Руководство к лабораторным занятиям по геометрической кристаллографии

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра литологии

А.В.Постников, И.Б.Кононова, Р.Х. Аглямов РУКОВОДСТВО К ЛАБОРАТОРНЫМ ЗАНЯТИЯМ ПО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ КРИСТАЛЛОГРАФИИ (Учебное пособие) Утверждено Советом университета в качестве учебного пособия

Москва 2007

2

УДК 548.К Постников А.В., Кононова И.Б., Аглямов Р.Х., Руководство к лабораторным занятиям по геометрической кристаллографии. Учебное пособие. – М.: РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина, 2007. – 49 с.

Настоящее учебное пособие является переработанным и дополненным вариантом пособия, впервые изданного в 2000 г. Пособие составлено с целью дать возможность обучающимся ознакомиться со способами определения элементов симметрии моделей кристаллов, их проектирования на плоскость, оценки пространственного положения граней. Дается классификация кристаллов по сингониям, приводятся данные, необходимые для определения класса симметрии и простых форм, выбору направления координатных осей и единичной грани, определения символов граней. Пособие рекомендуется студентам специальностей 130.30.4 и 130.20.1, 130.20.2 при подготовке к занятиям по курсу «Минералогия и петрография».

С

Российский Государственный им. И.М.Губкина

университет

нефти

и

газа

3

ВВЕДЕНИЕ Раздел «Геометрическая кристаллография» является частью курса «Минералогия и петрография» для специальностей 130.30.4 - Геология нефти и газа, 130.20.1, 130.20.2 - Геофизические методы поисков и разведки месторождений нефти и газа. Во время лабораторных занятий студенты знакомятся с важнейшими особенностями форм кристаллов (плоскогранность, прямореберность, симметричность и др.), которые являются следствием упорядоченного расположения материальных частиц в кристаллической решетке. Задачей изучения геометрической кристаллографии является привить обучающимся навыки определения степени симметрии, кристаллов, умение отражать особенности формы кристаллов на плоскости, находить место, которое занимает тот или иной кристалл в принятой системе классификации. Настоящее пособие составлено с целью дать возможность обучающимся заранее ознакомиться с темой и содержанием очередного занятия, а аудиторное время использовать в основном для закрепления знаний на практике. Материал разбит на небольшие по объему части, каждая из которых в краткой форме изложена в отдельной работе (всего 7 работ). В тексте приведены рисунки и схемы, которые окажут существенную помощь студентам при подготовке к занятиям. Основные данные по ориентировке кристаллов при их проектировании, выбору направления координатных осей и единичной грани, характеристики параметров пространственной решетки кристаллов всех сингоний сведены в таблицу, помещенную в конце пособия. По разделу «Кристаллография» рекомендуется учебник: Попов Г.М., Шафрановский И.И. Кристаллография. - М., «Высшая школа», 1972, 352 с. Для изучения формы кристаллов конкретных минералов можно использовать «Методическое пособие по геометрической кристаллографии» - Князев В.С., Кононова И.Б., Постников А.В. (изд. 1996 г.), имеющееся на кафедре литологии.

4

РАБОТА 1 ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ В КРИСТАЛЛАХ Раздел кристаллографии, посвященный изучению внешней формы кристаллов, называется геометрической кристаллографией. Кристаллами называются твердые тела, в которых материальные частицы - атомы, ионы, молекулы - расположены упорядоченно, по принципу узлов пространственных решеток. В структуре пространственных решеток выделяются узлы, ряды, плоские сетки и элементарные ячейки. Кристаллической решеткой называется пространственная решетка с наименьшим для данного минерала расстоянием между частицами. Кристаллы (идеальные) представляют собой выпуклые многогранники, ограниченные гранями (часть плоскости многоугольник), ребрами (линия пересечения граней) и вершинами (точка пересечения ребер). Наличием кристаллической решетки объясняется правильная форма кристаллов и их важнейшие свойства - плоскогранность и прямореберность. Грани реальных кристаллов параллельны плоским сеткам пространственных решеток, отличающихся большой плотностью материальных частиц (ретикулярная плотность). Ребра параллельны рядам пространственных решеток, а вершины отвечают их узлам. Симметрия - важнейшее свойство кристаллов. Симметричными называются тела, у которых наблюдается закономерная повторяемость в расположении их частей в пространстве. В геометрической кристаллографии рассматривается симметричное расположение граней, ребер, вершин кристаллов. Степень симметричности кристаллов оценивается по наличию элементов симметрии - плоскостей, осей и центра симметрии. Элементы симметрии в кристаллах разных видов могут присутствовать в различных количествах или отсутствовать. Плоскость симметрии - делит кристалл на две зеркально равные части. Плоскости симметрии в кристалле могут проходить: - через ребра; - перпендикулярно ребрам через их середину; - перпендикулярно граням через их середины; - через вершины. В кристаллах может быть до 9 плоскостей симметрии (кроме 8). Обозначение плоскости симметрии - Р. Ось симметрии - прямая линия, при вращении вокруг которой кристалл совмещается с первоначальным положением в пространстве.

5

Минимальный угол, на который необходимо повернуть кристалл до совмещения, называется элементарным углом поворота. Он может быть равен 180°, 120°, 90°, 60°. Число совмещений кристалла с первоначальным положением при повороте на 360° определяет порядок оси симметрии. В соответствии с этим существуют оси второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Оси симметрии могут проходить: - перпендикулярно граням через их середины; - перпендикулярно ребрам через их середины; - через вершины. Количество осей симметрии в кристаллах может быть: - второго порядка - 1, 2, 3, 4, 6; - третьего порядка - 1, 4; - четвертого порядка - 1, 3; - шестого порядка - 1 Обозначаются оси симметрии соответственно: L2, L3, L4, L6. Центр симметрии (инверсии) - точка, равноудаленная от соответствующих противоположных граней, ребер и вершин кристалла. Центр симметрии совпадает с центром тяжести кристалла. Практически наличие центра симметрии определяется следующим образом: если каждой грани кристалла соответствует равная, противоположная и параллельная грань, центр симметрии есть. Если хотя бы для одной грани нет равной, противоположной и параллельной центра симметрии нет. Центр симметрии может быть только один. Обозначается центр симметрии - С. Каждый кристалл характеризуется строго определенным набором элементов симметрии. Разберем пример определения элементов симметрии кристалла галита, имеющего форму куба (рис. 1). Если вращать кристалл вокруг линии, проходящей через середины противоположных граней, то при повороте на 360°, он четыре раза совместится со своим первоначальным положением в пространстве. Таким образом, эта линия является осью симметрии четвертого порядка(L4). Поскольку граней шесть и через каждую пару можно провести L4, то всего в кристалле три оси симметрии четвертого порядка (3L4). Линия, проходящая через противоположные вершины, является осью симметрии третьего порядка (L3). Поскольку вершин восемь и через каждую пару можно провести L3, то всего в кристалле четыре оси симметрии третьего порядка (4L3). Линия, проходящая через середины двух противоположных ребер, ребер является осью симметрии второго порядка (L2). Поскольку

6

двенадцать и через каждую пару можно провести L2, то всего в кристалле шесть осей симметрии второго порядка (6L2).

