Idea Transcript
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)
А.А. ЗЛЕНКО
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) ЗАОЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ Утверждаю Декан заочного факультета, проф. Карагодин В.И. ______________ «____» ____________ 2014 г.
ЗЛЕНКО А.А.
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
МОСКВА МАДИ 2014
УДК 517 ББК 22.161 З 67
Зленко, А.А. З 67 Введение в математический анализ: методические указания к самостоятельной работе по математике / А.А. Зленко. – М.: МАДИ, 2014. – 36 с.
Данные методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов первого курса, квалификации бакалавриата и специалитета, начинающих изучать математический анализ. В краткой, сжатой форме они содержат основные теоретические сведения по теории пределов, производной, исследованию функций и построению графиков. Теоретические положения иллюстрируются примерами, помогающими понять суть излагаемых вопросов. В конце каждого раздела даны упражнения для лучшего понимания и усвоения материала.
УДК 517 ББК 22.61
© МАДИ, 2014
3
ПРЕДИСЛОВИЕ Данные методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов первого курса, квалификации бакалавриата и специалитета, изучающих высшую математику, а именно начала математического анализа. Как правило, студенты-заочники обладают дефицитом времени и имеют недостаточную базовую подготовку. Им трудно сразу читать учебники по высшей математике, которые предполагают, что читатель уже подготовлен. И данные методические указания служат первым приближением к изучению материала. Они содержит в сжатом, компактном виде, основные определения, теоремы и свойства по теории пределов, производной, исследованию и построению графиков функций. Теоретические сведения снабжены многочисленными примерами, помогающими лучше понять суть излагаемых вопросов и методическими указаниями по практическому применению теории к решению задач. В конце каждого раздела даны упражнения для усвоения и закрепления теоретического материала от самых простых задач до среднего уровня сложности. Если рассматривать эти методические указания как некую образовательную услугу, то этого явно недостаточно. Мы хотим дать именно знания, а это возможно только при самостоятельной интерактивной проработке материала. Как обычно, студенты-заочники обладают уже неким жизненным опытом, который подсказывает им, что до всего нужно «докапываться». И этот навык они стараются применить и при изучении математики. Они часто задают вопросы, а почему это определение формулируется именно так, а не иначе. А что получится, если немного изменить формулировку. А откуда все это взялось? И так далее и тому подобное. И это замечательное качество, которое нужно, несомненно, применять и развивать при работе с данными методическими указаниями. Только на этом пути возможно получение знаний и достижение истины. Возникающие вопросы нужно записывать, а затем находить ответы у преподавателя, в Интернете и в учебниках. Проработав темы данных методических указаний, можно приступать к углубленному изучению теории, с разбором доказательств теорем в учебниках по математическому анализу. Методические указания могут быть использованы при выполнении контрольных работ и для подготовки к экзаменам. Изучение введения в математический анализ служит основой для дальнейшего успешного овладения математикой и является базой для овладения другими, инженерно-техническими, дисциплинами на пути становления грамотного, высококвалифицированного, бакалавра и специалиста.
Историческая справка До ХХVII века математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач таких, например, как вычисление площадей плоских фигур, объемов тел с кривыми границами, работа переменной силы и т.д. Каждая задача или частная группа задач решалась своим, подчас довольно-таки громоздким и сложным способом. В связи с возникновением понятия бесконечно малой величины, возникло и понятие предела функции, на котором зиждется понятие производной. Оказалось, что все вышеназванные задачи, и многие другие можно решать одними и теми же методами. Нужно сказать, что представление о преде-
4 ле функции имели еще древнегреческие ученые (Архимед и др.), но окончательно теория пределов была разработана О. Коши в начале XIX в. В 1673–1686 гг. Г. Лейбниц заложил основы дифференциального и интегрального исчислений, ввел термины функция, дифференциал, производная
dy , абсцисса, ордината и др. dx
И. Ньютон также стоял у истоков новой науки, разрабатывая математику непрерывных процессов. В 1748 г. Л. Эйлер опубликовал монографию «Введение в исчисление бесконечно малых». В 1797 г. Ж. Лагранж ввел современные обозначения производной: y ,f ( x ), f ( x )... В математическом анализе объектом изучения является, прежде всего, функция, строгое определение которой дано Н. Лобачевским. В природе и технике всюду встречаются процессы, описываемые функциями. Отсюда вытекает объективная важность математического анализа как средства изучения функций. Фундаментальное значение играют элементарные функции, с которыми чаще всего оперируют на практике. Понятие функции существенно базируется на понятии действительного числа, которое окончательно сформировалось в конце XIX в. Благодаря этому удалось формально обосновать идеи Р. Декарта, который ввел прямоугольную систему координат и представление в ней функций графиками. Наряду с изучением функций действительной переменной возникла и теория функций комплексной переменной благодаря трудам Л. Эйлера, К. Гаусса и других ученых, которая нашла свое применение в гидродинамике, аэродинамике в решении многих важных проблем (явление флаттера крыла самолета, М. Келдыш 1941 г.). Глубокое осмысление исходных понятий математического анализа связывают с развитием в ХIX–XX вв. теории множеств, теории меры, теории функций действительного переменного, которое привело к разнообразным обобщениям.
1. ПРЕДЕЛЫ 1.1. Определения и свойства пределов Введем предварительные понятия, необходимые для понимания определения предела функции. 0 ) точки a называется множество точек x – окрестностью ( таких, что a
x
a
,x
a , или 0
x a
.
a x a ‒ левосторонняя ‒ окрестность точки a . 0 x a ‒ правосторонняя ‒ окрестность точки a . x a ‒ означает, что x может быть в любой, сколь угодно малой, ‒ окрестности точки a . x a 0 ‒ означает, что x может быть в любой, сколь угодно малой, левосторонней ‒ окрестности точки a . x a 0 ‒ означает, что x может быть в любой, сколь угодно малой, правосторонней ‒ окрестности точки a .
5
x
‒ означает, что x может быть больше любого, сколь
угодно большого, наперед заданного положительного числа. x ‒ означает, что x может быть больше любого, сколь угодно большого, наперед заданного положительного числа. x ‒ означает, что x может быть меньше любого, сколь угодно малого, наперед заданного отрицательного числа. Пусть числа a и A конечные величины. Определение 1. Число A называется пределом функции a , если для любого, сколь угодно малого, 0 сущеy f ( x ) при x ствует такое
0 , что как только 0
Записывается это так: lim f ( x ) x
a
, следует f ( x ) A
x a
A.
Пример. Докажем по определению, что lim(2x 1) x
Возьмем любое, сколь угодно малое,
2x 6
3
5.
