;08 g:

Lösungsschritte – Fall 3 Die Dicke der laminaren Grenzschicht ıla am Fahnenende (bei xla D L) ermittelt man allgemein mit xla ıla D 5   1=2 c1 xla L

oder hier ıla D 5  

L 1=2 :

c1 L L

Folglich wird mit den bekannten Größen ıla D 5   200;3 15

0;3  106

1=2

und somit

ıla D 0;00237 m  2;37 mm:

Aufgabe 3.6 Flussschiff Ein Schiff fährt gemäß Abb. 3.5 zunächst einen Fluss stromaufwärts und danach stromabwärts. Die Fließgeschwindigkeit u des Flusses ist konstant. Die Schiffsgeschwindigkeit relativ zur Fließgeschwindigkeit u lautet stromaufwärts w1 und stromabwärts w2 . Die gesamte vom Wasser benetzte Fläche lautet A. In beiden Fällen soll die Fahrzeit des Schiffes zwischen Ab- und Anlegestelle gleich groß sein. Berechnen Sie mittels nachstehender Größen die jeweilige Widerstandskraft FW und die hierfür erforderliche Leistung P.

Aufgabe 3.6 Flussschiff c1

237 c2

u

w2

w1 w1

u

w2

u

u

Abb. 3.5 Flussschiff

Lösung zu Aufgabe 3.6 Aufgabenerläuterung Die Lösung der Fragen wird mit den Grundlagen der Plattengrenzschichtberechnung ermöglicht, da bei der nur geringen Krümmung des Schiffsrumpfes kein diesbezüglicher Einfluss zu erwarten ist. Die zentrale Frage ist zunächst, die Beschaffenheit der Grenzschichtströmung festzustellen, d. h., ob sie laminar, turbulent oder auch laminar und turbulent ist. Hierbei spielt die Geschwindigkeit w des Schiffs im bewegten „Relativsystem“ des Flusses eine zentrale Rolle. Nach Klärung der Grenzschichtbeschaffenheit lassen sich dann die Fragen nach Widerstandskraft und Leistung beantworten. Gegeben:  A D 480 m2 ; L D 80 m; c1 D c2 D 20 km/h; u D 3;6 km/h; W D 998 kg/m3 ; W D 1  106 m2 /s Gesucht: 1. FW;1 ; P1 2. FW;2 ; P2 Anmerkungen

 Aufgrund einer nur geringfügigen Krümmung des Schiffsrumpfes können die Gesetze der Plattenreibung angewendet werden.  Die flüssigkeitsbenetzte Oberfläche sei „hydraulisch glatt“, d. h. kS =L ! 0. Lösungsschritte – Fall 1 ! ! ! Allgemein gilt c 1 D u 1 C w 1 . Das bedeutet, dass die von einem ruhenden System (hier ! das Flussufer) aus zu beobachtende Geschwindigkeit c eines Körpers (hier das Schiff),

238

3

Grenzschichtströmungen

!

!

der sich mit der Geschwindigkeit w relativ zur Systemgeschwindigkeit (hier der Fluss) u ! ! bewegt, setzt sich aus der Vektoraddition von w und u zusammen. Diese Gegebenheiten sind in Abb. 3.5 für beide Fahrtrichtungen des Schiffes zu erkennen. Die Forderung einer gleich bleibenden Fahrzeit für die zurückzulegende Fahrtstrecke (im Absolutsystem) beinhaltet, dass für die Hin- und Rückfahrt die Absolutgeschwindigkeit c gleich bleiben muss, also c1 D c2 sein muss. Zur Widerstandskraft FW;1 gelangt man mit der auf die vorliegenden Verhältnisse angepassten allgemeinen Gleichung über- oder umströmter Körper FW D cW  A 

2 c 2 1

oder hier

 w12 : 2 Die für die Grenzschichtentwicklung und die Widerstandskraft verantwortliche Ge! schwindigkeit ist im vorliegenden Fall die Relativgeschwindigkeit w des Schiffs ge! genüber der Fließgeschwindigkeit u des Flusses. Bei Verwendung der Beträge dieser Größen lassen sich die für die weiteren Berechnungen benötigten Werte ermitteln. Im Fall der Fahrt stromaufwärts folgt jw1 j D jc1 j C juj. Mit den gegebenen Größen führt dies zu FW;1 D cW;1  A 

w1 D 20 C 3;6 D 23;6 km=h D

23 600 m=s D 6;55 m=s: 3 600

Der noch unbekannte Widerstandsbeiwert cW;1 kann erst dann berechnet werden, wenn Klarheit über die Grenzschichtart (laminar, turbulent oder z. T. laminar und z. T. turbulent) herrscht. Hier hilft die Lage des Umschlagpunktes xkr weiter, wo der Wechsel von laminarer zur turbulenten Grenzschichtströmung stattfindet. xkr erhält man mittels Rekr D

c1  xkr D .3=5/  105

nach Umstellung zu xkr D

Rekr  w1

wobei c1  w1 gesetzt wird. Mit Rekr D 400 000 und unter Verwendung der gegebenen Zahlenwerte ist dann 400 000  1 xkr D D 0;060 m: 6;55  106 Dies bedeutet, dass die Grenzschicht nur über 60 mm Länge laminar ausgebildet ist. Bei insgesamt L D 80 m kann dieser Bereich vernachlässigt werden und die weiteren Berechnungen erfolgen für eine ausschließlich turbulente Grenzschicht über der gesamten Schiffslänge.

Aufgabe 3.6 Flussschiff

239

Im Fall „hydraulisch glatter“ Oberflächen bei turbulenten Plattengrenzschichten lässt sich cW;1 über 0;0303 cW D .ReL /1=7 berechnen, wobei die ReL -Zahl mit c1  w1 und der Länge L definiert ist, also ReL;1 D w1 L lautet. Mit den vorliegenden Zahlenwerten führt dies zu ReL;1 D Wird dies in cW D

0;0303 .ReL /1=7

6;55  80  106 D 5;24  108 : 1

eingesetzt, erhält man cW D

0;0303 .5;24  108 /1=7

D 0;001721:

Dies führt unter Beachtung dimensionsgerechter Zahlenwerte zu der gesuchten Widerstandskraft: 998  6;552 FW;1 D 0;001721  480  2 oder schließlich

FW;1 D 17 687 N:

Die Definition der mechanischen Leistung P D F  c im vorliegenden Fall angewendet führt zu PW;1 D FW;1  w1 . Dann berechnet man die Leistung PW;1 zu PW;1 D 17 687  6;55 D 115 850 W D 115;9 kW:

Lösungsschritte – Fall 2 Analog zu FW;1 und P1 erfolgt nun die Berechnung der Größen FW;2 und P2 . Der wesentliche Unterschied aller betroffenen Größen stellt sich durch die veränderte Geschwindigkeit w2 ein. Bei der Fahrt stromabwärts folgt jw2 j D jc2 j  juj. Mit den gegebenen Größen führt dies zu w2 D 20  3;6 D 16;4 km=h D

16 400 m=s D 4;55 m=s: 3 600

Für die Widerstandskraft FW;2 bemerken wir, dass der Umschlagspunkt am Schiff stromabwärts bei 400 000  xkr D w2

240

3

liegt oder xkr D

Grenzschichtströmungen

400 000  1 D 0;088 m: 4;55  106

Dies bedeutet, dass die Grenzschicht nur über 88 mm Länge laminar ausgebildet ist. Bei insgesamt L D 80 m kann dieser Bereich vernachlässigt werden und die weiteren Berechnungen erfolgen für eine ausschließlich turbulente Grenzschicht über der gesamten Schiffslänge. Die Reynolds-Zahl am Schiff stromabwärts lautet ReL;2 D w2 L und ausgewertet 4;55  80  106 D 3;64  108 : 1

ReL;2 D In cW D

0;0303 .ReL /1=7

eingesetzt führt zu cW;2 D

0;0303 .3;64  108 /1=7

D 0;001813:

Die Widerstandskraft am Schiff stromabwärts, FW;2 D cW;2  A 

 w22 ; 2

erhält man zu

FW;2 D 0;00179  480 

998  4;552 D 8 990 N 2

Die mechanische Leistung PW;2 D FW;2  w2 am Schiff stromabwärts lautet hier PW;2 D 8 990  4;55, also PW;2 D 40 905 W  40;9 kW:

Aufgabe 3.7 Luftschiff Von einem Luftschiff sind die Länge L, die gesamte Oberfläche A und deren Sandrauigkeit kS bekannt ebenso wie die Geschwindigkeit c1 , die Luftdichte und Luftviskosität . Zunächst ist zu klären, an welcher Stelle xkr der Umschlag der laminaren in die turbulente Grenzschicht erfolgt. Hierauf aufbauend sollen die Widerstandskraft FW an der Oberfläche A und die erforderliche Leistung P zur Bereitstellung von FW ermittelt werden.

Aufgabe 3.7 Luftschiff

241

Lösung zu Aufgabe 3.7 Aufgabenerläuterung Detaillierte Berechnungen zu den gesuchten Größen sind erst dann möglich, wenn von der Beschaffenheit der Grenzschicht über der gesamten Länge des Luftschiffs Klarheit besteht. Dies ist unter der Voraussetzung nur geringer Krümmung der Außenkontur mit der kritischen Reynolds-Zahl Rekr der Plattengrenzschichtströmung möglich. Gegeben:  L D 150 m; A D 15 000 m2 ; kS D 1;5 mm; c1 D 100 km/h; D 15  106 m2 /s;

D 1;22 kg/m3 Gesucht: 1. xkr 2. FW 3. P Anmerkungen

 Die anschließenden Berechnungen erfolgen unter der o. g. Voraussetzung mit den betreffenden Plattengrenzschicht- und Plattenwiderstandsgesetzen.  Einflüsse der Gondel auf die Grenzschichtausbildung seien von untergeordneter Bedeutung.  Rekr D xkr c1 D .3=5/  105 Lösungsschritte – Fall 1 Der Umschlagspunkt von der laminaren in die turbulente Grenzschicht, d. h. die Stelle xKr vom vorderen Staupunkt der Platte ( Luftschiff) aus gezählt, lässt sich durch Umstellen von Rekr D xkr c1 nach der gesuchten Stelle, xkr D

Rekr  ; c1

feststellen. Verwendet man aus dem o. g. Zahlenbereich Rekr D 400 000 und formt die Geschwindigkeit c1 dimensionsgerecht um zu c1 D 100 km=h D

100 000 m=s D 27;78 m=s; 3 600

242

3

Grenzschichtströmungen

so führt dies zu

xkr D

4  105  15 D 0;216 m D 21;6 cm: 27;78  106

Gemessen an der Gesamtlänge L ist folglich der Bereich laminarer Grenzschicht verschwindend klein. Die weiteren Berechnungen werden somit für ausschließlich turbulente Grenzschichten durchgeführt. Lösungsschritte – Fall 2 Allgemein kann die Widerstandskraft FW an umströmten Plattenoberflächen oder von Körpern unterschiedlichster geometrischer Formen mit der Widerstandsgleichung

FW D cW  A 

2 c 2 1

ermittelt werden. Hierin sind im vorliegenden Fall A abgewickelte, von c1 einseitig überströmte Luftschiffoberfläche cW D f .ReL I kS =L/ Widerstandsbeiwert der turbulenten Plattengrenzschicht auf die Gesamtlänge L bezogene Reynolds-Zahl ReL D c1 L kS auf die Gesamtlänge L bezogene Sandrauigkeit L Bei dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Größen erhält man zunächst: ReL D

27;78  150  106 D 2;78  108 15

sowie

kS 1;5 D D 1;0  105 : L 150 000

Im Plattenreibungsdiagramm (Abb. 1.4) stellt man aufgrund der vorliegenden Re-Zahl und des Rauigkeitsverhältnisses kS =L fest, dass eine „vollkommen raue“ Oberfläche vorliegt. Die diesbezüglichen Widerstandsbeiwerte berechnet man mittels   2;5 kS ; cW D 1;89  1;62  log L

wenn 106 <

kS < 102 : L

Unter Verwendung von kS =L D 1;0  105 folgt    2;5 D 0;00317: cW D 1;89  1;62  log 1;0  105

Aufgabe 3.8 Luftschiff bei Standardatmosphäre

243

Zum Ergebnis von FW gelangt man schließlich mit den bekannten Größen:

FW D 0;00317  15 000 

1;22  27;782 D 22 384 N: 2

Lösungsschritte – Fall 3 Die bei der Geschwindigkeit c1 zur Bereitstellung von FW benötigte (mechanische) Leistung P bestimmt man aus dem betreffenden Gesetz P D FW  c1 . Dies führt mit vorliegenden Daten zu

P D 22 384  27;78 D 622 kW:

Aufgabe 3.8 Luftschiff bei Standardatmosphäre Ein Luftschiff weist eine Länge L und einen mittleren Durchmesser D auf (Abb. 3.6). Die Oberfläche sei glatt. Seine Geschwindigkeit lautet c1 . In der Flughöhe H soll Standardatmosphäre vorliegen. Wie groß wird die Widerstandskraft FW und die hieraus resultierend Leistung PW ?

Lösung zu Aufgabe 3.8 Aufgabenerläuterung Bei der Ermittlung der Widerstandskraft FW kann in erster Näherung von einer einseitig überströmten Zylindermanteloberfläche ausgegangen werden. Wird diese in die Ebene abgewickelt, so handelt es sich um eine Plattenüberströmung mit einer wirksamen Seite. Hierbei sind die betreffenden Reibungsgesetze anzuwenden.

L

8

c

D

y

x

Abb. 3.6 Luftschiff

244

3

Grenzschichtströmungen

Gegeben:  L D 239 m; D D 40;2 m; c1 D 38 m/s; H D 3 048 m; Rekr D 500 000; Standardatmosphäre Gesucht: 1. FW 2. PW Anmerkungen

 Die Oberfläche wird als abgewickelte Zylindermantelfläche betrachtet, d. h., es wird eine einseitige Plattenüberströmung vorausgesetzt.  glatte Oberfläche, d. h. kLS  Standardatmosphäre: Bei H D 3 048 m wird p D 70 120 Pa; p D 268;7 K; D 0;909 kg/m3 ; D 18;6  106 m2 /s. Lösungsschritte – Fall 1 Für die Widerstandskraft FW bemerken wir, dass sich allgemein die Reibungskraft überströmter Platten aus

2 FW D cW  A   c1 2 ergibt. Hierin bedeuten A die vom Fluid benetzte Oberfläche einer Plattenseite, c1 die Anströmgeschwindigkeit des Fluids (oder Plattengeschwindigkeit durch ruhendes Fluid),

die Fluiddichte und cW der Widerstandsbeiwert der Plattenseite. Im vorliegenden Fall sind die Dichte und die Fluggeschwindigkeit gegeben. Die Oberfläche ermittelt sich als abgewickelte Mantelfläche des Luftschiffs zu A D  D  L. Damit lautet dann

FW D cW   D  L 

2 c : 2 1

Der noch unbekannte Widerstandsbeiwert cW hängt von der Grenzschichtbeschaffenheit und der Rauigkeit ab, also cW D f (Grenzschicht laminar bzw. turbulent oder laminar und turbulent, kS =L). Da hier von glatten Verhältnissen ausgegangen wird, entfällt der diesbezügliche Einfluss auf cW . Die Grenzschichtbeschaffenheit lässt sich mit der Feststellung des Umschlagpunktes xkr vom laminaren zum turbulenten Fall erkennen. Ist xkr > L, so liegt eine ausschließlich laminare Grenzschicht vor. Ist dagegen xkr L, so kann mit turbulenten Verhältnissen gerechnet werden. Bei der Ermittlung von xkr hat sich eine Re-Zahl

Aufgabe 3.8 Luftschiff bei Standardatmosphäre

245

bewährt, die den Übergang der beiden Grenzschichtarten wie folgt festlegt:

Rekr D

xkr  c1  500 000:

Durch Umformen wird daraus xkr D

Rekr  : c1

Mit den gegebenen Zahlenwerten folgt

xkr 

500 000  18;6  0;25 m: 38  106

Da xkr  0;25 m L D 239 m, kann von ausschließlich turbulenter Grenzschicht über der „gedachten“ Zylinderoberfläche ausgegangen werden. Hier kennt man für cW bei glatten Oberflächen 0;455 cW D : Œlog .ReL /2;58 Dabei ist ReL D

c1 L

und mit den gegebenen Größen folgt

ReL D

38  239  106 D 4;88  108 : 18;6

Oben eingesetzt führt das zu

cW D

0;455 Œlog .4;88  108 /2;58

D cW D 0;00172:

Somit lautet das Ergebnis für die Widerstandskraft FW D 0;00172  .  40;2  239/ 

0;909  382 2

246

3

Grenzschichtströmungen

und als Resultat

FW D 34 074 N:

Lösungsschritte – Fall 2 Die gesuchte Leistung PW aus der Widerstandskraft FW lautet PW D FW  c1 : Dies führt mit den bekannten Größen zu

PW D 34 074  38 D 1 295 kW:

Aufgabe 3.9 Kiel eines Segelbootes Der Kiel eines Segelbootes weist gemäß Abb. 3.7 eine Höhe H und eine mittlere Breite B auf. Die Fahrgeschwindigkeit lautet c1 . Bei weiterhin gegebener Dichte und kinematischer Viskosität des Wassers soll die gesamte Reibungskraft FW;ges am Kiel ermittelt werden.

c

8

Abb. 3.7 Kiel eines Segelbootes

ρ

H

ν

B

Aufgabe 3.9 Kiel eines Segelbootes

247

Lösung zu Aufgabe 3.9 Aufgabenerläuterung Der Kiel kann in erster Näherung als umströmte Rechteckplatte gesehen werden. Zur Ermittlung der Reibungskraft sind die diesbezüglichen Gesetzmäßigkeiten anzuwenden. Gegeben:  H D 1;0 m; B D 0;50 m; c1 D 1;0 m/s; # D 10 ı C; D 999;6 kg/m3 ; D 1;297  106 m2 /s Gesucht:  FW;ges Anmerkungen

 FW;ges D 2  FW  Rekr  500 000 (kritische Reynolds-Zahl)  Die üblicherweise benutzte Plattenlänge L entspricht hier der Kielbreite B. Lösungsschritte Für die Gesamtwiderstandskraft FW;ges betrachten wir zunächst die Kraft FW auf einer Kielseite, hier gilt der Reibungsansatz FW D cW  A 

2 c 2 1

mit A D B  H . Damit wird

FW D cW  H  B 

2 c : 2 1

Unbekannt hierin ist noch der Widerstandsbeiwert cW . Dieser hängt von der Grenzschichtbeschaffenheit und der Rauigkeit ab, also cW D f (Grenzschicht laminar bzw. turbulent oder laminar und turbulent, kS =B). Die Grenzschichtbeschaffenheit lässt sich mit der Feststellung des Umschlagpunktes xkr vom laminaren zum turbulenten Fall erkennen. Ist xkr > B, so liegt eine ausschließlich laminare Grenzschicht vor. Ist dagegen xkr B, so kann mit turbulenten Verhältnissen gerechnet werden. Der Bereich zwischen den beiden Grenzfällen wird mit geeigneten Gesetzen behandelt. Bei der Ermittlung von xkr hat sich eine Re-Zahl bewährt, die den Übergang der

248

3

Grenzschichtströmungen

beiden Grenzschichtarten wie folgt festlegt:

Rekr D

xkr  c1  500 000:

Nach einer Umformung wird xkr D

Rekr  c1

und mit den gegebenen Größen haben wir dann

xkr D

500 000  1;297  0;65 m: 1;0  106

Da xkr  0;65 m > B D 0;50 m, liegt über B nur laminare Grenzschicht vor. Hier hat auch kS =B keinen Einfluss auf cW . Im Fall laminarer Plattengrenzschicht erhält man cW p , wobei für Re D c1 B zu verwenden ist. Mit den gegebenen Größen folgt: aus cW D 1;328 Re Re D

1;0  0;50  106 D 3;855  105 1;297

und des Weiteren

1;328 cW D p D 0;00214: 3;855  105

Dies liefert

999;6  1;02 D 0;535 N: 2 Die Gesamtreibungskraft am Kiel lautet folglich FW D 0;00214  .0;5  1;0/ 

FW;ges D 2  FW D 1;07 N:

Aufgabe 3.10 Lastenkahn

249

Aufgabe 3.10 Lastenkahn Ein Lastenkahn der Länge L und Breite B wird mit der Geschwindigkeit c1 über das Wasser gezogen (Abb. 3.8). Die Sandrauigkeit kS der flüssigkeitsberührten Flächen ist wie die schon genannten Größen ebenfalls bekannt. Vom Wasser liegen die Dichte und die kinematische Viskosität als gegebene Größen vor. Wie groß wird die Schleppkraft F am Lastenkahn?

Lösung zu Aufgabe 3.10 Aufgabenerläuterung Unter der Voraussetzung, dass die Eintauchtiefe des Kahns von untergeordneter Bedeutung sei, erfolgt die Berechnung der Schleppkraft mit den Gesetzmäßigkeiten der Plattenreibung. Gegeben:  L D 35 m; B D 12 m; c1 D 1;029 m/s; kS D 4;0 mm; D 998 kg/m3 ; D 1  106 m2 /s Gesucht:  F Anmerkung

 Die nur geringe Eintauchtiefe wirkt sich nicht auf den Widerstand aus. Hiermit erfolgt die Berechnung nur für die flüssigkeitsbenetzte Bodenfläche.

F c

8

B

FW

L

Abb. 3.8 Lastenkahn

250

3

Grenzschichtströmungen

Lösungsschritte Ausgangspunkt bei der Ermittlung der Schleppkraft F ist das 2. Newton’sche Gesetz: X

Fi D m  a:

Da die Geschwindigkeit c1 konstant ist, wird a D 0 und es folgt X

Fi D 0:

Als äußere Kräfte treten die Schleppkraft F und die Reibungskraft FW an der Bodenfläche in Erscheinung, und zwar in entgegengesetzten Richtungen. Somit wird

F  FW D 0 oder F D FW :

Die Reibungskraft lässt sich aus dem Gesetz FW D cW  A 

2 c 2 1

ermitteln, wobei A D B  L ist. Daraus erhält man

FW D cW  B  L 

2 c : 2 1

Der noch unbekannte Widerstandsbeiwert cW hängt von der Grenzschichtbeschaffenheit und der Rauigkeit ab, also cW D f (Grenzschicht laminar bzw. turbulent oder laminar und turbulent, kS =L). Die Grenzschichtbeschaffenheit lässt sich mit der Feststellung des Umschlagpunktes xkr vom laminaren zum turbulenten Fall erkennen. Ist xkr > L, so liegt eine ausschließlich laminare Grenzschicht vor. Ist dagegen xkr L, so kann mit turbulenten Verhältnissen gerechnet werden. Der Bereich zwischen den beiden Grenzfällen wird mit geeigneten Gesetzen behandelt. Bei der Ermittlung von xkr hat sich eine Re-Zahl bewährt, die den Übergang der beiden Grenzschichtarten wie folgt festlegt:

Rekr D

xkr  c1  300 000 : : : 500 000:

Aufgabe 3.10 Lastenkahn

251

Durch Umformen wird mit der gewählten Reynoldszahl Rekr  400 000 xkr 

400 000  : c1

Mit den gegebenen Werten erhält man xkr 

400 000  1  0;39 m: 1;029  106

Dies führt zu xkr  0;39 m L D 35 m (1 ‰). Somit kann von einer nur turbulenten Grenzschicht über L ausgegangen werden. Unter diesem Gesichtspunkt muss bei der Ermittlung von cW zum einen die aktuelle ReL -Zahl und zum anderen das Rauigkeitsverhältnis kS =L bekannt sein. Diese lassen sich wie folgt aus den gegebenen Größen bestimmen: ReL D

c1  L 1;029  35 D  106 D 3;6  107 ; 1

kS 4 D D 1;14  104 : L 35 000

Mit ReL und kS =L folgt aus Abb. 1.4, die bekanntlich den Zusammenhang cW D f .ReL I kS =L/ darstellt, dass hier der vollkommen raue Bereich vorliegt und das Gesetz   2;5 kS cW D 1;89  1;62  log L zu verwenden ist. Mit den gegebenen Daten erhält man  cW D 1;89  1;62  log

4 35 000

 2;5

und folglich

cW D 0;00507:

Wird das in die o. g. Gleichung für FW eingesetzt, erhalten wir FW D 0;00507  12  35 

998  1;0292 2

und als Ergebnis

F D FW D 1 125 N:

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Grenzschichtablösung In Kap. 3 wurde die Plattenströmung ohne Ablösung betrachtet. Da hier ca .x/ D c1 D konstant, ist somit auch in der „Außenströmung“ der Druck pa .x/ D p1 D konstant. Dieser Druck prägt sich auch der Grenzschicht auf. Über der Lauflänge (Koordinate x) bildet sich eine laminare, eine turbulente oder eine laminare und turbulente Grenzschicht auf, die mit x ansteigt. Liegt dagegen z. B. ein gekrümmtes Profil vor, so wird die Geschwindigkeit ca .x/ der „Außenströmung“ verändert. Dies hat gemäß Bernoulli’scher Energiegleichung für die Stromfäden einen entsprechend veränderten Druck zur Folge, der in gleicher Weise auch in der Grenzschicht vorliegt. Bei gekrümmten Körpern, wie zum Beispiel Zylinder, Kugel, Tragflügel, sonstige Körper wird durch die Stromlinienverdichtung (bzw. Stromlinienerweiterung) der Druck in der Außenströmung (gemäß Bernoulli) verkleinert bzw. vergrößert. Diese Druckreduzierung bzw. -erhöhung der Außenströmung ist in gleicher Weise, wie oben gesagt, auch in der Grenzschicht vorhanden. Im Fall des Druckanstiegs bei Geschwindigkeitsverzögerungen in der Außenströmung kann es in der Grenzschicht selbst zur Strömungsablösung kommen. Dies ist auf die dort kleinere Geschwindigkeit gegenüber der Außenströmung zurückzuführen. Die Geschwindigkeitsenergie in der Grenzschicht ist durch den Druckanstieg am Ablösungspunkt aufgezehrt, was dort dann zu ihrer Ablösung von der Wand und danach zu einem mit Wirbeln durchsetzten Bereich führt. In diesem „Totwassergebiet“ erreicht der Druck nicht mehr die Werte vor dem Körper, und es stellt sich ein aufgrund der Grenzschichtablösung bedingter Druckunterschied ein. Hierbei sind turbulente Grenzschichten (völligeres, stärker gekrümmtes Profil) weniger anfällig als die laminaren. Die Einflüsse von Strömungsablösungen auf die Druckverteilungen von umströmten Körpern können am einfachsten aufgrund von Versuchen festgestellt werden. Man erhält durch die Schubspannung in der Grenzschicht und des Weiteren durch die Wirkung des Druckunterschieds in Folge der Strömungsablösung die gesamte Widerstandskraft des Körpers zu FW D FWR C FWD : © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 V. Schröder, Übungsaufgaben zur Strömungsmechanik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-662-56056-3_4

253

254

4

Umströmung von Profilen und Körpern

FWR Schubspannungswiderstand (Reibung in der Grenzschicht) FWD Druckspannungswiderstand (aufgrund von Grenzschichtablösung) Einen Eindruck über die angenäherte prozentuale Verteilung dieser beiden Widerstandsanteile bei verschiedenen angeströmten Körpern vermittelt die Tabelle. Körper Tragfläche (Re D 107 ) Flugzeug (gesamt) Pkw Längs angeströmte Platte Quer angeströmte Platte Kugel, Zylinder

FWR  80–95 %  50 %  10 %  100 %  0%  10 %

FWD  5–20 %  50 %  90 %  0%  100 %  90 %

Zylinderumströmung (quer angeströmt, hydraulisch glatt, inkompressibles Fluid) Unter Zugrundelegung reibungsbehafteter Strömung bildet sich ab dem Staupunkt bis zum Ablösungspunkt eine Grenzschicht an der Zylinderoberfläche aus, die bei Unterschreitung einer Reynolds-Zahl

Re1 2  105

mit Re1 D

c1  D

mit c1 Anströmgeschwindigkeit D Zylinderdurchmesser kinematische Viskosität des Fluids immer laminar ist. Nachteilig erweist sich die laminare Grenzschicht durch ihre frühe Ablösung von der Zylinderoberfläche. Dies bewirkt aufgrund vergrößerter Totwasserzonen und Druckunterschiede am Zylinder einen hohen Druckspannungswiderstand FWD und somit auch eine große Gesamtwiderstandkraft und demzufolge auch Widerstandsbeiwert

FW D cW  A 

2 c : 2 1

4

Umströmung von Profilen und Körpern

255

Dabei sind cW ADDL L

Widerstandsbeiwert des quer angeströmten Zylinders Bezugsfläche, hier Schattenfläche des quer angeströmten Zylinders Zylinderlänge Fluiddichte

Bei Vergrößerung der Reynolds-Zahl findet ein Umschlag der laminaren zur turbulenten Grenzschicht statt, d. h., die laminare Schicht kann sich nur in einem begrenzten Bereich um den Staupunkt herum halten. Diesen Grenzschichtwechsel hat man beim Zylinder in folgendem Re-Bereich experimentell festgestellt

2  105 < Re1 < 5  105 :

Ab dem Umschlagspunkt von der laminaren zur turbulenten Grenzschicht bleibt diese wegen ihres höheren kinetischen Energieinhalts bedeutend länger an der Zylinderoberfläche bestehen, bis es zur Ablösung kommt. Der resultierende geringere Druckunterschied am Zylinder, einhergehend mit einer ebenfalls kleineren Totwasserzone reduzieren die Gesamtwiderstandskraft FW , was entsprechend geringere Widerstandsbeiwerte nach sich zieht. Das Widerstandsverhalten quer angeströmter Zylinder wurde in umfangreichen experimentellen Untersuchungen ermittelt. Die Ergebnisse sind als Diagramm

cW D f .Re1 /

dargestellt und können dem Anhang (Abb. 1.5) entnommen werden. Kugelumströmung (hydraulisch glatt, inkompressibles Fluid) Die Kugelumströmung (räumliches Problem) verläuft in den prinzipiellen Vorgängen ähnlich wie die der ebenen Zylinderumströmung. Im Fall sehr kleiner Durchmesser, Geschwindigkeiten und großer Viskositäten, also Re , hat Stokes das Gesetz der „schleichenden Kugelumströmung“ auf theoretischer Basis wie folgt hergeleitet: 24 ; wenn Re1 < 1 Re1 c1  D D :

cW D Re1

256

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Hier sind c1 Anströmgeschwindigkeit D Kugeldurchmesser kinematische Viskosität des Fluids Die laminare Grenzschicht (unterkritischer Bereich) besteht bis

Re1 < 2  105 :

Der Grenzschichtwechsel an der Kugeloberfläche liegt in folgendem Re-Bereich vor:

2  105 < Re1 < 4  105 :

Aus den schon genannten Gründen stellt sich auch bei der umströmten Kugel beim Umschlag der laminaren in die turbulente Grenzschicht eine massive Verkleinerung der Gesamtwiderstandskraft ein, was sich in entsprechender Weise auf den cW -Wert auswirkt. FW ermittelt man aus

FW D cW  A 

2 c : 2 1

Dabei sind cW AD



4

D

2

Widerstandsbeiwert der angeströmten Kugel Bezugsfläche, hier Schattenfläche der angeströmten Kugel Fluiddichte

Die aufgrund von Versuchen festgestellten cW -Werte umströmter glatter Kugeln in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl,

cW D f .Re1 / ;

sind ebenfalls im Anhang (Abb. Z.5) dargestellt.

4

Umströmung von Profilen und Körpern

257

Tragflügelumströmung Tragflügel werden geometrisch aus Konturen unterschiedlicher Krümmungen an den Ober- und Unterseiten geformt. Auch nicht profilierte prismatische Platten oder symmetrische Profile mit Schrägstellung zur Strömungsrichtung wirken als Tragflügel. Die Umströmung oben genannter Tragflügel oder -flächen ruft sowohl  Auftriebskräfte FA als auch  Widerstandskräfte FW hervor. Die Auftriebskräfte bei realer Fluidumströmung an den Tragflächen macht man sich in der technischen Anwendung auf verschiedene Weise zunutze (Flugzeugtechnik, Strömungsmaschinen). Allen Anwendungen gemeinsam ist, dass FA möglichst groß, dagegen FW möglichst klein sein sollen. Die Entstehung der Auftriebs- oder auch Querkräfte lässt sich aus dem Zusammenwirken zweier verschiedenartiger Potenzialströmungen  Parallelströmung  Zirkulationsströmung beweisen. Der Nachweis der Widerstandskraft ist erst mit den Kenntnissen der Grenzschichten möglich geworden. Die theoretischen Berechnungsmöglichkeiten sollen hier nicht erörtert werden. Im Weiteren werden die Ergebnisse der experimentellen Untersuchungen zu den Auftriebs- und Widerstandskräften an umströmten Tragflächen zusammengestellt und ihre wichtigsten Abhängigkeiten aufgezeigt. Auftriebskraft FA senkrecht zu c1 wirkend:

FA D cA  AFl 

2 c 2 1

Widerstandskraft FW parallel zu c1 wirkend:

FW D cW  AFl 

2 c 2 1

258

4

FR D

q

Umströmung von Profilen und Körpern

FA2 C FW2 :

In diesen Formeln bedeuten R AFl D L.b/  db L.b/ AFl D L  b b

c1

Tragflügelfläche Flügellänge, Flügeltiefe Rechteckflügel Flügelbreite Fluiddichte im Zustrom Anströmgeschwindigkeit

Die Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte cA und cW als dimensionslose Kennzahlen sind keine Konstanten. Sie hängen ab von: cA , cW cA , cW cA , cW cA , cW cA , cW

D f .Profil/ D f .ı/ D f .Re/ D f .Ma/ D f .kS =L/

Form Anstellwinkel Reynolds-Zahl Mach-Zahl auf die Flügellänge bezogene Rauigkeit

Die optimale Konstellation bei der Forderung nach möglichst großen Auftriebskräften und dabei gleichzeitig geringsten Widerstandskräften wird mit der günstigsten Gleitzahl " erreicht.

" D tan  D

FW cW D FA cA

Bei der Darstellung der ausgewerteten Versuchsergebnisse haben sich zwei Varianten als sinnvoll erwiesen: Variante 1: Aufgelöstes Polardiagramm Hier sind bei konstanten Größen Re1 , Profil, Rauigkeit, Ma u. a. die Zusammenhänge cA D f .ı/ ;

cW D f .ı/

als prinzipielle Kurvenverläufe zu erkennen.

und " D f .ı/

4

Umströmung von Profilen und Körpern

259

Variante 2: Polardiagramm In diesem Fall wird ebenfalls bei konstanten Größen Re1 , Profil, Rauigkeit, Ma u. a. der prinzipielle Zusammenhang ca D f .cW / mit den verschiedenen Anstellwinkeln ı als Kurvenpunkte gezeigt. Wenn im „Aufgelösten Polardiagramm“ die günstigste Gleitzahl im Berührpunkt der horizontalen Tangente an den Verlauf " D f .ı/ zu finden ist, so gewinnt man im „Polardiagramm“ diesen Wert mittels Tangente vom Ursprung an die Polare. Die Einflüsse auf die Polaren durch Reynolds-Zahl, Rauigkeiten, endliche Flügelbreite, Vorturbulenzen und Mach-Zahl sollen hier nicht besprochen werden. Siehe hierzu die einschlägige Literatur. Umströmung anderer Körper Im Vordergrund stehen hier Betrachtungen zu Widerstandskräften FW an beliebig geformten Körpern. FW setzt sich im Allgemeinen aus einem Oberflächenwiderstand FWR durch Reibungseinflüsse in der Grenzschicht und aus einem Formwiderstand FWD aufgrund des Druckunterschieds durch Strömungsablösung (Totwassergebiet) zusammen.

FW D FWR C FWD

Je nach Körperform sind die zwei Anteile verschieden groß ausgebildet. Bei schlanken Körpern überwiegt FWR , bei stumpfen dagegen FWD . Die praktische Anwendung bevorzugt das nachstehende Gesetz, in welchem beide Widerstandsanteile erfasst sind, wobei auf die korrekte Bezugsfläche A zu achten ist.

FW D cW  A 

2 c : 2 1

Hier sind c1

cW A

Anströmgeschwindigkeit Fluiddichte im Zustrom Widerstandsbeiwert des angeströmten Körpers Bezugsfläche (siehe nachstehende Tabelle)

längs angeströmte Platte Tragflügel Kugel quer angeströmter Zylinder beliebiger anderer Körper

ADLB R A D AFl D L.b/  db A D 4  D 2 ADDL A

(benetzte Oberfläche) (projizierte Fläche) (Schattenfläche) (Schattenfläche) (Schattenfläche)

260

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Freier Fall mit Strömungswiderstand Das Thema behandelt Bewegungsgesetze eines Körpers, der von einem angenommenen Ruhezustand aus aufgrund der Erdbeschleunigung in atmosphärischer Umgebung herabfällt. Am Körper wirken dabei die Gewichtskraft in und die Widerstandskraft entgegen Bewegungsrichtung, wobei von der Auftriebskraft infolge der verdrängten Luftmasse abgesehen wird. Die beiden genannten Kräfte sind in ihrem Zusammenwirken für die BeP schleunigung des Körpers verantwortlich gemäß Fi D m  a. Die Beschleunigung setzt sich theoretisch unendlich lange fort. In diesem Sonderfall t D 1 herrscht dann Gleichgewicht zwischen Gewichts- und Widerstandskraft, woraus sich wiederum c1 ermitteln lässt. Tatsächlich wird schon nach Erreichen einer definierten Geschwindigkeit cA D 0;99  c1 von stationären, also zeitunabhängigen Gegebenheiten ausgegangen. Bei der Herleitung nachfolgender Gesetze geht man von einem konstanten Widerstandsbeiwert cW aus. Bei diesen Gesetzen handelt es sich um folgende Zusammenhänge:  Endgeschwindigkeit c1  Geschwindigkeit c.t/ in Abhängigkeit von der Fallzeit t  Zurückgelegter Weg x.t/ in Abhängigkeit von der Fallzeit t Endgeschwindigkeit c1 : s c1 D

2mg

 cW  A

mit m g

cW A

Körpermasse Erd-, Fallbeschleunigung Fluiddichte Widerstandsbeiwert des Körpers Schattenfläche des Körpers senkrecht zur Fallrichtung

Geschwindigkeit c.t/ in Abhängigkeit von der Fallzeit t:  c.t/ D c1  tanh

g t c1



Aufgabe 4.1 Sinkende Kugeln

261

Zurückgelegter Weg x.t/ in Abhängigkeit von der Fallzeit t:

x.t/ D



 2 g c1 t  ln cosh g c1

Aufgabe 4.1 Sinkende Kugeln Zwei Kugeln unterschiedlicher Dichte sollen mit quasi-konstanter, gleich großer Geschwindigkeit in einer Flüssigkeit nach unten sinken (Abb. 4.1). Gesucht wird zunächst das Durchmesserverhältnis der beiden Kugeln, um die Geschwindigkeitsgleichheit bei gegebenen Stoffdaten der Kugeln und der Flüssigkeit zu erreichen. Das Verhältnis der Widerstandsbeiwerte ist dabei bekannt. Weitere wichtige Größen des Sinkvorgangs der Kugeln sind ebenfalls Gegenstand der Aufgabe.

Lösung zu Aufgabe 4.1 Aufgabenerläuterung Der Sinkvorgang eines Körpers ab der Oberfläche einer Flüssigkeit beginnt zunächst mit einer instationären Beschleunigungsphase, bis eine (nahezu) konstante Sinkgeschwindigkeit erreicht ist. Hiernach sind keine wesentlichen Beschleunigungskräfte mehr wirksam,

z

D1

ρFL D2 ρ2

ρ1

c

Abb. 4.1 Sinkende Kugeln

1

c

2

262

4

Umströmung von Profilen und Körpern

und es stehen nur noch Gewichts-, Auftriebs- und Widerstandskraft im Gleichgewicht. Für diese Phase der „quasi-stationären“ Kugelbewegung durch eine ruhende Flüssigkeit ist die Aufgabenstellung zu verstehen. Gegeben:  D1 ; 1 ; 2 ; Fl ; cW1 =cW2 Gesucht: 1. D1 =D2 2. D2 ; c11 D c12 ; Re1 ; Re2 ; cW1 und cW2 , wenn D1 D 50 mm; 1 D 2 560 kg/m3 ;

2 D 7 800 kg/m3 ; Fl D 1 000 kg/m3 ; cW1 =cW2 D 1;22 Anmerkung

 Bei einem erforderlichen Iterationsvorgang soll der Startwert cW1I1 D 1;0 gewählt werden. Lösungsschritte – Fall 1 Um das gesuchte Durchmesserverhältnis D1 =D2 und somit auch den Einzeldurchmesser D2 zu ermitteln, müssen Ansätze für dieses System verwendet werden, in denen direkt oder indirekt die genannten Größen enthalten sind. Das Kräftegleichgewicht an den gleichmäßig sinkenden Kugeln liefert hier die erforderlichen Zusammenhänge (Abb. 4.2). Das Kräftegleichgewicht in z-Richtung an den Kugeln liefert gemäß Abb. 4.2 X FizI1 D 0 D FG1 C FA1 C FW1 oder FW1 D FG1  FA1 X FizI2 D 0 D FG2 C FA2 C FW2 oder FW2 D FG2  FA2

Abb. 4.2 Sinkende Kugeln; Kräfte an Kugeln

z

FA FW

c

FG

1

Aufgabe 4.1 Sinkende Kugeln

FG1 D g  m1 FG2 D g  m2 m1 D 1  V1 m2 D 2  V2 FA1 D Fl  g  V1 FA2 D Fl  g  V2 V1 D 6  D13 V2 D 6  D23 2 FW1 D cW1  A1  2Fl  c1 1

Fl 2 FW2 D cW2  A2  2  c1 2 A1 D 4  D12 A2 D 4  D22

263

Gewichtskraft der Kugel 1 Gewichtskraft der Kugel 2 Masse der Kugel 1 Masse der Kugel 2 hydrostatische Auftriebskraft an der Kugel 1 hydrostatische Auftriebskraft an der Kugel 2 Volumen der Kugel 1 Volumen der Kugel 2 Widerstandskraft an der Kugel 1 Widerstandskraft an der Kugel 2 Bezugsfläche (Schattenfläche) der Kugel 1 Bezugsfläche (Schattenfläche) der Kugel 2

Diese Zusammenhänge zunächst für die Kugel 1 in das Kräftegleichgewicht eingesetzt ergibt cW1 

Fl 2

 D12   c11 D g  1   D13  g  Fl   D13 D g   D13  . 1  Fl / : 4 2 6 6 6

Kürzen und Auflösen liefert 2 D c1 1

4 g 3



 1

1  1  D1  :

Fl cW1





2 1  1  D2  :

Fl cW2

Analog hierzu erhält man für Kugel 2 2 c1 2

4 D g 3

2 2 D c1 sein soll, wird Da c11 D c12 und somit auch c1 1 2

4 g 3



  

1

2 1 4 1  1  D1  D g  1  D2  :

Fl cW1 3

Fl cW2

Nach Kürzen geeigneter Größen und Auflösen nach dem gesuchten Verhältnis D1 =D2 gelangt man zu 

2

F l

D1 D 

1 D2

Fl

 1 c W   1: c W2 1

264

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Unter Verwendung der gegebenen Zahlenwerte ermittelt man D1 =D2 zu nachstehendem Wert   7 800 1 D1 1 000   1;22  D 2 560 D2 1 1 000 oder

D1 D 5;32: D2

Lösungsschritte – Fall 2 Die Größen D2 , c11 D c12 , Re1 , Re2 , cW1 und erhalten wir mit den gegebenen Zahlenwerten wie folgt. Der Durchmesser D2 der kleineren Kugel berechnet sich (dimensionsgerecht) zu

D2 D

D1 50 D D 9;40 mm: D1 =D2 5;32

Zur Feststellung der Sinkgeschwindigkeit c11 D c12 wird o. g. Gleichung verwendet  

1 4 1 2 D  1  D1  c1  g  1 3

Fl cW1 und die Wurzel gezogen. Dies liefert s  

1 4 1  1  D1  p : c11 D g 3

Fl cW1 Da die gesuchte Geschwindigkeit im vorliegenden Fall nur noch von cW abhängt, cW aber eine Funktion der Re-Zahl ist, in der wiederum die Geschwindigkeit enthalten ist, wird ein Iterationsverfahren erforderlich. Hierzu berechnet man sich mit den vorgegebenen Größen s   2 560 4 1  9;81  0;05  1  p c11 D 3 1 000 cW1 oder

1 c11 D 1;0101  p m=s: cW1

Aufgabe 4.1 Sinkende Kugeln

265

1. Iterationsschritt Annahme: cW1I1 D 1;0 1 D 1;0101 m=s c11I1 D 1;0101  p 1;0 c11I1  D1 1;0101  0;05 Re1I1 D D  106 D 50 503 1 Aus cW D f .Re/ gemäß Abb. 1.5 für umströmte Kugeln folgt cW1I2 D 0;5: 2. Iterationsschritt cW1I2 D 0;5 1 D 1;428 m=s c11I2 D 1;0101  p 0;5 c11I2  D1 1;428  0;05 Re1I2 D D  106 D 71 418 1 Aus cW D f .Re/ gemäß Abb. 1.5 für umströmte Kugeln folgt cW1I3 D 0;5: Es besteht also kein Unterschied zum vorangegangenen Wert. Somit erhält man

c11 D c12 D 1;428 m=sI

Re1 D 71 425I

cW1 D 0;50:

Die restlichen noch unbekannten Größen lassen sich jetzt ebenfalls berechnen: c12  D2 1;428  0;0094 D  106 D 13 423 1 cW1 0;50 D D  cW2 D 0;41 cW1 =cW2 1;22

Re2 D cW2

266

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Aufgabe 4.2 Quecksilberbehälter Ein mit Quecksilber (Hg) gefüllter zylindrischer Stahlbehälter fällt ins Wasser. Der Behälter ist seitlich mit Deckeln verschlossen (in Abb. 4.3 nicht erkennbar). Der Zylinder taucht in das Wasser ein und sinkt nach unten. Hierbei soll der Bewegungsvorgang ab der in Abb. 4.3 dargestellten Nulllage beginnen. Bei bekannten Behälterabmessungen sowie den Dichtewerten des Wassers, Quecksilbers und Stahls soll die stationäre Sinkgeschwindigkeit c1 ermittelt werden. Ebenfalls gesucht wird die Zeit tA und Strecke xA der so genannten Anlaufphase.

Lösung zu Aufgabe 4.2 Aufgabenerläuterung In der in Abb. 4.3 benannten Nulllage beginnt vereinbarungsgemäß der Sinkvorgang. Am Behälter wirken drei Kräfte, deren Resultierende nach Newton die Beschleunigung des Behälters bewirkt. Bei den drei Kräften handelt es sich um die Gewichtskraft FG , die hydrostatische Auftriebskraft FA und die Widerstandskraft FW aufgrund der Bewegung durch das ruhende Wasser. Mit zunehmender Sinkgeschwindigkeit wird die Trägheitskraft kleiner. Bei konstanter Masse verringert sich entsprechend die Beschleunigung. Eine konstante Endgeschwindigkeit c1 wird aber erst mit t D 1 erreicht. Um eine quasistationäre Sinkbewegung zu definieren, wird eine Geschwindigkeit cA D 0;99  c1 festgelegt, die also nur noch um 1 % vom Endwert c1 variiert. Die Restbeschleunigung ist folglich von untergeordneter Bedeutung und wird vernachlässigt. Unter dieser Vorausset-

ra

Nulllage

ri

pB

ρHg

s

X

ρW

Abb. 4.3 Quecksilberbehälter

Länge L senkrecht zur Zeichenebene

ρZ

Aufgabe 4.2 Quecksilberbehälter

267

zung stehen dann nur noch die drei genannten Kräfte im Gleichgewicht. Die Phase vom Beginn der Sinkbewegung bis zum Erreichen der Geschwindigkeit cA wird als Anlaufphase bezeichnet. Diese schließt mit der Zeit tA , der zurück gelegten Strecke xA und der Geschwindigkeit cA D 0;99  c1 ab. Gegeben:  W D 1 000 kg/m3 ; Hg D 13 560 kg/m3 ; Z D 7 800 kg/m3 ; ra D 50 mm; s D 10 mm; cW D 0;33; g D 9;81 m/s2 Gesucht: 1. 2. 3. 4.

c1 c1 bei den gegebenen Daten tA : Anlaufzeit xA : Anlaufstrecke Anmerkungen

    

Annahme: cW D konstant Die Bewegung beginnt gemäß Abb. 4.3 ab der Nulllage. Die x-Koordinate zählt entgegen der üblichen Praxis senkrecht nach unten. Das Gewicht der seitlichen Deckel wird vernachlässigt. Gleichungen: r   cA 1Cz c1  artanh mit artanh z D ln tA D g c1 1z   

 2 g  tA c 1 1 xA D 1  ln cosh mit cosh z D  ez C z g c1 2 e

Lösungsschritte – Fall 1 Das Kräftegleichgewicht in der festgelegten x-Richtung am mit der Geschwindigkeit c1 stationär sinkenden Behälter erkennt man in Abb. 4.4. Es lautet wie folgt: X Fx D 0 D FG  FA  FW : Umgeformt nach der Widerstandskraft FW , in der die gesuchte Geschwindigkeit c1 enthalten ist, folgt FW D FG  FA : Die Gesamtgewichtskraft FG ist die Summe des reinen Behälteranteils FGZ und des eingefüllten Quecksilbers FGHg , also FG D FGZ C FGHg :

268

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Abb. 4.4 Quecksilberbehälter; Kräfte am Behälter FW FA

x FG

c

FGZ D g  mZ mZ D Z  VZ  VZ D  ra2  ri2  L FGHg D g  mHg mHg D Hg  VHg VHg D  ri2  L

Gewichtskraft des Hohlzylinders Masse des Hohlzylinders Volumen des Hohlzylinders Quecksilbergewichtskraft Quecksilbermasse Quecksilbervolumen

Werden diese Zusammenhänge in die Gesamtgewichtskraft eingesetzt, ergibt sich    FG D g   L  Z  ra2  ri2 C Hg  ri2 :

Die hydrostatische Auftriebskraft FA ermittelt sich aus dem vom Behälter verdrängten Wasservolumen wie folgt: FA D g  W  VW : Hierin ist VW D  ra2  L das verdrängte Wasservolumen. Somit erhält man dann

FA D g  W   ra2  L:

Die Widerstandskraft des herab sinkenden Behälters folgt aus der Gleichung FW D cW  A 

W 2  c1 2

Aufgabe 4.2 Quecksilberbehälter

269

mit cW D konstant, dem Widerstandsbeiwert eines mit c1 quer angeströmten Zylinders. Weiterhin ist A D 2ra L die Bezugsfläche eines quer angeströmten Zylinders (Rechteck). Dies liefert die Widerstandskraft FW D cW  2  ra  L 

W 2  c1 2

oder

2 FW D cW  ra  L  W  c1 :

Werden nun alle mit den gegebenen Größen ausgedrückten Gleichungen im Kräftegleichgewicht installiert, so führt dies zunächst zu:    2 D g   L  Z  ra2  ri2 C Hg  ri2  W  ra2 : cW  ra  L  W  c1 2 durch Division mit (cW  ra  W ) auf der linken Gleichungsseite isoliert: Jetzt wird c1 2 D c1

  g  Z  ra2  Z  ri2 C Hg  ri2  W  ra2 : cW  ra  W

Sortiert man in der Klammer Glieder gleicher Radien, 2 D c1

   g  ra2  . Z  W / C ri2  Hg  Z ; cW  ra  W 

und multipliziert dann 2 c1

1 ra  W

 in die Klammer hinein, so folgt

2    

Hg ri2 ra

Z g

Z D   1 C   : cW ra

W ra

W

W

Der Innenradius wird ersetzt gemäß ri D .ra  s) und zuvor nach quadriert, ri2

2

  s 2  1 ; ra

D .ra  s/ D

ra2



 ra2  1 

das ergibt 2 2 D c1

g 4  cW ra 2 6 ra



Z 1 C

W

ra

s ra

2

 



3

Hg

Z 7  5:

W

W

270

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Durch Kürzen erhält man dann "    2  #



g 

s

Hg Z Z 2 c1 D  ra   1 C ra  1    : cW

W ra

W

W Anschließendes Wurzelziehen führt zum gesuchten Ergebnis:

c1

v "  u   #   ug 

Hg

Z s 2

Z t D  ra   1 C ra  1    : cW

W ra

W

W

Lösungsschritte – Fall 2 Unter dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Größen kann man die Geschwindigkeit c1 berechnen zu:

c1

v " u 2  #   u 9;81   0;05  7 800 13 560 10 7 800 Dt   1 C 1  0;33 1 000 50 1 000 1 000

c1 D 7;0 m=s

Lösungsschritte – Fall 3 Mit der Gleichung

  c c1  artanh tD g c1

des instationären Bewegungsablaufs beim Fallen oder Sinken eines Körpers wird die Zeit der Anlaufphase tA unter Verwendung der definierten Endgeschwindigkeit cA D 0;99c1 ermittelt aus   cA c1 tA D  artanh : g c1 Substituiert man der Einfachheit halber z D r artanh z D ln

1Cz ; 1z

cA c1

und verwendet

wobei z D

cA D 0;99; c1

so kann man allgemein die Zeit der Anlaufphase tA bestimmen gemäß s c1  tA D g

p 1 C 0;99 c1 c1 c1 D  ln 199 D  ln 14;107 D  2;647 1  0;99 g g g

Aufgabe 4.2 Quecksilberbehälter

271

und somit

tA D 2;647 

c1 : g

Mit der oben festgestellten Sinkgeschwindigkeit c1 D 7;0 m/s lautet dann die Zeit, bis zu welcher der Behälter 99 % der Endgeschwindigkeit c1 erreicht hat,

tA D 2;647 

7;00 D 1;89 s: 9;81

Lösungsschritte – Fall 4 Für die Anlaufstrecke xA beachten wir, dass die Strecke x, die ein fallender oder sinkender Körper in Abhängigkeit von der Zeit zurücklegt, dem Gesetz  

2 gt c1 xD  ln cosh g c1 folgt. Mit den Größen der Anlaufphase xA und tA ergibt sich  

g c2 xA D 1  ln cosh  tA g c1 Setzen wir den oben gefundenen allgemeinen Ausdruck für tA ein, so liefert dies zunächst  

g c2 c1 c2 xA D 1  ln cosh  2;647  D 1  ln Œcosh .2;647/ : g c1 g g Mit

  1 1 z cosh z D  e C z 2 e

und z D 2;647

bekommen wir jetzt   1 1 2;647 C 2;647 D 7;0913 cosh .2;647/ D  e 2 e Als die Anlaufstrecke und somit den allgemeinen Ausdruck

xA D ln 7;0913 

2 c1 c2 D 1;9589  1 g g

272

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Auch jetzt wird wieder die bekannte Geschwindigkeit c1 D 7;0 m/s verwendet, das führt zum Ergebnis

xA D 1;9589 

7;02 D 9;79 m: 9;81

Aufgabe 4.3 Nebeltröpfchen Beobachtet man bei Windstille Nebelformationen, so entsteht zunächst der Eindruck eines zeitlich unveränderlichen Zustands. Dass dem nicht so ist, erfährt man durch eine Langzeitbeobachtung. Hierbei stellt man fest, dass die Tröpfchen sehr, sehr langsam abwärts sinken. Kennt man nun die Sinkgeschwindigkeit sowie die Lufttemperatur und folglich luft- und wasserspezifischen Größen wie Dichte und Viskosität (Luft), so lässt sich die Größe der Nebeltröpfchen abschätzen. Dies soll in vorliegender Aufgabe geschehen.

