Конспект лекций по части 5 курса "Техническая механика и теория упругости". Сейсмические волны на границе раздела упругих сред

Ф~ алькое а rенr ство по обр азо:ваюпо Ро ссийский r осудар ственны:й у нивер с шет нефти и r аза

имени И .М. Губк ина

Кафедра разведочной геофизики и комnьютерных систем

Л.А.СЕРДОIОЛЪСКИЙ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по части

5 курса «Техническая механика и теория упругости>>

СЕЙСМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА УПРУГИХ СРЕД

дли студентов специальности

080400

и маrистро1 по нiПраапснию

553200- ссГеолоru и разведка

DO/IeзJIWX НС1t0118еМWХ»

УДК

550.83

Л.А.Сердобольский. Консnект лекций по части

5 курса

«Техническая механика и теория уnругости». Сейсмические волны на границе раздела ynpyrиx сред. М., РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина,

2003.-

Рассмотрено образование вторичных волн на rранице раздела ynpyrиx сред nри nадении на нее nродольных и nоnеречных волн.

Рекомендуется для студентов специальности

080400 сnециализаций

«Разведочная геофизика» и «Комnьютерные системы и технологию> и магистров

no наnравлению 553200- «ГeoлomJI и разведка

nолезных искоnаемых» (проrрамма

553215- «Методы разведочной

геофизики»).

Рецензент- Г.А.Карапетов, доцент кафедры разведочной

геофизики и компьютерных систем РГУ нефти и газа им. И.М.Губкииа

10 Российский государственный университет нефти н rаза 1tм.И.М.Губкина. :!003

2

ВВЕДЕНИЕ

Пятая часть консnекта леJЩИЙ nосвящена исследованию уnругих nроцессов на границе раздела двух сред с различными

физическими nараметрами. В nервом разделе

(n. 7) части рассмотрены характеристиiСн

границы раздела, граничные условия .1ЩЯ уnругих смещений и

наnряжений, возможные типы первичных волн и образуемые ими на границе вторичные волны.

Второй раздел (п.

8) nятой части посвящен рассмотрению

явлений, происходящих при падении на границу плоской

поперечной горизонтально-поляризованной

(SH) волны.

Рассмотрены особенности отраженной и проходящей волн при различном соотношении упругих свойств контактирующих на границе сред.

Материалы пятой части курса изучаются на семинарских занятиях.

13-16 леJЩиях и

7. СЕЙСМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗдЕЛА УПРУГИХ СРЕД

В nредыдущих частях объектом изучения были уnругие nроцессы в безграничной идеально уnругой среде, однородной и изотроnной по своим уnругим свойствам. Будем nоследовательно усложюrrь модель среды,

постеnеttно приближая ее к реальному геологическому разрезу, неоднородному по своим упругим параметрам. Первым шагом на этом пути явлкетса рассмотрение сейсмических Jtвлений иа rранице раздела двух уnругих сред.

При падении сейсмической волны на тaJCYIO границу часть энергии волны отражается и уходит в верхнее nоnуnространство. ОставшаяСJI часть энергии проходит через границу в нЮIСНее nолуnространство. Очевидна огромная важность исследования этих явлений

-

ведь сейсморазведка

базируется на возбуждении, реrистрации и обработке сиmаnов­ сейсмических волн, отраженных и nреnомленных на границах раздела сред с различными физическими свойствами. На каждом этапе важно знать и

nонимать особениости регистрируемых волн. Эти особенности оnределяютс• nрежде всего упругимипроцессамина границах раздела.

7.1. ХарактеристиJСИ rраниц раздела

Обсудим реальные свойства rраниц раздела, контактирующих на них

сред и конкретизируем объект исследования, по возможности упростив на этом этапе задачу исследования.

Геолоrnческие среды, в общем, JIВЛЯЮ1'СЯ неодиородными по своим

физическим свойствам как

no вертикали (вкрест простиранИ.I пород), так и

по горизоlttаЛИ (по nростиранию). Обычно изменения свойств по простиранию значительно менее выражены, чем вертикальные изменения

ynpyrnx параметров. Это позвотrет несколько уnростить исследования, считая, что на rранице контактируют горизоm:ально однородные среды.