0 . Тогда 2x 1 5
/ 2 . Итак, мы можем взять
x 3
.
равным
/ 2 и,
следовательно, наше утверждение доказано. Определение 2. Число A называется левым (правым) пределом функции y f ( x ) при x a 0 ( x a 0 ), если для любого, сколь 0 , что как только 0 существует такое угодно малого, a x a (0 x a ), следует f ( x ) A . Записывается это так: lim f ( x ) x a 0
A ( lim f ( x ) x a 0
A ).
Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами. Определение 3. Число A называется пределом функции 0 су, если для любого, сколь угодно малого, y f ( x ) при x ществует такое
0 , что как только x
писывается это так: lim f ( x ) x
, следует f ( x ) A
. За-
A.
По аналогии можно самим сформулировать определение предела при x и x . x Пример. Найти lim 2 . Это также односторонний предел. x
x z Решение. Сделаем замену: z . Отсюда следует, 1 1 что lim 2x lim 2 z lim z . Мы видим, что выражение z при x z z 2 2
6
z уменьшается, оставаясь положительным, и может быть меньше любого, наперед заданного, сколь угодно малого 0 , т.е. 1 1 . Тогда 2z и, логарифмируя это неравенство слева и справа z 2 1 1 по основанию 2 , получим log2 z . Итак, за мы можем взять log2
и, следовательно, если z
log2 (1 ) или x
log2 (1 )
1/ 2z
1 0. x z 2z Определение 4. Функция ( x ) называется бесконечно малой a. функцией в точке a , если ее предел равен нулю при x Пример. ( x ) ( x a)n , где n – любое натуральное число. Определение 5. Функция ( x ) называется бесконечно большой a. функцией в точке a , если ее предел равен при x Это означает, что для любого, сколь угодно большого, B 0 существует такое , следует ( x ) B . 0 , что как только 0 x a
или 2x
, т.е. lim 2x
lim
При этом ( x ) либо положительна, либо отрицательна в ности точки a . Записывается это так: lim ( x ) . x
– окрест-
a
1 . 0 x2
Пример. Вычислить lim x
1 . x2 Логично предположить, что предел равен бесконечности. Пусть 1 B , где B – любое, сколь угодно большое положительное число. x2 Нам нужно найти ‒ окрестность нуля, где это неравенство выполня1 1 1 1 ется. Из него получаем, что . x2 x x B B B B 1 1 Следовательно, за возьмем и lim 2 . x 0 x B Арифметические свойства пределов Пусть существуют конечные пределы lim f ( x ) и lim g( x) , (здесь Решение. Чем меньше аргумент x , тем больше выражение
x a
под a мы подразумеваем конечное число или 1. lim cf ( x ) c lim f ( x ) , где c const, x
a
x
a
x
) тогда:
a
7
2. lim(f ( x ) g( x ))
lim f ( x ) lim g( x ) ,
x a
3. lim(f ( x ) g( x )) x a
f (x) a g( x )
4. lim x
x a
lim f ( x ) lim g( x) , x a
lim f ( x ) x
a
lim g ( x ) x
x a
x a
, где g( x )
0, lim g( x ) 0 . x a
a
1.2. Основные методы вычисления пределов 1.2.1. Если y
f ( x ) элементарная функция, то lim f ( x ) x
a
f (x) в
области определения функции. x 2 3 22 3 1 Пример. lim . x 2 x 2 2 2 4 1.2.2. Если предел числителя равен конечному числу, а предел знаменателя равен нулю, то предел дроби равен . cos x 1 1 Пример. lim . x 2 sin x 1 0 1.2.3. Проблемы при вычислении пределов возникают, если встречаются неопределенности. Укажем основные из них и способы их раскрытия. 0 1.2.3.1. Неопределенность типа . Она возникает, если чис0 литель и знаменатель дроби являются бесконечно малыми функцияa. ми в точке a , т.е. их предел равен нулю при x 1.2.3.1.1. Если дробь представляет собой отношение двух многочленов, предел каждого из которых равен нулю, то можно разложить на множители числитель и знаменатели и сократить на множители, дающие ноль. Пример. x2 x 1 3 x3 1 0 ( x 1)( x 2 x 1) lim 1. lim 2 lim x 1x x 1 x 1 x 2 3 x 2 0 ( x 1)( x 2) 1.2.3.1.2. Если дробь представляет собой алгебраическое выражение, содержащее корни, то можно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, предел которого не равен нулю. Пример.
x2 lim x 3 x
9 3
0 0
(x2 lim x 3( x
9)( x 3 )( x
3) 3)
8
( x 3)( x 3)( x 3) lim( x 3)( x 3) 12 3 . x 3 x 3 x 3 1.2.3.1.3. Применение первого замечательного предела: lim
lim
sin
0 0
0
1.
Он и называется первым замечательным, потому что часто используется и широко известен. Пример.
sin( x 2) 2 x2 4
lim x
0 0
x
sin( x 2) 1 2 x 2 4
lim x
sin( x 2) 2 (x 2)( x 2)
x
2
,
1.2.3.2. Неопределенность типа
sin( x 2) 1 lim 2 x 2 x x 2 2
lim
lim
x
1 sin lim 4 0
0
1 1 4
1 . 4
.
Если выражение представляет собой отношение двух многочленов или это отношение содержит иррациональное выражение со степенью переменной, то можно разделить числитель и знаменатель на максимальную степень этой переменной.
x 2 3x 5 Пример. Найти предел lim . x x 2x 2 Мы видим, что это неопределенность типа
. Максимальная
степень числителя и знаменателя равна x 2 . Разделим почленно числитель и знаменатель на x 2 . Получим: 1 3 / x 5 / x2 lim x 1/ x 2
lim(1 3 / x
x
lim(1/ x
x
5 / x2 ) 2)
1 0 0 0 2
1 . 2
При делении на x 2 неопределенность исчезла и мы легко вычислили предел. 1.2.3.3. Неопределенность типа { }. Если выражение представляет собой разность корней, то для раскрытия этой неопределенности можно умножить и разделить выражение на сопряженное.
9
Пример. lim ( 2 x 2
x
lim
( 2x 2
3x
(2x
lim
x
2
2x 2
x
2x 2
2x 2
5 x )( 2 x 2
( 2x 2
x
lim
3x
3 x ) (2x
2
3x
2x 2
2x 2
3x
5x
8
lim
2 5 / x) 8 2 2
5x )
5x )
2x 2
x
8x x( 2 3 / x
}
8x
lim
5x
{
2x 2
3x
5x )
2x 2
3x
5x )
2 3/ x
x
2 5/ x
2 2.
