Idea Transcript
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»
БГ УИ
Р
Кафедра высшей математики
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Би бл ио
т
ек
а
по разделам высшей математики «Интегральное исчисление функций одной переменной» и «Функции многих переменных» для студентов всех специальностей БГУИР дневной формы обучения
Минск 2005
Контрольные работы по разделам высшей математики «Интегральное исчисление функций одной переменной» и «Функции многих переменных» для студентов всех специальностей БГУИР дневной формы обучения /Сост. О.А. Феденя, Ж.А. Черняк. – Мн.: БГУИР, 2005. – 58 с.: ил. ISBN 985-444-841-X
ек
а
К 65
БГ УИ
Составители: О.А. Феденя, Ж.А. Черняк
Р
УДК 517 (075.8) ББК 22.1 я 73 К 65
Би бл ио
т
Данное издание содержит тесты для самопроверки с указаниями и подсказками, математические диктанты и контрольные работы по двум разделам высшей математики, которые изучаются студентами БГУИР во втором семестре. Может быть использовано как для самостоятельного контроля знаний, так и для проведения контрольных мероприятий на практических занятиях, для промежуточных экзаменов, коллоквиумов, итоговых контрольных работ.
ISBN 985-444-841-X
УДК 517 (075.8) ББК 22.1 я 73
© Феденя О.А., Черняк Ж.А., составление, 2005 © БГУИР, 2005
СОДЕРЖАНИЕ 1. Интегральное исчисление функции одной переменной 1.1. Практические тесты для самопроверки 1.2. Математический диктант «Техника вычисления неопределенных интегралов»
Р
1.3. Математический диктант «Геометрические приложения определенного ин-
БГ УИ
теграла»
1.4. Контрольная работа «Определенный интеграл и его приложения» 2. Функции многих переменных
2.1. Практические тесты для самопроверки
2.2. Математический диктант «Функции нескольких переменных»
Би бл ио
т
ек
а
2.3. Контрольная работа «Дифференциальное исчисление ФМП»
1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1.1. ПРАКТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ Задание 1.1.1. Опираясь на определение первообразной для функции f x на промежутке Х, обоснуйте, может ли данная функция Fi x i 1, 2, 3, 4 яв-
Х является функция Fi x : 3x 1, x 0; 1 , F x X 0; 2 ; 1) 1 x , x 1; 2 , 2x 1, x 1;0 , X 1; 1 ; x 1, x 0; 1 ,
2) F2 x
БГ УИ
Р
ляться первообразной для некоторой функции f i x на указанном промежутке. В случае отрицательного ответа приведите обоснование, в случае положительного – укажите ту функцию f i x , первообразной для которой на промежутке
Функция
F1 x
Нет: разрывна в точке х=1
F2 x
Нет: не имеет производной в точке х = 0
Би бл ио
Ответ
т
ек
а
3) F3 x x 1 , X 1; 2 ; 4) F4 x x 1 , X 1; 1 . Правильные ответы представлены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
F3 x
F4 x
Нет: Первообразная не имеет для функции производx2 f4 x x ной в 2 точке х=1
Задание 1.1.2. Для функции f i x i 1, 2, 3 найдите ту первообразную, которая при х = –1 принимает значение, равное ln 2 : x 2.1) f 1 x 2 x 1; 2.2) f 2 x 2 ; 2.3) f 3 x
Варианты ответов представлены в табл. 1.2.
1 . x
Таблица 1.2 № ответа 1
Функция 2 x 1 ln 2 ln
x 2
x 2 x ln 2
4
ln 2 x
5
x 2 x 2 ln 2
БГ УИ
3
Р
2
6
1 2 x 1 2 ln 2 2 1 2 ln 2
Правильные ответы представлены в табл. 1.3
Таблица 1.3
Би бл ио
т
ек
а
№ функции 2.1 2.2 2.3 № ответа 5 6 4 Задание 1.1.3. Изучите таблицу основных неопределенных интегралов и вычислите интегралы от функций 3.1–3.4 приведением их к табличным интегралам с помощью тождественных преобразований: 1 1 3x ; sin 3 x ; 3.2) f x 3.1) f x 2 x 2 9x 5 7 5 f x 8x 7 x3 . 4 cos 2 x ; 3.3) f x 3.4) 2 2 sin 2 x 1 x Варианты ответов представлены в табл. 1.4–1.5 № ответа 1 2 3 4
Таблица 1.4 № функции 3.1
3.2
x 2 2 3 cos 3 x C
3arct g x 3 x C
x2 1 2 x sin x C 2 3
1 x 3x arctg C 3 3 ln 3
ln x 2
x
2
2
1 cos 3 x C 3
1 cos x C 3
3arct g x 3 x ln 3 C
1 arct g x e x ln 3 C 3
Таблица 1.5 № ответа 1 2
№ функции 3.1 5ct g x 2 sin x C
3.2 x8
x 5 7 a r csin x C
1 ctg x 8 cos 2 x C 5
x8
5 x 5 7 ln 1 x 2 C 6
5ct g x 2 sin 2 x C
54 x 6
Р
3
15 7 x C 2 2 2 1 x
БГ УИ
1 x 8 3 x 3 7arctg x C ctg 3 x 8 sin 2 x C 5 Правильные ответы представлены в табл. 1.6.
4
Таблица 1.6
ек
а
№ функ3.1 3.2 3.3 3.4 ции № ответа 3 2 3 1 Задание 1.1.4. Изучите метод подведения множителя под знак дифференциала и представьте в виде F f x df x следующие интегралы: 3
Би бл ио
т
dx ln x 2 arctg 2 x dx ; dx ; 4.1) 4.2) 4.3) ctg 4 x sin 2 x ; 4.4) 2 x 1 x Варианты ответов представлены в табл. 1.7. № ответа 1 1
2
2 d ct g x ctg 4 x
2 1 d x +3 2 x2 3
d x2
3
x2 3 1 3
4
x 2 3.
Таблица 1.7
Вид интеграла
xdx
ln x 2 d ln x 2
Окончание табл. 1.7 1
2
5
6
arct g
d ct g x
2
ctg 4 x x d arctg x
Р
Правильные ответы представлены в табл. 1.8.
БГ УИ
Таблица 1.8
№ интеграла 4.1 4.2 4.3 4.4 № ответа 4 6 5 2 Задание 1.1.5. Используя результаты задания 1.1.4, вычислите интегралы 4.1–4.4. Варианты ответов представлены в табл. 1.9.
а
Таблица 1.9
№ ответа
ек
№ интеграла
4.1
4.2
arctg x C
2
3 ln x 2 4 3 C 4
arctg2 x C
3
1 ln x 2 C 3
arctg 3 x C 3
Би бл ио
т
4 ln x 2 3 4 C 3
1
4
4.3 1 3ctg 3 x 5 5
ct g x
4 3 x 4 3 ln x 2 C arctg 3 C 3
4.4 C
C
3 3
ct g x
C
1 3
3ctg x
1 2
x 3
C
ln x 2 3 C
1
2
2 x 3
C
2
C
1 ln x 2 3 C 2
Правильные ответы представлены в табл. 1.10. Таблица 1.10 № 4.1 4.2 4.3 4.4 интеграла № ответа 2 3 1 4 Задание 1.1.6. Запишите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла, записанного в виде u x dv x . Ответьте на следующие
6.4) 6.5)
а
6.3)
Pn x cos axdx ; Pn x sin axdx ; Pn x arctg xdx ; Pn x arcsin xdx ;
ек
6.2)
БГ УИ
Р
вопросы: а) Какую функцию следует выбирать в качестве u x ? б) Сколько раз нужно применять метод интегрирования по частям для нахождения (или для приведения к интегралам от рациональных или иррациональных выражений) следующих интегралов: ax 6.1) Pn x e dx ;
Би бл ио
т
6.6) Pn x ln xdx , где Pn x – многочлен п-й степени. Варианты ответов на вопрос «а» представлены в табл. 1.11. № ответа Функция
1
2
Pn x
eax
3 cos ax
4 sin ax
Таблица 1.11 5 arct gx
6 arc sin x
Варианты ответов на вопрос «б» представлены в табл. 1.12. Таблица 1.12
№ ответа
1
2
3
Количество операций интегрирования по частям
1
2
n 2
Правильные ответы представлены в табл. 1.13.
4 n
7 ln x
Таблица 1.13 Интегралы № ответа на вопрос «а» № ответа на вопрос «б»
6.1 1
6.2 1
6.3 1
6.4 5
6.5 6
4
4
4
1
1
БГ УИ
Р
Задание 1.1.7. Найдите целую часть неправильной дроби 2x 6 8x 4 3 . x3 2x2 1 Варианты ответов представлены в табл. 1.14.
Таблица 1.14
ек
а
№ ответа 1 2 3 4 Вид целой 2 x 3 4 x 2 3 2x 3 2 x 3 4 x 2 16 x 30 2x 3 3 части Правильный ответ: 3. Задание 1.1.8. Изучите способ представления правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей. Дроби 8.1–8.4 запишите в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами: x 1 x 2x 1 ; ; 8.1) x 1 x 2 8.2) x 2 x 3 ; 8.3) 2 x 1 x x 1
т
1 x 2
x 1
x
2
2
x 1
.
Би бл ио
8.4)
Варианты ответов представлены в табл. 1.15.
№ дроби
1
8.1
A B D x 1 x x 2
8.2
A B D 2 x x x 3
8.3
A B 2 x 1 x x 1
Таблица 1.15 № ответа 2 A B x 1 x 2
A x2
B x 3
Ax B Dx E 2 x 1 x x 1
3 Ax B Dx E x 1 x 2 A B x x 3 A Bx D 2 x 1 x x 1
A B Dx E 2 2 x 1 x 1 x x 1
A Bx D 2 x 1 x x 1
8.4
Fx G
x
2
x 1
A B x 1 x 12
2
Dx E
x
2
x 1
2
Р
Правильные ответы представлены в табл. 1.16.