Переход от одной среды к другой может соnровоЖД!ttЬСJ( как

скачкообразным, так и непрерывным изменением свойств. Если контактирующие среды имеют nостоянные скорости и м.аmости, а их

изменения на границе nроисходят скачкообразно, границу называют разрывно-резкой или границей разрыва

1-ro nорядка. При коитакте сред с

изменяющимвся по вертикали nараметрами на границе мoryr изменяться

зависимости уnругих свойств от глубины

z. Если нет скачкообразного

изменения свойств на границе, а скачком менаетс11 их nроизводпая по

z,

границу называют нерезкой границей разрыва второго nopiiДкa. Если

dY(z)

.

непрерывны У( z} и ---,а сочком меuется nроизводиu

dz

d2 Y(z) dz

- -2- ,

rраница называется rраницей разрыва третьего nорядка и так далее.

Естественно, могут встречаться границы с комбинацией разрывов разного

порядка. Например, смена законов J' ( z) и р( z) может сопровождаться и скачкообразным изменением скорости и nлотности на rранице.

Другой характеристикой границы служит ее геометрическая форма. Конечно, в шарообразной Земле все rраннцы не ивruuотся nлоскими. Но роль кривизны зависит от того, как соотносятсв радиус кривизны границы и длина сейсмической волны Л. Если оценить скорость волны

R

V

километрами в секунду, а nериод колебанийТ-nервыми десятками

миллисекунд ( 1О

-)

с), то длины сейсмичесtсИХ воnи измерmтся десятками и

сотнями метров. Например, nри

волны А

V .. 2500 м/с, Т .. 0,025 с (f= 40 Гц) длина

=V ·Т=62,5 м.

Когда радиус кривизны границы много боJtьше длины волны rраницу считают nлоской. Если

{ в разрезе). Если же R и

(R » Л},

R > Л, границу называют криволинейной

А соизмеримы

( R ::.f Л), то rраницу считают

шероховатой или волнистой. Нанболее nрост дnя изучения волновых

nроцессов на границе случай nлоской rраницы, который и будет объектом изучения в данном разделе. Оrноситепьио других тиnов геометрии rраницы ограничимся пока общими замечанюtми.

Криволинейность rраницы искажает форму годографа t (х) отражениоii или nрепомлеиной волны. Bwnyuыe rраницы делают годограф отраженкоn воnны более крутwм, а воrнутwе rраницы вwnолаживают его.

6

При значительной кривизне вогнутой границы на годографах могут

образовываться nетли. Таким образом, криволинейность границы искажает годографы (кинематику) волн. Более своеобразен и интересен случай шероховатой границы. В nервом nриблюкении такую границу можно уnодобить совокупности точек дифракции, расnоложенных на rребиях волн границы через расстояния

L

между соседними точками. Вторичные волны, образующиеся на такой границе, можно считать суммарными дифраrnрованными волнами. В таком подходе задача схожа с рассматриваемым в оnтике отражением света от

дифракционноii решетки. В наnравлении зеркального отражения, когда угол nадения равен углу отражения, элементарные дифраrнрованные волны складываются синфазно, образуя главный максимум излучения. Существуют и побочные максимумы суммариого излучения, в которых элементарные волны складываются с временной задержкой nериоду колебаний Т (t\t

сдвигом

=k ·Т,

t\t, кратной

k- целое число) или с пространствеиным

L\r, кратным дшtне волны А= V ·Т (t.\r = k ·А). На рис.l t\r = Р · sin а,., где Р (волнистости), а

видно, что

nериод шероховатости

an -угол nобочного излучения. Тогда

условия nобочного максимума излучения можно

заnисать а виде: Р Рис.l

· sina,. = k ·А. Оrсюда оnределим

наnравление nобочного изпучения через синус этого

угла:

7

. А V·T V sша =k·-=k·--=k·n р р P·f Видно, что наnравление nобочного излучения зависит от длины волны А

или от частоты колебаний

v

f =-. В этом главное отличие неэеркального А

nобочного излучения от зеркального отражения, дпя которого закон отражения сnраведлив всегда, вне зависимости от частоты колебаний.

