Idea Transcript
Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ри й
БН
ТУ
Кафедра высшей математики № 1
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Часть 1
Ре
по з
ит о
Сборник заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов инженерно-технических специальностей
Минск БНТУ 2010
Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
БН
ТУ
Кафедра высшей математики № 1
ри й
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ит о
Сборник заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов инженерно-технических специальностей В 2 частях
Издание 2-е
Ре
по з
Часть 1
Минск БНТУ 2010
УДК 51 (075.8) ББК 22.1я7 В 93
БН
Рецензент В.И. Каскевич
ТУ
Составители: А.Н. Андриянчик, Н.А. Микулик, Л.А. Раевская., Н.И. Чепелев, Т.И. Чепелева, Е.А. Федосик, В.И. Юринок, Т.С. Яцкевич
ри й
Высшая математика: сб. заданий для аудиторной и В 93 самостоятельной работы студентов инженерно-технических специальностей: в 2 ч. / сост.: А.Н. Андриянчик [и др.]. – Изд. 2-е. – Минск: БНТУ, 2010. – Ч. 1. – 156 с.
Ре
по з
ит о
В сборнике заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов приведены задачи и упражнения по основным разделам высшей математики в соответствии с действующей программой. В качестве основных рассматриваются 18 практических занятий для каждого из четырех семестров. К задачам, предназначенным для самостоятельной работы, предлагаются ответы, что поможет студенту контролировать правильность решаемых примеров. Приведены варианты типовых расчетов, являющихся обязательным элементом учебных планов соответствующих специальностей БНТУ. Издание является дополнением к существующим задачникам, будет полезным как для студентов дневной, так и заочной формы обучения и послужит лучшей организации их самостоятельной работы. Первое издание вышло в БНТУ в 2010 г.
ISBN 978-985-525-485-1 (Ч. 1) ISBN 978-985-525-487-5
© БНТУ, 2009
СОДЕРЖАНИЕ
Ре
по з
ит о
ри й
БН
ТУ
I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕНОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Занятие 1. Декартова и полярная системы координат. Построение графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Занятие 2. Действия над матрицами. Вычисление определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Занятие 3. Обратная матрица. Решение невырожденных систем матричным методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Занятие 4. Формулы Крамера. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Занятие 5. Решение произвольных и однородных систем . . . . . 18 Занятие 6. Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Занятие 7. Векторное и смешанное произведения векторов . . . 24 Занятие 8. Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Занятие 9. Прямая и плоскость в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . 28 Занятие 10. Кривые 2-го порядка на плоскости. Поверхности 2-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Занятие 11. Функция. Предел последовательности и предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Занятие 12. Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функций. Точки разрыва . . . . . . . . . 37 Занятие 13. Дифференцирование функций. Логарифмическая производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Занятие 14. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Занятие 15. Производные и дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Занятие 16. Правило Лопиталя–Бернулли. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Занятие 17. Монотонность функции. Экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции . . . . 48 Занятие 18. Выпуклость и вогнутость графиков функций. Асимптоты. Построение графиков функций . . . . . . 50 3
Типовой расчет № 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии . . . . . . . . . . . . . . . 52 Типовой расчет № 2. Предел функции. Производная и ее применение к исследованию функций и построению графиков . . . . . . . . . . 66
Ре
по з
ит о
ри й
БН
ТУ
II. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ . . . . 85 Занятие 1. Комплексные числа и действия над ними. Простейшие приемы интегрирования . . . . . . . . . . . . . 85 Занятие 2. Интегрирование с помощью замены переменной в неопределенном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Занятие 3. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Занятие 4. Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . 94 Занятие 5. Интегрирование тригонометрических выражений и простейших иррациональных функций . . . . . . . . . . 96 Занятие 6. Вычисление определенных интегралов . . . . . . . . . . . 100 Занятие 7. Приложения определенных интегралов . . . . . . . . . . . 102 Занятие 8. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Занятие 9. Частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных. Производные и дифференциалы высших порядков . 107 Занятие 10. Производные сложных функций нескольких переменных. Производные функций, заданных неявно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Занятие 11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Градиент . . . . . . . . 114 Занятие 12. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области. Условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Занятие 13. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными и однородных дифференциальных уравнений первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4
120 123
124
БН
ТУ
Занятие 14. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений и уравнений Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . Занятие 15. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка . . . . . . . . . . . . . . . Занятие 16. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . Занятие 17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида . . . . . . . . . . . . . Занятие 18. Решение систем дифференциальных уравнений. Метод исключения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127 129
Ре
по з
ит о
ри й
Типовой расчет № 3. Неопределенный и определенный интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Типовой расчет № 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5
I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕНОЙ Занятие 1
ТУ
Декартова и полярная системы координат. Построение графиков 1.1. Построить графики функций:
2log 2 cos x .
2 x 1, 0
в) y
x
2
x 2,
б) y
x3 x 2 . 2 | x 1|
г) y
2x | x 2 | 1 .
ри й
а) y
БН
Аудиторная работа
2 x, 3 x 0.
1 cos 2 x . 2
ж) y
log1/ 2 x 2 1 .
е) y sin | x | 1 .
ит о
д) y
з) y
1 . | x| 1
по з
1.2. Построить графики функций, заданных параметрически:
1 2t , y
в) x
2 cos t , y
д) x
at 2 , y
Ре
а) x
ж) x
б) x
2 t.
t2
г) x 1 t 2 , y
sin t .
bt3 .
1 2 cos t , y
t, y
е) x
4. t t3 .
2 cos3 t , y
2 sin 3 t .
3 2 sin t . з) x 2(t sin t ), y 2(1 cost ) .
1.3. Записать уравнения кривых в полярных координатах: а) y г) x 2
x.
y2
2y .
б) y 1 .
в) x 2
y2
4.
д) x
е) x 2
y2
a2 .
y 1 0.
6
1.4. Построить графики функций: а) r 1 .
б) r
2 .
в) r cos
г) r
e .
д) r
4 cos .
е) r
3 sin 2 .
ж) r
2(1 cos ) .
з) r
6 . 3 2 cos
и) r
2 1 sin
к) r
2 cos 3 .
л) r 2
г) x
t3, y t 2 .
ж) r
4 cos 2 .
4
.
в) x t 2 1, y
д) r
2 sin .
е) r
з) r
3 . 1 cos
1.3. б) r
1 . sin
1.3. д) r
1
по з
1.3. г) r
x | x 3| .
ит о
Ответы 1.3. а)
б) y
2 sin .
sin
1.3. в) r
cos
.
1.3. е)
2. 2
a2 . cos 2
Занятие 2
Ре
Действия над матрицами. Вычисление определителей Аудиторная работа
2.1. Найти 2 A 3B C , если A
7
1 0 2 1 4 3
2 3 , B 5
1 2 1
1 0 3 4 ,C 5 6
3 1 8
t.
3(1 sin ) .
ри й
x 2|.
БН
Домашнее задание
а) y | x 2
.
ТУ
36 sin 2 .
1.5. Построить следующие кривые:
2.
4 5 3 2 . 6 7
2.2. Найти матрицу X , если
1 3 2 4 0 5
2
1 2 3
1 X 3
7 8 . 9
б) A
1 3
1 0 , B 1 5
в) A
3 4 , B 2
2 3 1
7 2 3
1 4 . 5
БН
0 2 1 3 , B 0 5
0 7 3 4 . 1 0
ри й
а) A
1 0 4
ТУ
2.3. Даны матрицы A и B . Найти AB и BA , если:
ит о
5
2 3 .
2.4. Вычислить
по з
3 2 3
Ре
2.5. Показать,
что
0 1 1 0 0 1
1 2 5
1 2 0
матрица
A
2 3
1 . 1
1 1
является
корнем
многочлена f ( x) x 2 3x 5 . 2.6. Решить уравнение
x x 1 4 x 1
0. 8
2.7. Вычислить определители по правилу Саррюса и разлагая по элементам 1-й строки:
3 б) 8 2
1 2 3 а) 4 5 6 . 7 8 9
4 7 1
5 2. 8
5 7 8 9
0 0 1 3
4 2 . 6 8
2 1 б) 2 1
2 3 1 2
3 3 7 5
4 4 . 4 9
ит о
1 1 а) 1 1
1 3 1 0
методом
2 1 . 4 3
приведения
ри й
2.9. Вычислить определители треугольному виду:
4 2 5 2
БН
2 1 а) 3 4
ТУ
2.8. Вычислить определители, разлагая по элементам ряда:
2 1 б) 0 1
1 3 2 4
5 0 1 7
их
1 6 . 2 6
2.10. Вычислить определители, предварительно упростив их:
0 4 . 2 4
1 0 б) 2 0 3
2 13 7 1 . 1 5 6 13
3 0 г) 2 2
по з 2 2 0 1
1 0 в) 2 3
5 2 10 15
Ре
3 2 а) 4 3
9
1 1 1 1
2 1 1 3 2 1 0 1 2
3 0 2 0 1
1 5 3 1 3
5 1 2. 3 4
2 1 3 3
4 6 . 1 1
к
0 1 д) 2 3
1 0 1 2
2 1 0 1
3 2 . 1 0
2 1 е) 1 5
3 2 2 8
1 3 0 1
ТУ
Домашнее задание
2 1 4
2.12. Найти те из произведений которые имеют смысл, если
1 3 , B 0 2
0 1
ит о
A
1 2
1 0 1
1 2 . 0
ри й
A
7 8 ,B 9
БН
2.11. Найти ( A 3B) 2 , если
1 4 2 5 3 6
4 5 . 1 1
1 ,C 1
AB, BA, AC, CA, BC, CB ,
0 1 2 0 1 2 0 0 . 1 2 1 0
по з
2.13. Найти значение многочлена f (A) от матрицы A , если
f ( x) 2 x 2 2 x 7 ,
Ре
A
1 2
0 . 1
2.14. Решить уравнение
x2 x 1
1 4 1 2 1 1
0.
10
2.15. Найти det(AB) и проверить, что det( AB) det A det B , если
1 2 3 2 1 1 ,B 1 1 2
A
2 2 4
0 3 1 1 . 3 2
1 1 1 1
1 2 2 6
0 1 . 3 1
2 2 б) 6 2
3 1 2 3
3 1 1 0
4 2 . 0 5
БН
2 0 а) 3 3
ТУ
2.16. Вычислить определители, разлагая их по элементам ряда:
1 2 2 1
5 1 3 5
1 2 . 4 1
ит о
2 3 а) 1 1
ри й
2.17. Вычислить определители методом приведения их к треугольному виду:
1 2 б) 3 4
2 3 4 1
2.2.
9 6 9
3 4 1 2
4 1 . 2 3
Ответы
1 4 3
9 4 . 21
по з
4 9 13
Ре
2.1.
2.3.а) AB
2.3. б) AB
11
4 0 13
1 11 11 19 , 13 29
3 11 , 2 17
BA
BA
21 15 1
6 13 21 7 35 1 20 . 1 0
39 0 . 3
7 30 2 8 . 3 18
2.3. в) AB
15 20 10
6 9 8 12 , 4 6
BA
13 .
1 8 , 1
2.4.
б) 0.
2.8. а) 0.
б) 16
2.9. а) 20.
б) 27.
2.10. а) 38.
2 3
0 1
2 , AC 5
7 0 . 2.14. x1 4 11
1, x2
ит о
2.13.
д)
96 12 8 18 54 8 . 51 85 111
2.12. BA
е) 300.
12.
4 5 5 0 . 2 6 6 0
2.
2.17. а) 54.
по з
2.16. б) 48
б) 168.
БН
г) 75.
192.
2.11.
4.
ри й
в)
1; x
ТУ
2.7. а) 0.
2.6. x
2.15. 40.
2.16. а) 0.
б) 160.
Занятие 3
Ре
Обратная матрица. Решение невырожденных систем матричным методом Аудиторная работа
3.1. Найти матрицы, обратные данным, если они существуют: 3.1. а)
1 2 . 3 5
2 б) 4 6
1 2 1
3 5 . 2
в)
3 0 1 1 2 3 . 2 4 1 12
3 5 4
3.1. г)
0 1 3.1. д) 1 1
1 9 3 8 . 1 5
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 . 1 0
1 4 3 3
X
1 2
3.2. б)
0 2 1 2
X
1 2 3 2
1 4 1
0 1 X 2
4 2 . 1 2 1 2 1 4 0 5
1 6 1 2 . 5 12
ри й
1 3.2. в) 2 0
1 . 3
БН
3.2. а)
ТУ
3.2. Решить матричные уравнения:
ит о
3.3. Решить системы матричным методом:
x1 2 x2 2 x1
3x1
x2
2 x2
0,
1,
x3
4.
по з
3.3. а)
x3
2,
3x1
x2
3.3. в) x1 2 x2
Ре
4 x1 3x2
x3
2 x3 x3
1, 5.
3.3. б)
2 x 2 y z 7 0, x 3 y z 6 0, 3 x y 2 z 7 0.
2x y 5z 3x y 5 z 3.3. г) 5 x 2 y 13z
4, 0, 2.
Домашнее задание
3.4. Найти матрицы, обратные данным, если они существуют:
3 4 3.4. а) . 5 7 13
2 3.4. б) 6 5
5 3 2
7 4 . 3
3.5. Решить матричные уравнения: 3.5. а) X
3.5. б)
5 1
3 3 2
4 2
1 2 1
8 3 0 5 9 0 . 2 15 0
1 3
X
2 2
3 . 1
ТУ
5 1 5
3.6.а)
x1 2 x2 x2
x3 x3
2 . 1
Ре
3.1. д)
3.2. б)
3.
10 7 8
2 1 1 3 1 1 3 4 1 8
3 4 . 5 8
5,
x1 4 x3
0,
x2
ит о
1 38
2 x1 x2
2 x3
1.
3.1. б) Не существует.
4 1 12
по з
3.1. в)
5 3
3.6. б)
x3 1,
Ответы 3.1. а)
0,
ри й
4 x1 2 x2
БН
3.6. Проверить, являются ли системы невырожденными, и если являются, то решить их матричным методом.
1 2 1 1
1 1 2 1
2 10 . 6
1 1 . 1 2
7 7 7
14 21 7
3.1. г)
1 49
3.2. а)
11 1 15 . 1 0 15
3.2. г)
5 13 2 13 30 13
35 21 . 14
3 1. 4 14
x2
x3 1.
3.3. а) x1 1, x2
0, x3
1.
3.3. а) x
2, y
3.3. а) x
4, y
2, z
1 41 29
1 34 . 24
4 . 3
3.4.а)
1 38 27
1 2 3 3.5. а) 4 5 6 . 7 8 9
3.5. б)
1 6
3.6. а) x1 1, x2
2.
10 14
4 8
2 . 2
3.6. б) x1
8 , x2 3
1 , x3 3
2 . 3
ри й
1, x3
2.
БН
3.4. а)
7 5
1, z 1.
ТУ
3.3. а) x1
Занятие 4
Формулы Крамера. Ранг матрицы
ит о
Аудиторная работа
4.1. Решить системы, используя формулы Крамера:
8,
по з
4.1. а)
x1 2 x2
3x1 4 x2 18.
Ре
2 x y 2 z 1, 4.1. в) 3 x 2 y z 9, x 4 y 3z 5. 4.2. При каких значениях
1 3 0 4.2. а) 4 3 15
4 1 . 3
2 x1 3x2
x3
x1 4 x2
x3
4.1. б)
5, 3,
3 x1 2 x2 3x3 1. 7 x1 2 x2 3x3 3 0, 4.1. г)
x1 5 x2 3x1 4 x2
x3 14 0, 2 x3 10 0.
ранг матрицы равен двум:
2
4.2. б) 0 0
3 2 4 . 0 7
4.3. Проверить справедливость неравенств rAB
1 0 2 1 2 3 , B 3 1 0
A
0 3 2
rA , rAB
rB , если
2 4 1 5 . 0 1
1 4 . 7 1 2 3 5 6 7
Ре
8 1 2 1 1 1
7 3 1
5 1 1
4.4. б)
3 5 4.4. г) 1 7
1 3 3 5
3 2 5 1
2 3 0 4
5 1 . 1
5 4 . 7 1
4 1 3 . 2 7
ит о
0 1 1 2 1
5 3 1 9
по з
4.4. д)
1 2 1 4 0
3 1 1 7
4 5 0 6 . 8 4
БН
1 2 4.4. в) 5 7
2 1 4
ри й
4.4. а)
1 2 2
ТУ
4.4. Найти ранги матриц с помощью элементарных преобразований или методом окаймляющих миноров и указать какой-либо базисный минор.
Домашнее задание
4.5. Решить системы по правилу Крамера:
2 x y 5, 4.5. а) x 3z 16, 5 y z 10.
x1 x2 2 x3
6,
4.5. б) 2 x1 3x2 7 x3 16,
5 x1 2 x2
x3 16.
16
4.6. Проверить справедливость неравенства rA
1 2 3
A
1 1 1 3 ,B 2 4
1 2 1
1 2 1
B
rA
rB , если
1 2 . 1
2 1 2 3 5
3 0 . 6 1
1 2 1 1 0
б)
2 3 0 . 1 1
4.1. а) x1
2, x2
2, y 1, z
4.2. а)
1.
3.
Ре
4.4. а) r
в) r
17
3,
3,
1 2 2
1 2 7
3 1 7
1 1 0 2 3 11 4 10
3 1 2 5
б) x1 1, x2
3.
по з
в) x
ит о
Ответы
2 1 1 1
1 1 . 5 4
БН
1 0 в) 1 1 2
1 2 0 2
ри й
а)
2 4 0 4
ТУ
4.7. Найти ранги матриц и указать какой-нибудь базисный минор.
2 5 1 6. 4 4
1 3. 1
г) x1
0, x2
б)
0,
б)
г) r
3,
3, x3
2. 8 1 . 2 1
2,
r
1, x3
3 5 7
1 5 3 4. 5 1
0. 1.
4.4. д) r
1 0 . 2 1
2,
4.5. б) x1
3, x2
4.5. а) x 1, y 3 , z 5.
1, x3
4.7. а) 2.
1.
Занятие 5
ТУ
4.7. в) 3.
4.7.б) 3.
Решение произвольных и однородных систем 5.1. Исследовать системы совместности решить их.
БН
Аудиторная работа на
совместность
3x3
x4
5.1. б) 3x1 5 x2
2 x3
2 x4
x3 7 x4
2.
x1 2 x2
x3 4 x4
x5 1,
2 x3
x5
x4
по з Ре
5.1. г)
4,
9 x1 4 x2
2 x1 3x2
3.
x1 2 x2
x3 3x4
x5 1,
x1 3x2
x3 2 x4
x5
x1 7 x2
x3 4 x4
x5
3x1
x3
x2
2 x1 5 x2
5.1. д) x1
2 x2 x1
x4 x3 x2
случае
6,
ит о
2 x1 7 x2
5.1. в)
в
ри й
2x y z 2, 1, 5.1. а) x 2 y 3z x 3 y 2 z 3.
и
x4
3, 5.
2 x5
18,
x5
7,
2 x5
8,
x4
x5
10,
3x3
x4
1. 18
x2
x1
2 x2
2 x3
x4
2 x1
x2
3 x3
2 x4
1,
x1
2 x2
3x3
6 x4
10.
x1 3x2
4 x3
x4
x3
5 x4
5.1. ж) 2 x1 3x2
3x1
x4
5 x3
x1 5 x2
3x3
5.1. з) 2 x1 10x2
20x2
5,
2, 3,
4 x4
6.
x4
1,
3 x4
0,
6 x3
x4
2.
ри й
4 x1
2,
ТУ
x3
БН
5.1. е)
x1
5.2. Решить однородную систему и найти фундаментальную систему решений.
x3
2 x1 9 x2
2 x1 2 x2
0,
x1 x2 3x3 x4
0.
Ре
5.2. д) 2 x1
2 x2
4 x2
3x1 6 x2 3x1
x2
5.2. е) 6 x1 3x2
x1
2 x2
x4
0,
x3
x4
0,
x4
x3
2 x4 x4
x5
5.2. г)
0,
x5 x5
4 x2
0,
3x3
0,
2 x3
0.
x1 4 x2 3x3 6 x4 0,
0.
2 x3 x3
3x1
x3
2 x1 5 x2 x3 2 x4 0, x1 7 x2 10x3 20x4 0.
3 x3 4 x3
2 x2
5.2. б) 2 x1 5 x2
0.
x3 3x4
x1
19
3x1
0,
3x3
по з
5.2. в)
2 x2
ит о
5.2. а)
x1
0, 0.
Домашнее задание 5.3. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их.
1,
5.3. а) 2 x1 3x2
5 x3
3,
3x1 5 x2
6 x3
7.
2 x1 3 x2
1,
3 x1
1,
2 x2
x1
4 x1 5 x2
4 x1
x3
5.4. а) 3 x1
x2
2 x3
4 x1
x2
3x3
4 x3
x1 5 x2
5.3. г)
4 x1
1.
2 x2
1,
2 x3
x2
0,
5.4. б)
0,
0.
2, 4.
x4
1,
2 x1 10x2
3 x4
0,
20x2
6 x3
x4
2.
2 x3
x4
0,
2 x4
0.
3x1
x1
x2
2 x2
ит о
x1
3x3
5.3. б) 2 x1 3x2
1,
5.4. Решить системы:
x2
3x3
БН
5.3. в)
4 x2
x1
ТУ
x3
ри й
x1 2 x2
4 x3
Ответы
5.1. а) Система несовместна.
C1 9 C 2 11
2 10 5C1 C2 , , C1 , C 2 11
C1 , C 2
по з
5.1. б)
Ре
5.1. в)
5.1. г)
5.1. д) x1
R .
9 C1 14C2 C3 4C1 7C2 3C3 1 , , C1 , C2 , C3 7 7 C1 , C2 , C3
R.
3 5C1 13C2 5C3 4 C2 , , C1 , C2 , C3 5 5
5, x2
4, x3
3, x4 1, x5
C1 , C2 , C3 R .
2. 20
5.1. е)
C, C 1, C
2, C 3
C R.
5.1. ж) Система несовместна.
5.2. а)
C 3 C1 , 1 , C1 5 5
5.2. б) x1
x2
x3
C1
0.
C1C2 R ;
C1 , C 2 ,
3C1
по з
8C1 9C2 , 26
ри й 6C 2 5C1 10C 2 , 4 4
6C1 23C2 22C1 11C2 , , C1 , C2 26 26
C1C2
Ре
5 7c 8c , ,c 5 5
1, x2
R ,
R .
9 , 26
23 , 26
5.3. а) Несовместна.
5.3. в) x1
C1C 2
8 5 , 0, , 1 . 7 7
C1 , C 2
4 3 11 , , 1, 0 , 13 13 13
5.3. б)
R .
38 , 7, 0, 1 . 3
ит о
19 7 , , 1, 0 , 3 2
21
1, 1, 0, 0 ;
19C1 38C 2 7C1 14C 2 , , C1 , C 2 3 2
5.2. г)
5.2. е)
3, 1, 5 .
7C1 8C2 5C , C1 , 2 , C2 7 7
5.2. в)
5.2. д)
R ;
C1 , C2
БН
C1 , C2 ,
ТУ
3 5C1 25C2 10C2 2C1 , 9 3
5.1. з)
1.
c R .
11 , 0, 1 . 26
R ,
c1 , c2 ,
5.4. а) x1
3 5c1 25c2 10c2 2c1 , 9 3
0, x2
5.4. б) {(0,2c1
0, x3
c1 , c2
R .
0.
c2 , c1, c2 ) | c1, c2
R} .
Занятие 6
ТУ
5.3. г)
БН
Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов Аудиторная работа
Ре
по з
ит о
ри й
6.1. Определить, для каких векторов a и b выполняются следующие условия: 1) | a b | | a | | b | , 2) | a b | | a | | b | , 3) | a b | | a b | , 4) | a b | 0 , a b . 5) |a| |b | 2i j . Определить 6.2. Даны векторы a 3i 2 j 6k и b проекции на координатные оси следующих векторов: 1)
1 b; 2
2) 2a ;
3) 2a 3b .