Lösung zu Aufgabe 4.3 Aufgabenerläuterung Im Unterschied zu fallenden Regentropfen oder Hagelkörnern liegt bei der hier vorliegenden Thematik ein gänzlich anderer Strömungszustand um die „Kugeln“ vor. Diese sehr langsame Kugelumströmung wurde von Stokes mithilfe der Navier-Stokes’schen Gleichungen beschrieben. Sie ist in der Literatur als „schleichende Strömung“ bekannt. Ein Ergebnis der Untersuchungen von Stokes ist der Widerstandsbeiwert cW von Kugeln bei „schleichender Strömung“, den er in analytischer Form herleiten konnte. Die Widerstandsbeiwerte schnell fallender kugeliger Körper werden dagegen experimentell ermittelt und in Diagrammform (Abb. 1.5) dargestellt. Gegeben:  Tröpfchendaten: c1 D 4 m/h; Fl D 999;75 kg/m3 (bei # D 6 ı C)  Luftdaten: #L D 6 ı C; L D 1;21 kg/m3 ; L D 16;5  106 m2 /s Gesucht:  D

Aufgabe 4.3 Nebeltröpfchen

273

Anmerkungen

 Es wird von einer „schleichenden Kugelumströmung“, d. h. Re < 1 ausgegangen.  In diesem Fall gilt das Stokes’sche Gesetz: cW D 24=Re. Eine spätere Kontrolle der Annahme wird natürlich erforderlich.  Die Nebeltröpfchen werden als kugelförmig vorausgesetzt. Lösungsschritte Bei dem stationären Sinkvorgang der Nebeltröpfchen in der Luft herrscht Gleichgewicht zwischen der Gewichtskraft des Tröpfchens und der an ihm wirksamen Widerstandskraft: FG D FW FG D g  m m D F  V V D 6  D 3 FW D cW  A  A D 4  D 2

L 2

2  c1

Kräftegleichgewicht Gewichtskraft Tröpfchenmasse Tröpfchenvolumen Widerstandskraft Bezugsfläche, hier Kreisfläche als Projektion der Kugel

Setzt man alle Gleichungen in das Kräftegleichgewicht ein, so gelangt man zu g



L 2  D 3  F D cW   D 2  c 6 4 2 1

und nach Kürzen und Zusammenfassen der Zahlenwerte, g

1 L 2 1  D  F D cW   c ; 3 2 2 1

zum Zwischenergebnis

DD

3 L 1 2   cW  c1 :  4 F g

Da im Fall der schleichenden Kugelumströmung nach Stokes ein Zusammenhang zwi24 mit schen Widerstandsbeiwert cW und der Reynolds-Zahl Re in der Form cW D Re c1 D Re D L besteht, lässt sich cW in oben stehender Gleichung durch cW D ersetzen. Dies liefert DD

24  L c1  D

3 L 1 24  L 2    c : 4 F g c1  D 1

274

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Durch Multiplikation mit D und Zusammenfassen der Zahlenwerte folgt D 2 D 18 

L 1 2   L  c1 :

F g

Die Wurzel aus dieser Gleichung gezogen führt zu dem gesuchten Ergebnis in allgemeiner Form s DD

18 

L 1   L  c1 :

F g

Die gegebenen Zahlenwerte dimensionsgerecht eingesetzt liefern den Nebeltröpfchendurchmesser s 1;21 4 1 16;5    D D 18  6 999;75 9;81 10 3 600 und folglich

D D 6;4  106 m  0;0064 mm:

Überprüfung der Annahme Re < 1: Mit dem gefundenen Tröpfchendurchmesser lässt sich die Re-Zahl überprüfen. Man erhält

Re D

c1  D D L

 106  6;4 D 0;00043 < 1 16;5  106

4 3 600

Hiermit ist die Bedingung der schleichenden Kugelumströmung nachgewiesen.

Aufgabe 4.4 Tragflügelboot Ein Tragflügelboot ist gemäß Abb. 4.5 mit einem Bug- und einem Hauptflügel ausgestattet, deren Abmessungen sowie die jeweils gleichartigen Profilformen gegeben sind. Das Boot weist eine Gesamtgewichtskraft Fges auf und bewegt sich mit der Geschwindigkeit c1 durch das Wasser. Die Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte der Profile sind in Abb. 4.6

Aufgabe 4.4 Tragflügelboot

275

z x Fa S

Δ c

LB

ΔV

LH FA B

δ

Bugflügel

FA H

δ FGes.

Hauptflügel

Abb. 4.5 Tragflügelboot

und 4.7 dargestellt. Nachdem zunächst die am Boot angreifenden vertikalen Kräfte an den markierten Punkten in ihrer Richtung einzutragen sind, ist dann die Frage nach dem Anstellwinkel der Tragflügel gegenüber der horizontalen Bewegungsrichtung des Bootes zu lösen. Es ist weiterhin festzustellen, wie groß die hydrostatische Auftriebskraft und das vom Boot und den Tragflügeln samt Halterungen verdrängte Wasservolumen werden.

cA [/]

cA = f(cW ) 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 0 -0,2 -0,3

1,44

1,05

Re > 8 * 106

0,45

0,0108

0,005

0,01

0,02 4

0,013

0,015

0,02

0,025

cW [/]

Abb. 4.6 Tragflügelboot; cA D f .cW /

0,03

0,035

0,04

0,045

0,05

276

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Lösung zu Aufgabe 4.4 Aufgabenerläuterung Bei der gestellten Aufgabe stehen die an umströmten Tragflügeln angreifenden Auftriebskräfte mit ihren Einflussgrößen im Vordergrund. Die gleichzeitig wirksamen Widerstandskräfte an den Tragflügeln und dem Boot sind nicht Gegenstand der hier zu lösenden Fragen. Des Weiteren wird die Gesamtkräftebilanz in vertikaler Richtung benötigt, um die hydrostatische Auftriebskraft zu ermitteln. Da diese nach dem archimedischen Prinzip unmittelbar mit dem gesamten verdrängten Wasservolumen aller eingetauchten Körper zusammen hängt, soll dieses Volumen ebenfalls bestimmt werden. Gegeben:  c1 D 30;0 km/h; Fges D 2 500 000 N; D 1 000 kg/m3  Bugflügel: LB D 1;80 m; BB D 8;60 m  Hauptflügel: LH D 2;12 m; BH D 14;50 m Gesucht: 1. Richtungen der Gesamtgewichtskraft Fges , der Tragflügelauftriebskräfte FAB und FAH und der hydrostatischen Auftriebskraft Fa in Abb. 4.5 2. Anstellwinkel ı bei optimaler Gleitzahl "opt . Verwenden Sie hierzu die betreffende Lösung von den in Abb. 4.6 dargestellten Varianten. 3. Tragflügelauftriebskräfte FAB und FAH sowie die resultierende Gesamttragflügelauftriebskraft FAges beider Tragflächen 4. hydrostatische Auftriebskraft Fa sowie das verdrängte Wasservolumen V Anmerkungen

 Die Tragflügelbreiten BB und BH muss man sich senkrecht zur Zeichenebene vorstellen.  Die Auswirkungen der Umströmung an den Tragflügelenden werden vernachlässigt. Lösungsschritte – Fall 1 Die Richtungen der Kräfte sind in Abb. 4.5 eingezeichnet. Die hydrostatische Auftriebskraft wirkt der Gewichtskraft entgegen. Die Tragflügelauftriebskräfte stehen senkrecht auf den Profilanströmrichtungen. Diese sind im vorliegenden Fall identisch mit der Bewegungsrichtung des Boots. Lösungsschritte – Fall 2 Für den Anstellwinkel ı betrachten wir die Gleitzahl ", die wie folgt definiert ist: "D

FW : FA

277

cA [/]

Aufgabe 4.4 Tragflügelboot

Re > 8 * 106

-10

-5

1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 0 -0,2 -0,3

1,05

5

7,3°

10

δ [°]

15

Abb. 4.7 Tragflügelboot; cA D f .ı/

Der Optimalwert "opt stellt das Verhältnis von kleinstmöglicher Widerstandskraft zu größtmöglicher Auftriebskraft dar. Man erhält diesen Optimalwert in dem experimentell ermittelten „Polardiagramm“ cA D f .cW / gemäß Abb. 4.6 eines jeweiligen Profils, indem man dort vom Nullpunkt aus die Tangente an die Kurve legt. Von den drei in Abb. 4.6 eingezeichneten Varianten liefert die Tangente cA D 1;05 und cW D 0;013: Der Anstellwinkel ı lässt sich bei nun bekanntem Auftriebsbeiwert cA D 1;05 aus Abb. 4.7 zu ı D 7;3ı

ablesen. Lösungsschritte – Fall 3 Die Auftriebskraft FA von umströmten Profilen wird experimentell ermittelt. Sie hängt gemäß

FA D cA  A 

2 c 2 1

278

4

Umströmung von Profilen und Körpern

von der Bezugsfläche A, der Fluiddichte , der Geschwindigkeit c1 und dem Auftriebsbeiwert cA ab. Dieser wiederum wird von der Profilgeometrie, dem Anstellwinkel ı, der Reynolds-Zahl Re, der relativen Rauigkeit kS =L und der Zuström-Mach-Zahl Ma1 beeinflusst. Für das vorliegende Profil soll nur der Anstellwinkel ı von Bedeutung sein. Die Auftriebskraft FAB am Bugtragflügel lautet gemäß o. g. genannter Funktion

FAB D cAB  AB 

2 c : 2 1

Die Berechnung erfolgt mit folgenden Größen: Auftriebsbeiwert des Bugflügels cAB D 1;05 Bezugsfläche des Bugflügels AB D LB  BB D 1;8  8;6 D 15;48 m2 000 m=s D 8;333 m=s Bootsgeschwindigkeit c1 D 30 km=h D 30 3 600 Die Auftriebskraft am Bugflügel lautet somit

FAB D 1;05  15;48 

1 000  8;3332 D 564 375 N: 2

Die Auftriebskraft FAH am Haupttragflügel lautet gemäß o. g. genannter Funktion:

FAH D cAH  AH 

2 c : 2 1

Die Berechnung erfolgt mit folgenden Größen Auftriebsbeiwert des Hauptflügels cAH D 1;05 2 AH D LH  BH D 2;12  14;5 D 30;74 m Bezugsfläche des Hauptflügels 000 c1 D 30 km=h D 30 3 600 m=s D 8;333 m=s Bootsgeschwindigkeit Die Auftriebskraft am Haupttragflügel lautet

FAH D 1;05  30;74 

1 000  8;3332 D 1 120 729 N: 2

Aufgabe 4.5 Airbus A380

279

Die Gesamtauftriebskraft FAges an beiden Tragflügeln addiert sich aus FAges D FAH C FAB zu FAges D 1 685 104 N:

Lösungsschritte – Fall 4 Die hydrostatische Auftriebskraft Fa lässt sich gemäß Abb. 4.5 aus dem KräftegleichP gewicht in z-Richtung, Fiz D 0 wie folgt bestimmen: FAges C Fa  FG D 0: Umgestellt nach Fa und mit den gegebenen bzw. berechneten Größen Fa D FG  FA;ges D 2 500 000  1 685 104 D 814 896 N

Das gesamte verdrängte Wasservolumen V ermittelt man mit der Gleichung der hydrostatischen Auftriebskraft Fa D g   V durch Umstellen nach V zu:

N  s2  m3 Fa 814 896 V D D D m3 g

9;81  1 000 m  kg V D 83 m3

Aufgabe 4.5 Airbus A380 Vom neuen, weltweit größten Verkehrsflugzeug Airbus A380 sind nachstehend einige wichtige Größen genannt. Gesucht werden die jeweils erforderlichen Auftriebsbeiwerte für Start, Reiseflug und Landung sowie die Reisefluggeschwindigkeit.

Lösung zu Aufgabe 4.5 Aufgabenerläuterung Bei der Lösung dieser Aufgabe steht die Anwendung der Auftriebskraft an umströmten Tragflächen im Fokus. Bei den drei Flugphasen soll sich das Flugzeug in horizontaler oder gerade noch horizontaler Lage befinden, sodass ein Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung zwischen Gewichtskraft nach unten und gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet der Auftriebskraft an den Tragflächen vorliegt.

280

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Gegeben: AF D 846 m2 mSt D 560 000 kg mL D 386 000 kg MaR D 0;85

St;L D 1;225 kg/m3

R D 0;365 kg/m3 #R D 50 ı C Nm Ri D 287 kgK  D 1;4 cSt D 260 km/h cL D 270 km/h

Flügelfläche Gesamtmasse vor Start Gesamtmasse vor Landung Mach-Zahl in Reisehöhe Luftdichte in Start-, Landebahnhöhe Luftdichte in Reisehöhe Temperatur in Reisehöhe Gaskonstante der Luft Isentropenexponent Startgeschwindigkeit Landegeschwindigkeit

Gesucht: 1. 2. 3. 4.

cASt : Auftriebsbeiwert beim Start cR : Reisefluggeschwindigkeit cAR : Auftriebsbeiwert beim Reiseflug cAL : Auftriebsbeiwert bei der Landung Anmerkungen

 Index St: Start  Index R: Reiseflug  Index L: Landung Lösungsschritte – Fall 1 Der Auftriebsbeiwert beim Start cASt ergibt sich aus folgender Überlegung: Gerade im Augenblick des Abhebens ist FASt D FGSt , wobei FASt D cASt  AF 

St 2  cSt 2

die Auftriebskraft beim Start und FGSt D mSt  g die Gesamtgewichtskraft beim Start bedeuten. Unter Verwendung dieser Gleichungen im o. g. Kräftegleichgewicht und nach cASt umgeformt erhält man dann

cASt D

2  FGSt : 2 AF  St  cSt

Aufgabe 4.5 Airbus A380

281

Die Startgeschwindigkeit lautet, dimensionsgerecht umgeformt, cSt D 260 km=h D 72;22 m=s: Dann lässt sich der Auftriebsbeiwert beim Start bestimmen zu

cASt D

2  560 000  9;81 D 2;03: 846  1;225  72;222

Lösungsschritte – Fall 2 Die Reisegeschwindigkeit cR ermittelt sich aus der vorgegebenen Mach-Zahl. Diese ist definiert als Verhältnis der Geschwindigkeit c, hier cR , bezogen auf die Schallgeschwindigkeit a, hier aR . Da die Schallgeschwindigkeit in gasförmigen Fluiden von den Zustandsgrößen des jeweiligen Gases abhängt, muss dies auch im vorliegenden q Fall berücksichtigt werden. Wird der allgemeine Ausdruck für ein ideales Gas a D auf eine angenommene isentrope Zustandsänderung, wird aD

p

pv D

p

dp d

angewandt

  Ri  T :

Bei den bekannten Luftdaten  und Ri sowie der Temperatur in Reiseflughöhe TR D .273 C #R / erhält man für die Schallgeschwindigkeit in Reiseflughöhe aR D

p   Ri  TR

und mit den o. g. Daten aR D

p

2s 1;4  287  .273  50/ 4

3 Nm Nm kg  m  m m2 5 K D D D 2 kg  K kg s2  kg s

D 299;3 m=s: Die Reisefluggeschwindigkeit lautet demnach cR D MaR  aR D 0;85  299;3 m=s oder

cR D 254;4 m=s  916 km=h:

282

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Lösungsschritte – Fall 3 Beim horizontalen Reiseflug berechnet sich der Auftriebsbeiwert cAR analog zu Fall 1, es sind jedoch die in Reiseflughöhe vorliegenden Gegebenheiten zu verwenden. Die Gesamtgewichtskraft soll sich in Folge des Kerosinverbrauchs nach Erreichen der Reiseflughöhe noch nicht nennenswert verkleinert haben. Mit

cAR D

2  FGR AF  R  cR2

wird

cAR D

2  560 000  9;81 D 0;55: 846  0;365  254;42

Lösungsschritte – Fall 4 Der Landevorgang, in angenommener Meereshöhe wie der Start, sei durch einen nahezu verbrauchten Kerosinvorrat gekennzeichnet, d. h., die Gesamtgewichtskraft FGL D mL  g ist um den Treibstoffanteil kleiner als beim Start. Mit der bekannten Landegeschwindigkeit cL D 270 km=h  75 m=s berechnet sich der jetzt erforderliche Auftriebsbeiwert cAL zu 2  FGL AF  L  cL2 2  386 000  9;81 D D 1;30: 846  1;225  752

cAL D

Aufgabe 4.6 Spielzeugdrachen Ein Spielzeugdrachen wird gemäß Abb. 4.8 mit der Luftgeschwindigkeit c1 angeblasen. Die Form des Drachens ist eine ebene Rechteckfläche der Größe A. Das Zugseil weist einen Winkel ˇ gegenüber der horizontalen Geschwindigkeitsrichtung auf. Am Drachen wirken die Seilkraft FS , die Auftriebskraft FA senkrecht zur Geschwindigkeit nach oben, die Widerstandskraft FW in Richtung der Geschwindigkeit und die Gewichtskraft FG vertikal nach unten. Zu ermitteln sind die Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte cA und cW des Drachens unter Verwendung der bekannten Größen.

Aufgabe 4.6 Spielzeugdrachen Abb. 4.8 Spielzeugdrachen

283 c

FA A

FW ß

FG FS

z

x

Lösung zu Aufgabe 4.6 Aufgabenerläuterung Bei den hier zu bestimmenden cA - und cW -Werten des Spielzeugdrachens, den man als schräg angeströmte Rechteckfläche betrachten muss, ist das Zusammenwirken aller Kräfte bzw. Kraftkomponenten sowohl in x-Richtung als auch in z-Richtung als Ansatz zu verwenden. Die an umströmten Körpern wirksamen Auftriebs- und Widerstandskräfte sind mit den gesuchten Beiwerten verknüpft. Diese lassen sich durch geeignete Berechnungsschritte aus den Gleichungen auflösen. Gegeben:

L D 1;20 kg/m3 FG D 11 N FS D 29 N A D 0;75 m2 ˇ D 45ı c1 D 32 km/h

Luftdichte Gewichtskraft Seilkraft Bezugsfläche für cA und cW Neigungswinkel des Seils Windgeschwindigkeit

Gesucht: 1. cA und cW 2. cA und cW bei den o. g. Daten

284

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Lösungsschritte – Fall 1 Zur Ermittlung des Auftriebsbeiwertes cA benötigt man die Auftriebskraft FA mit dem darin enthaltenen Beiwert. Die Auftriebskraft lässt sich aus dem Kräftegleichgewicht am Drachen in z-Richtung wie folgt feststellen: X

Fz D 0 oder FA  FG  FSz D 0:

FSz ist hierin die z-Komponente der Seilkraft FS . Umgestellt nach der Auftriebskraft folgt FA D FG C FSz : Verwendet man jetzt die Gleichung FA D cA  A 

L 2  c1 2

und ersetzt gemäß Abb. 4.8 FSz gemäß FSz D FS  sin ˇ, so kann man zunächst

L 2  c D FG C FS  sin ˇ 2 1   schreiben. Diese Gleichung wird durch A  2L  c1 2 dividiert, was den gesuchten Auftriebsbeiwert liefert zu cA  A 

cA D

2  .FG C FS  sin ˇ/ : 2 A  L  c1

Der Widerstandsbeiwert cW wird analog zum vorangegangenen Fall hergeleitet, nur wird jetzt das Kräftegleichgewicht am Drachen in x-Richtung benutzt. Hier wirken zwei Kräfte wie folgt: X Fx D 0; also FW  FSx D 0: FSx ist hierin die x Komponente der Seilkraft FS . Umgestellt nach der Widerstandskraft folgt FW D FSx : Verwendet man jetzt die Gleichung FW D cW  A 

L 2 c 2 1

Aufgabe 4.7 Tragflächenschiff

285

und ersetzt gemäß Abb. 4.8 FSx gemäß FSx D FS  cos ˇ, so erhält man

L 2  c D FS  cos ˇ: 2 1   2 und haben den gesuchten WiderstandsWir dividieren diese Gleichung durch A  2L  c1 beiwert: cW  A 

cW D

2  FS  cos ˇ : 2 A  L  c1

Lösungsschritte – Fall 2 Wir suchen nun cA und cW bei den o. g. Daten. Um dimensionsgerechte Größen zu verwenden, muss die Geschwindigkeit c1 wie folgt umgerechnet werden: c1 D 32 km=h  8;89 m=s: Mit den gegebenen Größen erhält man

cA D

2  .11 C 29  sin 45ı / D 0;886 0;75  1;20  8;892

und

cW D

2  29  cos 45ı D 0;577: 0;75  1;20  8;892

Aufgabe 4.7 Tragflächenschiff Der Flügel eines Tragflächenschiffs bewegt sich mit der Geschwindigkeit c1 im Abstand t von der Oberfläche durch das Wasser (Abb. 4.9). Wie groß darf die Geschwindigkeit cx an der kritischen Stelle x höchstens sein, damit eine Dampfblasenentstehung gerade noch vermieden wird?

286

4 pB

Umströmung von Profilen und Körpern

c

ρ

t z

x

0 Bezugsebene

Abb. 4.9 Tragflächenschiff

Lösung zu Aufgabe 4.7 Aufgabenerläuterung Die Frage nach dem Phasenwechsel einer Flüssigkeit in den Dampfzustand (oder auch umgekehrt) berührt ein sehr komplexes Thema, das unter dem Begriff der „Kavitation“ behandelt wird. Der Phasenwechsel wird immer dann eingeleitet, wenn in einem Flüssigkeitssystem der örtliche statische Druck den Dampfdruck unterschreitet. Umgekehrt vermeidet man die Dampfblasenentstehung dadurch, dass durch geeignete Maßnahmen an jeder Stelle des Systems ein größerer Druck als der Dampfdruck vorliegt, also p > pDa ist. Die gefährdete Stelle x am Tragflügelprofil in Abb. 4.9 ist derjenige Ort an der Oberseite, wo durch die profilbedingte Stromlinienverdichtung die höchste örtliche Geschwindigkeit cx auftritt und eine entsprechende Druckabsenkung erfolgt. Die Bemessung dieser Geschwindigkeit erfolgt mittels Bernoulli’scher Gleichung und den hier gegebenen Größen. Die berechnete Geschwindigkeit cx dient dann zur Auslegung des erforderlichen Profils. Gegeben:  t; c1 ; pB ; pDa ; ; g Gesucht: 1. cx 2. cx bei t D 1;5 m; c1 D 14 m/s; pB D 100 000 Pa; pDa D 2 340 Pa; D 1 000 kg/m3 ; g = 9,81 m/s2

Aufgabe 4.7 Tragflächenschiff

287

Anmerkungen

 Der Höhenunterschied aufgrund des Tragflügelprofils zwischen den Stellen 0 und x sei von untergeordneter Bedeutung, also Z0  Zx .  Das Koordinatensystem wird mit dem Tragflügel mitbewegt, also ein Relativsystem hergestellt. Die Fahrgeschwindigkeit c1 erscheint dann einem mitfahrenden Beobachter als stationäre Zuströmgeschwindigkeit c0 sowie in veränderter Größe auch cx als stationäre Geschwindigkeit bei der Stelle x.  Die Strömungsverluste zwischen den Stellen 0 und x werden vernachlässigt. Lösungsschritte – Fall 1 Wie oben erwähnt wird Kavitation vermieden, wenn an der kritischen Stelle der statische Druck größer ist als der Flüssigkeitsdampfdruck. Im vorliegenden Fall muss also px > pDa hergestellt werden. Den Druck px ersetzt man nun über die Bernoulli’sche Gleichung zwischen den Stellen 0 und x, um eine sinnvolle Verbindung zur gesuchten Geschwindigkeit cx herzustellen: p0 px c2 c2 C 0 C g  Z0 D C x C g  Zx :

2

2 Mit den hier vorliegenden Gegebenheiten und Annahmen Z0  Zx , c0  c1 und YV0Ix  0 sowie der Umstellung nach px = , px p0 c2 c2 D C 1  x;



2 2 und dann Multiplikation mit der Dichte liefert px D p0 C

2

 c1   cx2 : 2 2

Die rechte Gleichungsseite wird in px > pDa eingesetzt, das führt zur Ungleichung

2

 c   c 2 > pDa : 2 1 2 x   Trennt man logischerweise den Term 2  cx2 aus der Ungleichung heraus, so resultiert p0 C

2

2  pDa :  cx < p0 C  c1 2 2 Der statische Druck an der Stelle 0 lässt sich als Summe aus Umgebungsdruck pB und dem Druckanteil der Flüssigkeitshöhe t darstellen zu p0 D pB C  g  t:

288

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Oben für p0 eingesetzt ergibt das dann

2

2  pDa ;  c < .pB C  g  t/ C  c1 2 x 2 schließlich werden linke und rechte Seite mit (2= ) multipliziert und die Wurzel gezogen: s cx <

 2 C2 c1

 pB  pDa C g  t :

Lösungsschritte – Fall 2 Bei t D 1;5 m, c1 D 14 m/s, pB D 100 000 Pa, pDa D 2 340 Pa und D 1 000 kg/m3 finden wir für cx , dass s   100 000  2 340 2 cx < 14 C 2  C 9;81  1;5 1 000 und folglich

cx < 20;51 m=s:

Aufgabe 4.8 Angeströmte Platte Eine rechteckige Platte mit einer Seitenfläche A wird gemäß Fall 1 in Abb. 4.10 senkrecht zu A mit einer Windgeschwindigkeit cWind angeströmt, wobei die Platte selbst ruht. Im Fall 2 dagegen bewegt sich die Platte mit der Geschwindigkeit cPlatte in der Richtung des durchgezogen dargestellten Geschwindigkeitsvektors. Gleichzeitig ist die Windgeschwindigkeit cWind in Größe und Richtung unverändert wirksam. Gesucht werden in beiden Fällen die aufgrund des Seitenwindes an der Platte wirksamen Kräfte. Im Fall 2 sollen auch noch zwei charakteristische Winkel ermittelt werden.

Lösung zu Aufgabe 4.8 Aufgabenerläuterung Fall 1: Die Widerstandskraft FW ist hier die einzige wirksame Kraft und belastet die Seitenfläche in Windrichtung, steht also senkrecht auf A. Grundlage der Berechnung ist die Gleichung der Widerstandskraft einer quer angeströmten Rechteckplatte.

Aufgabe 4.8 Angeströmte Platte

289

Abb. 4.10 Angeströmte Platte

Fall 2: In diesem Fall muss zunächst die Geschwindigkeit c1 in Größe und Richtung gefunden werden, die sich aus cPlatte und cWind resultierend einstellt. Die Plattengeschwindigkeit cPlatte , in Abb. 4.10 als durchgezogen dargestellter Vektor zu erkennen, kann in der Richtung nur von einem ruhenden System aus beobachtet werden (instationär). Setzt man das Koordinatensystem oder auch einen Beobachter auf die bewegte Platte (stationär), so erkennt man die Geschwindigkeit cPlatte auf die Platte zugewandt gerichtet (gestrichelt dargestellter Vektor in Abb. 4.10). Dieser Geschwindigkeit überlagert sich noch die Windgeschwindigkeit, sodass man aus der Vektoraddition von cPlatte und cWind die gesuchte Geschwindigkeit c1 erhält (Abb. 4.11). Die Geschwindigkeit c1 könnte man von der Platte aus auch als die Geschwindigkeit einer z. B. mit der Luft mittransportierten Feder erkennen. Mit c1 liegt jetzt der Fall einer schräg angeströmten Rechteckplatte A vor, an der zwei verschiedene Kräfte wirksam werden. Dies sind senkrecht zu c1 die Auftriebskraft FA und in Richtung von c1 die Widerstandskraft FW . Aus beiden wird dann die resultierende Kraft FR ermittelt. Der Berechnung von FA und FW liegen die bekannten Gesetzmäßigkeiten umströmter Körper zugrunde. Anstellwinkel ı und Gleitwinkel  lassen sich mit einfachen trigonometrischen Zusammenhängen bestimmen. Gegeben:  A D 55;74 m2 ; L D 1;22 kg/m3 ; cWind D 4;472 m/s  Fall 1: cW1 D 1;3  Fall 2: cW2 D 0;25; cA2 D 0;60; cPlatte D 13;42 m/s

290

4

Umströmung von Profilen und Körpern

c cWind δ

Vektoraddition der Geschwindigkeiten

cPlatte

FW FR

FA

Platte mit der resultierenden Geschwindigkeit c angeströmt

γ δ δ

c

Abb. 4.11 Angeströmte Platte; resultierende Geschwindigkeit und Kräfte

Gesucht: 1. Fall 1: FW1 2. Fall 2: FW2 ; FA2 ; FR 3. Fall 2: ı;  Lösungsschritte – Fall 1 Für den Fall 1 ist die Widerstandskraft FW1 gesucht. Die Widerstandskraft umströmter Körper lautet allgemein

FW D cW  A   c 2 : 2 Mit den Größen des Falls 1 bei ruhender Platte kann man schreiben FW1 D cW1  A 

L 2 : c 2 Wind

Setzt man die gegebenen Größen dimensionsgerecht ein, FW1 D 1;3  55;74 

1;22  4;4722 ; 2

so erhält man als Ergebnis

FW1 D 884 N:

Aufgabe 4.8 Angeströmte Platte

291

Lösungsschritte – Fall 2 Nun brauchen im Fall 2 die Kräfte FW2 , FA2 und FR . Widerstandskraft und Auftriebskraft an umströmten Körpern lauten, allgemein formuliert, FW D cW  A 

2 c 2

FA D cA  A 

2 c 2

(Widerstandskraft) und

(Auftriebskraft). In Verbindung mit den veränderten Gegebenheiten der bewegten Platte (Fall 2) schreibt man:

L 2

L 2  c1 sowie FA2 D cA2  A  c : FW2 D cW2  A  2 2 1 Bis auf die resultierende Zuströmgeschwindigkeit c1 sind alle anderen Größen bekannt. c1 als Hypotenuse des rechtwinkligen Geschwindigkeitsdreiecks gemäß Abb. 4.11 ausgewertet führt zu c1 D

q p 2 2 cPlatte C cWind D 13;422 C 4;4722 D 14;15 m=s:

Somit sind die beiden Kräfte bekannt, FW2 D 0;25  55;74 

1;22  14;152 2

und FA2 D 0;6  55;74 

1;22  14;152 ; 2

und wir finden

FW2 D 1 702 N und FA2 D 4 085 N:

Wertet man die resultierende Kraft FR an der Platte als Hypotenuse des rechtwinkligen Kräftedreiecks gemäß Abb. 4.11 aus, so erhält man als Ergebnis

FR D

q p FW2 2 C FA22 D 1 7022 C 4 0852 D 4 425 N

Lösungsschritte – Fall 3 Den Anstellwinkel ı als Winkel zwischen Zuströmrichtung und jeweiliger Fläche oder Profil ermittelt man gemäß Abb. 4.11 im Fall der bewegten Platte zu     4;472 cWind D arctan ı D arctan cPlatte 13;42

292

4

Umströmung von Profilen und Körpern

und folglich ı D 18;4ı :

Der Gleitwinkel  gemäß Definition in Abb. 4.11 lautet     FW 1 702  D arctan D arctan FA 4 085 und folglich  D 22;6ı :

Aufgabe 4.9 Sprungturm Ein Springer lässt sich von einem 10-Meter-Sprungturm mit einem Fußsprung senkrecht nach unten fallen (Abb. 4.12). Eine Anfangsbewegung durch Wippen auf dem Sprungbrett liegt nicht vor. Wie lange dauert es, bis er die Wasseroberfläche erreicht, und mit welcher Geschwindigkeit kommt er dort an? Körpermasse m, Widerstandsbeiwert cW , Bezugsfläche A und Luftdichte L können als bekannt vorausgesetzt werden. Abb. 4.12 Sprungturm

A

ρL

c(t)

H

Δ

x(t)

Aufgabe 4.9 Sprungturm

293

Lösung zu Aufgabe 4.9 Aufgabenerläuterung Bei jedem freien Fall wirken an dem betreffenden Körper Gewichtskraft, Widerstandskraft und Trägheitskraft. Die Auftriebskraft aufgrund der vom Körper verdrängten Luftmasse kann i. A. vernachlässigt werden. Aus dem Kräftegleichgewicht lässt sich herleiten, dass eine dauernde Beschleunigung des Körpers vorliegt, die erst mit t D 1 gleich null wird. Faktisch ist jedoch nach Erreichen einer definierten Fallgeschwindigkeit cA D 0;99  c1 kein nennenswerter Beschleunigungseinfluss mehr zu erkennen. Ab hier liegen dann „quasi-stationäre“ Bedingungen am Körper vor, d. h., es besteht nur noch Gleichgewicht zwischen Gewichtskraft und Widerstandskraft. Bis zum Erreichen dieser definierten Fallgeschwindigkeit legt der Körper eine entsprechende Distanz zurück, für die er eine zugeordnete Zeit benötigt (Anlaufphase). Ist die Fallhöhe wie im vorliegenden Beispiel relativ klein, so wird es erforderlich, die zeitabhängigen Gesetzmäßigkeiten für den zurück gelegten Weg x.t/ und die Geschwindigkeit c.t/ zu verwenden. Gegeben: 2 2 3  m D 75 kg; g D h 9;81m/si; cW 1,0; A D 0;125m ; L D 1;22 kg/m 2 c1 gt gt  x.t/ D g  ln cosh c1 ; c.t/ D c1  tanh c1

Gesucht: 1. t D f .x/ 2. t bei den o. g. Daten 3. c bei den o. g. Daten Anmerkungen z

e  cosh z D 12  .ez C ez / ; tanh z D eez Ce z  Die x-Koordinate wird entgegen der üblichen Anordnung in Fallrichtung gezählt. z

Lösungsschritte – Fall 1 Da in o. g. Funktion die Weg-Zeitabhängigkeit x.t/ bekannt ist, hier aber nach der ZeitWegabhängigkeit t.x/ gefragt wird, muss eine geeignete Umformung vorgenommen werden. Der Einfachheit halber wird anstatt x.t/ nur noch x geschrieben.  

2 gt c1  ln cosh : xD g c1

294

4

Umströmung von Profilen und Körpern

  2 Multiplikation mit g=c1 liefert 

 g gt : x  2 D ln cosh c1 c1 Nun wird auf beide Gleichungsseiten die e-Funktion angewendet: x

e

g 2 c1

gt

D elnŒcosh. c1 / :

Da allgemein eln a D a ist, erhält man hier x

e

g 2 c1

 D cosh

gt c1

 :

Zur Vereinfachung wird substituiert: zD

gt c1

2

und K D egx=c1

Somit lautet die Gleichung

cosh z D K:

Unter Verwendung der Definition  z e C cosh z D 2 

entsteht

ez C 2

1 ez

1 ez



 D K;

oder, mit 2 multipliziert, 1 D 2  K: ez Der erste Summand wird mit (ez ) erweitert, ez C

1 ez  ez C z D 2  K; z e e und danach (1=ez ) ausgeklammert:  1  2z e C 1 D 2  K: z e

Aufgabe 4.9 Sprungturm

295

Mit (ez ) multipliziert sieht das dann so aus: e2z C 1 D 2  K  ez : Die Glieder mit e-Funktionen kommen auf die linke Gleichungsseite und wir haben e2z  2  K  ez D 1

.ez /2  2  K  ez D 1:

oder

Verwenden wir noch die Substitution y D ez , so stellt sich die Gleichung wie folgt dar: y 2  2  K  y D 1: Jetzt wird K 2 auf beiden Seite addiert mit dem Ergebnis y2  2  K  y C K 2 D K 2  1 y 2  2  K  y C K 2 D K 2  1. Die linke Seite entspricht (y  K/2 und somit ist .y  K/2 D K 2  1: Nach dem Wurzelziehen erhalten wir zunächst p y D K ˙ K 2  1: Werden nun y, z und K zurücksubstituiert, entsteht



e.

g c1 t

/De

g 2 c1

r

 x

˙

 2

e

gx 2 c1



 1:

Das Logarithmieren liefert unter Verwendung von ln ea D a zunächst r   2  3  g gx g x 2 g 2 2 ln e. c1 t / D  t D ln 4e c1 ˙ e c1  15 : c1  Jetzt muss abschließend noch mit gebnis

2 tD



c1 g

multipliziert werden, und man bekommt als Er-



c1  ln 4e g

g 2 c1

r

 x

˙

 2

e

gx 2 c1



3  15 :

296

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Lösungsschritte – Fall 2 Zunächst muss zur Berechnung der Fallzeit t.x D 10 m/ die stationäre Endgeschwindigkeit c1 festgestellt werden. Zu ihrer Ermittlung ist das Kräftegleichgewicht am stationär fallenden Körper anzusetzen. Da Gewichtskraft und Widerstandskraft entgegengesetzt gerichtet sind, und die Trägheitskraft für den stationären Fallzustand gleich null ist, lautet die Kräftegleichung FG D FW

mit FG D g  m und FW D cW  A 

Es folgt somit cW  A   Mit

2 cW A L



L 2 c : 2 1

L 2  c D g  m: 2 1

multipliziert führt dies zunächst zu 2 D c1

2gm : cW  A  L

Nach dem Wurzelziehen erhält man als Ergebnis s c1 D

2gm : cW  A  L

Setzt man noch die gegebenen Zahlenwerte der betreffenden Größen ein, so ermittelt sich c1 zu s 2  9;81  75 D 98;2 m=s  354 km=h: c1 D 1;0  0;125  1;22 Mit x D 10 m und c1 D 98;2 m/s lässt sich die gefragte Fallzeit berechnen mittels # " q   .9:8110/ 29;8110 98;2 2 2  ln e 98;2 C e 98;2  1 tD 9;81 und wir bekommen

t D 1;43 s:

Das negative Vorzeichen vor der Wurzel liefert eine negative Zeit, was keinen Sinn macht.

Aufgabe 4.10 Fallschirmspringer im freien Fall

297

Lösungsschritte – Fall 3 Mit der somit bekannten Fallzeit und den anderen berechneten bzw. gegebenen Größen ist die Geschwindigkeit nach x D 10 m Fallhöhe mit o. g. Gleichung wie folgt festgelegt:   9;81  1;43 D 98;2  tanh .0;1429/ c .t D 1;43 s/ D 98;2  tanh 98;2 e0;1429  e0;1429 D 13;94 m=s: D 98;2  0;1429 e C e0;1429 Die Geschwindigkeit c lautet somit

c.t D 1;43 s/ D 13;94

m km  50;2 : s h

Aufgabe 4.10 Fallschirmspringer im freien Fall Ein Fallschirmspringer springt aus dem Flugzeug und fliegt zunächst im freien Fall zur Erde (Abb. 4.13). Die umströmten Konturen des Springers werden mit Ausnahme des Helms (Kugel) als quer angeströmte Zylinder angenommen. Gesucht wird die quasi-stationäre Geschwindigkeit c1 vor Öffnen des Fallschirms.

Lösung zu Aufgabe 4.10 Aufgabenerläuterung Nach Absprung (z. B. im oberen Totpunkt eines Loopings) aus dem Flugzeug wird die Geschwindigkeit des Springers mit der Gesamtmasse m zunächst stetig vergrößert. In dieser

LR LB

LA

FG Abb. 4.13 Fallschirmspringer im freien Fall

DK

DA

DR

DB

FW

c

298

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Phase wirken drei Kräfte an ihm: Gewichtskraft, Luftwiderstandskraft und Trägheitskraft. Nach Abschluss dieser Beschleunigungsphase, also nach Erreichen der gesuchten, nahezu (quasi) konstanten Fallgeschwindigkeit c1 wird die Trägheitskraft verschwindend klein, sodass nur noch die Gewichts- und die Luftwiderstandskraft am fallenden Körper angreifen. Aus dem Gleichgewicht dieser beiden Kräfte lässt sich die gesuchte Geschwindigkeit ermitteln. Es wird Windstille und konstante Luftdichte angenommen. Gegeben:  m D 75 kg; L D 1;225 kg/m; sowie: Rumpf Bein Arm Kopf

Index R Index B Index A Index K

LR D 0;70 m LB D 0;80 m LA D 0;65 m

DR D 0;45 m DB D 0;25 m DA D 0;15 m DK D 0;25 m

cWR D 0;49 cWB D 0;39 cWA D 0;22 cWK D 0;145

Gesucht: 1. c1 2. c1 mit den o. g. Daten Anmerkung

 Die angegebenen Widerstandsbeiwerte sind aus Versuchen bei homogenen Zuströmgeschwindigkeiten ermittelt worden. Diese können im vorliegenden Fall durch gegenseitige Beeinflussungen der Körpergliedmaße nur mit Einschränkungen angenommen werden. Aus diesem Grund ist das Ergebnis der Berechnungen nur als Näherungswert zu verstehen. Lösungsschritte – Fall 1 Aus dem Kräftegleichgewicht im Fall des mit quasi-gleichbleibender Geschwindigkeit c1 zur Erde fallenden Springers folgt (siehe Abb. 4.13) X

Fi D 0 D FW  FG

oder FW D FG :

Hierbei sind FG D m  g FW D cW  A  cW A

L 2

Gewichtskraft 2  c1 Widerstandskraft FW an umströmten Körpern Widerstandsbeiwert des umströmten Körpers Bezugsfläche

Aufgabe 4.10 Fallschirmspringer im freien Fall

L c1

299

Dichte des strömenden Fluids, hier Luft Strömungsgeschwindigkeit, hier Fallgeschwindigkeit des Körpers gegenüber ruhender Luft

Im vorliegenden Fall setzt sich diese Widerstandskraft aus den Anteilen des gesamten umströmten Körpers zusammen, also: FW D FWK C FWR C 2  FWB C 2  FWA mit 2 FWK D cWK  AK  2L  c1

2 AK D 4  DK 2 FWR D cWR  AR  2L  c1 AR D DR  LR 2 FWB D cWB  AB  2L  c1 AB D DB  LB 2 FWA D cWA  AA  2L  c1 AA D DA  LA

Widerstandskraft am Kopf Bezugsfläche einer umströmten Kugel, hier Kopf Widerstandskraft am Rumpf Bezugsfläche eines umströmten Zylinders, hier Rumpf Widerstandskraft an einem Bein Bezugsfläche eines umströmten Zylinders, hier Bein Widerstandskraft an einem Arm Bezugsfläche eines umströmten Zylinders, hier Arm

  2 aus den einzelnen Widerstandskräften und unter VerNach Ausklammern von 2L  c1 wendung der betreffenden Bezugsflächen erhält man mg D



L 2 

c1  cWK   DK2 C cWR  DR  LR C 2  cWB  DB  LB C 2  cWA  DA  LA : 2 4

Aufgelöst nach c1 lautet das Ergebnis s c1 D



L  cWK 

4

2mg :  DK2 C cWR  DR  LR C 2  cWB  DB  LB C 2  cWA  DA  LA

Lösungsschritte – Fall 2 Bei dimensionsgerechter Verwendung der genannten Zahlenwerte berechnet man die Fallgeschwindigkeit c1 wie folgt s c1 D

 1;225  0;145 

4



0;252

2  75  9;81  C 0;49  0;45  0;7 C 2  0;39  0;25  0;8 C 2  0;22  0;15  0;65

c1 D 57;7 m=s  207;7 km=h:

300

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Aufgabe 4.11 Kugel im Windkanal Gemäß Abb. 4.14 wird in einem Windkanal die an einem Seil aufgehängte glatte Kugel von einem Luftstrom bei homogener Geschwindigkeitsverteilung c1 angeblasen. Die Dichte L und die kinematische Zähigkeit L der Luft sind bekannt, ebenso wie die Seillänge L und der Kugeldurchmesser d . Aufgrund der an der Kugel wirksamen Kräfte kommt es zu einer Auslenkung um den Winkel '1I2 bzw. um die horizontale Verschiebung s1I2 . Der Index 1 steht hierin für die unterkritische Kugelumströmung Relam und der Index 2 für den überkritischen Fall Returb . Bei jeweils gemessenen Auslenkungen s1 und s2 sollen die Widerstandsbeiwerte cW1 bzw. cW2 ermittelt werden.

Lösung zu Aufgabe 4.11 Aufgabenerläuterung Zur Lösung der Aufgabe wird zunächst das Zusammenwirken der Gewichtskraft der Kugel und der an ihr angreifenden Widerstandskraft (Abb. 4.15) benötigt. Die Verknüpfung zwischen diesen beiden Kräften lässt sich mit den geometrischen Größen gemäß Abb. 4.14 herstellen. Unter Verwendung des allgemeinen Widerstandsgesetzes umströmter Körper im Fall der betrachteten Kugel und der hier zugrunde liegenden Re-Zahl lassen sich die gesuchten cW -Zahlen bestimmen. Abb. 4.14 Kugel im Windkanal

Abb. 4.15 Kugel im Windkanal; Kräfte an Kugel

Aufgabe 4.11 Kugel im Windkanal

301

Gegeben:  d ; L; s1 ; s2 ; mK ; L ; L ; Rela ; Retu Gesucht: 1. cWlam 2. cWturb 3. Fall 1 und 2, wenn d D 8 cm; L D 1;5 m; s1 D 12;6 cm; s2 D 11;3 cm; mK D 2;1 kg;

L D 1;22 kg/m3 ; L D 15  106 m2 /s; Relam D 2;0  105 ; Returb D 4;0  105 Anmerkungen

 Die erste Vermutung, dass bei einer Vergrößerung der Re-Zahl von Relam auf Returb durch Steigerung der Zuströmgeschwindigkeit c1 auch ein Anwachsen der Auslenkung s2 gegenüber s1 zu erwarten ist, trifft nicht zu. Der Grund hierfür liegt in der bei turbulenten Grenzschichten an umströmten Kugeln weiter nach hinten verlagerten Ablösungszone. Dies hat kleinere Druckunterschiede und folglich geringere Widerstandskräfte an der Kugel zur Folge, was sich im vorliegenden Fall in einer geringen Verkleinerung von s2 gegenüber s1 auswirkt.  Bei kleinen Winkeln ' kann tan '  sin ' gesetzt werden. Dies soll im vorliegenden Fall zutreffen. Lösungsschritte – Fall 1 und 2 Zunächst soll der allgemeine cW -Wert, also unabhängig, ob laminare oder turbulente Grenzschicht vorliegt, hergeleitet werden. Dazu betrachten wir den Kräfteplan in Abb. 4.15. Aus der Abbildung lesen wir ab: tan ' D

FWK : FGK

Des Weiteren lässt sich in Abb. 4.14 feststellen, dass tan '  sin ' D

s : L

Durch Gleichsetzen von tan ' erhält man s FWK : D L FGK Den Widerstandsbeiwert cW findet man in FW , also wird wie folgt umgestellt: FWK D FGK 

s : L

302

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Hierin sind FGK D g  mK FWK D cW  AK 

L 2



2 c1

Gewichtskraft der Kugel Widerstandskraft an der Kugel

In die o. g. Gleichung eingesetzt führt dies zu cW  AK   Nach Multiplikation mit

2 2 AK  L c1

L 2 s  c1 D g  mK  : 2 L

 folgt

cW D 2  g  mK 

s 1 :  2 L AK  L  c1

Da die Zuströmgeschwindigkeit c1 explizit nicht zur Verfügung steht, wohl aber die ReZahl und die luftspezifischen Größen L und L , gelangt man über die Definition der Reynolds-Zahl Re D c1 Ld und deren Umformung nach der benötigten Geschwindigkeit zu Re  L c1 D : d Die Bezugsfläche in der Kugelwiderstandskraft ist definiert als kreisförmige „Schattenfläche“ AK D 4  d 2 . Unter Verwendung dieser Zusammenhänge in der Gleichung für cW entsteht zunächst s 4  d2 cW D 2  g  mK   L  d 2  L  Re 2  L2 und nach Kürzen von d 2 und Zusammenfassen dann

cW D

8 1 s 1   :  g  mK  2

L L Re  L2

Setzen wir die Sonderfälle cWlam bei Relam und s1 bzw. cWturb bei Returb und s2 jetzt ein, so führt dies zu den gesuchten Ergebnissen: Der laminare cW-Wert cWlam bei Relam und s1 ist

cW D

8 1 s1 1   2 :  g  mK 

L L Relam  L2

Aufgabe 4.12 Sandkörner im vertikalen Luftstrom

303

Der turbulente cW-Wert cW turb bei Returb und s2

cW D

8 1 s2 1   :  g  mK 

L L Re2turb  L2

Lösungsschritte – Fall 3 Wenn d D 8 cm, L D 1;5 m, s1 D 12;6 cm, s2 D 11;3 cm, mK D 2;1 kg, L D 1;22 kg/m3 , L D 15  106 m2 /s, Relam D 2;0  105 und Returb D 4;0  105 gegeben sind, finden wir (unter Beachtung dimensionsgerechter Zahlenwerte) die cW -Werte wie folgt: cWlam D

8 1 0;126 1012  9;81  2;1   

1;22 1;5 2;02  1010  152 cWlam D 0;40

cWturb D

8 1 0;133 1012  9;81  2;1   

1;22 1;5 4;02  1010  152 cWturb D 0;090

Aufgabe 4.12 Sandkörner im vertikalen Luftstrom In Abb. 4.16 ist ein vertikaler, luftdurchströmter Diffusor zu erkennen. Im Luftstrom werden im Querschnitt A1 und A2 jeweils eine Kugel in Schwebe gehalten. Die Geschwindigkeit c1 in A1 ist ebenso bekannt wie das Flächenverhältnis A2 =A1 des Diffusors sowie die Dichte der Luft und der Kugeln L bzw. K . Die Widerstandsbeiwerte cW der umströmten Quarzkugeln können im betreffenden Re-Bereich gleich groß vorausgesetzt werden. Bestimmen Sie die Korndurchmesser dK im Schwebezustand in den zwei Querschnitten A1 und A2 . Weiterhin ist zu überprüfen, ob die Grenzschichten an den beiden Kugeln jeweils laminar oder turbulent ausgebildet sind.

Lösung zu Aufgabe 4.12 Aufgabenerläuterung Die Frage nach den Kugeldurchmessern wird lösbar, wenn man das Kräftegleichgewicht an den Quarzkörnern im Schwebezustand zugrunde legt, wobei folglich keine Eigenbewe-

304

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Abb. 4.16 Sandkörner im Luftstrom c2 2

dK2 c1

A2 1 dK1 V

A1

gung der Partikel existiert. Auftriebskräfte an den Körnern können vernachlässigt werden. Die Grenzschichtbeschaffenheit bis zum Ablösungspunkt an den Oberflächen der Kugeln lässt sich mit der Re-Zahl beantworten. Kleinere Re-Werte als 200 000 weisen auf eine laminare sowie größere Re-Werte als 400 000 auf eine turbulente Grenzschicht hin. Gegeben:  c1 ; A2 /A1 ; cW1 D cW2 ; L ; K ; L Gesucht: 1. dK1 2. dK2 3. dK1 und dK2 , wenn c1 D 20 m/s; A2 =A1 D 1;25; cW1 D cW2 D 0;4; L D 1;2 kg/m3 ;

K D 2 650 kg/m3 ; L D 15  106 m2 /s 4. Grenzschichtbeschaffenheit an Kugel 1 und Kugel 2 Anmerkungen

   

inkompressible Strömung homogene Geschwindigkeitsverteilungen in A1 und A2 kugelförmige Sandkörner mit gleichen cW -Werten laminare Grenzschicht bei Re1 < 2  105 .

Lösungsschritte – Fall 1 Für den Korndurchmesser dK1 betrachten wir das Kräftegleichgewicht am schwebenden Quarzkorn: X Fi D 0 D FW1  FG1 oder FG1 D FW1 :

Aufgabe 4.12 Sandkörner im vertikalen Luftstrom

305

Hier sind FG1 D g  m1 Gewichtskraft des Quarzkorns m1 D K  V1 Masse des Quarzkorns V1 D 6  dK3 1 Volumen der kugelförmigen Quarzkorns Man erhält die Gewichtskraft zu FG1 D g  K 

 d3 : 6 K1

Die Widerstandskraft am kugelförmigen Quarzkorn lautet FW1 D cW1  A1 

L 2  c1 ; 2

wobei die Bezugsfläche der umströmten Kugel (Schattenfläche) A1 D Somit lautet die Widerstandskraft FW1 D cW1 

4

 dK2 1 definiert ist.

L 2  d2  c : 4 K1 2 1

Gleichsetzen von FG1 und FW1 entsprechend dem o. g. Kräftegleichgewicht führt zu g  K 



L 2  dK3 1 D cW1   dK2 1  c 6 4 2 1

oder g  K   Multiplizieren mit

6 g K



1 1  dK1 D cW1   L  c12 : 6 8

liefert dann das Ergebnis

dK1 D

1 3 L  cW1  c12 :   g 4 K

Lösungsschritte – Fall 2 Für den Korndurchmesser dK2 gehen wir analog zu Fall 1 vor, also dK2 D

1 3 L  cW2  c22 :   g 4 K

Hierin muss noch die Geschwindigkeit c2 aus bekannten Größen ersetzt werden. Mit dem Kontinuitätsgesetz bei inkompressibler Strömung VP D konstant und folglich VP D c1  A1 D c2  A2 erhält man c1 : c2 D A2 =A1

306

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Oben eingesetzt führt dies zum Ergebnis für dK2 :

dK2 D

1 3 L 1  cW2   c12 :   g 4 K .A2 =A1 /2

Lösungsschritte – Fall 3 Für dK1 und dK2 finden wir, wenn c1 D 20 m/s, A2 =A1 D 1;25; cW1 D cW2 D 0;4,

L D 1;2 kg/m3 , K D 2 650 kg/m3 und L D 15106 m2 /s gegeben sind und dimensionsgerecht in die ermittelten Gleichungen eingesetzt werden, die nachstehenden Ergebnisse. dK1 D

1 3 1;2    0;40  202 9;81 4 2 650

und somit

dK1 D 0;00554 m  5;54 mm

dK2 D

1 3 1;2 1  202    0;40  9;81 4 2 650 1;252

und somit:

dK1 D 0;00355 m  3;55 mm

Lösungsschritte – Fall 4 Die Grenzschichtbeschaffenheit an Korn 1 und Korn 2 lässt sich mit der Definition der Re-Zahl Re D cd im Fall der Kugelumströmung und mit den beiden betreffenden Größen ReK1 D

c1  dK1 L

bzw:

ReK2 D

c2  dK2 L

wie folgt beurteilen. Kugel 1: ReK1 D

20  0;00554  106 D 7 387 15

Aufgabe 4.13 Angeblasenes Autobahnhinweisschild

ReK1 D 7 387 200 000W

307

laminare Grenzschicht

Kugel 2: c2 D

c1 20 D D 16 m=s A2 =A1 1;25

ReK2 D

20  0;00355  106 D 3 787 15

ReK2 D 3 787 200 000W

laminare Grenzschicht

Aufgabe 4.13 Angeblasenes Autobahnhinweisschild Ein rechteckiges Autobahnhinweisschild der Höhe H und der Breite B wird im ungünstigsten Fall senkrecht von einer Luftströmung mit der Geschwindigkeit c1 angeblasen (Abb. 4.17). Die Unterkante des Hinweisschilds weist einen Abstand h zum Boden auf. In der Verankerungsstelle des Schilds mit dem Fundament darf ein Moment T0 nicht überschritten werden, um ein Umkippen zu verhindern. Welche Luftgeschwindigkeit ist für diesen Fall höchstens zulässig?