а

б

Рис. 1. Расположение осей симметрии в кристалле галита: а - четвертого и третьего порядка; б - второго порядка. Концы осей обозначены: L2 - ; L3 - ; L4 - .

7

На рисунке 2 показано расположение девяти плоскостей симметрии (9Р) - 4 вертикальных, 1 горизонтальная, 4 наклонных.

Рис. 2. Расположение плоскостей симметрии в кристалле галита. Поскольку каждой из шести граней соответствует равная и параллельная, то у кристалла имеется центр симметрии (С). Таким образом, кристалл галита характеризуется следующим набором элементов симметрии: 3L4, 4L3, 6L2, 9Р, С. Для приобретения навыка по определению элементов симметрии, необходимо определить их на 5-10 моделях или рисунках кристаллов.

8

РАБОТА 2 СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ Изображение кристалла в виде рисунка часто нецелесообразно, поскольку в процессе роста кристаллов могут существенно меняться размеры и форма граней, постоянными остаются только углы между гранями, что отражает важнейшее свойство кристаллов. Закон постоянства углов Углы между соответственными гранями и ребрами кристаллов данного вещества постоянны. Закон постоянства углов позволяет изображать кристаллы на плоскости в виде проекций, сведя все многообразие форм к совокупности углов между гранями или углов между нормалями к граням. Наиболее часто применяются стереографические проекции. Проекции граней. Теоретически построение стереографической проекции граней кристалла выполняется следующим образом: 1. Из центра симметрии или центра тяжести кристалла описывается сфера произвольного радиуса (рис. 3). 2. Из центра сферы на грани (A, B, C, D, E, K) или их продолжения восстанавливают перпендикуляры (нормали) и продолжают их до пересечения со сферой. Точки пересечения (a’, b’, c’, d’, e’, k’) называются полюсами граней. 3. Через центр сферы проводится горизонтальная плоскость, которая является плоскостью проекции; ее часть, ограниченная сферой, называется кругом проекции. 4. Полюса граней соединяются прямыми линиями с южным S (a’, b’, e’, k’) или северным N (c’, d’) полюсами сферы. 5. Точки пересечения этих линий с кругом проекции (a, b, c, d, e, k) являются проекциями соответствующих (A, B, C, D, E, K) граней кристалла. Проекции граней, полюса которых расположены в верхней (северной) полусфере (включая попадающие на экватор), обозначаются кружочком. Проекции граней, полюса которых расположены в нижней (южной) полусфере, обозначаются крестиком.

9

N k’ a’

K A E e e’

d

b плоскость b’ проекции

a

c

k

B D

C сфера

d’ c’ S

Рис. 3. Схема проектирования граней кристалла на плоскость (вид сбоку) Практически проектируя кристалл, мысленно описываем вокруг него сферу. Горизонтальная плоскость проекции проходит через центр симметрии, а в случае его отсутствия через центр тяжести. Чертим круг проекций. Далее определяем положение проекций граней, исходя из следующих правил: - проекции горизонтальных граней всегда находятся в центре круга проекций. - проекции вертикальных граней всегда находятся на окружности круга проекций. - проекции наклонных граней находятся внутри круга проекций на направлении перпендикуляра, восстановленного из центра сферы к плоскости грани. Положение проекций наклонных граней оценивается приблизительно, исходя из того что, чем положе грань, тем ближе ее проекция к центру; чем круче - тем ближе ее проекция к окружности. На рисунке 4б показана стереографическая проекция двух видов граней кристалла золота.

10

а

б

Рис. 4. Внешний вид кристалла золота (а) и проекция его граней (б)

11

Проекции осей симметрии. Для обозначения осей симметрии используются следующие . условные значки L2 - ; L3 - ; L4 - ; L6 Теоретически для нахождения проекции оси симметрии, ее продолжают в обе стороны до пересечения со сферой в двух точках. Затем эти точки соединяют с южным и северным полюсами сферы. При этом на плоскости проекции получают точки, которые и будут являться проекцией оси. Практически, определяя проекции осей, надо учитывать следующие правила: - проекция вертикальных осей располагается в центре круга проекций; - проекция горизонтальных осей изображается на круге проекций в двух диаметрально противоположных точках; - проекция наклонных осей располагается внутри круга проекций, аналогично проекции наклонных граней. Обозначается проекция только верхнего конца оси. Кристалл золота (см. рис. 4а), проекция граней которого дана на рисунке 4б, имеет такие элементы симметрии 3L4, 4L3, 6L2, 9Р, С. Одна из осей четвертого порядка (L4 ) в кристалле вертикальна и ее проекция (рис. 5) располагается в центре круга проекции; две другие L4 горизонтальны, их проекции - на окружности. Оси симметрии третьего порядка (L3) наклонные и поэтому их проекции располагаются посередине между центром и окружностью. Две из осей второго порядка - горизонтальны, а четыре - наклонные. Они проектируются аналогично осям L4 и L3.

Рис. 5. Проекция осей симметрии кристалла золота.

12

Проекции плоскостей симметрии. Проекции плоскостей симметрии обозначаются двойной линией. Если продолжить плоскость симметрии до пересечения со сферой, то получим окружность. Проектируя каждую точку этой окружности аналогично полюсам граней, получим проекцию плоскости симметрии. Для наклонных и вертикальных плоскостей симметрии принято изображать проекции точек только верхней полуокружности. Проектируя плоскости симметрии надо учитывать следующие правила: - проекции вертикальных плоскостей представляют собой прямые линии и совпадают с диаметрами круга проекции; - проекция горизонтальной плоскости совпадает с окружностью круга проекции; - проекции наклонных плоскостей представляют собой дуги, опирающиеся на концы диаметра круга проекции. Проектируя плоскости симметрии (особенно наклонные), необходимо обратить внимание на то, какие элементы симметрии данного кристалла они включают, через какие грани они проходят. В кристалле золота (см. рис. 4а) вертикальных плоскостей - четыре. Они изображаются (рис. 6) диаметральными прямыми. Проекция горизонтальной плоскости совпадает с окружностью. Проекции четырех наклонных плоскостей представлены дугами.