Таблица 1.16
тов, представьте функцию
3x 2 1
в виде суммы простейших дробей, оп-
2
x 1 x 2 1
а
ределив все коэффициенты этого разложения. Варианты ответов: 1 3x 1 3x 2 x ; 2 2) x 1 1) x 1 2 x2 1
x
2
1
.
Би бл ио
;
1 x2 x3 ; 2 3) x 1 2 x 1
т
1 x 1 x 1 2 4) x 1 x 1 x2 1
2
ек
БГ УИ
№ дроби 8.1 8.2 8.3 8.4 № ответа 2 1 3 2 Задание 1.1.9. Изучив методы нахождения неопределенных коэффициен-
Правильный ответ: 4. Задание 1.1.10. Изучите методы интегрирования простейших дробей I, II, III типов и вычислите интегралы: dx dx dx ; ; ; 10.1) x 2 10.2) x 23 10.3) x 2 2 x 2
x 1
10.4)
x 2 2 x 2 dx .
ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 1.1.10
Интегрирование простейших дробей I, II, III типов: I.
dx
x a ln
x a C.
II.
dx
x a
k
1
1 k x a
mx n
III.
dx
x 2 px q
k 1
C , k 2, k Z .
2n mp m 2x p ln x 2 px q arct g C, 2 4q p 2 4q p 2
p 2 4q 0.
Р
Варианты ответов представлены в табл. 1.17.
БГ УИ
Таблица 1.17
№ интеграла
№ ответа
1 1 2 x 2
10.2
2
1 2
2 x 2
ln x 2 C
C
1
C
4 x 2
4
C
а
10.1
2
10.3
arctg x 1 C
10.4
ln x 2 1 arct g x C 1 ln x 2 2 x 2 C 2
ек
т
Би бл ио
arct g x 2 2 x 2 C
3
1
x 2 2
C
1
2 x 2
2
C
arctg x 2 1 C 1 ln x 2 2 x 2 2 2arctg x 1 C
Правильные ответы представлены в табл. 1.18 № интеграла № ответа
Таблица 1.18
10.1
10.2
10.3
10.4
2
3
1
3
Задание 1.1.11. Вычислите интеграл J
x2 1
x 13 x 3
dx , используя
для этого схему интегрирования рациональной дроби (подсказка к заданию 1.1.11).
ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 1.1.11 Общая схема интегрирования рациональной дроби: 1. Если данная рациональная дробь f x неправильная, выделите ее целую часть и представьте f x как сумму целой части и правильной рациональной дроби.
Р
2. Правильную дробь разложите в сумму простейших рациональных дробей с неопределенными коэффициентами.
3) J
4 x 1
1 8 x 1
4
2
3 5 x 1 ln C; 8 x 1 32 x 3
а
1
1 8 x 1
3
5 x 1 ln C. 32 x 3
ек
2) J
БГ УИ
3. Найдите неопределенные коэффициенты в полученном разложении. 4. Проинтегрируйте почленно целую часть дроби f x и каждую из простейших дробей. Варианты ответов: 1 3 5 x 1 ln C; 1) J 2 4 x 1 12 x 3 2 x 1
Би бл ио
т
Правильный ответ: 2. Задание 1.1.12. Запишите универсальную тригонометрическую подстановdx ку. В каких случаях она применяется? Вычислите интеграл с 2 cos x 2 sin x помощью этой подстановки (см. подсказку к заданию 1.1.12). ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 1.1.12
Вычисление интегралов вида R cos x , sin x dx можно свести к вычислению интегралов от рациональных функций с помощью универсальной тригоx tg u. Тогда нометрической подстановки 2 sin x
2u 1 u2
, cos x
1 u2 1 u2
, dx
2du 1 u2
1 u2 2u R cos x , sin x dx R 1 u 2 , 1 u 2
и
2du . 2 1 u
Варианты ответов: x tg 3 2 x x 2 x ln C; arctg t g 3 ln tg 4tg 3 C ; C. 2) 1) 3) x 2 2 2 tg 1 2 Правильный ответ: 1. Задание 1.1.13. Среди приведенных ниже интегралов вида n m sin x cos xdx , где m и n – рациональные числа, найдите те, у которых по-
dx
13.6)
sin x cos2 x
ек
а
БГ УИ
Р
дынтегральная функция удовлетворяет условию: а) m + n — отрицательное четное число; б) подынтегральная функция является нечетной относительно sin x ; в) подынтегральная функция является нечетной относительно cos x ; г) подынтегральная функция содержит sin x и cos x в четных положительных степенях. Укажите метод интегрирования в каждом из этих случаев: sin x cos3 xdx 2 2 dx ; ; sin x cos xdx ; 13.3) 13.2) 13.1) 3 sin 5 x cos6 x dx dx ; ; 13.4) 13.5) 2 sin x cos3 x sin 3 x cos7 x ;
13.7)
cos3 xdx 4
; 13.8)
Би бл ио
т
sin x Правильные ответы представлены в табл. 1.19.
Условие № интеграла
а 13.1, 13.4
Метод интегрирования
Замена t tgx
sin
4
xdx .
Таблица 1.19 б 13.1, 13.3, 13.6 Замена t cos x
в 13.1, 13.5, 13.7
г 13.2, 13.8
Замена t sin x
Использование формул понижения степени sin 2 x
1 cos 2 x 2
cos2 x
1 cos 2 x 2
Задание 1.1.14. Повторите, какие иррациональные функции относятся к классам: А) – дробно-линейных иррациональностей; В) – квадратичных иррациональностей; С) – дифференциальных биномов. Отнесите к соответствующему классу А, В, С каждый из следующих интегралов:
x
dx 2
x 9
1 4 x
14.6)
1
;
dx ;
14.2)
14.4)
14.7)
x dx
;
x 1
x 2 dx
.
2
2x 1 4
14.5)
dx ; dx
5
Р
14.3)
2x 1 5
;
БГ УИ
14.1)
3
4 x2 dx ; x
x2 3 1 x3
x x 25 Правильные ответы представлены в табл. 1.20.
Таблица 1.20
А 14.2, 14.6
В С 14.1, 14.3, 14.1, 14.3, 14.4, 14.7 14.5, 14.7 Задание 1.1.15. Изучите, какими подстановками рационализируются (сводятся к интегралам от рациональных функций) интегралы из классов А, В, С, описанных в задании 1.1.14. Среди приведенного ниже множества вариантов отберите те подстановки, которые рационализируют интегралы 14.1–14.7. Варианты ответов: 1 x3 2 4 t3; 1) 2) 2 x 1 t ; 3) x t ; 3 x 5 2 ; 4) x 1 t ; 5) x 2 sin t ; 6) x cos t
Би бл ио
т
ек
а
Класс функций № интеграла
6
7) 2 x 1 t ;
2 9) x t ;
8) x 3t gt ;
10) x 2 cos t ; 11)
x 2 25 2
t 2 ; 12) 9 x 2 t 2 ; 13) 4 x 2 t 2 .
x Правильные ответы представлены в табл. 1.21.
Таблица 1.21 № интеграла № подстановки
14.1 5, 10, 13
14.2 7
14.3 8, 12
14.4 4
14.5 1
14.6 3
14.7 6, 11
Задание 1.1.16. Повторите определение определенного интеграла и его свойства. Запомните формулу Ньютона–Лейбница – основную формулу для вычисления определенных интегралов. С ее помощью вычислите следующие интегралы: x 2 dx ; 16.1)
0 4
cos
16.4)
1 x dx ; 6.3) 16.2)
2
e2
dx ; x ln x
xdx .
Р
0
e3
2
3
БГ УИ
0
Варианты ответов:
1) ; 2) ln 3 2 ; 3) 2; 8
4) 7 ln 2;
7 ; 6) ln 2
5) 1;
2 8 ; 10) ; 11) 2 ln 3; 8 ln 2 Правильные ответы представлены в табл. 1.22 2 ; 8
8) 0;
9)
а
7)
2 12) ln 3 .
Таблица 1.22
т
ек
№ инте16.1 16.2 16.3 16.4 грала № ответа 6 5 2 9 Задание 1.1.17. Запишите формулу замены переменной в определенном интеграле. При каких условиях она справедлива? Опираясь на эту формулу, xdx
Би бл ио
5
замену переменной 3 x 1 t и определите, 3x 1 какой вид примет исходный интеграл в результате этого преобразования. Варианты ответов:
сделайте в интеграле
0
5
4 4 2 1 t2 1 2 2 2 t 1 dt ; 1) 9 2) 3 t 1 dt ; 3) 3 t dt ; 0 1 1
4
2 2 t 1 dt . 4) 9 1
Правильный ответ: 4. Задание 1.1.18. Повторите определения несобственных интегралов по бесконечному промежутку. Среди приведенных ниже вариантов ответов выберите те, которые соответствуют определениям несобственных интегралов 18.1–18.3:
18.1)
b
f x dx ; 18.2) f x dx ; 18.3) f x dx . a
Варианты ответов: A
1) Alim
b
B
f x dx ;
2) Blim
A
f x dx ;
3) Alim
f x dx ; A
B
4)
lim
f x dx , где
A B A
A и B независимо друг от друга;
B
6) Alim
f x dx ; a c
Р
lim
B
B
БГ УИ
5)
f x dx , где с — любая точка из интервала f x dx Blim A
c
, .
Правильные ответы представлены в табл. 1.23.
Таблица 1.23
18.2 3
ек
18.1 5
а
№ интеграла № ответа
Задание 1.1.19. Вычислите несобственный интеграл
x cos xdx (или ус-
0
т
тановите его расходимость).
18.3 6
Би бл ио
Варианты ответов: 1) 0;
2) расходится; 3) 1; 4) 1. 2
Правильный ответ: 2.