B

H

c

ρL

FW

h T0

Abb. 4.17 Angeblasenes Autobahnhinweisschild

308

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Lösung zu Aufgabe 4.13 Aufgabenerläuterung Das maximale zulässige Moment Tmax ermittelt man aus der Widerstandskraft FW , die von der Luftströmung bei senkrechter Beaufschlagung des Schilds hervorgerufen wird. Mit dem Kraftangriffspunkt in Schildmitte lässt sich Moment Tmax und damit letztlich die gesuchte Geschwindigkeit feststellen. Gegeben:  H; h; B; L ; T 0 Gesucht: 1. c1 bei Tmax < T0 2. c1 , wenn B D 4;0 m; H D 2;4 m; h D 1;5 m; T0 D 8 000 N m; L 1,20 kg/m3 Anmerkung

 T0 ist das Haltemoment im Boden. Lösungsschritte – Fall 1 Das maximale Moment Tmax ermittelt man mit  Tmax D FW 

 H C h < T0 ; 2

  wobei H2 C h den Hebelarm von FW bezogen auf die Verankerungsstelle darstellt. Weiterhin sind

L 2 und A D H  B: c FW D cW  A  2 1 Es folgt   H

L 2 c  C h < T0 cW  H  B  2 1 2 2 und, nach c1 aufgelöst, 2 c1 <

2  T0 4  T0 H  D c 

 B  .H 2 C 2  H  h/ cW  L  H  B  2 C h W L

Aufgabe 4.14 Stumpfnasiges Projektil bei Überschall

309

Durch Wurzelziehen erhält man das Ergebnis zu s c1 < 2 

T0 : cW  L  B  .H 2 C 2  H  h/

Hierin ist cW D f .H=B/ bei senkrecht angeströmter Rechteckplatte (siehe [15]). Lösungsschritte – Fall 2 Wir suchen nun c1 , wenn B D 4;0 m, H D 2;4 m, h D 1;5 m, T0 D 8 000 N m und

L 1,20 kg/m3 gegeben sind. Mit H=B D 0;6 folgt zunächst cW D 1;13 (siehe [15]) und daraus dann s 8 000 c1 < 2  1;13  1;20  4;0  .2;42 C 2  2;4  1;5/ c1 < 21;33 m=s  76;8 km=h

Aufgabe 4.14 Stumpfnasiges Projektil bei Überschall Ein zylinderförmiges Projektil mit dem Durchmesser D weist zur Zeit t D 0 eine Fluggeschwindigkeit c1 im Überschallbereich auf (Abb. 4.18). Die Gewichtskraft des Projektils lautet FG . Die Daten der Umgebungsluft entsprechen denen der Normatmosphäre. Wie groß ist die Verzögerung des Projektils zur Zeit t D 0 infolge der einwirkenden Widerstandskraft? z FW

D

FG

a c x

c

8

Abb. 4.18 Stumpfnasiges Projektil bei Überschall

310

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Lösung zu Aufgabe 4.14 Aufgabenerläuterung Ausgangspunkt bei der Ermittlung der Verzögerung ist das 2. Newton’sche Gesetz. Als einzige äußere Kraft entgegen x-Richtung ist lediglich die Widerstandskraft FW am Projektil wirksam. Diese in Verbindung gebracht mit dem o. g. Newton’schen Gesetz führt zur gesuchten Verzögerung a. Gegeben:  p D 1;013 25 bar; # D 15 ı C; Ri D 287;2 N m/(kg K); D 1;225 kg/m3 ;  D 1;4; D D 0;508 m; c1 D 424;6 m/s; FG D 2 446 N Gesucht:  a.t D 0/ Anmerkungen

 Das Koordinatensystem ist an das Projektil gebunden.  Zur Zeit t D 0 ist c.t D 0/ D c1 . Lösungsschritte Das 2. Newton’sche Gesetz lautet allgemein X! ! F ix D m  a: Entgegen der x-Richtung des mitbewegten Koordinatensystems wirkt lediglich die Widerstandskraft, sodass X! F ix D FW folgt. Dies führt zu FW D m  a: Mit m D FG =g erhält man

aD

FW FW  g: D m FG

Aufgabe 4.14 Stumpfnasiges Projektil bei Überschall

311

Weiterhin ist

FW D cW  Apr 

wobei die Projektionsfläche Apr D

4

2 c ; 2

 D 2 einzusetzen ist. Dies liefert zunächst

2 1 cW   D 2   c1 g a.t D 0/ D   2 4  FG

oder dann das Resultat

a.t D 0/ D cW 



 c2 :  g  D2  8 FG 1

Der Widerstandsbeiwert cW längs angeblasener Zylinder ist im Überschallbereich stark von der Mach-Zahl abhängig, cW D f .Ma/, wobei Ma D ca1 . Mit aD haben wir dann aD

p

  Ri  .273;2 C #/

p 1;4  287;2  .273;2 C 15/ D 340;3 m=s:

Dies führt zu Ma D

424;6 D 1;25: 340;3

Für Ma D 1;25 ergibt sich gemäß [5]

cW D 1;22:

Somit erhält man als Verzögerung zur Zeit t D 0 a.t D 0/ D 1;22 

1;225

 9;81  0;5082   424;62 8 2 446

312

4

Umströmung von Profilen und Körpern

oder

a.t D 0/ D 109;4 m=s2 :

Aufgabe 4.15 Hochgeschwindigkeitswagen mit Bremsfallschirm Ein Hochgeschwindigkeitswagen mit der Masse m soll aus einer Anfangsgeschwindigkeit c0 ohne Benutzung der Bremsen mithilfe eines Fallschirms abgebremst werden (Abb. 4.19). Neben der Projektionsfläche AW des Wagens, dem Schirmdurchmesser DSch sind noch die Widerstandsbeiwerte von Wagen cWW und Schirm cWSch bekannt. Wie lauten die Gesetze zur Ermittlung der Geschwindigkeit während des Bremsvorgangs und des zurückgelegten Bremsweges?

Lösung zu Aufgabe 4.15 Aufgabenerläuterung Bei der Suche nach der zeitlichen Abhängigkeit der Wagengeschwindigkeit steht die Verzögerung des Wagens als 2. Newton’sches Gesetz zur Verfügung, in Zusammenwirken mit den äußeren Kräften am Wagen und dem Bremsfallschirm. Gegeben:  m; cWW ; cWSch ; AW ; DSch ; L ; c0 Gesucht: 1. cB D f .tB /: Geschwindigkeit während des Bremsvorgangs, wobei tB die Zeit während des Bremsvorgangs und c0 die Geschwindigkeit zu Beginn t D 0 des Bremsvorgangs sind 2. xB D f .tB /: Zurückgelegter Weg während des Bremsvorgangs 3. cB D f .tB / und xB D f .tB /, wenn m D 2 000 kg; cWW D 0;30; cWSch D 1;33; AW D 1;0 m2 ; DSch D 2;0 m; L D 1;20 kg/m3 ; c0 D 100 m/s  360 km/h

y DSch

FW W

m

c

8

FW Sch

x ax

Abb. 4.19 Hochgeschwindigkeitswagen mit Bremsfallschirm

Aufgabe 4.15 Hochgeschwindigkeitswagen mit Bremsfallschirm

313

Anmerkungen

     

cWW und cWSch sind konstant keine Bremskräfte an den Rädern kein Rollwiderstand an den Rädern abgeschalteter Motor kein Einfluss des Wagens auf den Schirm Das Koordinatensystem ist an den Wagen gebunden

Lösungsschritte – Fall 1 Für die Geschwindigkeitsfunktion cB D f .tB / betrachten wir das 2. Newton’sche Gesetz am Wagen: X! ! F i D m  a: In x-Richtung bedeutet das X! F i D FWW  FWSch : Das negative Vorzeichen haben wir deswegen, da beide Kräfte entgegen x-Richtung wirken. Man kann auch schreiben X!   F i D  FWW C FWSch : Hieraus folgt FWW C FWSch D m  ax : Mit ax D

dcB dtB

erhält man FWW C FWSch D m 

dcB : dtB

Weiterhin sind

FWW D cWW  AW 

2 c 2 B

und FWSch D cWSch  ASch 

2 c 2 B

2 bekannt. Mit der Projektionsfläche des Schirms ASch D 4  DSch und o. g. Zusammenhängen folgt  dcB

2  2 D m  :  cB  cWW  AW C cWSch   DSch 2 4 dtB   Nach  dcc 2B umgeformt erhält man zunächst B



 dcB

1 

2 D  A C c    c  D WW W WSch Sch  dtB : 2 m 4 cB2

314

4

Die Substitution KD

Umströmung von Profilen und Körpern



1 

2   cWW  AW C cWSch   DSch 2 m 4

führt zu



dcB D K  dtB : cB2

Die Integration zwischen t D 0 und t D tB liefert ZcB 

cB2

ZtB  dcB D K  t D0

c0

oder  Folglich wird



dtB

ˇc 1 .2C1/ ˇ B  cB ˇ D K  .tB  0/ D K  tB : c0 .2 C 1/

1 1  cB c0

 D K  tB

bzw:

Dies liefert cB D

1 c0

1 1 D C K  tB : cB c0

1 : C K  tB

Mit der o. g. Substitution folgt als Resultat

cB D

1 c0

C

2



1 m

1   cWW  AW C cWSch 

4

 : 2  DSch  tB

Lösungsschritte – Fall 2 Für die Ortsfunktion xB D f .tB / gehen wir folgendermaßen vor: Mit cB D sich o. g. Gleichung auch wie folgt schreiben: dxB D dtB

1 c0

dxB dtB

lässt

1 ; C K  tB

wobei K wieder o. g. Substitution entspricht. Die Multiplikation mit dtB führt zunächst zu dxB D

1 c0

1  dtB C K  tB

Aufgabe 4.15 Hochgeschwindigkeitswagen mit Bremsfallschirm

315

und mit einer weiteren Substitution uD

1 C K  tB c0

zu

1  dtB : u dtB muss nun noch mit du wie folgt ersetzt werden: dxB D

du DK dtB

und dtB D

1  du: K

Hiermit erhält man

dxB D

1 du  : K u

Die Integration zwischen x D 0 und x D xB liefert ZxB

1 dxB D  K

du u

u0

0

oder

ZuB



uB 1 1 1 uB xB D  ln uju0 D  jln uB  ln u0 j D  ln : K K K u0

Mit uB D erhält man 1 xB D  ln K

1 C K  tB c0

1 c0

C K  tB 1 c0

und u0 D

! D

1 c0

1  ln .1 C c0  K  tB / : K

Nun wird KD



1  2   cWW  AW C cWSch   DSch 2 m 4

zurücksubstituiert, das führt zum Ergebnis 1   2   cWW  AW C cWSch  4  DSch 

1 

2  tB :  ln 1 C c0    cWW  AW C cWSch   DSch 2 m 4

xB D

2

1 m

316

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Lösungsschritte – Fall 3 Jetzt formulieren wir die Funktionen cB D f .tB / und xB D f .tB /, wenn m D 2 000 kg, cWW D 0;30, cWSch D 1;33, AW D 1;0 m2 , DSch D 2;0 m, L D 1;20 kg/m3 und c0 D 100 m=s  360 km/h gegeben sind: cB D

1 100

C

1;2 2

cB D



1 2 000

1 100



1

 0;3  1 C 0;33 

4

  2  tB

1 Œm=s C 0;001343  tB

2  2 000 1   1;2 0;3  1 C 1;33  4  22 

 1

1;2   0;3  1 C 1;33   22  tB :  ln 1 C 100  2 2 000 4

xB D

xB D 744;6  ln .1 C 0;1343  tB / Œm

Die Auswertung mit o. g. Zahlenwerten liefert folgende Ergebnisse: tB [s] 0 1 10 100 1 000

cB [m/s] 100 88,16 42,68 6,93 0,74

xB [m] 0 93,83 634 988 3 654

Aufgabe 4.16 Durchströmtes Netz Ein aus Draht bestehendes Netz weist eine Länge L und eine Breite B auf (Abb. 4.20). Der Draht hat einen Durchmesser d. Es liegen quadratische Maschen mit einer Seitenlänge LZ vor. Das Netz wird bei einer Geschwindigkeit c1 senkrecht von Wasser durchströmt. Wie groß wird die Gesamtwiderstandskraft FWges am Netz?

Aufgabe 4.16 Durchströmtes Netz

317

Abb. 4.20 Durchströmtes Netz

lZ

Reihe d Spalte

lZ B

L

Lösung zu Aufgabe 4.16 Aufgabenerläuterung Bei der Lösung dieser Aufgabe steht die Widerstandskraft an einem quer angeströmten Zylinder im Vordergrund. Im Einzelnen muss zunächst die Zahl der Zylinderelemente bestimmt werden. Weiterhin wird der Widerstandsbeiwert des einzelnen Zylinderelements benötigt. Gegeben:  L; B; LZ ; d; ; ; c1 Gesucht: 1. FWges 2. FWges , wenn L D 1;0 m; B D 1;0 m; LZ D 20;0 mm; d D 1;0 mm; c1 D 3;5 m/s;

D 998 kg/m3 ; D 1;0  106 m2 /s Anmerkung

P  Das Netz besteht aus einer Summe n quer angeströmter Zylinderelemente mit dem Durchmesser d und der Länge LZ . Lösungsschritte – Fall 1 P Gesucht ist die Gesamtwiderstandskraft FWges D n  FW . Zunächst muss dazu die P Gesamtzahl der Zylinderelemente n ermittelt werden. Dies lässt sich mit den gegebenen Größen wie folgt bewerkstelligen. Auf einer Reihe befinden sich LLZ D nL Zylinderelemente und auf einer Spalte LBZ D nB Zylinderelemente. Auf allen (nB C 1) Reihen

318

4

Umströmung von Profilen und Körpern

befinden sich .nB C 1/  nL Zylinderelemente. Auf allen (nL C 1) Spalten befinden sich P n aller Zylinderelemente lautet .nL C 1/  nB Zylinderelemente. Die Gesamtsumme somit     X B L L B C1  C C1  n D .nB C 1/  nL C .nL C 1/  nB D LZ LZ LZ LZ und nach Ausmultiplizieren X

nD2

1 B L C  .L C B/ : LZ L2Z

Die Widerstandskraft FW an einem quer angeströmten Zylinder lautet FW D cW  Apr 

2 c ; 2 1

wobei Apr D d  LZ definiert ist. Es folgt FW D cW  d  LZ 

2 c : 2 1

Die Gesamtwiderstandskraft lautet somit

FWges D

X

n  cW  d  LZ 

2 c : 2 1

Der cW -Zahl beim quer angeströmten Kreiszylinder hängt von der Re-Zahl ab. Mit Re D c1 d wird im vorliegenden Fall Re D

3;5  0;001  106 D 3 500: 1

Hierfür erhält man

cW D 0;9:

Aufgabe 4.17 Staubpartikel nach Vulkanausbruch

319

Lösungsschritte – Fall 2 Für FWges findet man mit L D 1;0 m, B D 1;0 m, LZ D 20;0 mm, d D 1;0 mm, c1 D 3;5 m/s, D 998 kg/m3 und D 1;0  106 m2 /s folgenden Wert: FWges



1;0  1;0 1 998 D 2 C  .1 C 1/  0;9  0;001  0;020   3;52 2 0;02 0;02 2 FWges D 561 N

Aufgabe 4.17 Staubpartikel nach Vulkanausbruch Bei einem Vulkanausbruch werden gigantische Massen an feinsten Staubpartikeln in die Atmosphäre geschleudert. Geht man von einer maximal erreichten Höhe H und einem mittleren Partikeldurchmesser D aus und setzt auch die Partikeldichte P als bekannt voraus, so soll die Zeit t ermittelt werden, innerhalb der die Staubteilchen von der Höhe H wieder auf den Boden zurückgesunken sind. Auf die mittleren Werte von Luftdichte L und kinematischer Viskosität L kann man ebenfalls zurückgreifen.

Lösung zu Aufgabe 4.17 Aufgabenerläuterung Bei der Lösung vorliegender Aufgabe kommt u. a. das 2. Newton’sche Gesetz zur Anwendung. Da bei der vorausgesetzten konstanten Sinkgeschwindigkeit keine Trägheitskraft am Teilchen wirksam ist, reduziert sich das Gesetz auf die Summe aller äußeren Kräfte gleich null. Gegeben:  D; L ; L ; P ; H Gesucht: 1. die Zeit t, bis ein Partikel von H aus den Boden erreicht 2. t, wenn D D 1  106 m; L D 0;88 kg/m3 ; L D 19;3  106 m2 /s; P D 2 671 kg/m3 ; H D 8 000 m Anmerkungen

 Die Staubpartikel werden als kleinste Kügelchen angenommen.  Der Sinkvorgang wird bei Re als „schleichende Strömung“ angenommen.

320

4

Umströmung von Profilen und Körpern

 Das Stokes’sche Gesetz für diesen Re-Bereich lautet cW D 24=Re.  Die Sinkgeschwindigkeit c1 soll konstant sein.  Windeinflüsse können nicht berücksichtigt werden, wodurch das Ergebnis eine nur sehr eingeschränkte Aussagekraft hat. Lösungsschritte – Fall 1 Die konstante Sinkgeschwindigkeit folgt dem Gesetz

c1 D

H : t

Hieraus lässt sich die gesuchte Zeit t nach einer Umstellung ermitteln aus

tD

H : c1

Voraussetzung ist, dass die Geschwindigkeit c1 aus weiteren geeigneten Gesetzen bestimmt werden kann. Dies geschieht mit dem Kräftegleichgewicht am sinkenden Staubkorn, X Fi D 0 D FG  FA  FW ; und der Annahme, dass die Auftriebskraft FA ist:

FW D FG :

Die Widerstandskraft FW am Staubkorn lautet

FW D cW  Apr 

L 2 c ; 2 1

wobei die Projektionsfläche der Kugel mit Apr D FG des Staubkorns lautet

4

FG D g  mP

 D 2 definiert ist. Die Gewichtskraft

Aufgabe 4.18 Radarstation

321

mit mP D P  VP und VP D

6

cW 

 D 3 . Diese Zusammenhänge oben eingesetzt liefert

L 2

 D2   c D g  P   D 3 : 4 2 1 6

Durch Umstellen und Kürzen erhält man 2 D cW  c1

8 4

P

P D D g  D: g 6

L 3

L

Mit dem Stokes’schen Gesetz cW D 24=Re, wobei Re D

c1 D L

definiert ist, führt zu

24  L 2 4

P D c D g c1  D 1 3

L oder c1 D Oben in t D

H c1

4 1 D

P 1 g P g D D   D2:    3 24 L

L 18 L L

eingesetzt erhält man das Resultat

t D 18 

H L L :  g D 2 P

Lösungsschritte – Fall 2 t ergibt sich, wenn D D 1  106 m, L D 0;88 kg/m3 , L D 19;3  106 m2 /s, P D 2 671 kg/m3 und H D 8 000 m gegeben sind, zu t D 18 

8 000 19;3 1012 0;88  2   9;81 106 1 2 671

t D 9;334 107 s oder 2,96 Jahre

Aufgabe 4.18 Radarstation Eine Radarstation besteht gemäß Abb. 4.21 aus einem zylinderförmigen Fundament mit dem Durchmesser DZ und der Höhe HZ sowie einer auf dem Fundament aufgesetzten halbkugelförmigen Radarkuppel, die einen Radius RK aufweist. Wie groß wird das in der Verankerung des Fundaments wirksame Moment, wenn die Luftgeschwindigkeit c1 , Luftdichte L und Viskosität L bekannt sind. Hierzu muss zunächst der Kraftangriffspunkt ZHK der Widerstandskraft FWHK an der Radarkuppel ermittelt werden.

322

4

Umströmung von Profilen und Körpern

RK

FW HK c

ΔZHK

ρL νL

DZ FW Z

HZ

ZHK

ZZ

T0

0

Abb. 4.21 Radarstation

Lösung zu Aufgabe 4.18 Aufgabenerläuterung Die Aufgabe beschäftigt sich mit Widerstandskräften an umströmten Körpern und hiermit erzeugten Momenten um eine definierte Achse. Bei den umströmten Körpern handelt es sich im vorliegenden Fall um eine Halbkugel und einen Zylinder. Gegeben:  RK ; DZ ; HZ ; c1 ; L ; L Gesucht: 1. ZHK : Kraftangriffspunkt an der Radarkuppel 2. T0 : Moment in der Fundamentverankerung 3. T0 , wenn RK D 8 m; DZ D 16 m; HZ D 20 m; c1 D 45 m/s; L D 1;225 kg/m3 ; L D 14;6  106 m2 /s Anmerkungen

 Die Bezugsachse der Momente verläuft senkrecht zur Bildebene durch den Punkt 0.  Annahme: cWHK  cWK

Aufgabe 4.18 Radarstation

323 z

Ansicht A

z

A dAp HK dFW HK

dz

x

FW HK

Ap HK ΔZHK

z

z

RK x

Abb. 4.22 Radarstation; Kraftangriffspunkt

Lösungsschritte – Fall 1 Der Kraftangriffspunkt ZHK der Widerstandskraft an der Radarkuppel lässt sich gemäß Abb. 4.22 wie folgt herleiten. Als Ansatz dient ZRK FWHK  ZHK D dFWHK  z 0

oder, nach ZHK umgestellt,

ZHK D

1 FWHK

ZRK  dFWHK  z: 0

Ersetzt man gemäß FWHK D cWHK  AprHK 

L 2 c 2 1

und benutzt für die projizierte Halbkugelfläche AprHK D

1   RK2 ; 2

so erhält man zunächst ZHK D

cWHK

4  2   RK2  L  c1

ZRK dFWHK  z: 0

Des Weiteren kann dFWHK folgendermaßen angegeben werden: dFWHK D cWHK  dAprHK 

L 2 c : 2 1

324

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Hierbei lautet die differenzielle projizierte Fläche gemäß Abb. 4.22 dAprHK D 2  x  dz: Oben eingesetzt folgt

ZHK D

cWHK

4  2   RK2  L  c1

ZRK

L 2 cWHK  2  x  dz   c  z: 2 1 0

Durch Herauskürzen gleicher Größen erhält man dann

ZHK

4 D 

 RK2

ZRK x  dz  z: 0

Jetzt muss noch x ersetzt werden. Aus Abb. 4.22 geht hervor, dass RK2 D x 2 C z 2 Es folgt ZHK

xD

bzw:

4 D 

 RK2

ZRKq

q RK2  z 2 :

RK2  z 2  z  dz:

0

Weiterhin vereinfacht heißt das

ZHK

4 D 

 RK

ZRKs z2 1  2  z  dz RK 0

und die Substitution

z2 RK2

mD1

verwendet liefert nach Ermittlung des Differenzialquotienten, dm 2 D 2 z dz RK

bzw:

dz D dm 

1 RK2  ; 2 z

folgenden Ausdruck:

ZHK

4 D 

 RK

ZmK p m0

m  z  dm 

1 RK2  : 2 z

Aufgabe 4.18 Radarstation

325

Durch Kürzen erhält man ZHK D 

2  RK 

ZmK p m  dm: m0

Die Integration liefert dann ZHK D 

i ˇmK 2 1 2 1 h 3=2 3=2  RK   m3=2 ˇm D   RK   mK  m0 : 0

3=2

3=2

Mit mK D 1 

RK2 0 D 0 und m0 D 1  2 D 1 2 RK RK

wird daraus schließlich ZHK 

2 2  RK   Œ0  1

3

und somit

ZHK D

4 RK  : 3

Lösungsschritte – Fall 2 Zur Ermittlung des Moments T0 muss gemäß Abb. 4.21 die Momentensumme um die Bezugsachse X

T D 0 D FWHK  ZHK C FWZ  ZZ  T0

0

angesetzt werden; dies im vorliegenden Fall im Uhrzeigersinn. Hieraus folgt für T0 D FWHK  ZHK C FWZ  ZZ ; wobei ZHK D HZ C ZHK und ZZ D HZ /2 sind. Zunächst zur Bestimmung von FWHK und FWZ .

326

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Die Widerstandskraft FWHK an der umströmten Halbkugel lautet

FWHK D cWK  ApHK 

L 2 c 2 1

mit ApHK D

1   RK2 2

und die Widerstandskraft FWZ am umströmten Zylinder ist

FWZ D cWZ  AprZ 

L 2 c 2 1

mit

AprZ D DZ  HZ :

 Oben eingesetzt führt dies nach Ausklammern von L  2 c1 2 2 c1 D L  2

T0 D L 

Da ZHK D

4 3



RK

2 c1 2

 zu

   cWHK  AprHK  ZHK C cWZ  AprZ  ZZ



HZ :  cWHK   RK2  .HZ C ZHK / C cWZ  DZ  HZ  2 2

ist, bekommen wir

 

2 c1

4 RK HZ 2 T0 D L   cWHK   RK  HZ C  C cWZ  DZ  HZ  2 2 3 2 und letztlich

T0 D L 

 

2 c1 4 RK  cWHK   RK2  HZ C  C cWZ  DZ  H22 4 3

Lösungsschritte – Fall 3 Wir berechnen T0 , wenn RK D 8 m, DZ D 16 m, HZ D 20 m, c1 D 45 m/s, L D 1;225 kg/m3 und L D 14;6  106 m2 /s vorgegeben sind. Für cWK D f .ReK / ermitteln wir zunächst c1  DK 45  16 ReK D D  106 D 4;93  107 : L 14;6

Aufgabe 4.19 Kugel im freien Fall bei Schallgeschwindigkeit

327

Es ist ReK > 107 und wir bekommen cWK D 0;20:

Für cWZ D f .ReZ I L=D/ ergibt sich ebenfalls ReZ D

c1  DZ 45  16 D  106 D 4;93  107 : L 14;6

Also ist ebenso ReZ > 107 und wir haben cWZ D 0;65:

Das gesuchte Moment lässt sich nun wie folgt zahlenmäßig bestimmen: T0 D 1;225 

 

452 4 8  0;20   82  20 C  C 0;65  16  202 4 3

und damit

T0 D 3 163 kN  m:

Aufgabe 4.19 Kugel im freien Fall bei Schallgeschwindigkeit Eine Kugel soll in der Atmosphäre mit Schallgeschwindigkeit abwärts fallen (Abb. 4.23). Von der Luft sind alle erforderlichen Größen bekannt. Ebenso ist die Dichte der Kugel gegeben. Mit welchem Durchmesser DK muss die Kugel ausgestattet sein, um das Herabfallen mit Schallgeschwindigkeit zu erreichen und beizubehalten.

Lösung zu Aufgabe 4.19 Aufgabenerläuterung Bei der vorliegenden Frage wird das 2. Newton’sche Gesetz anzuwenden sein. Nach Zurücklegen einer Anlaufstrecke vom Startpunkt aus soll eine quasi-stationäre Abwärtsbewegung vorliegen, wo die Beschleunigung der Kugel von untergeordneter Größe ist. Für diesen Zustand soll die Fragestellung verstanden werden.

328

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Abb. 4.23 Kugel im freien Fall bei Schallgeschwindigkeit

DK FW FA

ρL νL

ρΚ FG

c

Gegeben:  K ; TL ; ; Ri ; L ; L Gesucht: 1. DK , wenn c1 D a, d. h. Ma D 1 2. DK , wenn K D 2 500 kg/m3 ; TL D 288;7 K;  D 1;4; Ri D 287;2 N m/(kg K);

L D 1;225 kg/m3 ; L D 15;5  106 m2 /s Anmerkungen

 ab , d. h. quasi-stationäre Fallgeschwindigkeit  FA (Auftriebskraft in Luft) Lösungsschritte – Fall 1 Für den Kugeldurchmesser DK betrachten wir das 2. Newton’sche Gesetz an der Kugel: X

Fi D FG  FW  FA D m  ab :

Dies führt bei vernachlässigbarer Beschleunigung ab zu X

Fi D 0 D FG  FW  FA

und weiterhin mit der Annahme, dass auch die Auftriebskraft FA ist, auf

FW D FG :

Aufgabe 4.19 Kugel im freien Fall bei Schallgeschwindigkeit



Mit FG D g  mK

mK D K  VK

und FW D cWK  AprK 

329

und VK D



 DK3 6



L 2 

 c1 AprK D  DK2 2 4

folgt



L 2  DK3 D cWK   DK2  c : 6 4 2 1 Somit wird nach Kürzen gleicher Größen und Umstellen g  K 

DK D

3 1 L 2 c  cWK   4 g K 1

mit

c1 D a:

Dies führt auf

DK D

3 1 L 2 a :  cWK   4 g K

Die noch unbekannte Schallgeschwindigkeit a lautet aD

p

  Ri  TL

oder a2 D   Ri  TL

Oben eingesetzt folgt als Ergebnis

DK D

3   Ri

L :  cWK   TL  4 g

K

Der Widerstandsbeiwert cWK der Kugel kann sowohl von der ReK -Zahl als auch von der Ma-Zahl abhängen, d. h. cWK D f .ReK I Ma/. Ab Ma > 0;8 ist

cWK D f .Ma/

Dies trifft auf den vorliegenden Fall zu.

und cWK ¤ f .ReK / :

330

4

Umströmung von Profilen und Körpern

Lösungsschritte – Fall 2 Der Wert von DK im Fall von K D 2 500 kg/m3 , TL D 288;7 K,  D 1;4; Ri D 287;2 N m/(kg K), L D 1;225 kg/m3 und L D 15;5  106 m2 /s ergibt sich zu DK D

3 1;4  287;2 1;225   288;7   cWK D 4;349  cWK : 4 9;81 2 500

Da Ma D 1 > 0;8 ist, kann man der Literatur ([21, S. 269]) cWK D 0;75 entnehmen. Somit erhält man als gesuchten Durchmesser

DK D 4;349  0;75 m D 3;263 m:

5

Messtechnische Anwendungen

Die vielfältigen und oft komplexen strömungsmechanischen Fragestellungen lassen sich häufig nur mittels geeigneter messtechnischer Anwendungen zufriedenstellend beantworten. Hierzu steht heute eine Vielzahl von Geräten zur Verfügung, mit denen aufgrund unterschiedlicher physikalischer Prinzipien die jeweiligen gesuchten Größen ermittelt werden können. Im folgenden Kapitel sollen ausschließlich solche Messgeräte behandelt werden, deren Wirkung auf strömungsmechanischen Ursachen beruht. Hierbei stehen die Bestimmung von Volumen- und Massenströmen im Vordergrund. Den klassischen diesbezüglichen Messgeräten liegt die Drosselwirkung der Fluidströmung aufgrund einer Querschnittsverkleinerung zugrunde. Hierdurch wird eine Geschwindigkeitsvergrößerung mit einer gleichzeitigen Druckverkleinerung (Bernoulli’sches Prinzip) hervorgerufen. Zu den Hauptvertretern dieser Geräte zählen:  Normblende,  Normdüse,  Venturi-Meter. Diese Geräte sind genormt (EN ISO 5167), um reproduzierbare Ergebnisse mit hohen Genauigkeitsansprüchen zu erzielen. Bei der Massen- bzw. Volumenstrombestimmung stehen folgende Gleichungen zur Verfügung: p m P D ˛  "  4  d 2  2  p  Massenstrom q VP D ˛  4  d 2  2  p Volumenstrom

 d Durchflusszahl ˛ D f D I ReD Reynolds-Zahl (bezogen auf Rohrdurchmesser D) ReD D cD D P cD D AVD mittlere Strömungsgeschwindigkeit im Rohr (bezogen auf Rohrdurchmesser D)   p2 d Expansionszahl " D f I p1 I D p Wirkdruck am Messgerät © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 V. Schröder, Übungsaufgaben zur Strömungsmechanik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-662-56056-3_5

331

332

5

Messtechnische Anwendungen

Im folgenden Kapitel werden auch solche Fälle behandelt, wo Strömungen durch „scharfkantige“ Querschnittsänderungen erfolgen. Hier steht ebenso die Volumenstrombestimmung oder daraus ableitbare Größen im Vordergrund. Neben Messungen von Massenund Volumenströmen werden im Folgenden auch örtliche Geschwindigkeitsermittlungen mittels Sonden, wie z. B. Pitot-Rohr, vorgestellt.

Aufgabe 5.1 Flugzeuggeschwindigkeit mittels Pitot-Sonde Bei Flugzeuggeschwindigkeitsmessungen kommen sogenannte „Pitot-Sonden“ zum Einsatz. Ihre Funktion beruht auf der gleichzeitigen Messung des Gesamtdrucks an der Sondenspitze und des statischen Drucks an einer ungestörten Stelle der Flugzeugwand oder an der Sondenwand (Prandtl-Rohr). Die beiden Drücke werden u. a. in einem aus der Euler’schen Bewegungsgleichung entwickelten Zusammenhang isentroper Gasströmungen zur Geschwindigkeitsermittlung benötigt. Dieser soll für den Fall des bekannten Gesamtdrucks p2 , des statischen Drucks p1 , der Temperatur an der Sondenspitze T2 und der Luftdaten  und Ri angewendet werden.

Lösung zu Aufgabe 5.1 Aufgabenerläuterung Die Lösung der Aufgabe lässt sich auch unter der Vorstellung herleiten, dass das Flugzeug einschließlich der Sonde ruht und mit der zu bestimmenden Geschwindigkeit angeströmt wird. Dann werden alle Größen der ungestörten Zuströmung mit dem Index „1“ belegt und diejenigen an der Sondenspitze mit dem Index „2“. Gegeben: p1 p2 T2  Ri

Statischer Druck der ungestörten Zuströmung Gesamtdruck an der Sondenspitze Absoluttemperatur an der Sondenspitze Isentropenexponent der Luft spez. Gaskonstante der Luft

Gesucht: 1. c1 2. c1 , wenn p1 D 43 201 Pa; p2 D 67 526 Pa; T2 D 333 K;  D 1;40; Ri D 287 N m/(kg K)

Aufgabe 5.1 Flugzeuggeschwindigkeit mittels Pitot-Sonde

333

Anmerkungen

 Annahme: isentrope Strömung  Stelle 1: ungestörte Zuströmung mit c1I p1I 1I T1  Stelle 2: Staupunkt der Pitot-Sonde mit c2I p2I 2I T2 Lösungsschritte – Fall 1 Für die Geschwindigkeit c1 lässt sich bei isentroper Gasströmung der folgende Zusammenhang herleiten: v u u c2 D tc12 C 2 

" #   1 p2   p1  1  :   1 1 p1

Da für vorliegenden Fall im Staupunkt der Sonde c2 D 0 ist, kann man wie folgt nach c1 umformen v " # u   1 u  p2  p1 t 2 0 D c1 C 2   1  :   1 1 p1 Dann wird quadriert 0D

c12

" #   1 p2   p1 C2  1  ;   1 1 p1

nach c1 aufgelöst sowie die Wurzel gezogen v u u c1 D t2 

 p1     1 1

"

p2 p1

 1 

# 1 :

Hierin fehlt noch die Dichte 1 . Die isentrope Gasströmung liefert dazu und folglich auch p1 p2  D :

1

2 Aufgelöst nach 1 erhält man dann zunächst 

1 D 2 

p1 p2

1= :

p



D konstant

334

5

Messtechnische Anwendungen

Jetzt muss noch die Dichte 2 wie folgt ersetzt werden: Mit der thermischen Zustandsgleichung p  v D Ri  T sowie v D 1 bekommen wir D Rpi T und somit

2 D

p2 : Ri  T2

Oben eingesetzt führt das zum Resultat

1 D

p2  Ri  T2



p1 p2

1= :

Aus Gründen einer besseren Übersicht wird die Gleichung für 1 nicht in diejenige für c1 eingesetzt. Lösungsschritte – Fall 2 Um c1 zu berechnen, wenn p1 D 43 201 Pa, p2 D 67 526 Pa, T2 D 333 K,  D 1;40 und Ri D 287 N m/(kg K) gegeben sind, brauchen wir zunächst 1 :

67 526

1 D  287  333



43 201 67 526

 1;41

D 0;5136 kg=m3

Damit ergibt sich dann v u u c1 D t2 

1;4 43 201   1;4  1 0;5136

"

67 526 43 201

 1;41 1;4

# 1 ;

also

c1 D 283;1 m=s  1 019 km=h:

Aufgabe 5.2 Wasserströmung in vertikaler Rohrleitung Gemäß Abb. 5.1 strömt Wasser in einer vertikalen Rohrleitung abwärts. Zur Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeit ist eine entgegen Geschwindigkeitsrichtung angeordnete, vorne offene Sonde in der Weise installiert, dass die Stromlinien parallel zur Sonde verlau-

Aufgabe 5.2 Wasserströmung in vertikaler Rohrleitung

335

1 c1 max

ρF

wassergefüllte Messleitungen

ΔZ Z1

2 a D Z2

h A

A

Sperrflüssigkeit: Quecksilber Hg

ρHg

Bezugsebene

Abb. 5.1 Wasserströmung in vertikaler Rohrleitung

fen. Die Sonde ist des Weiteren mit einem Schenkel eines U-Rohr-Manometers verbunden während der andere Schenkel von einer weiter oben gelegenen Druckentnahmestelle beaufschlagt wird. Das U-Rohr-Manometer ist mit der Sperrflüssigkeit Quecksilber befüllt. Die Rohrleitung weist einen Innendurchmesser D auf. Weiterhin liegt turbulente Strömung vor. Wenn die unten genannten Größen als bekannt vorausgesetzt werden, sollen die Maximalgeschwindigkeit in Rohrmitte, die mittlere Geschwindigkeit und der Volumenstrom ermittelt werden.

Lösung zu Aufgabe 5.2 Aufgabenerläuterung Die Aufgabenstellung ist in erster Linie ein klassisches Anwendungsbeispiel der Bernoulli’schen Energiegleichung der inkompressiblen, verlustfreien, stationären Strömung. Weiterhin sind am U-Rohr-Manometer die hydrostatischen Grundlagen zu berücksichtigen. Die Verknüpfung zwischen Maximalgeschwindigkeit in Rohrmitte und der mittleren Geschwindigkeit wird mit einer aus dem Potenzgesetz der Geschwindigkeitsverteilung turbulenter Strömungen hergeleiteten Gleichung hergestellt. Gegeben:  D; Z; h; Hg ; F ;

336

5

Messtechnische Anwendungen

Gesucht: 1. 2. 3. 4.

Maximalgeschwindigkeit c1max mittlere Geschwindigkeit c Volumenstrom VP Fall 1 bis 3, wenn D D 0;20 m; Z D 0;15 m; h D 80 mm; Hg D 13 560 kg/m3 ;

F D 1 000 kg/m3 ; D 1  106 m2 /s Anmerkungen

 turbulente Strömung  glatte Rohrinnenwand  Die Strömung soll verlustfrei verlaufen. Lösungsschritte – Fall 1 Für die Maximalgeschwindigkeit c1max notieren wir die Bernoulli-Gleichung an den Stellen 1 und 2 der Stromlinie in Rohrmitte, wobei c1  c1max ist:

p1 c2 p2 c2 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 :

F 2

F 2

Im Staupunkt an der Stelle 2 ist c2 D 0. Somit folgt nach Umstellen c12 p2  p1  g  .Z1  Z2 / D 2

F also (mit Z D Z1  Z2 ) s c1  c1max D

 2

 p2  p1  g  Z :

F

1 . Gemäß Abb. 5.1 entsteht am Manometer an der Es fehlt jetzt noch der Term p2p F Schnittstelle A–A wegen Druckgleichheit

p2 C F  g  .a C h/ D p1 C F  g  .Z C a/ C Hg  g  h: Nach .p2  p1 / umgestellt bedeutet das p2  p1 D Hg  g  h  F  g  h C F  g  Z

Aufgabe 5.2 Wasserströmung in vertikaler Rohrleitung

337

und nach Division durch F haben wir dann

Hg p2  p1 D  g  h  g  h C g  Z D g  h 

F

F





Hg  1 C g  Z:

F

In o. g. Gleichung eingesetzt führt zunächst zu s c1  c1max D

   

Hg 2 gh  1 C g  Z  g  Z :

F

Als Ergebnis erhält man schließlich s c1  c1max D

 2gh



Hg 1 :

F

Lösungsschritte – Fall 2 Für die Durchschnittsgeschwindigkeit c leiten wir aus dem Potenzgesetz der c-Verteilung bei turbulenter Rohrströmung die Gleichung c cmax

D

2  n2 .n C 1/  .2  n C 1/

her. Umgestellt nach c folgt

c D c1max D

2  n2 .n C 1/  .2  n C 1/

Hierbei hängt n von der Re-Zahl ab. Es ist z. B. bei Re D 1;1  105 : n D 7;0 und bei Re D 1;1  106 : n D 8;8. Lösungsschritte – Fall 3 Den Volumenstrom VP erhält man mit der Durchflussgleichung VP D c  A und mit A D

2 4 D :

2  n2 VP D A D  D 2  c1max  : 4 .n C 1/  .2  n C 1/

338

5

Messtechnische Anwendungen

Lösungsschritte – Fall 4 Von den gesuchten Größen können wir, wenn D D 0;20 m, Z D 0;15 m, h D 80 mm,

Hg D 13 550 kg/m3 , F D 1 000 kg/m3 und D 1  106 m2 /s vorgegeben sind, zunächst die Maximalgeschwindigkeit c1max bestimmen: s c1max D

 2gh

 s  

Hg 13 550  1 D 2  9;81  0;08  1 :

F 1 000

Dies führt zu

c1max D 4;438 m=s

Die Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit c ist wegen Re D f .c/ nur mittels einer Iteration möglich. 1. Iterationsschritt Annahme: Re1 D 5  105 Hieraus folgt für n1 , wenn man linear interpoliert zwischen Re D 1;1  105 mit n D 7;0 und Re D 1;1  106 mit n D 8;8 n1 D 7;71: Damit ermittelt man c 1 zu c 1 D 4;438 

2  7;712 D 3;689 m=s: .7;71 C 1/  .2  7;71 C 1/

Dies führt wiederum zu einer neuen Re-Zahl Re2 : Re2 D

c1  D 3;689  0;20 D  106 D 737 844: 1

2. Iterationsschritt Re2 D 737 844 im oben genannten Interpolationsbereich liefert n2 D 8;14: Dann wird c 2 D 4;438 

2  8;142 D 3;724 m=s: .8;14 C 1/  .2  8;14 C 1/

Aufgabe 5.3 Wasserströmung durch Normdüse (EN ISO 5167)

Mit

c 2 c 1 c2

339

D 0;01  1% ist c 2 genügend genau bestimmt. Man erhält

c 2 D 3;724 m=s

Re D

Den Volumenstrom VP D c  digkeit c zu

4

3;724  0;2  106 D 745 000 1

 D 2 erhält man aufgrund der jetzt bekannten Geschwin-

VP D 3;724   0;22 D 0;117 m3 =s: 4

Aufgabe 5.3 Wasserströmung durch Normdüse (EN ISO 5167) Volumen- oder Massenströme lassen sich mit verschiedenen physikalischen Verfahren messen. Eine häufig verwendete Variante stellt die Wirkdruckmessung an sogenannten Drosselgeräten wie Messblende, Messdüse oder Venturi-Meter dar. Je nach Anforderungen an die Messgenauigkeit, die entstehenden Druckverluste und den benötigten Bauraum entscheidet man sich für eine der drei Varianten. Allen drei gemeinsam ist der entstehende Wirkdruck als Druckunterschied am Drosselgerät (Bernoulli’sche Energiegleichung). Unter Beachtung der Angaben in der jeweiligen Norm lässt sich der gesuchte Volumenstrom (Massenstrom) aufgrund des gemessenen Wirkdrucks ermitteln. Im vorliegenden Fall kommt eine Normdüse (EN ISO 5167) zum Einsatz, deren Rohrdurchmesser D und Düsenaustrittsdurchmesser d bekannt sind (Abb. 5.2). Der Wirkdruck p D p1  p2 wird auf ein U-Rohr-Manometer geschaltet, an welchem sich eine durch p hervorgerufene Messflüssigkeitshöhe h einstellt. Gesucht wird der Massen- und Volumenstrom.

Lösung zu Aufgabe 5.3 Aufgabenerläuterung Hintergrund der Aufgabe ist die Anwendung der in der Norm angegebenen Gleichung zur Bestimmung des Massen- bzw. Volumenstroms mit einer Normdüse. Diese muss in allen Details den Normvorgaben entsprechen. Dann lassen sich die Korrekturfaktoren wie

340

5

Messtechnische Anwendungen

Abb. 5.2 Wasserströmung durch Normdüse

D

V

d

m ρw p1

p2

a

ρw

h S

S ρHg

Durchflusszahl ˛ und bei kompressiblen Fluiden die Expansionszahl " den Normblättern entnehmen und der z. B. Massenstrom bei gemessenem Wirkdruck p, Düsenaustrittsdurchmesser d und Fluiddichte W bestimmen. Da die Durchflusszahl ˛ vom Durchmesserverhältnis d/D aber auch von ReD abhängt, die Reynolds-Zahl ReD wiederum von der Geschwindigkeit cD und folglich vom Volumenstrom VP abhängt, wird bei der Anwendung ein Iterationsverfahren erforderlich. Gegeben:  W ; W ; Hg ; D; d; h Gesucht: 1. 2. 3.

m P VP m P und VP , wenn W D 999 kg/m3 ; W D 1;12  106 m2 /s; Hg D 13 550 kg/m3 ; D D 100 mm; d D 60 mm; h D 140 mm Anmerkungen

p  Massenstrom: m P D ˛  "  4  d 2 2  p  W d  Durchflusszahl: ˛ D f D I ReD  Expansionszahl " D 1 bedeutet inkompressibel

Aufgabe 5.3 Wasserströmung durch Normdüse (EN ISO 5167)

341

Lösungsschritte – Fall 1 Der Massenstrom m P eines Fluids in einem Drosselgerät lässt sich gemäß o. g. Gleichung ermitteln zu p

m P D ˛  "   d 2  2  p  W : 4 Bei " D 1 (Wasser) führt dies zu

m P D˛

p

 d 2  2  p  W ; 4

dabei sind  ˛Df

 d I ReD I D

ReD D

cD  D I W

cD D

VP : AD

Für den Wirkdruck p D p1  p2 erhält man am U-Rohr-Manometer gemäß Abb. 5.2 im Schnitt S–S bei Druckgleichheit p1 C W  g  .a C h/ D p2 C W  g  a C Hg  g  h oder

  p D p1  p2 D g  h  Hg  W :

Oben eingesetzt führt das zum Resultat

m P D˛

 d2  4

q   2  g  h  Hg  W  W :

Lösungsschritte – Fall 2 Mit m P D  VP erhält man 1

m P D  ˛   d2  VP D

W

W 4

q   2  g  h  Hg  W  W :

342

5

Messtechnische Anwendungen

Der Volumenstrom VP lautet somit s

VP D ˛   d 2  4

2gh





Hg 1 :

W

Lösungsschritte – Fall 3 Zu berechnen sind m P und VP , wenn W D 999 kg/m3 , W D 1;12  106 m2 /s, Hg D 3 13 550 kg/m , D D 100 mm, d D 60 mm und h D 140 mm gegeben sind. Beim Massenstrom m P ist ein Iterationsverfahren für die folgende Gleichung erforderlich:

m P D˛

p

 0;0602  2  9;81  0;14  .13 550  999/  999 D ˛  16;593: 4

1. Iterationsschritt Annahme: ReD1 D 1  105 Mit d=D D 0;6 und ReD1 D 1  105 wird gemäß (EN ISO 5167) ˛1 D 1;0277: Es resultieren m P 1 D 1;0277  16;593 D 17;0527 kg=s und

m P1 17;0527 VP1 D D D 0;01707 m3 =s:

W 999

Somit sind cD1 D und ReD2 D

4  VP1 4  0;01707 D D 2;173 m=s 2

D

 0;12

cD1  D 2;173  0;10 D  106 D 194 053: W 1;12

2. Iterationsschritt Mit d=D D 0;6 und ReD2  2  105 wird gemäß (EN ISO 5167) ˛2 D 1;0294: Es resultieren m P 2 D 1;0294  16;593 D 17;081 kg=s

Aufgabe 5.4 Normdüse, kompressible Luftströmung (EN ISO 5167)

und

343

m P2 17;081 VP2 D D D 0;0171 m3 =s:

W 999

Wegen m P P1 m P2 m .17;081  17;0527/  D D 0;00168  0;17% m P2 m P2 17;081 kann die Iteration hier abgebrochen werden. Das Ergebnis lautet

m P D 17;081 kg=s: Mit VP D

m P

W

lässt sich der Volumenstrom VP wie folgt berechnen:

17;081 VP D D 0;0171 m3 =s: 999

Aufgabe 5.4 Normdüse, kompressible Luftströmung (EN ISO 5167) Volumen- oder Massenströme lassen sich mit verschiedenen physikalischen Verfahren messen. Eine häufig verwendete Variante stellt die Wirkdruckmessung an sogenannten Drosselgeräten wie Messblende, Messdüse oder Venturi-Meter dar. Je nach Anforderungen an die Messgenauigkeit, die entstehenden Druckverluste und den benötigten Bauraum entscheidet man sich für eine der drei Varianten. Allen drei gemeinsam ist der entstehende Wirkdruck als Druckunterschied am Drosselgerät (Bernoulli’sche Energiegleichung). Unter Beachtung der Angaben in der jeweiligen Norm lässt sich der gesuchte Volumenstrom (Massenstrom) aufgrund des gemessenen Wirkdrucks ermitteln. Im vorliegenden Fall kommt eine Normdüse (EN ISO 5167) zum Einsatz, deren Rohrdurchmesser D und Düsenaustrittsdurchmesser d gegeben sind (Abb. 5.3). Druck p1 und Temperatur T1 vor der Düse sind neben den Luftgrößen , Ri und L ebenfalls bekannt. Der Wirkdruck p D p1  p2 wird auf ein U-Rohr-Manometer geschaltet, an welchem sich eine durch p hervorgerufene Messflüssigkeitshöhe h einstellt. Die Dichte der Messflüssigkeit lautet P

M . Gesucht wird der Massenstrom m.

344

5

Messtechnische Anwendungen

Abb. 5.3 Normdüse, kompressible Luftströmung Luft D

d m ρ1 p1

p2 ρL a

ρL

h S

S ρM

Lösung zu Aufgabe 5.4 Aufgabenerläuterung Hintergrund der Aufgabe ist die Anwendung der in der Norm angegebenen Gleichung zur Bestimmung des Massenstroms mit einer Normdüse. Diese muss in allen Details den Normvorgaben entsprechen. Dann lassen sich die Korrekturfaktoren wie Durchflusszahl ˛ und bei kompressiblen Fluiden die Expansionszahl " den Normblättern entnehmen und der Massenstrom bei den gegebenen Größen bestimmen. Da die Durchflusszahl ˛ vom Durchmesserverhältnis d=D aber auch von ReD abhängt, die Reynolds-Zahl ReD wiederum von der Geschwindigkeit cD und folglich vom Volumenstrom VP , wird bei der Anwendung ein Iterationsverfahren erforderlich. Gegeben:  D; d; p1 ; T1 ; ; Ri ; L ; h; M Gesucht: 1. m P 2. m, P wenn D D 150 mm; d D 100 mm; p1 D 140 000 Pa; T1 D 10 ı C;  D 1;40; Ri D 287;2 N m/(kg K); L D 15;1  106 m2 /s; h D 900 mm; M D 2 800 kg/m3

Aufgabe 5.4 Normdüse, kompressible Luftströmung (EN ISO 5167)

345

Anmerkungen

p  Massenstrom: m P D ˛  "  4  d 2 2  p  1 d  Durchflusszahl: ˛ D f D I ReD cD D  Reynolds-Zahl: ReD D L   d  Expansionszahl: " D f I pp21 I D Lösungsschritte – Fall 1 Der Massenstrom m P eines Fluids in einem Drosselgerät lässt sich gemäß EN ISO 5167 bestimmen aus (s. o.)

m P D˛"

p

 d 2  2  p  ; 4

wobei  ˛Df

 d I ReD I D

ReD D

cD  D I L

"Df

  p2 d I I p1 D

Zur Ermittlung der Durchflusszahl ˛ D f .ReD ; ˇ/ wird bei bekanntem Verhältnis d=D benötigt. Da cD von VP und folglich vom gesuchten noch die Reynolds-Zahl ReD D cD D L Massenstrom m P abhängt, wird eine Iteration erforderlich  (s. u.). d wird u. a. das DruckverBei der Bestimmung der Expansionszahl " D f I pp21 I D hältnis p2 =p1 benötigt. Wird p1  p2 D p durch p1 dividiert, erhält man 1

p p2 D : p1 p1

Nach (p2 =p1 ) umgestellt wird daraus p2 p D1 : p1 p1 Hier fehlt noch die Druckdifferenz p: Am U-Rohr-Manometer erhält man gemäß Abb. 5.3 bei Druckgleichheit im Schnitt S–S p1 C L  g  .a C h/ D p2 C M  g  h C L  g  a

346

5

Messtechnische Anwendungen

oder, mit L M ,

p1  p2 D p D g  M  h:

Somit ist dann auch

p2 g  M  h D1 p1 p1

bekannt und mit gegebenem  und d=D liegt " fest. Als Letztes leiten wir die Dichte L aus der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase her: p  v D Ri  T wird mit v D 1 zu

L D

p1 : Ri  T1

Lösungsschritte – Fall 2 Gesucht ist jetzt m, P wenn D D 150 mm, d D 100 mm, p1 D 140 000 Pa, T1 D 10 ı C,  D 1;40; Ri D 287;2 N m/(kg K), L D 15;1106 m2 /s, h D 900 mm, M D 2 800 kg/m3 gegeben sind. Zuerst werden die benötigten Größen berechnet:

d 100 D D 0;667 D 150

p2 9;81  2 800  0;90 D1 D 0;823 p1 140 000

p D g  M  h D 24 721 Pa

L D

140 000 D 1;722 kg=m3 287;2  .273;1 C 10/

Aufgabe 5.4 Normdüse, kompressible Luftströmung (EN ISO 5167)

Somit wird m P D˛"

p

 0;102  2  24 721  1;722 4

m P D 2;2917  ˛  " Œkg=s :

1. Iterationsschritt Annahme: ReD1 D 1  105 Mit ReD1 D 1  105 und d=D D 0;667 wird ˛1 D 1;0566: Mit .d=D/2 D 0;445,  D 1;4 und p2 = 1 D 0;823 wird "1 D 0;875: Hieraus folgt m P 1 D 2;2917  1;0566  0;875 D 2;119 kg=s und somit auch mit VP1 D

m P1

1

2;119 VP1 D D 1;230 m3 =s: 1;722 Mit cD1 D

VP1 AD

D

4



VP1 D2

berechnet man cD1 zu cD1 D

4 1;230 D 69;60 m=s: 

0;152

Die neue Reynolds-Zahl ist damit ReD2 D

cD  D 69;60  0;15 D  106 D 691 428 L 15;1

2. Iterationsschritt ReD2 D 691 428 Mit ReD2 D 691 428 und ˇ D 0;667 wird ˛2 D 1;0586: Mit .d=D/2 D 0;445,  D 1;4 und p2 / 1 D 0;823 wird "2 D 0;875:

347

348

5

Messtechnische Anwendungen

Hieraus folgt m P 2 D 2;2917  1;0586  0;875 D 2;123 kg=s: Mit

m P P1 m P2m 2;123  2;119 D D m P2 m P2 2;123

folgt

m P D 0;0019  0;19% m P2

d. h., die verbleibende Differenz ist vernachlässigbarer. Das Ergebnis lautet

m P m P 2 D 2;123 kg=s:

Aufgabe 5.5 Horizontaler Ausfluss aus scharfkantiger Öffnung Aus einem horizontalen, zylindrischen Behälter strömt Öl durch eine scharfkantige, kreisförmige Öffnung ins Freie (Abb. 5.4). Der Behälter weist den Durchmesser D und die Öffnung den (geometrischen) Durchmesser d auf. Der Druckunterschied zwischen der Stelle 1 (p1 ) und der äußeren Umgebung (pB ) erzeugt an einem beaufschlagten U-RohrManometer die Messflüssigkeitshöhe h. Beim Ausströmen ins Freie findet zum einen eine Kontraktion des Flüssigkeitsstrahls vom Querschnitt A2 auf den Querschnitt A3 statt. Aufgrund der Strahleinschnürung werden weiterhin zwischen den Stellen 2 und 3 vermehrt Reibungsverluste wirksam. Diese führen zu einer Verkleinerung der Geschwindigkeit von c2 auf c3 . Die Strahleinschnürung wird mit der Kontraktionszahl ˛K und die Geschwindigkeitsverkleinerung mit der Geschwindigkeitszahl ' erfasst. Welcher Volumenstrom stellt sich ein, wenn die unten angegebenen Größen gegeben sind?

Lösung zu Aufgabe 5.5 Aufgabenerläuterung Der gesuchte tatsächliche Volumenstrom VP im Querschnitt A3 lässt sich mit der dort vorliegenden Durchflussgleichung beschreiben. Die Verknüpfung zwischen den bei 3 und 2 vorhandenen Geschwindigkeiten wird mit ' hergestellt und die zu berücksichtigenden Flächen A2 und A3 mittels ˛K . Den Zusammenhang zwischen den Stellen 2 und 1 erhält man mit der Bernoulli’schen Energiegleichung, wobei der Unterschied der statischen Drücke mit dem Messwert am U-Rohr-Manometer verbunden werden muss.

Aufgabe 5.5 Horizontaler Ausfluss aus scharfkantiger Öffnung

349

Abb. 5.4 Horizontaler Ausfluss aus scharfkantiger Öffnung 1

D

A2

A1

pB

3

V d

c3 2 A3

ρF

pB a

h S

S

ρHg

Gegeben:  F ; Hg ; a; D; d; h; ˛K ; ' Gesucht: 1. 2.