Рис. 6. Проекция плоскостей симметрии кристалла золота.

13

Проекция центра симметрии обозначается С и располагается в центре круга проекции (рис. 7).

Рис. 7. Полная стереографическая проекция кристалла золота.

Для закрепления навыков необходимо спроектировать на плоскости 5-10 моделей или рисунков кристаллов, изображенных в методическом пособии по геометрической кристаллографии (Князев В.С., Кононова И.Б., Постников А.В.), которое можно получить на кафедре литологии.

14

РАБОТА 3 СИМВОЛЫ ГРАНЕЙ Взаимное расположение граней кристаллов в пространстве определяется с помощью символов. Метод определения символов основывается на законе целых чисел (закон Гауи): Двойные отношения параметров (отрезков), отсекаемых двумя любыми гранями кристалла на трех пересекающихся ребрах его, равны отношениям целых и сравнительно малых чисел. Закон Гауи отражает соответствие внешней формы кристалла строению его кристаллической решетки, так как грани кристаллов параллельны плоским сеткам пространственных решеток, отличающихся большой плотностью материальных частиц (ретикулярная плотность). Тип кристаллической решетки определяется формой ее элементарной ячейки - величиной элементарных отрезков a0, b0, c0, и углов между ними α, β, γ, называемых осевыми углами (рис. 8). Z

C’

B’

A’

D’ с0

β а0

A

α

С

γ

B

b0

D

X Рис. 8. Элементарная ячейка кристаллической решетки.

Y

15

С направлениями a, b, c совместим положение пространственных координатных осей XYZ, называемых кристаллографическими. Ось X располагается горизонтально, ее направление от начала координат к наблюдателю считается положительным, а от наблюдателя отрицательным. Ось Y располагается горизонтально, ее направление вправо от начала координат считается положительным, влево - отрицательным. Ось Z располагается вертикально, ее направление вверх от начала координат считается положительным, вниз - отрицательным. Плоская сетка, проходящая через точки AC’B пересекает все три координатные оси, отсекая на них элементарные отрезки a0, b0, c0. Относительно ее положения в пространстве определяется положение всех других плоских сеток и параллельных им граней кристалла. В качестве примера определения относительного пространственного положения плоских сеток рассмотрим две смежные элементарные ячейки кристалла (рис. 9). Z C”

B”

A”

D”

C’

B’ D’

A’ с0

С

B

b0

Y

а0

A

D

X Рис. 9. Две смежные элементарные ячейки кристаллической решетки (ABCDA’B’C’D’ и A”B”C”D”A’B’C’D’).

16

Положение в пространстве плоской сетки AC’B определяется отношением элементарных отрезков: a0 : b0 : c0 Положение в пространстве плоской сетки AC”B аналогично определяется отношением: a0 : b0 : 2c0 Положение в пространстве плоской сетки AC”B относительно плоской сетки AC’B определяется отношением: a0/a0 : b0/b0 : 2c0/c0 = 1:1:2/1 Возьмем отношение обратное полученному: 1:1:1/2 Это необходимо потому, что в случаях, когда плоская сетка располагается параллельно координатной оси, ее параметр (отрезок) по этой оси равен бесконечности - (∞), то есть неопределенной величине, с которой нельзя производить никаких математических преобразований. Обратная же величина будет равна нулю - (1/∞ =0).

Приведя это выражение к общему знаменателю, получим двойное отношение параметров (отрезков) согласно закону Гауи: 2:2:1 Для грани кристалла параллельной плоской сетке AC”B последнее выражение называется символом и записывается в виде: (221) Отдельное численное значение в символе называется индексом. Положение в пространстве всех граней кристалла сравнивается с положением единичной грани, которая параллельна плоской сетке, отсекающей элементарные отрезки на всех трех координатных осях XYZ. В рассмотренном примере это плоская сетка AC’B. Масштабом измерения для реальных кристаллов обычно являются не расстояния между узлами кристаллической решетки (элементарные отрезки), а единичные отрезки, отсекаемые на кристаллографических осях единичной гранью. Величина единичных отрезков кратна величине элементарных отрезков.

17

Практически для определения символов граней на моделях кристаллов необходимо: 1 - выбрать направления координатных осей - обычно они параллельны ребрам кристалла и часто совпадают с осями симметрии; 2 - поместить начало координат в центре симметрии (или в центре тяжести) кристалла; 3 - выбрать единичную грань и, продолжив ее плоскость до пересечения со всеми координатными осями, определить масштаб измерения по ним - единичные отрезки; 4 - определить параметры - отрезки, отсекаемые другими гранями кристалла на координатных осях; 5 - определить их отношения к единичным отрезкам; 6 - взяв обратные значения этих отношений, приведя их к общему знаменателю и упростив - определить индексы и символ грани. Рассмотрим пример определения символов грани (рис. 10). ACBED - часть кристалла, ограниченная гранями ACB и ABED. Из точки О, совпадающей с центром тяжести кристалла, как из начала координат проведем координатные оси X, Y, Z. Z С’

С В c А a

А’

O

b

D

X Рис. 10. Определение символов граней.

E

В’

Y

18

Выберем грань АВС за единичную, мысленно (или с помощью листа бумаги) продолжим плоскость грани до пересечения со всеми координатными осями. Отрезки ОА’, OB’, OC являются единичными. Соответственно символ грани АВС (111). Поскольку величина единичных отрезков кратна величине элементарных отрезков, по каждой из осей выберем такой масштаб измерения (a, b, c), при котором длины единичных отрезков измерялись бы целыми числами. Продолжим плоскость грани АВED до пересечения с осями. Отношения параметров - отрезков OD, OE, OC’ к единичным составляют: OD/OA’ =2а/3а; OE/OB’=2b/4b; OC’/OC=4c/2c Их отношения между собой после упрощения составят: 2/3:1/2:2/1 Обратные им величины соответственно равны: 3/2:2/1:1/2 Приведем к общему знаменателю и, упростив выражение, получим: 3:4:1 Запишем символ грани АВED: (341) При определении символов граней необходимо помнить следующее: 1 - чем больше отрезок, отсекаемый гранью на оси по сравнению с единичным, тем меньше индекс; 2 - грань, параллельная одной из координатных осей, имеет в символе по этой оси ноль, например, для грани параллельной оси Z - (210); 3 - если грань пересекает только одну координатную ось (например Z) и параллельна двум другим - X и Y, ее символ имеет вид (001); грань, пересекающая только ось Y, имеет символ (010), пересекающая только ось X - (100); 4 - грани одинакового вида и одинаково ориентированные в пространстве относительно выбранных осей координат имеют символы, отличающиеся друг от друга только знаком, например, (111) и (111), или порядком расположения индексов, например, (123) и (321). Для выбора координатных осей и единичной грани существуют правила установки кристалла, которые будут изложены в дальнейшем. Чтобы приобрести навыки в определении символов граней, рекомендуется определить их на 4 - 5 моделях кристаллов разного вида.