Задание 1.1.20. Дайте определение несобственного интеграла
b
f x dx
от
a
неограниченной функции в том случае, если: 1) f x непрерывна на промежутке a, b и неограниченна в правой окрестности точки х = а; 2) f x непрерывна на промежутке a, b и неограниченна в левой окрестности точки х = b; 3) f x непрерывна на объединении промежутков a, c c, b и неограниченна в окрестности точки х = с. В каких случаях эти интегралы сходятся и расходятся?
4
Вычислите интеграл
dx
x2 x 6
(или установите его расходимость).
1
1 8 ln ; 5 7
Варианты ответов: 1) ln 14; 2)
3) расходится;
4)
1 1 ln . 5 14
Правильный ответ: 3. Задание 1.1.21. Определите тип следующих интегралов:
x3 3
21.4)
21.2)
0
dx 3
1
dx
;
x3 3 ; 1
;
21.5)
x 3 Варианты ответов:
2
2
1) неопределенный интеграл; 2) определенный интеграл;
dx
21.3)
dx
3 1 x 3
;
Р
21.1)
dx
БГ УИ
2
2
x 3
.
а
3) несобственный интеграл по бесконечному промежутку;
ек
4) несобственный интеграл от неограниченной функции. Правильные ответы представлены в табл. 1.24.
т
Таблица 1.24
Би бл ио
№ инте21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 грала № ответа 4 1 2 3 4 Задание 1.1.22. Изучите признаки сходимости несобственных интегралов. Используйте подсказки 1 и 2 к заданию 1.1.22 и определите, сходятся или расходятся следующие несобственные интегралы:
22.1)
0 1
22.4)
dx ; 22.2) x3 x2 4 sin xdx
x 3 x 5 12 x 0
x 3
x
0
xdx 3
x5 3
2
;
22.3)
0
ln
4
x 1
ex 1
dx ;
.
ПОДСКАЗКА 1 К ЗАДАНИЮ 1.1.22 Пусть на промежутке a, непрерывная функция f x 0 и удовлетворяет условию
C
f x
x
,
x
где С – положительная константа.
f x dx
Тогда несобственный интеграл первого рода
сходится, если 1,
a
и расходится, если 1.
Р
ПОДСКАЗКА 2 К ЗАДАНИЮ 1.1.22
f x
x a
C
x a
,
где С – положительная константа. b
f x dx
а
Тогда несобственный интеграл второго рода
БГ УИ
Пусть функция f x 0, непрерывна на a, b и в точке а неограниченна, причем
сходится, если 1, и
ек
a
Би бл ио
т
расходится, если 1. Правильные ответы: 22.1, 22.3, 22.4 – сходятся, 22.2 – расходится. Задание 1.1.23. Изучите формулы для вычисления площадей фигур с помощью определенных интегралов. Опираясь на подсказки 1–3 к заданию 1.1.2.3, установите, какими интегралами выражаются площади фигур, изображенных на рис. 1.1. – 1.7. y 4 y 8 x x
2
4
3 2 7 /4
0
1 Рис. 1.1
x 4 y 6 0
6
x
y
24 x y 3 16 y 3 4 6 x y 16 y
1 4
4 x
4
БГ УИ
Р
1 0
Рис. 1.2 y
y
5 5
x 0
x 0
2
2 2
Би бл ио
т
2 2
ек
а
5 5
Рис. 1.3
Рис. 1.4
y
5 5
5
r 1 Cos
x
0
2 2
0
Рис. 1.5
2
Рис. 1.6
r Sin r 3Cos
0
Рис. 1.7
Р
ПОДСКАЗКА 1 К ЗАДАНИЮ 1.1.23
БГ УИ
x a, x b и кривыми Если фигура ограничена прямыми y f x , y g x , где f x g x для x a; b , то ее площадь S можно найти по формуле b
S f x g x dx . a
y c, y d и кривыми ограничена прямыми x y , x y , где y y для y c; d , то ее площадь S находит-
а
фигура
ек
Если
ся по формуле
т
d
S
y y dy .
Би бл ио
c
ПОДСКАЗКА 2 К ЗАДАНИЮ 1.1.23 Если
криволинейная трапеция ограничена прямыми x a, x b a b , отрезком a; b оси Ох и кривой, заданной параметрическими уравнениями
x x t , t ; , где a x , b x , y y t ,
то ее площадь S выражается интегралом S y t x t dt .
ПОДСКАЗКА 3 К ЗАДАНИЮ 1.1.23 Площадь S криволинейного сектора, ограниченного лучами 1 , 2 1 2 и кривой r r , заданной уравнением в полярной системе координат, определяется по формуле
1 2 2 S r d . 2
Р
1
2 2
2
2
2) S 20
0
1 3) S 2
2
0
4
2 6) S 20 sin tdt ;
3
а
ек
1 12) S 2
cos tdt ;
6
7 x x
2
6 dx ;
1
sin 2 d
3 2 cos2 d ; 2
т
5
4
0 1 1 3 S S y 16 y dy ; 10) 11) 4 4 4
2
0
5 2
9) S 20
2
2 8) S 20 cos tdt ;
2
7) S 20 cos tdt ;
0
1 2 5) S 2 1 cos d ; 0
2
sin 2 tdt ;
0
1 1 cos d ; 4) S 2 1 cos d ; 0
2
БГ УИ
Варианты ответов: 1) S 20 sin tdt ;
0
3
0
1 1 3 13) S 8 y 16 y dy 8 4
4
16 y y
3
dy .
0
Би бл ио
Правильные ответы представлены в табл. 1.25. Таблица 1.25
№ рисун- 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 ка № ответа 11 10, 13 1 6 8 5 12 Задание 1.1.24. К каким интегралам сводится вычисление длин дуг следующих кривых (см. подсказку к заданию 1.1.24): 24.1) y x
3
2,
x 0; 4 ;
24.2) x 4 t sin t , y 4 1 cos t (одна арка циклоиды); 24.3) r a , a 0 (один виток спирали Архимеда)?
ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 1.1.24 Длина l дуги кривой y f x на отрезке x a , b выражается интегралом b
l
1 f 2 x dx .
a
x x t , y y t ,
x t
2
2
y t dt .
а
БГ УИ
t , ,
то ее длина l вычисляется по формуле
l
Р
Если кривая задана параметрическими уравнениями
ек
Если кривая задана уравнением r r , , , в полярной системе координат, то ее длина l может быть вычислена по формуле
т
l
2
r 2 r d .
Би бл ио
4
4
9 Варианты ответов: 1) l 1 x dx ; 2) l 1 4 x dx ; 0 0 4
2
4) l 4 2 1 cos t dt ;
2
3) l 4 2 t 2t sin t cos t dt ; 0
a2 5) l 2
3
0
2
2
2
d ;
2 6) l a 1 d . 0
0
Правильные ответы представлены в табл. 1.26. Таблица 1.26 № задачи № ответа
24.1 2
24.2 4
24.3 6
1.2. Математический диктант «Техника вычисления неопределённых интегралов» Вариант 1 Вычислить неопределенные интегралы 1–8, 10:
x3 4 x 5
( x2 1)( x 1) dx .
2.
Р
1.
БГ УИ
1 sin xdx .
dx 3. chx . dx .
cos 2 x
x2 4 dx . x
5.
6.
7.
arctg (1
dx .
x ) dx .
Би бл ио
cos 2 x
т
ln(cos x )
а
ек
4.
cos x
2 2 8. sin 6 x sin 3xdx .
9. Вывести рекуррентную формулу для вычисления интегралов
I n cos n xdx , n 2, n N .
x 1
10.
( x 2 1)
2 x
e dx .
Вариант 2 Вычислить неопределенные интегралы 1–8, 10:
2 x2 2 x2
1.
2.
shx .
3.
4 x4
dx .
dx
Р
dx .
dx
x 1
1 x x2
.
2 x 4 3x 3 21x 2 26
5.
6.
ln x
7.
sin 2 x 2 cos2 xdx .
8.
sin
.
1 x 2 dx .
т
2tgx 3
x cos 2 3xdx .
Би бл ио
2
dx
а
x 2 5 x 4 x 3
БГ УИ
cos 2 x
ек
4.
sin x
9. Вывести рекуррентную формулу для вычисления интегралов
In
10.
sin x cos x sin 2 x
dx
sin
n
x
, n 3, n N .
e x dx .
Вариант 3 Вычислить неопределенные интегралы 1–8, 10: 1.
2.
1 sin 2xdx .
arctg x 1 x
dx .
x3 x 2
3.
4.
x 2
x
1 2
2x
2
x2
1 1 x 4
dx
.
19
dx .
cos 4 x
6. 2 7.
2 x 1
Р
sin 3 x dx .
БГ УИ
5.
2
3 x 3 dx .
dx .
2 3x 2 x 2
dx
.
а
2 e x e2 x
ек
8.
x sin x cos x
dx не выражается через элеменx2 тарные функции, представив его как комбинацию элементарных функций и sin x «неберущегося» интеграла S i x x dx .
Би бл ио
т
9. Показать, что интеграл
x4 1 dx . 10. 6 x 1
Вариант 4 Вычислить неопределенные интегралы 1–8, 10: sin x cos x dx . 1. 3 sin x cos x
2. arcsin 3.
x dx x 1 .
x 4 4 x3 5 x 2 10 x 10 x3 3x 2 x 5
dx .
6. 7.
sin 4 x cos10 x
.
dx .
23 x 1 34 x 1 6x2
dx .
dx 14 4 x 2 x 2
3 8. ch x
3
.
БГ УИ
5.
2 x 3 x3
Р
4. 3
dx
sh 2 xdx .
sin x dx интеграл x
ек
а
9. Bыразить через интегральный синус S ix
dx
x 11 2 x 6 x .
Би бл ио
10.
т
sin x S i x dx ;
1.3. Математический диктант
«Геометрические приложения определенного интеграла»
Вариант 1 Изобразить плоскую область и вычислить её площадь: 2 2 1. x 4 x y 6 x 0 .
