الرياضيات 6

‫‪‬‬ ‫ﻟﻠﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﳌ ﺘﻮﺳﻂ‬ ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﳼ ﺍﻷﻭﻝ‬

‫ﻃﺒﻌﺔ اﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ ‪7341‬ﻫـ ُ‬

‫‪‬‬

‫الوحدة األولى‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ﻤﺤﺘوﯿﺎت اﻟﻔﺼل اﻟدراﺴﻲ اﻷول‬ ‫‪ 81‬حصة )‬ ‫( ‪11‬‬

‫الموضوع‬

‫الصفحة‬

‫عدد الحصص‬

‫تعريف المجموعة‬

‫‪81-9‬‬

‫‪1‬‬

‫تساوي مجموعتين‬

‫‪81‬‬

‫‪8‬‬

‫تقاطع واتحاد مجموعتين‬

‫‪82-88‬‬

‫‪1‬‬

‫الفرق بين مجموعتين‬

‫‪83-82‬‬

‫‪8‬‬

‫تمارين (‪)8-8‬‬

‫‪81‬‬

‫‪1‬‬

‫العالقات‬

‫‪22-81‬‬

‫‪1‬‬

‫تمارين (‪)2-8‬‬

‫‪23‬‬

‫‪1‬‬

‫( ‪ 21‬حصة)‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫األعداد الصحيحة‬

‫‪38-22‬‬

‫‪3‬‬

‫جمع وطرح األعداد الصحيحة‬

‫‪31-32‬‬

‫‪1‬‬

‫الصحيحة‬ ‫ضرب وقسمة األعداد‬ ‫اﻟﺼﺤﯿﺤﺔالصحيحة‬ ‫األعداد األعداد‬

‫‪11-31‬‬

‫‪7‬‬

‫تحليل العدد الصحيح إلى عوامله األولية‬

‫‪17-12‬‬

‫‪3‬‬

‫الجذر التربيعي والجذر التكعيبي للعدد الصحيح‬

‫‪11-11‬‬

‫‪2‬‬

‫ضرب‬

‫( ‪ 21‬حصة)‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫مجموعة األعداد النسبية‬

‫‪22-11‬‬

‫‪2‬‬

‫ضرب وقسمة األعداد النسبية‬

‫‪21-27‬‬

‫‪2‬‬

‫جمع وطرح األعداد النسبية‬

‫‪71-21‬‬

‫‪7‬‬

‫الصورة العشرية للعدد النسبي‬

‫‪77-71‬‬

‫‪2‬‬

‫الجذر التربيعي والجذر التكعيبي للعدد النسبي‬

‫‪12 -71‬‬

‫‪7‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫األشكال الهندسية‬

‫( ‪ 10‬ﺤﺼﺔ (‬ ‫‪96-11‬‬

‫‪10‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫بسم اهلل الرحمن الرحيم‬

‫ّ‬

‫اﳌﺘوﺴط‬ ‫ّ‬

‫ّ‬

‫ّ‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫~‬

‫الفصل األول األسس والجذور‬ ‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫واللوغاريتمات‬

‫الىحدة األولى‬

‫الهدف من دراسة الىحدة‬ ‫ينبغي بعد دراسة الوحدة األولى أن يكون الطالب قاد ار عمى أن‪:‬‬

‫ُيعرف المجموعة‬ ‫‪ )2‬يجد تقاطع مجموعتين‬

‫‪ )3‬يجد اتّحاد مجموعتين‬ ‫‪ )4‬يجد الفرق بين مجموعتين‬

‫‪ )5‬يعرف العالقة االنعكاسية والمتناظرة والمتعدية‬ ‫‪ )6‬يبين نوع العالقة‬

‫‪7‬‬

‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬

‫مفردات الىحدة االولى‬

‫‪ ‬تعريف المجموعة‬

‫‪‬‬

‫–‬

‫‪‬‬

‫– ‪  2‬تساوي مجموعتين‬

‫‪  3 – 1 ‬تقاطع مجموعتين‬

‫‪  – 1 ‬اتّحاد مجموعتين‬ ‫‪  5 – 1 ‬الفرق بين مجموعتين‬ ‫‪  6 – 1 ‬العالقات‬ ‫‪7–1‬‬

‫‪8‬‬

‫خواص العالقات‬

‫الفصل األول األسس والجذور‬ ‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫واللوغاريتمات‬ ‫‪  1 - 1‬المجمىعة‬

‫الهدف من الدرس‬

‫المجموعة‪:‬‬

‫أن يكون الطالب قادراً على أن‪:‬‬ ‫ُيعرف المجموعة‬

‫هي تجمع من األشياء المعرفة والمحددة تحديداً تاماً ويربطهما رابط‪.‬‬ ‫مثل مجموعة األعداد الطبيعية ‪ ,‬مجموعة األرقام الزوجية‬

‫‪ ,‬مجموعة الطمبة الذين يحفظون القرآن الكريم ‪ ......‬إلخ‬

‫‪‬‬

‫يتصف مفهوم المجموعة بالخواص التالية‪:‬‬

‫‪ )1‬المجموعة كائن رياضي قائم بذاته‪ ,‬مفهومه يختمف عن مفهوم األشياء التي تكونه‪.‬‬

‫‪ )2‬المجموعة معينة تعيناً تاماً بحيث يمكننا القوول بوأن هوذا الشويء مون المجموعوة‬ ‫أو غريو ووه عنهو ووا ‪ .‬فمو ووث ً إن الط و و ه المتفو وووقين فو ووي األول متو و ووط ال يمثو وول‬

‫مجموعة ألن وصف التفوق يختمف من شخص آلخر‪.‬‬

‫‪ )3‬وضع فاصمة بين عناصر المجموعة‪.‬‬

‫‪ )4‬ال يراعى الترتيه بين عناصر المجموعة‪.‬‬ ‫‪ )5‬ال يوجد تكرار لعناصر المجموعات‪.‬‬

‫لقد أصطمح عمى ت مية كل فرد من أفراد المجموعة ((بالعنصر))‬

‫‪‬رمز المجموعة‬

‫سوف نرمز لممجموعات بحروف كبيرة مثل‬

‫ولعناصرها بحروف صغيرة مثل‬

‫…‪A , B , X , Y ,‬‬ ‫‪a , b , x , y , ……..‬‬

‫فمث ً المجموعة ‪ A‬مجموعة عناصرها ‪ a , b , c , d‬وتكته بالشكل‬ ‫فيمكن أن نبين أن ‪ a‬عنصر فيِ ‪ A‬أو نقول‬

‫‪A =a , b , c , d ‬‬

‫‪aA‬‬

‫‪9‬‬

‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫أنىاع المجمىعات‬ ‫المجموعات المنتهية‬ ‫هي المجموعة التي يمكن عد عناصرها‪.‬‬ ‫فمث ً مجموعة األعداد الزوجية من ‪ 2‬إلى ‪ 22‬مجموعة منتهية وتكته بالشكل‬ ‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪A=‬‬

‫المجموعة غير المنتهية‬ ‫هي المجموعة التي ال يمكن عد عناصرها‪.‬‬ ‫فمث ً مجموعة األعداد الطبيعية ‪N‬‬ ‫‪, …………… ‬‬

‫‪,5,‬‬

‫‪,3,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪N=‬‬

‫المجموعة الخالية‬ ‫يقال لممجموعة التي ال تحتوي عمى أي عنصر بأنها ( مجموعة خالية ) ويرمز‬ ‫لها بالرمز ‪‬‬

‫‪ ‬أو ‪‬‬

‫فمثالً إن مجموعة األعداد الطبيعية السالبة = ‪‬‬ ‫آلنه ال يوجد عدد طبيعي سالب ( األعداد الطبيعية كمها موجبة)‬ ‫‪ 2 – 1 ‬تساوي مجمىعتين‬ ‫يقال لممجموعتين ‪ A , B‬بأنهما متساويتان إذا كان ‪B  A ِ, A  B‬‬ ‫فإن ‪A = B‬‬

‫‪10‬‬

‫الفصل األول األسس والجذور‬ ‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫واللوغاريتمات‬ ‫مثال‪1‬‬ ‫إذا كانت‬

‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪A= ‬‬

‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪B =‬‬ ‫‪A=B‬‬

‫فإن‬ ‫‪  3 – 1 ‬تقاطع المجموعات رمزها ‪‬‬

‫الهدف من الدرس‬ ‫أن يكون الطالب قادراً على أن‪:‬‬ ‫يجد تقاطع مجموعتين‬

‫لتكن‬

‫‪ A , B‬مجموعتين ‪ ,‬فنقصد بتقاطعهما ‪AB‬‬

‫مجموعة العناصر التي تنتمي إلى كل من ‪A , B‬‬

‫‪B‬‬

‫مجموعة تقاطع المجموعتين ‪ B , A‬تكته بالشك و وول االتي‪:‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪AB‬‬

‫‪AB =  a : aA , aB ‬‬

‫‪  4 – 1 ‬اتّحاد المجموعات رمزها ‪‬‬ ‫الهدف من الدرس‬ ‫ً‬ ‫أن يكون الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫يجد اتحاد مجموعتين‬

‫لتكن‬

‫‪ A , B‬مجموعتين ‪ ,‬فنقصد باتحادهما‬

‫مجموعة العناصر التي تنتمي إلى ‪ A‬أو ‪B‬‬

‫‪AB‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫مجموعة اتّحاد المجموعتين ‪ B , A‬تكته بالشك و وول اآلتي ‪:‬‬ ‫‪AB =  a : aA or aB ‬‬ ‫‪AB‬‬

‫‪11‬‬

‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫مثال‪2‬‬ ‫إذا كانت‬ ‫جد‬

‫‪, ‬‬ ‫‪, 3‬‬

‫‪xy , xy‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫الحل‬ ‫مثال‪3‬‬ ‫إذا كانت‬

‫جد‬

‫‪, 3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪xy , xz , xyz‬‬

‫الحل‬

‫‪,‬‬

‫‪X= , 3 ,‬‬ ‫‪y=  , 3 ,‬‬

‫‪xy =  3 , ‬‬ ‫‪xy=  , , 3 ,‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,5‬‬ ‫‪, ‬‬

‫‪X= , 3 , 5 ,‬‬ ‫‪y=  , , 3 ,‬‬ ‫‪z=  , 3 , ,‬‬

‫‪xy =  , 3 , 5 ‬‬ ‫‪xz=  , 3 , ‬‬ ‫‪xyz=  , 3 ‬‬

‫‪  5 – 1 ‬الفرق بين مجمىعتين‬ ‫الهدف من الدرس‬ ‫ً‬ ‫أن يكون الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫يجد الفرق بين مجموعتين‬

‫لتكن‬

‫‪ A , B‬مجموعتين ‪ ,‬فنقصد بالفرق بينهما ‪AB‬‬

‫مجموعة العناصر التي تنتمي إلى ‪ A‬وال تنتمي إلى ‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B-A‬‬