19

РАБОТА 4 ПОНЯТИЕ О СИНГОНИЯХ, ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ФОРМАХ КРИСТАЛЛОВ. Кристаллы характеризуются упорядоченным расположением частиц, соответствующим кристаллической решетке, от строения которой зависят многие их свойства, в том числе внешняя форма и симметрия. Тип кристаллической решетки определяется формой ее элементарной ячейки. Совокупность кристаллов со сходной формой элементарной ячейки, а следовательно, и сходными элементами симметрии образуют сингонию (греч. - сходноугольность). Форма ячейки определяется величинами ее ребер (a0, b0, c0) и углов между ними (α, β, γ) (см. рис. 8 и прил. 1 на стр. 48). По соотношению между этими величинами можно выделить семь главных (всего их 14) типов элементарных ячеек, которые соответствует семи сингониям (рис. 11): кубической (а), тетрагональной (б), гексагональной (в), тригональной (г), ромбической (д), моноклинной (е) и триклинной (ж). г е а

б

д

ж

в

Рис. 11. Типы элементарных ячеек кристаллических решеток.

20

Сингонии объединяются в категории: - высшую (кубическая); - среднюю (гексагональная, тетрагональная, тригональная); - низшую (ромбическая, моноклинная, триклинная). В каждой сингонии выделяются классы - совокупности кристаллов с одинаковыми элементами симметрии. Кристаллы могут состоять из граней одного вида, формы и размера, либо из граней нескольких видов (рис. 12). 2 1 1

2

1 а 1

1

б 3

1 2

Рис. 12. Простая (а) и сложная (б) формы кристаллов. В первом случае кристалл представляет собой простую форму, во втором сложную, которая представляет собой комбинацию стольких простых форм, из скольких видов граней она состоит. Каждая простая форма имеет свое название в зависимости от вида, числа и взаимного расположения ее граней. Сложные формы названия не имеют и при их характеристике необходимо указывать, из скольких и каких простых форм они состоят. Форма граней в комбинации может быть существенно иной, чем в соответствующих простых формах. Для того чтобы определить, к какой простой форме относятся грани данного вида, необходимо мысленно продолжить их до взаимного пересечения или сравнить их проекцию с известными проекциями простых форм. При характеристике кристаллов различных сингоний, для образования терминов, используются греческие слова: - один - грань моно эдра - угол ди (би) - два гониа - три - доска три пинакс - четыре тетра скалена - разносторонний треугольник - пять пента трапеца - разносторонний четырехугольник - шесть - сходно гекса син - восемь окта - десять дека додека - двенадцать

21

РАБОТА 5 ВЫСШАЯ КАТЕГОРИЯ - КУБИЧЕСКАЯ СИНГОНИЯ Необходимым условием отнесения кристаллов к кубической сингонии является присутствие четырех осей третьего порядка - 4L3. Элементарная ячейка кристаллов кубической сингонии имеет форму куба и обладает наивысшей симметрией (рис. 13). Координатные оси X, Y, Z располагаются под углом 90° друг к другу. Параметры элементарной ячейки: a0 =b0=c0; α=β=γ=90° Z

c0 α

β a0

b0

Y

γ

X Рис. 13. Элементарная ячейка кристаллов кубической сингонии. В кубической сингонии выделяется пять классов симметрии: 1. 3L4 4L3 6L2 9P C 2. 3L4 4L3 6L2 3. 4L3 3L2 6P 4. 4L3 3L2 3P C 5. 4L3 3L2 Для кристаллов кубической сингонии характерен изометрический (равновеликий) облик.

22

Среди простых форм кристаллов этой сингонии выделяются основные и производные. Свое название они получают по числу и форме граней (табл. 1, рис. 14). Таблица 1. Простые формы кристаллов кубической сингонии № Основные формы 1 Тетраэдр 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Октаэдр

11

Гексаэдр (куб)

12

Производные формы Кол-во граней 4 Тригонтритетраэдр 12 Тетрагонтритетраэдр 12 Пентагонтритетраэдр 12 Тригонгексатетраэдр 24 (гексатетраэдр) 8 Тригонтриоктаэдр 24 Тетрагонтриоктаэдр 24 Пентагонтриоктаэдр 24 Тригонгексаоктаэдр 48 (гексаоктаэдр) 6 Тригонтетрагексаэдр (пирамидальный куб)

Равносторонний треугольник Равнобедренный треугольник Четырехугольник Несимметричный пятиугольник Разносторонний треугольник Квадрат Равнобедренный треугольник Ромб с углами наклона 45° к двум координатным осям и параллельный третьей Симметричный пятиугольник с углами наклона 30° и 60° к двум координатным осям и параллельный третьей Четырехугольник

Ромбододекаэдр

12

14

Пентагондодекаэдр

12

Дидодекаэдр

Равносторонний треугольник Равнобедренный треугольник Четырехугольник Несимметричный пятиугольник Разносторонний треугольник

24

13

15

Форма грани

24

Ориентировка кристаллов при проектировании (рис. 15, 16). С координатными осями XYZ совмещают 3L4 (1 и 2 классы симметрии) (рис. 16а) или 3L2 (3 - 5 классы симметрии) (рис. 16б). Единичная грань - грань октаэдра или тетраэдра - отсекает равные единичные отрезки на координатных осях. Если единичная грань в кристалле отсутствует, то можно в качестве единичных выбрать отрезки любой одинаковой длины по X, Y, Z. Возможные положения проекций граней простых форм и элементов симметрии кристаллов кубической сингонии приведены на рисунках 15, 16.

23

6

11

2

7

12

3

8

1

4

9

5

10

13

14

15

Рис. 14. Простые формы кристаллов кубической сингонии.

24

1. 3L4 4L3 6L2 9P C

3. 4L3 3L2 6P

2. 3L4 4L3 6L2

4. 4L3 3L2 3P C

5. 4L3 3L2

Рис. 15. Стереографические проекции элементов симметрии пяти классов кубической сингонии.