2 2 2. 7 x 2 y 5.
Изобразить кривую, заданную параметрическими (полярными) уравнениями, и найти площадь области, ограниченной кривой:
x 2 cos2 t , 3. 3 y 2sin t.
4. r 2 2 cos 2. 5. Изобразить кривую y arcsin x и написать интеграл (не вычисляя его), выражающий длину этой кривой.
x 3 t sin t , 6. y 3 1 cos t , 0 t 2 .
7. r
5 1 cos .
БГ УИ
Р
Изобразить кривые, заданные параметрическими (полярными) уравнениями, и вычислить их длины:
Найти объемы тел, заданных ограничивающими их поверхностями:
ек
2 2 2 9. 2 x 3 y 4 z 12.
а
8. x 0, y 0, z 0, 2 x 3 y 4 z 12.
т
Лепесток, образованный кривыми y1 и y 2 , вращается вокруг a) оси Ox ; б) оси Oy . Вычислить объемы получающихся тел вращения.
Би бл ио
2 3 10. y1 x , y 2 x .
Вариант 2 Изобразить плоскую область и вычислить её площадь: 2 2 1. y 10 y x 2 x 0.
2 2 2. 3 x 4 y 2.
Изобразить кривую, заданную параметрическими (полярными) уравнениями, и найти площадь области, ограниченной кривой: x 3 cos3 t , 3. 3 y 3 sin t .
4. r 2 sin 3.
5. Изобразить кривую y arccos x и написать интеграл (не вычисляя его), выражающий длину этой кривой. Изобразить кривые, заданные параметрическими (полярными) уравнениями, и вычислить их длины:
x 5 t sin t , 6. y 5 1 cos t , 0 t 2 .
Р
7. r 4 1 cos .
8. x 0, y 0, z 0, x 2 y 6 z 18. 2 2 2 9. x 2 y 6 z 18.
БГ УИ
Найти объемы тел, заданных ограничивающими их поверхностями:
4 10. y1 x , y 2
а
Лепесток, образованный кривыми y1 и y 2 , вращается вокруг a) оси Ox ; б) оси Oy . Вычислить объемы получающихся тел вращения.
ек
x.
т
1.4. Контрольная работа «Определенный интеграл и его приложения»
Би бл ио
Вариант 1
1. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше: 2 2 dx dx I1 или I 2 . 2 1 1 x 1 x /2
2. Оценить интеграл
0
dx
2
5 3 cos x
.
x
2 (1 cos t ) dt
3. Найти lim
x 0
0
3
x5
ln 2
4. Найти интеграл
.
1
e x 1dx .
0
5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: y ln(1 x ), y xe x , x 1.
, a 0. 3 7. Фигура ограничена дугой параболы y 4 x 2 , отрезком [-2; 0] оси Ох и отрезком прямой y 3 x . Найти объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси Ох. 8. Исследовать сходимость несобственного интеграла 2 x dx sin x . 1 0e
БГ УИ
Вариант 2
Р
6. Найти длину кривой r a cos 3
1. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше: 2 2 dx dx I1 или I . 2 2 2 3 x 1 11 x e dx . 2. Оценить интеграл 1 1 ln x
sin t dt lim x 0
0
.
ек
3. Найти
а
x2
3x 3 9
т
4. Найти интеграл x 3 1 x dx . 1
Би бл ио
5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: y arctg x , y x 2 0, x 1. t t sin cos 6. Найти длину кривой: x d , y d , 1 t t 0 . 1 1 7. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, 1 ограниченной кривыми: y x, y , y 0, x 2 . x 8. Определить, при каком значении параметра α сходится интеграл arctg 2 x sin 1 x dx . 2 2 ( x x 1) Вариант 3 1. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше: 2
2
2
I 1 1 x dx или I 2 xdx . 1
1
1
2. Оценить интеграл
dx
03
2x
.
x
2 arcsin tdt
3. Найти lim x 0
0
x 2 (e x 1)
.
e
4. Найти интеграл ln x dx .
БГ УИ
5. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей кривой: x t 2 a 2 , y t 3 a 2 t , a 0.
Р
1/ e
ек
а
6. Найти длину дуги кривой 3 y 2 x( x 1) 2 между точками пересечения ее с осью Ох. 7. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 y2 z2 1, y 4 . 4 9 25 8. Определить, при каком значении параметра α сходится интеграл sin 2 1 x dx . 3 2 3 x arctgx Вариант 4
e
т
1. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше: e
I 1 ln xdx или I 2 ln xdx . 1/ e
Би бл ио
1
0
2. Оценить интеграл
17
dx
3
x
.
0
2 sin t dt
3. Найти lim
x 0
x
2 x 2 tgx 2
.
x x2 1
dx . 4 x 1 5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах: r 2 2 sin 2 , r 1 (r 1). 1 1 6. Найти длину дуги кривой x y 2 ln y , заключенной между прямы4 2 ми y 1 и y 2 . 4. Найти интеграл
7. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми: y sin x, y cos x, y 0, 0 x / 2 . 8. Определить, при каком значении параметра α сходится интеграл arctg 12 x 3 3 dx . 5 (x 4 x ) Вариант 5
БГ УИ
Р
1. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше: 1/ 2 1/ 2 dx dx I1 или I 2 3 . 1/ 3 x 1/ 3 x /3 dx 2. Оценить интеграл . 2 cos x / 3 0
tgtdt
3. Найти lim
x2 3
. 2 x arcsin 2 x 1 2x e 2e x 4. Найти интеграл 2 x dx . e 1 0 5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой: x a (2 cos t cos 2t ), y a (2 sin t sin 2t ) (a 0). 6. Найти длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных координа тах: r a sin 4 , a 0 . 4 7. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми: y tgx 2 , y 0, x 3. 8. Определить, при каком значении параметра α сходится интеграл 1/ 2 arctgx dx . 2 0 (x x )
Би бл ио
т
ек
а
x 0
Вариант 6
1. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше: 1
I1 3 0
x2
1
3
dx или I 2 3 x x dx . 0 2
2. Оценить интеграл 1
dx 1 x
3
.
0
(1 cos t )dt 3. Найти lim
2x
x 0
x ln(1 4 x 2 )
.
2x 7 x 5 2x3 x 1
/3
dx . cos 2 x 5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах: r 2 2 sin 2 , r 1 (r 1). 6. Длина первой арки циклоиды x 6 (t sin t ), y 6 (1 cos t ) равна 48. Найти прямую y const , которая делит ее на три равные части. 7. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 y2 z, z 2 . 8 15 8. Определить, при каком значении параметра α сходится интеграл 2 arctg x dx . 2 x 2 ( x 2 )( e 1 ) 0 4. Найти интеграл
а
БГ УИ
Р
/ 3
ек
Вариант 7
1. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше: /2
/2
т
I 1 cos 3 xdx или I 2 cos 7 xdx . 0
0
e
dx . 5 ln x 1/ e
Би бл ио
2. Оценить интеграл x
2 arcsin t dt
3. Найти lim
x 0
0
3
.
tg (2 x ) 1
4. Найти интеграл x 15 1 3 x 8 dx . 0
5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: 10 y 1 x , y x, x 1 . 3 6. Найти длину дуги кривой: x e t , y e t , z 2t , 0 t t 0 . 7. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми: y x e x , y 0, x a . 8. Определить, при каком значении параметра α сходится интеграл
1
0
(1 cos x ) 2 3x 2 5 x 4
dx .
Вариант 8 1. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше:
dx
3x
ln(1 2t )dt 3. Найти lim
0
.
5x 2
x 0
/2
4. Найти интеграл
dx
. / 3 3 cos x
Р
2
dx . или I 2 2 2 7 x 1 0 7x 1 dx 2. Оценить интеграл . 2 12 x
I1
БГ УИ
3
ек
а
5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах: r 2 cos , r cos .
Би бл ио
т
6. Найти длину дуги кривой: x 6 3t 2 , y 4t 3 ( x 0) . 7. Найти объем тела, ограниченного плоскостями x 1, x 3 , если площадь его поперечного сечения обратно пропорциональна квадрату расстояния сечения от начала координат, а при x 2 площадь сечения равна 27. 8. Определить, при каком значении параметра α сходится интеграл arcsin 1x dx . 2 (1 1x ) 3 x ln Вариант 9
1. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше: / 2 cos x cos x I1 dx или I 2 dx . x x 0 0 /4
2
2. Оценить интеграл 1 x 3 dx . 1 3x
3 tg tdt
3. Найти lim x 0
0
e
3 4 x 1
.
/3
4 2 3 x ( x sin 5 x x cos 3 tg x) dx .
4. Найти интеграл
/ 3
Вариант 10
БГ УИ
Р
5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой: x 12 cos t 5 sin t , y 5 cos t 12 sin t . 6. Найти длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах: r 2(1 cos ), r 1 . 7. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми: y e x 6, y e 2 x , x 0 . 8. Определить, при каком значении параметра α сходится интеграл 1 arctgx 2 dx . x ln ( 1 x ) 0 1. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше: / 3 dx / 2 dx I1 или I 2 . sin x sin x /6 /6
dx
/2 3 t (2 1)dt
x 0
0
x 3 arcsin x 2
dx 2
.
Би бл ио
4. Найти интеграл
.
т
3. Найти lim
2 sin x
.