Геометрическаа шероховатость границы- не единственнаа и не самая тиnичная: nричина незеркального отражения. Более часто встречаются

физически иеэеркально-отражающие rраницы, вдоль которых с оnределенной nространствеиной уnорцоченностыо изменяются

отражающие свойства rраниuы. Причиной тuих изменений служит латеральная: (по nростиранию) изменчJIJIОСТЬ физичесJСИх свойств коитаnирующнх на rранице сред.

Таким образом, реальные rраницы раз.цела геологических сред обладают большим разнообразием отражающих свойств. Оставляя сложные случаи дли nоследующего изучения, здесь

no возможности уnростим

условюr задачи. Будем рассматривать сейсмические nроцессы на nлоской, горизонтальной и разрывно-резкой границе раздела двух однородных идеально упругих сред.

Наnомним, что физическими константами уnругой среды авляютса

модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона ae(S). Произвольн.о ориентированный вектор уnругих смещений и можно спроектировать на луч и nолучить nродольную комnоненту и,., а прое~ЩШ

16

вепора

uна фроиr волны образует nоперечную комnоненту us. В

соответствии с теоремой разложения Гельмгольца, вепор

uравен сумме

векторов"" и u~r (рис.З):

Наnомним, что в общем случае:

дtр- дtр- дtpgradtp = Vtp = - i + - j +-k, дх

ду

дz

Рис.3. 1 - - - (дllf Ollf )-i+ (дllf дllf )-j+ (дllf rotllf=Vx'l'= .::.r..L-.:.2.. .:..r..L-.....:...L -- -дllf - " ')k

ду

дz

дz

дх

дх

ау·

Поэтому

Дmr nлоской волны с фроиrом, nараллепьным оси Оу, ~=О, н вектор 0'1'. )-и nредставпиетсяввиде:и= - (дtр дllf )-i+ (дlfl д~р )-j+ (дtр ----..!.. ----t.--::;-L -+--k. ОХ

При этом условии х- и

дz

дz

ОХ

z -комnоненты вектора и

Oz

QX

оnределяются скалярным

nотенциалом ер и у- компонентой вектор-потенциала 1р и, следовательно,

несут в себе nродольные (up) и поперечные (us) смещениt: и

"

дtр

дf/1,.

дх

дz

=----=и

Jl!l<

-и

·

и•

17

Оба вида смещений nроисходат в вертикальной nлоскости

xOz:

Такую поnеречную волну наэЪU!аЮТ вертикально nоляризованной

(SV).

Наnротив, у· компонента ве~о."ТОра смещениа nлоской волны с фронтом, параллепьным Оу, оnределяете• исключительно комnонентами вектор-потенциала

'1'

nоперечной волны:

Смещения этой волны iisн nроисходат вдоль горизонтальной оси 0у и волна называется горизонтально-nоляризованной

(SH).

На рис.4 изображено nредставление nроизвольноориентированного вектора поnеречных смещений и. в виде суммы вертикально- и rоризонтапъио-

nоляризованных комnонент:

Рис.

4.

u, =U.11· + Usн.

Таким образом, nроизвольвый вектор смещения и nредставим веt."ТОрной суммой:

-

и =ир +и.w +и.rн.

11

Продольные и nоnеречные волны распространяются с разной

скоростью (v,. ~ ~ -../2) и волнаР обгоняет волну S. Возможно раздельное существование Р- и

S- волн.