VP VP , wenn F D 840 kg/m3 ; Hg D 13 550 kg/m3 ; D D 0;30 m; d D 0;075 m; h D 0;20 m; a D 0;80 m; ˛K D 0;62; ' D 0;98 Anmerkung

 Die Verluste von 1 bis 2 sind vernachlässigbar. Lösungsschritte – Fall 1 Mit dem tatsächlichen Volumenstrom VP im eingeschnürten Querschnitt VP D c3  A3 , 3 sowie der Geschwindigkeitszahl ' D cc32 erhält man durch der Kontraktionszahl ˛K D A A2 Umformungen A3 D ˛K  A2 und c3 D '  c2

350

5

Messtechnische Anwendungen

und daraus dann

VP D ˛K  '  c2  A2 :

Hierin muss noch die Geschwindigkeit c2 ermittelt werden: Die Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen 1 und 2 (ohne Verluste), c2 c2 p1 p2 C 1 D C 2;

F 2

F 2 liefert, mit p2 D pB , c2 .   Und zwar folgt umgestellt nach c22 =2 c2 c22 p1 pB  C 1 D 2

F

F 2

oder

c22 c12 p1  pB :  D 2 2

F

  Wird jetzt c22 =2 ausgeklammert, ergibt sich   c22 c2 p1  pB :  1  12 D 2

F c2 Die Kontinuität c1  A1 D c2  A2 führt zu c1 A2 D ; c2 A1 wobei A2 D

4

 d 2 und A1 D

4

 D 2 lauten. Damit erhält man

d2 c1 D 2 c2 D

oder

c12 d4 D 4: 2 D c2

Oben eingesetzt liefert das zunächst   c22 d4 p1  pB :  1 4 D 2 D

F  Durch 1 

d4 D4

 dividiert wird das zu c22 p  pB 1  1 D 4 d 2

F 1 D 4

Aufgabe 5.5 Horizontaler Ausfluss aus scharfkantiger Öffnung

und mit 2 multipliziert zu

351

1 p1  pB  2 : c22 D  4 d

F 1 D 4

Wurzelziehen ergibt als vorläufiges Ergebnis

1 c2 D q 1

d4 D4



r p1  pB 2 :

F

Nun muss noch die Druckdifferenz .p1  pB / mit der Anzeige der Druckmesseinrichtung verknüpft werden: Am U-Rohr-Manometer erhält man gemäß Abb. 5.4 im Schnitt S–S bei Druckgleichheit p1 C F  g  a D pB C Hg  g  h oder, nach p1 aufgelöst, p1 D pB C Hg  g  h  F  g  a

p1  pB D Hg  g  h  F  g  a:

bzw:

Oben eingesetzt folgt daraus s VP D ˛K  '  A2  q

1 1

d4 D4



 2   Hg  g  h  F  g  a

F

und als Ergebnis

˛K  '

VP D q   d2  d4 1  D4 4

s

 2g



Hg ha :

F

Lösungsschritte – Fall 2 Für VP bekommen wir, wenn F D 840 kg/m3 , Hg D 13 550 kg/m3 , D D 0;30 m, d D 0;075 m, h D 0;20 m, a D 0;80 m, ˛K D 0;62 und ' D 0;98 gegeben sind, s   13 550 0;62  0;98

2 VP D r  2  9;81    0;075  0;20  0;80  4 840 4 1  0;075 0;304

352

5

Messtechnische Anwendungen

VP D 0;01856 m3=s:

Aufgabe 5.6 Wasserströmung durch Messblende (EN ISO 5167) Volumen- oder Massenströme lassen sich mit verschiedenen physikalischen Verfahren messen. Eine häufig verwendete Variante stellt die Wirkdruckmessung an sogenannten Drosselgeräten wie Messblende, Messdüse oder Venturi-Meter dar. Je nach Anforderungen an die Messgenauigkeit, die entstehenden Druckverluste und den benötigten Bauraum entscheidet man sich für eine der drei Varianten. Allen drei gemeinsam ist der entstehende Wirkdruck als Druckunterschied am Drosselgerät (Bernoulli’sche Energiegleichung). Unter Beachtung der Angaben in der jeweiligen Norm lässt sich der gesuchte Volumenstrom (Massenstrom) aufgrund des gemessenen Wirkdrucks ermitteln. Im vorliegenden Fall kommt eine genormte Messblende (EN ISO 5167) zum Einsatz, deren Rohrdurchmesser D und Öffnungsdurchmesser d bekannt sind (Abb. 5.5). Der Wirkdruck p D p1  p2 wird auf ein U-Rohr-Manometer geschaltet, an welchem sich eine durch p hervorgerufene Messflüssigkeitshöhe h einstellt. Gesucht werden der Massen- und der Volumenstrom.

Abb. 5.5 Wasserströmung durch Messblende

D

m

d

V ρw p1

p2

a

ρw

h S

S ρHg

Aufgabe 5.6 Wasserströmung durch Messblende (EN ISO 5167)

353

Lösung zu Aufgabe 5.6 Aufgabenerläuterung Hintergrund der Aufgabe ist die Anwendung der in der Norm angegebenen Gleichung zur Bestimmung des Massen- bzw. Volumenstroms mit einer Messblende. Diese muss in allen Details den Normvorgaben entsprechen. Dann lassen sich die Korrekturfaktoren wie Durchflusszahl ˛ und bei kompressiblen Fluiden die Expansionszahl " den Normblättern entnehmen und der z. B. Massenstrom bei gemessenem Wirkdruck p, Öffnungsdurchmesser d und Fluiddichte W bestimmen. Da die Durchflusszahl ˛ vom Durchmesserverhältnis d=D, aber auch von ReD abhängt und die Reynolds-Zahl ReD wiederum von der Geschwindigkeit cD und folglich vom Volumenstrom VP abhängig ist, wird bei der Anwendung ein Iterationsverfahren erforderlich. Gegeben:  W ; W ; Hg ; D; d; h Gesucht: 1. 2. 3.

m P VP m P und VP , wenn W D 998 kg/m3 ; W D 1;0  106 m2 /s; Hg D 13 550 kg/m3 ; D D 200 mm; d D 100 mm; h D 900 mm Anmerkungen

p  Massenstrom: m P D ˛  "  4  d 2 2  p  W d  Durchflusszahl: ˛ D f D I ReD  Expansionszahl " D 1 bedeutet inkompressibel Lösungsschritte – Fall 1 Der Massenstrom m P eines Fluids in einem Drosselgerät lässt sich gemäß o. g. Gleichung ermitteln p

m P D ˛  "   d 2  2  p  W : 4 Bei " D 1 (Wasser) führt dies zu

m P D˛

p

 d 2  2  p  W ; 4

354

5

Messtechnische Anwendungen

hierbei sind  ˛Df

 d I ReD I D

ReD D

cD  D I W

cD D

VP : AD

lauten. Für den Wirkdruck p D p1  p2 erhält man am U-Rohr-Manometer gemäß Abb. 5.5 im Schnitt S–S bei Druckgleichheit p1 C W  g  .a C h/ D p2 C W  g  a C Hg  g  h oder

  p D p1  p2 D g  h  Hg  W :

Oben eingesetzt führt zunächst zu m P D˛

 d2  4

q   2  g  h  Hg  W  W :

Wir bringen zum Schluss noch W vor die Wurzel: s

m P D ˛   d 2  W  4

 2gh

Lösungsschritte – Fall 2 Mit m P D  VP erhält man den Volumenstrom VP D s

VP D ˛   d 2  4

2gh

m P

W





Hg 1 :

W

und somit als Resultat



Hg 1 :

W

Lösungsschritte – Fall 3 Gesucht sind m P und VP , wenn W D 998 kg/m3 , W D 1;0106 m2 /s, Hg D 13 550 kg/m3 , D D 200 mm, d D 100 mm und h D 900 mm vorgegeben sind.

Aufgabe 5.6 Wasserströmung durch Messblende (EN ISO 5167)

Für den Massenstrom m P müssen wir die o. g. Gleichung s

m P D ˛   0;102  998  4

 2  9;81  0;90 

 13 550  1 D ˛  116;81 998

iterieren. 1. Iterationsschritt Annahme: ReD1 D 1  106 Mit d=D D 0;50 und ReD1 D 1  106 wird gemäß (EN ISO 5167) ˛1 D 0;6227: Es resultieren m P 1 D 0;6227  116;81 D 72;738 kg=s und

m P1 72;738 VP1 D D D 0;07288 m3=s:

W 998

Somit sind cD1 D und ReD2 D

4  VP1 4  0;07288 D D 2;320 m=s 2

D

 0;22

cD1  D 2;320  0;20 D  106 D 464 000: W 1;0

2. Iterationsschritt ReD2 D 464 000 Mit d/D D 0;50 und ReD2 D 464 000 wird gemäß (EN ISO 5167) ˛2 D 0;6233: Es resultieren m P 2 D 0;6233  116;81 D 72;808 kg=s und

Wegen

m P2 72;808 VP2 D D D 0;07295 m3=s:

W 998 P1 m P m P2 m 72;808  72;738 D D D 0;00096  0;10 % m P2 m P2 72;808

355

356

5

Messtechnische Anwendungen

kann die Iteration hier abgebrochen werden. Das Ergebnis lautet

m P 2 D 72;808 kg=s: Mit VP D

m P

W

lässt sich der Volumenstrom VP wie folgt berechnen:

72;808 VP D D 0;07295 m3=s: 998

Aufgabe 5.7 Strömung aus scharfkantigem Loch im Boden eines Kegelstumpfes Im Boden eines kegelstumpfförmigen offenen Behälters ist gemäß Abb. 5.6 ein scharfkantiges, kreisförmiges Loch zu erkennen, durch welches Wasser ins Freie fließt. Zur Zeit t D 0 ist die Wasserhöhe H über dem Boden ebenso bekannt wie der Durchmesser D des betreffenden Wasserspiegels. Gleichfalls gegeben ist der Durchmesser d des Bodens. Ermittelt werden soll der Durchmesser d2 des Lochs, wenn das Wasser von H aus in der Zeit t D T0 vollständig aus dem Behälter abfließt. Hierbei wird von einer bekannten Ausflusszahl ˛ ausgegangen.

A1

D

Δ

1

Az

rz

dz

H

cz

d

z

pB

z 2 3 A2 A3

d3

pB

Bezugsebene

d2

Abb. 5.6 Strömung aus scharfkantigem Loch im Boden eines Kegelstumpfes

Aufgabe 5.7 Strömung aus scharfkantigem Loch im Boden eines Kegelstumpfes

357

Lösung zu Aufgabe 5.7 Aufgabenerläuterung Ausgangspunkt des Lösungswegs ist der Austrittsquerschnitt A2 , der in Verbindung mit dem gesuchten Durchmesser d2 steht. In Verbindung mit der Kontraktionszahl ˛K und der Geschwindigkeitszahl ' kommen der Volumenstrom VP .t/ und die Geschwindigkeit c2 .t/ zur Anwendung. Hierbei wird die Integration des infinitesimalen Volumenstroms dVP .t/ erforderlich ebenso wie die Torricelli’sche Ausflussgleichung für c2 .t/. Gegeben:  D; d; H; T0 ; ˛ Gesucht: 1. d2 , wenn der Kegelstumpf von H aus in der Zeit t D T0 entleert sein soll 2. d2 , wenn D D 3;0 m; d D 1;5 m; H D 3;5 m; T0 D 480 s; ˛ D 0;62 Anmerkungen

R @c   ds , d. h. quasi-stationäre Strömung @t  ˛ D ˛K  ': Ausflusszahl  Alle zeitabhängigen Größen werden ohne „(t)“ angeschrieben. Lösungsschritte – Fall 1 Für den Durchmesser d2 finden wir mit A2 D

d22 D

4

 d22 durch Umformung

4  A2 :

3 P A2 lässt sich mit der Kontraktionszahl ˛K D A A2 , der Durchflussgleichung V D A3  c3 c3 sowie der Geschwindigkeitszahl ' D c2 ersetzen gemäß

A2 D

VP ˛K  '  c2

oder, da ˛ D ˛K  ', vereinfacht auch A2 D

VP : ˛  c2

358

5

Messtechnische Anwendungen

Oben eingesetzt liefert dies zunächst

d22 D

VP 4 : 

˛  c2

Hierin müssen VP und c2 mittels gegebener Größen in Abb. 5.6 ersetzt werden. Für den Volumenstrom VP haben wir an der Stelle z die Durchflussgleichung VP D cz  Az . Gemäß Abb. 5.6 ist cz D  dz dt . Das negative Vorzeichen erscheint deshalb, weil cz entgegen der z-Richtung gerichtet ist. Weiterhin ist Az D  rz2 . Man erhält dann dz VP D    rz2 : dt Der Radius rz muss noch in Abhängigkeit von der Koordinate z gebracht werden. Nach Abb. 5.6 folgt  D d    2 rz  d2 D 2 : z H Hieraus wird nach Multiplikation mit z rz 

d Dd D z 2 2H

oder umgeformt   d Dd 1 Dd rz D C z D  d C z : 2 2H 2 H Quadrieren führt zu rz2 D

 2 1 Dd  dC z : 4 H

Oben eingesetzt liefert dies  2 dz Dd VP D    d C z : dt 4 H

Aufgabe 5.7 Strömung aus scharfkantigem Loch im Boden eines Kegelstumpfes

359

Zur Geschwindigkeit c2 führt uns die Torricelli’sche Ausflussgleichung, wenn cz c2 angenommen wird und sich der Flüssigkeitsspiegel an der Stelle z befindet,

c2 D

p 2  g  z:

Werden VP und c2 in die Ausgangsgleichung eingesetzt, erhält man zunächst d22

2    z  4  d C Dd 4  dz dt H D  p

˛ 2gz

oder, umgeformt,

 dz    dt  d C 1 D p p  ˛ 2g z   p Wir multiplizieren mit ˛  2  g , d22

d22 h und dann mit .dt/ 

Dd H

z

2 :

2    p z d C Dd dz H ˛ 2g D  p ;  dt z

1p d22 ˛ 2g

i :

2  z d C Dd 1 H p   dz: dt D 2 p z d2  ˛  2  g Nun wird die Klammer ausmultipliziert: 2

.Dd /  z2 d 2 C 2  d  Dd 1 H zC H2 p p   dz dt D 2 z d2  ˛  2  g " # 1 d2 Dd z .D  d /2 z 2  p  dz D 2  p C2d  p C p H H2 z z z d2  ˛  2  g

D

1 p d22  ˛  2  g "  d z 2

1=2

# D  d 1=2 .D  d /2 3=2  dz C 2  d   z  dz :  z  dz C H H2

Substituiert man zur Vereinfachung K  d22  ˛ 

p 2  gI

a  d 2I

b D2d 

Dd I H

c

.D  d /2 ; H2

360

5

Messtechnische Anwendungen

so erhält man dt D

 1   a  z 1=2  dz C b  z 1=2  dz C c  z 3=2  dz : K

Die Integration führt auf 0

ZT0 dt D



1 @  a K

0

Z0

z 1=2  dz C b 

H

Z0

Z0 z 1=2  dz C c 

H

1 z 3=2  dz A

H

und folglich 2 ˇ0 ˇ 1 1 4 1 ˇ  z  2 C1 ˇ C b  T0 D  a 1 ˇ K 2 C 1 H

1 2

ˇ0 ˇ 1 1 ˇ  z 2 C1 ˇ C c  ˇ C1 H

3 2

ˇ0 3 ˇ 3 1 ˇ  z 2 C1 ˇ 5 ˇ C1 H

bzw., nach Vertauschen der Grenzen und Zusammenfassen,   ˇ ˇ ˇ 1 2 2 1=2 ˇH 3=2 ˇH 5=2 ˇH  2a z 0 C b z 0 C c z 0 : T0 D K 3 5 Wir setzen die Grenzen ein,   1 2 2 1=2 1=2 2 1=2  2aH C bH H C cH H T0 D ; K 3 5 und klammern .2  H 1=2 / aus, das ergibt T0 D

  2  H 1=2 1 1  a C  b  H C  c  H2 : K 3 5

Nach Einsetzen der substituierten Größen erhält man " # 2 2  H 1=2 1 D  d 1 .D  d /  H2  d2 C  2  d  H C  T0 D 2 p 3 H 5 H2 d2  ˛  2  g oder, zusammengefasst und gekürzt, p

2gH 2 1  d 2 C  d  .D  d / C  .D  d /2 : T0 D 2 3 5 d2  ˛  g  Multiplizieren mit d22 D

d22 T0

 ergibt zunächst

p

2gH 2 1  d 2 C  d  .D  d / C  .D  d /2 ; T0  ˛  g 3 5

Aufgabe 5.8 Tauchstrahl zwischen zwei Kammern

361

woraus wir durch Wurzelziehen zum Ergebnis gelangen: sp d2 D



2gH 2 1  d 2 C  d  .D  d / C  .D  d /2 : T0  ˛  g 3 5

Lösungsschritte – Fall 2 Wir berechnen d2 , wenn D D 3;0 m, d D 1;5 m, H D 3;5 m, T0 D 480 s und ˛ D 0;62 gegeben sind, zu s p

2  9;81  3;5 2 1  1;52 C  1;5  .3  1;5/ C  .3  1;5/2 ; d2 D 480  0;62  9;81 3 5 mithin

d2 D 0;109 m:

Aufgabe 5.8 Tauchstrahl zwischen zwei Kammern In Abb. 5.7 sind zwei zum Zeitpunkt t unterschiedlich hoch befüllte Wasserbehälter Z1 .t/ sowie Z2 .t/ zu erkennen, die durch eine Wand voneinander getrennt sind. Die Behälter weisen verschiedene Wasserspiegeloberflächen A1 und A2 auf. In der Wand befindet sich in der Höhe ZM ein scharfkantiges Loch mit der Querschnittsfläche AM . Das Loch sei zu der Zeit t D 0 noch verschlossen, wobei der Wasserhöhenunterschied mit h.t D 0/ bekannt ist. Nach dem plötzlichen Öffnen des Lochs strömt Wasser aus Kammer 1 in Kammer 2. Beim Durchströmen schnürt sich der Strahl zwischen „M“ und „K“ ein und verliert aufgrund der Verluste noch an Geschwindigkeit von cM auf c. Diese Vorgänge werden in der Kontraktionszahl ˛K und der Geschwindigkeitszahl ' berücksichtigt. Gesucht wird die Zeit t D T , bei der kein Höhenunterschied der Wasserspiegel mehr vorliegt. Hierbei wird von bekannten Flächen A1 , A2 und AM , gegebener Ausflusszahl ˛ sowie dem Anfangswert h.t D 0/ ausgegangen.

Lösung zu Aufgabe 5.8 Aufgabenerläuterung Mit der Definition des Volumenstroms als zeitliche Volumenänderung lässt sich die gesuchte Zeit durch einfaches Umstellen dieser Gleichung ermitteln. Hierbei müssen die

362

5 A1

Kammer 1

Messtechnische Anwendungen

Kammer 2

pB 1

pB

dh1

h(t +dt)

Z1(t)

h (t)

h(t = 0)

dh2

AM

Z1(t+dt)

c

M

cM

ZM

A2

Z2(t+dt)

2

Z2(t) z

A

Abb. 5.7 Tauchstrahl zwischen zwei Kammern

benötigten Volumina und der Volumenstrom mit den gegebenen Größen ersetzt werden. Eine einfache Integration liefert unter Berücksichtigung der Randbedingungen (Grenzen) das Ergebnis. Gegeben:  A1 ; A2 ; AM ; ˛; h.t D 0/ Gesucht: 1. die Zeit T, bis Gleichstand der Wasserspiegel vorliegt, also h.T / D 0 ist. 2. T, wenn: A1 D 15 m2 ; A2 D 6 m2 ; AM D 0;017 67 m2 ; ˛ D 0;62; h.t D 0/ D 2;5 m Anmerkungen

R @c  @t  ds , d. h. quasi-stationäre Strömung  ˛ D ˛K  ': Ausflusszahl  Alle zeitabhängigen Größen werden (bis auf eine Ausnahme**) ohne „(t)“ angeschrieben.

Aufgabe 5.8 Tauchstrahl zwischen zwei Kammern

363

Lösungsschritte – Fall 1 Zur Ermittlung der Zeit T bietet sich der Volumenstrom VP an, der als zeitliche Volumendefiniert ist. Eine einfache Umstellung liefert änderung VP D dV dt dV D VP  dt: Der benötigte tatsächliche Volumenstrom VP im engsten Querschnitt A mit Strahlkontraktion und Verlusten lautet VP D c  A: Mit der Kontraktionszahl ˛K D dann zunächst

A AM

und der Geschwindigkeitszahl ' D

c cM

erhält man

VP D ˛K  '  AM  cM :

Verwendet man noch die Ausflusszahl ˛ D ˛K  ', so entsteht

VP D ˛  AM  cM :

Im Fall des „Tauchstrahls“ kann mit der Annahme c1 cM der Zusammenhang cM D

p 2gh

hergeleitet werden. Oben eingesetzt führt dies zu

VP D ˛  AM 

p 2  g  h:

Somit wird

dV D ˛  AM 

p

2  g  h  dt:

Das hierin benötigte Volumenelement dV lässt sich gemäß Abb. 5.7 weiterhin wie folgt angeben: Das absinkende Volumen dV1 in Kammer 1 ist gleich dem ansteigenden Volumen dV2 in Kammer 2. Gemäß Abb. 5.7 sind dV1 D dh1  A1 und dV2 D dh2  A2 . Beide

364

5

Messtechnische Anwendungen

Volumina sind gleich, also ist

dV1 D dV2 D dV:

Hieraus folgt dh1  A1 D dh2  A2 oder

dh2 D dh1 

A1 : A2

Des Weiteren ist gemäß y.x C dx/  y.x/ D dy im vorliegenden Fall h.t/  h.t C dt/ D dh   und gemäß Abb. 5.7 auch h.t/  h.t C dt/ D dh1 C dh2 D dh: Somit folgt   A1 A1 D dh1  1 C dh D dh1 C dh1  A2 A2

dh : oder dh1 D   1 1C A A2

Gleichfalls ist dV .D dV1 / D dh1  A1 und folglich

A1   dh: dV D   1 1C A A2

Verknüpft man dV aus dieser und der oben ermittelten Gleichung, so folgt ˛  AM 

p A1   dh: 2  g  h  dt D   1 1C A A2

Umgeformt nach dt wird daraus dt D  

1C

A1 A2



A1

dh p ; p h  ˛  AM  2  g

Aufgabe 5.8 Tauchstrahl zwischen zwei Kammern

365

wonach wir noch A1 im Nenner ausklammern und kürzen: dt D  

1 A1

C

1 A2



1

dh p : p h  ˛  AM  2  g

Mit der Substitution K

1 A1

C

1 A2



1  ˛  AM 

p 2g

erhält man das Grundintegral

dh dt D K  p : h

Die Integration t DT Z

h.T Z /D0

dt D K  t D0

h.t D0/

dh p DK h

h.t Z D0/

h.T /D0

dh p h

liefert ˇh.t D0/ p h1=2 ˇˇ ˇ T DK  1 D 2  K  h.t D 0/:  2 C 1 ˇh.T /D0

Mit K von oben wird daraus

T D

1 A1

C

1 A2



2

 p  ˛  AM  2  g

p h.t D 0/:

366

5

Messtechnische Anwendungen

Lösungsschritte – Fall 2 Wenn die Zahlenwerte A1 D 15 m2 , A2 D 6 m2 , AM D 0;01767 m2 , ˛ D 0;62 und h.t D 0/ D 2;5 m gegeben sind, berechnet sich die gesuchte Zeit zu T D 1 15

C

1 6



p 2  2;5 p  0;62  0;01767  2  9;81 T D 279 s:

Aufgabe 5.9 Konischer Wassertank mit Blendenöffnung ins Freie Aus einem offenen konischen Behälter strömt Wasser durch eine am Fuß installierte scharfkantige Blendenöffnung ins Freie. Die Breite B des Behälters in Abb. 5.8 ist konstant. Ab der Blendenöffnung „M“ schnürt sich der Wasserstrahl von AM auf A zusammen. Des Weiteren verringert sich aufgrund der Reibungsverluste in diesem Kontraktionsbereich die Mündungsgeschwindigkeit von cM auf die im engsten Querschnitt A vorliegende Geschwindigkeit c. Beide Vorgänge finden ihren Niederschlag in der Ausflusszahl ˛. Wenn in der Bezugsebene des Behälters (Stelle 1) die Fläche A1 bekannt ist ebenso wie die in der Höhe Z2 vorliegende Fläche A2 und auch die Mündungsfläche AM , soll die Zeit ermittelt werden, die der Flüssigkeitsspiegel benötigt, um von der Höhe Z3 auf die Höhe Z4 abzusinken. Hierbei wird von einer bekannten Ausflusszahl ˛ ausgegangen.

pB

Az z

Δ Z2

Δ

Z3 z

cz 2

B senkrecht zur Zeichenebene ist konstant

dz A2

3 4

Z4 β

c

M

cM

1

1/2*(A1-Az)

pB

A A1

1/2*(A1-A2)

Abb. 5.8 Konischer Wassertank mit Blendenöffnung ins Freie

AM

Bezugsebene

Aufgabe 5.9 Konischer Wassertank mit Blendenöffnung ins Freie

367

Lösung zu Aufgabe 5.9 Aufgabenerläuterung Benötigt wird zunächst die Durchflussgleichung des tatsächlichen Volumenstroms im engsten Querschnitt A. Dieser Volumenstrom ist an jeder beliebigen Stelle z im Behälter zu einer jeweils festen Zeit konstant (quasi-stationär). Mit der Formulierung dieses Volumenstroms im Behälter an der Stelle z kommt die dort vorhandene Absinkgeschwindigkeit als zeitliche Höhenänderung und die bei z vorliegende Querschnittsfläche zur Anwendung. Unter Berücksichtigung der gegebenen Größen gemäß Abb. 5.8 liefert nach Umstellungen eine Integration das gesuchte Ergebnis. Gegeben:  A1 ; A2 ; AM ; ˛ D ˛K  '; Z2 ; Z3 ; Z4 Gesucht: 1. T3I4 zum Absenken des Wasserspiegels von Z3 nach Z4 . 2. T3I4 , wenn A1 D 2 m2 ; A2 D 1 m2 ; AM D 0;007854 m2 ; ˛ D 0;65; Z2 D 3 m; Z3 D 2;5 m; Z4 D 1 m Anmerkungen

R @c   ds , d. h. quasi-stationäre Strömung @t  ˛ D ˛K  ': Ausflusszahl  Alle zeitabhängigen Größen werden ohne „(t)“ angeschrieben. Lösungsschritte – Fall 1 Zur Ermittlung der Zeit T3I4 bietet sich der tatsächliche Volumenstrom VP D c  A an, der zwar von der Zeit t abhängt, aber im Strahl und im Behälter zu jeweils gleichen Zeiten t gleich groß ist. Mit der Strahlkontraktion ˛K D AAM und der Geschwindigkeitszahl ' D ccM erhält man VP D ˛K  '  AM  cM : Wegen ˛ D ˛K  ' wird daraus

VP D ˛  AM  cM :

Hierin fehlt noch die Mündungsgeschwindigkeit cM . Die Bernoulli-Gleichung ohne Verluste bei z und „M“ liefert unter der Voraussetzung, dass cz cM , cM D

p

2  g  z:

368

5

Messtechnische Anwendungen

Oben eingesetzt führt dies zu

VP D ˛  AM 

p

2  g  z:

Dieser Volumenstrom muss nun noch mit der Spiegelabsinkgeschwindigkeit cz verknüpft werden. Mit der diesbezüglichen zeitlichen Höhenänderung kann nach Umformung die gesuchte Zeit mittels Integration gefunden werden. Der Volumenstrom bei z lautet wie folgt VP D cz  Az : Hierin wird cz D  dz gesetzt. Das negative Vorzeichen muss verwendet werden, um die dt von z verschiedene Strömungsrichtung zu berücksichtigen. Somit erhält man zunächst   dz VP D Az   dt und unter Verwendung der o. g. Gleichung dann 

dz Az   dt

 D ˛  AM 

p 2  g  z:

Bei der nun erforderlichen Ermittlung der Fläche Az muss Az in Verbindung mit gegebenen Größen und der Koordinate z gebracht werden. Gemäß Abb. 5.8 ist tan ˇ D

z 1 2

 .A1  Az /

D

1 2

Z2 :  .A1  A2 /

Mit A D A1  A2 erhält man dann A1  Az D A 

z Z2

Az D A1  A 

z : Z2

oder hieraus

Aufgabe 5.9 Konischer Wassertank mit Blendenöffnung ins Freie

Oben eingesetzt folgt damit     p p z dz D ˛  AM  2  g  z:   A1  A  Z2 dt Mit der Substitution K  ˛  AM  erhält man zunächst

p 2g

    p z dz DK z   A1  A  Z2 dt

und nach einer Umformung A 

p dz z dz   A1  D K  z: Z2 dt dt

Mit dt multipliziert führt dies zu A  Division durch

p z  dz  A1  dz D K  z  dt: Z2

p z ergibt A z 1  p  dz  A1  p  dz D K  dt Z2 z z

und Division durch K liefert dann

dt D

A 1 A1 1=2   dz:  z 1=2  dz  z Z2 K K

Substituiert man zur besseren Übersicht weiterhin K1 

A 1  Z2 K

und K2 

A1 ; K

so folgt

dt D K1  z 1=2  dz  K2  z 1=2  dz:

369

370

5

Messtechnische Anwendungen

Die Integration zwischen t D 0 und t D T3I4 bzw. z D Z3 und z D Z4 lautet ZT3I4 ZZ4 ZZ4 1=2 dt D K1  z  dz  K2  z 1=2  dz; 0

Z3

sie ergibt T tj0 3I4

D K1 

1 2

Z3

ˇZ4 ˇZ4 ˇ ˇ 1 1 1 1 ˇ ˇ C1  C1  z 2 ˇ  K2  1 z 2 ˇ ˇ ˇ C1  C 1 2 Z Z 3

3

oder

ˇZ4 ˇZ4 2  K1  z 3=2 ˇZ  2  K2  z 1=2 ˇZ : 3 3 3 Mit eingesetzten Grenzen entsteht T3I4 D

T3I4 D

    2 3=2 3=2 1=2 1=2  2  K2  Z 4  Z 3 :  K1  Z 4  Z 3 3

Die Rücksubstitutionen, T3I4 D

    A1 2 A 1 3=2 3=2 1=2 1=2 2 ;  p  Z4  Z3 p  Z4  Z3  3 Z2 ˛  AM  2  g ˛  AM  2  g

führen dann zum gesuchten Resultat

T3I4 D

2 p ˛  AM  2  g

   1 A  3=2 3=2 1=2 1=2  A1  Z4  Z3 wobei A D A1  A2  Z4  Z3   3 Z2

Lösungsschritte – Fall 2 Die Zeit T3I4 berechnet sich, wenn A1 D 2 m2 , A2 D 1 m2 , AM D 0;007854 m2 , ˛ D 0;65; Z2 D 3 m, Z3 D 2;5 m und Z4 D 1 m vorgegeben sind, zu T3I4 D

   1 1  3=2 2    1  2;53=2  2  11=2  2;51=2 p 0;65  0;007854  2  9;81 3 3 T3I4 D 73;8 s:

Aufgabe 5.10 Gefäßkontur bei Wasserstrahl ins Freie

371

Aufgabe 5.10 Gefäßkontur bei Wasserstrahl ins Freie Aus einem offenen, becherförmigen Behälter strömt Wasser durch eine am Fuß installierte scharfkantige Blendenöffnung ins Freie (Abb. 5.9). Ab der Blendenöffnung „M“ schnürt sich der Wasserstrahl von AM auf A zusammen. Des Weiteren verringert sich aufgrund der Reibungsverluste in diesem Kontraktionsbereich die Mündungsgeschwindigkeit von cM auf die im engsten Querschnitt A vorliegende Geschwindigkeit c. Beide Vorgänge finden ihren Niederschlag in der Ausflusszahl ˛. Unter der Voraussetzung, dass die Spiegelabsinkgeschwindigkeit cz in jeder Höhe z gleich groß sein soll, wird die Abhängigkeit des Becherdurchmessers von z gesucht, also d D d.z/. Hierbei wird von einer bekannten Ausflusszahl ˛ ausgegangen.

Lösung zu Aufgabe 5.10 Aufgabenerläuterung Benötigt wird zunächst die Durchflussgleichung des tatsächlichen Volumenstroms im engsten Querschnitt A. Dieser zeitabhängige Volumenstrom ist jedoch an jeder beliebigen Stelle z im Becher zu einer jeweils festen Zeit gleich groß (quasi-stationär). Mit der Formulierung dieses Volumenstroms im Behälter an der Stelle z kommt die dort vorhandene, konstant vorgegebene Absinkgeschwindigkeit cz und die Querschnittsfläche Az zur Anwendung. Unter weiterer Berücksichtigung der gegebenen Größen gemäß Abb. 5.9 und der Ausflusszahl ˛ erhält man den gesuchten Becherdurchmesser d D d.z/. Gegeben:  cz D konstant; DM ; ˛; g Abb. 5.9 Gefäßkontur bei Wasserstrahl ins Freie

pB Az

Δ

dz

d(z) cz z

z

dz A

AM cM

Bezugsebene

c pB

372

5

Messtechnische Anwendungen

Gesucht: 1. d(z) 2. d(z), wenn cz D 0;01833 m/s; DM D 90 mm; ˛ D 0;75; g D 9;81 m/s2 Anmerkungen

R @c   ds , d. h. quasi-stationäre Strömung @t  ˛ D ˛K  ': Ausflusszahl  Alle zeitabhängigen Größen werden ohne „(t)“ angeschrieben. Lösungsschritte – Fall 1 Für die Durchmesserfunktion d.z/  dz an der Stelle z erhalten wir mit der bei z vorliegenden Kreisfläche Az D 4  dz2 erhält man durch Umstellen und der Wurzel r dz D

4  Az :

Hierin muss Fläche Az mit den gegebenen Größen verknüpft werden. Mit der Gleichheit des Volumenstroms im engsten Strahlquerschnitt VP D c  A und dem im Becher an der Stelle z VP D cz  Az folgt VP D c  A D cz  Az : Umgestellt nach Az folgt Az D

c  A: cz

Mit den Definitionen der Geschwindigkeitszahl ' D ccM und der Kontraktionszahl ˛K D A erhält man dann AM c D '  cM sowie A D ˛K  AM : Oben eingesetzt führt zu Az D

'  cM  ˛K  AM cz

oder, mit der Ausflusszahl ˛ D '  ˛K ,

Az D

1  ˛  cM  AM : cz

Aufgabe 5.11 Vertikales Venturi-Meter (inkompressible Flüssigkeit)

373

Weiterhin liefert die Torricelli’sche Gleichung unter Beachtung der Annahme cz cM den Zusammenhang

cM D

Setzt man noch AM D

4

p

2  g  z:

2  DM ein, so führt dies zunächst zu

Az D

p 1

2  ˛  2  g  z   DM : cz 4

Oben eingesetzt ergibt das s dz D

p 4 1

2  ˛  2  g  z   DM 

cz 4

und damit

p dz  d.z/ D DM  ˛ 

s 4

2gz : cz2

Lösungsschritte – Fall 2 Für dz finden wir mit den Zahlenwerten cz D 0;018 33 m/s, DM D 90 mm, ˛ D 0;75 und g D 9;81 m/s2  1=4 2  9;81 dz D 0;090  0;751=2   z 0;018332 dz D 1;212  z 1=4 Œm

Aufgabe 5.11 Vertikales Venturi-Meter (inkompressible Flüssigkeit) Volumen- oder Massenströme lassen sich mit verschiedenen physikalischen Verfahren messen. Eine häufig verwendete Variante stellt die Wirkdruckmessung an sogenannten Drosselgeräten wie Messblende, Messdüse oder Venturi-Meter dar. Je nach Anforderungen an die Messgenauigkeit, die entstehenden Druckverluste und den benötigten Bauraum

374

5

Messtechnische Anwendungen

Abb. 5.10 Vertikales VenturiMeter

ρ

p2 ρ d h1

ρ

h3

p1 h2

h S

S V ρΜ

entscheidet man sich für eine der drei Varianten. Allen drei gemeinsam ist der entstehende Wirkdruck als Druckunterschied am Drosselgerät (Bernoulli’sche Energiegleichung). Unter Beachtung der Angaben in der jeweiligen Norm lässt sich der gesuchte Volumenstrom (Massenstrom) aufgrund des gemessenen Wirkdrucks ermitteln. Im vorliegenden Fall kommt ein vertikal angeordnetes Venturi-Meter (EN ISO 5167) zum Einsatz, dessen Einlaufzylinderdurchmesser D und Halsteildurchmesser d bekannt sind (Abb. 5.10). Der Wirkdruck p D p1  p2 wird auf ein U-Rohr-Manometer geschaltet, an welchem sich eine durch p hervorgerufene Messflüssigkeitshöhe h einstellt. Gesucht wird der Volumenstrom.

Lösung zu Aufgabe 5.11 Aufgabenerläuterung Hintergrund der Aufgabe ist die Anwendung der in der Norm angegebenen Gleichung zur Bestimmung des Massen- bzw. Volumenstroms mit einem Venturi-Meter. Dieses muss in allen Details den Normvorgaben entsprechen. Dann lassen sich die Korrekturfaktoren wie

Aufgabe 5.11 Vertikales Venturi-Meter (inkompressible Flüssigkeit)

375

Durchflusszahl ˛ und bei kompressiblen Fluiden die Expansionszahl " den Normblättern (EN ISO 5167) entnehmen. Der Volumenstrom kann bei bekannten Flüssigkeitshöhen im U-Rohr-Manometer sowie den Dichten des Fluids und der Messflüssigkeit M ermittelt werden. Hierbei ist die Kenntnis der Durchflusszahl ˛ unerlässlich. Gegeben:  h; h3 ; d; D; ; M ; ˛ Gesucht: 1. 2.

VP VP , wenn h D 1;5 m; h3 D 0;5 m; d D 200 mm; D D 500 mm; D 820 kg/m3 ;

M D 1 260 kg/m3 ; ˛ D 0;996 Anmerkung

 Annahme einer inkompressiblen Strömung Lösungsschritte – Fall 1 Gemäß EN ISO 5167 wird der Volumenstrom VP bei inkompressiblen Fluiden mit

VP D ˛   d 2  4

r p1  p2 2

bestimmt. Darin sind .p1  p2 / der Druckunterschied am Venturi-Meter und ˛ die den Normblättern entnommene Durchflusszahl. Diese sei im vorliegenden Fall bekannt. Der bezogene Druckunterschied .p1  p2 /= lässt sich am U-Rohr-Manometer wie folgt ermitteln. Aufgrund von Druckgleichheit in der Schnittebene S–S am U-RohrManometer (Abb. 5.10) p1 C  g  h2 D p2 C  g  h1 C M  g  h erhält man nach Division durch

M p1  p2 D g  h1  g  h2 C gh



M  g  h: D g  .h1  h2 / C

376

5

Messtechnische Anwendungen

Die Höhendifferenz (h1  h2 ) lässt sich mit den geometrischen Größen am U-RohrManometer ersetzen durch h C h1 D h2 C h3 . Umgeformt wird daraus h1  h2 D h3  h: Wird dies oben eingesetzt, folgt p1  p2

M D g  .h3  h/ C  g  h D g  h3 C g  h 







M 1 :

Das Ergebnis lautet dann s

 

M 2  g  h3 C g  h  1 :



VP D ˛   d 2  4

Lösungsschritte – Fall 2 Mit den Werten h D 1;5 m, h3 D 0;5 m, d D 200 mm, D D 500 mm, D 820 kg/m3 ,

M D 1 260 kg/m3 und ˛ D 0;996 finden wir s

VP D 0;996   0;22  4

 

1 260 2  9;81  0;5 C 9;81  1;5  1 820

VP D 0;1582 m3 =s

Aufgabe 5.12 Horizontales Venturi-Meter (inkompressible Flüssigkeit) Volumen- oder Massenströme lassen sich mit verschiedenen physikalischen Verfahren messen. Eine häufig verwendete Variante stellt die Wirkdruckmessung an sogenannten Drosselgeräten wie Messblende, Messdüse oder Venturi-Meter dar. Je nach Anforderungen an die Messgenauigkeit, die entstehenden Druckverluste und den benötigten Bauraum entscheidet man sich für eine der drei Varianten. Allen drei gemeinsam ist der entstehende Wirkdruck als Druckunterschied am Drosselgerät (Bernoulli’sche Energiegleichung). Im vorliegenden Fall kommt ein horizontal angeordnetes Venturi-Meter (EN ISO 5167) zum Einsatz, dessen Einlaufzylinderdurchmesser D und Halsteildurchmesser d bekannt sind (Abb. 5.11). Durch dieses Venturi-Meter fließt ein Wasservolumenstrom VP , der einen Wirkdruck p1  p2 hervorruft. Dieser Wirkdruck p D p1  p2 wird auf ein U-RohrManometer geschaltet, an welchem sich eine Messflüssigkeitshöhe h einstellt. Diese wird

Aufgabe 5.12 Horizontales Venturi-Meter (inkompressible Flüssigkeit)

377

ρW d

V

p2

D

ρW

p1 a

h S

S ρHg

Abb. 5.11 Horizontales Venturi-Meter

gesucht, wenn von einem bekannten Volumenstrom VP und Durchflusszahl ˛ des VenturiMeters ausgegangen werden kann. Ebenso kennt man die benötigten Flüssigkeitsgrößen

W und Hg .

Lösung zu Aufgabe 5.12 Aufgabenerläuterung Hintergrund der Aufgabe ist die Anwendung der in der Norm angegebenen Gleichung zur Bestimmung des Massen- bzw. Volumenstroms mit einem Venturi-Meter. Dieses muss in allen Details den Normvorgaben entsprechen. Dann lassen sich die Korrekturfaktoren wie Durchflusszahl ˛ und bei kompressiblen Fluiden die Expansionszahl " den Normblättern entnehmen. Die Messflüssigkeitshöhe h kann bei bekanntem Volumenstrom und Höhenkonstellationen am U-Rohr-Manometer bestimmt werden. Hierbei ist die Kenntnis der Durchflusszahl ˛ unerlässlich. Gegeben:  W ; Hg ; D; d; VP ; g; ˛ Gesucht: 1. h 2. h, wenn W D 1 000 kg/m3 ; Hg D 13 560 kg/m3 ; D D 300 mm; d D 150 mm; VP D 0;142 m3 =s; g D 9;807 m/s2 ; ˛ D 1;0092 Anmerkung

 Annahme einer inkompressiblen Strömung

378

5

Messtechnische Anwendungen

Lösungsschritte – Fall 1 An die Messflüssigkeitshöhe h gelangen wir mit folgender Überlegung: Gemäß EN ISO 5167 wird der Volumenstrom VP bei inkompressiblen Fluiden, z. B. Wasser, mit

VP D ˛   d 2  4

r p1  p2 2

W

bestimmt. Hierin sind p1 p2 der wirksame Druckunterschied am Venturi-Meter und ˛ die 2 umgestellt Durchflusszahl. Zur Ermittlung von h muss die Gleichung zunächst nach p1 p W werden. Quadrieren führt zu VP 2 16 1 p1  p2   D2 ˛2 2 d 4

W oder umgeformt

p1  p2 8 1 VP 2 D 2  2  4:

W

˛ d

Der bezogene Druckunterschied .p1  p2 /=W lässt sich aus der Druckgleichheit im Schnitt S–S des U-Rohr-Manometers in Abb. 5.11 ermitteln: p1 C W  g  .a C h/ D p2 C W  g  Œa C .R  r/ C Hg  g  h: Dividiert man durch W , folgt

Hg p1  p2 D g  Œa C .R  r/  g  .a C h/ C gh

W

W  

Hg D  1  g  h C g  .R  r/:

W Somit ergibt sich durch das Zusammenführen beider Gleichungen, 



Hg 8 1 VP 2  1  g  h C g  .R  r/ D 2  2  4 ;

W

˛ d

dann das Zwischenergebnis 



Hg 8 1 VP 2  1  g  h D 2  2  4  g  .R  r/ :

W

˛ d

Aufgabe 5.13 Venturi-Meter bei Luftströmung

" Multiplizieren mit

379

# g

 1

Hg

W

 1

hD

liefert das Resultat

1 8 1 VP 2     g 2 ˛2 d 4

Hg

W

1 Rr  Hg : 1 1

W

Lösungsschritte – Fall 2 Wenn W D 1 000 kg/m3 , Hg D 13 560 kg/m3 , D D 300 mm, d D 150 mm, VP D 0;142 m3 =s, g D 9;807 m/s2 und ˛ D 1;0092 gegeben sind, erhalten wir hD

1 0;1422 8 1    2 9;807 1;00922 0;154

1 13 560 1 000

1



0;15  0;075 13 560 1 000  1

h D 0;2514 m

Aufgabe 5.13 Venturi-Meter bei Luftströmung Diese Aufgabe wird analog zu Aufgabe 5.12 zu lösen sein, jedoch mit dem Unterschied, dass im vorliegenden Fall der Luftmassenstrom m P ermittelt werden muss. Hierbei ist es erforderlich, die Kompressibilität des Fluids zusätzlich zu berücksichtigen. Neben den geometrischen, normgerechten Abmessungen des Venturi-Meters sind die Drücke im Einlaufzylinder p1 und im Halsteil p2 bekannt ebenso wie die Temperatur T1 im Einlaufzylinder. Mit den weiterhin vorliegenden luftspezifischen Größen  und Ri kann der Massenstrom bestimmt werden.

Lösung zu Aufgabe 5.13 Gegeben:  ; Ri ; T1 ; p1 ; p2 ; D; d Gesucht: 1. m P 2. m, P wenn  D 1;4; Ri D 287;2 N m/(kg K); T1 D 313 K; p1 D 755 000 Pa; p2 D 455 000 Pa; D D 350 mm; d D 175 mm

380

5

Messtechnische Anwendungen

Lösungsschritte – Fall 1 Gemäß EN ISO 5167 wird der Massenstrom m P eines kompressiblen Fluids bestimmt mit

m P D˛"

p

 d 2  2  .p1  p2 /  1 : 4

Dabei sind d   D d " D f I pp21 I D p1  p2

1

˛Df

Durchflusszahl Expansionszahl gemessener Druckunterschied am Venturi-Meter Fluiddichte an der Stelle 1 im Einlaufzylinder

Die Dichte 1 erhalten wir mit der thermischen Zustandsgleichung p  v D Ri  T und v D 1 über p1 p1 D Ri  T1 zu 1 D :

1 Ri  T1 Somit lautet das vorläufige Ergebnis

m P D ˛  "   d2  4

r 2  .p1  p2 / 

p1 : Ri  T1

Hierin fehlen noch die Durchflusszahl ˛ und die Expansionszahl ". Die Durchflusszahl ˛ lässt sich für normgerechte Venturi-Meter in Abhängigkeit vom Durchmesserverhältnis d=D den Angaben in EN ISO 5167 entnehmen. Bei der Ermittlung der Expansionszahl " findet nachstehende Gleichung Verwendung: v u  2= u p u   p21 u  "Dt 1

  1   d 4 1  pp21 1 D :  d 4  p2 2=  1  pp21 1  D  p1

Lösungsschritte – Fall 2 Um den Massenstrom m P bei den gegebenen Werten  D 1;4; Ri D 287;2 N m/(kg K), T1 D 313 K, p1 D 755 000 Pa, p2 D 455 000 Pa, D D 350 mm und d D 175 mm zu

Aufgabe 5.14 Dreieckswehr

381

ermitteln, berechnen wir zuerst ˛ und ":  ˛Df

 175 D 0;5 D 1;0092 350

v u  000 2=1;4  000  1;41  4 u 1;4 1  455 1  175 u 1;4  455 755 000 350 755 000  "Dt :  4  2=1;4 000 1;4  1 1  455 1  175  455 000 755 000 350

755 000

" D 0;7460

Dann erhält man den gesuchten Luftmassenstrom zu

m P D 1;0092  0;746   0;1752  4

r 2  .755 000  455 000/ 

755 000 287  313

m P D 40;66 kg=s:

Aufgabe 5.14 Dreieckswehr Das in Abb. 5.12 dargestellte Dreieckswehr dient zur Ermittlung von Volumenströmen in offenen Kanälen. Mittels einer senkrecht zur Strömung installierten Wand, in der sich ein dreieckiger Ausschnitt befindet, fließt das Wasser durch diesen Ausschnitt in den Ablaufkanal. Die Größe des Volumenstroms hängt u. a. von der Ausschnittsgeometrie (Winkel ') und der Wasserhöhe H über der Dreiecksspitze ab. Weitere Einflussgrößen sollen zunächst unberücksichtigt bleiben. Gesucht wird eine Gleichung, mit der es möglich ist, den theoretischen Volumenstrom aufgrund der gemessenen Wasserhöhe H zu bestimmen.

Lösung zu Aufgabe 5.14 Aufgabenerläuterung Die vorliegende Aufgabenstellung befasst sich mit der Anwendung der differenziellen Durchflussgleichung dVPth in Verbindung mit den geometrischen Zusammenhängen des Wehrs und der Bernoulli’schen Energiegleichung. Die Integration über die Wasserhöhe führt zum gesuchten Ergebnis.

382

5

Messtechnische Anwendungen

B pB A

pB

Δ

pB

Δ

x cz

dz H z

cz z x

φ

z z

Abb. 5.12 Dreieckswehr

Gegeben:  H; ' Gesucht: VPth Anmerkungen

 Die Geschwindigkeit bei „A“ ist vernachlässigbar: cA  verlustfreie Strömung  keine Einflüsse durch Zulaufströmung, Kantengeometrie, . . . Lösungsschritte R Mit VPth D dVPth und dem differenziellen Durchfluss gemäß Abb. 5.12, dVPth D cz .z/  dA, wobei dA D x.z/  dz ist, wird dVPth D cz .z/  x.z/  dz: Hierin muss die Funktion x D x.z/ eingeführt werden. Dies ist mit folgender Überlegung möglich: Mit '  x.z/=2 B=2 D D tan 2 z H wird daraus B x.z/ D  z: H

Aufgabe 5.14 Dreieckswehr

383

Somit erhält man

B  z  dz: H Jetzt muss noch die Geschwindigkeitsfunktion cz .z/ ersetzt werden: Die Bernoulli’sche Gleichung (ohne Verluste) an den Stellen A und z lautet dVPth D cz .z/ 

c2 pz pA cz .z/2 C A C g  ZA D C C g  z:

2

2 Wegen cA , pA D pz D pB und ZA D H folgt gH D

cz .z/2 Cgz 2

cz .z/2 D g  .H  z/ : 2

oder

Wir multiplizieren mit 2 und ziehen die Wurzel: cz .z/ D

p

2  g  .H  z/:

Somit ergibt sich B H B D H

dVPth D



p 2  g  .H  z/  z  dz



p p 2  g  H  z  z  dz:

Substituieren wir jetzt K so folgt

B p  2  g; H

dVPth D K 

und somit VPth D

Z

p H  z  z  dz

dVPth D K 

Z p H  z  z  dz:

Die Lösung des Integrals lässt sich mit der Produktregel nach dem Schema Z

u0  v  dz D u  v 

Z

u  v 0  dz

herleiten. Hierin bedeuten in unserem Fall u0  .H  z/1=2

und v  z:

Aus u0 und v müssen jetzt u und v 0 abgeleitet werden, wir beginnen mit u:

384

5

Aus u0 D

du dz

erhält man du D u0  dz und dann u D Z uD

1=2

.H  z/

R

Messtechnische Anwendungen

u0  dz, im vorliegenden Fall also

 dz:

Substituiert man jetzt m D H  z; so folgt

Z uD

m

1=2

 dz:

Das Differenzial dz muss noch durch dm ersetzt werden. Man erhält dm D 1 dz

oder dz D dm: Z

Damit entsteht u D .1/ 

m

1=2

 dm

und ausintegriert 2 u D   m3=2 : 3 Nun wird m D H  z rücksubstituiert, das führt schließlich zu 2 u D   .H  z/3=2 : 3 Jetzt ist v 0 dran: Mit v D z und dem Differenzialquotienten v 0 D einfache Resultat v 0 D 1:

dv dz

erhält man das

Als Zwischenergebnis lässt sich zunächst folgender Zusammenhang anschreiben: VPth D K 

Z

  Z 3=2 3=2 2 2 .H  z/1=2  z  dz D K    .H  z/  z    .H  z/  1  dz 3 3   Z 3=2 3=2 2 2 D K    .H  z/  z C  .H  z/  dz : 3 3

R 3=2 Es fehlt noch das Integral .H  z/  dz: Die Substitution n D H  z und folglich dn dz D 1 oder dz D dn liefert zunächst Z

Z .H  z/3=2  dz D 

2 n3=2  dn D   n5=2 : 5

Aufgabe 5.14 Dreieckswehr

385

Die Rücksubstitution n D H  z führt zu Z 2 .H  z/3=2  dz D   .H  z/5=2 : 5 In der Ausgangsgleichung unter Verwendung der Integrationsgrenzen z D 0 und z D H führt zu  Z ˇH  ˇH 2 4 ˇ 1=2 3=2 5=2 ˇ P  .H  z/ ˇ : Vth D K  .H  z/  z  dz D K    .H  z/  z ˇ  0 0 3 15 Werden die Integrationsgrenzen eingesetzt, folgt nachstehendes Ergebnis, *



2 2   .H  H /3=2  H    .H  0/3=2  0 3 3 „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … D0 D0 ( )+



4 4 5=2 5=2    .H  H /  .H  0/ ; 15 15 „ ƒ‚ …

VPth D K 

D0

und schließlich VPth D K  oder, mit K 

B H





p 2  g rücksubstituiert,

4  H 5=2 15



B p 4 VPth D  2g  H 5=2 : H 15

Führt man noch gemäß Abb. 5.12 tan ein, so wird

'  2

D

B 1  2 H

'  B D 2  tan H 2

und folglich '  8 p  H 5=2 : VPth D  2  g  tan 15 2

386

5

Messtechnische Anwendungen

Die Berücksichtigung der realen Strömung erfolgt mit dem Überfallbeiwert : '  8 p VP D   VPth D    H 5=2 :  2  g  tan 15 2

6

Strömungsmaschinen

Die Berechnungen wesentlicher Komponenten von Strömungsmaschinen und den Anlagen, in denen sie betrieben werden, beruhen u. a. auf den Grundlagen der Strömungsmechanik und Thermodynamik. Die Anwendung der in den vorangegangenen Kapiteln vorgestellten Grundkenntnisse soll hier an Hand einiger weniger Aufgaben demonstriert werden. Neben den schon benutzen Gesetzmäßigkeiten der Vorkapitel kommt des Weiteren zur Ermittlung des Energiebedarfs in einer Anlage dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik besondere Bedeutung zu. Im Fall einer flüssigkeitsbetriebenen Pumpenanlage lässt sich folgender Zusammenhang herleiten:

YAnl D

2 c 2  cUW pOW  pUW C OW C g  .ZOW  ZUW / C YVROWIUW :

2

Dabei bedeuten YAnl pOW PUW cOW cUW ZOW ZUW YVROWIUW

Gesamtenergiebedarf in der Anlage Druck auf dem oberwasserseitigen Flüssigkeitsspiegel Druck auf dem unterwasserseitigen Flüssigkeitsspiegel Geschwindigkeit des oberwasserseitigen Flüssigkeitsspiegels (meist ) Geschwindigkeit des unterwasserseitigen Flüssigkeitsspiegels (meist ) Höhenkote des oberwasserseitigen Flüssigkeitsspiegels Höhenkote des unterwasserseitigen Flüssigkeitsspiegels Rohrleitungsverluste zwischen Unter- und Oberwasserspiegel Flüssigkeitsdichte

YAnl muss von der installierten Pumpe in jedem Betriebspunkt ( Volumenstrom) bereitgestellt werden, wozu sie bei korrekter Auslegung auch in der Lage ist. Zwischen dem © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 V. Schröder, Übungsaufgaben zur Strömungsmechanik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-662-56056-3_6

387

388

6 Strömungsmaschinen

Anlagebedarf YAnl und der von der Pumpe an die Flüssigkeit übertragenen Energie Y besteht immer Gleichgewicht, also

YAnl D Y:

Diese Pumpenförderenergie Y lässt sich experimentell aus der Differenz der Energiezustände im Druckstutzen und Saugstutzen wie folgt bestimmen:

Y D

c 2  cS2 pD  pS C D C g  .ZD  ZS / :

2

Hierbei sind pD pS cD cS ZD ZS

Druck im Druckstutzen Druck im Saugstutzen Geschwindigkeit im Druckstutzen Geschwindigkeit im Saugstutzen Höhenkote des Druckstutzens Höhenkote des Saugstutzens

Aufgabe 6.1 Wasserförderung in einen Druckbehälter Eine U-Pumpe fördert aus einem See Wasser in einen geschlossenen Hochbehälter, in welchem der Systemdruck pSys herrscht. Von diesem Hochbehälter wird der hinauf transportierte Massenstrom m P zu den Verbrauchern weitergeleitet. Somit bleibt der Flüssigkeitsspiegel auch im Behälter konstant. Die Rohrleitungsführung und -abmessungen sind Abb. 6.1 zu entnehmen. Welche spezifische Förderarbeit/-energie Y muss bei gegebenem Massenstrom m P von der Pumpe zur Bewältigung des Wassertransports zur Verfügung gestellt werden? Wie groß wird des Weiteren der Druckunterschied pD  pS zwischen Saugund Druckstutzen der Pumpe? Zum Schluss soll festgestellt werden, welchen maximalen Massenstrom m P max die Pumpe gerade noch fördern darf, ohne dass die Strömung an der gefährdeten Stelle (hier S) abreißt.