6.3. Проверить коллинеарность векторов a (2; 1; 3) и b ( 6; 3; 9) . Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны. 22
ТУ
6.4. Найти направляющие косинусы вектора a (6; 2; 3) . 6.5. Определить модули суммы и разности векторов a 3i 5 j 8k i j 4k . иb 6.6. Даны точки A( 1; 2;1), B(2;1; 3), C (3; 0; 5) . Подобрать точку D так, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом. 6.7. Найти ( m 2n , m n ), если m 2a b , n a 3b , | a | | b | 2; (a , ^ b ) .
ри й
БН
6.8. Даны вершины четырехугольника A(1; 2; 2), B(1; 4; 0), C( 4;1;1) и D( 5; 5; 3) . Доказать, что его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. 6.9. Вычислить внутренние углы треугольника АВС, если A(1; 2;1), B(3; 1; 7), C (7; 4; 2) . Убедиться, что этот треугольник равнобедренный. 6.10. Вычислить проекцию вектора a 5i 2 j 5k на ось вектора b 2i j 2k .
ит о
Домашнее задание
Ре
по з
6.11. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a (3; 5; 8) и b ( 1;1; 4) , и косинус угла между его диагоналями. 6.12. Даны три вектора a ( 2;1;1) , b (1; 5; 0) и c (4; 4; 2) . Вычислить прc (3a 2b ) . i 3 j 2k и 6.13. При каком значении векторы a b i 2j k взаимно перпендикулярны? 3 , | b | 1, 6.14. Векторы a и b образуют угол . Зная, что | a | вычислить угол между векторами p a b и q a b . 6.15. Найти координаты вектора b , коллинеарного вектору a (2; 1; 1) , при условии что (a , b ) 3 . 23
Ответы
0;
6.2. 1)
1 ;0 . 2
2) 6;
4; 12 .
3) 0; 1; 12 .
6.5. a b
a b
6;
6.9. cos A
2 ; 7
cos
6.6. D 0; 1; 9 .
14.
12 ; cos B 49
122 ; cos C 14
6.12. прc (3a 2b )
2 . 3
6.10.
6.13.
6.
6.15. b
1 1 . 1; ; 2 2
20 . 21
11.
ит о arccos
6.7.–42.
122 . 14
ри й
6.11. | a b | 6 , | a b | 14 , cos
6.14.
3 . 7
cos
БН
6 ; 7
6.4. cos
ТУ
6.3. Векторы противоположно направленные, вектор b длиннее вектора a в 3 раза.
.
по з
Занятие 7
Векторное и смешанное произведения векторов
Ре
Аудиторная работа 7.1. Векторы a и b ортогональны. Зная, что | a | 3, | b | 4 , вычислить: 1) | [a , b ] | ; 2) | [a b , a b ] | ; 3) | [ (3a b ) , (a b ) ] | . 7.2. Даны векторы a (3; 1; 2), b (1; 2; 1) . Найти координаты векторных произведений: 1) [a , b ]; 2) [2a b , b ]; 3) [2a b , 2a b ] . 7.3. Даны вершины треугольника A(1; 1; 2), B(5; 6; 2), C(1; 3; 1) . Вычислить площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC . 24
БН
ТУ
7.4. Найти вектор c , ортогональный векторам a (2; 3;1) и b (1; 2;3) и удовлетворяющий условию (c , i 2 j 7k ) 10 . 7.5. Установить, компланарны ли векторы a , b , c , если a (2; 3; 1), b (1; 1; 3), c (1; 9; 11) . 7.6. Доказать, что четыре точки A(1; 2; 1), B(0; 1; 5), C( 1; 2; 1), D(2;1; 3) лежат в одной плоскости. 7.7. Даны вершины тетраэдра: A(2; 3; 1), B(4; 1; 2), C(6; 3; 7), D( 5; 4; 8) . Найти объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины D . Домашнее задание
ит о
ри й
7.8. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a (0; 1;1) и b (1; 1; 1) . 7.9. Лежат ли точки A(5; 5; 4), B(3; 8; 4), C(3; 5;10), D(5; 8; 2) в одной плоскости? 7.10. Выяснить, правой или левой будет тройка векторов a (3; 4; 0) , b (0; 4;1) , c (0; 2; 5) . 7.11. Найти длину высоты параллелепипеда, построенного на векторах a i 5 j k , b 4i 2k , c i j k , если за основание
по з
взят параллелограмм, построенный на векторах a и b . 7.12. Вычислить синус угла, образованного векторами a (2; 2; 1) и b (2; 3; 6) .
Ре
Ответы 7.1. 1) 12.
2) 24.
3) 48.
7.2. 1) (5,17).
2) (10, 2, 14).
3) (20, 4, 28).
7.3. 25; 5 .
7.4. i
7.5. Компланарны. 7.7. 308, 11 . 7.10. Левая.
25
7.11.
16 . 3 14
7.8.
7, 5,1 .
6 . 7.9. Нет не лежат. 7.12. sin
5 17 . 21
Занятие 8 Прямая на плоскости Аудиторная работа
ТУ
8.1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
Домашнее задание
Ре
по з
ит о
ри й
БН
A ( 1; 2) , перпендикулярно вектору M1M 2 , если M1 (2; 7) , M 2 (3; 2) . 8.2. Написать каноническое и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(3; 2) параллельно: а) вектору S (1; 5) ; б) оси Oу . 8.3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку 3 A( 1; 8) и образующей с осью абсцисс угол, равный . 4 8.4. Даны вершины треугольника ABC : A(1; 2) , B (2; 2) , C (6; 1) . Найти: 1) уравнение стороны AB ; 2) уравнение высоты CH ; 3) уравнение медианы АМ; 4) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB ; 5) расстояние от точки C до прямой AB . 8.5. Найти расстояние между прямыми 12x 5 y 26 0 и 12x 5 y 13 0 . 8.6. Найти проекцию точки A(2; 6) на прямую 3x 4 y 5 0 .
8.7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x 2 y 7 0 и x 3y 6 0 и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3. 8.8. Найти точку O пересечения диагоналей четырехугольника ABCD , если A( 1; 3), B(3; 5), C(5; 2), D(3; 5) .
26
ТУ
8.9. Найти уравнения перпендикуляров к прямой 3x 5 y 15 0 , проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат. 8.10. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A( 2; 3) и составляющей с осью Ox угол: а) 45о; б) 90о; в) 0о. A(8; 12) B , симметричную точке 8.11. Найти точку относительно прямой x 2y 6 0 . 8.12. Найти один из углов между прямыми:
б)
x 4 и y t 7
x 3t 1 y
3t 2
БН
а) 2 x 3 y 5 0 и x 3y 7 0 ; .
8.1. x 9y 17 0 .
x 3 0
x
x 1 1
4 4x
8.7. x
y 25 0. 5
3.
19 . 17
Ре
8.10. а) x
8.5. 3 .
x 3 t . y 2 5t
y 2 , 5
0. y 2 , 1
8.6.
1, 2 .
8.8. O(3;1 / 3) .
y 5 0 ; б) x 2
8.11. B(12; 4) .
9 7
y 1 x 1 , 3 1 1
8.9. 5x 3 y 25 0 , 5x 3 y 9
27
x 3 1
8.3. x
3.
y 2 x 6 2 4 4
по з
8.4. 1
y 2 , 1
8.2. а)
ит о
б)
ри й
Ответы
0.
0 ; в) y 3 0 .
8.12. а) arccos
7 ; б) 3 130
60 .
Занятие 9 Прямая и плоскость в пространстве Аудиторная работа
ТУ
9.1. Даны две точки M1 (3; 1; 2) и M1 (4; 2; 1) . Составить M1 уравнение плоскости, проходящей через точку
ит о
ри й
БН
перпендикулярно вектору M1M 2 . 9.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M1 (1; 3; 4), M 2 (3; 0; 2) и M 3 (2; 5; 7) . 9.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; 0; 2) перпендикулярно к плоскостям x 2 y z 5 0 и 2 x y 3z 1 0 . 9.4. Найти расстояние между плоскостями 2 x 3 y 6 z 21 0 и 4 x 6 y 12z 35 0 . 9.5. Составить уравнения прямой, проходящей через точку M (4; 3; 2) перпендикулярно к плоскости x 3 y 2 z 5 0 . 9.6. Найти угол между прямыми
x 2y x 2y
z 1 0, z 1 0
x x
и
y z 1 0, y 2 z 1 0.
по з
9.7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
M (2; 0; 3) параллельно прямым x 2 3
проекцию
Ре
9.8. Найти
y 1 1
z 1
и
точки
x 1
y 2
z . 1
A(3; 1; 4)
на
плоскость
2x y z 5 0 . 9.9. Найти проекцию точки
y 2 2
2
z 3
A(2; 3; 1) на прямую
x 7 1
и расстояние от этой точки до данной прямой. 28
Домашнее задание
БН
ТУ
9.10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ( 1; 2; 3) , параллельно плоскости, проходящей через точки M1 (1; 0; 2), M 2 (3; 4; 5), M 3 ( 1; 2; 0) . 9.11. Найти расстояние от точки M (2; 1; 1) до плоскости x y z 1 0. 9.12. Определить, при каком значении параметра плоскость x (2 1) y z 5 0 : а) параллельна плоскости 2 x 3 y z 4 0 ; б) перпендикулярна плоскости 3x y z 0 . 9.13. Найти координаты точки Q , симметричной точке P( 3; 1; 9) относительно плоскости 4 x 3 y z 7 0 . угол
между
прямой
ри й
9.14. Вычислить
x 2y 3 0 3y z 1 0
и
плоскостью 2 x 3 y z 1 0 .
x 2 y 3 z 4 x y 4 z 3 и ? 1 2 3 3 2 5 9.16. Найти координаты точки Q , симметричной точке P(2; 5; 7) относительно прямой, проходящей через точки M1 (5; 4; 6) и M 2 ( 2; 17; 8) . 9.17. Составить параметрические уравнения медианы A(3; 6; 7), B( 5; 1; 4), C(0; 2; 3) , треугольника с вершинами проведенной из вершины C .
по з
ит о
9.15. Пересекаются ли прямые
Ре
Ответы 9.1. x
9.3. 5x 9.5.
y 3z 2
0.
y 3z 11 0.
x 4 1
y 3 3
z 2 . 2
9.7. x 2 y 5z 17 0. 29
9.2. 5x 8 y 7 z 1 0. 9.4. 5,5. 9.6.
3
.
9.8. 1; 2; 5 .
5; 2; 4 .
9.10. x 3 y 2 z 1 0 .
9.11.
3.
9.12. а)
; б)
.
9.13. Q(1; 2; 10) .
9.14. sin
5 ; 7
4536 .
9.15. Нет.
9.16. Q(4; 1; 3) .
9.17. x 2t , y
3t 2 , z 17t 3 .
БН
Занятие 10
ТУ
9.9.
Кривые 2-го порядка на плоскости. Поверхности 2-го порядка
ри й
Аудиторная работа
ит о
10.1. Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что: а) расстояние между фокусами равно 8, малая полуось равна 3; б) малая полуось равна 6, эксцентриситет равен 4/5. 10.2. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса
Ре
по з
4x2 y 2 4 . 10.3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что: а) расстояние между фокусами равно 30, а расстояние между вершинами равно 24; б) действительная полуось равна 4 и гипербола проходит через точку M (2;4 2 ) . 10.4. Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы - в вершинах эллипса 6 x 2 5 y 2 30 . 10.5. Составить каноническое уравнение параболы, если известно, что: а) парабола имеет фокус F (0;2) и вершину в точке O(0;0) ; б) парабола симметрична относительно оси Ox и проходит через точку M (4; 2) . 30
10.6. Составить
канонические
уравнения 2
парабол,
фокусы
2
которых совпадают с фокусами гиперболы x y 8. 10.7. Выяснить, какая фигура соответствует каждому из данных уравнений, и (в случае непустого множества) изобразить ее в системе координат Оху:
y 2 4x 6 y 4 0 ;
ТУ
а) x 2
б) 3x 2 4 y 2 12x 8 y 20 0 ;
БН
в) y 2 3x 4 y 10 0 ; г) 2 x 2 3 y 2 6 x 6 y 25 0 .
10.8. Определить вид поверхности и построить ее:
y2 y2
б) x
z 2 3x 5 y 4 z 0 ; 2z 2 ;
y2
г) 2 x 2
y2
д) z 2
4x ;
z2
4;
ит о
в) 2 x 2
0;
по з
3z 2
z2
5.
Домашнее задание
Ре
е) x 2
ри й
а) x 2
10.9. Найти уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями x 2y 0 , а расстояние между вершинами, лежащими на оси Ox , равно 4. 10.10. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего
через
точки
эксцентриситет. 31
M1
3 3 ; 1 2
и
M2
1;
4 2 , 3
и
найти
его
10.11. Найти длину общей хорды параболы y
2x 2 и окружности
y2 5 . 10.12. Написать уравнение параболы, проходящей через точки (0; 0) и ( 2; 4) , если параболы симметрична: а) относительна оси Ox ; б) относительно оси Oy . 10.13. Какая фигура соответствует каждому из данных уравнений? Сделать чертеж, если это возможно.
б) x 2
25y 2
4 x 10 y 8 0 ;
БН
а) 4 x 2
ТУ
x2
y2 2x 2 y 0 ;
в) x 2 6 x 2 y 11 0 .
а) x 2
y2
z2
2z ;
ри й
10.14. Определить вид поверхности и построить ее:
б) x 2 3z 2 8x 18z 34 0 ;
y 2 10x 6 y 10z 14 0 ;
г) xy 1 .
по з
Ответы
ит о
в) 5x 2
x2 25
10.1. а)
y2 9
Ре
10.2. F1 0,
10.3. а) 10.4.
б)
x2 36
x2 5
y2 81
1.
1;
б)
y2 1. 100 3 . 2
3 , F2 0, 3 ,
x2 144
y2 1
1;
y2 16
x2 4
10.5. а) x 2
1.
8 y;
б) y 2
x.
32
10.6. y 2
16x. 10.7. а) окружность x 2 y 12 3
б) гипербола
в) парабола y 2
x 2 4
2
2
y 32
12.
2
1;
3x 2 ;
ТУ
г) пустое множество. 10.8. а) сфера;
б) эллиптический параболоид;
БН
в) олнополостный гиперболоид; г) коническая поверхность; д) параболический цилиндр; е) круговой цилиндр; 10.9.
x2 9
y2 4
10.12. а) y 2
в) ( x 3)2
( y 0,2) 2 0,4
( x 4) 2 9
(z 3) 2 3
Ре
1;
б) x
y 2 0; x y 0 ;
10.14. а) x 2
2( y 1) .
по з
б)
x2 .
б) y
8x ;
( x 0,5) 2 2,5
10.11. 2.
ит о
10.13. а)
5 . 3
1;
y2 1. 1
ри й
10.10.
x2 4
1;
в) z
( x 1) 2 2
y 2 ( z 1)2 1 ; ( y 3) 2 . 10
Занятие 11
Функция. Предел последовательности и предел функции Аудиторная работа
11.1. Найти области определения функций: а) y 33
x2 6x 5 .
б) y
2x arccos . 1 x
25 x 2
в) y
lg sin x .
2x
г) y
2
2
.
11.2. Проверить функции на четность или нечетность:
x
в) f ( x)
2x 1
.
б) f ( x)
x2
г) f ( x)
ex 1 . ex 1
11.3. Построить графики функций:
2x 3 . x 1
в) y
б) y | 3x 4 x 2 | . г) y
2 sin(2 x 2) .
3x 1
3x 2
x 5
2 x2
9x 4
x
в) lim x
x
4
x 20
x 7
д) lim
21
n
.
3
3 x
.
по з
x
2
ж) lim
n 2 2n 1
n 2 7n 3 .
Ре x
0
3
л) lim
16 x 2
x 1 x 1
x 1
н) lim x
x2 1 1
x2
2 2x
2
г) lim x
е) lim n
з) lim
x
4
x
9x 5 4x 5
.
1 2 3 ... n n 2
2x2
5x 4
3 2 x 5 x3
n . 2
.
sin x cos x . cos 2 x 4
м) lim
.
x
9 x 10
5
2
1 2n 3 . 2 5n3
к) lim
.
7 x 10
2x2
x
n
и) lim
2n 1 5n 7
б) lim
.
ит о
5x2
x sin x .
ри й
11.4. Вычислить пределы: а) lim
БН
а) y
x.
ТУ
x4 5x 2 .
а) f ( x)
x sin
1 . x
. 34
11.5. Используя замечательные пределы, найти:
tg3x . 0 sin 2 x
б) lim
x
x
0
1 cos 6 x . x sin 3x
tg x sin x
д) lim x
x
0
ж) lim x
2x 3 2x 1 7x 3 9x 3
и) lim x
3
0
cos x cos3x
г) lim x
x2
0
2
е) lim
.
x
x
/4
з) lim 1 tg2 x
.
x
0
6 x 7 x
к) lim
.
x
x2
л) lim ((2 x 1)(ln(3x 1) ln(3x 2)) . x
ex e . 1 x 1
x
x
ln(1 x)
0
3x 1
a2x 1 . 0 x
о) lim
по з
x
н) lim
ит о
м) lim
Домашнее задание
11.6. Найти пределы указанных функций:
Ре
а) lim x
в) lim
x 1
2 4x2 x3
x3 x
д) lim x x
35
2
3x3
7 x 10 x2
x 1
4x 3
x2
5
3/ x
1 x3
1/ x
б) lim
.
x
г) lim
.
x
x2 1
5
. е) lim x
1
7 x 2 10x 20 x3 10x 2 1
x2
25
x 1 2
1
.
2 cos x . 4x
БН
x
ри й
в) lim
ТУ
x . 0 sin 3 x
а) lim
.
2 . 1 x 1 x2
.
.
.
.
cos3x cos x
0
1
1 x2
к) lim (1 4 x)
.
x
2
л) lim (cos x)1/ x . x
0
x
5;
0;
11.2. а) Четная;
б)
;
г)
;
г) 0;
5 ; 2
по з
ж)
1 ; 2
Ре
к)
н) 3;
.
г) Нечетная. в)
2 ; 5
д) –1;
е)
1 ; 6
з) 0;
и) 4;
б) 1;
ит о
5 ; 3
;
б) Ни четная, ни нечетная;
в) Ни четная, ни нечетная; 11.4. а)
1 ;1 ; 3
ри й
в) x
5;
БН
Ответы
;1
.
м) lim ((x 4)(ln(2 3x) ln(5 3x))) .
0
11.1. а)
1 x x
ТУ
x
1 cos 4 x . x 0 3x sin 2 x
з) lim
.
2 x
x
и) lim
3x
x
ж) lim
л) о)
2 ; 3
м) 0;
2 ; 2
б)
3 ; 2
в) 6;
д)
1 ; 2
е)
11.5. а)
1 ; 3
г) 4;
2 ; 4
ж) e 2 ; 36
з) e 3 ;
и) e
л) e 2 ;
м) e;
н)
л) 2 ln a.
11.6. а) 3;
б) 0;
в) –1;
г) 40;
д) 2;
ж) e 6 ;
з) 4 / 3 ;
к) e 1;
к) e 4 ;
и) –8;
л) e
1/ 2
1 ; ln 3
ТУ
;
м) 1.
БН
1 ; 2
е)
23
;
Занятие 12
ри й
Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функций. Точки разрыва Аудиторная работа
cos x cos 2 x . 0 1 cos x
б) lim
по з
ит о
12.1. Вычислить пределы, используя теорему об отношении двух бесконечно малых функций:
г) lim
а) lim x
arcsin
в) lim д) lim x
2
x
1 x2
.
ln(1 x)
0
sin 3( x 2)
Ре
x
x
2
3x 2
37
x x 1
.
x
e5 x 1 . 0 sin 10x
е) lim
.
12.2. Исследовать функции характер точек разрыва: а) f ( x)
x
ln(1 x) . 0 2 tg 3 x
x
на
5
tg( x 5) x2
25
непрерывность, б) f ( x)
. установить
sin( x 2) . x 2
x
д) f ( x) arctg
ж) f ( x)
1 x 3
x 1, x 1.
x 2 1,
1
1
5x
2
x 1
.
x 1, x 3, 1 x 2, x 1, x 2. 2
з) f ( x)
БН
2
x
2
| x 1| . x 1
е) f ( x)
.
1
и) f ( x)
x
2x 1
3
sin x,
2х ,
5x
x2
г) f ( x)
.
ТУ
в) f ( x)
2 34 x
x3 1 . x 1
к) f ( x)
.
1
ри й
Домашнее задание 12.3. Вычислить пределы:
ln(1 7 x) . 0 sin 2 x
а) lim
4x2 1 . 1 arcsin(1 2 x)
в) lim x
x
ит о
x
2
по з
12.4. Исследовать на характер точек разрыва:
Ре
а) f ( x)
в) f ( x)
г) f ( x)
esin 7 x 1
б) lim
tg x . x 2x 2
г) lim x
непрерывность
x2
0
2
x2 tg( x
.
3x 2
4 3x 2)
функции;
1
б) f ( x)
1
1 3x
.
установить
.
4 x 2 , 2 x 2, x 2, 2 x 4, 2 x , x 4. Построить график функции.
ex e x
x
. 38
Ответы
1 1 1 ; в) –1; г) ; д) 3; е) . 12.2. а) x 1 – точка 2 10 6 разрыва 2-го рода; б) x 2 – точка устранимого разрыва, f 2 1 ; в) x 2 – точки разрыва 2-го рода; г) x 1 – точка устранимого разрыва; д) x 3 – точка разрыва 1-го рода; е) x 1 – точка разрыва 1-го рода; ж) Функция непрерывна при x R ; з) x 0 – точка разрыва 1-го рода. 12.3. а) 7/2; б) 7/3; в) –2; г) 4. 12.4. а) x 0 1 – точка устранимого разрыва, f (0) ; x 2 – точка разрыва 2-го 2 рода; б) x 0 – точка разрыва 1-го рода; в) x 4 – точка разрыва 1-го рода; г) x 0 – точка устранимого разрыва, f (0) 2 .
БН
ТУ
12.1. а) 3; б)
ри й
Занятие 13
Дифференцирование функций. Логарифмическая производная
ит о
Аудиторная работа
13.1. Исходя из определения, найти производные функций:
7 x2 .
а) y( x)
б) y( x)
x.
в) y( x)
5(tg x x) .
по з
13.2. Найти производные функций: 7
а) y 5x 4 3 x3
7 / x5 4 .
Ре
в) y ( x 4 1) /( x 4 1) . д) y
39
3
((x3 1) /( x3 1))2 .
ж) y
sin x cos x . sin x cos x
и) y
х arccos
x 2
4 x2 .
б) y
x 3 sin x .
г) y
( x5
е) y
ln(2 x3 3x 2 ) .
з) y
(x2
к) y
3x 1)4 .
2 x 2)е
ctg2
x 2
х2
2 ln sin
.
x . 2
x 3
sin cos
x . 3
п) y lnarctg 1 x 2 .
x cos3 2 x lntg . 2
с) y
2 2x 1
о) y
2 ln x .
р) y
ln x lg x ln a loga x .
x
a2
т) y ln(x
13.3. Используя предварительное производные функций:
1 . x
x2 ) .
БН
н) y cos2 sin
м) y
ТУ
1 x2 . x
1 arctg
л) y
логарифмирование,
найти
ри й
а) y ( x 1)2 ( x 1)3 5 ( x 2) 4 3 (5x 3)2 . б) y
( x 3) 2 (2 x 1) . ( x 1)3
в) y
3
д) y
( x 2)( x 1) 2 . x5
x 1 . ( x 2) x 2
x3
xsin x .
е) y
xx .
ж) y
(sin x)arcsin x .
з) y
(ln x)1/ x .
и) y
(tg3x) x .
к) y
(1 x3 )arctg7 x .