1.2.3.4. Неопределенность типа {1 } . Эту неопределенность можно раскрывать с помощью второго замечательного предела: 1
1 x ) {1 } e 2.71828. 0 x x Этот предел замечателен тем, что дает нам число e , являющееся основанием натуральных логарифмов, и который широко применяется. Пример. lim(1
lim( x 1
4 3x ) 8 x
1 x 1
{1 }
)
lim(1 x 1
lim(1 0
lim(1
4(1 x ) ) 8 x
)
4 7
1 x 1
4(1 x ) , 8 x 4(2 0, x 4
Замена : x
1 1 4
lim((1 0
) )
7
1)
4 7
e .
1.3. Упражнения 1. Найти пределы:
x2 4 . 2 x 2
x 2 25 . 5 3x 15
1. lim
2. lim
x 2 4. lim 2 . x 2 x 5x 6
16 x 2 5. lim 2 . x 4 x 6x 8
x
x
2x 2 32 . 4 x 4
3. lim x
6. lim x
3
x3
x2 9 . 2x 2 3 x
10
x
7. lim x
1 x
0
10. lim x
4
1 x
x
2 sin x 1 . cos2x
9. lim
x 6 3 . 3 x
1 cos x . 0 sin2 x
12. lim
tg 2 x . tgx
15. lim
cos x . cosx cos3x
x
11. lim x
sin2 x
sin x . 0 sin2x sin4x
13. lim x
x 1 . 12 5 x
8. lim
.
14. lim x
6
sin(x
3
x
3 2 . 6
x
)
2
x 3 7x 2 16. lim 2 . x x 10x
0,5 x 4 17. lim . x ( x 2)2
3 x 4 11x 20 18. lim . x ( 2x 3)3
3x 2 1 19. lim 2 . x x 4x
x 5 7x 4 20. lim . x 9 x 3 2x 5
( x 1)3 21. lim . x x 5x 3
4x 2 x 3 22. lim . x 10x 1000
23. lim x
25. lim 2 . x
x
x 5x 3
3
4 x6
1 x3 24. lim . x x 1
.
1 26. lim . x 3 2x
3 x
28. lim ( x
6x 3
3
30. lim ( x 2
x
2x 1
x
29. lim ( x 2
2).
x
x2
6x
27. lim 4
7 1 5
x
4x
x2
x
.
x ).
9).
2. Найти пределы, используя первый замечательный предел: sin3 x 2sin5 x 4x 1. lim 2. lim 3. lim . . . x 0 x 0 x 0 sin0.5 x x 3x sin x tg10 x sin2x 4. lim 5. lim 6. lim . . . x 0 tg 7 x x 0 tg 8 x x 0 sin6 x
sin2( x 2) . 2 6x 3
7. lim x
10. lim x
2
cos x (x
. )
2 tgx 13. lim . x 2 sin3 x
3x 3 . 1 sin(4 x 4)
8. lim x
tg (2x 10) . 5 ( x 5)
9. lim x
x
tgx 11. lim . x x
12. lim
tg 2 x . tg 5 x
15. lim3
14. lim x
x
x
2
2
2. ctgx
tg 7 x . ctgx
11
arcsin x . 0 x
2x . x x 0 arctgx 1 cos2x 1 cos 4 x 19. lim 20. lim . . 2 x 0 x 0 1 cos2 x x sin x sin3 x 7x 22. lim 23. lim . . x 0 x 0 cos2 x x cos 4 x cos x cos3 x sin 4 x sin x 25. lim . 26. lim . x x 0 sin13 x sin2x sin5 x sin7 x 16. lim
17. lim
x 2 . 29. lim cos x x
4x . 0 arcsin9 x
18. lim x
x sin x . x 0 1 cos x sin x sin2x 24. lim . x 0 6x cos x cos3 x . 27. lim sin x sin3 x x 21. lim
2
3
sin2x 28. lim . x 01 1 x
2
30. lim
x 1
2
5 x . sin2 x
3. Найти пределы, используя второй замечательный предел: 1 x
1. lim (2 x ) . x
2. lim (3 x
0
1 x
10. lim 1 x
0
13. lim 1 x
16. lim 1 x
0
x
x
. 1 x
x 1 x
1 x x
x x
22. lim(1 tgx )ctgx . 0
1 2x 25. lim x 0 1 x
x
.
1 28. lim ln(1 x ). x 0 x
0
x
x
.
x 4 2
.
20. lim 1 x
1 x
2x 3 x
.
12. lim 1 x
x
x
2 3x x
.
2x 1 3
x
0
. 1 x
3x 8 x
.
3x 18. lim 1 x 0 4 x
. 1 5x 2x
x
0
2 1 x 2
1 29. lim ln(1 x). x 0 x
.
4 27. lim x 1 6
ex 1 . 0 x
30. lim x
x x
3 x 1
.
6 x 10
8 21. lim 1 x 3 2x
24. lim(1 sin x )ctg 2 x .
23. lim(1 ctgx )tgx . 5 2x 26. lim x 2 3 x
. x
9 15. lim 1 x 3 7x
.
4 7
0
6 9. lim 1 x x
.
6x 17. lim 1 x 0 1 x
x 1 x
6. lim(1 3 x ) .
4 14. lim 1 x 1 2x
.
5
2
11. lim 1
x
2 x
.
0
1 x
0
1 8. lim 1 x 5x
1 19. lim 1 x 2 5x x
x
5. lim(1 4 x ) .
0
2 7. lim 1 x x
3. lim (4 x ) .
1 x
4. lim(1 x ) . x
1 x
2 x ). x
.
.
12
2. ПРОИЗВОДНАЯ 2.1. Краткие теоретические сведения и примеры Обозначения: x ‒ приращение аргумента; y ‒ приращение функции, y y ( x x) y(x) . Определение. Производной функции y f ( x ) в фиксированной точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (есy ли этот предел существует): y . lim x 0 x dy Существуют и другие обозначения производной: y f ( x ) y x . dx Если производная конечная величина, то функция является дифференцируемой в точке x . Механический смысл производной – это скорость изменения процесса, описываемого данной функцией. Пример. Если S(t ) – путь, проходимый автомобилем за время t , то V (t ) S (t ) (производная пути по времени) – мгновенная скорость движения автомобиля, т.е. та скорость, которую водитель видит на спидометре. Геометрический смысл производной – это тангенс угла наклона касательной к графику функции y f ( x ) в данной точке x (рис. 1). Y y = f(x) y'(x) = tgφ
φ
O x Рис. 1
Пример. Найти производную функции y
sin x по определению.