25

1 4

4

7

6

5

4 8

6 7

5

3

4

1

6 2

5 4

а

3

4

5

4

1

3 6

1

7

7

8

7

2

6

3 4

7 8

5

4

3

4

4

3 2

2

6

5

4

б Рис. 16. Схема расположения проекций граней простых форм и осей симметрии кристаллов кубической сингонии. а - 1 и 2 классы симметрии: 1 - куб; 2 - октаэдр; 3 - ромбододекаэдр; 4 - тригонтетрагексаэдр; 5 - тетрагонтриоктаэдр; 6 - тригонтриоктаэдр; 7 – тригонгексаоктаэдр, 8 - пентагонтриоктаэдр. б - 3, 4, 5 классы симметрии: 1 - тетраэдр; 2 - тригонтритетраэдр; 3 - тетрагонтритетраэдр; 4 - тригонгексатетраэдр; 5 - пентагонтритетраэдр; 6 - пентагондодекаэдр.

26

РАБОТА 6 СРЕДНЯЯ КАТЕГОРИЯ К средней категории относятся гексагональная, тетрагональная и тригональная сингонии. Необходимым условием отнесения кристаллов к средней категории является наличие одной оси высшего порядка соответственно: L6, L4, L3. Вместо L6 и L4 могут присутствовать зеркально-поворотные оси шестого и четвертого порядка. Зеркально-поворотной осью шестого порядка является прямая линия, при вращении вокруг которой на 360° кристалл через 60° трижды совмещается с первоначальным положением и трижды со своим зеркальным отражением (рис. 17 а). Зеркально-поворотная ось шестого порядка является простой осью третьего порядка, но не наоборот. Обозначается ось - L36. На проекции ось изображается в виде Зеркально-поворотной осью четвертого порядка является прямая линия, при вращении вокруг которой на 360° кристалл через 90° дважды совмещается с первоначальным положением и дважды со своим зеркальным отражением (рис. 17 б). Зеркально-поворотная ось четвертого порядка является простой осью второго порядка, но не наоборот. Обозначается ось - L24. На проекции ось изображается в виде L36 L24

а

Рис. 17. Кристаллы с зеркально поворотной осью симметрии: а - шестого порядка L36; б - четвертого порядка L24.

б

27

ГЕКСАГОНАЛЬНАЯ СИНГОНИЯ Необходимым условием отнесения кристаллов к гексагональной сингонии является наличие одной оси шестого порядка L6. Элементарная ячейка кристаллов гексагональной сингонии имеет форму шестигранной призмы (рис. 18). Для удобства пространственной ориентировки кристаллов гексагональной сингонии вводится дополнительная пространственная ось U. Таким образом, выделяется четыре координатных оси X, Y, U, Z. Оси X, Y, U располагаются в горизонтальной плоскости под углом 120°. Параметры элементарной ячейки: a0=b0=d0≠c0; α=β=Δ=90°; γ1=γ2=γ3 + _ + =120° Z X U d0

а

б

_

Y

B

+

γ3

γ2

Y

b0

γ1 + c0

U

d0

Y

β a0

+

X

A

α

Z

_

X

U +

Y

bo

γ1 _

U +

Δ

_

_

X

_

X

+

a0

F K

_

U

_

+

Z

Y

в

III

II

Y

I

+

_

X

U

Рис. 18. Элементарная ячейка кристаллов гексагональной сингонии: а общий вид; б - вид сверху; плоские сетки, параллельные единичным граням: AFB - первого рода (I), AKB - второго рода (II); в - проекции единичных граней: первого рода - I - (1121); второго рода - II - (1011).

28

В гексагональной сингонии выделяется пять классов симметрии: 1. L66L2 7P C 2. L6 6L2 3. L6 6P 4. L6 P C 5. L6 Простые формы кристаллов гексагональной сингонии (рис. 19): Различают открытые и закрытые простые формы. Открытые – состоят из граней не полностью ограничивающих пространство и встречаются только в комбинациях с другими простыми формами. 1. Гексагональная пирамида - 6 наклонных граней, сходящихся в одной вершине, через которую проходит L6. Сечение перпендикулярное ей - правильный шестиугольник. 2. Дигексагональная пирамида - 12 наклонных граней, образующих гексагональную пирамиду, каждая грань которой разделена на две равные, симметрично расположенные грани. Сечение перпендикулярное L6 , имеет вид равностороннего 12-угольника с углами, равными через один. 3. Гексагональная бипирамида - 12 наклонных граней, имеющих форму равнобедренного треугольника и образующих две одинаковые пирамиды, сложенные основаниями. 4. Дигексагональная бипирамида - 24 наклонных грани, образующих две одинаковые дигексагональные пирамиды, сложенные основаниями. 5. Гексагональная призма - 6 вертикальных граней параллельных L6 и попарно параллельных друг другу, поперечное сечение имеет вид правильного шестиугольника. 6. Дигексагональная призма - 12 вертикальных граней, образующих гексагональную призму, каждая грань которой разделена на две равные, симметрично расположенные грани. Сечение перпендикулярное L6 , имеет вид равностороннего 12-угольника с углами, равными через один. 7. Гексагональный трапецоэдр - 12 наклонных граней, имеющих форму 4-угольника с двумя равными смежными сторонами. Эта форма похожа на бипирамиду, у которой нижняя часть относительно верхней расположена асимметрично. Не имеет плоскостей и центра симметрии. 8. Пинакоид - 2 равных параллельных грани, имеющих любую форму. Встречается только в комбинации, например с призмой («основания» призмы). 9. Моноэдр - 1 грань, имеющая любую форму. Встречается только в комбинации, например с пирамидой («основание» пирамиды).

29

Ориентировка кристаллов при проектировании (рис. 20). С координатными осями XYU совмещают: - либо три оси L2 (1, 2, 6 классы симметрии); - либо перпендикуляры к плоскостям симметрии (3 класс); - либо направления, параллельные трем ребрам, расположенным под углом 120° друг к другу (4, 5, 7 классы). С координатной осью Z совмещают оси симметрии L6. Единичная грань - грань гексагональной пирамиды и бипирамиды. Грани простых форм, принимаемые за единичные, в сложных кристаллах могут быть ориентированы по-разному относительно горизонтальных осей координат. В соответствии с этим различают формы I и II рода. Единичная грань формы первого рода пересекает три горизонтальных координатных оси. Единичные отрезки, отсекаемые на осях X и Y равны, а отрезок, отсекаемый на оси U - вдвое меньше. Такая грань проектируется в точку I (см. рис. 18) и имеет символ (1121). Единичная грань формы второго рода пересекает две горизонтальные координатные оси и параллельна третьей. Такая грань проектируется в точку II и имеет символ (1011). В обоих случаях величина единичных отрезков по X, Y, U одинакова. Величина единичных отрезков по оси Z не равна единичным отрезкам по X, Y и U. В комбинациях могут встречаться простые формы третьего рода, грани которых проектируются в точку III (см. рис. 18). Такие грани отсекают на всех координатных осях различные по величине отрезки и единичными быть не могут. При наличии в кристалле форм третьего рода отсутствуют оси симметрии L2 и вертикально расположенные плоскости симметрии (4, 5 и 7 классы симметрии).