Aufgabe 6.1 Wasserförderung in einen Druckbehälter

389

Abb. 6.1 Wasserförderung in einen Druckbehälter

pSys

cOW = 0 OW

50 m

25 m

m

m 60 m 0,30 m

pB UW cUW = 0

D 11,5 m 2,5 m

S

6 m

0,35 m

Lösung zu Aufgabe 6.1 Aufgabenerläuterung Bei der Lösung des ersten Teils dieser Aufgabe muss auf den spezifischen Energiebedarf YAnl der Anlage zurückgegriffen werden. Hierin sind u. a. die Rohrleitungsverluste mittels strömungsmechanischer Grundlagen zu ermitteln. Der zweite Aufgabenteil lässt sich dann unter Verwendung der spezifischen Pumpenstutzenenergie Y bearbeiten. Diese erhält man als Energiedifferenz zwischen Druckstutzen D und Saugstutzen S, wobei hier nach dem Druckanteil gefragt wird. Beide spezifischen Energien YAnl und Y sind in jedem Betriebspunkt gleich. Die Gefahr, dass die Strömung abreißt, liegt dann vor, wenn an der gefährdeten Stelle der örtliche Druck den Dampfdruck der Flüssigkeit unterschreitet, und ein schlagartiger Phasenwechsel von Flüssigkeit zu Dampf stattfindet (Kavitation).

390

6 Strömungsmaschinen

Gegeben:  m P D 450 kg=s; pSys D 3;5 bar; pB D 1;0 bar; pDa D 0;0234 bar; D 1 000 kg/m3 ; S D D D 0;028; Ein D 0;50; Aus D 1;0; Kr D 0;25 Gesucht: 1. YAnl 2. pD  pS 3. m P max Lösungsschritte – Fall 1 Auf den spezifischen Energiebedarf YAnl kommen wir folgendermaßen. Gemäß YAnl D

2 c 2  cUW pOW  pUW C OW C g  .ZOW  ZUW / C YVROWIUW

2

und den an den Wasserspiegeln vorliegenden Besonderheiten pOW D pSys , pUW D pB und cOW D cUW D 0 folgt: YAnl D

pSys  pB C g  .ZOW  ZUW / C YVROWIUW :

Bis auf die Rohrleitungsverluste sind alle anderen Größen bekannt. Die Verluste lauten YV;RohrOWIUW D YV;RohrS C YV;RohrD Gesamtrohrleitungsverluste saugseitige Rohrleitungsverluste YV;RohrS D YVEin C YV;ReibS YV;RohrD D YV;ReibD C YVKr C YVAus druckseitige Rohrleitungsverluste YVEin D Ein 

cS2 2

Eintrittsverluste 2

LS cS  2 YV;ReibS D S  D S 2 LD cD  2 YV;ReibD D D  D D c2 YVKr D Kr  2D c2 YVAus D Aus  2D

Reibungsverluste saugseitig Reibungsverluste druckseitig Krümmerverluste Austrittsverluste

Zusammengestellt erhält man für die Gesamtrohrleitungsverluste YVROWIUW D Ein 

cS2 LS cS2 LD cD2 c2 c2   C S  C D  C Kr  D C Aus  D 2 DS 2 DD 2 2 2

oder, nach Ausklammern der Geschwindigkeitsenergien, YVROWIUW D

    cS2 LS LD c2  CKr C Aus :  Ein C S  C D  D  2 DS 2 DD

Aufgabe 6.1 Wasserförderung in einen Druckbehälter

Die umgeformte Durchflussgleichung c D saugseitig

VP A

sowie VP D

cS D

m P 4

  DS2

cD D

m P 4 :

  DD2

bzw. druckseitig

391 m P

und A D

4

 D 2 liefern

Werden die Zahlenwerte dimensionsgerecht eingesetzt, ergibt sich dann cS D

450  4 D 4;68 m=s bzw: 1 000   0;352

cD D

450  4 D 6;37 m=s: 1 000   0;302

Wertet man jetzt oben stehende Verlustgleichung aus, YVROWIUW

    4;682 6;372 6 113 D C  0;5 C 0;028   0;028  C 0;25 C 1;0 ; 2 0;35 2 0;3

so führt dies zu

YVROWIUW D 250;0 N m=kg:

Aus Abb. 6.1 lässt sich ZOW  ZUW D 85 m ablesen. Den Anlageenergiebedarf YAnl D

350 000  100 000 C 9;81  85 C 250;0 1 000

berechnet man folglich zu

YAnl D 1 334 N  m=kg

Lösungsschritte – Fall 2 Der Druckunterschied pD  pS ist enthalten in der spezifischen Pumpenstutzenenergie Y D

c 2  cS2 pD  pS C D C g  .ZD  ZS / :

2

Wegen der Gleichheit YAnl D Y und nach Umformung zu pD  pS liefert dies mit jetzt vollständig bekannten Größen pD  pS D  YAnl 



 2  cD  cS2   g  .ZD  ZS / : 2

392

6 Strömungsmaschinen

Da gemäß Abb. 6.1 ZD  ZS D 2;5 m ist, lautet das Ergebnis unter Beachtung dimensionsgerechter Verwendung der anderen Zahlenwerte pD  pS D 1 000  1 334 

 1 000   6;372  4;682  1 000  9;81  2;5 2

bzw.

pD  pS D 1 300 038 Pa  13;0 bar:

Lösungsschritte – Fall 3 Die Bestimmung des maximalen Massenstroms m P max (ohne Gefahr des Strömungsabrisses) muss unter der Voraussetzung erfolgen, dass der statische Druck im Saugstutzen gerade noch größer als der Dampfdruck des Wassers ist, also pSmin > pDa . m P max D  VPmax lässt sich an der Stelle S mittels Durchflussgleichung VPmax D cSmax  AS durch m P max D  cSmax  AS darstellen. Zur erforderlichen Geschwindigkeit cSmax gelangt man mittels der Bernoulli’schen Gleichung an den Stellen UW und S wie folgt: c2 pS pUW c2 C UW C g  ZUW D C S C g  ZS C YV;RohrS :

2

2 Hierin korrespondiert pSmin mit cSmax , sodass man auch schreiben kann cS2 pS c2 pUW C UW C g  ZUW D min C max C g  ZS C YV;RohrS :

2

2 Mit cUW D 0 und pUW D pB folgt cS2 pS pB C g  ZUW D min C max C g  ZS C YV;RohrS :



2 Die Gleichung wird jetzt nach

pSmin

aufgelöst,

cS2 pSmin pB D C g  .ZUW  ZS /  max  YV;RohrS ;



2

Aufgabe 6.1 Wasserförderung in einen Druckbehälter

393

und die Verluste YVRohrS werden wie oben eingeführt, YV;RohrS D YVEin C YV;ReibS jetzt jedoch mit cSmax als Bezugsgeschwindigkeit, eingesetzt, was YV;RohrS

  cSmax LS D  Ein C S  2 DS

liefert. Somit bekommen wir   cS2max pSmin LS pB cSmax D C g  .ZUW  ZS /    Ein C S 



2 2 DS oder auch pSmin

 

2 LS D pB C g   .ZUW  ZS /   cSmax  1 C Ein C S  : 2 DS

Führen wir nun die Bedingung pSmin > pDa ein, so gelangen wir zu  

2 LS > pDa : pB C g   .ZUW  ZS /   cSmax  1 C Ein C S  2 DS Da nach cSmax gefragt ist, erfolgt die Umformung  

2 LS  cSmax  1 C Ein C S  < .pB  pDa / C g   .ZUW  ZS / : 2 DS " Multiplikation mit

# 2   L

 1CEin CS  DS

führt zu

S

cS2max < 2 

.pB  pDa / C g   .ZUW  ZS /   LS

 1 C Ein C S  D S

oder, nach Ziehen der Wurzel,

cSmax

v u u < t2 

pB pDa

C g  .ZUW  ZS /

1 C Ein C S 

LS DS

:

394

6 Strömungsmaschinen

m P max <  cSmax  AS lautet dann m P max und mit AS D

4

v u u <  AS  t2 

pB pDa

C g  .ZUW  ZS /

1 C Ein C S 

LS DS

;

 DS2 erhält man

m P max

v u u

2 t <   DS  2  4

pB pDa

C g  .ZUW  ZS /

1 C Ein C S 

LS DS

:

Unter Beachtung dimensionsgerechter Zahlenwerte führt dies zu dem maximal zulässigen Massenstrom v u 100 0002 340 u C 9;81  5;5

2 t 1 000 m P max < 1 000   0;35  2  6 4 1 C 0;5 C 0;028  0;35 oder

m P max < 1 191 kg=s:

Aufgabe 6.2 Pumpe zwischen Druckkesseln Häufig werden Kreiselpumpen in Anlagen der chemischen Industrie, Kraftwerkstechnik, Verfahrenstechnik, etc. benötigt, um dort zwischen Kesseln oder Druckbehältern mit unterschiedlichen Systemdrücken Flüssigkeiten verschiedenartiger Eigenschaften zu fördern. Oftmals verbinden lange Rohrleitungen mit diversen Einbauelementen die Behälter, die auch noch in voneinander abweichenden Höhen aufgestellt sein können. Beim Transport der Flüssigkeiten muss die jeweilige Pumpe den Gesamtenergiebedarf der Anlage, der sich aus mehreren Anteilen zusammensetzt, bereitstellen. Dieser Energiebedarf ist für das in Abb. 6.2 erkennbare System zu ermitteln, wobei von bekannten Anlage- und Flüssigkeitsgrößen sowie gegebenem Massenstrom ausgegangen werden kann.

Aufgabe 6.2 Pumpe zwischen Druckkesseln

395

pOW c = 0 OW OW

Krümmer

Auslauf

LD DD m ZOW Schieber

Schieber Krümmer

Pumpe

cUW = 0 pUW

Krümmer

Bezugsebene

UW LS DS

Einlauf

ZUW

Krümmer

Abb. 6.2 Pumpe zwischen Druckkesseln

Lösung zu Aufgabe 6.2 Aufgabenerläuterung Der Berechnungsschwerpunkt dieser Aufgabe liegt in der Ermittlung sämtlicher Strömungsverluste der saugseitigen (Index S) und druckseitigen (Index D) Rohrleitung, die als Bestandteile des Gesamtenergiebedarfs zu berücksichtigen sind. Die Indizes OW und UW stehen für die Stellen „Oberwasser“ bzw. „Unterwasser“ der Flüssigkeitsspiegel und die hier vorliegenden Größen. Gegeben:    

m P D 125 kg=s; D 998 kg/m3 ; pUW D 1;5 bar; pOW D 8;0 bar ZUW D 2;5 m; ZOW D 7;5 m; LS D 20 m; LD D 40 m; DS D 0;2 m; DD D 0;15 m S D 0;025; D D 0;025 Kr D 0;3; Sch D 0;3; Ein D 0;50; Aus D 1;0

Gesucht:  YAnl

396

6 Strömungsmaschinen

Anmerkungen

 Die Flüssigkeitsspiegel sollen sich zeitlich nicht ändern, d. h. ZOW D konstant, ZUW D konstant und cOW D cUW D 0.  Die von der Anlage benötigte Energie lautet YAnl D

pOW pUW

C

2 c 2 cOW UW 2

C g  .ZOW  ZUW / C YVROWIUW .

Lösungsschritte Unter Beachtung der besonderen Gegebenheiten cOW D cUW D 0 gilt YAnl D

pOW  pUW C g  .ZOW  ZUW / C YVROWIUW :

Zu den Verlusten gelangt man wie folgt: YVROWIUW D YVEin C YVReibS C 2  YVKrS C YVSchS C YVSchD C 2  YVKrD C YVReibD C YVAus Hierbei bedeuten cS2 Eintrittsverluste in die saugseitige Rohrleitung 2 2 LS cS YVReibS D S  DS  2 Reibungsverluste in der saugseitigen Rohrleitung c2 Krümmerverluste in der saugseitigen Rohrleitung YVKrS D Kr  2S cS2 Schieberverluste in der saugseitigen Rohrleitung YVSchS D Sch  2 2 cD Schieberverluste in der druckseitigen Rohrleitung YVSchD D Sch  2 2 cD Krümmerverluste in der druckseitigen Rohrleitung YVKrD D Kr  2 2 LD cD YVReibD D D  DD  2 Reibungsverluste in der druckseitigen Rohrleitung c2 Austrittsverluste aus der druckseitigen Rohrleitung YVAus D Aus  2D

YVEin D Ein 

Alle genannten Einzelverluste oben eingesetzt und nach saugseitigen und druckseitigen Anteilen zusammengefasst liefern YVROWIUW

  cS2 LS D  Ein C 2  Kr C Sch C S  2 DS   cD2 LD C  Aus C 2  Kr C Sch C D  : 2 DD

Aufgabe 6.2 Pumpe zwischen Druckkesseln

397

Damit stellt sich der Gesamtenergiebedarf dieser Anlage wie folgt dar pOW  pUW C g  .ZOW  ZUW /

  cS2 LS C  Ein C 2  Kr C Sch C S  2 DS   cD2 LD C  Aus C 2  Kr C Sch C D  : 2 DD

YAnl D

Zur konkreten Auswertung müssen zunächst die Strömungsgeschwindigkeiten cS und cD bekannt sein. Dies gelingt mit dem Massenstrom m P D  VP , der Durchflussgleichung

VP D c  A und den Kreisquerschnittsflächen A D 4  D 2 an den Stellen S und D: cS D

VP 4 VP 4m P D  2 D : AS

DS

  DS2

Daraus wird mit den Daten cS D

4  125 D 3;99 m=sI

 998  0;22

analog erhalten wir aus cD D

VP 4 VP 4m P D  2 D AD

DD

  DD2

cD D

4  125 D 7;09 m=s:

 998  0;152

mit den Daten

Mit diesen Geschwindigkeiten und den gegebenen Verlustziffern gelangt man zu YVROWIUW D

  3;992 20  0;5 C 2  0;3 C 0;3 C 0;025  2 0;2  2  7;09 40 C  1;0 C 2  0;3 C 0;3 C 0;025  2 0;15

oder YVROWIUW D 246;2 N  m=kg: Werden die Drücke und Höhenkoten noch eingesetzt, ergibt sich YAnl D

.8;0  1;5/  105 C 9;81  .7;5  2;5/ C 246;2 998

398

6 Strömungsmaschinen

und schließlich das gesuchte Ergebnis YAnl D 946;6 Nm=kg:

Aufgabe 6.3 Axialventilator In Abb. 6.3 ist ein horizontaler Axialventilator zu erkennen, wie er z. B. in Tunnelbelüftungssystemen zum Einsatz kommt. Die Durchmesser des Gehäuses DGeh und des Stators DN (Index N  Nabe) sind bekannt, ebenso wie die statischen Drücke in den Querschnitten 1 und D. Aufgrund der nur geringen Druckänderungen kann von einem inkompressiblen Fluid (Luft) mit der Dichte ausgegangen werden. Welcher Volumenstrom VP wird vom Ventilator gefördert?

Lösung zu Aufgabe 6.3 Aufgabenerläuterung Die Frage nach dem transportierten Volumenstrom lässt sich aufgrund der bekannten Größen mittels Bernoulli’scher Gleichung, dem Kontinuitätsgesetz und der Durchflussgleichung beantworten. Gegeben:  pD ; p1 ; ; DGeh ; DN

Gehäuse

V

1 DGeh

D

Stator

Rotor

DN 1

Abb. 6.3 Axialventilator

Aufgabe 6.3 Axialventilator

399

Gesucht: 1. VP 2. VP , wenn pD D 100 815 Pa; p1 D 100 712 Pa; D 1;25 kg/m3 ; DGeh D 0;85 m; DN D 0;425 m Anmerkungen

 horizontale Anordnung  Annahme einer verlustfreien Strömung von 1 nach D  inkompressible Strömung Lösungsschritte – Fall 1 Den Volumenstrom VP finden wir mit der Durchflussgleichung VP D c  A, angewendet an der Stelle 1: VP D c1  A1 . Hierin lautet der freie Kreisringquerschnitt A1 D AGeh  AN mit 2 Kreisquerschnitt des Gehäuses AGeh D 4  DGeh

2 Kreisquerschnitt des Stators AN D 4  DN

Den Volumenstrom VP kann man somit zunächst wie folgt formulieren: 

 2  DN2 : VP D c1   DGeh 4 Die noch fehlende Geschwindigkeit c1 bestimmt man aus der Bernoulli’schen Gleichung an den Stellen 1 und D ohne Verluste (s. o.): c2 p1 pD c2 C 1 C g  Z1 D C D C g  ZD :

2

2 Berücksichtigt man die horizontale Lage, Z1 D ZD , und stellt nach Geschwindigkeitsund Druckgrößen um, so führt dies zu c12 cD2 pD  p1  D ; 2 2

 2 oder, nach Ausklammern von

c1 2

auf der linken Seite,

  c12 c2 pD  p1  1  D2 D : 2

c1

400

6 Strömungsmaschinen

Wird die Kontinuitätsgleichung bei inkompressiblen Fluiden VP D c1  A1 D cD  AD angewendet und dann nach cD =c1 umgeformt, ergibt sich zunächst cD A1 D ; c1 AD und mit A1 D AGeh  AN folgt cD AGeh  AN AN D D1 : c1 AGeh AGeh 2 Werden dann noch die Kreisquerschnitte AGeh D 4  DGeh und AN D so folgt   DN 2 cD D1 : c1 DGeh

4

 DN2 eingesetzt,

In oben stehender Gleichung eingesetzt, führt das auf "  2 # c12 DN2 pD  p1  1 1 2 D 2

DGeh  oder, nach Division durch 1  1  c12 D 2

2 DN 2 DGeh

2

, auf

pD  p1 2 :  D2

 1  1  D 2N Geh

Nach Multiplikation mit 2 und Wurzelziehen lautet die in der Durchflussgleichung noch benötigte Geschwindigkeit r pD  p1 1 c1 D 2  r 

1 1

2 DN 2 DGeh

2 :

Als Ergebnis für den Volumenstrom erhält man schließlich



 2 VP D  DGeh  DN2  4

r pD  p1 1 2 r 

1 1

2 DN 2 DGeh

2 :

Aufgabe 6.4 Pelton-Turbine

401

Lösungsschritte – Fall 2 Für VP bekommen wir, wenn pD D 100 815 Pa, p1 D 100 712 Pa, D 1;25 kg/m3 , DGeh D 0;85 m und DN D 0;425 m vorgegeben sind und wir gut auf dimensionsgerechte Größen achten, s  

.100 815  100 712/ 1 2 2 VP D  0;85  0;425  2  r   4 1;25 2 2 1  1  0;425 0;852 oder VP D 8;26 m3 =s

Aufgabe 6.4 Pelton-Turbine In Abb. 6.4 ist die schematische Darstellung eines vom Massenstrom m P beaufschlagten Bechers einer Pelton-Turbine im Horizontal- und Vertikalschnitt erkennbar. Der Wasserstrahl trifft dabei horizontal auf den Becher auf. Der Strahldurchmesser am Düsenaustritt soll sich bis zur Stelle 1 an der Becherschneide nicht ändern. Dort teilt sich der Massenstrom in zwei gleich große Teilströme auf, die den Becher an der Stelle 2 verlassen. Ermitteln Sie zunächst den Massenstrom m, P wenn von gegebenen Abmessungen D0 und DDü , bekannten Drücken p0 und pB sowie der Wasserdichte auszugehen ist. Wie lautet die Gleichung für Tmax , wenn das Turbinenrad festgebremst wird, d. h. ! D 0 (ruhendes System!), und die Abströmung an den Stellen 2 unter dem Winkel ˇ2 erfolgt?

Lösung zu Aufgabe 6.4 Aufgabenerläuterung Die Massenstromermittlung erfolgt mittels Bernoulli’scher Gleichung sowie der Kontinuitäts- und Durchflussgleichung. Die Bestimmung des Moments um den Radmittelpunkt macht die Anwendung der Impulskräfte an einem geeigneten Kontrollraum am Becher erforderlich. Im Anfahrpunkt der Turbine, wenn also gerade noch ! D 0 ist, muss der überströmte Becher als ruhendes System betrachtet werden. Die Absolutgeschwindigkeit folgt in diesem Fall an jeder Stelle der Becherkontur. Es entsteht die maximale Strömungsumlenkung und folglich auch das größtmögliche Moment. Gegeben:  p0 ; pB ; D0 ; DDü ; ; ˇ2

402

6 Strömungsmaschinen 2

ß2

p0 pB

B DDü

B

pB

m 2

1

D0

0

Dü

m

A m 2

Horizontalschnitt A - A

A

pB 2 R

T : Reaktionsmoment =0

Vertikalschnitt B - B

Abb. 6.4 Ausschnitt aus einer Pelton-Turbinenbeschaufelung

Gesucht: 1. m P 2. Tmax , wenn ! D 0. Tragen Sie hierzu die an den Stellen a, b, c, d des Kontrollraums in Abb. 6.5 wirksamen Kräfte ein und ergänzen Sie die im Punkt c des Bechervertikalschnitts gemäß Abb. 6.5 angreifende resultierende Kraft. Anmerkungen

 horizontale Düsenanordnung  verlustfreie Strömung in der Düse  D1 D DDü Lösungsschritte – Fall 1 Den gesuchten Massenstrom m P erhält man mit den folgenden Gleichungen und Größen: m P D  VP VP D cDü  ADü 2 ADü D 4  DDü cDü

Massenstrom Volumenstrom im Düsenaustrittsquerschnitt Düsenaustrittsquerschnitt Düsenaustrittsgeschwindigkeit

Aufgabe 6.4 Pelton-Turbine

403

FI 2 pB

ß2

FI 2 x

d

pB y a x

FB

FB

c

c

FI 1

Kontrollraum

FI 2 x

b

pB

ß2

R

FI 2

Horizontalschnitt A - A

T : Reaktionsmoment =0

Vertikalschnitt B - B

Abb. 6.5 Pelton-Turbinenschaufel; Kräfte

Zur Düsenaustrittsgeschwindigkeit gelangt man mittels der Bernoulli’schen Gleichung an den Stellen 0 und Dü: p0 pDü c2 c2 C 0 C g  Z0 D C Dü C g  ZDü :

2

2 Bei horizontaler Lage ist Z0 D ZDü . Des Weiteren ist der statische Druck am Düsenaustritt der barometrische Druck pDü D pB . Geschwindigkeitsenergiegrößen und Druckenergiegrößen jeweils auf eine Seite gestellt 2 cDü c2 p0 pB  0 D  ; 2 2



  2 =2 und rechts (1= ) ausgeklammert liefert zunächst und dann auf der linken Seite cDü   2 c02 cDü 1  1 2 D  .p0  pB / : 2

cDü   2 erIm Klammerausdruck links muss nun noch das Geschwindigkeitsverhältnis c02 =cDü setzt werden. Dies gelingt mit dem Kontinuitätsgesetz VP0 D VPDü D c0  A0 D cDü  ADü oder umgeformt ADü c0 D : cDü A0

404

6 Strömungsmaschinen

Eingefügt in o. g. Gleichung liest sich das   2 cDü A2Dü 1  1  2 D  .p0  pB / : 2

A0 Jetzt werden die Kreisquerschnitte A0 D

4

 D02 und ADü D

4

2  DDü eingesetzt, das ergibt

"  #  2 2 2  D cDü 1 Dü  1  4 D  .p0  pB / 

2 2 2

 D0 4 oder

"  # 2 DDü 4 cDü 1  1 D  .p0  pB / : 2 D0

Die Gleichung wird noch mit



2 4

 D 1 DDü

multipliziert,

0

2 cDü D

2  .p0  pB / 4 ; 

 1  DDDü0

und nach Wurzelziehen erhält man

cDü D c1 D

r p0  pB 1 2 r 4 : 

DDü 1  D0

Der Massenstrom m P ergibt sich daraus zu

2 m P D   DDü  4

r p0  pB 1 2 r 4 : 

DDü 1  D0

Lösungsschritte – Fall 2 Die bei der Momentenermittlung am Becher ausgeübte Kraft FB ist als Aktionskraft auf die Becherwand zu verstehen. Dem entsprechend wirkt FB in umgekehrter Richtung als Reaktionskraft am Kontrollvolumen. Man erhält gemäß Abb. 6.5 das Anfahrmoment Tmax zu: Tmax D FB  R. Bei der Ermittlung der Becherkraft FB benutzt man sinnvoller

Aufgabe 6.4 Pelton-Turbine

405

Weise die Kräftebilanz am Kontrollvolumen. Aufgrund des allseitig gleichen Umgebungsdrucks pB heben sich die Druckkräfte an der Kontrollraumoberfläche auf. Neben der gesuchten Becherkraft sind dann lediglich die an den Stellen 1 und 2 wirksamen Impulskräfte zu berücksichtigen, die auf die Kontrollfläche gerichtet sind. Die Kräftebilanz am Kontrollvolumen in x-Richtung führt zu X

Fi;x D 0 D FI1 C 2  FI2;x  FB :

Nach FB umgeformt liefert dies

FB D FI1 C 2  FI2;x :

P  c als Impulskraft in allgemeiner Form wird Mit FI D m P  c1 FI1 D m die Impulskraft an der Stelle a. Die Impulskräfte an den Stellen b und d sind FI2 D

m P  c2 ; 2

wobei FI2;x D FI2 cos ˇ2 die x-Komponenten von FI2 darstellt. c1 D cDü ist die Geschwindigkeit an den Stellen 1 und auch a (siehe Fall 1) und c2 ist die Geschwindigkeit an den Stellen 2 und auch b bzw. d. Die noch unbekannte Geschwindigkeit c2 lässt sich mittels der Bernoulli’schen Gleichung an den Stellen 1 und 2 wie folgt feststellen: p1 p2 c2 c2 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 :

2

2 Die horizontale Strahllage Z1 D Z2 sowie die Druckgleichheit am Becher p1 D p2 D pB vereinfacht die Gleichung zu c12 c2 D 2 2 2

oder c1 D c2 :

Setzen wir zunächst die so gefundenen Größen in die Becherkraft ein, P  c1 C 2  FB D m

m P  c1  cos ˇ2 ; 2

406

6 Strömungsmaschinen

und klammern dann noch .m P  c1 / aus, so entsteht P  c1  .1 C cos ˇ2 / : FB D m Für das gesuchte Moment folgt des Weiteren P  c1  .1 C cos ˇ2 /  R: Tmax D m Mit m P D  c1  ADü D  c1  erhält man Tmax D  c12 

2  DDü 4

2  .1 C cos ˇ2 /  R:  DDü 4

2 Einsetzen von c12 D cDü liefert

Tmax D 

2  .p0  pB /

2 4  4  DDü  .1 C cos ˇ2 /  R  DDü

 1  D0

oder, nach Kürzen und Umstellen,

Tmax D

1 C cos ˇ2 2  R  .p0  pB /   DDü 4 :  2 1  DDDü0

Aufgabe 6.5 Horizontaler Axialspalt In Strömungsmaschinen werden häufig so genannte berührungsfreie Spaltdichtungen zwischen Räumen unterschiedlichen Druckes eingesetzt. Dies ist in den meisten Fällen zwischen dem rotierenden Laufrad und dem umgebenden ruhenden Gehäuse erforderlich. Aufgrund des, wenn auch sehr geringen, offenen Spaltquerschnitts sowie des wirksamen Druckunterschieds pSp am Spalt lässt sich ein resultierender Spaltvolumenstrom VPSp nicht vermeiden. Dieser ist immer als Verlust zu verzeichnen und sollte folglich möglichst geringe Werte aufweisen. In Abb. 6.6 ist als „Variante 1“ der einfachste Fall eines axialen Ringspalts zu erkennen. Ermitteln Sie hierfür eine Gleichung zur Berechnung des Spaltstroms VPSp:1 . In den Referenzpunkten „Sp.v“ und „Sp.n“ können hierbei die Geschwindigkeiten vernachlässigt werden. Mit welcher der beiden Varianten 2 oder 3 gemäß Abb. 6.6 ist des Weiteren eine wirksamere Verkleinerung des Spaltvolumenstroms VPSp:1 auf VPSp:2 bzw. auf VPSp:3 zu erzielen, d. h., wie groß wird das jeweilige Verhältnis VPSp:2 =VPSp:1 bzw. VPSp:3 =VPSp:1 ?

Aufgabe 6.5 Horizontaler Axialspalt

407

s

.

n

VSp 1

L

DSp.

Sp.v

Sp

pSp.v

c Sp.1

s

D

pSp.n

Sp.n

Variante 1 L 5

s

pSp.n

c Sp.2

DSp.

L 5

c Sp. 0

L 5

L 5

L 5

c Sp.2

c Sp. 0

c Sp.2

L

pSp.v

pSp.n

s

c Sp.3

VSp 2

Variante 2

DSp.

2*L

pSp.v VSp 3

Variante 3

Abb. 6.6 Horizontaler Axialspalt in drei Varianten

Lösung zu Aufgabe 6.5 Aufgabenerläuterung Mittels Durchflussgleichung lässt sich der gesuchte Spaltstrom aus Geschwindigkeit im Spalt und Spaltquerschnittsfläche angeben. Die Spaltgeschwindigkeit ist dabei Bezugsgeschwindigkeit aller am Spalt auftretenden Verluste. Diese wiederum können mittels der erweiterten Bernoulli’schen Gleichung an den Stellen „Sp.v“ und „Sp.n“ hergeleitet werden. Die weitere Frage nach der besseren Wirksamkeit von Variante 2 oder Variante 3 bezüglich einer Spaltstromreduzierung wird durch die hier veränderten Verluste beantwortet. Gegeben:  pSp ; ; DSp ; s; L; z; ; Ein ; Aus Gesucht: 1. 2. 3. 4.

VPSp:1 VPSp:2 =VPSp:1 VPSp:3 =VPSp:1 Die Fälle 2 und 3, wenn L D 30 mm; s D 0;15 mm;  D 0;025; Ein D 0;5; Aus D 1;0

408

6 Strömungsmaschinen

Anmerkungen

 DSp D konstant; s D konstant; pSp:v  pSp:n D pSp D konstant; D konstant  Die Umfangsgeschwindigkeit des mit n rotierenden inneren Spaltbereichs soll keinen Einfluss auf die Spaltströmung haben.  Annahme, dass cSp:v  0 und cSp:n  0  Die Verluste bei einem axialen Labyrinthspalt (nur Variante 2) lauten  c2  P YVSp:vISp:n D Ein C z C   2sLi C Aus  2Sp . Lösungsschritte – Fall 1 Wir berechnen zuerst den Spaltvolumenstrom VPSp:1 . Die Durchflussgleichung im durchströmten Ringspalt „Variante 1“ angewendet lautet VPSp:1 D cSp:1  ASp : Hierin sind ASp D  DSp  s die Querschnittsfläche eines Kreisrings, DSp der mittlere Durchmesser des Kreisrings, s die Kreisringbreite, hier die Spaltweite, und cSp:1 die mittlere Geschwindigkeit im Spalt. Die benötigte Geschwindigkeit cSp:1 ist als Bezugsgeschwindigkeit aller wirksamen Verluste des Spalts definiert. Hierbei handelt es sich um 2 cSp:1 2 c2 L YVR D   dhydr  Sp:1 2 2 cSp:1 YVAus D Aus  2

YVEin D Ein 

Ein  Aus dhydr D 2  s

Eintrittsverluste Reibungsverluste Austrittsverluste Verlustziffer am Spalteintritt Reibungszahl Verlustziffer am Spaltaustritt hydraulischer Durchmesser des Ringspalts

Die Gesamtsumme aller Verluste zwischen den Stellen „Sp.v“ und „Sp.n“ lautet YVSp:vISp:n D YVEin C YVR C YVAus oder, bei Verwendung der o. g. Verlustgleichungen, YVSp:vISp:n D Ein 

2 cSp:1

2

C

L dhydr



2 cSp:1

2

C Aus 

2 cSp:1

2

:

  2 Klammert man cSp:1 =2 aus und setzt wieder dhydr D 2  s ein, so folgt   2 cSp:1 L YVSp:vISp:n D Ein C   C Aus  : 2s 2

Aufgabe 6.5 Horizontaler Axialspalt

 Wird jetzt mit

409



2

multipliziert,

L Ein C 2s CAus

2 cSp:1 D

2  YVSp:vISp:n Ein C  

L 2s

C Aus

;

und danach die Wurzel gezogen, führt das zu s cSp:1 D

2  YVSp:vISp:n Ein C  

L 2s

C Aus

:

Hierin müssen nun noch die Verluste YVSp:vISp:n mittels der Bernoulli’schen Gleichung an den Stellen „Sp.v“ und „Sp.n“ ersetzt werden: 2 2 cSp:v cSp:n pSp:n pSp:v C C g  ZSp:v D C C g  ZSp:n C YVSp:vISp:n :

2

2

Mit cSp:v  0 und cSp:n  0 sowie im Fall des horizontalen Spalts auch mit ZSp:v D ZSp:n erhält man für dir gesuchten Verluste YVSp:vISp:n D

pSp:v  pSp:n pSp D :



Somit lautet die Geschwindigkeit s cSp:1 D

2

pSp 1 q

Ein C  

: L 2s

C Aus

Damit kann dann der gesuchte Volumenstrom mit s VPSp:1 D  DSp  s 

angegeben werden.

2

pSp 1 q

Ein C  

L 2s

C Aus

410

6 Strömungsmaschinen

Lösungsschritte – Fall 2 Für das Volumenstromverhältnis VPSp:2 =VPSp:1 leiten wir den Spaltstrom VPSp:2 analog zu Fall 1 her: s VPSp:2 D  DSp  s 

2

pSp 1 q

Ein C z C  

P

Li 2s

: C Aus

Die Vergrößerung der Verluste und damit die Verkleinerung von VPSp kommt in diesem Fall durch die eingestochenen Nuten zu Stande und wird durch deren Zahl z berücksichtigt. P Die wirksame Reibungslänge Li des Spalts von „Variante 2“ reduziert sich dagegen im Vergleich zu der von „Variante 1“, was der gewünschten Verringerung des Spaltstroms entgegen wirkt. Bildet man nun den Quotienten aus den beiden Gleichungen für VPSp:1 und VPSp:2 und kürzt gleiche Größen heraus, VPSp:2 D VPSp:1

 DSp  s 

q

2

pSp

q

 DSp  s  2 



pSp

1

q

Ein CzC

p

P

Li 2s

CAus

;

1 L Ein C 2s CAus

so führt dies zum Ergebnis q Ein C  

L VPSp:2 2s C Aus Dq : P VPSp:1 Ein C z C   2sLi C Aus

Lösungsschritte – Fall 3 Für das Volumenstromverhältnis VPSp:3 =VPSp:1 beachten wir, dass bei „Variante 3“ zur Vergrößerung der Verluste am Spalt dessen Länge gegenüber der von „Variante 1“ verdoppelt wird. Dies hat dann nachstehenden Spaltstrom zur Folge: s pSp 1 VPSp:3 D  DSp  s  2  ; q

 C   2L C  Ein

2s

Aus

nach Kürzen bleibt s VPSp:3 D  DSp  s 

2

pSp 1 q

Ein C  

: L s

C Aus

Aufgabe 6.6 Leitring

411

Nun wird entsprechend der Quotient aus den Gleichungen für VPSp:1 und VPSp:3 gebildet, VPSp:3 VPSp:1

q p 1 2  Sp  p Ein C Ls CAus D ; q p 1

 DSp  s  2  Sp  p L

 DSp  s 

Ein C 2s CAus

und dann gekürzt: q L Ein C   2s C Aus VPSp:3 D q : VPSp:1 Ein C   Ls C Aus

Lösungsschritte – Fall 4 Mit den Zahlenwerten L D 30 mm, s D 0;15 mm,  D 0;025, Ein D 0;5 und ermitteln P wir unter Beachtung dimensionsgerechter Größen gemäß Abb. 6.6 und mit Li D 3  L5 sowie z D 2 die folgenden Werte für die Volumenstromverhältnisse: v u 30 u 1;5 C 0;025  20;15 VPSp:2 Dt 1;5 C 2 C 0;025  330 VPSp:1

D 0;894

520;15

v u 30 u 1;5 C 0;025  20;15 VPSp:3 Dt D 0;784 1;5 C 0;025  30 VPSp:1 0;15

Das heißt, für die im vorliegenden Fall zu Grunde gelegten Verhältnisse bewirkt die Verdoppelung der Spaltlänge eine wirksamere ( 22 %) Reduzierung der Spaltverluste als die mittels zweier Nuten erzeugte ( 10 %).

Aufgabe 6.6 Leitring In nachstehender Abb. 6.7 ist der Grundriss und der Meridianschnitt eines schaufellosen Leitrings dargestellt, der bevorzugt in Strömungsmaschinen Verwendung findet. Seine Aufgabe besteht darin, die Eintrittsgeschwindigkeit c1 auf eine deutlich kleinere Austritts-

412

6 Strömungsmaschinen

Einzelheit bei "A" n

α k

dr

α

"A"

c(r)

Stromlinie

m

c1

r d

n m

k

α r

b 1 = b2

d R2

1 c

cm

α

2 α

R1 1

=0

2

c2

cu

Abb. 6.7 Leitring

geschwindigkeit c2 zu verzögern, was mit einem gleichzeitigen Druckanstieg von p1 auf p2 einhergeht. Unter Voraussetzung des Potenzialwirbels r  cu D konstant bleibt auch im Fall paralleler Wände (b1 D b2 D b D konstant) r  cm D konstant. Dies führt dazu, dass r  c und auch der Winkel ˛ an jeder Stelle der Stromlinie sich nicht ändern. Bei bekannten geometrischen Abmessungen R1 , R2 , b1 D b2 , sowie Eintrittsgeschwindigkeit c1 , Fluiddichte und dem Winkel ˛ wird zunächst nach dem Volumenstrom VP gefragt. Des Weiteren soll die Gleichung der Stromlinienfunktion r D f .'/ und der Grundrisswinkel '2 ermittelt werden wie auch die Druckänderung p2  p1 .

Lösung zu Aufgabe 6.6 Aufgabenerläuterung Die Grundlagen zur Lösungsfindung der anstehenden Fragen 1. und 4. stellen die Durchflussgleichung und die Bernoulli’sche Gleichung dar, wobei, wo erforderlich, von o. g. Potenzialwirbel Gebrauch gemacht werden muss. Die Stromlinienfunktion gemäß Fall 2 ist aus den Größen von Einzelheit „A“ in Abb. 6.7 unter Verwendung der gegebenen Werte an der Stelle 1 herzuleiten. Gegeben:  R1 ; R2 ; c1 ; b1 D b2 ; ˛;

Gesucht: 1. 2. 3.

VP r D f .'/ '2

Aufgabe 6.6 Leitring

413

4. p2  p1 5. Die Fälle 1, 3 und 4, wenn R1 D 175 mm; R2 D 300 mm; b1 D b2 D 25 mm; c1 D 25 m/s; ˛ D 15ı ; D 1 000 kg/m3 Anmerkungen

 Der Leitring befindet sich in horizontaler Lage.  Es wird verlustfreie Strömung angenommen. Lösungsschritte – Fall 1 Die Frage nach dem Volumenstrom VP lässt sich mittels Durchflussgleichung VP D c  A lösen. Da im vorliegenden Fall die orthogonale Zuordnung von c und A nicht erfüllt ist, muss folglich die auf '2 senkrecht stehende Komponente cm von c verwendet werden. Im Fall des Eintrittsquerschnitts A1 sind alle benötigten Größen bekannt, sodass VP wie folgt angegeben werden kann: VP D cm1  A1 Volumenstrom durch Eintrittsfläche Radialkomponente von c1 cm1 D c1  sin ˛ A1 D .2   R1 /  b1 zylindrische Eintrittsfläche (Umfang Breite)

VP D 2   R1  b1  c1  sin ˛

Lösungsschritte – Fall 2 Bei der Herleitung der Stromlinienfunktion r D f .'/ macht man sich das in Abb. 6.7 dargestellte infinitesimale Dreieck gemäß Einzelheit „A“ zunutze. Hierin stellt man fest tan ˛ D

dr : r  d'

˛ Winkel zwischen Kreistangente und Stromlinientangente dr infinitesimales Radiuselement r  d' infinitesimales Umfangselement. Nach der Umformung dr D tan ˛  d' r

414

6 Strömungsmaschinen

lässt sich die Lösung der gesuchten Funktion mittels Integration

Zr

Z'

1  dr D tan ˛  r

d'

'1 D0

rDR1

zwischen Eintritt (R1 ; '1 D 0) und einer beliebigen Stelle der Stromlinie (r; ') in nachstehenden Schritten herleiten: Mit dem Grundintegral Zb

1  dx D ln xjba x

sowie

ln a  ln b D ln

a

erhält man im vorliegenden Fall 

r D ln r  ln R1 D ln R1

ln rjrR1 Weiterhin ist

Z'

 :

'

d' D tan ˛  'j0 D '  tan ˛:

tan ˛  '1 D0

Das vorläufige Ergebnis lautet damit  ln

r R1

 D '  tan ˛:

Wendet man weiterhin noch eln a D a an, so entsteht daraus  ln

e

r R1



D e'tan ˛

oder

r D e'tan ˛ : R1

Abschließend umgeformt führt dies zu

r D R1  e'tan ˛ :

a b

Aufgabe 6.6 Leitring

415

Lösungsschritte – Fall 3 Der gesamte Grundrisswinkel '2 dieser Stromlinie lässt sich aus 

r ln R1

 D '  tan ˛

(s. o.) mit den Größen am Leitringaustritt ermitteln. Verwendet man R D R2 und ' D '2 , so liefert dies   R2 ln D '2  tan ˛ R1 oder nach Umformung

'2 D

  R2 1  ln : tan ˛ R1

Lösungsschritte – Fall 4 Bei der Bestimmung der Druckänderung p2  p1 zwischen Leitringeintritt und -austritt wird von der Bernoulli’schen Energiegleichung Gebrauch gemacht: p2 p1 c2 c2 C 1 C g  Z1 D C 2 C g  Z2 :

2

2 Die horizontalen Leitringanordnung Z1 D Z2 liefert nach Umstellung p2  p1 c 2  c22 D 1 :

2 Die noch benötigt Austrittsgeschwindigkeit c2 lässt sich aus der Anwendung des Potenzialwirbels r  c D konstant oder hier R1  c1 D R2  c2 D konstant ableiten zu c2 D c1 

R1 : R2

Oben eingesetzt ergibt das p2  p1 D

 c12  c1  2

R1 R2

2

416

6 Strömungsmaschinen

  und nach Ausklammern von c12 und Multiplikation mit dann "  2 # R1

2 p2  p1 D  c1  1  : 2 R2

Lösungsschritte – Fall 5 Für die gesuchten Größen erhalten wir, wenn R1 D 175 mm, R2 D 300 mm, b1 D b2 D 25 mm, c1 D 25 m/s, ˛ D 15ı und D 1 000 kg/m3 gegeben sind, unter Beachtung dimensionsgerechter Anwendung die nachstehenden Resultate:

VP D 2   0;175  0;025  25  sin 15ı D 0;1779 m3 =s

Im Bogenmaß ist

_ '2

  300 1 D  ln D 2;01 tan 15ı 175

in Grad entsprechend

'2 D

360ı  2;01 D 115ı 2

"   # 175 2 1 000 2 p2  p1 D  25  1  2 300 p2  p1 D 206 000 Pa D 2;06 bar:

Aufgabe 6.7 Radialpumpenverluste Die wichtigsten Betriebsdaten einer Kreiselpumpe (Abb. 6.8) sind Volumenstrom VP , spezifische Förderenergie Y (D g  H ), Drehzahl n und Antriebsleistung P. Über die Qualität der Energieumwandlung gibt der Gesamtwirkungsgrad  Auskunft. Wenn man die me-

Aufgabe 6.7 Radialpumpenverluste

417

V

R p2

2

R2

L s

pSp v

v n VSp.

ΔpSp. 1

V

pSp n

VSp.

Dicht.

=0

RSp.

p ω Druckverteilung an der vorderen Deckscheibe und im Pumpensaugmund.

Meridianschnitt des Pumpenlaufrads

Abb. 6.8 Radialpumpenlaufrad mit Druckverteilung

chanische Verlustleistung Pmech (Lager, Stopfbuchsdichtung o. Ä.) ausklammert, so tritt an die Stelle der Antriebsleistung P die innere Leistung Pi D P  Pmech und an die Stelle des Gesamtwirkungsgrades  der innere Wirkungsgrad i (s. u.). Als die den inneren Wirkungsgrad beeinflussenden Verluste sind die Spaltverluste VPSp , die RadseitenreibungsP verluste PR und die hydraulischen Verluste YV zu nennen. Mit den unten aufgelisteten Größen sollen diese Verluste ermittelt werden. Weiterhin ist der hydraulische Wirkungsgrad hydr zu bestimmen.

Lösung zu Aufgabe 6.7 Aufgabenerläuterung Bei der Herleitung der Spaltverluste VPSp soll die Druckverteilung gemäß Abb. 6.8 zugrunde gelegt werden ebenso wie die Kontinuitätsgleichung im horizontalen, axialen Ringspalt sowie die Bernoulli’sche Energiegleichung mit Verlusten vor und nach dem Spalt. Die Ermittlung der Radseitenreibungsverluste PR erfolgt mit einer häufig benutzten Gleichung, die sich aus dem auf rotierende Scheiben übertragenen Plattenreibungsgesetz herleitet. P Zur Bestimmung der hydraulischen Verluste YV muss mit den gegebenen und ermittel-

418

6 Strömungsmaschinen

ten Größen die Gleichung des inneren Wirkungsgrads i in geeigneter Weise umgestellt werden. Gegeben: VP D 1;55 m3 =s Y D 491 N  m=kg 1 n D 725 min pSp D 380 000 Pa i D 0;91 D2 D 0;85 m DSp D 0;59 m L D 50 mm s D 0;50 mm  D 0;02

D 1 000 kg=m3 D 1;0  106 m2 =s

Volumenstrom spezifische Förderenergie Drehzahl Druckunterschied am Spalt innerer Wirkungsgrad Laufradaußendurchmesser Spaltdurchmesser Spaltlänge Spaltweite Reibungszahl im Spalt Wasserdichte kinematische Zähigkeit des Wassers

Gesucht: 1. 2. 3. 4. 5.

Spaltverlust VPSp Radseitenreibungsverluste PR P hydraulische Verluste YV hydraulischer Wirkungsgrad hydr die Fälle 1 bis 4 mit den gegebenen Zahlenwerten Anmerkungen

 innerer Wirkungsgrad: i D

VP Y P

.VP CVPSp /.Y C YV /CPR

 horizontaler, axialer Ringspalt

Lösungsschritte – Fall 1 Zur Bestimmung der der Spaltverluste VPSp erhalten wir mittels der Bernoulli’schen Gleichung an den Stellen unmittelbar vor „v“ und nach „n“ dem Spalt zunächst

2 2 cSp:v cSp:n pv pn C C g  Zv D C C g  Zn C YVSp :

2

2

Aufgabe 6.7 Radialpumpenverluste

419

Bei horizontalem Spalt ist Zv D Zn . Weiterhin kann davon ausgegangen werden, dass cSp:v D cSp:n ist. Oben eingesetzt hat das

YVSp D

pSp

zur Folge, wobei pSp D pSp:v  pSp:n ist. Die Spaltverluste sind definiert mit

YVSp D Sp 

2 cSp

2

;

wobei im Fall des glatten Axialspalts

Sp

  L D 1;5 C   dhydr

gilt. Hierin sind der Eintrittsverlust mit Ein D 0;5; der Reibungsverlust mit R D   und der Austrittsverlust mit Aus D 1;0 enthalten. Man kann jetzt formulieren: YVSp D Sp 

2 cSp

2

D

L dhydr

pSp :

2 umgeformt, Es wird nach cSp 2 cSp D

2 pSp  ; Sp

und dann die Wurzel gezogen: s cSp D

s 1  Sp

pSp 2 D

s

s 1 1;5 C  

L dhydr



2

pSp :

Bei kreisringförmigen Spaltquerschnitten lässt sich der hydraulische Durchmesser herleiten zu dhydr D 2  s:

420

6 Strömungsmaschinen

Mit dem Spaltstrom VPSp D cSp  ASp und dem Querschnitt ASp D  DSp  s lautet dann das Ergebnis s VPSp D  DSp  s 

s 1 1;5 C  

L 2s



2

pSp :

Lösungsschritte – Fall 2 Die Radseitenreibungsverluste PR als Leistungsverluste können nach Petermann [22] unter Beachtung der zugrunde liegenden Randbedingungen wie folgt ermittelt werden:

PR D K   u32  D22 mit u2 D  D2  n sowie

K D 8  104 



2  106 Re2

1=6 und Re2 D

u2  D2 :

Lösungsschritte – Fall 3 P Bei nun bekannten VPSp und PR können die hydraulischen Verluste YV durch Umformen von i wie folgt ermittelt werden. Zunächst lautet der innere Wirkungsgrad wie oben angegeben

 VP  Y : i D   P P P

 V C VSp  .Y C YV / C PR    P Wird mit dem Nenner  VP C VPSp  .Y C YV / C PR multipliziert, i h  X    i   VP C VPSp  Y C YV C PR D  VP  Y; und dann durch i dividiert, führt dies auf X    

 VP  Y : YV C P R D

 VP C VPSp  Y C i Subtrahiert man dann noch PR , so folgt X    

 VP  Y  PR : YV D

 VP C VPSp  Y C i

Aufgabe 6.7 Radialpumpenverluste

421

   Jetzt wird durch  VP C VPSp dividiert: Y C

X

YV D

PR

 VP  Y    : i   VP C VPSp

 VP C VPSp

Wenn man dann noch Y subtrahiert, entsteht X

YV D

PR

 VP  Y     Y i   VP C VPSp

 VP C VPSp

oder

X

YV D

1 VP C VPSp



VP  Y PR  i

!  Y:

Lösungsschritte – Fall 4 P Mit den jetzt bekannten hydraulischen Verlusten YV lässt sich der hydraulische Wirkungsgrad hydr über die Definition

hydr D

Y P Y C YV

bestimmen. Lösungsschritte – Fall 5 Mit den gegebenen Zahlenwerten erhält man für die gesuchten Größen die folgenden Werte: s r 1 380 000 P  2 VSp D  0;59  0;0005  0;05 1 000 1;5 C 0;02  20;0005 VPSp D 0;0162 m3 =s  16;2 L=s

422

6 Strömungsmaschinen

Für die Radseitenreibungsverluste PR brauchen wir noch Inputwerte: 725 D 32;27 m=s 60 32;27  0;85  106 D 2;74  107 Re2 D 1  1=6 2  106 K D 8  104  D 5;17  104 2;74  107 u2 D  0;85 

Wir erhalten damit PR D 5;17  104  1 000  32;273  0;852 PR D 12 552 W  12;552 kW X

1 YV D  1;55 C 0;0162 X



 1;55  491 12 552  491  0;91 1 000

YV D 34;97 N  m=kg

hydr D

491 D 0;933 491 C 34;97

Aufgabe 6.8 Axialpumpe Im Unterschied zu Radialpumpen, die relativ kleine Volumenströme VP bei vergleichsweise großen spezifischen Förderenergien Y fördern müssen, werden an Axialpumpen (Abb. 6.9) die gegenteiligen Anforderungen gestellt. Dies hat zur Folge, dass zur optimalen Erfüllung der geforderten Betriebsdaten die sogenannten „Laufräder“ als diejenigen Bauelemente, in denen die wesentliche Energieübertragung auf die Flüssigkeit erfolgt, bei den beiden Pumpentypen völlig verschieden konzipiert sind. Werden die Laufräder der Radialpumpen durch gekrümmte, vom Fluid durchströmte Kanäle gebildet, so bestehen die Laufräder der Axialpumpen aus wenigen einzelnen Schaufeln, die radial an der rotierenden Welle installiert sind. Die Energieübertragung auf die Flüssigkeit wird nach modifizierten Gesetzen umströmter Tragflügel hergestellt. Hierbei spielen die Geschwindigkeiten respektive die Geschwindigkeitsdreiecke an den Stellen 1 und 2 des Tragflügelprofils eine entscheidende Rolle (Abb. 6.10).