X
13
x ) sin x x 0 x x 2x x 2sin cos 2 2 lim x 0 x
y
sin( x
lim
x
2sin
x 2
lim x
x
cos
x
x 2
x
x
0
x x 2 lim lim cos x 1cos x cos x. x 0 x 0 x 2 2 Свойства производной для дифференцируемых функций
cf ( x ), где c
1. (cf ( x ))
2. (f ( x ) g( x ))
sin
const .
f (x) g (x) .
3. (f ( x )g( x ))
f ( x )g( x ) f ( x )g ( x ) .
f x g x
f ( x )g ( x ) f ( x )g ( x ) , g( x ) (g ( x ))2
4.
0.
5. Пусть f (u ) и u( x ) – дифференцируемые функции, тогда f (u( x )) – сложная функция, а fx (u( x )) fu (u )ux ( x ) – ее производная. Таблица производных основных элементарных функций
x 1. 1 . cos2 x
1. ( x ) 4. (tgx )
2. (sin x ) 5. (ctgx )
1
7. (arccos x )
1 x2
cos x. 1 . sin2 x
. 8. (arctgx )
3. (cos x ) 6. (arc sin x )
sin x. 1
. 1 x2 1 . 1 x2
1 . 9. (arcctgx ) 1 x2
1 1 11. (ax ) ax ln a, (ex ) ex . , (ln x ) . x ln a x Примеры вычисления производных функций с помощью свойств и таблицы 1 3 , y (x 3 ) 3x 4 . 1. y 3 x x4 2. y cos3 x . Это сложная функция, сделаем замену u cos x ,
10. (loga x )
тогда y
(u3 )
3. y
ln2x
x
3u2u
x ln2x, y 1 x
ln2x 1.
3cos2 x(cos x ) ( x ln2x )
x ln2x
3cos2 x sin x . x(ln2x )
1 ln2x
x
(2x ) 2x
14
Дифференциал функции Из определения производной следует, что приращение функции можно приближенно представить в виде y y ( x ) x . Определение. Главная, линейная относительно x , часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается так: dy y ( x ) x . Из этого определения следует, что
y (x
x)
y (x ) dy
y (x ) y (x ) x .
y
Эта
x ) y ( x ) dy и
y(x формула
используется
для приближенных вычислений без калькулятора. Пример. Вычислить
8.98 .
Решение. Введем функцию y ( x )
x
1 . Пусть x 2 x
x, y (x)
9
0.02. Отсюда следует, что
8.98 9
1 0.01 ( 0.02) 3 3 0.003 2.997 . 3 2 9 Производные высших порядков Определение. Второй производной y ( x ) функции y ( x ) назы-
y(x
x)
8.98
3
вается производная от ее первой производной, т.е. y ( x )
y (2) ( x )
( y ( x )) . В общем случае n -ой производной y ( n ) ( x ) функции y ( x ) называется производная от ее (n 1) -ой производной y (n )( x )
y ( n 1) ( x ) .
Пример. Найти y , если y
y
y ( n 1) , т.е.
(e4 x )
e4 x (4x )
4e4 x , y
e4x .
(4e4 x )
16e4 x , y
(16e4 x )
64e4 x .
Производные функций, заданных параметрически Можно задать функцию в явном виде y f ( x ) , а можно параметрически: y
y ( x ), x
x( x ), t – параметр,
t
. Как в этом слу-
чае найти производные y ( x ), y ( x ) ? Приведем готовые формулы: y (x)
y (t ) , x (t )
y (x)
y (t ) x (t ) y (t ) x (t ) x (t )
3
.
15
Пример. Известно уравнение окружности с центром в начале координат x 2 y 2 R2 , где R – радиус окружности. Параметрическое уравнение окружности зададим в виде: x R cos t, y R sin t, 0 t 2 . Вычислим y ( x ), y ( x ) . (R sin t )
y (x)
R cos t R sin t
(R cos t )
( R sin t )2 (R cos t )2 R 3 sin3 t
(R cos t ) ( R sin t ) R cos t ( R sin t ) ( R sin t )3
y
R 2 (sin2 t cos2 t ) R 3 sin3 t
ctgt ,
1 . R sin3 t
2.2. Упражнения 1. Найти производные: 1. y 4. y
x2
5
.
5. y
. x2 1 10. y sin2x.
8. y
7. y
1 . x
2. y
x.
x x3
3. y
x3
2x 3 . x2
sin x 1 . cos x 11. y cos3x.
6. y
1 . x x4
4x 2 x
cos x 1 . sin x 12. y tg 4x.
sin2 x.
14. y
cos3 x.
15. y
ctg 4 x.
16. y
sin3 2x.
17. y
cos2 3x.
18 y
tg 5 6x.
20. y
5
(8 10x 2 )3 .
21. y
sin
1 6cos7 x.
24. y
19. y
e
e
22. y
2 x.
25. y
ln tg
x 2
.
1
23. y
x . 2
26. y
1 x arcsin x .
.
9. y
13. y
x 2
6x
27. y
3
x x 2 1
5 e3 x
ln x
.
.
1 x2 .
1 x . 1 x 2. Вычислить приближенно выражения, используя дифференциал функции: 1. 4.02. 2. tg48 . 3. ln0.98. 4. cos95 . 5. 3 66. 28. y
6. e0.03.
x sin2x
x 2 cos2x.
7. sin32 .
29. y
(1 x 4 )arctgx 2.
8. arctg 0.05. 9. (2.01)10.
30. y
ln
10. arcsin0.03.
16
3. Найти производные высших порядков: 1. ( x5 )(6).
2. (ln2x )(3).
3. (cos2 3x ) .
6. (arcsin0.5x )(3). 7. (arctgx )(4). 10. Докажите, что (sin x )( n )
4. tg
8. (ctg 3x )(3).
sin x
1 x
.
9. (ln( x
5. (45 x )(3).
1 x 2 )) .
n
. 2 4. Найдите производные y ( x ) и y ( x ) функций, заданных параметрически: 1 1 1. x t, y 3t 2 1. 2. x 3. x t 2 4, y , y cos2t. . t 2 t 4. x ln t 2, y 5. x cos2t, y ctg 2t. 6. x 1 t 2, y arctgt. t.