30

2

1

4

3

6

5

7

8

Рис. 19. Простые формы кристаллов гексагональной сингонии.

31

+

_

U

1) L66L27PC

Y

+

Y

С +

_

Y

X

X

Y

_

X Z

_

Y

+

Y

С

_

+

_

X

U U

4) L6PC +

+

_

+

Z

Y

+

_

U

+

Z

Y

U +

3) L66P

_

_

X

X

U

2) L66L2

Z

_

_

+

X

X

U

U _

_

+

X

U

5) L6 _

+

Z

Y

+

X

Y

_

U

Рис. 20. Стереографические проекции элементов симметрии пяти классов гексагональной сингонии.

32

ТЕТРАГОНАЛЬНАЯ СИНГОНИЯ Необходимым условием отнесения кристаллов к тетрагональной сингонии является наличие одной оси четвертого порядка L4 или зеркально-поворотной оси четвертого порядка L24. Элементарная ячейка кристаллов тетрагональной сингонии имеет форму параллелепипеда с квадратным сечением (рис. 21). Координатные оси X, Y, Z располагаются под углом 90° друг к другу. Параметры элементарной ячейки: a0 =b0≠c0; α=β=γ=90°. Z

Z γ

α b0

а0

X

γ

а

Y

a0

с0

β

b0

Y X

б

Рис. 21. Элементарная ячейка кристаллов тетрагональной сингонии: а -общий вид; б - вид сверху. В тетрагональной сингонии выделяется семь классов симметрии: 1. L4 4L2 5P C 2. L4 P C 3. L4 4P 4. L4 4L2 5. L4 6. L24 2L2 2P 7. L24

33

Простые формы кристаллов тетрагональной сингонии (рис. 22): 1. Тетрагональная пирамида - 4 наклонных грани, сходящихся в одной вершине, через которую проходит L4. Сечение перпендикулярное ей - квадрат. 2. Дитетрагональная пирамида - 8 наклонных граней, образующих тетрагональную пирамиду, каждая грань которой разделена на две равные, симметрично расположенные грани. Сечение перпендикулярное L4 , имеет вид равностороннего 8-угольника с углами, равными через один. 3. Тетрагональная бипирамида - 8 наклонных граней, имеющих форму равнобедренного треугольника и образующих две одинаковые пирамиды, сложенные основаниями. 4. Дитетрагональная бипирамида - 16 наклонных граней, образующих две одинаковые дитетрагональные пирамиды, сложенные основаниями. 5. Тетрагональная призма - 4 вертикальных грани, параллельных L4 и попарно параллельных друг другу, поперечное сечение имеет вид квадрата. 6. Дитетрагональная призма - 8 вертикальных граней, образующих тетрагональную призму, каждая грань которой разделена на две равные, симметрично расположенные грани. Сечение перпендикулярное L4 , имеет вид равностороннего 8-угольника с углами, равными через один. 7. Тетрагональный трапецоэдр - 8 наклонных граней, имеющих форму 4-угольника с двумя равными смежными сторонами. Эта форма похожа на бипирамиду, у которой нижняя часть относительно верхней расположена асимметрично. Эта простая форма не имеет плоскостей и центра симметрии. 8. Тетрагональный тетраэдр - 4 наклонных грани, имеющих форму равнобедренного треугольника. Для этой простой формы характерно наличие зеркально-поворотной оси четвертого порядка L24. 9. Тетрагональный скаленоэдр - 8 наклонных граней, сгруппированных попарно, каждая из которых имеет вид разностороннего треугольника. Две пары нижних граней располагаются симметрично между двумя парами верхних. Для этой простой формы характерно наличие зеркально-поворотной оси четвертого порядка L24. 10. Пинакоид. 11. Моноэдр.

34

1

4

7

3

2

5

6

8

9

Рис. 22. Простые формы кристаллов тетрагональной сингонии. Ориентировка кристаллов при проектировании (рис. 23). С координатными осями X,Y совмещают: - либо оси L2 (в 1, 4 и 6 классах симметрии); - либо перпендикуляры к вертикальным плоскостям симметрии (в 3 классе симметрии); - либо направления, параллельные двум взаимно перпендикулярным ребрам (в 2, 5 и 7 классах симметрии). С координатной осью Z совмещают оси симметрии L4 или L24. Единичная грань - грань тетрагональных пирамиды, бипирамиды и тетраэдра.

35 _

_

X

X

1) L44L25PC _

Y

2) L4PC Z

C

+

_

Y

Y

X 4) L44L2

3) L44P Z

_

+

_

X

6) L24 2L22P

5) L4 Z

+

Y

+ X

_

Y

X

Z

+

Y

+

X

_ 4

+

Y

X+

_

_

Z

Y

Y

X+

Y

C

_

_

X

Y

+

Y

X+

+ X

_

Z

X

7) L2 _

Y

Z

+

Y Рис. 23. Стереографические проекции элементов симметрии семи классов тетрагональной сингонии. +

X

36

ТРИГОНАЛЬНАЯ СИНГОНИЯ Необходимым условием отнесения кристаллов к тригональной сингонии является наличие одной оси третьего порядка L3 или зеркально-поворотной оси шестого порядка L36. Элементарная ячейка кристаллов тригональной сингонии имеет форму ромбоэдра (см. рис. 11 г). В тригональной сингонии выделяется семь классов симметрии: 1. L3 3L2 4P 2. L3 3L2 3. L3 3P 4. L3 P 5. L3 6. L36 3L2 3P C 7. L36 C Простые формы кристаллов тригональной сингонии (рис. 24): 1. Тригональная пирамида - 3 наклонных грани, сходящихся в одной вершине, через которую проходит L3. Сечение перпендикулярное ей - равносторонний треугольник. 2. Дитригональная пирамида - 6 наклонных граней, образующих тригональную пирамиду, каждая грань которой разделена на две равные, симметрично расположенные грани. Сечение перпендикулярное L3 , имеет вид равностороннего 6-угольника с углами, равными через один. 3. Тригональная бипирамида - 6 наклонных граней, образующих две одинаковые пирамиды, сложенные основаниями. Сечение перпендикулярное L3, имеет вид равностороннего треугольника. 4. Дитригональная бипирамида - 12 наклонных граней, образующих две одинаковые дитригональных пирамиды, сложенные основаниями. 5. Тригональная призма - 3 вертикальных грани, параллельных L3, поперечное сечение имеет вид равностороннего треугольника. 6. Дитригональная призма - 6 вертикальных граней, образующих тригональную призму, каждая грань которой разделена на две равные, симметрично расположенные грани. Сечение перпендикулярное L3, имеет вид равностороннего 6-угольника с углами, равными через один. 7. Тригональный трапецоэдр - 6 наклонных граней, имеющих форму 4-угольника с двумя равными смежными сторонами. Эта форма похожа на бипирамиду, у которой нижняя часть расположена асимметрично верхней и поэтому не имеет плоскостей симметрии.