по з
ит о
г) y
4
2
Ре
13.4. Составить уравнения касательной и нормали к параболе
f ( x)
x2
4 в точке М(1;5). Домашнее задание
13.5. Найти производные функций: а) y e x 1 e2 x
arcsin e x .
б) y
x3 ln 2 (sin 2 x tg2 x) . 40
в) y
cos2 x 1 . sin 2 x 1
д) y
x 3x
3
arctg 1 e- x . е) y ( x3 1) tg 2 x .
( x 1)3
4
x 2
5
2
4/3
( x 3)
x
з) y
.
(arccosx) 2 ln(arccosx) .
ТУ
ж) y
2
2
г) y (sin3 x e x )3 lg2 ( x4 sin 2 x) .
e1
функции y
x2
в точке x0
1.
Ответы
13.6. 2 x y 3 0, x 2 y 1 0 .
ри й
13.4. y 2 x 3; x 2 y 11 0.
БН
13.6. Составить уравнения касательной и нормали к графику
Занятие 14
ит о
Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Дифференциал функции Аудиторная работа
14.1. Найти производные функций, заданных параметрически:
2, y
1 t3 3
по з
а) x t
2
в) x
a(
д) x
arccos t , y
ж) x
a cos3 t , y
Ре
sin ) , y
1.
б) x
a(1 cos ) . г) x t t2 .
a sin 3 t .
1 t 1
,y
ln t , y
2
t
.
t 1
t 2 1. ln(1 t 2 ) .
е) x
arctgt , y
з) x
tg t , y
б) x
3at
3at 2
1 t
1 t2
sin 2t
2 cos 2t .
14.2. Найти y x в указанных точках: а) x
41
et cos t , y
et sin t; t
6
.
,y 2
;t
2.
14.3. Найти производные функций, заданных неявно: а) e x
2x2 y 2 e y
0.
в) x y arcsin x arcsin y .
y x2 .
ж) x 2 / 3
y2 / 3
x.
г) 2 x
2x
2y
y
.
е) sin( xy) cos(xy) 0 .
ТУ
д) arctg y
б) 2 y ln y
a2 / 3 .
з) e x sin y e y cos x 0 .
БН
14.4. Найти y x в точке x 1 , если x3 2 x 2 y 2 5x y 5 0 , y(1) 1 . 14.5. Найти y x в точке (0,1) , если e y
xy e .
14.6. Найти дифференциалы функций:
x tg3 x .
в) y ln(x
б) y
arctg x
г) y 5
y
ри й
а) y
4 x2 ) .
x2
(arcsin x) 2 . 1.
ex
2
x
при
ит о
14.7. Найти приближенное значение функции y( x) x 1, 2 . 14.8. Вычислить приближенно: б) ln 1,2 .
по з
а) arcsin 0,05 . в) 4 17 .
г) tg 4456 .
Домашнее задание
Ре
14.9. Найти y x : а) x
t 1 ,y t
t 1 . t
б) x
et sin t , y
et cos t .
14.10. Убедиться в том, что функция, заданная параметрически 1 ln t 3 2 ln t ,y уравнениями x , удовлетворяет соотношению 2 t t yy 2 x( y ) 2 1 . 42
14.11. Найти производные от функций, заданных неявно: а) x3
y 3 3axy 0 .
б) sin( xy) cos(xy)
tg(x
y) .
14.12. Убедиться в том, что функция у, определенная уравнением
а) y
1 x2
x arcsin x
3.
а) e y
x
y.
а) sin 29 .
б)
БН
14.14. Вычислить приближенно:
(2,037) 2 3 . (2,037) 2 5
t . 2
sin 1 cos
д) 2t 1.
tgt.
ctg . 2
е) 2t. з) 2 cos 2t 2 sin 2t cos2 t.
1 2
3 1 .
б)
14.3. а)
ex ey
4 xy 2 . 4x2 y
б)
1 . 2 ln y 1
г)
2x 2x
Ре
14.2. а)
2
1 x2 1 1 y 2
в)
1 y
43
2t . t 1
г) 2t 2 .
по з
ж)
б)
ит о
в)
ри й
Ответы 14.1. а)
0.
ТУ
xy ln y 1 , удовлетворяет соотношению y 2 ( xy 1) y 14.13. Найти дифференциалы функций:
. 2
1 1 x
2
4 . 3
2x y
y
2y
.
е)
y . x
з)
14.4.
3
4 . 3
dx 4 x2
3x 2
cos x
dx.
б)
1 1 2 arctgx 1 x 2 г)
.
2 arcsin x 1 x2
dx.
2 xdx . 5y4 1
14.8. а) 0,05.
14.7. 1,2 . б) 0,2.
в) 2,02. б)
ит о
14.9.а) –1.
ay x 2 . y 2 ax
по з
14.11. а)
e 1.
14.5.
14.6. а) tg2 x tgx
в)
e y sin x e x sin y . e y cos x e x cos y
БН
ж)
y . x
ТУ
2x 1 y2 . y2
ри й
д)
б)
1 tg t . 1 tg t
y cos2 ( x y )(cos(xy) sin( xy)) 1 . x cos2 ( x y )(cos(xy) sin( xy)) 1
dx
б)
14.14. а) 0,485.
б) 0,355.
Ре
14.13. а) arcsin xdx .
e
y
1
.
Занятие 15
Производные и дифференциалы высших порядков Аудиторная работа
15.1. Найти производные 2-го порядка от следующих функций: а) y cos2 x .
б) y arctgx 2 . 44
в) y
3
log 2 1 x 2 . г) y
1 2 x 1 x2 3
2 1 x2 3
x arcsin x .
а) y 1 xe y .
б) x3
в) arctg y
г) y
y x.
y3
3xy .
x ln y .
ТУ
y c1e2 x c2e3 x при любых 15.2. Показать, что функция постоянных c1 и c2 удовлетворяет уравнению y 5 y 6 y 0 . 15.3. Найти производные 2-го порядка от функций, заданных неявно:
2, y
в) x a cos2 t , y
1 3 t 1. 3
a sin 2 t .
б) x arcsin t , y г) x
1 t2 .
t 2 1.
ри й
а) x t 2
БН
15.4. Найти производные 2-го порядка от функций, заданных параметрически:
ln t , y
а) y
e
ит о
15.5. Найти дифференциалы 1, 2 и 3-го порядков функции y (2 x 3)3 . 15.6. Найти дифференциалы 2-го порядка функций: x2
y2
б) xy
.
1. ln x . x 31 с точностью до двух
по з
15.7. Найти дифференциал 3-го порядка функции y
Ре
15.8. Найти приближенное значение знаков после запятой.
5
Домашнее задание
15.9. Найти производные второго порядка следующих функций:
1 x 2 arcsin x .
б) y
15.10. Найти y ( n) ( x) , если y
e
а) y
45
x
ln x .
1 x2 .
d2y
15.11. Найти а) e x
y
dx2
, если:
1 ,y cos t
б) x
xy .
tgt .
уравнению y
13y
12 y
y
e4 x
2e
x
удовлетворяет
БН
15.13. Доказать, что функция
ТУ
15.12. Вычислить значение производной второго порядка функции y , заданной уравнением x 2 2 y 2 xy x y 4 , в точке M (1;1) .
0 . Записать для этой функции d 3 y .
15.14. Вычислить приближенное значение функции y при x 1,3 с точностью до двух знаков после запятой.
15.9. а)
ри й
Ответы
arcsin x x 1 x 2 2 3
.
б)
ит о
(1 x ) 15.10. ( 1)n e
.
ctg3 t .
по з
15.11. б)
x
Ре
15.13. 64e 4 x
2e x dx 3 .
x
(1 x 2 )3
15.11. а)
3
x 2 5x 12
.
y ((x 1) 2
( y 1) 2 )
x 2 ( y 1)3
.
15.12. –1. 15.14. 1,93.
Занятие 16
Правило Лопиталя–Бернулли. Формула Тейлора Аудиторная работа
16.1. Применяя правило Лопиталя–Бернулли, найти пределы:
46
x
x
в) lim x
б) lim
.
x
ln(x a)
a 0 ln(e
x
a
e )
x2
г) lim
.
x
2
д) lim x 2e1/ x . x
0
x4 2 cos x 2
2arctgx . ln 1 1x 1
е) lim
0
x
0
1 x2 )
ln(x 1
ж) lim ( x 10 )
з) lim x
.
x
x
и) lim (tg x) 2 x
x
2
x
1
к) lim 1
.
.
x2
.
ри й
x
0
ln(e x 1)
1 . ln(1 x)
БН
x 1/ x
.
ТУ
ex e 0 sin x
а) lim
16.2. Разложить многочлен f ( x) x 4 2 x 2 13x 9 по степеням двучлена x 2 . 16.3. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции
f ( x) 10x в точке x0
ит о
0.
16.4. Вывести приближенную формулу sin x
x
x3 и оценить 6
ее точность при | x | 0,05 .
по з
16.5. Вычислить с точностью до 10 4 cos10 . 16.6. Найти пределы, используя разложение по формуле Тейлора:
1 x
а) lim
в) lim x
0
xe2 x
xe x
x
2e2 x
(e x 1)3
2e x
.
Домашнее задание
47
1 cos x . 0 x 2 x3
б) lim
.
x
0
Ре
x
1 x
16.7. Найти пределы функций, применяя правило ЛопиталяБернулли: x 2 ln x x sin x 16.7. а) lim . б) lim . x x 0 x x3
x
0
1 arctgx
1 . x
г) lim ln x ln x 1 . x
1
ТУ
в) lim
2
д) lim (cos2 x)3 / x . x
0
БН
16.8. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции 1 при x0 1 . f ( x) x
ри й
16.9. Вычислить приближенно sin 1 с точностью до sin x x 16.10. Вычислить предел lim 2 , используя x 0 x sin x Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
ит о
Ответы 16.7. а) 1.
б) 1/6.
в) 0.
г) 0.
10 4 .
формулу
д) e 6 .
1 13 135 1357 ( x 1) 4 ( x 1) 2 ( x 1) 2 3 ( x 1) 3 , 2 2 2! 2 3! 2 4 4! (1 ( x 1))9 / 2 0 1.
по з
16.8. 1
Ре
16.9. 0,0175.
16.10.
1 . 6
Занятие 17 Монотонность функций. Экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции Аудиторная работа 48
17.1. Найти интервалы монотонности и точки экстремума следующих функций:
в) y д) y
x4 4
2x2 1 x4 3
11 2 9 x 6x . 2 4
2 x3
.
x 2 2x .
б) y
ln x . x
г) y
x 2 sin x .
е) y
x 2e
ТУ
а) y
x
1 x
в) y
x1/ x .
x.
б) y
x 2 (a
г) y
x . ln x
ри й
а) y
БН
17.2. Найти экстремумы функций, пользуясь производной 2-го порядка:
x) 2 .
17.3. Определить наибольшее и наименьшее значения данных функций в указанных интервалах:
x 4 2 x 2 5; [ 2,2] .
в) y
3
д) y
x2 1 ; x2 1
ит о
а) y
3
x 1 ; 0, 1 .
x 2 x ; [0,4] .
1 x ; [0,1] . г) arctg 1 x
2, 1 .
по з
x 1
б) y
Ре
17.4. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см3, причем стороны основания относились бы как 1 : 2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей? 17.5. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R. Домашнее задание 17.6. Найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума следующих функций: 49
а) y
x 1 x2 .
б) y ln x arctgx .
17.7. Найти экстремум функции y
a2 (a 0) , используя x
x
1 x
x2
1 x
x2
б) y
; 0, 1 .
xe
x2
2
.
БН
а) y
ТУ
вторую производную. 17.8. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах (или во всей области определения):
17.9. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения будет наибольшей?
ри й
Ответы 17.6. а) На ( 1; 1 / 2 ) возрастает; ymin
(1 / 2 ;1) – убывает; на ( 1 / 2 ; 1 / 2 ) –
y( 1/ 2 )
1/ 2; ymax
y(1/ 2 ) 1/ 2 .
ит о
17.6. б) Возрастает на всей области определения. 17.7. ymax
y ( a)
y(a) 2a .
17.8. б) 1 / e и
по з
17.8. а) 1 и 3/5.
2a; ymin
1/ e .
17.9.
.
Занятие 18
Ре
Выпуклость и вогнутость графиков функций. Асимптоты. Построение графиков функций
18.1. Найти
Аудиторная работа точки
перегиба
и
интервалы
выпуклости
и
вогнутости графиков функций: 50
а) y ln(x 2 1) . в) y
1
x2
x
2
.
б) y
3x 4 1 . x3
г) y
xe x .
в) y
x4 x
3
1
.
б) y
ln x . x
г) y
( x 2)e
1/ x
БН
а) y
ТУ
18.2. Найти асимптоты графиков функций:
x sin x .
.
18.3. Провести полное исследование и построить графики функций:
2x2 1 x4
б) y
.
x 1 x2 .
д) y
x 2 ln x .
x
.
г) y
3
x 2 2x .
ит о
в) y
x 2e
ри й
а) y
Домашнее задание
по з
18.4. Найти точки перегиба графиков функций: а) y
2x 1 . ( x 1) 2
б) y
x arctgx .
Ре
18.5. Найти асимптоты графика функции y
x ln e
18.6. Исследовать функции и построить их графики:
а) y
x3 . 1 x2
Ответы 51
б) y
xe1/ x .
1 . x
18.4. а)
1 8 . , 2 9
18.5. x
1 ;y e
б) Точек перегиба нет.
1 . e
x
Типовой расчет № 1
ТУ
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Задача 1
x2
x3
x4
1.1. а) 2 x1
x2
x3
3x1
x4
4.
2 x1
x3
2 x4
x3
x4
б)
3,
5,
x4
б)
0,
ит о
1.2. а) x2
2 x1 3 x2
1,
2 x1
x2
3 x3
5.
x2
2 x3
3x4
2,
x2
x3
2 x4
x1
x2
x4
1.
Ре
по з
1.3. а) x1
2 x2
1.4. а) x1
x1
4 x2
x3
x3 2 x2
x2
0,
0,
5 x4
x4 2 x3
2 x3
2 x1 3 x2
x3
x1
0, 2 x4
3.
x3 x3
7 x1 3x2
x3
3 x1
x2 x2
1. 0, 1,
4 x1 5 x2
1, 3.
2 x3 1, x3
2,
x1
x2
x3
3,
x1
x2
x3
0.
4 x2
x3
0,
2 x2
x3
0,
2 x1
x2
x3
0.
3x1
x2
x3
4,
2 x4
2,
б) x1
3,
x2
0,
1,
x1 2 x2
б) x1
1.
x3
1,
x1 б)
x2
x3
3x1 2 x2
3 x1
2,
2 x3 3x4
1.5. а) 3x1 3x2
3x1
4 x4
x4
x1
ри й
x1
БН
Исследовать систему уравнений и в случае совместности решить ее.
2 x1
x3 x2
2 x4
2. 52
x4
x1 2 x2
2 x3
4 x1 2 x3 1.7. а) 3x1
x4
x1 3 x3
x1 3x1
0.
0,
x3
2 x4
2 x2
x4
б)
0, 0.
х3
x2
x4
x2
х3
2 x2
2 x4
1.9. а) 2 x1
x2
x4
0,
1.10. а) x2
х3
x4
0,
Ре
2 x3
1.11. а) x1
4 x4
2 x1 3х2 53
б)
б)
0.
4 x4 х2
0,
0.
x1
x3
2 x2
x2
x4
б)
0, x3
2, 2 x3 x4
0.
7,
4 x1
2 x3
0.
2 x1
2 x2
x3
2 x1 x1
x2
x2
x4
x3
x1
x3
6,
5,
3x1
2 x2
x2
x3
x4
x1
5 x2
x2
0.
0,
х4 x3 x3
x1 3 x2
6.
x2
x3
x4
x1
x2
x3
1, 0,
7,
х2
1, 0.
x3
2 x1
5,
x4
2, 4,
x4
3 x1 3x2
0,
x4
x3
0,
x3 1,
3 x1 2 x2
0,
x4
по з
x1
x1
2 x4
3 x1 3x2
б)
0,
x4
x3
x1
ит о
x1
2.
0,
6 x4
x3
1.8. а) 2 x1
x4
5 x4
x3
б)
1,
2 x1
ТУ
x3
3,
ри й
1.6. а) 2 x1
3 x3
БН
x1 2 x2
3,
0.
x2
x3
x4
1,
x1
x2
x3
х4
x1
2 х3
x1 2 x2
1,
0, 2 х4
2.
х2
x4
0,
1.12. а) 2 x1
х2
x4
0,
x1 3х2
0.
х2
x3
х3
x4
x1
2 x2
х4
5,
2 x2
х3
х4
0,
2 x1
x2
х3
х4
3x3
3,
3x1
х2
2 x3
х4
4 x1
х2
3 x3
2 х4
б) x1
3,
x3
0,
б) x1
2 x3
х4
0,
x1 3х4
0.
2 х2
x3
1.14. а) x1
х2
x4
1,
x1
х3
2 х4
4.
5 х3
x1
0,
ит о
2 х2
4 x4
5 x1 8 х2 13х3
х2
x4
1,
х2
х3
x4
1,
по з x1
Ре
1.16. а)
2 x1
х3
х4
3 х1
х4
5.
x1
2 х3
x4
0,
х2
x3
0,
1.17. а) 2 x1
x1
х3
х4
0,
0.
2 х4
0,
2 х2
3,
1.15. а) 3x1
х4
x1
x4
x4
1.
0,
0.
х3
4 х3
4x4 x2
7,
х4
х2
x1 3х2
x3
х2
2 x1
6.
ри й
1.13. а)
x1
0,
х2
БН
2 x1
б)
x1
ТУ
3x1
0,
б)
0.
3 x1
2 x2
2 x1
х2
х3
х3
2 x4
б) x1
x3
х4
x1
х2
3х4
б)
0,
2 х4
х3
x1
4,
х4
х3
6 x1 3x2
2 х2
х4
1,
3.
0, 0, 0.
2 x3 4 х4 1,
3x1 x2 х1 x2 4 x1 4 x2
х3 х3
х4 х4
2, 1,
2 х3 4 х4
0.
54
x2
x3
б)
0,
2 x1
x2
3x3
0.
3 x2
x3
4 x4
0,
x3
x4
2 x1 3x4
2 x1
x3
б)
0, 0.
3 x4
x1
x2
x4
x3
x4
4,
1, 1,
3x1
2 x2
x2
x3
3 x4
1.21. а) x1
x3
x4
1,
x1
x2
4 x4
2.
x3
x4
x4
3,
3 x1
x2
2 x3
0,
x1
x2
0,
3x1 2 x2
x3
0.
x3 5 x4
5,
1.23. а) 2 x1
x2
x4
1,
5 x1
x2
x3
x4
x3
6 x1
x2
x2
5 х3
x3 x2
1,
x3 3x4 2 x4
x4
1,
2 x3
x4
1,
x2
x3
0,
б) x1
x2
x3
0,
2 x1
6 x3
x2
б)
б)
б)
2 x4
x3
2 x1 3 x2
6.
2.
0,
x1
0,
x4
3x1
x4
2 x2
3,
1.22. а) 2 x1 2 x2
Ре 55
x3
x3
x1
4.
ит о
по з x1
2 x1
ри й
1.19. а) x1
1.20. а)
0,
ТУ
1.18. а) x1
4 x3
БН
x1 2 x2
0.
x3
x2
x3
x4
x1
x2
2 x3
0, 0, 0,
3x1
x2
2 x3
3x1
x2
5 x3 1,
x4
x1
x2
4 x4
5,
x2
x3
x4
1,
3x1
2 x2
6 x3
9.
x4
0,
x3
0,
2 x2
x4
0,
3x1
x2
x1 3 x2
x3 x3
0.
x4
x1 2 x2 x3
0.
x4
0.
1.25. а)
x4
x1 7 x3
x4
x1
x2 10x3
x1
x2
x3
2, 1, 2 x4
3x1 2 x2
x3
2 x1 2 x2
4 x3 2 x4
x4
0, 0.
0.
2 x1
x2
x4
2,
x2
2 x3
x4
0,
2 x1
0,
б)
2 x1
2 x2
3 x3
2,
2 x1 3 x3
2 x4
2.
ТУ
1.24. а)
3x3
x2
x3
0,
б) x1 2 x2
x3
0,
3x1
2 x3
x2
0.
БН
x2
m1 4m2 ; m1, m2 –
ри й
Задача 2 2.1. Вычислить (a , b ) , где a 3m1 2m2; b
Ре
по з
ит о
единичные векторы, угол между которыми равен . 4 2.2. Найти проекцию вектора a 4i 3 j 4k на направление вектора b 2i 2 j k . 2.3. Найти (a , b ) , a , b , если a 2i j k , b j 2k . 2.4. Вектор c , коллинеарный вектору a 5i 2k , образует острый угол с осью Oz. Найти координаты вектора c , если c 3 29 . 2.5. Найти 2a 3b , a b , если a . 2 , b 2 , a, ^ b 4 2.6. Найти (a , b ) , a , b , если a 2m 3n p; b m 4 p, m, n, p – ортогональный базис и m 2, n 3, p 4 .
2.7. Найти длину вектора a 3m 4n , если m n 1, m^ n . 3 2.8. Найти вектор b , коллинеарный вектору a 2i j k и удовлетворяющий условию (a , b ) 3 . 56
2.9. Найти 2a 5b , a 3b , если a
2, b
3, a ^ b
ТУ
2 . 3 2.10. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, сторонами которого служат векторы а 2i j k , b i 3 j k . 2.11. Найти вектор d , удовлетворяющий условиям d , a 5, d , b 2, d , c 3 , если a 1 ,2 ,0 , b 1, 0, 5 , c 1, 0, 0 . 2.12. Даны векторы a 3i 6 j k , b i 4 j 5k , c 3i 4 j 12k .
БН
Найти проекцию вектора a b на направление вектора c . 2.13. Вектор b , коллинеарный вектору a 6i 8 j 7,5k , образует острый угол с осью Oz. Найти координаты вектора b , если b 50 .
ит о
ри й
2.14. Найти площадь треугольника, построенного AB 3a 2b и AC 6a 3b , если a 4, b 3 a ^ b 2.15. Найти [a , b ] , если a 8, b 15, a, b 96 . 2.16. Какой угол образуют векторы a и b , если n 5a 4b ортогональны, a b 1 ? a, b b, c c , a , если 2.17. Вычислить a b c 1.
на векторах
6
.
m a 2b и a b c 0,
Ре
по з
2.18. Даны точки А(–5, 7, –6) и B(7, –9, 9). Найти проекцию вектора a i 3 j k на направление вектора АВ . , a^ j , a 6. 2.19. Найти координаты вектора a , если a ^ i 3 4 2.20. Найти вектор х , ортогональный вектору a 12, 3, 4 , имеющий с ним одинаковую длину и лежащий в плоскости Oyz. 2.21. Найти угол между векторами a 2m 4n и b m n , если 2 m n 1, m^ n . 3 57
Задача 3
БН
ТУ
2.22. Найти проекцию вектора a 4, 3, 4 на направление вектора b 2, 2, 1 . 2.23. Какой угол образуют единичные векторы m и n , если векторы a m 2n и b 5m 4n ортогональны? 2.24. Доказать, что скалярное произведение двух векторов не изменится, если к одному из них прибавить вектор, ортогональный другому сомножителю. и векторы a 2i j 2k и 2.25. При каких значениях b 5i j k коллинеарны?
ит о
ри й
3.1. Найти 2a b , b , где a 3i j 2k ; b i 2 j k . 3.2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a m 2n и b m 3n , если m 5; n 3, m^ n . 6 3.3. Вектор с перпендикулярен векторам a и b , угол между a и b равен . Зная, что a 6, b 3, c 3 , вычислить (a, b , c ) . 6 3.4. Найти 2a b , 2a b , где a 2i j k ; b 3k i 2 j .