‫‪A-B‬‬

‫‪A-B =  a : aA , aB ‬‬

‫‪12‬‬

‫الفصل األول األسس والجذور‬ ‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫واللوغاريتمات‬ ‫مثال‪4‬‬ ‫لتكن‬

‫‪,‬‬

‫‪‬‬

‫‪,5,‬‬

‫‪A=  ,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪‬‬

‫‪B=‬‬

‫جد ‪A-B‬‬

‫الحل‬

‫‪,5,‬‬

‫‪‬‬

‫‪A-B =‬‬

‫مثال‪5‬‬ ‫لتكن‬

‫‪,‬‬

‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪‬‬ ‫جد‬

‫الحل‬

‫‪3) AC 4) A-C‬‬

‫‪,‬‬

‫‪A=  ,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪B=a,c‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪2) AB‬‬

‫‪,‬‬

‫‪C=‬‬

‫‪1) AB‬‬

‫‪1) AB = ‬‬

‫‪AB =  1 , 2 , 6 , 8 , 11 , a , c ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3 AC = ‬‬

‫‪4) A – C = ‬‬

‫‪13‬‬

‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫تمارين ( ‪) 1 – 1‬‬ ‫س‪ )1‬إذا كان ‪, B= ,3,5 , C=  , ‬‬ ‫مما يأتي‪:‬‬ ‫‪ D=5 , ‬جد ك ًّ ّ‬

‫‪‬‬

‫س‪)2‬‬ ‫إذا كانت ‪ A‬هي مجموعة مضاعفات العدد ‪ 3‬األقل من‬ ‫‪ B‬هي مجموعة مضاعفات العدد األقل من‬ ‫فأوجد ‪AB‬‬ ‫س‪)3‬‬ ‫حدد المجموعات المنتهية وغير المنتهية لك ً مما يأتي‪:‬‬ ‫أ) مجموعة مضاعفات العدد ( )‬ ‫ه) مجموعة المثمثات القائمة الزاوية‬

‫‪14‬‬

‫‪,‬‬

‫‪A= ,‬‬

‫‪1) AB‬‬ ‫‪2) AC‬‬ ‫‪3) BD‬‬ ‫‪4) AB‬‬ ‫‪5) AC‬‬ ‫‪7) ABCD‬‬ ‫‪9) ADC‬‬ ‫‪10) A-C‬‬ ‫‪11) C-D‬‬

‫الفصل األول األسس والجذور‬ ‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫واللوغاريتمات‬ ‫‪- ‬‬

‫‪ ‬العالقات‬ ‫الهدف من الدرس‬ ‫ً‬ ‫أن يكون الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫يعرف العالقة‬

‫الع قة مجموعة من األزواج المرتبة حيث ينتمي الم قط األول من كل زوج‬ ‫منها إلى المجموعة ‪ X‬وينتمي الم قط الثاني إلى المجموعة ‪y‬‬

‫أي إن الع قة من المجموعة ‪ X‬إلى المجموعة ‪ y‬هي المجموعة الجزئية من‬

‫الحاصل الديكارتي ‪ X  Y‬وهي ع قة من ‪ X‬إلى ‪Y‬‬ ‫مثال‪6‬‬ ‫لتكن‬

‫‪,3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪, ,5 , , , 3,‬‬

‫‪,5 , ,‬‬

‫‪, ,‬‬

‫‪,5,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪X=  ,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪y=‬‬

‫‪R=‬‬

‫فإن ‪ R‬هي ع قة من ‪ X‬إلى ‪ y‬والمخطط ال همي يوضح ذلك‪:‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪R‬‬

‫‪X‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪15‬‬

‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫مثال‪7‬‬ ‫إذا كانت‬

‫‪,‬‬

‫‪, ‬‬

‫‪,3 ,‬‬

‫‪,3 ,5 ‬‬

‫‪X= ‬‬

‫‪Y= ‬‬

‫أوجد ك ً من الع قات اآلتية‪:‬‬

‫‪ )1‬ع قة ( أصغر من ) من ‪ X‬إلى ‪X‬‬ ‫‪ )2‬ع قة ( ت اوي ) من ‪ Y‬إلى ‪Y‬‬ ‫‪ )3‬ع قة ( ضعف ) من ‪ X‬إلى ‪Y‬‬ ‫‪ )4‬ع قة ( نصف) من ‪ Y‬إلى ‪X‬‬

‫الحل‬ ‫‪,‬‬

‫‪, 3, , 3,‬‬

‫‪, 3,‬‬

‫‪, , ,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,3 ,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪, 3,3 , 5,5 ‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2) R = ‬‬

‫‪‬‬

‫‪,3 ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪16‬‬

‫‪1) R = ‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3) R3 = ‬‬

‫‪, 3,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪4) R3 = ‬‬

‫الفصل األول األسس والجذور‬ ‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫واللوغاريتمات‬ ‫‪  7 – 1‬خىاص العالقات‬ ‫‪ )1‬الخاصية االنعكا ية‬

‫الهدف من الدرس‬ ‫ً‬ ‫أن يكون الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫يذكر خواص العالقات‬

‫‪ )2‬الخاصية المتناظرة‬ ‫‪ )3‬الخاصية المتعدية‬

‫الهدف من الدرس‬ ‫ً‬ ‫أن يكون الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫يذكر شرط العالقة االنعكاسية‬

‫‪ )1‬الخاصية االنعكاسية‬

‫تدعى الع قة ‪ R‬عمى المجموعة ‪ X‬انعكا ية عمى ‪ X‬إذا وجدت عقدة في كل‬ ‫عنصر ‪ ,‬أي أنه لكل ‪ a‬ينتمي إلى ‪ X‬فإن )‪ (a , a‬تنتمي إلى ‪R‬‬ ‫مثال‪8‬‬ ‫إذا كانت ‪, 5 ‬‬

‫‪X=  3 ,‬‬

‫فأي من الع قتين تمثل ع قة انعكا ية عمى ‪ X‬؟‬ ‫‪,3 , 5 ,5 ‬‬

‫‪,3 ‬‬

‫‪,‬‬

‫‪, 5, ),‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪R = 3,3 ,‬‬ ‫‪R = 3,3 ,‬‬

‫الع قة ‪ R‬انعكا ية لوجود عقدة في كل عنصر‬ ‫الع قة ‪ R‬غير انعكا ية الن ( ‪ ) 5 , 5‬ال ينتمي إلى ‪R‬‬ ‫الحظ المخطط ال همي لكل ع قة‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪R2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪17‬‬

‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫نشاط‬ ‫إذا كانت ‪, 3 ‬‬

‫‪X= ‬‬

‫‪,‬‬

‫فأي من الع قتين تمثل ع قة انعكا ية عمى ‪ X‬؟‬ ‫‪,‬‬

‫‪, 3, , 3,3 ‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪, 3 , 3 ,3 ‬‬ ‫‪ )2‬العالقة المتناظرة‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪R =‬‬ ‫‪R =‬‬

‫الهدف من الدرس‬ ‫أن يكون الطالب قادراً على أن‪:‬‬ ‫يذكر شرط العالقة المتناظرة‬

‫تدعى الع قة ‪ R‬عمى المجموعة ‪ X‬متناظرة عمى ‪ X‬إذا كان‬

‫‪ a , b‬ينتمي إلى ‪ X‬وكان ) ‪ (a , b‬ينتمي إلى ‪ R‬فإن )‪(b , a‬‬ ‫ينتمي إلى ‪R‬‬ ‫مثال‪9‬‬ ‫إذا كانت ‪, 3 ‬‬

‫‪X= ‬‬

‫‪,‬‬

‫هل الع قة ‪ R‬متناظرة ؟ مع ذكر ال به‬ ‫)‪, 3 ,3‬‬

‫‪‬‬

‫‪,3),(3,‬‬

‫الجواه‬

‫الع قة ‪ R‬متناظرة ألن‬

‫‪3‬‬

‫‪18‬‬

‫‪R‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪R =‬‬

‫‪, 3 R , ( 3 ,‬‬

‫الفصل األول األسس والجذور‬ ‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫واللوغاريتمات‬ ‫مثال‪10‬‬ ‫‪,‬‬

‫إذا كانت ‪, 3 ‬‬

‫‪X= ‬‬

‫هل الع قة ‪ R‬متناظرة ؟ مع ذكر ال به‬ ‫‪,‬‬

‫‪‬‬ ‫الجواه‬

‫‪,‬‬

‫‪, 3,‬‬

‫الع قة ‪ R‬غير متناظرة ألن‬ ‫‪, 3 R‬‬

‫( ‪R ,‬‬

‫‪ )3‬العالقة المتعدية‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪R =‬‬

‫‪3,‬‬

‫الهدف من الدرس‬ ‫أن يكون الطالب قادراً على أن‪:‬‬ ‫يذكر شرط العالقة المتعدية‬

‫لكل ‪ a , b , c‬ينتمي إلى ‪X‬‬

‫‪(a , b )R , (b , c)R‬‬

‫وكان‬

‫‪(a , c)  R‬‬

‫فإن‬

‫مثال‪11‬‬ ‫إذا كانت ‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪X= ‬‬

‫هل الع قة ‪ R‬متعدية؟ مع ذكر ال به‬ ‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪R =‬‬

‫‪19‬‬

‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫الجواه‬

‫الع قة متعدية ألن‬ ‫‪R‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ R , ( 4 ,7 ) R ‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬

‫مثال‪12‬‬ ‫إذا كانت ‪, 3 , 5 ‬‬

‫‪X= ‬‬

‫هل الع قة ‪ R‬متعدية؟ مع ذكر ال به‬

‫‪,‬‬

‫‪, 3 ) , ( 3 ,5 ) ‬‬

‫‪,‬‬

‫‪R =‬‬

‫الجواه‬

‫الع قة غير متعدية ألن‬ ‫‪, 5 )R‬‬

‫‪5‬‬

‫‪20‬‬

‫‪, 5 )  R , ( 3 ,5 ) R ‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫الفصل األول األسس والجذور‬ ‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫واللوغاريتمات‬ ‫عالقة تكافؤ‬

‫الهدف من الدرس‬ ‫أن يكون الطالب قادراً على أن‪:‬‬ ‫يذكر شرط التكافؤ‬

‫تكون الع قة ع قة تكافؤ عمى المجموعة ‪ X‬إذا كانت‬

‫انعكا ية ومتناظرة ومتعدية عمى ‪X‬‬ ‫مثال‪13‬‬ ‫إذا كانت ‪, 3 ‬‬

‫‪,‬‬

‫‪X= ‬‬

‫هل الع قة ‪ R‬تكافؤ ؟ مع ذكر ال به‬ ‫‪‬‬

‫الجواه‬

‫‪, 3,3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪R =‬‬

‫الع قة انعكا ية لوجود عقدة في كل عنصر‬ ‫الع قة متناظرة ألن‬

‫‪ R , ( 2 ,1 )R‬‬

‫الع قة متعدية ألن‬ ‫‪R‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ R , ( 2 ,1 )R ‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫الع قة تكافؤ‬