Итах, можно рассматривать nервичные волны трех типов: nродольнаи (Р) волпа, поперечная вертиkаllьно-nоларизоваинаs

(SV) волна и nоnеречная

горизонтально-nоляризованная (SH) волна. Если на горизонтальную границу nод nроизвольным углом а-:;. О падает плоская nродольнц волна, то на границе вектор смещени•

первичной волны совnадает с лучом nадающей волны и отхлонен от лучей вторичных- отраженной и проходящей- волн. Поэтому существуют отличные от нуц nроекции вектора смещения как на

лучи вторичных волн, тах и на nерпендИJСУЛЯрЫ к ним

(на фронты этих волн). При наклонном падении (а;/: О)

Un

Р-волиа nорождает как продольные , монотиnные (РР), так и nоперечные, обменные

(PS) вторичные

волны. Существуют 4 вторичные волны (рис.S): дsе

Рис.S

u"

отраженные- монотипная и обменная

- и две

nроходящне волны- также монотяnпая н обменная. Ситуация аналогична и nри падении на границу

~ nлоской вертиkаЛьно-nоцризоваиной nоперечной

(SV) волны. Снова имеютс• услоаю1 дu обраэоваиИJI Рис. б

при иu:nоином nадении четырех вторичных воли:

\9

-двух монотипных

(SS)- отраженной и прохоДIIЩей - и двух обменных

(SP) - также отраженной и nрохоДiщей - ВОJIН {рнс.б). Нанболее nростым авпается третий возможный тип первичной волны

-

rоризонтально-nОЛJiризованнu nonepeчнu воnна SH. Из-за того, что вектор смещения тахой волны nерпеидикулsреи лучу и

параплелен rраиице (оси Оу) ни при каJСОЫ угле nаденИJI

невозможно образование обменных волн. Первичиu SН­ волна порождает на границе только две вторичные волны

- отраженную и nрохоДIЩУЮ

Рис. 7

SН-волны (рис.

7).

При nроведении сейсморазведочных иссnедоваииli чаще других

используютс• продольные волны. Это CJIII38НO с большей nростотой их возбужденu

-

хак взрывные источнИJtИ, Т8JС и источiiИIСИ ударного типа в

обычных условuх, без спеЦИ8.11ЬНЫХ на то усмий возбуждают именно Р­

волны. Для работы с S-волнами нужны специаJIЬНые и потому мене= технологичные nриемы возбужденна. Исследованиа на поперечных волнах выnолНJIЮТСа реже и носат обычно оm.rmо-методичесiСИЙ характер. Тем не менее, следуя nринциву "от nростого к сложному", начнем изучение явлений на rран1ще раздела сред именно со случая nадения

поnеречной горизонтальио-nопsризованиой (SH) волны. При этом особое

внимание следует обратить иа методику и аппарат иссnедованиа, 'а также на анмиз полученных результатов. Если эти воnросы nолно освоены, то

рассмотрение более сложных случаев nаденu nродольной (Р) и поnеречной

вертикально--поляризованной

(SV) волны существенно облеrчаетс.1. Эти два

случая родиИ1' число вторичных вопи (четыре) и та~:ое же число rраничных условий и уравнений, и хроме того имеетса возможность нежотороrо

обобщени.1 этих случаев.

21

8. ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ SН-ВОJШЫ

Пусть вepXIOIJJ среда имеет скорость nоnеречной волны

Pi

Vs 1,

nлотность

и модуль сдвига р1 , а иижнu среда характеризуется nараметрами

Ys 2,f>l,p2 • Наnомним, что Vj =f.l, и для сохращения nисьма оnустим р

индекс nоnеречной волны (S) и будем обозначать

Vs; •

У;, не забывая,

конечно, о том, что в этом разделе речь идет о поnеречной горизонтальноnоnflризоваиной воnие, nадающей на nлоскую, rоризоитальиую, разрывиорезкую rраницу раздела.

8.1. Оnисание воnи и сщцаваемых ими на rранице иаnраений

Пусть nервичиu nлоскu SН-воnиа nадает на границу (i =О) nод углом а и имеет фронт, nараллеnьный оси Оу. Она описывается веь.-тором

смещении

;;s sc;; =]и, также ориентированным вдоль Оу, но не зависящим

от у:

и

(t,x,z ) =и ( t-

xsina+zcosa) ~

•и

( ) xsina+zcosa r ;r=t'~' . ~

Как отм.ечапось, SН-волна в выбранных условWiх порождает на rраиице только монотипные (таJО!Се

SH) вторичные волны.