Ре
по з
3.5. Найти вектор x , если известно, что он ортогонален векторам a i j 3k , b 2i 3 j k и x, 2i 3 j 4k 51. 3.6. Найти координаты вектора x , если он ортогонален векторам a 2, 3, 1 , b 1, 1, 3 и x =1. 3.7. Найти единичный вектор d , компланарный векторам a 2, 1, 3 и b 4, 2, 0 и ортогональный вектору c 1, 1, 1 . 3.8. Вычислить площадь параллелограмма, сторонами которого b m 3n , a m 2n являются векторы и если m 5, n 3, m ^ n . 6
58
3.9. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, сторонами которого служат векторы a 2i j k , b i 3 j k . 3.10. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах a 3i 2 j 5k , b i j 4k , c i 3 j k , если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и b . 3.11. Вектор x , перпендикулярный векторам a 4i 2 j 3k и
j 3k , образует с осью Oy тупой угол. Найти координаты вектора x , если x 26.
ТУ
b
БН
3.12. Вычислить площадь параллелограмма, сторонами которого
Ре
по з
ит о
ри й
являются векторы AB и AC , если A 1, 1 , B 2, 3 , C 1, 4 . 3.13. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках A 0, 0, 0 , B 3, 4, 1 , C 2, 3, 5 , D 6, 0, 3 . Найти длину высоты, проведенной из вершины А. 3.14. Проверить, лежат ли точки A 2, 1, 2 , B 3, 0, 5 , C 1, 2, 3 , D 0, 2, 1 в одной плоскости. 3.15. Проверить, компланарны ли векторы a i 2 j k , b 3i j 2k , c 7i 14 j 13k . 3.16. Дана треугольная пирамида с вершинами A 0, 0, 1 , B 2, 3, 4 , C 6, 2, 3 , D 3, 7, 2 . Найти длину высоты пирамиды, проведенной на грань BCD. 3.17. Найти площадь параллелограмма, сторонами которого являются векторы a i 3 j k и b 2i j 3k . i j 2k . 3.18. Найти 3a b , a , если a 2i 4 j k , b 3.19. Найти (a, b , c ) , если векторы a, b , c образуют правую тройку и взаимно перпендикулярны, a 2, b 3, c 4. 3.20. Показать, что точки A(3, 1, –1), B(5, 7, –2), C(1, 5, 0) и D(9, 4, –4) лежат в одной плоскости. 3.21. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a 2i 3 j , b i 4 j . 59
Задача 4
БН
ТУ
3.22. Найти единичный вектор, ортогональный векторам a i j 2k и b 2i j k . 3.23. Вершинами треугольной пирамиды являются точки A(-5, 4, 8), B(2, 3, 1), C(4, 1, –2) и D(6, 3, 7). Найти длину высоты, проведенной на грань BCD. 3.24. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a 2i j k , b i 3 j k . 3.25. Проверить, лежат ли точки A(–1, 2, 3), B(0, 4, –1), C(2, 3, 1) и D(–2, 1, 0) в одной плоскости.
Ре
по з
ит о
ри й
4.1. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2 x 6 y 13 0 . 4.2. Найти угол между прямой 2 x 3 y 1 0 и прямой, проходящей через точки M1 1; 2 , M 2 0; 3 . 4.3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M 1; 4 параллельно прямой 2 x 3 y 4 0 . 4.4. Дан треугольник с вершинами в точках A 1, 2 , B 0, 1 и C 1, 4 . Написать уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно противоположной стороне. 2 x 4.5. При каком значении параметра α прямые 3 1 4 y 8 0 5 2 x 4 y 7 0 и взаимно перпендикулярны? 4.6. Даны вершины треугольника A 3, 5 , B 3, 3 и C 5, 8 . Определить длину медианы, проведенной из вершины С. 4.7. При каких значениях α прямые ax 2y 1 0 и 6 x 4 y 3 0 : а) параллельны; б) имеют одну общую точку? 4.8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M 4; 3 перпендикулярно вектору M1M 2 , если M1 0, 2 , M 2 3, 5 .
60
ри й
БН
ТУ
4.9. Дан треугольник с вершинами в точках M1 2, 5 , M 2 1, 3 и M 3 0, 0 . Составить уравнение медианы, проведенной из вершины M 3 . 4.10. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M1 1, 2 перпендикулярно прямой, соединяющей точки M 2 2, 3 и M 3 0, 1 . 4.11. На прямой 2 x y 11 0 найти точку, равноудаленную от двух данных точек A 1, 1 и B 3, 0 . 4.12. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M 1; 1 параллельно прямой 4 x y 5 0 . 4.13. Найти расстояние между прямыми 3x 4 y 25 0 и 6 x 8 y 50 0 . 4.14. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M 1; 2, 3 параллельно вектору AB , если A 1; 2, 4 , B 3; 5, 8 . 4.15. Привести к каноническому виду уравнения прямой
4.16. Найти уравнение прямой, проходящей через точку 1; 3 и точку пересечения прямых 2x y 1 0, 3x y 4 0 . 4.17. Найти значения параметров a и d, при которых прямая
Ре
по з
M
ит о
2 x 3 y 3z 9 0, x 2 y z 3 0.
x y z
3 4t 1 4t 3 t
принадлежит плоскости ax 2 y 4 z d 0 . 4.18. Дан треугольник с вершинами в точках А(1, 5), B( 4, 3), С(2, 9). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины А. 4.19. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x 5 y 2 0, 5x 2 y 4 0 и точку А(1, 3).
61
ТУ
4.20. Дан треугольник с вершинами в точках А(1, 1), B( 2, 3), С(4, 7). Написать уравнение медианы, проведенной из вершины А. 4.21. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 1) параллельно прямой, соединяющей точки M1(2, 3) и M 2 (5, 1) . 4.22. Даны уравнения сторон треугольника x 2y 1 0, 5x 4 y 17 0, x 4 y 11 0 . Составить уравнение прямой, проходящей через одну из вершин треугольника параллельно противоположной стороне. 4.23. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M1 (2, 3)
ри й
БН
ортогонально вектору M1M 2 , если M 2 (4, 5) . 4.24. Выяснить, принадлежат ли точки А( 1, 2), B(3, 4) и С(1, 2) одной прямой. 4.25. Даны точки А( 1, 2, 3), B(3, 1, 2) и С(1, 3, 1). Найти точку пересечения медиан треугольника ABC. Задача 5
Ре
по з
ит о
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Требуется найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) площадь грани А1А2А3; 4) объем пирамиды; 5) уравнение прямой А1А4; 6) уравнение плоскости А1А2А3; 7) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж. A2 6, 9,1 , A3 1, 7, 3 , A4 8, 5, 8 . 5.1. A1 3, 3, 9 , A2 5, 8, 3 , A3 1, 9, 9 , A4 6, 4, 8 . 5.2. A1 3, 5, 4 , A2 7, 6, 3 , A3 4, 9, 3 , A4 3, 6, 7 . 5.3. A1 2, 4, 3 , A2 3, 7,1 , A3 5, 7, 8 , A4 6, 9, 2 . 5.4. A1 9, 5, 5 , A2 4,1, 5 , A3 4, 6, 3 , A4 3, 9, 8 . 5.5. A1 0, 7,1 , A2 3, 8, 4 , A4 5, 8, 2 . A3 3, 5,10 , 5.6. A1 5, 5, 4 , A2 4, 6, 6 , A3 4, 2, 0 , A4 1, 2, 6 . 5.7. A1 6,1,1 , A2 9, 4, 4 , A3 4, 5, 7 , A4 7, 9, 6 . 5.8. A1 7, 5, 3 , A2 5, 4, 7 , A3 2, 4, 7 , A4 7, 3, 0 . 5.9. A1 6, 6, 2 , A2 3, 2, 3 , A3 3, 3, 3 , A4 2, 0, 4 . 5.10. A1 1, 3,1 , 62
A4 6,1, 5 . A4 4, 0, 5 . A4 1, 2, 4 . A4 4, 5, 1 . A4 1, 5, 5 . A4 3, 4, 1 . A4 1, 2, 3 . A4 5, 5, 3 . A4 5, 1, 3 . A4 4,1, 2 . A4 1,1, 0 . A4 3, 0, 5 . A4 0, 0, 2 . A4 5, 2, 3 . A4 4,1, 5 .
ТУ
A3 1, 3, 0 , A3 1, 5, 6 , A3 2, 5, 0 , A3 3, 3, 5 , A3 2, 2, 0 , A3 1,1, 7 , A3 2, 2, 3 , A3 2,1, 4 , A3 0, 0, 4 , A3 1,1, 0 , A3 4,1, 2 , A3 0, 0, 2 , A3 3, 0, 5 , A3 1, 4, 0 , A3 1, 0, 5 ,
БН
A2 4, 5, 2 , A1 1, 1, 6 , A1 1,1,1 , A2 3, 4, 0 , A1 0, 0, 0 , A2 5, 2, 0 , A1 7,1, 2 , A2 5, 3, 2 , A1 2, 3, 2 , A2 2, 3, 2 , A1 3,1,1 , A2 1, 4,1 , A1 4, 3, 2 , A2 2, 2, 3 , A2 7, 0,1 , A1 5,1, 0 , A1 4, 2, 1 , A2 3, 0, 4 , A1 0, 0, 2 , A2 3, 0, 5 , A1 3, 0, 5 , A2 0, 0, 2 , A1 1,1, 0 , A2 4,1, 2 , A1 4,1, 2 , A2 1,1, 0 , A1 0, 0, 0 , A2 3, 2,1 , A1 (3,1, 0) , A2 0, 7, 2 ,
ри й
5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. 5.16. 5.17. 5.18. 5.19. 5.20. 5.21. 5.22. 5.23. 5.24. 5.25.
ит о
Задача 6
Построить на плоскости кривую, приведя ее уравнение к каноническому виду.
по з
6.1. x 2 8x 2 y 20 0 .
6.2. 3x 2 4 y 2 18x 15 0 .
Ре
6.3. x 2
2 y2
2x 8 y 7
0.
6.4. x 2 8x
y 15 0 .
6.5. x 2
4 x 10 y 20 0 .
y2
6.6. 5x 2 9 y 30x 18y 9 0 . 6.7. 4 x 2 9 y 2 40x 36 y 100 0 . 63
6.8. 9 x 2 16 y 2
5x 64 y 127 0 .
6.9. 2 x 2 8x y 12 0 .
6y 3 0 .
4 y 2 54x 32 y 109 0 .
6.12. x 2 5 x
y 7
0.
6.13. x 2 4 y 2 6 x 16 y 11 0 . 6.14. 4 x 2 8x y 7 0 .
4 y 2 18x
0.
ри й
6.15. 9 x 2
ТУ
6.11. 9 x 2
4 y2
БН
6.10. x 2
6.16. x 2 y 2 8 y 3 0 . 6.17. x 2
4 y2
6x 8 y
3.
ит о
6.18. x 5 y 2 10 y 6 0 . 6.19. x 2 4 y 2 8x 24 y
24 .
по з
6.20. x 2 6 x 5 2 y . 6.21. 9 x 2 10 y 2
40 y 50 0 .
Ре
6.22. 16x 2 9 y 2 64x 18y 199 0 . 6.23. x 2 y 2 12 y 14 0 .
6.24. y 2
2 y 4 x 11 0 .
6.25. x 2
2 y2 2x 0 . Задача 7 64
Построить поверхность, приведя ее уравнение к каноническому виду.
y2 ;
б) z
7.2. а) x 2
2x 2 y2
4z 2
7.3. а) x 2
y2
6x
4z 2
7.4. а) 2 y 2
z2
7.5. а) 9 x 2
4 y2 8 y 2 y2
7.7. а) x 2
y2
7.8. а) z
2 x2
б) y 2 5 y z
0;
б) x 2
0;
z2 2z
32 ; 0;
б) z 2
4 z 6 y 20 0 .
0;
б) y 2
4x 1 .
y2 ;
9;
ит о
9 z 2 18z
2 z 8x 7 4x 2 .
б) y 2
7.11. а) x 2
y2
z2
2z ;
б) y
по з
0;
Ре
7.14. а) z
7.15. а) 2 y 2
z2
4 y2
x2
2z
z2
4 x2
0.
б) z 2
z2
3y2
6x
б) z 1 x 2 .
y2
7.13. а) 2 x 2
65
y2
7.10. а) x 2
7.12. а) x 2
2z .
б) x 2
ри й
z 2 3x 5 y 4 z
7.9. а) 36x 2 16 y 2
z2
б) xy 4 .
1 x;
z2
4.
БН
7.6. а) x 2
4 x2 .
ТУ
7.1. а) z 1 x 2
2;
2z ;
y2 ;
4x 4z 2
4 0;
7.16. а) y 2
2y
z2
x2
7.17. а) x 2
y2
2y
2z 1 ;
0;
x2 .
б) x 1 z 2 . б) x 2
5z
2x .
б) x 2
y2
2y .
б) z
x 12.
б) x
y2 .
б) z 2
y2
2z .
0.
б) x 2
2z 6 ;
7.19. а) 9 x 2 4 y 2 8 y 36z 2 7.20. а) x 2
y2
z2
7.21. а) 5x 2 15y 2 7.22. а) 4 z 2
x2
б) z 2
z2 8y
y2
2z
0;
7.25. а) x 2
2x
y2
z2
б) x 2
б) x 2
0;
8.
y2 3 0 .
б) x
y2
4 0.
2 y2 .
ри й
7.24. а) x 2
4;
y2
б) xy 4 .
2x 3 ;
4 y2
0.
7x .
б) 4 x 2
4 z 2 8z 24 0 ;
7.23. а) x 2
6z
б) 2 x 2 5 y 10 .
32 ;
2z ;
2 y2
z2
ТУ
y2
БН
7.18. а) x 2
Типовой расчет № 2
ит о
Предел функции. Производная и ее применение к исследованию функций и построению графиков Задача 1 Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя. 1.1. а) lim
x 6
3 x2
7 x 12
по з
x
x2
Ре
1 cos x в) lim . x 0 x sin x
1.2. а) lim x
2
в) lim x
x 6
x2
3x 2
x2
б) lim x
5x2 3x
3
x 1 г) lim x x 3
2 x2
1 cos x
.
.
.
б) lim x
3x 2
2
.
x 2
.
8x4
2 x3 1
5 x3
4x 3
г) lim 1 4 x x
2x 1
1 x x
.
.
0
66
1 3x
x
в) lim x
5x2 2
x 4 5x 2
cos x cos2 x x2
0
1.4. а) lim x
1
2x2 3x
x
.
x 2
б) lim
.
x
3x 2
1 3x 2
в) lim x
x
cos x cos3 x x2 2x2
2
x
2
tg2
в) lim
x
0
5 x3
x 2
2x
x 2
.
x2
4
.
6
x 12
.
x
.
x4 8x 1
7 x5
г) lim
.
x 2.
б) lim x
г) lim x
4x2
5
x2
2x 1
x2
4x 2
2 x3 5x
6x 5
2
x 1
x2 1
.
x
.
.
x2
.
x2 1
x 13
x 13
x
x 12
x 12
в) lim
г) lim
x
x
3x 2 3x 2
1.7. а) lim
Ре
x
x
x2
3x 2
x 1 2
2
б) lim
.
1 cos8 x . 0 1 cos 4 x
1.8. а) lim
67
.
x
x 10
по з
x
x
ит о
1.6. а) lim
б) lim
.
4x 1
0
4x2 1
3x
ри й
x
4 x 12
6
БН
x2
6 x5
x 3 г) lim x x 2
1 cos 2 x в) lim . x 0 x tg x 1.5. а) lim
б) lim
3x 4 г) lim x 3x 2
5x 7
2
.
ТУ
1.3. а) lim
4
2x2
9x 4
x2
x 20
.
б) lim x
2x
.
2 x4
3x 2 1
4 x6
6 x3 3
.
.
x 2 ctg 2 x . 0 sin 2 x
1
x
1.9. а) lim x
x2 2 2x
г) lim 1 2 x x . x
7 x 10
2
9 x 10
0
б) lim
.
1 cos 6 x . 0 1 cos 2 x
г) lim
x
x
1 2x2
x2
в) lim x
0
2
x 6
б) lim
.
x
1 x2
1
20 x
x2
11x 20
1 cos 8 x . 0 2 x tg 4 x
.
x
б) lim x
x
Ре
x
3
4x2
5 x 21
2x2
3x 9
x
б) lim x
x
3x 2
7x 2
2 2 x2
5x 2
2x 1
x 1 x 2
.
4 x5
2x4
3
6
2
1
2x
3x
.
5x2 3x
3x 1
3
x 5
.
11x5 5 x 2 1 24x 4
4x 7
.
2
0
1.14. а) lim
.
г) lim (1 3tg2 x) ctg x .
в) lim x sin xctg3x . x
.
x5
8 6x
e3 x 1 . 0 x
г) lim
x
4 x5
a2x 1 . 0 x
в) lim
1.13. а) lim
.
г) lim
.
по з
5 3x
2
.
х
4 5x2
x
x 10
6x
2x 1 2x 1
г) lim
.
ит о 0
1.12. а) lim x
x
3
3
4x
x
cos x cos3x
в) lim x
x sin 3
б) lim
.
2
3x 2
1.11. а) lim x
x 1
3
ри й
x
x 2
3
6
БН
x2
5x2
x
в) lim
1.10. а) lim
2 x4
ТУ
в) lim
.
0
б) lim x
7 x6 3x
5 x5 4
4x
x3 3
5 1
. 68
x2
5 2x2
x
x3
0
x
в) lim 0
.
2x 1
x
x 3
2
2x 1
x2
x 2
x
1
б) lim
.
3
1
по з Ре
x
2x2 x
5
б) lim
.
9x 5
2
4x 5
5x2
x
69
4
2x
2
.
ln 2 x 1 .
1 3x 6 x3
.
2 x3 x
x2
2
5
x 2
ln x 1 .
.
ln x .
x
x
.
tg 2 x sin 2 x . 0 x sin 2 2 x
1.20. а) lim
x 3x 2
2
г) lim x ln x a
в) lim x
1 4x 2x2
x
cos3x cos x . 0 cos x 1
1.19. а) lim
2 3x 5 x 2
г) lim 2 x 3 ln x 2
в) lim x
б) lim x
1 cos 4 x . 2 x tg2 x
1.18. а) lim x
x
ит о
x
2x
1 cos 3x . x2
1 3x
б) lim
.
г) lim x 2 ln 2 x 1
.
x2
2x2
1.17. а) lim
.
x
x2
1
в) lim x
x3
0
1.16. а) lim x
7 x 15
sin 3 2 x
в) lim x
2 x 15
x
0
БН
1.15. а) lim
x
e sin x
ри й
x
e sin 2 x
г) lim
ТУ
1 cos 4 x . 0 3 x sin 2 x
в) lim
9 x 44 5 x 12
x4 2x
3x 5 2
x 1
.
г) lim x 4 ln 2 3x
ln 5 3x .
x
б) lim x
x3 x
4
x
3x
2
1
.
г) lim 2 x 5 ln 2 x 4 x
. б) lim x
3x3
2x 1
2
x 2
5x
.
ln 2 x 1 .
x 2. 2
sin 2
1.21. а) lim x
x
0
5
г) lim x 2 ln 2 x 3
3x 2 14x 5 x2
2 x 15
б) lim
.
x
cos8 x 1 . 0 1 cos 4 x
г) lim
x
x
1
в) lim x
4x 1
x2
3x 2
1 cos mx x2
0
x3
1.23. а) lim x
1 x3
x
2
1.24. а) lim x
x 1
x
ит о
x
1
x3
x
x2
3
x 1
3x 2
.
по з
1 arcsin x arctg2 x 2 в) lim . x 0 x
Ре
1.25. а) lim x
2
в) lim x
0
2x2 x2
2 x 12
3x 2
.
x 3
x
1 x
.
3x 4 9x
4
2x2
7
3x 5 cos ecx
. .
0
б) lim x
2x2
5x 4
2
2x 3
5x
.
1
г) lim 1 x x
x
.
.
.
г) lim 1 sin x
x2 x
.
0
б) lim
.
cos 6 x cos3x x2
0
б) lim
.
1 cos 3x . 0 2x
в) lim
3x 2
г) lim 1 3x
.
x
x4 4x2 5
x
x 2 x
б) lim
.
2 x3 100x 1
ри й
x
3x 2
10x3 3x 2
ex e 0 sin x
в) lim
1.22. а) lim
ln 2 x 4 .
x
ТУ
x
БН
в) lim
x5
x3 8
100 x3
г) lim x ln x 5
.
ln x .
x
Задача 2 70
Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва; в условии «б» дополнительно построить график функции.
ln 1 x . x2
б) f x
2.2. а) f x
1 arctg . x
б) f x
1
по з Ре
2.4. а) f x
2.5. а) f x
71
при x
ри й б) f x
.
ит о
2.3. а) f x
x
sin x при 1 1 2
1 x 3 2
при
1 x
1 e
.
б) f x
1
1 2x
1
.
б) f x
x
6
6
;
.
ln x при 0 x 1; x 1 при 1 x 3 ; x2
tg x
3 при x
3.
при 0
x
2 при x 4 sin x 2 при x
x 1 при
1 2x
0;
БН
x2
ТУ
2.1. а) f x
x 2 1 при x 1; 2 при 1 x 4; x x 3 при x 4.
3x при 0 6 x при x
4
x .
x 1; x 2; 2.
; ;
при 0
2 x
2.8. а) f x
1
2 . б) f x 1 x 1 x2
x 2 5x 6 . x2 2x
по з Ре
2.10. а) f x
2.11. а) f x
sin x 3 . x2 4x 3
2 . 4 x2
2 при 1
x
4 при x
2;
2.
ТУ
б) f x
б) f x
ит о
2.9. а) f x
x 2 3x 2 . x x3
x 2 x
x 1;
x 2 1 при x 1; 2 при 1 x 4; x x 2 при x 4.
БН
2.7. а) f x
б) f x
2
x 1 при 3x 7 при 3
б) f x
3; 4;
4.
cos x при x 0 ; 1 x при 0 x 3 ; x2
5 при x
0
при x
tg x при 0 4
б) f x
x при x
3
x
x
ри й
2.6. а) f x
x 2 . x 2
x при x
3.
0; x
4
4
;
.
3 при x 0; x при 0 x sin x при x .
;
72
2.14. а) f x
x 2 . x 4
б) f x
x 3.
2
б) f x
при x 0; 0 при 0 x 1; 1 2 x при x 1.
x
1
2.15. а) f x
б) f x
ТУ
x 1 . x 1
e x при x 0; 1 x при 0 x 1; x при x 1.
БН
2.13. а) f x
б) f x
ри й
2.12. а) f x
при x 1; x при 1 x 2; x 2 при x 2. 1
1 e 4x 2 .
x
2
при x
0;
при 0
x 1;
ит о
x 2 1 при x 1.
x2
3x
по з
2.16. а) f x
x 2
Ре
2.17. а) f x
2.18. а) f x
73
3
x
2
1 4 4 x
9
.
.
.
б) f x
б) f x
б) f x
0 при x 0; 1 при 0 x 1; x при x 1.
sin x при x 0; x 2 при 0 x 1; x 1 при x 1. cos x при x 0; 1 при 0 x 1; 1 x при x 1.
2.20. а) f x
sin 2 x . 2 x
2.21. а) f x
x2
б) f x
б) f x
9
3x
при x 1; при 1 x 2;
1 x
ТУ
tg x x 2
при x 0; 2 при 0 x 1; x 2 при x 1.
0
. б) f x
1 x 2 при x
2.
4 x 2 при x 1 при 2
x 2; x 4;
БН
2.19. а) f x
x 2 . 2 x 4x 3
x 1 при x
x3
2.22. а) f x
5x 2
2.23. а) f x
1 cos x . 2 x 2 x3
.
при
ри й
1
б) f x
x 2 9 при 0 x 3 при x
x
б) f x
ит о
по з Ре
2.24. а) f x
2.25. а) f x
x
4.
x x 4
2
x
0;
x 3; 3.