ек
x2
2
а
2. Оценить интеграл
3 x
x 1 5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах: r 1 2 cos . 2 2 6. Найти длину дуги кривой y x 4 x 4 x 3 между точками пересече5 3 ния ее с осью Ох. 7. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми: y arcsin x, y 0, x 1. 8. Определить, при каком значении параметра α сходится интеграл 2 x 2x 4 1 dx . 2 e (e1 / x 1)
2. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2.1. ПРАКТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ x 2y z x , y Задание 2.1.1. Для функции 2 x y вычислите: 1.1) z (3; 1); 1.2) z (1; 3); 1.3) z (1; 2); 1.4) z (a; a); 1.5) z (а;-а) Варианты ответов: 1) 1; 2) 0; 3) -1; 4) значение не определено; 5) 2; 6) -5; 7) 0,2; 8) 5. Правильные ответы представлены в табл. 2.1.
Р
Таблица 2.1
БГ УИ
№ зада1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 чи № отве7 8 4 3 1 та Задание 2.1.2. Опираясь на подсказку к заданию 2.1.2, для функции
z x 2 xy y 2 вычислите частные приращения по переменной x x z , по
а
переменной y y z и полное приращение по обеим переменным z , если х изменяется от х0 = 2 до х1 = 2,1, а у изменяется от у0 = 2 до у1 = 1,9. В ответ за-
ек
пишите тройку чисел x z, y z, z .
ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 2.1.2
Би бл ио
т
Частные приращения x z и y z по переменным х и у соответственно вычисляются по формулам x z z x , y 0 z x 1 , y 0 z x 0 , y 0 ,
y z z x 0 , y z x 0 , y 1 z x 0 , y 0 .
Полное приращение z по совокупности переменных х, у вычисляется по формуле
z z x , y z x1 , y1 z x 0 , y 0 .
Варианты ответов 1) (0,2; 0,03; 0,1); 2) (0,21; 0,1; 0,81); 3) (-0,21; -0,1; 0,03); 4) (0,21; 0,59; 0,81); 5) (-0,2; -0,69; -0,03). Правильный ответ: 4.
БГ УИ
Р
Задание 2.1.3. Дайте определение частной производной функции z x , y по переменным х и у. Изучите правила вычисления частных производных x x r x r cos ; , если функций двух переменных и найдите определитель y y y r sin . r Варианты ответов: 1) ; 2) 1; 3) r; 4) 0; 5) -1. Правильный ответ: 3. Задание 2.1.4. Повторите определение дифференцируемой в точке M 0 x 0 ; y 0 функции z x , y . Что такое полный дифференциал функции? По какой формуле он вычисляется и как используется в приближенных вычислениях? Воспользуйтесь подсказкой к заданию 2.1.4, чтобы для данных функций z x , y и указанной для каждой из них пары точек М0 и М1
т
ек
а
y 4.1) z x , М0(1; 3), М1(1,02; 3,01); y 4.2) z arctg , М0(2; 3), М1(2,1; 2,5) x вычислить: z z 1) x и y в произвольной точке М(х; у);
Би бл ио
2) полный дифференциал dz в произвольной точке; 3) dz(M0), где М0 – данная точка; 4) приближенное изменение функции, вызванное переходом от точки М0 к точке М1, заменяя приращение z(M0, M1) полным дифференциалом dz(M0); 5) приближенное значение функции в точке М1. В ответ запишите тройки чисел z x M 0 , z y M 0 , z M 0 , M 1 .
ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 2.1.4
Функция z z x , y называется дифференцируемой в точке M0 x0 ; y0 ,
если в некоторой окрестности этой точки полное приращение z M 0 , M можно
представить
в
x x x 0 , y y y 0 ,
виде 2
x
z M 0 , M A x B y o , 2
y ,
указанной окрестности точки M 0 x 0 ; y 0 .
точка
M x; y
где
принадлежит
Полным дифференциалом функции z z x , y называется главная часть полного приращения z , линейная относительно приращений аргументов x и y , т. е. dz A x B y . Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. dx x и dy y .
z M 0
z M 0
БГ УИ
dz M 0
Р
Полный дифференциал функции z z x , y в точке М0 вычисляется по формуле
x
dx
y
dy .
Для дифференцируемой в точке M 0 x 0 ; y 0 функции z z x , y справедливы приближенные равенства
а
z M 0 , M 1 dz M 0 z M 1 z M 0 dz M 0 ,
ек
где M 1 x1 ; y1 – точка, лежащая в достаточно малой окрестности точки М0.
Би бл ио
т
Варианты ответов: 1) (3; 1; 0,06); 2) (-3; 0; 0,1); 3) (3; 0; 0,06); 2 3 2 3 2 3 4) 13 ; 13 ; 1 ; 5) 13 ; 13 ; 0,1 ; 6) 13 ; 13 ; 0,1 . Правильные ответы представлены в табл. 2.2. Таблица 2.2
№ функции 4.1 4.2 № ответа 3 6 Задание 2.1.5. Приведите определение и напишите уравнение касательной плоскости к поверхности z f x , y в точке M 0 x 0 ; y 0 ; z0 , где z0 f x 0 , y 0 . Используя подсказку к заданию 2.1.5, составьте уравнение ка-
сательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z f x , y , в указанной точке: 5.1) z xy , M0(1; 0; 0); 2 5.2) z x y , M0(0; 1; 1);
x y , M0(1; -1; 1). 5.3) z e
ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 2.1.5 Касательной плоскостью к поверхности z f x , y в точке M 0 x 0 ; y 0 ; z0 , где z0 f x 0 , y 0 , называется плоскость, проходящая через точку М0 и содержащая касательные ко всем кривым, проведенным на поверхности через точку М0. Уравнение касательной плоскости к поверхности z f x , y в точке
f x 0 , y 0 x
x x0
f x 0 , y 0
БГ УИ
z z0
Р
M 0 x 0 ; y 0 ; z0 имеет вид
y
y y0 .
Варианты ответов: 1) z x; 2) z y; 3) z x y 1; 4) z x y; 5) z x 2 y 1. Правильные ответы представлены в табл. 2.3.
Таблица 2.3
№ функции № ответа
т
ек
а
5.1 5.2 5.3 2 5 3 Задание 2.1.6. Является ли плоскость z 0 касательной плоскостью в точке О(0;0;0): 2 2 6.1) к параболоиду z x y ;
x2 y2 ;
Би бл ио
6.2) к конусу z
6.3) к гиперболическому параболоиду z xy ? Правильные ответы: 6.1) да; 6.2) нет; 6.3) да. Задание 2.1.7. Приведите определение и напишите уравнение нормали к поверхности z f x , y в точке M 0 x 0 ; y 0 ; z0 , где z0 f x 0 , y 0 . Используя подсказку к заданию 2.1.7, составьте уравнения нормалей к поверхностям 5.1 5.3 из задания 2.1.5 в указанных там точках. ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 2.1.7
Нормалью к поверхности
z f x, y
в точке
M 0 x 0 ; y 0 ; z0 ,
где
z0 f x 0 , y 0 , называется прямая, проходящая через точку М0 перпендикулярно касательной плоскости в этой точке. Уравнение нормали к поверхности z f x , y в точке M 0 x 0 ; y 0 ; z0 записывается в виде
x x0 y y0 z z0 . f x 0 , y 0 f x 0 , y 0 1 x y
Варианты ответов: x y 1 z 1 y 1 z ; ; 2) 1) 1 1 1 2 1
x 1 y 1 z 1 ; 1 1 1
x 1 y z x y 1 z 1 ; 5) . 0 1 1 1 1 1
Р
4)
3)
БГ УИ
Правильные ответы представлены в табл. 2.4.
Таблица 2.4
№ функции № ответа
5.1 4
5.2 2
5.3 3
Би бл ио
т
ек
а
Задание 2.1.8. Дайте определение производной функции u f x , y , z в точке M 0 x 0 ; y 0 ; z0 в направлении вектора l и запишите формулу для вычисления этой производной в указанной точке. Какой вектор называется градиентом функции u f x , y , z в точке М0? Используя подсказку к заданию 2.1.8, найдите для функции u x 2 y 2 z 2 в точке М0(1; 1; 1): 1) gradu M 0 ; 2) модуль вектора gradu M 0 ; u M l cos 45 ; cos 60 ; cos 60 . 0 в направлении вектора 3) производную l u M 0 . В ответ запишите пару чисел gradu M 0 , l
ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 2.1.8
Пусть дифференцируемая функция u f x , y , z определена в некоторой
M x ; y ; z , l окрестности точки а направление характеризуется направ0 0 0 0
ляющими
косинусами
cos ; cos ; cos .
Тогда
производная
функции
u f x , y , z в точке М0 по направлению вектора l вычисляется по формуле
u M 0 f M 0 f M 0 f M 0 cos cos cos . x y z l
Градиентом функции u f x , y , z в точке М0 называется вектор, имеюf
f
f
щий координаты, соответственно равные частным производным x , y , z , вычисленным в точке М0. Таким образом,
Длина (модуль) градиента вычисляется по формуле 2
2
2
БГ УИ
f M 0 f M 0 f M 0 gradu M 0 . x y z
Р
f M 0 f M 0 f M 0 gradu M 0 ; ; . y z x
Варианты ответов: 1) (4; 2 2) ; 2) (12; 2 2) ; 3) ( 12; 2 2);
Би бл ио
т
ек
а
4) (2 3; 2 2); 5) ( 6; 2 2). Правильный ответ: 3. Задание 2.1.9. Вспомните определения и правила вычисления частных производных второго порядка для функции z x , y по переменным х и у. В каком случае частная производная второго порядка называется смешанной? Сформулируйте теорему о равенстве смешанных производных второго порядка функции z x , y . Найдите частные производные 2-го порядка следующих функций: x 2 2 2 3 9.1) z x y ; 9.2) u ln x y ; 9.3) v arctg y . Из приведенных вариантов ответов выберите правильные, указав при этом, производной какой из функций (z, u или v) и по какой из переменных (х или у) является данное выражение.
Варианты ответов: 1)
2 xy
x
2
2
5) 6 x y ; 6)
y2
2
; 2)
x2 y2
x
2
y
2 2
2 xy
x
2
y2
2
; 3)
y2 x2
x
2
y
2 2
; 4) 6 xy 2 ;
; 7) 2 y 3 .