‫‪21‬‬

‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫مثال‪14‬‬ ‫إذا كانت ‪‬‬

‫‪,3,‬‬

‫‪X= ‬‬

‫‪,‬‬

‫بين نوع الع قات اآلتية ( انعكا ية ‪ ,‬متناظرة ‪ ,‬متعدية ‪ ,‬تكافؤ )‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪, 3 ,3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,3 , 3,‬‬

‫‪,3 , 3,3 ‬‬

‫(‪),‬‬

‫‪ )1‬الع قة انعكا ية لوجود عقدة في كل عنصر‬ ‫الع قة متعدية‬

‫الع قة تكافؤ‬

‫‪ )2‬الع قة متناظرة لتحقق شرط التناظر‬ ‫‪ )3‬الع قة متعدية فقط‬

‫‪22‬‬

‫‪,‬‬

‫‪, 3,‬‬

‫الجواه‬

‫الع قة متناظرة‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪1) R = ‬‬ ‫‪2) R = ‬‬ ‫‪3) R = ‬‬

‫الفصل األول األسس والجذور‬ ‫الىحدة األولى المجمىعات والعالقات‬ ‫واللوغاريتمات‬ ‫تمارين( ‪) 2 – 1‬‬ ‫‪,‬‬

‫س‪ )1‬لتكن ‪‬‬

‫‪ X= ,‬بين أي العالقات اآلتية عمى ‪X‬‬

‫انعكاسية ‪ ,‬متناظرة ‪ ,‬متعدية ‪ ,‬تكافؤ‬ ‫‪,‬‬

‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,3‬‬

‫‪, ‬‬

‫إذا كانت‬

‫‪,‬‬

‫‪ , B= ,‬‬

‫‪R =  3,‬‬ ‫‪,3‬‬

‫‪‬‬ ‫س‪)2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪R =‬‬ ‫‪R3 = ‬‬

‫‪A=  ,‬‬

‫بين فيما إذا كانت العالقات التالية عمى مجموعة األعداد الطبيعية ‪N‬‬

‫انعكاسية ‪ ,‬متناظرة ‪ ,‬متعدية ‪ ,‬تكافؤ‬ ‫‪ )1‬عالقة ( تساوي )من ‪ A‬إلى ‪A‬‬

‫‪ )2‬عالقة ( أصغر من ) من ‪ A‬إلى ‪B‬‬ ‫‪ )3‬عالقة (‬ ‫س‪)3‬‬

‫إذا كانت ‪‬‬

‫‪) a+b‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ R , X= ,‬عالقة عمى ‪ X‬حيث ‪(a,b)R‬‬

‫مثل العالقة ( عدد فردي = ‪ ) ) a+b‬لكل ‪a , b X‬‬

‫بمخطط سهمي ثم اختبر خاصية اال نعكاس‬

‫‪23‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬

‫انىحدج انثانيح‬

‫انهدف من دراسح انىحدج‬ ‫ينبغي بعد دراسة الوحدة الثانية أن يكون الطالب قاد ار عمى أن‪:‬‬

‫ُيعرف األعداد الصحيحة‬ ‫‪ )2‬يجمع عددين صحيحين‬ ‫‪ )3‬يطرح عددين صحيحين‬

‫‪ )4‬يضرب عددين صحيحين‬ ‫‪ )5‬يقسم عددين صحيحين‬

‫‪ )6‬يجد الجذر التربيعي لمعدد الصحيح الموجب‬

‫‪ )7‬يجد الجذر التكعيبي لمعدد الصحيح الموجب والسالب‬

‫‪24‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬

‫مفردات الوحدة الثانية‬

‫‪ ‬تعريف األعداد الصحيحة‬

‫‪‬‬

‫–‬

‫‪‬‬

‫– ‪  2‬تمثيل األعداد الصحيحة عمى خط األعداد‬

‫‪‬‬

‫– ‪  3‬المقارنة بين عددين صحيحين‬

‫‪ ‬ترتيب األعداد الصحيحة تصاعديا وتنازليا‬

‫‪‬‬

‫–‬

‫‪‬‬

‫– ‪  5‬جمع وطرح األعداد الصحيحة‬

‫‪‬‬

‫– ‪  6‬ضرب األعداد الصحيحة‬

‫‪‬‬

‫– ‪  7‬قسمة األعداد الصحيحة‬

‫‪‬‬

‫– ‪  8‬القيمة المطمقة لألعداد الصحيحة‬

‫‪‬‬

‫– ‪  9‬تحميل األعداد الصحيحة إلى عواممها األولية‬

‫‪‬‬

‫– ‪  6‬الجذر التربيعي لمعدد الصحيح الموجب‬

‫‪‬‬

‫– ‪  6‬الجذر التكعيبي لمعدد الصحيح‬

‫‪25‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬ ‫‪  1 - 2‬األعداد انصحيحح‬

‫الهدف من الدرس‬ ‫أن يكون الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫ُيعرف األعداد الصحيحة‬

‫درست عزيزي الطالب في مرحمة سابقة مجموعة األعداد الطبيعية‬ ‫‪,3,‬‬

‫‪, …………‬‬

‫‪,‬‬

‫‪N=0,‬‬

‫والحظت أن إشارة العدد الطبيعي دائما موجبة ( ‪) +‬‬ ‫وفي ىذه المرحمة ستتعرف عمى مجموعة أوسع من مجموعة األعداد الطبيعية‬ ‫مكونة من أعداد موجبة وأعداد سالبة تدعى مجموعة األعداد الصحيحة التي‬

‫يرمز ليا بالرمز ‪.Z‬‬ ‫مجمىعح األعداد انصحيحح‬

‫‪, 3 , …..‬‬ ‫تنبيه‬

‫‪,‬‬

‫‪, 0 ,‬‬

‫‪Z =  ….., -3 , - , -‬‬

‫‪ )1‬تكتب اإلشارة يسار العدد‬

‫‪ )2‬إذا لم تكتب اإلشارة فهي دائما موجبة‬

‫مثل) العدد ‪3‬‬

‫إشارتو( ‪ ) +‬وتق أر موجب ‪3‬‬

‫ويعني ربح ‪ , 3‬أو زاد ‪3‬‬ ‫مثل) العدد ‪ - 2‬إشارتو( ‪ ) -‬وتق أر سالب‪2‬‬ ‫ويعني خسارة ‪ , 2‬أو نقصان ‪2‬‬

‫‪26‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬ ‫قد يسأل طالب هل لمصفر إشارة ؟‬ ‫ليس لمصفر إشارة ال موجب وال سالب‬

‫‪z=  .... , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , -1 ,- 2 ,- 3 , -4 , ....‬‬ ‫أعداد صحيحة سالبة‬

‫الصفر ليس لو إشارة‬

‫أعداد صحيحة موجبة‬

‫مالحظة‬ ‫نرمز لألعداد الصحيحة الموجبة بالرمز ‪z+‬‬

‫‪Z+ =  1 , 2 , 3 , 4 , ……‬‬

‫نرمز لألعداد الصحيحة السالبة بالرمز ‪z-‬‬

‫‪Z- = -1 , -2 , -3 , -4 , …..‬‬ ‫الحظ أن‬ ‫‪ 0‬ال ينتمي إلى مجموعة األعداد الصحيحة الموجبة‬ ‫‪ 0‬ال ينتمي إلى مجموعة األعداد الصحيحة السالبة‬

‫‪27‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬ ‫‪  2-2 ‬تمثيم األعداد انصحيحح عهى خط األعداد‬ ‫الهدف من الدرس‬ ‫أن يكون الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫يرسم خط األعداد الصحيحة‬

‫‪5‬‬

‫الحظ أن‪:‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5 -4 -3 -2 -1‬‬

‫األعداد الصحيحة الموحبة تكتب يمين الصفر‬

‫األعداد الصحيحة السالبة تكتب يسار الصفر‬ ‫مثال‪1‬‬

‫عين األعداد الصحيحة اآلتية عمى خط األعداد‪:‬‬ ‫‪3 , 5 , 0‬‬ ‫الحل‬

‫‪‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪-5 -4 -3 -2 -1‬‬

‫مثال‪2‬‬ ‫عين األعداد الصحيحة اآلتية عمى خط األعداد‪:‬‬ ‫‪ -6 , -4 , -2‬عمى خط األعداد الصحيحة‬

‫الحل‬

‫‪0‬‬

‫‪28‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-6‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬ ‫‪  3-2 ‬انمقارنح تين عددين صحيحين‬

‫الهدف من الدرس‬

‫أن يكون الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫يقارن بين عددين صحيحين لمعرفة العدد األكبر‬

‫لممقارنة بين عددين صحيحين نستعين بالمعمومة اآلتية‪:‬‬ ‫نرسم خط األعداد ونعين األرقام عميه‬

‫فالرقم الواقع في اليمن أكبر من الرقم الواقع في اليسار‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5 -4 -3 -2 -1‬‬

‫لو قارنا بين العددين ‪ -1‬و ‪-4‬‬

‫نجد أن‬

‫‪ -1‬أكبر من ‪-4‬‬

‫لو قارنا بين العددين ‪ 0‬و ‪-2‬‬

‫نجد أن‬

‫‪ 0‬أكبر من ‪-2‬‬

‫مالحظة‬ ‫‪‬المقارنة بين األعداد الموجبة‬ ‫‪ 5‬أكبر من ‪3‬‬

‫‪ 7 ,‬أكبر من ‪ 1 , 2‬أكبر من ‪0‬‬

‫‪‬المقارنة بين األعداد الموجبة والسالبة‬

‫األعداد الموجبة أكبر من األعداد السالبة دائما‬ ‫‪ 1‬أكبر من ‪-‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ 4‬أكبر من ‪-‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ 2‬أكبر من ‪-33‬‬

‫‪‬المقارنة بين األعداد السالبة‬ ‫بغض النظر عن اإلشارة الرقم الصغير ىو الكبير‬ ‫‪ -‬أكبر من ‪-‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ -‬أكبر من ‪-‬‬

‫‪ -3 ,‬أكبر من‬

‫‪-‬‬

‫‪29‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬ ‫مثال‪3‬‬ ‫قارن بين الرقمين في كل مما يأتي‪:‬‬

‫الجواب ‪ 0‬أكبر من ‪-5‬‬

‫أ) ‪0 , -5‬‬

‫ب) ‪-11 , -4‬‬ ‫جـ) ‪, -3‬‬

‫الجواب ‪ -4‬أكبر من ‪-11‬‬

‫‪3‬‬

‫د) ‪-12 , 4‬‬

‫الجواب‬

‫‪ 3‬أكبر من ‪-3‬‬

‫الجواب‬

‫‪ 4‬أكبر من ‪-12‬‬

‫‪  4-2 ‬تزتية األعداد انصحيحح تصاعدياً أو تناسنياً‬ ‫الهدف من الدرس‬

‫أن يكون الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫يقارن بين عددين صحيحين لمعرفة العدد األكبر‬

‫أوال ) ترتيب األعداد الصحيحة تصاعديا‬ ‫نبدأ الترتيب من جية اليسار بالرقم األصغر ثم األكبر منو ثم األكبر ‪......‬‬