Оrражениu SН-волна u1(t,x,z) распростраНJiется вверх, в противоположном по отношению к первичноii волне направлении. Поэтому в се волновом аргументе nеременнu

z отрице:rсnьиа:

Проходящu SН-волна расnростр8Ю1етсl в том же направлении, что и nадающu волна (вниз), но во второii нижнеil среде со схоростыо

и2

xsina2 + zcosa2 ) (l,x,z ) =и2 ( 1~

(

)

ii!IU:z т2 ;т2 =t-

V2

и под

xsina2 .,. + zcosa2 • r2

Закон Снеплиуса дns SН-волн имеет вид:

sina sina

1 --=--=

f\

sina2

Jli

V:z

,а=а1 •

Горизонтальное вдоль 0у смещение SН-волн создает на границе лишь касательное напрsжение:

в соответствии с законом Гука, где е:у

:tOy:

-

сдаиrовu деформации в nлоскости

Но SН-волна несет смещение, ориентированное вдоль Оу, и дnJI нее Uz =О. Кроме того, фронты всех волн парамеm.ны той же оси Оу, и поэтому

о ду = О • Следовательно, для JСасnельноrо напрuсенu можно заnисать:

Напряжение, создаваемое на границе падающей волной, оnисываетса тах:

д ( и ( t- .xsina+zcosa)) aJ)2 А--du( cosa) =-Y'JPJ-cosa. du P:;y=Pj2АOz 11 d-r Pj d-r Оrраженнu волна создает на границе uсатсJIЬНое напражеиие:

_ .,2PJд ( и1 (t Р.:;yt-'l дz

xsina1 -zcosa1)) =,.,д du,(cosa, )rr !!!fJ. - r 1A cosa1 1 Р!-"" 11 dr1 Pj dr1

Наконец, проходащu волна С03д11еТ наnрОtение:

- rr:! д ( Uz ( 1- xsinaz + zc:osa? )) .,,2Pz--.rr2 du.,( cosaz)---r2Pz_....Cosa2 du. . Р.:;y2-'2Pzдz J!2 d-r2 112 d-.2 JJ

Посколысу а= а1 , дnJI унифишщии обозначений будем всегда исnользовать

24

8.2. Граничные ус.nови. к сnепральиые хоэффицкенты рассеивания

Из общих трех граничных условий дnакомnонент векторов смещени11 и стольких же граничных условий дnакомnоиент наnраений в условиях рассматриваемоА в данном разделе задачи u:tуал.ны лишь два граничных условия: равенство суммарных у-комnонент смещений (циемаrичсское) и

равенство суммарных касательных Р.., наJ11ЦЖениА (динамическое).

На границе, nри

z•

О, сумма смещений падающей и( т) и отраженной

и1 ( t't) .волн должна быть равна смсщен1110 и2 ( 'l'2 ) nроходащей воnиы:

При nодстаковке z=O волновые аргументы всех трех волн равны:

xsina) ( xsina1 ) ( r=t-~ .= r1 =t----;;.то есть

r = r1 = т2 , так как t

xsina2 ) =( -r2 =t-~,

и х- общие времи и координата -точки границы,

а множители nри х равны в соответствии с законом Снеллиуса. Поэтому первое граничное условие дает уравнение:

или в

cnelt't'pax.:

25

Обратим внимание на отсутствие в первом уравнении углов паденИJI, отраженWI и прохожденИJI. Это значит, что уравнение должно быть справедливом при тобом угле падеНИJI О

S

а

S xj 2.