Правильные ответы представлены в табл. 2.5. 1
2
3
u xy v x 2
v y 2
u x 2
4
5
6
БГ УИ
№ ответа Производная
Р
Таблица 2.5
z xy
u y 2 v xy
z y 2
7
zx2
а
Задание 2.1.10. Дайте определение дифференциала второго порядка функции z z x , y в точке M 0 x 0 ; y 0 и запишите формулу для вычисления второго дифференциала (см. подсказку к заданию 2.1.10). Найдите второй дифференциал функции 9.1 в точке M 0 1; 1 .
ек
ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 2.1.10
т
2 Второй дифференциал d z в точке М0 определяется как дифференциал в точке М0 от первого дифференциала и вычисляется по формуле
2
2
x
2
2
dx 2
Би бл ио
d z M0
2 z M 0
2 z M 0 x y
dxdy
2 z M 0 y
2
dy 2 ,
2
2 2 где dx dx , dy dy . 2 2 2 Варианты ответов: 1) d z M 0 2dx 3dxdy 6dy ;
2 2 2 2 2 2 2) d z M 0 2dx 12dxdy 6dy ; 3) d z M 0 2dx 6dxdy 6dy . Правильный ответ: 2. Задание 2.1.11. Запишите формулу Тейлора второго порядка для функции z z x , y в точке M 0 x 0 ; y 0 (см. подсказку к заданию 2.1.11). Найдите
разложение функции 9.1 по формуле Тейлора в окрестности точки M 0 1; 1 до членов второго порядка включительно.
ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 2.1.11 Если функция z z x , y дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки M 0 x 0 ; y 0 , то для любой точки M x , y из этой окрестности справедливо равенство
1 2 d z M 0 R2 2! z M 0 z M 0 z M0 x x0 y y0 x y
2 z M 0 y 2
БГ УИ
2 2 z M 0 1 z M0 2 x x0 2 x x 0 y y 0 x y 2! x 2
Р
z x , y z M 0 dz M 0
2 y y 0 R2 .
Варианты ответов:
ек
а
Эта формула называется формулой Тейлора второго порядка в точке M 0 x 0 ; y 0 с остаточным членом R2. 2
2
т
1) z x , y 2 x 1 3 y 1 2 x 1 12 x 1 y 1 6 y 1 R2 ; 2 2 2) z x , y 1 2 x 3 y x 6 xy 3 y R 2 ; 2
2
Би бл ио
3) z x , y 1 2 x 1 3 y 1 x 1 6 x 1 y 1 3 y 1 R 2 . Правильный ответ: 3. Задание 2.1.12. Изучите правила дифференцирования сложных функций. Запишите формулы вычисления частных производных сложной функции z z x , y по переменным u и v, если x x u, v , y y u, v (см. подсказку к заданию 2.1.12). z z Найдите частные производные u и v для функций 2 2 12.1) z x y , где x u v, y u v; u 2 2 12.2) z ln x y , где x uv, y . v
ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 2.1.12 Пусть z z x , y – функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией двух независимых переменных u и v, т.е. x x u, v , y y u, v . Тогда частные производные сложной функции z z x u, v , y u, v по переменным u и v вычисляются по формулам:
Р
z z x z y , u x u y u
Варианты ответов: 1) 2u;
2 2) 4v; 3) ; u
v4 1
БГ УИ
z z x z y . v x v y v
4) v v 4 1
6) v v
. 1
2 v4 1
;
5) 4u;
4
Таблица 2.6
12.1
z u
т
№ функции Частная производная
ек
а
Правильные ответы представлены в табл.2.6.
z v
12.2 z u
z v
Би бл ио
№ ответа 5 2 3 6 Задание 2.1.13. Дайте определение неявной функции двух переменных, заданной уравнением F x , y , z 0. Приведите формулы вычисления частных
производных этой функции по своим аргументам (см. подсказку к заданию 2.1.13). Найдите частные производные первого порядка в указанной точке M 0 x 0 ; y 0 ; z0 функции z x , y , заданной неявно уравнением F x , y , z 0 : 3 2 13.1) z 4 xz y 4 0, M 0 1; 2; 2 ;
z 2 13.2) e 2 xz y 2 0, M 0 1; 1; 0 . z M 0 z M 0 В ответ запишите пару чисел x , y .
ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 2.1.13 Функция z z x , y называется неявной, если она задается уравнением
F x , y , z 0, не разрешенным относительно z. Частные производные этой функции в точке М0 по переменным х и у вычисляются по формулам
Р
Fy M 0 Fx M 0 z z , Fz M 0 x Fz M 0 x
БГ УИ
при условии Fz M 0 0.
Варианты ответов: 1) (1, 1 2); 2) (1, 2); 3) (0, 2); 4) (1, 1 2); 5) (2, 1); 6) (1, 1). Правильные ответы представлены в табл. 2.7.
Таблица 2.7
т
ек
а
№ функции 13.1 13.2 № ответа 4 3 Задание 2.1.14. Опираясь на подсказку к заданию 2.1.14, составьте уравнение касательной плоскости к каждой из поверхностей, заданных неявно уравнениями 13.1 и 13.2 задания 1.1.13, в указанных там точках. ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 2.1.14
Би бл ио
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением F x , y , z 0 , в точке M 0 x 0 ; y 0 ; z0 имеет вид Fx M 0 x x 0 Fy M 0 y y 0 Fz M 0 z z0 0.
Варианты ответов: 1) 2 y z 2 0; 2) 2 y z 0;
3) 2 x y 2 z 0; 4) 2 x y 2 z 4 0. Правильные ответы представлены в табл. 2.8.
Таблица 2.8 № функции 13.1 13.2 № ответа 4 1 Задание 2.1.15. Пользуясь подсказкой к заданию 2.1.15, составьте уравнение нормали к каждой из поверхностей 13.1, 13.2 в указанной точке. ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 2.1.15
БГ УИ
в точке M 0 x 0 ; y 0 ; z0 записывается в виде
Р
Уравнение нормали к поверхности, заданной уравнением F x , y , z 0 ,
x x0 y y0 z z0 . Fx M 0 Fy M 0 Fz M 0
Таблица 2.9
т
ек
а
Варианты ответов: x y z x 1 y 2 z 2 ; ; 1) 2) 2 1 2 2 1 2 x y 1 z x 1 y 1 z ; 3) 4) 0 2 1 . 0 2 1 Правильные ответы представлены в табл. 2.9.
Би бл ио
№ функции 13.1 13.2 № ответа 2 3 Задание 2.1.16. Дайте определение стационарной точки функции двух пе-
ременных z z x , y (см. подсказку к заданию 2.1.16). Найдите стационарные точки следующих функций: 2 2 16.1) z x xy y 3 x 6 y ; 4 4 2 2 16.2) z x y 2 x 4 xy 2 y ;
3
3
16.3) z x y 6 xy . Из приведенных вариантов ответов выберите стационарные точки функций 16.1, 16.2, 16.3 и укажите, для какой именно функции данная точка является стационарной. ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 2.1.16 Пусть функция z z x , y дифференцируема в точке M 0 x 0 ; y 0 . Точка
M 0 x 0 ; y 0 называется стационарной точкой функции z z x , y , если част-
ные производные функции по переменным х и у в этой точке одновременно равны нулю, т. е.
z x 0 , y 0 x
z x 0 , y 0
0,
y
0.
БГ УИ
Р
Варианты ответов: 1) M 1 (0; 0); 2) M 2 (1; 1); 3) M 3 (3; 0); 4) M 4 (0; 3); 5) M 5 (2; 2); 6) M 6 (2; 2); 7) M 7 (2; 2); 8) M 8 ( 2; 2) ; 9) M 9 ( 2; 2) ; 10) M10 ( 2; 2). Правильные ответы представлены в табл. 2.10. Таблица 2.10
№ функции 16.1 16.2 16.3 Стац. точки М1 М1, М8, М10 М1, М6 Задание 2.1.17. Изучите достаточные условия существования локального экстремума функции двух переменных z z x , y (см. подсказку к заданию
ек
а
2.1.17). Основываясь на достаточных условиях экстремума, сделайте вывод о том, имеет ли каждая из функций 16.1 – 16.3 задания 2.1.16 экстремум в своих стационарных точках. ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 2.1.17
т
Пусть в стационарной точке M 0 x 0 ; y 0 и некоторой ее окрестности
Би бл ио
функция z z x , y имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Составим матрицу Н вторых производных в стационарной точке М0:
M 0 z xx M 0 z xy H . z M z M 0 yy 0 xy
Обозначим через 1 и 2 главные миноры этой матрицы первого и второго порядков соответственно, т. е. 2
M 0 z xy M 0 . 1 z xx M 0 , 2 z xx M 0 z yy
Тогда: 1) если 1 0, 2 0, то точка М0 является точкой минимума функции z z x, y ;
2) если 1 0, 2 0, то точка М0 является точкой максимума функции z z x, y ; 3) если 2 0, то функция z z x , y в точке М0 экстремума не имеет. В остальных случаях требуются дополнительные исследования. Варианты ответов представлены в табл. 2.11. 1
2
3
-12
0
20
2
108
-36
384
4
5
6
БГ УИ
№ ответа 1
Р
Таблица 2.11 7
-4
-12
20
2
0
108
384
3
Точка Нужны Точка Точка дополни- мини- максиму- минимутельные мума ма ма исследования Правильные ответы представлены в табл. 2.12. Точка минимума
а
Точка Не точмакси- ка эксмума тремума
ек
Вывод
Таблица 2.12
Би бл ио
т
Функция 16.1 16.2 16.2 16.2 16.3 16.3 Точка М1 М1 М8 М10 М1 М6 № ответа 7 4 3 3 2 1 Задание 2.1.18. На плоскости XOY заданы ограниченные замкнутые множества: D1 – прямоугольник ABCD, где A( 3; 3) , B ( 3; 2) , C (1; 2) , D (1; 3) ; D2 – треугольник АВС, где A( 4; 0) , B(0; 4) , C (4; 0) ; D3 – трапеция ABCD, где A(0; 0) , B(1; 0) , C(1; 1) , D (0; 5) . Выполните следующие задания. 1. Изобразите множества D1, D2, D3 на рисунке. 2. Задайте эти множества с помощью уравнений ограничивающих их пря-
мых. 3. Задайте эти множества с помощью системы неравенств, используя уравнения ограничивающих их прямых. 4. Проверьте, принадлежат ли этим множествам следующие точки:
M 1 (0; 3); M 2 (0; 0); M 3 ( 2; 2) ; M 4 ( 2; 2) ; M 5 (2; 2). Правильные ответы представлены в табл. 2.13. Таблица 2.13 М1
М2
М3
М4
Нет Да Да
Да Да Да
Нет Нет Нет
Да Да Нет
Р
Множества Точки D1 D2 D3
1
АВ
а) y x 4,
а) y x 4,
б) z x 3 6 x ,
б) z 2 x 3 6 x 2 24 x 64,
x 4; 4
x 0; 4
Би бл ио а) y x 4, б) z 2 x 3 6 x 2 24 x 64, x 4; 4
3
4
ВС
а) y 0,
т
б) z 2 x 3 18 x 2 72 x 64, x 4; 0 2
Таблица 2.14
Сторона АС
ек
№ ответа
а
БГ УИ
3 3 Задание 2.1.19. Функция z x y 6 xy определена на множестве точек треугольника АВС, который задан координатами своих вершин: A(4; 0), B(0; 4), C (4; 0). а) Напишите уравнения сторон треугольника АВС (см. задание 2.1.18). б) Напишите, каким уравнением определяется данная функция z на каждом из отрезков АВ, ВС, АС, являющихся сторонами треугольника АВС. Варианты ответов представлены в табл. 2.14.