‫مثال‪4‬‬ ‫رتب األعداد اآلتية تصاعديا‬ ‫الحل‬

‫‪1 , -3 , 2 , - 1 , - 5 , 0 , 7‬‬

‫‪,1,2 ,7‬‬

‫‪30‬‬

‫‪-5 , -3 , -1 ,‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬ ‫مثال‪5‬‬ ‫رتب األعداد اآلتية تصاعديا ‪-3 , - 33- , -26 , -22 , -9‬‬

‫الحل‬

‫‪-33 , -26 , -22 , -9 , -3‬‬

‫مثال‪6‬‬ ‫رتب األعداد اآلتية تصاعديا‬ ‫الحل‬

‫‪0 , -3 , 3 , -22 , 22‬‬ ‫‪, 3 , 22‬‬

‫ثانيا ) ترتيب األعداد الصحيحة تنازليا‬

‫‪-22 , -3 ,‬‬

‫نبدأ الترتيب من جية اليسار بالرقم األكبر ثم األصغر منو ثم األصغر ‪......‬‬ ‫مثال‪7‬‬ ‫رتب األعداد اآلتية تنازليا‬

‫الحل‬

‫‪, 0 , 14‬‬

‫‪1 , -9 , 5 , -1 , -21‬‬

‫‪, -1 , -9 , -21‬‬

‫‪14 , 5 , 1 ,‬‬

‫مثال‪8‬‬ ‫رتب األعداد اآلتية تنازليا‬ ‫‪- 36 , - 17 , -11 , -3 , -2 , -19‬‬ ‫الحل‬ ‫‪-2 , -3 , -11 , -17 ,-19 , -36‬‬ ‫نشاط‬ ‫رتب األعداد تنازليا‬ ‫‪-2 , -34 , 2 , -8 , -221 , -13 , 9 , -7 , -5 , 1‬‬

‫‪31‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬ ‫‪  5 –2 ‬جمع األعداد انصحيحح‬ ‫قاعدة الجمع(‪)1‬‬

‫إذا تشابهت اإلشارتان نجمع العددين ونأخذ نفس اإلشارة‬

‫مثال‪9‬‬

‫‪32‬‬

‫‪1+5 = 6‬‬

‫‪6+2 = 8‬‬

‫‪-15 – 2 =-17‬‬

‫‪-11 – 3 =-14‬‬

‫‪-9 -2 = -11‬‬

‫‪-5 -2 = -7‬‬

‫‪-1 -3 = -4‬‬

‫‪-22 -3 = -25‬‬

‫‪-8 -2 =-10‬‬

‫‪-1 -2 =-3‬‬

‫‪-17 -3 =-20‬‬

‫‪-3 -3 =-6‬‬

‫‪-30-10=-40‬‬

‫‪-4 -2 =-6‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬ ‫قاعدة الجمع(‪ )2‬إذا اختمفت اإلشارتان نطرح العددين ونأخذ إشارة العدد األكبر‬

‫مثال‪10‬‬ ‫‪-1 + 5 = 4‬‬

‫‪1 - 9 = -8‬‬

‫‪-10 + 2 =-8‬‬

‫‪-15 + 2 =-13‬‬

‫‪9 -2 = 7‬‬

‫‪3 -2 = 1‬‬

‫‪-1 + 9 = 8‬‬

‫‪1 -3 = -2‬‬

‫‪-8 +2 =-6‬‬

‫‪-8 +13 = 5‬‬

‫‪-20 +3 =-17‬‬ ‫‪30-40=-10‬‬

‫‪4 -6 =-2‬‬ ‫‪-31+10=-21‬‬

‫‪33‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬ ‫نشاط‬

‫‪34‬‬

‫جد ناتج كال مما يأتي‪:‬‬ ‫= ‪1( -1 - 6‬‬

‫= ‪1( -1 + 4‬‬

‫= ‪2( -9 -2‬‬

‫= ‪2( -3 +2‬‬

‫= ‪3( 11+22‬‬

‫= ‪3( 11-22‬‬

‫= ‪4( -2 - 1‬‬

‫= ‪4( -21 + 1‬‬

‫= ‪5( -7 -5‬‬

‫= ‪5( -7 +5‬‬

‫= ‪6( -9 -11‬‬

‫= ‪6( 9 -11‬‬

‫= ‪7( -90 – 92‬‬

‫= ‪7) 90 – 92‬‬

‫= ‪8( 33 +24‬‬

‫= ‪8( -33 +24‬‬

‫= ‪9( 1 + 24‬‬

‫= ‪9( -1 + 24‬‬

‫= ‪10( -6 – 6‬‬

‫= ‪10) 6 – 6‬‬

‫= ‪11( -3 - 3‬‬

‫= ‪11( -3 + 3‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬ ‫‪  6 –2 ‬ضزب األعداد انصحيحح‬ ‫قاعدة ضرب اإلشارات‬

‫‪( ‬عدد موجب) ‪( ‬عدد موجب) = عدد موجب‬ ‫‪( ‬عدد سالب) ‪( ‬عدد سالب) = عدد موجب‬ ‫‪( ‬عدد موجب) ‪( ‬عدد سالب) = عدد سالب‬ ‫‪( ‬عدد سالب) ‪( ‬عدد موجب) = عدد سالب‬ ‫مثال‪11‬‬ ‫‪(-3() 6)= -18‬‬

‫‪(-3()-2)= 6‬‬

‫‪)3()4(= 12‬‬

‫‪)-4() 5( = -20‬‬

‫‪)-5()-5( = 25‬‬

‫‪)5()4( = 20‬‬

‫‪)11()-3( = -33‬‬

‫‪)-11()-7( = 77‬‬

‫‪)1()7( = 7‬‬

‫‪9  )-6( = -54‬‬

‫‪-4  )-6( = 24‬‬

‫‪4  6 = 24‬‬

‫‪-1 )- 2 ( =2‬‬

‫‪8  2 =16‬‬

‫‪)-22( )- 4( = 88‬‬

‫‪22  3 = 66‬‬

‫‪1 )- 2 ( =-2‬‬ ‫‪)-21( ) 4( = -84‬‬

‫‪35‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬ ‫نشاط‬ ‫جد ناتج كال مما يأتي‪:‬‬

‫‪36‬‬

‫=)‪( 2)( -7‬‬

‫=)‪(-2)( -9‬‬

‫= (‪)-8() 6‬‬

‫= (‪)-7() -3‬‬

‫= (‪) 12()-2‬‬

‫= (‪)-8()-5‬‬

‫= (‪4  )-7‬‬

‫= (‪-4  )-6‬‬

‫= ( ‪1 )- 2‬‬

‫= ( ‪-1 )- 2‬‬

‫= (‪)-32( )2‬‬

‫= (‪)-31( ) - 4‬‬

‫= (‪)-3()22‬‬

‫= (‪)-2()-30‬‬

‫= (‪)44( )-2‬‬

‫=(‪)-77()-1‬‬

‫= (‪)-22()3‬‬

‫= (‪)-32()-4‬‬

‫= (‪)4()-12‬‬

‫=(‪)-1()-55‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬ ‫‪  7 –2 ‬قسمح األعداد انصحيحح‬ ‫قاعدة قسمة اإلشارات‬ ‫عدد موجب‬

‫‪‬‬

‫عدد موجب‬ ‫عدد سالب‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫عدد سالب‬

‫عدد موجب‬ ‫عدد سالب‬ ‫عدد سالب‬ ‫عدد موجب‬

‫= عدد موجب‬ ‫= عدد موجب‬ ‫= عدد سالب‬ ‫= عدد سالب‬

‫مثال‪12‬‬ ‫‪44  4 = 11‬‬

‫‪82 =4‬‬

‫‪30  )-2( = - 15‬‬

‫‪-10  )-2( = 5‬‬

‫‪12  )-4( = -3‬‬

‫‪-12  )-4( = 3‬‬

‫‪-33  3 = -11‬‬

‫‪-33  )-3( = 11‬‬

‫‪37‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬ ‫نشاط‬ ‫جد ناتج كال مما يأتي‪:‬‬

‫‪32‬‬

‫=‬

‫‪8‬‬

‫‪64-‬‬

‫=‬

‫‪4‬‬ ‫‪16-‬‬

‫=‬

‫‪2-‬‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫‪38‬‬

‫‪14‬‬

‫‪-2‬‬ ‫‪-60‬‬

‫‪-3‬‬ ‫‪-24‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪-90‬‬

‫‪-3‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬ ‫مثال ‪13‬‬ ‫جد ناتج كال مما يأتي‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫( ‪) 7 + 5-‬‬

‫الحل‬ ‫‪5‬‬

‫الحل‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪)- 4- 1 ( + 2‬‬ ‫‪-3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-5‬‬

‫(‪+ )9–3‬‬ ‫الحل‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫(‪+ )- –3‬‬ ‫الحل‬

‫‪-7 ) = -8‬‬

‫‬‫‪-1‬‬ ‫‪-‬‬

‫)‬

‫‪-1‬‬

‫( ‪+ ) -3 – 3‬‬ ‫الحل‬

‫‪3‬‬

‫)‬

‫‪4 + ( -6 ) = -2‬‬

‫‪39‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬ ‫مثال‪14‬‬ ‫جد ناتج كال مما يأتي‪:‬‬

‫( ‪- )- +5‬‬

‫الحل‬ ‫‪6- ( 3 ) = 3‬‬ ‫‪) -4+ 1 ( - 2‬‬

‫الحل‬

‫‪-5‬‬

‫‪( -3 ) - 2‬‬

‫( ‪- ) -9 + 3‬‬ ‫الحل‬

‫‪4‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-2 - ( -6 ) = -2 6‬‬ ‫(‪- )- –3‬‬

‫الحل‬

‫‪40‬‬

‫)‬

‫‪8 - ( -7 ) = 8 7 15‬‬ ‫( ‪- ) -3 – 3‬‬

‫الحل‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1 - ( -6 ) = 1 6‬‬

‫)‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬ ‫مثال‪15‬‬ ‫جد ناتج كال مما يأتي‪:‬‬ ‫الحل‬

‫( ‪3  ) +7 + 5-‬‬ ‫‪6‬‬

‫الحل‬

‫‪3 2‬‬

‫(‪) -4- 1 (  ) -2‬‬

‫الحل‬

‫‪2‬‬

‫‪-5  -2 1‬‬ ‫( ‪-1  ) 9 – 3‬‬

‫الحل‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪-1  6 -6‬‬ ‫(‪4 -2  ) -3 -10‬‬ ‫‪-2  -13 26‬‬ ‫‪4 -9‬‬

‫الحل‬

‫‪3‬‬

‫‪-5 -1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪41‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬ ‫مثال‪16‬‬ ‫جد ناتج كال مما يأتي‪:‬‬ ‫‪9  4 -2‬‬