при
x
при 0
x
при x
4.
x 3 при
0;
4;
x 0;
2
5x 6 . x 3x 2
б) f x
1
1
31
x
.
tg x при 0
б) f x
x 1 x2 ln x
при x при при при
x
4
4
;
.
x 0; 0 x 1; x 1.
Задача 3 74
Найти производные функций.
3.2. a) y в) x y
3.3. а) y в) e x
9 y 4 5x 2 15y 2 100 0.
lntg
yx
ey
б) y
ит о
9x4 1 ;
ln y x 2
arcsin
2 y x2
2 x3 ; 1 x6
по з y x e
Ре
y в) x
3.6. а) y
в) x 2 sin y 3.7. а) y
75
x ln x ;
xx;
2 xy 3 0.
в) sin y x 2 3.5. а) y
б) y
1 sin x ; 1 sin x
ln 3x 2
3.4. а) y
1
2x 1 ; 4
0.
ln
xarcsinx ;
ТУ
6 x2 y 2
б) y
1 x;
ри й
в) x 4
x arcsin x
БН
3.1. а) y
3
y x
arctg
б) y
xln x ;
б) y
xsin x ;
3 0.
0.
1 x ; 1 x
б) y
(sin x)cosx ;
б) y
( x 1) x ;
y3 cos x 2 x 3 y 1 0. arcsin
sin x 1 sin 2 x
2
;
y2 9
3.8. а) y в) x 4
x2 1 1
ln
y4
x2 1 1
ex
x
sin e x cos3 e x
y
sin 3 e x cos e x ; б) y
a. arctg(x 1)
в) 2 y ln y
x.
3.11. а) y
lntg
x 1 x2
2x 2
ит о
в) xy
1 x
ln 1
Ре в)
( x 1) x ;
(ln x) x ;
б) y
1 ; x
б) y
( x 22
3
( x 5)
x 1 3
;
x arctg . y
3.13. а) y 2 3 x
б) y
0.
по з
3.12. а) y
2
;
x 1 cos x cos2 x; 2 3
в) e x sin y e y cos x
2
x 2e x ln x;
ри й
3.10. а) y
2
x 2e x sin 2 x;
б) y
;
x2 y 2.
3.9. а) y в)
1.
ТУ
x2 25
БН
в)
2 3 y
3.14. а) y
ln
x2 2x ; x 1
б) y
( x 1)3 3
4
4 2x
( x 3) 2
;
2 3 a .
arccos 2e 2x 1 ;
б) y
x sin x 1 e x ; 76
в) sin( xy) cos(xy)
в) 2 x 2 y
2 x y.
1 3x
2
e 2 sin x lntg ; 4
3.16. а) y
1 arcsin x ; 1 arcsin x
б) y
;
б) y
1 xx;
ТУ
arctg
3.17. а) y
arctg x 2
в) x 2
r 2.
y2
3.18. а) y
ln
1 x2
;
2 x 1 (ln (2 x 1) 2) ;
y
ln x 2
3.19. а) y
б) y
x
x
б) y
;
1 x
2x
x
;
y2 .
ит о
в) arctgx
x
БН
arc sin x arcsin y.
ри й
y
x2
3x
3.15. а) y
в) x
0.
1 ln cos x ; cos x
б) y
x2 1
sin x
;
по з
в) y 3 3 y 3ax 0.
Ре
3.20. а) y
arcsin e x ;
в) cos(xy)
x.
3.21. а) y
arccos 1 e x ;
в) y 2 cos x 77
e x 1 e2 x
a 2 sin 3x;
б) y
б) y
3
x x2 1 x2 1
x
3
x
2
;
;
3.22. а) y в) y 2
2
log2 sin x ;
3 y 2 x3
б) y
1 (ln x) x ;
б) y
(sin x)arcsin x ;
0. 4
в) e y
ТУ
x 1 ; x 1
3.23. а) y
ln 2 x3
3x 2 ;
в) x sin y
y sin x
0.
3.25. а) y
x2
y x e
3
2x 2 e x ;
y x
0.
б) y
ит о
y в) x
(sin x) tgx ;
б) y
ри й
3.24. а) y
БН
xy 1.
x
cos x
;
Задача 4
Найти производные второго порядка от функций:
cos2 x .
4.2. y
arctgx3 .
4.3. y
log2 3 1 x 4 .
4.4. y
e
по з
4.1. y
Ре
4.5. y
arcsin x 1 x2
.
4.7. y
1 2 x 2 ln x 3 . 4
4.8. y
1 2 x 3
1 x2
4.6. y
2 3
1 x2
x2
.
22x . x 5
x arcsin x .
78
4.9. y
1 x sin 3x 9
4.11. y
tg x .
4.13. y
x2
3
1 x2 . 2
.
4.16. y
1 x 2 arctg x .
x2 .
4.18. y
ln x
ТУ
x ex .
.
1 x 2 arcsin x .
4.20. y
e
4.21. y
arcsin a sin x .
4.22. y
x
4.23.
x
4.24. y
ln x 2
4.26. y
11 . x 3
1 x
.
x ln x .
ит о
4.25. y
ри й
4.19. y
2
1 x2 .
БН
a2 x
sin 2 x .
4.14. y
3x 2 .
1 x3
4.17. y
4.10. y 4.12. y
1
4.15. y
2 cos 3x . 27
1 x2 . 1 x4 .
Задача 5
по з
Найти производные первого и второго порядков от функций, заданных параметрически:
Ре
5.1. x
79
t2
1 3 t 1. 3
2; y
5.2. x
arcsin t; y
5.3. x
at 2 ; y
5.4. x
cos t; y
5.5. x
a t sin t ; y
1 t2 .
bt 3 . sin t . a 1 cos t .
5.6. x
a cos2 t; y
a sin 2 t .
5.7. x
ln t; y
5.8. x
arcsin t; y ln 1 t 2 .
5.9. x
at cost; y
t 2 1.
t t2 .
5.10. x
arccos t ; y
5.11. x
1 ; y cos t
5.12. x
arctgt; y
ln 1 t 2 .
5.13. x
a cos3 t; y
a sin 3 t .
5.14. x
R sin t sin Rt; y
5.15. x
t2
ри й
2t; y
ит о
t
t e
t 2; y
t t3 .
5.20. x
e 2t ; y
e3t .
2 cos2 t; y
5.22. x 1 et ; y
.
sin t t cos t .
sin t .
по з
2 cos t; y
5.19. x
Ре
R cost cos Rt .
ln t 1 .
5.17. x cos t t sin t; y
5.21. x
БН
tgt .
5.16. x 1 e t ; y
5.18. x
ТУ
at sin t .
t
2 sin 2 t .
e t.
5.23. x
2 sin t sin 2t; y
5.24. x
et cos t; y
2 cos t cos 2t .
et sin t . 80
e 2t
5.25. x
e3t
4; y
5. Задача 6
Пользуясь правилом Лопиталя, найти пределы функций:
x
1
2x 1 1 ; x 2 x
б) lim x
б) lim x e x
x2
0
6.4. а) lim
б) lim
;
x3
б)
;
x
e ax e 2ax ; 0 ln 1 x
ит о
6.5. а) lim x
6.6. а) lim
2x2
x
1
3
x 2
7x 6
;
по з
x
x3
6.7. а) lim x
0
Ре
6.8. а) lim x
81
e
0
6.9. а) lim x
ex
4
x 2 . lim 1 0 ln 1 x
б) lim x
1 0
x
e sin x
x
sin
б) lim x
1 x
1 x
;
ln x x100 . ex
б) lim 1 x tg x
0 .
x
x
x
arctg 1
ln x 1 . ctg x
0
б) lim
;
tg
б) lim arcsin x ctg x .
x
2x ; x sin x e
2 arctg x ln x .
x
x sin x
x
БН
x
1 cos x
1 .
x
ри й
6.3. а) lim
.
0 ctg x
1
1 cos x ; 0 1 cos x
6.2. а) lim x
ln x
ТУ
3
6.1. а) lim
1
x . 2
ax bx ; 0 tg x
6.10. а) lim
б) lim 1 x tg x
ex 1 6.11. а) lim ; x 0 sin 2 x
б) lim x
x
2
б) lim 3 x x
ln x 2 x2
3
3x 10
;
a ln x 1 ; 1 ln x
x
б) lim
tg x sin x ; 0 x sin x
по з x3
3x 2
2
1 x3
4x2
3
6.18. а) lim
Ре
x
6.19. а) lim x
0
e
x
e
x
xm a xn
6.20. а) lim x
1 1 x x
.
1
б) lim x 1 x . x
1
4
6.17. а) lim x
x1000 . 2 x100 1
x
ит о
6.16. а) lim x
б) lim
1 tg x 2 ; 1 cos 4 x
sin 2 x
1 x.
ex . x5
ри й
e x e5 x 6.15. а) lim ; x 0 sin x
б) lim x
6.14. а) lim x
.
0
ТУ
6.13. а) lim
1 2 x3 x e
x . 2
1
ln x ; 11 x
6.12. а) lim x
1
БН
x
cos x cos x am ; an
б) lim x
;
б) lim
x3 . 3x 3 1 sin 2 x x
.
x
;
б) lim x
б) lim x
0
ln x 1 10 x
1 x
.
tg x
.
82
6.21. а) lim x
e3 x
3x 1
sin 2 4 x
0
б) lim
;
x
x9 . 3x
3
ex 1 6.22. а) lim ; x 0 cos x 1
6.24. а) lim x
0
ТУ
0
x
1 x . arctg x
ln 1
5x
x 1 ; sin 2 x
б) lim
1 tg x
БН
e
x
a . x
ex e 6.25. а) lim x 0 sin x
x
1 ; x
б) lim x
2x
cos x
.
2
3
x
;
б) lim
2 (cos 2 x) x
ри й
6.23. а) lim
б) lim x sin
x
.
0
Задача 7
2x
ит о
Написать формулу Тейлора третьего порядка с остаточным членом в форме Лагранжа для заданной функции в точке x0 .
1.
по з
7.1. xe , x0 7.3. e x , x0
x , x0 1
Ре
7.5. 7.7.
7.9.
7.11. 83
x 1
1.
7.4. 4 x , x0
4.
7.6. x10
e
x a
, x0
3x 6
x2
0.
7.8. x cos x, x0
0.
, x0
2.
7.10. esin x , x0
0.
1 x e 2
e
x
, x0
0.
0.
0.
, x0
x 8 x
x
a a 7.2. e 2
7.12. ln 1 sin x , x0
2, x0
0.
1.
1 x 2
7.16. e5 x 1, x0
1.
, x0
3.
7.19. x3 ln x, x0
5x3
x, x0
7.23. sin
x , x0 3
0.
7.25.
7.18. arcsin x, x0 7.20. ln x, x0
1.
7.21. x5
1 , x0 3 2x
0.
0.
2.
1.
7.22. ln x 5 , x0
0.
0.
БН
7.17.
1 , x0 x
0.
7.24. xe x , x0
0.
ри й
7.15.
7.14. 3 x , x0
0.
ТУ
7.13. ln 5 4 x , x0
Задача 8
1 x2 x2
8.2. y
.
по з
8.1. y
ит о
Исследовать функцию и построить ее график.
8.4. y
Ре
8.7. y
8.10. y
8.13. y
x3
x2 1
4x
4
x2
.
.
4 x3 5 . x 2
x3 x2
.
8.5. y
x 1 x
3
x3 21 x
8.8. y
8.11. y
8.14. y
.
2
x2 1 . x2 1
x4 x3 1 x4 1 x2
.
8.3. y
4x2 1 . x
8.6. y
x3 2 . 2x
8.9. y
x2 . x 1
.
8.12. y
.
8.15. y
2 4x2 1 4x2
.
x3 . 1 x2 84
8.19. y
8.22. y
1 x3 x3 x2
4
4 x3 x
3
8.17. y
.
1
x2 1 x
x 2 8.23. y
.
8.18. y
x3
8.20. y
.
.
2
.
x2 5 . x 3
x 1 x2 .
8.21. y
x4 . 1 x2 x3 1 x2
x 2e
x
.
8.24. y
.
БН
8.25. y
4 x3
ТУ
8.16. y
ри й
II. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ит о
Занятие 1
Комплексные числа и действия над ними. Простейшие приемы интегрирования
по з
Аудиторная работа
1.1. Выполнить действия: б) (2 5i) 2 (3 i) 2
а) (2 3i)(4 i) 5 4i;
(8 i ) 2 1 3i 3i 4. 4i 1. г) 1 2i 3 5i 2.1. Представить следующие комплексные тригонометрической форме записи:
3 4i . 2 3i
Ре
в)
а) 1 i.
б)
i.
3.1. Выполнить действия: 85
в)
1 2
3 i. 2
числа
г) 5 4i.
в
а) (1 i ) 5 .
б) (2
2i) 4 .
в) ( i)10 .
3i . д) i . е) 3 1 г) 3 3 3i . 4.1. Пользуясь таблицей интегралов, свойствами неопределенного интеграла и основными правилами интегрирования, найти неопределенные интегралы: б)
dx . sin x cos2 x
г)
x dx . 2
е)
2
д) sin 2
(1 43 x ) 2 dx. x 1 3x 2 dx. x 2 (1 2 x 2 )
ТУ
в)
2)( x 1)dx.
БН
а) ( x
4x2
2x 3
2
x з) (2 x 3)5 dx .
ри й
ж) sin 3x cos x dx .
dx .
1 cos2 x dx . 1 cos 2 x 5.1. Найти неопределенные интегралы поднесением под знак дифференциала:
ит о
и) cos 4 x cos8x dx .
а) cos x 2sin x dx .
2x 3 2
dx .
по з
в)
г) е)
dx .
з)
cos x x2
б)
.
2
ж) xe и)
3x 2
tg xdx
Ре
д)
x
к)
dx . x ln 4 x
dx x(1 2 ln x) 4
4x 4 x2
2x
.
dx .
dx 2
(1 x ) arctg x
.
sin 3 2 x dx . cos4 2 x
5x 2
к)
x
2
dx .
4x 5
6.1. Найти неопределенные интегралы и сделать проверку дифференцированием: 86
б)
/ 6) dx .
в) x 2 cos(3x3 1) dx .
x dx
д)
1 x4
г) x(5 x)4 dx . е)
.
3 x dx . 1 9x
e x dx
1 e2 x Домашнее задание
.
ТУ
а) cos2 (3x
3
в) ( x 2
dx .
б) x x 2
4)(x 2) dx .
г)
x3
д) x 2e
dx .
dx
ж)
x
2
4 x 20 3x 1
x
2
.
ит о
и)
.
4 dx .
cos 2 x dx
. 1 sin 2 2 x dx е) . x ln 2 x 4x 5 з) dx . 3 2x x2
ри й
а) e4 x
БН
7.1. Найти неопределенные интегралы:
к) cos2 3x dx .
4x 8
Ответы
3
по з
x2 4. а) 2
2x 2 3
2 x C.
Ре
в) tgx ctgx C. д) x sin x C.
ж) и)
87
1 cos 4 x 8
1 cos 2 x C. 4
1 1 sin 2 x sin 4 x C. 24 8
б) ln x
243 x
3
24 x 2
1 1 arctgx 2 C. x 2 3 C. е) 4 x 2 ln x x г)
з)
2x 3 6 12
С.
к)
ctgx
1 x C. 2
C.
5. а) 2sin x C.
1
б)
г) 2 ln x 2
tg2 x C. 2 1 x2 e C. ж) 2
д)
и) ln ln 4 x
е) ln arctgx з) к)
C.
1 1 x sin 6 x C. 2 12
1 sin 3x3 1 C. 9 1 д) arcsin x 2 C. 2 1 7. а) e 4 x 3 C . 4
x 4 2 x3 2 x2 8x C . 4 3 1 x3 e C. д) 3 1 x 2 C. з) arctg 4 4
Ре
по з
в)
к) 3 x 2 4 x 8 5 ln x 2 л)
г)
1 x 2
cos 6 x 12
и)
1 C. 2 cos 2 x
5 ln x 2 4 x 5 12arctg x 2 2 б)
ит о
в)
C.
C.
1 6 cos3 2 x
arctg3 x ln 3
C.
C.
x 56 6
ри й
6. а)
2x
ТУ
C.
БН
в) ln x 2 3x 2
C.
3
6 1 2 ln x
x 5 5 C.
е) arctgex
C.
б)
1 2 (x 3
4)3 / 2
г)
1 arctgsin 2 x C . 2
C.
ж) 2 ln 2 x C .
4 3 2x x2
( x 2)2 4
arcsin
x 1 C. 2
C.
C. Занятие 2
88
Интегрирование с помощью замены переменой в неопределенном интеграле Аудиторная работа 2.1. Найти неопределенные интегралы: а) x(3x 4)5 dx .
г)
д)
dx . x x 1
е)
sin x dx . 1 2 cos x
и)
dx 1 ex
.
ит о
21 / x dx . x2 x cos dx 2 . н) x 2 sin 2
з)
по з
x x2 a2
.
x
м)
cos(ln x) dx . x
о)
sin x x cos x dx. x 2 sin 2 x
т)
у) 4 x ln x (1 ln x) dx.
ф)
Ре
dx
e
р)
с)
x dx . x 1
к)
(2 x 1) dx . x 1
п)
sin 2 x dx. 4 sin 2 x
ри й
ж)
ТУ
ln x 2 ln 2 x dx . x
БН
в)
л)
89
б) x 2 x 3 dx.
x
dx .
dx 3
x
1
.
ln x 1 dx . x ln x
dx x 1 x2
.
2 x arccos x 1 x2
dx .
2.2. Найти неопределенные интегралы и сделать проверку дифференцированием:
в)
cos x x sin x dx. x cos x
arcctgx 1 x2
б) г)
dx.
4 x 2 dx. 2 x(1 x 2 ) arctgx
x2
x 2 (1 x 2 ) arctgx
dx.
ТУ
а)
БН
Домашнее задание
а)
2.3. Найти неопределенные интегралы: ln x 1 4 sin 2 x dx dx . . б) 2 1 x ln x 4 sin x
в)
dx . 1 ex
д)
x(2 ln x 1) dx. 4 x 2 ln x
1 x dx . 1 x
е)
21 / x dx . x3
ри й
г)
ит о
2
ж) x(4 x 5)3 dx.
з)
dx x 1 4 ln 2 x
.
по з
Ответы
Ре
2.1. а)
3x 4 7 63
г) ln 4 sin 2 x
2 3x 4 6 27
C. б)
2x 3 5 20
в)
1 1 ln 2 x 3
2x 3 3 3 2
C.
C.
C.
90
д) 2arctg x 1 C.
2 3
x 13
2 x 1 C. ж)
1 ln x 2 a 2 2 a
1 ln x 2 C. 2 2a и) ln
1 2x
л)
ln 2
н)
м) sin ln x
C.
x 2
2 x 13 3
x 1
по з 1 1 ln 2 1
Ре
т)
ф)
1 x2 1 x
2 1 x2
б) 2 arcsin
2
C.
C.
arccos2 x C.
x x sin 2 arcsin 2 2
г) 2 ln x ln arctgx
91
C.
C.
C.
C.
1 ln 1 3 x ln 3
о) x
ит о
2 ln 2 sin
п) 2
ex 1 1
ри й
к) 2e x C.
ex 1 1
C.
БН
з)
1 2 cos x
ТУ
е)
р) ln x ln x
C.
C.
с)
1 C. x sin x
у) 4 x ln x ln 4 C.
2.2. C. в)
2 arctg3x 3
а) ln x cos x
C.
C.
в) ln
C.
ex 1 C. ex
б) ln 1 x ln x
C.
1 1 x 2 x ) 4 ln( x 1) C . г) 2( x3 / 2 3 2
д)
1 ln 4 x 2 ln x 2
C.
ж)
1 (4 x 5)5 ( 16 5
5(4 x 5) 4 ) C. 4
1 1/ x 2 2 ln 2 C . 2 з)
1 arcsin(2 ln x) C . 2
БН
е)
ТУ
2.3. а) ln 4 sin 2 x
Занятие 3
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
ри й
Аудиторная работа
3.1. Найти неопределенные интегралы:
ит о
а) (2 x 3) e4 x dx. в) x arctg2 x dx. x
cos 2 x dx .
по з
д) e
ж) sin(ln x) dx.
б)
x ln 4 x dx.
г) ( x 2 1) cos(3x 1) dx. е) ln 2 x dx. з)
ln x dx . x3
arcsin x dx . 1 x
к) x 2 3x dx.
л)
arcsin x . 1 x
м) (3x 1) cos2 4 x dx.
Ре
и)
о) x 2 ln(1 x) dx.
п)
a2
x 2 dx . 92
Домашнее задание 3.2. Найти неопределенные интегралы:
x cos x sin 2 x
г) arccos x dx .
dx .
д) e x dx . Ответы
е) x sin x cos x dx .
2x 3 4x e 3.1. а) 4
ТУ
в)
б) e 2 x sin x dx .
2 x) cos 2 x dx .
БН
а) ( x 2
3
1 4x e C. 8
2 б) x 2 ln 4 x 3
2 3
x2 1 1 arctg2 x x arctg2 x C. 2 4 8 x2 1 1 2 sin 3x 1 x cos 3x 1 sin 3x 1 C. г) 3 9 27 e x 2 sin 2 x cos x C. д) е) x ln 2 x ln x 1 2 x 1 1 sin ln x cos ln x C; з) ж) ln x 4 2 4 4x
ит о
ри й
в)
и) 2 arcsin x 1 x 2 x
2
4 1 x
C.
x
по з
x 3 2 x3 3 C. 2 ln 3 ln 3 ln 3 3 л) 2 arcsin x 1 x 4 x C. 3 x 3x 1 3 sin 8 x cos8 x C. м) x 2 4 2 6 144 x3 x3 x 2 x ln 1 x ln x 1 C. н) 3 9 6 3
Ре
к)
о) x x 2 3.2. а) 93
a2
1 2 (x 2
a 2 ln x 2 x) sin 2 x
x2
a2
C.
1 ( x 1) cos 2 x 2
1 sin 2 x C . 4
C.
C; C.
2 2x e sin x 3
1 2x e cos x C . 3
г) x arccos x 1 x 2 C . 1 x cos 2 x C . е) sin 2 x 8 4
x x ln tg sin x 2
в)
д) 2e
x
C.
( x 1) C .
ТУ
б)
Занятие 4
БН
Интегрирование рациональных функций Аудиторная работа
4.1. Записать разложение рациональной дроби на простейшие:
x
3
2x x2
(x
2
б)
.
2
4x 5
ри й
в)
3x 2
2x 2
(x
2
1) 2 ( x 3)2
.
.
x 1)( x 2) 2
ит о
а)
4.2. Найти неопределенные интегралы:
x3 1 dx. 4 x3 x
по з
а) в)
2x4 x
ж)
5
3x3 9 x 2
5x
3
4x
x2 x 4 dx . ( x 1)(x 2)(x 3)
Ре
д)
x6
x( x
dx 2
1)( x
2
4)
.
4
dx .
б) г) е)
з)
2x2 3 dx. x4 5x2 6
x
dx 2x2
3
x3
3
3
8
x
x4 x
.
dx .
3x 1 4
2x
1
dx .
94
и)
6x4 (x
30x 2
2
30
1)( x 2)
к)
dx .
x 2 x 1
2
dx . x
4.3. Найти неопределенные интегралы dx 6 x 4 21x 2 3x 24 dx . б) . а) 2 3 (x x 2)( x 1) x x2
д)
x2
6x 8 x
3
8
dx .
г)
.
е)
5 x dx 4
2
9x 9 ( x 1)(x 2
БН
в)
2x4
3 x 3 x
7
21x 2
2
2 2
ln
2 2
x x
C.