а) x 0,
3 б) z y ,
x 4; 4
а) y x 4, б) z 2 x 3 18 x 2 72 x 64, x 4; 0
а) y x 4, б) z 2 x 3 18 x 2 72 x 64,
а) y x 4, б) z 2 x 3 6 x 2 24 x 64, x 0; 4
а) y 0,
а) y 4 x , б) z 6 x 2 24 x 64,
а) x 0,
а) y 4 x ,
б) z x 3 ,
2 б) z 6 x 24 x 64,
x 4; 0
3 б) z x ,
x 4; 4
x 0; 4
x 4; 4
x 0; 4
Правильные ответы представлены в табл. 2.15.
Таблица 2.15 Сторона треАВ АС ВС угольника № ответа 1 3 4 Задание 2.1.20. Изучите алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции z z x , y на произвольном ограниченном замкнутом
БГ УИ
Р
множестве D. Рассмотрите случай, когда множество D состоит из всех точек ABC (см. подсказку к заданию 2.1.20). Используя результат задания 2.1.19, 3 3 найдите наибольшее и наименьшее значения функции z x y 6 xy на множестве точек треугольника АВС из задания 2.1.19. ПОДСКАЗКА К ЗАДАНИЮ 2.1.20
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
z z x , y на множестве точек треугольника ABC :
а
1) найдите стационарные точки функции z z x , y , принадлежащие множеству точек треугольника ABC , и вычислите в них значения функции;
ек
2) зная уравнения сторон треугольника ABC и уравнения, которыми задается функция z x , y на отрезках АВ, ВС и АС, найдите значения функции на
т
концах отрезков и в стационарных точках, принадлежащих каждому из отрезков;
Би бл ио
3) среди вычисленных значений функции z выберите наибольшее и наименьшее значения. В вариантах ответов приведены пары чисел, являющихся наибольшим (первое число) и наименьшим значениями данной функции. Варианты ответов представлены в табл. 2.16. № 1 2 ответа zmax ; zmin (64; 0) (64; -64)
Таблица 2.16 3 (64; 40)
4
5
6
7
(208; 64) (40; -64) (64;-40) (64;-280)
Правильный ответ: 7) zmax 64; zmin 280.
2.2. Математический диктант «Функции нескольких переменных» Вариант 1 1. Привести графический пример плоского несвязного ограниченного множества.
2 и центром в точке
Р
2. Написать уравнение 5-мерной сферы радиусом A 1;0; 1;2;3 .
БГ УИ
3. Задать аналитически и изобразить на плоскости область определения функции z y sin x . 4. Проверить, удовлетворяет ли функция z z x y xy z 0. x y
z 2 xy xe y
x
уравнению
а
5. Пояснить, является ли плоскость z 0 касательной плоскостью к по-
ек
2 2 верхности z 5 x y в точке O 0; 0; 0 .
т
6. Написать уравнение нормали к поверхности, заданной уравнением z x 2 y 2 xy , в точке A x 0 ; y 0 ; z x 0 ; y 0 , где x 0 y 0 1.
Би бл ио
2 7. Найти производную функции z arctg xy лению gradz A .
в точке A2; 1 по направ-
2 2 2 8. Найти d z A , если z x 3 y xy 5 y 4, A
2; 1 .
Пусть M 0 – стационарная точка дважды непрерывно дифференцируемой в этой точке функции u f x , y , z . Является ли точка M 0 точкой имеет вид экстремума функции, если матрица вторых производных в точке M 0 1 3 1 H ( M 0 ) 3 5 2 1 2 3 9.
10. При каких размерах открытого прямоугольного ящика объёмом V 32 м 3 площадь его поверхности будет наименьшей?
Вариант 2 1. Привести графический пример плоского неограниченного замкнутого множества. 2. Как задаётся 4-мерный открытый шар с центром в точке A 2; 1;1;0 и радиусом
3?
4.
Проверить, удовлетворяет z z z y 0. x x y ln y
БГ УИ
Р
3. Задать аналитически и изобразить на плоскости область определения 1 . функции z y 2 x ли
функция
z ex
y
ln y
уравнению
ек
а
5. Пояснить, является ли плоскость z 0 касательной плоскостью к поx2 3 y 2 в точке O 0; 0; 0 . верхности z 2
т
6. Написать уравнение нормали к поверхности, заданной уравнением z 3 x 4 2 x 2 y 3 , в точке A x 0 ; y 0 ; z x 0 ; y 0 , где x 0 1, y 0 2.
Би бл ио
x 7. Найти производную функции z arccos y в точке A1; 2 по направле нию gradz A . 2 3 3 8. Найти d z A , если z x y 3 xy , A 1 3 ; 1 2 .
9. Пусть
M 0 – стационарная точка дважды непрерывно дифферен-
цируемой в этой точке функции u f x ; y ; z . Является ли точка M 0 точкой имеет вид экстремума функции, если матрица вторых производных в точке M 0 2 1 0 H M 0 1 3 2 ? 0 2 4 10. Определить размеры цилиндра наибольшего объёма при условии, что
2 его полная поверхность S 6 м .
2.3. Контрольная работа «Дифференциальное исчисление ФМП» Вариант 1
Би бл ио
т
ек
а
БГ УИ
Р
y2 1. Показать, что функция z arcsin(xy ) удовлетворяет дифференци3x z z y2 0 . альному уравнению x 2 xy x y 2 2 z z 2. Найти и , если z f (u , v ) , где u e x y , v ln( x 2 y ) . x y 3. Дано: функция z 2 xy 3x 2 2 y 2 10 , точка M 0 (0;1) , вектор a (1;3) . Найти: 1) дифференциал dz функции z z ( x, y ) в точке M 0 ( x 0 ; y 0 ) ; 2) уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z z ( x, y ) в точке P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) , если точка M 0 ( x 0 ; y 0 ) является проекцией точки P0 на плоскость Оху; 3) величину и направление градиента функции z z ( x, y ) в точке M 0 ; 4) производную функции z z ( x, y ) по направлению вектора a в точке M0; 5) разложение функции z z ( x, y ) по формуле Тейлора в окрестности точки M 0 ; 6) локальный экстремум функции z z ( x, y ) .
4. Найти экстремум функции z 6 4 x 3 y при условии, что х и у свя-
заны уравнением x 2 y 2 1 .
5e 0,02 (1,97 ) 2 .
5. Вычислить приближенно
Вариант 2
z ln( x 2 y 2 2 x 1) удовлетворяет диффе-
1. Показать, что функция ренциальному уравнению
2 z x 2
2z y 2
0.
2. Найти
z x
и
z , если x 3 z e xz 3 y 0 . y
БГ УИ
Р
3. Дано: функция z ( x 2) 2 2 y 2 , точка M 0 (1;1) , вектор a (1;1) . Найти: 1) дифференциал dz функции z z ( x, y ) в точке M 0 ( x 0 ; y 0 ) ; 2) уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z z ( x, y ) в точке P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) , если точка M 0 ( x 0 ; y 0 ) является проекцией точки P0 на плоскость Оху; 3) величину и направление градиента функции z z ( x, y ) в точке M 0 ; 4) производную функции z z ( x, y ) по направлению вектора a в точке M0; 5) разложение функции z z ( x, y ) по формуле Тейлора в окрестности точки M 0 ; 6) локальный экстремум функции z z ( x, y ) . 4. Найти экстремум функции z x 2 y 2 при условии, что х и у связаны уравнением x 2 y 6 0 .