1 t 2 , y arc sin t. 8. x sin34t , y tg 34t. 9. x 1 4t 2, y arcctg 2t. 5. Написать уравнение касательной y k ( x ) и нормали y n ( x ) к кривой y ( x ) в точке с абсциссой x0 , если они имеют следующий вид: 1 y k ( x ) y ( x0 ) y ( x0 )( x x0 ), y n ( x ) y ( x0 ) ( x x0 ). y ( x0 ) 7. x
1. y
x 2 5x 6, x0
x(x 4 2), x 0 1. 1 1 4. y x(ln4 x 1), x0 0,25. 5. y x 3 , x0 2. 6. y , x0 3. x 1 x2 1 7. y x( x 1), x0 1. 8. y , x0 3. 10 x3 , x0 3. 9. y 6 x x ln x . 11. y 3 cos 4, x0 . 12. y 10. y 3sin4 x 1, x0 , x0 e 1. x 8 2 3 1 x 3 tg 2x 2, x0 . 14. y sin3 2 x, x0 13. y . . 15. y ctg 2 , x0 12 6 3 4 3
16. y
cos3 4 x, x0
19. y
arccos 4 x, x0
22. y
2x 3, x0
2. 2. y
3
. 17. y
x3
4x 2
4arctg 2x, x0
x, x0
5. 3. y
3 . 18. y 2
arcsin3 x, x0
1 . 6
1 x . 20. y 2ln x 5, x0 e. 21. y , x0 4. 8 x 3 3. 23. y 5 3x 1, x0 0. 24. y (4 x 2), x0 1.
x
25. y
( x 7)e , x0
28. y
sin x , x0 cos6 x
0. 26. y 6
. 29. y
x
xe , x0 ln x 1 , x0 ln x
1. 27. y e. 30. y
1 x
e , x0
1.
x 2 6x , x0 x 6
3.
17
3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 3.1. Основные свойства функций 3.1.1. Непрерывность функции Определение 1. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x a , если выполнены три условия: 1) функция существует в этой точке и f (a) A ; 2) существует конечный предел lim f ( x ) ; 3) этот x a
предел равен значению функции в точке x
a , т.е. lim f ( x ) x
a
A.
Определение 2. Функция y f ( x ) называется непрерывной на интервале (a, b) , если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Определение 3. Функция y f ( x ) называется непрерывной на отрезке a, b , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого интервала и непрерывна в точке a справа, а в точке b ‒ слева (смотри односторонние пределы). Теорема. Все элементарные функции непрерывны в области их определения. Если хотя бы одно из вышеперечисленных трех условий в первом определении не выполнено, то функция называется разрывной в точке x a . Классификация разрывов 1. Устранимый разрыв. Определение. Точка x a является точкой устранимого разрыва, если существует конечный lim f ( x ) и этот предел не равен знаx a
чению функции в точке x a (в самой точке функция может существовать, а может и не существовать). sin x Пример. Рассмотрим функцию: y (рис. 2). В точке x 0 x функция не определена, хотя существует конечный предел sin x lim 1. Разрыв можно устранить, определив функцию следуюx 0 x sin x , если x 0 и y 1, если x 0. щим образом: y x 2. Разрыв первого рода. Определение. Точка x a является точкой разрыва первого рода, если существуют конечные, не равные между собой, односто-
18
ронние пределы
lim f ( x )
x
a 0
lim f ( x ) (в самой точке функция может
x
a 0
существовать, а может и не существовать). y 0.75 0.5 0.25 0 –5
–2.5
0
2.5
5 x
x
Рис. 2 x Пример. Дана функция: y . Это означает, что y 1, если x 0 и y 1, если x 0 (рис. 3). В точке x 0 функция не существует,
но существуют конечные односторонние пределы:
lim y ( x )
x 0 0
1,
lim y ( x ) 1. Как мы видим, они не равны друг другу.
x
0 0
Y 1 0 X –1
Рис. 3 3. Разрыв второго рода. Определение. Точка x a является точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен . Пример. 1
Рассмотрим функцию: y пределы в точке x
3x 2, x
2 . Найдем односторонние
2 : lim y( x) 0, lim y( x) x
2 0
x 2 0
этой точке разрыв второго рода (рис. 4).
. Следовательно, в
19 y
50
37.5
25
12.5 0 –5
–2.5
0
2
2.5
5 x
Рис. 4 3.1.2. Четность и нечетность функции Определение. Функция называется четной, если y ( x ) y ( x ). Геометрически это означает, что график функции симметричен относительно оси OY . Если y ( x ) y ( x ), то функция называется нечетной. У этой функции график центрально симметричен относительно начала координат. Если функция не является ни четной ни нечетной, то ее называют функцией общего вида. Пример. Функция y x 2 четная, так как ( x )2 ( x )2 . Ее график – всем известная парабола (рис. 5). Функция y x 3 – нечетная, потому что ( x )3 x 3 . График этой функции – кубическая парабола (рис. 6). y
25 20 15 10
5 0 –5
–2.5
0
2.5
5 x
Рис. 5
20 y 100
50 0 –5
–2.5
0
2.5
5
–50
x
–100
Рис. 6 3.1.3. Периодичность функции Функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям ее аргумента или вычитании от значений ее аргумента некоторого, не равного нулю, числа T называется периодической функцией с периодом функции T , т.е. f ( x T ) f ( x ) . При этом предполагается, что аргумент ( x T ) также принадлежит области определения функции, как и x . Периодов у функции может быть много. Как правило, за T берут наименьший положительный из них. Для построения графика функции с периодом T 0 достаточно построить ее график на отрезке [0, T ] , тогда весь график получается сдвигом построенной части вдоль оси абсцисс на T , 2T ,... . Пример. Функции sin x и cos x имеют период 2 , функции tgx и ctgx – В общем случае, функции sin x,cos x имеют T
tg x , ctg x период равен функции y
/
cos x на интервале
2 /
.
, а у функций
. На рисунке 7 изображен график
4, 7 (в радианах).
3.1.4. Асимптоты функции Определение 1. Прямая x a называется вертикальной асимптотой функции y f ( x ) , если хотя бы один из ее односторонних пределов равен , т.е. lim f ( x ) , или lim f ( x ) . x a 0
x a 0
Заметим, что при построении графика функции важен именно знак этой бесконечности.
21 y
1
0.5
–2.5
0
2.5
5
2π x
–0.5
–1
Рис. 7 Пример.
1 . Очевидно, x x
Дана функция y ( x )
1 1 , lim x 0 0 x x 0 0 x асимптота (рис. 8). lim
0 . Рассмотрим пределы:
. Отсюда следует, что x
y
0 – вертикальная
25 20 15 10 5 0
–2.5
1.25
–5
0
–10
1.25
2.5 x
–15 –20 –25
Рис. 8 Определение 2. Прямая y kx b называется наклонной асимптотой функции y f ( x ) , если lim(f ( x ) kx b) 0 . Если k 0 , то x
асимптота называется горизонтальной. Заметим, что под символом мы подразумеваем или При этом коэффициенты k и b вычисляются по формулам: f (x) k lim , b lim(f ( x ) kx ) x x x и асимптота существует, если эти пределы конечны.