‫الحل‬

‫‪4‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪8  2‬‬

‫‪2 -7-2  -1 -2‬‬

‫الحل‬

‫‪3‬‬

‫‪-9  -3‬‬

‫مثال‪17‬‬ ‫جد ناتج‬

‫– ‪-2 + 13‬‬

‫الحل‬

‫‪5‬‬ ‫‪-6‬‬

‫مثال‪18‬‬ ‫جد ناتج‬

‫‪- 3‬‬

‫‪-2 + 13 – 22‬‬ ‫‪11 - 17‬‬

‫‪-33 -‬‬

‫الحل‬

‫‪- 36‬‬

‫‪42‬‬

‫‪1‬‬

‫‪15‬‬

‫‪6 -13‬‬

‫‪15‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪15‬‬

‫‪-51‬‬

‫‪-33 -11‬‬ ‫‪-44‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬ ‫مثال‪19‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪- -‬‬

‫الحل‬

‫– ‪1) ( -2 + 13‬‬ ‫‪= ( 11 -4‬‬

‫‪-3 1‬‬ ‫‪-14‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪= 7 -2‬‬

‫‪2) ( 9-11 -3 +33 +1 ) – -‬‬

‫الحل‬

‫‪= ( -2 + 30 +1 ) – -11 -12‬‬ ‫‪= ( 28 +1 ) – -23‬‬ ‫‪23 52‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪29‬‬

‫– ‪3) ( -23 -4 +1 – 9 +13 ) + ( -34 +12 -19‬‬

‫الحل‬

‫‪-27 -8 13‬‬

‫‪-22 -26 -8‬‬ ‫‪-48 -8‬‬

‫‪- 56‬‬

‫‪13‬‬

‫‪-79‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪0- 0 ‬‬

‫‪-36‬‬

‫‪- 23‬‬

‫‪= -23 – 56‬‬ ‫‪-‬‬

‫الحل‬ ‫‪11 14‬‬

‫‪ ( -23‬‬

‫‪= 6 -1‬‬

‫‪= ( -4 )  -12 14‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪= (-4)  2‬‬

‫‪43‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬ ‫‪  8 –2 ‬انقيمح انمطهقح نهعدد انصحيح‬ ‫القيمة المطمقة لمعدد الموجب = عدد موجب‬

‫القيمة المطمقة لمعدد السالب = عدد موجب‬ ‫ويرمز لمقيمة المطمقة بالرمز ‪‬‬

‫‪‬‬

‫مثال‪20‬‬ ‫مثال‪21‬‬

‫‪6‬‬

‫‪,  -6 ‬‬

‫‪5‬‬

‫‪,  -5 ‬‬

‫‪3 3‬‬

‫جد كال مما يمي ‪:‬‬ ‫‪a)  8-2 ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪b)  13‬‬

‫‪c)  7-9 ‬‬

‫‪d) -3 -7 ‬‬

‫الحل‬

‫‪a)  6  6‬‬

‫‪b) 15  15‬‬ ‫‪c) -2  2‬‬

‫‪d)  -1  1‬‬ ‫نشاط‬ ‫جد كال مما يأتي‪:‬‬ ‫‪d) 2- 23 ‬‬

‫‪44‬‬

‫‪c)  -12-1 ‬‬

‫‪,‬‬

‫‪b)  44 ‬‬

‫‪a)  -13 ‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬ ‫تمارين انىحدج انثانيح ‪ 1 – 2 ‬‬ ‫س‪ )1‬عين عمى خط األعداد كال مما يأتي‪:‬‬ ‫‪, -7 , -1‬‬

‫س‪ )2‬أ) رتب األعداد اآلتية تنازليا‬ ‫‪, -25 , -77 , 5 , -1‬‬

‫ب) رتب األعداد اآلتية تصاعديا‬

‫‪-2 , 5 ,‬‬

‫‪-22 , -11 , 44 , 3 , -3 ,‬‬

‫‪, 27 , -33 , -111 , 23‬‬

‫‪22 , -1 , -22 , 1 ,‬‬

‫س‪ )3‬جد ناتج كال مما يأتي‪:‬‬ ‫‪11 -7‬‬

‫‪33 -15‬‬

‫‪6 -25‬‬

‫‪b) ( -22 + 32 + 4 -28 ) – -1 -5‬‬

‫‪-1-43 2 -11 3‬‬ ‫‪8 -2‬‬

‫‪4 -27‬‬ ‫‪1 -23 -1‬‬

‫‪31‬‬

‫‪a) ( -1‬‬

‫‪c) ( 9 -11‬‬

‫‪d) ( -7 -2 14 5  -1 -3‬‬

‫س‪ )4‬جد ناتج كال مما يأتي‪:‬‬ ‫‪a) -3  22-11‬‬

‫‪b) 2  -4 -7 15 11‬‬ ‫س‪ )5‬جد كال مما يأتي‪:‬‬

‫‪c) (-9+5) ( -7 -2 +9 – 8‬‬

‫‪ ,  33-31  , -17 ‬‬

‫‪ 1- 9  ,  12-2‬‬

‫‪45‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬ ‫‪  9 –2 ‬تحهيم األعداد انصحيحح إنى عىامهها األونيح‬ ‫مثال‪22‬‬ ‫حمل األرقام اآلتية إلى عواممها األولية‪:‬‬ ‫الحل‬

‫‪3 ,‬‬

‫‪, 3‬‬

‫‪3 81‬‬ ‫‪3 27‬‬ ‫‪3 9‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2 84‬‬ ‫‪2 42‬‬ ‫‪3 21‬‬ ‫‪7 7‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3 243‬‬ ‫‪3 81‬‬

‫‪128‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3 27‬‬

‫‪64‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3 9‬‬

‫‪32‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3 3‬‬

‫‪16‬‬

‫‪1‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪46‬‬

‫‪2‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬ ‫‪5 3125‬‬

‫‪5 625‬‬

‫‪5 625‬‬

‫‪5 125‬‬

‫‪5 125‬‬

‫‪5 25‬‬

‫‪5 25‬‬

‫‪5 5‬‬

‫‪5 5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫مثال‪23‬‬ ‫حمل األرقام اآلتية إلى عواممها األولية‪:‬‬ ‫‪1792‬‬

‫الحل‬

‫‪,‬‬

‫‪6561‬‬

‫‪2 1792‬‬ ‫‪2 896‬‬ ‫‪2 448‬‬ ‫‪2 224‬‬ ‫‪2 112‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪2 28‬‬ ‫‪2 14‬‬ ‫‪7 7‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2376‬‬ ‫‪3 6561‬‬ ‫‪3 2187‬‬ ‫‪3 729‬‬ ‫‪3 243‬‬ ‫‪3 81‬‬ ‫‪3 27‬‬ ‫‪3 9‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2 2376‬‬ ‫‪2 1188‬‬ ‫‪2 594‬‬ ‫‪3 297‬‬ ‫‪3 99‬‬ ‫‪3 33‬‬ ‫‪11 11‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪47‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬ ‫‪  10 –2 ‬انجذر انتزتيعي نهعدد انصحيح انمىجة انمزتع انكامم‬ ‫يرمز لمجذر التربيعي الموجب بالرمز (‬

‫ملحوظة‪ :‬العدد الصحيح له جذرران‬ ‫أحدهما موجب واآلخر سالب‬ ‫)‬ ‫مثال‪𝟒 = +𝟐, −𝟐 :‬‬ ‫𝟑‪𝟗 = +𝟑, −‬‬

‫كيفية إجياد اجلذر الرتبيعي للعدد الصحيح املوجب‬

‫أل نه‬

‫‪‬‬

‫أل نه‬

‫‪33‬‬

‫أل نه‬

‫‪‬‬

‫أل نه‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪48‬‬

‫‪00‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬ ‫تنثيه‬

‫ال يوجد جذر تربيعي لمعدد الصحيح السالب‬

‫إيجاد انجذر انتزتيعي نألرقاو انكثيزج تطزيقح انتحهيم‬ ‫مثال‪24‬‬ ‫جد ناتج كال مما يأتي‪:‬‬ ‫‪d) 729‬‬

‫‪1296‬‬

‫‪625‬‬

‫)‪c‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪256‬‬

‫)‪a‬‬

‫الحل‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪32‬‬

‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪16‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2222=16‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪49‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬ ‫الحل‬

‫)‪b‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪125‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪55=25‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1296‬‬

‫‪2‬‬

‫‪648‬‬

‫‪2‬‬

‫‪324‬‬

‫‪2‬‬

‫‪162‬‬

‫‪2‬‬

‫‪81‬‬

‫‪3‬‬

‫‪27‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2233=36‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪50‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪243‬‬

‫‪3‬‬

‫‪81‬‬

‫‪3‬‬

‫‪27‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪333=27‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪  11 –2 ‬انجذر انتكعيثي نهعدد انصحيح انمكعة انكامم‬ ‫‪3‬‬

‫ألن‬ ‫ألن‬

‫‪ ‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪- - -‬‬

‫‪-‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-‬‬

‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪51‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬

‫إيجاد انجذر انتكعيثي نألرقاو انكثيزج تطزيقح انتحهيم‬ ‫مثال‪25‬‬ ‫جد ناتج كال مما يأتي‪:‬‬ ‫‪c) 3 3375‬‬

‫‪d) 3 1728‬‬

‫‪216‬‬

‫‪3‬‬

‫‪512‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪3‬‬

‫الحل‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪a‬‬

‫‪2‬‬

‫‪256‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪64‬‬

‫‪2‬‬

‫‪32‬‬

‫‪222=8‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪52‬‬

‫‪512‬‬

‫‪3‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬

‫)‪b‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1 8‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪23 =6‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪216‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪c‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪675‬‬

‫‪5‬‬

‫‪135‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪53 =15‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪3375‬‬

‫‪3‬‬

‫‪53‬‬

‫انىحدج انثانيح األعداد انصحيحح‬

‫)‪d‬‬ ‫‪864‬‬

‫‪2‬‬

‫‪432‬‬ ‫‪216‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1 8‬‬ ‫‪54‬‬

‫‪223 =12‬‬

‫‪3 27‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪12‬‬

‫‪54‬‬

‫‪1728‬‬

‫‪3‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدجوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انصحيحح‬ ‫انثانيح األعداد‬

‫تمارين‬ ‫س‪ )1‬حمل األعداد اآلتية إلى عواممها األولية‪:‬‬ ‫‪, 2187 , 15625‬‬

‫‪4 96 , 72‬‬

‫‪,‬‬

‫‪19683‬‬

‫س‪ )2‬جد كال مما يأتي‪:‬‬

‫س‪ )3‬جد كال مما يأتي‪:‬‬

‫‪16384‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪59 49‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪a) 3 32768‬‬ ‫‪b) 3 13824‬‬ ‫‪c) 3 157464‬‬

‫‪55‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬

‫انىحدح انثبنثخ‬

‫انهدف من دراسخ انىحدح‬ ‫ينبغي بعد دراسة الوحدة الثالثة أن يكون الطالب قاد ارً عمى أن‪:‬‬

‫ُيعرف العدد النسبي‬ ‫‪ )2‬يبسط العدد النسبي‬

‫‪ )3‬يقارن بين األعداد النسبية‬

‫‪ )4‬يضرب األعداد النسبية و يقسم األعداد النسبية‬ ‫‪ )5‬يجمع ويطرح األعداد النسبية‬