ек
а
1,97 5. Вычислить приближенно arctg 1 . 1,02
т
Вариант 3
Би бл ио
1. Показать, что функция z e xy удовлетворяет дифференциальному урав2 2 2 z 2 z 2 z нению x 2 2 xy y 2 xyz 0 . xy x y 2 z z x y 2. Найти и , если z f (u , v ) , где u 2 , v . x y x2 y2 x y2 3. Дано: функция z x 2 xy y 2 2 x y , точка M 0 (1; 0) , вектор a (2;1) . Найти: 1) дифференциал dz функции z z ( x, y ) в точке M 0 ( x 0 ; y 0 ) ; 2) уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z z ( x, y ) в точке P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) , если точка M 0 ( x 0 ; y 0 ) является проекцией точки P0 на плоскость Оху; 3) величину и направление градиента функции z z ( x, y ) в точке M 0 ; 4) производную функции z z ( x, y ) по направлению вектора a в точке M0; 5) разложение функции z z ( x, y ) по формуле Тейлора в окрестности точки M 0 ;
6) локальный экстремум функции z z ( x, y ) . 4. Найти экстремум функции z x 2 y 2 при условии, что х и у связаны 2 16 уравнением 1 . x y
1. Показать, что функция
(4,02) 2 (3,07) 2 . Вариант 4
z ln( x e y ) удовлетворяет дифференциаль-
БГ УИ
z 2 z z 2 z ному уравнению . x xy y x 2 z z 2. Найти и , если z 3 4 xz y 2 4 . x y
Р
5. Вычислить приближенно
Би бл ио
т
ек
а
3. Дано: функция z x 2 3xy 5x 4 y 8 . Точка M 0 (0; 1) , вектор a (1; 1) . Найти: 1) дифференциал dz функции z z ( x, y ) в точке M 0 ( x 0 ; y 0 ) ; 2) уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z z ( x, y ) в точке P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) , если точка M 0 ( x 0 ; y 0 ) является проекцией точки P0 на плоскость Оху; 3) величину и направление градиента функции z z ( x, y ) в точке M 0 ; 4) производную функции z z ( x, y ) по направлению вектора a в точке M0; 5) разложение функции z z ( x, y ) по формуле Тейлора в окрестности точки M 0 ; 6) локальный экстремум функции z z ( x, y ) . 4. Найти экстремум функции z 3x 4 y 12 при условии, что х и у свя-
заны уравнением x 2 y 2 4 .
5. Вычислить приближенно 1,032,94 . Вариант 5
1. Показать, что функция z x y удовлетворяет дифференциальному урав2z z нению y (1 y ln x) . xy x z z x 2. Найти и , если z f (u , v ) , где u arctg , v x sin y . x y y
БГ УИ
Р
3. Дано: функция z 3x 2 2 xy 4 y 2 6 y 5 , точка M 0 (1;0) , вектор a (1;2) . Найти: 1) дифференциал dz функции z z ( x, y ) в точке M 0 ( x 0 ; y 0 ) ; 2) уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z z ( x, y ) в точке P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) , если точка M 0 ( x 0 ; y 0 ) является проекцией точки P0 на плоскость Оху; 3) величину и направление градиента функции z z ( x, y ) в точке M 0 ; 4) производную функции z z ( x, y ) по направлению вектора a в точке M0; 5) разложение функции z z ( x, y ) по формуле Тейлора в окрестности точки M 0 ; 6) локальный экстремум функции z z ( x, y ) . 4. Найти экстремум функции z 2 y 2 x 2 при условии, что х и у связаны уравнением x y 6 0 .
5. Вычислить приближенно ln (0,03) 2 (0,98) 2 .
ек
а
Вариант 6
Би бл ио
т
1. Показать, что функция z xe y / x удовлетворяет дифференциальному 2 2 2z 2 z 2 z уравнению x 2 2 xy y 2 0. xy x y z z xy 2. Найти и , если z ln( x z ) 0. x y z 3. Дано: функция z 3x x 3 3 y 2 4 y , точка M 0 (1;1) , вектор a (1;1) . Найти: 1) дифференциал dz функции z z ( x, y ) в точке M 0 ( x 0 ; y 0 ) ; 2) уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z z ( x, y ) в точке P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) , если точка M 0 ( x 0 ; y 0 ) является проекцией точки P0 на плоскость Оху; 3) величину и направление градиента функции z z ( x, y ) в точке M 0 ; 4) производную функции z z ( x, y ) по направлению вектора a в точке M0; 5) разложение функции z z ( x, y ) по формуле Тейлора в окрестности точки M 0 ; 6) локальный экстремум функции z z ( x, y ) .
4. Найти экстремум функции z
1 1 при условии, что х и у связаны x y
уравнением x y 2 . 5. Вычислить приближенно sin 32o cos59o . Вариант 7
БГ УИ
Р
1. Показать, что функция z y ln( x 2 y 2 ) удовлетворяет дифференциаль1 z 1 z z ному уравнению 2. x x y y y z z 2. Найти и , если z f (u , v ) , где u tg ( x 2 y ) , v arcsin(xy) . x y
Би бл ио
т
ек
а
3. Дано: функция z 4 xy 2 x 2 4 y 2 2 y 3 , точка M 0 (1;1) , вектор a (3;1) . Найти: 1) дифференциал dz функции z z ( x, y ) в точке M 0 ( x 0 ; y 0 ) ; 2) уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z z ( x, y ) в точке P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) , если точка M 0 ( x 0 ; y 0 ) является проекцией точки P0 на плоскость Оху; 3) величину и направление градиента функции z z ( x, y ) в точке M 0 ; 4) производную функции z z ( x, y ) по направлению вектора a в точке M0; 5) разложение функции z z ( x, y ) по формуле Тейлора в окрестности точки M 0 ; 6) локальный экстремум функции z z ( x, y ) . 4. Найти экстремум функции z
x y при условии, что х и у связаны 4 3
уравнением x 2 y 2 1 .
5. Вычислить приближенно 0,97 1,05 . Вариант 8
y 1. Показать, что функция z y y / x sin удовлетворяет дифференциаль x z z ному уравнению x 2 xy yz . x y
2. Найти
z x
и
z x z , если ln 1 . y z y
3. Дано: функция z 2 x 2 6 xy 3 y 2 2 x 1 , точка M 0 (1; 0) , вектор
a ( 2; 3) . Найти:
БГ УИ
Р
1) дифференциал dz функции z z ( x, y ) в точке M 0 ( x 0 ; y 0 ) ; 2) уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z z( x, y ) в точке P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) , если точка M 0 ( x 0 ; y 0 ) является проекцией точки P0 на плоскость Оху; 3) величину и направление градиента функции z z ( x, y ) в точке M 0 ; 4) производную функции z z ( x, y ) по направлению вектора a в точке M0; 5) разложение функции z z ( x, y ) по формуле Тейлора в окрестности точки M 0 ; 6) локальный экстремум функции z z ( x, y ) .
ек
а
4. Найти экстремум функции z x y при условии, что х и у связаны 1 1 уравнением 2 2 1 . x y
Би бл ио
т
5. Вычислить приближенно sin 29o tg 46o . Вариант 9
1. Показать, что функция z
x2 x 1 1 удовлетворяет дифференци2y 2 x y
z x3 2 z альному уравнению x y . x y y z z 2. Найти и , если z f (u , v ) , где u x ln( x 2 y 2 ) , x y 2
2
2
v e 3x 2 y . 3. Дано: функция z 3x 2 xy 2 y 2 4 x 7 y 4 , точка M 0 (1;1) , вектор a (1;4) . Найти: 1) дифференциал dz функции z z ( x, y ) в точке M 0 ( x 0 ; y 0 ) ; 2) уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z z ( x, y ) в точке P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) , если точка M 0 ( x 0 ; y 0 ) является проекцией точки P0 на плоскость Оху; 3) величину и направление градиента функции z z ( x, y ) в точке M 0 ;
4) производную функции z z ( x, y ) по направлению вектора a в точке M0; 5) разложение функции z z ( x, y ) по формуле Тейлора в окрестности точки M 0 ; 6) локальный экстремум функции z z ( x, y ) . 4. Найти экстремум функции z
x2
1
1 . y2 4
Р
1
5. Вычислить приближенно
3
0,984 1,05 3 .
Вариант 10 1. Показать, что функция
z arctg
а
ек
z x
x y удовлетворяет дифференциальxy
z z y 0. x y z и , если z sin( x z ) y 2 z 0 . y
ному уравнению x 2. Найти
БГ УИ
уравнением
1 1 при условии, что х и у связаны x y
Би бл ио
т
3. Дано: функция z 8 y 3x 2 4 xy 2 y 2 1 , точка M 0 (2;1) , вектор a (1;1) . Найти: 1) дифференциал dz функции z z ( x, y ) в точке M 0 ( x 0 ; y 0 ) ; 2) уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z z ( x, y ) в точке P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) , если точка M 0 ( x 0 ; y 0 ) является проекцией точки P0 на плоскость Оху; 3) величину и направление градиента функции z z ( x, y ) в точке M 0 ; 4) производную функции z z ( x, y ) по направлению вектора a в точке M0; 5) разложение функции z z ( x, y ) по формуле Тейлора в окрестности точки M 0 ; 6) локальный экстремум функции z z ( x, y ) . 4. Найти экстремум функции z x 2 y 2 при условии, что х и у связаны уравнением 2 x y 2 . 5. Вычислить приближенно
(1,02) 3 8e 0,03 .
Св. план 2005, поз. 64
БГ УИ
Р
Учебное издание
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ек
а
по разделам высшей математики «Интегральное исчисление функций одной переменной» и «Функции многих переменных» для студентов всех специальностей БГУИР дневной формы обучения
Би бл ио
т
Составители: Феденя Ольга Александровна, Черняк Жанна Альбертовна
Редактор Т.А. Лейко Корректор Н.В. Гриневич
Подписано в печать 24.10.2005. Гарнитура «Таймс». Уч.-изд. л. 3,0.
Формат 60х84 1/16. Печать ризографическая. Тираж 200 экз.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 3,6. Заказ 213.
Издатель и полиграфическое исполнение: Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Лицензия на осуществление издательской деятельности №02330/0056964 от 01.04.2004. Лицензия на осуществление полиграфической деятельности №02330/0131518 от 30.04.2004. 220013, Минск, П. Бровки, 6