.
22
Пример.
4x 2 1 Дана функция y ( x ) . Очевидно, она имеет вертикальx 0.5 ную асимптоту x 0.5 . Найдем наклонные асимптоты. 1 4 2 2 4x 1 4x 2 1 x k lim lim 4, b lim 4x x x x( x 0.5) x 1 0.5 x 0.5 x 1 2 4 x 2 1 4 x 2 2x 1 2x x lim lim lim 2. x x x 0.5 x 0.5 x 0.5 1 x Отсюда следует, что y 4x 2 ‒ наклонная асимптота. Схематиче-
4x 2 1 с асимптотами изображен на рис. 9. x 0.5
ский график функции y ( x ) y
50
25
0 –5
2.5
0
2.5
5 x
–25
Рис. 9 3.1.5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума Определение 1. Функция y f ( x ) называется возрастающей (не убывающей) на интервале (a, b) , если для любых x1 и x2 , принадлежащих (a, b) и таких, что x1
x2 , следует f ( x1) f ( x2 ) (f ( x1) f ( x2 )) .
Определение 2. Функция y f ( x ) называется убывающей (не возрастающей) на интервале (a, b) , если для любых x1 и x2 , принадлежащих (a, b) и таких, что x1
x2 , следует f ( x1)
f ( x2 ) (f ( x1) f ( x2 )) .
Определенные выше функции называются монотонными. Сформулируем условия монотонности функции.
23
Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a, b) функция не убывала (не возрастала) необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции y была неотрицательной (неположительной) везде на (a, b) . Теорема 2. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a, b) функция y f ( x ) возрастала (убывала) на этом интервале, достаточно, чтобы производная этой функции y была положительна (отрицательна) везде на (a, b) . Пример. Найти участки монотонности функции y x 2 5x 6 . Решение. Вычислим производную этой функции: y 2x 5 . Мы видим, что производная больше нуля, если x 2.5 и отрицательна, если x 2.5 . Из вышесказанного следует, что на интервале ( , 2.5) функция убывает, а на интервале (2.5,
) функция возрастает (рис. 10).
y 6.25 5 3.75 2.5 1.25 0 0
1.25
2.5
3.75
5 x
Рис. 10 Определение 3. Функция y f ( x ) имеет в точке x c локальный максимум (локальный минимум), если существует такая – окрестность точки c в пределах которой значение f (c ) является наибольшим (наименьшим). Локальный максимум и минимум функции называются экстремумами функции. На рисунке 11 точка M1 – точка максимума, а точка M2 – точка минимума.
y
Определение 4. Точки, в которых производная y функции f ( x ) равна нулю, называются стационарными точками функции.
24
Первое достаточное условие экстремума Теорема 3. Пусть функция y f ( x ) дифференцируема всюду в некоторой окрестности стационарной точки c . Тогда, если при переходе через эту точку слева направо производная y меняет знак c «+» на «-» , то в этой точке – максимум, если – с «-» на «+», то в этой точке – минимум. Если же при переходе через эту точку производная знак не меняет, то экстремума в точке c нет. Y M1
M2
O x1 – δ
x1
x1 + δ
x2 – δ
x2
x2 + δ X
Рис. 11 Пример.
1 3 x . Найдем стационарные точки. 3 x 2 x 2 (4x 1) 0 . Отсюда получаем две стационарные 0 и x2 0.25 . При переходе через точку x1 производная
Рассмотрим функцию y
y 4x 3 точки x1
x4
знак не меняет, а при переходе через точку x2 слева направо производная меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в этой точке – минимум (рис. 12). Второе достаточное условие экстремума Теорема 4. Пусть функция y f ( x ) имеет в данной стационарной точке c конечную вторую производную. Тогда в этой точке локальный максимум, если y (с ) 0 , и локальный минимум, если y (с ) 0 .
25 y 0.0075
0.005
0.0025 0 –0.25
–0.125
0
0.125
0.25
0.375 x
Рис. 12 Пример. Дана функция y
e
x2
. Найдем ее производную: y 2
2xe
x2
.
2
Стационарная точка c 0 . Вычислим y : y ( x ) 2e x 4x 2e x . Отсюда следует, что y (0) 2 0 и в данной стационарной точке – максимум, ymax y (0) 1 (рис. 13). y
1 0.75
0.5
0.25 0 –2.5
–1.25
0
1.25
2.5 x
Рис. 13 3.1.6. Выпуклость графика функции, точки перегиба Пусть функция y f ( x ) дифференцируема в любой точке интервала (a, b) . Тогда, как мы знаем, существует касательная к графику функции в любой точке данного интервала, причем эта касательная не параллельна оси OY . Определение 1. Функция y f ( x ) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции
26
лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на этом интервале. Функцию, направленную выпуклостью вниз, также называют вогнутой, а направленную выпуклостью вверх, просто выпуклой. На рисунке 11 часть функции в окрестности точки x1 является выпуклой, а в окрестности точки x2 – вогнутой. Теорема 1. Если функция y
f ( x ) имеет на интервале (a, b)
конечную вторую производную y и она на нем неотрицательна (неположительна), то график функции является вогнутым (выпуклым) на этом интервале. Пример. Рассмотрим функцию y x 3 на любом конечном интервале ( a, a) , где a 0 . Ее вторая производная на этом интервале конечна и равна y
6x . Тогда на интервале ( a, 0) вторая производная от-
рицательна и, следовательно, график функции является выпуклым, а на интервале (0, a) вторая производная положительна и, следовательно, график функции является вогнутым (рис. 6). Определение 2. Точка C(c, f (c )) графика функции y f ( x ) называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки c , в пределах которой график функции слева и справа от точки c имеет разные направления выпуклости. Теорема 2. (необходимое условие перегиба графика дважды дифференцируемой функции). Если функция y f ( x ) имеет в точке c вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке C(c, f (c )) , то y (c ) 0 . Теорема 3. (достаточное условие перегиба графика функции). Пусть в некоторой окрестности точки c существует вторая производная функции y f ( x ) и y (c ) 0 . Тогда, если в этой окрестности вторая производная y ( x ) имеет разные знаки слева и справа от c , то график этой функции имеет перегиб в точке C(c, f (c )) . На рисунке 14 изображены графики функций, имеющие перегиб в точках C1 и C2 . При переходе через эти точки слева направо у них разные направления выпуклости и в этих точках существует касательная.