Динамическое rраиичное условие требует, чтобы на rраиице, при

z=O,

сумма напряжений, создаваемых падающей и отраженной волнами. равнялось напряжению, создаваемому nроходящеП волной:

Исnользуя оnределенИJI хасательных напросений, nолучим, noдC11\D.ПJIJI

z =О, второе уравнение:

или в спектральной форме после сохращенu на jФ

:

Вместе уравнения дu смещений и напросеиий создают систему из двух уравнений, в 1еоторые входn cner:rpы трех волн- отраженной,

проходящей н nородившей их nервичиой (nадающей):

{-и (jm )"'A1 cosa1+2 и1 (jш)"'A cosa1= -и2 (jш) V2P2 cosa2

и(jш) +и (jm)=u (jш)

Очевидно, эта система nоэвоm~ет определить лишь отношения сnектров вторичных воли к сnектру nервичной волны.

TaJC вводятся спеюпр11Л•нwе

ко~фф11циентw рассинu:

26

- сnехтральный JСоэффициеит отраженИJI

А=и1 (jш),

- сnехтральный коэффициент nрохожденИJI

В= и 1 (jш).

u(jш)

u(jш)

Ках в тобой линейной системе, чы сnехтральнаа характеристика определена отношением сnектра сигнала на выходе к cneJCТpy входного

сигнала. и в данном случае спеr:rры "выходных сигналов" -отраженной

волны ("выход

1j

и nроходащей волны ("выход 2'') соотноспсх со

cneiCТJ>Oм "входного сигнала"- падающей волны.

Подслив уравненИJI на u(jш) и введа А и В, заnишем:

Решаалюбым способом YfY nростую систему уравнений, получим опрсдсленИJI спехтральных коэффициентов рассеивани•:

А= JliA cosa1 - Y2f2 cosa1 ;В= 1+А= 2V,Pt cosa1 JliA cosa1 + У2 Р2 cosa2 JliA cosa1 + JI2P2 cosa2 Обратим внимание на очень удобную особенность- при любом уrле

падения коэффициент прохождения В на единицу больше коэффициента отражения А. Произведение скорости на ппотность в сейсморазве.Цkе называют

волновым соnротиВilением (или ахустической жесткостью):

Используя определение спепрапьиых коэффициентов pacceиiiiiJIJd, можно записать дu спектров поричных волн:

Так как В

=1 + А, то при любом угле падеНИ11 спектры вопи сваэакw

соотношением:

и2 (jш) = {1 + A}u{iш) = u(jы) + и1 (jш). В 'tом же соотношении иахо,~U~ТСА и сами сиrнапы- первичнu и вторичные вопны:

Видно, что всегда nроходоцu волна nредстав.uет собой сумму IIOJIИ nадающей и отражеииоii. Заметим, что дц SH·ВOJUI Т1UС и должно быn. дц соблюденИА нeii3NeНJtoй сппошности все& средw и неразрывности контапа nород на rранице.

При норwаnьном (по nерnеидику.uру х rраиице) nадении а1

=а2 =О и

коэффициента рассеивания равны:

А= r,-r2;B=I+A=.2LL. r. + r2 r. +-r2 Очевидно, ЧТО УСIIОВИСМ ВОЗИИIСИОВСНИА отраженНОЙ ВОЛНЫ CJJ)'ЖИ't иеравеисrво 110nиовwх соnроnuшеииА. к0111U111рующих на границе сред

r1 -:t: r1•

вне зависимости O't того, чем это неравенСТIIО ВЫЗЫваетсJI-

резпнчнем скоростей ипи ра3JIИЧНСN ппотиостеll. ОтрцаuощеА .118JIJietC.I rраиица с: резпичными aonнoJWNи c:onporнueНИ11Nif.

Moryr быn.

"скоростные» границы, на кспорых ИЗJеЮIЮТСЯ скорости, могут

существовать "nлотиостиые" rраницы, на каrорых менакm:JI nлотиости, и

границы обоих типов JISJIJIIOТCJI отраж810ЩIО(И. Наоборот, граница. на каrорой

J't "Ф У2

и А "Ф Р2, но

J'tA = У2 Р2 , не .tSJIJieтcJI отражающей.