‫‪56‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫مفردات الوحدة الثالثة‬

‫‪–3‬‬

‫‪ ‬تعريف األعداد النسبية‬

‫‪  2 – 3 ‬تبسيط العدد النسبي‬

‫‪  3 – 3 ‬التحقق من تساوي عددين نسبيين‬ ‫‪–3‬‬

‫‪ ‬المقارنة بين عددين نسبيين‬

‫‪  5 – 3 ‬ضرب وقسمة عددين نسبيين‬ ‫‪  6 – 3 ‬جمع وطرح عددين نسبيين‬

‫‪57‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫‪  1 - 3‬مجمىعخ األعداد اننسجيخ‬

‫اليدف من الدرس‬

‫أن يكون الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫ُيعرف األعداد النسبية‬

‫العدد النسبي‬ ‫هو العدد الذي يمكن كتابته عمى صورة كسر بسطه عدد صحيح و(مقامه عدد‬ ‫‪a‬‬ ‫حيث ‪a , b‬‬ ‫صحيح ال يساوي صفر) ‪ ,‬ويكتب العدد النسبي عمى الصورة‬ ‫‪b‬‬ ‫عددان صحيحان و ‪b‬‬ ‫مثل ‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪6‬‬

‫قد يسأل طالب هل ‪ 5‬عدد نسبي؟‬ ‫نعم ‪ 5‬عدد نسبي ألنه يمكن كتابته بالصورة‬ ‫فيكون‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫وبصورة عامة إذا كان ‪az‬‬

‫‪‬‬

‫‪4‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫بجعل المقام =‪1‬‬

‫‪a‬‬

‫‪1‬‬

‫مجمىعخ األعداد اننسجيخ‬

‫‪: a,bZ, b o‬‬

‫‪58‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪Q=‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫‪ 2 - ‬وضع انعدد اننسجي ثأثسط صىرح‬ ‫يكون العدد النسبي مكتوباً بأبسط صورة إذا كان القاسم المشترك لمبسط‬

‫والمقام ىو الواحد‪.‬‬

‫مثبل‪1‬‬

‫ضع بأبسط صورة كالً مما يأتي‪:‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪,‬‬

‫‪-3‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪,‬‬

‫‪27‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪,‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬

‫الحل‬

‫البسط والمقام يقبل القسمة عمى ‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫البسط والمقام يقبل القسمة عمى ‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫البسط والمقام يقبل القسمة عمى ‪3‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪59‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬

‫البسط والمقام يقبل القسمة عمى ‪3‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪7‬‬

‫البسط والمقام يقبل القسمة عمى ‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫البسط والمقام يقبل القسمة عمى ‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫البسط والمقام يقبل القسمة عمى ‪7‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪60‬‬

‫=‬

‫‪-1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪3‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪3‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫‪  3 – 3‬انتحقق من تسبوي عددين نسجيين‬ ‫مثبل‪2‬‬ ‫تحقق من تساوي العددين‬ ‫الحل‬

‫نضع العدد‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪,‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪ 12‬بأبسط صورة‬ ‫‪16‬‬

‫‪3‬‬

‫البسط والمقام يقبل القسمة عمى ‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫العددان متساويان‬ ‫مثبل‪3‬‬ ‫تحقق من تساوي العددين‬ ‫الحل‬

‫‪8‬‬ ‫‪52‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫البسط والمقام يقبل القسمة عمى ‪2‬‬ ‫العددان متساويان‬

‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪26‬‬

‫نبسط العددين‬

‫البسط والمقام يقبل القسمة عمى ‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪61‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫‪  4 – 3‬انمقبرنخ ثين عددين نسجيين ( أكجز أو أصغز )‬ ‫‪ )1‬إذا كان العددان بنفس المقام‬

‫نقارن بين البسطين فالعدد الذي بسطو أكبر يكون ىو العدد الكبير‬

‫مثبل‪4‬‬ ‫قارن بين العددين‬ ‫الحل‬

‫العدد‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪13‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬

‫أكبر من العدد‬

‫‪13‬‬

‫‪5‬‬

‫‪13‬‬

‫‪ )2‬إذا كان المقامان مختمفان نوحد المقامين ثم نقارن بين البسطين‬ ‫مثبل‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫قارن بين العددين‬

‫‪,‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬

‫الحل‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬

‫البسط= ‪22‬‬ ‫العدد‬

‫‪62‬‬

‫البسط= ‪21‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫أصغر من العدد‬

‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫مثبل‪6‬‬ ‫‪5‬‬

‫قارن بين العددين‬

‫‪,‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪15‬‬

‫الحل‬ ‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪,‬‬

‫‪9‬‬

‫‪15‬‬

‫البسط= ‪75‬‬ ‫العدد‬

‫البسط= ‪63‬‬

‫‪5‬‬

‫أكبر من العدد‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪15‬‬

‫مثبل‪7‬‬ ‫‪6‬‬

‫قارن بين العددين‬

‫‪,‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫الحل‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫البسط= ‪12‬‬ ‫العدد‬

‫البسط= ‪35‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫أصغر من العدد‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪63‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫مثبل‪9‬‬ ‫قارن بين العددين‬

‫‪14‬‬

‫‪,‬‬

‫‪11‬‬

‫الحل‬ ‫‪14‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪,‬‬

‫‪11‬‬

‫‪9‬‬

‫‪13‬‬

‫البسط= ‪182‬‬ ‫العدد‬

‫البسط= ‪99‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪11‬‬

‫أكبر من العدد‬

‫‪9‬‬ ‫‪13‬‬

‫مثبل‪10‬‬ ‫‪-5‬‬

‫قارن بين العددين‬

‫‪,‬‬

‫‪11‬‬

‫‪-7‬‬ ‫‪9‬‬

‫الحل‬ ‫‪-5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪11‬‬ ‫البسط=‬

‫‪-7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫البسط=‬

‫‪-‬‬

‫العدد ‪ - 45‬أكبر من ‪– 77‬‬ ‫العدد‬

‫‪64‬‬

‫‪-5‬‬ ‫‪11‬‬

‫أكبر من العدد‬

‫‪-7‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪-‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫مثبل‪11‬‬ ‫‪5‬‬

‫قارن بين العددين‬

‫‪7‬‬

‫الحل‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫البسط= ‪132‬‬ ‫العدد‬

‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫‪26‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪5‬‬ ‫البسط = ‪126‬‬

‫‪3‬‬

‫أكبر من العدد‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪65‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫تمبرين(‪)1-3‬‬ ‫س‪ )1‬ضع بأبسط صورة كالً مما يأتي‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪,‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪,‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪,‬‬

‫‪27‬‬

‫‪13‬‬

‫‪,‬‬

‫‪81‬‬

‫‪26‬‬

‫‪18‬‬

‫‪,‬‬

‫‪24‬‬

‫س‪ )2‬تحقق من تساوي العددين لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪,‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪, 54‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪, 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a) 2‬‬ ‫‪b) 6‬‬ ‫‪c) 3‬‬

‫س‪ )3‬قارن بين العددين لكل ما يأتي ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪,‬‬

‫‪29‬‬

‫‪,‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪66‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a) 7‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪,‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪b‬‬ ‫‪c) 1‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫‪ 5-3 ‬ضزة وقسمخ األعداد اننسجيخ‬ ‫مثبل‪12‬‬ ‫جد ناتج‬

‫‪2  5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫الحل‬ ‫‪10‬‬ ‫‪21‬‬ ‫مثبل‪13‬‬ ‫جد ناتج‬

‫‪2 1‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪73‬‬

‫=‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫الحل‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪77‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪67‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫مثبل‪14‬‬

‫‪1‬‬

‫جد ناتج كالً مما يأتي ‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫الحل‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪ 2‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪10‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫‪  6- 3 ‬جمع وطزح األعداد اننسجيخ‬ ‫‪ )1‬إذا كان المقامان متساويين‬ ‫مثم‪15‬‬

‫جد ناتج المقدار‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫الحل‬

‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬

‫مثم ‪16‬‬ ‫جد ناتج المقدار‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪5‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬

‫الحل‬ ‫‪= 3‬‬

‫‪68‬‬

‫=‬

‫‪3+4‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪9-3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫‪ )2‬إذا كان المقامان مختمفان والمقام الكبير يقبل القسمة عمى المقام الصغير‬ ‫نوحد المقامين بأخذ المقام الكبير كما في األمثمة اآلتية‪:‬‬

‫مثم‪17‬‬ ‫‪9‬‬

‫جد ناتج المقدار‬ ‫الحل‬

‫ضرب‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫تقسيم‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫ضرب‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬ ‫تقسيم‬

‫نوحد المقامين والمقام الكبير ىو ‪4‬‬

‫‪5 +18‬‬

‫‪‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪4‬‬

‫مثم‪18‬‬

‫‪3‬‬

‫جد ناتج المقدار‬

‫الحل‬

‫‪-‬‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪11‬‬ ‫‪6‬‬

‫ضرب‬ ‫‪3‬‬

‫=‬

‫ضرب‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪-‬‬

‫تقسيم‬ ‫نوحد المقامين والمقام الكبير ىو ‪6‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪6‬‬ ‫تقسيم‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪11-9‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬

‫=‬ ‫=‬ ‫‪69‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫‪ )3‬إذا كان المقامان مختمفان والمقام الكبير ال يقبل القسمة عمى المقام‬

‫الصغير فإننا نوحد المقامين وذلك بضرب المقامين ثم نكمل كما في األمثمة‬

‫اآلتية‪:‬‬

‫مثم‪19‬‬ ‫‪7‬‬

‫جد ناتج المقدار‬

‫الحل‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ضرب‬

‫ضرب‬ ‫‪3‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تقسيم‬

‫نوحد المقامين والمقام الكبير ىو‬

‫‪+‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫تقسيم‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪2 +21‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪70‬‬

‫=‬

‫=‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫مثم‪20‬‬ ‫‪3‬‬

‫جد ناتج المقدار‬

‫الحل‬

‫‪-‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫ضرب‬

‫ضرب‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪-‬‬

‫تقسيم‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫تقسيم‬ ‫= ‪‬‬

‫نوحد المقامين والمقام الكبير ىو‬

‫‪‬‬

‫‪8 -15‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪20‬‬

‫مثم‪21‬‬

‫‪1‬‬

‫جد ناتج المقدار‬

‫الحل‬

‫‪-‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬

‫ضرب‬

‫ضرب‬ ‫‪11‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫تقسيم‬

‫نوحد المقامين والمقام الكبير ىو‬

‫‪-‬‬

‫‪2‬‬

‫‪11‬‬

‫‪3‬‬

‫تقسيم‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪6-11‬‬

‫=‬

‫‪33‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪33‬‬

‫=‬ ‫‪71‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫مثبل‪22‬‬ ‫‪1‬‬

‫جد ناتج المقدار‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬

‫الحل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪21‬‬

‫نوحد المقامات ‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬

‫‪14‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪61‬‬ ‫‪42‬‬

‫=‬

‫‪70 + 12-21‬‬ ‫‪42‬‬

‫طريقة ثانية لجمع أو طرح عددين نسبيين‬ ‫‪ad  bc‬‬ ‫‪ad‬‬

‫‪72‬‬

‫=‬

‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫=‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫مثبل‪23‬‬ ‫‪7‬‬