27 y''(x) < 0
y''(x) < 0
C2
C1 y''(x) > 0 y''(x) > 0
Рис. 14 Пример. Дана функция y sin x . Вторая производная y ( x ) sin x . Она существует везде в области определения функции. Найдем точки, в которых производная обращается в ноль: sin x 0 . Корни этого уравнения x . При перехоk, k Z . Рассмотрим точки x 0 и x де через точку x 0 слева направо вторая производная функции меняет знак c «+» на «-». Это означает, что график функции слева от точки x 0 является вогнутым, а справа – выпуклым и, следовательно, точка x 0 – точка перегиба (рис. 15). При переходе через точку x слева направо вторая производная функции меняет знак c «-» на «+». Это означает, что график функции слева от точки x является выпуклым, а справа – вогнутым и, следовательно, точка x – точка перегиба (рис. 15). Функция y sin x является периодической с периодом T 2 . Поэтому все остальные точки из множества {x k, k Z } также являются точками перегиба. Таким образом, функция y sin x имеет бесконечное число точек перегиба на интервале ( ; ) . y
1 0.5
π
0 –4 –π
–2
2 –0.5 –1
Рис. 15
4 x
28
3.1.7. Общая схема исследования и построения графика функции 1. Область определения функции D(f ) . Это множество значений аргумента, при которых функция существует, т.е. принимает конечные значения. 2. Область непрерывности функции. Точки разрыва и их тип. 3. Асимптоты функции. Поведение функции на бесконечности (при x ). 4. Четность, нечетность функции. 5. Периодичность функции. 6.Точки пересечения графика функции с осями координат и области знакопостоянства функции. У точек пересечения графика функции с осью OY абсцисса x 0 , а у точек пересечения графика функции с осью OX ордината y 0 . Области знакопостоянства функции – это те интервалы из области определения функции, на которых она или положительна или отрицательна. 7. Интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума. 8. Интервалы выпуклости и вогнутости функции. Точки перегиба. 9. Область значений функции E(f ) . Это множество тех значений функции, которые она принимает. Замечание. Иногда бывает трудно сразу найти область значений функции и мы можем определить ее, только построив график функции. Для построения графика функции нужно сначала отметить точки пересечения с осями, точки экстремума, провести асимптоты, а затем использовать все остальные свойства. Пример. 1 . Исследовать и построить график функции y x x 1. Область определения функции: x R, x 0. 2. Функция непрерывна при x разрыв: lim x x
0 0
1 x
{(
, 0)
(0,
)} . В точке x
0 –
. Отсюда следует, что это разрыв второго рода.
29
3. Найдем асимптоты. Точка x 0 – вертикальная асимптота. y(x) 1 1 k lim lim 1 2 1, b lim y ( x ) kx lim 0 y kx b x – x x x x x x x наклонная асимптота. 1 4. y ( x ) x y ( x ). Следовательно – функция нечетная. x 5. Определим, является ли функция периодической? Пусть y ( x T ) y ( x ) . Отсюда следует, что 1 1 1 1 x T x T 0 x T x x T x T 1 T 0 T 1 0. x( x T ) x( x T ) Последнее равенство возможно для всех x только при T 0 , т.е. функция является непериодической. 6. График функции не имеет точек пересечения с осью OY , т.к. x2 1 x 0 , и не имеет точек пересечения с осью OX , т.к. y 0 . Из x этой формулы мы видим, что y 0 , если x 0 , и y 0 , если x 0 . 7. Найдем производную функции и определим ее знак: 1 x 2 1 ( x 1)( x 1) )} , y 1 y 0 , если x {( , 1) (1, x2 x2 x2 1. Это и y 0 , если x ( 1, 1) . Производная равна нулю, если x 1 ‒ абсцисса максимума функции, так как y точки экстремума. x меняет знак при переходе через эту точку слева направо c «+» на «-», ymax y ( 1) 2 . x 1 ‒ абсцисса минимума функции, так как y ме-
няет знак при переходе через эту точку слева направо c «-» на «+», ymin y (1) 2 . 8. Найдем вторую производную функции и определим ее знак: y
1
1 x2
2 x3
y
0 , если x
0, и y
0 , если x
0 . Отсюда
получаем, что при x 0 функция вогнута, а при x 0 – выпукла. Мы видим, что вторая производная в ноль не обращается и при x 0 не существует, и сама функция в этой точке не определена. Следовательно, точек перегиба нет. Схематический график функции приведен на рисунке 16. Мы видим, что функция не принимает значе-
30
ний в интервале ( 2; 2) , следовательно, область значений функции
E(f ) это объединение интервалов: {(
; 2]
[2;
)}.
Y
2 –1
X
1 O –2
Рис. 16 3.1.8. Полярные координаты В декартовой прямоугольной системе координат OXY координаты точки M ‒ это ее проекции на оси OX и OY , т.е. x и y , которые однозначно определяют ее положение на плоскости. Но однозначно положение точки на плоскости можно задать и другим способом с помощью чисел и , связанных с координатами x и y следующими соотношениями (рис. 17): x cos , y sin . Y M y
ρ(φ)
φ O
x
Рис. 17
X
31
Здесь ‒ расстояние от точки M до начала координат O , полярный радиус, 0 , ‒ угол, который радиус-вектор OM образует с положительным направлением оси OX , полярный угол. Если 0 , то угол не определен. Для получения однозначных координат точки, обычно ограничивают значения угла интервалом [0, 2 ) (или ( , ] ), хотя каждой точке на плоскости может соответствовать бесконечное значение углов с точностью до 2 n . Точка O называется полюсом, ось OX – полярной осью. Полярный радиус , тригонометрические функции полярного угла и угол выражаются через x и y по следующим формулам: x y y x 2 y 2 , cos , sin , tg , x x2 y 2 x2 y 2 arctg
y , если x x
0, y
arctg
0;
arctg
y x
y x
, если x
2 , если x > 0, y < 0;
0;
3 , если x 0, y 0. 2 2 Многие уравнения, которые в декартовой системе координат записываются сложным образом, в полярной системе записываются значительно проще. На рисунке 17 через точку M проходит некоторая кривая, заданная уравнением ( ). Пример 1. Уравнение окружности радиуса R в декартовой и в полярной системах координат имеет соответствующий вид: 2 . x 2 y 2 R2 и ( ) R, 0 Пример 2. Дана функция cos2 . Построить по точкам ее график в полярной системе координат. Записать уравнение полученной кривой в декартовой системе координат. Так как 0 , то , если x
cos2
0
4
2 k
2
4
0, y
2
, если k
0;
2
0;
2 k
3 4
4
k
5 , если k 4
4
1.
k
32
При остальных значениях k области допустимых значений угла на плоскости повторяются. Ниже приведена таблица значений функции в нескольких точках на интервалах
4 0
8
2/2
0
1
8
4
3 4
2/2
0
0
3 5 . ; 4 4
и
;
4 4 7 8
2/2
1
9 8
5 4
2/2
0
По этим нескольким точкам построим схематический график функции (рис. 18). Y
φ = π/4
φ = 3π/4
φ = π/8 φ = 7π/8 O 1 X
φ = 9π/8
φ = –π/8 φ = 5π/4
φ = –π/4
Рис. 18 Мы видим, что график состоит из двух одинаковых, симметричных относительно осей OX и OY , лепестков. В декартовой системе 3
координат уравнение данной кривой имеет вид: ( x 2
y 2 )2
x2
y2 .