В большинстве случаев скорости и nлотности порол измеЮIЮТСJI

·соrпасоваино- более nлотные nороды .ISJIJIIOТCJI и бо.пес всокаскоростиыми и наоборот. ИсключенИJI нз этого npaaиna ловопьно реДIСИ. Наиболее .tркий nример -граница между запеnuощими над со.uвым JC}'ПOJIOM изВССТИJiкаыи

и каNенной сопью. Скорость волны в нзвестнаках может быть меньше скорости в соли, тогда как мотиость соли меньше мотнести IIЗ8eC'l'НJIJCa.

r r

В завнеимости от знака нерааенства 1 ;t 2 , вwле.uют случай

r1 >- r 2 ,

тогда верхШUI среда имеет бопьшес волновое соnротивление, чем ннжнее, н обратный случай, когда нижШUI среда харахтеризуеt'СJI большим волновым соnротивпеннем:

r1 -< rz. В rеолоrнческом разрезе нз-за статического

давnение вышележащих порол волновое сопротивпенне обычно растет с увеличеннем глубины залегания. Уменьшению

ero на границе обычно

соответствуют границы nерерыва в осадконакоппении {границы размыва). Проведем nослеловательныii анализ nоведения коэффициентов рассеиванiU А и В вторичных вопи nри изменении угле naдeHИJI nервичной

SН-волны:

0$ а S х 2. Уrол а"' О соответствует нормальному nадению

волны, уrол а

=- х 2 JISJIJiet'CJI теоретичесхн ВОЗМОJIСНЫМ пределом изменеии•

уrла падеииа. nри J:01'0ром DOJtнa с.:о.nьзит вдоnь rраиицы.

8.3. Волны рассеиваиJЦ при падении SН·волкы на кровлю низхосхоростной среды

Верхи.u среда более мотни и имеет

.60льшую скорость

расnространена волны, чем нижнu:

Из закона Снеплиуса следует, что в том же сооrношеиии находnса угл· nаденИJI и отраженна а

=1 а

и угоп nрохожденш а2 :

Поэтому nри изменении угла nаденш от О до теорстичесхи возможиоrо

nределах

/2 уrол nрохожденJЦ этоrо nредела не достигает: всегда а2 < ж/2.

Поэтому коэффициенты рассеиваиu nри JDОбых углах nаденИJI авлаютса действительными чнслаыи- nросто аымитуднымн множителями, лишь

уменьшающими (nри А. В

< 1) или увеличивающими (nри В > 1) аымитуду

JПОричной волны по сравнению с аымитудой nервичиой, nадающей волны.

Возможно еще одко воздействие коэффициента отражения А на } отраженную волну. Если А> О, то отраженная волна имеет тот же знак (наnравление) смещения, что и

к-t---'"r---r:;;::"•t-ncpaичнu волна. Если же А < О, то nервичнu и отраженнu волны имеют разные наnравления

смещениа (рис.8). Пусn.. наnример. nада10щu волна Рис.8.

имеет наnравление первоrо смещена

• сторону у > О.

Тогда. nри А О, а при а=

90•

90" А а01 ) приводит к nеремене знаха действител{>ной части и к: соответствующему инвертированию знака

смещения nервичной волны в суммарном отраженном сигнале. В пределе,

nадени• nри а>- ао 1 доля nадающей волиw с инвертированиww знuом

смещения в суммарной волне растет, а доля ГИJiьберт-траисформанты уменьшается в nределе, nри а=

90°, до О. При этом отраженный сигнм

nовторяет по форме и амплитуде колебаний nадающую волну с инвертированным знаком смещений. Наnомним, что такой же предел был выявлен и в случае

r1 >- r2 (см. раздел 8.3), ~вполне естественно.

Анализ закритических изменений сnектрального коэффициента nрохождения В и вызванных ими трансформаций неоднородных плоских

волн и 2 (t) фактически не нужеs, так как имеетсJI связь между коэффициентами рассеивания SН-волны: В

= 1 + А, сnраведлива~~ nри

любых углах nадения. Дnя комnлексных коэффициентов рассеиванИJI А=

ReA + jlmA; В= ReB + jlmВ имеем: ReB + jlmВ = l + ReA + jlmA. Видно, что А и В имеют действительные части. различающиеся на единицу, и равные мнимые части:

ReB =1 + ReA;

ImВ

=1mA.