‫جد ناتج المقدار‬

‫‪6‬‬

‫‪+‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫الحل‬ ‫‪30+21‬‬

‫‪51‬‬ ‫=‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬

‫=‬

‫‪65 + 37‬‬

‫=‬

‫‪36‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪+‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫مثبل‪24‬‬ ‫‪7‬‬

‫جد ناتج المقدار‬

‫‪5‬‬

‫‪-‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫الحل‬

‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫=‬

‫‪15-14‬‬ ‫‪10‬‬

‫=‬

‫‪53 - 27‬‬ ‫‪25‬‬

‫=‬

‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪-‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪73‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫مثبل‪25‬‬ ‫جد ناتج المقدار (‬

‫‪2‬‬

‫‪ 2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪24‬‬

‫)‪(+‬‬

‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫‪6‬‬

‫‪11‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫الحل‬

‫‪12‬‬

‫)‬

‫‪15‬‬

‫‪‬‬

‫‪5‬‬

‫)‬

‫‪6‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫( ‪+‬‬

‫‪24‬‬

‫‪3+3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‬

‫( ‪)+‬‬

‫‪3‬‬

‫= )‬

‫‪2‬‬

‫‪22‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪11‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫( ‪) +‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫مثبل‪26‬‬ ‫جد ناتج‬ ‫الحل‬

‫‪+ 3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪19‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪74‬‬

‫=‬

‫‪13 +6‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫‪  7 – 3‬انصىرح انعشزيخ نهعدد اننسجي‬ ‫إذا كان مقام العدد النسبي ( ‪).. , 12222 , 1222 , 122 , 12‬‬ ‫يكتب العدد بالصورة العشرية كما في األمثمة اآلتية‪:‬‬

‫مثبل‪27‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪234‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪133‬‬ ‫‪100‬‬ ‫=‬

‫‪234‬‬ ‫‪1000‬‬

‫العدد العشري المنتيي ‪:‬‬

‫العدد النسبي يكون عدداً عشرياً منتيياً إذا كانت عوامل مقامو من قوى‬

‫العددين األوليين ‪ 2‬أو ‪ 5‬فقط‬ ‫العدد العشري الدوري ‪:‬‬

‫العدد النسبي يكون عدداً عشرياً دورياً إذا كانت عوامل مقامو ليس من قوى‬

‫العددين األوليين ‪ 2‬أو ‪5‬‬

‫‪75‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫كيفية تحويل العدد النسبي إلى الصورة العشرية‬

‫سنكتفي في ىذه المرحمة بشرح العدد العشري المنتيي‬ ‫يتم تحويل العدد النسبي إلى الصور العشرية وذلك بتحويل مقامه إلى‬

‫(‪ )..... ,1000 , 100 , 10‬عن طريق ضرب البسط والمقام في نفس العدد‬ ‫مثبل‪28‬‬ ‫حول األعداد النسبية اآلتية إلى الصورة العشرية‪:‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪15‬‬

‫الحل‬

‫=‬

‫‪76‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪,‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪650‬‬

‫‪1350‬‬

‫‪100‬‬

‫‪250‬‬

‫‪175‬‬

‫‪725‬‬

‫‪100‬‬

‫‪425‬‬

‫‪12‬‬

‫‪100‬‬

‫=‬

‫‪34‬‬ ‫‪254‬‬

‫‪120‬‬

‫‪620‬‬

‫‪100‬‬

‫‪520‬‬

‫‪13‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫تمبرين(‪)2-3‬‬ ‫س‪ )1‬جد ناتج كالً مما يأتي‪:‬‬

‫‪11‬‬

‫‪-‬‬

‫‪12‬‬

‫‪1‬‬

‫‪16‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪8‬‬ ‫س‪ )2‬جد ناتج كالً مما يأتي‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬ ‫)‬

‫‪1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪11‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪16‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‪) ‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪72‬‬ ‫‪‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪11‬‬

‫)‪a‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪b‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪-‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-‬‬

‫‪21‬‬

‫‪1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫(‬

‫)‪c‬‬

‫س‪ )3‬حول األعداد النسبية اآلتية إلى الصورة العشرية‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3‬‬

‫‪75‬‬

‫‪,‬‬

‫‪8‬‬

‫‪32‬‬

‫‪77‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫‪  8 – 3 ‬انجذر انتزثيعي نهعدد اننسجي انمىجت انمزثع انكبمم‬ ‫مثبل‪29‬‬ ‫جد نبتج كالً ممب يأتي‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‬

‫‪7‬‬ ‫‪15‬‬

‫=‬

‫‪11‬‬

‫‪225‬‬

‫‪5‬‬

‫‪45‬‬

‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪78‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪121‬‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪35=15‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪121‬‬

‫)‪a‬‬

‫)‪b‬‬

‫)‪c‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫‪16‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪32‬‬

‫‪2‬‬

‫‪16‬‬

‫=‬

‫‪144‬‬

‫‪2‬‬

‫‪144‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪256‬‬

‫=‬

‫‪256‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪2222 =16‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪79‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫‪– 3‬‬

‫‪ ‬انجذر انتكعيجي نهعدد اننسجي انمكعت انكبمم‬

‫مثبل‪30‬‬ ‫جد نبتج كالً ممب يأتي‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪3 27‬‬

‫‪64‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬

‫‪27‬‬ ‫‪64‬‬

‫=‬

‫‪3 125‬‬

‫‪3 512‬‬

‫=‬

‫‪8‬‬

‫‪3 216‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪125‬‬ ‫=‬

‫‪3 512‬‬

‫‪216‬‬

‫)‪a‬‬

‫)‪b‬‬

‫)‪c‬‬

‫الحظ تحميل العددين ‪ 512‬و ‪216‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪23 =6‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪80‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪222=8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪  10 – 3‬اننسجخ انمئىيخ‬ ‫عدد نسبي مقامو =‪122‬‬ ‫مثبل‪31‬‬ ‫حول األعداد النسبية اآلتية إلى نسبة مئوية‬ ‫‪,‬‬

‫‪, 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪,‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫انحم‬

‫‪81‬‬

‫انىحدح انثبنثخ األعداد اننسجيخ‬ ‫نضرب البسط والمقام في ‪22‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪420‬‬

‫=‬

‫‪520‬‬

‫نضرب البسط والمقام في ‪4‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪74‬‬

‫=‬

‫‪254‬‬

‫نضرب البسط والمقام في ‪4‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪=%‬‬

‫‪100‬‬

‫‪150‬‬

‫=‬

‫‪250‬‬

‫تمبرين (‪)3-3‬‬ ‫س‪ )1‬جد ناتج كالً مما يأتي‪:‬‬

‫‪625‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪-27‬‬ ‫‪1000‬‬

‫س‪ )2‬حول األعداد اآلتية إلى نسبة مئوية‬ ‫‪3‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪82‬‬

‫‪,‬‬

‫‪13‬‬

‫‪50‬‬

‫‪,‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪b‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدةوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انهندسيت‬ ‫انرابعت األشكال‬

‫انىحدة انرابعت‬

‫انهدف من دراست انىحدة‬ ‫ينبغي بعد دراسة الوحدة الرابعة أن يكون الطالب قاد ارً عمى أن‪:‬‬

‫ُيعرف المنحني والمضمع‬ ‫‪ )2‬يعرف المربع والمستطيل ومتوازي األضالع و المعين وشبو المنحرف‬ ‫والمثمث والدائرة ويجد محيط ومساحة كل منيا‪.‬‬

‫‪83‬‬

‫انىحدة انرابعت األشكال انهندسيت‬ ‫مفردات الوحدة الرابعة‬

‫‪–4‬‬

‫‪ ‬المفاىيم اليندسية‬

‫‪  2 – 4 ‬االشكال اليندسية‬

‫‪ ‬المربع‬

‫‪ ‬المستطيل‬ ‫‪ ‬متوازي األضالع‬ ‫‪ ‬المعين‬

‫‪ ‬شبو المنحرف‬ ‫‪ ‬المثمث‬ ‫‪ ‬الدائرة‬

‫‪84‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدةوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انهندسيت‬ ‫انرابعت األشكال‬ ‫‪ 1 – 4‬انمفاهيم انهندسيت‬

‫المنحني‪:‬‬

‫الهدف من الدرس‬ ‫أن يكون الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫ُيعرف المنحني والمضلع‬

‫إذا عينت نقطة مثل ‪ a‬عمى صفحة دفترك ثم رسمت أي مسار بقمم الرصاص‬

‫مبتدئا من ىذه النقطة دون أن ترفع القمم إال عندما تعود إلى نقطة البدء ‪a‬‬ ‫فإنك تحصل عمى شكل ىندسي يسمى المنحني المغمق‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪a‬‬

‫أما إذا كان المنحني غير مغمق فيكون منحنياً مفتوحاً‬

‫المضمع‪:‬‬

‫المض ل ل ل للمع منحن ل ل ل للي مغمل ل ل ل للق مك ل ل ل للون م ل ل ل للن اتح ل ل ل للاد ث ل ل ل للقي ةط ل ل ل للع مسلل ل ل للتقيمة أو‬ ‫أكثل ل ل للر واةعل ل ل للة ف ل ل ل للي مسل ل ل للتو واح ل ل ل للدة وكل ل ل للل ةطع ل ل ل للة مل ل ل للن ى ل ل ل للذه القطل ل ل للع تقط ل ل ل للع‬ ‫ةطعتين عند نيايتيا‬

‫‪85‬‬

‫انىحدة انرابعت األشكال انهندسيت‬ ‫‪  2 – 4 ‬مساحت ومحيط االشكال انهندسيت‬ ‫الهدف من الدرس‬ ‫أن يكون الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫يجد محيط ومساحة الشكل الهندسي‬

‫انمربع‬

‫ىو شكل رباعي جميع أضالعو متساوية وزواياه قائمة‬

‫الطول‬

‫محيط المربع = ‪  4‬طول الضمع‬

‫الطول‬

‫مساحة المربع = طول الضمع ‪ ‬نفسو‬

‫مثال‪1‬‬ ‫قطعة مربعة الشكل طول ضمعيا ( ‪ ) 3 cm‬جد محيطيا ومساحتيا‪.‬‬

‫الحل‬

‫‪‬‬

‫‪C=43=12 cm‬‬

‫محيط المربع =‬

‫‪ ‬طول الضمع‬

‫مساحة المربع = طول الضمع ‪ ‬نفسو ‪‬‬

‫= ‪A= ‬‬

‫‪cm‬‬

‫انمستطيم‬ ‫ىو شكل رباعي كل زواياه قائمة وفيو كل ضمعين متقابمين متوازيان‬

‫ومتساويان‪.‬‬

‫الطول ‪ ‬العرض‬

‫العرض‬

‫محيط المستطيل = ‪(2‬الطول ‪ +‬العرض)‬ ‫مساحة المستطيل = الطول ‪ ‬العرض‬

‫‪86‬‬

‫الطول‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدةوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انهندسيت‬ ‫انرابعت األشكال‬ ‫مثال‪2‬‬ ‫مستطيل طولو ) ‪ (5 cm‬وعرضو ) ‪ (3 cm‬جد محيطو ومساحتو‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫محيط المستطيل = ‪ (2‬الطول ‪ +‬العرض)‬