Aufgabe 6.8 Axialpumpe

423

Abb. 6.9 Längsschnitt einer Axialpumpe

Gehäuse

Schaufelprojektion

V Nabe RN R RGeh

ΔR

Lösung zu Aufgabe 6.8 Aufgabenerläuterung Die Berechnung der Geschwindigkeitsdreiecke steht im Vordergrund dieser Aufgabe. Dies soll exemplarisch für das Profil eines Zylinderschnitts am Radius R erfolgen, welches eine Dicke R (Abb. 6.9) aufweist. Außerdem sollen die an dem Profil wirksamen Auftriebs-

w2 ΔR senkrecht zur Zeichenebene

c2

cm2 β2 u2

cu2

α2

β2 2

ß

w w1

c1

L ß

β1 u1

ß

β1 1 ΔFR ΔFA

ΔFW

Abb. 6.10 Abgewickelter Zylinderschnitt eines Axialpumpenlaufrads am Radius R

424

6 Strömungsmaschinen Aufgelöstes Polardiagramm "Göttinger Profil Gö 490" 1 0,9

CA ;

10*cW [ / ]

0,8 0,7

CA 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

CW

0,1 0 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

δ[°]

Abb. 6.11 Aufgelöstes Polardiagramm

und Widerstandskräfte und die resultierende Profilkraft ermittelt werden. Bei der Berechnung sind die angegebenen Größen und die unter „Anmerkungen“ aufgelisteten Gleichungen zu verwenden. Die geometrischen Abmessungen sind Abb. 6.9 und 6.10 zu entnehmen. Der Berechnung der Kräfte liegt das „Aufgelöste Polarendiagramm“ des „Göttinger Profils Gö 490“ gemäß Abb. 6.11 (s. u.) zugrunde. Gegeben: VP D 3;50 m3 =s Y D 73;5 N  m=kg 1 n D 600 min hydr D 0;91  U RGeh D 0;415 m RNa D 0;17 m

D 1 000 kg=m3 zD4

Volumenstrom spezifische Förderarbeit Drehzahl hydraulischer Wirkungsgrad Gehäuseradius Nabenradius Wasserdichte Schaufelzahl

Abmessungen des Zylinderschnitts gemäß Abb. 6.9 und 6.10: R D 0;245 m Gewählter Radius R D 0;035 m Zylinderschnittdicke L=t D 0;78 Längen-Teilungsverhältnis

Aufgabe 6.8 Axialpumpe

425

Gesucht: 1. Geschwindigkeiten und Winkel am Zylinderschnitt bei R gemäß Abb. 6.10 u1 .R/ c1 .R/ D cm;1 w1 .R/ ˇ1 .R/ ˛1 .R/ u2 .R/ cm;2 .R/ cu;2 .R/ c2 .R/ w2 .R/ ˇ2 .R/ ˛2 .R/ w1 .R/ ˇ1 .R/

Umfangsgeschwindigkeit bei „1“ Absolutgeschwindigkeit bei „1“ Relativgeschwindigkeit bei „1“ Winkel zwischen w1 und u1 bei „1“ Winkel zwischen c1 und u1 bei „1“ Umfangsgeschwindigkeit bei „2“ Meridiankomponente von c2 .R/ bei „2“ Umfangskomponente von c2 .R/ bei „2“ Absolutgeschwindigkeit bei „2“ Relativgeschwindigkeit bei „2“ Winkel zwischen w2 und u2 bei „2“ Absolutwinkel bei „2“ mittlere relative Anströmgeschwindigkeit mittlerer relativer Anströmwinkel

2. Kräfte am Zylinderschnitt R gemäß Abb. 6.9 und 6.10 FA .R/ Auftriebskraft am Profil FW .R/ Widerstandskraft am Profil FR .R/ Resultierende Kraft am Profil Anmerkungen 2 Auftriebskraft am Profil: FA D cA  A  2  w1

2 Widerstandskraft am Profil: FW D cW  A  2  w1 Bezugsfläche: A D R  L c Belastungsgrad: cA  Lt  2  wu;2 1 Euler’sche Hauptgleichung bei Pumpen: YSch D u2  cu;2 hydraulischer Wirkungsgrad: hydr D YYSch   c  mittlerer relativer Anströmwinkel: ˇ1 D arctan u m;2 1 c 2 2 u;2 q  2 C u2   mittlere relative Anströmgeschwindigkeit: w1 D cm;2

     

1 2

 cu;2

2

Lösungsschritte – Fall 1 Wir beginnen mit den Geschwindigkeiten und Winkel am Zylinderschnitt bei R gemäß Abb. 6.10:

426

6 Strömungsmaschinen

Stelle 1

u1 .R/ D R  ! D R  2   n D 0;245  2  

c1 .R/ D

600 D 15;39 m=s 60

VP 3;5 VP  D  2 D D 7;77 m=s 2 2  0;172 / A

 .0;415

 RGeh  RNa

Die Berechnung der weiteren Geschwindigkeiten und Winkel erfolgt mittels einfacher trigonometrischer Zusammenhänge am Dreieck bei der Stelle 1:

w1 .R/ D

q

u21 .R/ C c12 .R/ D

 ˇ1 .R/ D arctan

c1 .R/ u1 .R/

p 15;392 C 7;772 D 17;24 m=s



 D arctan

7;77 17;24



D 26;79ı

˛1 .R/ D 90ı

Dies bedeutet eine drallfreie Zuströmung bei „1“. Stelle 2 u2 .R/ D u1 .R/ D 15;39 m=s

cm;2 .R/ D c1 .R/ D 7;77 m=s

Die Umfangskomponente cu;2 .R/ der Absolutgeschwindigkeit c2 .R/ lässt sich aus der Euler’schen Strömungsmaschinenhauptgleichung bei drallfreier Zuströmung YSch D u2  cu;2 durch Umstellen und unter Verwendung des hydraulischen Wirkungsgrads hydr D

Aufgabe 6.8 Axialpumpe

427

Y =YSch wie folgt ermitteln:

cu;2 .R/ D

YSch Y 73;5 D D D 5;25 m=s u2 .R/ hydr  u2 .R/ 0;91  15;39

Die Berechnung der weiteren Geschwindigkeiten und Winkel erfolgt mittels einfacher trigonometrischer Zusammenhänge am Dreieck bei der Stelle 2:

c2 .R/ D

w2 .R/ D

q

2 2 cm;2 .R/ C cu;2 .R/ D

p

7;772 C 5;252 D 9;38 m=s

q q 2 cm;2 .R/ C Œu2 .R/  cu;2 .R/2 D 7;772 C .15;39  5;25/2

D 12;77 m=s



cm;2 .R/ ˇ2 .R/ D arctan u2 .R/  cu;2 .R/

˛2 .R/ D arctan





7;77 D arctan 15;39  5;25



D 37;46ı

  cm;2 .R/ 7;77 D arctan D 56ı cu;2 .R/ 5;25

Die Zuströmung zur Schaufel an der Stelle 1 erfolgt unter dem Winkel ˇ1 .R/ bei der Geschwindigkeit w1 .R/ und die Abströmung an der Stelle 2 unter dem Winkel ˇ2 .R/ bei der Geschwindigkeit w2 .R/. Zur Übertragung dieser Größen auf die der Tragflügelumströmung zugrunde liegenden Gesetzmäßigkeiten wird eine geometrische Mittelung der beiden Relativgeschwindigkeiten w1 .R/ und w2 .R/ benutzt. Als Ergebnis erhält man dann die mittlere relative Anströmgeschwindigkeit w1 mit dem mittleren relativen Anströmwinkel ˇ1 . Diese Größen liegen der Berechnung der Kräfte und geometrischen

428

6 Strömungsmaschinen

Abmessungen zugrunde. s w1 .R/ D



2 1 2 cm;2 .R/ C u2 .R/   cu;2 .R/ D 2

s

 2 1 7;772 C 15;39   5;25 2

D 14;94 m=s

cm;2 .R/ ˇ1 .R/ D arctan u2 .R/  12  cu;2 .R/

!

7;77 D arctan 15;39  12  5;25

! D 31;23ı

Lösungsschritte – Fall 2 Nun bestimmen wir die Kräfte am Zylinderschnitt bei R gemäß Abb. 6.10 und 6.11. FA .R/ FA .R/ D cA  A.R/ 

2 .R/  w1 2

mit A.R/ D B  L.R/ und B  R.

FA .R/ D cA  R  L.R/ 

2 .R/:  w1 2

Somit fehlen zur Ermittlung von FA .R/ noch der Auftriebsbeiwert cA und die Länge L.R/. cA Wird der gegebene Belastungsgrad cA 

L.R/ cu;2 .R/ 2 t.R/ w1 .R/

nach cA umgestellt, so folgt

cA  2 

cu;2 .R/ w1 .R/ 

L.R/ t .R/

D2

5;25 D 0;90 14;94  0;78

Aufgabe 6.8 Axialpumpe

429

L.R/ Mit L.R/ D

L.R/  t.R/ t.R/

und t.R/  z D 2   R

bzw:

t.R/ D

2 R z

folgt

L.R/ D

L.R/ 2   R 2   0;245  D 0;78  D 0;300 m: t.R/ z 4

Die Auftriebskraft erhält man folglich zu

FA .R/ D 0;90  0;035  0;300 

1 000  14;942 D 1 054;6 N: 2

FW .R/ Es ist FW .R/ D cW  A.R/ 

2 .R/  w1 2

mit A.R/ D B  L.R/ und B  R. Also bekommen wir zunächst

FW .R/ D cW  R  L.R/ 

2 .R/  w1 2

Den Beiwert cW lesen wir mit cA D 0;90 aus Abb. 6.11 ab:

cW D 0;016:

Dies führt zu

FW .R/ D 0;016  0;035  0;300 

1 000  14;942 D 18;75 N: 2

430

6 Strömungsmaschinen

FR .R/ Gemäß Abb. 6.10 wird nach Pythagoras FR .R/ D

q FA2 .R/ C FW2 .R/

und daraus

FR .R/ D

p

1 054;62 C 18;752 D 1 054;8 N:

Aufgabe 6.9 Pumpe mit Rückschlagklappe Bei flüssigkeitsfördernden Pumpen besteht die Gefahr, dass im Fall unsachgemäßen Betriebs der Flüssigkeitsdampfdruck örtlich unterschritten wird. Die daraus resultierende Dampfblasenbildung, die i. A. am Laufradeintritt stattfindet, und die anschließende Kondensation der Dampfblasen im Bereich wieder ansteigenden Drucks im Laufrad verursachen dort verschiedene, oft gravierende Betriebsbeeinträchtigungen. Diese Gesamtthematik ist unter dem Begriff „Kavitation“ bekannt. Man muss dafür Sorge tragen, dass seitens der Pumpe als auch seitens der Anlage die Dampfblasenentstehung vermieden wird. Dies ist gewährleistet, wenn die spezifische Anlagehalteenergie immer größer ist als die spezifische Maschinen-(Pumpen-)Halteenergie, also YHA > YHM . Für die in Abb. 6.12 dargestellte Pumpanlagekonstellation ist es zwingend erforderlich, im Fall des Pumpenausfalls das Zurücklaufen der Flüssigkeit in das saugseitige Becken zu vermeiden. Dies lässt sich einfach mit einer Rückschlagklappe am Rohrleitungseintritt regeln. Der Nachteil der Rückschlagklappe ist aber, dass die durch sie verursachten Druckverluste beträchtlich sind und somit die Dampfblasenentstehung begünstigen. Für die unten angegebenen Größen ist eine Gleichung herzuleiten, mit der eine Aussage über die Kavitationsgefahr der Pumpe möglich wird. Dies soll zunächst mit einer Rückschlagklappe erfolgen. Dann stellt sich die Frage nach der Zulaufhöhe ZUW (siehe Abb. 6.12), wenn keine Rückschlagklappe vorliegt. Des Weiteren soll die Drehzahl der Pumpe ermittelt werden, bei der gerade keine Kavitation vorliegt und gleichzeitig ZUW D 0 ist. Den Berechnungen liegt die Saugzahl SY nach Pfleiderer zugrunde.

Lösung zu Aufgabe 6.9 Aufgabenerläuterung Bei der Lösung der drei Teilaufgaben ist jeweils von der Forderung für kavitationsfreien Betrieb YHA > YHM Gebrauch zu machen und diese an die einzelnen Vorgaben anzupassen.

Aufgabe 6.9 Pumpe mit Rückschlagklappe

431 pB

UW

cUW = 0

ZUW

Pumpe

LS

cS

S Bezugsebene für ZUW

DS

Rückschlagklappe

Abb. 6.12 Pumpe mit Rückschlagklappe

Gegeben: m P n

pDa pB ZUW LS DS  Ein ZRü SY

Massenstrom Drehzahl Flüssigkeitsdichte Dampfdruck Luftdruck Zulaufhöhe der Pumpe Saugrohrlänge Saugrohrdurchmesser Rohrreibungszahl Eintrittsverlustziffer (Pkt. 2) Verlustziffer der Rückschlagklappe Saugzahl nach Pfleiderer

432

6 Strömungsmaschinen

Gesucht: 1. Kavitation am Pumpeneintritt? 2. ZUW ohne Rückschlagklappe 3. Drehzahl n2 bei vorhandener Rückschlagklappe und kavitationsfreiem Betrieb mit SY D konstant sowie ZUW D 0 1  25 1s ; m P D 630 kg=s; pB D 1;0 bar D 105 Pa; 4. Die Fälle 1 bis 3, wenn n D 1 500 min pDa D 0;023 bar D 2 300 Pa; D 1 000 kg=m3 ; ZUW D 10 m; LS D 2 m; DS D 0;40 m;  D 0;03; Rü D 4; Ein D 0;5; SY D 0;5 Anmerkungen

 kavitationsfreier Betrieb bei YHA > YHM Da  spezifische Anlagehalteenergie: YHA D pB p C g  .ZUW  Z1 /  YVUWIS

 spezifische Maschinenhalteenergie: YHM D n4=3   Verluste in saugseitiger Rohrleitung: YVUWIS  Zulaufhöhe gemäß Abb. 6.12: ZUW  Z1 ist hier  0.

VP 2=3 4=3 SY

Lösungsschritte – Fall 1 Zur Frage nach einer Kavitation am Pumpeneintritt stellen wir folgende Überlegung an: Mit YHA > YHM wird unter Verwendung der o. g. Zusammenhänge für YHA und YHM

VP 2=3 pB  pDa C g  ZUW  YVUWIS > n4=3  4=3 :

SY

Hierin lauten die Verluste YVUWIS D YVRü C YVR mit YVRü D Rü  YVR D  

LS DS

cS2 2



Verluste der Rückschlagklappe cS2 2

Reibungsverluste im Saugrohr

Somit folgt YVUWIS

  2 c LS D Rü C    S: DS 2

Aufgabe 6.9 Pumpe mit Rückschlagklappe

433 P

Die Geschwindigkeit cS erhält man aus cS D AVS mit AS D führt zu 4 m P 1 cS D   2 :

DS

4

 DS2 sowie VP D

m P .

Dies

Als Ergebnis erhält man     m P VP 2=3 pB  pDa LS 1 2 8 > n4=3  4=3 : C g  ZUW  Rü C    2  2

DS

DS SY

Lösungsschritte – Fall 2 Um ZUW ohne Rückschlagklappe zu bestimmen, muss die ursprüngliche Ungleichung nach ZUW umgeformt werden. Dies führt zunächst zu ZUW >

1 4=3 VP 2=3 1 pB  pDa  n  4=3 C  YVUWIS  ; g g

g SY

wobei jetzt die Verluste der Rückschlagklappe entfallen aber dafür die Eintrittsverluste YVEin berücksichtigt werden müssen. Folglich wird YVUWIS D YVEin C YVR : Mit YVEin D Ein 

cS2 2

als Eintrittsverlusten und weiterhin YVR D  

LS cS2  DS 2

als den Reibungsverlusten lautet das Resultat für die Zulaufhöhe

ZUW

    m P 1 4=3 VP 2=3 1 LS 1 2 pB  pDa 8 >  n  4=3 C  Ein C     :  2 g g DS

DS2 g

SY

434

6 Strömungsmaschinen

Lösungsschritte – Fall 3 Gesucht ist jetzt die Drehzahl n2 bei vorhandener Rückschlagklappe und kavitationsfreiem Betrieb mit (SY D konstant) sowie ZUW D 0. Benutzt man die in Fall 1 gefundene Ausgangsgleichung mit ZUW D 0, so folgt zunächst     P 2=3 pB  pDa LS 1 2 8 4=3 V > n2  24=3 :  Rü C    2  VP2  2

DS

DS SY Der Index 2 weist auf die neuen Betriebsdaten bei der veränderten Drehzahl n2 hin. Um den neuen Volumenstrom VP2 in Verbindung mit der neuen Drehzahl n2 und den ursprünglich gegebenen Größen n und VP zu bringen, wird das aus den Ähnlichkeitsgesetzen herleitbare Modellgesetz n2 VP2 D P n V angewendet. Dies liefert VP VP2 D n2  : n Oben eingesetzt folgt zunächst pB  pDa

  LS 8  Rü C    2  n22  DS

VP 1  n DS2

 2=3

!2 4=3 n2

>



2=3 n2



VP n

4=3

:

SY

Diese Gleichung muss nach n2 aufgelöst werden. Substituiert man zur Vereinfachung   LS 8 K D Rü C    2 DS

so erhält man

!2 ;

 2=3 n22



  Dann wird n22 ausgeklammert,

VP n

1 n22  4 4=3  SY 1 4=3

SY



 2=3 VP n

C K  n22 <

4=3 SY

2

und durch

VP 1  2 n DS

VP n

!2=3

pB  pDa :

3 C K5 <

pB  pDa ;



C K dividiert: n22 <

1 

1 4=3 SY

pB  pDa :  2=3 P  Vn CK

Aufgabe 6.9 Pumpe mit Rückschlagklappe

435

Wurzelziehen liefert schließlich v u1 u n2 < u   t

.pB  pDa /   2=3 VP 1  C K 4=3 n

mit

SY

  8 LS  2 K D Rü C   DS

VP 1  n DS2

!2 :

Lösungsschritte – Fall 4 Für die gesuchten Größen berechnen wir dimensionsgerecht mit den gegebenen Zahlen1  25 1s , m P D 630 kg=s, pB D 1;0 bar D 105 Pa, pDa D 0;023 bar D werten n D 1 500 min 3 2 300 Pa, D 1 000 kg=m , ZUW D 10 m, LS D 2 m, DS D 0;40 m,  D 0;03, Rü D 4, Ein D 0;5 und SY D 0;5 die folgenden Ergebnisse: Kavitation  630 2=3    2 630 2 1 8 100 000  2 300 4=3 1 000 > 25  C9;8110 4 C 0;03     1 000 0;40 2 1 000 0;402 0;54=3

143;65 N  m=kg > 135;4 N  m=kg

Somit keine Kavitation!!! Zulaufhöhe ZUW

 630 2=3    2 630 1 1 8 2 1 4=3 >  2  25  1 0004=3 C  0;5 C 0;03   9;81 0;5 9;81 0;4

1 000 0;402 100 000  2 300  9;81  1 000

ZUW > 4;66 m

436

6 Strömungsmaschinen

Drehzahl

    8 0;630 1 2 2  2 D 0;08344  K D 4 C 0;03  0;4

25 0;42 v u 1 100 000  2 300 u  n2 < t   0;63 2=3 1 1 000  C 0;08344 4=3 25 0;5

n2 < 18;05

1 1 D 1 083 : s min

Aufgabe 6.10 Ventilatoranlage In einem Anlagesystem gemäß Abb. 6.13 fördert ein Ventilator Stickstoff aus einem Behälter „E“ durch eine Rohrleitung in einen anderen Behälter „A“. In beiden Behältern liegt gleicher Druck pE D pA vor, und die Geschwindigkeiten in ihnen sind gleich null. Die beiden Stellen „E“ und „A“ liegen des Weiteren auf demselben Höhenniveau, d. h. ZE D ZA . Bei bekannten geometrischen Abmessungen der saugseitigen (Index „S“) und druckseitigen (Index „D“) Rohrleitungen sowie den betreffenden Verlustziffern soll die spezifische Förderenergie Y des Ventilators ermittelt werden, die zum Transport des Massenstroms m P benötigt wird. Die spezifische Gaskonstante Ri von Stickstoff ist ebenso bekannt wie die Temperatur TE im Behälter „E“.

M

AS

AD

P

S

m pE cE = 0 E

Abb. 6.13 Ventilatoranlage

LS

cA = 0 pA

D

LD

Aufgabe 6.10 Ventilatoranlage

437

Lösung zu Aufgabe 6.10 Aufgabenerläuterung Im vorliegenden Fall wird von der Gleichheit des Energiebedarfs der Anlage YAnl mit der vom Ventilator an das Gas effektiv abgegebenen Förderenergie Y, also Y D YAnl , Gebrauch gemacht. Gegeben: m P Ri TE AD D BD  HD AS D BS  HS LD LS D S Kn Ein Aus

Massenstrom spezifische Gaskonstante Temperatur im Behälter „E“ Druckseitige Querschnittsfläche (Rechteck) Saugseitige Querschnittsfläche (Rechteck) Druckseitige Rohrleitungslänge Saugseitige Rohrleitungslänge Druckseitiger Rohrreibungsbeiwert Saugseitiger Rohrreibungsbeiwert Verlustziffer der Kniestücke Eintrittsverlustziffer Austrittsverlustziffer

Gesucht: 1. spezifische Förderenergie Y des Ventilators 2. Y, wenn m P D 2;67 kg=s; Ri D 298 N m/(kg K); pE D pA D 1;50 bar; TE D 10 ı C; AD D BD  HD D 0;40 m 0;20 m; AS D BS  HS D 0;60 m 0;30 m; LS D 10 m; LD D 35 m; D D 0;030; S D 0;028; Kn D 1;27; Ein D 0;5; Aus D 1;0 Anmerkungen

 Fluid: Stickstoff  inkompressible Strömung  pE D pA , cE D cA D 0, ZE D ZA Lösungsschritte – Fall 1 Die von der Arbeitsmaschine Ventilator bereitgestellte spezifische Förderenergie Y ist gleich dem Anlagebedarf YAnl gemäß Y D YAnl :

438

6 Strömungsmaschinen

Der Anlagebedarf lautet hierbei

YAnl D

c 2  cE2 pA  pE C A C g  .ZA  ZE / C YVRohr;EIA :

2

Im vorliegenden Fall sind pE D pA , cE D cA D 0 sowie ZE D ZA . Dies führt zu Y D YVRohr;EIA ;

d. h., die vom Ventilator zur Verfügung gestellte spezifische Förderenergie Y dient ausschließlich zur Abdeckung der Strömungsverluste in den Rohrleitungen. Mit YVRohr;EIA D YVRohr;S C YVRohr;D erhält man dann vorläufig Y D YVRohr;S C YVRohr;D : Im Einzelnen sind die saugseitigen Verluste

YVRohr;S D YVEin C 2  YVKn;S C YVReib;S

mit cS2 2 c2 YVKn;S D Kn  2S LS YVReib;S D S  dhydr S

YVEin D Ein 

Eintrittsverluste Verluste durch Kniestücke cS2 2



Reibungsverluste im Rechteckkanal „S“

und die druckseitigen Verluste

YVRohr;D D YVAus C 2  YVKn;D C YVReib;D :

mit 2 cD 2 c2 YVKn;D D Kn  2D LD YVReib;D D D  dhydr D

YVAus D Aus 

Austrittsverluste Verluste durch Kniestücke 

2 cD 2

Reibungsverluste im Rechteckkanal „D“.

Aufgabe 6.10 Ventilatoranlage

439

Werden die Größen in die Ausgangsgleichung eingesetzt, folgt zunächst     cS2 cD2 LS LD C : Y D  Ein C 2  Kn C S   Aus C 2  Kn C D  2 dhydrS 2 dhydrD

Unbekannt sind jetzt noch cS , cD , dhydrS und dhydrD . Diese bestimmen wir folgendermaßen. Für die Geschwindigkeiten cS und cD firmen wir die Durchflussgleichung VP D c  A P um und erhalten c D VA bzw. im vorliegenden Fall cS D

VP AS

cD D

bzw:

VP : AD

Hierin sind AD D BD  HD und AS D BS  HS . Dies liefert

cS D

VP BS  HS

und cD D

VP : BD  HD

Der Volumenstrom lässt sich wie folgt bestimmen: m P VP D :

Hierin erhält man die Dichte (inkompressibel) im Behälter „E“ aus der thermischen Zustandsgleichung p  v D Ri  T mit v D 1 zu

D E D A D

pE Ri  TE

Dies hat dann letztlich

m P  Ri  TE VP D pE

zur Folge, wobei TE D 273;15 C #E einzusetzen ist. dhydD ;

dhydS

440

6 Strömungsmaschinen

Der hydraulische Durchmesser oder besser „Äquivalenzdurchmesser“ lautet allgemein

dhydr D 4 

A : U

Hierin sind A der tatsächliche durchströmte Querschnitt und U der vom Fluid benetzte Umfang. Im Fall der Rechteckkanäle bei „D“ und „S“ erhält man dhydrS D 4 

AS US

und dhydrD D 4 

AD UD

mit AS D BS  HS und AD D BD  HD sowie US D 2  .BS C HS / und UD D 2  .BD C HD ). Oben eingesetzt führt das zu

dhydrS D 2 

BS  HS BS C HS

bzw:

dhydrD D 2 

BD  HD : BD C HD

Zur besseren Übersicht setzen wir die so gefundenen Gleichungen für cS , cD , dhydrS und dhydrD nicht in die Funktion für Y (s. o.) ein, sondern werten sie im Anwendungsfall getrennt aus. Lösungsschritte – Fall 2 Um Y bei den Zahlenwerten m P D 2;67 kg=s, Ri D 298 N m/(kg K), pE D pA D 1;50 bar, ı TE D 10 C, AD D BD  HD D 0;40 m 0;20 m, AS D BS  HS D 0;60 m 0;30 m, LS D 10 m, LD D 35 m, D D 0;030, S D 0;028 ; Kn D 1;27; Ein D 0;5 und Aus D 1;0 zu berechnen, brauchen wir die folgenden Zwischenergebnisse: 2;67  298  .273;15 C 10/ VP D D 150 m3 =s 150 000 cS D

1;50 D 8;33 m=s 0;60  0;30

cD D

1;50 D 18;75 m=s 0;40  0;20

dhydrS D 2 

0;60  0;30 D 0;40 m 0;60 C 0;30

dhydrD D 2 

0;40  0;20 D 0;267 m 0;40 C 0;20

Aufgabe 6.11 Radialventilator in einer Rohrleitung

441

Damit lässt sich dann die gesuchte spezifische Förderenergie Y berechnen zu     8;332 10 35 18;752 Y D  0;5 C 2  1;27 C 0;028   1;0 C 2  1;27 C 0;03  C 2 0;40 2 0;267

Y D 1 443 N  m=kg:

Aufgabe 6.11 Radialventilator in einer Rohrleitung Der in Abb. 6.14 dargestellte Radialventilator dient zum Transport eines gasförmigen Fluids durch eine Rohrleitung, in diesem Fall gleichen Durchmessers. Hierzu muss vom Ventilator die spezifische Förderenergie Y an das Fluid übertragen werden, um den Energiebedarf der Anlage abzudecken. Das sogenannte Laufrad des Ventilators als wichtigstes Element bei der Energiebereitstellung weist einen Außendurchmesser D2 auf. Dieser Durchmesser soll im vorliegenden Fall ermittelt werden, wenn die Drehzahl n, der Druck am Saugstutzen pS , die Druckziffer und das Druckverhältnis ˘ bekannt sind.

Lösung zu Aufgabe 6.11 Aufgabenerläuterung Bei der Ermittlung des Laufradaußendurchmessers muss eine Geschwindigkeit herangezogen werden, in welcher der gesuchte Durchmesser enthalten ist und des Weiteren in Verbindung mit den gegebenen Größen steht. Dies ist die Umfangsgeschwindigkeit u2 , die wiederum mit der spezifische Förderenergie Y und der Druckziffer verknüpft ist. Da die spezifische Förderenergie Y explizit nicht vorliegt, muss sie aus den vorliegenden Daten ersetzt werden.

D

pS

pD

ρS

ρD=ρS

LS/DS p2 , p1 D p2 und p1 < p2

468

7

Navier-Stokes-Gleichungen

Anmerkungen

   

Die Schwerkraft wird vernachlässigt. stationäre, laminare, inkompressible Strömung ausgebildete Strömung in x-Richtung kein seitlicher Abfluss

Lösungsschritte Zunächst werden die NSG und die Kontinuitätsgleichung unter den hier vorliegenden Gegebenheiten betrachtet und vereinfacht. Feststellungen zu den Kräften fx D 0; fy D 0; Annahme, dass bei kleinen Höhen h die Schwerkraft f D fz D 0 ist. Feststellungen zu den Geschwindigkeiten Axiale Strömung nur in x-Richtung heißt, es existieren keine Komponenten cy und cz , d. h. cy D 0 und cz D 0. Somit lauten die Ableitungen @cy @cz D 0 und D0 @z @y und gemäß Kontinuitätsgleichung auch @cx D 0: @x Dies hat zur Folge, dass auch  @

@cx @x

 D

@x ist. Wegen cx D cx .z/ ist zudem

@cx @y

D 0 und folglich wird

 @

@2 cx D0 @x 2

@cx @y

@y

 D

@2 cx D 0: @y 2

Des Weiteren entfallen wegen cy D 0 und cz D 0 auch sämtliche Ableitungen von cy und cz . Als Ergebnis der NSG erhält man dann



1 @p @2 cx 1 @p @2 cx D 0 )  D   C 

@x @z 2 @z 2

@x

Aufgabe 7.4 Bewegte Platte über ruhender Wand

469



1 @p @p  D0) D 0 ) p ¤ p.y/

@y @y



1 @p @p  D0) D 0 ) p ¤ p.z/

@z @z

Fall 1 Die weiteren Betrachtungen bei der Frage nach der Geschwindigkeit cx .z/ mit dp=dx erfolgen logischerweise mit @2 cx 1 @p  D  : @z 2

@x Wegen cx D cx .z/ kann der partielle Differenzialquotient @c@zx ersetzt werden durch dcdzx und auch     @ @c@zx d dcdzx @2 cx D D : @z 2 @z dz Wenn p ¤ p.y/ und p ¤ p.z/, dann hängt p nur von x ab, also p D p.x/. Folglich kann @p durch dp auch der partielle Differenzialquotient @x dx ersetzt werden. Die o. g. Gleichung lautet somit:  dcx  d dz 1 dp D  :  dz

dx Nach Division durch und mit  D  ergibt sich d

 dcx  dz

dz Wird mit dz multipliziert,



dcx d dz und dann integriert,



Z d

dcx dz

D



1 dp  :  dx

D

1 dp   dz;  dx

D

1 dp    dx



Z dz;

so ergibt sich 1 dp dcx D   z C C1 : dz  dx Wiederum mit dz multipliziert, dcx D

1 dp   z  dz C C1  dz;  dx

470

7

Navier-Stokes-Gleichungen

und dann zum zweiten Mal integriert, Z Z Z 1 dp dcx D   z  dz C C1  dz;  dx wird daraus cx .z/ D

1 dp z 2   C C1  z C C2 :  dx 2

selbst wieder von x Da festgestellt wurde, dass p D p.x/, kann auch die Ableitung dp dx abhängen. Da aber im vorliegenden Fall cx D cx .z/ nur eine Funktion von z ist und daher als Teil der Gleichung ebenfalls nicht von x abhängen. nicht auch von x abhängt, kann dp dx Dies heißt, dass dp eine Konstante ist. dx Die noch unbekannten Integrationskonstanten C1 und C2 erhält man aus nachfolgenden Randbedingungen:  An der Stelle z D  h2 ist cx D 0 (Haftbedingung an der ruhenden Wand)  An der Stelle z D C h2 ist cx D cP (Haftbedingung an der bewegten Platte) Diese Randbedingungen werden jeweils in cx .z/ eingesetzt:  2   h 1 dp  h2  C C1   C C2 0D   dx 2 2 und

 2   1 dp C h2 h cP D   C C1  C C C2  dx 2 2

Wenn beide Gleichungen nach C2 aufgelöst, C2 D C1 

h 1 dp h2    2  dx 8

bzw. C2 D cP 

1 dp h2 h    C1  ;  dx 8 2

und dann gleichgesetzt werden, ergibt sich C1 

h 1 dp h2 1 dp h2 h    D cP     C1  2  dx 8  dx 8 2

und man gelangt man zu 2  C1 

h 2

D cP oder schließlich C1 D

1  cP : h

Mit diesem Ergebnis in einer der Gleichungen für C2 , C2 D

1 h 1 dp h2  cP     ; h 2  dx 8

Aufgabe 7.4 Bewegte Platte über ruhender Wand

471

und nach Kürzen von h ermittelt man C2 D

1 1 dp h2  cP    : 2  dx 8

Jetzt werden beide Integrationskonstanten C1 und C2 in cx .z/ eingesetzt: cx .z/ D

1 dp z 2 1 1 dp h2 1   C  cP  z C  cP    :  dx 2 h 2  dx 8

Nach Zusammenfassen der Glieder mit cP bzw. dp=dx lautet die gesuchte Geschwindigkeitsverteilung  cx .z/ D cP 

z 1 C h 2

 

 z 2 dp h2  14 :  8 h dx

Fall 2 Jetzt suchen wir cx .z/ in den Fällen p1 > p2 , p1 D p2 und p1 < p2 : p1 > p2 Mit p1 und p2 als gegebene Drücke an den Stellen x1 und x2 lässt sich dp=dx D konstant auch wie folgt darstellen: dp p p2  p1 : D D dx x x2  x1 Mit p1 > p2 und x2  x1 D L gelangt man zu dp p1  p2 D : dx L Oben eingesetzt führt das zu  cx .z/ D cP 

z 1 C h 2



 z 2  p  p  h2 1 2  14    8 h L

oder  cx .z/ D cP 

z 1 C h 2

 C

 z 2

h2 p1  p2   14 : 8 L h

472

7

p1 D p2

 cx .z/ D cP 

z 1 C h 2



Navier-Stokes-Gleichungen

 z 2

h2 p1  p2   14 C 8 L h 

cx .z/ D cP 

z 1 C h 2



p1 < p2 Wenn p2 > p1 , erhält man p1  p2 dp p p2  p1 D D D dx x x2  x1 L und somit  cx .z/ D cP 

z 1 C h 2

 

 z 2

h2 p2  p1   14 : 8 L h

Aufgabe 7.5 Zwei geneigte, entgegen gesetzt bewegte Platten In Abb. 7.5 sind zwei um den Winkel ˛ gegenüber der Horizontalebene geneigte Platten zu erkennen, zwischen denen eine Flüssigkeit aufgrund eines von außen aufgeprägten Druckgefälles hindurch strömt. Beide Platten werden mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten cPo und cPu in entgegen gesetzten Richtungen bewegt. Die Breite B des Systems soll gegenüber der Höhe h sehr groß bemessen sein, sodass seitliche Randeinflüsse ohne Bedeutung sind und von einer ebenen Strömung auszugehen ist. Diese ist laminar ausgebildet und ändert sich zeitlich nicht. Von der inkompressiblen Flüssigkeit sind weiterhin die Dichte und die Viskosität gegeben. Zunächst soll die Gleichung der Geschwindigkeitsverteilung cx .z/ unter Verwendung des Druckgradienten dp=dx hergeleitet werden. Danach wird nach dem Druckunterschied p1  p2 zwischen den Stellen 1 und 2 gefragt, wenn der Abstand L zwischen ihnen bekannt ist und keine Schubspannung an der oberen Platte wirksam ist.

Lösung zu Aufgabe 7.5 Aufgabenerläuterung Im Vordergrund des Lösungsweges steht die Anwendung der Navier-Stokes-Gleichungen und des Kontinuitätsgesetzes. Diese sind mit den betreffenden Gegebenheiten und An-

Aufgabe 7.5 Zwei geneigte, entgegen gesetzt bewegte Platten

473 cP o

r Lage use Gehä

tte

e Pla Ober

p2

α

2 h

f

r Lage

p1 re P Unte

1

z c

Pu

x

use

Gehä

y

x1

latte

x2

L

B senkrecht zur Bildebene >> gegenüber h

Abb. 7.5 Zwei geneigte, entgegen gesetzt bewegte Platten

nahmen des vorliegenden Falls zu bearbeiten und das aufgrund von Druckkräften, Plattenschleppwirkung sowie Schwerkraft entstehende Geschwindigkeitsverteilungsgesetz abzuleiten. Hieraus ist danach der gesuchte Druckunterschied zu bestimmen. Gegeben:  ˛; cPo ; cPu ; ; ; h; L  Navier-Stokes-Gleichungen (NSG) der stationären, inkompressiblen Strömung x-Richtung 1 @p fx   C 

@x

@2 cx @2 c @2 cx x C 2 C 2 @x @z 2 @y

!

  @c @c @c   x x x    C cz   C cy  D cx  @x @y @z   

y-Richtung 1 @p fy   C 

@y

@2 cy @2 c @2 cy y C C  2 @x 2 @z 2 @y

!

  @c @c @c   y y y    C cz   C cy  D cx  @x @y @z   

z-Richtung 1 @p fz   C 

@z

@2 cz @2 c @2 cz z C C  2 @x 2 @z 2 @y

!

  @c @c @c   z z z    C cz   C cy  D cx   @z  @x  @y

474

7

Navier-Stokes-Gleichungen

Kontinuitätsgleichung @cy @c @c z x C  C  D 0: @x @y @z    Gesucht: 1. cx .z/ bei dp=dx 2. p1  p2 , wenn an der oberen Platte die Schubspannung verschwinden soll Anmerkungen

    

Die Schwerkraftkomponente fz (bei h ) wird vernachlässigt. stationäre, laminare, inkompressible Strömung ausgebildete Strömung in x-Richtung kein seitlicher Abfluss ruhendes Koordinatensystem unmittelbar über der unteren Platte

Lösungsschritte Zunächst werden die NSG und die Kontinuitätsgleichung unter den hier vorliegenden Gegebenheiten betrachtet und vereinfacht. Feststellungen zu den Kräften fx D f  sin ˛I

fy D 0I

fz D f  cos ˛;

mit f D g gilt auch (s. o.) fx D g  sin ˛I

fz D g  cos ˛  0:

Feststellungen zu den Geschwindigkeiten Axiale Strömung nur in x-Richtung heißt, es existieren keine Komponenten cy und cz , d. h. cy D 0 und cz D 0. Somit lauten die Ableitungen @cy @cz D 0 und D 0; @y @z und gemäß Kontinuitätsgleichung auch @cx D 0: @x Demzufolge ist auch

 @

@cx @x

@x

 D

@2 cx D 0: @x 2

Aufgabe 7.5 Zwei geneigte, entgegen gesetzt bewegte Platten

Wenn cx D cx .z/, dann ist

@cx @y

475

D 0 und folglich wird auch  @

@cx @y



@y

D

@2 cx D 0: @y 2

Des Weiteren entfallen wegen cy D 0 und cz D 0 auch sämtliche Ableitungen von cy und cz . Als Ergebnis der NSG erhält man zunächst:

f  sin ˛ 

1 @p @2 cx 1 @p @2 cx D 0 )  D   C  C g  sin ˛

@x @z 2 @z 2

@x



1 @p @p  D0) D 0 ) p ¤ p.y/

@y @y



1 @p @p  D0) D 0 ) p ¤ p.z/

@z @z

Fall 1 Die weiteren Betrachtungen bei der Frage nach der Geschwindigkeit cx .z/ bei dp=dx erfolgen logischerweise mit 

1 @p @2 cx D  C g  sin ˛: 2 @z

@x

Wegen cx D cx .z/ kann der partielle Differenzialquotient @c@zx ersetzt werden mit dcdzx und auch     @cx 2 @ d dcdzx @z @ cx D mit : @z 2 @z dz Wenn p ¤ p.y/ und p ¤ p.z/, dann hängt p nur von x ab, also p D p.x/. Folglich kann @p durch dp auch der partielle Differenzialquotient @x dx ersetzt werden. Hieraus folgt nun in o. g. Gleichung   d dcdzx 1 @p  D  C g  sin ˛: dz

@x Nach Division durch und mit  D  ergibt sich d

 dcx  dz

dz

D

1  



 dp C  g  sin ˛ : dx

476

7

Navier-Stokes-Gleichungen

Wird mit dz multipliziert,     dcx dp 1 d D  C  g  sin ˛  dz; dz  dx und dann integriert, 

Z d

dcx dz

 D

so ergibt sich dcx 1 D  dz 

1  





 Z dp C  g  sin ˛  dz; dx

 dp C  g  sin ˛  z C C1 : dx

Wiederum mit dz multipliziert,   dp 1 dcx D  C  g  sin ˛  z  dz C C1  dz;  dx und dann zum zweiten Mal integriert,   Z Z Z dp 1 dcx D  C  g  sin ˛  z  dz C C1  dz;  dx wird daraus 1  cx .z/ D 2



 dp C  g  sin ˛  z 2 C C1  z C C2 : dx

Es wurde festgestellt, dass p D p.x/. Folglich kann auch die Ableitung dp dx selbst wieder von x abhängen. Da aber im vorliegenden Fall cx .z/ nur eine Funktion von z ist und daher als Teil der Gleichung ebenfalls nicht von x abhängen. nicht auch von x abhängt, kann dp dx Dies heißt, dass dp eine Konstante ist. dx Die noch unbekannten Integrationskonstanten C1 und C2 lassen sich mittels nachfolgender Randbedingungen feststellen:  An der Stelle z D 0 ist cx .z D 0/ D cPu (Haftbedingung an unterer bewegter Platte)  An der Stelle z D h ist cx .z D h/ D CcPo (Haftbedingung an oberer bewegter Platte) Mit der ersten Randbedingung gelangt man zu   dp 1 cPu D  C  g  sin ˛  0 C C1  0 C C2 ) C2 D cPu : 2 dx Mit der zweiten Randbedingung folgt   dp 1 CcPo D  C  g  sin ˛  h2 C C1  h  cPu 2 dx

Aufgabe 7.5 Zwei geneigte, entgegen gesetzt bewegte Platten

477

oder, nach C1 umgeformt, 1 C1  h D .cPo C cPu /   2



 dp C  g  sin ˛  h2 ; dx

und durch h geteilt, liefert das cP C cPu 1 C1 D o   h 2



 dp C  g  sin ˛  h: dx

Die Geschwindigkeitsverteilung lautet dann mit diesen Integrationskonstanten zunächst   dp 1  C  g  sin ˛  z 2 cx .z/ D 2 dx  

cPo C cPu 1 dp C   C  g  sin ˛  h  z  cPu h 2 dx h oder, nach Ausklammern von

cx .z/ D

1  2



1 2





dp dx

C  g  sin ˛

i ,

   dp z C  g  sin ˛  z 2  h  z C .cPo C cPu /   cPu : dx h

Fall 2 Unter der Maßgabe, dass der Druckunterschied p1  p2 für den Fall nicht mehr vorhandener Schubspannung an der oberen Platte gesucht wird, geht man von der Gleichung für dcx (s. o.) aus und setzt hierin die gefundene Integrationskonstante C1 ein: dz dcx 1 D  dz 



   dp dp cPo C cPu 1 C  g  sin ˛  z C   C  g  sin ˛  h: dx h 2 dx h

Nach Ausklammern von

1 

dcx 1 D  dz 







dp dx

C  g  sin ˛

i ist

   dp h cP C cPu C  g  sin ˛  z  : C o dx 2 h

Die Bedingung, dass die Schubspannung an der oberen Platte gerade verschwindet bedeutet: An der Stelle z D h wird .z D h/ D  

dcx D 0: dz

478

7

Da  nicht null sein kann, kann nur stehender Gleichung 1 0D  



dcx dz

Navier-Stokes-Gleichungen

D 0 werden. Mit diesem Ergebnis folgt aus oben

   dp h cP C cPu C  g  sin ˛  z  : C o dx 2 h

Umgeformt entsteht daraus 0D

h  2



 dp cP C cPu C  g  sin ˛ C o : dx h

Weiter umgestellt erhält man h  2  und mit

2 h



 dp cP C cPu C  g  sin ˛ D  o dx h

 multipliziert wird daraus dp 2 C  g  sin ˛ D  2  .cPo C cPu / dx h

oder

dp 2  .c C c / C

 g  sin ˛ ; D Po Pu dx h2

Mit p1 und p2 als Drücke an den Stellen x1 und x2 lässt sich dp=dx auch wie folgt darstellen: dp p p2  p1 ; D D dx x x2  x1 wobei p1 > p2 und x2  x1 D L. Dies liefert den Druckgradienten dp p1  p2 D : dx L Als Resultat für die Druckdifferenz p1 p2 erhält man schließlich durch Gleichsetzen und Umformen

2 p1  p2 D L   .cPo C cPu / C  g  sin ˛ : h2

8

Potenzialströmungen

Die Theorie der Potenzialströmungen erlaubt es, mit mathematischen Mitteln Geschwindigkeitsfelder zu beschreiben, wie sie sich z. B. im Umströmungsbereich von Körpern einstellen. In Verbindung mit der Bernoulli’schen Energiegleichung lassen sich dann auch die Druckverteilungen ermitteln. Zur Vereinfachung wird im vorliegenden Kapitel von stationären, inkompressiblen und ebenen Potenzialströmungen ausgegangen. In unmittelbarer Wandnähe versagt bei realen Fluiden die Theorie jedoch. Aus diesem Grund wird vorausgesetzt, dass das Fluid reibungsfrei und auch gleichzeitig drehungsfrei ist. Zur Berechnung komplexerer Potenzialströmungen werden zunächst einfache Strömungskonfigurationen wie folgt definiert:     

Translationsströmung, Quellen-, Senkenströmung, Dipolströmung, Potenzialwirbelströmung, Staupunktströmung.

Die Stromfunktionen ‰ und Potenzialfunktionen ˆ dieser Elementarströmungen sind bei jeweils zugrunde liegenden charakteristischen Größen bekannt. Die lineare Überlagerung von ‰ und ˆ (der Elementarströmungen) gestattet es, verwickeltere Strömungen zu beschreiben. Bei bekannten Stromfunktionen ‰ oder Potenzialfunktionen ˆ (gegeben oder ermittelt) lassen sich die Geschwindigkeitskomponenten und somit das Geschwindigkeitsfeld in Form der Stromlinien feststellen ebenso wie dies für die Potenziallinien möglich ist. Diese Auswertungen werden bei den betreffenden Aufgaben mit einem geeigneten Tabellenkalkulationsprogramm durchgeführt. Folgende Zusammenhänge und Größen kommen im Fall der anschließenden Aufgaben zur Anwendung.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 V. Schröder, Übungsaufgaben zur Strömungsmechanik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-662-56056-3_8

479

480

8

Potenzialströmungen

cx D C @ˆ.xIy/ I @x

cx D C @‰.xIy/ Geschwindigkeitskomponenten in x-Richtung @y

cy D C @ˆ.xIy/ I @y

cy D  @‰.xIy/ Geschwindigkeitskomponenten in y-Richtung @x

@cx @x @cy @x

C 

@cy @y @cx @y

D0

Kontinuität

D0

Wirbelfreiheit Translationsgeschwindigkeit c1 E Ergiebigkeit der Quellen-/Senkenströmung M Dipolmoment der Dipolströmung  Zirkulation der Potenzialwirbelströmung ˆges .xI y/ D a1  ˆ1 .xI y/ C a2  ˆ2 .xI y/ C : : : Überlagerung der Potenzialfunktionen ‰ges .xI y/ D b1  ‰1 .xI y/ C b2  ‰2 .xI y/ C : : : Überlagerung der Stromfunktionen

Aufgabe 8.1 Ebene Potenzialströmung 1 Von einer ebenen, inkompressiblen, stationären Strömung ist die Stromfunktion ‰.xI y/ bekannt. Zunächst werden die Geschwindigkeitskomponenten cx und cy des Vektors !

c .xI y/ gesucht. Des Weiteren soll die Potenzialfunktion ˆ.xI y/ dieser Strömung ermittelt werden. Ebenfalls nachzuweisen ist, ob eine Potenzialströmung vorliegt oder nicht. Außerdem werden die Strom- und Potenziallinien bei festen Zahlenwerten der Stromund Potenzialfunktion gesucht und in einem Diagramm dargestellt.

Lösung zu Aufgabe 8.1 Aufgabenerläuterung Die Ermittlung der Geschwindigkeitskomponenten erfolgt aufgrund der betreffenden Definitionsgleichungen und der gegebenen Stromfunktion. Die Potenzialfunktion lässt sich bei jetzt bekannten Geschwindigkeitskomponenten und der Definitionsgleichung bestimmen. Für den Nachweis einer Potenzialströmung müssen Kontinuität und Wirbelfreiheit mit den genannten Geschwindigkeitskomponenten festgestellt werden. Zur Bestimmung der Strom- und Potenziallinien ist es sinnvoll, die Strom- und Potenzialfunktion derart umzuformen, dass explizite Gleichungen y.x/ entstehen mit jeweils Stromfunktionswert und Potenzialfunktionswert als Parameter. Die Auswertung mit dem oben erwähnten Tabellenkalkulationsprogramm liefert dann die entsprechenden Kurvenverläufe. Gegeben:  ‰.xI y/ D 3  x  2  y

Aufgabe 8.1 Ebene Potenzialströmung 1

481

Gesucht: 1. 2. 3. 4. 5.

cx : Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung cy : Geschwindigkeitskomponente in y-Richtung ˆ.xI y/: Potenzialfunktion Potenzialströmungsnachweis Stromlinien bei ‰ D 0; ˙5; ˙10; ˙15 und Potenziallinien bei ˆ D 0; ˙5; ˙10; ˙15 Anmerkung

 cx D C @‰.xIy/ @y I

cy D  @‰.xIy/ @x I

cx D C @ˆ.xIy/ @x I

cy D C @ˆ.xIy/ @y

Lösungsschritte – Fall 1 Für die Geschwindigkeitskomponente cx finden wir mit cx D cx D

@‰ @y

sowie ‰ D 3  x  2  y

@ .3  x  2  y/ @y

bei partieller Differenziation cx D 2:

Lösungsschritte – Fall 2 Für die Geschwindigkeitskomponente cy gilt cy D  @‰ @x sowie ‰ D 3  x  2  y und somit @ .3  x  2  y/ cy D  : @x Man erhält bei partieller Differentiation cy D 3:

Lösungsschritte – Fall 3 Für die Potenzialfunktion ˆ.xI y/ beachten wir, dass mit cx D @ˆ D cx  @x und wegen cx D 2 @ˆ D 2  @x gilt. Integriert bei y D konstant hat dies als Ergebnis ˆ D 2  x C C1 .y/; mit der Integrationskonstanten C1 .y/.

@ˆ @x

bzw. umgeformt zu

482

8

Potenzialströmungen

Die Integrationskonstante C1 .y/ kann nicht von x abhängen (es wird ja über x integriert) wohl aber von y als die bei der Integration festgehaltene Größe. ˆ liefert, partiell nach y differenziert (bei x D konstant), @ˆ D cy D 3 @y sowie mit ˆ D 2  x C C1 .y/ dann @ Œ2  x C C1 .y/ @.2  x/ @C1 .y/ @C1 .y/ D 3 D C D0C : @y @y @y @y Somit erhält man

@C1 .y/ D 3: @y

Multiplikation mit @y führt zu @C1 .y/ D 3  @y: Das Integral

Z

Z @C1 .y/ D 3 

@y

hat als Lösung C1 .y/ D 3  y C C Eingesetzt in ˆ (s. o.) ergibt das die gesuchte Potenzialfunktion

ˆ.xI y/ D 2x  3  y C C:

Lösungsschritte – Fall 4 Eine Potenzialströmung liegt dann vor, wenn zum einen die Kontinuitätsbedingung

@cy @cx C D0 @x @y

erfüllt ist und zum anderen Wirbelfreiheit vorliegt, d. h.

@cy @cx  D 0: @x @y

Aufgabe 8.1 Ebene Potenzialströmung 1

483

Kontinuität: Mit @cy @ .3/ D D0 @y @y

@cx @ .2/ D D 0 sowie @x @x folgt

0  0 D 0;

damit ist Kontinuität gegeben. Wirbelfreiheit: Mit @cy @ .3/ D D 0 und @x @x

@cx @ .2/ D D0 @y @y

haben wir

0  0 D 0;

Also ist auch die Wirbelfreiheit gegeben und eine Potenzialströmung vorhanden. Lösungsschritte – Fall 5 Gesucht sind die Stromlinien bei ‰ D 0; ˙5; ˙10; ˙15 und die Potenziallinien bei ˆ D 0; ˙5; ˙10; ˙15. Für die Stromlinien y D f .xI ‰i D konstant/ bekommen wir mit ‰i .xI y/ D 3  x  2  y umgeformt zu 2  y D 3  x  ‰i und durch 2 dividiert

yD

3 1  x   ‰i : 2 2

484

8

Potenzialströmungen

y

6 Ψ = −15

5 Ψ = −10

4

Ψ = −5

Φ = −15

3 Φ = −10

Ψ=0 Ψ=5

2 Φ = −5

Ψ = 10

1

Ψ = 15

Φ=0

0 -6

-5

-4

-3

-2

-1 Φ=5

Φ = 10

0

1

2

3

4

5

x 6

-1

-2

-3

Φ = 15

-4

-5

-6

Abb. 8.1 Ebene Potenzialströmung; Strom- und Potenziallinien 1

Für die Potenziallinien y D f .xI ˆi D konstant/ liefert ˆi .xI y/ D 2  x  3  y C C unter der Annahme C D 0 und umgeformt zu 3  y D 2  x  ˆi sowie durch 2 dividiert

yD

2 1  x   ˆi : 3 3

Aufgabe 8.2 Ebene Potenzialströmung 2

485

Die Auswertung der Gleichungen für die Strom- und Potenziallinien erfolgt mit dem o. g. Tabellenkalkulationsprogramm. Die Ergebnisse sind in Abb. 8.1 dargestellt.

Aufgabe 8.2 Ebene Potenzialströmung 2 Von einer ebenen, inkompressiblen, stationären Strömung sind die Geschwindigkeitskomponenten cx .xI y/ und cy .xI y/ bekannt. Zunächst soll nachgewiesen werden, ob eine Potenzialströmung vorliegt oder nicht. Des Weiteren sind die Stromfunktion und die Potenzialfunktion dieser Strömung zu ermitteln. Außerdem werden die Strom- und Potenziallinien bei festen Zahlenwerten der Strom- und Potenzialfunktion gesucht anschließend und in einem Diagramm dargestellt.

Lösung zu Aufgabe 8.2 Aufgabenerläuterung Für den Nachweis einer Potenzialströmung müssen Kontinuität und Wirbelfreiheit mit den genannten Geschwindigkeitskomponenten festgestellt werden. Die Ermittlung der Stromund Potenzialfunktion erfolgt aufgrund der betreffenden Definitionsgleichungen und der bekannten Geschwindigkeitskomponenten cx .xI y/ und cy .xI y/. Zur Bestimmung der Strom- und Potenziallinien ist es sinnvoll, die Strom- und Potenzialfunktion derart umzuformen, dass explizite Gleichungen y.x/ entstehen mit jeweils Stromfunktionswert und Potenzialfunktionswert als Parameter. Die Auswertung mit einem geeigneten Tabellenkalkulationsprogramm liefert dann die entsprechenden Kurvenverläufe. Gegeben:  cx D x 2  y 2 I

cy D 2  x  y

Gesucht: 1. Potenzialströmungsnachweis 2. Stromfunktion ‰ und Potenzialfunktion ˆ 3. Stromlinien bei ‰ D ˙10; ˙50; ˙100 und Potenziallinien bei ˆ D ˙10; ˙50; ˙100 Anmerkung

 cx D C @‰.xIy/ I @y

cy D  @‰.xIy/ I @x

cx D C @ˆ.xIy/ I @x

cy D C @ˆ.xIy/ @y

486

8

Potenzialströmungen

Lösungsschritte – Fall 1 Für den Potenzialströmungsnachweis muss zum einen Wirbelfreiheit mit ! D 0 gewährleistet sein. Dies bedeutet, dass

!D

@cy @cx  D0 @x @y

sein muss. Mit cy D 2  x  y wird @cy D 2  y: @x Des Weiteren ist

@cx D 2  y: @y Mit diesen beiden partiellen Differenzialquotienten folgt 2  y  .2  y/ D 0 und somit cx D x 2  y 2

und somit

0 D 0;

also ist die Wirbelfreiheit gegeben. Zum anderen muss das Kontinuitätsgesetz erfüllt sein. Dies ist gegeben, wenn

@cy @cx C D0 @x @y

gilt. Mit cx D x 2  y 2 wird

@cx D2x @x

und mit cy D 2  x  y wird @cy D 2  x: @y Mit diesen beiden partiellen Differenzialen folgt 2  x C .2  x/ D 0 und somit auch hier 0D0 und die Kontinuitätsgleichung ist ebenfalls erfüllt. Hiermit liegt eine Potenzialströmung vor.

Aufgabe 8.2 Ebene Potenzialströmung 2

487

Lösungsschritte – Fall 2 Für die Stromfunktion ‰ lässt sich mit cx D

@‰ @y

und cx D x 2  y 2

@‰ D x 2  @y  y 2  @y herleiten. Die Integration Z

Z @‰ D x 2 

Z @y 

y 2  @y

(mit x D konstant) führt zu ‰ D x2  y 

1 3  y C C2 .x/; 3

wobei C2 .x/ die Integrationskonstante ist. Die Integrationskonstante C2 .x/ lässt sich wie folgt bestimmen: Sie kann nicht von y abhängen (es wird ja über y integriert) wohl aber von x als die bei der Integration festgehaltene Größe. Partielles Differenzieren nach x (bei y D konstant) liefert:     @ x2  y @ 13  y 3 @C2 .x/ @‰ D  C @x @x @x @x @C2 .x/ : D2xyC @x Verwendet man noch

@‰ @x

D cy und cy D 2  x  y, so folgt 2xy D2xyC

und damit

Mit

@C2 .x/ @x

@C2 .x/ D 0: @x Z

Z @C2 .x/ D

0  @x

erhält man C2 .x/ D C . Das endgültige Ergebnis für ‰ lautet schließlich

‰ .xI y/ D x 2  y 

1 3  y C C: 3

488

8

Für die Potenzialfunktion ˆ lässt sich mit cx D

@ˆ @x

Potenzialströmungen

und cx D x 2  y 2

@ˆ D x 2  @x  y 2  @x herleiten. Die Integration Z

Z

Z x 2  @x  y 2 

@ˆ D

@x

mit y = konstant führt zu ˆD

1 3  x  y 2  x C C1 .y/; 3

wobei C1 .y/ die Integrationskonstante ist. Die Integrationskonstante C1 .y/ kann nicht von x abhängen (es wird ja über x integriert) wohl aber von y als die bei der Integration festgehaltene Größe. Partielles Differenzieren nach y (bei x D konstant) liefert     @ 13  x 3 @ y2  x @C1 .y/ @ˆ D  C @y @y @y @y @C1 .y/ D 2  y  x C : @y Verwendet man noch

@ˆ @y

D cy und cy D 2  x  y, so folgt 2  x  y D 2  x  y C

und damit

Mit

R

@C1 .y/ D

R

@C1 .y/ @y

@C1 .y/ D 0: @y 0  @y erhält man C1 .y/ D C:

Das endgültige Ergebnis für ˆ lautet schließlich

ˆ .xI y/ D

1 3  x  x  y 2 C C: 3

Aufgabe 8.2 Ebene Potenzialströmung 2

489

Lösungsschritte – Fall 3 Gesucht sind jetzt die Stromlinien und Potenziallinien. Stromlinien: Wir suchen y D f .xI ‰i D konstant/ bei ‰i D ˙10; ˙50; ˙100; Mit 1 3 y CC 3

‰ D x2  y 

unter der Annahme C D 0 umgeformt erhält man 1 3  y  x 2  y D ‰ 3 oder mit 3 multipliziert y 3  3  x 2  y D 3  ‰: Diese Funktion lässt sich mittels Polarkoordinaten in einer einfacher auswertbaren Gleichung wie folgt darstellen. Mit x D r  cos ' und y D r  sin ' ergibt dies 3  ‰ D r 3  sin3 '  3  r 2  cos2 '  r  sin ': Wenn wir jetzt (r 3 ) ausklammern und cos2 ' D 1  sin2 ' einsetzen, führt das zu    3  ‰ D r 3  sin3 '  3  1  sin2 '  sin '   D r 3  sin3 '  3  sin ' C 3  sin3 '   D r 3  4  sin3 '  3  sin ' : Durch 3 dividiert ergibt dies  

4 2 D ‰: r  sin '   sin '  1 3 3

Nun wird durch den Klammerausdruck dividiert, r3 D 

sin ' 

4 3

‰ ;  sin2 '  1

und die dritte Wurzel führt dann zum Ergebnis s rD

3



sin ' 

4 3

‰ :  sin2 '  1

490

8

Potenzialströmungen

Potenziallinien: Wir suchen y D f .xI ˆi D konstant/ bei ˆi D ˙10; ˙50; ˙100; Mit ˆD

1 3  x  x  y2 C C 3

unter der Annahme C D 0 umgeformt erhält man 1 3  x  x  y2 D ˆ 3 oder, mit 3 multipliziert, x 3  3  x  y 2 D 3  ˆ: Diese implizite Funktion lässt sich mittels Polarkoordinaten wie folgt in einer expliziten Funktion darstellen. Mit x D r  cos ' und y D r  sin ' ergibt sich r 3  cos3 '  3  r  cos '  r 2  sin2 ' D 3  ˆ: Wenn wir jetzt (r 3 ) ausklammern und cos2 ' D 1  sin2 ' einsetzen, führt das zu    3  ˆ D r 3  cos3 '  3  cos '  1  cos2 '   D r 3  cos3 '  3  cos ' C 3  cos3 '   D r 3  4  cos3 '  3  cos ' : Division durch 3 liefert zunächst  

4 D ˆ:  cos2 '  1 r 3  cos '  3 Dann wird durch den Klammerausdruck dividiert, r3 D

cos ' 

4 3

ˆ ;  cos2 '  1

und die dritte Wurzel führt auch hier zum Ergebnis: s rD

3

cos ' 

4 3

ˆ :  cos2 '  1

Aufgabe 8.2 Ebene Potenzialströmung 2

491

Vorgehensweise bei der Auswertung mit einem Tabellenkalkulationsprogramm: 1. ‰ bzw. ˆ als Parameter vorgeben 2. ' als Variable einsetzen 3. Mit 1. und 2. folgt mit o. g. Gleichungen jeweils r. 4. Mit 2. und 3. erhält man gemäß x D r  cos ' jeweils die x-Koordinaten. 5. Mit 2. und 3. erhält man gemäß y D r  sin ' jeweils die y-Koordinaten. 6. Somit kennt man die Stromlinien y D f .xI ‰i D konstant/ bzw. die Potenziallinien y D f .xI ˆi D konstant/.