Наnомним, что связь между А и В получена из первого граничного условия (для уnругих смещений):

и(т)+и1 (т)/:..о"'"2(т};r=t- ; •. В соответствии с ним. nри любых соотношениях физических свойств

контаrrирующих на rранице сред и nри т.обом угле nаденИJI nервнчноii SH·

аоnны nри z • О nроходащu аоnиа u2 { r) представ.n11ет собой nростую 47

сумму nадающей волны u('t) и отраженной волны щ (-r). Поэтому все трансформации отраженной волны в захритической зоне входат состааной частью в измененц проходащей волны. Вне зависимости

ar уrла падеИИJI в

этой волне всегда nрисутствует "постоцнu" составJUJющаs- nepi!ИЧНIUI, падающаs на границу волна, по предположению, не мeИJIIOщuts с

~менеиием угла nадеИИJI.

В заключение приведем цифровые оценJСН особых углов паденц

(а0 ,а.,,а0 д для границы раздела сред со следующими упруrими параметрами:

V. = 1,414км/с,Р\ = 2,12г/~v3 ,у1 =3·105 г!( с ·ш2 ); У2 = 2км/с,Р-J. =2,Sг/ш3 ,у2 =S·l05 г!(с·ш2 ) Эrо- довольно "сипьнаs" отражающu граница. Ей может соответствовать, например, граница между обводненной верхней средой (где скорость S-

волны резко уменьшена) и "сухим" нижним полуnространством. При нормальном nадении (а= О) SН-волны коэффициенты рассеиваИИJI равны:

Отражеинu волна имеет амnлитуду, в четыре раза меньшую амnлитуды

nервичной волны, и инвертирована по знаку смещенц. Проходащu вопна ослаблена по амnлитуде на четверn. в сравнении с nадающейволиоR. Дпs выбранных nараметров сред onpeдeлJUof аrиоwенц IIOIIНOВWX

41

Исnользуя их, найдем особые yrnы nадения nервичной волны:

- yron а0 , nри котором Ах О, В= 1 и u1('r) =0, и2 (т)=u(т)

а0 =arcsin J(t,667 2 +l)t(l,6672 ·1,4142 +l)~зs·,7 - критическийугол а", nри котором А= 1, В= 2 и щ(т)=и(r), и2 (т)=2·и(т): а"

=arcsin О, 707 = 45•.

-угол а01 , при котором ReA=O, ImA=ImВ=ReB =1 и u1 (т)=ин{т),

и2 (т)=и(т)+ин(т):

а01 =arcsinJ(t,6672 + 1)1(1,6672 ·1,4142 + 1)~49.,4. Как видно из этих оценок, зона наибыстрейшего и наибольшего изменения сnектральных коэффициентов рассеивания (СКР) и вторичных

волн весьма узка: а01 - а0 ~ 10•, 7. В интервале а"- а0 А и В возрастают на единицу: А от О до

=6•,3 коэффициенты

1, В от 1 до 2. Затем, как только

уrол падения nревысит критический, коэффициенты становятся

комnлексными. В интервале а01 -а" от

1 до О (ReB

от 2 до

=4", 4 действительная часть А сnадает

1 ), а мнимая часть А и В возрастает от О до 1.

Вне зоны ( а0 ,а01 ) хоэффициенты рассеивания ве.цут себ• более сnокойно. При изменении а от О до а0 отрицательный коэффициент отражения уменьшаете• (по модулю) от

-0,25 до О. В ближней к источнику 49

в д

:l. 1.

f.a

.&

1.6 .6

.

' ..... .....

Jl\

1.1 .:t ~о

о.

& -.1.

$0 /ti'IOJ - / 1 "'!'

1~.•

. .J.

1

1

:

1

~ !\

ао

10

10

\ \t--.

о