3 1 x2 ln x ln x 1 ln x 1 ln x 2 ln x 2 C. 2 2 2 1 1 1 ln x 2 2 x 2 arctg x 1 C. г) ln x 2 4 2 1 5 ln x 3 C. д) ln x 1 2 ln x 2 2 2 11 11 11 x 1 ln x 2 ln x 2 2 x 4 arctg C. е) x 8 16 8 3 3 1 1 1 ln x 2 1 ln x 2 4 C. ж) ln x 4 6 24 5 1 3 ln x 1 ln x 1 ln x 2 1 arctgx C. з) x 4 4 4 и) 3x 2 12x ln x 1 3 ln x 1 2 ln x 2 C.
Ре
по з
в)
95
dx .
26
5 x 4)
ри й
2 3
ln
ит о
9
4 x 13)
3x3
( x 3)( x x 3x 4 Ответы 1 7 9 ln 2 x 1 ln 2 x 1 C. 4.2. а) x ln x 4 16 16 б)
ТУ
Домашнее задание
dx .
к) 4 ln x
3 ln x 1
4.3. а) 3x 2
д)
ТУ
x 1 x
ри й
е)
C.
БН
г)
C. x 1 12x 2 ln x 1 3 ln x 1 10 ln x 2
1 C. x x 1 1 1 arctg C. 2 ln x 2 ln x 2 2 x 4 2 3 3 1 x 2 ln x 2 4 x 13 ln x 1 2 arctg C. 2 3 1 1 1 ln x 1 ln x 1 ln x 2 4 C . 2 2 2 x 2 x 4 ln x 1 ln x 3 2 ln x 4 C .
б) ln в)
9
Занятие 5
Интегрирование тригонометрических выражений и простейших иррациональных функций
ит о
Аудиторная работа
5.1. Найти неопределенные интегралы от тригонометрических функций: б) cos8x cos3x dx .
в) sin 4 2 x dx .
г) cos5 3x dx .
д) sin 3 2 x cos5 2 x dx .
е) sin 3 3x cos3 3x dx .
Ре
по з
а) sin 5x sin 3x dx .
ж) cos2 x sin 4 x dx .
з) tg3 2 x dx .
и) ctg4 x dx .
к)
sin 2 x dx . cos4 x
м)
dx . 1 tg x
л)
dx 2
1 sin x
.
96
н)
dx . sin x 8 sin x cos x 12 cos2 x
о)
2
dx . 5 4 sin x
5.2. Найти неопределенные интегралы от иррациональных функций: dx 1 x 1 а) . б) dx . x x 1 (5 x) 3 x
1 x 3
1 x
x( x е)
dx .
x(1 x 2 ) dx .
ж) 3
и)
4
1
x
x
5
x2 )
.
dx . 2x 1 3 2x 1 dx . x11 1 x 4
з)
3
1
к)
.
ТУ
x2
dx
г)
БН
д)
dx . ( x 4) x 3
ри й
в)
x x
dx .
Домашнее задание
ит о
5.3. Найти неопределенные интегралы: а) sin 3 x cos8 x dx .
б) sin 4 3x cos2 3x dx .
в) cos5 xsin x dx .
г)
dx . 3 cos x 4 sin x
ж)
x 1 dx . x x 2
Ре и)
x
3
x2
6
x
dx . 16 sin x 8 sin x cos x 1 x 1 dx . з) 3 (1 x 1) x 1
97
к)
dx .
x(1 3 x ) Ответы 1 1 sin 8 x C. 5.1. а) sin 2 x 4 16
sin 3 2 x cos3 2 x dx .
е)
по з
д)
5
б)
2
x
3
x x(1
3
x2
x)
dx .
1 1 sin 11x sin 5 x C. 22 10
и) л) м)
н)
1 cos6 2 x 2 6
1 2
1 ln tg x 1 2
1 2 1 tg 2 x ln cos 2 x 4 2 tg3 x C. к) 3
1 ln tg2 x 1 4
1 tg x 6 ln 4 tg x 6
1 x C. 2
1 о) arctg 3
C.
3 x 2
2 arctg
C. C.
5 tg
x 2 3
4 C.
C.
x 1 x 1 ln x 1 x 1 6
x 2
по з г) 10
1 4t 4
Ре
3 16 t 8
1 3t 3
6 7 t 7
x 1 C. x 1
C.
1 2t 2
1 ln t t
C , где t
6
1 t5 2 5
2t 3 3
t
C , где t
ln t 1
C , где t
10
x.
x.
t3 t 2 t ln t 1 C , где t 3 2 ж) Не берущийся. е)
з)
C.
ит о
2 arctg
1 cos3 6 x cos 6 x 48 3
з)
arctg( 2 tg x) C.
в) 6 6 x 12 arctg
д)
1 2 3 1 sin 3x sin 3x 3x 3 3 5
е)
C.
1 1 cos 2 x cos 4 x C. 16 64 ctg3 x ctg x x C. 3
5.2. а) б)
cos8 2 x 8
г)
ТУ
ж)
1 1 sin 4 x sin 8 x C. 8 64
БН
д)
3x 8
ри й
в)
6
2 x 1.
1 x4 . x4 98
и) 12
t7 7
t4 4
C , где t
3
1
4
x.
к) 6t 2 ln t 1 ln t 2 t 1 4 3 arctg
2t 1 C , где t 3
1 1 cos11 x cos9 x C . 11 9 1 1 1 sin 12x x sin 3 6 x C . 16 192 144 cos6 x C. 6 55 8 5 5 18 sin 2 x sin 2 x C . 16 36 x 1 tg 1 2 tg x 1 1 2 3 ln C. е) ln 5 tg x / 2 3 8 2 tg x
3
1
x.
г)
д)
БН
в)
1 x 2 ln 2 x 2
з) 33 x 1
33 ( x 1) 2 2
33 2 x 2 3 к) x 2 / 3 2
6 arctg6 x C .
Ре
по з
и)
2 2
ит о
ж) 2 x 2
ри й
б)
6 x1/ 6
66 x 1 3 ln 1
6 arctg6 x
C.
C.
3
x 1
6 arctg6 x 1 C .
C. Занятие 6
Вычисление определенных интегралов Аудиторная работа
6.1. Вычислить определенные интегралы: 99
ТУ
5.3. а)
3
б)
x 1 dx .
2
в)
2 1
д)
1 x
2
3
e1 / x dx .
г)
cos ln x dx . x 1 /4
е)
cos x cos3 x dx .
з)
0
н)
5
dx
0 2x 9
3x 1
x dx
01
x
1 0
x
2
к)
.
4 x 2 dx .
e 2 x cos x dx .
3
7 x 15
Ре
x3
y 1 dy . y 2
о) (2 x 1) cos x dx .
.
по з
/2
9
1
dx . / 2 1 cos x
2
2
e
0
2x2
5x
dx .
/2
cos5 x sin 2 x dx .
р)
0 1
т) arctg x dx . 0
0
у)
2x 1 dx . 0 2x 1
.
м) ln x dx .
4x 5
/2
с)
2
4
.
dx
п)
x(1 ln 2 x)
ри й
л)
dx
0
ит о
и)
e 1
e
ж)
x 2 dx . 3 04 x 3
ТУ
9
БН
а)
ф)
t5 1 dt . 4 0 16 t
1
Домашнее задание
6.2. Вычислить определенные интегралы:
100
/2
e
x cos x dx .
б) x ln 2 x dx .
0
1 x
3
д)
5
/3
3x 1 x dx
/ 4 sin
2
x
1
з)
.
б)
в)
з) 0.
и)
по з Ре
1 31 ln . 3 4
x3
x
4
3x
2
x
dx
1 2 sin 2 x в)
1 (e 2
1
dx .
.
4
e ).
е) 2 ln 5.
з) . 2.
1 2 (e 1) . 4 1 д) ln 112 . 5 б)
2 x5
/4
0
д) sin 1.
.
ж) 0.
к)
ит о
4
3x 7
2 2
dx . 0 3 2 cos x Ответы 45 . 6.1. а) 4 г)
е) ln 3 x dx .
.
/2
и)
dx . 1 x 1 ln x
e
dx
0 2x
ж)
г)
.
e3
ТУ
x dx
ри й
в)
8
1
БН
а)
32 . 3
е) 6 2e .
1 2 arctg . 5 5
6.2. а)
2
1.
г) 2.
(9 4 3 ) 36
ж) к)
3 3
.
Занятие 7 Приложения определенных интегралов Аудиторная работа
101
1 2 ln . 2 3
7.1. Найти площади криволинейных фигур, ограниченных линиями:
e3 ;
а) y
ln x, x
e; x
б) y
x 2 2 x,
y
в) y 2
2 px;
г) x 2
y2
a2 ; x2
y 2 2ay a 2 , y
д) x 2
y2
a2 ;
3 ax; . 2
з) r
a sin 3 t.
y
a(1 sin ).
a.
2(1 cos t ), осью Ox.
3 sin ; r 1 cos
(ввн кардиоиды).
ит о
a cos3 .
0.
ТУ
p)3 , p
БН
y2
2(t sin t ); y
и) r к) r
4 (x p
ри й
ж) x
0.
x 2.
y2
е) x a cos3 t;
y
7.2. Найти длину дуги кривой: а) y 2
по з
4 x ; 0 x 1.
б) y ln x ;
3
x
в) y ln cos x ; 0 x
Ре
г) x a(t sin t ); y д) x
8. / 4. a(1 cost ), 0 t
R cost ;
y
R sin t.
е) x a cos3 t ,
y
a sin 3 t.
ж) r
a(1 cos ).
з) r
a , 0
2 .
2 . 102
7.3. Найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривыми, около указанной оси: а) y 2
4 x, x 1, Ox.
б) y
x e x , x 1, y 0; Ox.
в) y
x2 ,
г) y
2x x2 ;
y
ТУ
x; Oy. 0, Oy.
д) x a(t sin t ), y
a(1 cost ), Ox .
БН
y2
Домашнее задание
а) y sin x,
ри й
7.4. Найти площади криволинейных фигур, ограниченных линиями: y cos x,
0,
2
.
y 0.
ит о
б) y ( x 2 2 x) e x ,
y 0, x
в) x 3t 2 ,
г) x t 2 1;
y 3t t 3 .
y t3 t .
a cos5 .
е) r
a sin 2 .
по з
д) r
Ре
Найти длину дуги кривой: ж) y ln(1 x 2 ), 0 x 1 / 2 . з) x
R(cost t sin t ), y
и)
1/ ; 3 / 4
R(sin t t cost ), 0 t
4 / 3.
Найти объем тела вращения: к) x 2 103
y2
a 2 ; x a h (h 0), Ox .
.
л) y arcsin x, 0 x 1, Ox . м) x a cost ,
y a sin 2t , Ox .
Ответы
a2 . 4
д)
и) ln
3 2
5 . 12
б) 4.
72 3 . 5
в)
е)
a2 . 4
ж) ln 3
к)
h2 (3a h) . 3
л) (
г) 8/15.
ТУ
2.
2
1 . 2
R . 2
з)
2
8 3 a . 15
БН
7.4. а) 2
м)
2) .
4
Занятие 8
ри й
Несобственные интегралы Аудиторная работа
а)
xe
ит о
8.1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: x2
dx .
по з
dx
в)
e
3
x ln x
dx
д)
4
3
dx
Ре 0
ж)
и)
1 (x
/2 0
x
1)
2
б) e
.
г)
.
е)
dx . x ln x dx x
2
6 x 11
.
x cos x dx . 0
.
2x 1 dx . sin 2 x
з)
0 2
к)
dx 4 x
2
.
2
dx . 1 x ln x 104
л)
2/
cos1 / x x2
0
м)
dx .
2
x 3dx
0
4 x2
.
dx
в)
x
2 1
sin x
dx . 0 tg x x
3
cos1 / x dx . 3 x 0 /2
е)
ln sin x dx . x
БН
д)
2
г)
.
ТУ
8.2. Исследовать на сходимость интегралы: dx 4 sin x dx . . б) а) 2 3 x 4x 3 1 5x 1
0
Домашнее задание
x dx
а)
x
1
2
1
1
.
ит о
(1 x)
1
2
д) x ln x dx . 0
0 1/ x
e
по з
ж)
arctgx
б)
.
x dx
в)
ри й
8.3. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
г)
1 2
1 x2
x dx
x 1
1
е)
2 0
dx .
.
dx x
2
4x 3
.
. x2 Ответы 1
1 . 2
б) Расходится.
в)
д) Расходится.
е) Расходится.
ж) Расходится.
з)
и) Расходится.
к) 2 ln 2.
л) Расходится.
Ре
8.1. а) 0. г)
105
2
.
2
.
м)
16 . 3
б) Расходится. в) Расходится. д) Расходится. е) Сходится. 2 3 1 8.3. а) Расходится. б) . в) . 2 4 32 1 1 8 г) . д) . е) Расходится. ж) . 3 e 4 Занятие 9
ТУ
8.2. а) Сходится. г) Сходится.
БН
Частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных. Производные и дифференциалы высших порядков Аудиторная работа
9.1. Найти частные производные от заданных функций:
arctg
в) z
( x 1)cos y .
д) u
xy ln(x 2 z
y
б) z
.
г) z
ит о
x
ри й
x2
а) z
y
2
2
z ).
x / y 2 xy x .
( x 2 y ) cos2
x . y2 xy 2
е) u
2
( x 2 y 3z ) e
z2
.
по з
9.2. Найти полный дифференциал:
а) z
x x
Ре
в) z
д) u
ln
y . y
б) z
arcsin(x 2 y) .
y x2 . x y2
г) z
xy .
е) u
( xy) z .
x
y z
1 .
2
9.3. Найти частные производные второго порядка:
106
а) z
ln(x 2
в) z
e xy .
y2 ) .
б) z г) z
1 . xy 1 x
2
y2
.
cos xy 1 . е) z . y 2x 3y 9.4. Найти полные дифференциалы второго порядка: x а) z 2 x 2 4 xy 3 y 2 2 x 3 . б) z . y 2 xy . г) z e x sin y . в) z 2 x y2 1 д) z ln(x 2 y 2 ) . е) z . ( x y)2
ри й
БН
ТУ
д) z
Домашнее задание
y3
x2
y2
.
x arctg . y
по з
б) z
x3
ит о
9.5. а) z
x . y
ln tg
г) u
x2
д) z
y ln x .
Ре
в) z
2 y2
е) z sin(xy) . Ответы 107
z2
Найти dz . Найти
z , x
z . y
Найти dz . Найти du . 2
Найти
x
z
; 2
Найти d 2 z .
2
2 z z ; 2. x y y
z 1 1 dx dy x y z z z
в)
г)
2
z
x
2
2
z
x
2
2
z
2
x
2
z
y
2
y 2 x2 x2
y2 z x y
x2
z x y
y2 y2
Ре в) d 2 z
y2
2
z
y
2
2 . y3x
z x y
z
y2
2
x2
y2
x2
y2
2
.
2
z
y
2
8 xy
x 2e xy . 2
; 4
x2
y2
z
y2
3y2
2
x2
x2 y2
3
.
2
z x y
xy cos xy sin xy y2
8 ; (2 x 3 y ) 2
9.4. а) d 2 z б) d 2 z
2
; 2
x2
2
2
по з x
4 xy
e xy (1 xy);
; 3
y cos xy;
2
2
z x y
1 ; 2 2 x y
2
3x 2
2
2
; 2
2
y 2e xy ;
z
z
zydx zxdy xy ln(xy)dz .
2 ; x3 y
x 2
е)
x2
x2
д)
2
dz .
x cos xy.
ит о
б)
z
z
ТУ
2
9.3. а)
1
y 2
БН
е) du ( xy) z
x
ри й
9.2. д) du
z x y
xy sin xy 2 cos xy . y3 12 ; (2 x 3 y ) 2
2
z
y
2
18 . (2 x 3 y ) 2
4dx2 4dxdy 6dy2 ).
1 2x 2 dxdy dy . 2 y y3
4 xy x 2 3 y 2 x
2
y
2 3
dx2 2
6x2 y 2 x4 4 y 4 x
2
y
2 3
dxdy
4 xy y 2 3x 2 x
2
y
2 3
dy2 .
108
г) d 2 z
sin 2 ye x sin y dx2
e x sin y cos y 1 x sin y dxdy
xe x sin y x cos2 y sin y dy2 .
y
2 2
6
е) d 2 z
x
z x
y
(x
2
x
y
2
.
z y
x dy) y . 2x y sin y
2(dx
x2
z
x
2
2 y2
z2
ln y(ln y 1)
по з
2
z
y
2
x
2
ln x(ln x 1)
Ре
2
x
xdx 2 ydy zdz
г) du
д)
е) d 2 z
y
y
2
2 2
x2 x
dy 2 .
dxdy
2
x . y2
ит о
в) dz
2
dxdy 2
2
y2 y
2 2
dy2 ;
((x 4 3x 2 y 2 2 xy3 )dx ( y 4 3x 2 y 2 2 x3 y)dy).
y 2 )2
y 2
x
dx 2
4
1
9.5. а) dz б)
2
4 xy
dx2
ТУ
x
y2
БН
x2
2
ри й
д) d 2 z
.
eln x ln y .
2
z x y
ln x ln y 1 ln x ln y e . xy
eln x ln y ;
y 2 sin xydx2
2(cos xy xy sin xy)dxdy x 2 sin xydy2 . З а н я т и е 10
Производные сложных функций нескольких переменных. Производная функции, заданной неявно 109
Аудиторная работа 10.1. Найти указанные производные:
x arcsin , x y
б) z
ex
2x2
в) z
,x xy
v2 , y
cos t;
dz ? dt
y2 , x
2t 2 , y
3t 3 ;
tx 2
д) z
x 2 ln y, x
t 2 1, y
е) u
ln(x 2
z 2 ); x
arcsin t;
t3, y
dz dt
dz dt
z v
?
?
?
et ;
t2, z
z u
uv;
?
?
ри й
u ;y v
x cos y ; x
dz dt
ln(1 t 2 );
arctgt , y
ит о
ж) z
y 2 x 1, x
z v
?
sin 2t , y
г) z
y2
z u
uv;
БН
2y
u2
ТУ
а) z
du dt
?
?
по з
10.2. Найти частные производные от неявно заданных функций:
x2
y2
z2
2
2
2
a
xy z
Ре
а)
б)
b
zxy
в) z e xyz
c
z
y
2
1;
z x
?
z y
?
1;
z x
?
z y
?
x cos z;
z x
?
z y
?
110
z2
д) z arctg xy
1 x y
cos z
z x
z cos(x 2 y) z x
0;
z y
?
1;
2 2
е) y sin( x 2 z ) ж) z xy
z x
2
ez ;
y)
?
z y
?
ez ;
z x
?
z y
?
?
?
z y
ТУ
xyz
?
БН
г) ln(x
Домашнее задание
а) z
u 2v 2 , u
б) z
x2
в) z
x sin y
x
ри й
10.3. Найти указанные производные:
y; v
z x
y;
sin 2t , y
y2 z
д) ze xy
zxy 2
y cos x; x
t2, y
t 3;
z 2 x 1;
z x
z y
Ре
по з
г) x 2 y
е) xy ln z
z x
a2;
xz ln y
?
?
yz ln x 1;
z y
z y
?
?
dz ? dt
ln t;
ит о
y2 , x
x
dz dt
?
?
?
z x
z y
?
?
Ответы 10.1. а)
111
z u
1 y
2
x
2
2u
x v ; y
z v
1 y
2
x
2
2v
x u . y
dz dt
2y
2 cos 2t 2 sin t .
1 2 2x
2
dz dt
x2
д)
dz dt
2 xt ln y
е)
du dt
ж)
z u
z y
в)
z x
cos y x cos y
1
1 v
u cos y x cos y v2
2ty ze t .
1
x cos y ln x sin( уv); sin ln x cos y u.
z x
c2 x ; a2 z
c2 y . b2 z
z y
z xy3 xy3 z 2 2 z 2 . y xy3 xy3 z 2 z 3
Ре
по з б)
z
3xt 2
2
.
ит о
10.2. а)
y 1 t2
2 y2
2
4 xyt . 1 t2
x2
t2 1
x
y
2tx y 2 1 t2
г)
z v
xy
4 2x y t 9 2 y x t 2 .
2
г)
z x
ТУ
в)
ex
БН
dz dt
ри й
б)
yze xyz cos z ; 1 xye xyz x sin z
z y
1 yz xy 2 z ( x xyz
y )e
z2
;
xze xyz . 1 xye xyz x sin z z y
1 xz xy 2 z ( x xyz
y )e z
2
.
112
z x z y
ж)
z x
10.3. а) б)
dz dt dz dt
г)
z y
д)
z x
(2 z (1 x 2 y 2 ) arctg xy)(1 x 2 y 2 ) y cos( x 2 z )
Ре е)
z x
z sin( x 2 y )
2 cos( x 2 z ) cos( x 2 y ) e z
z xy y ln z ; xyz xy 1 sin z z x
2uv2
1 x
2
y2
.
x xy x ln z . xyz xy 1 sin z
z y z y
2vu 2 ;
(2 x cos 2t
2uv2
2vu 2 .
y / t) .
y sin x)2t 3( x cos y cos x)t 2 .
(sin y
x2
2 yz
y2
2 zx
;
yze xy
zy 2
xy
2
e
y ln z x ln y
xy
z x ;
z ln y y ln x
z y
2 xy
z2
y2
2 zx xze xy e
xy
yz / x z ; xy / z y
.
2 xyz xy 2
.
x ln z x ln y
З а н я т и е 11
113
.
;
2 cos( x 2 z ) cos( x 2 y ) e z sin( x 2 z ) 2 z sin( x 2 y )
по з
в)
zx (1 x 2 y 2 ) 2 x 2 yz 2
;
ТУ
е)
(2 z (1 x 2 y 2 ) arctg xy)(1 x 2 y 2 )
БН
z y
zy (1 x 2 y 2 ) 2 xy 2 z 2
ри й
z x
ит о
д)
z ln x xz / y . y ln x xy / z
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Градиент Аудиторная работа
x 1 , M (0; 1; ). y 4
б) 2 x 2 3 y 2 в) z г) x3
x2 y3
2 xz 2
y2 z3
БН
arctg
zx 15, M (1; 2; 1).
xy, M (3; 4; 7).
xyz 6 0, M (1; 2; 1).
ри й
а) z
ТУ
11.1. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M ( x0 , y0 , z0 ) :
11.2. Найти производную функции z x3 3x 2 y xy 2 3 в точке M (1; 2) в направлении, идущем от этой точки к точке N (4; 5) .
ит о
11.3. Найти производную функции
z
xy x 2
y2
в точке
M (3; 4) в направлении, составляющем с осью Ox угол 60 . y 11.4. Найти производную z arctg в точке M (1 / 2; 3 / 2) , x
по з
принадлежащей окружности x 2 окружности.
y 2 2 x 0 , по направлению этой
y2 в любой точке x эллипса 2 x 2 y 2 1 по направлению нормали к эллипсу равна нулю. 11.6. Найти градиент функции в указанной точке:
Ре
11.5. Доказать, что производная функции z
а) z
4 x2
б) x 2
y2
z2
y 2 , M (2; 1).
xyz 5, M (1; 0; 2).
114
u
11.7. Каково направление наибольшего изменения функции x sin z y cos z в начале координат?
11.8. Даны две функции z ln(x 2 y 2 1) и z x 2 y 2 3xy . Найти угол между градиентами этих функций в точке M (1; 1) . Домашнее задание
4
б) z
x ln y
в) x 2
2 y 2 , M (1; 0; 5).
БН
x2
а) z
ТУ
11.9. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M ( x0 , y0 , z0 ) :
y ln x, M (e; e; 2e).
2 y 2 3z 2
6, M (1; 1; 1). arcsin
ри й
z
( x 2 y 2 )3 / 2 равен 2. 11.12. Найти производную функции z
ит о
z
Дана функция
x
. Найти угол между x y градиентами этой функции в точках M1 (1; 1) и M 2 (3; 4) . 11.11. Найти точки, в которых модуль градиента функции 11.10.
принадлежащей параболе y 2
ln(x
4 x , по направлению этой параболы.