Ψ = −100

Ψ = 50

Ψ = 10 Ψ = −10 Ψ = −50

Ψ = 100

Φ =− 100

Φ =− 50

Φ = 10 Φ = −10

Φ = 50

Φ = 100

Ψ = −10

Ψ = −50

Ψ = −100

Die Ergebnisse der Auswertungen sind für ‰i D ˙10; ˙50; ˙100 bzw. ˆi D ˙10; ˙50; ˙100 sind in Abb. 8.2 dargestellt.

y

8

6

4

2

0 -8

-6

-4

-2

x 0

2

4

6

8

-2 Φ = 100

Φ = −100 Φ = −50

Φ = 50

-4

Φ = 10

Φ = −10

-6

Abb. 8.2 Ebene Potenzialströmung, Strom- und Potenziallinien 2

Ψ = 100

Ψ = −10 Ψ = 10 Ψ = 50

Ψ =− 50

Ψ =− 100

Φ =− 100

Φ =− 50

Φ = 10 Φ = −10

Φ = 50

Φ = 100

Ψ = 10

Ψ = 50

Ψ = 100

-8

492

8

Potenzialströmungen

Aufgabe 8.3 Ebene Potenzialströmung 3 Von einer ebenen, inkompressiblen, stationären Strömung sind die Geschwindigkeitskomponenten cx .xI y/ und cy .xI y/ bekannt. Zunächst ist die Stromfunktion dieser Strömung zu bestimmen. Dann werden die Stromlinien bei festen Zahlenwerten der Stromfunktion gesucht. Die so ermittelten Stromlinien sind anschließend mit einem geeigneten Tabellenkalkulationsprogramm in einem Diagramm darzustellen.

Lösung zu Aufgabe 8.3 Aufgabenerläuterung Die Ermittlung der Stromfunktion erfolgt aufgrund der betreffenden Definitionsgleichung und der bekannten Geschwindigkeitskomponenten cx .xI y/ und cy .xI y/. Zur Bestimmung der Stromlinien ist es sinnvoll, die Stromfunktion derart umzuformen, dass explizite Gleichungen y.x/ entstehen mit jeweils dem Stromfunktionswert als Parameter. Die Auswertung mit o. g. Tabellenkalkulationsprogramm liefert dann die entsprechenden Kurvenverläufe. Gegeben:  cx D 3  x 2  2  y 2 I

cy D 6  x  y

Gesucht: 1. ‰.xI y/: Stromfunktion 2. y D f .xI ‰i D konstant/: Stromlinien bei ‰i D ˙0;2; ˙1; ˙2 Anmerkung



@‰.xIy/ @x

D cy

und

@‰.xIy/ @y

D cx

Lösungsschritte – Fall 1 D cy unter Verwendung von cy D Für die Stromfunktion ‰.xI y/ entsteht mit @‰.xIy/ @x 6  x  y der Ausdruck @‰ .xI y/ D 6  x  y: @x Umgeformt zu @‰ .xI y/ D 6  x  y  @x und integriert über x (bei y D konstant) ergibt das dann Z

Z @‰ .xI y/ D ‰ .xI y/ D 6  y 

x  @x D 6  y 

x2 C C.y/; 2

Aufgabe 8.3 Ebene Potenzialströmung 3

493

also

‰.xI y/ D 3  x 2  y C C.y/:

Fehlt noch die Integrationskonstante C.y/. Diese lässt sich wie folgt bestimmen: C.y/ kann nicht von x abhängen (es wird ja über x integriert) wohl aber von y als die bei der Integration festgehaltene Größe. Partielles Differenzieren nach y (bei x D konstant) liefert nach Umstellung der Gleichung zu C.y/ D ‰.xI y/  3  x 2  y den Ausdruck

Mit

@‰.xIy/ @y

  @C.y/ @‰.xI y/ @ 3  x 2  y D  : @y @y @y

D cx (s. o.) und cx D 3  x 2  2  y 2 haben wir @‰ .xI y/ D 3  x2  2  y2 @y   @ 3  x2  y D 3  x2: @y

und außerdem

Oben eingesetzt, bedeutet das   @C.y/ D 3  x2  2  y2  3  x2: @y Hieraus folgt @C.y/ D 2  y 2 : @y Mit @y multipliziert, führt das zu @C.y/ D 2  y 2  @y und über y integriert,

Z

Z @C.y/ D C.y/ D 2 

zu

y 2  @y

2 C.y/ D   y 3 C C: 3

494

8

Potenzialströmungen

Als Ergebnis entsteht schließlich

‰.xI y/ D 3  x 2  y 

2 3  y C C: 3

Lösungsschritte – Fall 2 Gefragt sind nun die Linien mit y D f .xI ‰i D konstant/ bzw. die Stromlinien bei ‰i D ˙0;2; ˙1; ˙2. Mit ‰ D 3  x2  y 

2 3 y CC 3

führt das unter der Annahme C D 0 auf 2 3  y  3  x 2  y D ‰: 3 Diese Funktion lässt sich mittels Polarkoordinaten in einer einfacher auswertbaren Gleichung wie folgt darstellen. Mit x D r  cos ' und y D r  sin ' ergibt dies 2 3  r  sin3 '  3  r 2  cos2 '  r  sin ' D ‰ 3 oder, mit (3=2) multipliziert, r 3  sin3 ' 

9 2 3  r  cos2 '  r  sin ' D   ‰: 2 2

Mit cos2 ' D 1  sin2 ', folgt zunächst r 3  sin3 ' 

 9 2  3  r  1  sin2 '  r  sin ' D   ‰ 2 2

oder ausmultipliziert dann r 3  sin3 ' 

9 3 9 3  r  sin ' C  r 3  sin3 ' D   ‰ 2 2 2

und weiter zusammengefasst 11 3 9 3  r  sin3 '   r 3  sin ' D   ‰ 2 2 2 Multiplikation mit 2 führt im nächsten Schritt zu 11  r 3  sin3 '  9  r 3  sin ' D 3  ‰:

Aufgabe 8.3 Ebene Potenzialströmung 3

495

y

2

Ψ = −2

1,5

Ψ = −1

1 Ψ = −0,2

Ψ=2

Ψ=1

Ψ = 0,2 0,5

Ψ = 0,2

Ψ=1

Ψ=2

0 -2

-1,5

-1 Ψ = −2 Ψ = −1

-0,5

0

Ψ = −0,2

0,5 Ψ = −0,2

-0,5

1 Ψ = −1

Ψ=2

-1

Ψ=1

-1,5 Ψ = 0,2

-2

Abb. 8.3 Ebene Potenzialströmung; Stromlinien 3

Wird dann (r 3 ) ausgeklammert,   r 3  11  sin3 '  9  sin ' D 3  ‰; und dann durch den Klammerausdruck dividiert, entsteht r3 D 

3‰ : 11  sin3 '  9  sin '

Mit der dritten Wurzel lässt sich das Ergebnis wie folgt angeben: s rD

3



3‰ : 11  sin '  9  sin ' 3

1,5 Ψ = −2

x

2

496

8

Potenzialströmungen

Vorgehensweise bei der Auswertung mit einem Tabellenkalkulationsprogramm: 1. ‰ als Parameter vorgeben 2. ' als Variable einsetzen 3. Mit 1. und 2. folgt mit o. g. Gleichungen jeweils r. 4. Mit 2. und 3. erhält man gemäß x D r  cos ' jeweils die x-Koordinaten. 5. Mit 2. und 3. erhält man gemäß y D r  sin ' jeweils die y-Koordinaten. 6. Somit kennt man die Stromlinien y D f .xI ‰i D konstant/. Die Ergebnisse der Auswertungen sieht man für ‰i D ˙0;2; ˙1; ˙2 in Abb. 8.3.

Aufgabe 8.4 Quellströmung Die Geschwindigkeitskomponenten cx .xI y/ und cy .xI y/ einer Quellströmung sind bis auf einen Koeffizienten der cy .xI y/-Komponente bekannt. Wenn das Kontinuitätsgesetz im vorliegenden Fall erfüllt ist, soll unter dieser Voraussetzung zunächst der Koeffizient A von cy .xI y/ ermittelt werden. Danach wird noch die Stromfunktion dieser Quellströmung gesucht.

Lösung zu Aufgabe 8.4 Aufgabenerläuterung Die Lösung der gestellten zwei Teilaufgaben gelingt unter Verwendung des Kontinuitätsgesetzes, der gegebenen Geschwindigkeitskomponenten und der Definition der Stromfunktion. Gegeben:  cx D

E 2



x I x 2 Cy 2

cy D A 

y x 2 Cy 2

Gesucht: 1. Koeffizient A 2. ‰.xI y/ Anmerkungen



@‰.xIy/ @x

 Die

@‰.xIy/ @y x Kontinuitätsgleichung @c @x

D cy

und

D cx C

@cy @y

D 0 soll erfüllt sein.

Aufgabe 8.4 Quellströmung

497

Lösungsschritte – Fall 1 An den Koeffizienten A kommen wir mit folgender Überlegung. Mit dem Kontinuitätsgesetz @cy @cx C D0 @x @y lassen sich unter Verwendung der gegebenen Geschwindigkeitskomponenten cx D

E x  2 2  x C y2

die partiellen Differenzialquotienten Differenzialquotient

@cx @x :

@cx @x

und

und cy D A  @cy @y

x2

y C y2

wie folgt herleiten.

Aus cx D

E x  2 2  x C y2

entsteht mit den Substitutionen K

E ; 2

uDx

und v D x 2 C y 2

der neue einfache Ausdruck

cx D K 

Die Ableitung

@cx @x

u : v

(bei y D konstant) lautet @cx u0  v  v 0  u DK @x v2

(Quotientenregel), wobei dann aus den Substitutionen für u und v u0 D

@u @v D 1 und v 0 D D2x @x @x

folgt. Oben eingesetzt ergibt das dann   1  x2 C y2  2  x  x @cx DK @x .x 2 C y 2 /2

498

8

oder

@cx y2  x2 : DK @x .x 2 C y 2 /2

Differenzialquotient

cy : cy @y

Aus cy D A 

y x2 C y2

entsteht mit den Substitutionen uDy

und v D x 2 C y 2

der Ausdruck

cy D A 

Die Ableitung

@cy @y

u : v

(bei x D konstant) lautet @cy u0  v  v 0  u DA @y v2

(Quotientenregel), wobei dann aus den Substitutionen für u und v u0 D

@u @v D 1 und v 0 D D2y @y @y

folgt. Oben eingesetzt heißt dies   1  x2 C y2  2  y  y @cy DA @y .x 2 C y 2 /2 und somit

@cy x2  y2 : DA @y .x 2 C y 2 /2

Potenzialströmungen

Aufgabe 8.4 Quellströmung

499

Unter der Voraussetzung der Kontinuität, gefundenen Ergebnisse erhält man K

y2  x2 .x 2 C y 2 /2

CA

x2  y2 .x 2 C y 2 /2

@cx @x

C

@cy @y

D 0 bzw:

D 0, und unter Verwendung der oben

K

y2  x2 .x 2 C y 2 /2

DA

y2  x2 .x 2 C y 2 /2

:

Hieraus wird

ADKD

E : 2

Lösungsschritte – Fall 2 Jetzt geht es um die Stromfunktion ‰.xI y/: Mit den nun bekannten Geschwindigkeitskomponenten E x  2 cx D 2  x C y2 und cy D

E 2



y x 2 Cy 2

sowie

@‰.xIy/ @y

D cx und zur Vereinfachung

.cx D/

@‰ .xI y/ x DK 2 @y x C y2

E 2

D K gesetzt entsteht

oder

x  @y: C y2 Die Integration (bei x D konstant) führt zunächst zu Z Z x  @y: @‰ .x D konstantI y/ D K  2 x C y2 @‰ .xI y/ D K 

x2

Wird (x 2 ) im Nenner ausgeklammert, liefert dies Z Z @‰ .x D konstantI y/ D K 

x   @y  2 x 2  1 C yx 2 Z 1 1 DK   @y: 2 x 1 C yx 2

Mit der Substitution z D Z

y x

sowie

@z @y

D

1 x

oder @y D x  @z bekommen wir Z 1 1  @z x x 1 C z2 Z 1 DK  @z: 1 C z2

@‰ .x D konstantI z/ D K 

500

8

Potenzialströmungen

Damit ist die Integration jetzt auf ein Grundintegral zurückgeführt. Das Ergebnis lautet zunächst ‰ .x D konstantI z/ D K  arctan z C C.z/: Wird z D

y x

zurücksubstituiert, liefert dies dann

‰ .xI y/ D K  arctan

y  x

C C.x/:

Die Integrationskonstante C.x/ kann nicht von y abhängen (es wurde ja über y integriert) wohl aber von x als die bei der Integration festgehaltene Größe. Nach C.x/ umgestellt erhält man C.x/ D ‰ .xI y/  K  arctan

y  x

:

Als Nächstes wird die Gleichung nach x differenziert:    @ arctan yx @C.x/ @‰ .xI y/ D K : @x @x @x Die beiden Summanden werden separat betrachtet: 1. 2.

@‰.x;y/ D cy D @x @Œarctan. yx / K : @x

K 

y , x 2 Cy 2

Hier ist es sinnvoll ist, vorübergehend z D K

y x

zu substituieren, also

@ arctan z @z  : @z @x

Im Einzelnen wird dies wie folgt differenziert: @ arctan z 1 D @z 1 C z2

und

@z 1 D .1/  y  2 : @x x

Das führt, oben eingesetzt, auf    @ arctan yx 1 1 K  .1/  y  2 DK y2 @x x 1 C x2 x2 1  .1/  y  2 x2 C y2 x y D K  2 : x C y2 DK

Aufgabe 8.5 Dipolströmung

501

In die Ausgangsgleichung

@C.x/ @x

übertragen ergibt dies

  @C.x/ y y  K  D K  2 D 0: @x x C y2 x2 C y2 Nach Multiplikation mit @x und der Integration Z Z @C.x/ D 0  @x erhält man C.x/ D C 0 : Die gesuchte Stromfunktion der Quellströmung lautet mit

‰ .xI y/ D

E 2

DK

y  E  arctan C C‘ 2 x

Aufgabe 8.5 Dipolströmung Im Fall einer Dipolströmung ist die Stromfunktion bekannt. Für ein Fluidteilchen an einem festen Punkt P .xI y/ soll der Strömungswinkel ˛ ermittelt werden.

Lösung zu Aufgabe 8.5 Aufgabenerläuterung Ausgehend von der bekannten Stromfunktion ‰.xI y/ muss mit der Definition der Stromfunktion in Verbindung mit den Geschwindigkeitskomponenten sowie der Winkeldefinition dieser bestimmt werden. Gegeben: M   ‰ .x; y/ D  2

y x 2 Cy 2

(Stromfunktion)

Gesucht:  ˛ bei P .x D 6I y D 9/ und M D 10 m3 /s Anmerkung

 cx D

@‰.xIy/ @y

und cy D  @‰.xIy/ @x

502

8

Potenzialströmungen

Lösungsschritte     c c Mit tan ˛ D cyx oder ˛ D arctan cyx erhält man zunächst aufgrund von cx D C

@‰ .xI y/ @y

und cy D  "

˛ D arctan

Hierin müssen

@‰.xIy/ @x

Differenzialquotient

und

@‰.xIy/ @y

@‰.xIy/ : @x

 @‰.xIy/ @x @‰.xIy/ @y

@‰ .xI y/ @x

# :

aus der Stromfunktion abgeleitet werden.

Mit der Quotientenregel für

‰ .xI y/ D 

M M u y D   2  x2 C y2 2 v

erhält man (wobei uDy substituiert werden)

und v D x 2 C y 2

M u0  v  v 0  u @‰ .xI y/ : D  @x 2 v2

Wegen u0 D wird daraus

@u @v D 0 und v 0 D D2x @x @x

  @‰ .xI y/ M 0  x2 C y2  2  x  y D  @x 2 .x 2 C y 2 /2

und somit

@‰ .xI y/ M 2xy : D  @x 2  .x 2 C y 2 /2

Differenzialquotient

@‰.xIy/ : @y

Mit der Quotientenregel für

‰ .xI y/ D 

M u M y D   ; 2  x2 C y2 2 v

Aufgabe 8.5 Dipolströmung

503

erhält man (wobei und v D x 2 C y 2

uDy substituiert werden)

@‰ .xI y/ M u0  v  v 0  u : D  @y 2 v2

Wegen u0 D wird daraus

@u @v D 1 und v 0 D D2y @y @y

  @‰ .xI y/ M 1  x2 C y2  2  y2 D  @y 2 .x 2 C y 2 /2

und somit

@‰ .xI y/ M x2  y2 : D  @y 2  .x 2 C y 2 /2

Oben eingesetzt führt das zu " ˛ D arctan

2 #  2  x  y  x2 C y2 .x 2  y 2 /  .x 2 C y 2 /2

bzw. als Endergebnis 

2xy ˛ D arctan x2  y2

 :

Im Punkt P.x D 6I y D 9/ auf der Stromlinie ‰ D 0;123 D konstant erhält man dann den Winkel   269 ˛ D arctan 2 6  92 und somit

˛ D arctan .2;4/ D 67;4ı :

504

8

Potenzialströmungen

Aufgabe 8.6 Ebene Potenzialströmung 4 Von einer ebenen, inkompressiblen, stationären Strömung sind die Geschwindigkeitskomponenten cx .x/ und cy .y/ bekannt. Zunächst soll nachgewiesen werden, ob eine Potenzialströmung vorliegt oder nicht. Des Weiteren sind die Stromfunktion und die Potenzialfunktion dieser Strömung zu ermitteln. Außerdem werden die Strom- und Potenziallinien bei festen Zahlenwerten der Strom- und Potenzialfunktion gesucht anschließend und in einem Diagramm dargestellt.

Lösung zu Aufgabe 8.6 Aufgabenerläuterung Für den Nachweis einer Potenzialströmung müssen Kontinuität und Wirbelfreiheit mit den genannten Geschwindigkeitskomponenten festgestellt werden. Die Ermittlung der Strom- und Potenzialfunktion erfolgt aufgrund der betreffenden Definitionsgleichungen und der bekannten Geschwindigkeitskomponenten cx .x/ und cy .y/. Die Bestimmung der Strom- und Potenziallinien wird mit den expliziten Gleichungen y.x/ und den jeweiligen Stromfunktionswerten und Potenzialfunktionswerten als Parameter durchgeführt. Die Auswertung mit einem geeigneten Tabellenkalkulationsprogramm liefert dann die entsprechenden Kurvenverläufe. Gegeben:  cx D 2  xI

cy D 2  y

Gesucht: 1. Potenzialströmungsnachweis 2. Stromfunktion ‰ und Potenzialfunktion ˆ 3. Diagramm der Stromlinien bei ‰i D ˙10; ˙30; ˙50 und der Potenziallinien bei ˆi D ˙10; ˙30; ˙50 Anmerkungen

 cx D C @‰.xIy/ I @y  

@cx @x @cy @x

C 

@cy @y @cx @y

cy D  @‰.xIy/ I @x

cx D C @ˆ.xIy/ I @x

cy D C @ˆ.xIy/ @y

D 0: Kontinuität D 0: Wirbelfreiheit

Lösungsschritte – Fall 1 Potenzialströmung liegt vor, wenn gleichzeitig das Kontinuitätsgesetz und Wirbelfreiheit erfüllt sind.

Aufgabe 8.6 Ebene Potenzialströmung 4

505

Kontinuität: Das Kontinuitätsgesetz lautet

@cy @cx C D 0: @x @y

Die beiden im vorliegenden Fall zu bestimmenden partiellen Differenzialquotienten erhält man aus cx D 2  x und cy D 2  y zu

@cx D 2 und @x

@cy D 2: @y

Somit ist wegen

22D0

die Kontinuität erfüllt. Wirbelfreiheit: Wirbelfreiheit ist gegeben, wenn

@cy @cx  D0 @x @y

vorliegt. Aus cx D 2  x

und cy D 2  y

folgt @cy D 0 und @x

@cx D 0: @y

Daher ist aufgrund von

00D0

auch die Wirbelfreiheit erfüllt. Die vorliegende Strömung genügt damit den Kriterien der Potenzialströmung.

506

8

Lösungsschritte – Fall 2 An die Stromfunktion ‰ gelangen wir folgendermaßen: Aus cx D Multiplikation mit @y @‰ .xI y/ D cx  @y;

Potenzialströmungen

@‰.xIy/ @y

entsteht durch

wobei cx D 2  x eingesetzt werden muss, also @‰ .xI y/ D 2  x  @y: Integriert man (bei x D konstant) über y, Z

Z @‰ .xI y/ D 2  x 

@y;

so führt zu

‰ .xI y/ D 2  x  y C C.x/:

Die Integrationskonstante C.x/ kann nicht von y abhängen (es wird ja über y integriert) wohl aber von x als die bei der Integration festgehaltene Größe. Nach C.x/ umgestellt erhält man: C.x/ D ‰ .xI y/  2  x  y: Partielles Differenzieren nach x (bei y D konstant) liefert @‰ .xI y/ @ .2  x  y/ @C.x/ D  : @x @x @x Mit

@ .2  x  y/ @‰ .xI y/ D cy I cy D 2  y und D2y @x @x (s. o.) erhält man @C.x/ D .2  y/  2  y D 0: @x Mit @x multipliziert ergibt das @C.x/ D 0  @x und integriert

Z

Z @C.x/ D

0  @x

Aufgabe 8.6 Ebene Potenzialströmung 4

507

oder

C.x/ D C 0 :

Die Stromfunktion lautet somit

‰ .xI y/ D 2  x  y C C 0 :

Zur Potenzialfunktion ˆ.xI y/ gelangen wir mit diesen Überlegungen: Aus cx D entsteht durch Multiplikation mit @x

@ˆ.xIy/ @x

@ˆ .xI y/ D cx  @x; wobei cx D 2  x eingesetzt werden muss, also @ˆ .xI y/ D 2  x  @x: Nun wird über x integriert (bei y D konstant), Z

Z @ˆ .xI y/ D 2 

x  @x;

das führt zu

ˆ .xI y/ D x 2 C C.y/:

Die Integrationskonstante C.y/ kann nicht von x abhängen (es wird ja über x integriert) wohl aber von y als die bei der Integration festgehaltene Größe. Nach C.y/ umgestellt erhält man C.y/ D ˆ .xI y/  x 2 : Partielles Differenzieren nach y (bei x D konstant) liefert   @C.y/ @ˆ .xI y/ @ x 2 D  : @y @y @y   @ x2 @ˆ .xI y/ D cy I cy D 2  y und D0 @y @y

508

8

Potenzialströmungen

(s. o.) erhält man @C.y/ D 2  y: @y Mit @y multipliziert liefert das @C.y/ D 2  y  @y und integriert ergibt sich

Z

Z @C.y/ D 2 

y  @y

oder

C.y/ D 2 

y2 C C D y 2 C C: 2

Somit lautet die Potenzialfunktion

ˆ.xI y/ D x 2  y 2 C C:

Lösungsschritte – Fall 3 Jetzt brauchen wir noch das Diagramm der Stromlinien bei ‰i D ˙10; ˙30; ˙50 und der Potenziallinien bei ˆi D ˙10; ˙30; ˙50. Stromlinien y D f .xI ‰i D konstant/: Benutzt man ‰ D 2  x  y mit C 0 D 0 gesetzt und durch 2  x dividiert, so resultiert

yD

1 ‰  : 2 x

Potenziallinien y D f .xI ˆi D konstant/: Benutzt man ˆ D x 2  y 2 mit C D 0; stellt zu y 2 D x 2  ˆ um und zieht dann die Wurzel, so erhält man p y D ˙ x 2  ˆ:

Aufgabe 8.7 Ebene Potenzialströmung 5

509

y

12 10 Φ = −50 Φ = −30

8

Φ = −10 Φ = 10 Φ = 30

6 Ψ = −50

Ψ = 50

4

Ψ = −30

Φ = 50

Ψ = 30

Ψ = −10 2

Ψ = 10

0 -12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Ψ = 10 -2 Ψ = 30 Φ = 50 Φ = 30 Φ = 10 Φ = −10

2

6

8

10 x 12

Ψ = −10

-4

Ψ = 50

Φ = −30 Φ = −50

4

Ψ = −30 Ψ = −50

-6 -8 -10 -12

Abb. 8.4 Ebene Potenzialströmung; Strom- und Potenziallinien 4

Hiermit lassen sich die Stromlinien y.x/ bei ‰i D ˙10; ˙30; ˙50 und die Potenziallinien y.x/ bei ˆi D ˙10; ˙30; ˙50 mit o. g. Tabellenkalkulationsprogramm berechnen (vgl. Aufgabe 8.2), das Ergebnis ist in Abb. 8.4 dargestellt.

Aufgabe 8.7 Ebene Potenzialströmung 5 Von einer ebenen, inkompressiblen, stationären Strömung ist die Potenzialfunktion ˆ.xI y/ bekannt. Zunächst soll die Stromfunktion ‰.xI y/ dieser Strömung ermittelt werden. Dann werden die Stromlinien und Potenziallinien bei festen Zahlenwerten der Strom- und Potenzialfunktion gesucht. Anschließend sind diese in einem Diagramm mit einem geeigneten Tabellenkalkulationsprogramm darzustellen.

510

8

Potenzialströmungen

Lösung zu Aufgabe 8.7 Aufgabenerläuterung Die Ermittlung der Stromfunktion ‰.xI y/ erfolgt aufgrund der betreffenden Definitionsgleichung und der bekannten Potenzialfunktion ˆ.xI y/. Zur Bestimmung der Strom- und Potenziallinien ist es sinnvoll, die Strom- und Potenzialfunktion derart umzuformen, dass explizite Gleichungen y.x/ entstehen mit jeweils dem Stromfunktionswert bzw. Potenzialfunktionswert als Parameter. Die Auswertung mit o. g. Tabellenkalkulationsprogramm liefert dann die entsprechenden Kurvenverläufe. Gegeben:  ˆ.x; y/ D x 2  y 2 C x  y Gesucht: 1. Stromfunktion ‰.xI y/ 2. Diagramm der Stromlinien bei ‰i D 0; ˙1; ˙2; ˙5 und der Potenziallinien ˆi D 0; ˙1; ˙2; ˙5 Anmerkung

 cx D C @‰.xIy/ I @y

cy D  @‰.xIy/ I @x

cx D C @ˆ.xIy/ I @x

cy D C @ˆ.xIy/ @y

Lösungsschritte – Fall 1 An die Stromfunktion ‰.xI y/ kommen wir wie folgt: Mit z. B. cx D

@ˆ.xI y/ @x

wird

und ˆ.xI y/ D x 2  y 2 C x  y

  @ x2  y2 C x  y D 2  x C y; @x

also cx D Weiterhin lautet auch cx D

@‰.xIy/ @y

@ˆ.xI y/ D 2  x C y: @x

und folglich

@‰.xI y/ D 2  x C y: @y Multipliziert mit @y liefert das dann @‰ .xI y/ D .2  x C y/  @y:

Aufgabe 8.7 Ebene Potenzialströmung 5

511

Wird dies integriert (bei x D konstant), Z

Z ‰ .xI y/ D

.2  x C y/  @y;

so bekommen wir

y2 C 2  x  y C C.x/: 2 Hierin fehlt noch die Integrationskonstante C.x/. Diese kann nicht von y abhängen (es wurde ja über y integriert) wohl aber von x als die bei der Integration festgehaltene Größe. Nach C.x/ umgestellt erhält man ‰ .xI y/ D

C.x/ D ‰ .xI y/ 

y2 C 2  x  y: 2

Wenn man jetzt nach x differenziert,  2 y @C.x/ @‰ .xI y/ @ 2 @ .2  x  y/ D   ; @x @x @x @x und weiterhin @‰ .xI y/ D cy @x verwendet, erhält man zunächst

@ und

 2 y 2

@x

D0

@ .2  x  y/ @C.x/ D cy  0  : @x @x Wegen

@.2xy/ @x

D 2  y folgt nun @C.x/ D cy  2  y: @x

Weiterhin lautet cy D (s. o.), d. h.

@ˆ.xI y/ @y

mit

ˆ.xI y/ D x 2  y 2 C x  y

  @ x2  y2 C x  y cy D D 2  y C x: @y

Oben eingesetzt liefert das @C.x/ D  .2  y C x/  2  y @x

512

8

Potenzialströmungen

und folglich @C.x/ D x: @x Dies wird jetzt mit @x multipliziert, @C.x/ D x  @x; und dann integriert,

Z

Z @C.x/ D 

x  @x;

das führt zu

C.x/ D 

x2 C C: 2

C ist jetzt weder von x noch von y abhängig. Damit lautet das Ergebnis

‰ .xI y/ D

y2 x2  C 2  x  y C C: 2 2

Lösungsschritte – Fall 2 Jetzt brauchen wir noch das Diagramm der Stromlinien bei ‰i D 0; ˙1; ˙2; ˙5 und der Potenziallinien bei ˆi D 0; ˙1; ˙2; ˙5. Es soll ein kartesisches Koordinatensystem verwendet werden. Folglich müssen die Gleichungen von ‰.xI y/ und ˆ.xI y/ in die Form y D f .xI ‰ D konstant/ bzw. y D f .xI ˆ D konstant/ gebracht werden. Stromlinien y D f .xI ‰ D konstant/: Die Stromfunktion ‰.xI y/ umgestellt führt zunächst zu x2 y2 D‰C  2  x  y: 2 2 Nach Multiplikation mit 2, y 2 D 2  ‰ C x 2  4  x  y; und Addition von 4  x  y haben wir zunächst y2 C 4  x  y D 2  ‰ C x2:

Aufgabe 8.7 Ebene Potenzialströmung 5

513

Dann wird 4  x 2 addiert, y2 C 4  x  y C 4  x2 D 2  ‰ C 5  x2; und die linke Seite wegen a2 C 2  a  b C b 2 D .a C b/2 in die folgende Form gebracht: .y C 2  x/2 D 5  x 2 C 2  ‰: Nun liefert Wurzelziehen p y C 2  x D ˙ 5  x2 C 2  ‰ und Umstellen das Ergebnis

y D 2  x ˙

p

5  x 2 C 2  ‰i :

Potenziallinien y D f .xI ˆ D konstant/: Die Potenzialfunktion ˆ umgestellt führt zunächst zu y 2 D x 2 C x  y  ˆ: Wird dann x  y subtrahiert, entsteht y 2  x  y D x 2  ˆ: Addition von x 2 =4 ergibt danach y2  x  y C

x2 x2 D C x2  ˆ 4 4

oder gemäß a2  2  a  b C b 2 D .a  b/2 weiter  2 5 1 y   x D  x 2  ˆ: 2 4 Mit der Wurzel folgt 1 y x D˙ 2

r

5 2 x ˆ 4

514

8

Potenzialströmungen

y

3

Ψ = −5

Φ = −5

2 Φ = −2

Ψ = −2

Φ = −1

Ψ = −1

Φ=1 Φ=2

Ψ=5 Φ=5

1

Ψ=2 Ψ=1

Ψ=0

Φ=0

Φ=0

-3

0

-1 Ψ = 0

-2

0

Ψ=1

1

2

x

3

Ψ=0

-1

Φ=2 Φ=1

Ψ=5

Φ=0

Φ=0

Ψ=2 Φ=5

Ψ=0

Ψ = −1 Ψ = −2

Φ = −1 Φ = −2

Ψ = −5

-2 Φ = −5

-3

Abb. 8.5 Ebene Potenzialströmung; Strom- und Potenziallinien 5

und schließlich das Ergebnis

1 y D x˙ 2

r

5 2  x  ˆi : 4

Hiermit lassen sich die Stromlinien y D f .xI ‰i D konstant/ und die Potenziallinien y D f .xI ˆi D konstant/ mit dem genannten Tabellenkalkulationsprogramm (vgl. Aufgabe 8.2) berechnen; das Ergebnis ist in Abb. 8.5 zu sehen.

Aufgabe 8.8 Zylinderumströmung

515

Aufgabe 8.8 Zylinderumströmung In Abb. 8.6 sind die Stromlinien zweier Elementarströmungen zu erkennen. Hierbei handelt es sich um eine Parallelströmung und um eine Dipolströmung. Die Überlagerung (Superposition) dieser beiden Elementarströmungen führt zu der Potenzialströmung um einen Kreiszylinder. Von der Parallelströmung ist die Geschwindigkeit bekannt und von der Dipolströmung das Dipolmoment. Ebenso ist die Fluiddichte gegeben. Neben Stromund Potenzialfunktion der Zylinderumströmung ‰ges .xI y/ und ˆges .xI y/ wird die resultierende Geschwindigkeit c.xI y/ einschließlich ihrer x- und y-Komponenten gesucht. Die Bestimmung des Zylinderradius R und der Lage des Staupunktes xS ist ebenfalls Gegenstand der Aufgabe. Weiterhin soll die Druckverteilung allgemein und speziell an der Zylinderkontur ermittelt werden. Dann werden noch die Stromlinien und Potenziallinien bei festen Zahlenwerten der Strom- und Potenzialfunktion gesucht. Anschließend sind diese in einem Diagramm mit Hilfe eines geeigneten Tabellenkalkulationsprogramms darzustellen.

Lösung zu Aufgabe 8.8 Aufgabenerläuterung Bei der Lösung dieser Aufgabe ist von den bekannten Strom- und Potenzialfunktionen der zugrunde liegenden überlagerten Elementarströmungen Gebrauch zu machen. Die hieraus resultierenden Ergebnisse ‰ges .xI y/ und ˆges .xI y/ sind dann Grundlage bei den Geschwindigkeitsermittlungen und der Bestimmung der gesuchten geometrischen Größen. Mit der nun bekannten Geschwindigkeit lässt sich die Druckverteilung allgemein

ΨP 1 ΨP 2 ΨP 3 ΨP 4 ΨP 5 ΨP 6 ΨP 7 ΨP 8 ΨP 9 ΨP 10 ΨP 11 ΨP 12 ΨP 13

8

y c

ΨDi 1 ΨDi 2 ΨDi 3

x ΨDi 6 ΨDi 5 ΨDi 4

Abb. 8.6 Parallel- und Dipolströmung

516

8

Potenzialströmungen

und speziell am Zylinderumfang mittels Bernoulli’scher Energiegleichung feststellen. Zur Bestimmung der Strom- und Potenziallinien ist es sinnvoll, die Strom- und Potenzialfunktion derart umzuformen, dass explizite Gleichungen y.x/ entstehen mit jeweils dem Stromfunktionswert ‰ges .xI y/ bzw. Potenzialfunktionswert ˆges .xI y/ als Parameter. Die Auswertung mit o. g. Tabellenkalkulationsprogramm liefert dann die entsprechenden Kurvenverläufe. Gegeben:  M: Dipolmoment  c1 : Geschwindigkeit der Parallelströmung  : Fluiddichte Gesucht: 1. ‰ges .xI y/: Gemeinsame Stromfunktion mit kartesischen Koordinaten 2. ˆges .xI y/: Gemeinsame Potenzialfunktion mit kartesischen Koordinaten 3. cx , cy , c.xI y/: Geschwindigkeit und Geschwindigkeitskomponenten mit kartesischen Koordinaten 4. xS : Staupunktlage auf der x-Achse 5. R: Körperkontur bei ‰ges D 0 6. p.xI y/: Druckverteilung mit kartesischen Koordinaten 7. p.rI '/: Druckverteilung mit Polarkoordinaten 8. Diagramm der Stromlinien bei ‰ges D 0; ˙1; ˙2; ˙4; ˙8 und der Potenziallinien bei ˆges D ˙4; ˙6; ˙8; ˙10 Anmerkungen

    

cx D C @‰.xIy/ cy D  @‰.xIy/ cx D C @ˆ.xIy/ cy D C @ˆ.xIy/ @y I @x I @x I @y ‰P D c1  y: Stromfunktion der Parallelströmung y M  x 2 Cy ‰Di D  2 2 : Stromfunktion der Dipolströmung ˆP D c1  x: Potenzialfunktion der Parallelströmung M x  x 2 Cy ˆDi D 2 2 : Potenzialfunktion der Dipolströmung

Lösungsschritte – Fall 1 Die Stromfunktion ‰ges .xI y/ der Gesamtströmung kann aus der Addition der einzelnen Stromfunktionen vorgenommen werden, also ‰ges .xI y/ D ‰P .y/ C ‰Di .xI y/. Unter Verwendung der gegebenen o. g. Stromfunktionen folgt:

‰ges .xI y/ D c1  y 

M y :  2 2  x C y2

Aufgabe 8.8 Zylinderumströmung

517

Lösungsschritte – Fall 2 Die Potenzialfunktion ˆges .xI y/ der Gesamtströmung kann aus der Addition der einzelnen Potenzialfunktionen vorgenommen werden, also ˆges .xI y/ D ˆP .y/ C ˆDi .xI y/. Unter Verwendung der gegebenen o. g. Potenzialfunktionen folgt:

M x :  2 2  x C y2

ˆges .xI y/ D c1  x 

Lösungsschritte – Fall 3 Die Geschwindigkeitskomponenten cx ; cy und die Geschwindigkeit c lassen sich bei bekannten Strom- und Potenzialfunktionen wie folgt herleiten. Hierbei muss zunächst mit cx .xI y/ und cy .xI y/ begonnen werden. Komponente cx .xI y/: Mit z. B. cx D

@ˆ.xIy/ @x

und unter Verwendung von

ˆges .xI y/ D c1  x 

M x  2 2  x C y2

erhält man zunächst cx D

 @ c1  x C

M 2



x



x 2 Cy 2

@x   M x  @ 2 x 2 Cy 2 @ .c1  x/ C D @x @x

bzw., mit den konstanten Größen c1 und M=.2  / vor den Differenzialquotienten,  cx D c1 

@x M C  @x 2

Trivialerweise ist c1 

@

x

x 2 Cy 2

@x

 :

@x D c1 : @x

Mit den Substitutionen uDx

und v D x 2 C y 2

bekommen wir für den zweiten Term     x M @ x 2 Cy 2 M @ uv  D  : 2 @x 2 @x

518

8

Potenzialströmungen

Bekanntermaßen lautet die Quotientenregel   @ uv u0  v  v 0  u : D @x v2 Mit den o. g. Substitutionen wird u0 D hier also @

u v

@x

D

@u @v D 1 und v 0 D D 2  x; @x @x

  1  x2 C y2  2  x  x

D

.x 2 C y 2 /2

y2  x2 .x 2 C y 2 /2

:

Als Ergebnis folgt

cx .xI y/ D c1 C

Komponente cy .xI y/: Mit z. B. cy D

M y2  x2 :  2  .x 2 C y 2 /2

@ˆ.xIy/ @y

und unter Verwendung von

ˆges .xI y/ D c1  x C

M x  2  x2 C y2

erhält man zunächst cy D D

 @ c1  x C

M 2

@y @ .c1  x/ C @y

 

@

x x 2 Cy 2

M 2





x x 2 Cy 2



@y

bzw. mit den konstanten Größen c1 und M=.2  / vor den Differenzialquotienten   x @x M @ x 2 Cy 2 cy D c1  C  : @y 2 @y Man sieht sofort, dass

@ .c1  x/ D 0: @y

Des Weiteren folgt mit den Substitutionen uDx

und v D x 2 C y 2

Aufgabe 8.8 Zylinderumströmung

519



für den zweiten Term M  2

@

x x 2 Cy 2

@y



  M @ uv D  : 2 @y

Mit der genannten Quotientenregel (s. o.), @

u

u0  v  v 0  u ; v2

D

v

@x führen die o. g. Substitutionen zu u0 D

@u @v D 0 und v 0 D D 2  y; @y @y

was dann oben eingesetzt das Ergebnis @

u v

@y

D

  0  x2 C y2  2  x  y .x 2

C

y 2 /2

D

2xy .x 2 C y 2 /2

zur Folge hat. Damit lautet

cy .xI y/ D 

Geschwindigkeit c.xI y/: Mit c D

M 2xy :  2  .x 2 C y 2 /2

q cx2 C cy2 wird bei Verwendung der o. g. Ergebnisse

v #2 " #2 u" u M M y2  x2 2xy t c .xI y/ D C :   c1 C 2  .x 2 C y 2 /2 2  .x 2 C y 2 /2

Lösungsschritte – Fall 4 Die Kennzeichen des Staupunkts xS sind cx D 0 an der Stelle xS und bei zur x-Achse symmetrischen Strömungsverläufen yS D 0. Mit y 2  xS2 M  S cx .xS I yS / D c1 C  D0 2  x2 C y2 2 S

erhält man zunächst c1 D 

S

y 2  xS2 M  S  : 2  x2 C y2 2 S S

520

8

Potenzialströmungen

Setzt man jetzt noch yS D 0 ein, so führt dies zu c1 D 

M xS2  2  xS4

oder, gekürzt und umgeformt, xS2 D 

M : 2   c1

Die Wurzel hieraus liefert s xS D ˙

M : 2   c1

Lösungsschritte – Fall 5 Die Körperkontur R bei der Staupunktstromlinie ‰Ges D 0 lässt sich wie folgt herleiten. Mit M y ‰ges .xI y/ D c1  y  D0  2  x2 C y2 erhält man c1  y D

M y :  2 2  x C y2

Verwendet man jetzt an Stelle der kartesischen Koordinaten sinnvollerweise die Polarkoordinaten x D r  cos ' und y D r  sin ', so entsteht c1  r  sin ' D

M M r  sin ' r  sin '  : D   2  r 2  cos2 ' C r 2  sin2 ' 2  r 2  cos2 ' C sin2 '

Mit cos2 ' C sin2 ' D 1 und Kürzen führt das zu c1 D

M 1  : 2  r2

Aufgelöst nach r 2 ergibt sich M 1  2  c1 und nach Wurzelziehen haben wir das Ergebnis r2 D

s rDRD

M 1 :  2  c1

Aufgabe 8.8 Zylinderumströmung

521

Dies ist der Radius eines als festen Körper sich vorzustellenden Zylinders. Mit dem Ergebnis gemäß Fall 4 liegt damit auch der Staupunkt xS auf der Zylinderkontur. Lösungsschritte – Fall 6 Für die Druckverteilung p.xI y/ in kartesischen Koordinaten wenden wir die Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen P1 und P .xI y/ an, das liefert zunächst p1 c2 p.x; y/ c 2 .x; y/ C 1 D C

2

2 bei vernachlässigten Höhengliedern. Multiplikation mit und Auflösen nach p.xI y/ ergeben

2

p .xI y/ D p1 C  c1   c 2 .xI y/ : 2 2 Das oben ermittelte Ergebnis für c.xI y/ eingesetzt führt zum gesuchten Druck

2 c 2 1 8 #2 " #2 9 " = M

< M y2  x2 2xy   C   : c1 C 2 : 2  .x 2 C y 2 /2 2  .x 2 C y 2 /2 ;

p .xI y/ D p1 C

Lösungsschritte – Fall 7 Etwas einfacher in der Anwendung der Druckverteilung gestaltet sich die Variante mit Polarkoordinaten p.rI '/. Hierzu wird die eben erhaltene Gleichung für den Druck unter Verwendung folgender Zusammenhänge umgeformt: R2  c1 D

M I 2

x D r  cos 'I

y D r  sin 'I

sin2 ' C cos2 ' D 1

Es ergibt sich 8" #2 2 2 2 2  sin '  r  cos '

2

< r p.rI '/ D p1 C  c1   c1 C R2  c1   2 2 2 : r 2  cos2 ' C r 2  sin2 ' " #2 9 = 2  r  cos '  r  sin ' C R2  c1    2 ; r 2  cos2 ' C r 2  sin2 ' 8" #2

2

< R2 sin2 '  cos2 ' D p1 C  c1   c1 C 2  c1   2 2 2 : r cos2 ' C sin2 ' " #2 9 = 2 R 2  cos '  sin ' C  c  : 1   2 ; r2 cos2 ' C sin2 '

522

8

Potenzialströmungen

Mit sin2 ' C cos2 ' D 1 bzw:

cos2 ' D 1  sin2 '

folgt (

 2   2

2

R2 2 p.rI '/ D p1 C  c1   c1 C 2  c1  sin '  1  sin ' 2 2 r 2

2 ) R C 2  c1  2  cos '  sin ' r (

  2

2

R2 2 D p1 C  c1   c1 C 2  c1  2  sin '  1 2 2 r 2

2 ) R C 2  c1  2  cos '  sin ' : r Jetzt wird im Klammerausdruck c1 ausgeklammert:

2  c1 2 ( 2

2 )

 2 R R2 

2 2   c1  1 C 2  2  sin '  1 C  2  cos '  sin ' 2 r r2

2 D p1 C  c1 2 (  2  2 2 ) R2

2 R2 R   c1  1  2 C 2  2  sin2 ' C  2  cos '  sin ' : 2 r r r2

p.rI '/ D p1 C

Werden dann die Klammerausdrücke ausquadriert, so erhält man

2  c1 2 ("   2 R2

2 1 2   c1  C4 1 2 r   4 R C 4  4  cos2 '  sin2 ' r

2 D p1 C  c1 2 ("   2 R2

2 1 2   c1  C4 1 2 r

  R4  C 4  4  1  sin2 '  sin2 ' r

p.rI '/ D p1 C

R2 r2

R2 r2





R4 R2  2  sin2 ' C 4  4  sin4 ' r r

R4 R2  2  sin2 ' C 4  4  sin4 ' r r

#

#

Aufgabe 8.8 Zylinderumströmung

D p1 C

2  c1 2 " 

2   c1  2 C4

R2 1 2 r

523

2

  R2 R2 R4 C 4  1  2  2  sin2 ' C 4  4  sin4 ' r r r #

R4 R4  sin2 '  4  4  sin4 ' 4 r r

und dann schließlich " # 2 R2

2

2 R2 2 1 2 C 4  2  sin ' p.rI '/ D p1 C  c1   c1  2 2 r r " # 2 R2

2 R2 2 D p1   c1  1 2 C 4  2  sin '  1 ; 2 r r und das Endergebnis hat dann die Form

2 p.rI '/ D p1   c1  2 R2 D

"

R2 1 r2

2

 # R2 2  1  4  2  sin ' r

M 1 :  2  c1

Hiernach kann an jeder Stelle des Strömungsfeldes mittels der Polarkoordinaten r und ' der jeweilige Druck ermittelt werden. Die Druckverteilung unmittelbar am Zylinder erhält man wie folgt: Mit r D R in der gerade erhaltenen Gleichung bekommen wir " 2  # R2

2 R2 2  1  1  4  2  sin ' p.'/ D p1   c1  2 R2 R h  i

2 D p1   c1  .1  1/2  1  4  1  sin2 ' 2 oder

p.'/ D p1 C



2   c1  1  4  sin2 ' : 2

524

8

Potenzialströmungen

Mit der Druckdifferenz p D p.'/  p1 und der Definition des Druckbeiwerts,

cp D

p ; 2 =2 c1

wird im Übrigen

cp D 1  4  sin2 ':

Lösungsschritte – Fall 8 Zum Schluss die Diagramme der Stromlinien bei ‰ges D 0; ˙1; ˙2; ˙4; ˙8 bzw. der Potenziallinien bei ˆges D ˙4; ˙6; ˙8; ˙10. Die Berechnung wird mit dem oben erwähnten Tabellenkalkulationsprogramm durchgeführt. Bei der Herleitung der Stromlinien y D f .xI ‰ges D konstant/ wird von der Gleichung M y  2 ‰ges .xI y/ D c1  y  2  x C y2 ausgegangen. Führt man noch R2 D

M 2   c1

ein und verwendet gleichzeitig noch den Zusammenhang r 2 D x 2 C y 2 , so folgt ‰ges

  R2 R2 D c1  y  y  2  c1 D c1  y  1  2 : r r

Aufgelöst nach y führt das zu

yD

‰ges  c1  1 

R2 r2

:

Die Anwendung des Tabellenkalkulationsprogramm bei der Ermittlung der Stromlinien y D f .xI ‰ges D konstant/ läuft nach folgendem Schema ab: 1. M, c1 und somit R sind gegeben 2. ‰ges als Parameter vorgeben

525 y [m]

Aufgabe 8.8 Zylinderumströmung

ψ=8

0,8 Φ = −10 Φ = −8 Φ = −6 Φ = −4

Φ=4

Φ=6

Φ = 10

Φ=8

0,6 ψ=4

0,4

M = 10 m³/s

ψ=0

c = 10 m/s

0,2

ψ=2

R

ψ=1 x [m]

0 -1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8 ψ = −11

-0,2

ψ = −2

-0,4

ψ = −4

-0,6 Φ = −10 Φ = −8 Φ = −6 Φ = −4

Φ=4

Φ=6

Φ=8

Φ = 10

-0,8 ψ = −8

-1

Abb. 8.7 Zylinderumströmung; Strom- und Potenziallinien

3. r als Variable einsetzen 4. Mit o. g. Gleichung erhält man dann y. p 5. Mit x D ˙ r 2  y 2 ist x bekannt Damit hat man die Stromlinien in der Darstellung y D f .xI ‰ges D konstant), vgl. Abb. 8.7. Bei der Herleitung der Potenziallinien y D f .xI ˆges D konstant/ wird von der Gleichung M x  2 ˆges .xI y/ D c1  x  2  x C y2 ausgegangen. Führt man noch R2 D

M 2   c1

ein und verwendet gleichzeitig noch den Zusammenhang r 2 D x 2 C y 2 , so folgt ˆges

  R2 R2 D c1  x C c1  x  2 D c1  x  1 C 2 : r r

526

8

Potenzialströmungen

Aufgelöst nach x ergibt das

xD

ˆges  c1  1 C

R2 r2

:

Die Anwendung des Tabellenkalkulationsprogramm bei der Ermittlung der Stromlinien y D f .xI ˆges D konstant/ läuft nach folgendem Schema ab: 1. 2. 3. 4. 5.

M, c1 und somit R sind gegeben ˆges als Parameter vorgeben r als Variable einsetzen Mit o. g. Gleichung erhält man dann x. p Mit y D ˙ r 2  x 2 ist y bekannt

Damit hat man die Stromlinien in der Darstellung y D f .xI ˆges D konstant/, vgl. Abb. 8.7.

Aufgabe 8.9 Halbkörperumströmung In Abb. 8.8 sind die Stromlinien zweier Elementarströmungen zu erkennen. Hierbei handelt es sich um eine Parallelströmung und um eine Quellströmung. Die Überlagerung (Superposition) dieser beiden Elementarströmungen führt zu der Potenzialströmung um einen Halbkörper. Von der Parallelströmung ist die Geschwindigkeit bekannt und von der Quellströmung die Ergiebigkeit. Ebenso ist die Fluiddichte gegeben. Neben Stromund Potenzialfunktion der Zylinderumströmung ges .xI y/ und ˆges .xI y/ wird die resultierende Geschwindigkeit c.xI y/ einschließlich ihrer x- und y-Komponenten gesucht. Weiterhin soll die Druckverteilung allgemein und der Druckunterschied zwischen zwei Punkten des Strömungsfelds ermittelt werden. Dann werden noch die Stromlinien und Potenziallinien bei festen Zahlenwerten der Strom- und Potenzialfunktion gesucht. Anschließend sollen die Strom- und Potenziallinien in einem Diagramm mit einem geeigneten Tabellenkalkulationsprogramm dargestellt werden..

Lösung zu Aufgabe 8.9 Aufgabenerläuterung Bei der Lösung dieser Aufgabe ist von den bekannten Strom- und Potenzialfunktionen der zugrunde liegenden überlagerten Elementarströmungen Gebrauch zu machen. Die

Aufgabe 8.9 Halbkörperumströmung

527 y ΨQ 4

8

ΨP 1 ΨP 2 ΨP 3 ΨP 4 ΨP 5 ΨP 6 ΨP 7 ΨP 8 ΨP 9 ΨP 10 ΨP 11 ΨP 12 ΨP 13

c

ΨQ 5

ΨQ 3

ΨQ 6

ΨQ 2

ΨQ 7 ΨQ 1

x

E ΨQ 8

ΨQ 12 ΨQ 9

ΨQ 10

ΨQ 11

Abb. 8.8 Parallel- und Quellströmung

hieraus resultierenden Ergebnisse ges .xI y/ und ˆges .xI y/ sind dann Grundlage bei den Geschwindigkeitsermittlungen. Mit der nun bekannten Geschwindigkeit lässt sich die Druckverteilung allgemein und speziell der Druckunterschied zwischen zwei Punkten des Strömungsfelds mittels Bernoulli’scher Energiegleichung feststellen. Zur Bestimmung der Strom- und Potenziallinien ist es sinnvoll, die Strom- und Potenzialfunktion derart umzuformen, dass explizite Gleichungen y.x/ entstehen mit jeweils dem Stromfunktionswert ‰ges .xI y/ bzw. Potenzialfunktionswert ˆges .xI y/ als Parameter. Die Auswertung mit o. g. Tabellenkalkulationsprogramm liefert dann die entsprechenden Kurvenverläufe. Gegeben: P

 E D Vb : Ergiebigkeit der Quellströmung  c1 : Geschwindigkeit der Parallelströmung  : Fluiddichte Gesucht: ‰ges .xI y/: gemeinsame Stromfunktion in kartesischen Koordinaten ‰ges .rI '/: gemeinsame Stromfunktion in Polarkoordinaten ˆges .xI y/: gemeinsame Potenzialfunktion in kartesischen Koordinaten ˆges .rI '/: gemeinsame Potenzialfunktion in Polarkoordinaten cx .xI y/, cy .xI y/, c.xI y/: Geschwindigkeit und Geschwindigkeitskomponenten in kartesischen Koordinaten 6. cx .rI '/, cy .rI '/, c.rI '/: Geschwindigkeit und Geschwindigkeitskomponenten in Polarkoordinaten 7. p.xI y/: Druckverteilung in kartesischen Koordinaten 1. 2. 3. 4. 5.