37

8. Ромбоэдр - 6 наклонных граней, имеющих форму ромба. Чередуясь, три из них сходятся к верхней вершине кристалла, три - к нижней. Характеризуется наличием зеркально-поворотной оси L36. 9. Скаленоэдр - 12 граней, сгруппированных попарно, каждая из которых имеет вид разностороннего треугольника. Три пары нижних граней располагаются симметрично между тремя парами верхних. Эта простая форма характеризуется наличием зеркально-поворотной оси L36. 10. Пинакоид. 11. Моноэдр. В сложных формах кристаллов тригональной сингонии могут участвовать простые формы гексагональной сингонии. Ориентировка кристаллов при проектировании (рис. 25). С осью Z совпадает L3 или L36. В остальном ориентировка аналогична кристаллам гексагональной сингонии (см. рис. 20). Единичная грань - грань тригональных пирамиды или бипирамиды. В сложных формах, также как и в гексагональной сингонии, различают формы 1-го, 2-го и 3-го рода (см. рис. 18).

38

3

2

1

4 5

7

8

Рис. 24. Простые формы кристаллов тригональной сингонии.

6

9

39

1) L33L24P

+

_

U

X

2) L33L2

Z

_

Y

+

Y

X 3) L33P

_

U

X

_

5) L3

6

6) L3 3L23PC

Y

X

U

+

Y

C _

U

_

X Z

+

Y

С

X

Y

X

U U

+

U

Z

_

+

_

+

Y

_

+

+

+

_

Y

X

X

X

+

Y

+

Z

Y

X Z

_

U

_

U

_

U

_

U

4) L3P

_

+

7) L36 C

X

Y

X

_

+

+

+

+

Y

+

Z

Y

Z

Y

U +

X

U

_

_

+

_

+

_

U

Рис. 25. Стереографические проекции элементов симметрии семи классов тригональной сингонии.

40

РАБОТА 7 НИЗШАЯ КАТЕГОРИЯ К низшей категории относятся ромбическая, моноклинная и триклинная сингонии. Необходимым условием отнесения кристаллов к низшей категории является отсутствие осей симметрии высших порядков (L6, L4, L3), наличие только осей симметрии второго порядка - L2 или вообще отсутствие каких-либо элементов симметрии. РОМБИЧЕСКАЯ СИНГОНИЯ Необходимым условием отнесения кристаллов к ромбической сингонии является наличие не менее трех элементов симметрии (осей второго порядка и плоскостей, не считая центра). Элементарная ячейка кристаллов ромбической сингонии имеет форму параллелепипеда с прямоугольным сечением (рис. 26). Координатные оси X, Y, Z располагаются под углом 90° друг к другу. Параметры элементарной ячейки: a0 ≠b0≠c0; α=β=γ=90° Z

Z

γ

b0

Y

а0 с0

β а0

α b0

Y

γ

X X а

б

Рис. 26. Элементарная ячейка кристаллов ромбической сингонии: а - общий вид; б - вид сверху.

41

В ромбической сингонии выделяется три класса симметрии: 1. 3L2 3P C 2. 3L2 3. L2 2P Простые формы кристаллов ромбической сингонии (рис. 27): 1. Ромбическая пирамида - 4 наклонных грани, сходящихся в одной вершине, через которую проходит L2. Сечение ей перпендикулярное ромб. 2. Ромбическая бипирамида - 8 наклонных граней, образующих две одинаковые пирамиды, сложенные основаниями и имеющих форму разностороннего треугольника. 3. Ромбическая призма - 4 одинаковых грани попарно параллельных друг другу, поперечное сечение имеет вид ромба. 4. Ромбический тетраэдр - 4 наклонных грани, имеющих форму разностороннего треугольника. В отличие от тетраэдров кубической и тетрагональной сингоний не имеет плоскостей симметрии. 5. Диэдр - 2 равных наклонных грани, имеющих любую форму и пересекающихся наподобие крыши. 6. Пинакоид. 7. Моноэдр.

1

2

3

4 5

Рис. 27. Простые формы кристаллов ромбической сингонии.

42

Ориентировка кристаллов при проектировании (рис. 28): В 1 и 2 классе с координатными осями XYZ совмещают оси L2 . В 3 классе с координатной осью Z совмещают L2, а с X и Y перпендикуляры к вертикальным плоскостям симметрии ; Единичная грань - грань ромбических пирамиды, бипирамиды и тетраэдра. Если такая грань отсутствует, символы задаются в общем виде, то есть индексы обозначаются буквами - h, k, l - по осям XYZ, которые грань пересекает. Например (hk0), (0kl), (h0l).

_

1) 3L23PС _

Y

_

X

Z

C

2) 3L2 +

Y

+

_

Y

X

Z

+

Y

+

X

X

_

3) L22P _

Y

X

Z

+

Y

+

X

Рис. 28. Стереографические проекции элементов симметрии трех классов ромбической сингонии.

43

МОНОКЛИННАЯ СИНГОНИЯ Необходимым условием отнесения кристаллов к моноклинной сингонии является наличие не более двух элементов симметрии, не считая центра. Элементарная ячейка кристаллов моноклинной сингонии имеет форму наклонного параллелепипеда, две стороны которого - равные параллелограммы, две другие - прямоугольники (рис. 29). Координатные оси Y и Z располагаются под углом 90° друг к другу. Ось X перпендикулярна оси Y, а с осью Z ее положительный конец образует угол > 90° Параметры элементарной ячейки: a0 ≠b0≠c0; α=γ=90°, β > 90°

Z

Z

с0

с0 α β

b0

X

Y

а0

γ

а0

β

Y

X а

б

Рис. 29. Элементарная ячейка кристаллов моноклинной сингонии: а - общий вид; б - вид на плоскость X Z.