по з
Ответы 11.1. а) x
y 2z
1
Ре
б) 5 x 12 y 3z 32 0; в) 17x 11y 5 z
60;
г) x 11y 5 z 18 0;
115
2
y) в точке (1; 2) ,
x 1
y 1 1
x 1 5
y 2 12
;
z
4. 2
z 1 . 3
x 3 17
y 4 11
z
7
x 1 1
y 2 11
z 1 . 5
5
.
1 2i 3
j.
1 i 2
б)
2z
2 x 3 0;
б) z 2 x 2 y 2e в) x 2 y 3z 6
y e 2
y 1 2
z 2e . 1
z 1 . 3
ри й
11.10. cos
x 1 1
0;
11.8. .
x 9 0 . y 0
x e 2
0;
1 . 2
j.
11.7. Отрицательная полуось y. 11.9. а) z
11.4.
ТУ
11.6. а)
11.3. 13,6 12,3 3.
БН
11.2. 13 3.
8 .
0,99;
11.11. точки на окружности x 2 y 2 2 / 3 . З а н я т и е 12
11.12.
2 /3.
ит о
Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области. Условный экстремум
по з
Аудиторная работа
12.1. Исследовать на экстремум следующие функции:
x3
3xy 2 15x 12 y .
б) z
x2
xy
y2
в) z
x3
y2
3x 2 y .
г) z
x y
Ре
а) z
z
x2
2x
y.
y 6x 3 .
12.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( x, y ) в замкнутой области, ограниченной линиями: 116
а) z
x2
2y2
б) z
x2
2 xy 4 x 8 y; x
в) z
e
г) z
x2
(2 x 2
y2 ; x2
0; y
3 y 2 ); x 2 y2
0; x
y 3.
0; x 1; y
y2
2.
4.
4.
ТУ
x2 y 2
4 xy 6 x 5; x 0; y
12.3. Исследовать функции на экстремум при заданном условии: а) z
x 2 y при условии x 2
y2
б) z
1 x
1 1 при условии 2 y x
1
в) z
1 x
1 при условии x y
г) z
x
y 4 при условии x 2 y 2 1 . 2 Домашнее задание
1
2
a2
2.
.
ит о
ри й
y
БН
y
5.
12.4. Исследовать на экстремум
2 x3
б) z
x2
xy 2
xy
5x 2
y2
y2 ;
3x 6 y .
по з
а) z
12.5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области:
x 2 y (4 x
б) z
x2
Ре
а) z
y), x
0, y
2 xy 4 x 8 y, x
0, x
0, y
y
6;
0, x 1, y
2.
12.6. Исследовать функцию на условный экстремум а) z
x2
б) z
xy 2 при x 2y 1 .
Ответы 117
y2
xy
x
y 4 при x
y 3 0.
0 ; б) zmin
z(0; 0)
12.5. а) zнаим
z(4; 2)
64 , zнаиб
z(1; 0)
3 , zнаиб
б) zнаим 12.6. а) zmin
z( 3 / 2; 3 / 2)
б) zmin
z(0; 3)
0 , zmax
z(1; 0)
9.
z(2; 1)
4;
z(1; 2) 17 .
19 / 4 ;
z (1 / 3; 1 / 3) 1 / 27 .
ТУ
12.1. а) zmin
З а н я т и е 13
БН
Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными и однородных дифференциальных уравнений первого порядка
ри й
Аудиторная работа
13.1. Решить уравнения:
ydx 0 .
б) xyy
ит о
а) (1 x)dy
1 x2 .
в) 1 y 2 dx y 1 x 2 dy 0 .
г) y
ex
д) xdy ydx 0, y(1) 1 .
е) y
y cos x, y(0) 1 .
з) y
(x2
y ln y, y
по з
ж) y sin x
Ре
и) y
y2
x
2
л) ( y
x2
м) xy
x
н) ( y
e.
2
к) y
2.
y 2 )dx xdy 0, y(1) 1 y, y (1) 2
x)dx ( y
y
.
x)(1 y 2 ) .
2 xy x
2
y2
.
0.
0.
x)dy
0. 118
о) xy
y(ln y ln x) .
п) y
y2
2 xy x 2
y2
2 xy x 2
, y (1)
1.
ТУ
Домашнее задание 13.2. Решить уравнения:
cos(x
д) y tg x
y, y
ж) ( xy
г) ( xy 2
y) . 1.
2
x)dy
ydx 0,
c
13.1. а) y
1 x
.
c 1 x2 .
по з
в) 1 y 2 д) y
x.
е
Ре
ж) у и) y
л) y
tg
x 2
x 2 cx3 1 cx
x2
3
.
y2 .
н) ln c x 2 y 2 119
y x
е) y
y(1) 1 .
ит о
Ответы
x)dy ( x 2 y
x . y
з) y
б) x 2
y2
г) e x
e
y
е) y
esin x .
з) y
tg
к) x 2 м) 4 x
y arctg . x
0.
y)dx 0, y(1) 1 .
ри й
в) y
б) ye2 x dx (1 e 2 x )dy
1 y2 .
БН
а) y 1 x 2
x3 3
y2 2x
y x
e
y x,
y (1)
0.
2 ln cx. c
0.
x2 2
c .
cy. y 2.
13.2. а) arctg y
arcsin x
C.
г)
C 1 e2x .
1 2 (x 2
е) y з) y
x
в) tg
y x
y 2 ) ln
2
д) y
1.
y
x C.
sin x . x y
ж) ln | y | 2
x 2 ln | x | C .
x ln(1 ln x) .
БН
З а н я т и е 14
2.
ТУ
б) y
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений и уравнений Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах
ри й
Аудиторная работа 14.1. Решить дифференциальные уравнения: а) y
2 xy
в) y
ytgx
д) y
2y ex
xe
x2
.
б) y
0.
г) y
1 . 4
е) y
3y x
x3
з) y
4 xy
2 xe
к) y
2 xy
2 x3 y 3 .
ит о
1 , y (0) cos x
по з
x, y (0)
y ctg x
и) xy
4y
Ре
ж) y
л) y
y
y3 . sin x
x2 y .
xy 2 , y(0) 1 .
н) e y dx ( xe y
2 y)dy
п) 2 x cos2 ydx (2 y
y 2 ln x 1 . x 1 2x y 1. x2
м) (2 x
0.
о)
x 2 sin 2 y)dy
2
,
y (1) 1 . x2
y.
y)dx ( x 2 y)dy
y dx ( y 3 x
ln x)dy
0.
0.
0. 120
р)
xdy x
2
y
y
с) ( x 2
2
x
y2
2
1 dx .
y2
x e y )dy
y)dx (2 xy
0; y(0)
0.
ТУ
Домашнее задание 14.2. Решить дифференциальные уравнения:
в) y
y x ln x
д) y
y
(1 x 2 ) 2 .
2 xy
1 2 e . 2
x ln x, y (e)
ж) ye x dx ( y e x )dy
x2
x2 . 2
c
по з
14.1. а) y e
sin x.
д) y
ex
Ре
в) y
ж) y и) y
121
1 x 2
sin x 2 cos x c
x4
1 ln x 2
г) 4 xy
1 4
e 2x .
x
y2 .
2 y)dy
0, y(5)
б) y
x ln x
c . x
г) y
cx 2e
1
1
е) y
2
1
2
x3
2
c .
e2
y
з) y
.
e x x4 y5 .
3y
y x
е) y
0 . з) e y dx ( xe
ит о
Ответы
9 . 4
x3 .
ри й
1 x e y ; y (0) 2
2y x
б) y
БН
а) (1 x 2 ) y
к)
x 2
1 y2
e
x
x2
2x2
x2
0.
.
.
c 1 2
1 2 x 2 2
ce2 x .
2
.
y2
c.
п) x 2 cos y
y2
с)
1 3 x 3
1 4 x 6
б) y г) y
xy 2
4
(e
xy e y
C x x
2
x
з) xe
y
y2
в) y
.
x
c.
x
5.
1 2 e 8
x
y.
1 2 x ln x . 2
д) y e
C) x . 2x
x y
C . ж) ye x
x
1 x e 2
2
1 .
1 2 y 2
C.
ит о
e2
c.
4 y4
14.2.а) (1 x 2 )(x C )
1.
3
1 e 2
е) y
р) arctg
c.
1
о) y ln x
c.
y2
xy
ТУ
н) xe y
м) x 2
.
БН
1 x
ри й
1
л) y
З а н я т и е 15
по з
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Аудиторная работа
Ре
15.1. Решить дифференциальные понижение порядка: а) y
ln x
в) y
arctgx .
д) 2 xy y
x.
( y )2 1 .
уравнения,
допускающие
б) y
x x.
г) xy
y
0.
е) xy
y ln
y . x 122
2( y ) 2 .
ж) y tg y
3( y ) 2
и) 2 yy
( y )2 .
з) yy
4y2 ,
y0
1, y 0
0.
Домашнее задание
xe x .
в) xy
ctg y
д) y 3 y
б) y
0.
1.
x
г) xy
y
е) yy
y (y
1 2 x ln x 2
8 4 x x 315
в) y
1 2 x 1 arctgx 2
г) y
C1 ln x
C1 x 2
з) y
к) y
л) y
123
ит о C12
C2eC1 x , ( x 3)e
e
x 1 C1
y
C.
x
1) .
C1 x C2 .
1 x ln 1 x 2 2
C2 .
1 x C1 x C2 . 2
д) 9С12 y С2 ж) C1 x C2 е) y
C1x 2
8 ( x 2) 7 / 2 125
2.
C 2 x C3 .
C2 .
по з C1 x
Ре
е) y
x3 6
3 2 x 4
б) y
x
ри й
Ответы 15.1. а) y
2.
БН
а) y
ТУ
15.2. Проинтегрировать уравнения:
C2 x C3 .
C1x 2
C2 x C3 .
1 cos2 x
2
4 С1x 1 3 .
C tgy .
0.
м) y
x arccosC1 x
н) y
2x
x2 4
1 1 C12 x 2 C1
C2 .
C1 ln x C2 .
ТУ
о) C1 y 2 1 (C1 x C2 ) 2 .
БН
п) C1 y 1 C2 eC1x , y C1 x . З а н я т и е 16
ри й
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа Аудиторная работа
16.1. Решить дифференциальные уравнения:
4y
5y
0.
ит о
а) y
4y
y
0.
д) y (V )
3 y ( IV )
3y
по з
в) 4 y
ж) y IV
5y
4y
y
0.
и) y
6y
9y
0,
y (0)
к) y
2y
2y
0,
y(0)
Ре
0.
б) y
4y
0.
г) y
6y
9y
е) y (V )
y
з) y IV
2 y II
0.
0.
y
0.
y(0) 1 . 0, y (0) 1 .
16.2. Решить дифференциальные уравнения методом Лагранжа: а) y
y
ex e
x
1
.
б) y
4y
1 . cos 2 x
124
y
1 . sin x
д) y
2y
y
г) y
ex x2
4
3y
16.3. Решить уравнения:
3y
4y
0.
б) y
в) y
4y
5y
0.
г) y IV
д) y
4y
е) y
Ответы
C1e x
б) y C1
C2 e
1 x e2
4x
5x
.
C1 C2 x .
г) y
e3x C1 C2 x .
д) y
C1 C2 x e
C3
Ре
x
C4 x C5 x 2 .
е) y C1 C2 x C3 x 2 C4 e x
ж) y з) y
и) y 125
2y
.
по з
в) y
C2 e
C5e x .
C1 cos x C2 sin x C3 cos 2 x C4 sin 2 x.
C1 cos x C2 sin x
e
3x
1 4x .
y
3y
ит о
16.1. а) y
2y
ри й
sin 2 x
БН
а) y
.
1 ex
.
.
Домашнее задание
1
1
2y
ТУ
в) y
x C3 cos x C4 sin x .
0.
4y
y
0.
x
e
x
.
e x sin x.
x sin 2 x 2
в) y
C1
г) y
C1e
д) y
e
x
16.3. а) y
cos 2 x ln cos 2 x 4
ln sin x sin x x
C2e
2x
C1e x
x
e
4x
2x
ln e x 1 .
x arcsin
;
в) y
e
г) y
C1e
д) y
(C1 ln | sin x |) cos 2 x (C2
е) y
(C1 C2 x)e
1 e 2
x
ln e x 1 .
x . 2
(C1 cos x C2 sin x) . C2e2 x
C3 sin x C4 cos x .
ит о
2x
x
по з Ре
1 2
C1 sin 2 x C2 cos 2 x.
x cos x.
4 x2
C2e
C2 x ) .
C2
e
C1 C2 x
б) y e x (C1 2x
1 x ln e x 1 e x 2
x
ТУ
б) y
C2 e
БН
C1e x
16.2. а) y
ри й
к) y
xe
x
x
1 ctg x) sin 2 x . 2
ln | x | . З а н я т и е 17
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида Аудиторная работа
17.1. Решить дифференциальные уравнения:
126
4y
2x 2
в) y
4y
3y
д) y
6y
10 y
ж) y
3y
1 sin 3x 4e 2 x .
и) y
4y
3x 1,
к) y
9y
3 cos 3x,
3x 1 .
(2 x 3)e 2 x . x2
4e x .
б) y
2y
y
г) y
3y
4y
е) y
y
з) y
4y
y(0)
x
.
5 sin x .
2 cos 2 x .
2.
2 sin x cos 2 x .
БН
y(0) 1, y (0)
8e
ТУ
а) y
0, y (0) 1 .
Домашнее задание
ри й
17.2. Решить дифференциальные уравнения: а) y
y
б) y
3y
в) y
2y
y
г) y
16 y
32e 4 x ,
2x 1 .
(34 12x)e
x
.
ит о
2y
12cos 2 x 9 sin 2 x, 2, y (0)
по з
y(0)
д) y 4 y e 2 x , Ответы
y(0) 0. 8.
17.1. а) y C1 cos 2 x C2 sin 2 x
1 3 x 2
Ре
y(0) 1, y (0)
б) y
C1e
в) y
C1e x
г) y
C1e
127
x
C2 xe
C2e3x 4x
C2 e x
x
4 x 2e x .
2x 3 e2 x . 15 sin x. 34
3 x. 4
2, y (0) 0 .
3x
cos x C2 e
3x
C1e
з) y C1e 2 x
C2 e
1 e 90
17.2. а) y
9x
C1e x
в) y
2e
C2e 2 x
3e9 x cos 3x 9e9 x sin 3x .
x
x 2 3x .
(4 2 x)e
x
.
ит о
б) y
28x 24x 2 .
7 10e9 x
C1 C2e
1 cos 3x sin 3x . 18
1 5 cos 2 x 16sin 2 x . 40
2x
1 25 39e 4 x 64
к) y
2 2x e 5
ри й
и) y
x 3
C2
221 510x 425x 2 1000e x . 4250
sin x
1 9 cos2 x cos x cos 3x 15 sin 2 x sin x sin 3x . 6
е) y C1 cos x C2 sin x ж) y
3x
ТУ
C1e
БН
д) y
x
4 xe
x
3 sin 2 x .
г) y cos 4 x sin 4 x e 4 x .
3e
2x
2e2 x
по з
д) y
2 xe2 x .
З а н я т и е 18
Ре
Решение систем дифференциальных уравнений. Метод исключения Аудиторная работа
18.1. Решить системы дифференциальных уравнений:
128
dx dt dy dt
y , t y ( x 2 y 1) . t ( x 1)
б)
в)
xy xzz
y, x2
г)
x y
y
д)
x y
е)
x y
2 x y cos t , x 2 sin t.
0.
x y, x y.
1 , y 1 . x
x
2 x y, 3x 4 y.
з)
y
Домашнее задание
ит о
18.2. Решить системы дифференциальных уравнений:
z 1 z 1 . y x
y а)
по з
z
в)
x 3x 2 y y 4 x 7 y
x(0) 1 . y (0) 0
y2 x . x2 y
x б)
y
г)
x y
x 4y . x 3y
Ре
Ответы 18.1. а) x
б) x 129
C1e
C1t C 2 1 , C1t C 2 4t
C2 e
7t
1 e 5
y 2t
2t
.
x(0) 0, x 1 y (0) 1,5.
ри й
x ж) y
x 6y e
ТУ
y
2
2 y 5x et ,
БН
а)
dx dt dy dt
C1t C1t C 2 7 t e , 40
2
.
в) y
4t
C2 e
3 e 10
7t
C1x, z
x 2 1 C12 .
C2
г) x 1 cost 1,5sin t , 2t
д) x
C1e
е) x
C1 C2t et
ж) x
C1et
18.2. а) y
C1e 2t
C1 2 1 e
y2
2t
y
2t
C2 C1 et
C2 1 t
C1et
y
1 e C1C2
C2 e
y
2 1e
2t
2 cos t
.
1 sin t. 2
15C2e5t .
C1 2t C2 . C1x
,z
, y2
C2 e C1x .
C1e 2t
C2 e
2t
.
ит о
б) x 2
x
,
1 cos t , 2
C2e5t ,
2t C2 ,
y sin t 1,5 cost.
ри й
з) C1x 2
2t
C2 e
1 t e. 40
2t
ТУ
1 C1e 2
БН
y
e5t (cos2t sin 2t ), y
г) x
(2C1t 2C2 1)e t , y
2e 5t sin 2t . (C1t C2 )e t .
Ре
по з
в) x
130
Типовой расчет № 3 Неопределенный и определенный интегралы
ТУ
В заданиях: № 1–6 – найти неопределенные интегралы; № 7 – вычислить определенный интеграл; № 8 – вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость. Вариант 1
4. sin 3 2 x cos2 2 x dx.
0
e 2 x dx e
x
x4
2x2 x
3
8
3
dx .
arctg2 x
6.
1 4x2
ри й
1
7.
5.
x dx . x 4 2
(2 x 1) sin 2 x dx. 3.
2.
БН
x dx . 2x 1
1.
.
x dx
8.
1
0
4
x2
dx.
.
a cos ,
y2
2 ( x 1) 2 , 3
ит о
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 2a cos . 10. Найти длину полукубической параболы
по з
заключенной внутри параболы y 2
3
1. x 2 e x dx.
sin 2 x
Ре 3.
5.
x( x
x sin 2 x 2
x sin x 2x 3 2
2 x 3)
dx.
x . 3
Вариант 2
3
dx.
131
dx . 1 x 4 ln x
x ln x dx.
4. sin 4 6.
e
7.
3
2.
x 1 x 1
1
8.
3 x dx. 2
0 (x
dx.
dx 1) 3
.
9. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y x 2 , y 2 x . 10. Найти длину кардиоиды
2(1 sin ) . Вариант 3
2
4 cos x
2. e x cos 2 x dx.
.
3. sin 2 x cos x dx.
7.
4x
41
y
.
x dx
6.
dy .
y2
1
2
БН
x
3
dx . cos x 3sin x
4.
. x 1
ри й
( x 2 1) dx
5.
ТУ
sin x dx
1.
8.
xe
x2
dx .
0
ит о
a(1 cos ) . 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией 10. Найти объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями y
x2 , y
2
x, y 0, вокруг оси Ox .
Вариант 4
x 2 dx
по з 1.
5.
.
dx
2
1 sin x
Ре
3.
9 x3
(x
/4
7. 0
2
.
x 3dx 1)( x
sin x 3
cos x
2
4)
.
2. arctg2 x dx. 2 ln x dx . x
4.
x dx
6.
x e
dx.
8. 1
4
dx x ln 2 x
.
.
132
9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями xy
6, x
10. Найти периметр фигуры, ограниченной линиями y
2
y
7.
x , y
x.
Вариант 5
sin x 1 ctgx
2. ln 4 x dx.
.
6 sin x cos x dx. 1 cos x
4. e
7.
4x2
ln x x
1
x 4 dx
5.
dx.
3.
x
8. 0
6.
. 1
3
dx arccosx 1 x 2
.
ТУ
2
x 1
3
x2
dx.
2
БН
dx
1.
x dx . (1 x 2 ) 2
ит о
ри й
9. Найти длину дуги кривой y e x 1 от точки (0; 0) до точки (1; e 1) . 10. Найти объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями y x 2 , y 0, x 2 , вокруг оси Oy . Вариант 6
cos2 x dx sin 4 x
.
2. x arccos2 x dx .
по з
1.
3.
2
sin x 2 cos x x5
2x 1
x
Ре
5.
2 tg x 3
2
4
1
dx.
dx.
4. x sin(1 3x 2 )dx.
6.
2 x 1 dx 4
2x 1
/3
sin 2 x dx.
7.
dx
8.
0
0
x
2
1
.
.
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой x t sin t ,
y 1 cost , 0 t 133
.
10. Найти объем тела полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями xy 1, x 3, y 3. Вариант 7
2
cos x
dx.
dx . cos x 3 sin x
4.
3
7. 1
cos2 x x2
5.
x
3
dx. 2
8.
3. x 2 1 3x 3 dx.
dx . 3x 1
2x
e
arctgx 1 x
2x 1
2.
2
dx . 1 x ln x
3x
6.
dx .
ТУ
1 tg x
x 1
3
x
2
ри й
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией 10. Вычислить длину кривой x
3
dx.
x
БН
1.
cos3 t , y
2 cos3 .
sin 3 t .
ит о
Вариант 8
x 3 dx
1.
1 x x
dx
.
2. ln(1 x 2 )dx .
.
4.
по з
3. e
4
x
x3
5.
2x2
Ре
( x 1)( x
2
7.
0
2
4 x 2 dx .
1)
dx.
dx . 5 2 sin x 3 cos x x 1 1 d x. x 1(3 x 1 1)
6. 3
dx
0
9 x2
8.
.
9. Вычислить длину кривой y ln x от точки (1; 0) до точки (e;1) . 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox /2. фигуры, ограниченной линиями x cost , y 3sin t , 0 t 134
Вариант 9
x ) 5 dx
(1
1.
4x
.
2. (2 x 1)e dx.
3.
x
4
y 1 y 1
x
8.
dx.
3
8x
e
x
2
dx .
dx x
1
6.
.
dx x x
2
.
.
БН
9
7.
4 3x
5.
10 x 7
ТУ
4. sin 4 2 x cos2 2 x dx .
x 6 dx
9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией 2a sin . 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y 2
4.
ри й
x, x
В а р и а н т 10
sin x dx
4.
2. x 2 sin 3x dx . 3. ( x 2 1) e
ит о
1. x 2 sin x 3dx.
5
x2 1
5.
.
x
cos x ln 4
dx
.
0
e
x
1
2x
1
arccos x
0
1 x2
8.
по з
7.
3
2
3x
dx .
6.
x3 3 x
dx .
x
3
x
x
6
x
dx .
dx .
Ре
4 sin . 9. Найти длину кривой 10. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями x y 3 sin t. В а р и а н т 11 3
1. (1 ctg x)
135
dx 2
sin x
;
2. ( x 2 1) ln x dx ; 3.
9 x 2 dx ;
4 cos t ,
dx ; 2 cos x 3
4.
/2
cos x 2sin x dx ;
7.
x2
5.
x
x
dx ;
2
x 3dx
1
16 x 4
8.
0
4
3
6.
3
2 x 1 dx ; 2x 1 6 2x 1
.
y2
a2 , x
2a .
БН
фигуры, ограниченной линиями x 2
ТУ
9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: x 2 16x 4 y, x 4 y. 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox
В а р и а н т 12
cos x x
dx .
4
e2
7. 1
2.
x4
dx .
2x 9
5.
x
4
x
2
12
dx .
3. x 3e 6
6.
4 x4
dx .
x dx 3
x
x
.
ит о
4. tg 3x dx .
ln x
ри й
1.
ln 2 x dx . x
8.
1
по з
9. Найти длину кривой y
x 2 dx . ( x 3 1) 4
ln cos x от точки (0; 0) до точки
Ре
2 ( ; ln ). 4 2 10. Найти площадь фигуры, ограниченной одним витком
1. tg3x dx .
2 .
В а р и а н т 13 2. (4 x 1) cos2 2 x dx .
3.