528

8

Potenzialströmungen

8. Druckdifferenz p zwischen den Punkten p1 .x1 I y1 / und p2 .x2 I y2 / bei gegebenen , E und c1 . 9. Diagramme der Stromlinien bei ‰ges D 0; ˙10; ˙12; ˙15 und Potenziallinien bei ˆges D ˙2; ˙4; ˙8; C12 Anmerkungen

 cx D C @‰.xIy/ cy D  @‰.xIy/ cx D C @ˆ.xIy/ cy D C @ˆ.xIy/ @y I @x I @x I @y  ‰P D c1  y: Stromfunktion der Parallelströmung in kartesischen Koordinaten y E  ‰Q D 2  arctan x : Stromfunktion der Quellströmung in kartesischen Koordinaten der Parallelströmung in kartesischen Koordinaten  ˆP D c1  x: Potenzialfunktion  p E 2 2  ˆQ D 2  ln x C y : Potenzialfunktion der Quellströmung in kartesischen Koordinaten Lösungsschritte – Fall 1 Die Stromfunktion ‰ges .xI y/ (in kartesischen Koordinaten) der Gesamtströmung kann aus der Addition der einzelnen Stromfunktionen vorgenommen werden, also ‰ges .xI y/ D ‰P .y/ C ‰Q .xI y/ : Unter Verwendung der gegebenen o. g. Stromfunktionen folgt

‰ges .xI y/ D c1  y C

y  E :  arctan 2 x

Lösungsschritte – Fall 2 In Polarkoordinaten gilt für ‰ges .rI '/ gemäß Abb. 8.11 y D r  sin '

und

arctan

y  x

_

D ':

In obige Gleichung eingesetzt liefert

‰ges .rI '/ D c1  r  sin ' C

E _  ': 2

Aufgabe 8.9 Halbkörperumströmung

529

Lösungsschritte – Fall 3 Die Potenzialfunktion ˆges .xI y/ (in kartesischen Koordinaten) der Gesamtströmung kann aus der Addition der einzelnen Potenzialfunktionen vorgenommen werden, also ˆges .xI y/ D ˆP .y/ C ˆQ .xI y/ : Unter Verwendung der gegebenen o. g. Potenzialfunktionen folgt

ˆges .xI y/ D c1  x C

 p E x2 C y2 :  ln 2

Lösungsschritte – Fall 4 In Polarkoordinaten gilt für ˆges .rI '/ gemäß Abb. 8.11 x D r  cos ' und y D r  sin '. In obige Gleichung eingesetzt liefert  q E r 2  cos2 ' C r 2  sin2 '  ln 2 q

  E D c1  r  cos ' C r 2  cos2 ' C sin2 '  ln 2   q E  ln r  cos2 ' C sin2 ' : D c1  r  cos ' C 2

ˆges .rI '/ D c1  r  cos ' C

Wegen cos2 ' C sin2 ' D 1 erhält man schließlich

ˆges .rI '/ D c1  r  cos ' C

E  ln r: 2

Lösungsschritte – Fall 5 Die Geschwindigkeitskomponenten cx ; cy und die Geschwindigkeit c lassen sich bei bekannten Strom- und Potenzialfunktionen wie folgt herleiten. Hierbei muss zunächst mit cx .xI y/ und cy .xI y/ begonnen werden. Geschwindigkeitskomponente cx .xI y/: Unter Verwendung von cx .xI y/ D und y  E ‰ges .xI y/ D c1  y C  arctan 2 x

@‰.xIy/ @y

530

8

Potenzialströmungen

wird cx .x; y/ D

 @ c1  y C

E 2

 arctan

 y  x

@y   E  arctan yx @ 2 @ .c1  y/ D C : @y @y

Werden die Glieder einzeln bei x D konstant partiell differenziert, liefert dies für den ersten Term @ .c1  y/ D c1 : @y Für den zweiten Term, @ substituieren wir z D @

y x





 arctan @y

E 2

 y  x

;

und erhalten

E 2

  arctan z @z E @ .arctan z/ @z  D   : @z @y 2 @z @y

Mit den partiellen Differenzialquotienten 1 @ .arctan z/ D @z 1 C z2

und

@z 1 D @y x

entsteht der Ausdruck E   @ 2  arctan yx 1 1 1 E 1 E 1 E x2  D  D    2  y 2  D 2 @y 2 1Cz x 2 1C x 2  x C y2 x x und nach Kürzen @



E 2

 arctan @y

 y  x

D

E x :  2 2  x C y2

Das Resultat für cx lautet mithin

cx .x; y/ D c1 C

E x :  2  x2 C y2

Aufgabe 8.9 Halbkörperumströmung

531

Geschwindigkeitskomponente cy .xI y/: Unter Verwendung von cy .xI y/ D und  p E ˆges .xI y/ D c1  x C x2 C y2  ln 2 wird i p h E  ln x2 C y2 @ c1  x C 2 cy .xI y/ D @y i p h E 2 C y2  ln x @ 2 @ .c1  x/ D C : @y @y

@ˆ.xIy/ @y

Die Glieder werden einzeln bei x D konstant partiell differenziert, das liefert für den ersten Term @ .c1  x/ D 0: @y Für den zweiten Term, i p h E  ln x2 C y2 @ 2 @y

D

E  2

i h p x2 C y2 @ ln @y

;

substituieren wir z D x 2 C y 2 und erhalten  p  @ ln z E @z   : 2 @z @y Des Weiteren substituieren wir m D

p z:

E @ .ln m/ @m @z    : 2 @m @z @y Mit

@ .ln m/ 1 D I @m m

@m 1 1 D p @z 2 z

und

@z D2y @y

folgt @ .ln m/ @m @z 1 1 1 E    D   p 2y 2 @m @z @y m 2 z 1 1 1 Dp  p  2  y: 2 2 2 2 x Cy x C y2 Somit wird

i h p x2 C y2 @ ln E E y  D  2 : 2 @y 2  .x C y 2 /

532

8

Potenzialströmungen

Das Resultat für cy lautet folglich

cy .xI y/ D

E y  : 2  .x 2 C y 2 /

Geschwindigkeit c.xI y/: Die resultierende Geschwindigkeit c im rechtwinkligen Dreieck setzt sich wie folgt zusammen: c.xI y/ D

q

cx2 .xI y/ C cy2 .xI y/:

Die beiden Geschwindigkeitskomponenten von oben werden nun eingesetzt: s  c.xI y/ D

c1 C

E x  2  .x 2 C y 2 /



2 C

E y  2  .x 2 C y 2 /

2

Ausmultipliziert und vereinfacht führt das zum Resultat s c.xI y/ D

2 c1

  E E 1 : C  2  c1  x C  2  x2 C y2 2

Lösungsschritte – Fall 6 Die Transformation der Geschwindigkeiten cx .xI y/, cy .xI y/ und c.xI y/ von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten lässt sich wie folgt durchführen. Geschwindigkeitskomponente cx .rI '/: Aus cx .x; y/ D c1 C

E x  2  x2 C y2

sowie x D r  cos ' und y D r  sin ' erhält man cx .rI '/ D c1 C

E E r  cos ' 1 cos ' D c1 C    2  r 2  cos2 ' C r 2  sin2 ' 2  r cos2 ' C sin2 '

Aufgabe 8.9 Halbkörperumströmung

533

Mit cos2 ' C sin2 ' D 1 wird dann

cx .rI '/ D c1 C

E cos '  : 2 r

Geschwindigkeitskomponente cy .rI '/: Aus cy .xI y/ D

E y  2  x2 C y2

sowie x D r  cos ' und y D r  sin ' erhält man cy .rI '/ D

E E r  sin ' 1 sin ' D :    2  r 2  cos2 ' C r 2  sin2 ' 2  r cos2 ' C sin2 '

Mit cos2 ' C sin2 ' D 1 wird dann

cy .rI '/ D

E sin '  : 2 r

Geschwindigkeit c.rI '/: Es ist c.rI '/ D

q cx2 C cy2 :

Werden hier die Geschwindigkeitskomponenten cx .rI '/ und cy .rI '/ eingesetzt, ergibt sich s     E E cos ' 2 sin ' 2 C :   c1 C c.rI '/ D 2 r 2 r Ausmultipliziert und vereinfacht führt zum Resultat s c.rI '/ D

2 c1

  E E 1 1 C   2  c1  cos ' C  : 2 r 2 r

534

8

Potenzialströmungen

Lösungsschritte – Fall 7 Für die Druckverteilung p.xI y/ in kartesischen Koordinaten wenden wir die Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen p1 und p.xI y/ an, das liefert zunächst p1 c2 p .xI y/ c 2 .xI y/ C 1 D C

2

2 bei vernachlässigten Höhengliedern. Multipliziert mit und nach p.xI y/ aufgelöst ergibt p .xI y/ D p1 C

2

 c1   c 2 .xI y/ : 2 2

Die Verwendung des oben ermittelten Ergebnisses c .xI y/ D 2

2 c1

  E E 1 C  2  c1  x C  2  x2 C y2 2

liefert

 

2

E E 1 2  2  c1  x C p .xI y/ D p1 C  c1   c1 C  2 2 2  x2 C y2 2

oder vereinfacht

p .xI y/ D p1  

  E E 1  c  x C :  2 1 2  x C y2 4

Lösungsschritte – Fall 8 Die Druckdifferenz p zwischen den Punkten p1 .x1 I y1 / und p2 .x2 I y2 / ergibt sich folgendermaßen: Wir formen   E E 1 p .xI y/ D p1    c1  x C  2  x2 C y2 4 um in die Form p1

  E E 1 D p .xI y/ C   c1  x C  2  x2 C y2 4

und wenden dies dann auf die beiden Punkte P1 .x1 I y1 / und P2 .x2 I y2 / an. Das führt zunächst zu dem resultierenden Zusammenhang   E E 1 p1 D p .x1 I y1 / C   c  x C  2 1 1 2  x1 C y12 4   E E 1 D p .x2 I y2 / C   c1  x2 C  : 2  x22 C y22 4

Aufgabe 8.9 Halbkörperumströmung

535

Dass allgemeine Ergebnis ist dann die Differenz p D p.x2 I y2 /  p.x1 I y1 /:

p D 

 

  1 E E E 1  :  c  x C  c  x C  2 1 2 1 1 2 4 4 x2 C y22 x12 C y12

Mit folgenden Zahlenwerten x1 D 8;58 m; y1 D 0;60 m; x2 D 4;97 m; y2 D 4;025 m; E D 18 m2 /s; c1 D 2 m/s; D 1 000 kg/m3 erhält man dann   1 18 18  2  4;97 C p D 1 000   2 4;972 C 4;0252 4  

18 1  2  .8;58/ C  .8;58/2 C 0;602 4 p D 1 406 Pa:

Lösungsschritte – Fall 9 Zum Schluss noch die Diagramme der Stromlinien bei ‰ges D 0; ˙10; ˙12; ˙15 und Potenziallinien bei ˆges D ˙2; ˙4; ˙8; C12: Bei der Herleitung der Stromlinien y D f .xI ‰ges D konstant/ wird von der Gleichung y  E  arctan ‰ges D c1  y C 2 x y  _ Gebrauch gemacht. Mit arctan x D ' folgt ‰ges D c1  y C

E _  ': 2

c1  y D ‰ges 

E _ ' 2

Umgeformt erhält man

oder   1 E _ yD  ‰ges  ' : c1 2

Die Anwendung o. g. Tabellenkalkulationsprogramms bei der Ermittlung der Stromlinien y D f .xI ‰ges D konstant/ läuft nach folgendem Schema ab:

536

1. 2. 3. 4. 5.

8

Potenzialströmungen

E und c1 sind gegeben. ‰ges ist als Parameter vorgeben. _ ' und damit ' ı als Variable einsetzen Mit 1. bis 3. erhält man y Mit x D y= tan ' erhält man x und somit die gesuchte Funktion   y D f xI ‰ges D konstant :

Durch Umformen der Potenzialfunktion ˆges .xI y/ lassen sich die Potenziallinien y D f .xI ˆges D konstant/ wie folgt bestimmen: Mit ˆges D c1  x C erhält man durch Einsetzen von r D

 p E x2 C y2  ln 2

p x2 C y2

ˆges D c1  x C

E  ln r 2

c1  x D ˆges 

E  ln r: 2

und durch Umstellen

Hieraus folgt die x-Koordinate   1 E xD  ˆges   ln r : c1 2

Die Anwendung o. g. Tabellenkalkulationsprogramms bei der Ermittlung der Potenziallinien y D f .xI ˆges D konstant/ läuft nach folgendem Schema ab: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

E und c1 sind gegeben. ˆges ist als Parameter vorgeben. r als Variable einsetzen Mit 1. bis 3. erhält man x. _ Mit 3. und 4. erhält man ' D arccos .x=r/. Mit 3. und 5. erhält man y D r  sin ' ı . Somit kennt man die gesuchte Funktion   y D f xI ˆges D konstant :

Aufgabe 8.10 Umströmter rotierender Zylinder

537 7

Φ = −4 Φ = −2 Φ = 0

Φ=2 Φ=4

y

Φ = −8

Φ=8

Φ = 12

ψ = 15

6

5

ψ = 12

4

ψ = 10

3

ψ=0

2

1

0 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

x

-1

-2

E = 18 m³/(s*m)

-3

ψ=0

-4

ψ = −10

-5

ψ = −12

c = 2 m/s

-6

ψ = −15

-7

Abb. 8.9 Halbkörperumströmung; Strom- und Potenziallinien

Die Auswertungen der Strom- und Potenziallinien bei E D 18 m2 /s und c1 D 2 m/s erfolgen mit dem genannten Tabellenkalkulationsprogramm für ‰ges D 0; ˙10; ˙12; ˙15 sowie ˆges D ˙2; ˙4; ˙8; C12. Die Kurvenverläufe sind in Abb. 8.9 dargestellt. Die für ‰ D 0 zu erkennende „Staupunktstromlinie“ kann als Kontur eines umströmten starren „Halbkörpers“ verstanden werden.

Aufgabe 8.10 Umströmter rotierender Zylinder In Abb. 8.10 sind die Stromlinien dreier Elementarströmungen zu erkennen. Hierbei handelt es sich um eine Parallelströmung, eine Dipolströmung und einen Potenzialwirbel. Die Überlagerung (Superposition) dieser drei Elementarströmungen führt zu der Potenzialströmung um einen rotierenden Zylinder (Flettner-Rotor!!). Bei der Parallelströmung liegen die Geschwindigkeit und der Druck sehr weit vor dem Zylinder vor. Von der Dipolströmung kennt man das Dipolmoment. Der Potenzialwirbel wird durch die gegebene Zir-

8

ΨP 1 ΨP 2 ΨP 3 ΨP 4 ΨP 5 ΨP 6 ΨP 7 ΨP 8 ΨP 9 ΨP 10 ΨP 11 ΨP 12 ΨP 13

c

8

538

Potenzialströmungen

ΨDi 1 ΨPW 1

ΨDi 2

ΨPW2

ΨDi 3

ΨPW 3

y

Γ x ΨDi 6 ΨDi 5 ΨDi 4

Abb. 8.10 Parallel- und Dipolströmung sowie Potenzialwirbel

kulation gekennzeichnet. Ebenso liegt die Fluiddichte vor. Neben Strom- und Potenzialfunktion des umströmten rotierenden Zylinders ‰ges .xI y/ bzw. ‰ges .rI '/ und ˆges .xI y/ bzw. ˆges .rI '/ werden die Zusammenhänge zur Ermittlung der Strom- und Potenziallinien gesucht. Die resultierende Geschwindigkeit c.xI y/ bzw. c.rI '/ einschließlich ihrer xund y-Komponenten sollen ebenfalls bestimmt werden. Weiterhin wird die Frage nach dem Druck im Strömungsfeld p.rI '/ gestellt ebenso wie nach dem Druckbeiwert cp am Zylinderumfang. Ebenfalls zu ermitteln ist die Querkraft, die aufgrund der Druckverteilung am Zylinderumfang wirksam wird. Stromlinien und Potenziallinien bei festen Zahlenvorgaben der Strom- und Potenzialfunktion gehören auch zum Aufgabenumfang. Das gleiche gilt für die aufgrund der Datenvorgabe am Zylinderumfang sich einstellende Geschwindigkeits- und Druckverteilung nebst Druckbeiwert. Die Darstellung in Diagrammen mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms bildet den Abschluss dieser Aufgabe.

Lösung zu Aufgabe 8.10 Aufgabenerläuterung Bei der Lösung dieser Aufgabe ist von den bekannten Strom- und Potenzialfunktionen der zugrunde liegenden überlagerten Elementarströmungen Gebrauch zu machen. Die hieraus resultierenden Ergebnisse ‰ges und ˆges sind dann Grundlage der Strom- und Potenziallinienbestimmung ebenso wie bei den Geschwindigkeitsermittlungen. Mit der nun bekannten Geschwindigkeit lässt sich die allgemeine Druckverteilung im Strömungsfeld mittels Bernoulli’scher Energiegleichung feststellen. Die Druckverteilung am Zylinderumfang erfolgt bei r D R. Zur Bestimmung der Strom- und Potenziallinien y.xI ‰ges D konstant/ sowie y.xI ˆges D konstant/ ist es sinnvoll, die Polarkoordinaten r und ' einzuführen. Aus diesem Grund werden die meisten gesuchten Größen dieser Aufgabe sowohl

Aufgabe 8.10 Umströmter rotierender Zylinder

539

in kartesischen als auch Polarkoordinaten zu ermitteln sein. Die Auswertung mit o. g. Tabellenkalkulationsprogramm liefert dann die entsprechenden Kurvenverläufe. Gegeben:     

c1 : Geschwindigkeit der Parallelanströmung p1 : Druck in der Parallelanströmung M: Dipolmoment  D c1  R: Zirkulation 2

: Fluiddichte

Gesucht: ‰ges .xI y/: gemeinsame Stromfunktion (kartesische Koordinaten) ‰ges .rI '/: gemeinsame Stromfunktion (Polarkoordinaten) ˆges .xI y/: gemeinsame Potenzialfunktion (kartesische Koordinaten) ˆges .rI '/: gemeinsame Potenzialfunktion (Polarkoordinaten) y.xI ‰ges D konstant/: Stromlinien y.xI ˆges D konstant/: Potenziallinien cx .xI y/, cy .xI y/, c.xI y/: Geschwindigkeitskomponenten und Geschwindigkeit (kartesische Koordinaten) 8. cx .rI '/, cy .rI '/, c.rI '/: Geschwindigkeitskomponenten und Geschwindigkeit (Polarkoordinaten) 9. p.rI '/: Druck im Strömungsfeld 10. cp : Druckbeiwert bei r D R 11. Fy : Querkraft 12. Diagramme bei: M D 10 m3 /s; c1 D 10 m/s; p1 D 5  105 Pa; D 1 000 kg/m3  Strom- und Potenziallinien: ‰ges D 0; ˙1; ˙2; ˙4; ˙8; ˙16 sowie ˆges D C0; C5; C8;75; C12;5; C15; C17;5 und 10; 15; 21;5; 25; 27;5; 30  Geschwindigkeit c.'/ am Umfang r D R  Druck p.'/ am Umfang r D R  Druckbeiwert cp .'/ am Umfang r D R

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Anmerkungen

 cx D C @‰.xIy/ cy D  @‰.xIy/ cx D C @ˆ.xIy/ cy D C @ˆ.xIy/ @y I @x I @x I @y  ‰P D c1  y: Stromfunktion der Parallelströmung y M  x 2 Cy  ‰Di D  2 2 : Stromfunktion der Dipolströmung   p ! x 2 Cy 2   ‰PW D 2  ln Stromfunktion des Potenzialwirbels zwischen R und r R  ˆP D c1  x: Potenzialfunktion der Parallelströmung

540

8

 ˆDi D  

M 2



x : x 2 Cy 2

Potenzialströmungen

Potenzialfunktion der Dipolströmung

   ˆPW D  2  arctan yx : Potenzialfunktion des Potenzialwirbels q M  c11 : Radius des rotierenden Zylinders R D 2

Lösungsschritte – Fall 1 Die Stromfunktion ‰ges .xI y/ (in kartesischen Koordinaten) der Gesamtströmung kann aus der Addition der einzelnen Stromfunktionen vorgenommen werden, also

‰ges .xI y/ D ‰P .y/ C ‰Di .xI y/ C ‰PW .xI y/ :

Unter Verwendung der gegebenen o. g. Stromfunktionen folgt:

M  y ‰ges .xI y/ D c1  y  C   ln 2  x2 C y2 2

! p x2 C y2 : R

Lösungsschritte – Fall 2 In Polarkoordinaten gilt für ‰ges .rI '/ mit den Zusammenhängen gemäß Abb. 8.11 y D r  sin ', x D r  cos ' und r 2 D x 2 C y 2 folgt zunächst ‰ges .rI '/ D c1  r  sin ' 

r  M r  sin '  C   ln 2 r2 2 R

oder

‰ges .rI '/ D c1  r  sin ' 

r  M sin '  :  C  ln 2 r 2 R

Lösungsschritte – Fall 3 Die Potenzialfunktion ˆges .xI y/ (in kartesischen Koordinaten) der Gesamtströmung kann aus der Addition der einzelnen Potenzialfunktionen vorgenommen werden ˆges .xI y/ D ˆP .y/ C ˆDi .xI y/ C ˆPW .xI y/ :

Aufgabe 8.10 Umströmter rotierender Zylinder

541

Stromlinie

y

r cr(r;φ) ΨGesi cx y

r

φ cy

Γ ω

c(r;φ)

R cφ(r;φ) φ

cR x

x

Abb. 8.11 Umströmter rotierender Zylinder; Stromlinie mit Geschwindigkeit

Unter Verwendung der gegebenen o. g. Potenzialfunktionen folgt

ˆges .xI y/ D c1  x C

y  M  x  :  2  arctan 2 2 x Cy 2 x

Lösungsschritte – Fall 4 In Polarkoordinaten gilt für ˆges .rI '/ wegen der o. g. Zusammenhängen sowie gemäß Abb. 8.11 y  y _ ; und folglich ' D arctan tan.'/ D x x also M r  cos '  _ ˆges .rI '/ D c1  r  cos ' C   ' 2 2 r 2 bzw.

ˆges .rI '/ D c1  r  cos ' C

M cos '  _    ': 2 r 2

Lösungsschritte – Fall 5 Da die Stromfunktion ‰ges in kartesischen Koordinaten implizit vorliegt, wird für die Stromlinien über den Umweg mit Polarkoordinaten der Zusammenhang y.xI ‰ges D

542

8

Potenzialströmungen

konstant/ wie folgt hergestellt: Ausgehend von ‰ges .rI '/ D c1  r  sin ' 

r  M sin '   C  ln 2 r 2 R

folgt umgeformt nach sin ' c1  r  sin ' 

r  M sin '   D ‰ges .xI y/   ln 2 r 2 R

oder sin ' D

‰ges .rI '/  c1  r 

Hierin sollen zunächst das Dipolmoment wie folgt ersetzt werden.

M 2

 2 M 2

 ln 

r R

1 r

:

und die Zirkulation

 2

des Potenzialwirbels

Dipolmoment M=.2  /: Aus R2 D

M 1  2  c1

wird durch Umformung

M D R2  c1 : 2 !

Zirkulation  =2  : Weiterhin lauten  D 2   c.r/  r sowie bei Potenzialwirbeln c.r/  r D cR  R. Hierbei ist cR die Umfangsgeschwindigkeit an der Zylinderkontur. Setzt man noch cR D R  !, so liefert dies  D2 RR! oder

 D cR  R D R2  !: 2  Hierin ist 2 wegen der frei wählbare Winkelgeschwindigkeit nur von dieser abhängig. Es hat sich als sinnvoll erwiesen, cR als ganzzahliges Vielfaches von c1 zu wählen, also

cR D 1  c1 ; 2  c1 ; 3  c1 ; : : :

Aufgabe 8.10 Umströmter rotierender Zylinder

543

Dann wird

   D c1  RI D c1  RI D c1  R: 2 4 6 Benutzt man z. B. cR D 1  c1 , so ist

 D c1  R: 2

Die so gefundenen Ausdrücke für setzt, zu

M 2

und

 2

führen, in o. g. Gleichung für sin ' einge-

  ‰ges  c1  R  ln Rr  :  sin ' D 2 c1  r  1  Rr 2

Vorgehensweise bei der Ermittlung der Stromlinien y.xI ‰ges D konstant/: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

M, c1 und folglich R sind gegeben. ‰ges ist als Parameter vorgeben. r als Variable einsetzen Mit o. g. Gleichung erhält man sin '. Mit y D r p  sin ' ist y bekannt. cos ' D ˙ 1  sin2 ' bekannt Mit x D r  cos ' ist x bekannt.

Damit erhält man die Stromlinien y.xI ‰ges D konstant/, das Ergebnis ist in Abb. 8.14 gezeigt. Lösungsschritte – Fall 6 Da auch die Potenzialfunktion ˆges in kartesischen Koordinaten implizit vorliegt, wird für die Potenziallinien über den Umweg mit Polarkoordinaten der Zusammenhang y.xI ˆges D konstant/ wie folgt hergestellt. Ausgangspunkt ist die in Polarkoordinaten hergeleitete Gleichung ˆges .rI '/ D c1  r  cos ' C

M cos '  _    ': 2 r 2

Es empfiehlt sich, die Abhängigkeit des Radius r vom Winkel ' herzuleiten, um daraus y.xI ˆges D konstant/ zu erhalten.

544

8

Potenzialströmungen

In o. g. Gleichung sollen wiederum das Dipolmoment M und die Zirkulation  des Potenzialwirbels wie oben ersetzt werden:

M D c1  R2 2

 D c1  R: 2

und

Es folgt ˆges .rI '/ D c1  r  cos ' C c1  R2 

cos ' _  c1  R  ' r

oder umgeformt 

R2 c1  r  cos '  1 C 2 r



_

D ˆges .rI '/ C c1  R  ':

Durch .c1  cos '/ dividiert wird daraus    2  _  1 ˆges .rI '/ C c1  R  ' r R2 R2 r   C 2 D 2  r 2 C R2 : Dr  1C 2 Dr  2 c1 cos ' r r r r Kürzen und Multiplikation mit r liefern _

1 ˆges .rI '/ C c1  R  '  r CR Dr  c1 cos ' 2

2

Mit der Substitution

_

1 ˆges .rI '/ C c1  R  '  K c1 cos '

und einer Umstellung ergibt sich r 2  r  K D R2 : Fügt man C

1 2

K

2

hinzu,  r2  r  K C

1 K 2



2 D

1 K 2

2  R2 ;

Aufgabe 8.10 Umströmter rotierender Zylinder

545

und formt um, so erhält man zunächst 2  1 1 r   K D  K 2  R2 : 2 4 Jetzt wird die Wurzel daraus gezogen, 1 r  K D˙ 2

r

1  K 2  R2 4

und die Substitution zurückgeführt. Das liefert das gesuchte Ergebnis: v u 1 1 1 ˆges .rI '/ C c1  R  ' u rD   ˙t  2 c1 cos ' 4 _

_ !2

1 ˆges .rI '/ C c1  R  '  c1 cos '

 R2 :

Vorgehensweise bei der Ermittlung der Potenziallinien y(x; ˆges = konstant): 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

M, c1 und folglich R sind gegeben. ˆges .rI '/ ist als Parameter vorgeben. ' als Variable einsetzen Mit o. g. Gleichung erhält man r. Mit y D r p  sin ' ist y bekannt. cos ' D ˙ 1  sin2 ' bekannt Mit x D r  cos ' ist x bekannt.

Damit erhält man die Potenziallinien y.xI ˆges D konstant/; das Ergebnis ist in Abb. 8.14 gezeigt. Lösungsschritte – Fall 7 Die Geschwindigkeitskomponenten cx .xI y/; cy .xI y/ und die Geschwindigkeit c.xI y/ lassen sich bei bekannten Strom- und Potenzialfunktionen wie folgt herleiten. Hierzu müssen zunächst die x- und y-Komponenten betrachtet werden. Geschwindigkeitskomponente cx .xI y/: Die Definition cx .xI y/ D die Verwendung des Ergebnisses von ˆges .xI y/, ˆges .xI y/ D c1  x C

@ˆ.xIy/ @x

y  M  x ;   2  arctan 2  x C y2 2  x

(s. o.) und

546

8

Potenzialströmungen

c(r;φ) : Tangente an ΨGes (r;φ)

P(r;φ)

cφ(r;φ)

p(R;φ) ΨGes i

R

ΨGes = 0

ΨGes i

φ

P

cR

8

φ0 Γ ω

S

ΨGes = 0

S

ΨGes = 0

ΨGes = 0 ΨGes = 0 : Nullstromlinie

Abb. 8.12 Umströmter rotierender Zylinder; wichtige Größen

liefern zunächst cx .xI y/ D

h @ c1  x C

M 2

 

@ .c1  x/ C D @x

@

x x 2 Cy 2



 2

@x 

M 2

x x 2 Cy 2



@x

Bei Verwendung der konstanten Größen c1 ,

M 2

 arctan

und

  2

@



 y i

 2

x

 arctan @x

 y  x

:

lässt sich auch formulieren

     x @ arctan yx @x M @ x 2 Cy 2  cx .xI y/ D c1  C    : @x 2 @x 2 @x

Wir betrachten die drei Summanden einzeln: 1. Summand

c1 

@x D c1 : @x

p

8

c

cr(r;φ)

r

8

p

8

8

c

Aufgabe 8.10 Umströmter rotierender Zylinder

2. Summand

M 2



 @

x x 2 Cy 2

@x

547



: Mit den Substitutionen uDx

und v D x 2 C y 2

erhält man den Ausdruck     x M @ x 2 Cy 2 M @ uv  D  : 2 @x 2 @x Bekanntermaßen lautet die Quotientenregel u

@

v

@x

D

u0  v  v 0  u ; v2

Mit den o. g. Substitutionen und somit @u @v D 1 und v 0 D D2x @x @x

u0 D führt das zu @

u v

@x

D

  1  x2 C y2  2  x  x .x 2 C y 2 /2

D

y2  x2 .x 2 C y 2 /2

:

Das Ergebnis lautet  M  2

3. Summand

 2



@Œarctan. yx / : @x

@

x x 2 Cy 2

@x

 D

M y2  x2 :  2  .x 2 C y 2 /2

Die Substitution z D

y x

führt zu

 @ .arctan z/ @z   : 2 @z @x Hierin lauten

@ .arctan z/ 1 D @z 1 C z2

sowie

@z y D  2: @x x

Dies wird oben eingesetzt, es ergibt sich nach Resubstitution     y @ arctan yx   1   2 :  D  2 2 @x 2  1 C y2 x x

548

8

Potenzialströmungen

Weiter umgeformt folgt    @ arctan yx y   x2  2  D  2 2 2 @x 2 x Cy x und schließlich    @ arctan yx   y :  D  2 @x 2  x2 C y2

Die Geschwindigkeitskomponente cx .xI y/ lautet dann zunächst   M  y2  x2 y cx .xI y/ D c1 C     : 2  .x 2 C y 2 /2 2  x2 C y2 Unter Verwendung von M D c1  R2 2

 D c1  R 2

und

entsteht schließlich cx .xI y/ D c1 C c1  R2 

y2  x2 .x 2

C

y 2 /2

C c1  R 

x2

y C y2

und, wenn noch c1 ausgeklammert wird, "

# y cx .xI y/ D c1  1 C R  CR 2 : x C y2 .x 2 C y 2 /2 y2  x2

2

(s. o.) und Geschwindigkeitskomponente cy .xI y/: Die Definition cy .xI y/ D @ˆ.xIy/ @y das Ergebnis von oben, y  M  x ;   2  arctan ˆges .xI y/ D c1  x C 2  x C y2 2  x liefern zunächst cy .xI y/ D

h @ c1  x C

M 2



x x 2 Cy 2

@x M D c1  C  @y 2



@y  @

 2

x x 2 Cy 2

@y



 arctan

 y i x

   @ arctan yx    : 2 @y

Aufgabe 8.10 Umströmter rotierender Zylinder

549

Wir betrachten die drei Summanden einzeln: 1. Summand

c1 

2. Summand

M 2



 @

x x 2 Cy 2

@y

@.x/ D 0: @y



: Mit den Substitutionen uDx

und v D x 2 C y 2

erhält man den Ausdruck  @

M  2

x



x 2 Cy 2

@y

  M @ uv D  : 2 @y

Bekanntermaßen lautet die Quotientenregel @

u D

v

@x

u0  v  v 0  u ; v2

Mit den o. g. Substitutionen und somit u0 D führt das zu @

u v

@y

D

@u @v D 0 und v 0 D D2y @y @y

  0  x2 C y2  2  x  y .x 2

C

y 2 /2

D

2xy .x 2 C y 2 /2

Das Ergebnis lautet  M @  2

3. Summand

 2



@Œarctan. yx / : @y

x x 2 Cy 2

@y

 D

M 2xy :  2  .x 2 C y 2 /2

Die Substitution z D

y x

führt zu

 @ .arctan z/ @z   : 2 @z @y

:

550

8

Hierin lauten

@ .arctan z/ 1 D @z 1 C z2

sowie

Potenzialströmungen

@z 1 D : @y x

Dies wird oben eingesetzt, es ergibt sich nach Resubstitution    @ arctan yx 1  1   :  D  2 y 2 @y 2 1C 2 x x Weiter umgeformt wird daraus    @ arctan yx 1  x2    D  2 2 @y 2  x C y2 x und schließlich    @ arctan yx   x :  D  2 2 @y 2  x C y2

Die Geschwindigkeitskomponente cy .xI y/ lautet dann zunächst cy .xI y/ D 0 

M  2xy x  :   2  .x 2 C y 2 /2 2  x 2 C y 2

Unter Verwendung von M D c1  R2 2

 D c1  R 2

und

entsteht schließlich cy .xI y/ D c1  R2 

2xy .x 2

C

y 2 /2

 c1  R 

x2

x C y2

und nach Ausklammern von (c1  R) "

# x cy .xI y/ D c1  R  R  C 2 : x C y2 .x 2 C y 2 /2 2xy

Aufgabe 8.10 Umströmter rotierender Zylinder

551

Geschwindigkeit c.xI y/: Mit c .xI y/ D

q cx2 .xI y/ C cy2 .xI y/

wird bei Verwendung der o. g. Ergebnisse v u " #2 u y2  x2 y u 2 2 uc1  1 C R  CR 2 u x C y2 .x 2 C y 2 /2 u " #2 c .xI y/ D u u 2  x  y x 2 2 t Cc R  R C 2 1 x C y2 .x 2 C y 2 /2 bzw.

c .xI y/ D v " #2 #2 u" u y2  x2 y 2x y x t 2 2 c1  CR 2 CR  R C 2 : 1CR  x C y2 x C y2 .x 2 C y 2 /2 .x 2 C y 2 /2

Hiermit kann an jeder Stelle P .xI y/ des Strömungsfelds die dort vorliegende Geschwindigkeit c.xI y/ ermittelt werden. Lösungsschritte – Fall 8 Die Transformation der Geschwindigkeiten cx .xI y/, cy .xI y/ und c.xI y/ von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten lässt sich wie folgt durchführen. Geschwindigkeitskomponente cx .rI '/: Mit der o. g. Gleichung für cx .xI y/ erhält man gemäß Abb. 8.11 und unter Verwendung von x D r cos ', y D r sin ' sowie r 2 D x 2 Cy 2 und sin2 ' C cos2 ' D 1 zunächst "

# r 2  sin2 '  r 2  cos2 ' r  sin ' : cx .rI '/ D c1  1 C R   2 C R  2 r  cos2 ' C r 2  sin2 ' r 2  cos2 ' C r 2  sin2 ' 2

Ausklammern und Kürzen führt weiterhin zu " # R2 sin2 '  cos2 ' R sin ' cx .rI '/ D c1  1 C 2   2 C  r r cos2 ' C sin2 ' cos2 ' C sin2 '

 R R2  2 2 D c1  1 C 2  sin '  cos ' C  sin ' : r r

552

8

Potenzialströmungen

Des Weiteren kann man sin2 '  cos2 ' D 1  2  cos2 ' ersetzen. Hiermit erhält man dann

 R R2  cx .rI '/ D c1  1 C 2  1  2  cos2 ' C  sin ' : r r

Geschwindigkeitskomponente cy .rI '/: Mit der o. g. Gleichung für cy .xI y/ erhält man gemäß Abb. 8.11 und 8.12 und unter Verwendung von x D r  cos ', y D r  sin ' sowie r 2 D x 2 C y 2 und sin2 ' C cos2 ' D 1 zunächst "

2  r  cos '  r  sin '

r  cos ' cy .rI '/ D c1  R  R   2 C 2 2 2 2 2 2 r  sin ' C r 2  cos2 ' r  sin ' C r  cos ' " # 2  cos '  sin ' cos '   D c1  R  R   2 C r  sin2 ' C cos2 ' r 2  sin2 ' C cos2 '   R 1 D c1  R   2  cos '  sin ' C  cos ' : r2 r Nun wird noch (cos '=r) ausgeklammert, das liefert das Ergebnis

cy .rI '/ D c1 

  R R  cos '  2   sin ' C 1 : r r

Geschwindigkeit c.rI '/: Mit c .rI '/ D

q cx2 .rI '/ C cy2 .rI '/

erhält man bei Verwendung o. g. Ergebnisse zunächst v u

2 2 u u c  1 C R  1  2  cos2 '  C R  sin ' u 1 r2 r 

c .rI '/ D u  u 2 R R t C c1   cos '  2   sin ' C 1 r r

#

Aufgabe 8.10 Umströmter rotierender Zylinder

553

und dann das Resultat

c .rI '/ D s

2   2 R R R R2 : c1   cos '  2   sin ' C 1 1 C 2  .1  2  cos2 '/ C  sin ' C r r r r

Hiermit kann an jeder Stelle P .rI '/ des Strömungsfelds die dort vorliegende Geschwindigkeit c.rI '/ ermittelt werden. Geschwindigkeit c.rI '/ am Zylinderumfang: Am Zylinderumfang ist r D R. Einsetzen der Ergebnisse in c.rI '/ ergibt s

2   2 R2 R R R 2 1 C 2  .1  2  cos '/ C  sin ' C  cos '  2   sin ' C 1 c.'/ D c1  R R R R q D c1  Œ1 C .1  2  cos2 '/ C sin '2 C Œcos '  .2  sin ' C 1/2 q D c1  Œ2  .1  cos2 '/ C sin '2 C Œ2  sin '  cos ' C cos '2 q 2  D c1  2  sin2 ' C sin ' C .2  sin '  cos ' C cos '/2 : Ausquadriert haben wir dann c.'/ D c1 

q 

2 2  sin2 ' C sin ' C .2  sin '  cos ' C cos '/2

q D c1  4  sin4 ' C 4  sin3 ' C sin2 ' C 4  sin2 '  cos2 ' C 4  sin '  cos2 ' C cos2 ' q   D c1  4  sin4 ' C 4  sin2 '  cos2 ' C 4  sin3 ' C 4  sin '  cos2 ' C sin2 ' C cos2 ' :

  Vereinfachend Größen in Verbindung mit sin2  C cos2  D 1 zusammengefasst q   4  sin4 ' C 4  sin2 '  cos2 ' C 4  sin3 ' C 4  sin '  cos2 ' C sin2 ' C cos2 ' q       D c1  4  sin2 '  sin2 ' C cos2 ' C 4  sin '  sin2 ' C cos2 ' C sin2 ' C cos2 ' q D c1  4  sin2 ' C 4  sin ' C 1:

c.'/ D c1 

554

8

Potenzialströmungen

Das Ergebnis lautet dann r c .'/ D 2  c1 

1 sin2 ' C sin ' C : 4

Hiermit lässt sich die Geschwindigkeit an jeder Stelle des Zylinderumfangs ermitteln. Der Geschwindigkeitsverlauf im Fall des gegebenen Zahlenmaterials ist in Abb. 8.15 zu erkennen. Lösungsschritte – Fall 9 Für die Druckverteilung p.rI '/ in Polarkoordinaten wenden wir die Bernoulli’sche Gleichung an den Stellen P1 und P .rI '/ an, das liefert zunächst p1 c2 p .rI '/ c 2 .rI '/ C 1 D C

2

2 bei vernachlässigten Höhengliedern. Multipliziert mit und nach p.rI '/ aufgelöst ergibt dies

2

  c 2 .rI '/ : p .rI '/ D p1 C  c1 2 2 Bei Verwendung des oben ermittelten Ergebnisses für c.rI '/ bekommen wir jetzt als Resultat der Druckverteilungsberechnung im Strömungsfeld (

2  R R2 

2

2 2 p .rI '/ D p1 C  c1   c1  1 C 2  1  2  cos ' C  sin ' 2 2 r r   2 ) R R C  cos '  2   sin ' C 1 r r oder auch (

2  R

2 R2  p .rI '/ D p1 C  c1  1  1 C 2  1  2  cos2 ' C  sin ' 2 r r   2 ) R R   cos '  2   sin ' C 1 : r r

Hiermit kann an jeder Stelle P .rI '/ des Strömungsfelds der dort vorliegende Druck p.rI '/ ermittelt werden.

Aufgabe 8.10 Umströmter rotierender Zylinder

555

Am Zylinderumfang ist r D R. Dies setzten wir in die Gleichung für p.rI '/ ein: (

2  R

2 R2  p.'/ D p1 C  c1  1  1 C 2  1  2  cos2 ' C  sin ' 2 R R   2 ) R R   cos '  2   sin ' C 1 R R o    2

2 n D p1 C  c1  1  1 C 1  2  cos2 ' C sin '  Œ2  sin '  cos ' C cos '2 2 i  2

2 h D p1 C  c1  1  2  sin2 ' C sin '  .2  sin '  cos ' C cos '/2 : 2 Jetzt werden die Klammern ausmultipliziert,  

2 p.'/ D p1 C  c1  Œ1  4  sin4 ' C 4  sin3 ' C sin2 ' 2    4  sin2 '  cos2 ' C 4  sin '  cos2 ' C cos2 ' 

2  D p1 C  c1  1  4  sin4 '  4  sin3 '  sin2 ' 2       4  sin2 '  1  sin2 '  4  sin '  1  sin2 '  1  sin2 ' ; es wird zusammengefasst,

2   c  1  4  sin4 '  4  sin3 '  sin2 '  4  sin2 ' 2 1  C 4  sin4 '  4  sin ' C 4  sin3 '  1 C sin2 ' 

2  D p1 C  c1  4  sin2 '  4  sin ' ; 2

p.'/ D p1 C

und wir erhalten schließlich

p.'/ D p1  4 



2  2  c  sin ' C sin ' : 2 1

Hiermit lässt sich der Druck an jeder Stelle des Zylinderumfangs ermitteln. Druckverlauf im Fall des gegebenen Zahlenmaterials ist in Abb. 8.16 zu erkennen.

556

8

Potenzialströmungen

Lösungsschritte – Fall 10 Der Druckbeiwert cp .'/ am Umfang r D R des Zylinders ist wie folgt definiert:

cp .'/ D

p.'/  p1 :

2 2  c1

Man erhält zunächst mit p.'/ am Umfang r D R (s. o.) p1  4  p.'/  p1 D cp .'/ D

2 2  c1

2

  2  c1  sin2 ' C sin '  p1 :

2 2  c1

Vereinfacht und gekürzt entsteht daraus das Resultat für den Druckbeiwert   cp .'/ D 4  sin2 ' C sin ' :

Der Verlauf des Druckbeiwertes cp in Abhängigkeit vom Winkel ' ist Abb. 8.17 zu entnehmen. Lösungsschritte – Fall 11 Die Querkraft Fy am rotierenden Zylinder senkrecht zu c1 lautet gemäß Abb. 8.13 Z2 Fy D dFy : 0

Hierin ist dFy D dF  sin '. dF wiederum lässt sich mit dF D p.'/  dA, wobei dA D B  R  d' ist, angeben. Somit erhält man Z2 p.'/  B  R  sin '  d': Fy D 0

Wird p.'/ nach dem o. g. Ergebnis eingesetzt, ergibt sich Z2 h i

2  2 p1  4   c1  sin ' C sin '  B  R  sin '  d': Fy D 2 0

Aufgabe 8.10 Umströmter rotierender Zylinder

557

y φ dA dφ Γ

dFy

R

φ

0 2π

ω

φ

dF

φ x dA B senkrecht zur Zeichenebene

Abb. 8.13 Umströmter rotierender Zylinder; Kraft dF am Oberflächenelement dA

Umgeformt führt das zu Z2 h i

2  2 Fy D B  R  p1  4   c1  sin ' C sin '  sin '  d' 2 0

oder 2 2 0 2 13 Z Z Z2 2  @ sin2 '  d' C sin3 '  d' A5 : Fy D B  R  4 p1  sin '  d'  2   c1 0

0

0

Die drei Integrale werden jetzt nacheinander gelöst: 1. Integral:

R 2 0

p1  sin '  d': Wir finden

Z2

p1  sin '  d' D p1  . cos '/j2 D p1  .1  1/ D 0 0 0

2. Integral:

R 2 0

sin2 '  d': Hier muss man die folgende allgemeine Lösung ansetzen:

ˇ2 Z2 Z2 cos '  sin.n1/ ' ˇˇ .n  1/ n sin ' d' D   sin.n2/ ' d' ˇ C ˇ n n 0

0

0

.n D 1I 2I 3I : : :/

558

8

Potenzialströmungen

In unserem Fall ist n D 2: ˇ2 Z2 Z2 .21/ ˇ ' cos '  sin .2  1/ ˇ 2 sin '  d' D  sin.22/ '  d'  ˇ C ˇ 2 2 0

0

1

D   cos '  sin 'j2 0 2

Z2 1 C  1  d' 2

0

0

1 1 D   Œcos .2  /  sin .2  /  cos.0/  sin.0/ C  Œ2   0 2 2 1 D   .1  0  1  0/ C ; 2 mit anderen Worten:

Z2 sin2 '  d' D 0

3. Integral:

R 2 0

sin3 '  d':

ˇ2 Z2 Z2 cos '  sin.n1/ ' ˇˇ .n  1/ n sin ' d' D   sin.n2/ ' d' ˇ C ˇ n n 0

0

.n D 1I 2I 3I : : :/

0

Jetzt ist n D 3: ˇ2 Z2 Z2 .31/ ˇ ' cos '  sin .3  1/ ˇ 3 sin '  d' D  sin.32/ '  d'  ˇ C ˇ 3 3 0

0

ˇ2 1 D   cos '  sin2 ' ˇ0 3

0

Z2 2 C  sin '  d' 3 0

ˇ2 2 1

D   cos '  sin2 ' ˇ0   cos 'j2 0 : 3 3

Aufgabe 8.10 Umströmter rotierender Zylinder

559

Einsetzen der Grenzen führt auf Z2 ˇ2 2 ˇ2 1 sin3 '  d' D   cos '  sin2 ' ˇ0   cos ' ˇ0 3 3 0

1 3 2  3 1 D  3

D 

  cos .2  /  sin2 .2  /  cos.0/  sin2 .0/  Œcos .2  /  cos.0/  .1  0  1  0/ 

2  .1  1/ ; 3

und es bleibt einfach

Z2 sin3 '  d' D 0: 0

Die gesuchte Kraft am rotierenden Zylinder lautet somit  2  . C 0/ Fy D B  R  0  2   c1 oder

2 Fy D 2   B  R   c1 :

Führt man noch die eingangs festgelegte Zirkulation

 2

D c1  R ein, so erhält man auch

Fy D   B   c1

(Kutta-Joukowski). Das negative Vorzeichen besagt, dass die Querkraft entgegen der in Abb. 8.13 angenommenen Richtung von dF bzw. dFy wirksam wird. Lösungsschritte – Fall 12 Zu guter Letzt sind nun die folgenden Diagramme für die Zahlenwerte M D 10 m3 /s, c1 D 10 m/s, p1 D 5  105 Pa und D 1 000 kg/m3 gefragt:

560

8

Potenzialströmungen

1,5 Φ = -15

Φ = -10

Φ=0

y [m]

Φ = -21,5

Φ=5

Φ = 8,75

R = 0,3989 m M = 10 m³/s

1,0

ψ = 16

cun = 10 m/s Γ/2 = cun*R 0,5

ψ=8

Γ

R 0,0 -2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

ψ=4

x [m] 2,0

ψ=2

-0,5

ψ=1 ψ=0 ψ = -1 ψ = -2

-1,0 ψ = -4 Φ = -30

Φ = -27,5 Φ = -25

Φ = -21,25

Φ = 8,75

Φ = 12,5

Φ = 15

Φ = 17,5

ψ = -8

-1,5

Abb. 8.14 Umströmter rotierender Zylinder; Strom- und Potenziallinien

 Strom- und Potenziallinien: ‰ges D 0; ˙1; ˙2; ˙4; ˙8; ˙16 sowie ˆges D C0; C5; C8;75; C12;5; C15; C17;5 und 10; 15; 21;5; 25; 27;5; 30: siehe Abb. 8.14  Geschwindigkeit c.'/ am Umfang r D R: siehe Abb. 8.15  Druck p.'/ am Umfang r D R: siehe Abb. 8.16  Druckbeiwert cp .'/ am Umfang r D R: siehe Abb. 8.17 Die Auswertungen und Diagrammdarstellungen erfolgten mit o. g. Tabellenkalkulationsprogramm.

Aufgabe 8.10 Umströmter rotierender Zylinder

561

35

30 cun. = 10 m/s

c(ф) [m/s]

25

20

15

10

5

0 0

30

60

90

120

150

180 210 ф[°]

240

270

300

330

360

330

360

Abb. 8.15 Umströmter rotierender Zylinder; Geschwindigkeitsverteilung am Umfang

Druckverteilung am Zylinderumfang 6

p(ф) [bar]

5

4

cun. = 10 m/s

3

R = 0,3989 m

pun. = 5,0

ρ = 1000 kg/m³ 2

1

0 0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

ф[°]

Abb. 8.16 Umströmter rotierender Zylinder; Druckverteilung am Umfang

300

562

8

Potenzialströmungen

2 1 0 0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

-1

ф[°]

cp [/]

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Abb. 8.17 Umströmter rotierender Zylinder; Druckbeiwert am Umfang

Diagramme und Tabellen

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 V. Schröder, Übungsaufgaben zur Strömungsmechanik 2, https://doi.org/10.1007/978-3-662-56056-3

563

Abb. Z.1 Rohrreibungszahl nach Moody

564 Diagramme und Tabellen

Diagramme und Tabellen

565

Tab. Z.1 Tatsächliche Rauigkeiten technischer Oberflächen [15] Rohrart, Werkstoff Neue gezogene oder gepresste Rohre aus Nichteisenmetall, Glas, Kunststoff Neue Gummi-Druckschläuche Neue Stahlrohre: nahtlos gewalzt oder gezogen

Neue Stahlrohre: aus Bleich geformt und längsgeschweißt Neue Stahlrohre: Mit Überzug

Gebrauchte Stahlrohre

Neue Gussrohre (Grauguss, Temperguss) Gebrauchte Gussrohre

Neue Steinzeugrohre (gebrannter Ton) Neue Asbestzementrohre (z. B. Eternitrohre) Neue Betonrohre und -kanäle

Gebrauchte Betonrohre und -kanäle (Wasserbetrieb) Holzrohre und -kanäle

Backsteinkanäle Bruchstein

Zustand technisch glatt

k in mm 0,001 . . . 0,0015

technisch glatt Walzhaut ungeheizte gebeizt enge Rohre Walzhaut und Schweißnaht

 0;0016 0,02 . . . 0,06 0,02 . . . 0,06 0,03 . . . 0,04 . . . 0,01 0,04 . . . 0,10

Metallspritzung sauber verzinkt handelsüblich verzinkt bitumiert zementiert galvanisiert leicht angerostet mäßig angerostet leicht verkrustet mäßig verkrustet stark verkrustet gereinigt mehrjähriger Betrieb Gusshaut bitumiert leicht angerostet mäßig angerostet stark angerostet verkrustet gereinigt

Glattstrich geglättet (mittelrau) ungeglättet (rau) geschleudert (glatt) Rohrstrecken ohne Stöße Rohrstrecken mit Stößen mehrjähriger Betrieb

0,08 . . . 0,09 0,07 . . . 0,10 0,1 . . . 0,16  0;05  0;18  0;008  0;15 0,15 . . . 0,4 0,15 . . . 0,4  1;5 2 ... 4 0,15 . . . 0,20  0;5 0,2 . . . 0,6 0,1 . . . 0,13 0,3 . . . 0,8 1,0 . . . 1,5  4;5 1,5 . . . 4 0,3 . . . 1,5 0,06 . . . 0,08 0,03 . . . 0,1 0,3 . . . 0,8 1,0 . . . 2,0 2,0 . . . 3,0 0,2 . . . 0,7  0;2  2;0 0,2 . . . 0,3

glatt (neu) rau (neu) nach langem Betrieb Mauerwerk gut gefugt unbearbeitet Mauerwerk bearbeitet

0,2 . . . 0,9 1,0 . . . 2,5  0;1 1,2 . . . 2,5 8 . . . 15 1,5 . . . 3,0

566

Diagramme und Tabellen

Abb. Z.2 Krümmerverlustziffer

Tab. Z.2 Kontraktionszahl A2 A1

0,01

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

˛K

0,60

0,61

0,62

0,65

0,7

0,77

1

Abb. Z.3 Verlustziffer einer Armatur

Diagramme und Tabellen

Abb. Z.4 Plattenreibungsbeiwert

567

Abb. Z.5 Widerstandsbeiwert umströmter Zylinder und Kugeln

568 Diagramme und Tabellen

Diagramme und Tabellen

Abb. Z.6 Polardiagramm und aufgelöstes Polardiagramm

569

Literatur

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

Becker, E.: Technische Strömungslehre. Teubner, Stuttgart (1993) Becker, E., Piltz, E.: Übungen zur Technischen Strömungslehre; B. Teubner, Stuttgart (1991) Böswirth, L.: Technische Strömungslehre. Vieweg & Sohn, Wiesbaden (1993) Cerbe, G., Hoffmann, H.-J.: Einführung in die Wärmelehre. Hanser, München, Wien (1990) Evett, J.B., Liu, C.: 2500 Solved Problems In Fluid Mechanics and Hydraulics. McGraw-Hill (1989) Giles, R.V., Evett, J.B., Liu, C.: Fluid Mechanics and Hydraulics. McGraw-Hill (1994) Iben, H.K.: Strömungslehre in Fragen und Aufgaben. Teubner, Stuttgart (1997) Kalide, W.: Einführung in die Technische Strömungslehre. Hanser, München (2015) Käppeli, E.: Aufgabensammlung zur Fluidmechanik Teil 2. Verlag Harry Deutsch, Thun und Frankfurt a.M. (1992) Krause, E.: Strömungslehre, Gasdynamik. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart (2003) Kümmel, W.: Technische Strömungsmechanik. Teubner, Wiesbaden (2001) Merker, G.P., Baumgarten, C.: Fluid- und Wärmetransport Strömungslehre. Teubner, Stuttgart (2004) Oertel, H. jr., Böhle, M., Dohrmann, U.: Übungsbuch Strömungsmechanik. Vieweg & Sohn Verlag; Braunschweig (2001) Siekmann, H.E.: Strömungslehre. Springer, Berlin, Heidelberg (2008) Sigloch, H.: Technische Fluidmechanik. Springer, Berlin, Heidelberg (2008) Strybny, J.: Ohne Panik Strömungsmechanik! Vieweg & Sohn Verlag, Braunschweig, Wiesbaden (2003) Surek, D., Stempin, S.: Angewandte Strömungsmechanik. B. G. Teubner Verlag, Wiesbaden (2007) Truckenbrodt, E.: Lehrbuch der angewandten Fluidmechanik. Springer, Berlin, Heidelberg (1988) Turtur, C.W.: Prüfungstrainer Physik. Vieweg + Teubner, Wiesbaden (2007) Zierep, J., Bühler, K.: Grundzüge der Strömungslehre. Vieweg + Teubner, Wiesbaden (2010) Truckenbrodt, E.: Fluidmechanik Bd. 2. Springer, Berlin, Heidelberg (1999) Petermann, H.: Einführung in die Strömungsmaschinen. Springer, Berlin (1988)

571

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