44

В моноклинной сингонии выделяется три класса симметрии: 1. L2 P C 2. L2 3. P Простые формы кристаллов моноклинной сингонии (см. рис. 27): 1. Ромбическая призма. 5. Диэдр. 6. Пинакоид. 7. Моноэдр. Все простые формы моноклинной сингонии относятся к числу открытых, то есть не ограничивают пространство со всех сторон и потому встречаются только в комбинациях (рис. 30). B

А

С

Рис. 30. Кристалл гипса: А, В - грани ромбических призм; С - пинакоида. Ориентировка кристаллов при проектировании (рис. 31): Ось Z располагается вертикально и параллельно ей ориентируются характерные грани кристалла, чаще всего удлиненные грани ромбической призмы. В 1 и 2 классе с координатной осью Y совмещают ось L2 , а X и Z располагаются в плоскости, перпендикулярной L2 (в первом классе это плоскость симметрии), ось X - параллельна наклонным ребрам кристалла. В 3 классе координатную ось Y совмещают с перпендикуляром к плоскости симметрии, а X и Z, лежащие в этой плоскости, проводятся так же, как в первом и втором классах. На стереографической проекции ось X представлена точкой проекцией ее отрицательного конца, лежащей внутри круга проекций на диаметре, перпендикулярном оси Y, выше центра (рис. 31).

45

Единичная грань - грань любой простой формы, пересекающая все три оси координат, задавая по ним единичные отрезки. Если такая грань отсутствует, символы задаются в общем виде, то есть индексы обозначаются буквами - h, k, l - по осям, которые грань пересекает. Например (см. рис. 30) А (hk0), B (0kl), C (010).

1) L2PC

X +

_

Y

3) P

2) L2

_

С

Y

_

X

_

+

Y

Y Z

Z

_

X

_

+

Y

Y Z

Рис. 31. Стереографические проекции элементов симметрии трех классов моноклинной сингонии.

46

ТРИКЛИННАЯ СИНГОНИЯ Необходимым условием отнесения кристаллов к триклинной сингонии является наличие только центра симметрии или отсутствие каких-либо элементов симметрии. Элементарная ячейка кристаллов триклинной сингонии имеет форму наклонного параллелепипеда все стороны которого параллелограммы (рис. 32). Углы между координатными осями X, Y и Z различны и не равны 90°. Параметры элементарной ячейки: a0 ≠b0≠c0; α ≠β ≠γ ≠ 90° Z Z

с0 α

с0

Y β

в0

β а0

X

а0 γ

а

X

б

Рис. 32. Элементарная ячейка кристаллов триклинной сингонии: а - общий вид; б - вид на плоскость X Z.

47

В триклинной сингонии выделяется 2 класса симметрии: 1. C. 2. Отсутствие элементов симметрии. Простые формы кристаллов триклинной сингонии: 1. Пинакоид. 2. Моноэдр. Простые формы триклинной сингонии встречаются только в комбинациях. Ориентировка кристаллов при проектировании (рис. 33). За координатные оси X, Y, Z выбираются направления, параллельные наиболее развитым граням или ребрам кристалла, углы между которыми не равны 90°. Ось Z должна располагаться вертикально, тогда X и Y будут наклонными относительно горизонтальной плоскости проекции. Проекции осей X и Y представляют собой точки в круге проекций. Единичная грань - грань любой простой формы, пересекающая все три оси координат, определяя по ним величину единичных отрезков. Часто такая грань отсутствует и символы задаются в общем виде аналогично моноклинной сингонии.

1) С

_

X

С+

Z

+

Y

2) Нет элементов симметрии

_

X +

Y +

Z

Рис. 33. Стереографические проекции двух классов симметрии триклинной сингонии. Правила установки кристаллов всех сингоний при проектировании, их единичные грани и параметры элементарных ячеек приведены в приложении 1 на стр. 48.

48

Приложение 1 Установка кристаллов, единичная грань и параметры элементарной ячейки в различных сингониях Сингония

Направления, выбранные в качестве Соотноше- Осевые координатных осей ние элемен- углы тарных отрезков

Кубическая 3L4 или 3L2 принимают за X,Y, Z Гексагональная* L6 принимают за Z, L2 за X, Y, U, если L2 нет, выбирают соответствующие им нормали к P или направления ребер Тетрагональная L4 или L24 принимают за Z L2 за X и Y, если L2 нет, выбирают соответствующие им нормали к P или направления ребер Тригональная* L36 или L3 принимают за Z, L2 за X, Y, U, если L2 нет, выбирают соответствующие им нормали к P или направления ребер Ромбическая 3L2 принимают за X, Y, Z, в классе (L2 2Р) ось L2 принимают за Z, нормали к Р - за X и Y Моноклинная L2 или нормаль к Р принимают за Y, направления двух ребер, перпендикулярных к Y принимают за X и Z Триклинная Направления любых трех ребер, не лежащих в одной плоскости и не составляющих друг с другом угол 90о, принимают за X, Y, Z

Простые формы, грани которых могут быть единичными

a0=b0=c0 a0=b0=d0≠c0

тетраэдр, октаэдр α=β=γ=90° пирамида, бипирамида α=β=Δ=90° γ1=γ2=γ3=120°

a0=b0≠c0

α=β=γ=90°

a0=b0=d0≠c0

пирамида, бипирамида, α=β=Δ=90° γ1=γ2=γ3=120° ромбоэдр

a0≠b0≠c0

α=β=γ=90°

пирамида, бипирамида тетраэдр

a0≠b0≠c0

α=γ=90° β≠90°

грань любой простой формы, пересекающая оси XYZ

a0≠b0≠c0

α≠β≠γ≠90°

грань любой простой формы, пересекающая оси XYZ

пирамида, бипирамида тетраэдр

* Гексагональная и тригональная сингонии имеют одинаковые число и расположение кристаллографических осей, а также соотношения единичных отрезков и осевых углов

49

СОДЕРЖАНИЕ Стр. ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................…...3 РАБОТА 1. ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ В КРИСТАЛЛАХ.....…..............4 РАБОТА 2. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ................…................8 РАБОТА 3. СИМВОЛЫ ГРАНЕЙ........................................…...........…....14 РАБОТА 4. ПОНЯТИЕ О СИНГОНИЯХ, ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ФОРМАХ КРИСТАЛЛОВ............…..............19 РАБОТА 5. ВЫСШАЯ КАТЕГОРИЯ КУБИЧЕСКАЯ СИНГОНИЯ.........................................................…...…...21 РАБОТА 6. СРЕДНЯЯ КАТЕГОРИЯ .........................…………………....26 РАБОТА 7. НИЗШАЯ КАТЕГОРИЯ .........................………………….....40 Приложение 1. Установка кристаллов, единичная грань и параметры элементарной ячейки в различных сингониях…......…..........48

ПОСТНИКОВ Александр Васильевич КОНОНОВА Инна Борисовна АГЛЯМОВ Рустам Хайдарович ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

Подписано в печать Объем

Формат 60×90/16 Тираж экз. Заказ №

117917, Москва, ГСП-1, Ленинский проспект 65, РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина Отдел оперативной полиграфии