1
x x
dx .
136
dx
4.
2
2
5 sin x 3 cos x 3
7.
.
3x 4
5.
x
3
2
x 3 1 x 2 dx .
8.
0
1
5x
2
x dx ( x 1) 2
6x
dx .
6.
x dx . 1 4x
.
9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y 2
ТУ
y2
4 x.
e t sin t (0 t 1) .
БН
e t cos t , y
10. Найти длину кривой x
x 5,
В а р и а н т 14
x x2 1
.
3
4
7.
dx
11
5.
3x 8 x
3
x
6.
dx .
3
6
x 1
x 1
x 1
dx .
ит о
4. ctg 3x dx .
x
3. e cose x dx .
2. ln 2 2 x dx .
ри й
dx
1.
x
.
8.
1
ln 2 x dx . x
по з
4 sin 2 . 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy
Ре
фигуры, ограниченной линиями y 2
1. cos x 1 sin x dx .
4.
137
dx . 2 cos x
9 x, x
0.
В а р и а н т 15
2.
5.
xdx 2
sin 2 x
2
3. x 4 x dx .
.
2x 1 x4
5x 2
6
dx .
6.
x2 1 dx . x
sin x cos2 x dx .
7.
1
sin
/3
8.
0
x
1
x 2 dx .
3
1
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y
,
ТУ
x2 . 2 10. Найти длину кривой x 0 t .
1 x2
y
БН
2(cost t sin t ) , y 2(sin t t cost ) ,
В а р и а н т 16
1 2 ln x dx . x
2. e
4. sin 4 2 x cos4 2 x dx .
3x 2
5.
x
4
tg2 x dx .
/6
sin 2 x dx .
4x 1
4
x
ит о
/3
7.
2x
3.
ри й
1.
x dx
8.
1
x2 1
x
6.
x 2
x x
3 6
dx .
x dx . x
.
(x 1)3 от точки (1; 0) до точки
по з
9. Найти длину кривой y 2
2
dx .
2x 3
2
(6 ; 125) . 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy x2
Ре
фигуры, ограниченной линиями y
0.
В а р и а н т 17
1. 2 x 1 2 x dx ;
4.
x, y
sin 2 x dx 2
2
4 sin x cos x
2.
;
5.
3x 5 2
cos 3x x4 x
4
dx ;
8x
x2
2 2x
x2 1 2
4x 3
3.
9
dx ;
6.
3
x 3
x
6
x
x 1
dx ;
dx ; 138
x 2 dx
2
/6
sin 3 2 x dx ;
7.
8.
0
x3 1
1
.
9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y 2 2
9x , y
2
10. Вычислить длину кривой x 5 cos t , y 5 sin t (0 t
2x
2
dx .
2. x arctg2 x dx .
x 3
5
0
dx . 3 5 cos x
x
4x 3 4
4x
2
dx .
x 1 dx . x ( x 1)
6.
3
ри й
/2
7.
x2
5.
4. tg 2 x dx .
3. sin 2 x cos2 x dx .
БН
4x 1
1.
/ 2) .
ТУ
В а р и а н т 18
3x .
1
8.
0
3
dx . 2 4x
по з
ит о
9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями xy 4 , y 1, y 4 , x 0. 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y 2 x , y x , x 3.
ctg3 x
dx .
2.
sin x dx . 1 cos x
5.
sin 2 x
Ре
1.
4.
В а р и а н т 19
/4
7.
0
sin 5 x dx .
ln 2 x x2 x4
dx .
2x 1
8 x
8.
e
x2
3
3.
dx .
6.
x 2 dx 2x2 1 x 1
.
2 x 1
dx .
x dx .
1
9. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox ). фигуры, ограниченной линиями y sin x , y 0 (0 x 139
4.
6.
dx
tg 3 x
2
cos 3x
.
2. x 2e3 x dx .
3.
.
5.
dx 2
2
sin x 6 sin x cos x 16 cos x
x 1 x x 2
dx .
sin 2 x
7. /2
2
4 cos x
6 sin t 8 cos t
4x 1 dx . x 2
x3
x
3
/4
2x2
8.
dx .
4 ctg x
0
9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией 10. Найти длину кривой y
x
x
dx .
dx
sin 2 x
.
3 cos .
от точки (0; 1) до точки (5; e 5 ) .
ри й
e
x 1
БН
1. 3
y
ТУ
10. Найти длину кривой x 8 sin t 6 cos t , (0 t / 2) . В а р и а н т 20
В а р и а н т 21
2x 3 x
dx .
2 sin x 3 cos x dx . 1 cos x
x dx
6.
3x
3. 2 x tg2 x dx .
2. arccos2 x dx .
3x 5
по з
4.
2
ит о
1.
3
x2
.
/4
7. 0
5.
4x2 ( x 1)(x
x dx 2
cos 3x
.
2
38 4 x 13)
8. e2
dx .
dx . x ln ln x ln x
Ре
4 cos 3 . 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy
фигуры, ограниченной линиями y
x2 , y
2 x , x 0 ( x 0) .
140
В а р и а н т 22
2. (2 x 3)2 x dx .
4. ctg6 3x dx . /9
7.
6 x dx
5.
ctg 3x dx .
x
1
.
1
arcsin x
0
1 x2
8.
/ 12
3
3.
6.
4x 1 x
2
2x 2
x 3 dx 1
dx .
3
x 3
dx .
.
ТУ
ln 2 x dx . x
БН
3
1.
4 cos t ,
ри й
9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x y 9 sin t . 4(1 sin ) . 10. Найти длину кривой В а р и а н т 23
1. sin 2 x 1 sin 2 x dx . x 1 13 6 x
x2
3x 1 x 4 13x 2
36
dx .
по з
5.
dx .
ит о
3.
2. log2 (3x 1) dx .
8. 14
Ре
/ 16
ln sin x (
3
x x(1
2
cos2 4 x dx .
9. Найти длину кривой y
x
6.
/ 12
7.
dx . 2 sin x 3 cos x 3
4.
3
x2 dx . x)
x dx ( x 2 1)3
.
x ). 6 3 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями xy 4 , y x , x 1. В а р и а н т 24
141
sin x e
4.
cos x
2.
dx . dx
2
4 sin x 8 sin x cos x
.
x arctgx 1 x2
x 4 dx
5.
x
e/2
7.
ln 2 x dx .
5x
2
4
.
x
2
6 x 13
x dx
6.
x e x dx.
8.
1
4
3x 4
3.
dx .
4
2
x
dx .
.
ТУ
1.
0
БН
9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями xy 9 , y x , x 5. 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y 2
x, x
4.
arctg2 x 1 x
2
dx .
4. ctg5 4 x dx . 3
x 4
1
2 x 1) e 3 x dx .
x 2 dx .
x3
5.
2x 3
x
1
8.
по з
7.
2. ( x 2
ит о
1.
ри й
В а р и а н т 25
0
4
16
arcsin x 1 x2
dx .
3.
8x 5 x2
x dx
6. 4x
3
x2
Ре
4 3x 2 . 10. Найти длину кривой
.
dx .
9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y
dx .
4x 5
y
x2 ,
5 (1 cos ) .
Типовой расчет № 4 Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уровней 142
В заданиях: № 1–8, 10, 11 найти общее решение дифференциальных уравнений. Если даны начальные условия, то решить задачу Коши; № 9 решить методом Лагранжа; № 12 – решить систему дифференциальных уравнений.
y ln y .
5.
y dx ( y 3 x
4 xy
3.
ln x) dy
0.
9. y
y
3. x 2 y
ит о
7. e x ( y e x ) 1, 143
2y
10. y
2y
x y
4 y2 .
y
0.
(2 x 3) e 2x .
3x y . x 3y
2. xy
xy 1 0 .
5. (2 x e x / y ) dx (1
x.
Вариант 2
(2 y 1) tg x .
Ре
1. y
8. y IV
12.
2 y 1 4 sin x .
по з
2y
y x
x y.
3( y ) 2
6. 2 yy
y (1) 1 / 2 y y (1 ln ) , . y (1) 1 x x
11. y
y cos
4y x
4. y
7. y
1 . cos 2 x
y x
БН
3. ( x 2 1) y
2. xy cos
ри й
1. y sin x
ТУ
Вариант 1
4. 2 xy
x x/ y ) e dy y
y (0) 1 . y (0) 0
0.
6. e y ( y 8. y IV
y(ln y ln x) . 2y
xy 2 .
( y )2 )
3y
4y
2.
0.
9. y
4y
2x
e
4y
x
11. y
2y
3y
3
10. y
.
e2x
x y
12.
9 cos x .
2y x 1 . 3 y 2x
e2x . ln y
5. y y 2
x2
y y ln , x x
4. 2 y
5y
y (1) e, y (1) e.
8. y
e2x . cos x
10. 4 y
4y
5y
2 x 3 xe x .
по з
11. y
12.
Ре
2 x( x 2
5. (2 x3
7. y
x cos x ,
2y
4y
x2
y2 .
8x 3)dy 0 .
3y
0.
y 3 cos 2 x .
x
2x 4 y
y
x 3 y 3e t
2.
.
dx xy
4. y
y) .
xy 2 ) dx (2 y 3
y x
xe
Вариант 4
1. 3e x (sin y) dx (1 e x ) cos y dy 0 .
3. y
2 xy
6. (10xy 8 y 1) dx (5x 2
ит о
4y
0.
( y )2 .
yy
7. y
9. y
xe
x) dx .
БН
y
2. y dy (2 y
ри й
3. xy
ТУ
Вариант 3
1. y
x2 1 .
y
x 2 y) dy
y( ) y( )
1 2
0.
.
x
dy 2
2 xy
2y
2
xy
.
2 x3 y 3 .
6. y y
( y )e 3 .
8. y IV
y
0. 144
9. y
2y
11. y
y
3e
x
10. y
x 1.
2 x 1 4e 2x .
4y
12.
9y
4 cos 3x .
x
4x
y 36 t
y
y 2 x 2e t
.
2
yy . x
x2
3. y ctg x
2 cos 2 x ctg x .
y
5. e y dx ( x e y 2 y) dy x) y
tg x .
11. y
2y
2e x
y
y (1) 1 .
x 1.
ит о
9. y
y , y (1)
0.
x . y
4. xy
y 2 ln x .
y
6. y y ( y ) 2
y .
8. y IV
y
0.
10. y
6y
13y
ри й
7. x ( y
y x
2. y
БН
1. 3 y
ТУ
Вариант 5
12.
3e 2 x sin x .
x
2 x 3 y 5 t,
y
3x 2 y 8e t .
по з
Вариант 6
1. y 1 x 2
3x 2 y x 2 e x
Ре
3. y
5.
x dy
x
2
7. y y 3
145
cos2 y
y
3
y 2
x
2
1, y(0,5)
y2
0.
2. 4 xy dy
4. y
0.
1 dx .
y (0,5) 1 .
6. y
8. y IV
(x2
9x2 y y
8y
y 2 ) dx .
( x5
x2 ) y 2 / 3 .
9y
0.
x.
e2x
y
e
11. y
x
10. y
.
5e 2x .
4y
1
4y
12.
2 x 3 cos3x .
x y
4 x 3 y sin t . 2 x y 2 cos t
Вариант 7
1. (1 e3 y ) x dx e3 y dy .
y dy
7. xy
y , y(1)
0.
y (1)
2.
2 tg x .
ит о
4y
x.
6y
13y
4 sin 2 x cos x .
по з
11. y
Ре
1. ( x 2 xy) dx (1 x 2 ) dy 3. y
5.
dx y
7. x ( y
2y x y
2
1)
6. y
y ( y 1)
8. y IV
2y
10. y
4y
y
12. z
2y 4y
0. 3e 2x .
y2 z . 1 y 2
0.
2. y dx (2 xy
4. xy
2 , y(1)
( y )2 .
Вариант 8
6. 2 yy
0.
y
y . x
xy 2 .
y
e3x .
dy
y ln
4. xy
ри й
5. x dx
9. y
x3
xy
y
БН
3. ( x 2 1) y
2. xy
ТУ
9. y
1 , y (1) 2
5 . 2
8. y IV
x) dy .
y2 .
y y2
8y
( y )2 .
16 y
0. 146
9. y
1
y e
11. y
10. y
.
x
10 y
1 4 cos4 x .
4y
(3x 1) e x .
26 y
1 x y
12.
y cos t , x sin t.
1 y 2 )(1 x)3 / 2 dy
2. y 2
3xy 3x 2 y
0.
4. y
2y x
y sin y) dx (e y x , y (2) y
4y
0 , y (2) 1 .
ctg 2 x .
4y
y
x2
4e 2 x .
Ре
по з
11. 4 y
1. (2 xy 2
2. ( x
4. y 147
x) dx (3 y
y) dx ( x
xy x
2
1
y (y
1) .
8. y IV
y
10. y
y
12.
y x
0.
3 cos x .
5 y 2t 40e t , y 6t 9e t .
В а р и а н т 10
x 2 y) dy 0 .
y) dy 0 .
x y.
2 ln x 1 .
x cos y x) dy 0 .
ит о
7. y
9. y
5. yy
.
cos2 x
y x
3. y
ри й
6. (e x
2 y
0.
БН
1. (1 y 2 ) dx (2 y
ТУ
Вариант 9
3. y
2y x 1
5. xy
y
e x ( x 1) 2 . 1 x
0.
6. 2 x cos2 y dx (2 y
x 2 sin 2 y) dy
0.
8. y
8y
0.
1 . cos 2 x
10. y
4y
29 y 26e
2 x 5 xe3x .
12.
9. y
4y
11. y
4y
y (0) 1 .
x y
x
.
y . 3x 4 y
ТУ
2 yy , y(0)
БН
7. y
В а р и а н т 11
x ) dy
3. xy
ex .
y
7. y
y2
sin 3 x , y( / 4)
2 ctg xy
4y
y
0.
12 y
11. y
2y
36 y
2y
1. ( x 2
x tg
y . x
y 2 cos x
4. y
y
6. y
( y )2 1 y
0.
0.
9. y
1 . sin x
y
32 cos 2 x .
3x (4 x 1)e 2x .
Ре
10. y
y
0 , y ( / 4) 1 .
по з
8. 4 y IV
2 x) dx 0 .
ит о
5. 2 xy dy ( x 2
2. xy
y dx 0 .
ри й
1. ( xy
12.
x y
2 y 3 x, . y 2 x t.
В а р и а н т 12
2 x) y
y 4.
2. xy
y
(x
y ) ln
x
y x
.
148
x 1
5. 2 yy
y .
7. y IV 9. y
4. y
5y
4y
2y
11. y
6. ( x3 3xy 2
2) dx (3x 2 y
8. y ( x 2 1)
2 xy , y(0) 1, y (0)
x
e
y
3y
0.
y3 . sin x
y ctg x
.
x
10. y
y
x y
y 2 ) dy
0.
3.
ТУ
x.
x
xe
.
x y 18t . 5x y
БН
y
3. xy
12.
10 y sin 3x cos x .
1. y 2
y x2
3. y
y
0.
2. xy
cos x .
2
2
11. y
2y
ln x , y(1) 1, y (1) 2 . y
4y
ex
4 x2
5y
8. y
3y
10. y
.
4 xe2 x
cos x .
В а р и а н т 14
149
x2 . y
y) dx (2 xy x e y ) dy 0 .
по з y
Ре
9. y
y . x
y ( y 1) .
y
7. y x
y cos ln
y x
4. y
ит о
5. 2 ( y ) 2
6. ( x
ри й
В а р и а н т 13
12.
6y
3y
y
0.
9y
2x2 1 .
x
2 y x,
y
4 y 3x e 3t .
4. y
x.
5. ( y x ln y) dx (
7. y
y e y , y(0)
9. y
y
x
tg2 x .
y 2e t ,
2x
12. y
4t
y
y 2e x .
2y
( y )2 1 .
x 1) dy 0 . 6. 2 xy y
0 , y (0) 1 .
8. y IV
4y
10. 4 y
9y
8y
x 2 y 3e .
y 2 dx .
5y
0.
5 cos 3x .
2x 2
17 y
3x 1 3e 2 x .
ри й
11.
x2 2y
x2
y dx
БН
y x
3. y
2. x dy
ТУ
1. 2e y (1 x 2 ) dy x(e y 1) dx 0 .
В а р и а н т 15
2. y
y
1 x.
1 x2 y
4. xy
5. y
2 y( y ) 3
Ре
7. y
8. y
9. y
11. y
x( x 1) .
x 1
6y
3y
4y
0 , y(0)
12 y
2y
8y
ex
2
x
1
4y
e
x2
y2
xy
.
4 y 2x2 y
0.
6. (3x 2 y sin x) dx ( x 3
по з
3. y
y.
ит о
1. x ln xy
cos y) dy 0 .
1 . 3
2 , y (0)
0.
.
10. y
4y
5 e 2 x 3 cos 4 x .
5y
12.
4e x cos3x .
x
2x
y
x 2e t .
y,
150
В а р и а н т 16
1. (4 x 2 ) dy
4. xy 2 y
x3 .
5. x 2 sin y dx (1
7. y
2 y , y(0)
9. y
4y
11. y
y
1
2 , y (0)
0.
2.
.
6. y
y 3. 2x2 .
4y
8. y IV
y
10. y
9y
ри й
sin 2 x
x3 cos y ) dy 3
x2
x2 y .
ТУ
2y x
y2
xy
БН
3. y
2. x 2
1 16 y 2 dx 0 .
4 x 3 4e 2x .
12.
x y
0.
3 cos 3x .
x 2y . x 5 sin t
ит о
В а р и а н т 17
e2x
1. yy
.
2. ( x 2
xy) y
y 1.
4. xy
y
по з
3. y tg x
y
5. e x dy ( ye x 1
Ре
7. y
9. y
11. y
151
y3
2 x) dx 0 .
, y (0) 1, y (0) 0 .
2y
4y
y
4y
ex . x
6. x 2 y
x x2
x.
( y )2 .
8. y IV
2y
y
10. y
2y
5y
3x 1 5 cos 3x . 12.
y2
0.
3xe 2x .
x 2 x y, y y 2 x 18t.
xy y 2 .
В а р и а н т 18
1. xy
y
y2 .
2. 4 y
3. y
y x
x cos 2 x .
4. y
7. x 3 y
x2 y
y
11. y
5y
y) dy 0 .
y
e2
x
x
. y2 . 2( y ) 2 .
6. y (2 y 3)
1, y(1) 1, y (1)
2 . 8. y IV
ctg x .
3y
4 x 3 cos 2 x .
x y
12.
3y
y
0.
16 y 3xe4x .
10. y
ри й
9. y
x y
x2
ТУ
x) dx (
4x2
БН
5. (ln y
y2
x y . y x cos 3t
ит о
В а р и а н т 19
1. y
y 1 . x 1
3. xy
y
5. xy
y
ex .
по з Ре
2. ( xy
ln x .
7. y
y( y ) 3
9. y
y
11. y
4y
6.
1 cos2 x
1 x
x dx
5xe x .
y
12.
5y
x y
y x
x.
4 arctg x
2
8. y IV
2. 10. y
.
(3x 1) 2
2 xy
4. y
sin 2 x y
0 , y(0) 1, y (0)
y ) arctg
1 x2 sin 2 x y2 18y 6y
y.
dy 0 . 81y
0.
(2 x 3)e x .
y t 1 . x 2t 152
В а р и а н т 20
1. sin x sin y dx cos x cos y dy
x
7. y IV 9. y
2y dy x
dx
2
2y
11. y
8. y y 2
0.
4y
4y
e
x2
9y
6. y
0.
2x
2( y
10. y
5 9e 4 x .
x2 y4 .
1) ctg x .
( y ) 2 , y(0) 1, y (0)
yy
ln x .
xy y .
БН
y2
y x
4. y
12.
y
x
2y
y
2.
x cos x sin x .
3x 4 y e
ри й
5. 1
2 xy 1 0 .
x2 y
ТУ
3. x 2 y
2. y 2
0.
x 2 y 3e
2t
,
2t
.
1. ( y
ит о
В а р и а н т 21
x 2 dy 0 .
2) dx y
x 2e x .
по з
3. xy
xy 2 ) dx (4 y
5. (5x
y)
Ре
7. x ( y
9. y
11. y
5y
x 2 y ) dy
y , y(0)
6y
1 1 e
2x
1, y (0)
.
4 y 1 6 cos 3x .
0;
2. y
3x y
y . x
4. xy
2y
x 5 y 3e x
6. 3 y y
0.
8. yV
10. y
12.
В а р и а н т 22 153
2y .
2 y IV 2y
x y
0.
3y
y
0.
( x 3) e x .
y 5 cost , 2 x y.
1. 3 y 2 dx
y
2. xy
x 2 y dy .
y dy
2. y dy
x.
x 1
4. 2 y
(2 y
x) dx .
xy
x . y
x2 1
x)
y .
3 6. (3x sin y 1) dx ( x 2 cos y 1) dy 2
7. y IV
5y
0.
8. 3 y y
11. y
3 tg 3x .
3y
4y
10. y
cos3x 12e
2x
.
4y
0.
( x 1) 2 .
БН
9y
2 , y (0)
12.
x
y 2e t ,
y
x t 2.
ри й
9. y
y ( y ) 3 1, y(0)
0.
ТУ
5. x ( y
В а р и а н т 23
3. (1 x)( y
y 2
dx
y)
e
xy 1 dy x
x
по з
5.
2. x 2 y
xy .
ит о
1. (1 x) y
x
7. y IV
6y
Ре
9. y
13y
11. y
4y
36 y
x
.
4.
0.
6. ( x 1) y
0.
2
y2
y
y) .
y.
x( y ) 2
y .
8. y (1 ( y ) 2 ) 3 y ; y(2) 1, y (2)
4e x (cos x sin x) .
9y
x
y (x
2 x 3 5e
3x
.
10. y
12.
4y
y z
4y
e
2.
2x
x3
.
y , x y z.
154
В а р и а н т 24
2. (4 x 2
5. 1
y cos x
2x y
3
x 2 ) dy
3xy
sin x cos x .
dx
1
3x 2
2
4
y
y
4. y dy
0.
0.
2y
11. y
y
6y
e
9y
x
x3 y .
3y
y x
6. y (1 ln x)
3 y 2 , y( 2) 1, y ( 2) 1 . 8. y IV
7. 2 y
9. y
y 2 ) dx (4 y 2
3xy
2 ln x .
БН
3. y
0.
ТУ
2 y ln x
10. 2 y
ln x .
4 x 3 5e
3x
x y
12.
.
4y
5y
9y
4 sin 3x cos3x .
x
0.
y t, 4 x 3 y 2t.
ри й
1. y
ит о
В а р и а н т 25
xy 2 ) dx (3 y
1. (4 x
1 . cos x
y tg x
по з
3. y
Ре
5. (3x 2 y
4
x
2
) dx (cos y
x 3 ) dy 0 .
7. y x ln x
2 y , y(e) 1, y (e)
9. y
4y
155
4y
y
x 2 y) dy 0 .
e2 x 4 x2
.
2.
2. y
y
ex x.
4. y
xy
y 3e
x2
.
6. y ( y
1)
( y )2 .
8. y IV
15y
16 y
10. 4 y
4y
y
4x2
0. 5x .
8y
20 y
4 sin 2 x xe 2x .
12.
x
y e 3t ,
y
x 2e 3t .
Ре
по з
ит о
ри й
БН
ТУ
11. y
156
Учебное издание
ТУ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
БН
Сборник заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов инженерно-технических специальностей В 2 частях
ри й
Часть 1
ит о
Составители: АНДРИЯНЧИК Анатолий Николаевич МИКУЛИК Николай Александрович РАЕВСКАЯ Лариса Алексеевна и др.
Ре
по з
Редактор Т.Н. Микулик Технический редактор О.В. Дубовик Компьютерная верстка О.В. Дубовик Подписано в печать 17.09.2010. Формат 60 841/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 9,07. Уч.-изд. л. 7,09. Тираж 600. Заказ 1044. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.
157