‫‪C = 2( 5 + 3 ) = 2(8)=16 cm‬‬

‫مساحة المستطيل = الطول ‪ ‬العرض‬ ‫‪A = 5  3 = 15 cm‬‬ ‫مثال‪3‬‬ ‫مستطيل مساحتو = ‪ 32 cm‬وطولو ( ‪ ) 8 cm‬جد عرضو ‪.‬‬ ‫مساحة المستطيل = الطول ‪ ‬العرض‬ ‫‪= 4 cm‬‬

‫‪32‬‬ ‫‪8‬‬

‫= ‪A = x y  32 = 8y  y‬‬

‫‪87‬‬

‫انىحدة انرابعت األشكال انهندسيت‬ ‫‪ )3‬متىازي االضالع‬ ‫االرتفاع‬

‫ىو شكل رباعي فيو كل ضمعين متقابمين متوازيين‪.‬‬

‫طول القاعدة‬

‫محيط متوازي األضالع= مجموع أطوال أضالعو األربعة‬ ‫مساحة متوازي األضالع= طول القاعدة ‪ ‬االرتفاع‬

‫مثال‪4‬‬ ‫قطعة معدنية بشكل متوازي األضالع طول قاعدتو ) ‪cm‬‬

‫وطول االرتفاع الساقط عمييا ) ‪ ( 12 cm‬جد مساحتيا‪.‬‬

‫(‬

‫الحل‬

‫المساحة = طول القاعدة ‪ ‬االرتفاع‬

‫‪A = 25  12 = 300 cm‬‬

‫‪ )4‬انمعين‬ ‫ىو متوازي أضالع أضالعو متساوية‬

‫االرتفاع‬

‫محيط المعين = مجموع أطوال أضالعو األربعة‬

‫مساحة المعين = طول ضمع المعين ‪ ‬االرتفاع‬

‫مثال‪5‬‬

‫طول القاعدة‬

‫= طول القاعدة ‪ ‬االرتفاع‬

‫معين طول ضمعو ) ‪ (15 cm‬وطول إرتفاعو ) ‪ (10 cm‬جد مساحتو‪.‬‬

‫المساحة = طول القاعدة ‪ ‬االرتفاع‬

‫‪88‬‬

‫‪A= 15  10 =150 cm‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدةوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انهندسيت‬ ‫انرابعت األشكال‬ ‫مساحة المعين إذا عمم طول كل من قطريو‬ ‫المساحة =‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫حاصل ضرب طوال القطرين‬

‫مثال‪6‬‬ ‫جد مساحة معين طوال قطريو ‪30 cm , 18 cm‬‬ ‫الحل‬

‫المساحة =‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫حاصل ضرب طوال القطرين‬ ‫‪ 18 = 270 cm‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪A‬‬

‫مثال‪7‬‬ ‫جد مساحة مربع طول قطره ‪12 cm‬‬ ‫الحل‬

‫المساحة =‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫حاصل ضرب القطرين‬ ‫‪ 12 = 72 cm‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪A‬‬

‫‪89‬‬

‫انىحدة انرابعت األشكال انهندسيت‬ ‫‪ )5‬شبه انمنحرف‬ ‫ىو شكل رباعي فيو ضمعان متقابالن متوازيان والضمعان اآلخران غير‬ ‫متوازيين‬

‫محيط شبو المنحرف = مجموع أطوال أضالعو األربعة‬ ‫مساحة شبو المنحرف‬ ‫=‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ‬مجموع طولي القاعدتين المتوازيتين‪  ‬االرتفاع‬

‫مثال‪8‬‬ ‫جد مساحة شبو المنحرف الذي طول قاعدتيو المتوازيتين ‪18 cm ,22 cm‬‬

‫وطول ارتفاعو ‪10 cm‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ 10 =200 cm‬‬

‫‪90‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪A‬‬ ‫=‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدةوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انهندسيت‬ ‫انرابعت األشكال‬ ‫‪ )6‬انمثهث‬ ‫مضمع مكون من اتحاد ثقي ةطع مستقيمة متقاطعة مثنى مثنى في نياياتيا‬

‫(يسمى كل منيا ضمعاً) ونقطة تقاطع كل ضمعين تسمى رأس المثمي إنو يمتمك‬ ‫ثقثة رؤوس‬

‫أنىاع انمثهث‬

‫‪a‬‬

‫‪ )1‬مثمث قائم الزاوية‬ ‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪ )2‬مثمث متساوي الساقين‬

‫‪ )3‬مثمث متساوي األضالع‬

‫‪ )4‬مثمث مختمف األضالع‬

‫‪91‬‬

‫انىحدة انرابعت األشكال انهندسيت‬ ‫قاعدة المثمث وارتفاعو‪:‬‬

‫يمكن اعتبار اي ضمع من اضالع المثمث قاعدة لو ويكون العمود النازل من‬

‫الراس المقابل عمى ذلك الضمع ارتفاعاً لو‪.‬‬ ‫مجموع قياسات زوايا المثمث= ‪1811‬‬

‫محيط المثمث = مجموع أطوال أضالعو الثالثة‬ ‫مساحة المثمث =‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ‬طول القاعدة ‪ ‬االرتفاع‬

‫مثال‪9‬‬ ‫مثمث طول قاعدتو ) ‪ (9 cm‬وارتفاعو ) ‪ ( 8 cm‬جد مساحتو‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫مساحة المثمث =‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬طول القاعدة ‪ ‬االرتفاع‬ ‫‪ 8 = 36 cm‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫نشاط‬ ‫مثمث مساحتو ) ‪ ( 80 cm‬وطول قاعدتو ) ‪ (10 cm‬جد ارتفاعو‪.‬‬

‫‪92‬‬

‫=‪A‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدةوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انهندسيت‬ ‫انرابعت األشكال‬ ‫‪ )6‬اندائرة‬ ‫ىي مجموعة من النقط التي تقع في مستو واحد وتبعد بعداً ثابتاً من نقطو‬ ‫معمومة في المستوي تسمى المركز‪.‬‬

‫نصف قطر الدائرة‪:‬‬

‫ىو القطعة المستقيمة التي تصل بين مركز الدائرة وأحد نقاطيا‪.‬‬

‫وتر الدائرة‪:‬‬

‫ىو القطعة المستقيمة التي تصل بين اي نقطتين من نقاط الدائرة‬

‫قطر الدائرة‪:‬‬

‫ىو الوتر الذي يمر من مركز الدائرة وىو أكبر وتر فييا‪.‬‬

‫محيط الدائرة‪:‬‬

‫ىو محيط الخط المنحني المغمق الذي تمثل نقاطو الدائرة‬

‫محيط الدائرة =‬

‫مساحة الدائرة =‬

‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪93‬‬

‫انىحدة انرابعت األشكال انهندسيت‬ ‫تقسم الدائرة المستوى إلى ثالث مجموعات من النقاط ىي‪:‬‬ ‫أ‪ .‬مجموعة نقاط الدائرة مثل‪:‬‬ ‫…‪a, b, c,‬‬

‫ب‪ .‬مجموعة نقاط داخل الدائرة مثل‪:‬‬ ‫…‪m, n, f,‬‬

‫ج‪ .‬مجموعة نقاط خارج الدائرة مثل‪:‬‬ ‫…‪Q, R, S,‬‬

‫سطح الدائرة‪:‬‬

‫ىو مجموعة نقاط الدائرة اتحاد مجموعة نقاط داخل الدائرة‬

‫تدريب‬ ‫النقطة ‪ m‬تنتمي لمدائرة أم لسطح الدائرة‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫‪( ...‬الدائرة – سطح الدائرة – كالىما)‬

‫‪94‬‬

‫واللوغاريتمات‬ ‫انىحدةوالجذور‬ ‫الفصل األول األسس‬ ‫انهندسيت‬ ‫انرابعت األشكال‬ ‫مثال‪10‬‬ ‫جد مساحة ومحيط دائرة نصف قطرىا ‪. 6 cm‬‬ ‫الحل‬

‫‪ cm‬‬

‫‪‬‬ ‫‪cm‬‬

‫‪A=  r = ‬‬

‫‪=‬‬

‫‪C = 2 r = 2 ‬‬

‫‪‬‬

‫مثال‪11‬‬ ‫دائرة مساحتيا ) ‪ cm‬‬ ‫الحل‬

‫جد نصف قطرىا‪.‬‬

‫‪ r= 25 = 5 cm‬‬

‫‪r‬‬

‫‪ = r‬‬

‫‪‬‬

‫‪A=  r‬‬

‫مثال‪12‬‬ ‫دائرة محيطيا ) ‪ cm‬‬

‫) جد نصف قطرىا ‪.‬‬ ‫‪ r  r= 13 cm‬‬

‫‪‬‬

‫‪C = 2 r ‬‬

‫‪95‬‬

‫انىحدة انرابعت األشكال انهندسيت‬ ‫تمارين‬ ‫س ‪ ) 1‬جد مساحة شبو المنحرف الذي طول كل من ضمعيو المتوازيين‬ ‫‪ 29m , 18m‬وارتفاعو ‪14m‬‬

‫س ‪ )2‬شباك بشكل نصف دائرة قطرىا ‪ 4m‬جد محيط ومساحة الشباك‪.‬‬ ‫س ‪ )3‬متوازي أضالع مساحتو تساوي ‪169 cm‬‬

‫احسب طول قاعدتو إذا عممت أن طول ارتفاعو ‪10cm‬‬

‫س ‪ )4‬لوح معدني عمى شكل متوازي اضالع طول قاعدتو ‪ 5cm‬وطول‬

‫ارتفاعو ‪ 10cm‬جد مساحتو ‪.‬‬

‫س‪ )5‬قطعة أرض زراعية مستطيمة الشكل طوليا ‪ 20m‬يحدىا نير من‬ ‫إحدى جياتيا يراد تسييجيا بسياج طولو ‪ 100m‬جد مساحتيا ‪.‬‬

‫س‪ )6‬قرص دائري الشكل مساحتو ‪ cm‬‬

‫جد محيطو ‪.‬‬

‫س‪ )7‬مثمث قائم الزاوية طول كل من ضمعيو القائمين ‪5cm , 4cm‬‬ ‫جد مساحتو ‪.‬‬

‫س‪ )8‬منطقة بشكل شبو منحرف طول كل من ضمعيو المتوازيين ‪10cm ,‬‬

‫‪ 14cm‬وارتفاعو = ‪ 8cm‬جد مساحتو‪.‬‬

‫‪96‬‬