3.2. Упражнения 1. Найти точки разрыва функции их тип (если они есть) и указать характер поведения функции (четная, нечетная, общего вида): 1 3 x 1 . . 1. y 2. y 3. y . x x 2 4x 5 sin x cos x . . 4. y 5. y 6. y sin2x 1. x x 1 sin3 x . . 7. y 8. y 7x 2 0.5. 9. y 2 x x
33
10. y
4cos5x.
13. y
x2 4 . x 2
16. y
ctg 3x.
19. y
21 x.
22. y
x2
25. y
ctgx . 4
4x.
sin x . x 1 x 3 14. y . x2 9 x 17. y . x 11. y
12. y
8x 3.
15. y
5x.
18. y
4 . x
21. y
1 2 x 3
20. y
3x 2
23. y
1 2 sin x. 2
24. y
tgx 1.
26. y
3tg 2x.
27. y
arcsin x.
6x.
5x
2.
ln( x 1) ex 28. y arctgx. 29. y 30. y . . x x 2. Найти асимптоты следующих функций: 1 1 2 1. y 2. y 3. y . . . x x 2 x 3 5 4 3 4. y 5. y 6. y . . . 2 2 2 x 4 x 9 4 x 25 1 2x 1 x 7. y x 8. y 9. y . . . x x x 1 3x x x2 5 10. y 11. 12. y . . y . x2 1 x 2 25 9 x 2 16 x2 1 x3 x2 x 13. y 14. 15. . y . y . x 2 5x 6 x 1 x2 2 16. y 3e x . 17. y 2e 3 x . 18. y ln( x 1). 19. y ln(4 x ). 20. y tg 2x. 21. y 2ctgx 5. 22. y arctgx. 23. y arcctgx. 24. y arctgx + 2x .
25. y
x 2 1.
26. y
sin5x
x.
27. y
cos2x
x.
29. y arctg 2x. 30. y xe x . 2x 2 3. 3. Найти интервалы возрастания и убывания функций, и точки экстремума (если они есть): 1. y x 2 1. 2. y x 2 4x. 3. y x 2 x 6. 28. y
4. y
x2
2x 8.
5. y
x3
3x.
6. y
x4
8x.
34
7. y 10. y 13. y 16. y 19. y
1 . x 4x 2 1 . x e3 x . sin2x. 2tgx + 0.5.
14. y 17. y 20. y
x 1 . x x . x2 1 e 2x . 3sin x 1. ctgx 7.
8. y 11. y
15. y 18. y 21. y
1 . x x 2 . x2 5 xe x . 4cos x + 5. ln6 x.
9. y
x
12. y
22. y
x ln x.
23. y
arctg 3x.
24. y
arctg 2x 2 .
25. y
3arcsin x 2.
26. y
5arccos x 8.
27. y
arcsin x 2.
x 3 x. 30. y 2sin2 . 2 2 4. Провести полное исследование и построить графики следующих элементарных функций: 1. y 2x 2 1. 2. y 3. y x 2 2x 1. 3x 2 4. 1 4. y 5. y 2x 2 x 1. 6. y . x 2 5x 6. x 1 x 3x 1 x 4 7. y 8. y 9. y . . . 2 x x 8 7x 1 3 5x 2 10. y x 11. y 12. y sin2x. . . x x 28. y
sin x 0.5x.
29. y
13. y
2cos x
16. y
tgx 1.
17. y
19. y 22. y
3 2x 6. ln2x.
20. y 23. y
xe x . log2 ( x 1).
25. y
2arcsin x
26. y
arccos x
28. y
arctgx
14. y
3.
.
cos x
sin x
4
3ctgx
.
15. y
cos2 x.
3.
18. y
e2 x .
21. y 24. y
1 3 x. ln(3 x ).
2
. 27. y
2arcsin x
3
.
. 29. y 2arctg( x 1). 30. y arcctgx 4. 2 5. Найти область определения и построить по точкам графики функций, заданных в полярной системе координат: cos . 1. 2. 3. sin . cos 1. 4.
sin
7.
cos
0.5.
2 . 2
5.
2cos
8.
sin2 .
1.
6.
2sin
9.
cos3 .
3.
35
10.
sin . 3
13.
3 2
16.
.
.
11.
4cos . 2
12.
3sin5
14.
0.5 .
15.
e
17.
2
2
19.
.
20.
3
22.
cos .
23.
sin .
25.
ln
28.
arcsin
1.
3
2 .
3
2
4
18.
.
1.
1 2
2 .
.
27
.
21. 24.
2
1
.
cos2
26.
ln .
27.
ln
29.
3arccos .
30.
2arctg
sin2 .
1.
4
.
СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ .......................................................................................... 3 Историческая справка ................................................................................ 3 1. ПРЕДЕЛЫ ................................................................................................ 4 1.1. Определения и свойства пределов ............................................... 4 1.2. Основные методы вычисления пределов..................................... 7 1.3. Упражнения ...................................................................................... 9 2. ПРОИЗВОДНАЯ .................................................................................... 12 2.1. Краткие теоретические сведения и примеры ............................. 12 2.2. Упражнения .................................................................................... 15 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ........... 17 3.1. Основные свойства функций ........................................................ 17 3.1.1. Непрерывность функции .................................................... 17 3.1.2. Четность и нечетность функции ........................................ 19 3.1.3. Периодичность функции .................................................... 20 3.1.4. Асимптоты функции ............................................................ 20 3.1.5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума .... 22 3.1.6. Выпуклость графика функции, точки перегиба ................ 25 3.1.7. Общая схема исследования и построения графика функции................................................................. 28 3.1.8. Полярные координаты ........................................................ 30 3.2. Упражнения .................................................................................... 32
ЗЛЕНКО Александр Афанасьевич
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
Редактор Т.А. Феоктистова
Подписано в печать 20.01.2014 г. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,25. Уч.-изд. л. 1,8. Тираж 500 экз. Заказ . Цена 40 руб. МАДИ, 125319, Москва, Ленинградский пр-т, 64.